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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES _________________________________________ 12
Introducción ___________________________________________________________________12
Conjunto de los números reales____________________________________________________12
Conjunto de los números naturales_________________________________________________12
Conjunto de los números enteros __________________________________________________13
Conjunto de los números racionales ________________________________________________13
Conjunto de los números reales____________________________________________________13
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES _______________________________________ 14
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL________________________________________ 15
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS __________________________________ 18
Propiedad conmutativa. _______________________________________________________18
Propiedad Anti conmutativa ______________________________________________________19
Ejemplos ____________________________________________________________________________20
Propiedad distributiva. ________________________________________________________20
Divisores del cero _______________________________________________________________21
Elementos distinguidos _______________________________________________________22
Elemento neutro________________________________________________________________22
Elemento involutivo _____________________________________________________________23
Elemento absorbente ____________________________________________________________23
Operación inversa_______________________________________________________________23
POTENCIACION Y RADICACION________________________________________________ 24
POTENCIACION ____________________________________________________________ 24
Propiedades de la potenciación ____________________________________________________25
Potencia de potencia ____________________________________________________________________25
Multiplicación de potencias de igual base ___________________________________________________25
División de potencias de igual base_________________________________________________________25
Propiedad distributiva ___________________________________________________________________25
Propiedad conmutativa __________________________________________________________________26
Potencia de exponente 0 _________________________________________________________________26
Potencia de exponente 1 _________________________________________________________________26
Potencia de base 10 _____________________________________________________________________26

RADICACIÓN ______________________________________________________________ 27
Raíz cuadrada __________________________________________________________________28
OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.______ 30
SUMA: ________________________________________________________________________30
RESTA: ________________________________________________________________________32
MULTIPLICACIÓN: _______________________________________________________________34
DIVISION:______________________________________________________________________41
División entre fracciones _________________________________________________________________41
División de polinomios entre monomios. ____________________________________________________42
División entre polinomios. ________________________________________________________________43
PRODUCTOS NOTABLES _____________________________________________________ 44
Otros casos de productos notables (o especiales): _____________________________________47
Cubo de una suma ______________________________________________________________49
Cubo de una diferencia___________________________________________________________49
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS_____________________________________ 50
Aplicaciones del m.c.m. __________________________________________________________55
1. Reducir fracciones a común denominador. ________________________________________________55
2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________55
Aplicaciones del m.c.d. ___________________________________________________________56
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. _______________________________________________56
2. Resolver problemas de la vida práctica. ___________________________________________________56
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN __________________ 58
Descripción:____________________________________________________________________58
Ecuaciones de primer grado __________________________________________________ 60
Ecuaciones literales de primer grado ___________________________________________ 61
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) _____________________________ 63
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ________________________________________63
Solución de ecuaciones cuadráticas___________________________________________________64
Solución por completación de cuadrados ____________________________________________66
Solución por la fórmula general ____________________________________________________69
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES ________________________ 70

Inverso aditivo _________________________________________________________________70
Propiedad del doble negativo _____________________________________________________70
Operaciones con los números Reales _______________________________________________________71
1. Sumar números reales_______________________________________________________________71
Restar números reales_________________________________________________________________72
Multiplicar números reales _____________________________________________________________72
Propiedades de los números reales. ________________________________________________73
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES _______________________________________ 73
Ecuaciones lineales de primer grado ________________________________________________76
a) ecuaciones lineales propiamente tales ____________________________________________________77
b) ecuaciones fraccionarias _______________________________________________________________78
c) ecuaciones literales ___________________________________________________________________78
Sistemas de ecuaciones lineales _______________________________________________79
Sistema compatible indeterminado _________________________________________________79
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas____________________________________79
CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ________________ 81
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales _________________ 83
Método de reducción ____________________________________________________________84
Ejemplo ______________________________________________________________________________84
Ejemplo ______________________________________________________________________________86
Método de sustitución_________________________________________________________86
Ejemplo ______________________________________________________________________________87
Método de Gauss _____________________________________________________________88
Ejemplo ______________________________________________________________________________88
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ___________________________________________ 90
10 Ejemplos de Términos Semejantes: _________________________________________90
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA________________________________ 91
MONOMIO. ____________________________________________________________________91
BINOMIO______________________________________________________________________91
TRINOMIO. ____________________________________________________________________91
POLINOMIO. ___________________________________________________________________92
GRADO DE UN MONOMIOS __________________________________________________ 92

GRADO DE UN POLINOMIO___________________________________________________ 92
ORDENAR UN POLINOMIO ___________________________________________________ 92
NOMENCLATURA ALGEBRAICA________________________________________________ 95
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL_____________________________________________________97
Métodos para la factorización de polinomios _________________________________________97
Binomios______________________________________________________________________________97
Trinomios _____________________________________________________________________________98
Polinomios ____________________________________________________________________________98
Factorizar un monomio __________________________________________________________________98
Factorizar un polinomio__________________________________________________________________98
Factor común. __________________________________________________________________98
Factor común de un polinomio_____________________________________________________99
Factor común por agrupación de términos ___________________________________________99
Trinomio cuadrado perfecto______________________________________________________100
Raíz cuadrada de un monomio____________________________________________________100
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ______________________101
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto __________________________101
Trinomios de la forma x2 + px + q _________________________________________________________102
Regla práctica para factorizar el trinomio ______________________________________102
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)______________________________________________103
CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M _______________________________________ 105
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios ________________________ 105
Ejercicios ___________________________________________________________________107
OPERACIONES CON FRACCIONES _____________________________________________ 110
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES __________________________________________ 110
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ________________________________ 114
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS _______________________________________ 115
ECUACIONES CUADRATICAS _________________________________________________ 117
Factorización: _________________________________________________________________118
Raíz cuadrada: ________________________________________________________________________118
Completando el cuadrado: _______________________________________________________119

Fórmula cuadrática: ____________________________________________________________119
Clasificación___________________________________________________________________121
Completa____________________________________________________________________121
Completa General ___________________________________________________________________121
Completa Particular _________________________________________________________________121
Incompleta __________________________________________________________________121
Incompleta Binomial ________________________________________________________________121
Incompleta Pura_____________________________________________________________________121
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ____________________ 122
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS_____________________________________ 124
Propiedades de la suma de números enteros________________________________________________124
Multiplicación de números enteros _______________________________________________________125
Regla de los signos _____________________________________________________________________125
Propiedades de la multiplicación de números enteros ________________________________________125
Propiedades de la división de números enteros______________________________________________126
Potencia de números enteros ____________________________________________ 127
Propiedades: _______________________________________________________________________127
Potencias de exponente entero negativo ___________________________________________128
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ______________ 130
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado ____________133
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ___________________________134
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS _______________________________ 135
ANEXOS: NOTAS DE CLASE _____________________________ ¡Error! Marcador no definido.
EVALUACIONES ___________________________________________________________ 294

___________________________________________________ ¡Error! Marcador no definido.

Bibliografia ______________________________________________________________ 301

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el
llamado sistema de los números reales.
Números tales como 1, 3,√ , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los
números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de
una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los
números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de
propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los
números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es
x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
{ }
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Se define como. ℜ= ∪

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas
también axiomas de campo). (Peano, 1889)
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se
avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a- b) si a < b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al
unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los números enteros
(Z). Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no
dividir si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto
o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras
decimales que se repiten
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir ( si b ¹ 0).
Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para
realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden
considerar dentro de él ( , , p , entre otros). Surgen los números irracionales
para dar respuesta a estas instancias.

Los números irracionales se pueden expresar como números decimales de infinitas
cifras decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
números reales (R).
Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías:
propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades
algebraicas establecen que los números reales pueden ser sumados, restados,
multiplicados y divididos (excepto por cero) obteniéndose otro número real.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen
los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el
conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único
punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número
real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre
la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud

para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se
llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real
entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
 Se asocia al origen el número 0,
 Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p
unidades del origen en la dirección positiva,
 Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número
real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa
del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica
o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje
real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.

Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al
númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la
derecha del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el número real a es menor que el número real b
(a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o,
más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de
ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos
sistemas matemáticos

Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición
interna *:
se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto
de operar b con a.
La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales,
reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b
elementos de mismo cualquier conjunto indicado
La multiplicación es asociativa en cualquiera de los conjuntos

La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para
1 y -1.
El producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB ≠ BxA.
Propiedad Anti conmutativa
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de
operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.
Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:
Se tiene con el producto vectorial :
Y
En general, para cualquier par de vectores a, b:
Para los enteros, se ve que la sustracción
Es anti conmutativa, pues si:
Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:

Se dice que * es asociativa si, solo si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual
a operar a con el resultado de operar b con c.
También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:
Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es
distinto de operar a con el resultado de operar b con c.
Ejemplos
La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.
La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa
La adición en el conjunto Z[i] es asociativa
el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw
≠ ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.
Si en en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R.
(α)
Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si
se cumple:
Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)
=uxv + uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN
+ MQ.

Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se
cumple:
Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P=
MP+ NP, la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.
La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de
funciones: (f +g)º=, donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.
Una operación es distributiva sobre otra si es distributiva por la derecha y por la
izquierda.
Los conjuntos numéricos gozan de la distributiva por ambos lados.
Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas
a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semi
grupo multiplicativo no se exige la conmutatividad.
Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la
suma usual en R.
Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado
a por la izquierda. Y si de b*a =c*a de deduce b=a se dice que se ha simplificado por
la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se haba
de simplificación o cancelación.
En el caso de la suma de números (de cualquier naturaleza) a+ b= a + c , cancelando
a, resulta b=c
En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para
el caso, los grupos simétricos.
Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se
dice que a y b son divisores del 0.

Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de
restos, resulta 2*3=0.
Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si x≥0 y g(x)
=0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.
Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que
en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".
Elementos distinguidos
Elemento neutro
Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que
indicaremos: (A,*),
Diremos que el elemento es el elemento neutro por la derecha si:
Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e =
e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:
En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el
elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.
En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro
multiplicativo. a.1 = 1.a = a.
En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro
es 0.
En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es
la matriz que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.
En la composición de funciones de variable real, el elemento neutro es la función I(x)
= x para todo x.

