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1. Operaciones con vectores.-
Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones,
son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:
Un Vector es un segmento orientado.
A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente:
“origen” y “extremo” del vector.
Todo vector se caracteriza por:
Módulo: que es la distancia del punto P al Q.
Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).
Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.
(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).
Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo,
la misma dirección y el mismo sentido.
Los vectores:
→
PQ y
→
RS cumplen las tres
condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos
hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera
de los que son iguales a él.
Todos ellos son representantes de un único vector.
Habitualmente al vector se le designa con una flecha
encima de una letra minúscula:
→
u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus
representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima:
→
PQ (por ejemplo)
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
Dado un número 0≠k y un vector
→
u definimos el
vector
→
uk [o simplemente
→
uk ] como aquel que:
*tiene la misma dirección que
→
u .
*el mismo sentido que
→
u si 0>k y
sentido contrario al de
→
u si 0<k
*su módulo es igual al de
→
u multiplicado por el
valor absoluto de: k .
Si 1−=k el vector
→
uk se denomina opuesto del
vector
→
u , se escribe:
→
−u
Si 0=k el vector
→
uk es el vector cero:
→
0 cuyo extremo y orígen
coinciden.
Cesáreo Rodríguez - 2 -](https://image.slidesharecdn.com/vectoresenelespacio-140314172300-phpapp02/85/Vectores-en-el-espacio-2-320.jpg)
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Vectores en el espacio
Este documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional. Explica conceptos como operaciones con vectores, expresión analítica de vectores, producto escalar y vectorial de vectores, y sus propiedades. También define conceptos como base de un espacio vectorial, coordenadas de un vector, y producto mixto de tres vectores. El objetivo es que los estudiantes comprendan las herramientas básicas para trabajar con vectores en un espacio tridimensional.
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- 1. Geometría Vectores en elespacio.- 1. Operaciones con vectores. 2. Expresión analítica de un vector. 3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades. 4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades. 5. Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Objetivos Mínimos - Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores. - Vectores linealmente dependientes e independientes. Base de un espacio vectorial tridimensional. Coordenadas de un vector respecto a una base. - Definición de producto escalar de vectores y su expresión analítica. Aplicaciones del producto escalar de dos vectores: • para hallar el ángulo entre ellos • para determinar la proyección de un vector sobre otro • para comprobar perpendicularidad entre ambos. - Definición de producto vectorial y su expresión analítica. Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores: • para calcular el área del paralelogramo que determinan. • para obtener un vector perpendicular a ambos. - Definición de producto mixto de tres vectores y su expresión analítica. Aplicación del producto mixto: • para calcular el volumen del paralelepípedo que determinan. Introducción.- El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad. Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales. Gauss los utilizó para representar los números complejos. En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton. Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de dimensión(n). Cesáreo Rodríguez - 1 -
- 2. Geometría 1. Operaciones convectores.- Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que: Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector. Todo vector se caracteriza por: Módulo: que es la distancia del punto P al Q. Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela). Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q. (cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido). Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores: → PQ y → RS cumplen las tres condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él. Todos ellos son representantes de un único vector. Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minúscula: → u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima: → PQ (por ejemplo) PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO Dado un número 0≠k y un vector → u definimos el vector → uk [o simplemente → uk ] como aquel que: *tiene la misma dirección que → u . *el mismo sentido que → u si 0>k y sentido contrario al de → u si 0<k *su módulo es igual al de → u multiplicado por el valor absoluto de: k . Si 1−=k el vector → uk se denomina opuesto del vector → u , se escribe: → −u Si 0=k el vector → uk es el vector cero: → 0 cuyo extremo y orígen coinciden. Cesáreo Rodríguez - 2 -
- 3. Geometría SUMA Y RESTADE VECTORES. Dados dos vectores → u y → v cualesquiera. Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orígen común(O). En ese caso el vector suma: →→ + vu es la diagonal cuyo orígen es (O). El vector resta: →→ −vu es la diagonal que va del extremo de → v al extremo de → u . 2. Expresión analítica de un vector.- Dados los vectores del espacio: →→→→→ wtzyx ,......,,,, y los números: ldcba ,...,,,, la expresión: →→→→→ +++++ wltdzcybxa ...... se llama combinación lineal de dichos vectores. En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una combinación lineal de los vectores → u y → v . Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los restantes. Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes. Por ejemplo: *Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD). *Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI). *Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD). Así en el ejemplo de más arriba el vector → x es coplanario con los vectores → u y → v , es decir, → x es combinación lineal de → u y → v : →→→ += vux 12 . Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI). Dados tres vectores no coplanarios →→→ zyx ,, del espacio tridimensional. Cesáreo Rodríguez - 3 -
