El documento describe las relaciones matemáticas subyacentes en la música. Explica cómo las operaciones de inversión, retrogradación e inversión-retrogradación de motivos musicales forman un grupo matemático, y también cómo las transformaciones de acordes como transposiciones e inversiones forman grupos. Además, analiza ejemplos musicales de Bach, Beethoven y Pachelbel que ilustran estas aplicaciones matemáticas.

1. Ejemplos de la Matem´tica en la M´sica
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Octavio Alberto Agust´ Aquino
ın
octavioalberto.geo@yahoo.com
UNAM
Facultad de Ciencias
1 de marzo de 2010
O. A. Agust´ Aquino (UNAM-FC)
ın
Matem´tica en la M´sica
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2. Dicen que as´ comenz´...
ı
o
Pit´goras escuch´ que el tono del golpe del martillo contra el yunque
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depend´ del tama˜o del martillo. As´ empez´ a deducir las proporciones
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n
ı
o
que gobiernan a los sonidos armoniosos.
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3. ...pero ya andamos bastante m´s lejos
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Pero la aplicaci´n de la Matem´tica a la M´sica va m´s alla de lo
o
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puramente aritm´tico. La mayor parte de las ramas de la Matem´tica
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pueden aplicarse al an´lisis y la creaci´n musical. En particular, la teor´ de
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o
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grupos.
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4. Las simetr´ de motivos...
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Desde hace mucho tiempo los compositores (como J. S. Bach, por
ejemplo) invierten (I ), retrogradan (R) o retrogradan y despu´s invierten
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(IR) los temas en sus creaciones para darle variedad y coherencia.
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5. ...conforman un grupo
Las operaciones I , R e IR junto con la operaci´n “no hacer nada” (la
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identidad) forman un grupo, que es isomorfo al Vierergruppe de Klein (el
grupo de simetr´ de un cuadrado no rectangular).
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6. En la obra de J. S. Bach
Esto se puede escuchar en los compases 7-8, 29, 33 y 36 de la Fuga 6 del
primer libro del “Das Wohltemperierte Klavier” de J. S. Bach.
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7. Inversiones y transposiciones
Los acordes tambi´n se transforman de acuerdo a alguna “l´gica musical”,
e
o
particularmente las tr´
ıadas mayores y menores. Por un lado tenemos a las
inversiones (I ) y las transposiciones (T ).
Considerando el acorde de C mayor {c, e, g }:
1
una de sus transposiciones es el acorde de D mayor {d, f , a} (o
cualquier acorde mayor),
2
una de sus inversiones es el acorde de f menor, {f , c, a } (o cualquier
acorde menor).
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8. Paralelos, intercambios de la sensible y relativos
Por otro lado tenemos el paralelo (P), el intercambio de la sensible (L) y el
relativo (R). Dado el acorde de C mayor {c, e, g }:
1
Su paralelo es el acorde de C menor, {c, e , g }.
2
Su relativo es el acorde de A menor, {a, c, e}.
3
Su intercambio de la sensible es E menor, {e, g , b}.
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9. ¡Otra vez un grupo!
Tanto el conjunto de todas las composiciones de las operaciones de tipo T
e I (que llamaremos TI) como las de tipo P, L y R (que llamaremos PLR)
conforman un grupo, ambos isomorfos al grupo diedral de grado 12.
El grupo diedral de grado 6... Para fines ilustrativos, solamente.
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10. En la obra de L. van Beethoven
Si se aplica R a cualquier tr´
ıada, luego L al resultado y repetimos esto, se
producir´ la siguiente sucesi´n de tr´
a
o
ıadas:
Cmaj, Amin, Fmaj, Dmin, B maj, Gmin,
E maj, Cmin, A maj, Fmin, D maj, B min,
G maj, E min, Bmaj, G min, Emaj, C min,
Amaj, F min, Dmaj, Bmin, Gmaj, Emin, Cmaj
Esta sucesi´n (hasta el acorde de F min) es una progresi´n famosa de la
o
o
Novena Sinfon´ de Beethoven, que ocurre en los compases 143-176 del
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segundo movimiento. Fue observada por Richard Cohn.
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11. La dualidad de TI y PLR
Las operaciones de tipo T e I conmutan con las de tipo P, L y R. Mejor
a´n, uno es el centralizador del otro si los vemos como subgrupos del
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grupo sim´trico de todas las tr´
e
ıadas mayores y menores. Es decir, TI y
PLR son grupos duales.
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12. En la obra de J. Pachelbel
Esta dualidad se puede observar en el Canon en D de Pachelbel
T
Dmaj − −7→ Amaj
−−




R
R
Bmin − − → f min.
−−
T7
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13. Para terminar...
“[...] Es conocido que las bases matem´ticas de la m´sica nos han hecho
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disfrutarla y no s´lo entenderla. La Matem´tica tambi´n tiene por objeto
o
a
e
la b´squeda de la belleza, es un arte en s´ misma y nos ofrece el mismo
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placer y goce est´tico que cualesquiera de las dem´s artes.”
e
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K. C. Cole, escritora estadounidense
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