1. ALUMNOS: Marchant Ezequiel
Doroni Guido
Pereyra Matías
García Gisela
MATERIA: PROBABILIDAD
PROFESOR: LIC. PROF. PAULA DIESER
FECHA: 5/06/2013

2. Vamos a ver algo de historia
El problema de Monty Hall es un problema
matemático de probabilidad que está inspirado
por el concurso televisivo estadounidense Let's
Make a Deal (Hagamos un trato). El nombre del
problema tiene su origen en el nombre del
presentador del concurso: Monty Hall. (Fue un
programa famoso en Estados Unidos entre 1963
y 1984)
Esto lo podemos encontrar en
http://edu.jccm.es/ies/4hellin/Matematicas/MCSII/Probabilidad/Probabilidad.htm#2

3. En wikipedia, en el siguiente linck,
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall encontramos
lo siguiente:
• El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre
tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra
detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta
un automóvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el
concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los
presentes, Monty, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada
puerta, abrirá una de las otras dos y mostrará que detrás hay una cabra. A
continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de
puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su elección
original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?
• Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta
parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede
considerar como una paradoja. La respuesta se basa en suposiciones que
no son obvias y que no se encuentran expresadas en el planteamiento del
problema, por lo que también se puede considerar como una pregunta
con trampa.

4. Bienvenidos a mi
show!!!, mi nombre es
Monty Hall
Detrás de una de estas
puertas hay un coche Detrás de las otras dos
hay una cabra

5. Nuestro concursante
seleccionará una puerta ...
A B C
Elijo la puerta A

6. Monty Hall (que conoce dónde
está el coche) abre la puerta C.
Ahora sabemos que el coche
está o bien en A o bien en
B.
A B C
Monty Hall nos permite
cambiar de elección si
queremos …
¿Es más probable ganar el
coche si cambiamos de puerta?
(En este caso de A a B).
PUERTA
SELECCIONADA

7. Si el concursante
CAMBIA su elección
original
Pierde Gana Gana
Gana
Gana
Gana
Gana
Pierde
Pierde

8. En el cuadro anterior podemos observar que si el jugador
cambia de puerta tiene más probabilidades de ganar, pues
gana en 6 de las 9 posibilidades, por lo cual la probabilidad es
2/3, en cambio en el caso de que el jugador decida no cambiar
solo le quedan las posibilidades restantes, es decir 3 de 9 o
bien 1/3 de probabilidad, por lo cual matemáticamente se
puede entender que es mejor cambiar de puerta.

9. Busquemos ahora algunas soluciones formales
dentro del campo de la probabilidad:
VAMOS A RESOLVERLO CON
PROBABILIDAD CONDICIONAL

10. Probabilidad condicional
Sean A,B y G los siguientes sucesos:
A = El jugador selecciona la puerta que contiene al auto
en su elección inicial.
B = El jugador selecciona una puerta que contiene una
cabra en su elección inicial.
G = El jugador gana el auto.

11. Podemos ver en este ejemplo que el espacio muestral se
encuentra particionado por los sucesos A y B, con las
siguientes propiedades cumpliéndose:
• A U B = Ω
• A ∩ B = Ø
• P (A)>0 ɅP(B)>0
Cumpliéndose estas hipótesis del teorema de la
probabilidad total, podemos aplicar entonces el
mencionado teorema.
Pero en principio lo resolveremos del siguiente modo:

12. Tomaremos a G = (G ∩ A) U (G ∩ B), con las
condiciones que antes mencionamos.
• Aplicando probabilidad en ambos miembros
se tiene:
P(G)=P((G ∩ A) U (G ∩ B))
Por ser A y B disjuntos se tiene:
P(G)=P(G ∩ A) + P (G ∩ B)
Aplicando la definición de probabilidad condicional:
P(G)=P(G/A).P(A)+P(G/B).P(B)
Que es la definición del teorema de la probabilidad total

13. Aplicando la regla de Laplace se tiene:
P(A)=1/3 y P(B)=2/3
Calculamos entonces las probabilidades de las
condicionadas:
1- En el caso en el que el jugador no cambia:
P(G/A)= 1 y P(G/B)= 0
2- En el caso en el que el jugador decide cambiar:
P(G/A)= 0 y P(G/B)= 1

14. Luego podemos abordar la misma conclusión que
antes.
Pues los cálculos de probabilidades nos dieron lo siguiente:
En el caso de no cambiar
En el caso de cambiar
obteniendo la respuesta
esperada!!!!!