- 4. Geometría En estas condiciones,cualquier otro vector → u de ese espacio se puede escribir como combinación lineal única de los vectores →→→ zyx ,, . Se dice que los vectores →→→ zyx ,, forman una base del espacio tridimensional. Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es ortonormal. A partir de ahora, salvo indicación en contra, trabajaremos siempre con la base canónica del espacio tridimensional (que es ortonormal). Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como: tres números (a,b,c) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al punto Q(extremo) del vector dado. • “a” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección X (hacia adelante si a es positivo y hacia atrás si a es negativo). • “b” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Y (hacia la derecha si b es positivo y hacia la izquierda si b es negativo). • “c” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Z (hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo). OPERACIONES CON COORDENADAS. Como ya conocemos de cursos anteriores, las coordenadas de los vectores se comportan razonablemente cuando operamos con ellas. Así: Si ( ) ( )cbavycbau ′′′ →→ ,,,, son las coordenadas respectivas entonces: * ( )ccbbaavu ′+′+′+=+ →→ ,, Coordenadas de la Suma de vectores. * ( )kckbkauk ,,= → Coordenadas del Producto de un número por un vector. Como consecuencia de estos resultados, será enormemente útil y cómodo trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas. 3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades. Cesáreo Rodríguez - 4 -
- 5. Geometría Se define elproducto escalar de dos vectores → u y → v como el número que se obtiene del siguiente modo. = →→→→→→ vuvuvu ,cos. • Si →→ vu, es agudo, 0,cos > →→ vu y por tanto: 0. > →→ vu • Si →→ vu, es obtuso, 0,cos < →→ vu y por tanto: 0. < →→ vu Propiedad fundamental del producto escalar. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir: →→ ≠ 0u y →→ ≠ 0v ; →→→→ ⊥⇔= vuvu 0. Otras propiedades del producto escalar. Resulta conveniente conocer todas las propiedades que vamos a ver a continuación, por ello se pondrán en práctica con los ejercicios para que las memorices de forma natural. • Conmutatividad del producto escalar: →→→→ = uvvu .. (inmediato). • Propiedad asociativa: ).().().( →→→→→→ == vuvuvu λλλ (inmediato). • Propiedad distributiva: →→→→→→→ += + wuvuwvu ... • Módulo de un vector: →→→ = uuu . (inmediato de la definición). • Àngulo de dos vectores: →→ →→ →→ = vu vu vu . ,cos (inmediato). • Vector proyección de → u sobre → v es el vector: → → →→ v v vu 2 . → →→ →→ →→ →→→→ == v vu vu vu uvuu .. ,cos es la longitud del segmento (AB), con signo + ó - según sea(α ) agudo u obtuso. Si este número lo multiplicamos por el vector unitario: → → v v 1 obtenemos el vector proyección de → u sobre → v buscado: = → →→ →→ v vv vu 1. → → →→ v v vu 2 . . Expresión analítica del producto escalar. Cesáreo Rodríguez - 5 -
- 6. Geometría Si consideramos unabase ortonormal del espacio tridimensional, a la que llamamos con las letras = →→→ kjiB ,, (Física). Es fácil comprobar que: 1. = →→ ii ; 1. = →→ jj ; 1. = →→ kk 0. = →→ ji ; 0. = →→ ki ; 0. = →→ kj Si las coordenadas de los vectores → u y → v en la base = →→→ kjiB ,, son: ( ) ( )cbavcbau ′′′ →→ ,,,, el producto escalar de los vectores → u y → v se obtiene: ccbbaavu ′+′+′= →→ . Ejemplo.- Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son: ( ) ( ) ( )3,,211,7,45,1,3 kwvu −− →→→ . A) Calcula →→ vu . B) Determina ( )k para que → v y → w sean perpendiculares. A) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 601157143. =+−+= →→ vu B) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3378311724.0 ++−=++−== →→ kkwv 7 25 257 − =⇒−= kk Si ( ) ( )cbavcbau ′′′ →→ ,,,, son las coordenadas en la base: = →→→ kjiB ,, : Módulo de un vector 222 . cbauuu ++== →→→ Àngulo de dos vectores ( ) ( ) ( )222222 . ,cos cbacba ccbbaa vu vu vu ′+′+′++ ′+′+′ == →→ →→ →→ Proyección de → u sobre → v Segmento proyección: ( ) ( ) ( )222 . cba ccbbaa v vu ′+′+′ ′+′+′ =→ →→ Vector proyección: ( ) ( ) ( ) ( )cba cba ccbbaa v v vu ′′′ ′+′+′ ′+′+′ = → → →→ ,, . 2222 Ejemplo.- Si ( ) ( ) ( )2,,76,2,512,4,3 −−−− →→→ kwvu en la base = →→→ kjiB ,, Calcula: A) →→ vu . B) → u y → v C) ángulo que forman → u y → v D) vector proyección de → u sobre → v E) Determina ( )k para que →→ ⊥wu . A) 49. −= →→ vu B) 13. 222 =++== →→→ cbauuu 06,865 ≈= → v C) ( ) ( ) ( ) 467,0,cos 222222 −= ′+′+′++ ′+′+′ = →→ cbacba ccbbaa vu ; 25º117, ′= →→ vu D) Segmento proyección: ( ) ( ) ( ) ⇒−≈ − = ′+′+′ ′+′+′ =→ →→ 077,6 65 49. 222 cba ccbbaa v vu el vector proyección es de módulo: (6,07) y sentido contrario a → v . Vector proyección: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,2,5 65 49 ,, . 2222 −− − =′′′ ′+′+′ ′+′+′ = → → →→ cba cba ccbbaa v v vu Cesáreo Rodríguez - 6 -
- 7. Geometría E) 0. =⇔⊥ →→→→ wuwu; 4 3− =k 4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades. El producto vectorial de dos vectores →→ vu , , y escribimos →→ vxu , es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si →→ vu , son(LI), entonces el vector →→ vxu se caracteriza por: • Módulo: = →→→→→→ vxusenvuvxu • Dirección: perpendicular a ambos: →→→ ⊥ uvxu )( y →→→ ⊥ vvxu )( • Sentido: depende del ángulo que forman los vectores →→ vu , a) Si º180, < →→ vu hacia arriba. b) Si º180, > →→ vu hacia abajo. (recordemos que la medida del ángulo es en sentido positivo). Si →→ vu , son(LD), o sea alguno de ellos es el vector → 0 o tienen la misma dirección, entonces el vector →→ vxu es el vector cero,es decir, = →→→ 0vxu . Propiedades del producto vectorial de dos vectores.- • El módulo del vector →→ vxu es igual al área del paralelogramo definido por los vectores →→ vu , Área paralelogramo →→ = vxu ( coloreado amarillo) (área paralelogramo = base por altura) • →→→ = 0uxu cualquiera que sea → u • −= →→→→ uxvvxu )( (propiedad anticonmutativa). efectivamente pues son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos. • Los vectores de la base = →→→ kjiB ,, cumplen las igualdades: a) →→→ = kjxi b) →→→ = ikxj c) →→→ = jixk Cesáreo Rodríguez - 7 -
