Concepto y reglas de cálculo

1. PROBABILIDADES
La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un
suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé.
Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos
una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.
I. SUCESOS
Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.
Distinguimos 3 tipos de sucesos:
a. Suceso posible: es un resultado que se puede dar.
Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.
b. Suceso imposible: es un resultado que no se puede dar.
Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el
número 7).
c. Suceso seguro: es un resultado que siempre se va a dar.
Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado
(cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).
II. PROBABILIDADES DE LOS SUCESOS
a) Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad
que los demás:
Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas
probabilidades que el suceso "cruz".
b) Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de
darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una
bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.
c) Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de
darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bola
negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.
III. REGLAS DE CÁLCULO
a. REGLA DE LA ADICIÓN
Esta regla expresa la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, P (A U B).
Puede presentarse de dos formas:
 Para conjuntos con intersección
P (AUB)=P (A) + P (B) – P (A∩B)

2.  Para conjuntos mutuamente excluyentes
P (AUB) = P (A) + P (B)
EJEMPLO:
Se lanza un dado. Usted gana $ 3000 si el resultado es par o divisible para 3. ¿Cuál es la
probabilidad de ganar)
1. Definir sucesos
Sea A resultado par A = [2, 4, 6]
Sea B resultado impar A = [3, 6]
2. Verificar si existe o no intersección
(A∩B) = [3]
P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
P (AUB) =
𝟑
𝟔
+
𝟐
𝟔
−
𝟏
𝟔
=
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
b. REGLA DE PROBABILIDAD CONJUNTA O COMPUESTA
La probabilidad condicional estudiada nos conduce a observar reglas de probabilidad para
sucesos conjuntos, es decir, la probabilidad de que dos o más sucesos aparezcan al mismo
tiempo.
Dado que:
P (A|B) =
𝑃(𝐴𝐵)
𝑃(𝐵)
→ 𝑃( 𝐴𝐵) = 𝑃( 𝐵) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵)
P (B|A) =
𝑃(𝐴𝐵)
𝑃(𝐴)
→ 𝑃( 𝐴𝐵) = 𝑃( 𝐴) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵)
Se debe introducir en este momento un concepto nuevo: el de sucesos independientes.
Dos sucesos se dicen independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no es
afectada por la ocurrencia del otro. Luego
P (A|B) = P(A)
P (B|A) = P (B)
EJEMPLO:
En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen una a una y sin reposición, dos
bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

3. Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la
probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades
individuales.
1º extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es 3/8.
2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 Así,
la probabilidad pedida es
P= (3/8)*(2/7)
P= (3/4)*(1/7)
P= 3/28
c. REGLA DE PROBABILIDAD CONDICIONAL O DEPENDIENTE
Sea el espacio muestral S y su evento B perteneciente a S tal que P (B) > 0. La
probabilidad condicional de que un evento A ocurra, en el supuesto que B ha ocurrido, se
representa por P(A|B), que se lee “Probabilidad de A, dado B”, es igual a:
𝑃( 𝐴| 𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
De la misma manera obtenemos 𝑃( 𝐴| 𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
EJEMPLO:
Sea el caso de lanzar dos dados corrientes:
a) Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2
B= [(1, 5), (2,4), (3, 3), (4, 2), (5,1)] = [suma 6]
A= [Aparece un 2 por lo menos en un dado]
𝑃( 𝐴| 𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
2
5
b) Si la suma es 7, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 5
B= [(1, 6), (2,5), (3, 4), (4, 3), (5,2), (6,1)] = [suma 7]
A= [Un 5 aparece por lo menos en un dado]
𝑃( 𝐴| 𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
2
6
=
1
3
d. REGLA DE PROBABILIDAD TOTAL
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a
partir de probabilidades condicionadas, es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso
B es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este
suceso con los diferentes sucesos A por la probabilidad de cada suceso A.

4. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las
posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
P (B)= ∑ (Ai) * P (B|Aj); donde “i”, “j” deben ser mayores a 0
EJEMPLO:
En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser
elegidas:
a. Amarilla: probabilidad del 50%.
b. Verde: probabilidad del 30%
c. Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la
papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B)= ∑ (Ai) * P (B|Aj)
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
REFERENCIAS:
http://proyest1.blogspot.com/p/blog-page_2601.html
http://www.aulafacil.com/cursos/l11236/ciencia/estadisticas/estadisticas/teorema-de-la-
probabilidad-total
http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html
http://www.aulafacil.com/cursos/l7469/primaria/matematicas-primaria/matematicas-
sexto-primaria-11-anos/probabilidades
https://sites.google.com/site/623probabilidad/reglas-de-probabilidad
http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema1.pdf
http://lya.fciencias.unam.mx/lars/libros/pe-agosto-2006.pdf