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:
Diremos que a' es simétrico de a si:
Donde es el elemento neutro.
El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la
multiplicación. En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se
llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso
multiplicativo.
Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de
los enteros.
Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el
conjunto de partes de U.
Operación inversa
Sea A un conjunto con una operación binaria *:

Por lo que cabe la ecuación:
Pero si se da el caso de que:
Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite
elementos simétricos, se define: (S.R)
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
ROF. José Luis Gallardo
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él
mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el
exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:
Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces
es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X
8.

Si se escribe en forma exponencial se anota, 85
.
En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a
multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces
que se va a multiplicar al ocho por sí mismo).
De acuerdo con lo anterior, se puede decir que:
85
= 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768
Elevar a una potencia el número 10
Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10.
Por ejemplo lo elevamos a la cuarta:
104
= 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000
Observa que 104
es igual a un uno con cuatro ceros.
Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones
(100.000.000)...
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.

En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1
= a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades posee el exponente.
101
= 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente

106
= 1000000
104
= 10000
RADICACIÓN
Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es
la operación inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖.
Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.
De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un
número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al
exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en
cursos posteriores.

Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el número en
grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o
lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el numero entero que elevado al
cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es 5, sale 5
-4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el momento de
la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el número
que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el número que estamos
buscando se acerque lo más posible al número que tenemos como resto. Ese
número será el siguiente número de la raíz.
En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número que se
aproxima más a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número obtenido del que
queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el
número del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el número que se
aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el número que
se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto
es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación
mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación
2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro
término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede
completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.
Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden
los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 1/2 x
B = -5x4
- 10 + 3x + 7x3
2x4
- x3
- 3x2
+ 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4
+ 7x3
+ 0x2
+ 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4
+ 6x3
- 3x2
+ 7/2 x - 18
A + B = -3x4
+ 6x3
- 3x2
+ 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2
+ 5x - 4 (grado 2)

B = 4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (grado 3)
0x3
- 3x2
+ 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
4x3
- 8x2
+ 7x - 3
A + B = 4x3
- 8x2
+ 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3
- 4x2
+ x
B = 4x2
- 3 - 2x
5x3
- 4x2
+ x + 9
+
0x3
+ 4x2
- 2x - 3
____________________
5x3
+ 0x2
- x + 6
A + B = 5x3
- x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.
Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos
polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener
otro término semejante.
EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3
+ 5
B = -2x + x2
4x3
+ 0x2
+ 0x + 5
+
0x3
+ x2
- 2x + 0
____________________
4x3
+ x2
- 2x + 5
A + B = 4x3
+ x2
- 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"
los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy
B = 8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y
A + B = (-3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy) + (8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y) =
-3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy + 8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y =
-3xy2
- 6x2
y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2
+ 4x3
y - 7x2
y2
=
-9xy2
+ 14 + 3xy - 2xy2
+ 4x3
y - 7x2
y2
RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2
+ 9x4
- 8 - 4x3
+ 1/2 x

B = 5x4
- 10 + 3x + 7x3
9x4
- 4x3
- 3x2
-
5x4
+ 7x3
+ 0x2
______________________________
La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4
- 4x3
- 3x2
+ 1/2 x - 8
+
-5x4
- 7x3
+ 0x2
- 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4
- 11x3
- 3x2
- 5/2 x + 2
A - B = 4x4
- 11x3
- 3x2
- 5/2 x + 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del
polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar
es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los
coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede
hacer en la suma.
EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
(grado 2)
B = 2x + 4x3
- + 1 + 5x2
(grado 3)
0x3
- 3x2

-
4x3
- 5x2
____________________
0x3
- 3x2
+ 5x - 4
+
-4x3
+ 5x2
- 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3
+ 2x2
+ 3x - 5
A - B = -4x3
+ 2x2
+ 3x - 5
Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los
primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de
uno de los polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro
polinomio.
MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de
aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones
algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada
término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".
"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En
este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.
Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de
juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con
los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado".
(ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de
la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del
otro.
EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 5x
B = -5x4
-3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 5x
X -5x4
______________________________
15x6
- 10x8
+ 40x4
+ 5 x7
- 25x5

A x B = 15x6
- 10x8
+ 40x4
+ 5 x7
- 25x5
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra
con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y
luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos
resueltos de las dos maneras.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3
- 5x2
+ 2x + 1
B = 3x - 6
4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)
X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
-24x3
+ 30x2
- 12x - 6
+
12x4
- 15x3
+ 6x2
+ 3x
_________________________
12x4
- 39x3
+ 36x2
- 9x - 6
A x B = 12x4
- 39x3
+ 36x2
- 9x - 6
A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también
completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en

orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un
procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de
que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al
empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la
multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado
queden en la misma columna.
explicación ejemplo 2
EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
+ 0x3
- 9x2
+ x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X -2x2
+ 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4
+ 0x3
- 27x2
+ 3x + 0
0x5
+ 0x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x
-10x6
+ 0x5
+ 18x4
- 2x3
+ 0x2
________________________________________
-10x6
+ 0x5
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x + 0
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es
más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque

todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
- 9x2
+ x (polinomio A incompleto pero ordenado)
X -2x2
+ 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2
+ 3x
-10x6
+ 18x4
- 2x3
____________________________
-10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado
de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que
queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas,

borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes
prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso
es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos
polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué
pensar en dónde ponerlos.
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2
y3
+ 4 - 7x2
y2
- 6x3
y3
B = 5x4
y + 8x - 2x3
y - 10
A x B = (-3x2
y3
+ 4 - 7x2
y2
- 6x3
y3
).(5x4
y + 8x - 2x3
y - 10) =
-15x6
y4
- 24x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x - 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+ 14x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
+ 60x3
y3
=
-15x6
y4
+ 12x6
y4
- 24x3
y3
+ 60x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x
- 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+ 14x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
=
-3x6
y4
+ 36x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x - 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+
28x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el
mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los
términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la
Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos
semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo
dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como están.

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
+ 0x3
- 9x2
X -2x2
+ 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4
+ 0x3
- 27x2
+ 3x + 0
-10x6
+ 0x5
+ 18x4
- 2x3
+ 0x2
________________________________________
-10x6
+ 0x5
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x + 0
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -
27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás
salió ordenado por grado.
EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2

9x2
+ x + 5x4
(polinomio A incompleto y desordenado)
X 3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4
- 2x3
+ 15x4
- 27x2
+ 3x
_________________________________________
- 10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
A x B = - 10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos
el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado
que obtenemos es -10x6
, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más
para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,
dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer
en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio
entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan
más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los
resultados debajo en la columna correspondiente.
DIVISION:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para
crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:
PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2
+ 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2
– 2ab + b2
= (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
Demostración:
– 2ab + b2
podemos factoriza la como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos
binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2
– b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:

expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como a2
– b2
Otros casos de productos notables (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a) (x +
b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2
+ 9 x + 14
Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es
(2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2
+ 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

expresión de la forma x2
+ (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factoriza la como (x + a) (x + b)
x2
+ (a – b)x – ab = (x + a) (x –
b)
Demostración:
+ (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factoriza la como (x + a) (x – b).
x2
– (a + b)x + ab = (x – a) (x –
b)
Demostración:
– (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

mnx2
+ ab + (mb + na)x = (mx +
a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada
binomio (mx y nx).
Demostración:
expresión de la forma mnx2
+ ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a + b)3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b)3
.
Cubo de una diferencia
a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
= (a – b)3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
saber que podemos factorizarla como (a – b)3
.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Binomio al cubo
a2
- b2
= (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados
a3
- b3
= (a - b) (a2
+ b2
+ ab) Diferencia de cubos
a3
+ b3
= (a + b) (a2
+ b2
- ab) Suma de cubos
a4
- b4
= (a + b) (a - b) (a2
+ b2
) Diferencia cuarta
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac +
2bc
Trinomio al cuadrado
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,
además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo
atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista
del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales
de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco
más sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos
(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos
PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este
último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y

se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el
90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del
MCD de dos polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended
Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente
para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz
que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con
muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.
En la segunda parte, en el próximo número, nos dedicaremos a EZGCD y SPMOD.
Estos algoritmos requieren técnicas más sofisticadas basadas en inversión de
homomorfismos vía el teorema chino del resto, iteración lineal p-ádica de Newton y
construcción de Hensel. Como CGDHEU es un algoritmo modular, aprovechamos
para iniciar con parte de la teoría necesaria para los dos primeros algoritmos.
En este trabajo, primero vamos a presentar los preliminares algebraicos, el algoritmo
de Euclides, el algoritmo primitivo de Euclides, el algoritmo PRS Subresultante y el
algoritmo heurístico, además de el algoritmo extendido de Euclides. Las
implementaciones requieren, por simplicidad, construir un par de clases para manejo
de polinomios con coeficientes racionales grandes ("BigRational'') y para manejo de
polinomios con coeficientes enteros grandes ("BigInteger'').(Escuela de Matemática -
Centro de Recursos Virtuales (CRV). Instituto Tecnológico de Costa Rica)
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de
Factorización)
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
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Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
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Ejercicio 112.
1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factorizando las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización.
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a
por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución.
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2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
–> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el
Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y
por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <–
Solución.
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3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3
Faxctorizando las expresiones dadas:
–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el
Caso I)
Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2
Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 <–
Solución.
__________________________________________________________
4) Hallar el m.c.d. de ab +b y a^2 +a

–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de b(a +1) y a(a +1) es = (a +1)
Por lo tanto el m.c.d. de ab +b y a^2 +a es = a +1 <– Solución.
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5) Hallar el m.c.d. de x^2 -x y x^3 -x^2
–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1)
Por lo tanto el m.c.d. de x(x -1) y x^2(x -1) es = x(x -1) <– Solución.
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6) Hallar el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2
–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de (3)(5)(x)(x)(2a -x) y (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
Por lo tanto el m.c.d. de 30ax^2 -15x^3 , 10axy^2 -20x^2y^2 es = 5x <–
Solución.
___________________________________________________________
7) Hallar el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4
–> 18a^2x^3y^4 = 6a^2xy^4(3x^2)
–> 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 = 6a^2xy^4(x -3) Se aplicó el Caso I para ambas
expresiones.