- 8. Geometría • = = →→→→→→ vaxuvxuavxuasiendo a una constante cualquiera. • →→→→→→ wxvxuaigualesnowxvxu )( ( no asociativo).En efecto: →→→→→→→→→→→→ −== == jkxijxixijxjxixi 00)( • Expresión analítica de →→ vxu Si ( ) ( )cbavcbau ′′′ →→ ,,,, son las coordenadas en la base: = →→→ kjiB ,, ′′′′′′ = →→ ba ba ac ac cb cb vxu ,, o bien: cba cba kji vxu ′′′ = →→→ →→ (nemotécnica) Módulo: ( )( ) ( ) 2 2 22 2 2222222 222222222222 22222222 : 222222222 2222 cos. )()( )()()222( )()()( 222222 ==−= −= =′+′+′−′+′+′++=′+′+′−′+′+′+ +′+′+′+′+′+′′′+′′+′′− −′+′+′+′+′+′= ′′ + ′′ + ′′ = →→→→→→→→→→→→ ′+′+′ →→ = ααα senvusenvuvuvuvuvu ccbbaacbacbaccbbaacbac cbabcbaaccbbccaabbaa baccabcba ba ba ac ac cb cb vxu ccbbaa restamos ysumamos Direcci ón:el vector dado es perpendicular a → u y a → v . Efectivamente: a) ( ) 0,,.,, = ′′′ = ′′ + ′′ + ′′ = ′′′′′′ cba cba cba ba ba c ac ac b cb cb a ba ba ac ac cb cb cba ídem para el vector ( )cbav ′′′ → ,, . • →→→→→→→ += + wxuvxuwvxu (propiedad distributiva). Ejemplo.-Determina un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores: ( ) ( )4,1,12,2,3 −− →→ vu Sol.- El vector →→→ ⊥ uvxu )( y también →→→ ⊥ vvxu )( , usando la regla nemotécnica: ( )5,10,1051010 411 223 −=+−= − −= ′′′ = →→→ →→→→→→ →→ kji kji cba cba kji vxu 15225)).(( 222 ==++== →→→→→→ cbavxuvxuvxu Cesáreo Rodríguez - 8 -
- 9. Geometría Un vector unitarioen la dirección de )( →→ vxu es: →→ →→ vxu vxu 1 ( ) − =−= →→ →→ 3 1 , 3 2 , 3 2 5,10,10 15 11 vxu vxu y por tanto basta multiplicar por 9: ( ) ( )3,6,65,10,10 15 91 9 −=−= →→ →→ vxu vxu o su opuesto ( )3,6,6 −− Ejemplo.- Calcula el área del triángulo definido por los vectores: ( ) ( ) ( )0,0,006,7,41,5,3 →→→ − vu Sol.- Según vemos en el gráfico adjunto el área del paralelogramo definido por los vectores ( ) ( )6,7,41,5,3 →→ − vu viene dado por el módulo del producto vectorial de ambos, es decir: Área paralelogramo =−== →→→ →→ 674 153 kji vxu ( ) ( ) ( ) ( ) 97,56324641143741,14,37 222 ≈=+−+−=−−= Área triángulo= mitad del área del paralelogramo= ( ) 49,2897,56 2 1 = 4. Producto mixto de tres vectores. Propiedades. Se define el producto mixto de tres vectores →→→ wvu ,, y se escribe →→→ wvu ,, al número que se obtiene al operarlos del siguiente modo: = →→→→→→ wxvuwvu .,, Interpretación geométrica del producto mixto.- →→→ wvu ,, es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores →→→ wvu ,, . (¡ojo!:acaso con signo menos). Cesáreo Rodríguez - 9 -
- 10. Geometría Efectivamente si llamamosα al ángulo que forman los vectores: → u y →→ wxv entonces se tiene que: ( ) ( ) = = = = === = →→ → →→ →→→→→→→→→→→→ PEDOPARALELEPÍ DELVOLUMEN PEDOPARALELEPÍ DELALTURA PEDOPARALELEPÍ BASEAREA wvPORODETERMINAD PLANOALLARPERPENDICU SOBREuDEPROYECCIÓN wvPORDEFINIDO AMOPARALELOGRAREA uwxvwxvuwxvuwvu ,: ,: coscos.,, αα Expresión analítica del producto mixto de tres vectores.- Sean los vectores ( ) ( ) ( )cbawcbavcbau ′′′′′′′′′ →→→ ,,,,,, en la base = →→→ kjiB ,, . ( ) cba cba cba ba ba ac ac cb cb cbawxvuwvu ′′′′′′ ′′′= ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ = = →→→→→→ ,,,,.,, Cesáreo Rodríguez - 10 -
- 11. Geometría El producto mixtode tres vectores se obtiene como el valor del determinante de las coordenadas de los vectores. Ejemplo.- Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por: ( ) ( ) =− →→→→→ vxuwvu 0,1,23,2,1 Justifica por que el resultado es: 2→→ vxu Sol.- Calculamos el vector → w : ( )5,6,3 012 321 −−= − = = →→→ →→→ kji vxuw Volumen paralelepípedo: 3 70 563 012 321 .,, uwxvuwvu = −− −= = →→→→→→ Para justificarlo, basta tener en cuenta que el producto mixto de tres vectores se obtiene como un determinante y el valor de → w : ( ) ( ) 22 2 º0cos..,,1,, →→→→→→→→→→→→→→→→→ == = = −= vxuvxuvxuvxuvxuwvuwwvu Ejemplo.- Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por: ( ) ( ) ( )kwvu ,4,11,1,21,5,3 =−− →→→ sea 3 11 u Sol.- El volumen se obtiene por el determinante: 2413 41 112 153 .,, +=− − = = →→→→→→ m k wxvuwvu Como ese volumen es de 3 11 u tendremos dos soluciones posibles de: A) 1112413 −=⇒=+ mm B) 13 35 112413 − =⇒=−− mm Cesáreo Rodríguez - 11 -
- 12. Geometría Puntos, Rectas yPlanos en el espacio.- 6. Sistema de referencia en el espacio. 7. Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos. 8. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de dos rectas. 9. Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de planos y rectas. Objetivos Mínimos - Concepto de sistema de referencia en el espacio ordinario. - Saber calcular las coordenadas de un vector dado por dos puntos. Saber determinar si tres puntos están alineados. Calcular el punto medio de un segmento. Saber calcular el simétrico de un punto respecto a otro. - Conocer la determinación vectorial de una recta en el espacio ordinario. Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan una recta. Analizar correctamente las distintas posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio. - Conocer la determinación vectorial de un plano en el espacio ordinario. Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan un plano. Analizar correctamente las posiciones que pueden adoptar dos planos en el espacio, así como una recta y un plano. Introducción.- Los inventores de la Geometría Analítica,Descartes y Fermat (siglo XVII), se interesaron por el estudio de superficies, pero le dedicaron poca atención para centrar sus esfuerzos en el estudio de curvas planas. Fué en el siglo (XVIII) cuando matemáticos como Clairaut, Euler y Lagrange iniciaron el estudio de la Geometría Analítica del espacio. Por su extraordinario nivel como geómetra, puede considerarse al matemático francés Monge (1746-1818), como el verdadero padre de la Geometría Analítica del espacio. Cesáreo Rodríguez - 12 -
