Este documento describe diferentes tipos de sucesiones, incluyendo sucesiones convergentes, divergentes, monótonas, constantes, oscilantes, alternantes y recurrentes. También define el límite de una sucesión y presenta teoremas relacionados con la convergencia de sucesiones, como el teorema de unicidad de límite, el teorema de convergencia monótona y el teorema de Bolzano-Weierstrass.

1. Sucesiones

2. Aprendizaje Esperado
 Aplica límites de sucesiones en la solución de problemas.
 Analiza e interpreta las sucesiones a partir de conceptos y
demostraciones de teoremas.
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3. Sucesiones de R
Definición Una sucesión de números reales (o sucesión en R) es una función
definida en el conjunto N = {l, 2, . . .} de los números naturales cuyo codominio
está contenido en el conjunto R de los números reales.
En otras palabras, una sucesión en R le asigna a cada número natural n = 1, 2, ...
un número real determinado de manera única. Si 𝑋: 𝑁 → 𝑅 es una sucesión, el
valor de X en n se denotará por lo general por el símbolo 𝑋𝑛 en vez de usar la
notación de funciones X(n).
A los valores 𝑥𝑛 también se les llama los términos o los elementos de la sucesión.
Se denotará esta sucesión por las notaciones
X (𝑥𝑛) (𝑥𝑛: 𝑛 ∈ 𝑁)
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4. › Sucesiones Convergentes
› Las sucesiones
convergentes son las
sucesiones que
tienen límite finito.
› 𝑥𝑛 =
3𝑛
𝑛
› Sucesiones divergentes.
› Una sucesión
es divergente cuando no
tiene límite.
› 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 3
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5. Sucesiones monótonas.
› Sucesiones monótonas
crecientes
› Se dice que una sucesión de
números reales es monótona
creciente si cada término
es menor o igual que el
siguiente. Es decir los términos
van aumentando su valor o, a lo
sumo, son iguales.
› 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+𝟏
› {2,4, 6, 6, 8, 10, 12, 12 ...}
› Si, como ocurre en el ejemplo,
la sucesión no tiene términos
iguales, se dice que es una
sucesión estrictamente
creciente.
› 𝒂𝒏 < 𝒂𝒏+𝟏
› {1, 2, 3, 4, …}
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6. › Sucesiones monótonas
decrecientes.
› Se dice que una sucesión de
números reales es monótona
decreciente si cada término
es mayor o igual que el
siguiente. Es decir los términos
van disminuyendo su valor o, a
lo sumo, son iguales.
› 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏+𝟏
› {2, 2, ½, -1/2, -2, -2…}
› la sucesión no tiene términos
iguales, se dice que la es una
sucesión estrictamente
decreciente.
› 𝒂𝒏 > 𝒂𝒏+𝟏
› {5, 3, 1, -1…}
› Se dice que una sucesión de
números reales es monótona si
es monótona creciente o si
es monótona decreciente.
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7. Sucesiones constantes
› 2, 2, 2, 2….
› Se dice que una sucesión
es constante si todos su
términos son iguales. Una
sucesión constante es a la
vez monótona
creciente y monótona
decreciente.
› 𝒂𝒏 = 𝒂𝒏+𝟏
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8. SUCESIONES OSCILANTES
› Sus términos alternan de mayor
a menor o viceversa.
› 2, 5, 2, 5….
SUCESIONES ALTERNANTES
› Las sucesiones alternadas son
aquellas que alternan los signos
de sus términos. Pueden ser:
› 2, -1, 3, -2…
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9. Sucesiones Recurrentes o inductivas
› Las sucesiones recurrentes son aquellas cuyos términos,
después de uno o varios consecutivos, se obtienen a partir de
los anteriores.
› Ejemplos: si 𝑥1 = 1 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2
› Sucesión de Fibonacci
(𝑛 > 2) 𝑎1 = 1 𝑎2 = 1 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
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10. Sucesiones acotadas.
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11. LÍMITE DE
SUCESIONES
Definición de Karl
Weierstrass
Teoremas
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12. › Teorema de unicidad de límite.
Una sucesión en R tiene a lo sumo un límite.
Teorema. Se 𝑋 = 𝑥𝑛 una sucesión de números reales y sea 𝑥 ∈
𝑅. Los siguientes enunciados son equivalentes.
a) X converge a x
b) Para todo 𝜀 > 0, existe un números natural K tal que para
toda 𝑛 ≥ 𝐾, los términos de 𝑥𝑛 satisfacen 𝑥𝑛 − 𝑥 < 𝜀.
c) Para todo 𝜀 > 0, existe un números natural K tal que para
toda 𝑛 ≥ 𝐾, los términos de 𝑥𝑛 satisfacen 𝑥 − 𝜀 < 𝑥𝑛 < 𝑥 − 𝜀.
d) Para toda vecindad-𝜀 𝑉
𝜀(𝑋) de x, existe un numero natural K
tal que para toda 𝑛 ≥ 𝐾, los términos 𝑥𝑛 pertenecen a 𝑉
𝜀(𝑋).
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13. Ejercicios
› Demostrar que si 𝑥𝑛 =
1
𝑛
, entonces 𝐿𝑖𝑚
1
𝑛
= 0
› Demostrar que 𝐿𝑖𝑚
1
𝑛2 = 0
› Demostrar que 𝐿𝑖𝑚
3𝑛+2
𝑛+1
= 3
› Demostrar que 𝑎𝑛 = −1 𝑛 no tiene límite
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14. Calculo de límite de sucesiones
• Si el límite de la sucesión es +∞ o −∞, la sucesión diverge.
• Si el límite de la sucesión no existe, la sucesión diverge.
• La sucesión sólo converge cuando su límite es finito.
› Propiedades de los limites de sucesiones
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15. Ejemplos: Determine la convergencia o divergencia de la siguientes
sucesiones.
› 𝑥𝑛 =
𝑛
𝑛+1
› 𝑎𝑛 =
2𝑛2+3
𝑛2+1
› 𝑎𝑛 =
2𝑛2+3
𝑛
› 𝑥𝑛 =
2𝑛−1
2𝑛+2
3𝑛−1
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16. Teoremas de Límite
Definición. Se dice que una sucesión 𝑋 = (𝑥𝑛) de números reales está acotada si existe un número
real 𝑀 > 𝑂 tal que 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 para toda 𝑛 ∈ 𝑁.
Así, la sucesión (𝑥𝑛) está acotada si y sólo si el conjunto {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ 𝑁} de sus valores es un subconjunto
acotado de R..
› Teorema Una sucesión convergente de números reales está acotada.
› Teorema Si 𝑋 = (𝑥𝑛) es una sucesión convergente de números reales y si 𝑥𝑛 ≥ 𝑂 para toda 𝑛 ∈ 𝑁,
entonces 𝑥 = 𝑙í𝑚(𝑥𝑛) ≥ 0
Criterio de cociente para sucesiones nula
› Teorema. Sea (𝑥𝑛) una sucesión de números reales positivos tal que 𝐿 = 𝑙í𝑚(𝑥𝑛+1/𝑥𝑛) existe. Si
𝐿 < 𝟏, entonces (𝑥𝑛) converge y 𝑙í𝑚 𝑥𝑛 = 0
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17. ING. JOSÉ ARTURO HENRÍQUEZ MENDOZA

