Sucesiones y series. Matemáticas II.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Charallave, Estado Miranda.
Escuela: Tecnología de la Construcción Civil
Cátedra: Matemáticas II
Actividad: Informe técnico
Tema: 4
SUCESIONES Y SERIES
Profesor: Bachiller:
Naudy Albornoz Roxana Alfonzo
FEBRERO, 2022

2. RESUMEN
Este tema se basa en el uso de los números para llegar a una determinada
cantidad en un lapso de tiempo o saber cuántos numero hay en determinado
lapso de números sin la necesidad de reescribir todos ellos, solo con el uso
formulas poder llegar a esa cantidad buscada. Pero antes de empezar,
entendamos la diferencia entre estos primeros conceptos. Usemos un ejemplo
muy sencillo:
Esto es una sucesión: 1, 3, 5, 7, 9. Esto es una serie: 1 + 3 + 5 + 7 + 9
En efecto, la diferencia está en que: La sucesión es un conjunto de números u
otros elementos (llamados términos) ordenados según un patrón o regla de
formación. La serie es un conjunto de números (llamados términos) ordenados
según un patrón o regla de formación, unidos por una operación, comúnmente
una suma. Al estar los términos de la serie unidos por un operador, se puede
calcular el valor de la serie. En cambio, la sucesión es simplemente una lista de
elementos, no se puede calcular su valor.

3. INTRODUCCIÓN
Muchos de los modelos que utilizamos para explicar la realidad se basan en la
idea que podemos fraccionar la cantidad que estudiamos tantas veces como se
quiera, sin que el comportamiento de esta cantidad varíe. Las técnicas
matemáticas de funciones continuas y funciones derivables nos permiten
estudiar estos tipos de modelos. En este modulo introduciremos las técnicas
matemáticas para estudiar fenómenos que se producen cuando se trabaja con
amplia cantidad de valores numéricos u otro tipo, así como los métodos que se
emplean. Tanto sobre las sucesiones y series más sencillas, como sobre
algunas más complejas, y así se entienda con claridad de dónde viene y hacia
dónde va este tema. Recuerden la importancia de las conexiones entre
conocimientos. Sucesiones, series y patrones: nos ayudan a interpretar al
mundo.

4. Una sucesión es el nombre matemático que hace referencia a una lista infinita
de números. En una lista podemos hablar de primer término, segundo término,
etc., que corresponden a la posición que ocupan en dicha sucesión.
Podemos formalizar todo esto un poco más: podemos asociar cada número
entero positivo n con un número real 𝒙𝒏 y el conjunto ordenado:
𝒙𝟏+ 𝒙𝟐 +𝒙𝟑 ,…,𝒙 𝒏
Define una sucesión infinita. Observa que cada término de la sucesión tiene
asignado un número entero positivo (el puesto que ocupa en la lista) y
podemos hablar del primer término (x1), del segundo término (x2) y en general,
del término n-ésimo (xn). Cada término (xn) tiene un término siguiente (xn+1),
por lo que, en consecuencia, no hay último término.
La forma más fácil para construir una sucesión es a partir de una regla o
fórmula que defina el término n-ésimo. Así, por ejemplo, la fórmula xn= 1/n
define la sucesión:
1,
1
2
,
1
3
, … ,
1
𝑛
…
En algunas ocasiones son necesarias dos o más fórmulas para describir los
elementos de la lista. Por ejemplo, si consideramos la sucesión x2n-1=1 y
x2n=n; en este caso, los primeros términos de la sucesión son:
1,1,1,2,1,3…,1, n….
Otra forma de definir una sucesión es mediante una fórmula de recurrencia,
que permite calcular un término a partir de los anteriores. Si tomamos x1=x2=1
y la fórmula de recurrencia, xn+1= xn+xn-1, tendremos:

5. 1,1,2,3,5,8,13,21,34…
Esta sucesión se conoce como sucesión de Fibonacci, nombre de la persona
que la estudió al tratar un problema relativo a los procesos hereditarios en los
conejos.
Hasta ahora, todas las sucesiones que hemos visto han empezado con los
valores de n= 1,2,3…, aunque esto no sea estrictamente necesario. Por
ejemplo, si definimos la sucesión mediante el término general, xn=1+1/n-2 es
razonable considerar que n toma los valores 3,4,5…
Así pues, podemos definir de manera formal el concepto de sucesión como
vemos a continuación:
Una sucesión de números reales es una aplicación h de los números naturales
N en el conjunto R de los números reales.
ℎ: ℕ → ℝ
𝑛 ↔ ℎ(𝑛) = 𝑥𝑛
Hasta ahora solo hemos aclarado el concepto de función continua, donde
hemos fijado el dominio de la función como el conjunto ℕ