- 13. Geometría 6. Sistema deReferencia en el espacio. Vamos a construir, a partir de los vectores, un sistema de referencia que nos va a permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras espaciales. Un sistema de referencia ( R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores (que forman una base) y un punto (origen común de los vectores). • Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen. • A los vectores de la base: = →→→ kjiB ,, (en adelante, supondremos que la base utilizada es siempre ortonormal). = →→→ kjiOR ,,, A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O y extremo P → OP que tiene unas coordenadas, ( )cba ,, , en la base = →→→ kjiB ,, del sistema de referencia dado. Se dice que ( )cba ,, son las coordenadas del punto P en la referencia R . Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto. Cesáreo Rodríguez - 13 -
- 14. Geometría Ejemplo.- Representa los siguientespuntos del espacio ordinario: ( )3,2,5P ( )5,2,3 −Q ( )0,4,1R ( )4,0,0S ( )3,6,0T Sol.- Ejemplo.- Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P proyectalo , P′ , sobre el plano XY .Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas del punto P . Sol.-seleccionamos un punto P cualquiera del espacio ordinario, así: Para este punto P seleccionado, las coordenadas son: ( )2,5,3P Cesáreo Rodríguez - 14 -
- 15. Geometría 7. Aplicación devectores a problemas geométricos.- • Coordenadas de un vector que une dos puntos Observa la siguiente igualdad vectorial: →→→→→→ −=⇒=+ OPOQPQOQPQOP Por tanto si las coordenadas de los puntos son ( )cbaP ,, y ( )cbaQ ′′′ ,, Las coordenadas de → PQ son: ( )ccbbaaPQ −′−′−′ → ,, • Comprobación de que tres puntos están alineados. Los puntos de coordenadas: ( )cbaP ,, , ( )cbaQ ′′′ ,, , ( )cbaR ′′′′′′ ,, están alineados siempre que tengan la misma dirección: ( )ccbbaaPQ −′−′−′ → ,, y ( )ccbbaaQR ′−′′′−′′′−′′ → ,, Es decir, si se cumple: cc cc bb bb aa aa ′−′′ −′ = ′−′′ −′ = ′−′′ −′ Ejemplo.- Calcula los valores de “m” y “n” para que los puntos: ( )mP ,1,7 − , ( )3,6,8Q , ( )9,,10 nR estén alineados. Sol.- Sabemos que están alineados si se cumple: cc cc bb bb aa aa ′−′′ −′ = ′−′′ −′ = ′−′′ −′ 6 3 6 7 2 1 39 3 6 16 810 78 m n m n − = − =⇒ − − = − + = − − despejando de las dos igualdades 0626)20146) =⇒=−=⇒=− mmBnnA Cesáreo Rodríguez - 15 -
- 16. Geometría • Punto mediode un segmento Si los puntos del segmento tienen de coordenadas: ( )cbaP ,, ( )cbaQ ′′′ ,, Fíjate en la igualdad vectorial: →→→ += PQOPOM 2 1 Las coordenadas del punto medio M se obtienen operando en la fórmula anterior y obtenemos: ( ) ( )ccbbaacbaOM −′−′−′+= → ,, 2 1 ,, ′+′+′+ 2 , 2 , 2 ccbbaa M • Simétrico de un punto respecto a otro El simétrico del punto ( )cbaP ,, , (le llamamos P′ ) , respecto a otro ( )cbaQ ′′′ ,, se caracteriza como: aquel para el que Q es el punto medio del segmento que une P′ y P . Si aplicamos el resultado visto anteriormente tenemos que: +++ 2 , 2 , 2 γβα cba Q Es decir que tenemos: ( ) +++ =′′′ 2 , 2 , 2 ,, γβα cba cba Despejando en esta última igualdad los valores de γβα ,, tenemos que: ( ) ( )ccbbaa −′−′−′= 2,2,2,, γβα Cesáreo Rodríguez - 16 -
- 17. Geometría 8. Ecuaciones recta.Posiciones relativas dos rectas.- Una recta ( r ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo: • Un punto ( )cbaP ,, por el que pasa dicha recta r • Un vector ( )321 ,, dddd → paralelo a r llamado vector director. Observa en el dibujo de la derecha como los vectores )(),.......,2(),1(, →→→→→→→ +++ dpdpdpp λ todos tienen un extremo sobre la recta r y origen común en O En general el vector: )( →→ + dp λ tiene su extremo X sobre la recta r . Al variar el valor de λel punto X se mueve sobre r . Ecuación Vectorial El punto ( )cbaP ,, es el extremo de un vector con origen en O que llamamos vector posición del punto P . El punto arbitrario X de la recta r determina un vector posición que llamamos → x . En estas condiciones tenemos que: Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta r (2ª en coordenadas) Ecuaciones Paramétricas Si operamos en la expresión en coordenadas de la ecuación vectorial: += += += 3 2 1 : dcz dby dax r λ λ λ Son las ecuaciones paramétricas de r Para cada valor de λobtenemos las coordenadas de un punto de r Ecuación en forma continua Si en cada ecuación paramétrica despejamos el parámetro λ obtenemos: Cesáreo Rodríguez - 17 - ( ) ( ) ( )321 ,,,,,, dddcbazyxodpx λλ +=+= →→→
- 18. Geometría 321 d cx d bx d ax − = − = − Estaes la forma continua de la ecuación de una recta en el espacio. A veces se nos presenta una recta en forma continua con algún cero en el denominador. Tal expresión no es correcta aritméticamente, pero se admite simbólicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director) Forma implícita de la ecuación de una recta De la forma continua de la recta obtenemos dos ecuaciones (más adelante veremos que cada una de ellas es la ecuación de un plano) de forma general: =′+′+′+′ =+++ 0 0 : DzCyBxA DCzByAx r Se dice que r se obtiene como intersección de dos planos. Ejemplo.- Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos: ( )7,3,5−P ; ( )3,3,2 −Q Ejemplo.- Cesáreo Rodríguez - 18 -
- 19. Geometría Posiciones relativas dedos rectas en el espacio Dos rectas ( ) ( ) → 321 ,, ,, : dddd cbaP r ( ) ( ) ′′′′ ′′′′ → 321 ,, ,, : dddd cbaP s pueden adoptar en el espacio las siguientes posiciones: A) Coincidentes: Tienen un punto en común y la misma dirección. B) Paralelas: Ningún punto en común y la misma dirección. C) Secantes: Un punto en común y distinta dirección. D) Se cruzan: Ningún punto en común y distinta dirección. Consideremos las matrices: ′ ′ ′ = 33 22 11 dd dd dd M y −′′ −′′ −′′ =′ ccdd bbdd aadd M 33 22 11 Cesáreo Rodríguez - 19 -
