Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión aritmética es aquella donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior, mientras que en una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija. Además, describe diferentes tipos de sucesiones como monótonas, convergentes y divergentes; y cómo calcular el término general, sumas y otros conceptos relacionados a sucesiones y progresiones.

1. Universidad de Oriente
Núcleo de Monagas
Escuela de Ciencias Sociales y Administrativas
Departamento de Gerencia de Recursos Humanos
Sección de Matemática
Maturín, Edo. Monagas
Profe: Bachilleres:
Milagros Coraspe
Sección 03
Maturín,2017
Sucesiones ,
Progresiones y
Aritméticas y geometricas
• MARIAN ESPINOZA
CI: 26.997.245
MARIA RODRIGUEZ
• CI: 26.975.632

2. Introducción
En el siguiente trabajo hablaremos acerca de las sucesiones y progresiones aritméticas y
geométricas.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, llamados términos de la sucesión, que se
denotan con an, donde n indica la posición que ocupa el término dentro de la sucesión.
Decimos que una sucesión es una progresión aritmética cuando cada término se obtiene del
anterior sumándole una cantidad constante. Dicha cantidad toma el nombre de diferencia y la
indicaremos con d.
Decimos que una sucesión es una progresión geométrica cuando cada término se obtiene del
anterior multiplicando por una cantidad constante. Dicha cantidad toma el nombre de razón y
la indicaremos con r.

3. Sucesiones
Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto
de los números naturales y su codominio es cualquier otro conjunto,
generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de
ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la
sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos)
se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con
una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión
Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni
creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy.
Sin embargo, sí es una sucesión acotada.

4. Determinación De Una Sucesión
• Por el término general
an= 2n-1
a1= 2 ·1 - 1 = 1
a2= 2 ·2 - 1 = 3
a3= 2 ·3 - 1 = 5
a4= 2 ·4 - 1 = 7
1, 3, 5, 7,..., 2n-1
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
• Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del
anterior.
2, 4, 16, ...

5. • Sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos
términos anteriores.
Operaciones Con Sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
• Suma de sucesiones
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

6. • Propiedades
1. Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n) 2. Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3. Elemento neutro 4. Sucesión opuesta
(0) = (0, 0, 0, ...) (-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + 0 = an an + (-an) = 0
• Diferencia de sucesiones
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
• Producto de sucesiones
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

7. • Propiedades
1. Asociativa: 2. Conmutativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n) an · bn = bn · a n
3. Elemento neutro 4. Distributiva respecto a la suma
(1) = (1, 1, 1, ..) an · (bn + c n) = an · bn + an · c n
an · 1 = an
• Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es
inversible, su inversa es:
• Cociente de sucesiones
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

8. Tipos de sucesiones
• Sucesiones monótonas
• Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
• Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

9. • Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el
anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
• Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
• Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...
• Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un
número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los
términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K‘

10. • Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto
número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual
al supremo de la sucesión.
• Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto
número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es
igual al ínfimo de la sucesión.

11. • Sucesiones convergentes
Límite = 0
Límite = 1
• Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
• Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor
o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
• Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n

12. Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.
Progresiones
En matemáticas, una progresión es una sucesión de números tales que la diferencia de dos
términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la
progresión», «diferencia» o incluso «distancia».
Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante
2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3.

13. Término General De Una Progresión
1. Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = al + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación De Términos En Una Progresión
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión
aritmética que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7 , -12.

14. Suma De Términos Equidistantes De
Una Progresión
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos
equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4

15. Suma De n Términos Consecutivos De Una
Progresión
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

16. Sumatorias Simples
Las sumatorias simples, es una operación de matemática que se emplea para calcular la suma de
muchos o infinitos sumatorios. La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma
mayúscula, y se expresa de esta manera:
Expresión que se lee «sumatoria de x1, donde i toma los valores desde l hasta n»
i es el valor inicial, llamado limite inferior
n es el valor final, llamado limite superior
Per necesariamente debe cumplirse que
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus limites y su expresión
se puede simplificar.
si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales si puede hacer de esta
forma

17. Algunas Formulas De La
Operación Sumatoria
• Formula para la suma de n números consecutivos (1+2+3+4+5……+n)
• Formula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos
(12+22+32+42+52+62………+n2)
• Formula para la sumatoria de cubos de n números consecutivos
(13+23+33+43+53+63+73………+n3)

18. • Un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las
puntuaciones que demuestra la tabla

19. Podemos concluir en que las sucesiones numéricas se clasifican en: sucesión aritmética
(o progresiones aritméticas) y sucesiones geométricas (o progresiones geométricas).
Una sucesión aritmética (o progresiones aritméticas) es una sucesión de números tal
que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo.
Una sucesión geométrica es una sucesión de números tal que cada término se obtiene
multiplicando al anterior por un número fijo.
Para encontrar el patrón de repetición en una sucesión de figuras tienes que analizar y
determinar, cuáles son las que se repiten.
Esta forma de proceder es válida para resolver cualquier otro tipo de ejercicio, pues la
esencia es encontrar cómo se obtienen unos términos a partir de otros dados o la regla
de formación.
Conclusión