15. Ahora vamos a resolverlo definiendo variables
aleatorias:
Sea x, y las variables aleatorias tal que:
x = número de puerta en la cual se encuentra el
auto.
y = número de puerta que elije el concursante.
Sea W el suceso tal que
W= Lo que encuentra el presentador al abrir una puerta.
Entonces
W={auto, cabra}

16. Por otro lado es importante resaltar que
X ̴ʯ (3) Y ̴ʯ (3) y W depende de X e Y
Lo que vamos a averiguar es la probabilidad de que gane dado ambas
situaciones, es decir
que cambie o que no cambie, por este motivo calculamos:
P(X=Y) dado que W siempre elegirá cabra, es decir que
P(W=cabra)=1 y P(W=auto)=0 por la forma en que se organiza el
juego, y por otro lado
también averiguaremos P(X ≠ Y) dado las condiciones antes
anunciadas. Entonces:
P(X=Y) = P(X=Y/W=cabra).P(w=cabra)+ P(X=Y/W=auto).P(W=auto)
P(X=Y)=P(X=Y/W=cabra).P(W=cabra) = 1/3 . 1 = 1/3
Calculamos la probabilidad de ganar dado que no cambia:

17. Ahora vamos a resolverlo por el teorema de Bayes.
Sean X, Y sucesos, tales que:
X = Puerta en la que se encuentra el auto.
Y = Puerta que abre el presentador
X={A, B, C} Y={A,B,C}
Suponemos que el jugador eligió la puerta A

18. P(Y=B)= P(Y=B/X=A).P(X=A) + P(Y=B/X=B).P(X=B) + P(Y=B/X=C).P(C)
P(Y=B)= 1/2 . 1/3 + 0 . 1/3 + 1 . 1/3=
Veremos en principio cual es la probabilidad de que el presentador
abra la puerta B, sabiendo que el concursante eligió la puerta A.
El caso de que el presentador abra la C, será análogo de este.
1/2
Calcularemos ahora la probabilidad de que el auto este detrás de
la puerta A si es que el presentador abrió la puerta B.
P(X=A/Y=B) = [P(Y=B/X=A).P(X=A)]/ P(Y=B) = (1/6) / (1/2) = 1/3
P(X=B/Y=B) = [P(Y=B/X=B).P(X=B)] / P(Y=B) = 0/(1/2) = 0
P(X=C/Y=B) = [P(Y=B/X=C).P(X=C)] / P(Y=B) = (1/3) / (1/2) = 2/3
Análogamente vemos los casos faltantes:

19. Desde aquí llegamos a la conclusión de que la probabilidad de que el
auto esté en la puerta C, si el presentador abrió la B y el concursante
eligió la A es igual a 2/3, en cambio, la probabilidad de que esté detrás
de la puerta A es 1/3.
Por otro lado si suponemos que el participante elige la puerta B,
por obviedad también los resultados serán análogos, veamos
en este ejemplo:
Como antes dijimos el caso en que el presentador abra la puerta C
es análogo al caso anterior, ya que lo único que se modificará será el
orden de los resultados, obteniendo 1/3 la probabilidad de que el
auto esté detrás de la puerta A, y 2/3 de que esté detrás de la B,
por lo que también es beneficioso cambiar.
Sabemos que la P(Y=A) = P (Y=C) = 1/2

20. P(X=A/Y=A) = [P(Y=A/X=A).P(X=A)]/ P(Y=A) = 0 / (1/2) = 0
P(X=B/Y=A) = [P(Y=A/X=B).P(X=B)]/ P(Y=A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
P(X=C/Y=A) = [P(Y=A/X=C).P(X=C)]/ P(Y=A) = (1/3) / (1/2) = 2/3
Como podemos observar los resultado se repiten, y
siempre coinciden en el resultado esperado, es decir es
preferible cambiar de puerta, con una probabilidad de
2/3, mientras que la probabilidad de que el auto esté en
la escogida desde el principio es solo de 1/3.
Concluimos en que si el concursante elige la puerta C,
será también un caso análogo a los antes vistos.

