Este documento presenta una introducción a los algoritmos y estructuras de datos, enfocándose en el lenguaje de programación C++. Explica brevemente la historia y ventajas de C++, y describe cómo se pueden implementar algoritmos comunes como el ordenamiento usando este lenguaje. También menciona otras alternativas como Java.

1. Tejiendo algoritmos
Ä Ò ÖÓ Ê Ò Ö Ò Ø Ä ÓÒ
lrleon@ula.ve
ÒØÖÓ ×ØÙ Ó× Ò Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ý Ë ×Ø Ñ × ×ØÖ Ù Ó×
ÍÒ Ú Ö× ÄÓ× Ò ×
½ × ÔØ Ñ Ö ¾¼¼

2. ÄÓ× Ø Ó× Ð ÔÓÖØ ×ÓÒ Ó× Ù Ó× Ø Ó× ÖØ ¬ Р׸ Ö Ð Þ Ó× ÔÓÖ ÖÑ Ò Ø
Ù×Ø Ñ ÒØ Ý ÙÒ Ö Ø Ð Æ ÛØÓÒ ÓÖ Ò Ø Ó ÔÓÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ xfractintº

3. Ð ×ØÙ ÒØ Ö Ø ÖÒÓ¸ Ø Ò Þ ÒØ Ð ÒØ ¸ Ô ÖÓ ÔÓÖ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ ÓÒ ×ØÓº

5. Prefacio
ÉÙ × Ö ÕÙ ×Ø Ø ÜØÓ × ÓÒ× Ö × ÓÑÓ ÙÒ Ú Ñ ÙÑ Ò Ð × ÒÓ Ø ÚÓ Ý Ò Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÕÙ ×ÓÔÓÖØ Ò ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÑÔÙØ ¹
ÓÒ Ð ×º Î Ñ ÙÑ × ÙÒ Ô Ð Ö Ð Ø Ò ÓÒ×ØÖÙ Ñ ÒØ Ð ÑÔ Ö Ø ÚÓ Ð Ø Ò Ú
ÕÙ ÓÒÒÓØ Ú Ò ¸ Ò Ó Ñ Ò Ý Ñ ÙÑ ÕÙ × Ò ¬ ÓÒÑ Ó º ÔÖ Ò Ö ×
Ô Ö Ó ØÖ Ò× Ø Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ò× Ò Ö × Ô Ö Ó ÑÓ×ØÖ Ö× ÐÓ ÙÒ Ô Ö Ö ÒÓº Ò× Ò Ö
ÔÖÓÚ Ò Ð Ð Ø Ò Ò× Ò Ö ¸ Ú Ö Ó ÓÑÔÙ ×ØÓ Ò ´ Òµ Ý × Ò Ö ´× Ò Ð Öµ Ð
ÜÔÖ × ÓÒ ÙÒ × ÑÔÐ Ù Ò Ó × × Ò Ð ÓÒ Ð Ó ÙÒ × Ò × Ù Öº × ¸ ÙÒ Ú ¹
Ñ ÙÑ ÔÖ Ø Ò × Ö ÙÒ Ù ØÖ Ò× ØÓ ÔÓÖ ÙÒ × Ò ÔÖ Ò Þ Ò ×Ø ×Ó¸
Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ ×º
Modo y medios
È ÖÑ Ø × Ñ ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÑÓ Ó Ò× Ò ÒÞ ×Ø Ø ÜØÓ¸ ÜÔÖ × Ó ÔÓÖ ×Ø ÒØ ÕÙ × ÑÓ
ÔÖÓÚ Ö Ó ÓÖ ÒØ Ð
Ù Ò Ó × Ù Ó¸ ÓÐÚ Ó¸
Ù Ò Ó Ú Ó¸ Ö Ù Ö Ó¸
Ù Ò Ó Ó¸ ÒØ Ò Óº
Ä ÔÖÓÔ ÓÒ Ø Ú ÙÒ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó ×Ø × ÒØ Ò º Ð Ò¹
Ø Ò Ñ ÒØÓ × ØÓÖÒ Ö Ð Ù Ò Ó ÙÒ ÔÖ Ò Þ ÓÒ×ÙÑ Ð ÙÖ Ó× × Ö ¹
Ø Ö ×Ø × ×Ù ÔÖ Ø Ò ÓÐ × Ð Ñ ×ÑÓº Ó ÓØÖ Ñ Ò Ö ¸ Ð ÑÓ Ó Ò× Ò ÒÞ
× ÑÓ×ØÖ Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ ÓÑÓ × Ö Ð Þ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ý ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓº Ó ×Ø
ÑÓ Ó¸ ÒØ ÒØ Ö Ù Ö ÙÒ ÔÓØ Ò Ð ÔÖ Ò Þ ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ Ð ÔÖ Ø Ð ÔÖÓ Ö ¹
Ñ ÓÒ Ú ÒÞ º È Ö ÐÐÓ ÑÔÐ Ó Ð ÙÒÓ× Ñ Ó׺
C++
È Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý Ð × ×Ô ¬ ÓÒ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÑÔÐ Ó Ð
ÐÒÙ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ C ++º
×Ø × ÓÒ ÒÓ × ØÓÑÓ × Ò Ò × Ó ÓÒ ×¸ Ð × Ù Ð ×¸ Ö ×ÙÑ Ñ ÒØ ¸ × ÔÙ Ò
Ð × ¬ Ö Ò Ó× ÖÙÔÓ׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ù ×Ø ÓÒ Ð Ú ÒØÙ Ð × ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð Ð ØÓÖ ×Ó Ö
Ð Ð Ò Ù C++º ×ØÓ Ó Ö ÔÐ Ö ÕÙ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ C++ × ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ò Ù × Ñ ×
ÔÓÔÙÐ Ö × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ×Ø Ñ ×¸ × ÒÓ ÕÙ ×Ù × ÒØ Ü × Ý × Ñ ÒØ
×ÓÒ Ö Ñ Ò × ÒØ × Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× ÓØÖÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ ÙÖ Ð × Ý Ó ØÓ׺ Ó¸ Ò
Ð ÕÙÓÖÙÑ ØÙ Ð ÐÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ð × ÒÓ ×ÓÐÓ ÓÑ Ò C++¸ × ÒÓ
ÕÙ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ð Ò Ù × × Ò×Ô Ö Ò Ò Ð Ó Ò ×Ù ÔÖ ÙÖ×ÓÖ¸ Ð Ð Ò Ù C ÔÓÖ Ò×Ø Ò ×¸
java¸ python¸ perl¸ C# Ý Dº

6. iv
Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ Ó ÓÒ ÒÙÒ ÕÙ Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ × ØÓÖÒ Ñ × ¬ ÙÐØÓ× ¸
Ð Ù Ð Ö ÔÐ Ó ÓÒ Ó× Ö ÙÑ ÒØÓ׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ × ÕÙ ÐÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ×
Ô Ò× ÖÓÒ¸ Ø Ñ Ò¸ Ò ÙÒ ×Ø ÐÓ ÓÐÓÕÙ Ð ½ Ö ×Ô ØÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº ÓÒ× Ö ÑÓ׸
ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð × Ù ÒØ × Ù Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù ×Ø ÐÐ ÒÓ
Repita mientras m > 0 y m < n
si a[m] < a[x] entonces
m = m/2;
de lo contrario
m = 2*m
fin si
Fin repita mientras
Ð Ù Ð × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ØÖ Ù ÓÒ Ð Ø Ö Ð¸ ÓÐÓÕÙ Ð ¸ Ð × Ù ÒØ ÐÓÕÙ Ò C++
while (m > 0 and m < n)
{
if (a[m] < a[x])
m = m/2;
else
m = 2*m;
}
ÙÒÕÙ ÙÒ ÑÔÐÓ ÒÓ ×Ø Ô Ö Ò Ö Ð Þ Ö Ñ Ò× ×Ó Ö Ð Ù×Ó Ð Ð Ò Ù C++¸
Ð Ó × ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ÕÙ ÓÒ× Ö × Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ø Ò Ö ÕÙ ÔÖÓ Ö ¹
Ñ Ö Ý ×ØÓ Ö ÖÐÓ Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ù Ð¸ Ô Ö Ò Ó Ñ Ð¸ Ù
Ô Ò× Ó Ò Ð Ò Ù Ò Ð × º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ò Ú Ø Ð Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ÔÖ Ò Þ ×Ô ÒÓ Ô ÖÐ ÒØ ¹
Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ò Ð Þ Ó º À Ð ÓØ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸
Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ Ý ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò C++ Ø Ò Ò Ð
Ñ ×ÑÓ × Ò ¬ Óº × Ô٠׸ × Ù Ó×Ó¸ Ù Ò Ó Ñ ÒÓ׸ ¬ÖÑ Ö ÕÙ Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ ×
ØÓÖÒ Ñ × ¬ ÙÐØÓ× º
ÍÒ ÓÒ ÕÙ × ØÖ ÙÝ Ð Ù×Ó ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù × ÕÙ ×Ø × Ò Ô Ò ÒØ
Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒº Ò Ñ Ö Ø Ö Ó¸ ×ØÓ × Ô Ö ÐÑ ÒØ ÓÖÖ ØÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ×
ÔÐ ÒØ ÐÐ × Ò C++ ÔÐ ÒØ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÖØ Ø Ð Ò ÓØÖÓ× Ð Ò Ù × ÕÙ ÒÓ Ð ×
Ø Ò Òº Ð Ù Ò ÔÙ Ö Ù Ö ÕÙ Ð Ù×Ó ÔÐ ÒØ ÐÐ × ×ÓÒ Ö ÔØ × Ô Ö Ð ÔÖ Ò Þº
È ÖÓ ×Ø Ó ÓÒ ×ÓÐÓ Ø Ò × ÒØ Ó × ÒÓ × ÓÑÔÖ Ò Ð ÓÒ ÔØÓ Ý ¬Ò ÙÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ ¸
Ù Ð ÒÓ × ÓØÖÓ ÕÙ Ð Ò Ö º ÒØ Ò Ó ×ØÓ¸ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ × × Ø Ò Ó
Ñ × Ò Ö Ó ÕÙ ÙÒÓ Ö Ð Þ Ó Ò ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù Ý Ö ×ÙÐØ ÕÙ ×Ø × Ð ÔÖ Ò Ô Ð
Ö ÙÑ ÒØÓ ÕÙ Ò × ¬ Ò Ò Ð Ò× Ò ÒÞ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ò ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù º
ØÓ Ó× ÑÓ Ó׸ × × Ù× × ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù ¸ ÒØÓÒ × Ø Ñ Ò Ö ÕÙ ÔÐ ÒØ Ö× Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ù Ö ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ö Ð¾ º Å × ÙÒ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ ×ØÖ
Ò ÕÙ ¸ Ù ÒØ Ð ÔÓÔÙÐ Ö Ý ØÖ Ò× Ò Ò Ð C++¸ Ö Ó ÕÙ × Ñ × Ð
ØÖ Ù Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò C++ ÓØÖÓ Ð Ò Ù ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ java¸
ÕÙ ÙÒÓ Ö Ð Þ Ó Ò ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù ¿ º
× ÑÔÓ× Ð × Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÐÓÕÙ Ð Ò ÙÒ Ð Ò Ù
½
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
ÍÒ ØÖ Ù ÓÒ ÓÒ Ñ × × Ù ÖÞÓ × × ØÖ Ø
¾
ÙÒ × Ù Ó Ð Ò Ù Ò ×Ø ÐÐ ÒÓº
¿
Ó¸ ÑÙ Ó× Ø ÜØÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ô Ö Ò Ò Ö ÒØ × ÓÒ × Ô Ö ×Ø ÒØÓ× Ð Ò Ù ×º
Ò ÑÙ Ó× ×ØÓ× ×Ó׸ Ð ÙØÓÖ × Ö ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ð Ò Ù Ý ÐÙ Ó ÑÔÐ ØÖ Ù ØÓÖ ×
Ð ÓØÖÓ Ð Ò Ù º Ì Ð × ×ÓÒ ÐÓ× ×Ó× Ë Û Ó Ï ×× Ý ×Ù× × Ö × Ò C¸ C++ Ý java

7. v
Biblioteca ALEPH
×Ø Ø ÜØÓ ÓÒØ Ò ¸ Ò × Ñ ×ÑÓ¸ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ð ÓØ ¸ Ð Ö ¸
ÐÐ Ñ ALEPH¸ ÓÒØ ÒØ Ú ØÓ × Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ× ØÖ Ø Ó× Ò
×Ø Ø ÜØÓº
Ä Ð ØÙÖ ÔÓ× Ð Ø Ð Ð Ù ÒØ Ð Ð ÓØ Ý Ö Ú Ð ×Ô ØÓ× ×Ù Ò×ØÖÙ¹
Ñ ÒØ ÓÒº Ë ÐÚÓ ÖÖÓÖ × ÙÒ ÒÓ × Ù ÖØÓ× Ó Ñ ÓÖ × ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö × ÔÖÓÔÓÒ Ö¸
Ð Ð ØÓÖ Ø Ò Ð ÔÓ× Ð ÔÓÝ Ö× Ò ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ð ÐØ Ð
ÔÖÓÔ ÓÒ ×Ù× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ׺
ÄÓ× Ó Ó× Ù ÒØ × ALEPH ×Ø Ò ×ÔÓÒ Ð × Ò ftp:://ftp.ula.ve/lrleon/
aleph Ù ÖÓÒ ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ Ó× ÓÒ bcpp ¿ º
ÐÓ Ð Ö Ó Ñ ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ Ò× Ò ÒØ ¸ ÒØ ÒØ Ó Ö ÓÑÔ Ò× Ö ÐÓ× × Ù Ö ¹
ÓÖ × ÖÖÓÖ × Ý ÔÖÓÔÓÒ ÒØ × Ñ ÓÖ × ÓÒ ÙÒ ÔÓÒ Ö ÓÒ Ò ×Ù Ð ¬ ÓÒº ÆÓ Ú Ó
Ò Ò ÙÒ ÑÔ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ø Ö ÖÓ ÔÐ ÕÙ ÐÓ Ñ ×ÑÓ × ×Ø Ø ÜØÓ × Ù× ÓÑÓ Ñ Ø Ö Ð
Ò×ØÖÙ ÓÒ Ðº Ë Ð ÙÒ Ð ØÓÖ Ù Ö Ñ Ö ÙÐÓ Ò× Ò ÒÞ × Ö ÔÓÖØ Ö Ð ÙÒ ÖÖÓÖ
Ó Ö Ð Þ Ö Ð ÙÒ Ñ ÓÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Þ Ó ÐÓ Ö ÔÓÖØ Ð Ñ Ð lrleon@ula.veº
Ä Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓØ ×Ø ×ÔÓÒ Ð Ò Ð ÒÐ http://www.ing.ula.
ve/alephº ×Ø Ù × Ö Ø Ô Ö ÔÖÓ × Ö× ÓÒ Ð Ü Ð ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ doxygen º
Programaci´n literaria
o
Ò Ð Ð ÓÖ ÓÒ ×Ø Ø ÜØÓ × ÙØ Ð ÞÓ ÙÒ × ×Ø Ñ ÐÐ Ñ Ó noweb ½ ¸ ½ ¸ Ð Ù Ð ×
ÙÒ × ×Ø Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÕÙ Ò Ö ×Ø Ø ÜØÓ Ý ÐÓ× Ù ÒØ × Ò C++ Ô ÖØ Ö ÙÒ ×ÓÐÓ
Ö ÚÓ Ù ÒØ º Ð Ù ÒØ ÒØÖ Ð Þ ÔÖÓ× ÜÔÐ Ø Ú ÓÒ ÐÓÕÙ × Ó Ó Ð
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓØ º
×Ø ×Ø ÐÓ × Ö ØÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ × × ÒÓÑ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ø Ö Ö Ý Ù ÔÖÓ¹
ÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ÃÒÙØ ½ º Ä × ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ×Ø ÐÓ Ñ × ÓÐÓÕÙ Ð Ô Ö × Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñ ×
ÕÙ Ð Ñ ÖÓ ×Ø ÐÓ ÓÖÑ Ó ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÕÙ
Ð Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ Ý Ð ÙÐØ Ñ Ú Ö× ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ´ÔÖ ×ÙÑ Ð Ñ ÒØ ÓÖÖ Ø µ Ö × Ò Ò
ÙÒ ×ÓÐÓ Ù ÒØ º
Ô ÖØ Ó Ó Ò C++¸ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÔÙ Ò ÓÒØ Ò Ö Ö Ö Ò × ÓØÖÓ× ÐÓÕ٠׺ ÍÒ
¬Ò ÓÒ ÐÓÕÙ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ ×Ù ÒÓÑ Ö ÒØÖ Ô Ö ÒØ × × Ò ÙÐ Ö ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö × ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ n × Ó ÒÓ ÔÖ ÑÓº È Ö ÐÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð
× Ù ÒØ ÐÓÕÙ
Ú Ð ÙÐ Ö × Ò × ÔÖ ÑÓ Ú ≡
if (n <= 2)
// n es un n´mero primo
u
const int ra´z_de_n = static_cast<int>(ceil(sqrt(n)));
ı
for (int i = 3; i < ra´z_de_n; i += 2)
ı
if (n % i == 0)
// n no es primo
// n es un n´mero primo
u
ÄÓ× ÐÓÕÙ × × ÒÙÑ Ö Ò × ÙÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ô Ò ÓÒ × ¬Ò Ò ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö
Ú Þº Ë Ý Ñ × ÙÒ ÐÓÕÙ Ò ÙÒ Ô Ò ¸ ÒØÓÒ × ×Ø × Ð Ò ÙÒ Ð ØÖ ÕÙ ¸ Ò
Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ó¸ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ×Ù ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒº Ð ÙÒÓ× ÐÓÕÙ × Ö Ö Ò Ò
ÓØÖÓ× ÐÓÕÙ × Ó Ú Ö Ð ×º

8. vi
ÄÓ× ÐÓÕÙ × ×Ø Ò × Ö ØÓ× Ò ÙÒ ÓÖ Ò ÕÙ × Ö × ÔÖ Ö Ð Ô Ö Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ
ÕÙ Ð Ñ ÖÓ Ð ×Ø Ó Ó Óº × ¸ Ö Ö ØÓ Ö Ø ÕÙ × Ñ ÔÙ Ö ×Ó Ö Ð
×Ø ÐÓ Ý ÓÖ Ò ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ø¹
Ö Ö ¸ Ô ÖÓ Ð ×ÓÐ ØÓ Ð Ö Ø Ó ÙÒ × Ù ÖÞÓ ÔÖ Ñ Ò Ó ÔÓÖ ÓÑÔ Ö Ö Ð ×Ø ÐÓ noweb ÓÒ
Ð Ð ×Ø Ó ÔÐ ÒÓ Ó Ó Ý¸ ÒØÓÒ ×¸ Ó × ÓÒ× Ö ÓÒ¸ Ö Ö ×Ù Ö Ø º
ÈÙ Ö× ÕÙ ×Ø Ø ÜØÓ ÓÒØ Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ×
Ó Ð ÓÖ ØÑÓ × ×ØÙ º ÑÔ ÖÓ¸ ØÓÑ Ö× ×ØÓ Ð Ô Ð Ð ØÖ ÖÖ Ö ×Ø ÒØ Ô Ô Ð
Ñ × ÕÙ Ö ×Ø Ø ÜØÓ Ñ × ÚÓÐÙÑ ÒÓ×Ó Ý Ö Ô Ø Ø ÚÓº Ò × × ÒØ Ó¸ Ò Ö × Ð
×Ô Ó¸ × Ò Ö Ð Þ Ó ÓÖØ × Ó× Ø ÔÓ×
½º Å Ò Ó Ü Ô ÓÒ × ÙÒÕÙ ×Ø ×Ô ØÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ ÙÒ Ð × ÓÒ × Ñ ×
Ð ÒØ × C++¸ ×Ø Ø ÜØÓ × ÒÓ ÐÓ× ÔÖ × ÒØ º
¾º Å ØÓ Ó× Ð × × Ö Ô Ø Ø ÚÓ× Ó ÑÙÝ × ÑÔР׺
Ò Ñ Ó× ×Ó׸ Ð Ó Ó Ð Ð ÓØ ¸ Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð Ù ÒØ noweb
×Ø Ø ÜØÓ¸ ×Ø ÓÑÔÐ ØÓ × Ö¸ Ð Ð ÓØ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ñ Ò ÓÖ × Ü Ô ÓÒ ×
Ý Ñ ØÓ Ó× ÓÑ Ø Ó× Ò ×Ø Ø ÜØÓº
Ejercicios
Ù ÐÕÙ Ö × Ð ÔÖ Ø ¸ ÒÓ Ý ÓØÖ Ñ Ò Ö ÕÙ ÙÒ ÔÖ Ø ÒØ ÓÒ×ÙÑ ×Ù×
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÒÓ × Ò Ó ÔÖ Ø º ÈÓÖ Ñ × × Ù ÖÞÓ ÕÙ × Ö Ð ÔÓÖ ÓÖ ÒØ Ö
Ý Ò× Ò Ö¸ Ð ÔÖ Ò Þ ¸ ÔÖ Ö Ð Ñ ÒØ Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ñ ×ØÖÓ¸ Ö Ø Ö ÔÓÖ × ×ÓÐÓ
ÐÓ ÔÖ Ò Óº
À Ý ØÖ × Ñ Ò Ö ×¸ ÕÙ ÒÓ Ò × Ö Ü ÐÙÝ ÒØ ×¸ Ö Ð Þ Ö ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ
½º Ê ×ÓÐÙ ÓÒ Ö Ó× ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð ¬Ò Ð Ô ØÙÐÓ ×
ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× ×Ø Ò Ó׸ ÔÖ ÑÓÖ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ö ×ÓÐÙ ÓÒ Ò
×ÓÐ Ø Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ð ÔÖ Ò Þº
Ð ÙÒÓ× Ö Ó× ×ÓÒ Ø ÓÖ Ó× Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ö Ò
× Ö Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔ Ð Ð º ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÒÓ ×Ø ÔÖÓ Ó × ÒØ Ö× Ö ÒØ Ð
ÓÑÔÙØ ÓÖ ÒØ ÒØ Ö ÓÒ Ö Ø Ö Ð Ö Ó Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ º ÇØÖÓ× Ö Ó×
×ÓÒ ÔÖ Ø Ó× Ý ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÜØ Ò× ÓÒ × Ð Ð ÓØ º ×ØÓ× Ö Ó× ×ÓÒ ×Ø Ò¹
Ù Ð × ÐÓ× Ø ÓÖ Ó× ÔÓÖÕÙ ÒÙÒ Ò ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ÙÒ Ó ØÓ Ð
Ð ÓØ º
ÄÓ× Ö Ó× ×Ø Ò Ð × ¬ Ó× × ÙÒ ÙÒ ¬ ÙÐØ ×Ù Ø Ú ÙÞ ÔÓÖ Ñ º ÆÓ
× Ð ÔÓÒ Ö Ö Ð Ø ÑÔÓ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ Ö Ó¸ ÔÙ × ×Ø Ô Ò Ð
×ØÙ ÒØ ¸ Ô ÖÓ ÕÙ Ñ Ð × ¬ ÓÒ
´ µ Æ Ò ÙÒ ÖÙÞ ÒÓØ ÙÒ Ö Ó ÓÒ× Ö Ó × Ò ÐÐÓº ÄÓ× Ø ÓÖ Ó× Ö Ò
Ö ×ÓÐÚ Ö× Ò Ð ÓÖ Ò Ò Ó Ñ ÒÙØÓ׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ø Ó× Ò Ð
ÙÒ º
´ µ ÍÒ ÖÙÞ ´·µ ÜÔÖ × ÙÒ Ø ÑÔÓ ×Ø Ñ Ó ÙÒ Ó× ÓÖ × Ò Ð ×Ó ÙÒ
Ö Ó Ø ÓÖ Ó Ý Ó× × Ò Ð ÔÖ Ø Óº
´ µ Ó× ÖÙ × ´··µ ÜÔÖ × Ò Ý ÙÒ ¬ ÙÐØ ÑÙ Ó Ñ ÝÓÖº ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸
×Ø Ð × Ö Ó× ÔÐ ÒØ Ò Ð ÔÖ Ò Þ ÙÒ × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ó Ö Ú Ð ÓÒ

9. vii
ÙÒ ØÖÙ Ó Ó Ø Ò ÕÙ ¸ ÙÒ Ú Þ Ö Ú Ð ¸ Ö Ù Ö Ð ÓÑÔÐ Ð
Ö Ó Ò Ò ÙÒ ÖÙÞº
Ð Ø ÑÔÓ ÙÒ Ö Ó Ø ÓÖ Ó × Ö Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð
ÙÒÓ ÔÖ Ø Ó ØÖ × ´¿µ ׺
´ µ ÌÖ × ÖÙ × ´···µ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ø ¸ и ÙÒ¸ Ô Ö ÙÒ Ñ ×¹
ØÖÓ Ý ×Ù Ø ÑÔÓ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÒÓ ×Ø Ð Ñ Ø Óº
¾º Ê Ð Þ ÓÒ Ö Ó× Ù Ó× Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÙÒÓ ÐÓ× Ö Ò × Ó ×Ø ÙÐÓ× ÕÙ
ÐÓ ×ØÖ ØÓ ÔÐ ÒØ Ð ÔÖ Ò Þ ¹Ý ÙÒÓ Ö ÕÙ ÐÐÓ Ó ÙÖÖ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÔÖ Ø ¹ ×
ÕÙ ×Ù ÓÒ ÓÒ ÒÓÚ Ð ¬ ÙÐØ ÔØ Ö ÕÙ ÐÓ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÙ × Ö Ò ÔÖ Ò Ô Ó
×ØÖ ØÓ Ú Ò Ö ¸ ØÖ Ú × Ð Ö Ó¸ ÓÒ Ö ØÓº
Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÙ Ö× ÕÙ Ð × ÒØ Ó ÙÒ Ö Ó Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ×
Ô ÖÑ Ø ÖÐ Ð ×ØÙ ÒØ Ò Ö Ð ÓÒ Ö ÓÒ ×Ù× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ׺ È Ö ÐÐÓ¸ Ò
Ð ÓÖ ØÓÖ Ó¸ ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× ØÖ × Ø Ú ×
´ µ ÓÒØ ÑÔÐ ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð¸ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ¸ Ò Ð Ù Ð
× Ù×Ó Ð ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÙ Óº
Ð Ù Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÔÙ ÒÙÒ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ò×ØÖÙ¹
Ñ ÒØ ÓÒ ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒº ÄÙ Ó¸ ÒÚ Ø Ö Ð ×ØÙ ÒØ Ö Ú × Ö ÐÓ× Ù ÒØ ×
Ò Ö Ö¸ ÒØ × ×Ù Ù ÓÒ¸ Ð × Ø Ò × Ý ×Ø ÐÓ× ÙØ Ð Þ Ó× Ò Ð Ò×ØÖÙ¹
Ñ ÒØ ÓÒº
´ µ ÓÒØ ÑÔÐ ÓÒ Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ú Ö× × ÓÑ Ò ÓÒ ×
ÒØÖ º ×Ø × Ð × Ò Ð Ù Ð Ð ÔÖ Ò Þ ÓÑ ÒÞ × ÒØ Ö ÓÒ Ö ÓÒ
× Ö¸ ÕÙ ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ× ×ØÖ ØÓ× Ô Ö Ò Ò ×ÓÐÙ ÓÒ × ÓÒ Ö Ø ×º
ÙÖ ÒØ ×Ø Ø Ú ÔÙ × Ö Ö ÓÑ Ò Ð Ð ÙØ Ð Þ ÓÒ ÙÒ ÔÙ¹
Ö ÓÖ º
´ µ Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ Ú Ö ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒ
ÔÖ Ñ Ò º Ò ×Ø ÔÙÒØÓ¸ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ × ØÖ ×Ó Ö Ð Ñ ×ÑÓ
ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ù ÒØ ×¸ Ô ÖÓ ÓÒ Ð ÙÒ Ú Ö ÒØ ÙÒ ÑÔÐ ÓÒ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö
ÓØÖ × Ð × × ÒØÖ ×¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓº
¿º Ê Ð Þ ÓÒ ØÖ Ó× ÔÖ Ø Ó× Ò Ù Ð Ñ ÒØ ¸ Ò Ð ×Ô Ö ØÙ Ð ÔÖÓÚ Ö Ó
Ø Ó¸ ×Ø × Ð × ÕÙ × Ò Ð Ö Ô Ö ÒØ Ò Ö º
ÓÑÓ × Ö Ð ÔÖÓÝ ØÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ò Ð Ô Ö Ý
ÓÒ × ÒØ Ó Ð ÓÒØ ÜØÓ Ò ÓÒ × Ò× Ò × Ö¸ ÓÖÑÙÐ Ó ÔÓÖ Ý Ô Ö Ù× Ö× Ò
Ð ÓÑÙÒ Ò ÓÒ × Ö Ð Ð Ò× Ò ÒÞ ×Ø ÙÖ×Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ð ÒÓ
Ð ÐÙ Ö Ò× Ò ÒÞ × Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ØÖ ¬ Ó¸ ÒØÓÒ × ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö×
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÑÔÐ × ÑÓ ÔÖÓÝ ØÓ× Ò ØÓÖÒÓ Ð × ÑÙÐ ÓÒ Ð ØÖ ¬ Ó Ý Ð ×ØÙ Ó
Ú Ö× × Ø Ò × Ô Ö Ú Ø Ö Ð ÓÒ ×Ø ÓÒº ÍÒ ÔÖÓÝ ØÓ ×Ø Ø ÔÓ Ö ÕÙ Ö Ö ¸
ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÑÓ Ð Þ ÓÒ ÓÒ Ö Ó× Ð × Ú × Ö ÙÐ ÓÒ¸ Ñ Ò ×ÑÓ×
ÓÒØÖÓÐ ÓÑÓ ÐÓ× × Ñ ÓÖÓ× Ý ÒØ × Ö ÙÐ ÒØ × ÓÑÓ ÐÓ× ÙØÓÑÓÚ Ð ×º
ËÓ Ö × Ó × Ö Ü × Ú Ñ ÒØ Ö Ô Ø Ø ÚÓ¸ Ó Ò× ×Ø Ö Ò Ð ÑÔÓÖØ Ò ÐÓ× Ö Ó׺
×ØÓ Ý × Ö Ó Ú Ó × Ð Ô Ö×Ô Ø Ú Ð ×ØÙ ÒØ ¸ ÔÙ × × Ð ÙÒ Ó Ñ Ó
Ö Ø Ö× º Ð Ò×ØÖÙ ØÓÖ¸ ÔÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ð Ô ÖÑ Ø ÒÖ ÕÙ Ö Ð Ò× Ò ÒÞ Ù Ò Ó ×
ÔÐ ÒØ Ò Ö Ó× ÕÙ ÓÑÔÐ Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÑÔ ÖØ Ó × ÓÑÓ¸
Ñ ÒØ Ð ÓÖÖ ÓÒ¸ ×ÙÔ ÖÚ × Ö Ð Ò Ú Ð ×Ù× ×ØÙ ÒØ ×º

10. viii
Historia
ÓÑ Ò Ð Ð ÓÖ ÓÒ Ð Ð ÓØ ALEPH Ò Ñ ÝÓ ½ º Ò ÕÙ Ð ÒØÓÒ × Ñ
ÓÒ× Ö × Ö Ö Ð × × Ó ØÓ× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð ×Ø × ´Ð × Ö ÖÕÙ × Slink Ý Dlinkµ¸
Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ´Ð × Ö ÖÕÙ × BinNode<Key> Ý Avl Tree<Key>µ Ý Ø Ð × × ´Ð Ð ×
LhashTable<Key>µº
È ÖØ × ×Ø Ø ÜØÓ ÓÑ ÒÞ ÖÓÒ Ô Ö Ö Ñ Ó× ½ ¸ ÐÙ Ó ÕÙ Ð ÙÒÓ×
×ØÙ ÒØ × Ñ Ó × ÖÚ × Ò ÕÙ Ð × × Ö ÙØ Ð Ð Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò Ó Ó Ý ÕÙ ×ØÓ× Ù × Ò
Ò ÓÑ ÒØ Ó׺ Ù ÒØÓÒ × Ù Ò Ó Ô Ð noweb¸ ÙÝ Ñ ×ØÖ Ð Ø Ú Ý
ÓÒÓ Ó Ù Ò Ó¸ ×ØÙ Ò Ó Ò Ö ÓÒ Ò Ñ Ó Ó¸ Ñ Ù ÓÔÓÖØÙÒ × ÑÓ Ð Ö Ð
Ð ÖÓ ÓÑÔ Ð ÓÖ × À Ò×ÓÒ Ý Ö × Ö ½¾ º Ò × Ø ÑÔÓ × Ö Ô ÖØ ÐÓ ÕÙ ÓÝ
× Ð Ô ØÙÐÓ ¾¸ ÓÒ ÖÒ ÒØ × Ù Ò ×º Ñ Ó× Ð ¾¼¼¼ ÓÑ Ò Ð Ô ØÙÐÓ
×Ó Ö Ö ÓÐ × Ý Ô ÖØ Ð ¸ Ö Ö ÒØ Ð × Ø Ð × × º Ð Ô ØÙÐÓ Ø Ò Ó ×Ø ÒØ ×
ÑÓ ¬ ÓÒ × ×Ù ÓÒØ Ò Ó ÓÖ Ò Ð Ý Ò ÙÖ ×¸ Ó ÙÖÖ ×¸ Ò ×Ù Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ ¸ Ò Ð
Ð Ö Ó Ô Ö Ó Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ ¾¼¼½ Ý ¾¼¼ º
Ò ÒÓÚ Ñ Ö Ð ¾¼¼½ Ö Ø ¸ × ÒØ Ö Ñ ÒØ ¸ ÐÓ ÕÙ ØÙ ÐÑ ÒØ × Ð Ô ØÙÐÓ
×Ó Ö ÕÙ Ð Ö Ó Ö ÓР׺
Ñ Ó× Ð ¾¼¼ Ò Ð ÜØ Ò× ÓÒ Ð Ð ÓØ Ö Ó× Ø Ñ ÔÖ × ÒØ Ó
Ò Ð Ô ØÙÐÓ º Ä × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ý Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò ØÓÖÒÓ ×Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ú Ö Ó ×Ø ÒØ
Ò ÓÖÑ Ý ÒÓ × Ó¸ ×Ø Ó×ØÓ Ð ¾¼¼ ¸ Ò ÕÙ Ò ØÓÑ Ó ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ×Ø Ð º Ö Ó
ÕÙ Ò ×Ø ÓÑ Ò Ó × ÓÒ ×Ø Ø ÜØÓ Ö Ð Þ ×Ù× ÔÖ Ò Ô Ð × ÔÓÖØ ×º
× Ö ÖÓ ¾¼¼ Ñ ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÖÞÓ Ö Ú × Ö Ý ÙÒ ¬ Ö ÐÓ× Ô ØÙÐÓ× Ó
ÐÓ ÕÙ ÓÝ ÓÒ ÓÖÑ ×Ø Ø ÜØÓº × Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ ÐÓ× Ô ØÙÐÓ× ½¸ ×Ó Ö ×ØÖ ÓÒ
ØÓ׸ Ý Ð ¿¸ ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð Ö Ø Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺
Ð × ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÙÐÑ Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ö Ö ÒØ Ð × Ø Ð × × º
Ä Ñ ÝÓÖ Ð × ¬ ÙÖ × ×Ø Ð ÖÓ Ù ÖÓÒ Ò Ö × ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ
ÔÖÓ Ö Ñ × Ð ÓÖ Ó× ÓÒ Ð ÔÖÓÔ Ð ÓØ ALEPHº Ò × × ÒØ Ó¸ Ý ØÖ × ÔÖÓ Ö ¹
Ñ×
½º btreepic Ô Ö Ù Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺
¾º ntreepic Ô Ö Ù Ö Ö ÓÖ × Ò × Ý Ö ÓÐ × Ò Ò Ö Ðº
¿º graphpic Ô Ö Ù Ö Ö Ó׺
Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ö Ñ ¸ btreepic¸ Ù ÑÓØ Ú Ó Ñ Ò× Ø × ÓÒ ÓÒ ÐÓ× Ù Ó× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó× Ö Ð Þ Ó× ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ × ×Ô Ð × Ø Ð × ÓÑÓ Xfig Ý diaº ×ØÓ × ÙÒÓ Ð
ÑÔÓ× Ð Ñ Ø Ö Ð Ù Ö Ö ÓÐ × ÒÓÖÑ × ¹ ÒØÓ× Ó Ñ Ð × ÒÓ Ó×¹º Ò Ú ÖØÙ
×ØÓ¸ ×ÓÐ Ø ÙÒ ØÖ Ó × ÓÐ Ö Ð Ö ×Ô ØÓ ÙÝÓ× Ö ×ÙÐØ Ó׸ Ô × Ö × Ø × ÖÑ
× ÓÐ ÖÑ ÒØ ¸ ×Ø ÖÓÒ ÑÙ Ó × ÖÑ ×Ù¬ ÒØ ×º Ö Þ × ÜÔ Ö Ò ¸ ÔÓÖ
Ñ ÔÖÓÔ Ù ÒØ Ö Ð Þ Ö btreepicº Ù Ò Ó ØÙÚ ÕÙ Ù Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ð ×¸ ×ÓÐ Ø
Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ô Ö Ó ÙÒ ×ØÙ ÒØ Ü Ð×Ó¸ ÐÐ Ñ Ó ÂÓ× Ö ØÓ¸
ÕÙ Ò ÓÖ Ó ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ú Ö× ÓÒ ÐÐ Ñ xtreepic Ý ÕÙ ×Ø ×ØÖ Ù Ò ALEPHº
Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ ×Ø Ú Ö× ÓÒ ÓÔ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ö ÓÐ × ÕÙ Ð ÔÓ Ñ
Ò × Ý Ö Ú × ÓÒ Ý Ö Ù ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ö Ö Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ
Ó Ð ÒÓÑ Ö ntreepicº È Ö Ð Ð ÓÖ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ù ÑÙÝ ÙØ Ð Ð ÖÑÓ×Ó
Ø ÜØÓ ×Ó Ö Ù Ó Ö Ó× ÃÓÞÓ ËÙ Ý Ñ ¾¼ º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ñ Ò ÓÒØÖ
Ò Ð Ñ ×Ñ Ò × Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× Ö Ó׸ ÔÖÓÚ Ð Ó × ÓÒ Ô Ö × ÖÖÓÐÐ Ö ×

11. ix
ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÓÖÔÙ× Ð ÓÖ ØÑ Ó Ò ÓÑ ØÖ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ðº Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö ×ÙÐØ ÒØ ¸
graphpic × ÙÒ ÑÙÝ × ÑÔÐ Ý Ú ØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑ Ú Ò ÙÐ Ð Ù Ó ÙØÓÑ Ø Ó
Ö Ó× Ó¸ Ð × × ÓÒ × ×Ó Ö Ù Ó ×ÓÒ ØÓÑ × ÔÓÖ Ð Ù×Ù Ö Ó Ô ÖÓ ÔÙ Ö
Ö ÕÙ graphpic Ø Ò Ð Ú ÖØÙ ÓÔ Ö Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ ×Ó Ö ÓÑ ØÖ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð
Ý ÕÙ ÐÐÓ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ Ú Ð ×Ø ÑÔÓ¸ × ÒÓ ÕÙ Ö ÙØÙÖÓ× × ÖÖÓÐÐÓ׺
Ò Å ÖÞÓ ¾¼¼ Ò Ð × Ö ØÙÖ Ð Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓØ º Å Ò Ö ÒØ
ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÓ ÒØ Ö Ö Ð Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ Ò Ð Ù ÒØ ×Ø Ø ÜØÓ × Ò ÕÙ ÐÐ
Ô Ö Þ Ò Ð Ø ÜØÓ º Ê ÕÙ Ö × Ö ÖÐ Ò Ð Ñ ×ÑÓ × Ø Ó ÓÒ × Ö ×Ø Ð ÖÓ ÔÓÖÕÙ
× ÑÓ Ó¸ Ó Ð Ñ ×Ñ Ó ØÖ Ò noweb¸ ÙÒ ÑÓ ¬ ÓÒ Ð Ð ÓØ × ÔÓ Ö
ØÙ Ð Þ Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ò Ð Ó ÙÑ ÒØ ÓÒº ÒØÓÒ × × Ò Ö ÙÒ ¬ÐØÖÓ Ø ÜØÓ
ÕÙ Ö ÓÒÓ × ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ù ÒØ noweb Ý ÐÓ× Ð Ñ Ò ×
Ñ Ò Ö ÕÙ ÒÓ Ô Ö × Ò Ò Ð × Ð Ä Ì º Ì Ð ¬ÐØÖÓ × ÒÓÑ Ò deldoxygen Ý
Ù × Ö ØÓ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÖ Ò Ð Þ ÓÖ × Ð Ü Ó Ö ¬ Ó× flex Ý C++º Ð Ù Ò Ö ÕÙ
ÔÙ ÖÐÓ Ó Ò ØÖ ÒØ Ñ ÒÙØÓ× ÓÒ ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ò Ù × × Ö ÔØ Ò ÑÓ ÖÒÓ×
´perl¸ python¸ Ø ºµº ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ × ÖØÓ × ÝÓ Ù × Ñ ×ØÖÓ Ò Ð ÙÒÓ ÕÙ ÐÐÓ×
Ð Ò Ù ×¸ Ô ÖÓ¸ Ò Ò ÙÖ × Ñ Ö ÔÐ Ö ÓÒ ØÖ × Ó׺ ÈÖ Ñ ÖÓ¸ ÑÓÖ ÙÒ Ô Ö
ÓÖ × Ò × Ö Ö deldoxygen ÔÓÖÕÙ Ø Ò ÕÙ Ò ÒÓ× × Ò Ù× Ö flex Ý ÒÓ Ö ÓÖ
Ò Ð Ð Ò Ù ÒÓ × ÔÙ × ÑÙ Ð Ö Ò º Ë ÙÒ Ó¸ Ñ ¬ÐØÖÓ Ø Ò ÑÙ × Ñ ×
ÔÓ× Ð × × Ö ÓÖÖ ØÓ¸ ÔÙ × Ù ×Ô ¬ Ó ¹ÒÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ó¹ Ó Ð ÓÖÑ Ð ×ÑÓ
Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × Ö ÙÐ Ö × Ý ÐÓ× ÙØÓÑ Ø × Ò ÙÒ Ð Ò Ù × Ö ÔØ Ò ¸ ×Ø ÓÖÖ Ø ØÙ
Ø Ò ÕÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ö× Ý ÒÓ ×Ô ¬ Ö× ÓÑÓ Ù Ð ×Óº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ¬ÐØÖÓ ×Ö
ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × Ú ÐÓÞ ÕÙ ÙÒ ÓÒØÖ Ô ÖØ × Ö ÔØ Ò ÝÓ Ö ¸ Ù Ò Ó Ñ ÒÓ׸ Ó×
ÓÖ Ò × Ñ Ò ØÙ º
Ù Ò Ó Ñ Ò ÓÒØÖ ÒÐ ÓÒ ¬Ò Ð ×Ø Ú Ö× ÓÒ ´Å ÖÞÓ ¾¼¼ µ¸ Ù
Ö Ð Þ Ö ÕÙ Ð Ø ÜØÓ ÓÒØ Ò ´Ý ÙÒ ÓÒØ Ò µ ÐÓÕÙ × noweb ÓÒ Ô ÞÓ× Ó Ó × Ò
ÑÙ Ó Ú ÐÓÖ Ø Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ö Ô Ø Ö ÙÒ ÓÒ × ÙÝÓ × ÒØ Ó Ý Ù ÜÔÐ Ó Ò
ÓØÖÓ ÐÙ Ö Ô Ö ÓØÖ Ð × Ó ØÓº ÒØÓÒ × × Ò Ö ÓØÖÓ ¬ÐØÖÓ Ø ÜØÓ ÕÙ
Ö ÓÒÓÞ Ð Ñ Ø ÓÖ × ÒØÖÓ Ð Ù ÒØ noweb Ý ÕÙ × ÒÚÓ × ÒØ × nowebº Ð
¬ÐØÖÓ × ÒÓÑ Ò nobook¸ Ù × Ö ØÓ Ø Ñ Ò Ò flex Ý Ð Ñ Ò ¸ Ô Ö Ð × Ð Ä Ì ¸ ÐÓ×
ÐÓÕÙ × Ð Ñ Ø Ó׺
Cosas que faltan y sobran
× ÑÙ × Ô Ö×Ô Ø Ú ×¸ × ÑÔÖ ÙÒ Ø ÜØÓ ÓÐ ÐØ Ð Óº ÕÙ × Ó Ö Ö Ö
ÐÓ ÕÙ ¸ Ö Ó ¸ Ù Ö Ó Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ö Ð Þ Ö Ý ÐÓ ÕÙ ¸ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ ÒÓ
Öº
Ö Ó × Ò Ö Ñ ÒØ ÕÙ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ×Ø Ò ÔÖ ¹
× ÒØ × Ò ×Ø Ø ÜØÓ ÙÒÕÙ × ÙÖÓ Ð ÙÒ Ô Ö × Ö Ô Ö º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ñ Ø Ö Ð ÕÙ
Ñ Ù Ó × ÐØÓ ÒØ Ö ×¸ ÕÙ ×Ø ÔÖ × ÒØ Ò Ð Ð ÓØ ALEPH¸ ÒÓ ×Ø ÔÖ × ÒØ
Ò ×Ø Ø ÜØÓº ÄÓ× ÑÔÐÓ× Ñ × ÒÓØ Ð × ÐÐÓ ×ÓÒ Ð × Ð ×Ø × × Ô¸ ÓÐÓÖ Ó× Ö Ó׸
Ñ ÒÓ× ÙÐ Ö ÒÓ× Ý Ñ ÐØÓÒ ÒÓ׸ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Ó× ÓÒ ÙÖÖ ÒØ ×¸ ÒØ × Ý
× ÑÙÐ ÓÒ¸ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Ó× Ý ×Ù× Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò ÓÐÓÒ × ÓÖÑ × Ý ¹
ÓÑ ØÖ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ðº Å Ù × Ù×Ø Ó Ò ÐÙ ÖÐ × Ò ×Ø Ð ÖÓ¸ Ô ÖÓ Ý Ñ ×Ó Ö Ô ×Ó
Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ý ÓØ Ð Ð Ñ Ø ×Ô Óº
×Ô ØÓ× ÕÙ ÒÓ ×Ø Ò × ÖÖÓÐÐ Ó× Ò ALEPH Ý ÕÙ × Ö Ò ÒÓ× Ò ÐÙ Ö× ×ÓÒ
ÐÓ× Ô× ÓÒ ¸ Ð × Ñ Ð × Ö ÓÐ × Ó× × ×Ø Ñ × Ö ÚÓ Ý Ù×ÕÙ

12. x
Ò Ñ ÑÓÖ × ÙÒ Ö ´ + Ý Ö Ú Ó×µ Ý ÐÓ× Ö ÓÐ × ÕÙ ØÖ ×º
Ò ×Ø Ø ÜØÓ × Ô Ð Ð Ð Ò Ù ÑÓ Ð Ó ÍÅÄ Ô Ö Ð Ø Ö Ð ÓÑÔÖ × ÓÒ
Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ Ó ØÓ× º Ö Ó × Ò Ö Ñ ÒØ ÕÙ ÍÅÄ Ø Ò ÑÙ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö ÓÑÔÖ Ò Ö
× ×Ø Ñ × ÓÑÔÐ Ó׸ Ý × ÖÖÓÐÐ Ó׸ Ý ÙÒ ÔÓ Ó Ñ ÒÓ× Ú ÐÓÖ¸ ÙÒÕÙ ÔÖ Ð ¸ Ô Ö
× Ò ÖÐÓ׺ È ÖÓ Ò ÐÓ ÕÙ Ø Ò ×Ø Ø ÜØÓ Ý ×Ù× ÙÖ×Ó× Ö Ú Ó׸ ÒÓ × ØÖ × Ò ÒØ
ÙØ Ð º
Deudas
ËÙ Ý ÒØ Ð ÙØÓÖ × × ÓÒ ÙÒ Ð × Ñ × Ö Ò × Ð × Ý ØÖ ÑÔ × ×Ø
Ø ÑÔÓ Ð Ö Ó ÙØÓÖ Ý¸ Ñ × ÐÐ Ý ÖÖ ÒØ ÙÒ¸ Ð ÔÖÓÔ Ò Ù×ØÖ Ð º ÈÓÖ
Ñ × Ö Ø Ö ÔÖ Ñ Ò ÕÙ ÔÙ Ø Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö Ó Ö ¸ ×Ø × Ö ÙÒ× Ö Ö × ¸
Ý Ô Ö ¸ ÙÒ ÙÐØÙÖ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ù ¸ Ô٠׸ ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ú ÙÓ ÕÙ Ö ÓÒ ÙÒ
ÓÖ × ×Ù ÙÐØÙÖ ¸ Ð Ù Ð Ð ÒØÖ Ð ØÖ × ÓÒ Ó Ö ÙÒ×Ø Ò Ð¸ Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ×
Ý × ÒØ Ñ ÒØÓ× Ý ÕÙ ÔÓ× Ð Ø Ò Ò×Ô Ö Ò Ð Ó Ö Ò Ù ×Ø ÓÒº Ò ×Ø Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ¸
ÙÒ Ú Þ ÒØÖ Ð Ó Ö ¸ Ð × ÙÒ Ù ÕÙ Ö × Ð ÙÐØÙÖ ÕÙ Ö Ý
Ö ÓÒÓ Ð Ó Ö º
È Ö Ö × Ò Ó ÇÖØ Ý ×× Ø¸ ÙÒÓ × ÙÒÓ Ý ×Ù Ö ÙÒ×Ø Ò ¸ Ô ÖÓ¸ Ù ÐÕÙ Ö × ¸
Ò ×Ø × ÑÔÖ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ò­Ù Ò ÖÙÑ ÓÖ Ð ÓØÖÓº Å × ÒØÓ¸ Ô٠׸ Ò Ö Ò
Ù ÕÙ Ò × × ÒØÓ Ð × Ó ÐÓ ÕÙ ×ÓÝ Ý¸ Ò ÐÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ×Ø Ø ÜØÓ¸
ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ Ò ÖÓÒ ÑÙÝ Ö Ø Ñ ÒØ Ò ×Ù Ð ÓÖ ÓÒº
Î ØÓÖ Ö ÚÓ¸ ÖÐÓ× Æ Ú ¸ ÂÙ Ò ÄÙ × Ú × Ý ÂÙ Ò ÖÐÓ× Î Ö × Ù ÖÓÒ Ñ × ÔÖ Ñ ÖÓ×
× ÔÙÐÓ× Ò ×Ø Ý Ð Ö × ×Ø Ñ × ×ØÖ Ù Ó׺ Î ØÓÖ Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö× ÓÒ
Ð Ð × LinearHashTable<Key> ÔÖ × ÒØ Ò Ü º½º ´Ô Ò ¿¿µº ÖÐÓ× Ò×ØÖÙ¹
Ñ ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö× ÓÒ ÙÒ × ×Ø Ñ ÓÑÙÒ ÓÒ Ð ÒÚ Ö ÙÖ ×Ù×Ø ÒØ Ó Ò Ð
Ù×Ó ALEPH Ð × ×Ø Ñ ÙÒ × ÓÔ Ö Ø ÚÓ ÓÝ Ò º ÂÙ Ò ÖÐÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ ÐÓ×
Ö ÓÐ × ÎÄ Ð Ó× Ý ÓÒ Ö Ò Ó׸ ÐÓ× Ù Ð ×¸ × Ò ÒÓ ×Ø Ò ÔÖ × ÒØ × Ò ×Ø Ø ÜØÓ¸ ×Ù
Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ ÝÙ Ó Ñ ÓÖ Ö Ý ÔÙÖ Ö Ð Ð × Avl Tree<Key>º
Ò Ö × Ö Ù ÙÒ Ù×Ù Ö Ó ÒØ Ò× ÚÓ ALEPH ÙÖ ÒØ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ×Ù Ø × ×
Ñ ×ØÖ ¸ ÐÓ ÕÙ Ñ Ô ÖÑ Ø Ó Ú Ö ×Ô ØÓ× ÕÙ ÐÙ Ó Ò ÖÓÒ Ò ÜØ Ò× ÓÒ × Ý Ñ ÓÖ ×
Ð Ð ÓØ º
Ä ÓÒ Ö Ó ÙÒ ¸ Ð Ñ Ö ÓÒØÖ Ö × Ý ÖÐÓ× Ó×Ø Ö Ð Þ ÖÓÒ treepic¸ ÔÖ ÙÖ×ÓÖ
btreepic ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ù Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ×Ø Ð ÖÓº ÂÓ× Ö ØÓ
× Ö Ó xtreepic¸ ÔÖ ÙÖ×ÓÖ ntreepic¸ Ù× Ó Ô Ö Ù Ö Ö ÓÐ × Ý Ö ÓÖ × Ò ×
Ò Ö Ð ×º
ÂÓÖ Ê ÓÒ Ó Ý ÌÓÑ × ÄÓÔ Þ Ö Ð Þ ÖÓÒ Ð × ÔÖ Ñ Ö × ÔÖÙ × × ÑÔ ÒÓ ×Ó Ö ÐÓ×
Ú Ö×Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ º
 ×Ù× Ë Ò Þ Ö Ð ÞÓ Ô ÖØ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ô Ö Ð Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C++
Ó ALEPHº Ò ÔÖÙ × × ÑÔ ÒÓ ØÖ ÓÒ Ð ×¸ Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö Ó
ALEPH × Ñ ÓÖ × ÑÔ ÒÓ ÕÙ Ð Æͺ
ÂÙ Ò Ù ÒØ × Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ Ô ÖØ Ý ÔÙÖÓ Ð Ð × Ò Ö Ö ÓÐ Tree Node<T>º
ÇÖÐ Ò Ó Î ÙÒ Ò ÓÒØÖÓ ÖÖÓÖ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × Ý ÔÐ ÒØ Ó Ð ÙÒ × ×Ù Ö Ò ×
ÑÙÝ ÔÖ Ð × ×Ó Ö Ð ×Ø ÐÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒº
Ò Ð ÓÒ ÓÒ ×Ø Ø ÜØÓ × Ò ÑÔÐ Ó ÒØ Ö Ñ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ × Ð Ö ×
Ä Ì ½ ¸ Ì ¾½ ¸ noweb¸ Á Ì ¸ gnu make ¸ imake ½¿ ¸ gnuplot ½½ ¸ R ½ ¸
Maxima ½ ¸ Xfig ¾¿ ¸ dia ¸ Umbrello ¾¾ ¸ doxygen ¸ bcpp ¿ ¸ graphviz ½¼¸ ¸ ¸

13. 0.0. Bibliograf´
ıa xi
ÒØÖ ÓØÖÓ׺ ×Ø Ø ÜØÓ Ý ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × Ù ÖÓÒ Ø Ó× ÓÒ gnu Emacs ¾ º ÄÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ×
Ù ÖÓÒ Ñ Ò Ó× ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× ÙØ Ð Ø Ö Ó× GNU ½ º
ÂÙ Ò Ú Ó¸ ÈÖÓ ×ÓÖ Ð ÙÐØ ÀÙÑ Ò × Ð ÍÒ Ú Ö× ÄÓ×
Ò ×¸ Ñ ×ÙÔ ÖÚ ×Ó ÐÓ× ÓÑ ÒØ Ö Ó× Ø ÑÓÐÓ Ó× Ò Ð Ø Ò Ý Ö Óº
Ð ÙÒ × Ú ×¸ Ð Ó × ÖÚ Ö Ð ÙÒÓ× ×ØÓ× Ý Ø ØÙ × Ò × ÔÙÐÓ׸ Ñ Ô Ö ÒÓØ ÖÐ ×
Ð ÙÒ × Ñ × Ò× Ò ÒÞ × ÐÓ ÕÙ ÚÓ Ð Ð Ò ÔÓ× Ð Ñ ÑÔÖÓÒØ º È ÖÓ ×
Ø ÒÓÖ Ó Ð Ö Ö ÕÙ ×ÓÝ ÝÓ¸ Ñ × Ò¸ ÕÙ Ò ÔÓÖØ ×Ù× Ð ÓÒ × Ý¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÕÙ Ò Ð ×
ÜÔÖ × Ö Ø ØÙ º
Å × Ñ × ÑÓ× Ô Ö ×¸ Æ ÐÐÝ Ý Ð ×¸ Ò ÓÒØÖ Ù Ó ÐÓ ÕÙ Ñ ØÖ Ù Ö ÓÑÓ
ÙÒ × Ò× Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ø ÒÓÐÓ º Å Ñ Ö Ð ÝÓ Ý ÓÖÖ Ó ÒØ Ö Ñ ÒØ ×Ø
ØÖ × Ö ØÓ × ÓÑÓ ÐÐÓ׸ ÓØÖÓÖ Ñ ÓÐ × Ò ¸ Ñ Ò× Ò ÖÓÒ × Ö Ö ÙÒ ÔÓ Óº
À Ó × ÖÚ Ó ÕÙ × ØÓ Ó ÙØÓÖ Ð ÖÓ Ø ÜØÓ Ø Ò Ó ÜÔÖ × Ö Ñ ÒØÓ× ×Ù
Ñ Ð ´ ×ÔÓ×Ó´ µ Ó´ µ´×µµº Ò Ð ØÖ Ò× ÙÖ×Ó ×Ø ÓÒ Ñ Ô Ö Ø ÕÙ ÐÐÓ
ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ó Þ ÕÙ ÐÐÓ׸ Ò Ñ ×Ó ÓÒ × Ö ÖÖ ×ÔÓÒ× Ð Ò Ð Ò ¸
ÙÒÓ Ð × ÓÐÚ º ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × ÑÙÝ ÒØ Ñ ×¸ Ô Ö Ò Ø Ò ×¸ ÒÓ ÔÙ Ó Ñ Ö Ò ÜÔÖ × Ö
ÓÑÓ Ý Ù ÒØÓ ×ÓÝ Ö × Ñ ×ÔÓ× ¸ Šи Ô ÖÓ × ÔÙ Ó Ð Ñ Ö ÕÙ ÒÓ × Ö Ò
× Ò ÐÐ º Ë ÔÙ × ÓÒ Ý ÐÐ ¸ ÔÓÖ ×Ù ÑÓÖ Ý ×Ù Ô Ö ÓÒ¸ Ñ Ñ ÝÓÖ Ý ÔÖ Ò Ô Ð Ù
ººº Ý Ö Ø ØÙ º
Bibliograf´
ıa
½ ØØÔ »»ÛÛÛº ÒÙºÓÖ º
¾ ØØÔ »»ÛÛÛº ÒÙºÓÖ »×Ó ØÛ Ö » Ñ ×»º
¿ ØØÔ »» ÒÚ × Ð ¹ ×Ð Ò ºÒ Ø» ÔÔº
ØØÔ »»ÛÛÛº Ø ÒºÓÖ º
ØØÔ »»ÛÛÛº Ñ ºÓÖ º
ØØÔ »»ÛÛÛº ÒÓÑ ºÓÖ »ÔÖÓ Ø×» º
ØØÔ »»ÛÛÛº ÓÜÝ ÒºÓÖ º
ÐÐ×ÓÒ¸ Ò×Ò Ö¸ ÃÓÙØ×Ó¬Ó׸ ÆÓÖØ ¸ Ò ÏÓÓ ÙÐк Ö Ô Ú Þ ß ÓÔ Ò ×ÓÙÖ Ö Ô
Ö Û Ò ØÓÓÐ׺ ÁÒ Ê ÏÁÆ ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ö Ô Ö Û Ò ´ µ¸ ¾¼¼½º
ÂÓ Ò ÐÐ×ÓÒ¸ Ñ Ò Êº Ò×Ò Ö¸ Ð Ø Ö Ó× ÃÓÙØ×Ó¬Ó׸ ËØ Ô Ò º ÆÓÖØ ¸ Ò ÓÖ¹
ÓÒ ÏÓÓ ÙÐк Ö Ô Ú Þ Ò ÝÒ Ö Ô ß ×Ø Ø Ò ÝÒ Ñ Ö Ô Ö Û Ò ØÓÓÐ׸
¾¼¼¿º
½¼ Ñ Ò Ò×Ò Ö¸ Ð Ø Ö Ó× ÃÓÙØ×Ó¬Ó׸ Ò ËØ Ô Ò ÆÓÖØ º Ö Û Ò Ö Ô × Û Ø
dotº Ì Ò Ð Ö ÔÓÖظ Ì²Ì ÐÐ Ä ÓÖ ØÓÖ ×¸ ÅÙÖÖ Ý À Ðи Ƹ ÍË ¸ ÖÙ ÖÝ
¾¼¼¾º
½½ ØØÔ »»ÛÛÛº ÒÙÔÐÓغ Ò Óº
½¾ Ú Êº À Ò×ÓÒ Ò Ö ×ØÓÔ Ö Ïº Ö × Öº Ê Ø Ö Ø Ð ÓÑÔ Ð Ö × Ò
Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒº ×ÓÒ Ï ×Рݸ ½ º

14. xii
½¿ ØØÔ »»ÜÓÖ º Ö × ØÓÔºÓÖ º
½ Ò Ö Û Äº ÂÓ Ò×ÓÒ Ò Ö º ÂÓ Ò×ÓÒº Ä Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ù× Ò ÒÓÛ º Ä ÒÙÜ
ÂÓÙÖÒ Ð¸ Ô × ß ¸ Ó ØÓ Ö ½ º
½ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º Ä Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º Ì ÓÑÔÙØ Ö ÂÓÙÖÒ Ð¸ ¾ ´¾µ ß½½½¸
½ º
½ ØØÔ »»ÛÛÛº Ø ÒºÓÖ º
½ ØØÔ »»Ñ Ü Ñ º×ÓÙÖ ÓÖ ºÒ غ
½ ÛÛÛº ØØÔ »»Ö¹ÔÖÓ ØºÓÖ º
½ ÆÓÖÑ Ò Ê Ñ× Ýº Ä Ø Ö Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò × ÑÔÐ ¬ º Á ËÓ ØÛ Ö ¸ ½½´ µ ß½¼ ¸
Ë ÔØ Ñ Ö ½ º
¾¼ ÃÓÞÓ ËÙ Ý Ñ º Ö Ô Ö Û Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ× ÓÖ ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ò
ÃÒÓÛÐ Ò Ò Ö׸ ÚÓÐÙÑ ½½ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ò ÃÒÓÛÐ Ò ¹
Ò Ö Ò º ÏÓÖÐ Ë ÒØ ¬ ¸ ¾¼¼¾º
¾½ ØØÔ »»ØÙ ºÓÖ »Ø Ø Ü»º
¾¾ ØØÔ »»ÛÛÛº ºÓÖ º
¾¿ ØØÔ »»ÛÛۺܬ ºÓÖ º

15. Contenido
ÐÓ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº Ü
1 Abstracci´n de datos
o 1
½º½ ×Ô ¬ ÓÒ × ØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ¿
½º½º½ Ì ÔÓ ×ØÖ ØÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
½º½º¾ ÆÓ ÓÒ Ð × Ó ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
½º½º¿ ÄÓ ×Ù Ø ÚÓ ÙÒ Ó ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
½º½º ÍÒ ÑÔÐÓ Ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
½º½º Ð Ð Ò Ù ÍÅÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ½¼
½º¾ À Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ½½
½º¾º½ Ì ÔÓ× ÖÒ ººººººººººººººººººº º ºº º º º º º º ½¾
½º¾º¾ ÅÙÐØ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ½¿
½º¾º¿ ÈÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ½¿
½º¾º¿º½ ÈÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ ×Ó Ö Ö º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ½
½º¾º¿º¾ ÈÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ ÖÒ ºººººººººº º ºº º º º º º º ½
½º¾º¿º¿ ÈÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ ÔÐ ÒØ ÐÐ ´Ø ÔÓ× Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó×µ º º º º º º ½
½º¾º¿º ÄÓ Ò Ö Ð Ý ÐÓ Ò Ö Ó º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ½
½º¿ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× º º º º º º ººº º º º º º º ½
½º¿º½ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ö Ð ÒØÖ Ð Ú × º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ½
½º¿º¾ ÇÔ Ö ÓÒ × Ô Ö ÓÒ ÙÒØÓ× ÓÖ Ò Ð × º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾¼
½º¿º¿ Ö ÙÒ×Ø Ò × Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð º º º º º º ººº º º º º º º ¾¼
½º¿º ÈÖ × ÒØ ÓÒ × Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð º º º º º º ººº º º º º º º ¾½
½º × ÒÓ ØÓ× Ý ×ØÖ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾½
½º º½ Ì ÔÓ× ×ØÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾½
½º º¾ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾¾
½º º¿ ÁÒ Ù ÓÒ Ý Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾¿
½º º Ç ÙÐØ Ñ ÒØÓ Ò ÓÖÑ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾
½º ÆÓØ × Ý Ö ÓÑ Ò ÓÒ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾
½º Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º ¾
ÐÓ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººº ººº º º º º º º ¾
2 Secuencias 29
¾º½ ÖÖ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
¾º½º½ ÇÔ Ö ÓÒ × × × ÓÒ ÖÖ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
¾º½º½º½ Ö ØÑ Ø ÔÙÒØ ÖÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
¾º½º½º¾ Ù×ÕÙ ÔÓÖ Ð Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
¾º½º½º¿ ÁÒ× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
Ü

16. xiv CONTENIDO
¾º½º½º Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿¿
¾º½º¾ Å Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÖÖ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º½º¾º½ ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ ÑÓÖ ×Ø Ø º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º½º¾º¾ ÖÖ ÐÓ× Ò Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º½º¾º¿ ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ñ º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º½º¿ ÖÖ ÐÓ× Ø× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º½º ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½
¾º½º Ð Ì DynArray<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½
¾º½º º½ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× DynArray<T> º º º º º ºº º º º º º ¾
¾º½º º¾ Å Ò Ó Ñ ÑÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º½º º¿ ×Ô ¬ ÓÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× º º º º º
¾º½º º ×Ó Ñ ÒØ ÓÔ Ö ÓÖ [] º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º½º º Í×Ó Ð Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º¾ ÖÖ ÐÓ× ÑÙÐØ Ñ Ò× ÓÒ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½
¾º¿ ÁØ Ö ÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¾
¾º Ä ×Ø × ÒÐ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º º½ Ä ×Ø × ÒÐ Þ × Ý Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò ¬Ò º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º º¾ Ð Ì Slink ´ ÒÐ × ÑÔÐ µ º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º º¿ Ð Ì Snode<T> ´ÒÓ Ó × ÑÔÐ µ º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½
¾º º Ð Ì Slist<T> ´Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ µ º º º º ºº º º º º º ¾
¾º º ÁØ Ö ÓÖ Slist<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º º Ð Ì DynSlist<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º º Ð Ì Dlink ´ ÒÐ Óе ººººººººººººººº ºº º º º º º
¾º º Ð Ì Dnode<T> ´ÒÓ Ó Ó Ð µ º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º º Ð Ì Dlist<T> ´Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ µ ºº º º º º º
¾º º º½ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓ× ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØÙ Ð × º º º ºº º º º º º
¾º º º¾ ÁØ Ö ÓÖ Dlist<T> º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¾
¾º º½¼ Ð Ì DynDlist<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ¿
¾º º½¼º½ ÁØ Ö ÓÖ DynDlist<T> º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º
¾º º½½ ÔÐ ÓÒ Ö ØÑ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¼¼
¾º º½½º½ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¼½
¾º È Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¼
¾º º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÙÒ Ô Ð Ò Ñ ÑÓÖ º º º º º º º º ºº º º º º º ½¼
¾º º¾ Ð Ì ArrayStack<T> ´Ô Ð Ú ØÓÖ Þ µ º º º º º º º ºº º º º º º ½¼
¾º º¿ Ð Ì ListStack<T> ´Ô Ð ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×µ º º º ºº º º º º º ½½¾
¾º º Ð Ì DynListStack<T> º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½½
¾º º ÔÐ ÓÒ ÙÒ Ú ÐÙ ÓÖ ÜÔÖ × ÓÒ × Ö ØÑ Ø × Ò¬ × º º º º º ½½
¾º º È Ð ×¸ ÐÐ Ñ × ÔÖÓ Ñ ÒØÓ× Ý Ö ÙÖ× ÓÒ º º º º º º ºº º º º º º ½¾¾
¾º º º½ ÓÒ× Ó× Ô Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¾
¾º º º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¾
¾º ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¿½
¾º º½ Î Ö ÒØ × Ð × ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¿¾
¾º º¾ ÔÐ ÓÒ × Ð × ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º ½¿¾
¾º º¿ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ò Ñ ÑÓÖ Ð × ÓÐ × º º º º º º º º ºº º º º º º ½¿¿
¾º º Ð Ì ArrayQueue<T> ´ ÓÐ Ú ØÓÖ Þ µ º º º º º º º ºº º º º º º ½¿
¾º º Ð Ì ListQueue<T> ´ ÓÐ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×µ º º º ºº º º º º º ½¿

17. CONTENIDO xv
¾º º Ð Ì DynListQueue<T> ´ ÓÐ Ò Ñ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×µ º º ½¼
¾º ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÓÑ Ò × ¹ ÅÙÐØ Ð ×Ø × º º º ºººº ººººº º ºº º º ½½
¾º ÆÓØ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºººº ººººº º ºº º º ½¿
¾º Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºººº ººººº º ºº º º ½
ÐÓ Ö ººººººººººººººººººººººº º º ºººº ººººº º ºº º º ½
3 Cr´
ıtica de algoritmos 157
¿º½ Ò Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º½º½ ÍÒ Ó Ô ×Ó Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
¿º½º¾ Ð Ö ØÓÖ ×Ó Ö ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º½º¿ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ × Ð ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º½º Ù×ÕÙ × Ù Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º½º ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ DynArray<T> º º ½
¿º½º Ù×ÕÙ ÜØÖ ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º½º ÆÓØ ÓÒ O º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º½º º½ Ð Ö O º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º½º º¾ Ò Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ ÒØ O º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º½º ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ò× Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º½º Ù×ÕÙ ÒÖ ººººººººººººººººººººººººººº º º ½
¿º½º½¼ ÖÖÓÖ × Ð ÒÓØ ÓÒ O º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º½º½½ Ì ÔÓ× Ò Ð × × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
¿º¾ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ú Ö» ÓÑ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
¿º¾º½ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º¾º½º½ Å Þ Ð ´Ñ Ö µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º¾º½º¾ Ò Ð × × Ð Ñ Ö ×ÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º½º¿ ×Ø Ð Ð Ñ Ö ×ÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º½º Ó×Ø Ò ×Ô Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º½º ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð Ð ×Ø × ÒÐ Þ × º º º º º º º º ½
¿º¾º¾ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ô Ó ´ÉÙ ×ÓÖص º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º½ È ÖØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º¾ Ò Ð × × Ð ÕÙ ×ÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º¿ Ò Ð × × ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º Ë Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿º¾º¾º ÉÙ ×ÓÖØ × Ò Ö ÙÖ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
¿º¾º¾º ÉÙ ×ÓÖØ ×Ó Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º Å ÓÖ × Ð ÕÙ ×ÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º ÐÚ×ÖÔ Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º ÉÙ ×ÓÖØ ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ó Ô Ö Ð ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º¾º½¼ Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ ÐÚ ºººººººººººººººº º º ½
¿º¾º¾º½½ Ë Ð ÓÒ Ð ØÓÖ ×Ó Ö × Ù Ò ×ÓÖ Ò × º º º º º º ½
¿º¿ Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¼
¿º¿º½ Ò Ð × × ÔÓØ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½
¿º¿º¾ Ò Ð × × ÓÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
¿º¿º¿ Ë Ð ÓÒ Ð ÔÓØ Ò Ð Ó Ö ØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
¿º ÓÖÖ Ø ØÙ Ð ÓÖ ØÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
¿º º½ ÈÐ ÒØ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÑÓ×ØÖ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ º º º º º º º º º º ¾¼

18. xvi CONTENIDO
¿º º¾ Ì ÔÓ× ÖÖÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
¿º º¿ ÈÖ Ú Ò ÓÒ Ý Ø ÓÒ ÖÖÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
¿º º¿º½ × ÔÐ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
¿º º¿º¾ Ò Ð × × ×Ø Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¿
¿º º¿º¿ Ò Ð × × Ò Ñ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
¿º ¬ Ý ¬ Ò ºººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¿
¿º º½ Ä Ö Ð Ð ¼¹¾¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
¿º º¾ Ù Ò Ó Ø ÖÐ ¬ Ò ºººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
¿º º¿ Å Ò Ö × Ñ ÓÖ Ö Ð ¬ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
¿º º È Ö¬Ð ´ÔÖÓ¬Ð Ò µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
¿º º ÄÓ Ð Ö ÖÒ ººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¼
¿º º Ì ÑÔÓ × ÖÖÓÐÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¼
¿º ÆÓØ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿½
¿º Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿¾
ÐÓ Ö ººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
´
4 Arboles 241
º½ ÓÒ ÔØÓ× × Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º¾ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÙÒ Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º¾º½ ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º¾º¾ Ë Ù Ò × Ô Ö ÒØ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º¾º¿ ÁÒ ÒØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º¾º ÆÓØ ÓÒ Ûݺ º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º¿ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ö ÓÐ × Ò Ñ ÑÓÖ º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¼
º¿º½ Ä ×Ø × ÒÐ Þ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¼
º¿º¾ ÖÖ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ½
º Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¾
º º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó º º ººº º º º º º º º ¾ ¿
º º¾ Ê ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¿
º º¿ ÍÒ Ì Ò Ö Ó Ô Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
ºº ÓÒØ Ò ÓÖ ÙÒ ÓÒ × ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º ººº º º º º º º º ¾ ¾
º º Ê ÓÖÖ Ó× Ö ÙÖ× ÚÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¿
º º Ê ÓÖÖ Ó× ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ× º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
ºº Ð ÙÐÓ Ð Ö Ò Ð ºººººººººººººº ººº º º º º º º º ¾
ºº Ð ÙÐÓ Ð ÐØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
ºº ÓÔ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º º½¼ ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º º½½ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º º½½º½ Ë Ñ Ð Ö ººººººººººººººººº ººº º º º º º º º ¾
º º½½º¾ ÕÙ Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º º½¾ Ê ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¼
º º½¿ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ô ÖØ Ö Ö ÓÖÖ Ó× º º º º º º º º ¾ ½
º º½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ò Ú Ð º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾ ¿
º º½ À Ð Ó Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º º½ Ê ÓÖÖ Ó× Ô× Ù Ó¹ Ð Ó× º º º º º º º º º º º º º º ººº º º º º º º º ¾
º º½ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ý m¹Ö Ó× º ººº º º º º º º º ¾

19. CONTENIDO xvii
º ÍÒ Ì Ò Ö Ó Ô Ö Ö ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
º º½ Ç × ÖÚ ÓÖ × Tree Node<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¾ ÅÓ ¬ ÓÖ × Tree Node<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¿ Ç × ÖÚ ÓÖ × Ö ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º Ê ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Tree Node<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ºº ×ØÖÙ ÓÒ Tree Node<T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ºº Ù×ÕÙ ÔÓÖ ÒÙÑ ÖÓ ÛÝ ººººººººººººººººººº º ¾¼
ºº Ð ÙÐÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ûݺºººººººººººººººººººº º ¾¼
ºº ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ Tree Node<T> Ý Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º ¾¾
º Ð ÙÒÓ× ÓÒ ÔØÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º½ ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¾ ÄÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ» ÜØ ÖÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¿ Ö ÓÐ × ÓÑÔÐ ØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º À Ô× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼½
º º½ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼¿
º º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
º º¿ ÓÐ × ÔÖ ÓÖ ººººººººººººººººººººººººººº º ¿¼
º º¿º½ ÅÓ ¬ ÓÒ ÔÖ ÓÖ ºººººººººººººººººº º ¿¼
º º À Ô×ÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
ºº ÔÐ ÓÒ × ÐÓ× Ô× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½¼
ºº Ð Ì BinHeap<Key> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½¾
º º º½ ÁÒØ Ö Ñ Ó ÒØÖ ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
º º º¾ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò BinHeap<Key> º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
º º º¿ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ Ò ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ BinHeap<Key> º º ¿½
ººº ØÙ Ð Þ ÓÒ Ò ÙÒ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
ººº Ð Ñ Ò ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙÒ BinHeap<Key> º ¿½
ººº ×ØÖÙ ÓÒ BinHeap<Key> º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
º ÒÙÑ Ö ÓÒ Ý Ó Ó× Ö ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾¼
º º¼º Ó Ó× ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾½
º º¼º Ó Ó× ººººººººººººººººººººººº º ¿¾
º º½ ÆÙÑ ÖÓ× ØÐÒ ºººººººººººººººººººººººººº º ¿¾
º Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿¼
º º½ Ù×ÕÙ Ò ÙÒ ººººººººººººººººººººººººº º ¿¿¾
º º½º½ Ù×ÕÙ Ð Ñ ÒÓÖ Ý Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ º º ¿¿¿
º º½º¾ Ù×ÕÙ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ý ×Ù ×ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
º º½º¿ Ù×ÕÙ × ×Ô Ð × ×Ó Ö ÙÒ ºººººººººººº º ¿¿
º º¾ Ð Ì BinTree<Key> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
º º¿ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ ºººººººººººººººººººººººººº º ¿¿
º º È ÖØ ÓÒ ÙÒ ÔÓÖ Ð Ú ´×ÔРص º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
º º ÍÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ´ Ó Ò Ü ÐÙ× ÚÓµ º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
ºº Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ ºººººººººººººººººººººººº º ¿¾
º º ÁÒ× Ö ÓÒ Ò Ö Þ ÙÒ ººººººººººººººººººººº º ¿¿
º º ÍÒ ÓÒ ´ Ó Òµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
ºº Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¼ Ð Ì DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> º º º º º º º º º º º º ¿
º½½ ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿

20. xviii CONTENIDO
º½½º½ Ë Ð ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º¾ Ð ÙÐÓ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º¿ ÁÒ× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÜØ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º È ÖØ ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º ÁÒ× Ö ÓÒ Ò Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º È ÖØ ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º ÁÒ× Ö ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º ÍÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½½º Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú Ò Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó× º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¼
º½½º½¼ Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ò Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó× º º º º º º º º º º º º ¿ ¼
º½½º½½ × ÑÔ ÒÓ Ð × ÜØ Ò× ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½
º½¾ ÊÓØ ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½
º½¾º½ ÊÓØ ÓÒ × Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò Ó× º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿
º½¿ Ó Ó× ÀÙ«Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿
º½¿º½ ÍÒ Ì Ô Ö Ö ÓÐ × Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¿º¾ Ó ¬ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¿º¿ Ð ÓÖ ØÑÓ ÀÙ«Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¿º ¬Ò ÓÒ × Ñ ÓÐÓ× Ý Ö Ù Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¼
º½¿º Ó ¬ ÓÒ Ø ÜØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½
º½¿º ÇÔØ Ñ ÓÒ ÀÙ«Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿
º½¿º º½ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½ Ö ÓÐ × ×Ø Ø Ó× ÓÔØ ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½ º½ Ç Ø ÚÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½ º¾ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½ ÆÓØ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾
º½ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
ÐÓ Ö ººººººººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º ¿
5 Tablas hash 399
º½ Å Ò Ó ÓÐ × ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ¼½
º½º½ Ä Ô Ö Ó Ð ÙÑÔÐ ÒÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ¼½
º½º¾ ×ØÖ Ø × Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ¼¿
º½º¿ Ò Ò Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ¼¿
º½º¿º½ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ¼¿
º½º¿º¾ Ò Ð × × Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó º º º º º º º º ºº º º ¼
º½º¿º¿ Ò Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ½½
º½º¿º Ò Ð × × Ò ÓÖÑ Ð Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Ó º º º º ºº º º ½¾
º½º Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ½
º½º º½ ËÓÒ Ó Ð ´×ÓÒ Ó ÙÒ ÓÖÑ µ º º º º º º º º º º º ºº º º ½
º½º º¾ ËÓÒ Ó Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ½
º½º º¿ Ò Ð × × Ò ÓÖÑ Ð Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð º º º º º º º º º º ºº º º ¾¼
º½º º ËÓÒ Ó Ù Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º ¾¿
º½º º ÓÐ × ººººººººººººººººººººº º º ºº º º ¾
º½º º Ò Ð × × Ò ÓÖÑ Ð Ð Ó Ð × º º º º º º º º º º º ºº º º ¾
º½º Ê Ù×Ø Ñ Ò× ÓÒ Ò ÙÒ Ø Ð × º º º º º º º º º º º ºº º º ¿¼
º½º Å Ò Ó Ò Ñ Ó Ù Ø × ´Ì DynLhashTable<Key, Record>µ ¿¾

21. CONTENIDO xix
º½º Ì Ð × × ÐÒ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ¿¿
º½º º½ ÜÔ Ò× ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒ ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð º º º º º º ¿
º½º º¾ Ù×ÕÙ Ò LinearHashTable<Key> º º º ºº º º º º º º ¿
º½º º¿ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò LinearHashTable<Key> º º º º ºº º º º º º º ¼
º½º º Ð Ñ Ò ÓÒ Ò LinearHashTable<Key> º º ºº º º º º º º ¼
º½º º Ò Ð × × Ð ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð º º º º º º º º ºº º º º º º º ¼
º¾ ÙÒ ÓÒ × × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º½ ÁÒØ Ö Þ Ð ÙÒ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º¾ ÀÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º¿ ÈÐ Ó Ó Ó Ð Ó Ð Ú º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º À ÙÖ ×Ø × ×Ô Ö× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º º½ ×Ô Ö× ÓÒ ÔÓÖ Ú × ÓÒ º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º º¾ ×Ô Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¾º ×Ô Ö× ÓÒ Ò× Ö ØÖ× ºººººººººº ºº º º º º º º ½
º¾º ×Ô Ö× ÓÒ ÙÒ Ú Ö× Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ½
º¾º ×Ô Ö× ÓÒ Ô Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º ¾
º¿ ÇØÖÓ× Ù×Ó× Ð × Ø Ð × × Ý Ð ×Ô Ö× ÓÒ º º º º º º º º ºº º º º º º º ¿
º¿º½ Á ÒØ ¬ ÓÒ Ò× ºººººººººººººººº ºº º º º º º º ¿
º¿º¾ ËÙÔ ÖØÖ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º¿º¿ ´ Ð Ì Hash Cache<Key,Data> µ º º º º º º º ºº º º º º º º
º ÆÓØ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
º Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º
ÐÓ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººº ºº º º º º º º ¼
´
6 Arboles de b´squeda equilibrados
u 473
º½ ÕÙ Ð Ö Ó Ö ÓÐ × º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º¾ Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º¾º½ Ð Ì Rand Tree<Key> º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º¾º½º½ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ ºººººº ºº º º º º º º º º º º º º
º¾º½º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ ººººº ºº º º º º º º º º º º º º ¼
º¾º¾ Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× º º º º ºº º º º º º º º º º º º º ¾
º¿ ÌÖ Ô× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º¿º½ Ð Ì Treap<Key> º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º¿º¾ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ ØÖ Ô º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º¿º¿ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ØÖ Ô º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º ¼
º¿º Ò Ð × × ÐÓ× ØÖ Ô× º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º ¾
º¿º ÈÖ ÓÖ × ÑÔÐ Ø × º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º Ö ÓÐ × ÎÄ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º º½ Ð Ì Avl Tree<Key> º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º º½º½ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ º º º º ºº º º º º º º º º º º º º
º º½º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ º º º ºº º º º º º º º º º º º º ¼½
º º¾ Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º ¼
º º¾º½ Ö ÓÐ × ÓÒ ººººººº ºº º º º º º º º º º º º º ¼
º º¾º¾ ÑÓ×ØÖ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º ½½
º Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º ½¿
º º½ Ð Ì Rb Tree<Key> º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º º º º º ½

22. xx CONTENIDO
º º½º½ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º½º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º¾ Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º Ö ÓÐ × ×ÔÐ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
º º½ Ð Ì Splay Tree<Key> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
º º¾ Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔÐ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º ÓÒ ÐÙ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º ÆÓØ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÐÓ Ö ºººººººººººººººººººººººººº º º º º º º º º º º º º º
7 Grafos 559
º½ ÙÒ Ñ ÒØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¾ ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¾º½ Å ØÖ × Ý Ò ººººººººººººººººººº º º º º º º
º¾º¾ Ä ×Ø × Ý Ò ººººººººººººººººººººº º º º º º º
º¿ ÍÒ Ì Ô Ö Ö Ó× ´List Graph<Node, Arc>µ º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º¿º¾ Ö Ó× ´List Digraph<Node, Arc>µ º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿º¿ ÆÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿º¿º½ ÁÒ× Ö ÓÒ ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¿º¿º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¿º¿º¿ ×Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º¿º Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º º½ ÁÒ× Ö ÓÒ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º º¿ ×Ó ÐÓ× Ö Ó× ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓÐ ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º¿º º½ Ø× ÓÒØÖÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º¿º º¾ ÓÒØ ÓÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º¿º º¿ ÓÓ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º¿º º Ê Ò Ó ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º Å ÖÓ× ×Ó ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ý ×ØÖÙ ÓÒ List Graph<Node, Arc> º º º º º º
º¿º ÇÔ Ö ÓÒ × Ò Ö × ×Ó Ö ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º ÇÔ Ö ÓÒ × Ò Ö × ×Ó Ö Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º½ ×Ó ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º¾ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º¿º½¼º¿ ÁÒ× Ö ÓÒ ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º ÁÒ× Ö ÓÒ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º Ð Ñ Ò ÓÒ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º Ä ÑÔ Þ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º Å Ô Ó ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º¿º½¼º ÓÔ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¼

23. CONTENIDO xxi
º¿º½¼º½¼ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼½
º Ì Ñ ÒÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó ´Path<GT>µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¾
º Ê ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º º½ ÁØ Ö ÓÖ × ¬ÐØÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º º½º½ ÁØ Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ Ö Ó× ÙÒ ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º ¼
º º½º¾ ÁØ Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º º½º¿ ÁØ Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º º¾ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ººººººººººººººººº º º º º º º º ½¼
º º¿ ÓÒ Ø Ú ÒØÖ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º Ê ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º ÈÖÙ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º ÈÖÙ Ð ººººººººººººººººººº º º º º º º º ½
ºº Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÔÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ºººººººººº º º º º º º º ¾½
º º º½ ÈÖÙ Ü ×Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º º º¾ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º ¾¿
ºº Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÔÓÖ ÑÔÐ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ºº Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ÔÖÓ ÙÒ ººººººººººº º º º º º º º ¾
º º½¼ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ÑÔÐ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
º º½½ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ò ÖÖ ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
º º½¾ ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÙÒ Tree Node<T> º º º º º º º º ¿¿
º º½¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º½ ÈÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º½ ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ º º º º º º º º º º º º º ¼
º º½ º½ È ÒØ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º½ º¾ ÓÔ Ñ Ô ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× º º º º º º º º º º
º Å ØÖ × Ý Ò ººººººººººººººººººººººº º º º º º º º
º º½ Ð Ì Map Matrix Graph<GT> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º¾ Ð Ì Matrix Graph<GT> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º¿ Ð Ì Ady Mat<GT, Entry> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ºº Ð Ì Bit Mat Graph<GT> º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ºº Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º ÌÓÔ Ó× ×Ó Ö Ö Ó× Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º½ ÓÒ Ø Ú ÒØÖ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º¾ ÁÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º
º º¿º½ Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÓ× Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º¿º¾ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º ÈÖÙ Ð ººººººººººººººººººº º º º º º º º
ºº Ð ÙÐÓ ÐÓ× Ò ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ºº Ö Ó× Ð Ó× ´ µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º ÈÐ Ò ¬ ÓÒ Ø Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ñ Ò ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º½ ×Ó ÐÓ× Ô ×Ó× Ð Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º¾ Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º¾º½ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð º º º º º º º º º º º º º º ¼½

24. xxii CONTENIDO
º º¾º¾ ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð º º º º º º º º º º º º ¼½
º º¿ Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¾
º º¿º½ ÁÒØ Ö Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¾
º º¿º¾ À Ô Ü ÐÙ× ÚÓ Ö Ó× Ñ Ò ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º ¼¾
º º¿º¿ ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º ¼
º º¿º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º º¿º Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º º¿º ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º ¼
º Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º º½ Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
º º½º½ ×Ø Ò ÙÑÙÐ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º ½¾
º º½º¾ ÈÓØ Ò Ð Ò ÐÓ× Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º½º¿ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º½º Ð ÙÐÓ ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º º½º ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ º º º º º º º º º º º º ½
º º½º Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º¾ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º º¾º½ ÁÒØ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º º¾º¾ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
º º¾º¿ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ º º º º º º º º º º ¾
º º¾º ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ º º º º º º º º ¾
º º¾º Ê ÙÔ Ö ÓÒ Ñ ÒÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¿ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º¿º½ ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º º º º º º º º ¾
º º¿º¾ Å Ò Ó Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
º º¿º¿ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º ¿¼
º º¿º Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÓÖ Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º º º º º º º º º º º º ¿½
º º¿º Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º¿º ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º¿º Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º º º º º º º º º º º ¿
º º¿º ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º º º º º º º º º ¿
º º¿º Ù×ÕÙ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º¿º½¼ Ð ÙÐÓ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ò ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º ½
ºº × Ù× ÓÒ ×Ó Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× º º º º º º º º º º ¾
º½¼ Ê × ­Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¼º½ ¬Ò ÓÒ × Ý ÔÖÓÔ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¼º¾ Ð Ì Net Graph<TNode,TArc,T> º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º¿ Å Ò Ó× Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ó ×ÙÑ ÖÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º ÇÔ Ö ÓÒ × ØÓÔÓÐÓ × ×Ó Ö ÙÒ Ö Ô Ø ºº º º º º º º º º
º½¼º ÓÖØ × Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½¼º ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ» ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º Ð ÙÐÓ Ð Ö Ö × Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º Ð ÙÐÓ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º½¼º½¼ ÁÒ Ö Ñ ÒØÓ Ð ­Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º ¾
º½¼º½½ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿

25. CONTENIDO xxiii
º½¼º½½º½ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ º º º º º º º º º º
º½¼º½¾ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º½¾º½ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ º º º º º º º º º º ¼
º½¼º½¿ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÑÔÙ Ý ÔÖ ¹­Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½¼º½¿º½ ÐØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¼º½¿º¾ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÔÖ ¹­Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¼º½¿º¿ Î ÐÓÖ × Ò Ð × Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ º º º º º º º º º º º
º½¼º½¿º Å Ò Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º½¿º ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó º º º º º º º º º º º º º ¼
º½¼º½¿º Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½¼º½¿º ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó Á Ç º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¼º½¿º ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ ×Ø Ò º º º º º º º º º º
º½¼º½¿º ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ ÓÐ Ð ØÓÖ º º º º º º º º º º º º ¾
º½¼º½¿º½¼ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó× º º º º
º½¼º½¿º½½ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ×Ó Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÖ ¹­Ù Ó º º º º º º º º º º º ¼½
º½¼º½ Ð ÙÐÓ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼½
º½¼º½ ÙÑ ÒØÓ Ó ×Ñ ÒÙ ÓÒ ­Ù Ó ÙÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º ¼
º½½ Ê Ù ÓÒ × Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º½½º½ ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ Ò Ö × ÒÓ¹ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º½½º¾ Ô × Ò ÒÓ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º½½º¿ ÐÙ Ó Ö Ð Þ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
º½½º Å Ü ÑÓ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
º½½º º½ ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ó º º º º º º º º º ½¿
º½½º º¾ Ò Ð × × Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ó ÔÓÖ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ º º ½
º½½º º¿ Ð ÙÐÓ Ð ¹Ô ÖØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º½½º º ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö Ô ÖØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½
º½½º º ÜØÖ ÓÒ Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ö Ñ Ü Ñ Þ ººº ½
º½½º º ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ¬Ò Ð Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö ÒÐ
Ñ ÜÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º½½º Ö ÙÐ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º½½º ÓÒ Ø Ú Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
º½½º º½ Ð Ø ÓÖ Ñ Å Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º½½º º¾ Ð ÙÐÓ Ke(G) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
º½½º º¿ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ Ke(G) º º º º º º ¾¾
º½½º º Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½½º Ð ÙÐÓ Kv(e) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½¾ ÐÙ Ó× Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½¾º½ Ð Ì Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> º º º º º º º º º º ¿½
º½¾º½º½ ×Ó Ð Ó×Ø ÙÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
º½¾º¾ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ Ü ÑÓ ­Ù Ó ÓÒ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ Ñ ÒØ Ð Ñ Ò ÓÒ
ÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
º½¾º¾º½ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ò Ð º º º º º º º ¿¿
º½¾º¾º¾ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ñ ÒØ ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ò Ø ÚÓ º º º º ¿¿
º½¾º¿ Ò Ð × × ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿
º½¾º ÈÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ù Ò ÒÙÒ Ó× ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø
Ñ Ò ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿

26. xxiv CONTENIDO
º½¾º º½ ÌÖ Ò×ÔÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¾º º¾ ÌÖ × ÓÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¾º º¿ × Ò ÓÒ ØÖ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¾º º Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¾º º ÈÐ Ò ¬ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º½¿º½ ÓÖÑ ×Ø Ò Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½¿º¾ Å Ò Ñ Þ ÓÒ¸ ÒÓ Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ¸ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ º º º º º º º º ¾
º½¿º¿ Î Ö Ð × ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ò Ø Ú × º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¿º¿º½ Ê ×ØÖ ÓÒ × ÙÐ ºººººººººººººººº º º º ¿
º½¿º Ê ×ØÖ ÓÒ × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¿º ÍÒ ÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½¿º ÓÖÑ ÓÐ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º Ð Ñ ØÓ Ó × ÑÔÐ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º º½ ×ÕÙ Ñ Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º º¾ ¬Ò ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º º¿ ¬Ò ÓÒ Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º º Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º º Ë Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½¿º º È ÚÓØ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º½¿º ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ×Ó Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½ Ê × ­Ù Ó Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º½ º½ ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö Ô Ø Ó×Ø × ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð º º ¾
º½ º¾ Ê × Ò Ö Ð Þ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º½ º¿ Ô × ÓØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ º Ê × ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ º Ê × ÑÙÐØ ¹­Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ º Ê × ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ º º½ Ò × ÔÖÓ Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ Ð × ÑÔÐ Ü Ô Ö Ö × ­Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ º½ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ×Ó Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ º º º
º½ ÆÓØ × Ð Ó Ö ¬ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º½ Ö Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
ÐÓ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººº º º º
´
Indice de identificadores 893

27. Cap´
ıtulo 1
Abstracci´n de datos
o
×Ø Ø ÜØÓ ÓÒ ÖÒ Ð × ÒÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ò ×ÓÐÙ ÓÒ × ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÑÔÙØ ÓÖº
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ × Ù Ò ¬Ò Ø Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÕÙ ÓÑ Ø Ð ÓÒ× Ù ÓÒ ÙÒ
¬Òº Í× ÑÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò Ú Ö×Ó× ÓÒØ ÜØÓ× Ð Ú ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ù Ò Ó ÔÖ Ô Ö ÑÓ×
ÙÒ ÔÐ ØÓ ÓÑ × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø º Ä ÙÐØÙÖ ÒÓ× Ò ÙÐ Ó Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ¸
ÙÐØÙÖ Ð ×¸ ÒÓ Ò ØÙÖ Ð ×½ ¸ Ô Ö × ÒÚÓÐÚ ÖÒÓ× ×Ó ÐÑ ÒØ ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÓÒ Ù Ö ÙÒ ÙØÓÑÓÚ Ð Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ÖÙÞ Ö ÙÒ ÐÐ º Ò Ñ Ó× ÑÔÐÓ׸ Ð ¬Ò ÕÙ
× ÔÐ ÒØ × ÖÖ Ö ÙÒ × Ø Óº
Ë ÙÒ ÃÒÙØ ¸ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖÓÚ Ò Ð ÒÓÑ Ö Ð Ò ×ØÖ Ð
Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð¹Ã Û Ö ÞÑ ¸ Ð È Ö× ¸ Ô ÖØ Ð ØÙ Ð ÁÖ Ò¸ Ö ÓÒ Ð ÔÐ Ò Ø ÑÙÝ
ÑÒÞ × Ö ÓÖÖ ÐÑÔº Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ø Ñ Ò ÔÖÓÚ Ò Ð Ô Ð Ö
Ð Ö ¸ ÓÑ Ò Ó × Ù ÖØÓ ÔÓÖ Ú Þ ÔÖ Ñ Ö Ò Ð ØÙ Ð ÒÚ Ó Ý × ×Ø Ó ÁÖ Õº
È Ö Ð ÓÒ× Ù ÓÒ ÙÒ ¬Ò × ÑÔÐ Ò Ñ Ó× º Ò Ð ×Ó ÙÒ ÔÐ ØÓ¸ ÐÓ× Ñ Ó×
ÕÙ × ÙØ Ð Þ Ò ×ÓÒ ÐÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ× Ó Ò Ò Ö ÒØ × Ð Ó Ò ÖÓ¸ ÕÙ Ò ÔÙ
ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× Ø Ñ Ò ÓÑÓ ÙÒ Ñ Ó¸ ÓÒ Ù ¸ Ò ÙÒ ÓÖ Ò ×Ô ¬ Ó¸ ÐÓ× Ò Ö ÒØ ×
mediante ÐÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ׺ Ä × Ù Ò Ù ÓÒ¸ Ó × ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð
Ô Ö ÓÒ× Ù Ö Ð ÔÐ ØÓ Ò Ù ×Ø ÓÒº ÍÒ ÐØ Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ò ÔÓ× Ð Ñ ÒØ ÖÖ Ö ÙÒ
ÐØ Ö ÓÒ ×Ó Ö Ð × ÓÖ Ð ÔÐ ØÓº
ÙÖ ÒØ Ð ÔÖ Ô Ö ÓÒ ÙÒ ÔÐ ØÓ¸ Ð Ó Ò ÖÓ Ö ÕÙ Ö Ô Ö Ö Ý Ö ÓÖ Ö Ð × Ù Ò
Ù ÓÒº Ð Ö ÕÙ Ö ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×Ó Ö Ö Ð ÙÒÓ× Ð ÒÓ× ÒØ × Ñ Þ Ð ÖÐÓ× ÓÒ Ð
ÖÒ º Ë ÙÒ Ð ÜÔ Ö Ò Ý Ð ÓÑÔÐ ¸ × ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ó Ò ÖÓ ÐÐ Ú ÒÓØ × ÕÙ
Ñ ÑÓÖ Ò Ð ×Ø Ó ÔÖ Ô Ö ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÒÓØ Ö Ð ÓÖ Ò ÕÙ ÓÑ ÒÞÓ ÓÖÒ Öº
Ò ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ¸ ÓÒ ÒÓØ × Ó × Ò ÐР׸ Ð Ó Ò ÖÓ Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ö ÓÒ× Ò Ð ×Ø Ó
Ò Ð Ù Ð × Ù Ð ÔÖ Ô Ö ÓÒ Ö ×Ô ØÓ ×Ù Ö Ø º È Ö ÐÐÓ¸ Ð × × ÖÚ ×Ù Ñ ÑÓÖ º
Ò Ð ×Ó ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ¸ Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ÙÒ Ó Ò ÖÓ¸ Ð Ù Ð ÙØ ¬ ÐÑ ÒØ
Ð × Ö Ø × ÕÙ × Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Òº Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ×¸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÙØÓÖ ÕÙ ÓÖ Ò Þ
Ý Ù× Ð ÙÒÓ× Ñ Ó× Ô Ö Ð ÒÞ Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ð ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ¸ × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø
ÐÐ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Ý ÕÙ Ö Ù Ö ×Ø Ó× Ð ÙÐÓ× Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ÑÓÖ º
Ô ÖØ Ð È͸ ÕÙ Ò ÙÒ Ó Ò ÖÓ¸ Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ × Ú Ð ÙÒ Ñ Ó ÙÒ ¹
Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÑÓÖ º ÔÓÖ × ¸ Ð Ñ ÑÓÖ Ò ÖÙØÓ × ÙÒ × Ù Ò ÖÓ× Ý ÙÒÓ× ÙÝÓ
× ÒØ Ó ÐÓ ÑÔ ÖØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ò ÓÖÑ ØÓ× º
½
Ò ×ØÓ× Ø ÑÔÓ× ×ØÓ ÒÓ × Ø Ò Ó Ú Óº ÁÒ Ö Ð Ñ ÒØ ¸ Ö Ò Ô ÖØ Ð ÙÐØÙÖ × ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ð
Ò ØÙÖ º
½

28. 2 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
Ù ÐÕÙ Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÓÔ Ö Ò ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÔÙ Ú Ö× Ò Ó× Ô ÖØ × Ð
× ÙÒ Ò×ØÖÙ ÓÒ × Ù ÓÒ Ý ÐÓ× ØÓ׺ Ä × Ò×ØÖÙ ÓÒ × ×ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó
ÕÙ ÐÐÓ ÕÙ × Ö ÑÓ× ÓÑÓ Ó Ó Ù ÒØ º Ò Ó × ÓÒ ×¸ Ð × Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÔÙ Ò Ò Ö¹
Ö× ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ º ÄÓ× ØÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ×Ø Ó Ð ÙÐÓ Ò
Ð ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
Ä ÔÐ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ð Ð Ø Ò “datum”¸ ÕÙ × Ð Ô ÖØ Ô Ó Ô × Ó
Ó ´ Öµº ØÓ ÓÒÒÓØ ¸ Ô٠׸ Ð Ó ÕÙ Ù Ó Ò Ð Ô × Ó Ý ÕÙ ÒÓ× ÒØ Ö ×
Ö ÓÖ Ö × × Ð × ÒØ Ó ÕÙ × Ñ ÑÓÖ Þ Óº Ò Ð ×Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÙÒ ØÓ
Ö Ù Ö ÙÒ Ô ÖØ Ð ×Ø Ó Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
Ð Ñ Ò ÑÓ Ò Ú Ð ÓÖ Ò Þ ÓÒ ÙÒ ØÓ × ×Ù “tipo”º ÍÒ Ø ÔÓ ØÓ ¬Ò ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÕÙ ÔÙ ÕÙ Ö Ö ÙÒ Ò×Ø Ò Ð ØÓº
ÍÒ Ø ÔÓ ØÓ ÔÙ ÓÒ ÓÖÑ Ö× ÔÓÖ Ú Ö Ó× Ø ÔÓ× ØÓ׺ Ò ×Ø ×Ó¸ ÐÓ Ð × ¬¹
ÑÓ× Ò ØÓ ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× º Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׸ ÐÓ× ØÓ× ÔÙ Ò
× Ö Ö ÙÖ× ÚÓ× ´Ö ÙÖÖ ÒØ ×¾ µ × Ö¸ × ÙÒ Ð Ø ÔÓ ØÓ¸ × Ö ÙÖÖ Ò × Ñ ×ÑÓ× Ó ÒØÖ
ÐÐÓ׺
Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× Ò C++ ÔÓ Ö Ò Ö ÐÙÞ ×Ø ×ÙÒØÓº
È Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÒÙÑ ÖÓ× ÒØ ÖÓ׸ × ÙØ Ð Þ Ð Ø ÔÓ ØÓ int¸ Ð Ù Ð Ò ÕÙ ×Ù
Ú ÐÓÖ Ô ÖØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ Zº Ò ×Ø ×Ó ÒÓ × Ò Ö ÓÑÓ × Ö ÔÖ × ÒØ
Ð Ø ÔÓ int Ò Ð Ñ ÑÓÖ ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò ÔÙ Ö ØÖ Ø Ö× 19¸ 937 Ó
2535301200456458802993406410049¸ ÒØÖ Ò¬Ò ØÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ð ×º
È Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò R¸ Ù× ÑÓ× Ð Ø ÔÓ floatº Ì ÔÓ
Ñ × ÒØ Ö × ÒØ ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖÕÙ ØÖ ×ÐÙ Ô ÖØ ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò Ð Ñ ÑÓÖ
ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ù Ò Ó ÜÔÖ × ¸ Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö float¸ ÕÙ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð
ÒÙÑ ÖÓ × Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ × Ö¸ ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ò ØÖ × ÑÔÓ× ÓÖÑ × Ñ Ð Ö
Ð × Ù ÒØ
0 00001000 001011110010110001001010
Ë ÒÓ ÜÔÓÒ ÒØ È ÖØ Ö ÓÒ Ð
Ð × ÒØ Ó ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÙ Ö Ö Ô Ñ ÒØ ×ÙÑ × Ñ ÒØ Ù×Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ
Ý Ð Ô ÖØ Ö ÓÒ Ðº ÙÒÕÙ ÒÓ ÓÒÓ ÑÓ× Ð Ø Ñ ÒÓ ÐÓ× ÑÔÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ð
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ý Ð Ñ Ò Ö Ñ Ò ÔÙÐ ÖÐ ÒÓ× Ð ÖØ ×Ó Ö Ð Ð Ö
Ò Ú Ø Ð ÖÖÓÖ Ö ÓÒ Ó ÕÙ Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó ØÖ ÑÓ× ÓÒ Ö ØÑ Ø ­ÓØ ÒØ º
È Ö ÐÙ×ØÖ Ö ÙÒ ØÓ Ö ÙÖÖ ÒØ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð Ø ÔÓ Ð Ñ ÒØÓ × Ù Ò ¾ ¸
ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ Ò C++ ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× ÓÑÓ × Ù
¾ Ð Ñ ÒØÓ × Ù Ò ¾ ≡
struct Elemento
{
int dato;
Elemento * siguiente_elemento;
};
Ð Ñ ÒØÓ × Ù Ò ¾ ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÒØ ÖÓ Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ × Ù Ò º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ØÖ ÙØÓ siguiente elemento × Ö ¬ Ö ÙÒ struct Elemento Ò
Ð Ö ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ Ð × Ù ÒØ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð × Ù Ò º
Ò ×Ô ÒÓи × ÓÑÓ Ò Ð Ñ ÝÓÖ
¾
Ð × Ð Ò Ù × ÖÓÑ Ò ×¸ Ü ×Ø Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ö ÙÖÖ Ö ¸ Р٠и
× ÙÒ ×Ù Ö Þ Ð Ø Ò Ö ÙÖÖÓ¸ ÓÒÒÓØ ¸ ÚÓÐÚ Ö ¸ Ö Ö × Ö º Ò Ò Ð × Ð Ö Þ × Ð Ñ ×Ñ ¸ Ô ÖÓ × Ò
Ö ÙÖ×Ù׸ ÕÙ × Ò ¬ ÚÙ ÐØ ¸ Ö ØÓÖÒÓ º Ò ×Ø Ø ÜØÓ × ÔÖ Ö Ò Ö ÙÖ× ÓÒ Ò ÐÙ Ö Ö ÙÖÖ Ò º

29. 1.1. Especificaciones de datos 3
Ú Ö×Ó× ÒØ Ö × × Ò Ò Ò Ð × ÒÓ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ ÒØÖ ÐÓ× Ñ ×
Ø Ô Ó× ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ö Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ Ý Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓÖ Ô ÖØ Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ Ý Ð ÔØ ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ÓÒ ÔØÓ Ô ÖØ ÙÐ Öº Ò Ð
ÑÔÐÓ Ð Ø ÔÓ float¸ Ý Ó× Ö Ø Ö ×Ø × × Ú ×º Ä ÔÖ Ñ Ö × ÕÙ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×
Ö ØÑ Ø × ×ÓÒ ÑÙÝ Ö Ô ×º Ó¸ × ÑÔÖ ØÓÑ Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ô Ò ÒØ
Ð Ú ÐÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ØÓº Ä × ÙÒ Ö Ø Ö ×Ø ÓÒ ÖÒ Ð ×Ô Ó × Ö¸
ØÓ Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ × ÑÔÖ Ó ÙÔ Ð Ñ ×Ñ ÒØ ×Ô Ó¸ Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ ÒÓ
×Ù Ö × Ù× Ö ÑÓ× Ö ØÑ Ø Ö ØÖ Ö º
È Ö ÐÓ× Ø ÔÓ× ØÓ× ÕÙ ÑÓ× ÑÔÐ ¬ Ö ´int Ý floatµ¸ ×ÔÓÒ ÑÓ×
ÙÒ ÓÒ Ó ÙÐØÙÖ Ð¸ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø × Ò Ð ÖÐÓ× Ý ÓÑÔÖ Ò¹
ÖÐÓ× × Ò Ò × Ø ÐÐ Ö Ñ ÒÙ Ó× Ñ ÒØ Ò ÕÙ ÓÒ× ×Ø Òº Ë ÑÓ׸ × Ò Ø Ò Ö ÕÙ
Ò ÖÐÓ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ¸ ÕÙ Ü ×Ø Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ØÑ Ø × ØÖ ÓÒ Ð × ×ÙÑ ¸
Ö ×Ø ¸ ÔÖÓ Ù ØÓ Ý Ú × ÓÒ¸ × ÓÑÓ ÕÙ Ò Ý Ù Ð × ×ÓÒ ×Ù× Ö ×ÙÐØ Ó׺
1.1 Especificaciones de datos
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ó Ò ÖÓ ÓÒ×ÙÑ Ó × × Ö Ö ÙÒ ×Ù× Ö Ø × Ô Ö ÚÙй
ÖÐ ÓØÖÓ× Ó Ò ÖÓ׺ Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ × ÙÒ Ð ÓÖÔÙ× Ó Ò Ø ÚÓ ×Ù ÜÔ Ö Ò ¸ Ð
Ó Ò ÖÓ ×ÙÑ ÕÙ ×Ù× Ð ØÓÖ × ÔÓ× Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÓÑÙÒ ÕÙ Ð × Ð Ø Ö ÒØ Ò Ö Ð ×
Ò×ØÖÙ ÓÒ × ×Ù Ö Ø º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð Ó Ò ÖÓ Ý ×Ù× Ð ØÓÖ × Ø Ò Ò
Ð Ñ ×ÑÓ ÓÒ ÔØÓ ÐÓ ÕÙ × ÙÒ ÓÐÐ º
Ò ÐÑÖÓ × ÐÒÙ ÓÑÙÒ¸ Ð Ö Ø × Ö ÔÖ × ÒÓ ÓÒØ Ò Ö
Ñ Ù × ÕÙ ÐÓÕÙ Ò Ð ÙØ ÒØ º Ñ ×¸ × Ö ÓÑÔÐ Ø Ò Ð × ÒØ Ó
ÕÙ Ð ÙØ ÒØ ÔÖ Ô Ö ÔÐ Ò Ñ ÒØ Ð ÔÐ ØÓ Ò Ù ×Ø ÓÒº
Ò Ð Ô Ö Ô ÓÒ Ð ÔÖ Ò Þ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ò × Ò Ð ÒØÖ Ð ¹
ÓÖ Ö ÙÒ ÔÐ ØÓ Ó Ò Ý ÙØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ º Ò Ó Ò × ÓÔ Ö ×Ó Ö Ó× × ÓÒ Ö Ø ×
Ô Ö Ð Ô Ö Ô ÓÒ ÙÑ Ò º Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ÓÔ Ö ×Ó Ö ØÓ× ÓÒ Ö ¹
ØÓ× Ò ×Ù Ñ ÑÓÖ ¸ Ô ÖÓ ×ØÖ ØÓ× Ô Ö ÒÙ ×ØÖ Ô Ö Ô ÓÒº ÈÖ ÙÒØ ÑÓ×ÒÓ׸ Ü ×Ø ÙÒ
ÒÙÑ ÖÓ Ü ×Ø ÙÒ ÖÖ ÐÓ º Ò ÒÙ ×ØÖ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ ÙÒ ×ØÖ ÓÒ
ÕÙ ÒÓ × ÔØ ÓÒ ÒÙ ×ØÖ Ô Ö Ô ÓÒ × Ò×ÓÖ Ðº Ò Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ÒÓ Ø Ò × ÒØ Ó Ð
×ØÖ ÓÒ ÖÖ ÐÓ¸ ÔÙ × ×Ø ÒÓ ÒØ Ò ÐÓ ÕÙ × ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ó ÖÖ ÐÓº Ò Ð ×Ó Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ × ÓÑÓ Ò ÓØÖÓ× ÓÑ Ò Ó× Ö Ú Ó× Ð Ñ Ø Ñ Ø ¸ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ó ÙÒ
ÖÖ ÐÓ ×ÓÒ ÓÒ ÔØÓ× ×ØÖ ØÓ× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÓÑÙÒ Ô Ö ÓÑÙÒ ÖÐÓ×
Ý Ô ÖÑ Ø Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ñ × ÓÒ ÔØÓ׺
ÒØÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×¸ × ÓÑÓ Ò Ð Ö ×ØÓ Ð × ÔÖ Ø ×¸ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ×ÔÓÒ Ö
ÙÒ ÓÖÔÙ× ÓÑÙÒ¸ ×Ó Ö Ð Ñ Ò Ö ×ØÖ Ö¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð ÓÑÙÒ ÓÒ Ñ Ò Ö
ÓÑÓ Ò º
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ò Ð ÕÙ × ÑÓ× ×ÔÓÒ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø ÔÓ ØÓº
ÈÐ ÒØ ÑÓ×ÒÓ× Ó× Ð × × ÔÖ ÙÒØ × Ò Ð × Ù ÒØ ÓÖ Ò
½º Ƚ Ù Ð × ×Ù ¬Ò Ó¸ Ó ÓØÖ Ñ Ò Ö ¸ Ô Ö ÕÙ ÔÙ × ÖÚ Ö
¾º Ⱦ ÓÑÓ × ÔÙ ¬Ò Ö ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð ØÓ
Ä ÔÖ Ñ Ö ÔÖ ÙÒØ ÒÓ× Ò Ð Ð× ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ø ÔÓ ØÓ ×
Ö ÙÒ× Ö ÓÑÓ Ô ÖØ Ð ×ÓÐÙ ÓÒº Ë ×ØÓ ÒÓ ×Ø ¬Ò Ó¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ø Ò Ò Ò ÙÒ
× ÒØ Ó ÓÒ× Ö Ö Ð Ø ÔÓ ØÓº Ä × ÙÒ ÔÖ ÙÒØ ÒÓ× ÜÔÖ × ÕÙ × Ð Ø ÔÓ

30. 4 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
ØÓ¸ Ô ÖÓ × qu´-es Ô Ò
e Ð Ô Ö ÕÙ ×Ø × Ù× º Ë Ø Ò ÑÓ× Ð ÖÓ Ð ¬Ò¸ ÒØÓÒ ×
ÙÒ ØÓ × ¬Ò × ÙÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ô ÖÑ × Ð × Ý ×Ù× Ö ×ÙÐØ Ó׺
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÙÐÓ
Ú Ö Ð ÓÑÔÐ ¸ ÒØÓÒ × × × Ò Ð Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÔÓ ØÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó º ÄÄ Ñ ×
ÓÑÔÐ Ó ×Ø Ø ÔÓ Ý ¬Ò ÑÓ×ÐÓ ÓÑÓ ÙÒ ×ÙÑ cr + ci i | cr, ci ∈ R¸ ÓÒ Ð
Ó ¬ ÒØ cr × ÐÐ Ñ Ó Ô ÖØ Ö Ð √ ci Ô ÖØ Ñ Ò Ö
ݸ ×Ø ÙÐØ ÑÓ Ö ÔÖ × ÒØ
ÙÒ Ö ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ò Ó −1 ¿º Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÐÓ× Ø ÔÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ×Ø
¬Ò ÓÒ ×ÙÑ ÕÙ Ð Ð ØÓÖ Ù ÒØ ÓÒ ÙÒ ÙÐØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ù Ð Ø Ò Ò × ÒØ Ó
ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÑÔÐ Ó׺
ÓÑÓ ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ø Ð ÑÓ× Ð ÓÒ×ÙÐØ Ð Ô ÖØ Ö Ð Ñ Ò Ö ¸ Ö ×Ô Ø Ú ¹
Ñ ÒØ º
1.1.1 Tipo abstracto de dato
À ÑÓ× Ó ÕÙ ÙÒ Ø ÔÓ ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓº Ó Ð ÔÖ ×ÙÒ ÓÒ ÙÒ ×
ÙÐØÙÖ Ð Ñ Ø Ñ Ø ¸ Ð Ù Ð ÓÑÔÖ Ò Ð ÓÒ ÔØÓ ÓÒ ÙÒØÓ¸ Ð Ø ÔÓ ÓÑÔÐ Ó ×
¬Ò Ò ØÓÖÒÓ Ð ÒÓ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó ÕÙ Ð Ö Ò ×Ù ÓÑÔÖ Ò× ÓÒº
Ó × Ð Ò Ù ¸ Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ø × Ð × ÔÖ ÙÒØ × È½ Ý È¾¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ë ÒÓ ×ÔÙ× Ö ÑÓ× Ð ÓÖÔÙ× Ñ Ø Ñ Ø Ó ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó¸ ÒØÓÒ × ÒÓ× × Ö ÑÙÝ
Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð × ÒØ Ó Ð Ø ÔÓ ÓÑÔÐ Ó º
Ä Ñ Ø Ñ Ø ¸ × ÑÔÖ Ý Ù Ò Ó × Ý Ô × Ó ÔÓÖ ×Ù ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ¬Ò ÙÒ ÓÖ¹
ÔÙ× Ó Ò Ø ÚÓ¸ ×Ø ÒØ ×ØÖ ØÓ ÔÓÖ ÖØÓ¸ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ¬Ò Ö Ð ÒÙ ÚÓ Ø ÔÓ ØÓº
Ë ÒÓ× Ö Ñ Ø ÑÓ× Ð ¬Ò ÓÒ Ø ÔÓ ØÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ × ÙÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø ¸ ¬Ò Ö ÙÒ
Ø ÔÓ ØÓ ×ØÖ Ò ¬Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð × Ó× Ñ Ò Ö × ÕÙ Ø Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø
ÔÓÖ ÜØ Ò× ÓÒ Ó ÔÓÖ ÓÑÔÖ Ò× ÓÒº ¬Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÖ ÜØ Ò× ÓÒ × ÑÙÝ Ó Ø ÚÓ¸
Ô ÖÓ¸ Ø Ñ Ò¸ ÑÙÝ Ö ÙÓ Ý¸ Ò ÑÙ Ó× ×Ó׸ ÑÔÓ× Ð Ù Ò Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ × Ò¬Ò ØÓ¸
ÔÓÖ ÑÔÐÓº Ò Ð ×Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÙÒ Ø ÔÓ ØÓ × ¬Ò ¸ Ô Ö Ó Ñ ÒØ ¸
ÔÓÖ ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ØÓ ÓÐÓ ÒÓÑ Ò Ø ÔÓ ×ØÖ ØÓ ØÓ
Ó Ì ¸ Р٠и Ò Ð Ú Ö× ÓÒ ×Ø Ø ÜØÓ¸ ÓÒ×Ø Ð × × Ù ÒØ × Ô ÖØ ×
½º ÍÒ × Ö Ô ÓÒ Ð ¬Ò Ô Ö Ð Ù Ð × ×Ø Ò Ð Ø ÔÓ ØÓº
¾º ÍÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ü ÓÑ × Ý ÔÖ ÓÒ ÓÒ × ÕÙ ¬Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ø ÔÓ º
¿º ÍÒ ÒØ Ö Þ ¬Ò ÔÓÖ ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÓ× Ð × ×Ó Ö Ð Ì Ò Ð Ù Ð¸ ÔÓÖ
ÓÔ Ö ÓÒ¸ × ×Ø Ð Þ Ò Ó× Ø ÔÓ× ×Ô ¬ ÓÒ ×
Especificaci´n sint´ctica: ÒÓÑ Ö
o a Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸ Ø ÔÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ý ÒÓÑ Ö ×
Ý Ø ÔÓ× ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׺
Especificaci´n sem´ntica:
o a × Ö Ô ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö Ð ×Ø Ó
ÐÌ º
Ò ×Ø Ô ÖØ ÔÙ × Ö ÙØ Ð Ò Ö Ü ÓÑ ×¸ ÔÖ ÓÒ ÓÒ × Ý ÔÓ×Ø ÓÒ ÓÒ ×º
× Ò Ð ×Ø Ö ÕÙ ¸ ÓÒÓ Ó¸ ÒØ Ò Ó Ý ÔØ Ó Ð ¬Ò¸ ÕÙ Ö Ò ÓÑÔÐ ØÓ × Ò¹
Ø Ó Ð × ×Ô ¬ ÓÒ × × ÒØ Ø Ý × Ñ ÒØ ÙÒ Ì º
Ò ×Ø Ø ÜØÓ¸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð ÓÒ ÔØÓ Ð × Ó ØÓ Ô Ö Ö Ð Þ Ö Ô ÖØ Ð
×Ô ¬ ÓÒº
√
¿
Ó Ð Ô Ö×Ô Ø Ú Ñ Ø Ñ Ø ¸ ÒÓ Ü ×Ø ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ × Ð ÒÙÑ ÖÓ −1º
ÓÑ Ò Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø º

31. 1.1. Especificaciones de datos 5
1.1.2 Noci´n de clase de objeto
o
Ä Ô Ð Ö Ó ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ð Ð Ø Ò Ó ØÙÑ ´Ó ¹ ØÙÑ Ù Ó ¹ ØÙѵ¸ ÓÑÔÓ× ÓÒ
Ó ¸ ÕÙ × Ò ¬ ×Ó Ö Ð ´Ð µ¸ Ö ÒØ ¸ Ý ØÙѸ ÕÙ × Ð Ô ÖØ Ô Ó Ô × Ó Ö¸
Ø ÑÓ Ö ØÓ Ý Ö Ý ÕÙ × Ò ¬ Ø Ò Ö¸ Öº × Ô٠׸ Ó ØÙÑ ´Ó ØÙѵ × ÐÓ
ÕÙ Ý Ð Ö ÒØ ¸ ÐÓ ÕÙ × Ú × Ð ÙÒ Ó× ¸ ×Ù Ö ÜØ ÖÒ º Ò × Ñ Ð Ö ÓÒØÖ ×Ø ¸ Ð
Ô Ð Ö ×Ù ØÓ ¸ Ø Ñ Ò ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ð Ð Ø Ò ×Ù ØÙѸ ÙÝÓ ÔÖ ¬ Ó Ð Ø ÒÓ ×Ù × Ò Ð
Ó¸ × Ò ¬ ÐÓ ÕÙ ×Ø Ó Ð Ó× ¸ Ó ÙÐØÓ¸ ÕÙ Ð × ÒØ ÖÒÓ Ó ÓØÖÓ
ÑÓ Ó¸ ÒÚ × Ð Ò Ô Ö Ò º
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ × ÓÑÓ Ò ÓØÖ × Ò Ò Ö ×¸ ÐÓ Ó Ø ÚÓ¸ Ó × ¸ Ð Ö Ú × Ð ¸ ×
ÒÓÑ Ò ÒØ Ö Þ ÒØ Ö¹ Þ × Ö¸ ÐÓ ÕÙ ×Ø ÒØÖ Ð Ö ÐÓ ÕÙ × Ó Ö Ð
ÜØ Ö ÓÖº
Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÙÒ Ð × Ó ØÓ ¸ Ó × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð × ¸
× ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÔÓ ×ØÖ ØÓ ØÓ ÕÙ ¬Ò ×Ù ×Ô ¬ ÓÒ
× ÒØ Ø º ÈÓÖ Ó Ø Ú ÔÖ Ø Ò ÑÓ× Ö ÕÙ ×ÓÐÓ ÒÓ× Ö Ö ÑÓ× Ð × Ô ÖØ × ÜØ ÖÒ ×¸
Ú × Ð ×¸ ÕÙ Ø Ò Ö ÙÒ Ó ØÓ Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ð × º Ò Ð ×Ó ÙÒ Ø ÔÓ
ØÓ¸ Ð × Ô ÖØ × Ú × Ð × Ð × ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð ÒÓÑ Ö Ð Ø ÔÓ¸ ÐÓ× ÒÓÑ Ö × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸
ÐÓ× ÒÓÑ Ö × ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׸ ÐÓ× Ø ÔÓ× ØÓ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ý ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ð ×
ÓÔ Ö ÓÒ × × Ö¸ ×Ù ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø º
È Ö × Ø× Ö Ð Ó ØÚ Ð ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø ¸ × Ò × Ö Ó ÓÖ Ö ÙÒ
Ð Ò Ù ÓÑÙÒ ÒØÖ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×¸ Ô٠׸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ö ÑÙÝ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö
Ð ÒØ Ö Þº ÍÒ ÙØÓÑÓÚ Ð¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ø Ò ÙÒ ÒØ Ö Þ Ù×Ó ÓÒ× ×Ø ÒØ ¸ ÒØÖ ÓØÖ ×
Ó× ×¸ ÐÓ× Ô Ð ×¸ Ð ÚÓÐ ÒØ Ý Ð Ø Ð ÖÓº È Ö ÔÓ Ö ÓÒ Ù ÖÐÓ¸ × Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð
ÓÒ Ù ØÓÖ ×Ø ÒØÖ Ò Ó Ò Ð ÙØ Ð Þ ÓÒ × ÒØ Ö Þº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ô Ö ÕÙ ÙÒ
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÓÑÔÖ Ò ÙÒ ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø ¸ ×Ø ÒØ Ò Ö Ð Ð Ò Ù Ò
ÕÙ × ×Ô ¬ Ð Ð × Ó Ì º Ò Ð ×Ó ×Ø Ø ÜØÓ¸ Ö Ð Þ Ö ÑÓ× ×Ô ¬ ÓÒ ×
× ÒØ Ø × Ì Ò Ð Ð Ò Ù C++ Ó Ò Ö Ñ × Ð × × ÍÅĺ
Ò C++¸ Ð ÑÔÐÓ Ð Ì ÓÑÔÐ Ó ÔÓ Ö ÑÓ Ð Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ÓÑÔÐ Ó ≡
struct Complejo
{
Complejo(float r, float i);
Complejo(const Complejo & c);
float & obtenga_parte_real();
float & obtenga_parte_imag();
};
¬Ò ×
Complejo¸ Ò Ú Ö Ù× º
×Ø ¬Ò ÓÒ ×Ø Ð Ó Ø Ú Ñ ÒØ Ð ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø ÐÌ ÓÑÔÐ Ó ¸
Р٠и ÙÒ Ð Ð Ò Ù Ý Ð ÓÖÔÙ× Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÐØÙÖ Ð Ð ÒÓ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ Óѹ
ÔÐ Ó¸ ÓÑÔÐ Ø Ð ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø ÐÌ º
ÉÙ ×Ù Ó ÓÒ Ð ×Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ ×Ø ÓÑÔÐ Ø Ð ×Ô ¬ ÓÒ Ë
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð ØÓÖ Ð ×Ô ¬ ÓÒ Ð Ì ÓÑÔÐ Ó ÓÒÓ ×Ù Ñ Ø Ñ Ø
Ò Ö ÒØ ¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ÒÓÑ Ö × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ô ÖÑ Ø Ò ÓÑÔÖ Ò Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ
ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ò × ÜÔÐ Ø ÖÐÓº Ü ×Ø Ð ÙÒ Ù ×Ó Ö ÐÓ ÕÙ Ð
ÓÔ Ö ÓÒ obtenga parte real()) Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ô Ò ¸ ÒØÖ ÓØÖÓ× ØÓÖ ×¸ Ð Ö Ó
×Ø × Ð Ö ØÓÖ × Ø ÑÓÐÓ × Ù ÖÓÒ × Ù ÖØ × Ò ¿ º

32. 6 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÕÙ Ø Ò Ð Ù ×Ø ÓÒ ÒØ º Ë Ð Ð ØÓÖ ÒÓ ÓÒÓ Ð ÒÓ ÓÒ
ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó¸ ÒØÓÒ × × Ö ÕÙ Ö Ö ÙÒ ×Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÑÔ ÖØ ÐÓ
ÕÙ × ÙÒ ÓÑÔÐ Óº
ÄÓ Ó Ø ÚÓ ÔÓ× Ð Ø ÙÒ Ù Ö Ó ÓÑÙÒ ÒØÖ Ö ÒØ × Ô Ö×ÓÒ × Ö Ð ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÔÓ ØÓº È Ö ÕÙ ×Ø Ù Ö Ó Ó ÙÖÖ ¸ × Ò × Ö Ó ÕÙ Ð × Ô Ö×ÓÒ ×
Ò Ù ×Ø ÓÒ Ú Ò Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ò ÓÑÓ Ò Ñ ÒØ Ð Ó ØÓº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ì ÔÒ Ð Ö Ó Ò ÕÙ ×Ù× ÒØ Ö × Ó× ÓÑÔ ÖØ Ò Ð Ð Ò Ù ÓÒ
ÕÙ × Ö Ð ×Ù ×Ô ¬ ÓÒº
1.1.3 Lo subjetivo de un objeto
Ë ØÖ Ø ÑÓ× ÙÒ ØÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ó Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÕÙ ÓÒ× ×Ø ØÖ Ø ÖÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ×
×Ù Ø ÚÓ× ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × ÕÙ Ð ×Ù Ø Ú ÙÒ Ì × ØÖ Ø ÙÖ ÒØ
×Ù ×Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ º
Ü ×Ø Ò¸ × Ñ ÒØ ¸ ØÖ × Ù ÒØ × ×Ù Ø Ú º
Ä Ú × ÓÒ¸ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ý¸ Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ Ð × ÒØ Ó ÙÒ Ì ¸ Ô Ò Ð ÜÔ ¹
Ö Ò Ý ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ð Ô Ö×ÓÒ ÕÙ ÙØ Ð Ð Ì º È ÖÓ ×ØÓ × ÑÙÝ ×Ù Ø ÚÓ¸
ÔÙ × ÕÙ Ò Ø Ò ×Ù ÔÖÓÔ ÜÔ Ö Ò ¸ Ð Ù Ð ÒÓ ØÖ Ø Ö× Ó Ø Ú Ñ ÒØ º Ä
ÔÖ Ñ Ö Ù ÒØ ×Ù Ø Ú ×¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ð Ù×Ù Ö Ó Ð Ì Ö
×Ù × ÒØ Óº ÉÙ Ò × Ý Ò ×ØÙ Ó ÐÑ ÒØ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÑÔÐ Ó× Ø Ò Ö Ò ÙÒ
ÓÑÔÖ × ÓÒ Ð Ì ÓÑÔÐ Ó Ñ × ÓÑÓ Ò ÕÙ ÕÙ Ò × ÒÓ ÐÓ Ý Ò ×ØÙ Óº
È Ö ×ØÓ× ÙÐØ ÑÓ× ÔÙ × Ö Ò × Ö Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ×Ô ¬ ÓÒº
Ò Ð ×Ó Ð Ì ÓÑÔÐ Ó × ÑÙÝ ÓÒÚ Ò ÒØ Ø Ò Ö ÙÒ ØÖ Ý ØÓÖ ×ØÙ Ó×
Ñ Ø Ñ Ø Ó׺ ÈÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × Ò ×Ø ØÖ Ý ØÓÖ Ñ Ò Ö Ð Ì ÓÑÔÐ Ó
Ò Ö ÒØ Ö ×Ø ÔÖ ÙÒØ Ö Ú Ð Ô Ö×Ô Ø Ú × ÓÒØÖ ØÓÖ ×º
Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ × Ð Ù×Ù Ö Ó Ð Ì ÓÑÔÐ Ó ÔØ Ð ÒØ Ö Þ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð
× ÖÖÓÐÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ × ÕÙ Ù× Ò ÒÙÑ ÖÓ× ÓÑÔÐ Ó× Ô ÖÑ Ø Ò Ö ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ Ö
Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ º ÑÔ ÖÓ¸ ×Ø Ù×Ù Ö Ó¸ Ð ÒÓ ×ÔÓÒ Ö Ð ÓÖÔÙ× Ñ Ø Ñ Ø Ó
Ö ÕÙ Ö Ó¸ × Ñ × ÔÖÓÔ Ò×Ó ÙØ Ð Þ Ö Ð ÒØ Ö Þ Ô Ö ÙÒ ¬Ò Ö ÒØ Ð ÕÙ Ù ÓÒ Ó
ÐÌ ÓÑÔÐ Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÔÙÒØÓ× Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ × ÒÓº Ë Ò
×ØÓ ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÓÖÖÓ Ó Ó¸ Ø Ñ Ò ÔÙ ÖÖ Ö Ö Ò × ÓÒ Ù× ÓÒ ×
ÒØÖ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × Ý Ñ ÒØ Ò ÓÖ ×º
Ä × ÙÒ Ù ÒØ ×Ù Ø Ú ÔÖÓÚ Ò Ð Ñ ×ÑÓ × Ò ÓÖ Ð Ì º Ð Ó ØÓ
Ö ×ÙÐØ ÒØ Ô Ò Ø Ñ Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ð × Ò ÓÖº È Ö×ÓÒ × Ö ÒØ × Ø Ò Ò
ÔÖÓÔÓÒ Ö ÒØ Ö × Ö ÒØ ×º
Ä ÙÐØ Ñ Ù ÒØ ×Ù Ø Ú × Ö ¬ Ö Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ì º ×Ø ÒØÓ× ÔÖÓ¹
Ö Ñ ÓÖ × Ö Ð Þ Ö Ò ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ö ÒØ ×º Ë Ò ×Ø × ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ð ×Ù ¹
ØÚ ÕÙ ÔÖ Ø Ò × ÓÒ Ö ÙÒ Ì ¸ ÔÙ × Ö × Ò Ð ÓÒ× Ö ÖÐ ÔÓÖ Ó× Ö ÞÓÒ ×
Ð Ø ÑÔÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ý Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
Ð Ø ÑÔÓ × ÖÖÓÐÐÓ ÙÒ Ì ÔÙ × Ö Ø Ò ÜØ Ò×Ó ÕÙ ÓÑÔÖÓÑ Ø ÙÒ ÔÖÓÝ ØÓº
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö ×ÙÐØ ÒØ ÔÙ × Ö Ø Ò Ð ÒØÓ ÕÙ
Ò × Ö Ó Ö Ô Ø Ö Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ì º Ò Ù Ð ×ÕÙ Ö ×Ø × × ØÙ ÓÒ × ÔÙ × Ö
ÓÒÚ Ò ÒØ Ò Ö ÐÓ× ×Ô ØÓ× Ò Ö Ð × Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒº
Ò Ö ×ÙÑ Ò¸ Ð × Ù ÒØ × ×Ù Ø Ú × Ø Ô ¬ Ò ÓÑÓ × Ù
½º ËÙ Ø Ú ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ð Ù×Ù Ö Óº
¾º ËÙ Ø Ú ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ð × Ò ÓÖº

33. 1.1. Especificaciones de datos 7
¿º ËÙ Ø Ú ÑÔÐ ÒØ ÓÒº
ÈÓÖ Ñ × Ò × × ÕÙ × Ð Ð ÓÖ ÒØ ÓÒ Ó ØÓ׸ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ÕÙ
× Ö ÙÒ× Ö Ò Ò × ÖÖÓÐÐÓ× ÓÓÔ Ö Ø ÚÓ× Ò ×Ø Ö ÓÒ× ÒØ × ×Ø × ×Ù Ø Ú ¹
× Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ö Ð Þ Ö Ð ×Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ ÙÒ Ì º Ä Ò Ð ×¹
Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ ÒØÓÒ ×¸ Ù Ö× Ð ÜÔ Ø Ø Ú Ó Ò Ø Ú Ð ÖÙÔÓ
Ô Ö×ÓÒ × ÒÚÓÐÙ Ö × Ò Ð × ÖÖÓÐÐÓ Ý Ù×Ó ÙÒ Ì º Ë ÕÙ Ð ÖÙÔÓ¸ ÔÓÖ Ò×Ø Ò ¸
ÓÑÔÖ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ ¸ ÒØÓÒ × ÒÓ ×ÓÐÓ × ÒÒ × Ö Ó ÓÒ Ö Ò ÙÒ ×Ô ¹
¬ ÓÒ × Ñ ÒØ ÕÙ ÜÔÐ ÕÙ Ð ÒÓ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó¸ × ÒÓ ÕÙ ¸ Ø Ñ Ò¸ ÔÙ
ØÓÖÒ Ö× ÑÙÝ Ø Ó×Óº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ù ÒØ ×Ù Ø Ú ×ÓÐÓ × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ Ð
٠Р׸ ÔÖ × Ñ ÒØ ¸ Ð ×Ù Ø Ú ÕÙ ÔÖ Ø Ò Ó ÙÐØ Ö ÙÒ Ì º
ÈÓÖ Ð Ö ÞÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ×Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ ÒÓ × Ó Ø Ú º ÓÖ Ò¸ ÓÑÓ
Ö Ð Þ Ö ÙÒ ×Ô ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ Ø Ú × Ö¸ ÕÙ ÐÓ Ö Ð ØÓ ÔØ Ö×
ÒØ Ò ÔÓÖ ÙÒ ÖÙÔÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×º Ê ×ÔÙ ×Ø Ö ×ÙÑ Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ò Ù
Ù Óº È Ö × ÖØ Ö Ò ØÓÖÒÓ ×Ø Ù ×Ø ÓÒ¸ × ÔÖÓÔ Ó Ñ Ò Ö ÓÑÓ Ó× ÒØ Ö¹
ÐÓ ÙØÓÖ × ØÖ Ø Ò Ð ÒÓ ÓÒ ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ý ×Ù Ø ÚÓ Ö ÙÒ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
Ý ÙÒ Ì º
Ò Ð × ÒØ Ó Ò ÕÙ ÐÓ ÑÓ× ØÖ Ø Ó¸ ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ð Ó× ÔÖÓ Ö Ñ × Ô Ö Ô¹
Ø Ð Ð Ú × ÓÒ ÓÑÙÒ ÐÓ× ÒØ ÖÐÓ ÙØÓÖ ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ ×Ù Ø ÚÓ Ð × ×Ø Ó ÙÐØÓ Ð
Ñ ÒÓ× Ð Ñ Ö ÙÒÓ ÐÐÓ× Ó Ñ Ó׺ ÈÓÖ Ú × ÓÒ ¸ Ð Ð ØÓÖ ÒÓ ×ÙÑ Ö Ð
Ñ ÖÓ × ÒØ Ó × Ò×ÓÖ Ð¸ × ÒÓ Ð Ô Ô Ö Ö ÙÒ Ó× Ó ÒÓÑ ÒÓ Ñ ÒØ Ð ×
×ØÖ ÓÒ × Ý ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ × ÒØ Ð ØÙ Ð × ÕÙ Ð ÜÔ Ö Ò ÐÓ× ÒØ ÖÐÓ ÙØÓÖ × Ð ×
Ô ÖÑ Ø º ÓÑÓ Ô ÖØ Ð ÜÔ Ö Ò ¸ × Ö Ø Ó ÕÙ ÐÓ× ÒØ ÖÐÓ ÙØÓÖ × Ø Ò Ò ×ØÖ Þ ×
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÕÙ Ô Ö Ð ×º
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÒØ ÖÐÓ ÙØÓÖ Ð ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ì ÓØÖÓ º Ó× × ØÙ ÓÒ ×
Ò Ð × ×ÓÒ ÔÓ× Ð × ´½µ Ú ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ì Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ Ý ´¾µ
ÒÓ ÐÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ù Ðº Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ó× ×Ó׸ × × Ò Ð ÕÙ ÓÒÓÞ Ð
ÓÔ Ò ÓÒ Ô Ö ÔÓ Ö Ø ÖÑ Ò Ö× Ù Ð Ð × Ó× × ØÙ ÓÒ × Ó ÙÖÖ º
Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ Ð ÔÖ Ñ Ö × ØÙ ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ÒØ ÖÐÓ ÙØÓÖ × Ø Ò Ò ÙÒ Ñ Ö
ÓÑÓ Ò Ð Ì Ý Ð ×Ù Ø Ú ÕÙ Ö ×Ø × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ Р٠и Ò Ð ×Ø Ó
× ÒÓ¸ × × ÑÔÖ × Ù ÒÓ Ó ÙÐØ ÖÐ º
Ë Ó ÙÖÖ Ð × ÙÒ × ØÙ ÓÒ¸ ÒØÓÒ × Ý Ò ÓÑÓ Ò Þ Ö Ð Ú × ÓÒ ÒØ Ö¹
ÔÖ Ø ÓÒ Ð Ì ÓÖÑ ÕÙ ×Ù× ×Ù Ø Ú × ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ú Ò Ò Ó Ø Ú ×º
Ä ÙÒ Ñ Ò Ö ×Ø ÓÖ ÓÒÓ Ö ×ØÓ × ØÖ Ú × Ð ÐÓ Óº × ÔÓÖ ×ØÓ
ÕÙ Ð Ð Ò Ù × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð ×Ô ¬ ÓÒ ÙÒ Ì º È ÖÓ Ð Ð Ò Ù ÒÓ × Ñ Ö¹
Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÒ Ðº ÒÓ Ø Ò Ò Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÖÖÓ ÓÖ Ö × ÓÑÔ ÖØ ×Ù Ñ Ö
× ÒÓ × Ù Ð ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ø Ò Ö Ð Ì º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ù Ò Ó × × Ò
ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ì ¸ × × Ò Ð ÕÙ Ð × Ò ÓÖ ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÓ× ÒØ Ö × Ó× Ò ÙÒ
ÔÖÓ ×Ó ÐÓ Ó ÕÙ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÒÓ Ý Ò ×Ù Ø Ú × ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ý ×ÓÐÓ
Ö ×Ø Ò Ð × ÑÔÐ ÒØ ÓÒº
1.1.4 Un ejemplo de TAD
ÜÔ Ö Ò × ÕÙ Ö × Ò Ð × ÖÖÓÐÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ × Ù Ó Ô ÖÑ Ø Ò ÑÓ Ð Þ Ö ÙÒ
Ì ¸ ÐÐ Ñ Ó ÙÖ ¸ ÙÝÓ ¬Ò × Ò Ö Ð Þ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ö ÒØ × Ð Ù Ó
ÙÒ ¬ ÙÖ ×Ó Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ó ÓÒØÖ ×Ø º Ì Ð Ì × ÙØ Ð Ô Ö Ö Ð Þ Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÕÙ

34. 8 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
Ò Ù Ó× Ý ÙÒ ÔÖÓÔÙ ×Ø ¬Ò ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
ÙÖ ≡
struct Figure
{
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × ÙÖ
Ç × ÖÚ ÓÖ × ÙÖ
ÅÓ ¬ ÓÖ × ÙÖ
};
ÙÖ × ÓÒ Ö Ø × ½¾
¬Ò ×
Figure¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¸ ½¾¸ Ò ½ º
ÐÌ ÙÖ ÑÓ Ð Þ ÙÒ ¬ ÙÖ Ò Ö Ð ÕÙ × Ù Ö Ò Ð ÙÒ Ñ Ó
ÓÒØÖ ×Ø º × Ò Ö Ð Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ×ÓÐÓ ×ØÖ ÑÓ× ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ö Ð × ×Ó Ö
ÙÒ ¬ ÙÖ ÓÑ ØÖ Ù ÐÕÙ Ö × Ö¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÓÒ Ò Ö Ð × ÔÓÖÕÙ ÓÔ Ö Ò
×Ó Ö Ù ÐÕÙ Ö ¬ ÙÖ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ×Ù Ô ÖØ ÙÐ Ö º ÈÓÖ Ù ÐÕÙ Ö ¬ ÙÖ
ÔÖ Ø Ò ÑÓ× ÜÔÖ × Ö ÕÙ ×Ù ÓÖÑ ¸ Ù Ö Ø ¸ ØÖ Ò ÙÐ Ö¸ Ø Ø Ö ¸ ÒÓ ÒÓ× ÑÔÓÖØ ×ÓÐÓ
ÒÓ× ÒØ Ö × ÙÒ ¬ ÙÖ ÓÑÓ ×ØÖ ÓÒ Ò Ö Ð Ô Ö Ù ÖÝÐ ÑÒÖ ÒÖÐ
ÓÔ Ö Ö ×Ó Ö ÐÐ ØÖ Ú × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ö Ð × ÓÑÙÒ × ØÓ × Ð × ¬ ÙÖ × Ü ×Ø ÒØ ×º
ÆÓ × ¸ ݸ × ÔÖ Ö Ð ×ÙÑ Ö ÕÙ ÒÓ × ÔÙ ¸ ¬Ò Ö ÙÒ ×ØÖ ÓÒ × Ò ÓÒÓ Ö
Ð Ô Ö ÕÙ Ø Ð ¬Ò ÓÒº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ù Ò Ó × Ò ÑÓ× ÙÒ Ì ¸ ÑÓ× × ¹
ÙÖ ÖÒÓ× Ø Ò Ö Ð ÖÓ Ð ¬Ò ÕÙ Ô Ö× Ù ÑÓ׺ Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð
Ì ÙÖ ¸ Ð ¬Ò × Ù Ö ¬ ÙÖ × Ò Ð ÙÒ Ñ Ó ÓÒØÖ ×Ø º Ë ×Ø ¬Ò ÒÓ ×Ø
Ð ÖÓ¸ ÒÓ Ø Ò × ÒØ Ó Ð Ö ¬ ÙÖ × Ý ×Ù× ÓÔ Ö ÓÒ ×º
Ä ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø ÐÌ ÙÖ ×Ø ÔÓÖ ×Ù ¬Ò ÓÒ Ò C++º
ÍÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö ÙÒ Ð × × ÒÓÑ Ò Ñ ØÓ Ó ¸ Ø ÖÑ ÒÓ ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ð Ð Ø Ò
Ñ Ø Ó Ù׸ Ð Ù Ð ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Ó μ θοδος ´Ñ Ø ¹ Ó Ó×µº Ò ×Ø ×Ó Ñ Ø
ÓÒÒÓØ Ù Ö ¸ Ñ × ÐÐ Ý Ó Ó× × Ò ¬ Ñ ÒÓº Å ØÓ Ó ÕÙ Ö Ö¸ Ô٠׸ ÙÒ
Ñ ÒÓ Ð ¬Ò ÕÙ ×Ø Ù Ö × Ö¸ ÙÒ Ñ ÒÓ ÓÒ ×Ø ÒÓ¸ ÓÒ × ÒØ Óº
È Ö ¬Ò Ö Ð × Ñ ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÑÓ× ÒÓØ Ö Ð Ì Point¸
ÔÙ × ÐÓ Ö Ö Ò Ò Ð ÙÒ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ì ÙÖ º ËÙÔ Ø Ó Ð ¬Ò Ð
Ì ÙÖ ¸ ÙÒ ÔÙÒØÓ ×Ø Ò Ð Ù ÓÒ Ð ¬ ÙÖ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ×Ù Ù¹
Ó Ý ÒÓ ÒÓ× ÓÒÚ Ò ¸ ÔÓÖ ÓÖ ¸ ¬Ò ÖÐ Ñ ×¸ ÔÙ × ÒÓ Ø Ò ÑÓ× ¹Ý × ÔÓÖ ÓÖ
Ø Ñ Ò ÔÖ Ö Ð ÒÓ Ø Ò ÖÐ ¹ Ð Ñ Ó Ò Ð Ù Ð × Ù Ö Ò Ð × ¬ ÙÖ × ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸
ÙÒ Ñ Ó ÔÐ Ò Ö Ô Ô Ð Ó Ô ÒØ ÐÐ Ó ÙÒ Ñ Ó ØÖ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÖÓÝ ØÓÖ ØÖ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ù
ÓÐÓ Ö º È Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÔÓ Ñ Ó Ð ÔÙÒØÓ Ö ÕÙ Ö Ó× ÓÓÖ Ò ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
Ô Ö Ð × ÙÒ Ó ØÖ ×º
À Ý Ó× ÓÖÑ × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ¬ ÙÖ ×ØÖ Ø ÜÔÖ × × ÔÓÖ ÐÓ× × Ù ÒØ × ÓÒ×¹
ØÖÙ ØÓÖ ×
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × ÙÖ ≡ ´ µ
Figure(const Point & point);
Figure(const Figure & figure);
Í× × Figure º
Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð × ÙÒ Ó ÓÔ Ð ¬ ÙÖ Ô ÖØ Ö Ð ÔÙÒØÓ
ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ ÓØÖ ¬ ÙÖ º
Ä Ö ÙÒ Ò × Ö º

35. 1.1. Especificaciones de datos 9
Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ð Ì ÙÖ × Ö Ú ÖØÙ Ð
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × ÙÖ +≡ ´ µ
virtual ~Figure();
Í× × Figure º
Ô٠׸ × Ñ Ò Ö ¸ × Ö ÒØ Þ Ð ÒÚÓ ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ×ØÖÙ ØÓÖ ×Ó Ó ÙÒ
¬ ÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Öº
ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÕÙ ÒÓ ÐØ Ö Ó ÑÓ ¬ÕÙ Ð ×Ø Ó Ð Ó ØÓ ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö× Ð Ó × Ö¹
Ú ÓÖ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÙÒ ¬ ÙÖ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ó × ÖÚ ÓÖ
Ç × ÖÚ ÓÖ × ÙÖ ≡ ´ µ ½
const Point & get_point() const;
Ð Ù Ð Ó × ÖÚ ×Ù ÔÙÒØÓ Ö Ö Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓº Ò C++¸ Ð Ð ¬ ÓÖ const ×Ó Ö
ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ð Ò Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó ÒÓ ÐØ Ö Ð ×Ø Ó Ð Ó ØÓº
ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÕÙ ÐØ Ö Ó ÑÓ ¬ Ð ×Ø Ó ÙÒ Ó ØÓ × Ð Ð × ¬ ÑÓ ¬ ÓÖ
Ó¸ Ú ×¸ ØÙ ÓÖ º ÄÓ× ØÙ ÓÖ × ÙÒ ¬ ÙÖ ×ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
ÅÓ ¬ ÓÖ × ÙÖ ≡ ´ µ
virtual void draw() = 0;
virtual void move(const Point & point) = 0;
virtual void erase() = 0;
virtual void scale(const Ratio & ratio) = 0;
virtual void rotate(const Angle &angle) = 0;
ÄÓ× ÒÓÑ Ö × Ñ ØÓ Ó× draw(), move() Ý erase() Ò Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ × ÐÓ ÕÙ
Ö Ð Þ Ò º Ð Ñ ØÓ Ó scale() Ù×Ø Ð Ø Ñ ÒÓ ´ × Ð µ ÙÒ ¬ ÙÖ × ÙÒ ÙÒ Ö Ó
Óº Ð Ø ÔÓ Ratio ×Ô ¬ ÙÒ Ñ Ò ØÙ × Ð ÕÙ × Ò ¬ Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò ÕÙ
Ð × Ð × ÑÓ ¬ × ×Ø × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ÙÒÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ¬ ÙÖ × ¸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó
× Ö Ò º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ñ ØÓ Ó rotate() Ö Ó ÖÓØ Ð ¬ ÙÖ Ò Ð Ñ Ó × ÙÒ ÙÒ
Ò ÙÐÓ Ø ÔÓ Angleº
ÄÓ× ÅÓ ¬ ÓÖ × ÙÖ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ö Ð × ×Ó Ö ÙÒ ¬ ÙÖ º
ÈÓ ÑÓ× Ù ÖÐ ¸ ÑÓÚ ÖÐ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ¸ ÓÖÖ ÖÐ ¸ × Ð ÖÐ × ÙÒ Ð ÙÒ Ñ Ò ØÙ ¸
Ó ÖÓØ ÖÐ × ÙÒ Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ö Ò × ÙÝÓ × ÒÓ Ò Ð × ÒØ Ó ÖÓØ ÓÒº Ò
ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó׸ ØÖ Ø ÑÓ× ÓÒ ¬ ÙÖ × ×ØÖ Ø ×¸ ÒÓ ÓÒ Ö Ø ×º
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Ð Ø ÔÓ Point¸ Ò ×Ø ×Ø Ó ÒÓ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ò× Ö Ò Ð × Ñ¹
ÔÐ ÒØ ÓÒ × ÐÓ× Ø ÔÓ× Ratio Ý Angleº ËÓÐÓ ×Ø ÓÒ ÓÒÓ Ö ×Ù ÙØ Ð Þ ÓÒ ÓÒ Ó ØÓ×
Ø ÔÓ Figure Ö ÙÒ× Ö Ø Ð ¬Ò Ù ÖР׺
Å Ò ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ Ö Ò Ó× Ð ¬ ÓÖ × × ÒØ Ø Ó× Ð C++º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÓ ÓÒ¹
ÓÖÑ Ð ÔÖ ¬ Ó Ö × ÖÚ Ó virtual ¸ Ð Ù Ð Ò ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö×
× ÙÒ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ¬ ÙÖ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ù Ö Ó × Ù Ö ÒØ ÕÙ ÙÒ
Ö ÙÐÓº Ð × ÙÒ Ó ×Ø Ó ÔÓÖ Ð Ó Ò Ð Þ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ÖÓº
×Ø × Ð × ÒØ Ü × C++ Ô Ö ¬Ò Ö ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ú ÖØÙ Ð ÔÙÖÓ ¸ Р٠и ×Ù Ú Þ¸ ¬Ò
ÙÒ Ð × ×ØÖ Ø Ó × ¸ ×ØÖ ÓÒ ÔÙÖ ¸ × Ò Ò Ò ÙÒ Ö Ø Ö ÓÒ Ö ØÓ¸ ÔÙ × × ÒÓ Ð
Ð × ÒÓ × Ö ×ØÖ Ø º È Ö ÔÖ Ò Ö ×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ¸ ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÔÖ ÙÒØ ÖÒÓ×
Ù Ð ¬ ÙÖ × Ö ¬ Ö Ð Ì ÙÖ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × ÕÙ ÒÓ ÐÓ × ÑÓ׸
ÔÙ × × ØÖ Ø ÙÒ Ð × ×ØÖ Ø ¸ ÒÓ ÙÒ ÓÒ Ö Ø º
ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØÙ Ð × ÔÙÖÓ× Ø Ò Ò ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ö× Ò Ð × × Ö Ú × Ð
Ð × Figure ÕÙ ÓÒ Ö Ø Ò ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ô ÖØ ÙÐ Ö × ÙÒ ¬ ÙÖ ×ØÖ Ø º ÈÓÖ Ñ¹
ÓÒ ÓÒ ÕÙ × ÓÒÓÞ Ò ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ò Ð × ×º

36. 10 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
ÔÐÓ¸ Ð Ñ ØÓ Ó scale() ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ÑÔÐ ÒØ Ò ÙÒ Ð × Triangle ÖÚ
Figureº
Ð ÓÒ ÔØÓ Ö Ú ÓÒ × Ö ×ØÙ Ó ÓÒ Ñ × Ø ÐÐ Ò Ð × ÓÒ Ü ½º¾ ´Ô Ò ½½µº
1.1.5 El lenguaje UML
À ×Ø ÓÖ ÒÓ× ÑÓ× × ÖÚ Ó Ð Ð Ò Ù C++ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ×Ô ¬ ÓÒ × ÒØ Ø º
Ò ØÓ¸ Ò ×Ø Ð Ò Ù ¸ Ý Ò ÓØÖÓ× ÓÖ ÒØ Ó× Ó ØÓ׸ Ð × ÒØ Ü × Ð ÔÖÓÔ Ó Ð Ò Ù
Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ô ØÓ× × ÒØ Ø Ó× ÒØ Ö × Ý¸ × × × Ó Ò ÒÓÑ Ö × Ù Ó׸ ÙÒ¹
Ñ ÒØ ÐÓ× × Ñ ÒØ Ó׺
ÀÓÝ Ò Ü ×Ø Ò ÑÙ Ó× Ð Ò Ù × ÓÖ ÒØ Ó× Ó ØÓ׸ ÙÝ ÔÖ × Ò ÒÓ× ¬¹
ÙÐØ ÙÒ ¬ Ö Ñ Ö × Ò ×Ô ¬ ÓÒ × Ý × ÒÓ׺ È Ö Ô Ð Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ×
Ñ × ÙÒ ¸ ÙÒ ÓÒ×ÓÖ Ó ÐÐ Ñ Ó ÇÅ ´Ç Ø Å Ò Ñ ÒØ ÖÓÙÔµ Ò¹
Ø ÒØ ÓÑÓ Ò Þ Ö Ð Ñ Ò Ö ×Ô ¬ Ö Ì º Ó Ð Ò Ù × ÒÓÑ Ò
ÖÓÒ Ñ Ñ ÒØ ÍÅÄ ÍÒ ¬ ÅÓ Ð Ò Ä Ò Ù Ý × × ÖÚ ÙÒ Ñ Ó ÕÙ ÒÓ
Ø Ò Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ò Ù × Ý ÕÙ × ÓÒ×ÓÒ ÓÒ Ð ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ð Ö ¬ Óº ÍÒ
Ö¬Ó Ñ × ÕÙ Ñ Ð Ô Ð Ö × Ö Þ ÙÒ ÒØ ÙÓ ÔÖÓÚ Ö Ó¸ Ý ÍÅÄ ÐÓ ÓÒÖ Ù Ò Ó ×
Ö ÕÙ Ö Ó × ÖÚ Ö Ö ÒØ × Ì Ý ×Ù× Ö Ð ÓÒ ×º
ÐÌ ÙÖ ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö× Ô ØÓÖ Ñ ÒØ Ò ÍÅÄ ÓÑÓ Ò Ð ¬ ÙÖ ½º½º
ÍÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ð × ÓÒ ØÖ × × ÓÒ ×º Ð ÒÓÑ Ö Ð Ð × × Ò Ù ÒØÖ
Ò Ð × ÓÒ ×ÙÔ Ö ÓÖº Ð Ø ØÙÐÓ Ò Ð ØÖ ÙÖ× Ú Ò ÕÙ Ð Ð × × ×ØÖ Ø º
Figure
-point: Point
+Figure(in point:Point)
+Figure(in figure:Figure)
+~Figure()
+get_point(): Point
+draw(): void
+move(in p:Point): void
+erase(): void
+scale(in ratio:Ratio): void
+rotate(in angle:Angle): void
ÙÖ ½º½ Ö Ñ ÍÅÄ Ð Ð× Figure
Ä × ÙÒ × ÓÒ Ò ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× Ý Ð Ø Ö Ö ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Ù ÓÔ Ö ÓÒ ×º Ð
ÔÖ ¬ Ó ¹ Ò ÒÓÑ Ö ØÖ ÙØÓ Ù ÓÔ Ö ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ñ Ñ ÖÓ × Ò × Ð
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × Ñ ÓÐÓ · Ò ÕÙ × ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ × Ðº
ÍÒ ÒÓÑ Ö ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ð ØÖ ÙÖ× Ú Ò ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ × Ú ÖØÙ Ð Ó ÔÓÐ ÑÓÖ
ÓÒ ÔØÓ ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÒØ Ñ ÒØ º
ÄÓ× ÒÓÑ Ö × Ø ÔÓ× Ö ØÓÖÒÓ Ý Ô Ö Ñ ØÖÓ× × × Ô Ö Ò ÐÓ× ÒÓÑ Ö × ÙÒ ÓÒ
Ý Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÓÒ Ó× ÔÙÒØÓ× ´ Ð ÒØ Ù ¸ Ô ÖÓ Ð ÒØ ¸ Ù× ÒÞ Ð È × Ð Ý Ð Óеº
ÄÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ø Ò Ò ÙÒ ÔÖ ¬ Ó Ð ¬ ÓÖ ÕÙ ÔÙ Ò Ø Ò Ö Ú ÐÓÖ × in¸ out Ó inout Ô Ö
×Ô ¬ Ö Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÒØÖ ¸ × Ð Ó ÒØÖ »× Ð Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÍÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÐ Ó ÓÒØ Ò ÑÙ Ó× Ø ÔÓ× ×ØÖ ØÓ׺ Ù Ò Ó ×Ø ÒØ ×
Ö Ò ¸ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ò Ù Ú Ò ÓÑÔÐ Ó Ô Ö Ñ Ö Ö Ò ÙÒ Ð × ×Ø Ñ Ý ÒØÖÓ

37. 1.2. Herencia 11
Ð Ó × ÖÚ Ö ×Ù× Ø ÔÓ× ØÓ× ÒØ ÖÖ Ð ÓÒ ×º Ä Ö Ò Ú ÒØ ÍÅÄ × ×Ù Ö Ø Ö
Ö ¬ Ó¸ Ð Ù Ð Ð Ø Ó × ÖÚ Ö¸ ×ÓÐÓ Ú ×Ù Ð Ý Ó Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ø ÔÓ× ×ØÖ ØÓ× Ò ÙÒ
×ÓÐ Ñ Ö º
Ò ×Ø Ø ÜØÓ Ù× Ö ÑÓ× ÍÅÄ ×ÓÐÓ Ô Ö ×Ô ¬ Ö Ö Ñ × Ð × × ÒØ ÖÖ Ð ÓÒ ×
ÒØÖ ÐР׺ ÍÅÄ × ÙÒ Ð Ò Ù ÑÓ Ð Ó ÑÙ Ó Ñ × Ö Ó Ý Ð ÜÔ Ö Ò ¹
ÑÓ×ØÖ Ó ÕÙ ¸ Ô Ö Ò Ö ÓÑÓ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÔÖÓÝ ØÓ¸ ×Ø × Ñ ×
× ÑÔÐ ÕÙ ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
1.2 Herencia
ÐÌ ÙÖ ÑÓ Ð Þ ÙÒ ¬ ÙÖ Ò Ö Ð ÕÙ ÒÓ Ò Ò Ö ×Ù ÓÖÑ
ÓÒ Ö Ø º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ù Ö ÙÒ ¬ ÙÖ ¸ × Ø Ò ÕÙ ÓÒ Ö Ø Ö Ý ÓÒÓ Ö
Ù Ð ¬ ÙÖ × ØÖ Ø º Ò Ð Ö Ó ØÓ׸ ÓÒ Ö Ø Ö × Ð ×Ô Ð Þ Ö Ý ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÐÐ Ñ ÖÒ Ð × º Ò ÍÅĸ ÓÒ Ö Ø Ö Ð ÙÒ ×
¬ ÙÖ × Ó ÙÒ Ö Ñ ÍÅĸ Ö ×ÙÑ Ó¸ ÑÔÐ Ö Þ Ð ÓÒ ÔØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÕÙ ÒÓ×
Ô ÖÑ Ø Ú ×Ù Ð Þ Ö Ð × Ð × × Ý ×Ù× Ö Ð ÓÒ × Ò ÙÒ ×Ô Ò ÐÓ Ó Ø ÜÓÒÓÑ ¸
Ø Ð ÓÑÓ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ ½º¾º
Figure
-point: Point
+Figure(in point:Point)
+Figure(in figure:Figure)
+~Figure()
+get_point(): Point
+draw(): void
+move(in p:Point): void
+erase(): void
+scale(in ratio:Ratio): void
+rotate(in angle:Angle): void
Triangle Square Circle
-hypotenuse: float -side_size: float -ratio: float
-angle_hypotenuse: float
+get_side_size(): float +get_ratio(): float
+get_hypotenuse(): float +...() +...()
+get_angle_hypotenuse(): float
+...()
ÙÖ ½º¾ Â Ö ÖÕÙ Ð × × ×Ô ÐÞ × Ð Ð× Figure
Ä Ö Ð ÓÒ Ö Ò × ÜÔÖ × Ò ÍÅÄ Ñ ÒØ ÙÒ ­ ÓÒØ Ù ÕÙ Ô ÖØ
× Ð Ð × ×Ô Ð Þ Ð Ð × Ò Ö Ðº Ò Ð ×Ó ÑÔÐÓ¸ Ð Ð × Ò Ö Ð Ð
ÓÒ ÓÖÑ Ð Ì ÙÖ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × Ð × × ×Ô Ð Þ × ÓÒ Ö Ø Ò Ð × ¬ ÙÖ ×
×Ô ¬ × Triangle¸ Square Ý Circle¸ ×Ô Ð Þ ÓÒ × ØÖ Ò ÙÐÓ¸ Ù Ö Ó Ý Ö ÙÐÓ¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º

38. 12 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
Ä Ö Ò × ¬Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÑÓ Ð ÔÖÓÔ ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ð × Ö Ö
Ð×Ö ÓØÖ Ð × º
Ð Ð × Ò Ö Ð × Ð ÐÐ Ñ Ð × × Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ×Ô Ð¹
Þ × Ð ÒÓÑ Ò Ð × Ö Ú º Ò Ð ÑÔÐÓ Ð × ¬ ÙÖ ×¸ Ð Ì ÙÖ
× Ð × × Ð × Ð × × Ö Ú × Triangle¸ Square Ý Circleº
ÑÓ׸ Ø Ñ Ò¸ ÕÙ Ð Ð × Ö Ú Ö Ð Ð × × Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ
Ö ØÓ ×Ù ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð º ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ¸ ÔÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ö Ð ÔÙÒØÓ Ö Ö Ò
ØÖ Ù Ð ØÓ × Ð × ¬ ÙÖ × Ò Ö Ð × × Ö¸ ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Triangle ÔÙ ÒÚÓ Ö
Ð Ñ ØÓ Ó get point()¸ ÔÙ × ×Ø Ù Ö Ó Ð Ì ÙÖ º
Ò Ð Ö Ñ ÍÅÄ Ð ¬ ÙÖ ½º¾ × ÔÖ ÕÙ Ð × Ð × × Ö Ú × ÔÓ× Ò ØÖ ÙØÓ×
Ý Ñ ØÓ Ó× ÕÙ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ð × × º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð × Circle ÔÓ× ÙÒ
Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ñ Ó get ratio() ÙÝ ÙÒ ÓÒ × Ó × ÖÚ Ö Ð Ö Ó Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÕÙ
Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ò×Ø Ò Ó ØÓ Ø ÔÓ Circleº Ð ØÖ ÙØÓ ratio Ø Ò × ÒØ Ó¸
× ÙÒ Ð ÓÑ ØÖ ¸ Ô Ö Ð Ð × Circle¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÐÓ Ø Ò Ô Ö Ð × Ð × × Triangle Ý
Squareº ÓÖ Ò¸ Ð × ØÖ × Ð × × Ö Ú × ÙÖ ÓÑÔ ÖØ Ò Ð ÔÙÒØÓ
Ö Ö Ò ¸ ÔÙ × ÐÐ × ×ÓÒ¸ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ¸ Ø ÔÓ ÙÖ º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ×Ù Ö ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ð Ö Ò ÕÙ Þ Ñ × Ö Ð Ö Ð ÓÒ × Ö
× Ö¸ Ð Ð × Ö Ú es¸ Ø Ñ Ò¸ Ð× ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ó ØÓ× Ø ÔÓ
Triangle¸ Square Ý Circle son¸ Ø Ñ Ò¸ Ø ÔÓ Figureº
Ä Ð Ö ÓÒ Ò C++ Ð Ö Ð ÓÒ Ö Ò ÒØ Ö ÓÖ × Ð × Ù ÒØ
½¾ ÙÖ × ÓÒ Ö Ø × ½¾ ≡ ´ µ
struct Triangle : virtual public Figure { ... };
struct Square : public Figure { ... };
struct Circle : public Figure { ... };
Í× × Figure º
Ä × Ù Ó ×Ô ¬ ÓÒ Ð Ð × Triangle Ò ÕÙ × ÙÒ Ð × ×ØÖ Ø º Ò
ØÓ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ ¸ Ò Ð ×Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ¸ × ÙÒ ÒÙ ×ØÖ ÙÐØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø ¸ ÔÓ ¹
ÑÓ× ×Ô Ð Þ ÖÐÓ ÙÒ Ñ × × ÙÒ Ð × ÐÓÒ ØÙ × ×Ù× Ð Ó׺
ÄÓ Ö Ò Ó×Ó Ð Ö Ò × Ð ÔÓ× Ð ÜÔÖ × Ö ÓÒ ÔØÓ× Ý ×ØÖ ÓÒ ×
Ò Ö Ð × ØÖ Ú × Ð × × × × Ô Ö ÐÙ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Þ ÖÐ × Ñ ÒØ Ö Ú ÓÒ ×º ×ØÓ
Ó Ö Ð ÔÓ× Ð × Ò Ö Ò Ù Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ý Ò Ó × ÐÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÐÓ Ò ¹
Ö Ð Ó¸ Ù Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ý Ò Ó × ÐÓ Ò Ö Ð ÐÓ Ô ÖØ ÙÐ Öº Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸
Ý Ò Ó × ÐÓ ÓÒ Ö ØÓ ÐÓ ×ØÖ ØÓ Ó¸ Ô Ö Ó Ñ ÒØ ¸ × ÐÓ ×ØÖ ØÓ ÐÓ
ÓÒ Ö ØÓº
1.2.1 Tipos de herencia
Ä ÖÒ Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × ÒÓÑ Ò Ö Ò ÔÙ Ð ¸ ÔÙ × ÐÓ ÕÙ × ÔÙ Ð Ó
Ð Ð × × Ø Ñ Ò Ú Ò ÔÙ Ð Ó Ò Ð Ð × Ö Ú º
À Ý ÓØÖÓ ÑÓ Ó ÖÒ ÒÓÑ Ò Ó ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ó Ö Ò ÔÖ Ú º ×Ø
ÑÓ Ó ÜÔÖ × Ð Ó ÕÙ Ð Ð × × × Ù× Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ¸ Ó Ô ÖØ Ð¸
Ð × Ö Ú º Ò ÍÅÄ Ð Ö Ò ÔÖ Ú × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ­ ÔÙÒ¹
Ø ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò C ++ Ñ ÒØ Ð Ð ¬ ÓÖ private ÓÑÓ ÔÖ ¬ Ó Ð ÒÓÑ Ö Ð
Ð× ×º

39. 1.2. Herencia 13
1.2.2 Multiherencia
Ò Ó × ÓÒ ×¸ ÙÒ Ð × Ó ØÓ es¸ Ð Ú Þ¸ Ó× Ó Ñ × Ð × ×º Ò Ð ÑÙÒ Ó Ó ØÓ׸
×ØÓ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ º × Ö¸ ÙÒ Ó ØÓ
ÔÙ Ö Ö Ó× Ó Ñ × Ð × × × º Ä ¬ ÙÖ ½º¿ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ð × × ÕÙ
ÑÓ Ð Þ ÐÓ× ØÓÖ × ÙÒ ÍÒ Ú Ö× º Ø Ò ÓÒ ×Ô Ð Ñ Ö Ð Ð × Preparadorº
Ò Ð Ú Ö Ð¸ ÙÒ ÔÖ Ô Ö ÓÖ × ÙÒ ×ØÙ ÒØ Ü Ð×Ó¸ ÙÝ Ü Ð Ò ÔÖ Ð ÍÒ ¹
Ú Ö× Ô Ö Ð × ×Ø Ò Ý Ñ ÓÖ ×Ù× ÙÖ×Ó׺ ÓÑÓ Ö ØÖ Ù ÓÒ¸ Ð ÍÒ Ú Ö×
Ð ÓØÓÖ Ð ×ØÙ ÒØ ÙÒ ×Ø Ô Ò Óº Ò ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ð Ö Ñ ÍÅĸ Preparador
Ö Ð × Ð × × Estudiante Ý Trabajador Universitario¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ×Ø
ÑÓ Ó ¬Ò ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÔÖ Ô Ö ÓÖ es¸ Ð Ú Þ¸ ×ØÙ ÒØ Ý ØÖ ÓÖ ÙÒ Ú Ö× Ø Ö Óº
Persona
+nombres(): Nombres
+cédula(): Cédula
+edad(): int
Trabajador Universitario
Estudiante
+salario(): Salario
+antiguedad(): int +expediente(): Expediente_Estudiante
+...() +...()
Profesor Obrero Empleado Preparador
ÙÖ ½º¿ Ê Ð ÓÒ × Ð×× Ô Ö×ÓÒ × Ò ÙÒ ÍÒ Ú Ö×
× ÔÓ× Ð Ø Ò Ö Ö Ð ÓÒ × ÑÙÐØ Ö Ò ÒØ Ö Þ ÔÓÖ ÙÒ Ô ÖØ ¸ Ý Ñ¹
ÔÐ ÒØ ÓÒ ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓØÖ º
1.2.3 Polimorfismo
Ä Ô Ð Ö “polimorfo” ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Ó π λυ ´ ÔÓÐÝ µ¸ ÕÙ × Ò ¬ ÑÙ Ó Ñ Ò¹
ØÖ × ÕÙ ÑÓÖ Ó ÔÖÓÚ Ò μορφ ´ ÑÓÖ µ¸ ÕÙ × Ò ¬ ¬ ÙÖ ¸ ÓÖÑ º ÈÓÐ ÑÓÖ Ó
ÓÒÒÓØ ¸ Ô٠׸ ÑÙ × ¬ ÙÖ × ¸ ÑÙ × ÓÖÑ × º Ò Ð Ö Ó ØÓ׸ polimorfismo
es la propiedad de expresar varias funciones o procedimientos diferentes o
similares bajo el mismo nombreº
À Ý ØÖ × Ð × × ÔÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ ×Ó Ö Ö ¸ ÖÒ Ý ÔÐ ÒØ ÐÐ º

40. 14 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
1.2.3.1 Polimorfismo de sobrecarga
ËÓ Ö Ö × Ð Ô ÙÒ Ð Ò Ù Ó ØÓ× Ô Ö ¬Ò Ö ÒÓÑ Ö × Ù Ð × ÙÒ¹
ÓÒ ×¸ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ× Ý Ñ ØÓ Ó׺ ÓÒ× Ö ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÙÒ ÓÒ × Ù ÒØ
const int sumar(const int & x, const int & y);
ÙÝÓ ¬Ò × ×ÙÑ Ö Ó× ÒØ ÖÓ׺ sumar() ÔÙ ×Ó Ö Ö Ö× Ô Ö ÕÙ ×ÙÑ Ñ ×
ÒØ ÖÓ×
const int sumar(const int & x, const int & y, const int & z);
const int sumar(const int & w, const int & x, const int & y, const int & z);
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ¸ ØÖ Ú × Ð ÒØ Ô Ö Ñ ØÖÓ׸ Ö Ð Þ Ð ×Ø Ò ÓÒ Ý ÙÐ
Ð × ØÖ × ÙÒ ÓÒ × × Ð ÕÙ × ÒÚÓ Öº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ù ÒØÖ
sumar(1, 2, 3);
ÒØÓÒ × ×Ø Ò Ö Ö Ð ÐÐ Ñ sumar() ÓÒ ØÖ × Ô Ö Ñ ØÖÓ׺
× ÔÓ× Ð ¸ Ø Ñ Ò¸ ¬Ò Ö sumar() Ô Ö ÕÙ ×ÙÑ ÓØÖ Ð × Ó ØÓ׺ ÈÓÖ
ÑÔÐÓ
const string sumar(const string & x, const string & y);
Ä ×ÙÑ Ò × ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ Ð ÓÒ Ø Ò ÓÒº Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ö Ð Þ
Ð ×Ø Ò ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð × Ú Ö× ÓÒ × Ö ØÑ Ø × Ñ ÒØ ÐÓ× Ø ÔÓ× ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׺
Ò C++ × ÔÙ Ò ×Ó Ö Ö Ö ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð
ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ò × Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
const string operator + (const string & x, const string & y);
Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÙ × Ö Ö× Ð Ó × ÓÑÓ
string s1, s2;
...
string s3 = s1 + s2;
Ä ×Ó Ö Ö ÓÔ Ö ÓÖ × ¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ Ð ÙÒ ÓÒ ×¸ × ÙÒ ×ÙÒØÓ ÔÓÐ Ñ Ó ÔÓÖÕÙ
Ó ÙÐØ ÓÔ Ö ÓÒ × Ý ÔÙ ÓÒØÖ Ú Ò Ö Ð × ÒØ Ó ÙÐØÙÖ Ð Ð ÓÔ Ö ÓÖº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð
Ó Ó ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ô Ö ØÓ × ÒØ Ó ÙÐØÙÖ Ð Ô Ö Ð Ö ØÑ Ø ¸ Ô ÖÓ ÕÙ Þ ÒÓ Ô Ö Ð
ÓÒ Ø Ò ÓÒº Ù Ò Ó Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò×Ô ÓÒ ÙÒ Ð ØÓÖ Ð Ð ×ÙÑ Ò ×¸
ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ð Ô Ò× Ö ÕÙ ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó× ×ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó׸ ÐÓ Ù Ð Ò Ð ÙÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ ÒÓ
× Ð ×Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ × ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð Ö ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ð ×Ó Ö Ö º
1.2.3.2 Polimorfismo de herencia
ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÖÒ ÒØÖ ØÖ × Ð × × X¸ Y Ý Z¸ ÜÔÖ × Ö ¬ Ñ ÒØ Ð
× Ù ÒØ Ñ Ò Ö
X
+método(...): T
Y Z
+método(...): T +método(...): T

41. 1.2. Herencia 15
Ð ÔÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ Ö Ò × ¬Ò ÓÑÓ Ð ÔÓ× Ð ¬Ò Ö ´ÒÓ ×Ó Ö Ö Öµ
Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØÙ Ð × Ð Ñ ×ÑÓ ÒÓÑ Ö Ò Ð × ØÖ × Ð × ×¸ ÒÚÓ Ö Ð Ñ ØÓ Ó × Ð Ð × X Ý
Ø ÖÑ Ò Ö¸ Ò Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ Ù Ð × Ð Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ö ØÓ × ÙÒ × Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
Ö Ð Ð Ð × Xº
ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Y::m´todo() Ý Z::m´todo() × Ð × ÓÒÒÓØ ÓÑÓ ×Ô Ð Þ ÓÒ ×
e e
Ð Ñ ØÓ Ó Ò Ð Ð × × X::m´todo()º
e
ÈÓ Ö Ö× ÕÙ Ð ÔÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ Ö Ò × Ð ×Ó Ö Ö Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØÙ Ð ×
ÒØÖ Ð × Ð × ×º × ÑÔÓÖØ ÒØ Ö × ÐØ Ö ÕÙ ¸ Ò ×Ø ×Ó¸ ÐÓ× ÔÖÓØÓØ ÔÓ× ÐÓ× Ñ ØÓ Ó×
Ú ÖØÙ Ð × Ø Ò Ò ÕÙ × Ö ÒØ Ó׺
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð Ì ÙÖ ÓÒØ Ò Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØ٠Р׸ ÔÙÖÓ׸ ÕÙ ÒÓ ×
ÔÙ Ò ÑÔÐ ÒØ Öº Ë ÔÖ Ø Ò × ÑÓ× Ù Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ ÙÖ ¸ × ÒÓ× Ô Ö ¹
Ö Ð ÔÖ ÙÒØ Ù Ð ¬ ÙÖ ¸ ÔÙ × Ð Ì ÙÖ × ÙÒ ¬ ÙÖ ×ØÖ Ø ¸ ÒÓ
ÓÒ Ö Ø º × Ù Ò Ó ÓÒÓ ÑÓ× Ù Ð × Ð ¬ ÙÖ ÕÙ Ø Ò × ÒØ Ó Ò Ö ÓÑÓ Ù ÖÐ º
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ú ÖØÙ Ð ÔÙÖÓ × Ð Ð ÙÒ Ð × Ö Ú º È Ö
Ð ×Ó Ð Ì ÙÖ ¸ ×Ù× ÙÖ × ÓÒ Ö Ø × ½¾ Ò ÑÔÐ ÒØ Ö ×Ù× Ñ ØÓ Ó×
Ú ÖØÙ Ð × ÔÙÖÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Square::draw() Ý Circle::draw() ÑÔÐ ÒØ Ò
ÑÒÖ Ö ÒØ Ð Ù Ó ×Ù ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ¬ ÙÖ º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ù Ò Ó ×
ÓÔ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ó ØÓ Ò Ö Ð Ø ÔÓ ÙÖ Ý × ÒÚÓ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ú ÖØ٠и ×
× Ð ÓÒ ¸ Ò Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ Ð Ñ ØÓ Ó ×Ô Ð Þ ÓÒ × ÙÒ Ð ¬ ÙÖ ÓÒ Ö Ø
×Ó Ö Ð Ù Ð × ×Ø ÓÔ Ö Ò Óº
Ä Ú ÖØÙ Ð ÔÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ Ö Ò × ÕÙ Ô ÖÑ Ø × Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñ × Ò Ö Ð ×
ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ò ¬ ÙÖ × Ò Ö Ð × º ×ØÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÒÓ Ö Ð × ¬ ÙÖ ×
ÓÒ Ö Ø ×¸ ÔÙ × ÓÔ Ö Ò Ò ÙÒ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØÙ Ð × Ò Ö Ð × ÔÙÖÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
Ô ÖØ × ÔÖÓ Ö Ñ × Ô Ö Ù Ö ¬ ÙÖ × Ñ Ò ÔÙÐ Ò ¬ ÙÖ × Ò ×ØÖ ØÓ¸ Ð × Ù Ò¸ Ð ×
ÑÙ Ú Ò¸ Ð × ÖÓØ Ò¸ Ø Ø Ö º ØÓ× ÓÒÓÑ Þ Ö Ó Ó¸ Ö ×ÙÐØ ÙØ Ð Ð ÔÓ× Ð
× Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñ × Ò Ö Ð × ÓÑÓ Ð Ð ÑÔÐÓ × Ù ÒØ
½ ÅÒ Ó ÒÖÐ ÙÖ ½ ≡
void release_left_button(const Action_Mode mode, Figure & fig)
{
switch (mode)
{
case Draw:
case Move:
fig.draw(); break;
case Delete: fig.erase(); break;
case Scale: fig.scale(dif_mag_with_previous_click()); break;
case Rotate: fig.rotate(dif_angle_with_previous_click()); break;
...
}
}
Í× × Figure º
Ð Ù Ð × Ö ÒÚÓ Ò ×Ó ÕÙ × Ø Ø ÕÙ × ×Ù ÐØ Ð ÓØÓÒ ÞÕÙ Ö Ó Ð Ö ØÓÒ
ÒØÖÓ ÙÒ Ð ÒÞÓ ×ØÖ ØÓ Ù Óº
release left button() ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö Ð ¬ ÙÖ ÓÒ Ö Ø º ËÙ Ó Ó × ¹
Ò Ö Ð Ý ÒÓ × Ø ÔÓÖ Ð × ÑÓ ¬ ÓÒ × Ó Ò ÙÖ × Ð × ¬ ÙÖ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
× release left button() ÓÔ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ù Ö Ó¸ ÒØÓÒ × × ÒÚÓ Ö Ò ÐÓ× Ñ ØÓ Ó×
ÒÙ ÚÓ¸ Ð Ö ÙÒ Ò × Ö º

42. 16 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
Ú ÖØÙ Ð × ÓÒ Ö ØÓ× Ð Ð× Square Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ó ÙÖÖ ÓÒ ÙÒ Ö ÙÐÓ¸ ×Ó Ò Ð
Ù Ð × ÒÚÓ Ö Ò ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Circleº
1.2.3.3 Polimorfismo de plantilla (tipos parametrizados)
À Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ý ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÙ Ò ×Ô ¬ Ö× ÓÖÑ Ò¹
Ô Ò ÒØ Ð ´Ó ÐÓ×µ Ø ÔÓ´×µ ØÓ´×µº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù× Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ
Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ¸ Ý ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ¸ ×ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ × Ð Ø ÔÓ Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë ×ÙÔÓÒ ÑÓ×
ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÔÓ× Ð Ñ Ò Ö ¸ Ò Ö ¸
Ù× Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ × ÓÑÓ × Ù
½ Ù×ÕÙ ÒØÖÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ½ ≡
template <typename T, class Compare>
int sequential_search(T * a, const T& x, int l, int r)
{
for (int i = l; i <= r; i++)
if (are_equals<T, Compare> () (a[i], x))
return i;
return No_Index;
}
Í× × sequential search ½ º
×Ø ÖÙØ Ò Ù× Ð Ð Ñ ÒØÓ x ÒØÖÓ Ð Ö Ò Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ l Ý r Ð ÖÖ ÐÓ aº
Ë Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ò ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÒØÖ ÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ
Ð Ñ ÒØÓ Ù Ð x¸ Ó Ð Ú ÐÓÖ No Index ´ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð −1µ¸ × Ð ÖÖ ÐÓ ÒÓ ÓÒØ Ò xº
Ô ÖØ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ò Ö Ó sequential search<T, Compare>() Ö ÕÙ Ö Ó× Ø ÔÓ× Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó× Ð
Ø ÔÓ ØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ ÒÓÑ Ò Ó Ò Ö Ñ ÒØ T¸ Ý ÙÒ Ø ÔÓ ÓÑÔ Ö ÓÖ Ù Ð¹
ÐÐ Ñ Ó are equals<T, Compare>() ÙÝÓ Ù×Ó × Ö ÓÖ Ó Ò Ü ½º¿º½ ´Ô Ò ½ µº
ÙÒ ÓÒ × Ó Ñ ØÓ Ó× ÓÑÓ sequential search<T, Compare>() × ÒÓÑ Ò Ò ÔÐ Ò¹
Ø ÐÐ × º ÑÓ× ÕÙ sequential search<T, Compare>() × Ò Ö ÔÓÖÕÙ genera
ÙÒ Ñ Ð ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Ø ÔÓ Ü ×Ø ÒØ Ò Ð Ù Ð Ü ×Ø ÙÒ Ð × are equals()º
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÙÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ ÙØÓÑ Ø Þ Ð ×Ó Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ð × Ô Ö ÐÓ×
Ø ÔÓ× ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ò Ð ÔÐ ÒØ ÐÐ º
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ÙÒÕÙ Ð ÔÐ ÒØ ÐÐ × Ð Ñ ×Ñ ¸ Ó × ¸ × Ò Ö ¸ Ð Ó Ó
Ò Ö Ó sequential search<int, are equals<int> >(...) × Ö ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
sequential search<string, are equals<string> >(...)º Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò¹
Ö Ö Ó× Ó Ó× ×Ø ÒØÓ× ÙÒÓ Ô Ö ÖÖ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ´intµ Ý Ð ÓØÖÓ Ô Ö ÖÖ ÐÓ×
Ò × ´stringµº
Ù Ò Ó × ÑÔÐ ¬ Ó Ð Ð × ÙÖ ¸ × Ò Ó ÕÙ ×Ù ¬Ò × Ù ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ó
ÓÒØÖ ×Ø º Ù ÐÑ Ó× Ð Ô Ô Ð¸ Ô ÒØ ÐÐ Ú Ó¸ Ø Ð Ú ×ÓÖ¸ ÓÐÓ Ö ¸ ººº
Ð Ð ØÓÖ Ù Ó×Ó Ö× Ô Ö Ø Ó ÕÙ Ð × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ð Ð × ÙÖ
´Square¸ Triangle Ý Circleµ¸ Ø Ò Ò ÕÙ ×ÙÑ Ö ÙÒ Ñ Ó Ò ÓÒ Ö Ð Þ Ö Ð × ÓÔ Ö Ó¹
Ò ×º ÍÒ Ñ Ò Ö Ò Ô Ò Þ Ö× Ð Ñ Ó ÓÒØÖ ×Ø × Ö Ð Ð× ÙÖ
ÙÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ ÙÝÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ × ¸ Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ Ó ÓÒØÖ ×Ø º Ä × ÐÙ×ØÖ Ò
Ð Ö Ñ ÍÅÄ Ð ¬ ÙÖ ½º º
Ò Ò Ð ×¸ Ø ÑÔÐ Ø º

43. 1.2. Herencia 17
Medium_Type:Medium
Figure
-point: Point
+medium: Medium_Type
+Figure(in point:Point)
+Figure(in figure:Figure)
+~Figure()
+get_point(): Point
+draw(): void
+move(in p:Point): void
+erase(): void
+scale(in ratio:Ratio): void
+rotate(in angle:Angle): void
ÙÖ ½º Ö Ñ ÍÅÄ Ð Ð× ÙÖ ÓÒ Ð Ñ Ó ÓÒØÖ ×Ø ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ
Ò ÍÅĸ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÔÐ ÒØ ÐÐ Ð Ð × × ×Ô ¬ Ò Ò ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÔÙÒØ Ó
× ØÙ Ó Ò Ð ×ÕÙ Ò ×ÙÔ Ö ÓÖ Ö º
ÍÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ ÙÖ ÔÓ× ÓÑÓ Ø ÔÓ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó Ð Ñ Ó Ò ÓÒ
× Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ð × ¬ ÙÖ ×º ÈÙ × Ö Ò × Ö Ó ÕÙ Ð × ×Ô Ð Þ ÓÒ × ÙÖ
ÓÒÓÞ Ò Ð Ø ÔÓ ÓÒ Ö ØÓ Ð Ñ Ó ÓÒØÖ ×Ø º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ð Ú Ö× ÓÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ
ÙÖ ÜÔÓÖØ Ð Ø ÔÓ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó Ó Ð ÒÓÑ Ö Medium Typeº Ò C++ ×Ø
ÓÒ × ÐÐ Ú Ó Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ð Ö ÓÒ
½ Ç × ÖÚ ÓÖ × ÙÖ +≡ ´ µ
typedef Medium Medium_Type;
×Ø Ñ Ò Ö ¸ ÙÒ ×Ô Ð Þ ÓÒ ÔÙ Ò×Ø Ò Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Medium Type ÓÑÓ
× ÐÙ×ØÖ Ò Ð × Ù ÒØ ÑÔÐÓ
void Square::draw()
{
/* .... */
Medium_Type m; // Instancia un objeto "medio de contraste"
/* .... */
medium.put_line(...);
}
Ð ØÖ ÙØÓ Ø ÔÓ medium Ð Ð × Figure<Medium> Ð Ô ÖÑ Ø ×Ó Ð Ñ ×ÑÓº Ä
×Ô Ð Þ ÓÒ Square::draw() Ù Ö Ð Ò × Ò Ð Ñ Ó ÓÒØÖ ×Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
Ð Ö ×Ô Ø ÚÓ Ù Ö Óº Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Square::draw() Ú Ò Ò Ö Ö ×Ô ØÓ Ð
Ñ Óº

44. 18 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
1.2.3.4 Lo general y lo gen´rico
e
ÄÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ò Ö Ð Ý Ò Ö Ó ÒÓ ×ÓÐÓ × Ô Ö Ò ÑÙ Ó Ð Ü Ñ ÒØ ¸ × ÒÓ ÕÙ ¸ Ò
ØÓ¸ Ø Ñ Ò ×ÓÒ ÑÙÝ × Ñ Ð Ö × × Ñ ÒØ Ý Ø ÑÓÐÓ Ñ ÒØ º
Ä Ö Þ Ñ Ó× Ø ÖÑ ÒÓ× × Ð Ú Ö Ó Ð Ø ÒÓ Ò ÖÓ¸ ÕÙ × Ò ¬ Ò Ò Ö Ö¸ Ö Öº
Ò ×Ø ÔÓ ¸ Ø ÒØÓ Ò Ö Ð ÓÑÓ Ò Ö Ó ÓÒÒÓØ Ò ÐÓ ÕÙ × ÓÑÙÒ ÙÒ ×Ô º
Ò ÖÓ ÔÖÓÚ Ò Ð Ú Þ Ð Ö Ó γ νος ´ ÒÙ×µ ÕÙ Ò Ð Ð Ò Ù ÑÓ ÖÒÓ ÓÒÒÓØ
Ö Þ Ý ÕÙ Ò Ö Ó × Ö Ö ÐÓ ÓÑÙÒº ÒÙ× ÔÖÓÚ Ò ÙÒ ÑÙÝ ÑÔÐ Ú Ö
Ø ÖÑ ÒÓ× Ò ÖÓ¸ Ò¸ Ò Ø ¸ ÒØ Ð Ó¸ Ò ÖÓ×Ó¸ ÒØ ¸ Ò ÐÓ ¸ Ò Ó¸ Ò Ð¸
Ò Ò Ó¸ Ò Ò Ö ¸ Ø Ø Ö º
Ò ×Ù Ð Ö × Ñ Ý ØÖ × Ò ÒØ Ð Å Ø × ¸ Ö ×ØÓØ Ð × ×Ø Ò Ù Ð Ò ÖÓ ÓÑÓ
ÐÓ ÕÙ Ð × × Ò ÐÑ ÒØ ÓÑÙÒ ÙÒ ×Ô º ÈÓ ÑÓ× Ö¸ Ô٠׸ ÕÙ Ð Ö Ó ØÓ×
×Ø ¸ × Ñ × ¾ ¼¼ ÒÓ׸ ÑÔÖ Ò ÔÓÖ ×Ø º
Ò Ð ×Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ó ØÓ׸ Ò Ö Ð ÒØ ¬ Ð × × Ó ØÓ× Ò Ö Ð ×
× Ö¸ × × ÓØÖ × Ð × × Ñ × Ô ÖØ ÙÐ Ö ×¸ Ò Ú Ù Ð ×¸ Ó Ð × × ÕÙ ÓÔ Ö Ò ×Ó Ö Ð
Ò Ö Ð º ÈÓÖ ÑÔÐÓ׸ Ð Ð × ÙÖ × Ò Ö Ð ØÓ × Ð × ¬ ÙÖ ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
Ð Ð × are equals() Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ö Ð Ý Ò Ö ÒØÖ Ó ØÓ׺
Ò Ö Ó ÓÒÒÓØ ÐÓ ÕÙ Ò Ö Ó × ¸ Ò Ð ÓÖ ÒØ ÓÒ Ó ØÓ׸ Ð × ÔÐ ÒØ ÐР׸
ÓÒ ÔØÓ ÕÙ Ö Ò ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ö Ý ÑÔÐ ¬ Öº
1.3 El problema fundamental de estructuras de datos
Ü ×Ø ÙÒ Ð × ÔÖÓ Ð Ñ ÙÝ Ó ÙÖÖ Ò × Ø Ò Ù Ù Ò ÔÖ Ø Ñ ÒØ ØÓ Ó× ÐÓ×
Ñ ØÓ× Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÕÙ Ý × ÔÓ× Ð Ò Ö Þ ÖÐ Ò ÙÒ ×ÓÐ Ð × º Ë ØÖ Ø Ð
ÓÒ ÙÒØÓº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× ×Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ¸ × ÔÓ× ¹
Ð Ó Ø Þ ÖÐÓ Ò ÙÒ Ì Ò Ö Ó Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ÐÙ×ØÖ Ð Ö Ñ ÍÅÄ Ð ¬ ÙÖ ½º º
Ð Ö Ñ Ò Ù ×Ø ÓÒ ÑÓ Ð Þ ÐÓ ÕÙ × ÓÒÓ ÓÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×¹
ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× º Ä × Ö ÒØ × Ñ Ò Ö × ÑÔÐ ÒØ ÖÐÓ Ý ×Ù× Ú Ö× × Ö ÙÒ×Ø Ò ×
ÔÐ ÓÒ Ö Ò × ØÓ Ó Ð ÓÖÔÙ× ×Ø Ø ÜØÓº
Key_Type:T
Compare_Type:Compare
Set
+insert(in key:T): void
+search(in key:T): T *
+remove(in key:T): void
+size(): size_t
+swap(inout set:Set<T, Compare>): void
+join(in set:Set<T, Compare>): Set<T>
+split(in key:T,out l:Set<T, Compare>,out r:Set<T,
Compare>): void
+position(in key:T): int
+select(in pos:int): T*
+split_pos(in pos:int,out l:Set<T, Compare>,
out r:Set<T, Compare>): void
ÙÖ ½º Ö Ñ ÍÅÄ ÙÒ Ð × ÒÖ ÓÒ ÙÒØÓ ´Ë ص

45. 1.3. El problema fundamental de estructuras de datos 19
Ä Ð × Set<T, Compare> ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ö Ó ØÓ× Ø ÔÓ T¸ ÓÒ
Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ Compare¸ ÙÝÓ ¬Ò × Ò Ö Ð Þ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö ÓÒ ÙÒØÓ× × Ò
ÕÙ ÒÓ× ÒØ Ö × ÓÑÓ ×ØÓ× × ÑÔÐ ÒØ Òº
À Ý ÑÙ × ÓÖÑ × ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ø ÔÓ Set<T, Compare>º Ä × ÓÒ Ô Ò
×Ù× Ö ÙÒ×Ø Ò × Ù×Óº
ÓÒ ÙÒØÓ× ØÓ× ÕÙ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÒÓÑ Ò Ò
ÓÒØ Ò ÓÖ × º ÍÒ ÓÒØ Ò ÓÖ ×¸ Ô٠׸ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓº
Set<T, Compare> ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö× Ò C++ ÓÑÓ × Ù
½ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½ ≡
template <typename T, class Compare>
struct Set
{
void insert(const T & key);
T * search(const T & key);
void remove(const T & key);
const size_t size() const;
void swap(Set<T, Compare> & set);
void join(Set<T, Compare> * set);
void split(const T& key, Set<T, Compare> *& l, Set<T> *& r);
const int position(const T& key) const;
T * select(const int pos);
void split_pos(const int & pos, Set<T, Compare> *& l, Set<T, Compare> *& r);
};
Ò Ð Ò × Ò Ö Ð ×¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ¬Ò ÓÑÓ Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Set<T, Compare> Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ T ÓÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × × × Ò× Ö ÓÒ¸
Ù×ÕÙ ¸ ×ÙÔÖ × ÓÒ Ý Ö Ò Ð Ý ÙÝ × ÒØ Ö × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ×ÓÒ insert()¸
search()¸ remove() Ý size()¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ × ÒÓÑ Ò Ò Ð Ú × º ÐÐ Ð ÒÓÑ Ö
Ô Ö Ñ ØÖÓ key Ò ÑÙ × Ð × ÒØ Ö × Set<T, Compare>º
swap(set) ÒØ Ö Ñ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× set ÓÒ ÐÓ× thisº Ë ÙÒ Ð ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ÓÒ ÕÙ × ÑÔÐ ÒØ Set<T, Compare>¸ Ð ÙÒ × Ú × ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ × Ö
ÑÙÝ Ö Ô º
Ð Ñ ØÓ Ó join(set) ÙÒ this ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ö Ò Ó ÔÓÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ setº
×ÔÙ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸ set Ú Ò Ú Óº
join() ÔÙ Ø Ò Ö Ú Ö ÓÒ × × ÙÒ Ð Ø ÔÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ý Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ Ä ×
Ñ × ÓÑÙÒ × ×ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ý Ð ÒØ Ö Ô ÓÒº
1.3.1 Comparaci´n general entre claves
o
ÅÙ × Ú × Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó T × ÓÖ Ò Ð × Ö¸ Ð × Ð Ú × ÔÙ Ò ×ÔÓÒ Ö× Ò ÙÒ
× Ù Ò ÓÖ Ò × Ð Ñ ÒÓÖ ×Ø Ð Ñ ÝÓÖ Ó Ú Ú Ö× º Ò ×Ó× ×Ó׸ Ô Ö Ò Ð
Ö ×ØÓ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ý Ð Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ Compareº
Compare × ÙÒ Ð × ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ó× Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Tº ÈÓÖ ÐÓ
Ò Ö Ð¸ Compare ÑÔÐ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ö Ð ÓÒ Ð <º ÓÒ ÙÒ Ð × ×Ø Ø ÔÓ¸ × ÔÓ× Ð
Ö Ð Þ Ö Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ × Ö Ð ÓÒ Ð ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ø Ò ÑÓ× Ó× Ð Ú × k1 Ý k2
Ý ÙÒ Ð × Compare<T> ÙÝÓ ÓÔ Ö ÓÖ () ÑÔÐ ÒØ k1 < k2¸ ÒØÓÒ × Ð × Ù ÒØ × Ù Ó
Ó Ó ÑÔÐ ¬ ØÓ × Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ × ÔÓ× Ð ×

46. 20 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
if (Compare() (k1, k2)) // ¿k1 < k2?
// acci´n a ejecutar si k1 < k2
o
else if (Compare() (k2, k1)) // ¿k2 < k1?
// acci´n a ejecutar si k2 < k1
o
else // Tienen que ser iguales
// acci´n a ejecutar si k1 == k2
o
1.3.2 Operaciones para conjuntos ordenables
Ë Ð ÓÒ ÙÒØÓ × ÓÖ Ò Ð ¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò ÓÖ Ò
S =< k0, k2, . . . , kn−1 >¸ ÓÒ n × Ð Ö ÒÐ Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ò × ×Ó¸ ÔÙ Ò
Ö Ð Þ Ö× Ú Ö × ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð × Ù Ò Sº
Ð Ñ ØÓ Ó split(key, l, r) Ô ÖØ ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ó× ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ×
l =< k0, k1, . . . , ki > Ý r =< ki+1, ki+2, . . . , kn−1 > × ÙÒ Ð Ð Ú key Ø Ð ÕÙ l < Ý <
rº × Ö¸ l ÓÒØ Ò Ð × Ð Ú × Ñ ÒÓÖ × ÕÙ key Ý r Ð × Ñ ÝÓÖ ×º ×ÔÙ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ
this Ú Ò Ú Óº
Ð Ñ ØÓ Ó position(key) Ö ØÓÖÒ Ð ÔÓ× ÓÒ Ð Ð Ú ÒØÖÓ ÐÓ ÕÙ × Ö Ð
× Ù Ò ÓÖ Ò º Ë key ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ
ÒÚ Ð Óº
Ð Ñ ØÓ Ó select(pos) Ö ØÓÖÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ × ØÙ Ó Ò Ð ÔÓ× ÓÒ pos × ÙÒ Ð ÓÖ Òº
Ë pos × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð Ö Ò Ð ¸ ÒØÓÒ × × Ò Ö ÙÒ Ü Ô ÓÒº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ñ ØÓ Ó split pos(pos, l, r) Ô ÖØ ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò
l =< k0, k1, . . . , kpos−1 > Ý r =< kpos, . . . , kn−1 >º ÍÒ Ü Ô ÓÒ Ó ÙÖÖ Ö × pos ×Ø
Ù Ö Ð Ö Ò Óº
1.3.3 Circunstancias del problema fundamental
Ù Ð ×ÕÙ Ö Ò × Ò Ð × × ØÙ ÓÒ × ÙØ Ð Þ ÓÒ¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò Ò ÕÙ
Ù Ö Ö× Ò Ð ÙÒ Ð × Ñ ÑÓÖ º Ä Ñ Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ò Ñ ÑÓÖ Ø Ð ÓÒ ÙÒØÓ
Ö ÕÙ Ö ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÙÝ ÓÖÑ Ô Ò ×Ù× Ö ÙÒ×Ø Ò × Ù×Óº
À Ý Ú Ö Ó× ØÓÖ × ÕÙ Ò Ò Ò Ð × ÒÓ Ó × Ó Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÒØÖ
ÐÓ× ÕÙ ×Ø Ö ÐÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× ÕÙ × Ø Ò Ò ×Ó Ö Ð Ö Ò Ð ¸ Ð ×ØÖ Ù ÓÒ
Ö ÖÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ × Ù× Ö Ò Ý Ð Ö Ù Ò ÓÒ ÕÙ ×Ø ×
× ÒÚÓ Ö Òº
Ä Ö ÒÐ ÒØÖ Ð Ø ÔÓ Ñ ÑÓÖ º ÍÒ Ö Ò Ð ÑÙÝ Ö Ò
Ö ÕÙ Ö Ö Ñ ÑÓÖ × ÙÒ Ö ´ × Óµ Ó Ø Ö Ö ´ÓØÖÓ× Ñ Ó× Ñ × Ð ÒØÓ×µ Ý ×Ø × ÓÒ
Ø Ö ÐÑ ÒØ Ð Ø ÔÓ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺
À Ý Ó × ÓÒ × Ò ÕÙ Ð ÙÒ × Ð Ú × ×ÓÒ Ñ × ÔÖÓÔ Ò× × ÖØ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ
ÓØÖ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ð × Ð Ú × Ù × Ò Ô ÐÐ Ó׸ ÒØÓÒ × Ð × Ö ÕÙ Ð × Ð ØÖ × Ü
Ó Ý ×ÓÒ ÔÓ Ó Ö Ù ÒØ ×¸ Ý ÕÙ Ð × ÚÓ Ð × ×ÓÒ Ñ × Ö Ù ÒØ ×¸ ÔÙ Ò Ö Ò ÙÒ
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÕÙ Ø Ò Ö ÙÔ Ö Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ð Ú × ÕÙ Ø Ò Ò¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸
ÓÑÓ × ÙÒ Ð ØÖ º
Ë ÙÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ð ÙÒ × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÓÒ Ñ × ÔÖÓ Ð × ÕÙ ÓØÖ × Ò ÐÙ× Ú ¸ Ò
ÑÙ Ó× ×Ó׸ ÒÓ × ÙØ Ð Þ Ò ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ó Ð Ñ ÝÓÖ Ð × ØÚ × ×Ó Ö Ð
ÓÒ ÙÒØÓ × ÓÒ ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ó ÔÓ × ÓÔ Ö ÓÒ ×º Ò ×ØÓ× ×Ó׸ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ×
ÔÙ × Ò Ö× Ô Ö ÓÔØ Ñ Þ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ñ × Ö Ù ÒØ º

47. 1.4. Dise˜ o de datos y abstracciones
n 21
1.3.4 Presentaciones del problema fundamental
Ò Ú Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ü ×Ø Ò Ú Ö × ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ × Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ Ò¹
Ø Ð ½ º À ݸ Ò × Ò ¸ Ó× ÓÒ× Ö ÓÒ × Ò × Ö × ÐØ Ö× º
Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÒ× Ö ÓÒ ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ô Ø Ò Ó ÒÓ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׺ Ù Ò Ó
× Ô ÖÑ Ø Ö Ô Ø Ö ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ø × Ð ÒÓÑ Ò ÑÙÐØ ¹
ÓÒ ÙÒØÓ º
ÒÐ Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C++¸ Ò Ð ÒØ ÐÐ Ñ stdc++¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ × Ð ÓÒÓ
ÓÑÓ set<T, compare> Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÓ multiset<T, compare>º
Ä × ÙÒ ÓÒ× Ö ÓÒ × Ð ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× Ø ÔÓ (Ã Ý, Ð Ñ)º
Ä × ÙÒ Ø Ð ×Ó Ø Ú ÕÙ Ö ÙÔ Ö ÙÒ Ò×Ø Ò ÐÑ ∈ ÐÑ ÙÒ
Ð Ú Ý ∈ à ݺ ×Ø Ð × ÓÒ ÙÒØÓ × Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ñ Ô Ó ½¼ º ÙÒ ÓÐ×
Ð Ú × ÔÙ Ò Ö Ô Ø Ö× ¸ ÒØÓÒ × Ð Ñ Ô Ó × Ð ÑÙÐØ Ñ Ô Ó º
Ò Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C++ Ð Ñ Ô Ó × Ð ÓÒÓ ÓÑÓ map<Key, Elem, compare>
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÑÙÐØ Ñ Ô Ó ÓÑÓ multimap<Key, Elem, Compare>º Ò ÐÓ× Ñ Ô Ó× ×Ù Ð
ÑÔÐ ÒØ Ö× Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] × ÙÒ Ð Ð Ú º
1.4 Dise˜o de datos y abstracciones
n
Ð × ÒÓ ×ØÖ ÓÒ × Ý ×Ù× ÓÒ× Ù ÒØ × Ì × ÙÒ ÖØ ÕÙ × ÔÖ Ò ÓÒ Ð ÜÔ ¹
Ö Ò º ÕÙ Ö ÖÐ ÒÓ Ø Ò ÓØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ Ò Ö ÒØ Ö× Ö ×ÔÓÒ× Ð Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ×
Ö Ð × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº ÈÓÖ Ö ×ÔÓÒ× Ð × ÒØ Ò Ð Ø ØÙ ÓÒÓÖ Ð Ö ×ÔÓÒ Ö
ÔÓÖ ÐÓ× ÕÙ ÚÓ Ó׸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ ×ÓÐÓ ×Ø ÓÒ ÓÒ Ó Ð ÓÒ× Ò ÕÙ Ð ÔÖ Ø ÒØ
ØÒ Ö ×Ù ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸ × ÒÓ ×Ù ÓÒ ×Ø Ý Ù ÖÞ Ö Ø Öº
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ×Ø × ÓÒ¸ × ÔÐ ÒØ Ò Ð ÙÒ × Ö ­ Ü ÓÒ × ÕÙ ÓÒ× Ö Ö Ð
ÔÖ Ò Þ Ô Ö Ò Ö ÒØ Ö Ñ ÓÖ Ð ÔÖ Ò Þ Ð × ÒÓ ØÓ× Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
1.4.1 Tipos de abstracci´n
o
Ë ÙÒ Ð ÒØ Ö × ÕÙ × Ø Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ × Ò Ö ÙÒ ×ØÖ ÓÒ Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸
×Ø ÔÙ Ð × ¬ Ö× Ò ÓÖ ÒØ ÐÓ× ØÓ× ¸ ÓÖ ÒØ Ð ­Ù Ó Ù ÓÖ Ò¹
Ø Ð ÓÒ ÔØÓ Ó ×ØÖ ÓÒ º
ÍÒ ×ØÖ ÓÒ ÓÖ ÒØ ÐÓ× ØÓ× × ÕÙ ÐÐ ÙÝÓ ¬Ò ×Ø Ò ÙÞ Ó ÔÓÖ Ð
ÓÖ Ò Þ ÓÒ ÐÓ× ØÓ× Ò Ð ÓÑÔÙØ ÓÖº Ð Ú Þ¸ Ø Ð ÓÖ Ò Þ ÓÒ Ó Ö¹
ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× × ÑÔ ÒÓ¸ ÓÖÖÓ ×Ô Ó Ó Ð ÙÒ ÓØÖÓ ÕÙ Ø Ò Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ¸
× ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ù ÓØÖÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × × ×Ø Ñ º ×Ø × Ð ×Ó ÑÙ × Ð × ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ × ØÓ× ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò ×Ø Ø ÜØÓº ÑÔÐÓ× ×Ø × Ð × × ÓÖ ÒØ ÓÒ ÐÓ×
ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÐÓ× ÖÖ ÐÓ׸ Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ý Ð × Ú Ö× × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö ÓÐ ÕÙ × Ö Ò
×ØÙ × Ò ×Ø Ø ÜØÓº
ÅÙ Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × Ü Ò ÙÒ Ô ØÖÓÒ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ×Ø ÒØ ÚÓ
Ý ÙÒ ÓÖÑ º Ò Ø Ð × × ØÙ ÓÒ ×¸ ÔÙ × Ö ÑÙÝ ÓÒÚ Ò ÒØ ×ÔÓÒ Ö ÙÒ ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÓÖ Ò Ó ×ÕÙ Ñ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÐÓ× ØÓ׺ Ò ×Ø
×Ó ÑÓ× ÕÙ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ×Ø ÓÖ ÒØ Ð ­Ù Ó Ó Ð Ô ØÖÓÒº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × ÐÓ×
ØÓ× Ò ÔÖÓ × Ö× × ÙÒ Ð ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ Ò Ð × ×Ø Ñ ¸ ÒØÓÒ × ÙÒ ×ÔÓ× ÓÒ
½¼
Ð Ò Ð × Ñ ÔÔ Ò ¸ ÙÝ ÓÒÒÓØ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø × Ò ¬ ÙÒ ÓÒ Ò Ð × ÒØ Ó Ð Ø ÓÖ
ÓÒ ÙÒØÓ׺ ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ × ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ö ÕÙ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ù Ö ÒØ Ñ ÒØ ÔØ Ó ÔÓÖ Ð Ê º

48. 22 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
ÐÓ× ØÓ× Ò ÙÒ × Ù Ò ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð ÓÖ Ò ÐÐ º Ì Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × ¹
ÒÓÑ Ò ÓÐ Ý × Ö ×ØÙ Ò Ü ¾º ´Ô Ò ½¿½µº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø ×Ó ÒÓ ×
Ô Ò× Ò Ð ÓÖ Ò Þ ÓÒ ÕÙ ÐÓ× ØÓ× Ø Ò Ò Ò Ñ ÑÓÖ ¸ × ÒÓ Ò Ð ÓÖ Ò Ó Ô ØÖÓÒ Ò
ÕÙ ×ØÓ× × ÔÖÓ × Òº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð × ÒÓ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÔÙ Ð Ø Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ
ÙÒ ÓÒ ÔØÓ Ó ×ØÖ ÓÒ ÓÒÓ ÓÒ Ñ Ö × ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý¸ ÓÒ× Ù ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ × ÒÚÓÐÚ Ö× ÓÑÓ Ñ ÒØ Ò ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒº Ò ×Ø ×Ó¸ ÑÓ× ÕÙ Ð ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ×Ø ÓÖ ÒØ Ð ÓÒ ÔØÓº Ä × × ÑÔÐ ¬ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ó
ÐÓ× Ù×Ù Ö Ó× Ð ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒº
À Ý ÑÙ Ó× Ñ ÒÓ× Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ×º Ù ÒØ Ò ÕÙ Å Ð Ö Ý¸ ÔÖ ÙÖ×ÓÖ
Ð Ø ÓÖ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ¸ ÒÓ Ø Ò ×Ù¬ ÒØ ÓÖÑ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ö ÜÔÐ Ö ÐÓ×
ÒÓÑ ÒÓ× Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ó× ×Ù× ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ׺ Ä Ò Ð Ö Ý ÐÓ ÓÒ Ù Ó
Ö Ö ×Ù× ÔÖÓÔ × ×ØÖ ÓÒ × Ö ¬ ׸ ÔÖÓÚ Ò ÒØ × ×Ù× Ó × ÖÚ ÓÒ × ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ×¸
Ô ÖØ Ö Ð × Ù Ð × ÙÒ Ó Ý ÜÔÐ Ó Ð Ð ØÖÓÑ Ò Ø ×ÑÓº Ð Ù Ð ÕÙ Ö Ý¸ ÑÙ ×
Ú × Ö ÑÓ× ×ØÖ ÓÒ × ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ò ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ ÓÖ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓº ×Ø ×
×ØÖ ÓÒ × ÓÒ ÓÖÑ Ò ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺ ÍÒ ÑÔÐÓ ÑÙÝ ÒÓØ Ð × Ð ÓÒ ÔØÓ
Ö Óº Ø ÑÓÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ö Ó ÔÖÓÚ Ò Ö ¬ Ó ¸ ÔÙ × ÐÓ× Ö Ó× ×ÓÒ
ÜÔÖ × Ó× Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ö ¬ Ó׺ Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò Ö Ð ¸ ÙÒ Ö Ó ÑÓ Ð Þ Ð ÓÒ ÔØÓ
Ö Ð ÓÒ ×Ó Ö Ð Ù Ð Ü ×Ø ØÓ Ó ÙÒ ÓÖÔÙ× Ñ Ø Ñ Ø Óº Ô × Ö Ð ÓÖÔÙ× Ý¸ ÕÙ Þ
ÔÓÖÕÙ ×Ø × Ò ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÐÓ× Ö Ó× Ó Ö Ò ÙÒ Ú × ÓÒ Ö ¬ Ð Ö Ð ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø
ÓÒ Ð ÕÙ × Ñ × ÓÑÓ ØÖ Öº ×Ø × ÓØÖ Ö ÞÓÒ ÕÙ Ù×Ø ¬ Ð × ÒÓ ÙÒ
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ × × Ò ÐÐÓ׺
×ØÓ× ØÖ × Ø ÔÓ× ÓÖ ÒØ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÖÑ Ò Ð × ¬ Ò Ð ¬Ò Ó Ð Ô Ö ÕÙ ×
× Ò Ó × × Ð ÓÒ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ Ä Ð × ¬ ÓÒ ÒÓ × Ü Ø Ò Ü ÐÙÝ ÒØ º
ÍÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÔÙ Ò Ö Ð Ú Þ¸ Ó Ò Ö ÒØ × ÑÓÑ ÒØÓ׸ Ó ØÓ Ó× Ó
Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ø ÔÓ× ÓÖ ÒØ ÓÒº È ÖÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò ×
Ù Ð × Ð ÓÖ ÒØ ÓÒ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÔÙ Ù Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ò ×Ù × ÒÓ
Ó × Ð ÓÒº
1.4.2 El principio fin-a-fin
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ì ÙÖ Ý Ö Ô Ø ÑÓ× Ð ÔÖ ÙÒØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÕÙ × ÖÚ
Ù Ð × ×Ù ¬Ò Ð Ò Ð × ÓÒ Ü ½º½º ´Ô Ò µ × ÔÖ Ø Ò Ó Ò Ö Ð Þ Ö ÓÔ Ö ¹
ÓÒ × Ò Ö ÒØ × Ð Ù Ó ÙÒ ¬ ÙÖ ×Ó Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ó ÓÒØÖ ×Ø º ÓÒ ×Ø
¬Ò ¬Ò Ó¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ì ÙÖ ¸ Ù Ö¸ ÑÓÚ Ö¸ Ø Ø Ö ¸ Ø Ò Ò × Ò¹
Ø Ó×ÒÒ × ÓÒÓ Ö Ù Ð × Ð ¬ ÙÖ Ò Ù ×Ø ÓÒº È Ò× ÑÓ׸ ÕÙ ×Ù Ö × ÒÓ
ØÙÚ × ÑÓ× Ð ÖÓ Ô Ö ÕÙ × Ù× Ö Ð Ì ÙÖ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ¸ ÒÓ Ø Ò Ó Ú Ò ×ØÓ×
Ø ÑÔÓ׸ × ÕÙ ÒÓ× × Ö ÑÙÝ Ð ÓÑÔÖ Ò ÖÐÓº Ë ÒÙ ×ØÖÓ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÒÓ ×ØÙÚ ×
Ð ÖÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ Þ ¸ ÓÑ Ø Ö ÑÓ× Ð ÖÖÓÖ ÒØ ÒØ Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ì ÙÖ ¸ Ð
٠и ÓÑÓ Ý × Ñ Ò ÓÒÓ¸ × ×ØÖ ØÓº
ÓÖ Ô Ò× ÑÓ× Ò Ù Ð × Ö Ð ÓÖÑ ÙÒ Ì Figure × ×Ø ×ØÙÚ × ×Ø Ò Ó
Ð ÙÐÓ× ÓÑ ØÖ Ó× Ò ÐÓ× Ù Ð ×¸ Ò ÐÙ Ö Ù Ö¸ × Ð ÙÐ × Ò Ö × ÒØ Ö× ÓÒ ×
ÒØÖ ¬ ÙÖ ×º È Ö ×Ø ¬Ò¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ì ÙÖ ÒÓ Ø Ò Ö Ò ÑÙ Ó
× ÒØ Óº
ÍÒ ÔÖ Ò Ô Ó × ÒÓ × ×Ø Ñ × × ÓÒÓ ÓÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò º ×Ø ÓÒ× ×Ø
Ò ÒÓ ×Ô ¬ Ö¸ Ñ ÒÓ× × Ò Ö¸ ÑÙ Ó Ñ ÒÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö¸ Ñ × ÐÐ Ð ¬Ò ÕÙ × ÓÒÓÞ

49. 1.4. Dise˜ o de datos y abstracciones
n 23
Ý × Ù Ö Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ º Î ÓÐ Ö ×Ø ÔÖ Ò Ô Ó ÔÙ Ó×Ø Ö × Ù ÖÞÓ Ú ÒÓ¸ ÔÙ × ×ÓÐÓ
× Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ¬Ò Ð × Ð ÔÖÓ Ö Ñ ¸ Ó Ò ×Ù× Ù×Ù Ö Ó× ¬Ò Р׸ Ò ÕÙ × Ø Ò ØÓ Ó Ð
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ò × Ö Ó Ô Ö × Ò Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ÒØ Ó ½ º
Ò Ð ÑÔÐÓ Ð Ì ÓÑÔÐ Ó ¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ× ØÖ Ø Ó¸ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ×
Ö ×Ù ¬Ò ÄÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÑÔÐ Ó× Ø Ò Ò ÑÔÐ ÔÐ ÓÒ Ò Ò × Ý Ò Ò ¹
Ò Ö Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÔÙ Ö Ú Ö× Ø ÒØ Ó ÒÖ ÕÙ Ö Ð Ì ÓÒ
Ñ ØÓ Ó× Ó Ð × × Ö Ú × ÕÙ Ð Ø Ò ×Ù ÙØÙÖ Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒº Ë ÔÙ Ö ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸
Ñ Ò Ö ÓÓÖ Ò × ÔÓÐ Ö ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÑÔÐ Ö Ð Ì ÓÑÔÐ Ó ÒÓ Ø Ò × Ò¹
Ø Ó × ÒÓ × Ø Ò Ð ÖØ ØÙ ÕÙ Ð × ÓÓÖ Ò × ÔÓÐ Ö × × Ö Ò Ù× × ÔÓÖ ÐÓ× Ù×Ù Ö Ó×
Ú ÒØÙ Ð × Ð Ì ÓÑÔÐ Ó º
Ä Ó × ÖÚ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ × Ö Ð Þ Ô Ö ÓÒÓÑ Þ Ö ØÖ Ó ¹ÙÒ Ò Ò ÓÒ×ÙÒÓ
ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò¹¸ × ÒÓ ÔÓÖÕÙ Ð ÒØ Ö × Ó Ò ÙÒ Ì ÓÑÔÐ Ó ÜØ Ò Ó
ÓÒ ÓÓÖ Ò × ÔÓÐ Ö × ÔÙ Ö Ñ Ò Ö ÓØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó¸ Ð ÜØ Ò× ÓÒ
ÔÙ Ö × Ö ÙÒ ×ØÓÖ Óº
ÍÒ Ì × Ö Ñ Ò ÑÓ Ý ×Ù¬ ÒØ º ÈÓÖ Ñ Ò ÑÓ ÔÖ Ø Ò ÑÓ× Ò Ö ÕÙ ÒÓ
Ø Ò Ñ × ÐÓ Ò × Ö Óº ÈÓÖ ×Ù¬ ÒØ ÕÙ Ö ÑÓ× Ö ÕÙ ÓÒØ Ò Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò × Ö Ó
Ô Ö ×Ø Ò ÖÐÓ Ð ¬Ò Ô Ö Ð Ù Ð Ù ¬Ò Óº ×Ø Ð Ö ×Ø × ÖÖ Ö × × Ö Ð Ø ÚÓ¸ ÔÙ ×
ÔÒ Ð ¬Ò Ý ×Ù ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒº ÐÐ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ö Ø Ö × Ò Ð ÕÙ Ø Ò ¸
Ô Ö Ð Ü ØÓ ÙÒ ÔÖÓÝ ØÓ¸ Ð ÕÙ Ð ¬Ò ×Ø Ð Ö Ñ ÒØ ¬Ò Ó Ý ÕÙ ÐÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ ×
ÒÓ ×ÓÐÓ ÐÓ Ø Ò Ò Ð ÖÓ¸ × ÒÓ ÕÙ ×Ø Ò ÓÑÔÖÓÑ Ø Ó× ÓÒ Ðº
ÉÙ Þ ÙÒ ÓÖ ×ÑÓ Ë Òع ÜÙÔ ÖÝ ÜÔÖ × Ñ ÓÖ Ð × ÒØ Ó Ñ Ò Ñ Ð Ý ×Ù¬¹
Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò È Ö ÕÙ Ð Ô Ö ÓÒ × Ð ÒÞ ÒÓ Ù Ò Ó ÒÓ Ý
Ñ × Ò ÕÙ Ò Ö¸ × ÒÓ Ù Ò Ó ÒÓ Ý Ñ × Ò ÕÙ ×ÙÔÖ Ñ Ö ½½º
1.4.3 Inducci´n y deducci´n
o o
ÁÒ Ù ÓÒ × Ò ¬ Ö × ÐÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÐÓ Ò Ö Ð Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ù ÓÒ × Ò Ð
Ö × ÐÓ Ò Ö Ð ÐÓ Ô ÖØ ÙÐ Öº Ù Ò Ó × × Ò Ò ×ØÖ ÓÒ ×¸ ÔÓÖ ÓÒ
ÓÑ ÒÞ Ö º
× ÙÒ ÔÖ Ò Ô Ó ÓÒÓ Ó Ò Ù ÓÒ Ý × ÒÓ Ö × ÐÓ ÓÒ Ö ØÓ ÐÓ ×ØÖ ØÓº
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÓÖ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ô ÖØ Ö Ð ÜÔ Ö Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ðº Ò ×
× ÒØ Ó¸ Ù Ò Ó ÒÓ × Ø Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ò Ð Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó¸ Ð ÔÖÓ ×Ó
Ò ÓÒ ÓÑ ÒÞ Ö Ô ÖØ Ö ÒÓÑ ÒÓ× ÓÒ Ö ØÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý¸ ÐÙ Ó¸
Ô ÖØ Ö × × Ô ÖØ ÙÐ Ö ×¸ ÒØ ÒØ Ö ¬Ò Ö ×ØÖ ÓÒ ×º
Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ó ØÓ׸ Ü ×Ø Ò Ó× Ñ Ò ×ÑÓ× Ò Ö Ð Þ ÓÒ Ð Ö Ò
Ð × × Ý Ð × ÔÐ ÒØ ÐР׺ Ä Ö Ò ÓÒ ÖÒ ÐÓ× ØÓ׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × ÔÐ ÒØ ÐÐ × Ð
Ó Óº
Ä Ö Ò × ÔÐ Ô Ö Ð Ò Ö Ò Ö Ð × Ý ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ× ÓÑÙÒ × ÙÒ
ÖØ Ð × Ó ØÓº Ä × Ð × × Ö Ú × Ð × ¬ Ò Ý ÔÓÖØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö × Óѹ
ÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ð Ý Ò Ú Ð × ×ØÖ ÓÒº Ù Ò Ó × ÒØ ¬ÕÙ Ò Ð × × Ó Ì ¸ Ù×ÕÙ
ÕÙ × ÐÓ ÓÑÙÒ Ý ×Ó ÐÐ Ú ÐÓ ÐÓ Ò Ö Ð ØÖ Ú × Ð × × × × Ó ×ØÖ Ø ×º
À Ý Ó× ×Ô ØÓ× Ò Ö Ð Þ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ò Ð × ×º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÓ ÓÑÔÓÒ Ò
ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× Ó × Ð × Ö Ø Ö ×Ø × ÙÒ Ó ØÓ Óº Ò Ð ×Ó Ð Ì ÙÖ ¸
ÙÒ ØÖ ÙØÓ Ò Ö Ð ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÔÙÒØÓ Ö Ö Ò ÓÑÙÒ ØÓ × Ð × ¬ ÙÖ × Ô ÖØ ¹
½½
ÌÖ Ù ÓÒ Ð ÙØÓÖ ÁÐ × Ñ Ð ÕÙ Ð Ô Ö Ø ÓÒ ×Ó Ø ØØ ÒØ ÒÓÒ ÕÙ Ò Ð Ò³Ý ÔÐÙ× Ö Ò
ÓÙØ Ö¸ Ñ × ÕÙ Ò Ð Ò³Ý ÔÐÙ× Ö Ò Ö ØÖ Ò Ö º Ë Òع ÜÙÔ Öݺ Ì ÖÖ × ÓÑÑ × º

50. 24 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
ÙÐ Ö ×º Ð × ÙÒ Ó ×Ô ØÓ ÒÖÐ × ÙÒ ÓÒ Ð Ý Ø Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×º Ò Ð
×Ó Ð Ì ÙÖ ¸ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØÙ Ð × draw()¸ move()¸ Ø Ø Ö ¸ Ò Ö Ð Þ Ò
ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÑÙÒ × ØÓ × Ð × ¬ ÙÖ ×º
ÓÑÓ Ý ÐÓ Ò ÑÓ׸ Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ÓÒ ×Ù× ÔØ Ð × × Ö Ò Ö Ó× Ó Ð
ÓÖÑ ÔÐ ÒØ ÐÐ º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ò Ö ÙÒ × Ù Ò Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ
× Ö ØÖ Ø Ó Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ü ¿º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÒÙÒ Ó ÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÔÓ Ð Ñ ÒØÓ×
ÓÖ Ò Ö ×ÓÐÓ ×Ô ¬ ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ × Ù Ò º ÈÓ ÑÓ× ÓÖ Ò Ö Ô ÐÐ Ó׸ ÒØ ÖÓ×
Ó Ð Ñ ÒØÓ× Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ø ÔÓ Ó Ð Ñ ×ÑÓ ×ÕÙ Ñ º ÇÖ Ò Ö × Ò Ô Ò ÒØ
Ð ØÓº Ò ×Ø Ð × ÔÖÓ Ð Ñ × × ÔÙ Ò × Ò Ö ÙÒ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ò Ö Ó ÙÝÓ
Ô Ö Ñ ØÖÓ × Ö Ð Ø ÔÓ Ð Ñ ÒØÓ׺
× ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ö ÕÙ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ó Ô Ö ×ÔÙ × ÓÒÓ Ö
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ× ÓÒ Ö ØÓ× Ý ÒÓ Ð ÓÒØÖ Ö Óº Æ × ÕÙ Ö Ù Ò Ó × ÔÓ× ÙÒ ÑÔÐ
ÜÔ Ö Ò ¸ ÒÓ × ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ó Ó Ò Ö Ó × Ò ÒØ × ÖÐÓ Ú Ö ¬ Ó Ü Ù×Ø ¹
Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ø ÔÓ ØÓ ÓÒÓ Ó Ý ÓÒ Ö ØÓº
È Ö Ð × Ó× Ø Ò × Ò Ö Ð Þ ÓÒ¸ Ö Ò Ý Ø ÔÓ× Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó׸ Ð Ñ ÒÓ
ÓÑ ÒÞ Ò ÐÓ ÓÒ Ö ØÓ Ý × Ö ÐÓ ×ØÖ ØÓ¸ ÒÓ Ð Ö Ú ×º ÈÓ ÑÓ× Ö ÕÙ ×Ø
× Ð ×Ø ÐÓ Ù Ò Ó × × Ò Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ÒØ Óº
ÓÒ ÓÖÑ × Ò ÜÔ Ö Ò ÓÒ Ö Ø ¸ ÙÒ × Ò ÓÖ ÔÙ ÓÒ× Ö Ö Ð ÙÒ × Ò¹
Ö Ð Þ ÓÒ × ÔÖ ÓÖ ´ÒÓ ØÓ ×µ × Ò ÙÒ Ú Ö Ð × Ô ÖØ ÙÐ Ö ×º ×ØÓ × Ù ÓÒ Ý ×
ÔÓ× Ð ×ÔÙ × ÔÖ Ò Ö Ó × Ò Ö Ô ÖØ × ÓÒ Ö Ø × Ð ×ÓÐÙ ÓÒº
Ä Ò Ð ¸ Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ¸ × Ñ Ö Ö Ò ÐÓ ×ØÖ ØÓ ÐÓ ÕÙ ÔÙ Ú Ò Ö ÓÒ Ö ØÓº
ÁÒ Ò Ó × Ò ¬ Ø Ò Ö Ò Ó × ÒØÖÓ ´ Òµº Ò Ó ÕÙ Ò Ö ×¸ Ù Ò ×¸ ÔÓÖ
×ÙÔÙ ×ØÓº × ×Ø Ô Ö×Ô Ø Ú ¸ Ò Ò Ö ×¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖ Ø Ð Ò¹ Ò Ó Ô ÖÓ¸
ÒÓ × ÔÓ Ö Ø Ò Ö Ò Ò Ó × × ÑÔÖ × Ü × Ô ÖÑ Ò Ö Ò ÐÓ ÓÒ Ö ØÓ Ý × ×ÙÔ Ø ×
Ø Ò × Ý Ñ ØÓ Ó× ¬ Ó׺ ×Ø × Ð Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð ÒØÙ ÓÒ ÒÙÒ × Ö × ÖØ º
1.4.4 Ocultamiento de informaci´n
o
ÍÒ Ì ×ÓÐÓ ×Ô ¬ Ð ¬Ò ÙÒ ØÓ Ý ×Ù ÒØ Ö Þº Ù Ò Ó × Ù Ö ÙÒ × ÒÓ
Ò ØÓÖÒÓ ÙÒ Ì ¸ × Ù Ö ÙÒ ×Ô ¬ ÓÒ Ó Ø Ú ÕÙ ÒÓ Ò Ö
×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒº ×ØÓ × ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ó ÙÐØ Ñ ÒØÓ Ò ÓÖÑ ÓÒ¸ Ð
Ù Ð ÓÒ× ×Ø Ò Ó ÙÐØ Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ì ¸ Ô٠׸ ÓÑÓ Ý ÐÓ
ÑÓ׸ ×Ø ÓÒ ÓÖÑ ÐÓ ×Ù Ø ÚÓ¸ ÕÙ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ × ÑÙ Ó Ñ × ÓÑÔÐ Ó¸ × ÒÓ ÕÙ ¬ ÙÐØ
Ð ÓÑÙÒ ÓÒº
Ú × × Ù ÒÓ Ð Ö Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò Ú Ð ÒØ Ö Þº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ö
ÕÙ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½ ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ó ÓÒ ÖÖ ÐÓ× ÓÖ Ò Ó× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ
Ö Ð × ÑÔ ÒÓ × × Ö ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ × Ö Ô ¸ Ô ÖÓ ÕÙ Ð
Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ ×ÓÒ Ð ÒØ ×º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø ×Ó ÒÓ × ¬Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÓÑÓ
× ÑÔÐ ÒØ Ð Ì ¸ × ÒÓ × Ò ¸ ÓÑÓ Ô ÖØ Ð ×Ô ¬ ÓÒ¸ ÙÒ ×Ô ØÓ Ò Ö Ð
Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒº
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ö ÓÑ Ò ÓÒ Ò Ö Ð × ÒÓ × ÕÙ × Ó ÙÐØ ÐÓ Ñ × ÕÙ × ÔÙ Ð
ÑÔÐ ÒØ ÓÒº È ÖÓ¸ × ÔÓÖ Ö ÞÓÒ × × ÑÔ ÒÓ Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× Ö ×ÙÐØ ÓÒÚ Ò ÒØ
×Ø Ð Ö ÙÒ Ø ÔÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ØÖ Ø × ×Ø Ò ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ × Ò Ö Ó×
ÔÓ× Ð ×º

51. 1.5. Notas y recomendaciones bibliogr´ficas
a 25
1.5 Notas y recomendaciones bibliogr´ficas
a
Ä ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ó ØÓ× × Ö ÑÓÒØ ¬Ò Ð × Ð ½ ¼ Ò ÕÙ
Ô Ö Ó Ð Ð Ò Ù Simula ¾ ¸ ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ× Ð × ¸ Ö Ò Ý ÔÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓº À Ý
Ó× Ó × ÖÚ ÓÒ × ×ØÓÖ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ×º Ä ÔÖ Ñ Ö × ÕÙ Simula × Ö ÙÒ× Ö Ó
Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð × ÑÙÐ ÓÒ Ý ÒÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ðº Ä × ÙÒ × ÕÙ
ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ× ÑÓ ÖÒÓ× Ð ÓÖ ÒØ ÓÒ Ó ØÓ× Ô Ö ÖÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ð ÒÓ ÓÒ
ÑØÑØ Ø ÔÓ ØÓ ×ØÖ ØÓº
Simula ÒÓ Ö× Ø Ò Ó ÑÙÝ Ò Ù ÒØ Ò ×Ù ÔÓ ÔÓÖÕÙ ØÖ Ò× ÙÖÖ ÖÓÒ
Ð ÙÒ × × ÒØ × ÕÙ × Ð × ÑÔÓÐÚ × Ý ÓÒ× Ö × Ò Ð Ô Ö Ñ ØÙ Ð
ÐÓ× Ó ØÓ׺ ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÐÓ× ÓÑÔÙØ ×Ø ×¸ ÕÙ × Ö Ò ÑÙÝ Ð Ø × Ó׸ ÓÒÓ Ò ÐÓ×
Ø ÔÓ× ×ØÖ ØÓ× ØÓ× × ÐÓ× ØÖ Ó× Ä × ÓÚ Ý ÐÐ × ½¼ Ý Ð Ó ÙÐØ Ñ ÒØÓ
Ò ÓÖÑ ÓÒ × ÐÓ× ØÖ Ó× È ÖÒ × ½¿ º
Ð Ð Ò Ù C++¸ Ú ÙÐÓ Ò× Ò ÒÞ Ð ÔÖ × ÒØ Ø ÜØÓ¸ Ò×Ô Ö Ó Ò ÐÓ× Ð Ò Ù ¹
× C Ý Smalltalk ¸ ½¸ ½ ¸ Ù Ö Ó ÔÓÖ ÖÒ ËØÖÓÙ×ØÖÙÔº Ä Ñ ÓÖ Ö Ö Ò Ô Ö
×Ù ÔÖ Ò Þ × ×Ù ÔÖÓÔ Ó Ø ÜØÓ Ì C++ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä Ò Ù ½ ¸ Р٠и Ô ÖØ
ÕÙ × ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ð Ñ ÓÖ Ô Ö ÓÑÔÖ Ò Ö Ð Ð Ò Ù ¸ × ÙÒ Ü Ð ÒØ ØÖ Ø Ó
Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ú Ö ÓÒ Ð Ö Ò ÔÖÓÝ ØÓ×
×Ó ØÛ Ö ¸ Ø Ú ÓÖ Ò Ù×Ø Ý ÚÙÐ ÖÑ ÒØ ÓÒÓ Ó Ð ÖÓØÙÐÓ Ò Ò Ö Ð
×Ó ØÛ Ö º
×Ø Ø ÜØÓ ÒÓ Ú Ö× ×Ó Ö Ð ÒØ Ö Þ Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C++¸ × ÒÓ¸ Ñ × Ò¸
Ö ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒº × ÙØ Ð¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ×ØÙ Ö Ð ÒØ Ö Þ ØÓ× ÒÓ
Ö Ô Ø Ö ØÖ Ó Ý ÓÑÓ Ò Þ Ö Ö Ø Ö Ó׺ ÍÒ Ü Ð ÒØ Ö Ö Ò ×Ó Ö Ð Ð Ó¹
Ø ×Ø Ò Ö C++ Ð ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ø ÜØÓ ÂÓ×ÙØØ × º
ÍÒ Ö Ù ÒØÓ ×ØÓÖ Ó Ö Ð C++ Ý Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ó ØÓ× ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö×
Ò ½ º Ä Ð ØÙÖ × ÑÙÝ ÒØ Ö × ÒØ ÔÓÖÕÙ Ö Ú Ð ÕÙ Ð × ×ØÖ ÓÒ × Ý ÓÒ ÔØÓ×
×Ó × ÐÓ× Ó ØÓ× ×ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ö ¬Ò Ñ ÒØÓ ØÖ Ú × ÖÖÓÖ × Ý Ö ×Ó׺
Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò × Ó Ó × ÖÚ Ó × ÔÓ × Ö ÑÓØ ×¸ Ô ÖÓ Ù Ù ÐÐ ÖÑÓ Ç ¹
Ѹ Ù Ò Ó ÒÙÒ Ó ×Ù Ð Ö Ò Ú ¸ Ð Ù Ð Ö Þ ÒÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ ÐÓ× ÒØ × × Ò
Ò × ¸ ÕÙ Ò ÔÖ Ñ ÖÓ × ÓÒÓ ×Ù ÑÔÓÖØ Ò Ô ×Ø ÑÓÐÓ º Ò Ð ÔÖÓ Ö ¹
Ñ ÓÒ¸ Ð ÔÖ Ò Ô Ó × Ó Ó × ÖÚ Ó Ò Ö Ò × × ×Ø Ñ ×¸ × Ò Ó Ð Ö ×Ô ØÓ Ñ Ð Ñ Ø Ó
Ð ÖØ ÙÐÓ Ë ÐØÞ Ö Ø Ð ½ º ËÓ Ö ×Ø ÖØ ÙÐÓ × Ñ Ò ×Ø Ö ÓÑ ÒØ Ö ÕÙ Ë ÐØÞ Ö Ø Ð
ÓÖ ÒØ Ò ×Ù ÖØ ÙÐÓ × ×Ø Ñ × ×ØÖ Ù Ó× Ý ÒÓ Ö Ø Ñ ÒØ Ð × ÒÓ ØÓ׺ ÈÓÖ ÓØÖ
Ô ÖØ ¸ Ð Ø ÖÑ ÒÓ ¬Ò Ñ ÒÙ Ó × ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑÓ ÜØÖ ÑÓ Ý ÒÓ ÓÑÓ ÙÒ ÔÖÓÔÓ× ØÓº
ØÖ Ú × Ð ÜÔ Ö Ò × × Ù Ö Ò ØÓ× Ò Ö Ð × Ý Ò ÖÓ× Ó Óº ÙÒ
Ø ÓÖ ÓÒ×ÓÐ Ð × Ó Ó Ó ×Ù Ð ÒÓÑ Ò Ö× Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ô ØÖÓÒ º ÍÒ
Ö Ô ÖØÓÖ Ó ×Ø ÒØ Ö Ó Ô ØÖÓÒ × Ò Ö Ó× × Ó× ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö× Ò º
Ë Ò Ô Ö ÓÑ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÙÒÓ× ÒÓ× ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ
ÙØÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ ×¸ ÐÓ× Ø ÜØÓ× Ë ÓØØ Å Ý Ö× ½½¸ ½¾ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò Ð Ñ ÓÖ Ö Ö Ò
Ô Ö ÓÑÔÖ Ò Ö¸ ÓÑ Ò Ö Ý × Ö Ù× Ö ÑÙ × Ð × Ó× Ò Ö × × Ð C++º
Ä ×ØÓÖ ÍÅÄ × Ö ÑÓÒØ ÇÅÌ ½ ¸ ÙÒ Ð Ò Ù Ö ¬ Ó¸ ÔÖ ÙÖ×ÓÖ Ð
ØÙ Ð ÍÅĸ ÔÖÓÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ Â Ñ × ÊÙÑ Ù ¸ ÙÒ ÒØ ¬ Ó Ð Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
Ó ØÓ׺ Ð ÓÒ×ÓÖ Ó ÇÅ ´Ç Ø Å Ò Ñ ÒØ ÖÓÙÔµ¸ Ò Ð Ñ ØÓ ÐÓ× × ×Ø Ñ ×
×ØÖ Ù Ó× Ó ØÓ׸ ØÓÑÓ ÇÅÌ ÓÑÓ × Ô Ö × ÖÖÓÐÐ Ö Ð ØÙ Ð ÍÅĺ