- 20. Geometría Vamos a analizarahora en función del rango de las matrices M , M ′ la posición relativa de las rectas ( ) ( ) → 321 ,, ,, : dddd cbaP r y ( ) ( ) ′′′′ ′′′′ → 321 ,, ,, : dddd cbaP s A) Si rango (M)= 1= rango (M’) las rectas son coincidentes. B) Si rango (M)= 1 y rango (M’)= 2 las rectas son paralelas. C) Si rango (M)= 2= rango (M’) las rectas son secantes. D) Si rango (M)= 2 y rango (M’)= 3 las rectas se cruzan. Ejemplo. Estudia la posición relativa de las rectas: +−= += −= λ λ λ 5 32 51 : z y x r y = = = λz y x s 1 1 : El rango (M) = 2 (menor señalado) rango (M’) = 3 (determinante no nulo) Las rectas sr, se cruzan. 9. Ecuaciones plano. Posiciones relativas planos/rectas.- Un plano (π ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo: • Un punto ( )cbaP ,, perteneciente a dicho plano π • Dos vectores ( )321 ,, uuuu → y ( )321 ,, vvvv → linealmente independientes y paralelos a π llamados vectores directores. Cesáreo Rodríguez - 20 -
- 21. Geometría Fíjate en elgráfico de más arriba y observa como el vector de posición → p nos lleva hasta el punto P del plano π . A continuación la combinación lineal: →→ + vu µλ nos permite acceder desde P a cualquier punto X del plano π . Ecuación vectorial del plano Según acabamos de describir para el planoπ tenemos su ecuación vectorial ( ) ( ) ( ) ( )321321 ,,,,,,,, vvvuuucbazyxovupx µλµλ ++=++= →→→→ Los parámetros λ y µ pueden tomar cualquier valor. Al hacerlo el punto X recorre el plano π . Ecuaciones paramétricas del plano Si operamos la ecuación vectorial obtenemos las ecuaciones paramétricas ++= ++= ++= 33 22 11 : vucz vuby vuax µλ µλ µλ π Ecuación implícita del plano Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos los parámetros λ y µ obtenemos una única ecuación llamada ecuación implícita del plano π { } realesnúmerossonDCBADCzByAx ,,,0=+++ Cesáreo Rodríguez - 21 -
- 22. Geometría Para eliminar losparámetros se procede del siguiente modo: −=+ −=+ −=+ czvu byvu axvu µλ µλ µλ 33 22 11 Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ( λ y µ ) que tiene solución (los infinitos puntos del plano π ). Por tanto el determinante de la matriz ampliada ha de ser cero (según el teorema de Rouché). Por tanto: 0 33 22 11 = − − − czvu byvu axvu y desarrollando obtenemos: 0=+++ DCzByAx Ecuación normal del plano Si conocemos un punto ( )cbaP ,, del plano π y una dirección perpendicular ( )CBAn ,, → (llamado vector normal) a dicho plano, cualquier punto X del plano determina, (con P ), un vector → PX que es perpendicular a → n y por tanto podemos establecer la siguiente ecuación vectorial: ( ) ( ) ( ) 00. =−+−+−= →→ czCbyBaxAoPXn Esta es la llamada ecuación normal del plano π Recíprocamente si conocemos la ecuación implícita del plano π 0: =+++ DCzByAxπ sabemos que el vector de coordenadas ( )CBA ,, es un vector perpendicular al plano π . Observación. El producto vectorial de los vectores directores ( )321 ,, uuuu → y ( )321 ,, vvvv → del plano π , determinan un vector perpendicular → n a dicho plano: →→→ = nvxu Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio *) Dos planos: ππ ′y pueden situarse en el espacio de tres modos: Cesáreo Rodríguez - 22 -
- 23. Geometría Si las ecuacionesimplícitas: 0:0: =′+′+′+′′=+++ DzCyBxADCzByAx ππ Consideremos las matrices: ′′′ = CBA CBA M y ′′′′ =′ DCBA DCBA M A) Si rango (M) = 1 =rango (M’) los planos son coincidentes. B) Si rango (M) =1 y rango (M’) =2 los planos son paralelos. C) Si rango (M) =2 =rango (M’) los planos son secantes. Observa en el caso C) que la intersección de los dos planos secantes es la recta que tiene por ecuación implícita las de ambos planos. **) Plano y recta: Una recta ( ) ( ) → 321 ,, ,, : dddd cbaP r y un plano 0: =+++ DCzByAxπ pueden adoptar las siguientes posiciones relativas en el espacio: A) Si ⇒ ∈ = →→ πP dn 0. recta r contenida en el plano π B) Si ⇒ ∉ = →→ πP dn 0. recta r paralela al plano π C) Si ⇒ ≠ →→ 0.dn recta r secante con el plano π Lenguaje de las ecuaciones: variables, parámetros… A) Ecuaciones implícitas En el espacio (tres dimensiones) una ecuación significa una superficie. Así por ejemplo: 0)22)222) ==+=++ zcyxbzyxa Son ecuaciones de planos. 25222 =++ zyx Es la ecuación de una superficie esférica. Cesáreo Rodríguez - 23 -
- 24. Geometría 2522 =+ yx Esla ecuación de una superficie cilíndrica. Cada ecuación es una restricción entre las variables ( zyx ,, ). La ausencia de una variable en una ecuación significa que esa variable no está sometida a ninguna restricción y, por lo tanto, tiene absoluta libertad de movimiento. Una línea se da como intersección de dos superficies: rectaunaes z zyx ⇒ = =++ 0 222 nciacircunfereunaes z zyx ⇒ = =++ 0 25222 B) Ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas dan, explícitamente, el comportamiento de cada variable. Cada parámetro es un grado de libertad. Una ecuación con un parámetro describe una línea. Una ecuación con dos parámetros describe una superficie. Si solamente aparece un parámetro en una de las variables, esa variable se mueve libremente sin tener en cuenta las demás. Así por ejemplo: En el plano XY la ecuación 2: =+ yxr representa una recta r . En el espacio XYZ esa misma ecuación 2: =+ yxπ representa un plano π pues la variable z, al no intervenir en la ecuación, no está sometida a ninguna restricción y se mueve libremente. Por eso el plano π está formado por rectas paralelas al eje Z. Resumiendo: Ecuación implícita: = =+ =+ 0 2 :2: z yx rrectayxplanoπ Ecuaciones paramétricas: = −= = = −= = 0 2:2: z y x rrecta z y x plano λ λ µ λ λ π En paramétricas la z del plano π necesita un parámetro para ella sola, para moverse libremente y describir ese plano paralelo al eje Z. Cesáreo Rodríguez - 24 -