Factor común para 6a^2xy^4(3x^2) y 6a^2xy^4(x -3) es = 6a^2xy^4
Por lo tanto el m.c.d. de 18a^2x^3y^4 , 6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 es =
6a^2xy^4 <– Solución.
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8) Hallar el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2
–> 5a^2 -15a = 5a(a -3)
–> a^3 -3a^2 = a^2(a -3) Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.
Factor común de 5a(a -3) y a^2(a -3) es = a(a-3)
Por lo tanto el m.c.d. de 5a^2 -15a , a^3 -3a^2 es = a(a -3) <– Solución.
Aplicaciones del m.c.m.
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22
x 3
9 = 32
18 = 2 x 32
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22
• 32
= 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador.
2. Resolver problemas de la vida práctica.
Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el
destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro
faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el
destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los
dos?
Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a
la vez sea el más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos
8 y 12:
8 = 23
12 = 22
x 3

exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo.
m.c.m. (8, 12) = 23
• 3 = 8 • 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo
cada 24 segundos.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas
cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño
tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas
dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,
y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de
270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5

M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina
sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACI
ÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax
2
+ bx + c (a0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva x  32x 1 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x  32x 1 9
2x
2
 x  6x 3  9
2x
2
 5x 3 9  0
2x
2
 5x 12  0
2x 3x  4 0
2x 3  0
2x  3
x  3/2

ó x  4  0 x  4
2) Halle las soluciones de x
3
8x
2
16x  0.
Solución:
Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e
igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .
xx
2
8x 16 0
xx 4x 4 0
x  0 ó
x 4 
0
x  4

Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que
aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones
aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la
incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un
lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita
queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la
igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo),
tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2
– (x - 1)2
= 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2
+ 6x + 9 – (x2
– 2x + 1) = 3x – x + 4
x2
+ 6x + 9 – x2
+ 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2
+ 6x – x2
+ 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3

Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales
además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas
letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se
suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo
procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que
cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por
ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2
– x2
= 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2
+ 2x + 1 – x2
= 9

2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman
97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que
la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de
Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5

1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x
2x/2 = 7/2
SOLUCIÓN: x = 7 / 2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la
incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo
tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),
que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola,
e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente
forma:
ax2
+ bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales
que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c
= 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2
+ 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
– 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2
+ 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo
grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos,
o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2
+ 5x − 12 = 0
2x2
+ 5x = 12

2x2
− 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un
cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2
= n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2
, es el cuadrado de la suma de
un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2
+ bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2
+ 8x = 48, que también puede escribirse x2
+ 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2
+ 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2

Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2
+ 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2
+ 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto,
ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como
en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2
+ 2ab + b2
) el tercer término
corresponde al cuadrado del segundo término (42
= 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2
+ 8x + 16 = 48 + 16
x2
+ 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2
= 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2
, que es el cuadrado perfecto de un
binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2
+ 6x − 16 = 0

Hacemos
x2
+ 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2
+ 6x (primer miembro de la ecuación) debemos
obtener una expresión de la forma (ax + b)2
(cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2
el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la
ecuación:
x2
+ 6x = 16
x2
+ 6x + 9 = 16 + 9
x2
+ 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2
= 25
La expresión x2
+ 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este
caso (x + 3)2
, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52
= 5 y también (−5)2
= 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y

x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que
es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener
buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2
+ 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en
direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.
La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número
debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del
doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso
aditivo (opuesto9 del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo
del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto
más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un
número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho
siguiente.
Propiedades de los números reales.
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
Pasos para la solución de problemas:

1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplos
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como
, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos
aprobaron el examen?

Solución:
Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces
Ejemplos
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo
el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco
cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
x+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones..

Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que
pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a
cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión
total?
Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a
invertir al 6%.
Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)
Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 =
$15,600 al 6%.
Ecuaciones lineales de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas

a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar
como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es
igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el
otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero
en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente
Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres
da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
a) 2 x + y = 6 2
x - y = 2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
Dos soluciones de la primera ecuación son:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
Dos soluciones de la segunda ecuación son:
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto, el
sistema será compatible determinado. Vemos la representación más abajo
.x + y = 3 2
x + 2 y = 6
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas
soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la
representación más abajo

b) x + y = 3
x + y = - 1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos
soluciones de la primera ecuación son:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema
no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la
representación siguiente:

Graficas
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida,
se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar
a una ecuación con solo una incógnita, digamos .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en
otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas
ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones
Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para
obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de
partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .

Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación
la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera
ecuación ( ), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por
1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de
una o más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus
factores literales.
GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el
término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que
no tiene radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2
es un término semejante a -3y2
x ya que ambos tienen la misma literal (xy2
= y2
x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2
no es semejante a 4b2
x ya que el literal bx2
no es igual al b2
x.

5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3
es semejante a 9j3
k3
porque (jk)3
= j3
k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4
es semejante a -2kl4
9. 68lky5
es semejante a -96lky5
10.378ab3
c2
no es semejante a 378a2
b3
c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en
cuenta su grado:
9.8 Ordena el polinomio:

Respuesta:
ORDENAR UN POLINOMIO RESPECTO A UNA LETRA
Si hay dos o más letras se deben indicar respecto a que letra se ordena.
Ejemplo:
9.9 Ordena respecto a ‗x‘, el polinomio:
Respuesta:
9.10 Ordena con respecto a ‗z‘:
Respuesta:
9.11 Escribe un trinomio ordenado de quinto grado (los números y letras los que
prefieras)
Respuesta: (con respecto a ‘c’) :

9.12 ¿De qué grado son las expresiones:
Respuestas:
1) Primer grado
2) Quinto grado
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO. Es el grado de su término de mayor
grado.
GRADO DE UN POLINOMIO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el mayor
exponente de dicha letra en el polinomio.
CLASES DE POLINOMIOS. Un polinomio es entero cuando ninguno de sus término
tiene denominador literal; fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en
el denominador; racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene
radical; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;
heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el que contiene
todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que
tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando
o disminuyendo.

ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes
de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o
ascendente.
NOMENCLATURA ALGEBRAICA
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o
no denominador y a si tienen o no radical:
S o l u c i ó n :
2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n :

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores
literales:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre
hetereogéneos
S o l u c i ó n :
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y
racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n :
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado,
quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
S o l u c i ó n :

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación
a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y;
otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
S o l u c i ó n :
DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
- Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto
entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto
entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2
+ ab, estos son los divisores de
a2
+ ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2
+ 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2
+ 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos
especiales.
Binomios
 Diferencia de Cuadrados
 Suma o diferencia de Cubos
 Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios
 Trinomio cuadrado perfecto
 Trinomio de la forma x²+bx+c
 Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
 Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en
consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no
puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a +
b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a

a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente
de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de
efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque
siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común
es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor
exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben
los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.

Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos
también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo
se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se
obtendrá el mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, 16a2
es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2
) = 4a x 4a = 16a2
, 4a cantidad que multiplicada por si misma
da 16a2
, 4a es la raíz cuadrada de 16a2
.
Sin embargo (-4a2
) = (-4a)((-4a) = 16a2
, luego (-4a) es también raíz de 16a2
, por lo
que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2
b4
es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es
el producto de dos binomios iguales.
Así, a2
+ 2ab + b2
es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b

Por tanto:
(a + b)2
= (a + b)(a + b) = a2
+ 2ab + b2
Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer
y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y
positivos, y el segundo término equivale al doble del producto de éstas raíces
cuadradas.
Ejemplo:
a) a2
- 4ab + 4b2
es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a2
= a
Raíz cuadrada de 4b2
= 2b
Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz
cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2
+ 8ab + 16b2
es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2
= a raíz cuadrada de 16b2
= 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab

Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2
+ px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2
+ px + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea p y cuyo producto sea q
Regla práctica para factorizar el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es
decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del
trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y
cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos
números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término
del segundo binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:

a) x2
+ 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2
- 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2
+ 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)
Observemos que el producto:
(ax + b)(cx + d) = acx2
+ adx + bcx + db
= acx2
+ (ad + bc)x + db, es de la forma mx2
+ px + q (haciendo m = ac, p = ad +
bc y q = bd).
Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible factorizar
¿Cómo determinar estos números?
a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q:
m = ac y q = bd
b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos:
c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En
caso contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q
Ejemplos:
a) 2x2
+11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4

Luego 2x2
+11x + 12 = (2x + 3)(x + 4)
Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones.
Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6
También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo:
2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2)

CUADRO SINOPTICO DE M.C.D Y M.C.M
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios
Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo
entre números enteros:
Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.
Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así:

Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos
"factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y
había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un
número o en el otro.
Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos
m.c.m. = 23.32.5
Porque:
 Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay
que ponerlos todos.
 El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2
está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está
menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo
elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le
pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la
descomposición de un número, en la columna de la derecha).
 El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3
está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el
m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.

 El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una
sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 =
51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente
(o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece
(porque otro 5 no hay).
Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(MCM)
Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer
exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son
números, sino polinomios. Y los factores son también polinomios. Ya no se factoriza
dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los
Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por
practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya están
factorizados.
Ejercicios
Hallar el M.C.M. de:
* Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 4)3
(x – 7)2
(x + 6)8(x + 7)3
F(x) = (x + 6)2
(x – 7)3
(x + 7)4(x – 6)2
S(x) = (x + 2)3
(x + 6)4
(x + 4)8(x + 7)2
a) (x + 7)4
(x + 6)8
(x + 4)8
b) (x + 7)4
(x + 6)8
c) (x + 7)4
(x + 6)8
(x + 4)8
(x – 7)3
(x – 6)2
(x + 2)3
d) (x + 7)4
(x + 6)8
(x + 4)8
(x – 7)3
(x – 6)2
e) (x + 7)4
(x + 4)8
(x – 7)3
(x – 6)2
(x + 2)3

Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4
(x – 6)2
(x + 9)3
(x – 1)4
S(x) = (x + 5)2
(x – 6)4
(x + 7)2
(x – 1)3
a) (x +5)(x – 6)(x – 1)
b) (x + 5)2
(x – 6)2
(x – 1)3
c) (x + 5)4
(x – 6)4
(x – 1)4
(x + 9)3
(x + 7)2
d) (x + 1)(x – 2)(x + 9)
e) (x – 1)3
(x – 6)4
1
6
12
18
24

48
(Baldor, 2013)
OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se
resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones
tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores.
En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual
denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones

dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones
dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por
dos caminos.
Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el
cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la
suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que
hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y
al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo
numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.
El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y
después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos
denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual
se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador
en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos
visto.

Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones
algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual
denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores
según sea el caso.

Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se
complica un poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de
los polinomios que están en el denominador, y después debemos optar por el camino
de dividir este m.c.m. por cada denominador para después multiplicar por los
numeradores, o bien transformar esta suma de distinto denominador en una de igual
denominador usando fracciones equivalentes, si quieres liarte con divisiones y
multiplicaciones de polinomios.
Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos
los denominadores. El m.c.m. estará formado por todos los factores que hemos
hallado, pero si alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se
repite aparece con distinto exponente, debe ir con el mayor de los exponentes.
Veamos un par de ejemplos:
* Ejemplo 1:
* Ejemplo 2:

Una vez que tenemos el m.c.m. de los denominadores, se procede de la siguiente
manera:
Se determina que factores faltan en cada denominador para obtener el m.cm. ; y una
vez que se tienen estos factores, se multiplican por el denominador y numerador de
cada fracción.
Al hacer esto, se ha transformado, la suma de fracciones de distinto denominador, en
una de igual denominador, la que se resuelve del modo que se ha explicado
previamente.
Para terminar. Veamos un ejemplo numérico:
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los
polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican
entre sí los polinomios que están en los denominadores.

En la práctica, procederemos de la siguiente manera:
1) Factoramos todos los polinomios.
2) Simplificamos lo que se pueda.
3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.
Veamos un ejemplo:
DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado
entre los numeradores y los denominadores.

Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.
(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la
división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es
decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda.

ECUACIONES CUADRATICAS
Definicion
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son
ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas
de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2
+ bx + c = 0
donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2
- 9 = 0; x2
- x - 12 = 0; 2x2
- 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que
exista el término x2
en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las
ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática
depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso
estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el
cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego
expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.
Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos
1) x2
- 4x = 0
2) x2
- 4x = 12
3) 12x2
- 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización
porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que
conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2
= k es
equivalente a :
Ejemplos
1) x2
- 9 = 0
2) 2x2
- 1 = 0
3) (x - 3)2
= -8

Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado
perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2
+ bx + ?
Regla para hallar el último término de x2
+ bx +?: El último término de un trinomio
cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término
del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2
+ bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que
completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos
1) x2
+ 6x + 7 = 0
2) x2
– 10x + 5 = 0
3) 2x2
- 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2
+ bx + c con a diferente de cero está dada por la
fórmula cuadrática:

La expresión:
Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La
tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de
solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones
imaginarias
Ejemplos
1) x2
+ 8x + 6 = 0
2) 9x2
+ 6x + 1 = 0
3) 5x2
- 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula
cuadrática.
1) x2
- x - 20 = 0 (por factorización)
2) x2
- 8 = 0 (por raíz cuadrada)
3) x2
- 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)

4) 9x2
+ 6x = 1 (fórmula cuadrática)
Clasificación
Completa
Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.
Completa General
Es C.general porque es más de 1 es decir como ej: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean
mayor a 1...
ax²+bx+c=0
ej: 3x²+5x+7
Completa Particular
Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1
(a=1) ejemplo: x² + 3x + 1 = 0
Incompleta
Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del término de primer grado,
término libre o ambos.
Incompleta Binomial
Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0
ej: 4X2 -5x=0
Incompleta Pura

¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces:
ax2+c = 0?
bx=0
ej: 5x2-1=0
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas
Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene
la forma: .
Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de que cumplen con
la expresión, si es que existen.
Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la
primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios
números hasta "atinarle" (ya sea porque nos sonría la buena fortuna, o por
aproximación).
Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la
"Fuerza Bruta").
Después, conforme nos vamos enfrentando a más problemas que involucran
ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros
que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica
correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas
la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que

aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática
igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos
expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen
que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).
Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se
garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución
"Real").
El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la
"Fórmula General".
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real
y parte imaginaria. Es decir, el resultado será un número complejo.
Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término se le llama discriminante.
Tomando en cuenta el orden de los términos: "a", "b" y "c"=x²-6x+9

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a + b
3 + (−5)
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
− (−5) = 5

Propiedades de la resta de números enteros
1. Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene
como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que
se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a · b
2 · (−5)

2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:

(−2): 6
2. No es Conmutativo:
a: b ≠ b : a
6: (−2) ≠ (−2): 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero,
cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se
deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades:
a0
= 1 ·
a1
= a
am
· a n
= am+n
(−2)5
·(−2)2
= (−2)5+2
= (−2)7
= −128
am
: a n
= am - n
(−2)5
: (−2)2
= (−2)5 - 2
= (−2)3
= −8
(am
)n
= am · n
[(−2)3
]2
= (−2)6
= 64
an
· b n
= (a · b) n
(−2)3
· (3)3
= (−6) 3
= −216
an
: b n
= (a : b) n

(−6)3
: 3 3
= (−2)3
= −8
Potencias de exponente entero negativo
Raíz cuadrada de un número entero
Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y
negativo.
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del
cuadrado número. (ditutor)
ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
1. Las ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de
equivalencia, se pueden expresar de la forma: ax2n
+bxn
+c=0, con a 0;
mediante el cambio de variable z=xn
se pueden expresar como una ecuación
de segundo grado así: az2
+bz+c=0
Una vez resuelta esta ecuación, las soluciones de la ecuación original se determinan
resolviendo x= .
Entre estas ecuaciones se hallan las bicuadradas, ecuaciones de cuarto grado en
las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.
Ejemplos: x4
- 5x2
+4 = 0 ; x4
- 4 = x2
- 1

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de
segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la
ecuación con el segundo miembro igualado a 0.
Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado,
representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez
igualado a 0. . (recursostic.educacion)
Ejemplo, resuelve x4
- 5x2
+ 4 = 0
1. realizamos un cambio de variable, x2
= z, y reescribimos la ecuación: z2
-
5z + 4 = 0
2. resolvemos esta ecuación, z1 = 1 y z2 = 4
3. las soluciones de la ecuación inicial son:
B) Ejemplo, resuelve
1. aislamos la raíz,
2. elevamos al cuadrado,
3. desarrollamos y resolvemos, 36x2
+4x-11=0, cuyas soluciones son
4. hacemos la comprobación en la ecuación inicial y sólo la primera de las
raíces es solución de la ecuación original, la segunda no.

RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO
CUADRADO
En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la
expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en
realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión
básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión
básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un trinomio
cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo.
Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el
trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos
expresiones cuadráticas que se agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión
original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado
perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.
Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos,
para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto,
entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.
Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las
raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es muy
simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el signo del
doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del trinomio cuadrado
perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese doble

producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo para luego volver
esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para
averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén
solos. El problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo
restar porque al restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factorizar.
Aunque hagamos la completación y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una
diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer una
diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que
cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresión que sume
y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no podemos
usar el caso cinco. Siempre que haya completación tengo que darme cuenta que lo
que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble producto ya
puedo empezar a factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el signo de la
mitad que en este caso si importa. Con esto dejamos por explicado como se
resuelven trinomios y binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado
perfecto.
2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
Paola Arteaga dice:
19/02/2013 at 11:34 PM
En el minuto 11:30, al momento de desarrollar el trinomio, la solución debería ser
(a↑2+2b↑2)↑2, puesto que colocaste como raíz de 4b↑4 = b↑2; así que el resultado
sería (a↑2+2b↑2+2ab)(a↑2+2b↑2-2ab).
Espero pronto tu rta para saber si estoy en lo correcto o no, gracias
Tareasplus dice:
20/02/2013 at 10:21 AM

Nos quedó faltando el 2 que acompaña a b^2. Vamos a tener una anotación en el
video para corregirlo. Muchas gracias por el comentario.
Recuerda que igual tenemos una mejor versión de este tema que puedes ver en:
EJERCICIOS
2
X + 6X + 9 es un T.C.P.
si es un TCP factorizado:
1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto:
2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X
2
3°) factorando: X + 6X + 9 = (X + 3)
Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se
siguen los siguientes pasos:
1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al
2 2
cuadrado b
2
2) se adiciona a ambos lados de la igualdad
3) se factoriza

4) se hallan las raices (X1 , X2 )
Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado
Demostremos el método de completación del cuadrado con un ejemplo.
Ejemplo 3
Resolver la siguiente ecuación cuadrática .
Solución
El método de completación de cuadrados es como se muestra a continuación.
1. Reescribir como
2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos
añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la
ecuación.
4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta y
Si el coeficiente del término no es uno, debemos dividir toda la expresión por este
número antes de completar el cuadrado.
Ejemplo 4
Solución:
1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término .

2. Reescribir como
3. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos
añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación.
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados.
Respuesta y
Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar
Una ecuación en forma estándar se escribe como . Para resolver
una ecuación en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho
de la ecuación.
Ejemplo 5
Solución
El método de completación de cuadrados se aplica como sigue:
1. Mover la constante al otro lado de la ecuación.