52. 26 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
1.6 Ejercicios
½º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÒÙÑ ÖÓ× Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ Ý Ò Ð Ù Ð ×
×Ô ¬ÕÙ Ð ÔÖ × ÓÒ × Ö¸ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ñ ÒØ × Ý Ð ÜÔÓÒ ÒØ º
¾º Ö Ø ÕÙ Ð Ì ÓÑÔÐ Ó º ÉÙ Ø Ò ÓÑÔÐ ØÓ × × ÓÖÖ Ø ×Ù ×Ô ¬ ÓÒ
× Ñ ÒØ ÉÙ ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÑ Ò Ó Ý Ö ×ÙÐØ Ó× ÔÙ Ò Ó ÙÖÖ Ö
¿º ÑÔÐ Ð Ì ÓÑÔÐ Ó Ô Ö Ñ Ò Ö ÓÓÖ Ò × ÔÓÐ Ö ×º × ÙØ ÓÒ
ÓÐÓ Ö Ð ÑÔÐ ÓÒ ´ Ò ÒÙ ÚÓ× Ñ ØÓ Ó׸ Ò ÙÒ Ð × Ö Ú ¸ Ø Ø Ö µ
º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÒÙÑ ÖÓ× ÔÖ × ÓÒ Ö ØÖ Ö º
º Ê Ú × Ù ÒØ × ÔÖÓ Ö Ñ × Ð Ö × Ô Ö Ù Ö ÓÑÓ Xfig Ý DIA Ò Ù Ð Ö¹
ÖÕÙ Ð × × ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× ÑÓ Ð Þ Ò Ð × ¬ ÙÖ ×º
º Á ÒØ ¬ÕÙ ÐÓ× Ó ØÓ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ô Ö Ð ÓÒ Ù ÓÒ ÙÒ ÙØÓÑÓÚ Ð ÕÙ ×
Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Òº ÈÖ ÙÒÓ¸ ×Ø Ð Þ ×Ù ¬Ò Ý Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÒØÓ
ÓÒ ×Ù× ×Ô ¬ ÓÒ × × ÒØ Ø Ý × Ñ ÒØ º
º × Ò Ò Ù Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÖÕÙ Ð × × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ú ÙÐÓ× ÙØÓÑÓØÓÖ ×º
Ù ÐÓ× Ö Ñ × ÍÅĺ
º ×Ò Ù Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÖÕÙ Ð × × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ú Ú Ò × º Ù
ÐÓ× Ö Ñ × ÍÅĺ
º ÓÒ× Ö Ð × × Ù ÒØ × Ð × × Ó ØÓ ÙÝÓ× ÒÓÑ Ö × ×Ù Ö Ò ÐÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò
Medio locomoción Medio aéreo
Medio terrestre Medio marítimo Helicoptero
Energía Avión Barco Globo
Dirigible Monopatín Submarino Cohete
Patineta Patines Carreta Bus Tren
Moto Bicicleta Con Motor Sin Motor
× Ò ÙÒ ×ÕÙ Ñ Ù Ø ÚÓ ÕÙ Ö Ð ÓÒ ×Ø × Ð × ×º
½¼º Å Ò ÓÒ ØÖ × Ó Ñ × ÔÐ ÓÒ × Ò ÓÒ Ô Ö Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð
Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺ È Ö ÔÐ ÓÒ¸ ÜÔÐ ÕÙ Ð ÓÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö Ý
× ÖØ Ö Ú Ñ ÒØ Ö ÓÑÓ × ÑÔÐ ÒØ Ö º
½½º Å Ò ÓÒ ØÖ × Ó Ñ × ÔÐ ÓÒ × Ò ÓÒ ÒÓ Ô Ö Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð
Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺
½¾º Å Ò ÓÒ Ð ÙÒ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÓÒÓ × Ý × ÙØ ×Ù Ð × ¬ ÓÒ × ÙÒ ÐÓ×
Ð Ò Ñ ÒØÓ× ÜÔÐ Ó× Ò Ð × ÓÒ Ü ½º º½ ´Ô Ò ¾½µº

53. 1.6. Bibliograf´
ıa 27
½¿º Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ S ¬Ò Ó ÔÓÖ Ð Ø ÔÓ Set<T, Compare>¸ ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ ÓÒÓ Ö
Ð Ð Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò Ò Ð × ÒØ Ó ×Ø ×Ø Óº
½º Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ S ¬Ò Ó ÔÓÖ Ð Ø ÔÓ Set<T, Compare>¸ ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ × ÔÖÓ¹
Ö Ñ Ö ¸ Ò ÙÒ ÓÒ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½ ¸ Ð ÖÙØ Ò
template <class __Set>
__Set extraer(__Set & set, int i, int j);
Ð Ù Ð ÜØÖ S¸ Ý Ö ØÓÖÒ Ò ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÓÒ ÙÒØÓ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò
ÒØÖ Ð × ÔÓ× ÓÒ × i Ý j¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ×ÔÙ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸ S ÓÒØ Ò ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ÒØÖ ÐÓ× Ö Ò Ó× [0..i − 1] Ý [j + 1..n − 1]¸ ÓÒ n = |S|º
½ º ×ÙÑ ÕÙ Ð ¬Ò ÙÒ × ×Ø Ñ × Ð Ñ Ò ×ØÖ ÓÒ Ð × ÓÐ Ö ÙÒ ÖÖ Ö
ÙÒ Ú Ö× Ø Ö º Ó ×Ø ¬Ò¸ × × ×ÔÓÒ Ö ×× ØÓ× ×ØÙ ÒØ ×¸
ÔÖÓ ×ÓÖ ×¸ ÖÖ Ö ×¸ ÙÖ×Ó׸ × ÓÒ ×¸ × ÐÓÒ ×¸ ÓÖ Ö Ó× Ý Ñ × ×Ô ØÓ× ÔÖÓÔ Ó×
Ð Ñ Ò ×ØÖ ÓÒ × ÓÐ Ö ÙÒ ÍÒ Ú Ö× º
ÈÐ ÒØ Ì Ò Ö Ð ×¸ Ô ÖØ ÙÐ Ö ×¸ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó׸ ÕÙ ÑÓ Ð Ò Ð × Ú Ö× ×
×ØÖ ÓÒ × ÕÙ Ñ Ò Ö Ð × ×Ø Ñ º Ù ÐÓ× Ö Ñ × ÍÅÄ Ô Ö ØÓ × Ð ×
Ð × × × Ò ×º
½ º Ê ÓÒ× Ö Ð Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÐÓ× × ÓÐ Ö × × ÙÒ Ö Ý ÔÖ Ñ Ö º
Bibliograf´
ıa
½ ÝØ ¸ ØÓÖº ËÔ Ð ××Ù ÓÒ ËÑ ÐÐØ Ð ¸ ÚÓÐÙÑ ¸ Ù Ù×Ø ½ ½º
¾ Ǻ º Ð Ò Ãº ÆÝ Ö º ËÁÅÍÄ ß Ò Ä ÇĹ × × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ù º Óѹ
ÑÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø Å¸ ´ µ ½ß ¾¸ Ë ÔØ Ñ Ö ½ º
¿ Ê Ñ× × Ù ÒÑ ÝÓÖº ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ó ÇÖ Ò Þ ÓÒ ×ººº ÍÒ Ì ÓÖ Ë ×Ø Ñ Ó¹
ÁÒØ ÖÔ ÖØ Ø Ú ÇÖ Ò Þ ÓÒ ×º ÍÒ Ú Ö× ÄÓ× Ò × ¹ ÓÒ× Ó ÔÙ ¹
Ð ÓÒ × ¹ ÓÒ× Ó ×ØÙ Ó× ÈÓ×Ø Ö Ó¸ ¾¼¼½º
º ÑÑ ¸ ʺ À ÐѸ ʺ ÂÓ Ò×ÓÒ¸ Ò Âº ÎÐ ×× ×º × Ò È ØØ ÖÒ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ
½ º
Ç Ø Å Ò Ñ ÒØ ÖÓÙÔº ÇÅ ÍÒ ¬ ÅÓ Ð Ò Ä Ò Ù ¾º¼ ÈÖÓÔÓ× Ð¸ Ê ¹
Ú × ×Ù Ñ ×× ÓÒ ØÓ ÇÅ Ê È× »¼¼¹¼ ¹¼½ Ò »¼¼¹¼ ¹¼¾¸ Î Ö× ÓÒ ¼º ½º
ÇÅ ¸ ØØÔ »»ÛÛÛºÓÑ º ÓÑ»ÙÑл¸ ¾¼¼¾º
º Àº Àº ÁÒ ÐÐ׺ × Ò ÔÖ Ò ÔÐ × Ò ×Ñ ÐÐØ Ð º Ì ¸ ´ µ ¾ ß¾ ¸ Ù Ù×Ø
½ ½º
Æ ÓРź ÂÓ×ÙØØ ×º Ì ·· ËØ Ò Ö Ä Ö ÖÝ ØÙØÓÖ Ð Ò Ö Ö Ò º ÔÙ ¹
ϸ ÔÙ ¹ Ï Ö¸ ½ º
Ö Ò Ïº à ÖÒ Ò Ò ÒÒ × Ê Ø º Ì ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä Ò Ù ¸ Ë ÓÒ
Ø ÓÒº ÈÖ ÒØ ¹À Ðи ½ º

54. 28 Cap´
ıtulo 1. Abstracci´n de datos
o
ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ Ø Ö Ø ÓÒ¸ ½ º
½¼ Ä × ÓÚ Ò ÐР׺ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø ×ØÖ Ø Ø ØÝÔ ×º Ë ÔÐ Ò ÆÓØ ×¸ ¸ ½ º
½½ Ë ÓØØ Å Ý Ö׺ « Ø Ú ··º ×ÓÒ Ï ×Рݸ ½ ¾º
½¾ Ë ÓØØ Å Ý Ö׺ ÅÓÖ « Ø Ú ··º ×ÓÒ Ï ×Рݸ ½ º
½¿ º ĺ È ÖÒ ×º Ø Ò ÕÙ ÓÖ ×Ó ØÛ Ö ÑÓ ÙÐ ×Ô ¬ Ø ÓÒ Û Ø Ü ÑÔР׺ ÓÑÑÙ¹
Ò Ø ÓÒ× Ó Ø ××Ó Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ò Å Ò Öݸ ½ ´ µ ¿¿¼ß¿¿ ¸ Å Ý ½ ¾º
½ Â Ñ × º ÊÙÑ Ù º ÇÅÌ Ì Ó Ø ÑÓ Ðº ÂÇÇȸ ´ µ ¾½ß¾ ¸ ½ º
½ º Ë ÐØÞ Ö¸ º Ê ¸ Ò º Ð Ö º Ò ¹ØÓ¹ Ò Ö ÙÑ ÒØ× Ò ×Ý×Ø Ñ × Òº Å
ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö ËÝ×Ø Ñ׸ ¾´ µ¸ ½ º
½ ÖÒ ËØÖÓÙ×ØÖÙÔº Ì × Ò Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ··º ×ÓÒ Ï ×Рݸ Ê Ò
Å ×׺¸ ½ º
½ ÖÒ ËØÖÓÙ×ØÖÙÔº Ì ·· ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä Ò Ù º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ ¿Ö Ø ÓÒ¸
¾¼¼¼º
½ Ä ÖÖÝ Ì ×Ð Öº Ì ËÑ ÐÐØ Ð ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ ÝØ ¸ ´ µ ¼ß½ ¸ Ù Ù×Ø ½ ½º

55. Cap´
ıtulo 2
Secuencias
×Ø Ô ØÙÐÓ Ú Ö× ×Ó Ö × Ù Ò ×º Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ × ÓÑÓ Ò ÓØÖÓ× Ñ ØÓ×
ÒÙ ×ØÖ ÙÐØÙÖ ¸ ÙÒ × Ù Ò × ¬Ò ÓÑÓ ÙÒ ×Ù × ÓÒ Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÙÒ Ø ÔÓº
ÈÓÖ ×Ù × ÓÒ ÒØ Ò ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð × Ù Ò ÔÙ Ò Ñ Ö Ö× × ÙÒ ÖØÓ
ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ Ó ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÙÒÓ ØÖ × ÓØÖÓ¸ ÞÕÙ Ö Ö ¸ ÖÖ
Ó Ý ÓØÖ × ÓÑ Ò ÓÒ × ÕÙ Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ö Ø Ö ×Ù × ÚÓ ×Ù Ý ÒØ Ð
× ÙÒ º
ÒÐ Ú ÓØ Ò Ð ÑÓ× ÓÒ × Ù Ò × × Ò ÕÙ × ÒÙÒ ÒÓ× Ñ Ö Ú ÐÐ ÑÓ×
×Ù× ÓÒ× Ù Ò ×¸ Ð × Ù Ð × × ÒÓ× × Ô Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ð Ú º Ò ×Ø Ð¹
Ð ÒÓ¸ Ý Ò ÓØÖ × Ð Ò Ù ×¸ Ð ÑÓ× Ý × Ö ÑÓ× ÞÕÙ Ö Ö Ý × ÖÖ
Ó Ó × ¸ × Ù Ò ÐÑ ÒØ º Ä Ñ ÝÓÖ Ð × Ú × Ð Ð ØÙÖ Ó ÙÖÖ × Ò ÕÙ ÒÙ ×ØÖÓ
Ô Ò× Ñ ÒØÓ ÒØ ÖÚ Ò Ý Ö Ñ ÒØ Ð × ÒØ Ó ÐÓ ÕÙ Ð ÑÓ׺ ÑÓ× ÒØÓÒ × ÕÙ
Ð ÑÓ× ­Ù Ñ ÒØ º Ë Ù Ò Ð × ØÙ ÓÒ Ú × ×Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø ¸ ÓÑ Ò Ó ÓÒ
×ÓÐ ÑÓ× ÓÔ Ö Ö Ð Ñ ÒÓ× ×Ó Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÞÕÙ Ö Ö Ý Ð ÙÒÓ× ÓØÖÓ× ÑÓ Ó×
Ñ × Ö × ÖÚ Ó× Ô Ö ÐÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó× Ü Ð×Ó׺
ÆÓ ×ÓÐÓ Ð × × Ù Ò × ÒÓ× ×ÓÒ Ù Ù ×¸ × ÒÓ ÕÙ ÑÙ × Ú × ×Ø × Ø Ò Ò Ö Ò¹
Ø × Ô Ö×Ô Ø Ú × Ñ Ö Ó ×Ø ÒØÓ× ÑÓ Ó× Ý Ø ÑÔÓ× Ô Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× º
ÓÒ× Ö ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ×Ó ÙÒ Ô Ð ÙÐ Ú ×Ø ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò × ¹
Ò × ÐÚ Ò × ÙÒ Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö ØÓÖ ÒÓ× ÔÖ Ø Ò ØÖ Ò×Ñ Ø Ö Ð ×ØÓÖ º È Ö
ÔÖÓÜ Ñ ÖÒÓ× ÐÓ ÕÙ ÓÑÓ Ô Ð ÙÐ × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö¸ ÑÓ× Ñ Ö Ö Ð Ô Ð ÙÐ × Ù Ò¹
ÐÑ ÒØ º ÍÒ ÓÖØ Ò Ð × Ù Ò ¸ Ó ÙÒ Ô ÖÑÙØ ÓÒ ÒØÖ ×Ù× × Ò × ÔÙ ÚÓÐÚ Ö
Ð Ô Ð ÙÐ Ò ÒØ Ð Ð Ó¸ ÕÙ Þ Ò Ð Ñ ÓÖ ÐÓ× ×Ó× ¸ Ó Ö Ö ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ×¹
Ø ÒØ º ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ ÒÓ× ÑÔ ¸ Ò Ö ØÖÓ×Ô Ø Ú ¸ ÐÙ Ó Ö ÔÖ × Ò Ó
ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð Ô Ð ÙÐ ¸ Ñ Ö Ö Ð ÙÒ × ×Ù× Ô ÖØ × Ô Ö Ñ ÓÖ Ö ÒÙ ×ØÖ ÓÑÔÖ Ò× ÓÒº
Î ×ØÓ ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ ÙÒ Ô Ð ÙÐ ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ × Ù Ò ÓØÓ Ö × ÙÝ ×Ù × ÓÒ
Ö ÓÒ×ØÖÙÝ Ð × × Ò × ÓÒ ÑÔÖ × ÓÒ Ö Ð º
Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ÒÓ × Ô Ð Ù Ù Ð × × Ù Ò ×º ÆÓ ÑÙÝ ÓØÖÓÖ ¸ Ù Ð × ¬¹
Ó Ñ ÕÙ Ò × Ù Ò Ð ¸ ÔÙ × × Ö Ñ Ø Ð Ö Ý ÙØ Ö ÔÖÓ Ö Ñ ×¸ ÐÓ× Ù Ð × ÒÓ ×ÓÒ
Ñ × ÕÙ × Ù Ò × Ò×ØÖÙ ÓÒ × × Ö Ø × Ò ÙÒ Ñ ÑÓÖ º À ÕÙ ¸ Ô٠׸ ÙÒ Ò Ó
× Ö Ó ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ù Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù× Ò Ð ÓÑÔÙØ ÓÒº
Ò ×Ø Ô ØÙÐÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ö Ø Ö Þ × ÓÑÓ
× ÙÒ ×
¯ ÖÖ ÐÓ׺
¯ Ä ×Ø × ÒÐ Þ ×º
¾

56. 30 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
È Ð ×º
¯
¯ ÓР׺
Ù ÐÕÙ Ö ×Ø × ×ØÖÙ ØÙÖ × × Ù Ù ÔÓÖ ØÓ × Ð × Ò × ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × Ý ×
ÑÙÝ ÔÖÓ Ð ÕÙ × Ò Ô ÖØ Ð Ñ ÒÓ Ö Ø Ó Ù ÓÒº ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ × × Ð
ÓÒÓ Ö Ð × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ñ × ¬ ÒØ × ÔÓ× Ð ×º
ÄÓ× ÖÖ ÐÓ× Ý Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÓÒ ÓÖÑ Ò ×ØÖ ÓÒ × ØÓ׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × Ô Ð ×
Ý ÓÐ × ×ÓÒ ×ØÖ ÓÒ × ­Ù Óº ÍÒ × Ù Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ÓÒ ÓÖÑ
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ ÕÙ ×Ù Ö ÒØÖ ÕÙ ÙÒ × Ù Ò ¸ Ú ×Ø ÓÑÓ ×ØÖ ÓÒ ØÓ¸
ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×ØÙ Ó Ò Ð Ô ØÙÐÓ ½º
×Ø × Ö Ð Ò × × ÕÙ Ð ÑÔ ÖØ Ö ÑÓ× ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× Ý Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
ÇØÖ × × ØÙ ÓÒ × ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × Ö ÕÙ Ö Ò ÙÒ Ô ØÖÓÒ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ô ÖØ ÙÐ Öº
×Ø × Ð × ÒØ Ó Ð × Ô Ð × Ý Ð × ÓР׸ ÙÝÓ× ÒÓÑ Ö × Ò ÖØ ÓÖÑ ×ØÖ Ò Ð ÓÖ Ò
ÔÖÓ × Ñ ÒØÓº
2.1 Arreglos
ÍÒ ÖÖ ÐÓ Ñ Ò× ÓÒ Ñ × ÙÒ × Ù Ò n ≤ Ñ Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ Ò Ð
Ù Ð Ð ×Ó Ð Ñ ÒØÓ × Ö ØÓ Ý ÓÒ×ÙÑ ÙÒ Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ô Ò ÒØ
×Ù ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð × Ù Ò º
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ × ÓÖ Ò Þ Ò ÓÖÑ Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ù
Ò Ð Ñ ÑÓÖ Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ó× ÓÒ × ÕÙ Ò Ð ÖÖ ÐÓ ÑÙÝ
ÒØ Ö × ÒØ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ×Ø Ñ ×
½º Ë ÔÙ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ × ÙÒ ×Ù ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð
× Ù Ò º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ×ØÓ × ÑÔÐ ÒØ Ò Ú Ð ÓÑÔ Ð ÓÒ Ý × ×Ô ¬
ÒÚ Ð Ð Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ []º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð
ÜÔÖ × ÓÒ Ò C++ a[15] = 9¸ × Ò Ð ÒØ ÖÓ 9 Ð ÑÓ × ÜØÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓº
¾º Ð Ó×ØÓ Ò ×Ô Ó × Ñ Ò ÑÓ × × ÑÔÖ ¸ Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׺
Æ Ò ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ Ó Ö Ñ ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØÓ Ò Ð ×Ó ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒº Ð
Ó ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ò ÓÒØ ÙÓ× ÚÓÖ ÜØÖ ÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ð × ÔÐ ÓÒ ×
ÕÙ Ü Ò ÐÓ Ð Ö Ö Ò ¸ ÔÙ × × ÑÙÝ ÔÖÓ Ð ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ö ÒÓ× Ò
×Ô Ó Ý Ø ÑÔÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð ½º
Ä Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÑÓ ÖÒÓ× Ó Ö Ò ×ÓÔÓÖØ Ô Ö Ð Ñ Ò Ó
ÖÖ ÐÓ׺
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ A[11] Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ T ÙÝÓ Ø Ñ ÒÓ Ò ÝØ × ×
sizeof(T) Ý ÕÙ × Ô ØÓÖ Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Base T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ×Ó Ð ÖÖ ÐÓ Ð Ö ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ ÐÐ Ñ × Ð ÖÖ ÐÓ ¸
ÙÝÓ Ú ÐÓÖ × Ø ÖÑ Ò × ÙÒ Ð ÐÙ Ö ÓÒ Ó ÙÖÖ Ð Ð Ö ÓÒ Ó Ò×Ø Ò ÓÒ Ý Ð
½
Ò ×Ø ÓÒØ ÜØÓ ÙÒ × ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ×Ô Ð ØÓ¸ ×ÓÔÓÖØ ÔÓÖ Ð Ö Û Ö ¸ Р٠и × ×
Ù× ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓ ×Ó Ð Ñ ÑÓÖ º

57. 2.1. Arreglos 31
ÑÓ Ó Ð Ö ÓÒº Ù Ò Ó Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ×Ó Ð i¹ × Ñ ÔÓ× ÓÒ¸
×Ø Ò Ö Ð × Ù ÒØ Ð ÙÐÓ ×Ó Ð Ñ ÑÓÖ
Ö ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ = base + i × sizeof(T) ´¾º½µ
Ä ÓÔ Ö ÓÒ ×ÙÑ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ð ÖÖ ÐÓ × ÖÓ¸ ÕÙ × Ð ×Ó Ò ÐÓ× Ð Ò Ù ×
C Ý C++º Ë Ð Ð Ò Ù Ô ÖÑ Ø ÕÙ ÐÓ× Ò × ÓÑ Ò Ò Ò Ú ÐÓÖ × Ö ØÖ Ö Ó׸ ÒØÓÒ ×
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ö Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ð ÒØ × ÔÓ Ö Ö Ð Þ Ö Ð Ð ÙÐÓ
ÒØ Ö ÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × Ð ÒØÓ Ð ×Óº
Ò Ò Ö Ð¸ ÐÓ× ÓÑÔ Ð ÓÖ × ÒÓ ØÙ Ò Ú Ö ¬ ÓÒ Ö Ò Óº × Ö¸ ÒÓ × × ÙÖ Ò
ÕÙ Ð Ò Ö Ö Ò Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÒØÖÓ ÐÓ× Ö Ò Ó× ÓÖÖ ØÓ׺ Ä Ö ÞÓÒ ×
ÕÙ ×Ø Ú Ö ¬ ÓÒ Ð Ò ÙÒ Ó×ØÓ ÓÒ×Ø ÒØ ×Ó ÕÙ ÔÙ × Ö ÑÔÓÖØ ÒØ º
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ×Ó Ù Ö Ö Ò Ó × ÙÒ Ö Ú ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÙÝÓ×
× ÒØÓÑ × ÔÙ Ò Ô × Ö × Ô Ö Ó× ÙÖ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÑÔÓº ×Ø Ø ÔÓ ÖÖÓÖ × ÑÙÝ
Ð Ø Ø Ö Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð × Ù Ò ÙØ Ð Þ Ö × ÖØÓ× Ú Ö ¬ ÓÒ Ö Ò Ó×
¾
ÒØ × Ö Ö Ò Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓº
2.1.1 Operaciones b´sicas con Arreglos
a
À Ý Ú Ö Ó× ×Ô ØÓ× ÓÒ× Ö Ö Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ö ×Ó Ö ÖÖ ÐÓ×
¯ Ë ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ò Ó ÒÓ ÓÖ Ò Ó׺
¯ Ë × ÓÒÓ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ»×ÙÔÖ × ÓÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׺
¯ Ë × ÓÒÓ ÓÒ ÒØ Ð ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ׺
¯ ÉÙ Ø Ò Ø Ö Ø Ú × × Ö Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÍÒ ÐØ ÒØ Ö Ø Ú × Ò ¬ ÕÙ
Ð × Ò× Ö ÓÒ ×¸ Ù×ÕÙ × Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × ÔÙ Ò ×Ù Ö Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð
Ñ ×Ñ ÔÖÓ Ð º
¯ Ð Ø Ñ ÒÓ Ý Ô ØÖÓÒ ×Ó ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ð Ö Ð ÖÖ ÐÓº Å ÒØÖ × Ñ ×
Ö Ò × Ð Ð Ñ ÒØÓ¸ Ñ ÒÓ× Ò ¬ Ó× × Ó Ø Ò Ö Ò ÔÓÖ Ð º
2.1.1.1 Aritm´tica de punteros
e
ÍÒ Ð × Ö Ò × Ú ÖØÙ × Ð Ð Ò Ù C¸ ØÖ × Ò Ð C++¸ × ÐÓ ÕÙ × ÓÒÓ ÓÑÓ
Ö ØÑ Ø ÔÙÒØ ÖÓ× º Ì Ð ÓÒ ÔØÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÓÖÔÓÖ Ö Ð Ð Ò Ù ÓÔ Ö ÓÒ ×
×Ó Ö ÔÙÒØ ÖÓ× ÙÝÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÓÒ× Ö Ò Ð Ø ÔÓ ØÓ Ð Ù Ð × ÔÙÒØ º È Ö Ð Ö ¬ Ö
×Ø ÓÒ ÔØÓ¸ × ÖÖÓÐÐ ÑÓ× ÙÒ ÑÔÐÓº
Ä Ò×ØÖÙ ÓÒ T * arreglo ptr = new T[n Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Ð
Ñ ÑÓÖ Ø ÔÓ Ò Ö Ó Tº Ð Ú Þ¸ × Ô ÖØ Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð Ö Ö n Ð × ÓÒ¹
Ø Ù × Ø ÔÓ T Ó × ¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ñ Ò× ÓÒ nº
ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ × arreglo ptr × Ð × ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö Ö Ð i¹ × ÑÓ
Ð Ñ ÒØÓ Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ ØÙ Ö ÙÒ Ð ÙÐÓ × Ñ Ð Ö ´¾º½µº ÓÖ Ò¸ Ð Ð ÙÐÓ Ñ¹
ÔÐ Ó Ò ´¾º½µ ÐÓ Ò Ö ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ù Ò Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ö ¹
ÑÓ× *(arreglo ptr + i) = 5;º Ð ÓÔ Ö Ò Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð × Ò ÓÒ × ÒØ ÖÔÖ Ø
¾
Ð ºÊº º º ÜÔÖ × Ô Ö × ÖØÓ ¬ÖÑ ÓÒ Ð ÖØ Þ Ð Ó º ÙÒ × ÖØÓ × Ð ÓÒÓ Ñ ×
ÓÑÓ ÔÖ ÓÒ ÓÒ Ó ÒÚ Ö ÒØ º
Ò ×Ø Ø ÜØÓ × ÙØ Ð Þ Ò ÒÚÓ ÓÒ × Ð ÔÖ Ñ Ø Ú I(predicado) Ð Ð ÓØ nana ½ º

58. 32 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÓÑÓ Ð ÓÒØ Ò Ó Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ arreglo ptr Ñ × i ÒØ ÖÓ׺ Ð
ÓÑÔ Ð ÓÖ × ÕÙ × ØÖ Ø Ð Ø ÔÓ int Ý ÒÓ ÓØÖÓ ÔÓÖÕÙ Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ù ÐÖ Ó
ÓÑÓ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÒØ ÖÓº ÓÒ ×Ø ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÑÔÐ Ø Ý ØÖ Ò×Ô Ö Ò¹
Ø Ñ ÒØ Ò ÓÖÔÓÖ Ð Ø Ñ ÒÓ ÙÒ ÒØ ÖÓ ´sizeof(int)µ Ò Ð Ð ÙÐÓ Ð ×Óº
Ä ÜÔÖ × ÓÒ *(arreglo ptr + i) × Ü Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ arreglo ptr[i]¸
Ð Ù Ð × ØÖ Ù Ð i¹ × ÑÓ ÒØ ÖÓ Ð × ÙÒ ÙÝ Ö ÓÒ ×
× arreglo ptrº ÉÙ Þ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò ÓÕÙ × ÕÙ × Ñ × Ð ×Ø Ò Ù Ö Ð
×Ó ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ö Ó ÙÒ ×Ó Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓº ÈÓÖ ×Ø
Ö ÞÓÒ¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ö ­ ×Ù ÓÒ ÓÒº Ò Ð ×Ó ÑÔÐÓ¸
Ð ×Ù¬ Ó ptr¿ ÒÓØ ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖº
2.1.1.2 B´ squeda por clave
u
Ë ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ò ÓÖ Ò Ó׸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö ÙÒ ÙÐÓ×Ó Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÐÐ Ñ Ó
Ù×ÕÙ Ò Ö ¸ ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ Ò Ö × ÓÑÓ × Ù
¿¾ Ù×ÕÙ Ò Ö ¿¾ ≡
template <typename T, class Compare>
int binary_search(T a[], const T & x, int l, int r)
{
int m; // ´ndice del medio
ı
while (l <= r) // mientras los ındices no se crucen
´
{
m = (l + r)/2;
if (Compare() (x, a[m])) // ¿es x < a[m]?
r = m - 1;
else if (Compare() (a[m]), x) // ¿es x > a[m]?
l = m + 1;
else
return m; // ==> a[m] == x ==> encontrado!
}
return m;
}
¬Ò ×
binary search¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¿¸ ¿ ¸ Ò ¼º
binary search<T, Compare>() Ù× ÙÒ Ó ÙÖÖ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ x¸ Ø ÔÓ
Ò Ö Ó Ì¸ ÒØÖÓ Ð Ö Ò Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ l Ý r Ð ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó aº
Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ù×ÕÙ Ò Ö × Ú Ö Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×
Ø Ñ ÒÓ m = (l + r)/2 ݸ Ò ×Ó ÕÙ a[m] ÒÓ ÓÒØ Ò x¸ Ù× Ö Ò Ð ÙÒ Ð×
Ñ Ø × × ÙÒ Ð ÓÖ Ò x Ö ×Ô ØÓ a[m]º
ÆÓØ × ÕÙ binary search<T, Compare>() Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÓ× ÓÒ Ú Ð ÙÒ × x ÒÓ ×
Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÖÖ ÐÓº ×ØÓ Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð Ð ÒØ ¸ ÐÙ Ó Ð Ù×ÕÙ ¸ ÓÑÔ Ö
ÒÙ ÚÓ x ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ Ô Ö Ú Ö ¬ Ö × x Ù ÐÐ Ó Ó ÒÓº ÙÒÕÙ ×ØÓ ÓÒÐÐ Ú ÙÒ
Ð ÖÓ Ó×Ø ¸ Ô ÖÑ Ø ÓÒÓ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ Ò ÓÒ × Ò× ÖØ Ö x Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ñ Ò Ö
ÕÙ ×Ø × ÓÖ Ò Óº
ÓÑÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ Ü ¿º½º ¸ Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÔÖÓ¹
ÔÓÖ ÓÒ Ð Ð nº Ë Ò ×Ø Ó×Ø × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ÓÒ×Ø ÒØ Ð ×Ó ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ Ò Ð
ÔÖ Ø × ×Ø ÒØ Ù ÒÓº
¿
ÖÚ ÓÒ Ò Ò Ð × ÔÓ ÒØ Ö º

59. 2.1. Arreglos 33
Ë ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÒÓ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ó׸ ÒØÓÒ × ÔÙ ØÙ Ö× ¸ Ó×Ø Ð ¹
× ÑÔ ÒÓ¸ Ð Ù×ÕÙ × Ù Ò Ð × Ö Ø Ò Ü ½º¾º¿º¿ Ó Ð ÒÓÑ Ö ÙÒ ÓÒ
sequential search<T, Compare>()º Ë Ò Ð Ø Ö ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÔÓÖ ×Ø Ð ×
Ù×ÕÙ ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö Ò×Ô ÓÒ Ö ØÓ × Ð × Ð × Ð ÖÖ ÐÓ¸ × ÔØ Ð ÓÑÓ
×ÓÐÙ ÓÒ Ô Ö × Ð × Ñ Ò ×º
2.1.1.3 Inserci´n por clave
o
Ë Ð ÖÖ ÐÓ × Ñ ÒØ Ò ×ÓÖ Ò Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ò× Ö ÓÒ × Ö Ô × Ñ Ñ ÒØ
Ò ÙÖ Ð ¬Ò Ð Ð × Ù Ò º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ò× Ö ÓÒ Ú Ò Ñ × Ó×ØÓ× ¸
ÔÙ × × Ö ÕÙ Ö Ù× Ö Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò× Ö ÓÒ¸ ÐÙ Ó ×ÔÐ Þ Ö ÐÓ× Ð Ñ Ò¹
ØÓ× Ð × Ù Ò Ò ÙÒ ÔÓ× ÓÒ Ð Ö Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÓÔ Ö Ð Ð Ñ ÒØÓº Ì Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ × ÒÓÑ Ò Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ô ÖØÙÖ Ö Ý × Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÑÓ × Ù
¿¿ ÁÒ× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ö ¿¿ ≡
template <typename T, class Compare>
void insert_by_gap(T a[], const T & x, int & n)
{
int pos_gap = binary_search<T, Compare>(T, x, 0, n - 1);
for (int i = n; i > pos_gap; --i)
a[i] = a[i - 1];
a[pos_gap] = x;
++n;
}
Í× × binary search ¿¾º
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × Ô ØÓÖ Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ººº ÓÖ Ò ººº ººº ÓÖ Ò ººº
pos gap --i n
Ä ÖÙØ Ò ×ÙÑ ÕÙ × Ð ÒØ
n Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ø Ò Ð × Ù Ò Ý ÕÙ ×Ø Ú ÐÓÖ
ÒÓ Ù Ð Ó Ü Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓº
insert by gap<T, Compare>() ØÓÑ Ð Ø ÑÔÓ Ù×ÕÙ ¸ ÕÙ × Ö Ô × ÑÓ¸ Ñ ×
Ð Ø ÑÔÓ ÖÖÐ Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ð Ø Ö ÓÒ Ý Ð ÓÔ º
2.1.1.4 Eliminaci´n por clave
o
ÓÒ ÖÖ ÐÓ׸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ Ð
Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ò Öº ×ØÓ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ñ ÒØ Ð ÖÙØ Ò × sequential search<T,
Compare>() Ó binary search<T, Compare>()¸ × ÙÒ ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø Ó ÒÓ ÓÖ Ò Óº
Ò Ñ × × ØÙ ÓÒ ×¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ò Ó ÙÒ Ù Ó Ó Ö ÕÙ
Ø Ô Ö× º

60. 34 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ë Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ×ÓÖ Ò Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÙ ÐÐ Ú Ö× Ó ÓÑÓ
× Ù
¿ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ Ò Ó ¿ ≡
template <typename T, class Equal>
void remove_in_unsorted_array(T a[], const T & x, int & n)
{
int pos_gap = sequential_search<T, Equal>(T, x, 0, n - 1);
if (a[pos_gap] != x)
// excepci´n: x no se encuentra en a[]
o
a[pos_gap] = a[n - 1];
--n;
}
Í× × sequential search ½ º
remove in unsorted array<T, Equal>() Ø Ô Ð Ö ÓÒ Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð
× ÙÒ º
Ë Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÓÖ Ò Ó¸ ÒØÓÒ × × Ö ÕÙ Ö Ø Ô Ö Ð Ö Ñ ÒØ ×ÔÐ Þ ¹
Ñ ÒØÓ Ð ÞÕÙ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò Ð Ö Ð Ö Ð
× Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ ÐÑÒ ÓÒ Ò ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó ¿ ≡
template <typename T, class Equal>
void remove_in_sorted_array(T a[], const T & x, int & n)
{
int pos_gap = binary_search<T, Equal>(T, x, 0, n - 1);
if (a[pos_gap] != x)
// excepci´n: x no se encuentra en a[] ;
o
for (int i = pos_gap; i < n; ++i)
a[i] = a[i + 1];
--n;
}
Í× × binary search ¿¾º
Ä Ø Ò Ò Ù ×Ø ÓÒ × Ô ØÓÖ Þ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
ººº ÓÖ Ò ººº ººº ÓÖ Ò ººº
pos gap ++i n
2.1.2 Manejo de memoria para arreglos
Ë ÙÒ Ð ×ÕÙ Ñ Ò ÕÙ × Ô ÖØ Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ ×Ø × Ð × ¬ Ò ×Ø Ø Ó
Ý Ò Ñ Óº

61. 2.1. Arreglos 35
2.1.2.1 Arreglos en memoria est´tica
a
×Ø Ø ÔÓ ÖÖ ÐÓ × Ð Ö ÐÓ Ð Ó ×Ø Ø Ñ ÒØ ÒØÖÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ º ×Ø ÖÖ ÐÓ
Ü ÕÙ × ÓÒÓÞ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ò Ø ÑÔÓ ÓÑÔ Ð ÓÒº Ð ÖÖ ÐÓ Ó ÙÔ ØÓ Ó ×Ù
×Ô Ó ÙÖ ÒØ ØÓ Ð Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ý ×Ù Ñ Ò× ÓÒ ÒÓ ÔÙ Ñ Ö× º
Ò Ò Ö Ð¸ ×Ø Ø ÔÓ ÖÖ ÐÓ Ù× Ö× Ô Ö Ù Ö Ö ÓÒ×Ø ÒØ × ÕÙ × Ö Ò ÙØ ¹
Ð Þ × ÐÓ Ð Ö Ó ØÓ ´Ó Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ µ Ð Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ º Ì Ñ Ò ÔÙ
ÙØ Ð Þ Ö× ÓÑÓ ÔÓ× ØÓ Ú ÐÓÖ × Ø Ö Ø ÚÓ× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÔÐ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ
× ÑÔÖ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒ Ñ ØÖ × Ñ Ò× ÓÒ ¬ Ý ÙÝÓ Ú ÐÓÖ × Ñ Ò Ò
ÙÒ ÓÒ Ð ÒØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º
2.1.2.2 Arreglos en pila
×Ø Ø ÔÓ ÖÖ ÐÓ × Ð ÕÙ × Ð Ö ÒØÖÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ º Ð ×Ô Ó Ñ ÑÓÖ
× Ô ÖØ Ó Ð Ô Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ô Ð Ù ÓÒ × Ú Ø Ð
Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ¸ × Ø Ò Ö Ù Ó ÓÒ ÙÒ × ÓÖ Ô Ð Ù× Ó ÔÓÖ ÙÒ Ü × Ú
ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÖ ÐÓº ×ØÓ ÔÙ × Ö Ö Ø Ó Ò ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÒ ÙÖÖ ÒØ × ÑÙÐØ ¹Ø Ö Ó Ò
Ñ ÒØ × ÕÙ ×ÓÔÓÖØ Ò ÓÖÖÙØ Ò ×º
Ä Ú ÒØ ×Ø Ø ÔÓ ÖÖ ÐÓ × Ó Ð º ÈÖ Ñ ÖÓ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö
×Ù Ñ Ò× ÓÒ Ô Ö Ò Ö Ö Ù ÐÕÙ Ö Ó Ó Ö × ÖÚ ÓÒ Ñ ÑÓÖ Ó Ö Ö Ò
Ð ÖÖ ÐÓº Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ × ÔÓ× Ð ×Ô Ö Ö ×Ø Ð Ù ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ Ô Ö
ÓÒÓ Ö ×Ù Ñ Ò× ÓÒº Ä × Ù ÒØ × ÓÒ Ó Ó × Ø Ð Ò ÓÑÔ Ð ÓÖ × GNU
void foo(size_t n) { int array[n]; ... }
Ä × ÙÒ Ú ÒØ × ÕÙ Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ Ð ÖÖ ÐÓ × Ô ÖØ ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ
Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ù ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ Ý × Ð Ö Ð × Ð Ð Ñ ØÓ Ð
Ð Ö ÓÒº Ò Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ÖÖ ÐÓ × Ð Ö Ð × Ð Ð ÙÒ ÓÒ foo()º
Ù× Ð Ö × Ó × ÓÖ Ô Ð ¸ Ð Ù×Ó ×Ø Ø ÔÓ ÖÖ ÐÓ Ö ×ØÖ Ò Ö×
Ñ Ò× ÓÒ × Ô ÕÙ Ò ×º ÔÖ ×Ø Ö× Ø Ò ÓÒ ×Ñ Ö Ð Ò Ú Ð Ð × ÐÐ Ñ × Ð ×
ÙÒ ÓÒ ×¸ Ô٠׸ Ñ ÕÙ × Ò Ò Ð × ÐÐ Ñ ×¸ × ÓÒ×ÙÑ Ñ × Ô Ð º
ÆÓ Ù× ÖÖ ÐÓ× Ò Ô Ð ÒØÖÓ ÙÒ ÓÒ × Ö ÙÖ× Ú × Ó ÒØÖÓ ÙÒ ÓÒ × ÕÙ × Ö Ò
ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ º
2.1.2.3 Arreglos en memoria din´mica
a
ÍÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ñ × ÕÙ Ð Ô ÖØ Ó ØÖ Ú × Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ º
Ò C++¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð × Ù ÒØ Ò×ØÖÙ ÓÒ Ö × ÖÚ ÙÒ ÖÖ ÐÓ 1000 ÒØ ÖÓ×
int * array = new int [1000];
Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÐÓ ×Ø Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð ÒØ Ñ ÑÓÖ ×ÔÓÒ Ð º Ä
Ñ Ò× ÓÒ ÔÙ ×Ô ¬ Ö× ÓÑÓ ÙÒ Ú Ö Ð º
×Ø Ø ÔÓ ÖÖ ÐÓ Ü ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ × Ð Ö Ù Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ Ý ÒÓ × Ö ÕÙ Ö º
Ò Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ×ØÓ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ
Ò Ý Ò C++ ¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×Ø Ø Ó× Ð Ö ÒØÖÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ó ÙÒ ÑÓ ÙÐÓ ÔÖ Ó Ð
Ô Ð Ö Ö × ÖÚ staticº Ò Ð ×Ó ÙÒ ÑÓ ÙÐÓ¸ Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÐÓ × Ú × Ð ÒØÖÓ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ý Ô ÖØ Ö
Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö ÓÒº Ò Ð ×Ó ÙÒ ÙÒ ÓÒ¸ Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÐÓ × Ú × Ð ÒØÖÓ Ð ÙÒ ÓÒº
Ø Ò ÓÒ ×ØÓ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÖØÓ Ò ÓØÖÓ× Ð Ò Ù ×º Ò ÇÊÌÊ Æ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ñ ÝÓÖ
ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× ×ÓÒ ×Ø Ø Ó׺

62. 36 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
delete [] array;
× ÑÔÓÖØ ÒØ Ö × ÐØ Ö ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÖ delete [] ÑÔ Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ù× Ö ÐÓ×
ÓÖ Ø ×¸ ÔÙ × ×Ø × Ð Ñ Ò Ö Ò ÖÐ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÕÙ × Ð Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ý
ÒÓ ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ º Ë Ö ÕÙ Ö ×Ø × ÒØ Ü × ÔÓÖÕÙ × Ò × Ö Ó ÐÐ Ñ Ö ØÓ Ó×
ÐÓ× ×ØÖÙ ØÓÖ × ÙÒÓ ÔÓÖ ÒØÖ Ð ÖÖ ÐÓº
Ä Ñ ÑÓÖ Ð ÖÖ ÐÓ Ð Ö Ö× Ô Ò × × × ÙÖÓ ÕÙ ×Ø ÒÓ × Ö Ö ÕÙ Ö Óº
Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ñ × Ð ÓÔ ÓÒ ØÓ Ô Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ð × ÔÐ ÓÒ ×
ÕÙ Ù× Ò ÖÖ ÐÓ× Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ò Ó Ö Ò º Ð Ù Ð Ú Ö ¬ ÓÒ Ö Ò Ó×
ÙØ Ð Ø Ö Ó× ÔÙÖ ÓÒ ×Ô Ð Þ Ó× Ø Ð × ÓÑÓ dmalloc ¾¼ Ó valgrind ½½ º
2.1.3 Arreglos de bits
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ØÓ Ø ÔÓ ÐÓ Ó¸ bool Ò C++¸ ×ÓÐÓ ÔÙ ØÓÑ Ö Ó× Ú ÐÓÖ × true
Ó falseº È Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ bool ×ÓÐÓ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ø¸ Ô ÖÓ¸ ÔÓÖ Ö ÞÓÒ × Ð Ò ÓÒ
Ñ ÑÓÖ ¸ Ò C++ ÙÒ bool × ØÖ Ù Ó ÙÒ ÝØ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÔÙ × Ö ÖÓ ´0µ Ó ÙÒÓ ´1µº
×Ø ×Ô Ö Ó × Ø ´7µ Ø× × ×ÔÖ Ð Ò Ð ÒÑ Ò× Ñ ÝÓÖ Ð × ÔÐ ÓÒ ×¸
ÔÙ × Ð ÒØ ØÓ× ÐÓ Ó× × Ô ÕÙ Ò º
ÓÖ Ò¸ ÕÙ ×Ù × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ ØÓ× ÐÓ Ó× Ë Ð Ñ Ò× ÓÒ
Ð ÖÖ ÐÓ × ÓÒ× Ö Ð ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× Ò ÙÖÖ Ö Ò ÙÒ ×Ô Ö Ó Ñ ÑÓÖ Ñ¹
ÔÓÖØ ÒØ º È ÖÓ¸ Ü ×Ø Ò ÔÐ ÓÒ × ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò ÖÖ ÐÓ× ÐÓ Ó× Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ×
¬ÖÑ Ø Ú Ý Ö ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ò ÓÒ ÖØ Ö Ù Ò º
ÍÒ ÑÔÐÓ × Ð Ñ Ò Ó Ô Ò × Ñ ÑÓÖ Ú ÖØÙ Ð ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÒ × ×Ø Ñ
ÓÔ Ö Ø ÚÓº ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð 512 Å Ý Ô Ò × 4 à ÙÒ × ×Ø Ñ
ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ñ ÒØ Ò Ö Ð ×Ø Ó 512×1024à = 131072 Ô Ò ×º Ë
4à ×Ø Ó ×
Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ ÝØ ¸ ÒØÓÒ × × Ö ÕÙ Ö Ò 128 Ã Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÑ Ò Ö Ð
×Ø Ó Ð × 131072 Ô Ò ×º ÈÓÖ Ô Ò ¸ Ð × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ñ Ò Ó× Ø׺ Ð
ÔÖ Ñ ÖÓ Ò × Ð Ô Ò × Ò Ù ÒØÖ Ó ÒÓ Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº Ð × ÙÒ Ó Ò ×
ÙÒ Ô Ò × Ó Ó ÒÓ ÑÓ ¬ º Ë × ÙØ Ð Þ Ò Ó× Ø× ÔÓÖ Ô Ò ¸ × Ö ÕÙ Ö Ò
2 × 131072
= 32768 = 32Ã ;
8
ÕÙ ¸ ÓÑÓ × Ú ¸ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÓÖÖÓ Ñ ÑÓÖ × Ò ¬ Ø ÚÓº
È Ö Ñ Ò Ö ÖÖ ÐÓ× Ø׸ ÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ× Ð Ì BitArray¸ Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ
Ú ØÓÖ × Ø׺ ×Ø Ì ×Ø ×Ô ¬ Ó ÑÔÐ ÒØ Ó Ò Ð Ö ÚÓ Ø ÖÖ ÝºÀ ¿
¿ Ø ÖÖ ÝºÀ ¿ ≡
class BitArray
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BitArray ¿
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BitArray ¿
};
¬Ò ×
BitArray¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ß ¾¸ Ò º
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× × Ó× BitArray ÓÒ ÖÒ Ò ×Ù Ñ Ò× ÓÒ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BitArray ¿ ≡ ´¿ µ ¿
Ð × ÝØ ¿
mutable size_t num_bits;
mutable size_t num_bytes;

63. 2.1. Arreglos 37
num bits ÐÑ Ò Ð Ñ Ò× ÓÒ Ò Ø× Ñ ÒØÖ × ÕÙ num bytes ÐÑ Ò Ð Ñ Ò× ÓÒ
Ð ÖÖ ÐÓ ÝØ × array of bytesº Ð Ú ÐÓÖ num bytes × Ñ Ò ÑÓ Ý ×Ù¬ ÒØ Ô Ö
ÐÑ Ò Ö ÐÓ× Ø× Ö ÕÙ Ö Ó׺
Ä × Ð ÖÖ ÐÓ ÝØ × × Ö ÐÑ Ò Ò
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BitArray ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿
Byte * array_of_bytes;
Ð ØÖÙ Ó Ô Ö Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ò ÐÐ × ×ÔÓÒ Ö ÙÒ ×ÓÔÓÖØ ÕÙ Ñ Ò Ô¹
ÙÐ ÐÓ× Ø× ÒØÖÓ ÙÒ ÝØ º Ó ×ÓÔÓÖØ ×Ø Ó ÔÓÖ Ð ×Ù Ð × BitArray::Byte¸
Ð Ù Ð × ¬Ò ×
¿ Ð × ÝØ ¿ ≡ ´¿ µ
struct Byte
{
unsigned int b0 : 1;
unsigned int b1 : 1;
unsigned int b2 : 1;
unsigned int b3 : 1;
unsigned int b4 : 1;
unsigned int b5 : 1;
unsigned int b6 : 1;
unsigned int b7 : 1;
Ä ØÙÖ Ø¿
× Ö ØÙÖ Ø¿
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÝØ ¿
};
× Ñ ÒØ ¸ Ð ×Ù ¹ Ð × BitArray::Byte ¬Ò ÙÒ Ñ × Ö 8 Ø× Ñ ÒØ
ÑÔÓ× Ø× º ×Ø Ñ × Ö Ô ÖÑ Ø ÙÒ ×Ó × Ò ÐÐÓ Ó ÙÒ Ò Øº Ä Ð ØÙÖ
׸ ÒØÓÒ ×¸ ÑÔÐ ÒØ ÓÑÓ × Ù
¿ Ä ØÙÖ Ø¿ ≡ ´¿ µ
unsigned int read_bit(const unsigned int & i) const
{
switch (i)
{
case 0 : return b0;
case 1 : return b1;
// ...
case 7 : return b7;
}
}
ÓÒ i × Ð Ò Ð Ø ÕÙ × × Ð Öº
Ä × Ö ØÙÖ × ÑÔÐ ÒØ ÓÑÓ × Ù
¿ × Ö ØÙÖ Ø¿ ≡ ´¿ µ
void write_bit(const unsigned int & i, const unsigned int & value)
{
switch (i)
{
case 0 : b0 = value; break;
case 1 : b1 = value; break;
ÄÓ× ÑÔÓ× Ø× Ù ÖÓÒ ÓÖ Ò ÐÑ ÒØ ¬Ò Ó× Ô Ö Ð Ð Ò Ù Ý ×ÓÒ Ô ÖØ Ð C++

64. 38 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
// ...
case 7 : b7 = value; break;
}
}
ÓÒ i × Ð Ò Ð Ø ÕÙ × × Ö Ý value × Ð Ø ÕÙ × × × Ö Öº
× ÑÙÝ ÙØ Ð¸ ÜÔ Ò× × ÙÒ ÔÓ Ó Ø ÑÔÓ¸ ÕÙ Ù Ò Ó × Ô ÖØ Ð Ñ ÑÓÖ
Ô Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Byte ØÓ Ó× ×Ù× Ø× ×Ø Ò Ò Ó× Ò ÖÓº ÁÑÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ×Ø
× Ñ ÒØ Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ
¿ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÝØ ¿ ≡ ´¿ µ
Byte() : b0(0), b1(0), b2(0), b3(0), b4(0), b5(0), b6(0), b7(0) { /* empty */ }
×Ø ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ö ÒØ Þ ÕÙ ØÓ Ó ÖÖ ÐÓ Ø ÔÓ Byte Ø Ò ØÓ Ó× ×Ù× Ø× Ò ÖÓº
È Ö Ð Ö Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ BitArray ×Ø ÓÒ ×Ô ¬ Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓº
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ý Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ø Ò Ò¸ Ô٠׸ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BitArray ¿ ≡ ´¿ µ ¿
BitArray(const size_t & dim = 256)
: num_bits(dim), num_bytes(num_bits/8 + (((num_bits % 8) != 0) ? 1 : 0)),
array_of_bytes (new Byte [num_bytes])
{ /* empty */ }
~BitArray() { delete [] array_of_bytes; }
Í× × BitArray ¿ º
È Ö ÓÒÓ Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ¸ × ÔÙ ÑÔÐ Ö Ð Ñ ØÓ Ó
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BitArray ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿
const size_t & size() const { return get_len(); }
Ð ×Ó ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ []¸ Ð Ù Ð ×
ÓÑÔÐ Ó ×Ô ¬ Ö Ý ÑÔÐ ÒØ Ö ÔÓÖÕÙ ×Ø ×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× ×Ó× Ð ØÙÖ
ÐÓ× × Ö ØÙÖ º
Ó Ð Ò i ÙÒ Ø¸ Ð ÔÓ× ÓÒ byte index ÒØÖÓ array of bytes × Ð ÙÐ
ÓÑÓ × Ù
i
byte index = .
8
ËÙ ÔÓ× ÓÒ bit index ÒØÖÓ Ð ÝØ ×Ø Ö ÔÓÖ
bit index = i ÑÓ 8 .
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ i = array[40]; ÕÙ Ð Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
Ð ÒØÖ 40º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] Ù× Ö Ð Ø 40 Ý
ÒØÓÒ × Ö ØÓÖÒ Ö ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÒØ Ö ¹ Ø ÔÓ int¹ Ð Ø Óº Ò ×Ø ×Ó¸
Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] ÒÚÓ Ö read bit()º
ÓÖ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ array[40] = i; ÕÙ × Ö Ö Ò Ð ÒØÖ 40 Ð
ÖÖ ÐÓ Ð Ú ÐÓÖ ÓÒØ Ò Ó Ò Ð Ú Ö Ð iº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ×Ó ÐÓ Ð Þ Ö Ð Ø 40
Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ý × Ö Ö¸ ÒÓ Ð Ö¸ Ð Ú ÐÓÖ iº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] ÒÚÓ Ö
write bit()º
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] Ö ÕÙ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ö Ð Þ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ÒØ ×
× ÙÒ Ð Ø ÔÓ ×Ó Ð ØÙÖ Ó × Ö ØÙÖ º ×ØÓ ÒÓ × ÔÙ Ö Ð Þ Ö Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
Ð ÙÒ Ð × Ð Ö ÓÒ × ØÖ ÓÒ Ð × Ð ÓÔ Ö ÓÖ []¸ Ô ÖÓ × × ÔÙ ÔÓ×Ø Ö Ö Ð
×Ø Ò ÓÒ ×Ø Ð ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÕÙ × ÔÓ× Ð ÓÒÓ Ö × Ð ×Ó × Ð ØÙÖ Ó

65. 2.1. Arreglos 39
× Ö ØÙÖ º Ì Ð ×Ø Ò ÓÒ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] Ý ÙÒ
Ð × ×Ô Ð ÒÓÑ Ò ÔÖÓÜÝ ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BitArray ¿ +≡ ´¿ µ ¿
class BitProxy
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ØÈÖÓÜÝ ¿
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ØÈÖÓÜÝ ¿
};
¬Ò ×
BitProxy¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ Ò ¼ º
Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] BitArray Ö ØÓÖÒ ÙÒ BitProxy¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÓÑÓ × Ù
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BitArray ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼
BitProxy operator [] (const size_t & i) const
{
return BitProxy(const_cast<BitArray&>(*this), i);
}
BitProxy operator [] (const size_t & i) { return BitProxy(*this, i); }
Í× × BitArray ¿ Ò BitProxy ¿ º
Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÔ Ö ÓÖ × ÒÚÓ Ô Ö ÙÒ BitArray ÓÒ×Ø ÒØ ´ Ð Ö Ó constµ¸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ Ð × ÙÒ Ó Ô Ö ÙÒ BitArray ÕÙ ÒÓ × ÓÒ×Ø ÒØ º
Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒ Ý Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ BitProxy ÑÔÐ ÒØ Ò Ð × Ö ØÙÖ ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ÓÒÚ Ö× ÓÒ Ø ÔÓ ÑÔÐ ÒØ Ð Ð ØÙÖ º
Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ø ÔÓ ×Ó¸ ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ò × Ö Ó Ð ÙÐ Ö Ð Ò Ð ÝØ
ÒØÖÓ array of bytes Ý Ð Ò Ð Ø ÒØÖÓ Ð ÝØ º ×Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ Ð
Ù Ö ÑÓ× Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ×
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ØÈÖÓÜÝ ¿ ≡ ´¿ µ
const size_t bit_index;
Byte * byte_ptr;
Ì Ð × ØÖ ÙØÓ× × Ò Ò Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ BitProxy
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ØÈÖÓÜÝ ¿ ≡ ´¿ µ ¼
BitProxy(BitArray & array, const size_t & i) : bit_index(i % 8)
{
const size_t byte_index = i/8;
byte_ptr = &array.array_of_bytes[byte_index];
}
Í× × BitArray ¿ Ò BitProxy ¿ º
Ù Ò Ó × Ò×Ø Ò ÙÒ Ð × BitProxy¸ × Ö¸ Ù Ò Ó × ÒÚÓ Ð ÓÔ Ö ÓÖ []
BitArray¸ Ð ÑÔÓ byte ptr ÔÙÒØ Ð ÝØ ÒØÖÓ array of bytes ÕÙ ÓÒ¹
Ø Ò Ð Ø ÕÙ × × Öº bit index ÓÒØ Ò Ð Ò Ð Ø ÒØÖÓ Ð
ÝØ *byte ptrº Ë Ð Ò i ×Ø Ù Ö Ö Ò Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ×Ô Ö Ð
Ü Ô ÓÒ std::out of range()º
ÆÓØ × ÕÙ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ BitProxy ÙÒ ÒÓ × Ö ÐÞ Ó Ð
×Ó¸ Ô ÖÓ × × Ð ÙÐ Ó Ð Ö ÓÒ Ð ÝØ ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ø ´byte ptrµ
Ý× Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ð × Ð Ø ÒØÖÓ × ÝØ ´bit indexµº
Ë ÙÒ Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ÕÙ ÒÚÓÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ×Ø Ò Ù
× Ð ×Ó × Ð ØÙÖ Ó × Ö ØÙÖ º Ë × Ð ØÙÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ØÖ Ø Ö

66. 40 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÓÒÚ ÖØ Ö Ð BitProxy ÙÒ ÒØ ÖÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð Ð ØÙÖ
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ØÈÖÓÜÝ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼
operator int () const { return byte_ptr->read_bit(bit_index); }
Ù Ò Ó Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÓÑÓ i = array[40]¸ × Ù× ÙÒ ÓÒ×¹
ØÖÙ ØÓÖ int ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ BitProxyº Ë ÒÓ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ù× ÙÒ × Ò ÓÒ
BitProxy intº ÓÑÓ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒÓ ×ØÓ× ÓÔ Ö ÓÖ ×¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÓÒ¹
Ú ÖØ Ð ÔÖÓÜÝ ÙÒ intº
Ò Ð ÜÔÖ × ÓÒ array[40] = i¸ ×Ø ÓÒ ¬Ò Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒ ÔÖÓÜÝ
Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ Ø Ð ÓÑÓ × Ù
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ØÈÖÓÜÝ ¿ +≡ ´¿ µ ¼
BitProxy& operator = (const size_t & value)
{
byte_ptr->write_bit(bit_index, value);
return *this;
}
Í× × BitProxy ¿ º
Ä Ð × BitProxy Ô ÖÑ Ø Ñ Ò Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ø× × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ
Ñ Ò Ö ÕÙ × Ù× Ò ÐÓ× ÖÖ ÐÓ׺ Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ×Ø Ø Ò Ò Ö ÒØ Þ ÕÙ × ÑÔÖ ×
ÔÓ× Ð Ù× Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ []¸ Ò × Ð Ñ × ÐØÓ × ÑÔ ÒÓº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ ÜÔÓÖØ ÑÓ×
Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × ÜÔÐ Ø × Ð ØÙÖ Ý × Ö ØÙÖ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BitArray ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼
int read_bit(const size_t & i) const
{
const int bit_index = i % 8;
return array_of_bytes[i/8].read_bit(bit_index);
}
void write_bit(const size_t & i, const unsigned int & value) const
{
array_of_bytes[i/8].write_bit(i, value);
}
ØÓ× Ñ ÓÖ × ÑÔ ÒÓ¸ ×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × ÒÓ Ö Ð Þ Ò Ú Ö ¬ ÓÒ × ÓÖÖ Ø ØÙ º
ÓÑÓ ÖÖ ÐÓ¸ ÙÒ BitArray ×Ø ×Ù ØÓ Ð × Ñ ×Ñ × Ö ×ØÖ ÓÒ × ×Ó ×¸ × Ò Ó Ð
ÔÖ Ò Ô Ð Ó ×Ø ÙÐÓ Ð ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ñ Ò× ÓÒ ÒÓ × ×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ù Ö Ö ÐÓ×
Ø× Ö ÕÙ Ö Ó׺ ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ö Ù×Ø ¸ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ð
Ö ¹ ¬Ò ÓÒ Ð Ñ Ò× ÓÒ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BitArray ¿ +≡ ´¿ µ ¼
void resize(const size_t & new_dim)
{
const size_t new_num_bytes = new_dim/8 + (((new_dim % 8) != 0) ? 1 : 0);
Byte * new_array_of_bytes = new Byte [new_num_bytes];
for (int i = 0, n = Aleph::min(num_bytes, new_num_bytes); i < n; ++i)
new_array_of_bytes[i] = array_of_bytes[i];
num_bits = new_dim;
num_bytes = new_num_bytes;
delete [] array_of_bytes;
array_of_bytes = new_array_of_bytes;

67. 2.1. Arreglos 41
}
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ñ ÒØ resize() ÒÓ ×ÓÐÓ ÔÙ Ñ Ö× Ð Ñ Ò× ÓÒ Ô Ö Ö Ð
ÖÖ ÐÓ Ñ × Ö Ò ¸ × ÒÓ¸ Ø Ñ Ò¸ Ô Ö ÖÐÓ Ñ × Ô ÕÙ ÒÓº Ò ×Ø ÙÐØ ÑÓ ×Ó ×
Ô Ö Ò ÐÓ× Ø× Ü ÒØ ×º
2.1.4 Arreglos Din´micos
a
ÍÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó × ÕÙ Ð Ò Ð Ù Ð ×Ù Ñ Ò× ÓÒ ÔÙ ÑÓ ¬ Ö× Ò Ñ Ñ ÒØ º
×ØÓ × ÑÙÝ ÙØ Ð Ô Ö ÔÐ ÓÒ × ÕÙ × Ò Ò ¬ Ö Ð Ö Ô Ó ×Ó ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸
Ô ÖÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒÓ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ × ÔÙ Ò Ñ Ò Öº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ø ÔÓ
×Ô Ð Ö ÙÔ Ö ÓÒ Ð Ú ¹ Ö ÓÒ¸ ÐÐ Ñ Ó × Ò Ò Ñ Ó¸ ÙÑ ÒØ Ý ÓÒØÖ
ÔÖÓ Ö × Ú Ñ ÒØ Ð Ñ Ò× ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓº ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ÜÔÐ Ò Ð × ÓÒ Ü º½º º
C Ý C++ ÒÓ ×ÓÔÓÖØ Ò ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó׺ ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó× Ò
×ÙÖØ Ö× ÔÓÖ ÙÒ Ì Ò Ð ÓØ º
ÓÖ Ò¸ ÓÑÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó Ä Ò Þ ×Ù Ö ÕÙ ×
Ö ÐÓ Ð Ð ÖÖ ÐÓº ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ × ¬ ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ Ý × Ô ÖØ Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð
ÖÖ ÐÓº Ë Ð Ñ Ò× ÓÒ × Ð ÒÞ ¸ ÒØÓÒ × × Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÒÙ Ú Ñ Ò× ÓÒ Ñ ÝÓÖ
Ý × Ô ÖØ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ º ×Ô٠׸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ÓÔ Ò Ð ÒÙ ÚÓ ÐÓÕÙ
ݸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ × Ð Ö Ð ÒØ ÙÓ ÐÓÕÙ º
×Ø Ò ÓÕÙ × Ó ÙØ Ð Þ Ó ÓÒ Ü ØÓ Ò Ð ÙÒÓ× × ×Ø Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ ×º Ä Ð ÓØ
×Ø Ò Ö C Ó Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ¸ realloc()¸ ÙÝ × ÒØ Ü × × Ð × Ù ÒØ
void *realloc(void *ptr, size_t size);
Ä ÖÙØ Ò Ñ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ ÔÙÒØ Ó ÔÓÖ ptr¸ Ð Ù Ð
Ö × Ó Ó Ø Ò Ó ÐÐ Ñ × ÔÖ Ú × malloc()¸ calloc() Ó realloc()º Ð ÓÒ¹
Ø Ò Ó ptr Ô ÖÑ Ò Ö ÒÑÓ ¬ Ó Ð Ñ Ò ÑÓ ÔÓ× Ð ÒØÖ Ð ÒØ ÙÓ Ý Ð ÒÙ ÚÓ
Ø Ñ ÒÓ sizeº
Ì ÓÖ Ñ ÒØ ¸ realloc() × ÒØ Ð ÒØ Ý Ô Þ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ × Ö Ò
× Ò Ñ Ö Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ º ×ØÓ × ÒØ Ö × ÒØ ÔÓÖÕÙ × Ú Ø Ð ÓÔ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÒØ ÙÓ ÐÓÕÙ Ð ÒÙ ÚÓ ÐÓÕÙ º ÑÔ ÖÓ¸ Ò Ð ÔÖ Ø ×ØÓ ÒÓ × ×Ù¹
¬ ÒØ ÔÓÖÕÙ ÒÓ × ÙÒ Ö ÒØ º Ó¸ ÑÙÝ ÔÓ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ × realloc()
Ò ÙÒ × Ù ÖÞÓ ÔÓÖ Ú Ö ¬ Ö × Ý Ñ ÑÓÖ ÓÒØ Ù ×ÔÓÒ Ð ptrº
2.1.5 El TAD DynArray<T>
Ò ×Ø × ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ØÓ Ð ÒØ Ö Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ì ¸ ÐÐ Ñ Ó
DynArray<T>¸ Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Tº
DynArray<T> ×ØÖ ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð ×Ô ¬ Ó Ò
Ø ÑÔÓ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒº Ì Ð Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð × ÓÒÓ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó size()º
DynArray<T> Ö ÒØ Þ ÙÒ ÓÒ×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒØ Ò¹
ØÖ × × Ö Ø × Ð ÖÖ ÐÓ × Ö¸ Ð × ÒØÖ × ÕÙ ÒÓ Ò × Ó × Ö Ø × ÒÓ Ò × Ö ¹
Ñ ÒØ ÓÒ×ÙÑ Ò Ñ ÑÓÖ º Ä Ñ ÑÓÖ × Ö × ÖÚ ×ÓÐÓ Ù Ò Ó × × Ö Ò Ð × ÒØÖ ×
ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þº
Ä Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð × ÜÔ Ò Ô Ö ÞÓ× Ý ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ó × × Ö ×Ó Ö
ÙÒ Ò ÕÙ ×Ø Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ø٠к Ë × Ö Ö Ò ÙÒ Ò ÓÑÓ Ð ØÙÖ
Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð Ñ Ò× ÓÒ Ø٠и ÒØÓÒ × × Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ Ù Ö Ö Ò Óº

68. 42 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ä Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð ÔÙ ÓÒØÖ Ö× ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÐÐ Ñ
cut()º Ä ÙÒ ÓÒ Ð Ö ÒØÓÒ × ØÓ Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÒØÖ Ð ÒÙ Ú Ý ÒØ Ö ÓÖ
Ñ Ò× ÓÒ Ø٠к
DynArray<T> × ×Ô ¬ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÝÒ ÖÖ ÝºÀ ¾ ¸ Ð Ù Ð ÜÔÓÖØ Ð Ð ×
Ô Ö Ñ ØÖ Þ DynArray<T>
¾ ØÔÐ ÝÒ ÖÖ ÝºÀ ¾ ≡
template <typename T>
class DynArray
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T>
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T>
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T>
};
ÁÒ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> ½
¬Ò ×
DynArray¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ½¸ ¾ ¸ ¸ ¸½ ¸ ¾ ¾¸ ¿¿¾ ¸ ¿ ß ½¸ ¿¾¸ ß ½¸ ¸ ¸ ¼¸
¾ ¸ ¿¸ ¾¸ Ò º
× Ò ×Ô Ò× Ð ÕÙ Ü ×Ø Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ T::T()¸ × ÓÑÓ Ð ×ØÖÙ ¹
ØÓÖ T::~T()º Ä Ù× Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÐÓ× × Ö ÔÓÖØ ÓÑÓ ÖÖÓÖ Ò Ø ÑÔÓ
ÓÑÔ Ð ÓÒº
ÍÒ DynArray<T> ×Ó ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ü Ñ º ÍÒ ÖÖ ÐÓ ÒÓ ÔÙ ÜÔ Ò Ö×
Ñ × ÐÐ ÕÙ ÐÐ Ñ Ò× ÓÒº ÈÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ü Ñ × 2 ÒØÖ ×
´2 × 1024 × 1024 × 1024µ º
2.1.5.1 Estructura de datos de DynArray<T>
Ä ¬ ÙÖ ¾º½ ´Ô Ò ¿µ ×ÕÙ Ñ Ø Þ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ DynArray<T>¸
Ð Ù Ð ÐÙ×ØÖ ØÖ × Ð × × ÓÑÔÓÒ ÒØ ×
Directorio: ÖÖ ÐÓ ÔÙÒØ ÓÖ × × Ñ ÒØÓ× ÙÝ Ñ Ò× ÓÒ × dir sizeº
Segmento: ÖÖ ÐÓ ÔÙÒØ ÓÖ × ÐÓÕÙ × ÙÝ Ñ Ò× ÓÒ × seg sizeº ÈÙ Ò
Ü ×Ø Ö ×Ø dir size × Ñ ÒØÓ׺
Bloque: ÖÖ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ T ÙÝ Ñ Ò× ÓÒ × block sizeº Ò ØÓØ Ð¸ ÔÙ Ò
Ü ×Ø Ö ×Ø dir size × seg size ÐÓÕ٠׺ ÄÓ× ÐÓÕÙ × ÐÑ Ò Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ×
Ð ÖÖ ÐÓº Ä Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ü Ñ Ð ÖÖ ÐÓ × dir size × seg size × block size
Ð Ñ ÒØÓ׺
ËÓ Ö ÙÒ Ñ ÕÙ Ò 32 Ø׸ Pentium III¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÔÖÓ ×Ó ×ÔÓÒ ÙÒ ×Ô Ó Ö ¹
ÓÒ Ñ ÒØÓ 232 º ÓÑÓ Ð ×Ô Ó Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÓÒØ Ò Ö Ð Ó Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ¸ ×Ù× ØÓ×
×Ø Ø Ó× Ý ×Ù× ØÓ× Ò Ñ Ó׸ Ð ÒØ ×Ô Ó ×ÔÓÒ Ð × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 232 º Ñ ×¸ Ð × ×Ø Ñ
ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ö × ÖÚ ÙÒ Ô ÖØ Ð ×Ô Ó Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ô Ö × Ñ ×ÑÓº ÍÒ ÖÖ ÐÓ ¾ ÒØ ÖÓ×
ÓÖØÓ× ´shortµ ÒÓ Ö Ò ÙÒ ÔÖÓ ×Óº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ × Ö ÕÙ Ö Ö Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ñ ÑÓÖ Ú ÖØÙ Ð 4
ÝØ × Ô Ö Ð Ö Ö ×Ø ÖÖ ÐÓº ÈÓÖ ×Ø × Ö ÞÓÒ ×¸ Ö ÑÓ× ÕÙ 2 ÒØÖ × × ×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ð
Ñ ÝÓÖ Ð × × ØÙ ÓÒ ×º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ö Ú Ð Ó Ò × ×Ø Ñ × Ô Ö× ×Ø ÒØ × ÓÒ Ö Ò × ÖÖ ÐÓ× ×ÓÒ Ñ Ô Ó× Ò × Ó Ý
Ò Ñ ÑÓÖ Ý Ò Ñ Ñ ÒØ Ö Ó× Ð Ñ Ò º Ä × ÖÕÙ Ø ØÙÖ × Ø× Ó Ñ × Ò ÔÓ× Ð
×Ô Ó× Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ô Ö× ×Ø ÒØ × ÒÚ Ö ÙÖ ÑÙÝ Ö Ò º ÑÔ ÖÓ¸ Ð ÓÒ× Ù ÓÒ ÙÒ
× ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ¸ Ô Ö Ñ Ð Ô Ö× ×Ø Ò ¸ × ÙÒ ÙÒ Ø Ñ ÑÙÝ ÒÑ ÙÖÓ ÒÚ ×Ø ÓÒº

69. 2.1. Arreglos 43
º º º
º º º º º º º º
º º º º º
º º º º º
Bloques
dir size º
º º block size
º
º º
Segmento
º º º
seg size
º º º º º
Directorio º
º
º
º º
º º
º º
º
ÙÖ ¾º½ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× DynArray<T>
Ð Ö Ø Ö Ò Ñ Ó Ð ÖÖ ÐÓ Ö × Ò Ð Ó ÕÙ ×ÓÐÓ × ÙØ Ð Þ Ò ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ý
× Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓ ÕÙ Ý Ò × Ó × Ö ØÓ× Ó Ñ ÒØ
ÙÒ Ñ ØÓ Ó ×Ô Ð ÐÐ Ñ Ó touch()º
Ó ÙÒ Ò i¸ Ð ×Ó ÑÔÐ Ð ÙÐ Ö Ð ÒØÖ Ò Ð Ö ØÓÖ Ó¸ ÐÙ Ó Ð ÒØÖ
Ò Ð × Ñ ÒØÓ Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÒØÖ Ò Ð ÐÓÕÙ º ×ØÓ× Ð ÙÐÓ× ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö×
ÓÑÓ × Ù
´
Indice del segmento en el directorio: × Ñ ÒØÓ Ö ÔÖ × ÒØ seg size×block size
Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓº Ð Ò Ò Ð Ö ØÓÖ Ó ×Ø Ó ÔÓÖ Ð ÜÔÖ × ÓÒ × Ù ÒØ
pos in dir =
i
seg size × block size
´¾º¾µ
ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× Ð ÒÓÑ Ö Ú Ö Ð pos in dir Ú Þ ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÐÑ Ò Ö
ÙÒ Ò Ò Ð Ö ØÓÖ Óº
´
Indice del bloque en el segmento: Ð Ö ×ØÓ Ð Ú × ÓÒ ´¾º¾µ¸ ÒÓØ Ó Ö ×ØÓ¸ ܹ
ÔÖ × Ð ÒÙÑ ÖÓ ÐÓÕÙ × ÕÙ ÐØ Ò Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ò iº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÐÓÕÙ ÔÓ× block size Ð Ñ ÒØÓ׸ Ð ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð × Ñ ÒØÓ
×Ø ÔÓÖ
pos in seg =
Ö ×ØÓ ´¾º¿µ
block size
ÓÒ Ö ×ØÓ × ¬Ò ÓÑÓ
Ö ×ØÓ = i ÑÓ (seg size × block size) ´¾º µ

70. 44 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð ÒÓÑ Ö Ú Ö Ð pos in seg × Ö ÙØ Ð Þ Ó Ú Þ ÕÙ × × Ñ ÑÓÖ Þ Ö
ÙÒ Ò × Ñ ÒØÓº
Indice del elemento en el bloque: Ð Ò
´ Ð Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖÓ Ð ÐÓÕÙ × Ó Ø Ò
ØÖ Ú × Ð Ö ×ØÓ Ð Ú × ÓÒ ´¾º¿µº × Ô٠׸ Ð Ö ×ØÓ ×Ø Ú × ÓÒ × Ð ÒÙÑ ÖÓ
Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÐØ Ò Ô Ö ÐÐ Ö Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖÓ Ð ÐÓÕÙ
pos in block = Ö ×ØÓ ÑÓ block size ´¾º µ
ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ´¾º µ Ò ´¾º µ
pos in block = (i ÑÓ (seg size × block size)) ÑÓ block size ´¾º µ
×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò ØÙ Ö× × ÑÔÖ ÕÙ × × Ö Ð Þ Ö ÙÒ ×Óº ÈÙ ×ØÓ
ÕÙ ÓÔ Ö ÓÒ ØÓÑ ÙÒ Ñ Ü ÑÓ Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ × Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð ×Ó ÙÒ
ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó ØÓÑ ÙÒ Ñ Ü ÑÓ Ø ÑÔÓ ÕÙ Ø Ñ Ò × ÓÒ×Ø ÒØ º
È Ö Ñ ÓÖ Ö Ð Ø ÑÔÓ Ð ÙÐÓ ´¾º¾µ¸ ´¾º¿µ Ý ´¾º µ ÐÓ× Ø Ñ ÒÓ× Ö ØÓÖ Ó¸
× Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ ×ÓÒ ÔÓØ Ò × Ü Ø × Ó׺ ×Ø ÓÖÑ ¸ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ý Ð
Ú × ÓÒ ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× ÓÒ × ÑÔÐ × ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ׺
ØÓ× Ò Ö Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ Ð ÙÒÓ× Ð ÙÐÓ× × Ö Ð Þ Ò Ò Ø ÑÔÓ
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ý Ñ × ÚÙ ÐÚ Ò ÑÓ ¬ Ö× ÙÖ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ú ÙÒ Ò×Ø Ò
DynArray<T>º
Ñ Ñ ÖÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> ≡ ´ ¾µ
mutable size_t pow_dir;
mutable size_t pow_seg;
mutable size_t pow_block;
×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ × ÐÑ Ò Ò Ð × ÔÓØ Ò × 2 Ð × ÐÓÒ ØÙ × Ð Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ
Ý ÐÓÕÙ ¸ Ð Ù Ð × ×ÓÒ 2pow dir ¸ 2pow seg Ý 2pow block ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ä Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ü Ñ Ö ×ÙÐØ ÒØ × 2pow dir ×2pow seg ×2pow block º Ë ×Ø Ð ÙÐÓ Ö ×ÙÐØ
Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ Ñ Ò× ÓÒ Ô ÖÑ Ø Max Dim Allowed¸ ÒØÓÒ × × Ò Ö Ð Ü¹
Ô ÓÒ std::length errorº Ë ÒÓ Ý Ô ÒÙÑ Ö Ô Ö ØÙ Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×
Ñ ÒØ ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ׸ ÒØÓÒ × × Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ std::overflow errorº
ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ø Ò Ò× Ò Ù ÒØ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð ×
seg size = 2pow seg ´¾º µ
block size = 2 pow block
´¾º µ
ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ´¾º µ Ý ´¾º µ Ò ´¾º¾µ Ø Ò ÑÓ×
pos in dir =
2pow seg
i
×2 pow block
i
= (pow seg+pow block)
2
´¾º µ
Ñ Ñ ÖÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
mutable size_t seg_plus_block_pow;

71. 2.1. Arreglos 45
Ð Ú ÐÓÖ 2(pow seg+pow block) × Ù Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ò seg plus block pow Ô Ö ÙØÙÖÓ×
Ð ÙÐÓ׺
ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ´¾º µ Ý ´¾º µ Ò ´¾º µ¸ Ø Ò ÑÓ×
Ö ×ØÓ = i ÑÓ (2pow seg × 2pow block ) = i ÑÓ 2(pow seg+pow block) ´¾º½¼µ
ÓÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö Ð ÙÐ Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ð Ó ÒØ Ý Ð Ö ×ØÓ
ÙÒ Ú × ÓÒ ÒØÖ ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø 2º È Ö Ð ×Ó Ð Ð ÙÐÓ Ð Ü¹
ÔÖ × ÓÒ ´¾º µ¸ Ý × ÑÓ× ÕÙ Ð Ó ÒØ × Ð Ö ×ÙÐØ Ó ×ÔÐ Þ Ö i Ð Ö
seg plus block pow Ú ×º ×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ´¾º µ Ö ×ÙÐØ ¸ Ñ ÒØ ×ÔÐ Þ ¹
Ñ ÒØÓ׸ Ò
pos in dir = i seg plus block pow ´¾º½½µ
Ð Ö ×ØÓ ×Ø Ó ÔÓÖ ÐÓ× seg plus block pow Ø× Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ× iº È Ö
ÓÒÓ Ö ÐÓ× seg plus block pow Ø× Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ× ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ
ÐÓ× seg plus block pow Ø× Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ× Ò ÙÒÓ Ý ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ × Ò ÖÓº
Ñ Ñ ÖÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
mutable size_t mask_seg_plus_block;
mask seg plus block × Ð ÙÐ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
mask seg plus block = 2seg plus block pow − 1 ´¾º½¾µ
Ò × Ò Ö ¸ 2seg plus block pow ÓÒØ Ò ÔÙÖÓ× ÖÓ× Ü ÔØÓ ÙÒ ÙÒÓ Ò Ð
ÔÓ× ÓÒ seg plus block powº ÓÑÓ Ý seg plus block pow ÖÓ× ÒØ × ÐÐ Ö Ð
ÙÒ Ó ÙÒÓ¸ Ø ÔÖÓÚÓ ÙÒ ÔÖ ×ØÓ ÕÙ × ÔÓÖ ¬Ò Ô Ó Ù Ò Ó × ÐÐ Ð Ø Ò
seg plus block powº × Ô٠׸ ×Ø ÒÙÑ ÖÓ Ø Ò ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× seg plus block pow Ò
ÙÒÓ Ý ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ × Ò ÖÓº Ð Ö ×ØÓ Ò Ð ÜÔÖ × ÓÒ ´¾º½¼µ ÔÙ Ð ÙÐ Ö× ÓÒ ÙÒ AND
ÐÓ Ó ÙÝÓ ÓÔ Ö ÓÖ Ò C++ × &
Ö ×ØÓ = i AND mask seg plus block = i & mask seg plus block ´¾º½¿µ
× ÓÑÙÒ ÒÓØ Ö Ð Ú Ö Ð mask seg plus block ÓÑÓ ÙÒ Ñ × Ö ÔÓÖÕÙ
ÒÑ × Ö ÐÓ× Ø× Ð ÞÕÙ Ö seg plus block powº
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> ≡ ´ ¾µ
size_t mask_seg;
size_t mask_block;
mask seg × ÒÓØ ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÜÔÖ × ÓÒ
mask seg = 2pow seg − 1 = seg size − 1 ; ´¾º½ µ
ÄÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÙÒ Ð ÙÐÓ Ô Ö Ð ÔÓ× ÓÒ Ò Ð ÐÓÕÙ
pos in seg = Ö ×ØÓ >> pow block ´¾º½ µ
ÓÒ Ö ×ØÓ × ´¾º½¿µº
mask block × ÒÓØ ÔÓÖ
mask block = 2pow block − 1 = block size − 1 ´¾º½ µ

72. 46 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
È Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ò ÒØÖÓ ÙÒ ÐÓÕÙ ´¾º µ¸ Ý ÕÙ Ð ÙÐ Ö Ð Ö ×ØÓ Ú Ö
ÒØÖ block sizeº È Ö ÐÐÓ¸ ÙØ Ð Þ ÑÓ× Ð Ñ × Ö mask blockº ×Ø ÓÖÑ ¸ ´¾º µ ×
ÔÐ ÒØ ÓÑÓ × Ù
pos in block = (i & mask seg plus block) & mask block ´¾º½ µ
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö ¬ ÒØ Ñ ÒØ ÐÓ× ×Ó× Ð Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ
ÜÔÖ × Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ ×Ð Ö ÑÓ× ÐÓ× Ð ÙÐÓ× Ò ÙÒ ÓÒ × × Ô Ö × ÓÒ ÒÓÑ Ö × ÕÙ
Ò ÕÙ Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÐÓ× Ð ÙÐÓ× Ò Ù ×Ø ÓÒ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
size_t index_in_dir(const size_t & i) const
{
return i >> seg_plus_block_pow;
}
size_t modulus_from_index_in_dir(const size_t & i) const
{
return (i & mask_seg_plus_block);
}
size_t index_in_seg(const size_t & i) const
{
return modulus_from_index_in_dir(i) >> pow_block;
}
size_t index_in_block(const size_t & i) const
{
return modulus_from_index_in_dir(i) & mask_block;
}
¬Ò ×
index in block¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¸ ¸ Ò º
index in dir¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ß Ò º
index in seg¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ß Ò º
index in dir() Ð ÙÐ Ð Ò ÒØÖÓ Ð Ö ØÓÖ Ó Ó Ð Ò Ð ÖÖ ÐÓ i
Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ´¾º½½µº
index in seg() Ð ÙÐ Ð Ò ÒØÖÓ Ð × Ñ ÒØÓ Ó Ð Ò Ð ÖÖ ¹
ÐÓ i × ÙÒ Ð ´¾º½ µº ×Ø ÙÒ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ö ×ØÓ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ
modulus from index in dir()) × ÙÒ ´¾º½¿µº
index in block() Ð ÙÐ Ð Ò ÒØÖÓ Ð ÐÓÕÙ Ó Ð Ò i Ð ÖÖ ÐÓ
× ÙÒ ´¾º½ µº
ÓÑÓ Ð × ÙÒ ÓÒ × ×ÓÒ inline¸ Ð × Ù Ò ÒØ ÖÒ ÓÔ Ö ÓÒ × × ÜÔÓÒ ÓÑÔÐ ¹
Ø Ñ ÒØ Ð ÓÔØ Ñ Þ ÓÖ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ¸ Ð Ù Ð × Ô Þ ØÙ Ö ÑÙ × ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ ×¸
ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ð Ö ×ØÓ Ð Ú × ÓÒ ØÙ Ò Ð Ð ÙÐÓ Ð Ò Ð
Ö ØÓÖ Óº
Ñ Ñ ÖÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
mutable size_t max_dim; // 2^(pow_dir + pow_seg + pow_block) - 1
max dim ÐÑ Ò Ð Ñ Ü Ñ Ñ Ò× ÓÒ ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö Ð ÖÖ ÐÓ × ÙÒ Ð × ÐÓÒ ¹
ØÙ × Ð Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ º
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
size_t current_dim;
size_t num_segs;
size_t num_blocks;

73. 2.1. Arreglos 47
current dim ÐÑ Ò Ð Ñ Ò× ÓÒ Ø٠к num segs Ý num blocks ÓÒØ Ð Þ Ò Ð
ØÓØ Ð × Ñ ÒØÓ× Ý ÐÓÕÙ × ÕÙ Ò × Ó Ö × ÖÚ Ó׺
2.1.5.2 Manejo de memoria
Ò Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ × Ò ÓÒ× Ö Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ô ØÓ×
¯ Ð Ú ÐÓÖ NULL Ò ÕÙ ÙÒ ÒØÖ Ö ØÓÖ Ó Ó × Ñ ÒØÓ ÒÓ Ø Ò Ñ ÑÓÖ
Ô ÖØ º ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ù Ò Ó ÙÒ ÐÓÕÙ × Ð Ö Ó¸ Ð ÒØÖ Ò Ð Ö ØÓÖ Ó
× Ö Ö ×Ø ÙÖ Ð Ú ÐÓÖ NULLº
¯ ÄÓ× × Ñ ÒØÓ× Ý ÐÓÕÙ × Ö × ÖÚ Ó× Ó Ð Ö Ó× Ò ÓÒØ Ð Þ Ö× º
Ä ÒØÖ Ð Ö ØÓÖ Ó׸ × Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ ÓÑ ÒÞ Ô ÖØ Ö Ð Ö ØÓÖ Ó¸ Ð Ù Ð
× Ð Ö ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
T *** dir;
dir Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ö ØÓÖ Óº
Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× ×Ô Ð Þ Ó× ÕÙ × Ô Ö Ò
ÐÓ× Ø ÐÐ × Ò ÔÙÒØÓ× ÙÒ Ó׸ × Ò ÐÐÓ× ÔÙÖ Ö Ý Ñ ÒØ Ò Ö
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
void fill_dir_to_null()
{
for (size_t i = 0; i < dir_size; ++i)
dir[i] = NULL;
}
void fill_seg_to_null(T ** seg)
{
for (size_t i = 0; i < seg_size; ++i)
seg[i] = NULL;
}
¬Ò ×
fill dir to null¸ Ù× Ò ÙÒ º
fill seg to null¸ Ù× Ò ÙÒ º
fill dir to null() × ÙÖ ÕÙ ØÓ × Ð × ÒØÖ × Ð Ö ØÓÖ Ó × Ò ÒÙР׺ Ð
Ú ÐÓÖ NULL Ò ÕÙ Ð ÒØÖ Ð Ö ØÓÖ Ó ÒÓ ÔÓ× ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ö × ÖÚ Óº
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ NULL Ò ÙÒ ÒØÖ ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ò Ö ÕÙ Ð ÒØÖ ÒÓ ÔÓ×
ÙÒ ÐÓÕÙ Ö × ÖÚ Óº
fill seg to null() Ò Ð Þ ØÓ × Ð ÒØÖ × Ð × Ñ ÒØÓ ÔÙÒØ Ó ÔÓÖ seg
Ð Ú ÐÓÖ NULLº fill dir to null() × ÐÐ Ñ Ù Ò Ó × Ö Ð Ö ØÓÖ Ó Ý
fill seg to null() Ù Ò Ó × Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ × Ñ ÒØÓº
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
void allocate_dir()
{
dir = new T ** [dir_size];
fill_dir_to_null();
}
void allocate_segment(T **& seg)
ÐÚÖ Ó Ò Ð Þ Ö Ý × Ô ÖØ Ö Ð Ð Ð Ò Ù ×Ô ÒÓÐ º

74. 48 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
{
seg = new T* [seg_size];
fill_seg_to_null(seg);
++num_segs;
}
¬Ò ×
allocate dir¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò ¾º
allocate segment¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ ¸ ¸ Ò º
Í× × fill dir to null Ò fill seg to null º
allocate dir() Ö × ÖÚ
Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð Ö ØÓÖ Ó Ý ¬ ØÓ × ×Ù× ÒØÖ × Ò NULLº
allocate segment() ×
Ò Ð ÔÙÒØ ÖÓ seg Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÙÒ ÒÙ ÚÓ × ¹
Ñ ÒØÓ ÙÝ × ÒØÖ × ×Ø Ò Ò Ð Þ × Ò NULLº
Ä × ÒØÖ × Ð Ö ØÓÖ Ó Ý ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× × ÑÔÖ Ò Ò Ð Þ Ö× Ò NULLº
dir[i] == NULL Ò ÕÙ ÒÓ × Ô ÖØ Ó ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ñ ÒØÖ × ÕÙ dir[i][j] ==
NULL Ò ÕÙ ÒÓ × Ô ÖØ Ó Ð ÐÓÕÙ º
Ò Ð ×Ó Ò Ð Þ Ö ÙÒ ÐÓÕÙ ¸ ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ð ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ù×Ù Ö Ó
DynArray<T> ×Ô ¬ÕÙ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ðº È Ö ÐÐÓ¸ Ù Ö Ö ÑÓ× Ò ÐÓ× × Ù ÒØ ×
ÑÔÓ× ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð T ØÓ × Ð × ÒØÖ × ÙÒ ÐÓÕÙ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
T default_initial_value;
T * default_initial_value_ptr;
default initial valueÐÑ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ default initial value ptr
ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ð ÒØ Ö ÓÖº ÈÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ ×Ø ÔÙÒØ ÖÓ × NULL¸ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ ¸ Ø Ñ Ò
ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ ÒÓ × Ö Ð ÙÒ Ò Ð Þ ÓÒ ÜÔÐ Ø ¸ × ÒÓ Ð ÑÔÐ Ø ×Ù Ý ÒØ Ð ÓÒ×¹
ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ T::T()º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × DynArray<T>
Ò Ð Þ Ò default initial value ptr Ò NULL
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
void allocate_block(T *& block)
{
block = new T [block_size];
++num_blocks;
if (default_initial_value_ptr == NULL) return;
for (size_t i = 0; i < block_size; ++i)
block[i] = default_initial_value;
}
¬Ò ×
allocate block¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò º
allocate block() × Ò Ð ÔÙÒØ ÖÓ block Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÐÓÕÙ º
Ë ÙÒ ÕÙ × Ý Ó ÒÓ ×Ô ¬ Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ × Ö ÓÖÖ Ö block Ý × Ð × Ò Ö
Ð Ú ÐÓÖ default initial value ÐÓ ÕÙ Ü Ð Ü ×Ø Ò Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒ T&
operator = (const T&)º
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
void release_segment(T **& seg)
{
delete [] seg;
seg = NULL;

75. 2.1. Arreglos 49
--num_segs;
}
void release_block(T *& block)
{
delete [] block;
block = NULL;
--num_blocks;
}
¬Ò ×
release block¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò º
release segment¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò º
×ØÓ× Ñ ØÓ Ó× × Ò Ö Ò Ð Ö Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ó ÙÒ ÐÓÕÙ º ÇØÖ
Ñ Ò Ö Ð Ö Ö ÒÚÓÐÙ Ö ÙÒ × Ñ ÒØÓ ÓÒ ØÓ Ó× ×Ù× ÐÓÕ٠׸ Ó ØÓ Ó× ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× Ý
ÐÓÕÙ × Ð ÖÖ ÐÓ Ó Ð Ö ØÓÖ Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ½
void release_blocks_and_segment(T ** & seg)
{
for(size_t i = 0; i < seg_size ; ++i)
if (seg[i] != NULL)
release_block(seg[i]);
release_segment(seg);
}
void release_all_segments_and_blocks()
{
for(size_t i = 0; i < dir_size ; ++i)
if (dir[i] != NULL)
release_blocks_and_segment(dir[i]);
current_dim = 0;
}
void release_dir()
{
release_all_segments_and_blocks();
delete [] dir;
dir = NULL;
current_dim = 0;
}
¬Ò ×
release all segments and blocks¸ Ù× Ò ÙÒ º
release blocks and segment¸ Ò Ú Ö Ù× º
Í× × release block Ò release segment º
2.1.5.3 Especificaci´n e implantaci´n de m´todos p´ blicos
o o e u
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ ÔÐ ÒØ ÙÒ ×ÙØ Ð Þ Ö Ð ×Ð ÓÒ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð
ÐÓÕÙ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> ≡ ´ ¾µ ½
DynArray(const size_t & dim = 10000)
: pow_dir ( Default_Pow_Dir ),
pow_seg ( Default_Pow_Seg ),
Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ð ÔÓØ Ò ¾ Ð ÐÓÕÙ ¼

76. 50 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
seg_plus_block_pow ( pow_seg + pow_block ),
mask_seg_plus_block ( two_raised(seg_plus_block_pow) - 1 ),
dir_size ( two_raised(pow_dir) ),
seg_size ( two_raised(pow_seg) ),
block_size ( two_raised(pow_block) ),
max_dim ( two_raised(seg_plus_block_pow + pow_dir) ),
mask_seg ( seg_size - 1 ),
mask_block ( block_size - 1 ),
current_dim ( 0 ),
num_segs ( 0 ),
num_blocks ( 0 ),
default_initial_value_ptr (NULL)
{
allocate_dir();
}
Í× × allocate dir Ò DynArray ¾º
ÓÑÓ × Ú ¸ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × Ð ÓÒ ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ÐÓÕÙ º Å ÒØÖ × Ñ × Ö Ò × ×Ø
ÐÓÒ ØÙ ¸ Ñ ÒÓÖ × Ö Ð ÒØ Ö × ÖÚ ÓÒ × Ñ ÑÓÖ Ù× × ÔÓÖ Ð ÜÔ Ò× ÓÒ
Ð ÖÖ ÐÓº ÍÒ Ø Ñ ÒÓ ÐÓÕÙ ÑÙÝ Ô ÕÙ ÒÓ ÑÔÐ Ö ÕÙ ÒÙ ÚÓ× ÐÓÕÙ × Ø Ò Ö Ò
ÕÙ Ô ÖØ Ö× ÑÙÝ Ñ ÒÙ Óº Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ñ Ü Ñ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ × Ö ÑÙÝ
ÐÑØ º
ÑÓ× ÔÖ Ú Ð Ö ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ÐÓÕÙ Ñ × Ó Ñ ÒÓ× Ö Ò º Ò ÔÖ Ò Ô Ó¸ ×
× Ð ÓÒ ÙÒ Ó Ø Ú Ô ÖØ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ò Ð ×Ô ¬ Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖº Ð
ÙÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó Ð Ù×Ù Ö Ó ×Ù Ö ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ Ò Ð ÑÙÝ Ô ÕÙ Ò ¸ ÐÓ
ÕÙ ÖÖ Ö ÙÒ Ø Ñ ÒÓ ÐÓÕÙ ÑÙÝ Ô ÕÙ ÒÓº È Ö Ú Ø Ö ×ØÓ¸ × Ð ÓÒ ÑÓ× ÙÒ
ÔÓØ Ò 2 × ÓÑÓ ÐÓÒ ØÙ Ñ Ò Ñ Ð ÐÓÕÙ º ÓÑÓ × ×Ô ¬ Ó Ò Ñ Ñ ÖÓ×
ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> ¸ Ø Ð ÔÓØ Ò × Ö Ð Ú ÐÓÖ 12¸ ÕÙ Ú Ð ÒØ 4096
ÒØÖ ×¸ ÐÓ ÕÙ ÖÖÓ ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ü Ñ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ 24+26+212 = 222 = 4194304º
Ò ÙÒ Ñ ÕÙ Ò ¿¾ Ø׸ Max Bits Allowed = 32º ÒØÓÒ ×¸ Ö ×Ø Ö Ò 32 − 22 − 1
ÔÓØ Ò × Ó× Ñ × Ô Ö ÙÒ ÐÓÕÙ ÒØ × ÐÐ Ö Max Bits Allowedº Ä Ñ Ü Ñ
ÔÓØ Ò Ó× Ð Ø Ñ ÒÓ ÙÒ ÐÓÕÙ × Ö
Max Pow Block = 32 − Default Pow Dir − Default Pow Seg − 1 = 21 ´¾º½ µ
ÄÓ ÕÙ ÙÒ Ñ Ü Ñ Ñ Ò× ÓÒ Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ
2Default Pow Dir
× 2Default Pow Seg
× 221 = 24 × 26 × 221 = 536870912 ,
Ñ Ò× ÓÒ Ñ × ÕÙ ×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× ÕÙ ÕÙ Ô Ò Ò Ñ ÑÓÖ º
Ä Ñ Ü Ñ ÔÓØ Ò Ó× Ð ÐÓÕÙ × ÐÑ Ò Ò ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ð ÙÐ
× ÙÒ ´¾º½ µº
× Ô٠׸ × Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ Default Pow Block ≤ pow block ≤ Max Pow Blockº
×Ø ÜÔÖ × ÓÒ × ØÖ Ù Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¼ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ð ÔÓØ Ò ¾ Ð ÐÓÕÙ ¼ ≡ ´ µ
pow_block (std::min(std::max(next2Pow(dim/8), Default_Pow_Block),
Max_Pow_Block) ),
×Ø Ð ÙÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ú Ð Ñ Ò× ÓÒ ÔÖÓÔÙ ×Ø ÒØÖ Ó Ó Ý ÐÙ Ó ÐÐ Ú ×Ø Ö ×ÙÐØ Ó
Ð ÔÖÓÜ Ñ ÔÓØ Ò Ó׺ ×Ø × Ö Ð ÔÓØ Ò Ó× Ð ÐÓÕÙ Ñ ÒÓ× ÕÙ ×

77. 2.1. Arreglos 51
Ñ × Ô ÕÙ Ò ÕÙ Default Pow Block Ó Ñ × Ö Ò ÕÙ Max Pow Blockº
½ ÁÒ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ × DynArray<T> ½ ≡ ´ ¾µ
template <typename T> const size_t DynArray<T>::Default_Pow_Dir = 4; /* 16 */
template <typename T> const size_t DynArray<T>::Default_Pow_Seg = 6; /* 64 */
template <typename T> const size_t DynArray<T>::Default_Pow_Block = 12; /* 4096 */
template <typename T> const size_t DynArray<T>::Max_Bits_Allowed = 8 * sizeof(size_t);
template <typename T> const size_t DynArray<T>::Max_Dim_Allowed = 2*1024*1024*1024ul;
template <typename T> const size_t DynArray<T>::Max_Pow_Block =
(Max_Bits_Allowed - Default_Pow_Dir - Default_Pow_Seg - 1);
Í× × DynArray ¾º
Ð Ð ÙÐÓ Ð ÔÖÓÜ Ñ ÔÓØ Ò Ó× ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ × Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ
×Ø Ø next2Pow
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ½
static size_t next2Pow(const size_t & number)
{
return static_cast<size_t>(ceil(log(static_cast<float>(number))/log(2.0)));
}
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ Ý Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒ Ö Ð Þ Ò ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÓÑÙÒ Ð ×
Ö × ÖÚ ÓÒ × Ñ ÑÓÖ Ý ÓÔ × Ð Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ× Ý ÐÓÕÙ × Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÒÓ¸
× ÔÓÖ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ó ÔÓÖ Ð × Ò ÓÒº ÈÓÖ ÐÐÓ¸ Ò Ô×ÙÐ ÑÓ× ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ Ò ÙÒ
Ñ ØÓ Ó ÔÖ Ú Ó ÓÑÙÒ ÐÐ Ñ Ó copy array()
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ¾
void copy_array(const DynArray<T> & src_array)
{
for (int i = 0; i < src_array.current_dim; ++i)
if (src_array.exist(i))
(*this)[i] = src_array.access(i);
}
Í× × DynArray ¾º
copy array() Ù×Ó Ó× Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ º
src array.exist(i) Ö ØÓÖÒ true × Ð i¹ × Ñ ÒØÖ Ü ×Ø Ò src array Ð× ¸
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº src array.access(i) Ö ØÓÖÒ Ð i¹ × Ñ ÒØÖ src array × Ò Ú Ö¹
¬ Ö ÕÙ ÒØÖ Ü ×Ø × Ö¸ ÕÙ Ø Ò ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ý ÙÒ ÐÓÕÙ Ô ÖØ ¹
Ó׺ ÆÓ Ý Ò × Ú Ö ¬ Ö ÕÙ Ý Ñ ÑÓÖ ÔÓÖÕÙ ×ØÓ Ù Ú Ö ¬ Ó ÓÒ
src array.exist(i)º Ð ÓÔ Ö Ò Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð × Ò ÓÒ¸ (*this)[i] = ... Ô ÖØ
Ð × Ñ ÒØÓ Ó Ð ÐÓÕÙ × × Ö ÕÙ Ö º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ copy array() Ö ÓÖÖ ÔÓ× ÓÒ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ׺ À Ý ÙÒ Ñ Ò Ö
ÑÙ Ó Ñ × ¬ ÒØ ¸ Ô ÖÓ Ñ × Ð ÑÔÐ ÒØ Ö ÕÙ × Ú Ð Ð ÓÔ Ö Ø
ÐÓÕ٠׺ Ä ¬ ÙÐØ ×ØÖ Ù Ò Ó ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× Ø Ò Ò Ø Ñ ÒÓ× × Ñ ÒØÓ× Ý ÐÓ¹
ÕÙ × Ö ÒØ ×º Ì Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ð Ö Óº ÓÑÓ ÝÙ ¸ × ÔÖÓÚ Ð
Ñ ØÓ Ó advance block index()¸ Р٠и Ó× ÐÓ× Ò × Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ ¸
Ð ÙÐ ÐÓ× Ò × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × len ÐÓÕÙ ×
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ½ ¾
size_t divide_by_block_size(const size_t & number) const
{
return number >> pow_block;
}

78. 52 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
size_t modulus_by_block_size(const size_t & number) const
{
return number & mask_block;
}
void advance_block_index(size_t & block_index,
size_t & seg_index,
const size_t & len) const
{
if (block_index + len < block_size)
{
block_index += len;
return;
}
seg_index += divide_by_block_size(len);
block_index = modulus_by_block_size(len);
}
ÇØÖ ÓÖÑ ÓÔ Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ö × ÙÖ Ö ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÒÓ Ø Ò Ü ¹
Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ×ØÖÙ ØÙÖ ÕÙ Ð Ð Ù ÒØ × Ö¸ ÐÓ× Ø Ñ ÒÓ× Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ
Ý ÐÓÕÙ Ò × Ö ÒØ Ó׺ Ó × ÔÖ Ñ × ¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÔ Ö ×ÓÐÓ ÕÙ ÐÐ × ÒØÖ ×
ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ñ ÑÓÖ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ½
void allocate_dir(T *** src_dir)
{
allocate_dir();
for (int i = 0; i < dir_size; i++)
if (src_dir[i] != NULL)
allocate_segment(dir[i], src_dir[i]);
}
Í× × allocate dir Ò allocate segment º
Ð Ñ ØÓ Ó Ù×Ó Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
allocate seg() Ò ×Ù Ú Ö× ÓÒ ÓÔ ¸ Ð Ù Ð ×Ù
ÚÞ Ù×Ó allocate block(seg[i],
src seg[i])º ×Ø × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÒÓ ×Ø Ò ÑÓ×ØÖ × Ò ×Ø Ø ÜØÓ¸ Ô ÖÓ ×ÓÒ ÐÑ ÒØ
٠Р׺
Å ÒØ allocate dir() Ò ×Ù Ú Ö× ÓÒ ÓÔ ÔÓ ÑÓ× Ó Ö Ö ÙÒ ÑÓ ÐÓ ÓÔ
Ñ × ¬ ÒØ º ×Ø ÓÖÑ ÓÔ Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× copy array exactly() Ý Ð ¬Ò ÑÓ×
Ó Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ½ ¿
void copy_array_exactly(const DynArray<T> & array)
{
release_dir(); // liberar toda la memoria de this
pow_dir = array.pow_dir;
pow_seg = array.fpow_seg;
pow_block = array.pow_block;
seg_plus_block_pow = array.seg_plus_block_pow;
mask_seg_plus_block = array.mask_seg_plus_block;
dir_size = array.dir_size;
seg_size = array.seg_size;
block_size = array.block_size;
max_dim = array.max_dim;

79. 2.1. Arreglos 53
mask_seg = array.mask_seg;
mask_block = array.mask_block;
current_dim = array.current_dim;
num_segs = array.num_segs;
num_blocks = array.num_blocks;
default_initial_value_ptr = array.default_initial_value_ptr;
allocate_dir(array.dir);
}
Í× × allocate dir Ò DynArray ¾º
Å ÒØ allocate dir() × ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö ¬ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ º Ä
× Ò ÓÒ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ö Ð Þ Ð ÓÔ Ð Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ð Ñ ÒØÓ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × ÐÓ Ñ ×
¬ ÒØ º
Ð ×Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ DynArray<T> ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ö Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ¾ ¿
T & access(const size_t & i)
{
return dir[index_in_dir(i)][index_in_seg(i)][index_in_block(i)];
}
Í× × index in block ¸ index in dir ¸ Ò index in seg º
access() ÒÓ Ú Ö ¬ ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ Ð ÐÓÕÙ Ý ×Ù × Ñ ÒØÓ Ý × Ó Ô ÖØ º
×Ø Ñ ØÓ Ó Ù× Ö× ×ÓÐÓ Ù Ò Ó × ×Ø ×ÓÐÙØ Ñ ÒØ × ÙÖÓ ÕÙ × × Ö ØÓ Ò
Ð ÔÓ× ÓÒ ×Ó iº
È Ö Ò Ö × ÙÒ ÒØÖ ÔÙ Ö× × Ò ÖÖÓÖ × Ö¸ ÕÙ ×Ø Ø Ò
×Ù ÐÓÕÙ Ý ×Ù × Ñ ÒØÓ¸ × ÔÖÓÚ
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ¿ ¿
bool exist(const size_t & i) const
{
const size_t pos_in_dir = index_in_dir(i);
if (dir[pos_in_dir] == NULL)
return false;
const size_t pos_in_seg = index_in_seg(i);
if (dir[pos_in_dir][pos_in_seg] == NULL)
return false;
return true;
}
Í× × index in dir Ò index in seg º
exist() Ö ØÓÖÒ true × Ð ÔÓ× ÓÒ i Ø Ò ×Ù ÐÓÕÙ Ý × Ñ ÒØÓ false¸ ÐÓ ÓÒ¹
ØÖ Ö Óº
Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ ×¸ × Ö ÕÙ Ö Ú Ö ¬ Ö Ü ×Ø Ò ÙÒ ÒØÖ Ý¸ × ×Ø Ü ×Ø ¸
ÒØÓÒ × Ö Ð Þ Ö Ð ×Óº È Ö Ú Ø Ö ÓÖÖ Ö Ð Ó Ð Ð ÙÐÓ Ò × Ò Ö ØÓÖ Ó¸
× Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÜÔÓÖØ Ö Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ù ÒØ
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ¿
T * test(const size_t & i) const
{
const size_t pos_in_dir = index_in_dir(i);
if (dir[pos_in_dir] == NULL)
return NULL;

80. 54 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
const size_t pos_in_seg = index_in_seg(i);
if (dir[pos_in_dir][pos_in_seg] == NULL)
return NULL;
return &dir[index_in_dir(i)][index_in_seg(i)][index_in_block(i)];
}
Í× × index in block ¸ index in dir ¸ Ò index in seg º
×Ø × Ð Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô ÔÓ× Ð Ö ÙÒ ÒØÖ Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Óº
ÆÓØ ÑÓ׸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ÕÙ ÒÓ × Ö Ð Þ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ¬ ÓÒº Ë Ð ÒØÖ Ü ×Ø ¸ ÒØÓÒ ×
test() Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒØÖ NULL ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
È Ö Ô ÖØ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ÐÓÕÙ Ý × Ñ ÒØÓ ÙÒ ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ¸
× ÔÖÓÚ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ¿
T & touch(const size_t & i)
{
const size_t pos_in_dir = index_in_dir(i);
if (dir[pos_in_dir] == NULL)
allocate_segment(dir[pos_in_dir]);
const size_t pos_in_seg = index_in_seg(i);
if (dir[pos_in_dir][pos_in_seg] == NULL)
allocate_block(dir[pos_in_dir][pos_in_seg]);
if (i >= current_dim)
current_dim = i + 1;
return dir[pos_in_dir][pos_in_seg][index_in_block(i)];
}
Í× × allocate block ¸ allocate segment ¸ index in block ¸ index in dir ¸
Ò index in seg º
Ì Ñ Ò ÔÙ Ô ÖØ Ö× ØÓ Ð Ñ ÑÓÖ Ö ÕÙ Ö Ô Ö Ö ÒØ Þ Ö Ð ×Ó Ö ØÓ
ÙÒ Ö Ò Ó ÔÓ× ÓÒ ×º ×ØÓ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
void reserve(const size_t & l, const size_t & r)
{
const size_t first_seg = index_in_dir(l);
const size_t last_seg = index_in_dir(r);
const size_t first_block = index_in_seg(l);
const size_t last_block = index_in_seg(r);
for (size_t seg_idx = first_seg; seg_idx <= last_seg; ++seg_idx)
{
if (dir[seg_idx] == NULL)
allocate_segment(dir[seg_idx]);
size_t block_idx = (seg_idx == first_seg) ? first_block : 0;
const size_t final_block = (seg_idx == last_seg) ? last_block : seg_size - 1;
while (block_idx <= final_block)
{
if (dir[seg_idx][block_idx] == NULL)
allocate_block(dir[seg_idx][block_idx]);
++block_idx;
}
} // end for (...)

81. 2.1. Arreglos 55
if (r + 1 > current_dim)
current_dim = r + 1;
}
Í× × allocate block ¸ allocate segment ¸ index in dir ¸ Ò index in seg º
reserve() Ô ÖØ ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ý × Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ö Ò ÐÖ Ò Ó ÔÓ× ÓÒ × ÒØÖ l
Ý rº
Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö Ò ÕÙ × ÔÙ Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö × ÙÖ Ö ×Ó Ø Ö¹
Ñ Ò × ÔÓ× ÓÒ ×¸ Ø Ñ Ò × ÔÐ Ù× Ð Ò Ö ÕÙ × Ð Ö Ð Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö Ò Ó
ÔÓ× ÓÒ × ÕÙ Ð Ù×Ù Ö Ó Ø ÖÑ Ò ÕÙ ÒÓ Ù× Ö Ñ ×º Ð Ñ ØÓ Ó cut() Ù×Ø Ð
Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ ÙÒ Ñ Ò× ÓÒ Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ñ new dim Ý Ð Ö ØÓ Ð Ñ ÑÓÖ
ÒØÖ new dim Ý Ð ÒØ Ù Ñ Ò× ÓÒ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
void cut(const size_t & new_dim = 0)
{
if (new_dim == 0)
{
release_all_segments_and_blocks();
current_dim = 0;
return;
}
const size_t old_dim = current_dim; // guarda antigua dimensi´n
o
const int idx_first_seg = index_in_dir(old_dim - 1); // ındices cotas bloques
´
const int idx_first_block = index_in_seg(old_dim - 1);
const int idx_last_seg = index_in_dir(new_dim - 1); // ındices cotas segmentos
´
const int idx_last_block = index_in_seg(new_dim - 1);
for (int idx_seg = index_in_dir(old_dim - 1); idx_seg >= idx_last_seg;
--idx_seg) // recorre descendentemente los segmentos
{
if (dir[idx_seg] == NULL) // ¿hay un segmento?
continue; // no ==> avance al siguiente
Ä Ö Ö × Ò ÒØ Ñ ÒØ ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ð × Ñ ÒØÓ
Ä Ö Ö Ð × Ñ ÒØÓ
}
current_dim = new_dim; // actualiza nueva dimensi´n
o
}
Í× × index in dir ¸ index in seg ¸ Ò release all segments and blocks º
Ä Ð Ö ÓÒ ÐÓÕÙ × × Ð Ó Ð ÔÓÖÕÙ Ý ÕÙ Ñ Ò Ö ×Ó× Ô ÖØ ÙÐ Ö ×
Ô Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ý ÔÖ Ñ Ö ÐÓÕÙ º idx block ÐÐ Ú Ð Ò Ð ÐÓÕÙ Ò Ð × Ñ ÒØÓ
ØÙ Ð idx segº È Ö Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð ÒØÖÓ Ð × Ñ ÒØÓ¸ Ý Ó× ×Ó× ÔÓ× Ð ×
½º Ë × ØÖ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö × Ñ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ × idx block ÓÑ ÒÞ Ò idx first blockº
×Ø ×Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ Ù Ò Ó idx seg == idx first segº
¾º idx block ÓÑ ÒÞ Ò block size − 1º ×Ø × Ð ×Ó ÓÑÙÒ Ý × Ú Ö ¬
Ù Ò Ó idx seg != idx first segº
Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð × ¬Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Ä Ö Ö × Ò ÒØ Ñ ÒØ ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ð × Ñ ÒØÓ ≡ ´ µ
Ä ÒÚ Ö× ÓÒ × Ö ÔÓÖÕÙ Ð Ð Ö ÓÒ ÐÓÕÙ × × ØÙ × Ò ÒØ Ñ ÒØ º

82. 56 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
// primer bloque a liberar
int idx_block = idx_seg == idx_first_seg ? idx_first_block : seg_size - 1;
Ì Ñ Ò Ý Ó× ×Ó× ÔÓ× Ð × Ô Ö Ð Ú ÐÓÖ ¬Ò Ð idx block
½º Ë ÒÓ ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ × Ñ ÒØÓ ´idx last segµ¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÐØ ÑÓ
ÐÓÕÙ × Ö Ð Ò 0º Ä ÓÒ ÓÒ Ô Ö × Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ
Ë ×Ø Ò ÐÓÕÙ ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ò Ö Ð ≡ ´ µ
(idx_seg > idx_last_seg and idx_block >= 0)
¾º Ë ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ × Ñ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÐØ ÑÓ ÐÓÕÙ × Ö idx last blockº
×Ø ÓÒ ÓÒ Ð Ø Ø ÑÓ× Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ó
Ë ×Ø Ò ÐÓÕÙ Ð ÙÐØ ÑÓ × Ñ ÒØÓ ≡ ´ µ
(idx_seg == idx_last_seg and idx_block > idx_last_block)
Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ö × Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð ÐÓÕÙ Ð × Ñ ÒØÓ ØÙ Ð × ¬Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸
ÓÑÓ × Ù
Ä Ö Ö × Ò ÒØ Ñ ÒØ ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ð × Ñ ÒØÓ +≡ ´ µ
// Libera descendentemente los bloques reservados del segmento
while ( Ë ×Ø Ò ÐÓÕÙ ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ò Ö Ð or
Ë ×Ø Ò ÐÓÕÙ Ð ÙÐØ ÑÓ × Ñ ÒØÓ )
{
if (dir[idx_seg][idx_block] != NULL) // ¿Hay un bloque aqu´?
ı
release_block(dir[idx_seg][idx_block]);
--idx_block;
}
Í× × release block º
Ð × Ñ ÒØÓ ×ÓÐÓ Ð Ö Ö× × ØÓ Ó× ×Ù× ÐÓÕÙ × ÐÓ Ò × Óº ×ØÓ × Ú Ö ¬ ×
Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð × Ñ ÒØÓ ØÙ Ð
Ä Ö Ö Ð × Ñ ÒØÓ ≡ ´ µ
if (idx_block < 0)
release_segment(dir[idx_seg]);
Í× × release segment º
2.1.5.4 Acceso mediante operador []
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ð × ÒØ Ö × ×Ó ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó ×Ø Ò
×Ò ×ÔÖ ØÙ Ö Ð ×Ó Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô ÔÓ× Ð º
access() ÒÓ Ú Ö ¬ × Ð Ñ ÑÓÖ × Ó Ô ÖØ ¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð Ù×Ù Ö Ó
ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ú Ö ¬ ÖÐ ØÖ Ú × exist() Ó Ô ÖØ ÖÐ Ñ ÒØ touch() Ó reserve()º
ÍÒ ÓÖÑ Ñ × × ÑÔÐ Ý ØÖ Ò×Ô Ö ÒØ Ñ Ò ÔÙÐ Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ
ÙÒ ÔÓ Ó Ø ÑÔÓ¸ × ØÖ Ú × Ð ÓÔ Ö ÓÖ []º ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÖÖ ÐÓ × ÓÒ×ØÖÙÝ
ÓÒ Ø Ò ×ÓÐÓ Ð Ö ØÓÖ Ó Ô ÖØ Óº È ÙÐ Ø Ò Ñ ÒØ ¸ Ñ ÕÙ × × Ö Ò ØÓ× Ò
Ð × ÔÓ× ÓÒ ×¸ × Ô ÖØ Ò¸ Ô Ö ÞÓ× Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× Ý ÐÓÕÙ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð ×
ÒØÖ × ÕÙ Ò × Ó × Ö Ø ×º ×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ Ð DynArray<T>
× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð × ÒØÖ × × Ö Ø × Ý ÒÓ ×Ù Ñ Ò× ÓÒº

83. 2.1. Arreglos 57
È Ö ÑÔÐ ÒØ Ö ×Ø ÙÒ ÓÒ Ð ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× ×Ó× Ð ØÙÖ
ÐÓ× × Ö ØÙÖ º È Ö ÐÐÓ¸ Ù× Ö ÑÓ× ÙÒ Ð × Ñ ÓÖ Proxy¸ Ø Ð ÓÑÓ × ÜÔÐ Ó
Ò Ü ¾º½º¿ ´Ô Ò ¿ µ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ ¾
class Proxy
{
Å Ñ ÖÓ× ØÓ Ð ÔÖÓÜÝ
Å ØÓ Ó× Ð ÔÖÓÜÝ
};
×Ø Ð × × Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] Ò Ð Ð × DynArray<T>
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynArray<T> +≡ ´ ¾µ
Proxy operator [] (const size_t & i)
{
return Proxy (const_cast<DynArray<T>&>(*this), i);
}
Í× × DynArray ¾º
Ë × ØÙ ÙÒ ×Ó Ð ØÙÖ Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ø٠и ÒØÓÒ × × ¹
Ò Ö std::length errorº Ë × Ö Ð Þ ÙÒ ×Ó × Ö ØÙÖ ¸ ÙÒ Ù Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ
Ø٠и ÒØÓÒ ×¸ × Ú Ö ¬ × Ü ×Ø Ò Ð ÐÓÕÙ Ý Ð × Ñ ÒØÓ × ÒÓ × Ð ×Ó¸ ÒØÓÒ × ×ØÓ×
× Ô ÖØ Òº ÈÙ Ò Ö Ö× std::bad alloc × ÒÓ Ý Ñ ÑÓÖ ¸ Ó std::length error
× Ð Ò i × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ Ñ Ò× ÓÒº
Ä Ñ Ò× ÓÒ × Ù×Ø ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ × ÙÒ Ð Ñ ÝÓÖ ÔÓ× ÓÒ × Ö Ø º Ë ÙÒ ×Ó
Ð ØÙÖ Ð i¹ × Ñ ÒØÖ Ø Ø ÕÙ Ð ÐÓÕÙ ÒÓ × Ó Ô ÖØ Ó¸ ÒØÓÒ × ×
Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ std::invalid argumentº
Ð ×Ó Ð ØÙÖ ÙÒ ÒØÖ ÕÙ ÒÓ × Ó × Ö Ø ÒÓ × ÑÔÖ Ù× ÙÒ Ü¹
Ô ÓÒ¸ ÔÙ × Ð ÒØÖ Ý ÔÙ Ø Ò Ö ×Ù ÐÓÕÙ Ô ÖØ Ó ÑÔ ÖÓ¸ Ò ×Ø ×Ó Ð Ú ÐÓÖ
Ð Ð ØÙÖ × Ò Ø ÖÑ Ò Óº
Ä Ð ÓÔ Ö ÓÖ [] × Ö ØÓÖÒ Ö ÙÒ Ð × ÈÖÓÜÝ Ò ×Ô Ö ÓÒÓ Ö × Ð ×Ó
× Ð ØÙÖ Ó × Ö ØÙÖ º
ÄÓ× Ñ Ñ ÖÓ× ØÓ× Proxy Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ú Ð Ö Ý ¹
ØÙ Ö Ð ×Ó
Å Ñ ÖÓ× ØÓ Ð ÔÖÓÜÝ ≡ ´ µ
size_t index;
size_t pos_in_dir;
size_t pos_in_seg;
size_t pos_in_block;
T **& ref_seg;
T * block;
DynArray & array;
Í× × DynArray ¾º
index × Ð Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ð ÔÖÓÜÝ º pos in dir¸ pos in seg
Ý pos in block ×ÓÒ
ÐÓ× Ò × Ò Ð Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
indexº ×ØÓ× Ú ÐÓÖ
× × Ð ÙÐ Ò ÙÖ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð ÔÖÓÜݺ
ref seg × ÙÒ Ö
ÖÒ Ð ÒØÖ pos in dir Ð Ö ØÓÖ Óº × Ö ÙÒ Ö Ö Ò¹
ÔÓÖÕÙ ×Ø × ×Ù× ÔØ Ð ÑÓ ¬ Ö× º ×Ø Ö Ö Ò ¸ ref seg[pos in seg]
ÒÓØ Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ð ÐÓÕÙ Ý ref seg[pos in seg][pos in block] ÒÓØ Ð Ð ¹
Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ò indexº block × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ù Ð Ó

84. 58 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ref seg[pos in seg][pos in block]º array
× ÙÒ Ö Ö Ò Ð DynArray<T> ÙØ ¹
ÐÞ Ô Ö Ó × ÖÚ Ö Ý ÑÓ ¬ Ö ×Ù ×Ø Óº
Å Ñ ÖÓ× ØÓ Ð ÔÖÓÜÝ × Ò Ò Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ð ÔÖÓÜÝ ÓÑÓ × Ù
Å ØÓ Ó× Ð ÔÖÓÜÝ ≡ ´ µ
Proxy(DynArray<T>& _array, const size_t & i)
: index(i), pos_in_dir(_array.index_in_dir(index)),
pos_in_seg(_array.index_in_seg(index)), pos_in_block(_array.index_in_block(index)),
ref_seg(_array.dir[pos_in_dir]), block (NULL), array(_array)
{
if (ref_seg != NULL)
block = ref_seg[pos_in_seg]; // ya existe un bloque para la entrada i
}
Í× × DynArray ¾¸ index in block ¸ index in dir ¸ Ò index in seg º
i × Ð Ò Ð DynArray<T>array Ð Ù Ð Ð ÔÖÓÜÝ Ö Ö Ò º Ä × ÔÓ× ÓÒ × ×
Ð ÙÐ Ò × ÙÒ Ð × ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × DynArray<T>º Ë Ð Ö Ö Ò ref seg ÓÒØ Ò
ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ú Ð Ó¸ ÒØÓÒ × block × Ò Ð Þ Ô Ö ÔÙÒØ Ö Ð ÐÓÕÙ º
ÆÓ × ØÙ Ò Ò ÙÒ ÓÒ Ù Ò Ó × ×ØÖÙÝ ÙÒ ÔÖÓÜݺ
ÍÒ Proxy ÓÒ×ØÖÙ Ó ×Ø Ð ×ØÓ Ô Ö Ö ÙÒ ÔÓ× ÓÒ º Ë ÙÒ Ð ÓÒØ ÜØÓ
ÒÚÓ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ []¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ö × Ð ×Ó × Ð ØÙÖ Ó
× Ö ØÙÖ º Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ Ð ØÙÖ ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÒØ ÒØ Ö ÓÒÚ ÖØ Ö Ð Proxy Ð Ø ÔÓ
Ò Ö Ó Tº Ì Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ × ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Å ØÓ Ó× Ð ÔÖÓÜÝ +≡ ´ µ
operator T & ()
{
return block[pos_in_block];
}
block == NULL Ò ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø ÙÒ ÐÓÕÙ Ô Ö Ð Ò indexº Ë ÒÓ Ý ÐÓÕÙ ¸
ÒØÓÒ × Ð Ð ØÙÖ × ÒÚ Ð Ý × Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ std::invalid argumentº ÐÓ
ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ö ØÓÖÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ö Ö Óº
Ä × Ö ØÙÖ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö Ù Ò Ó × ØÙ ÙÒ × Ò ÓÒ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò Ô Ö
ÙÒ Proxy Ð × Ó× × Ù ÒØ × ÓÖÑ ×
Å ØÓ Ó× Ð ÔÖÓÜÝ +≡ ´ µ
Proxy & operator = (const T & data)
{
Ç Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ
Î Ö ¬ Ö Ý ØÙ Ð Þ Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ
block[pos_in_block] = data;
return *this;
}
Proxy & operator = (const Proxy & proxy)
{
if (proxy.block == NULL) // ¿operando derecho puede leer?
throw std::invalid_argument("right entry has not been still written");
Ç Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ
Î Ö ¬ Ö Ý ØÙ Ð Þ Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ
block[pos_in_block] = proxy.block[proxy.pos_in_block];
return *this;
}

85. 2.1. Arreglos 59
× Ö¸ × Ò ÓÒ Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó T ÙÒ ÔÖÓÜݸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ array[i] = variable
Ó × Ò ÓÒ ÔÖÓÜÝ ÔÖÓÜݸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ array[i] = array[j]º Ò Ð ÙÐØ ÑÓ ×Ó
× Ú Ö ¬ Ö ÕÙ Ð Ð ØÙÖ Ð ÓÔ Ö Ò Ó Ö Ó × Ú Ð ¸ Ù Ð × Ð × ÒØ Ó Ð
ÔÖ Ñ Ö ifº
Ö ×ØÓ¸ Ð × Ó× × Ò ÓÒ × ×ÓÒ ÑÙÝ × Ñ Ð Ö × Ý × Ö Ñ Ø Ò Ç Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö
Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ Ò ÓÒ × × Ö Ö Ý ÐÙ Ó Î Ö ¬ Ö Ý ØÙ Ð Þ Ö Ð
Ñ Ò× ÓÒ º
Ä Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð ×ÓÐÓ × ØÙ Ð Þ × × × Ö Ò ÙÒ ÔÓ× ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ¹
Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð
Î Ö ¬ Ö Ý ØÙ Ð Þ Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ ≡ ´ µ
if (index >= array.current_dim)
array.current_dim = index + 1;
Ç Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ Ö Ð Þ Ó× Ô ×Ó×
½º Ç Ø Ò Ö Ð × Ñ ÒØÓ
Ç Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ ≡ ´ µ
bool seg_was_allocated_in_current_call = false;
if (ref_seg == NULL) // hay segmento?
{ // No ==> apartarlo!
array.allocate_segment(ref_seg);
seg_was_allocated_in_current_call = true;
}
Í× × allocate segment º
seg was allocated in current call Ñ ÑÓÖ Þ × × Ô ÖØ Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð × ¹
Ñ ÒØÓº ×ØÓ Ô ÖÑ Ø Ø ÖÑ Ò Ö × Ý ÕÙ Ð Ö Ö Ó ÒÓ Ð × Ñ ÒØÓ Ò ×Ó ÕÙ
Ó ÙÖÖ ÙÒ Ü Ô ÓÒ × × Ô ÖØ Ð ÐÓÕÙ º
¾º Ç Ø Ò Ö ÐÓÕÙ
Ç Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð × Ñ ÒØÓ Ý Ð ÐÓÕÙ +≡ ´ µ
if (block == NULL) // test if block is allocated
{
array.allocate_block(block);
ref_seg[pos_in_seg] = block;
}
Í× × allocate block º
Ë Ó ÙÖÖ ÙÒ ÐÐ Ñ ÑÓÖ ÙÖ ÒØ Ð Ö × ÖÚ ÓÒ Ð × Ñ ÒØÓ¸ Рܹ
Ô ÓÒ std::bad alloc¸ Ò Ö ÔÓÖ new Ý Ö Ò Ö ÔÓÖ allocate segment() Ó
allocate block()¸ ÔÙ Ö× × Ò ÔØÙÖ Öº Ë Ð ÐÐ Ñ ÑÓÖ Ó ÙÖÖ ÙÖ ÒØ
Ð Ö × ÖÚ ÓÒ Ð ÐÓÕÙ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ü Ô ÓÒ std::bad alloc¸ Ò Ö ÔÓÖ new¸
ÔØÙÖ Ö× Ô Ö Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÔÓ Ö Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ð × Ñ ÒØÓ ÕÙ Ù Ô ÖØ
ÔÓÖ Ð ÐÐ Ñ Ø٠к ×Ø × Ð Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ý ÙÒ Ñ Ò ÓÖ Ü Ô ÓÒ Ô Ö
Ð Ö × ÖÚ ÓÒ Ð ÐÓÕÙ º
2.1.5.5 Uso del valor por omisi´n
o
À ÑÓ× Ö Ð Ó Ð Ó ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ ÙÒ DynArray<T> × Ô ÖØ Ô Ö ÞÓ× Ñ ÒØ
Ò Ø ÑÔÓ × Ö ØÙÖ º Ì Ñ Ò ÑÓ× ×Ø Ó ÕÙ ×Ø Ö Ø Ö ×Ø Ô ÖÑ Ø ÓÖÖ Ö
Ñ ÑÓÖ Ò ÔÐ ÓÒ × ÕÙ Ù× Ò ÖÖ ÐÓ× ×Ô Ö Ó׺

86. 60 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÉÙ ×Ù ÙÒ Ó× ÙÒ ÒØÖ ÕÙ ÒÓ × Ó × Ö Ø º È Ö ×ØÙ Ö
×Ø Ù ×Ø ÓÒ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ×Ó Ð ØÙÖ ÙÒ i¹ × Ñ ÒØÖ ÒØ ×Ø Ú ÒØÓ¸
ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × × Ò Ö Ó×
½º Ä i¹ × Ñ ÒØÖ × Ó ÔÖ Ú Ý ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ × Ö Ø ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó × Ö ØÓÖÒ Ö
Ð ÙÐØ ÑÓ Ú ÐÓÖ × Ö ØÓº
¾º Ä ÒØÖ ÒÓ × Ó ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ö Ø º Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ ÔÙ Ò Ó ÙÖÖ Ö Ó×
Ó× ×
´ µ ÉÙ ÒÓ × Ý Ô ÖØ Ó ÙÒ ÐÓÕÙ Ô Ö Ð i¹ × Ñ ÒØÖ ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó × ØÖ Ø
ÙÒ ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ´Ð ØÙÖ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÒÓ × Ó × Ö ØÓµ Р٠и
Ò Ð Ñ ÓÖ ÐÓ× × Ò Ö Ó׸ Ò Ö Ö ÙÒ Ü Ô ÓÒº ×Ø × Ö Ð × ØÙ ÓÒ
× Ð ×Ó × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ []º Ë Ð ×Ó × Ö Ð Þ Ñ ÒØ
access()¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÒ ×Ù ÖØ ¸ Ó ÙÖÖ Ö Ð Ü Ô ÓÒ × ×Ø Ñ segmentation
faultº ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÓÒ Ñ Ð ×Ù ÖØ ¸ ÒÓ Ó ÙÖÖ Ö Ò Ò ÙÒ Ü Ô ÓÒ¸ ÐÓ ÕÙ
Ø Ò Ö Ó ÙÐØ Ö Ð ÖÖÓÖº
´ µ ÉÙ × × × Ý Ô ÖØ Ó Ð ÐÓÕÙ ÙÖ ÒØ Ð × Ö ØÙÖ Ð ÙÒ ÒØÖ Ò
Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÕÙ Ð i¹ × Ñ ÒØÖ º Ò ×Ø ×Ó¸ × Ö ØÓÖÒ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ
Ý × Ö ØÓ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ T::T()º ÆÓØ ÑÓ× Ð ÔÓ× Ð ¸ ÒÓ Ø Ò
Ü Ô ÓÒ Ð¸ ÕÙ ×Ø ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ ÒÓ Ö Ð Ò Ò ÙÒ × Ö ØÙÖ ¸
Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ ÔÙ × Ö Ù ÐÕÙ Ö ¸ × ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð ÐÓÕÙ º
Ð Ì DynArray<T> ÔÙ × Ö ÙØ Ð Ô Ö ÑÓ Ð Þ Ö ÖÖ ÐÓ× ×Ô Ö Ó× ÔÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ ×Ô Ö ÕÙ ÓÒØ Ò ÑÙ Ó× ÖÓ׺ Ò ×Ø ×Ó ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö ÙÒ
DynArray<T> mat[n*n]º Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ñ ÒØ
Ð ÓÔ Ö ÓÖ (i,j) Ó Ñ ÒØ Ð Ù×Ó ÙÒ Ð × ÔÖÓÜݺ ÍÒ × Ù Ó¹ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×Ù Ö
Ð ×Ó Ð ØÙÖ ÙÒ Ì Matriz<T> × ÓÑÓ × Ù
¼ ×Ó Ñ ØÖ Þ ¼ ≡
template <typename T>
const T & Matriz<T>::operator () (const long & i, const long & j) const
{
const int & n = mat.size();
const long index_dynarray = i + j*n; // posici´n dentro de mat
o
if (not mat.exist(index))
return Zero_Value;
return mat.access(index);
}
ÄÓ Ù Ö Ó Ò Ð ÓÒ×Ø ÒØ index dynarray × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÓÒ× Ö Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ
ÓÑÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÖÖ ÐÓ× ½¼ º Ë Ð ÔÖ Ó not mat.exist(index) × ÖØÓ¸ ÒØÓÒ ×
ÒÓ Ý Ñ ÑÓÖ Ô ÖØ Ô Ö Ð ÐÓÕÙ ÕÙ ÓÒØ Ò Ö Ð ÒØÖ (i,j)¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð
Ù Ð × Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ ÒÓÑ Ò Ó Ò ×Ø ×Ó Zero Value ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸
Ö ØÓÖÒ ÑÓ× mat.access(index) ÔÙ × Ð ×Ó ×Ø Ö ÒØ Þ Ó × Ð ­Ù Ó ÐÐ × ÐÒ º
ÈÙ ÔÖ × ÒØ Ö× Ð × ØÙ ÓÒ × Ö Ø Ò ¾ ¸ × Ö¸ mat.access(index) ÒÓ
× Ó ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ö ØÓ¸ Ô ÖÓ not mat.exist(index) == trueº Ò Ú ÐÓÖ Ö ¹
ØÓÖÒÓ × Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð ×Ô ¬ Ó ÔÓÖ T::T() Ó Ð × Ò Ó Ò ÙÒ ÐÐ Ñ
set default initial value()º
½¼
Î × Ü ¾º¾ ´Ô Ò ½µº

87. 2.2. Arreglos multidimensionales 61
set default initial value() Ô ÖÑ Ø ×Ô ¬ Ö Ú Ö×Ó× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × Ô Ö Ð
Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ¸ ÐÓ ÕÙ × Ö ÑÙÝ ÙØ Ð Ô Ö ÑÔÓ× Ð Ö Ó× Ö ÒØ × ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ð
Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ÓÔ Ö Ò Ó Ð × Ñ ØÖ × Ý Ò Ò ÐÓ× Ö Ó׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓº
2.2 Arreglos multidimensionales
Ò ÙÒ ÑÙÝ ÖØ Ñ ¸ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× ×ÓÒ Ö Ñ Ò × ÒØ × ÐÓ× Ú ØÓÖ × Ð Ñ Ø Ñ Ø º
Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ × ÔÓ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ n× m Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ n ÖÖ ¹
ÐÓ× Ñ Ò× ÓÒ m × Ö¸ ÙÒ × Ù Ò × Ù Ò ×º
Ò C++ ÙÒ Ñ ØÖ Þ ×Ø Ø ÔÓ × Ð Ö Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
T matriz[n][m];
Ð Ð Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þ Ñ ÒØ ÓÑ Ò ÓÒ × Ð
ÓÔ Ö ÓÖ []º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÜÔÖ × ÓÒ
matriz[i][j] = dato;
× Ò dato Ð j¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð i¹ × Ñ ¬Ð º
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ö ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ð ÙÐÓ Ð Ö ÓÒ ×Ó¸ Ð Ù Ð ×
ÔÙ ÒÙÒ Ö Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
Ö ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ = base + i × m × sizeof(T) + j × sizeof(T) ´¾º½ µ
ÒÐ Ð Ö ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ù× Ö ÙÒ ×Ô Ó ÓÒØ ÙÓ ÐÓ ×Ù¬ ÒØ ¹
Ñ ÒØ Ö Ò Ô Ö Ð Ö Ö ÐÓ× n × m Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ñ ØÖ Þº ÓÒ ÓÖÑ ÙÑ ÒØ Ò n Ý m¸
×Ñ ÒÙÝ Ð ÔÓ× Ð Ò ÓÒØÖ Ö Ø Ð ×Ô Óº
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ò C++ Ð Ñ ØÖ Þ ÒØ Ö ÓÖ × ×Ø Ø Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð
Ñ Ö ×Ù Ñ Ò× ÓÒº Ð Ð ÙÐÓ ´¾º½ µ Ò Ö Ó ÔÓÖ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ×ÙÑ ÕÙ n Ý m
Ô ÖÑ Ò Ò ÓÒ×Ø ÒØ × ÙÖ ÒØ Ð Ú Ð Ñ ØÖ Þº Ë Ò ×ØÓ ÒÓ × Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó¸
ÔÙ × × ÔÓ Ö Ò Ö Ö Ó Ó Ô Ö n Ý m Ú Ö Ð ×¸ ÙÒ Ñ Ó Ò Ð ÙÒ Ð × Ñ Ò× ÓÒ ×
ÓÐ ×ÔÐ Þ Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׺
ÈÓÖ Ð × Ö ÞÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × ÔÖ Ö Ð ØÖ Ø Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÑÙÐØ Ñ Ò¹
× ÓÒ Ð ÓÑÓ ÐÓ ÕÙ × ÙÒ × Ù Ò × Ù Ò ×º Ó ×Ø Ô Ö×Ô Ø Ú ¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ
n × m ÔÙ Ð Ö Ö× ÓÑÓ × Ù
T ** matriz = new T * [n]; // Aparta un arreglo de punteros a filas
for (int i = 0; i < n; ++i)
matriz[i] = new T [m]; // aparta la fila matriz[i]
×Ø ×ÕÙ Ñ × ÒØÖ Ñ × Ò Ñ Ó ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖº Ë × Ñ Ð ÒÙÑ ÖÓ
¬Ð × n¸ ÒØÓÒ × ×ÓÐÓ × Ò × Ö Ó Ö ÐÓ Ð Þ Ö Ð ÖÖ ÐÓ matrizº Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ×
ÑÓ ¬ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÙÑÒ ×¸ ÒØÓÒ × Ý ÕÙ Ö ÐÓ Ð Þ Ö ¬Ð matriz[i]º
ÒC ++¸ × ÓÑÓ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ð Ò Ù ×¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ × ÓÒ× Ö ÓÑÓ ÙÒ
ÖÖ ÐÓ n ¬Ð × Ø Ñ ÒÓ mº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ø Ñ Ò ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× Ð Ö Ú × ×
Ö¸ ÓÑÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ m ÓÐÙÑÒ × Ø Ñ ÒÓ nº ×Ø × Ð ×Ó Ð Ð Ò Ù
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÓÖØÖ Ò¸ ÒØ Ò× Ú Ñ ÒØ Ù× Ó Ô Ö Ð ÙÐÓ× ÒÙÑ Ö Ó׺
ÙÒÕÙ × ÙØ Ð ¸ Ð ×ÔÓ× ÓÒ ×Ô Ð Ð × Ñ ØÖ × Ò ÓÖØÖ Ò ÒÓ × ÙÒ ÔÖ Óº
ËÙ ÕÙ ÑÙ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ñ Ø Ñ Ø × ×Ó Ö Ñ ØÖ × Ü Ò ÙÒ Ô ØÖÓÒ ×Ó
ÕÙ ÚÓÖ Ð × Ù Ò Ð Þ ÓÒ ÔÓÖ ÓÐÙÑÒ × Ò ÐÙ Ö ÔÓÖ ¬Ð ׺

88. 62 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ù ÒØ Ð ÔÓÔÙÐ Ö Ð ÓÖØÖ Ò¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × C Ý C++ Ò ÓÒ¹
× Ö Ö Ú Ö ÒØ × Ô Ö ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× Ù × Ð ÓÖØÖ Ò¸ ÔÙ × × ×Ø ÒØ Ø Ð ÙØ Ð Þ Ö
Ð ÓØ × × Ö Ø × Ò ÓÖØÖ Ò Ý Ú Ú Ö× º
2.3 Iteradores
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ò ÕÙ Ð ¬Ò Ù ÒØ × ÒÓ ÕÙ Ò × ÒÓ × Ù Ò ×º Ù ÐÕÙ Ö ×
Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ Ð ÕÙ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × ÑÔÖ × Ö Ñ Ø × Ù Ò ×º Ð
Ô ØÖÓÒ × Ø Ò Ö Ù ÒØ ÕÙ Ñ Ö ÙÒ Ô ØÖÓÒ Ò Ö Ó ÒÓÑ Ò Ó Iterator<Set, T> Ý
×Ô ¬ Ó Ò Ð Ö Ñ ÍÅÄ Ð ¬ ÙÖ ¾º¾º
Set<Type>:template
T:class
Iterator
+Set_Type
+Item_Type
+Iterator(in ct:Set<T>)
+Iterator(in it:Iterator)
+Iterator()
+operator =(in ct:Set<T>)
+operator =(in it:Iterator)
+next(): void
+prev(): void
+has_current(): bool
+is_in_first(): bool
+is_in_last(): bool
+current(): T
+reset_first(): void
+reset_last(): void
+del(): void
+insert(in item:T): void
+append(in item:T): void
+set(in item:T): void
+position(): int
ÙÖ ¾º¾ Ö Ñ ÍÅÄ Ð Ð× ÒÖ Iterator<Set, T>
Ä Ð × Iterator<Set, T> Ö Ó× Ø ÔÓ× Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó× Set<T> Ð Ø ÔÓ ÜÔÐ Ó
Ò Ü ½º¿ ´Ô Ò ½ µ Ý Tº ËÙ ¬Ò × Ð Ø Ö Ð ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × Ù Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ× Ò
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Set<T>º
È Ö Ù× Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓÒØ Ò ÓÖ Set<T>º À Ý Ó× ÓÖÑ ×
Ò×Ø Ò ÖÐÓ Ñ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÕÙ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ñ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ
ÓÔ º Ò Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ Ð Ø Ö ÓÖ × ÔÓ× ÓÒ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð × Ù Ò ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò Ð × ÙÒ Ó Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖ Ù ÒØ Ð ÓÔ º
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ Ð × Ù ÒØ × Ù Ò ÒÖ
n Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÙÒ Ø ÔÓ Ò Ö Ó T

89. 2.3. Iteradores 63
e0 e1 e2 ... ei ei+1 ... en−2 en−1 en
ÙÖ ¾º¿ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô ØÓÖ ÙÒ ÒØ Ö ÓÖ ×Ó Ö ÙÒ × Ù Ò
Ù Ò Ó × Ò×Ø Ò ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÓÒ ÙÒ ÓÒØ Ò ÓÖ Set<T>¸ ×Ø ÕÙ ÔÓ× ÓÒ Ó Ò
Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð × Ù Ò × Ò Ó Ò Ð Ù Ó ÓÑÓ e0º
Ð Ð Ñ ÒØÓ × Ò Ó ÓÑÓ en ÒÓ Ü ×Ø Ò Ð × Ù Ò ¸ Ô ÖÓ ×Ø ÐÓ Ñ ÒØ ¹
ÒÓØ ÕÙ Ð Ø Ö ÓÖ ×Ø × ÓÖ Ó Ó Ù Ö Ö Ò Ó º Ä ÔÖ Ñ Ø Ú has current()
Ö ØÓÖÒ false × Ð Ø Ö ÓÖ × Ò Ù ÒØÖ ÔÓ× ÓÒ Ó Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ ¬ Ø Ó en true
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ò Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ × ÔÙ ÓÒÚ Ò Ö × Ö × Ð Ø Ö ÓÖ ×Ø ÔÓ× ÓÒ Ó Ò Ð
ÔÖ Ñ Ö Ó ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓº Ë Ð Ø Ö ÓÖ × Ò ÓÒØÖ × Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ ×
is in first() Ö ØÓÖÒ Ö true Ð Ñ ×Ñ × Ñ ÒØ × ÔÐ Ö ÓÒ is in last() × Ð
Ø Ö ÓÖ × Ò ÓÒØÖ × Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓº
Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖ × ÓÒ×ÙÐØ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó get current()º
Ò Ð ×Ó Ò Ö Ð¸ × ÙÒ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Set<T>¸ Ð Ø Ö ÓÖ Ò Ö Ð Ü¹
Ô ÓÒ std::overflow error × × ÒØ ÒØ Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ × ÓÖ Óº
È Ö × ÐÚ Ù Ö Ö Ð ×Ø Ó ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÔÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö× Ø Ö ÓÖ × × Ò ÕÙ ×
ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ç Ú Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ø Ö ÓÖ × Ò ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ × Ú Ð Ó ×Ø ÕÙ ×Ø
ÒÓ × ¬Ò Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ð × Ó× Ú Ö× ÓÒ × Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒº
È Ö Ú ÒÞ Ö Ð Ø Ö ÓÖ Ð Ö Ó Ð ÒØ × ÙØ
Ð Ñ ØÓ Ó next()º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ô Ö Ö ØÖÓ ÖÐÓ Ð ÞÕÙ Ö Ó ¹
ØÖ × × ÙØ prev()º Ù ÐÕÙ Ö ×ØÓ× Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ò Ö Ö Ð × Ü Ô¹
ÓÒ × std::overflow error Ó std::underflow error × Ð Ø Ö ÓÖ ×Ø × ÓÖ Óº
Ò ALEPH¸ × ÓÑÓ Ò ÓØÖÓ× Ñ ØÓ׸ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒØ Ò ×Ù Ð × Iteratorº ×
Ö¸ Iterator × ÙÒ ×Ù Ð × Ð ×Ô Ð Þ ÓÒ Set<T, Compare>º
Ð × Ù ÒØ Ó Ó ÐÙ×ØÖ ÙÒ Ù×ÕÙ Ò Ö Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ö ÓÖ
template <template <class> class Set, typename T, class Compare>
T * search(Set<T> & set, const T & item)
{
for (typename Set<T>::Iterator it(set); it.has_current(); it.next())
if (are_equals<T, Compare>() (it.get_current(), item))
return &it.get_current();
return NULL;
}
Ú × ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÔÙ Ö Ù× Ö× º È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÓ× Ð Ö Ò ÖÐÓ Ô Ö ÕÙ ×Ø
ÔÙÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓº reset first() Ö Ò Ð Ø Ö ÓÖ Ð
ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ reset last() ÐÓ Ö Ò Ð ÙÐØ ÑÓ ´ Ò Ó ÓÒ en−1 Ò
Ð ¬ ÙÖ Ü ¾º¿µº
Ä × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ × Ù Ò ×ÓÒ Ô Ò ÒØ × Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÓÒ ÕÙ ×
ÑÔÐ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓº
Ð Ñ ØÓ Ó del() Ð Ñ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ý Ú ÒÞ Ð Ø Ö ÓÖ ÙÒ
ÔÓ× ÓÒ Ð ÒØ º Ø Ò Ö× ×Ô Ð Ù Ó Ù Ò Ó × ÒØ Ö Ð Ò next() Ý del()
Ò ÙÒ Ñ ×Ñ Ø Ö ÓÒº

90. 64 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð Ñ ØÓ Ó insert() Ò× ÖØ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð × Ù Ò Ð Ö Ð
Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖ × Ò Ú ÒÞ Öº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ ØÓ Ó append() Ò× ÖØ
Ð ÞÕÙ Ö º
Ä ÔÖ Ñ Ø Ú set() ÔÓ× ÓÒ ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ item Ô ÖØ Ò ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓº
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÒÓ × Ú Ð × item Ò ØÓ × Ô ÖØ Ð ÓÒ ÙÒØÓº
position() Ö ØÓÖÒ Ð ÔÓ× ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÒØÖÓ Ð × ÙÒ º
Ë ÙÒ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Set<T> Ð Ø Ö ÓÖ ÔÙ ÒÖ ÕÙ Ö× ÓÒ ÓØÖ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×º
ÈÓ× Ð Ñ ÒØ Ð Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÐ × × Ð ÓÔ Ö ÓÖ ×Ó []¸ Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ
Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ × ÙÒ ×Ù ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð × Ù Ò º
ÄÓ× Ø Ö ÓÖ × ÔÙ Ò Ù× Ö× Ò Ö Ñ ÒØ × Ö¸ ÔÙ Ò Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÕÙ
Ö Ò Ø Ö ÓÖ × × Ò Ø Ò Ö ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð Ø ÔÓ ÓÒ ÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ù Ð Ø Ö Òº È Ö
×Ø × × ØÙ ÓÒ ×¸ ÔÙ × Ö × Ð Ø Ò Ö Ð Ø ÔÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ý Ð ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ׺
È Ö ÐÐÓ¸ × ÜÔÓÖØ Ò ÐÓ× × ÒÓÒ ÑÓ× Ø ÔÓ Set Type Ý Item Type¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Set Type ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ø ÔÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ ÕÙ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ × ÓÒ×ØÖÙÝ Ð Ø Ö ÓÖ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Item Type Ð Ø ÔÓ ÕÙ Ö ØÓÖÒ get current())º
2.4 Listas Enlazadas
ÍÒ Ð ×Ø × ÙÒ × Ù Ò ÐÓÒ ØÙ Ú Ö Ð < t1, t2, t3, . . . , tn > n Ð Ñ ÒØÓ×
Ð ÙÒ Ø ÔÓ T ÓÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ×
Restricci´n de acceso:
o
½º Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ¸ t1¸ × Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ º
¾º È Ö Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ Ti¸ × Ò × Ö Ó Ö × Ù Ò ÐÑ ÒØ ÐÓ× i − 1
ÔÖ Ú Ó× Ð Ñ ÒØÓ× < t1, t2, t3, . . . , ti−1 >º
×Ø Ö ×ØÖ ÓÒ × ÑÔÓÒ ×Ó Ö ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò Ö
Ù ÐÕÙ Ö ÔÓ× ÓÒ Ð × Ù Ò º Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ò Ð
×Ó¸ Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × Ô Ò ÒØ Ð ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ð ×Ø º
Flexibilidad: Ë × ÓÒÓ Ð Ö ÓÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ti ÒØÖÓ Ð × ÙÒ
< t1, t2, . . . , ti, ti+1, . . . , tn >¸ ÒØÓÒ ×
½º ÔÙ
ti+1 Ð Ñ Ò Ö× Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ º Ð ×Ø Ó ×ÔÙ × ×Ø Ð Ñ ¹
Ò ÓÒ × < t1, t2, . . . , ti, . . . , tn >º
¾º ÍÒ Ð Ñ ÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö tj ÔÙ Ò× ÖØ Ö× ×ÔÙ × ti Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ º
Ð ×Ø Ó ¬Ò Ð ×ÔÙ × Ð Ò× Ö ÓÒ ×
< t1, t2, . . . , ti−1, ti, tj, ti+1, . . . , tn >
Espacio proporcional al tama˜o:
n Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ð ×Ø
× ÑÔÖ × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× × Ö¸ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
ÙÒ ÙÒ ÓÒ f(n) = k × nº
Ä × Ð ×Ø × ×ÓÒ ÓÒ × Ô Ö ÔÐ ÓÒ × ÓÒ¸ Ó Ð ÙÒ × ¸ Ð × × Ù ÒØ × Ö Ø Ö ×Ø ×
¯ Ë Ö ÕÙ Ö Ò Ú Ö Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× ´ÕÙ Þ ÑÙ Ó×µ Ý ×Ù ÒØ × Ú Ö Ð ÐÓ Ð Ö Ó
Ð ÔÐ ÓÒº

91. 2.4. Listas Enlazadas 65
¯ Ä× Ö ÒÐ × ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× ×ÓÒ × ÓÒÓ × Ý ÑÙÝ Ú Ö Ð × Ò Ð Ø ÑÔÓ
Ú Ð ÔÐ ÓÒº
¯ Ð ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × × Ù Ò Ð × Ö¸ Ð ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ×
Ö Ð Þ ×ÔÙ × ÔÖÓ × Ö ÐÓ× (i − 1) Ð Ñ ÒØÓ× ÔÖ Ú Ó׺
Ä ×Ø × ÓÒ Ð × Ö Ø Ö ×Ø × × Ò Ð × ÓÖÑ Ò Ô ÖØ ÐÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
ÙÒ ÓÒ Ð ×¸ LISP¸ ML¸ CAML¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ× Ý ÐÓ× ÑÓ ÖÒÓ× Ý ÔÓØ ÒØ × Ð Ò Ù ×
× Ö ÔØ Ò Ò Ð × Ó ÙÖÖ Ò × Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö ×¸ perl Ý pythonº Ä Ò Ù × Ñ ÒÓ Ò Ú Ð¸
Ø Ð × ÓÑÓ Pascal¸ C Ó C++¸ ÒÓ ÔÓ× Ò Ð ×Ø × ÓÑÓ Ô ÖØ Ð Ð Ò Ù ¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð
× ÓÒÚ Ò ÒØ ÑÔÐ ÒØ ÖÐ × Ò Ö Ð Ý Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ð ÓØ º
Ð × Ð ×Ø × × Ð × Ø Ð ÒÐ Þ × ÔÓÖÕÙ ¸ ÖÒ Ð ÖÖ ÐÓ¸ Ð Ñ ÒØÓ
Ð × Ù Ò Ö × Ò ÙÒ Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÕÙ ÒÓ × ÓÒØ Ù º È Ö ÓÒÓ Ö Ù Ð
× Ð × Ù ÒØ Ð Ñ ÒØÓ Ð × Ù Ò ¸ × Ò × Ö Ó ÙÒ ÒÐ Ð ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ
ÕÙ ÐÓ Ð Ö º Ä ¬ ÙÖ ¾º ÑÙ ×ØÖ Ð Ð × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô ØÓÖ ÙÒ Ð ×Ø × Ñ¹
ÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÙÝÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×ÓÒ Ð × Ð ØÖ × × Ð ×Ø Ð º
head
A B C D E
ÙÖ ¾º ÍÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ
Ð Ñ ÒØÓ Ð × Ù Ò × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ò Ó×
ÑÔÓ× Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð × Ù Ò Ý Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ð ÔÖÓÜ Ñ º ÍÒ ×
ÒÓÑ Ò ÒÓ Ó º
Ð ÔÙÒØÓ ÒØÖ ÙÒ Ð ×Ø × Ð Ö ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó¸ ÒÓÑ Ò Ó head Ò
Ð ¬ ÙÖ ¾º º
Ò C Ó C++¸ ÙÒ ÒÓ Ó ÔÙ ×Ô ¬ Ö× ÓÑÓ × Ù
¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó × ÑÔÐ ≡
struct Node
{
char data;
Node * next;
};
×Ø × Ð Ø Ô Ð Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ º data ÐÑ Ò
Ð Ð ØÖ Ý next × Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÔÖÓÜ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÙÒ Node × Ö ¬ Ö × Ñ ×ÑÓ
ØÖ Ú × next¸ Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ò × Ó Ð × ¬ × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö ÙÖÖ ÒØ × º
Ä Ð ×Ø Ð ¬ ÙÖ ¾º × Ø ÓÖ Þ ÓÑÓ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÔÓÖÕÙ ×Ù× ÒÓ Ó×
ÔÓ× Ò ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÐ Ð × Ù ÒØ ÒÓ Ó Ò Ð × Ù Ò º Ò ØÖ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÔÓÕÙ ØÓ
Ñ × Ñ ÑÓÖ ¸ × ÔÓ× Ð ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ ÒÐ ÓÒ Ð Ð Ð Ñ ÒØÓ ÔÖ ×ÓÖº Ò ×Ø
×Ó Ð Ð ×Ø × Ø ÓÖ Þ ÓÑÓ Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ý × Ö ÔÖ × ÒØ Ô ØÓÖ Ñ ÒØ
ÓÑÓ Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º º ØÓ× Ñ Ò Ö Ð ÓØÖÓ ÜØÖ ÑÓ¸ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ
ÓÒ Ð Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð ×Ø º
Ð Ó×ØÓ Ò ×Ô Ó ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ö ÓÑÔ Ò× ÓÒ Ö × ÓÒ ×Ù
Ú Ö× Ø Ð º Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ð ×Ø ¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÙ Ò Ö Ö Ö Ð

92. 66 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
first last
A B C D E
ÙÖ ¾º ÍÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ
Ð Ñ ÒØÓ ÔÖ ×ÓÖ Ó Ð ×Ù ×ÓÖº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ð ×Ø ÔÙ Ö ÓÖÖ Ö× Ò ÐÓ× Ó×
× ÒØ Ó׸ ÞÕÙ Ö Ö Ó Ú Ú Ö× º
ÉÙ Þ Ð Ö Ò Ú ÖØÙ ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×Ð Ô ÙØÓ¹
Ð Ñ Ò ÓÒ º Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó ÔÓ× ØÓ Ó Ð ÓÒØ ÜØÓ Ò × Ö Ó ´ÔÖ ×ÓÖ Ý ×Ù ×ÓÖµ
Ô Ö Ð Ñ ×ÑÓ Ð Ñ Ò Ö× Ð Ð ×Ø º
Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º × Ù× Ò Ó× ÔÙÒØÓ× ÒØÖ ÙÒÓ ÔÓÖ ÜØÖ ÑÓº × ÔÓ× Ð
Ý Ñ × Ú Ö× Ø Ð × × ÖÖ Ò ÐÓ× ÒÐ × Ý × Ð Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ÐÙ×ØÖ
Ð ¬ ÙÖ ¾º º Ò ×Ø ×Ó¸ ×Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ð Ð ×Ø Ô Ö
Ø Ò Ö ×Ó ×Ù ÓØÖÓ ÜØÖ ÑÓº
first
A B C D E
ÙÖ ¾º ÍÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö
Ò Ò ÙÖ ¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × × ÓÐÓ ÓÑÓ Ö ÙÒ
ÒÓ Ó ÓÒ Ð¸ Ð Ù Ð ÒÓ ÓÖÑ Ô ÖØ ÐÓ Ð × Ù Ò ¸ ÒØÓÒ × × Ò Ò Ð Ò Ð
­Ù Ó¸ ÔÙ × ÒÓ Ý ÕÙ ÓÒ× Ö Ö ÐÓ× ×Ó× Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ù Ò Ó Ð Ð ×Ø ×Ø Ó Ú Ò
Ú º
Ä ×Ø Ò × Ö ÙÐ Ö Ý ÒÓ Ó Ö Ø Ñ Ò ÔÙ Ò ÔÐ Ö× Ð ×Ø × × Ñ¹
ÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × ÙÒÕÙ Ð Ò Ò Ò Ú Ö× Ø Ð ÒÓ × Ø Ò ÒÓØ Ð ÓÑÓ ÓÒ Ð ×
Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
2.4.1 Listas enlazadas y el principio fin a fin
Ä × ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÔÙ Ò × Ô Ö Ö× Ò ÐÓ× Ò Ú Ð × Ö ÖÕÙ Ó׸ × ÙÒ
Ð Ø ÔÓ ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ ÐÙ×ØÖ Ó× Ò Ð Ö Ñ ÍÅÄ Ð × Ð × × ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ð ×Ø ×
Ò ALEPHº
Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ú Ð Ð ¬Ò × Ð Ñ Ò Ó ÔÙÒØ ÓÖ ×º ËÓÐÓ ÒÓ× ÓÒ ÖÒ Ò Ð × ÓÔ Ö ¹
ÓÒ × ÒÐ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ ÓØÖÓ × Ò ÓÒ× Ö Ö¸ Ò Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ò Ð Ø ÔÓ
ØÓ ÕÙ ×ØÓ× ÓÒØ Ò Òº Ò ×Ø Ò Ú Ð × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð × Ð × × Slink Ý Dlink¸ Ð
Ù Ð × ÑÓ Ð Þ Ò ÒÐ × ÒÓ Ó× Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ý Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ Ö ×Ô Ø Ú ¹
Ñ ÒØ º Ä × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò ×Ø Ò Ú Ð ×ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ × Ð Ø ÔÓ ØÓ
ÕÙ Ð Ö Ù Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÐÓ ÕÙ Ð × Ò Ö Ð × Ô Ö ØÓ × Ð × Ð × × Ð ×Ø ×º

93. 2.4. Listas Enlazadas 67
Slink Dlink
1: Manejo de enlaces
:T :T
Snode Dnode 2: Manejo de tipo
+get_data(): T +get_data(): T
:T :T
Slist Dlist 3: Manejo de nodos
:T :T
4: Manejo de memoria
DynSlist DynDlist
ÙÖ ¾º ÖÑ Ò Ö Ð ÍÅÄ Ð × Ð × × Ô Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×
Ò Ð × ÙÒ Ó Ò Ú Ð Ð ¬Ò × Ð Ö Ö ÙÒ ØÓ Ò Ö Ó Ò Ð ÒÓ Ó ÕÙ ÐÙ Ó Ö ×ÙÐØ
Ò Ð Ø ÔÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð × Ù Ò º Ò ×Ø Ò Ú Ð Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð × Ð × × Snode<T>
Ý Dnode<T>¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ð ¬Ò ×Ø × Ð × × × Ñ Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ö Ó T × ¹
ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ get data()º ÆÓØ × ÕÙ ÔÓÖ Ö Ò ÔÙ Ð ÙÒ Snode<T>
× ÙÒ Slink Ý ÙÒ Dnode<T> × ÙÒ Dlinkº
Ò Ð Ø Ö Ö Ò Ú Ð Ð ¬Ò × Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ð ×Ø × ÒÓ Ó׸ × Ò × ÑÔÐ × Ø ÔÓ Slist<T>¸
Ó × Ò Ó Ð × Ø ÔÓ Dlist<T>º ÆÓØ × ÕÙ Ò ×Ø Ò Ú Ð × Ð Ð ×Ø × ÒÓ Ó× Ý ÒÓ
Ð ×Ø × Ð Ñ ÒØÓ׺ ÒÓ Ó ÙÒ Ð ×Ø Ö ÕÙ Ö Ô ÖØ Ö ÙÒ ×Ô Ó Ñ ÑÓÖ º
Ò Ð Ò Ù × ÓÑÓ C++ Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ × Ð Ó ÔÓÖÕÙ Ý ÕÙ × ÙÖ Ö×
Ð ÖÖ ÐÓÕÙ ¸ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÒÓ Ó¸ ÕÙ Ý × Ó Ô ÖØ Ó ÙÒ Ú Þ ÕÙ ×
Ø ÖÑ Ò ÕÙ ×Ø Ý ÒÓ × Ù× Ö Ñ ×º Ò Ò ÙÖ ¸ Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × ÒÓ
× Ò × Ö Ó Ô ÖØ Ö Ó Ð Ö Ö Ñ ÑÓÖ º ÇØÖ Ú ÒØ ×Ø Ò ÓÕÙ × ÕÙ ÔÓ ÑÓ×
Ð Ñ Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò× ÖØ ÖÐÓ Ò ÓØÖÓ × Ò Ò × Ð Ö Ö Ý ÐÙ Ó
Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ º Ò Ú ÖØÙ ×Ø × Ö ÞÓÒ ×¸ Ð Ñ Ò Ó ÔÓÖ ÒÓ Ó× Ô ÖÑ Ø ×Ô ¬ Ö
ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð ×Ø × × Ò ÓÒ× Ö Ö Ð Ñ Ò Ó Ð Ñ ÑÓÖ º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÒ ÔØÓ ØÖ ÓÒ Ð Ð ×Ø Ò Ð Ù Ð ØÓ Ó
×Ø Ö ×Ù ÐØÓ Ò ÐÙ Ó Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ × ÜÔÓÖØ Ò Ð × Ð × ×
DynSlist<T> Ý DynDlist<T>¸ Ð Ù Ð × ÑÓ Ð Þ Ò Ð ×Ø × ÑÔÐ ÒØ × Ñ ÒØ ÒÐ ×
× ÑÔÐ × Ý Ó Ð ×¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ
2.4.2 El TAD Slink (enlace simple)
Ð Ì Slink¸ ¬Ò Ó Ò Ð Ö ÚÓ ×Ð Ò ºÀ ¸ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÒÐ × ÑÔÐ ÙÒ
Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö ÓÒ ÒÓ Ó Öº
×Ð Ò ºÀ ÜÔÓÖØ Ð Ð × Slink
×Ð Ò ºÀ ≡
class Slink

94. 68 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖÓØ Ó× Slink
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Slink
};
ÙÒ ÓÒ ÓÒÚ Ö× ÓÒ Slink Ð× ½
¬Ò ×
Slink¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¸ ½¸ ¾¸ Ò º
Ç ØÓ× ÕÙ Ò ÒÐ Þ Ö× Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ò Ø Ò Ö ÙÒ Slink ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ
Ó × Ö Slink ÔÓÖ Ö Ò ÔÙ Ð º Ä ¬ ÙÖ ¾º ÑÙ ×ØÖ ÙÒ Ð ×Ø Ù ØÖÓ Ð Ñ ÒØÓ×
ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Slinkº
ÙÖ ¾º Ä ×Ø ÒÐ Þ × ÑÔÐ ÓÒ Slink
À Ý ÙÒ Ö Ò ÒÑ Ø Ñ ÒØ ÔÖ Ð ÓÒ Ð ¬ ÙÖ ¾º Ð ÞÓ ÔÙÒØ Ð
Ð ÞÓ Ð × Ù ÒØ ÒÓ Ó Ý ÒÓ Ð ÒÓ Óº ×ØÓ ÔÐ ÒØ ÙÒ Ö Ò ×Ù ×Ø Ò Ð ÓÒ Ð × Ð ×Ø ×
ÒÐ Þ × ØÖ ÓÒ Ð × ÓÒ Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ö ÓÒ Ð Ö ×ØÖÓ ÓÑÔÐ ØÓº
Slink Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ñ Ñ ÖÓ ØÓ Ý ÔÖÓØ Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖÓØ Ó× Slink ≡ ´ µ
protected:
Slink* next;
Í× × Slink º
Ä ÔÖÓØ ÓÒ Ô ÖÑ Ø ÕÙ ÙÒ Ð × Ö Ú Slink ÙØ Ð Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ñ Ñ¹
ÖÓ ØÓ nextº
Ð Ì Slink × Ø Ò × ÑÔÐ ¸ ÕÙ ÑÙ Ó× ×Ù× Ñ ØÓ Ó× ÓÒÐÐ Ú Ò ÙÒ ×ÓÐ Ð Ò
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Slink ≡ ´ µ
Slink() : next(this) { /* Empty */ }
Slink(const Slink &)
{
next = this;
}
Slink & operator = (const Slink & link)
{
next = this;
}
void reset()
{
next = this;
}
bool is_empty() const
{
return next == this;

95. 2.4. Listas Enlazadas 69
}
Í× × Slink º
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Slink() Ö ÙÒ Ð ÞÓ × ÑÔÐ ÔÙÒØ Ò Ó × Ñ ×ÑÓº Ä ÓÔ ÙÒ
Slink ×ÓÐÓ × Ô ÖÑ Ø × Ð Ð ÞÓ ÒÓ ×Ø Ò ÐÙ Ó ÒØÖÓ Ð ÙÒ Ð ×Ø ÙÒ Slink ×ÓÐÓ
ÔÙ ÓÔ Ö× × ×Ø ×Ø Ú Óº
is empty() Ö ØÓÖÒ Ú Ö ÖÓ × Ð next ÔÙÒØ × Ñ ×ÑÓº Ä ×Ø Ñ ØÓ Ó
× ÒÚÓ ÖÐÓ × ÙÒ ÒÓ Ó Öº
get next() Ö ØÓÖÒ Ð × Ù ÒØ Ð ÞÓ Ø Ó thisº
Ä Ò× Ö ÓÒ × Ö ×Ô ØÓ Ð ×Ù ×ÓÖ Ý × ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Slink +≡ ´ µ
void insert_next(Slink * p)
{
p->next = next;
next = p;
}
Í× × Slink º
insert next()Ò× ÖØ Ð Ð ÞÓ p ×ÔÙ × thisº
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ð Ñ ÒØÓ Ý Ø Ñ Ò × ÑÙÝ × Ò ÐÐ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Slink +≡ ´ µ
Slink * remove_next()
{
Slink * ret_val = next;
next = ret_val->next;
ret_val->reset();
return ret_val;
}
Í× × Slink º
remove next() ×ÙÔÖ Ñ
Ð × Ù ÒØ Ð Ñ ÒØÓ Ö ×Ô ØÓ this Ý Ö ØÓÖÒ Ð Ð ÞÓ Ð Ñ Ò Óº
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ × ÑÓ× ÒÐ Þ Ö Ó ØÓ× Ø ÔÓ Window Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò¹
Ð Þ º À Ý Ó× ÓÖÑ × ÖÐÓº Ä ÔÖ Ñ Ö × ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ
class Window : public slink
{
...
};
Ò ×Ø ×Ó ÔÓ ÑÓ× Ò× ÖØ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ò×Ø Ò × Window ×ÔÙ × ÙÒ ÒÓ Ó
Ô ÖØ ÙÐ Ö first
Window * window_ptr = new Window (...);
...
first->insert_next(window_ptr);
×ØÓ × ÔÓ× Ð ÔÓÖÕÙ Window ׸ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ¸ Ø ÔÓ Slinkº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ×
ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ð × Slink ×ÓÒ Ò ÙÒ ÓÒ Slink½½ ¸ ÔÙ × Ö Ò × Ö Ó ØÙ Ö ÙÒ
ÓÒÚ Ö× ÓÒº ÈÓÖ ÑÔÐÓ
window_ptr = static_cast<Window*>(first->remove_next());
½½
Ê ÙÒ Ò Ö º

96. 70 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÓÑÓ first->remove next() Ö ØÓÖÒ ÙÒ Slink¸ Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÐÓ ÑÓ ¬ Ô Ö ÕÙ ×
ØÖ Ø ÓÑÓ Ø ÔÓ Window¸ Ð Ù Ð × Ð ×Ó ÔÓÖ Ö Ú ÓÒº
Ä × ÙÒ ÓÖÑ Ô Ö ÒÐ Þ Ö Ð × × × ÔÓÖ ÓÐÓ ÓÒ ÙÒ Slink ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ
Window
class Window
{
...
Slink link;
};
Ë first ÔÙÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó ÙÒ Ð ×Ø ¸ ÒØÓÒ × ÙÒ Ò×Ø Ò window ptr
Ø ÔÓ Window ÔÙ Ò× ÖØ Ö× ×ÔÙ × first Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
first->insert_next(&window_ptr->link);
Ð Ò ÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ð Ú ÒØ ÕÙ ÔÓ× Ð ÒÐ Þ Ö Ó ØÓ× Ú Ö × Ð ×Ø ×
Ó × ¸ ÙÒ Ó ØÓ ÔÙ × Ö Ô ÖØ Ú Ö × Ð ×Ø ×º È Ö ÐÐÓ¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÑÓ× Ð Ö Ö
ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ× Ø ÒØÓ× Slink ÓÑÓ Ð ÒØ Ð ×Ø × Ð × Ù Ð × Ô ÖØ Ò Ö Ð Ó ØÓº
Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ö× Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
class Window
{
...
Slink link_1;
Slink link_2;
...
Slink link_n;
};
...
first->insert_next(&window_ptr->link_1);
first->insert_next(&window_ptr->link_2);
...
first->insert_next(&window_ptr->link_n);
ÓÒ ×Ø Ø Ò ÒÓ × ÔÓ× Ð Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÓÑÔ Ð ÓÖ¸ ÔÙ × Ù ÐÕÙ Ö
ØÖ ÙØÓ Ø ÔÓ Slink ÒÓ × Ð ÔÖÓÔ Ð × Window¸ × ÒÓ Ô ÖØ ÐÐ º È Ö Ó Ø Ò Ö Ð
Ö ÓÒ ÓÖÖ Ø Ô ÖØ Ö ÙÒ Slink ×ÓÒ Ò × Ö Ó× Ð ÙÒÓ× Ð ÙÐÓ× Ò Ö ØÑ Ø
ÔÙÒØ ÓÖ ×º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ø Ð × Ð ÙÐÓ× ×ÓÒ ÑÙÝ ×Ù× ÔØ Ð × ÖÖÓÖ¸ × ×Ø ÒØ × Ð
Ò Ô×ÙÐ ÖÐÓ× Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
static Window * link_to_window(Slink *& link)
{
Window * ptr_zero = 0;
size_t offset_link = reinterpret_cast<char*>(&(ptr_zero->link));
char * address_result = reinterpret_cast<char*>(link) - offset_link;
return static_cast<Window *>(address_result);
}
ÆÓ Ø Ò ÑÓ× ÓÖÑ ÓÒÓ Ö ÐÓ× ÒÓÑ Ö × ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× Slink Ò ×Ù ÒØ º ÆÓ
ÔÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ Ó Ö Ö ÙÒ ÖÙØ Ò Ò Ö ÕÙ ÒÓ× ÓÒÚ ÖØ ÙÒ Slink Ð Ð × ÕÙ

97. 2.4. Listas Enlazadas 71
ÓÒØ Ò Ð Slink¸ Ô ÖÓ × ÔÓ ÑÓ× Ó Ö Ö ÙÒ Ñ ÖÓ ÕÙ ÔÖ Ô Ö Ð Ø ÖÖ ÒÓ
½ ÙÒ ÓÒ ÓÒÚ Ö× ÓÒ Slink Ð × ½ ≡ ´ µ
# define SLINK_TO_TYPE(type_name, link_name)
static type_name * slink_to_type(Slink * link)
{
type_name * ptr_zero = 0;
size_t offset_link = reinterpret_cast<size_t>(&(ptr_zero->link_name));
char * address_type = reinterpret_cast<char*>(link) - offset_link;
return reinterpret_cast<type_name *>(address_type);
}
¬Ò ×
SLINK TO TYPE¸ Ò Ú Ö Ù× º
Í× × Slink º
Ð Ñ ÖÓ Ø Ò Ó× Ô Ö Ñ ØÖÓ׺ type name × Ð ÒÓÑ Ö Ð Ð × ÕÙ Ð Ö ÙÒ
Slinkº link name × Ð ÒÓÑ Ö ÙÒ ØÖ ÙØÓ Ø ÔÓ Slink ÓÒØ Ò Ó ÒØÖÓ Ð
Ð × type nameº
Å ÒØ Ð Ñ ÖÓ SLINK TO TYPE¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ×ÔÓÒ ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÒ¹
Ú Ö× ÓÒ Slink ×Ù Ð × º Ð Ñ ÖÓ × Ò ÐÙ Ö ÒØÖÓ Ð Ð × ÕÙ ÙØ Ð
Ð Slinkº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð Ð × Window
class Window
{
/* ... */
SLINK_TO_TYPE(Window, link);
};
Ë Ò Ö ÙÒ Ñ Ñ ÖÓ ×Ø Ø Ó ÕÙ ØÙ Ð Ñ ×ÑÓ ØÖ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÓÒ¹
Ú Ö× ÓÒ Slink Ð× ½ º
Ë Ò Ð Ñ ÖÓ × Ð Ó ÓÑÔÐ Ó¸ ×Ø × Ò Ô Ò ÒØ Ð ÔÓ× ÓÒ Slink
Ò Windowº Ä ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ñ Ñ ÖÓ ×Ø Ø Ó × Ð Ñ ×Ñ Ô Ö ØÓ Ð × ÕÙ Ù× ÙÒ
Slink ×ÓÐÓ Ý ÕÙ Ñ Ö Window Ý link ÔÓÖ ÐÓ× ÒÓÑ Ö × ÕÙ Ð Ð ÒØ × Ó º
2.4.3 El TAD Snode<T> (nodo simple)
Snode<T> × ÙÒ Ð × Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÕÙ ×ØÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×Ø
× ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö¸ ÓÒ ÒÓ Ó Ö ¸ ÙÝÓ× ØÓ× ×ÓÒ Ø ÔÓ Tº Snode<T>
× ¬Ò ÑÔÐ ÒØ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ×ÒÓ ºÀ ½ ¸ Ð Ù Ð ÔÓ× Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ
½ ØÔÐ ×ÒÓ ºÀ ½ ≡
template <typename T>
class Snode : public Slink
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Snode<T> ¾
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Snode<T> ¾
};
¬Ò ×
Snode¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾¸ ¸ ½½¾ ¸ ½½¿ ¸ ½¾ ¸ Ò ½¿ º
Í× × Slink º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Snode<T> Ö Ú Slink¸ ×Ø × Ø Ñ Ò ÙÒ Slink Ý Ö ¸ Ü Ô ÓÒ
Ð ÙÒÓ× Ñ ØÓ Ó× ÕÙ Ò ×Ó Ö Ö Ö× ¸ Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Slinkº

98. 72 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÍÒ Snode<T> Ø Ò ÙÒ ÙÒ Ó ØÖ ÙØÓ
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Snode<T> ¾ ≡ ´½ µ
T data;
data ÓÒØ Ò Ð ØÓ ÐÑ Ò Ó Ò Ð ÒÓ Óº ×Ø ØÓ ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ñ ÒØ Ð
Ó × ÖÚ ÓÖ
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Snode<T> ¾ ≡ ´½ µ ¾
T& get_data() { return data; }
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Snode<T>
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Snode<T> ¾ +≡ ´ ½ µ ¾ ¾
Snode() { /* empty*/ }
Snode(const T & _data) : data(_data) { /* empty */ }
Í× × Snode ½ º
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ú Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ú ÐÓÖ ØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Óº Ð × ÙÒ Ó ÓÒ×¹
ØÖÙ ØÓÖ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ØÓ dataº
Ð Ñ ØÓ Ó insert next() × Ö Ö Ø Ñ ÒØ Slink ÐÓ ÕÙ × Ô ÖÑ × Ð
ÔÓÖÕÙ ÙÒ Snode<T> × Ø Ñ Ò ÙÒ Slinkº
ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÑÓ× ×Ó Ö Ö Ö remove next()¸ ÔÙ × ×Ø Ö ØÓÖÒ ÙÒ Slink Ý
Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÕÙ × Ö ØÓÖÒ ÙÒ Snode<T>
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Snode<T> ¾ +≡ ´½ µ ¾ ¾
Snode * remove_next() { return static_cast<Snode*>(Slink::remove_next()); }
Í× × Slink Ò Snode ½ º
Ä Ñ ×Ñ ×Ó Ö Ö Ö Ð Þ Ö× Ô Ö get next()
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Snode<T> ¾ +≡ ´½ µ ¾
Snode * get_next() const { return static_cast<Snode*>(Slink::get_next()); }
Í× × Slink Ò Snode ½ º
2.4.4 El TAD Slist<T> (lista simplemente enlazada)
Ð Ì Slist<T> ×ØÖ ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö ÒÓ Ó× × ÑÔР׸ Ð
Ù Ð × ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ×Ð ×غÀ ¾ ¸ Ò Ð Ù Ð × ¬Ò Ð Ð × Ò Ù ×Ø ÓÒ
¾ ØÔÐ ×Ð ×غÀ ¾ ≡
template <typename T>
class Slist : public Snode<T>
{
¬Ò ÓÒ × Slist<T> ¾
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Slist<T> ¿
Ø Ö ÓÖ Slist<T> ¿
};
¬Ò ×
Slist¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ß º
Í× × Snode ½ º
Ä Ð × Slist<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÒÓ Ó× × ÑÔÐ × ÕÙ
ÐÑ Ò Ò ØÓ× Ø ÔÓ T
¾ ¬Ò ÓÒ × Slist<T> ¾ ≡ ´ ¾µ
typedef Snode<T> Node;
Í× × Snode ½ º

99. 2.4. Listas Enlazadas 73
×Ø Ð Ö ÓÒ ÜÔÓÖØ Ð Ø ÔÓ Slist<T>::Node × ÒÓÒ ÑÓ Snode<T>º
Ä ÙÒ Ò× Ö ÓÒ ÔÓ× Ð × Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ð ×Ø Ø Ð ÓÑÓ × Ù
¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Slist<T> ¿ ≡ ´ ¾µ ¿
void insert_first(Node * node)
{
this->insert_next(node);
}
insert first() Ò× ÖØ Ð ÒÓ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ð ×Ø × Ö¸ node Ú Ò Ð ÔÖ Ñ Ö
Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð ×Ø º
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð ÙÒ ÓÖÑ ×ÙÔÖ Ñ Ö × ÔÓÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ð ×Ø
¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Slist<T> ¿ +≡ ´ ¾µ ¿ ¿
Node * remove_first() throw(std::exception, std::underflow_error)
{
return this->remove_next();
}
remove first() Ð Ñ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð ×Ø Ý Ö ØÓÖÒ ×Ù Ö ÓÒº
Ð Ù×Ù Ö Ó Slist<T> ÔÙ ÓÒÓ Ö Ð Ö ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ñ ÒØ
¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Slist<T> ¿ +≡ ´ ¾µ ¿
Node * get_first() const Exception_Prototypes(std::underflow_error)
{
return this->get_next();
}
Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÔÙ Ò Ö× ØÖ Ú × Ð ÒØ Ö Þ Slist<T>::Node¸
Ð Ù Ð × Ð Ñ ×Ñ Snode<T>º Ð Ù×Ù Ö Ó ÔÙ ØÙ Ö Ò× Ö ÓÒ × Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ ×
Ð Ð ×Ø ØÖ Ú × ×Ø Ú º
2.4.5 Iterador de Slist<T>
Slist<T> ÜÔÓÖØ ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ó Ð ×Ù ¹ Ð ×
¿ Ø Ö ÓÖ Slist<T> ¿ ≡ ´ ¾µ
class Iterator
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ Slist<T> ¿
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Slist<T> ¿
};
Ð ÙÒ Ñ Ò Ö ¸ Ð Ø Ö ÓÖ ÔÓ× Ö Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ù¬ ÒØ Ô Ö ÔÓ Ö Ö ÓÖÖ Ö
Ð Ð ×Ø º Ì Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ø ÓÒ×Ø ØÙ ÔÓÖ
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ Slist<T> ¿ ≡ ´¿ µ
Slist * list;
Node * current;
Í× × Slist ¾ º
list × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ð ×Ø ÒÐ Þ ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ø Ö Ý current × Ð Ð Ñ ÒØÓ
ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖº
Ö ×ØÓ¸ Ð Ø Ö ÓÖ × ¬Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÓ × Ù
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Slist<T> ¿ ≡ ´¿ µ
Iterator(Slist & _list) : list(&_list), current(list->get_first()) { /* Empty */ }
bool has_current() const { return current != list; }

100. 74 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Node * get_current()
{
return current;
}
void next()
{
current = current->get_next();
}
void reset_first() { current = list->get_next(); }
Í× × Slist ¾ º
Ð × Ù ÒØ ÑÔÐÓ Ú × Ø ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ð ×Ø
for (typename Slist<int>::Iterator itor(list); itor.has_current(); itor.next())
// procesar itor.get_current()->get_data();
2.4.6 El TAD DynSlist<T>
Ð Ì DynSlist<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ð ×Ø Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ T ÙÝÓ Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ
ÐÓ Ö Ð Þ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ Ó Ì º ÓÑÓ Ø Ð¸ ×Ø Ì × Ö Ñ × Ð ÓÒ ÔØÓ Ð
Ð ×Ø ÒÙÒ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ô ØÙÐÓº ËÙ ¬Ò ÓÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò
Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÝÒËÐ ×غÀ ¸ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð × Ù ÒØ
ØÔÐ ÝÒËÐ ×غÀ ≡
template <typename T>
class DynSlist : public Slist<T>
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynSlist<T>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynSlist<T>
};
¬Ò ×
DynSlist¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × Slist ¾ º
DynSlist<T> Ö Ô ÖØ Ð ÒØ Ö Þ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Slist<T>º this ׸ Ò¹
ØÓÒ ×¸ Ð ÒÓ Ó Ö Ð Ð ×Ø º ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ DynSlist<T> ÓÒØ Ð Þ Ð ÒØ
Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ð ×Ø
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynSlist<T> ≡ ´ µ
size_t num_items;
ÒØ × Ð Ô Ö ÓÒ Ð Ô ØÖÓÒ Ø Ö ÓÖ ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü ¾º¿¸ Ð × ÒØ Ö × Ð ×
Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ñ Ò Ò Ð ÓÒ ÔØÓ ÙÖ×ÓÖ º ÍÒ ÙÖ×ÓÖ ×ØÖ ÙÒ ÔÓ× ÓÒ Ð
Ð ×Ø ÒØÖÓ Ð × Ù Ò Ö ×Ô ØÓ Ð Ù Ð × Ö Ð Þ Ò ×Ù× ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÖ Ò Ô Ð ×º ÙÒ
ÙÖ×ÓÖ × Ð ÐÐ Ñ Ø Ñ Ò ÔÓ× ÓÒ ØÙ Ð º
È Ö ÐÐ Ú Ö Ð ×Ø Ó Ð ÙÖ×ÓÖ × ÙØ Ð Þ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynSlist<T> +≡ ´ µ
int current_pos;
Snode<T> * current_node;
Í× × Snode ½ º

101. 2.4. Listas Enlazadas 75
current pos × Ð ÓÖ Ò Ð Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÒØÖÓ Ð × Ù Ò º current node × Ð
ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ø٠к
ÒØ × ÑÔÐ ÒØ Ö Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÔÖ Ò Ô Ð × DynSlist<T>¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ ÖÙØ Ò
×Ó ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynSlist<T> +≡ ´ µ
typename Slist<T>::Node * get_previous_to_pos(const int & pos)
{
if (pos < current_pos) // hay que retroceder?
{ // Si, reinicie posici´n actual
o
current_pos = 0;
current_node = this;
}
while (current_pos < pos) // avanzar hasta nodo predecesor a pos
{
current_node = current_node->get_next();
++current_pos;
}
return current_node;
}
Í× × Slist ¾ º
get previous to pos() Ö
ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ð ÔÓ× ÓÒ pos Ý current node
ÔÓ× ÓÒ Ó Ò Ó ÔÖ ×ÓÖº Ä Ñ ÑÓÖ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ×ÓÖ × Ò ×Ô Ò× Ð Ô Ö
ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒº
ÄÓ× Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ö ×Ø ÒØ × × ×Ô ¬ Ò ÓÑÓ × Ù
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynSlist<T> ≡ ´ µ
T & operator [] (const size_t & i)
{
return get_previous_to_pos(i)->get_next()->get_data();
}
void insert(const int & pos, const T & data)
{ // apartar nodo para nuevo elemento
typename Slist<T>::Node * node = new typename Slist<T>::Node (data);
typename Slist<T>::Node * prev = get_previous_to_pos(pos); // predecesor
prev->insert_next(node);
++num_items;
}
void remove(const int & pos)
{ // obtener nodo predecesor al nuevo elemento
typename Slist<T>::Node * prev = get_previous_to_pos(pos);
typename Slist<T>::Node * node_to_delete = prev->remove_next();
delete node_to_delete;
--num_items;
}
~DynSlist()
{ // eliminar nodo por nodo hasta que la lista devenga vac´a
ı
while (not this->is_empty())
delete this->remove_first(); // remove_first de la clase base Slink
}
Í× × DynSlist ¸ Slink ¸ Ò Slist ¾º

102. 76 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
DynSlist<T> ÜÔÓÖØ ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ × ÑÙÝ × ÑÔÐ Ð ÖÐ
ÖÚ Slist<T>::Iteratorº
2.4.7 El TAD Dlink (enlace doble)
Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ × ÒÓ ÕÙ Ð Ì Slink¸ Ð Ì Dlink ¬Ò ÙÒ Ó Ð ÒÐ
ÓÒØ Ò Ó Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö ÓÒ ÒÓ Ó
Öº
Dlink × ×Ô ¬ ÑÔÐ ÒØ Ò Ð Ö ÚÓ Ð Ò ºÀ ÕÙ × ×ØÖÙ ØÙÖ Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
Ð Ò ºÀ ≡
class Dlink
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖÓØ Ó× Dlink
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink
};
Ñ ÖÓ× ÓÒÚ Ö× ÓÒ Dlink Ð × ¿
Ô ÖØ Ö ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÙÒØÙ Ð Þ Ö Ý ×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× × Ù ÒØ ×
¬Ò ×
½º Ð ¬Ò ÙÒ Dlink × ÙÒ Ö ÒÓ Ó Ö ÙÒ Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ò¹
Ð Þ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ð × Dlink Ö ¬ Ö Ò Ð ×Ø × Ó Ð ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ Ö ÙÐ Ö ×¸ ÙÝÓ ÒÓ Ó Ö × thisº
¾º Ð ¬Ò ÙÒ Dlink* × ÙÒ Ö ÔÙÒØ ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×Ø Ö¹
ÙÐ Ö Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
Dlink ÔÓ× Ó× ØÖ ÙØÓ× ÔÖÓØ Ó×
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖÓØ Ó× Dlink ≡ ´ µ
mutable Dlink * prev;
mutable Dlink * next;
next Ý prev ×ÓÒ ÔÙÒØ ÓÖ × Ð ×Ù ×ÓÖ Ý ÔÖ ×ÓÖ thisº
ÍÒ ÒÙ ÚÓ Dlink × ÑÔÖ × Ö ÓÒ ×Ù× Ð ÞÓ× ÔÙÒØ Ò Ó × Ñ ×ÑÓ × Ö¸ ÓÑÓ
ÙÒ ÒÓ Ó Ö ÙÝ Ð ×Ø ×Ø Ú
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink ≡ ´ µ
Dlink() : prev(this), next(this) { /* empty */ }
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒÕÙ Ð Ó¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ ÜÔÓÖØ Ö ÒØ Ö × Ô Ö ÓÔ × Ý × ¹
Ò ÓÒ ×
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
Dlink(const Dlink &) { reset(); }
Dlink & operator = (const Dlink & l)
{
reset();
return *this;
}

103. 2.4. Listas Enlazadas 77
ÒÖ Ð Ð × Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × ÒÓ ØÙ Ò ÓÔ × ÜÔÓÖØ Ò Ô Ö × Ø × Ö ÓÔ Ö ÓÒ ×
ÓÒ Ú Ö Ð × Ø ÑÔÓÖ Ð × Ù× × ÔÓÖ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖº ÆÓ × ÔÓ× Ð Ö Ð Þ Ö ÓÔ ×Ø
Ò Ú Ð¸ ÔÓÖÕÙ ÒÓ × Ñ Ò Ò Ò ÙÒ Ñ Ò ×ÑÓ × Ò ÓÒ Ñ ÑÓÖ Ò × ÓÒÓ Ð
Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ Ð Ö Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׺
ÍÒ Ó Ð ÒÐ ÔÙ Ö Ò Ö× Ñ ÒØ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
void reset()
{
next = prev = this;
}
reset() Ö Ò ÙÒ Ð ×Ø ÕÙ ÔÙÒØ × Ñ ×ÑÓº ×ØÓ no es equivalente a eliminar
los nodos atados a thisº
ÙÒÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð × Ò Ö ×Ó Ö ÙÒ Ð ×Ø ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ñ ÒØÓ׸ × × ÔÓ× Ð
ÒØ Ö Ñ Ö ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ó× Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ º ÈÓÖ
×Ø Ö ÞÓÒ¸ × Ó Ö Ð ÔÖ Ñ Ø Ú swap() ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
void swap(Dlink * link)
{
if (is_empty() and link->is_empty())
return;
if (is_empty())
{
link->next->prev = this;
link->prev->next = this;
next = link->next;
prev = link->prev;
link->reset();
return;
}
if (link->is_empty())
{
next->prev = link;
prev->next = link;
link->next = next;
link->prev = prev;
reset();
return;
}
Aleph::swap(prev->next, link->prev->next);
Aleph::swap(next->prev, link->next->prev);
Aleph::swap(prev, link->prev);
Aleph::swap(next, link->next);
}
swap() × ÙÒ Ö Ò ÓÔ Ö ÓÒ¸ Ô٠׸ Ô ÖØ ÕÙ ×Ù Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ × ×¹
Ô Ø ÙÐ Ö¸ ÔÙ × × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ × Ò Ö Ð Ô Ö ØÓ × Ð × Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × ÓÒ
ÒÓ Ó Ö ¸ × Ò ÑÔÓÖØ Ö Ò Ð Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ × Ñ Ò ¸ Ò ÓÑÓ × Ö × ÖÚ Ð Ñ ÑÓ¹
Ö º Ä ¬ ÙÖ ¾º ÐÙ×ØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð × Ð ×Ø × Ò ÐÓ× Ù Ð × × Ö Ð Þ Ò ÐÓ× ÒØ Ö Ñ Ó׺
×ÙÑ Ò Ó ÕÙ this × Ð ÒÓ Ó Ö ÙÒ Ð ×Ø ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ö × Ð Ð ×Ø ×Ø
Ú Ó ÒÓ¸ × ÓÒØ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ó × ×Ù Ö Ò Ð × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÙÒÓ

104. 78 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
this
swap swap swap swap
link
ÙÖ ¾º ÇÔ Ö ÓÒ swap(link)
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
bool is_empty() const { return this == next and this == prev; }
bool is_unitarian() const { return this != next and next == prev; }
bool is_unitarian_or_empty() const { return next == prev; }
ÍÒ ÔÙÒØÓ ×Ø Ö ×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × × ÕÙ ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÒØ Ð Þ Ö Ð ÒØ
ÒÓ Ó× Ð Ð ×Ø º
Ä ¬ ÙÖ ¾º½¼ ÒÙÑ Ö ÐÓ× Ö ÒØ × Ô ×Ó× ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ò Ð Ò× Ö ÓÒ¸ ÐÓ× Ù Ð × ×
Ö Ð Þ Ò Ò Ð ÖÙØ Ò insert()¸ Ð Ù Ð Ò× ÖØ node ÓÑÓ Ð ×Ù ×ÓÖ this
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
void insert(Dlink * node)
{
node->prev = this;
node->next = next;
next->prev = node;
next = node;
}
Ä Ò× Ö ÓÒ ÓÑÓ ÔÖ ×ÓÖ × ÒÓÑ Ò append() Ý× ¬Ò ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
void append(Dlink * node)
{
node->next = this;
node->prev = prev;
prev->next = node;
prev = node;
}
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö¸ insert() × Ð ÒÓ Ó Ö Ò× ÖØ ÙÒ ÒÓ Ó Ð
ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ð ×Ø º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ append() ÐÓ× Ò× ÖØ Ð ¬Ò к
Ð Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ×Ù ×Ù ×ÓÖ Ý ÔÖ ×ÓÖ Ñ ÒØ
ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ØÓ Ó×
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¼

105. 2.4. Listas Enlazadas 79
1:node->prev = this; node
2:node->next = next;
X
4: next = node; 3:next->prev = node;
A B C D
this
ÙÖ ¾º½¼ ÁÒ× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Dlink
Dlink *& get_next()
{
return next;
}
Dlink *& get_prev()
{
return prev;
}
this
head
´ µ ÒØ × ÙØ Ö insert list(head)
this
head
´ µ ×ÔÙ × ÙØ Ö insert list(head)
ÙÖ ¾º½½ ÁÒ× Ö ÓÒ Ð ×Ø ÒØÖÓ ÙÒ Ð ×Ø
Ü ×Ø Ò Ö ÙÒ×Ø Ò × Ò Ð × Ù Ð × × Ö ÕÙ Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ Ð ×Ø ÓÑÔÐ Ø ÒØÖÓ
ÓØÖ Ô ÖØ Ö ÙÒÓ ×Ù× ÒÓ Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ ÙØ Ð Þ ÑÓ× Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × insert list()

106. 80 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ý append list()º Ä ¬ ÙÖ ¾º½½ ÑÙ ×ØÖ Ð ÔÖÓ ×Ó Ù ÓÒ insert list(head)º
×ÔÙ × ×Ù Ù ÓÒ¸ Ð Ð ×Ø ÙÝÓ ÒÓ Ó Ö ×Ø ÔÙÒØ Ó ÔÓÖ head Ú Ò Ú ¸
ÔÙ × ×Ù× ÒÓ Ó× Ù ÖÓÒ Ò ÐÙ Ó× Ò thisº × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ×Ø ×Ó this
ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÙÒ ÒÓ Ó Ö ¸ × ÒÓ ÕÙ ÔÙ × Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÒÓ Óº Ä ×
ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ × ×ÓÒ ÓÑÓ × Ù
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¼
void insert_list(Dlink * head)
{
if (head->is_empty())
return;
head->prev->next = next;
head->next->prev = this;
next->prev = head->prev;
next = head->next;
head->reset();
}
void append_list(Dlink * head)
{
if (head->is_empty())
return;
head->next->prev = prev;
head->prev->next = this;
prev->next = head->next;
prev = head->prev;
head->reset();
}
Ò Ð ÙÒÓ× ÓÒØ ÜØÓ׸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × insert list() Ý append list() × ÓÒÓ Ò
ÓÑÓ ×ÔÐ ½¾ º
ÍÒ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÕÙ Þ ÑÙ Ó Ñ × ÓÑÙÒ ÕÙ Ð ×ÔÐ ¸ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ö
Ð ×Ø × concat list(head)¸ Ð Ù Ð ÓÒ Ø Ò Ð Ð ×Ø ÙÝÓ ÒÓ Ó Ö × head ÓÒ thisº
head Ú Ò Ú ×ÔÙ × Ð ÓÔ Ö ÓÒº Ò ×Ø ×Ó¸ × × ×ÙÑ ÕÙ this × ÒÓ Ó
Ö º Ð Ö ×Ô ØÓ¸ × ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¼ ½
void concat_list(Dlink * head)
{
if (head->is_empty())
return;
if (this->is_empty())
{
swap(head);
return;
}
prev->next = head->next;
head->next->prev = prev;
prev = head->prev;
½¾
Ò Ò Ð ×¸ ×Ø Ø ÖÑ ÒÓ × ÙØ Ð Þ Ù Ò Ó × × ÜÔÖ × Ö ÕÙ Ó× Ó× × × Ô Ò¸ × ÙÒØ Ò¸ ÔÓÖ ×Ù×
ÜØÖ ÑÓ× ¹ÙÒ ÔÙÒØ ÓÒ Ð ÓØÖ ¹º Ò Ð ÓÔ Ò ÓÒ ×Ø Ö ØÓÖ¸ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ ×Ø ÐÐ ÒÓ Ñ × ÔÖÓÜ ÑÓ ×
ÒÐ Þ Ö ¸ ÙÝÓ Ù×Ó ÔÐ ÒØ ÙÒ Ñ Ù ÒÐ Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓ×
ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ò Ð ×º

107. 2.4. Listas Enlazadas 81
head->prev->next = this;
head->reset();
}
Ð Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó¸ Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÒÚÓ Ö ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒº Ä
Ñ × ÙØ Ð ØÓ × × Ð ÒÓÑ Ò ÙØÓ¹ Ð Ñ Ò ÓÒ ¸ Ð ØÙ Ñ ÒØ del()º Ä
ÖÙØ Ò × ÑÙÝ ÙØ Ð ÔÓÖÕÙ Ô ÖÑ Ø ÕÙ ÓØÖ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÐÑ Ò Ò Ö Ö Ò ×
Ð Ñ Ò Ð × Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö
ÔÙ ×ÙÔÖ Ñ Ö× × Ñ ×ÑÓ Ð Ð ×Ø º ËÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¼ ½
void del()
{
prev->next = next;
next->prev = prev;
reset();
}
ÄÓ× Ô ×Ó× del() × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º½¾º
1: prev->next = next;
3: reset();
A B C D
2: next->prev = prev;
this
ÙÖ ¾º½¾ ÙØÓ¹ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Dlink
Ó ÙÒ ÒÓ ¸ Ý ÓØÖ × Ó× Ñ Ò Ö × Ð Ñ Ò Ö ×Ù ÔÖ ×ÓÖ Ó ×Ù ×Ù ×ÓÖ¸ Ð ×
Ù Ð × × ÑÔÐ ÒØ Ò Ñ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ØÓ Ó×
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ½ ¾
Dlink * remove_prev()
{
Dlink* retValue = prev;
retValue->del();
return retValue;
}
Dlink * remove_next()
{
Dlink* retValue = next;
retValue->del();
return retValue;
}
remove prev() ×ÙÔÖ Ñ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ö ×Ô ØÓ this remove next() ×ÙÔÖ Ñ Ð ×Ù ¹
×ÓÖº ×Ø × ÔÖ Ñ Ø Ú × ×ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ ÙØ Ð × Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ö Ð Ð ×Ø º ÈÙ ×ØÓ
ÕÙ Ð Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö¸ remove prev()¸ ÒÚÓ × Ð ÒÓ Ó Ö ¸ ×ÙÔÖ Ñ Ð ÙÐØ ÑÓ
ÒÓ Ó Ð Ð ×Ø × Ñ Ð ÖÑ ÒØ ¸ remove next() ×ÙÔÖ Ñ Ð ÔÖ Ñ ÖÓº
ÍÒ ÔÐ ÓÒ Ö Ø Ð ÙÒÓ× ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÜÔÐ Ó× × ÑÔÐ ¬ Ñ ÒØ
ÙÒ ÖÙØ Ò ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÓ Ó× Ð Ð ×Ø

108. 82 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ½ ¾
size_t reverse_list()
{
if (is_empty())
return 0;
Dlink tmp_head; // cabecera temporal donde se guarda lista invertida
// recorrer toda la lista this, eliminar primero e insertar en tmp_head
size_t counter = 0;
for (/* nada */; not is_empty(); counter++)
tmp_head.insert(remove_next()); // eliminar e insertar en tmp_head
swap(&tmp_head); // tmp_head == lista invertida; this vac´a ==> swap
ı
return counter;
}
Ô ÖØ ÒÚ ÖØ Ö Ð Ð ×Ø ¸ reverse list() ÔÖÓÚ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ô Ö ÓÒØ Ö Ð Ò¹
Ø ÒÓ Ó× ÒØ ÕÙ Ö ØÓÖÒ Ð ÙÒ ÓÒº
ÙÒ Ð ×Ø ¸ ÓÑÓ Ô ÖØ ÖÐ ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ Ò Ó× Ð ×Ø × Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ñ ÒÓ ÍÒ ØÖÙ Ó
ÓÒ× ×Ø Ò Ú ÒÞ Ö Ó× ÔÙÒØ ÓÖ ×º ÈÓÖ Ø Ö ÓÒ¸ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ú ÒÞ ÙÒ Ô ×Ó¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÓØÖÓ Ú ÒÞ Ó× ½¿ º Ù Ò Ó Ð × ÙÒ Ó ÔÙÒØ ÖÓ × Ò Ù ÒØÖ Ð ¬Ò Ð Ð
Ð ×Ø ¸ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ × Ò ÓÒØÖ Ö Ò Ð ÒØÖÓ ×Ø × Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ÓÒº ×Ø Ò ÓÕÙ ¸ ×
Ð Ñ × Ù Ó Ô Ö Ô ÖØ ÓÒ Ö ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ ¸ Ô ÖÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ö× Ù Ó× Ñ ÒØ
ÐÓ× ×Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÖÓ¸ ÙÒÓ Ó Ó× Ð Ñ ÒØÓ׺
È Ö Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ Ü ×Ø ÙÒ Ò ÓÕÙ ÑÙ Ó Ñ × × ÑÔРݸ ÓÑÓ ØÓ Ó
ÐÓ × ÑÔÐ ¸ Ñ × ÓÒ¬ Ð Ö ÓÖÖ Ö Ð Ð ×Ø ÔÓÖ ÜØÖ ÑÓº ÈÓÖ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ×
Ö ÓÖÖ Ð Ö ÔÓÖ Ð Ö Ó Ð ÞÕÙ Ö º Ò Ø Ö ÓÒ¸ × Ð Ñ Ò
ÜØÖ ÑÓ Ý × Ò× ÖØ Ò ÙÒ Ð × Ð ×Ø × Ö ×ÙÐØ Óº È Ö ÐÐÓ¸ × Ò ÑÓ× Ð
Ñ ØÓ Ó split list(l, r)¸ Ð Ù Ð Ö Ó× Ö × Ð ×Ø × Ú × l Ý r¸ Ý Ô ÖØ ÓÒ
this ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ Ò Ó× Ô ÖØ ×¸ Ð ÞÕÙ Ö ÒlÝÐ Ö Òr
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¾ ¾
size_t split_list(Dlink & l, Dlink & r)
{
size_t count = 0;
while (not is_empty())
{
l.append(remove_next()); ++count;
if (is_empty())
break;
r.insert(remove_prev()); ++count;
}
return count;
}
ÙÒ Ð ×Ø Ý ÙÒÓ ×Ù× ÒÓ Ó׸ ÔÙ × Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ô ÖØ ÓÒ ÖÐ Ò ÙÒ ÒÓ Ó
Óº È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÖÓÚ Ð ÙÒ ÓÒ cut list() ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ð × Ù ÒØ
¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¾
void cut_list(Dlink * link, Dlink * list)
{
list->prev = prev; // enlazar list a link (punto de corte)
list->next = link;
½¿
Ë ÔÙ Ö ÕÙ Ð × ÙÒ Ó ÙÔÐ Ò Ú ÐÓ Ð ÔÖ Ñ ÖÓº

109. 2.4. Listas Enlazadas 83
prev = link->prev; // quitar de this todo lo que est´ a partir de link
a
link->prev->next = this;
link->prev = list; // colocar el corte en list
list->prev->next = list;
}
link
this
A B C D E
list
ÙÖ ¾º½¿ ÓÖØ ÙÒ Ð ×Ø Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ó
Ð ×ÕÙ Ñ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º½¿º cut list() Ô ÖØ ÓÒ this
Ò Ð ÒÓ Ó ÙÝ Ö ÓÒ × link¸ Ð Ù Ð Ô ÖØ Ò Ö Ð Ð ×Ø thisº ÄÓ× ÒÓ Ó×
Ð ÞÕÙ Ö link × ÔÖ × ÖÚ Ò Ò this¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ ×¸ Ò ÐÙ Ó link¸ ×
ÓÔ Ò listº
ÄÓ× Ù×Ó× Dlink ×ÓÒ × ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ Ð Slink × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ð ×Ù ¹
× ÓÒ Ü ¾º º¾ ´Ô Ò µº ÈÓ ÑÓ× Ö ÙÒ Ð × ser ÙÒ Dlink ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ
ÔÙ Ð ¸ Ó ÖÐ Ô ÖØ ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ð ÔÓÖ Ð Ö ÓÒ ÙÒ Dlink ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ
Ð Ð×ºÄ Ö Ò × Ò Ð Ö ×Ô ØÓ Slink × ×Ù Ú Ö× Ø Ð ¸ ÜÔÖ × ÔÓÖ Ð Ö ÕÙ Þ
Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ Ó¸ Ð × Ù Ð × × Ö Ò Ñ × Ð× × ÖÖÓÐÐ Ö ÕÙ
Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Slinkº
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Slink¸ Ô Ö × ØÙ ÓÒ × Ò ÕÙ × Ù× Ò Ö ×ØÖÓ× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Dlink¸
× Ö ÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ Ò Ö Ò ÙÒ ÓÒ × ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Dlink ÙÒ Ð × ÕÙ
ÓÒØ Ò ÙÒ ØÖ ÙØÓ Dlinkº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ý Ó× ÔÓ× Ð × ÔÖÓ Ð ×¸ ÙÒÕÙ ÒÓ
Ò Ö Ð × ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ð × × ÑÔÐ Ó ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ð × Ô Ö Ñ ØÖ Þ º
×Ø × ÔÓ× Ð × × Ò ÐÓ Ò Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ÖÓ×
¿ Ñ ÖÓ× ÓÒÚ Ö× ÓÒ Dlink Ð × ¿ ≡ ´ µ
# define DLINK_TO_TYPE(type_name, link_name)
inline static type_name * dlink_to_##type_name(Dlink * link)
{
type_name * ptr_zero = 0;
size_t offset_link = reinterpret_cast<size_t>(&(ptr_zero->link_name));
char * address_type = reinterpret_cast<char*>(link) - offset_link;
return reinterpret_cast<type_name *>(address_type);
}
# define LINKNAME_TO_TYPE(type_name, link_name)
inline static type_name * link_name##_to_##type_name(Dlink * link)
{

110. 84 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
type_name * ptr_zero = 0;
size_t offset_link = reinterpret_cast<size_t>(&(ptr_zero->link_name));
char * address_type = reinterpret_cast<char*>(link) - offset_link;
return reinterpret_cast<type_name *>(address_type);
}
¬Ò ×
DLINK TO TYPE¸ Ò Ú Ö Ù× º
LINKNAME TO TYPE¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò º
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÖÓ× Ò Ö Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÕÙ ÓÒÚ ÖØ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ link
Ø ÔÓ Dlink Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Ð × ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Dlinkº
Ð Ñ ÖÓ DLINK TO TYPE Ò Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ð ÓÒ ÒÓÑ Ö dlink to type()º Ð
Ñ ÖÓ LINKNAME TO TYPE Ö ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÐÐ Ñ Ó link name¸ Ð Ù Ð Ö ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ Ö Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÒÓÑ Ö Ð ÑÔÓ ÒØÖÓ Ð Ð × º Ä Ö ÞÓÒ × Ö ×Ø
ÙÒ ÓÒ × ÕÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ð Ù×Ù Ö Ó ×Ø ÒØÓ× ÒÓÑ Ö × ÙÒ ÓÒ × Ô Ö ×Ø ÒØÓ× ÒÓÑ Ö ×
ÑÔÓ× ×ØÓ × Ò ×Ô Ò× Ð Ò ÐÓ× ×Ó× Ò ÕÙ Ð Ð × ÓÒØ Ò Ó× Ó Ñ × ÒÐ ×
Ó Ð ×º ÄÓ× Ñ ÖÓ× DLINK TO TYPE Ý LINKNAME TO TYPE Ò ÙØ Ð Þ Ö× ÒØÖÓ Ð Ð ×
ÕÙ Ù× Ð Ø ÔÓ Dlinkº
Iterador de Dlink
Dlink ÜÔÓÖØ ÙÒ Ø Ö ÓÖ ´Ú Ö Ü ¾º¿ ´Ô Ò ¾µµ ÙÝÓ ×ÕÙ Ñ × ÔÖ × ÒØ ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ ¾
class Iterator
{
ØÖ ÙØÓ× Dlink::Iterator
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator
};
È Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð ×Ø Ó Ð Ø Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ó× Ñ Ñ ÖÓ×
ØÖ ÙØÓ× Dlink::Iterator ≡ ´ µ
Dlink * head;
Dlink * curr;
× Ð ÒÓ Ó
head Ö Ð Ð ×Ø º curr × Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖº
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator ≡ ´ µ
Iterator(Dlink * head_ptr) : head(head_ptr), curr(head->get_next())
{
// Empty
}
Iterator(const Iterator & itor) : head(itor.head), curr(itor.curr)
{
// Empty
}
ÍÒ Ø Ö ÓÖ ÔÙ × Ò Ö×
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
Iterator & operator = (const Iterator & itor)
{
head = itor.head;
curr = itor.curr;
return *this;

111. 2.4. Listas Enlazadas 85
}
ÍÒ Ø Ö ÓÖ ÔÙ Ö ÙØ Ð Þ Ö× ¸ ÐÓ ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÓÒ × Ö Ò ÓÒ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
void reset_first()
{
curr = head->get_next();
}
void reset_last()
{
curr = head->get_prev();
}
reset first() ÔÓ× ÓÒ Ð Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓº reset last() ÔÓ× ÓÒ Ð
Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓº
Ü ×Ø Ò × ØÙ ÓÒ × ×Ô Ð × Ò Ð × Ù Ð × × × Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ô ÖØ Ö
ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ý ÓÒÓ Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
void set(Dlink * new_curr)
{
curr = new_curr;
}
void reset(Dlink * new_head)
{
head = new_head;
curr = head->get_next();;
}
set() ÓÐÓ Ð Ø Ö ÓÖ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ø٠и Ñ ÒØÖ × reset() ÓÐÓ Ò Ð Ø Ö ÓÖ
ÙÒ ÒÙ Ú Ð ×Ø º
Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖ × Ý × Ú Ö ¬ Ñ ÒØ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
bool has_current() const
{
return curr != head;
}
Dlink * get_current()
{
return curr;
}
bool is_in_first() const { return curr == head->next; }
bool is_in_last() const { return curr == head->prev; }
È Ö Ú ÒÞ Ö Ð Ø Ö ÓÖ ÙØ Ð Þ ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
void prev()
{
curr = curr->get_prev();
}
void next()
{
curr = curr->get_next();
}

112. 86 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ñ ÒÙ Ó ÔÙ Ò ÓÑ Ò Ö× Ø Ö ÓÖ × Ò ÙÒ for ÕÙ × Ñ Ò Ð Ø Ö ÓÒ ×Ó Ö ÙÒ
ÖÖ ÐÓº ÓÑÓ ÙÒ Ð ×Ø ÒÓ Ø Ò ×Ó Ö ØÓ¸ Ð ÓÒ ÓÒ Ø Ö ÓÒ ÒÓ ×Ö
ÙÒ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ð Ø ÔÓ i < nº Ò ÙÒ Ð ×Ø Ý¸ Ò Ò Ö Ð¸ Ô Ö × Ù Ò ×
ÕÙ × Ñ Ò ÔÙÐ Ò ÓÒ Ø Ö ÓÖ ×¸ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ × Ö ÒØÖ Ø Ö ÓÖ ×º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
ÒÓ × ÔÙ ÓÒÓ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð × Ù Ò Ô Ö ØÓ × Ð × × ØÙ ÓÒ ×¸ ÒÓ ×
ÔÓ× Ð ÑÔÐ Ö ÐÓ× ÓÑÔ Ö ÓÖ × Ö Ð ÓÒ Ð × <, <=, >, >=¸ Ô ÖÓ × × ÔÙ ÓÑÔ Ö Ö
×Ù Ù Ð Ó Ö Ò Ø Ð ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
bool operator == (const Iterator & it) const { return curr == it.curr; }
bool operator != (const Iterator & it) const { return curr != it.curr; }
ÍÒ ×Ø ÐÓ ØÖ ÓÒ Ð Ù×Ó Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ø Ö ÓÖ × × ÐÙ×ØÖ Ò ×Ø Ñ¹
ÔÐÓ
for (Dlink::Iterator curr(list); curr != end; curr.next())
ÓÒ end × ÙÒ Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö Ð Ð ×Ø list ÔÙÒØ Ò Ó Ð ¬Ò к ×Ø × Ð ×Ø ÐÓ Ð
Ð ÓØ ×Ø Ò Ö stdc++º end × ÕÙ Ú Ð ÒØ
Dlink::Iterator end(list);
list.reset_last();
list.next();
× ÔÓ× Ð Ò× ÖØ Ö Ö ×Ô ØÓ Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖº È Ö ÐÐÓ¸ ×Ø ÓÒ ÒÚÓ Ö
×Ó Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ù ÐÕÙ Ö Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ò× Ö ÓÒ insert() Ó append()º
Ü ×Ø Ò × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ð Ñ Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖº Ò
×Ø ×Ó¸ ÒÓ × ÔÓ× Ð ØÙ Ö del() ×Ó Ö Ð ÒÓ Ó Ø٠и ÔÙ × ÔÓ Ö Ô Ö Ö× Ð ×Ø Ó
Ð Ø Ö ÓÖº È Ö ×ÓÐÚ ÒØ Ö ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ Ð Ð × Dlink::Iterator ÜÔÓÖØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ
Ð Ñ Ò ÓÒ ×Ó Ö Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð ÕÙ Ð Ø Ö ÓÖ Ò Ð ÒÓ Ó ×Ù ×ÓÖ Ð Ð Ñ Ò Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ Dlink::Iterator +≡ ´ µ
Dlink * del()
{
Dlink * current = get_current(); // obtener nodo actual
next(); // avanzar al siguiente nodo
current->del(); // eliminar de la lista antiguo nodo actual
return current;
}
Ö ØÓÖÒ Ð ÒÐ Ð Ñ Ò Ó Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð Ð ÒØ ÔÙ
del() ×ÔÓÒ Ö Ð Ò Ð
ÓÖÑ ÕÙ ÔÖ ¬ Ö º
ÓÑÓ ÑÔÐÓ Ù×Ó Dlink::Iterator ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Dlink +≡ ´ µ
void remove_all_and_delete()
{
for (Iterator itor(this); itor.has_current(); delete itor.del()) ;
}
×Ø Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ×ÙÑ ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ ÒÓ Ó Ù × Ò
Ñ ÒØ newº

113. 2.4. Listas Enlazadas 87
2.4.8 El TAD Dnode<T> (nodo doble)
Ò ÙÒ Ò Ú Ð ×ÙÔ Ö ÓÖ Ö ×Ô ØÓ Dlink¸ Ð Ì Dnode<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÒÓ ÓÔ ÖØ Ò ÒØ
ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº Dnode<T> × ¬Ò ÑÔÐ ÒØ Ò Ð
Ö ÚÓ ØÔÐ ÒÓ ºÀ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð × Ù ÒØ
ØÔÐ ÒÓ ºÀ ≡
template <typename T> class Dnode : public Dlink
{
Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Dnode<T>
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Dnode<T>
};
¬Ò ×
Dnode¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¼ ¸ ¾ß ¸ ½ ß ¸ ½ ¸½ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ Ò ¾º
Dnode<T> × ÙÒ Dlink ÔÙ Ð Ó ÔÓÖ Ö Ú ÓÒº Ä ÙÒ ÖÒ Ö× Ò ÕÙ
Dnode<T> ÐÑ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ø ÔÓ T
Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Dnode<T> ≡ ´ µ
mutable T data;
ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× Dlink ÕÙ Ö ØÓÖÒ Ò ÔÙÒØ ÖÓ× Dlink* Ò ×Ó Ö Ö Ö× Ô Ö ÕÙ
Ö ØÓÖÒ Ò ÔÙÒØ ÖÓ× Ø Ô Ó× Dnode<T>*
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Dnode<T> ≡ ´ µ
Dnode<T> *& get_next() { return reinterpret_cast<Dnode<T>*&>(next); }
Dnode<T> *& get_prev() { return reinterpret_cast<Dnode<T>*&> (prev); }
Dnode<T>* remove_prev() { return static_cast<Dnode<T>*>(Dlink::remove_prev()); }
Dnode<T>* remove_next() { return static_cast<Dnode<T>*>(Dlink::remove_next()); }
Í× × Dnode º
Ä ÙÒ ÙÒ ÓÒ ×ØÓ× Ñ ØÓ Ó× × ØÙ Ö Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ Dnode<T>º ÐÑ Ò Ó
ÐÓ× ÒÐ × × ÑÔÐ ÒØ ÔÓÖ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ð × × Dlinkº
Ð ×Ó Ð ØÓ × Ö Ð Þ ÔÓÖ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Dnode<T> +≡ ´ µ
T & get_data() { return data; }
ÍÒ ÔÙÒØÓ ×ÙÑ Ñ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð Ø ÔÓ ØÓ Dnode<T> ×Ø × ÜÔÓÖØ
Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ð Ö ÓÒ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Dnode<T> +≡ ´ µ
typedef T dnode_type;
×Ø Ð Ö ÓÒ Ô ÖÑ Ø ÕÙ ÔÖÓ Ö Ñ × Ò Ö Ó× ÓÒÓÞ Ò Ð Ø ÔÓ ØÓ
Dnode<T>º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × × Ø Ò ÙÒ Dnode<T> Ó Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó Node¸ ÒØÓÒ × ÙÒ
Ö Ñ ÒØÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓ Ö × Ö
typename Node::dnode_type data;
Ð Ù Ð Ð Ö ÙÒ Ú Ö Ð ÒÓÑ Ö data Ð Ø ÔÓ ÒÚÓÐÙ Ö Ó Ò Node¸ Ð Ù Ð × Ð
Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ Ò Ö Ó Tº
À Ý ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÙÝÓ Ù×Ó × Ü Ô ÓÒ Ð¸ Ô ÖÓ ÕÙ ÔÙ × Ö ÜØÖ ÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ ÙØ Ð
Ò ÖØ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Dnode<T> +≡ ´ µ
static Dnode * data_to_node(T & data)
{

114. 88 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Dnode * zero = 0;
long offset = (long) &(zero->data);
char * addr = (char*) (&data);
return (Dnode*) (addr - offset);
}
Í× × Dnode º
Iterador de Dnode<T>
Dnode<T> ÜÔÓÖØ ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÙÝ × Ñ ÒØ × ÒØ Ð Dlink::Iterator º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ×Ø Ó Ý ÓÒØÖÓÐ Ð Ø Ö ÓÖ Ý ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ó ÔÓÖ Dlink::Iterator ¸ Ð
×Ô ¬ ÓÒ Dnode<T> ÁØ Ö ØÓÖ ×ÓÐÓ × Ö Ñ Ø Ð ×Ó Ö Ö ÐÓ× ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × Ý
Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ø٠к
2.4.9 El TAD Dlist<T> (lista circular doblemente enlazada)
Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ú Ð Ñ Ò Ó Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð Ø ÔÓ
Dlist<T>¸ Ð Ù Ð Ñ Ò ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ Ö ÙÐ Ö¸ ÓÒ ÒÓ Ó Ö¸
ÒÓ Ó× Ø ÔÓ Dnode<T>º
Dlist<T> × ¬Ò ÑÔÐ ÒØ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ Ð ×غÀ ¸ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð
× Ù ÒØ
ØÔÐ Ð ×غÀ ≡
¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó× Ó Ð × ¼
ÒÚÓÐØÓÖ Ó ÒÓ Ó× Ó Ð × ¼
Ä ×Ø Ó Ð Ò Ö ½
Ä ×Ø × Ó Ð × ÜØÖ ÑÓ× ½
2.4.9.1 El problema de los destructores virtuales
Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ø ÐÓ ÕÙ Slist<T>¸ Ð Ð × Dlist<T> ÜÔÓÖØ Ö ÙÒ ×Ù Ð ×
Dlist<T>::Node ÕÙ ¬Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Dlist<T>º × Ñ ×ÑÓ¸ ÙÒ Ù×Ù Ö Ó Dlist<T>
ÔÙ Ñ Ò Ö ÒÓ Ó× ÓÑÔÐ Ó× Ñ ÒØ Ö Ú ÓÒ Dlist<T>::Node ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸
ÔÓ Ö ÜÔÖ × Ö ÐÓ × Ù ÒØ
class Window : public Dlist<int>::Node { /* ... */ };
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó ÕÙ Slist<T>¸ Ð Ð ÒØ ÔÙ ÙØ Ð Þ Ö Ò×Ø Ò × Window Ò
ØÓ × Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × Dlist<T>º Window ÔÙ × Ö ÙÒ Ø ÔÓ ÓÑÔÐ Ó ÕÙ Ö Ö Ò
ÓØÖ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý ÕÙ Ñ Ò Ñ ÑÓÖ º Ñ ÑÓÖ × Ö Ð Ö ÔÓÖ Ð
×ØÖÙ ØÓÖ Windowº
È Ö ÕÙ Ö Ú ÓÒ × Dlist<T>::Node ÔÙ Ò ÒÚÓ Ö Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Window¸
× Ò ×Ô Ò× Ð ÕÙ Dlist<T>::∼Node × Ð Ö Ó Ú ÖØ٠к
Ë Dlist<T>::∼Node Ù × Ú ÖØ٠и ÒØÓÒ × ÐÓ× ×ØÖÙ ØÓÖ × Ò×Ø Ò × Ö Ú ×
Dlist<T>::Node × Ö Ò ÒÚÓ Ó× Ý Ð × × Ñ ÒØ × ÐÓ× ×ØÖÙ ØÓÖ × Ò Ð × Ð × ×
Ö Ú × × Ö Ò Ö ×Ô Ø ×º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ô Ö ÕÙ Dlist<T>::∼Node × Ú ÖØÙ Ð ×
Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ð Ð × Ö Ú ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÙÒ ×Ô Ö Ó Ò
×Ô Ó × ÒÓ × Ò × Ö Ó ÒÚÓ Ö Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ð Ð × Ö Ú º ÓÑÓ Ð × Ð ×Ø ×
ÒÐ Þ × ÔÙ Ò × Ö Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò ×¸ ÙÒ ×ØÖÙ ØÓÖ Ú ÖØÙ Ð ÒÒ × Ö Ó ÔÙ
ÖÖ Ö ÙÒ Ó×Ø Ò ×Ô Ó ÓÒ× Ö Ð º ÑÓ׸ Ô٠׸ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÕÙ

115. 2.4. Listas Enlazadas 89
Dlink Dlink::Iterator
#prev: Dlink * +Iterator()
#next: Dlink * +Iterator(in head_ptr:Dlink*)
+Dlink() +Iterator(in head_ptr:Dlink*,in curr_ptr:Dlink*)
+Dlink(link:const Dlink&) +Iterator(in Iterator:itor)
+reset(): void +operator =(in itor:Iterator): Iterator&
+isEmpty(): bool +exporta +operator =(in itor:Iterator): Iterator
+insert(node:Dlink*) +reset_first(): void
+append(node:Dlink*) +reset_last(): void
+get_next(): Dlink* +get_current(): Dlink*
+del(): void +has_current(): bool
+remove_prev(): Dlink* +prev(): void
+remove_next(): Dlink* +next(): void
T:class
Dnode
Node:<template <class> class
T:class +get_next(): Dnode<T>*&
+get_prev(): Dnode<T>*& +exporta
MetaDlistNode
+remove_prev(): Dnode<T>*& T:class
+remove_next(): Dnode<T>*& Dnode::Iterator
+Dnode()
+get_current(): Dnode<T>*
T:class +Dnode(_data:const T&)
+del(): Dnode<T>
Node_Type:template <class> class +operator =(_data:const T&): Dnode&
GenDlist +get_data(): T&
+exporta
+get_first(): Node*
+get_last(): Node*
+remove_first(): Node*
+remove_last(): Node*
T:class
GenDlist<T>::Iterator
+get_current(): Dnode<T>*
+con T:class
GenDlist<Dlist_Node, T> +del(): Dnode<T>
Dlist_Node
Especialización
GenDlist<Dlist_Node_Vtl, T>
Especialización +con T:class
Dlist_Node_Vtl
class T:
T:class DynDlist
T:class
DlistVtl +DynDlist() +exporta
Dlist
Con nodos virtuales +insert(_data:const T&): void T:class
+append(_data:const T&): void DynDlist<T>::Iterator
+get_first(): T&
+get_last(): T& +get_current(): T
+remove_first(): T +del()
+remove_last(): T +insert(in item:T)
+~DynDlist() +append(in item:T)
ÙÖ ¾º½ ÖÑ Ò Ö Ð ÍÅÄ Ð × Ð × × ALEPH Ô Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÓÐ×

116. 90 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð Ô ÖÑ Ø Ð Ù×Ù Ö Ó ÙØ Ð Þ Ö Ñ × ÐØ ÖÒ Ø Ú × × ÙÒ ×Ù ÓÒÚ Ò Ò º × Ö¸ ÕÙ Ð
× Ù× Ð ×Ø × ÒÓ Ó× ÓÒ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØÙ Ð × Ó ÒÓº
ÍÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ× ×Ø Ò ÔÖÓÚ Ö Ó× Ð × × Ö ÒØ × ÒÓ Ó×
¼ ¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó× Ó Ð × ¼ ≡ ´ µ
template <typename T>
class Dlist_Node : public Dnode<T>
{
Dlist_Node() : Dnode<T>() { /* Empty */ }
Dlist_Node(const T & _data) : Dnode<T>(_data) { /* Empty */ }
};
template <typename T>
class Dlist_Node_Vtl : public Dlist_Node<T>
{
Dlist_Node_Vtl() : Dlist_Node<T>() { /* Empty */ }
virtual ~Dlist_Node_Vtl() { /* Empty */ }
Dlist_Node_Vtl(const T & _data) : Dlist_Node<T>(_data) { /* Empty */ }
};
Í× × Dnode º
Ë × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ð ×Ø ÙÝÓ× ÒÓ Ó× ÒÚÓÕÙ Ò ÐÓ× ×ØÖÙ ØÓÖ × Ð × Ð × × Ö Ú ×¸
ÒØÓÒ × Ð Ð ÒØ ÙØ Ð Þ ÒÓ Ó× Ø ÔÓ Dlist Node Vtlº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ × Ð Ð ÒØ
ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÒÚÓ Ö ÐÓ× ×ØÖÙ ØÓÖ ×¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÙØ Ð Þ ÒÓ Ó× Ø ÔÓ Dlist Node ÓÒ
Ð ÓÒ× Ù ÒØ ÓÖÖÓ Ò ×Ô Óº
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ò Ö ×Ó Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×
template <class Node, typename Key>
void ordenar(Node * head_list)
{
/* ... */
Node * node = head_list->get_next();
/* ... */
}
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö ÕÙ Ö Ö ÓÖÖ Ö ÒÓ Ó× Ð Ð ×Ø º ×ØÓ × ØÖ Ú ×
get next() Ý get prev()ºÙ ÐÕÙ Ö Ø ÔÓ Ð × Ö Ú Dlist Node ÔÙ Ò ÙØ ¹
Ð Þ Ö× ÓÑÓ ÒÓ Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ get next() Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Dlist Node¸
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ö Þ Ö ØÓ × Ð × Ð Ò × ÓÒ × × Ò Ð Ö ×ÙÐØ Ó get next() ÙÒ ÔÙÒ¹
Ø ÖÓ ÙÒ Ð × Ö Ú Dlist Nodeº
È Ö Ú Ø Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÕÙ get next() Ý get prev() Ö ØÓÖÒ Ò
ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ð × Ö Ú Ý ÒÓ Ð Ð × Dlist Nodeº ÍÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ð ×
ÒÚÓÐØÓÖ Ð Ð × ÒÓ Ó ÙØ Ð Þ ÕÙ ØÙ Ð × ÓÒÚ Ö× ÓÒ × Ý Ö ØÓÖÒ ÔÙÒØ ÖÓ× Ð
Ø ÔÓ ÓÖÖ ØÓº Ì Ð Ð × Ø Ò Ð × Ù ÒØ ×Ô ¬ ÓÒ
¼ ÒÚÓÐØÓÖ Ó ÒÓ Ó× Ó Ð × ¼ ≡ ´ µ
template <template <class> class Node, typename T>
class MetaDlistNode : public Node<T>
{
MetaDlistNode() { /* Empty */ }
MetaDlistNode(const T& _data) : Node<T>(_data) { /* Empty */ }
MetaDlistNode(const MetaDlistNode<Node, T> & node) : Node<T>(node)
{ /* Empty */ }

117. 2.4. Listas Enlazadas 91
MetaDlistNode<Node, T> *& get_next()
{
return reinterpret_cast<MetaDlistNode<Node, T> *&>(Node<T>::get_next());
}
MetaDlistNode<Node, T> *& get_prev()
{
return reinterpret_cast<MetaDlistNode<Node, T> *&>(Node<T>::get_prev());
}
};
MetaDlistNode ÒÓ Ø Ò Ñ Ñ ÖÓ× ØÓ Ò ÙÒ ÓÒ × Ú ÖØ٠Р׺ Ä Ð × × Ö Ú
ÔÙ Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ð × Ô Ö Ñ ØÖÓ Node<T> ÕÙ × Ö × Ò ÒØ Dlist Nodeº
Ò ×Ò ¸ Ð ÖÓÐ MetaDlistNode × Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ Ð × ÙÒ ÓÒ × get next()
Ý get prev() × ÑÔÖ Ö ØÓÖÒ Ò ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓº
ÐÑ Ò Ó Ð ×Ø × × Ö Ð Þ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× Ø ÔÓ MetaDlistNode
½ Ä ×Ø Ó Ð Ò Ö ½ ≡ ´ µ
template <template <class> class Node_Type, typename T>
class GenDlist : public MetaDlistNode<Node_Type, T>
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ò Ð ×Ø ½
};
¬Ò ×
GenDlist¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ Ò ¾º
GenDlist<T> Ö Ô ÖØ ÒØ Ö Þ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Dnode<T>º Ò Ò ÙÖ ¸ Ð
ÖÒ ÕÙ this × Ð ÒÓ Ó Ö Ð Ð ×Ø º ÓÖ ÓÒ Ö Ø ÑÓ× Ó× ×Ô Ð¹
Þ ÓÒ × GenDlist<T>
½ Ä ×Ø × Ó Ð × ÜØÖ ÑÓ× ½ ≡ ´ µ
template <typename T>
class Dlist : public GenDlist<Dlist_Node, T>
{
typedef typename GenDlist<Dlist_Node, T>::Node Node;
typedef typename GenDlist<Dlist_Node, T>::Iterator Iterator;
};
template <typename T>
class DlistVtl : public GenDlist<Dlist_Node_Vtl, T>
{
typedef typename GenDlist<Dlist_Node_Vtl, T>::Node Node;
typedef typename GenDlist<Dlist_Node_Vtl, T>::Iterator Iterator;
};
Í× × GenDlist ½ º
Ë Ð Ù×Ù Ö Ó Ö ÕÙ Ö Ñ Ò Ö ÒÓ Ó× ÓÒ ÒÚÓ ÓÒ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ð × × Ö Ú ×
ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × ×Ø ÙØ Ð Þ Ð Ð × DlistVtl<T> ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó ÙØ Ð Þ Dlist<T>º
Dlist<T> Ý DlistVtl<T> ×ÓÒ Ñ Ö × ×Ô Ð Þ ÓÒ × GenDlist<T>º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
Ý Ö Ú ÓÒ ÔÙ Ð ¸ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ×Ø Ò ÓÒØ Ò Ó× Ò GenDlist<T>º
GenDlist<T> ÙØ Ð Þ ÒÓ Ó× Ø ÔÓ Node Type<T>º ×ØÓ × Ñ Ò Ö × ÑÔÐ
Ñ ÒØ
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ò Ð ×Ø ½ ≡ ´½µ ¾
typedef MetaDlistNode<Node_Type,T> Node;

118. 92 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ä × ÙÒ ÓÒ × GenDlist<T> × Ñ Ò Ò¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÙÒ ÓÒ GenDlist<T>::Nodeº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ GenDlist<T> Ö Ú ÔÙ Ð Ñ ÒØ Node Type<T>¸ GenDlist<T> ÔÓ×
ØÖ Ú × this ÙÒ ÒÓ Ó Öº
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × Ò× ÖØ Ö Ò GenDlist<T> ÔÓÖ Ð Ö ÒØ Ó ÔÓÖ Ð ¬Ò к ÄÓ× Ñ ØÓ Ó×
×Ø Ò ÑÔÐ ÒØ Ó× ÔÓÖ ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× insert() Ý append() Ô ÖØ Ò ÒØ × Dnode<T>º
È Ö Ð ÓÒ×ÙÐØ ¸ ÑÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö ÙÒ Ô ÖØ Ò GenDlist<T> ÕÙ Ö Ð Ð
ÓÒÚ Ö× ÓÒ GenDlist::Nodeº ÓÒ×ÙÐØ ×Ø ÔÓÖ Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ò Ð ×Ø ½ +≡ ´½µ ½ ¾
Node * get_first()
{
return this->get_next();
}
Node * get_last()
{
return this->get_prev();
}
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ó¸ ×Ø Ø Ñ Ò Ö ÕÙ Ö ÓÒÚ Ö× ÓÒ
GenDlist::Node
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ò Ð ×Ø ½ +≡ ´½µ ¾ ¾
Node * remove_first()
{
Node* retValue = this->get_next();
retValue->del();
return retValue;
}
Node * remove_last()
{
Node* retValue = this->get_prev();
retValue->del();
return retValue;
}
2.4.9.2 Iterador de Dlist<T>
Ð Ù Ð ÕÙ Dlink Ý Dnode<T>¸ GenDlist<T> ÜÔÓÖØ ÙÒ ×Ù Ð × ØÖ¹
ÓÖ GenDlist<T>::Iterator ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ò Ð ×Ø ½ +≡ ´½µ ¾
class Iterator : public Node::Iterator
{
Iterator(GenDlist<Node_Type, T> & list) : Dnode<T>::Iterator(&list) { }
Iterator() : Dnode<T>::Iterator() { /* empty */ }
Iterator(const Iterator & it) : Dnode<T>::Iterator(it) { /* Empty */ }
Iterator & operator = (const Iterator & it)
{
Dnode<T>::Iterator::operator = (it);
return *this;
}
Node * get_current()
{

119. 2.4. Listas Enlazadas 93
return reinterpret_cast<Node*>(Dnode<T>::Iterator::get_current());
}
Node * del() { return static_cast<Node*>(Dnode<T>::Iterator::del()); }
};
Í× × Dnode Ò GenDlist ½º
2.4.10 El TAD DynDlist<T>
Ä × Ð × × Dnode<T> Ý Dlist<T> ×ÓÒ ×Ù¬ ÒØ Ñ ÒØ Ú Ö× Ø Ð × ÓÑÓ Ô Ö Ö Ð Þ Ö ÔÐ ¹
ÓÒ × ÓÑÔÐ × ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ×Ø × Ð × × ÙÒ
Ö ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÓÑÔÖ Ò ÐÑ ÒØ ×Ù× ×ÙØ Ð Þ × Ù×Ó Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸
Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º
Ò ÙÒ ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð¸ × Ò ÑÓ× Ð Ð × DynDlist<T>¸ Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö ÓÒ Ñ Ò Ó ÒØ ÖÒÓ Ñ ÑÓÖ º DynDlist<T> × ×Ô ¬
ÑÔÐ ÒØ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÝÒ Ð ×غÀ ¿
¿ ØÔÐ ÝÒ Ð ×غÀ ¿ ≡
template <typename T>
class DynDlist : public Dnode<T>
{
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿
};
¬Ò ×
DynDlist¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ß ¸ ¸ ½¼¾ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½ ¸ ¾¾¼¸ ¾ ¿ ¸ ¾ ¸ ¼¿ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¿ ¸
¿ ¸ ß ¸ ¸ ¸ ¸ ¾ß ¸ ½ß ¿¸ ½¸ ¸ ¼¿ ¸ ½ ß½ ¸ ¾¿¸ Ò ¾ º
Í× × Dnode º
Ä DynDlist<T>× ÕÙ ×ÓÔÓÖØ ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ð ÕÙ ÖÖ ×ØÖ ÑÓ× ×
Dlink × Ò Ò × Ô Ò× Ö Ò Ð Ñ Ò Ó ÔÙÒØ ÓÖ ×¸ ÒÓ Ó× Ý Ñ ÑÓÖ º
DynDlist<T> Ö ÔÙ Ð Ñ ÒØ ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð × Dlist<T> Ý ÙÒ Ù Ò
Ô ÖØ ×Ù ÒØ Ö Þº Ä Ö ×ÔÓÒ× Ð × Ò Ð DynDlist<T> × Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓ¹
Ö º
Ð ÙÒ Ó ØÖ ÙØÓ DynDlist<T> × num elem¸ Ð Ù Ð ÓÒØ Ð Þ Ð ÒØ
Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÔÓ× Ð Ð ×Ø Ý ÔÙ Ó × ÖÚ Ö× Ñ ÒØ
¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ ≡ ´¿µ ¿
const size_t & size() const { return num_elem; }
Ä ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ × ÑÙÝ × ÑÔÐ ¸ Ô٠׸ Ð Ü Ô ÓÒ Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ý Ð
ÓÒØ Ð Þ ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ׸ ØÓ Ó ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ó × Ð Ð × Dlist<T>
¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ ¿ ¿
DynDlist() : num_elem(0) { /* Empty */ }
Í× × DynDlist ¿ º
Ð Ù Ð ÕÙ Ò Dlist<T>¸ ÔÓ ÑÓ× Ò× ÖØ Ö Ð Ñ ÒØÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ó ¬Ò Ð Ð
Ð ×Ø
¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ ¿
T & insert(const T & _data)
{
Dnode<T> * p = new Dnode<T> (_data);
Dnode<T>::insert(p);