- 25. Geometría Por el contrariola z en la recta r siempre es cero. Problemas métricos en el espacio.- 10. Procedimientos métricos para determinar rectas y planos. 11. Medida de ángulos entre rectas y planos. 12. Distancia entre puntos rectas y planos. 13. Medida de áreas y volúmenes. 14. Lugares geométricos en el espacio. Objetivos Mínimos - Conocer y aplicar las propiedades del producto escalar y vectorial para determinar direcciones perpendiculares a rectas y planos. - Saber calcular el ángulo entre rectas,entre planos y recta y plano a través de los vectores que caracterizan su dirección, que en el caso de una recta es su vector director y en el del plano es su vector normal. - Conocer y aplicar las distintas fórmulas que permiten determinar la distancia entre los elementos del espacio (puntos, rectas planos...) Deducir la distancia entre puntos, rectas y planos mediante razonamientos constructivos (alternativa al aprendizaje de las fórmulas anteriores). - Deducir las fórmulas que permiten calcular el área de un triángulo y el volúmen de un tetraedro de vértices conocidos. - Saber calcular distintos lugares geométricos del espacio (plano mediador, plano bisector, esfera...) Introducción.- En la unidad anterior trabajamos problemas de intersección, incidencia o paralelismo, que son propiedades afines del espacio. En esta unidad pretendemos resolver problemas que tienen que ver con un proceso de medida (ángulos, distancias, áreas,...) que son las propiedades métricas del espacio ordinario. Cesáreo Rodríguez - 25 -
- 26. Geometría Además de lasaportaciones a la Geometría métrica de Monge y sus discípulos cabe señalar, como logros importantes, la fórmula del cálculo de la distancia de un punto a un plano (Lagrange) o la del volumen de un paralelepípedo (Cauchy). También es importante en este campo, desde un punto de vista didáctico, las aportaciones del matemático español Pedro Puig Adam (1900-1960). 10. Procedimientos métricos para determinar rectas/planos.- Los problemas afines tratan de incidencias (una figura incide en otra cuando está contenida en ella, y una figura coincide con otra cuando cada una de ellas incide en la otra), paralelismos e intersecciones. La perpendicularidad es un problema métrico, pues nos servimos del producto escalar y el producto vectorial para determinar vectores perpendiculares a otros. En este apartado usaremos este procedimiento métrico para determinar las ecuaciones de una recta o de un plano. Plano paralelo a dos rectas Si el plano π es paralelo a las rectas syr con vectores directores →→ ′dyd respectivamente, entonces un vector normal al plano es →→→ ′= dxdn En este caso, si conocemos un punto ( )cbaP ,, del plano π y si la dirección perpendicular tiene de coordenadas ( )CBAdxdn ,,=′= →→→ , podemos determinar la ecuación normal de dicho plano, (que según sabemos es): ( ) ( ) ( ) 00. =−+−+−= →→ czCbyBaxAoPXn Recta definida por dos planos Cuando una recta se da de forma implícita (intersección de dos planos) ⊥′ ⊥ ⇒ =′+′+′+′ =+++ → → π π )',','( ),,( 0 0 : CBAn CBAn DzCyBxA DCzByAx r Cesáreo Rodríguez - 26 -
- 27. Geometría Un vector directorpara la recta r se obtiene: →→→ ′= nxnd Un punto P para esa recta lo obtenemos al resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de los planos cuya intersección es r Así pues ya tenemos una determinación vectorial para la recta r que es: ′= →→→ nxnPdPr ,,: A partir de aquí ya podemos escribir cualquier ecuación de r . 11. Medida de ángulos entre rectas y planos.- Para determinar el ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su dirección. En la recta es obvio que su vector director la caracteriza, mientras que en el plano ese papel lo desempeña su vector normal (para un plano cualquiera solo hay una dirección perpendicular a ese plano). Para medir el ángulo que forman dos vectores ( ) ( )cbavcbau ′′′ →→ ,,,, usaremos la fórmula del producto escalar de ambos: ( ) ( ) ( )222222 . ,cos cbacba ccbbaa vu vu vu ′+′+′++ ′+′+′ == →→ →→ →→ Al tomar valor absoluto en el numerador, esta fórmula nos da el menor de los ángulos que forman ambos vectores. Según vemos en el dibujo del lado derecho el menor de los dos ángulos (α y su suplementario) es: = →→ vu,α Ángulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas, ryr ′ con direcciones →→ ′dyd respectivamente vendrá dado por: →→ →→ →→ ′ ′ = ′ dd dd dd . ,cos Evidentemente basta con tomar como vectores →→→→ ′== dvydu Ejemplo. Calcula el ángulo α que forman las rectas: Cesáreo Rodríguez - 27 -
- 28. Geometría =+− =+−+ − = + = − 052 04532 : 13 1 5 3 : yx zyx s zyx r Sol Como ()1,3,5 − → d ( ) ( ) ( ) → −−−=−−=′ 7,5,100,2,15,3,2 xdy "35'59º417432,0 6090 58 . ,cos)cos( =⇒== ′ ′ = ′= →→ →→ →→ αα dd dd dd Ángulo entre dos planos El ángulo α entre dos planos ππ ′y es el mismo que el que forman sus respectivos vectores normales: →→ ′nyn Por tanto: ( ) →→ →→ ′ ′ = nn nn . cos α Ángulo entre recta y plano El ángulo α entre una recta r y un plano π es el que forma la recta r con su proyección sobre el plano π . Para determinarlo basta darse cuenta que este ánguloα es complementario del ángulo que forman el vector director → d de la recta r y el vector normal → n del plano π . Por tanto: ( ) ( ) →→ →→ =−= dn dn r . º90cos;, απα Ejemplo. Calcula el ángulo que forman el plano 011752: =−+− zyxπ y la recta: 1 1 5 1 2 3 : − − = + = − zyx r .Sol. ( ) ( ) −− →→ 7,5,21,5,2 nyd Aplicando la fórmula anterior: ( ) ( ) º35º55º905788,0 7830 28 . º90cos;, =⇒=−⇒= − ==−= →→ →→ αααπα dn dn r Ejemplo. Calcula el ángulo entre: 042: =+− zyxπ y 032: =+−′ yxπ Sol ( ) ( ) −′− →→ 0,1,24,2,1 nyn son los vectores normales respectivos: Cesáreo Rodríguez - 28 -
- 29. Geometría ( ) "23'1º6739036,0 105 4 . cos=⇒== ′ ′ = →→ →→ αα nn nn 12. Distancia entre puntos, rectas y planos.- Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos ( )cbaP ,, y ( )cbaQ ′′′ ,, es el módulo del vector ( )ccbbaaPQ −′−′−′ → ,, O sea: ( ) ( ) ( ) ( )222 ''', ccbbaaPQQPd −+−+−== → Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto ( )cbaP ,, a una recta → dRr ,: es igual a la longitud del segmento perpendicular que une P con la recta r . Coincide con la distancia entre los puntos P y 'P , siendo 'P la proyección de P sobre r . Es decir: ( ) ( ) rsobrePdeproyecciónPPPdrPd '',, = Para calcular el valor de esa distancia hay varios métodos: A) método del producto vectorial (cálculo directo) El área del paralelogramo de la figura izquierda es: →→ dxRP . Si esta área la dividimos por la longitud de la base del paralelogramo: → d obtenemos la altura h del paralelogramo, que coincide con la distancia buscada. ( ) → →→ = d dxRP rPd , Ejemplo.- Calcula la distancia de ( )6,1,5 −P a la recta 1 5 12 1 : − = − = − − zyx r . Sol ( )5,0,1R ( )1,1,2 −− → d 6= → d ( ) 726,6,0 =−−= →→ dxRP ( ) u d dxRP rPd 12 6 72 , === → →→ B) método constructivo Cesáreo Rodríguez - 29 -
