El documento aborda la teoría y operaciones con vectores en dos y tres dimensiones, incluyendo la suma, resta, multiplicación por un escalar, producto punto y producto cruz. Además, se mencionan las transformaciones lineales como rotación, reflexión, traslación, expansión y contracción, así como su aplicación en espacios vectoriales mediante matrices. Finalmente, se destacan herramientas como Geogebra y Matplotlib para la visualización y manipulación de conceptos matemáticos.

1. PROYECTO
FINAL
Vectores en dos y tres dimensiones
Alm.: Joel Hernández Monsiváis
2MTFLEXA
Prof.: Laura Leticia Aguirre Padilla

2. VECTORES EN DOSY TRES
DIMENSIONES
▪ Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. La
componente “x” (a la que denominaremos Ax) del vector A es la sombra que este
último hace sobre el eje x; por otra parte, la componente “y” (a la que
denominaremos Ay) del vector A es la sombra que este último hace sobre el eje y
La suma vectorial de ambas componentes debe dar como resultado el vector A:
▪ Ax + Ay = A

3. OPERACIONES CON
VECTORES EN DOSY TRES
DIMENSIONES
▪ Módulo o magnitud: El módulo de un vector es su longitud y se calcula utilizando el
teorema de Pitágoras en dos dimensiones y la fórmula generalizada en tres
dimensiones.

4. SUMA
La operación de suma de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para
realizar la suma de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica
o mediante el uso de geometría analítica
▪ El método algebraico es conocido como método directo.
▪ Los métodos usando geometría analítica son conocidos como, el método del
polígono que es utilizado para sumar más de dos vectores, el método del triángulo
es el caso particular del método del polígono cuando únicamente se suman dos
vectores, y el método del paralelogramo igualmente para sumar dos vectores.

5. RESTA
▪ La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para
realizar la resta de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica
o mediante el uso de geometría analítica.
▪ El método algebraico es conocido como método directo.
▪ Los métodos usando geometría analítica son conocidos como, el método del
polígono que es utilizado para restar más de dos vectores, el método del triángulo
es el caso particular del método del polígono cuando únicamente se restan dos
vectores, y el método del paralelogramo igualmente para restar dos vectores.

6. MULTIPLICACIÓN POR UN
ESCALAR
Si tiene una magnitud y una dirección d , entonces donde n es un número real
positivo, la magnitud es , y su dirección es d . Dese cuenta que si n es negativa,
entonces la dirección de n u es el opuesto de d .

7. PRODUCTO PUNTO
El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un
número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el
producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esto
Sin embargo, la forma más común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de
los productos de sus respectivas coordenadas, es decir, si y , entonces podemos definir el producto
punto como

8. PRODUCTO CRUZ
▪ el producto cruz entre dos vectores como
▪ (se pronuncia "a cruz b"). A diferencia del producto punto, el cual regresa un
número, el resultado de un producto cruz es otro vector. Digamos que . Este nuevo
vector tiene dos propiedades especiales.

9. ▪ Primero, es perpendicular tanto a como a . Expresando esto en términos del
producto punto, podríamos decir que . Esta propiedad por sí sola hace que el
producto cruz sea bastante útil. Es también por esto que el producto cruz solo
funciona en tres dimensiones. En 2D, no siempre hay un vector perpendicular a
cualquier par de otros vectores. En cuatro y más dimensiones, hay un número
infinito de vectores perpendiculares a un par dado de otros vectores.

10. VECTOR UNITARIO
▪ Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a
partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.
▪ AB mide 3, por lo que:
▪ Y su módulo:
▪ Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier
eje. Así, para los ejes cartesianos x, y, z se emplean los vectores i, j y k

11. TRANSFORMACIÓN DE
VECTORES
▪ Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales.
Ellas preservan (mantienen) las estructuras lineales que caracterizan a esos
espacios: los transformados de combinaciones lineales de vectores son las
correspondientes combinaciones de los transformados de cada uno de los
vectores.

12. APLICACIÓN
▪ son algunas de las funciones más importantes.
En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se
pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para
aproximar localmente funciones

13. REFLEXIÓN:
▪ Es una transformación que invierte o refleja un objeto respecto a un plano. Cada
punto del objeto original es reflejado a través del plano de reflexión para obtener
su posición en el objeto reflejado. Por ejemplo, un espejo produce una reflexión en
un plano vertical.

14. ROTACIÓN:
▪ La rotación puede ser en sentido horario (negativo) o antihorario (positivo),
dependiendo del signo del ángulo de rotación.
El centro de rotación puede ser un punto fijo dentro del objeto o externo al mismo.
Las rotaciones pueden ser de 90 grados (rotación ortogonal), 180 grados (rotación
en sentido opuesto), 270 grados, etc.
En tres dimensiones, la rotación puede ocurrir alrededor de un eje específico.

15. TRASLACIÓN:
▪ La traslación puede ser en una dimensión (traslación lineal) o en dos o tres
dimensiones.
▪ En matemáticas, la traslación se representa mediante vectores de traslación que
indican la cantidad de desplazamiento en cada dirección.
▪ Las traslaciones son útiles para describir movimientos de objetos en el espacio,
como el desplazamiento de un automóvil a lo largo de una carretera.

16. EXPANSIÓN:
▪ También conocida como dilatación, la expansión aumenta las dimensiones de un
objeto.
La expansión puede ocurrir de manera uniforme en todas las direcciones o de
manera anisotrópica, es decir, con diferentes factores de escala en diferentes
direcciones.
Es común en aplicaciones como el escalado de imágenes o el redimensionamiento
de objetos en gráficos por computadora.

17. CONTRACCIÓN:
▪ La contracción, al contrario de la expansión, disminuye las dimensiones de un
objeto.
Al igual que la expansión, la contracción puede ser uniforme o anisotrópica.
La contracción se utiliza a menudo en aplicaciones como la compresión de imágenes
o la reducción de tamaño de objetos en gráficos por computadora para ahorrar
espacio o mejorar la visualización.

18. TRANSFORMACIÓN CON
MATRICES EN ESPACIOS
VECTORIALES.
▪ La transformación con matrices en espacios vectoriales es un concepto
fundamental en álgebra lineal que se utiliza para describir cómo los vectores se
transforman o cambian cuando se aplican ciertas operaciones representadas por
matrices. Aquí tienes una explicación de las operaciones básicas para la
transformación con matrices en espacios vectoriales:
▪ Dada una matriz A de tamaño ×m×n y un vector v de tamaño ×1
n×1, la multiplicación de A por v se realiza multiplicando cada fila de la matriz por
cada elemento correspondiente del vector, y luego sumando los resultados para
obtener un nuevo vector.

19. APLICACIONES
▪ GeoGebra: Es una herramienta de matemáticas dinámicas que permite explorar
geometría, álgebra, cálculo y otras áreas matemáticas. Puede utilizarse para
visualizar y realizar transformaciones geométricas en figuras.

20. ▪ Matplotlib (con Python): Es una biblioteca de visualización de datos en 2D y 3D que
puede utilizarse para generar gráficos y visualizaciones, incluyendo figuras
geométricas y sus transformaciones mediante programación en Python