120. 94 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
++num_elem;
return p->get_data();
}
T & append(const T & _data)
{
Dnode<T> * p = new Dnode<T> (_data);
Dnode<T>::append(p);
++num_elem;
return p->get_data();
}
Í× × Dnode º
Ä × Ñ ×Ñ × ÓÔ Ö ÓÒ × × ¬Ò Ô Ö Ð ×Ø × × Ö¸ × ÔÙ ÓÒ Ø Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø
ÒØ Ö Ø ÒØÓ ÔÓÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÓÑÓ ÔÓÖ Ð ¬Ò Ð
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ ¿
size_t insert_list(DynDlist & list)
{
Dlink::insert_list(&list);
num_elem += list.num_elem;
list.num_elem = 0;
return num_elem;
}
size_t append_list(DynDlist & list)
{
Dlink::append_list(&list);
num_elem += list.num_elem;
list.num_elem = 0;
return num_elem;
}
Í× × DynDlist ¿ º
Ð ×Ó ÙÒ × Ù Ò DynDlist<T> × Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÒÓ ×Ù× ÜØÖ ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö
Ó Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
T & get_first()
{
return this->get_next()->get_data();
}
T & get_last()
{
return this->get_prev()->get_data();
}
Ñ Ó× Ñ ØÓ Ó× Ö ØÓÖÒ Ò Ö Ö Ò × Ð ØÓ Ò ÐÙ Ó ÒØÖÓ Ð Ð ×Ø º ×ØÓ × Ò ¬ ÕÙ
Ð Ù×Ù Ö Ó ÔÙ ÑÓ ¬ ÖÐÓ× Ö Ø Ñ ÒØ º
ÌÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × Ö Ð Þ ÔÓÖ Ð ÙÒÓ ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ×
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
T remove_first()
{
Dnode<T> * ptr = this->remove_next();
Ó Ø Ò Ö ØÓ Ý Ð Ö Ö ÔØÖ
}

121. 2.4. Listas Enlazadas 95
T remove_last()
{
Dnode<T> * ptr = this->remove_prev();
Ó Ø Ò Ö ØÓ Ý Ð Ö Ö ÔØÖ
}
Í× × Dnode º
Ó Ø Ò Ö ØÓ Ý Ð Ö Ö ÔØÖ ≡ ´ µ
T retVal = ptr->get_data();
delete ptr;
--num_elem;
return retVal;
×ÙÔÖ Ñ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ¸ remove last() Ð ÙÐØ ÑÓº
remove first() ÖÒ
Ð ÓÒ×ÙÐØ ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ØÓÖÒ ÓÔ × ÐÓ× Ú ÐÓÖ ×¸ ÒÓ Ö Ö Ò ×¸ ÔÙ × Ð ÒÓ Ó
× Ü ×Ø Ö ×ÔÙ × Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ Ð ÒÓ Óº
× ÔÓ× Ð Ú Ö ÙÒ Ð ×Ø ×ØÓ × Ð Ñ Ò Ö ØÓ Ó× ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ×
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
void empty()
{
while (not this->is_empty())
delete this->remove_next();
num_elem = 0;
}
×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú × Ö ÒÚÓ ÔÓÖ Ð ×ØÖÙ ØÓÖ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
~DynDlist()
{
empty();
}
Í× × DynDlist ¿ º
Ò Ð ÙÒ × Ö ÙÒ×Ø Ò × × ÑÙÝ ÙØ Ð ÔÓ Ö Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ × ÑÓ×
Ô ÖØ Ò Ð × ÙÒ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
void remove(T & data)
{
Dnode<T> * p = data_to_node(data);
p->del();
delete p;
--num_elem;
}
Í× × Dnode º
ÍÒ ÔÖ Ñ Ø Ú × Ò Ð Ô Ö Ð × ÑÔ ÒÓ Ý Ð Ò Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× × swap()º
ÓÑÓ ØÓ Ó Ð ØÖ Ó Ý Ù ÑÔÐ ÒØ Ó × Ð Ð × Dlink¸ÒÙ ×ØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú ×ÓÐÓ ×
Ö Ñ Ø Ø Ô Ö ÒÚÓ Ö
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
void swap(DynDlist & l)
{
Aleph::swap(num_elem, l.num_elem);

122. 96 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
this->Dlink::swap(&l);
}
Í× × DynDlist ¿ º
ÇØÖ ÓÖÑ ÑÓ ¬ ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø Ò Ñ × Ð Ô ÖØ ÓÒ ÕÙ Ø Ø Ú º ×ØÓ
ÔÙ Ö Ð Þ Ö× × Ð Ñ ØÓ Ó Dlink::split list()
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
void split_list(DynDlist & l, DynDlist & r)
{
Dlink::split_list(l, r);
l.num_elem = r.num_elem = num_elem/2;
if (num_elem % 2 == 1) // ¿es num_elem impar?
l.num_elem++;
num_elem = 0;
}
Í× × DynDlist ¿ º
2.4.10.1 Iterador de DynDlist<T>
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ð Ñ Ò ÓÒ Ý ÓØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÑÓ ¬ ÓÒ ×Ø Ò
Ö ×ØÖ Ò × ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ð Ð ×Ø º Ë ÙÒ ÔÐ ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÑÓ ¬ ÓÒ Ò ÔÓ× ÓÒ ×
Ö ÒØ ×¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÔÙ × ÖÚ Ö× ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÙÒ Ó ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ô Ð ×
×Ó Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
class Iterator : public Dnode<T>::Iterator
{
DynDlist * list_ptr; // puntero a la lista
int pos; // posici´n del elemento actual en la secuencia
o
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T>
};
Í× × Dnode Ò DynDlist ¿º
Ä Ð × Ù Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ð ×Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ØÓ Ñ ÒØ Ò Ö Ð ÓÒØ ÓÖ
Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ñ Ò Ö × ÔÙ ØÙ Ð Þ Ö Ð ÓÒØ ÓÖ Ù Ò Ó × ÙØ Ò ÓÔ Ö ÓÒ ×
×Ó Ö Ð Ø Ö ÓÖ ÕÙ ÑÓ ¬ÕÙ Ò Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׺
Ð ØÖ ÙØÓ pos Ö ­ Ð ÔÓ× ÓÒ ÓÖ Ò Ð ÒØÖÓ Ð × Ù Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ý
ÔÙ Ó × ÖÚ Ö× Ñ ÒØ
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> ≡ ´ µ
const int & get_pos() const { return pos; }
È Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ð ×Ø Ó ×Ø Ú ÐÓÖ¸ ÑÓ× ×Ó Ö Ö Ö Ð × ÙÒ ÓÒ ×
ÚÒ Ð Ø Ö ÓÖ¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ØÙ Ð Ò ×Ù Ú ÐÓÖ
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
const int & next()
{
Dnode<T>::Iterator::next();
pos++;
return pos;
}
Í× × Dnode º

123. 2.4. Listas Enlazadas 97
Ð Ñ Ò Ó Ð ÔÓ× ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖ Ø Ñ Ò Ö ÕÙ Ö ×Ó Ö Ö Ö
ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× reset first() Ý reset last()º
È Ö Ö Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ¸ ×ÓÐÓ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ð ×Ø Ó ÔÓÖ ÓÔ ÓØÖÓ Ø Ö ÓÖ
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
Iterator(DynDlist<T> & _list)
: Dnode<T>::Iterator(_list), list_ptr(&_list), pos(0)
{ /* Empty */ }
Iterator(const Iterator & it)
: Dnode<T>::Iterator(it), list_ptr(it.list_ptr), pos(it.pos)
{ /* Empty */ }
Iterator() : list_ptr(NULL){ /* empty */ }
Iterator & operator = (const Iterator & it)
{
Dnode<T>::Iterator::operator = (it);
list_ptr = it.list_ptr;
pos = it.pos;
return *this;
}
Í× × Dnode Ò DynDlist ¿º
has current() × Ö Ð Ð × × Dlinkº
Dlist<T> ØÖ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× Ý ÒÙ ×ØÖÓ Ø Ö ÓÖ ØÖ Ö Ò ÙÒ ÓÒ
Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Tº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ ÑÓ× ×Ó Ö Ö Ö get current()
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
T & get_current() { return Dnode<T>::Iterator::get_current()->get_data(); }
Í× × Dnode º
Ä Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø Ö ÓÖ Dlist<T> × Ö Ø ÔÓÖÕÙ
Dlist<T> Ñ Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Dnode<T> ÕÙ ÔÓ× Ò ×Ù× ÔÖÓÔ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒº Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ö Ð Þ Ö ×ØÓ ÔÓÖÕÙ Ñ Ò ÑÓ× Ð ¹
Ñ ÒØÓ× Ò Ö Ó× Ø ÔÓ Tº × Ô٠׸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ö ÓÖ ÜÔÓÖØ ÙÒ ÓÒ × ÕÙ
Ô ÖÑ Ø Ò Ò× ÖØ Ö Ý Ð Ñ Ò Öº
Ä Ò× Ö ÓÒ Ð ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ó Ð × Ñ ×Ñ × ÓÖÑ × ÕÙ DynDlist<T>
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
void insert(const T & _data)
{
Dnode<T>::Iterator::get_current()->insert(new Dnode<T>(_data));
++list_ptr->num_elem;
}
void append(const T & _data)
{
Dnode<T>::Iterator::get_current()->append(new Dnode<T>(_data));
++list_ptr->num_elem;
}
Í× × Dnode º
Ä × ÓØÖ × Ñ Ò Ö × Ò× ÖØ Ö ×ÓÒ Ð ×Ø × ÒØ Ö × Ô ÖØ Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
void insert_list(const DynDlist & list)
{
Dnode<T>::Iterator::get_current()->insert_list(&list);

124. 98 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
list_ptr->num_elem += list.num_elem;
list.num_elem = 0;
}
void append_list(const DynDlist & list)
{
Dnode<T>::Iterator::get_current()->append_list(&list);
list_ptr->num_elem += list.num_elem;
list.num_elem = 0;
}
Í× × Dnode Ò DynDlist ¿º
Ä ×ÙÔÖ × ÓÒ Ð Ú ÑÓ× ÓÑÓ Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
T del()
{
Dnode<T> * ptr = Dnode<T>::Iterator::get_current();
T ret_val = ptr->get_data();
Dnode<T>::Iterator::next();
ptr->del();
delete ptr;
--list_ptr->num_elem;
return ret_val;
}
Í× × Dnode º
Ä ÓÔ Ö ÓÒ del() ÔÙ × Ö ÑÙÝ Ö ×ØÖ Ø Ú Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ú ÒÞ Ð Ø Ö ÓÖ
Ñ ×¸ ÐÓ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ × ÒØ Óº ÆÓ× ÓÒÚ Ò ¸ Ô٠׸ Ó Ö Ö Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ð Ñ Ò ÓÒ
ÓÒØ ÜØÙ Ð × × Ö¸ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ó ×Ù ×ÓÖ Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
T remove_prev()
{
Dnode<T> * curr_ptr = Dnode<T>::Iterator::get_current();
Dnode<T> * ptr = curr_ptr->remove_prev();
T ret_val = ptr->get_data();
delete ptr;
--list_ptr->num_elem;
return ret_val;
}
T remove_next()
{
Dnode<T> * curr_ptr = Dnode<T>::Iterator::get_current();
Dnode<T> * ptr = curr_ptr->remove_next();
T ret_val = ptr->get_data();
delete ptr;
--list_ptr->num_elem;
return ret_val;
}
Í× × Dnode º
Ä ÙÐØ Ñ ÓÔ Ö ÓÒ ÑÓ ¬ ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø Ò Ñ Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÔÙ
× Ö ÑÙÝ ÙØ Ð Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó× × ØÖ Ø Ð ÓÖØ ÙÒ Ð ×Ø Ô ÖØ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ ØÙ Ð
Ð Ø Ö ÓÖ

125. 2.4. Listas Enlazadas 99
Ñ ØÓ Ó× Ø Ö ÓÖ DynDlist<T> +≡ ´ µ
size_t cut_list(DynDlist & list)
{
list_ptr->Dnode<T>::cut_list(Dnode<T>::Iterator::get_current(), &list);
list.num_elem = list_ptr->num_elem - pos; // actualizar cardinalidad de list
list_ptr->num_elem -= pos; // actualizar cardinalidad de ptr_list.
return list.num_elem;
}
Í× × Dnode Ò DynDlist ¿º
Ð Ø Ö ÓÖ Ô ÖÑ Ø ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÒ × Ý ÜÔÖ × Ú ÓÔ Ö Ð ×Ø ×
ÓÔ Ö Ð ×Ø ≡ ´ µ
for (typename DynDlist<T>::Iterator itor(const_cast<DynDlist&>(list));
itor.has_current();itor.next())
this->append(itor.get_current());
Í× × DynDlist ¿ º
ÄÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÑÔÐ ÒØ Ö Ð × Ò ÓÒ Ý Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
DynDlist<T> & operator = (const DynDlist & list)
{
while (not this->is_empty()) // vaciar this
this->remove_first();
ÓÔ Ö Ð ×Ø
return *this;
}
Í× × DynDlist ¿ º
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
DynDlist(const DynDlist & list) : Dnode<T>(list)
{
this->reset();
num_elem = 0;
ÓÔ Ö Ð ×Ø
}
Í× × Dnode Ò DynDlist ¿º
Ä ÐÐ Ñ this->reset() × Ò ×Ô Ò× Ð Ô Ö × ÙÖ Ö ÕÙ Ð Ð ×Ø ×Ø ÐÓ Ñ ÒØ
Ú º Ë ÒÓ × Ö Ð Þ × × ¸ ÒØÓÒ × Ð Ú ÐÓÖ this¸ ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó Ö¸
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö Ð ÓÔ listº
Ë Ð ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø ÑÔÓ× Ð Ø Ð ×Ó Ö ØÓ ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ׸ ØÓ×
ÒØ Ö Þ ÔÙ × Ö ÐØ Ñ ÒØ × Ð ×ÔÓÒ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ ×Ó ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× DynDlist<T> ¿ +≡ ´¿µ
T & operator [] (const size_t & n)
{
DynDlist<T>::Iterator it(*this);
for (int i = 0; i < n and it.has_current(); i++, it.next()) ;
return it.get_current();
}
Í× × DynDlist ¿ º

126. 100 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
2.4.11 Aplicaci´n: aritm´tica de polinomios
o e
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× Ý ×Ù× ÓÔ Ö ÓÒ × × ×º Ì Ð Ì ×Ø
Ö Ð Þ Ó Ò Ð Ö ÚÓ ÔÓÐ ÒÓѺ ½¼¼ ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
½¼¼ ÔÓÐ ÒÓѺ ½¼¼ ≡
class Polinomio
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¾
ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼
};
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¿
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ö Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó¸ Ð ÔÖ Ñ Ö × ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ
½¼¼ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ ≡ ´½¼¼ µ ½¼¼
Polinomio();
×Ø ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ö Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó 0x0º
È Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ × Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÙÒ
×ÓÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ
½¼¼ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¼ ½¼¼
Polinomio(const int& coef, const size_t & pot);
×Ø ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ò×Ø Ò Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó coef xpot ÔÓÖ ÑÔÐÓ
Polinomio p(20, 7);
ÁÒ×Ø Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÒ Ú ÐÓÖ 20x7º
Ë ÕÙ Ö ÑÓ× ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ñ × ÓÑÔÐ Ó¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö Ú Ö Ó×
Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ×ÙÑ
½¼¼ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¼ ½¼¼
Polinomio operator + (const Polinomio&) const;
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó 20x7 + 3x3 + x2 + 20¸ ÔÓ ÑÓ× ØÙ Ö
Polinomio p(Polinomio(20, 7) + Polinomio(3, 3) +
Polinomio(1, 2) + Polinomio(20, 0));
ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × ¬ Ò ÕÙ × ÙØ Ö ÑÓ× ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ó Ö Ö Ð
× Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ Ð ×ÙÑ
½¼¼ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¼ ½¼¼
Polinomio& operator += (const Polinomio&);
Å ÒØ ×Ø ÓÔ Ö ÓÖ¸ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ ÓÒ×ØÖÙ Ö× ÓÑÓ × Ù
Polinomio p(20, 7);
p += Polinomio(3, 3) + Polinomio(1, 2) + Polinomio(20, 0);
Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× × ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ *
½¼¼ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¼ ½¼½
Polinomio operator * (const Polinomio&) const;

127. 2.4. Listas Enlazadas 101
ÇØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ ÕÙ × Ð Ò Ö Ó׸ ×ÓÒ
½¼½ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¼ ½¼½
Polinomio operator - (const Polinomio&) const;
Polinomio operator / (const Polinomio&) const;
Polinomio operator % (const Polinomio&) const;
×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ð ×Ù ×ØÖ ÓÒ¸ Ú × ÓÒ Ý Ö × ÙÓº
Ä × ÔÐ ÓÒ × ÕÙ ÙØ Ð Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× Ö ÕÙ Ö Ö Ò ÙÒ ÓÖÑ Ö ×Ù×
Ø ÖÑ ÒÓ׺ È Ö ÐÐÓ¸ ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÔÖ Ñ Ø Ú ×º ÍÒ ØÖ ÙØÓ
× Ò Ð ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó × ÓÒÓ Ö Ð ÒØ Ø ÖÑ ÒÓ×
½¼½ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼½ ½¼½
const size_t & size() const;
Ê ÕÙ Ö ÑÓ× ÓÒÓ Ö ÙÒÓ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ׸ ×ØÓ ÐÓ ÔÓ ÑÓ× ÖÑ ÒØ
½¼½ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼½ ½¼½
size_t get_power(const size_t & i) const;
get power()Ö ØÓÖÒ Ð ÔÓØ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð i¹ × ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ö ÒØ ÖÓ
×ÙÑ Ò Ó ÕÙ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ×Ø Ò ÓÖ Ò Ó× × Ð Ñ ÝÓÖ ×Ø Ð Ñ ÒÓÖ
ÔÓØ Ò º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð ÓÔ Ö ÓÒ
½¼½ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼½ ½¼½
const int & get_coef(const size_t & i) const;
Ö ØÓÖÒ Ð Ó ¬ ÒØ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð i¹ × ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓº
Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ñ ÒØ
½¼½ ÒØ Ö Þ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¼ +≡ ´½¼¼ µ ½¼½
const size_t & get_degree() const;
2.4.11.1 Implementaci´n de polinomios
o
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ ÓÒ ÓÑÓ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó × ÙÒ
ÖÖ ÐÓº È Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó n¸ × Ö × ÖÚ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ñ Ò× ÓÒ n + 1¸ Ð Ù Ð
ÓÒØ Ò ÐÓ× Ó ¬ ÒØ ×º ÆÓ × Ò × Ö Ó ÐÑ Ò Ö Ð ÔÓØ Ò ¸ ÔÙ × ×Ø × Ö ÔÖ × ÒØ
Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ Ó Ò Ð ÖÖ ÐÓº
Ò Ô Ö Ò ¸ Ð ÖÖ ÐÓ Ó Ö Ú ÒØ × ÒÓÑ Ò Ð × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ×ÙÑ × Ö Ø ¹
Ñ ÒØ Ð ×ÙÑ Ú ØÓÖ ×º Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ Ð ÖÖ ÐÓ ÔÙ ×Ô Ö Ö ÙÒ ÒØ
×Ô Ó ÑÔÖ × ÓÒ ÒØ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó 20x100 Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ 101
Ð Ñ ÒØÓ× Ô Ö ÐÑ Ò Ö ÙÒ ×ÓÐÓ Ó ¬ ÒØ ÙÒ ×Ô Ö Ó Ð 99±º
ÄÓ× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ×ÓÒ ÑÙÝ Ú Ö×Ó׺ Ä ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ý Ú × ÓÒ ÖÖÓ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ó×
Ö Ó× Ö ÒØ × ×Ù× ÓÔ Ö Ò Ó׺ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÓÒ × ØÙ Ò ÑÙ × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸
× ×Ô Ö Ö ÕÙ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× Ø Ò Ò ×Ù× Ö Ó× Ö ÒØ ×º Ò Ò ÙÖ ¸ ÑÙ ×
Ú × ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó × ×Ô Ö Ó × Ö¸ Ú Ö Ó× ×Ù× Ó ¬ ÒØ × ×ÓÒ ÒÙÐÓ׺ ÈÓÖ ×Ø ×
Ö ÞÓÒ ×¸ ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ÕÙ ×ÓÐÓ ÐÑ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ö ÒØ × ÖÓ × Ð ×ØÖÙ ØÙÖ
ÓÒ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Óº
Ä ¬ ÙÖ ¾º½ ÐÙ×ØÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó
4x 6 + 2x3 − 1x2 + x + 7º Ä Ð ×Ø ×Ø ÓÖ Ò × Ð Ñ ÝÓÖ ×Ø Ð Ñ ÒÓÖ ÔÓØ Ò º
Ð ÓÖ Ò × × Ò Ð Ô Ö ÐØ Ö Ð ¬ Ò ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺

128. 102 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
4 6 2 3 -1 2 1 1 7 0
H
ÙÖ ¾º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ 4x6 + 2x3 − x2 + x + 7 ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×
È Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÔÓ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö Ð Ì DynDlist<T>¸ Ð Ù Ð Ö
ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÒ Ø ÔÓ ÕÙ Ð Ö ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ù Ö Ö Ò Ð Ð ×Ø × Ö¸ ÐÓ× Ô Ö ×
Ó ¬ ÒØ ¹ÔÓØ Ò
½¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¾ ≡ ´½¼¼ µ ½¼¾
struct Termino
{
int coef;
size_t pot;
Å Ñ ÖÓ× Ì ÖÑ ÒÓ ½¼¾
};
¬Ò ×
Termino¸ Ù× Ò ÙÒ × ½¼¾ß½¼ º
Ä Ð ×Ø ÒÐ Þ ÓÒØ Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ø ÖÑ ÒÓ×
½¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¾ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¾ ½¼¾
DynDlist<Termino> terminos;
Í× × DynDlist ¿ Ò Termino ½¼¾ º
À Ý Ó× ÓÖÑ × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ
½¼¾ Å Ñ ÖÓ× Ì ÖÑ ÒÓ ½¼¾ ≡ ´½¼¾ µ ½¼¾
Termino() : coef(0), pot(0) { /* empty */ }
Termino(const int & c, const size_t & p) : coef(c), pot(p) { /* empty */ }
Í× × Termino ½¼¾ º
Ò Ú Ð ÔÖ Ú Ó × ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Polinomio Ô ÖØ Ö ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ
½¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¾ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¾ ½¼
Polinomio(const Polinomio::Termino & termino)
{
terminos.append(termino);
}
Í× × Termino ½¼¾ º
Ä ×ÙÑ Ø ÖÑ ÒÓ× × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
½¼¾ Å Ñ ÖÓ× Ì ÖÑ ÒÓ ½¼¾ +≡ ´½¼¾ µ ½¼¾ ½¼¿
Termino& operator += (const Termino & der)
{
coef += der.coef;
return *this;
}
Í× × Termino ½¼¾ º

129. 2.4. Listas Enlazadas 103
Ä ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÓÖÞÓ× Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø ÖÑ ÒÓ¸ ÔÓÖ × Ö ÞÓÒ ¹
ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ *
½¼¿ Å Ñ ÖÓ× Ì ÖÑ ÒÓ ½¼¾ +≡ ´½¼¾ µ ½¼¾
Termino operator * (const Termino & der) const
{
return Termino(coef*der.coef, pot + der.pot);
}
Í× × Termino ½¼¾ º
¬Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó×
½¼¿ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¿ ≡ ´½¼¼ µ ½¼¿
Polinomio::Polinomio(const int & coef, const size_t & pot)
{
terminos.append(Termino(coef, pot));
}
Polinomio::Polinomio() { /* empty */ }
Í× × Termino ½¼¾ º
Suma de polinomios
Ä ×ÙÑ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× P1 = n
i=0 cix
i Ý P2 = m
j=0 djx
j × ¬Ò ÓÑÓ
Ñ Ü(n,m)
P1 + P2 = (ck + dk)xk .
k=0
× Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ¸ ÔÙ × Ð × Ð ×Ø × ×Ø Ò ÓÖ Ò × ÔÓÖ ÔÓØ Ò º Ò ×Ø
× ÒØ Ó¸ × ÔÖ Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ +=¸ ÔÙ × × ÒÓ× ÓÖÖ ÑÓ× Ð Ö Ö ÒÙ ÚÓ×
Ø ÖÑ ÒÓ× Ô Ö Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö ×ÙÐØ Óº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÓÔ Ö ÓÖ + ÔÓ ÑÓ× × Ö ÖÐÓ Ò
ÙÒ ÓÒ += ÓÑÓ × Ù
½¼¿ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¿ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¿ ½¼¿
Polinomio Polinomio::operator + (const Polinomio & der) const
{
Polinomio ret_val(*this); // inicie valor de retorno en operando derecho
ret_val += der; // s´mele operando derecho
u
return ret_val;
}
Ä ×ÙÑ × ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ × ÑÔÐ ÔÓÖÕÙ ×Ù Ý Ò Ð ÐÐ Ñ Ð ÓÔ Ö ÓÖ +=¸ Ð
Ù Ð ÔÓ× Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ
½¼¿ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¿ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¿ ½¼
Polinomio & Polinomio::operator += (const Polinomio& der)
{
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ · ½¼¿
return *this;
}
ÒØ × ØÙ Ö Ð ×ÙÑ ÓÑÓ Ø Ð¸ ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö ÕÙ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ó× ÔÓÐ ¹
ÒÓÑ Ó× ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ
½¼¿ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ · ½¼¿ ≡ ´½¼¿ µ ½¼
if (der.terminos.is_empty())

130. 104 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
return *this;
if (terminos.is_empty())
{
*this = der;
return *this;
}
Ë Ñ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ÒÓ ×ÓÒ ÒÙÐÓ׸ ÒØÓÒ × ÑÓ× Ö ÓÖÖ ÖÐÓ׺ È Ö ÐÐÓ Ù× ÑÓ× ÙÒ
Ø Ö ÓÖ ÔÓÖ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÔ Ö Ò Ó
½¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ · ½¼¿ +≡ ´½¼¿ µ ½¼¿ ½¼
DynDlist<Termino>::Iterator it_izq(terminos);
DynDlist<Termino>::Iterator it_der(const_cast<DynDlist<Termino>&>(der.terminos));
Í× × DynDlist ¿ Ò Termino ½¼¾ º
Ä ¬ ÙÖ ¾º½ ÑÔÐ ¬ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó 6x6+7x5−x4+3x2+4x ÓÑÓ ÓÔ Ö Ò Ó ÞÕÙ Ö Ó¸
Ý 8x8 + x6 − 2x2 + 2 ÓÑÓ ÓÔ Ö Ò Ó Ö Óº
ØÓÖ ÞÕ
6x6 7x5 −x4 3x2 4x
8x8 x6 −2x2 2
itor der
ÙÖ ¾º½ ËÙÑ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó×
ÓÖ Ö ÓÖÖ Ö ÑÓ× Ð × Ð ×Ø × Ø ÖÑ ÒÓ× ×Ø ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× Ø Ö ÓÖ × Ð Ò ×Ù
¬Ò Ð ×Ø
½¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ · ½¼¿ +≡ ´½¼¿ µ ½¼ ½¼
while (it_izq.has_current() and it_der.has_current())
{
ÈÖÓ × Ö Ø ÖÑ ÒÓ× ØÙ Ð × ½¼
}
Ë Ò izq Ý der Ð × ÔÓØ Ò × ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× ØÙ Ð × ÐÓ× Ø Ö ÓÖ × ÞÕÙ Ö Ó Ý
Ö Ó Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ
½¼ ÈÖÓ × Ö Ø ÖÑ ÒÓ× ØÙ Ð × ½¼ ≡ ´½¼ µ ½¼
const size_t & izq = it_izq.get_current().pot;
const size_t & der = it_der.get_current().pot;
izq Ý der Ò ÔÖÓ × Ö× × ÙÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó×
½º Ë Ð ÔÓØ Ò Ð izq × Ñ ÒÓÖ ÕÙ der¸ ÒØÓÒ × der ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð Ö ×ÙÐØ Óº
ÓÑÓ Ð Ð ×Ø ×Ø ÓÖ Ò ¸ × × ÙÖÓ ÕÙ this ÒÓ ÓÒØ Ò ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ ÓÒ Ð Ñ ×Ñ
ÔÓØ Ò derº ×Ø × Ð × ØÙ ÓÒ ÓÒ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× 6x6 Ý 8x8 ÐÓ× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó×
ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º

131. 2.4. Listas Enlazadas 105
ÑÓ× Ö Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø ÖÑ ÒÓ ÓÔ der Ò× ÖØ ÖÐÓ Ò this ´ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó
ÞÕÙ Ö Óµº Ä ÓÔ der ÔÖ Ö izq Ò this¸ ÔÙ × Ð Ö ×ÙÐØ Ó
×Ø Ö ÓÖ Ò Óº
Ä × ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × × ØÖ Ù Ò Ð × Ù ÒØ Ó Ó
½¼ ÈÖÓ × Ö Ø ÖÑ ÒÓ× ØÙ Ð × ½¼ +≡ ´½¼ µ ½¼ ½¼
if (izq < der)
{ // insertar a la izquierda del actual de it_izq
it_izq.append(Termino(it_der.get_current().coef, der));
it_der.next(); // mirar el pr´ximo t´rmino de polinomio derecho
o e
continue;
}
Í× × Termino ½¼¾ º
append() ×Ó Ö it izq Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð ÒÙ ÚÓ Ø ÖÑ ÒÓ × ÔÖ ×ÓÖ Ð ØÙ Ð
ÞÕÙ Ö Óº ÄÙ Ó Ú ÒÞ ÑÓ× Ð Ø Ö ÓÖ Ö Ó¸ ÔÙ × Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÔÓØ Ò der Ý
× Ó ÔÖÓ × Óº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ö Ô Ø ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓº
¾º Ë Ð × ÔÓØ Ò × ×ÓÒ Ù Ð ×¸ ÒØÓÒ × ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÐÓ× Ó ¬ ÒØ ×¸ Ú ÒÞ Ö Ñ Ó×
Ø Ö ÓÖ × Ý Ö Ô Ø Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓº ×Ø × Ð × ØÙ ÓÒ ÓÒ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× 6x6 Ý x6
ÐÓ× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
½¼ ÈÖÓ × Ö Ø ÖÑ ÒÓ× ØÙ Ð × ½¼ +≡ ´½¼ µ ½¼ ½¼
if (izq == der)
{ // calcular coeficiente resultado
it_izq.get_current() += it_der.get_current(); // llama a += de Termino
it_der.next(); // avanzar al pr´ximo t´rmino del polinomio derecho
o e
if (it_izq.get_current().coef == 0) // verificar si suma anula el t´rmino
e
{ // s´, borrarlo del polinomio izquierdo (coeficiente cero)
ı
it_izq.del();
continue;
}
}
Í× × Termino ½¼¾ º
¿º Ò Ð ÙÐØ ÑÓ ×Ó ´ ÞÕ > Öµ¸ izq × Ö Ô ÖØ Ð Ö ×ÙÐØ Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ izq Ý Ô ÖØ Ò
this¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú ÒÞ ÑÓ× Ð Ø Ö ÓÖ ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ô Ø ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓº ×Ø
× Ð × ØÙ ÓÒ ÓÒ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× 7x5 Ý −2x2 ÐÓ× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó Ö ×Ô ¹
Ø Ú Ñ ÒØ º
½¼ ÈÖÓ × Ö Ø ÖÑ ÒÓ× ØÙ Ð × ½¼ +≡ ´½¼ µ ½¼
it_izq.next();
Ð ÔÖÓ ×Ó Ø Ö Ø ÚÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÐÑ Ò Ù Ò Ó Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ø Ö ÓÖ × Ð ÒÞ Ð ¬Ò Ð
ÙÒ Ð × Ð ×Ø ×º Ò ×Ø ×Ó ÕÙ ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ö ÙÒ Ð ×Ø º Ë Ð Ð ×Ø ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ö ×
Ð ÞÕÙ Ö ¸ ÒÓ ÑÓ× Ö Ò ¸ ÔÙ × ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ׸ ÕÙ ×ÓÒ Ô ÖØ Ð Ö ×ÙÐØ Ó¸ Ý
×Ø Ò Ò ÐÙ Ó× Ò thisº Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ð ×Ø ÕÙ Ö ×Ø ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ö × Ð Ö ¸
ÒØÓÒ × ÑÓ× ÓÔ Ö ØÓ Ó× ×Ù× Ø ÖÑ ÒÓ× Ö ×Ø ÒØ × Ò× ÖØ ÖÐÓ× × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ò Ð
Ð ×Ø ÞÕÙ Ö
½¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ · ½¼¿ +≡ ´½¼¿ µ ½¼
while (it_der.has_current()) // copia t´rminos restantes de derecho al izquierdo
e
{

132. 106 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
terminos.append(Termino(it_der.get_current().coef, it_der.get_current().pot));
it_der.next();
}
Í× × Termino ½¼¾ º
Multiplicaci´n de polinomios
o
Ä ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× P1 = n
i=0 cix
i Ý P2 = m
j=0 djx
j × ¬Ò ÓÑÓ
n m
P1P2 = cix i
kjxj .
i=0 j=0
×Ø ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò ×ÙÑ ÔÖÓ Ù ØÓ× Ô Ö Ð ×¸ Ð Ù Ð ÔÙ
Ö ×ÙÑ Ö× ÓÑÓ × Ù
Algoritmo 2.1 (Multiplicaci´n de dos polinomios)
o
Ä ÒØÖ ×ÓÒ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× P1 = n cixj Ý P2 =
i=0
m
j=0 djx
j Ö Ó× n Ý m
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ä × Ð × ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó R ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ P1P2º
½º ÁÒ×Ø Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒÙÐÓ Rº
¾º Ê Ô Ø Ô Ö i = 0 ×Ø n
´ µ Ë R = cixi × P2
´ µ R=R+R
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× Ó ¬ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ * ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ö Ñ Ò × ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¾º½
½¼ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¿ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¿
Polinomio Polinomio::operator * (const Polinomio & der) const
{
Polinomio result;
if (terminos.is_empty() or der.terminos.is_empty())
return result;
for (DynDlist<Termino>::Iterator
it_izq(const_cast<DynDlist<Termino>&>(terminos));
it_izq.has_current(); it_izq.next())
result += der.multiplicado_por(it_izq.get_current());
return result;
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Termino ½¼¾ º
Ð if Ú Ö ¬ ÕÙ × Ð ÙÒÓ ÐÓ× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× × ÒÙÐÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ × ÒÙÐÓº Ð
for × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ú Ö× ÓÒ Ó ¬ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¾º½ Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó
ÞÕÙ Ö Ó × ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó Ý Ð Ö ×ÙÐØ Ó × ÙÑÙÐ Ó

133. 2.5. Pilas 107
Ò Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó resultº Ð Ö Ñ ÒØÓ der.por termino(it izq.get current() ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ ¬Ò ÑÓ×
ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
½¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÈÓÐ ÒÓÑ Ó ½¼¾ +≡ ´½¼¼ µ ½¼¾
Polinomio multiplicado_por(const Termino & term) const
{
Polinomio result;
if (terminos.is_empty() or term.coef == 0)
return result;
for (DynDlist<Termino>::Iterator it(const_cast<DynDlist<Termino>&>(terminos));
it.has_current(); it.next())
result.terminos.append(Termino(it.get_current().coef * term.coef,
it.get_current().pot + term.pot) );
return result;
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Termino ½¼¾ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × × Ò ÐÐÓº Ë Ò×Ø Ò ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó result ÓÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ù Ð Ð
ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÒÙÐÓº ÄÙ Ó¸ ÔÓÖ Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó¸ × ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ Ð Ø ÖÑ ÒÓ
ÓÔ Ö Ò Ó Ý Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ò× ÖØ ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ò resultº
2.5 Pilas
ÍÒ Ô Ð × ÙÒ ×ØÖ ÓÒ ­Ù Ó ÓÒ× ×Ø ÒØ ÙÒ × Ù Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ð Ù Ð
Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ ÓÒ×ÙÐØ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × ÙØ Ò ÔÓÖ ÙÒ ×ÓÐÓ ÜØÖ ÑÓº Ä
ÔÖÓÔ × Ò Ð × ÕÙ Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ò× ÖØ Ö× × ÑÔÖ × Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ
Ò ÐÑÒ Ö× º Ì Ð ÔÖÓÔ × ÓÒÓ ÓÑÓ Í ÈË ´ÍÐØ ÑÓ Ò ÒØÖ Ö¸ ÈÖ Ñ ÖÓ Ò Ë Ð Öµ½ º
push pop
ØÓÔ
8
7
6
4
3
2
1
ÙÖ ¾º½ ×ØÖ ÓÒ ÙÒ Ô Ð
Ö ¬ Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÙÒ Ô Ð ÓÑÓ ÙÒ Ö Ô ÒØ ÓÒ ÙÒ ×ÓÐ ÒØÖ Ø Ð ÓÑÓ
Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º½ º Ù Ò Ó × Ò× ÖØ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ò× ÖØ ¹
Ó× × ÑÔÙ Ò Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ò× Ö ÓÒ × ÒÓÑ Ò
ÓÑÙÒÑ ÒØ ÔÙ× º Ð ÜØÖ ÑÓ Ð Ö Ô ÒØ ¸ ÔÓÖ ÓÒ ÒØÖ Ò Ý × Ð Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׸
× ÒÓÑ Ò ØÓÔ ¸ Ð Ù Ð × Ð ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ Ð Ô Ð º
½
Ò Ò Ð × ÄÁ Ç ´Ð ×Ø Ò¸ ¬Ö×Ø ÓÙصº

134. 108 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð ÓÖ Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ Ù Ò Ó × Ø Ú ÙÒ ×ÙÔÖ × ÓÒ¸ Ð Ö ×ÓÖØ ÑÔÙ ÐÓ× Ð ¹
Ñ ÒØÓ× ÖÖ Ý Ð Ð Ñ ÒØÓ × ØÙ Ó Ò Ð ØÓÔ × ÐØ Ù Ö º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸
Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ ÙÒ Ô Ð × Ð ÒÓÑ Ò ÓÑÙÒÑ ÒØ ÔÓÔ º
ÍÒ Ô Ð × ÙØ Ð Þ Ù Ò Ó × Ö ÕÙ Ö ÙÒ ­Ù Ó ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÒÚ Ö×Ó
Ð × ÙÒ Ó × ÖÚ ÓÒ Ó ÒØÖ × Ö¸ × Ð Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó × Ö¹
Ú Ó ×Ø Ð Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ Ó × ÖÚ Óº Ù ÐÕÙ Ö Ô ØÖÓÒ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÕÙ Ú × Ø
Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ×Ø ÓÖ Ò × ×Ù× ÔØ Ð ÑÔÐ ÒØ Ö× ÓÒ ÙÒ Ô Ð º
Ä Ú Ö Ð Ó Ö Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× Ð × ÔÐ Ò Ô Ð º Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ×ÓØÖÓ× Ö
ÜÔ Ö Ò Ó Ð Ö Ö Ò ÔÓÔÙÐ Ö ÕÙ Ö Þ ÐÓ× ÙÐØ ÑÓ× × Ö Ò ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× º
Ð Ð Ú Ó Ñ ÒÙ Ð ÔÐ ØÓ× Ò ÙÒ Ö ÖÓ ÓÑ ×Ø Ó × Ù Ð × ÔÐ Ò Ô Ð º ÈÖÓ ¹
Ð Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× ÔÐ ØÓ× × Ô Ð Ò × ÙÒ Ð ÓÖ Ò ÙÐÑ Ò ÓÒ Ð ÓÑ × Ö¸
Ð ØÓÔ Ð Ô Ð ÓÒØ Ò Ð ÔÐ ØÓ Ð ÙÐØ Ñ Ô Ö×ÓÒ Ò ÙÐÑ Ò Ö ×Ù ÓÑ º Ù Ò Ó
Ð Ú ÑÓ× ÐÓ× ÔÐ ØÓ׸ ÐÓ× Ò ÓÒ ÑÓ× Ý ÐÓ× Ô Ð ÑÓ× Ò Ð × ÙÒ Ó Ö Ô ÒØ Ð Ö ÖÓº
ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ò Ù ÑÓ× ÐÓ× ÔÐ ØÓ× Ý ÐÓ× Ô Ð ÑÓ× Ò Ð × ÙÖÖ ÖÓº ×Ø ÑÔÐÓ ÙØ ¹
Ð Þ ØÖ × Ô Ð × Ý Ö ­ ÙÒ Ø ÔÓ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ò Ð Ù Ð ÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ × ÙÐÑ Ò Ö
¬ ÞÑ ÒØ Ð ØÖ Ó Ý ÒÓ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ÐÓ× ÔÐ ØÓ× ×ÓÒ ÔÖÓ × Ó׺
2.5.1 Representaciones de una pila en memoria
À Ý Ó× Ñ ØÓ Ó× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ô Ð ÖÖ ÐÓ× Ý Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ò Ñ × Ö ¹
ÔÖ × ÒØ ÓÒ ×¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ×ÔÓÒ Ò × Ù Ò ÐÑ ÒØ × ÙÒ Ð Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò Ð
ÔÐ º
Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ × Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓº Ä ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ
ÐÑ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ Ñ × ÒØ ÙÓ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ò Ö Ö Ò Ð ØÓÔ Ñ × ÙÒÓº Ä
¬ ÙÖ ¾º½ ÐÙ×ØÖ ÙÒ Ô Ð 5 Ð Ñ ÒØÓ× ÓÒØ Ò Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ 11 Ð Ñ ÒØÓ׺
¼ ½ ¾ ¿ ½¼
T0 T1 T2 T3 T4
Ð Ñ ÒØÓ Ñ × ÒØ ÙÓ ØÓÔ
ÙÖ ¾º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ Ô Ð Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ
Ò ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
×ÓÐÓ ÒÓ× ÒØ Ö × Ð ØÓÔ ¸ Ð × Ù Ò Ð Ð ×Ø ×Ø ÒÚ ÖØ × Ö¸ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó
Ð Ð ×Ø ÐÑ Ò Ð ØÓÔ Ý Ð ÙÐØ ÑÓ ÐÑ Ò Ð Ñ × ÒØ ÙÓº Ä ¬ ÙÖ ¾º½ ÐÙ×ØÖ Ð
Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒº
Ä × Ð ÓÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ò Ö Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò ×º Ò ÐÓ ÕÙ Ø Ò Ð ×¹
Ô Ó¸ ÕÙ Þ ÙÒ ØÓÖ ÓÒ× Ö Ð × Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÔÙ ÓÒØ Ò Ö
Ð ÔÐ ¸ Ð Ù Ð Ô Ò Ð ÔÐ ÓÒº
Ä × Ð ×Ø × ÖÖ Ò ÙÒ ×Ó Ö Ó×Ø ÔÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ó Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÓÒ Ðº Ë ×
ÓÒÓ Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× Ý Ð ÔÐ ÓÒ Ð ÔÖÓÚ ¸ ÒØÓÒ × ×Ø Ð ÖÓ
ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ × Ñ × ÓÑÔ ØÓ ÕÙ Ð Ð ×Ø º
ÇØÖÓ ØÓÖ Ú ÐÙ Ö × Ð Ú Ö ÓÒ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ô Ð º ÈÓ ÑÓ× ÓÒÓ Ö Ð
Ñ Ü ÑÓ¸ Ô ÖÓ × ×Ø × ÑÙÝ ÔÓ Ó ÔÖÓ Ð ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÔÖÓÑ Ó¸ ÔÙ × Ö Ñ × Ö ØÓ
Ò ×Ô Ó ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × ÕÙ Ò ÓÕÙ Ð Ø Ñ ÒÓ ÔÖÓÑ Óº Ä × Ð ÓÒ

135. 2.5. Pilas 109
tope Ð Ñ ÒØÓ Ñ × ÒØ ÙÓ
ÙÖ ¾º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ Ô Ð ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×
× ØÙ Ö ÓÒ× Ö Ò Ó Ð ×Ú ÓÒ Ø Ô Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ô Ð º Ë l Ð Ø Ñ ÒÓ
ÔÖÓÑ Ó Ð Ô Ð ¸ σl Ð ×Ú ÓÒ Ø Ô ¸ lmax Ð Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö
Ð Ô Ð ¸ Ts Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô Ð Ý ps Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ ÙÒ
ÔÙÒØ ÓÖ¸ ÒØÓÒ ×¸ ×
(l + σl)(Ts + ps) ≤ lmaxTs , ´¾º¾¼µ
ÒØÓÒ ×¸ Ò ÔÖÓÑ Ó¸ Ð Ð ×Ø Ó ÙÔ Ö Ñ ÒÓ× ×Ô Ó ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓº
Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ Ð ÖÖ ÐÓ × Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ × Ö Ô º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÒ × Ù Ò Ð × Ò Ñ ÑÓÖ ¸ Ð ÐÓ Ð ×Ô Ð Ý
Ø ÑÔÓÖ Ð × ÔÖÓÚ Ý Ð Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ÐÓ Ö ×Ù ÓÑ Ø Óº ×Ø ÒÓ × Ð ×Ó
ÓÒ Ð × Ð ×Ø × ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ö Ò Ò Ö ÓÒ × Ñ ÑÓÖ Ö ÒØ ×º
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ù Ò Ó × Ò× ÖØ Ó × ×ÙÔÖ Ñ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ¸
ÔÙ ÒÚÓ Ö× Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ º Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ ÑÔÓÒ ÙÒ ×Ó Ö Ó×Ø
ÓÒ Ð Ò ÙÒ Ð ×Ø Ö ×Ô ØÓ Ð ÖÖ ÐÓº Ä ¬ Ò Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ Ô Ö
Ô ÖØ Ö ÙÒ ÐÓÕÙ × ÑÙÝ Ú Ö Ð Ý ÔÙ × Ö ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒØ ÐÓÕÙ ×
Ô ÖØ º Ä Ñ ×Ñ ÓÒ× Ö ÓÒ × Ú Ð Ù Ò Ó × Ð Ö ÙÒ ÐÓÕÙ º
ÍÒ Ô Ð ÔÙ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö× Ö Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ DynDlist<T> ¬Ò Ó
Ò Ü ¾º º½¼ ´Ô Ò ¿µº Ë Ñ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð ×Ø ÓÑÓ Ð ØÓÔ ¸ ÒØÓÒ ×
push(item) ÕÙ Ú Ð insert(item)¸ pop() remove first() Ý top() get first()º
2.5.2 El TAD ArrayStack<T> (pila vectorizada)
Ð × ÑÔ ÒÓ ÙÒ Ô Ð ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ × Ø Ò Ü Ð ÒØ ÕÙ Ú Ð Ð
ÔÒ Ö ÜÔÐ ØÓ Ð Ñ Ò ×ÑÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒº
ArrayStack<T> ×Ô Ö Ü Ô ÓÒ × Ù Ò Ó × Ü Ð Ô Ð ÖÖ ÐÓ Ó
Ù Ò Ó × ÒØ ÒØ Ö Ð ØÓÔ ÙÒ Ô Ð Ú º ×Ô Ö Ö ×Ø × Ü Ô ÓÒ × Ø Ò
ÙÒ Ð ÖÓ Ó×Ø Ò × ÑÔ ÒÓ ÕÙ ÔÙ × Ö ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð Ô Ð × ÙØ Ð Þ ÑÙÝ Ñ ÒÙ Óº
Ü ×Ø Ò ÑÙ × ÔÐ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × ÔÙ ÓÒÓ Ö Ð Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ð Ô Ð
Ý Ò Ð × ÕÙ × ÒÒ × Ö Ó ÓÒ× Ö Ö Ð × ÓÖ º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ ÙÒ × ÓÖ Ò Ø ÚÓ
× ÙÒ ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ú Ö ¬ Ö Ò Ð × ÔÖ Ñ Ö × Ø Ô × ÙÒ ÔÖÓÝ ØÓº ÈÓÖ ×
Ö ÞÓÒ¸ Ð Ì FixedStack<T> ÑÓ Ð Þ Ð × Ñ ×Ñ × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÕÙ ArrayStack<T> ÓÒ
Ð ÖÒ ÕÙ ÒÓ × ØÙ Ò Ú Ö ¬ ÓÒ × Ý ÒÓ × ×Ô Ö Ò Ü Ô ÓÒ ×º ×Ø
Ñ Ò Ö ¸ ÔÐ ÓÒ × ÕÙ ÓÒÓÞ Ò Ð Ñ Ü ÑÓ Ø Ñ ÒÓ Ô Ð × Ò ¬ Ò Ð Ò Ò
Ò Ú ÐÓ ÔÓÖ Ð Ù× Ò Ú Ö ¬ ÓÒ ×º
È Ð × ÑÔÐ ÒØ × ÓÒ ÖÖ ÐÓ× × ¬Ò Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÖÖ ÝËØ ºÀ ½¼ ¸ Ð Ù Ð
ÜÔÓÖØ Ó× Ø ÔÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × ArrayStack<T> Ý FixedStack<T>
½¼ ØÔÐ ÖÖ ÝËØ ºÀ ½¼ ≡
template <typename T, const size_t dim = 100>
class ArrayStack

136. 110 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ð Ú ØÓÖ Þ ½½¼
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼
};
template <typename T, const size_t dim = 100>
class FixedStack
{
};
¬Ò ×
ArrayStack¸ Ù× Ò ÙÒ × ½½¼ ¸ ½½ ¸ ½¾ ¸ ¾ ß ¸ Ò ¿¾ º
FixedStack¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ ¿ ¸ ¸ Ò ½ º
ÄÓ× Ó× Ø ÔÓ× ØÓ× ÔÓ× Ò ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÖ ÙØÓ× ×ØÓ× ×ÓÒ
½½¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ð Ú ØÓÖ Þ ½½¼ ≡ ´½¼ µ
T array[dim];
size_t head;
array × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×Ø Ø Ó Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ T ÓÒ Ñ Ò× ÓÒ dimº dim × ÙÒ
Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÔÐ ÒØ ÐÐ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ý ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÓÖ
ÓÑ × ÓÒ 100º
head × Ð Ò Ð ÔÖÓÜ Ñ ÒØÖ ×ÔÓÒ Ð º Ì Ñ Ò Ò Ð ÒØ
Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ô Ð º head - 1 × Ð Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÓÔ º
Ä ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ô Ð ×ÓÐÓ Ö ÕÙ Ö Ò Ð Þ Ö head
½½¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ ≡ ´½¼ µ ½½¼
ArrayStack() : head(0) { /* empty */ }
Í× × ArrayStack ½¼ º
È Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ × Ù× Ð Ñ ØÓ Ó push()
½½¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½¼ ½½¼
T & push(const T & data) throw(std::exception, std::overflow_error)
{
if (head >= dim)
throw std::overflow_error ("array stack overflow");
ÔÙ× Ø ½½¼
}
½½¼ ÔÙ× Ø ½½¼ ≡ ´½½¼ µ
array[head++] = data;
return array[head - 1];
Ò Ð ÙÒ × ÔÐ ÓÒ ×¸ × Ö ÕÙ Ö Ô ÖØ Ö ×Ô Ó Ò Ð Ô Ð × Ò ÕÙ ÙÒ × ÓÒÓÞ Ò
ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ò× Ö ÓÒº Ë Ò ×ØÓ ÔÙ ÐÓ Ö Ö× Ñ ÒØ ÙÒ × Ö ÓÒ× ÙØ Ú
pushes ØÓ× Ú Ó× ¸ × Ñ × ¬ ÒØ Ó Ö Ö ÙÒ ×ÓÐ ÓÔ Ö ÓÒº Ì Ð ÓÔ Ö ÓÒ ×
ÒÓÑ Ò pushn() Ý × ÑÔÐ ÒØ ÓÑÓ × Ù
½½¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½¼ ½½½
T & pushn(const size_t & n = 1) throw(std::exception, std::overflow_error)
{
if (head + n > dim)
throw std::overflow_error ("array stack overflow");
Ô ÖØ Ö Ò Ð Ñ ÒØÓ× ½½½
}

137. 2.5. Pilas 111
Ô ÖØ Ö Ð ØÓÔ ¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ArrayStack<T> ÔÙ Ö Ö Ò Ö ÐÓ× n Ð Ñ ÒØÓ×
Ò× ÖØ Ó× ÕÙ ÒÓ Ò × Ó Ò Ð Þ Ó× Ý × × Ò ÖÐ × ×Ù Ú ÐÓÖ Ù Ò Ó × Ò × Ö Óº
Ô ÖØ Ö Ò Ð Ñ ÒØÓ× ½½½ × ÑÙÝ × ÑÔÐ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×Ø ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ö head
½½½ Ô ÖØ Ö Ò Ð Ñ ÒØÓ× ½½½ ≡ ´½½¼ µ
head += n;
return array[head - 1];
È Ö × Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô Ð ¸ ÙØ Ð Þ ÑÓ× pop()
½½½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½¼ ½½½
T pop()
{
ÔÓÔ Ø ½½½
}
½½½ ÔÓÔ Ø ½½½ ≡ ´½½½ µ
return array[--head];
ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × ¬ Ò ¸ Ø Ñ Ò × × Ð Ó Ö Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÕÙ Ð Ö Ú Ö Ó×
Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙÒ ×ÓÐ ÓÔ Ö ÓÒ
½½½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½½ ½½½
T popn(const int & n)
{
Ð Ö Ö Ò Ð Ñ ÒØÓ× ½½½
}
Ò Ð ÙÒÓ× ÓÒØ ÜØÓ׸ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ × Ð ÐÐ Ñ ÑÙÐØ ÔÓÔ º
½½½ Ð Ö Ö Ò Ð Ñ ÒØÓ× ½½½ ≡ ´½½½ µ
head -= n;
return array[head];
À Ý Ú Ö × ÓÖÑ × ÓÒ×ÙÐØ Ö Ð Ô Ð ØÓ × × Ö Ð Þ Ò Ö ×Ô ØÓ Ð ØÓÔ Ý Ö ØÓÖÒ Ò
ÙÒ Ö Ö Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖÓ Ð Ô Ð º Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑ × Ð Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð
ØÓÔ
½½½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½½ ½½½
T & top()
{
Ö ØÓÖÒ Ö Ö Ö Ò Ð ØÓÔ ½½½
}
½½½ Ö ØÓÖÒ Ö Ö Ö Ò Ð ØÓÔ ½½½ ≡ ´½½½ µ
return array[head - 1];
ÇØÖÓ Ø ÔÓ ÓÒ×ÙÐØ ¸ Ñ ÒÓ× Ö Ù ÒØ Ô ÖÓ ÔÓ× Ð Ò Ð ÙÒ × ÔÐ ÓÒ ×¸ × ÓÒÓ Ö
Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö ×Ô ØÓ Ð ØÓÔ
½½½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½½ ½½¾
T & top(const int & i)
{
Ö ÖÒ Ð i¹ × ÑÓ Ö ×Ô ØÓ ØÓÔ ½½½
}
ÍÒ Ú Þ Ú Ð Ó Ð Ö Ò Ó ×Ó¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ × ÓÑ ÒØ
½½½ Ö ÖÒ Ð i¹ × ÑÓ Ö ×Ô ØÓ ØÓÔ ½½½ ≡ ´½½½ µ
return array[head - i - 1];

138. 112 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ò Ð ÙÒ × Ó × ÓÒ × ÙÒ Ô Ð × Ö ÙØ Ð Þ Ð ÓÒ ÓÒ ÕÙ ×Ø × ÔÖ Ú Ñ ÒØ
Ú º Î Ö Ð Ô Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ × ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ö Ô
½½¾ Ú Ö Ô Ð ½½¾ ≡ ´½½¾ µ
head = 0;
×Ø Ð ÑÖ Ó Ö Ö× Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú
½½¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½½ ½½¾
void empty() { Ú Ö Ô Ð ½½¾ }
ÈÓ ÑÓ× ÓÒ×ÙÐØ Ö ÙÒ ÔÖ Ó ÕÙ ÒÓ× × Ð Ô Ð ×Ø Ó ÒÓ Ú
½½¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½¾ ½½¾
bool is_empty() const { Ô Ð Ú ½½¾ }
½½¾ ÔÐ Ú ½½¾ ≡ ´½½¾ µ
return head == 0;
Ä ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ô Ð × Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ head
½½¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayStack<T> ½½¼ +≡ ´½¼ µ ½½¾
const size_t & size() const { return head; }
Ò Ú Ð ÒØ Ö Þ¸ FixedStack<T> × ÒØ ArrayStack<T>º ÈÓÖ Ö ÞÓÒ ×
ÓÑÔ Ø Ð ¸ × ÔÖ Ö Ð ¬Ò Ö Ð × Ñ ×Ñ × Ü Ô ÓÒ × ArrayStack<T> Ò Ð ×
ÔÖ Ñ Ø Ú × FixedStack<T>º ×Ø ÑÓ Ó¸ FixedStack<T> × ÔÐ Ð Ò ×ØÓ
ÓÒ × ÙØ Ð ArrayStack<T>º
Ò Ú Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ FixedStack<T> × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö ArrayStack<T>º Ä ¹
Ö Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ö × Ò ÕÙ FixedStack<T> ÒÓ ØÙ Ú Ö ¬ ÓÒ × ÓÖ Ò
×Ô Ö Ü Ô ÓÒ ×º Ö ×ØÓ¸ ÔÖ Ñ Ø Ú FixedStack<T> × ÒØ ×Ù Ô Ö Ò
ArrayStack<T>º
2.5.3 El TAD ListStack<T> (pila con listas enlazadas)
Ð Ì ListStack<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ô Ð ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ð ÓÒÓ¹
Ö Ð Ø ÔÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ÓÒÓ ÐÓ× Ó×Ø × Ò ×Ô Ó Ý Ø ÑÔÓ¸ × ÓÑÓ Ð ×
Ò Ò × Ò Ú Ö× Ø Ð ÑÔ ÖØ × ÔÓÖ Ð Ò ØÙÖ Ð Þ Ò Ñ Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
ListStack<T> × × Ò Ð Ì Snode<T>¸ Р٠и Ò × Ò ¸ ÓÒØ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ò ¹
× Ö Ó Ô Ö Ñ Ò Ö Ð × Ð ×Ø ×º ListStack<T> × ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ Ð ×ØËØ ºÀ ½½¾
½½¾ ØÔÐ Ð ×ØËØ ºÀ ½½¾ ≡
template <typename T>
class ListStack : private Snode<T>
{
ØÖ ÙØÓ× ListStack<T> ½½¾
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListStack<T> ½½¿
};
¬Ò ×
ListStack¸ Ù× Ò ÙÒ × ½½¿ß½ º
Í× × Snode ½ º
Å ÒØ Ö Ú ÓÒ Snode<T>¸ this ÙÒ ÒÓ Ó Ö Ð Ð ×Ø ÙÝÓ ÔÖ Ñ Ö
Ð Ñ ÒØÓ × ÑÔÖ × Ö Ð ÒÓ Ó ØÓÔ Ð Ô Ð º
ListStack<T> ÔÓ× ÙÒ ØÖ ÙØÓ ÙÒ Ó
½½¾ ØÖ ÙØÓ× ListStack<T> ½½¾ ≡ ´½½¾ µ
size_t num_nodes;

139. 2.5. Pilas 113
T:class
Snode
T:class
ListStack
-num_nodes: size_t
+ListStack()
+push(node:Node*): void
+pop(): Node*
+top(): Node*
+is_empty(): bool
+size(): size_t
T:class
DynListStack
+top(): T&
+push(_data:const T&): T&
+pop(): T
+~DynListStack(): virtual
ÙÖ ¾º¾¼ Ö Ñ ÍÅÄ Ð × Ð × × Ú Ò ÙÐ × ListStack<T>
Ð Ù Ð ÓÒØ Ð Þ Ð ÒØ ÒÓ Ó× ÕÙ ÔÓ× Ð Ô Ð º
ListStack<T> ÜÔÓÖØ Ó× × ÒÓÒ ÑÓ× ÒÓ Ó
½½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListStack<T> ½½¿ ≡ ´½½¾ µ ½½¿
typedef Snode<T> Node;
Í× × Snode ½ º
Ò Ú Ð ÒØ Ö Þ¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ListStack<T> Ñ Ò Ò ÒÓ Ó× Ð ÔÐ º
Item × ÙÒ × ÒÓÒ ÑÓ Ó Ö Ó ÔÓÖ ÓÑÔ Ø Ð ÓÒ Ú Ö× ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×º
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ListStack<T> ×ÓÐÓ × Ö Ñ Ø Ò Ö Ð ÓÒØ ÓÖ ÒÓ Ó×
½½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListStack<T> ½½¿ +≡ ´½½¾ µ ½½¿ ½½¿
ListStack() : num_nodes(0) { /* Empty */ }
Í× × ListStack ½½¾ º
Ä ÓÔ Ö ÓÒ push() × ¬Ò Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒ ListStack<T>::Node
½½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListStack<T> ½½¿ +≡ ´½½¾ µ ½½¿ ½½
void push(Node * node)
{
++num_nodes;
this->insert_next(node);
}
push() ÒÓ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ü Ô ÓÒ¸ ÔÙ × ×Ù ÙÒ Ö ×ÔÓÒ× Ð × ÒÐ Þ Ö Ð ÒÓ Ó
Ð Ð ×Ø º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ this × Ð Ö ¸ insert next() × ÑÔÖ Ò× ÖØ Ö node Ð Ö ÒØ
Ð Ð ×Ø ¸ Ð Ù Ð × ÑÔÖ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ØÓÔ º

140. 114 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ËÙÔÖ Ñ Ö Ð ØÓÔ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔÖ Ñ Ö Ð ÒÓ Ó Ð Ö ÒØ Ð Ð ×Ø º ×ØÓ × Ö ØÓ × ÙÒ
Ð ÒØ Ö Þ Snode<T>
½½ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListStack<T> ½½¿ +≡ ´½½¾ µ ½½¿ ½½
Node * pop()
{
--num_nodes;
return this->remove_next();
}
Ð ØÓÔ ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ñ ÒØ
½½ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListStack<T> ½½¿ +≡ ´½½¾ µ ½½
Node * top() const
{
return static_cast<Node*>(this->get_next());
}
2.5.4 El TAD DynListStack<T>
Ð Ì ListStack<T> Ñ Ò Ô Ð × Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ º ×ØÓ
Ó Ð Ð Ù×Ù Ö Ó ÓÒØÖÓÐ Ö Ý Ú Ö ¬ Ö Ø ÐÐ × Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º Ä Ö ×ÔÓÒ× Ð
ListStack<T> × Ð Ñ Ò Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö ×ÔÓÒ× Ð Ð Ð ÒØ × Ô ÖØ Ö Ý
Ð Ö Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׺ ÓÑÓ ÑÓ× ÔÖ Ò Ó Ò Ó × ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ñ Ò Ö ÐÓ× ÒР׸
Ø ÔÓ× Ý Ñ ÑÓÖ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ó ÙÒ ×ÓÐÓ Ì ¸ Ö Ú Ó Ì Ñ × × Ò ÐÐÓ׺
Ð Ì DynListStack<T> ÙÑÔÐ Ð ÓÑ Ø Ó Ñ Ò ÓÒ Ó Ò Ð Ô ÖÖ Ó ÒØ ¹
Ö ÓÖº DynListStack<T> ¬Ò ÙÒ Ô Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × × ÑÔÐ × Ý
ÓÒ Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ò ÐÙ Óº DynListStack<T> ×Ø ¬Ò Ó Ò Ð Ö ÚÓ
ØÔÐ ÝÒÄ ×ØËØ ºÀ ½½
½½ ØÔÐ ÝÒÄ ×ØËØ ºÀ ½½ ≡
template <typename T>
class DynListStack : public ListStack<T>
{
Ñ ØÓ Ó× DynSlist<T> ½½
};
¬Ò ×
DynListStack¸ Ù× Ò ÙÒ × ½½ ¸ ¾¼½¸ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ Ò º
Í× × ListStack ½½¾ º
DynListStack<T> ÐÑ Ò ØÓ× Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó Tº Ð Ö Ú Ö ÔÙ Ð Ñ ÒØ
ListStack<T>¸ DynListStack<T> Ö Ö Ò Ô ÖØ ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ý ×Ù ÒØ Ö Þº
Ð Ñ Ò Ó Ð ×Ø × ÐÓ ÔÓÖØ ¸ ÒØÓÒ ×¸ ListStack<T>º Ä × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÕÙ ÒÓ Ô Ò Ò
Ð Ø ÔÓ T¸ is empty() Ý size()¸ × Ö Ò Ö Ø Ñ ÒØ º Ä × ÓØÖ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×¸ ÕÙ ×
Ô Ò Ò ListStack<T>¸ Ò ×Ó Ö Ö Ö× Ô Ö ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ò ØÓ× Ø ÔÓ Tº
ÓÑ ÒÞ ÑÓ× ÔÓÖ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ñ × × Ò ÐÐ ×
½½ Ñ ØÓ Ó× DynSlist<T> ½½ ≡ ´½½ µ ½½
T & top() const
{
return ListStack<T>::top()->get_data();
}
Í× × ListStack ½½¾ º

141. 2.5. Pilas 115
top() ÓÒ×ÙÐØ Ð ÒÓ Ó ØÓÔ Ð Ð × × Ý Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ö Ö Ò Ð ØÓº
push() Ò× ÖØ Ö ÙÒ ØÓ Ø ÔÓ Tº ×ØÓ Ö ÕÙ Ö ¸ Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó¸ ÓÔ ÖÐ Ð
ØÓ ÒÚÓ Ö Ð push() ListStack<T>
½½ Ñ ØÓ Ó× DynSlist<T> ½½ +≡ ´½½ µ ½½ ½½
T & push(const T & item)
{
typename ListStack<T>::Node *ptr = new typename ListStack<T>::Node (item);
ListStack<T>::push(ptr);
return ptr->get_data();
}
Í× × ListStack ½½¾ º
push() Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ö Ö Ò Ð ØÓ ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ØÓÔ º
Ä Ð ÓÖ pop() × ÜØÖ Ö Ð ÒÓ Ó ListStack<T>¸ ÓÔ Ö Ð ØÓ Ö ØÓÖÒ Ö Ý
Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ º ×Ø ÓÒ Ù Ø × ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
½½ Ñ ØÓ Ó× DynSlist<T> ½½ +≡ ´½½ µ ½½ ½½
T pop()
{
typename ListStack<T>::Node* ptr = ListStack<T>::pop();
T retVal = ptr->get_data();
delete ptr;
return retVal;
}
Í× × ListStack ½½¾ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙDynListStack<T> × Ö ×ÔÓÒ× Ð Ð ÑÒ Ó Ñ ÑÓÖ ¸
DynListStack<T>::∼DynListStack Ð Ö Ö ØÓ Ð Ñ ÑÓÖ º × Ô٠׸ ÒÓ×
× ÙÖ ÑÓ× Ú Ö ØÓ Ð Ô Ð Ò Ø ÑÔÓ ×ØÖÙ ÓÒ
½½ Ñ ØÓ Ó× DynSlist<T> ½½ +≡ ´½½ µ ½½
virtual ~DynListStack()
{
while (not this->is_empty())
pop();
}
Í× × DynListStack ½½ º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ is empty() Ô ÖØ Ò ListStack<T> Ñ ÒØÖ × ÕÙ pop() DynListStack<T>º
2.5.5 Aplicaci´n: un evaluador de expresiones aritm´ticas infijas
o e
Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ñ Ø Ñ Ø ¸ Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ö º
ÙÒ ×ÙÑ ÙÒ ÓÒÚ Ò ÓÒ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ý ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó׺ Ò
ÒÓØ ÓÒ prefija¸ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ÔÖ ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó׺ Ò ÒÓØ ÓÒ sufija½ ¸ Ð ÓÔ Ö ÓÖ
×Ù ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó׺ Ò ÒÓØ ÓÒ infija¸ Ð ÓÔ Ö ÓÖ × ÓÐÓ ÒØÖ ÐÓ× Ó× ÓÔ Ö Ò Ó׺
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð ×ÙÑ Ó× ÓÔ Ö Ò Ó× x y ÓÑÓ × Ù
¯ ÈÖ ¬ +xy
¯ ËÙ¬ xy+
½
Ò Ò Ð × × ØÖ Ù Ó ÓÑÓ ÔÓ×جܺ ÐÐ ÕÙ Ð ÙÒÓ× Ø ÜØÓ× Ð ÒÓÑ Ò Ò ÔÓ×ج º

142. 116 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
¯ ÁÒ¬ x + y
Ä ÒÓØ ÓÒ ÔÖ ¬ × ÔÖÓÜ Ñ Ð × Ñ Ø Ñ Ø × ØÖ ÓÒ Ð ×º Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ú ÐÙ Ö
ÙÒ ÙÒ ÓÒ f ÓÒ Ó× ÓÔ Ö Ò Ó× x y × ÒÓØ ÓÑÙÒÑ ÒØ ÓÑÓ f(x, y)º Ð Ñ ×ÑÓ
ÑÓ Ó¸ Ð ÓÑÔÓ× ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ð × ÒÓØ ÓÑÓ h(f(x, y)º
Ä × ÒÓØ ÓÒ × ÔÖ ¬ Ý ×Ù¬ Ô ÖÑ Ø Ò ÙÒ ÒØ Ö ØÖ Ö ÓÔ Ö Ò Ó׺ ×Ø
× ÙÒ Ö Ò Ú ÒØ Ô Ö ÒÓØ Ö ÙÒ ÓÒ × ÑÙÐØ Ú Ö Ð × Ò ÓÐ Ù ÐÕÙ Ö º Ñ ×¸
Ù Ò Ó Ý Ú Ö × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ Ð × ÒÓØ ÓÒ × ÔÖ ¬ Ý ×Ù¬ Ô ÖÑ Ø Ò ÜÔÖ × Ö ØÓ × Ð ×
ÓÔ Ö ÓÒ × × Ò Ò × Ô Ö ÒØ × ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÓÖÑ ×Ù¬ x ∗ (y + z) ×
yz + x∗º
È Ö Ú ÐÙ Ö ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÔÖ ¬ Ó ×Ù¬ × ÙØ Ð Þ ÙÒ Ô Ð º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ú ÐÙ Ö
ÜÔÖ × ÓÒ × ×Ù¬ × × × Ö ÓÑÓ × Ù
Algoritmo 2.2 (Evaluaci´n de expresi´n sufija)
o o Ä ÒØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ
× ÙÒ ÓÒØ Ò Ò Ó ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ ÓÑÔÙ ×Ø ÔÓÖ ÓÔ Ö ÓÖ × Ý ÓÔ Ö Ò Ó×
ÒÙÑ Ö Ó׺
Ä × Ð × Ð Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ¬Ò к
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÙØ Ð Þ ÙÒ Ô Ð Ô Ö Ù Ö Ö Ö ×ÙÐØ Ó× Ô Ö Ð × Ý ÙÒ Ú Ö Ð ÐÐ Ñ
¬ ØÙ Ð Ó × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ¬ º Ä ¬ ÓÒØ Ò Ð × Ñ ÓÐÓ¸ ÓÔ Ö Ò Ó Ù ÓÔ Ö ÓÖ¸
ÕÙ × ×Ø ÔÖÓ × Ò Óº
Algoritmo
½º Ê Ô Ø Ñ ÒØÖ × Ð ¬ ÒÓ ×Ø Ð ¬Ò Ð Ð × ÙÒ º
´µË Ð ¬ × ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ =⇒ × ÕÙ Ó× Ú ÐÓÖ × Ð Ô Ð ¸ ØÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ
ÔÓÖ Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ð Ó¸ Ý ÐÑ Ò Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ð Ô Ð º
´ µ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ð ¬ × ÓÔ Ö Ò Ó =⇒ Ñ Ø ÐÓ Ò Ð Ô Ð º
¾º Ù Ò Ó × Ð Ò Ð ¬Ò Ð Ð × Ù Ò ¸ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÐÑ Ò Ó Ò Ð Ô Ð × Ð
Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÜÔÖ × ÓÒº Ë Ð Ô Ð ×Ø Ú Ó ×Ø ÓÒØ Ò Ñ × Ó× Ú ÐÓÖ ×¸
ÒØÓÒ × Ð ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ ÓÒØ Ò Ð ÙÒ ÖÖÓÖº
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ñ Ð Ö ÔÙ Ù Ö× Ô Ö Ú ÐÙ Ö ÜÔÖ × ÓÒ × ÔÖ ¬ ׺
Ä ÒÓØ ÓÒ ×Ù¬ ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¾º¾ × ÓÑÙÒ Ò Ð ÙÒ × Ð ÙÐ ÓÖ ×
ÓÐ× ÐÐÓ¸ ÒØ ÙÓ× ÔÖÓ × ÓÖ × Ý Ò Ð ÙÒÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ð ÒÓØ ÓÒ Ò¬ × Ð Ñ × Ñ Ð Ö¸ Ô ÖÓ ×Ø ×ÓÐÓ Ô ÖÑ Ø ÐÓ ×ÙÑÓ
Ó× ÓÔ Ö Ò Ó׺ Ò Ò ÙÖ ¸ Ð ÔÖ Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö Ð Ù×Ó
Ô Ö ÒØ × ×º Ù× ×ØÓ¸ ÜÔÖ × ÓÒ × ÓÑÔÐ × ×ÓÒ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ñ × Ð Ö × Ò
ÓÖÑ Ò¬ ÕÙ ×Ù× ÕÙ Ú Ð ÒØ × ÔÖ ¬ Ó Ó ×Ù¬ Óº ×Ø Ó ×Ù Ö ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ý
Ú ÐÙ Ö ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ × × Ñ × Ó×ØÓ×Ó Ò ×Ô Ó Ý Ò Ø ÑÔÓ ÕÙ Ò Ð × ÓØÖ × Ó×
ÒÓØ ÓÒ ×º ÈÓ× Ð Ñ ÒØ ÔÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ð ÙÒÓ× Ö ÒØ × Ð ÙÐ ÓÖ × Ñ ÒÓ
ÔÖ ¬ Ö Ò Ð ÒÓØ ÓÒ ×Ù¬ º
Ü ×Ø ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÙÝ ¬ ÒØ Ô Ö Ú ÐÙ Ö ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ ¸ Ð Ù Ð Ö ÕÙ Ö Ó×
Ô Ð ×º ÍÒ Ô Ð ÐÑ Ò ÓÔ Ö Ò Ó× Ý Ö ×ÙÐØ Ó× Ô Ö Ð × Ð ÓØÖ ÐÑ Ò ÓÔ Ö ÓÖ × Ý
Ô Ö ÒØ × × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÔÖ Ò º
ÒØ × ÜÔÐ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÙÒ Ñ ÕÙ Ò Ö × ÕÙ ØÙ Ð
ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ð Ò Ö Ø Ö × Ý ÕÙ ÒÓ× Ò ÕÙ × ×Ø ÑÓ× Ò ÔÖ × Ò

143. 2.5. Pilas 117
ÙÒ ÓÔ Ö Ò Ó Ù ÓÔ Ö ÓÖº È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ú ÐÓÖ × ¬ × ÕÙ ÔÙ Ò
Ò ÓÒØÖ Ö× Ò ÙÒ Ò
½½ Ø ÔÓ ¬ ½½ ≡
enum Token_Type { Value, Operator, Lpar, Rpar, End, Error };
¬Ò ×
Token Type¸ Ù× Ò ÙÒ × ½½ Ò ½¾¼ º
Value Ö ÔÖ × ÒØÙÒ ÓÔ Ö Ò Ó¸ Operator Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒÓ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ × +, −, ∗, Ó /¸
Lpar Ý Rpar Ö ÔÖ
× ÒØ Ò ÐÓ× Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ End Ö ÔÖ × ÒØ
Ð ¬Ò Ð Ò Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ Error Ò ÕÙ × Ò ÓÒØÖÓ ÙÒ × Ñ ÓÐÓ ÕÙ ÒÓ ÔÙ
× Ö ÓÒ× Ö Ó Ò ÓÔ Ö Ò Ó Ò ÓÔ Ö ÓÖº
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ð Ð Ò Ý ÒÓ× Ò ÕÙ ÕÙ Ø ÔÓ ¬ ×
×Ø Ð Ý Ò Ó
½½ ÖÙØ Ò Ð ØÓÖ ¬ × ½½ ≡
Token_Type lexer(char *& str, size_t & len)
{
Ù ÖÔÓ Ð Ü Ö ½½
}
Í× × Token Type ½½ º
lexer() Ò×Ô ÓÒ × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ð Ò Ö Ø Ö × ÓÒØ Ò Ò str Ô ÖØ Ö
Ð × Ñ ÓÐÓ str + lenº Ð ¬Ò Ð Ð ÐÐ Ñ ¸ str ÔÙÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö × Ñ ÓÐÓ Ð ¬ º
Ð Ú ÐÓÖ str ÔÙ ÑÓ ¬ Ö× ¸ ÔÙ × ÔÙ Ò Ö ×Ô Ó× Ò Ð Ò Ó ÕÙ ÒÓ Ò
ÔÖÓ × Ö× º
lexer() Ö ØÓÖÒ Ð Ø ÔÓ ¬ ÕÙ × Ø Ø Óº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ len × ÑÓ ¬
Ô Ö Ò Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ò Ö Ø Ö × Ð ¬ ØÙ Ð Ò ÓÒØÖ º
ÄÓ× Ú ÐÓÖ × ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× × Ò Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½½ Ù ÖÔÓ Ð Ü Ö ½½ ≡ ´½½ µ ½½
str += len;
len = 1;
ÒÓÖ Ö ×Ô Ó× Ò Ð Ò Ó ½½
ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ Ð Ò×Ô ÓÒ ÓÑ ÒÞ Ò str + lenº Ð Ò Ó¸ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ¬ ÕÙ
× Ò Ù ÒØÖ × Ö Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÙÒ º
ÁÒ Ð Ò×Ô ÓÒ¸ Ð ÖÙØ Ò ÒÓÖ Ö ÐÓ× ×Ô Ó× Ò Ð Ò Ó׺ ×ØÓ × ¬Ò
ÐÑ ÒØ ÓÑÓ
½½ ÒÓÖ Ö ×Ô Ó× Ò Ð Ò Ó ½½ ≡ ´½½ µ
while (isblank(*str))
str++;
isblank() × ÙÒ ÜØ Ò× ÓÒ ÆÍ Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ù Ý Ö ØÓÖÒ ÙÒ
Ú ÐÓÖ Ö ÒØ ÖÓ × Ð × Ñ ÓÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ð Ò Ó Ó Ø ÙÐ ÓÖº
ÈÓÖ × ÑÔÐ ¸ ÒÙ ×ØÖÓ Ú ÐÙ ÓÖ ×ÓÐÓ ÔØ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ × +¸ −¸ ∗ Ý /¸ ÐÓ× Ù Ð ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ØÑ Ø × Ð × ×º Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ¸ ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó× ×ÓÐÓ
×ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ× ÒØ ÖÓ׺ Ë ÐÚÓ ÙÒ ÓÔ Ö Ò Ó¸ Ð ÐÓÒ ØÙ ÙÒ ¬ × ÙÒÓº Î Ö ¬ ÑÓ׸
Ô٠׸ × Ð × Ñ ÓÐÓ Ò ÓÒØÖ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ
½½ Ù ÖÔÓ Ð Ü Ö ½½ +≡ ´½½ µ ½½ ½½
switch (*str)
{
case ’(’: return Lpar;
case ’)’: return Rpar;

144. 118 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
case ’+’:
case ’-’:
case ’*’:
case ’/’: return Operator;
case ’0’: return End;
}
Ë Ð ­Ù Ó × Ð Ð switch¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÒ ÔÓ× Ð ÓÖÖ Ø × Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÔ Ö Ò Óº
ÆÓ× Ö ÓÖ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ Ð Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÓÔ Ö Ò Ó
½½ Ù ÖÔÓ Ð Ü Ö ½½ +≡ ´½½ µ ½½ ½½
if (not isdigit(*str))
return Error;
isdigit() × ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ù Ý Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ
Ö ÒØ ÖÓ × Ð × Ñ ÓÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ØÓº
Ë Ð ­Ù Ó ÒÓ Ö ØÓÖÒ ÖÖÓÖ¸ ÒØÓÒ × ÓÒØ Ð Þ ÑÓ× Ð ÒØ ØÓ× ÔÓÖ Ð Ö
Ý Ö ØÓÖÒ ÑÓ× Ð Ó Ó ¬ Value
½½ Ù ÖÔÓ Ð Ü Ö ½½ +≡ ´½½ µ ½½
char* base = str + 1;
while (isdigit(*base++))
len++;
return Value;
Ù Ò Ó lexer() Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ¸ ÑÓ× ØÓÑ Ö ÓÒ × × ÙÒ Ð ÔÖ Ò Ð
ÓÔ Ö ÓÖº È Ö ÐÐÓ¸ Ð ÓÖ ÑÓ× ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ ¸ Ó ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ¸ Ø ÖÑ Ò ×Ù ÔÖ ¹
Ò
½½ ÙÒ ÓÒ ÔÖ Ò ½½ ≡
unsigned precedence(const char & op) // $ < ( < +- < */
{
switch (op)
{
case ’$’: return 0;
case ’(’: return 1;
case ’+’:
case ’-’: return 2;
case ’/’:
case ’*’: return 3;
}
}
¬Ò ×
precedence¸ Ù× Ò ÙÒ ½¾½ º
precedence() Ø Ò ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÒ × Ñ ÓÐÓº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ × ×ÓÒ ÙÒ
×ÓÐÓ × Ñ ÓÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ÒØ ¬ Ö Ð Ó ÙÖÖ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ñ ÒØ Ò×Ô ÓÒ Ö Ø
Ð Òº
À Ý ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ ¬ Ø Ó¸ °¸ ÓÒ Ð Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò ¸ ÙÝÓ ÖÓÐ × ÜÔÐ Ö Ñ × ¹
Ð ÒØ º Ð Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó × ÓÒ× Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ú Ð ÔÖ Ò º
Ä ×ÙÑ Ý Ö ×Ø Ó ÙÔ Ò Ð ÔÖÓÜ ÑÓ Ò Ú Ð ÔÖ Ò º Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ × ÓÒ
Ñ × ÔÖ Ò ×ÓÒ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ý Ð Ú × ÓÒº
Ë lexer() Ö ØÓÖÒ Value¸ ÒØÓÒ × Ò × Ø ÑÓ× Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ö Ø Ö × ÕÙ
ÓÒØ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓº Ì Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ö Ð Þ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½½ ÙÒ ÓÒ ÓÒÚ ÖØ Ö ¬ Ò ½½ ≡

145. 2.5. Pilas 119
char * str_to_token(char * token_str, const size_t & len)
{
static char buffer[256];
strncpy(buffer, token_str, len);
buffer[len] = ’0’;
return buffer;
}
¬Ò ×
str to token¸ Ù× Ò ÙÒ ½¾¼ º
str to token() ÜØÖ ÙÒ ÓÔ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÒØ Ò Ó Ò token strº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ú ÐÙ ÓÒ Ù× Ö Ó× Ô Ð × ÓÑÓ × Ù
½½ Ô Ð × Ú ÐÙ ÓÒ ½½ ≡ ´½¾¼ µ
ArrayStack<int> val_stack;
ArrayStack<char> op_stack;
Í× × ArrayStack ½¼ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ð Þ ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ð Ò ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð Þ Ð Ò ÒØÖ º Ä
ÓÔ Ö ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × × Ö Ó× ÓÔ Ö Ò Ó× Ð Ô Ð val stack Ý ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ Ð
Ô Ð op stack¸ ÐÙ Ó ØÙ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÐÑ Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÒÙ ÚÓ
Ò Ð Ô Ð val stackº ×Ø Ô ØÖÓÒ × ÑÓ ÙÐ Ö Þ Ò Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
½½ ÙÒ ÓÒ Ù ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ô Ð × ½½ ≡
void apply(ArrayStack<int>& val_stack, ArrayStack<char>& op_stack)
{
const char the_operator = op_stack.pop();
const int right_operand = val_stack.pop();
const int left_operand = val_stack.pop();
int result;
switch (the_operator)
{
case ’+’: result = left_operand + right_operand; break;
case ’-’: result = left_operand - right_operand; break;
case ’*’: result = left_operand * right_operand; break;
case ’/’: result = left_operand / right_operand; break;
}
val_stack.push(result);
}
¬Ò ×
apply¸ Ù× Ò ÙÒ ½¾½º
Í× × ArrayStack ½¼ º
apply() ×ÙÑ ÕÙ Ð ÓÔ Ö Ò Ó Ö Ó Ù Ò× ÖØ Ó Ò Ð Ô Ð ×ÔÙ × Ð ÞÕÙ Ö Óº
×ØÓ × ÐÓ ÒÓÖÑ Ð × Ð Ò ÒØÖ × Ò Ð Þ ÞÕÙ Ö Ö º
ÓÖ ×ÔÓÒ ÑÓ× Ð × ÖÖ Ñ ÒØ × Ò × Ö × Ô Ö × ÖÖÓÐÐ Ö ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ú ÐÙ
ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ º ÆÙ ×ØÖ ÖÙØ Ò × ÐÐ Ñ Ö eval() Ý Ø Ò Ö Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ
½½ ÙÒ ÓÒ Ú ÐÙ ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ ½½ ≡
int eval(char* input)
{
Ú Ö Ð × Ú Ð ½¾¼
Ò Ð Þ ÓÒ Ú Ð ½¾¼
while (true)
{

146. 120 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð Ö ÔÖÓÜ Ñ ¬ ½¾¼
switch (current_token)
{
case Value:
ÔÖÓ × Ö ÓÔ Ö Ò Ó ½¾¼
case Lpar:
ÔÖÓ × Ö Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó ½¾½
case Operator:
ÔÖÓ × Ö ÓÔ Ö ÓÖ ½¾½
case Rpar:
ÔÖÓ × Ö Ô Ö ÒØ × × Ö Ó ½¾½
case End:
ÔÖÓ × Ö ¬Ò ÒØÖ ½¾½
}
}
}
input × Ð Ò Ö Ø Ö × ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ º
eval() Ö ÕÙ Ö × Ù ÒØ × Ú Ö Ð ×
½¾¼ Ú Ö Ð × Ú Ð ½¾¼ ≡ ´½½ µ
Ô Ð × Ú ÐÙ ÓÒ ½½
Token_Type current_token;
unsigned token_len = 0;
Í× × Token Type ½½ º
current token ×Ð ¬ ØÙ Ð Ó × ÖÚ ÒÐ Ò ÒØÖ Ý token len × Ð
ÐÓÒ ØÙ Ð ¬ Ò Ö Ø Ö ×º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÒÓ Ý Ò Ò ÙÒ ¬ ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ token len
× Ö ÖÓº
Ä ÔÐ ÓÔ Ö ÓÖ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÒØ Ò Ð ×Ô Ð ÕÙ × Ð Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò
ÔÓ× Ð º Ì Ð ÒØ Ò Ð × Ð Ú ÐÓÖ ° ÕÙ × Ò× ÖØ Ò ÐÑ ÒØ Ò op stack
½¾¼ Ò Ð Þ ÓÒ Ú Ð ½¾¼ ≡ ´½½ µ
op_stack.push(’$’);
×ÔÙ × Ð Ò Ð Þ ÓÒ¸ Ð ÖÙØ Ò ÓÑ ÒÞ Ø Ö Öº Ð Ù ÖÔÓ Ø Ö Ø ÚÓ Ð Ð ×
¬ × ÔÖ × ÒØ × Ò Ð ÒØÖ Ý ÐÙ Ó ÔÖÓ × Ð ¬ × ÙÒ ×Ù Ø ÔÓº Ä Ö Ð ¬ ÓÒ× ×Ø
× ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÒÚÓ ÓÒ lexer()
½¾¼ Ð Ö ÔÖÓÜ Ñ ¬ ½¾¼ ≡ ´½½ µ
current_token = lexer(input, token_len);
Ù Ò ÓÐ ¬ × ÙÒ ÓÔ Ö Ò Ó¸ ÐÓ ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ò Ð Ô Ð ÓÔ Ö Ò Ó×
½¾¼ ÔÖÓ × Ö ÓÔ Ö Ò Ó ½¾¼ ≡ ´½½ µ
{
const int operand = atoi(str_to_token(input, token_len));
val_stack.push(operand);
break;
}
Í× × str to token ½½ º
ÈÖ Ú Ñ ÒØ Ý ÕÙ ØÙ Ö Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö × ×Ù Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ
ÒÙÑ Ö º
ÈÓ ÑÓ× ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ò Ð Ô Ð ¸ Ô ÖÓ ÒØ × ÔÓ ÑÓ× ÙØ Ö ØÓ × Ð ×
ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ×Ø Ò Ò Ð Ô Ð ÓÔ Ö ÓÖ × ÓÒ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÔÖ Ò ÕÙ Ð

147. 2.5. Pilas 121
ÓÔ Ö ÓÖ Ø٠к ×Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú × ÔÖ Ö Ð ÔÓÖÕÙ ×Ñ ÒÙÝ Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ò ×Ô Ó
Ð × Ô Ð ×º
È Ö ÑÔÐ ¬ Ö¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÜÔÖ × ÓÒ 100 − 20 ∗ 5 + 7 Ý ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ¬
ØÙ Ð × Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ö ×Ø º Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ¸ val stack ÓÒØ Ò < 100 > Ý op stack
< ° > Ý ÒÓ ÔÓ ÑÓ× ØÙ Ö Ò Ò ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÔÓÖÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ¬ Ø Ó ° Ø Ò Ñ ÒÓÖ
ÔÖ Ò ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÖ −º Ù Ò Ó Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÖ ∗¸ Ø ÑÔÓ Ó ÔÓ ÑÓ×
ØÙ Ö Ò Ò ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÔÓÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ø Ò Ñ ÝÓÖ ÔÖ Ò ÕÙ Ð Ö ×Ø º ¹
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ù Ò Ó ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÖ +¸ val stack ÓÒØ Ò < 100, 20, 5 > Ý
op stack < °, −, ∗ >º ÕÙ ØÙ ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ù ØÓ¸ ÔÙ × ×Ø Ø Ò Ñ ÝÓÖ ÔÖ Ò ÕÙ
Ð ×ÙÑ ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× Ð × Ô Ð × Ò ÐÓ× ×Ø Ó× < 100, 100 > Ý < °, − >¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ØÙ ÑÓ× Ð Ö ×Ø ¸ ÔÙ × ×Ø Ø Ò Ð Ñ ×Ñ ÔÖ Ò ÕÙ Ð ×ÙÑ º Ð
Ø ÖÑ ÒÓ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÖ + Ò Ð Ô Ð ÐÓ ÕÙ ÒÓ× Ð ×Ø Ó
Ð × Ô Ð × Ò < 0 > Ý < °, + >º
Ä ÓÒ Ù Ø ÒØ Ö ÓÖ × ÑÓ Ð Þ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ó Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
½¾½ ÔÖÓ × Ö ÓÔ Ö ÓÖ ½¾½ ≡ ´½½ µ
{
while (precedence(op_stack.top()) >= precedence(*input))
apply(val_stack, op_stack);
op_stack.push(*input); // introducir operador en op_stack
break;
}
Í× × apply ½½ Ò precedence ½½ º
ÄÓ× Ô Ö ÒØ × × Ò Ð ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ × ×ÓÒ ÙØ Ð Þ Ó× Ô Ö ÑÓ ¬ Ö Ð ÔÖ Ò ÔÓÖ
ÓÑ × ÓÒ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ ×º Ù Ò Ó Ð ¬ × ÙÒ Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó¸ ÐÓ ÒØÖÓ Ù ÑÓ×
Ò Ð Ô Ð ÓÔ Ö ÓÖ ×
½¾½ ÔÖÓ × Ö Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó ½¾½ ≡ ´½½ µ
{
op_stack.push(*input); // introducir parentesis en op_stack
break;
}
Ð Ô Ö ÒØ × × Ö Ó Ò Ö Ð ¬Ò Ð ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÕÙ × Ö Ú ÐÙ º Ù Ò Ó
Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð Ô Ö ÒØ × × Ö Ó¸ ÙØ Ö ÑÓ× ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÒØÖ ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×º
È Ö ÐÐÓ¸ ÐÐ Ñ ÑÓ× ×Ù × Ú Ñ ÒØ apply() ×Ø ÕÙ Ð Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó × Ò ÓÒ¹
ØÖ Ó Ò Ð ØÓÔ Ð Ô Ð
½¾½ ÔÖÓ × Ö Ô Ö ÒØ × × Ö Ó ½¾½ ≡ ´½½ µ
{
while (op_stack.top() != ’(’)
apply(val_stack, op_stack);
op_stack.pop(); /* saca el parentesis izquierdo */
break;
}
Í× × apply ½½ º
Ð ¬Ò Ð ÒØÖ ÐÓ Ò lexer() Ù Ò Ó Ö ØÓÖÒ Ð Ú ÐÓÖ Endº Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ¸
× Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ù ÓÖÖ Ø ¸ ÒÓ× Ö ×Ø Ú ÐÙ Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ð
ÓÔ Ö Ò Ó׸ ÐÓ Ù Ð × ¬Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½¾½ ÔÖÓ × Ö ¬Ò ÒØÖ ½¾½ ≡ ´½½ µ
{

148. 122 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
while (op_stack.top() != ’$’)
apply(val_stack, op_stack);
op_stack.pop(); // debe ser ’$’
const int ret_val = val_stack.pop();
return ret_val;
}
Í× × apply ½½ º
2.5.6 Pilas, llamadas a procedimientos y recursi´n
o
ÍÒÓ ÐÓ× Ù×Ó× Ñ × ØÖ × Ò ÒØ Ð × Ð Ô Ð × Ð ×Ø ÓÒ ÐÐ Ñ × ÔÖÓ Ñ ÒØÓ×
ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ö Ñ ÒØÓ Ó Ó
int fct_1(int i) { /* ... */ }
int fct_2(int i)
{
int x;
x = fct_1(i);
...
}
int fct_3(int j)
{
int x;
x = fct_2(j);
...
}
void main()
{
int y;
y = fct_3(3);
...
}
ÓÖ Ü Ñ Ò ÑÓ× ÐÓ× Ú ÒØÓ× ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ð ÐÐ Ñ fct 3() × main()º
Ù Ò Ó × Ð ÒÞ Ð ÐÐ Ñ fct 3()¸ Ð ­Ù Ó ÓÒØÖÓÐ × ÐØ Ð Ö ÓÒ
Ñ ÑÓÖ fct 3() Ý ÓÑ ÒÞ ÙØ ÖÐ º ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ù Ò Ó × Ð ÒÞ Ð
ÐÐ Ñ fct 2()¸ Ý Ð ­Ù Ó ÓÒØÖÓÐ × ÐØ ÒÙ ÚÓ Ð Ö ÓÒ fct 2()º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ × Ð ÒÞ Ð ÙÒ ÓÒ fct 1() Ý Ð ­Ù Ó × ÐØ ÒÙ ÚÓ Ð Ö ÓÒ
fct 1()º
Ù Ò Ó fct 1() ¬Ò Ð Þ ¸ Ð ­Ù Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÓÖÖ Ð Ñ ÒÓ ÒÚ Ö×Ó ×Ø main()º
ÈÐ ÒØ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ ÙÒØ ×
¯ Ä × ÙÒ ÓÒ × fct 2() Ý fct 3() Ø Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÒÓÑ Ö i Ý Ú Ö Ð × ÐÓ Ð ×
ÒÓÑ Ö xº ÓÑÓ × Ö Ò Ò ÒØÖ × ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ý Ú Ö Ð ×
¯ ÓÑÓ × ×Ø ÓÒ Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ý Ú Ö Ð × ÐÓ Ð × ÙÒ ÔÖÓ ¹
Ñ ÒØÓ

149. 2.5. Pilas 123
¯ ÓÑÓ Ð ­Ù Ó ÓÒØÖÓÐ Ô Ö × ÐØ Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ý Ö Ö × Ö Ù Ò Ó ÙÐÑ Ò
Ð ÐÐ Ñ Ð ÙÒ ÓÒ
×ØÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ×ÓÒ Ö ×Ù ÐØÓ× ÔÓÖ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ¸ Ð × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ý Ð Ö Û Ö ØÖ Ú ×
ÙÒ Ô Ð º Ä Ñ ÝÓÖ ÐÓ× ÔÖÓ × ÓÖ × Ñ Ò Ò Ó× Ö ×ØÖÓ× ×Ô Ð × ÓÑÙÒÑ ÒØ
ÒÓÑ Ò Ó× SB Ý SPº ×ØÓ× Ö ×ØÖÓ× Ñ Ò Ò Ð ÒÓÑ Ò Ô Ð Ð × ×Ø Ñ º SB × Ð
Ö ÓÒ × ÙÒ Ô Ð Ý SP × Ð Ö ÓÒ ØÙ Ð Ð ØÓÔ Ð Ô Ð º Ù Ò Ó ×
ÙÒ ÔÙ× ×Ó Ö Ð Ô Ð Ð × ×Ø Ñ ¸ SP × Ö Ñ ÒØ Óº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ù Ò Ó ×
ÙÒ pop()¸ SP × Ò Ö Ñ ÒØ Óº
Ù Ò Ó Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÔÖÓ × ÙÒ ÐÐ Ñ ÙÒ ÙÒ ÓÒ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ fct 1() ×
main()¸ × Ò Ö ¸ ÒØ × ÐÐ Ñ Ö Ð ÙÒ ÓÒ¸ Ð × Ù ÒØ × Ù Ò Ô× Ù Ó Ó Ó
×Ó Ö Ð Ô Ð × ×Ø Ñ
½º ÍÒ push() Ô Ö Ð ×Ô Ó Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÕÙ Ö ØÓÖÒ fct 1()º
¾º Î Ö Ó× pushes Ô Ö ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× fct 1()º
¿º ÍÒ push() Ô Ö Ð Ö ÓÒ ØÙ Ð Ð ­Ù Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
º ÍÒ Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÐØÓ Ð Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ fct 1()¸ Ð Ù Ð ÐÐ Ú Ð ­Ù Ó
ÓÒØÖÓÐ Ð Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ fct 1()º
º ÍÒ Ú Þ ÕÙ fct 1() Ý × Ó ÙØ ¸ Ð ­Ù Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ö × Ö Ð ÔÙÒØÓ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ
ÓÒ × ØÙÓ Ð × ÐØÓº È Ö ÐÐÓ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ö ÙÒ pop() ÕÙ Ö ÙÔ Ö Ð Ö ÓÒ
Ö ØÓÖÒÓ Ð Ô Ð º Ð Ö Ö × Ö main()¸ × ØÙ Ò Ú Ö Ó× pops ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð
ÒØ pushes ÕÙ × ÞÓ Ô Ö Ô × Ö ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׺
º Ò ÐÑ ÒØ ¸ × ÙÒ ÙÐØ ÑÓ pop() ÕÙ Ö ÙÔ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó fct 1()º
º
Pseudo c´digo 2.5.1:
o ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ó ÒÖ Ô Ö Ð ÐÐ Ñ funcion 1()
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ý Ð ¬Ò Ð Ð ÙÒ ÓÒ
fct 1() Ó Ð × Ù ÒØ ×ÕÙ Ñ
½º Ð Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ × ØÙ Ò Ú Ö Ó× pushes ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð × Ð ÒÙÑ ÖÓ ÚÖ Ð × ÐÓ Ð ×
fct 1()º
¾º Ð Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ × Ò Ö ÓÒ Ö Ö Ò × Ð × Ú Ö Ð × ÐÓ Ð × Ô ÖØ × Ò Ð ÔÙÒØÓ
ÒØ Ö ÓÖ Ý ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ô ÖØ Ó× Ý ÓÔ Ó× Ò ¾º º½º
¿º Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ñ Ò× Ù Ö Ò Ð ×Ô Ó Ô ÖØ Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ ½ ¾º º½º
º Ð ¬Ò Ð Ð ÙÒ ÓÒ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò ÙÒ ÒØ pops Ù Ð Ð ÒØ pushes
Ù× Ô Ö Ð × Ú Ö Ð × ÐÓ Ð ×º ×ØÓ× pops Ð Ö Ò Ð Ñ ÑÓÖ Ù× ÔÓÖ Ð × Ú Ö Ð × ÐÓ Ð ×º
º Ë ÙÒ pop() ÕÙ Ö ÙÔ Ö Ð Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓ Ð ÒÚÓ ÒØ fct 1() Ý × × ÐØ Ð
ÔÙÒØÓ ¾º º½º
Pseudo c´digo 2.5.2:
o ×ØÖÙ ØÙÖ Ó Ó ÒÖ Ô Ö Ð ÐÐ Ñ Ð funcion 1()
Ò Ö ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒ push() ÕÙ Ú Ð Ö ×Ø Ö Ð Ö ×ØÖÓ SP Ð Ø Ñ ÒÓ ÐÓ ÕÙ × Ð
Ò× ÖØ º Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ pop() ÕÙ Ú Ð ÙÒ ×ÙÑ º È Ö Ð × ÙÒ ÓÒ × fct 2() Ý
fct 3()¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ò Ö Ó Ó× × Ñ Ð Ö × ¾º º½ Ý ¾º º¾º
Ä Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ ÐÐ Ñ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ × Ù Ö Ò Ð Ô Ð

150. 124 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
× ×Ø Ñ × ÓÒØ Ù º Ð ÐÓÕÙ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ¸ Ô Ö Ñ ØÖÓ׸ Ö ÓÒ
Ö ØÓÖÒÓ Ý Ú Ö Ð × ÐÓ Ð × × ÒÓÑ Ò Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ º
Ð ×ÓÔÓÖØ ÙØ ÚÓ Ô Ö Ð × ÐÐ Ñ × ÔÖÓ Ñ ÒØÓ× × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ô Ð
ÔÓÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ­ÙÝ ØÖ Ú × Ð × ÙÒ ÓÒ × Ó ÙÒ × ÔÐ Ò Í È˺ ÍÒ Ú Þ ÕÙ
× Ð ÒÞ fct 3()¸ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ö × Ö ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ ÒÚ Ö×Ó main() Ô × Ò Ó
ÔÓÖ fct 2() Ý fct 1()º
ÙÒÕÙ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × ÙÒ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ×Ø ÒØ ÔÓ ÖÓ× ¸ × ÑÔÓÖ¹
Ø ÒØ ÔÖ Ò Ö ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ó×Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò ×Ô Ó Ý Ø ÑÔÓº ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÙÒ ÓÒ ØÓÖ Ð ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ
½¾ ØÓÖ Ð Ö ÙÖ× ÚÓ ½¾ ≡
int fact(const int & n)
{
if (n <= 1)
return 1;
return n*fact(n-1);
}
Ä Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ Ð ØÓÖ Ð × ÙÒ Ñ Ð ÑÔÐÓ Ð Ù×Ó Ò ¬ ÒØ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸
Ô٠׸ Ô ÖØ × Ö ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ò ¬ ÒØ ¸ Ð ÓÒØÖ Ô ÖØ Ø Ö Ø Ú × ÑÙÝ ¬ ÒØ
Ý Ñ × Ð ÑÔÐ ÒØ Öº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ØÓ× Ø Ó׸ ×Ù Ó ¬ ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ×
ÑÙÝ Ð ÓÑÔÖ Ò Ö ÔÓÖÕÙ Ö ­ ÒØ Ñ ÒØ Ð ¬Ò ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø º
SB Ê ×ÙÐØ Ó
fact(4)
Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓ
Ê ×ÙÐØ Ó
¿ fact(3)
Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓ
Ê ×ÙÐØ Ó
¾ fact(2)
Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓ
Ê ×ÙÐØ Ó
½ fact(1)
Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓ
SP
ÙÖ ¾º¾½ Ô Ð Ô Ð × ×Ø Ñ ÓÒ Ð ÐÐ Ñ fact(1)
Ä ¬ ÙÖ ¾º¾½ ÐÙ×ØÖ Ð ×Ø Ó Ð Ô Ð × ×Ø Ñ Ù Ò Ó × Ð ÒÞ Ð ÐÐ Ñ
fact(1)º Ú Þ ÕÙ × ØÙ ÙÒ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¸ × ×Ø Ò ×Ô Ó Ô Ð Ð
Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¸ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ý Ð Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸
ÔÓÖ ÐÐ Ñ ¸ × ×Ø Ò Ø ÑÔÓ ÐÓ× ØÖ × pushes Ý ÐÓ× ØÖ × popsº
2.5.6.1 Consejos para la recursi´n
o
Ë ×Ø ÑÓ× × Ò Ò Ó ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ý ÒÓ× × Ñ × Ð ØÖ Ö ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ÒØÓÒ ×¸
Ò Ø Ò Ö× Ò Ù ÒØ Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ× Ö ÓÒ ×
½º ÌÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ Ø Ò Ö ÙÒ ×Ó × ÓÒ ÒÓ Ó ÙÖÖ Ò Ò ÙÒ ÐÐ Ñ
Ö ÙÖ× Ú º
¾º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖÓ Ö × Ö Ý ÓÒÚ Ö Ö Ò Ø ÑÔÓ ¬Ò ØÓ Ò ÓÒØÖ Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒº
ÈÓÖ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¸ Ð ÒØÖ ×Ñ ÒÙ Öº Ë ×Ø ÒÓ × Ð ×Ó¸ Ý
×Ø ÒØ × ÔÖÓ Ð × ÕÙ Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ×Ù Ý ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ø ÖÖ Óº

151. 2.5. Pilas 125
¿º Ú Ø Ð ÙÐÓ× Ö Ô Ø Ó׺ ×Ø × Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ô Ð ÖÓ Ð Ö ÙÖ× ÓÒº ÍÒ ÑÔÐÓ
ÒÓØ Ð ×ÓÒ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÒ ÙÝ ¬Ò ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø × Ð × Ù ÒØ
(n) =
1 × n≤1
(n − 1) + (n − 2) × n>1
Ä Ó ¬ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ÕÙ Ð ÙÐ Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ × ×ÔÖ Ò
×Ù ¬Ò ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø
½¾ ÙÒ ÓÒ ÓÒ ½¾ ≡
int fib(const int & n)
{
if (n <= 1)
return 1;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ (n − 2) × Ð ÙÐ 2 Ú ×º Ä ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ó × ÐÐ Ñ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ
(n − 2) Ð × ÙÒ ÒØÖÓ Ð ÐÐ Ñ (n − 1)º ×Ø ÙÔÐ ÐÐ Ñ × ×
ÜÔ Ò ÜÔÓÒ Ò ÐÑ ÒØ Ñ ÕÙ ÙÑ ÒØ nº Ä ¬ ÙÖ ¾º¾¾ ÐÙ×ØÖ Ð ÒØ
ÐÐ Ñ × fib() Ô Ö Ð Ô ÕÙ Ò × Ð n = 5º
fib(5)
fib(4) fib(3)
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)
fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)
fib(1) fib(0)
ÙÖ ¾º¾¾ ÄÐ Ñ × fib() ÔÖ n=5
Ù Ò Ó × × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ¸ ÑÓ× Ö ÓÖ ÖÒÓ× ÕÙ ÒÓ Ý Ò Ð ÙÐÓ×
Ö ÙÒ ÒØ ×º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ð Ö ÙÒ Ò Ö ÕÙ Ö ÒÓØ Ö ÐÓ× Ð ÙÐÓ× Ö Ð Þ Ó× Ò
Ð ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×Ô Ðº
2.5.6.2 Eliminaci´n de la recursi´n
o o
À Ý ØÖ × Ñ Ò Ö × ÓÒÓ × Ô Ö Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸ Ð Ù Ð × Ñ Ò ÓÒ Ö ÑÓ× Ò ÐÓ×
×Ù ¹Ô ÖÖ Ó× ×Ù × Ù ÒØ ×º
Eliminaci´n de la recursi´n cola
o o
Ë ÙÒ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ P(x) Ø Ò ÓÑÓ ÙÐØ Ñ Ò×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ ÐÐ Ñ P(y)¸ ÒØÓÒ × ×
ÔÓ× Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö P(y) ÔÓÖ ÙÒ × Ò ÓÒ x = y Ý ÙÒ × ÐØÓ Ð Ò Ó Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓº

152. 126 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬Ò ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ÔÓ Ö ¬Ò Ö× ¸
Ö ÙÖ× Ú Ý ÖÖÓÒ Ñ ÒØ ¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½¾ Ê ÓÖÖ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ð ×Ø ÒÐ Þ ½¾ ≡
template <typename T>
void recorrer(Snode<T> * head, void (*visitar)(Snode<T>*))
{
if (head->is_empty())
return;
(*visitar)(head->get_next());
recorrer(head->get_next());
}
Í× × Snode ½ º
×Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÔÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö× Ñ ÒØ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÐ Ò
½¾ Ê ÓÖÖ Ó ÒÓ¹Ö ÙÖ× ÚÓ Ð ×Ø ÒÐ Þ ½¾ ≡
template <typename T>
void recorrer(Snode<T> * head, void (*visitar)(Snode<T>*))
{
start:
if (head->is_empty())
return;
(*visitar)(head->get_next());
head = head->get_next();
goto start;
}
Í× × Snode ½ º
ÅÙ × Ú × × ÔÓ× Ð Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÐ ÙÒ × Ð ÙÐØ Ñ Ò×ØÖÙ ÓÒ ÒÓ × ÙÒ
ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÙÐØ Ñ Ò×ØÖÙ ÓÒ Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ð ØÓÖ Ð
ØÓÖ Ð Ö ÙÖ× ÚÓ ½¾ ÒÓ × Ð ÐÐ Ñ fact(n - 1)¸ × ÒÓ Ð ÐÐ Ñ returnº Ò
×Ø ×Ó ÔÓ ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÐ Ý Ó Ø Ò Ö Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ
½¾ ØÓÖ Ð ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ½¾ ≡
int fact(const int & n)
{
int result = 1;
start:
if (n <= 1)
return result;
result *= n;
n--;
goto start;
}
Emulaci´n de los registros de activaci´n
o o
ÈÓ ÑÓ× ×ÙÔÖ Ñ Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × ÑÙÐ ÑÓ× Ð × ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú × Ý ÐÓ× Ö ×ØÖÓ×
Ø Ú ÓÒº È Ö ÐÐÓ ÑÓ× ¬Ò Ö ÙÒ Ô Ð ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ×
½º ÄÓ× Ú ÐÓÖ × ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׺ Ò ×Ó ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ ÙÒ ÓÒ¸ × Ò ÐÙÝ Ð
Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓº
¾º ÄÓ× Ú ÐÓÖ × Ð × Ú Ö Ð × ÐÓ Ð ×º

153. 2.5. Pilas 127
¿º ÍÒ Ò ÓÒ ÕÙ × Ò Ð Ð Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓº Ú ÐÓÖ Ò ÓÒ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö ØÓÖÒÓ Ò Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓº
ÍÒ Ú Þ ¬Ò Ð Ô Ð ¸ × ÑÓ ¬ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÓÑÓ × Ù
½º Ë Ò Ð × Ò ÓÐ Ð Ö ÓÒ Ò Ð Þ ÓÒ Ð Ô Ð º
¾º Ë ÓÐÓ Ò Ø ÕÙ Ø × × ÐØÓ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× × Ð Ð × ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú ×º
¿º Ð Ü Ô ÓÒ Ð × Ò Ð Þ ÓÒ¸ Ð Ù ÖÔÓ Ð ÙÒ ÓÒ × ÒÚÙ ÐÚ ÓÒ
ÙÒ Ð ÞÓ Ö Ô Ø Ø ÚÓ ÙÝ ÓÒ ÓÒ Ô Ö × ÕÙ Ð Ô Ð ×Ø Ú º
º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ Ý ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú × × ×Ù×Ø ØÙÝ Ò ÔÓÖ ÙÒ push() ÐÓ ÕÙ
× Ö Ð Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ Ý ÙÒ × ÐØÓ Ð Ò Ó Ð Ð ÞÓº
º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓ Ö ØÓÖÒ × ×Ù×Ø ØÙÝ Ò ÔÓÖ ÙÒ pop()
× Ù Ó ÙÒ switch ÕÙ Ø ÖÑ Ò ¸ × ÙÒ Ð Ò ÓÒ × ÐØÓ Ð Ö ×ØÖÓ
Ø Ú ÓÒ¸ Ð Ö ÓÒ × ÐØÓº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð Ð ÙÐÓ Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ ¸ ÑÓ ¬ ÑÓ× Ð ÙÒ ÓÒ
ÓÒ ½¾ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½¾ Î Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÓÖ ÓÒ ½¾ ≡
int fib(const int & n)
{
if (n <= 1)
return 1;
const int f1 = fib(n - 1);
const int f2 = fib(n - 2);
return f1 + f2;
}
×Ø ÓÖÑ Ð Ø Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒº
¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ Ô Ö Ð Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ
½¾ Ê ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ ½¾ ≡ ´½¾ µ
# define P1 1
# define P2 2
struct Activation_Record
{
int n;
int f1;
int result;
char return_point;
};
¬Ò ×
Activation Record¸ Ù× Ò ÙÒ ½¾ º
ÓÒ Ñ Ö × Ð Ð Ö ¸ Ð ×Ó Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ÑÔÓ× × ØÙ ØÖ Ú ×
Ð ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ÖÓ×
½¾ ×Ó Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ ½¾ ≡ ´½¾ µ
# define NUM(p) ((p)->n)
# define F1(p) ((p)->f1)
# define RESULT(p) ((p)->result)
# define RETURN_POINT(p) ((p)->return_point)

154. 128 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ä Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú ¸ ÓÒ Ô Ð ¸ ÕÙ Ð ÙÐ Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ ¸Ð ¬¹
Ò ÑÓ× Ò Ð Ö ÚÓ ¬ ×Ø º ½¾ ÙÝ ¬Ò ÓÒ × Ð × Ù ÒØ
½¾ ¬ ×Ø º ½¾ ≡
Ê ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ ½¾
×Ó Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ ½¾
int fib_st(const int & n)
{
Ù ÖÔÓ ¬ ×Ø ½¾
}
Ò Ò ÓÒÓ× Ð Ñ ØÓ Ó¸ ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ × ¬Ò Ö Ð ÔÖ Ñ ÙÐÓ Ð ÖÙØ Ò
½¾ Ù ÖÔÓ ¬ ×Ø ½¾ ≡ ´½¾ µ
ArrayStack<Activation_Record> stack;
Activation_Record * caller_ar = &stack.pushn();
Activation_Record * current_ar = &stack.pushn();
NUM(current_ar) = n;
ÑÙÐ ÓÒ Ö ÙÖ× ÓÒ ½¾
Í× × Activation Record ½¾ Ò ArrayStack ½¼ º
ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÖÙØ Ò ¸ Ñ Ò Ö ÑÓ× Ó× ÔÙÒØ ÓÖ ×º caller ar Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ö ×¹
ØÖÓ Ø Ú ÓÒ Ð ÒÚÓ ÒØ º Ê ÕÙ Ö ÑÓ× ×Ø Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ ÔÓÖÕÙ ÑÓ×
Ù Ö Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÐÐ Ñ ØÙ Ð ÕÙ ÑÙÐ ÑÓ׸ Ð Ù Ð × Ù Ö Ò Ð Ö ×ØÖÓ
Ø Ú ÓÒ Ð ÒÚÓ ÒØ Ý ÒÓ Ð ÒÚÓ Óº
current ar × Ð Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ Ð ÐÐ Ñ Ø٠к
ÓÖ ÑÙÐ ÑÓ× Ð Ù ÖÔÓ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓº È Ö ÐÐÓ¸ ÓÑ ÒÞ ÑÓ× ÔÓÖ
ÓÐÓ Ö Ð Ó Ó ÑÓ×ØÖ Ó Ò Î Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÓÖ ÓÒ ½¾ Ý ÐÙ Ó
×Ù×Ø ØÙ ÑÓ× ÔÓÖ × Ñ ÒØÓ× Ó Ó ÕÙ ÑÙÐ Ò Ð Ö ÙÖ× ÓÒ
½¾ ÑÙÐ ÓÒ Ö ÙÖ× ÓÒ ½¾ ≡ ´½¾ µ
start:
×Ó × Ö ÙÖ× ÓÒ ½¾
ÐÐ Ñ ¬ ´Ò ¹ ½µ ½¾
p1: /* punto de retorno de fib(n - 1) */
Ö ØÓÖÒÓ × ¬ ´Ò ¹ ½µ ½¾
ÐÐ Ñ ¬ ´Ò ¹ ¾µ ½¾
p2: /* punto de retorno de fib(n - 2) */
Ö ØÓÖÒÓ × ¬ ´Ò ¹ ¾µ ½¾
return_from_fib:
Ö ØÓÖÒ Ö × ¬ ½¾
×Ø Ò Ù ÑÓ× Ù ØÖÓ Ø ÕÙ Ø × × ÐØÓ Ð ­Ù Ó Ù ÓÒ
¯ start × Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ × Ò Ð Ñ ØÓ Ó Ö ÙÖ× ÚÓº Ú Þ ÕÙ × ÑÙÐ ÙÒ
ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¸ × ØÙ Ð Þ Ò ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× Ø Ú ÓÒ Ý × × ÐØ
×Ø ÔÙÒØÓº
½¾ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¬ ½¾ ≡ ´½¾ µ
caller_ar = &stack.top(1);
current_ar = &stack.top();
goto start;
×Ø × Ñ ÒØÓ Ó Ó ×ÙÑ ÕÙ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ × Ó ÔÖ ¹
Ú Ñ ÒØ Ò× ÖØ Ó Ò Ð Ô Ð º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ØÙ Ð Þ ÑÓ× ÐÓ× ÔÙÒØ ÓÖ × ÐÓ×
Ö ×ØÖÓ× Ø Ú ÓÒ ÒØ × × ÐØ Ö Ð Ò Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ º

155. 2.5. Pilas 129
Ä ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÙÖ× ÚÓ ÔÖÓ × Ð ×Ó × ¸ Ð Ù Ð × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö
Ò Ð Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú
½¾ ×Ó × Ö ÙÖ× ÓÒ ½¾ ≡ ´½¾ µ
if (NUM(current_ar) <= 1)
{
RESULT(caller_ar) = 1;
goto return_from_fib;
}
Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ Ð ÓÒ ÓÒ × Ú ÐÙ ×Ó Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ n
Ð Ö ×ØÖÓ Ø٠к Ë ÑÓ× Ð ×Ó × ¸ ÒØÓÒ × ÓÐÓ ÑÓ× Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ð
Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ Ð ÒÚÓ ÒØ Ý ÒÚ ÑÓ× Ð ­Ù Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ô ÖØ
ÕÙ ÑÙÐ Ð Ö ØÓÖÒ Ö × Ð ÙÒ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú º
Ë ÒÓ × Ò Ð ÔÖÓ ×Ó × ¸ ÒØÓÒ × Ý ÕÙ ÑÙÐ Ö Ð ÐÐ Ñ fib(n - 1)¸
Ð Ù Ð × Ö Ð Þ ÓÑÓ × Ù
½¾ ÐÐ Ñ ¬ ´Ò ¹ ½µ ½¾ ≡ ´½¾ µ
RETURN_POINT(current_ar) = P1;
NUM(&stack.pushn()) = NUM(current_ar) - 1; /* crea un registro de activaci´n */
o
ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¬ ½¾
Ä ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ö Ð Ö ÓÒ Ö ØÓÖÒÓº Ä × ÙÒ Ô ÖØ Ð Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ
Ð ÒÙ Ú ÐÐ Ñ Ò ×Ù Ô Ö Ñ ØÖÓ n × ÙÒ Ð ÐÐ Ñ fib(n - 1)º
¯ Ù Ò Ó × Ý Ð ÙÐ Ó fib(n - 1)¸ Ö ØÓÖÒ Ö × ¬ ½¾ Ò×Ô ÓÒ Ö Ð
Ú ÐÓÖ RETURN VALUE Ð Ö ×ØÖÓ ØÙ Ð Ø Ú ÓÒ Ý × Ô Ö Ø Ö ÕÙ Ý ÕÙ
× ÐØ Ö Ð ­Ù Ó Ð Ø ÕÙ Ø p1º Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ ÑÓ× ÑÙÐ Ö Ð × Ò ÓÒ
int f1 = fib(n - 1)
½¾ Ö ØÓÖÒÓ × ¬ ´Ò ¹ ½µ ½¾ ≡ ´½¾ µ
F1(current_ar) = RESULT(current_ar);
ÄÙ Ó ÑÙÐ ÑÓ× Ð ÐÐ Ñ fib(n - 2)
½¾ ÐÐ Ñ ¬ ´Ò ¹ ¾µ ½¾ ≡ ´½¾ µ
NUM(&stack.pushn()) = NUM(current_ar) - 2; /* crea un registro de activaci´n */
o
RETURN_POINT(current_ar) = P2;
ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¬ ½¾
ÐÐ Ñ ¬ ´Ò ¹ ¾µ ½¾
× × ÒØ ÐÐ Ñ ¬ ´Ò ¹ ½µ ½¾ º ÄÓ ÙÒ Ó ÕÙ
Ñ × ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ n ÓÖÖ ×ÔÓÒ n − 2º
¯ ÍÒ Ú Þ Ð ÙÐ Ó fib(n - 2)¸ Ö ØÓÖÒ Ö × ¬ ½¾ × ÐØ Ö Ð ­Ù Ó p2º Ò ×Ø
ÑÓÑ ÒØÓ¸ ÑÙÐ ÑÓ× Ð × Ò ÓÒ int result = f1 + f2
½¾ Ö ØÓÖÒÓ × ¬ ´Ò ¹ ¾µ ½¾ ≡ ´½¾ µ
RESULT(caller_ar) = F1(current_ar) + RESULT(current_ar);
¯ Ò ÐÑ ÒØ ¸ return from fib × Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ × ÑÙÐ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ return Ð ÔÖÓ¹
Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓº Ì Ð ÑÙÐ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò
½¾ Ö ØÓÖÒ Ö × ¬ ½¾ ≡ ´½¾ µ
stack.pop(); /* cae en el registro del invocante */
if (stack.size() == 1)

156. 130 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
return RESULT(caller_ar);
caller_ar = &stack.top(1);
current_ar = &stack.top();
switch (RETURN_POINT(current_ar))
{
case P1: goto p1;
case P2: goto p2;
}
Ú Þ ÕÙ × Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ × Ð Ñ Ò ÙÒ Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ × × Ð
ÓÑ Ø Ó Ð pop()º Ë Ð Ô Ð ÓÒØ Ò ÙÒ Ö ×ØÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ­Ù Ó ×Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ó
Ð ÐÐ Ñ Ò Ð Ý Ð Ö ×ÙÐØ Ó ¬Ò Ø ÚÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò RESULT(caller ar)º ÐÓ
ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ØÙ Ð Þ Ò ÐÓ× ÔÙÒØ ÓÖ × ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× Ø Ú ÓÒ Ý × Ø ÖÑ Ò ÓÒ
× Ö ØÓÖÒ Öº
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ü ÙÒ × ÑÔ ÒÓ Ò Ö ÓÖ ×Ù Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú º ÒØÖ ¸
Ð Ì ArrayStack<T> Ò ÙÒ ×Ó Ö Ó×Ø Ú Ð ÓÒ × ÓÖ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð
Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú º À Ý ÓØÖ × Ù ÒØ × ×Ó Ö Ó×Ø ¸ Ð Ò ÓÒ × ÐØÓ × ÙÒ ÕÙ ÒÓ
Ø Ò Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú º
ÈÓ ÑÓ× ØÙ Ö Ñ ÓÖ × ×Ó Ö Ð Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÔÓ ÑÓ×
Ð Ñ Ò Ö Ð ÑÔÓ f1 Ð Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ Ý ÙØ Ð Þ Ö resultº ×Ø ÑÓ Ó ×¹
Ñ ÒÙ ÑÓ× Ð ÒØ pushesº ÇØÖ Ñ ÓÖ × ×Ñ ÒÙ Ö Ð ÒØ Ó × ÖÚ ÓÒ ×
Ð Ô Ð ¹ Ò×ØÖÙ ÓÒ top()¹º Ä Ô ÖØ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¬ ½¾ ÔÓ Ö ¬Ò Ö×
ÓÑÓ
caller_ar = current_ar;
++current_ar;
goto start;
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö ×ØÖÓ Ð ÒÚÓ ÒØ Ô × Ö × Ö Ð Ø٠и ÒÓ Ý Ò × Ó × ÖÚ Ö
Ð Ô Ð º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ô Ð ×Ø ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ Ð × Ù ÒØ Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ
× Ö Ð Ú ÒÓ current ar ÔÓÖ ×Ó ÐÓ Ò Ö Ñ ÒØ ÑÓ׺
ÍÒ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ ¬Ò Ð ÓÒ× ×Ø Ò ÓÐÓ Ö Ö ÓÒ × Ö Ð × × ÐØÓ Ò ÐÙ Ö Ø ¹
ÕÙ Ø ×º ×Ø Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ö Ð switch Ý Ð if Ö ØÓÖÒ Ö × ¬ ½¾ ¸ ÔÙ × Ð
­Ù Ó × ÐØ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÓÒ º × ÓÖØÙÒ Ñ ÒØ ¸ Ò Ð Ð Ò Ù C Ò
ÐC ++ ÔÓ× Ò Ñ Ò ×ÑÓ× ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò ÐÑ Ò Ö Ö ÓÒ × × ÐØÓ½ º Ì Ò Ö ÑÓ׸
ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð ÙÒ × Ô ÖØ × Ð ÖÙØ Ò Ò Ò× Ñ Ð ÓÖº
Eliminaci´n total de la recursi´n
o o
ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ú ×ØÓ¸ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÒÓ × ØÖ Ú Ðº Ä ÜÔ Ö Ò Ò ÕÙ
× ÑÙÝ Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú ÕÙ × Ñ × ¬ ÒØ ÕÙ ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ö ÙÖ× ÚÓº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ
Ö ÙÖ× ÚÓ ×ÓÐÓ Ö× × Ð Ô ÖØ Ö ÙÖ× Ú ×Ø ÒØÖÓ Ð Ñ ÒÓ Ö Ø Ó Ù ÓÒ
Ý × Ú Ø Ð ÙÑ ÒØ Ö Ð × ÑÔ ÒÓº Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ó × ÓÒ ×¸ × ÔÖ Ö Ð ØÖ Ö
ÓÒ Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú º
½
Ð Ü Ô ÓÒ Ð Ò× Ñ Ð ÓÖ¸ Ð ÙØÓÖ ÒÓ ÓÒÓ Ò Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÕÙ ÔÓ× ×Ø Ñ Ò ×ÑÓº Ä ×
ÔÖ Ñ Ø Ú × longjmp() Ý setjmp() Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ù Ô ÖÑ Ø Ò Ù Ö Ö Ö ÓÒ ×
­Ù Ó Ý × ÐØ Ö ÐР׺ Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ ÒÙ ×ØÖÓ× ØÓ׸ ×Ù× Ó×Ø × Ò Ø ÑÔÓ Ý Ò ×Ô Ó ×ÓÒ ×ÙÔ Ö ÓÖ ×
ÕÙ Ð Ù Ö Ö Ò ÓÒ ×º

157. 2.6. Colas 131
Ü ×Ø Ò × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × ÕÙ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ô Ð Ð × ×Ø Ñ × Ô ÕÙ ÒÓº Ò ×ØÓ×
×Ó׸ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × Ô Ð ÖÓ× ¸ ÔÙ × ÙÑ ÒØ Ð × ÔÓ× Ð × × ÓÖ Ô Ð º Ë ØÙ ¹
ÓÒ × ×Ø Ø ÔÓ ×ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ × ÑÔÓØÖ Ó׸ Ø ÑÔÓ Ö Ð Ó ÔÐ ÓÒ × Ô Ö Ð Ð × ÓÒ
Ú Ö Ó× ­Ù Ó× ´Ø Ö ×µ Ù ÓÒº Ò ×Ø ×Ó¸ ¬Ò ÔÖÓØ Ö Ð Ô Ð Ð × ×Ø Ñ ¸ ×
Ù×Ø ¬ Ð ¹ Ð ÙÒ × Ú × × Ò Ð¹ ×ÔÓÒ Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú ÕÙ Ñ Ò ×Ù
ÔÖÓÔ Ô Ð º
Ò Ð ÔÖ Ø ¸ Ð Ù×Ó Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × ÙÒ Ù ×Ø ÓÒ ÓÑÓ º Ë ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ×
Ò Ö ÒØ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ÓÒ Ö ÙÖ× ÚÓ׸ ÒØÓÒ × × ÔÖ Ö Ð ØÖ Ö Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ö ÙÖ¹
× ÚÓ׸ ÔÙ × Ý Ñ × × ÙÖ ÒØ Ò Ñ ÒØÓº Ë ÔÓÖ Ö ÞÓÒ × × ÑÔ ÒÓ Ó ×Ô Ó ×
Ò × Ö Ó Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ÒØÓÒ × × ÔÖ Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÓÒ ÔØÓ× Ø Ö Ø ÚÓ׸
Ò ÐÙ Ö Ð Ñ Ò Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓº ÍÒ ÑÔÐÓ ÒÓØ Ð × Ð
Ñ ×Ñ ÙÒ ÓÒ ØÓÖ Ð ÙÝ ¬Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ú ×
n
n! = i .
i=1
×Ø ¬Ò ÓÒ ÒÓ× ÓÒ Ù ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú × Ò Ò Ò ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓº
Ð ÙÒ × Ú × × ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ Ò Ð Ø º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÑÓ ¹
ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ò Ü º º¾¸ Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ ÔÙ ¬Ò Ö× ÓÑÓ
√ n √ n
1 1+ 5 1− 5
(n) = √ − .
5 2 2
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò ×Ø ÜÔÖ × ÓÒ ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ Ò Ö ÙÖ× ÓÒº
Ò ¬Ò Ø Ú ¸ ÐÓ Ñ × × ÑÔÐ × Ñ ÒÙ Ó ÐÓ ÓÒ Óº Ë Ô Ò× Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ × Ñ ×
× ÑÔÐ ¸ ÒØÓÒ × ØÖ Ò× ÔÓÖ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ׺ Ë Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú × ÑÙÝ Ò ¬ ÒØ ¸
Ð ØÓÖ Ð Ó ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÒ ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸ ÒØÓÒ × Ù×ÕÙ ×ÓÐÙ ÓÒ × ÕÙ
×Ñ ÒÙÝ Ò ÐÓ× Ð ÙÐÓ× Ö Ô Ø Ó× Ó ÙØ Ð ÓÒ ÔØÓ× Ø Ö Ø ÚÓ× ÕÙ Ð ÓÒ ÙÞ Ò
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ø Ö Ø ÚÓ׺
2.6 Colas
ÍÒ ÓÐ × ÙÒ × Ù Ò ÓÒ Ó× ÜØÖ ÑÓ× ×Óº Ä Ò× Ö ÓÒ × ØÙ ÔÓÖ ÙÒ
ÜØÖ ÑÓ¸ Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ ÔÓÖ Ð ÓØÖÓº Ð ÜØÖ ÑÓ Ò× Ö ÓÒ × ÒÓÑ Ò ÓÑÙÒÑ ÒØ
ÓÐ Ó ØÖ × ÖÓ Ó¸ Ò ×Ù× ÓÖÑ ×¸ × ÓÒ × Ö Ö Ó Ø Ð º Ð ÜØÖ ÑÓ ×ÙÔÖ × ÓÒ ×
ÐÐ Ñ Þ ¸ Ö ÒØ Ó¸ Ò ×Ù× ÓÖÑ × × ÓÒ ×¸ ÖÓÒØ Ó º
ÓÐ Þ
ØÖ × ÖÓ Ö ÒØ
Ö Ö ÖÓÒØ
ÔÙØ Ø
Tn Tn−1 Tn−2 T2 T1
ÙÖ ¾º¾¿ Î × ÓÒ ×ØÖ Ø ÙÒ ÓÐ
Ä ¬ ÙÖ ¾º¾¿ ÐÙ×ØÖ ÙÒ Ú × ÓÒ ×ØÖ Ø ÙÒ ÓÐ º ÄÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÒØÖ Ò ÔÓÖ Ð
ÜØÖ ÑÓ ÞÕÙ Ö Ó Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ put()º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × Ð Ò ÔÓÖ
Ð ÜØÖ ÑÓ Ö Ó Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ get()º Ñ Ó× ÜØÖ ÑÓ× ×ÓÒ Ó × ÖÚ Ð ×º

158. 132 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð ØÖ × ÖÓ ÙÒ ÓÐ ÒÓØ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ Ò× ÖØ Ó Ý Ð Ö ÒØ
Ð Ñ ÒÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Ò× ÖØ Óº ×Ø ÒÓ ÓÒ Ö ÒØ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð ÙÒÓ×
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý × ÒÓÑ Ò È ÈË ´ÈÖ Ñ ÖÓ Ò ÒØÖ Ö¸ ÈÖ Ñ ÖÓ Ò Ë Ð Öµ Ó¸ Ò Ò Ð ×¸ Á Ç
´ Ö×Ø ÁÒ¸ Ö×Ø ÇÙصº ÈÓ ÑÓ× Ö ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÐ ×Ø Ò ÓÖ Ò Ó× ×
Ð Ñ × ÓÚ Ò ×Ø Ð Ñ × ÒØ ÙÓº ×Ø Ô ØÖÓÒ Ö Ø Ö Þ ÐÓ× ÓÒØ ÜØÓ× Ð ÓÖ ØÑ Ó× Ò
ÐÓ× Ù Ð × ÙÒ ÓÐ ÔÙ Ù× Ö× º
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Ð × Ô Ð ×¸ Ð × ÓÐ × ×ÓÒ ÑÙÝ ÓÑÙÒ × Ò Ð Ú Ö Ðº Ò ÓÒØÖ ÑÓ×
ÑÔÐÓ× Ø Ô Ó× Ò Ð × ÓÐ × ×Ô Ö ÑÙ Ó× × ÖÚ Ó× ÒÙ ×ØÖ ×Ó º ÙÒÓ
Ú ÑÓ× Ð Ò ÑÓ× Ö ÙÒ ÓÐ Ô Ö ÓÑÔÖ Ö Ð ÒØÖ Ù ÐÑ ÒØ ¸ ÑÓ× Ö
ÓØÖ ÓÐ Ô Ö Ò Ö × Ö Ð × Ð º Ù Ò Ó Ú ÑÓ× Ð Ò Ó ÑÓ× Ö ÓÐ º Ù Ò Ó
ÓÒ Ù ÑÓ× ÙÒ ÖÖÓ Ý ÖÖ ÑÓ× ÙÒ × Ñ ÓÖÓ × ÓÖÑ ÙÒ ÓÐ º
2.6.1 Variantes de las colas
ÍÒ Ú Ö ÒØ Ñ × Ò Ö Ð Ð ÓÖ Ò Á Ç ÓÒ× ×Ø Ò Ú Ö Ð ÓÖ Ò × Ð Ñ × Ö ÒØ ¹
Ñ ÒØ Ó ×Ø Ð Ñ ÒÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Óº Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ Ý ÜØÖ ÓÒ
× Ð Ñ ×ÑÓ¸ Ô ÖÓ Ý ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ð ×Ó Ó ÓÒ×ÙÐØ º Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ
Ð ÓÐ ÔÙ × Ö Ó¸ Ô ÖÓ ×Ø ×Ó Ù× ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØÓ × ×ÔÐ
Ð ØÖ × ÖÓº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ö ÒØ × Ð Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ñ × Ø ÑÔÓ × Ò Ö Ö Ò Ö× ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ØÖ × ÖÓ × Ð ÕÙ Ø Ò Ñ ÒÓ× Ø ÑÔÓº ×Ø ÔÓÐ Ø Ó Ö ÑÔÓÖØ Ò Ò
ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ò ÓÒ ÙÒØÓ× ØÓ× Ö ÒÐ ¬Ò Ø º Ù Ò Ó × Ò Ö ×
ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ ÒÓ¸ Ý ÕÙ × Ð ÓÒ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ×ÙÔÖ Ñ Öº Ë Ð
×Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ü ÐÓ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð¸ ÐÓ Ù Ð ×Ù Ò ÑÙ Ó× ÓÒØ ÜØÓ× ÔÐ ¹
Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ × Ð Ñ ÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ×ÙÔÖ Ñ Ö × Ð Ñ ÒÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Óº Ò ÙÒ
ÓÐ ÕÙ Ñ Ò Ð ÓÖ Ò ×Ó¸ ×Ø Ð Ñ ÒØÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÒØ º
ÇØÖ Ú Ö ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ × Ô ÖÑ Ø Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÜØÖ ÑÓ׺
×Ø Ú Ö ÒØ × ÒÓÑ Ò ÓÐ Ó ÔÓÐÓ ½ º Ò ÖØ Ñ ¸ ÙÒ ÓÐ × ÙÒ
ÓÖÑ Ò Ö Ð Ô Ð Ý ÓÐ º Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ó× ×ØÖÙ ØÙÖ × ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö×
Ñ ÒØ ÙÒ ÓÐ º Ä Ñ Ð Ò ØÓÖÒÓ Ð Ì Dlink ´Ü ¾º º µ × ÙÒ ÔÓÐÓº
2.6.2 Aplicaciones de las colas
Ò Ò Ö Ð¸ ÐÓ× × ×Ø Ñ × ÔÖÓ Ö Ñ Ó× ÙØ Ð Þ Ò ÓÐ × Ô Ö Ø Ò Ö ×ÓÐ ØÙ × Ó Ð Ù×Ø
× ÔÐ Ò Á Ǻ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ × ÖÚ ÓÖ Ï ÔÙ Ò ÓÐ Ö ×ÓÐ ØÙ × Ù×ÕÙ
Ô Ò × ÙÒ Ð ÓÖ Ò ÐÐ º ÅÙ Ó× × ×Ø Ñ × ÓÒØÖÓÐ ØÖ Ò× ÓÒ × Ò ÓÐ Ò Ð ×
×ÓÐ ØÙ × × ÖÚ Ó× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ØÖ Ò× ÓÒ × ¬Ò Ò Ö ×º
Ð ÖÓÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ×Ó ØÛ Ö Ö × ØÖ Ò×Ñ Ø Ö Ô ÕÙ Ø × Ò ÓÖÑ ÓÒ ÒØÖ
ÐÓ× Ú Ö×Ó× ÒÓ Ó× ÙÒ Ö º Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ö Ó ×Ø ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ × ÒÓÑ Ò
ÒÖÙØ ÓÖ Ó Ò Ñ Ò ÓÖ º Ò Ö ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒ ÒÖÙØ ÓÖ ÔÖÓ × ×Ù× Ô ÕÙ Ø × × ÙÒ
ÙÒ × ÔÐ Ò Á Ǻ
ÄÓ× × ×Ø Ñ × ÓÔ Ö Ø ÚÓ× Ø Ñ Ò ÙØ Ð Þ Ò ÓÐ × Ô Ö ÓÑÔ ÖØ Ö Ö ÙÖ×Ó× ÒØÖ Ú Ö×Ó×
Ù×Ù Ö Ó׺ ÌÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ ÔÖÓ ×Ó× ÕÙ ÖÖ Ò ÙÒ × ×Ø Ñ × Ò× ÖØ Ò Ò ÙÒ ÓÐ º Ð
ÔÖÓ ×Ó Ò Ð Ö ÒØ × ÜØÖ Ý × ÙØ ÙÖ ÒØ ÙÒ Ø ÑÔÓ ÐÐ Ñ Ó Ù ÒØÙѺ Ù Ò Ó
Ð Ù ÒØÙÑ ÜÔ Ö ¸ Ð ÔÖÓ ×Ó × Ò× ÖØ ÒÙ ÚÓ Ò Ð ÓÐ Ý Ð × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ ÜØÖ
Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ ×Ó Ð ÓÐ º
½
Ò Ò Ð ×¸ ÕÙ º

159. 2.6. Colas 133
Ü ×Ø ØÓ ÙÒ Ö Ñ Ð Ñ Ø Ñ Ø ¸ ÓÒÓ ÓÑÓ Ø ÓÖ ÓР׸ Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ
ÒØ × ×ØÖ Ø × ÕÙ × Ò ÓÐ Ò Ô Ö ×ÓÐ Ø Ö Ð ÙÒ × ÖÚ Óº ÙÒÕÙ Ð Ñ Ø Ñ Ø
ÖÖÓ Ö ×ÙÐØ Ó× Ò Ð Ø Ó× ÑÙÝ ÙØ Ð ×¸ Ð ÙÒÓ× ÑÓ ÐÓ× ×ÓÒ Ø Ò ÓÑÔÐ Ó× ÕÙ × Ò × Ö Ó
× ÑÙÐ ÖÐÓ× º Ì Ð × × ×Ø Ñ × × ÑÙÐ ÓÒ Ù× Ò ÒØ Ò× Ú Ñ ÒØ ÓР׺
2.6.3 Representaciones en memoria de las colas
Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ô Ð ¸ ÙÒ ÓÐ × ÙÒ × Ù Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÙÒ Ø ÔÓº ÓÑÓ Ø Ð¸ Ý
Ó× ÓÖÑ × × × Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÓÐ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ó ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø º
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÓÐ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ × × Ñ Ð Ö Ð Ô Ð º Ä Ö Ò ×ØÖ
Ò ÕÙ ÑÓ× Ñ Ò Ö ÐÓ× Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ö Ó¸ ÑÓ× Ñ ÒØ Ò Ö Ó× ÓÒØ ÓÖ × ÙÒÓ
Ô Ö Ð ÓÐ ¸ ÓØÖÓ Ô Ö Ð Þ º Ä ¬ ÙÖ ¾º¾ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ
ÖÖ ÐÓº
¼ ½ ¾ ¿ ½¼
T0 T1 T2 T3 T4
Þ ÓÐ
ÙÖ ¾º¾ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ
È Ö Ò× ÖØ Ö¸ ÓÔ ÑÓ× Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò Ö Ñ ÒØ ÑÓ× Ð ÓÐ º È Ö Ð Ñ Ò Ö¸ ÓÔ ÑÓ×
Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ ÑÓ× Ð Þ º Ä ÓÐ ×Ø ÐÐ Ò Ù Ò Ó Ð ÒØ
Ð Ñ ÒØÓ× × Ù Ð Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð Ú ØÓÖº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØÓ× ÔÙ Ö ×Ô Ó× ×ÔÓÒ Ð × Ð ÞÕÙ Ö
Ð Ò Þ º × Ô٠׸ Ð Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ Ò ÓÒ× Ö Ö ×Ø Ö ÙÐ Ö º
×ØÓ ÔÙ Ñ Ò Ö× Ñ ÒØ ÙÒ if ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ × Ð Ò ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÓÖ
Ð ÖÖ ÐÓ¸ Ó Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ ÑÓ ÙÐÓº
È Ö Ð × ÓÐ × × ÔÖ Ö Ð ÕÙ Ð Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö¸ ÔÙ × ÔÓ ÑÓ× Ö Ð Ö ÒØ
Ý Ð ØÖ × ÖÓ Ñ ÒØ ÙÒ ×ÓÐÓ ÔÙÒØ ÓÖº Ë × ØÖ Ø ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸
ÓÖ Ò ÑÓ× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × Ð Ö ÒØ ×Ø Ð ØÖ × ÖÓ Ý Ñ ÒØ Ò ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð
ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ´¬ ÙÖ ¾º¾ µº ×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ò× ÖØ Ö Ý Ð Ñ Ò Ö × Ð ÔÙÒØ ÖÓ
Ð ÓÐ º
rear
1 2 3 4 5
ÙÖ ¾º¾ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ
Ä × Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × ÔÙ Ò × Ö ÙÒ Ù Ò × Ó Ò Ô Ö Ð × ÓÐ × ÓÖ ¹
Ò × × ÙÒ Ð Ø ÑÔÓ ×Ó Ý Ô Ö Ð × ÓÐ × ´Ü ¾º º½µº Ä Ú ÒØ × ÕÙ Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ
ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ × Ö Ø ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ð ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ö ÕÙ
Ñ ÒØ Ò Ö Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÔÖ ×ÓÖº

160. 134 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ð Ø ÔÓ DynDlist<T> ×ØÙ Ó Ò Ü ¾º º½¼ ´Ô Ò ¿µ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ñ Ò Ö
Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ ÓÐ º Ë Ú ÑÓ× Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ÓÑÓ Ð ØÖ × ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð
ÓÔ Ö ÓÒ get() × ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ return remove first() Ý put(item) Ñ ÒØ
append(item)º Ð ØÖ × ÖÓ Ý Ð Ö ÒØ × Ó × ÖÚ Ò ØÖ Ú × get last() Ý get first()¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
2.6.4 El TAD ArrayQueue<T> (cola vectorizada)
Ò ×Ø × ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÐ × Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ× ×Ø Ø Ó׺
ÁÑÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× Ó× Ì ÑÙÝ × Ñ Ð Ö × ArrayQueue<T> Ý FixedQueue<T>º Ñ Ó×
Ø ÔÓ× ×ÓÒ × ÒØ Ó× × ÐÚÓ ÕÙ FixedQueue<T> ÒÓ ØÙ Ú Ö ¬ ÓÒ × × ÓÖ º
ÄÓ× Ø ÔÓ× × ¬Ò Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÖÖ ÝÉÙ Ù ºÀ ½¿ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½¿ ØÔÐ ÖÖ ÝÉÙ Ù ºÀ ½¿ ≡
template <typename T>
class ArrayQueue
{
ØÖ ÙØÓ× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿
Ó × ÖÚ ÓÖ × ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
};
template <typename T>
class FixedQueue
{
};
¬Ò ×
ArrayQueue¸ Ù× Ò ÙÒ × ½¿ Ò ¾¼ º
Ñ × Ð × × ÑÓ Ð Þ Ò ÓÐ × Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ö Ó× Ø ÔÓ T ÑÔÐ ÒØ × Ñ ÒØ
ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×Ø Ø Óº ArrayQueue<T> Ú Ö ¬ × ÓÖ × Ù Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø Ú Ó Ó ÐÐ ÒÓº
ÍÒ × ÓÖ ÔÖÓÚÓ ÙÒ Ü Ô ÓÒº FixedQueue<T> ÒÓ ØÙ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ¬ ÓÒ Ò
Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ü Ô ÓÒº Ä Ù× Ò ×Ø × Ú Ö ¬ ÓÒ × ÓÒÐÐ Ú ÙÒ Ð Ö Ò Ò
Ò × ÑÔ ÒÓº
Ä Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ ÒØ ÖÒÓ ×Ø Ö ×ØÖ Ò ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø 2º
½¿ ØÖ ÙØÓ× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ ½¿
const size_t two_pow;
const size_t dim;
T * array;
Ð ÔÙÒØ ÖÓ array ÓÒØ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÐ º dim Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ
ÒØ ÖÒÓ¸ Ð Ù Ð × ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø 2 Ø Ð ÕÙ dim == 2two pow º
Ð Ö ÒØ Ð ÓÐ ×Ø Ó ÔÓÖ
½¿ ØÖ ÙØÓ× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
size_t front_index; /* index of oldest inserted item */
× ÐÒ
front index Ð Ð Ñ ÒØÓ Ñ × ÒØ ÙÓ Ò Ð ÓÐ × Ö¸ array[front index]
ÓÒØ Ò Ð Ö ÒØ Ð ÓÐ
½¿ Ö ÒØ Ð ÓÐ ½¿ ≡ ´½¿ µ
array[front_index]

161. 2.6. Colas 135
Ð ØÖ × ÖÓ Ð ÓÐ ×Ø Ò Ó ÔÓÖ
½¿ ØÖ ÙØÓ× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
size_t rear_index;
rear index Ò Ð ÔÓ× ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ×ÔÓÒ Ð Ô Ö Ò× ÖØ Ö × Ö¸
array[rear index - 1] ÓÒØ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ Ñ × Ö ÒØ Ò Ð ÓÐ º
¼ ½ ¾ ¿
T0 T1 T2 T3 T4
front index rear index
ÙÖ ¾º¾ ÇÖ Ò Þ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ò ArrayQueue<T>
ÄÓ× Ú ÐÓÖ × front index Ý rear index × Ò Ò Ò ÖÓº Ä ¬ ÙÖ ¾º¾ ÐÙ×ØÖ Ð
×Ø Ó Ð ÖÖ ÐÓ Ý ÐÓ× Ò × ×ÔÙ × Ò× ÖØ Ö ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× Ò Ó Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙÒ
ÖÖ ÐÓ 8 Ð Ñ ÒØÓ׺
Ì ÒØÓ Ô Ö Ò× ÖØ Ö¸ ÓÑÓ Ô Ö Ð Ñ Ò Ö¸ ×Ø ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ º Ë ÕÙ Ö ÑÓ× Ò× ÖØ Ö¸ Ò Ö Ñ ÒØ ÑÓ× rear index × ÕÙ Ö ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö¸ Ò Ö Ñ Ò¹
Ø ÑÓ× front indexº
Ù Ò Ó Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ò × Ð ÒÞ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ¸ ÐÓ Ò ÑÓ× ÒÙ ÚÓ
Ò ÖÓ ×ØÓ × ÑÙÐ Ð Ö ÙÐ Ö º È Ö ×ØÓ¸ ×Ø ÓÐÓ Ö ÙÒ if ×ÔÙ × Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ
ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ × × Ð ÒÞ Ð Ñ Ò× ÓÒ × Ø Ð × Ð ×Ó¸ ÒØÓÒ × Ö Ò ÑÓ× Ð Ò Ò
ÖÓº ÈÓ ÑÓ× Ú Ø Ö Ð if × Ú Þ ÕÙ Ò Ö Ñ ÒØ ÑÓ× ÙÒ Ò Ð ÙÐ ÑÓ× Ð ÑÓ ÙÐÓ
Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ò × ÑÔÖ ×Ø Ö ÓÑÔÖ Ò Ó
ÒØÖ 0 Ý dim − 1º ×Ø Ñ ØÓ Ó Ð Ò Ð Þ Ð Ó Ó¸ Ô ÖÓ × Ñ × Ð ÒØÓ ÕÙ ÓÒ Ð ifº ×
Ô Ö ×ÓÐÚ ÒØ Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÕÙ ÓÖÞ ÑÓ× Ð Ñ Ò× ÓÒ ÕÙ × ÔÓØ Ò Ü Ø 2¸
Ô٠׸ Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÑÓ ÙÐÓ ÔÙ Ð ÙÐ Ö× ÑÙÝ Ö Ô Ñ ÒØ ØÖ Ú × ÙÒ and ÐÓ Óº
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× × Ö ÙÒ Ñ × Ö Ø× Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð ÑÓ ÙÐÓ
½¿ ØÖ ÙØÓ× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
const size_t mask;
× Ø ÒØ ÓÖ Ð ÙÐ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ ×ÓÐÙØÓ rear index
− front indexº Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ñ Ù ¸ ÔÙ × Ð Ö ×Ø × ÖÓ Ù Ò Ó
Ð ÓÐ ×Ø ÐÐ Ò º ÆÓ Ý ÓØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ ÓÒØ Ð Þ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð
ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙÒ ØÖ ÙØÓ
½¿ ØÖ ÙØÓ× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿
size_t num_items;
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× Ð ÓÐ × Ò Ò ÓÑÓ × Ù
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ ≡ ´½¿ µ ½¿
ArrayQueue(const size_t & tp = 8)
: two_pow(tp), dim(1<<two_pow), array(NULL), front_index(0),
rear_index(0), mask(dim - 1), num_items(0)
{
array = new T [dim];
}
Í× × ArrayQueue ½¿ º

162. 136 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ä ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ò Ý ÐÙ Ó Ð ÙÐ Ö Ð ÑÓ ÙÐÓ × Ö ØÙ ÔÓÖ ÐÓ×
ÑÓ ¬ ÓÖ × Ð ÓÐ º × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ¸ Ô٠׸ × ÙÖ ÖÒÓ× ÖÐ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ º
È Ö ÐÐÓ¸ Ð ÑÓ ÙÐ Ö Þ ÑÓ× Ý Ð ×Ð ÑÓ× Ò ÙÒ ×ÓÐ ÓÔ Ö ÓÒ
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ ½¿
void increase_index(size_t & i, const size_t & inc = 1) const
{
i += inc;
i &= mask;
}
increase index() Ò Ö Ñ ÒØ i Ò inc ÙÒ × Ý Ð ÙÐ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ñ ÒØ Ð Ñ × Ö º
Ð Ñ ØÓ Ó Ð ÑÓ ÙÐÓ ÔÙ ÔÐ Ö× Ø Ñ Ò ÓÒ Ö ×Ø × Ò ÐÙ Ö ×ÙÑ ×º Ù Ò Ó
× Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÒØ ÖÓ × Ò × ÒÓ ÓÒ Ú ÐÓÖ ÖÓ¸ Ð × ÓÖ Ò Ø ÚÓ Ù× ÕÙ Ð ÒØ ÖÓ
ÕÙ Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ñ Ò× ÓÒ × ÔÓØ Ò Ó׸ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ö ÓÑÓ
Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ñ Ò× ÓÒ Ñ ÒÓ× ÙÒÓº ÑÓ× × ÙÖ ÖÒÓ׸ ÑÔ ÖÓ¸ ÕÙ Ð × Ö ×Ø × ×
ÔÐ ÕÙ Ò ×Ó Ö ÒØ ÖÓ× × Ò × ÒÓ Ý¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÕÙ Ð Ö ØÑ Ø × Ò Ö º
Ë × × ÓÒ×ÙÐØ Ö Ð ØÖ × ÖÓ¸ × Ò × Ö Ó Ö array[rear index - 1]º ÈÙ ×ØÓ
ÕÙ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ ÔÙ ÖÖÓ Ö ÙÒ × ÓÖ Ò Ø ÚÓ¸ Ð ×Ð ÑÓ× Ò ÙÒ ×ÓÐ ÙÒ ÓÒ
ÕÙ ÒÓ× Ö ÒØ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÓÖÖ Ø
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿
T & rear_item(const size_t & i = 0)
{
return array[static_cast<size_t> ((rear_index - i - 1) & mask)];
}
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
T & put(const T & item) throw(std::exception,std::overflow_error)
{
if (num_items >= dim)
throw std::overflow_error ("Array queue is full");
ÔÙØ Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
}
put() Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ std::overflow error × × ÒØ ÒØ Ò× ÖØ Ö Ò ÙÒ ÓÐ ÐÐ Ò º
Ä Ò× Ö ÓÒ ÓÑÓ Ø Ð × ÓÑÓ × Ù
½¿ ÔÙØ Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ
array[rear_index] = item;
T & ret_val = array[rear_index];
increase_index(rear_index);
num_items++;
return ret_val;
Ò ÐÙ Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ¸ × ÔÓ× Ð Ô ÖØ Ö ×Ô Ó¸ Ó × ÔÐ Ò Á Ǹ
Ô Ö n Ð Ñ ÒØÓ׺ ×ØÓ × Ø Ò Ö Ô Ó ØÖ Ú × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ Ú Ð Ð Ô Ò ÜÔÓÖØ Ö Ð
ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
T & putn(const size_t & n) throw(std::exception, std::overflow_error)
{
if (num_items + n >= dim)
throw std::overflow_error ("Array queue is full");
ÔÙØÒ Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
}

163. 2.6. Colas 137
Ä ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ú Ö ¬ Ð × ÓÖ ¸ Ð × ÙÒ × Ö Ñ Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ö rear index
½¿ ÔÙØÒ Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ
increase_index(rear_index, n);
num_items += n;
return rear_item();
Ä ×ÙÔÖ × ÓÒ × × × Ñ ØÖ put()
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
T get()
{
Ø Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
}
ÓÒ Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò
½¿ Ø Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ
num_items--;
T ret_val = Ö ÒØ Ð ÓÐ ½¿ ;
increase_index(front_index);
return ret_val;
Ä ÓÒØÖ Ô ÖØ putn() × getn() × Ö¸ Ð Ö Ö n Ð Ñ ÒØÓ× ÔÓÖ Ð Ö ÒØ Ð
ÓÐ
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
T & getn(const size_t & n) throw(std::exception, std::underflow_error)
{
ØÒ Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿
}
½¿ ØÒ Ò ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ
num_items -= n;
increase_index(front_index, n);
return array[front_index];
Ä ÓÒ×ÙÐØ ÔÓÖ Ð Ö ÒØ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
T & front(const size_t & i = 0)
{
Ö ØÓÖÒ Ö i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ö ÒØ ½¿
}
½¿ Ö ØÓÖÒ Ö i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ö ÒØ ½¿ ≡ ´½¿ µ
return array[front_index + i];
Ä ÓÒ×ÙÐØ ÔÓÖ Ð ØÖ × ÖÓ Ø Ñ Ò × × Ñ ØÖ
½¿ Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ArrayQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿
T & rear(const size_t & i = 0) throw(std::exception, std::underflow_error)
{
Ö ØÓÖÒ Ö i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð ØÖ × ÖÓ ½¿
}
½¿ Ö ØÓÖÒ Ö i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð ØÖ × ÖÓ ½¿ ≡ ´½¿ µ
return rear_item(i);

164. 138 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ø Ò ÑÓ× ÐÓ× Ð × Ó× Ó × ÖÚ ÓÖ ×
½¿ Ó × ÖÚ ÓÖ × ÓÐ Ú ØÓÖ Þ ½¿ ≡ ´½¿ µ
const size_t & size() const { return num_items; }
bool is_empty() const { return num_items == 0; }
const size_t & capacity() const { return dim; }
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ FixedQueue<T> × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö ArrayQueue<T>º Ä ÙÒ
Ö Ò × Ö ÕÙ FixedQueue<T> ÒÓ Ú Ö ¬ × ÓÖ ×º
2.6.5 El TAD ListQueue<T> (cola con listas enlazadas)
Ð Ì ListQueue<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº ListQueue<T> ×Ø ×Ô ¬ Ó ÑÔÐ ÒØ Ó Ò Ð Ö ÚÓ
ØÔÐ Ð ×ØÉÙ Ù ºÀ ½¿
½¿ ØÔÐ Ð ×ØÉÙ Ù ºÀ ½¿ ≡
template <typename T>
class ListQueue
{
ÆÓ ListQueue<T> ½¿
ØÖ ÙØÓ× ListQueue<T> ½¿
Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListQueue<T> ½¿
};
¬Ò ×
ListQueue¸ Ù× Ò ÙÒ × ½¿ Ò ½ ¼ º
Ä × ÓÔ Ö ÓÒ × ListQueue<T> × ×Ô ¬ Ò Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× × ÑÔÐ × Ø ÔÓ
ListQueue<T>::Node
½¿ ÆÓ ListQueue<T> ½¿ ≡ ´½¿ µ
typedef Snode<T> Node;
typedef ListQueue Set_Type;
typedef Node * Item_Type;
Í× × ListQueue ½¿ Ò Snode ½ º
Ä Ð ×Ø ×Ø ÓÖ Ò Ó× × Ð Þ ×Ø Ð ÓÐ º ×Ø ÑÓ Ó¸¸ Ñ ÒØ Ò Ò Ó ÙÒ
ÔÙÒØ ÖÓ Ô Ö Ð ÓÐ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ º Ä ¬ ÙÖ ¾º¾ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ
×ÔÓ× ÓÒ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÞÓ× × ÑÔÐ × Ø ÔÓ Snode<T>º
Ä ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ Ð ¬ ÙÖ ¾º¾ × Ò Ö Ð ×ÓÐÓ Ù Ò Ó Ð Ð ×Ø ÒÓ ×Ø Ú º ×
Ò Ú Ø Ð ¸ Ô٠׸ Ø Ò Ö ÕÙ Ñ Ò Ö Ó× ×Ó× ÙÒÓ Ò Ö Ð Ý ÙÒÓ Ù Ò Ó Ð ÓÐ ×Ø Ú º
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÓÑ ÒÞ Ö ÒØÖÓ Ù Ö ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ListQueue<T>
½¿ ØÖ ÙØÓ× ListQueue<T> ½¿ ≡ ´½¿ µ ½¿
Node * rear_ptr;
rear ptr × Ö Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÓÐ Ö ÙÐ Ö Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Snode<T>º Ð ÓØÖÓ
ØÖ ÙØÓ × Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÔÓ× Ð ÓÐ
½¿ ØÖ ÙØÓ× ListQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿
size_t num_nodes;
ÄÓ× Ú ÐÓÖ × ÒØ Ö ÓÖ × Ö ÕÙ Ö Ò × Ö Ò Ó× ÔÓÖ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ
½¿ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListQueue<T> ½¿ ≡ ´½¿ µ ½¿
ListQueue() : rear_ptr(NULL), num_nodes(0) { /* empty */ }
Í× × ListQueue ½¿ º

165. 2.6. Colas 139
T:class
ListQueue
-rear_ptr: Node *
-num_nodes: size_t
+ListQueue()
+put(node:Node *): void
+get(): Node*
+front(): Node*
+rear(): Node*
+size(): size_t
+is_empty(): bool
T:class
DynListQueue
-Node: ListQueue<T>::Node
+put(data:const T&): T&
+get(): T
+front(): T&
+rear(): T&
+~DynListQueue(): virtual
ÙÖ ¾º¾ Ö Ñ ÍÅÄ Ð × Ð × × Ú Ò ÙÐ × ListQueue<T>
rear ptr
½ ¾ ¿
ÙÖ ¾º¾ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Snode<T>
Ì Ò ÑÓ× Ó× ÑÓ Ó× × Ö × ÙÒ ÓÐ ×Ø Ú × rear ptr == NULL Ó×
num nodes == 0º
Ä Ò× Ö ÓÒ ÔÓ× Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ
½¿ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½¿
void put(Node * node)
{
if (num_nodes > 0)
rear_ptr->insert_next(node);
num_nodes++;
rear_ptr = node;
}
put() ÒÓ ×Ô Ö Ò Ò ÙÒ Ü Ô ÓÒ ÔÓÖÕÙ ÒÓ Ý Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º × ÑÔÓ× Ð
ÕÙ put() Ö × × Ð ÒÓ Ó Ù ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ô ÖØ Óº
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ × ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × ÓÑÔÐ ÔÓÖÕÙ Ú Ö ¬ Ö × ÓÖ Ò Ø ÚÓ Ý
ÕÙ Ð ÓÐ Ú Ò Ú
½¿ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿ ½ ¼

166. 140 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
Node * get()
Node * ret_val = rear_ptr->remove_next();
num_nodes--;
if (num_nodes == 0)
rear_ptr = NULL;
return ret_val;
}
Ä ÓÒ×ÙÐØ × ¬Ò Ó× ÓÖÑ ×
½¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ListQueue<T> ½¿ +≡ ´½¿ µ ½¿
Node * front() const
{
return rear_ptr->get_next();
}
Node * rear() const
{
return rear_ptr;
}
front() Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ÔÓÖ Ð Ö ÒØ Ý rear() Ð ÒÓ Ó ÔÓÖ Ð ÓÐ º
2.6.6 El TAD DynListQueue<T> (cola din´mica con listas enlazadas)
a
Ð Ì DynListQueue<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ ØÖ Ú × ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº DynListQueue<T> ×Ø ×Ô ¬ Ó ÑÔÐ ÒØ Ó Ò Ð Ö ÚÓ
ØÔÐ ÝÒÄ ×ØÉÙ Ù ºÀ ½ ¼ º
DynListQueue<T> Ö Ô ÖØ Ð ÒØ Ö Þ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ListQueue<T>º Ð
ÙÒ Ó ÖÓÐ DynListQueue<T> × Ñ Ò Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ý Ñ Ò ÔÙÐ Ö ØÓ× ÙÒ Ø ÔÓ
Ò Ö Ó T Ò ÐÙ Ö ÒÓ Ó× ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ø ÔÖÓ ×Ó Ý ÐÓ ÑÓ×
Ö Ð Þ Ó Ô Ö Ð × Ð ×Ø × Ý Ð × Ô Ð ×¸ ÓÐÓ Ö ÑÓ× Ò ×Ø × ÓÒ ØÓ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ö Ø
DynListQueue<T>
½¼ ØÔÐ ÝÒÄ ×ØÉÙ Ù ºÀ ½ ¼ ≡
template <typename T>
class DynListQueue : public ListQueue<T>
{
typedef typename ListQueue<T>::Node Node;
T & put(const T & data) throw(std::exception, std::bad_alloc)
{
Node * ptr = new Node (data);
ListQueue<T>::put(ptr);
return ptr->get_data();
}
T get() throw(std::exception, std::underflow_error)
{
Node * ptr = ListQueue<T>::get();
T ret_val = ptr->get_data();
delete ptr;
return ret_val;
}
T & front() const throw(std::exception, std::underflow_error)
{

167. 2.7. Estructuras de datos combinadas - Multilistas 141
return ListQueue<T>::front()->get_data();
}
T & rear() const throw(std::exception, std::underflow_error)
{
return ListQueue<T>::rear()->get_data();
}
virtual ~DynListQueue()
{
while (not this->is_empty())
get();
}
};
¬Ò ×
DynListQueue¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ ¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¾¸ ¿¸ ¿¾¸ ¿¿ ¸ ¸ Ò º
Í× × ListQueue ½¿ º
2.7 Estructuras de datos combinadas - Multilistas
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ð ×Ø ×ØÙ ÒØ × ÙÒ ÙÖ×Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ ÄÓ× ÒÓÑ Ö ×¸
Ô ÐÐ Ó× Ý ÙÐ ÒØ ÔÙ Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ö× Ñ ÒØ Ò× Ö Ø Ö ×º Ä ×
ÒÓØ × ÔÙ Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ö× Ñ ÒØ ÒØ ÖÓ׺ ÌÓ ×Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÑÓ×
Ò ÙÒ Ö ×ØÖÓ Ý Ù× ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ö ×ØÖÓ× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ð ×Ø º ×Ø Ñ Ò Ö
ÓÖ Ò Þ Ö ÐÓ× ØÓ׸ ÕÙ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ý ÒÓ× × Ò ØÙÖ Ð ¸ × ÙÒ ÑÔÐÓ ÓÑ Ò ÓÒ ×
ÒØÖ Ú Ö× × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺
Ë ÙÒ ÐÓ× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÙÒ × Ù Ò Ð Ñ ÒØÓ× ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö×
ÓÑÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ó ÓÑÓ ÙÒ Ð ×Ø º ÓÑÙÒÑ ÒØ ¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÑÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ
ÖÖ ÐÓ׺ ÈÓ ÑÓ× Ö ÐÓ Ñ ×ÑÓ ÓÒ Ð ×Ø × × Ö¸ ÔÓ ÑÓ× Ø Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø
Ð ×Ø × Ó ÖÖ ÐÓ Ð ×Ø × Ó ÙÒ Ð ×Ø ÖÖ ÐÓ× Ä × Ö ×ÔÙ ×Ø × ×ÓÒ ¬ÖÑ Ø Ú ×º
ÒÐÒ Ù ¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ¬Ð ׸ ÓÒ ¬Ð
׸ Ø Ñ Ò¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓº × Ô٠׸ ÔÓ Ö ÑÓ× Ð Ö Ö ÐÓ × Ù ÒØ
DynSlist<int> mat[5];
ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ð ×Ø × ÓÒ mat[i] Ö¬Ö ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ º
Ì Ñ Ò ÔÓ Ö ÑÓ× Ð Ö Ö
typedef int Arreglo[5];
DynSlist<Arreglo> mat;
ÄÓ ÕÙ ÒÓ× ¬Ò ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ÖÖ ÐÓ× Ñ Ò× ÓÒ 5º
Á Ù ÐÑ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ð Ö Ö
DynSlist< DynSlist<int> > mat;
Ô Ö ¬Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø Ð ×Ø ×º
ÄÓ× ÑÔÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × ÔÙ Ò ÑÓ Ð Þ Ö× Ô ÖØ Ö Ì ÓÒÓ Ó׺ × ÔÓ× Ð ÕÙ
Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ö Ò Ú Ð Ý Ñ Ò Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð × Ð ×Ø ×º ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö
ÙÒ ÔÐ ÓÒ ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ñ ØÖ × ÑÙÝ ÐØ × Ð ¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÐÐÓÒ × ¬Ð × Ý

168. 142 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
ÓÐÙÑÒ ×º Ì Ð × ÔÐ ÓÒ × ×ÓÒ ÓÑÙÒ × Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð Ý ÒØ Ö
Ð Ú Ö Ðº Ä × Ð ×Ø × Ñ ØÖ × ÓØ Ð Ñ ÑÓÖ Ù ÐÕÙ Ö ÓÑÔÙØ ÓÖº
×Ø Ð ÖÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò ÑÓ× ×Ô Ó Ô Ö ÐÑ Ò Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÐÐÓÒ × Ð Ñ ÒØÓ×
Ó Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð × º ÑÔ ÖÓ¸ ÙÒÕÙ Ð × Ñ ØÖ × ×ÓÒ ÒÓÖÑ ×¸ Ð Ñ ÝÓÖ
Ð × Ú × ×Ø × ÔÓ× Ò ÑÙ × ÑÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÒÙÐÓ׺ ÈÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÔÐ Ö Ð Ñ ×ÑÓ
ÔÖ Ò Ô Ó ÕÙ Ò ÐÓ× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ×ÓÐÓ Ù Ö ÑÓ× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ö ÒØ × ÖÓº Ó
×Ø Ð Ò Ñ ÒØÓ¸ Ñ Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ø ÔÓ ×Ô Ð ÒÓ Ó
i j ØÓ
ÈÙÒØ ÖÓ Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÐÙÑÒ
ÈÙÒØ ÖÓ Ð ÔÖÓÜ Ñ ¬Ð
ÕÙ ÒÓ× Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÒØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Þ mat[i, j] ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ×
¯ ÁÒ ¬Ð × Ö Ð Ú ÐÓÖ iº
¯ ÁÒ ÓÐÙÑÒ × Ö Ð Ú ÐÓÖ jºº
¯ Î ÐÓÖ Ð ØÓ Ö ÒØ ÖÓ ÓÒØ Ò Ó Ò mat[i, j]º
¯ ÈÙÒØ ÖÓ Ð × Ù ÒØ mat[i + x, j] ÓÒ Ú ÐÓÖ Ö ÒØ ÖÓº
¯ ÈÙÒØ ÖÓ Ð × Ù ÒØ mat[i, j + y] ÓÒ Ú ÐÓÖ Ö ÒØ ÖÓº
×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð Ñ ØÖ Þ ⎛ ⎞
1 −5 0 0 10
⎜0 0 1 −2 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜0 0 0 1 0⎟ ,
⎜ ⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
0 0 0 1 0
ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÓÑÓ Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º¾ º
ÓÑÓ Ú ÑÓ× Ò Ð ¬ ÙÖ ¾º¾ ¸ Ø Ò ÑÓ× 5 Ð ×Ø × ¬Ð × Ý 5 Ð ×Ø × ÓÐÙÑÒ ×º
Ð ×Ø ÔÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ö ¸ Р٠и Ô Ö Ñ ÓÖ Ö Ð Ö Ô Þ ×Ó¸ ÓÒÚ Ò ÓÐÓ Ö
Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓº × Ô٠׸ Ø Ò Ö ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ 5 Ö × Ô Ö Ð × ¬Ð × Ý ÓØÖÓ 5
Ö × Ô Ö Ð × ÓÐÙÑÒ ×º
Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ö Ò Ð ÔÖÓÜ Ñ ÒØÖ ÒÐ
Ñ ×Ñ ¬Ð ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ö ÒØ 0 Ð ÓÐÙÑÒ × Ú Ö Ù ÔÓÖ Ð Ò Ð ÓÐÙÑÒ º
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ó Ò Ð ÔÖÓÜ Ñ ÒØÖ Ò Ð Ñ ×Ñ ÓÐÙÑÒ
ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ö ÒØ ÖÓ Ð ¬Ð × Ú Ö Ù ÔÓÖ Ð Ò Ð ¬Ð º
Ä Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð ¬ ÙÖ ¾º¾ Ö ÓÑÔ Ò× ÓÒ Ö × × Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒØÖ ×
ÒÙÐ × × ÑÙÝ Ö Ò º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ 104x104 Ó ÙÔ Ö 400 × 106 ÝØ × Ò ÙÒ
ÖÕÙ Ø ØÙÖ 32 Ø׺ Ë ÙÒ 4± ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×ÓÒ Ö ÒØ × ÖÓ¸ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò
4 Ñ ÐÐÓÒ × Ð Ñ ÒØÓ׸ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ ÑÙÐØ Ð ×Ø × Ó ÙÔ Ö (4 + 4 + 4 + 4 + 4) ×
0, 04 × 100×6 = 80 × 106 ÝØ ×º
Ä ×ÙÑ ¸ Ö ×Ø Ý Ú × ÓÒ Ñ ØÖ × ×ÓÒ Ð × ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÓÒ Ñ ØÖ × × ×
Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ¬ ÙÖ ¾º¾ º È Ö ÓØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÙ × Ö Ñ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ø Ò Ö
Ð ÞÓ× Ð ¬Ð Ý Ð ÓÐÙÑÒ ÔÖ ×ÓÖ ×º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ó Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ ØÖ × n × n × Ù Óº ×ØÓ × Ò ¬ ÕÙ ×Ù
Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð n3º ÓÒ Ñ ÐÐÓÒ × ÓÐÙÑÒ × Ý ¬Ð ׸ ÒÓ Ý ÑÙ ×

169. 2.8. Notas bibliogr´ficas
a 143
0 1 2 3 4
0 0 0 1 0 1 −5 0 4 10
1 1 2 1 1 3 −2
2 2 3 1
3
4 4 3 1
ÙÖ ¾º¾ ÍÒ Ñ ØÖ Þ ×Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÑÙÐØ Ð ×Ø ×
×Ô Ö ÒÞ × Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ù Ò × ÑÔ ÒÓ × × Ó ÑÓ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ù Ò Ðº ËÓ Ö
Ñ ØÖ × ×Ô Ö × Ö ÔÖ × ÒØ × ÓÒ ÑÙÐØ Ð ×Ø × Ð Ø ÑÔÓ × ÑÙ Ó Ñ ÒÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×
ÒØÖ × Ð × Ñ ØÖ × ×ÓÒ Ú × Ø × Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò Ð × Ð ×Ø × Ý ÒÓ Ý Ò ×
Ò× ÖØ Ö ÖÓ× Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ö ×ÙÐØ Óº Ò ¬Ò Ø Ú ¸ Ð ÙÖ ÓÒ Ô Ò Ð ÒØ
Ð Ñ ÒØÓ× Ö ÒØ × ÖÓº
2.8 Notas bibliogr´ficas
a
ÄÓ× ÓÖ Ò × Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × × × × Ö ÑÓÒØ Ò Ñ Ó× ÐÓ× ÒÓ× ¿¼ Ð × ÐÓ
ÙÖ ÒØ ÐÓ× × ÖÖÓÐÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × Ô Ö ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× ÓÑÔÙØ ÓÖ ×º ×Ø ÔÓ ×
ØÒ Ö Ò ×Ø Ö ØÓÖ¸ ÕÙ ×Ø ÒÓ × × ÒØ ÙØÓÖ Þ Ó Ô Ö Ó Ö Ö ÙÒ × ÙÖ×Ó
×ØÓÖ Ó ×Ó Ö Ð ÓÖ Ò Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò × Ù Ò × Ò Ð ÙÒ ×
Ð ×Ø Ò × Ù×ÕÙ ØÖ Ø × Ò ×Ø Ô ØÙÐÓº È Ö ÙÒ ÖÑÓ×Ó Ô ÒÓÖ Ñ ×Ø
Ô × ÓÒ ÒØ ×ØÓÖ ¸ × Ö ØÓ ÔÓÖ ÙÒÓ ×Ù× ÔÖÓØ ÓÒ ×Ø ×¸ Ö Ø Ö ÑÓ× Ö ÓÑ Ò Ö Ð × ÓÒ
×ØÓÖ ÓÒØ Ò Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÚÓÐÙÑ Ò ÃÒÙØ ´Ô Ò × ¹ µº
ÈÓÖ ×Ù Ö Ø Ö × Ù Ò Ð ÒÒ ØÓ ¸ Ð ÒÓ ÓÒ ÖÖ ÐÓ Ù Ñ Ò × ÐÓ×
ÔÖ Ñ ÖÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÑÔÙØ ÓÖº Ò Ò ÙÖ ¸ Ð ÖÖ ÐÓ Ø Ò ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ú ¹
ØÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø º ÈÓÖ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ö ÑÙÝ Ú ÒØÙÖ Ó Ù Ö Ð ÙÒ ÙØÓÖ Ü ÐÙ¹
× Ú º ÑÔ ÖÓ¸ × Ò Ð Ö Ð ÓÖØÖ Ò ¾ ÓÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ý Ð
ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ×ÓÔÓÖØ Ö ÖÖ ÐÓ× ØÖ Ú × Ð ÔÖÓÔ Ó Ð Ò Ù º
Ð Ò ÓÕÙ × ÒÓ Ð Ö ÖÕÙ Ð × × Dlink ×Ø ÔÖ Ñ Ò Ñ ÒØ Ò×Ô Ö Ó
Ò ÙØ Ð Ø Ö Ó× × Ò Ó× Ô Ö Ð Ñ ÖÓ¹ÒÙ Ð Ó Chorus ½ ¸ × ×Ø Ñ ×Ó Ö Ð Ù Ð ×Ø Ö ¹
ØÓÖ Ö Ð ÞÓ ×Ù× ×ØÙ Ó× Ó ØÓÖ Ð ×º Ð ÙÒ × Ð ÓØ × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ù× Ò Ò ÓÕÙ ×

170. 144 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
× Ñ Ð Ö ×¸ ÒØÖ Ð × Ù Ð × ×Ø Ö net.datastructures Ö ÔÓÖØ Ò º
Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó ÐÓ ÖÖ ÐÓ׸ Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ù ÖÓÒ × Ù ÖØ × Ò ¹
Ô Ò ÒØ Ý × Ô Ö Ñ ÒØ Ò ÐÓ× ÔÖ Ñ Ò Ó× Ý Ý Ö ÒÓ× ÓÒØ ÜØÓ× ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ×º
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ × Ò Ð Ö Ð ÁÈÄ ´ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÖÓ ×× Ò Ä Ò Ù µ ½¿ ¸ ÓÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö
Ð Ò Ù ÕÙ Ò ÓÖÔÓÖÓ Ð × Ð ×Ø × ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº Ä Ð × Ô ØÓÖ Þ ÓÒ
ÓÒ× ×Ø ÒØ Ö Ø Ò ÙÐÓ× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÐÓÕÙ × Ñ ÑÓÖ Ý ­ × Ô Ö ÐÓ× ÔÙÒ¹
Ø ÖÓ× Ô Ö Ò ÙÒ ÖØ ÙÐÓ Æ Û ÐÐ Ý Ë Û ×Ó Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÓÒ ÁÈÄ ½¾ º
ÄÓ× ÖÖ ÐÓ׸ Ð ×Ø ×¸ Ô Ð × Ý ÓÐ × Ý ×ÓÒ Ô ÖØ ÐÓ× Ð Ò Ù × ÑÙÝ ÐØÓ Ò Ú Ð ÑÓ ¹
ÖÒÓ× ÒØÖ ÐÓ× ÕÙ × Ò Ð Ö Perl ½ Ý Python ½ º ×ØÓ× Ð Ò Ù × × Ö ÙÒ× Ö Ò
Ò ÐÓ× Ð Ò Ù × ÐÐ Ñ Ó× × Ö ÔØ Ò ¸ Ø ÖÑ ÒÓ Ñ ÙÖ Ó ÔÓÖ ÂÓ Ò Ãº ÇÙ×Ø Ö ÓÙØ ½
Ò ÙÒ Ð Ö Ý Ú × ÓÒ Ö Ó ÖØ ÙÐÓ Ñ Ò ÓÒ Ó Ò Ð × ÓÒ Ð Ó Ö ¬ ×Ø Ô ØÙÐÓº
Ä Ù×ÕÙ Ò Ö × ÙÒ ÔÖ Ò Ô Ó Ù×ÕÙ Ñ Ð Ò Ö Ó¸ Р٠и × ÙÒ ÃÒÙØ ¸
× Ö ÑÓÒØ ×Ø Ð Ñ ×Ñ Å ×ÓÔÓØ Ñ ¸ ÔÖ ÙÖ×ÓÖ Ð Ú Ð Þ ÓÒ Ý ÓÝ Ò Ñ × Ö¹
Ð Ñ ÒØ Ò ÕÙ Ð Ò ÒÓÑ Ö Ð ÔÖÓÔ Ú Ð Þ ÓÒº ÓÒ×ÙÐØ × Ð ØÖ Ó ×ØÓÖ Ó
Ó Ö Å ÒÒ Ò Ê Ö Ï Ð Ò Ö ×Ó Ö ÐÓ× ÓÖ Ò × Ð Ù×ÕÙ ÒÖ º
Ô ÖØ ×Ù× Ò ÓØ × ×ØÓÖ × × ÙÒ Ð × Ñ × ×ÓÐ × Ö Ö Ò × ÓÖÑ Ð × Ò
Ð ÑÔÓ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺ Ä × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ò Ð × ×ÓÒ ØÖ Ø ×
Ñ Ò Ö ÑÙÝ ÓÖÑ Ð Ý ÓÒ ÔÐ ÓÒ × Ö Ð ×º Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ù Ö Ø Ò
ÙÒ ÔÓ Ò ÕÙ Ð ÔÓ Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÙÒ Ñ ÕÙ Ò ÙÒ Ö ÑÙÝ Ó Ý Ð Ð Ò Ù
Ò× Ñ Ð ÓÖ Ö Ð ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ö Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÔÐ ÓÒ × ÐØÓ × ÑÔ ÒÓº
ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ð Ø ÜØÓ ÃÒÙØ ÓÒØ Ò ÙÒ ÑÔÐ Ñ ØÖÙ Ó× ÙØ Ð Þ Ö ÓÒ
×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ò Ð ×º
Ð Ð × Ó Ý ÒØ ÙÓ Ø ÜØÓ Ï ÖØ ¾½ ¸ Ù × Ö ØÓ ÙÖ ÒØ ÐÓ× ÒÓ× ¼ Ð × ÐÓ º
Ô × Ö ×Ù ¸ ÓÝ Ò ×Ø Ø ÜØÓ ÓÒØ ÒÙ ×Ø ÒØ Ú ÒØ Ý ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÜÔÓ× ÓÒ
Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ò Ð × ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÒÓÖÑ º Ñ ×¸ Ï ÖØ ÓÒ× Ö ÙÒ Ü Ð ÒØ Ý
ÓÑÔÐ ØÓ Ô ØÙÐÓ Ð Ö ÙÖ× ÓÒº
Ð Ð ÖÓ Ë Û ½ ¸ ×Ø Ö ÔÐ ØÓ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ò Ð × ÔÓÖ
ÑÔÐÓ¸ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ð ×Ø ×º Ò Ú Ð ÔÖ Ø Ó¸ ×Ø ×¸ Ò ÒÙ ×ØÖ ÓÔ Ò ÓÒ¸
Ð Ñ ÓÖ Ö Ö Ò º Ñ Ò ÓÒ Ö¸ ÑÔ ÖÓ¸ ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ù× Ò ×ØÖÙ ØÙÖ ×
Ð Ò Ð × ×Ø Ò ×ØÖ Ù Ó× ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ø ÜØÓ Ò Ô ØÙÐÓ× ÕÙ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ ØÖ Ø Ò
×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ò Ð ×º
Ä Û×Ý Ò Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÙÒÓ× ØÖÙ Ó× ÒØ Ö × ÒØ × ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
Ä Ø Ò Ð × ÒØ ÖÑ Ö ¸ ÙØ Ð Þ ÔÓÖ BitArray Ý DynArray<T> Ô Ö ×Ø Ò¹
Ù Ö ÐÓ× ×Ó× Ð ØÙÖ ÐÓ× × Ö ØÙÖ Ð Ò Ð Þ ÒØ Ò× Ú Ñ ÒØ Ë ÓØØ Å Ý Ö ½¼ º
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÂÓ× × Ò Ð Ø Ñ ÒØ ØÖ Ø Ó ÔÓÖ Ö Ñ¸ ÃÒÙØ Ý È Ø × Ò º
Ä Ö ØÑ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ÜÔÐ Ò Ü ¾º º½½ × ÑÔÐ Ñ ÒØ × ÖÖÓÐÐ ÔÓÖ
Ó¸ ÀÓÔ ÖÓ Ø Ý ÍÐÐÑ Ò ½ º ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö× Ò Ð Ø ÜØÓ Ò ÐÓÔ Ó
ÓÖÑ Ò¸ Ä × Ö×ÓÒ Ý Ê Ú ×Ø º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ú ÐÙ ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ × × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü ¾º º Ù ØÓÑ Ó
ÙÒ Ø ÜØÓ ×Ó Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ×Ø Ñ × È Ø Ö Ð Ò ÖØ ¿ º ×Ø Ð ÖÓ ×Ø Ø Ò
Ñ ×ØÖ Ð Ý ÓÒ × Ñ ÒØ × Ö ØÓ ÕÙ ÐÓ Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÓÒ Ö × Ô Ö ÙÒ ÒØÖÓ Ù ÓÒ
Ð ÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ×Ø Ñ ×¸ ÓÑÔ Ð ÓÖ ×¸ Ò× Ñ Ð ÓÖ × Ý Ö ÓÖ ×º

171. 2.9. Ejercicios 145
2.9 Ejercicios
½º ÈÓÖ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ò Ö ÒÓ ÙØ Ð Þ Ö× Ô Ö Ð Ñ ÒØÓ× ÓÖ Ò Ó× Ò ÙÒ
Ö ÚÓ ÐÑ Ò Ó Ò Ñ ÑÓÖ × ÙÒ Ö
¾º ÁÑÔÐ ÒØ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×ØÙ Ó
Ò Ü ½º¿ Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ× ×ÓÖ Ò Ó׺
¿º ÁÑÔÐ ÒØ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×ØÙ Ó
Ò Ü ½º¿ Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ× ÓÖ Ò Ó׺
º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ × Ð Ñ Ò ×ÑÓ ×Ó Ö ØÓ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ñ ØÖ Þº
º Ò Ò Ö Ð¸ ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ × Ð Ñ Ò ×ÑÓ ×Ó Ö ØÓ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ
ÖÖ ÐÓ n¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº
º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÖÖ ÐÓ× n Ñ Ò× ÓÒ Ð ×º
º × Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÐÓ Ñ × ¬ ÒØ ÔÓ× Ð Ð ÖÙØ Ò DynArray<T>copy()
× ÙÒ Ð × Ò ÓÒ × × Ò Ü ¾º½º º¿ ´Ô Ò ¾µº
º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð Ò× Ö ÓÒ ÓÖ Ò Ò ÙÒ DynArray<T>º
º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÓÖ Ò Ò ÙÒ
DynArray<T>º
½¼º ËÙÔÓÒ ÙÒ ÔÖÓ ×Ó ÓÒ ÙÒ Ñ ÑÓÖ ØÓØ Ð ×ÔÓÒ Ð M ÝØ × Ý ÙÒ Ñ Ü ÑÓ
Ô ÖÑ Ø Ó ÔÓÖ ÙÒ ÐÐ Ñ new S ÝØ ×º ÓÒ× Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó
Ð Ñ ÒØÓ× Ø Ñ ÒÓ T º Ë Ð ÓÒ ÐÓ× Ø Ñ ÒÓ× Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ
ÕÙ Ñ Ü Ñ Ò Ð Ñ Ò× ÓÒ ÙÒ DynArray<T>º
½½º × Ö Ð ×Ó Ö Ö Ð Ñ ØÓ Ó DynArray<T>::cut(l, r)¸ Ð Ù Ð Ð Ö ØÓ Ð
Ñ ÑÓÖ ÒØÖ [0..l - 1] Ý r+1..dim ´dimµ × Ð Ñ Ò× ÓÒ ØÙ Ð Ð ÖÖ ÐÓº
½¾º Ä Ð ÓØ ALEPH ÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÔÖÓØÓØ ÔÓ Ð Ì Ð Ð ÓØ stdc++ ÐÐ ¹
Ñ Ó vector<T>¸ Ð Ù Ð ÜÔÓÖØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Óº Ð Ø ÔÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ × Ò¹
Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÚÓ Vector.Hº
´ µ Ê Ú × Ñ ÒÙ Ó× Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò Vector.Hº ÈÖÙ Ð ¸ Ù×ÕÙ ÖÖÓÖ ×¸
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÔÙÖ Ð Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ Ñ ÓÖ ×Ù ¬ Ò º
´ µ ÓÑÔ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Vector.H ÓÒ ÓØÖ × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × stdc++º
½¿º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ÕÙ ÒÚ ÖØ ÙÒ ÖÖ ÐÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÒÚ ÖØ Ö
ABCDEFG × ÖÖÓ Ö GFEDCBAº
½ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð Ñ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÔÐ Ó× ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Óº
½ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð Ñ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÔÐ Ó× ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ ¹
Ò Óº
½º Ó ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ Ò Ó n − 1 Ð Ñ ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× ÓÑÔÖ Ò Ó× ÒØÖ 1 Ý n¸
× Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ò Ó׸ Ó × ÙÒ ×ÓÐ Ô × ¸ ÕÙ
Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ ÐØ ÒØ º ´·µ

172. 146 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
½ º ÓÒ× Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÖÓØ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÖÓØ Ö 3 Ú × Ð
ÞÕÙ Ö Ð ÖÖ ÐÓ ABCDEFGHI ÖÖÓ ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó DEFGHIABCº × Ò ÙÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ð¸ ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ò Ó× ´×ÓÐÓ ÐÓ× ÙÒ ×ÓÐ Ô × µ¸
ÕÙ ÖÓØ m Ú × ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ñ Ò× ÓÒ nº ´··µ
½ º ËÙÔÓÒ ÙÒ × Ù Ò S =< s1, s2, . . . sn >º Ä ÓÔ Ö ÓÒ void rotar derecha(S, n)
ÖÓØ S n ÔÓ× ÓÒ × Ð Ö º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
rotar derecha(< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 >, 3) =< 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4 >
×ÙÑ Ò Ó × Ù Ò × ÑÔÐ ÒØ × ÓÒ Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × ÕÙ
ÙØ Ð Þ Ò ÒÓ Ó Ö ¸ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ rotar derecha(S, n) Ò
Ø ÑÔÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÖÖ ÐÓ Ý × Ò Ù× Ö ×Ô Ó ÕÙ Ö Þ Ò ÙÒ ÓÒ
Ð ÖÖ ÐÓº Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÒÓ Ù× Ö Ð ×Ø × Ó ÖÖ ÐÓ׺
½º ÙÒ Ò Ö Ø Ö × ÕÙ ÓÒØ Ò Ô Ð Ö ×¸ ×ÙÔÓÒ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ
Ù×Ø ¬ ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö × ÙÒ Ñ Ü ÑÓ nº ÈÓÖ Ù×Ø ¬ Ö¸ × ÒØ Ò
ÕÙ × ÓÐÓÕÙ Ò ØÓ × Ð × Ô Ð Ö × ÔÓ× Ð × Ò Ü Ø Ñ ÒØ n Ö Ø Ö × ÒØ Ö Ð Ò Ó
ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ð Ò Ó׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ò
Esta es una prueba de justificaci´n
o
Ø Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ¿¾ Ö Ø Ö ×º Ë Ù×Ø ¬ ¿¼ Ö Ø Ö ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ×ÙÐØ Ó
×
Esta es una prueba de
× Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù×Ø ¬ÕÙ ÙÒ Ò Ö Ø Ö × ÙÒ Ñ Ü ÑÓ n Ñ ÒÓÖ
ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ò º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ò Ö Ó× × Ð × Ð Ò Ù×Ø ¬¹
ÝÐ Ò ÜØÖ ÔÓÖ Ð Ö º
¾¼º ÓÒ× Ö n Ð Ñ ÒØÓ× ÒØ ÖÓ׸ ÐÑ Ò Ó× Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ ÓÑÔÖ Ò Ó× ÒØÖ 0 Ý
m, m nº
´ µ Í× Ð Ø ÔÓ BitArray Ô Ö × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ
ÐØ ÒØ º
´ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ m × ×Ù¬ ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ô Ö ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÕÙ Ô Ò
Ò Ñ ÑÓÖ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ÐØ ÒØ ×º
´ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ n × ÑÙÝ Ö Ò ¸ Ô ÖÓ ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ ÙÒ Ò Ñ ÑÓÖ º
ËÙÔÓÒ ÓÒ ÓÒ × ÑÙÝ Ö ×ØÖ Ø Ú × Ñ ÑÓÖ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ù× Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ
Ø׸ Ò Ò Ò Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓº ÑÔ ÖÓ¸ × × ÔÓ× Ð
ÙØ Ð Þ Ö Ö ÚÓ× Ò ÑÓ Ó ÔÔ Ò × Ö¸ ×ÓÐÓ × ÔÙ Ò× ÖØ Ö Ð ¬Ò Ð Ð
Ö ÚÓº
º Í× Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ù×ÕÙ Ò Ö Ô Ö × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø Ö¹
Ñ Ò Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÐØ ÒØ º ´···µ
º Í× Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ù×ÕÙ Ò Ö Ô Ö × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×¹
ØÖÙÝ ÙÒ Ö ÚÓ ÓÒ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÐØ ÒØ ×º ´· ¹ÐÙ Ó Ö ×ÓÐÚ Ö ÒØ Ö ÓÖ¹µ

173. 2.9. Ejercicios 147
¾½º ÓÒ× Ö Ð × Ð ÓÒ Ð ØÓÖ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÓÒØ Ò Ó Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ n й
Ñ ÒØÓ× ÒØ ÖÓ׺
´ µ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ × Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓº
´ µ ËÙÔÓÒ ÓÖ ÕÙ ÒÓ × ÓÒÓ n Ý ÕÙ Ð ¬Ò Ð Ð ÖÖ ÐÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ
Ð Ñ ÒØÓ ÒØ Ò Ð ÓÒ Ú ÐÓÖ Ò Ö Ó FINº × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ÕÙ
× Ð ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓº
´ µ ÓÖ ×ÙÑ ÕÙ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ×Ø Ò ÐÑ Ò Ó× Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò¹
Ð Þ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÙ ÙÒ ×ÓÐ Ô × Ý × Ð ÓÒ Ð ØÓÖ ¹
Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð ×Ø º ´··µ
¾¾º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ ÙÒ ÓÒ
template <typename T> int select(T a[], const size_t & n, const int & i);
Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ Ð Ò ¹ × ÑÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ Ò Ó a[] ÕÙ
ÓÒØ Ò n Ð Ñ ÒØÓ׺ × Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÕÙ ÒÓ ÑÓ ¬ÕÙ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ
Ð ÖÖ ÐÓ Ò ÙØ Ð ÖÖ ÐÓ× ÙÜ Ð Ö ×º ´·µ
¾¿º ÜØ Ò Ð Ì DynArray<T> Ô Ö Ñ Ò Ö Ñ ØÖ ×º ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ Ð Ì ×
ÐÐ Ñ Ó DynMatrix<T>
´ µ ÈÙ ÑÔÐ ÒØ Ö× ×Ø Ì Ô ÖØ Ö Ð Ì DynArray<T>
´ µ ÈÙ Ö Ð Þ Ö× ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ñ × ¬ ÒØ
´ µ ÓÑÓ × Ö Ð ÓÖÑ Ý Ù Ð × Ð × ÙÒ ÓÒ × Ð Ð × ÔÖÓÜÝ ×Ó Ö Ð Ì
DynMatrix<T>
¾ º ÜØ Ò Ð Ì DynArray<T> Ô Ö Ñ Ò Ö ÖÖ ÐÓ× ÑÙÐØ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×º
¾ º Ä Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ì ÕÙ Ñ Ò Ò Ð ×Ø × ÒÓ ÙØ Ð Þ Ò Ñ ÑÓÖ º Æ Ò ÙÒÓ ×ØÓ×
Ì Ú Ö ¬ × Ð Ö ÓÒ ÙÒ Ó ØÓ ÕÙ Ò× ÖØ Ó Ð Ñ Ò × Ú Ð º × Ò ÙÒ
Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ × ÙÒ Ö ÓÒ Ó ØÓ × Ú Ð º ´·µ
¾ º Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ Ð ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ò ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÕÙ ¸ Ñ ×
Ú Ö ¬ Ö × Ð ÔÙÒØ ÖÓ × Ú Ð Ó¸ Ú Ö ¬ÕÙ ÕÙ Ð Ö ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ó ØÓ
Ð Ø ÔÓ ×Ô Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÒº ´··µ
¾ º ×Ô ¬ÕÙ Ù Ð × ÝÙ × ÔÓ Ö Ó Ö Ö ÙÒ ÓÑÔ Ð ÓÖ Ô Ö Ð Ø Ö Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
Ò Ö Ñ ÒØ Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Slink Ð Ö ×ØÖÓ ÕÙ ÐÓ Ò ÐÙÝ º ´···µ
¾ º ×Ô ¬ÕÙ Ù Ð × ÝÙ × ÔÓ Ö Ó Ö Ö Ð Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö
Ò Ö Ñ ÒØ Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Slink Ð Ö ×ØÖÓ ÕÙ ÐÓ Ò ÐÙÝ º ´···µ
¾ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò¹
ÐÞ º
¿¼º ×ØÙ Ý × ÙØ Ð × ÒÓ ÐÓ× Ì Slist<T> Ý DynSlist<T>º ÕÙ ÓÖÑ ×
ÔÙ Ò ÜØ Ò Ö× Ó Ñ ÓÖ Ö× Ù Ð × ×ÓÒ ×Ù× ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ø Ò ÓÑÔÐ ØÓ×

174. 148 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
¿½º ÁÑÔÐ ÒØ ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ ÙÒ Ì ÐÐ Ñ Ó Single Link ÕÙ
Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ñ ØÓ Ó× ÕÙ Ð Ð × Dlinkº
¿¾º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ó ÙÖÖ Ò × ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ x Ò ÙÒ
Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
¿¿º Ó ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ ptr ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ¸ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ
Ø ÖÑ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ ÓÖ Ò Ð ptr ÒØÖÓ Ð Ð ×Ø º × Ò ×Ù Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö
ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ý Ó Ð ×º
¿ º × ÙØ Ö Ú Ñ ÒØ ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ×Ù ×ØÖ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó׺
¿ º × ÙØ Ö Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ ÑÔÐ ÒØ Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ú × ÓÒ Ý Ö × ÙÓ ÔÓÐ ¹
ÒÓÑ Ó׺ Ö Ú ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
¿ º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ì ÈÓÐ ÒÓÑ Ó¸ ÜÔÐ Ó Ð Ü ¾º º½½ ´Ô Ò ½¼¼µ¸ Ñ ÒØ Ð ×Ø × × Ñ¹
ÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º Í× Ð Ì Snode<T> Ó Slinkº
¿ º ÓÒ× Ö Ó× Ð ×Ø × ÒØ ÖÓ× Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ Ö ÙÐ Ö ×¸ ÓÒ ÒÓ Ó Ö¸
ÒÓÑ Ò × l1 Ý l2¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÓÒ× Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ
const bool similar(Dnode<int> & l1, Dnode<int> & l2)
Ä Ù Ð Ö ØÓÖÒ true × Ð × Ð ×Ø × ÓÒØ Ò Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÒØ ÖÓ× Ð× ¸
Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Óº
× Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × × ØÙ ÓÒ ×
´ µ Ä × Ó× Ð ×Ø × ×Ø Ò ÓÖ Ò × Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ÖÓº
´ µ Ä × Ð ×Ø × ÒÓ ×Ø Ò ÓÖ Ò ×º
¿ º × Ò ¸ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ò ÓÖÔÓÖ Ð Ì Slink Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ì
Dlink insert list()¸ append list() Ý concat listº ´·µ
¿ º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ ÙÒ ÓÒ
void permutar_pares(Dlink * lista);
Ä ÙÒ ÓÒ ØÓÑ Ô Ö ÒØÖÓ Ð × Ù Ò ÐÓ× ÒØ Ö Ñ º ÈÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ¸ × l =< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 >¸ ÒØÓÒ ×¸ ÐÙ Ó permutar pares(l)¸ l =<
2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 9 >º
× Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒº
¼º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ ÙÒ ÓÒ
void conmuta_pares(Dlink * l1, Dlink * l2);
Ä ÙÒ ÓÒ ÒØ Ö Ñ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÔÓ× ÓÒ Ô Ö l1 ÓÒ ÐÓ× ÔÓ× ÓÒ Ô Ö
l2º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × l1 =< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 > Ý l2 =< a, b, c, d, e >¸ ÒØÓÒ ×¸
ÐÙ Ó conmuta pares(l1, l2) Ð × Ð ×Ø × Ú Ò Ò Ò l1 =< a, 2, c, 4, e, 7 > Ý
l2 =< 1, b, 3, d, 5 >º
× Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒº

175. 2.9. Ejercicios 149
½º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ º
¾º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ÓÑÔÙØ Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ Ý ÕÙ
ÒÓ Ö ÙÒ Ð ÙÐÓ׺ ´·µ
¿º × Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ Ô Ð × ÖÖÓÐÐ Ó Ò ¾º º º¾ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð
i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ ÕÙ ÒÓ Ö ÙÒ Ò Ð ÙÐÓ׺ ´·µ
º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ÓÒÚ ÖØ ÙÒ Ò Ö Ø Ö × ÕÙ ÓÒØ Ò
ÙÒ ÒØ ÖÓ ×Ù Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÒØ Ö º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ × Ö ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ
ÓÒÚ ÖØ ÙÒ ÒØ ÖÓ ÐÑ Ò Ó Ò ÙÒ char* ÙÒ ÒØ ÖÓ Ø ÔÓ intº
º Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ Ö Þ n × n × ÕÙ ×½ ¸ × × ØÙ ÙÒ ÐÐÓ Ò Ð × ÓÓÖ Ò ×
x0, y0º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ù ÒØÖ ¸ × Ü ×Ø ¸ ÙÒ Ö Ù Ö Ñ ÒØÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ð
Ø Ð ÖÓ n2 − 1 ÑÓÚ Ñ ÒØÓ× Ø Ð ÕÙ × ÕÙ × Ú × Ø Ó Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ
Ú Þº ´··µ
º Ó ÙÒ Ø Ð ÖÓ Ö Þ 8 × 8 × Õ٠׸ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÐÓÕÙ Ó Ó
Ö Ò × Ò Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ò Ò ÙÒ Ö Ò ÔÙ Ñ Ò Þ Ö Ù ÐÕÙ Ö
Ð × ÓØÖ ×º ´··µ
º Ê ×Ù ÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ð × Ó Ó Ö Ò × Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×
Ö ÒØ ×º ´·µ
º El problema del morral
Ó ÙÒ Ó Ø ÚÓ O Ý ÙÒ ÓÐ ÓÒ Ô ×Ó× P = {p1, p2, . . . , pn, pi} ∈ N ¸ × Ô
Ø ÖÑ Ò Ö × Ü ×Ø ÙÒ × Ð ÓÒ Ô ×Ó× P ⊂ P Ø Ð ÕÙ ∀p ∈P =)º i
×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÑÓÖÖ Ð ÔÓÖÕÙ Ð ÓÖ Þ Ð × ¹
Ð ÓÒ Ö Ù Ð × Ö × ÐÐ Ú Ö Ò ÙÒ ÑÓÖÖ Ð Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ÒÓ × ÔÓÖØ Ñ × O
ÐÓ Ö ÑÓ׺
È Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÑÓÖÖ Ð
´ µ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓº
´ µ Ð Ñ Ò Ð Ö ÙÖ× ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖº
´ µ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ ÕÙ ÒÓ ÙØ Ð Ô Ð º ´··µ
º ÙÒ ÓÐ ÓÒ Ó ØÓ× S = {s1, s2, . . . , sn, si} ÓÒ Ô ×Ó× P =
{p1, p2, . . . , pn, pi} ∈ R Ý Ú ÐÓÖ × V = {v1, v2, . . . , vn, vi} ∈ R¸ × Ô Ò ÓÒØÖ Ö
ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ S ⊂ S¸ ÕÙ Ñ Ü Ñ Ð Ú ÐÓÖ ØÓØ Ð ∀s∈S vi Ö ×ØÖ Ò Ó ÙÒ ¹
Ô Ô ×Ó× ∀s∈S pi ≤ C × Ö¸ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ó ØÓ× ÕÙ Ô Ò Ò ÙÒ ÑÓÖÖ Ð
Ô Cº
× Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ø Ú Ö ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÑÓÖÖ Ðº ´··µ
¼º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ Ò Ö Ð × n! Ô ÖÑÙØ ÓÒ × n Ð Ñ ÒØÓ×
x1, x2, . . . , xn ÓÒ ÙÒ ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÕÙ ÒÓ Ö Þ × ÙÒ nº ´··µ
½
ÒÐ Ö Ö ×Ø ¸ ÙÒ × ÕÙ × ÙÒÓ ÐÓ× Ù ÖÓ× Ð Ø Ð ÖÓº

176. 150 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
½º Ä ÙÒ ÓÒ ÖÑ Ò A(m, n) ×Ø ¬Ò Ð ÓÖÑ × Ù ÒØ
⎧
⎪n + 1
⎪ m=0
⎨
A(m, n) = A(m − 1, 1) m > 0, n = 0
⎪
⎪
⎩A(m − 1, A(m, n − 1)) m, n > 0
´ µ × Ö ÙÒ ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú ÕÙ Ð ÙÐ Ð ÙÒ ÓÒ ÖÑ Òº ÙÐ ×Ð
ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓ Ð ÙÒ ÓÒ ´·µ
´ µ × Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ø Ö Ø Ú ÕÙ Ð ÙÐ Ð ÙÒ ÓÒ ÖÑ Òº Ù Ð ×Ð
ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓ Ð ÙÒ ÓÒ ´·µ
¾º Ë Ò A Ý B Ó× Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÓÖ Ò ×º ÓÒ× Ö Ð Ñ Þ Ð ÓÖ Ò AÝ
B¸ ÙÝÓ Ö ×ÙÐØ Ó × ÙÒ Ð ×Ø Ù× ÓÒ Ý ÓÖ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× A Ý Bº × Ö
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ñ Þ Ð Ó× Ð ×Ø ×
´ µ Ë ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
´ µ Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
¿º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ð ÓØ ÕÙ ØÙ ØÓ × Ð × Ú Ö ¬ ÓÒ × Ø ÔÓ Ò Ø ÑÔÓ
Ù ÓÒ Ø Ð ÓÑÓ Ù ÔÐ ÒØ Ó Ò Ö Ó ¾ º ´··µ
º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ Ý Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒ Ô Ö Ð Ð × DynArray<T>
¬Ò Ò Ü ¾º½º º ´·µ
º ×Ô ¬ÕÙ ¸ × Ò ÑÔÐ ÒØ ØÓØ ÐÑ ÒØ Ð Ì DynMatrix<T> Ñ Ò ÓÒ Ó Ò Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ¾¿º
º ×Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ Ñ Ò ÖÖ ÐÓ× Ø× Ý ÕÙ ÙØ Ð Ð Ì
DynArray<T>º
º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ Ñ Ò Ñ ØÖ × Ø׺
º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÐÐ Ñ Ó DynArrayStack<T>¸ Ð Ù Ð Ñ Ò Ô Ð × ÑÔÐ ÒØ × ÓÒ
ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó׺ Ð ÖÖ ÐÓ × Ö ÓÒØÖ Ó Ò Ñ Ñ ÒØ º
º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÐÐ Ñ Ó DynArrayQueue<T>¸ Ð Ù Ð Ñ Ò ÓÐ × ÑÔÐ ÒØ × ÓÒ
ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó׺ Ð ÖÖ ÐÓ × Ö ÓÒØÖ Ó Ò Ñ Ñ ÒØ º
¼º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ×Ù ×ØÖ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó׺
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ú × ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó׺ ´··µ
¾º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ö × ÙÓ ÔÖÓ Ù ØÓ Ð Ú × ÓÒ Ó× ÔÓÐ ÒÓÑ Ó׺ ´··µ
¿º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ì Polinomio Ô Ö ÕÙ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ú × Ð × Ð Ù×Ù Ö Ó Ý Ô ÖÑ Ø
ÖÐÓ× ¬ ÞÑ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ö ÓÖº
º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ð ÙÐ Ð Ö Ú ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Óº
º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ð ÙÐ Ð ÒØ Ö Ð ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Óº
º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ì ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ô Ö ÕÙ ÙØ Ð Ó ¬ ÒØ × Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ º

177. 2.9. Ejercicios 151
º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ú ÐÙ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Óº
º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÒ ×ÓÐ Ô × ÕÙ Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ
Ð ×Ø ÒÐ Þ º
º ÙÒ Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÐÓÕÙ ÐÓ×
ÒÓ Ó× ÕÙ ×Ø Ò Ò ÔÓ× ÓÒ × ÑÔ Ö × ×ÔÙ × ÐÓ× ÕÙ ×Ø Ò Ò ÔÓ× ÓÒ × Ô Ö ×º
Ë ÔÖ × ÖÚ Ö Ð ÓÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó׺
¼º ÓÒ× Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ö Ô Ø Ó× ÙÒ Ð ×Ø º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ
ÕÙ ¬ÐØÖ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ö Ô Ø Ó× ÙÒ Ð ×Ø º Ê Ð Ô Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó×
´ µ Ä Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
´ µ Ä Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
Ò Ñ Ó× ×Ó׸ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÓÑÔÓÒ Ö× Ó× Ð ×Ø ×º ÍÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð
¬ÐØÖ Ó Ð ÓØÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×ÙÔÖ Ñ Ó׺
½º ËÙÔÓÒ Ó× Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × A Ý B Ý Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÒ ÓÒ ÒØ Ö¹
× ÓÒº × Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ð ÙÐ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÒØ Ö× ÓÒ ×
´ µ Ä × Ð ×Ø × ×Ø Ò ÓÖ Ò ×º
´ µ Ä × Ð ×Ø × ÒÓ ×Ø Ò ÓÖ Ò ×º
Ò Ð Ð × ÑÔ ÒÓ ÙÒÓ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
¾º ËÙÔÓÒ Ó× Ð ×Ø × ÒÐ Þ × A Ý Bº ÓÒ× Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ù× ÓÒ ÙÝÓ Ö ×ÙÐØ Ó
× Ö ÙÒ ×ÓÐ Ð ×Ø ÙÝÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ð Ð ×Ø A × Ù ÔÓÖ
ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ð ×Ø Bº × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù× ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ ÐÓ×
× Ù ÒØ × ×Ó×
´µ Ä ×Ø × × ÑÔÐ × ÒÓ Ö ÙÐ Ö ×º
´µ Ä ×Ø × × ÑÔÐ × Ö ÙÐ Ö ×º
´µ Ä ×Ø × Ó Ð × ÒÓ Ö ÙÐ Ö ×º
´µ Ä ×Ø × Ó Ð × Ö ÙÐ Ö ×º
¿º ÓÒ× Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ ÖØ Ö ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ð ×Ø Ò ÙÒ ×ÓÐ Ô × ¸
× Ò Ù× Ö ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ ÓÒ Ð Ý × Ò ÓÔ Ö ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׺
× Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö
´µ ÍÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
´µ ÍÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº
´µ ÍÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º ÈÖÓÔÓÒ Ð Ñ ÒÓ× Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
´µ ÍÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº ÈÖÓÔÓÒ Ð Ñ ÒÓ× Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
º ËÙÔÓÒ Ð × ØÙ ÓÒ × Ù ÒØ

178. 152 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
´ µ ÜÔÐ ÕÙ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò × Ð Ð ×Ø Ò Ù ×Ø ÓÒ Ø Ò Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓ
ݸ × Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ¸ Ù Ð × Ð ÒÓ Ó ÓÑ ÒÞÓ Ý Ù Ð × ×Ù ÐÓÒ ØÙ º
× ÙØ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ù Ñ ØÓ Óº
´ µ ×ÙÑ ÕÙ × ÑÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ð ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ Ó × Ö Ö ×Ó Ö
ÐÓ× ÒÓ Ó׺ ËÓÐÓ × ÔÓ× Ð Ð ÙÒ × Ð × Ñ ÑÓÖ º
º Å Ò ÓÒ Ð ÙÒ × Ò Ö Ó Ö Ð ÓÒ ×Ø × Ö ×ØÖ ÓÒ × × ÔÐ Ö Òº
º ÓÒ Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × ×¸ ÜÔÐ ÕÙ ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ó ÙÔ ×Ô Ó ÓÒ×¹
Ø ÒØ Ý ÕÙ Ø ÖÑ Ò × Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ¸ Ò Ù Ð ÒÓ Ó Ý Ù ÒØ ÐÓÒ ØÙ º
º Ù Ð × Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ñ ØÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ
º ÁÑ Ò Ð × Ù ÒØ × ØÙ ÓÒ
x
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ× ×Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × Ð ÒÓ Ó ÒØ Ö× ÓÒ¸ Ù ÒØÓ× ÒÓ Ó×
ÔÖ Ò x Ò Ð ×Ø ¸ Ý Ù ÒØÓ× ÒÓ Ó× ×Ù Ò xº
´ µ ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ × ÔÙ Ñ Ö Ö Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó¸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓ
ÓÒØ Ò ÐÓ× Ò Ó׺
´ µ Ô ÖØ Ö ÓÖ ×ÙÑ ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ñ Ö Ö Ð ÙÒ ÒÓ Óº × Ò ÙÒ Ð¹
ÓÖ ØÑÓ Ò Ó × Ó Ò Ó× ÐÓ× Ò Ó׺ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÙ Ó ÙÔ Ö
×Ô Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó׺
´ µ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò Ó× ÐÓ× Ò Ó× ÕÙ Ó ÙÔ ×Ô Ó ÓÒ×Ø ÒØ º
´ µ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò ÐÓ× × ÑÔР׸ ÒÓ Ò Ó׸ ÕÙ Ó ÙÔ ×Ô Ó
ÓÒ×Ø ÒØ º
º ÓÒ× Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø Ò Ó× Ð ×Ø × Ù Ð Ø Ñ ÒÓº Ä
ÔÖ Ñ Ö Ð ×Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÐÓ× n/2 ÔÖ Ñ ÖÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð × ÙÒ ÐÓ× n/2 Ð ¹
Ñ ÒØÓ× Ö ×Ø ÒØ ×º × Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò ÐÓ× × ÑÔÐ × Ô Ö Ô ÖØ ÓÒ Ö
´ µ ÍÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
´ µ ÍÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº
´ µ ÍÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
´ µ ÍÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº

179. 2.9. Ejercicios 153
º × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ð¸ × Ó Ò ÐÓ× × ÑÔР׸ ÕÙ ØÙ ÙÒ m¹
Ô ÖØ ÓÒº × Ö¸ ×ÔÙ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸ Ð Ð ×Ø × Ô ÖØ Ò m Ð ×Ø × Ø Ñ ÒÓ
n/mº
º × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÑÙ Ú Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð ×Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÓ× ÓÒº
º × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÑÙ Ú Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð ×Ø Ð ÙÐØ Ñ ÔÓ× ÓÒº
¼º Ò × ÐÓ× Ó× Ö Ó× ÔÖ Ú Ó׸ × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÓÖ Ò ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ º
½º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÙÒ Ô Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó׺
× ÙØ ØÓ × Ð × ÓÔ ÓÒ ×¸ Ú ÒØ × Ý ×Ú ÒØ × ×Ù × ÒÓº
¾º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÐ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó׺
× ÙØ ØÓ × Ð × ÓÔ ÓÒ ×¸ Ú ÒØ × Ý ×Ú ÒØ × ×Ù × ÒÓº
¿º ÓÒ× Ö ÙÒ Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö ÓÖÑ Ø Ð ÕÙ Ð Ð ×Ø ÔÙ Ö ÓÖÖ Ö× ¬ ÞÑ ÒØ Ò
Ñ × Ö ÓÒ ×º
´ µ ÓÒ× Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ f(p1, p2) = p3 Ø Ð ÕÙ f(p1, p3) = p2, f(p2, p3) =
p1, ∀pi, pj, pk ∈ N , pi = pj = pkº
Ó ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ ÙÒ ×ÓÐÓ ÑÔÓ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ¸ ÜÔÐ ÕÙ ÙÒ
Ñ ØÓ Ó ÕÙ ÙØ Ð ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ Ð ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ö ÓÖÖ Ö Ð Ð ×Ø Ò ÐÓ× Ó×
× ÒØ Ó× ÙÒ Ù Ò Ó ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒØ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ ÔÙÒØ ÓÖº ´··µ
´ µ Ò Ù ÒØÖ ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ÔÙ Ò Ù× Ö× Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÙÒ ÓÒ f Ð
ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖº ´·µ
´ µ Ò × Ð × Ö ×ÔÙ ×Ø × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð
ÙÒ Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö Ö ÓÖÖ Ð Ò Ñ Ó× × ÒØ Ó× Ý ÕÙ Ù× ÙÒ ×ÓÐÓ ÔÙÒØ ÓÖ ÔÓÖ
ÒÓ Óº ´··µ
º ÁÑÔÐ ÒØ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× pushn()¸ popn() Ý empty() ¬Ò Ó× Ò ArrayStack<T>¸
Ô Ö Ð Ð × ListStack<T>º ÈÓÖ ÕÙ ÒÓ Ò × Ó ÑÔÐ ÒØ Ó× Ö Ø Ñ ÒØ ÒØÖÓ
Ð Ð×
º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ Ô Ð Ñ ÒØ Ó× ÓР׺
º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ó× Ô Ð ×º
º È Ö ÓÒÚ ÖØ Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ò × ½¼ × Ú ×Ù × Ú Ñ ÒØ ÒØÖ Ó× ×Ø ÕÙ Ð
Ó ÒØ Ú Ò Ò ÖÓ Ý Ò Ú × ÓÒ × ÐÑ Ò Ð Ö ×ØÓ¸ Ð Ù Ð × ÙÒ ØÓ
Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò × Ò Ö º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ 3710 ÔÙ Ð ÙÐ Ö× Ò Ò Ö Ó ÓÑÓ
37 ÑÓ 2 = 1
18 ÑÓ 2 = 0
9 ÑÓ 2 = 1
4 ÑÓ 2 = 0
2 ÑÓ 2 = 0
1 ÑÓ 2 = 1

180. 154 Cap´
ıtulo 2. Secuencias
×Ø ÑÓ Ó¸ 3710 = 1001012º
ÁÑÔÐ ÒØ ¸ usando una pila¸ Ð ÖÙØ Ò
void imprime2(const int & n);
Ä Ù Ð ÑÔÖ Ñ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ nº
º Ê Ð ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú ÐÙ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÔÖ ¬ º
º Ê Ð ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ú ÐÙ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ º
¼º ÜÔ Ò Ð Ú ÐÙ ÓÖ ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ × Ô Ö ÕÙ ØÙ ÓÔ Ö ÓÒ × ÜÔÓ¹
Ò Ò ÓÒ¸ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý ÐÓ Ö ØÑÓ׺
½º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ú ÐÙ ÓÖ ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ × Ô Ö ÕÙ ¸ Ò ÐÙ Ö Ú ÐÙ Ö Ð Ü¹
ÔÖ × ÓÒ¸ Ò Ö Ð ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ º ÁÒ ÐÙÝ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÜÔÓÒ Ò ÓÒ¸
ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý ÐÓ Ö ØÑÓ׺
¾º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ú ÐÙ ÓÖ ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ × Ô Ö ÕÙ ¸ Ò ÐÙ Ö Ú ÐÙ Ö Ð Ü¹
ÔÖ × ÓÒ¸ Ò Ö Ð ÜÔÖ × ÓÒ ÔÖ ¬ º ÁÒ ÐÙÝ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÜÔÓÒ Ò ÓÒ¸
ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý ÐÓ Ö ØÑÓ׺
¿º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÓÐ × ÑÔÐ ÒØ × ÓÒ ÖÖ ÐÓ׺
º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÓÐ × ÑÔÐ ÒØ × ÓÒ Ð ×Ø ×º
º × ÙØ Ð × ÐØ ÖÒ Ø Ú × × ÒÓ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð Ñ ØÖ × ×Ô Ö ×
Ö ÔÖ × ÒØ × ÓÒ ÑÙÐØ Ð ×Ø ×º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ × Ö Ð Þ Ö Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÙÑ ¸
Ö ×Ø ¸ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÒÚ Ö× ÓÒº
º Ð ÙÐ ÐÓ× Ó×Ø × Ò ×Ô Ó ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÑÙÐØ Ð ×Ø ×º ÈÖÓ¹
ÔÓÖ ÓÒ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ò Ð Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ð ÔÓÖ¹
ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÒÙÐÓ׺
º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð Ñ ØÖ × ×Ô Ö × Ö ÔÖ × ÒØ × ÓÒ ÑÙй
Ø Ð ×Ø ×º ÁÑÔÐ ÒØ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÙÑ ¸ Ö ×Ø ¸ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÒÚ Ö× ÓÒº ´··µ
Bibliograf´
ıa
½ Ó¸ ÂÓ Ò º ÀÓÔ ÖÓ Ø¸ Ò Â «Ö Ý º ÍÐÐÑ Òº Ì
Ð Ö Îº × Ò Ò Ò ÐÝ× ×
Ó ÓÑÔÙØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º
¾ º Ϻ Ù× Ò Ïº Ⱥ À × Ò º ÇÊÌÊ Æº Á ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ Ð ØÖÓÒ
ÓÑÔÙØ Ö׸ ¹½¿´ µ ¿ ¾ß¿ ¸ ½ º
¿ È Ø Ö Ð Ò Öغ ×× Ñ Ð Ö׸ ÓÑÔ Ð Ö׸ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒº ÓÑÔÙØ Ö
Ë Ò ÈÖ ×׸ ½ º
̺ Àº ÓÖÑ Ò¸ º º Ä × Ö×ÓÒ¸ Ò Êº ĺ Ê Ú ×غ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÅÁÌ
ÈÖ ×׸ Ñ Ö ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º

181. 2.9. Bibliograf´
ıa 155
ź ̺ ÓÓ Ö Ò Êº Ì Ñ ×× º Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Â Ú º ÂÓ Ò
Ï Ð Ý ² ËÓÒ׸ ½ º
ʺ ĺ Ö Ñ¸ º º ÃÒÙØ ¸ Ò Çº È Ø × Ò º ÓÒ Ö Ø Å Ø Ñ Ø × ÓÙÒ¹
Ø ÓÒ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Ð Ý ÈÙ º¸ ½ º
ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ Ø Ö Ø ÓÒ¸ ½ º
À ÖÖÝ Êº Ä Û × Ò Ä ÖÖÝ Ò Ò Ö º Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ì Ö Ð ÓÖ Ø Ñ׺
À ÖÔ Ö ÓÐÐ Ò× ÈÙ Ð × Ö׸ Æ Û ÓÖ ¸ ½ ½º
Ó Ö Å ÒÒ Ò Ê Ö Ï Ð Ò Öº Ì ÓÖ Ò Ó Ø Ò ÖÝ¹× Ö Ô Ö Ñº
Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ Ê ÔÓÖظ ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö× Øݸ ËØ Ò ÓÖ ¸ ¸ ½ º
½¼ Ë ÓØØ Ñ Ý Öº ÅÓÖ « Ø Ú C++ ¿ Ò Û Û Ý× ØÓ ÑÔÖÓÚ ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ× Ò
× Ò׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ ½ º ÁË Æ ¼¹¾¼½¹ ¿¿ ½¹ º
½½ Æ ÓÐ × Æ Ø Ö ÓØ Ò ÂÙÐ Ò Ë Û Ö º Î Ð Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ º
Ð ØÖº ÆÓØ × Ì ÓÖº ÓÑÔÙغ Ë ¸ ´¾µ¸ ¾¼¼¿º
½¾ ÐÐ Ò Æ Û ÐÐ Ò Âº º Ë Ûº ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø ÐÓ Ø ÓÖÝ Ñ Ò º ÁÒ ÈÖÓ Ò ×
Ó Ø ½ Ï ×Ø ÖÒ ÂÓ ÒØ ÓÑÔÙØ Ö ÓÒ Ö Ò ¸ Ô × ¾¿¼ß¾ ¼º ÁÊ ¸ ½ º
½¿ ÐÐ Ò Æ Û Ðи º º Ë Û¸ Ò Àº º Ë ÑÓÒº ÑÔ Ö Ð ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ× Û Ø Ø ÐÓ
Ø ÓÖÝ Ñ Ò º ÁÒ Ï ×Ø ÖÒ ÂÓ ÒØ ÓÑÔÙØ Ö ÓÒ Ö Ò ¸ ÚÓÐÙÑ ½ ¸ Ô × ¾½ ß
¾¿ ¸ ½ º
½ ÂÓ Ò Ãº ÇÙ×Ø Ö ÓÙغ Ë Ö ÔØ Ò À Ö¹Ð Ú Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÖ Ø ¾½×Ø ÒØÙÖݺ Á
ÓÑÔÙØ Ö¸ ¿½´¿µ ¾¿ß¿¼¸ ½ º
½ ÈºÂºÅ Ö Ò Ì Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒº Ì ÆÍ Æ Æ ÓÑ Ô º
½ ź ÊÓÞ Ö¸ κ ÖÓ×× ÑÓÚ¸ º ÖÑ Ò ¸ Áº ÓÙÐ ¸ ź Ò¸ ź Ù ÐÐ ÑÓÒظ º À Ö¹
ÖÑ ÒÒ¸ º Ã × Ö¸ ˺ Ä Ò ÐÓ ×¸ Ⱥ Ä ÓÒ Ö ¸ Ò Ïº Æ Ù Ù× Öº ÀÇÊÍË ×ØÖ ÙØ
ÓÔ Ö Ø Ò ×Ý×Ø Ñ׺ ÍË ÆÁ ÓÑÔÙØ Ò ËÝ×Ø Ñ׸ ½´ µ ¿¼ ß¿ ¼¸ ½ º
½ ÊÓ ÖØ Ë Û º Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò È ÖØ× ½ß ÙÒ Ñ ÒØ Ð׸ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×¸
×ÓÖØ Ò ¸ × Ö Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º
½ º Ú Ò ÊÓ××ÙÑ Ò º ĺ Ö ¸ ÂÖº¸ ØÓÖ׺ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÈÝØ ÓÒº Æ ØÛÓÖ
Ì ÓÖÝ ÄØ ¸ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¿º
½ Ä ÖÖÝ Ï ÐÐ Ò Ê Ò Ð Äº Ë Û ÖØÞº ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò È Öк Ç³Ê ÐÐÝ ² ××Ó Ø ×¸ ÁÒ º¸
½ ¼º
¾¼ Ö Ý Ï Ø×ÓÒº Ñ ÐÐÓ ¹ Ù Ñ ÐÐÓ Ð Ö Öݺ Ú Ð Ð ÓÒ http://dmalloc.com/º
¾½ Æ Ð Ù× Ï ÖØ º Ð ÓÖ Ø Ñ× + Ø ËØÖÙ ØÙÖ × = ÈÖÓ Ö Ñ׺ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ Ë Ö × Ò
ÙØÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÈÖ ÒØ ¹À Ðи ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö¸ Æ ¼ ¸ ÍË ¸ ½ º

183. Cap´
ıtulo 3
Cr´
ıtica de algoritmos
Ò ×Ø Ô ØÙÐÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð ÙÒ × Ø Ò × Ò Ð × × Ý Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ
ÙÝÓ ¬Ò × Ö Ø Ö Ð ÓÖ ØÑÓ׺ Ö Ø Ö ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Ó κριτικ ς ´ Ö Ø Ó×µ¸ ÕÙ × ¹
Ò¬ Ð ÕÙ Ö Ø ¸ Р٠и ×Ù Ú Þ¸ Ö Ú Ð Ú Ö Ó Ö Ó κρ νω ´ Ö ÒÓµ Ý ÓÒÒÓØ
× Ô Ö Ö¸ × ÖÒ Ö¸ ×Ø Ò Ù Ö¸ Ö Ö½ º Ö Ø Ö ÓÒ× ×Ø ¸ Ô٠׸ Ò × Ô Ö Ö ¸ × Ð ÓÒ Ö
Ð Ó× ÒØ Ö × ØÓ× ×ØÙ ÖÐ º È ÖÓ¸ Ô Ö ÕÙ Ð ×ØÙ ÑÓ× Ì ÒØÓ × Ð ×
Ô Ö×Ô Ø Ú × Ð Ó Ö ÒØ ¸ ÓÑÓ × Ð × ÐÓ× Ò ¬ Ö Ó× Ð Ó Ö ¸ Ð Ö Ø ×
ÓÒ ÔÖ Ø Ò× ÓÒ Ñ ÓÖ Ö Ð Òº
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × Ú Ö ÙÒ Ö Ø º ÍÒ × ÓÒ ÒØÖ Ò ÐÓ ÒØ ÖÒÓ ¾ Ý Ø Ò Ð
ÔÖÓ ×Ó ÙÖ Ð Ó Ö º ×Ø Ø ÔÓ Ö Ø × Ñ × ÔÖÓÔ Ó ÒØÖ ÐÓ× Ó Ö ÒØ × ´ÔÖ ¹
Ø ÒØ ×µ ÕÙ ÒØÖ ÐÓ× Ò ¬ Ö Ó× ÕÙ Ö Ò ´Ù× Òµ Ð Ó Ö º
Ð ÓØÖ Ø Ð Ö Ø × Ð ÒÓÑ Ò ÜØ ÖÒ Ý Ø Ò Ð ÔÖ ÓÒ ×Ó Ð
Ð Ó Ö × Ö¸ ÓÑÓ Ð ÒØÓÖÒÓ Ó ×Ó ÔÖ Ó ×ÔÖ Ð Ò Ð ÓÖºÄ
Ö Ø ÜØ ÖÒ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ý ÔÖ Ñ Ö Ö ×Ô ØÓ Ð ÒØ ÖÒ ¸ ÔÙ × ×Ø Ø Ò Ð ×Ø ÒÓ
Ð ÓÖº
Ä Ö Ø ÜØ ÖÒ × ÓÒ ÒØÖ Ò Ð ÕÙ × Ð Ó Ö ¸ ÐÓ ÕÙ ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ×Ó ÐÑ ÒØ
ÓÑÓ Ò Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ö Ø ÒØ ÖÒ × ÓÒ ÒØÖ Ò Ð ÓÑÓ × Ö Ð Þ Ð Ó Ö º
Ä Ò ÑÓ ÖÒ ×Ù Ð Ù× Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ð × × Ô Ö Ö Ö Ö ÙÒ ×Ø ÐÓ Ø Ò Ó
×ØÙ Ó ÒØ ÖÒÓ Ò Ð Ù Ð Ð Ó× ×ØÙ Ó × Ú Ò Ô ÖØ × Ô Ö ×ØÙ ÖÐ × ÔÓÖ
× Ô Ö Óº Ò Ð × × ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Ó ν λυσις ´ Ò Ð × ×µ Ý Ò ÙÐØ Ñ Ò×Ø Ò Ð
Ú Ö Ó ναλ ω¸ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò × Ò ¬ ×ÓÐØ Ö ´ ν µ¸ ×Ø ÒØ Ú Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ Ô ÖØ ×¸ Ý
× Ô Ö Ö ´λ ωµ ÐÓ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ô ÓÒ Ò Ð ºÊº º º ×Ø Ò Ù Ö
Ý × Ô Ö Ö Ð × Ô ÖØ × ÙÒ ØÓ Ó º ÑÓ× Ð Ö Ö Ú Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ø Ö × ÑÙ Ó
Ñ × ÕÙ Ò Ð Þ Ö Ý¸ Ô Ö ÔÖ Ò Ö ÐÐÓ¸ ÕÙ Þ ÐÓ Ñ ÓÖ × Ñ Ö Ö Ð ÒØÓÒ ÑÓ Ò Ð × ×¸
Ù Ð × × ÒØ × × ¸ ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ð Ö Ó σ νθεσις ´× ÒØ × ×µ ÕÙ ¸ ºÊº º º Ü Ø¸ × Ò ¬
ÓÑÔÓ× ÓÒ ÙÒ ØÓ Ó ÔÓÖ Ð Ö ÙÒ ÓÒ ×Ù× Ô ÖØ × º ÓÑÓ ÑÓ× ÔÖ ÖÐÓ¸ Ò
×Ø ÓÒØ ÜØÓ ÓÑÔÓÒ Ö ÔÖÓ Ö Ñ ×¸ Ó × ¸ × ÒØ Ø Þ ÖÐÓ׸ Ø Ò Ñ × × ÒØ Ó Ô Ö ÒÓ×ÓØÖÓ×
ÕÙ × ÓÑÔÓÒ ÖÐÓ׸ × Ö¸ ÕÙ Ò Ð Þ ÖÐÓ׺ ËÙÖ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÔÖ ÙÒØ ¸ ÕÙ
Ö ÑÓ× ÖØ Ù Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓ׸ Ò Ð Þ ÑÓ× Ó × ÒØ Ø Þ ÑÓ× Ó Ñ Ó× ÈÐ ÒØ Ó
ÓØÖÓ ÑÓ Ó Ö ÑÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × Ô ÖØ Ö ÙÒ ØÓ Ó ÕÙ ÐÙ Ó × ÓÑÔÓÒ ÑÓ× Ó Ô ÖØ Ö
Ô ÖØ × ÕÙ ×ÔÙ × ÓÑÔÓÒ ÑÓ׸ Ñ × Ó× × Ó Ò Ò ÙÒ
ÙÒ Ö Ø ×Ù Ð Ð ¬ Ö× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú Ó ×ØÖÙ Ø Ú º ÀÓÝ × Ó ÔÓÖ ÕÙ
½
ÍÒ Ö × ÙÒ ×Ô ÓÐ ÓÖ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ù Ñ ÒØ × Ð ÑÔ Ð ØÖ Ó Ð ÔÓÐÚÓ Ý ÓØÖ ×
ÑÔÙÖ Þ ×º ÉÙ Þ ÔÓÖ ×Ø Ô ÓÒ × Ñ × ÔØ Ð Ö ÕÙ Ö Ø Ö ÒÓ × Ò ¬ Ú Öº
¾
Ë ÙÒ ¾¼ º
½

184. 158 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ð Ö Ø × ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú Ý ÒÓ ×ØÖÙ Ø Ú º ÈÓÖ ÕÙ ×ØÓ× Ø ÚÓ× ÉÙ × ÓÒ×ØÖÙÝ
Ó ×ØÖÙÝ Å × Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÔÓÖ ÕÙ ÙÒ Ö Ø ÔÓ Ö × Ö ×ØÖÙ Ø Ú × ÓÖÖ ØÓ
Ö ÕÙ ÙÒ Ó Ö × ÓÒ×ØÖÙÝ ¸ × ÒØ Ó ÔÓÖ Ð Ù Ð ÙÒ Ö Ø ¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ Ù Ò Ó
×Ø Ö Ú Ð ÖÖÓÖ ×¸ ÙÝ × ×ÙÒ ÓÒ × Ý ÒÑ Ò × Ñ ÓÖ Ò Ð Ó Ö ¸ ÔÙ ÓÒ× Ö Ö×
ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú º ÙÒÕÙ ÑÓ× Ó ÕÙ Ø ÑÓÐÓ Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ö ÓÒÐÐ Ú ÖÓÑÔ Ö ¸
ÒÓ ÑÓ× ÔØ Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ø ×ØÖÙÝ Ð Ø Ö ÐÑ ÒØ ÙÒ Ó Ö ØÓ Ó ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸
Ñ ÒØÖ × Ñ × Ù Ý ÔÖ × × ÙÒ Ö Ø ¸ Ñ × ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú ×¸ ÔÙ × ×Ø Ô ÖÑ Ø
Ñ ÓÖ Ö Ð Ó Ö º ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ × ÓÖÖ ØÓ ÙÒ¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ × ÙÒ Ö Ø Ö Ú Ð ÕÙ ÒÓ Ø Ò
× ÒØ Ó ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ó Ö Ô٠׸ Ð ¬Ò Ý Ð Ó¸ ×Ø × ÙÒ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÔÖ Ø Óº ÓÑÓ
׸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ ÙÒ Ö Ø ÔÙ Ð ¬ Ö× ×ØÖÙ Ø Ú
Ç ÙÖÖ ÕÙ Ð Ö ÞÓÒ Ð Ö Ø ×Ø ÔÓ × ÒØÖ Ò Ð Ò Ú ÙÓ¸ Ó × Ò Ð
Ô Ö×ÓÒ Ð Ð Ó Ö ÒØ ¸ ÕÙ Ò × Ð Ö Ø Ó¸ Ý Ð Ö Ø ÒØ ¸ Ò ÐÙ Ö ÓÒ ÒØÖ Ö×
×Ó Ö Ð Ó Ö ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Óº Ò ×Ø Ñ Ö Ó¸ Ù Ò Ó Ð Ó Ö ÒØ ×Ø ÔÓ × Ù ÙÒ
Ö Ø ¸ × ÑÙÝ ÔÓ× Ð ÕÙ ¸ Ò ÐÙ Ö ÓÒ× Ö ÖÐ Ð × ÒØ Ó Ð Ó Ö ¸ ÕÙ × ÐÐ
Ý ÓÑÓ ×Ø × Ö Ð Þ ¸ × ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ò × Ð Ó Ö ÒØ Ý ÓÑÓ × Ð ÓÑÓ ÙØÓÖº ÈÓÖ
Ð Ñ ×Ñ × Ö ÞÓÒ ×¸ Ñ ÒÙ Ó¸ Ð Ö Ø ÒØ Ò ÙÖÖ Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ý ÖÖÓ ÓÒ ÒØÖ ×Ù Ö Ø
´× ×Ó ÓÖ × Ð ÔÙ Ø Ð Ö × µ Ò Ð Ô Ö×ÓÒ Ð Ð Ó Ö ÒØ ¸ × Ö¸ Ò Ð ÙØÓÖ¸ Ò
ØÖ Ñ ÒØÓ Ð × ÒØ Ó Ð Ó Ö Ý ×Ù Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒº Ò Ð Ñ Ö Ó ÓÒ ×Ø ¸ Ð Ö Ø
× ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú × × ÐÓ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑÓ ÐÓ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ × ×ØÖÙ Ø Ú Ù Ò Ó ×
ÒØ Ò ÓÑÓ Ö ÔÖÓ º Ð ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒ Ö Ð ÕÙ × ÓÒ Ð ÕÙ Ò ¸
Ó¸ Ð ÓÑÓ × ÓÒ Ð ÓÑÓ × ÕÙ Ò ÐÓ ¸ × Ô Ö Ð Ú ÐÓÖ × Ò Ð Ð Ö Ø ¸
Ù Ð ÒÓ × ÓØÖÓ ÕÙ Ñ ÓÖ Ö¸ Ô Ö× Ù Ö Ð Ü Ð Ò Ý¸ Ò ÙÐØ Ñ ÓÒ× Ù Ò ¸ Ð Ò Ò
Ð Ù Ð ØÖ × Ò Ð Ó Ö º
Ó Ö ÑÓ× Ð Ó ØÓ ×ØÙ Ó ×Ø Ô ØÙÐÓ × Ó× Ô Ö×Ô Ø Ú × Ð ¬ Ý
Ð ¬ Ò º
Ä ¬ ÓÒ ÖÒ ÕÙ × ÐÓ Ö Ð ØÓ × Ö¸ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ò Ð ¬Ò
Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ð Ù Ð Ù ×Ø Ò Óº ×ØÓ × Ð ÓÖÖ Ø ØÙ º
Ä ¬ Ò Ø Ò ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð Þ ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ ÐÓ ÕÙ
ÑÔÐ Ö ÕÙ ¸ Ô Ö ÔÓ Ö Ð Ö ¬ Ò ¸ ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ö× × Ó ¬ Þº
ÈÓ ÑÓ× Ö¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ Ð ¬ Ò Ø Ò ÓÑÓ × ÔÙ × Ö Ñ ÓÖ ¬ Þº
Ë ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓ × ÓÖÖ ØÓ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ× Ð Ñ ÒØ ÒÓ Ø Ò × ÒØ Ó Ð Ö
¬ Ò º ÈÓÖ ×Ó¸ Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ÔÖ Ñ Ð ¬ Ò ¸ ÔÙ × Ò Ú Ð Ð ÙÐØ Ñ × ÒÓ
× Ð ÒÞ Ð ØÓ × Ö¸ × ÒÓ × Ö ×Ù ÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º
È Ö ×ØÙ Ö Ð ¬ Ò × Ö Ð Þ Ò Ò Ð × ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó Ò ÔÖ ÙÒØ × ÓÑÓ
Ù ÒØÓ ÙÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ù ÒØÓ× Ö ÙÖ×Ó× ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × ÓÒ×ÙÑ Ð × ÒØ Ó Ö Ø Ó
×Ó Ö ×Ø Ð × ÔÖ ÙÒØ × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø Ð ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ý Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò¹
× Ò ÕÙ ×Ø ÔÙ Ó Ù× Ö× º
ÙÖ ÒØ ÙÒ Ò Ð × ×¸ × ÑÙÝ ÔÓ× Ð ÕÙ × Ö Ú Ð Ò ÓØÖ × ÓÖÑ × Ó Ú Ö ÒØ × Ô Ö Ö Ð ¹
Þ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ð ÙÒ × ÐÐ × ÐÓ Ñ ÓÖ Ö Ò¸ ÓØÖ × ÐÓ ÑÔ ÓÖ Ö Ò Ý ÓØÖ ×
Ú Ð Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ÑÙÝ ×Ø ÒØÓ׺ Ò Ò ÙÖ ¸ Ð ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ Ò Ð Ò Ð × × Ð¹
ÓÖ ØÑÓ× Ö ÕÙ Ö ×Ù ÓÑÔÖ × ÓÒ Ðº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ò Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× × ÙÒ
Ð × Ñ ÓÖ × Ñ Ò Ö × Ò Ö ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ×Ó Ö ×Ù × ÒÓº
Ù Ò Ó × Ø Ò Ð ÖÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÙÒ Ò Ð × × ÔÙ Ò Ö ×Ô ØÓ× ÓÖÖ Ø ØÙ º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÜØÖ ÑÓ¸ ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÒÙÐ ¸ ÕÙ ÒÓ Ø Ò × ÒØ Ó ÓÒ Ö ØÓ¸ ÔÙ Ö Ò Ö¸
ÒÓ ×ÓÐÓ ÙÒ ÖÖÓÖ Ò Ð Ò Ð × ×¸ × ÒÓ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ×ÑÓº
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÖ Ö ÑÓ× Ó× Ø Ñ × ÔÖ Ò Ô Ð × Ð Ò Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ×

185. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 159
Ý ×Ù ÓÖÖ Ø ØÙ º Ñ Ó× Ø Ò Ò Ð Ö Ø ÒØ ÖÒ ¸ Р٠и ÒÓ ÑÓ× ÓÐÚ Ö¸ ÒÓ Ø Ò
× ÒØ Ó × Ò ÙÒ Ô Ö×Ô Ø Ú Ö Ø ÜØ ÖÒ º
3.1 An´lisis de algoritmos
a
ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ý Ó× Ñ ØÖ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ý Ð Ñ ÒØ Ð ×¸ Ð × Ù Ð ×¸ Ò Ø ÓÖ ¸
Ô ÖÑ Ø Ò Ù ÒØ ¬ Ö Ð Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ
½º Ä ÙÖ ÓÒ Ð Ù ÓÒ¸ ÓÑÙÒÑ ÒØ ÐÐ Ñ Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ¸ Ð Ù Ð
ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ö Ð Ø ÑÔÓ × ÕÙ × Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ ×Ø ÕÙ × ÙÐÑ Ò º
Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÒÓ× ÙÖ ¸ Ñ ÓÖ ×Ø ×º
¾º Ä ÒØ ÓÒ×ÙÑÓ ÓØÖÓ× Ö ÙÖ×Ó׿ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ð Ñ ÑÓÖ º Å ÑÓ× ÐÓ×
ÝØ × Ñ ÑÓÖ Ý ÓØÖÓ× Ö ÙÖ×Ó× ÕÙ Ó ÙÔ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÙÖ ÒØ ×Ù Ù ÓÒº
ÒØÖ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÑÔ Ö Ö¸ Ð ÕÙ ÓÒ×ÙÑ Ñ ÒÓ× Ö ÙÖ×Ó× × Ð Ñ ÓÖº
Ì ÒØÓ Ð ÙÖ ÓÒ¸ ÓÑÓ Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ö ÙÖ×Ó׸ Ô Ò Ò Ð ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ Ð
ÒØÖ º ÍÒÓ ÐÓ× ØÓÖ × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × ×Ø ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ð ÙÒ Ó¸ × Ð
Ø Ñ ÒÓ Ð ÒØÖ ¸ Ô٠׸ Ñ ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ × ×Ø ¸ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ñ ÝÓÖ × Ð ÒØ
ØÓ× ÔÖÓ × Ö Ý Ñ ÝÓÖ × ÙÖ ÓÒ × Ý ÒØ × Ö ÙÖ×Ó× Ý ÕÙ ×Ø Öº Ò ×Ø
ÓÖ Ò ×¸ Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ÒÓ× Ö Ö Ö ÑÓ× T (n) ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ × Ö Ð
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ¸ × ÙÒ ×Ù ÙÖ ÓÒ Ó ×Ù ÓÒ×ÙÑÓ Ö ÙÖ×Ó׸ Ð Ø Ñ ÒÓ
Ð ÒØÖ nº
Td1 (n)
Td2 (n)
¼
n1 n2 n
ÙÖ ¿º½ ÍÒ ÑÔÐÓ Td
Ð Ø Ñ ÒÓ n × ÙÒ Ô ÖØ Ð ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ¸ Р٠и Ò × ¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ó
Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ò ÕÙ Ð Ô Ö Ð ÒØÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÓÒÓ Ö ØÓ × Ð ×
Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÔÓ× Ð × ÙÒ ÒØÖ × ÑÙÝ Ð ÓÖ Ó×Ó ´Ý ×Ù Ø ÚÓµ¸ Ò Ð Ò Ð × ×
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × ×Ù Ð Ò ÑÔÐ Ö Ð ÙÒÓ× ×Ø ×Ø Ó׸ ÐÓ× Ù Ð × ÐÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × ×ÓÒ Ð
ÔÖÓÑ Ó Ó ×Ô Ö ÒÞ Ý Ð Ñ Ü ÑÓº
¿
“otros” ÔÓÖÕÙ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ÔÙ Ø Ñ Ò ÓÒ× Ö Ö× ÓÑÓ ÙÒ Ö ÙÖ×Óº

186. 160 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ä × Ó × ÖÚ ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × ×ÙÔÓÒ Ò ÕÙ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÒØÖ ÔÙ ÜÔÖ × Ö×
Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒ ×ÓÐ Ú Ö Ð ¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ × ÑÔÖ × Ð ×Óº Ò Ð ÙÒ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸
Ð Ø Ñ ÒÓ¸ Ù ÓØÖ Ù ÒØ ¬ ÓÒ Ö Ð ÒØÖ ¸ × ¬Ò Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ
ÑÙÐØ Ú Ö Ð º ×ØÓ× ×Ó× ×ÓÒ¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ñ × ÓÑÔÐ Ó× ÕÙ Ð ÙÒ Ú Ö Ð º
Ó× Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× A1 Ý A2¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ù Ð ÐÓ× Ó× ×
Ñ ÓÖ Ç Ø Ú ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ÔÖ ÓÖ ¸ Ó × ¸ × Ò ÙØ Ö
ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ð × ÙÒ ÓÒ × ÙÖ ÓÒ Td (n) Ý Td (n) Ý Ð × ÙÒ ÓÒ ×
1 2
ÓÒ×ÙÑÓ
×Ô Ó Te (n) Ý Te (n)º Ë ØÙÚ × ÑÓ× ×Ø × ÙÒ ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ× Ö Ø Ö Ó×
1 2
×Ø ÒØ Ó Ø ÚÓ× Ý ÔÖ ×Ó× Ô Ö Öº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Td Ü × Ð × ÓÖÑ × Ñ Ü Ñ ×
Ð ¬ ÙÖ ¿º½¸ ÒØÓÒ × × Ö ÑÓ× ÕÙ ¸ Ô Ö ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ × n2 Td (n) × Ñ ÓÖ 2
ÕÙ Td (n)¸ ÔÙ × ×Ø ÙÐØ Ñ × Ð ÕÙ Ø Ò Ñ ÝÓÖ ÙÖ ÓÒº
1
Ð Ò Ð × × ÒØ Ö ÓÖ ×ÓÐÓ × ÔÓ× Ð × × ÔÙ Ò ÓÒÓ Ö ÔÖ ÓÖ Ð × ÓÖÑ × Td (n) 1
Ý Td (n)º Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ ×ÙÑ Ö Ø Ð ÔÓ× Ð
2
ÒÓ × Ô Ö Ò Ö Ð ×Ø ¸ Ô٠׸ Ô Ö Ð
×Ó Ò Ö Ð¸ × ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÐ Ö ÔÖ ÓÖ Td(n)º È Ö ÔÖ Ò Ö Ð ÔÓÖÕÙ
×Ø ¬ ÙÐØ × Ò × Ö Ó ÓÑÔÖ Ò Ö ÕÙ Ð ÙÐ Ö Td(n) Ö ÕÙ Ö ÓÒØ Ö Ð ÒØ
Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÕÙ ÙØ Ö Ð × Ù Ò ¬Ò Ø ÒÓÑ Ò Ð ÓÖ ØÑÓº
ÓÖØÙÒ Ñ ÒØ ¸ ÒÓ × ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÒÓ Ö ÓÒ ÔÖ × ÓÒ Td(n)¸ Ô٠׸ Ð ÔÓ×ØÖ ¸ Ð
ÙÖ ÓÒ Ö Ð Ô Ò Ö ØÓÖ × ×Ù Ø ÚÓ× ÕÙ ÑÓ ¬ Ö Ò Ð ÓÖÑ Ü Ø Td(n)º
Ò ØÓ¸ Td(n) Ø Ò Ö ÓÖÑ × Ö ÒØ × × ÙÒ Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò × Ù ÓÒ Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓº ÒØÖ Ø Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò × ×Ø Ö Ð × × Ù ÒØ × Ö Ø Ö ×Ø ×
¯ Caracter´ ısticas materiales del computador Ü ×Ø Ò ÑÙ × ÖÕÙ Ø ØÙÖ × ¹
Ö ÒØ × ÓÑÔÙØ ÓÖ ×º Ð ÙÒ × ÖÕÙ Ø ØÙÖ × × ÔÖ ×Ø Ò Ñ ÓÖ Ô Ö ÙÒ Ð ×
ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ ÓØÖ ×º ÈÓ× Ð Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ò Ö ÙÖ ÓÒ × ×Ø ÒØ × Ò
ÖÕÙ Ø ØÙÖ × ×Ø ÒØ ×º
ÙÒ ÒØÖ ÖÕÙ Ø ØÙÖ × ÓÑÓ Ò ×¸ Ü ×Ø Ò Ö Ò × × ÔÓÖ Ð Ú ÐÓ Ð
Ö ÐÓ ¸ ÒØ Ñ ÑÓÖ ¸ × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ¸ ÒÙÑ ÖÓ ÔÖÓ ×Ó× ÕÙ ØÙ ÐÑ ÒØ
Ð Ö Ù Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ¸ ÒØÖ ÓØÖÓ× ØÓÖ × ÕÙ Ò Ò Ò Ð ÙÖ ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ¹
ÖѺ
¯ Caracter´ ısticas de la codificaci´n ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ò×ØÖÙÑ ÒØ
o Ò Ð ÙÒ
ÐÒÙ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº Ä Ò Ù × Ö ÒØ × ÕÙ Ó ¬ÕÙ Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÓ
ÔÖÓ Ù Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÒ ÙÖ ÓÒ × Ö ÒØ ×º
Ò Ò ÙÖ ¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × Ø Ñ Ò ¬ Ö Ò Ò ×Ù× ×Ø ÐÓ× Ó ¬ ÓÒº ÍÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÐ ÒØ Ó ÔÓÖ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × Ò ÙÒ Ñ ×ÑÓ Ð Ò Ù Ý ÙØ Ó Ò
ÙÒ ×ÓÐÓ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ü Ö Ö Ò × Ò Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
¯ Caracter´ ısticas del c´digo generado por el compilador ÐÓ× ÓÑÔ Ð ÓÖ ×
o
¬ Ö Ò Ò Ð ØÖ Ù ÓÒ Ð Ó Ó Ù ÒØ Ð Ó ØÓº × ×Ø ÒØ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó×
ÓÑÔ Ð ÓÖ × Ö ÒØ × Ò Ö Ò ØÖ Ù ÓÒ × Ö ÒØ × ÙÒ Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ý¸
ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ × Ü Ö Ò Ø ÑÔÓ× Ù ÓÒ Ö ÒØ ×º
×ØÓ× ØÓÖ ×¸ ÒØÖ ÓØÖÓ× Ñ ×¸ Ø ÖÓ Ò Ó× ÒØÖ × ¸ Ò Ñ × Ö ÙÓ¸ ݸ Ñ ×¸
ÑÔÖ Ø Ó¸ ÒÓ ×ÓÐÓ ÓÒÓ Ö Ð ÓÖÑ Ü Ø T (n)¸ × ÒÓ ÜÔÖ × Ö Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ
ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð ÙÒ ÙÒ ×Ô ¬ Ý ÔÖ × º ÑÓ׸ Ô٠׸ Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ö Ó
Ò Ð × × ÕÙ ÐÙ ÐÓ× ØÓÖ × Ñ Ò ÓÒ Ó׺

187. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 161
3.1.1 Unidad o paso de ejecuci´n
o
ÓÑÓ Ý ÐÓ × Ò Ð ÑÓ׸ Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø Ò ÓÒØ Ö Ð ÒØ Ò×ØÖÙ ÓÒ ×
Ó Ô ×Ó× Ù ÓÒ ÕÙ ×Ø ÙØ º ÉÙ × ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒ Ò ÔÖ Ò Ô Ó¸
ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ × Ð Ñ Ò Ñ Ò×ØÖÙ ÓÒ ÕÙ × ÔÙ ÙØ Öº ×Ø ÒÓ ÓÒ ×Ø Ð
ÙÒ Ö ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ù ÒØ ¬ Ö Ð ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ò ÓÒ× Ö Ö
Ð Ø ÑÔÓ ×ÓÐÙØÓ Ù ÓÒº ÉÙ × ÓÒ× Ö ÓÑÓ ÙÒ Ñ Ò Ñ Ò×ØÖÙ ÓÒ Ä ×
ÓÒ× Ö ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × Ö ­ Ò ÐÓ Ð ÕÙ × × ÒØ Ö ×Ø ÙÑ Ö Ðº ÈÓÖ Ø Ð Ö ÞÓÒ¸
ÓÒ× Ö Ö ÑÓ× ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒ ÓÑÓ Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò Ù ÓÒ ÙÝ ÙÖ ÓÒ
× ÓÒ×Ø ÒØ º ÌÖ Ò× ÑÓ× ÔÓÖ ÐÓ ÓÒ×Ø ÒØ × Ò × Ö Ù Ð × Ð ÙÖ ÓÒ Ö Ðº
ÈÖÓÔ ÑÓ× Ð ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ñ ÒØ Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ׺ Ä × Ù ÒØ Ò×ØÖÙ ÓÒ
½½ ÑÔÐÓ ½ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ≡ ´½ ½ µ
x = y;
× ÓÒ× Ö ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒº Ú Þ ÕÙ Ð ­Ù Ó Ô × ÔÓÖ ×Ø Ò×ØÖÙ ÓÒ¸ ×Ù
Ù ÓÒ Ø Ò Ö ÙÒ ÙÖ ÓÒ Ñ Ü Ñ ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÓØ º Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó
½½ ÑÔÐÓ ¾ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ≡ ´½ ½ µ
x = y + z;
ÙÝ ÙÖ ÓÒ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ÑÔÐÓ ½ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ¸ Ø Ñ Ò ×Ø ÓÒ×Ø Ò¹
Ø Ñ ÒØ ÓØ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÑÔÐÓ ¾ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ Ø Ñ Ò × ÓÒ× Ö
ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒº
ÍÒ × Ù Ò Ò×ØÖÙ ÓÒ × Ø Ð ÓÑÓ Ð × Ù ÒØ
½½ ÑÔÐÓ ¿ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ≡ ´½ ½ µ
x = h;
if (x < y)
{
x = y + z;
a = b*c;
}
else
{
x = p + q + r;
a = b + c;
}
ÔÙ ÓÒ× Ö Ö× Ñ × Ó×ØÓ× ÕÙ ÑÔÐÓ ¾ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ¸ × Ò Ñ Ö Ó¸
Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÔÖ Ó Ý ÐÓ Ð Ö ÕÙ ÔÙ × Ö Ð Ù ÓÒ
Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ÐÓÕ٠׸ ÑÔÐÓ ¿ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ × ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒ¸
ÔÙ × ×Ø Ø Ò ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÕÙ ÔÙ ÓØ Ö× ÔÓÖ ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ º
Ð ÐÓÕÙ Ö Ô Ø Ø ÚÓ
½½ ÑÔÐÓ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ≡ ´½ ½ µ
for (i = 0; i < 100000; i++)
a[i] = b[i] + c[i];
Ø Ñ Ò Ø Ò ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ý × ÓÒ× Ö ¸ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ô ×Ó ¹
Ù ÓÒº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ù ÓÒ × Ù Ò Ð ØÓ Ó× ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÒØ Ö ÓÖ ×
½½ ÍÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½ ≡
ÑÔÐÓ ½ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½
ÑÔÐÓ ¾ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½

188. 162 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
ÑÔÐÓ ¿ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½
ÑÔÐÓ Ô ×Ó Ù ÓÒ ½ ½
Ø Ñ Ò × ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒ¸ ÔÙ × ×Ù ÙÖ ÓÒ¸ Ô × Ö ÕÙ ÓÑÔÖ Ò Ð
ØÓ Ó× ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ø Ñ Ò × ÓÒ×Ø ÒØ º
Ô ÖØ Ö ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ¸ ÙÒ unidad de ejecuci´n se define como una secuencia
o
de instrucciones cuya duraci´n es constanteº ×ØÓ ÓÒÐÐ Ú ÖÖÓÖ ×¸ Ô ÖÓ Ö ÓÖ ÑÓ×
o
ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ú Ö × ÙÒ Ö ÙÒ×Ø Ò × Ò × Ð Ð ÓÖ ØÑÓº Ù ÐÕÙ Ö
× Ð Ø Ñ ÒÓ Ý ×ÔÓ× ÓÒ Ð ÒØÖ ¸ ÙÒ ­Ù Ó Ù ÓÒ × ÑÔÖ Ø Ò Ö ÙÖ ÓÒ
ÓÒ×Ø ÒØ Ú Þ ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÙÒ Ò×ØÖÙ ÓÒ × Ù Ò Ðº Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ
Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ¸ Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÓÒ ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ø Ñ Ò ×
ÓÒ× Ö ÙÒ ÙÒ Ù ÓÒº
× ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ö Ð × Ö ¬ Ó ÕÙ ÑÔÓÒ ÒÙ ×ØÖÓ ÓÒ ÔØÓ ÙÒ ¹
Ù ÓÒ Ð ÓÒ× Ö Ö ÓÑÓ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÐÓ ÕÙ Ó ×¸ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× ×Ó׸ Ú Ö ¹
Ð º Ð ÓÒ ÔØÓ ÕÙ Ô Ö ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ × Ù Ò Þ Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÓÒ ÙÒ ÙÒ
Ñ ÐÐÓÒ¸ ÔÙ × Ò Ñ Ó× ×Ó× × ÓÒÓ Ò Ð × ÓÒ×Ø ÒØ × Þ Ý ÙÒ Ñ ÐÐÓÒ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ×Ø Ð ÖÓ ÕÙ ÑÙÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö × Ù Ò ÙÖ
10 5 Ú × Ñ ÒÓ× ÕÙ Ð × ÙÒ º Ó Ð ÓÒ Ò Ð × Ö ¬ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð Ú ÒØ Ð
ÓÒ ÔØÓ × ÕÙ Ð Ö Ø Ö ÓÒ×Ø ÒØ ÒÓ × Ô Ö ÓÒ ÐÓ Ú Ö Ð Ð ÒØÖ º Ò Ô Ð ¹
Ö × Ñ × × ÑÔР׸ × Ù Ò × Ù ÓÒ ÙÝ × ÐÓÒ ØÙ × × Ò ×Ø ÒØ × Ô ÖÓ ÓÒ×Ø ÒØ ×¸
× ÑÔÖ Ø Ò Ö Ò ÙÖ ÓÒ × ÓÒ×Ø ÒØ × ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ Ø × ÔÓÖ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÒØÖ º
×ØÓ ÙÐØ ÑÓ × ÐÓ ÔÖ Ð Ð ÓÒ ÔØÓº
3.1.2 Aclaratoria sobre los m´todos de ordenamiento
e
Ò ×Ø Ô ØÙÐÓ ÒÓ× × ÖÚ Ö ÑÓ× Ð ÙÒÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö ÐÙ×ØÖ Ö Ð
Ò Ð×× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÔÙ × ×ØÓ× ÔÐ ÒØ Ò Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÒØÖ Ò
× Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÓÖ Ò Öº Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð × Ù Ò
ÒØÖ Ò Ò Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓº ÈÓÖ ×Ø
Ö ÞÓÒ¸ Ù Ò Ó × Ò Ð Þ ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ Ý ÕÙ ÓÒ× Ö Ö¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð
ÓÒ Ö Ø Ö Ó× ×Ø ×Ø Ó׸ Ð ÓÖÑ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒº
Ô ÖØ ÙÒ Ö ÓÑÓ ÙÒ Ù Ò Ú ÙÐÓ Ò× Ò ÒÞ Ô Ö Ð Ò Ð × × Ý × ÒÓ
Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ×ÓÒ Ô ÖØ ÐÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× × Ò Ð × ØÓ Ó
Ù Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖº Ò ØÓ¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ × Ù× Ò ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ×
Ñ × ÓÑÔÐ Ó׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ö Ó׸ Ñ ØÓ ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ü ¸ Ú ×
× Ö ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ò Ö Ö Ð ÓÒ × ÓÑÓ ÔÖ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ ÇØÖÓ ÑÔÐÓ
ÒÓØ Ð × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð × ÖÓÒ ÓÒÚ ÜÓ ¸ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÑ ØÖ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð
ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÕÙ ÒÚÙ ÐÚ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ׺ ÍÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔÐ Ý ¬ ÒØ Ô Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ò Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× × ÙÒ ×Ù×
ÓÓÖ Ò ×º
ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ × ÓÑÓ ÓØÖÓ× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö Ð ÓÒ Ó׸ Ö × Ò Ò Ð
Ö ÚÓ tpl sort utils.Hº
3.1.3 Ordenamiento por selecci´n
o
Ê Ð ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ ÔÖ Ñ Ö Ò Ð × × ØÖ Ú × Ð ÒÓ ÓÒ Ô ×Ó Ù ÓÒº È Ö ÐÐÓ ÓÒ¹
× Ö ÑÓ× Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ × Ð ÓÒ¸ Ð Ù Ð ÔÙ ÔÐ ×Ñ Ö× Ô ØÓÖ Ñ ÒØ
ÓÑÓ × Ù

189. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 163
swap[a[i], a[j])
×ÓÖ Ò
ÇÖ Ò ×ÓÐÙØÓ j × i ×Ø n − 1 Ô Ö
Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ
i j
Ò ×Ø Ð × Ö Ñ ¸ Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÖÖ ÐÓº ÄÓ× ×Ù ¹
Ö Ø Ò ÙÐÓ× ÒØ ÖÒÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ô ÞÓ× Ð ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ò ×Ù ×Ø Ó ÓÖ ¹
Ò Ñ ÒØÓº Ä × ­ ׸ ÙÒØÓ ÓÒ Ð ÙÒ ÒÓÑ Ö Ú Ö Ð ¸ Ò ÙÒ ÓÒØ ÓÖ Ó Ø Ö ÓÖ
ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù × ÒØ Ó Ø Ö ÓÒº
ÆÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ × Ð ÓÒ × ×ØÖÙ ØÙÖ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×
½¿ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ ≡ ½¿
template <typename T, class Compare>
void selection_sort(T * a, const size_t & n)
{
for (int i = 0, min, j; i < n - 1; ++i)
{
Ë ÑÒ Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ · ½ Ý Ò ¹ ½ ½ ¿
if (Compare () (a[min], a[i]))
Aleph::swap(a[min], a[i]);
}
}
Ä Ù×ÕÙ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ × Ö Ð Þ × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½¿ Ë ÑÒ Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ · ½ Ý Ò ¹ ½ ½ ¿ ≡ ´½ ¿ µ
for (min = i, j = i + 1; j < n; ++j)
if (Compare () (a[j], a[min]))
min = j;
Ð Ñ ÝÓÖ Ó×Ø Ð if Ò ÐÙ Ó Ò Ð ÐÓÕÙ Ë Ñ Ò Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ ·½Ý
Ò ¹ ½ ½ ¿ × ÕÙ Ð ÔÖ Ó× ÖØÓº Ë ×Ø Ù × Ð ×Ó¸ Ð ÙÖ ÓÒ Ð if ÙÒ
Ô ÖÑ Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÓØ º ÓÒ ÐÙ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÕÙ Ð ÐÓÕÙ ÒØÖÓ Ð for ØÓÑ
ÙÒ ÙÒ Ù ÓÒº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð ÐÓÕÙ Ë Ñ Ò Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ ·
½ÝÒ¹½½¿ ÙØ n − i − 1 Ô ×Ó× Ù ÓÒ¸ Ð Ù Ð ÔÙ ÔÖÓÜ Ñ Ö× ¸ ÓÒ ÙÒ
Ð ÖÓ ÖÖÓÖ¸ n − iº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ñ ØÓ Ó ØÓÑ
n−2 n−1 n−1
n(n − 1) n(n − 1)
T (n) = n−i= n− i = (n − 1)n −
2
= Ù ÓÒ
2
È ×Ó×
i=0 i=1 i=1
´¿º½µ
×ØÓ ÒÓ× Ö Ú Ð ÕÙ ¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÑÙÝ Ö Ô Ó
Ó ÑÙÝ Ð ÒØÓ¸ Ý Ñ × Ó× Ò Ö × × ÔÖ × ÒØ × Ò ¿º½º½¸ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ö
Ù Ö Ø Ñ ÒØ × ÙÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ×Ø ÑÓ× ÓÖ Ò Ò Óº ÈÙ Ò ÓÒ¹
ØÖ Ö× Ð ÙÒ Ñ ØÓ Ó¸ Ó Ø ÚÓ¸ ÕÙ Ö Ø Ö Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ × Ò ÓÒ× Ö Ö ÐÓ×
×Ô ØÓ× Ö Ð Ø ÚÓ× Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú Ý Ð ÓÖ Ö ÑÓ× Ò Ð × Ù ÒØ ×Ù ¹× ÓÒº
Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÙ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö× Ô Ö ÓÖ Ò Ö Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ
ÒÐ Þ × ÙÝÓ ÒÓ Ó Ö × Ø ÔÓ Dlinkº È ÖÓ Ô Ö ÐÐÓ¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ò×ØÖÙ¹
Ñ ÒØ Ö ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ù×ÕÙ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ
½¿ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½¿ ½

190. 164 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
template <class Compare>
Dlink * search_min(Dlink & list)
{
typename Dlink::Iterator it(list);
Dlink * min = it.get_current();
for (it.next(); it.has_current(); it.next())
{
Dlink * curr = it.get_current();
if (Compare () (curr, min))
min = curr;
}
return min;
}
¬Ò ×
search min¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ Ò ½ º
× ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ð
Ø ÔÓ Dlink¸ × Ð Ù Ð ÒÓ × ÔÙ ÓÒÓ Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø
Ö Ð Þ Ö Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ÓÒ Ù Ö Ò Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓº ÂÙ×Ø Ñ ÒØ ¸ ×Ø × Ð ¬Ò Ð
Ð × Compare¸ Ð Ù Ð ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ bool Compare::operator () (Dlink
*, Dlink *) Ý ÕÙ × Ò Ö ÓÑÔ Ö Ö Ó× ÒÓ Ó× ÔÙÒØ Ó× ÔÓÖ Ú Ö Ð × Dlink*º
ÈÓ Ö ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ð ×Ø × Ô ÖØ Ö Ð Ø ÔÓ Dnode<T>¸ × Ù Ð
Ý ÓÒÓ Ö ÑÓ× ÙÒ Ø ÔÓ × º È ÖÓ ×Ø × ÓÒ Ü ÐÙ Ö Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ð ×Ø ×
× × Ò ÓØÖÓ× Ù×Ó× Dlink ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ ÒÓ Ó
struct Nodo
{
Dlink enlace_lista_1;
Dlink enlace_lista_2;
Dlink enlace_lista_3;
D1 d1;
D2 d2;
D3 d3;
};
×Ø Ð × ÒÓ Ó ÒÓ ÔÓ Ö ÓÖ Ò Ö× ÔÓÖ ÙÒ ÖÙØ Ò Ò Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ×
Ò ÙÒ Dnode<T>¸ ÔÙ × Ð Ø ÔÓ ÑÔÐÓ Nodo ÒÓ × ÙÒ Dnode<T>º Ò Ò ÙÖ ¸ Nodo
Ø Ò ØÖ × ÒÐ × ÕÙ × Ò Ò Ò Ð ×Ø × Ö ÒØ ×º ÓÑÓ ÓÖ Ò ÑÓ× Ò Ö Ñ ÒØ
× ÙÒ Ù ÐÕÙ Ö Ð × ØÖ × Ð ×Ø × Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ð Ö Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ
bool Compare::operator () (Dlink *, Dlink *)º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × × ÑÓ× ÓÖ Ò Ö
Ð Ð ×Ø 1 × ÙÒ Ð ØÖ ÙØÓ d1¸ ÔÓ ÑÓ× ÖÐÓ ÓÑÓ × Ù
struct Comparar_D1
{
bool operator () (Dlink * l1, Dlink* l2)
{
Nodo * n1 = Dlink::dlink_to_Node(l1);
Nodo * n2 = Dlink::dlink_to_Node(l2);
return n1->d1 < n2->d1;
}
}
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö ÓÑÔ Ö ÓÒ × Ô Ö ÐÓ× Ø ÔÓ× D2 Ý D3 Ý × ÓÖ Ò Ö
ÔÓÖ ÐÓ× ÒÐ × enlace lista 2 Ý enlace lista 3º

191. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 165
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ × Ð ÓÒ × ÜÔÐ ÔÓÖ × Ñ ×ÑÓ
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½¿ ½
template <class Compare>
void selection_sort(Dlink & list)
{
Dlink aux;
while (not list.is_empty())
{
Dlink * min = search_min <Compare> (list); // menor de list
min->del(); // saque menor de list
aux.append(min); // ins´rtelo ordenado en aux;
e
}
list.swap(&aux);
}
Í× × search min ½ ¿ º
×Ø Ú Ö× ÓÒ ÜÔÖ × Ñ ÓÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ñ ØÓ Ó Ù× Ö Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ò× ÖØ ÖÐÓ
Ò ÙÒ Ð ×Ø º Ä Ð ×Ø Ö ×ÙÐØ ÒØ ×Ø Ö ÓÖ Ò º Ð Ñ ØÓ Ó × Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ ÔÐ ÑÓ×
Ù Ò Ó ÓÖ Ò ÑÓ× Ö ×º
Ð Ù× Ö
bool Compare::operator () (Dlink *, Dlink *)
ÓÑÓ Ö Ø Ö Ó Ò Ö Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÖ Ø Ò × ÖÚ Ö Ô Ö ØÓ × Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò ×
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ ×
ØÖ Ø Ö ÓÖ Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø Dnode<T>¸ Ò Ð Ù Ð × × ÓÒÓ Ð Ø ÔÓº È Ö Ò ÙÐÞ Ö
Ð ×ÙÒØÓ¸ × Ò Ö ÑÓ× Ð Ú Ö× ÓÒ Ò Ö
bool Compare::operator () (Dnode<T> *, Dnode<T> *)
Ð Ù Ð × Ö Ð Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
class Compare_Dnode
{
bool operator () (Dlink * l1, Dlink * l2) const
{
Dnode<T> * n1 = static_cast<Dnode<T>*>(l1);
Dnode<T> * n2 = static_cast<Dnode<T>*>(l2);
return Compare () (n1->get_data(), n2->get_data());
}
};
¬Ò ×
Compare Dnode¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ Ò ½ º
Í× × Dnode º
×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÜÔÓÖØ Ö ÙÒ ×Ô Ð Þ ÓÒ selection sort() ÕÙ ÓÒ× Ö
ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó×
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
void selection_sort(Dnode<T> & list)
{

192. 166 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
selection_sort < Compare_Dnode<T, Compare> > (list);
}
Í× × Compare Dnode ½ Ò Dnode º
3.1.4 B´squeda secuencial
u
ÒØ × Ô × Ö ×ØÙ Ö ÙÒ ÓÖÔÙ× Ó Ø ÚÓ Ô Ö Ò Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÙÒÓ
ÐÓ× ×Ô ØÓ× ÕÙ Ñ ÒÙ Ó ÓÑÔÐ Ò Ð Ò Ð × × Ó × Ð ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð Þ Öº È Ö
ÐÐÓ¸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× ÙÒÓ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ × × ÑÔР׸ ÔÓÔÙÐ Ö × Ý ÙØ Ð × Ð Ù×ÕÙ
× Ù Ò Ðº ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ ÙÝ Ù×ÕÙ ÔÙ ÔÐ ×Ñ Ö× ¸ × Ò Ò ×
ÜÔÐ ÓÒ ÔÖ Ú ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Equal> inline
int sequential_search(T * a, const T & x, const int & l, const int & r)
{
for (int i = l; i <= r; i++)
if (Equal () (a[i], x)) return i;
return Not_Found;
}
¬Ò ×
sequential search¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ ¸ ¿ ¸ ½ ¸ Ò ½ º
sequential search() Ù× × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ò Ð ÖÖ ÐÓ a¸ ÒØÖ ÐÓ× Ò × l Ý r¸
Ð Ð Ñ ÒØÓ xº Ë Ð Ù×ÕÙ × Ü ØÓ× ¸ ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ Ð Ò ÓÒØ ÒØ ÚÓ Ð
Ð Ñ ÒØÓ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ö ØÓÖÒ Not Foundº
sequential search() ÑÔÐ ÓÑÓ Ö Ø Ö Ó ÙÐ Ð ÓÔ Ö ÓÖ () Ð Ð ×
Ô Ö Ñ ØÖ Þ Equalº
Ù ÒØÓ× Ô ×Ó× Ù ÓÒ ÓÒ×ÙÑ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ä ×ÙØ Ð Þ ×Ù Ò Ð × × × ÕÙ
Ð ÙÖ ÓÒ Ù ÓÒ Ô Ò Ó× ØÓÖ × ´½µ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ a Ý ´¾µ
Ð Ú ÐÓÖ Ù×ÕÙ xº
Î ÑÓ×ÐÓ × Ð Ô Ö×Ô Ø Ú Ð Ú ÐÓÖ xº Ë x ÒÓ ×Ø ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÖÖ ÐÓ¸
ÒØÓÒ ×¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ¸ Ð for × ÙØ Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ¸ Ö ÞÓÒ
ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ×ÙÑ r − l = n Ô ×Ó× Ù ÓÒº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÒØÓÒ ×¸
Ð ÙÖ ÓÒ Ô Ò Ö Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ ×Ô ¬ Ñ ÒØ ¸ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò ÓÒ ×
Ò Ù ÒØÖ x ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓº Ë × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÓ× ÓÒ¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÖ ÓÒ
× ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒº Ë × × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÙÐØ Ñ ÒØÓÒ × ×ÓÒ n − 1º Ù Ð × Ó Ö
ÆÓ ÐÓ × ÑÓ׸ Ô ÖÓ × ÔÓ ÑÓ× Ø Ò Ö ÙÒ ÜÔ Ø Ø Ú ÐÓ ÕÙ Ú ×Ù Ö Ý ×Ø Ð
ÜÔÖ × Ð ÓÒ ÔØÓ ×Ô Ö ÒÞ ×Ø ×Ø º
Ë Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ × Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð ×Ô Ö ÒÞ × Ö ÔÓÖ Ð ÒØÖÓº Ä ÙÖ ÓÒ
×Ô Ö × Ö l+r º 2
ÙÐÑ Ò ÑÓ× ×Ø × ÓÒ ÓÒ Ð × Ú Ö× ÓÒ × Ò Ö × Ð Ù×ÕÙ ×Ó Ö Ð ×Ø ×
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Equal> inline
Dnode<T> * sequential_search(Dnode<T> & list, const T & x)
{
for (typename Dnode<T>::Iterator it(list); it.has_current(); it.next())
{
Dnode<T> * curr = it.get_current();
if (Equal () (curr->get_data(), x))

193. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 167
return curr;
}
return NULL;
}
Í× × Dnode Ò sequential search ½ º
× Ð
ÔØ Ö ×Ø × Ù×ÕÙ × Ð Ì Dlist<T>º Ì Ñ Ò ÔÙ Ò Ù× Ö× Ô Ö Ð
Ø ÔÓ DynDlist<T>¸ Ô ÖÓ Ö ÕÙ ÒØ ÖÚ Ò Ö ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ º ÈÓÖ ÐÐÓ¸ Ú Ð Ð Ô Ò Ó Ö Ö
ÙÒ ÒØ Ö Þ Ù×ÕÙ ×Ó Ö DynDlist<T>
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Equal> inline
T * sequential_search(DynDlist<T> & list, const T & x)
{
Dnode<T> * ret = sequential_search<T, Equal >(static_cast<Dnode<T>&>(list), x);
return ret != NULL ? &ret->get_data() : NULL;
}
Í× × Dnode ¸ DynDlist ¿ ¸ Ò sequential search ½ º
3.1.5 Implantaci´n del problema fundamental mediante DynArray<T>
o
ÉÙ Þ Ð Ñ Ò Ö Ñ × × ÑÔÐ Ý Ú Ö× Ø Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ¬Ò Ó
Ò Ü ½º¿ ´Ô Ò ½ µ × Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ DynArray<T>º Ò ×Ø ×Ó¸ ØÖ Ò× ÑÓ× ÔÓÖ ÙÒ
ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ Ò Ó ÕÙ ÔÙ Ö Ö Ý Ö Ö Ò Ñ Ñ ÒØ º Ä Ú ÒØ Ð ×ÓÖ Ò
× ÕÙ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ö Ö Ý ÖÖ Ö Ö × ÒØ Ò× Ö ÓÒ × Ý Ð Ñ Ò ÓÒ ×º Ä ×Ú ÒØ
× ÕÙ Ð Ù×ÕÙ × Ö× Ù Ò Ð
½ ØÔÐ ÝÒ ÖÖ Ý × ØºÀ ½ ≡
template <typename T, class Equal = Aleph::equal_to<T> >
class DynArray_Set : public DynArray<T>
{
public:
T & insert(const T & item)
{
(*this)[this->size()] = item;
return this->access(this->size() - 1);
}
T * search(const T & item)
{
int i = Aleph::sequential_search<T, Equal>(*this, item, 0, this->size() - 1);
return (i >= 0 and i < this->size()) ? &this->access(i) : NULL;
}
void remove(T & item)
{
item = access(this->size() - 1);
this->cut(this->size() - 1);
}
};
Í× × DynArray ¾ Ò sequential search ½ º
Ä ÖÙØ Ò sequential search() Ö Ð Þ ¸ ÓÑÓ ÓÑÓÒ Ñ Ñ ÒØ × Ò¬ Ö ¸ ÙÒ Ù×ÕÙ
× Ù Ò Ð ×Ó Ö Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó º
Î × Ü ¿º½º ´Ô Ò ½ µ Ô Ö Ñ × Ø ÐÐ ×

194. 168 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
3.1.6 B´squeda de extremos
u
ÍÒ ×Ó ×Ô Ð Ð Ù×ÕÙ × Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÜØÖ ÑÓ ÙÒ × Ù Ò
× Ö¸ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ Ó Ñ Ü ÑÓº ØÖ Ú × Ð Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ Ò Ö ¸ ×ØÓ
ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× ¸ Ô Ö ÖÖ ÐÓ׸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare> inline
int search_extreme(T * a, const int & l, const int & r)
{
T extreme_index = l;
for (int i = l + 1; i <= r; i++)
if (Compare () (a[i], a[extreme_index])) // ¿se ve un nuevo menor?
extreme_index = i; // s´
ı
return extreme_index;
}
search extreme() Ù× Ð Ð Ñ ÒØÓ ÜØÖ ÑÓ × ÙÒ Ð Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ
Compareº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÓÒ ×Ø × ÒØ Ü × ÒÓ ÕÙ × Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÖÓ ÕÙ × ØÖ Ø
Ù× Ö Ð Ñ Ò ÑÓ Ó Ð Ñ Ü ÑÓº È Ö Ð Ö ¬ Ö Ð ×ÙÒØÓ¸ Ù× Ö ÑÓ× Ó× ×Ø ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T> inline
int search_min(T * a, const int & l, const int & r)
{
return search_extreme<T, Aleph::less<T> > (a, l, r);
}
template <typename T> inline
int search_max(T * a, const int & l, const int & r)
{
return search_extreme<T, Aleph::greater<T> > (a, l, r);
}
Í× × search min ½ ¿ º
ÙÐ ×Ð Ö Ò ÓÒ Ð Ù×ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ ×ØÙ ÑÓ× Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ
ÔÖ ÒØ Ä ×ØÖÙ ØÙÖ × ÔÖ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÙÒ Ð ÞÓ r − l = n Ô ×Ó× Ð ¹
ÖÒ Ö Ò Ð Ø Ò ÓÒº È Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð ØÓÖ ¸ Ð Ù×ÕÙ Ü ØÓ× × ÔÖÓ¹
ÔÓÖ ÓÒ Ð n Ò ÔÖÓÑ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ù×ÕÙ ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ö ÕÙ Ö ¸ × ÑÔÖ ¸ ܹ
Ñ Ò Ö Ð ØÓØ Ð Ð × Ù Ò º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ÙÖ ÓÒ search extreme()
× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð n Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó׺
È Ö ÓÑÔÐ Ø Ö ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Ñ Ö search extreme() Ô Ö Ð × Ð ×Ø ×
× × Ò Dlink¸ ÐÓ ÕÙ ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <class Compare> inline
Dlink * search_extreme(Dlink * list)
{
typename Dlink::Iterator it(*list);
Dlink * curr_min = it.get_current();
for (it.next(); it.has_current(); it.next())
{
Dlink * curr = it.get_current();
if (Compare () (curr, curr_min))
curr_min = curr;

195. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 169
}
return curr_min;
}
×Ø ÙÒ ÓÒ × ×Ô Ð Þ Ô Ö Ð Ö ×ØÓ Ð× Ð×× Ð Ö ÖÕÙ ÖÚ × Dlinkº
3.1.7 Notaci´n O
o
Ä ÒÓ ÓÒ Ô ×Ó Ù ÓÒ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ó Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Td(n) Ô Ö Ð
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ × Ð ÓÒº ÙÐÐ ¸ Ò Ð ÓÕÙ Ð × ÒÑ Ò× × Td(n)¸ ÔÓ ÑÓ×
Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ô ØÖÓÒ ÓÒ×Ø Ò Ö ÐÓ ÕÙ ¸ ÒÐ Ù ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÙÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ¸ × Ñ ÓÑÓ Ú Ö Ð º Ò Ð ÓÖ ÞÓÒØ ÕÙ ÐÐ Ð Ò ¸ Ø Ò × ÒØ ÓÐ
× Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ
Definici´n 3.1 (Notaci´n O) Ë Ò Ó× ÙÒ ÓÒ
o o × T (n) Ý F(n)º ÒØÓÒ ×¸ × ÕÙ
T (n) × O(f(n))¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ T (n) = O(f(n))¸ ×Ý ×ÓÐÓ × ∃ c, n1 | T (n) ≤ cn2 , n ≥ n1º
Ù Ò Ó ÑÓ× ÕÙ T (n) = O(f(n)) ×Ø ÑÓ× ÔÖÓÜ Ñ Ò Ó Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ T (n)
ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ö ÒØ Ý¸ Ô Ö ÕÙ Ø Ò × ÒØ Ó ÔÖ Ø Ó¸ Ñ × × Ò ÐÐ º ¬ÖÑ ÑÓ׸ ÔÓÖ
ÑÔÐÓ¸ ÕÙ T (n) = n2 +n+1 = O(n2)º Ë ×ØÓ × ÓÖÖ ØÓ¸ ÒØÓÒ × ∃ c, n1 | T (n) ≤ cn2º
Ë Ð ÓÒ ÑÓ× c = 1 ÒØ ÒØ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö Ð ¬ÖÑ ÓÒº
È Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ n2 + n + 1 = O(n2) ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð Ò Ù ÓÒ n2 + n + 1 ≤ cn2, n ≥
n1 =⇒ (1 − c)n2 + n + 1 ≤ 0º ÄÓ ÕÙ ÖÖÓ ÓÑÓ Ö ×
−1 ± 1 − 4(1 − c)
n= .
2(1 − c)
Ë ×Ð ÓÒ ÑÓ× c = 7/4 Ø Ò ÑÓ× ÓÑÓ Ö × n0 = −2/3, n1 = 2º × Ô٠׸ c =
7/4, n1 = 2 ÓÒ¬ÖÑ Ò ÕÙ n2 + n + 1 = O(n2)º
ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ T (n) = O(f(n)) Ô Ö Ð ÙÒ ÙÒ ÓÒ f(n) ÒÓ ÑÔÐ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò
ÓØÖ × ÙÒ ÓÒ × ÕÙ × Ø × Ò Ð ¬Ò ÓÒº Ó¸ × ÔÓ× Ð Ö ÕÙ Ý Ñ ÓÖ ×
ÙÒ ÓÒ × ÕÙ ÓØÖ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ð × Ð × × Ù ÒØ × ¬ÖÑ ÓÒ ×
n
i2 = O(n4) ´¿º¾µ
i=1
n
i2 = O(n3) ´¿º¿µ
i=1
n
i2 = O(n2) ´¿º µ
i=1
Ô ÖÓ Ð ÙÐØ Ñ ¬ÖÑ ÓÒ × Ð Ñ × ÔÖ × Ð × ØÖ ×º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ý Ó× Ò Ó Ò Ø × ´c, n1µ Ý ÙÒ ×ÓÐ × Ù Ð ¸ ÑÓ×ØÖ Ö T (n) =
O(f(n)) ÔÙ ×Ö Ð Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó× Ñ Ø Ñ Ø Ó׸ Ô ÖÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð Ò Ð Ò Ð × ×
Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ × × Ò ÐÐ º Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׸ ÔÙ × Ö ÙØ Ð ÔÖ ¬ Ö ÙÒ
Ú ÐÓÖ Ð ÓÒ×Ø ÒØ c Ý Ö ×ÓÐÚ Ö
Ð →∞ T (n) − c f(n) ≤ 0
n−
Ñ ´¿º µ
Ä ¬ÖÑ ÓÒ T (n) = O(f(n)) ×ÓÐÓ Ø Ò ÙÒ Ö ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð Ù Ð º No es
correcto decir O(f(n)) = T (n)¸ ÔÙ × ÒÓ Ö ­ Ð × ÙÐ Ð ¬Ò ÓÒº

196. 170 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
ÄÓ ÓÒ Ó Ù Ò Ó × ¬ÖÑ ÕÙ T (n) = O(f(n)) × ÕÙ f(n) ÓØ × ÒØÓØ Ñ ÒØ
Ð ÙÒ ÓÒ T (n)º Ò Ú Ð × ÒØÓØ Ó¸ Ð Ñ ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ × ÕÙ Ð × ÒØÓØ f(n) ×
Ô Ö Ð Ð Ð T (n)º À Ý ×Ó× Ò ÕÙ × ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ f(n) ÒÓ × × ÒØÓØ Ñ ÒØ
Ô Ö Ð Ð T (n) Ý ×ØÓ × ÜÔÖ × Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ
Definici´n 3.2 (Notaci´n o) Ë Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × T (n) Ý F(n)º ÒØÓÒ ×¸ ×
o o ÕÙ
T (n) × o(f(n))¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ T (n) = o(f(n))¸ × Ý ×ÓÐÓ × ∃c, n1 | T (n) < cf(n) , n ≥ n1º
cT (n)
g(n)
f(n)
T (n)
n1 n2 n
× ÒØÓØ ×
ÙÖ ¿º¾ ÑÔÐÓ Ò Ö Ð ÙÒ ÓÒ × ÕÙ × ÓØ Ò × ÒØÓØ Ñ ÒØ
Ä ×ØÙ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ × O × Ó Ø Ò Ö Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ
× ÒØÓØ Ñ × Ö Ò Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº ÈÓ ÑÓ× ØÖ Ö ÓÒ ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ
Ý ÒÓ ÓÒ ÙÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ü ØÓ ÔÓÖÕÙ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÓÒ ÖÒ × Ð Ø Ò Ò T (n) Ò Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò × ¸ × Ò ÓÒ× Ö Ö ÐÓ× Ø ÐÐ × ×Ù Ø ÚÓ× Ö ÙÒ×Ø Ò Ð × Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð Ø ÔÓ
Ö Û Ö ¸ ÓÑÔ Ð ÓÖ¸ Ý ÓØÖÓ× ØÓÖ × ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ñ Ò ÓÒ Ó׺ ÈÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ×ÙÑ Ö
ÕÙ Ð ÓÒ×Ø ÒØ c ×ØÖ Ð × Ö Ò × Ö ÙÒ×Ø Ò Ð × Ù ÓÒº Ä × Ö Ò ×
× ÑÔ ÒÓ × ÔÓÖ ÓØÖÓ× ØÓÖ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ö ÒØ × ÓÒ×Ø ÒØ × ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÒÓ ÒÓ×
ÓÒ ÖÒ º Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó¸ Ð ÓÖÑ Ü Ø T (n) ÒÓ × Ö Ð Ú ÒØ ¸ × ÒÓ Ð Ø Ò Ò
× ÒØÓØ Ô ÖØ Ö Ð ÓÒ×Ø ÒØ n1º
Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׸ ÔÙ Ò ÓÒÚ Ò ÖÒÓ× Ð × ¬Ò ÓÒ × Ô Ö ÐÓ× ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ò Ö ÓÖ ×
O(f(n)) Ý o(f(n)) × Ö¸ × ÒØÓØ × ÕÙ ×Ø Ò ÔÓÖ Ó T (n)º
Definici´n 3.3 (Notaci´n Ω) Ë Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × T (n) Ý F(n)º ÒØÓÒ ×¸ ×
o o ÕÙ
T (n) × Ω(f(n))¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ T (n) = Ω(f(n))¸ × Ý ×ÓÐÓ × ∃c, n1 | T (n) ≥ cf(n) , n ≥
n1º

197. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 171
Definici´n 3.4 (Notaci´n ω) Ë Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × T (n) Ý F(n)º ÒØÓÒ ×¸ ×
o o ÕÙ
T (n) × ω(f(n))¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ T (n) = ω(f(n)) × Ý ×ÓÐÓ × ∃c, n1 | T (n) > cf(n) , n > n1º
ÈÖ Ò Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ × ÒØÓØ O(f(n)) × ÔÖÐÐ T (n) ÒÙÒ ÑÓ×
Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ
Definici´n 3.5 (Notaci´n Θ) Ë Ò Ó× ÙÒ ÓÒ × T (n) Ý F(n)º ÒØÓÒ ×¸ ×
o o ÕÙ
T (n) × Θ(f(n))¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ T (n) = Θ(f(n))¸ × Ý ×ÓÐÓ × T (n) = O(f(n)) Ý T (n) =
Ω(f(n))º ÈÓ ÑÓ× Ö¸ Ø Ñ Ò¸ T (n) = Θ(f(n)) ⇐⇒ T (n) = O(f(n)) Ý f(n) =
O(T (n))º
Ä ¬ ÙÖ ¿º¾ Ô ØÓÖ Þ T (n) Ý Ð ÙÒ × ÙÒ ÓÒ × ÕÙ Ð ÓØ Ò × ÒØÓØ Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ
Ó Ý ÔÓÖ ÖÖ º
Á ÒØ ¬ÕÙ ÑÓ׸ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ð ÙÒ ÓÒ T (n)¸ Ð Ù Ð × Ö ÔÓØ Ø Ñ ÒØ
Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓº Ò Ð ¬ ÙÖ ¸ Ð ÙÒ ÓÒ g(n) ×Ø ÔÓÖ Ò Ñ
T (n) Ô Ö ØÓ Ó n ≥ n1 × Ö¸ T (n) = o(g(n))º Ä ¬Ò ÓÒ o ¿º¾ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø
ÑÙÐØ ÔÐ Ö T (n) ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ c ÑÓ Ó ÕÙ T (n) × Ñ ÝÓÖ ÕÙ g(n)º È ÖÓ ×ØÓ
× ÖÖ Ð Ú ÒØ Ò Ð ÓÕÙ ÐÓ Ò¬Ò ØÓ¸ ÔÙ × Ð Ô Ò ÒØ g(n) ´Ú Ò× ×Ù× ÔÙÒØÓ×
ÓÖØ µ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð T (n)º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÒÓ ÑÔÓÖØ Ù ÒØ × Ð ÒÓÖÑ
Ð ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Ò Ð ÙÒ Ð Ò ¸ g(n) × ÑÔÖ ×Ó Ö Ô × Ö T (n)º
Ð Ñ ×ÑÓ ×Ø ÐÓ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÙ Ù× Ö× Ô Ö ÓÒ×Ø Ø Ö T (n) = ω(f(n))º Ò Ð
ÓÖ ÞÓÒØ ÐÓ× Ö Ò × ÒÙÑ ÖÓ׸ T (n) ×Ó Ö Ô × Ö f(n)º
ÓÖ ×Ø ÑÓ× ÔÖ Ô Ö Ó× Ô Ö ÓÑÔÖ Ò Ö Ð × ÒØ Ó Ð ÓÒ ÔØÓ Θ¸ Ð Ù Ð ÔÙ
ÔÖ Ö× Ò Ð ¬ ÙÖ ¿º¿º
c 1 f(n)
T (n)
c 2 f(n)
× ÒØÓØ ×
n1
ÙÖ ¿º¿ ÑÔÐÓ Ò Ö Ð ÙÖÚ × ÒØÓØ Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ð
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÙÖÚ c2f(n)¸ ÙÝ × ÒØÓØ × Ô Ö Ð Ð Ð T (n)º ÍÒ ÖØÓ
Ú ÐÓÖ ÓÒ×Ø ÒØ c2 ÕÙ T (n) = Ω(f(n))º ÓÖ Ò¸ ×Ø Ö ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö f(n)
ÔÓÖ ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ c1 > c2 Ô Ö ÕÙ T (n) = O(f(n))º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ T (n) = Θ(f(n))

198. 172 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
3.1.7.1 Algebra de O
´
Ò Ð ÑÙÒ Ó ÐÓ Ò¬Ò ØÓ¸ ÐÓ ÕÙ Ð Ö Ò × Ð Ø Ò Ò ÕÙ ÐÐ Ú Ð ÙÖÚ º
ËÙÑ × Ý ÔÖÓ Ù ØÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × ×ÓÒ × ÖØ Ð × Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÒÓØ ÓÒ Oº ×ØÓ
ÔÓ× Ð Ø ÙÒ Ð Ö ×Ó Ö Ð ÒÓØ ÓÒ O ÕÙ × ÑÔÐ ¬ ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ò Ð × ×
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓº È Ö ÐÐÓ¸ Ô ÖÑ Ø × ÒÓ× ÒÙÒ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð × × ×¸ ÙÝ ×
ÑÓ×ØÖ ÓÒ × × Ð Ò Ö Ó×
O(f(n)) + O(g(n)) = O(Ñ Ü(f(n), g(n))) ´¿º µ
c O(f(n)) = O(f(n)) ´¿º µ
O(O(f(n))) = O(f(n)) ´¿º µ
O(f(n)) O(g(n)) = O(f(n) g(n)) ´¿º µ
O(f(n) g(n)) = f(n) O(g(n)) ´¿º½¼µ
T (n) = n + n
k k−1
+ · · · + n + c = O(nk) ´¿º½½µ
ÐÓ k
n = O(n) ´¿º½¾µ
Ò Ó × ÓÒ × Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ÓÑÔ Ö Ö ÙÒ ÓÒ × ÓÒ Ð Ó ØÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × Ð
Ñ ÝÓÖº ØÓ× Ð Ö ÓÖ¸ Ó × Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ × Ð ×Ø Ð Ö¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð Ö Ó
Ó Ö ÞÓÒ ÒØÖ Ð × ÙÒ ÓÒ × ÓÑÓ Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ Ý ÓÒ× Ù ÒØ × ÓÒº ×Ø
ÑÓ Ó ⎧
⎪0 =⇒
⎪ f(n) = o(g(n))
⎨
ÐÑ f(n)
= ∞ =⇒
g(n) ⎪
g(n) = o(f(n)) ´¿º½¿µ
n→∞ ⎪
⎩c =⇒ f(n) = Θ(g(n))
3.1.7.2 An´lisis de algoritmos mediante O
a
ÓÑÓ Ý ÖØÓ ÐÓ ÑÓ× Ö Ð Ó¸ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð ¬Ò Ù ÒØ × ØÓ Ó × × Ù Ò º
Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÕÙ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ó × ÒÖÓÐÐ Ö Ð Ñ Ü Ñ × Ù Ò Ù ÓÒ
ÔÓ× Ð ¸ Ó × ÒÖÓÐÐ Ö Ð × Ù Ò Ù ÓÒ ÔÖÓ Ð º
È Ö ÒØ Ò Ö Ð × ÒØ Ó × ÒÖÓÐÐ Ö ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ù Ð
for (int i = 0; i < 3; ++i)
printf("Prueba %dn", i);
× ÒÖÓÐÐ Ö ×Ø Ù Ð ÕÙ Ú Ð ×Ö ÖÐ Ù ÓÒ ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò
int i = 0;
if (i < 3)
printf("Prueba %dn", i);
++i;
if (i < 3)
printf("Prueba %dn", i);
++i;
if (i < 3)
printf("Prueba %dn", i);
++i;
if (i < 3) ;

199. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 173
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×ÓÐÓ Ò Ð ÙÐØ ÑÓ if Ð ÔÖ Ó i < 3 × Ð×Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÑÔÖ × ÓÒ
× ÑÔÖ × ÙØ Ý¸ Ò ×Ø ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ð if ÓÑÔÐ ØÓ × ÓÒ× Ö ÙÒ Ô ×Ó
Ù ÓÒ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ù ÔÓ× Ð × ÒÖÓÐÐ Ö Ð Ù Ð Ò 11 Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÙÖ ÓÒ
ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Ð Ù Ð Ò × × ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ù Ð ÓÒ ÓÖÑ ÙÒ Ô ×Ó
Ù ÓÒ Ý ×Ù Ø ÑÔÓ ÙÖ ÓÒ × O(1)º
Ò Ð ÓÑ Ò Ó O¸ Ð ÖØ Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø Ò ÒØ ¬ Ö × Ù Ò ×
Ù ÓÒ ÕÙ ÓÑÔÓÖØ Ò ÙÒ ÓÒ × ÙÖ ÓÒ Ö ÒØ × Ý ÔÐ Ö Ö Ð × ÓÒØ Ó
×Ó Ö ØÓ Ó¸ Ð × Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓº
Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ Ö Ò ÜÔÐ Ó¸ ×ÓÒ ÔÐ Ð × Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð × Ô Ö ÐÓ× Ð × Ó×
ÐÓÕÙ × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ð
½º Instrucciones secuenciales: Ð Ù ÓÒ Ó× Ò×ØÖÙ ÓÒ × × Ù Ò Ð × ÓÒ
Ø ÑÔÓ T1(n) = O(f1(n)), T2(n) = O(f2(n)) ØÓÑ Ò Ð ×ÙÑ T1(n) + T2(n)¸ Р٠и
ÔÓÖ Ð Ö Ð ´¿º µ ´ Ð ×ÙÑ µ¸ ØÓÑ O(Ñ Ü(f1(n), f2(n)))º
¾º Instrucciones de decisi´n: ×ÙÑ ÑÓ׸ ÓÑÓ ×Ó Ò Ö Ð¸ Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ
o
if ´ O(f1(n)) µ
O(f2(n))
else
O(f3(n))
Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ×Ø Ö Ó ÔÓÖ O(f1(n))+Ñ Ü(O(f2(n)), O(f3(n)))º
ÕÙ ×Ø ÑÓ× ÓÒ× Ö Ò Ó ÐÓ Ô ÓÖ × Ö¸ Ð Ù ÓÒ Ð ÐÓÕÙ Ñ × Ó×ØÓ×Óº
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ × ÙÒ Ð ×ØÖ Ù ÓÒ ÖØ ØÙ Ð ÔÖ Ó Ð if¸ ÔÙ ÓÒ¹
× Ö Ö× Ð ×Ô Ö ÒÞ º
¿º Instrucciones de repetici´n: Ð
o Ù ÓÒ ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ ÓÒ Ð × Ù ÒØ ×¹
ØÖÙ ØÙÖ
for ´ O(f1(n)) µ
O(f2(n))
× Ö ÔÓÖ Ð Ö Ð Ð ÔÖÓ Ù ØÓº Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ×Ø ¸ Ô٠׸ Ø ÖÑ Ò Ó
ÔÓÖ O(f1(n)) Ú × Ð Ù ÓÒ Ð ÐÓÕÙ ÒØ ÖÒÓ Ó×Ø O(f2(n)) × Ö¸
O(f1(n)) × O(f2(n)) = O(f1(n) × f2(n))º
È Ö Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ò Ò ×ØÙ Ö× ×Ù× Ô Ò Ò × ÓÒ ÐÓ× ÐÓ×
ÜØ ÖÒÓ׺ Ü ×Ø Ò Ú Ö× × ÓÖÑ ×¸ Ð × Ù Ð × ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ
Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÒØ Ö ÓÖº Ò Ð Ò × Ò Ö Ð ×¸ Ð ØÖÙ Ó Ô Ö Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ
ÓÒ× ×Ø Ò Ú Ö Ù Ö Ð ÒØ Ú × ÕÙ ×Ø × ØÙ º
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ð Ò Ð × × ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ × Ö Ð Þ × Ð Ù Ð Ñ × ÒØ ÖÒÓ
×Ø Ð Ñ × ÜØ ÖÒÓº
× × Ð Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ ÒØÖÓ Ð if ÒÓ × ÓÐÓ Ò ÒØ º

200. 174 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
½ ·¼
½ ·¼
½¼¼¼¼
½¼¼
½
½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ ½¼¼¼¼ ½¼¼¼¼¼½ ·¼ ½ ·¼ ½ ·¼ ½ ·¼
n
√
O(n) O(2n) O( n)
O(n2) O(Ð (n)) O(1)
O(n3) O(n Ð (n))
√
ÙÖ ¿º ÙÖÚ × Ð (n), n, n, n Ð (n), n2, n3, 2n × Ð × ÐÓ Ö ØÑ ×
Ä ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ö Ñ Ø ÒØ ¬ Ö ×Ù× × Ù Ò × Ù ÓÒ Ý ¹
× ÒÖÓÐÐ ÖÐ × Ò ÙÒ ×ÓÐ º Ë Ù Ò × ÐÓÒ ØÙ ¬ × Ö¸ Ô ×Ó× Ù ÓÒ¸ ×ÓÒ O(1)º
Ë Ù Ò × ÐÓÒ ØÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ú Ö Ð ×ÓÒ O(n)º Ë Ù Ò × × Ù Ò ×
ÐÓÒ ØÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ú Ö Ð ×ÓÒ O(n2)º Ë Ù Ò × ÐÓÒ ØÙ Ù Ö Ø Ñ ÒØ
Ú Ö Ð ×ÓÒ O(n3)º Ë Ù Ò Ó ×Ø × Ù Ò Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ÒÓ × Ð ÒØÙ Ö ÕÙ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓ× Ð × ÙÒ ÓÒ × × Ö ÔØÓÖ × Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ø
Ö ÙÒ× Ö ØÓ ÙÒ Ô ÕÙ Ò Ñ Ð ¸ ÙÝ × ÙÖÚ × × ÐÙ×ØÖ Ò Ò Ð ¬ ÙÖ ¿º º
Ò Ð × ×Ù ¹× ÓÒ × ×Ù × Ù ÒØ × ×ØÙ Ö ÑÓ× ÙÒ Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓÑ Ò
Ú Ö» ÓÑ Ò Ö ¸ Ð Ù Ð Ú Ð ÒØÖ Ò Ó× Ô ÖØ × ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð ×º
ÒØÖÓ ×Ø Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ ØÖ Ò ×Ó Ö ×ÓÐÓ ÙÒ Ð × Ô ÖØ ×
Ú × Ò Ó Ð ÓØÖ × Ò ÔÖÓ × Ö ×ÓÒ O(Ð (n)) Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò
ÔÖÓ × Ö Ð Ò Ð Ý ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð × Ó× Ô ÖØ × ×ÓÒ O(n Ð (n))º
Ü ×Ø ÓØÖ Ð × ÔÖÓ Ð Ñ ÙÝ ×ÓÐÙ ÓÒ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ÑÙÝ × ÑÔÐ ¸ ÓÒ× ×Ø Ò
Ð ÙÐ Ö Ý Ò Ð Þ Ö ØÓ × Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ × × Ù Ò × ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÓ× Ð ×º Ù Ò Ó ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ÒÓ ×Ø Ò Ö Ô Ø Ó׸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÙÒ × Ù Ò × n!º Ù Ò Ó¸
ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ×Ø Ò Ö Ô Ø Ó׸ × mn ÓÒ m × Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× Ý n
Ð ÐÓÒ ØÙ Ð × Ù Ò º Ñ × × ØÙ ÓÒ × ×Ø Ò ÓØ × × ÒØÓØ Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð
ÙÒ ÓÒ f(n) = 2n¸ Ð Ù Ð ÒÓ × ÔÓÐ ÒÓÑ º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÙÝÓ Ø ÑÔÓ
Ù ÓÒ × O(2n) ×ÓÒ ÒÓÑ Ò Ó× ÒÓ¹ÔÓÐ ÒÓÑ Ð × Ó¸ ÖÓÒ Ñ Ñ ÒØ ¸ ÆȺ
ÆÓ × × × Ô Ö ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÆÈ Ü ×Ø Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÖÖ ØÓ× ÓÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ×
ÔÓÐ ÒÓÑ ×º Ò ØÓ Ó ×Ó¸ ×Ø ÕÙ ÒÓ × ÑÙ ×ØÖ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÆÈ
×ÓÒ ÒØÖ Ø Ð × Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ¸ ÙÒ Ô Ö ÙÒ Ô ÕÙ Ò × Ð ¸ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ö ÙÖ×Ó×
ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò ÙØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÆÈ ×ÓÒ
Ø Ð Ó× ÒØÖ Ø Ð × Ó Ö ÙÐ Ó× º
À Ö ÙР׸ Ð ÖÓ Ñ ØÓÐÓ Ó Ö Ó

201. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 175
3.1.8 Ordenamiento por inserci´n
o
ÈÓÒ ÑÓ× Ò ÔÖ Ø Ð Ø ÓÖ Ð ÒÓØ ÓÒ O Ñ ÒØ Ð × ÒÓ Ý Ò Ð × × × ÑÔ ÒÓ
ÓØÖÓ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ÒÓÑ Ò Ó Ò× Ö ÓÒ ¸ ÙÝÓ ×ÕÙ Ñ ÒÖÐ×
Ó×ÕÙ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
a[j] = tmp
tmp = a[i]
j ×ÓÖ Ò
A[j] >= A[i]
j ÇÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ i
ÈÖ Ñ ÖÓ¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð ÒØÖ a[i] × Ù Ö Ò tmpº À Ð ÞÕÙ Ö Ð Ò i¸
Ø Ò ÑÓ× ÓÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ × Ö¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ò ÓÖ Ò Ó× Ñ × ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ò
×Ù ÔÓ× ÓÒ ¬Ò Ø Ú º ÄÙ Ó¸ Ð Ò j Ö ØÖÓ Ô ÖØ Ö i - 1 ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ
Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ tmp Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ø Ö ÓÒ¸ Ð Ñ ÒØÓ × Ú ÓÔ Ò Ó
Ð Ö Ñ Ò Ö Ø Ð Ö Ò Ó ÙÒ Ö º Ù Ò Ó j × Ø Ö Ö¸ a[j]
Ø Ò ÙÒ Ö ÓÒ ÓÐÓ ÑÓ× Ð Ú ÐÓÖ a[i] Ñ ÑÓÖ Þ Ó Ò tmpº
ÍÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
void insertion_sort(T * a, const size_t & l, const size_t & r)
{
for (int i = l, j; i <= r; ++i)
{
T tmp = a[i]; // memorice a[i], pues ser´ sobre escrito
a
Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ò× ÖØ Ö ØÑÔ ½
a[j] = tmp; // inserte tmp en la brecha
}
}
ÖÒ Ð Ñ ØÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ÒØ Ö Þ insertion sort() ØÓÑ ÐÓ× Ò ×
ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó ÒØÖ ÐÓ× Ù Ð × × × ÓÖ Ò Ö Ð ÖÖ ÐÓº ×Ø ÒØ Ö Þ × Ö ÙØ Ð Ô Ö
ÓÑ Ò Ö ×Ø Ñ ØÓ Ó ÓÒ ÓØÖÓ× Ñ × ×Ó¬×Ø Ó׺ Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ×ÙÑ Ö ÑÓ× l = 0 Ý r
= n - 1
½ Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ò× ÖØ Ö ØÑÔ ½ ≡ ´½ µ
for (j = i; j > l and Compare() (tmp, a[j - 1]); --j)
a[j] = a[j - 1]; // desplazar hacia la derecha
Ð ÐÓ ÜØ ÖÒÓ ØÙ r − l + 1 = n Ø Ö ÓÒ ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ×Ø × O(n)º
È Ö ×ØÙ Ö Ð ÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ò× ÖØ Ö ØÑÔ ½
Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÓÒÓ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú × ÕÙ ×Ø Ø Ö º ×Ø ÒØ ÔÒ Ð Ú ÐÓÖ
Ð ÔÖ Ó j > l and Compare() (tmp, a[j - 1])¸ ÙÝÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ô Ò Ð
Ô ÖÑÙØ ÓÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [l, i − 1]º Ò ×Ø × ÒØ Ó ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö
Ú Ö × ÔÓ× Ð ×
½º Ë Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [l, i − 1] ×Ø ÓÖ Ò Ó¸ ÒØÓÒ × ÒÓ × ØÙ Ò Ò ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ý Ð
ÐÓ × O(1)º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ñ ØÓ Ó × O(n) × O(1) = O(n)º

202. 176 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
¾º Ë Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [l, i − 1] ×Ø ÓÖ Ò Ñ ÒØ ÒÚ ÖØ Ó × Ö¸ ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ò
ÓÖ Ò Ó× × Ð Ñ ÝÓÖ ×Ø Ð Ñ ÒÓÖ¸ ÒØÓÒ × Ð ÐÓ Ø Ö i − l = i Ú ×¸ ÐÓ
ÕÙ ÒÓ× O(i)º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ i Ô Ò n¸ ÔÓ ÑÓ× Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð
ÐÓ × O(n)º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ ØÓ Ó × O(n) × O(n) = O(n2)º
Ä × × ØÙ ÓÒ × ÔÐ ÒØ × ÓÒ× Ö Ò Ó× × Ò Ö Ó× Ù ÓÒ Ð Ñ ÓÖ ×Ó¸
Ù Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÓÖ Ò Ó¸ Ý Ð Ô ÓÖ¸ Ù Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÒÚ ÖØ Óº
Ë Ð ×ÔÓ× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ × Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒÓ ÐÓ× × Ò Ö Ó× Ø Ò ÙÒ
ÔÖÓ Ð Ó ÙÖÖ Ò 1
n! ÙÒ ÑÙÝ ÔÖÓ Ð ÙÒ Ón × ÖÒ º ×
Ô٠׸ Ò ÙÒ ×Ó Ó Ò Ð ÓØÖÓ¸ Ð Ò Ð × × Ô Ü Ö Ñ ÒØ ÓÔØ Ñ ×Ø Ó Ô × Ñ ×Ø ¸ ÓÒ
Ð ÓÒ× Ù ÒØ Ô Ð ÖÓ × Ö ÖÖ Ð ×Ø Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÜÔÖ × Ö Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ñ ØÓ Óº
È Ö ÔÖ Ö ÐÓ ÕÙ ×Ù Ö ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ð ×Ó ×Ô Ö Óº
Ë ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù Ò ÓÑÓ ÙÒ Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ú ÐÓÖ Ð
Ò Ö j Ø Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÒØÖ l i − 1º Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ô Ö Ó
Ø Ö ÓÒ × Ð ÐÓ Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ò× ÖØ Ö ØÑÔ ½ × Ö Ð ×Ô Ö ÒÞ
ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ × Ö Ø ÒØÖ l i − 1 Ý Ð ÐÓ Ö Ô Ø Ö r−l+1 Ú ×º ×ØÓ
2
× O(n)¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÓÑÓ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ × ÑÔ ÒÓ Ð Ñ ØÓ Ó O(n) × O(n) = O(n2)
Ð Ñ ×ÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÓÖ ×Óº
ÓÑÔ Ö ÑÓ× Ð Ñ ØÓ Ó Ò× Ö ÓÒ ÓÒ Ð × Ð ÓÒº Ù Ð × Ð Ñ ÓÖ Ë Ü¹
Ñ Ò ÑÓ× Ð Ö Ñ ÒØ Ð Ö ×ÙÐØ Ó¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö¸ ÖÖÓÒ Ñ ÒØ ¸ ÕÙ ×ÓÒ
ÕÙ Ú Ð ÒØ × ¹ÕÙ ÐÓ ×ÓÒ¸ × ÒØÓØ Ñ ÒØ ¹º ÑÔ ÖÓ¸ Ð Ð ÞÓ ÒØ ÖÒÓ Ð Ñ ØÓ Ó × ¹
Ð ÓÒ ´ Ë Ñ Ò Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ · ½ Ý Ò ¹ ½ ½ ¿ µ × ÑÔÖ Ø Ö n − i + 1
Ú ×¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ a[i+1 .. n -1] Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÒØ
Ø Ö ÓÒ × Ð Ð ÞÓ ÒØ ÖÒÓ Ð Ò× Ö ÓÒ ´ Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ò× ÖØ Ö
ØÑÔ ½ µ Ô Ò Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ a[l .. i - 1] º È Ö ÔÖ Ò Ö ×Ø Ó¸ ×
ÓÒÚ Ò ÒØ ÔÖÓ ÙÒ Þ Ö Ð Ò Ð × × Ð Ñ ØÓ Ó Ò× Ö ÓÒ Ô Ö Ð ×Ó ÔÖÓÑ Óº Ë
ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ× Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ô Ø ÓÒ × Ð Ð ÞÓ ÒØ ÖÒÓ 2 ¸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× ÓÑÓ ¹
i
× ÑÔ ÒÓ
n−1
i n(n − 1)
= ;
2 4
i=1
ÕÙ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ø ÑÔÓ Ð Ñ ØÓ Ó × Ð ÓÒº Ë Ò Ð × ÙÖÚ ×
Ñ Ó× Ñ ØÓ Ó× ×ÓÒ Ù Ö Ø ×¸ Ð Ð Ò× Ö ÓÒ × Ò Ö ÓÖ Ð Ð × Ð ÓÒº
ÈÓÖ ×Ù × ÑÔÐ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ ×Ù Ó Ó×Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ý ×Ù Ù Ò × ÑÔ ÒÓ Ô Ö
Ô ÖÑÙØ ÓÒ × Ù × ¹ÓÖ Ò × ´O(n)µ¸ Ð Ñ ØÓ Ó Ò× Ö ÓÒ × ÙÒ Ü Ð ÒØ ÐØ ÖÒ Ø Ú
Ô Ö ÓÖ Ò Ö × Ù Ò × Ô ÕÙ Ò ×º
Ä Ú Ö× ÓÒ Ô Ö Ð ×Ø × × Ñ × × Ò ÐÐ ¸ ÔÙ × ÒÓ × Ö ÕÙ Ö Ò Ñ Ò Ö Ò × Ø Ò ×ÓÐÓ
Ö ÓÖÖ Ö Ð Ð ×Ø Ö Ò× ÖØ Ò Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ò ÓØÖ Ð ×Ø ÒÓ Ó Ó × ÖÚ Óº ×Ø
ØÚ Ù×Ø ¬ Ð ÔÖ × Ò Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ù ÒØ
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <class Compare>
void insert_sorted(Dlink & list, Dlink * p)
{
typename Dlink::Iterator it(list);
ÆÓØ ÕÙ Ø Ò × ÒØ Ó ÓÑÔ Ö Ö a[i+1 .. r] ÓÒ a[l .. i - 1] Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó׺ Ò
ØÓ¸ ÔÓÖ Ô ÖÑÙØ ÓÒ a[i+1 .. r]¸ Ü ×Ø ÓØÖ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö a[l .. i - 1] ÕÙ Ø Ò Ð Ñ ×Ñ
ÔÖÓ Ð º

203. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 177
while (it.has_current() and Compare () (it.get_current(), p))
it.next();
if (it.has_current())
it.get_current()->append(p); // insertar a la derecha de current
else
list.append(p);
}
¬Ò ×
insert sorted¸ Ù× Ò ÙÒ ½ º
insert sorted() Ò× ÖØ Ð ÒÓ Ó p Ò Ð Ð ×Ø ÓÖ Ò list × ÙÒ Ð Ö Ø Ö Ó Óѹ
Ô Ö ÓÒ Compareº ÓÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ò× Ö ÓÒ ÕÙ ÓÒ × Ñ ÒØ
¬Ò Ó
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <class Compare>
void insertion_sort(Dlink & list)
{
Dlink aux;
while (not list.is_empty())
insert_sorted<Compare>(aux, list.remove_next());
list.swap(&aux);
}
Í× × insert sorted ½ º
insert sorted() ÙØ ÙÒ ×ÓÐ Ø Ö ÓÒ × Ù Ò × ÓÒ×Ø ÒØ ×º Ä ÙÖ ÓÒ
Ð Ø Ö ÓÒ Ô Ò Ö Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð × Ù Ò list Ý Ð Ú ÐÓÖ ÐÑ Ò Ó
Ò Ð ÒÓ Ó pº ×Ø × Ð Ñ ×Ñ × ØÙ ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ð Ú Ö× ÓÒ Ô Ö ÖÖ ÐÓ׺ Ð Ø ÑÔÓ
insert sorted() ׸ ÒØÓÒ ×¸ O(n) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó Ý Ô Ö Ð ×Ô Ö Óº Ä Ò× Ö ÓÒ
× ÐÐ Ñ × ÓØÖÓ ÐÓÕÙ Ø Ö Ø ÚÓ ÙÝÓ Ø ÑÔÓ ×¸ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ O(n)¸ ÔÙ × Ý ÕÙ
Ö ÓÖÖ Ö ØÓ Ð Ð ×Ø º × Ô٠׸ ÓÑÓ × ×Ô Ö Ö× ¸ Ð Ñ ØÓ Ó × O(n2)º
ÆÓ× Ö ×Ø ÜÔÓÖØ Ö ×Ô Ð Þ ÓÒ × ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ Ô Ö Ð Ø ÔÓ Dnode<T>
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½¾
template <typename T, class Compare>
void insertion_sort(Dnode<T> & list)
{
insertion_sort < Compare_Dnode<T, Compare> > (list);
}
Í× × Compare Dnode ½ Ò Dnode º
3.1.9 B´squeda binaria
u
Ð Ò Ð × × Ð Ñ ØÓ Ó Ò× Ö ÓÒ Ó × Ð ÓÒ ØÖ Ú × ÓÔ Ö ÓÒ × O × × ÑÔÐ Ý
Ö ØÓº Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ ×¸ ×Ó Ö ØÓ Ó Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ׸ × ÔÐ ÒØ Ö ÙÒ
Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò º ÁÐÙ×ØÖ ÑÓ× ×Ø Ñ ÒØ Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ð Ù×ÕÙ
Ò Ö ×Ó Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó
½ Å ØÓ Ó× Ù×ÕÙ ½ ≡
template <typename T, class Compare>
int binary_search_rec(T * a, const T & x, const int & l, const int & r)
{
const int m = (l + r) / 2;

204. 178 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
if (l > r)
return m;
if (Compare() (x, a[m]))
return binary_search_rec<T, Compare>(a, l, m - 1);
else if (Compare() (a[m], x))
return binary_search_rec<T, Compare>(a, m + 1, r);
return m; // encontrado
}
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ó ÙÖÖ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ x Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ
×Ø ÓÖ Ò Ó ÒØÖ l Ý rº Ë l > r¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ò Ó Ù×ÕÙ ×Ø Ú Ó Ý Ø Ò ÑÓ×
Ð ÖØ ØÙ ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØÓ x ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ ÒØÖÓ Ð Ö Ò Óº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸
Ò×Ô ÓÒ ÑÓ× Ð Ð Ñ ÒØÓ × ØÙ Ó Ò Ð ÒØÖÓ × ×Ø ÓÒØ Ò Ð Ú ÐÓÖ x¸ ÒØÓÒ × m
× Ð Ö ×ÙÐØ Óº Ë ÒÓ¸ ÑÓ׸ × ÙÒ Ð ÓÖ Ò x¸ Ò Ù Ð ÐÓ× Ó× ×Ù Ö Ò Ó×
ÑÓ× Ù× Ö Ð ÞÕÙ Ö Ó Ó Ð Ö Óº
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ö Ò Ó [l, r] × Ö ÒÐ nº
Ù Ò Ó n ≤ 0 Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ O(1)º Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸
Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× ÒØÖÓ Ð Ö Ò Ó¸ ÒØÓÒ × ÔÙ Ò Ó ÙÖÖ Ö Ó× Ó× × Ó Ð Ð Ñ ÒØÓ ×
Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÒØÖÓ¸ Ó Ý ÕÙ Ù× Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ Ð × Ô ÖØ ÓÒ ×º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ó ÙÖÖ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ¸ Ð Ö ×ØÓ Ð Ø ÑÔÓ × ÓÒ×ÙÑ
×Ó Ö ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð ÒØÖ º ÈÐ ÒØ ÑÓ׸ Ô٠׸ Ð × Ù ÒØ Ù ÓÒ
Ö ÙÖÖ ÒØ
T (n) =
O(1) × n≤0 . ´¿º½ µ
T (n/2) + O(1) × n ≥ 1
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ð ÖÓ ÖÖÓÖ Ò Ð Ö ÙÖÖ Ò Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú Ó ÙÖÖ ×Ó¹
Ö T ((n − 1)/2) Ý ÒÓ ×Ó Ö T (n/2) ÓÑÓ × ÜÔÖ × Ò ´¿º½ µº ×Ø ÖÖÓÖ¸ ÕÙ ÐØ
Ñ Ò ÔÙÐ Ö T (n)¸ × ×ÔÖ Ð ¸ ÔÙ × ÙÒ Ô ×Ó Ù ÓÒ Ñ ÒÓ× ÒÓ ÐØ Ö Ö Ð Óѹ
ÔÓÖØ Ñ ÒØÓ × ÒØÓØ Ó T (n)º
ØÙ ÑÓ× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ n = 2k =⇒ k = Ð (n) ×ØÓ ×ÙÑ ÕÙ n × ÙÒ
ÔÓØ Ò Ü Ø 2¸ ÐÓ Ù Ð × ÑÙ × Ú × ÒÓ × Ö Ð ×Ó¸ × × Ú Ð Ó Ò Ð ÓÑ Ò Ó
Ð ÒÓØ ÓÒ Oº Ä Ö ÙÖÖ Ò ´¿º½ µ × ÜÔÖ × ¸ ÒØÓÒ ×
T (2k) =
× k=0 .
O(1)
´¿º½ µ
T (2k−1) + 1 × k > 0
ÄÓ ÒØ Ö × ÒØ Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ × ÕÙ ÜÔÖ × Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÙÖÖ Ò ÓÑÓ
ÙÒ ×ÙÑ ØÓÖ º Ò ØÓ¸ ÜÔ Ò Ò ÓÐ Ø Ò ÑÓ×
T (2k) = T (2k−1) + 1 = T (2k−2) + 1 + 1
= T (200) + 1 + · · · + 1 + 1 = k + 1 ´¿º½ µ
ÓÖ Ö Ð Þ ÑÓ× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÒÚ Ö×
T (n) = Ð (n) + 1 , ´¿º½ µ
Ð Ù Ð Ð Ö Ñ ÒØ × O(Ð (n)) ÙÒ ¬ Ò ×Ô Ø ÙÐ Öº Ä Ù×ÕÙ Ò Ö ×¸ Ò
Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ O(Ð (n))º Ë Ö ÕÙ Ö ÙÔÐ Ö Ð ÒØÖ Ô Ö ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÖ ÙÒ
ÙÒ Ø ÑÔÓ Ñ ×º

205. 3.1. An´lisis de algoritmos
a 179
3.1.10 Errores de la notaci´n O
o
À Ý Ó× ÓÒ × ×Ø ÒØ ÒÓØ Ð × Ð ÒÓØ ÓÒ Oº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÐÐ Ó Ø Þ
Ð ÑÔÖ × ÓÒº ÈÓ ÑÓ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÕÙ Ð × ÓÒ×Ø ÒØ × Ð ¬Ò ÓÒ c Ý n1 ×ÓÖ Ò
Ð × Ó× Ò Ö × × ×Ù Ø Ú × ÕÙ Ý ÑÓ× × Ò Ð Ó ´Ø ÔÓ ÓÑÔÙØ ÓÖ¸ ºººµº Ò × ÙÒ
Ò×Ø Ò ¸ Ð ÒÓØ ÓÒ Ô ÖÑ Ø ×ØÙ Ö ÙÒ ÓÒ × T (n) Ð Ø ÑÔÓ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ó
ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × × Ò ÐÐÓ ÕÙ Ð ÓÒØ Ó Ý Ð Ö ØÖ ÓÒ Ðº
È ÖÓ ØÓ Ó Ø Þ ÓÒ ÖÖ ÙÒ ÔÖ Ó¸ ÔÓÖ ÖØÓ ×Ø ÒØ Ó Ø ÚÓ Ý Ò Ö Ð
ØÓ Ó Ø Þ ÓÒ¸ Ù Ð × Ð Ó ÙÐØ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÐÓ ×Ù Ø ÚÓ ÕÙ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ Ò ÑÙ Ó×
×Ó× ÔÙ × Ö ÑÔÓÖØ ÒØ × ÑÓ¸ × ÒÓ × ÖÐ × Ò Ð × ÑÓ¸ ÔÙ × × ÖÖ × × Ò ×ÙÔÖ ÑÓ
ÐÐ Ñ Ó Ú Ö º
×ÔÙ × Ò Ð Þ Ö Ð Ñ ØÓ Ó Ò× Ö ÓÒ Ý ÓÑÔ Ö ÖÐÓ ÓÒ Ð × Ð ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ×
Ö × ÐØ Ö ÕÙ Ð ÒÓØ ÓÒ O ×ÓÐÓ ÖÖÓ Ð ÓÖÑ T (n) Ô Ö ÒØÖ × ÑÙÝ Ö Ò ×º
Ó¸ Ð ÑÔÖ × ÓÒ Ð ÒÓØ ÓÒ O × ¸ ÒØÖ ÓØÖÓ× ×Ô ØÓ׸ ÐÓ× ÕÙ × Ö ×ÙÑ Ò
Ò Ð × × Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ ×
½º ÆÓ × ÓÒ× Ö Ò ÐÓ× Ó×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÔÖÓÔ ¬Ò ÓÒ O
× ÖØ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ØÓÑ Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ò O(1)º
¾º ÄÓ× Ó×Ø × Ú Ö Ð ×¸ Ô ÖÓ Ò Ö ÓÖ × Ð ÙÖÚ ÓÑ Ò ÒØ ¸ Ø ÑÔÓ Ó × ÓÒ× Ö Òº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Ö Ø Ó ÓÒ ÙÒ × Ò Ð ÔÖ ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓ O(n)¸ ÐÙ Ó ÙÒ × O(n2) ÓÒ × ÙØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò × Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸
ÙÒ × ¬Ò Ð ÔÓ×ØÔÖÓ × Ñ ÒØÓ O(n)º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ×¹
ØÖ Ó ÔÓÖ O(n) + O(n2) + O(n) = O(n2)º ÓÖ Ò¸ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ¬Ò Ð O(n2)
Ó ÙÐØ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ó× Ó×Ø × ÓÒ× Ö Ð × ×Ó Ó× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÔÖ Ý Ð
ÔÓ×ØÔÖÓ × Ñ ÒØÓ¸ ÐÓ× Ù Ð ×¸ ÙÒ Ù Ò Ó ×ÓÒ Ð Ò Ð ×¸ ÔÙ Ò × Ö Ó×ØÓ× × ÑÓ× ×
ÓÒÐÐ Ú Ò ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ ÑÙÝ ÐØ º
¿º Ð Ö Ø Ö Ö Ð T (n) × × ÓÒ ØÓØ ÐÑ ÒØ ÔÓÖ Ð ÓØ ÓÒ O(f(n)) Ô٠׸ Ò
Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ú ×¸ T (n) = f(n) Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ × Ò Ð Ö ÕÙ O(f(n))
×ÓÐÓ Ø Ò × ÒØ Ó Ô Ö ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ × ÕÙ Ð ÓÒ×Ø ÒØ n1 ÔÐ ÒØ ÒÐ
¬Ò ÓÒ ¿º½º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ¬ÖÑ Ö ÕÙ T (n) = O(f(n)) × ÓÒÓ Ð Óѹ
ÔÓÖØ Ñ ÒØÓ T (n) ÒØ × n1º
Ä Ö ¬ ¿º × Ò Ð ¸ ÖØ × Ò Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ Ð ÓÑ Ò Ó ÓÒ Ð ÒÓØ ÓÒ O ×
ÓÒ¸ ÖØ ØÙ ¸ Ú Ö Ä ÒÓØ ÓÒ O × ÖØ Ö Ñ ÒØ ÔÖ × Ò Ð ÓÑ Ò Ó ÐÓ Ò¬Ò ØÓ
´Ó Ð Ø ÖÒ µ¸ Ô ÖÓ ×Ø ÓÑ Ò Ó ÔÙ × Ö ÑÙÝ ×ØÖ ØÓ Ý Ð ÒÓ Ð ÙÒ Ö Ð
ÓÒ Ö Ø º ÈÓÖ ×Ó¸ ÓÑÓ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ó Ø ÚÓ¸ Ý ÕÙ Ò Ö ÓÒ ×ÙÑÓ Ù Óº
Ó×Ø × ÑÙÝ Ö Ò ×¸ Ò ÓÖ Ð ×¸ Ô ÖÓ ÓÒ×Ø ÒØ ×¸ ÔÙ Ò ÕÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
Ó ÙÐØÓ× ÔÓÖ ÙÒ Ò Ð × × Oº ÄÓ Ñ ×ÑÓ ÔÙ ×Ù Ö ÓÒ ÓØÖÓ× Ó×Ø × × ÒØÓØ Ñ ÒØ
Ò Ö ÓÖ × Ô ÖÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ×ÙÔ Ö ÓÖ ×º Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ó ÙÐØ Ñ ÒØÓ ØÓØ Ð Ð ÓÖÑ
T (n)¸ ÔÙ ÖÖ Ö ×ÓÖÔÖ × × × Ð Ù ÓÒ ×ÓÐÓ Ø Ò × ÒØ Ó Ô Ö × Ð × Ò Ö ÓÖ ×
Ð ÓØ × ÒØÓØ n1 Ð ¬Ò ÓÒ ¿º½º ÉÙ Þ ÐÓ Ô ÓÖ¸ ÔÓÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ × ÕÙ
ÙÒ Ú Þ ÔÙ Ð Ó ÙÒ Ò Ð × × O¸ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÐÓ× Ó×Ø × Ý × Ò Ð Ó× Ø Ò Ò
× ÔÙÐØ Ö× Ô Ö × ÑÔÖ º

206. 180 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
∞
∞
ÓÑ Ò Ó Ü ØÓ Ð ÒÓØ ÓÒ O
Ê Ð
n1 ∞
ÙÖ ¿º ÁÐÙ×ØÖ ÓÒ Ö ¬ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÒÓØ ÓÒ O
3.1.11 Tipos de an´lisis
a
ÓÑÓ Ý Ö Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÐÓ ÑÓ× Ó¸ Ý Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÒÓ ×ÓÐÓ Ô Ò Ò Ð Ø Ñ ÒÓ
Ð ÒØÖ ¸ × ÒÓ¸ Ø Ñ Ò¸ Ð ÓÖÑ Ò ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ð ÒØÖ º Ð Ñ ØÓ Ó
Ò× Ö ÓÒ Ó Ö ÙÒ Ù Ò ÑÔÐÓº
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ù Ò Ó × Ò Ð Þ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × ÓÒ× Ö Ò Ó× Ô Ö×Ô Ø Ú ×º Ä
ÔÖ Ñ Ö ÓÒ× ×Ø Ò Ò Ð Þ ÖÐÓ Ô Ö Ð ÒØÖ ÕÙ Ù× Ð Ô ÓÖ Ù ÓÒ Ð × ÙÒ Ô Ö
Ð ÒØÖ ×Ô Ö º
× × ÑÔÖ × Ö ÕÙ Ö Ð Ò Ð × × Ô Ö Ð Ô ÓÖ ÒØÖ ¸ ÔÙ × ×Ø ÔÐ ÒØ ÙÒ ÓØ
Ù ÓÒº Ð Ô ÓÖ ×Ó ÒÓ× Ó Ö ÙÒ ×Ô Ö ÒØ Ö Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸
ÔÙ × Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÒØÖ Ö ÒØ Ð Ô ÓÖ × Ö Ñ ÓÖº ×Ø Ö ÒØ × ÔÖ Ð
Ù Ò Ó × Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× Ù ÓÒ ÙÖÓ׸ ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ò
­ Ü Ð Þ Ö Ý Ò ÐÓ× Ù Ð × ÒÓ × ÔÙ Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ð Ù ÓÒº
Ð Ò Ð × × Ô Ö Ð ÒØÖ ×Ô Ö ÔÐ ÒØ ÙÒ ÔÖ ÓÒ¸ ÙÒ ÜÔ Ø Ø Ú Ö Ð
Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ñ × ÔÖÓ Ð º Ë ØÖ Ø ÙÒ ×Ô Ö ÒÞ × Ö¸ ÐÓ ÕÙ × ×Ô Ö
ÕÙ ×Ù ÑÙ × Ú ×¸ Ô ÖÓ ÒÓ × ÑÔÖ º Ä ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ú × ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
× ÓÑÔÓÖØ Ö ÓÑÓ ÐÓ ×Ô Ö Ó Ô Ò Ö Ð Ú Ö ÒÞ Ð ÒØÖ º × Ñ ÒØ ¸
×Ø Ø ÔÓ Ò Ð × × × ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö Ò Ó× × ØÙ ÓÒ ×º Ä ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ó Ð ÒØÖ
×Ô Ö × ×Ø ÒØ ÔÖÓ Ð × Ö¸ Ù Ò Ó Ð Ú Ö ÒÞ Ð ÒØÖ × Ô ÕÙ Ò º
Ä × ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ù Ò Ó × ÔÐ ÒØ ÓÑÓ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ × Ø × Ö Ð ÔÖÓÑ Ó
×Ó× × Ò ÑÔÓÖØ Ö Ð ÙÒ × Ñ Ð × Ù ÓÒ × Ù× × ÔÓÖ ÙÒ Ñ Ð ÒØÖ º Ò Ñ ×
× ØÙ ÓÒ × × ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒÓ Ö Ð Ú Ö ÒÞ º
3.2 Algoritmos dividir/combinar
ÍÒ Ø Ò Ð ÒØ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ× ×Ø Ò Ú ÖÐÓ Ò Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × Õ¹
Ù Ø Ø ÚÓ׸ ÙÝ × ÓÑÔР׸ Ñ ÒÙ Ó ÜÔÖ × × Ò ÙÒ ÓÒ Ð × Ð ¸ ×ÓÒ Ñ ÒÓÖ ×
ÕÙ Ð × Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ðº Ð ÔÖÓ ×Ó Ú × ÓÒ × Ö Ô Ø Ö ÙÖÖ ÒØ Ñ ÒØ ÓÒ
ÙÒ Ð × Ô ÖØ × ×Ø Ð ÒÞ Ö ÓÑÔÐ × Ô ÖØ ÙÐ Ö × ÙÝ ×ÓÐÙ ÓÒ × ÓÒÓ º
Ô ÖØ Ö ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ¸ × ÓÑ Ò ÙÒ Ô Ö ×ÓÐÙ ÓÒ × Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒ

207. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 181
Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ò Ñ ÒØ Ú Óº Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ó× ×ÓÐÙ ÓÒ × Ô Ö
Ó Ø Ò Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø × Ð ÒÓÑ Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ó ÓÒÕÙ ×Ø º
È Ö ÔÐ Ö ×Ø Ø Ò × Ö ÕÙ Ö ´½µ × Ö Ú Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý ´¾µ × Ö ÓÑ Ò Öº
×Ø × Ð Ô ÖØ ×Ù Ø Ú × Ñ Ò Ð × ÒÓ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö» ÓÑ Ò Öº ÈÓÖ ÓÒØÖ ×Ø ¸
Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ý Ò Ð × × ×Ø Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ø Ò ÙÒ ×ÕÙ Ñ ÑÙÝ Ó Ø ÚÓº
Ó ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ P ÓÒ ÒØÖ Ø Ñ ÒÓ n¸ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö» ÓÑ Ò Ö¸ ÙÝ
ÙÖ ÓÒ × × Ö ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ T (n) Ý ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ P × ×ØÖÙ ØÙÖ ¸ Ñ Ò Ö
Ò Ö Ð Ý Ó Ø Ú ¸ Ò Ð × Ô ÖØ × × Ù ÒØ ×
½º Identificaci´n de un problema particular y su soluci´n
o o
×Ø Ô ÖØ ÒØ ¬ ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ÙÒ Ø Ñ ÒÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö
ÒØÖ n < nbº Ò ×Ø × ¸ × Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö ÓÑÓ Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö
Ð Ó ÙÖÖ Ò ÒØÖ Ô ÖØ ÙÐ Öº
×Ø Ô ÖØ × Ð ÐÐ Ñ × º
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ × Ù ×Ø T (nb)º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ nb × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÐÓ Ñ ×
ÔÖÓ Ð × ÕÙ T (nb) × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ¸ Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ú ×¸ Ð Ó×Ø
T (nb) = O(1), n ≤ nbº
¾º Divisi´no
Ò ×Ø Ô ÖØ × Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó× Ô ÖØ ÓÒ × ÕÙ Ø Ø Ú × Ø Ñ ÒÓ× n1 ≈
n2 ≈ n º
2
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ú × ÓÒ Ù ×Ø O(fd(n))º
¿º Recursi´n o
×Ø Ô ÖØ ÓÒ× ×Ø Ò Ö ×ÓÐÚ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ô ÖØ ÓÒ Ý Ó Ø Ò Ö ×ÓÐÙ¹
ÓÒ × s1(n1) Ý s2(n2)º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú ×¸ Ð Ó×Ø × × ÓÒÓ Ó ×Ø Ø ÒØÓ ÒÓ ×
ÓÒÓÞ Ð Ó×Ø Ð ×Ó × Ý Ð ÓÑ Ò ÓÒº ÑÔ ÖÓ¸ Ñ ÒÙ Ó Ð Ó×Ø
ÔÙ ÜÔÖ × Ö× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ T (n1) + T (n2)¸ ÔÙ × Ð × ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú ×
× ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ð Ñ ×Ñ ÙÒ ÓÒ ÙÖ ÓÒ¸ Ô ÖÓ Ô Ö ÒØÖ × Ñ ÒÓÖ ×º
º Combinaci´n o
Ò ×Ø × × ÓÑ Ò Ò Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × s1(n1) Ý s2(n2) Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð × ÐÐ Ñ ×
Ö ÙÖ× Ú × Ò ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ¬Ò Ø Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ º
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ù ×Ø O(fc(n))º
ÐÓ ÕÙ Ò ×Ø ÓÒØ ÜØÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× ÓÑ Ò Ö ¸ Ò Ò Ð ×¸ ØÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ × Ð ÒÓÑ Ò ÓÒÕÙ ×¹
Ø Ö º ÓÖ Ò¸ Ô Ö ÒÓ×ÓØÖÓ׸ Ñ Ö ÒÓ׸ ÕÙ Ò × Ù ÑÓ× ÓÒÕÙ ×Ø Ó× Ý Ú × ÐÐ Ó׸ Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÔÙ
× Ö Ð Ó¸ ÔÙ × Ú × Ð Ð Ò Ù Ð ÙÒ ÓÖÑ Ò Ù ØÖ ÑÔ ×º Ä ÜÔÖ × ÓÒ Ú Ö Ý ÓÒÕÙ ×Ø Ö
ÔÖÓÚ Ò Ð Ö ÓØ ÔÓÐ Ø Ó¹Ñ Ð Ø Ö Ý ÒÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ú Ö ÓÒ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ÓÒ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÖÓ ¹
Ð Ñ × ÙÑ ÒÓ× ØÓ Ó ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó ÓÖ Ò Ó ÙÒ Ú ×Ø ÒØ Ö Ú × ÑÓ× ÔÖÓ Ð Ñ ×º Ú Ö ÙÒ
ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó× Ñ × Ô ÕÙ ÒÓ× Ø Ò ÑÙ Ó × ÒØ Ó Ô ÖÓ ×Ó Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÓÒ ÓÒÕÙ ×Ø Ö ØÖ Ú ×
×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ × ÔÙ Ö Ò Ù Ö Ô Ò× Ö ÕÙ Ú Ò Ó × ÓÒÕÙ ×Ø Ó¸ Ô ÓÖ¸ ÕÙ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ×
Ý ÕÙ ÓÒÕÙ ×Ø Öº

208. 182 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ë ÙÒ ÐÓ ÜÔÖ × Ó¸ Ð ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö» ÓÑ Ò Ö × ÓÖÑÙÐ Ñ ÒØ
Ð × Ù ÒØ Ö ÙÖÖ Ò
⎧
⎪O(fb(n))
⎨ , n ≤ nb
T (n) = O(fd(n)) +
⎪ T (n1) + T (n2) + O(fc(n)) , n > nb ´¿º½ µ
⎩
Ú × ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÓÒ × ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ ÓÑ Ò ÓÒ
ÅÙÝ Ñ ÒÙ Ó¸ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö» ÓÑ Ò Ö × ÔÖ ×Ø ÐÑ ÒØ
×Ù Ñ Ò Ó ÓÒ ÙÖÖ ÒØ × Ö¸ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ÔÙ Ò ØÖ Ø Ö× ÔÓÖ ÐÓ× Ó ÔÖÓ ×Ó×
Ù ÓÒ ×Ø ÒØÓ׺ Ë ×ØÓ× ÐÓ× ×ÓÒ ÙØ Ó× ÔÓÖ ÔÖÓ × ÓÖ × Ñ Ø Ö Ð × ×Ø Ò¹
ØÓ׸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ×Ù ¹ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÙ Ò Ö ×ÓÐÚ Ö× × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ý¸ ×Ø ÑÓ Ó¸ Ñ ×
Ö Ô Ñ ÒØ ÕÙ ÙÒ ×ÓÐÓ ÔÖÓ × ÓÖº Ä Ú ÐÓ ¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ô Ò Ð ÒØ
ÔÖÓ × ÓÖ × ÕÙ × ×ÔÓÒ ¸ Ð Ò ÓÐ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ð Ð Þ Ö Ý Ð × Ú ÖØÙ ×
Ð × Ò ÓÖ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÕÙ Ö Ð Ð Ô Ö Ð Ð Þ ÓÒº
3.2.1 Ordenamiento por mezcla
ÑÔÐ ¬ÕÙ ÑÓ× Ð × ÒÓ Ý Ò Ð × × ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö» ÓÑ Ò Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ó¹
Ö ØÑÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÒÓÑ Ò Ó ÑÞÐ ¸ Ð Ù Ð× ×Ö ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
½¾ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
ÑÞÐ ÖÖ ÐÓ× ½ ¿
template <typename T, class Compare>
void mergesort(T * a, const int & l, const int & r)
{
if (l >= r)
return;
const int m = (l + r)/2;
mergesort<T, Compare>(a, l, m);
mergesort<T, Compare>(a, m + 1, r);
merge<T, Compare>(a, l, m, r);
}
Í× × merge ½ ¿ Ò mergesort ½ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ô ØÖÓÒ Ú Ö» ÓÑ Ò Öº Ä ×
ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ö Ð Þ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ merge()¸ Ð Ù Ð × Ò Ö Ñ Þ Ð Ö Ó×
Ô ÖØ ÓÒ × ÓÖ Ò ×º ÒØ × Ò Ö Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÓÒÓ Ö ÓÑÓ
× ØÙ Ð Ñ Þ Ð Ý Ò Ð Þ Ö ×Ù × ÑÔ ÒÓº
3.2.1.1 Mezcla (merge)
Ä Ñ Þ Ð ×ÙÑ Ó× × Ù Ò × ÓÖ Ò ×¸ Ò ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× [l, m] Ý [m + 1, r]º Ë
ØÙÚ × ÑÓ× Ó× ÖÖ ÐÓ× ÓÖ Ò Ó׸ ÒØÓÒ × ÔÓ Ö ÑÓ× Ñ Þ Ð ÖÐÓ× Ò ÙÒ Ø Ö ÖÓ ÔÓÖ ¹
ÖÖ Óº Ø Ö ÓÒ¸ ÓÑÔ Ö ÑÓ× Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÖÖ ÐÓ¸ ÓÔ ÑÓ× Ð Ñ ÒÓÖ
ÐÓ× Ó× Ð ÖÖ ÐÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ý Ú ÒÞ ÑÓ× Ð Ð Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ò Ð ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò
Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓº
Ò ÒÙ ×ØÖ × ØÙ ÓÒ¸ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ô ÖØ ÓÒ Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÕÙ Ø Ø Ú × ÕÙ
Ý ×Ø Ò ÓÖ Ò ×º Ð ÔÖÓ ×Ó Ñ Þ Ð ÓÔ Ö Ð ÖÖ ÐÓ a[] ÙÒÓ ÙÜ Ð Ö ÕÙ
ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× b[]º ÆÓ × ÔÓ× Ð Ú Ö Ð Ù×Ó ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒ Ðº

209. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 183
ÓÒ Ñ Ö × × ÑÔÐ ¬ Ö Ð Ñ Þ Ð ¸ Ö Ð Þ Ö ÑÓ× Ð ÓÔ Ð ÖÖ ÐÓ a Ð × ÙÒ Ó
ÖÖ ÐÓ b × ÙÒ Ð × Ù ÒØ ×ÕÙ Ñ
l m r
a a[l..m] a[m + 1..r]
ÓÔ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿ ÓÔ ÒÚ ÖØ × ÙÒ Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿
l m r
b a[l..m] a[m + 1..r]
× Ö¸ ÒØÖ 0 Ý m ÓÔ ÑÓ× Ð ÖÖ ÐÓ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÒØÖ m + 1 Ý r ÐÓ
ÒÚ ÖØ ÑÓ׺ ×Ø ÓÖÑ ¸ Ù Ò Ó × ØÙ Ð Ñ Þ Ð ¸ ÐÓ× Ñ ÝÓÖ × Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ö Ò
ÒØ Ò Ð × Ò ØÙÖ Ð × ÕÙ ÒÓ× ÓÖÖ Ö Ò ÙÒ × ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ ÙÒ if ÕÙ
×Ó Ö Ù Ð Ð × Ó× Ñ Ø × Ý ÕÙ Ö Ð Þ Ö Ð Ö ×ØÓ Ð ÓÔ º
½¿ ÓÔ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿ ≡ ´½ ¿ µ
for (i = l; i <= m; i++)
b[i] = a[i];
½¿ ÓÔ ÒÚ ÖØ × ÙÒ Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿ ≡ ´½ ¿ µ
for (j = r, i = m + 1; i <= r; i++, j--)
b[i] = a[j];
ÍÒ Ú Þ ÓÔ × Ð × Ô ÖØ ÓÒ × Ò Ð ÖÖ ÐÓ b¸ ÔÖÓ ÑÓ× Ñ Þ Ð ÖÐ × Ò Ð
ÖÖ ÐÓ a ÓÑÓ × Ù
l m r
b a[l..m] a[m + 1..r]
i j
l min(b[i], b[j]) r
a
k
ÄÓ Ù Ð × ÑÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½¿ Ñ Þ Ð ÖÑØ ×½ ¿ ≡ ´½ ¿ µ
for (k = l, i = l, j = r; k <= r; k++)
if (Compare() (b[i] < b[j]))
a[k] = b[i++];
else
a[k] = b[j--];
Ý ÕÙ ÓÑÔÐ Ø ØÓ Ó ÐÓ Ò × Ö Ó Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð ÖÙØ Ò merge()
½¿ ÑÞÐ ÖÖ ÐÓ× ½ ¿ ≡ ´½ ¾µ
template <typename T, class Compare>
void merge(T * a, const int & l, const int & m, const int & r)
{
int i, j, k;
T b[r - l + 1];

210. 184 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
ÓÔ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿
ÓÔ ÒÚ ÖØ × ÙÒ Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿
Ñ Þ Ð ÖÑØ ×½ ¿
}
¬Ò ×
merge¸ Ù× Ò ÙÒ ½ ¾º
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ m × Ð ÒØÖÓ Ð Ô ÖØ ÓÒº
3.2.1.2 An´lisis del mergesort
a
È Ö Ò Ð Þ Ö Ð mergesort() Ù× ÑÓ× Ð Ù ÓÒ ´¿º½ µ Ý ÔÐ ÒØ ÑÓ×
O(1) ,n ≤ 1
T (n) = . ´¿º½ µ
2T (n/2) + O(fc(n)) ,n > 1
ÓÒ O(fc(n)) × Ð ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓ Ð × ÓÑ Ò ÓÒ¸ Ó × Ð ÙÒ ÓÒ
merge()º Ð Ö Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÓÔ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿ Ý ÓÔ ÒÚ Ö¹
Ø × ÙÒ Ñ Ø ÖÖ ÐÓ ½ ¿ ÓÒ×ÙÑ Ò n/2 Ô ×Ó× Ù ÓÒ¸ ÐÓ ÕÙ ÐÓ× O(n)º
Ð ÐÓÕÙ Ñ Þ Ð Ö Ñ Ø × ½ ¿ ÓÒ×ÙÑ Ü Ø Ñ ÒØ n ÙÒ × Ù ÓÒ ÐÓ ÕÙ
ÐÓ Ø Ñ Ò O(n)º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ merge() ÓÒ×ÙÑ O(n) + O(n) + O(n) = O(n)º
×Ø ÑÓ Ó¸ ´¿º½ µ × ÔÐ ÒØ ÓÑÓ
O(1) ,n ≤ 1
T (n) = . ´¿º¾¼µ
2T (n/2) + O(n) ,n > 1
×Ø Ö ÙÖÖ Ò Ø Ñ Ò ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× ×ÙÑ Ò Ó n = 2k =⇒ k = Ð (n) Ó × ¸
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ n × ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø 2º È Ö n > 1¸ ´¿º¾¼µ × ÔÐ ÒØ ÓÑÓ
T (2k) = 2T (2k−1) + O(2k) =⇒ ´ Ú ÑÓ× ØÓ Ð Ù ÓÒ ÒØÖ 2kµ
T (2k) T (2k−1)
= + O(1)
2k 2k−1
T (2k−2)
= + O(1) + O(1) = O(1) + · · · + O(1) +O(1)
2k−2
kÚ ×
= O(k) + 1 ´¿º¾½µ
Ð Ö Ö × Ö Ð ÔÐ ÒÓ n Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ´¿º¾½µ × ÔÐ ÒØ ÓÑÓ
T (n)
= O(Ð (n)) + O(1) =⇒
n
T (n) = O(n Ð (n)) + O(n) = O(n Ð (n)) ; ´¿º¾¾µ
Ô Ö n = 2kº Ð Ù Ð ×Ø × ÒØÓØ Ñ ÒØ ÓØ Ó ÔÓÖ O(n Ð (n))º Ò Ð Ò¬Ò ØÓ Ð ÑÙй
Ø ÔÐ n ÒÓ Ø Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ × ÒØÓØ Ó¸ ÔÙ × ×Ø ÒÓ Ø Ð Ö ÙÖÖ Ò º
Ò ÓØÖÓ× Ø ÖÑ ÒÓ׸ Ð ÕÙ n × Ó ÒÓ ÔÓØ Ò Ü Ø Ó× ÒÓ Ñ Ö Ð Ó
ÕÙ T (n) × O(n Ð (n))º
Ð Ñ ØÓ Ó ÔÓÖ Ñ Þ Ð × O(n Ð (n)) Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó× Ñ ÓÖ¸ Ô ÓÖ Ý ÔÖÓÑ Óº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò × ÒÓ ×Ø Ò Ù Ð ÓÖÑ Ð ÒØÖ × ÑÔÖ Ù ×Ø
O(n Ð (n)) Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð ×ÔÓ× ÓÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ð ÖÖ ÐÓº

211. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 185
3.2.1.3 Estabilidad del mergesort
ÙÒ Ø Ð Ö ×ØÖÓ׸ × Ö¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒ ÓÐÙÑÒ × Ø ÔÓ× Ù Ð × Ó Ö ÒØ ×¸
ÙÒ Ð Ú ÔÖ Ñ Ö × ÙÒ ÕÙ ÒÓ × Ö Ô Ø Ò ÙÒ ¬Ð º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÙÒ Ó
ÒØ Ò ÓÒ Ð ÒÓ ×Ø × Ò Ó Ô Ö Ö Ô Ø Ö× º ÍÒ Ð Ú × ÙÒ Ö × ÙÒ ÕÙ
ÔÙ Ö Ô Ø Ö× Ò Ó× Ó Ñ × ¬Ð × ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸ ÐÓ× ÒÓÑ Ö × Ý Ô ÐÐ Ó׺
Ó Ð ¬Ò ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ × Ð ¬ ×Ø Ð × ¸ Ð
ÓÖ Ò Ö ÔÓÖ Ð Ú × ÙÒ Ö ÙÒ × Ù Ò Ö ×ØÖÓ× ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÓÖ Ò ÔÓÖ Ð Ú
ÔÖ Ñ Ö ¸ ÒØÓÒ × Ð × Ð Ú × × ÙÒ Ö × Ö Ô Ø × × ÓÒ× ÖÚ Ò ÓÖ Ò × × ÙÒ Ð Ð Ú
ÔÖ Ñ Ö º
Ò Ð × ÒØ Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð Ñ ØÓ Ó Ñ Ö ×ÓÖØ × ×Ø Ð º
3.2.1.4 Coste en espacio
Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ × ÓØÖÓ Ó×Ø ÕÙ × ÑÔÖ ÓÒ× Ö Ö× Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ð Þ Ö
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ ÐÓ× ÔÓÖ Ñ Þ Ð × ÙÒ Ù Ò ÑÔÐÓ¸
ÔÙ × Ð ÖÙØ Ò merge() Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð n ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó
Ò Ù ×Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö ×Ô Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð O(n)º × Ô٠׸ × × × ÙØ Ð Þ Ö ×Ø Ñ ØÓ Ó¸
ÒØÓÒ × × ÙÖ Ö× Ð ×ÔÓÒ Ö Ð ×Ô Ó ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ö Ó Ô Ö ×Ù Ù ÓÒº
3.2.1.5 Ordenamiento por mezcla de listas enlazadas
Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð Ù ÓÒ Ó ÑÙÝ ÓØÖÓÖ ¸ Ù Ò Ó ÑÙÝ ÔÓ Ñ ÑÓÖ Ý
ÐÓ× Ñ Ó× ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ö Ó Ö Ò ÒØ × Ñ Ò Ø × Ð ÒØ × Ñ ×º Ò ÕÙ ÐÐÓ×
Ø ÑÔÓ׸ ÓÖ Ò Ö Ö ÕÙ Ö Ð Ñ Þ Ð Ú Ö × ÒØ ×º
ÙÒÕÙ ÓÝ Ò ×ÔÓÒ ÑÓ× ÑÙÝ ÜØ Ò× × Ñ ÑÓÖ × Ý Ñ Ó× ÐÑ ¹
Ò Ñ ÒØÓ Ñ × ÚÓ ÒÓ × Ù Ò Ð ×¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð ÒÓ × Ô Ö Ò Ó ×ÓÐ ØÓº
ÌÓ Ó ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ö ÒØ O(n Ð (n)) ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÓÖ Ò Ö Ø Ú ¹
Ñ ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ý ÕÙ ¸ Ò Ò ÙÖ ¸ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ×Ô Ó ÓÒ Ðº Ì Ð Ñ Þ Ð ×
×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½¾ ½
template <class Compare>
void merge_lists(Dlink & l1, Dlink & l2, Dlink & result)
{
while (not l1.is_empty() and not l2.is_empty())
if (Compare () (l1.get_next(), l2.get_next()))
result.append(l1.remove_next());
else
result.append(l2.remove_next());
if (l1.is_empty())
result.concat_list(&l2);
else
result.concat_list(&l1);
}
Ò ÓÒ×ÓÒ Ò ÓÒ ×Ù Ö Ø Ö × Ù Ò ¸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð ÙÒ Ð ×Ø
ÒÐ Þ Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ×ØÖÙ ØÙÖ ÕÙ ×Ù Ú Ö× ÓÒ Ô Ö ÖÖ ÐÓ׺
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <class Compare>

212. 186 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
void mergesort(Dlink & list)
{
if (list.is_unitarian_or_empty())
return;
Dlink l, r;
list.split_list(l, r); // dividir en dos listas
mergesort <Compare> (l); // ordenar la primera
mergesort <Compare> (r); // ordenar la segunda
merge_lists <Compare> (l, r, list); // mezclarlas
}
¬Ò ×
mergesort¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ ¾ Ò ¼½º
Ä Ð ÓØ ¬Ò ×Ô Ð Þ ÓÒ × Ô Ö Ð × ÓØÖ × Ð × × Ð ×Ø × Ñ ÒØ Ð ÙØ ¹
Ð Þ ÓÒ Ð Ð × Compare Dnodeº
3.2.2 Ordenamiento r´pido (Quicksort)
a
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ Ò Ó a[] Ý Ð ÒÚÓ ÓÒ pivot = partition(a, l, r)¸
Ð Ù Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ó× Ô ÖØ × Ò Ö Ð × ÓÑÓ × Ô ØÓÖ Þ Ò Ð × Ù ÒØ ¬ ÙÖ
l r
ÌÓ Ó Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ a[pivot] pivote ÌÓ Ó Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ a[pivot]
pivot
Ä Ù ÓÒ pivot = partition(a, l, r) ØÙ Ð ÙÒ × ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð ÖÖ ¹
ÐÓ Ý Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ò pivot Ø Ð ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ × Ø × Ð Ô ÖØ ÓÒ × ÙÒ Ð ×ÕÙ Ñ
Ô ØÓÖ Þ Óº × Ö¸ ×ÔÙ × ÒÚÓ Ö partition()¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ a[pivot] × Ò Ù Ò¹
ØÖ Ò ×Ù ÔÓ× ÓÒ ¬Ò Ø Ú ÒØÖÓ ÐÓ ÕÙ × Ö Ð × Ù Ò ÓÖ Ò Ó × ¸ Ð ÒØÖ
a[pivot] ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ô ÚÓع × ÑÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓº Ð ÖÖ ÐÓ × Ó ¹
Ú Ó¸ × ÙÒ a[pivot]¸ Ò Ó× Ô ÖØ × ×ÓÖ Ò ×¸ ÕÙ ÔÙ Ò ÓÖ Ò Ö× Ö ÙÖ× Ú
Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÓÑÓ × Ù
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½¼
template <typename T, class Compare>
void quicksort_rec(T * a, const int & l, const int & r)
{
if (l >= r)
return;
const int pivot = partition <T, Compare> (a, l, r);
quicksort_rec <T, Compare> (a, l, pivot - 1);
quicksort_rec <T, Compare> (a, pivot + 1, r);
}
Í× × partition ½ º
×Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × Ð Ñ ÓÖ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ×Ø ÓÝ ÓÒÓ Óº ËÙ
Ö Ò Ñ ÒØÓ × Ø Ò ×Ô Ø ÙÐ Ö ÕÙ ×Ù × Ù Ö ÓÖ ¸ º ºÊº ÀÓ Ö ¸ ÐÓ Ù¹
Ø ÞÓ ÕÙ ×ÓÖØ ¾ Ó × ¸ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ô Ó¸ Ó¸ Ö Ú Ñ ÒØ ¸ Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ¸
ÒÐ Ø ÓÖ Ò Ð Ï ÖØ ÑÔÐ Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÒÚ ÒØÓÖ º

213. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 187
ÐÖÔ Óº Ä ×Ò Ð Ñ ØÓ Ó ×Ù Ý Ò Ð Ñ Ò Ö ØÙ Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ Ô ÖÓ
ÒØ × ×ØÙ ÖÐ ¸ × ÒØ Ö × ÒØ ÙÒ Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓº
ÓÒÚ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ú Ö» ÓÑ Ò Ö Ð ÕÙ ×ÓÖØ ¬ Ö Ð Ö Ñ ÒØ
×Ù ØÖ ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ó Ø ÚÓº Ä × ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú × Ó ÙÖÖ Ò Ð ¬Ò Ð Ð ÖÙØ Ò × Ò
ÕÙ × ÒÓØ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ × ÓÑ Ò ÓÒº Ó¸ × Ò Ð ÔÖÓÔ Ô ÖØ ÓÒ
Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ Ð ÓÑ Ò ÓÒ¸ Ô٠׸ ÙÒ Ú Þ Ö Ð Þ Ð Ô ÖØ ÓÒ¸ Ô ÖØ
ÔÙ ÓÖ Ò Ö× ¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ × Ô Ö Óº
Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ × Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ
O(1) ,n ≤ 1
T (n) = ; ´¿º¾¿µ
O(fp(n)) + T (Ô ÚÓØ −l) + T (r − Ô ÚÓØ ) , n > 1
ÓÒ O(fp(n)) Ö Ø Ö Þ Ð ÙÖ ÓÒ partition()º Ô ÚÓØ × Ð Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ
Ò ØÓÖÒÓ Ð Ù Ð × Ö Ð Þ Ð Ô ÖØ ÓÒº
3.2.2.1 Partici´n
o
Ä Ô ÖØ ÓÒ × Ð Ô ÖØ Ñ × Ð Ý ÓÑÔÐ Ð ÕÙ ×ÓÖغ ×ÙÑ ÑÓ× ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ
Ô ÚÓØ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ Ô ÖØ ÓÒ Ý ÕÙ Ð ÙÒ ÓÖÑ ¸ ÕÙ ÜÔÐ Ö ÑÓ×
Ñ × Ð ÒØ ¸ × ÓÐÓ Ò a[r]º ÁÒ ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ ×ØÙ Ó Ñ ÒØ Ó × ÖÚ ÓÒ Ð
× Ù ÒØ ¬ ÙÖ
swap(a[i], a[j]) r
l ++i i j −−j pivot
while a[i] < pivot while a[j] > pivot
ÚÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ô ÚÓØ ½ ÚÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ô ÚÓØ ½
Ä ¬ ÙÖ Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÖÖ ÐÓ ÒØÖ l Ý rº i × ÙÒ Ò ÔÓÖ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð
ÖÖ ÐÓ Ý j × ÔÓÖ Ð Ð Ó Ö Óº i × ÑÙ Ú Ð Ö ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ
Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ñ ÒØÖ × ÕÙ j × ÑÙ Ú Ð ÞÕÙ Ö ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ × Ö Ñ ÒØ Öº
ÄÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × ×ØÓ× Ò × × ÓÐÓ Ò Ò ÙÒ ÔÓ× ÓÒ ÔÖ Ú ×Ù ÔÖ Ñ Ö ×Ó
× Ö¸ i Ò l - 1 Ý j Ò rº
ÄÙ Ó Ò Ó× ÐÓ× Ò ×¸ Ð ÖÙØ Ò ÒØÖ Ò ÙÒ Ð ÞÓ ÙÝÓ Ù ÖÔÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ù× Ö
ÙÒ ÒÚ Ö× ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ð Ô ÚÓØ × Ö¸ ÙÒ Ô Ö Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ÒÚ ÖØ Ó× Ò ÓÖ Ò
Ö ×Ô ØÓ Ð Ô ÚÓØ º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ×ØÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × Ù× ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö
½ ÚÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ô ÚÓØ ½ ≡ ´½ µ
// avance mientras a[i] < a[pivot]
while (Compare() (a[++i], pivot)) { /* no hay cuerpo */ }
Ò Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ a[++i]¸ Ð Ö a[i] × Ö Ð Þ ×ÔÙ × Ð Ò Ö Ñ ÒØÓº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸
Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó Ó ÙÖÖ ×Ó Ö a[l]º Ð ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ i Ñ × ×Ó Ö Ô × Ö r¸ ÔÙ ×
Ð Ô ÚÓØ ÙÒ ÒØ Ò Ð Ý Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ × ÔÓÖ × Ù Ð ×ØÖ Ø º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ i
ÒÙÒ Ö ÙÒ Ò Ù Ö Ð Ö Ò Ó [l, r]º
Ä Ù×ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö× ÓÒ Ð Ð Ó Ö Ó × × Ñ Ð Ö¸ Ô ÖÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò ÑÓ×
ÙÒ ÒØ Ò Ð ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö ÕÙ j ÒÓ ×Ó Ö Ô × l
½ ÚÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ô ÚÓØ ½ ≡ ´½ µ
while (Compare() (pivot, a[--j])) // avance mientras a[pivot]< a[j]
if (j == l) // ¿se alcanz´ el borde izquierdo?
o
break; // s´ ==> hay que terminar la iteraci´n
ı o

214. 188 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ë i Ý j ÒÓ × ÖÙÞ Ò ´i < jµ¸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø ÙÒ ÒÚ Ö× ÓÒ ÕÙ × ÓÖÖ ÒØ Ö Ñ¹
Ò Ó a[i] ÓÒ a[j]º
Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÐÓ× Ò × i Ý j × ÖÙÞ Ò ´i >= jµ¸ Ð ÔÖÓ ×Ó Ô ÖØ ÓÒ ÙÐÑ Ò
Ý Ð Ò i ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ÓÒº Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ¸ × ÒØ Ö Ñ ÓÒ Ð
Ô ÚÓØ i Ú Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ó× Ô ÖØ × Ð ÞÕÙ Ö ÓÒØ Ò Ð Ú × Ñ ÒÓÖ × Ó Ù Ð ×
Ð Ô ÚÓØ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ö ÓÒØ Ò Ð Ú × Ñ ÝÓÖ × Ó Ù Ð ×º
× ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ö Ò Ó [l, i] ÓÒØ Ò Ð Ú × Ù Ð × Ð Ô ÚÓØ ×ØÓ ×Ù × j ÖÙÞ
i × Ö¸ × ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ð Ú Ð Ð Ó Ö Ó ÕÙ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ô ÚÓØ
i ÕÙ ÔÓ× ÓÒ Ó Ò ÙÒ Ð Ú Ù Ð Ð Ô ÚÓØ º
ÓÒ Ð × ÜÔÐ ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × ÔÖÓÔ ×¸ ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ
½ ¬Ò ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ ½ ≡
template <typename T, class Compare>
int partition(T * a, const int & l, const int & r)
{
ËÐ ÓÒ Ö Ô ÚÓØ ½ ¿
T pivot = a[r]; // elemento pivot
int i = l - 1, // ındice del primer elemento a la izquierda mayor que pivot
´
j = r; // ´ndice del primer elemento a la derecha mayor que pivot
ı
while (true)
{
ÚÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ô ÚÓØ ½
ÚÒ ×Ø ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ô ÚÓØ ½
if (i >= j)
break;
// En este punto hay una inversi´n a[i] > a[pivot] > a[j]
o
Aleph::swap(a[i], a[j]); // Eliminar la inversi´n
o
}
Aleph::swap(a[i], a[r]);
return i;
}
¬Ò ×
partition¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ ¸ ½ ¼¸ ½ ¿ ¸ ½ ¸ ½ ¸ Ò ½ º
Ä ÖÙØ Ò ØÓÑ ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð ÖÖ ÐÓ Ý ÐÓ× Ð Ñ Ø × ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó¸ ÒÓÑ Ò ¹
Ó× l Ý r¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ä ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÓ Ó × ÙÒ Ô ×Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ý
ÓÒ× ×Ø Ò × Ð ÓÒ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ ÓÖ Ð ÖÖ ÐÓº Ì Ð Ð Ñ ÒØÓ
× ÒÓÑ Ò Ô ÚÓØ º ÈÓÖ ÓÖ ¸ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ × Ð ÓÒ ÑÓ× Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ×
Ö a[r]º
Ü ×Ø Ò ÓØÖ × ÓÖÑ × × Ó Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ Ô ÚÓØ ÕÙ ×ÓÒ Ñ × Ó×ØÓ× × Ò Ø ÑÔÓ
ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Ô ÖÓ ÕÙ Ñ ÓÖ Ò Ð ×Ô Ö ÒÞ ÙÖ ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓº Ù ÐÕÙ Ö ×
Ð Ñ ØÓ Ó¸ ÒÓ× Ö Ñ Ø Ö ÑÓ× ÓÐÓ Ö Ð Ô ÚÓØ Ò Ð ÜØÖ ÑÓ Ö Óº ×Ø ÑÓ Ó¸
ÙÒ ÑÓ ¬ ÓÒ Ð Ò ÓÕÙ × Ð ÓÒ Ô ÚÓØ ÒÓ Ø Ð Ö ×ØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ô ÖØ ÓÒº
3.2.2.2 An´lisis del quicksort
a
Ð Ò Ð × × Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ö ÕÙ Ö Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ù ÓÒ ´¿º¾¿µ¸ Р٠и ×Ù Ú Þ¸ Ö ÕÙ Ö Ð
Ò Ð × × Ð Ô ÖØ ÓÒº

215. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 189
Ù ÐÕÙ Ö × Ð ×ÔÓ× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ¸ Ð while Ñ × ÜØ ÖÒÓ ÖÓÑÔ Ù Ò Ó × ÖÙ Ò
ÐÓ× Ò × i Ý jº È Ö ÕÙ ×ØÓ ×Ù Ø Ò Ò ÕÙ Ó ÙÖÖ Ö Ü Ø Ñ ÒØ r−l+1 Ò Ö Ñ ÒØÓ×
Ý Ö Ñ ÒØÓ׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ × n = r − l + 1¸ ÒØÓÒ × Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ × O(n)º
ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ×Ø Ø ÑÔÓ Ò Ð Ù ÓÒ ´¿º¾¿µ ÔÙ ÔÖÓÜ Ñ Ö×
O(1) ,n ≤ 1
T (n) = . ´¿º¾ µ
O(n) + T (Ô ÚÓØ −l) + T (r − Ô ÚÓØ) , n > 1
Ë ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð ×Ô Ö ÒÞ ×Ó Ö Ð ÔÙÒØÓ
Ô ÖØ ÓÒ × × ØÙ Ò l+r ¸ Ó × ¸ Ò Ð ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ù ÓÒ ´¿º¾ µ
2
ÔÙ ÔÖÓÜ Ñ Ö× ÓÑÓ
O(1) ,n ≤ 1
T (n) = ; ´¿º¾ µ
O(n) + 2T (n/2) ,n > 1
Ð Ù Ð × O(n Ð (n))º
Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ÕÙ ×ÓÖØ × O(n Ð (n)) Ô Ö Ð ×Ó ×Ô Ö Ó Ý Ô Ö Ð Ñ ÓÖ ×Óº
Ð Ô ÓÖ ×Ó ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö Ù Ò Ó Ð Ô ÚÓØ × Ù×Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ÝÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ÒØÖ i Ý jº Ò ×Ø × ÓÖØÙÒ × ØÙ ÓÒ¸ Ð Ô ÖØ ÓÒ ÞÕÙ Ö × ÐÓÒ ¹
ØÙ r − l − 1¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð Ö × 0º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÒÓ × ÐÓ Ö Ú Ö
Ø Ú Ñ ÒØ º Ä Ù ÓÒ ´¿º¾ µ × ÜÔÖ × ÓÑÓ
O(1) ,n ≤ 1
T (n) = ; ´¿º¾ µ
O(n) + T (n − 1) ,n > 1
Ð Ù Ð × O(n2)º Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ú Ò ¸ Ò Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ Ð Ð ÒØÓ ¾ º Ù Ò ÔÖÓ Ð ×
ÕÙ Þ ÐÓ Ô ÓÖ Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ú ¸ ÑÙÝ ÔÓ Óº È Ö ÒØÙ Ö ×Ø Ó¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ×
Ð ÙÒÓ× ÑÙÝ Ñ ÐÓ× ×Ó× º
ÍÒ ÑÙÝ Ñ Ð ×Ó ×Ø Ó¸ Ô Ö Ó Ñ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÓÖ Ò Óº Ò ×Ø
× ØÙ ÓÒ¸ Ð Ô ÚÓØ × ÑÔÖ × Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ¸ Ð Ù Ð Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò ×Ù ÔÓ× ÓÒ
¬Ò Ø Ú Ð Ô ÖØ ÓÒ ÞÕÙ Ö × ÐÓÒ ØÙ n − 1 Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ö × ÒÙÐ º Ä
ÔÖÓ Ð ×Ø Ò ÓÖØÙÒ Ó × n! ¸ ÔÙ × ×ÓÐÓ Ü ×Ø ÙÒ ÔÓ× Ð
1
ÒØÖ Ð × n! ÔÓ× Ð ×º
ÍÒ ×Ó Ð Ö Ñ ÒØ Ô ÓÖ ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖ × Ù Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÓÖ Ò Ñ ÒØ
ÒÚ ÖØ Óº ×Ø ×ÔÓ× ÓÒ Ù× ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ ÞÕÙ Ö ÒÙÐ Ý ÙÒ Ö ÐÓÒ ¹
ØÙ n − 1º Ä ÔÖÓ Ð × ÒØ Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ n! º 1
ÉÙ Ø Ò ÔÖÓ Ð × Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ð ×Ó Ò ×Ø ×Ø ¸ ×Ø Ö ×ÔÙ ×Ø Ð Ð Ú¹
Ö ÒÞ º Ë Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ × Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ô ÖØ ÓÒ Ú Ö Ö × ÙÒ ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ
ÙÒ ÓÖÑ × Ö (r−l+1) −1 ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ÓÒ × ×Ú Ö ÒØÖÓ Ð Ö Ò Ó
2
2
¬Ò Ó ÔÓÖ 12 ¸ ÐÓ ÕÙ
(n) −1
2
ÖÖÓ ÙÒ ÖÖÓÖ ×Ô Ö Ó 29± ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ º Ò ÓØÖÓ×
Ø ÖÑ ÒÓ׸ ÙÒ ×Ô Ñ Ð ×Ó ×Ô Ö Ó Ô ÖØ ÓÒ × ÕÙ ×Ø × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ 1/3
ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÕÙ ÙÒ Ú Ð ÖÖ ÐÓ Ñ Ò Ö ØÚ º Ñ ×¸ ×Ø ×Ú ÒØÙÖ
Ø Ò Ö ÕÙ Ó ÙÖÖ Ö ÓÒ Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × Ù ×Ø ÓÒ ÐØ Ñ ÒØ ÑÔÖÓ Ð × Ð ×
Ô ÖÑÙØ ÓÒ × × ×ØÖ ÙÝ Ò × ÙÒ ÙÒ Ò× ÙÒ ÓÖÑ º
3.2.2.3 An´lisis de consumo de espacio del quicksort
a
ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ× ÓÒÐÐ Ú Ò ÙÒ Ó×Ø Ò ×Ô Ó Ó Ð Ô Ð º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö» ÓÑ Ò Ö ÓÒ×ÙÑ ×Ô Ó Ô Ð Ù Ò Ó Ñ ÑÓÖ Þ ÙÒ Ð×

216. 190 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ú × ÓÒ × ØÓ× ÔÖÓ × Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð ÓØÖ º ×Ø ÑÓ Ó¸ ÓÒ ÓÖÑ ÙÑ ÒØ Ò
Ð × Ú × ÓÒ ×¸ Ñ ÝÓÖ Ñ ÑÓÖ × Ö ÕÙ Ö º
Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÔÙ × Ö ÑÙÝ Ó×ØÓ×Ó Ò ×Ô Ó × Ó ÙÖÖ Ò Ñ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ×Ù × Ú ×º
ÔÖ Ò ÑÓ× ×ØÓ Ñ Ö Ò Ó Ð Ô ÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÐÓ× ×Ó׸ Ð Ù Ð Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó Ð
ÖÖ ÐÓ ×Ø ÒÚ Ö× Ñ ÒØ ÓÖ Ò Óº Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ × ÙÒ ¬Ò ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ
ÖÖ ÐÓ ½ ¸ Ð ÖÖ ÐÓ × ÑÔÖ × Ô ÖØ ÓÒ Ò
pivotquick sort rec<T, Compare>(a, l+1, r-1) quick sort rec<T, Compare>(a, r+1, r)
ÇÖ Ò ÒÚ ÖØ Ó ∅
l r
ÐÓ ÕÙ ¸ × ÙÒ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ quicksort rec()¸ Ù× Ð × ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú × ´ ÓÐÓ¹
× ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ö Ð ×µ quicksort rec(a, l, r-1) Ý quicksort rec(a, r+1,
r)¸ Ù×ØÓ Ò × ÓÖ Ò Ö ×Ô Ø ÚÓº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÓÖ Ò ÐÐ Ñ × ÑÔ Ð Ð Ô ÖØ ÓÒ Ñ × Ô ÕÙ Ò Ñ ÒØÖ × ×
ØÙ Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ×Ó Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ Ñ × Ö Ò ÙÝÓ Ø Ñ ÒÓ × r − l − 1º
×Ù Ú Þ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö ×ØÓ Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÒÚ Ö× Ñ ÒØ ÓÖ Ò Ó¸ Ð × Ù ÒØ ÒÚÓ ÓÒ
quicksort rec(a, l, r - 1) Ù× ÒÙ ÚÓ Ð Ô ÓÖ Ô ÖØ ÓÒ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ × ÚÙ ÐÚ
ÑÔ Ð Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ Ú Ñ ÒØÖ × × ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ø Ñ ÒÓ r−l−
2º ×Ø ÔÖÓ ×Ó Ñ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ÓÒØ ÒÙ ×Ø ÕÙ × ÓÖ Ò ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÖÖ ÐÓº
Ð Ô ÓÖ ×Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ ×ÓÐÓ ÑÔ Ð Ô ÖØ ÓÒ × Ú ×º È Ö ÔÖ × Ö Ð Ó×Ø Ò
×Ô Ó ×Ø × ÐÐ Ñ × Ú Ò × Ý ÕÙ ÓÒØ Ö Ð ÒØ Ú × ÕÙ × ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× ¹
Ú Ñ ÒØ Ð ÕÙ ×ÓÖظ Р٠Р׸ Ü Ø Ñ ÒØ ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× n Ó × ¸ O(n)º ÍÒ
ÑÙÝ Ñ Ð ×Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÔÙ ¸ ÐÑ ÒØ ¸ Ù× Ö ÙÒ × ÓÖ ÔÐ º
È Ö Ú Ø Ö ×ØÓ¸ ÑÓ× × ÙÖ ÖÒÓ× ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú × ØÙ
×Ó Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ Ñ × Ô ÕÙ Ò ¸ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ × ÑÔ Ð Ñ ÒÓ׸ Ô٠׸ Ñ ÒÓÖ Ø Ñ ÒÓ
Ô ÖØ ÓÒ¸ Ó ÙÖÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú ×º ×Ø Ñ Ò Ö ¸ ÙÒ
ÑÙÝ Ð Ö Ú Ö ÓÒ quicksort rec()¸ ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ô Ð ¸ × ÒÙÒ
ÓÑÓ × Ù
½¼ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½¿
template <typename T, class Compare>
void quicksort_rec_min(T * a, const int & l, const int & r)
{
if (r <= l)
return;
const int pivot = partition<T, Compare>(a, l, r);
if (pivot - l < r - pivot) // ¿cual es la partici´n m´s peque~a?
o a n
{ // partici´n izquierda m´s peque~a
o a n
quicksort_rec_min<T, Compare>(a, l, pivot - 1);
quicksort_rec_min<T, Compare>(a, pivot + 1, r);
}
else
{ // partici´n derecha m´s peque~a
o a n
quicksort_rec_min<T, Compare>(a, pivot + 1, r);
quicksort_rec_min<T, Compare>(a, l, pivot - 1);
}
}
Í× × partition ½ º

217. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 191
×Ø Ú Ö× ÓÒ ÒÚÓ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × Ð Ñ ÒÓÖ ×Ø Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ ÓÒ¸ ÐÓ Ù Ð
Ö ÒØ Þ ÙÒ ÓÒ×ÙÑÓ Ô Ð Ñ Ò ÑÓº Ù ÒØÓ × ØÖ Ø ×Ø ÓÒ×ÙÑÓ È Ö Ö ×ÔÓÒ Ö
Ð Ù ×Ø ÓÒ¸ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ ÒØ ¬ Ö Ù Ð × Ð Ñ Ü ÑÓ Ø Ñ ÒÓ ÕÙ ÔÙ ØÓÑ Ö ÙÒ
Ñ ÒÓÖ Ô ÖØ ÓÒ Ý ×ÙÑ Ö ÕÙ ÐÐÓ Ó ÙÖÖ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ò ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú º Ð
Ñ Ü ÑÓ ÕÙ Ð ÑÓ× × ÔÖ × ÒØ Ù Ò Ó Ð Ô ÖØ ÓÒ Ó ÙÖÖ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ¸
Р٠и ÒÓ ×ÓÖÔÖ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ × Ð Ñ ÓÖ ×Ó Ô ÖØ ÓÒ Ò Ú ÐÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ
Ý Ó ÙÖÖ ¸ ÐÓ ×ÙÑÓ¸ O(Ð (n)) Ú ×¸ ÕÙ × Ð Ñ ÝÓÖ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ú × ÕÙ ÔÓ ÑÓ×
Ú Ö Ð ÖÖ ÐÓº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ quicksort rec min() Ø Ò ÙÒ ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó O(Ð (n))
Ò Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ Ó×Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ñ Ò Ð ÙÒ Ô Ö Ô Ð × Ô ÕÙ Ò ×º
Ð Ò Ð × × ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò ÒÓ× Ù ÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÚÓ ÓÒ × Ö ÙÖ¹
× Ú × ÕÙ Ó ÙÖÖ Ö Ò Ò Ð Ñ ÓÖ ×Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ × Ö¸ Ù Ò Ó ØÓ × Ð × Ô ÖØ ÓÒ ×
Ó ÙÖÖ Ò ÔÓÖ Ð ÒØÖÓº Ò ×Ø ×Ó¸ ÐÐ Ñ Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ó × ÓÒ Ó× ÐÐ Ñ ×
Ö ÙÖ× Ú × ×Ó Ö Ô ÖØ ÓÒ × Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ñ ÒÓº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ØÓØ Ð ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú ×
ÕÙ ØÓÑ Ö Ð Ñ ÓÖ ×Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ ×Ø Ö Ó ÔÓÖ
Ð (n)
2i ≤ 2Ð (n)+1
−1 ; ´¿º¾ µ
i
ÓÒ n × Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׺ Ä ×ÙÑ ØÓÖ Ü Ø Ó ÙÖÖ Ö × n = 2k − 1 Ó × ¸
× n+1 × ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø 2º Ò ×Ø ×Ó¸ ØÓ × Ð × Ô ÖØ ÓÒ × Ó × ÓÒ ×
× ÑÔÖ ×ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ñ ÒÓº Ä ¬ ÙÖ ¿º Ô ØÓÖ Þ ØÓ × Ð × ÐÐ Ñ ×
Ö ÙÖ× Ú × ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò Ô Ö n = 15 Ò ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ÒÓÑ Ò Ö ÓÐ ¸ Ð Ù Ð × Ö
×ØÙ Ò Ð Ô ØÙÐÓ º
qs(0, 14)
qs(0, 6) qs(8, 14)
qs(0, 2) qs(4, 6) qs(8, 10) qs(12, 14)
qs(0, 0) qs(2, 2) qs(4, 4) qs(6, 6) qs(8, 8) qs(10, 10) qs(12, 12) qs(14, 14)
ÙÖ ¿º ×ØÖÙ ØÙÖ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × Ý ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú × Ô Ö Ð Ñ ÓÖ ×Ó Ð
ÕÙ ×ÓÖØ Ý ½ Ð Ñ ÒØÓ׺
ÈÖ ×Ø ÑÓ× Ø Ò ÓÒ ×Ô Ð Ð Ö Ñ ¿º ÒØ ¬ÕÙ ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ Ñ qs(0,
14) ½¼ º ×Ø ÐÐ Ñ Ò Ö Ð × ÐÐ Ñ × qs(0, 6) Ý qs(8, 14)º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð ¹
ÓÒ qs(0, 6) Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ö Ð Ö ÙÖ× ÓÒ Ý ÑÔ Ð qs(7, 14)º ×Ù Ú Þ¸ qs(0, 6)
ÑÔ Ð qs[4, 6] Ý ÔÖÓ× Ù Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×Ó Ö qs(0, 2)º Ù Ò Ó × ÐÐ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö
Ú Þ Ð ×Ó × ¸ Ð Ô Ð ÓÒØ Ò Ð × ÐÐ Ñ × qs(0, 14)¸ qs(7, 14)¸ qs(4, 6)¸ qs(2,
2) Ô Ò ÒØ × ÔÓÖ Ö Ð Þ Öº
½¼
Ð ÒÓÑ Ö Ð Ñ ØÓ Ó × Ó Ö Ú Ó ÔÓÖ ÓÒÓÑ ×Ô Óº

218. 192 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ä Ñ Ü Ñ ÒØ ÐÐ Ñ × ÑÔ Ð Ö ×Ø ÔÓÖ Ð Ñ Ü Ñ ÔÖÓ ÙÒ
Ð Ö ÓÐ × qs(0, 14) ×Ø Ù ÐÕÙ Ö ×Ó × qs(i, i)º Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ú ÐÓÖ Ý
Ø Ñ ÒÓ Ð ÒØÖ ¸ × × ÔÖÓ × ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ñ × Ô ÕÙ Ò ¸ ÒØÓÒ × Ð ÓÒ×ÙÑÓ
Ò Ô Ð ÒÓ ×Ó Ö Ô × O(Ð (n))º
3.2.2.4 Selecci´n del pivote
o
Ë Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ × Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ ÔÓÖ Ð Ö
Ð ÖÖ ÐÓ¸ Ø Ð ÓÑÓ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ Ð ÑÓ× ØÖ Ø Ó¸ Ø Ñ Ò × Ð ØÓÖ º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸
Ô Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒ × Ð ØÓÖ ×¸ ÒÙ ×ØÖ Ú Ö× ÓÒ Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÓÑÔÓÖØ Ö× O(n Ð (n))¸
Ò Ð ×Ó ×Ô Ö Óº Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ú Ö ÒÞ ´29±µ Ò ÕÙ ¸ Ò ×Ó Ñ Ð ×Ù ÖØ ¸
Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÙÒ × Ö Ô Óº
Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖ ×ÙÑ ÕÙ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ
Ù ×Ø ÓÒ ÔÐ Ù× Ð ÓÒ Ò Ð ÑÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ð ×Ø ×Ø ¸ Ô ÖÓ ÕÙ ÔÙ Ô Ö
Ò Ò Ð ÑÙÒ Ó Ö Ðº ÌÓ Ó Ô Ò ÕÙ × ÐÓ ÕÙ × ÓÖ Ò Ý × ÓÒ
ÔÖÓÚ Ò Ð × Ù Ò º Ò Ð Ú Ó ÙÖÖ ÕÙ ÐÓ× ÕÙ Ý ÐÓ× × × × ÑÔÖ ×ÓÒ
× × Ó׺
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ð Ô ÓÖ ×Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ × Ø Ò × Ú Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ×Ó ÕÙ Ò Ò ÙÒ
ÔÐ ÓÒ × Ö ÔÙ ×Ù Ý Ö ×Ó Ö Ð × Ð × ÑÔ ÒÓ × ÐÓ Ö Ø Óº
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ Ù×Ø ¬ ÓÒ×ÙÑ Ö ÙÒ ÔÓ Ó Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ô Ö ÓÖÞ Ö¸ Ò Ð Ñ
ÔÓ× Ð ¸ ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò Ù Ò × Ô ÖØ ÓÒ ×º Ä Ñ ÓÖ Ñ Ò Ö Ð Ñ Ò Ö ÙÒ × × Ó × Ð ØÓÖ¹
Þ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ º Ä × ÓÖÞ Ö ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ¸ Ð × Ð ÓÒ Ð
Ô ÚÓØ Ó Þ ÙÒ Ö Ø Ö Ó Ð ØÓÖ Ó¸ Р٠и Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ Ö Ù ÑÓ׸ ÔÖÓ Ð ×Ø Ñ ÒØ
Ù× Ù ÒÓ× ×Ó׺
Ò ×Ø ÓÖ Ò ×¸ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ×Ø Ö Ò Ð ØÓÖ Þ Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ
× Ö¸ Ò ×ÓÖØ Ö Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ð × Ð ÓÒ Ð Ò Ð Ô ÚÓØ º Ð Ò Ô ÚÓØ × Ö ¸
ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ l Ý rº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ð ØÓÖ Ý ÒÓ Ô Ò
ÑÓ Ó Ð ÙÒÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒº
Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ × Ù Ò ¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ú Ø Ð ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ô ÚÓØ Ð ØÓÖ Ó
Ù× ÙÒ Ñ Ð Ô ÖØ ÓÒº ÍÒ Ø Ò Ô Ö ×Ñ ÒÙ Ö ×Ø ÔÓ× Ð × ×ÓÖØ Ö Ú Ö Ó×
Ò × Ý × Ð ÓÒ Ö ÓÑÓ Ô ÚÓØ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ò º ×ØÓ ÓÒÐÐ Ú Ð ¬ ÙÐØ
ÕÙ Ý ÕÙ Ú Ö ¬ Ö ÕÙ ÐÓ× ×ÓÖØ Ó× ÒÓ × Ö Ô Ø Ò¸ ÐÓ ÕÙ × Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÒØ Ò ÓÖÖÓ×Ó
ݸ Ò ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ Ó×ØÓ×Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ × ÔÖ Ö Ð ÒÓ Ú Ö ¬ Ö Ö Ô Ø Ò Ý
× ÑÔÐ Ñ ÒØ × Ð ÓÒ Ö Ð Ñ Ò ¸ × Ó ÙÖÖ Ò Ö Ô Ø Ò ×º Ê ×Ø ÔÓÖ Ö Ù ÒØÓ×
×ÓÖØ Ó× × Ò Ö Ð Þ Öº Å ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ × ×Ø ÒØ ¸ Ñ ÝÓÖ ÔÓ× Ð × ØÒÖ
Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ù Ò Ô ÚÓØ ¸ Ô ÖÓ¸ Ø Ñ Ò¸ × Ø Ò Ö Ñ ÝÓÖ ÓÒ×ÙÑÓ Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ
Ý Ñ ÝÓÖ ÑÔ ØÓ Ò Ð × ÑÔ ÒÓº
Ä Ð ØÓÖ Þ ÓÒ × ÙÒ ÔÖ Ò Ô Ó Ð ÓÖ ØÑ Ó Ø Ò ÒØ ×Ñ ÒÙ Ö Ð Ñ Ð ×Ù ÖØ Ó
ÚÓÖ Ö Ð Ù Ò º Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÓÖ × ÓÒÓ Ó Ó Ð ÖÓØÙÐÓ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ØÓÖ ¹
Þ Ó× Ý ÓÒ×Ø ØÙÝ ØÓ ÙÒ Ö Ñ Ð Ð ÓÖ ØÑ º Ò ×Ø Ø ÜØÓ × ×ØÙ Ö Ò Ú Ö× ×
Ð × × Ð ØÓÖ Þ ÓÒº
ÍÒ ×ÕÙ Ñ ÕÙ ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ò Ö Ö Ò × Ð ØÓÖ Ó× × ØÓÑ Ö ÐÓ× Ò × ÜØÖ ÑÓ× l¸ r
Ñ× ÐÒ Ð ÒØÖÓ Ý × Ó Ö Ð × Ñ Ò Ð × ØÖ × ÒØÖ ×º Ë Ò¸ ÓÑÓ × ÑÔÖ ¸
Ð Ð ØÓÖ ÔÒ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ¸ Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒ × × × × ÔÓÖ
ÐÓ× ØÖ × Ð Ó× Ô Ö ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ ÑÙÝ Ñ Ð ×Ó Ð Ó ÔÓ Ó ÔÖÓ Ð ÓÒ Ö Ô ÖÓ

219. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 193
×Ù× ÔØ Ð Ó ÙÖÖ Ö Ó × Ö Ö Ñ ÒØ ÔÖÓÚÓ Ó½½ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð × Ù ÒØ
ÖÙØ Ò × Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ × ÙÒ ÐÓ Ö Ò ÜÔÐ Ó
½¿ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½¼ ½¿
template <typename T, class Compare>
int select_pivot(T * a, const int & l, const int & r)
{
if (l - r <= 2)
return r;
const int m = (r + l) / 2; // ındice del centro
´
const int p = Compare () (a[l], a[m]) ? m : l; // p = max(a[l], a[m])
return Compare () (a[r], a[m]) ? r : p; // retornar min(a[r], a[m])
}
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ð Ñ ØÓ Ó ¬Ò Ø ÚÓ Ô ÖØ ÓÒ Ð × Ù ÒØ
ÑÒÖ
½¿ Ë Ð ÓÒ Ö Ô ÚÓØ ½ ¿ ≡ ´½ µ
const int p = select_pivot <T, Compare> (a, l, r);
Aleph::swap(a[p], a[r]);
3.2.2.5 Quicksort sin recursi´n
o
ÓÒÓ Ó Ð Ô ØÖÓÒ ÑÒ ×Ô Ó Ð ÕÙ ×ÓÖظ Ö ×ÙÐØ ØÖ Ø ÚÓ¸ ØÓ× Ð ¹
Ö Ö Ð Ö ÔÓÖ Ð ÙÐÓ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÒØ ÒØ Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú Ð Ñ ØÓ Óº
× Ñ ×ÑÓ¸ Ð Ô ØÖÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ Ý × ÓÒÓ × Ð × ÒÓ Ð Ú Ö× ÓÒ
Ø Ö Ø Ú Ð Ù×ÕÙ Ò Ö ´Ü ¾º½º½º¾ ´Ô Ò ¿¾µµº
Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ù× Ö ÙÒ Ô Ð Ô Ö Ö ÓÖ Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÖ × ÓÖ Ò Ð ÓØÖ º
×Ø × Ð Ö Ò ÓÒ Ð Ù×ÕÙ Ò Ö Ø Ö Ø Ú ¸ Ð Ù Ð ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ô Ð ÔÓÖÕÙ
ÒÓ × Ö ÕÙ Ö Ö ÓÖ Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ ÕÙ × × ÖØ ×ÔÙ × Ð Ú × ÓÒº
× Ô٠׸ Ù× Ö ÑÓ× ÙÒ Ô Ð Ô Ö × ÕÙ ÓÒØ Ò Ò ÐÓ× Ò × ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó
Ð Ô ÖØ ÓÒº Ö ×ØÓ¸ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø Ó ÙÒ ÔÖÓÔ Ö ÓÒ Ý ÙÒ
Ö ×ÔÓÒ× Ð ×ØÙ Ó¸ Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò ÒÓ ÔÐ ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ
½¿ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½¿ ½
template <typename T, class Compare>
void quicksort(T * a, const int & l, const int & r)
{
typedef typename Aleph::pair<int, int> Partition;
FixedStack<Partition, 32> stack;
stack.push(Partition(l, r)); // empile todo el arreglo como partici´n inicial
o
while (stack.size() > 0)
{
const Partition p = stack.pop();
const int pivot = partition <T, Compare> (a, p.first, p.second);
if (pivot - p.first < p.second - pivot) // ¿cu´l partici´n m´s peque~a?
a o a n
{ // partici´n izquierda m´s peque~a
o a n
stack.push(Partition(pivot + 1, p.second));
stack.push(Partition(p.first, pivot - 1));
}
½½
Ò × ÙÖ × ×Ø Ñ ×¸ ÙÒ Ø Ò Ò ÓÒ × ÖÚ Ó¸ ÐÐ Ñ Ø ÕÙ ÔÓÖ ÓÑÔÐ
Ð ÓÖ ØÑ ¸ ÓÒ× ×Ø Ò ÜÔÐÓØ Ö Ñ ÐÓ× ×Ó× Ð Ð ÓÖ ØÑÓº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÔÙ Ö Ó ÙÖÖ Ö ÙÒ × ØÙ ÓÒ
Ò Ð Ù Ð Ð Ö Ñ ÒØ × Ð ÙÒ × ×Ø Ñ Ñ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ØÓ× Ù× Ö ×Ù ÓÐ Ô×Óº

220. 194 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
else
{ // partici´n derecha m´s peque~a
o a n
stack.push(Partition(p.first, pivot - 1));
stack.push(Partition(pivot + 1, p.second));
}
}
}
¬Ò ×
quicksort¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ ¸ ¾ ¸ Ò º
Í× × FixedStack ½¼ Ò partition ½ º
3.2.2.6 Quicksort sobre listas enlazadas
ØÓ Ó× ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ÕÙ Þ Ð Ñ × × ÑÔÐ ÜÔÖ × Ö× × Ð ÕÙ ×ÓÖØ
×Ó Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ä × Ù ÒØ ÖÙØ Ò ÐÓ Ò
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½¿ ½
template <class Compare>
void quicksort(Dlink & list)
{
if (list.is_unitarian_or_empty())
return;
Dlink * pivot = list.remove_next();
Dlink smaller, bigger; // listas de menores y mayores que pivot
Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø ½
quicksort <Compare> (bigger);
quicksort <Compare> (smaller);
list.concat_list(&smaller); // restaurar las listas ordenadas en list
list.append(pivot);
list.concat_list(&bigger);
}
Í× × quicksort ½ ¿ º
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ × Ò Ñ ×Ø Ö Ó× ¸ ÔÙ × × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ×ÕÙ Ñ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð × Ù Ò Ò Ð Ô ØÖÓÒ smaller−→pivot−→biggerº Ä
Ð ×Ø smaller ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ñ ÒÓÖ × ÕÙ pivot¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð ×Ø bigger
ÐÓ× Ñ ÝÓÖ ×º
ÓÖ ÒÓ× Ö ×Ø ×Ô ¬ Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ¸ Ð Ù Ð × ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × × Ò ÐÐ ÕÙ
ÓÒ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ×
½ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø ½ ≡ ´½ ½ µ
while (not list.is_empty())
{
Dlink * p = list.remove_next();
if (Compare () (p, pivot))
smaller.append(p);
else
bigger.append(p);
}

221. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 195
3.2.2.7 Mejoras al quicksort
Ê Ú × ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô ÖØ ÓÒ ¬Ò ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ ½
Ý ÐÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× × Ð ÓÒ Ò× Ö ÓÒ ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ü ¿º½º¿ ´Ô Ò ½ ¾µ
Ý Ü ¿º½º ´Ô Ò ½ µ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ö Ò ÕÙ ×ØÓ× Ñ ØÓ Ó×
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÕÙ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô ÖØ ÓÒ Ð ÕÙ ¹
×ÓÖغ ÍÒ Ö Ú × ÓÒ Ñ × Ù Ó× Ö Ú Ð ÕÙ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ÕÙ ×ÓÒ O(n2)¸
ÓÒØ Ò Ò Ñ ÒÓ× if¸ Ñ ÒÓ× ÐÐ Ñ × Compare() Ý Ñ ÒÓ× ÓÑÔ Ö ÓÒ × Ò × ÕÙ
Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô ÖØ ÓÒº
ÄÓ× ÓÑ ÒØ Ö Ó× ÒØ Ö ÓÖ × Ù×Ø ¬ Ò Ð Ó × ÖÚ ÓÒ ÑÔ Ö ÕÙ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó×
× Ð ÓÒ Ò× Ö ÓÒ ×ÓÒ Ñ × Ö Ô Ó× ÕÙ Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ô Ö ÖÖ ÐÓ× Ô ÕÙ ÒÓ׺ ÓÑÓ ×
ÔÓ× Ð ×ØÓ Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÒÓØ ÓÒ O Ó ÙÐØ ÐÓ× Ó×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ × Ý ÕÙ ×Ø ×ÓÐÓ
Ö ×ÔÙ × ÙÒ Ú ÐÓÖ ÒØÖ ×Ô ¬ Óº À ÕÙ ¸ Ò Ð ÕÙ ×ÓÖظ ÙÒ Ù Ò ×Ó
ÕÙ ÐÐÓ× Ó×Ø × ÕÙ Ó ÙÐØ Ð ÒÓØ ÓÒ Oº
ÍÒ Ñ ÓÖ ×Ù ×Ø Ò Ð Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÓÒ× ×Ø Ò ÓÒÑÙØ Ö ÓØÖÓ Ñ ØÓ Ó ÓÖ ¹
Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö Ø Ñ ÒÓ× Ô ÖØ ÓÒ Ô ÕÙ ÒÓ׺ Ù ÒØÓ × ÐÓ Ñ × Ö Ò ÕÙ ÔÙ × Ö
ÐÓ Ô ÕÙ ÒÓ Ô Ò ¸ × Ñ ÒØ ¸ Ð Ö Û Ö Ý Ð ÓÑÔ Ð ÓÖº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó
Ò× Ö ÓÒ Ü Ñ ÓÖ × Ø ÑÔÓ× ÓÒ×Ø ÒØ × ÕÙ Ð × Ð ÓÒ¸ ÐÓ ÒØ Ö Ö ÑÓ× Ð
× Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ Ñ ÓÖ Ð ÕÙ ×ÓÖØ
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
void quicksort_insertion(T * a, const int & l, const int & r)
{
if (r <= l)
return;
const int pivot = partition<T, Compare>(a, l, r);
const int l_size = pivot - l; // tama~o partici´n izquierda
n o
const int r_size = r - pivot; // tama~o partici´n derecha
n o
bool left_done = false; // true si partici´n izquierda est´ ordenada
o a
bool right_done = false; // true si partici´n derecha est´ ordenada
o a
if (l_size <= Aleph::Insertion_Threshold) // ¿partici´n izquierda peque~a?
o n
{ // s´ ==> ord´nela por inserci´n
ı e o
insertion_sort<T, Compare>(a, l, pivot - 1);
left_done = true;
}
if (r_size <= Aleph::Insertion_Threshold) // ¿partici´n derecha peque~a?
o n
{ // s´ ==> ord´nela por inserci´n
ı e o
insertion_sort<T, Compare>(a, pivot + 1, r);
right_done = true;
}
if (left_done and right_done)
return; // ambas particiones ordenadas por inserci´n
o
if (left_done) // ¿partici´n izquierda ordenada por inserci´n?
o o
{ // s´; s´lo resta ordenar recursivamente la partici´n derecha
ı o o
quicksort_insertion<T, Compare>(a, pivot + 1, r);
return;
}
if (right_done) // ¿partici´n derecha ordenada por inserci´n?
o o
{ // s´; s´lo resta ordenar recursivamente la partici´n izquierda
ı o o
quicksort_insertion<T, Compare>(a, l, pivot - 1);

222. 196 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
return;
}
// En este punto, ambas particiones no fueron ordenadas por inserci´n
o
if (l_size < r_size) // ordenar de primero la partici´n m´s peque~a
o a n
{ // partici´n izquierda m´s peque~a
o a n
quicksort_insertion <T, Compare> (a, l, pivot - 1);
quicksort_insertion <T, Compare> (a, pivot + 1, r);
}
else
{ // partici´n derecha m´s peque~a
o a n
quicksort_insertion <T, Compare> (a, pivot + 1, r);
quicksort_insertion <T, Compare> (a, l, pivot - 1);
}
}
Í× × partition ½ º
Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ Insertion Threshold × Ö Ð Ø ÚÓ Ý Ô Ò Ð × ÓÒ ÓÒ ×
Ñ Ø Ö Ð × Ý ÓÔ Ö Ø Ú ×º ÍÒ Ú ÐÓÖ ÒØÖ 20 Ý 30 × ×Ù¬ ÒØ Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ö ÓÒ
×Ø Ø ÜØÓ½¾ º
3.2.2.8 Claves repetidas
ÙÒÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô ÖØ ÓÒ ¬Ò ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ ½ ÙÒ ÓÒ ¹
Ù Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ú × Ö Ô Ø ×¸ ÔÓ Ö ÔÖÓÚ Ö× Ð ÔÖÓ ×Ó Ô ÖØ ÓÒ Ô Ö ÓÒ¹
× Ö Ö Ö Ô Ø Ò Ý Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ ÓÒ Ð ÓÖÑ × Ù ÒØ
l r
Ð Ñ ÒØÓ× Ñ ÒÓÖ × ÕÙ Ô ÚÓØ Ð Ñ ÒØÓ× Ù Ð × Ô ÚÓØ Ð Ñ ÒØÓ× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ Ô ÚÓØ
×Ø Ø ÔÓ Ô ÖØ ÓÒ × Ð ÒÓÑ Ò Ð ØÖ ÔÐ ÓÖÑ Ó Ò Ö ÓÐ Ò × ¸ Ò
ÓÒÓÖ Ð Ò ÓÒ Ð × Ö Ïº ×ØÖ ¸ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑ Ö ÕÙ × ÓÒÓ Ö
Ö ÔÓÖØ Ó Ð × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ð Ñ ØÓ Óº Ä Ú ÒØ ×Ø ×ÕÙ Ñ × ÕÙ ØÓ × Ð ×
Ð Ú × Ö Ô Ø × ÕÙ Ò Ð ÒØÖÓ Ý Ð × ÒÚÓ ÓÒ × Ö ÙÖ× Ú × × ØÙ Ò ×Ó Ö ÓÒ ÙÒØÓ×
Ñ × Ô ÕÙ ÒÓ× ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ö Ô Ø Ò ×¸ ÐÓ ÕÙ Ð Ö Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓº
Ä Ô ÖØ ÓÒ ÑÓ ¬ Ö× Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð × Ö Ô Ø Ò × × Ú Ý Ò ÓÐÓ Ò Ó ÔÓÖ
ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÙÒ ×ÕÙ Ñ × Ñ Ð Ö Ð × Ù ÒØ
l r
ÙÐ Ñ ÒÓÖ ×ÓÖ Ò Ñ ÝÓÖ ÙÐ
p i j q
ÄÙ Ó¸ Ù Ò Ó ÐÓ× Ò × × ÖÙ Ò¸ × Ö Ð Þ Ò ÐÓ× ÒØ Ö Ñ Ó× Ò × Ö Ó× Ô Ö Ö Ð
ÖÖ ÐÓ ØÖ ÔÐ Ñ ÒØ Ô ÖØ ÓÒ Óº
ÄÓ× Ø ÐÐ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ò ÓÑÓ Ö Óº
½¾
Ò Ò ÖÓ ¾¼¼ ¸ ÔÖÓ × ÓÖ × ¿ Þ¸ ÓÒ ¾Å ľº

223. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 197
3.2.2.9 Quicksort concurrente o paralelo
Ò Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × × ÑÙÝ ÐÑ ÒØ ÔÖ Ò× Ð ×Ù Ð Ô Ö¹
Ð Ð Þ ÓÒº Ò ØÓ¸ ÓÑÓ ÐÙ Ó Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð Ô ÚÓØ Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò ×Ù ÔÓ× ÓÒ
¬Ò Ø Ú ÒØÖÓ Ð ÓÖ Ò ×ÓÐÙØÓ¸ Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ÔÙ Ò ÓÖ Ò Ö× Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸
ÔÓÖ × Ô Ö Ó¸ ÔÓÖ ×Ø ÒØÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ú Ö ÒØ × Ý¸ Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ØÓ ×Ø
Ó × ÖÚ ÓÒ¸ ÔÓÖ ÔÖÓ × ÓÖ × Ö ÒØ ×º ÓÑÓ Ñ Ò Ö Ñ × Ñ Ð Ö ÔÖ Ò Ö Ð
×ÙÒØÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ñ ÞÓ Ö × ÓÖ Ò Ö Ý ØÖ × Ô Ö×ÓÒ ×¸ ÙÒ Ô Ö Ô ÖØ ÓÒ Ö
Ý Ð × Ó× Ö ×Ø ÒØ × Ô Ö ÓÖ Ò Öº Å ÒØÖ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ð Þ Ð Ô ÖØ ÓÒ¸ Ð × Ó× Ö ×Ø ÒØ ×
Ò ×Ô Ö Ö Ô ÖÓ ÙÒ Ú Þ ÕÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ ×Ø ÙÐÑ Ò ¸ ÒØÓÒ × Ð × Ô Ö×ÓÒ × Ò Ö¹
× ÓÖ Ò Ö ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ × Ò ÕÙ ÒØ Ö¬ Ö Ò ÒØÖ ÐÐ × Ý ÓÒ Ð
ÓÖ Ò ¬Ò Ð Ð Ñ ÞÓº Ù Ò Ó Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ×Ø Ò ÓÖ Ò ×¸ Ð Ô ÖØ ÓÒ ÓÖ ÙÒØ ÐÓ×
Ñ ÞÓ׸ ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ñ ÞÓ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ò Óº Ä Ó × ÖÚ ÓÒ × ÒØ Ô Ö
Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÓÒ ÖÖ ÐÓ׸ ÙÒÕÙ ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × Ð ÒØ Ò Ö¸ Ó Ð Ö Ø Ö
ÓÔ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö º
3.2.2.10 B´ squeda aleatoria de clave
u
Ù Ò Ó ÒØ ÒØ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ׸ ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ×
ÓÒ ÙÒ ×ÝÙÒØ Ú º Ë ÓÖ Ò ÑÓ׸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ Ö Ð ¬ ÒØ Ù×ÕÙ ¹
Ò Ö ¸ Ô ÖÓ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ O(n)º ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ñ ÒØ Ò ÑÓ×
Ð × ÙÒ ×ÓÖ Ò ¸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ ÑÙÝ Ö Ô O(1)¸ Ô ÖÓ ÙÒ
Ù×ÕÙ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ Ð ÒØ × O(n)º Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ó × ÓÒ ×¸ Ð Ö ÞÓÒ × Ö
Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ð Ù×ÕÙ ¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ÔÙ Ö ÑÓ× ÓÖ Ò Ö
Ú Þ Ò Ù Ò Ó Ó Ù Ò Ó ×Ø ÑÓ× × ÙÖÓ× ÕÙ ÒÓ Ö Ò Ñ × Ò× Ö ÓÒ ×º È ÖÓ ÐÐÓ
ÙÒ × Ó×ØÓ×Ó Ý Ð Ñ Ø Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ ×Ô ØÖÓ Ô ÕÙ ÒÓ × ØÙ ÓÒ ×º
ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ù×ÕÙ ¸ Ö ÒØÖ Ð ÓÖ Ò Ý Ð ×ÓÖ Ò¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ñ¹
ÔÐ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ × Ù Ò ×¸ × × ÖÚ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð ÕÙ ×ÓÖØ
ÜÔÐ Ò Ü ¿º¾º¾º½ ´Ô Ò ½ µº Ò ØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× × ÖÚ ÖÒÓ× Ð Ñ ØÓ Ó × ÖÖÓÐÐ Ó
Ò ¬Ò ÓÒ Ô ÖØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ ½ ´Ü ¿º¾º¾º½ ´Ô Ò ½ µµ Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð
Ù×ÕÙ ×Ó Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×ÓÖ Ò Ó
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
int random_search(T * a, const T & x, const int & l, const int & r)
{
if (l > r)
return Not_Found;
const int pivot = partition<T, Compare>(a, l, r);
if (Compare() (x, a[pivot]))
return random_search<T, Compare>(a, x, l, pivot - 1);
else if (Compare() (a[pivot], x))
return random_search<T, Compare>(a, x, pivot + 1, r);
return pivot; // elemento encontrado en el ındice x
´
}
Í× × partition ½ º
Ä Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ð ÖÖ ÐÓ Ý Ó Ø Ò Ö Ð ÔÙÒØÓ
Ô ÖØ ÓÒ pivotº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð Ô ÚÓØ × ÑÔÖ × Ò Ù ÒØÖ Ò ×Ù ÔÓ× ÓÒ ÓÖ¹
Ò ¬Ò Ø Ú º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÓÖ Ò x Ö ×Ô ØÓ pivot Ø ÖÑ Ò Ò Ù Ð Ð × Ó×

224. 198 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ô ÖØ ÓÒ × × ÓÒØ ÒÙ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð Ù×ÕÙ º
ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ × ÙÒ Ð Ò Ð × × Ü ¿º¾º¾º½ ´Ô Ò ½ µ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÓÖÖ ÒØ Ö ¹
Ñ ÒØ Ð ÖÖ ÐÓº Ê ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð × Ð Ú Ö ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ò Ö Ð ÒÓ ÔÓ Ö ÔÓÝ Ö×
ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò random search()º È ÖÓ × ÔÓ Ö ¸ ÑÔ ÖÓ¸ Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø ÓÖ Ò
Ô ÚÓØ × Ô ÖØ Ö Ð Ù Ð Ö Ð Þ Ö Ù×ÕÙ × × Ù Ò Ð × ÕÙ × Ö Ò ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ
Ñ × ÓÖØ × ÕÙ Ö ÓÖÖ Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÖÖ ÐÓº
Ð Ò Ð × × ÓÖÑ Ð ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð ÓÑÓ Ö Óº Ä Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ Þ
× Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÔÐ Ù× Ð ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ð ÔÖ Ò Ô Ó ´Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ µ ×
Ð Ñ ×ÑÓ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð Ð ×Ø × ÙÒ Ð Ô ÚÓØ Ý ÐÙ Ó Ö Ò Ù Ð Ð × Ó× Ô ÖØ ÓÒ ×
ÓÒØ ÒÙ Ö Ð Ù×ÕÙ
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
Dnode<T> * dlink_random_search(Dlink & list, const T & x)
{
if (list.is_empty())
return NULL;
Dnode<T> * pivot = static_cast<Dnode<T>*>(list.remove_next());
Dnode<T> item(x);
Dnode<T> * item_ptr = &item; // puntero a una celda que contiene a x
Dlink smaller; // lista de los menores que pivot
Dlink bigger; // lista de los mayores que pivot
Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø ½
Dnode<T> * ret_val = NULL;
if (Compare () (item_ptr, pivot))
ret_val = dlink_random_search <T, Compare> (smaller, x);
else if (Compare () (pivot, item_ptr))
ret_val = dlink_random_search <T, Compare> (bigger, x);
else
ret_val = pivot;
list.swap(&smaller);
list.append(pivot);
list.concat_list(&bigger);
return ret_val;
}
Í× × Dnode º
ÈÓÖ ÓÒÓÑ Ó Ó¸ dlink random search() ×ÙÑ ÕÙ × Ù× ×Ó Ö ÙÒ Ð ×Ø
Dlinkº ×ØÓ Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð Ù×Ù Ö Ó ×ÙÖØ ÙÒ Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ ÕÙ ÓÒ× Ö
Ó ØÓ× Ø ÔÓ Dlink Ý ÒÓ Dnode<T> ÐÓ ÕÙ Ð ×ÙÒØÓ Ð Ó Ò ÓÖÖÓ×Ó¸ ÔÙ × Ð
Ù×Ù Ö Ó ÓÒÚ ÖØ Ö ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ø ÔÓ Dlink Dnode<T>º ÓÑÓ Ý ÐÓ ÜÔÐ ÑÓ×
Ò Ü ¿º½º¿ ´Ô Ò ½ µ¸ Ð Ð × Ò Ö Compare Dnode ÒÓ× ÔÓ× Ð Ø Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
random search() Ô Ö Ó ØÓ× Ø ÔÓ Dnode<T> Ý Ö Ú Ó׺
3.2.2.11 Selecci´n aleatoria sobre secuencia desordenadas
o
Ó Ð Ñ ×ÑÓ ÙÒ Ñ ÒØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÔÓ× Ð ÑÔÐ ÒØ Ö Ð × Ð ÓÒ Ð ØÓ¹
Ö × Ö¸ Ù× Ö Ð i¹ × ÑÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖÓ Ð × Ù Ò º ×ØÓ × ÐÐ Ú Ó
Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare> static inline

225. 3.2. Algoritmos dividir/combinar 199
const T & __random_select(T * a, const int & i, const int & l, const int & r)
{
const int pivot = partition<T, Compare>(a, l, r);
if (i == pivot)
return a[i];
if (i < pivot) // ¿est´ en partici´n izquierda?
a o
return __random_select<T, Compare>(a, i, l, pivot - 1);
else
return __random_select<T, Compare>(a, i - (pivot - l + 1), pivot + 1, r);
}
Í× × partition ½ º
ÁÑÔÓÖØ ÒØ × Ò Ð Ö ÕÙ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ × × Ö ×Ù ÐÚ Ñ × Ö Ô Ó ÓÒ
random select() ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ñ Ö Ù×ÕÙ × Ù Ò Ðº Ò ØÓ¸ Ò ÙÐØ ÑÓ ×Ó
Ð × Ð ÓÒ × Ö O(n2)½¿ º
× ÓÒÚ Ò ÒØ Ú Ö ¬ Ö ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ i × Ö ÙÒ× Ö Ð Ö Ò Ó [l, r]º ØÓ×
ÓÖÖ Ö ÙÖ ÓÒ Ð ÙÐÓ¸ ÓÐÓ ÑÓ× Ð Ú Ö ¬ ÓÒ ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ¸ ÒØÖÓ Ð ÒØ Ö Þ
ÔÙ Ð ¸ Ò ÐÙ Ö ÖÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÖÙØ Ò ÔÙ Ð ×
¬Ò ×
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½ ½
template <typename T, class Compare>
const T & random_select(T * a, const int & i, const int & n)
{
if (i >= n)
throw std::out_of_range("index out of range");
return __random_select(a, i, 0, n - 1);
}
È Ö Ð × Ð ÓÒ Ð ØÓÖ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÑÓ× Ò Ö Ð ÔÖÓ ×Ó Ô ÖØ ÓÒ Ö
Ð ×Ø ½ Ð ÓÒØ Ð Þ ÓÒ Ð × Ö Ò Ð × Ð × Ó× Ô ÖØ ÓÒ × Ö ×ÙÐØ ÒØ ×º ×ØÓ
× ÔÙ Ö Ð Þ Ö Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø Ý ÓÒØ Ö ½ ≡ ´½ µ
while (not list.is_empty())
{
Dlink * p = list.remove_next();
if (Compare () (p, pivot)) // ¿p < pivot?
{
smaller.append(p); ++smaller_count;
}
else
{
bigger.append(p); ++bigger_count;
}
}
½ Å ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ½ ¿ +≡ ½
template <class Compare>
Dlink * dlink_random_select(Dlink & list, const size_t & i)
{
if (list.is_empty())
½¿
Î × Ö Ó ¾¾ Ô ØÙÐÓ ¾º

226. 200 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
return NULL;
Dlink * pivot = list.remove_next();
Dlink smaller; // lista de los menores que pivot
Dlink bigger; // lista de los mayores que pivot
size_t smaller_count = 0, // cantidad de elementos de smaller
bigger_count = 0; // cantidad de elementos de bigger
Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø Ý ÓÒØ Ö ½
Dlink * ret_val = NULL;
if (i == smaller_count)
ret_val = pivot;
else if (i < smaller_count)
ret_val = dlink_random_select <Compare> (smaller, i);
else
ret_val = dlink_random_select <Compare> (bigger, i - (smaller_count + 1));
list.concat_list(&smaller);
list.append(pivot);
list.concat_list(&bigger);
return ret_val;
}
3.3 An´lisis amortizado
a
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð ÕÙ Ö ÑÓ× ×ØÙ Ö Ð × ÑÔ ÒÓ ÙÒ Ì Ó ÙÒ
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ Ä ÒÓØ ÓÒ O ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ñ Ò ×ÑÓ × Ò ÐÐÓ Ý Ó Ø ÚÓ
Ô Ö Ò ÐÞ ÖÐ Ø Ò Ò Ð ÙÖÚ ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ù Ò Ó
Ò Ð Þ ÑÓ× Ð × ÑÔ ÒÓ ÙÒ Ì ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö ÓØÖÓ× ×Ô ØÓ× ÓÒ Ð ×
¯ ÍÒ Ì Ø Ò Ú Ö × ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÝÓ× × ÑÔ ÒÓ× ÔÙ Ò × Ö Ö ÒØ × Ý ÕÙ
ÔÙ Ò × Ö× Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ø ÒØÓ׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ì ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö
Ò Ð Þ Ö ×Ø ÒØÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
¯ ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÙÒ Ì ×Ù Ý Ò ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ×Ù
Ò Ð × × Ö ÕÙ Ö ÓÒ× Ö Ö Ð ×Ø Ó ØÙ Ð Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÔÙ × ×Ø ÑÙÝ
ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ÓÔ Ö ÓÒº
¯ Ð ×Ø Ó Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ô Ò Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ×
×Ù ×Ó Ö Ð Ì º Ë Ù Ò × ÓÔ Ö ÓÒ ×Ø ÒØ × ÔÖÓ Ù Ö Ò Ø ÑÔÓ× ×Ø ÒØÓ׺
Ð Ö ×Ô ØÓ¸ Ù ÒØÓ ÑÓÖ Ö ØÙ Ö n ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö ÙÒ Ì ÔÓ ÑÓ×
×Ø Ð Ö ÙÒ ÓØ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ
× Ð × Ó× ×¸ Ú ÑÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð Ñ ÖÓ Ù×Ó Ð ÒÓØ ÓÒ O Ð Ò Ð Þ Ö ÙÒ
Ì º È Ö ÐÐÓ¸ Ü Ñ Ò ÑÓ× Ð Ì DynListStack<T> ´Ü ¾º º ´Ô Ò ½½ µµ Ý ÙÒ
× ÙÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö ×Ø Ì Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×
× Ù Ò × ÔÓ× Ð × ÕÙ ÓÑÔÓÖØ Ò pushes Ý popsº Ë Ö Ñ ÑÓÖ ÑÓ× Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
DynListStack<T>¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÔÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÒØÓ push() ÓÑÓ pop()
ØÓÑ Ò O(1)º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò n ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö DynListStack<T>
ØÓÑ nO(1) = O(n)º ÑÓ× Ö Ð Þ Ö ÒÙ ×ØÖÓ ÔÖ Ñ Ö Ò Ð × × ×Ó Ö Ð ÓÑÔÓÖ¹
Ø Ñ ÒØÓ ÙÒ Ì ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Óº

227. 3.3. An´lisis amortizado
a 201
ÓÖ Ò ÑÓ× Ð Ì DynListStack<T> Ð ÓÔ Ö ÓÒ popn(n)¸ Ð Ù Ð ÜØÖ n
Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ô Ð ½ º Ì Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾¼½ ÔÙ× Ò Ô Ö DynListStack<T> ¾¼½ ≡
template <typename T>
void popn(DynListStack<T> & stack, const size_t & n)
{
if (n > stack.size())
throw std::overflow_error("Stack overflow");
for (int i = 0; i < n and stack.size() > 0; ++i)
stack.pop();
}
Í× × DynListStack ½½ º
Ë Ð Ô Ð ÓÒØ Ò n Ð Ñ ÒØÓ׸ ÒØÓÒ × Ð Ó×Ø popn() × O(n) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Óº
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ö ÑÓ× Ð Ú Ö× ÓÒ ÜØ Ò Ð Ì DynListStack<T> ÓÒ Ð × × ¹
Ù ÒØ × ×Ô ¬ ÓÒ × Ö Ò Ñ ÒØÓ × × Ò Ð Ò Ð × × ØÖ ÓÒ Ð½
ÆÓÑ Ö ÓÔ Ö ÓÒ ¬ Ò Ô ÓÖ ×Ó
push(item) O(1)
pop() O(1)
popn(n) O(n)
Ù ÒØÓ Ù ×Ø ÙÒ × Ù Ò n ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒ× ÙØ Ú × ×Ó Ö ÙÒ Ó ØÓ
DynListStack<T> È Ö Ö ×ÔÓÒ Ö ÔÓÖ Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ ØÓÑ ÑÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÒ popn()¸
ÕÙ × Ð Ñ × Ó×ØÓ× ¸ Ý Ð ÙÐ ÑÓ× Ð Ó×Ø ÙØ ÖÐ n Ú × ÓÒ× ÙØ Ú ×º ØÖ Ú ×
×Ø Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ÐÐ ÑÓ× Ð ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ÕÙ Ð Ó×Ø ØÓØ Ð × n × O(n) = O(n2)º
È ÖÓ ×Ø Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÒÓ × Ù×ØÓ¸ ÔÙ × Ð × ÑÔ ÒÓ popn() Ô Ò Ð ÒØ ¹
Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ð Ô Ð º ÍÒ ÐÐ Ñ popn(n) ØÓÑ O(n)¸ Ô ÖÓ¸ Ð × × Ù ÒØ ×
ØÓÑ Ö Ò O(1)¸ ÔÙ × × ÙØ Ò ×Ó Ö ÙÒ Ô Ð Ú º
Ð Ò Ð × × ÒØ Ö ÓÖ¸ Ñ × ×Ù Ø ÚÓ¸ ÕÙ ÓÒ× Ö Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò × ÒÚÓ ÓÒ
popn()¸ ÒÓ× Ö Ú Ð ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò n ÓÔ Ö ÓÒ × ×¸ Ò ÔÖÓÑ Ó¸ O(n)º
ÍÒ Ø Ò Ú Ò Ù Ö ÕÙ ÒØ ÒØ ÓÒ ÖØÓ Ü ØÓ Ó Ø Þ Ö Ð Ò Ð × × Ø ÔÓ×
×ØÖ ØÓ× ØÓ× × ÒÓÑ Ò Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó º Ä × ÔÓÒ Ö Ö ÐÓ× Ó×Ø ×
ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÒ Ì ØÖ Ú × ÙÒ ÔÓØ Ò Ð ×ØÖ ØÓ Ó Ö ØÓ׺
3.3.1 An´lisis potencial
a
Ò ×Ø Ð × Ò Ð×× ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð Φ : D −→ R ÓÒ
D Ö ÔÖ × ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×Ù Ý ÒØ Ð Ì Ý R × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ×
Ö Ð ×º D × ¬Ò ÓÑÓ D = {D0} ∪ {D1, D2, . . . , Dn}¸ ÓÒ D0 × Ð ×Ø Ó Ò Ð
Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ý {D1, D2, . . . , Dn} ×ÓÒ ÐÓ× ×Ø Ó× ×Ù × Ù ÒØ × Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÙÒ
× ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð Ì º
ÕÙ Ñ Ò Ö ÔÙ Ù× Ö× Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð Ô Ö Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ì È Ö ÓÖ Ö
Ð ÔÖ ÙÒØ ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó Ô Ö Ð i¹ × Ñ ÓÔ Ö ÓÒ
½
ÇÔ Ö ÓÒ ÕÙ Ù ¬Ò Ô Ö Ð Ì ArrayStack<T> × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü ¾º º¾ ´Ô Ò ½¼ µ Ý ÕÙ
ØÓÑ O(1)º
½
Ð Ö ×ØÓ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × size()¸ is empty() Ý top() × ÓÑ Ø Ò ÔÓÖÕÙ Ø Ò Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ý
ÒÓ Ö Ð Þ Ò ÑÓ ¬ ÓÒ × ×Ó Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺

228. 202 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
×Ó Ö ÙÒ Ì
i = Øi + Φ(Di) − Φ(Di−1) ´¿º¾ µ
Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ΔΦ i
Øi × Ð ÙÖ ÓÒ Ù ÓÒ Ð i¹ × Ñ ÓÔ Ö ÓÒ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ΔΦ × Ð Ö Ò¹ i
ÔÓØ Ò Ð ÒØÖ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ØÙ Ð Ý Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð Ù Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ó
Ð ÓÑÔ Ò× ÓÒ Ò Ö × ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ò Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ Ó Ò Ø ÚÓº Ò ×Ø ×Ó¸
Ð ÔÓØ Ò Ð ÒÓØ ÙÒ ×Ô Ò Ö ÕÙ × ×Ø Ó × Ò ÒØÖ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ý
ÓØÖ ½ º
Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó ÑÓ Ð Þ Ð Ó ÕÙ Ð ÙÒ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ù ×Ø Ò Ñ ×
ÕÙ ÓØÖ ×¸ Ô ÖÓ¸ Ø Ñ Ò¸ Ð ÕÙ ÓØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÑ ÒØ Ò Ð ÔÓØ Ò Ð Ð ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ×ÔÓÒ Ò Ò Ö Ù Ò Ó ØÙ Òº
Ä Ù ÓÒ ´¿º¾ µ ÒÓ× ÓÒ Ù ¬Ò Ö Ð Ó×Ø ØÓØ Ð n ÓÔ Ö ÓÒ × Ð × Ù ÒØ
ÓÖÑ
n n
Ì(n) = Øi = i − (Φ(Di ) − Φ(Di−1 ))
i=1 i=1
ΔΦi
n n n
= i − Φ(Di ) + Φ(Di−1 ) =⇒ ´¿º¾ µ
i=1 i=1 i=1
n n n n
= i = Øi + Φ(Di ) − Φ(Di−1 )
i=1 i=1 i=1 i=1
n
= Øi + Φ(D1 ) + Φ(D2 ) + · · · + Φ(Dn ) − Φ(D0 ) + Φ(D1 ) + · · · + Φ(Dn−1 )
i=1
n
= Øi + Φ(Dn ) − Φ(D0 ) ´¿º¿¼µ
i=1
È Ö ÕÙ Ð ÔÓØ Ò Ð Ø Ò × ÒØ Ó¸ × Ñ Ò ×Ø Ö ¬Ò Ö Φ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ¸ Ô Ö ØÓ
Ô ÖÑÙØ ÓÒ ÔÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ Φ(Dn) ≥ Φ(D0) × Ö¸ ÕÙ Ð Ö Ò ÔÓØ Ò Ð
ØÓØ Ð ÒØÖ Ð ×Ø Ó Ò Ð Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ý Ð ÙÐØ Ñ ÓÔ Ö ÓÒ × ÑÔÖ ×
ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÔÙ × × ÒÓ¸ Ò Ð ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ö Ö ÔÓØ Ò Ð¸ ÐÓ Ù Ð
Ô Ö ÒÓ Ø Ò Ö × ÒØ Ó Ò ÒÙ ×ØÖÓ ÓÒØ ÜØÓ Ø ÖÖ Ò Ð ½ º ÈÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÕÙ Φ(D ) ≥ 0¸
0
ÔÙ × Ð ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× × ÓØÓÖ Ö ÔÓØ Ò Ð × ÙØÙÖ × ÓÔ Ö ÓÒ ×º Ó
×Ø ×ÙÒ ÓÒ¸ Φ(Dn) − Φ(D0) ≥ 0¸ ÐÓ ÕÙ ¸ Ò ÙÒ ÓÒ ´¿º¿¼µ¸ ÒÓ× ÓÒ Ù ¬ÖÑ Ö
½
Ð ÙÒ Ú Ñ Ò Ö ¸ Ð Ð Ò Ù ÒØ ¬ ×Ø ÑÓ ÖÒÓ ÙÒ ÒÓ ÐÓ Ö Ó ÑÔÓ Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
Ð × ÒØ Ó Ò ×ØÖ Ð Ð Ô Ð Ö ÔÓØ Ò ¸ Ö Þ ÔÓØ Ò Ð ¸ Ù Ð × ÙÒ ÒÓ ÓÒ Ñ Ò Ò ×Ø
× ÓÒº Ù Ò Ó ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ×ØÙ ÒØ Ø Ò Ð ÔÓØ Ò Ð × Ö Ö ÐÐ ÒØ ¸ ÒÓ ÒÓ× ×Ø ÑÓ× Ö ¬Ö Ò Ó Ð
ÒÓ ÓÒ × Ò Ö ÒÓ ×Ø ÑÓ× Ò Ó Ð Ó × ÓÑÓ Ð Ø Ò ×Ù¬ ÒØ × ÐÓÖ ×º Ò ×Ø ×Ó¸ Ö
ÕÙ Ø Ò ÔÓØ Ò Ð ÜÔÖ × ÕÙ Ð ÔÓ× Ø Ð ÒØÓ× ÕÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ò Ú Ò Ö Ü Ð ÒØ ¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÑÓ×
ÕÙ ÐÓ ×º Ò ÒÙ ×ØÖÓ ÑÔÐÓ Ð ÔÓØ Ò Ð × ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ò ×Ô Ò× Ð Ô Ö Ð Ö ÐÐ ÒØ Þ¸ Ô ÖÓ ÒÓ
ÙÒ Ö ÒØ º Ð Ô Ò× Ñ ÒØÓ Ö Ó ÒØ ÙÓ ×Ø Ò Ù ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× ν ργειεα ´ Ò Ö µ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ
Ð ÐÓ ÕÙ ÓÝ ÓÒÒÓØ ÑÓ× ÓÑÓ Ò Ö Ý δψ ναμις ´ ÝÒ Ñ ×µ¸ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÐÓ ÔÓØ Ò Ð¸ Ý ÙÝ
ØÖ Ù ÓÒ Ð Ø Ò × ÔÓØ ÒØ º Ä Ô Ð Ö εργον ´ Ö ÓÒµ × Ò Ð Ù ÖÞ Ô Ö Ó Ö Ö Ó ÐÓ ÕÙ ÓÝ
ÓÒÒÓØ ÑÓ× ÓÑÓ ØÙ Ö¸ ÓÒ Ö ÑÔÐ Ó Ð ØÓº Ò Ö ÔÖÓÚ Ò Ð ÓÑÔÓ× ÓÒ Ð ÔÖ ¬ Ó εν ´ Òµ
ÕÙ × Ò ¬ ÒØÖÓ ¸ ÓÒ ργεια ´ Ö µ¸ ÓÖÑ Ö Ø Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ργον ´ Ö ÓÒµº
È Ö ÐÓ× Ö Ó× Ò Ö ÓÒ×Ø ØÙ Ð ØÓ Ð ÔÖ × Ò ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÔÓØ Ò Ö ÐÓ ÕÙ ÔÓ× Ð Ø
Ð ØÓº
½
Å × ÒÓ¸ ÕÙ Þ ¸ Ò ÐÓ Ú ÒÓº

229. 3.3. An´lisis amortizado
a 203
Ð × ÙÐ × Ù ÒØ n n
Ì(n) = Øi ≤ i ´¿º¿½µ
i=1 i=1
Ó Ð × ÔÖ Ñ × × ÔÐ ÒØ ×¸ Ð × Ù Ð ´¿º¿½µ ÒÓ× ÑÙ ×ØÖ ÕÙ (n) ÓØ ×Ù¹
Ô Ö ÓÖÑ ÒØ Ì(n)¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ÔÓ ÑÓ× ØÖ Ö ÓÒ × ÙÖ Ñ ÒØ (n) Ý ÐÓ×
Ô ÓÖ × ×Ó× Øi × ÙÒ ÙÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ì Ý Ð × ÔÓ× Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ ×
× Ù Ò × ÓÔ Ö ÓÒº
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ú Ö× ÓÒ ÜØ Ò Ð Ì DynListStack<T> Ý ¬Ò ÑÓ× Φ : D −→
R ÓÑÓ Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ø Ò Ð Ô Ð Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÔÓÖ ÐÓ
ÕÙ Φ(D0) = 0º ×ØÙ ÑÓ× ÐÓ ÕÙ Ó ÙÖÖ ÓÒ ÐÓ× ÔÓØ Ò Ð × Ñ Ö Ò Ó Ð ÙÒ × Ù Ò
ÓÔ Ö ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÑÓ×ØÖ ÔÓÖ Ð Ø Ð × Ù ÒØ
i ÇÔ Ö ÓÒ Øi Φ(Di ) ΔΦi = Φ(Di ) − Φ(Di−1 ) i = Øi +ΔΦi
¼ ¹ ¹ 0 ¹ ¹
½ push() 1 1 1 2
¾ push() 1 2 1 2
¿ push() 1 3 1 2
pop() 1 2 −1 0
push() 1 3 1 2
popn(3) 3 0 −3 0
Ð ¬Ò Ð ÙÒ push()¸ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ô Ð × Ò Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ × ÑÔÖ
× ÙÑÔÐ
i = 1 + 1 ;
ti ΔΦ i
× Ð i¹ × Ñ ÓÔ Ö ÓÒ × push()º
Ð ¬Ò Ð ÙÒ popn(k)¸ Φ(Di) = Ni−1−k ÓÒ Ni−1 × Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÒØ ×
ØÙ Ö popn()º ×Ø ÑÓ Ó¸ ÐÙ Ó ÙØ Ó ÙÒ popn(k)¸ Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó
×Ö
i = k + Ni−1 − k − Ni = 0 ;
k ΔΦ i
Ú Þ ÕÙ Ð i¹ × Ñ ÓÔ Ö ÓÒ × popn(k)º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ó×Ø pop() × ÕÙ Ú ¹
Ð ÒØ popn(1)º
Ò × ÒØ × ×¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð × Ù Ò ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÐÓ×
Ó×Ø × ÑÓÖØ Þ Ó× Ð Ì DynListStack<T> ×ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
ÆÓÑ Ö ÓÔ Ö ÓÒ
push(item) 2
pop() 0
popn(n) 0
ÓÖ ×ØÙ ÑÓ× Ð Ó×Ø ØÓØ Ð n ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒ× ÙØ Ú × ×Ó Ö Ð Ì DynListStack<T>º
ÈÓ ÑÓ× Ú Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò n1 push() Ý n2 popn() ´Ö ÓÖ ÑÓ× ÕÙ pop() ⇐⇒
popn(1)µº ÈÓÖ Ø ÒØÓ
Ì(n) ≤ (n) = O(n1) × 2 + O(n2) × 0 = O(n1) = O(n)

230. 204 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
× Ô٠׸ Ð Ó×Ø ÔÖÓÑ Ó ÔÓÖ ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÒØÖ Ù ÐÕÙ Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒ n ÓÔ Ö ÓÒ ×
×Ø Ó ÔÓÖ
Øi ≤ (n) = O(n) = O(1)
n n
3.3.2 An´lisis contable
a
Ò ÙÒ Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó ÓÒØ Ð¸ ÓÔ Ö ÓÒ × Ð × Ò ÙÒ ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ
ÐÐ Ñ Ö ØÓ¸ × Ó Ù Ó× Ñ ÒØ × ÙÒ Ð Ò ØÙÖ Ð Þ Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸ Ð Ù Ð ÒÓ
Ò × Ö Ñ ÒØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ó×Ø Ö Ð Ò ÙÖ ÓÒº Ë Ð Ó×Ø Ò ÙÖ ÓÒ Ð
i¹ × Ñ ÓÔ Ö ÓÒ × Øi¸ Ý i ×Ù Ó×Ø Ö ØÓ¸ ÒØÓÒ × Ö ÕÙ Ö ÑÓ× × Ø × Ö
n n
= i ≥ Ì(n) = Øi ´¿º¿¾µ
i=1 i=1
Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò ÔÓ× Ð n ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð Ì Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ Ð
Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó Ð Ì Ó ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ô Ö ÙÒ × Ù Ò n ÓÔ Ö ÓÒ × ×
n
= i=1 i
n
´¿º¿¿µ
Ä × ÙÐ × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ð ÜÔÖ × Ò ´¿º¿½µ¸ Ô ÖÓ ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ð
Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó i × ÓÒ×Ø ÒØ Ô Ö ÓÔ Ö ÓÒ ´ÐÓ Ù Ð Ö ×ÙÐØÓ Ð ×Ó Ô Ö Ð
Ì DynListStack<T>µº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð × Ð ÓÒ Ð Ö ØÓ
ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÙÒÕÙ Ò×Ô Ö Ó Ò Ð ÔÓØ Ò Ð¸ ×Ø ÔÖ ×Ø Ó Ð Ö ÓØ Ñ Ö¹
ÒØ Ðº Ä × ÕÙ × ÑÔÖ Ö Ö ØÓ Ô Ö Ó×Ø Ö Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò
ÓÔ Ö ÓÒº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÐÓ× Ö ØÓ× ÓÔ Ö ÓÒ Ò × Ð ÓÒ Ö× ÑÓ Ó
Ø Ð ÕÙ ¬Ò Ò Ò ÓÒ Ö ØÓ× ÓØÖ ×º
ÖØ Ñ Ò Ö ¸ Ð × Ò ÓÒ Ö ØÓ× ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÔÓ¹
Ø Ò Ð × Ö Ø Ý ÔÓÖ Ô ÖØ × × ÙÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ò ÑÓ× Ð Ì ÜØ Ò Ó DynListStack<T> ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ØÓ×
ÑÓÖØ Þ Ó×
ÆÓÑ Ö ÓÔ Ö ÓÒ Ö ØÓ×
push(item) 2
pop() 0
popn(n) 0
È Ö Ö Ò ÖÐ × ÒØ Ó Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ× ÓÒ Ù ×Ø × Ð ÓÒ Ö ØÓ׸ ¹
ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ö ÙÒ pop() × ÒØ × ÒÓ Ù Ó ÙÒ push()º ×Ø ÑÓ Ó¸
ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ù Ò Ó × ØÙ ÙÒ push() × Ò Ó× ´2µ Ö ØÓ׸ ÙÒÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ Ð Ó×Ø Ò ÙÖ ÓÒ Ý ÓØÖÓ Ó Ò ÔÖ ×Ø ÑÓ Ó Ö ÒØ Ô Ö Ó×Ø Ö Ð ÙÖ ÓÒ
ÜØÖ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ù Ò Ó × ØÙ ×Ù pop()º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò
× Ó Ó×Ø × ÔÓÖ Ð ÒØ Ó ÔÓÖ Ð push()¸ pop() Ý popn() ÒÓ Ø Ò Ò Ö ØÓ׸ ÔÙ × ×Ù×
Ó×Ø × Ò × Ó ÑÓÖØ Þ Ó× ÔÓÖ Ð push()º
ÓÒ ÐÓ× Ó×Ø × ÑÓÖØ Þ Ó× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÓØ Ô Ö Ð Ó×Ø ÑÓÖ¹
Ø Þ Ó Ð Ì DynListStack<T>¸ Ð Ù Ð ÒÓ Ü Ö
2n
≤ = 2 = O(1)
n

231. 3.3. An´lisis amortizado
a 205
Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ö ØÓ ¸ ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ð Ú Ö Ó Ð Ø ÒÓ Ö Ö ¸ × Ò ¬ Ö Ö¸ ÓÒ¬ Ö¸
Ö Ò ÙÒ Ô Ö×ÓÒ º ÌÖ ×Ø Ñ ÒØ ¸ ÓÝ Ò Ð ÑÙÒ Ó ÓÒÓÑ Ó ÑÔÐ Ð Ø ÖÑ ÒÓ
Ö ØÓ Ô Ö Ö Ö Ö ÙÒ ÒØ Ò ÖÓ ÕÙ × ÓØÓÖ Ò ÔÖ ×Ø ÑÓ¸ ÓÑÓ × Ð ÔÖ ¹
×ÙÒ ÓÒ ÙÒ Ù × Ù ÒØ ¬ Ð Ó¸ Ò Ò ÙÖ ¸ ×ØÙÚ × Ú Ò ÙÐ Ð ÔÓ Ö
ÓÒÓÑ Ó½ º
Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÑÓÖØ Þ Ö × Ù× Ò Ð ÑÙÒ Ó Ò Ö Ó Ý × × ÐÐ ÕÙ ÔÖÓÚ Ò
Ð Ñ Ø ÓÖ ÓÒ ×Ø Ø ÔÓ Ò Ð × ×º ÙÖ Ó× Ñ ÒØ ¸ ÑÓÖØ Þ Ö ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Ò ×¸ Ð
٠и ×Ù Ú Þ¸ ÔÖÓÚ Ò Ð Ð Ø Ò Ñ Ú Ð ÑÓÖØ Þ Ö º Ð ÔÖ ¬ Ó Ò ÔÖÓÜ Ñ ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÑÓÖØ × × Ò ¬ ÑÙ ÖØ º ÑÓÖØ Þ Ö × Ò ¬ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖÓÜ Ñ
Ð ÑÙ ÖØ ¸ Ô ÖÓ Ð Ø ÖÑ ÒÓ × Ù× × Ð Å Ô Ö ÓÒÒÓØ Ö Ð ÔÖÓÜ Ñ
Ð ÑÙ ÖØ ÙÒ Ù º
3.3.3 Selecci´n del potencial o cr´ditos
o e
È Ö ÕÙ ÙÒ Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó Ø Ò × ÒØ Ó¸ × × Ò Ð Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ù Ò ÙÒ ÓÒ
ÔÓØ Ò Ð Ó ÐÓ Ö Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù ØÖ Ó Ý Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ
ÐÐ × ÑÓÖØ Þ Ò Ó ÓÒ×ÙÑ Ò Ö ØÓ× ÒØÖ × º
ÙÒ ÖØ ÓÖÑ ¸ Ð Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó × ×Ù Ø ÚÓ Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð Ò
Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð Ð ×Ù Ø Ú × Ð Ì Ý ×Ù ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ ׸ ÒØÓÒ ×¸
ÙÖ ÒØ Ð ×ØÙ Ó Ý × Ð ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ´Ó ÐÓ× Ö ØÓ× ÔÓÖ ÓÔ Ö ÓÒµ¸
Ù Ò Ó × ØÖ Ø Ò Ø Ð × ×Ù Ø Ú ×º
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ÔÓÒ Ö Ö Ð ×Ø Ó Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺
Ò Ð ×Ó ÙÒ × Ù Ò ¸ Ð Ø Ñ ÒÓ ×¸ Ñ ÒÙ Ó¸ ÙÒ Ù Ò × Ó Ò º
ÍÒ Ñ Ò Ö Ð Ø Ö Ð Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ú ÖÐ
Ò Ø Ô × × Ù Ò Ð ×¸ Ò Ð Þ Ö ÙÒ ÔÓÖ × Ô Ö Ó Ý ÐÙ Ó ×ÙÑ ÖР׺ ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ
ÙÒ × Ù Ò ÓÔ Ö ÓÒ × Ý ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ØÙ Ò Ð i¹ × Ñ Ú Þ ÓÒ Ó×Ø ÑÓÖ¹
Ø Þ Ó i ÒØÖ Ð ×Ø Ó Di−1 Ý Diº ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð × Di−1 −→ Di ÔÙ
Ú Ö× Ò Ð × × × D1, D2, . . . Dk¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Di−1 = D0 Ý Di = Dkº Ë Øj Ð
Ó×Ø Ô × Ö Ð ×Ø Ó Dj−1 Dj¸ ÒØÓÒ ×
k
Øi = Øj ´¿º¿ µ
j=1
Ë ÙÒ ´¿º¾ µ¸ Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó Øi ÔÙ ¬Ò Ö× ÓÑÓ
k k
j = (Øj +Φ(Dj) − Φ(Dj−1))
j=1 j=1
k
= Øj + Φ(Dk) − Φ(D0)
j=1
= Øi +Φ(Di) − Φ(Di−1)
= i ´¿º¿ µ
½
Ð Ð ÙÐØ Ñ Ö Ú × ÓÒ ×Ø × Ö ØÓ¸ Ð ÔÖ Ñ Ó ÆÓ Ð Ð È Þ ¾¼¼ × Ó ÓÒ¹
Ö Ó Ð ÈÖÓ ×ÓÖ Ò Ð ÅÙ ÑÑ ÙÒÙ׸ ÙÒ ÓÖ Ð Ò Ó Ö Ñ Ò ´ Ò Ó ÖÙÖ Ðµº Ð ÒÓ
Ò Ù ×Ø ÓÒ ÓÒ Ñ ÖÓ¹ Ö ØÓ× ÔÖ ×Ø Ø Ö Ó× ÑÙÝ ÔÓ Ö × Ñ Ø Ö ÐÑ ÒØ ¸ × Ò Ò Ò ÙÒ Ö ÒØ Ó
Ö ØÓ ÓÒÓÑ ¸ Ô ÖÑ Ø Ò ÓÐ × ÓÒ ÖÓÒØ Ö ×Ù ÔÓ Ö Þ Ñ Ø Ö Ðº ÆÓ ×ÓÖÔÖ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ¼±
ÐÓ× ÔÖ ×Ø Ø Ö Ó× Ö ÒØ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ÔÖ ×Ø ÑÓ¸ ÙÒÕÙ ¸ Ø Ñ Ò¸ Ð ± ÐÓ× ÔÖ ×Ø Ø Ö Ó× ×ÓÒ
ÑÙ Ö ×º

232. 206 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó Ð ÓÔ Ö ÓÒ × Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ó×Ø × ÑÓÖØ Þ Ó× ×Ù×
Ø Ô ×º
Ñ × ÐÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× ×Ó Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ý Ð Ø Ò Ò Ð × ×¸
Ò Ð Ù×ÕÙ Ý × Ð ÓÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ò Ò Ð ÜÔ Ö Ò ¸ Ð ÖØ Ý
Ð ×Ù ÖØ º
3.4 Correctitud de algoritmos
Ù Ò Ó Ð ÑÓ× Ö Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ¸ ÒÓ× Ö Ö ÑÓ× ÕÙ
×Ø ÐÓ Ö Ð ¬Ò Ô Ö Ð Ù Ð Ù ×Ø Ò Óº ÈÙ ×ØÓ ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ÓÒ ÖÒ
ÐÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ×Ø Ô ØÙÐÓ ÒÓÑ Ò ÑÓ× ¬ ¸ ÐÓ Ù Ð¸ Ò Ð ×Ó ÙÒ
ÔÖÓ Ö Ñ ¸ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ ×Ø ÒÓ ÖÖÓ Ñ Ð × Ö ×ÔÙ ×Ø ×º Ñ ÒÙ Ó ×ØÓ ÒÓ ×
× Ò ÐÐÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÔÓÖÕÙ ÒÓ × ×Ø ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ×Ø ÓÔ Ö Ø ÚÓ ÕÙ × ÔÙ
Ú Ö ¬ Ö × × Ó ÒÓ ÓÖÖ ØÓº
Ä ¬ ÕÙ ¸ Ö ÓÖ ÑÓ׸ ÒÓ × ÐÓ Ñ ×ÑÓ ÕÙ Ð ¬ Ò ¸ × ÙÞ ÔÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÙ
Ý Ñ Ò Ñ Ð º ÈÓÖ ÓÑÔÐ Ø ØÙ ÑÓ× ÕÙ Ð ØÓ¸ Ó × Ð ¬Ò¸ × Ð Ò Ð¹
Ñ ÒØ º ÈÓÖ Ñ Ò Ñ Ð ÑÓ× ÕÙ ÒÓ × ØÙ Ð Ó ÓÒ Ð Ð ¬Ò ÐÓ ÕÙ Ò Ð
Ð Ò Ù Ø ÒÓ Ö Ø Ó × ÒÓÑ Ò ØÓ ÓÐ Ø Ö Ð ÜÔÖ × ÓÒ ÕÙ ÓÑÙÒÑ ÒØ Ò
ÕÙ Ð ÓÒ× Ù ÓÒ Ð ¬Ò ÖÖ ØÓ× ÓÒ Ð × ÕÙ Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ ×ÓÒ Ò × Ð ×º
Ð ÂÙÐ Ó ½ × Ð ÒÞÓ ÔÓÖ Ú Þ ÔÖ Ñ Ö Ð Ó Ø ÙÖÓÔ Ó Ö Ò º ÁÒÑ ØÓ
Ð Ð ÒÞ Ñ ÒØÓ¸ Ð Ó Ø ÑÔ ÞÓ ×Ú Ö× ×Ù ØÖ Ý ØÓÖ Ú ÖØ Ð Ý Ó ×ØÖÙ Ö× ¼
× ÙÒ Ó× ×Ô٠׺ Ä × ÒÚ ×Ø ÓÒ × ÙÐØ Ö ÓÖ × Ö Ú Ð ÖÓÒ ÕÙ ÙÒ ÖÙØ Ò ØÖ Ø ÒÙÑ ÖÓ×
Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ ÓÑÓ × ÐÐÓ× ×ØÙÚ × Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ö ØÑ Ø ÒØ Ö º Ä Ú Ö× ÓÒ
ÒØ Ö ÓÖ Ð Ó Ø ¸ Ö Ò ÑÒ ÒØ ÖÓ× Ý Ð ÖÙØ Ò Ò Ù ×Ø ÓÒ ÒÓ × Ú Ö ¬ Ó
Ü Ù×Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÒÙ Ú Ú Ö× ÓÒ Ð Ó Ø º Ä ÖÙØ Ò Ö Ò ÓÖÖ Ø ½ ¸ ½¼ º
3.4.1 Planteamiento de una demostraci´n de correctitud
o
ÍÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ ×ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ö × Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÖÖÓ Ö ×ÔÙ ×Ø ×
ÓÖÖ Ø × Ô Ö ØÓ × Ð × ÒØÖ × ÔÓ× Ð ×º Ò ÙÒ ÓÒ ×ØÓ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ò Ð Ñ ÝÓÖ
Ð × Ó × ÓÒ × ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ð × ÒØÖ ×ÓÒ Ó ÑÙÝ Ö Ò × Ó Ò¬Ò ØÓ׸ ÙÒ ÔÖÙ
ÓÖÖ Ø ØÙ Ö ÕÙ Ö Ð × ¬ Ö Ð ÒØÖ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× ÔÓ× Ð × ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò
Ð ÒØÖ º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÓÑÓ × Ù º Ë I Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ò Ó
ÒØÖ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ý R Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö ×ÙÐØ Óº ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÔÖÙ ÓÖÖ Ø ¹
ØÙ Ü Ñ Ò Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ý Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ´ ÙÖ ÓÒ ×¸ Ð ÞÓ׸
Ø Ø Ö µ¸ ÐÓ× ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× ÒØÖ I = I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ In¸ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ×
× Ð R = R1, R2, . . . , Rnº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× Ö ×ÙÐØ Ó ÔÙ Ò ×ÓÐ Ô Ö×
ÒØÖ × Ó × ÕÙ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÒÓ Ø Ò Ò ÔÓÖ ÕÙ × Ö Ü ÐÙÝ ÒØ ×º
Ä ÔÖÙ ÓÖÖ Ø ØÙ ÓÒ× ×Ø ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò Ú Ö ¬ Ö × Ô Ö ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ii Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÖÖÓ Ð × Ð Riº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ñ ÒÙ Ó Ii Ý Ri ×ÓÒ ÑÙÝ Ö Ò ×
Ó Ò¬Ò ØÓ׸ Ð ÔÖÙ × Ö Ð Þ ÓÒ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÖÓÒØ Ö ÐÓ× ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ׺
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ò×Ô ÓÒ Ñ × ÔÖÓ ÙÒ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ × Ð ÓÒ ×ØÙ Ó
Ò Ü ¿º½º¿ ´Ô Ò ½ ¾µ Ö Ú Ð ÕÙ Ð ÐÓÕÙ Ë Ñ Ò Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ · ½ Ý
Ò ¹ ½ ½ ¿ × ÑÔÖ Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ i+1 Ý n-1¸ ÔÙ × ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó (i..n) ×
Ò×Ô ÓÒ Óº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ë Ñ Ò Ð Ò Ñ ÒÓÖ ÒØÖ · ½ Ý Ò ¹ ½ ½ ¿ × ÓÖÖ ØÓº

233. 3.4. Correctitud de algoritmos 207
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ð for Ñ × ÜØ ÖÒÓ Ö ÓÖÖ ØÓ Ó Ð ÖÖ ÐÓ ÒØÖ [0..n − 1) ×ÓÐÓ ÐØ
Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓ Ð Ù Ð × Ö Ò×Ô ÓÒ Ó ÔÓÖ Ë Ñ Ò Ð Ò Ñ ÒÓÖ
ÒØÖ · ½ Ý Ò ¹ ½ ½ ¿ º
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÒ Ò×Ô ÓÒ Ó× Ô Ö Ø Ö¹
Ñ Ò Ö Ð Ñ Ò ÑÓº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö × Ö¸ Ô٠׸ ÓÖÖ ØÓº Ð ÓÒ ÙÒØÓ
ÒØÖ Ù I = {ÌÓ × Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÔÓ× Ð ×} Ý Ð ×Ð R =
{ÌÓ × Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÓÖ Ò ×}º
3.4.2 Tipos de errores
ÍÒ ÖÖÓÖ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÙ ÓÑ Ø Ö× ÙÖ ÒØ Ð × × Ù ÒØ × × ×
Dise˜o: ÔÖ Ñ × × Ò ÓÖÖ Ø ×¸ ×ÙÑ × ÙÖ ÒØ Ð × ÒÓ
n ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÑÙÝ ÔÓ× Ð ¹
Ñ ÒØ ÓÒ ÙÞ Ò Ö ×ÙÐØ Ó× Ò ÓÖÖ ØÓ׺
Prueba de correctitud del algoritmo: Ú × Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ ×
× Ò ÐÐ ÑÓ×ØÖ Öº Ò ×Ø × ÒØ Ó Ý Ó× Ð × × Ò Ö Ð × ÖÖÓÖ × Ò Ð
ÔÖÙ
½º ÉÙ Ð × Ò×Ø Ò × ÔÓ× Ð × ÒØÖ ÒÓ ×Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ù ÖØ ×¸ ×Ó
Ò Ð Ù Ð ÒÓ × × Ö × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÓÖÖ ØÓ Ó ÒÓ Ô Ö Ð Ð × ÒØÖ
Ù× ÒØ º
¾º ÉÙ Ð ÙÒ Ó Ñ × Ð × ÔÖÙ × ×Ø ÖÖ º
ÈÓ× Ð Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× ÖÖÓÖ × Ò Ð ÔÖÙ ÓÖÖ Ø ØÙ ×ÓÒ ÐÓ× Ñ × × Ö Ó׸ ÔÙ × Ò Ù Ò
ÐÓ ÕÙ × ÒÓÑ Ò ÓÑÓ Ð× Ô Ö Ô ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÓ Ö Ó ÒÓ ×Ø Ö ÓÖÖ ØÓ¸
Ô ÖÓ ¬ÖÑ ÑÓ׸ × Ò ÖØ ØÙ ¸ ÕÙ ÐÓ ×º
Codificaci´n: ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
o Ò ØÖ Ù Ö× ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº ×Ø ×
× ÐÐ Ñ Ó ¬ ÓÒ Ý ÙÖ ÒØ ÐÐ × × Ó Ò Ð × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÐÓ× ØÓ× Ó
Ð ÓÖÑ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ × ÓÑÓ Ð × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ð × × Ù Ò ×
Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ ÐÓ× ÑÓ ÐÓ× Ð Ð Ò Ù ´Û Ð ¸ ÓÖ¸ ¸ Ø Ø Ö µº
Ejecuci´n y falla de programas de verificaci´n: ÓÑÓ Ñ Ò ÓÒ Ö ÑÓ× ÔÓ×Ø Ö ÓÖ¹
o o
Ñ ÒØ ¸ Ô Ö Ú ÐÙ Ö ÓÖÖ Ø ØÙ × ÑÔÐ Ò Ú Ö×Ó× Ø ÔÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ×º Ò ×Ø
× ÒØ Ó¸ ÙÒ Ù ÖØ Ð × ÖÖÓÖ ÔÙ Ò Ù Ö× ÔÓÖ Ð Ó ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ×
ÔÖÓ Ö Ñ × Ù× Ó× Ô Ö Ú Ö ¬ Ö ÓÖÖ Ø ØÙ × Ò ÓÖÖ ØÓº
ÒØ ×Ø × Ô Ö×Ô Ø Ú × Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ ÙÒ Ó Ð Ó ÕÙ ×Ø Ò × × ÔÖ Ò
ÙÒ Ó× ÙØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ý × Ö ×Ù ÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ¸ Ô ÖÑ ¹
Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ ×ÙÑ Ö ÙÒ Ø ØÙ Ù Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖÖ Ø ØÙ º
3.4.3 Prevenci´n y detecci´n de errores
o o
À Ý Ó× Ò ÓÕÙ × ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× ÒØÖ × Ô Ö Ð Ö ÓÒ Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ
½º ÈÖ Ú Ò ÓÒ ÓÑÓ Ú Ø Ö ÓÑ Ø Ö ÙÒ ÖÖÓÖ
¾º Ø ÓÒ ÓÑÓ Ø Ø ÖÐÓ ÐÓ Ñ × ÔÖÓÒØÓ ÔÓ× Ð

234. 208 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ä ÔÖ Ú Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ø ØÙ Ö Ø ÔÓÖ Ô ÖØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ò Ð × ÒØ Ó
ÕÙ ÔÖ Ò ×Ù× ÖÖÓÖ × Ý Ù×ÕÙ Ñ Ò Ö × ÒÓ ÚÓÐÚ Ö ÓÑ Ø ÖÐÓ׺
Ä Ò ÓÖÖ Ø ØÙ × ÑÔÖ × Ó×ØÓ× Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð ÙÒ Ñ Ò Ö ÖÖ
Ô Ö × Ô ÖÓ Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × Ñ × Ó Ó×ØÓ× º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÐÐ
Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ ÙØ Ò Ó× Ò ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò Ù×ØÖ Ð ÔÙ Ù× Ö ÙÒ
ÔÖ ÔÐ ÒØ ÕÙ Ø Ò Ð Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú Ñ × Ó×ØÓ×Ó × ÙÒ ÐÐ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ
Ñ × ÓÒ Ö Ø ÙÒ × Ø Ð Ø ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓº
Ä Ø ÓÒ ÓÖÞÓ× Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ò Ð × × Ò×Ô Ø ÚÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ÔÖÓ¹
Ö Ñ º Ù Ò Ó Ð Ò Ð × × × Ö Ð Þ × Ò ÙØ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ù ×Ø ÓÒ¸ × Ð ÒÓ¹
Ñ Ò ×Ø Ø Ó º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ð Ò Ð × × × Ú Ð Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ×
Ð ÐÐ Ñ Ò Ñ Ó º Ð ÔÖ ÙÒØ Ù Ð × Ñ ÓÖ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ÕÙ Ù ÒØÓ ÒØ ×
× Ø Ø ÙÒ ÖÖÓÖ Ñ ÒÓ× Ó×ØÓ×Ó ×Ø ×º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ô Ö Ó Ð ØÓÖ Ó ØÙ Ö
Ò Ð × × ×Ø Ø Ó ÒØ × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ º È Ö ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð ÒØ Ò Ñ ÒØÓ
×Ø ×ÙÒØÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ö ¬
Costo de corrección
de un error
Producción
Pruebas
Codificación
Diseño estructura Tiempo de desarrollo de un sistema
de código
Diseño arquitectural
Requerimientos
Ä Ö ¬ Ô ØÓÖ Þ Ð × Ö ÒØ × Ø Ô × Ð ÐÐ Ñ Ó ÐÓ × ÖÖÓÐÐÓ ×Ó ØÛ Ö º
ÙÖ ÒØ Ð × ØÖ × ÔÖ Ñ Ö × × × × Ù Ò Ó × ØÓÑ Ò × ÓÒ × × ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý
Ñ Ò ×ÑÓ× × ×Ø Ñ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÖ ÒØ Ð × ØÖ × Ö ×Ø ÒØ × × Ù Ò Ó Ø Ô Ñ ÒØ ×
Ø Ø Ò ÐÓ× ÖÖÓÖ ×¸ × Ò Ó ÐÓ× × ÒÓ ÐÓ× Ñ × Ó×ØÓ×Ó׺ ÈÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ð Ó×Ø
ÙÒ ÖÖÓÖ Ý ×Ù ÓÖÖ ÓÒ × Ö Ø Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÕÙ × Ø Ø º
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ñ ÒØÖ × Ñ × Ø Ö × Ø Ø ÙÒ ÖÖÓÖ¸ Ñ × ÑÔ ØÓ Ò Ó×Ø × ×Ø
Ø Òº
Ð Ö ­ Ü ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × ×ÔÖ Ò Ö ÙÒ Ù ÖØ × ÒØ Ó ÔÖ Ù ÓÒ ÕÙ ×
×ÙÑ Ö ÙÖ ÒØ Ð × ØÖ × ÔÖ Ñ Ö × Ø Ô × Ð ÐÓ × ÖÖÓÐÐÓº Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ó¸
Ý ×Ø × Ð ØÖ ÑÔ Ð ÕÙ ×Ù ÙÑ Ò ÑÙ Ó× Ò Ò ÖÓ× Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×¸ × ÕÙ ¸ Ù Ò Ó
× Ö Ð Þ ÙÒ ÒÙ ÚÓ × ×Ø Ñ Ý × ØÓÑ Ò × ÓÒ × × ÒÓ¸ ÒÓ × ÓÒÓ Ò Ù Ð × × Ö Ò
×Ù× ÓÒ × Ò ¬ Ý ¬ Ò º ÓÖ Ò¸ ÑÙ × Ú × × Ò Ð ØÖ ÑÔ
ØÓÑ Ö × ÓÒ × × ÒÓ × Ò ÓÒÓ Ö ÔÖ ÓÖ ×Ù× ÓÒ ×º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸
ÑÙ × Ú × × Ò Ù ÒØÖ Ò ÖÖÓÖ × × ÒÓ¸ ÕÙ ×ÓÒ ÐÓ× Ñ × Ó×ØÓ×Ó׸ ÙÖ ÒØ Ð ×
Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒº ÓÑÓ × ÔÙ ×Ñ ÒÙ Ö ×Ø Ö × Ó Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × Ö Ð Þ Ò Ó

235. 3.4. Correctitud de algoritmos 209
ÑÓ ÐÓ× × ÒÓ Ý Ú Ö ¬ Ò ÓÐÓ× ÒØ × ×Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÑÓ × Ó×ØÙÑ Ö Ö
Ò ÓØÖ × Ö Ñ × Ð Ò Ò Ö º
3.4.3.1 Disciplina de programaci´n
o
Ù Ò × ×ÓÒ Ð × Ó×ØÙÑ Ö ×¸ Ù Ò × Ò × Ö Ð × Ó Ö ×º ÍÒ Ó×ØÙÑ Ö × ÙÒ ØÓ
ÕÙ Ö Ó ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× ÔÖ Ø Ó׸ ÓÑÔÖÓ Ó׸ × Ù ÖØÓ× ÙÖ ÒØ ÙÖ ×
Ù Ò × Ó Ö ×º Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÓÑÓ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÔÖ Ø ¸ ÐÓ× ÔÖ Ø ÒØ × ÓÖ Ò
Ó×ØÙÑ Ö ×¸ Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö ×¸ ÔÓÖÕÙ × ÒÓ × Ð × ÑÓÖ Ö Ð ÔÖ Ø º Ù Ò Ó ÙÒ Ó×¹
ØÙÑ Ö Ú Ò ÓÑÙÒ ÒØÖ ØÓ Ó× ´Ó Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ µ ÐÓ× ÔÖ Ø ÒØ ×¸ ÒØÓÒ × ×Ø
Ú Ò Ò ÒÓÖÑ º
Ä Ó × ÖÚ Ò ÙÒ Ó×ØÙÑ Ö ¸ Ñ × ÙÒ ÙÒ ÒÓÖÑ ¸ Ö ÕÙ Ö ¸ × ÙÒ × ×
ÔÖ Ò Þ Ó Ñ ×ØÖÓ¸ ÙÒ × Ù ÖÞÓ ÓÒ× ÒØ ÚÓÐÙÒØ ÔÓÖ Ö ÓÖ Ö ÔÐ Ö Ð ÒÓÖÑ
Ý ÙÒ Ù ÖÞ Ö Ø Ö ÔÓÖ ÒÓ ØÖ Ò× Ö ÖÐ º ×Ø × Ù ÖÞÓ Ý Ù ÖÞ × Ð ÒÓÑ Ò
× ÔÐ Ò º
ÀÓÝ Ò Ð × Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö × × Ð × ÐÐ Ñ Ù Ò × ÔÖ Ø × Ô ÖÓ Ð Ö ¹
ÙÒ Ò ×Ø Ð ¬ Ø ÚÓ ÔÐ ÒØ ÙÒ Ñ Ù ÓÒ Ð ÒÓ ÓÒ ÔÖ Ø ¸ Ö ÞÓÒ
ÔÓÖ Ð Ù Ð × Ù Ö ÑÓ× Ù× Ò Ó Ó×ØÙÑ Ö Ó¸ Ù Ò Ó ×Ø × Ó Ø Ú ÒØÖ ÐÓ× ÔÖ Ø ¹
ÒØ ×¸ ÒÓÖÑ º
Ù Ð × ×ÓÒ Ð × Ó×ØÙÑ Ö × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÕÙ ×Ù Ý Ò ØÖ × ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÖ¹
Ö ØÓ× ÆÙÑ ÖÓ×Ó׸ ÚÓÐÙÑ ÒÓ×Ó× ÒØ Ö × ÒØ × Ø ÜØÓ× Ò × Ó × Ö ØÓ× ×Ó Ö ×Ø ×ÙÒØÓº
ÆÓ Ý¸ Ô٠׸ ×Ô Ó Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ Ô Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ý × ÙØ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò Ö ÒØ
Ð × ÔÐ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº È ÖÓ × ÔÓ ÑÓ׸ Ö Ñ Ø ÖÒÓ× Ð × Ù ÒØ ÐÓ Ó Ö¹
Ö ÀÓÐØÞÑ ÒÒ ½½ Ô Ö Ð × Ö ØÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÖÖ ØÓ× Ö Ø Ó׺
Dec´logo de Holtzmann
a
½º ÆÓ Ù× Ö goto¸ longjmp Ó Ö ÙÖ× ÓÒ Ö Ø Ó Ò Ö Ø º
Ë ÐÚÓ Ð ÙÒ × Ü Ô ÓÒ × Ô ÖØ ÙÐ Ö ×¸ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ goto × Ó ÓÐ ×
ÙÒ × Ù ÒØ × × ÔÓÖÕÙ Ú ÓÒØÖ Ð Ð Ð Ó Óº Ò Ò ÙÖ ¸
ÐÓ× Ò Ð Þ ÓÖ × ×Ø Ø Ó× Ø Ò Ò × Ö × ¬ ÙÐØ × Ô Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÕÙ ×Ù ÓÒ
ÙÒ gotoº ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò×ØÖÙ ÓÒ × longjmp Ð Ð ÓØ
×Ø Ò Ö Cº
ÊÙØ Ò × Ö ÙÖ× Ú ×¸ Ö Ø Ó Ò Ö Ø Ñ ÒØ ¸ ×ÓÒ Ø Ñ Ò ÑÙÝ Ð× Ò ÐÞ Ö
ÔÓÖ Ò Ð Þ ÓÖ × ×Ø Ø Ó׺ Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ Ù× ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ô Ð Ð
× ×Ø Ñ ¸ ÙÝ ×Ø ÓÒ × Ð ÓØ Öº
À ݸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ü Ô ÓÒ ×º ÅÙÝ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ò ×Ø Ø ÜØÓ¸ ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ
Ö Ø º Ò × × ÒØ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ ×ÓÐÓ ÙØ Ð Þ Ö Ö ÙÖ× ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÓÒ ×
ÙÝ ÓÖÖ Ø ØÙ Ý × Ó ÑÓ×ØÖ Ý ÙÝÓ ÓÒ×ÙÑÓ Ô Ð × Ö ÒØ ×Ø Ö
ÓØ Óº Ò ×Ó× ×Ó׸ Ð ÙÒ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ÔÙ ×Ù ×Ø ØÙ Ö× ÔÓÖ ÙÒ ØÖÓÒ Ó Ó
Ò Ö× ÙÒ Ò Ð Þ ÓÖ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒ × ÓÖÖ Ø º
¾º Ë ÑÔÖ × ÙÖ Ö ÕÙ ØÓ Ó Ð ÞÓ Ø ÖÑ Ò º
Ù ÒØ × Ú × ÒÓ ÑÓ× ÙØ Ó ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ð ×Ó Ò Ö Ð¸
ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ò ¹ Ù Ò Ó ×Ø Ò × Ò Ó× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö¹ ÔÓÖÕÙ Ò Ò

236. 210 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ð ÞÓ× Ø ÖÒÓ×½ º
Ä Ö Ð ÓÒ× ×Ø ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò Ú Ò Ö Ö ÒØ ÕÙ Ð ÞÓ Ð ÔÖÓ¹
Ö Ñ ´while¸ do-while¸ Ó forµ Ø ÖÑ Ò º Ú Þ ÕÙ × ÔÖÓ Ö Ñ ÙÒ Ð ÞÓ
ÔÖ ÙÒØ × Ý Ö ×ÔÓÒ × ÓÑÓ × × ÙÖ ÕÙ ×Ø × ÑÔÖ Ø ÖÑ Ò º
Ä ÙÒ Ü Ô ÓÒ ×Ø Ö Ð × Ù Ò Ó × × Ö ÙÒ Ð ÞÓ ÕÙ Ñ × Ø ÖÑ Ò Öº
ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ ×ØÓ Ó ÙÖÖ Ò ÔÖÓ Ö Ñ × Ø Ö Ø ÚÓ× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ × ÖÚ ÓÖº Ò ×Ø
×Ó¸ Ð Ö Ð × × ÙÖ Ö ÕÙ ¸ Ò ØÓ¸ Ð Ð ÞÓ ÒÙÒ Ø ÖÑ Ò º
¿º ÆÓ ÙØ Ð Þ Ö Ñ ÑÓÖ Ò Ñ ×ÔÙ × Ö Ò Ð Þ Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
Ò Ð ×Ô Ö ØÙ ×Ø Ø ÜØÓ¸ Ð Ö Ð × independizar toda abstracci´n delo
uso de memoria din´micaº a Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ù ÐÕÙ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ Ó ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ÓÒ Ö× × Ò Ô Ò Ò Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ñ º
ÈÓÖ Ñ ÑÓÖ Ò Ñ ÒØ Ò ÑÓ× ÐÐ Ñ × malloc()/free()¸ new/delete¸
sbrk()¸ alloca() ݸ Ò Ò Ö Ð¸ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú Ñ Ò Ó Ñ ÑÓ¹
Ö º ÈÓÖ Ò Ð Þ ÓÒ ÒØ Ò ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö × ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð Ù Ð ×
Ð Ö Ò Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ñ × Ð × × Ú Ö Ð × Ý × Ð × × Ò Ò ×Ù×
Ú ÐÓÖ × ÔÖ Ñ Ò Ó׺
Ä Ö ÞÓÒ × Ö ×Ø Ö Ð × Ó Ð º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ð ÒÑ Ò× Ñ ÝÓÖ Ñ Ò¹
×ÑÓ× Ñ Ò ×ØÖ ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÒÓ Ó Ö Ò ÓØ × ÓÒ×Ø ÒØ × ×Ó Ö Ð Ø ÑÔÓ
Ù ÓÒº Ñ ÕÙ × ×Ø ÓÒ Ñ × Ñ ÑÓÖ ¸ Ñ × Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ó ÙÖÖ Ò Ð
×Ô Ó Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ÐÓ ÕÙ Ö Ð × ÑÔ ÒÓ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ü ØÓ
Ö × ÖÚ ÓÒº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ñ ÒØÖ × Ñ × ÙÖ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ¸ Ñ × ÔÖÓ Ð
× ÕÙ Ð Ö × ÖÚ ÓÒ ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ ÐÐ º ×Ø Ù ÒØ ÔÓØ Ò Ð ÐÐ
ÑÔÓ× Ð Ó Ö Ö ÙÒ Ö ÒØ ÓÖÖ Ø ØÙ ´ × Ð Ô Ö×Ô Ø Ú Ñ Ò Ó
Ñ ÑÓÖ µº
Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ × ÓÖ Ò ÙÒ Ö Ò ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÖÖÓÖ ×¸
Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ÙÒ ÓÖÑ Ú Ö ×Ø ÔÓØ Ò Ð ÖÖÓÖ ÓÒ× ×Ø ¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸
Ò ÒÓ Ù× Ö Ñ ÑÓÖ Ò Ñ º Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ù×Ó ÙÒ Ö ÓÐ ØÓÖ ×ÙÖ
´ Ö ÓÐÐ ØÓÖµ ÒÓ Ú ×Ø ÔÖ Ò Ô Ó¸ × ÒÓ ÕÙ Ñ × ÐÓ Ò Ù×Ø ¬ ¸ ÔÙ × Ð
×Ø ÓÒ Ñ ÑÓÖ × ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÐ ØÓÖ Ü ÑÙ Ñ × Ò ÖØ ÙÑ Ö Ý
Ø Ò Ñ ÒÓ× × ÑÔ ÒÓ ÕÙ ÙÒ Ñ Ò ÓÖ ØÖ ÓÒ Ðº
ÄÓ× ÖÖÓÖ × Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ × Ö Ò Ö Ú Ñ ÒØ ØÖ Ø Ó× Ò Ü ¿º º¿º¿ ´Ô Ò ¾¾½µº
ÈÖÓ Ö Ñ × × Ò Ó× Ô Ö Ô ÖØ Ö ×Ù× Ö ÙÖ×Ó× ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × ÙÖ ÒØ ×Ù Ò Ð¹
Þ ÓÒ ÒÓ ×ÓÐÓ ×ÓÒ Ñ × Ð × × ÙÖ Ö ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ × ÒÓ ÕÙ Ø Ò Ò Ü Ö
Ñ × × ÑÔ ÒÓº
Ò ÙÒ ÓÒ ×Ø Ö Ð ¸ ÒÓ× ×Ø Ú Ó Ð Ù×Ó Ñ ÑÓÖ Ò Ñ Ä Ö ×¹
ÔÙ ×Ø × Ö Ð Ø Ú º ÆÓØ ÑÓ׸ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÕÙ ÐÓ× × ÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×¹
ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÕÙ ØÖ Ø ÑÓ× Ò ×Ø Ø ÜØÓ × Ó Ò¸ Ò ×Ù Ñ ÝÓÖ ¸ ×Ø Ö Ð º
Ó¸ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÔÐ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò ÔÖ × ÒØ Ó Ò ½º º¾¸
ÙÝ Ó × ÖÚ Ò ÓÒ Ù ÔÖ Ñ ÖÓ ×ØÖ Ö × Ò ÓÒ× Ö Ö Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ
½
Ñ ÒÙ Ó¸ Ð ÜÔÖ × ÓÒ × Ð ÞÓ Ò¬Ò ØÓ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò Ñ Ø Ñ Ø ¸ × ÓÑÓ Ò ÓØÖÓ× ÓÑ Ò Ó׸ Ð
Ø ÚÓ Ò¬Ò ØÓ × Ù× Ò Ð × ÒØ Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ × ÒØ Ó Ô Ö Ð Ù Ð¸ Ò Ð ÓÔ Ò ÓÒ ×Ø ×Ù × Ö ÔØÓÖ¸
ÒÓ Ò Ð Ø ÑÔÓº È Ö Ð Ø ÑÔÓ Ò × Ü ×Ø Ð Ø ÚÓ Ø ÖÒÓ º

237. 3.4. Correctitud de algoritmos 211
ÓÑÓ Ò ØÓ ÐÓ ÑÓ× Ó Ý Ö ÑÓ× ØÖ Ú × ×Ø Ø ÜØÓº ÄÓ× Ì Ô Ò¹
ÒØ × Ñ ÑÓÖ ´ ÓÒ ÔÖ ¬ Ó Ò ÒÓÑ Ö Ð × ÝÒ µ¸ Ö Ú Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ
Ò Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º
Ü ×Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÙÝ × ×ÓÐÙ ÓÒ × ×ÓÒ Ð Ö × Ò ÙÖ ÓÒ Ý Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × ×
Ò ÐÙ Ð Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º Ò ×Ø Ð × ÔÖÓ Ð Ñ × Ò Ò ÐÓ× Ö Ó× Ý
ÓØÖ × Ð × × ÔÐ ÓÒ ×º
º Å Ü ÑÓ ¼ Ð Ò × ÔÓÖ ÖÙØ Ò º
Ä Ú × ÓÒ Ý ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ ÙÑ Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ×
Ö Ñ Ø ÐÓ Ú × Ð Ò ÙÒ Ó Ô Ô Ð Ó × ¸ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ¼ Ð Ò ×º ÊÙØ Ò ×
ÕÙ Ü Ò ×Ø ÐÓÒ ØÙ × Ö Ñ ÒØ Ò Ò Ú Ö × Ó × ´Ó Ô ÒØ ÐÐ ×µ ݸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸
Ø Ò Ò Ñ × ÔÖÓ Ð Ö Ñ ÒØ Ö Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒº
º Å Ò ÑÓ Ó× ÒÚ Ö ÒØ × ´Ó × ÖØÓ×µ ÔÓÖ ÙÒ ÓÒº
ÍÒ ÒÚ Ö ÒØ × ÙÒ ÓÒ ÓÒ ÕÙ × ÑÔÖ Ö ÙÑÔÐ Ö× º ËÙ Ò ÙÑÔРѹ
ÒØÓ ÒÓØ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÖÖÓÖº
Ä × ×Ø ×Ø × Ò Ù×ØÖ Ð × ÔÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ × Ò Ò Ó ÙÖÖ Ò ÖÖÓÖ
ÒØÖ ½¼ Ý ½¼¼ Ð Ò × Ó Óº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ù×Ó ÒÚ Ö ÒØ × ÓÑÓ ÔÖ ÓÒ ÓÒ ×¸
ÔÓ×Ø ÓÒ ÓÒ × ÒÚ Ö ÒØ × ÕÙ × Ò Ñ ÒØ Ò Ö Ò Ð ÞÓ׸ ÙÒ Ó Ð Ö Ð
ÒÑ Ø Ñ ÒØ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÚÓÖ Ö Ð Ð Ð Ó Ó ÔÓÖ ×Ñ ÒÙ ÓÒ
Ð × ÔÖÓ Ð × Ó ÙÖÖ Ò ÖÖÓÖ Ý ÙÑ ÒØÓ ×Ù Ø ÓÒº
Ä × ÒÚ Ö ÒØ × ÒÓ Ø Ò Ð ØÓ ÙÒ ÖÙØ Ò ¸ ÙÒÕÙ × ×Ù × ÑÔ ÒÓº ÈÓÖ
×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ñ Ò ×ÑÓ× ÒÚ Ö ÒØ × ÔÙ Ò × Ð Ø Ö× Ó Ö× ÐØÓ
Ö Ò Ñ ÒØÓº Å × Ð ÒØ ¸ Ò Ü ¿º º¿º¿ ´Ô Ò ¾½ µ¸ Ð Ö ÑÓ× ×Ó Ö Ð Ù×Ó
ÒÚ Ö ÒØ ×º
º Ð Ö Ò Ð Ó ØÓ× ÐÓ Ñ × Ö ÔÓ× Ð ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ù×Óº
Ä ÓÖÖÙÔ ÓÒ ØÓ× × ÓØÖ Ð × Ó ÙÖÖ Ò × ÔÖ Ò Ô Ð × ÖÖÓÖº Ù ÒØ ×
Ú × ÒÓ ÒÓ× ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó Ò Ð × ØÙ ÓÒ Ñ ×Ø Ö Ó× Ò Ð ÕÙ ÙÒ Ú Ö Ð
ÒÓ Ø Ò Ð Ú ÐÓÖ ×Ô Ö Ó
ÍÒ Ð × Ú ÖØÙ × Ð Ó ÙÐØ Ñ ÒØÓ Ò ÓÖÑ ÓÒ × ÕÙ Ð Ñ Ø Ð ÓÖÖÙÔ ÓÒ
Ð Ñ ØÓ Ù×Ó Ð ØÓº Ë × ØÖ Ø ÙÒ Ì ¸ Ò Ö Ð Þ Ó¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸
Ð ÓÖÖÙÔ ÓÒ ÙÒÓ ×Ù× ØÖ ÙØÓ× ×ÓÐÓ ÔÙ Ö× ÙÒÓ ×Ù× Ñ ØÓ Ó׺
È Ö Ó Ó ÙÖÖ Ò Ú Ð ÐÓ× Ó ØÓ× Ù×Ó ÒØ ÖÒÓ ÙÒ ÖÙØ Ò º
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ö Ö ÙÒ Ó ØÓ ÐÓ Ñ × Ö ÔÓ× Ð ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ù×Ó ÚÓÖ ÕÙ Ð
Ó ØÓ ×ÓÐÓ Ü ×Ø Ò ×Ù Ñ ØÓ Ù×Óº Ò Ò ÙÖ ¸ Ò Ð Þ ÓÒ ÒÑ Ø Ð
Ð Ö ÓÒ Ð Ñ Ò Ð ÔÓ× Ð ÓÖÖÙÔ ÓÒ ÒØÖ Ð Ð Ö ÓÒ Ý ×Ù ÔÖ Ñ Ö
ÙØ Ð Þ ÓÒº
º Ë ÑÔÖ Ú Ö ¬ Ö Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ÓÑÓ ×Ù× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÒØÖ
Ý× Ð º
Ò Ô Ð Ö × Ñ × ÔÖ × ×¸ ÔÙÒØÓ ÒÚÓ ÒØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ú Ö ¬ Ö Ô ÖØ ¹
Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ × ÓÑÓ ×Ù× Ô Ö Ñ ØÖÓ× × Ð º Ð
Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÙÒ ÓÒ Ú Ö ¬ Ö ÕÙ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ö Ó× Ø Ñ Ò ×Ø Ò
ÒØÖÓ ×Ù ÓÑ Ò Óº

