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1. 1
DEMETRIO CCESA RAYME

2. 2
PROBABILIDADES

3. 3
Rama de las Matemáticas que estudia los resultados
posibles de los fenómenos aleatorios.
Por ejemplo:
• Lanzar una moneda y observar si sale cara.
• El lanzamiento de un dado y observar si es numero
primo
• Extracción de una carta y observar si es de trébol
negro
PROBABILIDADES
Definición

4. 4
EXPERIMENTO ALEATORIO:
PROBABILIDADES
Un experimento aleatorio o estadístico es cualquier experimento u
operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de
realizarse el experimento.
Ejemplos:
o Lanzar una moneda y observar si sale cara.
o Lanzar un dado y observar el número que aparece en
la cara superior es par.
o De un lote de bombillas de luz , extraer uno que sea
defectuoso.

5. 5
ESPACIO MUESTRAL:
PROBABILIDADES
Es el conjunto formado por todo los resultados posibles del experimento
aleatorio. Denotaremos por la notación  (omega) o con la letra S
Ejemplos:
1. Para el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es:
 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Porque un dado tiene 6 caras y de lanzarlo cualquiera de
ellas puede quedar arriba.
2. En el lanzamiento de una moneda , el espacio muestral es:
 = { cara , sello } = { 1 , 2}

6. 6
ESPACIO MUESTRAL:
PROBABILIDADES
Ejemplos:
3. En el lanzamiento de una moneda dos veces , su espacio
muestral es:
 = { CC , CS , SC , SS }
Este espacio muestral se puede obtener con el diagrama del árbol
C CC
C
S CS
C SC
S
S SS

7. 7
SUCESO O EVENTOS
PROBABILIDADES
Se llama suceso o evento , cualquier subconjunto del espacio
muestral  . A los sucesos generalmente se les denota por letras
mayúsculas , tales como A , B , C, etc.
Entonces : A es un suceso  A  
Relacionando con la teoría conjuntista al espacio muestral  se le
llama el universo y el    ; luego:
 (universo) se llama suceso seguro.
 (nulo) se llama suceso imposible.

8. 8
PROBABILIDADES
Ejemplo:
En el lanzamiento de una moneda, tres veces podemos enunciar
los siguientes sucesos:
A = Se obtiene exactamente una cara.
B = se obtiene por lo menos dos caras
C
C
S
C
S
S
SUCESO O EVENTOS
 = { CCC , CCS , CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS }
CCCC
S CCS
C
C
S
S
C
S
CSC
CSS
SSS
SCC
SSC
SCS
Exactamente una cara
A = { CSS , SCS SSC }
Se obtiene por lo menos dos
caras
B = { CCC , CCS CSC , SCC }

9. 9
PROBABILIDADES
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Sabemos que si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A  B = 
Por lo tanto :
A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez, entonces, se
dice que son mutuamente excluyentes.
Ejemplo:
Sea el experimento aleatorio : El lanzamiento de dos dados. El espacio
muestral es:
 = { (1 , 1 ) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)
(2 , 1 ) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 ,5) (2 , 6)
(3 , 1 ) (3 , 2) (3 , 3)(3 , 4) (3 , 5) (3 , 6)
(4 , 1 ) (4 , 2) (4 , 3)(4 , 4) (4 , 5) (4 , 6)
(5 , 1 ) (5 , 2) (5 , 3)(5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)
(6 , 1 ) (6 , 2) (6 , 3)(6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) }

10. 10
PROBABILIDADES
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Ejemplo:
Sea el experimento aleatorio : El lanzamiento de dos dados. El espacio
muestral es:
 = { (1 , 1 ) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6)
(2 , 1 ) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 ,5) (2 , 6)
(3 , 1 ) (3 , 2) (3 , 3)(3 , 4) (3 , 5) (3 , 6)
(4 , 1 ) (4 , 2) (4 , 3)(4 , 4) (4 , 5) (4 , 6)
(5 , 1 ) (5 , 2) (5 , 3)(5 , 4) (5 , 5) (5 , 6)
(6 , 1 ) (6 , 2) (6 , 3)(6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) }
Sean los sucesos :
Suceso A : Obtener una suma igual a 6 Entonces :
A = {(1 , 5 ) (5 , 1) (2 , 4) (4 , 2) (3 , 3) }
Suceso B : Obtener una suma igual a 5
B = {(1 , 4 ) (4 , 1) (2 , 3) (3 , 2) }
A  B =  Luego A y B son mutuamente excluyentes.