2. Reescribir como
3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuación
4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
Respuesta y
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son
ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con
forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar
de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores
parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,

graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores
mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros
hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado
funciones cuadráticas para su diseño.
Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se
multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando
trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la
misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto
vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática
para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad
vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la
gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en
un puente suspendido.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( -
6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 -
24 - 12 = 0 0 = 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -
12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x
Solución:
2 x 2 - 5 x - 3 = 0
Paso 2: Factorizar
2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0
2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3
Verificar x=-1/2
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( -
1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 -
3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2
Verificar x=3
2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 -
3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 -
3 = 15 15= 15
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el
llamado sistema de los números reales.

Números tales como 1, 3,√ , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en
mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los
números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de
una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los
números reales1.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de
propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.
En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los
números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo.
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta
así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es
x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
{ }
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación
ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.
Se define como. ℜ= ∪
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas
también axiomas de campo). (Peano, 1889)

.
LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen
los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una
correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el
conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único
punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número
real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre
la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud
para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se
llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real
entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:
 Se asocia al origen el número 0,
 Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p
unidades del origen en la dirección positiva,
 Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número
real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa
del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica
o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje
real.

El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al
númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
.(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones
de A x A en A:
son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o,
más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de
ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos
sistemas matemáticos

Propiedad conmutativa.
Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición
interna *:
se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de
operar b con a.
Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es
conmutativa en A si:
Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto
de operar b con a.

Propiedad distributiva.
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si
se cumple:
Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)
=uxv + uxw
Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN
+ MQ.
Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se
cumple:
Divisores del cero
.
Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se
dice que a y b son divisores del 0.
Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.
En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de
restos, resulta 2*3=0.

Elementos distinguidos
Elemento involutivo
Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.
el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de
los enteros.
Elemento absorbente
Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la
operación *.
0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.
El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el
conjunto de partes de U.
POTENCIACION Y RADICACION
POTENCIACION
La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él
mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.
Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el
exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
Así por ejemplo:

Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y
obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.
Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces
es una potenciación.
Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X
8.
Si se escribe en forma exponencial se anota, 85
.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no
lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm

Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos
casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
a1
= a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades posee el exponente.
101
= 10
Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un
exponente
106
= 1000000
104
= 10000

RADICACIÓN
Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es
la operación inversa de la multiplicación.
La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖.
Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.
De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un
número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:
Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al
exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en
cursos posteriores.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación
mejor utilizando la siguiente fórmula:

OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
SUMA:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos
del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro
término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede
completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.
Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden
los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2
+ 2x4
- 8 - x3
+ 1/2 x
B = -5x4
- 10 + 3x + 7x3
2x4
- x3
- 3x2
+
-5x4
+ 7x3
+ 0x2
______________________________
-3x4
+ 6x3
- 3x2
+ 7/2 x - 18
A + B = -3x4
+ 6x3
- 3x2
+ 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2
+ 5x - 4 (grado 2)
B = 4x3
- 5x2
+ 2x + 1 (grado 3)
0x3
- 3x2
+
4x3
- 5x2
____________________
4x3
- 8x2
+ 7x - 3
A + B = 4x3
- 8x2
+ 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3
- 4x2
+ x
B = 4x2
- 3 - 2x
5x3
- 4x2
+ x + 9
+
0x3
+ 4x2
- 2x - 3
____________________
5x3
+ 0x2
- x + 6
A + B = 5x3
- x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios
con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.
Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos
polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener
otro término semejante.

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3
+ 5
B = -2x + x2
4x3
+ 0x2
+ 0x + 5
+
0x3
+ x2
- 2x + 0
____________________
4x3
+ x2
- 2x + 5
A + B = 4x3
+ x2
- 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que
son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte
literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias
entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"
los términos de igual parte literal.
EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy
B = 8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y
A + B = (-3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy) + (8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y) =
-3xy2
+ 4 - 7x2
y2
- 6x2
y - 5xy + 8xy - 2xy2
+ 10 + 4x3
y =
-3xy2
- 6x2
y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2
+ 4x3
y - 7x2
y2
=
-9xy2
+ 14 + 3xy - 2xy2
+ 4x3
y - 7x2
y2

RESTA:
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2
+ 9x4
- 8 - 4x3
+ 1/2 x
B = 5x4
- 10 + 3x + 7x3
9x4
- 4x3
- 3x2
-
5x4
+ 7x3
+ 0x2
______________________________
La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4
- 4x3
- 3x2
+ 1/2 x - 8
+
-5x4
- 7x3
+ 0x2
- 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4
- 11x3
- 3x2
- 5/2 x + 2
A - B = 4x4
- 11x3
- 3x2
- 5/2 x + 2
MULTIPLICACIÓN:
¿Cómo se multiplican los polinomios?
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de
aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones
algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo
polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir
cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se
preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha
esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
- 9x2
+ x (polinomio A incompleto pero ordenado)
X -2x2
+ 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2
+ 3x
-10x6
+ 18x4
- 2x3
____________________________
-10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2
y3
+ 4 - 7x2
y2
- 6x3
y3

B = 5x4
y + 8x - 2x3
y - 10
A x B = (-3x2
y3
+ 4 - 7x2
y2
- 6x3
y3
).(5x4
y + 8x - 2x3
y - 10) =
-15x6
y4
- 24x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x - 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+ 14x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
+ 60x3
y3
=
-15x6
y4
+ 12x6
y4
- 24x3
y3
+ 60x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x
- 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+ 14x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
=
-3x6
y4
+ 36x3
y3
+ 6x5
y4
+ 30x2
y3
+ 20x4
y + 32x - 8x3
y - 40 - 35x6
y3
- 56x3
y2
+
28x5
y3
+ 70x2
y2
- 30x7
y4
- 48x4
y3
+ 12x6
y4
EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4
+ 0x3
- 9x2
X -2x2
+ 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4
+ 0x3
- 27x2
+ 3x + 0
-10x6
+ 0x5
+ 18x4
- 2x3
+ 0x2
________________________________________
-10x6
+ 0x5
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x + 0

A x B = -10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2
+ x + 5x4
B = 3 - 2x2
9x2
+ x + 5x4
(polinomio A incompleto y desordenado)
X 3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4
- 2x3
+ 15x4
- 27x2
+ 3x
_________________________________________
- 10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
A x B = - 10x6
+ 33x4
- 2x3
- 27x2
+ 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos
el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado
que obtenemos es -10x6
, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más
para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,
dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer
en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio
entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan
más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los
resultados debajo en la columna correspondiente.

DIVISION:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para
crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:

PRODUCTOS NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
Demostración:
+ 2ab + b2
podemos factoriza la como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2
– 2ab + b2
= (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el

Demostración:
(a + b) (a – b) = a2
– b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factoriza la como a2
– b2
Cubo de una suma
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a + b)3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
saber que podemos factorizarla como (a + b)3
.

Cubo de una diferencia
a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
= (a – b)3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
saber que podemos factorizarla como (a – b)3
.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Binomio al cubo
a2
- b2
= (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados
a3
- b3
= (a - b) (a2
+ b2
+ ab) Diferencia de cubos
a3
+ b3
= (a + b) (a2
+ b2
- ab) Suma de cubos
a4
- b4
= (a + b) (a - b) (a2
+ b2
) Diferencia cuarta
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac +
2bc
Trinomio al cuadrado
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,
además de otros cálculos en álgebra.

En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo
atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista
del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales
de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco
más sofisticadas.
En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos
(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos
PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este
último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y
se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el
90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].
No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del
MCD de dos polinomios.
Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended
Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]
GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente
para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz
que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con
muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de
Factorización)
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
___________________________________________________________
Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de
Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
___________________________________________________________
1. Reducir fracciones a común denominador.
Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:
Factor izamos los denominadores:
12 = 22
x 3
9 = 32
18 = 2 x 32

exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22
• 32
= 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador.
Aplicaciones del m.c.d.
1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.
Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
Hallamos el M.C.D. (360, 336).
Para ello factorizamos el numerador y el denominador.
360 = 23 x 32 x 5
336 = 24 x 3 x 7
M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24
360 = 360 : 24 = 15
336 336 : 24 14
y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas
cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño
tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas
dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,
y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de
270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
270 = 2 x 33 x 5
180 = 22 x 33 x 5
M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina
sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:

270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR
FACTORIZACIÓN
Descripción:
La función cuadrática es una función de los reales en los reales
cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax
2
+ bx + c (a0) y cuyo
dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
utilizamos principalmente el método de factorización.
Ejemplos:
1) Resuelva x  32x 1 9 .
Solución:
Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero
multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después
factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es
conveniente verificar la solución final en la ecuación original.
x  32x 1 9
2x
2
 x  6x 3  9
2x
2
 5x 3 9  0
2x
2
 5x 12  0
2x 3x  4 0
2x 3  0
2x  3
x  3/2

Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que
aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones
aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la
incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un
lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita
queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la
igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo),
tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2
– (x - 1)2
= 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2
+ 6x + 9 – (x2
– 2x + 1) = 3x – x + 4
x2
+ 6x + 9 – x2
+ 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2
+ 6x – x2
+ 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales
además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas
letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales

se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el
mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es
que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos
por ella para poder despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2
– x2
= 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2
+ 2x + 1 – x2
= 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman
97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que
la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de
Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.
Ejemplo:
1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2
1º paso: Se suma a los dos miembros 3.
2x -3 + 3 = 2 + 3
2x = 5
2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.
2x /2 = 5/2
2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5
1º paso: Restamos x a los dos miembros.
3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5
2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.
2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7
3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x

