Este documento trata sobre los elementos y axiomas de la probabilidad. Explica que los primeros estudios de probabilidad se motivaron por los juegos de azar y define conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral y eventos. Luego presenta ejemplos como lanzar un dado para ilustrar estos conceptos. Finalmente, introduce los enfoques de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral y operaciones entre eventos como unión e intersección.

1. -ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD Y AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Elementos de Probabilidades
Los primeros estudios de probabilidad fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en
los juegos de azar. La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse
sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con
seguridad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda.
Uno de los apostadores, Antonio de Gombaud, popularmente conocido como el caballero De
Mere, deseando conocer la respuesta al problema plantea a Blaise Pascal (1623-1662) la situación.
Pascal a su vez consulta con Pierre de Fermat (1601-1665) e inician un intercambio de cartas a
propósito del problema. Esto sucede en el año de 1654. Con ello se inician algunos esfuerzos por
dar solución a este y otros problemas similares que se plantean. Con el paso del tiempo se sientan
las bases y las experiencias necesarias para la búsqueda de una teoría matemática que sintetice los
conceptos y los métodos de solución de los muchos problemas particulares resueltos a lo largo de
varios años.

2. Ejemplo.
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la
cara superior, entonces claramente el espacio muestral es el conjunto Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Como ejemplo de un evento para este experimento podemos definir el conjunto A={2, 4, 6}, que
corresponde al suceso de obtener como resultado un número par.
Enfoques de probabilidad
1)Experimento aleatorio o experimento: cualquier operación cuyo resultado no puede ser
predicho de anterioridad con seguridad.
Ejemplo:
a) lanzamiento de una moneda
b) lanzamiento de un dado
c) extracción de una carta de una baraja de 52 cartas
d) sacar de una bolsa una bola de color negro
e) obtener una bola de color azul de un ánfora
2)Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su
símbolo es Ω. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos o infinito numerable,
entonces se dice que éste es discreto y si el espacio discreto muestral tiene como elementos todos
los puntos de algún intervalo real, entonces se dice que éste es continuo.
Ejemplo:
a) experimento: lanzamiento de un dado

3. Es decir: A ∪ B = los eventos A unión B
A ∩ B = los eventos A intersección B
Ac = los eventos A complemento
*A ∪ B ocurre si, y sólo si sólo ocurre A o sólo ocurre B u ocurren A y B a la vez.
*A ∩ B ocurre si, y sólo si ocurre A y ocurre B a la vez.
*Ac ocurre si, y sólo si no ocurre A.
En todo experimento aleatorio Ω se considera el conjunto universal, por lo tanto, todos los
complementos son tomados respecto a Ω.
Ejemplo
Considere el experimento lanzamiento de dos dados.
a) Determine el espacio muestral
b) Obtenga los siguientes eventos:
A= {la suma de los dos números es un múltiplo de dos}
B= {ambos dados muestran la misma cara}
C= {los dos números son primos}
D= {la resta de los dos números es divisible por tres}
Solución:
a) Determine el espacio muestral
Como son dos dados vamos a tener como espacio muestral para el dado 1 A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} para
el dado B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces la combinación de los dos dados será para el espacio
muestral

4. B= {ambos dados muestran la misma cara}
En este caso los dos valores de los dados son el mismo
Ω =
(3,3)
(4,4)
(5,5)
( (6,6))
C= {los dos números son primos}
En este caso los dos valores van a ser números primos
(6,4)
(6,6)
El primer valor (1,1)
El segundo valor (2,2)
El tercer valor (3,3)
El cuarto valor (4,4)
El quinto valor (5,5)
El sexto valor (6,6)
(1,1)
(2,2)
El segundo valor (2,2); (2,3); (2,5)
El tercer valor (3,2); (3,3); (3,5)
El quinto valor (5,2); (5,3); (5,5)
(2,2) (2,3) (2,5)
Ω = ((3,2) (3,3) (3,5))
(5,2) (5,3) (5,5)

5. Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado
fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el a).
b)Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se
cumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que
salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.
c)Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los
sucesos que se unen.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el
resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el
4, el 5 y el 6
d)Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más
sucesos que se intersectan.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que
sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el
único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).
e)Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen
elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío).

6. El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más
probable sea que dicho suceso tenga lugar.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un
suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
𝑃(�)
=
�����
�������𝑙����������𝑖
�𝑙��
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (1)
(que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno
al seis). Por lo tanto:
𝑃(�)
=
�����
�������𝑙����������𝑖
�𝑙��
𝑃(�) = = 0,1666
1
6
P(A) = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables
son tres (que salga el dos (2), el cuatro (4) o el seis (6)), mientras que los casos posibles siguen
siendo seis. Por lo tanto:
𝑃(�)
=
�����
�������𝑙����������𝑖
�𝑙��3

7. VIDEO REGLA DE LAPLACE
https://www.youtube.com/watch?v=nMyzFbH_dA4
VIDEO EJEMPLO PROBABILIDAD
https://www.youtube.com/watch?v=xYco67hkECs

8. ¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos
una denuncia?
No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de
cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades
de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus
respectivas probabilidades.
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha
aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso
"cruz" los 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino
que se habría reducido al 70%.
Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los
sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de
estos sucesos según el modelo frecuentista.
En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los
sucesos tengan la misma probabilidad.

