Tesis doctorado oaaa

´
´
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
´
POSGRADO EN CIENCIAS MATEMATICAS
FACULTAD DE CIENCIAS

EXTENSIONES MICROTONALES DE
CONTRAPUNTO

TESIS

´
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE

DOCTOR EN CIENCIAS

PRESENTA
OCTAVIO ALBERTO AGUST´ AQUINO
IN

DIRECTOR DE TESIS:
DR. GUERINO BRUNO MAZZOLA

´
MEXICO, D. F.

SEPTIEMBRE DE 2011

Este trabajo est´ dedicado:
a
a mi esposa, Ang´lica,
e
por brindarme todo su amor y paciencia
mientras batallaba con mi doctorado y esta tesis,
y a mis padres,
Zoila D. Aquino P´rez y
e
Gregorio Alberto Agust´ Escamilla,
ın
por todo su apoyo y cari˜o incondicional.
n

´
Indice general
Prefacio

IV

Algunas advertencias sobre la terminolog´ y la notaciń
ıa
o

VI

1. Introducciń
o
1.1. ¿Qu´ es el contrapunto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
1.2. El modelo mazzoliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Variaciones al modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
3
5

2. Nociones preliminares
2.1. Dicotom´ marcadas de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas
2.2. Dicotom´ de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas
2.3. El teorema microtonal de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
9
11

3. Cuasipolaridades y dicotom´ de intervalos
ıas
15
3.1. Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Caracterizaciń de las cuasipolaridades . . . . . . . . . . . . . . . 16
o
3.3. C´lculo de dicotom´ fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
a
ıas
4. Torres de contrapunto
23
4.1. La categor´ de dicotom´ fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ıa
ıas
4.2. Torres de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3. Consonancias y disonancias densas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. Contrapunto de la segunda especie
36
5.1. Dicotom´ de 2-intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ıas
5.2. Simetr´ de contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ıas
5.3. Algoritmo para el c´lculo de simetr´
a
ıas . . . . . . . . . . . . . . . 38
Conclusiones y trabajo futuro

41

A. C´digo fuente
o
42
A.1. Algoritmo de Hichert generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.2. C´lculo de dicotom´ fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
a
ıas
A.3. Simetr´ de contrapunto para la segunda especie . . . . . . . . . 48
ıas
Bibliograf´
ıa

51

iii

Prefacio
Yo cre´ que, sin las f´rmulas [maıa
o
tem´ticas], nunca podr´ transmia
ıa
tir la dulce melod´ que tocaba mi
ıa
corazń.
o
Kiyoshi Itˆ (1915-2008)
o

Desde que tuve mis primeros contactos simultńeos con la M´sica y la Matea
u
m´tica, percib´ una ´
a
ı
ıntima conexiń entre ellas. Y empec´ a soãr con modelos
o
e
n
´
matem´ticos que capturaran la belleza de ambas disciplinas. En ellos, el Algebra,
a
la Teor´ de N´meros, el contrapunto y la fuga brillaban con inefable esplendor.
ıa
u
No imaginaba que esto ya hubiese sido hecho (o, al menos, iniciado) por
Guerino Mazzola, ni que su modelo emplease poderosas herramientas matemá
ticas. Estoy convencido de que sus resultados y los de sus colaboradores superan
ampliamente mis m´s audaces expectativas, y me alegro profundamente por
a
ello. El presente trabajo pretende contribuir a esos esfuerzos, y a continuaciń
o
describo brevemente su contenido, cap´
ıtulo por cap´
ıtulo.
En el primero se introduce de manera sumaria el concepto de contrapunto y
se justifica el modelo matem´tico que inspira esta tesis, haciendo ńfasis en su
a
e
importancia como medio para poner en perspectiva la teor´ tradicional.
ıa
En el segundo, se establecen algunas definiciones concernientes al modelo
contrapunt´
ıstico en el ´mbito microtonal. Se demuestra que el modelo es viable
a
y se demuestra el teorema microtonal de contrapunto. Tambiń se proporciona
e
un algoritmo para calcular las simetr´ de contrapunto, que pueden verse como
ıas
la parte “tangible” del teorema microtonal de contrapunto.
En el tercero, se estudian las cuasipolaridades y las dicotom´ de intervalos
ıas
con mayor detalle y se establecen algunas propiedades utiles para subsecuentes
´
resultados. Las cuasipolaridades son desarreglos involutivos de los espacios de
2k tonos que, cuando estń asociadas a las llamadas dicotom´ fuertes, son
a
ıas
polaridades.
En el cuarto, se definen las torres de contrapunto y se demuestra su existencia. Las torres de contrapunto son el mecanismo mediante el cual el contrapunto
se puede extender razonablemente de un espacio microtonal de cardinalidad 2k
a otro con un m´ltiplo de tonos, digamos 2ak. En particular, se demuestra que
u
existe una torre que conduce a una polaridad continua; esto podr´ ser fundaıa
iv

v

mento futuro de una teor´ continua de contrapunto.
ıa
Finalmente, en el quinto cap´
ıtulo, se propone una manera de extender el
esquema anterior al contrapunto de la segunda especie. Se obtiene tambiń un
e
teorema de contrapunto y un algoritmo para el c´lculo de simetr´
a
ıas. Las simetr´ en este nuevo contexto no son, sin embargo, invertibles en general.
ıas
Es muy oportuno dar algunos agradecimientos. Primero que nada, al Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnolog´ por su apoyo a trav´s de una beca con n´mero
ıa,
e
u
de becario 217020/207309, que me permiti´ concluir esta investigaciń. Tambiń
o
o
e
a los doctores Emilio Lluis-Puebla, Guerino Mazzola y Rodolfo San Agust´
ın
Chi por guiarme e infundirme ńimo mientras redactaba esta tesis. Por ultimo,
a
´
pero no por ello de forma menos importante, a los doctores Emmanuel Amiot,
Pablo Padilla Longoria y Mar´ de Lourdes Palacios F´bila por su revisiń del
ıa
a
o
borrador y sus atinados comentarios y correciones; espero haberlos incorporado
con acierto en la versiń final.
o
Todos los resultados son originales salvo donde se especifica expl´
ıcitamente.
Octavio Alberto Agust´ Aquino
ın
Teotitlń de Flores Magń, Oaxaca
a
o
Febrero de 2011

Algunas advertencias sobre
la terminolog´ y la
ıa
notaciń
o
En el texto usamos el formalismo de formas y denotadores, introducido por
G. Mazzola en su magna obra The Topos of Music [Maz02]. Intuitivamente, una
forma es un espacio y un denotador es un punto en una forma.
Una forma de particular inter´s para nosotros es P iM od2k , el espacio de
e
tonos m´dulo la octava en la afinaciń equitemperada de 2k-tonos. Siempre que
o
o
aparezca tal s´
ımbolo, el lector lo puede reemplazar por Z2k para una mejor
comprensiń. Se mantiene aqu´ por coherencia con otras fuentes y porque la
o
ı
construcciń P iM od2k est´ dotada con caracter´
o
a
ısticas adicionales que pueden
ser (y de hecho son) utiles.
´
La notaciń de teor´ de n´meros viene del maravilloso libro Concrete Mato
ıa
u
hematics [GKP94] de Graham, Knuth y Patashnik. En particular, la relaciń de
o
divisibilidad se representa con una barra inclinada , usamos m´d en la forma
o
usual y como una operaciń binaria y
o
[P ] =

1, P es verdadera,
0, en otro caso,

es el corchete de Iverson.

vi

Cap´
ıtulo 1

Introducciń
o
1.1.

¿Qu´ es el contrapunto?
e

Puesto que el tema principal de este trabajo es el contrapunto, vale la pena
examinar el significado de este t´rmino con algo de detalle. Ciertamente no
e
lo haremos de manera exhaustiva, por que tal empresa rebasa los l´
ımites de
esta obra. Adem´s, la definiciń de contrapunto vari´ notablemente antes de
a
o
o
asentarse en la teor´ escrita y ań despu´s de eso no result´ del todo n´
ıa
u
e
o
ıtida ni
careci´ de polisemia.
o
Pese a todo, una nociń bastante estable del contrapunto surge alrededor
o
del siglo XV. Johannes Tinctoris, por ejemplo, dice [Tin77]:
El contrapunto es un concierto racional y moderado de sonidos que
resulta de colocar una voz contra otra. Se denomina contrapunto por
“contra” y “punto”, pues se pone una nota contra otra justo como
un punto se pone contra otro. En consecuencia, todo contrapunto se
compone de una mezcla de voces.
Despu´s J. J. Fux (en el siglo XVIII), explica esto m´s detalladamente
e
a
[Man65]:
[...] En tiempos pr´
ıstinos, en lugar de nuestras notas modernas, se
utilizaban puntos o c´
ırculos. As´ se acostumbraba a llamar a una
ı,
composiciń en la que cada punto se colocaba contra otro punto,
o
contrapunto; esta usanza se conserva hoy todav´ aun cuando la
ıa,
forma de las notas ha cambiado.
Por el t´rmino contrapunto, por lo tanto, se entiende una composie
ciń que se escribe estrictamente de acuerdo a reglas tćnicas.
o
e
Finalmente, K. Jeppesen nos proporciona la acepciń moderna m´s comń
o
a
u
[Jep92]:
[...] Es el arte de preservar la independencia mel´dica en un complejo
o
polifńico armńicamente balanceado.
o
o
1

2

Cap´
ıtulo 1. Introducciń
o

En suma, podr´
ıamos descomponer la definiciń de contrapunto en tres paro
tes:
1. Dos o m´s voces (polifon´
a
ıa),
2. independientes entre s´
ı,
3. armńica y racionalmente conjuntadas.
o
Del anhelo de preservar los ultimos dos aspectos de la definiciń surgen las
´
o
reglas tćnicas mencionadas por Fux. La b´squeda de la armon´ entre las voces
e
u
ıa
(refirińdonos a la biensonancia del conjunto polifńico) justifica la predominane
o
cia de las consonancias como las relaciones interv´licas entre ellas. No obstante,
a
a lo largo de los siglos, ha fluctuado el consenso sobre cu´les intervalos son
a
consonancias o si lo son de manera absoluta. Por ejemplo: el tratado Musica
enchiriadis del siglo IX (alguna vez atribuido a Hucbald) reconoce primordialmente a la cuarta, la quinta y la octava como tales y secundariamente a las
terceras y las sextas. Posteriormente, la cuarta es reclasificada como disonancia
y se afianzan las terceras y sextas como consonancias imperfectas, en contraste
con el resto que son llamadas perfectas. Que estas distinciones hayan cuajado en el contrapunto cl´sico (como lo describe Fux, al menos) confirma que el
a
contrapunto no est´ fundado exclusivamente en consideraciones psicoac´sticas:
a
u
la cuarta perfecta es ac´sticamente una consonancia, pero existe al menos una
u
teor´ que no la considera como tal.
ıa
¿Y qu´ se puede decir sobre la independencia? A lo largo del Gradus ad Pare
nassum se establecen varias reglas cuyo fin presumiblemente es el de preservar
distinguibles a las voces, aunque no resulta claro por qu´ resultan efectivas (si
e
es que lo son). Al respecto, Klaus-J¨rgen Sachs [Sac74, p. 33] menciona que
u
a veces el “contra” del contrapunto se refiere a la prevalencia del movimiento
contrario en las voces. ¿Pero puede garantizar la independencia de las voces la
observancia irrestricta de este principio? El comportamiento resultante es, a fin
de cuentas, tan dependiente como el movimiento paralelo.
Adicionalmente, Sachs [Sac74, p. 34] indica que la independencia de las voces no es exclusiva del ´mbito vertical (en la separaciń entre ellas), sino que
a
o
tambiń se da horizontalmente. En tal caso, el “contra” se interpreta como la
e
yuxtaposiciń de intervalos1 . Siendo que hay consonancias perfectas e impero
fectas, la juxtaposiciń alternada de ´stas aporta otro elemento (posiblemente
o
e
vital) de tensiń.
o
El modelo propuesto por Guerino Mazzola [Maz02], aunque restringido a
cierta instancia sencilla pero fundamental del contrapunto, aporta una nueva
perspectiva sobre estas cuestiones. Utilizando ciertas propiedades algebraicas
y geom´tricas de los intervalos consonantes, permite obtener reglas tćnicas
e
e
basadas en la nociń de simetr´ de contrapunto que, al ser simetr´ locales,
o
ıa
ıas
en cierto modo representan las fuerzas motoras del contrapunto. Discutimos a
continuaciń dicho modelo y su relevancia.
o
1 Los intervalos de contrapunto pueden verse, a fin de cuentas, como puntos en el espacio
de n´meros duales Z12 [ ].
u

1.2. El modelo mazzoliano

1.2.