21. Ahora veremos si lo podemos generalizar:
Supongamos que tenemos un número n de puertas, tal que n>3,
donde detrás de n-1 puertas hay cabras y detrás de la puerta
restante hay un auto.
Al elegir una puerta, el presentador nos abre n-2 puertas que
ocultan cabras. Nuestro interrogante se genera de pensar en
la manera que se modifica la probabilidad de ganar el auto, al
ir incrementando el valor de n.
En primer término estudiaremos la idea con un sencillo ejemplo
para intentar lograr una visualización, luego de este análisis
buscaremos una “absoluta” generalización haciendo tender el
número de puertas hacia el infinito.

22. Veremos en primer lugar qué pasa con 4 puertas:
Tenemos 4 puertas, elegiremos la puerta 1, con una probabilidad de 1/4 de acertar.

23. Claramente la probabilidad de ganar cambiando es mayor, es decir realizando
los cálculos correspondientes tendríamos que la probabilidad de ganar
cambiando es 3/4, veamos:
Ahora sabemos que nos conviene cambiar, veamos:

24. Es como bien pensamos…
Vemos la justificación matemática:

25. Si graficamos como en el caso de las tres puertas todas las posibilidades
obtendremos que dentro de 16 posibilidades, es decir 4²; dentro de dicha
matriz, obtendremos el número de soluciones igual a 4, es decir a n, pues
siempre es la diagonal principal de la misma.
Luego comprendemos que las posibilidades de ganar sin cambiar son
4/(4²)= 1/4 mientras que la probabilidad de ganar cambiando es
(4²-4)/(4²)= 4(4-1)/4² = 3/4
Con 5 puertas sucede lo mismo:
Probabilidad de ganar sin cambiar es 5/(5²) = 1/5, en cambio la
probabilidad de ganar cambiando es (5²-5)/5² = 5(5-1)/5² = 4/5
Siempre se mantiene esta regularidad claramente visible en la matriz!
Pensemos de vuelta en n puertas:

26. La probabilidad de ganar sin cambiar sería entonces 1/n , mientras que
la probabilidad de ganar cambiando es (n-1)/n.
En primer lugar calcularemos la probabilidad de ganar dado que no cambia:
Probabilidad de ganar sin cambiar =
Probabilidad de ganar cambiando =
Quedando mas que claro lo conveniente que es cambiar!!!!

27. ¿Que pasará si pensamos ahora que hay una cantidad mayor que
uno de autos dentro de una cantidad finita e infinita de puertas?
• Para ello habría que modificar el enunciado y determinar con
cuántos autos se organizará el juego.
• La propuesta del juego pensado es esta:
Sobre una cantidad n de puertas hay k = (n/2)-1 autos, siendo k
y n valores enteros, en el caso de haber una cantidad de
puertas pares.
Si en cambio n fuere impar habría entonces [n/2] autos.
Esta idea de aproximar la cantidad de autos, sobre la cantidad de
cabras es interesante para pensar, y observar si la
probabilidad cambia al incrementar la cantidad de puertas.

28. Veamos ahora cómo lo resolvemos:
La probabilidad de ganar sin cambiar, por la regla de Laplace es
claramente k/n
Pensemos ahora la probabilidad de ganar cambiando:
Se lo puede pensar como el complemento del resultado
anterior, pues sería el caso de que el auto no estuviera en la
puerta elegida inicialmente, vemos entonces que pasa:

29. Probabilidad de ganar cambiando= 1-(k/n)= (n-k)/n
Luego, dado que K= (n/2) - 1 podemos concluir que (n-k) > k, por lo
que nuevamente concluimos que conviene cambiar.
… Te invitamos a pensar la conclusión del caso de n impar.
AHORA SABEMOS COMO
GANAR!!!!

30. Bibliografía:
La información de la historia se extrajo de los siguientes linck:
• http://edu.jccm.es/ies/4hellin/Matematicas/MCSII/Probabilid
ad/Probabilidad.htm#2
• http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall
(wikipedia).
El libro usado:
“Notas de clase 2013”, curso “Probabilidad y estadística 2013”
de Prof. Lic. Maria Paula Dieser

31. Muchas gracias por su atención!!!!