2x/2 = 7/2
3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
1º paso: Se simplifica los dos miembros.
6x - 4 = 12 - 3x
2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12
3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.
9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16
4º paso: Dividimos por 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por
la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo
tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),
que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una
sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la
siguiente forma:
ax2
+ bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales
que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c
= 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2
+ 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
– 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2
+ 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = 0 (o cualquiera de
las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo
grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos
a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las
incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2
+ 5x − 12 = 0
2x2
+ 5x = 12
2x2
− 12 = − 5x
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x = 0

o si
x− 4 = 0
x = 4
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un
cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2
= n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2
, es el cuadrado de la suma
de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2
+ bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2
+ 8x = 48, que también puede escribirse x2
+ 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2
+ 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2
+ 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2
+ 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto,
ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como
en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2
+ 2ab + b2
) el tercer término
corresponde al cuadrado del segundo término (42
= 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2
+ 8x + 16 = 48 + 16

x2
+ 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2
= 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2
, que es el cuadrado perfecto de un
binomio.
Veamos otro ejemplo:
Partamos con la ecuación
x2
+ 6x − 16 = 0
Hacemos
x2
+ 6x = 16
Luego, a partir de la expresión x2
+ 6x (primer miembro de la ecuación) debemos
obtener una expresión de la forma (ax + b)2
(cuadrado de la suma de un binomio).
Para encontrar el término que falta hacemos
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2
el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).
Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la
ecuación:
x2
+ 6x = 16

x2
+ 6x + 9 = 16 + 9
x2
+ 6x + 9 = 25
factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25
(x + 3)2
= 25
La expresión x2
+ 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este
caso (x + 3)2
, y así la ecuación se resuelve con facilidad:
Extraemos raíz cuadrada
y queda
x + 3 = 5 y x + 3 = −5
(pues 52
= 5 y también (−5)2
= 5
Entonces
x = 5 − 3
x = 2
Y
x = − 5 − 3
x = − 8
La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.
Solución por la fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que
es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener
buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2
+ 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –
Así es que las soluciones son
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES
Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir
números Reales.
Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en
direcciones opuestas se denominan:
Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.
3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3
El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
Inverso aditivo
Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.
Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número
debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del
doble negativo.
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a, -(-a) = a
Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9
Valor absoluto
El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el
valor absoluto de 0 es 0.
Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.
La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no
negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso
aditivo (opuesto9 del número.
El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por
ejemplo.
Operaciones con los números Reales
1. Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.

-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo
del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o
cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor
absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor
absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un
número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero
en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:
Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

Sistema compatible indeterminado
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Se puede ver:
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres
da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
c) 2 x + y = 6 2
x - y = 2
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 1, y = 4; x = 2, y = 2
x = 1, y= 0; x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto,
el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más
abajo

.x + y = 3 2
x + 2 y = 6
b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1
Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas
soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la
representación más abajo
d) x + y = 3
x + y = - 1
c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:
x = 0,y = 3; x = 3,y = 0
x = 0, y =-1; x = -2, y = 1
Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema
no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la
representación siguiente
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida,
se obtiene
Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,
entonces la ecuación
No contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar
a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución
en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en
dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones

Es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la
izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer
sistema.
Del segundo sistema se deduce que
Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,
para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de
partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.
Ejemplo
Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo por en
Se tiene que
Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida
obtenemos una ecuación de una sola incógnita
Cuya solución es .
Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir
las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una
misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación
la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la
siguiente matriz triangular superior:
Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocupación para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera
ecuación ( ), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que
resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por
1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de
una o más operaciones algebraicas.
TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus
factores literales.

GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de
dicha letra.
CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el
término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que
no tiene radical, e irracional el que tiene radical.
TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.
TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.
TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
11.x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
12.xy2
es un término semejante a -3y2
x ya que ambos tienen la misma literal (xy2
= y2
x)
13.5xyrb es un término semejante con –xyrb
14.4bx2
no es semejante a 4b2
x ya que el literal bx2
no es igual al b2
x.
15.5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
16.4(jk)3
es semejante a 9j3
k3
porque (jk)3
= j3
k3
17.5ty es semejante a 3ty
18.5kl4
es semejante a -2kl4
19.68lky5
es semejante a -96lky5
20.378ab3
c2
no es semejante a 378a2
b3
c
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
GRADO DE UN MONOMIOS
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:
ORDENAR UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en
cuenta su grado:
9.8 Ordena el polinomio:
Respuesta:
NOMENCLATURA ALGEBRAICA
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o
no denominador y a si tienen o no radical:
S o l u c i ó n :

2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n :
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores
literales:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre
hetereogéneos

S o l u c i ó n :
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y
racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n :
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado,
quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
S o l u c i ó n :
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación
a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y;
otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
S o l u c i ó n :

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL
- Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto
entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto
entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2
+ ab, estos son los divisores de
a2
+ ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2
+ 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2
+ 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos
especiales.
Binomios
 Diferencia de Cuadrados
 Suma o diferencia de Cubos
 Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
 Trinomio cuadrado perfecto
 Trinomio de la forma x²+bx+c
 Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
 Factor común
Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:

Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en
consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no
puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a +
b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Factor común.
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente
de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de
efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque
siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común
es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor
exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)

Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben
los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos
también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es
positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se
obtendrá el mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, 16a2
es cuadrado perfecto de 4a.

En efecto (4a2
) = 4a x 4a = 16a2
, 4a cantidad que multiplicada por si misma
da 16a2
, 4a es la raíz cuadrada de 16a2
.
Sin embargo (-4a2
) = (-4a)((-4a) = 16a2
, luego (-4a) es también raíz de 16a2
, por lo
que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2
b4
es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es
el producto de dos binomios iguales.
Así, a2
+ 2ab + b2
es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2
= (a + b)(a + b) = a2
+ 2ab + b2
Trinomios de la forma x2 + px + q
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2
+ px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q
Por tanto:
Un trinomio de la forma x2
+ px + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea p y cuyo producto sea
(Baldor, 2013)

OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES
Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se
resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones
tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores.
En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual
denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones
dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones
dadas.
En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por
dos caminos.
Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el
cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la
suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que
hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y
al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo
numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.
El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y
después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos
denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual
se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador
en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos
visto.
Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones
algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual

denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores
según sea el caso.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí.
Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los
polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican
entre sí los polinomios que están en los denominadores.
2) Simplificamos lo que se pueda.
Veamos un ejemplo:

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto
cruzado entre los numeradores y los denominadores.
Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.
(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la
división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
Desarrollando por el segundo método.
Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es
decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.
Formula:
RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO
CUADRADO

En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la
expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.
Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en
realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión
básica en nada.
La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión
básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un
trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo.
Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado
perfecto.
Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el
trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos
expresiones cuadráticas que se agregaron.
Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión
original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado
perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.
Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos,
para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto,
entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.
Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las
raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es muy
simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el signo del
doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del trinomio
cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese
doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo para luego
volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para
averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén
solos. El problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo
restar porque al restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factorizar.

Aunque hagamos la completación y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una
diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer
una diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que
cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresión que
sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no
podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completación tengo que darme
cuenta que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble
producto ya puedo empezar a factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el
signo de la mitad que en este caso si importa. Con esto dejamos por explicado como
se resuelven trinomios y binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado
perfecto.
2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son
ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con
forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar
de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores
parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,
graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores
mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los
carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado
funciones cuadráticas para su diseño.
Ejemplos:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:

x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( -
6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 -
24 - 12 = 0 0 = 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -
12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
DEBERES
Números reales

FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN DE FRACCIÓN ALGEBRAICA
Las fracciones algebraicas son expresiones literales que representan
el cociente entre dos expresiones algebraicas.
Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas
cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y
ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/bes una fracción algebraica
porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre
expresión b(divisor).
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son
ejemplos de fracciones simples:
.
Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el
grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o
igual que el grado del denominador.
Por ejemplo, son fracciones propias, mientras
que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede
escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su
numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones
compuestas:

Significados de una fracción
Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido
por 4 o bien 3¸4. Cuando una fracción significa división, el numerador es el
dividendo y el denominador es el divisor.
Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o
bien 3:4. Cuando una fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar
expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas
es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14 días
eliminándose luego la unidad común.
Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de
cosas. Por ejemplo, ¾ puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3
monedas de 4 monedas.
Numerador o Denominador Nulo
Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo
siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo,
si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción para x = 5 vale cero. Sin embargo 0/0
es indeterminado.
Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea
cero es imposible. Por ejemplo 3¸0 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido.
Asimismo, si x = 0 la fracción 5¸x es imposible o bien 5/x carece de sentido.
(Gonzalez, 2005)
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero
se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el
denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común.
Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y
denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en

transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede
simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con
fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta
de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de
distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción,
que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en
las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se
anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los
signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando
delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando
el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se
transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que
llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
(Sonia, 2009)
Ejemplos:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y
denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html
Ejercicios fracciones algebraicas
Ejercicios fracciones algebraicas. Suma, producto y cociente de fracciones
algebraicas, simplificar y reducir a común denominador.

(ejercicios de fracciones algebraicas , 2007)
Bibliografía
ejercicios de fracciones algebraicas . (2007). Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://www.vadenumeros.es/cuarto/ejercicios-resueltos-algebraicas.htm
Gonzalez, S. (2005). Matematicas 1. Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIV/4_1_def.htm
Sonia. (2009). Fracciones algebraicas. Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_algebraica
s/fracciones_algebraicas1.html
ECUACIONES LINEALES
ECUACIÓN LINEAL
Se denomina ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas
con incógnitas de exponentes 1.
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas
a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar
como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es
igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el
otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si
son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos
semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

(http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html)
Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del
tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b .
Los valores ai se denominan coeficientes,
b es el término independiente.
Los valores xi son las incógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación
se denomina solución de la ecuación.
Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones lineales equivalentes
Son aquellas que tienen la misma solución.
x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0
Ecuaciones lineales de primer grado
Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b =
0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer
términos y simplificar adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos
seguir los siguientespasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos
independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
Despejamos la incógnita:
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y
sumamos:
Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el
mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos
semejantes:
Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos
semejantes:
Quitamos corchete:
Quitamos denominadores:
Agrupamos términos:
Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9
(http://www.ditutor.com/sistemas_1/ecuaciones_lineales.html)
Ejemplos:
Ejercicio 1
x-15 = -27
x = -27+15
x = -12
Comprobación
-12-15 = -27
-27 = -27
Ejercicio 2
-11x+12 = 144
-11x = 144-12
-11x = 132
x = 132/-11
x = -12
Comprobación
-11(-
12)+12
= 144
132+12 = 144
144 = 144