- 30. Geometría Determinamos el planoπ perpendicular a la recta → dRr ,: que pasa por el punto ( )cbaP ,, . La intersección de este plano π con la recta r nos da el punto 'P (proyección de P sobre r ). La distancia del punto P a la recta r se calcula como la distancia entre los puntos 'PyP ( ) ( ) rsobrePdeproyecciónPPPdrPd '',, = Ejemplo.- Calcula la distancia de ( )6,1,5 −P a la recta 1 5 12 1 : − = − = − − zyx r . Sol El plano π , perpendicular a la recta r , tiene por vector normal el vector director de la recta r , es decir, ( )1,1,2 −−== →→ dn Ecuación normal de π ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0320161125 =−−+⇒=−+−++−− zyxzyx += −= −= ⇒ − = − = − − λ λ λ 5 0 21 : 1 5 12 1 : z y x r zyx r Sustituyendo en la ecuación del plano π las coordenadas de r obtenemos 'P ( ) ( ) ( ) ( )4,1,3'1035212 P⇒−=⇒=−+−−+− λλλλ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uPPdrPd 12461135',, 222 =−+−−+−== C) método del punto genérico El punto genérico Q de la recta r tiene sus coordenadas dependientes del parámetro λ Si obligamos a que el vector → PQ sea perpendicular a r (producto escalar por → d sea cero) obtenemos λ para determinar 'P Ejemplo.- Calcula la distancia de ( )6,1,5 −P a la recta 1 5 12 1 : − = − = − − zyx r . Sol ( )λλλ +−− 5,,21Q ( )λλλ +−−−− → 1,1,24PQ ( )1,1,2 −− → d ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1011112420. −=⇒=+−+−−+−−−⇒= →→ λλλλPQd ( )4,1,3' 1 PQ −= = λ ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uPPdQPdrPd 12461135',,, 222 =−+−−+−=== Cesáreo Rodríguez - 30 -
- 31. Geometría Distancia de unpunto a un plano La distancia de un punto ( )cbaP ,, a un plano π es igual a la distancia entre el punto P y la proyección 'P de ese punto sobre el plano: ( ) ( ) ππ sobrePdeproyecciónPPPdPd '',, = A) método directo Sea 0: =+++ DCzByAxπ y el punto ( )cbaP ,, . Sea 'P proyección de P sobre π Tomemos un punto ( )γβα ,,Q del plano π Sabemos que ( )CBAn ,, → La distancia del punto ( )cbaP ,, al plano π es igual al módulo del vector: ( )PPdPP ,'' = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 ' 222 222 . ',', CBA DCcBbAa CBA CBACcBbAa CBA CcBbAa n nQP QRPPPPdPd P nsobreQP proyección ++ +++ = ++ ++−++ = = ++ −+−+− ===== ∈ → →→ →→ →→ πγβα γβα π ( ) 222 , CBA DCcBbAa Pd ++ +++ =π B) método constructivo Determinamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a π La intersección de r y π es el punto 'P La distancia de P a π coincide con la distancia entre los puntos P y 'P ( ) ( ) ππ sobrePdeproyecciónPPPdPd '',, = Ejemplo. Calcula la distancia de ( )7,1,3P a 0153: =−+− zyxπ B) determinamos ( )5,3,1,,: −=⇒⊥ →→→ ndrdPr π += −= += λ λ λ 57 31 3 : z y x r ( ) ( ) ( ) − ⇒ − =⇒=−++−−+ 35 415 , 35 67 , 35 71 ' 35 34 015753133 Pλλλλ ( ) ( ) uPPdPd 74,533 1225 40460 ',, =≈==π Comprueba que por el método A) obtienes el mismo resultado. Distancia de una recta a un plano Cesáreo Rodríguez - 31 -
- 32. Geometría Si la rectar y el plano π son secantes la distancia: ( ) 0, =πrd Si no son secantes puede ocurrir que: • r esté contenida en π , por tanto: ( ) 0, =πrd • r sea paralela a π , en ese caso si rP ∈ : ( ) ( )ππ ,, Pdrd = Distancia entre dos planos Si los planos 'ππ y son secantes la distancia: ( ) 0', =ππd Si los planos no son secantes puede ocurrir: • π coincide con 'π , por tanto: ( ) 0', =ππd • π es paralelo a 'π , en ese caso si π∈P : ( ) ( )',', πππ Pdd = Ejemplo Calcula la distancia de 1 2 2 1 5 3 : − + = − = − zyx r a 063: =+−− zyxπ Sol El vector director de r : ( )1,2,5 − → d y el vector normal de π ( )1,3,1 −− → n : 0165)1).(1()3.(21.5. =+−=−−+−+= →→ nd En consecuencia la recta y el plano son paralelos. Tomamos un punto P cualquiera de la recta r , por ejemplo: ( )2,1,3 −P ( ) ( ) uPdrd 41,2 11 8 191 6).2(1.33 ,, ≈= ++ +−−− == ππ Ejemplo Calcula la distancia del plano 01925: =−+− zyxπ al 04102:' =+− zyxπ Sol El vector normal del plano π ( )2,5,1 − → n y el de 'π ( )4,10,2' − → n 2 4 5 10 1 2 = − − = Los planos son pues paralelos. Si tomamos un punto P cualquiera de π , por ejemplo: ( )9,0,1P ( ) ( ) uPdd 47,3 120 38 161004 9.40.101.2 ',', ≈= ++ +− == πππ Distancia entre dos rectas Si las rectas syr son secantes la distancia ( ) 0, =srd Si las rectas syr son paralelas, tomamos un punto P cualquiera de r y calculamos a continuación la distancia de P a s ; ( ) ( )sPdsrd ,, = Cesáreo Rodríguez - 32 -
- 33. Geometría Si las rectassyr se cruzan, hay varios métodos para calcular la distancia: A) método del producto mixto (cálculo directo) El volumen del paralelepípedo es: = →→→ PQvuV ,, El área de la base es: →→ = vxuA La altura h es la ( )π,Qd que coincide con la distancia entre ambas rectas: ( )srd , Por tanto tendremos la fórmula: ( ) ( ) →→ →→→ ==== vxu PQvu A V hQdsrd ,, ,, π Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: += −= += += −= += µ µ µ λ λ 45 3 34 : 28 1 5 : z y x s z y x r Sol. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,4,1;5,3,4,8,1,5;4,1,3;2,0,1 −−−− →→→ PQQPvu Las rectas se cruzan pues: −= 42 10 31 M y − − − =′ 342 410 131 M 3)'(2)( == MrangoMrango Compruébalo tú, por tanto: ( ) ( ) ( ) u vxu PQvu A V hQdsrd 3 3 9 1,2,2 342 410 131 ,, ,, == − − − − = ==== →→ →→→ π B) método constructivo Determinamos el plano π paralelo a la recta s y que contiene a la recta r ( ) ( )π,, sdsrd = Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: Cesáreo Rodríguez - 33 -
- 34. Geometría += −= += += −= += µ µ µ λ λ 45 3 34 : 28 1 5 : z y x s z y x r Sol Vamos a determinarel plano π calculando un vector normal a dicho plano: ( )1,2,2122 413 201 −=−+= − == →→→ →→→ →→→ kji kji vxun El punto ( ) rP ∈− 8,1,5 Por tanto la ecuación del plano π es: ( ) ( ) ( ) 022:0811252: =−+⇒=−−++− zyxzyx ππ Para calcular la distancia entre las rectas r y s (se cruzan) aplicamos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) udQdsdsrd 3 3 9 144 53.24.2 ,5,3,4,,, == ++ −+ ==== πππ Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: Cesáreo Rodríguez - 34 -