238. 212 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
º Å Ò Ñ Ð Ù×Ó Ð ÔÖ ÔÖÓ × ÓÖ Ò ÐÙ× ÓÒ Ö ÚÓ× Ý ×Ô ¬ ÓÒ Ñ ÖÓ×
× ÑÔР׺
ÙÒÕÙ ÐÓ× ÔÖ ÔÖÓ × ÓÖ × ×ÓÒ ÑÙÝ ÔÓ ÖÓ×Ó× ÓÑÓ Ñ Ó× ¹ Ó Ô Ö ÜØ Ò Ö
Ð Ð Ò Ù ¸ ÐÐÓ× ÒÓ ×ÓÒ ÓÑÔ Ð ÓÖ ×º ÍÒ ÔÖ ÔÖÓ × ÓÖ ÒÓ Ú Ö ¬ Ð × ×Ø Ñ
Ø ÔÓ× Ý¸ Ò Ò ÙÖ ¸ ÔÙ Ò Ö Ö Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÕÙ ÓÑÔ Ð Ò¸ ÕÙ ÓÖÖ ÒØ Ñ ÒØ
ÙÒ ÓÒ Ò¸ Ô ÖÓ ÕÙ ×Ø Ò ØÓØ ÐÑ ÒØ Ó ÙÐØ × Ð Ñ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖº
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × Ú Ø Ö Ð ÓÒ Ø Ò ÓÒ ÒÓÑ Ö ×¸ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ú ¹
Ö Ð × Ý ÐÓ× Ñ ÖÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ׺ Ä Ü Ô ÓÒ Ð Ö Ð × Ô Ö ×Ô ØÓ× ÕÙ ÒÓ
ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ð Ò Ù ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó × Ù× Ö Ô Ö ÒØ × × ÔÓÖ ÙÒ
ÜÔ Ò× ÓÒ Ð Ñ ÖÓº
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ C Ý C++ Ø Ò Ò ÙÒ ÓÒ × ÒÐ Ò ÕÙ ×ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ò ÙÒ ÓÒ ¹
Ð Ý × ÑÔ ÒÓ Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ñ ÖÓ׸ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Ò Ó ÕÙ Ù× Ò Ð
× ×Ø Ñ Ø ÔÓ× Ð ÓÑÔ Ð ÓÖº
º Ê ×ØÖ Ò Ð Ù×Ó ÔÙÒØ ÓÖ × ÒÓ Ñ × ÙÒ Ò Ú Ð Ö ÖÒ º
ÍÒ Ö Ö Ò × ÙÒ ×Ó ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØ ÖÓº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð
Ö Ð ×Ø Ð ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ò Ù× Ö Ó× Ó Ñ × Ö Ö Ò × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ó
ÓÑÓ **ptr = ...º
È Ö ÓÑ ÒÞ Ö¸ Ñ × ÙÒ Ò Ú Ð × ÓÑÔÐ Ó ÓÑÔÖ Ò Ö ÙÒ Ô Ö ÐÓ× Ñ ×
Ú ÖØÙÓ×Ó× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×º Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ Ø Ñ Ò × Ð ×ØÙ Ö ÔÓÖ ÐÓ×
Ò Ð Þ ÓÖ × ×Ø Ø Ó׺
ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ý ×Ó× Ò ÕÙ Ð Ð Ö ÓÒ ÔÙÒØ ÖÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× × Ò ¹
× Ö ¸ Ô ÖÓ ×ØÓ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ ÖÖ Ú ÓÐ ÓÒ Ð Ö Ð º È Ö ÙÒ ÑÔÐÓ
× Ù Ñ ÒØÓ ×Ø Ö Ð ¸ Ú × Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ DynArray<T> ÔÖ × ÒØ
Ò Ü ¾º½º ´Ô Ò ½µº
½¼º Ë ÑÔÖ ÓÑÔ Ð ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð ÖØ × Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ð Ø Ó× Ý Ù× Ò Ð Þ ÓÖ ×
Ó Óº
Ä Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ ÐÓ× ÓÑÔ Ð ÓÖ × ÑÓ ÖÒÓ× ØÙ Ò Ú Ö ¬ ÓÒ × ÖÖÓÖ ×
Ø Ô Ó׺ ÈÓÖ ÕÙ Ö ÞÓÒ Ö Ò × ÖØ Ö× × × Ú Ö ¬ ÓÒ × Ä ÖÙ Ö ×¹
ÔÙ ×Ø × ÕÙ ÑÙ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ×ÓÒ Ñ Ð Ö Ó× Ý ÔÖ ¬ Ö Ò × ÐØ Ö ÙÒ ÖÖÓÖ Ó
Ð ÖØ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÓÒ Ø Ð ÔÖÓ× Ù Ö¸ ÓÒ Ñ × ÔÖÓ Ð ÖÖÓÖ Ò Ð Ù¹
ØÙÖÓ¸ ×Ù ÔÖÓÝ ØÓº Ð Ñ ×ÑÓ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÐ Ô Ö ÐÓ× Ò Ð Þ ÓÖ × ×Ø Ø Ó× Ó
Ò Ñ Ó׺
Ú × Ó ÙÖÖ ÐÓ ÕÙ × ÒÓÑ Ò Ð×Ó ÔÓ× Ø ÚÓ × Ö¸ ÙÒ Ö ÔÓÖØ Ó Ð ÖØ
ÙÒ ÖÖÓÖ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ×ØÓ× Ö ÔÓÖØ × Ó ÙÖÖ Ò Ò ÓÑ Ò ÓÒ ×
Ó Ó ÒØÖ Ò × Ð × Ù Ð ×¸ ØÓ× Ð Ð Ö ¸ × ÔÖ Ö Ð ÑÓ ¬ ÖÐ × Ô Ö
ÕÙ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÒÓ ÖÖÓ Ñ Ò× × Ð ÖØ Ó ÖÖÓÖº
ØÖ Ú × Ð Ú Ò Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ × Ó × ÖÚ Ó ÕÙ ØÖ × Ð ÓÖÖ ÓÒ
ÙÒ ÖÖÓÖ × Ø Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÓØÖÓ Ö Ð ÓÒ Ó Ó ÙÒÓ ÒÙ ÚÓ ÒØÖÓ Ù Ó ÔÓÖ Ð Ñ ×Ñ
ÓÖÖ ÓÒº Ì Ñ Ò × ÒÓØ Ó ÙÒ Ö × ×Ø Ò Ò ØÙÖ Ð ¸ Ú Ó× ¸ ÔÓÖ Ô ÖØ Ð ÔÖÓ¹
Ö Ñ ÓÖ ÔÖÓÑ Ó¸ Ò Ñ Ö Ö Ñ ÒÙ Ó× Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ð ÖÖÓÖº Ì Ð Ø ØÙ × Ú Ó×
ÔÓÖÕÙ ÒÓ ×Ø ÓÒ ÓÖÖ Ö Ð ÖÖÓÖ¸ × ÒÓ¸ Ò ×Ó ÕÙ ØÖ × Ð Ñ ×ÑÓ ×Ù Ý Þ ÙÒ

239. 3.4. Correctitud de algoritmos 213
Ñ Ð Ø ØÙ ¸ Ò ÓÒØÖ Ö Ò ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ø Ð Ø ØÙ ÑÓ Ó ÕÙ ×Ø ÔÙ ÒÑ Ò Ö×
ݸ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÒÓ Ö Ô Ø Ö Ð Ñ ×Ñ Ð × ÖÖÓÖº
ÌÓÑ Î Ò Ð ¸ ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × × ÖÖÓÐÐ ÓÖ × Multics ¸ ¾ ¸ ÕÙ Þ Ð ØÓ
Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ Ò × ×Ø Ñ × ÓÔ Ö Ø ÚÓ׸ × ÔÐ ÒØ ØÖ × ÔÖ ÙÒØ × ¿ ÕÙ ÙÒ × ÖÖÓÐÐ ÓÖ
× ÑÔÖ Ö× Ú Þ ÕÙ Ø Ø ÙÒ ÖÖÓÖ Ý ÕÙ ÐÓ Ò Ñ Ò Ò × Ù ÖÖ Ð
Ø ØÙ ÓÖ Ò Ö ÐÓ× ÖÖÓÖ ×º
Las preguntas actitudinarias de Van Cleck
½º Ë Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÖÖÓÖ Ó Ð Ñ ×Ñ Ð × ÖÖÓÖ Ò ÓØÖ Ô ÖØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ
ÈÐ ÒØ Ö× ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÒÐÐ Ú ×Ø Ð Ö ÙÒ Ô ØÖÓÒ Ô Ö Ð ÖÖÓÖ Ý Ò ÙÒ ÓÒ Ð
Ñ ×ÑÓ Ù× Ö Ò Ð Ö ×ØÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓØÖ × Ô Ö ÓÒ × Ð Ô ØÖÓÒº ÄÓ× ÐÐ Þ Ó×
Ð Ô ØÖÓÒ ×ÓÒ ÐÙ Ö × ÔÖÓ Ð × Ö Ô Ø Ò Ð ÖÖÓÖº
¾º Ù Ð × ÓØÖÓ× ÖÖÓÖ × ×Ø Ö Ò Ö Ð ÓÒ Ó× ÓÒ Ð Ò ÓÒØÖ Ó Ó ÓÒ ×Ù ÓÖÖ ÓÒ
È ÖØ Ò Ó Ð ÔÓ× Ð ÕÙ Ð ÓÖÖ ÓÒ ÒØÖÓ ÙÞ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÖÖÓÖ¸ ÓÖ Ö
×Ø ÔÖ ÙÒØ ÓÒ ÖÓÒØ ÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ÓÖÖ ÓÒ ÒØ ÖÖÓ Ö ÕÙ ×Ù Ö ÙÒ Ú Þ
ÕÙ ×Ø × Ö Ð º ×Ù Ú Þ¸ ×ØÓ Ô × ÔÓÖ ÑÓ×ØÖ Ö Ö ÙÖÓ× Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÓÖÖ ÓÒ
× ÓÖÖ Ø Ó × ¸ ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Ð ÙÒ ÖÖÓÖº
¿º ÉÙ × Ö Ö Ô Ö ÔÖ Ú Ò Ö ÓÑ Ø Ö ÒÙ ÚÓ Ð ÖÖÓÖ
ÍÒ Ú Þ Ö ×ÔÓÒ × Ð × Ó× ÔÖ ÙÒØ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × ×Ø Ð Ö¸ Ò ÙÒ ÓÒ Ð
Ô ØÖÓÒ Ò ÓÒØÖ Ó¸ ÙÒ ÔÖÓØÓ ÓÐÓ ÕÙ Ú Ø Ö Ô Ø Ö Ð ÓÑ Ø Ñ ÒØÓ Ð ÖÖÓÖº
ÉÙ Þ ×Ø × Ð ÔÖ ÙÒØ Ñ × ÒÖ ÕÙ ÓÖ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ¸ ÔÙ × ×Ù ÓÖ
ÔÐ ÒØ ÙÒ Ò× Ò ÒÞ º
3.4.3.2 An´lisis est´tico
a a
Compilador y sistema de tipos
Ð × ×Ø Ñ Ø ÔÓ× Ð Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ò ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ¸
Ö Ð Þ Ò ÙÒ ÒÓÖÑ ØÖ Ó Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ú Ð Ö Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò × Ð
ÔÖÓ Ö Ñ Ö ×Ô ØÓ Ð × ×Ø Ñ Ø ÔÓ Ð Ð Ò Ù º ÓÑÓ ÑÔÐÓ ØÖ Ú Ð¸ Ô ÖÓ ÒÓØ Ð ¸
ÓÒ× Ö ÑÓ×
int x;
string s;
s = x; // Violaci´n de tipo. ERROR DE COMPILACI´N
o O
ÄÓ× ÖÖÓÖ × ÓÑÔ Ð ÓÒ Ò × Ó Ù× Ó Ù× ÓÒ Ý Ñ Ð ÓÒ ÒØÖ ÐÓ× ÔÖÓ¹
Ö Ñ ÓÖ × ÒÓÚ Ð × Ý Ð ÙÒÓ× Ú ÒÞ Ó׺ Ù ÒØÓ× ÒÓ×ÓØÖÓ× Ð ÙÒ Ú Þ ÑÓ× Ô Ö¹
Ñ Ò Ó ÐÓÕÙ Ó× ÔÓÖÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓ ÒÓ× ÓÑÔ Ð
ÍÒ Ñ Ö Ñ × Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÔÖ Ò Ö ÕÙ ¸ × ÐÚÓ ÙÒ
ÖÖÓÖ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ó Ð Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ù ×Ø ÓÒ ÑÔÖÓ Ð Ô ÖÓ Ø Ð ¸ ÙÒ
ÖÖÓÖ ÓÑÔ Ð ÓÒ Ø Ò Ð Ö Ò ÓÒ ÕÙ ÒÓ× Ù ÖÞ Ò Ö ÒØ Ö Ð ÓÑ Ø Ñ ÒØÓ
ÙÒ ÖÖÓÖ ÓÑÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×º Ò Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÒÓ Ø Ò × ÒØ Ó × Ò Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ
ÙÒ Ò Ö Ø Ö ×º

240. 214 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ÐÓ× ÓÑÔ Ð ÓÖ × Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ò ×Ù× ÑÓ Ó× Ø ÓÒ Ý ØÖ Ø Ñ ÒØÓ
ÖÖÓÖ ×º ÓÒ×ÙÐØ × Ð Ñ ÒÙ Ð Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ GNU gcc Ô Ö Ñ × Ø ÐР׺ Ò ØÓ Ó
×Ó¸ ÓÑÓ Ý ÐÓ Ø Ð Ñ Ö Ð ÀÓÐØÞÑ ÒÒ¸ ÓÑÔ Ð × ÓÒ ØÓ Ð Ø ÓÒ
ÖÖÓÖ × Ý Ð ÖØ × Ð Ø Ó׺ ÆÓ × ÔÖÓ× ×Ø ÕÙ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÖÖÓ Ö Ð ÖØ ×
Ý ÖÖÓÖ ×º
Analizadores externos
Ê ×ÙÐØ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ ÖÖÓÖ × Ò Ð Ó Ó Ù ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ × ÔÙ
ÙØÓÑ Ø Þ Ö Ô Ö Ú Ð Ö ÕÙ ×Ø × ÐÓ× ×Ø Ò Ö × Ó ¬ ÓÒ Ð Ð Ò Ù Ù ÓØÖÓ×
×Ø Ð Ó× ÔÓÖ Ð ÖÙÔÓ ØÖ Óº ÉÙ Þ Ð ÑÔÐÓ Ñ × Ö ÔÙØ Ó ×ØÓ × lint ½ ¸ ÙÒ
Ò Ð Þ ÓÖ ×Ø Ø Ó Ù ÒØ × Ô Ö Ð Ð Ò Ù C ÕÙ Ú Ò Ó × Ò Ð Ô Ö Ð × ÖÖÓÐÐÓ
ÔÖÓ Ö Ñ × Ò C¸ Ù ÒØ Ð Ð Ð × ×Ø Ñ Ø ÔÓ× ×Ø Ð Ò Ù º
lint ÙÒ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù× Óº
À Ý ÙÒ × Ù ÒØ × ÖÖ Ñ ÒØ ×¸ Ò ×Ù × ÓÖØÙÒ Ñ ÝÓÖ Ù×Ó ÓÑ Ö Ð¸ ÕÙ
Ö Ð Þ Ò Ò Ð × × ×Ø Ø Ó ÓÖÖ Ø ØÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ º Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ü ×¹
Ø Ò ÔÓ × ÖÖ Ñ ÒØ × Ð Ö × ÕÙ Ö Ð Ò ÙÒ Ò Ð × × ×Ø Ø Ó Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ú Ð ÕÙ ÓØÖ ×
ÓÑ Ö Ð ×º ÈÓ ÑÓ× Ø Ö¸ ÑÔ ÖÓ¸ LC-LINT¸ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð Ð Ö lint ½ ¸ Ý
Flawfinder ¾ Ý its4 ¼ ÓÖ ÒØ Ó× Ð Ù×ÕÙ ÖÖÓÖ × × ÙÖ º
Meta-compilaci´n
o
Å Ø ¹ ÓÑÔ Ð ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ó Ö Ö ÙÒ ÓÑÔ Ð ÓÖ ÜØ Ò× Ð Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð
Ù×Ù Ö Ó ÔÙ Ò Ö ÒÙ Ú × Ö Ð × ÓÑÔ Ð ÓÒ × ÙÒ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÔÐ Ø ÚÓ Ð
Ù×Ù Ö Óº ×Ø Ø Ò ÑÙ Ó × ÒØ Ó ÔÓÖÕÙ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÔÓ× Ð Ñ ÕÙ Ò Ö Ò × Ö
Ô Ö Ð Ú Ö ¬ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÔÓ× Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ×Ó Ö Ð Ø ÔÓ ÔÐ ÓÒº
ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ó ¬ ÓÖ × ÔÓ× ÕÙ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸ Ô ÖÓ ÓÐ Ð ÐØ
ÕÙ ÐÐ Ñ ÕÙ Ò Ö º Ä × × ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Òº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ù×Ù Ö Ó ÔÓ Ö ×Ô ¬ Ö ÕÙ Ð × Ò ÓÒ ÒØÖ ÔÙÒØ ÖÓ× ×Ø ÔÖÓ¹
Ý ÕÙ Ô Ö ØÓ ÐÐ Ñ Ð ÓÔ Ö ÓÖ new ×Ó Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ò ÓÒØÖ Ö× ÔÓÖ
Ð ÙÒ Ô ÖØ ÓØÖ ÐÐ Ñ Ð ÓÔ Ö ÓÖ deleteº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ø Ð ÜØ Ò× ÓÒ Ð ÓÑÔ ¹
Ð ÓÖ ÔÓ Ö Ô ÖÑ Ø Ö Ú Ö ¬ Ö ×Ø Ø Ñ ÒØ ÕÙ ÕÙ Ð new Ó ÙÖÖ ÒØ × ÕÙ Ð deleteº
Ë ÔÙ Ò ÔÖÓÚ Ö¸ Ø Ñ Ò¸ Ð × ÔÖÓÔ × ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ Ð × Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ
Ô Ö Ö Ð Þ Ö ÓÒ × × Ñ ÒØ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÕÙ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÑÔÐ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö
Ö Ð ÀÓÐØÞÑ ÒÒ Ý ×ÔÐ Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÑÓÖ Ð × Ò Ð Þ ÓÒº
Ê ÔÓÖØ × Ò Ð Ö Ø Ð ¸ Ò Ò ÕÙ Ð Ñ Ø ¹ ÓÑÔ Ð ÓÒ × Ö ÙÒ ÐÓ× ÔÖ Ò¹
Ô Ð × Ñ Ó× Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ Ò ÐÓ× ÒÓ× Ú Ò ÖÓ׺ Å ÒØ ×Ø Ø Ò ¸
Ò Ð Ö Ø Ð ¸ Ý Ò Ò ÓÒØÖ Ó Ñ Ð × ÖÖÓÖ × Ò Ä ÒÙܸ ÇÔ Ò Ë Ý ÑÙ Ó× Ý
ÓÑÔÐ Ó× × ×Ø Ñ × ÓÑ Ö Ð ×º
Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ × Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð × ÒÚ ×Ø ÓÒ × ÒÐÖ Ø Ø ¸
ÒÓ ×ÓÒ Ð Ö ×Óº
Exploraci´n del espacio global de estado
o
ÍÒ Ø Ò Ö Ò Ó× Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ Ö ÕÙ Ö ØÖ Ù Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ
ÙÒ Ñ ÕÙ Ò ×Ø Ó ¬Ò ØÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ× Ö ÒØ × ×Ø Ó× ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ×º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÓ ×ÔÓÒ ÑÓ× ×Ô Ó Ô Ö ÜÔÐ Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÕÙ × ÙÒ ÙØÓÑ Ø ¸

241. 3.4. Correctitud de algoritmos 215
ÐÓ ÒØÙ Ö ÑÓ× Ô ØÓÖ Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ý × ÑÔÐ × ÑÓ ÙØÓÑ Ø ¸ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ð ÙÐ Ð Ñ ÒÓÖ ÒØÖ Ó× ÒÙÑ ÖÓ× x, y
0
x<y not x<y
1 2
min=y min=y
3
ret=min
4
Ö ÙÐÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ×Ø Ó ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ­ × ÙÒ ØÖ Ò× ÓÒ
ÒØÖ Ó× ×Ø Ó׺ Ð Ñ Ó ×Ø Ó Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó × ÙØ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ ×Ó
Ð ØÖ Ò× ÓÒº Ð ×Ø Ó Ò Ð × ÒÓØ ÓÒ ÙÒ ­ ×Ð ÕÙ Ð ÐÐ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
ÙÒÓ ¬Ò Ð ÓÒ ÓØÖ ­ ÕÙ Ð × Ð º
ÍÒ Ú Þ Ó Ø Ò Ó Ð ´Ó ÐÓ×µ ÙØÓÑ Ø ×¸ ÙÒ × ÑÙÐ ÓÖ × Ò Ö ÜÔÐÓÖ Ö ØÓ × Ð ×
ÓÑ Ò ÓÒ × ×Ø Ó× ÔÓ× Ð × Ò Ð Ù×ÕÙ ÖÖÓÖ × × ÒØ Ø Ó× Ý × Ñ ÒØ Ó׺ ÍÒ
ÖÖÓÖ × ÒØ Ø Ó × Ø ÐÓ ÓÑÓ ÙÒ ÖÖÓÖ Ò Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö Ð × ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ׸ ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ × ÙØ Ð ÙÒ ÔÓÖ ÓÒ ×Ù Ó Ó¸ Ó ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÒØÖ
Ò ÙÒ ×Ø Ó ÐÓÕÙ Ó Ø ÖÒÓ Ò Ð Ù Ð × ×Ô Ö ÔÓÖ ÙÒ Ú ÒØÓ ÕÙ Ñ × Ó ÙÖÖ Ö ´ ¹
ÐÓ µ¸ Ó ÕÙ × ÒØÖ Ò Ð Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÞÓ Ò¬Ò ØÓº ÍÒ ÖÖÓÖ × Ñ ÒØ Ó Ø Ò Ð ¬Ò Ð
ÔÖÓ Ö Ñ Ý Ô Ö ×Ô ¬ ÖÐÓ × ÙØ Ð Þ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÐÓ Ø ÑÔÓÖ Ð¾¼ Ó ÙØÓÑ Ø ×
ÔÖ Ó× ´Ó Ù µ¾½ º Ð ÔÖÓ ×Ó Ú Ö ¬ ÓÒ × Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÐÓ Ø ÑÔÓ¹
Ö Ð ´Ó ÙØÓÑ Ø × Ù µ × Ð ÒÓÑ Ò “Verificaci´n de modelo” ´ ÅÓ Ð
o ¹
Ò µº
× Ð × Ó× ×¸ Ð Ú Ö ¬ ÓÒ ÔÓÖ ×Ø Ñ ØÓ Ó Ô Ö ×Ø ÒØ × ÑÔÐ º È ÖÓ¸ Ò Ð
Ö Ð ¸ ÐÓ× ÙØÓÑ Ø × Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð ×ÓÒ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ö Ò × Ý
ÒÓ × ÑÔÖ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ø ÖÑ Ò ×Ø Ô Ö ØÖ Ù Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÙØÓÑ Ø ×º
×Ø Ñ ØÓ Ó Ú Ö ¬ ÓÒ × ÑÙ Ó Ñ × ÒØ Ö × ÒØ Ù Ò Ó × Ú Ö ¬ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ×
ÓÒ ÙÖÖ ÒØ × × Ö¸ ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÑÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ú Ö Ó× ÔÖÓ Ö Ñ × ÕÙ × ÙØ Ò × ¹
ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º È ÖÓ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÙØÓÑ Ø ÐÓ Ð ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ Ð
ÓÑ Ò ÓÒ ÐÓ× ×Ø Ó× ØÓ Ó× ÐÓ× ÙØÓÑ Ø ×º
Ì ÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ ÐÓ Ð Ð ×Ô Ó ×Ø Ó × Ô Þ Ø Ø Ö Ù ÐÕÙ Ö
ÖÖÓÖ × ÒØ Ø Ó Ý ØÓ Ó× ÐÓ× × Ñ ÒØ Ó× Ò ÙÒ ÓÒ Ð ¬Ò ¬Ò Óº Ò Ð ÔÖ Ø ¸ ÑÔ ÖÓ¸
× Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ð ×Ô Ó ×Ø Ó Ð ÙØÓÑ Ø ÐÓ Ð × ÜÔÐÓ× ÚÓ O(2n)º
Ü ×Ø Ò Ø Ò ×¸ × × Ò × ÖÖÓÐÐÓ× Ø ÓÖ Ó׸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò Ð Ö ÓÒ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸
× Ò Ó Ð × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð × × Ù ÒØ ×
½º Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ñ ÓÐ Ó× Ð ÓÒ× ×Ø Ò ×Ù ×Ø ØÙ Ö Ð ÙØÓÑ Ø ¸ Ó Ô ÖØ Ð¸ ÔÓÖ
ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÐÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð ÙØÓÑ Ø ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ö ÔÓ× Ð ×Ù ×Ø ØÙ Ö
Ð × ØÖ Ò× ÓÒ × × Ð ×Ø Ó ½ Ð ÔÓÖ ÙÒ ØÖ Ò× ÓÒ ÙÝÓ ÔÖ Ó×Ö
x < y ÓÖ ÒÓØ x < y, Ö Ø Ñ Ò ÔÙ × Ð ­Ù Ó Ù ÓÒ ÒÙÒ × Ø Ò Ö Ù×
Ð × ØÖ Ò× ÓÒ × ×ÙÔÖ Ñ ×º
¾¼
Ä ÐÓ Ø ÑÔÓÖ Ð × ÙÒ ÐÓ ÔÖ Ó× ÙÝÓ× Ù ÒØ ¬ ÓÖ × ÓÒ× Ö Ò Ð Ø ÑÔÓ ¿½ º
¾½
ÍÒ ÙØÓÑ Ø ÔÖ Ó× × ÙÒÓ ÙÝ × ØÖ Ò× ÓÒ × ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò Ò ÔÖ Ó× ÐÓ Ó× Ö Ð ÓÒ Ó×
ÓÒ ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð ÑÓ ÐÓ ¸ ¾¾ º

242. 216 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
¾º Ê Ù ÓÒ ÔÓÖ ÓÖ Ò Ô Ö Ð ×Ø Ø Ò ¸ ÕÙ × Ö Ú Ð ÙÒÓ× Ö ×ÙÐØ Ó×
Ñ Ø Ñ Ø Ó׸ ÓÒ× ×Ø ¸ ÑÙÝ ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ò ×Ù×Ø ØÙ Ö Ð Ö × Ò × ØÖ Ò× ¹
ÓÒ × × Ù Ò Ð ×¸ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ò ÙÖ ÓÒ ×¸ ÔÓÖ ÙÒ ×ÓÐ ØÖ Ò× ÓÒº Ð ÓÖ Ò
Ô Ö Ð × ÔÐ Ò Ñ Ý Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ù Ò Ó × ØÖ Ø Ð ÙØÓÑ Ø ÐÓ Ðº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÙØÓÑ Ø
0
tmp=x
1
x=y
2
y=tmp
3
ÔÙ ×Ù ×Ø ØÙ Ö× ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÓÒØ ÒØ ÚÓ Ó× ×Ø Ó× Ý ÙÒ ØÖ Ò× ÓÒ Óѹ
ÔÙ ×Ø ÔÓÖ Ð × ØÖ × Ò×ØÖÙ ÓÒ ×
0
tmp=x
x=y
y=tmp
1
ÍÒ × ÑÙÐ ÓÖ ÔÙ Ò Ñ Ñ ÒØ Ø Ø Ö Ý ØÙ Ö ×Ø Ð × Ö Ù ÓÒº
¿º ×ØÖ ÓÒ Ò × ÑÔÐ ¸ ×Ø Ø Ò × × Ò Ó × ÖÚ Ö ÓÒ ÙÒØÓ× ×Ø Ó× Ý
×ØÖ Ö ×Ù ÒØ Ö Þ Ñ Ò Ö Ò Ö Ðº Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ× Ö Ó × ×Ù ×Ø ØÙÝ ÔÓÖ
ÙÒ ÙØÓÑ Ø Ö Ù Ó ÙÝÓ ÖÓÐ × × ÑÙÐ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ö Ðº
Ä × Ø Ò × ÒØ Ö ÓÖ × Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ù Ö¸ ÑÙÝ ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ ¸ Ð ×Ô Ó
×Ø Óº Ò Ò ÙÖ ¸ ÓØÖ Ø Ò ¸ ÐÐ Ñ ×ÙÔ ÖØÖ Þ ½ ¸ ÕÙ Ü Ñ Ò Ö ÑÓ×
Ò Ü º¿º¾ ´Ô Ò µ¸ × Ò Ð Ù×Ó Ø Ð × × × Ò Ø ÓÒ ÓÐ × ÓÒ¸ Ô ÖÑ Ø
Ö Ù Ö ØÓ Ú Ñ × Ð ×Ô Ó ÐÓ Ð ×Ø Óº ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÙÒ Ó Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð ×
Ò × ×Ø ×Ø ×¸ Ò ÕÙ × ÔÓ× Ð ÜÔÐÓÖ Ö × ØÓ Ó Ó¸ ØÓ Ó ¿ ¸ Ð ×Ô Ó
×Ø Ó × × Ö Ð Þ Ò ×Ù¬ ÒØ × × ÑÙÐ ÓÒ × Ð ØÓÖ ×º
ÉÙ Þ Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö ×Ø Ð × Ú Ö ¬ ÓÒ × spin/promela ½¿¸
½ ¸ ½¾¸ ¿ º promela × ÙÒ Ð Ò Ù ×Ô ¬ ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ × ´ÒÓ ÙÒ Ð Ò Ù
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒµ Ý spin × ×Ù × ÑÙÐ ÓÖº
Ð Ò ÓÕÙ Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ × ×Ô ¬ÕÙ Ò promela¸ ÐÓ ÕÙ Ò ÙÒ Ô ×Ó
ÓÒ Ð Ý ÙÒ Ù ÒØ ÔÓØ Ò Ð ÖÖÓÖ Ð ØÖ ×Ð Ö Ð ×Ô ¬ ÓÒ Ò promela Ð
ÐÒÙ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº Ä Ò × ×Ø Ò ÓÕÙ × ÕÙ ÙÒ ÒÓ × ÓÒÓ
Ò Ö ÐÑ ÒØ ÓÑÓ × ØÖ Ù ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÙÒ
ÙØÓÑ Ø ×Ø Ó ¬Ò ØÓº
spin × Ð Ö × ½ ½º

243. 3.4. Correctitud de algoritmos 217
Ê ÒØ Ñ ÒØ × Ò × Ù ÖØÓ Ø Ò × Ø Ú × Ô Ö ØÖ Ù Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð ¹
Þ Ó Ò ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÙÒ ÙØÓÑ Ø × ÙÒ Ð Ò ØÙÖ Ð Þ Ð ÔÐ ÓÒº
×ØÓ Ô ÖÑ Ø ÙØÓÑ Ø Þ Ö Ð ÔÖÓ ×Ó Ú Ö ¬ ÓÒ × Ò Ò × Ô × Ö ÔÓÖ Ð ×
ÑÓ Ð Þ ÓÒ Ò ÓØÖÓ Ð Ò Ù º
3.4.3.3 An´lisis din´mico
a a
Sistema operativo
Ð Ö Û Ö Ý Ð ÔÖÓÔ Ó × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ø Ò Ò Ñ Ó× Ô Ö Ø Ø Ö ÖÖÓÖ × ÙÖ ÒØ
Ð Ù ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ ×º Ò Ð ×Ó Ð Ö Û Ö ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÙ Ø Ø Ö× ÙÒ
Ú × ÓÒ ÔÓÖ ÖÓº Ò Ð ×Ó ÓÑ Ò Ó Ö Û Ö Ý × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ¸ ÔÙ Ø Ø Ö×
ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ñ ÑÓÖ ´× Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐص¸ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ò Ù× ÒØ × ×Ô Ö ÓÒ ×
Ý Ñ Ð ÓÒ × Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ÒÓÚ Ð ×¸ Ô ÖÓ Ò Ö Ð ÑÙÝ ÓÖØÙÒ Ó¸ ÔÙ × Ò
Ð ÓÑ Ø Ñ ÒØÓ ÙÒ ÖÖÓÖ Ý Ð ×ÙÒ ÓÒ ×Ù ÓÒ ÓÖÖ Ø Ú º
Invariantes
ÍÒ ÒÚ Ö ÒØ Ó × ÖØÓ × ÙÒ ÔÖ Ó ÐÓ Ó ÕÙ × ÓÐÓ Ò Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ
ÔÖÓ Ö Ñ Ý ÙÝ ÖØ ØÙ Ú Ö ¬ × × ÙÑÔÐ Ò Ð × ÔÖ Ñ × × Ù ÓÒ ×ÙÔÙ ×Ø × ÔÓÖ
Ð × Ò ÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖº
Ä × ×Ø ÒØ × ÑÔÐ Ð ÔÖ Ó × Ú ÐÙ ×ÓÐÓ Ù Ò Ó Ð ­Ù Ó Ù ÓÒ Ô ×
ÔÓÖ Ð ÒÚ Ö ÒØ º Ò × ÑÓÑ ÒØÓ¸ × Ú ÐÙ Ð ÔÖ Ó Ý¸ × ×Ø × Ð×Ó¸ ÒØÓÒ × × Ð
ÒÓØ ¬ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ú ÒØÓ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ð ÓÖØÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ º Ð
Ú ÒØÓ Ð Ô ÖÑ Ø ÔÖ Ò Ö ÕÙ ¸ ´½µ Ó Ð × ÓÒ ÓÒ × Ö ÕÙ Ö × Ô Ö ÙØ Ö Ð ­Ù Ó
Ò ÖØÓ ÔÙÒØÓ ÒÓ × ×Ø Ò ÙÑÔÐ Ò Ó¸ Ó ´¾µ Ð ÓÑ Ø Ó ÙÒ ÖÖÓÖ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓº Ð
Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ó× ×Ó׸ × ×Ø Ò ÔÖ × Ò ÙÒ ÖÖÓÖº
Ä Ñ Ò Ö Ñ × × ÑÔÐ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÙÒ ÒÚ Ö ÒØ × Ò ÓÖÑ ÔÖ ÓÒ ÓÒ Ó
ÔÓ×Ø ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÖÙØ Ò º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÔÙ ÔÐ Ö× Ù ÐÕÙ Ö ­Ù Ó
Ù ÓÒ × Ö¸ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÙÒ ­Ù Ó¸ ×Ø Ð ÑÓ× ÔÖ ÓÒ ÓÒ × ÕÙ Ò
ÙÑÔÐ Ö× Ô Ö ÕÙ × ÙØ Ó ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÐÙ Ó Ð Ù ÓÒ
Ð ­Ù Ó¸ Ð ×Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ò ÙÑÔÐ Ö× Ð ÙÒ × ÔÓ×Ø ÓÒ ¹
ÓÒ ×º ÔÖ ÓÒ ÓÒ Ó ÔÓ×Ø ÓÒ ÓÒ ÒÓ × ÓØÖ Ó× ÕÙ ÙÒ ÒÚ Ö ÒØ º
Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× ÔÙ Ò Ð Ö ¬ Ö Ð º
Ë × Ò Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ö Þ Ù Ö √x ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð¸
ÒØÓÒ × × × Ð ÓÐÓ Ö ÓÑÓ ÔÖ ÓÒ ÓÒ Ð ÔÖ Ó x ≥√ º Ä Ú ÓÐ ÓÒ
0 ×Ø
ÔÖ ÓÒ ÓÒ Ú Ò Ö ÕÙ Ò Ð ÙÒ Ô ÖØ ¸ ÒØ × ÒÚÓ √Ö x¸ × ÓÑ Ø Ó ÙÒ ÖÖÓÖº
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÓÐÓ Ö ÓÑÓ ÔÓ×Ø ÓÒ ÓÒ x2 = x¸ ÙÝ Ú ÓÐ ÓÒ¸
ÓÒ ÓÒ ÕÙ Ð ÔÖ ÓÒ ÓÒ ÒÓ Ý × Ó Ú ÓÐ ¸ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÖÖÓÖ
Ò Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ √xº
ÍÒ Ú ÒØÙ Ð Ù ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ Ð × ÒÚ Ö ÒØ × × ÕÙ ×Ø × ÓÒ×ÙÑ Ò Ø ÑÔÓ ¹
Ù ÓÒº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ×Ù Ù×Ó Ü × ÚÓ ÔÙ ÑÔ Ø Ö Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº ÆÓØ ¹
ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ó×Ø ¸ ÙÒÕÙ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÐÑ ÒØ ÔÙ ØÓÖÒ Ö× ÓÒ ÖÓ×Ó × ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸
×Ø ÓÒØ Ò Ó ÒØÖÓ ÙÒ Ð ÞÓº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÑÙ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ×ÙÔ Ø Ò Ð Ù×Ó
ÒÚ Ö ÒØ × Ð Ó Ó × ÖÖÓÐÐÓ Ý ÒÓ Ð Ó Ó ÔÖÓ Ù ÓÒº ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ò C Ý
Ð C++¸ ×ØÓ × ÙØÓÑ Ø Þ Ñ ÒØ Ñ ÖÓ× ÓÒ ÓÒ Ð ×º Ä Ñ Ò Ö Ø Ô × ÓÑÔ Ð Ö
ÒÚ Ö ÒØ × × Ð Ñ ÖÓ DEBUG ×Ø ¬Ò Óº

244. 218 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ × × ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð × ÒÚ Ö ÒØ × Ò Ó Ó ÔÖÓ Ù ÓÒ¸ ÔÙ ×
ÖÖÓ Ò Ò Ó× Ó ÙÖÖ Ò ÖÖÓÖº Ò ×Ø × Ó × ÓÒ ×¸ ÒÓ × ÓÖØ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
Ä Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C ÓÒØ Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÐÐ Ñ assert(predicado)¸ ÙÝ
ÙÒ ÓÒ × Ú Ö ¬ Ö ÙÒ ÒÚ Ö ÒØ º ÆÓ Ó ×Ø ÒØ ¸ ×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú × Ó×ØÓ× Ò Ø ÑÔÓ
Ù ÓÒ¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ×Ù Ù×Ó × Ù ×Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ó Ó ÔÖÓ Ù Ø ÚÓº
Ü ×Ø Ò Ð ÓØ × ×Ô Ð Þ × Ò Ð Ù×Ó ÒÚ Ö ÒØ ×º ÉÙ Þ ÙÒ Ð×Ñ×
ÔÓÔÙÐ Ö × × GNU nana ¿¼ ¸ ÙÝ × ÓÒ ×¸ Ö ×Ô ØÓ Ð assert() ØÖ ÓÒ Ð¸ ÔÙ Ò
Ö ×ÙÑ Ö× Ò
½º × Ò Ô Ö Ð ¬ Ò Ò ÙÖ ÓÒ Ý ×Ô Óº Ó¸ Ð Ú Ö ¬ ÓÒ × Ø Ò
¬ ÒØ ÕÙ ÑÙ × Ú × ÒÓ Ú Ð Ð Ô Ò Ð Ñ Ò Ö ÒÚ Ö ÒØ × Ò Ð Ó Ó ÔÖÓ¹
Ù ÓÒº
¾º Ä ÓÒ ØÓÑ Ö ÒØ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ × ÓÒ¬ ÙÖ Ð º Ë ÔÙ ¸ ÒØÖ
ÓØÖ × Ó× ×
´ µ ÅÓ ¬ Ö Ð ÓÒ ØÓÑ Ö ÒØ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸
ÓÖØ Ö× ¸ Ö Ò Ö¸ ÒÚ Ö ÙÒ ÔÙÖ ÓÖ Ó¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ Ö ÔÓÖØ Ö Ý ÓÒØ ÒÙ Öº
´ µ À Ð Ø Ö Ó × Ð Ø Ö × Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ú ÐÙ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ×¸ Ø ÒØÓ Ù¹
Ö ÒØ Ð ÓÑÔ Ð ÓÒ ÓÑÓ ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒº
¿º ÒÖ ÕÙ ÓÒ ÓØÖ × Ð × × ÓÖÑ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò Ú Ö ¬ ÓÒ × Ò¹
Ú Ö ÒØ × Ñ × ÓÑÔР׺
º Å ÓÒ ÔÖ × Ý ÔÓÖØ Ø Ð Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
Î ÑÓ× Ð ÙÒ × Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × GNU nana Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ô Ö Ñ Ò Ö ÒÚ Ö ¹
ÒØ ×
Invariantes basadas en asertos ×Ø Ð × ÒÚ Ö ÒØ ×¸ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ×
void I(pred)
Ä Ù Ð Ú Ö ¬ ÕÙ pred × ÖØÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó Ò Ø ÚÓ ÑÔÖ Ñ ÙÒ Ñ Ò×
ÖÖÓÖ Ý ÓÖØ º
ÍÒ ÓÖÑ ÓÒ ÓÒ Ð Ú ÐÙ Ö ÙÒ ÒÚ Ö ÒØ × Ñ ÒØ
void IG (bool pred, bool cond)
Ä Ù Ð Ú ÐÙ Ð ÔÖ Ó pred ÓÑÓ ÒÚ Ö ÒØ ×ÓÐÓ × Ð ÔÖ Ó cond × ÖØÓº
×Ø ÓÖÑ Ô ÖÑ Ø ¬Ò Ö ×Ó× ×Ô Ð ×º
Ú × × Ò × Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ö ×Ø Ó ÔÖ Ú Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ×ØÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð ×
ÔÓ×Ø ÓÒ ÓÒ ×º Ò ×Ø ×Ó¸ ×ÓÒ ÒØ Ö × Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
¯ void ID (instrucci´n) Ô ÖÑ Ø
o ÙØ Ö ÙÒ Ò×ØÖÙ ÓÒ¸ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒ
Ð Ö ÓÒ Ú Ö Ð º
¯ void IS (Asignaci´n) o Ô ÖÑ Ø Ö Ð Þ Ö ÙÒ × Ò ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð
ÐÖ Ó ID()º
ÙÒÕÙ ID() IS() ×ÓÒ × ÒØ Ø Ñ ÒØ × Ñ Ð Ö ×¸ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ù× Ö× Ô Ö
Ð Ö Ö Ý Ð × ÙÒ Ó Ô Ö × Ò Ö¸ ÔÙ × Ð Ó Ó Ò Ö ÓÒ ÒØ ¬ ÓÒ
×ÙÑ ×Ø ÙÒ ÓÒ Ð º

245. 3.4. Correctitud de algoritmos 219
ØÙ ÙÒ × Ò ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ð
¯ void ISG (instrucci´n, bool pred)
o
ÕÙ Ð ÔÖ Ó pred × ÖØÓº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ó Ó ÕÙ Ð ÙÐ Ð Ö Þ Ù Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ö
ÔÐ ÒØ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾½ Ö Þ Ù Ö ¾½ ≡
float ra´z_cuadrada(const float & x)
ı
{
I(x >= 0); // precondici´n exigiendo que x sea positivo
o
// c´lculo de la ra´z de x, el cual se guarda en ret_val
a ı
I(ret_val*ret_val == x); // Resultado debe ser igual a x
ID(float ret_plus = ret_val + 1); // Declara variable adicional
I(x < ret_plus*ret_plus); // y menor que el producto (ret_val+1)^2
}
× Ð Ð Ò Ù C × ÔÓ× Ð ÓÐÓ Ö ÙÒ × Ù Ò Ò×ØÖÙ ÓÒ × ÓÑÓ ÙÒ ×ÓÐ
× Ô Ö × ÔÓÖ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ÓÑ º ×ØÓ × ÑÔÓÖØ ÒØ Ö × ÐØ Ö Ò ×Ø ÓÒØ ÜØÓ¸
ÔÓÖÕÙ × ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò ÐÓ Ö ÙÒ × Ù Ò ÓÑÔÐ Ø Ò×ØÖÙ ÓÒ × Ò Ð ÙÒ
ÔÖ Ñ Ø Ú ÒÚ Ö ÒØ × ÔÓÖ ÑÔÐÓ
ID(int i = 0, j = x + y);
Verificaci´n por cuantificadores de l´gica de predicados
o o ÖÚ Ó Ð Ð Ö
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÔÓÖ ÓÒØÖ ØÓ× ¾ ¸ GNU nana Ó Ö Ú Ö ¬ ÓÒ × Ñ × Ö ¬Ò × Ó
Ð ÓÖÑ Ù ÒØ ¬ ÓÖ × ÐÓ Ó׺ ÒØÖ ÐÓ× Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÔÓ ÑÓ× Ò Ö
¯ bool A(inicio,condici´n,iteraci´n,pred)
o o ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ù ÒØ ¬¹
ÓÖ Ô Ö ØÓ Ó ´∀µ¸ Ð Ù Ð × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ
for (inicio; condici´n; iteraci´n)
o o
if (condici´n) return false;
o
return true;
¯ bool E (inicio,condici´n,next,pred)
o ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ù ÒØ ¬ ÓÖ
Ü ×Ø Ò Ý ÕÙ × ¬Ò ×
for (inicio; condici´n; iteraci´n)
o o
if (pred) return true;
return false;
× Ö¸ × ÖØÓ × Ð Ñ ÒÓ× Ò ÙÒ
Ð × Ø Ö ÓÒ × × ÙÑÔÐ Ð ÔÖ Óº
¯ long C (inicio,condici´n,next,pred) ÓÒØ ÓÖ
o Ó ÙÖÖ Ò × ÙÒ ÔÖ ¹
Ó ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò
int count = 0;
for (inicio; condici´n; iteraci´n)
o o
if (pred)
++count;

246. 220 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
return count;
¯ bool E1 (inicio,condici´n,next,pred)
o Ú Ö ¬ ÕÙ Ð ÔÖ Ó ×
ÙÑÔÐ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þº Ë ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
bool seen = false;
for (inicio; condici´n; iteraci´n)
o o
if (pred)
if (seen)
return false;
else
seen = true;
return seen;
ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö Ð Ô ÖØ Ò Ò Ü ÐÙ× Ú ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ×¹
Ô ¬ Ó ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ
¾¾¼ Ô ÖØ Ò Ò Ð ×Ø ÒÐ Þ ¾¾¼ ≡
E1(typename DynDlist::iterator<int> it(l), it.has_current(), it.next(),
it.get_current() == x);
Í× × DynDlist ¿ º
Ò ×Ø ÔÙÒØÓ × Ñ Ò ×Ø Ö × Ò Ð Ö ÕÙ GNU nana ÔÓ× ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ø ÔÓ× Ù ÒØ ¬ ÓÖ ×
× Ò Ð Ó× Ô Ö ÓÒØ Ò ÓÖ × Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C++º
GNU nana × ÙÒ Ð ÓØ ÑÙ Ó Ñ × Ö ¸ Ø ÒØÓ Ò ×Ô ¬ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ×¸
ÓÑÓ Ò ÓØÖ × ÙÒ ÓÒ Ð ×º Ä × Ø Ò Ñ ÒØ Ð Ñ ÒÙ Ð ¿¼ Ô Ö Ñ × Ò ÓÖÑ ÓÒº
Pruebas
ÍÒ ÔÖÙ × ÙÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò ÙØ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ú Ö ¬ Ö ×
ÙÒ ÓÒ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ º ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ü ×Ø Ò Ó× Ø ÔÓ× ÔÖÙ ´½µ Ò Ö¸
Ò Ð Ù Ð × ×Ø Ð Ò ÒØÖ × Ý × Ð × ÓÖÖ Ø × Ú Ö ¬ Ö× ÙÖ ÒØ Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ
Ý ´¾µ Ð Ò ¸ Ò Ð Ù Ð × Ø ÖÑ Ò Ò ÒØÖ × ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ Ò ÕÙ Ð ­Ù Ó Ô ×
ÔÓÖ ØÓ × Ð × Ô ÖØ × Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
ÈÓÖ ØÖ ÓÒ¸ Ð × ÔÖ٠׸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð × ¹Ò Ö ¸ Ð × Ö Ð Þ Ò Ô Ö×ÓÒ × ×Ø ÒØ ×
Ð Ó ¬ ÓÖ ÐÐ Ñ × ÔÖÓ ÓÖ × ´Ø ×Ø Ö×µº
Ä × ÔÐ Ò ÑÔ ÖØ ÔÓÖ Å Ù Ö ¾½ ´Ú Ö Ü ¿º º¿º½ ´Ô Ò ¾¼ µµ Ó×ØÙÑ Ö
ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ÑÔÖ Ö Ð ÔÖÙ × Ð Ò Ô Ö ØÓ Ó ×Ù Ó Óº
Ü ×Ø ØÓ ÙÒ Ò Ô Ö ÔÖÓ Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÙÝÓ Ñ ØÓ Ý ÜØ Ò× ÓÒ ×Ø Ò Ù Ö
Ð Ò Ò ×Ø Ø ÜØÓº Ñ × ÐÓ× Ó× ÙØÓÖ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ð Ñ ÓÖ Ö Ö Ò ÕÙ ×
×Ø Ö ØÓÖ ÓÒÓ Ô Ö Ð ÖØ Ð × ÔÖÙ × × Ø ØÙÐ Ì ÖØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ì ×Ø Ò
ÔÓÖ º º ÅÝ Ö× ¾ º
Generaci´n autom´tica de prueba
o a
Ò Ð Ö Ø Ð Ò × ÖÖÓÐÐ Ó ÙÒ Ø Ò ¸ ÔÖ Ñ Ò Ñ ÒØ × Ò Ò Ð × × ×Ø Ø Ó
Ð Ó Ó Ù ÒØ ¸ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ò Ö Ö ÒØÖ × Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÙØ Ò ØÓ Ó ÐÓ×
Ñ ÒÓ× Ù ÓÒ ÔÓ× Ð × Ð ÔÖÓ Ö Ñ º Ô ÖØ Ò ÓÒØÖ Ö Ð × ÒØÖ × ÕÙ
Ù Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ ×Ó× ÔÓ× Ð ×¸ × Ò Ö Ò ÒØÖ × ÕÙ ×ÓÑ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ü ÑÓ×
× Ù ÖÞÓ× × ÙÒ × ÑÔ ÒÓ¸ ÓÒ ÓÒ × Ö Ø × ÓÒ ÙÖÖ Ò ¸ × ÙÖ ¸ Ø Ø Ö ¸ ÕÙ

247. 3.4. Correctitud de algoritmos 221
Ò Ô ÖÑ Ø Ó Ò ÓÒØÖ Ö ÖÖÓÖ × Ò Ñ Ò ÓÖ × × ×Ø Ñ Ö ÚÓ Ò ÔÖÓ Ù ÓÒ ×
ÒÓ׺
Manejo de memoria
Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ò Ñ × ÙÒ Ù ÒØ ÖÖÓÖ Ø Ò ÓÑÙÒ ÕÙ Ñ Ö ÓÒ× Ö Ö
×Ø ×Ù ¹× ÓÒ Ð × ¬ Ö Ý × Ö Ö Ð × Ð × × ÖÖÓÖº
Fugas de memoria (memory leaks)
ÍÒ Ù Ñ ÑÓÖ Ó¸ Ò Ò Ð ×¸ ÙÒ Ñ ÑÓÖÝ Ð × ÙÒ ÐÓÕÙ ÕÙ × Ö × ÖÚ
Ý ÕÙ Ñ × Ò Ð Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ × Ð Ö º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ
Ò ¬ ÒØ ¸ Ò Ð ÒØ Ò ÓÖÖ Ø Ú Ö× ÓÒ Ð swap() ÒØÖ ÖÖ ÐÓ×
void array_swap(int * a, int * b, const size_t n)
{
int * tmp = new int [n];
for (int i = 0; i < n; ++i)
tmp[i] = a[i];
for (int i = 0; i < n; ++i)
a[i] = b[i];
for (int i = 0; i < n; ++i)
b[i] = tmp[i];
}
ÒØÓÒ ×¸ Ú Þ ÕÙ × ÒÚÓÕÙ array swap() × Ö Ô ÖØ Ó¸ Ô Ö × ÑÔÖ ¸
ÙÒ ÖÖ ÐÓ tmp n Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë array swap() × ÒÚÓ Ñ ÒÙ Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓ Ö Ñ
ÓÐ Ô× Ö Ò ÔÓ Ó Ø ÑÔÓ ÔÓÖ ÐØ Ñ ÑÓÖ º
Ä Ö Ð Ô Ö Ú Ø Ö ×Ø ÖÖÓÖ × ÕÙ ØÓ Ó ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ Ð Ö Ö× ÒÑ ¹
Ø Ñ ÒØ ×ÔÙ × ÕÙ ×Ø Ý ÒÓ × Ö ÕÙ Ö º
Acceso fuera de bloque
Å ÒÓ× Ö Ù ÒØ ÕÙ ÙÒ Ù Ñ ÑÓÖ ¸ Ø Ñ Ò ÓÑÙÒ Ý¸ Ñ ÒÙ Ó¸ Ñ × Ö Ú ¸
ÙÒ ×Ó Ù Ö ÐÓÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò Ð Ð ØÙÖ Ó × Ö ØÙÖ ÙÒ ÞÓÒ Ñ ÑÓÖ ÕÙ
ÒÓ × Ô ÖØ Óº Ð ×Ó Ñ × Ø Ô Ó × × Ö Ö Ù×ØÓ ×ÔÙ × Ð ¬Ò ÙÒ ÐÓÕÙ
Ñ ÑÓÖ Ö × ÖÚ Ó ÓÒ malloc() Ó newº ÈÓÖ ÑÔÐÓ
int * tmp = new int [n];
for (int i = 0; i <= n; ++i)
tmp[i] = a[i];
×Ø Ó Ó ÓÒ ÖØ ØÙ × Ö Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ Ñ × Ò Ð ÖÖ ÐÓ tmpº Ò Ð Ñ ÓÖ
ÐÓ× ×Ó׸ Ó ÙÖÖ Ö ÙÒ × Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÙÐØ Ò Ð Ô ÓÖ¸ Ð ÖÖÓÖ Ô × Ö Ø ÑÔÓÖ ÐÑ ÒØ
× Ô Ö Ó ×Ø ÕÙ Ø ÑÔÓ ×ÔÙ × ´ÕÙ Þ ÑÙ Ó ×ÔÙ ×µ ÔÖ × ÒØ × ÒØÓÑ × Ø Ñ Ò
ÖÖ Ø Ó× Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ×ÓÒ Ú Ö Ð ×¸ ÔÙ Ò Ó × Ö¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ Ò ÓÐ × Ò Ö¹
ÒÓ ´ × Ò Ù µ ¾¾ º
¾¾
ÈÓÖ Ð Ð Ö × Ó Ð Ñ Ò Ï ÖÒ Ö À × Ò Ö ÕÙ Ò × Ù Ö Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÓÑÓÒ ÑÓ Ö Ð
ÑÔÓ× Ð Ó × ÖÚ Ö Ð ×Ø Ó Ö Ð ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ØÓÑ ¸ ÔÙ × Ð Ñ ×Ñ Ó × ÖÚ ÓÒ Ñ Ð
×Ø Óº

248. 222 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ä Ö Ð Ô Ö Ú Ø Ö ×Ø ÖÖÓÖ × Ð Ó Ú × ÑÔÖ Ö Ú × Ö ÙÖÓ× Ñ ÒØ Ð ×Ó
Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ×ÓÒ Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö ×
½º Í× Ö ÒÓÑ Ö × ÔÙÒØ ÖÓ× ÕÙ Ò ÕÙ Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓº Ð
Ñ Ò ×ÑÓ ÒÓÑ Ö Ñ ÒØÓ ÚÓÖ ØÓ × ×Ù¬ Ö Ð ÒÓÑ Ö ÓÒ ptr ×Ø ÑÓ Ó¸
ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ ×Ø ÐÓ grep ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö Ð × Ó ÙÖÖ Ò × Ù×Ó ÙÒ ÔÙÒ¹
Ø ÓÖ Ý Ô ÖÑ Ø Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ¸ Ó ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ ÙØÓÑ Ø Þ ¸ Ò Ð Þ Ö Ð
ÓÖÖ Ø ØÙ º
¾º ×Ð Ð Ù×Ó ÔÙÒØ ÖÓ× ÓÑÓ ÖÖ ÐÓ× Ò ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ö ×¸ Ö Ó Ö Ù× Ð ×¸
ÕÙ ÓÒ ÒØÖ Ò Ð Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ Ò ÙÒ ×ÓÐ ÔÓÖ ÓÒ Ó Óº
ÍÒ ÑÔÐÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÚÓ ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò Ð × ÙÒ ÓÒ × fill dir to null()¸
release segment()¸ ÒØÖ ÓØÖ × ×Ô ¬ × Ò Ü ¾º½º º¾ ´Ô Ò µº
¿º Ú Ø Ö Ð Ù×Ó Ñ × ÙÒ Ò Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ ÔÙÒØ ÖÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ
**int_ptr = 5;
ÒÓ ×Ø Ö Ô ÖÑ Ø Óº Ä Ü Ô ÓÒ ×Ø Ö Ð × Ù Ò Ó × ØÖ Ø Ò ÖÖ ÐÓ× ÓÑÓ
ÔÙÒØ ÖÓ× Ý Ø Ò ÑÓ× ÖÖ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ׸ Ø Ð × ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ× Ô Ö
Ð Ñ ØÓ Ó access() DynArray<T> ´Ü ¾º½º º¿ ´Ô Ò ¿µµ Ó ÓÒ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ×
ÑÙÐØ ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð × ´Ü ¾º¾ ´Ô Ò ½µµº
Direcci´n de devoluci´n inv´lida
o o a
ÍÒ ÒÚÓ ÓÒ Ü ØÓ× malloc() Ó new Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÐÓÕÙ Ö × ÖÚ Óº Ð
Ñ Ò ×ÑÓ ÚÓÐÙ ÓÒ¸ Ñ ÒØ free() Ó delete¸ Ö Ö Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ
Ú ÐÓÖ ÔÙÒØ ÖÓ ÕÙ ÒØÖ Ó malloc() Ó deleteº Ä Ö Ö ÙÒ Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÕÙ ÒÓ
Ý × Ó Ö ØÓÖÒ ÔÓÖ Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ ×¸ Ô٠׸ ÙÒ × Ö Ó ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
ÕÙ ÓÑÔÖÓÑ Ø Ð ×Ø Ó Ð ÔÐ ÓÒ Ý ÙÝ × ÓÒ× Ù Ò × ×ÓÒ Ò ÖØ × Ý¸ ÔÓÖ ÐÓ
Ò Ö Ð¸ Ô ÖÑ Ò Ò Ò Ø Ø Ð × ÙÖ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÑÔÓº
ÒØÖ Ö ÙÒ Ö ÓÒ ÒÚ Ð Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ × ÙÒ ÖÖÓÖ Ñ × ÓÑÙÒ
ÐÓ ÕÙ ÔÙ Ö Ô Ò× Ö× º ÉÙ Þ Ð ×Ó Ñ × Ö Ù ÒØ Ó ÙÖÖ ÓÒ ÔÙÒØ ÖÓ× ×Ó Ö Ð × ×
Ö Ú × Ý Ð ÙÒ × ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ × Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð ×Ø Ò º ÇØÖ ÔÓ× Ð ×Ù
Ù Ò Ó × Ñ Ò Ò ÑÙÐØ ¹ ×ØÖÙ ØÙÖ × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÑÙÐØ ¹Ð ×Ø º
Verificadores din´micos de memoria
a
ÄÓ× ÖÖÓÖ × Ñ ÑÓÖ Ù ÖÓÒ ÙÒ Ô Ö ÒÒ ÓÐÓÖ Þ Ò Ð Ô × Ó ×Ø ÕÙ
Ô Ö ÖÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ ×¸ Ò ×Ù Ñ ÝÓÖ Ò ÓÖÑ Ð ÓØ ×¸ Ô Ö Ø Ø ÖÐÓ× × Ò Ó
ÐÓ× Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö × ÒØÖ ÐÐÓ× electric fence ½ Ý dmalloc ½ º ÓÒ ×Ø ×ÕÙ Ñ ×
Ö ÕÙ Ö ÝÙ Ð ÔÖ ÔÖÓ × ÓÖ¸ Ð Ù Ð ÒÓ ×Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ×ÔÓÒ Ð Ò C++ Ý Ð
Ò Ò Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð ÓØ ¸ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÔØ Ð × ÐÐ Ñ × malloc() Ý free()º
ÍÒ ÒÙ ÚÓ Ý Ú Ö× Ø Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö ¬ ÓÒ Ô Ö Ó Ö ÒØ Ñ ÒØ
valgrind ¾ ¸ ¾ ¸ Ð Ù Ð ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ð ÓØ × ÒÓ ÕÙ ÒØ Ö ØÙ ×Ó Ö Ð ÙØ Ð
Ö ×ÙÐØ ÒØ º
ÄÓ× Ñ Ò ×ÑÓ× Ø ÓÒ ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ׺ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ö ÓÒ
ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ ¸ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù ÔÓ× ÓÒ Ü Ø Ö × ÖÚ ÓÒ¸ Ð Ò Ý ÒÓÑ Ö Ð Ö ÚÓ¸
× ÒÓØ Ò ÙÒ Ø Ð Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ¬Ò Ð Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð × ÒØÖ × Ò Ð Ø Ð

249. 3.5. Eficacia y eficiencia 223
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ù × Ñ ÑÓÖ º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÙÒ ÒØÖ Ö ÓÒ ÒÚ Ð
ÔÙ Ø Ø Ö× ÔÓÖÕÙ Ð Ö ÓÒ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ø Ðº
Ù Ò Ó × ×ÓÐ Ø ÙÒ ÐÓÕÙ ¸ × Ô ÖØ ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × Ñ Ò Ö Ø Ð ÓÐÓ Ö Ö × ¸
Ð × Ù Ð × ×ÓÒ ÞÓÒ × ÓÒ Ú ÐÓÖ × ×Ô Ð ×¸ Ð Ó Ð ÐÓÕÙ ¸ ÔÓ ÔÓ× Ð
× Ö ØÙÖ ¸ Ý ÙÝ Ô ØÓÖ Þ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
ptr
Ð Ð Ö Ö ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ × Ö Ú × Ð Ú ÐÓÖ Ð Ö ¸ × ×Ø × Ö ÒØ Ð
Ò Ó¸ ÒØÓÒ × ÔÙ × Ö × ÒØÓÑ ÕÙ × × Ö ØÓ ÔÓÖ Ù Ö ÙÒ ÐÓÕÙ º
Ä × Ú Ö ¬ ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ð × Ö ×¸ ÒÓ Ö ÒØ Þ Ò Ø ÓÒ Ô Ö ØÓ Ó×
ÐÓ× ×Ó׺
Ð Ò ÓÕÙ valgrind × Ð Ó × Ñ Ð Ö ÐÓ× ×Ó× ÒØ Ö ÓÖ × Ô ÖÓ ÒÓ ÒØ Ö ÔØ Ð
Ð ÓØ Ò × º Ò ×Ù ÐÙ Ö¸ valgrind ÒØ Ö ÔØ ¸ ×Ó Ö Ð ÙØ Ð ¸ Ð × ÐÐ Ñ × Ö Ø ×
Ö × ÖÚ ÓÒ Ñ ÑÓÖ ´malloc()¸ free()¸ sbrk()¸ new¸ delete¸ ºººµ ݸ Ò Ò ÙÖ ¸
ÒØ Ö ÔØ ÐÓ× ×Ó× Ñ ÑÓÖ Ý ÓØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð ×º ÄÙ Ó ÙØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ
ݸ ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ú Ú Ö ¬ Ò Ó Ý Ö ÔÓÖØ Ò Ó ÐÓ× Ú ÒØÙ Ð × ÖÖÓÖ ×º valgrind
×Ñ ÒÙ Ó Ö Ò Ó× Ñ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ú Ö ¬ ÓÒ Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð Ñ Ò Ó
Ñ ÑÓÖ Ý ÓØÖ × Ð × × ÖÖÓÖ ×º
Ó ÐÓ× Ó× Ò ÓÕÙ ÔÖ × ÒØ Ó׸ Ð ÔÖÓ Ö Ñ × ÙØ ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × Ð ÒØÓ¸
ÐÓ ÕÙ Ò Ö ÙÒ×Ø Ò × ×Ô Ð × ÔÙ Ö ×Ù Ù×Ó ÓÑÔÐ Óº
Depuradores
Ú ×¸ ÙÒ ÖÖÓÖ ÒÓ × Ø Ø ÔÓÖ ÐÓ× Ò Ð Þ ÓÖ × ×Ø Ø Ó× Ó Ò Ñ Ó× × ÒÓ ÕÙ ×
ÓÒÓ ×Ù ÔÖ × Ò ÔÓÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÖÖÓ Ö ×ÙÐØ Ó× Ò ÓÖÖ ØÓ׺ ËÙ Ù×ÕÙ × ÙÒ
ÖØ ÕÙ Ô Ò Ð ÜÔ Ö Ò ¸ Ò×Ø ÒØÓ ÒØÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö
Ô ÖØ × ÕÙ Ó Ö Þ Ò Ô ×Ø × Ö Ð ÖÖÓÖº Ò ×Ø ÓÖ Ò ×¸ ÙÒ Ð× Ð××
ÔÖÓ Ö Ñ × Ñ × ÙØ Ð × ÕÙ Ü ×Ø Ò ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÖ ÓÖ ×¸ ÔÖÓ Ö Ñ × ×Ô Ð Þ Ó× Ò
Ó × ÖÚ Ö Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ý Ö Ð ÓÒ ÖÐ Ð Ó Ó Ù ÒØ º
ÍÒÓ ÐÓ× ÔÙÖ ÓÖ × Ñ × Ð Ö × × Ð GNU gdb ¿ ¸ ÙÒØÓ ÓÒ Ð ÙÒÓ× ×Ù×
ÖÓÒØ Ð × ´ ÖÓÒع Ò × µ¸ Ø Ð × ÓÑÓ Ð ddd º
3.5 Eficacia y eficiencia
×Ø × ÐØÙÖ × Ð × ÙÖ×Ó¸ ÒÓ× × Ö Ð ÖÓ ÕÙ Ð ¬ ÔÖ Ñ Ð ¬ Ò º Ð
¬Ò Ð Ù ÒØ ×¸ ÕÙ Ú Ð Ð Ó ÑÙÝ ¬ ÒØ × ÒÓ × ÓÖÖ ØÓ º ÈÙ × Ò¸ Ò Ð ÙÒÓ×
ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ¬ ÔÙ ÓÑÔÖÓÑ Ø Ö Ð ¬ Ò Ý Ú Ú Ö× × ÓÖÖ Ø ¹
Ñ ÒØ ¸ ÒØÓÒ × ÔÙ × Ö ÑÙÝ Ò ¬ ÒØ Ý¸ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ ¸ Ò ÔÐ Ð º È Ö ÔÖ Ò Ö
Ð Ù ×Ø ÓÒ¸ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ ÑÔÐÓ Ñ ×ØÖ Ð ÑÓ×ØÖ Ø ÚÓ Ð × Ú × ØÙ × ÒÚÓÐÙ Ö × Ò
Ð Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ý ÐÓ× ÓÑÔÖÓÑ ×Ó× ÕÙ Ñ ÒÙ Ó × ÔÖ × ÒØ Ò ÒØÖ ÓÖÖ ¹
Ø ØÙ ´ ¬ µ Ý ¬ Ò º Ð × ÙÖ×Ó ×Ø Ò×Ô Ö Ó Ò ËØ Ú Ò Ë Ò ×Ù Ü Ð ÒØ
Ð ÖÓ Ì Ð ÓÖ Ø Ñ × Ò Å ÒÙ Ð ¿ º
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ P = {p1, p2, p3, . . . , pn} n ÔÙÒØÓ× Ò Ð ÔÐ ÒÓº
ÔÙÒØÓ × ¬Ò ÔÓÖ ×Ù× ÓÓÖ Ò × ÖØ × Ò × (x, y)º Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ× ×Ø ¸ ÒØÓÒ ×¸
Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÖ Ò Ú × Ø ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
Ö ÓÖÖ Ó × Ñ Ò Ñ º

250. 224 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÙÝ ÓÑÙÒ Ò ÑÙ Ó× ÓÒØ ÜØÓ׺
ÀÝÚÖ ×ÑÒÖ× ÓÖ Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ º ÉÙ Þ Ð Ñ × Ò
× Ñ ÒØ Ð ÙÖ ×Ø Ð Ú ÒÓ Ñ × Ö ÒÓ Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ pi¸ Ð ÔÖÓÜ ÑÓ ÔÙÒØÓ
ÓÒ Ø Ö × Ð Ñ × Ö ÒÓ piº Ì Ð ÙÖ ×Ø ÓÒÐÐ Ú Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º½º
0 0
ÙÖ ¿º ÍÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÒ Ð ÙÖ ×Ø Ð Ú ÒÓ Ñ × Ö ÒÓ
Algoritmo 3.1 (Camino m´s corto seg´n la heur´
a u ıstica del vecino m´s cercano)
a
Ä ÒØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ P = {p1, p2, p3, . . . , pn}º Ä × Ð × ÙÒ × Ù Ò¹
S =< p1, p2, . . . , pn >º
½º Ë S =< ∅ > Ð × Ù Ò ÒÙÐ
¾º Ë Ð ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ p ∈ P Ý Ò ÐÓ S
¿º P − {p}
º Ê Ô Ø Ñ ÒØÖ × P = ∅
´ µ Ë Ð ÓÒ q ∈ P | q × Ð ÔÙÒØÓ Ñ × Ö ÒÓ p
´ µ ÓÒ Ø Ò q Sº
´ µ P = P − {q}
´ µ p=q
º Ä × Ù Ò S × Ð ×ÓÐÙ ÓÒ
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ×Ø ÒØ × ÑÔÐ ¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð × ÑÙÝ Ð ÓÑÔÖ Ò Ö Ý
Ö Ð Þ Öº ÈÓ ÑÓ× Ð Ñ Ö¸ Ø Ñ Ò¸ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÙÝ ¬ ÒØ ÙÒ Ú Þ ÕÙ
× ÓÒ Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð × Ù Ò S¸ Ð ÔÙÒØÓ ÒÙÒ Ñ × ÚÙ ÐÚ ÓÒ× Ö Ö× º ×
Ô٠׸ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ × O(n)º Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ × ÓÖÖ ØÓ¸ Ý
Ô Ö Ô Ö Ø ÖÒÓ× ÐÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÓÒØÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÑ ÒÞ Ò Ó × Ð
ÔÙÒØÓ 0
½ ¾ ¿
¹¾¿ ¹ ¹½ ¼ ½ ¿ ½¿
ÓÒ ×Ø ×ÔÓ× ÓÒ ÔÙÒØÓ׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º½¸ Ô Ö Ó Ñ ÒØ ¸ Ù× Ð × × Ù Ò ×
Ñ × Ð Ö × Ý ÒÓ Ð × Ñ × ÓÖØ ×¸ Ð × Ù Ð × ×ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó

251. 3.5. Eficacia y eficiencia 225
¹¾¿ ¹ ¹½ ¼ ½ ¿ ½¿
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓØÖ ÙÖ ×Ø Ñ × ÓÑÔÐ ÐÔ Ö ÔÙÒØÓ× Ñ × Ö ÒÓ ¸ Ð Ù Ð
ØÖ ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð ×º ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸
× Ø Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð ×º Ð ÔÖÓ Ö ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ø Ö¹
Ñ Ò Ö Ý ÓÒ Ø Ö Ð Ô Ö ÔÙÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ñ × Ö ÒÓ× ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ü ÓÒ ×
ÙÒ Ñ ÒÓ Ý ÒÓ × ÓÖÑ ÙÒ ÐÓº ×Ø ÙÖ ×Ø ÓÒ Ù Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¾º
Algoritmo 3.2 (Camino m´s corto seg´n la heur´
a u ıstica del par de puntos m´s cercano)
a
Ä ÒØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ P = {p1, p2, p3, . . . , pn}º Ä × Ð × ÙÒ × Ù Ò¹
S =< p1, p2, . . . , pn >º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÙØ Ð Þ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ S = {S1, S2, . . . , Sm} Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð ×º
Ó ÙÒ Ô Ö Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð × p1 = (r, s), p2 = (t, v) Ð ÙÒ ÓÒ ×Ø(p1, p20 Ð ÙÐ
Ð ×Ø Ò Ñ Ò Ñ ÒØÖ Ð Ô Ö ÔÙÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ× Ñ ÒÓ× p1 Ý p2º Ð Ñ ×ÑÓ
ÑÓ Ó¸ Ð ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ø Ö(p1, p2) ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ñ ÒÓ Ô Ö Ð¸ ÔÖÓ Ù ØÓ ÓÒ Ø Ö p1
Ý p2¸ Ø Ð ÕÙ Ð ×Ø Ò ÓÒ Ü ÓÒ ÒØÖ p1 Ý p2 × Ñ Ò Ñ º
½º ×Ø Ò = ∞
¾º S = P × Ö¸ Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð × ×Ø Ò ÓÒ ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ ×ÓÐÓ
ÔÙÒØÓ×
¿º Ê Ô Ø Ñ ÒØÖ × |S| > 1
´ µ ∀(r, s), (t, v) ∈ S
º Ë ×Ø((r, s), (t, v)) < ×Ø Ò =⇒
º ×Ø Ò = ×Ø((r, s), (t, v))
º p1 = (r, s)
º p2 = (t, v)
Ð ÙÐÑ Ò Ö ×Ø × ÓÒ¸ p1 Ý p2 ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð × Ñ × ÔÖÓÜ ÑÓ׺
´ µ S = S − p1 − p2
´ µ p = ÓÒ Ø Ö(p1, p2)
´ µ S = S ∪ {p}
º ÓÒ Ø ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ð × Ù Ò Ö ×ÙÐØ ÒØ Ò S º ×ØÓ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÐÓ
¬Ò к
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¾ ØÖ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ô Ö ØÓ × ×ÔÓ× ÓÒ × ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÑÓ×
ÔÖ × ÒØ Óº È Ö Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑ ÒÞ Ö ÓÒ×ØÖÙÝ Ò Ó ÐÓ× Ñ ÒÓ×
Ô Ö Ð × (3, 4)¸ (3, 4, 5)¸ (3, 4, 5, 6)¸ (2, 3, 4, 5, 6)¸ (2, 3, 4, 5, 6, 7) Ý (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¾ × Ñ × ÓÑÔÐ Ó Ý Ñ ÒÓ× ¬ ÒØ ÕÙ Ð ¿º½¸ Ô ÖÓ ÙÒ ÔÓ ÑÓ×
Ö ÕÙ ÙÒ × ¬ ÒØ ¸ ÔÙ × ×ÓÐÓ × ÓÒ× Ö Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð ×
ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò ÐÙ Ó× Ò Ð Ñ Ó Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð × Ñ × ÚÙ ÐÚ Ò ÓÒ× Ö Ö× º
ÑÔ ÖÓ¸ Ð ÙÖ ×Ø Ð Ô Ö ÔÙÒØÓ× Ñ × Ö ÒÓ Ø ÑÔÓ Ó × ÓÖÖ Ø º ÓÒ× Ö ¹
ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ×ÔÓ× ÓÒ ÔÙÒØÓ×

252. 226 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
1+d
1 3 5
1−d
2 4 6
1+d
×Ø ×ÔÓ× ÓÒ ×ÓÐÓ Ø Ò Ó× Ø ÔÓ× ×Ø Ò × 1 − d Ý 1 + dº ÍÒ ÔÓ× Ð ÚÓÐÙ ÓÒ
Ð ÓÒ ÙÒØÓ S × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¾ × Ö Ñ × Ó Ñ ÒÓ× Ð × Ù ÒØ
S = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
→ {(1, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
→ {(1, 2), (3, 4), (5, 5), (6, 6)}
→ {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}
→ {(1, 2, 4, 3), (5, 6)}
→ {(1, 2, 4, 3, 5, 6) ;}
ÙÝ ×Ø Ò ØÓØ Ð × 3(1 − d) + 2(1 + d) + (2(1 + d))2 + (1 − d)2º ×Ø ×Ø Ò ×
Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ò Ñ 4(1 + d) + 2(1 − d)¸ Ù Ð × Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÖÑ Ó
ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ׺ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¾ ÒÓ ×¸ Ô٠׸ ÓÖÖ ØÓº
Ä ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÖÖ Ø ÓÒÓ ×Ø ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
Algoritmo 3.3 (Camino m´s corto entre un conjunto de puntos) Ä ÒØÖ
a Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ P = {p1, p2, p3, . . . , pn}º Ä × Ð × ÙÒ × Ù Ò S =<
p1, p2, . . . , pn >º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÕÙ Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ω = {ω1, ω2, . . . , ωm} ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ
ØÓ × Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÔÓ× Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P º
½º ×Ø Ò = ∞
¾º Ö ×ÙÐØ Ó = ∅
¿º Ë Ω Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ × Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ × (P)
º ∀ω∈Ω
´ µ Ë c Ð ×Ø Ò ØÓØ Ð Ó Ø Ò Ö ÓÖÖ Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ô Ö¹
ÑÙØ ÓÒ ω
´ µ Ë c < ×Ø Ò =⇒
º ×Ø Ò = c
º Ö ×ÙÐØ Ó = ω
ÌÓ × ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ñ ÒÓ× × ÓÒ× Ö Ò Ý ×ÓÐÓ × × Ó Ð Ñ ÒÓÖ Ó×Ø º Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓ Ò × × × ÑÔÐ ¸ ÙÒÕÙ ÒÓ ÓÒ× Ö ÓÑÓ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ô ÖÑÙØ ÓÒ ×¸
ÐÓ Ù Ð ÒÓ × ÙÒ Ø Ö ÑÙÝ × ÑÔÐ º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×¸ Ô٠׸ ÓÖÖ ØÓº ÁÒ Ð ÞÑ ÒØ ¸ Ø Ð ÓÑÓ
× ÔÐ ÒØ ¸ × Ø Ò Ò ¬ ÒØ ÕÙ ×ÓÐÓ ÔÓ Ö ÙØ Ö× Ò ÓÑÔÙØ ÓÖ × Ú ÒÓ׺ È Ö
ÔÖ Ò Ö ×ØÓ Ò Ð ÑÓ× Ð ¬ Ò º

253. 3.5. Eficacia y eficiencia 227
Ð ÒÙÑ ÖÓ ÜÔÐÓÖ ÓÒ × ÕÙ Ö Ð Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¿ × Ù Ð Ð ÒØ
Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÕÙ Ü ×Ø Ò ÒØÖ ÐÓ× n ÔÙÒØÓ× Ó × ¸ O(2n)¸ ÙÒ ¬ Ò ÒØÖ Ø Ð ÙÒ
Ô Ö ÔÓ Ó× ÔÙÒØÓ׺ Ú ×¸ Ð ÓÖÖ Ø ØÙ Ý Ð ¬ Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÓÒØÖ ÓÒ ×
Ò× ÐÚ Ð ×º
ÙÒÕÙ Ë Ò ÔÖ × ÒØ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÓ ÙÒ ÓÑÔÖÓÑ ×Ó ÒØÖ ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ ¬ Ò¹
Ý Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ¿ ¸ ÐÓ Ù Ð Ò ÖØ Ñ × ÓÖÖ ØÓ¸ × Ö Ô Ö ÑÓ×
ÙÒ ÔÓ Ó Ý ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× Ö ÙÑ ÒØÓ× Ó Ð × × Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ ×
½º Ä Ò×Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ú Ò ÓÖ Ú ÖÓ ÕÙ ×Ø ÑÓ× ØÖ Ø Ò Ó × Ò Ö Ð Ò Ð
× ÒØ Ó ÕÙ × ØÖ Ø Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ ×Ó× ÔÓ× Ð ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò Ð
Ú Ö Ð¸ × × ÑÔÖ × ×ÔÓÒ Ñ × Ò ÓÖÑ ÓÒ Ö Ð × Ð × × ÒØÖ º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × × Ö ÕÙ Ö × Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ÔÐ Ò ¬ Ö ×ÓÐ ÙÖ × ×Ó Ö
ÙÒ Ó Ð Ð ØÖÓÒ ¸ ÒØÓÒ × × × ÕÙ Ð × ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × ÔÙÒØÓ× ÓÒ ÓÖÑ Ò
ÔÓÐ ÓÒÓ× ÑÓÒÓØÓÒÓ× Ý ÕÙ Ô Ö ×ØÓ× Ð ÙÖ ×Ø Ð Ú ÒÓ Ñ × Ö ÒÓ ÖÖÓ
×ÓÐÙ ÓÒ × ÓÖÖ Ø ×º
¾º Ò ÓØÖ × Ó × ÓÒ ×¸ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ý ÙÒ Ù Ò Ò ÓÒØÖ
ÙÖ ×Ø Ñ ÒØ ÒÓ × ÑÙÝ ÒÓØ Ð º Ò ×ØÓ× ×Ó׸ Ð Ø ÑÔÓ × ÖÖÓÐÐÓ Ý ¹
Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÒÓ ÔÙ × Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð ÙÒÓ ÓÔØ ÑÓº
Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý × ×Ø Ñ ×¸ × ÓÑÓ Ò ÓØÖÓ× ÓÑ Ò Ó× Ð Ò Ò Ö ¸ × ÔÖÓÒÙÒ
ÙÒ ÔÖÓÚ Ö Ó ÕÙ Ö Þ ÕÙ ÐÓ Ñ ÓÖ × Ò Ñ Ó ÐÓ Ù ÒÓ º
ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × ×ÔÖ Ò ÕÙ Ð Ð ÓÒ × Ù × Ò Ó ÕÙ Ð ¬ ÔÖ Ñ Ð
¬ Ò º
3.5.1 La regla del 80-20
Ò ½ ¼ Ð Ò Ò ÖÓ Ö Ò Ó¹ Ø Ð ÒÓ Î Ð Ö Ó È Ö ØÓ × Ò ÐÓ ÕÙ Ò ÁØ Ð Ð ¼± Ð
Ö ÕÙ Þ × ×ØÖ Ù ÑÙÝ Ò Ù×Ø Ñ ÒØ ÒØÖ Ð ¾¼± Ð ÔÓ Ð ÓÒº ËÙ Ó × ÖÚ ÓÒ
Ù ÓÖÖÓ ÓÖ Ò Ð ÙÒ × ÓØÖ × Ð Ø ØÙ × Ý ÓÒØ ÜØÓ× Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó È Ö ØÓ ¾¿ º
Ò Ð ÙÒÓ× ÓÒØ ÜØÓ× Ò ÐÓ× Ù Ð × × Ð ¬ Ò ¸ Ð ÔÖ Ò Ô Ó È Ö ØÓ
× Ó ÔÐ Ó Ô Ö Ö Ø Ö Þ Ö ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÒØÖ Ö ÙÖ×Ó× ÓÒ×ÙÑÓ Ó ÔÖÓ Ù ÓÒ Ý ÐÓ×
ÒØ × ÓÒ×ÙÑ ÓÖ × Ó ÔÖÓ Ù ØÓÖ ×º À Ý Ò ÓÒ × ÑÔ Ö × ÕÙ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÐ
ÐÓ× × ×Ø Ñ × ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ×º Ò ØÓ¸ × Ó × ÖÚ Ó¸ ÒØÖ ÓØÖ × Ó× ×¸ ÕÙ
½º Ð ¼± Ð Ñ ÑÓÖ ÓÒ×ÙÑ ÔÓÖ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ × Ù× ÔÓÖ Ð ¾¼± Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
¾º Ð ¼± Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ × ÓÒ×ÙÑ Ó ÔÓÖ Ð ¾¼± Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
¿º Ð ¼± ÐÓ× ×Ó× × Ó × Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð ¾¼± Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
º Ð ¼± Ð × Ù ÖÞÓ × ÖÖÓÐÐÓ ÙÒ × ×Ø Ñ × Ö Ð Þ Ó ×Ó Ö Ð ¾¼± Ð Ñ ×ÑÓº
¾¿
×Ö Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÙÒÓ× ÔÙ ÐÓ׸ Ð ÔÖ Ò Ô Ó È Ö ØÓ Ø Ò Ó ÙÒ ÔÐ ÓÒ ÓÒÓÑ ¸ Ó¸
Ñ ÓÖ Ó¸ ÓÒÓÑ ×Ø ¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ó ×Ù Ö ÖÐÓ Ñ × ÓÑÓ ÙÒ ÔÖ Ò Ô Ó Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÓÒÓÑ ¸
ÕÙ ÓÑÓ ÙÒ Ú Ò Ò ¬ Ò Ó Ò Ù×Ø ×Ó Ðº
ÆÓØ × ¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ÕÙ Ò ÐÓ ÕÙ Ø Ò Ð × Ö × Ö ÙÑ ÒÓ¸ Ð × Ö Ð × ÓÒÓÑ × ×ÓÒ ÙÐØÙÖ Ð ×¸ ÒÓ
Ò ØÙÖ Ð ×º Ë Ø Ò Ù Ð Ö ×Ô ØÓ¸ ÔÖ ÙÒØ × ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ð Ò ÖÓ Ò ØÙÖ Ð × Ð ÒÓ ÓÒ Ó
Ò ÖÓ ÙÒ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÒÒ ØÓ¸ Ñ Ó Ò ÒÙ ×ØÖÓ× Ò ×¸ × ÒØ × ÒÙ ×ØÖÓ Ò Ñ ÒØÓ

254. 228 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ×Ø Ô ØÖÓÒ × Ð ÒÓÑ Ò Ð Ö Ð Ð ¼¹¾¼ º Ä Ö Ð × Ó
×ÓÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÖÓ ÐÓ Ð Ö Ó Ð ×ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ý ØÖ Ú × Ú Ö×Ó×
× ×Ø Ñ × ÓÔ Ö Ø ÚÓ׸ ×× ØÓ׸ Ý Ú Ö × ÔÐ ÓÒ ×º
Ä Ö Ð ¼¹¾¼ ÒÓ × ÙÒ × ÑÔÐ Ö ÞÓÒ ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒº Ë ØÖ Ø Ð Ú Ð Ó× × ÑÓ
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð × Ö ÕÙ Ð ¬ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ×Ø Ø ÖÑ Ò
ÔÓÖ ÙÒ Ô ÖØ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ¾¼±º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ù Ò Ó × × Ñ ÓÖ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ
Ó× ¸ ÖÐÓ Ñ × ¬ ÒØ ¸ ÑÓ× ÖÐÓ ×Ó Ö ÕÙ Ð ¾¼± Ý ÒÓ Ô Ö ÖÒÓ× Ò Ñ ÓÖ Ö¸
ÙØ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ö ×Ø ÒØ ¼±º
3.5.2 ¿Cu´ndo atacar la eficiencia?
a
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ Ö Ù ÖÞ Ð ¬ÖÑ ÓÒ ÕÙ Ð ¬ ÔÖ Ñ Ð ¬ Ò ¸ ÔÙ × ×Ø ÕÙ ÒÓ
ÐÓ Ö ÑÓ× Ð ØÓ¸ ÒÓ ÔÓ ÑÓ× ÒØ ¬ Ö × ¾¼± Ð ÔÖÓ Ö Ñ ×Ó Ö Ð Ù Ð Ö ÑÓ×
ÓÒ ÒØÖ ÖÒÓ× × × × ÑÓ× Ñ ÓÖ Ö Ð ¬ Ò º Å × ÙÒ¸ × Ð ÓÖ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ×
¬ × ÕÙ × Ø × Ò Ð × ÜÔ Ø Ø Ú ×¸ Ú Ð Ð Ô Ò Ñ ÓÖ Ö ×Ù ¬ Ò È Ö Ö ×ÔÓÒ Ö
×ØÓ ÑÓ× Ñ ÓÖ ÔÖ ÙÒØ ÖÒÓ× × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ¬ Þ ´ ÓÖÖ ØÓµ¸ Ù Ò Ó ×
ÕÙ Ý ÕÙ Ø Ö Ð ¬ Ò À Ý Ú Ö × ÓÒ ÓÒ ×¸ × Ò Ó Ð × Ñ × ÓÑÙÒ × Ð ×
× Ù ÒØ ×
¯ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ö ×ÙÐØ ÒØ ÒÓ ÓÑ Ø Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ò ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÔØ Ð Ô Ö ×Ù
ÔÐ ÓÒ × Ò ÑÓ× ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ¸ ÐÓ Ó ¬ ÑÓ׸ ÓÑÔÖÓ ÑÓ× ÕÙ × ÓÖÖ ØÓ¸
Ô ÖÓ Ù Ò Ó ÐÓ ÙØ ÑÓ× ÒÓ× Ô Ö Ø ÑÓ× ÕÙ ×Ù ÙÖ ÓÒ Ù ÓÒ ÒÓ ÙÑÔÐ
Ð × ÜÔ Ø Ø Ú ×º
¯ Ñ Ó Ò Ð × ÓÒ ÓÒ × Ñ ÒØ Ð × Ù×Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ
ÓÖÖ ØÓ ÕÙ ÙÑÔÐ Ð × ÜÔ Ø Ø Ú ×º ÍÒ ÓÒØ ÙÒ Ñ Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×
ÙÑ ÒØ Ð × Ð ÒØÖ Ý Ð ÔÖÓ Ö Ñ × Ö ¬ ÒØ º
¯ Í×Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÓ ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓØÖÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ó × ×Ø Ñ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖÖ ØÓ Ý ¬ ÒØ Ý × ÒÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ù× ÖÐÓ ÓÑÓ Ô ÖØ ÓØÖÓ ÔÖÓ Ö Ñ º
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ù ×Ø ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð ×Ù¬ ÒØ ¬ Ò Ô Ö × ÙÖ Ö
Ð ¬ Ò ÐÓ Ð Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
Ë ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ò Ò Ð ÙÒ ×Ø × ÓÒ ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ × ÔÙ Ú Ö Ö×
Ð Ò × ÖÐÓ Ñ × ¬ ÒØ º Ë ¸ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð ÔÖÓ Ö Ñ × Ø × ØÓ × Ð ×
ÜÔ Ø Ø Ú ×¸ ÒØÓÒ × × ÔÖ Ö Ð Ú Ø Ö Ð ØÓ Ð × ÙÒ Ó × ×Ø Ñ ¸ Р٠и
Ô Ö Ö × Ò Ó ÖÓÓ × ººº × Ø ÑÓ×Ø Ò ÖÓÙ× ×Ý×Ø Ñ Ñ Ò Ú Ö × Ò× ¾ º
3.5.3 Maneras de mejorar la eficiencia
ÍÒ Ú Þ Ú Ö Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ö Ñ × ¬ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ¸ Ø Ò ÑÓ× Ú Ö × ÐØ Ö¹
Ò Ø Ú ×¸ ÓÑ Ò Ð × ÒØÖ × ¸ Ô Ö Ñ ÓÖ Ö Ð ¬ Ò ÒØÖ Ð × Ñ × Ù×Ù Ð × Ø Ò ÑÓ×
½º Á ÒØ ¬ ÓÒ Ý Ñ ÓÖ Ñ ÒØÓ Ð ¾¼± Ù ÒØ Ð Ö Ð È Ö ØÓ¸ ×Ó
Ø Ò ÑÙ Ó × ÒØ Ó¸ ÔÙ × ÐÐÓ Ò ¬ Ö Ð ¼± Ð ÔÖÓ Ö Ñ º
¾º Ñ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ú ×¸ ×Ó Ö ØÓ Ó Ó Ð × Ð Ð ÒØÖ ¸ × Ð ÔÖÓÔ Ó
Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ù ÒØ Ò¬ Ò º Ò ×Ø ×Ó ÔÙ Ú Ö Ö× Ò × Ö Ó × Ò Ö
¾
× Ð Ñ × Ô Ð ÖÓ×Ó × ×Ø Ñ ÕÙ Ð Ù Ò ÔÙ ×ÒÖº

255. 3.5. Eficacia y eficiencia 229
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ × ¬ ÒØ ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ø Ð Ú Þ ÙÒ ÔÖÓ ×Ó
Ö Ø Ó ÙÒ × ×Ø Ñ Ù× Ð ÙÒ Ñ ØÓ Ó × Ò ÐÐÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÙÝ ÓÑÔÐ
× O(n2) Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ñ ØÓ Ó ÔÓ Ö ×Ù ×Ø ØÙ Ö× ÔÓÖ Ð ÙÒÓ O(n Ð n)¸ Ð Ù Ð
× ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × ¬ ÒØ º
¿º Ñ Ó Ò Ð Ø ØÙ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÓØÖ ÔÓ× Ð Ò ¬ Ò ÔÙ Ö×
ÙÒ Ø ØÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ÕÙ ÒØÖÓ ÙÞ Ò ¬ Ò º Ñ ÒÙ Ó¸
×ØÓ Ó ÙÖÖ ÒØÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ÒÓÚ Ð ×º
ÍÒ ÑÔÐÓ ÒÓØ Ð Ý Ö Ð ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ô × Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÔÓÖ Ú ÐÓÖ Ò C++º
Ò ØÓ¸ Ò ×Ø Ð Ò Ù ¸ × ÒÓ × Ø Ò Ð Ù Ó Ù Ó¸ Ð Ó×Ø Ð Ô ×
Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÔÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÙ × Ö ÐØ × ÑÓ¸ ÔÙ × ÒÚÓ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÙÒ
ÓÔ Ó ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ¸ Р٠и × ÙÒ Ð Ò ÓÐ Ð Ó ØÓ¸ ÔÙ ÓÒ×ÙÑ Ö
×Ø ÒØ Ø ÑÔÓº
º Ñ Ó Ñ ÒØ Ð Ö ÙÒÓ× ¾¼ ÒÓ׸ Ù Ò Ó ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÕÙ Ö ÐÓ Ö Ö
Ð ÙÒÓ× ØÓ× Ú ×Ù Ð × ×Ô Ð ×¸ ÙÑ ÒØ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓ Ö ÐÓ
Ý Ù× ÙÒ ÓÐ× ÐÓ ×Ó Ö Ð ÔÖÓ × ÓÖ Ô Ö Ø ÒÙ Ö Ð ÐÓÖ ÔÖÓ Ù Óº
ÕÙ ÐÐ Ð Ñ Ø Ý Ñ Ö Ø Ò Ô ÖÑ Ø ÔÖ Ö ÕÙ ÔÖÓ × ÓÖ × Ñ × Ú ÐÓ ×
¹Ó ÔØ ÓÒ × × ×¹ Ö Ò ×ÓÐÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º
ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ ¬ Ò ÔÙ Ø Ö× Ù ÖÞ ÖÙØ ÙÑ ÒØ Ò Ó Ð ÔÓ Ö
ÓÑÔÙØ ÓÒ Ðº Ô ÖØ Ñ Ó× × Ó׸ Ð ×Ø ÐÓ × Ö ØÓ Ò Ð Ô ÖÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸
Ý Ú Ö Ó× Ñ × ÐÓ Ð ×º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÔÙ ×Ù ×Ø ØÙ Ö× Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÔÓÖ ÙÒÓ
ÕÙ ØÙ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ × Ö × Ú × ×Ô Ð ×º Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ ÔÙ ÕÙ Ö Ö×
Ö Û Ö ×Ô Ð Þ Ó Ó¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ Ñ × ÔÓØ ÒØ Ú ÐÓ ÔÖÓ × ÓÖ¸ Ò¹
Ø Ñ ÑÓÖ ¸ ÒØ × Ó¸ Ø ÒÓÐÓ ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ¸ ÒÙÑ ÖÓ
ÔÖÓ × ÓÖ ×¸ Ø Ø Ö º
×Ø ×¸ ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ð Ð × ¬ ÓÒ Ð × Ñ Ò Ö × Ó Ø Ú × Ò ÕÙ × ÔÙ Ñ ÓÖ Ö Ð
¬ Ò º ÄÓ Ñ ×¸ Ý ÐÓ ÕÙ Ú Ò Ö ¸ × Ò ÓÐ ×Ù Ø Ú Ý Ô ÖØ Ð ÓÖÔÙ× ×ØÙ Ó
×Ø Ø ÜØÓº
3.5.4 Perfilaje (profiling)
Ó ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ù Ð × × ×ØÙ Ö ×Ù ¬ Ò ¸ Ù Ð × ×ÓÒ Ð × Ô ÖØ × Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÕÙ Ð ¾¼± Ö Ø Ó Ô ÖØ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ¸
Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ ×Ø Ö ×ÔÙ ×Ø ¸ ÔÙ Ù× Ö× ÙÒ Ð × ×Ô Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ó
Ô Ö¬Ð ÓÖ ´ ÔÖÓ¬Ð Ö µº
Ñ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð¸ ÙÒ ÔÖÓ¬Ð Ö × ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ¸ Ó¹ × ×Ø Ó ÔÓÖ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ¸
ÑÙ ×ØÖ Ð Ù ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ý Ö ×Ø ×Ø × ×Ó Ö Ð ÔÓ× ÓÒ Ù ÓÒ
Ð ÔÖÓ Ö Ñ º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÙÒ ÔÖÓ¬Ð Ö Ó Ö Ó× Ö ¬ Ó× ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×
½º Ð Ô Ö¬Ð ÔÐ ÒÓ Ð Ù Ð ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ ÓÒ ÓÒ×ÙÑ ÔÓÖ ÖÙØ Ò Ý Ð ÒØ
Ú × ÕÙ Ù ÒÚÓ º
¾º Ð Ö Ó ÐÐ Ñ × Ð Ù Ð ÑÙ ×ØÖ ¸ Ô Ö ÙÒ ÓÒ¸ Ù Ð × Ù ÖÓÒ Ð × ÙÒ ÓÒ ×
ÕÙ Ð ÐÐ Ñ ÖÓÒ Ý Ù ÒØ × Ú × ×ØÓ Ó ÙÖÖ Óº

256. 230 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ë Ò Ó ×Ø Ò ÓÕÙ Ò ÓÐ ×Ø ×Ø ¸ Ð ÔÖ × ÓÒ Ð ÔÖÓ¬Ð Ö Ô Ò Ð ÙÖ ÓÒ
ØÓØ Ð Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÝÓÖ ÙÖ ÓÒ¸ Ñ ÝÓÖ ÔÖ × ÓÒº Ô × Ö ×Ø Ø ÔÓ ÑÔÖ ¹
× ÓÒ¸ ×Ø Ò ÓÕÙ Ø Ò Ð ÒÓÖÑ Ú ÒØ ÕÙ ÒÓ ÑÔ Ø Ñ × Ó ×Ó Ö Ð ÙÖ ÓÒ
Ô ÖÑ Ø Ò ÓÐ ÙØ Ö× Ú ÐÓ × Ö Ò × Ð Ø ÑÔÓ Ö Ðº
Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓ¬Ð Ö ×Ø ×Ø Ó × GNU gprofº À Ý Ú Ö Ó× ÖÓÒع Ò ×
Ö ¬ Ó× ÕÙ Ú Ö× Ø Ð Þ Ò Ð Ú ×Ù Ð Þ ÓÒ ÐÓ× Ô Ö¬Ð × ÖÖÓ Ó× ÔÓÖ GNU gprof × Ò Ó Ð
Ñ × ÒÓØ Ð ÐÐÓ× kprofº Valgrind Ø Ñ Ò ÔÓ× ÙÒ Ü Ð ÒØ ÔÖÓ¬Ð Ö ×Ø ×Ø Óº
ÇØÖÓ Ò ÓÕÙ Ô Ö¬Ð ¸ Ñ × Ø ÖÑ Ò ×Ø ¸ ÓÒ× ×Ø Ò ÓÐÓ Ö ÓÒØ ÓÖ × Ö ØÓ× Ò
ÖÙØ Ò Ý Ñ ÓÖ × Ø ÑÔÓº Ð Ò ÓÕÙ × ÑÙ Ó Ñ × ÔÖ ×Ó ÕÙ Ð ×Ø ×Ø Ó
Ô ÖÓ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ×¹ Ð Ö Ù ÖØ Ñ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ò ÓÐÓ
Ò ÔÐ Ð Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× Ø ÑÔÓ Ö Ðº ÍÒ ÔÖÓØÓØ ÔÓ Ð Ö ×Ø
Ð × ÔÖÓ¬Ð Ö × FunctionCheck ¾ º
3.5.5 Localidad de referencia
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ð ×Ó ÐÓ× ØÓ× ÔÓÖ Ô ÖØ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ü ÙÒ Ô ØÖÓÒ Ö Ô Ø Ø ÚÓ
ÒÓÑ Ò Ó ÐÓ Ð Ö Ö Ò º Ù Ò Ó× ÙÒ ØÓ¸ Ü ×Ø ÙÒ ÐØ ÔÖÓ ¹
Ð ÕÙ ×Ø × Ó ÒÙ ÚÓ Ò ÙÒ Ø ÑÔÓ ÔÖÓÜ ÑÓº ×Ø Ø ÔÓ ÐÓ Ð
Ö Ö Ò × Ð Ð¬ Ø ÑÔÓÖ Ð º ÍÒ ÑÙÝ × ÑÔÐ ÑÔÐÓ × Ð Ò×Ø Ò ÓÒ
ÙÒ Ú Ö Ð ¸ Р٠и ×Ó Ö ØÓ Ó × × × Ù Ò Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ö
Ö× Ô Ö Ð ØÙÖ Ó × Ö ØÙÖ Ò ÙÒ Ø ÑÔÓ ÑÙÝ ÔÖÓÜ ÑÓº
ÇØÖÓ Ô ØÖÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ö ÒÓ Ò Ñ ÑÓÖ ÓØÖÓ Ö ÒØ Ñ ÒØ
Óº ×Ø Ð × ÐÓ Ð Ö Ö Ò × Ð Ð¬ ×Ô Ð Ý¸ ÙÒ Ù Ò
ÑÔÐÓ¸ ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð ×Ó Ú ØÓÖ × Ý Ñ ØÖ ×º
Ä ÐÓ Ð Ö Ö Ò ¸ ÙÒ Ó Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð Ö Ð Ð ¼¹¾¼¸ ÒØÙÝ ÙÒ
Ñ Ò ×ÑÓ ÑÙÝ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ñ ÓÖ Ö Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ ÒÓÑ Ò Ó ¸Ú Ö Ó Ö Ò ×
ÕÙ × Ò ¬ × ÓÒ Ö Ý ÕÙ Ð ÓÖ Þ Ð ØÖ Ò×Ô Ö Ò Ð Ñ Ò ×ÑÓº ÍÒ × ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ×ØÖ ØÓ¸ ¬Ò ØÓ¸ ×Ù×Ø ÒØ Ó Ò ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÕÙ × ÒØ ÔÓÒ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ× ÑÙ Ó Ñ ÝÓÖ Ý ÙÝÓ ×Ó × ÒÓØ Ð Ñ ÒØ Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ
ØÓ׺ Ù Ò Ó × ÔÓÖ Ú Þ ÔÖ Ñ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ ×Ø × Ù Ö
Ò Ð º ÄÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× × Ö Ð Þ Ò ×Ó Ö Ð ¸ ÕÙ × ÑÙ Ó Ñ × Ö Ô Óº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × ¬Ò ØÓ¸ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ ×Ø Ú Ò ÐÐ ÒÓº Ò ×Ø ×Ó¸ ×
× Ð ÓÒ Ö ÙÒ ÒØÖ Ð Ô Ö Ð Ñ Ò Ö Ñ Ò Ö ÕÙ ÔÙ ×Ù ×Ø ØÙ Ö× ÔÓÖ Ð
ÒÙ Ú º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ × Ð Ñ Ò Ð ÒØÖ ÕÙ Ø Ò Ñ × Ø ÑÔÓ × Ò Ù× Ö× º
× ×ÓÒ Ø Ô Ñ ÒØ Ù× Ó× Ò Ð × ÔÐ Ø ÓÖÑ × Ö Û Ö Ô Ö Ô Ð ÖÐ ÖÒ
× ÑÔ ÒÓ ÕÙ Ü ×Ø ÒØÖ Ð ÈÍ Ý Ð Ñ ÑÓÖ º ÈÓÖ Ð Ñ ×Ñ Ö ÞÓÒ ÐÓ× × ×Ø Ñ ×
ÓÔ Ö Ø ÚÓ× ÐÓ× Ù× Ò Ô Ö Ô Ð Ö Ð × × ÒØÖ Ð Ñ ÑÓÖ Ý Ð × Óº Ò Ñ × × ØÙ ÓÒ ×¸
×Ù Ð Ù Ö Ö× Ò Ð ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ Ð ØÓ Ö Ò Ó¸ Ð Ù Ð Ù Ö Ð ÐÓ Ð
Ö Ö Ò Ø ÑÔÓÖ Ð¸ × ÒÓ¸ Ø Ñ Ò¸ ÐÓ× ØÓ× Ý ÒØ ×¸ Ñ Ò Ö ÕÙ Ø Ñ Ò × Ù Ö
Ð ÐÓ Ð ×Ô Ðº
Ò Ü º¿º¿ ´Ô Ò µ ×ØÙ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò ÓÕÙ Ò Ö Ð Ô Ö Ù× Ö× ×Ó Ö
ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ñ ÑÓÖ º
3.5.6 Tiempo de desarrollo
ÄÓ× Ñ ÒØ × ÐÓ× Ö Ò Ó×Ó× Ý ÑÓ ÖÒÓ× Ð Ò Ù × × Ö ÔØ Ò Ø Ð × ÓÑÓ Perl¸
Python Ý Ruby¸ ÐÓ× Ù Ð × Ð Ø Ò ÑÙ × ÑÓ Ð × ÖÖÓÐÐÓ Ö Ô Ó ÔÖÓØÓØ ÔÓ× Ý ÔÐ ¹

257. 3.6. Notas bibliogr´ficas
a 231
ÓÒ ×¸ Ø Ò Ò Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÚ Ö Ó Ð Ø ÑÔÓ ÙÑ ÒÓ × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ð
Ø ÑÔÓ ÈÍ ¾ º ÓÒ ×ØÓ ÜÔÖ × Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ¬ Ý ¬ Ò ÕÙ Ñ ÒÙ Ó
× × Ù Ó ¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ×ÔÖ Ó Ð Ø ÑÔÓ × ÖÖÓÐÐÓ ÙÒ
ÔÖÓ Ö Ñ º
ÅÓ ÐÓ× Ý ÔÖÓØÓØ ÔÓ× ×ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ò Ò Ò Ö ¸ Ô ÖÓ ÔÓÖ ÙÒ ÜØÖ Ò Ö ÞÓÒ
ÔÓ Ó× Ò Ò ÖÓ× ×Ó ØÛ Ö ×Ù Ð Ò Ù× ÖÐÓ× Ù Ò Ó × Ò Ù ÒØÖ Ò ÒØ × ÒÓ× ×Ó ØÛ Ö
ÒÓÚ Ó×Ó Ó ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ò ÜÔ Ö Ò Ò Ö Ð Þ ÖÐÓº Ò ØÓ Ó ×Ó¸ Ô Ö ×ÙÖ Ó Ð ÓÖ Ö
ÔÖÓ Ö Ñ × ÙÝÓ Ø ÑÔÓ × ÖÖÓÐÐÓ × ÑÙ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò ¹
Ù ÓÒ Ó¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ ÐÓ Ù Ð × Ô Ø Ø Ñ ÒØ Ñ × ÓÑÙÒ¸ ÕÙ ÒÓ × Ò ¬ ÒØ × Ó¸ ÑÙ Ó
Ô ÓÖ¸ Ò ¬ ׺
Ë ÙÒ Ð × ÓÒ× Ö ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÓÒ ÐÙÝ ÑÓ× ÓÒ Ð × × Ù ÒØ × Ö ÓÑ Ò ÓÒ ×
Ø Ò ÒØ × Ð Ö Ö Ð Ø ÑÔÓ × ÖÖÓÐÐÓ
½º ÈÖ Ñ Ð × ÑÔÐ × ÒÓ ÔÓÖ Ð × ÑÔ ÒÓ¸ Ô٠׸ ÓÑÓ Ö Ø Ö Ñ ÒØ ÐÓ
ÑÓ× × Ò Ð Ó¸ Ð ¬ ÔÖ Ñ Ð ¬ Ò º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ô Ò× Ò ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ
×ÓÐÓ × × × ÙÖ Ó Ð ¬Ò Ý × Ö ÕÙ Ö Ñ × ¬ Ò º
¾º ÁÒÚ ÖØ ØÓ Ó Ð Ø ÑÔÓ Ò × Ö Ó Ò Ö ÒØ Þ Ö ÓÖÖ Ø ØÙ ÐÓ× × ÒÓ× ÒØ ×
ÔÖÓ Ö Ð Ó ¬ ÓÒº
Ò Ú ÖØÙ ×Ø Ö ÓÑ Ò ÓÒ¸ Ù× ÑÓ ÐÓ× Ý Ú Ö ÕÙ ÐÓ× Ü Ù×Ø Ú Ñ ÒØ º Ë
Ü ×Ø Ò ×Ô ¬ ÓÒ × ¬ Ò ¸ ÒØÓÒ × Ú Ö ÕÙ Ð × Ò ÐÓ× ÑÓ ÐÓ׺
ÈÖÓØÓØ Ô Ö Ô Ñ ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ× ÐÓ× ÑÓ ÐÓ× Ý Ú Ö ¬ Ó× Ý ÓÒÚ Ð ÐÓ× ÓÒ
Ð × ÓÒ ÓÒ × ×Ô Ö × Ù ÓÒº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ × Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÔÐ Ù× Ð
Ù× Ö Ð Ò Ù × ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò × ÖÖÓÐÐ Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ× ¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ × Ð
¬ Ò × × Ø × ØÓÖ ¸ × Ö Ð × ÖÖÓÐÐÓ ¬Ò Ø ÚÓ Ò Ð Ð Ò Ù ÔÖÓØÓØ Ô Óº
3.6 Notas bibliogr´ficas
a
Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ÓÑÓ Ó Ö Ö Ð ÓÑ Ö ¸ × Ò Ù ÒØÖ Ò ØÓ ÙÐØÙÖ Ý ÔÓ ÙÑ Ò º
ÈÙ Ö Ö× ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó × Ð ÓÒ × ÙØÓÖ ÙÑ Ò ¸ ÔÙ × ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ
Ð ÒÓÑ Ö Ð ÙÒ Ò Ú ÙÓ ÕÙ × ØÖ ÙÝ Ô Ö × Ñ ×ÑÓ ×Ù ÙØÓÖ º
ÄÓ× ×ØÓÖ ÓÖ × Ð ÓÑÔÙØ ÓÒ ØÖ ÙÝ Ò Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð
ÂÓ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ÙÒ Ð × Ñ ÒØ × Ñ × Ò Ð × Ð × ÐÓ º Ð Ñ ØÓ Ó Ò¹
× Ö ÓÒ × Ð ØÖ ÙÝ ÃÓÒÖ Ù× ¸ ÕÙ Ò Ø Ñ Ò × Ð ØÖ ÙÝ Ð × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ð
ÓÑÔÙØ ÓÖ Ø Ð¾ º
Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ù × Ù ÖØÓ ÔÓÖ ÖÐ × ÒØ ÓÒÝ Ê Ö ÀÓ Ö Ò ½ ½ º ×
ÒØÓÒ × ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ð Ñ ØÓ Ó × Ó ÒØ Ò× Ú Ñ ÒØ ×ØÙ Óº ÃÒÙØ ½ Ó Ö
ÙÒ ÑÙÝ Ø ÐÐ Ó ×ØÙ Ó × ÓÑÓ ÙÒ Ü Ð ÒØ Ö Ù ÒØÓ ×ØÓÖ Ó Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ý Ñ ×
Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓº
ÊÓ ÖØ Ë Û ¸ Ó Ð ØÙØÓÖ ÃÒÙØ ¸ ÓÒ× ÖÓ ×Ù Ø × × Ó ØÓÖ Ð Ð ×ØÙ Ó Ð
ÕÙ ×ÓÖغ ÓÑÓ Ø Ð¸ Ë Û ¿ × ÙÒ Ü Ð ÒØ Ö Ö Ò Ô Ö Ð Ò Ð × × Ð Ñ ØÓ Ó
Ý ×Ù× Ú Ö ÒØ × ÔÐ Ø Ú ×º
Ä ÒÓØ ÓÒ O¸ ÙÒ Ñ ÒØÓ × Ò Ð Ð Ò Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ù ÓÖ Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ¹
ÔÓÖ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð Ñ Ò È ÙÐ Ñ ÒÒ Ò ½ ¿ º
¾
× Ù Ó ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ ×Ø Ö ØÓÖ Ð Ô Ð Ö Ö Ò × Ó È ÐѺ
¾
Ù× ÓÒ Ó ×Ù ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò Ð ÔÓ Ð Ð Ñ Ò Ò Þ º ÉÙ Þ ÔÓÖ ÐÐÓ¸ Ð ÒÓ × Ó ÑÙÝ
Ñ Ò ÓÒ Ó ÔÓÖ Ð ×ØÓÖ º

258. 232 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
Ë ÙÒ Ì Ö Ò ¿ ¸ Ð Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó Ù × ÖÖÓÐÐ Ó ÔÓÖ Åº ʺ ÖÓÛÒ¸
ÊÓ ÖØ º Ì Ö Ò¸ ˺ ÀÙ Ð ×ØÓÒ Ý Ãº Å Ð ÓÖÒ ¿ º Ò ×Ù ÖØ ÙÐÓ¸ Ì Ö Ò ØÖ ÙÝ Ð
× Ù Ö Ñ ÒØÓ Ð Ñ ØÓ Ó ÔÓØ Ò Ð Ò Ð º ËÐ ØÓÖ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð ¬ Ø ÚÓ ÑÓÖ¹
Ø Þ Ó × Ð ØÖ ÙÝ Ì Ö Ò Ý ËÐ ØÓÖ ¿ º
Ä Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ × Ò ÒÚ Ö ÒØ × × Ó ÔÓÔÙÐ Ö × Ð
Ñ ×ÑÓ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð Ö ×Ô ØÓ Ú Ð Ð Ô Ò ×Ø Ö Ð ØÖ Ó
Ú ÊÓ× Ò ÐÙÑ ¿¿¸ ¿¾ º
Ä ×Ô ¬ ÓÒ Ý Ú Ö ¬ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÔÖÓ Ö Ñ × Ù Ò ¬Ò Ð × ÐÓ×
ÒÓ× ¼ Ô ÖÓ ÒÓ Ù ×Ø ¬Ò Ð Ð Ð ¼ ÕÙ × ØÙÚÓ Ð ÖÓ¸ ÓÒ ÐÓ× ØÖ Ó×
¬ÖÓÔÙÐÓ Ø Ð ¸ ÕÙ Ð ÙØÙÖÓ Ð Ú Ö ¬ ÓÒ × ×Ø Ñ × × Ö ÓÖÑ Ð Ý
ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ º
Ë Ù×Ø Ú Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ Þ ¸ Ð ÙÒ ÑÔÖ Ò Ö Ð Ö ÓÒ
ÙÒ Ó Ö ÓÑÔÐ Ò ÙÒ × ×Ø Ñ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ÑÙ Ó×
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×º Ò × ÒØÓÒ ×¸ Ö ÕÙ Ö Ö ÓÑ Ò Ö Ð × Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö × Ý ÒÓÖÑ Ð Þ ÖÐ ×
ÒØÖ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×º Ò × ÑÓÑ ÒØÓ Ö ÓÒÓ Ö ÑÙÝ Ò Ö Ð ÁÒ Ò Ö
Ð ËÓ ØÛ Ö º Ò Ð ÒØ Ö Ò¸ ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò Ð × Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ý ÓÑ Ò ÔÓÖ Ð Ö Ð
ÔÖ Ñ Ö Ð ÖÓ¸ Ò Ø ÑÔÓ Ý Ò Ü Ð Ò ¸ ÁÒ Ò Ö Ð ËÓ ØÛ Ö Ì ÅÝØ Ð Å Ò¹
ÅÓÒØ ×× Ý× ÓÒ ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ö Ö Èº ÖÓÓ × º
Ð ÑÔÓ ×Ó Ö × ÔÐ Ò Ý Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ø Ò ÒØ × ÔÖÓ Ù Ö
ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÖÖ ØÓ× × ÑÙÝ Ú ×ØÓº ÆÓ Ý¸ Ô٠׸ ×Ù¬ ÒØ ×Ô Ó Ò ×Ø Ø ÜØÓ Ô Ö
× ÖÒ Ö Ð Ö ×Ô ØÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒØ Ð ÔÓ× Ð Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ð ØÓÖ ÒØ
Ð ÜØ Ò× Ú Ö Ù ÒØ ×¸ × × Ò Ð Ö ×ÔÓÒ× Ð Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ö
ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × Ø ÜØÓ× Ö Ö Ò
½º ÏÖ Ø Ò ËÓÐ Ó ¾½ ËØ Ú Å Ù Ö Ú Ö× ×Ó Ö ÓÑÓ × Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñ ×
ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Ò ÖÖÓÖ ×º ÙÒÕÙ Ô Ö Þ ÑÙÝ Ó× Ó¸ Å Ù Ö Ò× Ò ÙÒ × ÔÐ Ò
ÕÙ Ù ÖÞ Ó ¬ Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÖÖ ØÓ׺ È Ö Ö ×ÙÑ Ö¸ Å Ù Ö Ð Ö ÙÒ Ñ ÒÓ
Ò ØÓÖÒÓ Ð × ØÖ × ÔÖ ÙÒØ × Î Ò Ð º
¾º Ì ÈÖ Ø Ó ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ½ à ÖÒ Ò Ý È × ÙÒ Ð ÖÓ ×Ó Ö Ð ×
Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ × Ö ØÓ ÓÒ ÑÙ ÙØÓÖ ¸ ÔÙ × ×Ù× ÙØÓÖ ×
×ÓÒ ÔÖ Ø ÒØ × ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ò Ü Ð× × Ó Ö × ×Ó ØÛ Ö º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ó ÓÑÔÐ Ø ¾¿ ËØ Ú Å ÓÒÒ ÐÐ × ÙÒ ØÖ Ø Ó Ò ÐÓÔ Ó
×Ó Ö Ù Ò × Ó×ØÙÑ Ö × Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
3.7 Ejercicios
½º ÑÙ ×ØÖ Ð × ¬ÖÑ ÓÒ × Ü ¿º¾ ´Ô Ò ½ µ¸ Ü ¿º¿ ´Ô Ò ½ µ Ý Ü ¿º ´Ô Ò ½ µº
¾º ÑÙ ×ØÖ ØÓ × Ð × Ö Ð × Ð Ö × ÒÙÒ × Ò Ü ¿º½º º½ ´Ô Ò ½ ¾µº
¿º Ê ×Ù ÐÚ Ü Ø Ñ ÒØ Ð × × Ù ÒØ × Ö ÙÖÖ Ò ×
´µ
1, n=1
T (n) =
3T (n − 1) + 2, n>2

259. 3.7. Ejercicios 233
´µ
1, n=1
T (n) =
2T (n/2) + 1, n ≥ 2, n ÔÓØ Ò Ü Ø 2
´µ
T (n) =
1 × n=1
2T (n/2) + 6n − 1, n ≥ 2, n ÔÓØ Ò Ü Ø 2
´µ
T (n) =
1 × n≤1
2T (n/2) + Ð n × n>1
º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ
unsigned int misterio(unsigned int & n)
{
if (n == 0)
return 0;
unsigned int suma = 0;
for (unsigned int i = 1; i <= n; i++)
suma += 2*i - 1;
return suma;
}
ÉÙ Ö ØÓÖÒ Ð ÙÒ ÓÒ
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô ÖØ ÓÒ ØÖ ÔÐ Ø Ð ÓÑÓ Ð ÜÔÐ Ó ÒÜ ¿º¾º¾º ´Ô Ò ½ µº
º × Ò Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × Ö ØÓ Ò Ñ Þ Ð ÖÖ ÐÓ× ½ ¿ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ð
ÖÖ ÐÓ × ÙÒ Ö Ó ×ÓÐÓ ÓÒ×ÙÑ Ð Ñ Ø Ð ×Ô Óº × Ö¸ × Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø
ÒØÖ [l .. r]¸ ÒØÓÒ × Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ b × Ö r−l−1 º
2
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó¸ ÕÙ × × ÖÚ Ð Ô ØÖÓÒ Ò Ö Ó Iterator¸ ÕÙ ÓÖ Ò
ÔÓÖ × Ð ÓÒ ÙÒ × Ù Ò º × Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖÑ Ø Ð ÕÙ × ÐÓ Ñ × ¬ ÒØ
ÔÓ× Ð Ò ÖÖ ÐÓ× Ý Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
ºÄ ÑÞÐ Ó× × Ù Ò × ÓÖ Ò × Ù× Ò Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ
Ñ Þ Ð Ö ÕÙ Ö ÓÔ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× Ñ Þ Ð Ö Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ
ÙÜ Ð Öº × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ×Ñ ÒÙÝ Ð ×Ô Ó ÓÒ Ð Ð Ñ Ø º
º Ò Ð Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ð × Ù ÒØ × Ù Ó ÔÖÓ Ö Ñ
void programa(int l, int r)
{
if (l >= r)
return;
O(1)
int m = (l + r) / 2;

260. 234 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
programa(l, m - 1);
programa(m + 1, r);
}
½¼º Ó Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ
int programa(int l, int r, int A[])
{
if (r < l)
return 0;
for (int i = l; i < r; i++)
x = x + A[i];
int y = 0;
y += x + programa(l, r - 1, A);
return y;
}
´ µ Ò Ð Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ
´ µ È Ö Ð ÖÖ ÐÓ ½¸¾¸¿¸ ¸ ¸ º ÉÙ Ú ÐÓÖ ÚÙ ÐÚ Ð ÐÐ Ñ programa(3,
5, A)
½½º È Ö ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓ Ö Ñ ×¸ Ò Ð Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ
´µ
void f()
{
int i = 0;
for(int j = i; j > -1; j++);
}
´µ
void g(int n)
{
for (int j = 2n; j < Ð n; j /= 2)
i++;
}
´µ
void h(int n)
{
for (int x = 1; x < n; x += 2)
printf("impar: %d", x);
}
´µ
void f(int N)
{
int n = 1;
do
{

261. 3.7. Ejercicios 235
n *= 2;
for (z = 0; z < n; z++)
printf("%dn", z);
}
while (n < N);
}
½¾º ÓÒ× Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒ n Ö ÒØ × ÒØ ÖÓ× ×ÓÖ Ò Ó× ÓÑÔÖ Ò Ó× ÒØÖ 0
Ý m, m nº Ë Ö ÕÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÐØ ÒØ ÒØÖ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÓÒ ÙÒ
Ó×Ø Ò ×Ô Ó O(1)º ÄÓ ÙÐØ ÑÓ × Ò ¬ ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ò ÙØ Ð Þ Ö ×ØÖÙ ØÙÖ ×
ØÓ× ÙÜ Ð Ö × ÙÝÓ ×Ô Ó Ö Þ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÖÖ ÐÓº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö m = 1000 Ý ÙÒ ÖÖ ÐÓ A = [ 0 1 2 3 37 28 36 273 2721 99 327 7 354 6 84]¸
500 ∈ A × ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒº
/
´ µ ÈÖÓÔÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÖÞ ÖÙØ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º × Ö¸
Ù×ÕÙ Ò Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø ÒÓ Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ iº
∀i ∈ [0..m], 0 ≤ i ≤ m
´ µ Ò Ð Ö ÙÖÓ× Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ð Ñ ÓÖ¸ Ô ÓÖ Ý ×Ó ÔÖÓÑ Óº
´ µ ÈÖÓÔÓÒ ¸ ÜÔÐ ÕÙ Ý × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò O(n Ð m)
Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Óº
´ µ Ó Ð Ü ×Ø Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÙØ Ù Ð Ý Ò Ù Ð ×
Ö ÙÒ×Ø Ò × ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ñ ÓÖ¸ Ð O(n Ð m) Ó Ð × Ò Ó Ò ½¾ º
½¿º Ð ÙÐ Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× × Ö¹
ÖÓÐÐ Ó Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ ½¼¼º
½º Ð Ñ Ò Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÐ Ð Ñ ØÓ Ó quicksort rec()º
½º Ê Ð ÙÒ ×ØÙ Ó ×Ø ×Ø Ó Ö ÐÓ× Ø Ñ ÒÓ× Ô ÖØ ÓÒ × Ô ÖØ Ö Ð ×
Ù Ð × Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ò× Ö ÓÒ × Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ Ð ÕÙ ×ÓÖغ
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ × Ð ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ø ÔÓ
Snode<T>º
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ò× Ö ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ø ÔÓ
Snode<T>º
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ñ Þ Ð ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ø ÔÓ
Snode<T>º
½º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÕÙ ×ÓÖØ Ø Ö Ø ÚÓ ÕÙ ÓÖ Ò Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ø ÔÓ
Snode<T>º
¾¼º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ø ÔÓ Snode<T>º
¾½º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ô ÖØ ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö ÓÒ
ÒÓ Ó Ö Ð Ø ÔÓ Snode<T>º Ð ÔÖÓØÓØ ÔÓ × Ð × Ù ÒØ
Snode<T> * partir(Snode<T> & list, Snode<T> & l1, Snode<T> & l2);

262. 236 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ l1 Ý l2 ×Ø Ò Ú ×º Ð ¬Ò Ð Ð ÐÐ Ñ × Ö ØÓÖÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ
Ô ÚÓØ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð Ð ×Ø list ÕÙ Ú Ý l1 ÓÒØ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ñ ÒÓÖ ×
ÕÙ Ð Ô ÚÓØ Ñ ÒØÖ × ÕÙ l2 ÐÓ× Ñ ÝÓÖ ×º
¾¾º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÕÙ ×ÓÖØ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ×Ó Ö Ð ×Ø × Ó Ð × Ø ÔÓ Dnode<T>º
¾¿º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÕÙ ×ÓÖØ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ×Ó Ö Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ø ÔÓ Snode<T>º
¾º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÕÙ ×ÓÖØ ×Ó Ö Ð ×Ø × Ó Ð × ÓÒ Dnode<T> ÕÙ × Ð ÓÒ Ð
Ñ Ò ÒØÖ Ð ÙÒÓ× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ × ÕÙ Ð × Ð Ð ×Ø º
¾º × Ö Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ô Ö Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ØÓÖ
Ð × Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ º
¾º × Ò ÑÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
int select_pivot(T a[], const int & l, const int & r, const int& n)
Ä Ù Ð ×ÓÖØ Ð Þ Ö n Ò × ÒØÖ l Ý r Ý × Ð ÓÒ Ð Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
Ð Ñ Òº
ÆÓ Ú Ö ¬ÕÙ Ö Ô Ø Ò ÒØÖ ÐÓ× Ò ×º
¾º ÅÓ ¬ÕÙ Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ô Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü ¿º¾º¾º ´Ô Ò ½ µ
Ô Ö ÕÙ Ö Ð ÙÒ Ñ ÓÖ × Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ º
¾º ×ØÙ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó Ò Ô Ð ÕÙ Ó × ÓÒ Ð Ñ Ö ×ÓÖØ Ó Ð × ÐÐ Ñ ×
Ö ÙÖ× Ú ×º
¾º ÅÓ ¬ÕÙ Ð ÕÙ ×ÓÖØ Ô Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü ¿º¾º¾º ´Ô Ò ½ µ
Ô Ö ÕÙ Ñ Ò Ñ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó Ò ×Ù× ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú ×º
¿¼º ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÔÖ × ÒØ Ó× Ò ×Ø Ô ØÙÐÓ¸ Ù Ð × Ö Ð Ñ ÓÖ
Ô Ö ÓÖ Ò Ö Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×
¿½º Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ó ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ Ô ÖÓ ×Ø Ú Þ ÒÓ ÔÙ Ö Ö Ô Ø Ò ÒØÖ ÐÓ×
Ò × ×ÓÖØ Ó׺
¿¾º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ù ÒØÖ Ð i¹ × ÑÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ
Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×ÓÖ Ò ´Snode<T>µº
¿¿º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ù ÒØÖ Ð i¹ × ÑÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ
Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×ÓÖ Ò ´Dnode<T>µº
¿º × Ò ÑÔÐ ÒØ Ð ×ÕÙ Ñ ØÖ ÔÐ Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÜÔÐ Ó Ò Ü ¿º¾º¾º ´Ô Ò ½ µ
Ô Ö Ñ Ò Ö Ð Ú × Ö Ô Ø ×º
¿º Ò Ð Ö ÙÖÓ× Ñ ÒØ ¸ Ô Ö ÐÓ× ×Ó× ×Ô Ö Ó Ý Ô ÖÓ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
random search()º
¿º × Ö Ð random search() Ô Ö Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ø ÔÓ Slinkº
¿º Ò Ð Ö ÙÖÓ× Ñ ÒØ ¸ Ô Ö ÐÓ× ×Ó× ×Ô Ö Ó Ý Ô ÖÓ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
random select()º

263. 3.7. Bibliograf´
ıa 237
¿ º ÁÑÔÐ ÒØ Ð random search() ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ø ÔÓ Snode<T>º
¿ º ÁÑÔÐ ÒØ Ð random select() ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ø ÔÓ Snode<T>º
¼º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÖÖ ÐÓ× ×ÓÖ Ò Ó× × Ó Ò Ð × ÔÖ Ñ Ø ¹
Ú × random search() Ý random select()º
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ø ÔÓ Snode<T> × Ó Ò
Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × random search() Ý random select()º
¾º ÁÑÔÐ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ð ×Ø × Ó Ð × Ø ÔÓ Dnode<T> × Ó Ò Ð ×
ÔÖ Ñ Ø Ú × random search() Ý random select()º
¿º ×ØÙ Ð ¬ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¿º¾º
º ÜØ Ò GNU nana Ô Ö ÕÙ Ñ Ò ÐÓ× Ù ÒØ ¬ ÓÖ × ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ Ò ÓÒØ Ò ÓÖ ×
Ð Ð ÓØ ALEPHº
º È Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ì × Ò Ó× ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ú Ö ¬ÕÙ Ð ÔÐ ÓÒ Ð × Ö Ð ×
ÀÓÐØÞÑ ÒÒ ½½ ÔÖ × ÒØ × Ò Ü ¿º º¿º½ ´Ô Ò ¾¼ µº
Bibliograf´
ıa
½ Ð ØÖ Ò º Ú Ð Ð ÓÒ http://www.pf-lug.de/projekte/haya/efence.phpº
¾ Ð Û¬Ò Öº Ú Ð Ð ÓÒ http://www.dwheeler.com/flawfinder/º
¿ È ÙÐ Ñ ÒÒº Ò ÐÝØ × Ð ÒØ ÓÖ º Ð ÒØ ÓÖ ¸ Ôغ ¾º º º Ì Ù ¹
Ò Ö¸ Ä ÔÞ ¸ ½ º
Ö Ö Èº ÖÓÓ ×º Ì ÅÝØ Ð Å Ò¹ÅÓÒØ ×× Ý× ÓÒ ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ¸
¾¼Ø ÒÒ Ú Ö× ÖÝ Ø ÓÒº ×ÓÒ Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ×׺¸ × ÓÒ Ø ÓÒ¸ ½ º
º Ù º Ï × ÓÒ ¹ÓÖ Ö ÐÓ Ò ¬Ò Ø ÙØÓÑ Ø º º Å Ø º ÄÓ ÖÙÒ Ð Ò
Å Ø º¸ ß ¾¸ ½ ¼º
º º ÓÖ ØÓ¸ º Àº Ë ÐØÞ Ö¸ Ò º ̺ Ð Ò Òº ÅÙÐØ × ß Ø ¬Ö×Ø × Ú Ò Ý Ö׺ ÁÒ
ËÔÖ Ò ÂÓ ÒØ ÓÑÔÙØ Ö ÓÒ Ö Ò ¸ Ô × ½ß ¿º ÁÈË ÈÖ ×׸ Å Ý ½ ¾º
Û×ÓÒ Ò Ð Ö¸ Ú Ù Ò¸ Ë Ø À ÐРѸ Ò Ý ÓÙ¸ Ò Ò Ñ Ò Ðº
Ù × × Ú ÒØ Ú ÓÖ Ò Ö Ð ÔÔÖÓ ØÓ Ò ÖÖ Ò ÖÖÓÖ× Ò ×Ý×Ø Ñ× Ó ¸
Ù Ù×Ø ¼ ¾¼¼½º
Û×ÓÒ Êº Ò Ð Ö¸ Ò Ñ Ò Ð ¸ Ò Ý ÓÙ¸ Ò Ë Ø À ÐРѺ Ò ×Ý×Ø Ñ
ÖÙÐ × Ù× Ò ×Ý×Ø Ñ¹×Ô ¬ ¸ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö¹ÛÖ ØØ Ò ÓÑÔ Ð Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ ÁÒ ÈÖÓ Ò ×
Ó Ø Ø ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ ÇÔ Ö Ø Ò ËÝ×Ø Ñ × Ò Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ¸ Ô ×
½ß½ ¸ ¾¼¼¼º
º º ʺ ÀÓ Ö º Ð ÓÖ Ø Ñ× ÉÙ ×ÓÖغ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø Å¸ ´ µ ¿¾½¸
½ ½º
½¼ È Ö ÀÓÐ Ö¸ Â Ò¹Å Ö Â Þ Õ٠и Ò ÖØÖ Ò Å Ý Öº Ä ØØ Ö× ÈÐ Ò Ø Ð Ñ
ÓÖ Ö Ò º ÓÑÔÙØ Ö¸ ¿¼´ µ ¸ ¸ Å Ý ½ º

264. 238 Cap´
ıtulo 3. Cr´
ıtica de algoritmos
½½ ÀÓÐØÞÑ ÒÒº Ì ÔÓÛ Ö Ó ½¼ ÊÙÐ × ÓÖ Ú ÐÓÔ Ò × Øݹ Ö Ø Ð Ó º ÇŹ
ÈÍÌ Ê Á ÓÑÔÙØ Ö¸ ¿ ¸ ¾¼¼ º
½¾ º º ÀÓÐÞÑ ÒÒº Ì ËÔ Ò ÅÓ Ð Ö¸ ÈÖ Ñ Ö Ò Ê Ö Ò Å Ò٠к
×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ×× Ù× ØØ׸ ¾¼¼¿º
½¿ Ö Ö Âº ÀÓÐÞÑ ÒÒº × Ò Ò Î Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö ÈÖÓØÓ ÓÐ׺ ÈÖ ÒØ À Ðи
Ò Ð ÛÓÓ Ð «×¸ Ƹ ½ ½º
½ Ö Ö Âº ÀÓÐÞÑ ÒÒº Ì ÑÓ Ð Ö ×Ô Òº Á ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ ËÓ ØÛ Ö
Ò Ò Ö Ò ¸ ¾¿´ µ ¾ ß¾ ¸ Å Ý ½ º
½ Ö Ö Âº ÀÓÐÞÑ ÒÒº Ò Ò ÐÝ× × Ó Ø×Ø Ø × Ò º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó × Ò ËÝ×Ø Ñ
× Ò¸ ½¿´¿µ ¾ ß¿¼ ¸ ½ º
½ Â Ò¹Å Ö Â Þ ÕÙ Ð Ò ÖØÖ Ò Å Ý Öº Ç Ø Ø ÒÓÐÓ Ý × Ò Ý ÓÒØÖ Ø
Ì Ð ××ÓÒ× Ó Ö Ò º ÓÑÔÙØ Ö¸ ¿¼´½µ ½¾ ß½¿¼¸  ÒÙ ÖÝ ½ º Ë Ð×Ó Ð ØØ Ö× ½¼ º
½ ˺ º ÂÓ Ò×ÓÒº ÄÁÆÌ C ÔÖÓ Ö Ñ Öº ÁÒ ÍÆÁ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Å Ò٠к ÄÄ
Ä ×º¸ 7 th Ø ÓÒ¸ ½ º
½ Ö Ò Ïº à ÖÒ Ò Ò ÊÓ È º Ì ÈÖ Ø Ó ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ
Ê Ò ¸Å ¸½ º
½ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º ËÓÖØ Ò Ò Ë Ö Ò ¸ ÚÓÐÙÑ ¿ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ × ÓÒ Ø ÓÒ¸ ½ º
¾¼ Ð × Ö Å ÁÒØÝÖ ¸ ØÓÖº Ø Ö Î ÖØÙ º ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ó ÆÓØÖ Ñ ÈÖ ×׸ ½ º
¾½ ËØ Ú Å Ù Ö º ÏÖ Ø Ò ×ÓÐ Ó Å ÖÓ×Ó Ø³× Ø Ò ÕÙ × ÓÖ Ú ÐÓÔ Ò Ù ¹ Ö
ÔÖÓ Ö Ñ׺ ÅÁ ÊÇËÇ Ì¸ ½ ¿º
¾¾ º Å ÒÒ Ò º ÈÒÙ Ð º ËÔ ¬ Ø ÓÒ Ò Ú Ö ¬ Ø ÓÒ Ó ÓÒ ÙÖÖ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ× Ý
ι ÙØÓÑ Ø º ÁÒ ÓÒ Ö Ò Ö ÓÖ Ó Ø ½ Ø Å ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ ÈÖ Ò ÔÐ × Ó
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä Ò Ù × ´ÈÇÈĵ¸ Ô × ½ß½¾¸ ½ º
¾¿ ËØ Ú Å ÓÒÒ Ðк Ó ÓÑÔÐ Ø º Å ÖÓ×Ó Ø ÈÖ ×׸ Ê ÑÓÒ ¸ Ï º¸ ½ ¿º
¾ ÖØÖ Ò Å Ý Öº × Ò Ý ÓÒØÖ Ø¸ ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ò Ù Ò º ÂÇÇȸ ½½´ µ ß
¸½ º
¾ º º ÅÝ Ö׺ Ì ÖØ Ó ËÓ ØÛ Ö Ì ×Ø Ò º ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ׸ ½ º
¾ Æ ÓÐ × Æ Ø Ö ÓØ Ò ÂÙÐ Ò Ë Û Ö º Î Ð Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ º
Ð ØÖº ÆÓØ × Ì ÓÖº ÓÑÔÙغ Ë ¸ ´¾µ¸ ¾¼¼¿º
¾ Æ ÓÐ × Æ Ø Ö ÓØ Ò ÂÙÐ Ò Ë Û Ö º Î Ð Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ º
Ð ØÖº ÆÓØ × Ì ÓÖº ÓÑÔÙغ Ë ¸ ´¾µ¸ ¾¼¼¿º
¾ Å Ò Ö Ð Î Û Ó Ø ÅÙÐØ × ËÝ×Ø Ñ Ú ÐÓÔÑ Òغ º º ÓÖ ØÓ Ò º ̺ Ð Ò¹
Òº ÁÒ ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ê × Ö Ö Ø ÓÒ× Ò ËÓ ØÛ Ö Ì ÒÓÐÓ Ý¸ ÈÖÓÚ Ò ¸
Ê Ó Á×Ð Ò ¸ Ç ØÓ Ö ½ º
¾ º È ÖÖ Øº ÙÒ Ø ÓÒ º http://www710.univ-lyon1.fr/~perret/fnccheck/profiler.htmlº
y

265. 3.7. Bibliograf´
ıa 239
¿¼ ÈºÂºÅ Ö Ò Ì Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒº Ì ÆÍ Æ Æ ÓÑ Ô º
¿½ º ÈÒÙ Ð º Ì Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ׺ ÁÒ Ó × ¸ Ô × ß ¸ ½ º
¿¾ Ú Ëº ÊÓ× Ò ÐÙѺ ÓÖÖ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖ Ø Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø
×× ÖØ ÓÒ× º Á ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ¸ ¾½´¿µ ¾ ¸ Å Ö ½ º
¿¿ Ú Ëº ÊÓ× Ò ÐÙѺ ÔÖ Ø Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Û Ø ×× ÖØ ÓÒ׺ Á
ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò ¸ ¾½´½µ ½ ß¿½¸  ÒÙ ÖÝ ½ º
¿ Ì Ó º ÊÙÝ× Ò Ö Ö Âº ÀÓÐÞÑ ÒÒº Ú Ò ËÈÁÆ ØÙØÓÖ Ðº ÁÒ ËÙ× ÒÒ Ö
Ò Ä ÙÖ ÒØ ÅÓÙÒ Ö¸ ØÓÖ׸ ÅÓ Ð Ò ËÓ ØÛ Ö ¸ ½½Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËÈÁÆ
ÏÓÖ × ÓÔ¸ Ö ÐÓÒ ¸ ËÔ Ò¸ ÔÖ Ð ½¹¿¸ ¾¼¼ ¸ ÈÖÓ Ò ×¸ ÚÓÐÙÑ ¾ Ó Ä ¹
ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ¿¼ ß¿¼ º ËÔÖ Ò Ö¸ ¾¼¼ º
¿ ÊÓ ÖØ Ë Û º Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò È ÖØ× ½ß ÙÒ Ñ ÒØ Ð׸ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×¸
×ÓÖØ Ò ¸ × Ö Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º
¿ ËØ Ú Ò Ëº Ë Ò º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ × Ò Å Ò٠к ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¸ ÖÐ Ò¸ Ö¹
Ñ ÒÝ » À Ð Ö ¸ ÖÑ ÒÝ » ÄÓÒ ÓÒ¸ Íà » Ø º¸ ½ º
¿ Ê Ö ËØ ÐÐÑ Ò Ò ÊÓÐ Ò Àº È × º Ù Ò ÛØ Ø ÆÍ ×ÓÙÖ ¹
Ð Ú Ð Ù Öº Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ¸ ÁÒ º¸ ÔÙ ¹ Ë Ö¸ º¼ ÓÖ Ú Ö× ÓÒ
º Ø ÓÒ¸ ½ ¿º ÈÖ Ú ÓÙ× Ø ÓÒ ÔÙ Ð × ÙÒ Ö Ø ØÐ Ì Ñ Ò٠к Ù Ù×Ø
½ ¿º
¿ ÊÓ ÖØ º Ì Ö Òº ÑÓÖØ Þ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ë Ð ×¸ ¿¼ ß¿½ ¸ ½ º
¿ ̺ Ú Ò ÎÐ º Ì Ö ÕÙ ×Ø ÓÒ× ÓÙØ Ù ÝÓÙ ¬Ò º ½ º
¼ ÂÓ Ò Î ¸ º ̺ ÐÓ ¸ Ì ÝÓ× ÃÓ ÒÓ¸ Ò ÖÝ Å Ö Ûº ÁÌË ×Ø Ø
ÚÙÐÒ Ö Ð ØÝ × ÒÒ Ö ÓÖ Ò ·· Ó º ÁÒ ½ Ø ÒÒÙ Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë ÙÖ ØÝ
ÔÔÐ Ø ÓÒ× ÓÒ Ö Ò º Ÿ Ñ Ö ¾¼¼¼º
½ Ö Ý Ï Ø×ÓÒº Ñ ÐÐÓ ¹ Ù Ñ ÐÐÓ Ð Ö Öݺ Ú Ð Ð ÓÒ http://dmalloc.com/º
¾ Æ Ð Ù× Ï ÖØ º Ð ÓÖ Ø Ñ× + Ø ËØÖÙ ØÙÖ × = ÈÖÓ Ö Ñ׺ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ Ë Ö × Ò
ÙØÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÈÖ ÒØ ¹À Ðи ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö¸ Æ ¼ ¸ ÍË ¸ ½ º
¿ È ÖÖ ÏÓÐÔ Ö Ò Ò × Ä ÖÓݺ Ê Ð Ð × Ò Û Ø ÓÙØ ÓÐÐÓ× ÓÒ Ø Ø ÓÒº ÁÒ
Ó×Ø × ÓÙÖ ÓÙ Ø ×¸ ØÓÖ¸ ÓÑÔÙØ Ö Î Ö ¬ Ø ÓÒ¸ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ¹
Ö Ò ¸ Î ³ ¿¸ ÐÓÙÒ ¸ Ö ¸ ÂÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐÝ ½¸ ½ ¿¸ ÈÖÓ Ò ×¸ ÚÓÐÙÑ
Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ß ¼º ËÔÖ Ò Ö¸ ½ ¿º
ÂÙÒ Ò Ò ¸ Ò Ë Ö¸ Ò Û×ÓÒ Ò Ð Öº ÔÐÓ Ð ØÛ Ø¸ Ò Ö Ð ×Ý×Ø Ñ
ÓÖ ¬Ò Ò × Ö ÓÙ× ×ØÓÖ ×Ý×Ø Ñ ÖÖÓÖ׺ ÁÒ ÈÖÓ Ò × Ó Ø Ø ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ
ÇÔ Ö Ø Ò ËÝ×Ø Ñ × Ò Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ¸ ¾¼¼ º
Ⱥ ¬ÖÓÔÙÐÓ¸ º Ï ×ظ Àº ÊÙ Ò¸ º ÓÛ Ò¸ Ò º Ö Ò º ÌÓÛ Ö × Ò ÐÝ× Ò
Ò ×ÝÒØ × Þ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐ׺ Á ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ¸ ÓÑѹ
¾ ´ µ ½¾¼½¿ ½¸ ½ ¼º
Ò Ö × ÐÐ Ö Ò ÓÖÓØ ÄÙØ Ù׺ ¹ Ö Ö Ô Ð ÖÓÒع Ò ÓÖ ÍÆÁ
Ù Ö׺ ËÁ ÈÄ Æ ÆÓØ ×¸ ¿½´½µ ¾¾ß¾ ¸ ½ º

267. Cap´
ıtulo 4
´
Arboles
ÙÒÕÙ ØÙ ÐÑ ÒØ ÓÒ Ø Ò Ò Ð ÓÐÚ Ó¸ × ÑÙ Ó Ø ÑÔÓ¸ ×Ó ÕÙ Ð
ÖÒ ÒØ Ý × ÒØ Ó ÙÒ Ó× × Ð ÐÐ Ñ × Ò Ó ÕÙ º × Ý ÙÖ ÒØ
× ÒÑ ÑÓÖ Ð ×¸ Ò ×ØÖ Ð × Ý Ð Ò ×¸ × Ö ÕÙ Ð ÕÙ Ð Ó × ×ØÙ Ô ÖØ Ö
×Ù ÓÒØ ÜØÓ ÓÖ Òº ÄÓ ÕÙ ÓÖ ÚÙÐ ÖÑ ÒØ ÐÐ Ñ ÑÓ× ÙØÙÖÓ¸ Ò ×ØÖ ÐÑ ÒØ ×
Ð ÒÓÑ Ò ×Ø ÒÓ Ó × ¸ ÓÒ × Ú º Ù Ò Ó × ÕÙ Ö × Ö ÕÙ Ö ´ ×
ÓÒ Ú Ò µ Ý ÕÙ Ú Ò Ö ´ ÓÒ Ú µ ÙÒ Ó× ¸ × ×ØÙ Ý × ÖØ ×Ù
Ò ÐÓ × Ö¸ ×Ù ÓÖ Ò Ý Ú Ò Ö Ô ÖØ Ö ×Ù Ò × ×º
Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò ÐÓ ¸ ÕÙ ÓÒØ Ò ÒÙ× ½ ¸ ÔÖÓÚ Ò Ð Ð Ø Ò Ò ÐÓ ¸ Ð
Ù Ð ÔÖÓÚ Ò ×Ù Ú Þ Ð Ö Ó γενεαλογ α Ý × Ò ¬ Ð ×ØÙ Ó Ð Ñ ÒÓ × Ð
ÓÖ Ò ´ Ò × ×µ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ º ÀÓÝ Ò Ð Ò ÐÓ Ø Ò ×ØÙ Ö× ÓÑÓ ÙÒ
× ÙÒ Ú ÒØÓ× Ö ×Ô ØÓ ÙÒ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÜØ ÖÒÓ Ý ÒÓ ÐÓ× Ú ÒØÓ× ÐÐ Ñ Ó
Ø ÑÔÓº ×Ø Ø ÔÓ ×ØÙ Ó × Ð ÐÐ Ñ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ À ×ØÓÖ º
ÀÙ Ó ÔÓ ×¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ Ò ÕÙ Ð ÙÒÓ× Ò ÐÓ ×Ø × × ÒØ Ò ÕÙ Ð ÕÙ ÙÒ
Ó× ÒÓ × Ö Ñ Ø ÙÒ Ñ Ö Ý ÙÒ × Ù Ò Ú ÒØÓ׸ × ÒÓ Ú Ö× × Ý Ú Ö Ð ×
× Ù Ò × ÕÙ ÔÖÓÚ Ò Ò × ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ ÒÓÑ Ò Ó ÓÖ Ò¸ ÓÒÚ Ö Ò ÓØÖÓ
ÑÓÑ ÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÔÖ × ÒØ ¸ Ý ÔÖÓ× Ù Ò Ð Ó ÔÓÖ Ú Ò Ö ÕÙ × ÐÐ Ñ ×Ø ÒÓº ÕÙ ¹
ÐÐÓ× Ò ÐÓ ×Ø × × Ô Ö Ø ÖÓÒ ÕÙ ÓÒÚ Ú Ò ÓÒ Ø ×Ø Ó× ÕÙ Ò ÓÑÔ Ò Ó ×Ù×
× Ò ÒØ × Ý ÕÙ Ð × ×Ó Ö Ú Ú Ö Ò ÐÐÓ× Ý ×Ù× × Ò ÒØ ×º × Ñ ×ÑÓ¸ × × Ò ÖÓÒ
ÔÓÖ Ð Ó ÕÙ Ð × ÔÖÓÔ × ÓÖÑ × ÕÙ ÐÐÓ× Ø ×Ø Ó× Ò Ò ×Ù Ú Ò Ö Ý º
Ð Ò ÖÓ ÕÙ Ð Ø ×Ø Ó ÓÝ × Ð Ñ ÒØ Ó Ð ÒÓÑ Ö Ö ÓРݸ Ð Ü Ô ÓÒ
Ð ÙÐØÙÖ Ø ÒÓÐÓ ¾ ×Ø ÔÓ ¸ Ò Ð × Ö ×Ø ÒØ × Ð Ö ÓÐ Ù× Ó Ø ÒØÓ ×ÓÑ ÖÓ¸
ØÖ Ú × Ð × × Ý Ð Ø Ø٠׸ ÕÙ × Ó Ð ÜØÖ ÑÓ ×Ù ØÓ Ú Ò Ö ÓÒº
ÈÓÖ ÕÙ ×ÓÑ Ö Ô ÖØ ×Ù ÐÐ Þ ¸ ÑÓÒÙÑ ÒØ Ð Ý ÐÓÒ Ú ¸ ÚÖ ×
Ö ÞÓÒ ×º ÍÒ Ð × ÔÖ Ò Ô Ð ×¸ Ö Ò ÒØ Ö × Ô Ö ÒÙ ×ØÖÓ ÓÒØ ÜØÓ¸ Ö ×Ù ×ØÖÙ ØÙÖ
Ò Ö ¸ × ÓÑÓ ×Ù ÚÓÐÙ ÓÒº ÍÒ Ö ÓÐ ÓÑ ÒÞ Ò Ð ÑÙÒ Ó ÓÑÓ ÙÒ × Ñ ÐÐ Ø ÕÙ
Ð ÒØ Ñ ÒØ ÒÖ Þ Ý Ö Ñ Ö Ò Ó Ý Ù× Ò Ó Ð ÐÙÞ Ò ÙÒ ØÖ Ñ Ö ÖÕÙ ÕÙ ØÖ Þ ×Ù
¸ ×Ù Ò ÐÓ Ý ÕÙ ØÖ Ò× Ñ Ò Ö ×Ù ×Ø ÒÓº ÙÒÕÙ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÓÐ
ÐÓ Ñ Ö ÑÓ× ÓÑÓ ÙÒ Ö ÓÐ × Ö¸ ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Ó¸ Ò Ó × ÓÒ × Ñ Ö ÑÓ× ×Ù× Ô ÖØ ×
Ö Þ¸ ØÖÓÒ Ó¸ Ö Ñ ×¸ Ó ×¸ ­ÓÖ ×¸ ºººº Å ÒØÖ × Ñ × Ö × ×Ø Ð Ö Þ¸ Ñ × ÒØ Ù
× Ð Ö ÓÒ Ð Ö ÓÐ ÕÙ Ñ Ö ÑÓ× Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ñ ÒØÖ × Ñ × ÐØ Ó ÑÔÐ ×Ø ×¸
Ñ × ÓÚ Ò × Ð Ô ÖØ Ö ×Ô ØÓ ÓØÖ × Ò Ö ÓÖ × Ó Ñ × ÒØ ÖÒ ×º ×Ø Ô ØÖÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ Ð¸
ÕÙ ÒÓ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÙÒ Ñ Ö × Ù Ò ¸ Ô Ö Ò ÙÒ ÒÙÑ Ö × Ñ Ú Ö
½
Î × Ý Ö Ù Ö × Ü ½º¾º¿º ´Ô Ò ½ µº
¾
Ç ÕÙ Þ ¸ Ñ ÓÖ Ó¸ Ð ÒØ ¹ ÙÐØÙÖ º
¾½

268. 242 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÓÒØ ÜØÓ× ÒÙ ×ØÖ Ú ÐÓ× Ù Ð × ÒÓ × Ô Ð ÓÑÔÙØ ÓÒº
ÐÓ× ØÓ× Ý Ó× ÙÑ ÒÓ× Ð × ÐÐ Ñ ÑÓ× ×ØÓ× ¸ ÔÙ × ×ØÓ× ×Ø Ò º Ë Ö ÙÑ ÒÓ
×ÓÐÓ Ø Ò × ÒØ Ó ÓÒ ÐÓ× ÓØÖÓ× × Ö × ÙÑ ÒÓ׺ Å × ÙÑ ÒÓ× ×ÓÑÓ× Ò Ð Ñ Ò ÕÙ
Ñ × ÒÓ× Ý ÑÓ× Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÓÒ ÐÓ× ÓØÖÓ׺ Ð ÙÒ Ñ Ò Ö ÔÓ Ö ÑÓ× Ö ÕÙ
ÓÑÓ ÙÑ ÒÓ× ÒÓ× ×Ø Ò Ù ÑÓ× ÒØÖ ÒÓ×ÓØÖÓ× ÔÓÖÕÙ ÐÓ× ×ØÓ× ÕÙ Ö ÑÓ× Ý ×Ø ¹
ÑÓ× Ô Ö Ð ÓØÖÓ ×ÓÒ Ð ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÒØ ×º ÍÒ ÒØ ÙÓ Ý ÖÑÓ×Ó ÔÖÓÚ Ö Ó Ò Ù
Ö Þ ÙÒ ×ØÓ Ò Ö ÙÒ Ø ØÙ ¸ ÙÒ Ø ØÙ Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ö Ý ÙÒ Ö Ø Ö
Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒÓ º Ë Ò Ö Ð Þ ÑÓ׿ ÒÙ ×ØÖ ÒØ ¸ Ó Ð Ð Ù Ò ÓØÖÓ¸ ÔÓ ÑÓ×
Ô Ò× Ö Ò Ð Ö Ø Ö Ý Ö Ñ ÑÓÖ Ò Ð × Ø ØÙ × Ý ×ØÓ× ÕÙ ÓÒ Ù ÖÓÒ ÕÙ ÐÐ ×
Ø Ø٠׺ ÁÒ Ò Ó Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ø Ò ÑÓ× Ö ÓÑÓ × ÔÖÓÝ Ø Ð ×Ø ÒÓº
ÆÓ Ò Ð À Ö Ð ØÓ¸ ÕÙ Ò ÐÐ Ñ Ö× Ð Ð ÄÙÑ ÒÓ×Ó Ý ÒÓ Ð Ó× ÙÖÓ ¸ ÕÙ
Ð Ö Ø Ö ÙÒ ÓÑ Ö × ×Ù ×Ø ÒÓ º ÓÑÓ ÙÒ ÔÓØ Ø Ó Ý ÑÙÝ Ö Ù Ó Ñ¹
ÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö × ¸ Р٠и Ò ÖØ ÓÖÑ ¸ ×Ø Ð Ö Ý ÕÙ ¸ ×Ù Ú Þ¸ ×Ø ÙÒ
Ö Ø Ö Ñ ×ØÓ×Óº Ä Ñ ×Ø ¸ Ù Ò Ó × Ö ÙÒ× Ö ÒØÖÓ ÙÒ ÙØ ÒØ ÒÓ ÓÒ
Ò¸ ×Ø ÙÒ ×Ø ÒÓ ÒÑ Ö Ó Ò Ð Ù Ò Ú ×Ù Ý ÒØ Ð Ò ÕÙ
Ò Ñ ×Ø × ÓÑÔ ÖØ º Ä Ú ÙÑ Ò ×Ø ÔÐ Ò ÑÙ Ó× Ñ × ×ØÓ׸ Ð ×ÓÒÖ × ¸
Ð ÐÐ ÒØÓ¸ Ð Ö ØÓ¸ Ð ×ÓÑ ÖÓ¸ ººº × ÓÑÓ ×Ù× ÓÒ× Ù ÒØ × Ø Ø٠׸ Ð Ô Ö ¸ Ð
ØÖ ×Ø Þ ¸ Ð ÒÓ Ó¸ Ð ÙÖ Ó× ¸ ºººº Ö Ø Ö × Ñ Ö Ò ÕÙ ÐÐ × Ø ØÙ × Ð Ñ ×ØÓ×Ó¸
Ð ×ØÙØÓ¸ Ð ÔÖ Ñ Ó¸ Ð × ÓÒ¬ Ó¸ Ð Ô Ö× Ú Ö ÒØ ¸ ºººº Ô Ò Ò Ó Ð Ú Ò Ö Ý
Ð ×Ù ÖØ ¸ ×Ó× Ö Ø Ö × ÓÒ Ù Ó× ÔÙ Ò ×Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ô Ö ¸ ÙÒ ÔÓÐ Ø Ó¸ ÙÒ ÔÓ Ø ¸
ÙÒ Ù ÖÖ ÖÓ¸ ÙÒ ¬ÐÓ×Ó Ó¸ ºººº ÌÓ Ó ×Ø × ÙÖ×Ó ÔÙ × ÒØ Ø Þ Ö× ¸ ÙÒ Ñ Ò Ö ÙÒ Ø ÒØÓ
Ö Ù ¸ Ñ × Ñ × ÔÖ Ò× Ð ¸ Ó Ð × Ù ÒØ ÖÑ
risa sonrisa llanto grito asombro
alegr´a
ı picard´a
ı tristeza enojo curiosidad
amistoso astuto deprimido desconfiado perseverante
Padre Pol´tico
ı Poeta Guerrero Fil´sofo
o
Destino
¿
Ò ÐÓ º
Ë ÙÒ Ð Ø À Öº

269. 243
Ò ÐÓ× ×ØÓ׸ ÐÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× Ý ÐÓ× Ð ÓØÖÓ¸ × ×Ø Ò ÒÙ ×ØÖÓ× ×Ø ÒÓ׺
ÒØ × ÓÖ Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ð ÓÒ ÔØÓ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð Ö Óи ÑÔ Ô ÑÓ×ÒÓ× ÙÒ
ÔÓ Ó Ñ × ÓÒ Ð ×ØÖ Ø Ö ÓÐ Ò ÙÒ ÓÒØ ÜØÓ Ñ × ÓØ ÒÓº
Ò Ð ÒØÓÖÒÓ Ò ÐÓ Ó ×Ø ÔÓ ¸ ÕÙ Þ × Ð Ö ÓÐ Ò ÐÓ Ó ¸ Ð Ù Ð
ØÖ Þ × Ò Ò ¸ Ý ÙÝ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ö Ð × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¸ ÙÒ ÑÔÐ Ö
Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ ÙÐØÙÖ Ð Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÐ Ý ×Ù × Ñ Ð Ö Ô ØÓÖ Ý Ö ÖÕÙ ÓÒ
×Ù Ô Ö Ò ÓÒ Ò ØÙÖ Ðº
Bisabuelo Bisabuela Bisabuelo Bisabuela Bisabuelo Bisabuela Bisabuelo Bisabuela
Abuelo paterno Abuela paterna Abuelo materno Abuela materna
Pap´
a Mam´
a
Hijo
ÙÖ º½ ÓÖÑ ÒÖÐ ÙÒ Ö ÓÐ Ò ÐÓ Ó
ÖÒ ×Ù ×Ø Ö ÓØ ÔÓ Ò ØÙÖ Ð¸ Ò Ð Ö ÓÐ Ò ÐÓ Ó Ð × × Ñ ÐÐ × ´ÐÓ× ×¹
Ù ÐÓ×µ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð × Ó ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÙÐØ ÑÓ × Ò ÒØ Ò Ð Ö Þº Ò
Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó Ò ÐÓ Ó¸ ÙÒÕÙ Ñ × Ò Ú Ù Ð ×Ø ¸ ÙÒ Ô ØÖÓÒ × Ñ Ò Ð Ñ × ¬ Ð ÓÒ
Ð Ö ÓÐ Ò ØÙÖ Ð × Ð Ö ÓÐ Ò ×Ø Ó ¸ Ð Ù Ð ØÖ Þ Ð × × Ò Ò Ý ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ
× ¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ö Ð¸ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾º
Ð Ö ÓÐ Ò ÐÓ Ó Ò Ö Ð Ð ¬ ÙÖ º½ × Ò Ö Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ
Ñ Ñ ÖÓ Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ó× Ò ×ØÖÓ× Ö ØÓ× Ð Ô Ö Ý Ð Ñ Ö º Ò Ñ Ó¸ Ð
ÒÙÑ Ö Ð Ö ÓÐ Ò ×Ø Ó Ô Ò Ö Ð Ö Ø Ö ÔÖÓÐ ¬ Ó Ð Ñ Ð º
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × Ñ Ò Ð ×ØÖ ÓÒ Ö ÓÐ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö ÖÕÙ ×
ÓÑÔÙØÓ¸ ÓÖ Ò × ×Ô Ð × ØÓ× Ó × ØÙ ÓÒ × ÕÙ Ø Ò Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × ÙÐØÙÖ Ð ×
¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ Ò ØÙÖ Ð ×º Ó¸ Ò Ð Ô ØÙÐÓ ½ ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð ÓÒ ÔØÓ Ö Ò¹
Ð × × Ý ×Ù Ö Ø Ö Ò ÐÓ Ó º
Ò ÓÑÔÙØ ÓÒ¸ Ð × ÔÐ ÓÒ × Ð Ö ÓÐ ×ÓÒ ÑÙÝ Ú Ö× × Ý Ú Ò × Ð Ö Ù¹
Ô Ö ÓÒ ¬ ÒØ Ð Ú ×¸ ×Ø Ð Ö ×ÓÐÙ ÓÒ Ò Ð Ø ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ð ÙÐÓ ÓÖÑ Ðº
Ð Ö ÓÐ ÙÒ Ñ ÒØ ÑÙ Ó× ×ÕÙ Ñ × Ö ÙÔ Ö ÓÒ Ý Ö ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ¸
Ø ÒØÓ Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ñ Ö ¸ ÓÑÓ Ò × ÙÒ Ö º ÌÓ Ó ÔÖÓ ×Ó ØÖ Ù ÓÒ¸ ÔÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÒ Ð ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÙØ Ð Þ Ð Ö ÓÐ ÓÑÓ ×ØÖÙ ØÙÖ
ÙÒ Ñ ÒØ Ðº Ð Ð ÙÐÓ ÓÖÑ Ð ÙØÓÑ Ø Ó × Ö¸ Ð Ð ÙÐÓ ÜÔÖ × ÓÒ × Ò Ð Ø ×¸

270. 244 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Individuo
Primog´nito
e Hijo 2 Hijo 3
Nieto 1 Nieto 2 Nieto 3 Nieto 4
Bizn 1 Bizn 2 Bizn 3 Bizn 4 Bizn 5 Bizn 6 Bizn 7 Bizn 8 Bizn 9 Bizn 10
biz-biz
ÙÖ º¾ ÓÖÑ × ÙÒ Ö ÓÐ Ò ×Ø Ó
ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ñ Ø ×¸ Ö Ú ×¸ ÒØ Ö Ð ×¸ Ø Ø Ö ¸ Ù× Ð Ö ÓÐ ÓÑÓ ×ØÖÙ ØÙÖ Ö Ô¹
Ö × ÒØ ÓÒ Ð × ÜÔÖ × ÓÒ ×º
ÍÒ Ð ÓÖ ×Ø Ô ØÙÐÓ × Ö ÓÖÑ ÖÒÓ× ÓÒ ÐÓ× Ð Ò Ñ ÒØÓ× × Ó× ØÓ×
ÙÑÔÐ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ó Ø ÚÓ×
½º ÓÒÓ Ö ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ× × Ó× Ý ÓÑÓ Ò Þ Ö Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ×º
¾º ÓÑÔÖ Ò Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ý ÔÖ Ô Ö Ö Ð Ð ØÓÖ Ò Ð × ÖÖÓÐÐÓ
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ × ÓÑÔÐ Ó׺
¿º ÈÖ Ô Ö ÖÒÓ× Ô Ö Ð ×ØÙ Ó ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Óи ×Ô Ð Þ ×¸ ÕÙ × Ö Ò × ÖÖÓ¹
ÐÐ × Ò ÓØÖÓ× Ô ØÙÐÓ× ×Ø Ø ÜØÓº
ÈÖ × ÒØ Ð ÒØÙ Ø Ú Ý Ò ÐÓ Ð Ö Óи × ÓÑÓ ×Ù ÒØ Ö × Ò Ð Óѹ
ÔÙØ ÓÒ¸ ×Ø ÑÓ× ÔÖ ×ØÓ× Ô Ö Ò Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÒÙ ×ØÖÓ ×ØÙ Óº
4.1 Conceptos b´sicos
a
ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÙÒ ¬Ò ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø
´
Definici´n 4.1 (Arbol)
o ÍÒ Ö ÓÐ T × ¬Ò ÔÓÖ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ N = {n1, n2, . . . , nn}
ÙÒÓ Ó Ñ × ÒÓ Ó× ÕÙ × Ø × Ò Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ ×
½º Ü ×Ø ÙÒ ÒÓ Ó ×Ô Ð × Ò Ó Ö Þ(T ) ∈ N º
¾º Ð ÓÒ ÙÒØÓ N − {Ö Þ(T )} ÔÙ Ô ÖØ ÓÒ Ö× Ò m Ö ÓÐ × T 1, T 2, . . . , T m Ø Ð ÕÙ
{Ö Þ(T )} ∪ T 1 ∪ T 2 ∪ · · · ∪ T m = T
T1 ∩ T2 ∩ · · · ∩ Tm = ∅

271. 4.1. Conceptos b´sicos
a 245
ÙÒÓ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× T 1, T 2, . . . , T m ×ÓÒ “sub´rboles” T º
a
Ð ÓÒØ Ò Ó ÙÒ ÒÓ Ó ni ∈ T × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÑÓ Ã (ni)¸ Р٠и Ñ ÒÙ Ó¸ × Ð
ÐÐ Ñ Ð Ú º
Ä ¬ ÙÖ º¿ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓ ÓÒ Ð Ö Þ × Ð ÒÓ Ó Ø ÕÙ Ø Ó ÓÒ Ð Ð ØÖ A
Ý Ð × Ö × ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × A ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó× ÓÒ B¸ C¸ D Ý E¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ù Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º¿ ×Ø ÒÚ ÖØ Ó Ð Ö Þ ×Ø Ò Ð Ô ÖØ
×ÙÔ Ö ÓÖ Ý Ð × Ó × Ò Ð Ô ÖØ Ò Ö ÓÖº
Ú ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ü ×Ø ØÓ Ó ÙÒ Ö ÓØ Ò ÐÓ Ó Ô Ö × Ö Ö ÙÒ Ö Óк ÙÒ ÒÓ Ó
Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ó Ð Ö Þ × Ð ÐÐ Ñ Óº Ü Ô ÓÒ Ð Ö Þ¸ ØÓ Ó ÒÓ Ó
Ø Ò ÙÒ “padre”º Ó ÙÒ ÒÓ Ó ni¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ô Ö (ni) Ð Ô Ö ni Ó×(ni)
Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÒÑ ØÓ× niº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ó ÙÒ ÒÓ Ó n¸
Ó(n, i) ÒÓØ Ð i¹ × Ñ Ö Ñ nº Ë Ó(n, i) = ∅¸ ÒØÓÒ × n ÒÓ Ø Ò ÙÒ i¹ × Ñ
ÖѺ
ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ó× × Ð ÐÐ Ñ “hoja”¸ ÔÙ × Ð ÓÖ Þ Ð Ó ÙÒ Ö ÓÐ
Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ × ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÓÒº
Ô ÖØ Ð Ö Þ¸ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× × Ð × ÐÐ Ñ “descendientes” Ð ÒÓ Ó Ö Þ(T )º
A
B C D E
F G H I J K
L M O P Q R S T
U V
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö ÓÐ ÑÔÐÓ
ÍÒ Ö ÓÐ ÓÒØ Ò ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺ ÍÒ ÒÓ Ó ×Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ø ÔÓ Ò Ö Ó T º
ÍÒ Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÒØÖ ÐÓ× Ó× ÒÓ Ó× ÒÚÓÐÙ Ö Ó׺
ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ× T Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò¬Ò ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × ÔÓ× Ð ×º
ÍÒ arborescencia × ¬Ò ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÖÓ Ó Ñ × Ö ÓÐ × × ÙÒØÓ׺
ÍÒ camino < n0, n1, . . . , nn−1, nn > × ÙÒ × Ù Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÒÓ Ó× ÒØ Ö¹
ÓÒ Ø Ó× ÔÓÖ Ö Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð Ö ÓÐ Ø Ð ÕÙ Ó(n0) = n1 | Ó(n1) = n2 | · · · |
Ó(nn−1) = nnº ÍÒ Ñ ÒÓ × ÒÓØ ÔÓÖ Cn ,n ÓÒ ns × Ð ÒÓ Ó Ò Ó Ð Ñ ÒÓ
s t
Ý nt × Ð ÒÓ Ó ¬Ò Ð Ð Ñ ÒÓº
Ä “longitud del camino”¸ ÒÓØ ÓÑÓ | Cn ,n |¸ × Ð ÒØ
s t ÒÓ Ó× ÕÙ
ÓÒØ Ò Ð Ñ ÒÓº

272. 246 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÄÓ× “ancestros” ni¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ Ò ×ØÖÓ×(ni)¸ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ ÓÖÑ Ó
ÔÓÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð Ñ ÒÓ CÖ Þ(T),Ô Ö (n ) × Ö¸ Ð × Ù Ò ÒÓ Ó×
ÔÖ ×ÓÖ × × Ð Ö Þ ×Ø niº
i
Ó× Ó× ÒÓ Ó× ni, nj ∈ T ¸ ÒØÓÒ ×¸ nj × Ò ×ØÖÓ ni × Ý ×ÓÐÓ × ¸ nj ∈
Ò ×ØÖÓ×(ni)º
Ð ÙÒÓ× × ÙÖ×Ó× ÙØ Ð Þ Ò ÙÒ ÒÓ ÓÒ “edad de nodo”¸ Ð Ù Ð ×Ø ÔÓÖ ×Ù
ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ñ ÒÓ ×Ù× Ò ×ØÖÓ׺ ×Ø ÑÓ Ó¸ Ó ÙÒ Ñ ÒÓ Cn ,n =<
0 n
n0, n1, . . . , nn−1, nn >¸ ÑÓ× ÕÙ ni × Ñ × Ú Ó ´Ó Ñ ÝÓÖµ ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ni+c ∈
Cn ,n º
i+1 n Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÑÓ× ÕÙ ni × Ñ × ÓÚ Ò ´Ó Ñ ÒÓÖµ ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ni−c ∈
Cn ,n º
0 i−1
Ó ÙÒ ÒÓ Ó ni ∈ Cn ,n =< n0, n1, . . . , nn−1, nn >¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ó×(ni) × ÐÐ Ñ Ó
0 n
Ð i¹ × Ñ Ò Ö ÓÒº
Ð “grado” ni ÒÓØ Ó ÓÑÓ Ö Ó(ni)¸ × Ð ÒØ ×Ù Ö ÓÐ × ÕÙ ÓÒØ Ò
Ð ÒÓ Ó niº
Ð “orden” Ó “grado” ÙÒ Ö ÓÐ × ¬Ò ÓÑÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ Ö Ñ × ÕÙ
ÔÙ Ø Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó Ð Ö Óк
Ë Ð Ö Ó ÙÒ ÒÓ Ó × Ù Ð Ð ÓÖ Ò Ð Ö Óи ÒØÓÒ × ÑÓ× ÕÙ Ð ÒÓ Ó ×Ø
ÓÑÔÐ ØÓº Ù Ò Ó ÙÒ Ö ÓÐ ÔÓ× ÑÙ Ó× ÒÓ Ó× Ò ÓÑÔÐ ØÓ× Ý ×ØÓ× ÔÓ× Ò ÑÙÝ ÔÓ ×
Ö Ñ ×¸ ÒØÓÒ × ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÐ × ×Ô Ö Óº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ù Ò Ó Ý ÑÙ Ó×
ÒÓ Ó× ÓÑÔÐ ØÓ× ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÐ × Ò×Óº
Ð “nivel de un nodo” ni¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ Ò Ú Ð(ni)¸ × ¬Ò Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ
× Ù
Ò Ú Ð(ni) = 0 + Ò Ú Ð(Ô Ö (n )) × ni = 0 Þ(T )
1 × n >
Ö
i i
Ä “altura de un nodo” ni¸ ÒÓØ ÓÑÓ h(ni) × ¬Ò ÓÑÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó×
Ñ ÒÓ× ÙÒÓ ÕÙ Ý × ni ×Ø ÙÒ Ó × ØÙ Ò Ð Ñ × ÐØÓ Ò Ú Ðº
Ì Ñ Ò ÔÙ ¬Ò Ö× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ × Ù
h(ni) =
0 × ni × ÙÒ Ó
1 + Ñ Ü(h( Ó1(ni)), h( Ó2(ni)), . . . , h( Óm(ni))) ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó
Ä “altura de un ´rbol” T × ¬Ò ÓÑÓ Ð ÐØÙÖ Ö Þ(T ) × Ö¸ h(Ö Þ(T ))º
a
Ä “cardinalidad de un ´rbol” T ¸ ÒÓØ
a ÓÑÓ |T |¸ × ¬Ò ÔÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð
ÒÓ Ó× Ð Ö Óк
ÁÐÙ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð ÙÒÓ× ×ØÓ× ÓÒ ÔØÓ× Ñ ÒØ Ð ¬ ÙÖ º¿º Ä Ö Þ × Ð ÒÓ Ó
Ø ÕÙ Ø Ó ÓÒ A Ý ×Ø × ØÙ Ò Ð Ò Ú Ð 0º Ð Ö Ó Ö Þ(T ) × 4¸ ÕÙ Ø Ñ Ò
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÖ Ò Ð Ö Óк ÄÓ× Ó× A ×ÓÒ B¸ C¸ D Ý Eº Ô Ö (B) = Ô Ö (C) =
Ô Ö (D) = Ô Ö (E) = Aº Ä ÐØÙÖ A × 5¸ ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ
Ñ × Ð Ö Ó × Aº Ì Ð Ñ ÒÓ ×Ø Ó ÔÓÖ CA,U = A, C, H, P, U Ó CA,V = A, C, H, P, V |
|CA,V | = 5º
ÓÖ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Hº Ì Ò ÑÓ×
¯ Ö Ó(H) = 3
¯ Ô Ö (H) = C
¯ h(H) = 3 = |CH,U| = |CH,V |
Ö Ø × ÓÒ ×Ø Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ÓÒ× Ö Ò Ó ÒÓ Ó Ð ¬ ÙÖ º¿º

273. 4.2. Representaciones de un arbol
´ 247
4.2 Representaciones de un ´rbol
a
ÌÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ ×ØÓ× Ö ÓÐ × ×ØÖ ØÓ× × Ù Ò Ð Ö Ú × ÐÓ× Ò ØÙÖ Ð ×¸ ÓÑÓ Ò Ð
¬ ÙÖ º¿º × Ö¸ Ð Ö Þ Ò Ð Ô ÖØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ý ×Ù× × Ò ÒØ × Ò Ð × Ô ÖØ × Ò Ö ÓÖ ×º
×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÓÒ Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð × × ØÙ ÓÒ ×¸ Ô ÖÓ Ð ÙÒÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ×
ÔÖ ×Ø Ò Ô Ö ÓØÖ × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ñ × ÓÒÚ Ò ÒØ ×º
4.2.1 Conjuntos anidados
Ä Å
Ã Ë Ì Í Î
À È
Ç É
Â Ê Á
ÙÖ º ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ó×
Ò ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð Ö Þ × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓÑ Ö Ö Þ(T ) ÓÒ ×Ù Ö ÓÐ × ÓÑÓ
×Ù ÓÒ ÙÒØÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ó× Ð
Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¿º
×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÔÙ ÙÒ Ñ ÒØ Ö× ×Ó Ö ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ×Ô Ð Þ × Ò
ÓÒ ÙÒØÓ׺
4.2.2 Secuencias parentizadas
ÄÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ó× ÒÓÖ Ò Ð ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ ÐÓ× ×Ù Ö ÓР׸ Ð Ù Ð Ò Ð ÙÒ ×
× ØÙ ÓÒ × ÔÙ × Ö ÑÔÓÖØ ÒØ º Ë × × Ñ ÒØ Ò Ö ×Ø ÓÖ Ò¸ ÙÒ Ö ¬Ò Ñ ÒØÓ ÓÒ× ×Ø
Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× ÒØÖ Ô Ö ÒØ × ×º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ×Ó Ø Ú Ö ÔÖ × ÒØ Ð
ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ ÐÓ× ×Ù Ö ÓР׺ È Ö Ð Ö ÓÐ Ð × ¬ ÙÖ × º¿ Ý º ¸ × Ø Ò Ð
× Ù ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Þ
(A(B(F(L)(M))(G))(C(H(O)(P(U)(V))(Q)))(D(I)(J(R)))(E(K(S)(T ))))
×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ø Ò Ð Ú ÒØ ÕÙ × Ð Ò Ð Ý Ö ­ ÓÒ Ü Ø ØÙ Ð ØÓÔÓÐÓ
Ð Ö Óк
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ú ÐÙ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ×º ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸
×ÙÑ ÑÓ× Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ö
3x4 + 3x3y2 + x2 − 1
.
4x2z
ÍÒ ÓÑÔ Ð ÓÖ ÔÓ Ö ØÖ Ù Ö ×Ø ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º ¸ Ð Ù Ð
Ú ÐÙ Ö× Ñ Ò Ö × Ò ÒØ Ó × ¸ × Ð × Ó × ×Ø Ð Ö Þº ×Ø ÓÖ Ò Ö ­

274. 248 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
/
+ ∗
∗ ∗ ^ −1 4 ^ z
3 ^ 3 ^ ^ x 2 x 2
x 4 x 3 y 2
ÙÖ º Ö ÓÐ Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ 3x4 +3x3 y2 +x2 −1
4x2 z
¬ ÐÑ ÒØ Ð × ÔÓ× Ð × Ý Ú Ð × Ñ Ò Ö × Ò ÕÙ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ÔÙ Ú ÐÙ Ö× × Ò ÕÙ ×
Ô Ö ×Ù × ÒØ Ó Ð Ö Óº
Ò Ñ Ø Ñ Ø ¸ Ð ÓÑÔÓ× ÓÒ ÙÒ ÓÒ × ×Ù Ð × Ö Ö× Ñ Ò Ö ÔÖ ¬ × Ö¸
Ð ÒÓÑ Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ù ÓÔ Ö ÓÒ ÔÖ ¬ ¸ ÒØ ¸ ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
f(x, y) Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ f ÓÒ Ó× ÓÔ Ö Ò Ó׺ Ç ÙÖÖ ÕÙ Ð × Ù Ò Ô Ö ÒØ Þ
ÙÒ Ö ÓÐ ÜÔÖ × ÓÒ × × ÔÖ ¬ º Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º × Ö ÔÖ × ÒØ
ÓÑÓ
´»´·´¶´¿µ ´ ´Üµ´ µµ µ ´¶´¿µ ´ ´Üµ´¿µµ ´ ´Ýµ´¾µµ µ ´ ´Üµ´¾µµ ´ ¹½ µµ ´¶ ´ µ ´ ´Üµ´¾µ µ ´Þµ µ µ
Ä ÐÒ Ð Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Þ ÔÙ ÙØ Ð Þ Ö× Ô Ö Ð ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ
Ö ÓÐ × Ò ÙÒ Ö º Ð × Ø Ó ÓÖ Ò Ð ÓÑÙÒ ÓÒ Ó Ø Ò ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ ¹
Þ ÕÙ × Ñ Ð Ò ÙÒ Ñ Ò× º Ð Ö Ö Ð Ö ÓÐ Ô Ö ÒØ Þ Ó¸ Ð × Ø Ó ×Ø ÒÓ Ö Ð Þ
Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÒÚ Ö× ¹ × Ñ Ð ¹ Ý Ó Ø Ò ÙÒ ÓÔ Ü Ø Ð Ö Óк
Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ð Ò Ù × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ò ÖØ ÐÙ Ó× Ð ØÖÓÒ Ó× Ð ÙÐÓ
ݸ Ò Ò Ö Ð¸ Ò Ð Ò Ò Ö ¸ Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × × ÓÐÓ Ò Ò ÓÖÑ Ò¬ Ý ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×
× ÓÐÓ Ò Ò ÓÒ ÕÙ Ö ÑÓ× ÑÓ ¬ Ö Ð ÔÖ Ò ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ ×º ×Ø ÑÓ Ó¸
Ð ÜÔÖ × ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ Ö × Ö Ö× Ò ÓÖÑ Ò¬ ÓÑÓ
(3*x^4 + 3*x^3*y^2 + x^2 - 1)/ (4*x^2*z)
Ä Ù Ð × Ð Ú Ö× ÓÒ Ö ×ÙÑ Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ö ÓÐ Ð
¬ ÙÖ º º Ä ÜÔÖ × ÓÒ Ò¬ × ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð Ò Ð Ð Ö ÓÐ Ý Ö ÕÙ Ö Ð Ù×Ó
Ô Ö ÒØ × × Ô Ö ×Ô ¬ Ö Ð ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ
Ñ Ò Ö Ò ÕÙ Ö× ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ×º

275. 4.2. Representaciones de un arbol
´ 249
4.2.3 Indentaci´n
o
ÍÒ Ñ Ò Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ý Ö Ø Ô Ö Ù Ö Ö ÓÐ × Ô ÕÙ ÒÓ׸ Ò Ð Ù Ð ÒÓ × Ô Ö
Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÒØ Ö ÔÓÖ Ò Ú Ðº Ä × ÜÔÐ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ
Ð ÓÖ ØÑÓ
Algoritmo 4.1 (Dibujo de un ´rbol en modo texto)
a Ä ÒØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ
Ö ÓÐ Ò ×Ù Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ¬ Ð × º Ä × Ð × Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò ÒØ Ð
Ö Óк
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ò ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÐÐ Ñ Ó s¸ ¬Ò Ó ÓÑÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ô Ó× Ò
Ð Ò Ó × Ô Ö ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ö ÙÖ× ÚÓ ÓÒ ÔÖÓØÓØ ÔÓ void dibujar(Node * x)º Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÐ Ñ
ÙØ Ö× ÓÒ Ð Ö Þ pº
½º ÁÑÔÖ Ñ Ö pº
¾º ∀y ∈ Ó×(x)
´ µ ÁÒ ÒØ Ö s ×Ô Ó× Ð Ö º
´ µ dibujar(y);
´ µ ÁÒ ÒØ Ö s ×Ô Ó× Ð ÞÕÙ Ö º
¿º Ë x × ÙÒ Ó =⇒
´ µ Ë ÐØ Ð Ò º
Ð Ö ÓÐ Ð × ¬ ÙÖ × º¿ Ý º Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò ÒØ
A B F L
M
G
C H O
P U
V
Q
D I
J R
E K S
T
4.2.4 Notaci´n de Deway
o
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ý ÓÒØ Ò Ó ×Ø Ø ÜØÓ Ò Ô ØÙÐÓ׸ × ÓÒ ×¸ Ø Ø Ö ¸ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ
ÓÒ ÙÒ Ö ÓÖ × Ò Ò Ð Ù Ð ÐÓ× Ô ØÙÐÓ× ×ÓÒ Ö ÓÐ × × ÙÒØÓ׺ Ä × × ÓÒ × ÙÒ
Ô ØÙÐÓ ×ÓÒ ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × Ð Ö Þ Ý¸ Ð Ú Þ¸ Ð × ×Ù ¹× ÓÒ × ×ÓÒ ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × ÙÒ
× ÓÒº ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ó ÙÒ Ö ÖÕÙ × ÙÒ Ð Ö ×ØÙ Óº ÈÙ × Ò¸
Ð Ò ÓÕÙ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö ÒÙÑ Ö Ö × ÓÒ ÓÒ×Ø ØÙÝ ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö
ÙÒ Ö Óк Ð Ñ ØÓ Ó Ò Ù ×Ø ÓÒ × ÒÓÑ Ò “notaci´n decimal de Deway”¸ ÔÓÖ
o
Ò ÐÓ ÙÒ ÒÓØ ÓÒ × Ñ Ð Ö Ù× Ô Ö Ð × ¬ Ö Ð ÖÓ× Ò Ð ÓØ ×º × Ñ ÒØ ¸
Ð ÒÓØ ÓÒ Û Ý × ÙÒ Ñ Ò Ö ÒÙÑ Ö Ö ÒØ ¬ Ö ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÒÓ Ó

276. 250 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ð Ö Óк Ð Ö ÓÐ Ð × ¬ ÙÖ × º¿ Ý º ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× Ñ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
ÒÙÑ ÖÓ× ÛÝ
(1 : A), (1.1 : B), (1.2 : C), (1.3 : D), (1.4 : E), (1.1.1 : F), (1.1.2 : G),
(1.2.1 : H), (1.3.1 : I), (1.3.2 : J), (1.4.1 : K), (1.1.1.1 : L), (1.1.1.2 : M),
(1.2.1.1 : O), (1.2.1.2 : P), (1.2.1.3 : Q), (1.3.2.1 : R), (1.4.1.1 : S),
(1.4.1.2 : T ), (1.2.1.2.1 : U), (1.2.1.2.2 : V)
Ð Ú ÐÓÖ Ò Ó Ð ÒÓØ ÓÒ Û Ý × ÕÙ × ÔÖ × ÖÚ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÓÖÑ
Ð Ö ÓÐ × Ò Ò × Ù×Ø Ö× ÙÒ ÓÖ Ò × Ù Ò º Ð Ö ÓÐ ÔÙ Ö ×Ø ÙÖ Ö×
Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׺
ÍÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ò Ð ÒÓØ ÓÒ Û Ý ÔÙ × Ö ÑÙÝ ÙØ Ð Ò Ð ÙÒ ×
× ØÙ ÓÒ × ÓÒ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö ÓÐ × ÐØ Ñ ÒØ Ò Ñ º Ì Ñ Ò ÔÙ ¹
Ù Ö× Ô Ö Ð ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ Ö ÑÓØ Ö ÓÐ × ÑÙÝ Ö Ò × ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ò Ò ÙÒ
×ÓÐÓ Ñ Ò× º
4.3 Representaciones de ´rboles en memoria
a
× Ñ ÒØ ¸ Ü ×Ø Ò Ó× Ñ Ò Ö × Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ñ ÑÓÖ ÔÓÖ ÖÖ ÐÓ× Ý ÔÓÖ
Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ñ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒ ÒØ ÖÑ Ó ÒØÖ Ú ÐÓ Ý ×Ô Óº
4.3.1 Listas enlazadas
Ò ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ¸ ÒÓ Ó × ×ØÖÙ ØÙÖ × ÙÒ Ð ÓÖÑ × Ù ÒØ
clave R SIBLING
L CHILD
ÙÝÓ× ÑÔÓ× ÒØ Ö × ×ÓÒ
¯ R SIBLING ÔÙÒØ ÓÖ Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÖÑ ÒÓ Ö Óº
¯ L CHILD ÔÙÒØ ÓÖ ×Ù Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö º
ÄÓ× ÑÔÓ× R SIBLING ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÖÑ ÒÓ׺ Ä
Ö ×Ø Ð ×Ø × Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö º Ä ÒØÖ ×Ø Ð ×Ø × Ð ÑÔÓ
L CHILD Ð ÒÓ Ó Ô Ö º
ÄÓ× ÑÔÓ× L CHILD ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ò Ö ÓÒ ×º Ó
ÙÒ ÒÓ Ó x¸ L CHILD(x) × ×Ù Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö L CHILD(L CHILD(x)) × Ð Ò ØÓ
Ñ × Ð ÞÕÙ Ö x L CHILD(L CHILD(L CHILD(x))) × Ð ÞÒ ØÓ Ñ × Ð ÞÕÙ Ö
x Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ö ×ØÓ Ð × Ò Ö ÓÒ ×º
Ñ ÒÙ Ó¸ Ð Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö ÙÒ ÒÓ Ó × Ð Ø Ð ÔÖ ÑÓ Ò ØÓ º
Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ð Ö ÓÐ ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º º
Ë ÒÓ Ý Ñ × ÖÑ ÒÓ× Ó Ò Ö ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ × Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
Ñ Ö ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ×Ô Ð NULLº
×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÓÑÔ Ø Ý ­ Ü Ð ¸ ÔÙ × Ð ÓÖ Ò Ý Ö Ò Ð Ð Ö ÓÐ
ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö× Ó ×Ñ ÒÙ Ö× Ò Ñ Ñ ÒØ º Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ ÒÓ Ó ×

277. 4.3. Representaciones de arboles en memoria
´ 251
/
+ *
* * ^ -1 4 ^ z
3 ^ 3 ^ ^ x 2 x 2
x 4 x 3 y 2
ÙÖ º Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º
ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò Ð Ö ÓÐ Ý Ð Ö Ó Ð ÒÓ Óº Ð ×Ô Ö Ó Ò
ÒÓ Ó× Ò ÓÑÔÐ ØÓ× ´ÔÓÖ Ð × Ö Ñ × ÒÓ ÙØ Ð Þ ×µ × Ô ÕÙ ÒÓ R SIBLING Ò Ð ÒÓ Ó Ñ ×
Ð Ö Ð ×Ø ÖÑ ÒÓ׸ Ý L CHILD Ò Ð ÙÐØ ÑÓ × Ò ÒØ Ð ×Ø
Ò Ö ÓÒ ×º
ÈÖ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ð i¹ × Ñ Ò Ö ÓÒ × Ò × Ö Ó Ö Ð × i−1 Ò Ö ¹
ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×º È Ö Ö Ð j¹ × ÑÓ ÖÑ ÒÓ¸ × Ò × Ö Ó Ö ÐÓ× j − 1 ÖÑ ÒÓ×
ÔÖ ÒØ ×º Ë Ð ÓÖ Ò Ð Ö ÓÐ × ÓÒÓ Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ø ÑÔÓ ×Ó ×Ø ÓØ Ó
Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÙ ÓÒ× Ö Ö× ÓÒ×Ø ÒØ º
Ä Ú Ö× Ø Ð Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÔÙ Ñ ÓÖ Ö× × × ÙØ Ð Þ Ò Ð ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ Ò¹
Ð Þ ×º ÅÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò Ö Ö × Ö ×Ù× Ò ×ØÖÓ× ÔÙ Ò Ò ¬ Ö×
×Ø ÜØ Ò× ÓÒº Ó ÙÒ ÒÓ Ó¸ ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ô ÖÑ Ø Ö ÙÔ Ö Ö ÒÑ ¹
Ø Ñ ÒØ Ð Ô Ö º Ð ÒÐ Ó Ð ×Ø Ó ÔÓÖ Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö
Ý Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ô Ö º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ð ×Ø ÒÐ Þ ÔÙ × Ö ÐÓ× ÖÑ ÒÓ׸
Ò ÙÝÓ ×Ó Ð ÒÐ Ó Ð ×Ø Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ð ÖÑ ÒÓ ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
4.3.2 Arreglos
Ó ÙÒ Ö ÓÐ ÓÖ Ò m¸ ÒÓ Ó ÓÒØ Ò Ð ×Ô Ó Ô Ö Ð ØÓ Ý ÙÒ ÖÖ ¹
ÐÓ m¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÙÒØ ÓÖ × ×Ù× m ×Ù Ö ÓР׺ Ð Ú ÐÓÖ NULL Ò Ð Ù× Ò
Ð Ö Ñ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ º
×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ø Ò ÙØ Ð Þ Ö Ñ × ×Ô Ó ÕÙ Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ð ×Ô Ö Ó
Ñ ÑÓÖ Ò ÒÓ Ó× Ò ÓÑÔÐ ØÓ× ÔÙ × Ö ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð Ö ÓÐ × ÑÙÝ ×Ô Ö Óº Ò
Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ Ò Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò 4 Ù Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ¸ ×ÓÐÓ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÓÑÔÐ ØÓ
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò ÓÑÔÐ ØÓ× ×Ô Ö Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ð Ò
ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ׺
Ä Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ×Ø Ø Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ð Ö ÓÐ ÒÓ × Ð
ÑÓ ¬ Öº ×Ø Ò ÓÕÙ ÒÓ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÓÖ Ò × ÓÒÓ Óº
Ò ÑÙ Ó× ×Ó׸ × ÓÒÚ Ò ÒØ ØÙ Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÓÒ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð ×Ø ×
ÒÐ Þ × Ý ÐÙ Ó ÓÒÚ ÖØ ÖÐÓ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ú ØÓÖ Þ º
Ð ×Ó ÙÒ Ò Ö ÓÒ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ Ô ÖÓ Ð ×Ó
Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ö Ñ × × Ö ØÓ ×Ø Ö Ø Ö ×Ø × Ð ÕÙ ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ
Ñ × Ö Ô ÕÙ ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º

278. 252 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
/
+ *
* * ^ -1 4 ^ Þ
3 ^ 3 ^ ^ Ü 2 x 2
x 4 x 3 y 2
ÙÖ º Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ ÖÖ ÐÓ× Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º
ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô Ö ×Ø Ò ÓÕÙ × ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ô Ö × <ÔÙÒØ ÖÓ Ö Ñ ¸ ÓÖ¹
Ò Ð Ö Ñ >º ×Ø ×ÕÙ Ñ ÙØ Ð Þ ÙÒ ×Ô Ó ÔÓÖ ÒÓ Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ
Ö Ñ × Ý ÔÙ Ò Ö ×Ô Ó × Ð Ö ÓÐ × ×Ø ÒØ ×Ô Ö Óº Ë Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ñ × ×
×Ù× ÔØ Ð × Ö ÑÙÝ Ö Ò ¸ Ð ÖÖ ÐÓ ÔÙ ×Ø Ö ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ ÓÖ Ò Ð Ö Ñ Ý Ð
Ö Ñ ÔÙ × Ö ÐÓ Ö ØÑ Ñ ÒØ ÐÓ Ð Þ Ð Ñ ÒØ Ð Ù×ÕÙ Ò Ö º ×ØÓ Ô Ò Ð Þ
Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ÔÙ × Ý ÕÙ Ö Ö Ý ÖÖ Ö Ö × Ò Ð ÖÖ ÐÓº
4.4 ´
Arboles Binarios
ÓÖ ÔÖÓ Ö ÑÓ× ×ØÙ Ö ÙÒ Ð × ×Ô Ð Ö ÓÐ ÒÓÑ Ò Ö ÓÐ Ò ¹
Ö Ó º Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ð × ÓÒ ÔØÙ Ð ÙÒ ÑÔÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×¹
ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺
Definici´n 4.2 (Arbol binario) ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ¬Ò ØÓ
o ´ ÖÓ Ó Ñ ×
ÒÓ Ó× ¬Ò Ó Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ × Ù
⎧
⎪
⎪
⎪
∅ ÒÓØ Ð Ö ÓÐ ⎧ Ö Ó Ú Ó
Ò
⎪
⎨ ⎪ n
⎪
⎨ × Ð ÒÓ Ó Ö Þ
T=
⎪ < Ä(T ), Ö
⎪ Þ(T ), Ê(T ) > ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó | Ä(T ) × Ð ×Ù Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÞÕÙ Ö Ó
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎩ ⎩ Ê(T ) × Ð ×Ù Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ö Ó
´ º½µ
Ð ÓÒØ Ò Ó ÙÒ ÒÓ Ó ni × ÒÓØ ÓÑÓ Ã (ni)º
ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ× B Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò¬Ò ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÔÓ× Ð ×º
Ä ¬Ò ÓÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ö ÒØ Ð ¬Ò ÓÒ Ö ÓÐ
Ò Ü º½ ´Ô Ò ¾ µº Ä ×Ø Ò ÓÒ Ð Ö Ð Þ Ð ÒÓ ÓÒ × ÒØ Ó Ð Ö Ñ º Ò Ð Ó Ù¹
ÖÖ Ò ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÐÙ×ØÖ Ó× Ò Ð ¬ ÙÖ º ×ÓÒ Ö ÒØ × Ó Ð ¬Ò ÓÒ º¾
ÑÔ ÖÓ¸ Ó Ð ¬Ò ÓÒ º½¸ ÐÐÓ× ×ÓÒ Ù Ð ×º ×Ø ÖÒ × ÒØ Ó ×¸ ÔÖ × ¹
Ñ ÒØ ¸ Ð Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ö ÙÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÙÒ ÚÓ ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ

279. ´
4.4. Arboles Binarios 253
Ò Ö Ó Ý ÙÒÓ m¹Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö º
ÙÖ º Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ö ÒØ ×
4.4.1 Representaci´n en memoria de un ´rbol binario
o a
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ò Ñ ÑÓÖ ÓÒ ÖÖ ÐÓ׺ Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ
Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ × Ó׸ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÔÖ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÕÙ ÓÒ
Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº
G
S X
B H A Z
ÙÖ º Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÔÙ ÓÒÚ Ò Ö ÙÒ Ø Ö Ö ÔÙÒØ ÖÓ ÔÓÖ ÒÓ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÒÓ Ó
Ô Öº
4.4.2 Recorridos sobre ´rboles binarios
a
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ý ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÓÖ Ò × Ö ÖÕÙ Ó׺ È ÖÓ Ö ÓÖ ÑÓ× ÕÙ
Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ ×ÓÐÓ ÔÖÓ × × Ù Ò × × Ö¸ ÒÓ ÔÙ ×Ø Ò Ù Ö¸ Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó
ÒÙ ×ØÖ Ô Ö Ô ÓÒ¸ ÕÙ ÙÒ Ö ÓÐ × ÙÒ Ö Óк
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÕÙ ÔÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
È Ö × Ð × Ô ÕÙ Ò ×¸ ÓÑÓ × Ö × ÙÑ ÒÓ× ÒÓ ×Ø ÑÓ× Ö ×ØÖ Ò Ó× ÔÓÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð
Ö Óк Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÖÖ Ö ØÓ × Ð × ÓÒ Ü ÓÒ × ÒØÖ ÐÓ× Ö Ó× Ý ÙÒ ×ÓÑÓ× Ô ×
ÓÒØ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׺ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ Ð Ú ÐÙ ÓÒ Ð ÜÔÖ × ÓÒ (x2 + x + 1)2y¸ Ð
Ù Ð ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ñ Ð Ö Ð Ð ¬ ÙÖ º½¼º ÈÓ ÑÓ×
ÓÑ ÒÞ Ö Ð Ú ÐÙ ÓÒ ×Ó Ö Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ØÖ × ×Ù Ö ÓÐ × ÕÙ ÔÓ× Ò Ó ×º ÈÓÖ
ÑÔÐÓ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× Ú ÐÙ Ö x 2¸ ÐÙ Ó 2y¸ ÐÙ Ó x + 1 Ý × ¸ ×Ù × Ú Ñ ÒØ º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
×Ø ÓÖ Ò Ú ÐÙ ÓÒ ÒÓ ÓÒ× Ö ×Ø Ò × ÒØÖ Ö Ñ × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÕÙ Ý
ÒØÖ Ð Ö Ñ x2 Ý 2yº
ÆÙ ×ØÖ Ú × ÓÒ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÑÔÖÓÚ × Ö Ú Ö× × × Ù Ò × Ö ÓÖÖ Ó Ó ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓ ×Ó Ö Ð Ö Óк Ò ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ¸ ÑÔ ÖÓ¸ ÓÒ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó
¸ Ð Ú × ÓÒ ×Ø ×Ø Ö ×ØÖ Ò ÔÓÖ Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ ×
½º Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ó × ÖÚ Ð × Ð Ö Þº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × × ÑÓ× Ñ Ö Ö Ð ÙÒ
×Ù Ö ÓÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÒØÓÒ × × Ö ÓÖÖ Ö Ò Ö ÓÒ × Ò ÒØ ×
Ð Ö Þº

280. 254 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
*
+ *
^ + 2 y
x 2 x 1
ÙÖ º½¼ ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ö Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
¾º × ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö ×ÓÐÓ × ÔÙ Ò Ú Ö ×Ù× Ó× Ó× Ñ ÒØ ÐÓ× ÑÔÓ× Ä(T )
Ý Ê(T )º
Ü ×Ø Ò Ù ØÖÓ Ô ØÖÓÒ × × Ù Ò × ÖÕÙ Ø Ô × Ó Ö ÓÖÖ Ó× Ô Ö ÔÖÓ × Ö ÙÒ
Ö ÓÐ Ò Ö Ó
½º Algoritmo 4.2 (Recorrido prefijo)
´ µ Î × Ø Ð Ö Þº
´ µ Î × Ø Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ò ÔÖ ¬ Óº
´ µ Î×Ø Ð Ö Ñ Ö Ò ÔÖ ¬ Óº
¾º Algoritmo 4.3 (Recorrido infijo)
´ µ Î × Ø Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ò Ò¬ Óº
´ µ Î × Ø Ð Ö Þº
´ µ Î×Ø Ð Ö Ñ Ö Ò Ò¬ Óº
¿º Algoritmo 4.4 (Recorrido sufijo)
´ µ Î × Ø Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ò ×Ù¬ Óº
´ µ Î×Ø Ð Ö Ñ Ö Ò ×Ù¬ Óº
´ µ Î × Ø Ð Ö Þº
º Algoritmo 4.5 (Recorrido por niveles)
´ µ Ê ÔØ × ¼ ×Ø Ð h(T ) − 1 Ð Ö ÓÐ
¯ ÁÑÔÖ Ñ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ò Ú Ð i ÓÖ Ò Ó× ÞÕÙ Ö Ö º
ÅÙ Ó× Ø ÜØÓ× ÒÓÑ Ò Ò ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó¸ Ò¬ Ó Ý ×Ù¬ Ó ÓÑÓ ÔÖ ÓÖ Ò¸ ÒÓÖ Ò
Ý ÔÓ×ØÓÖ Ò¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ð ×ÑÓ× ÔÖ ÓÖ Ö¸ ÒÓÖ Ö Ý ÔÓ×ØÓÖ Öº
ÔÐ Ò Ó Ð × ¬Ò ÓÒ × ×Ó Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½½¸ Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ö ÓÖÖ Ó
ÔÖ ¬ Ó
G S B X A Z ´ º¾µ
ÈÖ Ñ ÖÓ Ú × Ø ÑÓ× Ð Ö Þ ´Gµ¸ ÐÙ Ó Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó ´S Bµ Ý ÐÙ Ó Ð ×Ù Ö ÓÐ
Ö Ó ´X A Zµº

281. ´
4.4. Arboles Binarios 255
G
S X
B A Z
ÙÖ º½½ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ô Ö ÑÔÐ ¬ Ö Ö ÓÖÖ Ó×
È Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ø Ò ÑÓ×
B S G A X Z ´ º¿µ
ÈÖ Ñ ÖÓ Ú × Ø ÑÓ× Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ò Ò¬ Ó ´B Sµ¸ ÐÙ Ó Ð Ö Þ ´Gµ Ý ÙÐÑ Ò ÑÓ×
ÓÒ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Ó ´A X Zµº
Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó ×
B S A Z X G ´ºµ
ÈÖ Ñ ÖÓ Ú × Ø ÑÓ× Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ò ×Ù¬ Ó ´B Sµ¸ ÐÙ Ó Ð Ö Ñ Ö ´A Z Xµ
ݸ ÔÓÖ ÙÐØ ÑÓ¸ Ð Ö Þ (Gµº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × ×
G S X B A Z ´ºµ
Ñ ÒÙ Ó¸ Ð × Ù Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö Ø Ö Þ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ö Óк Ò ØÓ¸ ÐÓ×
Ö ÓÖÖ Ó× ×Ø Ò ÒØ Ñ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ó× ÓÒ ÑÙ Ó× ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ý
Ö Ø ÖÞ Ò Ð Ó Ö ×Ù ÓÖÑ º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö ÓÐ ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ×
ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼º ËÙ Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó ×
x 2∧ x 1 + + 2 y ∗ ∗ ´ºµ
ÕÙ × Ð ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ö ´Ú Ü ¾º º ´Ô Ò ½½ µµº
Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ×
∗ + ∧x2 + x1 ∗ 2y ´ºµ
Ð Ù Ð ÔÙ Ú ÐÙ Ö× ÔÓÖ Ð Ö ÓÖÑ Ò ÐÓ Ð Ú ÐÙ ÓÒ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ
Ò¬ º
ÓÖ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÖ × ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ò¬ Óº
Algoritmo 4.6 (Impresi´n infija, parentizada, de un ´rbol binario) Ä
o a ÒØÖ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð Ö Þ p ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ä × Ð × Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó¸ Ô Ö ÒØ ¹
Þ Ó ´Ú × Ü º¾º¾ ´Ô Ò ¾ µµº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ö ÙÖ× ÚÓ ÓÒ ÔÖÓØÓØ ÔÓ void imprimir(Node *nodo); ÓÒ ÒÓ Ó ×
Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ ÑÔÖ Ñ Öº Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÐ Ñ ÙØ Ö× ÓÒ Ð Ö Þº
½º Ë nodo == NULL Ø ÖÑ Ò º
¾º ÁÑÔÖ Ñ ´ º
¿º imprimir(LLINK(nodo));

282. 256 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
º ÁÑÔÖ Ñ Ð × Ñ ÓÐÓ ÓÒØ Ò Ó Ò ÒÓ Óº
º imprimir(RLINK(nodo));
º ÁÑÔÖ Ñ µ º
·
·
Ü ¾ Ü ½
Ü ¾ · Ü · ½
ÙÖ º½¾ ÈÖÓÝ ÓÒ Ò¬ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
È Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½¼¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÖÖÓ Ð × Ù Ò
((((x) ∧ (2)) + ((x) + (1))) + ((2) ∗ (y))) ; ´ºµ
Ð Ù Ð × ÙÒ × Ù Ò Ò¬ ¸ Ú Ð ¸ Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ö º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ º Ó Ø Ò ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Þ Ð Ö ÓÐ Ö ÒØ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ
Ò Ü º¾º¾ ´Ô Ò ¾ µº ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒ× ÖÚ Ð ÓÖÑ Ð Ö ÓÐ Ý
Ô ÖÑ Ø Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ×Ù ÓÖÑ ÓÖ Ò Ðº
ÍÒ ÓÖÑ Ú ×Ù Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó¸ ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÕÙ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó×
×Ø Ò ×Ù¬ ÒØ Ñ ÒØ × Ô Ö Ó׸ ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ò Ö Ð ÔÖÓÝ ÓÒ ÙÒ ÐÙÞ ×Ó Ö Ð
Ö Þº Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó × ÔÖÓÝ Ø Ö Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ × ØÙ Ó Ó Ð Ö Óк Ä ¬ ÙÖ º½¾
×ÕÙ Ñ Ø Þ Ð º
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚ Ö×Ó Ó Ð ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ ÓÑÓ
Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓÐ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ó¬ Ð × ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ó¬ Ó× ×
ÕÙ ØÓ Ó Ô Ò Ð Ø ÔÓ Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ð ÙÒ Ñ Ò Ö ¸ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó¸ ÙÒ Ó Ð
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÔÓ Ð Ö Óи ÓÒÐÐ Ú ×Ù¬ ÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ó Ö ×Ù ØÓÔÓÐÓ º
Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ô ÖÑ Ø ÒØ ¬ Ö ÒÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ö Þ Ý Ð Ö Þ
Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Óº È ÖÓ ×Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ ÔÓÖ × ×ÓÐ ÒÓ × ×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö
Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ðº Ë Ö ÕÙ Ö Ð Ó Ñ ×º
Ü ×Ø Ò Ú Ö Ó× Ñ ØÓ Ó× Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÖ Ò Ðº ÌÓ Ó× Ö ÕÙ Ö Ò Ò ÓÖÑ ÓÒ
ÓÒ Ðº ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ ØÓ Ó × Ò Ö Ð Ñ Ø ÓÖ × Ð Ö ÓÖÖ Ó Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö¹
ÒØ Þ ÜÔÐ Ò Ü º¾º¾ ´Ô Ò ¾ µ × ÙÒ ÑÔÐÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ÑÔÖ × ÓÒ
Ò¬ Ô Ö ÒØ Þ × ÓØÖÓ ÑÔÐÓº
Ù Ð ×Ð Ö Ò ÒØÖ Ð × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ô Ö ÒØ Þ × Ü º¾º¾ ´Ô Ò ¾ µ Ý
Ð ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º È Ö Ö ×ÔÓÒ Ö¸ Ó × ÖÚ ÑÓ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Þ
Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½¼
(∗(+(∧(x)(2))(+(x)(1)))(∗(2)(y))) ´ºµ
Ð Ð Ñ Ò Ö ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×¸ Ð ÜÔÖ × ÓÒ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÒØ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ´ º µ × Ö¸
× Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Óº

283. ´
4.4. Arboles Binarios 257
Ä Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Þ Ü º¾º¾ ´Ô Ò ¾ µ × ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÜØ Ò Ð
Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Óº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ×ØÖÙ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ×
ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÜØ Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Óº Ñ × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÓÒØ Ò Ò Ò ÓÖÑ ÓÒ
×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ðº
ÇØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ð ÓÒ× ×Ø Ò ÓÑ Ò Ö Ð Ò ÓÖ¹
Ñ ÓÒ Ó× Ö ÓÖÖ Ó× Ö ÒØ × ×Ó Ö Ð Ñ ×ÑÓ Ö ÓÐ Ø Ò ÕÙ ÜÔÐ Ö ÑÓ× Ò
Ü º º½¿ ´Ô Ò ¾ ½µº
*
+ *
+ ^ 2 y
x 1 x 2
ÙÖ º½¿ Ö ÓÐ ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ð ¬ ÙÖ º½¼
ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÒÓÖÑ Ð¸ × Ò Ô Ö ÒØ × ×¸ ÒÓ × ÔÓ× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð ÙÒ Ö ÓÐ ÔÓÖÕÙ
× ÑÔÓ× Ð ÓÒÓ Ö Ð ÔÖ Ò º
ÅÙ Ó× Ø ÔÓ× Ö ÓÐ × ÔÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö× ÓÒ Ø Ò ×ÓÐÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ó ×Ù¬ Óº
Ü ×Ø Ò ×Ó× Ò ÐÓ× Ù Ð × ÒÓ × Ò × Ö Ó Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÒØ Ó Ð ÓÖ Ò Ð¸ Ô ÖÓ ×
ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ× Ð ×ØÖ ÓÒº ÍÒ ÑÔÐÓ ÒÓØ Ð ×Ø Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ö ÓÐ ×
ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½¿ × Ö ÒØ Ò ÓÖÑ
Ô ÖÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½¼º Ô × Ö Ð × Ñ Ù ×¸ ×
ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖ Ò Ö ÕÙ ¸ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÔÖ ¬ Ó ×Ù¬ ¸ × ÔÓ× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö
ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ð Ú ÐÙ ÓÒ Ð ÜÔÖ × ÓÒº
×ØÓ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ Ð ÙÒ Ñ Ò Ö Ð ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ ÔÓ× ×Ù¬ ÒØ
Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Óи Ö Ó¸ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸
Ò Ð ×Ó Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ×¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÓÔØ Ö ÔÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÕÙ ØÙ
Ð Ú ÐÙ ÓÒ ÞÕÙ Ö Ö º ØÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ×Ø ÝÐ
Ñ Ù ÒÓ × ÑÔÓÖØ ÒØ º × Ô٠׸ × ÑÔÖ ÔÓ Ö ÑÓ× ØÖ Ö ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ ×
×Ù¬ ׸ ÙÒ ÓÖÑ ¬ Þ Ý ÑÙÝ ÓÑÔ Ø ÐÑ Ò Ö ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ×º
4.4.3 Un TAD gen´rico para ´rboles binarios
e a
ÒØ × ÓÖ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÒÓ× ÒØÖ Ò Ò Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö ÓР׸ ×Ø Ð Ö ÑÓ×
ÙÒ Ì ×Ó Ö Ð Ù Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ö ÑÓ× Ð Ñ ÝÓÖ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö ÓÐ Ò Ö Ó
×Ø Ø ÜØÓº
ÅÓ Ð Þ Ö ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ Ñ Ò ×ÑÓ Ò Ö Ó Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÒÓ Ó× Ò ¹
Ö Ó× º ÐÓ Ð Ö Ó ×Ø Ø ÜØÓ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× Ö ÒØ × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö ÓÐ Ò Ö Óº
Ä Ñ ÝÓÖ ÐÐ × × ÑÔÖ Ñ Ò Ö Ò ØÖ × ØÖ ÙØÓ× × Ó× ÙÒ Ð Ú ¸ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ
Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ý ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ö Ñ Ö º Ë ÙÒ Ð Ø ÔÓ Ö Óи Ð ÒÓ Ó
ÔÙ ÓÒØ Ò Ö Ð ÙÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓÒ Ð ÓÒØÖÓк ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÓÒØÖ Ö
ÙÒ ÓÖÑ ¬Ò Ö Ò Ö Ñ ÒØ ÒÓ Ó× Ò Ö Ó× Ù ÐÕÙ Ö Ò ÓÐ Ó ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ×

284. 258 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
½º Soporte para atributos generales Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó¸ ÔÓ Ö Ö×
Ð Ð Ú Ý ×Ù× Ö Ñ × × Ò ÒØ ×º ×ØÓ× ØÖ ÙØÓ× ×ÓÒ ÓÑÙÒ × ØÓ Ó× Ð ×
Ð × × ÒÓ Ó× Ò Ö Ó× ÔÓ× Ð ×º
¾º Especificaci´n de atributos opcionales Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸
o ÔÓ× Ð Ø Ö× Ð
Ð Ö Ö ØÖ ÙØÓ× ÔÖÓÔ Ó× ÙÒ Ð × Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓ Ó Ò Ö Óº
¿º Soporte opcional para destructores virtuales Ð Ù×Ù Ö Ó ÔÙ ØÖ Ö ÓÔ¹
ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÒÓ Ó× ÕÙ ÔÓ× Ò ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØ٠Р׺
º Soporte para nodos centinelas especiales ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÐ Ú Ó ×
× Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ ×Ô Ð NULLº È Ö ÖØ × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö Óи × ÓÒÚ ¹
Ò ÒØ ÕÙ ×Ø Ö ÓÐ Ú Ó × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ò×Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓ Óº
× ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ × ÜÔ Ò Ò Ð××
Ô Ö Ñ ØÖ Þ ×º ÄÓ× Ñ ÖÓ× × ¬Ò Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÒÆÓ ºÀ ´Ò Ú Ö ¬Ò µ º
ØÔÐ ÒÆÓ ºÀ ´Ò Ú Ö ¬Ò µ ÜÔÓÖØ Ó× Ñ ÖÓ׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ × ¬Ò Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
¾ Ñ ÖÓ× ÜØ ÖÒÓ× BinNode<Key> ¾ ≡ ¾
# define DECLARE_BINNODE(Name, height, Control_Data)
INIT_CLASS_BINNODE(Name, height, Control_Data)
};
template <typename Key> Name<Key> * const Name<Key>::NullPtr = NULL;
INIT_CLASS_BINNODE(Name##Vtl, height, Control_Data)
virtual ~Name##Vtl() { /* empty */ }
};
template <typename Key> Name##Vtl<Key> * const Name##Vtl<Key>::NullPtr = NULL
¬Ò ×
DECLARE BINNODE¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ ¼ ¸ ¿½ ¸ Ò º
DECLARE BINNODE() Ò Ö Ó× Ð × × Ô Ö Ñ ØÖ Þ × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÒÓ Ó× Ò Ö Ó×
Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð ÙÒ Ð × Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Name × Ð ÒÓÑ Ö ÔÖ ¬ Ó
Ð × Ð × × ÕÙ × × Ò Ò Ö Öº Ð Ñ ÖÓ × ÜÔ Ò Ó× Ð × × × ÒØ × Name
Ý NameVtlº Ä ÙÒ Ö Ò × ÕÙ NameVtl ÔÓ× ÙÒ ×ØÖÙ ØÓÖ Ú ÖØ٠к
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ height Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ×Ø Ñ Ó Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö
Ð Ö ÓÐ Ò Ö Óº ÅÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ×ÓÒ Ö ÙÖ× ÚÓ׸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð
ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó Ò Ô Ð × ÙÒ ØÓÖ ÓÒ× Ö Öº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð ØÖ ÙØÓ height
Ó Ö ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ × ÖÚ ÐÓ× Ð Ó¹
Ö ØÑÓ× ØÓÑ Ö ÔÖ Ú × ÓÒ × Ö Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ò Ô Ð º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Control Data × ÙÒ Ð × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒ
ÓÒØÖÓÐ Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ ×Ô Ð Þ ÓÒ¸ Ð Ù Ð Ú Ö × ÙÒ Ð Ø ÔÓ
Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ × Ñ Ò º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ×
Ò Ü º ´Ô Ò ½¿µ ÐÑ Ò Ò ÙÒ ÓÐÓÖº ×Ø ÕÙ ÑÓ× ÕÙ Control data ÒÓ ×Ø ×Ø ¹
Ò Ù× Ö× ÔÓÖ Ð Ù×Ù Ö Ó ¬Ò Ð
ÅÙ Ó× Ø ÔÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× × ÙØ Ð Þ Ò Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ñ Ô Ó× ÒØÖ Ð Ú ×
Ð ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ý Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÙÒ Ö Ò Óº Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ ÐÓ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö ×
ÕÙ ÒÓ Ó ÐÑ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ö Ò Ó Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÙ ×ØÖ ÔÖ Ø Ò× ÓÒ
× Ò Ö ¸ ÒÓ ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö Control Data¸ ÔÙ × × ÒÓ ÒÚ Ð Ö ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ
Ì Ö ÓÐ ÖÓ Ó Ò Ö Óº
Ò Ò Ð ×¸ ÒØ Ò Ð × × Ö × ÒØ Ò Ð ´ ÓÒ × µ

285. ´
4.4. Arboles Binarios 259
ÍÒ Ñ Ò Ö Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ñ Ô Ó × Ñ ÒØ Ö Ò ÒØ Ö Þº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ
Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ Ñ Ô Ó Ñ ÒØ Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ñ Ô Ó ÒØÖ ÒÙÑ ÖÓ×
ÙÐ Ý Ô ÐÐ Ó׸ ÔÙ ×Ô ¬ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
RbNode<int>
-key: int
-lLink: RbNode *
-rlink: RbNode *
+RbNode(k:const int &)
+RbNode(node:const RbNode &)
+RbNode()
+reset(): void
+get_key(): int&
+getL(): RbNode*&
+getR(): RbNode*&
Persona
+apellidos: string
+apellidos(): string
+modificar_apellidos(in a:string): void
Ò ×Ø ×Ó¸ ÑÔÐ ÒØ ÑÓ× ÙÒ Ñ Ô Ó ¬ Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ×Ø ÓÒØ Ò Ö Ô Ö ×
Ø ÔÓ [int,string]º
Ë × ÑÓ× ÙÒ Ñ Ô Ó Ò Ö Ó¸ Ð Ù Ð × Ñ × ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð × Ö Ú
× Ö ÙÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ ¸ ÐÓ Ù Ð¸ Ò Ð ×Ó ÒÙ ×ØÖÓ ÑÔÐÓ¸ ÔÙ ×Ô ¬ Ö× Ð
× Ù ÒØ Ñ Ò Ö
RbNode<Key>
-key: Key
-lLink: RbNode<Key> *
-rlink: RbNode<Key> *
+RbNode(k:const Key &)
+RbNode(node:const RbNode<Key> &)
+RbNode()
+reset(): void
+get_key(): Key&
+getL(): RbNode<Key>*&
+getR(): RbNode<Key>*&
key:class Key
data:Data
Mapppig
+apellidos: string
+apellidos(): string
+modificar_apellidos(in a:string): void
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ö ÕÙ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ ×Ô Ð Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ö ÓÐ Ú Óº Ì Ð Ú ÐÓÖ
× ÐÑ Ò Ò Ð ØÖ ÙØÓ ×Ø Ø Ó Name<T>::NullPtr¸ Ð Ù Ð Ò Ð Þ Ö×
ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ö ÓÐ Ú Óº ÈÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ DECLARE BINNODE() ×ÙÑ ÕÙ Ð
Ö ÓÐ Ú Ó × Ð Ú ÐÓÖ NULLº
Ð ÙÒ × Ú × × ÓÒÚ Ò ÒØ ÕÙ NullPtr ÔÙÒØ ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð Ô ÖØ ÙÐ Öº Ò
×Ø × × ØÙ ÓÒ × ÑÓ× Ù× Ö Ð Ñ ÖÓ DECLARE BINNODE SENTINEL()¸ Ð Ù Ð × ¬Ò
Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾ Ñ ÖÓ× ÜØ ÖÒÓ× BinNode<Key> ¾ +≡ ¾ ¾¼
# define DECLARE_BINNODE_SENTINEL(Name, height, Control_Data)
INIT_CLASS_BINNODE(Name, height, Control_Data)

286. 260 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Name(SentinelCtor) :
Control_Data(sentinelCtor), lLink(NullPtr), rLink(NullPtr) {}
static Name sentinel_node;
};
template <typename Key>
Name<Key> Name<Key>::sentinel_node(sentinelCtor);
template <typename Key>
Name<Key> * const Name<Key>::NullPtr = &Name<Key>::sentinel_node;
INIT_CLASS_BINNODE(Name##Vtl, height, Control_Data)
virtual ~Name##Vtl() { /* empty */ }
private:
Name##Vtl(SentinelCtor) :
Control_Data(sentinelCtor), lLink(NullPtr), rLink(NullPtr) {}
static Name##Vtl sentinel_node;
};
template <typename Key>
Name##Vtl<Key> Name##Vtl<Key>::sentinel_node(sentinelCtor);
template <typename Key>
Name##Vtl<Key> * const Name##Vtl<Key>::NullPtr =
&Name##Vtl<Key>::sentinel_node
¬Ò ×
DECLARE BINNODE SENTINEL¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ¿¸ ¸ ¸ Ò ½º
Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ñ × × ÑÔÐ ¸ ÐÐ Ñ Ó BinNode<Key>¸ × ¬Ò Ò ÙÒ ×ÓÐ Ð Ò
¾¼ Ð× BinNode<Key> ¾ ¼ ≡
DECLARE_BINNODE(BinNode, 1024, Empty_Node);
¬Ò ×
BinNode¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¿ ¸ ¿ ß ¸ ¿ ½ ¸ Ò ¿¾ º
BinNodeVtl¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¿ Ò ¿¾ º
Í× × DECLARE BINNODE ¾ º
Ä Ð × BinNode<Key> ×Ô ¬ Ð Ñ × × ÑÔÐ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
Ë Ò ÓÒÓ Ö Ð Ø ÔÓ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ × ØÖ Ø ¸ ×Ù ÐØÙÖ × ×Ø ÒØ Ú Ö Ð Ý Ô Ò
Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ Ð × Ð Ú × × Ò Ò× ÖØ ×º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ð Ø Ñ ÒÓ ÙÒ Ô Ð ÕÙ
ÓÔ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ö ÐÓ ×Ù¬ ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ô Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÐØÙÖ ×
Ð Ú ×º ÓÑÓ × ÑÙÝ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ Ü Ñ ÐØÙÖ ÕÙ ÔÓ Ö Ð ÒÞ Ö ÙÒ Ö ÓÐ
Ò Ö Ó Ò Ö Ð¸ Ð ¬ ÑÓ× Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Ö Ò ¸ Ô ÖÓ Ú ÖØ ÑÓ× ÕÙ ×ØÓ ÒÓ Ð Ñ Ò Ð
ÔÓ× Ð ÙÒ × ÓÖ ÔÐ º
BinNode<Key> ÒÓ Ø Ò ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓÐ ×Ô Ð × ÔÓÖ ×Ó¸ ÓÐÓ ÑÓ× Ð Ð ×
Ú Aleph::Empty Node¸ Ð Ù Ð ×Ø ¬Ò Ò Ð Ð Ð ÓØ º
ÈÖ Ð Ø Ö Ð Ð Ð ¸ × ÜÔÓÖØ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ÖÓ×
¾¼ Ñ ÖÓ× ÜØ ÖÒÓ× BinNode<Key> ¾ +≡ ¾
# define LLINK(p) ((p)->getL())
# define RLINK(p) ((p)->getR())
# define KEY(p) ((p)->get_key())
Ó ÙÒ ÒÓ Ó p¸ Ð ×Ó Ð Ð Ú × Ö Ð Þ ÓÒ KEY(p)¸ Ð ×Ó Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö
ÓÒ LLINK(p) Ý Ð ×Ó Ð ÖÑ Ö ÓÒ RLINK(p)º
ÍÒÓ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ø ÔÓ Ð Ú ¸
Ð Ù Ð × Ò Ö Ñ ÒØ × ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö key typeº ÍÒ ÙÒ ÓÒ Ò Ö
ÔÙ ÓÒÓ Ö Ð Ø ÔÓ Ð Ú ÙÒ ÒÓ Ó Ñ ÒØ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ
typename Node::key_type

287. ´
4.4. Arboles Binarios 261
class Key:
BinNode
+getKey(): Key&
+getL(): Name*&
+getR(): Name*&
+Name(k:const Key&)
+Name(control_data:const Control_Data&,k:const Key&)
+Name(node:const Name&)
+Name(control_data:const Control_Data&)
+Name()
+reset(): void
ÙÖ º½ Ö Ñ ÍÅÄ Ð Ð× BinNode<Key>
Ä Ù Ð Ö ¬ Ö Ð Ø ÔÓ Ð Ú Ð ÒÓ Óº Å ÒØ ×Ø ÒØ Ö Þ¸ × ÔÙ ×ÒÖ
Ó Ó Ò Ö Ó¸ × Ò Ò × ×Ô ¬ Ö¸ Ò ÓÒÓ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ¸ Ð Ø ÔÓ Ð Ú
ÕÙ Ð Ö Ð ÒÓ Óº
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ × ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ Ù Ö ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ ÓÒØÖÓÐ Ð ÐØÙÖ Ð
ÒÓ Óº ¬Ò ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ Ð × ÕÙ ÓÒØ Ò Ø Ð ØÖ ÙØÓ Ý ÒÓ× Ú Ð ÑÓ× ÐÓ× Ñ ÖÓ×
Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
class Altura
{
private:
size_t altura;
public:
Altura() { /* Empty */ }
Altura(size_t a) : altura(a) { /* empty */ }
size_t dar_altura() const { return altura; }
};
DECLARE_BINNODE(Nodo, 255, Altura);
SET_BINNODE_NULL_POINTER(NULL, Nodo);
Ð Ñ ÖÓ × ÜÔ Ò Ó× Ð × × ÔÐ ÒØ ÐÐ ÒÓÑ Ò × Nodo<Key> Ý NodoVtl<Key>¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä × Ð × × ×ÓÒ × ÒØ ×¸ × ÐÚÓ ÕÙ NodoVtl<Key> ¬Ò ÙÒ ×¹
ØÖÙ ØÓÖ Ú ÖØ٠к
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ Nodo<Key> × Ð × Ù ÒØ
template <typename Key, size_t _MaxHeight = 255>
class Nodo : public Altura
{
public:
static Nodo * NullPtr;
static const size_t MaxHeight = _MaxHeight;
typedef Key key_type;
private:
Key key;
Nodo * lLink;
Nodo * rLink;

288. 262 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
public:
Key & get_key() { return key; }
Nodo *& getL() { return lLink; }
Nodo *& getR() { return rLink; }
Nodo(const Key & k) : key(k), lLink(NullPtr), rLink(NullPtr) { }
Nodo(const Altura & control_data, const Key& k) :
Altura(control_data), key(k), lLink(NullPtr), rLink(NullPtr) { }
Nodo(const Altura & control_data) :
Altura(control_data), lLink(NullPtr), rLink(NullPtr) { }
Nodo() : lLink(NullPtr), rLink(NullPtr) { }
Nodo(EmptyCtor) { }
void reset() { rLink = lLink = NullPtr; }
};
template <typename Key, size_t _MaxHeight>
BinNode<Key, _MaxHeight> * BinNode<Key, _MaxHeight>::NullPtr = NULL;
Ä × Ð × × Nodo<Key> Ý NodoVtl<Key> Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ñ Ð × ÒÓ Ó× Ò Ö Ó× ÓÒ
ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓÐ ¬Ò Ó× Ò Ð Ð × Altura Ý ÓÒ Ð Ú Ò Ö Keyº Ð ×Ó Ð
Ð Ú ×Ø Ó ÔÓÖ get key() Ý ÐÓ× ×Ó× Ð × Ö Ñ × ÞÕÙ Ö Ý Ö ÔÓÖ getL() Ý
getR()¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Nodo<Key> Ö ÔÙ Ð Ñ ÒØ Alturaº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÒ Nodo<Key> ׸ Ø Ñ Ò¸
Ø ÔÓ alturaº ×Ø ÑÓ Ó¸ Nodo<Key> Ø Ò ×Ó ØÓ Ð ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð Alturaº
À Ý Ò Ó Ñ Ò Ö × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Nodo<Key> Ö ÔÖ × ÒØ × ÔÓÖ ÐÓ× Ò Ó ÓÒ×ØÖÙ ¹
ØÓÖ × Ò Ö Ó× ÐÓ× Ù Ð ×¸ Ü Ô ÓÒ Ð ÕÙ ÒØÓ¸ × ÜÔÐ Ò ÔÓÖ × ×ÓÐÓ׺ Ë × Ö ¹
ÕÙ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð ¸ ×Ø × Ò×Ø Ò Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÒØÓ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ¸ Ð Ù Ð Ö ÕÙ Ö
ÕÙ Node::Node(SentinelCtor) × ¬Ò Ò Ð Ð × Alturaº
Ä ÔÐ ÒØ ÐÐ Nodo<Key> Ø Ò Ó× ØÖ ÙØÓ× ×Ø Ø Ó׺ Node::NullPtr × Ð ÔÙÒ¹
Ø ÓÖ Ð Ö ÓÐ Ú Óº Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð × × ØÙ ÓÒ ×¸ ×Ø ÔÙÒØ ÖÓ Ø Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ
ÒÙÐÓ Ò ÓØÖ × Ó × ÓÒ ×¸ Node::NullPtr Ö ÓÒ Ö Ð ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð º Ð Ú ÐÓÖ
Node::NullPtr ¬Ò Ö× ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð ÒÚÓ ÒØ DECLARE BINNODE Ñ ¹
ÒØ Ð Ñ ÖÓ SET BINNODE NULL POINTERº ×Ø Ñ ÖÓ ØÓÑ ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð ÒÓÑ Ö
Ð Ð × ÒÓ Ó Ý Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð º
Ð × ÙÒ Ó ØÖ ÙØÓ ×Ø Ø Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ×Ø Ñ Ó ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ ¸ ÕÙ
ÔÙ × Ö Ö ÕÙ Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø Ñ ÒÓ ×Ù× Ô Ð ×º
ÍÒ Nodo<Key> ÔÙ Ö ÙØ Ð Þ Ö× º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÜØÖ ÖÐÓ ÙÒ Ö ÓÐ
Ò× ÖØ ÖÐÓ Ò ÓØÖÓº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ×Ø Ó Ð ÒÓ Ó × Ö Ö Ò Óº È Ö ÐÐÓ × ÔÖÓÚ
Ð Ñ ØÓ Ó reset()º
4.4.4 Contenedor de funciones sobre ´rboles binarios
a
ÅÙ × ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× × Ò Ô×ÙÐ Ò Ò ÙÒ Ð ÓØ ×Ô ¹
Ð ÕÙ ÓÒØ Ò Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ø Ô Ó× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ý ÕÙ × ¬Ò Ò Ð
Ö ÚÓ tpl binNodeUtils.Hº
Ä Ð ÓØ ÓÒØ Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× Ø Ô Ó× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ù ÓÒ
Ö ÓÖÖ Ó׸ ÙÔÐ ÓÒ Ö ÓР׸ Ø Ø Ö º
Ä Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ Ð × ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ ×ÓÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ × ÓÒ Ð ÓÖÑ
Ò Ö Ð × Ù ÒØ

289. ´
4.4. Arboles Binarios 263
template <class Node> funci´n (...) { ... }
o
× Ö¸ Ð Ø ÔÓ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó × ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ò Ö Ó Nodeº Ð ÓÒØÖ ØÓ Ñ Ò ÑÓ
Ô Ö ÕÙ Ð Ð ÓØ ÓÔ Ö × ÕÙ Node ÜÔÓÖØ Ð × ÙÒ ÓÒ × BinNode<Key> ¬Ò ×
Ò tpl binNode.Hº
4.4.5 Recorridos recursivos
Ä ÖÙØ Ò Ö ÓÖÖ Ó × Ö Ñ Ø ×Ù ÙÒ ÓÒ × Ö ÓÖÖ Öº × Ô٠׸ ÙÒ ÖÙØ Ò
Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ø Ò Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ
template <class Node> inline
int inOrderRec(Node * root, void (*visitFct)(Node*, int, int))
Ä ÙÒ ÓÒ inOrderRec() Ö ÓÖÖ Ò ÓÖÑ Ò¬ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÒ Ö Þ root Ý
Ö ØÓÖÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó׺ Ú Þ ÕÙ × Ú × Ø ÙÒ ÒÓ Ó¸ × ØÙ ÙÒ
ÐÐ Ñ Ð ÙÒ ÓÒ ÔÙÒØ ÔÓÖ visitFct¸ Ð Ù Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ Ð × Ù ÒØ
ÔÖÓØÓØ ÔÓ
template <class Node>
void visitFct(Node* node, int level, int position)
node × ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó¸ level × Ð Ò Ú Ð Ó Ð ÔÖÓ ÙÒ Ð ÒÓ Ó
Ö ×Ô ØÓ Ð Ö Þ Ý position × ×Ù ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Óº
inOrderRec() × ÙÒ ÛÖ ÔÔ Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ ×Ø Ø ¸ Ò Ö ØÙ Ö
Ð Ö ÓÖÖ Ó¸ Ð Ù Ð × Ö Ú Ö Ø Ñ ÒØ Ð ¬Ò ÓÒ
¾¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ ≡ ¾¿
template <class Node> inline static
void __inorder_rec(Node * node, const int& level, int & position,
void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
if (node == Node::NullPtr)
return;
__inorder_rec(static_cast<Node*>(LLINK(node)), level + 1, position, visitFct);
(*visitFct)(node, level, position);
++position;
__inorder_rec(static_cast<Node*>(RLINK(node)), level + 1, position, visitFct);
}
Ð Ò Ú Ð level × Ò Ö Ñ ÒØ Ò ÐÐ Ñ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð position Ò Ú×Ø º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ position × ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÓÖ Ö Ö Ò ¸ ÔÙ × ×Ø Ö ÕÙ Ö ØÙ Ð Þ Ö× Ò
Ú×Ø º
È Ö ÕÙ Ð ÖÙØ Ò × ÓÒ× ×Ø ÒØ ¸ Ð ÐÐ Ñ Ò Ð Ö Ð Þ Ö× ÓÒ Ú ÐÓÖ ×
level Ý position Ù Ð × ÖÓº ×Ø × Ð ØÖ Ó inOrderRec()
¾¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾¿ ¾
template <class Node> inline
int inOrderRec(Node * root, void (*visitFct)(Node*, int, int))
{
int position = 0;
__inorder_rec(root, 0, position, visitFct);
return position;
}

290. 264 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
inOrderRec()Ö ØÓÖÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö Óк
ÄÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó Ý ×Ù¬ Ó × ¬Ò Ò Ñ Ò Ö Ò ÐÓ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾¿ ¾
template <class Node> inline static
void __preorder_rec (Node * p, const int & level, int & position,
void (*visitFct)(Node*, int, int))
{
if (p == Node::NullPtr)
return;
(*visitFct)(p, level, position);
++position;
__preorder_rec(static_cast<Node*>(LLINK(p)), level + 1, position, visitFct);
__preorder_rec(static_cast<Node*>(RLINK(p)), level + 1, position, visitFct);
}
template <class Node> inline
int preOrderRec(Node * root, void (*visitFct)(Node*, int, int))
{
int position = 0;
__preorder_rec(root, 0, position, visitFct);
return position;
}
template <class Node> inline static
void __postorder_rec(Node * node, const int & level, int & position,
void (*visitFct)(Node*, int, int))
{
if (node == Node::NullPtr)
return;
__postorder_rec(static_cast<Node*>(LLINK(node)), level + 1, position, visitFct);
__postorder_rec(static_cast<Node*>(RLINK(node)), level + 1, position, visitFct);
(*visitFct)(node, level, position);
++position;
}
template <class Node> inline
int postOrderRec(Node * root, void (*visitFct)(Node*, int, int))
{
int position = 0;
__postorder_rec(root, 0, position, visitFct);
return position;
}
ÌÓ × Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ö ÓÖÖ Ó ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ Ø Ò Ò ÓÑÓ
ÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ð × ÙÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ × ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ú × Ø
Ð ÒÓ Ó ÕÙ ÔÖÓÚ Ð Ð ÒØ Ð Ð ÓØ º Ä ÙÒ ÓÒ × Ö ÒÚÓ ÙÖ ÒØ Ð Ú × Ø
ÓÖ ×Ù Ö ÓÖÖ Óº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ ÔÖ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × Ð Ú × Ø Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÒÙÐÓº
4.4.6 Recorridos no recursivos
Ð ×ØÙ Ó ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× × ÙÒÓ ÐÓ× Ñ ÓÖ × ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ× Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ÓР׸
ÔÙ × ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ó Ò Ô ØÖÓÒ × ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ó ÓÑ Ò ÓÒ × ÐÐÓ׺
ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ú Ö× ÓÒ Ñ × × ÑÔÐ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó

291. ´
4.4. Arboles Binarios 265
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
size_t simple_preOrderStack(Node * node, void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
if (node == Node::NullPtr)
return 0;
ArrayStack<Node *, Node::MaxHeight> stack;
stack.push(node);
Node * p;
size_t count = 0;
while (not stack.is_empty())
{
p = stack.pop();
(*visitFct) (p, stack.size(), count++);
if (RLINK(p) != Node::NullPtr)
stack.push(RLINK(p));
if (LLINK(p) != Node::NullPtr)
stack.push(LLINK(p));
}
return count;
}
Í× × ArrayStack ½¼ º
Ð Ô ØÖÓÒ Ø Ö Ø ÚÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × × ÑÔÐ Ú × Ø ¸ ÒØÖÓ ÙÞ Ð Ö ÓÐ Ö Ó¸ ÐÙ Ó
Ð ÞÕÙ Ö Ó Ý × ÕÙ Ð Ô Ð º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó Ù ÒØÖÓ Ù Ó ×ÔÙ × Ð
Ö Ó¸ Ð ÞÕÙ Ö Ó × Ö Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÜØÖ Ö× Ý Ú × Ø Ö× º
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ò Ú Ð Ð ÒÓ Ó × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ø Ñ ÒÓ ØÙ Ð Ð Ô Ð
ÓÖ Ò¸ × ÙÒ Ð ¬Ò ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó¸ Ð Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó × Ú × Ø ÒÑ ¹
Ø Ñ ÒØ ×ÔÙ × Ú × Ø Ö Ð ÒÓ Óº ÈÓ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ñ ÓÖ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ¸ Ò
ÐÙ Ö Ù Ö Ö Ò Ô Ð Ð Ö ÓÐ Ö Ó¸ Ù Ö ÑÓ× ×Ù Ô Ö Ý ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ ØÓ Ó ÒÓ Ó
ÜØÖ Ó Ð Ô Ð Ý Ù Ú × Ø Óº ×Ø Ô ØÖÓÒ ÓÒ Ù Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÒØ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
size_t preOrderStack(Node * node, void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
if (node == Node::NullPtr)
return 0;
ArrayStack<Node *, Node::MaxHeight> stack;
Node *p = node;
size_t count = 0;
while (true)
{
(*visitFct)(p, stack.size(), count++);
if (LLINK(p) != Node::NullPtr)
{
stack.push(p); // push porque p y RLINK(p) faltan por visitarse
p = LLINK(p); // avanzar a la izquierda
continue; // ir a visitar ra´z rama izquierda
ı
}
while (true)
{

292. 266 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
if (RLINK(p) != Node::NullPtr)
{
p = RLINK(p); // avanzar a la derecha
break; // ir a visitar ra´z rama derecha
ı
}
if (stack.is_empty())
return count; // fin
p = stack.pop(); // sacar para ir a rama derecha
}
}
}
Í× × ArrayStack ½¼ º
ÙÒ ÖØ Ñ Ò Ö ¸ ØÓ Ó Ö ÓÖÖ Ó Ø Ò Ð Ó ÔÖ ¬ Ó¸ ÔÙ × ØÓ Ó Ö ÓÐ ×
ØÖ Ú × Ð × Ö × ×Ù× ×Ù Ö ÓР׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ × ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ×Ô Ö Ð ÕÙ Ð
Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ø Ò ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ñ Ð Ö Ð ÔÖ ¬ Ó¸ ÔÙ × Ð ÖÒ ×Ò Ð × Ð
ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÕÙ × Ú × Ø Ð Ö Þº
Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ú × Ø Ð Ö Þ ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö ÔÓÖ Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
Ð Ò¬ Ó ÐÓ ×ÔÙ × Ú Ò Ö × Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö º Ó ×ØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ö
Ð Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
size_t inOrderStack(Node * node, void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
if (node == Node::NullPtr)
return 0;
ArrayStack<Node *, Node::MaxHeight> stack;
Node *p = node;
size_t count = 0;
while (true)
{
if (LLINK(p) != Node::NullPtr)
{
stack.push(p); // push porque p y RLINK(p) faltan por visitarse
p = LLINK(p); // avanzar a la izquierda
continue; // continuar bajando por la rama izquierda
}
while (true)
{
(*visitFct)(p, stack.size(), count++);
if (RLINK(p) != Node::NullPtr)
{
p = RLINK(p); // avanzar a la derecha
break; // ir a visitar ra´z rama derecha
ı
}
if (stack.is_empty())
return count;
p = stack.pop(); // sacar para ir a rama derecha
}
}
}