6. Una vez entendido el tema de sucesión, vamos a hablar de sus propiedades:
SUCESIONES ACOTADAS
Una sucesión, Una sucesión está acotada si existe un número K tal que los
valores que toma la sucesión nunca superan el valor K,
A partir de la definición demostraremos que 𝑥𝑛 =
1
𝑛
es acotada.
Puesto que 𝑛 ≥ 1, podemos decir que 1 ≥
1
𝑛
. Por tanto, la sucesión es acotada.
SUCESIONES MONOTONAS
Volvemos a las sucesiones del tema anterior, y consideramos las sucesiones
de término general 𝑥𝑛 =
1
𝑛
, 𝑦𝑛 = 𝑛 y 𝑧𝑛 = sin 𝑛.
Tal y como se observa en los gráficos, la sucesión xn decrece de manera
indefinida, yn crece indefinidamente y zn ni crece ni decrece.

7. 1. Una sucesión Xn es creciente si para todo 𝑛 ∈ ℕ se verifica que 𝑥𝑛 ≤
𝑥𝑛 + 1
2. Una sucesión Xn es estrictamente creciente si para todo 𝑛 ∈ ℕ se
verifica que 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛 + 1.
3. Una sucesión Xn es decreciente si para todo 𝑛 ∈ ℕ se verifica que 𝑥𝑛 ≥
𝑥𝑛 + 1 .
4. Una sucesión Xn es decreciente si para todo 𝑛 ∈ ℕ se verifica que 𝑥𝑛 >
𝑥𝑛 + 1
Una sucesión Xn es monótona si es creciente o decreciente.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Arquímedes intento calcular el número π. Su idea era utilizar una secuencia de
polígonos regulares que tendían hacia el círculo. Construimos algunos
polígonos regulares a partir del círculo de radio 1.
Las figuras que obtenemos son:

8. Observamos que la sucesión, además de ser creciente y estar acotada, parece
que tiende hacia un número determinado, el área del círculo, que es π.
Dada una sucesión xn y un valor x, ¿Es posible que la sucesión tenga dos
límites? El teorema que veremos ahora nos indica que esto no es posible, es
decir, que cuando una sucesión converge, tiene límite único.
Silim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑥 y lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑦 entonces x = y. Una sucesion convergente tiene
límite único.
Se observa que toda sucesión convergente está acotada, ya que después de
los primeros términos se ve restringida a moverse dentro de un lado.
Observamos que la segunda sucesión corresponde a 𝑥𝑛=√𝑛; no es acotada y,
en consecuencia, no puede converger (hemos probado que una sucesión
convergente es acotada). En el gráfico de la izquierda hemos representado
𝑥𝑛 =
𝑛
𝑛+1
que es convergente y parece converger hacia la menor cota superior
de 𝑥𝑛.

9. SUCESIONES CON LIMITE INFINITO
Hasta ahora solo hemos tratado sucesiones que tienen límite acotado. Sin
embargo, ¿qué sucede con las sucesiones crecientes y no acotadas, por
ejemplo 1, 2, 3 ... o bien 1, 4, 9 ...? Estamos tentados de afirmar que las
sucesiones tienden a ∞.
Una sucesión {xn} tiende a +∞ si para todo número real K > 0 existe un entero
N tal que ∀n>N; en este caso, xn > K. Lo denotaremos por lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 +∞.
Una sucesión {xn} tiende a −∞ si para todo número real K < 0 existe un entero
N tal que ∀n>N; entonces, xn < K. Lo denotaremos por lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 −∞.
SERIES DE NUMEROS REALES
Sea {an} una sucesión de números reales. Consideramos la sucesión asociada
{Sn} de sus sumas parciales:
Sn = a1 + a2 + ··· + an.
Se conoce como serie la pareja formada por las dos sucesiones {an} y {Sn},
que representaremos mediante el símbolo:
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑖=1
Una serie es convergente si converge la sucesión de sus sumas parciales, y
denominamos suma de la serie el límite de la sucesión de sus sumas parciales,
que representamos mediante el símbolo:
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑖=1

10. Si una serie no es convergente, se denomina divergente. Cabe destacar que la
serie es tipo particular de sucesión.
PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES
1) Si añadimos o suprimimos un número finito de términos que sumen A, la
serie nueva tiene el mismo carácter que la primera. Si la primera serie es
convergente y su suma es S, entonces la suma de la segunda serie es S ± A,
que modifica la suma, pero no el carácter de la serie.
2) El carácter de una serie no cambia si multiplicamos por un numero k≠0. En
este caso:
∑ 𝑘𝑎𝑛 = 𝑘
∞
𝑖=1
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑖=1
3) Si ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑖=1 y ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑖=1 son series convergentes con límites S1 y S2, entonces
∑ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = 𝑠1 + 𝑠2
∞
𝑖=1 .
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
Una serie es de términos positivos si el término general es siempre positivo, es
decir, an > 0 para todo valor de n. Los criterios que se siguen hacen referencia
a las series de términos positivos.
Dadas dos series ∑ 𝑎𝑛 y ∑ 𝑏𝑛 tales que 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 𝑛0 :
a) Si ∑ 𝑎𝑛 diverge, entonces ∑ 𝑏𝑛 diverge.
b) Si ∑ 𝑏𝑛 converge, entonces ∑ 𝑎𝑛 converge.