- 35. Geometría C) método delvector variable Llamamos R a un punto genérico de la recta r Las coordenadas de R dependen del parámetro λ Llamamos S a un punto genérico de la recta s Las coordenadas de S dependen del parámetro µ → RS es un vector con origen en r y extremo en s Las coordenadas del vector → RS dependen de los parámetros: λy µ Obligamos al vector → RS a que sea perpendicular a las rectas r y s . Para ello Da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( µλ y ). Al resolverlo, obtenemos dos valores para µλ y y dos puntos ⇒00 SyR un vector: → 00 SR perpendicular a r y s . Ahora para calcular la distancia entre las rectas r y s tenemos que: ( ) ( )00 ,, SRdsrd = Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas: Cesáreo Rodríguez - 35 -
- 36. Geometría 13. Medida deáreas y volúmenes.- Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores, nos da el área del paralelogramo determinado por ellos. Recordemos también, que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos. Pues bien, a partir de estos resultados tenemos que: Área de un triángulo del que se conocen los tres vértices. El área del triángulo de vértices A, B, C se obtiene como la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores: →→ = ACu y →→ = ABv . Es decir: Volumen de un tetraedro de vértices conocidos. El volumen del tetraedro de vértices: A, B, C, D (sombreado en verde) es una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los vectores →→→ ADACAB ,, Efectivamente, ese paralelepípedo se descompone en seis tetraedros iguales. Fíjate en la figura de al lado: El plano BCFE lo divide en dos prismas triangulares iguales. Cada uno de estos dos prismas triangulares se descompone en tres tetraedros iguales, así por ejemplo el prisma ABCDEF se descompone en tres tetraedros que son: 1) ABCD; 2) BCDE; 3) DFEC. Por tanto tenemos: = →→→ ADACABtetraedroVolúmen ,, 6 1 Cesáreo Rodríguez - 36 -
- 37. Geometría Ejemplo. Calcula elárea del triángulo de vértices: ( ) ( ) ( )4,0,1;5,7,1;1,2,5 −− CBA Sol. ( ) ( ) ( )32,2,233,2,44,5,6 −−⇒− →→→→ ACxABACAB ( ) 2 73,191557 2 1 32,2,23 2 1 2 1 uACxABÁrea ≈=−== →→ Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices: ( ) ( ) ( ) ( )6,4,11;4,1,7;1,0,1;7,5,3 −−− DCBA Sol. ( ) ( ) ( )13,1,8,3,6,4,8,5,2 −−−−−−− →→→ ADACAB 3 107 6 642 642 6 1 1318 364 852 6 1 ,, 6 1 uADACABtetraedroVolúmen ==−= −− −− −−− = = →→→ Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices: ( ) ( ) ( )11,1,5;8,5,2;5,3,1 −CBA Sol Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices: ( ) ( ) ( ) ( )6,5,1;2,3,4;2,0,1;4,1,2 DCBA Sol Cesáreo Rodríguez - 37 -
- 38. Geometría 14. Lugares geométricosen el espacio.- Un lugar geométrico se define como el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad. Plano mediador. Llamamos plano mediador de un segmento, al plano perpendicular a dicho segmento en su punto medio. Es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos del segmento. Si X es un punto arbitrario del plano mediador y ByA son los extremos del segmento dado, la ecuación de ese plano se obtiene de la igualdad: ( ) ( )BXdAXd ,, = Ejemplo. Determina el L.G. de los puntos que equidistan de ( ) ( )1,5,2;7,1,4 −− BA Sol Cesáreo Rodríguez - 38 -
- 39. Geometría Plano Bisector. Se defineel semiplano bisector como aquel semiplano que divide a un ángulo diedro en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los semiplanos que forman el ángulo diedro. Si X es un punto arbitrario del semiplano bisector η y 'ππ y son los semiplanos que forman el ángulo diedro, la ecuación de ese plano bisector se obtiene de la igualdad: ( ) ( )',, ππ XdXd = Ejemplo. Determina el L.G. de los puntos que equidistan de los planos: 023:'0823:) 02:'02:) =+−=−+− =−+−=−++ zyxyzyxB zyxyzyxA ππ ππ Sol. A) ( ) ( ) 3 2 3 2 ',, −+− = −++ ⇒= zyxzyx XdXd ππ Dos posibilidades: • 00222 =→=→−+−=−++ yyzyxzyx • 02042222 =−+→=−+→+−+−=−++ zxzxzyxzyx Son los plano bisectores de los ángulos diedros formados por los planos ππ ′y . Los dos planos obtenidos se cortan en la recta r determinada por los puntos ( ) ( )2,0,01,0,1 y al igual que ππ ′y . Además, son perpendiculares, pues el producto escalar: ( )( ) 01,0,1.0,1,0 = B) ( ) ( ) 14 23 14 823 ',, zyxzyx XdXd +− = −+− ⇒= ππ Dos posibilidades: • imposiblezyxzyx →=−→+−=−+− 0823823 • 04230846223823 =−+−→=−+−→−+−=−+− zyxzyxzyxzyx Los planos ππ ′y son paralelos. El plano obtenido es también paralelo a ellos. Esfera.- Cesáreo Rodríguez - 39 -
- 40. Geometría La superficie esféricaes el lugar gométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro ( )cbaP ,, es constante: r Si ( )zyxX ,, es un punto genérico de la esfera de centro ( )cbaP ,, y radio r entonces cumplen la siguiente condición: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 , rczbyaxrPXd =−+−+−⇔= Desarrollando la expresión anterior llegamos a una expresión del tipo: 0222 =++++++ DCzByAxzyx Recíprocamente, una ecuación como la anterior corresponde a una esfera de centro −−− 2 , 2 , 2 CBA P y radio D CBA r − + + = 222 222 siempre que el radicando sea positivo. Ejemplo. La esfera: ( ) ( ) ( ) 2513 222 =−+++− zbyx y el plano: 0222 =−+− zyx se cortan en una circunferencia. Determina su radio. Sol La esfera tiene el centro: ( )1,2,3 −P y radio 5=r La distancia d del centro de la esfera ( )1,2,3 −P al plano 0222 =−+− zyx se obtiene: 3 9 9 122 21)2.(23.2 222 == ++ −+−− =d El radio s de la circunferncia se obtiene (observa el gráfico adjunto) aplicando Pitágoras: 435 22222 =−=⇒=+ srds Ejemplo Determina si la ecuación: 01264222 =−+−++ zxzyx corresponde a una esfera, y en caso afirmativo, obtén el radio y el centro. Sol 525 222 222 ==− + + = D CBA r y ( )3,0,2 2 , 2 , 2 −= −−− CBA P La ecuación corresponde a una esfera de centro ( )3,0,2 −P y radio 5=r Cesáreo Rodríguez - 40 -