3

El modelo mazzoliano

La encarnaciń m´s simple del contrapunto consiste en dos voces que sio
a
multńeamente tocan notas de idńtica duraciń. Se acostumbra prescribir la
a
e
o
melod´ de una de ellas y llamarla cantus firmus, mientras que la otra (el disıa
cantus) se compone utilizando reglas tćnicas ya mencionadas.
e
A esto Tinctoris [Tin77] lo denomin´ contrapunto simple y es el primero que
o
estudia Fux en el Gradus, aunque ´l lo llama contrapunto de la primera especie.
e
Tambiń lo denominaremos as´ en lo subsecuente.
e
ı
A pesar de su simplicidad, esta instancia del contrapunto es lo suficientemente compleja para instituir varias reglas de composiciń y plantear preguntas
o
te´ricas interesantes. Sachs [Sac74, p. 123], por ejemplo, lo cataloga como el
o
nćleo de la teor´ del contrapunto durante los siglos XIV y XV, y el resto como
u
ıa
elaboraciones graduales. Ań durante el siglo XVI, se esperaba que un m´sico
u
u
entrenado fuese capaz de improvisar voces contrapunt´
ısticas de la primera especie sobre otra voz dada (en lo que se denominaba contraponto alla mente). En
virtud de la importancia de este tipo de contrapunto, resulta natural que sea el
primer objeto de un modelo matem´tico.
a
Como ya hemos mencionado, uno de los aspectos m´s importantes de la
a
teor´ del contrapunto desde el siglo XIV es la divisiń de los intervalos musicales
ıa
o
en consonancias y disonancias. Restringińdonos a las equivalencias enarmńicas
e
o
y de octavas, los 12 intervalos resultantes se dividen en dos mitades con seis
elementos cada una. Adicionalmente, todos los intervalos que aparecen en el
contrapunto de la primera especie deben ser consonantes. Evidentemente, este
hecho inextricablemente ata al contrapunto de la primera especie con la nociń
o
de consonancia2 .
Guerino Mazzola [Maz02, Parte VII] usa esta divisiń de consonancias y dio
sonancias como punto de partida para su modelo matem´tico. A esta divisiń
a
o
de intervalos la denomina dicotom´ de intervalos. M´s precisamente, si las disıa
a
tancias interv´licas m´dulo octava se modelan con la forma P iM od12 , donde
a
o
0 es el un´
ısono, 1 la segunda menor, etc´tera, entonces la dicotom´ cl´sica de
e
ıa a
intervalos es
K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D = {1, 2, 5, 6, 10, 11},
donde K son las consonancias y D las disonancias. Esta dicotom´ disfruta de
ıa
“buenas” propiedades algebraicas y geom´tricas para fines contrapunt´
e
ısticos.
Quiz´ la m´s notable es el hecho de que la transformaciń af´
a
a
o
ın
p(K/D) (x) = e2 ◦ 5(x) = 5x + 2
manda a K en D y viceversa. Esta propiedad es esencial para formular las llamadas simetr´ de contrapunto. Como mostraremos m´s tarde, la teor´ mazıas
a
ıa
zoliana se funda esencialmente en las simetr´ de contrapunto y los n´meros
ıas
u
2 Esto sucede incluso si la definiciń de consonancia var´ como en el caso del contrapunto
o
ıa,
disonante. El modelo mazzoliano predice que la unica prohibiciń general en el contrapunto
´
o
disonante son las segundas menores paralelas, mientras que Cowell [Cow96, p. 35] se contenta con invertir los papeles de las consonancias y disonancias y prohibir las octavas porque
“probablemente sonar´ inconsistentes”.
ıan

4

Cap´
o

duales para explicar la tensiń horizontal del contrapunto que mencionamos
o
anteriormente.
Salvo isomorf´ af´ existen otras cinco biparticiones de P iM od12 que tienen
ıa ın,
las mismas propiedades matem´ticas deseables de la dicotom´ (K/D), como
a
ıa
mostr´ Jens Hichert en su tesis de maestr´ [Hic93]. Despu´s definiremos como
o
ıa
e
fuertes a las dicotom´ de este tipo en los ´mbitos microtonales. Una dicotom´
ıas
a
ıa
fuerte notable aparte de la cl´sica es la dicotom´ jńica
a
ıa o
I = {2, 4, 5, 7, 9, 11},

J = {0, 1, 3, 6, 8, 10},

cuya primera parte consiste precisamente en la escala mayor medida desde la
tńica.
o
Dado un cantus firmus, la teor´ de Fux limita la sucesiń de intervalos
ıa
o
en la composiciń basńdose puramente en los movimientos de las voces con
o
a
la dicotom´ de consonancias y disonancias en mente. La teor´ mazzoliana,
ıa
ıa
por otra parte, usa el concepto de simetr´ de contrapunto para establecer un
ıa
conjunto de sucesores admisibles de un intervalo dado. Este nuevo enfoque ha
conducido a notables resultados:
1. El teorema de contrapunto, que establece que para cualquier dicotom´
ıa
fuerte cualquier intervalo tiene al menos 36 sucesores admisibles; incluso
si se prescribe el cantus firmus, el sucesor admisible existe. Para el caso particular de la dicotom´ (K/D), las quintas paralelas estń siempre
ıa
a
prohibidas. Cabe mencionar que esta es una consecuencia, y no un prerequisito, del modelo.
2. Con respecto a la dicotom´ (K/D), la escala mayor es la que brinda
ıa
la mayor libertad de elecciń para intervalos sucesores (si uno restringe
o
al discanto a permanecer en la escala mayor), en contraste con la escala mel´dica menor. Por ejemplo, si el primer intervalo y el cantus firmus
o
estń dados, en s´lo dos casos el intervalo sucesor est´ un´
a
o
a ıvocamente determinado. En contraste, esto ocurre en 16 caso para la escala mel´dica
o
menor.
3. La dicotom´ (K/D) es antipodal a la dicotom´ jńica, en el siguiente
ıa
ıa o
sentido: no siempre es posible encontrar un sucesor admisible dentro de
la primera mitad de la dicotom´ jńica tal que tanto el cantus firmus
ıa o
como el discanto pertenescan a la escala mayor, mientras que la escala
K ∗ = 0, 3, 4, 7, 8, 9, 11 (que es muy similar al conjunto K de consonancias
y tambiń a una escala b´sica de las ragas hindés) no tiene este problema.
e
a
u
4. El primer teorema de “unificaciń de la armon´ y el contrapunto”, debido
o
ıa
a Noll [Nol95]. A grandes rasgos, pone a los intervalos consonantes (de la
dicotom´ unica en la clase de (K/D) que es un monoide) en corresponıa ´
dencia algebraica con las simetr´ afines de una tr´
ıas
ıada mayor.
5. Los “mundos de contrapunto” derivados de las seis dicotom´ fuertes (que
ıas
son rigurosamente definidos por Junod y Mazzola en [MJ07]) pueden usarse para prop´sitos composicionales. Los morfismos entre estos “mundos”
o
pueden definirse de manera matem´ticamente precisa, lo que provee una
a

1.3. Variaciones al modelo

5

herramienta pionera para la transformaciń de una composiciń del cono
o
trapunto cl´sico a otros sistemas “ex´ticos” de reglas, siempre que sea
a
o
posible. De hecho, tales transformaciones han sido implementadas por Junod como m´dulos del programa RUBATO [Jun10].
o
6. Investigaciones que emplean electroencefalograf´ ha demostrado la releıa
vancia cognitiva de la polaridad p(K/D) que relaciona algebraicamente las
consonancias y disonancias cl´sicas [Maz02, p. 637]. Esto ha conducido
a
tambiń a nuevas perspectivas sobre la manera en que el cerebro humano
e
interpreta la m´sica.
u

1.3.

Variaciones al modelo

Los logros del modelo mazzoliano alientan un mayor examen del mismo.
En particular, sera deseable ampliar la discusiń del principio antr´pico de
o
o
Mazzola. En este caso, el principio establece que, si interpretamos la apariciń
o
hist´rica de una escala musical o dicotom´ como resultado de una elecciń
o
ıa
o
entre una familia de posibilidades parametrizada, entonces la elecciń efectiva
o
corresponde a cierta optimalidad de los par´metros relevantes. Un ejemplo de
a
esto es el punto concerniente a las escalas mayores y menores. En esta tesis,
la cardinalidad par de las escalas crom´ticas equitemperadas se toma como el
a
par´metro a elegir. Podemos entonces formular las siguientes preguntas:
a
1. ¿Qu´ hace a la escala de 12 tonos equitemperada tan especial? En otras
e
palabras: tiene esta escala propiedades especiales entre las escalas equitemperadas en relaciń al contrapunto?
o
2. ¿Es posible definir dicotom´ fuertes de intervalos para escalas m´s geneıas
a
rales?
3. Si es as´ ¿cu´les harń patente el principio antr´pico? En otras palabras
ı,
a
a
o
¿las elecciones m´ximas serń las m´s musicales de todas?
a
a
a
4. ¿Para cu´les de ellas existe un teorema de contrapunto?
a
5. ¿Existe algń resultado similar al teorema de unificaciń de Noll que nos
u
o
permita estudiar (o incluso definir) una morfolog´ armńica en estas esıa
o
calas?
Como menciona Mazzola en [Maz07], estas preguntas sobre las variaciones
al modelo son importantes para apreciar mejor el valor de los “mundos” musicales en los que vivimos. Si bien es importante saber que existe una explicaciń
o
para, por ejemplo, la prohibiciń de las quintas paralelas, es necesario explorar
o
alternativas para entender por qu´ funciona este principio. Es preciso transgree
dir los l´
ımites de los modelos para justificar la belleza en nuestras elecciones y
para encontrar nuevas maneras de crearla.
En este sentido, el presente trabajo extiende los seis mundos de contrapunto
de 12 tonos al ´mbito microtonal, donde su n´mero se multiplica infinitamente.
a
u
Por ejemplo: para las escalas 24-tonales equitemperadas existen ¡359 clases de
dicotom´ fuertes de contrapunto! Resulta intrigante pensar si debieran rechaıas
zarse m´s de trescientas maneras de hacer contrapunto 24-tonal para preferir las
a

6

Cap´
o

seis de la escala 12-tonal, o cu´les nos deleitarń m´s despu´s de experimentar
a
a
a
e
con ellas.
Tambiń podr´
e
ıamos preguntarnos por qu´ no se toman menos tonos. Pudiera
e
ser que la posibilidad de contraponer un mundo de contrapunto a otras cinco
sea la razń pues, por un lado, no hay manera de hacer contrapunto con cuatro
o
tonos. Para dos, seis y ocho tonos, esencialmente s´lo hay una.
o
Pero, por otro lado, la escala de 10 tonos tiene tres mundos de contrapunto. ¿Por qu´ no fue elegida? Un resultado de J. Junod [Jun10] podr´ ser la
e
ıa
respuesta, pues dice que las isometr´ afines de este espacio (con la topolog´
ıas
ıa
m´trica inducida por su descomposiciń de Sylow) no coincide con el total de
e
o
sus simetr´ afines. El sistema de 12 tonos s´ tiene esta propiedad.
ıas
ı
Algo m´s que vale la pena estudiar es la posibilidad de transformar coherena
temente las composiciones regidas por ciertos par´metros de un modelo, a otra
a
que obedezca a las impuestas por otros par´metros. Por ejemplo, si se compone
a
algo utilizando las reglas deducidas de la dicotom´ (K/D), nos gustar´ transıa
ıa
formarla razonablemente de modo que ahora obedezca a las reglas dadas por la
dicotom´ (I/J). Como hab´
ıa
ıamos mencionado antes, esto es un morfismo entre
mundos de contrapunto [Jun10]. En esta tesis encontramos algunas las relaciones entre las dicotom´ microtonales de diferente cardinaldiad y bosquejamos
ıas
algunas consecuencias que tendr´ en las reglas de contrapunto que determina
ıa
cada una. Un resultado importante es que existe una sucesiń de dicotom´
o
ıas
anidadas de modo que, en el l´
ımite, su polaridad se puede extender a todas las
frecuencias en la octava. Esto abre la puerta a un contrapunto continuo, donde
la polaridad es continua para alguna topolog´ apropiadamente definida en el
ıa
espacio de intervalos de contrapunto.

Cap´
ıtulo 2

Nociones preliminares
En este cap´
ıtulo demostraremos que el contrapunto microtonal basado en
dicotom´ fuertes y simetr´ de contrapunto es viable para una cantidad par
ıas
ıas
arbitraria de tonos (salvo cuatro). Tambiń describimos el algoritmo de Hichert
e
para la b´squeda de simetr´ de contrapunto en este nuevo contexto.
u
ıas

2.1.

Dicotom´ marcadas de intervalos
ıas

Definiciń 2.1. Sea A un m´dulo. Una dicotom´ marcada X (con domicilio
o
o
ıa
A) es una composiciń local A-domiciliada que tiene la misma cardinalidad que
o
su complemento (X) en la composiciń local total.
o
Ciertas dicotom´ marcadas nos interesan en el contrapunto, que distinguiıas
mos a continuaciń.
o
Definiciń 2.2. Sea A un Z-m´dulo. Una dicotom´ marcada de intervalos X
o
o
ıa
es una dicotom´ marcada con espacio ambiente P iM od2k,q .
ıa
Una dicotom´ marcada de intervalos usualmente se denota con (X/ X),
ıa
para hacer expl´
ıcito al complemento. M´s ań, el complemento define una acciń
a u
o
de Z2 sobre el conjunto de dicotom´ marcadas de intervalos. Una ´rbita de
ıas
o
esta acciń se denomina dicotom´ de intervalos. Por otra parte, el grupo
o
ıa
−
→
GL(Z2k ) = {eb ◦ a : b ∈ Z2k , a invertible}
donde
eb ◦ a(x) = ax + b,
tambiń actá sobre las dicotom´ marcadas de intervalos. Las ´rbitas de ese
u
ıas
o
ta acciń se llaman clases de dicotom´ marcadas. No es dif´ ver que estas
o
ıas
ıcil
acciones conmutan; las ´rbitas de la acciń conjunta son conocidas como clases
o
o
de dicotom´
ıa.
7

8

Cap´
ıtulo 2. Nociones preliminares

Definiciń 2.3. Una dicotom´ marcada de intervalos X se dice autocompleo
ıa
mentaria si es isomorfa a su complemento (X), esto es, si y s´lo si su clase
o
de dicotom´ coincide con con su clase de dicotom´ marcada. La dicotom´
ıa
ıa
ıa
marcada X se dice r´
ıgida si su grupo de simetr´ es trivial. Se dice fuerte si es
ıa
autocomplementaria y r´
ıgida.
−
→
Escolio 2.4. Un automorfismo p ∈ GL(Z2k ) tal que pX = Y = X recibe el
nombre de polaridad. Para una dicotom´ fuerte (X/Y ), la polaridad es unica.
ıa
´
En efecto, si hubiese otra q tal que qX = Y entonces
(p−1 ◦ q)X = X
y la fuerza de (X/Y ) implica que p−1 ◦ q = id. En consecuencia q = p.
No es inmediato que existan dicotom´ autocomplementarias, r´
ıas
ıgidas o fuer−
→
tes. Pero, siempre que dispongamos una involuciń p de GL(Z2k ) que no tenga
o
puntos fijos, entonces podemos construir fćilmente una dicotom´ autocomplea
ıa
mentaria. De hecho, escojemos primero un elemento arbitrario x1 ∈ Z2k , luego
elegimos x2 ∈ Z2k distinto de x1 , p(x1 ), y as´ tomamos xj diferente de
ı
x1 , . . . , xj−1 , p(x1 ), . . . , p(xj−1 )
hasta llegar a j = k. De este modo, X = ({x1 , . . . , xk }/{p(x1 ), . . . , p(xk )}) es
una dicotom´ marcada autocomplementaria.
ıa
−
→
Lema 2.5. Para cualquier n y 0 ≤ t ≤ 2n impar, et ◦ −1 ∈ GL(Z2n ) es
involutivo y no tiene puntos fijos (es decir, es un desarreglo involutivo af´
ın).
Demostraciń. Dado que
o
(et ◦ −1) ◦ (et ◦ −1) = et ◦ e−t ◦ 1 = e0 ◦ 1 = 1
queda establecido su carćter involutivo. Si et ◦ −1(x) = t − x = x para algń
a
u
x, entonces 2x − t = 0. Esto significa que 2n divide a 2x − t, lo que contradice
que 2x − t es impar. En consecuencia, et ◦ −1 no tiene puntos fijos.
Cuando k = 1, es obvio que ({1}/{0}) y ({0}/{1}) son las unicas dicotom´
´
ıas
fuertes. Para k = 2, no hay dicotom´ fuertes. Basta verificar esto para
ıas
X1 = ({0, 1}/{2, 3}), X2 = ({0, 2}/{1, 3}), X3 = ({0, 3}/{1, 2}),
pues todas ellas son autocomplementarias. Sin embargo, e1 ◦ −1(X1 ) = X1 ,
−1(X2 ) = X2 y e−1 ◦ −1(X3 ) = X3 , as´ que ninguna de ellas es r´
ı
ıgida.
Ahora podemos demostrar que existe al menos una dicotom´ fuerte con esıa
pacio ambiente P iM od2k para k ≥ 3. Hay que tener en mente que los elementos
invertibles de Z2k son impares pues son coprimos con 2k.
Proposiciń 2.6. Sea k ≥ 3. La dicotom´
o
ıa
(X/Y ) = ({−1, 2k − 2, 2k − 4, . . . , 4, 2}/{0, 1, 3, . . . , 2k − 5, 2k − 3})
en P iM od2k (que se obtiene del automorfismo e−1 ◦ −1) es fuerte.