9. Total= 4
Si nosotros consideramos la Primera Pregunta:
1- La primera bola no se devuelve.
La bola Blanca (B) se une con Roja(R), Verde(V), Negra(N)
Su espacio muestral para este evento será: Blanca-Roja(BR); Blanca-Verde(BV); Blanca-Negra(BN)
La bola Roja (R) se une con Blanca(B), Verde(V), Negra(N)
Su espacio muestral para este evento será: Roja-Blanca(RB); Roja-Verde(RV); Roja-Negra(RN)
La bola Verde (V) se une con Blanca(B), Roja(R), Negra(N)
Su espacio muestral para este evento será: Verde-Blanca(VB); Verde-Roja(VR); Verde-Negra(VN)
La bola Negra (N) se une con Blanca(B), Roja(R), Verde(V)
Su espacio muestral para este evento será: Negra-Blanca(NB); Negra-Roja(NR); Negra-Verde(NV)
En este caso se da las posibles combinaciones de cada suceso, bola Blanca; bola Roja; bola Verde;
bola Negra:
Y tenemos que el espacio muestral es
S= {BR; BV; BN; RB; RV; RN; VB; VR; VN; NB; NR; NV}
Si nosotros consideramos la Segunda Pregunta:
2- La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

10. Blanca=1
Roja= 1
Verde= 1
Negra= 1 .
Total= 4
Para la Bola Blanca
𝑃(�)
=
������������
𝑙�� 1��������𝑖�𝑙��
4
= = 0,25
Para la Bola Roja
𝑃(�)
=
������������
𝑙�� 1��������𝑖�𝑙��
4
= = 0,25
Para la Bola Verde
𝑃(�)
=
������������
𝑙�� 1��������𝑖�𝑙��
4
= = 0,25
Para la Bola Negra
𝑃(�)
=
������������
𝑙�� 1��������𝑖�𝑙��
4
= = 0,25
VIDEO PROBABILIDAD LANZAMIENTO DE DOS DADOS
https://www.youtube.com/watch?v=6BM1CPvfQXA

11. 𝑃 � /�
=
�)𝑃
(�)
Donde:
P (B/A): es la probabilidad de que se dé el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.
P (B ∧ A): es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A): es la probabilidad a priori del suceso A
En el ejemplo que hemos visto:
P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un
número par (suceso A).
P (B ∧ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.
P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.
Por lo tanto:
Para la probabilidad que salga 2 condicionada se sabe que es uno (1 probabilidad) de 6 que existe
en el dado. (1/6).
P (B ∧ A) = 1/6
Para la probabilidad que salga un número Par se sabe que existe 3 pares (2, 4, 6) de 6 que existen
en el dado es decir (2/6) dos de seis que es igual a 1/2
P (A) = 1/2
𝑃(�/�)
=
𝑃(� ∧ �
)
𝑃(�)
=
1
6
1
2

12. 𝑃 �/�
=
�)𝑃
(�)
=
0,25 5
=
𝑃(�/�) = = 0,20
1
5
Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es
así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.
Por ejemplo:
Probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada a que haya salido un número
impar.
La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6.
P (B ∧ A) = 0 (ya que no puede ser 2 y número impar)
P (A) = 1/6
𝑃(�/�)
=
𝑃(� ∧ �) 0
𝑃
(�)
= = 01
6
𝑃(�/�) =
0
Actividad:
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A ∧ B)= 1/4.

13. =
𝑃(�) 4
5
-P(B/A)
𝑃(�/�)
=
𝑃(� ∧ �
)
𝑃(�)
= =
1
5
1
3
3
5
-P(A U B)
𝑃(� 𝑈 �) = 𝑃(�) + 𝑃(�) − 𝑃(� ∧
�) =
𝑃(� 𝑈 �) = + − =
1 1 1 23
3 4 5 60
Ejercicio 1:
-Tenemos dos urnas: la primera urna tiene 3 bolas Rojas, 3 bolas Blancas y 4 bolas Negras; en la
segunda urna tiene 4 bolas Rojas, 3 bolas Blancas, y 1 bola Negra. Elegimos una urna al azar y
extraemos una bola.
a)¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea Blanca?
b)Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera de la primera
urna?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
Para encontrar la probabilidad de la bola Blanca tenemos que realizar un diagrama de árbol con
las diferentes probabilidades de cada urna:

14. Para encontrar la probabilidad de que la bola sea Blanca tenemos que sumar las dos
probabilidades encontradas en la urna 1 (3/20) y en la urna dos (3/16)
a) 𝑃(�) = 3
+ 20 16 80
3
= 27
Encontramos la probabilidad de que la bola encontrada sea de la primera urna
P(urna 1 ∧ B)= 3
20
P(B)=
27
80
𝑃
(����1/�)
=
𝑃(����1 ∧
�)
𝑃(�)
=
3
20
27
80
𝑃(����1/�) = 20 =
4
=
0.444
3
27
80
9
Ejercicio 2:
-Tenemos dos urnas: la primera urna tiene 3 bolas Rojas, 2 bolas Blancas y 4 bolas Negras; en la
segunda urna tiene 5 bolas Rojas, 3 bolas Blancas, y 2 bolas Negras. Elegimos una urna al azar y
extraemos una bola.
a)¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea Negra?
b)Sabiendo que la bola extraída fue Negra, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera de la segunda