introducción a los vectores (widmar Aguilar)

1. VECTORES
INTRODUCCION VECTORIAL.-
Dentro de la física intervienen magnitudes escalares y vectoriales. El
término escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede
representarse con un simple número real (positivo o negativo). Las x,
y y z usadas en álgebra básica son escalares, y las cantidades que
representan también lo son. Si hablamos de un cuerpo que cae a una
distancia L en un tiempo t, o de la temperatura T en cualquier punto
en un tazón de sopa cuyas coordenadas son x, y y z, entonces L, t, T,
x, y , z son escalares. Otras cantidades escalares son la masa, la
densidad, la presión (pero no la fuerza), el volumen y la resistividad
volumétrica.
El voltaje también es una cantidad escalar, aunque la representación
compleja en números complejos de un voltaje sinusoidal (un
procedimiento artificial) produce un escalar complejo o fasor, cuya
representación necesita dos números reales, como la amplitud y el
ángulo de fase, o parte real y parte imaginaria.
Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección en el
espacio. Sólo serán de interés los espacios de dos y tres dimensiones,
aunque en aplicaciones más avanzadas los vectores pueden definirse
en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleración y
una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un
acumulador son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan
tanto una magnitud como una dirección.
Los campos escalares y vectoriales serán de mayor importancia. Un
campo (escalar o vectorial) puede definirse matemáticamente como la
función del vector que conecta un origen arbitrario con un punto
cualquiera en el espacio.

2. La localización de un punto se hace por medio de sus coordenadas x,
y y z. Éstas son, respectivamente, las distancias desde el origen a cada
una de las intersecciones de una proyección perpendicular desde el
punto de los ejes x, y y z. Un método opcional para interpretar los
valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en
todos los demás sistemas de coordenadas, es considerar el punto como
la intersección de tres superficies, los planos x = constante, y =
constante y z = constante, siendo las constantes los valores de las
coordenadas del punto.
Componentes vectoriales y vectores unitarios.-

3. Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se
considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen.
Una manera de identificar este vector es proporcionar los tres
componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes
coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si
las componentes vectoriales de un vector r son x, y, z, entonces r =
x 𝒊⃗ + y 𝑗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗. Las componentes vectoriales se muestran en la figura.
En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto significa un paso
hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla
y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes
coordenados.
Las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del
vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una
dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios,
los cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo
largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los
valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector
unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado.
Entonces 𝑖⃗ , 𝑗⃗ y 𝑘⃗⃗ son los vectores unitarios en el sistema de
coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y, z,
respectivamente, como lo muestra la figura.

4. Cualquier vector 𝐵⃗⃗, se puede describir por B = Bx 𝑖⃗ + By 𝑗⃗ + Bz 𝑘⃗⃗. La
magnitud
de B, denotada por |B| o simplemente B, está dada por
Si 𝑒⃗ es un vector unitario en la dirección de un vector cualesquiera,
entonces se tiene:
𝐴⃗ = 𝐴𝑒⃗
𝑒⃗ =
𝐴⃗
𝐴
; A = módulo del vector
Los vectores unitarios relacionados con los sistemas de referencias
son:
𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘⃗⃗
Para el espacio:

5. 𝐴⃗ = 𝐴 𝑥 𝑖⃗ + 𝐴 𝑦 𝑗⃗ + 𝐴 𝑧 𝑘⃗⃗
Cosenos Directores.-
Se llaman cosenos directores del vector a los cosenos de los ángulos
que forma el vector con cada uno de los ejes.
cos 𝛼 =
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
; cos 𝛽 =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
; cos 𝜑 =
𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑐𝑜𝑠2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜑 = 1
Además:
X= |𝐴⃗| cos 𝛼 ; 𝑦 = |𝐴⃗| cos 𝛽 ; 𝑧 = |𝐴⃗| cos 𝜑
Suma y resta de vectores
Considerando que el vector opuesto de un vector A dado es:
𝐴⃗ = −𝐴⃗
La suma y resta se puede considerar como una misma operación, así:
𝑆⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + (−𝐵⃗⃗)

6. Si 𝐴⃗ = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑏1 𝑗⃗ + 𝑐1 𝑘⃗⃗
𝐵⃗⃗ = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) = 𝑎2 𝑖⃗ + 𝑏2 𝑗⃗ + 𝑐2 𝑘⃗⃗
𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (𝑎1 + 𝑎2)𝑖⃗ + (𝑏1 + 𝑏2) 𝑗⃗ + (𝑐1 + 𝑐2) 𝑘⃗⃗
También para la resultante de dos vectores se puede utilizar la
siguiente expresión:
------------
De:

7. h= A sen𝜃
R2 = (Asen𝜃)2 +[B+Acos 𝜃]2
R2 = A2 sen2 𝜃 + B2 +2ABcos 𝜃+ A2cos2 𝜃
R2 = A2 (sen2 𝜃 +cos2 𝜃)+B2 +2AB cos 𝜃
R2 = A2 + B2 + 2ABcos 𝜃
También se cumple la relación:
------------------------- LEY DE LOS
SENOS
Vectores paralelos:
Dos vectores son paralelos si cumplen la siguiente relación:
𝐴⃗ = 𝑘𝐵⃗⃗ → 𝐴⃗ ∥ 𝐵⃗⃗ ; k ∈ 𝑅