2.2. Dicotom´ de contrapunto
ıas

9

Demostraciń. En general, la dicotom´ propuesta es claramente autocompleo
ıa
mentaria, con isomorfismo e−1 ◦−1. Para demostrar su rigidez, mostraremos que
bajo cualquier automorfismo eu ◦ w, salvo la identidad, al menos un elemento
de la dicotom´ marcada es enviado a un elemento en el complemento. Si u = 0,
ıa
entonces w(−1) = −w = −1 es impar y por lo tanto w(−1) ∈ X. Si u = 0 es
par, entonces X −w−1 u = 0 es par y eu ◦ w(−w−1 u) = u − u = 0 ∈ X. Si u
es impar, eu ◦ w(2) = u + 2w es impar. Si pertenece X, ya est´. De otro modo,
a
eu ◦ w(2) = u + 2w = −1. Es imposible que eu ◦ w(4) = u + 4w = −1, pues
implicar´ que 2w = 0 y 2 = 0, lo que contradice que k ≥ 3.
ıa
Vale la pena hacer ńfasis en que existen dicotom´ fuertes de cardinalie
ıas
dad par arbitraria excepto 4. Esto significa que, en t´rminos de este modelo,
e
no podemos formular una teor´ contrapunt´
ıa
ıstica para la escala equitemperada
de cuatro tonos. Esta escala puede interpretarse como los tonos de un acorde
disminu´ de s´ptima en la escala equitemperada de doce tonos.
ıdo
e
Escolio 2.7. La dicotom´ constru´ para k = 6 en la Proposiciń 2.6
ıa
ıda
o
({11, 10, 8, 6, 4, 2}/{0, 1, 3, 5, 7, 9})
pertenece a la clase de la dicotom´
ıa
∆78 = ({0, 1, 2, 4, 6, 10}/{3, 5, 7, 8, 9, 11})
en la lista de Mazzola, [Maz02, ap. L].

2.2.

Dicotom´ de contrapunto
ıas

Guerino Mazzola descubri´ que los intervalos de contrapunto pueden moo
delarse muy bien usando a Z2k [ ] (el ´lgebra de n´meros duales sobre Z2k ),
a
u
dotńdolos tangencialmente con notables propiedades algebraicas. As´ a cuala
ı,
quier x + .y ∈ Z2k [ ] se le llama intervalo de contrapunto, donde x es el cantus
firmus y y es el intervalo. Nos adherimos a esta convenciń para Z2k [ ].
o
Definiciń 2.8. Una dicotom´ marcada de contrapunto X con espacio ambieno
ıa
te P iM od2k [ ] es una dicotom´ marcada con espacio ambiente P iM od2k,q [ ].
ıa
Escolio 2.9. Dada una dicotom´ marcada de intervalos (X/Y ), la dicotom´
ıa
ıa
marcada de contrapunto cuyo soporte es el conjunto
X[ ] := Z2k + .X
es una dicotom´ marcada de contrapunto.
ıa
Las definiciones de dicotom´ de contrapunto y de clases de contrapunto,
ıa
autocomplementariedad, rigidez y fuerza se definen modificando las anteriores
adecuadamente usando
−
→
GL(Z2k [ ]) := {es+ .t ◦ (u + v) : s, t, u, v ∈ Z2k , u invertible}

10

Cap´

−
→
en lugar de GL(Z2k ). Ahora enumeramos algunas definiciones y resultados en
preparaciń para el algoritmo de Hichert general. Las demostraciones que se
o
omiten son similares a las que se encuentran en [Maz02] y [Agu09], salvo modificaciones menores.
Proposiciń 2.10. Sea ∆ = (X/Y ) una dicotom´ fuerte con polaridad p∆ =
o
ıa
eu ◦ v. Esc´jase un cantus firmus x. Entonces existe exactamente un automoro
fismo px en el espacio de intervalos de contrapunto P iM od2k [ ] que es una
∆
polaridad de (X[ ]/Y [ ]) tal que
px (x + .Z2k ) = x + .Z2k ,
∆
px = ex(1−v)+
∆

.u

◦v

y

x+y
p∆ = ex ◦ py ◦ e−x .
∆

Definiciń 2.11. Dada una dicotom´ (X[ ]/Y [ ]) y un automorfismo g ∈
o
ıa
−
→
GL(Z2k [ ]), un par de intervalos ξ, η ∈ Z2k [ ] se dice que es polarizado por g si
ξ ∈ gY [ ] y η ∈ gX[ ].
De ahora en adelante, supondremos que (X/Y ) es una dicotom´ fuerte.
ıa
Proposiciń 2.12. Sea (X[ ]/Y [ ]) y ξ, η dos intervalos diferentes. Entonces
o
−
→
existe un automorfismo g ∈ GL(Z2k [ ]) tal que el par ξ, η is polarizado por g.
−
→
Definiciń 2.13. Sea ∆[ ] = (X[ ]/Y [ ]) y ξ = x + .i ∈ X[ ]. Un g ∈ GL(Z2k )
o
es una simetr´ de contrapunto para ξ si, y s´lo si,
ıa
o
1. ξ ∈ gX[ ],
2. px es una polaridad de g∆[ ],
∆
3. la cardinalidad de gX[ ] ∩ X[ ] es m´xima entre todos los g que tienen las
a
primeras dos propiedades.
Definiciń 2.14. Si son dados una dicotom´ ∆[ ] = (X[ ]/Y [ ]) y un intervalo
o
ıa
ξ ∈ X[ ], otro intervalo η se dice un sucesor admisible de ξ si est´ contenido en
a
la intersecciń gX[ ] ∩ X[ ] para una simetr´ de contrapunto g de ξ.
o
ıa
Lema 2.15. El grupo de automorfismos de X[ ] es eZ2k .
−
→
Lema 2.16. Para g = e .t ◦ (u + .v) ∈ GL(Z2k [ ]) y z ∈ Z2k , definimos
g (z) = g ◦ e

.u−2 vz

∈ H := e

.Z2k

◦ GL(Z2k )

Entonces
(g (z1 ) )(z2 ) = g (z1 +z2 )
ez ◦ gX[ ] = g (z) X[ ]

y

ez ◦ gY [ ] = Y [ ].

Demostraciń. S´lo la segunda parte necesita demostraciń. Tenemos
o
o
o
ez ◦ g = ez+
=e

.t

.t

◦ (u + .v)
−1

◦ (u + .v) ◦ ez(u

= g ◦ e(−z) ◦ ezu

−1

− .u−2 v)

2.3. El teorema microtonal de contrapunto

11

de donde
−1

ez ◦ gX[ ] = g (−z) ◦ ezu X[ ] = g (−z) X[ ],
usando el Lema 2.15. El caso para Y es enteramente an´logo.
a
−
→
Corolario 2.17. Para g ∈ GL(Z2k [ ]) y la dicotom´ marcada de contrapunto
ıa
inducida X[ ], existe una simetr´ h ∈ H tal que gX[ ] = hX[ ].
ıa
−
→
Lema 2.18. Sean ξ = x + .k, g ∈ GL(Z2k [ ]) y z ∈ Z2k . Si
∼
=

ξ ∈ gX[ ]
/

y

px : gX[ ] − gY [ ]
→
∆

ez ξ ∈ ez ◦ gX[ ]
/

y

pz+x : ez gX[ ] − ez gY [ ].
→
∆

entonces

∼
=

Adem´s
a
ez ◦ gX[ ] ∩ X[ ] = ez (gX[ ] ∩ X[ ])
y, en particular,
|gX[ ] ∩ X[ ]| = |ez ◦ gX[ ] ∩ X[ ]|.
Proposiciń 2.19. Las simetr´ de contrapunto se pueden calcular si uno
o
ıas
conoce las simetr´ de contrapunto g ∈ H con cantus firmus x = 0. De modo
ıas
m´s preciso, si ξ = x + .y ∈ X[ ] y g es de contrapunto para ξ, entonces existe
a
una simetr´ de contrapunto h = et ◦ (u + .v) ∈ H para ξ. M´s ań, para
ıa
a u
verificar que h es de contrapunto, basta comprobar que h(x) es de contrapunto
para el intervalo .y y la polaridad p0 .
∆

2.3.

El teorema microtonal de contrapunto

Como puede verse de la Proposiciń 2.19, para determinar las simetr´ de
o
ıas
contrapunto es importante evaluar el n´mero de sucesores admisibles |gX[ ] ∩
u
X[ ]| para g = e .t ◦ (u + .uv). Mazzola demostr´ que, con la notaciń de la
o
o
Proposiciń 2.19, t debe satisfacer
o
t = y − up(s)

y

wt + r = ur + t,

(2.1)

donde p = er ◦ w es la polaridad de (X/Y ) y s ∈ X.
Escolio 2.20. Las condiciones (2.1) implican que
u(s(w − 1) − wr) = y(1 − w) − r
y se satisfacen tomando s = y y u = w, por lo que existe por lo menos una
simetr´ de contrapunto para el intervalo consonante .y.
ıa

12

Cap´

Sea ρ = mcd(v, 2k) cuando v = 0. En [Maz02], se demuestra que

−
→
 y∈Z2k |ey ◦ uX ∩ X|,
v ∈ GL(Z2k ),

|gX[ ] ∩ X[ ]| = 2k|ey−up(s) ◦ uX ∩ X|,
(2.2)
v = 0,


(2k/ρ)−1 jρ+y−up(s)
ρ j=0
|e
◦ uX ∩ X|, de otro modo,
donde y, s ∈ X y p es la polaridad de (X/Y ). Adicionalmente, para el primer
caso, Mazzola da la f´rmula
o
|ey ◦ uX ∩ X| = |X|2 = k 2 .
y∈Z2k

Para el resto, obs´rvese que la cardinalidad de ey−up(s) ◦ uX ∩ X no puede
e
exceder k − 1, porque (X/Y ) es fuerte y y − p(s) = 0, al ser p la polaridad. Por
lo tanto,
2k|ey−up(s) ◦ uX ∩ X| ≤ 2k(k − 1).
La ecuaciń jρ + y − p(s) = 0 tiene a lo m´s una soluciń en el intervalo
o
a
o
0 ≤ j < 2k/ρ. Esto significa que
2k/ρ−1

|ejρ+y−up(s) ◦ uX ∩ X| ≤ ρ

ρ
j=0

2k
− 1 (k − 1) + k
ρ

= ρ + 2k(k − 1)
≤ k + 2k(k − 1) = 2k 2 − k.
Resumiendo, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.21 (Teorema microtonal de contrapunto). Sea ∆ = (X/Y ) una
dicotom´ fuerte, y sea ξ ∈ X[ ]. El n´mero N de sucesores admisibles de ξ
ıa
u
satisface
k 2 ≤ N ≤ 2k 2 − k.
La cota superior es justa: la dicotom´
ıa
∆ = ({0, 2, 3}/{1, 4, 5})
(con polaridad e1 ◦ −1) en P iM od6 es fuerte1 , y el n´mero de sucesores admiu
sibles de .2 es exactamente 15 = 2 · 32 − 3. Su unica simetr´ de contrapunto
´
ıa
es e .3 ◦ (1 + .3).
Para el c´lculo efectivo de las simetr´ de contrapunto, damos el siguiente
a
ıas
algoritmo; la versiń para k = 6 se debe a Jens Hichert.
o
Algoritmo 2.22. Aqu´ χ(x, y) es una funciń que devuelve la cardinalidad del
ı
o
conjunto ex ◦ yX ∩ X.
Entrada: Una dicotom´ fuerte ∆ = (X/Y ) y su polaridad er ◦ w.
ıa
1 De

hecho, es la unica dicotom´ fuerte en P iM od6 , salvo por im´genes afines isomorfas.
´
ıa
a

2.3. El teorema microtonal de contrapunto

13

Salida: El conjunto de simetr´ de contrapunto Σy ⊆ H para cada .y ∈ X[ ].
ıas
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:

para todo y ∈ X hacer
M ← 0, Σy ← ∅.
para todo u ∈ GL(Z2k ) hacer
para todo s ∈ X hacer
para todo v ∈ Z2k hacer
t ← y − u(ws + r).
si wt + r = ur + r entonces
si v = 0 entonces
S ← 2kχ(t, u).
si no si v ∈ GL(Z2k ) entonces
S ← k2
si no
2k
ρ −1
ρ ← mcd(v, 2k), S ← ρ j=0 χ(jρ + t, u).
si S > M entonces
Σy ← {e .t ◦ (u + .uv)}, S ← M .
si no si S = M entonces
Σy ← Σy ∪ {e .t ◦ (u + .uv)}.
devolver Σy .