293. ´
4.4. Arboles Binarios 267
Í× × ArrayStack ½¼ º
Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó × Ñ × ÓÑÔÐ Ó Ý Ó×ØÓ×Ó ÔÓÖÕÙ Ð × ÑÔ Ð Ö Ý ÕÙ Ú Ö ¬ Ö
× × ÔÖÓÚ Ò × Ð ÞÕÙ Ö Ó Ð Ö º ÍÒ Ñ Ò Ö ×Ø Ò Ù Ö ×Ø Ð ×
ÔÖÓÚ Ò Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ö Ö Ð ÒÓ Ó ÑÔ Ð Ó ÓÒ Ð × ÒØ Ó Ð Ö ÓÖÖ Óº ×Ø
ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð × Ù ÒØ Ô Ð
¾ Ð Ö ÓÒ Ô Ð ×Ù¬ ¾ ≡
typedef Aleph::pair<Node*, char> Postorder_Pair;
ArrayStack<Postorder_Pair, Node::MaxHeight> stack;
Í× × ArrayStack ½¼ º
Ð char Ð Ô Ð Ù Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × × Ù ÒØ ×
¯ ’i’ ÁÒ ÕÙ × ÑÔ ÐÓ ÒØ × × Ò Ö ÔÓÖ Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö º
¯ ’l’ ÁÒ ÕÙ × ÑÔ ÐÓ Ö Ö ×Ó Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö º
¯ ’r’ ÁÒ ÕÙ × ÑÔ ÐÓ Ö Ö ×Ó Ð Ö Ñ Ö º × Ò ×Ø ×Ó ÕÙ ×
Ú × Ø Ö Ð ÒÓ Óº
ÍÒ Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó × Ó Ò ×ØÓ× ÔÖ Ò Ô Ó× ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ó Ò Ð Ð ÓØ Ó Ð ÒÓѹ
Ö postOrderStack()º Î × Ð Ù ÒØ Ô Ö Ñ ÝÓÖ × Ø ÐÐ × ×Ó Ö Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓº
4.4.7 C´lculo de la cardinalidad
a
ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ ¸ Ð ÔÐ ÓÒ Ñ × × Ò ÐÐ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× × Ð ÙÐ Ö Ð Ö ÒÐ
ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ Ð Ù Ð ÔÙ ¬Ò Ö× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ
0 × T =∅
|T | = ´ º½¼µ
| Ä(T )| + 1 + | Ê(T )| × T = ∅
×Ø ¬Ò ÓÒ × ÖÚ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
size_t compute_cardinality_rec(Node * node)
{
if (node == Node::NullPtr)
return 0;
return (compute_cardinality_rec(LLINK(node)) + 1 +
compute_cardinality_rec(RLINK(node)));
}
4.4.8 C´lculo de la altura
a
Ê ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ¸ Ð ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T × ¬Ò ÓÑÓ
0 × T =∅
h(T ) = ´ º½½µ
1 + Ñ Ü(h(Ä(T )), h(Ê(T ))) × T = ∅

294. 268 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
×Ø ÑÓ Ó¸ × Ò ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ö Ñ Ò × ÒØ Ð ¬Ò ÓÒ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
size_t computeHeightRec(Node * node)
{
if (node == Node::NullPtr)
return 0;
const size_t left_height = computeHeightRec(LLINK(node));
const size_t right_height = computeHeightRec(RLINK(node));
return 1 + Aleph::max(left_height, right_height);
}
¬Ò ×
computeHeightRec¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ ¼ º
4.4.9 Copia de ´rboles binarios
a
Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T ¸ ÓÔ ÖÐÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T ÙÝ ÓÖÑ
Ý ÓÒØ Ò Ó × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ T º ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÙ ¬Ò Ö× Ö ÙÖ× Ú ¹
Ñ ÒØ ÓÑÓ × Ù
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
Node * copyRec(Node * src_root) throw(std::exception, std::bad_alloc)
{
if (src_root == Node::NullPtr)
return (Node*) Node::NullPtr;
Node * tgt_root = new Node(*src_root);
LLINK(tgt_root) = copyRec<Node>(static_cast<Node*>(LLINK(src_root)));
RLINK(tgt_root) = copyRec<Node>(static_cast<Node*>(RLINK(src_root)));
return tgt_root;
}
¬Ò ×
copyRec¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ ½ º
Ò ×Ø Ó Ó × ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÑ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ø ÔÓ׺ ÆÓØ ¹
ÑÓ× ÕÙ copyRec() ÓÔ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÓÒ ÒÓ Ó× Ø ÔÓ Node¸ Ð Ù Ð ÔÓ Ö
ÖÚ Ö ÙÒ Ð × ÒÓ Ó Ö ÓÐ Ò Ö Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ¹
× Ú copyRec<Node>(LLINK(src root)) ×Ô ¬ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ Node¸ ÔÙ ×
× ÒÓ¸ Ò Ð ×Ó ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ Ð × Ö Ú ¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÒÚÓ Ö copyRec()
ÓÒ Ð Ð × × Ð Ù Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò LLINK(tgt root) Ý RLINK(tgt root)º Ë Ð Ð ×
Node × ×Ø ÒØ Ð Ð × ÕÙ Ö ØÓÖÒ Ò LLINK(tgt root) Ý RLINK(tgt root)¸ ÒØÓÒ ×
Ó ÙÖÖ Ö ÙÒ ÓÒ­ ØÓ Ø ÔÓ׺
Ä ÓÔ × ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ Ý Ð ÓÔ Ö ÓÖ
× Ò ÓÒ Ò Ø ÔÓ× ×ØÖ ØÓ× ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺
4.4.10 Destrucci´n de ´rboles binarios
o a
Ù ÐÕÙ Ö Ì ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ×Ø Ö Ò Ô ×ØÖÙ Ö ØÓ Ó Ð
Ö Óк × Ö¸ ÒÚÓ Ö Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ý Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ ÒÓ Ó Ð

295. ´
4.4. Arboles Binarios 269
Ö Óк ×ØÓ × Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
void destroyRec(Node *& root)
{
if (root == Node::NullPtr)
return;
destroyRec((Node*&) LLINK(root));
destroyRec((Node*&) RLINK(root));
delete root;
root = (Node*) Node::NullPtr;
}
¬Ò ×
destroyRec¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ½ Ò ¿¾ º
ÉÙ Ø ÔÓ Ö ÓÖÖ Ó Ü ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÖÑ × ×Ù¬ Ð Ö Þ
× Ð Ö ÐÙ Ó Ð Ö Ö Ð × Ó× Ö Ñ ×º ÇØÖ × Ú Ö ÒØ × Ö ÙÖ× Ú × ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÕÙ
× Ù×Ø Ò ÐÓ× Ñ × Ö ÓÖÖ Ó׸ ×ÓÒ ÔÓ× Ð × Ý Ð × Ò Ö Ó׺
4.4.11 Comparaci´n de ´rboles binarios
o a
Ú × × Ò × Ö Ó ÓÑÔ Ö Ö Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺ × Ñ ÒØ ¸ Ý Ó× Ö Ø Ö Ó× ÕÙ
ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× ÓÒØ ÒÙ ÓÒº
4.4.11.1 Similaridad
Ó× Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× T1 Ý T2¸ × ÕÙ T1 ××ÑÐ Ö T2¸ Ý× ÒÓØ ÓÑÓ
T1 = T2 = ∅ ∨
T1 T2 ⇐⇒ ´ º½¾µ
T1 = T2 = ∅ ∧ Ä(T1 ) Ä(T2 ) ∧ Ê(T1 ) Ê(T2 )
×Ø ¬Ò ÓÒ ×Ù Ö Ð × Ù ÒØ Ó Ó Ö ÙÖ× ÚÓ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾¼
template <class Node> inline
bool areSimilar(Node * t1, Node * t2)
{
if (t1 == Node::NullPtr and t2 == Node::NullPtr)
return true;
if (t1 == Node::NullPtr or t2 == Node::NullPtr)
return false;
return (areSimilar(LLINK(t1), LLINK(t2)) and areSimilar(RLINK(t1), RLINK(t2)));
}
4.4.11.2 Equivalencia
Ó× Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× T1 Ý T2¸ × ÕÙ T1 × ÕÙ Ú Ð ÒØ T2¸ Ý× ÒÓØ ÓÑÓ
T1 = T2 = ∅ ∨
T1 ≡ T2 ⇐⇒
T1 = T2 = ∅ ∧ Ã (Ö Þ(T1 )) = Ã (Ö Þ(T2 )) ∧ Ä(T1 ) ≡ Ä(T2 ) ∧ Ê(T1 ) ≡ Ê(T2 )
´ º½¿µ

296. 270 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
× Ö¸ T1 Ý T2 ×ÓÒ × Ñ Ð Ö × Ý ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÒÓ Ó ×ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ׺
Ä ¬Ò ÓÒ ÕÙ Ú Ð Ò ÒÓ× ÖÖÓ Ð × Ù ÒØ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú
¾¼ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾¼
template <class Node, class Equal> inline
bool areEquivalents(Node * t1, Node * t2)
{
if (t1 == Node::NullPtr and t2 == Node::NullPtr)
return true;
if (t1 == Node::NullPtr or t2 == Node::NullPtr)
return false;
if (not Equal () (KEY(t1), KEY(t2)))
return false;
return (areEquivalents<Node, Equal>(LLINK(t1), LLINK(t2)) and
areEquivalents<Node, Equal>(RLINK(t1), RLINK(t2)));
}
4.4.12 Recorrido por niveles
Ò ×Ø Ð × Ö ÓÖÖ Ó ÙÒ ÓÐ ×Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × Ò ÔÖÓ × Ö
ÐÓ× ÒÓ Ó×
¾¼ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾¼ ¾¾
template <class Node> inline
void levelOrder(Node * root,
void (*visitFct)(Node*, int, bool),
const size_t & queue_size)
{
const size_t two_power =
static_cast<size_t>(std::log((float)queue_size)/std::log(2.0) + 1);
ArrayQueue<Aleph::pair<Node*, bool> > queue(two_power);
queue.put(root);
for (int pos = 0; not queue.is_empty(); pos++)
{
Aleph::pair<Node*, bool> pr = queue.get();
Node *& p = pr.first;
(*visitFct) (p, pos, pr.second);
if (LLINK(p) != Node::NullPtr)
queue.put(Aleph::pair <Node*, bool> (LLINK(p), true));
if (RLINK(p) != Node::NullPtr)
queue.put(Aleph::pair <Node*, bool> (RLINK(p), false));
}
}
Í× × ArrayQueue ½¿ º
× ÔÓ× Ð ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ ÑÙ Ó Ñ × Ø ÑÔÓ¸ Ñ × ÒÓ Ð ×Ô Ó¸ × Ò Ö ÙÒ Ð Ó¹
Ö ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ Ô Ö Ö ÓÖÖ Ö ÔÓÖ Ò Ú Ð ×º ×Ø Ú Ö× ÓÒ × Ð Ò Ö Óº
Ä ÙÒ ÓÒ Ú × Ø Ø Ò Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ
(*visitFct)(Node* p, int pos, bool is_left)
× Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó¸ pos × Ð ÔÓ× ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó ÒØÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ý is left
p
× ÙÒ Ú ÐÓÖ ÐÓ Ó ÙÝÓ Ú ÐÓÖ × true × Ð ÒÓ Ó × ÞÕÙ Ö Óº ÍÒ Ð × ÔÐ ÓÒ × Ø Ô ×

297. ´
4.4. Arboles Binarios 271
Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × × Ô Ö Ð Ù Ó Ö ÓР׸ Ò ÙÝÓ ×Ó × ÙØ Ð × Ö × p ×
Ó ÒÓ ÙÒ Ó ÞÕÙ Ö Óº
Ä ÐÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÔÖÓÚ Ö Ð ÔÖÓÔ Á Ç Ð ÓÐ Ô Ö Ö ÒØ Þ Ö Ð
ÓÖ Ò Ú × Ø Ö ÕÙ Ö Óº ×Ø Ð ÖÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ú × Ø Ö × Ð Ö Þ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð
Ñ Ø ÑÓ× Ò Ð ÓÐ Ý ÓÑ ÒÞ ÑÓ׺ Ú Þ ÕÙ × Ú × Ø ÙÒ ÒÓ Ó¸ ØÓ Ó× ×Ù× ÓÑÔ Ò ÖÓ×
Ò Ú Ð Ó Ò Ö ÓÒ Ò × Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × ÜØÖ Ö Ð ÓÐ º ×ØÓ × Ö ÒØ Þ ÔÓÖÕÙ
Ú Þ ÕÙ Ú × Ø ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ò Ð ÓÐ ×Ù Ó ÞÕÙ Ö Ó Ý ÐÙ Ó ×Ù Ó
Ö Óº ×ØÓ× Ó× Ú Ò ×Ø Ö Ò Ð ÓÐ ×ÔÙ × ÐÓ× Ò ×ØÖÓ× ×Ù Ò Ú Ð ÒØ Ö ÓÖ
Ý ×ÔÙ × ×Ù× ÓÑÔ Ò ÖÓ× Ò Ú Ð ÕÙ ×Ø Ò Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Óº Ò Ð ¬ ÙÖ º½ ¸
ÐÓ× ÔÖÓÜ ÑÓ× ÒÓ Ó× Ò Ð ÓÐ ×ÓÒ ÐÓ× ÖÑ ÒÓ× Ö Ó× Ð ØÙ Ð ×ØÓ× ÒÓ Ó× Ù ÖÓÒ
ÒØÖÓ Ù Ó× Ù Ò Ó × ×Ø Ò Ð Ò Ú Ð ÙÒÓº ×ÔÙ × Ú Ò Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ò Ú Ð ØÖ × ÕÙ
Ù ÖÓÒ ÒØÖÓ Ù Ó× Ù Ò Ó × ÔÖÓ × ÖÓÒ ÐÓ× ÖÑ ÒÓ× ÞÕÙ Ö Ó× Ð ÒÓ Ó Ø٠к
ØÙ Ð
Ö ÒØ
ÌÖ × ÖÓ
ÙÖ º½ ×Ø Ó Ð ÓÐ Ù Ò Ó × ÔÖÓ × Ð ÒÓ Ó Ò Ó ÓÒ ­
×Ø Ö ÓÖÖ Ó × Ð Ñ × Ó×ØÓ×Ó ÐÓ× Ù ØÖÓ¸ ÔÙ × × ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö ÐÑ Ò Ö
ÑÙ × ÑÓ× ÒÓ Ó× Ò Ð ÓÐ º Ë Ð × Ó × Ð Ö ÓÐ Ø Ò Ò ×Ø Ö Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ú Ð¸
ÒØÓÒ ×¸ ÔÓÖ Ò Ú Ð ÕÙ × × Ò ¸ × Ö ÕÙ Ö Ö ÐÑ Ò Ö Ð Ó Ð Ð ÒØ
ÒÓ Ó× ×Ø ÐÐ Ö Ð Ò Ú Ð ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð × Ó ×º
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ò Ú Ð × ÔÓØ Ò Ü Ø Ó× Ó × ¸
Ò Ú Ð Ð Ö ÓÐ ×Ø ÐÐ ÒÓº ÒØÓÒ ×¸ ×ÙÑ Ò Ó ÐØÙÖ ÓÒÓ h¸ ÔÓ ÑÓ× ÜÔÖ × Ö
Ð ÒØ ÒÓ Ó× n ÓÑÓ h−1 2iº × Ö¸ Ø Ò Ö ÑÓ× 2h−1 ÒÓ Ó× ÐÑ Ò Ó× Ò Ð
i=0
ÓÐ Ù Ò Ó ÒÓ× ØÓÕÙ ÔÖÓ × Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ðº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÓÖÑ ÙÒ Ö ÓÐ ÔÙ × Ö ×Ø ÒØ Ö ØÖ Ö ¸ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
levelOrder() Ö ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ð ÓÐ Ý Ð Ð Ð ÒØ
Ð ×Ø Ñ Ö ÙÒ Ø Ñ ÒÓ Ù Ó × ÙÒ ×Ù ÔÐ ÓÒº
4.4.13 Construcci´n de ´rboles binarios a partir de recorridos
o a
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÑ Ò Ö Ò ÙÒ × Ù Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ñ ÑÓ¹
Ö º ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ÐØÓ ÒØ Ö × Ò × ØÙ ÓÒ × ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ù Ö Ö Ð Ö ÓÐ Ò
ÙÒ Ö ÚÓ Ó ØÖ Ò×Ñ Ø ÖÐÓ Ò ÙÒ Ñ Ò× º
Ù ÐÕÙ Ö Ø Ò ÕÙ × Ù Ò Ð ÙÒ Ö ÓÐ ´ÐÓ ÐÑ Ò Ò ÙÒ × Ù Ò µ ×Ø ×
Ò ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó׺ Ò Ü º º¾ ´Ô Ò ¾ ¿µ ×ØÙ ÑÓ× Ð ÙÒ × Ø Ò × ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò
Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö ÙÒÓ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó׺ ÆÓ× ×Ø ÓÒ ÙÒ ×ÓÐÓ
Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖÕÙ ÓÒÓ ÑÓ× Ð ¬Ò Ð Ö Óк Ë ×Ø ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ × × ÕÙ Ð ¸ Ó ×
ÕÙ Ö ÑÓ× × Ù Ò Ð Þ Ö Ñ Ò Ö Ò Ö Ð¸ ÒØÓÒ × Ý Ó× Ñ Ò Ö × × ÐÚ Ö Ð Ö Óк
ÆÓØ × ÕÙ × ÙÒ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ö ÓÐ × Ý Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× × ×Ù¬ ÒØ ÓÒ ×ØÙ Ö ÐÓ× Ò Ö Ó׺

298. 272 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÍÒ ÓÒ× ×Ø Ð Ð ÙÐ Ö ×Ù × Ù Ò Ó Ó Ý ÐÙ Ó ÐÑ Ò Ö Ð × Ð Ú × Ò ÔÖ ¬ Ó
Ø Ò ÕÙ × Ö Ú Ð Ö Ý ×ØÙ Ö Ò Ü º º¼º ´Ô Ò ¿¾½µº Ä × ÙÒ ÓÒ× ×Ø Ò
Ù Ö Ö Ó× Ö ÓÖÖ Ó× Ù Ð ×ÕÙ Ö Ý Ô ÖØ Ö ÐÐÓ× Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ðº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ý ÑÓ× ×ØÙ Ó ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó׸ ÒÓ× × Ö × Ò ÐÐÓ Ú ×ÐÙÑ Ö Ö ÖÙØ Ò ×
ÕÙ ØÓÑ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ý ÐÓ × Ù Ò Ð Òº ÄÓ ÕÙ ÕÙ Þ ÒÓ × Ò Ø Ò Ð × Ð ÒÚ Ö× ÓÒ
× Ö¸ Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ Ô ÖØ Ö ×Ù× × Ù Ò ×º
Ä × Ù ÒØ ÖÙØ Ò Ö ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó
Ò¬ Ó
¾¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾¼ ¾¿
template <template <class> class Node, typename Key> inline
Node<Key> * build_tree(DynArray<Key> & preorder,
const int & l_p, const int & r_p,
DynArray<Key> & inorder,
const int & l_i, const int & r_i)
{
if (l_p > r_p) // ¿est´ vac´o el recorrido?
a ı
return Node <Key> ::NullPtr;
Node<Key> * root = new Node <Key> (preorder[l_p]); // crear la ra´z
ı
if (r_p == l_p)
return root; // recorrido de longitud 1
Ð ÙÐ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ ÔÖ ÓÖ Ö Ð Ô Ò ÒÓÖ Ö ¾ ¿
LLINK(root) = build_tree <Node, Key> (preorder, l_p + 1, l_p + i,
inorder, l_i, l_i + (i - 1));
RLINK(root) = build_tree <Node, Key> (preorder, l_p + i + 1, r_p,
inorder, l_i + i + 1, r_i);
return root;
}
Í× × DynArray ¾º
Ä ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö ÓÐ ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
l_p r_p
preorder[] k L_p R_p
inorder[] L_i k R_i
l_i i r_i
build_tree(preorder,l_p+1,lp+i,inorder,l_i,l_i+(i-1)); build_tree(preorder,l_p+i+1,r_p,inorder,l_i+i+1,r_i);
k
preorder[] × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ÒØÖ ÐÓ× Ò × l p Ý r pº
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ inorder[] × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÒØÖ ÐÓ×
Ò × l i Ý r iº Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ Ð Ö Þ Ð ÒÙ ÚÓ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
Ä ÐÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × × ÑÔÐ º Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó × Ð
Ö Þ Ð Ö Óи Ð Ù Ð Ù× ÑÓ× Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ý Ó Ø Ò ÑÓ× Ð ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ iº Ð
Ò i Ú Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÞÕÙ Ö ÕÙ ×ÓÒ l i ..
i - 1 Ý ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ö ×ÓÒ i
+ 1 .. r i Ý ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò Ð Ö Ñ Ö º Ñ Ó× Ø ÔÓ× Ö ÓÖÖ Ó ÒÓ Ú ÒÞ Ò
Ú×Ø ÖÐ Ö Ñ Ö ×Ø Ø ÒØÓ ÒÓ × Ý Ú × Ø Ó Ð ØÓØ Ð Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó

299. ´
4.4. Arboles Binarios 273
Ý Ð Ö Þº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ù×ØÓ ÒØ × ÓÑ ÒÞ Ö Ú × Ø Ö Ð Ö Ñ Ö ¸ Ñ Ó× Ö ÓÖÖ Ó×
Ò Ú × Ø Ó Ð Ñ ×Ñ ÒØ ÒÓ Ó× ´Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ý Ð Ö Þµº ×ØÓ Ú Ò ÕÙ
ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó Ò¬ Ó Ð Ö Ñ Ö ×Ø Ò ÓÒØ Ò Ó× Ò Ñ Ó× ÖÖ ÐÓ× ÒØÖ
l p + i + 1 Ý r pº
Ä Ø ÓÒ Ö ÓÐ Ú Ó × Ö Ð Þ Ù Ò Ó ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ×ÓÒ Ú Ó× × Ö¸ Ù Ò Ó
ÐÓ× Ò × ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× × ÖÙÞ Òº
Ä Ô ÖØ Ñ × Ð × Ù× Ö Ð ÔÓ× ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ð Ö Þ ÒØÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó
Ò¬ Óº ×ØÓ ÐÓ Ö Ð Þ ÑÓ× Ù Ó× Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ò×Ô ÓÒ × Ù Ò Ð
¾¿ Ð ÙÐ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ ÔÖ ÓÖ Ö Ð Ô Ò ÒÓÖ Ö ¾ ¿ ≡ ´¾ ¾µ
int i = 0;
for (int j = l_i; j <= r_i; ++j)
if (inorder[j] == preorder[l_p])
{
i = j - l_i;
break;
}
4.4.14 Conjunto de nodos en un nivel
Ò Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ × × Ò × Ö Ó ÓÒÓ Ö Ù Ð × ×ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ö ÓÐ ÕÙ × Ò¹
Ù ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ð i º ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ù Ò Ó × Ù Ò Ö ÓР׸ ØÓ×
Ù×Ø Ö Ð × ÔÓ× ÓÒ × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ò Ú Ð Ø ÖÑ Ò Óº
Ä × Ù ÒØ ÖÙØ Ò Ö ÓÖÖ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ root Ý Ù Ö Ò
Ð Ð ×Ø level list ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ò Ú Ð levelº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ
current level ÒÓØ Ð Ò Ú Ð Ð ÒÓ Ó ÕÙ × ×Ø Ú × Ø Ò Ó
¾¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾¾ ¾
template <class Node> inline static
void __compute_nodes_in_level(Node * root,
const int & level, // nivel deseado
const int & current_level, // nivel actual
DynDlist<Node*> & level_list)
{
if (root == Node::NullPtr)
return;
if (current_level == level)
{
level_list.append(root);
return; // no vale la pena descender m´s
a
}
__compute_nodes_in_level(LLINK(root), level, current_level + 1, level_list);
__compute_nodes_in_level(RLINK(root), level, current_level + 1, level_list);
}
Í× × DynDlist ¿ º
Ð Ö ÓÐ × Ö ÓÖÖ Ò ÔÖ ¬ Ó Ý ÐÓ× ÒÓ Ó× × Ù Ö Ò Ò Ð Ð ×Ø ÔÓÖ Ò Ú Ð ÞÕÙ Ö
Ö º ÖÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð ×¸ ÒÓ × Ò × Ö Ó Ù× Ö ÙÒ ÓÐ º
ÕÙ Ú Ð Ð ÔÖÓ ÙÒ Ö ÙÖ× Ú º

300. 274 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÐÐ Ñ Ö× ÔÓÖ Ð ÕÙ ÙÒ Ö ÒØ Ö Þ¸ Р٠и × ×Ô ¬
Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾¿ ¾
template <class Node> inline
void compute_nodes_in_level(Node * root, const int & level, DynDlist<Node*>& list)
{
__compute_nodes_in_level(root, level, 0, list);
}
Í× × DynDlist ¿ º
4.4.15 Hilado de ´rboles binarios
a
× Ð Ù Ö ÕÙ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó n ÒÓ Ó× ÓÒ×ÙÑ 2n ÔÙÒØ ÓÖ ×º È ÖÓ ÕÙ Þ
ÒÓ × Ø Ò Ð ÔÖ Ò Ö ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð ÒØ ØÓØ Ð ÔÙÒ¹
Ø ÖÓ× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ NULL × ÑÔÖ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ÒØ ÔÙÒØ ÖÓ× × Ò Ó׺ Å ×
Ð ÒØ ´ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ü º¾ ´Ô Ò ¾ µµ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ð Ú Ö ×Ø ¬ÖÑ ÓÒº
×ÙÑ Ò Ó Ú Ö Þ Ð ¬ÖÑ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ÙÒÓ× Ò Ù ×Ø ÓÒ Ó Ð ×Ô Ö Ó
×Ô Ó Ù× Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ׺ Ø ÒÓÖ Ð ÓÖÖ ¸ ÔÙ Ò ÓÒ× Ö Ö× Ð × × ¹
Ù ÒØ × Ô Ö×Ô Ø Ú ×
½º ÈÓ ÑÓ× Ø Ò Ö ØÖ × Ø ÔÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ò ÓÑÔÐ ØÓ Ý Ó º ÒÓ Ó Ó Ù¹
Ô Ö Ð ×Ô Ó Ü ØÓ × ÙÒ Ð Ø ÔÓ ÒÓ Óº ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÒÓ Ó Ø Ò Ö ÕÙ
Ø Ò Ö ÙÒ ÑÔÓ ÓÒ Ð ÕÙ Ò ÕÙ ×Ù Ø ÔÓº
×Ø ×ÓÐÙ ÓÒ × ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÑÔÓÖØ ÒØ Ý Ô Ð Ð × Ý Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× Ö Ø Ó×
×Ô Óº ÐÐ ÓÐ ¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ×Ø Ø ×ÑÓ Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ × Ð Ö ÓÐ
Ñ Ò Ñ Ñ ÒØ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ø ÔÓ ÒÓ Ó ÔÙ Ñ Öº Ì Ñ Ò Ð × ÓÔ Ö ¹
ÓÒ × ×Ó Ö ×ØÓ× Ö ÓÐ × ×ÓÒ Ñ × ÓÑÔÐ × ÔÓÖÕÙ ×Ø × Ò ×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× Ø ÔÓ×
ÒÓ Ó׺
¾º ÍØ Ð Þ Ö ÐÓ× ÔÙÒØ ÓÖ × ÒÙÐÓ× Ô Ö ÐÑ Ò Ö Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓÒ Ðº ÕÙ ×ÙÖ Ð
ÔÖ ÙÒØ Ù Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÕÙ
È ÖÐ × Ý Ì ÓÖÒØÓÒ ½ × Ù Ö ÖÓÒ ÙÒ Ù×Ó Ò Ò Ó×Ó ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ׺ Ð Ñ ØÓ Ó
ÓÒ× ×Ø Ò Ö ÑÔÐ Þ Ö ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ× ÔÓÖ ÐÓ× ÕÙ Ú Ý Ò ÓØÖ × Ô ÖØ × Ð Ö Óк
Ä × Ð Ø Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ý¸ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
Ó ÙÒ ÒÓ Ó p¸ Ò ÓÑÔÐ ØÓ Ù Ó ¸ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ×Ø Ó ÔÓÖ Ð × Ó× Ö Ð × × Ù ÒØ ×
¯ LLINK(p) ÔÙÒØ Ð ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ò¬ Óº
¯ RLINK(p) ÔÙÒØ Ð ÒÓ Ó ×Ù ×ÓÖ Ò¬ Óº
Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ Ð Ð Ó ÙÒ Ö Óк ÄÓ× ÐÓ× ×ÓÒ Ö ÔÖ × ÒØ Ó× Ñ ÒØ
Ð Ò × ÓÖØ ×º
ÓÖ ×ØÙ ÑÓ× ÓÑÓ Ö Ð Þ Ö× Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Óº È Ö ÐÐÓ Ú ÑÓ× ÙÒ Ð Ó¹
Ö ØÑÓ ÕÙ Ù×ÕÙ Ð ×Ù ×ÓÖ Ò¬ Óº
Algoritmo 4.7 (B´ squeda del sucesor en un arbol hilado)
u ´ Ä ÒØÖ Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓ × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ p ÙÒ ÒÓ Óº Ä × Ð × Ð ×Ù ×ÓÖ Ò¬ Ó pº
½º Ë RLINK(p) × ÙÒ ÐÓ =⇒ Ö ØÓÖÒ RLINK(p)º

301. ´
4.4. Arboles Binarios 275
T
º º º
º º
º º
º º
º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
D ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º Z
º
º ºº
ººº
º
º º
º ºº
º º
º
º
º º
º º
ºº º
º
º
ºº º ºº
ººº º
º
º º
º ºº
ºº º
º
º
º
º º ºº
ºº º
º
º
º º
º ºº
ºº º
º
º º
º ºº
ºº º
º
º
º
C º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
R ºº
º
º
ºº
ºº
ºº
ºº
º
X º
º
º
º
º
ºº
º º
º º º
º º º ºº
ºº º º
º
º º
º º º º º
º º ºº
ºº º º º
º
º
º º º
º º º
º
º
º
º
º º º
º
º º
º ºº
ºº
º
º
º º
º º
º
º
º
º º º
º º º
º º º
º º ºº
ºº º
º º
º º
º
º
ºº
º º
º º
º º
º º
º
º
º º
º º
º º ºº
º
ºº
º º
º
º º
º º
º
º
º
º º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º ºº
º
ºº
º
º º
º
º º
º
º
º
º ºº
ººº
ºº º
º º
º
º º ºº
º ºº
º ºº ºº º
º
º
º
º
º
º º
º
º
B º
º
º
ºº
º º
º
º E º
º ºº º º
º ºº
ººº º V º º
º
º Y º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º º
ºº ºº
º
º
º º
º
º
º
º
º
º
º º º
º º
º
º º º
º º º º
º º
º º º
º
º
º º
º º
º º º º º
º
º º
º º º º
º º
º º º º
º
º º
º º º
º ºº
º º
º º º
º º
º º º º º º
º º
º º
º
º
º º º
º º º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º º
º º
º º
ºº
º º
º
º
º º º
º º º º
º
º º º º
º º
º º
º º
º º
º º º ºº º
º
º
º
º º º
º º º
º ºº º
º
º º
º º
º
º ºº º º
º º º
º º
º º º
º ºº
º
º º º
º º º
º º
º º
º º
º ºº º
º º
º º
º º º
º º º
º º
º º º
º º
º º
º º
º º º
º º º º
º º º º
º º ºº º
º
º
º º º
ºº º º
º º º
º
º ºº º
º
º º
º º
º º
º ºº
ºº º º
º º º
º ºº º º º º º º º ºº º º
A º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
º º º
º º
ººº
ºº
ºº
º
º
º
º
º
º
º
N º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
U º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
W º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº º º
º º
ººº
ººº
ºº
º
º º ºº º º º
º
º º
º º
º º º º
º º º
º
º º
º º º º º º º º º º º º º º
º º
º º
º º º
º
º
º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º
º
º ºº º
º º º
º
º
º
º º
º º
º º
ºº
º
º
º
º
º
º
º º
º º º º
º º º º
º º
º º
º º º
º º º º
º º º º
º º
º º
º º º
º º º
º º º º
º ºº º º º
º º
º º º º º
º º
º
ºº º º
º º º
º º º
º º
ºº º º
º º º º
º º º
º
º º
º
º
º º
º º º
º º º º
º º
º º
º º º
º º º
º º º
º º
º
º º
ºº
ºº º
º
º º
º º
º º
º º
º
º
º º
º
º º
º
º º
ºº
ººº º ºº
ºº
ºº º º
º º º
ºº
º º
º
º
º
º
º
I º
º º
º º
º º
º º
ºº
º P º
º
º
º
º
º
º
ºº
º
º
º ºº
º ºº
º º
º º
º
º
º ºº
º ºº
º
º º º
ºººº
º º
ºº
ºº
º
º º
º ºº
ºº º
º º
º º ººº
ººº
ºº
º
º º
º º
º ºº
ºº º
º º
º
º
º
º
º º º º º º º
º
º
º
º
º
º º
º ºº
ºº
ºº º
ºº º
º º
º
º
º º
º º
º ºº º
º º
º º
º
º º º
º ºº
ºº º
º º
º º
º
º º º
º ºº
ºº º º º
º
º
º
º º
º º
º º º
º º
º º
º
º º º ºº
ºº º º
º
º
º
º
º
º
º
H º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
K ºº
ºº
ºº
ºº
º
ºº
ºº
º O º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
Q º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
ºº º
º º
º ºº º º º
º
º º
º º
º º
º º º
º
º º º
º º
º º º º ºº
º º º º º º º º
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº º
º º º
º
º
º º
º
º
º
º
º ºº
º
ºº º
º
º ºº º
º º º
º
º º
º º
º
º º
º º
ºº º
º
º
º
º
º º
º º º
º º
º º
º
º º
º º
º ºº
ºº º
º º º
º º
º º
º º º º
º º º º
º º
º
º
º
º º
º º º
º º º
º
º
º
º
º º ºº
ºº
ºº º
ºº º º
º º º
º º
º º
º
º
º º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º
º º
º
º º
ºº
º
º
º ºº
ºº
ºº
º º ºº
º º
º
º
º º º
º º
º º
º º
º º
º º
ºº
º
º
º
º º
º
º
º º º º º ººº
ºº º º
º º
º ºº
ºº
ºº º º º
º º º º
º
º ºº ºº
ºº
ººº ºº º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
F º
º
º
º
º
ºº
ºº º
º
º
º
º
º
º
º
J º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
M º º
º ººº
º ºº
º ºº
º
ºº
º ºº
ºº º
ºº
º º
º º
º º
º º
ºº º
º
º
º
º
º º º º
º º
º º º º
º º º º º
º ºº
ººº
º
º º º º º
º º º
º º º º º
º º
º
º
º
º
º
ºº º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º º
º º º
º
º
º
º
º
º
º
º ºº
º
º
º
º
º
º ºº º º º
º º º º
º º
º º º º º
º º º
º
º
º º
º º
º º
º º
º ºº
º º º
º º º
º ºº º
º
º º
º
º
º º
º
º º
º
º º
º º
º
º º
º º º
º º º
º º
º º
º ºº
º
º º º
º ºº ºº º º
º º º º
º º º
º
º
º º
º º
º
º º
º º ºº
º º º º
ºº º
º º
º
º
ºº º
º
º
º
º ºº
º
º º
º º
º º
º º
º
º
º º
º
º
º
º
º
º º
G º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
ººº
ººº
º
ºº
ºº
º º
º
º
º
º
º
º
L º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º º
ºº º
ººº
ººº
º
º
º
ººº
ºº º
ºº º º
º º º
º º
º º º
º º
º º
º º º º
º
º º
º º
º ºº º
º º
º
º º
º
º º º
º º
º º
º º
º º º
º º º
º º
º º ºº º
º
º º
º º º º
º º º
º º
º º º
º ºº º
º
º º
ºº º º
º º
º º
º º º
º º º ºº º º
º
º º ºº º
º º
º
º º º
º º º
º º
º º
º º
ºº ºº º º º º
º º º º
ºº
ºº
ºº º º
º º º º
º º ºº
ºº
ºº
ºº ºººº
º º
ºº
ºº
º º
ººº
ººº
ºº
º
ÙÖ º½ ÑÔÐÓ Ö ÓÐ Ð Ó
¾º Ë RLINK(p) × Ð Ú ÐÓÖ ÒØ Ò Ð ¬Ò Ö ÓÖÖ Ó =⇒ Ö ØÓÖÒ ÆÍÄĺ
¿º p = RLINK(p)
º Ê Ô Ø Ñ ÒØÖ × ÕÙ LLINK(p) ÒÓ × ÙÒ ÐÓ
¯ p = LLINK(p)
º Ê ØÓÖÒ p
Ä Ú ÒØ Ð Ð Ó ×Ð Ð Ô Ö Ö ÓÖÖ Ö Ð Ö Óк Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ö ÕÙ Ö
Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó¸ ÐÙ Ó Ò ÐÐ Ñ Ö ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º
×Ø ÐÐ Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓº
Ð Ð Ó Ö ÕÙ Ö ×Ø Ò Ù Ö × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ × ÙÒ Ó Ó ÙÒ ÐÓº ÙÒÕÙ ÙÒ Ø
ÔÓÖ ÔÙÒØ ÖÓ × ×Ù¬ ÒØ Ô Ö ×Ô ¬ Ö Ø Ð ×Ø Ò ÓÒ¸ ÐÓ× × ×Ø Ñ × Ñ ÑÓÖ ÐÓ×
ÓÑÔÙØ ÓÖ × ÑÓ ÖÒÓ× ØÖ Ò ÔÓÖ ÝØ ×º Ë Ö ÕÙ Ö Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÝØ Ô Ö ÙØ Ð Þ Ö
ÐÓ× Ó× Ø× Ò × Ö Ó׺ Ä × Ñ ÕÙ Ò × ÁË ÔÙÖ × ÒÓ Ö ×ØÖ Ò Ò Ð Ø Ñ ÒÓ ÙÒ ÐÓÕÙ
Ñ ÑÓÖ × ÔÓ× Ð ¸ Ô٠׸ Ô ÖØ Ö Ð ÝØ ÜØÖ º Ò Ñ ÕÙ Ò × ÊÁË ¸ ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× Ý
×Ù× ÑÔÓ× Ò ×Ø Ö Ð Ò Ó× Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ô Ð Ö Ñ ÑÓÖ º Ò ÓÒ× Ù Ò ¸
Ò Ö ÙÒ ÝØ ÜØÖ ÔÙ × Ò ¬ Ö ÙÒ Ò Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ö ×ØÖÓ Ñ ÝÓÖ ÙÒ
ÝØ ¸ ÔÙ × Ö ÕÙ Ð Ò Ö Ð ÝØ ÜØÖ ÙÒ Ö ÓÒ ÕÙ × Ù Ð Ø Ñ ÒÓ
Ð ÔÐ Öº
ÍÒ Ø Ò Ô Ö Ö ÓÒÓ Ö Ó× ÐÓ× ÓÒ× ×Ø Ò ØÙ Ö ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ¸
ÒÚ Ö× Ð ¸ ÕÙ ÐÐ Ú Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖÓ Ð × ÞÓÒ ×
ÜØ ÖÒ × Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ º Ù Ò Ó × Ü Ñ Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ¸ × Ú Ö ¬ × ×Ø ×
Ò Ù ÒØÖ ÒØÖÓ Ð Ö Ò Ó Ú Ð Ó × Ø Ð × Ð ×Ó¸ ÒØÓÒ × × ØÖ Ø ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ØÖ Ø ÙÒ ÐÓ Ý¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ö Ð Þ Ö× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÒÚ Ö×

302. 276 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÒØ × Ö Ö Ò Ö Ð ÔÙÒØ ÓÖº ÍÒ Ó ×Ø ÙÐÓ ×Ø Ø Ò × Ð ÔÓÖØ Ð ÒØÖ
Ö ÒØ × ÔÐ Ø ÓÖÑ × Ö Û Ö ¸ × ×Ø Ñ ÓÔ Ö Ø ÚÓ¸ ÓÑÔ Ð ÓÖ Ý Ð Ò Ù º
Ä ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ð ÓÒ× ×Ø Ò Ö ×Ø ÖÐ ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÕÙ × ÙÖ
ÕÙ Ð Ö ×Ø ×Ø Ö ÒØÖÓ Ð ÞÓÒ ØÓ× Ó Ó Ó Ó¸ ÔÓÖ × ÓÖ Ñ ÒØÓ¸ ÒØÖÓ
Ð ÞÓÒ Ð Ô Ð º Ä Ö ×Ø × ÔÓ× Ð ×ÓÐÓ × Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÞÓÒ Ñ ÑÓÖ × Ñ ÒÓÖ Ó
Ù Ð Ð ×ÙÑ Ð × ÓØÖ × ÞÓÒ ×º Ú ×¸ ×ØÓ ÒÓ × ÔÓ× Ð º
ÆÓ Ó Ö
G
S X
B H A Z
ÙÖ º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð Ó
Ð ÙÒ × ÒØ Ù × Ñ ÕÙ Ò × ÁË Ø Ò Ò Ð Ø Ñ × × Ò ¬ Ø ÚÓ Ö × ÖÚ Ó Ô Ö Ð
× ÒÓº ÓÑÓ ÐÓ× ÔÙÒØ ÓÖ × ÙØ Ð Þ Ò ÒÒ × Ö Ñ ÒØ ×Ø × ÒÓ¸ ÔÙ × Ð × Ö ÓÒ ×
Ò Ø Ú × ÒÓ Ø Ò Ò × ÒØ Ó¸ ×Ø Ø ÔÓ ÙØ Ð Þ Ö× Ô Ö ÒÓØ Ö × Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ö Ó ÒÓ
ÙÒ ÐÓº Ä × Ñ ÕÙ Ò × ÑÓ ÖÒ × ×ÓÒ ÊÁË ¸ Ý Ð × ÔÓ × ÁË ÕÙ Ü ×Ø Ò Ø Ò Ò ÑÙ ×
ÙÒ ÓÒ Ð × ÊÁË º ÀÓÝ Ò ¸ Ð Ð Ò ÓÒ Ð × Ö ÓÒ × Ñ ÑÓÖ × ÙÒ
Ð × ÙÒ ÓÒ Ð × ÓÑÙÒ × ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ø ÔÓ× Ñ ÕÙ Ò º Ä Ð Ò ÓÒ ÑÔÐ ÕÙ Ð ×
Ö ÓÒ × Ñ ÑÓÖ ¸ ¹ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÐÓ× ÔÙÒØ ÓÖ ×¹ × ÑÔÖ ×Ø Ò Ð Ò Ó× Ð Ø Ñ ÒÓ
Ð ÔÐ Ö Ñ ÑÓÖ º Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÖÕÙ Ø ØÙÖ × ÑÓ ÖÒ ×¸ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
Ô Ð Ö Ò Ø× × ÑÔÖ × ÔÓØ Ò Ü Ø Ó× × Ö¸ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ 2 n¸ ÕÙ
× Ù Ð 2 8 ÝØ ×º ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ØÓ Ó ÔÙÒØ ÓÖ Ú Ð Ó × ÑÔÖ Ø Ò Ö ÐÓ× n − 3
n
n− 2
Ø× Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ× ÓÐÓ Ó× Ò ÖÓº ×ØÓ× Ø× ÔÙ Ò ÙØ Ð Þ Ö× Ô Ö ÐÑ Ò Ö
Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓÒ Ð Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ Ð Ø Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ ÔÙ
ÙÒ Ö ÓÑÓ Ò ÓÖ ÕÙ × Ò Ð × Ð ÔÙÒØ ÓÖ × Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓº
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ð Ø Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖº ÉÙ Þ Ð
Ñ × × Ò ÐÐ × Ñ ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ × ÐÓ × ×Ó Ö Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÓÑÓ × Ù º
¾ Ø ÖÑ Ò Ö × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ × ÙÒ ÐÓ ¾ ≡
template <class Node> inline bool isThread(Node * p)
{
return (Node*) (((long) p) & 1);
}
¾ ÓÒÚ ÖØ Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ò ÙÒ ÐÓ ¾ ≡
template <class Node> inline Node * makeThread(Node * p)
{
return (Node*) ( ( (long)p) | 1);
}
¾ ÓÒÚ ÖØ Ö ÙÒ ÐÓ Ò ÔÙÒØ ÓÖ ¾ ≡
template <class Node> inline Node * makePointer(Node * p)
{
return (Node*) (((long) p) & -2);

303. ´
4.4. Arboles Binarios 277
}
Ð ÙÒ Ñ Ò Ö ¸ Ð Ð Ó ÔÐ ÒØ ÙÒ Ò ÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð
Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ö ÙÐ Ö × Ý Ð × ÒÓ Ö ÙÐ Ö ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÙÒ Ö ÓÐ Ð Ó × Ô Ö
ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð × Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö ×¸ × ×Ø ÒØ × Ð
ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ö º Ð Ð ÞÓ ÞÕÙ Ö Ó Ð ÒÓ Ó Ö ÔÙÒØ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó
Ò¬ Óº Ð Ð ÞÓ Ö Ó ÔÙÒØ Ö Ð Ö Þº Ð ÐÓ ÞÕÙ Ö Ó Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ò¬ Ó Ý Ð
Ð ÞÓ Ö Ó Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó Ò¬ Ó ÔÙÒØ Ö Ò Ð ÒÓ Ó Öº
Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ð Ó
ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ö º È Ö ÒÓØ Ö Ð Ö Ñ Ò × Ò ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ¸ ØÓÑ Ð
Ö ÓÐ ÔÓÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× B Ý Z Ý ×Ø Ö º
4.4.16 Recorridos pseudo-hilados
Ë Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð Ö ÓÐ × Ø Ò ×Ù× ÓÒ × ×Ó Ö Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ
ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó׸ Ð Ð Ó × Ñ × Ð ÑÔÐ ÒØ Ö ÕÙ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ðº Ë
ÓÔØ × ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ð¸ Ü ×Ø Ö ÙÒ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÖÓÚ Ö ÐÓ×
ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ× ×Ô Ö Ó× Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ× ÔÙ Ò
Ù× Ö× ÓÑÓ ÐÓ× Ø ÑÔÓÖ Ð ×º
Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÒ Ö Þ r¸ Ù ÕÙ ÑÓ× Ù Ð × ×Ù ÔÖ ×ÓÖ Ò¬ Óº ×ØÓ ×
ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó ÕÙ × Ú × Ø Ò Ò¬ Ó ×Ù Ö Ñ ÞÕÙ Ö º
ÈÓ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö ØÖ × ×Ó×
¯ Ë Ä(r) = NULL =⇒ r ÒÓ Ø Ò ÔÖ ×ÓÖº
¯ Ë Ä(r) = NULL =⇒ Ø Ò ÑÓ× Ó× ×Ó×
½º Ë Ê(Ä(r)) = NULL =⇒ Ä(r) × ÔÖ ×ÓÖº Ë Ä(r) ÒÓ Ø Ò Ö Ñ Ö ¸
ÒØÓÒ × Ä(r) × Ð ÔÖ ×ÓÖ rº
º
r
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
Ä(r)
ºº
→
º
º
º
Predecesor− ºº
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º
ººº º
º
ºº
ºº
ºº º
º
Ê(r)
ºº º
º
º
ºº
ºº
ºº º
ºº º
º
ºº
ºº
ºº º
º
ºººº º
ººº ºº
ºººººº
ºº
Ä(Ä(r))
¾º Ë Ê(Ä(r)) = NULL =⇒ Ð ÔÖ ×ÓÖ × Ð × Ò ÒØ Ñ × Ð Ö
Ä(r)º
r
Ä(r)
Ê(r)
Ä(Ä(r)) Ê(Ä(r))
←− Predecesor
Ð ÔÖ ×ÓÖ Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð Ö ×Ù ×Ù Ö ÓÐ
ÞÕÙ Ö Óº

304. 278 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÈÓÖ × Ñ ØÖ ¸ Ð ×Ù ×ÓÖ Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö
×Ù ×Ù Ö ÓÐ Ö Óº
Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ö Þ r¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÔÙ × Ò Ö× ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ð Ò Ñ ÒØÓ×
½º ÒØ × × Ò Ö Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö ¸ Ø ÖÑ Ò Ð ÔÖ ×ÓÖ rpº
¾º À Ê(rp) = r × Ö¸ ÓÐÓÕÙ ÙÒ ÐÓ Ö Ó rp Ô Ö ÕÙ ÔÙÒØ Ð Ö Þ r
´ÕÙ × Ð ×Ù ×ÓÖ rpµº
¿º rp × Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó Ò Ò¬ Ó Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö rº Ù Ò Ó ÐÓ Ú × Ø ¸ Ö ÙÔ Ö r
Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ê(rp)º ÒØ × Ú × Ø Ö r¸ × ÙÖ × Ö ×Ø ÙÖ Ö Ê(rp) Ð Ú ÐÓÖ
ÒÙÐÓº
×Ø ÑÓ× Ò Ô ÓÖ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò¬ Ó ÕÙ Ù× ÐÓ× Ô Ö Ð × Ý ÙÝ
ÓÖÑ Ò Ö Ð × Ö Ð × Ù ÒØ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline
void inOrderThreaded(Node * root, void (*visitFct)(Node*))
{
if (root == Node::NullPtr)
return;
Node *p = root, *r = Node::NullPtr, *q;
Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ð Ó ¾
}
× Ö Ð ÒÓ Ó ÕÙ × Ú × Ø Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ö Ö ×Ó Ô Ö Ö
p Ð Ö º
q× Ð Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ Ø ÑÔÓÖ Ðº r × ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð
Ô Ö pº
¾ Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ð Ó ¾ ≡ ´¾ µ
while (p != Node::NullPtr)
{
q = LLINK(p);
if (q == Node::NullPtr)
{ // No hay rama izq ==> visitar p
(*visitFct)(p);
r = p;
p = RLINK(p);
continue;
}
× Õ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ò¬ Ó Ô¾
if (q != r) // tiene p un predecesor?
{ // si ==> dejar un hilo para luego subir a visitar p
RLINK(q) = p; // Aqu´ se coloca el hilo
ı
p = LLINK(p); // Seguir bajando por la izquierda
continue;
}
(*visitFct)(p);
RLINK (q) = Node::NullPtr; // Borrar hilo
r = p;
p = RLINK(p); // avanzar a la rama derecha
}

305. ´
4.4. Arboles Binarios 279
Ð Ñ Ò ×ÑÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ × ØÖ Ú Ðº È Ö ÔÖ Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ×Ù ÙÒ¹
ÓÒ Ñ Òظ × Ò × Ö ÙÒ Ù ÓÒ Ñ Ò٠и Ð Ù Ð × Ð Ð Ð ØÓÖº
¾ × Õ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ò¬ Ó Ô ¾ ≡ ´¾ µ
// avanzar hacia el nodo m´s a la derecha de la rama izquierda
a
while (q != r and RLINK(q) != Node::NullPtr)
q = RLINK(q);
Ð Ð Ó Ô Ö Ð × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ ÔÙ Ù× Ö× Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò
ÐÓ× Ù Ð × × Ð Ó ÙØ Ð Þ Ö Ô Ð Ó Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ÔÙ × ÒÓ× ÓÖÖ ×Ô Ó Ò Ô Ð ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ×
Ö ÒØ Þ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó × ÙÖÓ¸ × Ò ÔÖ Ó ÙÔ ÓÒ ÔÓÖ × ÓÖ Ô Ð º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸
Ð Ð Ó × Ö Ð ÓÔ ÓÒ × Ó Ö × Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ × × ÓÒÓ º
À ݸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ØÖ × ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÒ Ð Ð Óº Ð ÔÖ Ñ ÖÓ × ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑ ×
Ñ × ÓÑÔÐ º Ð × ÙÒ Ó ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ú ÒØÙ Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ø ÑÔÓ Ö ÕÙ Ö Ó Ô Ö
Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ ÒØ × Ö ÙÒ Ò Ú Ð Ð ÞÕÙ Ö º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÐØ ÑÓ
ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÙØ Ð Ò Ð Ó Ô Ö Ð ÒÓ ×ÓÒ Ö ÒØÖ ÒØ × × Ö¸ ÒÓ
ÔÙ Ò ÙØ Ö× ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ñ ÒØ ×Ó Ö Ð Ñ ×ÑÓ Ö Óк
4.4.17 Correspondencia entre ´rboles binarios y m-rios
a
Ü ×Ø ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ò Ö Ð Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ö ÓÖ × Ò ÓÑÓ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ý
Ú Ú Ö× º Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × ÜÔÐ Ò Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
Algoritmo 4.8 (Conversi´n de un arbol m-rio a uno binario equivalente)
o ´
Ä ÒØÖ × ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó Tm ∈ T º
Ä × Ð × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T ∈ B ÕÙ Ú Ð ÒØ Tm
½º T = ∅º
¾º ∀ni ∈ Tm ÔÐ ÕÙ Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð ×
´ µ Ð Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö niÒ Tm × Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ni ∈ T º
´ µ Ð ÖÑ ÒÓ ÒÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ö ni Ò Tm × Ð Ó Ö Ó ni
Ò Tº
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖÓ Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð m¹Ö Ó Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö Þ ÙÒ
Ö ÓÐ Tm ÒÓ Ø Ò ÖÑ ÒÓ׸ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ ÒÙÒ Ø Ò Ó Ö Óº
×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ ÒÓ× ÓÒ Ù ÜØ Ò Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º Ô Ö ÕÙ Ñ Ò Ö ÓÖ × Ò ×¸
ÐÓ Ù Ð ÓÒ× ×Ø ¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ Ò ÓÒ× Ö Ö Ð × Ö × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð Ö ÓÖ × Ò
ÓÑÓ ÖÑ ÒÓ× ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ö Þ ¬ Ø º Ò ×Ø ×Ó × ÓÔØ Ö ÙÒ Ö Ø Ö Ó Ô Ö
Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð Ö ÓÖ × Ò × ÔÖÓ × Ò Ý ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò
Ñ Ö ÖÐÓ× ÞÕÙ Ö Ö º
À Ý ÙÒ Ñ Ò Ö Ú ×Ù Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ¸ Ð Ù Ð × ÓÑÓ × Ù
½º Ò Ò Ò ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ ÐÓ× Ó× ÑÐ º
¾º Ð Ñ Ò ÐÓ× Ö Ó× Ü ÔØÓ Ð ÕÙ Ú Ð Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö º

306. 280 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
A D E
B C I J K
F G H R S T
L M O P Q
U V
ÙÖ º½ ÍÒ Ö ÓÖ × Ò
Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒØ Ò Ð Ñ ×Ñ ÒØ Ö Ó× ÕÙ Ð m¹ Ö Óº ÈÓÖ
Ð ÞÓ Ú ÖØ Ð Ð Ñ Ò Ó¸ Ü ×Ø ÙÒ Ð ÞÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Óº
Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö ÓÖ × Ò Ð ¬ ÙÖ º½
ÐÙ Ó ÙØ Ö Ð ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ú ×Ù Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º º
Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ¬ ÙÖ º½ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ¹
ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ð Ö ÓÖ × Ò ×ÕÙ Ñ Ø Þ Ò Ð ¬ ÙÖ º½ º Ó ÙÒ ÒÓ Ó
Ù ÐÕÙ Ö Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ð ×Ø Ó×
ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Óº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÐÓ× ÖÑ ÒÓ×
ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Óº
Ë × × ÒØ Ò Ö ÙÐÓ¸ Ö Ð ¬ ÙÖ º½ ÙÒÓ× 45◦ Ò Ð × ÒØ Ó ÓÖ Ö Ó Ý ×Ø Ö ÙÒ
ÔÓÕÙ Ø Ò ÐÓ× Ð ÞÓ׺ Ú Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ Ð ÓÖÑ Ð ¬ ÙÖ º¾¼º
Ä ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò × ÒÝ Ø Ú Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÖÖÓ ÙÒ ÙÒ Ó
Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ì Ñ Ò × ÒÚ Ö× Ð Ý ×Ù Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÑ ÒØ Ù Ðº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ T Ý Tb(T ) ×ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ô Ö ØÓ Ó T ¸ Ð × Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ × ÕÙ × Ò
×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÔÙ Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ö Ð Þ Ö× ×Ó Ö ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Óº
ÙÒ Ö ÓÖ × Ò ¸ Ü ×Ø Ò Ó× Ñ Ò Ö × Ð Ñ ÒØ Ð × Ö ÓÖÖ ÖÐ ×
¯ Recorrido prefijo
½º Î × Ø Ð Ö Þ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÐ ´ Ð Ñ × Ð ÞÕÙ Ö µº
¾º Ê ÓÖÖ Ò ÔÖ ¬ Ó ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Óк
¿º Ê ÓÖÖ Ò ÔÖ ¬ Ó ÐÓ× Ö ÓÐ × Ö ×Ø ÒØ × ÞÕÙ Ö Ö º
¯ Recorrido sufijo
½º Ê ÓÖÖ Ò ×Ù¬ Ó ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÐ ´ Ð Ñ × Ð ÞÕÙ Ö µº

307. ´
4.4. Arboles Binarios 281
A D E
B C I J K
F G H R S T
L M O P Q
U V
ÙÖ º½ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ð Ö ÓÖ × Ò Ð ¬ ÙÖ º½
¾º Î × Ø Ð Ö Þ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Óк
¿º Ê ÓÖÖ Ò ×Ù¬ Ó ÐÓ× Ö ÓÐ × Ö ×Ø ÒØ × ÞÕÙ Ö Ö º
ÓÖ Ð ÙÐ ÑÓ× Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð Ö ÓÖ × Ò Ð ¬ ÙÖ º½
A B F L MG C H O P U V Q D I J R E K S T ´ º½ µ
×Ø Ö ÓÖÖ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú ¹
Ð ÒØ Ð ¬ ÙÖ º¾¼º ×ÔÙ × ØÓ Ó¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó × Ð Ñ Ò Ö ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ
Ò ØÙÖ Ð Ð ×Ø Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ö Óк
Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó Ð Ö ÓÖ × Ò Ð ¬ ÙÖ º½ ×
L M F G B O U V P Q H C AI R J D S T K E , ´ º½ µ
Ð Ù Ð no ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ´¬ ÙÖ º¾¼µº Ò ×Ù
ÐÙ Ö¸ Ð × Ù Ò ´ º½ µ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð
¬ ÙÖ º¾¼º ×Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ö ÓÖÖ Ó× ´×Ù¬ Ó Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò ⇐⇒ Ò¬ Ó Ò ×Ù
ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Óµ × ÙÒ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ¸ ÔÙ × Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó × Ñ × Ó×ØÓ×Ó
ÑÔÐ ÒØ Ö ÕÙ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó Ò¬ Óº
Ò Ö ×ÙÑ Ò¸ ÙÒ Ö ÓÖ × Ò Ý Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÙÐ Ó × ÙÒ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ º ¸ Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò × ÒØÖ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó×
½º Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð Ö ÓÖ × Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð Ö ÓÐ
Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ º
¾º Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó Ð Ö ÓÖ × Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó
ÕÙ Ú Ð ÒØ º

308. 282 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
A
B D
F C I E
L G H J K
M O R S
P T
U Q
V
ÙÖ º¾¼ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½
Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò ¸ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× Ò¬ Ó Ý ÔÓÖ Ò Ú Ð × ÒÓ ÔÙ Ò ¬Ò Ö× ÓÒ ÔÖ ¹
× ÓÒº Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ¬Ò Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÖ × Ò¹
¸ ÔÙ × Ü ×Ø Ò Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÓÐÓ Ö Ð Ö Þ ÒØÖ ×Ù× ×Ù Ö ÓР׺ Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸
Ý Ú Ö × ÓÖÑ × ¬Ò Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò º
Ä ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ö ÓÖ × Ò × Ý Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× × ×ÙÑ ÑÔÓÖØ Ò
ÔÖ Ø º Ù ÐÕÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ Ö ÓÖ × Ò × ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× Ý Ö ¹
×ÓÐÚ Ö× Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ð Ò ÓÕÙ ÒÚ Ö×Ó Ø Ñ Ò × ÔÓ× Ð º ÓÑÓ
× Ò ÓÖ × Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×¸ ÔÓ ÑÓ× × Ó Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ × Ù Ò ÙÒ ÓÒ
ÓÒ × Ø Ð × ÓÑÓ Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ð ¬ Ò Ù ÓÒ¸ Ð × ÑÔÐ ¹
Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ý Ð Ö ÙØ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý Ó Ó× Ü ×Ø ÒØ ×º
Ð Ð Ó Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÙ × Ö ÙØ Ð Ò ÖØ × Ð × × ÔÖÓ Ð Ñ ×º Ä
¬ ÙÖ º¾½ ÑÙ ×ØÖ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö ÓÖ × Ò Ð ¬ ÙÖ º½ º
Ð Ù Ö ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö ÔÖ Ò Ö Ý ÓÖÖÓ ÓÖ Ö Ð × Ò ¬¹
Ó ÐÓ× ÐÓ× Ý ×Ù ÙØ Ð Þ ÓÒ Ô Ö Ö Ö × Ö ×Ó Ö ÐÓ× Ò ×ØÖÓ׺ È Ö ÐÐÓ¸ Ö ÓÖ ÑÓ×
ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ò Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó
Ò Ð Ö ÓÖ × Ò º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ü Ô ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ý Ñ × Ð
Ö Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÓÒ Ð × × Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ ×
Ò Ö Ð × ×Ó Ö ÐÓ× ÐÓ× Ý ×Ù × ÒØ Ó Ö ×Ô ØÓ Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó
½º ÍÒ ÐÓ Ö Ó ÔÙÒØ ¸ × ÑÔÖ ¸ ×Ù Ô Ö ¸ ÔÙ × ×Ø × Ð ×Ù ×ÓÖ ×Ù¬ Ó Ò Ð
Ö ÓÖ × Ò º
¾º ÍÒ ÐÓ ÞÕÙ Ö Ó ÒÓØ ÕÙ Ð ÒÓ Ó × Ó Ò Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó ×ØÓ × Ù
Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ú Ð Ò º
Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ð ÐÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ÔÖ ×ÓÖ ×Ù¬ Ó Ò Ð Ö ÓÐ m¹Ö Óº ÕÙ
Ø Ò ÑÓ× Ó× ×Ó×
´ µ Ë Ð Ó × Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ò Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó¸ ÕÙ ÔÙ ÒØ ¬ Ö×

309. 4.5. Un TAD gen´rico para ´rboles
e a 283
A
º
º
º º
º
º
º º
º
º
º º
º
º
º º
º
º
º
º º
º
º
º
º ºº
º º
B º
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
D
º º
º º º
º º
º º º
º º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
º
º º
º
º º
º º
º º
º º
º º
º º º
º º
º º º
º º
º º º
º º
º º º º
º º
º º º
º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
º º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º º
F º
º º
º º
º º
º
º º
º º
º º
º º º
C º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
I º º
º
º
º º
º º
º º
º ºº
º
E
º º
º º º º
º º º º º º º º
º º º
º
º
º
º º
º º º
ºº º
º º
ºº º
º
º
º
º
º ºº
º º
º º º
º º
º
º º
º ºº
ºº º
ºº º
º º
º º
º º
º º
º ºº
ººº º
º
º
º
º º ººº º º
º º
º
º º
º º
º º
º ºº º
º
º º º
ºº º º
º º º º º ºº
ºº º
º
º
º
º
º ºº
ºº
ºº
º
º
º ºº
º ºº
º º
º
º º
º
º
º º
º ºº
ºº
ººº º
º
º
º
º º
º ºº º
º º
º º
º ºº º
º º
º ºº º
º
º
º º
º ºº
ºº
º º
º º
º º
º º º
º º
º º
º ºº º º
º ºº
º
º º
º
L º
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
G ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º
H º
º
º
º
º
º
º
º
º º
ºº º
ºº º
ººº
ºº
º º
º º
ºººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
º
º
J ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º
K º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º º
º º ºº
º
ºº º º
º
º º
º º
º
º
º
º º ºº
ºº
º º º
º
º º
º
º
º º
º
º
º
º
º
º º
ºº º
ºº
º ºº
ºº
ºº
º
º
º
ºº
º
º
º
º º
º º
º
º
º
º
ºº ºº
ºº
ºº
º
º
º ºº
º
º
º
º
º
º º
º º
º ºº ºº ºº
ººº º º º
º
º
º
º ºº º
º ºº
ºº º
º ºº
º
º
º
º
º º
º º º
º º º
º ºº ºº
ºº º
º
º º
º º º º
º º
º º
º ºº
ºº
º
º º
º º º
º
º
º
º º
º
º º º
º º
º º
º
ºº
º
º
ºº
ºº
ºº
º
º
º
º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº ºº
ºº
ºº
º
º
º º
º º
º
º º
º º º º º º
º º
º º º º
º º º ºº º º
º º º
º º
º º
º
º
º º
º
º
º º
º º
ºº
ººº
ºº
º º º º º
º
º ºº º
º
º º
º º
ºº
ººº
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
º º º º º
º º
º º
º
º º º
º º
ºº
º
º
º
º
º
º º
M º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº º º º
ºº º º
ºº
ººº º
ºº º
º º
º
º
º
º
O º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº º
º
º
º
º
º
º
º
º
R º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º º
ºº º º
ºº º º
ººº º
ºº º
º
º
º
º
S º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
º
º
º º
º
º º
º º
º º
º º º
º º º
º º
º º
º
º º
º º
º º º
º º
º
º
º º ºº º
º º
º º
ºº º
º º
º º
º º º
º º
º º º
ºº º
º º
º
º
º
º º
º º
ºº º
º º
º º
º º º
º º
º ºº
º º º
º º
º ºº º
º º
º
º º º
º º º
º º
º º º
º º
º º
º º º
º º
º º
º º º º
º
º º
º º º
º º º
º º
º º
º ºº º
º º
º ºº º º º
º º
º º
º º
º
º º º º
º º º º º º º º º º º º
º º
º º
º º
º
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º º
º
º
º º
º
º
º º
º º
ºº º
º
º
º º º
º º
º º
º º
º
º
º º
º
º
º º
º º
º
º
º
º º
º ºº ºº
º º º
º º
º º
º º º
º º
º ºº
º ºº º º
ºº º
º ºº º
º º
º
ºº ºº ºº º º º º ºº ºº º º º
ºº
ºº º º
ºº
ººº
ºº
º
º
º
º ºº
º ºº
º º
º º
ººº º
ºº
ºº
º
º
º
º
º
º
P º
º
º
º
º
º
º
º º
ºººº
ººº
ºº
ºº
ºº º
º ºº
º º
º º
ºººº
ºº º
ºº
º º
º
º
º
º
º
º º
T º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º º
º º
º ºº º
º º
º
º
º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º
º º º
º º
º º
º ºº º
º
º º
º
º
º
º º
º º
º º
º º º
º º º
º º º
º
º º
º º
º º
º º º
º ºº
º º
º
º
º
º º
º º
º º
º º º
º º ºº º
º
º
º º
º º
º º
º º º
º º
º º º º
º
º
º º º º
º º
º º º
º
º º º
º
º º º º ºº º º
º
º
º
º
º
º
º
º
U º
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
Q º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
º º º
ºº º
ºº º
ººº
ºº
º
º ºº º
º º
º º
º
º ºº º
º º
º
º
º º
º
º º
º º
º º º
º
º º
º º
º
º
º º
º º
º º
º º
º º º
º
º º
º
º
º º º
º º
º º
º º º
º º º
º º
ºº º
º º
º º º
º º ºº º
º
º
º
º ºº º
º º º º º
º
º º
º
º
ºº º º
º º
º º º
º º º º ºº
º º
º º
º º
º º º
º º º
º
º º
º
º º
º ºº º º ººº
º ºº
ºººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
º
º º
V º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº º
ºº º
ºº ºº
º º
ºº º
ºº
ºº
º
º
º
º
º º
º º
º º
º
º º
º
º º
ºº º
º
º
º º º
º º
º
º
º
º º º
º º º
º
º º
º º ºº
º º
º º
º º ºº ºº
º º
º º
º º ºº º
º
ºº
ºº ºº
º º º
º
ºº
ºº ºº ºº
º º
ºº º
ººº
ºº
ÙÖ º¾½ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ Ð Ó¸ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½
Ò Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Ó ÔÓÖÕÙ × ÙÒ Ó ÞÕÙ Ö Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÐÓ ÔÙÒØ
ÙÒ Ø Ó ÔÖ ÑÓ Ò ØÓ Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÓÒº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÔÙ ØÖ Ø Ö× ÙÒ
Ø Ó Ö ØÓ Ó ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ö ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × ÙÒ Ð ÔÖÓ ÙÒ Ð
Ó º
´ µ Ò Ð ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ð Ó ÒÓ × Ð Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ò Ö ÓÐ m¹Ö Ó¸
ÒØÓÒ ×¸ Ð ÐÓ ÔÙÒØ ¸ × ÑÔÖ ¸ ×Ù ÖÑ ÒÓ ÞÕÙ Ö Óº
4.5 Un TAD gen´rico para ´rboles
e a
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ò Ö ×ÓÐÚ Ö ÙÒ ÑÔÐ Ú Ö ÔÖÓ Ð Ñ ×º ÆÓ Ó ×Ø ÒØ ¸
Ò Ð ÙÒ × Ó × ÓÒ × ÔÙ ÔÖ Ö Ö× ÙÒ Ö ÓÐ Ð ÙÒ ÓÖ Ò Óº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ×Ø
× ÓÒ ØÖ Ø Ö ×Ó Ö Ð × ÒÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð ÙÒ Ö Óк
Ð Ì Ò Ù ×Ø ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ØÖ ÒÓ ºÀ ¾ ¿ ¸ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ
Ò Ö Ð × ÓÑÓ × Ù
¾¿ ØÔÐ ØÖ ÒÓ ºÀ ¾ ¿ ≡
template <class T>
class Tree_Node
{
ØÖ ÙØÓ× Tree Node<T> ¾
Å ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Tree Node<T> ¾
Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾
};
Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾
Ò Ð Ð ÓÖ ÓÒ ×Ø Ì × ÓÒØÓ ÓÒ Ð × Ú Ð Ó× × ÝÙ × ÐÓ× Ô Ö Ð ÔÓ ×ØÙ ÒØ × ÂÓ×
Ö ØÓ ´Ñ ×ØÖ µ Ý ÂÙ Ò Ù ÒØ × ´ÔÖ Ö Óµº

310. 284 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ð Ì Tree Node<T> ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ð Ð Ù Ð Ù Ö ÙÒ ØÖ ¹
ÙØÓ Ò Ö Ó Ø ÔÓ T ×Ô ¬ Ó Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾ ØÖ ÙØÓ× Tree Node<T> ¾ ≡ ´¾ ¿µ ¾
T data;
Ð Ù Ð ÔÙ Ö× Ñ ÒØ
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ ≡ ´¾ ¿µ ¾
T & get_key() { return get_data(); }
T & get_data() { return data; }
typedef T key_type;
ÆÙ ×ØÖ ÔÖ Ñ Ö × ÓÒ × ÒÓ ÓÒ× ×Ø Ò × Ó Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ò ÑÓ× Ú Ö× Ø Ð Ý Ò Ö Ð ¸ ØÖ Ò× Ö ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ
Ð ×Ø ×¸ ÔÙ × ×Ø Ó Ö Ñ × Ò Ñ ×ÑÓ ÕÙ ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ׺ ÓÒ× Ù ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ó× ÒÐ × Ó Ð ×
¾ ØÖ ÙØÓ× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Dlink child;
Dlink sibling;
child ÒÐ Þ ÐÓ× Ó× Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ý sibling ÒÐ Þ ÐÓ× ÖÑ ÒÓ× ×Ù ×Ó
×Ø Ó ÔÓÖ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ØÓ Ó×
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Dlink * get_child_list() { return &child; }
Dlink * get_sibling_list() { return &sibling; }
ÅÙ × Ú ×¸ ÐÙ Ó Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Dlink Ó × child Ó sibling¸ Ò ¹
× Ø Ö ÑÓ× ÓÒÚ ÖØ ÖÐÓ ÙÒ Tree Node<T>º È Ö ÐÐÓ¸ Ò Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÒ × ÓÒÚ Ö× ÓÒ
Ñ ÒØ ÐÓ× Ñ ÖÓ× Ó Ö Ó× ÔÓÖ Ð Ð × Dlink ´Ü ¾º º ´Ô Ò µµ
¾ Å ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Tree Node<T> ¾ ≡ ´¾ ¿µ ¾
LINKNAME_TO_TYPE(Tree_Node, child);
LINKNAME_TO_TYPE(Tree_Node, sibling);
Í× × LINKNAME TO TYPE ¿º
×Ù Ú Þ¸ ×Ø Ô Ö Ñ ØÓ Ó× ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ¬Ò Ö Ð ×Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÒØÓÖÒÓ
ÙÒ Tree Node<T>
¾ Å ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾
Tree_Node * upper_link() { return child_to_Tree_Node(child.get_prev()); }
Tree_Node * lower_link() { return child_to_Tree_Node(child.get_next()); }
Tree_Node * left_link() { return sibling_to_Tree_Node(sibling.get_prev()); }
Tree_Node * right_link() { return sibling_to_Tree_Node(sibling.get_next()); }
× Ö¸ Ð Ô Ö Ý Ð Ó¸ ØÖ Ú × upper link() Ý lower link()¸ Ò ×Ó ÕÙ
× ØÖ Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ × Ð Ñ × Ð ÞÕÙ Ö ¸ Ý ÐÓ× ÖÑ ÒÓ× ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó¸
left link() Ý right link()¸ × × ØÖ Ø Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÒÓ Ó Ö ÒØ Ð ÔÖ ÑÓ Ò ØÓº
Ë Ò Ð × Ð ×Ø × ×ÓÒ Ö ÙÐ Ö ×¸ ÐÐ × ÒÓ Ø Ò Ò ÒÓ Ó Ö º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ ÑÓ×
×Ø Ö ÑÙÝ Ô Ò ÒØ × Ù Ð × Ð ÜØÖ ÑÓ Ð ×Ø º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ñ Ö Ö ÑÓ×
ÒÓ Ó ÓÒ Ò Ö × ÕÙ ÒÓ× Ò Ö Ò Ð Ø ÔÓ ÒÓ Ó × ÙÒ ÕÙ ×Ø × ÜØÖ ÑÓ
Ð ÙÒ Ð ×Ø º È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ø×
¾ ØÖ ÙØÓ× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾
struct Flags
{
unsigned int is_root : 1;

311. 4.5. Un TAD gen´rico para ´rboles
e a 285
unsigned int is_leaf : 1;
unsigned int is_leftmost : 1;
unsigned int is_rightmost : 1;
Flags() : is_root(1), is_leaf(1), is_leftmost(1), is_rightmost(1) { }
};
Flags flags;
Ä Ó × ÖÚ ÓÒ Ý ÑÓ ¬ ÓÒ ×Ø × Ò Ö × ¬Ò Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ØÓ Ó× ×Ó Ö ÙÒ
ÒÓ Ó
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
bool is_root() const { return flags.is_root; }
bool is_leaf() const { return flags.is_leaf; }
bool is_leftmost() const { return flags.is_leftmost; }
bool is_rightmost() const { return flags.is_rightmost; }
void set_is_root(const bool & value) { flags.is_root = value; }
void set_is_leaf(const bool & value) { flags.is_leaf = value; }
void set_is_leftmost(const bool & value) { flags.is_leftmost = value; }
void set_is_rightmost(const bool & value) { flags.is_rightmost = value; }
4.5.1 Observadores de Tree Node<T>
Ô ÖØ Ð × Ò Ö × Ý Ð ØÓ Ò Ö Ó¸ × ÙÒ Tree Node<T> ÔÙ Ò Ó × ÖÚ Ö×
×Ù× ÒÓ Ó× Ý ÒØ × × Ö¸ ×Ù Ô Ö ¸ ×Ù Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ý ×Ù× ÖÑ ÒÓ׺
ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÐÓ× ÖÑ ÒÓ׸ ÐÓ× Ù Ð × ×ÓÒ ÐÓ× Ó × ÖÚ ÓÖ × Ñ × × ÑÔÐ ×
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Tree_Node * get_left_sibling()
{
if (is_leftmost())
return NULL;
return left_link();
}
Tree_Node * get_right_sibling()
get right sibling()× × Ñ ØÖ Ñ ÒØ × Ñ Ð Ö get left sibling()º
× ÙÒ ÒÓ Ó × ÔÙ Ö ×Ù× Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ð Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ñ ×
Ð Ö
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Tree_Node * get_left_child()
{
if (is_leaf())
return NULL;
return lower_link();
}
Tree_Node * get_right_child()
{
if (is_leaf())
return NULL;
Tree_Node * left_child = lower_link();
return left_child->left_link();
}

312. 286 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ñ Ó× Ñ ØÓ Ó× ÔÙ Ò Ö Ö Ö Ð Ñ ×ÑÓ ÒÓ Ó Ò ×Ó ÕÙ this Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ó
Ó ×Ø Ú Óº
Ò ×Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð ÒÓ Ó × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ó׸ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÙ
Ö× Ñ ÒØ get left sibling() Ý get right sibling()º
ØÓ× Ð Ú Ö× Ø Ð ¸ ÔÙ ÓÒÚ Ò ÖÒÓ× Ð ×Ó × ÙÒ Ð ÓÖ Ò Ð
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Tree_Node * get_child(const int & i)
{
Tree_Node * c = get_left_child();
for (int j = 1; c != NULL and j < i; ++j)
c = c->get_right_sibling();
return c;
}
Ð Ñ ØÓ Ó Ö ØÓÖÒ NULL × index × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ð Ö Ó Ð ÒÓ Óº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÐØ ÑÓ Ó × ÖÚ ÓÖ ÓÒ ÖÒ Ð ÒÓ Ó Ô Ö
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Tree_Node * get_parent()
{
if (is_root())
return NULL;
Tree_Node * p = this;
while (not ISLEFTMOST(p)) // retroceda hasta ser el nodo m´s a la izquierda
a
p = p->left_link();
return p->upper_link();
}
ÄÓ× Ö ÓÐ × ÔÙ Ò ×Ó Ö× Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò
4.5.2 Modificadores de Tree Node<T>
Ù Ò Ó × Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó × ×ÙÑ Ö Þ ÙÒ Ö Óк À Ý Ó× Ø ÔÓ× Ò× Ö ÓÒ
ÓÑÓ ÖÑ ÒÓ Ý ÓÑÓ Óº Ë ÙÒ Ð Ø ÔÓ Ò× Ö ÓÒ¸ Ð ÒÓ Ó ÔÙ Ö × Ö Ö Þº
À Ý Ó× ÓÖÑ × Ò× ÖØ Ö ÓÑÓ ÖÑ ÒÓ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ö º Ë Ð ÒÓ Ó
ÖÑ ÒÓ × Ö Þ¸ ÒØÓÒ × Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó × Ù × Ò Ó Ö Þº Ò ×Ø ×Ó¸ ØÖ Ø ÑÓ× ÓÒ
ÙÒ Ö ÓÖ × Ò × ÕÙ Ð Ñ ÒØ ÐÓ× ÖÑ ÒÓ׺ Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó
ÓÑÔ ÖØ Ð Ñ ×ÑÓ Ô Ö º
Ä Ò× Ö ÓÒ ÓÑÓ ÖÑ ÒÓ Ö Ó × ×Ô ¬ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
void insert_right_sibling(Tree_Node * p)
{
if (p == NULL)
return;
if (not is_root())
p->set_is_root(false);
p->set_is_leftmost(false);
Tree_Node * old_next_node = get_right_sibling();
if (old_next_node != NULL)
p->set_is_rightmost(false);
this->set_is_rightmost(false);
this->sibling.insert(SIBLING_LIST(p));

313. 4.5. Un TAD gen´rico para ´rboles
e a 287
}
Ä Ò× Ö ÓÒ ÓÑÓ ÖÑ ÒÓ ÞÕÙ Ö Ó × ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × ÓÑÔÐ ÔÓÖÕÙ p ÔÙ
Ú ÒÖ Ð Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ò ÙÝÓ ×Ó¸ Ð ÒØ ÙÓ Ñ × ÞÕÙ Ö × Ö×
Ð Ð ×Ø Ó× child Ý ×Ù×Ø ØÙ Ö× ÔÓÖ pº
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
void insert_left_sibling(Tree_Node * p)
{
if (p == NULL)
return;
if (not this->is_root())
p->set_is_root(false);
p->set_is_rightmost(false);
Tree_Node * old_next_node = this->get_left_sibling();
if (old_next_node != NULL)
p->set_is_leftmost(false);
else if (not this->child.is_empty()) // verifica si p devendr´ m´s a la izquierda
a a
{ // this es el m´s a la izquierda ==> p pasar´ a ser el primog´nito
a a e
Tree_Node * parent = this->get_parent();
Tree_Node * left_child = this->get_left_child();
CHILD_LIST(this)->del(); // sacar this de lista de hijos
if (parent != NULL) // ahora meter a p en la lista de hijos
parent->insert(p);
else
left_child->append(p);
}
this->set_is_leftmost(false);
this->sibling.append(SIBLING_LIST(p));
}
Ñ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×¸ insert right sibling() insert left sibling()¸ Ò× ÖØ Ò ÔÓÖ
Ð ÞÕÙ Ö Ý Ö Ý Ö ÕÙ Ö Ò ÕÙ Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö ×Ø Ú Óº
Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ Ò× Ö ÓÒ × Ö¸ ÓÑÓ Ó¸ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× ÓÑÓ Ð Ó Ñ ×
Ð ÞÕÙ Ö Ó Ð Ñ × Ð Ö º À ÕÙ Ð Ð ÞÕÙ Ö
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
void insert_leftmost_child(Tree_Node * p)
{
if (p == NULL)
return;
p->set_is_root(false);
if (this->is_leaf())
{
this->set_is_leaf(false);
CHILD_LIST(this)->insert(CHILD_LIST(p));
}
else
{
Tree_Node * old_left_child_node = this->lower_link();
old_left_child_node->set_is_leftmost(false);
p->set_is_rightmost(false);
CHILD_LIST(old_left_child_node)->del();
CHILD_LIST(this)->insert(CHILD_LIST(p));

314. 288 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
SIBLING_LIST(old_left_child_node)->append(SIBLING_LIST(p));
}
}
Ì Ñ Ò Ü ×Ø ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÓÖ Ð Ö ¸ ÐÐ Ñ Ó insert rightmost child()º
ÙÒÕÙ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÔÓ× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÖ × Ò Ñ ÒØ Ð ÙÒ × ×Ø ×
Ð × × Ò× Ö ÓÒ¸ × ÔÖ Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö Ö ÓÐ × Ý ÐÙ Ó Ò Ò ÖÐÓ× Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò
Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
void insert_tree_to_right(Tree_Node * tree)
{
tree->set_is_leftmost(false);
Tree_Node * old_next_tree = this->get_right_tree();
if (old_next_tree != NULL)
tree->set_is_rightmost(false);
this->set_is_rightmost(false);
SIBLING_LIST(this)->insert(SIBLING_LIST(tree));
}
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ tree ÑÔ Ö Ø Ú Ñ ÒØ × Ö ÙÒ Ö ÓÐ × Ö¸ tree Ø Ò ÕÙ × Ö
ÙÒ Ö Þ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó × ÓÒ× Ö ÙÒ ÖÖÓÖº
4.5.3 Observadores de ´rboles
a
Ö ÓÖ × Ò × ÓÒ×ØÖÙ × Ñ ÒØ insert tree to right() ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× ØÖ Ú ×
ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ØÓ Ó×
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
Tree_Node * get_left_tree()
Tree_Node * get_right_tree()
×ØÓ× Ñ ØÓ Ó× Ö ØÓÖÒ Ò Ð Ö ÓÐ × ØÙ Ó Ð ÞÕÙ Ö Ó Ö this¸ Ö ×Ô Ø Ú ¹
Ñ ÒØ º
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ×ÓÐÓ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÐ Ð Ö ÓÖ × Ò Ó × ¸ × Ð Ñ × Ð
ÞÕÙ Ö ¸ ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ð Ö ÓÐ Ñ × Ð Ö Ð Ö ÓÖ × Ò Ñ ÒØ × Ù ÒØ
¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Tree Node<T> ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾
Tree_Node * get_last_tree()
4.5.4 Recorridos sobre Tree Node<T>
Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ó Ð Ì Ö Ò ÜÔÐ Ó × Ð × ÖÖÓÐÐÓ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó׺ ÓÒ× Ö ¹
ÑÓ׸ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ ÙÒ Ö ÓÐ
¾ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ ≡ ´¾ ¿µ ¾
template <class Node> static inline
void __tree_preorder_traversal(Node * root, const int & level,
const int & child_index,
void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
(*visitFct)(root, level, child_index);
Node * child = root->get_left_child();
for (int i = 0; child != NULL;
i++, child = child->get_right_sibling())

315. 4.5. Un TAD gen´rico para ´rboles
e a 289
__tree_preorder_traversal(child, level + 1, i, visitFct);
}
Ä ÖÙØ Ò Ö ÓÖÖ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ¸ Ò ÔÖ ¬ Ó¸ Ð Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ rootº Ò Ú×Ø ¸×
ÒÚÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÔÙÒØ ÔÓÖ (*visitFct)¸ ÙÝÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ×ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó¸ ×Ù
Ò Ú Ð ÒØÖÓ Ð Ö ÓÐ Ý ×Ù ÓÖ Ò Ð ÓÑÓ Ó Ö ×Ô ØÓ ×Ù Ô Ö º
tree preorder traversal() ÒÓ ×Ø ×Ø Ò ÓÑÓ ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð º Ò ×Ù ÐÙ Ö¸
× Ò ÑÓ× Ó× ÔÖ Ñ Ø Ú × ÔÙ Ð × Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ÕÙ ÐÐ Ñ Ò Ð Ú Ö× ÓÒ ×Ø Ø ¸
ÙÒ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ý ÓØÖ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÖ × Ò
¾ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾
template <class Node> inline
void tree_preorder_traversal(Node * root, void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
__tree_preorder_traversal(root, 0, 0, visitFct);
}
template <class Node> inline
void forest_preorder_traversal(Node * root,
void (*visitFct)(Node *, int, int))
{
for (/* nada */; root != NULL; root = root->get_right_tree())
__tree_preorder_traversal(root, 0, 0, visitFct);
}
Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ý ÓÑÔÖ Ò× Ð ÐÙ Ó ×ØÙ Ó Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Óº
4.5.5 Destrucci´n de Tree Node<T>
o
ÈÖ Ö Ð Ì Tree Node<T> Ñ Ò Ñ Ñ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÚÓ ÒÓ× × × Ò Ð Ð ×ØÖÙ ÓÒ¸
ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
¾ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾¼
template <class Node> inline
void destroy_tree(Node * root)
{
if (not IS_UNIQUE_SIBLING(root))
SIBLING_LIST(root)->del(); // no ==> sacarlo de lista de hermanos
// recorrer los sub´rboles de derecha a izquierda
a
for (Node * p = root->get_right_child(); p != NULL; /* nada */)
{
Node * to_delete = p; // respaldar sub´rbol a borrar p
a
p = p->get_left_sibling(); // Avanzar p a hermano izquierdo
destroy_tree(to_delete); // eliminar recursivamente arbol
´
}
if (root->is_leftmost()) // to_delete == m´s izquierda ==> sacarlo lista hijos
a
CHILD_LIST(root)->del();
delete root;
}
template <class Node> inline
void destroy_forest(Node * root)
{
while (root != NULL) // recorre los arboles de izquierda a derecha
´
{
Node * to_delete = root; // respalda ra´z
ı

316. 290 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
root = root->get_right_sibling(); // avanza a siguiente arbol
´
SIBLING_LIST(to_delete)->del(); // elimine arbol de lista de arboles
´ ´
destroy_tree(to_delete); // Borre el arbol
´
}
}
4.5.6 B´squeda por n´mero de Deway
u u
ÈÐ ÒØ ÑÓ×ÒÓ× Ð Ù×ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ó ×Ù ÒÙÑ ÖÓ ¹
Û Ý ´Ü º¾º ´Ô Ò ¾ µµº Ò × × ÒØ Ó¸ ¬Ò ÑÓ× ÙÒ Ñ ÒÓ Û Ý ÓÑÓ ÙÒ
× ÙÒ ÒØ ÖÓ× Ù Ö Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ø ÔÓ int path[] Ý Ð Ñ Ø ÓÒ ÙÒ
Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ ÕÙ Ò Ð ¬Ò Ð × Ù Ò º Ä ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ù×ÕÙ
Û Ý × Ð × Ù ÒØ
¾¼ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾¼
template <class Node> static inline
Node * __deway_search(Node * node, int path [],
const int & idx, const size_t & size)
{
if (node == NULL)
return NULL;
if (path[idx] < 0) // verifique si se ha alcanzado el nodo
return node;
// avance hasta el pr´ximo hijo path[0]
o
Node * child = node->get_left_child();
for (int i = 0; i < path[idx] and child != NULL; ++i)
child = child->get_right_sibling();
return __deway_search(child, path, idx + 1, size); // siga en pr´ximo nivel
o
}
Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ NULL × Ð ÒÓ Ó ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ý ×Ô ¬ Ó Ò path[] ÒÓ
× Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÓÐ Ð Ö ÓÒ Ø Ð ÒÓ Ó¸ Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Óº
Ä ÔÖ Ñ Ø Ú ÒØ Ö ÓÖ × ÔÖ Ú ÔÓÖÕÙ ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ñ × ÓÑÔÐ Ø ¸ ÕÙ Ò ÐÙÝ
Ù×ÕÙ Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò ¸ ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö× Ø Ð ÓÑÓ × Ù
¾¼ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¼ ¾ ½
template <class Node> inline
Node * deway_search(Node * root, int path [], const size_t & size)
{
for (int i = 0; root != NULL; i++, root = root->get_right_sibling())
if (path[0] == i) return __deway_search(root, path, 1, size);
return NULL;
}
4.5.7 C´lculo del n´mero de Deway
a u
Ò ÑÙ Ó× ÓÒØ ÜØÓ× ¸ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ× ×Ø Ò Ù× Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ð Ö ÓÐ Ý
ÒØÓÒ × Ø ÖÑ Ò Ö ×Ù ÒÙÑ ÖÓ Û Ýº È Ö ÐÐÓ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð
Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ × ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÑÓ ÒØÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÛÝ ÙÒ ÒÓ Óº

317. 4.5. Un TAD gen´rico para ´rboles
e a 291
Ö ÓÐ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ý ØÙ Ð Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó × ÙÒ Ð
× Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ
¾½ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾¼ ¾½
template <class Node, class Equal> inline static
Node * __search_deway(Node * root, const typename Node::key_type & key,
const size_t & current_level, int deway [],
const size_t & size, size_t & n);
search deway() Ù× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ò Ð Ö ÓÐ ÙÝ Ö Þ × root Ð Ð Ú keyº
ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¸ × Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ò Ú Ð current level¸ Ð Ù Ð × Ù× Ô Ö ØÙ Ð Þ Ö Ð
ÒÙÑ ÖÓ Û Ý ÐÑ Ò Ó Ò Ð ÖÖ ÐÓ deway Ý ÙÝ Ô × sizeº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ n
Ø Ò × ÒØ Ó × × Ò Ù ÒØÖ Ð Ð Ú Ý ÐÑ Ò Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ýº
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ × Ò ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð
¾½ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ½ ¾ ½
template <class Node, class Equal> inline
Node * search_deway(Node * root, const typename Node::key_type & key,
int deway [], const size_t & size, size_t & n)
{
n = 1; // valor inicial de longitud de n´mero de Deway
u
for (int i = 0; root != NULL; i++, root = root->get_right_sibling())
{
deway[0] = i;
Node * result = __search_deway <Node, Equal> (root, key, 0, deway, size, n);
if (result != NULL)
return result;
}
return NULL;
}
ÆÓ× Ö ×Ø ÔÓÖ ¬Ò Ö Ð ÖÙØ Ò ÕÙ Ö ÓÖÖ Ö Ò ÔÖ ¬ Ó Ð Ö ÓÐ Ð Ù×ÕÙ Ð
ÐÚ
¾½ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ½ ¾ ¾
template <class Node, class Equal> inline static
Node * __search_deway(Node * root, const typename Node::key_type & key,
const size_t & current_level, int deway [],
const size_t & size, size_t & n)
{
if (root == NULL)
return NULL;
if (Equal () (KEY(root), key))
{
n = current_level + 1; // longitud del arreglo deway
return root;
}
Node * child = root->get_left_child();
for (int i = 0; child != NULL; i++, child = child->get_right_sibling())
{
deway[current_level + 1] = i;
Node * result = __search_deway <Node, Equal>
(child, key, current_level + 1, deway, size, n);
if (result!= NULL)
return result;

318. 292 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
}
return NULL;
}
4.5.8 Correspondencia entre Tree Node<T> y ´rboles binarios
a
Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ ÑÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ö ÓÐ × m¹Ö Ó× Ý Ò Ö Ó×
ÜÔÐ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¾ µ½¼ º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× × Ö Ð Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó¸
ÑÔÐ ÒØ Ó Ñ ÒØ Ð Ì Tree Node<T>¸ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÑÔÐ ÒØ Ó ØÖ Ú ×
Ð Ì BinNode<Key>º Ù Ò Ó ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ó ØÖ Ú × Ð Ì ººº ¸ ÒÓ×
Ö Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó Ý Ò Ö Ó × ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ò Ð × Ð × × Tree Node<T> Ý
BinNode<Key>¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ô ÖÓ no necesariamente son exactamente de estas
dos clases¸ × ÒÓ ÕÙ ¸ ÔÙ Ö Ò × Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð × × Ö Ú ×º
Ä ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÙÒÓ Ò Ö Ó × ÜÔÖ × Ö Ø Ñ ÒØ × ÙÒ Ð ×
Ô ÙØ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º × Ö¸ Ò Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ØÓ Ö Ñ ÞÕÙ Ö ÓÖÖ ×ÔÓÒ
ÙÒ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó Ñ ÒØÖ × ÕÙ ØÓ Ö Ñ Ö ÓÖÖ ×ÔÓÒ
Ð × Ù ÒØ ÖÑ ÒÓº Ë ÙÒ ×ØÓ× Ð Ò Ñ ÒØÓ׸ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÓÑÓ × Ù
¾¾ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ½ ¾ ¾
template <class TNode, class BNode>
BNode * forest_to_bin(TNode * root)
{
if (root == NULL)
return BNode::NullPtr;
BNode * result = new BNode (root->get_key());
LLINK(result) = forest_to_bin<TNode, BNode>(root->get_left_child());
RLINK(result) = forest_to_bin<TNode, BNode>(root->get_right_sibling());
return result;
}
Ä ÖÙØ Ò Ñ Ò Ó× Ø ÔÓ× Ò Ö Ó׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ TNode¸ × ÙÒ ÒÓ Ó m¹Ö Ó × Ó Ò Ð
Ì Tree Node<T>º Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ × BNode¸ Ð Ù Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ý
×Ø Ö × Ó Ò BinNode<Key>º Ä Ú Ö ¬ ÓÒ ×ØÓ× Ø ÔÓ× × Ö Ð Þ ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
Ò Ø ÑÔÓ Ò×Ø Ò ÓÒ Ð ÔÐ ÒØ ÐÐ Ù Ò Ó × ÓÑÔ Ð Ò Ð × ØÖ × Ô ÒÙÐØ Ñ × Ð Ò × Ý
× Ú Ö ¬ Ð Ü ×Ø Ò ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÕÙ × ÒÚÓ Òº
Ä ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÒÓ m¹Ö Ó × ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × Ð ÓÖ Ó× Ö ÞÓÒ ÔÓÖ
Ð Ù Ð ÒÓ× ÓÒÚ Ò × ÓÑÔÓÒ ÖÐ Ò ÖÙØ Ò × ×Ô ¬ × Ý × Ô Ö × ÕÙ ØÙ Ò ÓÒ ×
ÓÒ Ö Ø × Ý ÑÓ ÙÐ Ö Þ ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ý Ó× ÓÒ × Ô Ö ÙÒ Tree Node<T>
½º ÁÒ× Ö ÓÒ ÔÖ ÑÓ Ò ØÓ ÓÑÓ Ý ÐÓ × ÑÓ׸ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÒ Ö Ñ
ÞÕÙ Ö Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÔÖ ÑÓ Ò ØÓ Ò Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ º Ù Ò Ó Ò ÙÒ
ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ñ Ö ÑÓ× ×Ù Ó ÞÕÙ Ö Ó ÐÓ Ò× ÖØ ÑÓ× Ò Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÓÑÓ ÔÖ ¹
ÑÓ Ò ØÓº ×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð ×Ù ÖÙØ Ò × Ù ÒØ
¾¾ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾ ¾ ¿
template <class TNode, class BNode> inline static
void insert_child(BNode * lnode, TNode * tree_node)
Ò Ð × ÒÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð × ÙÒ ÓÒ × ÜÔÐ
½¼
× Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ × Ñ Ò ×Ø Ö × Ò Ð Ö Ð
Ô ÖØ Ô ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÂÙ Ò Ù ÒØ ×º

319. 4.5. Un TAD gen´rico para ´rboles
e a 293
{
if (lnode == BNode::NullPtr)
return;
TNode * child = new TNode(KEY(lnode));
tree_node->insert_leftmost_child(child);
}
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ lnode × ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó ÕÙ × Ó ÞÕÙ Ö Óº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ tree node ×
ÙÒ ÒÓ Ó m¹Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ô Ö lnodeº
¾º ÁÒ× Ö ÓÒ ÖÑ ÒÓ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ò Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ñ Ö ÑÓ× ×Ù Ó Ö Ó
ÐÓ Ò× ÖØ ÑÓ× Ò Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÓÑÓ ×Ù ÖÑ ÒÓ Ö Óº ×ØÓ ÓÒ Ù Ð × Ù ÒØ
×Ù ÖÙØ Ò
¾¿ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¾ ¾ ¿
template <class TNode, class BNode> inline static
void insert_sibling(BNode * rnode, TNode * tree_node)
{
if (rnode == BNode::NullPtr)
return;
TNode * sibling = new TNode(KEY(rnode));
tree_node->insert_right_sibling(sibling);
}
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ rnode × ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó ÕÙ × Ó Ö Óº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ tree node ×
ÙÒ ÒÓ Ó m¹Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ô Ö rnodeº
ÓÖ ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ð Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÙÒÓ Ò Ö Ó
¾¿ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¿ ¾ ¿
template <class TNode, class BNode> inline static
void bin_to_tree(BNode * broot, TNode * troot)
{
if (broot == BNode::NullPtr)
return;
insert_child(LLINK(broot), troot);
TNode * left_child = troot->get_left_child();
bin_to_tree(LLINK(broot), left_child);
insert_sibling(RLINK(broot), troot);
TNode * right_sibling = troot->get_right_sibling();
bin_to_tree(RLINK(broot), right_sibling);
}
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ broot × Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ò Ð
Ì BinNode<Key>º Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ troot × Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó¸ ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ò
ÐÌ Tree Node<T>¸ ÕÙ Ú Ð ÒØ brootº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð Ý ¬Ò Ø Ú ÕÙ Ö Ð Ö Þ Ò Ð Ý ×Ô Ö Ð ÓÒ¹
×ØÖÙ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ × ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾¿ Å ØÓ Ó× ÙØ Ð Ø Ö Ó× Ö ÓÐ × ¾ +≡ ´¾ ¿µ ¾ ¿
template <class TNode, class BNode> inline
TNode * bin_to_forest(BNode * broot)
{

320. 294 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
if (broot == BNode::NullPtr)
return NULL;
TNode * troot = new TNode (KEY(broot));
bin_to_tree(broot, troot);
return troot;
}
4.6 Algunos conceptos matem´ticos de los ´rboles
a a
ÄÓ× Ö ÓÐ × × Ò Ù ÒØÖ Ò ÒØÖ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ñ × ÒØ Ö × ÒØ × Ý ÓÑÔÐ × Ð
Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ º Ê ÕÙ Ö ÑÓ׸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ÙÒ ÓÖÔÙ× Ñ Ø Ñ Ø Ó¸ Ñ Ò ÑÓ¸
ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÓÖ Ö Ð Ò Ð × × Ð × Ö ÒØ × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö ÓÐ ÕÙ ÐÙ Ó ×ØÙ ¹
Ö ÑÓ׺
ÆÓ× ÓÒ ÖÒ ÓÒÓ Ö ÕÙ Ø ÒØÓ ÙÒ Ö ÓÐ × Ô Ö ÙÒ Ö Óи Ô٠׸ Ô Ö Ð ÙÒ ×
× ØÙ ÓÒ × ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ×¸ Ñ ÒØÖ × Ñ × ÙÒ Ö ÓÐ × ÙÒ Ö Óи ÒØÓÒ × Ñ × ¬ ÒØ
× ×Ù ÙØ Ð Þ ÓÒº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ð ×Ø Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ò Ð ÓÒ ÔØÓ Ö ÓÐ
ÑÔ ÖÓ¸ Ó Ú Ñ ÒØ × ÐÓ× Ö ÓÐ × ØÙÚ × Ò ØÓÔÓÐÓ × × Ñ Ð Ö × Ð × Ð ×Ø ×¸ ÒØÓÒ × × Ö
ÔÖ Ö Ð ÙØ Ð Þ Ö Ð ×Ø ×º
4.6.1 Altura de un ´rbol
a
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ò ÓÖ Ö ÕÙ Ø Ò Ù ÒÓ ÔÙ × Ö ÙÒ Ö ÓÐ × ÓÒÓ Ö Ð × ÐØÙÖ ×
ÔÓ× Ð × Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó׸ Ô Ö ÐÐÓ × ÙØ Ð ×ØÙ Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒº
Proposici´n 4.1
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÓÒ n ÒÓ Ó׺ ÒØÓÒ ×
ÐÓ m (n(m − 1) + 1) ≤ h(T ) ≤ n ´ º½ µ
Demostraci´n
o
¯ h(T ) ≥ ÐÓ m (n(m − 1) + 1)
Ä ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ × Ñ Ò Ñ Ù Ò Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÓÑÔÐ ØÓ× × Ñ Ü ÑÓº
È Ö ÓÑÔÖ Ò Ö ×ØÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÒ×ØÖÙ Ö ÔÖÓ Ö × Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó Ú ¹
Ø Ò Ó Ò ÐÓ ÔÓ× Ð ÙÑ ÒØ Ö ×Ù ÐØÙÖ º Ô ÖØ Ö Ð Ö ÓÐ Ú Ó¸ ×ÓÐÓ ÔÓ ÑÓ×
ÓÐÓ Ö Ð ÒÓ Ó Ö Þº ÄÙ Ó¸ Ø Ò ÑÓ× m ×Ô Ó× ×ÔÓÒ Ð × Ò Ð Ò Ú Ð 1º ÈÓ×Ø ¹
Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÙÒÓ ÐÓ× m ÒÓ Ó× Ð Ò Ú Ð 1 Ø Ñ Ò Ø Ò m Ð × ×ÔÓÒ Ð ×
ÕÙ ×Ø Ö Ò Ò Ð Ò Ú Ð 2 × Ö m × m Ð × ÕÙ ÔÙ Ò ÓÐÓ Ö× Ò Ð Ò Ú Ð 2º
ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ×Ø Ð Ò Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ¸ × Ð Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ú Ð i ÔÙ
ÓÒØ Ò Ö ÐÓ ×ÙÑÓ mi ÒÓ Ó׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ×ØÖÙ Ó
×Ø ÓÖÑ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
h(T)−1
n≤ mi = m0 + m1 + m2 + · · · + mh(T)−1 ´ º½ µ
i=0
ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ´ º½ µ ÔÓÖ m Ø Ò ÑÓ×
h(T)−1
mn≤ = m1 + m2 + · · · + mh(T)−1 + mh(T) ´ º½ µ
i=0

321. 4.6. Algunos conceptos matem´ticos de los ´rboles
a a 295
Ê ×Ø Ò Ó ´ º½ µ Ñ ÒÓ× ´ º½ µ¸ Ø Ò ÑÓ×
m n − n ≤ mh(T) − 1 =⇒
n(m − 1) + 1 ≤ mh(T) =⇒
ÐÓ m (n(m − 1) + 1) ≤ h(T )
¯ h(T ) ≤ n
È Ö ×Ø ×Ó¸ × Ù ÑÓ× Ð Ð Ò Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö× Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ö¸
ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× ÔÖÓ Ö × Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ØÖ Ø Ò Ó × ÑÔÖ ÙÑ ÒØ Ö ×Ù ÐØÙÖ º
Ì Ð Ö ÓÐ × ÕÙ Ð ÕÙ Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ n Ò Ú Ð × Ý ÙÒ ÒÓ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ðº È٠׸ ×Ø
Ö ÓÐ Ø Ò ÐØÙÖ n
×Ø ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ö Ú Ð ÓØ × Ô Ö Ð Ñ × ÓÖØÓ Ý Ð Ö Ó Ñ ÒÓ × Ð Ö Þ ×Ø ÙÒ
Ó Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ö Ò Ð Ð Ö Óк ËÙÔÓÒ Ò Ó n ÒÓ Ó׸ Ð Ö ÓÐ Ñ × ÓÖØÓ
ÔÓ× Ð Ø Ò ÐØÙÖ h(T ) = ÐÓ m (n(m − 1) + 1) ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ñ × ÐØÓ h(T ) = nº
ÄÓ× Ö ÓÐ × ÓÒ ÐØÙÖ Ñ Ò Ñ ×ÓÒ Ö Ò ÑÔÓÖØ Ò ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð¸ ÔÙ × ÐÐÓ×
Ö ÒØ Þ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ¬ Ò ÑÙ Ó× ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö ÓР׺ Ð Ø٠и
Ü ×Ø Ò ÔÓ Ó× ×ÕÙ Ñ × Ò ÐÓ× Ù Ð × × ÔÙ Ö ×ØÖ Ò Ö Ð ÐØÙÖ ¸ Ò Ñ Ý ¬ ÞÑ ÒØ ¸
Ô Ö ÕÙ ×Ø × Ñ Ò Ñ º × Ô٠׸ ÑÙ × Ú × × Ò × Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ö Ö ÓÐ × ÙÝ
ÐØÙÖ ÒÓ × Ñ Ò Ñ º Ä Ð ×Ø ÙÐØ Ñ Ð × Ö ÓÐ × × Ñ Ò ÕÙ Ø ÒØÓ
×ØÓ× Ö ÓÐ × × Ö Ò ÐÓ× ÐØÙÖ Ñ Ò Ñ Ý ÒÓ Ö ÐÑ ÒØ ÔÓÖ Ð Ú ÐÓÖ ×Ù ÐØÙÖ º
Ê ÕÙ Ö ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ Ñ ÓÒ Ð ÕÙ ÒÓ× Ò ÕÙ ÕÙ Ø Ò Ù ÒÓ × Ð Ö Óк
Ð Ñ Ö Ó ÓÒ ÔØÙ Ð ×Ø Ñ × ÒÓÑ Ò ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ» ÜØ ÖÒÓ ¸
Ý × ÒÙÒ Ö Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ × Ù ÒØ º
4.6.2 Longitud del camino interno/externo
Definici´n 4.3 (Nodo externo) Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó
o ÓÒ n ÒÓ Ó× Ý × ni Ð ÙÒ ÒÓ Ó
Ò ÓÑÔÐ ØÓ T Ø Ð ÕÙ Ö Ó(ni) = m < mº ÒØÓÒ ×¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ× ni ×
¬Ò Ò ÓÑÓ ÐÓ× Ö Ó(ni) − m ×Ù Ö ÓÐ × ÐØ ÒØ ×º
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÙÒ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ × ØÓ Ó ÔÙÒØ ÖÓ ÒÙÐÓº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ
ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓ × ØÓ Ó ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ö Óк
Ñ ÒÙ Ó × ÓÒÚ Ò ÒØ Ý Ñ × Ð Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ×Ô Ð Ò ÕÙ
× ÑÙ ×ØÖ Ò ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ׺ ÌÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ× × Ö ÔÖ × Ò¹
Ø Ò ÓÒ Ö ÙÐÓ× Ý ÐÓ× ÜØ ÖÒÓ× ÓÒ Ð Ò × ÓÖ ÞÓÒØ Ð ×º Ä ¬ ÙÖ º¾¾ ÐÙ×ØÖ Ð Ú Ö× ÓÒ
ÜØ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
ÙÖ º¾¾ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÜØ Ò Ó
ÈÓÖ ØÖ ÓÒ¸ Ò ÜÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ×¸ ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓ × ÒÓØ ÓÑÓ ni Ý ÙÒÓ
ÜØ ÖÒÓ ÓÑÓ nxº

322. 296 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Proposici´n 4.2
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÓÒ n ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ׺ ÒØÓÒ ×¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ
ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ× ×
(m − 1) n + 1 ´ º½ µ
Demostraci´n
o × Ð ÖÓ ÕÙ Ü ×Ø Ò m × n ÔÙÒØ ÓÖ ×º ÐÓ× n ÒÓ Ó׸ n − 1 Ø Ò Ò
Ô Ö ´Ð Ö Þ ÒÓµº Ü ×Ø Ò¸ ÒØÓÒ ×¸ n − 1 Ö Ñ × Ó ÔÙÒØ ÓÖ × Ö ÒØ × ÒÙÐÓ¸ ÔÓÖ
ÐÓ ÕÙ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ× ×Ø Ö Ó ÔÓÖ Ð ØÓØ Ð ÔÙÒØ ÓÖ × Ñ ÒÓ× Ð
ÒØ ÔÙÒØ ÓÖ × ÒÓ ÒÙÐÓ׺ ×ØÓ ×
mn − (n − 1) = (m − 1)n + 1
ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º¾¸ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó n ÒÓ Ó׸ Ü ×Ø Ò 2n ÔÙÒØ ÓÖ ×¸ n−1
ÔÙÒØ ÓÖ × ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ× Ý n + 1 ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ׺
Definici´n 4.4 (Cardinalidad del nivel) Ë
o T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ò ¹
Ð Ð Ò Ú Ð i¸ ÒÓØ |nivel(i)|¸ × ¬Ò ÓÑÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ× Ò Ð
Ò Ú Ð iº
Definici´n 4.5 (Longitud del camino interno/externo) Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó
o ÓÒ n
ÒÓ Ó׺ Ä ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ Ð Ö ÓÐ T ¸ ÒÓØ ÓÑÓ ÁÈÄ(T )¸ × ¬Ò ÓÑÓ
ÁÈÄ(T ) = Ò Ú Ð(ni) = i × | Ò Ú Ð (i)| ´ º¾¼µ
∀ni ∈T ∀i
ni ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓ
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÜØ ÖÒÓ¸ ÒÓØ ÓÑÓ ÈÄ(T )¸ × ¬Ò ÓÑÓ
ÈÄ(T ) = Ò Ú Ð(nx) ´ º¾½µ
∀nx ∈T
nx ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ
È Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¾¾¸ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ ×
ÁÈÄ(T ) = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 = 19
Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÜØ ÖÒÓ ×
ÈÄ(T ) = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 39
Ð Ð ÙÐÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð Ò Ð × × ÑÔ Ö Ó ¹
× ÑÔ ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ÙÒ Ð × Ö ÓÐ Ò Ö Ó
×Ô Ð ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ º ×ØÓ Ù×Ø ¬ × Ò Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÕÙ Ð ÙÐ
Ð ÁÈÄ
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¾
template <class Node> inline static
size_t __internal_path_length(Node * p, const size_t & level)
{
if (p == Node::NullPtr)
return 0;
return level + __internal_path_length(LLINK(p), level + 1) +
__internal_path_length(RLINK(p), level + 1);
}

323. 4.6. Algunos conceptos matem´ticos de los ´rboles
a a 297
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ level Ò Ð Ò Ú Ð ØÙ Ð Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó Ý Ø Ñ Ò Ò Ð Þ Ö×
Ò ÖÓº Ä ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð internal path length rec() ÙÒ ÔÙ × ÛÖ ÔÔ Ö ÕÙ
ÙØ Ð ÐÐ Ñ Ò Ð
¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¿¿¾
template <class Node> inline
size_t internal_path_length(Node * p)
{
return __internal_path_length(p, 0);
}
Proposici´n 4.3
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó¸ ÒØÓÒ ×
m
|T | = |T i| + 1 ´ º¾¾µ
i=1
m
ÁÈÄ(T ) = ÁÈÄ(T i) + |T | − 1 ´ º¾¿µ
i=1
m
ÈÄ(T ) = ÈÄ(T i) + (m − 1)|T | + 1 ´ º¾ µ
i=1
Demostraci´n
o È Ö ´ º¾¾µ¸ × Ú ÒØ ÕÙ |T | × Ð ×ÙÑ Ð × Ö Ò Ð × ×Ù×
×Ù Ö ÓÐ × Ñ × ×Ù Ö Þº
Ò Ù ÒØÓ ´ º¾¿µ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÒÓ Ó Ö Þ T ÒÓ Ø Ò Ò Ò Ò Ð ÐÓÒ ØÙ
Ð Ñ ÒÓ¸ ÔÙ × ×Ù Ò Ú Ð × 0º Ù Ò Ó Ð ÙÐ ÑÓ× Ð × ÐÓÒ ØÙ × ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÐÓ×
×Ù Ö ÓÐ × T ¸ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò ÙÒ Ò Ú Ð Ò Ö ÓÖ × Ö¸ ÒÓ Ó
× ×ÙÑ Ó Ò ÙÒ Ò Ú Ð Ñ ÒÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö Þ T i¸ ÕÙ Ò T ×Ø Ò Ð Ò Ú Ð 1
× ÔÓÒ Ö ÓÒ 0 Ò ÐÙ Ö 1 ÐÓ Ñ ×ÑÓ ×Ù ÓÒ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó׺ × Ô٠׸
Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ ÁÈÄ(T )¸ ÑÓ× ×ÙÑ Ö 1 ÒÓ Ó ÓÒ× Ö Ó × Ö¸ Ð
ÒØ ÒÓ Ó× |T | − 1¸ ÔÙ × Ð Ö Þ ÒÓ Ù ÒØ º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ´ º¾ µ¸ Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ Ô Ö ´ º¾¿µ¸
×ÓÐÓ ÕÙ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ× ×¸ × ÙÒ ´ º½ µ ´ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º¾µ¸ (m − 1)|T | + 1
×Ø × ÒØ × ×ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØÓ× ÑÙ × Ð × ÑÓ×ØÖ ÓÒ × ÒÚÓÐÙ Ö × Ò
ÐÓ× Ö ÓР׺
Proposici´n 4.4
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Óº ÒØÓÒ ×
ÈÄ(T ) = (m − 1) ÁÈÄ(T ) + m |T | ´ º¾ µ
Demostraci´n (por inducci´n sobre la cardinalidad de T )
o o ×ÙÑ Ö ÑÓ× ÕÙ k
Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ö Ò Ð ÙÒ Ö ÓÐ Tkº
¯ |Tk| = 0 Ò ×Ø ×Ó¸ ÈÄ(T0) = (m − 1) ÁÈÄ(T0) + m |T0| = 0º Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ×
ÖØ Ô Ö Ð ×Ó × º
¯ |Tk+1| = k + 1 Ò ×Ø ×Ó¸ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k Ý
ÔÖÓ ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö × × ÖØ Ô Ö k + 1º

324. 298 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÓÑ ÒÞ ÑÓ× ÔÓÖ ÔÐ ÒØ Ö Ð Ö ×Ø Ð Ù ÓÒ ´ º¾ µ Ñ ÒÓ× ´ º¾¿µ Ò ÙÒ ÓÒ
ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º¿ ´ Ù ÓÒ × ´ º¾ µ Ý ´ º¾¿µµ
m m
ÈÄ(Tk+1 ) − ÁÈÄ(Tk+1 ) = ÈÄ(Tk+1 ) + (m − 1)|Tk+1 | + 1 −
i
ÁÈÄ(Tk+1 ) + |Tk+1 | − 1
i
i=1 i=1
m m
= ÈÄ(Tk+1 ) + (m − 1)(k + 1) + 1 −
i
ÁÈÄ(Tk+1 ) − (k + 1) + 1
i
i=1 i=1
m m
= ÈÄ(Tk+1 ) + mk + m − 2k −
i
ÁÈÄ(Tk+1 )
i
´ º¾ µ
i=1 i=1
ÓÖ ÔÐ ÑÓ× Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ×Ó Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ m
i=1 ÈÄ(Tk+1)
i
m m
ÈÄ(Tk+1 ) − ÁÈÄ(Tk+1 ) = (m − 1) ÁÈÄ(Tk+1 ) + m|Tk+1 | + mk + m − 2k −
i i
ÁÈÄ(Tk+1 )
i
i=1 i=1
m m m
= (m − 1) ÁÈÄ(Tk+1 ) + m
i
|Tk+1 | + mk + m − 2k −
i
ÁÈÄ(Tk+1 )
i
i=1 i=1 i=1
m
= (m − 2) ÁÈÄ(Tk+1 ) + 2mk + m − 2k
i
´ º¾ µ
i=1
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ¸ ÔÓÖ ´ º¾¾µ¸ m |Tk+1| = (k+1)−1 = kº Ä ×ÙÑ ØÓÖ m ÁÈÄ(Tk+1)
i i
ÔÙ Ö ÑÔÐ Þ Ö× ÔÓÖ ÁÈÄ(Tk+1) − k¸ ÕÙ × Ð Ö ×ÙÐØ Ó ×Ô Ö Ð ×ÙÑ ØÓÖ
i=1 i=1
´ º¾¿µ Ú ÐÙ Ò Tk+1
ÈÄ(Tk+1 ) − ÁÈÄ(Tk+1 ) = (m − 2)(ÁÈÄ(Tk+1 ) − k) + 2mk + m − 2k
= (m − 2) ÁÈÄ(Tk+1 ) − mk + 2k + 2mk + m − 2k =⇒
ÈÄ(Tk+1 ) = (m − 1) ÁÈÄ(Tk+1 ) + m(k + 1) ´ º¾ µ
ÕÙ × Ð Ñ ×Ñ ÜÔÖ × ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ú ÐÙ Ô Ö k + 1 ÒÓ Ó×
×Ø ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒÓ× ÝÙ Ö ×ØÙ Ö ÐÓ× Ð Ñ Ø × Ö Ð ÓÒ Ó× ÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
Ñ ÒÓ¸ ÐÓ× Ù Ð × × ×Ø Ð Ò Ò Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒº
Proposici´n 4.5
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó n ÒÓ Ó׺ ÒØÓÒ ×
ÐÓ m (n(m − 1)) m ÐÓ m (n(m−1)+1) + mn
≤ ÁÈÄ(T ) ≤
n(n − 1)
´ º¾ µ
m−1 2
Demostraci´n È Ö
o ÑÓ×ØÖ Ö ÁÈÄ(T ) ≤ 2 ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
n(n+1)
Ñ ÒÓ Ð
Ö ÓÐ Ñ ÝÓÖ ÐØÙÖ ÔÓ× Ð º Ì Ð Ö ÓÐ × ÕÙ Ð ÙÝÓ× ÒÓ Ó׸ ÓÒ Ü Ô ÓÒ Ð Ö Þ Ý
Ð Ó ¸ ×ÓÐÓ Ø Ò Ò ÙÒ Ö Ñ º Ä ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ×Ø Ö ÓÐ ×Ø ÔÓÖ
n
n(n − 1)
ÁÈÄ(T ) = i=
2
i=0
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÓØ Ò Ö ÓÖ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÜØ ÖÒÓ Ð Ö ÓÐ
ÐØÙÖ Ñ Ò Ñ h Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ´Ô º ¾ µ
ÈÄ(T ) ≤ hmh = (m − 1) ÁÈÄ(T ) + mn =⇒
hmh + mn
ÁÈÄ(T ) ≥
m−1
´ º¿¼µ

325. 4.6. Algunos conceptos matem´ticos de los ´rboles
a a 299
ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½ ´Ô º ¾ µ¸ ÓÒÓ ÑÓ× Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ hº ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ׸ Ô٠׸
Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö ´ º½ µ Ò ´ º¿¼µ
ÁÈÄ(T ) ≥ ÐÓ m (n(m − 1)) m
ÐÓ (n(m−1)+1) + mn m
m−1
ÎÖ × Ð×× Ö ÓÐ × ÒÓ ÓØ Ò Ð ÐØÙÖ ¸ Ô ÖÓ ×ÓÒ¸ Ò ÓÖÑ ¸ Ù ÒÓ׺ Ð ÁÈÄ ×
ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÓÑÔ Ö Ö Ö ÓÐ × ÒØÖ × Ý Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ø Ò Ù ÒÓ × ÙÒÓ
Ö ×Ô ØÓ Ð ÓØÖÓº
ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÐÐ ÒÓ Ù Ò Ó ×Ø ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ×Ù× Ó׺ ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸
ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø Ò ÓÑÔÐ ØÓ Ù Ò Ó Ð ÐØ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Óº
4.6.3 ´
Arboles completos
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó n ÒÓ Ó× ÙÝ ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ
× Ñ Ò Ñ º È Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ø Ð Ö Óи ÑÓ× ÓÐÓ Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ÒÓ Ó× Ò ÐÓ×
Ò Ú Ð × Ò Ö ÓÖ × ÒÓ ÑÓ× ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ò Ú Ð ×ÙÔ Ö ÓÖ ×Ø ÕÙ ÒÓ × Ý Ò
ÓÑÔÐ Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ú Ð × ÔÖ ×ÓÖ ×º
Ë Ù Ò Ó ×Ø Ð Ò Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× Ú Ö ÕÙ ×ÓÐÓ ÙÒ ÒÓ Ó¸ Ð Ö Þ¸ ÔÙ
×Ø Ö ×Ø Ò 0 Ð Ö Þº ÐÓ ×ÙÑÓ m ÒÓ Ó× ÔÙ Ò ×Ø Ö ×Ø Ò 1 Ð Ö Þº
ÐÓ ×ÙÑÓ m × m = m2 ÒÓ Ó× ÔÙ Ò ×Ø Ö ×Ø Ò 2º Ò Ò Ö Ð¸ ÐÓ ×ÙÑÓ m ×
m × m · · · × . . . m = mi ÒÓ Ó× ÔÙ Ò ×Ø Ö Ò Ð i¹ × ÑÓ Ò Ú Ðº × Ô٠׸ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ ×Ø Ö ÓÐ × Ö Ð ×ÙÑ ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× n Ø ÖÑ ÒÓ× Ð × × Ö ×
0, 1, 1, . . . 1, 2, 2, . . . 2, 3, 3, . . . , 3, 4, 4, . . . , 4, . . . , mh−1, mh−1, · · · , mh−1 .
m m2 Ú × m3 Ú × m4 Ú × ÒØ ÒÓ Ó× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð
Ë ÙÒ Ö ÓÐ n ÒÓ Ó׸ ÐØÙÖ h¸ ÙÝÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ð × Ñ Ò Ñ × ×Ø Ò ×
T
Ð Ö Þº ÈÓ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÒÓØ Ö ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ × Ô Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ
h−2
ÁÈÄ(T ) = i mi + (h − 1)n ´n × Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ðµ ´ º¿½µ
i=0
È Ö ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð Ö ÞÓÒ ÑÓ× ÓÑÓ × Ù º h−1 mi
i=0
× Ö Ð ØÓØ Ð ÒÓ Ó× × Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð ×ØÙÚ × ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÐÐ ÒÓº ÓÖ Ò¸ × Ð
ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð ÒÓ ×ØÙÚ × ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × ÐØ Ö Ò h−1 mi − n ÒÓ Ó× Ô Ö ÓÑÔÐ Ø Ö
i=0
Ð Ò Ú Ðº Ñ ×¸ × Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð ×ØÙÚ × ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × Ö Ò mh−1 ÒÓ Ó× Ò
Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ðº Ë n Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð¸ ÒØÓÒ ×
h−1 h−1
n = mh−1 − mi − n = mh−1 − mi + n ´ º¿¾µ
i=0 i=0
× Ö¸ Ð Ñ Ü ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð Ñ ÒÓ× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÐØ Ò Ô Ö
ÓÑÔÐ Ø Ö Ð Ò Ú Ðº
Ð Ö ×ÓÐÚ Ö Ð × ×ÙÑ ØÓÖ × ÒÚÓÐÙ Ö ×¸ Ø Ò ÑÓ×
ÁÈÄ(T ) = (h − 1)m
h−1 −(h − 2)mh − m mh − 1
(m − 1)2
+ (h − 1) mh−1 −
m−1
+n ´ º¿¿µ
Ä ×ÓÐÙ ÓÒ ¬Ò Ð ´ º¿¿µ × Ð ÓÑÓ Ö Óº

326. 300 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÇØÖ ÓÖÑ Ö ×ÓÐÚ Ö ´ º¿½µ Ý ´ º¿¿µ¸ × ÔÐ ÒØ Ò Ó ÙÒ ×ÙÑ ØÓÖ ×Ø ÒØ ÕÙ Ò¹
ÚÓÐÙ Ö ÐÓ Ö ØÑÓ× n
ÁÈÄ(T ) = ÐÓ m i ; ´ º¿ µ
i=1
ÙÝ ×ÓÐÙ ÓÒ Ø Ñ Ò × Ð Ò Ö Ó Ý ÕÙ ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× ÔÓÖ × ÓÑÔÓ× ÓÒ
Ð ×ÙÑ ØÓÖ Ò Ó× Ô ÖØ ×º
ÄÓ× Ö ÓÐ × ÓÑÔÐ ØÓ׸ ÕÙ ×ÓÒ ÐÓÒ ØÙ Ñ ÒÓ Ñ Ò Ñ ¸ ×ÓÒ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ×¸
ÔÙ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ¬ Ò ÔÓ× Ð ×Ó Ö ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
ÍÒ ÔÖÓÔ ÑÙÝ ÒØ Ö × ÒØ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÓÑÔÐ ØÓ× ×Ø ÔÓÖ Ð Ó ÕÙ
ÐÐÓ× ÔÙ Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ö× × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ò Ñ ÑÓÖ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓº Ä ¬ ÙÖ º¾¿
ÐÙ×ØÖ ÙÒ Ö ÓÐ ØÖ Ò Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ ÓÒ ÒÓ Ó ×Ø Ø ÕÙ Ø Ó ÓÒ ×Ù Ö ×Ô Ø ÚÓ Ò
ÒØÖÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ × Ù Ò Ðº Ä ×ÔÓ× ÓÒ ÐÓ× Ò × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó
ÔÓÖ Ò Ú Ð ×º
1
2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
ÙÖ º¾¿ Ö ÓÐ ØÖ Ò Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ ÒÓ Ó× ÒÙÑ Ö Ó× × ÙÒ ÔÓ× ÓÒ Ò ÖÖ ÐÓ × Ù Ò¹
Ð
È Ö ×Ø Ò Ù Ö ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð ÜÔÐ Ò Ü º¿º¾ ´Ô Ò ¾ ½µ¸ Ð ÒÓ¹
Ø Ö ÑÓ× ÓÑÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ × Ù Ò Ð º
Ë i Ð Ò ÙÒ ÒÓ Ó ni ÒØÖÓ ÙÒ Ö ÓÐ n ÒÓ Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ ÙÒ
ÖÖ ÐÓº Ë T (i, j) Ð j¹ × ÑÓ ×Ù Ö ÓÐ Ð Ö Þ ÙÒ ×Ù Ö ÓÐ ÓÒ Ò i ´ÐÓ× Ò ×
ÓÑ ÒÞ Ò Ò 1µº ÒØÓÒ ×
m+i−2 i−1
Ô Ö (ni) =
m
=
m
´ º¿ µ
T (i, j) = m(i − 1) + 1 + j ´ º¿ µ
×Ø × ÓÖÑÙÐ × ÙÒ ÓÒ Ò Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÖ Ò Ö Óк ÈÓÖ ×Ù× Ú ÒØ ×¸ Ð ÒÑ Ò×
Ñ ÝÓÖ ÙØÓÖ × Ý Ó ¬ ÓÖ × ÔÖ ¬ Ö Ò ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ñ Ò ¹
Ò Ö ÓÐ × ÓÑÔÐ ØÓ׸ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ ÐÓ× Ô× Ò Ö Ó׸ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ÑÙÝ Ú Ö× Ø Ð ÕÙ
Ô ÖÑ Ø ¸ ÒØÖ ÓØÖ × Ó× ×¸ ÓÖ Ò Ö ¬ ÒØ Ñ ÒØ ÑÔÐ ÒØ Ö ÓÐ × ÔÖ ÓÖ º

327. 4.7. Heaps 301
4.7 Heaps
ÓÑ Ò ÑÓ× ×Ø × ÓÒ × ÐÓ ×ØÖ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ò Ó Ð ¬Ò ÓÒ Ð ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ×Ø × ÓÒ
Definici´n 4.6 (Heap)
o ÍÒ Ô ½½ T × ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ Ð × Ó× × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ×
½º Forma Ð Ö ÓÐ × ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ¸ Ô ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ü Ð × Ù ÒØ
ÓÖÑ
¾º Orden ∀ni ∈ T =⇒ à ( Ó1(ni)) < à (ni) ∧ à ( Ó2(ni)) < à (ni) ∧
· · · ∧ Ã ( Óm(ni)) < Ã (ni)
Ë ÙÒ Ð Ö Ó Ð Ö Óи ÙÒ Ô ÔÙ × Ö Ò Ö Ó¸ ØÖ Ò Ö Ó Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ
ÓÖ Òº À Ù ÒØ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ý Ð × Ö ÓÖ × Ò ×
´Ú Ö Ü º º½ ´Ô Ò ¾ µµ¸ Ò ×Ø Ø ÜØÓ ×ÓÐÓ ÓÒ× Ö Ö ÑÓ× ÐÓ× Ô× Ò Ö Ó׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸
× × ØÖ Ø ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
∀ni ∈ T =⇒ Ã (Ä(n1)) < Ã (ni) ∧ Ã (Ê(n1)) < Ã (ni)º
2
14 38
68 31 69 145
104 98 56 48 87 80 228 156
134 149 99 188 243 166 112 185 217 200 207
ÙÖ º¾ ÍÒ Ô Ò ÖÓ
Ä ÓÒ ÙÒ Ô × Ö ×ÙÑ Ò Ó× Ö Ø Ö ×Ø ×
½º Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × × Ò Ù ÒØÖ ¸ Ö Ø Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ ÓÒ¹
× ÙÒ Ð ÔÖÓÔ ÓÖÑ ¸ Ò Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ð
ÓÒ×ÙÐØ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ × O(1)º
½½
Ò Ö × Ð ÓÑÔÖ × ÓÒ¸ ÔÖ × ÖÚ Ö ÑÓ× Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò ×Ù ÚÓÞ Ò ÐÓ× ÓÒ ¸ × Ò ØÖ Ù ÓÒº
Ñ Ò ÓÒ Ö¸ Ñ ×¸ ÕÙ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ô ÔÐ ÒØ Ð ÙÒ × Ñ Ù ×º Ð Ö ×Ô ØÓ¸ × Ñ Ò ×Ø Ö Ö
Ó× Ð Ö ØÓÖ ×
½º Ò Ò Ð ×¸ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ô Ø Ò Ú Ö × Ô ÓÒ ×¸ Ô ÖÓ¸ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÓÒÒÓØ ÙÒ ÑÓÒØÓÒ ¸
ÙÐØÓ Ó Ô Ð Ó× ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ó ÖØÝ ÐÓØ × ¸ Ö ¬ Ö ÙÒ Ô Ð ÖÓÔ ×Ù º
¾º Ò Ð × Ò × ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × Ô × ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö ÓÒÒÓØ Ö Ó× Ó× ×º Ä ÔÖ Ñ Ö
ÓÒ ÖÒ ÙÒ ×Ô Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ Ð Ù Ð × Ð ×Ù ØÓ ×ØÙ Ó Ð ÔÖ × ÒØ × ÓÒº
Ä × ÙÒ Ö ¬ Ö Ð Ñ Ò ×ØÖ ÓÒ Ñ ÑÓÖ Ò ÙÒ ÔÖÓ ×Óº

328. 302 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
¾º Ù ÐÕÙ Ö ÑÓ ¬ ÓÒ Ð Ô¸ ÒØ Ò ÑÓ× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ó Ð Ñ Ò ÓÒ¸ Ù ×Ø
O(Ð (n))º ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ×ØÓ × ÙÒ ÓÒ× Ù Ò Ð ÔÖÓÔ ÓÖÑ ¸ Ð
Ù Ð Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð ÐØÙÖ ×Ø ÓØ O(Ð (n))º
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÔÖ Ö Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ Ô × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÐÑ Ò
Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × Ð Ö ÓÐ ÓÑÔÐ ØÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ô Ð ¬ ÙÖ º¾ ÔÙ
Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÓÒ Ð × Ù ÒØ × Ù Ò
¾½ ¿ ¿½ ½ ½¼ ¼ ¾¾ ½ ½¿ ½ ½ ¾ ¿½ ½½¾ ½ ¾½ ¾¼¼ ¾¼
Ð Ù Ð × ÐÑ Ò Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ array[] ×Ô ¬ Ó Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¼¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼¾ ≡ ´¿¼¿ µ ¿¼¾
T * array;
Ä Ö Þ¸ Ó × ¸ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ × Ò Ù ÒØÖ Ò
¿¼¾ Ê Þ Ð Ô ¿¼¾ ≡
array[1];
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ × array[1] Ý ÒÓ array[0] × ÔÓÖ ÐÐÓ ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ × Ô ÖØ Ô Ö dim + 1º
È Ö Ñ Ò Ö ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ý
ÓÒØ Ö Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ô Ñ ÒØ
¿¼¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼¾ +≡ ´¿¼¿ µ ¿¼¾ ¿¼¾
const size_t dim;
size_t num_items;
Ó ÙÒ Ò i¸ ÐÓ× ×Ó× Ð Ô Ö Ý ÐÓ× Ó× × ×Ô ¬ Ò Ð × × Ù ÒØ × ÓÖÑ ×
½º Padre Ò ×Ø ×Ó ÒÓ× × ÑÓ× Ò ´ º¿ µ
¿¼¾ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ ≡ ¿¼¾
static size_t u_index(const size_t & i)
{
return i >> 1; // divide i entre 2
}
¾º Hijo izquierdo: × ÙÒ ´ º¿ µ
¿¼¾ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ +≡ ¿¼¾ ¿¼¿
static size_t l_index(const size_t & i)
{
return i << 1; // multiplica i por 2
}
¿º Hijo derecho: Ø Ñ Ò × ÙÒ ´ º¿ µ
¿¼¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼¾ +≡ ´¿¼¿ µ ¿¼¾ ¿¼
static size_t r_index(const size_t & i)
{
return (i << 1) + 1; // multiplica i por 2 y suma 1
}
×ØÓ× Ð ÙÐÓ× Ö Ú Ð Ò ÙÒ Ú ÒØ Ð Ô Ò Ö Ó Ö ×Ô ØÓ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÖ Ò ÐÓ×
ÔÖÓ Ù ØÓ× Ý Ú × ÓÒ × ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× Ö Ô Ñ ÒØ Ñ ÒØ ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ× Ø׸
ÐÓ× Ù Ð × ×ÓÒ ×Ù ×Ø Ò ÐÑ ÒØ Ñ × Ö Ô Ó× ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ× Ý Ú × ÓÒ × ÕÙ Ó Ö Ð
ÔÖÓ × ÓÖ Ó ÙÒ Ð ÓØ º

329. 4.7. Heaps 303
ÄÓ× Ô× Ò Ö Ó× ÑÔÐ ÒØ Ó× Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ× × ×Ô ¬ Ò Ò Ð Ö ÚÓ
ØÔÐ ÖÖ ÝÀ ÔºÀ ¿¼¿ ¸ ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ Ò Ö Ð × ÓÑÓ × Ù
¿¼¿ ØÔÐ ÖÖ ÝÀ ÔºÀ ¿¼¿ ≡
template <typename T, class Compare = Aleph::less<T> >
class ArrayHeap
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼¾
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼
};
×Ø Ð × Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ô Ò ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Ò Ö Ó T¸
Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×Ø Ø Ó Ý ÓÒ Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ ×Ø Ð Ó Ò Ð Ð × Compareº
4.7.1 Inserci´n en un heap
o
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ô Ò Ö Ó Ø Ñ ÒÓ n Ý Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ xº À Ý
ÙÒ ×ÓÐÓ ÐÙ Ö¸ ÒØÖÓ Ð Ö Óи Ò Ð Ù Ð ÔÙ Ò Ö× ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ × Ò ÐØ Ö Ö Ð
ÔÖÓÔ ÓÖÑ Ø Ð ÐÙ Ö × Ô ØÓÖ Þ Ò Ð × Ù ÒØ ¬ ÙÖ
x
Ö ÒØ Þ Ð ÔÖÓÔ ÓÖÑ ¸ Ö ×Ø ÔÓÖ Ú Ö ¬ Ö ÓÒ¬ÖÑ Ö Ý¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ Ö ×Ø Ù¹
Ö Ö¸ Ð ÓÖ Òº È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð ÖÙØ Ò
¿¼¿ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ +≡ ¿¼¾ ¿¼
template <typename T, class Compare> inline
void sift_up(T * ptr, const size_t & l, const size_t & r)
{
for (size_t p, i = r; i > l; i = p)
{
p = u_index(i); // ındice del padre (c = i/2)
´
if (Compare () (ptr[p], ptr[i])) // ¿satisface propiedad orden?
return; // si, todo el arreglo es un heap
Aleph::swap(ptr[p], ptr[i]); // intercambie y restaure en nivel p
}
}
Ä ÒØÖ sift up() × ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ ÓÒØ ÒØ ÚÓ ÙÒ Ô Ò Ö Ó ÒØÖ l Ý r − 1¸
ÓÒ ÙÒ Ú ÒØÙ Ð Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò Ò array[n] Ð × Ð × ÙÒ Ô
Ò Ö Ó¸ Ò ÓÖÑ Ý ÓÖ Ò¸ ÒØÖ l Ý r¸ ÓÒ Ð Ú ÒØÙ Ð Ú ÓÐ ÓÒ ÓÖÖ º Ð ÔÖÓ ×Ó ×
ÑÔÐ ¬ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ º × Ñ ÒØ ¸ sift up() × Ú Ö ¬ × Ü ×Ø ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ
ÓÖ Ò ÒØÖ ptr[i] Ý ptr[p]º Ë Ø Ð × Ð ×Ó¸ ÒØÓÒ × ÒØ Ö Ñ ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ× Ý
× Ò ÔÖÓ × Ö Ð Ò Ú Ð Ò Ö ÓÖ × ÒÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ØÓ Ó Ð Ö ÓÐ × ÙÒ Ôº Ð ÔÖÓ ×Ó
ÓÒØ ÒÙ ×Ø ÕÙ Ð Ô Ö × Ñ ÒÓÖ Ó × Ð Ò Ð Ö Þº
ÑÓ× ÔÖ ×Ø Ö ×Ô Ð Ù Ó Ð Ó ÕÙ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ô × [1 . . . n] Ý ÒÓ
[0 . . . n − 1]¸ ÓÑÓ ØÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ × Ñ Ò Ò ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× Ò Ð Ò Ù C Ý C++º ÓÒ× ¹
Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÒ ptr ×Ø Ö ×ÔÐ Þ Ò ÙÒ ÙÒ º
Ð Ó×Ø sift up() × ÜÔÖ × ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ð Ñ
Lema 4.1 Ë T ÙÒ Ô Ò ÖÓ n Ð Ñ ÒØÓ× ÓÒ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ú ÒØÙ Ð ÓÖ Ò
Ò array[n]º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÙÖ ÓÒ sift up(array, 1, n) × O(Ð (n))º

330. 304 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
33 33
59 39 59 39
118 108 61 79 118 108 61 79
143 135 123 169 66 81 100 113 143 135 123 169 66 38 100 113
256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120 38 256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120 81
´µ ´ µ
33 33
59 39 59 38
118 108 38 79 118 108 39 79
143 135 123 169 66 61 100 113 143 135 123 169 66 61 100 113
256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120 81 256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120 81
´µ ´ µ
ÙÖ º¾ ÇÔ Ö ÓÒ sift up() ×Ó Ö Ð Ú ÐÓÖ ÐÚ 38
Demostraci´n
o Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ sift up() ×Ø Ö ÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÒØ
ÒØ Ö Ñ Ó× ÕÙ Ó × ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ú ÓÐ ØÓÖ Óº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÐÓ Ô ÓÖ ÕÙ ÔÙ
Ó ÙÖÖ Ö × ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ú ÓÐ ØÓÖ Ó Ú Ò Ð Ö Þ T º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÒØ Ñ ÜÑ
ÒØ Ö Ñ Ó× × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÐØÙÖ Ð Ö Óк ÈÙ ×ØÓ ÕÙ T × ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ý × ÙÒ
× ×ÔÖ Ò Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¸ ×Ù ÐØÙÖ ×Ø ÓØ ÔÓÖ O(Ð (n))
Å ÒØ sift up()¸ × × ÑÔÐ Ò Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ key Ð Ô
¿¼ Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô ¿¼ ≡ ´¿¼ µ
array[++num_items] = key; // colocar nuevo elemento
sift_up <T, Compare> (array, 1, num_items); // restaurar propiedad de orden
ÐÓ Ù Ð¸ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º½¸ × O(Ð (n))º
4.7.2 Eliminaci´n en un heap
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× Ó× Ñ Ò Ö × ´½µ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Þ Ý ´¾µ Ð Ñ ¹
Ò ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓº Ò Ö Ð ¸ Ð ×Ó ´¾µ × Ò Ö Ð Ý ÓÑÔÖ Ò Ð ´½µ¸ Ô ÖÓ¸
Ò ÚÓÖ Ð × ÑÔÐ ¸ ØÖ Ø Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÔÓÖ × Ô Ö Óº
ÓÒ× Ö ÑÓ׸ Ô٠׸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ô × Ö¸ ×Ù Ö Þº
× Ð Ô Ö×Ô Ø Ú ÓÖÑ ÙÒ Ô¸ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Þ ÕÙ Ú Ð ¸ Ô ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ
× Ù ÒØ
ÑÒ
x
ÐÓ ÕÙ ¸ ÑÓÖ ÓÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÒÓ × ÙÒ Ôº À ݸ ÒÙ ÚÓ¸ ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ×Ø ÙÖ Ö Ð
ÓÖÑ ¸ Ð Ù Ð ÕÙ Ú Ð ¸ Ô ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ × Ù ÒØ
x
x

331. 4.7. Heaps 305
× Ö¸ Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ×Ó Ö × Ö Ð Ö Þº Ð ÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ð Ô × ÓÖØ ÔÓÖ Ð
ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð Ð Ö ÓРݸ ÓÒ × Ô ÞÓ ¸ × Ö ÐÐ Ò Ð Ù Ó Ó ÔÓÖ Ð Ö Þº
Ð ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö Þ ÑÙÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ú ÓÐ Ö Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò¸ Ð Ù Ð ÔÙ
Ö ×Ø ÙÖ Ö× Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ sift down()¸ Ò Ö Ó ÒØ Ö Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ×
Ð Ô ×Ø ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò × Ö ×Ø ÙÖ º
sift down() × Ð Ö Ñ ÒØ Ñ × ÓÑÔÐ Ó ÕÙ sift up()¸ ÔÙ × Ý ÕÙ Ñ Ö Ö ÐÓ× Ó×
Ó× Ð Ú ÒØÙ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ú ÓÐ ÓÖ Ý × Ó Ö Ô Ö ÒØ Ö Ñ Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÐÐÓ׺
×Ø ÑÓ Ó¸ × Ö ÒØ Þ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Òº Ð ÔÖÓ ×Ó ÓÒØ ÒÙ Ò Ð × Ù ÒØ Ò Ú Ð
×Ø ÕÙ ÐÓ× Ó× Ó× × Ò Ñ ÝÓÖ × Ó × Ð Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ðº
81 38
59 38 59 81
118 108 39 79 118 108 39 79
143 135 123 169 66 61 100 113 143 135 123 169 66 61 100 113
256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120 33 256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120
´µ ´ µ
38 38
59 39 59 39
118 108 81 79 118 108 61 79
143 135 123 169 66 61 100 113 143 135 123 169 66 81 100 113
256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120 256 198 145 138 170 152 182 227 190 144 120
´µ ´ µ
ÙÖ º¾ ÇÔ Ö ÓÒ sift down() ×Ó Ö Ð Ö Þ 33 Ò Ð Ô Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð ¬ ÙÖ
º¾
¿¼ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ +≡ ¿¼¿ ¿¼
template <typename T, class Compare> inline
void sift_down(T * ptr, const size_t & l, const size_t & r)
{
size_t i = l, c;
while (true)
{
c = l_index(i); // ındice del hijo izquierdo (c = i/2)
´
if (c > r) // ¿hay hijo izquierdo?
return; // no ==> termine
if (c + 1 <= r) // ¿hay hijo derecho?
if (Compare () (ptr[c + 1], ptr[c])) // s´ ==> escoja el menor
ı
c++;
if (Compare () (ptr[i], ptr[c])) // ¿Satisface propiedad de orden?
return; // s´ ==> termine
ı
Aleph::swap(ptr[c], ptr[i]);
i = c;
}
}
Ä ÖÙØ Ò ØÓÑ ÙÒ Ô ÒØÖ [l + 1 . . . r] Ý Ö ×Ø ÙÖ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Òº ×ÔÙ ×
ØÙ Ð ÐÐ Ñ ¸ Ð × Ù Ò Ú Ò ÙÒ Ô ÓÑÔÐ ØÓ ÒØÖ [l . . . r]º

332. 306 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ä ÙÖ ÓÒ sift down() × Ö Ú Ð Ò Ð × Ù ÒØ Ð Ñ
Lema 4.2 Ë T ÙÒ Ô Ò Ö Ó n Ð Ñ ÒØÓ× ÓÒ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ú ÒØÙ Ð ÓÖ Ò Ò
array[1]º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÙÖ ÓÒ sift down(array, 1, n) × O(Ð (n))º
Demostraci´n
o ÐØ ÑÔÓ Ù ÓÒ sift down() ×Ø ÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÒØ
ÒØ Ö Ñ Ó× ÕÙ Ó × ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ú ÓÐ ØÓÖ Óº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÐÓ Ô ÓÖ ÕÙ ÔÙ
Ó ÙÖÖ Ö × ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ú ÓÐ ØÓÖ Ó Ð Ò Ð Ñ Ü ÑÓ Ò Ú Ð T Ó × ¸ ×Ù ÐØÙÖ º ÈÓÖ
Ø ÒØÓ¸ Ð ÒØ Ñ ÜÑ ÒØ Ö Ñ Ó× × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÐØÙÖ Ð Ö Óк ÓÑÓ T
× ÓÑÔÐ ØÓ Ý¸ × ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¸ ×Ù ÐØÙÖ ×Ø ÓØ ÔÓÖ O(Ð (n))
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¼ Ð Ñ Ò Ö Ö Þ Ò Ô ¿¼ ≡ ´¿¼ µ
array[1] = array[num_items--]; // sobreescribir la ra´z con ´ltimo elemento
ı u
sift_down <T, Compare> (array, 1, num_items); // Restaurar propiedad de orden
Р٠и × ÙÒ Ð Ð Ñ º¾¸ × O(Ð (n))º
Ä × ÙÒ Ñ Ò Ö Ð Ñ Ò Ö¸ Ñ × Ò Ö Ð¸ × ÔÐ ÒØ Ò ÓÒÓ× Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ ÙÒ
Ð Ñ ÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö º È Ö ÐÐÓ¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÐ ÑÓ× Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖ Ò Ô Ó Ð ÔÖ Ñ Ö
Ø ÔÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ×Ó Ö × Ö Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ × ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö ÓÒ Ð ÙÐØ ÑÓ Ð
× ÙÒ ºÄ Ö Ò ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ØÓ Ó × ÕÙ ÕÙ ÔÙ Ò ÔÖ × ÒØ Ö× Ú ÓÐ ÓÒ ×
Ð ÓÖ Ò ÔÓÖ Ð Ô Ö Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó׺
ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ð ÖÙØ Ò Ò Ö Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ sift down up()¸ ÔÙ × ÐÐ × Ö Ñ Ø ×ÓÐÓ
× × ÓÒ ×
¿¼ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ +≡ ¿¼ ¿¼
template <typename T, class Compare> inline
void sift_down_up(T * ptr, const size_t & l, const size_t & i, const size_t & r)
{
sift_down <T, Compare> (ptr, i, r);
sift_up <T, Compare> (ptr, 1, i);
}
Ä ÖÙØ Ò Ö ÙÒ array[] ÓÒØ ÒØ ÚÓ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ú ÓÐ ÓÖ Ð
ÔÖÓÔ ÓÖ Ò Ò Ð ÔÓ× ÓÒ iº ÈÖ Ñ ÖÓ Ú Ö ¬ × Ý Ú ÓÐ ÓÒ ÒØÖ ×Ù× Ó×
ÐÙ Ó ÒØÖ ×Ù Ô Ö º
ÓÒ Ð ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô
¿¼ Ð Ñ Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ ¿¼ ≡
array[i] = array[num_items--]; // sobreescribir i con ultimo elemento
´
sift_down_up <T, Compare> (array, 1, i, n);
4.7.3 Colas de prioridad
Ü ×Ø ÙÒ ÑÔÐ × Ñ Ñ × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × Ò Ñ Ñ ÒØ × Ö ÕÙ Ö Ñ Ò Ö
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ý ÓÒÓ Ö Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÑÓÑ ÒØÓº È Ö Ø Ð Ø ÔÓ
Ö ÙÒ×Ø Ò ¸ × ÑÔÐ ÙÒ Ì ÓÒÓ Ó ÓÑÓ ÓÐ ÔÖ ÓÖ º
Ò ÓÔ Ö ÓÒ Ý × ÑÔ ÒÓ¸ Ð ÓÐ ÔÖ ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò Ð Ø Ð × Ù ÒØ
ÆÓÑ Ö ÓÔ Ö ÓÒ ¬ Ò Ô ÓÖ ×Ó
insert(item) O(Ð (n))
top() O(1)
remove(n) O(Ð (n))

333. 4.7. Heaps 307
Ä × ÓÐ × ÔÖ ÓÖ × ÑÓ Ð Þ Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ì ArrayHeap<Key>¸
Ý ÒØÖÓ Ù Ó¸ Ý Ð Ì BinHeap<Key>¸ ÕÙ × Ö ØÖ Ø Ó Ò Ü º º º
Ä Ò Ö array allocated Ò × × Ô ÖØÓ Ó ÒÓ Ð ÖÖ ÐÓ Ý × ¬Ò ×
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼¾ +≡ ´¿¼¿ µ ¿¼¾
mutable bool array_allocated;
ÓÒ ×Ø Ò Ö Ð ×ØÖÙ ØÓÖ × × × Ó ÒÓ Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼ ≡ ´¿¼¿ µ ¿¼
virtual ~ArrayHeap()
{
if (array_allocated and array != NULL)
delete [] array;
}
Ä ÓÒ×ÙÐØ Ð Ñ ÒÓÖ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ñ × × ÑÔÐ Ý Ö Ô ÙÒ Ô
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼ +≡ ´¿¼¿ µ ¿¼ ¿¼
T & top()
{
return array[1];
}
Ä Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ø Ñ Ò ×ÓÒ ÑÙÝ × Ò ÐР׸ Ó ÕÙ ØÓ Ó Ð ØÖ ÓÝ
× ÓÖ ÐÞ Ó
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼ +≡ ´¿¼¿ µ ¿¼ ¿¼
T & insert(const T & key) throw(std::exception, std::overflow_error)
{
if (num_items >= dim)
throw std::overflow_error("Heap out of capacity");
Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô ¿¼
return array[num_items];
}
T getMin()
{
T ret_val = array[1];
ÐÑÒ ÖÖ Þ Ò Ô ¿¼
return ret_val;
}
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ¸ × ÙÒ × ×ÔÖ Ò ÐÓ× Ð Ñ × º½ Ý º¾¸ ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ
Ð Ô ¿¼ Ý Ð Ñ Ò Ö Ö Þ Ò Ô ¿¼ ×ÓÒ O(Ð (n))º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö ×ØÓ Ð ÒØÓÖÒÓ
insert() Ý getMin() × O(1)¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÓÒ O(Ð (n))º
4.7.3.1 Modificaci´n de prioridad
o
× ÔÐ Ù× Ð ÑÓ ¬ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ ÓÖ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ô ÖØ ÙÐ Öº ÓÑÓ ×Ø ÓÔ¹
Ö ÓÒ ÒÓ ÐØ Ö ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ Ð Ö Óи Ð ÔÖÓÔ ÓÖÑ ×Ø Ö ÒØ Þ º ÄÓ
ÙÒ Ó ÕÙ ÑÓ× Ö ÓÖ Ö × ÕÙ Ð ÓÖ Ò × ÔÖ × ÖÚ ¸ ÐÓ ÕÙ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð
× Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ArrayHeap<Key> ¿¼ +≡ ´¿¼¿ µ ¿¼
void update(T & data)
{
const size_t i = &data - array;

334. 308 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
sift_down_up <T, Compare> (array, 1, i, num_items);
}
Ä ÖÙØ Ò ×ÙÑ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ ÓÖ Ð i¹ × Ñ ÒØÖ Ð ÖÖ ÐÓ × Ó ÑÓ ¹
¬ Ý Ö ×Ø ÙÖ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Òº
4.7.4 Heapsort
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ Ò Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ array[] n Ð Ñ ÒØÓ׺ ÍÒ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸
×Ø Ð ¸ ÓÒ Ö Ò Ñ ÒØÓ O(n Ð (n)) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ Ù Ð × Ñ ÓÖ ÕÙ Ð Ô ÓÖ ×Ó
½¾
Ð ÕÙ×ÓÖظ ÔÙ ÜÔÐ Ö× Ò Ó× × ×
½º
Ù Ö Ò ÙÒ ÓÐ ÔÖ ÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓº
¾º
ÜØÖ Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÓÐ Ý Ù Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ ÜØÖ Ó Ò Ð ÔÓ× ÓÒ
Ø Ö ÓÒ iº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÓÐ × ÑÔÖ Ö ØÓÖÒ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ¸ Ð ¬Ò Ð ×Ø
Ø Ö ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ ×Ø Ö ÓÖ Ò Óº
×Ø ÔÖ Ò Ô Ó ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¼ À Ô×ÓÖØ ÓÒ ÓÐ ÔÖ ÓÖ ¿¼ ≡
ArrayHeap<T, n> heap;
for (int i = 0; i < n; ++i) // inserta elementos de array en heap
heap.insert(array[i]);
for (int i = 0; i < n; ++i) // extrae ordenadamente del heap y guarda en array
array[i] = heap.getMin();
Ô× ÑÓÖ
O(n) × O(Ð (n)) = O(n Ð (n))º
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ×
O(n Ð (n)) + O(n Ð (n)) = O(n Ð (n))¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓº
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð Ù×Ó Ð Ô Ö ÕÙ Ö ÐÑ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÖÖ ÐÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ
ÕÙ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó × O(n) Ö Ø Ö ×Ø Ò × Ð Ò ÑÙ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×º
ÆÓ × Ð ÔÖ Ò Ö ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö Ð ÔÖÓÔ Ó ÖÖ ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ò ÑÓ× ÓÖ¹
Ò Ö Ô Ö Ù Ö Ö Ð Ôº È Ö ÐÐÓ¸ × Ò × Ö Ó ÒÚ ÖØ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÓÖ Ò ÑÓ Ó
Ø Ð ÕÙ Ð Ö Þ ÐÑ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׺ ×ØÓ × Ö Ð Þ ÐÑ ÒØ
Ñ ÒØ ÙÒ Ð × ÒÚÓÐØÓÖ ÕÙ Ö Ð Ð ÒÚ Ö× ÓÒ ½¿
¿¼ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒÚ ÖØ ¿¼ ≡
template <class T, class Compare>
struct Inversed_Compare
{
bool operator () (const T & op1, const T & op2) const
{
return Compare () (op2, op1);
}
};
×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÔÖ Ñ Ö × ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× ¸ Ô ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
À Ô ÒØÖ 1 i − 1 ×ÓÖ Ò
i
½¾
Ê Ú × × ¸ × × Ò × Ö Ó¸ Ò Ü ¿º¾º½º¿ ´Ô Ò ½ µ¸ Ð ÓÒ ÔØÓ ×Ø Ð ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÓÖ ¹
Ò Ñ ÒØÓº
½¿
×Ø Ð × ÒÚÓÐØÓÖ ×Ø ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ ahFunction.Hº

335. 4.7. Heaps 309
Ð Ù Ð Ö ÓÖÖ Ð ÖÖ ÐÓ × 2 ×Ø n¸ ÙØ Ò
Ó¸ Ø Ö ÓÒ i¸ sift up <T,
× Ö¸ ÓÖÖ Ò Ó Ð Ú ÒØÙ Ð Ú Ó¹
Inversed Compare<T, Compare> >(arreglo, i)
Ð ÓÒ ÕÙ ÖÖ Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ iº Ä ÔÖ Ñ Ö × ÔÙ
Ó ¬ Ö× ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÑÓ × Ù
¿¼ ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ × Ø ÙÔ´µ ¿¼ ≡ ´¿¼ µ
for (int i = 2; i <= n; ++i)
sift_up <T, Aleph::Inversed_Compare<T, Compare> > (array, 1, i);
Ä × ÓÑ ÒÞ Ö × Ð Ô ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ [1 . . . 1] Ý ÐÙ Ó¸ Ø Ö ÓÒ i¸ ×
×ÙÑ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ iº Ð ÖÖ ÐÓ ÒØÖ [1 . . . i]] × Ð Ö ×Ø ÙÖ Ð ÔÖÓÔ
Ô Ñ ÒØ sift up(array, 1, i)º
Ð ¬Ò Ð Ð ÔÖ Ñ Ö × ¸ ØÓ Ó Ð ÖÖ ÐÓ × ÙÒ Ô ÙÝÓ Ñ Ü ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ ×
Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Þº Ô ÖØ Ö Ð Ó ÕÙ Ð ÔÓ× ÓÒ ¬Ò Ø Ú Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ
× n¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × ÙÒ × Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
swap(ptr[1], ptr[i])
À Ô ÒØÖ 1 i ÇÖ Ò ¬Ò Ø ÚÓ
i
Ð Ù Ð × ÑÔÐ ÒØ ×
¿¼ ÇÖ Ò Ö Ô ÖØ Ö Ð Ô ¿¼ ≡ ´¿¼ ¿½¼ µ
for (int i = n; i > 1; --i)
{
Aleph::swap(array[1], array[i]); // colocar en la ra´z i-´simo item
ı e
sift_down <T, Aleph::Inversed_Compare<T, Compare> > (array, 1, i - 1);
}
ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ × ÒØ Ö Ñ array[1] ÓÒ array[i]¸ ÐÓ ÕÙ ¬ Ð ÓÖ Ò ¬Ò Ø ÚÓ Ò Ð
ÒØ ÖÚ ÐÓ [i . . . n]º ×Ø ÒØ Ö Ñ Ó × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ × Ù × Ð Ñ Ò Ó Ð Ô Ð
Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ × Ö¸ Ð Ð Ö Þº × Ô٠׸ sift down(array, 1, i - 1) Ö ×Ø ÙÖ
Ð Ô ÒØÖ [1 . . . i − 1]º
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò ÕÙ Ø Ö Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ
¿¼ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ +≡ ¿¼ ¿½¼
template <typename T, class Compare>
void heapsort(T * array, const size_t & n)
{
--array; //desplazar una posici´n hacia atr´s ==> array[1] == primer elemento
o a
ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ × Ø ÙÔ´µ ¿¼
ÇÖ Ò Ö Ô ÖØ Ö Ð Ô ¿¼
}
Ü ×Ø ÙÒ Ñ Ò Ö ÐØ ÖÒ Ý Ø Ò ¬ Þ Ð ÐÓÕÙ ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ
× Ø ÙÔ´µ ¿¼ ¸ ÕÙ ÐÓ Ö ¸ Ñ × ¬ ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ò O(n)¸ Ô ¬Þ Ö Ð ÖÖ ÐÓº È Ö
ÔÖÓÜ Ñ ÖÒÓ׸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö Ô × Ð Ô×ÓÖØ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
×ÓÖ Ò À Ô ÒØÖ i + 1 Ý n
i

336. 310 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ó × ¸ ÙÒ ÖÖ Ó × Ð ÙÐØ Ñ ÔÓ× ÓÒ array[n] ×Ø Ð ÔÖ Ñ Ö array[1]º ÈÓ ÑÓ×
Ö Ð Þ Ö ×ØÓ Ñ ÒØ sift down()
¿½¼ ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ × Ø ÓÛÒ´µ ¿½¼ ≡
for (int i = n - 1; i > 1; --i)
sift_down <T, Aleph::Inversed_Compare<T, Compare> > (array, i, n);
Ð Ò Ð×× ×Ø ÐÓÕÙ × ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × ×ÙØ Ðº ÐÐ Ñ sift down() Ù ×Ø
O(Ð (r) − Ð (l))¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ×
n−1 n−1
O(Ð (r) − Ð (l)) = Ð ´ º¿ µ
r
O = O(n) ;
l
i=1 i=1
Ó×Ø ÕÙ × Ñ ÓÖ ÕÙ Ð O(n Ð (n)) ×Ó Ó Ð ÐÓÕÙ ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô
ÓÒ × Ø ÙÔ´µ ¿¼ º
À ݸ ÙÒ¸ ÙÒ Ñ ÓÖ Ñ × × ÔÖ Ò ÑÓ× Ð Ó ÕÙ ¸ Ô Ö l > n¸ array[l..n]
2
׸ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ ÙÒ Ô Ò ÔÖÓÔ ÓÖ Ò¸ Ô٠׸ Ô Ö ∀l > n =⇒ 2l > n × Ö¸
ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ
2
ÒÓ Ý × Ò ÒØ ×º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ú ÐÓ
× Ø ÓÛÒ´µ ¿½¼ ¸ ÔÙ ÙÔÐ Ö× Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿½¼ ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ × Ø ÓÛÒ´µ Ñ ÓÖ Ó ¿½¼ ≡ ´¿½¼ µ
for (int i = n/2; i >= 1; --i)
sift_down <T, Aleph::Inversed_Compare<T, Compare> > (array, i, n);
ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ Ð × Ù ÒØ ÒÙ Ú Ú Ö× ÓÒ Ñ ÓÖ Ð Ô×ÓÖØ
¿½¼ ÊÙØ Ò × Ô ¿¼¾ +≡ ¿¼
template <typename T, class Compare>
void faster_heapsort(T * array, const size_t & n)
{
--array; // desplazar una posici´n hacia atr´s ==> array[1] == primer elemento
o a
ÓÒÚ ÖØ Ö ÖÖ ÐÓ Ò ÙÒ Ô ÓÒ × Ø ÓÛÒ´µ Ñ ÓÖ Ó ¿½¼
ÇÖ Ò Ö Ô ÖØ Ö Ð Ô ¿¼
}
4.7.5 Aplicaciones de los heaps
ÄÓ× Ô× ×ÓÒ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ý ÓÒÓ Ö
Ö Ô Ñ ÒØ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð Ñ Ø × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÓÖ Ò × Ö¸
×Ù´×µ Ñ ÒÓÖ´ ×µ Ð Ñ ÒØÓ´×µ Ó ×Ù´×µ Ñ ÝÓÖ´ ×µº À Ý ÙÒ ÒØ × Ó × ÓÒ × Ò ÕÙ ×ØÓ ×
Ò × Ö Óº ÕÙ ÙÒ Ð ×Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ð × ÕÙ Ö ÑÓ× ×ÓÒ Ð × Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö ×
½º Aritm´tica flotante Ô Ö Ð ÔÖ × ÓÒ ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ ¸ × Ö Ø Ó Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ
e
× Ö Ð Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ Р٠и × ÒÙÒ Ò × Ö Ñ ÒØ ¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð
ÜÔÖ × Ó ÔÓÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ×ÙÑ Ô Ö ÔÖ × ÓÒ × ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ
ÑÙÝ Ô ÕÙ ÒÓ × ×ÙÑ Ó ´Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò Óµ ÙÒÓ Ö Ò º ÍÒ ×ÕÙ Ñ ÐØ ÔÖ ¹
× ÓÒ Ñ ÒØ Ò Ò ÙÒ Ô ÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ó׸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ÔÖ Ú Ð ÐÓ×
ÓÔ Ö Ò Ó× Ô ÕÙ ÒÓ׺
¾º Simulaci´n a eventos discretos ÑÙ × × ØÙ ÓÒ × Ð Ú Ö Ð × ÑÓ Ð Þ Ò Ý
o
×ØÙ Ò Ñ ÒØ Ú ÒØÓ× º ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ ÙÒ Ú ÒØÓ × ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ó Ø Ú
Ð ÙÒ ×Ù ×Ó ÒØ Ö × ÒØÖÓ Ð × ØÙ ÓÒ ÕÙ × × ×ØÙ Öº ÓÑÓ Ó ØÓ¸
ÙÒ Ú ÒØÓ Ø Ò Ó× ØÖ ÙØÓ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×

337. 4.7. Heaps 311
´ µ Ì ÑÔÓ Ó ÙÖÖ Ò teº
´µ ÓÒ ÑÓ ¬ ÒØ ×Ó Ö Ð ×Ø Ó Ð × ×Ø Ñ ¸ Ð Ù Ð × Ú Ò Ð ÑÓ ¹
¬ ÓÒ Ð × Ú Ö Ð × Ð ÑÓ ÐÓ Ý¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ Ò Ð Ò Ö ÓÒ ÒÙ ÚÓ×
Ú ÒØÓ× Ò Ð ÙØÙÖÓº
ÄÓ× × ×Ø Ñ × × ÑÙÐ ÓÒ Ñ ÒØ Ò Ò ÙÒ Ø ÑÔÓ × ÑÙÐ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ
Ò ÕÙ × ÙØ Ð × ÑÙÐ ÓÒ Ð Ú ÒØÓ Ø٠к ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ × ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð ÙÒÓ×
Ú ÒØÓ× Ò Ð × ÙØ Ö× Ò Ð ÙÒÓ× Ø ÑÔÓ× ¬ Ó׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ×
ØÖ × Ú ÒØÓ× Ò Ð × ÙØ Ö× Ò ØÖ × Ø ÑÔÓ×
t
e1 e2 e3
Ð Ø ÑÔÓ × ÑÙÐ ÓÒ ÓÑ ÒÞ Ò Ð Ø ÑÔÓ te ¸ ÕÙ × Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ Ö e1º ÄÓ×
1
Ú ÒØÓ× × ÓÐÓ Ò Ò ÙÒ Ð ×Ø ÓÖ Ò ÔÓÖ Ø ÑÔÓº Ð × ÑÙÐ ÓÖ¸ × ×Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ¸
ÜØÖ Ð Ð ×Ø Ð ÔÖÓÜ ÑÓ Ú ÒØÓ Ò Ð Ø ÑÔÓº ×ØÓ × ÐÓ Ñ Ö Ú ÐÐÓ×Ó ÙÒ
× ÑÙÐ ÓÖ Ú ÒØÓ× × Ö ØÓ׸ ÔÙ × Ð Ø ÑÔÓ × × ÑÙÐ Ñ ÒØ ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ×
× Ö ØÓ× ÒØÖ ÐÓ× Ú ÒØÓ׸ Ý ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑÓ Ò Ð Ú Ö Ðº
Ú ÒØÓ Ò Ö ÒÙ ÚÓ× Ú ÒØÓ׸ ÙÝÓ× Ø ÑÔÓ× Ó ÙÖÖ Ò × ÓÒÓ Ò ÙÖ ÒØ
Ð Ò Ö ÓÒº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ e1 Ò Ö ÐÓ× Ú ÒØÓ× e1 , e1 , e1 ¸ ÙÝÓ× Ø ÑÔÓ×
1 2 3
Ó ÙÖÖ Ò × Ô ØÓÖ Þ Ò ×
t
e1 e13 e12 e2 e11 e3
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÒÙ ÚÓ× Ú ÒØÓ× e1 , e1 Ó ÙÖÖ Ö Ò ÒØ × ÕÙ e2 ×ØÓ ÕÙ Ö
3 2
Ö
ÕÙ Ð ÔÖÓÜ ÑÓ Ú ÒØÓ × ÑÙÐ Ö × e1 Ý ÒÓ e2¸ Ù Ð Ö Ð ÕÙ ×Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ó
3
ÒØ × × ÑÙÐ Ö e1º Ð × ÑÙÐ ÓÖ × Ô Ö Ø ×ØÓ ÔÓÖÕÙ Ð Ð ×Ø ×Ø ×ØÖ Ø ¹
Ñ ÒØ ÓÖ Ò ÔÓÖ Ø ÑÔÓº Å ÒØ Ò Ö ÙÒ × Ù Ò ÓÖ Ò ÔÓÖ Ø ÑÔÓ ÒÓ ×ÓÐÓ
× Ó×ØÓ×Ó Ò ÙÖ ÓÒ¸ × ÒÓ ÒÙØ Ð¸ ÔÙ × ÐÓ ÕÙ Ò Ö Ð × Ö ÕÙ Ö × ÓÒÓ Ö Ð
ÔÖÓÜ ÑÓ Ú ÒØÓ Ñ × ÒÑ ØÓ Ò Ø ÑÔÓ × Ö¸ Ð Ñ ÒÓÖº
Ä Ð ×Ø Ú ÒØÓ× ÙÒ × ÑÙÐ ÓÖ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ôº Ð × ÑÙ¹
Ð ÓÖ ÜØÖ Ð Ô Ð Ñ ÒÓÖ Ú ÒØÓ Ò Ð Ø ÑÔÓº Ð Ô Ô ÖÑ Ø ¸ Ø Ñ Ò¸
× ÑÙÐ Ö ¬ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ò Ð ÓÒ ÙÒ Ú ÒØÓº È Ö ÐÐÓ¸ × Ù× Ð ÓÔ¹
Ö ÓÒ sift down up()º
¿º C´digos de Huffman × Ö Ò ×ØÙ Ó× Ò Ü º½¿ ´Ô Ò ¿ ¿µº
o
º B´squeda Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ× m Ñ ÒÓÖ × Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ
u Ö Ò Ð¹
n m ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÒÓ Ö ÐÓ× 1000 Ñ ÒÓÖ × Ð Ñ ÒØÓ× ÒØÖ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ
109 Ð Ú ×º Ò ×Ø ×Ó¸ × Ù× Ö ÙÒ Ô ¬Ò ØÓ × Ö¸ ÙÒÓ ÙÝ Ô
×Ø Ð Ñ Ø mº Ñ ÕÙ Ð Ô × Ú ØÙ Ð Þ Ò Ó¸ × ÓÒÓ Ö Ð
Ñ ÝÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖ ÐÓ× m ÐÑ Ò Ó׸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ×Ø × ×Ù ×Ø ØÙ Ó
ÔÓÖ Ð ÒÙ ÚÓ Ñ ÒÓÖ Ò ÓÒØÖ Óº
º Procesamiento ordenado: Ò Ò Ö Ð¸ ØÓ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð × Ö ÕÙ Ö ÔÖÓ ¹
× Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ¸ × ÑÙÝ ×Ù× ÔØ Ð ÓÒ× Ö Ö ÙÒ Ôº

338. 312 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
4.7.6 El TAD BinHeap<Key>
À Ý × ØÙ ÓÒ × Ð ÓÖ ØÑ ×¸ ×Ó Ö ØÓ Ó ÕÙ ÐÐ × ÕÙ ×Ô Ö Ò Ò Ö Ð ¸ Ò Ð × Ù Ð × ÒÓ
× Ø Ò Ü Ø Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ × ÔÖÓ × Ö Òº ×Ø × ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸
ÙÒ Ó Ð × Ð ¸ ÔÙ ÓÑÔÐ Ö Ý ÓÑÔÖÓÑ Ø Ö ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ù×Ó ÙÒ ÖÖ ¹
ÐÓ¸ Ô٠׸ Ð Ñ ÒÓ× ÒÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ArrayHeap<Key>¸ Ö ÕÙ Ö ÕÙ ÓÒÓÞ ÑÓ× ×Ù
Ñ Ò× ÓÒº Ë Ð Ñ Ò× ÓÒ × ÑÙÝ Ö Ò Ý × Ù× Ò Ú Ö Ó× Ô× ´ÐÓ Ù Ð ÔÙ × Ö Ð
×Ó Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó×µ¸ ÒØÓÒ × × ÔÙ Ò ÙÖÖ Ö Ò ÙÒ ×Ô Ö Ó Ñ ÑÓÖ
ÑÔÓÖØ ÒØ º Ë Ð Ñ Ò× ÓÒ × Ô ÕÙ Ò ¸ ÒØÓÒ × × ÔÙ × Ö ¬ Ö ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ
ÐØ × Ð º Ò ×ØÓ× Ø ÔÓ× × ØÙ ÓÒ × × ÓÒ× Ö Ö ÙÒ Ô ÐØ Ñ ÒØ Ò Ñ Ó
ÕÙ ÓÒ×ÙÑ Ñ ÑÓÖ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ñ Ò º
ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ¸ Ð Ò Ö Ó¸ Ø ÒØÓ Ò ×ØÙ Ó ÓÑÓ Ò × ÒÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸
× ÙØ Ð Þ Ö ÖÖ ÐÓ× Ò Ñ Ó× Ð Ø ÔÓ DynArray<T> × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü ¾º½º ´Ô Ò ½µº
×Ø Ú Ö ÒØ ¸ ÙÒÕÙ Ñ × ­ Ü Ð ÕÙ Ð Ñ ÖÓ ÖÖ ÐÓ ×Ø Ø Ó¸ Ø Ñ Ò ÔÙ Ò ÙÖÖ Ö Ò
ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ ÔÙ × × Ø Ò ÙÒ ×Ô Ö Ó Ó Ð × ÒØÖ × ÒÓ Ù× × Ð
Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ Ý ÐÓÕÙ º
ÍÒ ×Ú ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ô Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ × ÕÙ ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× × ÑÙ Ú Ò¸ ÒÓ × ÔÙ Ò Ñ ÒØ Ò Ö ÔÙÒØ ÓÖ × ×Ó Ö ÐÐÓ׺ ×Ø Ò ÓÒÚ Ò ÒØ
ÔÙ Ô Ð Ö× × Ò Ð ArrayHeap<Key> Ù Ö ÑÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ø Ô Ó× ÐÓ× ØÓ× Ý ÔÖÓ¹
Ö Ñ ÑÓ× Ð Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ Ô Ö ÕÙ ÓÔ Ö ×Ó Ö ÔÙÒØ ÖÓ× Ø Ô Ó׺ È ÖÓ ×ØÓ
ÓÒ×ÙÑ ×Ô Ó Ý ÙÖ ÓÒ ÓÒ Ð × Ó Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÜØÖ Ý ×Ù Ö Ö Ò º
Ò × × ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × Ò ÒÓ Ó× Ò Ö Ó× Ð
Ø ÔÓ BinNode<Key> Ý ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ
¿½¾ ØÔÐ ÒÀ ÔºÀ ¿½¾ ≡
¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó BinHeap<Key> ¿½
template <template <class> class NodeType,
typename Key,
class Compare = Aleph::less<Key> >
class GenBinHeap
{
typedef NodeType<Key> Node;
ØÖ ÙØÓ× BinHeap<Key> ¿½¿
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BinHeap<Key> ¿½
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½
};
template <class Key, typename Compare = Aleph::less<Key> >
class BinHeap : public GenBinHeap<BinHeapNode, Key, Compare>
{
typedef BinHeapNode<Key> Node;
};
template <class Key, typename Compare = Aleph::less<Key> >
class BinHeapVtl : public GenBinHeap<BinHeapNodeVtl, Key, Compare>
{
typedef BinHeapNodeVtl<Key> Node;
};
GenBinHeap<NodeType, Key, Compare ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ô Ò Ö Ó Ñ ÒØ ÒÓ Ó× ¹
Ò Ö Ó× Ø ÔÓ NodeTypeº BinHeap<Key, Compare> Ý BinHeapVtl<Key, Compare> ×ÓÒ
×Ô Ð Þ ÓÒ × Ô Ö Ñ Ò Ö Ó ÒÓ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØÙ Ð × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׺

339. 4.7. Heaps 313
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÙÒ Ô Ò Ö Ó × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ × Ô Ò× Ö ÕÙ Ð Ø ÔÓ BinNode<Key>
×Ø Ô Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ Ô ÐØ Ñ ÒØ Ò Ñ Ó Ô ÖÓ Ý Ó× ¬ ÙÐØ ×
½º Ð Ì BinNode<Key> ÒÓ Ø Ò Ñ Ó Ö ØÓ ÓÒÓ Ö Ð Ô Ö ¸ Ð Ù Ð × Ö ÕÙ Ö
Ò Ð ÓÔ Ö ÓÒ × sift up() Ý sift down()º
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ×ÓÖØ Ö ×Ø Ó ×Ø ÙÐÓº Ä ÔÖ Ñ Ö × Ñ ÒØ ÙÒ Ô Ð
ÕÙ Ù Ö Ð Ñ ÒÓ ×Ó × Ð Ö Þ ×Ø Ð ÒÓ Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × ¹
ÙØ sift up() Ó sift down()º Ä × ÙÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ö¸ ÔÓÖ ÒÓ Ó¸
ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÓÒ Ð Ð Ô Ö º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ò ÓÕÙ Ø Ò Ð Ú ÒØ ÕÙ ÓÒ×ÙÑ Ñ ÒÓ× ×Ô Ó ÕÙ Ð × ÙÒ Ó¸
Ô ÖÓ Ð Ñ Ò Ó Ð Ô Ð × Ð Ö Þ ×Ø Ð ÒÓ Ó ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ×ÙÑ ÙÒ
Ø ÑÔÓ O(Ð (n))º
¾º Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ó Ð Ñ Ò ÓÒ¸ × Ò × Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó
Ñ× Ð Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð¸ ÔÙ × ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö× ØÙ Ð Þ Ö ×Ù× ÒР׺
Ë last Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ðº ÓÑÓ ÓÒÓ Ö ×Ø ÒÓ Ó Ý ×Ù
Ô Ö È Ö Ø ÑÓ×ÒÓ× ÕÙ last Ý ×Ù Ô Ö ÔÙ Ò Ñ Ö Ú Þ ÕÙ Ó ÙÖÖ
ÙÒ ÑÓ ¬ ÓÒ ×Ó Ö Ôº
ÍÒ Ò ÓÕÙ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö last ÓÒ× ×Ø Ò Ú Ö ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ö¹
ÒÐ Ð Ôº Ë Ð Ö Ò Ð × n¸ ÒØÓÒ × n ÑÓ 2 ÒÓ× Ò × last
× Ó ÞÕÙ Ö Ó Ó Ö Óº ËÙ × Ú Ñ ÒØ ¸ n ÑÓ 4 ÒÓ× × Ð Ô Ö last
× × Ò ÒØ ÞÕÙ Ö Ó Ó Ö Óº Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × Ö Ô Ø ×Ø Ð ÒÞ Ö Ð
Ö Þ × Ö¸ ×Ø ÕÙ n/i = 1º Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ¸ Ø Ò ÑÓ× Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ý¸
ÒÚ ÖØ Ó¸ last ݸ Ô ÖØ Ö Ð¸ ØÓ ×Ù × Ò Ò º
Ð Ð ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × O(Ð (n))¸ Ø ÒØÓ Ò ×Ô Ó ÓÑÓ Ò ÙÖ ÓÒº ÈÙ Ö Ô Ò¹
× Ö× ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ô ÖÑ Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð × Ù Ò ÛÝ last¸ ÓÖÖ
Ø ÑÔÓ¸ Ô ÖÓ¸ Ò Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ ÔÙ × Ö Ò × Ö Ó ØÙ Ð Þ ÖÐ ×Ø Ð Ö Þ Ý ×ØÓ
Ù ×Ø O(Ð (n))º
Ò ÒÙ ×ØÖÓ × ÒÓ ØÖ Ò× Ö ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ö Ô Þº È Ö ×ÓÖØ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ×Ø ÙÐÓ¸
Ù× Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ô Ö ¸ Ð Ù Ð ÔÓ× Ð Ø ØÓ Ó Ð ÓÒØ ÜØÓ Ô Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×
ÒØ Ö Ñ Ó ÒØÖ Ò Ú Ð × Ö ÕÙ Ö × ÔÓÖ sift up() Ý sift down()º
È Ö Ú Ø Ö Ð × ÙÒ Ó Ó ×Ø ÙÐÓ¸ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ× ÐÓ× n + 1 ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÙÐÓ× Ð Ô
Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø ¸ Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ Ö ÙÐ Ö¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖ ÐÓ× ÙÐØ ÑÓ×
Ò Ú Ð × × Ö¸ ÙÒ Ð ×Ø ÓÒ ÓÖÑ ÔÓÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó × Ý¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÒÓ Ó
Ô Ö last¸ Ð Ù Ð × Ò ÓÑÔÐ ØÓ Ù Ò Ó last × Ó ÞÕÙ Ö Óº ÍÒ Ò×Ø Ò ×Ø
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× ÓÑÓ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ º last × ÑÔÖ ÔÙÒØ Ð
ÒÓ Ó Ñ × Ð Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ðº head × ÙÒ ÒÓ Ó Ö ¸ ÒØ Ò Ð ¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø
ØÖ Ø Ö Ñ Ò Ö Ò Ö Ð Ð ÒØ Ö Ñ Ó ÒØÖ Ð Ö Þ Ý Ð ÙÒÓ ×Ù× Ó× Ó׺ root ×
ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ö Ö Ò ¸ Ô ÖÑ Ò ÒØ ¸ Ð Ö Þ¸ ÕÙ × Ö headº Ê ÕÙ Ö ÑÓ׸
ÒØÓÒ ×¸ ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ× Ô Ö Ð Ì BinHeap<Key>
¿½¿ ØÖ ÙØÓ× BinHeap<Key> ¿½¿ ≡ ´¿½¾µ
Node head_node;
Node * head;
Node *& root;
Node * last;
size_t num_nodes;

340. 314 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
head
1
root
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 last
ÙÖ º¾ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð Ì BinHeap<Key>
Ð ÙÐØ ÑÓ ØÖ ÙØÓ¸ num nodes¸ ÓÒØ Ð Þ Ð Ö Ò Ð Ð Ôº
ÍÒ BinHeap<Key> × Ò Ð Þ Ý ¬Ò Ð Þ ×
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½ ≡ ´¿½¾µ ¿½
GenBinHeap() : head(&head_node), root(RLINK(head)), last(&head_node), num_nodes(0)
{ /* empty */ }
virtual ~GenBinHeap() { /* Empty */ }
Ä × ÓÒ× Ö ÓÒ × × ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ × ÒÓ× ÐÐ Ú Ò ÓÐÓ Ö Ð × Ù ÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒ
ÓÒ Ð ÔÓÖ ÒÓ Ó
¿½ ¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó BinHeap<Key> ¿½ ≡ ´¿½¾µ
class BinHeapNode_Data
{
struct Control_Fields // Definici´n de banderas de control
o
{
int is_leaf : 4; // true si el nodo es hoja
int is_left : 4; // true si el nodo es hijo izquierdo
};
BinHeapNode_Data * pLink; // puntero al padre
Control_Fields control_fields;
BinHeapNode_Data() : pLink(NULL)
{
control_fields.is_leaf = true;
control_fields.is_left = true;
}
BinHeapNode_Data *& getU() { return pLink; }
Control_Fields & get_control_fields() { return control_fields; }
};
DECLARE_BINNODE(BinHeapNode, 64, BinHeapNode_Data);
Í× × DECLARE BINNODE ¾ º
×Ø Ð × ÒÓ Ó Ù×Ø ¬ ¬Ò Ö ÐÓ× Ñ ÖÓ× × Ù ÒØ × ÚÓÖ Ð Ð Ð Ó Ó
¿½ ¬Ò ÓÒ Ñ ÖÓ× BinHeap<Key> ¿½ ≡
# define PREV(p) (p->getL())
# define NEXT(p) (p->getR())

341. 4.7. Heaps 315
# define ULINK(p) reinterpret_cast<Node*&>((p)->getU())
# define IS_LEAF(p) ((p)->get_control_fields().is_leaf)
# define IS_LEFT(p) ((p)->get_control_fields().is_left)
# define CTRL_BITS(p) ((p)->get_control_fields())
Ë IS LEAF(p) == true¸ ÒØÓÒ × NEXT(p) Ý PREV(p) ÓÒØ Ò Ò Ð ×Ù ×ÓÖ Ý ÔÖ ×ÓÖ
Ð Ð ×Ø Ó ×º Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ IS LEAF(p) == false¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× Ñ ×ÑÓ×
ÑÔÓ× × Ù× Ò ÓÑÓ LLINK(p) Ý RLINK(p)º
Å ÒØ Ð ÑÔÓ IS LEAF(p) ÔÓ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö × p Ô ÖØ Ò Ó ÒÓ Ð Ð ×Ø
ÒÐ Þ
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BinHeap<Key> ¿½ ≡ ´¿½¾µ ¿½
static bool is_in_list(Node * p)
{
if (IS_LEAF(p))
return true;
return ULINK(LLINK(p)) == RLINK(LLINK(p));
}
Ð × ÙÒ Ó return Ú Ö ¬ × p × Ð Ô Ö last Ý ×Ø × ×Ù Ó ÞÕÙ Ö Ó ½ º
ÇØÖÓ ÔÖ Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ö ÑÓ× × ÓÒÓ Ö × ÙÒ ÒÓ Ó Ø Ò Ó ÒÓ ÙÒ ÖÑ ÒÓ
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿½
static bool has_sibling(Node * p)
{
return ULINK(p) != RLINK(p);
}
Í× ÑÓ× ×Ø Ñ ØÓ Ó ÔÓÖÕÙ ÓÔ Ö ÙÒ × p × Ô ÖØ Ð Ð ×Ø ÒÐ Þ º
4.7.6.1 Intercambio entre nodos
ÉÙ Þ Ð ÖÙØ Ò × Ò Ð ÒÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ð ÕÙ ÒØ Ö Ñ Ó× ÒÓ Ó× Ò Ú Ðº
ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ×Ø ÖÙØ Ò swap with parent(p)¸ Ý ×Ù Ñ × ÓÒ × ÒØ Ö Ñ Ö Ð ÒÓ Ó p
ÓÒ ×Ù Ô Ö º ×Ø × Ð ÖÙØ Ò Ñ × ÓÑÔÐ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÔÓÖÕÙ Ð ÒØ Ö Ñ Ó
×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× ×Ó× Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ò ÐÓ× Ù Ð × p ÒÓ Ø Ò Ù ÐÓ ´ Ù Ò Ó ×ÓÐÓ Ý Ó×
Ó ØÖ × ÒÓ Ó×µ Ý Ð ×Ó Ò ÕÙ p ×Ø Ò ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð¸ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð p × Ô ÖØ Ð
Ð ×Ø º
Ä ÖÙØ Ò swap with parent() × ×Ø ÒØ ÓÑÔÐ Ý ÒÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò ×Ø Ø ÜØÓ
´ ÐÐ ÔÙ Ü Ñ Ò Ö× Ò Ð Ð ÓØ µº swap with parent() ÓÔ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ
Ð × ØÙ ÓÒ p ÒØÖÓ Ð Ôº ÈÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÑÔÐ ÖÐ Ô Ö ØÙ Ö ÐÓ× Ò¹
Ø Ö Ñ Ó× Ö ÕÙ Ö Ó× ÔÓÖ sift up() Ý sift down()¸ Р٠Р׸ ÙÒ Ú Þ Ö Ð Þ Ð ÓÔ¹
Ö ÓÒ swap with parent()¸ ×ÓÒ ÑÙ Ó Ñ × × ÑÔÐ × ÕÙ ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ ÓÒ ÖÖ ÐÓ×
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿½
virtual void sift_up(Node * p)
{
while (p != root and Compare() (KEY(p), KEY(ULINK(p))))
swap_with_parent(p);
}
virtual void sift_down(Node * p)
{
½
È Ö ÔÖ Ò Ö ×Ø ×Ó¸ ÙØ × Ð ÖÙØ Ò ÓÒ p=6 Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ º

342. 316 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
while (not IS_LEAF(p))
{
Node * cp = LLINK(p); // guarda el menor hijo de p
if (has_sibling(cp))
if (Compare() (KEY(RLINK(p)), KEY(LLINK(p))))
cp = RLINK(p);
if (Compare() (KEY(p), KEY(cp)))
return;
swap_with_parent(cp);
}
}
4.7.6.2 Inserci´n en BinHeap<Key>
o
Ä ÖÙØ Ò sift up() ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ×Ô ¬ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙØ Ò ÔÙ Ð BinHeap<Key>
Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿½
Node * insert(Node * p)
{
if (root == NULL) // ¿heap est´ vac´o?
a ı
{ // S´, inicialice
ı
root = p;
LLINK(p) = RLINK(p) = p;
ULINK(p) = head;
IS_LEAF(p) = true;
IS_LEFT(p) = false; /* root is right child of header node */
last = root;
num_nodes = 1;
return p;
}
// inserci´n general
o
Node * pp = RLINK(last); // padre de actual last
LLINK(p) = last;
ULINK(p) = pp;
if (IS_LEFT(last))
{ // p ser´ hijo derecho
a
IS_LEFT(p) = false;
RLINK(p) = RLINK(pp);
LLINK(RLINK(pp)) = p;
RLINK(pp) = p;
}
else
{ // p ser´ hijo izquierdo
a
IS_LEFT(p) = true;
RLINK(p) = pp;
IS_LEAF(pp) = false; // si p es izquierdo ==> pp era hoja
LLINK(pp) = p;
}
RLINK(last) = p;
last = p;
num_nodes++;

343. 4.7. Heaps 317
sift_up(last);
return p;
}
4.7.6.3 Eliminaci´n del m´
o ınimo elemento de un BinHeap<Key>
È Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ö Þ¸ ÔÐ ÑÓ× Ð Ñ ×Ñ ×ØÖ Ø ÜÔÐ Ò Ü º º¾ ´Ô Ò ¿¼ µ
ÒØ Ö Ñ Ö Ð Ö Þ ÔÓÖ last Ý ÐÙ Ó ÓÖØ Ö ÔÓÖ lastº È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× Ú Ð ÑÓ× Ò ÔÖ Ñ Ö
ÐÙ Ö ÙÒ ÖÙØ Ò swap root with last()¸ ÙÝ Ñ × ÓÒ × ÒØ Ö Ñ Ö Ð Ö Þ ÓÒ last
Ý ÕÙ ÒÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò ×Ø Ø ÜØÓ ´ ÐÐ Ø Ñ Ò ÔÙ × Ö Ü Ñ Ò ÒÐ Ð ÓØ µº
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ swap root with last()¸ Ò Ú Ð ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÒÓ ×Ù× ÓÒØ Ò Ó׸
Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ
ÖÓÓØ
last
ÐØ ÓÖØ Ö Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð¸ ÐÓ Ù Ð × Ö Ð Þ ×
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿½
Node * remove_last()
{
Node * ret_val = last;
Node * pp = ULINK(last);
Node * new_last = LLINK(last);
if (IS_LEFT(last))
{
IS_LEAF(pp) = true;
LLINK(pp) = new_last;
}
else
{
RLINK(pp) = RLINK(last);
LLINK(RLINK(last)) = pp;
}
RLINK(LLINK(last)) = pp;
last = new_last;
num_nodes--;
ret_val->reset();
return ret_val;
}
×Ø Ñ ÕÙ Ò Ö ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ¬Ò Ö getMin() Ü Ø Ñ ÒØ ÓÑÓ ÜÔÐ Ó
Ò Ü º º¾ ´Ô Ò ¿¼ µ × Ö¸ ÒØ Ö Ñ Ö root ÓÒ last¸ ÐÙ Ó ÓÖØ Ö ÔÓÖ last
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿½
Node * getMin()
{
Node *ret_val = root;
if (num_nodes == 1)
{
root = NULL;

344. 318 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ret_val->reset();
num_nodes = 0;
return ret_val;
}
swap_root_with_last();
remove_last();
sift_down(root);
ret_val->reset();
return ret_val;
}
4.7.6.4 Actualizaci´n en un heap
o
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ArrayHeap<Key>¸ × ÔÐ Ù× Ð ÑÓ ¬ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó
Ô ÖØ ÙÐ Öº Ò ×Ø ×Ó¸ ØÙ ÑÓ× Ð Ñ ×Ñ ÓÖÖ ÓÒ
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿½
void update(Node * p)
{
sift_down(p);
sift_up(p);
}
4.7.6.5 Eliminaci´n de cualquier elemento en un BinHeap<Key>
o
ÉÙ Þ ÙÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ Ñ × Ó Ö × ÒØ Ó ÓÒ ×Ø Ø ÔÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ô
×Ð Ð Ñ Ò Ö¸ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ ¸ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ¸ Ð Ö ÓÒ Ð ÒÓ Óº ÍÒ
ÑÔÐÓ ×Ø × ØÙ ÓÒ × Ð Ò Ð ÓÒ ÙÒ Ú ÒØÓ¸ Ø ÒØÓ Ò ÙÒ × ×Ø Ñ × ÑÙÐ ÓÒ
Ú ÒØÓ× × Ö ØÓ׸ ÓÑÓ Ò ÙÒ Ñ Ò ÓÖ Ú ÒØÓ× Ò Ø ÑÔÓ Ö Ð ½ º Ò ×Ø ×Ó¸ Ø ¹
Ò Ò Ó ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ú ÒØÓ¸ Ù Ð ÔÙ ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ö Ú Ö BinHeap<Time>::Node¸
ÔÙ Ð Ñ Ò Ö× Ð Ô Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ׺
× ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ð Þ Ö ÕÙ Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ô ÓÒ ÖÖ ÐÓ׸ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ
Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÖÖ Ö ÕÙ × O(n)º
È Ö Ð Ñ Ò Ö node × ÓÔ Ö Ô Ö Ó ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ ArrayHeap<Key> ´½µ × ¹
× ÒÐ Þ last Ð Ö ÓÐ Ý × Ö ×Ô Ð Ò ÙÒ Ú Ö Ð p ×ØÓ × Ö Ð Þ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸
Ý ¬Ò ¸ remove last()º ÄÙ Ó¸ ´¾µ × ×Ù ×Ø ØÙÝ Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö node ÔÓÖ p ݸ
¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ × ÙØ sift down() Ý sift up() Ô Ö Ù×Ø Ö Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Òº
Ð Ô ×Ó ´¾µ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × Ú Ð Ð ÓÔ Ö ÓÒ replace node(Node *
node, Node * new node)¸ ÙÝÓ ÖÓÐ × Ö ÑÔÐ Þ Ö ÒØÖÓ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð ÒÓ Ó node
ÔÓÖ new nodeº ÌÓ Ó Ð ÓÒØ ÜØÓ Ò × Ö Ó ×Ø Ó¸ ÔÙ × ÒÓ Ó ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ
×Ù Ô Ö º ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ò Ð Ð ÓØ º
ÓÖ ¸ ×ÓÐÓ ÒÓ× Ö ×Ø Ö Ñ Ø ÖÒÓ× Ð Ø Ò ÜÔÐ Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ
ÙÒ ÒÓ Ó node
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½ ¿¾¼
Node * remove(Node * node) throw(std::exception, std::underflow_error)
{
½
Ò ALEPH¸ Ü ×Ø ÙÒ Ì ¸ ÐÐ Ñ Ó TimeoutQueue¸ ÙÝÓ ¬Ò × ÑÓ Ð Þ Ö ÙÒ Ñ Ò ÓÖ Ú ÒØÓ×
ÔÖÓ Ö Ñ Ó× ÔÓÖ Ð Ö ÐÓ Ð × ×Ø Ñ º Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ TimeoutQueue Ù×Ó Ð Ì BinHeap<Key>
Ý Ó Ö ¸ ÒØÖ ×Ù× ÙÒ ÓÒ ×¸ Ð Ò Ð ÓÒ ÙÒ Ú ÒØÓ ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Óº

345. 4.7. Heaps 319
if (node == root)
return getMin();
if (node == last)
return remove_last();
Node * p = remove_last();
if (node == last)
{
remove_last();
insert(p);
return node;
}
replace_node(node, p);
update(p);
node->reset();
return node;
}
4.7.6.6 Destrucci´n de BinHeap<Key>
o
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÓØÖÓ× Ò ÓÕÙ × ×ÓÐÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ ¹
Ó ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ò ÐÙ Ö Ñ Ò Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð × Ð Ú × Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ Ð Ì
BinHeap<Key> Ñ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ Ð × ÓÒØ Ò Òº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÔÖ Ò¹
Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò¸ ÓØÖÓ Ì ¸ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó DynBinHeap<Key>¸ × Ò Ö ÑÒ ÖÐ×
Ð Ú × × Ò ÕÙ Ð Ù×Ù Ö Ó Ø Ò ÔÓÖ ÕÙ Ô Ò× Ö Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ó ØÓ× Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ
Ð Ôº
Ù Ò Ó ÑÔÐ ÒØ ÑÓ× ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ò Ð Ú × Ý ÒÓ Ò
ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ Ð ÓÒØ Ò Ò¸ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ì × × Ð ÔÓ× Ð
Ð Ö Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ¹Ý ØÓ Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ¹ Ò ÙÒ ×ÓÐ ÓÔ Ö ÓÒº ×Ø ×
Ð ×Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × remove all and delete() ´Ü ¾º º ´Ô Ò µµ
Ý destroyrec() ´Ü º º½¼ ´Ô Ò ¾ µµ × Ò × Ô Ö Ð × Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ý ÐÓ× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó׸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ò Ð ×Ó ÙÒ Ô Ò Ñ Ó ÓÑÓ BinHeap<Key>¸ Ó Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ð Ì
DynBinHeap<Key>¸ ÒÓ × ÔÓ× Ð ÒÚÓ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ destroyRec()¸ ÔÙ × Ù×
Ð ÓÑÔÐ Ð ÒÓ Ó ÙÒ BinHeap<Key> ÒÓ × ×ÔÓÒ Ð Ú ÐÓÖ NullPtr¸ Ð
Ù Ð × × ÖÚ destroyRec() Ô Ö Ö ÓÒÓ Ö Ð × Ó ×º
ÍÒ Ø ÒØ ÓÒ Ô Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸ × Ö¸ Ô Ö Ð Ñ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ×
BinHeap<Key>¸ × ÙÒ ÐÓ Ð × Ù ÒØ ×Ø ÐÓ
¿½ Ð Ñ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð BinHeap<Key> ¿½ ≡
while (not this->is_empty())
delete getMin();
×Ø ÐÓÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÙÒ ÓÒ¸ Ô ÖÓ ÜÔ Ò× × ÙÒ Ó×Ø Ò Ø ÑÔÓ ÕÙ ÔÙ Ú ÒÖ
ÑÔÓÖØ ÒØ ¸ ÔÙ × × O(n Ð (n))¸ ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ O(n)¸ Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ ÒÓ× ÐÐ Ú Ð ¹
ÖÖ Ó ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ý ×Ù ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò ÓÒº × ×Ø Ô Ö×Ô Ø Ú × ÒÓ×
Ö Ú Ð Ò × Ö Ó ÔÖÓÚ Ö × Ð Ì BinHeap<Key> ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ÕÙ Ð Ñ Ò ØÓ Ó× ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× Ò O(n)º Ò Ø Ð × ÒØ Ó¸ Ö ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó¸ Ö ÙÖ× ÚÓ¸ ÕÙ Ð Ö ÐÓ×
ÒÓ Ó× Ð Ô
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½
static void __postorder_delete(Node * p, Node * incomplete_node)

346. 320 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
{
if (IS_LEAF(p))
{
delete p;
return;
}
__postorder_delete(LLINK(p), incomplete_node);
if (p != incomplete_node)
__postorder_delete(RLINK(p), incomplete_node);
delete p;
}
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× × ÓÑ Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÒ Ð ×Ø
Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ × Ø Ò Ö ×Ô Ð Ù Ó Ù Ò Ó Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó ´lastµ¸ ×
ÞÕÙ Ö Ó ×ÓÐÓ Ò ×Ø ×Ó p × Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ ×ÓÐÓ Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÐÐ Ñ Ð
Ö × Ö Ò ÓÖÖ Ø Ý Ù× ÒØ ÙÒ Ó Ð Ð Ñ Ò ÓÒº
×Ø ÖÙØ Ò × ÒÚÓ ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð
¿¾¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× BinHeap<Key> ¿½ +≡ ´¿½¾µ ¿½
void remove_all_and_delete()
{
if (root == NULL)
return;
if (num_nodes <= 3)
{
while (not this->is_empty())
delete getMin();
return;
}
if (IS_LEFT(last))
__postorder_delete(root, ULINK(last));
else
__postorder_delete(root, NULL);
root = NULL; // reiniciar como si se hubiese llamado a constructor
last = &head_node;
num_nodes = 0;
}
Ó ÕÙ Ð Ô × ÙÒ Ö ÓÐ ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ð Ö × Ó × ÓÖ ÔÐ Ó Ð Ö Ù× ÓÒ
× Ñ Ò ÑÓº
Ä ÖÙØ Ò remove all and delete() × ÒÚÓ ÔÓÖ Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ð Ì DynBinHeap<Key>¸
Р٠и ÓÑÓ × ×ÙÔÓÒ Ö× ¸ × ÙÒ ÜØ Ò× ÓÒ BinHeap<Key> ÓÖ ÒØ ÑÒ Ö
Ð Ú ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ×ØÖÙ ÓÒ × O(n)º
4.8 Enumeraci´n y c´digos de ´rboles
o o a
ÓÖ ÑÓ× ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ò ØÓÖ Ó ÕÙ ¸ × Ò Ø Ò ÐÓ× Ö ÓР׸ Ö Ð ÓÒ ÑÙ¹
Ó× ÓØÖÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÑ Ò ØÓÖ Ó× Ù ÒØÓ× Ö ÓÐ × Ö ÒØ × ÔÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö× ÓÒ
n ÒÓ Ó× ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×ØÓ× ×ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ö ÓÐ × 4 ÒÓ Ó×

347. 4.8. Enumeraci´n y c´digos de ´rboles
o o a 321
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÙÒ ÚÓ ÒØÖ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ý ÐÓ× Ö ÓÐ × ¹
Ò Ö Ó× ´Ü º º½ ´Ô Ò ¾ µµº Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ù ÐÕÙ Ö n ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ ×¸
× ÙÒ Ü º º½ ´Ô Ò ¾ µ¸ Ð Ö Þ ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Ó ÒÓ Ø Ò Ö Ñ Ö º
Ê ×Ø Ò¸ ÒØÓÒ ×¸ n − 1 ÒÓ Ó× Ô Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð
ÒÙÑ ÖÓ ÔÓ× Ð × Ö ÓÐ × ÕÙ × ÔÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö ÓÒ n ÒÓ Ó× × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ
Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÕÙ × ÔÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö ÓÒ n − 1 ÒÓ Ó׺ ÈÓ ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø ÔÖÓ¹
ÐÑ ÓÒØ Ó Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ñ × Ñ Ð Ö Ý¸ ÕÙ Þ Ñ × × ÑÔÐ ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺
4.8.0.7 C´digos de un arbol binario
o ´
ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÒÙÒ Ö Ð ÓÒ ÔØÓ Ó Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº È Ö ÐÐÓ Ù ÑÓ×
ÙÒ Ö ÓÐ ÜØ Ò Ó ¹ ÓÒ ×Ù× ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ×¹ Ø Ð ÓÑÓ Ð Ð ¬ ÙÖ º¾ º
ÙÖ º¾ ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÜØ Ò Ó ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ× Ø ÕÙ Ø Ó× ÓÒ a ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ×
ÓÒ b
Definici´n 4.7
o Ë ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T n ÒÓ Ó׺ Ë ¬Ò Ó Ó(T ) : B −→ {a, b}∗
ÓÑÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð Ö ÓÐ ÜØ Ò Ó ÓÒ ×Ù× n ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ× ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó×
ÓÒ a Ý ×Ù× ÜØ ÖÒÓ× ÓÒ bº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¾ ¸ Ó Ó(T ) = aaaabbabbaabbbababbº
×ØÙ ÑÓ× ÓÑÓ × Ö Ø Ö Þ ÙÒ Ô Ð Ö Ó Ó(T ) ∈ {a, b}∗ º ÒØÖ ¸
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ L ⊂ {a, b} ∗ × Ð Ð Ò Ù ÕÙ Ö Ø Ö Þ ÙÒ Ó Ó ÙÒ Ö Óк L
× ÐÐ Ñ Ó Ð Ò Ù ÄÙ × Û Þ¸ Ò ÓÒÓÖ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÓÐ Ó Â Ò ÄÙ × Û Þº
Proposici´n 4.6
o ÐÐÒ Ù ÄÙ × Û Þ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ó Ó× ÔÓ× Ð × ×Ø ¬Ò Ó
ÔÓÖ
L = aLL ∪ b ´ º¿ µ
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ L = Ó Ó(B)º
Ä ÜÔÖ × ÓÒ ´ º¿ µ × ÙÒ ¬Ò ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ð ÓÒ ÙÒØÓ L Ý × Ò ¬ ÕÙ ÙÒ
Ô Ð Ö L × Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÓÒ Ø Ò Ö a ÓÒ Ó× Ô Ð Ö × × Ù × ÕÙ Ô ÖØ Ò Þ Ò Ð
ÓÒ ÙÒØÓ L Ó ÓÒ Ð Ð ØÖ bº ÄÓ Ñ × ÒØ Ö × ÒØ ×Ø Ø ÔÓ ¬Ò ÓÒ × ÕÙ ÑÓ×
¬Ò Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò¬Ò ØÓ Ô Ð Ö × Ò ÙÒ ×ÓÐ ÜÔÖ × ÓÒ Ö ÙÖ× Ú º

348. 322 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Demostraci´n
o ÈÖ ÑÓ×ØÖ Ö L = Ó Ó(B) ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö L⊂ Ó Ó(B) Ý
L ⊃ Ó Ó(B)
¯ aLL ∪ b ⊂ Ó Ó(B) Ë T = ∅¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ó Ó(∅) = b ⊂ aLL ∪ bº Ë T = ∅¸
ÒØÓÒ × T ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ T =< Ä(T ), Ö Þ(T ), Ê(T ) >º ÈÓÖ Ð ¬Ò ÓÒ
Ó Ó¸ Ó Ó(< Ä(T ), Ö Þ(T ), Ê(T ) >) = a Ó Ó(Ä(T )) Ó Ó(Ê(T )) ⊂
Ó Ó(B)
¯ Ó Ó(B) ⊂ aLL ∪ b Ë w ∈ Lº Ë |w| = 1 =⇒ w = Ó Ó(∅) = bº
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ |w| > 1 =⇒ w = auv, u, v ∈ L ÓÒ a ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö Þ ÙÒ
Ö ÓÐ T Ñ ÒØÖ × ÕÙ u = Ó Ó(Ä(T )) Ý v = Ó Ó(Ê(T ))
Ù Ò Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ô Ð Ö w = uv × Ö¸ ÕÙ ÔÙ ÓÑÔÓÒ Ö× Ð ÓÒ Ø ¹
Ò ÓÒ ÓØÖ × Ó× Ô Ð Ö × u Ý v¸ ÒØÓÒ × u × Ð ÕÙ × ÔÖ ¬ Ó wº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
× w = abbba¸ ÒØÓÒ × , a, ab, abb, abbb, abbba ×ÓÒ ÔÖ ¬ Ó× w½ º
Ò ÐÓ ÕÙ Ö ×Ô Ø ÐÓ× ÔÖ ¬ Ó׸ ÒÓØ Ö ÑÓ×
u≤v × u × ÔÖ ¬ Ó v
u<v × u × ÔÖ ¬ Ó v Ý u = vº Ò ×Ø ×Ó¸ ÑÓ× ÕÙ u × ÔÖ ¬ Ó ÔÖÓÔ Ó v
ÈÖ Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ a < abbba¸ Ô ÖÓ abbba ≤ abbbaº
Definici´n 4.8 (Conjunto prefijo)
o ÍÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ô Ð Ö × × ÔÖ ¬ Ó × Ò Ò ÙÒ ×Ù×
Ô Ð Ö × × ÔÖ ¬ Ó Ð ÙÒ Ð × ÓØÖ ×º ×ØÓ ×¸ Ó ÙÒ Ð Ò Ù X¸ × ÕÙ X × ÙÒ
Ð Ò Ù ÔÖ ¬ Ó ⇐⇒ ∀u, v ∈ X¸ u Ý v ÒÓ ×ÓÒ ÔÖ ¬ Ó× ÒØÖ × º × Ö¸ u ≤ v =⇒ u = vº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ X = {ab, baa, bab}º
Lema 4.3 Ë X ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖ ¬ Ó Ý u, v, u , v ∈ Xº ÒØÓÒ ×¸ uv = u v =⇒ u = u Ý
v = v º Ò ÓØÖÓ× Ø ÖÑ ÒÓ׸ × u, v, u , v ∈ X | u = u , v = v =⇒ uv = u v º
Demostraci´n (por contradicci´n)
o o ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ X × ÙÒ Ð Ò Ù ÔÖ ¬ Ó ×
Ö¸ uv = u v =⇒ u = u Ó v = v º È Ö Ð Ø Ö Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ¸ ×ÙÔ ÖÔÓÒ ÑÓ× Ð ×
Ô Ð Ö × uv Ý u v ÓÑÓ × Ù
u v
u v
Ò Ð Ö Ñ × ÔÖ ÕÙ u ≤ uº ÈÓ ÑÓ× Ñ Ò Ö ÓØÖ × ×ÙÔ ÖÔÓ× ÓÒ × Ý
×ÙÔÓÒ Ö ÓØÖÓ× ÔÖ ¬ Ó׺ Ò ØÓ Ó ×Ó¸ × Ð ÖÓ ÕÙ Ó u ≤ u Ó v ≤ v º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÔÙ ×ØÓ
ÕÙ ÑÓ× Ó ÕÙ X × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖ ¬ Ó¸ × ÑÔÓ× Ð ÕÙ u × ÔÖ ¬ Ó uº ÈÙ ×ØÓ
ÕÙ Ð Ò ÓÒ Ð Ð Ñ × Ð× ¸ Ð Ð Ñ × ÖØÓ
×Ø Ð Ñ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ô Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ¹
Ù ÒØ
Proposici´n 4.7 (Huffman 1952 [9])
o ÐÐÒ Ù ÄÙ × Û Þ × ÔÖ ¬ Óº
½
Ð × Ñ ÓÐÓ ÒÓØ Ð Ô Ð Ö Ú º

349. 4.8. Enumeraci´n y c´digos de ´rboles
o o a 323
Demostraci´n (por contradicci´n inductiva sobre la longitud de una palabra)
o o
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ò Ù ÄÙ × Û Þ ÒÓ × ÔÖ ¬ Ó¸ ÒØÓÒ × ∃u, v, x ∈ L | ux = vº
¯ |u| = 1: Ò ×Ø ×Ó¸ u = b =⇒ x = =⇒ v = b¸ Ô ÖÓ L ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ ÕÙ
ÑÔÐ ÕÙ L × ÔÖ ¬ Ó Ô Ö ØÓ × Ð Ô Ð Ö × ÐÓÒ ØÙ 1º
¯ ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ L × ÔÖ ¬ Ó Ô Ö ØÓ × Ð × Ô Ð Ö × u, v ∈ L ÐÓÒ ØÙ ÒÓÑ Ò Ð
Ý Ü Ñ Ò Ö ÑÓ× × ∃u, x ∈ L | ux = vº × Ö¸ × Ü ×Ø ÙÒ Ô Ð Ö Ñ ÝÓÖ
ÐÓÒ ØÙ ÕÙ ÔÙ × Ö ÓÑÔÙ ×Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ð Ö Ô ÖØ Ò ÒØ Lº
Ë Ò u1, u2, v1, vx, x ∈ L | |u1| < |u| , |u2| < |u| , |u2| < |u| , |v1| < |v| , |v2| < |v|º
Ê Ð ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × × ÓÑÔÓ× ÓÒ ×
u = au1u2
v = av1v2
ÔÐ Ø ÑÓ×
au1u2x = av1v2 =⇒ u1u2x = v1v2
×ØÓ ÒÓ× ÖÖÓ Ó× ×Ó× Ü Ñ Ò Ö
½º |u1| ≤ |v1| Ò ×Ø ×Ó¸ u Ý v × ×ÙÔ ÖÔÓÒ Ò Ð ÓÖÑ × Ù ÒØ
u1 u2 x
v1 v2
Ä ÙÒ ÔÓ× Ð × ÕÙ u1 = v1¸ ÔÙ × ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó u1 × Ö ÔÖ ¬ Ó
v1¸ Ô ÖÓ ÐÐÓ ÒÓ × × ÔÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ x = ∈ Lº Ð
/
ÔÐ ÒØ Ñ ÒØÓ ×¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÒØÖ ØÓÖ Óº
¾º |v1| < |u1| < |u| Ò ×Ø ×Ó¸ u Ý v × ×ÙÔ ÖÔÓÒ Ò Ð ÓÖÑ × Ù ÒØ
u1 u2 x
v1 v2
ÒÙ ÚÓ¸ v1 ÒÓ ÔÙ × Ö ÔÖ ¬ Ó u1¸ ÔÙ × × ÒÓ × ÓÒØÖ Ð ÔÓØ × ×
Ò Ù Ø Ú º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ v1 = u1 Ý x = ∈ Lº/
Ñ Ó× ×Ó׸ ÓÒ |u1| = |v1| | |u1| < |u|, |v1| < |v|¸ ÓÒØÖ Ò Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú º
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð ÔÓØ × × × ÖØ
Proposici´n 4.8 ∀T1, T2 ∈ B, T1 = T2 ⇐⇒
o Ó Ó(T1) = Ó Ó(T2)º
Demostraci´n
o Ä ÔÖÙ × ×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó× Ô ÖØ ×
¯ Inyectividad (=⇒): ÔÐ Ö ÑÓ× Ò Ù ÓÒ ×Ó Ö Ð × Ö Ò Ð × T1 Ý T2º
∀T1, T2 ∈ B, T1 = T2 =⇒ Ó Ó(T1) = Ó Ó(T2)º
Caso base: Ë T1 = ∅, T2 = ∅ =⇒ Ó Ó(T1) = b, Ó Ó(T2) = auv, u, v ∈ L =⇒
Ó Ó(T1) = Ó Ó(T2)º

350. 324 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Hip´tesis inductiva: Ë T1 = ∅, T2 = ∅
o Ý |T1| = |T2| =⇒ | Ó Ó(T1)| =
| Ó Ó(T2)| =⇒ Ó Ó(T1) = Ó Ó(T2)º
Ë |T1| = |T2| ÒØÓÒ ×
w1 = Ó Ó(T1) = au1v1 u1 = Ó Ó(Ä(T1))
v1 = Ó Ó(Ê(T1))
w2 = Ó Ó(T2) = au2v2 u2 = Ó Ó(Ä(T2))
v2 = Ó Ó(Ê(T2))
ÓÖ ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö Ó× Ö ÓÐ × ÙÒ Ñ ×Ñ Ö Ò Ð
ÒÓÑ Ò Ð Ý ÔÖÓ ÑÓ× × Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö Ö ÓÐ × Ö ÒÐ
Ñ ÝÓÖº ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ó u1 = u2 Ó v1 = v2º ÑÓ×
Ö ×ÔÓÒ Ö ×
au1v1 = au2v2 ´ º¿ µ
È Ö ÐÐÓ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð Ñ
Lema 4.4 Ë Ò u1, u2, v1, v2 ∈ Lº Ë u1 = u2 Ó v1 = v2¸ ÒØÓÒ × u1v1 = u2v2º
Demostraci´n Ä
o ÑÓ×ØÖ ÓÒ × Ö Ú Ð Ð Ñ º¿º Ë Ò ÑÓ× Ð
Ð Ñ º¿¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ u1 = u2 Ó v1 = v2 =⇒ u1v1 = u2v2 ÓÒ u1, u2, v1, v2 ∈
{Ä Ò Ù ÔÖ ¬ Ó}º ÑÔ ÖÓ¸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º × ÑÓ× ÕÙ L × ÙÒ Ð Ò Ù
ÔÖ ¬ Óº × Ô٠׸ Ð Ð Ñ × ÖØÓº
Ð Ð Ñ º ÒÓ× Ö ÒØ Þ ÕÙ ´ º¿ µ × ÖØÓ Ô Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ö Ò¹
Ð Ñ ÝÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ó Ó(T ) : B −→ L × ÒÝ Ø Ú º
Ä ÒÝ Ø Ú ÔÖÙ ∀T1, T2 ∈ B, T1 = T2 =⇒ Ó Ó(T1) = Ó Ó(T2)
¯ Suprayectividad: Ò ×Ø ×Ó¸ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ
∀w ∈ L ∃T ∈ B | Ó Ó(T ) = w ´ º ¼µ
Ä ÑÓ×ØÖ ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ù ÓÒ ×Ó Ö Ð ÐÓÒ ØÙ wº Ä ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ×
´ º ¼µº
– |w| = 1 =⇒ Ó Ó(∅) = b =⇒ ´ º ¼µ × ÖØÓ Ô Ö |w| = 1º
– ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ ´ º ¼µ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó |w| = n Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × Ð
ÔÓØ × × × × Ø × Ô Ö |w| = n + 1º
Ë |w| = n + 1¸ Ð Ô Ð Ö w = auv × Ø × |auv| = 1 + |u| + |v|º ÈÓÖ Ð
ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ ∃Tu ∈ B | Ó Ó(Tu) = u Ý ∃Tv ∈ B | Ó Ó(Tv) = v Ø Ð
ÕÙ | Ó Ó(Tu)| + | Ó Ó(Tv)| = n =⇒ |w| = 1 + |u| + |v| = n + 1
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ó Ó(T ) : B −→ L × ÒÝ Ø Ú Ý ×ÙÔÖ Ý Ø Ú ¸ Ó Ó(T ) : B −→ L ×
Ý Ø Ú º ÍÒÓ ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ð Ø ÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ× ×Ø Ð ÕÙ ×
ÙÒ ÙÒ ÓÒ f : A −→ B × Ý Ø Ú ÒØÓÒ × |A| = |B|º ÈÓÖ ×Ø Ø ÓÖ Ñ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö
ÕÙ |B| = |L|º ÄÓ ÕÙ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ó Ó(T1) = Ó Ó(T2) =⇒ ∀T1, T2 ∈ B, T1 = T2

351. 4.8. Enumeraci´n y c´digos de ´rboles
o o a 325
ÓÖ Ú ÑÓ× ÓÑÓ × Ö Ø Ö Þ ÙÒ Ô Ð Ö Ò Lº È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ×
|w|a = Ð ÒÙÑ ÖÓ Ó ÙÖÖ Ò × a Òw
|w|b = Ð ÒÙÑ ÖÓ Ó ÙÖÖ Ò × b Òw
Proposici´n 4.9
o
w ∈ L ⇐⇒
´µ |w|b = 1 + |w|a Ý ´ º ½µ
´µ ∀u, v, |u| < |w| | w = uv =⇒ |u|a ≥ |u|b
Demostraci´n
o
´ µ Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓÒ w = Ó Ó(T )ºº ÈÓÖ Ð ¬Ò ÓÒ Ó Ó¸
× ÑÓ× ÕÙ |w|a = |T | × Ö¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ׺ ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º¾¸
× ÑÓ× ÕÙ T ÜØ Ò Ó Ø Ò 2|T |+1 ÒÓ Ó× × Ö n ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ× Ý n+1 ÒÓ Ó×
ÜØ ÖÒÓ׺ × Ô٠׸ |w| = 2|T | + 1 = 2|w|a + 1 = |w|a + |w|b =⇒ |w|b = |w|a + 1
´ µ ´ Ò Ù ÓÒ ×Ó Ö |w|µ
¯ |w| = 1 =⇒ w = b =⇒ u = =⇒ |u|a = 0 ≥ |u|b = 0º ´µ × ÖØÓ Ô Ö Ð ×Ó
׺
¯ Ë |w| = n + 1Ý ×ÙÑ ÑÓ× ´ µ ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó |w| < n + 1º ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ¸
w Ø Ò ÕÙ ×Ø Ö ÓÑÔÙ ×ØÓ ÓÑÓ w = auv Ð × Ñ ÓÐÓ a ÔÓÖ Ð ÔÓØ Ø
Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ý u Ý v ÐÓ× Ó Ó× Ð × Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ý Ö ¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÖ ¬ Ó w Ù ÐÕÙ Ö w¸ Ð Ù Ð ÔÙ Ø Ò Ö Ð ÙÒ Ð×
× Ù ÒØ × ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ ×
w a u v
×Ó ½ w a u
×Ó ¾ w a u v
Ò Ð ×Ó ½¸ |u | < |u|¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú × ÖØ ÒØÖ u Ý uº
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ |u |a ≥ |u |b ݸ Ó Ú Ñ ÒØ ¸ |au | ≥ |u |º
Ò Ð ×Ó ¾¸ |v | < |v|¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú × ÖØ ÒØÖ v Ý
v ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ |uv |a ≥ |uv |b ݸ Ò ÓÒ× Ù Ò ¸ |auv |a ≥
|auv |b
×Ø ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒÓ× ÙÒ Ñ Ò Ö ¬ ÒØ × Ñ Ú Ö ¬ Ö × ÙÒ × Ù Ò Ø×
× ÙÒ Ô Ð Ö ÄÙ × Û Þ Ó × ¸ × ÙÒ Ô Ð Ö × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ó Ó ÙÒ
Ö ÓÐ Ò Ö Óº
4.8.0.8 C´digos de Dick
o
ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô Ö Ó ¬ Ö Ö ÓР׸ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÓ× Ó Ó× Ð
× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ø ÕÙ Ø Ö Ð Ö ÓÐ ÜØ Ò Ó Ñ Ò Ö Ö ÒØ Ð × Ö Ñ × ÞÕÙ Ö ×
ÓÒ a Ý Ð × Ö × ÓÒ b Ø Ð ÓÑÓ Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¾ º

352. 326 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÙÖ º¾ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÜØ Ò Ó Ö Ñ × ÞÕÙ Ö × Ø ÕÙ Ø × ÓÒ a Ö Ñ × Ö ×
ÓÒ b
ÍÒ Ô Ð Ö ¸ ÒÓØ ÓÑÓ (T ) : B −→ {a, b}∗ × Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó
ÙÒ Ö ÓÐ Ø ÕÙ Ø Ó ÓÒ ×Ù× Ö Ñ × ÞÕÙ Ö × Ò a Ý ×Ù× Ö Ñ × Ö × Ò bº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
Ô Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¾
(T ) = aaaabbabbaabbbabab
× Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ ¬Ò ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ÙÒ Ô Ð Ö º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ¹
Ö¸ ¬Ò ÑÓ× (∅) = º È Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÒÓ Ú Ó¸ Ò ×Ù Ú Ö× ÓÒ ÜØ Ò ¸ T =<
Ä(T ), Ö Þ(T ), Ê(T ) >, (< Ä(T ), Ö Þ(T ), Ê(T ) >= a (Ä(T ))b (Ê(T ))º × Ô٠׸
× D × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ × Ð × Ô Ð Ö × ¸ ÒØÓÒ ×
D = aDbD ∪
Proposici´n 4.10
o Ë D ÐÐÒ Ù ØÓ × Ð × Ô Ð Ö × ¸ ÒØÓÒ ×
Db = L
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ó Ó(T ) = (T )bº
Demostraci´n
o
D = aDbD ∪ ÓÒ Ø Ò ÑÓ× Ð Ù ÓÒ ÓÒ b =⇒
Db = (aDbD ∪ )b =⇒
Db = a Db Db ∪b × ÙÒ ´ º¿ µ
L L L
×Ø ÑÓ× Ò Ô ÓÖÑÙÐ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ò ØÓÖ Ó Ù ÒØ × ÜÔÖ ¹
× ÓÒ × ÕÙ ÙØ Ð Ò n Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó× Ý n Ô Ö ÒØ × × Ö Ó× ×Ø Ò Ð Ò × ÈÓÖ
ÑÔÐÓ¸ ((()())())¸ × ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ò ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ()(((()()))())) ÒÓ ÐÓ × ¹ ÐØ
ÙÒ Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó¹º
Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ×Ø ÔÓÖ Ð ÒØ ÔÐ Ö× ÐÓÒ ØÙ 2nº Ò ØÓ¸
× ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö Ø Ö a ÓÑÓ Ð Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó Ý Ð b ÓÑÓ Ð Ö Ó¸ ÙÒ
ÔÐ Ö Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÓÒ Ô Ö ÒØ × × Ò ÓÖÑ º
4.8.1 N´meros de Catalan
u
ÓÖ Ö ØÓÑ ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ö Ð ÒØ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò n−1
ÒÓ Ó׺ ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö ÓÐ × × ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö × ÄÙ × Û Þ ÐÓÒ ØÙ 2n + 1 Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö ×
ÐÓÒ ØÙ 2nº

353. 4.8. Enumeraci´n y c´digos de ´rboles
o o a 327
Proposici´n 4.11
o Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ö ÒØ × ÓÒ n ÒÓ Ó× ×
Cn =
1 2n
n+1 n
. ´ º ¾µ
ÓÒ Cn × ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð n¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ Ø Ð Ò¸ Ò ÓÒÓÖ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó
ÐÙ Ò Ø Ð Òº
Demostraci´n
o Ü ×Ø ÙÒ ÑÓ×ØÖ ÓÒ Ð × × Ò ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ Ù ÓÒ
Ö ÙÖÖ ÒØ
1 n=0
Cn = n−1
´ º ¿µ
i=0 CiCn−i−1 n>0 .
× Ö¸ ÓÐÓ ÑÓ× Ð ÒÓ Ó Ö Þ Ý ÓÒØ ÑÓ× Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ù Ö ÓÐ × ÞÕÙ Ö Ó× Ý Ð ÒÙÑ ÖÓ
×Ù Ö ÓÐ × Ö Ó׺ Ð Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó ÔÙ ÓÑ ÒÞ Ö × Ð Ú Ó ×Ø Ð ÕÙ Ø Ò
n−1 ÒÓ Ó׺ Ë ÙÒ ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó Ø Ò i ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó Ø Ò n−i−1 ÒÓ Ó׺
ÈÓÖ Ð Ö Ð Ð ÔÖÓ Ù ØÓ¸ Ø Ò ÑÓ× CiCn−i−1 Ö ÓÐ × ÔÓ× Ð × ÙÝÓ ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó Ø Ò
i ÒÓ Ó׺ Ò ÐÙ Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ¸ ÒÙ ×ØÖ ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×Ø Ö ×
Ò ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÔÐ ÒØ ÔÓÖ ÃÖ Ö Ý ËØ Ò×ÓÒ ½¾ º
ÙÖ º¿¼ Ñ ÒÓ Ø Ð Ò Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¾
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ö ÓÐ × m¹Ö Ó× Ý Ò Ö Ó× × ÒÝ Ø Ú ´Ú Ö
Ü º º½ ´Ô Ò ¾ µµ¸ ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö ÓÐ × n ÒÓ Ó× × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒØ Ö Ð
ÒÙÑ ÖÓ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× n ÒÓ Ó׺ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö ×
ÄÙ × Û Þ ÐÓÒ ØÙ 2n + 1¸ ٠и ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼¸ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒØ Ö Ð
ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö × ÐÓÒ ØÙ 2nº
Ü ×Ø ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ö ¬ ÙÒ Ô Ð Ö ´Ó ÄÙ × Û Þµ ÒÓѹ
Ò Ñ ÒÓ ØÐÒº ÙÒ Ô Ð Ö w = w1w2 . . . w2n+1 ∈ L ÍÒ Ñ ÒÓ
Ø Ð Ò × ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÒ × Ù Ò ÔÙÒØÓ× Ò Ð ÔÐ ÒÓ
x = xi−1 + 1 × wi = a
P(w) = p = (x, y) | ∀wi ∈ w1 w2 . . . w2n+1 ∈ L, y = i Ý ´ º µ
x = xi−1 − 1 × wi = b
Ð Ñ ÒÓ Ø Ð Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ó Ó Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¾ × ÑÙ ×ØÖ Ò
Ð ¬ ÙÖ º¿¼º
Ë ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ |u|a ≥ |u|b Ô Ö ØÓ Ó u ÔÖ ¬ Ó ÔÖÓÔ Ó w ∈ L¸ ×ØÓ ÑÔÐ
ÕÙ ØÓ Ó Ñ ÒÓ Ø Ð Ò Ñ × ØÖ ×Ô × Ö Ð x ÒØ × Ð ¬Ò Ð Ð Ô Ð Ö º ÓÒØ Ö
Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö × ÐÓÒ ØÙ 2n × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÒÓ×
Ø Ð Ò Ò Ö Ð × ÕÙ ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö× ÓÒ n a × Ý n b × Ø Ð ÕÙ ÒÙÒ ÖÙ Ò Ð Ò Ú Ð xº

354. 328 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × Ø Ð Ò¸ ÕÙ ÖÙ Ò Ó ÒÓ Ð x¸ ×Ø Ó
ÔÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö × ÕÙ × ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö ÓÒ n a × Ý n b ׺ ×Ø ÓÒØ Ó ÔÙ
Ú ×Ù Ð Þ Ö× Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ¬ ÙÖ
1 2 3 4 . . . 2n
a1 a2 . . . an
× Ö¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÑ Ò ÓÒ × 2n Ð × ÒÙÑ Ö × Ò n a × Ð ÒØ
b × ×ÓÒ Ð × Ð × Ö ×Ø ÒØ ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ 2n × Ð ØÓØ Ð
n Ñ ÒÓ×
Ø Ð Ò ÔÓ× Ð × ÕÙ ÔÙ ÓÒ ÓÖÑ ÙÒ Ô Ð Ö ÓÑÔÙ ×Ø ÔÓÖ Ð Ð ØÓ {a, b}∗ º
×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö
Cn =
2n
n
− ÒØ Ñ ÒÓ× ÕÙ ÖÙÞ Ò Ð x ´º µ
Ê ÕÙ Ö ÑÓ׸ Ô٠׸ ÓÒØ Ö Ð ÒØ Ñ ÒÓ× ÕÙ ÖÙÞ Ò Ð x Ý ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò
Ò Ð x¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ô Ð Ö w ∈ D | |w|a = |w|bº
/ Ë
P = {(0, 0), (1, y1), . . . , (2n − 1, y2n−1), (2n, 0)} ,
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ñ ÒÓ Ø Ð Ò ÕÙ ÖÙÞ Ð x ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ ÙÒ Ô Ð Ö w ∈ Dº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ ÒÓ
/ ØÐÒ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ô Ð Ö aabbbaabbaab ∈ D¸ /
Ë p = (x , −1) ∈ P Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÙÒØÓ P ÔÓÖ Ó Ð x¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ×
× ÓÑÔÓÒ Ö
P(w) = P(uv) = P(u) ∪ P(v) = {(0, 0), (1, y1), . . . , (x , −1)} ∪ (P(w) − P(u))
È Ö ØÓ Ó P(w) = uv, w ∈ D, u ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÔÖ ¬ Ó w ÒØÖ {(0, 0), . . . , (x , −1)} ×
/
Ö¸ Ð ÔÖ ¬ Ó ×Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÙÒØÓ ÕÙ ×Ø ÔÓÖ Ó Ð xº ¬Ò ÑÓ× Ð Ñ ÒÓ
× Ù ÒØ
P (w) = P (u) ∪ (P(w) − P (u)) ;
u × Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ u × Ö¸ Ð Ô Ð Ö ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ñ Ö ØÓ × Ð × Ð ØÖ ×
a ÔÓÖ b Ý ØÓ × Ð × Ð ØÖ × b ÔÓÖ aº P (u) × ¬Ò ÓÑÓ
P (w) = {(−2 − x, y) ∈ P(u) | 1 ≤ x ≤ x − 1, (x, y) ∈ P(u)
ÈÖ Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ aabbbaabbaab ∈ D × Ô ÖØ ÓÒ
/ ÒØÓÒ × ÓÑÓ
bbaaa.aabbaab Ý Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ñ ÒÓ ØÐÒ

355. 4.8. Enumeraci´n y c´digos de ´rboles
o o a 329
ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ¸ P (w) = P (uv) | u¸ ÕÙ × Ð ÔÖ ¬ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ÒÓ
Ø Ð Ò P(uv) ×Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÙÒØÓ Ó Ð x¸ ÔÙ × Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑÓ u
×ÔÐ Þ Ó 2 ÙÒ × ÔÓÖ Ó Ð xº
Ä Ö Ð ÓÒ P(w) −→ P (w) | ∀w ∈ D × ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ý Ø Ú º ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ¸
/
∀P(w1), P(w2), P(w1) = P(w2) =⇒ P (w1) = P (w2) Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ò ÙÒ º ÄÓ Ñ ×ÑÓ
×Ù ∀P (w1), P (w2), P (w1) = P (w2) =⇒ P(w1) = P(w2)º
Ê ØÓÑ Ò Ó ´ º µ¸ ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÒÓ× ÕÙ ÖÙÞ Ò Ð x × ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÓÒØ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÒÓ× ÕÙ Ô ÖØ Ò × (0, −2) Ý ÖÖ Ò (0, 2n)º Ù ÐÕÙ Ö
Ñ ÒÓ ×Ø ÓÖÑ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö n + 1 Ð ØÖ × a Ý n − 1 Ð ØÖ × bº È ÖØ Ò Ó ×
−2¸ × Ö ÕÙ Ö Ò 2 Ð ØÖ × a Ñ × ÕÙ Ð Ð ØÖ bº × Ô٠׸ Ü ×Ø Ò n+1 2n
Ñ ÒÓ× ÕÙ ÖÙÞ Ò
Ð xº ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× Ò ´ º µ
2n 2n 1 2n
Cn = − =
n n+1 n+1 n
ÄÓ× ÒÙÑ ÖÓ× Ø Ð Ò Ø Ò Ò ÙÒ ÑÔÓÖØ Ò ØÖ × Ò ÒØ Ð Ò Ð ÓÑ Ò ØÓÖ ¸ ÔÙ ×
Ü ×Ø Ò ÑÙ × × ØÙ ÓÒ × ÓÒØ Ó ÒØ ¬ × Ñ ÒØ ×Ø Ð × ÒÙÑ ÖÓº ÒØÖ
Ð ÙÒ × Ð × ÔÐ ÓÒ × Ø Ò ÑÓ×
¯ Ä ÒØ Ñ Ò Ö × Ò ÕÙ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö ÓÒÚ ÜÓ n + 2 Ð Ó× ÔÙ
× Ö ÓÖØ Ó Ò n ØÖ Ò ÙÐÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ý 1 6 = 5 Ö ÒØ × Ñ Ò Ö × ÓÖØ Ö
4 3
ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ׺
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ò Ö × Ò ÕÙ n ÒÙÑ ÖÓ× ÔÙ Ò × Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó× ×Ó Ø Ú Ñ ÒØ
ÓÒ 2n Ô Ö ÒØ × ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ý 1 6 = 5º
4 3
(n1(n2(n3n4))) (n1((n2n3)n4)) ((n1n2)(n3n4)) ((n1(n2n3))n4) (((n1n2)n3)n4)
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÜÔÖ × ÓÒ × Ô Ö ÒØ Þ × ÓÒ n Ô Ö ÒØ × × ÞÕÙ Ö Ó× Ý n Ô Ö ÒØ × ×
Ö Ó× ÕÙ ×Ø Ò Ð Ò ×º
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× n ÒÓ Ó׺
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö ÓÐ × n + 1 ÒÓ Ó׺

356. 330 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÙÖ º¿½ Ö ÒØ × Ñ Ò Ö × ÓÖØ Ö ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ Ò 3 ØÖ Ò ÙÐÓ×
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÒÓ× ÐÓÒ ØÙ 2n Ò ÙÒ Ñ ÐÐ n × n ÕÙ ×Ø Ò ÔÓÖ Ó
Ð ÓÒ Ðº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ 4 × 4¸ Ý 1 8 = 14 Ñ ÒÓ×
5 4 Ö ÒØ ×
ÕÙ Ô × Ò Ó Ð ÓÒ Ðº
ÙÖ º¿¾ Ö ÒØ × Ñ ÒÓ× Ó Ð ÓÒ Ð Ò ÙÒ Ñ ÐÐ 4×4
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö × ÐÓÒ ØÙ 2n Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð Ö × ÄÙ × Û Þ
ÐÓÒ ØÙ 2n + 1º
¯ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ ÒÓ× Ò Ð ÔÐ ÒÓ¸ ÓÒ ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ 2n ÔÙÒØÓ׸ ÕÙ Ô ÖØ Ò ×
(0, 0) Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ò (2n, 0) ÕÙ ÒÓ ÖÙÞ Ò Ð xº
4.9 ´
Arboles binarios de b´squeda
u
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ 1300 Ñ ÐÐÓÒ × Ô Ö×ÓÒ × ×Ø Ò ×Ù× Ö Ø × Ð × ÖÚ Ó Ø Ð ÓÒ Óº Ó Ð
ÒÓÑ Ö ÙÒ ×Ù × Ö ÔØÓÖ¸ ÓÑÓ Ú Ö Ù Ö ×Ù ÒÙÑ ÖÓ Ø Ð ÓÒ Ó Ë ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× ÕÙ ¹
ÐÐ × 1300 Ñ ÐÐÓÒ × Ô Ö×ÓÒ × ×Ø Ò ÓÖ Ò Ó× Ð Ø Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ö ÚÓ¸ ÒØÓÒ × Ð
Ù×ÕÙ Ò Ö ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÐÙÐ Ö Ò Ë ÙÒÒ Ò ¹
ÙÒ ÏÙ Ò ÐÓ ×ÙÑÓ Ð 1300000000 = 31 ÒØ ÒØÓ׺
Ä Ù×ÕÙ Ò Ö Ü ÕÙ Ð × Ù Ò ØÓ× ×Ø ÓÖ Ò Ý ×ØÓ × Ð
Ö ÒØ Þ Ö¸ ÔÙ × × ×Ô Ö Ö ÕÙ Ñ ÒÙ Ó Ô Ö Þ Ò ÒÙ ÚÓ× ×Ù × Ö ÔØÓÖ × Ý × Ô Ö Þ¹
Ò ÓØÖÓ׺ ØÙ Ð Þ Ö Ò Ð Ò ÙÒ × Ù Ò ÓÖ Ò ÒÙÑ ÖÓ× Ø Ð ÓÒ Ó× × Ö ÑÙÝ
Ò ¬ ÒØ ¸ ÔÙ × Ð Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ Ò ÙÒ × Ù Ò ÓÖ Ò × O(n)º
ÓÖØÙÒ Ñ ÒØ ¸ × Ò ÒÓ ÔÓ ÑÓ× Ñ ÒØ Ò Ö × Ò Ó×Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÙÒ × Ù Ò
ÓÖ Ò ¸ × ÔÓ ÑÓ× × ÑÙÐ ÖÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ ÑÙÐ Ð Ù×ÕÙ ÒÖ
Ý ÕÙ ÒÓ× Ó Ö Þ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ý Ö Ô Þ Ô Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý
×ÙÔÖ × ÓÒº

357. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 331
´
Definici´n 4.9 (Arbol binario de b´ squeda)
o u Ë ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T =< Ä(T ), Ö Þ(T ), Ê(T ) >¸
ÒØÓÒ ×¸ T × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ´ µ × Ý ×ÓÐÓ ×
∀ni ∈ Ä(T ) =⇒ Ã (ni ) < Ã (Ö Þ(T )) Ý
T∈ ⇐⇒
∀ni ∈ Ê(T ) =⇒ Ã (ni ) > Ã (Ö Þ(T ))
×Ø Ö Ð × ÓÒÓ ÓÑÓ Ð ÔÖÓÔ Ó ÓÒ ÓÒ ÓÖ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
Ù×ÕÙ º
È Ö ×Ñ ÒÙ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð × ÙÖ×Ó¸ Ò ÑÙ Ó× ÓÒØ ÜØÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× ÔÖ
ÒÓØ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ º
490
51
125
104 371
72 310 439
71 89 218 330 406 460
65 82 192 296 315 345 393
55 158 207 289 303 368 391 403
135
ÙÖ º¿¿ ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ
Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó ÒØ Ò Ö Ð Ú×
Ñ ÒÓÖ ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Ó Ò Ø Ò Ö Ð Ú × Ñ ÝÓÖ ×º
Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¿¿ × Ø × Ð ¬Ò ÓÒº
Ð ÓÖ Ò × ×Ø Ù Ò Ó × Ó × ÖÚ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Óº È Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º¿¿¸
Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó × 51 55 65 71 72 82 89 104 125 135 158 192 207 218 289
296 303 310 315 330 345 368 371 391 393 403 406 439 460 490 º ×Ø ÓÖ Ò
× Ù Ð Ð ¬Ò ÓÒ Ú × Ø ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÞÕÙ Ö ¸ ÐÓ× Ù Ð × ×ÓÒ Ñ ÒÓÖ × Ð
Ö Þ¸ ÐÙ Ó Ú × Ø Ð Ö Þ Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ú × Ø ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö ¸ ÕÙ ×ÓÒ Ñ ÝÓÖ × ÕÙ
Ð Ö Þº
Ä ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ó ¬ ÖÐÓ ÓÒ Ð
Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ó ×Ù¬ Óº × Ö¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ö
×Ù Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Óº
Ë n0, n1, . . . , n|T|−1 Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ÙÒ T =< Ä(T ), Ö Þ(T ), Ê(T ) >º Ð Ö ¹
ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ Ö Þ(T ) = n0 Ý Ö Þ(Ä(T )) = n1º Ä ÔÖÓÔ
ÓÖ Ò ÒÓ× Ö ÒØ Þ ÕÙ Ö Þ(Ê(T )) × Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ÕÙ ×