Ejercicio 3
-8x-15 = -111
-8x = -111+15
-8x = -96
x = -96/-8
x = 12
Comprobación
-8(12)-15 = -111
-96-15 = -111
-111 = -111
Ejercicio 4
6x-10 = -16
6x = -16+10
6x = -6
x = -6/6
x = -1
Comprobación
6(-1)-10 = -16
-6-10 = -16
-16 = -16
Ejercicio 5
-15x-6 = 9
-15x = 9+6
-15x = 15
x = 15/-15
x = -1
Comprobación
-15(-1)-6 = 9

15-6 = 9
9 = 9
Ejercicio 6
12x+12 = 72
12x = 72-12
12x = 60
x = 60/12
x = 5
Comprobación
12(5)+12 = 72
60+12 = 72
72 = 72
Ejercicio 7
-10x+9 = -81
-10x = -81-9
-10x = -90
x = -90/-10
x = 9
Comprobación
-10(9)+9 = -81
-90+9 = -81
-81 = -81
Ejercicio 8
5x-15 = 15
5x = 15+15

5x = 30
x = 30/5
x = 6
Comprobación
5(6)-15 = 15
30-15 = 15
15 = 15
Ejercicio 9
2x-13 = -19
2x = -19+13
2x = -6
x = -6/2
x = -3
Comprobación
2(-3)-13 = -19
-6-13 = -19
-19 = -19
Ejercicio
10
7x+5 = -100
7x = -100-5
7x = -105
x = -105/7
x = -15
Comprobación
7(-15)+5 = -100
-105+5 = -100
-100 = -100

Ejercicio
11
-12x-15 = 9
-12x = 9+15
-12x = 24
x = 24/-12
x = -2
Comprobación
-12(-2)-15 = 9
24-15 = 9
9 = 9
Ejercicio
12
5x-14 = -74
5x = -74+14
5x = -60
x = -60/5
x = -12
Comprobación
5(-12)-14 = -74
-60-14 = -74
-74 = -74
Ejercicio
13
13x-13 = 169

13x = 169+13
13x = 182
x = 182/13
x = 14
Comprobación
13(14)-13 = 169
182-13 = 169
169 = 169
Ejercicio
14
x-3 = -13
x = -13+3
x = -10
Comprobación
-10-3 = -13
-13 = -13
Ejercicio
15
6x+10 = -38
6x = -38-10
6x = -48
x = -48/6
x = -8
Comprobación
6(-8)+10 = -38
-48+10 = -38
-38 = -38

Ejercicio
16
6x-9 = -27
6x = -27+9
6x = -18
x = -18/6
x = -3
Comprobación
6(-3)-9 = -27
-18-9 = -27
-27 = -27
Ejercicio
17
-3x+3 = -33
-3x = -33-3
-3x = -36
x = -36/-3
x = 12
Comprobación
-3(12)+3 = -33
-36+3 = -33
-33 = -33
Ejercicio
18
-4x+8 = 4
-4x = 4-8

-4x = -4
x = -4/-4
x = 1
Comprobación
-4(1)+8 = 4
-4+8 = 4
4 = 4
(http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/ecu1.html)
Bibliografía
http://www.ditutor.com/sistemas_1/ecuaciones_lineales.html. (s.f.). Recuperado el 01 de 08 de
2013, de http://www.ditutor.com/sistemas_1/ecuaciones_lineales.html
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/ecu1.html. (s.f.). Recuperado el 01 de 08 de 2013,
de http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/ecu1.html
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html. (s.f.). Recuperado el 01
de 08 de 2013, de
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html

SISTEMAS ECUACIONES EJERCICIOS
SISTEMAS DE ECUACIONES
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias
incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las
ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas
formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción,
sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy
fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo
sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en
este caso utilizaremos el conocido teorema de Rouché-Frobenius, y las
consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos
sencillos métodos y comentaremos el método de Gauss como otra alternativa de
resolución.
(Alfonso Gonzalez, 2003)
Clasificación de sistemas
En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa
una recta en el plano. Discutir un sistema es estudiar la situación de estas rectas en
el plano, que pueden ser:
• Secantes, el sistema tiene solución única, se llama
Compatible Determinado.
• Coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado
• Paralelas, el sistema no tiene solución, se llama Incompatible.
2. Resolver sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos cualquiera de los tres métodos
siguientes:
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la
expresión obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado
con una sola incógnita; hallada ésta se calcula la otra.

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las
expresiones obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una
sola incógnita.
Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se
multiplica una de las ecuaciones o ambas por un número de modo que los
coeficientes de x o de y sean iguales y de signo contrario.
EJERCICIOS resueltos
1. Dado el sistema: 3x 2y 17
5x y 11
⎧
+ = ⎨
⎩
− =
, razona si los siguientes pares son solución.
a) x=3 , y=4 Sol: Si es solución 3(3) 2(4) 9 8 17
5(3) (4) 15 4 11
⎧
+ =+= ⎨
⎩
− = −=
b) x=5 , y=1 Sol: No es solución 3(5) 2(1) 15 2 17
5(5) (1) 25 1 24#11
⎧
+ = += ⎨
⎩
− = −=

c) x=3 , y=1 Sol: Si es solución 3(3) 2(1) 9 2 11#17
5(3) (1) 15 1 14#11
⎧
+ =+= ⎨
⎩
− = −=
2. Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea:
a) x=1 , y=2 Sol: 3x 2y 7
5x y 3
⎧
+ = ⎨
⎩
− =
b) x=3 , y=1 Sol: 3x y 8
2x y 5
⎧
− = ⎨
⎩
− =
c) x=2 , y=3 Sol: 3x 5y 21
x 4y 10⎧+ = ⎨⎩− =−
3. Haz una tabla de valores y da la solución del sistema: 3x 2y 8
5x y 9⎧+ =⎨⎩− =
Sol: x 2 y 1 =
⎧⎪⎨⎪⎩
X 21 0 1 2

3x 2y 8
y 7 11 / 2 4 5 / 2 1
− − + =→
X 2 101 2
5x y 9
y 19 14 9 4 1
− −
−=→
− − −−
4. Escribe una ecuación para completar con la x – y = 1, un sistema que sea:
a) Compatible determinado
b) Incompatible
c) Compatible indeterminado
GRAFICOS

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecu
aciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremosecuaciones polinómicas de
grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
ax2
+ bx +c=0 donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de
cero.
Ejemplos: x2
- 9 = 0; x2
- x - 12 = 0; 2x2
- 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente deceroenla definición asegura que exi
sta el término x2
enla ecuación. Existen varios métodos pararesolver las ecuaciones
cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende d
el tipo de ecuación cuadrática que se va aresolver. En este curso estudiaremos los
siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y
la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a
cero. Luego expresar el lado de
la ecuación que no es cero como un producto defactores. Finalmente se iguala a
cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factoriza
ción:
1) x2
- 4x = 0
2) x2
- 4x = 12
3) 12x2
- 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porq
ue este método está limitado a coeficientes enteros. Por esotenemos que conocer o
tros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2
=
k es equivalente a :
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método
de raíz cuadrada:
1) x2
- 9 = 0
2) 2x2
- 1 = 0
3) (x - 3)2
= -8

Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de
un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trino
mios de la forma:
x2
+ bx + ?
Regla para hallar el último término de x2
+ bx + ?: El último término de
un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de
la mitad delcoeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfect
o cuyos dos primeros términos son
x2
+ bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio
cuadrado perfecto a
un lado. Para obtener la ecuación equivalenteel número que completa el cuadrado d
ebe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método
de completar el cuadrado:
1) x2
+ 6x + 7 = 0
2) x2
– 10x + 5 = 0
3) 2x2
- 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2
+ bx + c con a diferente de
cero está dada por la fórmula cuadrática:
La expresión:
conocida como el discriminante determina el número y
el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de
solucionesy el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:

Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones imaginarias
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas u
sando la fórmula cuadrática:
1) x2
+ 8x + 6 = 0
2) 9x2
+ 6x + 1 = 0
3) 5x2
- 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrátic
a.
Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1) x2
- x - 20 = 0 (por factorización)
2) x2
- 8 = 0 (por raíz cuadrada)
3) x2
- 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)
4) 9x2
+ 6x = 1 (fórmula cuadrática)
(http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm)
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la variable es dos. La forma
general de tales ecuaciones en la variable x es
ax2
+ bx + c = 0
Donde a, b y c son constantes.
Generalmente, existen dos valores de x que pueden satisfacer la ecuación, y son:
En las coordenadas Cartesianas, la gráfica de una función cuadrática y = ax2
+ bx +
c es una parábola. Las soluciones x1 y x2 representan los puntos donde la gráfica
cruza el eje x. Si la gráfica cruza dos veces el eje, existen dos raíces reales distintas.
Si la gráfica toca al eje x en un punto, las dos raíces son iguales. Si la gráfica no
cruza el eje x, no existen raíces reales. En este caso, el discriminante es negativo y
las raíces son dos números complejos conjugados.