11. 11
PROBABILIDADES
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
Sea el suceso o evento A del espacio muestral  ; la probabilidad de A
denotada por P(A) es la razón entre el número de resultados favorables
al suceso A y el número total de resultados del espacio muestral.
  posiblescasosdenº
favorablescasosdenº
P(A)
n
n(A)
P(A) 


Ejemplo 1 :
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par , cuando se tira un dado?
Solución:
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
= {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ; n() = 6
Suceso A : Obtener un número par: A = { 2 , 4 , 6 }  n(A) = 3
Luego
 
0.5
2
1
P(A)
6
3
n
n(A)
P(A) 



12. 12
PROBABILIDADES
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
 
0.375
8
3
n
n(A)
P(A) 


Ejemplo 2 :
Solución:
Si se lanza una moneda tres veces ¿Cuál es la probabilidad de
a. Obtener exactamente dos caras ?
b. Al menos dos caras ?
c. ninguna cara?
 = { CCC , CCS , CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS }  n() = 8
A : Exactamente dos caras .
A = { CCS , CSC SCC }
B : Al menos dos caras .
B = { CCC , CCS , CSC , SCC }
 
0.5
2
1
8
4
n
n(B)
P(B) 


C : Ninguna cara .
C = { SSS}  
125.0
8
1
n
n(C)
P(C) 



13. 13
PROBABILIDADES
Ejemplo 1
Una caja contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Si se extrae al
azar una bola ¿ Cuál es la probabilidad que la bola extraída
sea blanca?
Solución :
Experimento aleatorio: Extraer una bola de una caja que contiene 4
bolas blancas y 6 negras
 = { b1 , b2 , b3 , b4 , n1 , n2 , n3 , n4 , n5 , n6 }  n() = 10
Suceso A : Extraer una bola blanca
A = { b1 , b2 , b3 , b4 }  n(A) = 4
La probabilidad de extraer una bola blanca es:
 
0.4
5
2
10
4
P(A)
Ωn
n(A)
P(A) 

14. 14
PROBABILIDADES
De un total de 200 estudiantes ; 120 están matriculados en Anatomía
y 90 en Biología; 50 en ambos cursos. Si se elige al azar uno de los
200 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante
elegido esté matriculado en una de las asignatura?
Ejemplo 1:
Solución:

15. 15
PROBABILIDADES
Ejemplo 1:
Solución:
Espacio muestral: n( ) = 200
Suceso A : Seleccionar un alumno matriculado en Anatomía
5
3
200
120
P(A)120n(A) 
Suceso B : Seleccionar un alumno matriculado en Biología
20
9
200
90
P(B)90n(B) 
Suceso (A B) : Seleccionar un alumno matriculado en Anatomía y
Biología
4
1
200
50
B)P(A50B)n(A 
Como se sabe que : B)P(A-P(B)P(A)B)P(A 
5
4
B)P(A
4
1
-
20
9
5
3
B)P(A 

16. 16
PROBABILIDADES
Ejemplo 2:
Solución:
En un salón de clase de 40 alumnos, 30 de ellos postulan a la
universidad Central y 26 a la universidad Técnica de Ambato. Se
elige al azar un alumno de este salón. ¿Cuál es la probabilidad de que
sea un alumno que postula a ambas Universidades?
40B)n(A-n(B)n(A)B)n(A 
Suceso A : Alumnos que postulan a la Central; n(A) = 30
Suceso B : Alumnos que postulan a Técnica ; n(B) = 26
Suceso A  B : Alumnos que postulan a ambas universidades.
Sabemos que :
4.0
5
2
40
16
)(n
B)n(A
B)P(A
16B)n(A
40B)n(A5640B)n(A-2630B)n(A





