probabilidad

1. PROBABILIDADES

2. CONCEPTOS DE PROBABILIDAD
• Experimento determinístico
Es un experimento que se tiene certeza del resultado que se obtendrá al
realizarlo varias veces bajo las mismas condiciones.
• Experimento aleatorio
Es un experimento que si se repite una cierta cantidad de veces, bajo las
mismas condiciones, no se tiene certeza del resultado que se obtendrá, es
decir, depende del azar.
Ej: lanzar un moneda
• Espacio muestral y sucesos:
El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento.
Cada uno de estos resultados es conocido como evento o suceso elemental

3. Determine el espacio muestral y su cardinalidad de:
• Lanzar un dado.
• Lanzar dos monedas.
• Lanzar una moneda un dado a la vez.
• Lanzar un dado octaédrico numerado.
PROBABILIDAD
Se denota probabilidad de un suceso A como:
𝑃 𝐴
Para determinar esta probabilidad tenemos varios enfoques:
Interpretación frecuencia.
Interpretación clásica.

4. • Interpretación frecuencia
En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa asociada al suceso A
denotada por 𝑓𝑟 𝐴 , corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta 𝑓(𝐴) y
la cantidad veces que se realice el experimento.
𝑓𝑟 𝐴 =
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝐴
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
=
𝑓(𝐴)
𝑛
Una forma de calcular la probabilidad de un suceso es analizar la tendencia de
la frecuencia relativa, al repetir un experimento infinitas veces.
• Interpretación clásica
Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Ej: Lanzar una moneda equilibrada. Que salga sello tiene la misma probabilidad
que salga cara.
𝑃 𝐴 =
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
#𝐴
#Ω

5. Ejemplo:
Se tienen 20 tarjetas numeradas correlativamente del 1 al 20 en una bolsa no transparente.
Si se extrae una tarjeta.
• ¿Cual es la probabilidad de extraer un numero par?
• ¿Cuál es la probabilidad de extraer un múltiplo de 3?
Espacio muestral = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 #Ω = 20
a) Casos favorables A = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 #𝐴 = 10
𝑃 𝐴 =
#𝐴
#Ω
𝑃 𝐴 =
10
20
=
1
2
b) Casos favorables B = 3,6,9,12,15,18 #𝐵 = 6
𝑃 𝐵 =
6
20
𝑃 𝐵 =
3
10

6. Ejemplo 2
Se encuestaron a alumnos de enseñanza media de un colegio particular sobre las
preferencias de los deportes que practican, entregándose las respuestas en la
siguiente tabla
a) Si se escoge un alumno al azar. Determine la probabilidad que practique tenis.
b) Cual es la probabilidad que un alumno no juegue tenis.
Deporte Numero de
alumnos que lo
práctica
f relativa
Futbol 120 0,48
Tenis 22 0,088
Handball 38 0,152
Voleibol 56 0,224
Otros 14 0,056

7. PROPIEDAD DE LAS PROBABILIDADES
Conceptos básicos sobre conjuntos:
Conjunto: Es una colección de elementos. Se denotan con letras mayúsculas. El
conjunto formado por todos los elementos. En probabilidad el universo es el
espacio muestral(Ω).
Cardinalidad de un conjunto: es la cantidad de elementos que tiene y se denota
por #𝐴.
Complemento de A. Es el conjunto formado por los elementos que no
pertenecen a A.

8. TODO LOS
ELEMENTOS QUE
NO ESTAN EN A

9. Union de los conjuntos A y B: Corresponde a los conjuntos formados por los
elementos que pertenecen a A o los elementos que pertenecen a B
Intersección de los conjuntos A y B: Corresponden a los elementos que están
simultáneamente en A y en B

10. Diferencia entre A y B: Corresponde a los elementos que están en A y
que no están en B.

11. REGLA DE LA ADICION
Imagina experimento lanzar un dado
Ω = 1,2,3,4,5,6
Se definimos dos sucesos
A: Obtener un numero menor que dos
A=
B: Obtener un numero par
B=
Si ahora queremos obtener la probabilidad de A U B, entonces los casos
favorables serán:
Es decir al ser disjuntos o mutuamente excluyentes, se tiene
P(A U B) = P(A) + P(B)