Ejemplo 2.23. La salida del algoritmo para la dicotom´ fuerte
ıa
∆ = ({0, 2, 3}/{1, 4, 5})
es
Σ0 = {e

.4

◦ (5 + .4), e

.4

◦ (5 + .2)},
Σ2 = {e

.3

◦ (1 + .3)},
Σ3 = {e

.4

◦ (5 + .4), e

.4

◦ (5 + .2)},

El n´mero de sucesores admitidos es, respectivamente: 10, 15, 10. Se enlistan
u
de manera expl´
ıcita en el Cuadro 2.1.

14

Cap´

y
0

N
10

Simetr´
ıas
◦ (5 + .4)

e

.4

e

.4

◦ (5 + .2)

2

15

e

.3

◦ (1 + .3)

3

10

e
e

.4

◦ (5 + .4)
◦ (5 + .2)

.4

Sucesores admisibles
{1, 4} + .{0, 3}
{2, 5} + .{0, 2}
{0, 3} + .2
{2, 5} + .{0, 3}
{1, 4} + .{0, 2}
{0, 3} + .2
Z6 + .{0, 3}
z + .2, z impar
ver y = 0
ver y = 0

Cuadro 2.1: Sucesores admisibles para la dicotom´ {0, 2, 3}.
ıa

Cap´
ıtulo 3

Cuasipolaridades y
dicotom´ de intervalos
ıas
Como vimos en el cap´
ıtulo anterior, los desarreglos afines involutivos son
importantes pues son las polaridades de las dicotom´ fuertes en P iM od2k,p . En
ıas
este cap´
ıtulo los caracterizaremos para futuras referencias. Vale decir aqu´ que
ı
|GL(Zn )| = ϕ(n)
−
→
donde ϕ es la funciń totalizadora de Euler. Por lo tanto, |GL(Zn )| = nϕ(n).
o

3.1.

Consideraciones previas

−
→
Sea g = eu ◦ v ∈ GL(Zn ). La funciń g es una involuciń af´ si, y s´lo si,
o
o
ın
o
v 2 = 1,

(3.1)

u(v + 1) = 0.

(3.2)

Sea n = 2α pα1 · · · pα la descomposiciń en primos de n. En [Vin71] se deo
1
muestra que el n´mero de soluciones Q de (3.1) es
u
Q=

2,
2 +1 ,

α = 0, 1,
α ≥ 2,

y se pueden determinar resolviendo expl´
ıcita y simultńeamente
a
v≡1

(m´d 2[α>0] a),
o

v ≡ −1

(m´d 2[α>0] b)
o

para todas las maneras de escribir n = 2α ab. Aqu´ [P ] es el corchete de Iverson.
ı
Para que g sea un desarreglo, es necesario y suficiente que la ecuaciń
o
(v − 1)x = −u
15

(3.3)

16

Cap´
ıtulo 3. Cuasipolaridades y dicotom´ de intervalos
ıas

no tenga soluciones. En adelante ν ser´ un representante de la clase de v y
a
σ(ν, n) = mcd(ν − 1, n),

τ (ν, n) = mcd(ν + 1, n);

los valores de u que satisfacen (3.2) son m´ltiplos de
u
u0 =

n
.
τ (ν, n)

Lema 3.1. Sea v ∈ GL(Zn ) una involuciń. Entonces
o
u0 =

n
σ(ν, n),
τ (ν, n)

donde ν es un representante de la clase v.
Demostraciń. Existen enteros a, b, c, d tales que
o
σ(ν, n) = a(ν − 1) + nb,

τ (ν, n) = c(ν − 1) + nd.

Tenemos el producto
σ(ν, n)τ (ν, n) = ac(ν 2 − 1) + n((ad + bc)(ν − 1) + nbd).
Puesto que v 2 − 1 = 0, existe un entero m tal que ν 2 − 1 = nm, por lo tanto
σ(ν, n)τ (ν, n) = n(acm + (ad + bc)(ν − 1) + nbd)
y el resultado es inmediato.

3.2.

Caracterizaciń de las cuasipolaridades
o

Definiciń 3.2. Una cuasipolaridad es un desarreglo involutivo af´
o
ın.
La ecuaciń (3.3) no se satisface si, y s´lo si, σ(ν, n) = mcd(ν − 1, n) no
o
o
divide a −u (o, equivalentemente, no divide a u). Vale mencionar aqu´ que,
ı
al ocuparnos de una involuciń, n no puede ser impar pues toda involuciń
o
o
actuando sobre un conjunto de cardinalidad impar tiene un punto fijo. Por lo
tanto, en adelante tomaremos n = 2k.
Por el algoritmo de la divisiń, u debe ser un m´ltiplo de u0 de la forma
o
u
u = σ(ν, 2k)q + r,

0 < r < σ(ν, 2k), q ∈ Z

(3.4)

De esto y el Lema 3.1 deducimos que r tambiń debe ser un m´ltiplo de u0 .
e
u
Es claro que u0 ≤ σ(ν, 2k).
Proposiciń 3.3. Si u0 =
o
como su parte lineal.

2k
τ (ν,2k)

= σ(ν, 2k), no hay cuasipolaridades con v

Demostraciń. Pues si u0 = σ(ν, 2k), entonces σ(ν, 2k)u.
o

3.2. Caracterizaciń de las cuasipolaridades
o

17

−
→
Teorema 3.4. La transformaciń af´ g = eu ◦ v ∈ GL(Z2k ) es una cuasipolao
ın
ridad si, y s´lo si, se cumple lo siguiente:
o
1. la parte lineal v es involutiva,
2k
2. se satisface que u0 = τ (ν,2k) < σ(ν, 2k) (de hecho, σ(ν, 2k) = 2u0 ),
3. se satisface que u es de la forma (3.4) con r = u0 .
Si k es impar, el segunda condiciń se puede omitir.
o
Demostraciń. Supńgase que eu ◦v es una cuasipolaridad. Entonces se cumplen
o
o
las ecuaciones (3.1) y (3.2) y (3.3) no tiene soluciones. En consecuencia, u es un
m´ltiplo de u0 . El entero u garantiza que (3.3) no tiene soluciones si, y s´lo si,
u
o
es de la forma (3.4). Esto sucede si, y s´lo si, u0 < σ(ν, 2k). Esta desigualdad
o
es suficiente porque u0 divide a σ(ν, 2k) y por la Proposiciń 3.3; es necesaria
o
porque u0 divide a r y por lo tanto u0 ≤ r < σ(ν, 2k).
−
→
Rec´
ıprocamente, dado g = eu ◦ v ∈ GL(Z2k ) con v involutivo, supongamos
que u es de la forma (3.4). Por el Lema 3.1, u es un m´ltiplo de u0 , por lo que
u
es una soluciń de (3.2). Tambiń garantiza que (3.3) no tiene soluciones pues
o
e
u0 < σ(ν, 2k). En conclusiń, g es una cuasipolaridad.
o
Demostramos enseguida que u0 < σ(ν, 2k) es verdadero cuando k es impar.
Sean λ y µ tales que
ν − 1 = 2λ, ν + 1 = 2µ.
(3.5)
N´tese que λ y µ son coprimos pues
o
µ−λ=

ν+1 ν−1
−
=1
2
2

y entonces mcd(λ, µ)1, por lo que mcd(λ, µ) = 1.
Tenemos ahora
2km = ν 2 − 1 = 4λµ
as´ que
ı
km = 2λµ,
por lo que 2 divide a m (de lo contrario, km es impar, lo que es contradictorio). Se
k
sigue que λµ es un m´ltiplo de k. Puesto que λ ⊥ µ, entonces mcd(λ, µ) mcd(µ,k)
u
k
Afirmamos que mcd(µ,k) divide tambiń a mcd(λ, µ). Efectivamente, existen ene
teros a, b, c, d tales que
φ = mcd(λ, k) = aλ + bk,

ψ = mcd(µ, k) = cµ + dk.

La afirmaciń se sigue del examen del producto
o
φψ = acλµ + adλk + bckµ + k 2 bd
= kac m + kadλ + kbcµ + k 2 bd
2
= k(ac m + adλ + bcµ + kbd).
2

(3.6)

18

Cap´
ıas

De lo anterior concluimos que
σ(ν, 2k) = 2 mcd(λ, k) = 2

k
2k
=2
= 2u0
mcd(µ, k)
τ (ν, 2k)

y se sigue inmediatamente que u0 < σ(ν, 2k).
Resta demostrar que cuando u0 < σ(ν, 2k) entonces σ(ν, 2k) = 2u0 si k
k
es par. Por la discusiń previa sabemos que φψ es un entero no nulo y, por
o
hip´tesis,
o
k
4k
2k
=
=2
< 2.
φψ
(2φ)(2ψ)
σ(ν, 2k)τ (ν, 2k)
k
lo que implica que φψ = 1. Por ello, tanto si k es par como si no, tenemos que
r = u0 en (3.4) si, y s´lo si, g es una cuasipolaridad.
o

Escolio 3.5. Obs´rvese que el Lema 2.5 es un corolario directo del Teorema 3.4
e
tomando v = −1, pues
σ(ν, 2k) = mcd(−2, 2k) = 2,
Entonces
u0 =

τ (ν, 2k) = mcd(0, 2k) = 2k.

2k
2k
=
=1
τ (ν, 2k)
2k

y por lo tanto todos los enteros de la forma
u = σ(ν, 2k)q + u0 = 2q + 1
(es decir, todos los enteros impares) son tales que eu ◦ −1 es una cuasipolaridad.
Proposiciń 3.6. El grupo de isotrop´ de una cuasipolaridad g = eu ◦v bajo la
o
ıa
acciń de conjugaciń tiene cardinalidad σ(ν, 2k)ϕ(2k). Equivalentemente, hay
o
o
2k
exactamente σ(ν,2k) elementos en la ´rbita de g bajo la acciń de conjugaciń.
o
o
o
−
→
Demostraciń. Sea h = et ◦ s ∈ GL(Z2k ). Tenemos
o
−1

g = h ◦ g ◦ h−1 = (et ◦ s) ◦ (eu ◦ v) ◦ (e−s

t

◦ s−1 ) = et(1−v)+su ◦ v.

(3.7)

Los elementos del estabilizador de g son aquellos cuyos par´metros satisfacen
a
la ecuaciń
o
t(1 − v) = u(1 − s),
que tiene soluciń para cada s ∈ GL(Z2k ) fijo pues
o
σ(ν, 2k) = mcd(1 − ν, 2k)u(1 − s).
dado que 1 − s es par.
M´s ań, tiene exactamente σ(ν, 2k) soluciones diferentes. Dado que esto
a u
ocurre para cada s ∈ GL(Z2k ), la cardinalidad del grupo de isotrop´ de g es
ıa
−
→
|GL(Z2k )g | = σ(ν, 2k)ϕ(2k).

3.3. C´lculo de dicotom´ fuertes
a
ıas

19

Esto quiere decir que cada ´rbita consta de
o
−
→
|GL(Z2k )|
2k
=
σ(ν, 2k)ϕ(2k)
σ(ν, 2k)
elementos.
−
→
Corolario 3.7. El grupo GL(Z2k ) actá transitivamente (por conjugaciń) sou
o
bre el conjunto de todas las cuasipolaridades con parte lineal fija v.
2k
o
o
Demostraciń. Pues (3.4) puede tomar σ(ν,2k) valores m´dulo 2k, y la ´rbita de
o
u
cada cuasipolaridad e ◦ v tiene ese mismo n´mero de elementos.
u

3.3.

C´lculo de dicotom´ fuertes
a
ıas

Dada una dicotom´ autocomplementaria de intervalos (X/Y ) en P iM od2k
ıa
−
→
y p es alguna de sus polaridades, entonces cualquier gX ∈ GL(Z2k )X tambiń
e
es autocomplementaria y una de sus polaridades es g ◦ p ◦ g −1 . En efecto,
(g ◦ p ◦ g −1 )(gX) = (g ◦ p)(X) = gY.
Cuando X es fuerte, tambiń gX es fuerte: si h es uno de sus automorfismos
e
entonces g −1 ◦ h ◦ g ser´ un automorfismo de X, luego g −1 ◦ h ◦ g = id y en
ıa
consecuencia h = id.
Ahora bien, por el Teorema 3.4 y la demostraciń de la Proposiciń 3.6, la
o
o
o
´rbita bajo la acciń de conjugaciń de las cuasipolaridades est´ determinada
o
o
a
por su parte lineal. Es decir, las ´rbitas de las cuasipolaridades f1 = eu1 ◦ v1 y
o
o
f2 = eu2 ◦ v2 coinciden si, y s´lo si, v1 = v2 .
Consideremos la descomposiciń en transposiciones de la cuasipolaridad p
o
x1

p(x1 )

x2

p(x2 ) · · · xk

p(xk )

de modo que podemos definir C = {xi }k tal que (C/p(C)) es una dicotom´
ıa
i=1
autocomplementaria de intervalos. Afirmamos que las dicotom´ marcadas de
ıas
intervalos autocomplementarias (cuyo conjunto denotaremos con Ap ) estń en
a
biyecciń con los subconjuntos de C.
o
Ciertamente: a la dicotom´ autocomplementaria de intervalos (X/Y ) con
ıa
polaridad p le asociamos un subconjunto X ∩ C mediante la funciń
o
κp,C : Ap → ℘(C),
X → X ∩ C,
y a cualquier subconjunto de D ⊆ C le asignamos una dicotom´ de intervalos
ıa
autocomplementaria definiendo
θp,C : ℘(C) → Ap ,
D → D ∪ p(C D).