358. 332 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ö Þ(T )º × Ô٠׸ ÔÐ ÑÓ× ×Ø Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× ÚÓ Ý Ó Ø Ò ÑÓ×
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÒØ
¿¿¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¾ ¿¿¾
template <class Node> inline
Node * preorder_to_binary_search_tree(DynArray<typename Node::key_type> & preorder,
const int & l, const int & r)
{
if (l > r)
return Node::NullPtr;
Node * root = new Node(preorder[l]);
if (l == r)
return root;
Ë first greater Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ö Þ ¿¿¾
LLINK(root) = preorder_to_binary_search_tree<Node>(preorder, l + 1, first_greater - 1);
RLINK(root) = preorder_to_binary_search_tree<Node>(preorder, first_greater, r);
return root;
}
Í× × DynArray ¾º
right root × Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó¸ ÞÕÙ Ö Ö ¸ ÕÙ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ö Þ
´preorder[inf]µ ×Ø ÒÓ Ó × Ð Ö Þ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Óº È Ö ÐÓ Ð Þ ÖÐÓ¸ Ö ÓÖÖ ÑÓ×
Ð Ò ÐÑ ÒØ Ð ÖÖ ÐÓ
¿¿¾ Ë first greater Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ö Þ ¿¿¾ ≡ ´¿¿¾ µ
int first_greater = l + 1;
while ( (first_greater <= r) and (preorder[first_greater] < preorder[l]))
++first_greater;
×Ø ÒÓ Ó Ô ÖØ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ó× Ô ÖØ ×º Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÖ Ò ÒØÖ l + 1
Ý right root - 1¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Óº Ä × ÙÒ
Ô ÖØ ¸ ÓÑÔÖ Ò ÒØÖ right root Ý r¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ð ×Ù Ö ÓÐ
Ö Óº
4.9.1 B´squeda en un ABB
u
ÓÒ× Ö ÑÓ× T ∈ Ý ÙÒ Ð Ú k Ù× Ö× Ò Ð Ö Óк È Ö ÖÐÓ¸ Ò×Ô ÓÒ ¹
ÑÓ× Ã (T )¸ × k = Ã (T )¸ ÒØÓÒ × k × Ó Ò ÓÒØÖ Óº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÓÑÔ Ö ¹
ÑÓ× k < Ã (T ) × Ð ÔÖ Ó × ÖØÓ¸ ÒØÓÒ × Ù× ÑÓ× Ò Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ù× ÑÓ× Ò Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Óº Ë ÙÖ ÒØ ×Ø ÔÖÓ ×Ó ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ×
ÓÒ ÙÒ ×Ù Ö ÓÐ Ú Ó¸ ÒØÓÒ × ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ k ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ ÒØÖÓ Ð Ö Óк
Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ­ ×Ø ÔÖÓ ×Ó
¿¿¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿¾ ¿¿¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * searchInBinTree(Node * root, const typename Node::key_type & key)
{
while (root != Node::NullPtr)
if (Compare () (key, KEY(root))) // ¿Est´ en rama izquierda?
a
root = static_cast<Node*>(LLINK(root)); // baje a rama izquierda
else if (Compare() (KEY(root), key)) // ¿Est´ en rama derecha?
a
root = static_cast<Node*>(RLINK(root)); // baje a rama derecha
else
break; // se encontr´!
o

359. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 333
return root;
}
¬Ò ×
searchInBinTree¸ Ù× Ò ÙÒ ¿¿ º
×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ù× Ò Ð Ö ÓÐ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ú ÐÓÖ Ð Ú key Ý Ö ØÓÖÒ ×Ù Ö ÓÒ
× Ð Ð Ú × Ò ÓÒØÖÓ Ó Node::NullPtr ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
searchInBinTree() × ÙØ Ð Þ Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ó× Ò º
Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ò Ù Ò ÕÙ Ð Ö Ó ×Ø Ð Ö Óк Ë ×Ø
Ø Ò ×Ø Ö ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÐØÙÖ Ø Ò Ð |T | º ×Ø ÑÓ Ó¸ × Ö ÒØ Þ ÑÓ×
ÕÙ Ð Ö ÓÐ × ÕÙ Ð Ö Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ù×ÕÙ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ö Ñ ×
Ð |T | ÓÑÔ Ö ÓÒ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ Ð × ÖÚ Ó Ð Ù×ÕÙ ÒÖ º
Ð ØÖÙ Ó ×¸ Ô٠׸ ÐÓ Ö Ö ÕÙ Ð × Ò× Ö ÓÒ × Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ × Ð Ö ÓÐ ÐÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ò
ÕÙ Ð Ö Óº
4.9.1.1 B´ squeda del menor y del mayor elemento de un ABB
u
Ë ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÙÒ ÑÙ ×ØÖ Ð × Ù Ò ÓÖ Ò º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸
Ð Ñ ÒÓÖ Ý Ð Ñ ÝÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×Ø Ö Ò Ó× ÔÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ý
ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó¸ ÐÓ× Ù Ð × × ÒØ ¬ Ò Ô ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ñ Ò Ö
Ò Ö Ð¸ Ò Ð × Ù ÒØ ¬ ÙÖ
T
L(T ) R(T )
M´nimo −→
ı ←− M´ximo
a
ÈÖ T∈ ¸ Ð Ñ Ò ÑÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð
Ñ Ü ÑÓ Ò Ð Ñ × Ð Ö º ×Ø ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸ × Ù Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ð ÓÖ ØÑÓ×
¿¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿¾ ¿¿
template <class Node>
Node * find_min(Node * root)
{
while (LLINK(root) != Node::NullPtr)
root = static_cast<Node*>(LLINK(root));
return root;
}
template <class Node>
Node * find_max(Node * root)
{
while (RLINK(root) != Node::NullPtr)
root = static_cast<Node*>(RLINK(root));
return root;
}
Ñ × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ö Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ö Þ ÙÒ Ý Ö ØÓÖÒ Ò Ð Ñ Ò ÑÓ Ý Ñ Ü ÑÓ¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ë Ð ×Ø ÕÙ Ð Ö Ó¸ ÒØÓÒ × find min() Ý find max() Ø Ò Ò ÓÑÔÐ
O(Ð n)º

360. 334 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
4.9.1.2 B´ squeda del predecesor y sucesor
u
ÓT∈ ¸ Ù Ð × Ð ×Ù ×ÓÖ Ã (T )? ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÙÒ ¸
× ÑÓ× ÕÙ ×Ø ×Ù ×ÓÖ¸ × Ü ×Ø ¸ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ð ÖÑ
Ö Ý Ð ÓÒ ÓÒ Ü ×Ø Ò ×¸ Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ñ Ö º ÐÓ
ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ù Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÒØ
¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿¿ ¿¿
template <class Node> inline
Node * find_successor(Node * p, Node *& pp)
{
pp = p;
p = static_cast<Node*>(RLINK(p));
while (LLINK(p) != Node::NullPtr)
{
pp = p;
p = static_cast<Node*>(LLINK(p));
}
return p;
}
find successor() Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ×Ù ×ÓÖ p Ý ×Ù Ô Ö Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ppº Ä
ÐÐ Ñ Ö Ð Þ Ö× ×Ó Ö p Ý ×Ù Ô Ö º
ÄÓ Ð ÒØ find successor() × ÕÙ ÒÓ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÖ ÓÑÔ Ö ÓÒº
Ä ØÓÔÓÐÓ Ð Ö ÓÐ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö ×ÙÐØ Óº
T
L(T ) R(T )
←−Predecesor Sucesor−→
ÙÖ º¿ Í ÓÒ × Ò Ö Ð × Ð ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ý ×Ù ×ÓÖ Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ T
Ä Ù×ÕÙ Ð ÔÖ ×ÓÖ × Ò ÐÓ º
4.9.1.3 B´ squedas especiales sobre un ABB
u
Ò Ð ÙÒ × ÒÓ Ø Ò Ü Ô ÓÒ Ð × Ó × ÓÒ × × Ö ÕÙ Ö Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ¸ Ò ÐÙ Ö
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ Ð Ð Ú ¸ Ð ÙÒ ÓÖÑ Ù Ö ÓØÖ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÐÐ º Ò ×Ø
× ØÙ ÓÒ Ò Ò Ó× Ø ÔÓ× Ù×ÕÙ Ð Ð Ô Ö ÙÒ Ð Ú Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ö ÓÐ
Ý Ð Ð ÕÙ × Ö Ð Ô Ö ÙÒ Ð Ú ÒÓ Ô ÖØ Ò ÒØ º
Ä ÔÖ Ñ Ö Ù×ÕÙ × ÜÔÖ × Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿ ¿¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * search_parent(Node * root, const typename Node::key_type & key,
Node *& parent)
{
while (true)
if (Compare () (key, KEY(root)))

361. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 335
{
if (LLINK(root) == Node::NullPtr)
return root;
parent = root;
root = static_cast<Node*>(LLINK(root));
}
else if (Compare () (KEY(root), key))
{
if (RLINK(root) == Node::NullPtr)
return root;
parent = root;
root = static_cast<Node*>(RLINK(root));
}
else
return root;
}
search parent() Ù× Ð Ð Ú key Ò Ð ÙÝ Ö Þ × rootº Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ Ð
ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒØ Ò key Ý ×Ù ÒÓ Ó Ô Ö × Ù Ö Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÓÖ Ö Ö Ò parent¸
Ð ÙÐ Ò Ð Þ Ö× Ò Ð Ô Ö Ð Ö Þº
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÑÔÐÓ
50
25 80
10 30 90
Ð Ö ÓÐ ÓÒØ Ò Ð × Ð Ú × 10, 25, 30, 50, 80, 90 ÒØÖ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò¬Ò ØÓ ÔÓ× Ð × Ú ¹
ÐÓÖ ×º Ë Ð Ö ÓÐ Ö × Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ × Ö¸ ×ÓÐÓ ÔÓÖ ×Ù× ÔÙÒØ ×¸ Ò ÓÒ ÓÐÓ Ö
ÒÙ Ú × Ð Ú × º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × Ú Ò Ò Ð Ö ÓÐ × Ù ÒØ
50
25 80
10 30 [51..79] 90
[−∞..9] [11..24] [26..29] [31..49] [81..89] [91..∞]
Ð ÙÒ Ó ×Ô Ó ½ ÔÓÖ ÓÒ ÔÙ Ö Ö Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÙÒ × ØÖ Ú × ×Ù×
ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ׺ Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ ÕÙ Ð Ú Ó ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ ×
Ó ÙÔ Ó × Ñ ÒØ ÔÓÖ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓº
ÄÙ Ó ÜÔÖ × Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÕÙ Ö × ÒØ Ó Ô Ò× Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ÙÒ Ö Ò Ó
ÕÙ ÒÓ ×Ø Ò Ð Ö Óк Ç × ¸ Ù× Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÔÓÖ ÓÒ ÔÙ Ö Ö ÙÒ ºÌÐ
Ù×ÕÙ Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ
¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿ ¿¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * search_rank_parent(Node * root, const typename Node::key_type & key)
½
Ò ×Ø Ô ÖÖ Ó Ð × ÒÓ ÓÒ × ×Ô Ó ¸ Ò ØÙÖ Ð Ý × Ó × ÒÙÒ Ò Ò Ð × ÒØ Ó Ð Ò
× ÑÓ ÖÒ º Ë Ù× Ò ÓÑ ÐÐ × Ý Ò × × Ø Ð Ó ÔÓÖÕÙ Ø Ð × × ÕÙ ¸ × Ò Ø Ñ Ò ×ÓÒ ×ØÖ Ø ×
Ò ÒÙ ×ØÖÓ ÑÙÒ Ó ÓØ ÒÓ¸ ×ÓÒ ÙÒ Ñ × ×ØÖ Ø × Ò Ð × ÙÖ×Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ ×
Ñ Ü Ñ Ù Ò Ó Ð ÓÒ ÔØÓ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ×¸ ÓÑÓ Ø Ð¸ ÔÙÖ ×ØÖ ÓÒº

362. 336 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÙÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÔÙ Ó × ÖÚ Ö× Ò Ð Ð ÓØ º
Ä ÖÙØ Ò Ù× Ð Ð Ú key Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ root Ý Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ÕÙ × Ö
Ô Ö ÙÒ Ð Ú keyº
4.9.2 El TAD BinTree<Key>
ÒØ × ÒØÖÓ Ù Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò× Ö ÓÒ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ ÒØÖÓ Ù Ö
ÒÙ ×ØÖÓ Ì × ÕÙ ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ º Ì Ð Ì × ×Ô ¬
Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÒÌÖ ºÀ ¿¿ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð × Ù ÒØ
¿¿ ØÔÐ ÒÌÖ ºÀ ¿¿ ≡
template <template <typename> class NodeType, typename Key, class Compare>
class GenBinTree
{
¬Ò ÓÒ × ÔÙ Ð × BinTree<Key> ¿¿
Ñ Ñ ÖÓ× ØÓ BinTree<Key> ¿¿
Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿
};
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class BinTree : public GenBinTree<BinNode, Key, Compare>
{ /* empty */ };
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class BinTreeVtl : public GenBinTree<BinNodeVtl, Key, Compare>
{ /* empty */ };
Í× × BinNode ¾ ¼ Ò BinNodeVtl ¾¼º
ØÔÐ ÒÌÖ ºÀ ¿¿ ¬Ò ØÖ × Ð × ×
¯ GenBinTree<NodeType, Key, Compare> ÕÙ × Ð Ð × Ò Ö ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ×½ Ñ ÒØ ÙÒ º ×Ø Ð × ×ÓÐÓ
×Ø ×Ø Ò ÑÔÐ ÒØ Ö Ý ÒÓ × Ù×Ó Ð Ð ÒØ º
¯ BinTree<Key> ÕÙ × ÙÒ Ð × Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ Ò¹
Ø Ð ØÖ Ú × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÒÓ Ó× Ò Ö Ó× ÓÒ Ð Ú × Ø ÔÓ Keyº
×Ø Ð × × ÑÔÐ ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ ÔÙ Ð GenBinTreeº ×
Ô٠׸ ×Ù ÒØ Ö Þ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÕÙ GenBinTreeº
¯ BinTreeVtl<Key> ÕÙ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð BinTree<Key> × ÐÚÓ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓ× Ò
×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØ٠Р׺
ÈÖ Ð Ø Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ø ÔÓ× ×ØÖ ØÓ× × Ó× Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ù×ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ö
¿¿ Ñ Ñ ÖÓ× ØÓ BinTree<Key> ¿¿ ≡ ´¿¿ µ
Node headNode;
Node * head;
Node *& root;
headNode Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÒÓ Ó Ö ¸ head × Ð Ö ÓÒ Ð Ö Ý root × ÙÒ
Ö ÖÒ Ð Ð ÞÓ Ö Ó headº Ò ÓØÖÓ× Ø ÖÑ ÒÓ׸ RLINK(head) == rootº
½
Ê ÓÖ Ö Ü ½º¿ ´Ô Ò ½ µº

363. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 337
Ä × ÔÖ Ñ Ø Ú × GenBinTree Ñ Ò ÔÙÐ Ò ÒÓ Ó× Ò Ö Ó× ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ × ÜÔÓÖØ
Ð Ù×Ù Ö Ó Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¿ ¬Ò ÓÒ × ÔÙ Ð × BinTree<Key> ¿¿ ≡ ´¿¿ µ
typedef NodeType<Key> Node;
Ð Ø ÔÓ × Ö BinTree<Key>::Node Ô Ö ÒÓ Ó× ÓÑÙÒ × Ó BinTreeVtl<Key>::Node Ô Ö
ÒÓ Ó× ÓÒ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØ٠Р׺
GenBinTree esta clase
esta destinada solo a implantar
no es de uso del cliente
class NodeType, class Key, class Compare:
GenBinTree
-headNode: Node
-head: Node *
-root: Node *
-<<GenBinTree(const GenBinTree<NodeType,
Key>& )>> GenBinTree()
-<<GenBinTree & operator =(const GenBinTree &)>> operator =()
-remove(p:Node*,pp:Node*)
+GenBinTree()
+search(key:const Key&): Node *
+~GenBinTree(): virtual
+getRoot(): Node*&
+verifyBin(): bool
+reset(): void
+remove(key:const Key&): Node*
Key:
BinTree<Key>
+BinTree() Key:
BinTreeVtl
+BinTreeVtl()
ÙÖ º¿ Ö Ñ ÍÅÄ Ð × Ð × × ÓÒ ÖÒ ÒØ × BinTree<Key>
Ä Ù×ÕÙ × Ö Ñ Ø ÒÚÓ Ö searchInBinTree()
¿¿ Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿ ≡ ´¿¿ µ ¿¿
Node * search(const Key & key)
{
return searchInBinTree <Node, Compare>(root, key);
}
Í× × searchInBinTree ¿¿¾ º
ÍÒ Ó × ÖÚ ÓÖ × Ò Ð¸ ×Ó Ö ØÓ Ó Ô Ö ÔÓ Ö Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ Ð
Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ × Ð ÓÒ×ÙÐØ Ð Ö Þ
¿¿ Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿ +≡ ´¿¿ µ ¿¿ ¿¿
Node*& getRoot() { return root; }
4.9.3 Inserci´n en un ABB
o
Ä Ò× Ö ÓÒ Ó Ð Ö Ñ ÒØÓ Ò ØÙÖ Ð ÙÒ Ö ÓÐ × Ö¸ ÔÓÖ Ð × ÔÙÒØ × Ù
Ó ×º Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö p¸ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ Ô Ö ×Ù×Ø ØÙ ÖÐÓ

364. 338 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÔÓÖ p Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ÒÓ × Ú ÓÐ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÙÒ º ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ
Ð × Ð Ú × ÒÓ × Ö Ô Ø Ò¸ ÓÒ ÓÒ ÕÙ × ÓÖ ÑÔÓÒ ÑÓ× Ð Ì BinTree<Key>¸
Ü ×Ø ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ Ô Ö ×Ù×Ø ØÙ Ö ÔÓÖ pº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ò× ÖØ Ö ÙÒ
ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒØ Ò Ú ÐÓÖ Ð Ú 27
23
23 15 47
15 47 10 31 59
10 31 59 27
´ µ ÒØ × 27 ´ µ ÄÙ Ó 27
РܹÒÓ Ó¹ ÜØ ÖÒÓ ¸ Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð 31¸ Ù ×Ù×Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÒÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÒ Ú ÐÓÖ
27¸ Р٠и ØÖ Ú × ×Ù× Ó× ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ׸ Ö Ó× Ö × Ò Ð Ö Óк Ä ÔÖ Ñ Ö
×Ø ÔÓÖ Ð Ð ÞÓ ÞÕÙ Ö Ó Ð 27 Ý ÔÙ Ð Ö Ö Ð Ú × ÒØÖ [24..26]¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
Ð × ÙÒ Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ð ÞÓ Ö Ó Ý ÔÓ Ö Ð Ö Ö Ð Ú × ÒØÖ [28..30]º
Ð Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ò ÕÙ Ô Ö ØÙ Ö ÙÒ Ò× Ö ÓÒ × Ñ Ò ×Ø Ö Ù× Ö
Ð ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ ×Ù ×Ø ØÙ Öº ÓÖ Ò¸ ØÓ× ÒÐ Þ Ö Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó¸ × Ö ¹
ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÕÙ × Ö Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö ¹ Ò Ð ÑÔÐÓ¸ ÙÒ
ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó ÓÒ Ð Ú 31¹º Ë Ò ×Ø ÓÒ ÔÙ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö× Ñ ÒØ Ð
ÖÙØ Ò search rank parent() Ñ Ò ÓÒ Ò Ü º º½º¿ ´Ô Ò ¿¿ µ¸ × ÔÖ Ö Ð ¸ ¹
ØÓ× Ð × ÑÔÐ ¸ Ñ ÑÓÖ Þ Ö ×Ø ÔÙÒØ ÖÓ Ö Ð Þ Ò Ó ÙÒ Ù×ÕÙ Ö ÙÖ× Ú Ý ÐÙ Ó
Ò× ÖØ Ò Ó Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Óº ×Ø × Ð Ò ÓÕÙ Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿ ¿¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * insert_in_binary_search_tree(Node *& root, Node * p)
{
if (root == Node::NullPtr)
return root = p;
if (Compare () (KEY(p), KEY(root))) // ¿p < root?
return insert_in_binary_search_tree <Node, Compare> // insertar en izquierdo
(static_cast<Node*&>(LLINK(root)), p);
else if (Compare () (KEY(root), KEY(p))) // ¿p > root?
return insert_in_binary_search_tree <Node, Compare> // insertar en derecho
(static_cast<Node*&>(RLINK(root)), p);
return Node::NullPtr; // clave repetida ==> no hay inserci´n
o
}
¬Ò ×
insert in binary search tree¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¿ Ò ¿ º
Ä ÖÙØ Ò Ò× ÖØ Ð ÒÓ Ó p Ò Ð ÓÒ Ö Þ root Ý Ö ØÓÖÒ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó
Ö ×ÙÐØ ÒØ Ò ×Ó ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ Ø Ò Ü ØÓ × Ö¸ × Ð Ð Ú ÓÒØ Ò Ò p ÒÓ
× Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óк ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÓ × Ô ÖÑ Ø Ò Ð Ú × ÙÔР׸ ×
Ö ØÓÖÒ Node::NullPtrº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ root × Ô × ÔÓÖ Ö Ö Ò ¸ Ô٠׸ Ò Ð ×Ó × Ð
Ö ÙÖ× ÓÒ¸ × ÑÓ ¬ Ð Ö Þº

365. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 339
Å ÒØ Ð ÒØ Ö ÓÖ ÖÙØ Ò Ò Ö ¸ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó insert() × Ñ Ö
Ù ×Ø ÓÒ ÓÖÑ
¿¿ Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿ +≡ ´¿¿ µ ¿¿ ¿½
Node * insert(Node *p)
{
return insert_in_binary_search_tree<Node, Compare>(root, p);
}
Í× × insert in binary search tree ¿¿ º
4.9.4 Partici´n de un ABB por clave (split)
o
Ò ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÙÒ Ö ÓÐ T ÓÒ × Ù Ò Ò¬ Ò Ö Si =< k1, k2, k3, . . . , kn > ×
Ô ÖØ ÓÒ × ÙÒ ÙÒ Ð Ú kx Ò Ó× Ö ÓÐ × T< Ý T> Ø Ð ÕÙ Si =< k1, k2, k3, . . . , > | <
∀ki ∈ T<, ki < kx Ý Si =< . . . , kn > | ∀ki ∈ T>, ki > kxº
>
Ä ÔÖ Ñ Ø Ú ÕÙ ÒÓ× Ö Ð Þ Ð Ô ÖØ ÓÒ × ÒÓÑ Ò split key rec(T, kx, T<, T>)
ÓÒ T × Ð Ö ÓÐ Ô ÖØ ÓÒ Ö¸ kx × Ð Ð Ú Ô ÖØ ÓÒ Ý T< Ý T> ×ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ ×
Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð Ô ÖØ ÓÒº
Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ð Ô ÖØ ÓÒ × × ÑÔÐ Ý × Ô ØÓÖ Þ Ò Ð Ö Ñ × Ù ÒØ
split key rec(T, k x , T < , T > )
split key rec(T, k x , T < , T > )
K(T )
K(T )
if k x > Ã (T )
split key rec(R(T), k x , R(T), T > )
L(T ) R(T )
L(T )
T< T>
T< T>
=⇒
´ µ Ë ØÙ ÓÒ Ò Ð ´ µ ÄÙ Ó split() ÒÖ Þ
ÄÐ Ñ ÑÓ× kx Ð Ð Ú Ô ÖØ ÓÒ Ý ×ÙÔÓÒ ÑÓ× kx > à (T )º Ò ×Ø ×Ó¸ ×
ØÙ ÙÒ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú split key rec(Ê(T ), kx, T<, T>) ×Ó Ö Ê(T )¸ Ð Ù Ð
ÖÖÓ Ó× Ö ÓÐ × T< Ý T> ÔÖÓ Ù ØÓ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ê(T ) ÓÒ kxº Ð Ö ×ÙÐØ Ó ¬Ò Ø ÚÓ ×
T< =< Ä(T ), T, Ä(T ) > ÓÒ Ä(T ) = T<º Ä ÓØÖ Ô ÖØ ÓÒ¸ T>¸ × Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐ
T> = T>º
Ë kx < Ã (T ) Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × × Ñ ØÖ Ñ ÒØ ÒØ Óº
Ð ×Ó × Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × Ð Ô ÖØ ÓÒ ×Ó Ö Ð Ö ÓÐ Ú Ó¸ Ð Ù Ð ÖÖÓ Ó×
Ö ÓÐ × Ú Ó׺
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ö × Ö ÓÑÔÖ Ò× Ð × Ò ¬ ÙÐØ ×
¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿ ¿ ½
# define SPLIT split_key_rec<Node, Compare>
template <class Node, class Compare> inline
bool split_key_rec(Node * root, const typename Node::key_type & key,
Node *& ts, Node *& tg)
{
if (root == Node::NullPtr)

366. 340 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
{ // key no se encuentra en arbol ==> split tendr´ ´xito
´ a e
ts = tg = Node::NullPtr;
return true;
}
if ( Compare() (key, KEY(root)) ) // ¿key < KEY(root)?
if (SPLIT(static_cast<Node*&>(LLINK(root)), key,
ts, static_cast<Node*&>(LLINK(root))))
{
tg = root;
return true;
}
else
return false;
if ( Compare() (KEY(root), key) ) // ¿key > KEY(root)?
if (SPLIT(static_cast<Node*&>(RLINK(root)), key,
static_cast<Node*&>(RLINK(root)), tg))
{
ts = root;
return true;
}
else
return false;
return false; // clave existe en arbol ==> se deja intacto
´
}
¬Ò ×
split key rec¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ½ Ò ¿ º
19
29 split key rec(29, 19, ...)
split key rec(13, 19, ...)
13 45
split key rec(25, 19, ...)
8 25 30 77
split key rec(20, 19, ...)
1 12 20 27 53 91
split key rec(15, 19, ...) 15 22
split key rec(18, 19, ...) 18
ÙÖ º¿ ÌÖ Þ Ó ÙÒ Ð Ò Ú × ÓÒ
Ø Ò Ù ØÖÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ׸ Ó×
split key rec() ÒØÖ Ý Ó× × Ð º ÄÓ×
ÒØÖ ×ÓÒ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ô ÖØ ÓÒ Ö root Ý Ð Ð Ú Ô ÖØ ÓÒ keyº ÄÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ×
× Ð ×ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × ts Ý tgº ×ÔÙ × Ð ÐÐ Ñ ¸ ts ÓÒØ Ò Ð Ð Ú × Ñ ÒÓÖ ×
ÕÙ key Ý tg ÓÒØ Ò Ð × Ñ ÝÓÖ × Ó Ù Ð ×º
Ë Ð Ð Ú ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óи ÒØÓÒ × split key rec() Ö ØÓÖÒ true Ô Ö
Ò Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ù Ô ÖØ ÓÒ Óº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ð Ö ÓÐ ÒØ ØÓ Ý × Ö ¹
ØÓÖÒ falseº
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ð Ô ÖØ ÓÒ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ Ð ØÖ Þ Ó ÙÒ Ð Ò Ú ×ÓÖ
× ÙÒ Ð Ð Ú Ô ÖØ ÓÒº Ä ¬ ÙÖ º¿ ÐÙ×ØÖ Ø Ð Ð Ò ÓÒ Ð Ú 19 Ý × Ò Ò Ð ×

367. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 341
ÐÐ Ñ × Ö ÙÖ× Ú × Ð Ô ÖØ ÓÒº × Ð ÒÓ Ó Ö Þ 29¸ × Ø ÖÑ Ò ÕÙ ÑÓ× Ô ÖØ ¹
ÓÒ Ö Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ö Þ 13¸ ÔÙ × 19 × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 29º split key rec(13, 19, ts,
tg) Ö ØÓÖÒ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð ×Ù Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ 13º Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ts × Ð Ö ÓÐ T< Ö ×ÙÐØ Ó
split key rec (29, 19, ts, tg)¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ö ÓÐ T> × Ö < tg, 29, Ê(29) >º
ÓÒ Ð ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ Ý ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö × Ö Ö Ð Ú Ö× ÓÒ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð
Ì BinTree<Key>
¿½ Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿ +≡ ´¿¿ µ ¿¿ ¿ ¿
bool split(const Key & key, GenBinTree & l, GenBinTree & r)
{
return split_key_rec<Node, Compare>(root, key, l.root, r.root);
}
Í× × split key rec ¿¿ º
4.9.5 Uni´n exclusiva de ABB (join exclusivo)
o
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ó× Ö ÓÐ × T< Ý T> Ö ×ÙÐØ ÒØ × split key rec() Ý Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÒÚ Ö×
Ô Ö T< Ý T> Ò ÙÒ Ö ÓÐ T º Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø ×Ó¸ T< Ý T> ×ÓÒ Ü ÐÙÝ ÒØ ×º
ÄÐ Ñ ÑÓ× ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ join exclusive(T<, T>)¸ Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ ÙÒ Ö T< ÓÒ T>º Ð ¬ ÑÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ÔÓÖÕÙ × ÑÓ× ÕÙ ÐÓ×
Ö Ò Ó× Ð Ú × ÒÓ × ×ÓÐ Ô Ò Ý ÕÙ T< ∩ T> = ∅¸ ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÑÙÝ Ú Ð Ó×Ó¸
ÔÙ × ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö ×Ø ×Ó ÓÒ Ñ ÓÖ × ÑÔ ÒÓ ÕÙ
Ð Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ð × ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× × ×ÓÐ Ô Ò Ó ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ÓÑÔ ÖØ Òº
Ä × Ù ÒØ ¬ ÙÖ ÐÙ×ØÖ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò Ö Ð × T< Ý T> ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ò¹
Ø ¬ Ö Ô Ö × Ò Ö join exclusive(T<, T>)
join exclusive(T<,T> )
T< T>
L(T < ) R(T < ) L(T > ) R(T > )
Ð ×ÓÐÙ ÓÒ × Ô ØÓÖ Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
T<
T>
L(T < )
join exclusive(R(T<),L(T> ))
R(T > )
Ð ×Ó × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÕÙ Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ö ÓÐ × × Ú Óº
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× ÓÒÐÐ Ú Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
¿½ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿ ¿ ¿
template <class Node> inline
Node * join_exclusive(Node *& ts, Node *& tg)
{
if (ts == Node::NullPtr)
return tg;
if (tg == Node::NullPtr)

368. 342 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
return ts;
LLINK(tg) = join_exclusive(RLINK(ts), LLINK(tg));
RLINK(ts) = tg;
Node * ret_val = ts;
ts = tg = Node::NullPtr; // deben quedar vac´os despu´s del join
ı e
return ret_val;
}
¬Ò ×
join exclusive¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ¿ Ò ¿º
×Ø ÖÙØ Ò ÒÓ× × Ö ×ÙÑ ÙØ Ð Ô Ö × ÑÔÐ ¬ Ö ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ º
4.9.6 Eliminaci´n en un ABB
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú Ü Ó× × × Ù× Ö Ð ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ð Ú Ý ÐÙ Ó
ÕÙ Ø ÖÐÓ Ð Ö Óк È ÖÓ Ý ÙÒ ¬ ÙÐØ ØÓÔÓÐÓ Ô Ö ÕÙ Ø Ö Ð ÒÓ Óº ÓÒ× ¹
Ö ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó p ÕÙ Ø Ö× ÙÒ Ý Ð × Ù ÒØ ÖÑ
q
p
L(p) R(p)
Ë Ð Ø Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ Ø ÑÓ× p¸ ÒØÓÒ × ÑÓ× Ö Ð Ó ÓÒ ÐÓ× ØÖ × Ö Ó× ÕÙ ÕÙ Ò
×Ù ÐØÓ× × × Ô Ö p q −→ p¸ p −→ L(p) Ý p −→ R(p)º ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö
ÔÓ Ö ÑÓ ¬ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ q¸ ÑÓ× ×Ø Ò Ù Ö Ü Ø Ñ ÒØ × p × Ó ÞÕÙ Ö Ó
Ó Ö Óº
Ë ÓÒÓ Ò Ó× Ñ Ò Ö × ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð ¬ ÙÐØ ÒØ Ö ÓÖ
½º ËÙ ×Ø ØÙ ÑÓ× p ÔÓÖ ×Ù ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ò Ä(p)¸ Ó ÔÓÖ ×Ù ×Ù ×ÓÖ Ò Ê(p)º
À Ý Ó× ÔÙÒØÓ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÕÙ ÑÓ× ÒÓØ Öº ÈÖ Ñ ÖÓ¸ Ø ÒØÓ Ð ÔÖ ×ÓÖ
ÓÑÓ Ð ×Ù ×ÓÖ p × ÑÔÖ ×ÓÒ Ò ÓÑÔÐ ØÓ׺ Ò Ð ×Ó Ð ÔÖ ×ÓÖ¸ ×Ø ×Ø
Ó ÔÓÖ Ð ÒÓ Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö Ä(p)¸ Ð Ù Ð Ø Ò ÕÙ × Ö Ò ÓÑÔÐ ØÓ¸
ÔÙ × × ÒÓ ÓÒØÖ Ö Ð Ó ÕÙ Ð ÔÖ ×ÓÖ × Ð Ñ × Ð ÞÕÙ Ö º Ð
Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ × Ñ ØÖ Ó Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð ×Ù ×ÓÖº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÒÓ Ó ×Ù×Ø ØÙ Ö ×Ø Ò ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ø Ò ÑÓ× ×Ù¬ ÒØ ×Ô Ó Ô Ö
ÒÐ Þ Ö Ð × ØÖ × Ö Ñ × × ÒØ Ö Ñ ÑÓ× Ð ÒÓ Ó ×Ù ×Ø ØÙØÓ ÔÓÖ p¸ Ô٠׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ
Ò Ð ÔÖ ×ÓÖ¸ ×Ù Ö Ñ ÞÕÙ Ö ÐØ ÒØ × ×Ù ×Ø ØÙÝ ÔÓÖ Ä(p)º
Ä × ÙÒ Ù ×Ø ÓÒ ÒÓØ Ö × ÕÙ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ý Ð ×Ù ×ÓÖ ×ÓÒ ÐÓ× Ó× ÙÒ Ó× ÔÓ× ¹
Ð × ÒÓ Ó× Ò ÓÑÔÐ ØÓ× ÒØ Ö Ñ Ö¸ Ô٠׸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ú ÓÐ Ö Ð ÔÖÓÔ
ÓÖ Ò ÙÒ º
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÒØ × Ó Ò ×Ø ÔÖ Ò Ô Ó × ×Ø ÒØ Ð ÓÖ Ó×Ó¸ Ô٠׸ Ô Ö
ØÙ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× ÒØ Ö Ñ Ó׸ × Ö ÕÙ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ö ÔÙÒØ ÖÓ× p¸ ×Ù
Ô Ö ¸ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ý Ð Ô Ö Ð ÔÖ ×ÓÖº Ò Ò ÙÖ ¸ × Ð ÔÖ ×ÓÖ ÒÓ

369. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 343
× Ó ¸ Ý ÕÙ ØÙ Ö ÙÒ Ô ×Ó ÓÒ Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò ÓÖØÓ¹ Ö Ù Ø Ö p Ò ×Ù
ÒÙ Ú ÔÓ× ÓÒ ÓÒ Ð Ö ÓÐ ÕÙ ×Ø ÓÒØ Ò º
Ä Ð Ò Ð ÕÙ Ð ÑÓ× Ò Ð Ô ÖÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ× ×Ø Ò ÒÓ ÒØ Ö Ñ Ö
ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÔÙ × × ØÖ Ð Ó ÖÒ Ú ÒØÙ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ ×
ØÓ× ÕÙ ÔÙÒØ Ò ÐÐÓ׺
×Ø ÓÖÑ ×Ø Ò ×Ù×Ó¸ ÔÙ × Ð ÓØÖ Ñ Ò Ö ¸ ÕÙ ÜÔÐ Ö ÑÓ× ÒÑ Ø ¹
Ñ ÒØ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ × ÑÙ Ó Ñ × × ÑÔÐ ¸ × ÒÓ Ñ × ¬ ÒØ º ØÓ Ó× ÑÓ Ó׸
Ò Ü º º½º¾ ´Ô Ò ¼¾µ × ÑÙ ×ØÖ ×Ø Ø Ò º
¾º Ð Ö ÓÐ ÙÝ Ö Þ × p × ×Ù×Ø ØÙÝ ÔÓÖ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú
×Ù× Ö Ñ ×º Ò ÙÒ ÓÒ ×ØÓ¸ × ×ÔÖ Ò Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
¿¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿½ ¿
# define REMOVE remove_from_search_binary_tree<Node, Compare>
template <class Node, class Compare> inline
Node * remove_from_search_binary_tree(Node *& root,
const typename Node::key_type & key)
{
if (root == Node::NullPtr)
return Node::NullPtr;
if (Compare () (key, KEY(root))) // ¿key < KEY(root)?
return REMOVE(static_cast<Node*&>(LLINK(root)), key);
else if (Compare () (KEY(root), key)) // ¿key > KEY(root)?
return REMOVE(static_cast<Node*&>(RLINK(root)), key);
Node * ret_val = root; // respaldar root que se va a borrar
root = join_exclusive(static_cast<Node*&>(LLINK(root)),
static_cast<Node*&>(RLINK(root)));
return ret_val;
}
¬Ò ×
remove from search binary tree¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ¿ Ò ¿ º
Í× × join exclusive ¿ ½ º
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ root × Ð Ö Þ Ð ¸ Ð Ù Ð × ÔÓÖ Ö Ö Ò ¸ ÓÖÑ Ø Ð ÕÙ ×
ÑÓ ¬ÕÙ Ð Ö Þ Ù Ò Ó × Ò Ù ÒØÖ Ð Ð Ú º Ð × ÙÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ × Ð Ð Ú Ñ ×Ñ
Ð Ñ Ò Öº
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò ÓÒ BinTree<Key> Ú Ò ÑÙÝ
× ÑÔÐ
¿¿ Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿ +≡ ´¿¿ µ ¿ ½ ¿
Node * remove(const Key & key)
{
return remove_from_search_binary_tree<Node, Compare>(root, key);
}
Í× × remove from search binary tree ¿ ¿ º
4.9.7 Inserci´n en ra´ de un ABB
o ız
Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü º º¿ ´Ô Ò ¿¿ µ¸ Ð Ö ÓÐ Ö ÔÓÖ ÐÓ×
ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ׺ Ð ÙÒ × Ú × × ÔÖ Ö Ð ÕÙ Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ú Ò Ö Þ Ð Ö Óк

370. 344 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ä Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ ÚÓÖ Ð ÐÓ Ð Ö Ö Ò Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó×
Ö ÒÓ× Ð Ö Þ ×ÓÒ ÐÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Ò× ÖØ Ó׺
ÁÒ× ÖØ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÓÑÓ Ö Þ × ÑÙÝ Ð ÐÙ Ó ÕÙ × ×ÔÓÒ Ð Ô Ö¹
Ø ÓÒ split key rec() × ÖÖÓÐÐ Ò Ü º º ´Ô Ò ¿¿ µº ÌÓ Ó ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ Ö
× Ô ÖØ ÓÒ Ö × ÙÒ Ð Ð Ú Ò× Ö ÓÒ Ý ÐÙ Ó Ø ÖÐ ×Ø Ð Ú ÐÓ× Ö ÓÐ × Ö ×ÙÐØ ÒØ ×
Ð Ô ÖØ ÓÒ
¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¿ ¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * insert_root(Node *& root, Node * p)
{
Node * l = Node::NullPtr, * r = Node::NullPtr; // guarda resultados de split
if (not split_key_rec<Node, Compare>(root, KEY(p), l, r))
return Node::NullPtr;
LLINK(p) = l;
RLINK(p) = r;
root = p;
return root;
}
¬Ò ×
insert root¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º
Í× × split key rec ¿¿ º
Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ Node::NullPtr × Ð Ö ÓÐ ÓÒØ Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ð Ú Ù Ð Ð ÒÓ Ó
Ò× Ö ÓÒ pº
ÙÖ º¿ Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ 512 Ò× Ö ÓÒ × Ð ØÓÖ × Ò Ð Ö Þ
4.9.8 Uni´n de ABB (join)
o
ÓÒ× Ö ÑÓ× T1, T2 ∈ Ý Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÙÒ ÓÒ T1 ∪ T2º Ò ÒÙ ×ØÖ ÒØ Ö Þ¸ Ð
ÙÒ ÓÒ × ÒÓÑ Ò Ö join(T1, T2, d)¸ Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÖÓ Ù ØÓ ÙÒ Ö Ð ×
Ð Ú × T1 ÓÒ Ð × T2º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÑÓ× ÓÖ Ó ÒÓ Ø Ò Ö Ð Ú × Ö Ô Ø ×¸ Ð ×
Ú ÒØÙ Ð × Ö Ô Ø Ò × ÒØÖ T1 Ý T2 × Ù Ö Ö Ò Ò ÙÒ ÙÜ Ð Ö ÐÐ Ñ Ó d¸ Ð Ù Ð
× ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÓÖ Ö Ö Ò join()º ÑÓ× ÔÖ Ú Ö ×ØÓ ÔÓÖÕÙ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÙÒ Ö
ÔÙ Ò Ö× ÓÒ×ØÖÙ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ º
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑ ÑÔÐ ÒØ Ö Ð join() × Ö ÓÖÖ Ö Ò ÔÖ ¬ Ó ÙÒ Ö Óи ÔÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ T2¸ Ö Ò× ÖØ Ò Ó ×Ù× Ð Ú × Ò Ð ÓØÖÓ Ö ÓÐ T1º

371. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 345
ÇØÖ Ñ Ò Ö ¸ ÕÙ Þ Ñ × ÓÒ×ÓÒ ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ Ò Ö ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ×
ÐÙ×ØÖ Ò Ð × Ù ÒØ ÖÑ
insert root(K(T1 ), T2 )
T1 T1 T2
T2
L(T2 ) R(T2 )
L(T1 ) R(T1 ) L(T1 ) R(T1 )
join(L(T1 ),L(T2 )) join(R(T1 ),R(T2 ))
ÌÓÑ ÑÓ× Ð Ö Þ ÙÒÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ý Ð Ò× ÖØ ÑÓ× ÓÑÓ Ö Þ Ð ÓØÖÓº Ò Ð ×Ó
Ð ¬ ÙÖ ØÓÑ ÑÓ× Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ T1 Ý Ð Ò× ÖØ ÑÓ× Ò T2 Ô Ö Ó Ø Ò Ö T2º ÄÙ Ó
Ò× ÖØ Ö Ö Þ(T1)¸ Ð × Ö Ñ × ×Ù ÐØ × L(T1) Ý R(T1) × ÙÒ Ò Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ð × Ö Ñ ×
ÞÕÙ Ö Ý Ö T2 Ó × ¸ Ä(T2) = join(L(T1), L(T2)) Ý Ê(T2) = join(R(T1), R(T2))º
ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÖÓ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ
¿ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿ ¿¾
template <class Node, class Compare> inline
Node * join(Node * t1, Node * t2, Node *& dup)
{
if (t1 == Node::NullPtr)
return t2;
if (t2 == Node::NullPtr)
return t1;
Node * l = static_cast <Node*> (LLINK(t1)); // respaldos de ramas de t1
Node * r = static_cast <Node*> (RLINK(t1));
t1->reset();
// mientras la clave ra´z de t1 est´ contenida en t2
ı e
while (insert_root<Node, Compare>(t2, t1) == Node::NullPtr)
{ // s´ ==> s´quelo de t1 e ins´rtelo en dup
ı a e
Node * p = remove_from_search_binary_tree(t1, KEY(t1));
insert_in_binary_search_tree<Node, Compare>(dup, t1);
}
LLINK(t2) = join<Node, Compare>(l, static_cast<Node*>(LLINK(t2)), dup);
RLINK(t2) = join<Node, Compare>(r, static_cast<Node*>(RLINK(t2)), dup);
return t2;
}
Í× × insert in binary search tree ¿¿ ¸ insert root ¿ ¸ Ò remove from search binary tree ¿¿º
ÓÖ Ò ÓÖÔÓÖ ÑÓ× ×Ø Ú Ö× ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ò BinTree<Key>
¿ Å ØÓ Ó× BinTree<Key> ¿¿ +≡ ´¿¿ µ ¿ ¿
void join(GenBinTree & tree, GenBinTree & dup)
{
root = Aleph::join<Node, Compare> (root, tree.root, dup);
tree.root = Node::NullPtr;
}
4.9.9 An´lisis de los ´rboles binarios de b´squeda
a a u
ÌÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ØÙ × ×Ó Ö ÙÒ Ò Ö Ð Þ Ö Ù×ÕÙ × ×Ù Ø ÑÔÓ
Ù ÓÒ¸ Ô Ò ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ø ÑÔÓ Ù×ÕÙ ¸ Ð Ù Ð ×Ø ÓØ Ó ÔÓÖ Ð ÐØÙÖ

372. 346 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
´ µ insert root() ´ µ insert in search binary tree()
´ µ join() Ö ÓÐ × ´ µ Ý ´ µ
ÙÖ º¿ ÑÔÐÓ join() Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ð Ö Óк ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ ØÖ × Ò ÒØ Ð Ò Ð Ò Ð × × × ÓÒÓ Ö Ù Ð × Ö Ð Ò Ú Ð
ÔÖÓÑ Ó ÙÒ ÒÓ Óº
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ÒÙ ×ØÖÓ Ò Ð × ×¸ ×ÙÔÓÒ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ Ð × Ð Ú ×
× Ð ØÓÖ Ó × Ö¸ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ×ØÖ Ù Óº × ¸ Ó ÙÒ Ö ÓÐ T ¸ Ý |T |! ÓÖ Ò ×
Ö ÒØ × Ò× Ö ÓÒ ÕÙ ÔÙ Ò ÔÖÓ Ù Ö C|T| = |T|+1 2|T| Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ö ÒØ ×º
1
|T|
ÓÖ Ò¸ × ÔÓ× Ð ÑÓ×ØÖ Ö¸ ÔÖ Ö Ð Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ù ÓÒ¸ ÕÙ ∀|T |, C|T| < |T |!º ÄÓ
ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð ÙÒÓ× Ö ÓÐ × × Ö Ô Ø Ö Ò Ô Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ Ö ÒØ ×º
Proposici´n 4.12
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ n ÒÓ Ó× ÓÒ×ØÖÙ Ó Ð ØÓÖ ¹
Ñ ÒØ × ÙÒ ÙÒ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ º ÆÓ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ ×º Ë Ò
¯ Sn Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× ÙÖ ÒØ ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ¸ Ý
¯ Un Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× ÙÖ ÒØ ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ º
ÒØÓÒ ×
ËÒ = 2 1+
1
n
Hn − 3 ≈ 1.386 Ð n = O(Ð n)Ý
ÍÒ = 2Hn+1 − 2 ≈ 1.386 Ð (n + 1) = O(Ð n)
ÓÒ ËÒ Ý ÍÒ ÒÓØ Ò ÐÓ× ÔÖÓÑ Ó× Sn Ý Un¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Hn ×
Ð n¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÖÑÓÒ Ó½ º
½
Hn = n 1
i=1 i º

373. ´
4.9. Arboles binarios de b´squeda
u 347
Demostraci´n
o Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× × Ð ÐÓÒ ØÙ
Ð Ñ ÒÓ × Ö Þ(T ) ×Ø Ð ÒÓ Ó Ò ÓÒØÖ Óº Ë ni × Ð ÒÓ Ó Ò ÓÒØÖ Ó¸ ÒØÓÒ ×
|CÖ Þ(T),n | = Ò Ú Ð (ni) + 1¸ ÔÙ × Ð Ò Ú Ð ÓÑ ÒÞ × ÖÓº ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ ÔÖÓÑ Ó¸
Ø Ò ÑÓ×
i
ËÒ =
1
n
(Ò Ú Ð (ni) + 1)
∀ni ∈T
=
1
n
Ò Ú Ð(ni) + 1
∀ni ∈T
=
1
n
ÁÈÄ(T ) + 1 ´º µ
ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× ´ º¾ µ Ò ´ º µ ´ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º µ
Ë = ÈÄ(T ) − 2n +
Ò
n
1 ´º µ
ÓÖ ÔÐ ÒØ ÑÓ× ÙÒ Ù ÓÒ × Ñ Ð Ö Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÖÙ ØÙÓ× º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
Ð ÒÓ Ó ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óи Ð Ù×ÕÙ × Ò Ö ×Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓº Ð
ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÖÙ ØÙÓ× ×¸ Ô٠׸ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÐÓÒ ØÙ
Ð Ñ ÒÓ × Ð Ö Þ ×Ø Ð ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓº ÈÓ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÔÐ ÒØ Ö Ð ÔÖÓÑ Ó
ÐÓÒ ØÙ × ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× × Ð Ö Þ ×Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓº ×ØÓ ×
ÍÒ =
1
n+1
Ò Ú Ð(nx)
∀nx
nx ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ
=
ÈÄ(T ) =⇒
n+1
ÈÄ(T ) = (n + 1) ÍÒ ´º µ
ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× ´ º µ Ò ´ º µ
Í
ËÒ = (n + 1)n Ò −2n + 1 ´º µ
Ä Ù ÓÒ ´ º µ ÒÓ× ÔÐ ÒØ Ð × Ó× Ò Ó Ò Ø × ÕÙ ÒØ ÒØ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Öº È Ö
ÔÓ Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ × ÙÒ Ù ÓÒ¸ Ò Ô Ò ÒØ ´ º µ¸ ÕÙ Ø Ñ Ò
ÒÓ× Ö Ð ÓÒ ËÒ Ý ÍÒ¸
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ò× Ö ÓÒ × n0n1n2 . . . nn−2nn−1º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð
ÒØ ÒÓ Ó× ÕÙ × Ú × Ø Ò Ù Ò Ó × Ù× Ü ØÓ× Ñ ÒØ Ð ÒÓ Ó ni × ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÙÒÓ Ñ × Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÕÙ × Ú × Ø ÖÓÒ ÙÖ ÒØ Ð Ù×ÕÙ Ò ÖÙ ØÙÓ× ÕÙ ×
Ö Ð ÞÓ ÙÖ ÒØ Ð Ò× Ö ÓÒ niº ×ØÓ ×ÓÐÓ × ÓÖÖ ØÓ × × ×ÙÑ ÕÙ ÒÓ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ ×º
Ä Ù× Ò ×ÙÔÖ × ÓÒ × Ö ÒØ Þ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒÙÒ Ñ Ò ÐÙ Ö Ò Ð Ö Óк
ÈÓ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ö ÕÙ
Ë = Í ¹½ +1 ´ º ¼µ
ÓÖ ¸ ÔÓÖ Ð Ñ ×Ñ ¬Ò ÓÒ ÔÖÓÑ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ÒÙ Ú Ù ÓÒ
Ò Ë = (ͼ +1) + (ͽ +1) + (; +1) + · · · + (ÍÒ¹½ +1)
n
n−1
= 1 +
1
n
Í ´ º ½µ
i=0

374. 348 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Á Ù Ð ÑÓ× ´ º ½µ ÓÒ ´ º µ
(n + 1) ÍÒ −2n
n−1
n
+ 1 = 1 +
1
n
Í =⇒
i=0
n−1
(n + 1) ÍÒ = Í + 2n ´ º ¾µ
i=0
Ú ÐÙ ÑÓ× ´ º ¾µ Ô Ö n−1 Ý Ó Ø Ò ÑÓ×
n−2
n ÍÒ¹½ = Í + 2(n − 1) ´ º ¿µ
i=0
Ê ×Ø ÑÓ× ´ º ¾µ Ñ ÒÓ× ´ º ¿µ
(n + 1) ÍÒ − n ÍÒ¹½ = ÍÒ¹½ + 2 =⇒
ÍÒ = ÍÒ¹½ + n + 1
2
´º µ
ÄÓ ÕÙ ÙÒ Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ÍÒ ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ ÖÐ ÔÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ ×Ù × Ú
×Ø Ð ÙÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ Í¼ = 0
ÍÒ = ÍÒ¹½ + n + 1
2
= ÍÒ¹¾ + n + n + 1
2 2
= ÍÒ¹¿ + n − 1 + n + n + 1
2 2 2
= ͽ + 3 + · · · + n − 1 + n + n + 1
2 2 2 2
= ͼ + 2 + 3 + · · · + n − 1 + n + n + 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
= 2 + + ··· + + +
2 3 n−1 n n+1
Ä ×Ö n 1
i=1 i × Ð n¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÖÑÓÒ Óº × ÔÙ ×
ÍÒ = 2(Hn+1 − 1) = 2Hn+1 − 2 ≈ 2(ÐÒ (n + 1) − γ) − 2 ≈ 1, 386 Ð (n + 1) ´º µ
¾¼
ÓÖ ×Ù×Ø ØÙ ÑÓ× ´ º µ Ò ´ º µ
(n + 1)2(Hn+1 − 1) − 2n
ËÒ =
n
+ 1
n+1
= (2(Hn+1 − 1)) − 1
n
n+1 1
= 2 Hn + −1 − 1
n n+1
n+1
= 2 Hn − 3 ≈ 2 ÐÒ n ≈ 1, 386 Ð n
n
¾¼
Ð × Ñ ÓÐÓ γ ÒÓØ Ð ÓÒ×Ø ÒØ ÙÐ Ö Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ
γ = Ð Ñ (Hn − ÐÒ n) ≈ 0, 5772156649 . . .
n−→ ∞
º

375. 4.10. El TAD DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> 349
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ 512 Ð Ú × Ð ØÓÖ ×
ÆÙ ×ØÖÓ Ò Ð × × ×ÙÔÓÒ ÕÙ ÒÓ Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ × ÒØ Ö Ð × ÒØÖ Ð × Ò× Ö ÓÒ ×º Ë Ð ×
×ÙÔÖ × ÓÒ × ×ÓÒ ÙØ × ×ÔÙ × Ð × Ò× Ö ÓÒ × ×Ø Ú Ö Ð Ö Óи Ð × ÑÔ ÒÓ
ÙÒ × O(Ð n)¸ ÔÙ × Ð × ÔÖ Ñ × × Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¾ ÙÒ ×ÓÒ ÖØ ×º
Ð Ò Ð × × ÓÒ ×ÙÔÖ × ÓÒ × ÒØ Ö Ð × ÒØÖ Ð Ò× Ö ÓÒ × × ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÜØÖ Ñ ¹
Ñ ÒØ ¬ ÙÐØÓ×Ó ÕÙ Ð ØÙ Ð ÒÓ × Ó Ö ×Ù ÐØÓ × Ø × ØÓÖ Ñ ÒØ º Ä ¬ ÙÐØ
×ØÖ Ò ÕÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ØÙ ÙÒ × ÓÒ ÕÙ ÒÓ × Ð ØÓÖ Ù Ò Ó Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ü¹
ÐÙ× Ú × Ó Ù Ð × Ö Ð Ö Þ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ º ÆÓ × × Ü Ø Ñ ÒØ ÓÑÓ Ñ Ò ¹
Ö Ð × ÔÖÓ Ð × Ð × Ô ÖÑÙØ ÓÒ × ÒØ ×ØÓ× ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ׺ Ò Ò ÙÖ ¸
× ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ÙÔÖ × ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¾µ
ÔÐ ÒØ ÙÒ × Ñ ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ º Ù Ò Ó × ×ÙÔÖ Ñ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ý × ØÙ
Ð join exclusive()¸ Ð ÒÓ Ó Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Óº ×Ø
× ÓÒ Ù× ÕÙ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÔÓÖ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð ÔÙÒØÓ Ð Ñ Ò ÓÒ
×Ñ ÒÙÝ º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ø Ò ×ÔÐ Þ Ö× Ð ÞÕÙ Ö ¸ ÐÓ
ÕÙ Ö ÙÒ √ ÕÙ Ð Ö Óº ×ØÙ Ó× ÑÔ Ö Ó× ÖÖÓ Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ÔÖÓÑ Ó Ð Ñ ÒÓ
×
Ø Ò ÒØ O( n)º
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¾ ÒÓ× ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ¸ × ÒÓ × ÒØ Ö Ð Ò ×ÙÔÖ × ÓÒ × ÓÒ Ò× Ö ÓÒ ×¸
Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó Ð Ù×ÕÙ Ý Ð Ò× Ö ÓÒ × O(Ð n)¸ ÐÓ Ù Ð ÙÒ Ö ÓÐ ¹
Ò Ö Ó ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ×Ø ÒØ ÔØ Ð Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ø Ð × × Ñ ÓÐÓ× Ò × ØÙ ÓÒ ×
ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ × Ð ØÓÖ Ó Ý Ð ÒÙÑ ÖÓ ×ÙÔÖ × ÓÒ × ÒØ Ö Ð × ×
Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ø Ð × Ñ ÓÐÓ× ÙÒ ÓÑÔ Ð ÓÖº Ä Ñ ÒØ Ð ¹
Ñ ÒØ ¸ Ü ×Ø Ò × ØÙ ÓÒ × ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ ÔÓ Ö × Ö × × Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
ÐÓ× Ô ÐÐ Ó× Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ ×Ø Ò × × Ó× ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ô ÐÐ Ó ÓÑÓ Ä ÓÒ × Ö Ñ ×
Ö Ù ÒØ ÕÙ ÃÒÙØ º
4.10 El TAD DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare>
Ä Ì BinTree<Key>¸ × ÓÑÓ ÓØÖÓ× Ì Ô Ö ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò Ð Ô ØÙÐÓ
Ü ¸ ØÙ Ò ØÓ × ×Ù× ÓÔ Ö ÓÒ × Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× Ý ÒÓ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ø ÔÓ
Ð Ú º Ä × Ö ÞÓÒ × Ô Ö ×ØÓ × ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò ¬Ò Ý Ý Ò × Ó Ù ×
ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º
ÓÑÓ × ÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ñ ÒØ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ Ð × Ó
ÓØÖ Ñ Ò Ö ¸ ÓÑÓ × Ö ×Ù ÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ÙÒ
ALEPH ÑÔÐ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ Ó×
Ñ Ò Ö ×º Ä ÔÖ Ñ Ö × Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ DynSetTree<Tree,Key,Compare>¸ Ð Ù Ð Ò¹

376. 350 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
×ØÖÙÑ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ø ÔÓ Key ÑÔÐ ÒØ Ó Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ð × Ö ÓÐ
Ò ÖÓ Ù×ÕÙ Tree<Key> Ý Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ Compareº Ä × ÙÒ Ñ Ò Ö
× Ñ ÒØ ÙÒ Ð × Ñ Ô Ó ÐÐ Ñ DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare>¸
ÙÝ Ö Ò ÓÒ DynSetTree × ÕÙ Ð ÙÐØ Ñ Ù Ö Ô Ö × Ó × ¸ Ñ Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ
Ö Ò Ó Ð Ñ Ô Ó Ó ÙÒ ÓÒº
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ó× Ò ×Ø Ø ÜØÓ Ü Ò Ð Ñ ×Ñ ÒØ Ö¹
Þ ÕÙ Ð Ì BinTree<Key>º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ DynSetTree<Tree,Key,Compare> Ý
DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ÔÙ Ò Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ð × ÓÒ¹
ÙÒØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ñ ÒØ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ º
Ò ×Ø × ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× Ð Ñ × ÓÑÔÐ Ó ÐÓ× Ì Ñ Ò ÓÒ Ó׸ Ð
Ð × DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare>º ËÙ ÙÒ ÓÒ × ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ÓÒ¹
ÙÒØÓ Ð Ú × Ó ÙÒ Ñ Ô Ó Ð Ú × Ò ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙÒ ÓÒ¹
ÙÒØÓ Ö Ò Ó Ñ ÒØ ÙÒ Ð × º Ð Ì Ò Ù ×Ø ÓÒ × ¬Ò Ò Ð
Ö ÚÓ ØÔÐ ÝÒÅ ÔÌÖ ºÀ ¿ ¼
¿¼ ØÔÐ ÝÒÅ ÔÌÖ ºÀ ¿ ¼ ≡
template <
template <typename /* Key */, class /* Compare */> class Tree,
typename Key,
typename Range,
class Compare = Aleph::less<Key>
>
class DynMapTree
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ¼
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ½
};
Ð × × Ò Ñ × Ö Ú × DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ¾
DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> Ø Ò Ù ØÖÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð × º Ä Ð ×
Tree Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ø ÔÓ ÓÒ Ð Ù Ð × × ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ñ Ô Óº ÒØÖ ÐÓ× Ø ÔÓ×
ÔÓ× Ð ×¸ ÒØÖ ÐÓ× × ÖÖÓÐÐ Ó× Ò ×Ø Ø ÜØÓ¸ Ø Ò ÑÓ× BinTree<Key>¸ Rand Tree<Key>¸
Treap<Key>¸ Avl Tree<Key>¸ Rb Tree<Key> Ý Splay Tree<Key>º Ð Ü Ô ÓÒ
BinTree<Key>¸ Ð Ö ×ØÓ Ð × Ð × × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ×Ô Ð ×¸ ÓÒ ÔÖ ×Ø ÓÒ ×
ÔÖÓÔ × × ÙÒ Ð Ø ÔÓ Ö Óи ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ò Ð × Ñ ×Ñ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ BinTree<Key>º
×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ù×Ù Ö Ó DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> × Ð ÓÒ ¸
× ÙÒ ×Ù× Ö Ø Ö Ó× Ù Ð Ý Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ¸ Ð Ð × ÕÙ × Ù× Öº
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð × Key Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ø ÔÓ ØÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÓÑ Ò Ó Ð
Ñ Ô Óº
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Range Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ø ÔÓ ØÓ Ð Ö Ò Ó Ð Ñ Ô Óº Ë ÐÓ ÕÙ ×
× × Ñ Ö Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×¸ ÒØÓÒ × ×Ø Ô Ö Ñ ØÖÓ ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö ÓÒ ÙÒ Ð × Ú ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Empty Node¸ Ð Ù Ð Ù ¬Ò Ó Ý Ù× Ó
Ô Ö Ð Ì BinNode<Key>º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÐØ ÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ¸ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð Ú ×
Ø ÔÓ Keyº
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö ÐÓ× ØÖ ÙØÓ×
DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare>
¿¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿¼ ≡ ´¿ ¼ µ ¿ ½
Tree<Key, Compare> tree;

377. 4.10. El TAD DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> 351
size_t num_nodes;
tree × ÙÒ Ò×Ø Ò ÓÒ Ð Ú Key Ý num nodes × Ð ÒØ ÒÓ¹
Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö ÓÐ treeº ×Ø ÒØ × ÓÒØ Ð Þ Ò Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ÕÙ Ò× ÖØ Ò Ó Ð Ñ Ò Ò ÒÓ Ó× Ý × Ó ¹
× ÖÚ Ð º
Ð Ì BinTree<Key> Ý Ñ × Ì Ö Ð ÓÒ Ó׸ ÓÔ Ö Ò ×Ó Ö ÒÓ Ó× ÕÙ ÐÑ ¹
Ò Ò ÙÒ Ð Ú Ò Ö Ø ÔÓ Keyº ÓÖ Ò¸ Ô Ö Ð Ñ Ô Ó Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ ØÓ
Ñ × Ø ÔÓ Range¸ Ð Ù Ð × ×Ô ¬ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó Tree<Key,
Compare>::Node
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ¼ +≡ ´¿ ¼ µ ¿¼
struct Node : public Tree<Key, Compare>::Node
{
Range data;
Node() { /* Empty */ }
Node(const Key & _key) : Tree<Key, Compare>::Node(_key) { /* empty */ }
Range & get_data() { return data; }
};
DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ÓÔ Ö ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÓÒ ÒÓ Ó× Ð Ø ÔÓ Node¸
ÐÓ× Ù Ð × × ÓÖ Ò Ò ÔÓÖ Ð Ú Ø ÔÓ Key¸ Ò Ú Ð Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ × ÙØ Ð ¸ Ô ÖÓ
ÒÓ Ó ÓÒØ Ò ÙÒ Ô Ö Ø ÔÓ (Key, Range)º
ÄÓ× ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ Ý ÓÔ ÔÙ Ò ÒØÓÒ × ¬Ò Ö× ÙÒØÓ ÓÒ Ð ×¹
ØÖÙ ØÓÖ
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ½ ≡ ´¿ ¼ µ ¿ ½
DynMapTree() : num_nodes(0) { /* empty */ }
DynMapTree(DynMapTree & src_tree) : num_nodes(src_tree.num_nodes)
{
Node * src_root = static_cast<Node*>(src_tree.tree.getRoot());
tree.getRoot() = copyRec(src_root);
}
virtual ~DynMapTree()
{
if (num_nodes > 0)
destroyRec(tree.getRoot());
}
Í× × copyRec ¾ Ò destroyRec ¾ º
È Ö Ò× ÖØ Ö
¿½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ½ +≡ ´¿ ¼ µ ¿ ½ ¿ ¾
Range * insert(const Key & key, const Range & data)
{
Node * node = new Node (key);
node->data = data;
if (tree.insert(node) == NULL)
{
delete node;
return NULL;
}
++num_nodes;
return &node->data;
}

378. 352 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ Ð ÒØ ÒÓ Ó× ÕÙ Ø Ò Ð Ö Óк ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÓ × Ô ÖÑ Ø Ò
Ð Ñ ÒØÓ× Ö Ô Ø Ó׸ ×Ø ÒØ ÔÙ ÓØ Ö× Ô Ö × Ö × Ó ÙÖÖ Ó Ó ÒÓ Ð Ò× Ö ÓÒº
È Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ×ÓÐÓ ×Ø Ð Ð Ú ¸ Ý ×Ø × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
¿¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ½ +≡ ´¿ ¼ µ ¿ ½ ¿ ¾
size_t remove(const Key & key)
{
Node * node = static_cast<Node*>(tree.remove(key));
if (node == NULL)
return num_nodes;
delete node;
return --num_nodes;
}
remove() Ö ØÓÖÒ Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׸ ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ¸ Ð Ù Ð ÕÙ insert()¸ Ø Ö¹
Ñ Ò Ö × Ù Ó Ó ÒÓ Ð Ñ Ò ÓÒº
À Ý Ó × ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × × Ð Ð Ñ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׺ È Ö ÐÐÓ¸ Ù× ÑÓ×
Ð Ñ ØÓ Ó empty()
¿¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ½ +≡ ´¿ ¼ µ ¿ ¾ ¿ ¾
void empty()
{
num_nodes = 0;
destroyRec(tree.getRoot());
}
Í× × destroyRec ¾ º
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ÓÒ×ÙÐØ Ö
¿¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ½ +≡ ´¿ ¼ µ ¿ ¾
bool test_key(const Key & key)
{
Node * node = static_cast<Node*>(tree.search(key));
return node != NULL;
}
Range * test(const Key & key)
{
Node * node = static_cast<Node*>(tree.search(key));
return node != NULL ? &(node->get_data()) : NULL;
}
Ä ÔÖ Ñ Ö ¸ test key() × ×Ø Ò Ô Ö ÓÒ ÙÒØÓ× ÕÙ ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò Ò Ð Ú ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
Ð × ÙÒ ¸ test()¸ Ô Ö Ñ Ô Ó׺
ÇØÖ Ñ Ò Ö Ò× ÖØ Ö Ý Ù× Ö Ð Ñ ÒØÓ× × Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ []¸ Ð Ù Ð Ò Þ
Ð Ú × Ý Ö ØÓÖÒ Ñ Ò × ÒØÖÓ Ð Ö Ò Óº ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ×Ø ×ÕÙ Ñ ×ÓÐÓ Ø Ò × ÒØ Ó
× × ØÖ Ø ÙÒ Ñ Ô Ó Ý ÒÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×º
Ð Ì DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ÔÓ ÑÓ× ×Ô Ð Þ Ö Ú Ö× ×
Ð × × × ÙÒ Ð Ø ÔÓ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÔÓÖ ÑÔÐÓ
¿¾ Ð × × Ò Ñ × Ö Ú × DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare> ¿ ¾ ≡ ´¿ ¼ µ
template <typename Key, typename Type, class Compare = Aleph::less<Key> >
class DynMapBinTree : public DynMapTree<BinTree, Key, Type, Compare>
{ /* Empty */ };
template <typename Key, typename Type, class Compare = Aleph::less<Key> >

379. 4.11. Extensiones a los ´rboles binarios
a 353
class DynMapAvlTree : public DynMapTree<Avl_Tree, Key, Type, Compare>
{ /* empty */ };
Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ¸ DynMapAvlTree¸ × ÙÒ Ñ Ô Ó × Ó Ò Ö ÓÐ × Îĸ ÙÒ Ð ×
×Ô Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ ÙÝ ÐØÙÖ ×Ø Ø ÖÑ Ò ×Ø Ñ ÒØ ÓØ ¸ Ý
ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò Ü º ´Ô Ò µº À Ý Ñ × Ð × × × ÙÒ ÐÓ× Ø ÔÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺
4.11 Extensiones a los ´rboles binarios
a
Ä Ì BinTree<Key> Ý ×Ù× Ö Ú Ó× ´Ú Ö Ü ´Ô Ò ¿µµ ×ÓÒ ÓÒ Ó× Ô Ö Ö Ð ¹
Þ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý
Ð Ñ Ò ÓÒ Ò O(Ð (n))º ×ØÓ × ÙÒ Ö Ò Ô ×Ó Ö ×Ô ØÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒ Ð Ò× Ö ÓÒ
Ý Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ×ÓÒ O(n)º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó ÒÓ× Ó Ö Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú
Ù× Ö Ð i¹ × ÑÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ò O(1) Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò ÙÒ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ
Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÕÙ × O(n)º
Ü ×Ø ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ¸ × Ò ÙÒ ¸ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × ÓÒ Ð × × Ù ÒØ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ý ×Ù× Ø ÑÔÓ×
¯ ÁÒ× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ð Ú Ò O(Ð (n))º
¯ ×Ó Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ò O(Ð (n))º
¯ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ÙÒ Ð Ú Ò O(Ð (n))º
Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×Ù Ý Ò ÐÑ Ò Ö Ð Ö Ò Ð ¹
Ð Ö ÓÐ Ò ÒÓ Óº È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ
´
Definici´n 4.10 (Arbol con rangos)
o ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÒ Ö Ò Ó× × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
ÓÒ ÙÒ ÑÔÓ ÓÒ Ð Ò ÒÓ Ó¸ ÒÓØ Ó (n)¸ ÕÙ ÐÑ Ò Ð Ö Ò Ð Ý Ð
Ù Ð× Ø×
∀n ∈ T, (n) = (Ä(n)) + 1 + (Ê(n)), (∅) = 0
ÍÒ ÔÙ × Ö ÜØ Ò Ó Ý ÐÓ ¬Ò ÑÓ× ÓÑÓ × Ù
´
Definici´n 4.11 (Arbol binario de b´ squeda extendido)
o u ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ
ÜØ Ò Ó T × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ó׺
Ð ÖÓÒ ÑÓ Ö ¬ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÜØ Ò Óº
Ä ¬ ÙÖ º ¼ ÐÙ×ØÖ ÙÒ º Ð ÑÔÓ ×ÙÔ Ö ÓÖ × Ð Ð Ú Ý Ð Ò Ö ÓÖ × Ð
Ö ÒÐ Ð ×Ù Ö Óк Ò Ð ¬ ÙÖ ¸ ÒÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ø ÕÙ Ø ¸ ÕÙ ÒÓ ÓÖÑ Ô ÖØ
Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×Ù ÔÓ× ÓÒ Ò¬ º
Ó ni ∈ T | in ¸ ÒØÓÒ ×¸ (Ä(n)) ÒÓ× Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ni Ö ×Ô ØÓ Ð
×Ù Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ niº ×Ø × Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ö Ð Ö ÓÐ ÔÓÖ ×Ù
ÔÓ× ÓÒ Ò¬ º
×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö × Ò Ö ÙÒ Ò Ö ×ØÖÙ ØÙÖ ×ØÖ ÓÒ × Ý Ó Ó ÕÙ ÒÓ×
Ñ Ò Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó׺ Ä ÔÖ Ñ Ö × ÓÒ× ×Ø Ò ¬Ò Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó
Ò Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ ÙÒ ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÒÆÓ ØºÀ ¿ ¿
¿¿ ØÔÐ ÒÆÓ ØºÀ ¿ ¿ ≡
class BinNodeXt_Data
{

380. 354 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
25
253
30
19 28
156 284
25 4
2 21 27 29
20 168 256 299
19 5 2 1
0 4 20 22 26
0 44 161 181 255
2 16 1 3 1
1 3 18 24
10 32 130 237
1 1 14 2
9 23
76 208
13 1
6 12
46 99
4 8
5 8 10 14
45 58 89 101
1 2 2 5
7 11 13 15
50 92 100 122
1 1 1 3
17
129
2
16
125
1
ÙÖ º ¼ ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÜØ Ò Ó
size_t count; // cardinalidad del arbol
´
BinNodeXt_Data() : count(1) { /* empty */ }
BinNodeXt_Data(SentinelCtor) : count(0) { /* empty */ }
size_t & getCount() { return count; }
const size_t & size() const { return count; }
void reset() { count = 1; }
};
DECLARE_BINNODE_SENTINEL(BinNodeXt, 255, BinNodeXt_Data);
# define COUNT(p) ((p)->getCount())
ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿
Í× × DECLARE BINNODE SENTINEL ¾ º

381. 4.11. Extensiones a los ´rboles binarios
a 355
Ä Ö ÒÐ × Ù Ö Ò Ð ØÖ ÙØÓ count¸ Ð Ù Ð Ø Ò ×Ù Ó × ÖÚ ÓÖ Ý ÑÓ ¬¹
ÓÖ ¬Ò Ó× Ò Ð Ô ÖØ ÔÙ Ð Ð Ð × BinNodeXt<Key>º
Ò ÙÒ × × Ð ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð ×Ô Ð ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ö ÓÐ
Ú Óº Ä Ú ÒØ Ð ÒØ Ò Ð × ÕÙ ×Ù ÑÔÓ count × ÑÔÖ × ÖÓ¸ ÐÓ ÕÙ Ú Ø
Ð Ò × Ú Ö ¬ Ö × Ð ÒÓ Ó Ó × Ð ÒÙÐÓ Ó ÒÓ Ò ÕÙ ÐÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ
ÔÖ ÙÒØ Ò Ð Ö Ò Ð º Ä Ö Ò Ð ∅ × 0¸ ÕÙ × Ð Ñ ×ÑÓ Ú ÐÓÖ Ð ÔÓ× ÓÒ
Ò¬ ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÓÑÔÐ ØÓ ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö º
Ð ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð × ÙÒ Ò×Ø Ò ×Ø Ø BinNodeXt<Key> ÙÝÓ ×Ô Ó × Ö × Ö¹
Ú Ó Ò Ð Ñ ÖÓ DECLARE BINNODE SENTINELº
4.11.1 Selecci´n por posici´n
o o
ÓT ∈ ÓÒ Ö Þ r¸ × × Ò ÓÒØÖ Ö Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ º Ä
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÙÒ Ð Ù×Ó Ð ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð ¸ Ó Ö ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
ÒÖÐ × Ö¸ × Ò Ò Ò ÙÒ ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ð Ù Ð × Ô ØÓÖ Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
T
(r) select rec(r, i)
if i < (L(r)) if i > (L(r)) + 1
select rec(L(r), i) select rec(R(r), i - COUNT(LLINK(r)) - 1)
L(T ) R(T )
(L(r)) (R(r))
Å Ò ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ Ö Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ÔÓÖ Ð Ö º Ò Ö ÐÑ ÒØ Ð Ò Ó¸
Ù Ò Ó Ù× ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ö ¸ ÐÓ ÑÓ× Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÕÙ ÓÒ¹
Ø Ò (Ê(r)) ÒÓ Ó׸ Ô ÖÓ Ð ÔÓ× ÓÒ i Ð ÐÐ Ñ ÓÖ Ò Ð Ø Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ (r)
ÒÓ Ó׺ ÑÓ× Ô٠׸ ÓÑÔ Ò× Ö Ð ÐÐ Ñ ÓÒ Ð ÒØ ÒÓ Ó× ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó
Ò¬ Ó Ù Ò Ó × Ú ÔÓÖ Ð Ö º ×ØÓ × (L(r)) Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó Ñ × Ð
Ö Þº
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÜÔÙ ×ØÓ ÓÑÔÖ Ò Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ö × Ò ÐÐÓ
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ ≡ ´¿ ¿µ ¿
template <class Node> inline
Node * select_rec(Node * r, const size_t & i)
{
if (i == COUNT(LLINK(r)))
return r;
if (i < COUNT(LLINK(r)))
return select_rec(static_cast<Node*>(LLINK(r)), i);
return select_rec(static_cast<Node*>(RLINK(r)), i - COUNT(LLINK(r)) - 1);
}
Ä Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú Ø Ñ Ò × ÑÙÝ × Ò ÐÐ ¸ Ñ × × ÙÖ Ý ÑÙ Ó Ñ × ¬ ÒØ
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
template <class Node> inline
Node * select(Node * r, const size_t & pos)
{
for (size_t i = pos; i != COUNT(LLINK(r)); /* nada */)

382. 356 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
if (i < COUNT(LLINK(r)))
r = static_cast<Node*>(LLINK(r));
else
{
i -= COUNT(LLINK(r)) + 1;
r = static_cast<Node*>(RLINK(r));
}
return r;
}
4.11.2 C´lculo de la posici´n infija
a o
ÙÒ Ð Ú Ü ×Ø ÒØ Ò Ð ¸ × ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ×Ù ÔÓ× ÓÒ Ò¬ × Ö¸ ×Ù
ÓÖ Ò ÒØÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×º ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ×Ù ÐÚ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
template <class Node, class Compare> inline
size_t inorder_position(Node * r, const typename Node::key_type & key, Node *& node)
{
if (Compare () (key, KEY(r)))
return inorder_position(static_cast<Node*>(LLINK(r)), key, node);
else if (Compare () (KEY(r), key))
return inorder_position(static_cast<Node*>(RLINK(r)), key, node) + COUNT(LLINK(r)) + 1;
else
return COUNT(LLINK(r));
}
Ä ÖÙØ Ò Ö ÓÑÓ ÒØÖ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ r Ý Ð Ð Ú keyº Ð Ø Ö Ö Ô Ö Ñ ØÖÓ¸
node¸ × × Ð Ý × ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ð Ú key ×Ø Ö ×ÙÐØ Ó Ø Ò × ÒØ Ó ×ÓÐÓ
× Ð Ð Ú Ù Ò ÓÒØÖ º Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ × Ð ÔÓ× ÓÒ key ÒØÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó
Ò¬ Óº Ò ×Ó ÕÙ key ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óи ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ
Ò Ø ÚÓº
4.11.3 Inserci´n por clave en ´rbol binario extendido
o a
Ä Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú × ÒØ Ð ÙÒ ÔÖ × ÒØ ÒÜ º º¿ ´Ô Ò ¿¿ µ¸ × ÐÚÓ
ÕÙ Ò × Ø ÑÓ× ØÙ Ð Þ Ö ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ ×
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * insert_by_key_xt(Node *& r, Node * p)
{
if (r == Node::NullPtr)
return r = p;
Node * q;
if (Compare () (KEY(p), KEY(r)))
{
q = insert_by_key_xt<Node, Compare>(static_cast<Node*&>(LLINK(r)), p);
if (q != Node::NullPtr)
++COUNT(r);
}

383. 4.11. Extensiones a los ´rboles binarios
a 357
else if (Compare ()(KEY(r), KEY(p)))
{
q = insert_by_key_xt<Node, Compare>(static_cast<Node*&>(RLINK(r)), p);
if (q != Node::NullPtr)
++COUNT(r);
}
else
return (Node*) Node::NullPtr; // clave duplicada
return q;
}
Ä × ÒØ Ü × Ý × Ñ ÒØ ×ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × ÕÙ Ô Ö ÐÓ× º
4.11.4 Partici´n por clave
o
Ä Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ÜÔÐ Ò Ü º º ´Ô Ò ¿¿ µ ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö× ÓÒ Ð Ñ ×Ñ
×ØÖÙ ØÙÖ Ô Ö ÙÒ
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
# define SPLIT split_key_rec_xt<Node, Compare>
template <class Node, class Compare> inline
bool split_key_rec_xt(Node * root, const typename Node::key_type & key,
Node *& l, Node *& r)
{
if (root == Node::NullPtr)
{
l = r = Node::NullPtr;
return true;
}
if (Compare() (key, KEY(root)))
{
if (not SPLIT(LLINK(root), key, l, LLINK(root)))
return false;
r = root;
COUNT(r) -= COUNT(l);
}
else if (Compare() (KEY(root), key))
{
if (not SPLIT(RLINK(root), key, RLINK(root), r))
return false;
l = root;
COUNT(l) -= COUNT(r);
}
else
return false; // clave duplicada
return true;
}
¬Ò ×
split key rec xt¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º

384. 358 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
4.11.5 Inserci´n en ra´
o ız
ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ò Ð Ö Þ Ó Ð Ñ ×ÑÓ ×ÕÙ Ñ
ÕÙ Ð × ÖÖÓÐÐ Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¿µ
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
template <class Node, class Compare> inline
Node * insert_root_xt(Node *& root, Node * p)
{
if (root == Node::NullPtr)
return p;
if (not split_key_rec_xt<Node, Compare>(root, KEY(p), LLINK(p), RLINK(p)))
return Node::NullPtr;
COUNT(p) = COUNT(LLINK(p)) + COUNT(RLINK(p)) + 1;
root = p;
return p;
}
¬Ò ×
insert root xt¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × split key rec xt ¿ º
4.11.6 Partici´n por posici´n
o o
×Ø ÓÔ Ö ÓÒ × Ô Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ÓÒ Ð Ü Ô ÓÒ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ
Ô ÖØ ÓÒ × Ö ×Ô ØÓ ÙÒ ÔÓ× ÓÒ i Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Óº Ä Ô ÖØ ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ò Ó×
Ö ÓÐ × Tl =< k1k2 . . . kl > Ý Tr =< ki . . . kn >º
Ë ÐÚÓ ÕÙ i ×Ø Ù Ö Ö Ò Ó × Ö¸ i ≥ (T )¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔÖ Ø Ò Ü ØÓº
È Ö ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ × Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ñ Ò × ÒØ Ð Ô ÖØ ÓÒ Ö ÙÖ¹
× Ú ÔÓÖ Ð Ú
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
template <class Node> inline
void split_pos_rec(Node * r, const size_t & i, Node *& ts, Node *& tg)
{
if (i == COUNT(r)) // ¿Es la ultima posici´n (que est´ vac´a)?
´ o a ı
{
ts = r;
tg = Node::NullPtr;
return;
}
if (i == COUNT(LLINK(r))) // ¿se alcanz´ la posici´n de partici´n?
o o o
{
ts = LLINK(r);
tg = r;
LLINK(tg) = Node::NullPtr;
COUNT(tg) -= COUNT(ts);
return;
}
if (i < COUNT(LLINK(r)))
{
split_pos_rec(static_cast<Node*>(LLINK(r)), i, ts, static_cast<Node*&>(LLINK(r)));
tg = r;

385. 4.11. Extensiones a los ´rboles binarios
a 359
COUNT(r) -= COUNT(ts);
}
else
{
split_pos_rec(static_cast<Node*>(RLINK(r)), i - (COUNT(LLINK(r)) + 1),
static_cast<Node*&>(RLINK(r)), tg);
ts = r;
COUNT(r) -= COUNT(tg);
}
}
¬Ò ×
split pos rec¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º
4.11.7 Inserci´n por posici´n
o o
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó k0, k1, k2, . . . , ki−1, ki, ki+1, . . . , kn º Ù Ò Ó Ò× ÖØ ÑÓ×
1
kp Ò Ð i¹ × Ñ ÔÓ× ÓÒ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ × k0, k1, k2, . . . , ki−1, kp, ki, ki+1, . . . , kn
1
× Ö¸ Ô ÖØ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ i¸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ×ÔÐ Þ Ò Ð Ö Ð
ÔÓ× ÓÒ Ò¬ kp × i¸ ×Ù ÔÖ ×ÓÖ × ki−1 Ý ×Ù ×Ù ×ÓÖ × kiº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ
ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ× × ÑÙÝ × Ò ÐÐÓ × ÒÓ× Ò×Ô Ö ÑÓ× Ð Ò× Ö ÓÒ Ò Ð Ö Þ ÔÖ × ÒØ Ó
Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¿µ ´Ô º ¿ ¿µ
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿
template <class Node> inline
void insert_by_pos_xt(Node *& r, Node * p, const size_t & pos)
{
split_pos_rec(r, pos, static_cast<Node*&>(LLINK(p)), static_cast<Node*&>(RLINK(p)));
COUNT(p) = COUNT(LLINK(p)) + 1 + COUNT(RLINK(p));
r = p;
}
Í× × split pos rec ¿ º
Ë ÐÚÓ ÕÙ pos ×Ø Ù Ö Ö Ò Ó Ó × ÕÙ × Ù Ð Ó ×Ó Ö Ô × Ð ÒØ
Ð Ñ ÒØÓ׸ Ð Ò× Ö ÓÒ × ÑÔÖ Ø Ò Ö Ü ØÓº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ ÔÙ Ú ÓÐ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÓÖ Ò ÙÒ º
4.11.8 Uni´n exclusiva de ´rboles extendidos
o a
Ä ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ÔÖ × ÒØ Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ½µ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÒØ Ò ×Ù
Ú Ö× ÓÒ Ô Ö Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó׺ ÄÓ ÙÒ Ó ÕÙ ÑÓ× ÑÓ ¬ Ö × Ð ØÙ Ð Þ ÓÒ
ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ ×
¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿¼
template <class Node> inline
Node * join_exclusive_xt(Node *& ts, Node *& tg)
{
if (ts == Node::NullPtr)
return tg;
if (tg == Node::NullPtr)
return ts;
LLINK(tg) = join_exclusive_xt(RLINK(ts), LLINK(tg));
RLINK(ts) = tg;

386. 360 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
COUNT(tg) = COUNT(LLINK(tg)) + 1 + COUNT(RLINK(tg)); // actualizar contadores
COUNT(ts) = COUNT(LLINK(ts)) + 1 + COUNT(RLINK(ts));
Node * ret_val = ts;
ts = tg = Node::NullPtr; // deben quedar vac´os despu´s del join
ı e
return ret_val;
}
¬Ò ×
join exclusive xt¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ ¼º
4.11.9 Eliminaci´n por clave en ´rboles extendidos
o a
Ð Ñ Ò Ö ÔÓÖ Ð Ú Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÜØ Ò Ó Ø Ñ Ò × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð ×ØÙ
Ò Ü º º ´Ô º ¿ ¾µ ÓÒ Ð ÓÒ ÕÙ Ý ÕÙ ØÙ Ð Þ Ö ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ × Ò Ð Ñ ÒÓ
Ù×ÕÙ
¿¼ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¿¼
# define REMOVE remove_by_key_xt<Node, Compare>
template <class Node, class Compare> inline
Node * remove_by_key_xt(Node *& root, const typename Node::key_type & key)
{
if (root == Node::NullPtr)
return (Node*) Node::NullPtr; // clave no encontrada
Node * ret_val = Node::NullPtr;
if (Compare () (key, KEY(root)))
{
ret_val = REMOVE(static_cast<Node*&>(LLINK(root)), key);
if (ret_val != Node::NullPtr) // ¿hubo eliminaci´n?
o
--COUNT(root); // S´ ==> actualizar contador
ı
return ret_val;
}
else if (Compare () (KEY(root), key))
{
ret_val = REMOVE(static_cast<Node*&>(RLINK(root)), key);
if (ret_val != Node::NullPtr) // ¿hubo eliminaci´n?
o
--COUNT(root); // S´ ==> actualizar contador
ı
return ret_val;
}
ret_val = root; // clave encontrada ==> eliminar
root = join_exclusive_xt(static_cast<Node*&>(LLINK(root)),
static_cast<Node*&>(RLINK(root)));
return ret_val;
}
Í× × join exclusive xt ¿ º
4.11.10 Eliminaci´n por posici´n en ´rboles extendidos
o o a
Ë Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ × Ú Ð ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ô ÖØ ÓÒ¸ Ð
Ð Ñ Ò ÓÒ × ÑÔÖ Ø Ò Ü ØÓ Ý × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¿¼ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¼ ¿ ¿
template <class Node> inline

387. 4.12. Rotaci´n de ´rboles binarios
o a 361
Node * remove_by_pos_xt(Node *& root, const size_t & pos)
{
if (COUNT(LLINK(root)) == pos) // ¿posici´n encontrada?
o
{ // Si ==> guarde nodo y realice join exclusivo
Node * ret_val = root;
root = join_exclusive_xt(static_cast<Node*&>(LLINK(root)),
static_cast<Node*&>(RLINK(root)));
return ret_val;
}
Node * ret_val; // guarda valor de retorno de llamada recursiva
if (pos < COUNT(LLINK(root)))
ret_val = remove_by_pos_xt(static_cast<Node*&>(LLINK(root)), pos);
else
ret_val = remove_by_pos_xt(static_cast<Node*&>(RLINK(root)),
pos - (COUNT(LLINK(root)) + 1));
if (ret_val != Node::NullPtr) // ¿hubo eliminaci´n?
o
--COUNT(root); // Si ==> el arbol con ra´z root perdi´ un nodo
´ ı o
return ret_val;
}
Í× × join exclusive xt ¿ º
4.11.11 Desempe˜o de las extensiones
n
Ë ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ü º½¾ ´Ô Ò ¿ µ¸ ÙÒ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ ÔÖÓ Ù ÙÒ
Ö ÓÐ ÕÙ Ò ÔÖÓÑ Ó ×Ø ÕÙ Ð Ö Óº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× ÙÒ ÔÓÖ
Ò× Ö ÓÒ Ð Ú × Ð ØÓÖ ×¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× × ÑÔ ÒÓ× ÙÒ ÓÒ × ÕÙ ÒÓ ÑÓ ¬ÕÙ Ò Ð
Ö ÓÐ × Ö Ò O(Ð (n)) ×Ø × Ð ×Ó Ð × Ð ÓÒ¸ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ò¬ Ó Ý Ð
Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú º
Ò Ð Ô ØÙÐÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ú Ö× × Ø Ò × Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÕÙ Ð Ö Ó× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ÕÙ Ñ Ò Ò O(Ð (n)) Ò ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×º ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö
×Ø × Ø Ò ×¸ × ÑÔÖ × ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÐÓ× Ö Ò Ó׺
4.12 Rotaci´n de ´rboles binarios
o a
Ä ¬ ÙÖ º ½ ÑÙ ×ØÖ Ó× ÕÙ Ú Ð ÒØ × × ÙÒ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Òº ÙÒÓ
ÐÐÓ× ÔÙ Ó Ø Ò Ö× Ô ÖØ Ö Ð ÓØÖÓ ØÖ Ú × ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÐÐ Ñ ÖÓØ ÓÒ º
Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ð Ö ÓÐ º ½´ µ × (αAβ)Bχ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð º ½´ µ × αA(βBχ)º
Ä ÓÔ Ö ÓÒ ÖÓØ ÓÒ ÒÓ Ø Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÙÒ º
Ð Ö ÓÐ º ½´ µ × Ó Ø Ò Ô ÖØ Ö Ð Ö ÓÐ º ½´ µ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ Ð
Ö Ù ÓÖ Ö Ð ÒÓ Ó Bº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÐ º ½´ µ × Ó Ø Ò Ô ÖØ Ö Ð
Ö ÓÐ º ½´ µ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ Ð ÞÕÙ Ö Ù ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ð ÒÓ Ó Aº
À Ý Ó× Ö Ø Ö ×Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÙÒ ÖÓØ ÓÒ ÕÙ ÑÔÐ ¬ Ö ÑÓ× ÓÒ Ð
ÖÓØ ÓÒ Ð Ö
½º Ð ÒÓ Ó A ×Ñ ÒÙÝ Ò ÙÒ Ò Ú Ð¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ò Ú Ð Ð ÒÓ Ó B Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ð
ÙÑ ÒØ Ò ÙÒÓº
¾º Ä Ö Ñ α ×Ñ ÒÙÝ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ò Ú Ð¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ö Ñ χ ÙÑ ÒØ
ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ò Ú Ðº

388. 362 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
p q
B A
q p
A B
χ α
α β β χ
⇐⇒
´µ ´ µ
ÙÖ º ½ ÊÓØ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
ÓÖ Ú ÑÓ× ÓÑÓ ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÖÓØ ÓÒ Ð Ö ºË p Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ
ÖÓØ Ö¸ ÒØÓÒ ×
¿¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿ ¿¾
template <class Node> inline
Node * rotate_to_right(Node * p)
{
Node * q = static_cast<Node*>(LLINK(p));
LLINK(p) = RLINK(q);
RLINK(q) = p;
return q;
}
rotate to right() Ö
ØÓÖÒ Ð ÒÙ Ú Ö Þ Ð Ö ÓÐ ÐÙ Ó Ð ÖÓØ ÓÒº ÓÒ ×Ø Ú ÐÓÖ
Ö ØÓÖÒÓ ÔÙ ØÙ Ð Þ Ö× Ð Ô Ö Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú
× ÙØ Ð Þ Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ× ÕÙ ÒÚÓ Ò ÖÓØ ÓÒ × ×Ù Ö ÓР׺
È Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ø Ö Ø ÚÓ׸ × Ñ × ÓÒÚ Ò ÒØ ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ð ÖÓØ ÓÒ ÕÙ
ØÙ Ð ØÙ Ð Þ ÓÒ Ð Ô Ö º È Ö ÐÐÓ¸ ÑÓ× Ô × Ö Ð Ô Ö Ð ×Ù Ö ÓÐ ÕÙ × Ö
ÖÓØ Ó
¿¾ ÙÒ ÓÒ × BinNode Utils ¾ ¿ +≡ ¿¾
template <class Node> inline
Node * rotate_to_right(Node * p, Node * pp)
{
Node *q = static_cast<Node*>(LLINK(p));
LLINK(p) = RLINK(q);
RLINK(q) = p;
if (static_cast<Node*>(LLINK(pp)) == p) // actualizaci´n del padre
o
LLINK(pp) = q;
else
RLINK(pp) = q;
return q;
}
pp × Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó pº
Ä × Ú Ö× ÓÒ × ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö ×ÓÒ × Ñ ØÖ ×º

389. 4.13. C´digos de Huffman
o 363
4.12.1 Rotaciones en ´rboles binarios extendidos
a
ÓÒ Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó× Ý ÕÙ Ø Ò Ö Ù Ó Ù×Ø Ö ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ ×º Ê ØÓÑ Ò Ó Ð
×Ó Ò Ö Ð ÖÓØ ÓÒ ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ½¸ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó (αAβ)Bχ
ÕÙ × ÑÓ× ÖÓØ Öº ÈÓÖ Ð ¬Ò ÓÒ Ö ÓÐ ÜØ Ò Ó¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
(B) = (α) + 1 + (β) + 1 + (χ) .
|B| |α| |{A}| |β| |{B}| |χ|
×ÔÙ × ÖÓØ Ö × ÙÑÔÐ Ö
(A) = (α) + 1 + (β) + 1 + (χ) .
|A| |α| |{B}| |β| |{B}| |χ|
× Ô٠׸ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú ÖÓØ ÓÒ Ð Ö ×Ö
¿¿ ÈÖ Ñ Ø Ú × × × ×Ó Ö BinNodeXt<Key> ¿ +≡ ´¿ ¿µ ¿ ¼
template <class Node> inline
Node * rotate_to_right_xt(Node* p)
{
Node * q = static_cast<Node*>(LLINK(p));
LLINK(p) = RLINK(q);
RLINK(q) = p;
COUNT(p) -= 1 + COUNT(LLINK(q));
COUNT(q) += 1 + COUNT(RLINK(p));
return q;
}
4.13 C´digos de Huffman
o
Ä Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ×Ø Ø ÜØÓ ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ × Ö × Ñ ÓÐÓ× Ð Ø ÒÓ׸ Ö × Ó׸ Ö ¹
Ó× Ý ÓØÖÓ× Ñ × ÓÒÚ Ò Ó× × ÑÙÒ Ó× ÐÓ× × Ó× Ý Ñ Ø Ñ Ø Ó׺ Ò Ô Ô Ð¸ ÓÒ
Ð Ù Ó ÓÖÑ ØÓ¸ ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ × Ù Ò Ú ×Ù ÐÑ ÒØ Ð Ð ÔÓÖ ÙÒ
×Ô ÒÓ Ð ÒØ º
Ð ÓÒ Ö Ù Ö Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ø ÜØÓ ´Ó × Ù Ò µ × Ð ÒÓÑ Ò
ÓÑÔÖ Ñ Ö º Ò Ð Ð ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ø ÜØÓ¸ Ý ÙÒ ÓÑÔÖÓÑ ×Ó ÒØÖ Ð ÓÑÔÖ × ÓÒ Ý
Ð Ð Ð º Ò Ö × Ð Ð Ð ¸ × × Ö ¬ Ð ÓÑÔÖ × ÓÒ¸ Ý × × ÓÑÓ × Öº
Ë ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð ØÖ × ÑÙÝ Ô ÕÙ Ò ¸ Ù× ÑÓ× Ñ ÒÓ× ×Ô Ó¸ Ô Ô Ð¸ Ô ÖÓ Ð Ø ÜØÓ ×
Ñ ÒÓ× Ð Ð º ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ð Ð ØÖ × ÑÙÝ Ö Ò ¸ ÒØÓÒ × Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ñ ×
×Ô Ó¸ Ö Ó¸ Ñ × Ô Ô Ð Ó Ô ÒØ ÐÐ º
Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÖÒ Ø ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× ÙÒ Ø ÜØÓ × Ù× ÙÒ Ó Ó
Ø׺ Ò ÒÙ ×ØÖ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ ÙÒ Ó Ó × ÙÒ Ù Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ñ ÓÐÓ×
Ñ ÒØ ÓÑ Ò ÓÒ × Ø׺ ÍÒ ÑÔÐÓ ÒÓØ Ð ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ó Ó Ë ÁÁ Ð
Ù Ð Ñ Ô × Ù Ò × × Ø Ø× ÙÒ × Ñ ÓÐÓ ¸ Ò Ð × Ù ÒØ Ø Ð ¸ Ð ÙÒ × ×Ù×
Ó ÙÖÖ Ò ×
Ë Ñ ÓÐÓ Î ÐÓÖ Ò Ö Ó Î ÐÓÖ Ñ Ð
1000001 65
1100010 98
1111011 123

390. 364 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
À Ý ÓØÖÓ× × ×Ø Ñ × Ó ¬ ÓÒ Ö Ø Ö ×¸ ÐÓ× Ù Ð × ÙÒÓ ÑÙÝ ÒÓØ Ð × Ð
unicode¸ ÜØ Ò× Ð ¸ × Ù Ò × ÐÓÒ ØÙ Ú Ö Ð Ý ÓÒ Ð ÔÖ Ø Ò× ÓÒ × ÖÚ Ö
ØÓ Ó× ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× ØÓ × Ð × Ð Ò Ù ×º
× Ò ÑÓ× Σ ÓÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × × Ñ ÓÐÓ× ÕÙ ÔÙ ÓÒØ Ò Ö
ÙÒ Ø ÜØÓº Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ó ¬ Ö ÐÓ× |Σ| × Ñ ÓÐÓ× ÓÒ Ð |Σ| Ø׺ ÓÖ Ó Ð
Ó Ó¸ Ù ÐÕÙ Ö ÒØ ´Ó ÔÖÓ Ö Ñ µ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ¾½ ÙÒ Ø ÜØÓº
Ë ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ø ÜØÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Tx ÙÝÓ× × Ñ ÓÐÓ× × Ö Ñ Ø Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ
S ⊂ Σ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ Ö ÑÓ× Ó ¬ ÖÐÓ ÓÒ Ð |S| ≤ Ð |Σ| Ø׺ È Ö ÐÐÓ¸ ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ×
ÙÒ Ø Ð Ñ Ô Ó × Ñ ÓÐÓ× × Ù Ò × Ø× Ý ÒÓ× × ÖÚ ÑÓ× ÐÐ Ô Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö
Ð Ø ÜØÓº Ì Ò ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑ ÓÑÔÖ × ÓÒº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ×Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò
Ð Ú ÒØÙ Ð ×Ú ÒØ ÕÙ Ð Ø ÜØÓ Ð Ö× ÔÓÖ ÒØ Ô Ó ØÓ× ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð
Ø Ð º ×ØÓ ÔÙ × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ò Ð ÙÒ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ Ð Ð ØÙÖ ÙÒ Ö ÚÓ ÔÓÖ
ÑÔÐÓ¸ Ý ÔÖÓ Ø ÚÓ Ò ÓØÖ ×¸ Ð ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ ÙÒ Ø ÜØÓº
ÇØÖÓ Ò ÓÒÚ Ò ÒØ Ð Ò ÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ × ÕÙ × Ñ ÓÐÓ Ó ÙÔ Ð Ñ ×Ñ ÒØ ¹
Ø׸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ×Ù Ö Ù Ò Ô Ö ÓÒ Ò Ð Ø ÜØÓº Ë Ù× × ÑÓ×
× Ù Ò × ÐÓÒ ØÙ Ú Ö Ð ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ Ö ÑÓ× × Ó Ö × Ù Ò × ÑÙÝ ÓÖØ × Ô Ö
× Ñ ÓÐÓ× ÑÙÝ Ö Ù ÒØ × Ý Ö Ð × Ñ × Ð Ö × Ô Ö × Ñ ÓÐÓ× Ö Ö Ô Ö ÓÒº Ä
× × Ð ÓÒ Ö ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× ÙÒ Ø¸ ÐÙ Ó ÐÓ× Ó׸ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ × ÙÒ Ù Ò
Ö Ù ÒØ × Ð Ô Ö ÓÒ Ð × Ñ ÓÐÓ Ò Ð Ø ÜØÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð Ò Ó¸ ÒÓØ Ó¸ Ô Ö
×Ø Ò Ù ÖÐÓ¸ ÓÑÓ ¸ Ý Ð ¸ ÕÙ ×ÓÒ ÑÙÝ Ö Ù ÒØ ×¸ ÔÓ Ö Ò × Ö Ð × Ù Ò × 0 Ý
1¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ¸ ¸ Ý ÔÓ Ö Ò ÒÓØ Ö× ÓÑÓ 00¸ 01¸
10 Ý 11º ÈÙ Ö ÑÓ× ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÒ × Ù Ò × Ñ × Ð Ö × ×Ø Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
Ð ÓÒ ÙÒØÓ Sº È ÖÓ × ¸ Ò ÖÙØÓ¸ ×Ø Ò ÓÕÙ ÔÐ ÒØ ÙÒ Ñ Ù Ò× ÐÚ Ð ÜÔÖ ¹
× ¸ ÔÓÖ Ò×Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ð × Ù Ò 001¸ ÔÙ × ÒÓ × ÔÙ ×Ø Ò Ù Ö × × ØÖ Ø
Ó Ó º
Ä Ñ Ù ÒØ Ö ÓÖ × ×ÓÐÚ ÒØ × ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ Ð ÒØ ÓÑ Ò ÓÒ ×
ÔÓ× Ð × Ø׸ Ù× ÑÓ× ÙÒ Ó Ó ÔÖ ¬ Ó¸ Ò Ð × ÒØ Ó Ð ¬Ò ÓÒ º ¾¾ × Ö¸ ÕÙ
Ò Ò ÙÒ × Ù Ò si ÐÓÒ ØÙ i × ÔÖ ¬ Ð ÙÒ ÓØÖ Ö ÒÐ ×ÙÔ Ö ÓÖº Ë
× Ó ÑÓ× Ô ÖÑÙØ ÓÒ × × Ù Ò × ÔÖ ¬ ׸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ׸ × Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÙÒÓ¸
×Ø Ò Ù ÖÐ × ÒØ ÖÔÖ Ø ÖÐ × Ò ÙÒ Ø ÜØÓº Å × ÙÒ¸ ÔÓ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö × Ù Ò × ¸
Ð × Ù Ð ×¸ ÓÑÓ ÓÖÓÐ Ö Ó Ð × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × º Ý º½¼¸ ×ÓÒ ÔÖ ¬ ׺
À Ý ÙÒ Ñ ÓÖ ÙÒ Ñ × ×Ù ×Ø Ò Ð Ò Ù× Ö ÙÒ Ó ¬ ÓÒ ÔÖ ¬ ÔÓ ÑÓ× Ñ ¹
Ô Ö Ò O(1)¸ Ò Ð Ò ÓÒ Ð Ð ØÙÖ Ð Ø ÜØÓ¸ ×Ù Ó ¬ ÓÒº È Ö ÐÐÓ¸ Ù× ÑÓ× ÙÒ
Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÝ × Ó × Ó ¬ Ò ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× Sº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö S = { , a, e, i, b, c}¸
Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó 6 Ó × Ó ¬ S Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ Ð Ö ÓÐ × Ù ÒØ
¾½
À ÕÙ ÙÒ Ó Ø Þ ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ò Ð Ñ ØÓ ÙÑ ÒÓ × ÑÙÝ ×Ù Ø Ú º
¾¾
Ò Ð × ÓÒ Ü º º¼º ´Ô Ò ¿¾½µ × Ù× ÖÓÒ ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× a ÔÓÖ 0 Ý b ÔÓÖ 1 º

391. 4.13. C´digos de Huffman
o 365
b c Ë Ñ ÓÐÓ Ó Ó
000
001
a e i
ÖÖÓ Ð × Ù ÒØ Ñ Ô Ó 010
011
10
11
Ð ÔÖÓÔÓ× ØÓ ×Ø × ÓÒ × ÔÖ × ÒØ Ö Ñ Ò ×ÑÓ× Ô Ö Ó ¬ Ö× ÙÒ ×
Ø× Ù× Ò Ó Ö ÓÐ × Ó Ó× Ý Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ×ØÓ× ÙÐØ ÑÓ× ÓÔØ Ñ Ñ ÒØ º
4.13.1 Un TAD para ´rboles de c´digo
a o
Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð Ó ¬ ÓÒ × ÑÔÖ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ò Ù Ö Ó× ÒØ × ÙÒÓ Ó ¬ ÓÖ¸
ÕÙ ØÓÑ ÙÒ Ø ÜØÓ Ý ÐÓ ÓÑÔÖ Ñ ¸ Ý ÓØÖÓ Ó ¬ ÓÖ ÕÙ ØÓÑ Ð Ø ÜØÓ ÓÑÔÖ Ñ Ó Ý
ÐÓ Ó ¬ Ð × Ù Ò ÓÖ Ò Ðº
È Ö Ó ¬ Ö Ù× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð ×
¿ Ð × Ó ¬ ÓÖ ¿ ≡
class Huffman_Encoder_Engine
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿
};
×Ø Ð× × Ò Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× ÓÔØ ÑÓ Ý Ó ¬ Ö Ø ÜØÓ× Ò
ÙÒ ÓÒ Ð Ö ÓÐ ÒØ Ö ÓÖº ÈÓÖ ÓÔØ ÑÓ ÔÖ Ø Ò ÑÓ× Ö ÕÙ ÙÒ Ø ÜØÓ Ó ¬ Ó ÓÒ ÐÓ×
ÔÖ ¬ Ó× Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ Ó ÙÔ Ð Ñ ÒÓ× ×Ô Ó ÔÓ× Ð º
ÈÖ Ó ¬ Ö Ù× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð ×
¿ Ð× Ó ¬ ÓÖ ¿ ≡
class Huffman_Decoder_Engine
{
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿
};
Ä × Ð × × Ý ÓØÖ × ¬Ò ÓÒ × × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ö ÚÓ ÀÙ«Ñ ÒºÀ ´Ò Ú Ö ¬Ò µ º
Ó ¬ Ö Ý Ó ¬ Ö ÙÒ × Ù Ò Ö ÕÙ Ö Ú Ö × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺ Ä
ÔÖ Ñ Ö ÐÐ × × Ð ÔÖÓÔ Ó Ö ÓÐ Ó Ó׸ Ð Ù Ð × ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ ≡ ´¿ µ ¿
BinNode<string> * root;
Í× × BinNode ¾ ¼ º
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ ≡ ´¿ µ
BinNode<string> * root;
Í× × BinNode ¾ ¼ º

392. 366 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
root ׸ Ò Ñ × Ð × ×¸ Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó׺ ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ø ÐÐ Ö ÑÓ×
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ×Ø Ö ÓÐ Ñ Ò Ö ÓÔØ Ñ ´Ü º½¿º¿ ´Ô Ò ¿ µµº Ð
Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ø Ñ Ò ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ Ö Ø Ö Ó ¬ Ò Ý ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ×Ù ÓÔØ ¹
Ñ ÓÒ ´Ü º½¿º ´Ô Ò ¿ ¿µµº Ò Ð ÒØ Ö Ò¸ Ý ÕÙ × Ò Ð Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐ ÙÝ Ö Þ
× root ÓÒØ Ò Ò × ´stringµ Ý ÒÓ × Ñ ÓÐÓ× Ë ÁÁº Ä Ö ÞÓÒ × ÕÙ ¸ Ò ÐÙ Ö
× Ñ ÓÐÓ× ÔÙÒØ٠Р׸ ÔÙ ×Ø Ð Ö× Ð ÙÒ Ö Ù Ò Ô Ö ÓÒ Ö × × ÒØ Ö × Ý
Ó ¬ Ö× ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒ × Ù Ò Ø׺
Æ × Ø ÑÓ× ÙÒ Ø Ð × Ñ ÓÐÓ× Ò Ð Ù Ð ÐÑ Ò ÑÓ× ×Ù× Ö Ù Ò ×
Ô Ö ÓÒ Ý ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó׺ Ð Ø ÔÓ ×Ø Ø Ð ×
¬Ò ×
¿ Ð Ö ÓÒ × ÀÙ«Ñ Ò ¿ ≡ ¿
class Huffman_Node;
typedef DynMapTree<Treap_Vtl, string, Huffman_Node *> Symbol_Map;
Ä Ø Ð Ñ Ô × Ñ ÓÐÓ× Ø ÔÓ string ÒÓ Ó× ÙÒ Ô ÕÙ Ù× Ö ÑÓ× Ô Ö
Ø ÖÑ Ò Ö ÓÔØ Ñ Ñ ÒØ ÐÓ× ÔÖ ¬ Ó׺ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Treap Vtl × ÙÒ Ð × ×Ô Ð
Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÐÐ Ñ Ó ÌÖ Ô¸ Ð Ù Ð × Ö ØÖ Ø Ó Ò Ü º¿ ´Ô Ò µº Ë
Ø Ò ÑÓ× Ð ÙÒ ¬ ÙÐØ Ò ÔØ Ö Ð Ø ÔÓ Treap Vtl¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö¸ ÓÒ Ð
Ñ ×Ñ ÒØ Ö Þ Ý¸ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÓÒ × ÑÔ ÒÓ × Ñ Ð Ö¸ Ð Ø ÔÓ BinTreeVtl ÔÖ Ú Ñ ÒØ
×ØÙ Ó Ò Ü º º¾ ´Ô Ò ¿¿ µº
ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × ÕÙ ÜÔÐ Ö ÑÓ× ÔÖÓÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× × ÓÒ×ØÖÙÝ Ô ÖØ Ö
ÙÒ Ô Ð Ù Ð ×Ù× ÒÓ Ó× ×ÓÒ Ø ÔÓ Huffman Node Ý × ¬Ò Ò Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ Ð Ö ÓÒ × ÀÙ«Ñ Ò ¿ +≡ ¿ ¿
typedef BinNode< Aleph::pair<string, size_t> > Freq_Node;
struct Huffman_Node : public BinHeap<size_t>::Node
{
BinNode<string> * bin_node;
};
Í× × BinNode ¾ ¼ º
ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Huffman Node × ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó ÙÒ Ô ÙÝ Ð Ú ¸ ѹ
ÒØ get key()¸ × Ð Ö Ù Ò Ô Ö ÓÒ Ó ×Ø ×Ø ÙÒ × Ñ ÓÐÓº Ð ÒÓ Ó Ò
Ù ×Ø ÓÒ ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ð Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó׺
Ð Ø ÔÓ Ô × ¬Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿ Ð Ö ÓÒ × ÀÙ«Ñ Ò ¿ +≡ ¿ ¿
typedef BinHeap<size_t> Huffman_Heap;
Ò ÙÒ ÓÒ ×Ø Ø ÔÓ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö ×
¿ Ð Ö ÓÒ × ÀÙ«Ñ Ò ¿ +≡ ¿ ¿
static inline const size_t & get_freq(Huffman_Node * huffman_node)
static inline void increase_freq(Huffman_Node * huffman_node)
static inline void set_freq(Huffman_Node * huffman_node, const size_t & freq)
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð Ô ÒØÖÓ Ð Ó ¬ ÓÖ Ý ×Ù Ø Ð × Ñ ÓÐÓ×
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿
Huffman_Heap heap;
Symbol_Map symbol_map;
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ symbol map["a"].get key() Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÙÒ ×Ó Ð
× Ñ ÓÐÓ "a"º

393. 4.13. C´digos de Huffman
o 367
Ä ÙÐØ Ñ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× × Ð Ø Ð Ó Ó׸ Ð Ù Ð Ö ÕÙ Ö Ð ¬Ò ÓÒ Ð
× Ù ÒØ Ø ÔÓ
¿ Ð Ö ÓÒ × ÀÙ«Ñ Ò ¿ +≡ ¿
typedef DynMapTree<Treap_Vtl, string, BitArray> Code_Map;
Í× × BitArray ¿ º
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿
Code_Map code_map;
×Ø Ø Ð × ÙØ Ð Þ Ô Ö Ó ¬ Ö ÙÒ Ø ÜØÓº Ä × Ð Ö × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ð Ø ÜØÓ
Ý Ò ÓÒØÖ Ö Ò Ð Ø Ð Ó Ó× Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ó Ó ØÓ× Ò Ö Ö Ð Ø ÜØÓ
Ó ¬ Óº Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Ð Ø Ð × Ñ ÓÐÓ׸ Ð Ó Ó× × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÒ
ÌÖ Ô ´Ü º¿ ´Ô Ò µµº
À Ý ÓØÖÓ× ØÖ ÙØÓ× ÓÒ Ð × ÕÙ Ù× Ö ÑÓ× Ò Ð Ð × Huffman Encoder Engine
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿
string end_symbol;
size_t text_len;
end symbol¸
ÕÙ Ø Ñ Ò × ÙØ Ð Þ Ò Huffman Decoder Engine¸ × ÙÒ × Ñ ÓÐÓ ×Ô ¹
Ð ÕÙ ÒÓØ Ð ¬Ò Ð Þ ÓÒ ÙÒ Ø ÜØÓ ×Ù ¬Ò ÓÒ Ó ÝÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ò Ó
ÙÐÑ Ò ÙÒ × Ù Ò Ø× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ø ÜØÓ Ó ¬ Óº text len Ò Ð
ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ÜØÓ × Ò Ó ¬ Öº
4.13.2 Decodificaci´n
o
Ð ØÓ ÕÙ ¸ Ó Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÑÓ× ÒÓÑ Ò Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ¸ ÐÓ ÔÓ ÑÓ× ÒÓØ Ö ÓÑÓ
Ó ¬ Öº ×Ø ÑÓ Ó¸ ×ÙÑ Ò Ó ÙÒ Ö Þ root ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× Ý ÙÒ
ÔÙÒØ ÖÓ p¸ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ó ¬ Ö ÙÒ × Ù Ò bit stream
bit stream len Ø׸ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ ≡ ´¿ µ
void decode(BitArray & bit_stream, const size_t & bit_stream_len, ostream & output)
{
BinNode<string> * p = root;
for (int i = 0; i < bit_stream_len; ++i)
{
if (bit_stream.read_bit(i) == 0)
p = LLINK(p);
else
p = RLINK(p);
if (is_leaf(p)) // ¿es hoja?
{ // s´ ==> escribir sm´bolo y reiniciar a ra´z
ı ı ı
const string & symbol = p->get_key();
if (symbol == end_symbol) // ¿se alcanza final?
break;
output << symbol;
p = root;
}
}
}
Í× × BinNode ¾ ¼ Ò BitArray ¿ º

394. 368 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ä × Ô ÖØ Ö × Ð Ö Þ Ð Ö ÓРݸ × ÙÒ Ð Ú ÐÓÖ Ø Ð Ó¸ × Ò Ö Ð
ÞÕÙ Ö Ó Ö ×Ø Ô Ö Ö Ò Ð ÙÒ Ó ¾¿ º Ò × ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖ ¬ Ó Ð Ó ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÙÒ × Ñ ÓÐÓº
× Ô٠׸ Ô Ö Ó ¬ Ö ÙÒ × Ù Ò Ø׸ Ð Ù×Ù Ö Ó Ò×Ø Ò Ö ÙÒ Ó ØÓ
Ø ÔÓ Huffman Decoder Engine¸ ÙÝÓ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ö Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ó Ó Ý Ð
× Ñ ÓÐÓ ÓÒ× Ö Ó ÓÑÓ ¬Ò Ð ÒØÖ º ÄÙ Ó¸ × ÒÚÓ Ð Ñ ØÓ Ó decode()¸ Ð Ù Ð
ÖÖÓ ×Ù × Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ outputº ÓÒÓ Ó Ð Ö Óи Ð ÔÖÓ ×Ó Ó ¬ ÓÒ ×
Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ × Ò ÐÐÓº
4.13.3 Algoritmo de Huffman
Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ n × Ñ ÓÐÓ׸ ÕÙ Ö ÑÓ× ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ó Ó× Ü Ø Ñ ÒØ n
Ó ×º À Ò Ó ×ØÖ ÓÒ ÕÙ ×Ø × Ó × ÙÒ Ò ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÔÓÖ Ð
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º¾¸ Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÐ n− 1+ n = 2n− 1 ÒÓ Ó׸ ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒ
× Ñ ÓÐÓ× ÓÑÓ Ó × ÓÒ×Ø ØÙÝ ÙÒ Ö ÓÐ Ó Ó׺ ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½½¸ × ÑÓ× ÕÙ
Ü ×Ø Ò C2n−1 = 2n 2(2n−1)
1
2n−1 Ö ÒØ × Ö ÓÐ × Ó Óº ËÙÖ Ò¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × ÔÖ ÙÒØ ×
Ù Ð × Ó Ö ÓÑÓ ÓÒ×ØÖÙ ÖÐÓ
ÀÙ«Ñ Ò × Ù Ö Ó ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× Ð Ù Ð Ô ÖØ
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ó ÓÒ ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× Ý ×Ù× Ö Ù Ò × Ô Ö ÓÒº × Ö¸ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ
ÒÓ Ó× Ð Ø ÔÓ Huffman Node Ý × Ö ØÓº ÄÐ Ñ ÑÓ× ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ heap¸ Ð Ù Ð ×
ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ôº
È Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó huffman node¸ ÔÖ Ñ ÖÓ Ý ÕÙ × Ð ÓÒ Ö ÐÓ× Ó× ÒÓ Ó×
ÓÒ Ñ ÒÓÖ × Ö Ù Ò × Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ × Ð ÓÒ Ö ÐÓ× Ó× ÒÓ Ó× Ñ ÒÓÖ Ö Ù Ò ¿ ≡ ´¿ µ
Huffman_Node * l_huffman_node = // nodo izquierdo
static_cast <Huffman_Node *> (heap.getMin());
Huffman_Node * r_huffman_node = // nodo derecho
static_cast <Huffman_Node *> (heap.getMin());
ÓÒ ×ØÓ× Ó× ÒÓ Ó׸ × ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ×Ù ¹ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ Ö Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÀÙ«Ñ Ò ¿ ≡ ´¿ µ
BinNode <string> * bin_node = new BinNode <string>;
Huffman_Node * huffman_node = new Huffman_Node (bin_node);
LLINK(bin_node) = l_huffman_node->bin_node;
RLINK(bin_node) = r_huffman_node->bin_node;
const size_t new_freq = get_freq(l_huffman_node) + get_freq(r_huffman_node);
Aleph::set_freq(huffman_node, new_freq);
Í× × BinNode ¾ ¼ º
Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó × ÓÒ×ØÖÙÝ ÓÑÓ Ô Ö ÐÓ× Ó× Ñ ÒÓÖ × ÓÒØ Ò Ó× Ò Ð Ôº ×
ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ö ÕÙ Ð ÒÙ ÚÓ ×Ù ¹ Ö ÓÐ × Ø ÔÓ BinNode<string>¸ ÕÙ × Ð Ø ÔÓ
Ð Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò Ý ÒÓ Ø ÔÓ Huffman Nodeº
Ä Ñ Ò Ö ¬Ò Ø Ú Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× × Ö Ð Þ ×
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ ≡ ´¿ µ ¿ ¼
BinNode<string> * generate_huffman_tree(
)
{
while (heap.size() > 1)
¾¿
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÔÖ ¬ Ó Ù Ö Ö Ñ Ñ Ö ÒÞ ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÛÝ Ð Ó º

395. 4.13. C´digos de Huffman
o 369
{
× Ð ÓÒ Ö ÐÓ× Ó× ÒÓ Ó× Ñ ÒÓÖ Ö Ù Ò ¿
Ö Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÀÙ«Ñ Ò ¿
delete l_huffman_node;
delete r_huffman_node;
heap.insert(huffman_node);
} // Al salir del while, queda en el heap un solo nodo que contiene
// la ra´z del arbol de prefijos
ı ´
Huffman_Node * huffman_root = static_cast <Huffman_Node *> (heap.getMin());
root = huffman_root->bin_node;
delete huffman_root;
build_encoding_map(); // construir mapeo de c´digos
o
return root;
}
Í× × BinNode ¾ ¼ º
10 10 17
4 6 7 10 15 16 4 6 7 10 15 16 4 6 7 10 15 16
i c b e a =⇒ i c b e a =⇒ i c b e a
58
25 25 33 25 33
10 15 16 17 10 15 16 17 10 15 16 17
a a a
4 6 7 10 4 6 7 10 4 6 7 10
=⇒ i b b e =⇒ i b b e =⇒ i b b e
ÙÖ º ¾ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Òº Ä × Ö × ÐÓ× ×Ù ¹ Ö ÓÐ × ×
Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ôº
ÍÒ Ú Þ ÕÙ × Ò Ö Ð Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò¸ ÑÓ׸ ØÓ× Ó ¬ Ö¸ ¹
ÒÖÖ Ð ÑÔÓ × Ñ ÓÐÓ× Ó Ó× ÔÖ ¬ Ó׺ ×Ø Ø Ö Ð Ö Ð Þ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
build prefix encoding()¸ Ð Ù Ð × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿¼
void build_prefix_encoding(BinNode<string> * root, BitArray & array, const size_t & len)
{
if (is_leaf(root))
{
string & str = root->get_key();
code_map.insert(str, BitArray(array, len));
return;
}
array[len] = 0; // ir hacia la izquierda

396. 370 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
build_prefix_encoding(LLINK(root), array, len + 1);
array[len] = 1; // ir hacia la derecha
build_prefix_encoding(RLINK(root), array, len + 1);
}
Í× × BinNode ¾ ¼ Ò BitArray ¿ º
Ä ÖÙØ Ò × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó¸ Ö ÙÖ× ÚÓ¸ Ð Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò ÓÒ
Ö Þ rootº Ñ ÕÙ × Ú Ö ÓÖÖ Ò Ó¸ Ð ÔÖ ¬ Ó root¾ × Ú Ñ ÒØ Ò Ò Ó Ò Ð
ÖÖ ÐÓ Ø× array Ý ×Ù ÐÓÒ ØÙ × Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ lenº Ù Ò Ó × Ð ÒÞ
ÙÒ Ó ¸ × Ö¸ Ù Ò Ó Ý Ø Ò ÑÓ× Ð ÔÖ ¬ Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ð × Ñ ÓÐÓ¸ Ò× ÖØ ÑÓ× Ò Ð
Ñ Ô Ó code map Ð ÙÔÐ <× Ñ ÓÐÓ¸ array>º
build prefix encoding() × Ø Ú ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿ ½
void build_encoding_map()
{
const size_t h = computeHeightRec(root);
BitArray array(h * symbol_map.size());
symbol_map.empty();
build_prefix_encoding(root, array, 0);
}
Í× × BitArray ¿ Ò computeHeightRec ¾ º
Ð ÓÖ Ò Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ Ð Ð × Huffman Encoder Engine × ÓÑÓ × Ù
½º ¬Ò Ö × Ñ ÓÐÓ× ÓÒ ×Ù× Ö Ù Ò ×º
¾º Ò Ö Ö Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó׺
¿º Ó ¬ Ö Ø ÜØÓ׺
Ò ×Ø × ÓÒ ÑÓ× Ö Ð Þ Ó Ð × ÙÒ × º Ä ÔÖ Ñ Ö × Ö ÜÔÐ Ò Ð × Ù ÒØ
×Ù ¹× ÓÒ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ø Ö Ö × Ö ÜÔÐ Ò Ü º½¿º º
4.13.4 Definici´n de s´
o ımbolos y frecuencias
ÒØ × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÑÓ× Ò Ö ÐÓ×
× Ñ ÓÐÓ× Ý ×Ù× Ö ×Ô Ø Ú × Ö Ù Ò ×º À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ÖÐÓº Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÒ× ×Ø
Ò ×Ô ¬ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð × Ñ ÓÐÓ Ý ×Ù ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ö Ù Ò ¸ ÐÓ Ù Ð ×
Ñ ÒØ set freq(str, freq) ÓÒ str × Ð × Ñ ÓÐÓ ¬Ò Ö Ý freq ×Ù Ö Ù Ò
×Ó º Ð Ñ ØÓ Ó Ò Ù ×Ø ÓÒ × ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿¼
void set_freq(const string & str, const size_t & freq)
Ä ÓØÖ ÓÖÑ Ò Ö Ö Ù Ò × × Ô ÖØ Ö ÙÒ Ø ÜØÓ¸ ÒØ ¬ Ö ×Ù× × Ñ ÓÐÓ×
Ý ÓÒØ Ð Þ Ö ×Ù× Ö Ù Ò × Ô Ö ÓÒº ×ØÓ × Ñ ÒØ read input(input)¸
ÓÒ input × Ð Ø ÜØÓ Ô ÖØ Ö Ð Ù Ð × × ÓÒØ Ð Þ Ö Ð × Ö Ù Ò ×
¿¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼ ¿ ½
void read_input(char * input
)
¾
Î Ð Ð Ô Ò Ö ÓÖ Ö ÕÙ ×Ø ÔÖ ¬ Ó × ÙÒ Ô Ð Ö ´Ú × Ü º º¼º ´Ô Ò ¿¾ µµº

397. 4.13. C´digos de Huffman
o 371
read input() ×Ù Ý ×Ó Ö Ð ÖÙØ Ò update freq(curr token)¸ Ð Ù Ð × Ö Ñ Ø
Ù× Ö curr token Ò Ð Ñ Ô Ó × Ñ ÓÐÓ׸ Ö Ö ÙÒ ÒÙ Ú ÒØÖ × ÒÓ ×Ø Ñ Ô Ó¸
Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ò ÙÒÓ Ð Ö Ù Ò Ý ØÙ Ð Þ Ö Ð Ô
¿½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼ ¿ ¾
void update_freq(const string & str)
{
Huffman_Node * huffman_node = NULL;
Huffman_Node ** huffman_node_ptr = symbol_map.test(str);
if (huffman_node_ptr == NULL) // ¿Fue definido previamente el s´mbolo?
ı
{ // No ==> crear una entrada en symbol_map e insertarlo en heap
auto_ptr<BinNode<string> > bin_node_auto ( new BinNode<string> (str) );
huffman_node = static_cast<Huffman_Node*>
(heap.insert(new Huffman_Node(bin_node_auto.get())));
symbol_map.insert(str, huffman_node);
bin_node_auto.release();
}
else
huffman_node = *huffman_node_ptr; // Ya definido, recuperarlo
increase_freq(huffman_node);
heap.update(huffman_node);
}
Í× × BinNode ¾ ¼ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ¬Ò ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× read input() × Ñ Ö Ö Ð × Ö Ù Ò × Ý ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð
ÒØÖ ¸ ×ØÓ× ÙÐÑ Ò Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ó Ó×
¿½ Ò Ö Ö Ö ÓÐ ¿ ½ ≡
set_end_of_stream("");
generate_huffman_tree(with_freqs);
4.13.5 Codificaci´n de texto
o
ÍÒ Ú Þ ÓÒ×ØÖÙ Ó ÙÒ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò¸ ÔÓ ÑÓ× Ó ¬ Ö Ð Ø ÜØÓ Ñ ÒØ Ù ÐÕÙ Ö
ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× encode(input, bit stream)º input × Ð Ø ÜØÓ Ó ¬ Ö Ý bit stream
× ÙÒ BitArray Ð Ø ÔÓ ¬Ò Ó Ò Ü ¾º½º¿ ´Ô Ò ¿ µ
¿½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼
size_t encode(char * input, BitArray & bit_stream)
{
char * curr_stream = input;
char curr_token[Max_Token_Size];
curr_token[1] = ’0’;
size_t bit_stream_len = 0;
while (*curr_stream != ’0’)
{
curr_token[0] = *curr_stream++;
append_code(bit_stream, bit_stream_len, code_map[curr_token]);
}
append_code(bit_stream, bit_stream_len, code_map[""]);
return bit_stream_len;
}
Í× × BitArray ¿ º

398. 372 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Ð × ÙÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ encode() × Ð ÖÖ ÐÓ Ø× ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ø ÜØÓ Ó ¬ Óº
Ð ÔÖÓ ×Ó¸ ÙÒ Ú Þ Ò Ö Ó Ð Ñ Ô Ó ÓÒ ÐÓ× ÔÖ ¬ Ó׸ × ÑÙÝ × Ò ÐÐÓ Ù× Ö Ð × Ñ ÓÐÓ
Ð Ó Ò Ð Ñ Ô Ó Ý ÓÒ Ø Ò Ö Ð ÖÖ ÐÓ Ø× Ð ÔÖ ¬ Óº Ì Ð Ø Ö Ð Ö Ð Þ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
ÔÖ Ú append code()¸ Ð Ù Ð × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ó ¬ ÓÖ ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ½
static void append_code(BitArray & bit_stream, size_t & bit_stream_len,
const BitArray & symbol_code)
{
const size_t symbol_code_size = symbol_code.size();
if (bit_stream_len + symbol_code_size > bit_stream.size())
bit_stream.resize(5 * (bit_stream_len + symbol_code_size) / 4);
for (int i = 0; i < symbol_code_size; i++)
bit_stream[bit_stream_len++] = symbol_code[i];
}
Í× × BitArray ¿ º
Ð × Ù ÒØ Ø ÜØÓ
ÅÙ ÖØ ÒØÓÒ ØÓ Ð Ñ ÓÖ Ó Å × Ù ØÖÓ ÔÖ ÑÓ× À Ö ×
Ö Ó Ö ÄÓÖ Ó× Ò Ñ º
ÄÓ ÕÙ Ò ÓØÖÓ× ÒÓ ÒÚ Ò¸
Ý ÐÓ ÒÚ Ò ÒѺ
ÎÓ × ÑÙ ÖØ ×ÓÒ ÖÓÒ Ô ØÓ× ÓÐÓÖ ÓÖ ÒØÓ¸
Ö Ð Ù ÐÕÙ Ú Öº Ñ ÐÐÓÒ × Ñ Ö¬Ð¸
ÎÓ × ÒØ Ù × ÕÙ Ö Ò Ý ×Ø ÙØ × Ñ × Ó
ÚÓÞ Ð Ú Ð Ú ÖÓÒ Ðº ÓÒ ØÙÒ Ý ÞÑ Òº
Ä × Ð ÚÓ ×Ó Ö Ð × ÓØ × Ý ÒØÓÒ ØÓ Ð Ñ ÓÖ Ó¸
ÑÓÖ × Ó× Ðº ÒÓ ÙÒ ÑÔ Ö ØÖ Þ
Ò Ð ÐÙ × ÐØÓ× Ù Ö Ø Ð ÎÖ Ò
ÓÒ Ó× Ð Òº ÔÓÖÕÙ Ø Ú × ÑÓÖ Öº
ÒÓ ÓÒ × Ò Ö Ò Ñ Ý Ö Ó Ö ¸
×Ù ÓÖ Ø ÖÑ × ¸ ÐÐ Ñ Ð Ù Ö ÚÐ
Ô ÖÓ Ö Ò Ù ØÖÓ ÔÙÒ Ð × Ñ Ø ÐÐ × ÕÙ Ö Ó
Ý ØÙÚÓ ÕÙ ×Ù ÙÑ Öº ÓÑÓ Ò Ñ Þº
Ù Ò Ó Ð × ×ØÖ ÐÐ × Ð Ú Ò
Ö ÓÒ × Ð Ù Ö ×¸
Ù Ò Ó ÐÓ× Ö Ð × ×Ù Ò Ò ÌÖ × ÓÐÔ × × Ò Ö ØÙÚÓ
Ú ÖÓÒ × Ð Ð¸ Ý × ÑÙÖ Ó Ô Ö¬Ðº
ÚÓ × ÑÙ ÖØ ×ÓÒ ÖÓÒ Î Ú ÑÓÒ ÕÙ ÒÙÒ
Ö Ð Ù ÐÕÙ Ú Öº × ÚÓÐÚ Ö Ö Ô Ø Öº
ÍÒ Ò Ð Ñ Ö Ó×Ó ÔÓÒ
×Ù Þ Ò ÙÒ Ó Òº
ÒØÓÒ Ó ÌÓÖÖ × À Ö ¸ ÇØÖÓ× ÖÙ ÓÖ Ò× Ó¸
Ñ ÓÖ Ó ÙÖ Ö Ò¸ Ò Ò ÖÓÒ ÙÒ Ò Ðº
ÑÓÖ ÒÓ Ú Ö ÐÙÒ ¸ Ù Ò Ó ÐÓ× Ù ØÖÓ ÔÖ ÑÓ×
ÚÓÞ Ð Ú Ð Ú ÖÓÒ Ð ÐÐ Ò Ò Ñ ¸
ÕÙ Ò Ø ÕÙ Ø Ó Ð Ú ÚÓ × ÑÙ ÖØ × ÖÓÒ
Ö Ð Ù ÐÕÙ Ú Ö Ö Ð Ù ÐÕÙ Ú Öº
Ö ÕÙ Ö 10368 ÝØ × Ò Ë ÁÁ Ý Ò Ö Ð × Ù ÒØ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò
1296
511 785
243 268 356 429
119 124 125 143 175 181 206 223
e a
60 65 66 77 87 94 101 105 110 113
n r o
29 31 33 33 45 49 49 52 52 53 55 55 56 57
m t u d c l s i n
15 16 16 17 22 23 24 25 26 27
b . v
8 8 8 9 11 11 11 12 12 12 12 13 13 14
j g p q ´ı ,
4 4 4 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7
V C h z A n
~ y G
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4
Y e
´ F ! T M ´o B E f L
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
? U : D ¿ Z H ¡ ´a
0 1
¬ O

399. 4.13. C´digos de Huffman
o 373
Ð Ù Ð ÐÓ ÓÑÔÖ Ñ 5932 ÝØ ×º
4.13.6 Optimaci´n de Huffman
o
Ë ÙÒ ºÊº º º¸ ÓÔØ Ñ ÓÒ × Ò ¬ ÓÒ Ý ØÓ ÓÔØ Ñ Ö º Ð Ú Ö Ó ÓÔØ ¹
Ñ Ö ¹Ù ÓÔØ Ñ Þ Ö ¹ ÓÒÒÓØ ¸ ºÊº º º Ü Ø¸ Ù× Ö Ð Ñ ÓÖ Ñ Ò Ö Ö Ð Þ Ö ÙÒ
ØÚ º ÓÖ Ò¸ Ò Ð ×ØÖ ØÓ × ÒØ Ó ÙÒ Ú Ö× Ð ¸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÓÖ Ñ Ò Ö
Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ø Ú º Ê ×ÔÓÒ Ö ¬ÖÑ Ø Ú Ñ ÒØ Ý Ö Ù ÒØ ×Ó Ö Ð ×ÙÔÙ ×Ø
Ñ ÓÖ Ñ Ò Ö × ÑÙÝ Ð Óº Ë Ô Ö ÙÒ ÖØÓ ×ÙÒØÓ ×ÙÑ ÑÓ× Ý ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÙÒ ÓÔØ ¹
Ñ ÓÒ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò Ð ×ÙÒØÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ¸ Ñ × Ö Ö × Ö ÑÓ× Ñ ÓÖ ÖÐÓ Ô Ö ÕÙ ×
Ð ÓÔØ ÑÓ Ý × Ð Ñ ÓÖ º ÄÓ ÕÙ × Ñ ÓÖ × Ö Ð Ø ÚÓ Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ Ý ×Ø × Ø Ò Ò
Ð ÑÓÑ ÒØÓ¸ Ð ÐÙ Ö¸ Ô ÖÓ¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ ÕÙ Ò ×º ×ÙÑ Ö ÓÔØ Ñ ÓÒ × Ò ÓÒ× Ö ÓÒ
Ö ÙÒ×Ø Ò Ð ÓÒÐÐ Ú Ô Ð ÖÓ Ô Ö Ð × Ô ÖØ × Ð ÓÒØ ÜØÓ ÕÙ ÒÓ Ù ÖÓÒ ×ÓÔ × ×º
ÉÙ Þ ÙÒ Ù ÖØ Ú Ò ÙÐØÙÖ Ð Ð × Ò ÕÙ Ñ ÒÙ Ó ÓÒÐÐ Ú ÙÒ ÓÔØ ¹
Ñ ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ Ò ×Ù Ö Þ Ø ÑÓÐÓ º Ò Ð Ø Ò ÓÔØ ÑÓ× ÓÒÒÓØ Ö ×¹
ØÓ Ö Ø Ó ¸ Ô ÖØ Ò ÒØ ÐÓ× ÓÔØ Ñ Ø × ¸ ÕÙ Ò × Ö Ò ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ð × Ò Ó ÖÓ¹
Ñ ÒÓ¸ ÐÓ× ÔÖ ÙÖ×ÓÖ × ÐÓ× ÓÐ Ö × ÒÙ ×ØÖ ÔÓ º Ì Ð Ô Ö ÕÙ Ò Ð ÒØ Ù
ÊÓÑ ÐÓ× ÕÙ ÓÞ Ò ÔÐ ÒÓ× Ö Ó׸ ÕÙ Ò × Ø Ò Ñ ÝÓÖ Ô Ð ÓÒ¸
Ó × ¸ optaban ´ ÓÔØ ØÙ× µ¸ Ö Ò ÐÓ× ÒÓ Ð ×º
Ê Ð Þ Ð Ð Ö ØÓÖ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÖ ÙÒØ ÖÒÓ× × ÙÒ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò
ÓÔØ ÑÓ È Ö ÓÒ ÖÓÒØ Ö Ð ÔÖ ÙÒØ ¸ ÑÓ× ÔÐ ÒØ ÖÒÓ× ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÕÙ ÒÓ× ÔÓÒ Ö
Ð Ó×Ø ÙÒ × Ñ ÓÐÓ Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù Ö Ù Ò Ô Ö ÓÒ Ý ÕÙ ÒÓ× ÓÒ ÙÞ ÙÒ
ÓÖÑ Ò Ö Ð Ý ÙÒ × Ù Ö Ö Ð Ñ ÓÖ Ö ÓÐ Ó Ó׺
Definici´n 4.12 (Longitud ponderada del camino) Ë ÙÒ Ö
o ÓÐ Ò Ö Ó T Ò Ð Ù Ð
Ó ne ∈ T × Ð × Ò ÙÒ Ó×Ø Ó ÔÓÒ Ö ÓÒ w(ne)º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÐÓÒ ØÙ
ÔÓÒ Ö Ð Ñ ÒÓ¸ ÒÓØ ÓÑÓ ÛÔÐ(T )¸ × ¬Ò ÓÑÓ
ÛÔÐ(T ) = Ò Ú Ð(ne) × w(ne) ´º µ
ne × Ó
È Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º ¿¹ Ø Ò ÑÓ×
ÛÔÐ(T ) = 2 × (7 + 6) + 3 × (15 + 16 + 10 + 4) = 161
Ù ÒØÓ Ñ ÒÓÖ ÐØÙÖ Ø Ò ÙÒ Ó ¸ Ñ ÒÓÖ × ×Ù Ò Ò ×Ó Ö Ð ÛÔк Ä ×
ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ó Ó× ÙÝÓ ÛÔÐ(T ) × Ñ Ò ÑÓ ×Ø × Ð Ö Ø Ö Ó ÓÔØ Ñ ÓÒº Ì Ð
Ö ÓÐ × ÒÓÑ Ò ÀÙ«Ñ Ò ¸ Ò ÓÒÓÖ ×Ù × Ù Ö ÓÖ¸ ÕÙ Ò × Ù Ö Ó Ð × Ù ÒØ
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
Proposici´n 4.13 (Optimaci´n de Huffman - Huffman [8] 1951) Ë N = {n1, n2, . . . , nn}
o o
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× ÓÒ Ô ×Ó× w(n1), w(n2), . . . , w(nn)º Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó ÓÒ¹
×ØÖÙ Ó × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÀÙ«Ñ Ò ´Ü º½¿º¿ ´Ô Ò ¿ µµº ÒØÓÒ ×¸ ∀T = T =⇒
ÛÔÐ(T ) ≤ ÛÔÐ(T )º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐ ÔÖ ¬ Ó× T × Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ×Ù ÐÓÒ ØÙ
ÔÓÒ Ö Ð Ñ ÒÓº

400. 374 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
13
7 6
b c
15 16 10 4 15 16 10 4
a e i a e i
=⇒
´ µ Ö ÓÐ Ó Ó× ÒØ Ö ÓÖ ´ µ ÒØ Ö ÓÖ × Ò Ó × Ý
ÙÖ º ¿ Ö ÓÐ × ÔÖ ¬ Ó× ÑÔÐÓ
Demostraci´n
o Ä ÔÖÙ × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÔÓÖ Ò Ù ÓÒ ×Ó Ö Ð Ö ÒÐ T Ý×
ÚÐ Ö Ð × Ù ÒØ Ð Ñ
Lema 4.5 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ Ô ×Ó× Ò ×Ù× Ó ×º Ë Ò n1 Ý n2 Ð × Ó× Ó × T ÓÒ Ô ×Ó
Ñ Ò ÑÓº ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ T Ø Ð ÕÙ ×Ø ÓÒØ Ò Ð × Ñ ×Ñ × Ó × ÕÙ T Ü ÔØÓ
ÕÙ Ð × Ó × n1 Ý n2 × ×Ù ×Ø ØÙÝ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ó n+ ÓÒ w(n+) = w(n1) + w(n2)º
ÒØÓÒ ×¸ × ÔÓ× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ T Ø Ð ÕÙ ¾
ÛÔÐ(T ) ≤ ÛÔÐ(T ) − w(n+) ´º µ
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ¬ ÙÖ º ¿¹ ÐÙ×ØÖ ÙÒ T ÔÓ× Ð Ò Ð Ù Ð × Ð ×ÙÔÖ Ñ Ò Ð × Ó × b Ý
cº Ò ×Ø ×Ó¸ wpl(T ) = 13 + 3 × (15 + 16 + 10 + 4) = 148
Demostraci´n À Ý ØÖ × ÔÓ× Ð × × ØÙ ÓÒ ×
o ÓÒ× Ö Ö Ô Ö n1, n2 ∈ T
½º n1 Ý n2 ×ÓÒ ÖÑ ÒÓ× Ò ×Ø ×Ó¸ ÐÓ× ×ÙÔÖ Ñ ÑÓ× Ý ÓÐÓ ÑÓ× Ò ×Ù Ô Ö n3¸
ÕÙ Ú Ò Ò Ó ¸ w(n3) = w(n1) + w(n2)º Ò ×Ø Ö Óи n3 ×Ø Ò ÙÒ Ò Ú Ð
Ò Ö ÓÖ i − 1¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ
ÛÔÐ(T ) = ÛÔÐ(T ) − i×(w(n1)+w(n2)) + (i−1)×(w(n1)+w(n2)) = ÛÔÐ(T )−(w(n1) + w(n2))
w(n3 )
Ð Ù Ð ¬ Ö Ü Ø Ñ ÒØ ÛÔÐ(T ) Ò w(n3)º
¾º n1 Ý n2 ×Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ú Ð ×ÙÑ ÑÓ× s1 ÓÑÓ Ð ÖÑ ÒÓ n1 ´ Ð ×Ó ×
× Ñ ØÖ Ó ÓÒ n2µº ÒØÓÒ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ÒØ Ö Ñ Ö s1 ÓÒ n2 Ý × Ô Ö Ö Ò Ð
×Ó ÒØ Ö ÓÖº
¿º n1 Ý n2 ×Ø Ò Ò Ò Ú Ð × ×Ø ÒØÓ× Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×ÙÑ ÑÓ× s1
ÓÑÓ Ð ÖÑ ÒÓ n1º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ò Ú Ð(n1) > Ò Ú Ð(n2)º
ÈÓ ÑÓ× Ô ØÓÖ Þ Ö ×Ø × ØÙ ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾
× × Ò Ð ×Ø Ò Ù Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÔÓ× Ð Ò Ð ÒÙÒ Ó Ð Ð Ñ × Ö¸ ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö×
ÙÒ ×ÔÓ× ÓÒ ØÓÔÓÐÓ ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ö ×Ø ÒØ × ÕÙ × Ø × Ð × ÙÐ º

401. 4.13. C´digos de Huffman
o 375
n2 s1
p p
s1 n1 n2 n1
ÒØ Ö Ñ ÑÓ×
=⇒
n2 ÓÒ s 1
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ò Ò ÕÙ Ø Ò Ð ×Ù Ö ÓÐ s1 ×Ó Ö ÛÔÐ(T )¸ Ð Ù Ð ÔÙ
ÜÔÖ × Ö× ×
σ(s1) = w(nx) × Ò Ú Ð (nx)
∀nx ∈ Ó (s1 )
Ù Ò Ó Ö Ð Þ ÑÓ× Ð ÒØ Ö Ñ Ó ÒØÖ s1 Ý n2¸ Ð Ú ÐÓÖ σ(s1) ×Ñ ÒÙÝ σ(s1)¸
ÔÙ × Ò Ú Ð(s1) = Ò Ú Ð(n1) Ò T º ÈÓÖ Ø ÒØÓ
ÛÔÐ(T ) = ÛÔÐ(T ) + Ò Ú Ð(n1) × w(n2) − σ(s1) + σ(s1) ≤ ÛÔÐ(T )
Ð ×Ó Ò ÕÙ ×ÓÒ Ù Ð × × Ù Ò Ó s1 × ÙÒ Ó º
ÓÖ ¸ Ù Ò Ó ØÙ ÑÓ× Ð Ù× ÓÒ n1 Ý n2 Ò n+¸ Ö Ö × ÑÓ× Ð × ØÙ ÓÒ Ð
ÔÖ Ñ Ö ×Ó
ÛÔÐ(T ) = ÛÔÐ(T )+(Ò Ú Ð(n1)−1)×(w(n1)+w(s))−σ(s1)+σ(s1 ) ≤ ÛÔÐ(T )−w(n+)
Ð ×Ó Ù Ò Ó Ò Ú Ð(n1) < Ò Ú Ð(n2) × × Ñ ØÖ Ó
×Ø Ð Ñ × Ð ÙÒ Ñ ÒØÓ ÑÓ×ØÖ Ø ÚÓ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ú Ò Ö ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö
Ö ÓÐ T ≤ T =⇒ ÛÔÐ(T ) ≤ ÛÔÐ(T )º
Ê ØÓÑ ÑÓ× Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ý ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ò Ù ÓÒ ×Ó Ö Ð Ö ¹
ÒÐ Ð Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò T
½º È Ö |T | ≤ 2 Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ö ØÓº
¾º ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò Ý Ú Ö ¹
¬ÕÙ ÑÓ× ×Ù Ú Ö Ô Ö Tn+1 × Ö ∀Tn+1 = Tn+1 =⇒ ÛÔÐ(Tn+1) < ÛÔÐ(Tn+1)º
Ë Ò n1 Ý n2 Ð × Ó× ÔÖ Ñ Ö × Ó × ÕÙ × Ð ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÀÙ«Ñ Òº ÓÖ
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÔÐ Ö Ð Ð Ñ º Tn+1 Ý Tn+1 ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× n1 Ý n2 Ý ÔÖÓ Ù Ö Ó×
Ö ÓÐ × Tn Ý Tnº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ n1 Ý n2 ×ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ñ ÒÓ× Ô ×Ó¸ ×ØÓ× ×ÓÒ ÖÑ ÒÓ× Ò Ð Ö ÓÐ
ÀÙ«Ñ Òº ÈÓÖ Ø ÒØÓ ÛÔÐ(Tn) = ÛÔÐ(Tn+1) − w(n1) − w(n2)¾ º
¾
×ØÓ × Ú Ò Ó Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ ÐÐ Ñ º º

402. 376 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
È Ö Ð Ö ÓÐ Tn × ÑÓ׸ × ÙÒ Ð Ð Ñ º ¸ ÕÙ ÛÔÐ(Tn) ≤ ÛÔÐ(Tn+1) − (w(n1) +
w(n2))º ÓÖ Ò¸ ÙÒÕÙ ÕÙ Þ Ô Ö Þ Ó Ú Ó¸ |Tn| = |Tn| < |Tn+1| = |Tn+1|º ÈÓÖ
Ø ÒØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ Ö Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú Ô Ö ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ ÛÔÐ(Tn) ≤ ÛÔÐ(Tn)
4.13.6.1 Conclusi´n
o
Ê Ô ØÙÐ ÑÓ× Ð Ù×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÀÙ«Ñ Ò Ñ ÒØ Ð Ó× Ð × × ÕÙ ÑÓ×
ÔÖ × ÒØ Öº Ð ÒØ Ó ¬ ÓÖ × Ú Ð ÙÒ Ò×Ø Ò Huffman Encoder Engine¸ Ñ Ò¹
ØÖ × ÕÙ Ð Ó ¬ ÓÖ ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ Huffman Decoder Engineº Ç Ú Ñ ÒØ ¸
Ñ × Ò×Ø Ò × Ò ÔÓÒ Ö× Ù Ö Ó Ò Ù× Ö Ð Ñ ×ÑÓ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Òº Ë Ò Ñ¹
Ö Ó¸ ÕÙ Ô Ö ÙÒ Ø ÐÐ ÒØ Ö × ÒØ Ô Ö Ó ¬ Ö Ó Ó ¬ Ö Ð Ø ÜØÓ ÒÓ
ÐØ Ð Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Òº ×ØÓ × Ú ÒØ Ò Ð Ó ¬ ÓÖ¸ Ô٠׸ ×Ø × Ö Ñ Ø Ð Ö ÐÓ×
× Ñ ÓÐÓ× Ð Ø ÜØÓ Ý¸ ØÖ Ú × Ð Ñ Ô Ó Ó Ó׸ Ñ Ø Ö ÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÔÖ ¬ Ó׺
È ÖÓ¸ ÓÑÓ Ö Ð Ó ¬ ÓÖ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ×Ø ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ ÔÖ ¬ Ó× ÑÔ Ö¹
Ø Ò Ü º º¼º ´Ô Ò ¿¾½µº Ò ØÓ¸ ÙÒ Ø ÜØÓ Ó ¬ Ó × ÙÒ × Ù Ò ÔÐ Ö×
´Ü º º¼º ´Ô Ò ¿¾ µµ¸ Р٠и ÓÑÓ ÓÖÓÐ Ö Ó Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ü º ´Ô Ò
¿¾¾µ¸ × ÔÖ ¬ Óº ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ¸ ÙÒ × Ù Ò ÔÖ ¬ Ó׸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÓÒÓ ÖÐÓ×
ÒØÖ × º Ä Ø Ò Ò Ù ×Ø ÓÒ × Ð Ö Óº
4.14 ´
Arboles est´ticos optimos
a ´
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ×ÓÒ × Ò Ó× Ô Ö ÑÙÐ Ö Ð Ù×ÕÙ Ò Ö º ËÙ ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð
× ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò Ò× Ö ÓÒ × Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ × Ò O(Ð (n))º ÓÖ Ò¸ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×
Ù × ×Ø Ø Ó × Ö¸ ÒÓ Ó ÙÖÖ Ò× Ö ÓÒ × Ò ×ÙÔÖ × ÓÒ ×¸ ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ö ÓÐ
Ò Ö Ó ÐØÙÖ Ñ Ò Ñ ¬ ÒØ
ÓÒ× Ö ÑÓ× ×ÔÓÒ Ö Ð × Ð Ú × Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó Ý ØÙ Ö Ð Ù×ÕÙ ÒÖ º
ÓÒ ×Ø Ò ÓÕÙ ¸ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ ÐÓÒ ØÙ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓº Ñ ×¸ ÓÖÖ ÑÓ×
×Ô Ó¸ ÔÙ × ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö ÔÙÒØ ÖÓ׺ ÓÑÓ ÔÙÒØÓ ¬Ò и ÑÓ× Ö Ñ Ö Ö ÕÙ
Ð ÖÖ ÐÓ ÔÖÓÚ ÐÓ× × Ð ÓÑÔÙØ ÓÖº
Ä Ù×ÕÙ Ò Ö ×ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ù Ò ×Ó × ÕÙ Ø Ø Ú Ô Ö ØÓ × Ð ×
Ð Ú × Ý ×ØÓ ÒÓ × ÖØÓ Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׺ Ð ÙÒ × Ð Ú × × Ò Ñ × ÕÙ ÓØÖ ×º À Ý
× ØÙ ÓÒ × Ò ÕÙ Ð Ö Ù Ò ×Ø ×Ø ×Ó ÔÙ ÓÒÓ Ö× ÒØ × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð
Ö Óк Ò ×ØÓ× ×Ó׸ ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÓÔØ Ñ Ð ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ò Ñ Þ Ö Ð ÒØ ØÓØ Ð
×Ô Ö Ù×Õ٠׺ ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ×Ø Ñ Ò Ñ Þ ÓÒ × ÐÓ Ö ÓÐÓ Ò Ó ÐÓ× ÒÓ Ó×
×Ó Ñ × Ö Ù ÒØ Ö ÒÓ× Ð Ö Þº Ð ÓÒ ÔØÓ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ò ÓÒØÖ Ö Ö ÓÐ ×
ÓÔØ ÑÓ× ×Ù Ý Ò Ð ¬Ò ÓÒ × Ù ÒØ
Definici´n 4.13 (Longitud del camino interna ponderada) Ë
o ÙÒ Ö ÓÐ T n
ÒÓ Ó׺ Ë P = {pi | pi × Ð Ô ×Ó Ð ÒÓ Ó ni ∈ T | ∀i pi = 1}º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÄÓÒ ¹
ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒ ÔÓÒ Ö × ¬Ò ÓÑÓ
n
Ci(T ) = (Ò Ú Ð (ni) + 1)pi ´º µ
i=1
n
Ò Ú Ð(ni) pi + 1
i=1

403. ´
4.14. Arboles est´ticos ´ptimos
a o 377
z x x z
y y y z x
x z x z y y
´µ ´ µ ´µ ´µ ´µ
ÙÖ º Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ØÖ × ÒÓ Ó×
Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ n Ð Ú × ÓÒ ×Ù× ÔÖÓ Ð × ×Ó¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ× ×Ø
Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ö ÓÐ n ÒÓ Ó× ÙÝÓ Ci × Ñ Ò ÑÓº Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ ٠и ÒØÖ
ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÓ× Ð × Ö ÓÐ × n Ð Ú ×¸ Ø Ò Ð Ci Ñ Ò ÑÓ ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ×
Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× {X, Y, Z} ÓÒ Ô ×Ó× {1/9, 3/9, 5/9}º Ë ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½½ Ü ×Ø Ò
4 3 = 5 Ñ Ò Ö × ×ÔÓÒ Ö ØÖ × ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ Ð × Ù Ð × ×
1 6
ÐÙ×ØÖ Ò Ò Ð ¬ ÙÖ º º Ä × ÐÓÒ ØÙ × Ñ ÒÓ ÔÓÒ Ö × Ô Ö Ö ÓÐ ×ÓÒ
(a) 1 3 5 14
Ci = 3 +2 + =
9 9 9 9
(b) 1 3 5 21
Ci = 1 +2 +3 =
9 9 9 9
(c) 1 3 5 15
Ci = 2 + +2 =
9 9 9 9
(d) 1 3 5 20
Ci = +3 +2 =
9 9 9 9
(e) 1 3 5 16
Ci = 2 +3 + =
9 9 9 9
×ØÓ ÖÖÓ Ð Ö ÓÐ ´ µ ÓÑÓ Ð ÓÔØ ÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ×ÓÖÔÖ Ò ÒØ Ý Ö Ú Ð ÓÖ ÕÙ ÐÓ
ÓÔØ ÑÓ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÐÓ ØÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ù ÒÓ¸ Ô٠׸ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö ÓÐ
ÓÔØ ÑÓ × Ð Ñ × × ÕÙ Ð Ö Ó × ÙÒ ÐÓ× Ö Ø Ö Ó× ØÖ ÓÒ Ð ×º
Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× ÙÒ Ö Ð × ÓÑÔÐ × Ò Ö ÒØ × ÙÒ Ð Ó¹
Ö ØÑÓº ÈÓ Ö ÑÓ× Ò Ö Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × Ù×ÕÙ ÔÓ× Ð × ÓÒ n Ð Ú × Ý ÒØÓÒ ×
Ñ Ö Ð × ÐÓÒ ØÙ × Ñ ÒÓ ÔÓÒ Ö × Ô Ö × Ð ÓÒ Ö Ð Ñ ÒÓÖº Ç Ú Ñ ÒØ ¸ ×Ø
Ø Ò × ÑÙÝ Ó×ØÓ× Ò Ø ÑÔÓ Ý ×Ô Óº
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ð ÓÒ× Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × ÔÖ Ò Ö ÕÙ × ÙÒ Ö ÓÐ ×
ÓÔØ ÑÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ù× Ó× Ö Ñ × Ø Ñ Ò ÐÓ ×ÓÒº ÓÖÑ Ð Þ ÑÓ× ×Ø Ó Ò Ð × Ù ÒØ
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
Proposici´n 4.14
o Ë T ∈ B ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÓÔØ ÑÓº ÒØÓÒ ×¸ Ä(T ) Ý
Ê(T ) ×ÓÒ ÓÔØ ÑÓ׺
Demostraci´n ´ÈÓÖ ÓÒØÖ
o ÓÒµ Ë k1, k2, . . . , kl, . . . , kn Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÙÒ
T ∈ Ò Ö Ð n ÒÓ Ó× ÓÒ Ö Þ Ò Ð Ú klº ×Ø ÑÓ Ó¸ L(T ) ÓÒØ Ò Ð ×
Ð Ú × {k1, k2, . . . , kl−1} Ý R(T ) Ð × Ð Ú × {kl+1, . . . , kn}º ÈÓ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ × ÙÒ Ð

404. 378 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
¬Ò ÓÒ º½¿¸ ÔÐ ÒØ Ö Ci Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ö Þ kl¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó¾
l−1 n
Ci(T ) = pl + (Ò Ú Ð (ki) + 1)pi + (Ò Ú Ð (ki) + 1)pi
i=1 i=l+1
l−1 n
= pl + Ci(Ä(T )) + pi + Ci(Ê(T )) + pi
i=1 i=l+1
n
= pi + Ci(Ä(T )) + Ci(Ê(T )) ´º µ
i=1
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ ÓÒØ Ò ÙÒ L(T ) Ó R(T ) ÕÙ ÒÓ × ÓÔØ ÑÓº Ò ×Ø
×Ó¸ × ÙÒ ´ º µ¸ Ci(T ) ÙÑ ÒØ Ö Ú ÐÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ð ×ÙÔÓ× ÓÒ ÕÙ T ×
ÓÔØ ÑÓº Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ×¸ Ô٠׸ Ú Ö Ö
4.14.1 Objetivo del problema
Ó ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó K = [k1, k2, . . . , kn] n Ð Ú × Ý ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ô Ö Ð ÐÓ
P = [p1, p2, . . . , pn] ÔÖÓ Ð × ×Ó¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ× ×Ø ¸ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ
Ð Ò Ó¸ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð Ð Ú kl¸ ÒØÖ Ð × n ÔÓ× Ð ×¸ ÓÐÓ Ö× ÓÑÓ Ö Þ Ð
Ö ÓÐ ¬Ò Ð T º ÍÒ Ú Þ ÕÙ × Ö Ð ×Ø × Ð ÓÒ¸ Ð Ö ×ØÓ Ð × Ð Ú × ÕÙ Ö Ò Ò Ä(T )
Ý Ê(T ) ÕÙ ØÓØ ÐÑ ÒØ ¬Ò Ó¸ ÔÙ × ×Ø × Ò × Ø × Ö Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò
ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº ÄÓ× ×Ù Ö ÓÐ × × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ò Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÔÐ Ò Ó Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖ Ò¹
Ô Ó ×Ó Ö [k1, k2, . . . , kl−1] Ý [p1, p2, . . . , pl−1] Ô Ö Ä(T ) Ý [kl+1, . . . , kn] Ý [pl+1, . . . , pn]¸
Ô Ö Ê(T )º
×ØÓ ÒÓ× ÓÒ Ù ÙÒ ¬Ò ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ð Ó×ØÓ × pi,j = j pl Ý Ci,j Ð l=i
Ó×ØÓ ØÓØ Ð Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÔØ ÑÓ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ Ð × Ð Ú × ÕÙ Ú Ò × ki ×Ø kjº
ÒØÓÒ ×
j
Ci,j = Ñ Ò ´ º ¼µ
1
pi,l−1(1 + Ci,l−1) + pl + pl+1,j(1 + Cl−1,j)
l=i pi,j
Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó kl ÓÑÓ Ö Þ Ö ÓÐ Ö Ó
Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × ÜÔÓÒ Ò Ð × ÐÓ ÔÐ ÑÓ× Ö Ø Ñ ÒØ º ÆÓ Ó ×Ø ÒØ ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ ×
ÓÔØ ÑÓ× Ò × Ø × Ö Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò Ý¸ Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ü ×Ø Ò ÐÓ ×ÙÑÓ n(n+1)
2
Ö ÒØ × Ñ Ò Ö × ×ØÖ Ù Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ K Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº ÈÓ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸
× Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ò ÒØ ÕÙ ÓÑ Ò ÔÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× n−1 Ö ÓÐ × ÓÔØ ÑÓ×
2 ÒÓ Ó׺ Ô ÖØ Ö ×Ø Ö ×ÙÐØ Ó¸ ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× ÐÓ× n − 2 Ö ÓÐ × ÓÔØ ÑÓ× 3 ÒÓ Ó×
Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ º
ÄÓ× Ó×Ø × ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × ÓÔØ ÑÓ× × ÐÑ Ò Ò Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ COST[] n × n¸ ÓÒ
ÒØÖ COST(i,j) Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ó×ØÓ Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ ÒØÖ i Ý jº Ð ÙÐ ÑÓ×
Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ ×Ø Ñ ØÖ Þ ÔÓÖ ÓÒ Ð × ×Ø ÐÐ Ö Ð ÓÒ Ð COST(1,n)¸ Ð Ù Ð
ÓÒØ Ò Ð Ó×ØÓ ÓÔØ ÑÓ Ð Ö ÓÐ n ÒÓ Ó׺
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ Ó× ÖÖ ÐÓ× Ñ Ò× ÓÒ n¸ ÓÒ n Ö ÔÖ × ÒØ Ð
ÒÙÑ ÖÓ Ð Ú ×º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× keys[] Ý ÓÒØ Ò Ð × Ð Ú ×º Ð × ÙÒ Ó ÐÓ
ÐÐ Ñ ÑÓ× [p] Ý ÓÒØ Ò Ð × Ö Ù Ò × ×Ó Ô Ö ÐÚº
¾
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ú Ð Ò L(T ) Ó R(T ) ×Ø × × Ó Ò ÙÒÓ Ö ×Ô ØÓ T º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸
n
i=l+1 (Ò Ú Ð(ki )pi ¸ Ò ÓÒ Ò Ú Ð(ki ) × Ö ¬ Ö T¸ × Ci (L(T )) Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ × Ð Ñ ×ÑÓ
ÔÖ Ci (R(T ))

405. ´
4.14. Arboles est´ticos ´ptimos
a o 379
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÕÙ Ö ÓØÖ Ñ ØÖ Þ TREE[] ÕÙ ÐÑ Ò Ð × Ö × ÐÓ× Ö ÓÐ × ÓÔØ ÑÓ׺
Ó ÙÒ Ó×ØÓ ÓÔØ ÑÓ COST(i,j)¸ TREE(i,j) ÓÒØ Ò Ð Ò Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó
ÓÔØ ÑÓ ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ keysº
4.14.2 Implantaci´n del problema
o
ÁÑÔÐ ÒØ ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ð Ö ÚÓ ÓÔ ÒÌÖ ºÀ ¿ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð
× Ù ÒØ
¿ ÓÔ ÒÌÖ ºÀ ¿ ≡
¬Ò ÓÒ Ñ ÖÓ× ÓÔ ÒÌÖ ¿
ÈÖÓØÓØ ÔÓ× ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × ÓÔ ÒÌÖ ´Ò Ú Ö ¬Ò µ
ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × ÓÔ ÒÌÖ ¿ ¼
template <class Node, typename Key>
Node * build_optimal_tree(Key keys[], double p[], const int & n)
{
Ð Ö ÓÒ Ñ ØÖ × ÒØ ÖÒ × ¿
compute_optimal_costs(cost, p, n, tree);
return compute_tree<Node, Key> (keys, tree, n, 1, n);
}
Í× × compute optimal costs ¿ ¼ Ò compute tree ¿½ º
Ð Ö ÚÓ ÜÔÓÖØ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð ÐÐ Ñ build optimal tree()º Ä ÒØÖ
Ð ÙÒ ÓÒ × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó Ð Ú × keys[]¸ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ô Ö Ð ÐÓ ÔÖÓ Ð ×
×Ó ÔÓÖ i¹ × Ñ Ð Ú Ý Ð Ñ Ò× ÓÒ n ÐÓ× Ö ×Ô Ø ÚÓ× ÖÖ ÐÓ׺ Ä × Ð ×
Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÔØ ÑÓ ÓÒ ÓÖÑ Ð × ÔÖÓ Ð × ×º
Ä × Ð Ú × Ý ÔÖÓ Ð × × ÓÐÓ Ò Ò ÖÖ ÐÓ× ×Ø Ø Ó׺ Ù× Ð Ö Ò ×¹
Ð ¸ Ð × Ñ ØÖ × ÒØ ÖÒ × ×ÓÒ Ñ × Ð × Ñ ÒØ Ò Ö ×Ø Ø ×º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ݸ
Ò Ò ÙÖ ¸ Ô Ö ÒÓ Ð Ñ Ø ÖÒÓ× ÔÓÖ Ð Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ÑÓÖ ¸ Ù× Ö ÑÓ× ÖÖ ÐÓ×
Ò Ñ Ó×
¿ Ð Ö ÓÒ Ñ ØÖ × ÒØ ÖÒ × ¿ ≡ ´¿ µ
DynArray <int> tree((n + 1)*(n + 1));
DynArray <double> cost((n + 1)*(n + 1));
Í× × DynArray ¾º
tree[] × ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÕÙ ÐÑ Ò Ò × Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÖÖ ÐÓ keys Ð ÙÒ ÓÒ
build optimal tree()º cost[] × ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÕÙ ÐÑ Ò Ó×Ø × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ô Ö Ð ×
Ö ÕÙ Ö Ó× Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓº
Ð ×Ó ÓÑÓ Ñ ØÖ Þ ÙÒ ÒØÖ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó × ¬Ò Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
¿ ¬Ò ÓÒ Ñ ÖÓ× ÓÔ ÒÌÖ ¿ ≡ ´¿ µ
# define COST(i,j) (cost[(i)*(n+1) + (j)])
# define TREE(i,j) (tree[(i)*(n+1) + (j)])
¬Ò ×
COST¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ¼ Ò ¿ ½ º
TREE¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ ¼ Ò ¿ ½ º
TREE(i,j) ÐÑ Ò Ð Ò Ð Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ Ô Ö Ð ÕÙ ÓÒØ Ò Ð × Ð Ú ×
ÒØÖ i Ý jº Ð ¬Ò и Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ ¬Ò Ø ÚÓ × Ö keys[TREE(1, n)]¸ Ð Ö Þ Ð
Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó keys[TREE(1, TREE(1,n) - 1)]¸ Ø Ø Ö º
COST(i,j) ÐÑ Ò Ð Ó×ØÓ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÒ Ð Ú × ÒØÖ keys[i] Ý keys[j]º

406. 380 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
ÓÑÓ × Ð Ó×ØÙÑ Ö ¸ ØÓ Ó Ñ ÖÓ × Ö Ò ¬Ò Ó Ð ¬Ò Ð Ð Ö ÚÓ
¿¼ ÁÒ ¬Ò ÓÒ Ñ ÖÓ× ÓÔ ÒÌÖ ¿ ¼ ≡
# undef COST
# undef TREE
Í× × COST ¿ Ò TREE ¿ º
ÓÖ ¬Ò ÑÓ× Ð ÙÒ ÓÒ compute optimal cost()¸ Ð Ù Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó×
ÐÓÕÙ ×
¿¼ ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × ÓÔ ÒÌÖ ¿ ¼ ≡ ´¿ µ ¿ ¼
static inline
void compute_optimal_costs(DynArray <double> & cost,
double p[],
const int & n,
DynArray <int> & tree)
{
ÁÒ Ö ×ØÖÙ ØÙÖ × ÒØ ÖÒ × ¿ ¼
ÓÒ×ØÖÙ Ö Ó×Ø × ÓÔØ ÑÓ× ¿ ¼
}
¬Ò ×
compute optimal costs¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º
Í× × DynArray ¾º
compute optimal cost() Ð ÙÐ Ð × Ñ ØÖ × Ó×Ø × COST[] Ý ÐÓ× Ò × Ð × Ö ×
×Ù Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ Ò TREE[]º Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÓÕÙ ÁÒ Ö ×ØÖÙ ØÙÖ × ÒØ ÖÒ × ¿ ¼ ¸
ÓÐÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × Ò Ð × Ö ×Ô Ø Ú × Ñ ØÖ ×
¿¼ ÁÒ Ö ×ØÖÙ ØÙÖ × ÒØ ÖÒ × ¿ ¼ ≡ ´¿ ¼ µ
int i, j, k;
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
COST(i, i - 1) = 0;
TREE(i, i) = i;
}
Í× × COST ¿ Ò TREE ¿ º
Ð × ÙÒ Ó ÐÓÕÙ × Ð ÕÙ Ð ÙÐ ÐÓ× Ó×Ø × ¬Ò Ø ÚÓ׺ ÈÖ Ñ ÖÓ ÓÒ ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ ×
2 ÒÓ Ó׸ ÐÙ Ó ÓÒ ÐÓ× 3¸ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ ×Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ COST(0, n-1)
Ý Ð Ö Þ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ò TREE(0, n-1)
¿¼ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ó×Ø × ÓÔØ ÑÓ× ¿ ¼ ≡ ´¿ ¼ µ
for (i = 0; i < n; ++i)
for (j = 1; j <= n - i; ++j)
{
k = j + i;
TREE(j, k) = min_index(cost, j, k, n);
COST(j, k) = sum_p(p, j, k) +
COST(j, TREE(j, k) - 1) + COST(TREE(j, k) + 1, k);
}
Í× × COST ¿ ¸ min index ¿ ½ ¸ sum p ¿ ¼ ¸ Ò TREE ¿ º
sum p() ØÙ Ð ×ÙÑ Ð × ÔÖÓ Ð × ÒØÖ j Ý k Ý × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¿¼ ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × ÓÔ ÒÌÖ ¿ ¼ +≡ ´¿ µ ¿¼ ¿½
static inline double sum_p(double p[], const int & i, const int & j)
{

407. ´
4.14. Arboles est´ticos ´ptimos
a o 381
double sum = 0.0;
for (int k = i - 1; k < j; ++k)
sum += p[k];
return sum;
}
¬Ò ×
sum p¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ ¼ º
min index() Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ò l¸ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ j Ý k¸ Ø Ð ÕÙ COST(j, l - 1) +
COST(l + 1, k) × Ñ Ò ÑÓº ×Ø Ú ÐÓÖ × Ð ÙÐ Ñ ÒØ ÖÖ Ó Ö ØÓ l ÒØÖ j
Ýk
¿½ ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × ÓÔ ÒÌÖ ¿ ¼ +≡ ´¿ µ ¿¼ ¿½
static inline int min_index(DynArray <double>& cost,
const int & j, const int & k, const int & n)
{
int ret_val;
double min_sum = 1e32;
for (int i = j; i <= k; ++i)
{
const double sum = COST(j, i - 1) + COST(i + 1, k);
if (sum < min_sum)
{
min_sum = sum;
ret_val = i;
}
}
return ret_val;
}
¬Ò ×
min index¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ ¼ º
Í× × COST ¿ Ò DynArray ¾º
Ð ÓÖÑ ÔÐ ÒØ ¸ min index() × O(n)¸ ÙÝ ÐÐ Ñ Ó ÙÖÖ ÒØÖÓ Ó× Ð ÞÓ×
O(n)º ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐ ÕÙ ÒÙ ×ØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ × O(n3) ÙÒ Ø ÑÔÓ ÑÙ Ó Ñ ÓÖ ÕÙ
Ð ÜÔÓÒ Ò Ð ÕÙ ÔÖÓ Ù Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÖÞ ÖÙØ ¸ Ô ÖÓ ÙÒ Ù ×Ø ÓÒ Ð Ô Ö
Ú ÐÓÖ × n ÑÙÝ Ö Ò ×º Ä Ù×ÕÙ Ð Ò Ñ Ò ÑÓ Ð ÙÐ Ó Ò min index()
ÔÙ Ñ ÓÖ Ö× × ÐÓ Ö ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ñ Ò ÑÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Ò Ó
TREE(j, k - 1) ≤ TREE(j, k) ≤ TREE(j + 1, k)º Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö× ÕÙ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × O(n 2)¸ ÐÓ ÕÙ × Ð ÓÑÓ Ö Óº
ÆÓ× Ö ×Ø ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ Ô ÖØ Ö Ð Ñ ØÖ Þ TREEº Ð Ò Ð Ö Þ × TREE(1,n)¸
Ð ×Ù ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó × TREE(1, TREE(1,n)) Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ º ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ׸
Ô٠׸ Ô Ö × Ò Ö Ð ÖÙØ Ò
¿½ ÙÒ ÓÒ × ÙÜ Ð Ö × ÓÔ ÒÌÖ ¿ ¼ +≡ ´¿ µ ¿ ½
template<class Node, typename Key> static inline
Node * compute_tree(Key keys[], DynArray<int>& tree,
const int & n, const int & i, const int & j)
{
if (i > j)
return Node::NullPtr;
Node * root = new Node (keys[TREE(i, j) - 1]);
LLINK(root) = compute_tree <Node, Key>(keys, tree, n, i, TREE(i, j) - 1);

408. 382 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
54
38 66
29 42 63 69
24 71
7 98
3 108
0
ÙÖ º Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÔØ ÑÓ 14 Ð Ú × ×ØÖ Ù × ÒÓÑ ÐÑ ÒØ ÓÒ p = 0, 5
RLINK(root) = compute_tree <Node, Key>(keys, tree, n, TREE(i, j) + 1, j);
return root;
}
¬Ò ×
compute tree¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º
Í× × DynArray ¾ Ò TREE ¿ º
4.15 Notas bibliogr´ficas
a
Ë ÔÙ Ö Ö ÕÙ Ð ÒÓ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ö ÓÐ Ý ×Ù× ÓÒ ÔØÓ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ×ÓÒ
Ö ×ÙÐØ Ó Ú Ö × Ö × Ý Ò Ö ÓÒ × Ò Ð Ø ÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ׺ Ð ÚÓÐÙÑ Ò ½ Ð ÖØ
Ó ÓÑÔÙØ Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÃÒÙØ ½¼ ¸ Ö ÓÔ Ð ÐÓ× Ò Ó× Ð Ó Ö ¬ Ó× ×Ó Ö ÐÓ×
ÓÖ Ò × Ñ Ø Ñ Ø Ó× ÐÓ× Ö ÓР׺ Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÃÒÙØ × ÙÒ Ð × Ñ ÓÖ × Ö ¹
Ö Ò × Ô Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ð × Ñ Ø Ñ Ø × ×Ó × ÐÓ× Ö ÓÐ × ÔÖ × ÒØ × Ò ×Ø Ø ÜØÓ
Ý ÓØÖÓ× Ø ÔÓ× Ö ÓÐ × ÕÙ ÒÓ ×ØÙ ÑÓ׺ × ÖÖÓÐÐÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó× Ñ × ÔÖÓ ÙÒ Ó×
ÔÙ Ò Ò ÓÒØÖ Ö× Ò ÙÒ Ø ÜØÓ ÓÖÑ Ð ×Ó Ö Ø ÓÖ Ö Ó׺ Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ Ö ÓÑ Ò¹
ÑÓ× Ð Ð × Ó À Ö Öݸ Ö Ô Ì ÓÖÝ º × ÖÖÓÐÐÓ× Ö ÒØ × ÔÙ Ò Ò ÓÒØÖ Ö×
Ò Ð Ø ÜØÓ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× ÃÖ Ö Ý ËØ Ò×ÓÒ ½¾ º
ÄÓ× Ó Ó× ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ Ð Ð Ò Ù ÄÙ × Û Þ Ý Ð Ð Ö ÒÓØ ÓÒ ÔÓÐ ¸
Ù ÖÓÒ ×ØÙ Ó× ÔÓÖ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÓÐ Ó Â Ò ÄÙ × Û Þ ½ º Ð ÓÖÔÙ× ÓÑÔÖ × ÓÒ
ÓÑÓÒ Ñ Ñ ÒØ ÐÐ Ñ Ó ÀÙ«Ñ Ò Ù × Ù ÖØÓ ÔÓÖ Ú ÀÙ«Ñ Ò Ò ½ ¾¸ Ò
ÕÙ Ð ÒØÓÒ × ×ØÙ ÒØ Ó¬ Ð º ÁÒØ Ö × ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÀÙ«Ñ Ò Ñ × ÕÙ ×Ó Ô Ø ÒØ Ö ×Ù×
× Ù Ö Ñ ÒØÓ׺
È Ö ÙÒ Ö Ú × ÓÒ Ý Ò Ð × × Ð Ø ÓÖ Ó Ó× Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ Ö ÓÑ Ò ÑÓ× Ð
ÓÖ Ö×Ø Ð Ý È ÖÖ Ò ¾ º
Ë ÙÒ ÃÒÙØ ½½ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ Ù ÖÓÒ × Ù ÖØÓ× Ò Ô Ò ÒØ ¹
Ñ ÒØ ÔÓÖ Ú Ö Ó× ÒÚ ×Ø ÓÖ × ÙÖ ÒØ Ð ½ ¼º ÒÙ ÚÓ¸ Ð Ð ØÓÖ × Ö Ñ Ø Ó
Ð Ó Ö ÃÒÙØ ½½ Ô Ö ÓÒ×ÙÐØ Ö Ð × Ö Ö Ò × Ü Ø ×º
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð ÖÓ× ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× ÓÒ× Ö Ò Ú Ö Ó× Ô ØÙÐÓ× ÐÓ× Ö ÓР׺ Ò
× × ÒØ Ó¸ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ø ÜØÓ × ÖÚ Ö ÖÒ ÓÒ Ðº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò ÐÓ ÕÙ

409. 4.15. Notas bibliogr´ficas
a 383
Ö ÓÐ × × Ö ¬ Ö ¸ Ò Ò ÙÒ Ð ÖÓ¸ Ò ÐÙ Ó ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ Ð ÔÖ × ÒØ ¸ ÔÙ ÓÒ× Ö Ö×
ÓÑÔÐ ØÓº ÍÒ Ø ÜØÓ Ö ÒØ ¸ Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ù× Ò Ò ++ Ä Ò × Ñ¸ Ù¹
Ò×Ø Ò Ý Ì Ò Ò ÙÑ ½¿ ¸ Ü ÑÔÐ × Ö ­ Ü ÓÒ × ÔÖ Ø × Ý ÔÖ × ÒØ ÔÐ ÓÒ ×
Ö Ð ×¸ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ ¸ Ð Ú ÐÙ ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ × Ö ØÑ Ø × Ñ ÒØ Ö ÓÐ × Ð Ó׺
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ð Ó× Ù ÖÓÒ × Ù ÖØÓ× ÔÓÖ º º È ÖÐ × Ý º Ì ÓÖÒØÓÒ ½ º ÙÒÕÙ
×Ù Ù×Ó × ¬ ÙÐØÓ×Ó¸ ×Ø Ð × Ö ÓÐ × Ù× Ò ÔÐ ÓÒ × ×Ø ×Ø ×¸ ØÓÖ ×
Ø ÜØÓ× Ý ÔÐ ÓÒ × Ö ¬ × ÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ò × ÚÓÐÙÑ Ò × Ò ÓÖÑ ÓÒº
ÄÓ× Ö ÓÐ × ÓÒ Ö Ò Ó ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ü º½½ ´Ô Ò ¿ ¿µ Ù ÖÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ó× ÔÓÖ
×Ø Ö ØÓÖ Ô Ö Ð ÔÖ × ÒØ ØÖ Ó ÓÑÓ Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ Ø Ó ÓÒ × ÙÖ Ò
× Ó × ÖÖÓÐÐ Ó× ÔÖ Ú Ñ ÒØ º Ä × × ×Ó Ö Ð Ù×Ó Ö Ò Ó× Ô Ö Ð Ú ØÓÖ Þ ÓÒ
Ö ÓÐ × × ÔÖ × ÒØ Ô Ö ÙÒ Ð × Ö ÓÐ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓÑ Ò Ó ÎÄ ÔÓÖ Ö Ò º
Ô Ö ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ØÖ Ó Ö Ò × Ô ÓÒ ÖÓ Ò ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ý Ô Ö¹
Ø ÓÒº
ÄÓ× Ó Ó× ÀÙ«Ñ Ò ×ÓÒ ÓÑÓÒ ÑÓ× Ú º ÀÙ«Ñ Ò ÕÙ Ò ÐÓ× × Ù Ö Ó
ÙÖ ÒØ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ×Ù× Ø × × Ó ØÓÖ Ðº
ÄÓ× Ô׸ ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ô×ÓÖظ Ù ÖÓÒ ÔÖ × ÒØ Ó× ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ
º Ϻ º Ï ÐÐ Ñ× ½ Ý Êº Ϻ ÐÓÝ º
Ò Ð ÓÔ Ò ÓÒ ×Ø Ö ØÓÖ¸ Ð Ñ × ÙØ ÒØ Ý Ñ ×ØÖ Ð ÜÔÐ ÓÒ ×Ó Ö Ô× Ð
ÓÖ ÒØÐ Ý Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò È ÖÐ× ½ º Ä ÜÔÐ ÓÒ × Ø Ò Ü Ð× ÕÙ ×
ÑÙ Ó× ÒÓ× ´½ µ Ù Ò Ó ×Ø Ö ØÓÖ ×ØÙ Ó ÐÓ× Ô׸ ×Ø ÒÓ ÔÙ ×ÔÖ Ò Ö×
×Ù ×ÕÙ Ñ ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÐÓ× Ô׺ Ë ÖÚ ¸ Ô٠׸ ×Ø ÔÖ × ÒØ Ô ÖÖ Ó ÓÑÓ ÔÐ Ø ×
Ý Øº
ÓÖÑ Ö¸ Ä × Ö×ÓÒ Ý Ê Ú ×Ø ¿ ÔÖ × ÒØ Ò × ÖÖÓÐÐÓ× ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ× Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó×
Ô Ö ÓØÖ Ð × Ö ÓÐ ÕÙ Ð Ö Ó ÐÐ Ñ Ó ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº
Ð ÓÖ Ð × Ó Ë Û ¸ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò È ÖØ× ½ß ½ ¸ × Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ
ÜÔÓÒ Ö ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÓÖÑ ÑÙÝ ÓÒ × Ô ÖÓ Ú × Ò ÓÑÔÐ Ø Ý Ò ØÖ Ñ ÒØÓ
Ð ÓÖÑ Ð ×ÑÓº Ô × Ö ÐÐÓ¸ Ð Ë Û × ÙÒ Ð × Ñ ÓÖ × Ö Ö Ò × Ô Ö Ò Ö
Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ô ¬ Óº
Ð ÚÓÐÙÑ Ò ¿ Ð ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÃÒÙØ ½½ ÓÒØ Ò ÙÒ Ò Ð × ×
Ñ Ø Ñ Ø Ó ×Ø ÒØ Ü Ù×Ø ÚÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ Ý ÐÓ× Ö ÓÐ ×
ÓÔØ ÑÓ׺
Ð ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖÑ Ò¸ Ä × Ö×ÓÒ Ý Ê Ú ×Ø ¿ ¸ ÓÒ× Ö ÙÒ
Ô ØÙÐÓ Ð × ÜØ Ò× ÓÒ × ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺ ÙÒÕÙ ×Ø Ô ØÙÐÓ × × Ò ÙÒ Ð ×
Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ÓÐ ÐÐ Ñ Ó ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ´Ú Ö Ü º ´Ô Ò ½¿µµ¸ Ð × ÜØ Ò× ÓÒ × ÔÖÓÔ¹
Ù ×Ø × ÔÙ Ò Ù× Ö× ×Ó Ö ÔÖ Ø Ñ ÒØ Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ Ò Ð Ö Þ ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¿µ Ù × Ù ÖØÓ
ÔÓÖ ËØ Ô ×ÓÒ Ý Ö ÔÓÖØ Ó Ò Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ò ÖÝ × Ö ØÖ × Ý Ñ Ò
Ò× ÖØ ÓÒ× Ø Ø ÖÓÓØ ½ º ×Ø ØÖ Ó Ñ Ö Ó ÙÒ ØÓ ×Ó Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ÔÙ ×
Ó Ô ÒÙ Ú × × Ý Ù×Ó׸ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ý Ô ÖØ ÓÒ
ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ µ Ý Ü º½½º ´Ô Ò ¿ µ Ý ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× ÕÙ
× Ö Ò ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ü º¾ ´Ô Ò µº
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ÓÔØ ÑÓ× Ù ÖÓÒ ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× Ý ×ØÙ Ó× ÔÓÖ
ÀÙ Ý ÌÙ Ö Ò ½ ½ º

410. 384 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
4.16 Ejercicios
½º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½ Ô Ö ÕÙ ÑÔÖ Ñ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò ÕÙ
ÒÓ ÕÙ Ô Ò Ð Ñ Ó ÑÔÖ × ÓÒ ´Ô ÒØ ÐÐ Ó ÑÔÖ ×ÓÖ µ ´·µ
¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ ÙÒ × Ù Ò ×ÓÖ Ò ´ÙÒ Ð ×Ø Ó
ÙÒ Ú ØÓÖ¸ ÔÓ Ó ÑÔÓÖØ µ¸ Ô Ö × <Î ÐÓÖ ÒÓ Ó¸ ÆÙÑ ÖÓ Û Ý>¸ Ý Ö ØÓÖÒ Ð
Ö ÓÐ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ý ÓÒ ÖÖ ÐÓ׺
¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÓÑ ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ù ÐÕÙ Ö Ý Ö ØÓÖÒ ÙÒ × Ù Ò
ÓÖ Ò ÒÙÑ ÖÓ× Û Ýº ÓÒ× Ö ÐÓ× Ó× Ø ÔÓ× Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð ×Ø ×
ÒÐ Þ × Ý ÖÖ ÐÓ׺
º × ÙØ Ý × Ò ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ ÓÖ ÒØ Ð ÒÓØ ÓÒ Û Ýº ×¹
ÙØ Ð ÙÒÓ× ÓÒØ ÜØÓ× Ò ÐÓ× Ù Ð × ×Ù × ÒÓ × Ö Ù×Ø ¬ Óº
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù×ÕÙ ÙÒ Ð Ú Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò¹ Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ñ ÒØ
Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º × ÙØ ×Ó Ö Ð × Ö ÒØ × ×ØÖ Ø × Ù×ÕÙ º
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò¹ Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ó
Ñ ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò ×Ù¬ Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ Ð ×Ø ×º
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ × Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Þ ÙÒ Ö Óк
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒÚ ÖØ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ò
×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ ÖÖ ÐÓ׺ Ê Ð Ó× Ö ×ÔÙ ×Ø × Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ¹
× Ö Ò Ó ÓÒÓ Ó Ð ÓÖ Ò Ð Ö Óи Ð × ÙÒ ÓÒ× Ö Ò ÓÐÓ × ÓÒÓ Óº
½¼º ÓÒ ÓÑÓ Ð Ñ Ø Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ô Ö ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ Ö ¹
ÕÙ Ö Ô Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ðº
½½º ÓÒ ÓÑÓ Ð Ñ Ø Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó Ô Ö ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ Ö ¹
ÕÙ Ö Ô Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ðº
½¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× Ò¬ Ó
Ý ×Ù¬ Óº
½¿º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × level order ´Ü º º½¾ ´Ô Ò ¾ ¼µµ Ô Ö ÕÙ Ù×
ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ú × Ø ÕÙ Ö Ð Ò Ú Ð Ý Ð ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Óº
½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ÓÔ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺ ´·µ
½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ×ØÖÙÝ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺ ´·µ
½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò ÔÖ ¬ Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð Óº
½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò ×Ù¬ Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð Óº
½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ä ÒØÖ × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÒÓÖÑ Ð
Ð × Ð × Ð Ñ ×ÑÓ Ö Óи Ô ÖÓ ×Ù× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ð Ó× × ÙÒ º º½ º
½º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÙ Ð ÓÔ Ð º

411. 4.16. Ejercicios 385
¾¼º ËÙÔÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÝÓ× ÒÓ Ó× Ø Ò Ò ÙÒ ÑÔÓ ÓÒ Ð ÐÐ Ñ Ó PLINK
Ý ÕÙ ÒÓØ Ð ÒÓ Ó Ô Ö º Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö p¸ × Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ÒÓ
Ö ÙÖ× ÚÓ× Ý × Ò Ô Ð Ô Ö
´ µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ý¸
´ µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓ Ó ×Ù ×ÓÖº
¾½º ÄÓ× Ö ÓÖÖ Ó× Ô× Ù Ó¹ Ð Ó× ÒÓ ÓÒ× Ö Ò Ð ÔÓ× ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò
×Ù Ò Ú Ðº ÅÓ ¬ÕÙ Ð × ÙÒ ÓÒ × Ò Ù ×Ø ÓÒ Ô Ö ÕÙ × Ò ÐÙÝ Ò ×ØÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׺
´··µ
¾¾º × Ò ÙÒ ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú ÕÙ Ö ÓÖÖ ÔÓÖ Ò Ú Ð × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ý Ù× ×Ô ¹
Ó O(1)º ´·µ
¾¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ØÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÖ ×¹
Ò ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð Ì Tree Node<T>º
¾ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ØÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÖ ×¹
Ò ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð Ì Tree Node<T>º
¾ º ÓÒ× Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÖ × Ò
Prefijo ¾ ½ ¿ ½ ½ ½¾ ½¼ ½½ ½ ½¿ ½ ½ ½ ¾¼
Sufijo ½¾¿ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼
Ù Ð Ö ÓÖ × Ò º
¾º ¬Ò ÑÔÐ ÒØ Ð × Ñ Ð Ö ÒØÖ Ó× Ö ÓÐ × ×Ô ¬ Ó× Ñ ÒØ
Ð Ì Tree Node<T>º
¾º ¬Ò ÑÔÐ ÒØ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ó× Ö ÓÐ × ×Ô ¬ Ó× Ñ ÒØ
Ð Ì Tree Node<T>º
¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð ÓÔ ÙÒ Ö ÓÐ ×Ô ¬ Ó Ñ ¹
ÒØ Ð Ì Tree Node<T>º
¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð ÓÔ ÙÒ Ö ÓÐ ×Ô ¬ Ó
Ñ ÒØ Ð Ì Tree Node<T>º
¿¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ Ö Ð Ð Ù×ÕÙ ÔÓÖ ÒÙÑ ÖÓ Û Ýº
¿½º Ù Ð Ö ÓÖ × Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð × Ù ÒØ Ö ÓÐ Ò Ö Ó

412. 386 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
9
6 21
4 7 16 22
1 5 8 10 18 24
2 13 17 19 23 25
3 11 14 20
12 15
¿¾º Ù Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö ÓÖ × Ò × Ù ÒØ
1 14 26 27
2 8 9 10 17 18 19 20 28 29 30 31
3 4 5 6 7 11 12 13 21 22
15 16 23 24 25
¿¿º ÓÑÔÐ Ø Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù ÓÒ ´ º¿¿µº ´··µ
¿ º ÓÑÔÐ Ø Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù ÓÒ ´ º¿ µº ´·µ
¿ º Ë (ni) Ð Ö Ò Ð Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÝ Ö Þ × niº ÑÙ ×ØÖ ÕÙ
ÁÈÄ(T ) = (ni)
∀ni T|ni ÒØ ÖÒÓ
¿ º Ò Ö Ð Ð ÜÔÖ × ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ö ÓÐ × m¹Ö Ó׺
¿ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÙÒ Ö ÓÐ m¹Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ
Ð ×Ø ×¸ Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ × Ù Ò Ðº
¿ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ × ¹
Ù Ò Ðº
¿ º × Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ð ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ
Ò Ö Óº

413. 4.16. Ejercicios 387
¼º ÓÒ× Ö Ð × × Ù ÒØ × Ð Ò × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º º ´Ô Ò ¾ µ Ô Ö
Ð ÓÔ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
I(RLINK(tgt_root) == Node::NullPtr);
if (LLINK(tgt_root) != Node::NullPtr)
destroyRec(LLINK(tgt_root));
delete tgt_root;
´ µ ÈÓÖ ÕÙ Ð × ÖØÓ Ø Ò × ÒØ Ó
´ µ Ð if Ý Ð ×ØÖÙ ÓÒ Ð ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó ×ÓÒ Ö ÙÒ ÒØ ×¸ ÔÓÖ ÕÙ
½º × Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖÙ ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ó Ò
Ü º º½¼ ´Ô Ò ¾ µ ÕÙ Ð Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò ÔÖ ¬ Óº
¾º × Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖÙ ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ó Ò
Ü º º½¼ ´Ô Ò ¾ µ ÕÙ Ð Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò Ò¬ Óº
¿º × Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÒÓ Ö ÙÖ× Ú ¸ ×Ù¬ Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖÙ ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ó Ò
Ü º º½¼ ´Ô Ò ¾ µ ÕÙ ¸ Ò ×Ó ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ × ÓÖ ÔÐ ¸ Ð Ö ÓÐ
Ò ÙÒ ×Ø Ó ÓÒ× ×Ø ÒØ º
º × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÓÖÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × Ö ÞÕÙ Ö º
º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó Ñ ÒØ Ô× Ù Ó¹ Ð Óº ´··µ
º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ô× Ù Ó¹ Ð Ó Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó ÒÚ Ö×Ó
× Ö¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ö ÞÕÙ Ö º ´·µ
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÑÓ ÒØÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ý ÙÒ ÒÓ Ó
Ù ÐÕÙ Ö Ý Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÒ Ö × Ð ÒÓ Ó Ý Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó Ò Ù ×Ø ÓÒº
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÓÑ ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ó× Ò ÒÙÑ ÖÓ× Û Ýº
º Ò × ÐÓ ÔÐ ÒØ Ó Ð Ò Ó Ü º ´Ô Ò ¿¾¼µ¸ Ð ÙÐ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö ÓÖ ×¹
Ò × ÔÓ× Ð × ÕÙ × ÔÙ Ò ÔÐ ÒØ Ö ÓÒ n ÒÓ Ó׺
¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò × ÙÒ × Ù Ò Ø× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ô Ð ¹
Ö ÄÙ × Û Þº
½º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ö Ð Ô Ð Ö ÄÙ × Û Þ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ º
¾º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ð Ò Ù × ÔÖ ¬ Óº
¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÑÔÖ Ñ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × ÒÚ Ö×Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
× Ö¸ ÔÖ Ñ ÖÓ × Ð ×Ø Ò ÞÕÙ Ö Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð ÐÙ Ó
ÐÓ× Ð Ô ÒÙÐØ ÑÓ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ ×Ø ÐÐ Ö Ð Ö Þº
º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ò Ú Ð × × ¬Ò Ó
ÓÑÓ Ð Ð ×Ø Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÐØ Ò ÔÓÖ Ò Ú Ð Ô ÖØ Ö Ð Ö Þ ×Ø Ð ÒÓ Ó
Ñ ÝÓÖ ÐØÙÖ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ
× 7, 8, 11, 14, 15 × Ö¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÐØ Ö Ò Ô Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐ ×Ø ÓÑÔÐ ØÓ
×Ø ×Ù ÐØÙÖ º

414. 388 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
½
¾ ¿
½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½ ½
ÙÖ º Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÑÔÐÓ
´µ ×Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
×ÙÑ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó× ÔÓÖ Ò Ú Ð Ô ÖØ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ ÖÓº
´·µ
´µ ×Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓº ×ØÓ ×¸ ÙÒ Ö ÓÐ ÙÝ ×
Ó × Ò Ò ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÐØ ÒØ × Ð Ö ÓÐ Ô Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐ ×Ø ÓÑÔÐ ØÓº
´·µ
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÔÓ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ö¸ ÕÙ Ð Ñ Ò Ð Ñ Ò Ñ
ÒØ ÒÓ Ó× Ô Ö ÚÓÐÚ ÖÐÓ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÑÔÐ ØÓº
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ × Ð Ö Ó Ñ ÒÓ ÔÓÖ Ð Ö ÓÒØ Ò Ó Ò
ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ Ô Ð Ö
ÄÙ × Û Þº ´·µ
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó n ÒÓ Ó× ÓÒ n × ÙÒ Ú ÐÓÖ
ÓÒ×Ø ÒØ º ´·µ
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò × ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ð Ö Ø Ò ×Ù× Ô Ö ÒØ × ×
Ð Ò Ó׺ ´·µ
¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð ØÓÖ Ó n ÒÓ Ó׺ Ä ÒØ n
× ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ý ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ø Ò Ö Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓ Ð º
´··µ
½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ô ÖØ Ö ×Ù
Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Óº
¾º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ × Ù Ò
Ò× Ö ÓÒ ÕÙ Ö ÔÖÓ ÙÞ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ º
¿º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ×Ø ÐÓ× Ö Ò Ó× Ð Ú × ÕÙ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò
Ò Ð Ö Óк
º × Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Ó ÕÙ ¸ Ñ × Ð Ð Ú ¸ Ø Ò ÙÒ ÒÐ Ó Ð Dlinkº ÅÓ¹
¬ÕÙ Ð × ÖÙØ Ò × Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ô Ö ÕÙ
Ð ÑÔÓ Dlink ÙÒ ÐÓ× ÜÔÐ ØÓ׺ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ð Ð ×Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö
Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ò Ð Ö ÓÐ Ò Ö Óº
º × Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú ¸ × Ò Ù× Ö Ô Ð ¸ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ insert in binary search tree()º

415. 4.16. Ejercicios 389
º × Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú ¸ × Ò Ù× Ö Ô Ð ¸ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ remove from search binary tree()º
º × Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú ¸ × Ò ÙØ Ð Þ Ö Ô Ð ¸ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ split key rec()º
º Ù ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð × Ù ÒØ
Ö ÓÐ × ÙÒ Ð Ð Ú 250
244
122 279
41 203 266 293
5 49 156 214 255 270 291 297
4 36 66 163 245 264
65 73 159 189
63 72
54
º × Ö ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÕÙ ¸ Ù Ò Ó
× ØÖ Ø ×ÙÔÖ Ñ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÑÔÐ ØÓ¸ × Ó Ð Þ Ö Ù Ð × Ö Ð ÒÓ Ó × Ð ÓÒ Ö
ÓÑÓ Ö Þ Ð join exclusive() Ù Ð × × Ö Ò Ð × Ú ÒØ × ×Ø Ò ÓÕÙ
¼º × Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú ¸ × Ò Ù× Ö Ô Ð ¸ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ remove from binary tree()º
ÝÙ Ö Ú × ÐÓ× ÙÒ Ñ ÒØÓ× ÜÔÐ Ó× Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¾µ¹½º
½º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × ÒÓ Ý Ð Ú × ÙÔР׸ ÒØÓÒ × join() Ý join preorder() ×ÓÒ
ÕÙ Ú Ð ÒØ ×º × Ö¸ ÔÖÓ Ù Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ Ö Óк
¾º Ù Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ
´ µ ¾¾¼ ½ ¼¼ ¿½ ¿ ½¾¾¿ ½¿¿ ¿¾ ½ ½¾¼ ½¼½ ½ ¾ ½ ½¿½ ¿
´ µ ½¾¼ ¾ ¾¼ ½¼¿ ½¼ ¿¿½ ¿½ ¿½ ½¾¼¿ ½¾ ¼ ½ ¾¾ ½¾¿½
´ µ ½ ¼ ½¾ ¿ ½½ ¿ ½¿ ½ ½¼ ½ ¼ ½½ ¿ ½¼
´ µ ¼½ ½ ¿ ½¼¾ ½ ¾ ¾ ¿ ½½ ¿ ¿
´ µ ½ ½ ¿ ½½ ¾ ½½½ ¿ ½ ¾¾
´ µ ¿ ½ ½ ¼ ½½½½ ½¾¼ ½½ ½ ¿½ ½¼½ ¾ ½¼ ½ ½½ ½¿ ¿
¿º Ù Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ Ô Ö Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ò Ð
Ö Þ
´ µ ¾ ½ ½ ¼ ½ ½ ¿ ¼ ½¾¿ ½¿ ½ ¿¾ ½ ¾¿½ ½¼ ¾ ½¾ ¼ ½¾½ ¿¾¼

416. 390 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
´ µ ¼ ¼ ¿ ½½ ¿¾ ½¾ ¿ ½¿¼¿ ¼ ¾¿ ½¾½
´ µ ½ ½ ¿¾¼ ½¼¾ ¼ ¿¾ ¾ ¼ ½½½ ½¾½½ ½¾ ½¼ ½¼ ½¿ ¿
´ µ ¾¼½ ¼ ½½¿ ½¼ ½½ ¾¼¿ ¼ ½ ¾ ¾ ½¿ ¼ ½ ¼ ¾¼ ½
´ µ ¾¼ ¾¾½ ½ ½½ ½¾¼¼ ½¾½ ½¾ ½¼ ½ ½¼ ¿ ½½¾ ¿ ¿ ½¾¿
´ µ ¾ ½¼ ¿ ½¼ ½ ½½¾ ¾½¿ ½ ½½ ½½
º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ
´ µ ½¼ ¿ ½¼¼ ½ ¿ ½¾ ½ ½ ½ ¿ ½½ ½¿¿¿º
´ µ ½½ ¿ ½ ½½ ¾ ¾¾ ½¼ ¼ ¿ ¾¼ ½¼¼¿ ½¿ ½ ½¾ ¼
´ µ ¾ ¾ ¼ ½½ ¾¿¼ ¾ ¼ ¼ ½ ¾ ¼½ ½ ¼ ½¾ ¼ ½½ ½ ¿½
´ µ ¾¼ ½ ¿ ½ ½ ½¿ ¿ ½ ¾ ¾½ ¼ ¼¼ ¼ ½¼ ½ ½ ½¿¾
´ µ ½½¾ ¼ ¼ ½½¾¼ ¾ ½¿ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ ½½ ¼ ½ ¿ ½¿
´µ Ù Ð Ö ÓÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ º
´µ Ð ÙÐ Ð ÁÈĺ
º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÖÖ Ó× ×Ù¬ Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ
´ µ ½¾¿ ¼ ½¼¼ ¿½ ¿¼¿ ½¾ ¼ ½¿ ¿ ½¿ ¾ ½¾¼ ½ ½¿ ½¼ ¿ ¾¿¼
´ µ ½ ½½ ½¾ ½¼½ ¿ ¾ ½¼ ½¼ ½¼¾ ½¾ ½¾ ½¾ ½½½ ½ ½¿ ¼
´ µ ¼ ½ ½ ½ ½ ¾ ½¼½¿ ½¿ ½ ½ ½¼ ½½ ¾ ½¼¿¾
´ µ ¾¿¼ ¿½ ¿½ ½¼ ¿¿ ¿ ¿ ½ ¿¾ ½½ ¿ ¼½ ½¾ ¿¿
´ µ ¿¼ ¿ ½ ¿ ¿ ½¼ ½¼¼½ ½¾ ½ ½ ¾¾ ¾½ ½¼¿
´µ Ù Ð Ö ÓÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ º
´µ Ð ÙÐ Ð ÁÈĺ
´µ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓÖ ÔÐ ÒØ Ò ´ º¿ µ ´Ü º º ´Ô Ò ¿¼ µµ ׸ Ò
ØÓ¸ O(n)º
º ÓÒ× Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò Ö Ó × Ö¸ ÙÒ Ö ÓÐ ØÖ Ò Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ ´ ÓÒ Ð ÔÖÓÔ
ØÖ Ò ÙÐ Öµ Ø Ð ÓÑÓ
1
2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

417. 4.16. Ejercicios 391
¸ Ñ ×¸ ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò Ó × ÕÙ Ô Ö Ð Ú Ð Ö Óи Ð × Ð Ú ×
× Ò ÒØ × × ÑÔÖ ×ÓÒ Ñ ÝÓÖ ×º
ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö p ÙÒ Ô ØÖ Ò Ö Ó
Node * child(Node * p, int i)
p¸ ÓÑÓ Ý × Ó¸ × ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ Ô ØÖ Ò Ö Óº i × Ð ÓÖ Ò Ð Ð Ó × Ö
´ µ i == 0 Ð Ó Ñ × Ð ÞÕÙ Ö º
´ µ i == 1 Ð Ó Ð ÒØÖÓº
´ µ i == 2 Ð Ó Ñ × Ð Ö º
ÈÙ ×ÙÑ Ö¸ ÙÒÕÙ ×Ó ÒÓ × × Ò Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÕÙ Ò Ù× Ò ÙÒ Ó
child() Ö ØÓÖÒ NULLº
Ð Ó Ø ÚÓ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × × Ù Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ù ÒØÖ Ð × Ù Ò
ÓÖ Ò Ð ×¸ Ô Ö Ñ ØÖÓ× child()¸ Ø Ð × ÕÙ ØÖ Ú × ÐÐ Ñ × ×Ù × Ú × ×
Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô ØÖ Ò Ö Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð ¬ ÙÖ ÒØ Ö ÓÖ¸
Ð × Ù Ò × 2, 0, 2¸ Р٠и Ô ÖØ Ò Ó × Ð Ö Þ 1 Ô ÖÑ Ø child(1, 2) = 4
−→ child(4, 0) = 11 −→ child(11, 2) = 34 Ð × Ù Ð × × Ñ Ó Ò Ò Ð ÒÓ Ó
Ø ÕÙ Ø Ó ÓÒ 34º
º Ò Ö Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ô× n¹Ö Ó׺
º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ ÔÙ ÓÖ Ò Ö× ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ñ ÒØ Ð Ô×ÓÖØ
ÓÒ ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó O(1)º
º Ò × Ð Ö ­ Ü ÓÒ Ð Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÑÔÐ ÒØ Ð Ô×ÓÖØ ×Ó Ö Ð ×Ø × Ø ÔÓ
Dnode<T>º
¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÖÖ ÙÒ × Ù Ò n Ð Ñ ÒØÓ× Ý Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× m n
Ñ ÒÓÖ × Ð Ñ ÒØÓ׺ ÜÔÐ ÕÙ Ø ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑÓ × ÙØ Ð Þ Ð Ô Ô Ö ÓÒØ Ò Ö
Ý Ñ ÒØ Ò Ö¸ Ü Ø Ñ ÒØ ¸ m Ð Ñ ÒØÓ× Ñ ÕÙ × Ò×Ô ÓÒ Ð × Ù Ò º
½º × Ò ÙÒ Ì DynArrayHeap<T> ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ò Ð Ì DynArray<T>
´Ü ¾º½º ´Ô Ò ½µµº × ÙØ ÐÓ× Ø Ñ ÒÓ× Ù Ó× Ð Ö ØÓÖ Ó¸ × Ñ ÒØÓ Ý
ÐÓÕÙ º ÙÒ Ö Ø Ö Ó Ù ÒÓ Ô Ö ÓÖØ Ö Ð ÖÖ ÐÓ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ÓÒ¹
×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ × Ñ Ò ÑÓº
¾º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ì BinHeap<Key> Ô Ö ÕÙ ÒÓ Ó ÔÖ × Ò Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ð
Ô Öº
¿º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ì BinHeap<Key> Ô Ö ÔÖ × Ò Ö Ð Ð ×Ø Ó ×º ÍØ Ð Ô Ö¹
Ñ Ò ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ × Ù Ò ÕÙ Ð Ö Ù Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ý last¸ Ñ Ò Ö
Ø Ð ÕÙ ÑÓ ¬ ÓÒ Ð Ô Ð Ù× Ô Ö Ù Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ØÙ Ð Þ Öº
º ÑÙ ×ØÖ ÔÓÖ Ò Ù ÓÒ ÕÙ ÙÒ Ô n ÒÓ Ó× Ø Ò n/2 Ó ×º
º ÓÒ× Ö ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ Ð Ì Dnode<int>º ÓÒ× Ö
Ð × Ù ÒØ ÒØ Ö Þ

418. 392 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
Dnode<int> * los_mas_grandes(Dnode<int> & l, int m)
Ä Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÒÙ Ú Ð ×Ø ÓÒØ ÒØ Ú Ð × ÓÔ × ÐÓ× m Ñ ÝÓÖ × ÒÙÑ ÖÓ×
ÐÑ Ò Ó× Ò lº
× Ò Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð ÖÙØ Ò Ò Ù ×Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ö Ñ × ¬ ÒØ × Ò ÕÙ ×
Ø Ò ÕÙ ÓÖ Ò Ö Ð Ð Ð ×Ø º
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ò¬ Ó ÙÒ Ö ÓÐ
Ý Ö ØÓÖÒ ÓÑÓ × Ð Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð ×º ÆÓ × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö Óк
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÑÓ ÒØÖ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
Ù×ÕÙ Ý Ö ØÓÖÒ ×Ù ÁÈĺ ÆÓ × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö Óк
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÓÑÓ ÒØÖ Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
Ù×ÕÙ Ý Ö ØÓÖÒ ×Ù ÁÈĺ ÆÓ × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö Óк
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÒØ Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ò Ð i¹ × ÑÓ Ò Ú Ð ÙÒ Ö ÓÐ
Ò Ö Óº ´·µ
¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÒØ Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ò ÓÑÔÐ ØÓ× ÒÓ Ó × ÙÒ
Ö ÓÐ Ò Ö Óº
½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÒØ Ð ÒØ ÒÓ Ó× ÐÐ ÒÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Óº
¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÒÓ Ó ÔÓ× ÙÒ ÑÔÓ ÓÒ Ð nextº × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ
ÒÐ ØÓ Ó× ÒÓ Ó× Ð Ö ÓÐ × ÙÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Óº
¿º È Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ô Ö × Ö ÓÐ × Ö ÔÖ × ÒØ Ó× ÓÒ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó׸ ÓÒ×¹
ØÖÙÝ Ð Ö ÓÐ ÔÖÓ Ù ØÓ Ð ÓÔ Ö ÓÒ join()º
´ µ ¯ ½ ¾ ¾¾ ¿ ½ ½¾¿ ½¼ ½¾¾
¯ ½¿ ¾½ ¿¿ ¼ ½¾ ¾ ½¼ ½¾ ½ ¿
´ µ ¯ ½¾ ¾ ¾¿ ¾¼ ½ ½½ ¾½ ½¼ ¾ ¿½ ½ ¼ ½¾½ ½¾
¯ ¿¿ ¾ ½ ½½ ¾ ¼ ½½¼ ½¼ ½ ½ ¾
´µ ¯ ½¾ ¾ ¾ ¿¾ ½¾¿ ½¼¼ ½ ¼ ¿ ½¼ ½½ ½¿ ½¿
¯ ¾ ¿ ¿½ ¾ ½ ½¿½ ½½¼ ½¼ ½½ ½¾ ½ ¿
´ µ ¯ ¼ ½¿ ½½ ½ ¾ ½¾¾ ¿ ½½ ½
¯ ¿¿ ¾¿ ¾¾ ¾ ½ ¾½ ¿ ¿ ¿ ½¼ ½½ ½¿
´µ ¯ ½½ ¾ ½¼½ ¾ ¼ ½ ½¼ ½½ ½¿
¯ ½¾ ¾¿ ½ ½¾¿ ½¼¿ ½ ½½ ½¾ ½ ¼
´µ ¯ ½¾¿ ½ ¿¿ ½½¾ ¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¾½ ½¾¾ ½
¯ ¾¼ ½ ¾ ¿ ½¿ ¾ ½ ½¼ ½ ¾
º Ó× 2 Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× T1 Ý T2¸ × ¬Ò Ð Ö Ð ÓÒ × × Ñ ØÖ Ó ¸ ÒÓØ ÓÑÓ
T1 T2 ÓÑÓ
T1 = T2 = ∅ =⇒ T1 T2 ∨
T1 T2 ⇐⇒
T1 = T2 = ∅ =⇒ ∗ Ö Þ(T1 ) ∗Ö Þ(T2 ) ∧ Ä(T1 ) Ê(T2 ) ∧ Ä(T1 ) Ê(T2 )
× Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ Ó× Ö ÓÐ × Ý Ø ÖÑ Ò × ×ÓÒ
× Ñ ØÖ Ó׺

419. 4.16. Ejercicios 393
º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú ¸ × Ò Ù× Ö Ô Ð ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ inorder position()º
º ÅÓ ¬ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú insert in pos() ÜÔÐ Ò Ü º½½º¿ ´Ô Ò ¿ µ Ô Ö ÕÙ
Ú Ð ÕÙ Ð Ð Ú Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö ÒÓ Ú ÓÐ Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÙÒ º
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ÙÒ Ð Ú Ð Ö Óк
º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ó× Ý ÙÒ Ð Ú Ù×ÕÙ ¸ × Ò ÙÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ØÓÖÒ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ Ð Ð Ú × ×Ø × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óи Ó
Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ÕÙ ØÓÑ Ö Ð Ð Ú ×ÔÙ × Ð Ò× Ö ÓÒº
º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ÕÙ Ö Ð Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ð Ó× º
½¼¼º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ¸ ÕÙ ÒÓ Ù× Ô Ð ¸ ÕÙ Ö Ð Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ð Ó×
º
½¼½º × Ò ÙÒ Ì × Ó Ò Ö ÓÐ × ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ ÑÓ Ð ÖÖ ÐÓ× ¬ ÒØ ×º
½¼¾º × Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú ¸ × Ò Ù× Ö Ô Ð ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ split key rec() Ý ÕÙ
Ð Ö ÓÐ ÒØ ØÓ × Ð Ð Ú Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óк ´··µ
½¼¿º × Ò ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú Ð ÙÒ ÓÒ split pos rec() ÜÔÐ Ò
Ü º½½º ´Ô Ò ¿ µº
½¼ º × Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ù×ÕÙ ÙÒ Ð Ú Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ý¸ Ò ×Ó Ò ÓÒØÖ ÖÐ ¸
ÖÓØ Ð ÒÓ Ó ×Ø Ð Ö Þº
½¼ º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ insert in binary search tree()
ÓÒ Ð × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ S =< k1, k2, . . . , kn > × Ü Ø Ñ ÒØ Ù Ð Ð ÔÖÓ Ù Ó
ÔÓÖ insert root() ×Ó Ö Ð × Ù Ò ÒÚ ÖØ S =< kn, kn−1, . . . , k1 >º
½¼ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ¸ × Ó Ò ÖÓØ ÓÒ ×¸ ÕÙ Ö Ð Ð Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð
Ö Þ Ò ÙÒ º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù× Ö Ð ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ ÕÙ Ð Ö Ö Ð ÒÙ ÚÓ
ÒÓ Ó Ý ×ÔÙ × ÖÓØ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×Ù Ô Ö ×Ø ÕÙ ×Ø Ú Ò Ò Ö Þº
½¼ º ´Sugerido por Andr´s Arciaµ ÜÔÐ ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ
e
ÖÙØ Ò
Node * program(Node * root)
{
if (root == NullPtr)
return NullPtr;
while (RLINK(root) != NullPtr)
root = rotate_to_left(RLINK(root));
program(LLINK(root));
return root;
}
½¼ º × Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ × Ð ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ð i¹ × Ñ ÔÓ× ÓÒ Ý ÐÓ ÖÓØ Ð ÒÓ Ó
×Ø Ð Ö Þº
½¼ º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × insert root rec() Ý insert root() × ÑÔÖ ÔÖÓ¹
Ù Ò Ö ÓÐ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×º

420. 394 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
½½¼º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ ÔÖ × ÒØ Ó Ò
Ü º º¿ ´Ô Ò ¿¿ µ¸ Ð ÙÐ Ð Ú Ö ÒÞ ×Ó Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× Ò ÙÒ
Ù×ÕÙ º ´··µ
½½½º ÈÓÖ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Node::MaxHeight = 80 × Ù Ó Ô Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ù×ÕÙ
½½¾º Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ Ò Ð Ö Þ ÔÖ × ÒØ Ó
Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¿µ¸ Ð ÙÐ Ð × ×Ô Ö ÒÞ × Ý Ú Ö ÒÞ × Ð × ÒØ × ÒÓ Ó×
Ú × Ø Ó× Ò Ù×ÕÙ × Ü ØÓ× × Ò ÖÙ ØÙÓ× ×º ´··µ
½½¿º Ó ÙÒ ¸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ÕÙ ÜØÖ ÙÒ Ö Ò Ó Ð Ú × ÒØÖ
i Ý j¸ j > iº ´··µ
½½ º Ó× Ó× Ö ÓÐ × A1 Ý A2¸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ¬ ÒØ ÕÙ Ò× ÖØ A1
Ô ÖØ Ö Ð ÔÓ× ÓÒ i A2º
½½ º ÓÒ× Ö Ð ÔÖ Ñ Ø Ú remove by pos() ÜÔÐ Ò Ü º½½º ´Ô Ò ¿ ¼µº × Ò
ÙÒ Ú Ö× ÓÒ × Ò Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Þ Ý ÓÒ Ø Ò ÓÒ ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ ×
Ö ×Ø ÒØ ×º
½½ º ÅÓ ¬ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò× Ö ÓÒ¸ Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ý Ô ÖØ ÓÒ Ô Ö
ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ò Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ÜØ Ò Ó׺
½½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ó× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó׺ ´·µ
½½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺
½½ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׺
´·µ
½¾¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð ÒØ Ö× ÓÒ Ó× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó׺
½¾½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ø ÚÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð ÒØ Ö× ÓÒ Ó× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó׺ ´·µ
½¾¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ× ÚÓ ¬ ÒØ ÕÙ ØÙ Ð ÖÒ Ó× Ö ÓÐ × Ò ¹
Ö Ó× T1 ÝT2º ×ØÓ ×¸ T1 − T2 Ö ØÓÖÒ Ö Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó T1 Ü ÔØÓ ÕÙ ÐÐ × Ð Ú ×
ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò T2º
½¾¿º × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ò× ÖØ Ð × n Ð Ú × Ñ Ò Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐ ÕÙ ÕÙ Ð ¹
Ö Óº ´·µ
½¾ º Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ò Ð Ø ÕÙ Ò Ö Ð ×Ù × ÓÒ Ò× Ö ÓÒ × Ô Ö ÕÙ Ð
Ö ÓÐ ÕÙ ÕÙ Ð Ö Óº ´··µ
Ayuda: ÓÒ× Ö n = 2k × Ö¸ n × ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø Ó׺
½¾ º Ê Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×Õ٠ܹ
Ø Ò Ó׺ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ ÒÓ Ø Ò Ö Ð Ú × Ö Ô Ø ×º

421. 4.16. Ejercicios 395
½¾ º Ê Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÙ Ð ÒØ Ö× ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ
ÜØ Ò Ó׺ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ ÒÓ Ø Ò Ö Ð Ú × Ö Ô Ø ×º
½¾ º ÅÓ ¬ÕÙ Ð × ÖÙØ Ò × insert root rec() insert root() ÔÖ × ÒØ × Ò º º Ô Ö
ÕÙ Ñ Ò Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò Ó׺
½¾ º ØÙ Ñ × Ö Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ÑÔÐ ÒØ Ó× Ò
BinNode Utilsº ÙÒ Ö ÔÓÖØ Ø ÐÐ Ó ×Ù× ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ× ÕÙ × Ò Ð ÔÓÖ
Ú Ö× ÓÒ Ö ÓÖÖ Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ý Ð Ø ÑÔÓ ØÓØ Ð Ö ÓÖÖ Óº
½¾ º × Ò ÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ø ÔÓ ×ØÖ ØÓ ØÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÕÙ
Ó ÙÔ ×Ô Ó Ñ Ò ÑÓº × Ö¸ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ö Ñ Ò Ö ÐÓ× ØÖ × Ø ÔÓ×
ÒÓ Ó× × Ò Ð Ó× Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¾ µ¹½ ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ò ÓÑÔÐ ØÓ Ý Ó º
½¿¼º × Ò ÙÒ Ì Ù×Ó Ò Ö Ð ÕÙ ÑÓ Ð Ö ÓÐ × n¹Ö Ó× × Ó× Ò Ð Ì
DynArray<T>º
½¿½º × n Ð Ú ×¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ü ×Ø Ò n(n ) Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ö ÒØ × ÕÙ ÐÑ ¹
2
1
Ò Ò Ð × n Ð Ú ×º
½¿¾º Ó Ð × Ù ÒØ Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò
539
217 322
103 114 143 179
48 55 55 59 68 75 88 91
e
24 24 26 29 29 30 33 35 37 38 44 44
l i o r s a
12 12 13 13 14 15 16 17 18 20 21 23
d m t u n n
6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 10 10
b q . f , g p y
3 4 4 4 4 4 5 5
v D c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
o u
´ ´ E L h
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
T R ´ ´ S ´ J B
a ı e x
0 1
¬ P
Ó ¬ÕÙ Ð × Ù ÒØ Ò Ø×
½¼¼¼½¼½¼¼¼¼½½½½¼½¼½½¼½½½½¼¼¼¼½¼¼¼½½½½¼¼½½½¼¼¼¼¼¼¼¼½½½½½¼½¼½½¼½¼½¼¼
¼½¼½½½¼½½¼½½¼½½½½¼¼½¼½¼¼¼½½½½½½½¼¼½¼¼½½¼¼½¼¼½¼¼½½¼½¼½½¼¼¼¼½¼½¼½¼½¼

422. 396 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
¼¼½½½½½½½¼½½¼½½¼½½½¼½¼¼¼½¼½½¼¼½½¼½½¼¼¼½¼¼¼½¼½½¼½½¼¼½¼½¼½½½½¼½¼¼¼½½
½½½½½½¼¼½¼½½½½¼½¼½½¼¼½¼½¼¼¼½½½½½½¼½¼¼¼¼½½¼¼¼¼½¼½¼¼¼½¼¼½¼¼¼½½½½¼¼½¼
¼½½½¼¼½¼½¼½½½½¼½½½½½½½¼¼¼½½½¼¼½½½¼¼¼½½¼¼¼¼½¼½½½½¼½½¼½¼½½¼¼½½½¼¼¼¼¼
¼½¼½½½½¼¼¼½¼¼½¼½½¼½¼¼½¼½¼½¼¼½¼½½½¼¼½½½½½½¼½¼¼¼¼½½½¼¼½¼½¼½½½½½¼½½½¼
½½¼¼½¼¼¼½½½¼¼¼½¼½½½½¼½½½¼¼¼½½¼¼¼½½¼½½¼¼½½½¼¼½¼½¼½½½½¼½½½½½½½¼½¼¼¼¼
½½½½½¼½½½¼¼½½¼¼¼¼½¼¼¼¼¼¼½¼¼½½¼½½¼¼½½¼½½¼¼½¼½¼½¼½½½½¼½½½¼¼¼½¼½¼¼½¼½
½½¼¼½½½½½½¼½¼¼¼¼¼¼¼½¼¼¼¼¼½¼¼½½½½½½¼¼½½¼½¼½½¼½½¼½½½¼¼¼¼¼¼½½¼½¼¼½½½½
¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½¼½½½¼½¼½¼½½½¼½¼½¼½½¼½¼½¼¼¼½¼½¼½¼½½¼½½½½½¼½¼½¼½¼½½¼¼½¼
½¼½½½½¼½½½¼¼¼½½½½¼½¼½½¼¼½¼½¼¼¼½½¼¼½½¼½¼½½¼½¼½¼¼¼½¼¼¼½¼¼¼¼¼½¼¼½½½½½
½¼¼½½¼½¼½½¼½½¼½½½¼¼¼¼¼¼½½¼½¼¼½½½½¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½¼½½½¼½¼½½¼½½½½½¼½¼¼¼
¼½½½½½¼¼¼½½½½¼¼½¼½¼½½¼¼¼¼¼¼¼¼½½½½½½¼¼½½¼½½¼½½¼¼½¼½¼¼½¼½½½½½¼½½½½¼½
¼½¼½½½¼½¼¼½¼½¼½¼¼½½¼½¼½¼¼¼¼½½¼½½¼¼¼½½¼½½½¼¼¼½¼½½¼½¼½¼½½½½¼½½½½½½½½
¼¼¼¼½¼¼½¼½½½¼¼½¼¼½½¼¼½½½½¼½½½½½½½¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½¼½½½½¼½½¼½½¼½½½½¼¼½½
½½½¼¼½¼¼½¼½¼½½¼½½½½¼¼½½¼½¼½¼½¼½¼½½¼¼¼½¼½¼½½¼¼¼¼½½½½¼¼½¼¼¼½½¼¼¼¼¼¼¼
½½¼¼¼½½½¼½¼½½½¼¼¼½½½¼¼½½½½¼½¼½¼½½¼¼½¼½¼¼½¼¼½¼½¼½¼½½½¼¼¼¼¼¼½¼½½½¼¼¼
½½½¼¼½½½½½¼¼¼¼¼½¼¼½¼¼¼½¼½½¼½½½½¼¼½½¼½¼¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½¼½½½¼¼¼½¼½½½½¼½
¼½½½½¼½¼¼½½¼½¼¼¼¼¼¼¼¼½¼½½½½¼½¼½½½¼¼¼¼¼¼½¼½½½½¼½½½¼½½¼½½¼¼½¼½¼¼½½¼¼
½¼½½½½½½¼¼¼¼¼¼½¼½¼½¼½¼½½½¼½½¼½½¼½¼½½½¼¼¼½½¼¼½¼½¼¼½¼½½½½½¼½½¼¼½½¼¼½
½¼½¼½½¼½¼½¼¼¼½¼¼¼½¼¼¼¼¼½¼¼½½½½½½¼¼½½¼½¼½½¼½½¼½½½¼¼¼¼¼¼½½¼½¼¼½½½½¼¼
¼½½½¼¼½¼½¼½½½½½¼¼½¼¼½¼¼½¼¼½½¼¼½¼½¼½½½½¼½½½½½½½¼¼¼½½½¼¼½½½½¼¼¼½½¼½½
¼½¼¼½½½¼¼½½¼½¼¼¼¼¼¼¼½¼½½½¼¼¼½½½¼¼½½½¼½¼½¼¼¼½½¼½½½½¼¼¼½½¼½¼½¼½½½½½½
¼¼½½½½¼½½½½½½½¼¼¼½¼½½½½¼½¼½½½½¼¼¼½½¼½¼½¼½¼½½¼¼¼¼¼¼¼¼½½½½¼½¼½½½¼¼½¼
¼½½¼¼½¼¼½¼½¼½¼½¼½½¼½¼¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½¼½½½½¼¼½¼½½½¼½¼½½¼½½½½½¼¼¼¼¼¼½¼½
½½¼¼¼½½½¼¼½½½¼¼½¼½¼½½¼¼½¼½¼¼½½¼¼½½½¼¼½½½¼¼¼½¼½½½½¼½¼½½½½¼¼¼½½¼½½¼¼
¼¼½½½¼¼½¼¼½¼½¼½¼½¼¼¼½½¼¼½½¼½¼½½¼½¼½¼¼¼½¼¼¼½¼¼¼¼¼½¼¼½½½½½½¼¼½½¼½¼½½
¼½½¼½½½¼¼¼¼¼¼½½¼½¼¼½½½½¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½¼½½½½¼½½½¼½½½½¼¼½¼½½½½½½½¼½½½¼
¼½¼½½¼¼½¼½½½½¼½¼¼¼½½¼¼½½½½¼¼¼½¼½¼½¼½¼½½½¼¼½¼¼¼½¼½½¼½½¼¼½¼½¼½½¼½¼¼½
½½¼¼¼¼½½¼¼½½¼½¼½¼¼¼¼½½¼¼¼¼½½½¼½¼¼¼¼½¼½½½½½½¼¼½¼½¼¼½½½¼½½½½½¼½¼½¼¼½
¼½¼½¼½¼¼¼½½¼¼½½½½¼¼¼¼½¼¼¼¼¼½½½¼½½¼¼½½½½½½½¼¼½¼¼¼½½¼½½½¼¼¼¼¼¼½¼½¼½¼
¼¼½½½¼¼¼½¼½½¼½½¼¼½¼½½¼½½¼½¼¼½½½¼¼½½¼½¼½¼½½½½½½½¼¼½¼¼¼½½¼½½½¼¼½½½¼¼
¼½¼½½¼½½¼¼½¼½½¼½½¼½¼¼½½½¼¼¼¼½½½½½½½¼½½¼½½¼½½½½¼¼½¼¼¼¼¼¼½½½¼¼½¼½½½¼
¼¼¼¼¼½¼¼¼¼½¼½¼½½½½¼½½½½½½½½¼¼¼½½½¼½½¼½¼¼½½½¼¼¼¼½½¼¼½½¼½¼½½¼½¼½½½½½
½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½¼¼¼¼½½½¼¼½½½½¼¼½½¼¼¼¼¼¼½¼½½½½¼¼¼½¼
½½½¼½½¼¼½½¼½¼½¼½½½½¼¼¼¼½½½½¼½½½½¼¼½½¼¼¼¼¼¼½¼½¼½¼½½¼½¼½¼½½½¼½¼¼¼
½¿¿º Ë S ÙÒ × Ù Ò Ó ¬ × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÀÙ«Ñ Òº × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ
ÕÙ Ð Ð × Ù Ò ¸ ×Ø Ò ÐÓ× ÔÖ ¬ Ó× ×Ø ÒØÓ× Ý Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÐ ÀÙ«Ñ Ò
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÐÓ× ÔÖ ¬ Ó׺ ´·µ
½¿ º Ù Ð × Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ ÙÒ Ô Ð Ö Ý ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÛÝ
½¿ º Ð ÙÐ Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ Ô Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × ÓÒ ÙÒØÓ× Ð Ú × Ý ÔÖÓ Ð ×
´ µ 10 17 30 31 63 68 74 80 88 93 99 103 114 143 14
0.00003 0.00046 0.00320 0.01389 0.04166 0.09164 0.15274 0.19638 0.19638 0.15274
0.09164 0.04166 0.01389 0.00320 0.00046
´ µ 17 39 42 53 54 66 75 85 89 90 96 98 115 119 143
0.00047 0.00470 0.02194 0.06339 0.12678 0.18594 0.20660 0.17708 0.11806 0.06121
0.02449 0.00742 0.00165 0.00025 0.00002

423. 4.16. Bibliograf´
ıa 397
´ µ 6 8 12 40 59 62 65 69 90 103 109 118 128 134 138
0.00475 0.03052 0.09156 0.17004 0.21862 0.20613 0.14724 0.08113 0.03477 0.01159
0.00298 0.00058 0.00008 0.00001 0.00000
´ µ 18 21 34 41 53 54 56 57 65 77 98 104 122 124 131
0.00000 0.00000 0.00001 0.00008 0.00058 0.00298 0.01159 0.03477 0.08113 0.14724
0.20613 0.21862 0.17004 0.09156 0.03052
½¿ º Ð ÙÐ Ð × ×ØÖ Ù ÓÒ × ÔÖÓ Ð Ô Ö ÙÒÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ÔÖ ÙÒØ
ÒØ Ö ÓÖº
½¿ º ÄÓ× Ö ÓÐ × ×Ø Ø Ó× ÓÔØ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ü º½ ´Ô Ò ¿ µ ×ÙÑ Ò ÕÙ Ð ×
Ð Ú × Ù× Ö × ÑÔÖ ×Ø Ò ÔÖ × ÒØ ×º ÓÒ× Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ
ÓÔØ ÑÓ ÓÒ × ÔÓ× Ð ØÙ Ö Ù×ÕÙ × Ò ÖÙ ØÙÓ× ×º × ×Ø ×Ó¸ × ¬Ò ÙÒ
ÖÖ ÐÓ ÓÒ Ð q Ñ Ò× ÓÒ n + 1 ÓÒ qi Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÔÖÓ Ð
ÕÙ ÙÒ Ð Ú Ù×ÕÙ ×Ø ÓÑÔÖ Ò ÒØÖ ki Ý ki+1 Ø Ð ÕÙ i=1 pi +
n
n
i=0 qi = 1º
´ µ È Ö ×Ø Ú Ö ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ¬Ò Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÔÓÒ Ö º
´ µ ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º½ ´Ô Ò ¿ µ Ô Ö ÕÙ × ÓÒ× Ö Ò
Ù×ÕÙ × Ò ÖÙ ØÙÓ× ×º
ÝÙ ÓÒ× Ö ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ò ÖÙ ØÙÓ× × Ö Ð Þ ÙÒ ÒÓ Ó Ü¹
Ø ÖÒÓº ´·µ
½¿ º ´Tomado y traducido de Lewis-Denenberg [14]µ Ë ÙÒ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× ÔÖ × ÒØ ¹
Ó× Ò Ü º½ ´Ô Ò ¿ µ¸ × TREE(j,k)¸ 1 ≤ j ≤ k ≤ n¸ Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó
ÓÔØ ÑÓ Ô Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × kj, . . . , kkº
´ µ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × 1 ≤ j ≤ k ≤ n¸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø Ò Ö ÓÐ × ÓÔØ ÑÓ× Ø Ð ÕÙ
TREE(j,k - 1) ≤ TREE(j,k) ≤ TREE(j,k)º ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ×ØÓ ÕÙ Ö Ö
ÕÙ Ò Ö ÙÒ ÒÙ Ú Ð Ú Ð ÜØÖ ÑÓ Ö Ó Ð × Ù Ò ÒÓ Ù× ÕÙ
Ð Ö Þ Ð Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ × ×ÔÐ Ð Ö º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ×Ù ÐÓ
Ñ ×ÑÓ × Ð Ð Ú × Ò× ÖØ ÔÓÖ Ð ÜØÖ ÑÓ ÞÕÙ Ö Óº
´ µ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ð ×Ù Ö ÓÐ ÓÔØ ÑÓ × Ö ×ØÖ Ò TREE(j,k - 1)
≤ TREE(j,k) ≤ TREE(j,k)¸ ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö Ú ÐÓÖ i Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ × Ò¹
Ø Ó Ò Ü º½ ´Ô Ò ¿ µ¸ Ð for (j = ...) × O(n) ݸ ÔÓÖ Ò ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÐÓ Ð × O(n2)º
Ayuda: ÆÓ × ÔÙ ØÙ Ö Ð ÔÖÙ × × Ù× ÙÒ Ð Ñ Ø Ô Ö Ð
for (j = ...) Ý ÒØÓÒ × ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÔÓÖ nº Ò ×Ù ÐÙ Ö¸ Ò ×ÙÑ Ö×
ÔÓÖ × Ô Ö Ó Ð × ÐÓÒ ØÙ × ÐÓ× Ö Ò Ó× Ù× Öº
Bibliograf´
ıa
½ º ĺ ÒØРݺ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò È ÖÐ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ ½ º
¾ º Ö×Ø Ð Ò º È ÖÖ Òº Ì ÓÖÝ Ó Ó ×º Ñ ÈÖ ×׸ Æ Û ÓÖ ¸ ½ º
¿ ̺ Àº ÓÖÑ Ò¸ º º Ä × Ö×ÓÒ¸ Ò Êº ĺ Ê Ú ×غ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÅÁÌ
ÈÖ ×׸ Ñ Ö ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º

424. 398 Cap´ ´
ıtulo 4. Arboles
º º Ö Ò º Ä Ò Ö Ð ×Ø× Ò ÔÖ ÓÖ ØÝ ÕÙ Ù × × Ð Ò Ò ÖÝ ØÖ ×º È Ø × ×¸
ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ Òظ ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö× Øݸ ½ ¾º
ʺ Ϻ ÐÓÝ º Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ÌÖ ×ÓÖØ ¿º ÓÑѺ Ÿ ¼½¸ ½ º
Ö Ò À Ö Öݺ Ö Ô Ì ÓÖݺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ½ º
̺ º ÀÙ Ò º º ÌÙ Öº ÇÔØ Ñ Ð ÓÑÔÙØ Ö × Ö ØÖ × Ò Ú Ö Ð Ð Ò Ø
ÐÔ Ø Ó ×º ËÁ Šº ÔÔÐ Å Ø º¸ ¾½ ½ ß ¿¾¸ ½ ½º
º º ÀÙ«Ñ Òº Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ö ÙÒ Ò Ý Ó ×º ÈÖÓ º
ÁºÊº º¸ ¼ ½¼ ß½½¼½¸ ½ ½º
Ú º ÀÙ«Ñ Òº Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ñ Ò ÑÙÑ¹Ö ÙÒ Ò Ý Ó ×º
ÈÖÓ Ò × Ó Ø ÁÊ ¸ ¼´ µ ½¼ ß½½¼½¸ Ë ÔØ Ñ Ö ½ ¾º
½¼ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ Ø Ö Ø ÓÒ¸ ½ º
½½ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º ËÓÖØ Ò Ò Ë Ö Ò ¸ ÚÓÐÙÑ ¿ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ × ÓÒ Ø ÓÒ¸ ½ º
½¾ ÓÒ Ð Äº ÃÖ Ö Ò ÓÙ Ð × Êº ËØ Ò×ÓÒº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׺ Ê ÈÖ ×׸
½ º ÁË Æ ¼¹ ¿¹¿ ¹ º
½¿ Ý Ä Ò × Ñ¸ ÅÓ× Ù Ò×Ø Ò¸ Ò ÖÓÒ Åº Ì Ò Ò ÙѺ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×
Ù× Ò Ò ··º ÈÖ ÒØ ¹À Ðи ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö¸ Æ ¼ ¸ ÍË ¸ ½ º
½ À ÖÖÝ Êº Ä Û × Ò Ä ÖÖÝ Ò Ò Ö º Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ì Ö Ð ÓÖ Ø Ñ׺
À ÖÔ Ö ÓÐÐ Ò× ÈÙ Ð × Ö׸ Æ Û ÓÖ ¸ ½ ½º
½ º ÄÙ × Û Þº Ç ÞÒ Þ Ò Ù ÔÓØÖ Þ ÐÓ Ñ Ø Ñ ØÝ ÞÒ ´ÓÒ Ø ÑÔÓÖØ Ò
Ò Ò × Ó Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ µº Æ Ù ÈÓÐ× ¸ ½¼ ¼ ß ¾¼¸ ½ ¾ º
½ º º È ÖÐ × Ò º Ì ÓÖÒØÓÒº ËÝÑ ÓÐ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ý Ø Ö Ð ×Ø׺ ÓÑÑÙÒ ¹
Ø ÓÒ× Ó Ø Å¸ ¿´ µ ½ ß¾¼ ¸ ÔÖ Ð ½ ¼º
½ ÊÓ ÖØ Ë Û º Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò È ÖØ× ½ß ÙÒ Ñ ÒØ Ð׸ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×¸
×ÓÖØ Ò ¸ × Ö Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º
½ º º ËØ Ô Ò×ÓÒº Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ò ÖÝ × Ö ØÖ × Ý Ñ Ò Ò× Ö¹
Ø ÓÒ× Ø Ø ÖÓÓغ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò ×¸
´½µ ½ ß¾ ¸ ÖÙ ÖÝ ½ ¼º
½ º Ϻ º Ï ÐÐ Ñ׺ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾¿¾ À ÈËÇÊ̺ ÓÑѺ Ÿ ¿ ß¿ ¸ ½ º

