Este documento presenta un resumen de un curso de física sobre análisis vectorial. Introduce los conceptos básicos de vectores, escalares y tensoriales. Explica las propiedades y operaciones con vectores como suma, resta, multiplicación por escalares, producto escalar y producto vectorial. Incluye ejemplos de aplicación de estos conceptos a problemas físicos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO
ANTÚNEZ DE MAYOLO”
CURSO: FISICA I
ANALISIS VECTORIAL
AUTOR: Ing. Eric Trejo Maguiña
HUARAZ - PERÚ
2013

2. I. INTRODUCCIÓN
• Es una parte esencial de la matemática útil para
físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.
• Constituye una noción concisa y clara para
presentar las ecuaciones de modelo matemático
de las situaciones físicas
• Proporciona además una ayuda inestimable en la
formación de imágenes mentales de los
conceptos físicos.

3. II. VECTORES Y ESCALARES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse
necesitan de un número real y su
correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo;
la temperatura.
2. VECTORES: Aquellas que para expresarse
necesitan de una magnitud, una dirección y un
sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la
fuerza, etc.
3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una
magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem:
El esfuerzo normal y cortante, la presión

4. III. VECTOR
• Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo una dirección y un
sentido.
• Gráficamente a un vector se representa por un
segmento de recta orientado
• Analíticamente se representa por una letra con
una flecha encima.
OP

5. Elementos de un vector
1. Dirección:
Gráficamente viene representada por la recta
soporte. En el plano por un ángulo y en el
espacio mediante tres ángulos

6. III. Elementos de un vector
2. sentido: Es el elemento que indica la orientación
del vector . Gráficamente viene representada
por la cabeza de flecha.
3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud
física a la cual se asocia. Gráficamente viene
representado por la longitud del segmento de
recta

7. IV. Clase de vectores
1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un
aposición fija en el espacio. Tal cantidad se
representa por un número infinito de vectores
que tienen la misma magnitud, dirección y
sentido.
2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y
solo una recta a lo largo de la cual actúan.
Pueden representarse por cualquier vector que
tenga sus tres elementos iguales ubicado en la
misma recta.
3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un
punto de aplicación

8. V. Algebra vectorial
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres
elementos idénticos
2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la
misma magnitud y dirección pero sentido
opuesto

9. Algebra vectorial: Suma vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la
ley de cosenos-
2 2
R  A  B  2 A B cos
• La dirección mediante la ley de cosenos
R A B
 
sen (  
 )
sen sen

10. Algebra vectorial: Resta vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud del vector diferencia D es
2 2 2 2
D  A  B  2 A B cos(  )  A  B  2 A B cos( )
• La dirección mediante la ley de cosenos
D A B
 
sen (  )
sen sen

11. Leyes del algebra vectorial
1. Conmutatividad.
2. Asociatividad

12. Multiplicación de un escalar por un vector
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es un nuevo vector cA
. La
magnitud del vector producto es c veces la magnitud del
vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma
dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el
vector producto es de sentido opuesto a

13. Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
1. Les asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe
2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la
suma de dos vectores se tiene

14. Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la suma de dos escalares por el
vector A se tiene

15. Suma de varios vectores
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley
del paralelogramo o del triángulo. Es decir

16. VI. VECTOR UNITARIO
• Es un vector colineal con el vector original
• Tiene un módulo igual a la unidad
• Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆA
A
e
A

A  A eˆA

17. VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES
• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
vectores unitarios
ˆ ˆˆ,, i j k
• Cada uno de estos vectores unitario a tiene
módulos iguales a la unidad y direcciones
perpendiculares entre sí.
iˆ  ˆj  kˆ 1

18. VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas
componentes. El único requisito es que La suma de esta
componentes nos de le vector original. La descomposición
pude ser en un plan o en el espacio.
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO

19. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO
A  A 
A
A A i A j
x y
ˆ ˆ
 
x y
cos ˆ ˆ
(cos ˆ ˆ)
ˆ
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
 
 

A
ˆ (cos ˆ ˆ)
e i sen j
A
 
 
 
 
2 2
x y A  A  A
A
A tg 
y
x

20. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN
EL PLANO.
Para ello trace rectas paralelas y a las originales que
pasen por el extremo del vector original formándose un
paralelogramo cuyos lados son las componentes
a a b b A A A    

21. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio. Cualquier vector puede
descomponerse en tres componentes

22. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio.
A  A  A 
A
x y z
ˆ ˆ ˆ
A  A i  A j 
A k
x y z
cos ˆ cos ˆ cos ˆ
(cos ˆ cos ˆ cos ˆ)
ˆ
A  A i  A j 
A k
A  A i  j 
k
A 
Ae
A
ˆ (cos ˆ cos ˆ cos ˆ)
e i j k
A
  
  
  
  
2
2 2 2
x y z A  A  A  A
cos Ax
A  
cos Ay
A  
cos Az
A  

23. VECTOR POSICIÓN
r  OP  xiˆ  yˆj  zkˆ

24. VECTOR POSICIÓN RELATIVO
r  (x  x )iˆ(y  y ) ˆj (z  z )kˆ
1 2 1 2 1 2

25. VIII. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos
vectores A y B denotado por AB
. y expresado A
multiplicado escalarmente B, se define como el
producto de las magnitudes de los vectores A y
B por el coseno del ángulo que forman ellos.

26. Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores
por un tercer vector

27. Propiedades del producto escalar
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
5. Producto escalar de dos vectores unitarios
diferentes.
6. Producto escalar de dos vectores

28. Propiedades del producto escalar
7. Producto escalar de dos vectores en forma de
componentes .
Entonces tenemos
8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.
Entonces dichos vectores son perpendiculares
A.B  0 A  B

29. INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALER
Geométricamente esta situación se muestra en la
figura

30. VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL
c rb a rb rb
.( )  0  (  ). 
0
2 2
r a b r b
( . ) 0
 
a .
b
2
r
b

a .
b b b
oy a rb b a
Pr   ( ) 
[ . ]
2
b b b
Pr [ .ˆ ]ˆ
b
oy a 
a e e
b b b

31. IX. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B,
es un tercer vector C
el cual es perpendicular al plano
formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al
producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del
ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la
regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

32. REGLA DE LA MANO DERECHA
a. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo
índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo
vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto
de ambos.
b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha
tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el
dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

33. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo

34. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
3. Multiplicación de un escalar por el producto
vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

35. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
i j k
AxB A A A
x y z
B B B
x y z

AxB  i A B  A B  j A B  A B  k A B 
A B
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que tiene a los vectores A y B
Area 
AxB
Area A Bsen A h
 
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores
son paralelos.
ˆ ˆ ˆ
ˆ( ) ˆ( ) ˆ( )
y z z y x z z x x y y z
( ) ( )

36. Ejemplo 01
• La figura muestra un cubo en donde se han
trazado distintos desplazamientos de un abeja
cuando cambia de la posición 1,2,3 y 1.¿Cuanto
vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual
es el desplazamiento total?.

37. Ejemplo 02
En la figura se muestra dos fuerzas actuando
sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas
son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es
la magnitud y la dirección de la fuerza
resultante?.

38. Ejemplo 03
• Un avión viaja en la dirección Este con una
velocidad de 480 km/h y entra a una región
donde el viento sopla en la dirección 30° Norte
del este con una velocidad de 160 km/h.
Determine la magnitud y dirección de la nave
SOLUCION

39. EJEMPLO O2
La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco
de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una
magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable
unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea
un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable
para esta situación?

40. Ejemplo
• La camioneta es remolcada usando dos cables como se
muestra en la figura. Determine las magnitudes de las
fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables,
sabiendo que la superposición de ambas dan una
resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x.
Considere que =50°

41. Ejemplo 04
La figura muestra un triángulo cuyos lados son
Demuestre el teorema de los cosenos
SOLUCION

42. Ejemplo 05
Sabiendo que el módulo de los vectores D y G
son 10 y 20 2
unidades respectivamente.
Determine el vector unitario del vector
W  A B C  D E  F G

43. Ejemplo 06
En la figura mostrada, determine el vector x, en
función de los vectores A y B. Si PQRS es un
cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo

44. Ejemplo 07
Descomponga el vector fuerza de 400 kN
representado en la figura en dos componentes,
una según la dirección AB y la otra
perpendicular a ella

45. EJEMPLO O1
Determine el ángulo θ
para conectar el
elemento a la placa tal
que la resultante de las
fuerzas FA y FB esté
dirigida horizontalmente
a la derecha.
Determine además la
magnitud de la fuerza
resultante

46. EJEMPLO O1
Un cable ejerce una
fuerza F en el soporte
del miembro estructural.
Si la componente x de F
es 4 kN. Halle su
componente y y su
módulo

47. Ejemplo
• Utilizar el método de las componentes
rectangulares para determinar el módulo R de a
resultante y los ángulos que forma su recta soporte
con los semiejes x, y, z de coordenadas.