20

Cap´
ıas

2k
ND

2k
2 4 6 8
ND 1 0 1 1
2k
18 20
22
24
ND 40 90 105 359
34
36
38
40
4305 17826 15267 48549

10 12 14 16
3
6
9
15
26
28
30
32
355 1092 3007 2152
42
44
46
130839 170820 198753

48
780645

Cuadro 3.1: N´mero de dicotom´ fuertes para 2 ≤ 2k ≤ 48.
u
ıas
Estas dos aplicaciones son inversas una de la otra pues ℘(C) es un conjunto
finito y
κp,C ◦ θp,C (D) = κp,C (D ∪ p(C D))
= (D ∪ p(C D)) ∩ C
= (D ∩ C) ∪ (p(C D) ∩ C) = D,
pues p(C D) ⊆ p(C) = C.
−
→
Escolio 3.8. El grupo GL(Z2k )p actá sobre las dicotom´ autocomplemenu
ıas
−
→
tarias con polaridad p. Pues si para h ∈ GL(Z2k )p , una dicotom´ autocompleıa
mentaria (C/p(C)) y D ⊂ C tenemos h(x) ∈ h(θp,C (D)) y tambiń p ◦ h(x) ∈
e
h(θp,C (D)), entonces
h−1 ◦ h(x) = x ∈ θp,C (D)

y

h−1 ◦ p ◦ h(x) = p(x) ∈ θp,C (D)

lo que contradice el hecho de que (C/p(C)) es autocomplementaria.
En vista de lo anterior, podemos encontrar las dicotom´ fuertes de inıas
tervalos calculando, para cada subconjunto D ∈ ℘C, el grupo de isotrop´ de
ıa
la dicotom´ marcada θ(D) y descartando aquellas θ(D) que no sean r´
ıa
ıgidas.
Adem´s, si se examina a un D en particular, no es necesario examinar a C D
a
pues θ(C D) = p(D), lo que significa que C D est´ en la ´rbita de D.
a
o
Para lo que sigue, definimos la biyecciń
o
ω : ℘C → {0, 1, . . . , 2k },
k

χD (xi )2i−1

D→
i=1

donde C = {xi }k es una dicotom´ autocomplementaria en P iM od2k y χD
ıa
i=1
es la funciń caracter´
o
ıstica del conjunto D. N´tese que ω( D) = 2k−1 − ω(D),
o
k−1
as´ que {ω −1 (i)}2 −1 consiste en todos los subconjuntos de C que no son
ı
i=0
complementarios entre s´ Podemos describir ahora el algoritmo “inocente” para
ı.
calcular las clases marcadas de dicotom´ fuertes.
ıas
−
→
→
Algoritmo 3.9. Consideramos GL(Z2k ) = {g1 = e0 ◦ 1, g2 , . . . , g|−
}.
GL(Z )|
2k

3.3. C´lculo de dicotom´ fuertes
a
ıas

21

Entrada: Una cuasipolaridad p en P iM od2k .
Salida: El conjunto F de los representantes de las clases de dicotom´ fuertes
ıas
con polaridad p.
1: C ← ∅, F ← ∅.
2: para todo x ∈ Z2k hacer
3:
si x, p(x) ∈ C entonces
/
4:
C ← C ∪ {x}.
5: para 0 ≤ i < 2k−1 hacer
6:
b ← 1, X ← θ(ω −1 (i)), ← 2.
−
→
7:
mientras ≤ |GL(Z2k )| y b = 0 hacer
8:
si g X = X o g X ∈ F entonces
9:
b←0
10:
← + 1.
11:
si b = 0 entonces
12:
F ← F ∪ {X}.
En el Cuadro 3.1 se ve cuńtas clases de dicotom´ fuertes hay para P iM od2k ,
a
ıas
2 ≤ 2k ≤ 42, calculadas utilizando el Algoritmo 3.9.
De lo anterior podemos sacar en conclusiń que el n´mero ND de dicotom´
o
u
ıas
fuertes en P iM od2k no es mayor que el n´mero de involuciones en GL(Z2k )
u
multiplicado por la m´
ınima cantidad de ´rbitas que determinan los θ(D) para
o
cada D ⊆ C de la dicotom´ (C/p(C)). Dada la cuasipolaridad p = eu ◦ v, por
ıa
−
→
la Proposiciń 3.6 el subgrupo de GL(Z2k ) que actá sobre los subconjuntos de
o
u
C tiene cardinalidad
σ(ν, 2k)ϕ(2k) ≥ 2ϕ(2k),
donde la desigualdad resulta de considerar la polaridad e1 ◦ −1 y la dicotom´
ıa
fuerte de la Proposicion 2.6.
Para concluir este cap´
ıtulo, damos una cota superior para el n´mero de clases
u
de dicotom´ fuertes en P iM od2k .
ıa
Para una involuciń dada v ∈ GL(Z2k ) tal que existe una cuasipolaridad
o
p = eu ◦ v, sea (C/p(C)) una dicotom´ autocomplementaria. Llamaremos a
ıa
una dicotom´ θ(D) para D ⊆ C relativamente fuerte respecto a la acciń de
ıa
o
−
→
−
→
GL(Z2k )p si para cualquier h ∈ GL(Z2k )p distinto de la identidad, tenemos
h(θ(D)) = θ(D).
−
→
Por la Proposiciń 3.6, el subgrupo de GL(Z2k ) que actá sobre los subcono
u
juntos de C tiene cardinalidad
σ(ν, 2k)ϕ(2k) ≥ 2ϕ(2k),
donde la desigualdad resulta de considerar la polaridad e1 ◦ −1 y la dicotom´
ıa
fuerte de la Proposiciń 2.6. Por lo tanto, el n´mero Np de dicotom´ relativao
u
ıas
mente fuertes para una p fija est´ acotado por
a
2k
2k
2k−1
|℘C|
=
≤
≤
.
Np ≤ −
→
σ(ν, 2k)ϕ(2k)
2ϕ(2k)
ϕ(2k)
|GL(Z2k )p |

22

Cap´
ıas

Las dicotom´ fuertes con polaridad p siempre son dicotom´ relativamente
ıas
ıas
fuertes, as´ que el n´mero de clases de dicotom´ fuertes debe estar acotado por
ı
u
ıas
2k
el n´mero de clases de dicotom´ relativamente fuertes. Puesto que hay σ(ν,2k)
u
ıas
conjugados de p, el n´mero total de clases de dicotom´ relativamente fuertes
u
ıas
es a lo m´s
a
Nh−1 ◦p◦h ≤
−
→
h∈GL(Z2k )

2k
2k−1
k2k−1
·
≤
.
σ(ν, 2k) ϕ(2k)
ϕ(2k)

Para el n´mero ND de clases de dicotom´ fuertes de P iM od2k tenemos
u
ıa
ND ≤ |GL(Z2k )| ·

k2k−1
k2k−1
= ϕ(2k) ·
= k2k
ϕ(2k)
ϕ(2k)

ya que el n´mero de involuciones de Z2k es, evidentemente, a lo m´s |GL(Z2k )|.
u
a

Cap´
ıtulo 4

Torres de contrapunto
El prop´sito de este cap´
o
ıtulo es introducir la nociń de torre de contrapunto,
o
que surge del embebimiento progresivo de una instancia microtonal en otra
al subdividir (y, a veces, transponer) tonos. Demostraremos que existen torres
infinitas de contrapunto, y que una en particular contiene una instancia isomorfa
a la dicotom´ cl´sica de consonancias y disonancias. Tambiń se prueba que
ıa a
e
hay torres infinitas cuyo l´
ımite es denso en la octava, y su polaridad puede
extenderse continuamente en la topolog´ estńdar de S 1 .
ıa
a

4.1.

La categor´ de dicotom´ fuertes
ıa
ıas

Sean ∆1 = (X1 /Y1 ) y ∆2 = (X2 /Y2 ) dos dicotom´ marcadas fuertes en
ıas
espacios ambientes P iM od2k1 y P iM od2k2 , respectivamente. Un morfismo entre
estas dicotom´ es un morfismo de m´dulos φ : Z2k1 → Z2k2 tal que
ıas
o
φ(X1 ) ⊆ X2 , φ(Y1 ) ⊆ Y2
y el siguiente cuadrado conmuta
φ

Z2k1 − − → Z2k2
−−


p∆
p∆ 
1

2

φ

Z2k1 − − → Z2k2
−−
donde p∆1 y p∆2 son sendas polaridades de ∆1 y ∆2 . Definidos de esta manera, los morfismos entre dicotom´ fuertes se convierte en una categor´ que
ıas
ıa
denotaremos con DF.
Estamos particularmente interesados en los morfismos de dicotom´ donde
ıas
φ : Zk → Z2k : x → 2x
es la inyecciń canńica, y m´s espec´
o
o
a
ıficamente en las dicotom´ donde k = 2n ·3
ıas
para n ≥ 0. Para demostrar que existen, demostraremos primero que existen
ciertas cuasipolaridades en sus espacios subyacentes.
23

24

Cap´
ıtulo 4. Torres de contrapunto

Proposiciń 4.1. El morfismo af´
o
ın
n−1

e2

−
→
+ 1) ∈ GL(Z2n ·3 )

n
2

◦ (4

es una cuasipolaridad.
Demostraciń. Empezamos definiendo v = 4
o
v 2 = 42

n
2

4

n
2

2

n
2

=2
=2
≡1
dado que 22

n
2

−1

n
2

+2·4
+2
+1

2
2

(2

n
2

n
2

+ 1 y observando que

+1

+1

+1

−1

+ 1) + 1

n
2

n

m´d 3 · 2
o
n
2

≡ 2 m´d 3 y 2
o

+ 1 > n. Ahora sean

σ = mcd(v − 1, 3 · 2n )
= mcd(4

n
2

, 3 · 2n )

= 2n ,
τ = mcd(v + 1, 3 · 2n )
= mcd(4

n
2

+ 2, 3 · 2n )

= mcd(2(22

n
2
n
2

= 2 mcd(22

−1
−1

+ 1), 3 · 2n )
+ 1, 3 · 2n−1 )

= 3 · 2.
Entonces

3 · 2n
3 · 2n
=
= 2n−1 < σ = 2n .
τ
3·2
Por el criterio del Teorema 3.4, tenemos que
u=

n−1

eu ◦ v = e2

◦ (4

n
2

+ 1)

es una cuasipolaridad.
Proposiciń 4.2. El cuadrado
o
2

n−1

e2

n
2

◦(4

Z3·2n − − → Z3·2n+1
−−



 2n

+1)

e

◦(4

n+1
2

+1)

Z3·2n − − → Z3·2n+1
−−
2

es conmutativo.
Demostraciń. Por un lado tenemos
o
n−1

2 ◦ e2

◦ (4

n
2

n

+ 1) = e2 ◦ (2 · 4
n

= e2 ◦ (22

n
2

n
2

)

+1

)

4.2. Torres de contrapunto

25

mientras que por el otro
n

e2 ◦ (4

n
2

n

+ 1) ◦ 2 = e2 ◦ (2 · 4
=e

Los n´meros 2
u
tenemos

n+1
2

+1 y 2
n+1
2

n
2

2n

◦ (2

2

n+1
2

n+1
2

)

+1

).

+ 1 difieren por 0 o por 2. En el ultimo caso
´

− 22

n
2

+1

n
2

+1

n
2

+1

≡0

+1

= 22
= 22

22

m´d 3 · 2n+1 .
o

(22 − 1)
·3

En consecuencia, el cuadrado conmuta.

4.2.

Torres de contrapunto

El resultado principal de esta secciń se refiere a la existencia de un sistema
o
dirigido infinito de dicotom´ fuertes muy especial. Para poder construirlos,
ıas
necesitamos primero el siguiente resultado.
Lema 4.3. Sea n un entero par y (Xn /Yn ) una dicotom´ fuerte en P iM odn con
ıa
−
→
polaridad pn ∈ GL(Zn ). Para cualquier conjugado p de pn existe una dicotom´
ıa
autocomplementaria (V / V ) con funciń de autocomplementariedad p tal que
o
ni pertence a la ´rbita Xn ni es invariante bajo el morfismo antipodal
o
en/2 : Zn → Zn ,
x → x + n/2.
Demostraciń. Empezamos con las desigualdades
o
n

nϕ(n) < n2 ≤
n

nϕ(n) < 2 2 ,
n
4

22,
n > 15,
n
2 4 − 1, n > 43,
n = 12, 14,

nϕ(n) < 2 − 1,

n = 36, 40.

La ´rbita de Xn tiene nϕ(n) elementos, mientras que el n´mero de dicoo
u
n
tom´ autocomplementarias con funciń de autocomplementariedad p es 2 2 .
ıas
o
As´ es seguro que para n > 12 existe al menos una dicotom´ V que no pertenece
ı
ıa
a la ´rbita de Xn y p (V ) = V .
o
Ahora demostraremos que al menos una de esas V no es invariante bajo la
acciń del morfismo antipodal. Consid´rese el grafo H cuyos v´rtices son Zn
o
e
e
n
e
y sus aristas son {x, e 2 (x)}. Colorénse las aristas de H con negro si sus dos
v´rtices pertenecen a V , con blanco si sus dos v´rtices no pertenecen a V y con
e
e

26

Cap´

V
V
V
gris de otro modo. Den´tense con NB , NW , NG el n´mero de aristas negras,
o
u
blancas y grises definidas por V . N´tese que (o váse [Igl81])
o
e
V
V
V
V
2NB + NG = 2NW + NG =

n
2

V
V
y de aqu´ que NB = NW .
ı
n
V
V
o
ı
Si 2 es impar, la ecuaciń anterior implica que NG es impar, as´ que NG ≥ 1.
Por lo tanto, al menos un elemento de V es enviado al complemento de V bajo
la aplicaciń antipodal.
o
V
V
Si n es par, entonces NG es par. Supongamos que NG = 0 y que en conse2
n
V
V
cuencia NW = NB = 4 .
Para encontrar una biyecciń f entre las aristas negras y blancas, aãdimos
o
n
primero a H las aristas {x, p (x)} para obtener H . Ninguna de estas aristas
estaba ya en H, pues no ten´ aristas grises. Todos los v´rtices de H son de
ıa
e
grado 2, pues cualquier v´rtice tiene como vecinos exactamente un v´rtice de
e
e
su mismo color (definido por la aplicaciń antipodal) y exactamente uno de su
o
color opuesto (definido por p ) y no tiene lazos (pues tanto p como la aplicaciń
o
antipodal son involuciones y no tienen puntos fijos). Por lo tanto, H es euleriano, as´ que puede descomponerse en k ciclos. Tales ciclos son disjuntos en los
ı
v´rtices, pues de otro modo algń v´rtice de H tendr´ grado mayor que 2.
e
u e
ıa
En cada ciclo, no hay dos aristas del mismo color que sean adyacentes, pues
cada una de ellas est´ definida por la funciń antipodal. Tampoco puede ser que
a
o
aristas del mismo color estń conectadas por una arista de la forma {x, p (x)},
e
pues esto significa que x y p (x) pertenecer´ o bien ambos a V o bien ambos
ıan
a V , una imposibilidad por la definiciń misma de p . De esto deducimos que
o
en cada ciclo las aristas blancas y negras alternan y son iguales en n´mero.
u
Ahora dotemos a cada ciclo de una orientaciń arbitraria pero fija, y ordeo
nemos linealmente sus aristas blancas y negras acorde con dicha orientaciń.
o
Hag´moslo de modo que el ´
a
ınfimo de cada ordenamiento sea una arista negra
cuyo v´rtice tenga el representante m´s pequeõ. As´ para el j-´simo ciclo que
e
a
n
ı,
e
tiene rj aristas negras resulta

b1,j < w1,j < b2,j < w2,j < · · · < brj ,j < wrj ,j .
Definamos f segń f (bi,j ) = wi,j . As´ definida, f es una biyecciń, porque
u
ı
o
cada arista negra pertenece a exactamente un ciclo y su sucesor en el ordenamiento correspondiente es blanco y un´
ıvocamente determinado. Obs´rvese que
e
la arista bi,j tiene un v´rtice x tal que p (x) est´ en f (bi,j ), por lo que si ree
a
emplazamos a x por p (x) entonces obtenemos una nueva dicotom´ V tal que
ıa
V
NG = 2.
Puesto que inicialmente existen n aristas negras, podemos construir al menos
4
n
2 4 − 1 dicotom´ autocomplementarias diferentes distintas de V que definen al
ıas
menos dos aristas grises (usando todos los subconjuntos de las aristas negras).
As´ para n > 35, existe al menos una de ellas fuera de la ´rbita de Xn .
ı,
o
Los casos n = 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 28, 32 no estń cubiertos por el razonaa
miento anterior, pero tenemos las siguientes dicotom´
ıas:
P iM od6

V = {1, 2, 3} + k, p = e2k+1 ◦ 5,


P iM od8

27

V = {1, 2, 3, 4} + k, p = e2k+1 ◦ 7,

P iM od10

V = {1, 2, 3, 4, 5} + k, p = e2k+1 ◦ 9,

P iM od12

V = {2, 4, 5, 6, 7, 9} + 2k, p = e4k+2 ◦ 5,

P iM od12

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} + k, p = e2k+1 ◦ 11,

P iM od16

V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, p = e8 ◦ 1,

P iM od16

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} + k, p = e2k+1 ◦ 15.