8. Negativo de un vector:
El negativo del vector 𝐴⃗ se define como el vector que, cuando se
suma con 𝐴⃗ 𝑑𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 para la suma vectorial, esto es:
𝐴⃗ + (−𝐴⃗) = 0
Los vectores 𝐴⃗ 𝑦 − 𝐴⃗ tienen la misma magnitud pero apuntan en
direcciones opuestas.
Multiplicación de vectores:
La multiplicación de vectores son:
a) Escalar
b) Vectorial
A1) Productor Escalar de dos vectores:
Se escribe como 𝐴⃗ . 𝐵⃗⃗; 𝑡ambién se le conoce como producto punto y se
define así:
𝐴⃗ . 𝐵⃗⃗ = (𝐴)(𝐵) cos 𝜃
𝜃 − − − −á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴 𝑦 𝐵
El producto escalar es conmutativo:
𝐴⃗ . 𝐵⃗⃗ = 𝐵⃗⃗ . 𝐴⃗

9. El producto escalar también obedece a la ley distributiva de la
multiplicación.
𝑨⃗⃗⃗ . (𝑩⃗⃗⃗ + 𝑪⃗⃗⃗ ) = 𝑨⃗⃗⃗ . 𝑩⃗⃗⃗ + 𝑨⃗⃗⃗ . 𝑪⃗⃗⃗
Proyección de un vector sobre otro.-
Una de las aplicaciones más importantes del producto punto consiste
en encontrar la componente de un vector en una dirección dada. Si se
observa la figura, es posible obtener la componente escalar de B en
la dirección que especifica el vector unitario 𝑎⃗ :
En el siguiente gráfico:
Del producto escalar, se tiene:
𝐴⃗ . 𝐵⃗⃗ = ⌈𝐴⃗⌉ ⌈𝐵⃗⃗⌉ cos 𝜃
⌈𝐴⃗⌉ cos 𝜃 = 𝑝 − − − − − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵

10. 𝐴⃗ . 𝐵⃗⃗ = ⌈𝐵⃗⃗⌉ 𝑝
𝑝 = 𝐴⃗.
𝐵⃗⃗
⌈𝐵⃗⃗⌉
= 𝐴⃗ . 𝑒⃗ 𝐵
𝒑⃗⃗⃗ = (𝑨⃗⃗⃗ . 𝒆⃗⃗ 𝑩) . 𝒆⃗⃗ 𝑩
𝑒⃗ 𝐵 … … … … . 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵
De : 𝐴⃗ . 𝐵⃗⃗ = ⌈𝐴⃗⌉ ⌈𝐵⃗⃗⌉ cos 𝜃 , se deduce lo siguiente:
𝒊⃗ . 𝒊⃗ = 𝒋⃗ . 𝒋⃗ = 𝒌⃗⃗⃗ . 𝒌⃗⃗⃗ = 𝟏
𝒊⃗ . 𝒋⃗ = 𝒊⃗ . 𝒌⃗⃗⃗ = 𝒌⃗⃗⃗ . 𝒊⃗ = 𝒋⃗ . 𝒌⃗⃗⃗ = 𝟎
Si:
b1) Producto Vectorial.-
Dados los vectores A y B. El productor vectorial se define como:
𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ = ⌈𝐴⃗⌉ ⌈𝐵⃗⃗⌉ sen 𝜃
𝜃 − − − −á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴 𝑦 𝐵

11. La dirección del productor vectorial está dado por la LEY DE LA MANO
DERECHA.
• El producto vectorial no es conmutativo, es decir:
𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ ≠ 𝐵⃗⃗ 𝑋 𝐴⃗ ; 𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ = − 𝐵⃗⃗ 𝑋 𝐴⃗
• Si A y B son vectores paralelos, se tiene:
𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ = 0 (𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟)
• Si a y B son vectores perpendiculares, se tiene:
⌈𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗⌉ = (A) (B)
De la definición del productor vectorial o producto cruz, se tiene.

12. 𝑖⃗ 𝑥 𝑖⃗ = 𝑗⃗ 𝑥 𝑗⃗ = 𝑘⃗⃗ 𝑥 𝑘⃗⃗ = 0
𝑖⃗ 𝑥 𝑗⃗ = - 𝑗⃗ 𝑥 𝑖⃗ = 𝑘⃗⃗
𝑗⃗ 𝑥 𝑘⃗⃗ = - 𝑘⃗⃗ 𝑥 𝑗⃗ = 𝑖⃗
𝑘⃗⃗ 𝑥 𝑖⃗ = - 𝑖⃗ 𝑥 𝑘⃗⃗ = 𝑗⃗
Los signos se pueden intercambiar, así:
𝑖⃗ 𝑥(− 𝑗⃗) = - 𝑖⃗ 𝑥 𝑗⃗ = −𝑘⃗⃗
El productor cruz de dos vectores se puede evaluar utilizando el
determinante tres x tres, así:
𝐴⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘⃗⃗
𝐵⃗⃗ = 𝑏1 𝑖⃗ + 𝑏2 𝑗⃗ + 𝑏3 𝑘⃗⃗
𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ = ⌈
𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘⃗⃗
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
⌉
𝐴⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ = ⌈
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
⌉ 𝑖⃗ - ⌈
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
⌉ 𝑗⃗ + ⌈
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
⌉ 𝑘⃗⃗
Ejemplo)
Encuentre la suma de dos vectores A y BS que se encuentran en el
plano XY y está dada por
𝑨⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟐 𝒋 (𝒎) ; 𝑩⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 − 𝟒𝒋
𝑆⃗ = 𝑨⃗⃗⃗ + 𝑩⃗⃗⃗ = (𝟐 + 𝟐)𝒊 + (𝟐 − 𝟒)𝒋
𝑆⃗ = 4i -2j
{
𝑥 = 4 (𝑚)
𝑦 = −2 (𝑚)