(http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/q/quadraticequation.htm)
Ejemplos
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
En esta a=2, b=5 y c=3
Aquí hay una un poco más complicada:
 ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque
normalmente no escribimos "1x2
"
 b=-3
 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el
x2
(es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial
llamada fórmula cuadrática:
El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay
dos soluciones!
La parte azul (b2
- 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar"
(decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
 si es positivo, hay DOS soluciones
 si es cero sólo hay UNA solución,
 y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los
cálculos.
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0
Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2
-4ac) ] / 2a
Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a+b+c: x = [ -6 ± √(62
-4×5×1) ] / 2×5
Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10
Respuesta: x = -0.2 and -1
(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones
astutas se pueden transformar en una:
Disfrazadas Qué hacer En forma estándar a, b y c
x2
= 3x -1
Mueve todos los
términos a la
izquierda
x2
- 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1
2(x2
- 2x) = 5 Desarrolla paréntesis 2x2
- 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3 Desarrolla paréntesis x2
- x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2
= 0 Multiplica por x2
5x2
+ x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1
(Pierce, 2011)
Ejemplos numéricos
Primer ejemplo, 2x2
– x – 1 = 0
Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula
Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en
este ejemplo en particular
Segundo ejemplo, 9x2
– 6x + 1 = 0
Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1
Se reemplazan los coeficientes en la fórmula
Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que
Tercer ejemplo, x2
+ x + 1 = 0
Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula
Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para esta
ecuación se obtuvo
(Ecuaciones Cuadraticas, 2011)
Bibliografía
Ecuaciones Cuadraticas. (2011). Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://www.ecuacioncuadratica.com/
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm. (s.f.). Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/ecuadw.htm
http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/q/quadraticequation.htm. (s.f.).
Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/q/quadraticequation.htm
Pierce, R. (5 de 10 de 2011). Disfruta las Matemáticas. Recuperado el 01 de 08 de 2013, de
http://www.disfrutalasmatematicas.com/citation.php
GRAFICAS DE ECUACIONES CUADRATICAS

x y = x2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4

TABLA DEPRECIACION
Tabla de amortización en Excel
Amortizar significa extinguir gradualmente una deuda o un préstamo a través de
pagos periódicos. El objetivo de una tabla de amortización es especificar el detalle
de cada uno de los pagos hasta la liquidación total del préstamo.
Es muy probable que alguna vez hayas visto una tabla de amortización,
especialmente si te has acercado a una institución bancaria para solicitar un crédito
de auto o un crédito hipotecario. Generalmente el asesor del banco te preguntará el

monto y la duración deseada del crédito y de inmediato te mostrará una tabla con el
desglose de los pagos a realizar.
El asesor no hace los cálculos manualmente en el instante sino que utiliza un
sistema computacional desarrollado para ese fin. Nosotros también podemos
automatizar este tipo de tareas al crear una tabla de amortización en Excel y de esa
manera conocer fácil y rápidamente la cantidad de pagos a realizar y así como los
montos exactos destinados al pago de intereses y al pago de capital.
Variables para el cálculo
Para poder crear la tabla de amortización en Excel debemos tener al menos la
siguiente información:
 Monto del crédito: Es indispensable conocer el monto del préstamo. Esta es la
cantidad neta otorgada por la institución financiera al aprobarnos un crédito.
 Tasa de interés: No solo debemos cubrir el monto total del crédito sino también
la tasa de interés cobrada por la institución financiera ya que es la manera como
obtienen ganancias por la prestación de dicho servicio. Generalmente
encontraremos especificada la tasa de interés de forma anual.
 Número de pagos: Es necesario establecer el número de pagos que deseamos
realizar para cubrir nuestra deuda. Es una práctica muy común establecer una
cantidad de pagos mensuales (en bloques anuales): 12, 24, 36, 48, etc.
Como regla general, entre mayor sea el número de pagos a realizar, menor será el
monto de cada uno de los pagos mensuales, pero el interés a pagar será mucho
mayor. Si esta aseveración no te queda muy clara, seguramente lo estará una vez
que hayamos creado nuestra tabla de amortización en Excel y podamos analizar
diversos escenarios para un crédito.
Cálculo del monto de pago
Una vez que tenemos las variables previamente mencionadas podremos calcular el
monto de cada uno de los pagos mensuales utilizando la función PAGO de Excel.
Esta función tiene tres argumentos obligatorios y que son precisamente nuestras
variables: Tasa de interés para cada período, número total de pagos, y monto del
crédito.
Suponiendo que vamos a solicitar un crédito por un monto de $150,000 y que
tenemos una tasa de interés anual del 12% y queremos realizar 24 pagos
mensuales. La fórmula que debemos utilizar para calcular el pago mensual será
similar a la siguiente:
=PAGO (1%, 24,-150000)

La institución financiera nos proporcionó el dato de 12% de interés anual, pero para
la función PAGO necesita utilizar la tasa de interés para cada período, que en este
caso es mensual, así que debo hacer la división entre 12 para obtener el resultado
de 1% de interés mensual. El segundo argumento de la función es el número de
mensualidades en las que pagaremos el rédito y finalmente el monto del crédito.
Observa el cálculo del pago y la fórmula implementada al leer los valores de los
argumentos de las celdas en la columna B:
Para nuestro ejemplo ha quedado un pago de $7,061.02 que tendremos que hacer
durante 24 meses para saldar nuestra deuda.
Creación de la tabla de amortización
La tabla de amortización en Excel será el desglose de cada uno de los pagos
mensuales para conocer el monto exacto destinado tanto al pago de intereses como
al pago del capital de nuestra deuda. El cálculo de pago de intereses lo haremos con
la función PAGOINT de Excel. Esta función utilizará los mismos argumentos que la
función PAGO pero agregará un cuarto argumento para indicar el número de período
para el cual deseamos calcular el monto del interés a pagar.
Utilizando nuestro ejemplo de préstamo, calcularemos el interés a pagar en el primer
período utilizando una fórmula como la siguiente:
=PAGOINT (1%, 1, 24,-150000)
Compara esta fórmula con la función PAGO de la sección anterior y verás que la
única diferencia es que el segundo argumento indica el período que deseamos
calcular, que en este caso es el primer período. Para obtener el interés a pagar en
cada uno de los 24 pagos podemos implementar una tabla como la siguiente:

Observa que la fórmula de la celda E2 hace referencia a las variables de la columna
B y las he colocado como referencias absolutas porque deseo que dichas
referencias permanezcan fijas al momento de copiar la fórmula hacia abajo. El
segundo argumento de la función PAGOINT hace referencia a la columna D que es
precisamente donde se encuentra el número de pago correspondiente.
Por el contrario, para obtener el monto que se abona mes a mes a nuestra deuda,
debemos utilizar la función PAGOPRIN de Excel. La sintaxis de esta función será
prácticamente idéntica a la de la función PAGOINT. Considera la siguiente fórmula
que nos ayuda a obtener el pago a capital para el primer período:
=PAGOPRIN (1%, 1, 24,-150000)
De esta manera calcularemos el monto de nuestro pago mensual que estará
destinado al pago de capital de nuestra deuda. De igual manera, el segundo

argumento de la función indica el número de período para el cual estamos haciendo
el cálculo. Observa el resultado al incluir esta fórmula en nuestra tabla utilizando las
variables previamente definidas:
Si revisas con detenimiento verás que la suma del pago de interés y pago a capital
para todos los períodos nos da el total obtenido con la función PAGO. De esta
manera podemos deducir que estas tres funciones son complementarias: La suma
del resultado de las funciones PAGOINT y PAGOPRIN siempre será igual al
resultado de la función PAGO.
Para finalizar nuestra tabla de amortización podemos agregar algunas columnas
adicionales, por ejemplo el saldo en cada uno de los períodos:

El saldo es el monto del crédito menos la suma de todos los pagos a capital
realizados hasta el momento. El saldo se va reduciendo con cada pago aunque no
es una reducción constante ya que al inicio pagamos más interés que al final pero en
el último pago llegamos a liquidar el total del monto del crédito.
Como tal vez ya lo imaginas, si queremos cambiar nuestra tabla de amortización
para tener 36 pagos mensuales será necesario agregar manualmente los nuevos
registros y copiar las fórmulas hacia abajo. Es por eso que una mejor solución para
crear una tabla de amortización en Excel es utilizar una macro para generar
automáticamente la tabla.
Macro para tabla de amortización en Excel

Lo único que necesita hacer nuestra macro es leer los valores de la columna B e
insertar las fórmulas correspondientes en cada fila de acuerdo al número de pagos a
realizar. Para ello agregaré un botón de comando ActiveX en la hoja y colocaré el
siguiente código en el evento Clic del botón:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
PrivateSubCommandButton1_Click()
'Limpiar el contenido de las celdas antes de iniciar
Range("D2:G1200").ClearContents
'Obtener el número de pagos de la celda B3
num_pagos = Range("B3").Value
'Para cada fila de pago insertar las fórmulas correspondientes
Fori = 1 Tonum_pagos
Cells(i + 1, 4).Value = i
Cells(i + 1, 5).Formula = "=IPMT($B$2/12,D"& i + 1 & ",$B$3,-$B$1)"
Cells(i + 1, 6).Formula = "=PPMT($B$2/12,D"& i + 1 & ",$B$3,-$B$1)"
Cells(i + 1, 7).Formula = "=$B$1-SUM($F$2:F"& i + 1 & ")"
Nexti
EndSub
Las líneas 12, 13 y 14 son las encargadas de insertar las fórmulas que harán los
cálculos y en VBA debemos utilizar el nombre de las funciones en inglés o de lo
contrario obtendremos un error # ¿NOMBRE? en nuestra hoja de Excel. Al momento
de pulsar el botón se insertarán las fórmulas en las celdas correspondientes.

Con esto hemos terminado el desarrollo de una tabla de amortización en Excel que
será funcional para conocer el detalle de los pagos necesarios para liquidar una
deuda. Puedes descargar el libro de trabajo el cual contiene dos hojas, en la primera
encontrarás la solución que tiene solo las fórmulas y en la segunda hoja la que
contiene la macro.

Bibliografia
2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA. [En línea] 2013.
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm.
matemati@fca.unl.edu.ar. (s.f.). Obtenido de
http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20N%FAmeros%20reales.htm
Algebra intermedia, Larson Hosteller Neptune, 2001. Algebra intermedia, Allen R.
Ángel, 2008.
(corrales, 20o1)
http://www.tareasplus.com/curso-algebra-elemental/
http://multibiblioteca.blogspot.com/2012/09/solucion-de-la-ecuacion-cuadratica-
por.html
http://www.ck12.org/book/%25C3%2581lgebra-I---Edici%25C3%25B3n-
Espa%25C3%25B1ola--T/r1/section/10.4/
ditutor. (s.f.). Números enteros. Recuperado el 30 de Julio de 2013, de Números
enteros: http://www.ditutor.com/numeros_enteros/numeros_enteros.html
recursostic.educacion. (s.f.). ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS.
Recuperado el 30 de Julio de 2013, de ECUACIONES REDUCIBLES A
CUADRÁTICAS:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/tema5_
ccss_eda05/item_4.htm

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