P iM od20

{0, 1, 2, 4, 9, 13, 15, 16, 17, 18}, p = e10 ◦ 1.

P iM od20

{0, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 19} + 2k, p = e2+4k ◦ 9.

P iM od20

{0, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 19} + 5k, p = e5+10k ◦ 11.

P iM od20

{1, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19} + k, p = e1+2k ◦ 19.

P iM od24 {0, 1, 2, 4, 9, 10, 11, 15, 17, 18, 19, 20},
p = e12 ◦ 1.
P iM od24 {0, 1, 4, 5, 8, 9, 12, 16, 17, 20, 21, 22} + 3k,
p = e3+6k ◦ 7.
P iM od24 {0, 1, 2, 3, 5, 6, 911, 12, 15, 20, 22} + 4k,
p = e4+8k ◦ 17.
P iM od24 {0, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 16, 22, 23} + k,
p = e1+2k ◦ 23.
P iM od28 {0, 2, 4, 5, 7, 10, 12, 15, 17, 20, 22, 23, 25, 27},
p = e14 ◦ 1.
P iM od28 {1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 25, 26, 27} + 2k,
p = e2+4k ◦ 13.
P iM od28 {0, 1, 2, 5, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 27} + 7k,
p = e7 ◦ 15 + 14k.
P iM od28 {2, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 19, 21, 22, 26} + k,
p = e1+2k ◦ 27.
P iM od32 {0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 21, 27, 29, 30, 31},
p = e16 ◦ 1.
P iM od32
e1+2k ◦ 31.

{0, 2, 7, 8, 9, 10, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 27, 28, 29, 30} + k, p =

Todas ellas no son fuertes ni invariantes bajo su respectiva aplicaci´n antio
podal.

28

Cap´

V
Otra demostraciń. Para el caso NG = 0, hay otro argumento para establecer
o
la funciń biyectiva entre el conjunto B = {b1 , . . . , b n } de aristas negras y el
o
4
conjunto W = {w1 , . . . , w n } de aristas blancas. Sea H el grafo con v´rtices
e
4
B ∪ W y aristas definidas por

e = {x, y} ∈ H ⇐⇒ p (x) ∩ y = ∅.
Todos los vertices de H son de grado 1 or 2, pues para una arista x en H
tenemos que p (x) intersecta a una o dos aristas de H. Esto sucede porque cada
v´rtice de H pertenece a alguna arista de H y ´stas son disjuntas dos a dos
e
e
(pues la aplicaciń antipodal es una involuciń).
o
o
Sea H el subgrafo de H generado por los v´rtices de grado 2 y F el sugrafo
e
de H generado por los v´rtices de grado 1. Ninguna arista de H cruza de H
e
a F , pues si un v´rtice y de F es adyacente a un v´rtice x de H , entonces o
e
e
bien p (x) = y o bien p (y) = x y la involutividad de p implica que x ∈ F .
Por un teorema de teor´ de grafos (váse [Die05, p. 37]), H tiene un 1ıa
e
factor F , i. e., un subgrafo generador 1-regular. Claramente, F es un 1-factor
de s´ mismo, por lo tanto F ∪ F es un 1-factor de H .
ı
Ahora podemos definir la biyecciń f enviando bi a su vecino en F ∪ F . Por
o
la construcciń de H , al menos un v´rtice x de bi es enviado por p al v´rtice
o
e
e
p (x) ∈ f (bi ). Reemplazando a x por p (x) en la dicotom´ V obtenemos una
ıa
V
dicotom´ V que induce una nueva coloraciń en H tal que NG = 2. El resto
ıa
o
de la demostraciń continá como antes.
o
u
Lema 4.4. Sea n un n´mero par. Supńgase que existen cuasipolaridades pn =
u
o
eu ◦ v y p2n = er ◦ w tales que el cuadrado
2

Zn − − → Z2n
−−



p2n
pn
Zn − − → Z2n
−−
2

conmuta. Entonces p = eu+

w−1
2

◦ v es una cuasipolaridad en Zn .

Demostraciń. Usando el Teorema 3.4, sabemos que
o
n
,
mcd(v + 1, n)
2n
r = mcd(w − 1, 2n)q +
,
mcd(w + 1, 2n)

u = mcd(v − 1, n)q +

n
= mcd(v − 1, n),
mcd(v + 1, n)
2n
2
= mcd(w − 1, 2n).
mcd(w + 1, 2n)
2


29

Obs´rvese que debido a la hip´tesis de conmutatividad, r ≡ 2u (m´d 2n) y
e
o
o
v − w = kn para alg´n entero k, as´ que
u
ı
mcd(v ± 1, n) = mcd(v − kn ± 1, n) = mcd(w ± 1, n).
Si 2 mcd(w + 1, n) = mcd(w + 1, 2n) entonces
2n
mcd(w + 1, 2n)
n
=2
mcd(w + 1, n)
n
=2
mcd(v + 1, n)
= mcd(v − 1, n) = mcd(w − 1, n).

mcd(w − 1, 2n) = 2

Tambi´n
e
2n
mcd(w + 1, 2n)
n
= mcd(w − 1, n)q +
mcd(w + 1, n)
n
= mcd(v − 1, n)q +
,
mcd(v + 1, n)

2u = r = mcd(w − 1, 2n)q +

por lo que u = mcd(v − 1, n)(q − q ), lo que implica que mcd(v − 1, n)u. Pero
esto es imposible por el Teorema 3.4.
Si mcd(v + 1, n) = mcd(w + 1, n) = mcd(w + 1, 2n), entonces
mcd(v − 1, n) = 2

n
2n
2n
=
=
mcd(v + 1, n)
mcd(w + 1, n)
mcd(w + 1, 2n)

y
2n
mcd(w + 1, 2n)
= mcd(w − 1, 2n)q + mcd(v − 1, n)

r = mcd(w − 1, 2n)q +

= mcd(w − 1, 2n)q + mcd(w − 1, n)
Tampoco es posible que mcd(w − 1, 2n) = mcd(w − 1, n), pues la igualdad
anterior implica que mcd(w − 1, 2n)r, lo que nuevamente es una imposibilidad
por el Teorema 3.4.
La unica posibilidad v´lida que queda es
´
a
mcd(w − 1, 2n) = 2 mcd(w − 1, n) = 2 mcd(v − 1, n)
lo que implica inmediatamente que mcd( w−1 , n) = mcd(v − 1, n) y
2
mcd(v − 1, n)

w−1
2

.

30

Cap´

w−1

En consecuencia eu+ 2 ◦ v es una cuasipolaridad, pues
1, n) para algń entero m y
u
u+

w−1
2

= m mcd(v −

n
w−1
= mcd(v − 1, n)(q + m) +
,
2
mcd(v + 1, n)

una parte af´ v´lida para una cuasipolaridad segń el Teorema 3.4.
ın a
u
Teorema 4.5. Sea n un n´mero par. Si existe una dicotom´ fuerte (Xn /Yn )
u
ıa
con polaridad pn = eu ◦ v y el cuadrado
2

Zn − − → Z2n
−−


p2n

pn
Zn − − → Z2n
−−
2

conmuta con p2n = e2u ◦ w, entonces existe una dicotom´ fuerte (X2n /Y2n ) con
ıa
polaridad p2n tal que 2 es un morfismo de dicotom´ i. e. el cuadrado
ıas,
2

Xn − − → X2n
−−



p2n
pn
Yn − − → Y2n
−−
2

conmuta.
Demostraciń. Por los dos previos lemas, sabemos que existe una dicotom´
o
ıa
autocomplementaria V en Zn con funciń autocomplementaria pn = e(w−1)/2 ◦
o
pn = eu+(w−1)/2 ◦ v que no pertenece a la ´rbita de Xn ni es invariante bajo la
o
n
o
aplicaciń antipodal e 2 . La hip´tesis de conmutatividad implica que
o
p2n (2V + 1) = p2n (2V ) + w = 2pn (V ) + w = 2pn (V ) + 1.
Definamos X2n = (2Xn ) ∪ (2V + 1) y notemos que p2n (X2n ) = X2n . Supongamos que e2b ◦ s es una simetr´ no trivial de X2n . Si 2q ∈ 2Xn , entonces
ıa
e2b ◦ s(2q) = 2sq + 2b = 2(sq + b) ∈ 2Xn
lo que implica que eb ◦ s es una simetr´ de Xn . Por lo tanto, s = 1 + n y b = n.
ıa
As´ 2b = 0 y para cualquier 2q + 1 ∈ 2V + 1 tenemos que
ı,
e2b ◦ s(2q + 1) = e0 ◦ (1 + n)(2q + 1)
= 2q + 2qn + 1 + n ≡ 2q + 1 + n

(m´d 2n),
o

por lo que 2q + 1 + n ∈ 2V + 1 y q + n ∈ V . Esto no puede ser, pues V no es
2
invariante bajo la aplicaciń antipodal.
o

4.3. Consonancias y disonancias densas

31

Las simetr´ restantes son de la forma e2b+1 ◦s. Entonces para 2q+1 ∈ 2V +1
ıas
e2b+1 ◦ s(2q + 1) = 2sq + s + 2b + 1
= 2 sq + b +

s+1
2

lo cual tambiń es imposible, porque entonces eb+
e
tradice que V no est´ en la ´rbita de Xn .
a
o

s+1
2

∈ 2Xn
◦ s(V ) = Xn y esto con-

Teorema 4.6. Existe una sucesiń infinita de dicotom´ fuertes {∆2n ·3 }∞
o
ıas
n=1
(con ∆2n ·3 en P iM od2n ·3 ) e inyecciones canńicas
o
∆6

∆12

∆24

···

∆2n ·3

···

(4.1)

con sendas polaridades
n−1

pn = e2

◦ (4

n
2

+ 1)

(4.2)

En particular, ∆12 puede elegirse en la ´rbita de
o
({0, 3, 4, 7, 8, 9}/{1, 2, 5, 6, 10, 11}),
que es la dicotom´ cl´sica de consonancias y disonancias del contrapunto occiıa a
dental.
Demostraciń. Es un simple c´lculo verificar que la sucesiń en cuestiń puede
o
a
o
o
comenzar con
{0, 2, 3}
{0, 1, 4, 5, 6, 9}
y ser continuada por inducciń usando la Proposiciń 4.2 y el Teorema 4.5.
o
o
Definiciń 4.7. Una torre de contrapunto es un diagrama Γ : N → DF tal que
o
Γ(j < j + 1) : Γ(j)
Γ(j + 1) es un monomorfismo.
En t´rminos de esta definiciń, el Teorema 4.6 establece que existe una torre
e
o
de contrapunto que incluye a una dicotom´ de clase de (K/D). Su l´
ıa
ımite existe
y es una dicotom´ en el l´
ıa
ımite de Z2n ·3 .

4.3.

Consonancias y disonancias densas

A continuaciń exhibimos una torre de contrapunto tal que su l´
o
ımite es denso
en S 1 . La estrategia es encontrar una dicotom´ autocomplementaria no fuerte
ıa
apropiada para completar la dicotom´ fuerte de cada “piso” de la torre.
ıa
Lema 4.8. Sean An = {0, . . . , 2n−1 − 1} y Bn = {2n−1 , · · · , 2n − 1} dicotom´
ıas
marcadas con espacio ambiente P iM od2n y
g = e2

n−1

−1

−
→
◦ (2n − 1) ∈ GL(Z2n ).

32

Cap´

Entonces los cuadrados

3

An − − → 3An
−−


 3·(2n−1 −1)

g
e

◦(2n −1)=:h

An − − → 3An
−−
3

y
e2 ◦3

Bn − − → 3Bn + 2
−−


 2n−1 +1

g
e

◦(2n+1 −1)=:h

Bn − − → 3Bn + 2
−2 −
e ◦3

(donde 3An y 3Bn + 2 estń en P iM od2n ·3 ) conmutan. Como gAn = An y
a
gBn = Bn , entonces
h (3An ) = 3gAn = 3An

(4.3)

h (3Bn + 2) = 3g(Bn ) + 2 = 3Bn + 2.

