Este documento describe el problema de Monty Hall, un juego de televisión donde los participantes eligen una de tres puertas para ganar un auto. Explica que cambiar la puerta elegida originalmente tiene una probabilidad mayor (2/3) de ganar que no cambiarla (1/3), debido a que el anfitrión siempre revela una puerta con una cabra. Luego analiza la probabilidad de ganar para dos tipos de jugadores: los que nunca cambian y los que siempre cambian de puerta.

1. Probabilidad- Probabilidad y Estadística I
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

2. A comienzos de los años 70’s en Estados Unidos
hubo un concurso televisivo muy popular conocido como
Let’s make a deal (Hagamos un trato), en el cual el
anfitrión, un señor muy elegante llamado Monty Hall, le
ofrecía a los jugadores que llegaban hasta la etapa final
del concurso la posibilidad de elegir una entre varias
puertas, en las cuales había dos cabras y un cero km.
Para el jugador la situación se convertía en un
verdadero juego de estrategia en estado de Información
Imperfecta porque Monty Hall, conocedor de lo qué
había en cada puerta, siempre trataba de influir
psicológicamente en la decisión que debía tomar el
jugador para confundirlo e inducirlo a elegir la puerta que
contenía la cabra.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

3. 3
Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.
Supón que estás en un
concurso, y se te ofrece escoger entre
tres puertas: detrás de una de ellas hay
un coche, y detrás de las otras, cabras.
Escoges una puerta, digamos la
nº1, y el presentador, que sabe lo que
hay detrás de las puertas, abre otra,
digamos la nº3, que contiene una cabra.
Entonces te pregunta: "¿No
prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor
para ti cambiar tu elección?

4. Supongamos que el auto está en la puerta 1 y
consideremos las tres posibilidades: que elijamos la
puerta 1, la 2 o la 3.
Luego de la elección se abre una puerta de las
restantes que no contiene el auto.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.
Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

5. Escogemos la puerta 1
Puerta seleccionada.
En ese caso, el presentador nos enseña
cualquiera de las puertas 2 o 3, ya que el auto no
está allí. Si cambiamos nuestra elección, perdemos.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.
Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

6. Escogemos la puerta 2
Puerta seleccionada.
En ese caso, el presentador no puede
enseñarnos la puerta 1. Por lo tanto, debe
enseñarnos la puerta 3, puesto que allí no está el
auto.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.
Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

7. Escogemos la puerta 3
Puerta seleccionada.
Por último, sólo puede mostrarnos la puerta
2 ,ya que el auto no está allí. Si decidimos
cambiar a la puerta 1, ganaremos.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.
Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3

8. Elegimos una puerta. Seguramente hemos fallado,
ya que teníamos dos posibilidades de errar frente a una
de acertar. Y por ello, lo más probable es que tras las
dos puertas que no elegimos, se encuentre la otra cabra
y el auto.
Sólo hay un 33% de posibilidades de que hayamos
elegido bien desde el principio, y un 66% de que
fallamos.
Luego de que nos abren una puerta, la intuición,
como tantas veces, nos engaña haciéndonos pensar que
da igual cambiar o no la puerta, ya que hay en una de
ellas un coche y en la otra una cabra, es decir, se trata
de un 50% de posibilidades.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

9. Definimos cuidadosamente los siguientes
sucesos . Suponemos que hay dos tipos
de jugador, los que nunca cambian de
puerta y los que cambian siempre; en este
caso la pregunta se limita a ver que tipo de
jugador tiene la mayor probabilidad de
ganar el auto.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

10. Suceso. Descripción.
A El jugador selecciona la puerta que contiene el auto en su
elección inicial.
B El jugador selecciona una puerta que contiene una cabra en
su elección inicial.
C El jugador gana el auto.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.
ε = Elegir una puerta entre 3.

11. Estamos interesados en calcular P(C) para cada
tipo de jugador.
Para calcular P(C), basta con notar que C=(C ∩
A) U (C ∩ B) ya que A ∩ B = Ø y A U B = Ω ( esto es
equivalente a decir que {A,B} es una partición de Ω )
P(C)=P((C ∩ A) U (C ∩ B)) =
P(C ∩ A) + P(C ∩ B)=
P(C/A)P(A) + P(C/B)P(B)
En cualquier caso, dado que no tenemos ninguna
razón para pensar lo contrario, diremos que P(A) =
1/3 y P(B) = 2/3 pues hay un auto y dos cabras.
Ahora debemos definir que tipo de jugador
estamos estudiando.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

12. * Jugador que nunca cambia.
* Jugador que siempre cambia.
A continuación hallaremos la probabilidad de C
utilizando la definición de probabilidad condicional y la
distribución hipergeométrica.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

13. Jugador que nunca se cambia.
En este caso P(C|A) = 1 y P(C|B) = 0 pues el jugador
se queda con su selección inicial.
Por lo tanto P(C) = 1/3.
X= Cantidad de puertas que elijo y tiene el auto.
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Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

14. Siendo:
N=3 es la cantidad de puertas que hay en el concurso.
K=1 número de puertas donde se encuentra el auto.
n=1 cantidad de muestras que realizo en el experimento.
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Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

15. Jugador que siempre se cambia.
En este caso P(C|A) = 0 y P(C|B) = 1 pues el jugador
se cambia a la única puerta cerrada que queda (y
sabemos que como el presentador sabe donde esta el
auto, siempre mostrará una cabra).
Por lo tanto P(C) = 2/3.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

16.  Esta página fue modificada por última vez el 9 mayo del 2013, a las
03:59. Problema de Monty Hall. Soporte electrónico. Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall
(02/06/2013).
 John Allen Paulos. Año de publicación 2008. El Problema de Monty
Hall. Soporte electrónico. Disponible en:
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.ht
ml (02/06/2013).
 El Problema de Monty Hall. Soporte electrónico. Disponible en:
http://www.psicoactiva.com/inteli/intelig44.htm (02/06/2013).
 Dieser, María Paula. Año de publicación 2013. Notas de Clase,
Probabilidad- Probabilidad y Estadística I. La Pampa, Santa Rosa.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.

17. Muchas Gracias.
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Altamiranda, Aida Romina; Ferrari, María Florencia;
Esnal, Yohana Lujan y Cañada, Dalma Anaí.