48. Ejemplo 08
La resultante de la tres fuerzas mostradas en la
figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de
la fuerza A y (b) la resultante del sistema

49. Ejemplo
• Exprese la fuerza en componentes i, j y k y
determine la proyección de F = 800 N sobre
BC

50. Ejemplo
(a) Exprese la fuerza
de 250 N de módulo
en componentes i, j
y k .
(b) halle la proyección
ortogonal del vector
fuerza sobre la línea
CA

51. EJEMPLO O2
(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los
vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la
recta OA.

52. Ejemplo
• A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma
que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y
sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman
las fuerzas F1 y F2.

53. Ejemplo 09
Determine la resultante del sistema de vectores
fuerza mostrados en la figura

54. EJEMPLO O2
Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de
110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la
otra es perpendicular a esta línea.

55. Ejemplo
• La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y está
dirigida de A hacia B.
Determine: (a) La proyección
FCD de La fuerza F sobre la
recta CD (b) el ángulo que θ
que forma la fuerza F y la
recta CD.

56. Ejemplo 10
Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea
recta que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y
P2(1, 1, 4)

57. Ejemplo 10
Calcular la distancia desde el punto P de
coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que
pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al
vector ˆ ˆ ˆ A  4i  j  3k

58. Ejemplo 10
Halle el vector unitario perpendicular al plano
formado por los vectores
A  2iˆ  6 ˆj  3k B  4iˆ  3 ˆj  k
Usando (a) el producto escalar y (b) el producto
vectorial.

59. Ejemplo 11
Halle la ecuación del plano perpendicular al
vector A  2iˆ  3 ˆj  k
y que pasa por el extremo
del vector
B  iˆ  5 ˆj  3k

60. Ejemplo 11
Demostrar que los vectores
A 3iˆ ˆj 2kˆ; B  iˆ3ˆj 4kˆ y C  4iˆ2ˆj 6kˆ
pueden ser los lados de un triángulo y hallar las
longitudes de las medianas de dichos triangulo

61. Ejemplo 11
Hallar el área del paralelogramo cuyas
diagonales son los vectores
A 3iˆ ˆj 2kˆ; y B  iˆ3ˆj 4kˆ

62. Ejemplo 12
(a) Halle los vectores de posición r1 r2 de los
puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de
coordenadas trirectangulares en función de los
vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y
analíticamente la resultante de dichos vectores.

63. Ejemplo 13
Halle un vector unitario con la dirección y
sentido de la resultante de los vectores
r  2iˆ4 ˆj 5kˆ
1
r  iˆ ˆj  2kˆ
2

64. Ejemplo 14
• Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B
es igual al módulo del producto vectorial

65. Ejemplo 14
• Determine el vector unitario perpendicular al plano formado
por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k

66. Ejemplo
Halle el vector unitario paralelo al plano xy
y perpendicular al vector B  4iˆ 3 ˆj  kˆ

67. Ejemplo
Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no
perpendiculares a lo largo de las rectas l1 y l2mostrada en
la figura.

68. Ejemplo
Descomponga la fuerza de
250 N en dos direcciones no
perpendiculares a lo largo de
las rectas PR y QRmostrada
en la figura.

69. Problemas de aplicación
1) Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma
de las tres fuerzas sea nula.
2) ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F =
(2000i - 3000j +600k)lb?.
3) Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza
eˆ  0,8iˆ  0.6 ˆj
ˆe
normal a que sumadas resulten en la fuerza
F  (5iˆ 10 ˆj  3kˆ)N
4) Dados los vectores
A  (2iˆ  4 ˆj  0kˆ)lb B  (0iˆ  3 ˆj  48kˆ)lb
C  0iˆ  5 ˆj  0kˆ
y : Determine:
C(A.C)  B
5) Halle los cosenos directores de la fuerza
F  (30iˆ  40 ˆj  120kˆ)N
y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con
los ejes coordenados.

70. Problemas de aplicación
6.