18. Sucesiones monótonas
Teorema de convergencia monótona.
› Una sucesión monótona de números reales es convergente si y sólo si está
acotada. Además:
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19. Subsucesiones
› Definición. Sea {an} una sucesión de números reales y sea n1<n2<⋯<nk<⋯.
una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces la
an1,an2,⋯,ank,⋯
se llama una subsucesión de {an}.
› De forma no rigurosa, una subsucesión de la sucesión a(n) es una sucesión que
está dentro de la sucesión a(n).
› Ejemplo: Dada la sucesión 𝑥𝑛 = 2𝑛. Hallar una subsucesión.
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20. Teorema de Bolzano-Weierstrass
› Teorema de la subsucesión monótona. Si 𝑋 = 𝑥𝑛 es una sucesión de números reales, entonces
existe una subsucesión de X que es monótona.
› El teorema de Bolzano-Weierstrass. Una sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión
convergente.
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21. Sucesión de Cauchy
› Lema. Si 𝑋 = 𝑥𝑛es una sucesión convergente de números reales, entonces X es una
sucesión de Cauchy.
› Lema. Una sucesión de Cauchy de números reales está acotada.
› Criterio de convergencia de Cauchy. Una sucesión de números reales es convergente si
y sólo si es una sucesión de Cauchy.
› Ejemplo de sucesiones de Cauchy.
› 𝑎𝑎 =
1
𝑛
𝑥𝑛 = 1 −
1
𝑛
𝑛
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