(4.4)

Demostraciń. La conmutatividad del primer cuadrado es obvia. Para el seguno
do es claro que
3(2n − 1) ≡ 3(2n+1 − 1) (m´d 2n · 3),
o
y adem´s
a
3(2n−1 − 1) + 2 = 3 · 2n−1 − 3 + 2
= 3 · 2n−1 − 1
≡ 3 · 2n+1 + 3 · 2n−1 − 1

(m´d 2n · 3)
o

= 2n+2 + 2n−1 + 2n+1 + 2n − 1
= 2n+2 + 2n−1 + 3 · 2n − 1
= 2n+2 + 2n−1 − 1
= 2n+2 − 2 + 2n−1 + 1
= (2n+1 − 1) · 2 + (2n−1 + 1),
por lo que el resultado se sigue.
Lema 4.9. Supńgase que (X/Y ) es una dicotom´ marcada en P iM od2n−1 ·3
o
ıa
(n ≥ 2) con polaridad
n−2

q = e2

+22

n −1
2

◦ (4

n
2

Entonces el siguiente cuadrado conmuta
e1 ◦2

X − − → 2X + 1
−−



pn
q
Y − − → 2Y + 1,
−1 −
e ◦2

+ 1).


33

donde 2X + 1 y 2Y + 1 estń en P iM od2n ·3 y pn est´ dado por (4.2).
a
a
n
2

Demostraciń. N´tese que 4
o
o
4

n
2

+ 1 ∈ GL(Z2n−1 ·3 ) puesto que

+ 1 m´d 3 = 2
o

and

4

n
2

+ 1 m´d 2 = 1
o

por lo que es coprimo con 2n−1 · 3. La conmutatividad se sigue de
2(2n−2 + 22

n
2

−1

) + 1 = 2n−1 + 22
n−1

=2

+ (4

n
2
n
2

+1
+ 1) · 1.

Ahora es muy fćil verificar que
a
(4

n
2

+ 1) m´d 3 = 2
o

y
2n−2 + 22

n
2

−1

m´d 3 =
o

0,
1,

n par,
n impar.

Esto significa que, si n es par

0

q(x) m´d 3 = 2
o


1

x m´d 3 = 0,
o
x m´d 3 = 1,
o
x m´d 3 = 2.
o


1

q(x) m´d 3 = 0
o


2

x m´d 3 = 0,
o
x m´d 3 = 1,
o
x m´d 3 = 2.
o

y que si n es impar,

Finalmente, obs´rvese que tanto h como h son la identidad m´dulo 3 para
e
o
n impar y par, respectivamente, as´ que usando (4.3) y (4.4) vemos que se
ı
extienden a un automorfismo no trivial1 de la dicotom´
ıa
n

Un+1 =

{1 + 3k}2 −1 ∪ 3An−1 ,
n par,
k=0
n
{1 + 3k}2 −1 ∪ (3Bn−1 + 2), n impar
k=0

cuya polaridad es precisamente q. N´tese que Un+1 no es invariante bajo la
o
aplicaciń antipodal, pues para n impar tenemos que 0 ∈ 3An−1 y
o
e3·2
1 El

n−1

(0) = 0 + 3 · 2n−1 ∈ 3An−1
/

inverso de su parte lineal es ´l mismo, pues
e
(2s − 1)2 = 22s − 2s+1 + 1 ≡ 1

(m´d 2n · 3)
o

cuando s ≥ n y s es impar, pues 2n · 3 divide a 22s − 2s+1 .

34

Cap´

mientras que para n par tenemos 3 · (2n − 1) + 2 ∈ 3Bn−1 + 2 y
n−1

e3·2

(3 · (2n − 1) + 2) = −3 + 2 + 3 · 2n−1 = 3(2n−1 − 1) + 2 ∈ 3Bn−1 + 2.
/

Ahora, si Xn es una dicotom´ fuerte en P iM od2n ·3 como en la demostraciń
ıa
o
a
o
del Teorema 4.6, entonces Un+1 no est´ en su ´rbita, pues no es fuerte. Sabemos
entonces que
Xn+1 = (2Xn ) ∪ (2Un+1 + 1)
es una dicotom´ fuerte en P iM od2n ·3 que extiende a Xn canńica y equivaıa
o
riantemente. Constru´ de este modo, Xn tiene la propiedad
ıda
n−1

{6k + 3}2
k=0 ⊂ Xn+1 , n ≥ 2.
La relevancia de esta propiedad radica en lo siguiente. El l´
ımite de la torre de
contrapunto (4.1) puede ser visto como una dicotom´ contenida en el siguiente
ıa
subconjunto del c´
ırculo unitario,
∞

n=1

k
exp 2πi n
2 ·3

2n ·3−1

⊂ S1
k=0

que, junto con su complemento, es un subconjunto denso de S 1 en la topolog´
ıa
m´trica estńdar. Como hemos visto, el l´
e
a
ımite de las consonancias l´ Xn contieım
ne al conjunto {exp(2πi(6k +3)/(2n ·3)) : n, m ∈ N}, que tambiń corresponde a
e
un subconjunto denso de S 1 , luego l´ Xn tambiń es denso. Reduciendo m´dulo
ım
e
o
6 a todas las polaridades, vemos que el l´
ımite de las disonancias l´ Zn l´ Xn
ım
ım
contiene al conjunto {exp(2πi(6k + 1)/(2n · 3)) : n, m ∈ N}, que tambiń es
e
denso.
Teorema 4.10. Existe una torre de contrapunto tal que el l´
ımite inyectivo de
tanto sus consonancias como disonancias es denso en S 1 con la topolog´ m´trica
ıa e
estńdar. En consecuencia, el interior de dichos l´
a
ımites es vac´
ıo.
Para finalizar, mostramos una torre de contrapunto cuyo l´
ımite tiene una
polaridad continua. Consid´rense los siguientes hechos:
e
1. Hay 15 clases de dicotom´ fuertes en P iM od24 con polaridad e12 ◦ 1.
ıas
2. Para n par, el cuadrado
2

n

Zn − − → Z2n
−−



n

e ◦1

e 2 ◦1

2

Zn − − → Z2n
−−
n
2

conmuta, donde e ◦ 1 y en ◦ 1 son cuasipolaridades en sus espacios respectivos.


35

Por el Teorema 4.5 se sigue de lo anterior (por inducciń) que existe una
o
torre de contrapunto
X24
X48
X96
··· .
En la demostraciń del Teorema 4.5, las dicotom´ fuertes X24·2n pueden
o
ıas
construirse usando la dicotom´
ıa
Z24·2n {0, 1, 2, . . . , 12 · 2n − 1},
{0, 1, 2, . . . , 12 · 2n − 1},

U24·2n :=

n impar,
n par,
n

en P iM od24·2n , puesto que no es fuerte (la transformaciń e12·2 −1 ◦ −1 ∈
o
−
→
GL(Z24·2n ) es un isomorfismo no trivial de U24·2n ) ni tampoco es invariante
bajo el morfismo antipodal (¡de hecho es su polaridad!). Entonces
X24·2n = 2X24·2n−1 ∪ (2U24·2n−1 + 1).
para n ≥ 1.
Ejemplo 4.11. Tomemos la dicotom´
ıa
X24 = {0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16}
en P iM od24 . Ahora
U24 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
y
X48 = 2X24 ∪ (2U24 + 1) = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 28, 32}
es una dicotom´ fuerte en P iM od48 .
ıa
El l´
ımite X = l´ n→∞ X24·2n contiene a los subconjuntos
ım
A=

exp 2πi

2 +1
24 · 22m+1

2 +1>12·22m+1

y
B=

exp 2πi

2 +1
24 · 22m

,
2 +1<12·22m

por lo que X contiene a A ∪ B, que es un subconjunto denso de S 1 .
Sea p = l´ n→∞ p24·2n . N´tese que
ım
o
exp 2πi

s
24 · 2n

p

→ exp 2πi

s + 24 · 2n−1
24 · 2n

= exp 2πi

s
1
+
24 · 2n
2

as´ que p env´ a una sucesiń convergente de consonancias {xj }∞ ⊆ X ⊆ S 1
ı
ıa
o
j=1
a sucesiń convergente de dissonancias {xj eπi }∞ ⊆ pX ⊆ S 1 . Esto significa
o
j=1
que el l´
ımite se extiende a la funciń continua
o
P : S1 → S1,
x → xeiπ .

Cap´
ıtulo 5

Contrapunto de la segunda
especie
En este cap´
ıtulo final damos una tentativa de teor´ para el contrapunto
ıa
de la segunda especie, an´loga a la de la primera. Nuestro enfoque es extender
a
la nociń de intervalo de contrapunto a un 2-intervalo, i. e., uno tal que dos
o
intervalos se pegan a un cantus firmus.
Las simetr´ de contrapunto en este caso no determinan otro 2-intervalo
ıas
sucesor, sino un intervalo simple. La idea detr´s de esto es permitir que los dos
a
tipos de contrapunto se mezclen.

5.1.

Dicotom´ de 2-intervalos
ıas

Para los prop´sitos del contrapunto de la segunda especie, necesitamos una
o
estructura algebraica tal que dos intervalos puedan asociarse a un tono base.
En el esp´
ıritu del modelo presentado anteriormente en esta tesis y en [Maz02]
para el contrapunto de la primera especie, tomaremos todos los polinomios de
la forma
Z2k [X , Y]
x + 1 .y + 2 .z ∈
X 2, Y 2, X Y
donde x es el tono base y y, z son los intervalos. Si ∆ = (X/Y ) es una dicotom´
ıa
marcada fuerte de intervalos con polaridad p = eu ◦ v, entonces
X[ 1 ,

2]

:= Z2k +

1 .X

+

2 .Z2k

es una dicotom´ 0-domiciliada en P iM od2k [ 1 , 2 ]. Elegimos esta dicotom´ porıa
ıa
que las reglas del contrapunto demandan que el primer intervalo de un comp´s
a
sea una consonancia. Una polaridad para esta dicotom´ que es an´loga a la de
ıa,
a
la primera especie, es
px = ex(1−v)+ 1 .u+ 2 .u ◦ v
36

5.2. Simetr´ de contrapunto
ıas

37

puesto que
px X[ 1 ,

2]

= ex(1−v) ◦ v.Z2k +
= Z2k +
= Y [ 1,

1 .Y

+

1 .pX

+

2 .pZ2k

2 .Z2k

2]

y es tal que
px (x +

1 .Z2k

+

2 .z)

=x+

1 .Z2k

+

2 .Z2k .

Tambiń es cierto que
e
px1 +x2 = e(x1 +x2 )(1−v)+

1 .u+ 2 .u

=e
=e

x1

=e

x1

=e

5.2.

x1 (1−v)+x2 (1−v)+

x1

◦e

−vx1

◦e

x2 (1−v)+

◦p

x2

◦e

◦e

◦v

1 .u+ 2 .u

x2 (1−v)+

−x1

◦v

1 .u+ 2 .u

1 .u+ 2 .u

◦v◦e

◦v

−x1

.

Simetr´ de contrapunto
ıas

Representando el polinomio x + 1 .y + 2 .z como un vector columna, los
candidatos a simetr´ (no invertibles) de contrapunto son
ıas
g : Z2k [ 1 , 2 ] → Z2k [ 1 ]
 
x
s
0
y  →
sw1 s
z
= [sx + t1 ] +

0
sw2

 
x
 y  + t1
t2
z

1 .[s(w1 x

+ y + w2 z) + t2 ]

pues queremos que la segunda parte del intervalo influya en la primera parte del
sucesor, pero no en la segunda. No requerimos que la simetr´ sea biyectiva pues
ıa
deseamos poder cambiar de contrapunto de la segunda especie a la primera si
hace falta1 .
Sea X[ 1 , 2 .z] = Z2k + 1 .X + 2 .z. Podemos definir a una simetr´ de
ıa
contrapunto para un 2-intervalo ξ = x + 1 .y + 2 .z como una que satisface:
1. x + 1 .y ∈ gX[ 1 ,
/
2. el cuadrado

2 .z],

P iM od2k [ 1 ,


px

2]

P iM od2k [ 1 ,

2]

g

− − → P iM od2k [ 1 ]
−−

px
∆

(5.1)

− − → P iM od2k [ 1 ],
−−
g

1 Para el cambio rec´
ıproco las reglas de la primera especie bastan, pues es posible definir
arbitrariamente la tercera componente del 2-intervalo sucesor. Esto es coherente con la el
caracter local de las reglas de Fux.

38

Cap´
ıtulo 5. Contrapunto de la segunda especie

conmuta, donde
px := ex(1−v)+
∆

1 .u

◦v

es la polaridad estńdar de (X[ 1 ]/Y [ 1 ]), y
a
3. la cardinalidad de gX[ 1 , 2 .z] ∩ X[ 1 ] es m´xima entre las simetr´ con
a
ıas
las dos propiedades anteriores.
La razń del segundo requerimiento es que si se cumple entonces
o
px (gX[ 1 ,
∆

2 ])

= g(px X[ 1 ,

por lo que px es una “polaridad” de gX[ 1 ,
∆

5.3.

2 ])

= gY [ 1 ,

2 ],

2 ].

Algoritmo para el c´lculo de simetr´
a
ıas

Como en el caso de la primera especie, si para una simetr´ de la forma
ıa
g=e

1 .t2

◦

s
sw1

0
s

0
sw2

definimos
g (t1 ) = g ◦ e

1 .s

−1

w1 t1 +

2 .t1

entonces se tiene la relaciń
o
−1

et1 ◦ g = g (−t1 ) ◦ es

t1 +

2 .t1

,

y por lo tanto el an´logo del Teorema 2.19 es v´lido. Siendo as´ nos podemos
a
a
ı,
concentrar en las simetr´ de contrapunto con t1 = 0 y trabajar con los intervaıas
los de la forma ξ = 1 .y + 2 .z. Si (5.1) ha de conmutar, es necesario y suficiente
que
t2 + su(1 + w2 ) = u + vt2 .
(5.2)
Para que

1 .y

∈ gX[ 1 ,
/

2 .z]

debemos tener

y = sp( ) + t2 + sw2 z
para algń
u

∈ X. Consecuentemente, para algń
u
t2 = y − s(p( ) + w2 z).

∈ X se tiene que
(5.3)

Escolio 5.1. Haciendo w2 = 0 en (5.2) y (5.3), se reducen a las condiciones de
la primera especie. Por lo tanto, tomando s = v y = y se satisfacen ambas
y conclu´
ımos que existe al menos una simetr´ de contrapunto de la segunda
ıa
especie.

5.3. Algoritmo para el c´lculo de simetr´
a
ıas

39

S´lo falta trabajar con el siguiente conjunto
o
gX[ 1 ,

2 .z]

=

g(x +

1 .X

+

2 .z)

(sx +

1 .(sw1 x

x∈Zk

=

+ sw2 z + t2 + sX))

x∈Z2k

=

(r +

1 .(w1 r

+ sX + w2 sz + t2 ))

(r +

w1 r+w2 sz+t2
1 .e

r∈Z2k

=

◦ sX)

r∈Z2k

para calcular la siguiente cardinalidad
|gX[ 1 ,

2 .z]

∩ X[ 1 ,

2 .z]|

|ew1 r+w2 sz+t2 ◦ sX ∩ X|.

