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1. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Método de Longsta↵-Schwartz para la valoración de Opciones Americanas bajo un Modelo Jump Di↵usion Trabajo Fin de Grado. Grado en Ingenier´ıa Matemática Pablo Mart´ın Fuentes Tutor: Gerardo Oleaga Apadula Universidad Complutense de Madrid Facultad de Ciencias Matemáticas Departamento de Matemática Aplicada 13 de julio de 2015 Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

2. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Outline 1 Introducción Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta 2 El método de Longsta↵-Schwartz Algoritmo Ejemplo Numérico 3 Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

3. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Outline 1 Introducción Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta 2 El método de Longsta↵-Schwartz Algoritmo Ejemplo Numérico 3 Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

4. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Opciones Financieras Definition Una opción es un instrumento financiero cuyo precio y caracter´ısticas dependen de un activo subyacente (acción,´ındice,...) y que otorga a su poseedor el derecho, pero no la obligación, a comprar o vender el subyacente en una fecha futura a un precio determinado (precio de ejercicio o strike, K). Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

5. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Opciones call y put Opción Call Las opciones call dan al poseedor el derecho de comprar el subyacente en una fecha y a un precio(strike, K) concretos. El payo↵ puede recogerse en la siguiente fórmula: max {St K, 0} Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

6. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Opciones call y put Opción Put Las opciones put dan al poseedor el derecho de vender el subyacente en una fecha y a un precio(strike, K) concretos. El payo↵ puede recogerse en la siguiente fórmula: max {K St, 0} Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

7. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Clasificación según vencimiento Europeas: Sólo se pueden ejercer en la fecha de vencimiento T. Americanas: Se pueden ejercer en cualquier momento anterior a la fecha de vencimiento T. Bermuda: Se pueden ejercer en algunos instantes anteriores a la fecha de vencimiento T. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

11. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Procesos Jump Di↵usion Modelo Jump Di↵usion de Merton (1976) Definition Modelo mixto entre un proceso de difusión y proceso de salto. Dinámica del precio del activo bajo un modelo JD dS S = (↵ k)dt + dZ | {z } Movimiento Browniano Geométrico +(Y 1) dq |{z} Proceso de Poisson ↵ es el retorno esperado instantáneo del proceso de difusión. 2 es la varianza instantánea del retorno en el proceso de difusión. dZ representa un movimiento Browniano estándar. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

14. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Procesos Jump Di↵usion Modelo Jump Di↵usion de Merton (1976) Dinámica del precio del activo bajo un JD dS S = (↵ k)dt + dZ | {z } Movimiento Browniano Geométrico +(Y 1) dq |{z} Proceso de Poisson (Y 1) es la v.a. que representa el porcentaje en el cambio del precio cuando sucede un proceso de Poisson. k = E (Y 1) q (t) es un proceso de Poisson de parámetro independiente de Z. es la intensidad del proceso de Poisson. Representa la media de llegadas de información por unidad de tiempo. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

18. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Procesos Jump Di↵usion Simulación de procesos Jump Di↵usion Figura: Dos procesos Jump Di↵usion con = 1/365 Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

20. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Motivación Problema Valorar opciones americanas cuando el precio del activo subyacente sigue un proceso Jump Di↵usion. Dificultades Fundamentales 1 Encontrar el instante óptimo de ejercicio para la opción americana. En la práctica se usan aproximaciones de la fórmula de BS. 2 El precio del activo subyacente presenta saltos. La validez de los modelos de BS se basa en que los cambios de los precios del activo sigan una continuidad a nivel local. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

25. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta IBEX 35 29/06/2015 Figura: El IBEX 35 desplomandose 518 puntos en respuesta al corralito en Grecia – (finance.yahoo.com) Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

27. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta Solución propuesta Método de Longsta↵-Schwartz Simulación Monte Carlo Valor estimado de continuación ! Regresión m´ınimos cuadrados Determina instantes de ejercicio óptimos Evita miles de simulaciones Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

28. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Algoritmo Ejemplo Numérico Outline 1 Introducción Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta 2 El método de Longsta↵-Schwartz Algoritmo Ejemplo Numérico 3 Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

29. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Algoritmo Ejemplo Numérico Algoritmo Descripción del algoritmo Backwards. Desde k = K 1 hasta k = 0. Primer paso: FK (!) = P (ST (!)) ⌘ PK (!) y ⌧K =K. En tk . Con Fk+1 y Sk estimamos el valor de continuación Ck mediante una regresión m´ınimos cuadrados (solo caminos ITM). Se compara este valor con Pk (valor de ejercicio inmediato). Casos: ( Ck(!) > Pk(!) entonces Fk = Fk+1 y ⌧k = ⌧k+1, 8! Ck(!) < Pk(!) entonces Fk = Fk y ⌧k = tk, 8! El precio de la opción es la media de los payo↵s de la opción en el instante óptimo de ejercicio para cada camino y descontado al presente. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

30. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Algoritmo Ejemplo Numérico Outline 1 Introducción Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta 2 El método de Longsta↵-Schwartz Algoritmo Ejemplo Numérico 3 Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

31. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Algoritmo Ejemplo Numérico Ejemplo Numérico Datos iniciales Se considera una opción put americana sobre una acción de Grifols (GRF) que no paga dividendos. Suponemos que el precio de la acción sigue un proceso Jump Di↵usion. La opción tiene un payo↵ max {K St, 0} Fecha de vencimiento o expiración T=1 año. Precio inicial S0 = 36 Strike K = 40 (ITM) Volatilidad impl´ıcita = 20% Tipo de interés libre de riesgo r=5% La tasa media de saltos es de = 1/356 Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

32. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Algoritmo Ejemplo Numérico Ejemplo Numérico Camino 1 Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

57. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Algoritmo Ejemplo Numérico Ejemplo Numérico Precio de la Opción El precio de la opción es la media de los payo↵s de la opción en el instante óptimo de ejercicio para cada camino y descontado al presente. P = 1 nsim nsimX i=1 F1 (! = 1) = 20.7863 + 6.2407 2 = 13.5135 Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

58. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Outline 1 Introducción Opciones Financieras Procesos Jump Di↵usion Motivación Solución propuesta 2 El método de Longsta↵-Schwartz Algoritmo Ejemplo Numérico 3 Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

59. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Resultados Después de realizar 10,000 simulaciones y variar los tiempos de expiración, los polinomios base de la regresión y el moneyness de la opción se ha obtenido S0 K EUR JDP AME JDP AME DP JDP - Lag 36 40 0.2 3.9981 6.7063 4.5561 6.6931 36 40 0.4 5.9671 8.6954 7.2625 8.6786 40 40 0.2 1.8697 5.2332 2.4018 5.2701 40 40 0.4 3.9388 7.1735 5.4111 7.1423 Table: La tasa de interés libre de riesgo es r = 5 % y =1/365 Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

61. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Conclusiones La posibilidad de ejercicio anticipado de la opción junto con el proceso Jump Di↵usion del precio del subyacente suponen una dificultad que puede resolverse eficazmente con el algoritmo LSM. Ventaja de LSM: Simplicidad cuando la opción depende de un número elevado de factores. El valor de la opción aumenta cuando: El precio del activo subyacente sigue un proceso Jump Di↵usion Aumentan los parámetros que involucran una mayor oscilación en el precio del activo. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

65. Introducción El método de Longsta↵-Schwartz Resultados y Conclusiones Resultados Conclusiones Future Work Future Work Considerar subyacentes que paguen dividendos. Considerar una volatilidad no constante. Se tendr´ıa, entonces, una superficie de volatilidad en función de distintos horizontes temporales y del nivel de moneyness medido sobre strike. Considerar una tipo de interés libre de riesgo no constante. Pablo Mart´ın Fuentes LSM bajo un modelo Jump Di↵usion

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