11. ESTIMACIÓN DEL ERROR
Uno de los problemas con que nos encontramos a la hora de estudiar series es
que tenemos la capacidad de determinar si convergen, pero en caso de que
converjan es bastante difícil determinar con exactitud cuál es su suma.
En la práctica, solo nos interesa determinar la suma con una cierta precisión y,
para hacerlo, sumamos un número finito de términos. Es decir, queremos
calcular: ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 y, en lugar de esto, calculamos: ∑ 𝑎𝑛
𝑘
𝑛=1 entonces el error que
cometemos es:
𝐸𝑟𝑟𝑘 = ∑ 𝑎𝑛 −
∞
𝑛=1
∑ 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘+1
𝑘
𝑛=1
Pero si escribimos 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) 𝑦 𝑓(𝑥) es una función positiva monótona
decreciente, se tiene que:
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘+1
≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑘
Ya que el valor de la integral es el área delimitada por la curva y el eje X, y la
suma de la serie es la suma de las áreas de los rectángulos.

12. Cuando 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) 𝑦 𝑓(𝑥) es monótona decreciente, entonces:
𝐸𝑟𝑟𝑘 = ∑ 𝑎𝑛 −
∞
𝑛=1
∑ 𝑎𝑛 = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘+1
𝑘
𝑛=1
≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑘
SERIE ALTERNADA
Cuando las series tienen términos positivos y negativos son conocidas como
series alternadas. Son de la forma:
∑(−1)𝑛
𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛 > 0∀𝑛
SERIES DE POTENCIAS
Una serie de la forma ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛
se conoce como serie de potencias. Dada
una serie de potencias, nos preguntamos para que valores de x la serie
converge. No obstante, tenemos un problema: la serie que obtenemos no tiene
por qué ser alternada ni de términos positivos, motivo por el cual veremos su
convergencia absoluta.
La serie que estamos considerando es ∑ |𝑎𝑛||𝑥 − 𝑎|𝑛
∞
𝑛=1 y, al ser de términos
positivos, podemos aplicar el criterio del cociente y asegurar convergencia si:
lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| |𝑥 − 𝑎| < 1.
El lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| se conoce como radio de convergencia y se denota por R. Si 𝑥 ∈
(𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) entonces la serie es absolutamente convergente. A continuación,
aparecerá enunciado el resultado más importante que resuelve el problema de
la convergencia de una serie de potencias. Si 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) entonces
t(x)=f(x).

13. CONCLUSIÓN
En este trabajo se llega a la conclusión de que las sucesiones y series, son
parte importante del cálculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados
precisos que con operaciones aritméticas no se pueden llegar, hablando de
aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber cómo
determinar las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, ya que
algunas veces no pueden evaluarse fácilmente dentro de la aritmética. En las
sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en el álgebra, ya
que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto de números
en orden lógico, y así poder encontrar el resultado que buscamos, en las series
infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya que con la
cual también son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado parametrito
establecido con anterioridad en un orden lógico.

14. ANEXOS
Ejemplo 1
Ejemplo 2

15. BIBLIOGRAFÍA
Disfruta Las Matemáticas. (s.f.). SUCESIONES Y SERIES. Recuperado el 15
de Febrero de 2021 de
https://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
Universidad de Cantabria. (2010). CÓMO ESTRUCTURAR UN INFORME
TÉCNICO COMO UN VERDADERO INGENIERO.
https://ocw.unican.es/pluginfile.php/1408/course/section/1805/tema10-
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Frabetti, Carlo (09 sept, 2016). Series y Sucesiones. EL PAÍS,
https://elpais.com/elpais/2016/09/01/ciencia/1472730034_971444.html
Ascencio, R. (06/06/2018). Sucesiones, series y patrones: nos ayudan a
interpretar al mundo. IMPULSO MATEMÁTICO.
https://impulsomatematico.com/2018/06/06/sucesiones-series-y-patrones-nos-
ayudan-a-interpretar-al-mundo/#comments
Bustos, P.A. (s.f). Sucesiones y series. Cálculo de integrales.
http://www.calculointegrales.com/p/series-y-sucesiones.html
Alvares, E. S. (23 febrero, 2010). Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación.
MATEMÁTICAS I. Teoría: Sucesiones y series.
https://ocw.unican.es/pluginfile.php/2021/course/section/2376/Bloque2_Sucesio
nesSeries.pdf