=
r∈Z2k

Cuando se satisface (5.3), esto se reduce a
|gX[ 1 ,

2 .z]

∩ X[ 1 ,

2 .z]|

|ew1 r+y−sp( ) ◦ sX ∩ X|.

=

(5.4)

r∈Z2k

A partir de aqu´ s´lo se necesita adaptar mutatis mutandis el algoritmo de
ı o
Hichert para buscar las simetr´ que maximicen la intersecci´n.
ıas
o
Vale resaltar que (5.2) y (5.3) son perturbaciones de las condiciones para encontrar las simetr´ de contrapunto para el caso de la primera especie. Adem´s,
ıas
a
en vista de (5.4), se satisface nuevamente (2.2); esto nos permite obtener el siguiente teorema.
Teorema 5.2. Dada una dicotom´ marcada fuerte (X/Y ) en P iM od2k , el 2ıa
intervalo ξ ∈ X[ 1 , 2 ] tiene al menos k 2 y a lo m´s 2k 2 −k sucesores admisibles.
a
Algoritmo 5.3. Nuevamente χ(x, y) es una funci´n que devuelve la cardinalio
dad del conjunto ex ◦ yX ∩ X.
Entrada: Una dicotom´ fuerte ∆ = (X/Y ) y su polaridad eu ◦ v.
ıa
Salida: El conjunto de simetr´ de contrapunto Σy,z ⊆ H para cada .y + .z ∈
ıas
X[ 1 , 2 ].
1: para todo y, z ∈ X hacer
2:
M ← 0, Σy,z ← ∅.
3:
para todo s ∈ GL(Z2k ) hacer
4:
para todo ∈ X hacer
5:
para todo w1 , w2 ∈ Z2k hacer
6:
t2 ← y − s((v + u) + w2 z).
7:
si t2 + su(1 + w2 ) = u + vt2 entonces
8:
si w1 = 0 entonces
9:
S ← 2kχ(t2 , s).
10:
si no si w1 ∈ GL(Z2k ) entonces
11:
S ← k2

40

Cap´
ıtulo 5. Contrapunto de la segunda especie

si no
ρ ← mcd(w1 , 2k)

12:
13:

2k

14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

−1

ρ
S ← ρ j=0 χ(jρ + t2 + w2 z, s).
si S > M entonces
s
0
0
Σy,z ← e 2 .t2 ◦
.
sw1 s sw2
S ← M.
si no si S = M entonces
s
0
0
Σy,z ← Σy,z ∪ e .t2 ◦
sw1 s sw2
devolver Σy,z .

.

Ejemplo 5.4. El primero ejemplo (v´lido) de contrapunto de la segunda especie
a
en el Gradus ad Parnassum [Man65] es
ξ1 = 2 +

1 .7

+

2 .0,

ξ2 = 5 +

1 .4

+

2 .6,

ξ3 = 4 +

1 .8

+

2 .3,

ξ4 = 2 +

1 .7 +

2 .0, ξ5 = 7 +

1 .4 +

2 .5, ξ6 = 5 +

1 .9

+

2 .4,

ξ7 = 9 +

1 .3

2 .5,

1 .9

2 .4,

1 .9

+

2 .4,

+

ξ8 = 7 +

+

ξ9 = 5 +

ξ10 = 4 +

1 .7

+

2 .9,

ξ11 = 2 +

1 .0

Algunas simetr´ de contrapunto para los sucesores son
ıas
g1 =

7
0

0
7

0
, g2 = e
0

1 .6

◦

1
6

0
1

0
, g3 = e
0

g4 = g1 , g5 = g2 , g6 = e

1 .8

◦

5
8

1 .3

0
5

◦

7
0

0
7

0
0

0
,
0

g7 = g6 , g8 = g6 , g9 = g6 , g10 = g1 .

Conclusiones y trabajo
futuro
Este trabajo aporta lo siguiente:
1. Hay una teor´ mazzoliana de contrapunto para escalas equitemperadas
ıa
de cardinalidad arbitraria, a menos que ´sta sea 4.
e
2. Hay una sucesiń infinita equivariante de embebimientos canńicos de
o
o
teor´ de contrapunto microtonal, lo que permite formular una teor´
ıas
ıa
de contrapunto infinita, cuya polaridad es continua al extenderse a toda
la octava.
3. Es posible extender el contrapunto de la primera especie a la segunda
perturbando las simetr´ de contrapunto, sacrificando su biyectividad.
ıas
Queda pendiente:
1. Hallar una cota inferior para el n´mero de dicotom´ fuertes en P iM od2k .
u
ıas
2. Describir de manera m´s completa las torres de contrapunto cuya polaria
dad l´
ımite pueda extenderse continuamente.
3. Realizar para el contrapunto de la segunda especie el an´lisis que hicieran
a
Muzzulini y Mazzola del estilo estricto reducido para el contrapunto de la
primera especie.
4. Extender el modelo para abarcar las disonancias de suspensiń.
o

41

Ap´ndice A
e

C´digo fuente
o
A.1.

Algoritmo de Hichert generalizado

Este c´digo corresponde al algoritmo de Hichert generalizado para P iM od6
o
y la dicotom´ fuerte {0, 2, 3}. Para otros valores de 2k hay que modiﬁcar NI
ıa
(la cardinalidad de GL(Z2k ), CPM (el valor de 2k), CPM2 (el valor de k), y los
contenidos de u, s y la polaridad adecuadamente.
#include <iostream>
#include <vector>
#define NI 2
#define CPM 6
#define CPM2 3
using namespace std;
int u[NI] = {1,5}, s[CPM2] = {0,2,3};
int w = 5, r = 1;
bool chi[CPM] = {0};
int card(int p,int q)
{
// Calculo de la cardinalidad de la interseccion
// de g.X y X
int cont = 0;
for(int i=0; i<CPM2; i++)
if(chi[(q*s[i]+p)%CPM])
cont++;
return cont;
}
int main()
42

A.1. Algoritmo de Hichert generalizado

{
for(int g = 0; g<CPM2; g++)
chi[s[g]] = true;
vector < vector <int> > sim;
vector < int > aux;
for(int o=0; o<CPM2; o++)
// k: el intervalo consonante en cuestion
{
sim.clear();
int max = 0;
for(int l=0; l<NI; l++)
// u: la parte invertible "real" de la parte lineal de g
{
for(int m=0; m<CPM2; m++)
// s: barrido de las consonancias para el parametro t
{
for(int v=0; v<CPM; v++)
// v: la parte "imaginaria" de la parte lineal de g
{
int t = (s[o]-u[l]*(w*s[m]+r))%CPM; // t = k - up(s)
t = (t+CPM)%CPM;
if(((w*t+r)%CPM)==((u[l]*r+t)%CPM))
// Verificar si g es polaridad de (g.X/g.Y)
{
int suma = 0;
bool esinv = false;
for(int h=0; h<NI; h++)
if(v==u[h])
esinv = true;
if(v==0)
suma = CPM*card(t,u[l]);
else if(esinv)
suma = CPM2*CPM2;
else
{
int vv;
if(v>CPM2)
vv = CPM-v;
else
vv = v;
for(int j=0;j<(CPM/vv); j++)
suma += vv*card(((j*vv+t)%CPM+CPM)%CPM,u[l]);
}

43

44

Ap´ndice A. C´digo fuente
e
o

// Actualizacion de la lista de simetrias de contrapunto
if(suma > max)
{
aux.clear();
aux.push_back(t); aux.push_back(u[l]);
aux.push_back(u[l]*v%CPM);
sim.clear();
sim.push_back(aux);
max = suma;
}
else if(suma == max)
{
aux.clear();
aux.push_back(u[l]*v%CPM);
sim.push_back(aux);
}
}
}
}
}
cout << "Intervalo: "<< s[o] << endl;
cout << "Numero de sucesores admisibles: "<< max << endl;
for(int x=0; x<sim.size(); x++)
{
cout << "e^(0," << sim[x][0] << ").(";
cout << sim[x][1] << "," << sim[x][2] << ")n";
}
}
return 0;
}

A.2. C´lculo de dicotom´ fuertes
a
ıas

A.2.

C´lculo de dicotom´ fuertes
a
ıas

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
int mcd(int u, int v)
{
while((u>0)&&(v>0))
{
if(u>v)
u = u%v;
else
v = v%u;
}
return ((u==0)?v:u);
}
int main()
{
vector <bool> marca;
vector <int> inv,idem,dicot,mitad,transf;
set < vector <int> > lista;
idem.clear(); inv.clear();
int k,tau,sigma,u0,pot,aux,cont;
bool fuerte,esta,c;
cont = 0;
cin >> k;
for(int i=1; i<2*k; i+=2)
{
if((i*i)%(2*k)==1)
{ idem.push_back(i); inv.push_back(i); }
else if(mcd(i,2*k)==1)
{ inv.push_back(i); }
}
pot = 1;
for(int j=0; j<k; j++) pot = pot << 1;
cout << pot << endl;
for(int i=0; i<idem.size(); i++)
{
lista.clear();
sigma = mcd(idem[i]-1,2*k);
tau = mcd(idem[i]+1,2*k);
u0 = 2*k/tau;
//Comprobacion de involutividad sin puntos fijos

45

46

e
o

if(u0<sigma)
{
marca.clear();
mitad.clear();
for(int j=0; j<2*k;j++)
marca.push_back(false);
for(int j=0; j<2*k;j++)
{
// Separacion de PiMod2k en dos mitades
// complementarias segun e^u0.idem[i]
if(!marca[j])
{ mitad.push_back(j); marca[j]=true;
marca[(idem[i]*j+u0)%(2*k)] = true; }
}
for(int j=0; j<((pot>>1)+1); j++)
{
aux = j;
dicot.clear(); transf.clear();
// Construccion de una dicotomia
// autocomplementaria de e^u0.idem[i]
for(int l = 0; l < k; l++)
{
if((aux%2)==0)
dicot.push_back(mitad[l]);
else
dicot.push_back((mitad[l]*idem[i]+u0)%(2*k));
transf.push_back(0);
aux = aux >> 1;
}
fuerte = true;
esta = false;
sort(dicot.begin(),dicot.end());
// Verificar que sea fuerte o que no este ya
// entre la lista de las fuertes.
for(int s=0;(s<inv.size())&&!esta&&fuerte;s++)
{
for(int t=0; (t<2*k)&&!esta&&fuerte; t++)
if((inv[s]!=1)||(t!=0))
{
for(int m=0; (m<k)&&!esta&&fuerte;m++)
transf[m] = (inv[s]*dicot[m]+t)%(2*k);
sort(transf.begin(),transf.end());
esta = (lista.find(transf)!=lista.end());

A.2. C´lculo de dicotom´ fuertes
a
ıas

if(transf==dicot)
fuerte = false;
}
if(fuerte&&!esta)
lista.insert(dicot);
}
}
if(lista.size()>0)
cout << "polaridad: e^" << u0 << "." << idem[i] << endl;
cont += lista.size();
set< vector <int> >::const_iterator pos;
for(pos=lista.begin(); pos != lista.end(); ++pos)
{
for(int v=0; v<(*pos).size(); v++)
cout << (*pos)[v] << " ";
cout << endl;
}
}
}
cout << cont << endl;
return 0;
}

47

48

e
o

A.3.

Simetr´ de contrapunto para la segunda
ıas
especie

El siguiente c´digo calcula las simetr´ de contrapunto de la segunda especie
o
ıas
para la dicotom´ cl´sica de contrapunto.
ıa a
#include <iostream>
#include <vector>
int u[4] = {1,5,7,11}, s[6] = {0,3,4,7,8,9};
int w = 5, r = 2;
bool chi[12] = {0};
int card(int p,int q)
{
// de g.X y X
int cont = 0;
for(int i=0; i<6; i++)
if(chi[(q*s[i]+p)%12])
cont++;
return cont;
}
int main()
{
for(int g = 0; g<6; g++)
chi[s[g]] = true;
vector < vector <int> > sim;
vector < int > aux;
for(int p=0;p<12;p++){
for(int o=0; o<6; o++)
// s[o]: el intervalo consonante en cuestion
{
sim.clear();
int max = 0;
for(int v2=0;v2<12;v2++){
for(int l=0; l<4; l++)
// u[l]: la parte invertible "real" de la parte lineal de g
{
for(int m=0; m<6; m++)
// s[m]: barrido de las consonancias para el parametro t
{
for(int v=0; v<12; v++)

A.3. Simetr´ de contrapunto para la segunda especie
ıas

49

// v,v2: partes "imaginarias" de la parte lineal de g
{
int t = (s[o]-u[l]*(w*s[m]+r+v2*p))%12; // t = k - up(s)
t = (t+12)%12;
if(((w*t+r)%12)==((u[l]*r*(1+v2)+t)%12))
// Verificar si g es polaridad de (g.X/g.Y)
{
int suma = 0;
if(v==0)
suma = 12*card(t,u[l]);
else if(v==1 || v==5 || v== 7 || v == 11 )
suma = 36;
else
{
int vv;
if(v>6)
vv = 12-v;
else
vv = v;
for(int j=0;j<(12/vv); j++)
suma += vv*card(((j*vv+t)%12+12)%12,u[l]);
}
// Actualizacion de la lista de simetrias de contrapunto
if(suma > max)
{
aux.clear();
aux.push_back(u[l]*v%12);
aux.push_back(u[l]*v2%12);
sim.clear();
sim.push_back(aux);
max = suma;
}
else if(suma == max)
{
aux.clear();
aux.push_back(u[l]*v%12);
aux.push_back(u[l]*v2%12);
sim.push_back(aux);
}
}
}

50

e
o

}
}}
cout << "Intervalo: "<< s[o] << " " << p << endl;
cout << "Numero de sucesores admisibles: "<< max << endl;
for(int x=0; x<sim.size(); x++)
{
cout << "e^[0 " << sim[x][0] << "].[";
cout << sim[x][1] << " 0 0; " << sim[x][2];
cout << " " << sim[x][1] << " " << sim[x][3]<< "]n";
}
}}
return 0;
}

Bibliograf´
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[Agu09] Agust´ Aquino, Octavio Alberto: El Teorema de Contrapunto. Tesis
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