12. REGLA DE LA ADICION
Imagina experimento lanzar un dado
Ω = 1,2,3,4,5,6
Se definimos dos sucesos
A: Obtener un numero par
A=
B: Obtener un numero primo
B=
Si ahora queremos obtener la probabilidad de A U B, entonces los casos
favorables serán:
Es decir , se tiene
P(A U B) = P(A) + P(B) – 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
TIENEN UN ELEMENTO QUE COMPARTEN, QUE TENGAN EN COMUN A Y B

13. RESUMEN
En un experimento dos sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de
uno excluye la ocurrencia de otro, por lo tanto la intersección es vacía.
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
Si se tienen dos sucesos A y B cualesquiera de un espacio muestral E, la
probabilidad de que ocurra 𝐴 ∪ 𝐵 se expresa como:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩

14. REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de la intersección de dos eventos A y B se calcula como:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∙ 𝑃 𝐴 𝐵
donde 𝑃 𝐴 𝐵 corresponde al probabilidad del evento A dado la ocurrencia de B. Se
conoce como probabilidad condicional.
Dos eventos son independientes si 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ⋅ 𝑃 𝐵 , 𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 equivalente,
dos eventos son independientes si la realización de uno no afecta la probabilidad del
otro, es decir 𝑃𝐴 ∕ 𝐵) = 𝑃(𝐴).
ESTO SE CONOCE COMO LA REGLA MULTIPLICATIVAS DE LAS
PROBABILIDAD
SE UTILIZA PARA CALCULAR PROBABILIDADES DE EVENTOS COMPUESTOS,
ES DECIR LA PROBABILIDAD QUE SUCEDA UN EVENTO Y OTRO A LA VEZ

15. Ejemplo:
Se tiene una bolsa negra con 5 bolitas azules, tres bolitas verdes, y 4 rojas. Si extraes dos
bolas, cual es la probabilidad de extraer una bola azul y una bola verde
A) CON REPOSICION DE BOLAS.( Es decir sacas una y la vuelves a poner dentro de la bolsa para la segunda
extracción)
Si definimos los eventos
A:Extraer una bola azul B: extraer una segunda bola verde
Al ser con reposición el evento B es totalmente independiente del evento A, lo que ocurra en A no
influye en el resultado en B.
Por lo tanto la probabilidad que ocurran A y B es
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 es igual a 5 casos favorables dividido en 12 bolitas en total
𝑃(𝐵) es igual a tres casos favorables dividido en 12 bolitas en total
Por lo tanto
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
5
12
∙
3
12
=
5
48

16. B) SIN REPOSICION DE BOLITAS (Es decir se saca una bolita y no se devuelve a la bolsa para realizar la segunda
extracción)
Ahora no se devuelva la primera bolita extraída, por lo tanto lo que sucede en la primera
extracción me afecta el numero de casos posibles, ya que disminuye en una bolita los casos
posibles para la segunda extracción. Por esto se llama probabilidad condicional, dado que el
resultado de A afecta a B.
Por lo tanto
P(A)=
5
12
y como no devuelvo la bolita, ahora tengo 11 casos posibles para la segunda
extracción. Por esto
P(B/A)=
3
11
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
5
12
∙
3
11
=
15
132

17. ACTIVIDADES Y EJERCICIOS

18. EJEMPLO 1
Imagina que se lanza un dado honesto de seis caras. Se definen los siguientes eventos
A: El puntaje obtenido es un numero mayor que 2
B: El puntaje obtenido es un nuero menor que 5
Calcula la probabilidad de A dado que ha sucedido B
SOLUCION
Si describes el espacio muestral se tiene
Ω = 1,2,3,4,5,6
A= {3,4,5,6}
B={1,2,3,4}
Recuerda que el evento A/B corresponde a los elementos de A dado que ya se sabe que sucedió B
Por lo tanto se tiene A/B={3,4}, ya que se ha ocurrido B , el espacio muestral se reduce a cuatro
elementos, de los cuales dos pertenecen a A.
Por lo tanto P(A/B)=
𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟐

19. USANDO FORMULAS
P(A)=
4
6
P(B)=
4
6
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
2
6
Aplicas la formula P(A/B)=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
=
2
6
÷
4
6
=
2
4
CON AMBOS MÉTODOS LLEGAS A LO MISMO.
EJERCICIOS
1) Se tiene 3 bolitas azules 5 bolitas amarillas y 2 rojas. Se extraen dos bolitas, CON REPOSICIÓN. Determine
a) La probabilidad de extraer una bolita azul y una amarilla.
b) La probabilidad de extraer dos bolitas azules
c) La probabilidad de extraer una bola azul y una bola roja

20. 2) Se tiene 3 bolitas azules 5 bolitas amarillas y 2 rojas. Se extraen dos bolitas, SIN REPOSICIÓN. Determine
a) La probabilidad de extraer una bolita azul y una amarilla.
b) La probabilidad de extraer dos bolitas azules
c) La probabilidad de extraer una bola azul y una bola roja

21. 3) Clasifica los siguientes pares de sucesos según si son o no excluyentes
1) Al lanzar un dado:
a) A:la cantidad de puntos obtenidos es mayor que 3 y B: la cantidad de puntos
obtenidos es primo.
b) A:La cantidad de puntos es par Y D:obtener una cantidad de puntos menor que
2.
c) E: La cantidad de puntos obtenidos es un divisor de 12 y F: obtener una
cantidad de puntos múltiplo de 3
4) Al lanzar dos dados:
d) A: la suma de puntos obtenidos es mayor 8 y B:la suma de puntos obtenidos es
impar.
e) C: la suma de puntos es un divisor de 24 y D: la diferencia de puntos es múltiplo
de 5.
f)E: es la cantidad de puntos obtenida F: el producto de los puntos obtenidos es
par

22. 5) Determina la cardinalidad espacio muestral de :
a) Lanzar un dado de seis caras.
b) Lanzar dos dados de seis caras.
c) Lanzar tres monedas.
d) Lanzar un dado de ocho caras.
e) Lanzar dos dados de seis caras y dos monedas.

23. 6) Considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados.
Determina las siguientes probabilidades utilizando la regla de adición
a) A:Que la suma de los números sea mayor que 2 o múltiplo de 5
b) B: que se obtenga un 3 o la suma de los resultados sea un múltiplo de 4
c) C: que ocurra al menos un 6 y que la suma sea divisible por 3
d) Que la suma sea mayor que 10 o menor que 5
7)
a) Si dos sucesos son mutuamente excluyentes y 𝑃 𝐴 = 0,4 𝑦 𝑃 𝐵 =
0,3. Determina 𝑃(𝐴𝑈𝐵).
b) Sea E un espacio muestral donde A y B están definidos tales que P(A)=0,7
;P(B)=0,4 y P(AUB)=0,8.¿ Cual es el valor de 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)?
c) Sean A y B sucesos de un espacio muestral E, tales que P(A)=0,15 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
003 y P A ∪ 𝐵 = 0,35. Determina la probabilidad del evento B, indica si A y
B son mutuamente excluyentes.

24. 8) El 30% de los habitantes de una ciudad escucha uno de los noticiarios de la
radio por la mañana, el 40% escucha uno de los noticieros de la noche y el 10%
escucha ambos. Se escoge una persona al azar de esta ciudad; calcula la
probabilidad de que:
a) Escuche el noticiario de la mañana o de la noche.
b) No escuche ninguno de ellos.
c) Escuche solamente el de la mañana o el de la noche.

25. 9) De un total de 30 alumnos encuestados sobre el uso de pendrive, 20 de ellos
dicen utilizarlo para oír música, 14 para almacenar imágenes, 16 para guardar
trabajos, 5 para almacenar imágenes y trabajos, 9 para oír música y guardar
trabajos, y 7 para oír música y almacenar imágenes. Además, todos los encuestados
le dan algún uso al pendrive.
Recuerda que :
𝑃 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)