425. Cap´
ıtulo 5
Tablas hash
Ä Ø ÒÓÐÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó Ð Þ Ð ÑÙÒ Ó × Ó¸ ÓÑÙÒ Ò ×Ô Ò× Ð Ô Ö Ð
Ú ¸ ÕÙ ÓÑÔÖ Ò × ØÓØ Ð ÐÐ Ñ ÔÐ Ò Ø º ÈÙ Ö ÑÓ× Ö ÕÙ ×Ø
ÒÓ Ñ ÒÓ× ÙÒ × ÐÓ ØÓ Ô Ö×ÓÒ ×Ó ÐÓ Ò ØÙÖ Ð Ð Ò ØÙÖ Ð Þ × Ö¸ Ð ÑÙÒ Ó
ÐÐ ÒÓ Ö ¸ Ø ÖÖ Ý Ù ÓÒ × ×Ø Ò Ù Ò ÐÓ× ØÖ × Ö Ò × Ö ÒÓ× Ñ Ò Ö Ð¸ Ú Ø Ð Ý
Ò Ñ Ð Ý Ò Ð Ù Ð Ô Ò × × ÒÓØ Ò Ô Ö Ð × ÐÓ ÙÑ ÒÓº ÀÓÝ Ò ¸ ÔÖ Ø Ñ ÒØ
ÒÓ Ý ×Ô Ó Ð ÔÐ Ò Ø ÕÙ ÒÓ ×Ø Ô ÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ ÙÑ ÒÓ¸ Ø Ð ÜØÖ ÑÓ ÕÙ Ô Ö
ÑÙ Ó× ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒ Ö ØÓ¸ ÓÒ Ð ÕÙ × ÓÒÚ Ú × Ð Ò Ñ ÒØÓ¸ Ð × Ô Ö
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ò ØÙÖ Ðº
ÍÒ Ñ Ö Ö ×Ó Ö Ð Þ Ø ÖÖ ×ØÖ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ù Ò Ö
Ù ÒØÓ Ð Ø ÒÓÐÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó Ð ÑÙÒ Óº Ä Ú ×Ø ×Ø Ð Ò ÔÓÖ ÔÓÐ ÓÒÓ× Ý
Ð Ò × Ö ÙÐ Ö ×¸ Ô × Ö ÕÙ ×ØÓ× Ô ÖØ ÖÓÒ ×ØÖ ÓÒ × Ñ Ø Ñ Ø ×¸ ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ
Ò ØÙÖ Ð ×º Ä Ô Ö×Ô Ø Ú Ö Ð Þ Ø ÖÖ Ò Ð ÒÓ× Ö Ú Ð Ô ÖØ ÐÓ× ÔÖÓ ÙÒ × ÑÓ×
Ñ Ó× ÕÙ ×Ø ×Ù Ö Ó Ð Ó × ÖÚ Ö Ò Ð Ø ÖÖ ÔÓÐ ÓÒÓ× Ý Ð Ò × Ô Ö Ø ×º
ÐÓ× Ú Ö× × ÑÓ× Ó ØÓ× Ø ÒÓÐÓ Ó× ÓÝ Ò ¸ ÙÒÓ ÒÓ Ø Ò ÑÓ ÖÒÓ¸ Ô ÖÓ
ÕÙ ÓÒØÖ Ù Ó × Ú Ñ ÒØ × Ñ Ó Ð ÑÙÒ Ó¸ ÐÓ Ò ÖÒ Ð ÙØÓÑÓÚ Ðº ¹
Ø Ò ÑÓÒÓ× ÙÒ Ö Ú ÑÓÑ ÒØÓ Ý Ñ Ø ÑÓ× ÓÑÓ × Ö Ð ÑÙÒ Ó × ÒÓ Ü ×Ø × ×Ø
ÖØ ØÓº
Ð ÙØÓÑÓÚ Ð¸ ÕÙ ÓÝ ÒÓ× × Ò ØÙÖ Ð ¸ × ÙÒ Ñ Ó ØÖ Ò×ÔÓÖØ × Ò Ð Ô Ö ÒÙ ×ØÖ
ÓÖÑ Ú º ¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ × ÑÔÖ × ÓÒ ÒØ Ù Ò Ð Ò ÒØ ÒÓ× ÔÙ × Ö½º
Ñ Ò Ö ÙÒ ÔÓ Ó × ÑÔÐ ×Ø ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ù Ò Ó ÙÒ ÙØÓÑÓÚ Ð ÒÓ ×Ø Ò
ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ×Ø Ó ÙÔ ÙÒ ×Ô Óº ÌÓ ØÚ ÙÑ Ò ÕÙ Ù ÒØ ÓÒ Ð ÙØÓÑÓÚ Ð
Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑÓ Ñ Ó ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÔÙ Ð Ó¸ ÓÒ× ¹
Ö Ö Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓº ÄÓ× ÒØÖÓ× ÓÑ Ö Ð × ÓÝ ¸ ÓÒÓ× ÙÒ Ø ÔÓ ×Ó ÐÑ ÒØ
Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒ Ú ¸ Ò ÓÖ × Ð ÓÒ×ÙÑ ×ÑÓ × Ò Ö Ò Ó ×Ø ÔÓ Ý
Ö Ø Ö ×Ø Ô ÙÐ Ö ÙÒ ×ØÖ ØÓ ×Ó Ð¸ ×ÓÒ Ù ÒÓ× ÑÔÐÓ׺
ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö × Ù Ò Ó × × Ò ÙÒ Ó Ö Ú Ð Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÓÒ ÒÓ Ü ×Ø
ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÔÙ Ð Ó ¹ Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ Ö × Ö ÑÙÝ Ü Ô ÓÒ Ð¹ ÓÒ× ×Ø Ò ÒØ ÖÖÓ Ö ÔÓÖ
Ð ÒØ ×ÙÔ Ö¬ Ô Ö Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓº ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó ÓÒ× ×Ø Ò ×Ø Ñ Ö Ð
ÒØ ×Ô Ö ÙØÓÑÓÚ Ð × Ý × ÖÐ Ô Ò ÐÙ Ö × Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓº
ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ ÙÒ ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½
Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÕÙ ×Ø Ð ÑÔ ÖØ Ó ÙÒ Ù ÓÑÓ Å Ö ¸ ×Ø ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú
ÐÓ Ò ØÙÖ Ð ¸ × ÙÒ Ù Ò Ò ÓÖº
¿

426. 400 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
11
6 2 7 M−2
0 1 2 3 ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
M−2 M−1
Ò Ö Ñ ÒØ ¸ Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ Ø Ò M ÔÙ ×ØÓ× ÔÓ× Ð × ÒÙÑ Ö Ó× × Ù Ò ÐÑ ÒØ º
ÄÓ× ÙØÓÑÓÚ Ð × ÖÖ Ò × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ý × ×Ø ÓÒ Ò Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÙ ×ØÓ ×ÔÓÒ Ð º Ð
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÓÒ×ÓÐ Ó Ö ÓÑ Ò ÕÙ Ø Ð Ô ÖÖÓ ÙÒ ÔÓÖ ÒØ ÔÐ Ò ØÙ
ÒØÖ Ð ± Ý ¼±º × Ö¸ × ÙÒ ÐÓ ×Ô Ö Ó¸ Ö ÙÒ ×Ó Ö ÒØ ÒØÖ Ð ¾ ± Ý
½¼ ±º
ÉÙ Ø Ò ÕÙ Ú Ö Ð × ØÙ ÓÒ Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ ÓÒ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ × ØÓ× ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ö Ó K Ð Ú ×¸ ÒØÖÓ ÙÒ ÔÓ× Ð
ÓÑ Ò Ó K¸ Ý ÙÒ ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ô M ÕÙ Ð Ö Ö Ð × Ð Ú ×º ÓÖ ÓÒ¹
× Ö ÑÓ× Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÒÝ Ø Ú ¾ h(k) : K −→ [0, M − 1]¸ Ð Ù Ð ÔÙ
Ô ØÓÖ Þ Ö× ×
K [0..M − 1]
i 0
1
2
M−1 1
1 2
i
M−1
2 M−1
Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ÒØÖÓ Ù Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ð ÓÒ ÔØÓ Ø Ð × Ó Ø Ð
×Ô Ö× ÓÒ ¿
Definici´n 5.1 (Tabla Hash) Ë
o ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × K Ô ÖØ Ò ÒØ × ÙÒ ÓÑ Ò Ó
Kº ÍÒ Ø Ð × × ¬Ò ÓÑÓ
½º ÍÒ ÖÖ ÐÓ Ø ÔÓ K M ÒØÖ ×º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ |K| = M¸ ÙÒÕÙ ÔÙ Ö Ò
Ó Ò Öº
¾º ÍÒ ÙÒ ÓÒ h(k) : K −→ [0, M − 1] ÐÐ Ñ ÙÒ ÓÒ × º
ÙÒ Ö ×ØÖÓ Ð Ö ÒØ ÙÒ Ð Ú Ò ÙÒ Ø Ð × × Ð ÒÓÑ Ò “cubeta” Ó
×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÐÓ× ÓÒ “bucket”º
Å ÒØ Ð ÖÖ ÐÓ Ý Ð ÙÒ ÓÒ h(k) : K −→ [0, M − 1] ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö ÙÒ Ø Ð ×
Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׺ Ë A[M] ÙÒ ÖÖ ÐÓ
Ô Ö × Ø ÔÓ K × {0, 1} × Ö¸ A[i].key Ò Ð Ð Ú ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ A[i].busy Ò
× Ð ÒØÖ ×Ø Ó ÙÔ Ó ÒÓº ÒØÓÒ ×¸ ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ð × ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × × × ×
Ö Ð Þ Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Inserci´n de clave k:
o
½º i = h(k) ÑÓ M
¾
×
h : D −→ R ÕÙ × ÒÝ Ø Ú ⇐⇒ ∀x, y ∈ D =⇒ h(x) = h(y)º ÍÒ ÙÒ ÓÒ ÒÝ Ø Ú Ø Ñ Ò
× ÐÐ Ñ ÙÒÓ ÙÒÓ º
¿
ÔÓÖ × ¸ ×Ø × ÓÐ × ÓÒ Ð ÙÒÓ× ØÖ Ù ØÓÖ × Ð ×Ø ÐÐ ÒÓº Ò Ð ×Ó ÓÒ Ö ØÓ¸ Ð
ØÖ Ù ÓÒ ×Ø ÐÐ Ò ¿ Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Ó¸ ÀÓÔ ÖÓ Ø Ý ÍÐÐÑ Ò ¾ º

427. 5.1. Manejo de colisiones 401
¾º A[i].key = k
¿º A[i].busy = 1
B´ squeda de clave k:
u
½º i = h(k) ÑÓ M
¾º if (A[i].busy == 1) return true; else return false;
Eliminaci´n de clave k:
o
½º i = h(k) ÑÓ M
¾º A[i].busy = 0
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò Ò ÙÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒØ Ò Ø Ö ÓÒ ×º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ó×Ø Ð ×
ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ô Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ó×Ø h(k) : K −→ [0, M − 1]º ÓÒ× Ù ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ × h(k) : K −→ [0, M − 1] × O(1)¸ ÒØÓÒ × Ð × ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÓÒ O(1)º À ÕÙ ¸
Ô٠׸ Ð Ö Ò Þ ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÒÓ × ÒÝ Ø Ú ¸ ÒØÓÒ × × ÔÓ× Ð ÕÙ Ó× Ð Ú × ×Ø ÒØ ×
ki, kj ∈ K Ð ÙÒ ÓÒ × Ð × × Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ú ÐÓÖ Ó × ¸ h(ki) = h(kj)º Ò ×Ø ×Ó¸
ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ “colisi´n”º Ä Ñ ÝÓÖ
o Ð × Ú × ÒÓ ÓÒÓ ÑÓ× ÓÒ Ü Ø ØÙ
Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × K ⊂ K¸ ÐÓ Ù Ð Ñ × ÔÓ× Ð ÙÒ ÓÐ × ÓÒº
× Ð × Ó× ×¸ Ô Ö ÕÙ ÙÒ Ø Ð × ÓÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ h(k) : K −→ [0, M − 1] ÒÓ Ò¹
Ý Ø Ú × Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò O(1)¸ ×Ø ÓÒØ ÑÔÐ Ö Ó× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× × Ò Ð ×
½º Ð ÓÑÔÙØÓ Ð ÙÒ ÓÒ h(k) : K −→ [0, M − 1] Ö Ð Þ Ö× Ò O(1)¸ ÓÒ ÙÒ ÑÙÝ
ÔÓ Ó Ó×Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ý ×Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÑÙÐ Ö ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ × Ö Ø
ÙÒ ÓÖÑ ÒØÖ [0, M − 1]º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÔÙ Ò Ö ÓÐ × ÓÒ ×¸ ×Ø × Ò Ö Ù Ö× Ð Ñ Ò ÑÓ ÔÓ× Ð ×Ø
× Ð × ÒØ Ó ÕÙ h(k) : K −→ [0, M − 1] ÑÙÐ Ð Ð ØÓÖ º
¾º ÈÓÖ Ð Ñ ×Ñ ÔÓ× Ð Ø Ò Ö ÓÐ × ÓÒ ×¸ ÙÒÕÙ Ù × Ñ Ò Ñ ¸ × Ø Ò Ö ÙÒ
×ØÖ Ø Ô Ö Ñ Ò ÖÐ × × Ö¸ × Ö¸ × ×Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ¸ ÕÙ Ö ÓÒ
ÕÙ ÐÐ × ÒÙ Ú × Ð Ú × ÕÙ ÓÐ Ò Ò ÓÒ ÓØÖ × Ý ÔÖ × ÒØ × Ò Ð Ø Ð º Ä ×ØÖ Ø
× Ö Ø Ð ÕÙ ÒÓ × Ö ¬ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ O(1) Ð Ñ Ó Ô Ö ÙÒ Ø Ð × º
5.1 Manejo de colisiones
ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× × Ò Ð Ó¸ × ÒÓ × ÓÒÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × ÕÙ × Ò× ÖØ Ö Ò Ò
Ð Ø Ð ¸ ÒØÓÒ × ×ÓÒ ÔÓ× Ð × Ð × ÓÐ × ÓÒ ×º ÉÙ Ø Ò ÔÖÓ Ð × ×ÓÒ ÍÒ Ñ Ö ÙÒ
Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓ× Ò ×Ù ÔÖÓ Ð º
5.1.1 La paradoja del cumplea˜os
n
Ê Ð¹ Þ Ö ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð ÓÐ × ÓÒ Ñ ÒØ ÙÒ Ð × Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÓÖ
ÔÖÓ Ð ×º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ÖÙÔÓ n Ô Ö×ÓÒ ×¸ ÕÙ Ø Ò ÔÖÓ Ð × ÕÙ Ó×
Ô Ö×ÓÒ × Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ ÙÑÔÐ ÒÓ× º
ÄÓ× Ø ÜØÓ× ÔÖÓ Ð × Ó Ö Ò ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÖ × ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ º Ò Ö ×
Ð × ÑÔÐ Ý Ð ÓÖÖÓ ×Ô Ó¸ ÕÙ ÐÓ Ó Ö ÑÓ× Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ñ × ÓÖØ ¸
Ô ÖÓ Ñ × ÑÔÖ × º

428. 402 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ë ÙÒ xi,j ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
xi,j =
0 × Ð × Ô Ö×ÓÒ × i Ý j ÒÓ ÙÑÔÐ Ò ÒÓ× Ð Ñ ×ÑÓ ´ º½µ
1 × Ð × Ô Ö×ÓÒ × i Ý j ÙÑÔÐ Ò ÒÓ× Ð Ñ ×ÑÓ
ÓÖ ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ
X= xi,j ´ º¾µ
∀i=i
ÙÝ ×Ô Ö ÒÞ E(X)¸ Ò Ú ÖØÙ Ð × ¬Ò ÓÒ × ÔÐ ÒØ ×¸ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÒØ
×Ô Ö Ô Ö × Ô Ö×ÓÒ × ÕÙ ÙÑÔÐ Ò ÒÓ× Ð Ñ ×ÑÓ º
ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ
E(X) = E xi,j ; ´ º¿µ
∀i=i
Ð Ù Ð ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× ÓÑÓ
E(X) = E(xi,j) . ´ºµ
∀i=i
×ØÓ ÒÓ× ÔÐ ÒØ Ð Ò × Ð ÙÐ Ö E(xi,j)¸ Р٠Р׸ ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ ×
E(xi,j) = 0 × P(xi,j = 0) + 1 × P(xi,j = 1) = P(xi,j = 1) . ´ºµ
Ä Ù ×Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö ¸ Ô٠׸ Ð ÙÐ Ö P(xi,j = 1) × Ö¸ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó×
Ô Ö×ÓÒ × Ô ÖØ ÙÐ Ö × ÙÑÔÐ Ò ÒÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ý ×Ø ¸ Ð Ò Ö ÙÐ Ð ÙÒÓ׸ ×
1
P(xi,j = 1) = .
365
ÆÓ ×ÓÖÔÖ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ÙÒÓ× Ò ÙÖÖ Ò Ò Ð ÖÖÓÖ Ô Ò× Ö ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ
ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ × Ð ×Óº È Ö ÔÖ Ò ÖÐÓ¸ Ñ Ò ÑÓ×ÒÓ× ÕÙ
ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò ÙÒ ÖÙÔÓ Ý ÒÓ× ÔÖ ÙÒØ ÑÓ× Ù Ò ÔÖÓ Ð × ÕÙ ØÙ ÙÑÔÐ × ÒÓ×
Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ ÝÓ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × 1/365¸ Ô٠׸ Ð ÝÓ ÓÒÓ Ö Ñ ÙÑÔÐ ÒÓ×
Ö Ú Ð Ð ×Ù ×Ó ÒØ Ö × ÔÖÓ Ð ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× 365 ÔÓ× Ð ×º
× ÔÙ ×
n(n − 1)
E(X) =
n 1
2 365
=
730
. ´ºµ
ÄÓ Ù Ð¸ Ð ÔÐ ÒØ Ö Ð × ÙÐ E(xi,j) ≥ 1 ÒÓ× ÖÖÓ ÓÑÓ Ö ×
√ √
2921 − 1 2921 + 1
n1 = − , n2 = ≈ 27, 523138 .
2 2
×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ô Ö ÙÒ ÖÙÔÓ 28 Ô Ö×ÓÒ × × ×Ô Ö Ó Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ô Ö ÓÒ Ð Ñ ×Ñ
ÙÑÔÐ ÒÓ× Ô Ö Ð Ó Ð Ô Ö×ÓÒ × ´n = 56, E(X) = 56×55 = 4.2192µ¸ ÔÓ ÑÓ×
730
×Ô Ö Ö Ù ØÖÓ Ô Ö × Ô Ö×ÓÒ × ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ÙÑÔÐ ÒÓ׺
È Ö ÙÒ ×Ù ×Ó Ò Ô Ö Ò Ð ØÓÖ Ó Ò Ô Ò ÒØ ÓÑÓ ÐÓ × Ð
Ò Ñ ÒØÓ¸ Ð ÔÖÓ Ð ÓÐ × ÓÒ × ×Ø ÒØ ÐØ ¸ ÐÓ ÕÙ Ò Ð Ò ×
ÔÖ Ô Ö Ö× ×Ù Ú ÒØÙ Ð º Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ × ÙØ Ö ÑÓ× Ú Ö × ×ØÖ Ø × Ô Ö ÐÑ ¹
Ò Ö ÓÐ × ÓÒ × Ò ÙÒ Ø Ð × º

429. 5.1. Manejo de colisiones 403
5.1.2 Estrategias de manejo de colisiones
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ö Ó Ð Ú × ÓÐ Ò ÒØ × Kc = {k1, k2, . . . , kn} Ó × ¸
∀ki, kj ∈ Kc =⇒ h(ki) = h(kj)º Ë ÓÒÓ Ò Ó× ÖÙÔÓ× Ø Ò × Ô Ö Ð Ö ÓÒ ÓÒ ÙÒØÓ×
ÓÐ × ÓÒ ×
Encadenamiento Ð × ÓÐ × ÓÒ × × ÒÐ Þ Ò Ò ÙÒ Ó Ú Ö × Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÙÖ Ó
ÒØÖÓ Ð Ñ ×Ñ Ø Ð º
Direccionamiento abierto Ð × ÓÐ × ÓÒ × × ÓÐÓ Ò Ö Ø Ñ ÒØ ÒØÖÓ Ð ÔÖÓÔ
Ø Ðº
ÙÒ ×Ø × Ø Ò × Ø Ò ×Ù× Ú ÒØ × Ý ×Ú ÒØ × Ý × Ù × ÙÒ Ð ÓÒØ ÜØÓ
Ù×Óº
5.1.3 Encadenamiento
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × ÕÙ Ð × ÓÐ × ÓÒ × × Ù Ö Ò Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ
Ó Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º Ù Ò Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ð ×Ø × Ù Ö Ò Ù Ö Ð Ø Ð ¸ ÑÓ×
ÕÙ × ØÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº Ò Ð × ÒØ Ó ÒÚ Ö×Ó¸ Ù Ò Ó ÐÓ× ÔÖÓÔ Ó× ÒÓ Ó×
Ð Ð ×Ø ×ÓÒ Ô ÖØ Ð Ø Ð ¸ ÑÓ× ÕÙ × ØÖ Ø Ò Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Óº
5.1.3.1 Encadenamiento separado
Ò ×Ù ÓÖÑ Ñ × × ÑÔÐ ¸ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó × ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ð
ÔÙÒØ ÖÓ× Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ ÙÝ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÔÙ Ú ×Ù Ð Þ Ö× Ð
× Ù ÒØ ÑÓ Ó
0 k10 k1
1
2 k8
3
4
5 k9 k5 k2
6
7
8 k3
9
10 k7 k4
11
M−2
M−1 k11 k6
Ä ¬ ÙÖ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ 12 Ð Ú × ki ÓÒ i Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒº
ÒØÖ Ò Ð ÖÖ ÐÓ × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð ×Ø ÒÐ Þ
ÓÐ × ÓÒ ×º
ÌÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÙÐ Ö j = h(k) ÑÓ M¸ ÓÒ k × ÙÒ Ð Ú
×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð ÒØÖ tabla[j] × Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ð ×Ø ÒÐ Þ º ÍÒ Ú ÐÓÖ ÔÙÒØ ÓÖ
ÒÙÐÓ Ò ÕÙ Ð Ð ×Ø ×Ø Ú × Ö¸ ÕÙ ÒÓ Ý Ò Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ×Ó Ó Ð Ò j
×Ø × Ð ØÖ Ù ÓÒ Ð Ø Ö Ð Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ù× Ó Ò Ò Ð × ÓÔ Ò Ö ×Ò º

430. 404 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ò Ð ÖÖ ÐÓº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ü ×Ø ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ Ð Ú × ÓÐ Ò ÒØ × Ò Ò ×º
Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ÒØÖ 11 ÑÙ ×ØÖ Ó× Ð Ú × k7, k4 ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÙÒ ÓÒ × ÖÖÓ Ó Ð
Ñ ×ÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ´10µº
Ò ALEPH ×Ø Ø ÔÓ Ø Ð ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ó Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ Ð × ºÀ ¼ ¸ ÙÐ
ÑÔÐ ÒØ Ý ÜÔÓÖØ Ú Ö × Ð × × Ô Ö Ñ ØÖ Þ ×¸ Ð × Ù Ð ×¸ Ð Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ ×
¼ ØÔÐ Ð × ºÀ ¼ ≡
template <typename Key, class BucketType, class Cmp>
class GenLhashTable
{
typedef BucketType Bucket;
ÈÖÓØÓØ ÔÓ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ ÓÒ × ¼
Å Ñ ÖÓ× ØÓ ÒÄ × Ì Ð ¼
Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÒÄ × Ì Ð ¼
};
Ù Ø× LhashTable<Key> ¼
¬Ò ×
GenLhashTable¸ Ù× Ò ÙÒ ¼ º
GenLhashTable<Key, BucketType> ÑÔÐ ÒØ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ò Ö Ó Ð Ø Ð ×
Ò Ð Ù Ð Ð × Ù Ø × ×ÓÒ Ø ÔÓ BucketTypeº
Cubetas
Ä Ñ Ò Ö Ñ × × ÑÔÐ Ñ Ò Ö ÙÒ Ù Ø Ò Ò Ö× Ô Ö Ñ ÒØ × Ñ ÒØ
Ð Ø ÔÓ Dnode<T> ×ØÙ Ó Ò Ü ¾º º ´Ô Ò µ
¼ Ù Ø × LhashTable<Key> ¼ ≡ ´¼ µ ¼
template <typename Key>
class LhashBucket : public Dnode<Key>
{
LhashBucket(const LhashBucket & bucket) : Dnode<Key>(bucket) { /* empty */ }
LhashBucket() { /* Empty */ }
LhashBucket(const Key & key) : Dnode<Key>(key) { /* Empty */ }
Key & get_key() { return this->get_data(); }
};
template <typename Key>
class LhashBucketVtl : public Dnode<Key>
{
LhashBucketVtl(const LhashBucketVtl & bucket) : Dnode<Key>(bucket) { /* empty */ }
LhashBucketVtl() { /* Empty */ }
virtual ~LhashBucketVtl() { /* Empty */ }
LhashBucketVtl(const Key & key) : Dnode<Key>(key) { /* Empty */ }
Key & get_key() { return this->get_data(); }
};
¬Ò ×
LhashBucket¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ Ò ¿ º
Í× × Dnode º
Ð ÑÔÐ Ó Ð Ø ÔÓ Dnode<T> ÒÓ× Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö
Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸ Ð Ù Ð Ò ÙÒ Ð ×Ø × ÑÔÐ Ö ÕÙ Ö Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ð Ñ ÒØÓ
ÔÖ ×ÓÖº
Ä ÙÒ ×Ø Ò ÓÒ ÒØÖ ÙÒ Ð × Ý Ð ÓØÖ × Ð ÔÖ × Ò Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ú ÖØ٠к
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ×Ó Ö ÓØÖÓ× ØÓ× Ð Ð Ú Ø ÔÓ Key ¬Ò Ò Ð Ù Ø

431. 5.1. Manejo de colisiones 405
½º Ë Ö ÙÒ Ö ×ØÖÓ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ø ÔÓ Record¸ ÕÙ ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ÐÓ×
ØÓ× ÒØ Ö ×¸ Ò ÐÙ Ð Ð Ú Ø ÔÓ Keyº ×ÔÙ × × Ð Ö ÙÒ Ù¹
Ø ´LhashBucket<Record> Ó LhashBucketVtl<Record>¸ Ý × ¬Ò Ð ÓÔ Ö ÓÖ
Record::operator==(const Record&) Ô Ö ÕÙ ×ÓÐÓ ÓÑÔ Ö Ð Ð Ú Ø ÔÓ Ã Ýº
Ä Ø Ð × ÔÙ ¬Ò Ö× Ñ ÒØ Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ØÖ × Ø ÔÓ× GenLhashTable¸
LhashTable Ó LhashTableVtlº ÄÓ× Ó× ÙÐØ ÑÓ× Ø ÔÓ× × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ø Ð × ÕÙ
Ñ Ò Ò Ù Ø × × Ò Ó ÓÒ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØÙ Ð × Ý × ¬Ò Ò ÔÓÖ ×Ô Ð Þ ÓÒ
GenLhashTable
¼ Ù Ø× LhashTable<Key> ¼ +≡ ´¼ µ ¼
template <typename Key, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class LhashTable : public GenLhashTable<Key, LhashBucket<Key>, Cmp>
{
// ...
};
template <typename Key, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class LhashTableVtl : public GenLhashTable<Key, LhashBucketVtl<Key>, Cmp>
{
// ...
};
¬Ò ×
LhashTable¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¾¸ ¿¿¸ Ò º
LhashTableVtl¸ Ò Ú Ö Ù× º
Í× × GenLhashTable ¼ Ò LhashBucket ¼ º
¾º Ë Ö Ú ÙÒ Ð ×Derivada Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ð × × Ù Ø × LhashBucket<Key> Ó
LhashBucketVtl<Key> Ò ÓÒ × ÓÐÓÕÙ Ò ÐÓ× ØÓ× ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ò ×Ó Ö Ð Ø ÔÓ
Keyº
Ä Ø Ð × × Ò×Ø Ò Ñ ÒØ LhashBucket<Key> Ó LhashBucketVtl<Key>¸ × ÙÒ
× Ö ÕÙ Ö Ó ÒÓ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØ٠Р׺ Ä Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÔØ Ò Ù Ø ×
Ø ÔÓ Derivada¸ ÔÙ × ×ÓÒ Ù Ø × ÔÓÖ Ö Ò º Ä Ù×ÕÙ Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ù Ø
Ð Ñ Ð LhashBucket<Key>¸ Ð Ù Ð ÓÒÚ ÖØ Ö× ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Derivada × ×
Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö Ð Ù Ø Derivadaº
Atributos de LhashTable<Key>
Ç Ú Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ØÖ ÙØÓ × Ò Ð¸ Ð Ù Ð Ð Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ ¸ × Ð ÙÒ ÓÒ × ¸
ÕÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÙÒ Ð Ú Ø ÔÓ Key ÙÒ Ò ØÙÖ Ðº Ì Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò Ö Ð ÔÖÓØÓØ ÔÓ
× Ù ÒØ
¼ ÈÖÓØÓØ ÔÓ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ ÓÒ × ¼ ≡ ´¼ µ
typedef size_t (*Hash_Fct)(const Key &);
Ð Ø ÔÓ LhashTable<Key> Ñ ÒØ Ò ¸ Ô٠׸ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ×Ø Ø ÔÓ
¼ Å Ñ ÖÓ× ØÓ ÒÄ × Ì Ð ¼ ≡ ´¼ µ ¼
Hash_Fct hash_fct;
Ä Ñ × ÓÒ ×Ø Ø ÔÓ × Ñ Ò Ö ÓÖÑ ÒÖ Ð ÙÒ ÓÒ × º ÌÓ Ó ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ
Ø Ð × Ö ÕÙ Ö ×Ø ÙÒ ÓÒº
Å ÒØ static cast<Derivada*>(cubeta)º

432. 406 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ð × ÙÒ Ó ØÖ ÙØÓ × Ð Ø Ð Ñ ×Ñ × Ö¸ Ð ÖÖ ÐÓ ÔÙÒØ ÖÓ× Ù Ø ×¸ Ð
Ù Ð × ¬Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¼ Å Ñ ÖÓ× ØÓ ÒÄ × Ì Ð ¼ +≡ ´¼ µ ¼ ¼
typedef Dnode<Key> BucketList; // Tipo lista de cubetas
typedef typename Dnode<Key>::Iterator BucketItor; // Iterador de lista cubetas
typedef Dnode<Key> Node; // Sin´nimo de nodo
o
BucketList * table;
Í× × Dnode º
À Ý ÙÒ ÔÓ Ó ÞÙ Ö × ÒØ Ø ÕÙ Ð Ø Ð × Ð Ö ÓÒ ×º Ò Ò ÙÖ ¸ Ý ÙÒ
Ð Ö ÓÒ ÙÒ Ø Ö ÓÖ¸ Ð Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö ÓÖÖ Ö ÙÒ Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ ×º
Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× × ¬Ò Ò ÓÑÓ × Ù
¼ Å Ñ ÖÓ× ØÓ ÒÄ × Ì Ð ¼ +≡ ´¼ µ ¼
size_t M; // Tama~o de la tabla
n
size_t N; // N´mero de elementos que tiene la tabla
u
size_t busy_slots_counter; // Cantidad de entradas del arreglo ocupadas
bool remove_all_buckets; // Indica si se deben liberar las cubetas
// cuando se llame al destructor
Ð ØÖ ÙØÓ busy slots counter Ù ÒØ Ð ÒØ ÒØÖ × Ð ÖÖ ÐÓ table[]
ÕÙ ×Ø Ò Ú ×º × ÙÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö ÓÒÓ Ö Ð Ò Ú Ð ×Ô Ö× ÓÒ
Ð ÙÒ ÓÒ × º Ë N < M¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó Ù×Ý ×ÐÓØ× ÓÙÒØ Ö ÒÓ×
N Ð ØÚ
Ð ÙÒ ÓÒ × Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ×Ô Ö× ÓÒº ÍÒ Ú ÐÓÖ Ô ÕÙ ÒÓ Ò ÕÙ Ý ÑÙ ×
ÓÐ × ÓÒ ×º
Ð Ù×Ù Ö Ó LhashTable<Key> Ø Ò Ð Ö ×ÔÓÒ× Ð Ô ÖØ Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö
Ð × Ù Ø ×¸ × ÓÑÓ¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ð Ö ÖР׺ × ÙØ ÑÓ× Ð Ö ÞÓÒ × Ö ×ØÓ
Ù Ò Ó Ð ÑÓ× Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò ´Ü ½º º¾ ´Ô Ò ¾¾µµ Ý ÐÓ ÑÓ× ÔÐ Ó ÐÓ Ð Ö Ó
ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× Ì ÕÙ ÑÓ× × Ò Óº Ò × × ÒØ Ó¸ × ×Ø ÒØ ÙØ Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÖÙØ Ò
ÕÙ Ú Ð ÒØ remove all and delete() Dlink ´Ü ¾º º ´Ô Ò µµ Ó destroyRec()
ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ´Ü º º½¼ ´Ô Ò ¾ µµº × Ô٠׸ Ð ØÖ ÙØÓ remove all buckets()
Ð Ò Ð ×ØÖÙ ØÓÖ LhashTable<Key> ÕÙ Ð Ö Ö ØÓ Ð Ñ ÑÓÖ º
Ë × × Ú Ö Ð Ø Ð ¸ ÒØÓÒ × ÔÙ ÒÚÓ Ö× Ð Ñ ØÓ Ó empty()
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÒÄ × Ì Ð ¼ ≡ ´¼ µ ¼
void empty()
{
for (int i = 0; i < M; ++i)
for (BucketItor itor(table[i]); itor.has_current(); /* nothing */)
delete static_cast<Bucket*>(itor.del());
busy_slots_counter = 0;
N = 0;
}
Inserci´n
o
ÍÒ ×ÙÒØÓ ÒØ Ö × × Ð ÐÙ Ö Ð Ð ×Ø Ò ÕÙ Ò× ÖØ Ö× ÙÒ ÒÙ Ú ÓÐ × ÓÒ
Ð ÔÖ Ò Ô Ó¸ Ð ¬Ò Ð Ù ÓÖ Ò Ö Ð Ð ×Ø º Ù ÐÕÙ Ö ×Ø × Ú Ö ÒØ × ÒÓ Ù× Ö Ò Ö Ô Ö¹
Ù× ÓÒ Ò Ð × ÑÔ ÒÓ¸ Ô ÖÓ × × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ ÒØÓÒ × Ð ÔÖ Ö Ò × ÔÓÖ Ð
Ö ÒØ ¸ ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ × ÐÓ Ñ × ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ Ö Ô º Ë Ð Ð ×Ø × Óи
ÒØÓÒ × ÕÙ × Ò× ÖØ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ó ¬Ò Ð × Ò Ö ÒØ Ò Ø ÑÔÓº

433. 5.1. Manejo de colisiones 407
ÇØÖÓ ØÓÖ ÒØ Ö × × ÓÒ× Ö Ö Ó ÒÓ Ö Ô Ø Ò Ð Ú ×º ÖÒ ÐÓ×
Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ¸ Ò ÙÒ Ø Ð × × ÔÖ Ö Ð ÒÓ Ú Ö ¬ Ö Ö Ô Ø Ò ÔÓÖÕÙ
× ÒÓ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ò Ð Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ × Ú Þ ÕÙ × ØÙ ÙÒ Ò× Ö ÓÒº
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ò LhashTable<Key>¸ Ð Ù Ð × Ö Ð Þ ¸ ÑÙÝ
× Ò ÐÐ Ñ ÒØ ¸ ×
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÒÄ × Ì Ð ¼ +≡ ´¼ µ ¼ ¼
Bucket * insert(Bucket * bucket)
{
const size_t i = (*hash_fct)(bucket->get_key()) % M;
if (table[i].is_empty()) // ¿est´ vac´a la lista table[i]?
a ı
++busy_slots_counter; // s´ ==> actualizar contador de ocupaci´n
ı o
table[i].append(bucket); // insertar cubeta al final
++N;
return bucket;
}
Ë Ð ÐÐ Ñ (*hash fct)(key) × O(1)¸ ÒØÓÒ × insert() ׸ ÓÒ ÖØ ØÙ Ø ÖÑ ¹
Ò ×Ø ¸ O(1)º
B´squeda
u
Ä Ù×ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò Ð ÙÐ Ö Ð ÒØÖ Ð Ø Ð Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ × Ý
ÐÙ Ó Ò Ö ÓÖÖ Ö Ð i¹ × Ñ Ð ×Ø ×Ø ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ k Ó ×Ø ÕÙ × ÐÐ Ù Ð ¬Ò и Ò
ÙÝÓ ×Ó × ØÖ Ø ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÒÄ × Ì Ð ¼ +≡ ´¼ µ ¼ ¼
Bucket * search(const Key & key) const
{
const size_t i = (*hash_fct)(key) % M;
if (table[i].is_empty())
return NULL;
for (BucketItor it(table[i]); it.has_current(); it.next())
{
Bucket * bucket = static_cast<Bucket*>(it.get_current());
if (Cmp() (bucket->get_key(), key))
return bucket;
}
return NULL;
}
Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ø ÖÙØ Ò ÔÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð ×Ø table[i]º
Eliminaci´n
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ × Ö Ø Ý ÓÒ ÙÖ ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × ÓÒÓ
Ð Ö ÓÒ Ð Ù Ø
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÒÄ × Ì Ð ¼ +≡ ´¼ µ ¼ ¿½
Bucket * remove(Bucket * bucket)
{
Bucket * next = // guarda pr´xima colisi´n
o o
static_cast<Bucket*>(bucket->get_next());
bucket->del(); // eliminar de su lista de colisiones
if (next->is_empty()) // ¿la lista devino vac´a?
ı

434. 408 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
--busy_slots_counter; // s´ ==> actualizar contador de listas ocupadas
ı
--N;
return bucket;
}
5.1.3.2 An´lisis del encadenamiento separado
a
ÈÓÖ × ÑÔÐ Ö Ø ¸ ×ÙÑ Ö ÑÓ× ÙÒ Ø Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÒÓ Ó× Ö
Ð ×Ø × ÓÐ × ÓÒ × Ö ÙÐ Ö × Ý Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ø ÔÓ Dnode<T> ×ØÙ Ó
Ò Ü ¾º º ´Ô Ò µº Ó Ð Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ¸ Ø Ñ Ò ×ÙÑ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ
× ÑÔÖ × Ö Ð Þ Ð ¬Ò Ð Ð Ð ×Ø º
Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ò× Ö ÓÒ × Ö Ø Ñ ÒØ O(1) Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ append()
ÒÐ Ö ÕÙ ÖÖÓ Ð ÙÒ ÓÒ × º
Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ô Ò Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ù×ÕÙ º ×Ù Ú Þ¸ Ð
× ÑÔ ÒÓ Ð Ù×ÕÙ ¸ Ü ØÓ× Ó ÐÐ ¸ Ô Ò Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð ×Ø º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸
Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó ×Ø Ö ÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÐÓÒ ØÙ ×Ô Ö Ð Ð ×Ø º
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ÒÙ ×ØÖÓ Ò Ð × ×¸ M ÒÓØ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÖ ÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ý N Ð
ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ø Ð º α = N/M Ò Ð ØÓÖ Ö Ð Ø Ð
× Ö¸ ÕÙ Ø Ò ÐÐ Ò ×Ø Ð Ø Ð º ÓÒ ×Ø Ø ÖÑ ÒÓÐÓ × ¸ ÔÓ ÑÓ× ÒØÖÓ Ù Ö
ÒÙ ×ØÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð
Lema 5.1 Longitud esperada de una lista de colisiones
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ý ÕÙ ÓÒØ Ò N Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë |li| Ð ÒÙÑ ÖÓ
ÒÓ Ó× Ð i¹ × Ñ Ð ×Ø Ò T [i]º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÐÓÒ ØÙ ×Ô Ö li ×
li =
N
M
=α ´ºµ
Demostraci´n ÈÙ ×ØÓ
o ÕÙ h(k) : K −→ [0, M − 1] × ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ¸
P(h(k) = i) = M Ô Ö ÙÒ
1
ÐÚ Ù ÐÕÙ Ö k ∈ Kº
Ë P(k ∈ li) Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð Ð Ú × Ð Ö Ò Ð i¹ × Ñ Ð ×Ø Ó¹
ÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÒØÖ T [i]º Ð Ö Ñ ÒØ ¸ × ÙÒ Ð Ó × ÖÚ ÓÒ Ð Ô ÖÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸
P(k ∈ li) = P(h(k) = i) = Mº × Ô٠׸ Ø Ò ÑÓ× N Ð Ú × ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ × Ò M
1
Ð ×Ø ×º Ð ×Ø li × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ ÒÓÑ Ð ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ p = M 1
Ý N ÒØ Ò× ÝÓ׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ñ × NM1
×Ø Ð Ñ × Ö Ú Ò ÐÓ× Ó× × Ù ÒØ × ÕÙ ÓÒØ Ð Þ Ò Ð ÒØ Ù Ø × ÕÙ
× Ú × Ø Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ Ý Ü ØÓ× ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Lema 5.2 Cantidad de cubetas inspeccionadas en una b´ squeda fallida sobre
u
una tabla hash con resoluci´n de colisiones por encadenamiento separado
o
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ý ÕÙ ÓÒØ Ò N Ð Ñ ÒØÓ׺ ÒØÓÒ ×¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ
Ù Ø × ÕÙ × Ò×Ô ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ×
UN = α =
N
M
´ºµ

435. 5.1. Manejo de colisiones 409
Demostraci´n
o Ë k ÙÒ Ð Ú ÕÙ ÒÓ ×Ø ÒØÖÓ Ð Ø Ð º Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó
Ð Ù×ÕÙ × Ó Ø Ò Ö li = T [h(k)]º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ù Ø × Ú×Ø Ö ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× li¸ ÔÙ × × Ò × Ö Ó Ö ÓÖÖ Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ li
Ô Ö ×Ø Ö × ÙÖÓ× ÕÙ k ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ø Ð º ÈÓÖ Ð Ð Ñ º½¸ × ÑÓ× ÕÙ
li = α
Lema 5.3 Cantidad de cubetas inspeccionadas en una b´squeda exitosa sobre
u
una tabla hash con resoluci´n de colisiones por encadenamiento separado
o
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ ×
ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ý ÕÙ ÓÒØ Ò N Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë k ∈ K ÙÒ Ð Ú Ù ÐÕÙ Ö º
ÒØÓÒ ×¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ô Ö Ó ÒÓ Ó× ÕÙ × Ú × Ø Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ×
SN = 1 +
α
−
2 2M
1
´ºµ
Demostraci´n Ë K = {k0, k1, . . . , kN−1}¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ
o Ð Ú × ÔÖ × ÒØ × Ò Ð Ø Ð ¸
ÓÒ i Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ × Ö k0 × Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ú Ò× ÖØ ¸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ kN−1 × Ð ÙÐØ Ñ º
ØÓ× Ð × ÑÔÐ ¸ ×ÙÑ Ö ÑÓ× ÕÙ ÒÓ × Ô ÖÑ Ø Ò Ð Ú × ÙÔР׸ ÐÓ ÕÙ
Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ù×ÕÙ × Ù Ò Ð ×Ó Ö ÙÒ Ð ×Ø Ù Ò Ó × Ö Ð Þ ÙÒ Ò× Ö ÓÒº
Ë pi Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ × Ù×ÕÙ Ð Ð Ú ÔÖ × ÒØ kiº
Ë lk Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÔÖ
i
Ò ki Ò ×Ù Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ ×º ÒØÓÒ ×
N−1
E(lki ) = pilki .
i=0
×ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ú Ø Ò Ù Ð ÔÖÓ Ð × Ö Ù× ¸ ÒØÓÒ × pi = 1/Nº
×ÔÙ × Ò× ÖØ Ö Ð Ð Ú ki¸ Ý i Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ð Ø Ð ¸ ÐÓ ÕÙ ¸ × ÙÒ Ð Ð Ñ º½¸
ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð ×Ø ÓÒ Ö × ki × lk = i/Mº Ç × ÕÙ Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö ki
i
Ý ÕÙ Ö ÓÖÖ Ö M Ù Ø × ÔÖ
i
×ÓÖ ×¸ ÔÙ × ki × Ò× ÖØÓ Ð ¬Ò Ð Ð Ð ×Ø Ý ÒÓ ×
Ô ÖÑ Ø Ò ÙÔÐ Ó׺ ×ØÓ ÓÒØ Ð Þ ÙÒ ØÓØ Ð M + 1¸ ÔÙ × Ý ÕÙ
i
Ö Ð Ù Ø
ÕÙ ÓÒØ Ò kiº
×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ô Ö Ó Ù Ø× Ü ÑÒ Ö× Ö
N−1 N−1
i 1 i
E(lki ) = pi +1 = +1
M N M
i=0 i=0
N−1 N−1
1 1 N−1
= i+ 1 = +1
N M 2M
i=0 i=0
α 1
= − +1
2 2M
ÓÒ ×ØÓ× Ó× Ö ÒØ × Ð Ñ ×¸ ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÒÙÒ Ö Ý ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
× Ù ÒØ
Proposici´n 5.1 Desempe˜ o esperado de una tabla hash con resoluci´n de co-
o n o
lisiones por encadenamiento separado

436. 410 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ ¹
× ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ý ÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ Ñ Ü ÑÓ ÓØ Ó N Ð Ñ ÒØÓ׺
ÒØÓÒ ×¸ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ
× O(α) = O(1)º
Demostraci´no Ð ÔÙÒØÓ ÖÙ Ð Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ × ÔÖ Ò Ö ÕÙ Ø ÒØÓ M ÓÑÓ
N ×ÓÒ Ú ÐÓÖ × ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÓØ Ó׺ ÈÓÖ ÓØ Ó ÒØ Ò ÑÓ× ÕÙ ¸ × Ò N ÔÙ
× Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ M¸ ×ØÓ× Ú ÐÓÖ × ×Ø Ò ÓØ Ó× Ñ Ü ÑÓ× ÓÒÓ Ó׸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð α
Ø Ñ Ò ×Ø ÓØ Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ ÓÒ×Ø ÒØ º Ð Ö Ó ×ØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ô Ö Ö
ÙÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×
Inserci´n
o Ò ×Ø ×Ó × Ö Ð Þ ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ¸ Р٠и × ÙÒ Ð Ð Ñ º¾¸ ×Ô Ö
Ò×Ô ÓÒ Ö α = O(1) Ù Ø ×º
B´squeda
u
½º Ë Ð Ù×ÕÙ × ÐÐ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ º¾ ÔÐ Ý Ð ×Ô Ö ÒÞ ×
α = O(1) ´ º½¼µ
¾º Ë Ð Ù×ÕÙ × Ü ØÓ× ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ º¿ ÔÐ Ý Ð ×Ô Ö ÒÞ ×
1+
α
2
−
1
2M
= O(1) ´ º½½µ
Eliminaci´n
o Ò ×Ø ×Ó × Ö Ð Þ ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ¸ Ð Ù Ð Ò Ð Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖ
× ÑÓ×ØÖÓ × Ö O(1)
Ê ×Ô ØÓ Ð Ì LhashTable<Key>¸ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×ÓÐÓ Ø Ò Ð Ù×ÕÙ ¸ Ô٠׸
ÔÓÖ ×Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¸ Ò ×Ø Ì Ø ÒØÓ Ð Ò× Ö ÓÒ ÓÑÓ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ×ÓÒ O(1)º
ÍÒ Ú ÒØ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó × ÕÙ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× N ÔÙ × Ö
Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ø Ð Mº Ä Ò× Ö ÓÒ ÒÓ Ø Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÔÓÖÕÙ ÔÖ Ó ÙÔ Ö×
ÔÓÖ Ð × ÓÖ ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ­ Ü Ð Ö ÙÒ×Ø Ò ×º ÐÓ× Ò ÓÕÙ ×
ØÖ ÓÒ Ð × Ô Ö Ñ Ò Ö ÓÐ × ÓÒ ×¸ ×Ø × Ð ÙÒ Ó ÕÙ Ô ÖÑ Ø N > M × Ò ÕÙ ÑÙ Ó
× Ö Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ ×Ô Ö Óº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó × ÙÒ ÔÖ ÓÒ¸ ÕÙ Ø Ò
ÔÖÓ Ð ÐÐ × º ÍÒ Ò Ó Ö ×ÔÙ ×Ø ÒÓ× Ð × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ú Ö ÒÞ ¸ Ð Ù Ð ×
ÐÑ ÒØ Ð ÙÐ Ð Ð ÔÖÙ Ð Ð Ñ º½ Ò Ð ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÑÓ× ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ
ÙÒ Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ × × ×ØÖ ÙÝ ÒÓÑ ÐÑ ÒØ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ p = M Ý N ÒØ
1
Ò× ÝÓ׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ú Ö ÒÞ ×
Ú Ö= σ2 =
N
M
1−
1
M
= α−
α
M
´ º½¾µ
Ù ÒØÓ Ñ ÝÓÖ × M¸ Ñ × ÔÖÓÜ Ñ × Ð Ú Ö ÒÞ Ð Ú ÐÓÖ α = liº Å ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ ×
Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׸ Ñ ÝÓÖ Ø Ò × Ö Ð Ú Ö ÒÞ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ
× Ò Ð Ö Ó α ݸ Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ Ð ÔÖÓÔÓ× ØÓ Ð ÙÐØ Ñ ÜÔÖ × ÓÒ × Ö ­ Ö Ð Ó
ÕÙ ¸ Ñ ÝÓÖ Ö Ó¸ Ó × ¸ Ñ ÝÓÖ ÔÐ Ò ØÙ ¸ Ñ ÝÓÖ × Ð Ú Ö ÒÞ º

437. 5.1. Manejo de colisiones 411
5.1.3.3 Encadenamiento cerrado
Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ð × ÓÐ × ÓÒ × × Ò Ò Ò
Ò Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ Ô ÖÓ Ð Ö Ò ×ØÖ Ò ÕÙ Ð × Ù Ø × Ö × Ò Ò Ð ÔÖÓÔ Ø Ð º
Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ ÓÐ × ÓÒ¸ × ×ÓÒ Ð Ò ÐÑ ÒØ Ð Ø Ð Ò Ù×ÕÙ ÙÒ Ù Ø
Ú º Ä Ø Ð ÑÔÐÓ Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × Ð ×Ø × ÓÐ × ÓÒ ×¸ ×
Ú ×ÐÙÑ Ö ×
0 k1
1 k10
2 k8
3 k11
4
5 k2
6 k5
7 k9
8 k3
9
10 k4
11 k7
M−2
M − 1 k6
ÆÓØ ÑÓ× Ð ÓÐ × ÓÒ {k6, k11}¸ Ð Ù Ð Ö ÕÙ Ö Ó ÓÒØ ÒÙ Ö Ð ×ÓÒ Ó ÔÓÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ø Ð
×Ø Ð ÒÞ Ö Ð Ù ÖØ ÒØÖ Ð Ø Ð × Ö¸ Ð ×ÓÒ ÓÐÒ Ð × Ö Ö ÙÐ Öº
Ð ×ÓÒ Ó Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÓÖÑ ×Ø Ò Ù Ö × ÙÒ Ù Ø ×Ø Ó ÒÓ Ú º Ä Ñ Ò Ö
Ò Ö ØÖ ÓÒ Ð × Ù× Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÓÖ BUSY Ô Ö Ò Ö Ó ÙÔ ÓÒ¸ Ó¸ EMPTY Ô Ö
Ò Ö ×ÔÓÒ Ð º
B´squeda
u
Ä Ù×ÕÙ × ÒØ Ð Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº
Eliminaci´n
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ð Ù×ÕÙ ¸ × Ö Ñ Ø Ñ Ö Ö Ð ÒØÖ ÕÙ ÓÒØ Ò
Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ò Ö ÓÑÓ Empty ݸ Ò ×Ó ÕÙ ×ÔÙ × Ý Ò ÓÐ × ÓÒ ×¸ ×
ÓÖØÓ¹ Ö Ù Ø Ö Ð ÒÐ Ð Ð Ñ ÒØÓ ÔÖ ×ÓÖ Ô Ö ÕÙ ÔÙÒØ Ð Ð Ñ ÒØÓ ×Ù ×ÓÖº
ÍÒ ×Ó ×Ô ÐÑ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó × Ð Ñ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖÓ
ÙÒ Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ ×º Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ Ð ÓÖØÓ¹ Ö Ù ØÓ ÒÓ × ÔÙ Ö Ð Þ Ö
Ö Ø Ñ ÒØ ¸ ÔÙ × ÒÓ × Ø Ò ÙÒ ÓÐ × ÓÒ ÕÙ ÔÖ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ò Óº È Ö
Ö ×ÓÐÚ Ö ×ØÓ¸ Ð × ÙÒ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð Ð ×Ø × ÑÙ Ú Ð ÔÓ× ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ý¸
Ô ÖØ Ö ×Ø ÔÓ× ÓÒ¸ × Ö Ð Þ Ð ÓÖØÓ¹ Ö Ù ØÓ Ð Ø Ö Ö Ð Ñ ÒØÓ ÓÐ Ò ÒØ º
È Ö ÙÒ ÔÓØ Ø Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐ × ÓÒ × {ki, kj, kk, kl}¸ Ð × ØÙ ÓÒ × ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö
Ô ØÓÖ Ñ ÒØ ×
Ò Ò Ð ×¸ Ð Ù×ÕÙ ÙÒ Ù Ø ÓÒ ×Ø ØÙ× EMPTY × Ð ÒÓÑ Ò ÔÖÓ Ò º ËÓÒ Ö × Ð
Ø ÖÑ ÒÓ ÕÙ Ù× Ö ÑÓ× Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ Ô Ö Ö Ö ÖÒÓ× Ð Ô Ð Ö ÒØ Ö ÓÖº

438. 412 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
ki kj
kj
kk kk
kl kl
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÓÒ ×Ø Ø Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÔÙ Ò ÑÓÚ Ö× ×Ù ÔÓ× ÓÒ ÓÖ Ò Ð Ò¹
× Ö ÓÒ¸ ×Ø ×ÕÙ Ñ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ñ ÒØÓ×
Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÑ Ò Ó Ò Ð Ø Ð × ØÙ ÓÒ Ò × Ð Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׺
Inserci´n
o
Ä Ò× Ö ÓÒ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ñ × ÓÑÔÐ Ò ×Ø ×ÕÙ Ñ Ý × Ö Ð Þ ÓÑÓ × Ù
½º i = h(k) ÑÓ M
¾º Ë A[i].busy == EMPTY =⇒
´ µ A[i].key = k
´ µ A[i].busy = BUSY
´ µ Ì ÖÑ Ò Öº
¿º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó =⇒
´ µ Ê ÓÖÖ Ö Ð Ð ×Ø ÒÐ Þ ×Ø Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ × k ×Ù ÔÓ× ÓÒ Ò Ð
Ø Ðº
´ µ Ô ÖØ Ö k Ù× Ö Ð Ò ÐÑ ÒØ Ò Ð Ø Ð Ð ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÓÒ Ú ÐÓÖ EMPTY
× i Ð Ò ×Ø ÒØÖ º
´ µ A[i].key = k
´ µ A[i].busy = BUSY
´ µ A[j].next = A[i]
5.1.3.4 An´lisis informal del encadenamiento cerrado
a
× ÖÒÓ× Ð ×ÙÑ Ö ÕÙ × M ≈ ∞¸ ÒØÓÒ × Ð Ò Ð × × × ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð Ò ¹
Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº ×Ø ×ÙÔÓ× ÓÒ Ð Ó ÖÖ Ð ×Ø ¸ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÔÖ Ò Ö ÕÙ ¸ Ô Ö
M N¸ × ÙÒ ÐÓ× Ð Ñ × ´ º¾µ Ý ´ º¿µ¸ Ð Ò Ð × × ÔÙ ÔÖÓÜ Ñ Ö×
SN ≈
α
2
−
1
2M
+1 ´ º½¿µ
UN ≈ α ´ º½ µ
ÚÖ ≈ α−
α
M
´ º½ µ
Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ Ü º½º º¿ ´Ô Ò ¾¼µ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò Ð × × Ñ × ÓÖÑ Ð ÕÙ ×
ÔÐ Ð ×Ø ×ØÖ Ø º

439. 5.1. Manejo de colisiones 413
Å ÒØÖ × Ñ ÒÓÖ × Ð Ö α¸ Ñ × ÔÖ × Ý Ö Ð ×Ø × Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒº À ×Ø
ÕÙ Ú ÐÓÖ α × ÙÑÔÐ Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ð Ò Ð × × ÓØÖ Ø Ò ¸ ÜÔÐ Ó Ò
Ü º½º º ´Ô Ò ¾ µ¸ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ú ×ÐÙÑ Ö Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ × Ù Ò ×Ø ÙÒ
ØÓÖ Ö α = 0, 7 × Ö¸ ÙÒ ÔÓÖ ÒØ Ó ÙÔ ÓÒ Ð ¼±º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ò ÕÙ × × ÑÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒ
Ø Ð × Ý × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó O(1)¸ ÒØÓÒ × ÑÓ× ×Ø Ñ Ö Ð ÒØ ×Ô Ö
Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ú ÑÓ× Ù Ö Ö Ý¸ Ò ÙÒ ÓÒ Ð ×Ø Ñ ÓÒ¸ × Ó Ö M ÑÓ Ó ÕÙ
ÒÓ× × Ø × Ð Ú ÐÓÖ α Ô Ö Ð Ù Ð ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ×ÓÒ Ù ÒÓ׸ Ñ × ÙÒ Ñ Ö Ò Ó ØÓÖ
ÖÖÓÖº Ë ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×Ô Ö ÑÓ× 1000 Ð Ñ ÒØÓ׸ ÒØÓÒ × × Ó ÑÓ× M = 1465¸ ÐÓ
Ù Ð Ù Ö Ð ¼± Ñ Ò ÓÒ Ó¸ Ñ × ÙÒ ± ÓÑÓ ØÓÖ ÖÖÓÖ Ò Ò Ö Ð º
ÍÒ Ñ ÓÖ Ô Ö ×Ø Ò ÓÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò ÑÔÐ Ö ÙÒ Ö ÓÒØ Ù Ð Ø Ð Ü ÐÙ¹
× Ú Ñ ÒØ º Ò ×Ø ×Ó Ð Ø Ð Ø Ò ÙÒ Ø Ñ ÒÓ M + C ÒØÖ ×º Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ
ÓÐ × ÓÒ¸ ÒØÓÒ × Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × Ö Ð Þ ÒØÖ Ð Ö Ò Ó [M..C)º Ê ×ÙÐØ Ó× ÑÔ Ö Ó×
Ö ÔÓÖØ Ó× ÔÓÖ ¾¿ Ò Ò ÕÙ ÙÒ Ú ÐÓÖ C ≈ 1.14M × ×Ù¬ ÒØ Ô Ö ×Ô Ö Ö Ò×
ÓÐ × ÓÒ × Ó× Ð Ñ ÒØÓ׺ ×ØÓ Ø Ò × ÒØ Ó Ð ÐÙÞ Ð Ô Ö Ó Ð ÙÑÔÐ ÒÓ׸ Ð
Ù Ð Ô Ø ÒØ ÐÓ ×Ø ÒØ ÔÖÓ Ð ÕÙ × ÙÒ ÓÐ × ÓÒ Ó× Ð Ñ ÒØÓ× Ô ÖÓ ÙÒ Ò Ð × ×
Ô Ö ÓÐ × ÓÒ × ØÖ × Ó Ñ × Ð Ñ ÒØÓ× ÒÓ× Ò ÑÙ Ñ ÒÓ× ÔÖÓ Ð º
×Ø ×Ø Ó ØÖ Ø Ñ ÒØÓ Ð × Ø Ð × × ¸ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ð ØÓÖ Ý
Ó × ÖÚ Ó¸ ÓÑÓ ×Ú ÒØ ×Ø Ò ÓÕÙ ¸ Ð Ð Ñ Ø ÓÒ ÕÙ × ÑÔÓÒ ×Ó Ö Ð Ñ Ü ÑÓ
ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ù Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ ×
ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Óº Ó Ð Ñ ×Ñ Ð Ò Ô Ò× Ñ ÒØÓ¸ Ø Ñ Ò × ÔÙ Ö
Ó × ÖÚ Ö¸ ÓÑÓ Ú ÒØ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ ÕÙ ×Ø Ô ÖÑ Ø Ù Ö Ö Ñ × Ð ¹
Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Mº ٠Р׸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × ÒØ Ó ×Ø Ø Ò
Ð ×ÓÑ ÖÓ Ý Ð ×ÓÖÔÖ × Ñ Ö Ó ÑÙ Ó× ×ØÙ ÒØ ×¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ Ð ÙÒÓ×
×ØÙ Ó×Ó׸ Ù Ò Ó × Ö Ð Þ ÕÙ ¸ ÓÒ× Ö Ò Ó ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× ØÓÖ × ÒÚÓÐÙ Ö Ó׸
Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ð Ú ÐÓÖ ×Ô Ö Ó N¸ ÐÓ× Ò ÓÕÙ × ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ Ò ÓÐ × ÓÒ × ÒØÖÓ
Ð Ñ ×Ñ Ø Ð Ø Ò Ò × Ö Ñ ÓÖ × ÑÔ ÒÓ ÕÙ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº Ä
ÔÖ Ò× ÓÒ ×Ø Ö Ð × Ð Ø Ñ ÒØ Ð × × Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ ×
½º Ò Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ð × Ù Ø × × Ô ÖØ Ò Ý Ð Ö Ò ØÖ Ú × Ð Ñ Ò ¹
ÓÖ Ñ ÑÓÖ º Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ò Ñ ¸ Ø ÒØÓ Ô Ö Ö × ÖÚ ÖÐ ÓÑÓ Ô Ö
Ð Ö ÖÐ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ ØÓÑ ÙÒ Ø ÑÔÓ Ñ × Ö ×Ô ØÓ ÙÒ Ò ÓÕÙ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÕÙ Ð × ÓÐÓÕÙ ÒØÖÓ Ð Ñ ×Ñ Ø Ð ¸ × ÒÓ ÕÙ ×Ù × ÑÔ ÒÓ × Ú Ö ¹
Ð × ÙÒ Ð Ö Ð Ñ Ò ÓÖ Ö ÕÙ ¸ ×Ù Ú Þ¸ Ô Ò ÓÒ ÓÒ × Ø Ð ×
ÓÑÓ Ö Ù Ò Ö × ÖÚ ÓÒ Ý Ð Ö Ó Ý Ð ÒØ ØÙ Ð ÐÓÕÙ × Ö × ÖÚ Ó׺
È Ö Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ Ð Ô ÖØ Ó Ø Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ò× Ö ÓÒ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð Ö ÓÒ Ð Ð Ñ Ò ÓÒº ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ
ÖÖ Ó Ý Ñ × ×ØÖ Ø × ÕÙ ÓÐÓ Ò Ð × ÓÐ × ÓÒ × ÒØÖÓ Ð Ñ ×Ñ Ø Ð ¸ ÒÓ
× Ù× Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ º
Ð Ù Ò ÔÙ Ö ×Ù Ö Ö Ø Ò Ö ÔÖ ¹ Ô ÖØ Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ù Ø ×¸ Ô ÖÓ¸ ÒÓ × ×ØÓ
Ô Ö Ó ÙÒ Ò ÓÕÙ ÖÖ Ó º
¾º Ò Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Ó Ý Ñ × ×ØÖ Ø × ÕÙ ÓÐÓÕÙ Ò ÓÐ × ÓÒ × ÒØÖÓ
Ð Ñ ×Ñ Ø Ð ¸ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × Ö Ð Þ ×Ó Ö Ù Ø × ÕÙ ×Ø Ò ÓÒØ Ù × Ò
Ò Ò Ò Ö ¸ ×Ù Ð Ù× Ö× Ð Ø ÖÑ ÒÓ ØÓÖ × ÙÖ Ô Ö ÜÔÖ × Ö ÙÒ ×Ó Ö ¹ Ð ÙÐÓ Ò ÓÒ× ¹
Ö ÓÒ Ð Ò ÖØ ÙÑ Ö Ð ÑÓ ÐÓ¸ ÖÖÓÖ × Ð ÙÐÓ Ò ×Ù× Ú Ö× × × × Ý Ø ×¸ Ý ÖÖÓÖ × Ò Ð ×
Ö × ×Ô Ö ×º

440. 414 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ñ ÑÓÖ ¸ ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÚ Ð Ð Ö Û Ö º ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÓÒ Ð Ò ¹
Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ Ð × Ù Ø × ×Ø Ò Ò Ö ÓÒ × Ñ ÑÓÖ × ÓÒØ Ò٠׺ ÈÓÖ
ÓÒ× Ù ÒØ ¸ Ô Ö Ð Ñ ×ÑÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐ × ÓÒ ×¸ ×Ù Ò×Ô ÓÒ ÒØÖÓ Ð ÔÖÓÔ
Ø Ð Ø Ò × Ö ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × Ö Ô ÕÙ ×Ù Ò×Ô ÓÒ ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒ
Ò Ù Ø × × ÓÒØ ÒÙ × Ò Ð Ñ ÑÓÖ ¸ ÔÙ × Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÔÖÓÚ Ð
Ý Ð ÓØÖÓ ÒÓº
5.1.4 Direccionamiento abierto
ÓÑÓ Ý ÐÓ Ò ÑÓ׸ Ò Ð Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ ØÓ ÓÐ × ÓÒ × Ö ×Ù ÐÚ ÒØÖÓ
Ð Ø Ð × Ò ÔÙÒØ ÓÖ Ð ÓÐ × ÓÒº
ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ¸ Ð × Ð × ÓÒØ Ò Ò Ö ×ØÖÓ× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ú Ý ÙÒ Ñ Ö ¸
ÒÓÑ Ò ×Ø ØÙ× ¸ ÓÒ ØÖ × ÔÓ× Ð × Ú ÐÓÖ ×
EMPTY Ð Ð ×Ø ×ÔÓÒ Ð Ô Ö ÐÑ Ò Ö ÙÒ Ð Ú º
BUSY Ð Ð ×Ø Ó ÙÔ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ú º
DELETED Ð Ð ÓÒØ Ò ÙÒ ÒØÖ ÕÙ Ò Ð ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒØÙÚÓ ÙÒ Ð Ú Ý
ÕÙ ÐÙ Ó Ù ÓÖÖ º Å × Ð ÒØ Ú Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÕÙ × Ò × Ö ×Ø Ñ Ö º
ÍÒ Ù Ø tabla[i] ÔÙ ×Ø Ö Ó ÙÔ ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ö ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ × Ó
ÔÓÖÕÙ × ÙÒ ÓÐ × ÓÒ Ý Ù × Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ Ø Ò ×ÓÒ Óº Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ó×
×Ó× × ×Ø Ò Ù Ñ ÒØ ÓÑÔÖÓ ÓÒ Ð ÔÖ Ó h(Ø Ð [i]) = iº Ë Ð ÔÖ Ó
× ÖØÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ú ÒÓ Ù ÙÒ ÓÐ × ÓÒº
5.1.4.1 Sondeo ideal (sondeo uniforme)
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × ÓÐ × ÓÒ × Ò ×Ø Ö ÒØÖÓ Ð ÔÖÓÔ Ø Ð ¸ Ð ×ØÖ Ø × Ö Ñ Ø
Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ù Ø ÙÝÓ Ú ÐÓÖ × ×Ø ÒØÓ EMPTYº ÈÙ Ö× ÕÙ Ð ×ØÖ Ø
×Ô Ö× ÓÒ ÖÖ ´ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓµ × ÙÒ ×ØÖ Ø ×ÓÒ Óº
٠Р׸ ÒØÓÒ ×¸ Ð ×ØÖ Ø ×ÓÒ Ó Ð Ë ÔÖ ×ÙÑ ÕÙ × ÕÙ ÐÐ ÕÙ
Ò×Ô ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ð × Ù Ø × × Ö¸ Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ ÓÐ × ÓÒ¸ Ð ÔÖÓÜ Ñ
Ù Ø ×ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÐÓ Ö Ð ÓÐ × ÓÒ × Ð ÓÒ Ö× Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ò Ð Ò¹
Ø ÖÚ ÐÓ [0, M− 1]º Ì Ô Ñ ÒØ ¸ ×Ø ×ÙÔÓ× ÓÒ × ÓÒÓ ÓÑÓ hashing o dispersi´n
o
universal Ý × Ð Ð ÔÓÖÕÙ Ð Þ ÐÓ ÕÙ × Ö Ð Ñ ÓÖ × ÑÔ ÒÓ Ù ÐÕÙ Ö
×ØÖ Ø ÖÖ Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ ×º
Lema 5.4 (Peterson 1957 [27]) Cantidad de cubetas inspeccionadas en una
b´ squeda fallida sobre una tabla hash con resoluci´n de colisiones por direc-
u o
cionamiento y sondeo ideal
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý ÕÙ ÓÒØ Ò N Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë k ∈ K ÙÒ Ð Ú
Ù ÐÕÙ Ö º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ù Ø × ÕÙ × Ú × Ø Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ×
M+1
UN =
M−N+1
´ º½ µ

441. 5.1. Manejo de colisiones 415
Demostraci´n
o ÒÙÒ ÑÓ× UN Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
UN =
ËÙÑ Ð
ÌÓØ Ð
ÒØ
ÓÒ¬ ÙÖ
×ÓÒ Ó× i
ÓÒ × ÔÓ× Ð ×
Ù Ø × Ò Ù×ÕÙ
Ð Ø Ð ×
ÐÐ
=
πi
πN
´ º½ µ
Ë Ø Ò ÑÓ× M Ù Ø × ÒÙÑ Ö × ÒØÖ 1 Ý M Ð × Ö Ô ÖØ ÑÓ× Ð × N Ð Ú × Ò× ÖØ ×¸
ÒØÓÒ × Ð ØÓØ Ð Ñ Ò Ö × ÔÓ× Ð × ÖÐÓ × M Ó × ¸ Ð ØÓØ Ð ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ ×
N
ÔÓ× Ð × Ð Ø Ð × ×ØÓ × πNº
Ë i Ð ÒØ Ù Ø × ÕÙ × Ò×Ô ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ÓÒ ×ÓÒ Ó
к
È Ö ÕÙ × ÓÒ×ÙÑ Ò i ×ÓÒ Ó׸ Ð × ÔÖ Ñ Ö × i − 1 Ù Ø × Ò Ø Ò Ö ×Ø ØÙ× BUSY¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ×Ø ØÙ× Ð ÙÐØ Ñ × Ö EMPTYº Ò i ×ÓÒ Ó× × Ö Ú × Ò i − 1 Ù Ø ×
ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ú × Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð i¹ × Ñ Ù Ø ×ÓÒ ×Ø Ú º Ä ÒØ
×ÔÓ× ÓÒ × Ò ÕÙ × ×ÓÒ Ò i − 1 Ð Ú × × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÒØ ÑÒÖ×
×ØÖ Ù Ö Ð × N − i + 1 Ð Ú × Ö ×Ø ÒØ × Ò Ð × M − k Ù Ø × Ö ×Ø ÒØ × × Ö N−i+1 M−i
Ô Ö ÙÒ ×ÔÓ× ÓÒ Ð Ú × Ô ÖØ ÙÐ Öº Ð ØÓØ Ð ÔÓ× Ð × Ð ×ÙÑ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ ×
ÔÓ× Ð × i
M M
M−i M−i
πi = i
N−i+1
= i
M−N−1
´ÈÓÖ × Ñ ØÖ n
k
=
n
n−k
µ
i=1 i=1
M−1 M−2 1 0
= +2 + · · · + (M − 1) +M
M−N−1 M−N−1 M−N−1 M−N−1
M−1 M−1 M−1
= (M − i)
i
M−N−1
= M
i
M−N−1
− i
i
M−N−1
´ º½ µ
i=0 i=0 i=0
ÓÖ ¸ ØÓ× ÔÐ Ö Ð ÔÖÓÔ Ð ×ÙÑ ØÓÖ Ð Ò ×ÙÔ Ö ÓÖ ÐÓ× Ó ¬¹
ÒØ × ÒÓÑ Ð × ¸ Ú ÑÓ× ÜÔÖ × Ö Ð ØÓÖ i ÓÑÓ i + 1
M−1 M−1
i i
πi = M − (i + 1 − 1)
M−N−1 M−N−1
i=0 i=0
M−1 M−1
i i
= (M − 1) − (i + 1) ´ º½ µ
M−N−1 M−N−1
i=0 i=0
(A) (B)
´ µ × Ð ÙÐ Ð Ö Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ð ×ÙÑ ØÓÖ Ð Ò ×ÙÔ Ö ÓÖ
M M
(A) = (M − 1) = (m − 1) ´ÔÓÖ × Ñ ØÖ µ ´ º¾¼µ
M−N N
Ð Ù ÒØÓ ´ µ¸ ÔÓ ÑÓ× ×ÓÖ Ö½¼ Ð ØÓÖ (i − 1) × ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ× Ý Ú ÑÓ× ÔÓÖ
`n ´ ` ´
Ê Ù Ö × ÕÙ k = ÔÙ × ÐÓ× k Ð Ñ ÒØÓ× ÓÑ Ò Ó× × ÑÔÖ ×Ó Ö Ò n − kº
n
n−k
Ä ÔÖÓÔ Ò Ù ×Ø ÓÒ × × ¬Ò ÓÑÓ
n
! !
k n+1
= .
k=0
m m+1
ÍÒ Ü Ð ÒØ Ö Ö Ò ×Ó Ö ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒ Ó ¬ ÒØ × ÒÓÑ Ð × ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ø ÜØÓ ÓÒ Ö Ø
Å ØÑ Ø × ½ º
½¼
! !
n n n−1
= .
m m m−1

442. 416 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
(M − N − 1)
M−1
M−N i
(B) = (i + 1)
M−N M−N−1
i=0
M−1
i+1 M+1
= (M − N) = (M − N)
M−N M−N+1
i=0
M+1
= (M − N) ´ÔÓÖ × Ñ ØÖ µ ´ º¾½µ
N
ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ´ µ Ý ´ µ Ò ´ º½ µ
M M+1
πi = (M − 1) − (M − N)
N N
M! (M + 1)!
= (M − 1) − (M − N)
(m − N)!N! (M − N + 1)!N!
M! (M + 1)M!
= (M − 1) − (M − N)
(m − N)!N! (M − N + 1)(M − N)!N!
M M−N M+1 M
= (M + 1) 1− = ´ º¾¾µ
N M−N+1 M−N+1 N
Ð ×Ù×Ø ØÙ Ö ´ º¾¾µ Ý Ð Ú ÐÓÖ πN = m Ò ´ º½ µ Ó Ø Ò ÑÓ× ´ º½ µ
N
ÓÒ ÓÖÑ M, N −→ ∞¸ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ´ º½ µ Ø Ò
− +
−1
UN = Ð Ñ MM N 1 1 = (1 − α)−1
M,N− →∞ +
´ º¾¿µ
Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÔÖÓÜ Ñ M+1 ≈ α¸ ÐÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ð
N
ÔÙ × Ö ÔÖ ×Ó¸ ÔÙ × ×Ù Ð Ù× Ö×
ÙÒ Ù Ø Ñ × ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ Ú ×ØÓ M ÕÙ ÙÒ ÒØ Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ö Ð ×ÓÒ Ó
Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó׺
ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ Ó ÙÖÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÓÒ Ó ´ Ð
Ö ØÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ × µ × αº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð ÔÖÓ Ð Ö ÕÙ Ö Ö×
Ó× ×ÓÒ Ó׸ × α Ò ¬Ò¸ Ò Ö ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÔÖÓ Ð
2º Ö ÕÙ Ö Ö× k ×ÓÒ Ó× Ð ×
× αkº
Ä ÒØ ×ÓÒ Ó× ÕÙ × Ö Ð Þ Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ×Ø ÜÔÖ × ÔÓÖ Ð
Ð Ñ × Ù ÒØ
Lema 5.5 (Peterson 1957 [27]) Cantidad de cubetas inspeccionadas en una
b´squeda exitosa sobre una tabla hash con resoluci´n de colisiones por di-
u o
reccionamiento y sondeo ideal
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý ÕÙ ÓÒØ Ò N Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë k ∈ K ÙÒ Ð Ú
Ù ÐÕÙ Ö º ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ù Ø × ÕÙ × Ú × Ø Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ×
M+1
SN =
N
HM+1 − HM−N+1 ´ º¾ µ

443. 5.1. Manejo de colisiones 417
Demostraci´n Ë Si Ð ÔÖÓÑ Ó
o Ù Ø × ÕÙ × ×ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ×
×Ó Ö ÙÒ Ø Ð ÓÒ i Ð Ñ ÒØÓ׺
Ð ÙÒ Ñ ÒØÓ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ × ÜÔÖ × Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ×Ó Ö ÙÒ Ø Ð ÕÙ
ÓÒØ Ò i Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ù×ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ù Ó Ö Ð Þ Ö× Ô Ö Ò× ÖØ Ö
Ð i¹ × ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ó × Si = Ui−1º
Ð ÔÖÓÑ Ó SN ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ´ º½ µ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
N−1
1
Si = Ui
N
i=0
N−1 N−1
1 M+1 M+1 1
= =
N M−i+1 N M−i+1
i=0 i=0
M+1
= HM+1 − HM−N+1
N
Ó Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ M, N −→ ∞ Ý Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ×
ÖÑÓÒ Ó×½½
+
Ð Ñ Si
M,N− →∞
= Ð Ñ MN 1 ÐÒ (M + 1) − ÐÒ (M − N + 1)
M,N− →∞
= ÐÑ
M,N−→∞
1
ÐÒ M + 1
α M−N+1
=
1
ÐÒ 1
α 1−α
´ º¾ µ
ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ò Ó¸ Ð ×ÓÒ Ó Ð × ÐÓ ÕÙ × ÔÖ ×ÙÑ ÖÖÓ Ö Ð Ñ ÓÖ
× ÑÔ ÒÓº Ò Ð ÔÖ Ø × ÖÖ Ð ÔÓÖÕÙ ¸ Ô ÖØ ÕÙ × Ñ × Ó Ð ÒÖÖ
×ÓÒ Ó× Ð ØÓÖ Ó× Ò Ô Ò ÒØ × Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×¸ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒÕÙ
ÑÙÝ ÑÔÖÓ Ð Ò Ð Ñ Ò ÕÙ M × Ñ × Ö Ò ¸ ÕÙ Ð ×ÓÒ Ó Ð ÒÓ Ò Ù ÒØÖ
ÙÒ Ù Ø ×ÔÓÒ Ð º Ð ×ÓÒ Ó Ð Ý Ð × ÓØ × ÜÔÖ × × ÔÓÖ ´ º¾¿µ Ý ´ º¾ µ ÒÓ×
ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò ÙÒ Ö Ö Ò × ÑÔ ÒÓ Ô Ö ÓØÖÓ× Ò ÓÕÙ × ×ÓÒ Ó ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ×
ÒÑ Ø Ñ ÒØ º
5.1.4.2 Sondeo lineal
Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Ó × Ó ÙÖÖ ÙÒ ÓÐ × ÓÒ¸
ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓÜ Ñ Ð ×ÓÒ Ö × Ö Ð × Ù ÒØ ×ÔÓÒ Ð ¸ ÙÝ Ñ Ö × ×Ø ÒØ
EMPTY¸ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð Ò×Ô ÓÒ × Ù Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð Ò Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ
× º Ä Ø Ð ÑÔÐÓ ÕÙ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ó Ô Ö Ð × Ó× ×ØÖ Ø × ÒØ Ö ÓÖ × × Ô ØÓÖ Þ
×
½½
Hn ≈ ÐÒ n + O(1)º

444. 418 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
0 k1 E
1 k10 B
2 k8 E
3 k11 B
4 E
5 k2 B
6 k5 B
7 k9 B
8 k3 B
9 E
10 k4 B
11 k7 B
E
E
M−2 E
M − 1 k6 B
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ×ØÖ Ù ÓÒ Ð × Ð Ú × × ÒØ Ð Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸
ÔÙ × ×ÓÒ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ×ÓÒ Óº
ALEPH Ø Ò ÙÒ Ì ¸ ÒÓÑ Ò Ó OLHashTable<Key,Record>¸ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ ÙÒ
Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº Ð
Ì Ò Ù ×Ø ÓÒ × ÜÔÓÖØ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÓÐ × ºÀ ½
½ ØÔÐ ÓÐ × ºÀ ½ ≡
template <typename Key, typename Record, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class OLhashTable
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× OLHashTable<Key,Record> ½
};
OLHashTable<Key,Record> Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ø Ð × ¸ ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ ×
ÖØ Ý ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð Ù Ø ×¸ Ò Þ ÔÓÖ Ð Ú × Ø ÔÓ Key Ý ÕÙ Ù Ö Ö ×ØÖÓ×
Ø ÔÓ Recordº
B´squeda
u
Ä Ù×ÕÙ ÙÒ Ð Ú × Ö Ñ Ø
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× OLHashTable<Key,Record> ½ ≡ ´½ µ ½
Record * search(const Key & key)
{ // Comenzar desde ındice hash y sondear linealmente hasta
´
// encontrar una cubeta EMPTY
for (int i = (*hash_fct)(key) % M, c = 0; c < M and table[i].status != EMPTY;
++c, ++i)
if (table[i].status == BUSY) // ¿Hay una clave en la cubeta?
if (Cmp() (table[i].key, key)) // Comparar la clave
return &table[i].record;
return NULL; // No se encuentra la clave
}
Ð Ð ÞÓ × Ø Ò Ù Ò Ó × ×ÓÒ ÙÒ Ð ÙÝÓ ×Ø ØÙ× × EMPTYº ÍÒ Ð ÓÒ
×Ø ØÙ× Ù Ð BUSY × Ö Ú × Ô Ö Ú Ö ¬ Ö × ÓÒØ Ò Ð Ð Ú Ù×ÕÙ º ÍÒ Ð ÓÒ
×Ø ØÙ× DELETED ÒÓ ÓÒØ Ò Ð Ú ¸ Ô ÖÓ ÓÑÓ ×Ø Ò Ð Ñ ÒÓ ÙÒ ÓÐ × ÓÒ¸ Ý ÕÙ
ÓÒØ ÒÙ Ö Ð ×ÓÒ Ó ×Ó Ö Ð × Ù ÒØ Ù Ø º

445. 5.1. Manejo de colisiones 419
Inserci´n
o
Ä Ò× Ö ÓÒ × Ö Ñ Ø Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ø ¸ × Ö ×ÙÐØ ÒØ Ö Ø Ð ÙÒ ÓÒ
× Ó Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸ ÓÒ ×Ø ØÙ× ×Ø ÒØÓ BUSYº ×ØÓ × ÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ
Ñ ØÓ Ó
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× OLHashTable<Key,Record> ½ +≡ ´ ½ µ ½ ½
Record * insert(const Key & key, const Record & record)
{
if (N >= M)
throw std::overflow_error("Hash table is full");
int i = (*hash_fct)(key) % M;
while (table[i].status != BUSY) // Sondear linealmente cubetas disponibles
i = (i + 1) % M;
// i contiene celda con DELETED o EMPTY ==> ocuparla
table[i].key = key;
table[i].record = record;
table[i].status = BUSY;
N++;
return &table[i].record;
}
Eliminaci´n
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÔÓÐ Ñ ×Ø ×ØÖ Ø ¸ Ô ÖÓ × ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ
× ÑÔÐ ´½µ Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ù Ø ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ð Ú Ð Ñ Ò Ö Ý ´¾µ Ñ Ö ÖÐ ÓÒ DELETEDº
Ä × Ù Ø × Ñ Ö × ÓÑÓ DELETED Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒ Ó×Ø ÓÒ Ð Ð Ù×ÕÙ ¸
ÔÙ × ×Ø × Ò Ò×Ô ÓÒ Ö× ÙÒÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ð Ú ×º ×ØÓ ÔÐ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ
ÒØÖÓÔ Ñ ÕÙ ÙÑ ÒØ Ð ÒØ Ð Ñ Ò ÓÒ ×¸ ÔÙ Ò Ó Ó ÙÖÖ Ö Ð ¹
× ÓÖØÙÒ × ØÙ ÓÒ Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ú × Ö ØÓ × Ð × Ù Ø × Ð Ø Ð Ò ÙÒ Ù×ÕÙ
ÐÐ ÙÒÕÙ Ð Ø Ð ÓÒØ Ò ÑÙÝ ÔÓ Ó× Ð Ñ ÒØÓ׺ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÓÒ Ö ¹
ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ð × Ð Ñ Ò ÓÒ × Ò × Ö Ü Ô ÓÒ Ð ×º
Mejoras a la eliminaci´n
o
Ä ÒØÖÓÔ Ù× ÔÓÖ Ð ÙÑÙÐ ÓÒ Ù Ø × ÓÒ ×Ø ØÙ× DELETED ÔÙ ÓÒØÖ Ö¹
Ö ×Ø Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ò ÕÙ ÖÖ Ð Ö ÔÓÖ Ð Ù Ø Ð Ñ Ò ÒØÖÓ
Ð Ò ÓÐ × ÓÒ ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÙÐØ Ñ Ù Ø Ð Ò ÔÙ Ñ Ö Ö×
ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ EMPTYº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ¸ Ð ÒØ Ö Þ Ô Ö
Ð Ñ Ò Ö × ÔÐ ÒØ Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ö ×ØÖÓ ÕÙ × × Ð Ñ Ò Öº ×Ø
ÑÓ Ó¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ÔÙ ¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÓÖÖ Ö Ð Ö Ô Ø ÓÒ Ð ØÖ Ó Ù×ÕÙ º
Ó ×ØÓ¸ ÒÓ Ö ×ÙÐØ Ö Ð ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÖÙØ Ò Ð Ñ Ò ÓÒ
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× OLHashTable<Key,Record> ½ +≡ ´½ µ ½
void remove(Record * record)
{
Bucket * bucket = record_to_bucket(record);
int i = bucket - &table[0]; // ındice cubeta a eliminar (brecha)
´
for (int j = (i + 1) % M; true; ++j) // cerrar la brecha i
switch (table[j].status)
{
case BUSY:
if (Cmp () ((*hash_fct)(table[j].key), bucket->key)) // ¿hay colisi´n?
o

446. 420 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
{ // contiene colisi´n ==> mover su contenido hacia table[i]
o
table[i].key = table[j].key;
table[i].record = table[i].record;
table[i].status = BUSY;
table[j].status = DELETED; // deviene DELETED, eventualmente
// candidata a EMPTY
i = j; // table[j] deviene cubeta brecha
}
break;
case DELETED: // en este caso, la cubeta i no puede marcarse con
// EMPTY porque si no rompe la cadena de sondeo lineal
i = j; // table[j] deviene cubeta brecha
break;
case EMPTY: // en este caso j ser´a la cubeta que detendr´a la b´squeda,
ı ı u
// pero, puesto que i est´ m´s atr´s y no interrumpe la
a a a
// b´squeda, la marcamos con EMPTY y terminamos
u
table[i].status = EMPTY;
N--;
return; // terminar
}
}
×Ø ÖÙØ Ò ÖÖ Ð Ö ÓÒ ×Ø ØÙ× DELETED Ý Ñ Ö Ð ÙÐØ Ñ Ù Ø Ð Ò
ÓÐ × ÓÒ × ÓÑÓ EMPTYº
ÙÒÕÙ ×Ø Ñ ÓÖ Ñ ÓÖ Ð ÔÖÓ ×Ó Ù×ÕÙ ¸ ×Ø Ö Ð ÒØ Þ Ð Ð Ñ Ò ÓÒº
Ë Ð × Ð Ñ Ò ÓÒ × ×ÓÒ Ü Ô ÓÒ Ð ×¸ ÒØÓÒ × × ÔÖ Ö Ð ÙØ Ð Þ Ö Ð ÑÙÝ × ÑÔÐ Ð Ó¹
Ö ØÑÓ Ñ Ö Ö Ð Ù Ø ÓÒ DELETED Ý Ö Ñ ÒØ Ö Nº
Ä Ñ ÓÖ ÔÐ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ù Ø × ÕÙ Ø Ò Ð Ò ¹
Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Óº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ø ÑÔÓ Ó × ÔÙ Ò Ñ ÒØ Ò Ö ÔÙÒØ ÖÓ× Ð Ñ ÒØÓ×
Ð Ø Ðº
5.1.4.3 An´lisis informal del sondeo lineal
a
Ð Ò Ð × × ÕÙ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ ×Ø × Ó Ò ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÔÖ × ÒØ Ó×
ÔÓÖ Ë Û Ý Ð ÓÐ Ø ¾ Ý × ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ò Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ¸ Ù Ð Ù Ð
ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÃÒÙØ Ò Ð ÞÓ Ü ØÓ× Ñ ÒØ
Proposici´n 5.2 (Knuth 1962 [19]) Cantidad de cubetas accedidas en direc-
o
cionamiento abierto y sondeo lineal
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº Ë k ∈ K ÙÒ Ð Ú Ù ÐÕÙ Ö º
ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ù Ø × ÕÙ × Ú × Ø Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ×
N−1
(N − 1)!
1 1
UN = +
2 2 Mi(N − i − 1)!
=
1
2
1+
1
1−α
+O
1
N
; ´ º¾ µ
i=0
Ý Ð ÔÖÓÑ Ó Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ×
N−1
1 1
SN = +
2 2
i
N!
Mi(N
− i)!
=
1
2
1+
1
(1 − α)2
+O
1
N
. ´ º¾ µ
i=0

447. 5.1. Manejo de colisiones 421
Demostraci´n
o ÈÓÖ ×Ù ÓÑÔÐ ¸ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ × Ò Ö Óº ÓÒ×ÙÐØ ×
Ë Û Ý Ð ÓÐ Ø ¾ Ý ÃÒÙØ ½ ¸ ¾¼ Ô Ö ÐÓ× Ø ÐÐ ×
Corolario 5.1 Desempe˜ o esperado de una tabla hash con resoluci´n de coli-
n o
siones por direccionamiento abierto y sondeo lineal
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ ×
ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº ÒØÓÒ ×¸ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó Ð ×
ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × O(α) = O(1)º
Demostraci´n M ×Ø
o ÓØ Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ ÓÒ×Ø ÒØ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ø Ð × ÖÖ ¸
N <= M¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ α × ÓÒ×Ø ÒØ º Ò Ú ÖØÙ ×Ø Ó¸ Ð × ÜÔÖ × ÓÒ ×
´ º¾ µ Ý ´ º¾ µ ×ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ ×º
Ä Ò× Ö ÓÒ ×Ø Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ð Ù×ÕÙ ÐРݸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ´ º¾ µ × ÓÒ×Ø ÒØ ¸
Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó Ø Ñ Ò × ÓÒ×Ø ÒØ º Ö Ó¸ Ð Ò× Ö ÓÒ × O(1)º
Ä Ù×ÕÙ ÐÐ Ò Ò Ð Ñ ×Ñ × ØÙ ÓÒ ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒº Ä Ù×ÕÙ Ü ØÓ×
ÔÒ ´ º¾ µ¸ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò × ÓÒ×Ø ÒØ º
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÓÒ Ð Ì OLHashTable<Key,Record> × Ø ÖÑ Ò ×Ø Ñ ÒØ ÓÒ×¹
Ø ÒØ º Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ì × Ó Ò Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ò
Ò ÐÓ× ×Ó× ÒØ Ö ÓÖ ×
ÓÖ ÕÙ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ó Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÕÙ ÒÓ× Ö Ø Ö Þ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ×ÓÒ Ó
Ð Ò Ð¸ Ñ Ø ÑÓ× Ö ÐÓ ÕÙ ÐÐ ÒÓ× Ö Ú Ð º Ä ¬ ÙÖ × º½ Ý º¾ ÐÙ×ØÖ Ò ÐÓ× ¹
× ÑÔ ÒÓ× Ô Ö Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð Ý ×ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ð Ù×ÕÙ
ÐÐ Ý Ü ØÓ× ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
+
ËÓÒ Ó Ð 3 3
+
Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó 3
º + 3
ËÓÒ Ó Ð Ò Ð + + 3
+ 3
+ 3
+ 3
+ 3
¿º + 3
3
+ 3
+ 33
¿ + 3
+
+ 3
+ 33
+ 33
¾º ++ 3
3
+
+ 33
++ 33
3
+ 333
+
+ 333
¾ ++ 33
++333
++ 3
++ 33
++ 33
½º ++ 3
++ 3
+3333
+3333
++
+333
+
+33
+++3
+++3
+333
+333
33333
33333
++++
++++
½ 3333
++++
333
+++
¼ ¼º½ ¼º¾ ¼º¿ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º
α
ÙÖ º½ ÒØ Ù Ø × Ò×Ô ÓÒ × Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ
Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × Ö Ô Ö Ð Ù×ÕÙ Ü ØÓ× Ù Ò Ó Ð Ø Ð × Ò Ù ÒØÖ Ò ÙÒ
¼± ÔÐ Ò ØÙ Ô ÖØ Ö ÐÐ ¸ Ð Ô Ò ÒØ Ú Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ý Ð ÒØ Ù Ø×
ÕÙ × Ò×Ô ÓÒ Ò ÙÑ ÒØ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ º ÒØ × Ð ¼± Ð ÒØ Ò×Ô ÓÒ × ×
Ò ÔÖÓÑ Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÖ ×¸ ÐÓ Ù Ð × ÔØ Ð × ÑÓ Ù ÒØ Ð º

448. 422 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ò Ù ÒØÓ Ð Ù×ÕÙ ÐÐ ¸ Ð ×ÙÒØÓ ÑÔ ÓÖ ÒØ × Ô Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº
Ô ÖØ Ö Ð ¼± × Ò×Ô ÓÒ Ò Ò ÔÖÓÑ Ó Ù ØÖÓ Ù Ø × Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ¸ ÐÓ
ÕÙ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÕÙ × ×ÓÒ Ò Ù ØÖÓ Ù Ø × Ò ÙÒ Ò× Ö ÓÒº Ì Ò ÑÓ׸ Ô٠׸
ÙÒ Ñ Ö Ò ÒØÖ Ð ¼± Ý Ð ¼± Ò Ð Ù Ð Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × Ò ÔÖÓÑ Ó ÔØ Ð º
Ù Ð × Ð ÔÓÖ ÒØ ÔÐ Ò ØÙ Ò ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ØÖ Ö ÓÒ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð Ñ Ò Ö
× ÙÖ
Ä ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ö Ù ×Ø ÓÒ Ö Ù Ð¸ ÒØÖ Ð × Ó× ÙÖÚ ×¸ × Ð Ñ × Ö ÔÖ ¹
× ÒØ Ø Ú Ó ÕÙ Þ Ñ ÓÖ¸ Ó¸ Ù Ð ÒØÖ Ð × Ó× Ù×ÕÙ × × Ð Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÈÓÖ
ÐÓ Ò Ö Ð Ð Ù×ÕÙ Ó ÓÒ×ÙÐØ ÐÓ ÕÙ Ý ×Ø Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ × Ñ × Ö Ù ÒØ ÕÙ Ð
Ù×ÕÙ ÐÐ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð Ö ¬ º¾ × Ð Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ º Ó ×Ø Ö Ø Ö Ó
Ý Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÑÔ Ö Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × ÓÖ Ð ×Ø ÙÒ
Ñ Ü ÑÓ ÒØÖ Ð ¼ Ý ¼± ÔÐ Ò ØÙ º ÉÙ Ø ÒØÓ Ù ×Ø Ð ¿¼¹¾¼± ×Ó ÙÔ ÓÒ
ÍÒ Ô Ö×Ô Ø Ú ÒØ Ö × ÒØ Ô Ö ÓÖ Ö ×Ø ÔÖ ÙÒØ ÒÓ× Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÓÑÔ Ö Ö Ð
×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº
ËÓÒ Ó Ð 3 +
º Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó +
ËÓÒ Ó Ð Ò Ð +
+
+
+ 3
¿º +
3
+
+ 3
¿ +
+ 3
3
++ 3
+ 3
3
¾º +
+
+ 3
3
3
+
+ 3
++ 333
3
¾ ++
++ 33
33
3
++ 3333
++ 3333
++
+ 3
½º +++ 3333
+++ 3333
+++
+3333333
+++
+3333333
+++
++
++3333
++333
+++++ 3
++++++
+3333333
+3333333
½ +333
333+
+++
+++ ++++++++3
333333333
333333333
++++++++
¼ ¼º½ ¼º¾ ¼º¿ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º
α
ÙÖ º¾ ÒØ Ù Ø × Ò×Ô ÓÒ × Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ×
ÉÙ × ÐÓ ÕÙ Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸ Ø Ò ÒÓØ Ð Ò Ð × Ö ¬ ׸ Ö ×Ô ØÓ Ð ×ÓÒ Ó
Ð Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ÓÒÓ Ó Ð ÖÓØÙÐÓ ÖÙÔ Ñ ÒØÓ ÔÖ Ñ Ö Ó º × Ú ÒØ
ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ú ÓÐ × ÓÒ h(k1) = i ÔÓØ Ò ÙÒ ÓÐ × ÓÒ h(k2) = i + 1º ÓÒ ÓÖÑ
ÙÑ ÒØ Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׸ × ÓÖÑ Ò Ò × Ð Ò Ð × ÓÐ × ÓÒ × Ò ØÓÖÒÓ Ð
ÔÓ× ÓÒ iº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò Ð ÔÖ Ø ¸ ×Ø × Ò × ×ÓÒ ØÓÐ Ö Ð × ×Ø Ð ÔÓÖ ÒØ
ÔÐ Ò ØÙ ÜÔÖ × Ó ´ ¼±µ¸ ÔÙ × ×Ù ÓÒØ Ù Ò Ð ÖÖ ÐÓ ÔÖÓÚ Ð Ð
ÓÑÔÙØ ÓÖ ½¾ º
ÓÒ ÒÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ó ÙÔ ÓÒ Ò
Ñ ÑÓÖ
SL = 2MSpST + 2NSpST . ´ º¾ µ
ÓÒ Sp × Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ý ST × Ð ×Ô Ó Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ Ð Ð Ú º
½¾
×ØÓ× ÔÓÖ ÒØ × ÔÙ Ò ÓÖÖÓ ÓÖ Ö× ´Ó Ö ÙØ Ö× µ Ñ ÒØ cachegrind ¾ º

449. 5.1. Manejo de colisiones 423
Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó¸ ÓÒ Ð Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ó ÙÔ ÓÒ Ñ ÑÓ¹
Ö
SO = M(ST + 1) ´ º¾ µ
Ð Ö Ñ ÒØ ¸ SO < SL¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × Ò ¬ ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ö Ù Ö× Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ
Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ý ÙÒ Ø Ð
ÔÙÖÓ× ÔÙÒØ ÖÓ׺
Ä × Ö ¬ × º½ Ý º¾ ÑÙ ×ØÖ Ò ÓÒØÙÒ ÒØ Ñ ÒØ Ð ×ÙÔ Ö ÓÖ Ø ÓÖ Ð Ò ¹
Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ò Ù ÒØÓ Ð ÒØ ×ÓÒ Ó× ÕÙ × Ö Ð Þ Ò Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö
Ù×ÕÙ º È ÖÓ¸ ÓÑÓ Ý ÐÓ Ò ÑÓ× Ò Ü º½º¿º ´Ô Ò ½¾µ¸ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ÔÖÓÚ
Ð Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ¸ ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ù ÓÒ ÕÙ × Ú Ö Ó× ÓÖ Ò × Ñ Ò ØÙ Ñ ×
Ú ÐÓÞ ÕÙ Ð ×Ó Ö Ñ ÒØ Ó Ð Ñ ÑÓÖ ¸ × Ò ÔÖÓÚ Ö Ð ¸ ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ö Ð
Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ò× Ö ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ò Ô Ð Ö Ð
Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ Ò Ñ ¸ Ñ ÒØÖ × Ð Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ ÒÓº
Ù Ò Ó × Ø Ò Ð ÒØ ×Ô Ö Ð Ú × Ñ Ò Ö¸ Ð Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ
ÓÒ ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ×¸ ÔÖÓ Ð Ô ÖÓ ×ÓÖÔÖ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ÓÒ ÐÓ× Ö ÙÑ ÒØÓ× Ò Ñ ÒÓ¸
Ð Ñ ÓÖ Ò ÓÕÙ Ô Ö Ñ Ò Ö ÙÒ Ø Ð × º Ä × Ö ÞÓÒ × × ÔÙ Ò Ö ×ÙÑ Ö Ò
¯ × ÑÙÝ × ÑÔÐ ÑÔÐ ÒØ Ö¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÙÒ Ó Ó×Ø ÓÒ×Ø ÒØ º
¯ ÆÓ ÙØ Ð Þ Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ Ò Ñ º
¯ ÔÖÓÚ Ð Ð ÓÑÔÙØ ÓÖº
Ù Ò Ó × ÑÔÖ Ø Ó Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ÓÑÓ ×Ú ÒØ × ÔÓ ÑÓ× ÒÙÒ Ö
¯ Ð Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ ×Ø ×ÙÔ Ø Ó ÙÒ ×Ø Ñ ÓÒ ÓÖÖ Ø Ð ÒÙÑ ÖÓ
Ð Ñ ÒØÓ× Ñ Ò Öº Ë ×ØÓ ÐÐ ¸ ÒØÓÒ × Ð ÖÙÔ Ñ ÒØÓ Ö ÓÒ× Ö ¹
Ð Ñ ÒØ Ð × ÑÔ ÒÓº
Ò Ó × ÓÒ × ÒÓ × ÔÓ× Ð ×ÔÓÒ Ö ÙÒ Ù Ò ×Ø Ñ ÓÒº Ò ×ØÓ× ×Ó׸ ×
ÓÑÓ × × × ÙÒ Ø Ð × Ò Ö Ð¸ × ÔÖ Ö Ð Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº
¯ Ä Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ÓÒÐÐ Ú Ú ÒØÙ Ð × Ò ÓÒÚ Ò ÒØ ×º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ð Ñ Ò ÓÒ ÕÙ × ÖÖÓÐÐ ÑÓ× Ø Ò Ð ×Ú ÒØ ÑÓÚ Ö ´ÔÓÖ ÓÔ µ ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó×
Ð × Ù Ø ×º ÆÓ ÔÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ Ñ ÒØ Ò Ö ÔÙÒØ ÖÓ× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ø Ð
ÓÒ ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº
Ë Ô Ð ÑÓ× Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ñ × × ÑÔÐ ¸ × Ö¸ ×ÓÐÓ Ñ Ö Ö Ð Ù Ø ÓÒ
DELETED¸ ÒØÓÒ × ÒÓ ÔÓ ÑÓ× Ô ÖÑ Ø Ö ÑÙ × Ð Ñ Ò ÓÒ ×¸ ÔÙ × ×Ø × Ö Ò
Ð Ù×ÕÙ º
× ÔÓ× Ð ×ÙÔ Ö Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð Ä Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÖÑ
Ú Ø Ö Ð ÖÙÔ Ñ ÒØÓ ÔÖ Ñ Ö Óº ÓÖ × ×Ø ÔÖ ÙÒØ Ò Ð × ×Ù ¹× ÓÒ × ×Ù × ¹
Ù ÒØ ×º
5.1.4.4 Sondeo cuadr´tico
a
Ð ×ÓÒ Ó Ù Ö Ø Ó × ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ × ÑÔÐ º Ë Ó ÙÖÖ ÙÒ ÓÐ × ÓÒ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ i¸
ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓÜ Ñ Ù Ø ×ÓÒ Ö ×Ø ÔÓÖ i2 ÑÓ Mº Ä ×Ø ×ØÖ Ø
× Ú Ø Ö Ð ÖÙÔ Ñ ÒØÓ ÔÖ Ñ Ö Ó Ý Ð ÓÖÑ ÓÒ Ò × Ð Ò Ð × ÓÐ × ÓÒ × ÕÙ ×ÓÒ
Ð × ÕÙ Ö Ò Ð × ÑÔ ÒÓ Ò Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº

450. 424 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
È ÖÓ ×Ø ×ØÖ Ø ÓÒÐÐ Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ × Ð Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ ØÓ × Ð ×
Ù Ø × × Ò ×ÓÒ ×¸ ÔÙ × i2 ÑÓ M ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ù Ö ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó [0, M)º
Ù Ò Ó Ð Ø Ð Ð ÒÞ Ð ¼± ÔÐ Ò ØÙ ÒÓ Ý Ö ÒØ ×ÓÐÙØ ÕÙ Ð ×ÓÒ Ó
Ù Ö Ø Ó Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ù Ø ×ÔÓÒ Ð º
Ï ×× ¿¼ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ × ÔÓ× Ð Ò ÓÒØÖ Ö Ø Ð Ù Ø × M × ÔÖ ÑÓº Ò Ò ÙÖ ¸
ÓÒ M ÔÖ ÑÓ Ý M = 4k + 3 Ð ×ÓÒ Ó Ù Ö Ø Ó Ò×Ô ÓÒ ØÓ Ð Ø Ð º
Ð ×ÓÒ Ó Ù Ö Ø Ó ÑÔ Ð ÓÖÑ ÓÒ Ò × Ð Ò Ð × ÓÐ × ÓÒ¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÑÙÐ
Ð ×ÓÒ Ó Ð ÔÓÖÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ i2 Ò × Ð ØÓÖ Ò × ÑÙÐ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð ØÓ¹
Ö Óº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÓÒ Ð ×ÓÒ Ó Ù Ö Ø Ó × ÔÖ × ÒØ Ð ÖÙÔ Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ö Ó
Ý Ð ÓÖÑ ÓÒ Ò × Ò ØÓÖÒÓ Ð × ÓÐ × ÓÒ × i2 ÑÓ Mº Ì Ò Ð ×Ú ÒØ ¸ Ñ ×¸
× Ö Ñ × ÓÑÔÐ Ó ÑÔÐ ÒØ Ö Ý ÑÔÓÒ Ö Ö ×ØÖ ÓÒ Ð × Ð ÓÒ M ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ
ÔÖ ÑÓ¸ Ð Ó ÕÙ ÒÓ × ÑÔÖ × ÔÓ× Ð º
5.1.4.5 Doble hash
× ÔÓ× Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð ÓÒ× Ö ÑÓ× ×ÔÓÒ Ö M ×Ø ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×
× {h1(k), h2(k), . . . , hM(k)} ÓÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ× Ð ØÓÖ Ó× Ò Ô Ò ÒØ × Ò ×Ø
× ØÙ ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ× ×ÓÒ Ö ÐÑ ÒØ × ÒÚÓ ÑÓ× ÔÖ Ñ Ò Ñ ÒØ h1(k) ݸ × Ý
ÓÐ × ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ×ÓÒ ÑÓ× Ð × Ù Ø × Ò Ð ÓÖ Ò h2(k), h3(k), . . . , hM(k) ×Ø Ò ÓÒ¹
ØÖ Ö ÙÒ Ù Ø ×ÔÓÒ Ð º ×Ø × Ò Ö Ó × Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ø Ð ¸ Ô ÖÓ Ý × ÖÒÓ×
Ú ÒØ ×Ù ¬ ÙÐØ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ Ò Ù ÒØÓ Ð × Ð M¸ × ÒÓ Ò Ù ÒØÓ ×Ù Ò Ö Ð
Ö ×Ô ØÓ Ð Ø Ñ ÒÓ M¸ × ÓÑÓ Ð Ø ÔÓ Ð Ú Ô Ö Ð Ù Ð × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ñ Ð
ÙÒ ÓÒ × × º
Ô × Ö Ð × ÓÒ× Ö ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ü ×Ø ÙÒ Ü Ð ÒØ Ý Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ø
ÑÒÖ ÑÙÐ Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ó× ÙÒ ÓÒ × × Ô Ö ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö
Ý × ÙÒ Ó ×ÓÒ Ó׸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë ÐÓ× Ó× ×ÓÒ Ó× Ð ØÓÖ Þ Ó× Ù× Ò ÓÐ × ÓÒ¸ Ò¹
ØÓÒ × Ù× ÑÓ× ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÑÙÐ Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö
ÓÐ × ÓÒº ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ × Ö ÓÖ ÑÓ× Ð Ô Ö Ó Ð ÙÑÔÐ ÒÓ׸ ×ØÓ Ø Ò × ÒØ Ó
ÔÓÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ØÖ ÔÐ Ó Ñ × ÓÐ × ÓÒ Ö ÜÔÓÒ Ò ÐÑ ÒØ ´α3, α4, . . . Ý ×
×Ù × Ú Ñ ÒØ µº
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ × Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ö Ð Þ Ð ¸ ÙÒÕÙ Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ Ñ × Ó×ØÓ×Ó¸
ÙÒ ØÖ ÔРݸ Ò Ò Ö Ð¸ ÙÒ m¹ × º
Ò ALEPH¸ ÙÒ Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ
Ý Ó Ð ÙÒ ÓÒ × × ÜÔÓÖØ ÔÓÖ Ð Ì ODhashTable<Key, Record>¸ Ð Ù Ð ×
×Ô ¬ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ Ó × ºÀ ¾
¾ ØÔÐ Ó × ºÀ ¾ ≡
template <typename Key, typename Record, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class ODhashTable
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾
};
¬Ò ×
ODhashTable¸ Ù× Ò ÙÒ ¾ º
Ò Ð ÔÖ Ø ¸ ODhashTable<Key, Record> × Ò ÒØ Ö Þ ÒØ
OLHashTable<Key,Record>¸ Ð ÙÒ Ö Ò ×ØÖ Ò ÕÙ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ö ÕÙ Ö Ð
× ÙÒ ÙÒ ÓÒ × º

451. 5.1. Manejo de colisiones 425
El problema de la eliminaci´n con el doble hash
o
Ù Ò Ó ×ØÙ ÑÓ× Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸ ÜÔÐ ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÔÐ ÒØ Ð × ÑÔ ÒÓ
Ð Ó ÕÙ Ð × Ù Ø × Ò Ñ Ö Ö× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ DELETEDº Ò ÕÙ Ð ÒØÓÒ ×
× ÖÖÓÐÐ ÑÓ× ÙÒ Ø Ò Ö Ñ Ò × ÒØ Ð ÖÖ ÙÖ Ö ¸ ÕÙ ÔÐ ÑÓ× Ð Ì
OLHashTable<Key,Record> Ý ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ô ÙÐ Ø Ò Ñ ÒØ Ö Ð Ñ Ò Ò Ó Ð ×Ø ØÙ×
DELETEDº ÓÒ Ð Ó Ð × ÒÓ × ÔÓ× Ð ×Ø Ø Ò ÔÓÖÕÙ ÔÙ Ò Ü ×Ø Ö Ð Ú × Ø Ð ×
ÕÙ h1(k) = h2(k)¸ ÐÓ ÕÙ ÔÙ ÖÖ Ö ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ò Ð ÕÙ × ÑÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò Ö
× Ð Ð Ú ÓÐ × ÓÒÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó × ÙÒ Ó ×ÓÒ Óº
Ò Ò Ö Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ð Ñ ×ÑÓ × Ù× ÑÓ× ØÖ × Ó Ñ × ÙÒ ÓÒ × × Ó¸ × ×
× Ù Ö × Ð ×Ó¸ ÑÔÐ Ö ÑÓ× ×ÓÒ Ó Ðº
Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ñ ØÓ Ó ÖÖ Ö Ö × Ù Ø × ÓÒ ×Ø ØÙ× DELETED
´Ü º½º º¾ ´Ô Ò ½ µµ ÑÙ Ú ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ð × Ù Ø × ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ò × Ð Ò
Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ ×º
Ë Ù× ÑÓ× Ó Ð × ¸ ÓÑÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ØÖ Ø ÑÓ× ÓÒ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ À Ý Ó× Ò ÓÕ٠׸
× Ù ÖØÓ× ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ Ó× ÒÚ ×Ø ÓÖ × ÔÓÒ × × ½ ¸ ÕÙ ÒÓ ÑÙ Ú Ò Ð ×
Ù Ø × Ý ÕÙ ×Ù Ú Þ Ð Ñ Ò Ò Ð ÒØÖÓÔ Ù× ÔÓÖ Ð × Ù Ø × DELETED
½º Ë Ñ ÒØ Ò Ð Ù ÒØ Ð × Ù Ø × ÓÒ ×Ø ØÙ× DELETEDº Ù Ò Ó Ð Ò Ú Ð Ö
Ù Ø × DELETED Ð Ò ÙÒ ÙÑ Ö Ð Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ¿¼±¸ ØÓ × Ð × Ù Ø ×
ÓÒ Ú ÐÓÖ DELETED × Ñ Ö Ò ÓÒ Ú ÐÓÖ EMPTYº ÄÙ Ó¸ × Ö ÓÖÖ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð Ø Ð
Ý × Ü Ñ Ò Ù Ð × Ù Ø × ÓÒ ×Ø ØÙ× BUSY × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ò ×ÓÒ Ó
Ø Ð ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ñ Ö Ö Ù Ø × ÒØ ÖÑ × ÓÒ ×Ø ØÙ× DELETEDº
×Ø Ø Ò Ø Ò Ð Ò ÓÒÚ Ò ÒØ ÕÙ ÓÒ×ÙÑ Ø ÑÔÓ O(M)¸ ÐÓ Ù Ð × ×Ø ÒØ
ÒÓØ Ð Ö ×Ô ØÓ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó O(1)º Ñ ×¸ × Ð ÔÓ× Ð Ø Ö Ð
Ù ÓÒ Ð × Ñ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ñ ÒØÖ × × ØÙ ×Ø Ð ÑÔ Þ º
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ Ò Ñ ÒÓ× Ó Ø Ò Ö ÕÙ ÑÓÚ Ö Ð ÙÒ × Ù Ø ×¸ ÕÙ ÐÐ × ÓÐ Ò¹
ÒØ × ÓÒ ×Ø ØÙ× BUSY¸ ÕÙ × Ò ÔÖÓ Ù ØÓ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸ ÔÙ Ò Ö ¹ÐÓ Ð Þ Ö×
Ñ ÒØ × ÑÔÐ Ö ¹ Ò× Ö ÓÒº
¾º Ä ÓØÖ Ø Ò ¸ Ò Ð Ò Ý ÓÒ ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ × Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÖ
×ÓÒ Ó× Ò Ù Ø ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ× probe counterº ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ù¹
Ø Ø Ò ×Ø ØÙ× EMPTY Ý ÓÒØ ÓÖ Ò ÖÓº ÓÒ ÓÖÑ Ó ÙÖÖ Ò Ò× Ö ÓÒ × Ý Ð ×
Ù Ø × ×Ø Ò Ò ÙÒ Ò ×ÓÒ Ó¸ × Ò Ö Ñ ÒØ Ò ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ × Ð × Ù¹
Ø × ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ð Ò º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ×¸ ×
Ö Ñ ÒØ Ò Ð × Ù Ø × ÒØÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÓÒ Ó Ý Ð Ù Ø Ð Ñ Ò º Ù Ò Ó Ð
ÓÒØ ÓÖ ÙÒ Ù Ø ÓÒ ×Ø ØÙ× DELETED Ú Ò ÖÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ù¹
Ø ÒÓ ÖÓÑÔ Ò Ò ÙÒ Ò ×ÓÒ Ó¸ ×Ø ÔÙ Ñ Ö Ö× ÓÒ × ÙÖ ÓÑÓ
EMPTYº
È Ö Ð Ø ÔÓ ODhashTable<Key, Record> ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ð × ÙÒ Ø Ò º
Atributos de ODhashTable<Key, Record>
Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ø Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÕÙ Ö Ò ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ó Ý × Ð ÓÒ Ó¸
ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÑÓ× Ö × ¬Ò Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ù Ø
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ ≡ ´¾µ ¾
struct Bucket
{

452. 426 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Key key; // clave
Record record; // registro
unsigned status : 4; // status EMPTY, DELETED o BUSY
unsigned probe_type : 4; // sondeo: FIRST_PROBE SECOND_PROBE LINEAR_PROBE
unsigned short probe_counter; // contador de sondeos
};
ÄÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÖ ÙØÓ× × ¬Ò Ò ÓÖÑ ÒØ Ð Ù Ø
OLHashTable<Key,Record>º Ð ØÖ ÙØÓ probe type Ò × ÙÒ Ð Ú ÐÑ Ò Ò
Ð Ù Ø × Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ´FIRST PROBEµ Ó × ÙÒ Ó ´SECOND PROBEµ ×ÓÒ Ó× Ó
Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ´LINEAR PROBEµ Ô ÖØ Ö Ð Ø Ö Ö ÓÐ × ÓÒº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ status Ý probe type ×ÓÒ ÑÔÓ× Ø× ´Ò Ð ×µ Ý ÕÙ Ñ Ó× ÓÒ ÓÖÑ Ò
ÙÒ ÝØ Ü ØÓº
Ð ÙÐØ ÑÓ ØÖ ÙØÓ¸ probe counter¸ Ò ¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ× ÜÔÐ Ö¸ Ð Ò¹
Ø Ð Ú × ÕÙ ÓÐ Ò Ò Ò ÙÒ Ò ÓÐ × ÓÒ × ÕÙ Ô ÖØ × Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÓÒ Ó
ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÒ ÓÒ × ¸ ×Ø Ð ÙÐØ ÑÓ ×ÓÒ Ó ÓÒ Ð × ÙÒ ÙÒ ÓÒ × Ó ÓÒ
Ð ÙÒ ÒØ ×ÓÒ Ó× Ð Ò Ð ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ probe counter == 4¸ ÒØÓÒ × ×ØÓ
Ò ÕÙ × Ù Ø ×Ø Ò Ð Ñ ÒÓ ×ÓÒ Ó ÕÙ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÒ ÓÒ
× ¸ ÐÙ Ó ÔÓÖ Ð × ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ¸ Ñ × Ó× Ù Ø × ×ÓÒ × Ð Ò ÐÑ ÒØ º
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× Ð ÔÖÓÔ Ø Ð × ¬Ò Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´ ¾ µ ¾ ¾
Bucket * table; // arreglo de cubetas
Hash_Fct first_hash_fct; // primera funci´n hash
o
Hash_Fct second_hash_fct; // segunda funci´n hash
o
size_t M; // tama~o de la tabla
n
size_t N; // n´mero de cubetas ocupadas
u
size_t deleted_entries_counter; // n´mero de cubetas DELETED
u
size_t empty_entries_counter; // n´mero de cubetas EMPTY
u
ÐÓ× Ù Ð × × Ò Ð Þ Ò Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ ≡ ´¾µ ¾
ODhashTable(Hash_Fct __first_hash_fct, Hash_Fct __second_hash_fct,
const size_t & len)
: table(new Bucket[len]),
first_hash_fct(__first_hash_fct), second_hash_fct(__second_hash_fct),
M(len), N(0), deleted_entries_counter(0), empty_entries_counter(M)
{ /* empty */ }
Í× × ODhashTable ¾ º
B´squeda
u
Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò ×ÓÒ Ó׸ Ð Ù×ÕÙ × Ð Ñ × × ÑÔÐ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´ ¾ µ ¾ ¾
Record * search(const Key & key)
{
int i = (*first_hash_fct)(key) % M; // primer sondeo con primera funci´n hash
o
if (table[i].status == EMPTY)
return NULL;
if (table[i].status == BUSY and Cmp() (table[i].key, key))
return &table[i].record;
i = (*second_hash_fct)(key) % M; // Segundo sondeo con segunda funci´n hash
o

453. 5.1. Manejo de colisiones 427
if (table[i].status == BUSY and Cmp() (table[i].key, key))
return &table[i].record;
// sondeo lineal a partir del ındice dado por segunda funci´n hash
´ o
for (int count = 0; count < M and table[i].status != EMPTY; count++)
{
advance_index(i);
if (table[i].status == BUSY and Cmp() (table[i].key, key))
return &table[i].record;
}
return NULL; // sondeo no encontr´ la clave
o
}
Inserci´n
o
È Ö Ñ ÓÖ Ö Ð ÓÑÔÖ × ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ¸ ÓÒ ÓÒ × Ò Ð Ô Ö Ð Ð ¹
Ð Ý ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ Ò Ô×ÙÐ Ö ÑÓ× Ð Ö × ÖÚ ÓÒ Ð Ù Ø Ò Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´ ¾ µ ¾ ¾
Record* allocate_bucket(Bucket & bucket, const unsigned char & probe_type,
const Key & key, const Record & record)
{
++N;
if (bucket.status == EMPTY)
--empty_entries_counter;
else
--deleted_entries_counter;
bucket.key = key;
bucket.record = record;
bucket.status = BUSY;
bucket.probe_type = probe_type;
bucket.probe_counter++;
return &bucket.record;
}
¬Ò ×
allocate bucket¸ Ù× Ò ÙÒ ¾ º
Ä ÖÙØ Ò Ö ÙÒ Ù Ø Ò Ð Ù Ð × × Ò× ÖØ Ö ÔÓÖ ÓÔ Ð Ô Ö ´key,recordµ
ÓÒ ×ÓÒ Ó Ø ÔÓ probe type ´FIRST PROBE¸ SECOND PROBE Ó LINEAR PROBEµº
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÑ Ø ÓÒ ÒØÖ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ò Ð ×ÙÒØÓ ÒØ Ö × ×Ø ×ØÙ Ó
Ð Ñ Ò Ö ×ÓÒ Ö ÓÒ Ó× ÙÒ ÓÒ × × Ý ÐÙ Ó Ð Ò Ð × Ó ÙÖÖ Ò ØÖ × Ó Ñ × ÓÐ × Ó¹
Ò ×º × Ñ ÒØ ¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ×Ù ×Ø ØÙ׸ Ù Ø ×ÓÒ ÙÖ ÒØ Ð
Ò× Ö ÓÒ¸ Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ð ×Ù ÓÒØ ÓÖ ÓÐ × ÓÒ ×
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´ ¾ µ ¾ ¾
Record* insert(const Key & key, const Record & record)
{
if (N >= M)
throw std::overflow_error("Hash table is full");
int i = (*first_hash_fct)(key) % M; // sondeo con primera funci´n hash
o
if (table[i].status != BUSY) // ¿cubeta disponible?
return allocate_bucket(table[i], FIRST_PROBE, key, record);
table[i].probe_counter++; // por aqu´ se sondear´ colisi´n ==> incrementar contador
ı a o
i = (*second_hash_fct)(key) % M; // sondeo con segunda funci´n hash
o

454. 428 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
if (table[i].status != BUSY) // ¿cubeta disponible?
return allocate_bucket(table[i], SECOND_PROBE, key, record);
do // sondear linealmente a partir de ındice de segundo sondeo e
´
// incrementar cada contador de cubeta sondeada
{ // por esta cubeta se sondear´ una colisi´n ==> incrementar contador
a o
table[i].probe_counter++;
advance_index(i);
}
while (table[i].status == BUSY); // parar si DELETED o EMPTY
return allocate_bucket(table[i], LINEAR_PROBE, key, record); // listo
}
Í× × allocate bucket ¾ º
Eliminaci´n
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ñ × Ð ×Ø Ì º ×Ø ×¸ Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ
Ð ×ÓÒ Ó¸ ÒÚ Ö× Ð Ò× Ö ÓÒ ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ × Ð × Ù Ø × ×ÓÒ × Ò Ö¹
Ñ ÒØ Ö× º Ò Ò ÙÖ ¸ × ÙÖ ÒØ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ × Ø Ø Ò Ù Ø × ÕÙ ÔÙ Ò
Ñ Ö Ö× ÓÑÓ EMPTY Ð Ú Ö ¬ Ö ÕÙ ×Ù× ÓÒØ ÓÖ × Ú Ò Ò Ò ÖÓº
× Ô٠׸ ØÓ× ÜÔÖ × Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ×ÓÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ×ÓÒ Ó¸ Ð Ö Ñ ÒØÓ
Ð ÓÒØ ÓÖ ÙÒ Ù Ø Ý ×Ù Ú ÒØÙ Ð Ñ Ö Ó ÓÑÓ EMPTY × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð
× Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´ ¾ µ ¾ ¾
void decrease_probe_counter(Bucket * bucket)
{
bucket->probe_counter--;
if (bucket->probe_counter == 0) // ¿puede marcarse EMPTY sobre la cubeta?
{
bucket->status = EMPTY;
--deleted_entries_counter;
++empty_entries_counter;
}
}
¬Ò ×
decrease probe counter¸ Ù× Ò ÙÒ ¾º
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ù Ø Ð Ñ Ò Ö × ×¹Ð Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÖÙØ Ò × Ñ ØÖ
Ð allocate bucket() ÑÔÐ Ó Ô Ö Ð Ò× Ö ÓÒ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´¾µ ¾
void deallocate_bucket(Bucket * bucket)
{
bucket->probe_counter--;
if (bucket->probe_counter == 0)
{
bucket->status = EMPTY;
bucket->probe_type = NO_PROBED;
++empty_entries_counter;
}
else
{
bucket->status = DELETED;

455. 5.1. Manejo de colisiones 429
++deleted_entries_counter;
}
--N;
}
¬Ò ×
deallocate bucket¸ Ù× Ò ÙÒ ¾º
Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð × Ø Ð × × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ö ×ØÖÓ¸
ÐÓ ÕÙ Ñ × × ÑÔÐ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÔÙ × ÓÖÖ Ó Ó Ô Ö Ð Ù×Õ٠Р٠غ
×ØÓ¸ ÙÒ Ó Ð × Ó× ÖÙØ Ò × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö × Ò Ö ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒ ÕÙ ×ÓÐÓ
× ÓÒ ÒØÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ö ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ × ÒØÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÓÒ Ó Ý Ð Ù Ø Ð Ñ Ò Öº
ÕÙ ¸ Ô٠׸ Ð ÙØ Ð Ð ØÖ ÙØÓ probe type¸ ÔÙ × ×Ø ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ò
ÕÙ ÔÙÒØÓ Ð Ò ×ÓÒ Ó × Ò Ù ÒØÖ Ð Ù Ø
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´ ¾ µ ¾ ¿¼
void remove(Record * record)
{
Bucket * bucket = record_to_bucket(record);
if (bucket->probe_type != FIRST_PROBE)
{
const int i_fst_probe = (*first_hash_fct)(bucket->key) % M;
decrease_probe_counter(&table[i_fst_probe]);
if (bucket->probe_type == LINEAR_PROBE)
{ // cubeta fue apartada durante sondeo lineal ==> decrementar segundo
// sondeo y a partir de aqu´ decrementar todas las cubetas hasta
ı
// llegar a la que vamos a eliminar
const int i_snd_probe = ((*second_hash_fct)(bucket->key) % M);
decrease_probe_counter(&table[i_snd_probe]);
int i = i_snd_probe;
const int last_index = bucket_to_index(bucket);
for (advance_index(i); i != last_index; advance_index(i))
decrease_probe_counter(&table[i]);
}
}
deallocate_bucket(bucket);
}
Í× × deallocate bucket ¾ Ò decrease probe counter ¾ º
5.1.4.6 An´lisis informal del doble hash
a
ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ö Ø Ö Ó¸ Ð Ó Ð × ÑÙÐ Ð ×ÓÒ Ó Ðº Ç × ÖÚ ÓÒ ×
ÑÔ Ö × ½ Ò Ò ÕÙ ×Ø ÑÙÐ ÓÒ × ×Ø ÒØ ÖØ Ö º × Ô٠׸ Ò Ð ÔÖ Ø ¸ Ð
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ó Ð × × ÕÙ Ô Ö Ð Ð Ð ×ÓÒ Ó Ð Ý Ð × ÙÖÚ × ÑÓ×ØÖ ×
Ò Ð × ¬ ÙÖ × º½ ´Ô º ¾½µ Ý º¾ ´Ô º ¾¾µ ÓÖÖÓ ÓÖ Ò × × Ú Ö ÓÒº
Ð ¼± ÔÐ Ò ØÙ ¸ Ð Ó Ð × Ö Ð Þ ½¼ ×ÓÒ Ó× Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ÐРݸ ÑÙÝ
ÑÔÓÖØ ÒØ ¸ ¾¸ ×ÓÒ Ó× Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× º ×Ø × ÓØ ×¸ ÜÔÖ × × Ò ÙÒ ÓÒ
α Ò Ô Ò ÒØ × Ð Ú ÐÓÖ M¸ Ò ÕÙ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó Ð Ù×ÕÙ ¸
Ü ØÓ× Ó ÐÐ ¸ × ÓÒ×Ø ÒØ º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ù×ÕÙ ÓÒ Ð Ó Ð
× ×ÓÒ O(1) ×Ø ÙÒ ¼± ÔÐ Ò ØÙ º ×ÔÙ × ×Ø ÙÑ Ö Ð¸ Ð × ÑÔ ÒÓ ÔÙ
Ö Ö× O(M)º

456. 430 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ë × Ó ÑÓ׸ ÔÓÖ × ÙÖ ¸ ÙÒ ¼± ÓÑÓ ØÓÐ Ö Ò ÔÐ Ò ØÙ ¸ ÒØÓÒ × Ð ½¼¹
¾¼± Ö Ò Ö ×Ô ØÓ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð ÔÙ Ó Ö ÖÒÓ× ÙÒ Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò
×Ô Ó ÕÙ Ú Ö × ÙÒ × Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ð Ú Ý Ð Ö ×ØÖÓº Ù Ð × Ð Ò Ò Ò
Ø ÑÔÓ
ÓÖ Ö Ð ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖ × Ð Ó ÔÓÖÕÙ Ð Ó Ð × ÒÓ ×ÓÐÓ × Ò Ø ÑÔÓ
ÓÒ×Ø ÒØ Ñ × Ó×ØÓ×Ó ÕÙ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸ × ÒÓ ÕÙ × ×Ø ÒØ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð × ÙÒ Ó
×ÓÒ Ó Ù× ÙÒ ÖÙÔØÙÖ Ð º × ÕÙ ¸ ÔÓÖ ×Ù × ÑÔÐ Ý Ù Ò × ÑÔ ÒÓ
Ò Ö Ð¸ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × Ð × Ó Ò ØÓ Ô Ö ÓÒ ÙÒØÓ× Ô ÕÙ ÒÓ× Ý Ñ ÒÓ× Ò
ÐÓ× Ù Ð × × ×Ø Ñ Ð Ð Ø Ñ ÒÓ¸ Ó Ò × ØÙ ÓÒ × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ö Ô Ø Ð × ÓÑÓ Ð
ÔÖÓØÓØ Ô Ó Ó Ð ÓÒØ Ò Ò º
Ä ÓÒ Ð Ó Ð × × ÔÖ Ù ÒØÓ Ñ ÝÓÖ × × Ò M Ý N Ò ÐÓ× Ù Ð × ÐÓ× ½¼
×ÓÒ Ó× ÕÙ ØÓÑ Ð Ù×ÕÙ ÐÐ Ý Ð Ò× Ö ÓÒ¸ ×ÓÒ ÒÓØ Ð × Ñ Ñ ÒØ Ñ ÓÖ × ÕÙ
ÐÓ× ¿ ×ÓÒ Ó× ÕÙ Ò ÔÖÓÑ Ó ØÓÑ Ö Ð Ù×ÕÙ ÐÐ × Ð Ø Ð ×ØÙÚ × Ð ¼±
ÔÐ Ò ØÙ º Ò Ù ÒØÓ Ð ×Ô Ó¸ Ñ ÝÓÖ × Ú ÐÓÖ × M Ý N¸ Ñ ÝÓÖ × Ð ×Ô Ö Ó Ò
Ù Ø × Ú × ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ö ÑÓ× ÓÒ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº
È × Ó Ð ¼± ÔÐ Ò ØÙ ¸ Ð Ó Ð × Ü ÖÙÔ Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ö Ó Ý × Ö Ò
×Ù× ÓÔ Ö ÓÒ ×º × ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÒØ Þ Ö ×Ø ÓØ º
Ò × ÒØ × ×¸ ÐÓ× Ö Ø Ö Ó× ÕÙ ÓÒ Ù Ò × Ó Ö Ó Ð × ÓÑÓ ×ØÖ Ø ×ÓÒ Ó
× Ö ×ÙÑ Ò Ò
½º Ö Ò ÒØ Ð Ú ×¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ × Ó Ö M × ÐØÓ Ý Ð
×Ô Ö Ó Ò Ù Ø × ×Ó ÙÔ × × Ñ ÝÓÖ ÓÒ Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº
¾º ÈÓ Ó Ñ Ö Ò ×Ô Ö Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÓ Ñ ÑÓÖ º
Ë Ð ×Ø Ñ Ó ×Ó Ö N × ÔÖ ×Ó Ý ÒÓ ÑÙÝ Ö Ò ¸ ÒØÓÒ × Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð × Ð
× Ð ÓÒ × × N × Ö Ò ¸ ÒØÓÒ × Ó Ð × º Ë Ð ×Ø Ñ Ó N × ÑÔÖ ×Ó¸
ÒØÓÒ × Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó × Ð Ñ ÓÖ ×ØÖ Ø º
5.1.5 Reajuste de dimensi´n en una tabla hash
o
ÄÙ Ó ÐÓ× Ò Ð × × Ö Ð Þ Ó׸ ÒÓ Ó×Ø ÖÒÓ× ÔÖ Ò Ö ÕÙ ¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ
Ð ×ØÖ Ø Ô Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð × ÓÐ × ÓÒ ×¸ Ù ÒØÓ Ñ × Ô ÕÙ ÒÓ × α¸ Ñ ÒÓÖ × Ð
ÔÖÓ Ð ÓÐ × ÓÒ Ý¸ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ñ ÓÖ × Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ×ØÖ Ø º ÈÓÖ
ÓØÖ Ô ÖØ ¸ ÙÒÕÙ × Ó × ÓÒ Ð¸ Ð Ñ Ð ×Ù ÖØ Ü ×Ø Ý¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ
Ð Ú × ×ÙÔ Ö Ð ×Ø Ñ ÓÒ N¸ Ó Ð Ñ Ð Þ Ö Ù× ÙÒ ÒØ ÐØ ÓÐ × ÓÒ ×º
ÈÙ Ö× Ð Ó Ð Ö ×Ô ØÓ
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð Ñ Ð ×Ù ÖØ º Ä ÔÖ Ñ Ö ¸ × Ò Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ
× Ô Ö Ó Ý ÕÙ × Ö ÜÔÐ Ò Ü º½º ´Ô Ò ¿¿µ¸ Ö Ù Ð ÖÖ ÐÓ Ý Ð × Ù Ø × Ô Ö
Ö ÒØ Þ Ö ÙÒ ÐÓÒ ØÙ Ñ Ü Ñ Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ ×º Ä × ÙÒ ¸ Ó ØÓ ×Ø
×Ù ¹× ÓÒ¸ ÓÒ× ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÖÖ ÐÓ ÓÒ M Ñ ÝÓÖ Ý Ö Ù Ö
Ð × Ð Ú ×º
×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ö Ù×Ø ÓÒ Ð Ó Ð × ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ODhashTable<Key, Record> ¾ +≡ ´¾µ ¾
const size_t & resize(const size_t & new_size)
{
Bucket * new_table = new Bucket [new_size]; // aparta nuevo arreglo
Bucket * old_table = table; // respaldar valores de la antigua tabla

457. 5.1. Manejo de colisiones 431
const size_t old_M = M;
table = new_table; // reiniciar tabla a nuevo arreglo
M = new_size;
empty_entries_counter = M;
deleted_entries_counter = 0;
N = 0;
for (int i = 0; i < old_M; ++i) // recorrer antigua tabla y reinsertar
if (old_table[i].status == BUSY)
insert(old_table[i].key, old_table[i].record);
delete [] old_table;
return M;
}
Ä ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ ÓÒ ÔØÙ Ð Ý ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ¸ × Ò ÐÐ ÒØ Ô Ö Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ðº
Ð Ö Ø Ö Ó Ô Ö ÒÚÓ ÖÐ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ð ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ α ×ÙÔ Ö Ó × ÔÖÓÜ Ñ Ð ÙÑ Ö Ð
Ò ÕÙ × ÔÖ ÙÒ Ù Ò × ÑÔ ÒÓº Ò Ð ×Ó Ð Ó Ð × ¸ ÔÙ Ö ÑÓ× ÒÚÓ Ö Ð
Ö Ù×Ø Ù Ò Ó ÒÓ× ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ× Ð ¼± ÔÐ Ò ØÙ º
× ÔÐ Ù× Ð Ö Ù×Ø Ö × ÙÒ ÙÒ ÔÐ Ò ØÙ ×Ô Ö Ó Ù Ø × ×Ø ×ØÖ Ø
Ø Ò ×Ø ÒØ × ÒØ Ó × Ð × Ò× Ö ÓÒ × × Ò Ý Ð Ø Ð × Ù× ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ Ô Ö Ð
Ù×ÕÙ º Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÙ Ö ÑÓ× Ö Ù×Ø Ö Ð Ø Ð ÙÒ M Ò Ö ÓÖ Ñ Ò Ö ÕÙ
×Ñ ÒÙÝ ÑÓ× Ð ×Ô Ö Ó Ò Ù Ø × Ý Ö ×Ô Ø ÑÓ× Ð ÙÑ Ö Ð × ÑÔ ÒÓº
À Ý Ó× Ù ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ× ×Ø ÓÔ Ö ÓÒº Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÐÓ× × ×Ù Ó×Ø O(M) +
O(M ) ÙÖ ÓÒ Ò Ð Ù Ð × Ö ÔÖÓ Ø ÚÓ ÙØ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÓÔ Ö ÓÒº ×Ø Ú Ò¹
ØÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ Ø ¸ Ñ × ÒÓ × Ú Ø Ð ØÓ Ó¸ ÓÒØ Ð Þ Ò Ó Ð ÙÒ Ø ÑÔÓ Ó Ó
× Ö¸ ÙÒ Ú Þ ÕÙ α Ú Ò Ö Ò Ð ÙÑ Ö Ð¸ ÒØÓÒ × ×Ô Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÙÒ Ø ÑÔÓ ÔÖÙ¹
ÒØ Ú Ö × ÒÓ Ó ÙÖÖ Ò ÓÔ Ö ÓÒ × × ÜÔ Ö Ð Ø ÑÔÓ ×Ô Ö ¸ ÒØÓÒ × ÔÖÓ ÑÓ×
Ö Ù×Ø Ö Ó Ð ×Ô Ö ÒÞ ÕÙ ÒÓ ×ØÓÖ ÑÓ× Ð × ÓØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ ×º
Ð × ÙÒ Ó Ù ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ¸ Ú Ð Ó ×ÓÐÓ Ô Ö Ð × Ø Ð × ÖÖ ×¸ × ÕÙ × ÑÙ Ú Ò ÐÓ×
ÓÒØ Ò Ó× Ð × Ù Ø ×º ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ ÒÓ Ø Ò ÑÓ× ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ º
Ð Ö Ù×Ø Ò Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ø Ò Ó× Ú ÒØ ×º Ä ÔÖ Ñ Ö ¸ Ý Ñ Ò¹
ÓÒ ¸ × Ð ÔÓ× Ð N > Mº Ä × ÙÒ Ö Ò × ÑÔÐ ØÓÑ Ö ÔÖ Ú ¹
× ÓÒ × Ô Ö Ô ÖÑ Ø Ö Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÖ ÒØ Ð ÔÖÓ ×Ó Ö Ù×Ø º
¿½ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× ÒÄ × Ì Ð ¼ +≡ ´¼ µ ¼
size_t resize(const size_t & new_size)
{
BucketList * new_table = new BucketList [new_size];
BucketList * old_table = table; // guardar estado de la tabla actual
const size_t old_size = M;
table = new_table; // hacer tabla vac´a con arreglo new_table
ı
M = new_size;
busy_slots_counter = 0;
N = 0;
for (int i = 0; i < old_size; ++i) // reinsertar cubetas en nueva tabla
// recorrer lista colisiones en old_table[i]
for (BucketItor it(old_table[i]); it.has_current(); /* Nada */)
insert(static_cast<Bucket*>(it.del())); // eliminar e insertar en table[]
delete [] old_table; // liberar memoria antigua tabla
return M;
}

458. 432 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
5.1.6 Manejo din´mico de cubetas (TAD DynLhashTable<Key, Record>)
a
ÙÐ × Ð ÑÒÖ Ñ× ÒÖÐ ÜÔÓÖØ Ö ÙÒ Ì × Ó Ò ÙÒ Ø Ð ×
Ë ØÖ Ø Ö ÙÒ Ñ Ô Ó ÒØÖ Ð Ú × Ý Ö ×ØÖÓ׸ ÙÝ ÒØ Ö Þ Ý Ù×Ó ×ÓÒ ×¹
Ø ÒØ × Ñ Ð Ö × ÐÓ× Ñ Ô Ó× ÕÙ Ö Ð Þ ÑÓ× ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ´Ø ÔÓ
DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare>¹ Ü º½¼ ´Ô Ò ¿ µµº
ÄÓ× Ø ÔÓ× Ø Ð × × OLHashTable<Key,Record> Ý ODhashTable<Key, Record>
× Ø × Ò ×Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð × ÐÚ ÕÙ ×ØÓ× Ð Ñ Ø Ò Ð ÒØ ÐÚ×
Ð Ú ÐÓÖ M × Ð ÓÒ Ó Ò ÓÒ×ØÖÙ ÓÒº Ð Ì LhashTable<Key> ÒÓ Ø Ò ×Ø
ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ô ÖÓ ×Ø Ò Ñ Ò Ö ×ØÖÓ× Ö Ø Ñ ÒØ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ ÑÓÖ Ò Ñ º
À Ý ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÔÓ Ó Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ ¸ × ÖÖÓÐÐ ¹
Ö ÑÓ× Ò Ü º½º ´Ô Ò ¿¿µº ÈÓÖ ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ׸ Ò ×Ø × ÓÒ ÜØ Ò Ö ÑÓ× Ð Ø ÔÓ
LhashTable<Key> Ô Ö ÕÙ Ñ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ×Ó Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ý ØÖ Ø ÓÒ Ð
Ñ ÑÓÖ Ò Ñ º Ð Ø ÔÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ ÐÓ ÒÓÑ Ò ÑÓ× DynLhashTable<Key, Record>¸
Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ø Ð × ¸ ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × Ò Ò ¸ ÕÙ ×Ó
Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ key ÓÒ Ö ×ØÖÓ× Ø ÔÓ Record Ý ÕÙ × ×Ô ¬ Ò Ð Ö ÚÓ
ØÔÐ ÝÒÄ × ºÀ ¿¾ ¸ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö Ð × ÓÑÓ × Ù
¿¾ ØÔÐ ÝÒÄ × ºÀ ¿¾ ≡
template <typename Key, typename Record, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class DynLhashTable : public LhashTable<Key>
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¾
typedef typename DynLhashTable<Key, Record>::Hash_Fct Hash_Fct;
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¿
};
Í× × LhashTable ¼ º
Ä Ø Ð × ÔÙ Ö× ÓÑÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒ ÐÓ× Ò × ×ÓÒ Ð Ú ×
Ø ÔÓ key Ý ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ð ÖÖ ÐÓ ×ÓÒ Ö ×ØÖÓ× Ø ÔÓ Recordº È Ö ÐÐÓ¸
DynLhashTable<Key, Record> ÜÔÓÖØ ×Ó Ö Ö × Ð ÓÔ Ö ÓÖ []º
ÓÑÓ × Ú ¸ DynLhashTable<Key, Record> Ö ¸ Ø ÒØÓ Ô ÖØ ×Ù ÒØ Ö Þ ÓÑÓ
Ô ÖØ ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ LhashTable<Key>º Å ØÓ Ó× ÓÑÓ ÐÓ× Ó × ÖÚ ÓÖ × Ý Ð
Ö Ù×Ø Ý ×Ø Ò ÑÔÐ ÒØ Ó× ÔÓÖ LhashTable<Key>º ÄÓ Ñ ×ÑÓ × ÔÙ ÖÔÖ Ð
Ñ Ò Ó Ð ×ØÖ Ø º Ä Ð ÓÖ DynLhashTable<Key, Record> × Ö Ñ Ø ¸ ÒØÓÒ ×¸
Ð ¬Ò ÓÒ Ð Ö Ò Ó Ý Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ º
Ä ¬Ò ÓÒ Ð Ö Ò Ó × Ö Ð Þ Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ø ÖÚ
LhashTable<Key>::Bucket
¿¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¾ ≡ ´ ¿¾ µ ¿¿
struct DLBucket : public LhashTable<Key>::Bucket
{
Record record;
DLBucket(const Key & key, const Record & _record)
: LhashTable<Key>::Bucket(key), record(_record) { /* Empty */ }
};
¬Ò ×
DLBucket¸ Ù× Ò ÙÒ ¿¿º
Í× × LhashTable ¼ º
ÍÒ Ú Þ ¬Ò Ð Ù Ø ¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÖ Ò Ô Ð × ×ÓÒ ÓÒ ÔØÙ ÐÑ ÒØ × Ò ÐР׸
ÔÙ × Ð Ñ Ò Ó Ð ×ØÖ Ø Ý ×Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ó Ò LhashTable<Key>º Ä Ò× Ö ÓÒ

459. 5.1. Manejo de colisiones 433
׸ Ô٠׸ ÓÑÓ × Ù
¿¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¿ ≡ ´ ¿¾ µ ¿¿
Record * insert(const Key & key, const Record & record)
{
DLBucket * bucket = new DLBucket (key, record);
LhashTable<Key>::insert(bucket);
return &bucket->record;
}
Í× × DLBucket ¿¾ Ò LhashTable ¼ º
Ð Ó Ó × Ð Ò Ð ÔÓÖÕÙ Ð ×ØÖ Ø Ý ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ò LhashTable<Key>º
Ä Ù×ÕÙ × Ö Ñ Ø ÙÒ ÛÖ ÔÔ Ö Ð Ù×ÕÙ LhashTable<Key>
¿¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¿ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¿ ¿¿
Record * search(const Key & key)
{
DLBucket * bucket = static_cast<DLBucket*>(LhashTable<Key>::search(key));
return bucket != NULL ? &bucket->record : NULL;
}
Í× × DLBucket ¿¾ Ò LhashTable ¼ º
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö ÙÒ Ö ×ØÖÓ ÙÒ Ù Ø
¿¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¾ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¾
static DLBucket * record_to_bucket(Record * rec)
{
DLBucket * ret_val = 0;
size_t offset = reinterpret_cast<size_t>(&ret_val->record);
return reinterpret_cast<DLBucket*>(reinterpret_cast<size_t>(rec) - offset);
}
Í× × DLBucket ¿¾ º
ÓÒ ×Ø Ñ ØÓ Ó¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ø Ñ Ò × ÑÙÝ × ÑÔÐ
¿¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× DynLhashTable<Key, Record> ¿¿ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¿
void remove(Record * record)
{
DLBucket* bucket = record_to_bucket(record);
LhashTable<Key>::remove(bucket);
delete bucket;
}
Í× × DLBucket ¿¾ Ò LhashTable ¼ º
Ä Ð ÓÒ × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ì DynLhashTable<Key, Record> Ò ¸ ÙÒ
Ú Þ Ñ ×¸ Ð ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò ´Ü ½º º¾ ´Ô Ò ¾¾µµº
5.1.7 Tablas hash lineales
ÍÒ ÓÒ ÓÒ ×Ó Ö Ð Ù Ð × ×Ù×Ø ÒØ Ò Ð × ÔÖ ÓÒ × × ÑÔ ÒÓ ÕÙ ÒÓ× Ó Ö Ò
Ð × Ú Ö× × ×ØÖ Ø × Ô Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð × ÓÐ × ÓÒ × × ÕÙ Ð ØÓÖ Ö α ÒÓ Ü
Ð ÙÑ Ö Ð Ô Ö Ð Ù Ð × ÙÑÔÐ Ð ÔÖ ÓÒº Ù ÒØÓ Ñ ÝÓÖ × Ð Ö ¸ Ò Ô Ò Ò¹
Ø Ñ ÒØ Ð ×ØÖ Ø Ô Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð × ÓÐ × ÓÒ ×¸ Ñ ÝÓÖ × Ö Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ
× Ö Ð × ÑÔ ÒÓº

460. 434 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ë ÑÓ× ÕÙ Ð ØÓÖ Ö α ÔÙ ×Ñ ÒÙ Ö× × Ö Ù×Ø ÑÓ× Ð Ø Ð ÙÒ Ñ ÝÓÖ
Ú ÐÓÖ M Ý Ö Ù ÑÓ× Ð × Ù Ø ×º È ÖÓ¸ ÓÑÓ Ý ÐÓ × ÑÓ׸ ×Ø Ö Ù×Ø Ø Ò ÙÒ
ÔÖ Ó O(M)+O(M )º Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ÕÙ ØÖ Ø Ö ÑÓ× Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ Ø Ò Ð Ù ×Ø ÓÒ
ÔÙ Ö× ÙÑ ÒØ Ó Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ñ ÒØ ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÑÓ× × Ö ÕÙ ×ØÓ
× ÔÓ× Ð × Ù× ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó Ð Ø ÔÓ ×ØÙ Ó Ò Ü ¾º½º ´Ô Ò ½µº ÈÓÖ
×Ø Ð Ó¸ ÒÓ Ø Ò ÑÓ× Ó×Ø × ÑÔÓÖØ ÒØ × ¹Ñ ÝÓÖ × ÕÙ O(1)¹ ÕÙ Ô Ö ÔÓÖ Ð Ó
Ö ÐÓ Ð Þ Ö Ð Ø Ð º Ð ×ÙÒØÓ × Ö Ð Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÒØ
Ð Ú ÐÓÖ Mº
Ð Ò ÓÕÙ Ø Ð × ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö ÑÓ× Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ¸
Ù Ð Ö Ð Þ Ð ×Ø ÓÒ ÒÑ M¸ × Ð ÒÓÑ Ò ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð ´Ð Ò Ö × Ò µº
Ä Ø Ò Ù × Ù ÖØ ÔÓÖ Ú Þ ÔÖ Ñ Ö Ô Ö ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ö Ó ¾ Ý ×Ø
ÔÖ × ÒØ ÓÒ ×Ø × Ò Ð Ä Ö×ÓÒ ¾¾ º
Ð Ò ÓÕÙ ÙØ Ð Þ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó DynArray<T>º Ð Ú ÐÓÖ M Ú Ö
Ò Ñ Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÓÒ αº ×Ø ÑÓ Ó Ð × ÔÖ ÓÒ × × ÑÔ ÒÓ × ÑÔÖ
× ÙÑÔÐ Ò × Ò Ò × Ô Ö ÔÓÖ Ð Ö Ù×Ø º
Ä Ø Ð × Ð Ò Ð ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ LinearHashTable<Key> ¸ Ð Ù Ð
× ×Ô ¬ Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ Ð ÒÀ × ºÀ ¿ ¸ ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ × × Ð × Ù ÒØ
¿ ØÔÐ Ð ÒÀ × ºÀ ¿ ≡
template <typename Key,
template <class> class BucketType,
class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class GenLinearHashTable
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× LinearHashTable<Key> ¿
};
template <typename Key, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class LinearHashTable : public GenLinearHashTable<Key, LhashBucket, Cmp>
{
// ...
};
template <typename Key, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class LinearHashTableVtl : public GenLinearHashTable<Key, LhashBucketVtl, Cmp>
{
// ...
};
Í× × LhashBucket ¼ º
GenLinearHashTable<Key, BucketType × Ð Ø ÔÓ Ò Ö Ó ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð Ø Ð ×
ÐÒ Ð¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ LinearHashTable<Key, Cmp> Ý LinearHashTableVtl<Key, Cmp>
×ÓÒ ÐÓ× Ø ÔÓ× ÜÔÓÖØ Ó× Ô Ö Ð Ù×Ó ÕÙ Ñ Ò Ò Ù Ø × × Ò Ý ÓÒ ×ØÖÙ ØÓÖ Ú ÖØ٠к
Ä × ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð × Ù Ø × ×ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ð × Ñ ×Ñ × ÕÙ Ð × Ð Ø ÔÓ
LhashTable<Key> ×ØÙ Ó Ò Ü º½º¿º½ ´Ô Ò ¼¿µº
5.1.7.1 Expansi´n/contracci´n de una tabla hash lineal
o o
Ë Ò Ó table[] ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó¸ ×Ù Ñ Ò× ÓÒ × ÙÑ ÒØ Ý × ÓÒØÖ Ò Ñ Ñ ÒØ
Ò Ø ÑÔÓ O(1)º È Ö ÐÐÓ¸ × Ñ Ò Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ× ÙÑ Ö Ð ×
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ ≡ ´¿ µ ¿

461. 5.1. Manejo de colisiones 435
float upper_alpha; // factor de carga superior
float lower_alpha; // factor de carga inferior
LinearHashTable<Key> Ñ ÒØ Ò Ô ÖÑ Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð ØÓÖ Ö α = N/Mº
×ÔÙ × ÙÒ Ò× Ö ÓÒ¸ α × ÓÑÔ Ö ÓÒ upper alpha × α ≥ ÙÔÔ Ö ÐÔ ¸ ÒØÓÒ × Ð
Ø Ð × ÜÔ Ò Ø ÒØ × ÙÒ × ÓÑÓ × Ò × Ö Ó Ô Ö ÐÐ Ú Ö Ð Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ö ÓÖ
ÙÔÔ Ö ÐÔ ÙÖ ÒØ ×Ø ÔÖÓ ×Ó¸ Ð ÙÒ × Ù Ø × ×ÓÒ Ö Ù ×º Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ ×
ÐÙ Ó ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒ α ≤ ÐÓÛ Ö ÐÔ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ø Ð × ÓÒØÖ ÙÒ Ó Ñ × Ú ×
×Ø ÕÙ Ð Ö ×Ø ÔÓÖ Ó ÐÓÛ Ö ÐÔ Ù ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÒ × Ù Ø × × Ö Ù Òº
Ð ØÖÙ Ó Ð ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð ×ØÖ ¸ Ô٠׸ Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ Ð Ò ÐÑ ÒØ × ÜÔ Ò
Ý ÓÒØÖ Ð Ø Ð ¸ × ÓÑÓ Ò Ð ÓÖÑ Ò ÕÙ × Ñ Ò Ð ÙÒ ÓÒ × º
ÄÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × upper alpha Ý lower alpha × ×Ô ¬ Ò ÙÖ ÒØ Ð ÓÒ¹
×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ó ØÓ LinearHashTable<Key> ¸ Ð Ù Ð ÜÔÓÖØ ÑÓ ¬ ÓÖ × ÕÙ Ô Ö¹
Ñ Ø Ò Ù×Ø Ö Ò Ñ Ñ ÒØ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÙÑ Ö Ð × Ö º
Ð ×Ø Ó ÜÔ Ò× ÓÒ Ó ÓÒØÖ ÓÒ Ð Ø Ð ¸ × Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ó× ØÖ ÙØÓ×
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´ ¿ µ ¿ ¿
size_t p; // ındice de la lista que se particiona (o aumenta)
´
size_t l; // cantidad de veces que se ha duplicado la tabla
Ð ÖÖ ÐÓ × ÑÔÖ Ö Ó Ö ÔÓÖ ×Ù ÜØÖ ÑÓ Ö Óº Ð Ò p × Ö ÖÒ
Ó× Ñ Ò Ö ×
½º table[p + M] × Ð ÒØÖ Ð ÖÖ ÐÓ ÔÓÖ ÓÒ ×Ø × ÜÔ Ò Ó ÓÒØÖ ¸ × ÙÒ
× Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ý Ð Ú ÐÓÖ Ð ØÓÖ Ö αº
¾º table[p] ÓÒØ Ò Ð Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ × ÕÙ × Ô ÖØ ÓÒ Ö × Ó ÙÖÖ × ÙÒ Ü¹
Ô Ò× ÓÒº Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ ÜÔ Ò× ÓÒ¸ Ð ÙÒ × Ù Ø × Ð Ð ×Ø table[p] ×
Ô × Ò Ð Ð ×Ø table[M + p]º Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒ¸
ØÓ × Ð × Ù Ø × table[M + p] × ØÖ ×Ð Ò table[p]º
Ù Ò Ó × ÜÔ Ò × Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ò p × Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ × Ö Ñ ÒØ Ù Ò Ó
× ÓÒØÖ º
M M
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6
p p
´ µ ×Ø Ó Ò Ð ´ µ ÄÙ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ü¹
Ô Ò× ÓÒ
M M M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p p
´ µ ÄÙ Ó ÜÔ Ò× ÓÒ × ´ µ ÄÙ Ó ÜÔ Ò× ÓÒ × ´ Ð Ú ÐÓÖ M × Ù¹
ÔÐ µ
ÙÖ º¿ ÈÖÓ ×Ó ÜÔ Ò× ÓÒ ÐÓ Ð Ø Ð ÔÖ M=5
È Ö ÔÓ Ö Ð ÙÐ Ö Ð ØÓÖ Ö ¸ ÑÓ× ÓÒÓ Ö Ò ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø Ñ ÒÓ
ÐÓ Ó ØÙ Ð Ð Ø Ð ´M µ ×Ø Ú ÐÓÖ ÐÓ Ñ ÒØ Ò Ö ÑÓ× Ò Ð × Ù ÒØ ØÖ ÙØÓ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´ ¿ µ ¿ ¿
size_t MP; // guarda el valor p + M

462. 436 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ò Ò ÙÖ ¸ ×Ø ØÖ ÙØÓ ÒÓ× ÔÓÒ Ö Ø ×ÔÓ× ÓÒ Ð Ð ÙÐÓ p + Mº
Ù Ò Ó p = 2M¸ Ð Ø Ñ ÒÓ ÐÓ Ó Ð Ø Ð × ÙÔÐ Ý × Ö Ò Ò M = 2M¸
p = 0 Ý MP = Mº Ò ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ 0 ≤ p ≤ 2lM − 1º Ä ÙÒ ÓÒ Ð ØÖ ÙØÓ l
׸ ÒØÓÒ ×¸ ÓØ Ö Ð ÓÒØÖ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ÓÖ Ò Ð M ÕÙ Ý × Ó ×Ô ¬ Ó
Ò ÓÒ×ØÖÙ ÓÒº
Ò ÜÔ Ò× ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒ Ý ÕÙ ×Ø Ö Ô Ò ÒØ Ð ÔÖ Ó p == 2Mº È Ö
Ò Ö ÙÒ ÔÓ Ó Ø ÑÔÓ Ð ÙÐÓ¸ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ 2M × Ù Ö Ò Ð ØÖ ÙØÓ ÅÅ =
2M
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¿
size_t MM; // producto 2*M
Ð ÔÖÓ ×Ó ÜÔ Ò× ÓÒ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¿ Ô Ö M = 5º
Ò Ú ÖØÙ ÐÓ ÜÔÐ Ó¸ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÜÔ Ò Ö Ð Ø Ð ÐÓ× Ú ÐÓÖ × p¸ l¸ M],
[[MP Ý MM × ØÙ Ð Þ Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿ ØÙ Ð Þ Ö ×Ø Ó ÜÔ Ò× ÓÒ ¿ ≡ ´¿ µ
++p;
++MP;
if (p == M) // (p == 2*M) ¿debe duplicarse el tama~o de la tabla?
n
{ // s´ ==> modificar el tama~o de la tabla a 2*M
ı n
++l; // Cantidad de veces que se ha duplicado la tabla
p = 0;
MP = M = MM; // se les asigna 2*M
MM = multiply_by_two(MM);
}
Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÒØÖ ÓÒ Ð Ø Ð × Ð ÔÖÓ ×Ó ÒÚ Ö×Ó
¿ ØÙ Ð Þ Ö ×Ø Ó ÓÒØÖ ÓÒ ¿ ≡ ´¿ µ
if (p == 0) // ¿debe dividirse entre 2 el tama~o de la tabla?
n
{ // s´ ==> actualizar tama~o de la tabla a M/2
ı n
--l; // Cantidad de veces que se ha duplicado la tabla disminuye
MM = M; // se divide entre dos
M = divide_by_two(M);
p = M - 1;
}
else
--p; // no ==> s´lo reducir ındice p
o ´
--MP;
Ð Ò ÓÕÙ Ò Ñ Ó ÜÔ Ò× ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒ ÔÐ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ð Ø ÖÑ ¹
Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ð Ø Ð Ý Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ ÖÖÓ Ð ÙÒ ÓÒ × º ÙÒ Ð Ú k¸
ØÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ð Ò Ò Ð Ø Ð × Ø ÖÑ Ò Ñ ÒØ
h(k) ÑÓ M ;
Ô ÖÓ ×Ø Ú ÐÓÖ Ö Ð Ö Ò Ó ÒØÖ × [0, M − 1] Ý ÔÓÖ Ù Ö Ð Ö Ò Ó ÒØÖ ×
ÜÔ Ò × [M, M + p]º Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ×Ù ÐÚ Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ p Ý ÑÓ ¬ Ò Ó Ð
ÐÐ Ñ Ð ÙÒ ÓÒ × Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´ ¿ µ ¿ ¿
size_t call_hash_fct(const Key & key) const

463. 5.1. Manejo de colisiones 437
{
const size_t hash = (*hash_fct)(key);
const size_t i = hash % M;
return i < p ? hash % MM : i;
}
¬Ò ×
call hash fct¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ Ò ¼º
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ p × Ð Ò Ð Ð ×Ø ÜÔ Ò× ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒº Ò Ð Ö Ò Ó [0, M − 1]
Ð Ø Ð ÓÒØ Ò Ù Ø × × Ò × ÔÓÖ
(¶ × Ø)( Ý) ÑÓ M ; ´ º¿¼µ
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò Ð Ö Ò Ó [M, M + p] Ð × Ù Ø × × × Ò Ò ÔÓÖ
(¶ × Ø)( Ý) ÑÓ 2M . ´ º¿½µ
Ù Ò Ó p = 2M¸ ÒØÓÒ × ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó [0, 2M − 1] ÔÙ × Ö Ù ÖØÓ ÓÒ Ð ÑÓ ÙÐÓ
2Mº
Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ ÜÔ Ò× ÓÒ × Ô ÖØ ÓÒ Ð Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ × ÙÝÓ Ò ÒÐ
Ø Ð × pº Ä Ð ×Ø Ð Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ × table[p] × Ö ÓÖÖ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ý × ÒÚÓ
call hash fct() Ô Ö Ð Ú º ÕÙ ÐÐ × Ð Ú × ÙÝÓ Ò × Ð Ñ ×ÑÓ ×Ù ÒØÖ
p Ô ÖÑ Ò Ò Ò Ð Ð ×Ø ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÕÙ ÐÐ × ÙÝÓ Ò × ×Ø ÒØÓ M + p ×ÓÒ ÑÓÚ ×
table[M + p]º Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ ÐÓ× ×Ø Ó× ÒØ × Ý ×ÔÙ × ÙÒ ÜÔ Ò× ÓÒº
0 70 10
0 70 10 1 206 11
p=11 206 266 11 1676 86 p=2 2
M=5
M=5 2 3 13 77
3 13 77 4 99 94 14
4 99 94 14 5 435 15 35
5 435 15 35 6 266 1676 86
6 7
´ µ ÒØ × ÜÔ Ò Ö table[2] ´ µ table[2] ÜÔ Ò table[6]
ÙÖ º ÑÔÐÓ Ô ÖØ ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø
Ð ÔÖÓ ×Ó Ô ÖØ ÓÒ ÙÒ ÒØÖ × Ö ØÓ ÔÙ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö× Ð × Ù ÒØ
ÓÖÑ
¿ È ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø ¿ ≡ ´¿ µ
BucketList * src_list_ptr = table.test(p);
if (src_list_ptr != NULL) // ¿table[p] est´ escrita?
a
if (not src_list_ptr->is_empty()) // ¿table[p] no est´ vac´a’
a ı
{
BucketList * tgt_list_ptr = NULL;

464. 438 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
// recorrer lista colisiones y mover cubetas de table[p+M]
for (BucketItor it(*src_list_ptr); it.has_current(); /* nada */)
{
Bucket * bucket = static_cast<Bucket*>(it.get_current());
it.next(); // avance al siguiente elemento de la lista
const Key & key = bucket->get_key();
const int i = (*hash_fct)(key) % MM;
if (i == p) // ¿pertenece esta clave a table[p]?
continue; // s´ ==> clave sigue en table[p] ==> procese siguiente
ı
if (tgt_list_ptr == NULL)
tgt_list_ptr = &table.touch(MP);
// bucket no pertenece a table[p] sino a table[p+m] ==>
// eliminar bucket de table[i] e insertarlo en table[p+m]
bucket->del();
tgt_list_ptr->append(bucket);
}
if (src_list_ptr->is_empty()) // ¿table[p] qued´ vac´a?
o ı
--busy_slots_counter; // s´ ==> un slot vac´o
ı ı
++busy_slots_counter; // uno nuevo por table[p+M]
}
Ð ÐÓÕÙ ÓÒ× Ö Ð ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ð ×Ø table[p] ×Ø Ú Ó¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ ÕÙ
Ñ × Ý × ÓÖ Ö Ò º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ × Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× table[p]
Ô × table[MP]¸ ÒØÓÒ × × ÔÓ× Ð ÕÙ Ð ÒØÖ table[MP] ÒÓ Ó ÙÔ Ñ ÑÓÖ º
ÒØ Ò × ´× ÔÖ ×ÙÑ µ Ð × Ú × ØÙ × Ð ÜÔ Ò× ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ö Ö ÙÒ ÖÙØ Ò
ÕÙ Ð Ö Ð Ý ÕÙ × ÒÚÓ Ú Þ ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´ ¿ µ ¿ ¿
void expand()
{ // expandir la tabla hasta que la carga est´ debajo de upper_alpha
e
for (float alpha = 1.0*N/MP; alpha >= upper_alpha; alpha = 1.0*N/MP)
{
È ÖØ ÓÒ Ö Ð ×Ø ¿
ØÙ Ð Þ Ö ×Ø Ó ÜÔ Ò× ÓÒ ¿
}
}
¬Ò ×
expand¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ Ò º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÜÔ Ò× ÓÒ ×ÓÐÓ × ÐÙ Ö × × Ü Ð ØÓÖ Ö º
Ð ÔÖÓ ×Ó ÓÒØÖ ÓÒ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× Ð ÒÚ Ö× Ð ÜÔ Ò× ÓÒ Ô × Ö ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ð ×Ø table[M + p] Ð Ð ×Ø table[p] Ø Ñ Ò × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ
º × × ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÞÕÙ Ö º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÔÖÓ ×Ó ¹ ÓÒØÖ ÓÒ¹ ×
ÑÙ Ó Ñ × Ö Ô Ó¸ ÔÙ × ÒÓ × Ò × Ö Ó Ö ÓÖÖ Ö Ò Ò ÙÒ Ð × Ð ×Ø ×¸ ×ÓÐÓ ÓÒ Ø Ò ÖÐ
table[M + p] table[p]¸ Ð Ù Ð Ð Ö Ð Þ Ö Ø Ý ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ð
Ì Dlink ´Ü ¾º º ´Ô Ò µµ
¿ Ù× ÓÒ Ö Ð ×Ø ¿ ≡ ´¿ µ
if (MP < table.size()) // ¿Existe table[MP]]?
{
BucketList * src_list_ptr = table.test(MP);
if (src_list_ptr != NULL) // ¿existe entrada para table[p+M]?
{

465. 5.1. Manejo de colisiones 439
if (not src_list_ptr->is_empty()) // ¿est´ vac´a table[p+M]?
a ı
{ // no ==> fusionar las listas
BucketList & tgt_list = table.touch(p); // asegura table[p]
tgt_list.concat_list(src_list_ptr);
--busy_slots_counter; // table[p+M] devino vac´a
ı
}
table.cut(MP); // eventualmente liberar memoria de table[p+M]
}
}
Ä ÖÙØ Ò ÓÒØÖ ÓÒ¸ Ù Ð × ÒÚÓ ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ¸ × ¬Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸
Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´¿ µ ¿
void contract()
{ // contraer la tabla hasta que la carga est´ por debajo de lower_alpha
e
for (float alpha = (1.0*N)/MP; alpha <= lower_alpha and MP > len;
alpha = (1.0*N)/MP)
{
ØÙ Ð Þ Ö ×Ø Ó ÓÒØÖ ÓÒ ¿
Ù× ÓÒ Ö Ð ×Ø ¿
}
}
¬Ò ×
contract¸ Ù× Ò ÙÒ ¼ º
ÄÓ ÒÓÚ Ó×Ó ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð × Ð ÔÖÓ ×Ó ÜÔ Ò× ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒº Ö ×ØÓ¸
×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÓÒ ÒØ × Ð × Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ò ÓÕÙ × ×ØÙ Ó׺
5.1.7.2 B´ squeda en LinearHashTable<Key>
u
Ä Ù×ÕÙ ¸ ÓÑÓ × ØÖ ÓÒ ÙÒ Ø Ð × ¸ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ñ × × ÑÔÐ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× LinearHashTable<Key> ¿ ≡ ´¿ µ ¼
Bucket * search(const Key & key)
{
const int i = call_hash_fct(key);
BucketList * list = table.test(i);
if (list == NULL) // ¿Ha sido escrita alguna vez table[i]?
return NULL; // No ==> el elemento no se encuentra en la tabla
if (list->is_empty())
return NULL;
// buscar key en la lista de cubetas
for (BucketItor it(*list); it.has_current(); it.next())
{
Bucket * bucket = static_cast<Bucket*>(it.get_current());
if (Cmp() (key, bucket->get_key()))
return bucket;
}
return NULL;
}
Í× × call hash fct ¿ º

466. 440 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ä Ò ÙÖ ×Ø Ù×ÕÙ Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× Ø ÔÓ× Ø Ð × × Ð Ó
ÕÙ ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó Ô ÖØ Ñ ÑÓÖ Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö × Ö ØÙÖ ¸ ×
ÔÖÓ Ð ÕÙ Ý Ò ÒØÖ × ÕÙ ÒÓ Ý Ò × Ó Ô ÖØ ×º
5.1.7.3 Inserci´n en LinearHashTable<Key>
o
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´¿ µ ¿ ¼
Bucket* insert(Bucket * bucket)
{
const int i = call_hash_fct(bucket->get_key());
BucketList & list = table.touch(i); // asegura memoria para table[i]
if (list.is_empty())
++busy_slots_counter;
list.append(bucket);
++N;
expand();
return bucket;
}
Í× × call hash fct ¿ Ò expand ¿ º
5.1.7.4 Eliminaci´n en LinearHashTable<Key>
o
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× LinearHashTable<Key> ¿ +≡ ´¿ µ ¼
Bucket * remove(Bucket * bucket)
{
Bucket * next = static_cast<Bucket*>(bucket->get_next());
bucket->del(); // elimine de lista de colisiones
if (next->is_empty()) // ¿lista de colisiones qued´ vac´a?
o ı
--busy_slots_counter; // s´ ==> un slot vac´o
ı ı
--N;
contract();
return bucket;
}
Í× × contract ¿ º
5.1.7.5 An´lisis de la dispersi´n lineal
a o
ÒØ × ÒÙÒ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð¸ × Ñ Ò ×Ø Ö ÒÓØ Ö ÕÙ ¸ × ÐÚÓ Ð × ÜÔ Ò× ÓÒ ×
Ý ÓÒØÖ ÓÒ ×¸ ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð × × Ñ Ð Ö ÙÒ Ø Ð × ØÖ ÓÒ Ð ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº ÓÑÓ Ø Ð¸ ÒÓ ÒÓ× × Ö ÜØÖ ÒÓ Ò Ð Þ Ö Ð
×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð Ò Ð × × Ö Ð Þ Ó ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº
Proposici´n 5.3 (Larson 1988 [22]) Cantidad de cubetas revisadas en una
o
b´ squeda sobre una tabla hash lineal
u
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ N Ð ¹
Ñ ÒØÓ׺ ÒØÓÒ ×¸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ù Ø × ÕÙ × Ú × Ø Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ×
α ≤ UN ≤
9
16
+α ; ´ º¿¾µ

467. 5.1. Manejo de colisiones 441
Ý Ð ÔÖÓÑ Ó Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ×
1+
1
+
M α
1
≤ SN ≤ 1 +
1 9
+ α
M 16
. ´ º¿¿µ
Demostraci´n
o Ë l Ð ÐÓÒ ØÙ ÙÒ Ð × Ð ×Ø × ÓÐ × ÓÒ × Ò Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ
× Ô Ö Óº Ë ÙÒ Ð Ð Ñ º½ ´ Ù ÓÒ ´ º µ¸ Ô º ¼ µ¸ l = N/Mº
ÄÓ× Ð Ñ × º¾ ´ Ù ÓÒ ´ º µ¸ Ô º ¼ µ Ý º¿ ´ Ù ÓÒ ´ º µ¸ Ô º ¼ µ¸ ÕÙ ×ØÙ ÑÓ×
ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ ÔÐ ÒØ Ò ÐÓ× ÔÖÓÑ Ó× Ù Ò Ó ÒÓ Ó ÙÖÖ Ò ÜÔ Ò× ÓÒ ×
Ó ÓÒØÖ ÓÒ ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ×ÙÑ Ò Ó ÙÒ ØÓÖ Ö y¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð ×
× Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×
u(y) = y ; ´ º¿ µ
Ô Ö Ð ÔÖÓÑ Ó Ù Ø × ÕÙ × Ò×Ô ÓÒ Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÖÙ ØÙÓ× Ý
s(y) = 1 +
1
+
y M
1
; ´ º¿ µ
Ô Ö Ð Ð ÔÖÓÑ Ó Ù Ø × ÕÙ × Ò×Ô ÓÒ Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× º
ÍÒ Ñ Ö Ñ × Ù Ó× ¸ Ô ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ö u(y) Ý s(y) Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó Ù Ò Ó
p=0 × Ö¸ Ù Ò Ó ÒÓ Ó ÙÖÖ Ó Ò Ò ÙÒ ÜÔ Ò× ÓÒ¸ Ð ÜÔ Ò× ÓÒ ÙÔÐ Ö
Ð Ú ÐÓÖ M ´Ú × ØÙ Ð Þ Ö ×Ø Ó ÜÔ Ò× ÓÒ ¿ µ Ó Ð ÓÒØÖ ÓÒ Ú Ö
ÒØÖ M ´Ú × ØÙ Ð Þ Ö ×Ø Ó ÓÒØÖ ÓÒ ¿ µº
È Ö Ø Ð × Ð Ò Ð Ø Ñ ÒÓ M¸ ×Ù× M Ð ×Ø × ÓÐ × ÓÒ × ÔÙ Ò ×ØÖ Ù Ö× Ò
¯ p ÔÖ Ñ Ö × Ð ×Ø × ÕÙ Ò × Ó Ô ÖØ ÓÒ ×º
¯ M − P Ð ×Ø × ÕÙ ÒÓ Ò × Ó Ô ÖØ ÓÒ ×¸ Ý
¯ p Ð ×Ø × Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ö Ô ÖØ ÓÒ Ó Ð × ÔÖ Ñ Ö × p Ð ×Ø ×º
Ä × ØÙ ÓÒ × ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö Ñ Ò Ö Ô ÖØ ÙÐ Ö ´p = 2µ¸ × ÓÑÓ Ø Ñ Ò Ñ Ò Ö
Ò Ö Ð¸ ×
p p+M
. . .
M
Ä × Ð ×Ø × ÕÙ ÒÓ Ò × Ó Ô ÖØ ÓÒ × ÓÒØ Ò Ò¸ Ò ÔÖÓÑ Ó¸ l Ù Ø ×º
Ó Ð ×ÙÔÓ× ÓÒ Ð ØÓÖ Ô Ö Ð ÙÒ ÓÒ × ¸ ÙÒ Ð ×Ø ÐÓÒ ØÙ ÔÖÓÑ Ó
l × Ô ÖØ ÓÒ Ò Ó× Ð ×Ø × Ø Ñ ÒÓ ÕÙ Ø Ø ÚÓ l/2º
Ò ÙÒ ÓÒ ÐÓ ¬Ò Ó¸ Ð ØÓØ Ð Ù Ø × × Ö Ô ÖØ ÒØÓÒ × Ò
N= p
l
2
+ (M − p)l + p
l
2
= pl + (M − p)l = Ml ´ º¿ µ
ÒÓ Ô ÖØ ÓÒ ×
Ô ÖØ ÓÒ × Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ô ÖØ ÓÒ
Ð ØÓÖ Ö ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð ×Ø ¸ ÒØÓÒ ×¸ ¬Ò Ó ÔÓÖ
p+M
α=
Ml
p+M
=⇒ l = α
M
´ º¿ µ
Ë x = p/M Ó × ¸ Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ×Ø × ÕÙ Ò × Ó Ô ÖØ ÓÒ ×º ×Ø ÑÓ Ó¸
´ º¿ µ × ¬Ò ÓÑÓ
l = α(1 + x) ´ º¿ µ

468. 442 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
´ º¿ µ ÔÖÓÚ Ò Ð Ð Ò Ð Ð ÒØ ×Ô Ö Ù Ø × Ò ÙÒ Ð ×Ø ÕÙ
ÒÓ × Ó Ô ÖØ ÓÒ ÙÑ ÒØ Ð Ò ÐÑ ÒØ α 2αº
Ù ÐÕÙ Ö Ù×ÕÙ ¸ Ü ØÓ× Ó ÐÐ ¸ Ø Ò ÔÖÓ Ð x Ö Ð Þ Ö× ×Ó Ö ÙÒ Ð ×Ø
Ô ÖØ ÓÒ Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ ÓÒº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ý ÙÒ ÔÖÓ Ð (1 − x)
ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ô Ö Ò ÙÒ Ð ×Ø ÕÙ ÒÓ × Ó Ô ÖØ ÓÒ º
Ë ¬Ò ÑÓ× U(x) ÓÑÓ Ð ÒØ ×Ô Ö Ù Ø × Ú × Ø Ö Ò ÙÒ Ù×ÕÙ
ÐÐ Ù Ò Ó ÙÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ x Ð × Ð ×Ø × Ð Ø Ð Ò × Ó Ô ÖØ ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ ×¸
× ÙÒ ´ º¿ µ¸ Ù Ð ÒÓ× Ò Ð ÒØ ×Ô Ö Ù Ø × ÕÙ × Ú × Ø Ö Ò¸ U(x) ×
¬Ò ÓÑÓ
α(1 + x)
U(x) = x u(l/2) + (1 − x) u(l) = x u + (1 − x) u(α(1 + x))
2
=
α
2
(2 + x − x2) ´ º¿ µ
Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ¸ × ¬Ò ÑÓ× S(x) ÓÑÓ Ð ÒØ ×Ô Ö Ù Ø × Ú×Ø Ö
Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× Ù Ò Ó ÙÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ x Ð × Ð ×Ø × Ð Ø Ð Ò × Ó Ô ÖØ ¹
ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ ×¸ × ÙÒ ´ º¿ µ¸ Ù Ð ÒÓ× Ò Ð ÒØ ×Ô Ö Ù Ø × ÕÙ
× Ú × Ø Ö Ò¸ S(x) × ¬Ò ÓÑÓ
α(1 + x)
S(x) = x s(l/2) + (1 − x) s(l) = x s + (1 − x) s(α(1 + x))
2
1 α(1 + x) 1 α(1 + x)
= x 1+ + + (1 − x) 1 + +
M 2×2 M 2
= 1+
1 α
+ (2 + x − x2)
M 4
´ º ¼µ
Ò Ñ Ó× Ø ÔÓ× Ù×ÕÙ ¸ Ð Ñ Ò ÑÓ ×Ô Ö Ó Ù Ø × Ö Ú × × Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó
Ð Ø Ð ÒÓ × ÜÔ Ò Ó ´x = 0µ Ó Ù Ò Ó Ð ÜÔ Ò× ÓÒ ÙÔÐ Ó Ð Ø Ñ ÒÓ Ð
Ø Ð ´x = 1µº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð × ÓØ × Ò Ö ÓÖ × ×Ø Ò ¬Ò × ÔÓÖ
UN = U(0) = α
1 α
SN = S(0) = 1 + +
M 2
ÆÓØ ÑÓ׸ ÓÑÓ Ö ×Ô Ö Ö× ¸ ÕÙ ×Ø × ×ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × ÓØ × ÕÙ Ô Ö Ð Ò ¹
Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó × Ò ÜÔ Ò× ÓÒ» ÓÒØÖ ÓÒº
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ Ü ÑÓ ×Ô Ö Ó Ù Ø × Ö Ú × × Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó x = 1/2 =⇒
p = M/2¸ ÔÙ × ´ º¿ µ Ý ´ º ¼µ ×ÓÒ Ñ Ü ÑÓ× Ù Ò Ó x − x2 × Ñ Ü ÑÓº ×ØÓ ÕÙ Ú Ð
Ö ÕÙ M/2 Ð ×Ø × Ò × Ó Ô ÖØ ÓÒ × Ò M/2 Ð ×Ø × ÓÒ Ð ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ö ×Ø Ò
M/2 Ð ×Ø × × Ò Ô ÖØ ÓÒ Öº × ÔÙ ×
9
UN = U(0) = α
8
1 9
SN = S(0) = 1 + + α
M 16
Ð Ó×Ø ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒ ÐÓ ÜÔ Ò× ÓÒ¸ ×Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
× Ù ÒØ º
Proposici´n 5.4 (Larson 1988 [22]) Coste promedio de b´ squeda en una tabla
o u
hash lineal

469. 5.1. Manejo de colisiones 443
Ë TÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ N Ð Ñ ÒØÓ׺ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ó×Ø ÔÖÓÑ ¹
Ó Ù×ÕÙ ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒ ÐÓ ÜÔ Ò× ÓÒ ×Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ
UN
M
=
13
12
α ; ´ º ½µ
Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ Ý
(13α + 12)M + 12
SN
M
=
12M
; ´ º ¾µ
Ô Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× º
Demostraci´n
o Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ð Ö Ø Ñ ÒØ ÒØ Ö Ö ´ º¿ µ Ý ´ º ¼µ
1
UN
M
=
α
2
(2 + x − x2) x ´ º ¿µ
0
Ý
1
M
SN = 1+
1 α
+ (2 + x − x2) x
M 4
´º µ
0
× Ô٠׸ Ò ×Ø Ø ÔÓ Ø Ð ¸ Ð ØÓÖ Ö × ÑÔÖ Ô ÖÑ Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ
ÓØ Ó¸ ÐÓ ÕÙ ÔÓ× Ð Ø ÒÙÒ Ö Ð ÓÖÓÐ Ö Ó × Ù ÒØ º
Corolario 5.2 Desempe˜ o de las operaciones en una tabla hash lineal
n
Ë h(k) : K −→ [0, M − 1] ÙÒ ÙÒ ÓÒ × O(1) ÕÙ ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× K [0, M − 1]º Ë T ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð ÐÓÒ ØÙ M ÓÒ N й
Ñ ÒØÓ× Ý ØÓÖ Ö αl ≤ alpha ≤ alphaº ÒØÓÒ ×¸ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó Ð×
ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × O(1)º
Demostraci´n
o Ä Ò× Ö ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ÐÐ ¸ Ð Ù Ð Ö ÕÙ Ö Ö ÓÖÖ Ö¸
× ÙÒ ´ º ½µ¸ 13
12 αÙ Ø × Ò ÔÖÓÑ Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ α × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ´ º ½µ × ÓÒ×Ø ÒØ Ý
Ð Ò× Ö ÓÒ × O(1)º ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ Ô Ö Ð Ù×ÕÙ ÐÐ º
È Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× × Ö ÓÖÖ Ò¸ × ÙÒ ´ º µ¸ (13α+12)M+12
12M Ù Ø ×¸ ÒØ
ÕÙ Ø Ñ Ò × ÓÒ×Ø ÒØ ¸ ÔÙ × α × ÓÒ×Ø ÒØ º Ä Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ×¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ O(1)º
Ë Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × ÓÑÓ Ð × Ò ÑÓ׸ ÒØÓÒ × ×Ø × O(1) ÓÖÑ Ø ÖÑ Ò ×Ø º
Ë × × Ò Ð Ù×ÕÙ ¸ ÒØÓÒ × ×Ø Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ Ð Ù×ÕÙ Ü ØÓ× ¸ Ð Ù Ð Ý
ÑÓ×ØÖ ÑÓ× × O(1)
Ä Ö Ò ÓÒ ×Ø Ø ÔÓ Ø Ð × ÕÙ ÒÓ Ý Ò × ÙØ Ö Ð Ó×¹
ØÓ×Ó Ö Ù×Ø Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð ØÓÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ Ó Ö Þ Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ô ¹
Ö Ó Ð Ö × Ò Ñ Ñ ÒØ Ù×Ø Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ º ÁÒ Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ
Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ׸ Ð Ö × ÑÔÖ ×Ø Ö ÓØ Ý¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ × Ö
ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ×Ô Ö Ó º ׸ Ô٠׸ ×Ø Ò ÓÕÙ ÓÒ Ó Ô Ö ØÓ × Ð × × ØÙ ÓÒ × Ò
ÕÙ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ø Ð × ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓÖ Ú Ö × Ö ÞÓÒ ×º
Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ù× Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó¸ ÔÓÖ Ñ × ÕÙ ÒÓ× Ý ÑÓ× × ÓÖÞ Ó Ò
ÙÒ Ù ÓÒ ÐØÓ × ÑÔ ÒÓ Ù Ò Ó × Ò ÑÓ× Ð Ø ÔÓ DynArray<T>¸ ×Ø ÖÖ
Ó×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ × Ñ ÝÓÖ × ÕÙ Ð Ð ÖÖ ÐÓ ÓÒØ ÙÓ ØÖ ÓÒ Ð ÕÙ ÑÔÐ ÑÓ× ÓÒ Ð
Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº × Ô٠׸ Ô Ö × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × ×Ø Ñ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ
Ð Ú ÐÓÖ N¸ Ð ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð × Ð Ò ÓÕÙ Ñ × Ð ÒØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ Óº
Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ × × ×Ø Ò Ô ×Ø Ñ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ N¸ ÙÒ ÓÒ ÙÒ ÖØÓ
Ñ Ö Ò Ò ÖØ ÙÑ Ö ¸ ÒØÓÒ × × ÔÖ Ö Ð ÓÔØ Ö Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÓÕÙ × ÕÙ Ý

470. 444 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
ÑÓ× ×ØÙ Ó Ò ÙÒ ÓÒ Ð × ÓÒ× Ö ÓÒ × × Ò Ü º½º º º ÄÓ× Ö ÙÑ ÒØÓ×
×ÓÒ × ÑÔÐ × × ÑÔÐ Ý Ñ ÓÖ × ÑÔ ÒÓº
ËÙÖ ÒØÓÒ × Ð ÔÖ ÙÒØ Ù Ò Ó ÑÓ× Ù× Ö ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð º À Ý Ó× × Ò Ö¹
Ó× ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×
½º Ù Ò Ó ÒÓ × ÓÒÓÞ Ð ×Ø Ñ ÓÒ N¸ Ù Ð × Ð × ØÙ ÓÒ Ù Ò Ó × Ñ Ò Ò
ÓÒ ÙÒØÓ× Ñ Ò Ö Ò Ö Ðº
¾º Ù Ò Ó¸ ÙÒÕÙ × ÓÒÓÞ ÙÒ ×Ø Ñ ÓÒ Ñ Ü Ñ N¸ ×Ø ­Ù ØÙ Ö Ù ÒØ ¹
Ñ ÒØ ÒØÖ Ú ÐÓÖ × ÜØÖ ÑÓ׺
Ò × ÒØ × ×¸ Ð ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð Ø Ò Ð Ó Ð ÓÒ Ü Ö × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ö Ó
O(1) ÓÒ ÙÒ ÓÒ×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒØ Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ×
Ñ Ò Òº × Ö Ð ÓÔ ÓÒ Ù Ò Ó × ØÖ Ø Ò ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ö Ð × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ñ Ô Ó×
Ð Ò Ù × ÓÑÓ python Ó perl Ó Ð ÔÖÓÔÙ ×Ø Ð ×Ø Ò Ö C++ Ñ Ô Ó × ¸ ÐÐ Ñ
hash mapº
5.2 Funciones hash
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ò Ð Ø Ó× × ÑÔ ÒÓ ×Ó Ö ÐÓ× ×ÕÙ Ñ × Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ ¹
× ÓÒ × ×ÙÑ Ò ÕÙ h(k) : K −→ [0, M − 1] × O(1) Ý ÕÙ ×Ø ÑÙÐ ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ
ÔÖÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ º Ë Ò ×Ø × ÔÖ Ñ × ×¸ Ò Ò ÙÒÓ ÕÙ ÐÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× × Ú Ö Þº
× Ó Ú Ñ ÒØ × Ò Ð¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ × ÙÑÔÐ ×ØÓ× Ö ÕÙ × ØÓ׺ È ÖÓ Ý
ÑÙ Ó Ñ × ÕÙ ×ØÓ× Ñ ÖÓ× Ö ÕÙ × ØÓ× Ù Ò Ó × × Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ × º
5.2.1 Interfaz a la funci´n hash
o
Ê ÔÐ ÒØ ÑÓ× h(k) : K −→ [0, M − 1] Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × Ó Ð × Ù ÒØ Ø ÔÓ¹
ÒØ Ö Þ
template <typename Key> size_t hash_fct(const Key & key);
Á ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÒ ÓÒ ØÓÑ ÙÒ Ð Ú Ò Ö Ø ÔÓ Key Ý Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÙÒ Ò¹
Ø ÖÓ ÒØÖ 0 Ý Ð Ñ × Ö Ò ÒØ ÖÓ ÕÙ ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× Ò Ð Ø ÔÓ size tº Ê ÓÖ ÑÓ×
ÕÙ Ð Ò ÒØÖÓ Ð Ø Ð × Ð ÙÐ Ñ ÒØ
(*hash_fct)(key) mod M;
Ä Ò ØÙÖ Ð Þ Key ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÒÙÑ Ö ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó ÑÓ× Ò ÓÒ¹
ØÖ Ö ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ key Ð Ø ÔÓ size tº × ÕÙ ×Ø Ð ÑÓ× Ð × Ù ÒØ
ÔÖÓØÓ ÓÐÓ Ô Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó (*hash fct)(key)
½º Ë Key ÒÓ × ÒÙÑ Ö Ó¸ ÒØÓÒ × ØÖ Ò× ÓÖÑ ÖÐÓ Ð Ø ÔÓ size tº
¾º ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ key Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ó size t ¹ÔÓÖ Ú Ö Ø Ó ÔÓÖ
Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¹¸ ×Ô Ö× Ö key¸ ÐÓ Ñ × ÕÙ × ÔÙ ¸ Ò ÐÓ ÔÓ× Ð
ÓÒ ÑÙÐ ÓÒ Ð ØÓÖ ¸ Ð ÓÑ Ò Ó size tº ×Ø ×Ô Ö× ÓÒ ×¸ Ò × ¸ Ð
ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò ALEPH × ÑÔÖ ÙÐÑ Ò ÑÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ h(k) : K −→ [0, M − 1]
ÓÒ Ð ÐÐ Ñ (*hash fct)(key) mod M¸ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× ÔÖÓÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ Ø Ñ Ò ÔÙ × Ö Ô ÖØ Ð ×Ô Ö× ÓÒº

471. 5.2. Funciones hash 445
5.2.2 Holgura de dispersi´n
o
Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ð ×Ø ×ÙÔ Ø Ó Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ ÕÙ × ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÓÒ Ð Ø ÔÓ
size tº Ð ÒØ ÔÓ× Ð ×Ø ÒØÓ× Ú ÐÓÖ × ÕÙ ÔÙ ÖÖÓ Ö h(k) : K −→ [0, M − 1]
× Ð ÒÓÑ Ò ÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒ Ñ ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ × Ð ÒØ ÒÙÑ ÖÓ× ×¹
Ø ÒØÓ× ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ × ¸ Ñ ÝÓÖ × ×Ù ÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒº × Ô٠׸
Ò ÒÙ ×ØÖÓ ÓÒØ ÜØÓ¸ ÙÒ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ ÓÒ × × Ø Ò Ö Ð Ñ ÝÓÖ ÓÐ ÙÖ
×Ô Ö× ÓÒ ÔÓ× Ð º
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ð ¬Ò Ù ÒØ ×¸ ØÓ Ó Ø ÔÓ ØÓ ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÓÑÓ ÙÒ
× ÙÒ Ø׺ Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ò ÓÐ Ð ÓÑ Ò Ó K¸ ∀ki, kj ∈ K, ki = kj =⇒
ki Ý kj Ø Ò Ö Ò × Ù Ò × Ø× ×Ø ÒØ ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ × ×Ø ÒØ × Ð ÕÙ
h(k) : K −→ [0, M − 1] ÓÒ× Ö todos¸ ÐÓ× Ø× ÙÒ Ð Ú ¸ ÔÙ × ×Ø Ñ Ò Ö ×
Ð Ø Ñ ÓÖ Ð Ö Ô ÖØ Ö K Ò Ð ×Ô ØÖÓ size t ݸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ × ÙÑ ÒØ Ð Ô
×Ô Ö× ÓÒº È ÖÓ ÒÓ ×Ø ÓÒ ÓÒ× Ö Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ø׺ È Ö ÓÑÔÖ Ò Ö ÐÐÓ¸ Ü Ñ Ò ÑÓ×
ÙÒ Ø Ô × ØÙ ÓÒ Ð ÑÙÒ Ó Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÑÓ Ð Ú × × ÑÔÐ × Ò× Ö Ø Ö × ´char*µ Ý h(k) ÓÑÓ Ð
×ÙÑ ÐÓ× Ö Ø Ö × Ð Ò º h(k) Ò Ò Ð Ö Ò Ó [0, n−1 si]º Ë size t ×Ø
i=0
Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ 32 Ø׸ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÓÒ size t × 232 = 4294967296
i=0 siº Ë Ø Ò ÑÓ× Ð Ú × Ð Ø × ÙÝ ÐÓÒ ØÙ × 30 Ö Ø Ö ×¸ ÒØÓÒ × ÓÒ
n−1
Ú ÐÓÖ × Ö Ø Ö × ÒØÖ [65, 90] ∪ [61, 122]½¿ ¸ Ð Ö Ò Ó h(k) × [61 × 30, 122 × 30] =
[1950, 3660] ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ÑÓ× Ð Ó 232 −3660+1950 Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ð × ÕÙ ÔÓ Ö
ØÓÑ Ö h(k) Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ size t × M > 1710¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ M − 1710
ÒØÖ × Ñ × × Ö Ò × Ý Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ø Ò ÕÙ Ð ÓÒ Ð × ÓÐ × ÓÒ ×
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ú Ò º ÍÒ Ø Ð × ÓÒ × ÙÒ ÓÒ ÔÙ ÐÐ Ñ Ö× ÙÒ Ø Ð Ñ × º
5.2.3 Plegado o doblado de clave
ÓÒ× Ö Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ø× ÙÒ Ð Ú ×Ø ×ÙÔ Ø Ó Ð Ø Ñ ÒÓ Ð Ø ÔÓ size t ½ ¸ Ð
Ù Ð ×Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð × Ö Ø Ö ×Ø × Ö Û Ö Ý Ð ÓÑÔ Ð ÓÖº Ì Ñ Ò¸ ×
ØÙ ÑÓ× ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ØÑ Ø × ÓÑÓ Ð ÑÔÐ ¬ Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÔÖ ÒØ ¸
ÔÓ ÑÓ× Ø Ò Ö ÙÒ × ÓÖ º
Ð Ø Ò ØÖ ÓÒ Ð Ô Ö ÓÒ ÖÓÒØ Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ÓÒÓ Ó Ð Ô ÖØ Ô Ó
ÔÐ Ó Ó Ó Ð Ó º ÈÐ Ö ÙÒ Ð Ú ÓÒ× ×Ø Ò × ÓÒ ÖÐ Ò Ô ÞÓ× Ñ × Ô ÕÙ ÒÓ×
Ý ÓÑ Ò ÖÐÓ× ÓÒ ×ÙÑ ×¸ Ó ×½ Ü ÐÙ× ÚÓ× Ó ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ׺
ÍÒ Ð Ú n ÝØ × ÔÐ Ö× Ò sizeof(size t) ÝØ ×º Ë ÙÒ Ð Ò ÓÐ
Ð Ð Ú ÔÓ ÑÓ× × Ð ÓÒ Ö Ô ÞÓ× ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ n/sizeof(size t) Ò ÙÒ ÓÖ Ò
× Ó Ó Ô Ö Ú Ö Ð ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö × × Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ð Ú ¾¼
ÝØ ×¸ Ý sizeof(size t) == 4¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ð × Ò Ð × Ñ × × Ò ¬ Ø Ú ×
ÐÓ× ÝØ × ÒØÖ Ð ×
ÈÐ Ó ÙÒ Ò Ý Ò ÝØ × ≡
char buf[sizeof(size_t)];
char * ptr = (char*) key + 6; // comienzo del centro en 20 bytes
for (int i = 0; i < 4; ++i)
{
½¿
×ØÓ× ×ÓÒ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ë ÁÁ Ô Ö ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× Ð Ø ÒÓ× ÒÓ ÒØÙ Ó׺
½
Ç Ð Ø ÔÓ ÕÙ × ÙØ Ð ÓÑÓ Ö Ò Ó × ÙÒ × Ð ×Óº
½
Ó × × Ð ÔÐÙÖ Ð Þ ÓÒ Óº

472. 446 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
buf[i] = (ptr[0]>>4) | (ptr[1]>>4);
ptr += 2;
}
Ò ÔÓ× ÙÒ Ù Ò ×Ô Ö× ÓÒ¸ Ò Ð × ÒÓ ÙÒ Ù Ò ÔÐ Ó × ÓÒÚ Ò ÒØ
Ò Ö Ð ÞÓÒ Ð Ð Ú Ò Ð Ù Ð × ÔÖ × ÒØ Ñ × Ú Ö× ¸ ÔÙ × × × Ð ÞÓÒ
ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÔÓØ Ò Ð Ô Ö ÑÙÐ Ö Ð × Ð ØÓÖ º Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ Ð × ÞÓÒ × ÓÒ
Ñ ÒÓÖ Ú Ö ×ÓÒ Ñ × Ù× ÒØ × Ö Ô Ø Ò ×º
5.2.4 Heur´
ısticas de dispersi´n
o
Ò × ÒØ × ×¸ Ô Ö Ð ÙÐ Ö h(k) : K −→ [0, M − 1] Ø Ò ÑÓ× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ×
½º ÉÙ × ÑÙÝ Ö Ô ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ O(1)¸ × ÒÓ ÕÙ ×Ù Ø ÑÔÓ ÓÒ×Ø ÒØ × Óº
¾º ÉÙ Ø Ò ×Ù¬ ÒØ ÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒº
¿º ÉÙ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ö Ø Ö Ò ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ ÔÖÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ º
×ØÓ× ØÖ × Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ׸ Ð Ñ × Ð × Ð Ø Ö ÖÓ¸ ÔÙ × Ð × Ð ÓÒ × ÔÖ Ò × Ò Ð
Ò Ö ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× ½ Ò Ò ÕÙ × ÖØÓ Ð¸ ÔÓÖ ÒÓ Ö ÑÔÓ× Ð ¸
Ò Ö Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× Ô ÖØ Ö ØÓ× ÕÙ ÒÓ ÐÓ× ×ÓÒ ½ º Æ ¸ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸
× Ù ÖØÓ ÙÒ Ø Ò ×Ô Ö× ÓÒ Ò Ö Ð ÕÙ ÑÙÐ ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ¸
Ô ÖÓ × × ÓÒÓ Ò Ü Ð ÒØ × ÙÖ ×Ø × ÕÙ ¸ ÓÔ Ö × ×Ó Ö ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ¸
ÑÙÐ Ò Ð Ð ØÓÖ º
5.2.4.1 Dispersi´n por divisi´n
o o
Ð Ñ ØÓ Ó ×Ô Ö× ÓÒ Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö × Ù×Ø Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÑÓ× ÑÔÐ Ó ØÖ Ú ×
ØÓ Ó× ÐÓ× Ø ÔÓ× × ÖÖÓÐÐ Ó×
h(k) = k ÑÓ M ´º µ
È ÖÓ Ò ×Ø Ø ÔÓ ÙÒ ÓÒ × Ö Ø Ð × Ð ÓÒ Ð Ú ×ÓÖ Ó × ¸ Ð Ú ÐÓÖ M¸ Р٠и
Ñ ÒÙ Ó¸ × Ð ÔÖÓÔ Ó Ø Ñ ÒÓ Ð Ø Ð ½ º
Ë ÑÓ× ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ÒØ ÖÓ k n ØÓ× ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
n−1
k= di × b i ;
i=0
ÓÒ di × ÙÒ ØÓ Ý b × Ð × Ð × ×Ø Ñ ÒÙÑ Ö Óº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð Ú × ÓÒ
ÒØ Ö k/M ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
n−1
i=0 di × bi
k
M
=
M
. ´º µ
½
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ö ÑÔÓ× Ð × ÑÙÝ Ù ÖØ ¸ ÔÙ × ÐÓ Ú ÖØÙ Ð ×Ô Ó Ô Ö ÑÙ Ó ÔÓ× Ð º
½
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ÑÓ× ×Ø Ö Ô Ò ÒØ × Ð Ó ÕÙ M ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × Ð Ø Ñ ÒÓ Ð
Ø Ðº

473. 5.2. Funciones hash 447
Ð Ö ×ØÓ Ð Ú × ÓÒ¸ k ÑÓ M¸ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ k ÑÓ M = k − k k/M
ÐÓ Ù Ð¸ × ÙÒ ´ º µ¸ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
n−1
i=0 di × bi
k ÑÓ M = k −
M
n−1 n−1
i=0 di × bi
= di × b i −
M
. ´º µ
i=0
×Ø ÜÔÖ × ÓÒ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ú Ö ÕÙ ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó× Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ׸ ÕÙ ÐÐÓ× Ø Ð × ÕÙ
di × ni < M¸× ÑÔÖ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ô ÖØ k ÑÓ M¸ ÔÙ × ×ØÓ× ÒÓ ×ÓÒ¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð Ø¹
Ö Ð ×¸ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ú × Ð × ÔÓÖ Mº × Ô٠׸ ´ º µ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ
ÓÑÓ
k ÑÓ M = di × bi + di × bi ÑÓ M
∀i|di ×bi <M ∀i|di ×bi ≥M
di × bi
= di × bi + ÑÓ M ÑÓ M; ´ º µ
M
∀i|di ×bi <M ∀i|di ×bi ≥M
ÁÒ Ú × Ð Ê ×ØÓ Ö ×ØÓ×
Ó × ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó× k ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ú × Ð × ÔÓÖ M Ñ × Ð Ö ×ØÓ
Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ö ×ØÓ×½ º
Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÙÑ Ò Ó ´ º µ ÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÐÓ Ò Ú × Ð Ý Ð × ÙÒ Ó
Ð Ö ×ØÓ Ö ×ØÓ× º
×Ø ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ð Ö ×ØÓ ÒÓ× Ð Ø ÔÖ Ò Ö Ð ØÖ × Ò Ò ÕÙ Ø Ò Ð ¹
Ù × Ð ÓÒ Ð Ú ×ÓÖ M ×Ó Ö Ð ÓÒ× Ö ÓÒ ØÓ× Ð × Ù Ò ÕÙ ÜÔÖ ×
kº ´ º µ × ÔÙ Ú Ö ÕÙ ÐÓ× ÙÒ Ó× ØÓ× ÕÙ × ÓÒØ Ð Þ Ö Ò ÓÒ × ÙÖ ×ÓÒ
ÐÓ× Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ú × Ð º Ð Ö ×ØÓ Ö ×ØÓ× Ô Ò Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ×Ô ØÓ
Mº Ë ÙÒ × Ð Ú ÐÓÖ M¸ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ ØÓÑ Ö Ò Ù ÒØ Ó ÒÓ Ð ÙÒÓ× ØÓ×
kº ÍÒ ÑÔÐÓ ÔÙ ÝÙ Ö ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ ÙÒ ÒÓ ÐÓ Ò Ö Ð Þ Óº Ë Ø Ò ÑÓ× M = 100
Ý × Ñ Ð¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ×ØÓ ×ÓÐÓ ×Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ Ò Ú × Ð ¸ ÔÙ × ÐÓ× Ö ×ØÓ×
Ö ×Ø ÒØ × ×ÓÒ ÒÙÐÓ× Ý ÓÒ ÐÐÓ× Ð Ö ×ØÓ Ö ×ØÓ׺ ÓÒ M = bw ÒÓ ÑÔÓÖØ Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ
k¸ Ð Ö ×ØÓ ×ÓÐÓ ÓÒ× Ö ÐÓ× w ÙÐØ ÑÓ× ØÓ× kº Ë ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× ÙÐØ ÑÓ× ØÓ×
k ×Ø Ò × × Ó× ×Ø Ö ÒØÖ 20 Ý 30 Ý M = 100¸ ÒØÓÒ × h(k) ×Ø Ö × × Ó ×
Ö Ò Ó ÐÓ ÕÙ ÖÖÙÑ ØÓ × Ð × ÜÔ Ø Ø Ú × × ÑÔ ÒÓ¸ ÔÙ × h(k) ×Ø Ö ÑÙ Ó
× Ö Ð ØÓÖ º
Ì ÑÔÓ Ó ×Ø M = 2w¸ ÔÙ × ÔÙ Ö Ü ×Ø Ö Ð ÙÒ Ô ØÖÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÐÓ×
×ÙÑ Ò Ó× di × biº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ 75312 ÑÓ 150 = 12 = 75312 ÑÓ 100 Ù Ò Ó Ñ Ö ÑÓ×
ÕÙ 150 = 10 × 5 × 3¸ ÒÓ ×ÓÐÓ Ú ÑÓ× ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÑÓ Ô Ö Ù Ò Ó M = 100¸ × ÒÓ
ÕÙ ¸ ÓÑÓ ×ÙÑ Ò Ó Ð Ö ×ØÓ Ö ×ØÓ× × ÑÙÐØ ÔÐÓ 5 Ð Ò Ò ÙÒ ØÓ
× ×Ù ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ 3 Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ × × ÑÔР׸ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ð 1/3
ÒÓ × Ö ÓÒ× Ö Óº Ò Ò ÙÖ ¸ Ð ×ÙÑ Ö ×ØÓ× Ø Ñ Ò Ø Ò Ù Ò ÔÖÓ Ð
× Ö ÑÙÐØ ÔÐÓ ØÖ ×º
½
× ÒÓØ Ö ÕÙ !
n−1
k ÑÓ M= (di × b ) ÑÓ M
i
ÑÓ M ;
i=0
Ó × ¸ Ð Ö ×ØÓ × ÔÙ ¬Ò Ö¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ ÓÑÓ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ö ×ØÓ׺ × ÖÖÓÐÐ ÑÓ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ
× ÙÒ k ÑÓ M = k − k/M ÔÓÖÕÙ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÔÖ Ò Ö Ñ ÓÖº

474. 448 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ä × ÓÒ× Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÕÙ ÑÓ× Ö Ð Þ Ó ×ÓÒ Ú Ð × Ô Ö
Ù ÐÕÙ Ö × ÒÙÑ Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ò Ö º
Ù Ò Ó × Ð ÓÒ ÑÓ× Ð Ñ ØÓ Ó Ú × ÓÒ ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ × ¸ ÑÓ× ×Ø Ö ×ÙÑ ¹
Ñ ÒØ Ô Ò ÒØ × ×Ø ÑÙÐØ ÔÐ ¸ ÔÙ × Ð Þ Ö ÔÙ Ù ÖÒÓ× Ò ÓÒØÖ º Ë ÒÓ
×ÔÓÒ ÑÓ× Ø ÑÔÓ Ó Ò ÑÓ Ô Ö ×ØÙ Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× × Ð ¹
ÓÒ Ö M ÓÑÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÔÖ ÑÓ¸ ÐÓ ÕÙ × ÙÖ ÕÙ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó× k
Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ º
Ð Ñ ØÓ Ó Ú × ÓÒ ÙÒ Ó ÙÒ × Ð ÓÒ M¸ ÓÑÓ Ú ×ÓÖ Ý Ð Ú Þ ÓÑÓ
Ø Ñ ÒÓ Ð Ø Ð ¸ × Ð Ñ ØÓ Ó ×Ô Ö× ÓÒ Ñ × ÔÓÔÙÐ Öº Ð Ò ÓÕÙ ALEPH
ÓÒÐÐ Ú Ö Ø Ñ ÒØ ×Ø Ñ ØÓ Ó¸ ÙÒÕÙ ÒÓ Ð × Ð ÓÒ M ÓÑÓ ÔÖ ÑÓ¸ Ù Ð ×
Ð Ð Ù×Ù Ö Ó Ð Ì º Ò × ¸ ×Ø Ñ ØÓ Ó × ×Ø ÒØ × Ò ÐÐÓ Ý Ö Ô Ó¸ Ô ÖÓ ÒÓ ×
Ù ØÓ × Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò × ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × ÐÓ Ù× ÑÓ× Ö Ø Ñ ÒØ ¸ ÒÓ × ÑÔÖ ×
и Ò ÙÒ ÓÒ Ø Ñ ÒÓ ÓÖ Ò Ð Ó Ð Ö Ù×Ø ¸ × ÙÖ Ö ÕÙ M × ÔÖ ÑÓº
5.2.4.2 Dispersi´n por multiplicaci´n
o o
×Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò Ð Ú ÒØ ÕÙ ÔÙ ÔØ Ö× Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ø Ñ ÒÓ Ø Ðº
Definici´n 5.2 (Fraccional de un n´mero real) Ë
o u x ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÔÓ× Ø ÚÓ¸ Ð
Ö ÓÒ Ð x¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ {x}¸ × Ð Ô ÖØ Ö ÓÒ Ð xº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ {1, 6252345} =
0, 6252345º
Ð Ñ ØÓ Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ¬Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ × Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
h(k) = {k θ} M ; ´º µ
ÓÒ θ × ÙÒ ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒº
ÙÐ × Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð ØÓÖ θ º Ë × ÑÓ× ÑÙÐ Ö Ð Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ ×
×Ù Ò ÓÒ × ÒØ Ó Ö ÕÙ Ô Ö ÚÓÖ ÖÐ Ð × Ó Ò × Ö Ð Ó ÖÖ ÓÒ Ðº ÈÙ ×
Ò¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒÓ× × Ù Ö ÙÒ Ð × Ò¬Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ× ÐÐ Ñ Ó×
ÖÖ ÓÒ Ð × Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ò ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ ÙÒ Ö ÞÓÒ ´ Ö ÓÒµ ݸ Ý
× Ð × ÓÒ× Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ M Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÑÓ×
ÕÙ Ð × Ö ÞÓÒ × ´ Ö ÓÒ ×µ Ø Ò Ò × × Ö Ð × Ð Ú ×º
Proposici´n 5.5 (Tur´n-1958) ½
o a
Ë θ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð Ý n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº ÒØÓÒ × ÐÓ× n + 1 Ö ÓÒ Ð ×
{θ}, {2θ}, {3θ}, . . . , {nθ} Ø Ò Ò ÐÓ ×ÙÑÓ ØÖ × ÐÓÒ ØÙ × ×Ø ÒØ × Ý Ð ÔÖÓÜ ÑÓ Ö ÓÒ Ð
{(n + 1)θ} × Ð Ò ÙÒ Ð × Ñ ÝÓÖ × ÐÓÒ Ø٠׺
Demostraci´n
o Î × ÃÒÙØ ½
Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ× ÔÓÖØ ×Ø Ø ÓÖ Ñ × ØÖ Ù Ò Ð × Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ ×
½º {kθ} Ý {(k + 1)θ} ÔÙ Ò ×Ø Ö × Ô Ö Ó× ÔÓÖ ØÖ × ×Ø Ò × ÔÓ× Ð × Ý¸
¾º {kθ} Ý {(k + 1)θ} ×Ø Ò Ò ÒØÖ × ÒØÖ Ð × Ó× Ñ ÝÓÖ × ÐÓÒ Ø٠׺ ×Ø × Ô Ö ÓÒ
× ÐÓ ÕÙ ÑÙÐ Ð Ð ØÓÖ º
½
Ø Ó ÔÓÖ ÃÒÙØ ½ º

475. 5.2. Funciones hash 449
½ 3
3
¼º 3
3
¼º 3
3
¼º 3
3
¼º 3
3
{ϕk}
^ ¼º 3
3
¼º 3
3
3
¼º¿ 3
3
¼º¾ 3
3
¼º½ 3
3
¼3
¼ ½ ¾ ¿ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½
ÙÖ º Î ÐÓÖ × Ð Ö ÓÒ Ð {kϕ}
^
ÃÒÙØ ½ ×Ù Ö ÕÙ √
−1 5−1
θ=ϕ=ϕ
^ = ,
2
× ÙÒ Ù Ò × Ð ÓÒ Ò ÑÙ Ó× ×Ó× Ý ÒÓÑ Ò ×Ø ×Ô Ö× ÓÒ ÓÒ º
È ÖÓ¸ ÔÓÖ ÕÙ × Ù ÒÓ ×Ø ÒÙÑ ÖÓ ϕ × Ð Ö ÔÖÓ Ó ÐÓ ÕÙ × ÓÒÓ ÓÑÓ Ð
^
ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÖ Ó Ð Ö Ó Ú ÒÓ ¸ Ô٠׸ × Ø ÑÔÓ× ÒÑ ÑÓÖ Ð ×¸ × ÕÙ
× Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÓÒ ÕÙ ÐÓ× Ó× × ÓÖ ÖÓÒ Ð ÑÙÒ Ó¾¼ º Ä ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ϕ¸ ÕÙ ¸ ÓÑÓ
Ú ÑÓ׸ × ÖÖ ÓÒ Ð¸ ÐÓ ÕÙ Ò Ö ¸ ÕÙ Þ ¸ ×ÙÑ Ò Ó ÙÒ Ó× Ö ÓÒ Ð¸ ÕÙ Ý Ð Ó
ÖÖ ÓÒ Ð Ò ÐÓ Ú ÒÓ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ × Ù Ù Ò Ð Ò ØÙÖ Ð Þ ¸ × ÒÓ ÕÙ ÓÑÔÖÓ Ó
× Ö ×Ø ÒØ Ù Ò Ò ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÓÑ Ò Ó× ÑÙ× ¸ ÖÕÙ Ø ØÙÖ ¸ Ò Ò Ö ×¸
Ø Ø Ö º Î Ð Ð Ô Ò ÓÒ×Ø Ø Ö Ð ×ØÖ Ù ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ¸ ÓÒ ÙÒÓ× ÔÓ Ó× Ú ÐÓÖ ×
k¸ ØÖ Ú × Ó × ÖÚ ÓÒ Ð Ö ¬ º ¸ Ð Ù Ð ÓÒ×Ø Ø ÑÓ× ÕÙ Ð Ú × × Ù Ò Ð ×
×Ø Ò Ò Ð ×Ô Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ h(5) = 0 Ý h(6) = 4¸ Ô ÖÓ¸ Ñ ×¸ Ð Ô Ö Ò
Ð ÔÖÓÔ Ö ¬ Ò ÔÙ Ö × Ö Ð ÙÒ ×ØÖ Ù ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ º
Ú ÑÓ׸ Ô٠׸ ÕÙ Ð ×Ô Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ö Ô ÖØ ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ× ÓÒ ×Ù¬¹
ÒØ ×Ø Ò ¸ ÐÓ× ÒØ Ö Ð × Ò Ð ÙÒ ÓÖ Ò Ô Ö ÒØ Ý × Ò Ô Ò ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Mº
Ò Ò ÙÖ ¸ ×Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò Ð Ú ÒØ Ø Ò Ö × Ö Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ Ð Ú × ÓÒ¸
ÔÙ × × Ñ × Ö Ô Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÕÙ Ú Öº À ݸ Ñ ×¸ ÙÒ ØÖÙ Ó Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö
Ö Ô Ñ ÒØ ¸ ÕÙ ÒÓ× ÓÖÖ Ð Ó×Ø Ô Ð Ö Ð Ö ØÑ Ø Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ º
Ë w Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ú Ò Ø× Ý × Ó ÑÓ× M = 2zº × Ö × ÐØ Ö¸ Ò ÔÖ Ñ Ö
ÐÙ Ö¸ ÓÑÓ M = 2z¸ h(k) ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÓÒ z Ø׺
Ë σ = kθ Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò w Ø׺ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÒØ ÖÓ kσ ¹ÒÓ Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ ¹
Ø Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ 2w Ø× Ú Ò Ó× Ô Ð Ö × w Ø× p0 Ý p1 Ø Ð × ÕÙ
kσ = p1 kθ + p0{kθ}º È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ñ Ö Ö Ð ×ÙÒØÓ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¾¼
Ò Ü º º¾º¾ ´Ô Ò ½½µ × ÜÔÐ ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × Ð Ð ÙÐÓ ×Ø ÒÙÑ ÖÓ Ý ×Ù Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ×
ÓÒ º Ò Ü º ´Ô Ò µ × Ö Ð Þ Ò Ð ÙÒ × Ö Ö Ò × ×ØÓÖ × Ð Ù×Ó ×Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒº

476. 450 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
w bits
k 1
× σ = θ2w
p1 = kθ h(k) p0 = {kθ}
,
z bits
×Ø ÑÓ Ó¸ ÐÓ× z Ø× Ñ × × Ò ¬ Ø ÚÓ× p0 Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð Ú ÐÓÖ h(k) h(k) ×
Ó Ø Ò ÓÒ ×ÔÐ Þ Ö z Ø× Ð ÞÕÙ Ö p0 Ó ÓÒ ÙÒ and Ö ØÑ Ø Ó ÒØÖ p0 Ý
Ð Ô Ð Ö ÓÒ ÓÖÑ 11 . . . 1 00 . . . 0 º Ò Ö Ò Ó× Ò ÙÖ ¸ × ÒÓ× × ÙÖ ÑÓ× ÕÙ
z Ú × w−z Ú ×
σ × ÑÔ Ö¸ ÒØÓÒ × ×Ø Ñ ØÓ Ó Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð Ô Ð Ö p0 × ×ØÖ ÙÝ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ
Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ Ú Ò Ð × Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ
Proposici´n 5.6 (Lewis-Denemberg 1991 [23]) ´Aleatoriedad de {kθ})
o
Ë σ = θ2z Ø Ð ÕÙ σ × ÑÔ Öº Ë K Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×¸ Ð Ù Ð ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ó
ÓÒ Ô Ð Ö × w Ø׺ Ë kσ = p1 kθ + p0{kθ} | k ∈ Kº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ ÖÔÖ
Ð Ú × ×Ø ÒØ × k1, k2 ∈ K
σk1 ÑÓ 2w = σk2 ÑÓ 2w ´ º ¼µ
Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ × ÙÒ Ð ¬ ÙÖ ÒØ Ö ÓÖ
k1θ , {k1θ} = k2θ , {k2θ} . ´ º ½µ
p1 p0 p1 p0
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒÙÒ Ö ÕÙ Ô Ö Ð × Ô Ð Ö × Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø Ú × {k1θ} =
{k2θ}º
Demostraci´n
o ×ÙÑ ÑÓ× k1 < k2 Ý × Dk = k2 − k1º Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ð ÔÖÙ
×ØÖ Ò ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ (σk2 ÑÓ 2w) − (σk1 ÑÓ 2w) = σ(k2 − k1) ÑÓ 2w = σDk ÑÓ
2w = 0 ÐÓ Ù Ð Ø Ò × ÒØ Ó ÔÓÖÕÙ Dk = 0 Ý Ð ÑÓ ÙÐÓ Ü Ð ÔÖÓÔ ×ØÖ ÙØ Ú º
Ë Ò σ = i=0 σi2
w−1 i Ý D =
k
w−1
i=0 di2
iº Ð ÔÖÓ Ù ØÓ σDk ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
w−1 w−1
σDk = σi2i × di2i
i=0 i=0
= σ020 + σ12 + · · · + σw−12w−1 × d020 + d121 + · · · + dw−12w−1
1
2w−2 i
= σjdi−j 2i ´ º ¾µ
i=0 j=0
Ë dp Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ Dk ÙÝÓ Ú ÐÓÖ × 1 ×Ø ÑÓ Ó dp−1 =
dp−2 = · · · = d0 = 0º × ÖÒÓ× Ð ÖÓ ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓÖ ÒØ ÖÒ ´ º ¾µ × ÒÙÐ Ô Ö
i < pº ÓÖ Ò¸ Ô Ö i = p
p
σjdp−j = σ0dp ,
j=0
ÔÙ × ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó× Ö ×Ø ÒØ × ×ÓÒ ÒÙÐÓ× Ó ÕÙ dp−j = 0 Ô Ö j < pº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ø
p σDk × 1¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Dk = 0 Ý σk1 ÑÓ 2w = σk ÑÓ 2w Ô Ö ØÓ Ó k = k
2 1 2

477. 5.2. Funciones hash 451
Ð Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐ ÕÙ ØÓ × Ð × Ð Ú × ÔÓ× Ð × w Ø× × ×ØÖ ÙÝ Ò
ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ò Ð Ô Ð Ö p0 = {kθ}º ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ö Ò ÓÐ × ÓÒ × ÒØÖ ÐÓ× z Ø×
Ñ × × Ò ¬ Ø ÚÓ× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò h(k)º
×Ø Ø Ò × Ù ÑÙÝ Ò Ô Ö ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð Ò Ð Ù Ð Ð Ø Ñ ÒÓ M ×
ÙÔÐ º Ñ ×¸ ÒÓ × Ð ÔØ ÖÐ Ô Ð Ö × Ø× ÐÓÒ ØÙ Ö ØÖ Ö º
5.2.5 Dispersi´n de cadenas de caracteres
o
À Ý ÙÒ Ú ×Ø ÒØ × ØÙ ÓÒ × Ò ÕÙ Ð Ò Þ ÓÒ × Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÒ Ò
Ö Ø Ö ×º ׸ Ô٠׸ ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ Ø Ö ×Ó Ö Ð ×Ô Ö× ÓÒ Ò ×¸ Ô ÖØ ÕÙ ¸
ÓÑÓ ÐÓ ÑÔÐ ¬ ÑÓ× Ò Ü º¾º¾ ´Ô Ò µ¸ × Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ô × Ñ
ÙÒ ÓÒ × º Ë ÒÓ × ×ÔÓÒ Ð Ø ÑÔÓ Ý Ò ÑÓ¸ ÒØÓÒ × × ÓÒÚ Ò ÒØ ØÖ Ò× Ö ÔÓÖ Ò
ÓÒÓ × Ý ¬ ÒØ × ÙÒ ÓÒ × × º Ä × × Ù ÒØ × ×ÓÒ ÔÙ Ð × Ý Ù Ò × ÑÔ ÒÓ
½º
½ À× Ö×Ø Ò ½ ≡
size_t berstein_hash(unsigned char * str)
{
size_t hash = 5381;
int c;
while (c = *str++)
hash = ((hash << 5) + hash) + c; /* hash * 33 + c */
return hash;
}
Ä × Ö ÞÓÒ × ×Ó Ö Ð × Ó Ò Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð 5381 Ý Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ó 33 ÙÒ
ÒÓ Ò × Ó × Ù ÖØ ×º
¾º
½ À× Ð × ×Ø Ñ × Ñ ¾ ½ ≡
size_t sdbm_hash(unsigned char * str)
{
size_t hash = 0;
int c;
while (c = *str++)
hash = c + (hash << 6) + (hash << 16) - hash;
return hash;
}
5.2.6 Dispersi´n universal
o
ÈÓÖ ÑÙÝ Ù Ò ÕÙ × ÙÒ ÙÒ ÓÒ ×Ô Ö× ÓÒ¸ ×Ø ÔÙ Ô Ö Ö Ò ÙÒ × Ö
ÓÐ × ÓÒ × Ý¸ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ò Ö Ö × Ö Ñ ÒØ Ð × ÑÔ ÒÓ ÙÒ Ø Ð × º Ä
Ñ Ð ×Ù ÖØ ¸ ÑÔÖÓ Ð Ò Ð Þ Ö Ô ÖÓ ÔÓ× Ð ¸ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ ÔÓ Ö × Ö Ð Ù× ÒØ
ÙÒ × Ö ÓÐ × ÓÒ ×º ËÙÔÓÒ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÕÙ × Ø Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ü ØÓ
Ð ÙÒ ÓÒ × ÕÙ × ÑÔÐ Ò Ð ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÔÐ ÓÒº ÈÙ Ö Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ ×
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ × ÙØ Ð Ô Ö Ò Ö Ö Ò× Ö ÓÒ × ÓÐ Ò ÒØ × ÕÙ Ö Ò Ð × ÑÔ ÒÓº

478. 452 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
ÙÖ Ó× Ñ ÒØ ¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ×ØÙ ÑÓ× ÓÒ Ð ÕÙ ×ÓÖØ ´Ü ¿º¾º¾º ´Ô Ò ½ ¾µµ¸ ÙÒ
ÑÒÖ Ú Ø Ö Ð Ñ Ð ×Ù ÖØ ¸ × ÓÑÓ Ø Ñ Ò Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ñ Ð ¸ × Ñ ÒØ
Ð ØÓÖ Þ ÓÒ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Þ ÕÙ Ú Ð Ö ÕÙ Ð Ñ Ð ×Ù ÖØ × ÓÑ Ø ÓÒ Ð Þ Ö¾½ º
ÍÒ × ÑÔÐ Ñ Ò Ö Ð ØÓÖ Þ Ö × Ù× Ö Ó× ÙÒ ÓÒ × ×Ô Ö× ÓÒ h1(k) Ý h2(k)º
Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ¸ × × Ð ÓÒ Ð Þ Ö ÒØÖ h1 Ý h2 Ð ÙÒ ÓÒ × ÕÙ ×
ÑÔÐ Ö º Ù Ò Ó × Ö ÕÙ Ö Ù× Ö¸ × ÓÑ ÒÞ ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ð × ÙÒ ÓÒ ×º Ë Ð
Ð Ú × Ò Ù ÒØÖ ¸ ÒØÓÒ × ÕÙ ÐÐ × Ð ÙÒ ÓÒ ÓÒ ÕÙ ÔÙ Ó Ö× Ò× ÖØ Ó¾¾ ÐÓ
ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ÔÖÙ ÓÒ Ð ÓØÖ ÙÒ ÓÒº
Ç Ú Ñ ÒØ ×Ø Ø Ò ÒÐ ÒØ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ô ÖÓ ÓÑ Ø Ð ÙÒ Ñ Ð × × Ó Ò Ð
× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ð Ú ×º
Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ Ð ØÓÖ Þ ÓÒ¸ Ò ÐÙ Ö Ù× Ö Ý × Ó Ö × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ó×
Ó Ñ × ÙÒ ÓÒ × ×Ô Ö× ÓÒ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× × Ð ÓÒ Ö ÙÒ Ð Þ Ö Ú Þ ÕÙ Ð Ø Ð ¹
Ú Ò Ú º ×Ø Ø Ø ÒÓ Ö Ò ÐÓ ×ÓÐÙØÓ Ð × ÑÔ ÒÓ Ý ÖÓÑÔ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
Ð ÙÒ × × Ó × ÓÖØÙÒ Ó Ó Ñ Ð Ó×Óº
Ä × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ ×Ø Ð ÙÒ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ ÓÒ ×
×Ô Ö× ÓÒ ÔØ Ð × ¾¿
Definici´n 5.3 (Familia universal de funciones hash) Ë
o H = {h0(k), h2(k), . . . , hW−1(k)}
ÙÒ ÓÐ ÓÒ ÙÒ ÓÒ × ×Ô Ö× ÓÒ × ÙÒ ÓÑ Ò Ó K Ð Ö Ò Ó [0, M)º Ë ÕÙ
H × ÙÒ Ú Ö× Ð × Ý ×ÓÐÓ ×
|{∀hi, hj ∈ H | hi(k1) = hj(k2)}| 1
∀k1, k2 ∈ K =⇒ ≤
|H| M
Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ñ Ü ÑÓ Ô ÖÑ Ø Ó ÓÐ × ÓÒ × ÕÙ ÔÙ Ò Ó ÙÖÖ Ö ÓÒ Ó× Ô Ö ×
Ð Ú × × ÐÓ ×ÙÑÓ H/Mº
À × Ó ÑÓ×ØÖ Ó ÕÙ Ô Ö ÙÒ Ñ Ð ÙÒ Ú Ö× Ð Ö Ò Ð |H| Ð × ÑÔ ÒÓ ×
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ô Ö Ð Ò ØÓ × Ð × ×ØÖ Ø × Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ Ó ¾ º
Á Ù ÐÑ ÒØ ¸ × ÑÓ×ØÖ Ó¾ ÕÙ Ô Ö K = {0, 1, . . . , M − 1} | |K| = L Ý
hi,j(k) = (ik + b) ÑÓ L ÑÓ M , ´ º ¿µ
ÒØÓÒ ×
H = {hi,j(k) | 1 ≤ i ≤ L ∧ 1 ≤ j ≤ L} ´º µ
Ì Ò ÑÓ׸ Ô٠׸ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ×ÔÓÒ Ö L ÙÒ ÓÒ × × Ý Ö Ð Þ Ö Ð ØÓÖ Þ ÓÒº
5.2.7 Dispersi´n perfecta
o
À Ý Ó × ÓÒ × Ò ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ò Þ Ö × ¬Ò ØÓ Ý ÓÒÓ Óº Ò ×Ø ×Ó¸ ×
ÔÓ× Ð × Ò Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ × Ý Ø Ú Ý ÓÑÔÐ Ø ¸ ÓÒ ¬ Ò ÓÑÔÙØÓ O(1)¸
ÕÙ Ñ Ô ØÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÚ× Ð Ö Ò Ó [0, M)º Ð Ø ÑÔÓ ×Ó ×Ø
Ö ÒØ Þ Ó × Ö O(1) Ý ÒÓ × Ö ÕÙ Ö Ñ Ò Ö ÓÐ × ÓÒ × ´Ð ÙÒ ÓÒ × × Ý Ø Ú µº
¾½
Þ Ö ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Þ Ö ÕÙ × Ò ¬ Ó ¸ Ô ÖÓ Ø Ñ Ò ­ÓÖ × º
¾¾
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö h1 (k) = h2 (k)¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ÒÓ × ÔÙ × Ö Ù Ð Ù Ð ÙÒ ÓÒ
Ù× Ô Ö Ò× ÖØ Öº
¾¿
Ä ÓÒÒÓØ ÑÓ× ÔØ Ð × ÔÓÖÕÙ Ð ¬Ò ÓÒ × Ö Ð ÞÓ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ÐÓ× × Ù Ö Ñ ÒØÓ׺
¾
ÈÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× ÓÖÑ Ò¸ Ä × Ö×ÓÒ Ý Ê Ú ×Ø Ó ÃÒÙØ ½ º
¾
ÓÒ×ÙÐØ × Ä Û ×¹ Ò Ò Ö ¾¿ Ô Ö Ø ÐР׺

479. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 453
ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ÓÑÓ Ð × Ö Ø × Ð ÒÓÑ Ò Ô Ö Ø Ý Ü ×Ø Ò Ú Ö ×
Ø Ò × Ý ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÒ×ÙÑ Ó× Ô Ö Ò Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒº
Ë Ò Ð × × ØÙ ÓÒ × Ò ÕÙ × ÓÒÓ ØÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × ×ÓÒ Ó × ÓÒ Ð ×¸ Ø Ñ¹
ÔÓ Ó ×ÓÒ Ü Ô ÓÒ Ð ×º ÓÒ× Ö ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÓÒ Ö Ó Ö Ò × Ö Ö Ó
×Ø Ø Ñ ÒØ Ò ÙÒ Î º Ò ×Ø ×Ó¸ Ú Ð Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ô Ò Ö Ö Ò Ñ ÑÓÖ
ÙÒ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Ø ÕÙ Ñ Ô Ð Ô Ð Ö Ð Ù ÓÒ × Ò Ð Î º
Ò GNU Ü ×Ø ÙÒ Ü Ð ÒØ Ý Ò Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ¸ ÐÐ Ñ Ó gperf ½ ¸ Ô Ö Ò Ö Ö ÙÒ¹
ÓÒ × × Ô Ö Ø × Ù ÐÕÙ Ö Ø ÔÓ Ð Ú º
5.3 Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o
5.3.1 Identificaci´n de cadenas
o
Ë ÙÒ Ð ÓÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ×Ô Ö× ÓÒ¸ ×Ø ÔÙ ÙØ Ð Þ Ö× ¸ ÓÒ ÔÖÓ Ð
Ø ÒÓ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ð ÙÒ ÓÒ × ¸ Ô Ö Ö ÓÒÓ Ö ÙÒ ×Ù ¹× Ù Ò ÒØÖÓ
ÓØÖ º Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÕÙ Ô Ö Ó× × Ù Ò × s1 = s2 Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ
h(s1) = h(s2) × ×Ø ÒØ × Ð ÙÒ ÓÒ × × Ù Ò º
×Ø × Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð ÓÖ ØÑÓ× Ù×ÕÙ Ô ØÖÓÒ × Ò×Ô Ö Ó× Ò ÙÒ Ð Ö
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐ Ñ Ó Ê Ò¹Ã ÖÔ ½ ¸ Ò ÓÒÓÖ Ð × ÔÖ Ñ Ö × Ô Ö×ÓÒ × ÕÙ ÐÓ ×¹
Ù Ö ÖÓÒº Ù ÓÖ Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ Ó Ô Ö Ð Ù×ÕÙ ×Ù ¹ Ò × Ö Ø Ö ×º
Ä × Ð ÙÐ Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ù ÐÐ Ø Ð Ö ´¬Ò ÖÔÖ Òص Ò Ð × Ù ÒØ ÓÒØ ÜØÓ
Ð ÓÖ ØÑ Ó C»C++
¿ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ó Ê Ò¹Ã ÖÔ ¿ ≡
int rabin_karp_search(char * str, char * sub)
{ // guardar longitudes de las cadenas involucradas
const size_t m = strlen(sub);
const size_t n = strlen(str);
Ð ÙÐ Ö Ò Ô ×Ù Ý Ô ÙÖÖ Ù ÐÐ × Ø Ð Ö × ×Ù Ý ×ØÖ ¼
ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ø Ù ÐÐ ØÐ Ö
// recorrer la cadena str en b´squeda de la sub-cadena sub
u
for (int i = 0; i < n - m + 1; ++i)
{
if (fp_sub == fp_curr) // ¿coinciden las huellas digitales?
{ // s´ ==> verificar si &str[i] se corresponde con la sub-cadena
ı
for (char * aux = str[i], int k = 0; k < m; ++k)
if (aux[k} != sub[k])
break; // falso positivo
return i; // str[i] contiene la cadena
}
Ð ÙÐ Ö Ù ÐÐ Ø Ð Ö Ô ÙÖÖ Ô Ö ×ØÖ ·½
}
return -1; // sub-cadena no se encuentra
}
ÓÑÓ Ú ÑÓ׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ × ÑÔÐ Ý ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð Ù×ÕÙ Ò
ÖÙØÓ Ð ×Ù ¹ Ò ¸ Ð Ù Ð × O(n × m)º ×ØÓ × ×ÔÖ Ò Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ô Ö ÕÙ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ê Ò¹Ã ÖÔ Ú Ð Ð Ô Ò Ö ×Ô ØÓ Ð Ù ÖÞ ÖÙØ × Ò ÙÑÔÐ Ö
Ó× Ó× ×

480. 454 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
½º Ð Ð ÙÐÓ Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ù ÐÐ Ø Ð Ö Ô ÙÖÖ Ô Ö ×ØÖ ·½
× Ö Ö Ô Ó¸ O(1)¸ ÔÖ Ö Ð Ñ ÒØ º
¾º Ä ÒØ Ð×Ó× ÔÓ× Ø ÚÓ× × Ö Ô ÕÙ Ò ¸ ÔÙ × ×Ù Ó ÙÖÖ Ò ÖÖ Óѹ
Ô Ö Ö ÐÓ× m Ö Ø Ö × Ð ×Ù ¹ Ò º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ò Ð Ñ Ò ÕÙ ×
Ø Ø Ò Ñ × Ð×Ó× ÔÓ× Ø ÚÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ê Ò¹Ã ÖÔ Ø Ò Ö O(n × m)
× Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ Ñ ÒÓ× Ð×Ó× ÔÓ× Ø ÚÓ× Ö Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ O(n)º
Ð Ð ÙÐÓ Ð Ù ÐÐ Ø Ð Ö ÒÓ × ÓØÖ Ó× ÕÙ ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ¬Ò ¸ ×Ó Ö
ÙÒ Ò Ö Ø Ö × Ò Ö ×ØÖ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
| ×ØÖ |−1
h(×ØÖ) = ×ØÖi ×B| ×ØÖ |−1−i ÑÓ M ; ´º µ
i=0
ÓÒ B ×Ð× Ð × ×Ø Ñ Ó ¬ ÓÒ ´Ö ܵ ÙÒ × Ñ ÓÐÓ Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ
Ò Ö Ø Ö × Ý ×ØÖi × Ð i¹ × ÑÓ × Ñ ÓÐÓ Ð × Ù Ò ×ØÖº
× Ñ Ò ×Ø Ö Ö ÓÖ Ö Ü º¾º º½ ´Ô Ò µ Ð ÔÖÓÔ ×ØÖ ÙØ Ú ÕÙ ÒÓ× Ò
ÕÙ Ð Ö ×ØÓ Ð ×ÙÑ × Ù Ð Ð Ö ×ØÓ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ö ×ØÓ× ¾ Ó ×
(i + k) ÑÓ M = (i ÑÓ M) + (k ÑÓ M) ÑÓ M . ´º µ
Ä ÔÖÓÔ ×ØÖ ÙØ Ú Ð ÑÓ ÙÐÓ Ø Ñ Ò × ÔÐ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ × Ö
(ik) ÑÓ M = (i ÑÓ M)(k ÑÓ M) ÑÓ M . ´º µ
ÔÖ Ò Ö Ð Ö Ø Ö ×ØÖ ÙØ ÚÓ Ð ÑÓ ÙÐÓ ÒÓ× × ÑÙÝ ÙØ Ð ÔÓÖÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ð ÙÐ Ö
´ º µ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÓ× ÑÓ ÙÐÓ×
| ×ØÖ |−1
h(×ØÖ) = ×ØÖi ×B| ×ØÖ |−1−i ÑÓ M ÑÓ M
i=0
| ×ØÖ |−1
= (×ØÖi ÑÓ M) B| ×ØÖ |−1−i ÑÓ M ÑÓ M ÑÓ M
i=0
| ×ØÖ |−1
= (×ØÖi ÑÓ M) (B| ×ØÖ |−1−i ÑÓ M) ÑÓ M ÑÓ M ÑÓ M;
i=0
´ º µ
ÐÓ Ù Ð × ×ÙÑ Ñ ÒØ Ö Ò Ó×Ó¸ ÔÙ × ÒÓ× Ú Ø ÔÖ Ó ÙÔ ÖÒÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÒØÙ Ð × ÓÖ
ÒÙÑ Ö Ó Ð × ×ÙÑ × Ý ÔÓØ Ò ×º
Ê Ò Ý Ã ÖÔ ½ ÑÙ ×ØÖ Ò ÓÑÓ h(×ØÖ) ×Ô Ö× ÑÙÝ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ð Ú ÐÓÖ M
× × Ð ÓÒ ÓÑÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÔÖ ÑÓº
ÓÒ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ´ º µ¸ ÔÓ ÑÓ× Ó ¬ Ö Ð ÐÓÕÙ Ò Ð
Ð ÙÐ Ö Ò Ô ×Ù Ý Ô ÙÖÖ Ù ÐÐ × Ø Ð Ö × ×Ù Ý ×ØÖ ¼ ≡ ´ ¿µ
const size_t radix = 256; // radix de un s´mbolo
ı
size_t fp_sub = 0;
size_t fp_curr = 0;
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
fp_sub = (radix*fp_sub + sub[i]) % M;
fp_sub = (radix*fp_curr + str[i]) % M;
}
¾
Î × Ø Ñ Ò ´ º µ Ý Ð ÒÓØ Ô Ð Ô Ò º

481. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 455
Ð ÐÓÕÙ ØÓÑ O(m)º Ä Ù ÐÐ Ø Ð Ö pf sub ×ÓÐÓ × Ð ÙÐ ÙÒ Ú Þ¸ Ô ÖÓ Ð Ð
×Ù ¹ Ò ×ØÖ Ò Ð ÔÓ× ÓÒ i Ð ÙÐ Ö× n − i Ú ×º Ë Ù× Ö ÑÓ× Ð Ñ ×ÑÓ
ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ô Ö Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ò Ô ×Ù Ý Ô ÙÖÖ Ù ÐÐ × Ø Ð Ö × ×Ù Ý
×ØÖ ¼ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ê Ò¹Ã ÖÔ × Ö O(n × m) ÓÒ ÙÒ Ó×Ø ÓÒ×Ø ÒØ
Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÖÞ ÖÙØ º Ð ØÖÙ Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö × Ò ÕÙ Ð Ù ÐÐ ØÐ
Ô Ö Ð ×Ù ¹ Ò ×ØÖi+1 ÐÓÒ ØÙ m¸ ÕÙ Ö ×ÙÑ Ö ÑÓ× ÓÑÓ h(×ØÖi+1)¸ ÔÙ Ð ÙÐ Ö×
Ò Ø ÑÔÓ Ò Ô Ò ÒØ m Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ Ú Ó h(×ØÖi) ØÓ Ó ÐÓ ÕÙ ÑÓ×
Ö × Ö ×Ø ÖÐ h(×ØÖi+1) Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÙÑ Ò Ó h(×ØÖi)¸ ÔÙ × ×Ø Ý ÒÓ × Ô ÖØ
Ð Ù ÐÐ Ø Ð¸ Ý Ò ÖÐ Ð ÒÙ ÚÓ ×ÙÑ Ò Ó Ô Ö ×ØÖi+1º ×ØÓ × Ù ÓÑÔÙØ Ö
h(×ØÖi+1) × ÙÒ
h(×ØÖi+1) = B h(stri) + ×ØÖi+m − Bm ×ØÖi ÑÓ M ; ´º µ
×Ø Ø Ò × ÐÐ Ñ ×Ô Ö× ÓÒ ÒÖÓÐÐ ´ × ÖÓÐÐ µº Ó ×ØÓ× Ø ÖÑ ÒÓ׸ Ð
Ú ÐÓÖ fp curr Ô Ö Ð i¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ × Ð ÙÐ ×
Ð ÙÐ Ö Ù ÐÐ Ø Ð Ö Ô ÙÖÖ Ô Ö ×ØÖ ·½ ≡ ´ ¿µ
fp_curr = (radix*(fp_curr - str[i]*fact) + str[i + m]) % M;
ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ø Ù ÐÐ ØÐ Ö ≡ ´ ¿µ
const size_t fact = (size_t) pow(radix, m - 1); // radix^(m-1)
Ð Ñ ØÓ Ó Ù ÐÐ Ø Ð Ö × ÔÐ ÙÒ ÑÔÐ ÒØ × ØÙ ÓÒ ×º Ò
ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÙ Ö× Ñ × Ò Ö Ð Ô Ö Ö ÓÒÓ Ö Ô ØÖÓÒ × Ó ØÖ ¹
Ñ Ò× ÓÒ Ð × × ÐÓ× Ó ØÓ× Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ó ×Ô Ó × ÓÒ× Ö Ò ÓÑÓ Ñ ØÖ × Ó ÖÖ ÐÓ×
ØÖ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×¸ ÐÓ× Ù Ð ×¸ Ð ¬Ò Ù ÒØ ×¸ Ô Ö Ò Ò × Ù Ò ×º
ÍÒ Ò Ò ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ×Ù ¹× Ù Ò Ù× Ö ÒÓ
Ò ÙÖ ÒØ Ð ÖÖ Ó Ð × Ù Ò Ò Ð ÕÙ × Ù× ×ØÓ ÓÒØÖ ×Ø ÓÒ ÓØÖÓ×
Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ × ÒÐ ÒØ Ò Ñ ÕÙ Ð × Ù Ò Ù× Ö × Ñ ÝÓÖ ÐÓÒ ØÙ º
Ð Ú ÐÓÖ M ÔÙ × Ð ÓÒ Ö× Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ÙÒ ÔÓØ Ø Ó
Ú Ö× Ö Ó ÒÓ ÔÙ Ø Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÐÓ Ò Ó ÓÑÓ ÙÒ ÒØÖ ÙÒ × Ù Ò
Ù× Ö ÕÙ Ù× ÑÙ × ÓÐ × ÓÒ ×º
ÓÑÔ ÖØ Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ × ÙÒ ÓÒ ÓÒ × Ò Ð Ô Ö × Ö × Ö ÙÑ ÒÓº
È ÖÓ Ù Ö× Ð Ñ Ö ØÓ ÓØÖÓ ÒÓ ×ÓÐÓ ÔÙ ÖÖ Ö ÜÔÐÓØ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÑÓ¸ × ÒÓ ÕÙ
Ú ÓÒØÖ Ð × Ò Ð Ú Ò ÓÑÙÒ º Ð Ù Ö× Ð× Ñ ÒØ ÙÒ × Ù Ö Ñ ÒØÓ
×Ò ÖÐÓ Ó × Ð ÒÓÑ Ò ÔÐ Ó º Ò Ð × Ù Ö Ñ ÒØÓ ×¸ × ÓÑÓ Ò
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ó Ö Ö¸ × ÔÙ ÔÐ Öº È Ö ÐÓ × Ö ØÓ¸ Ý Ò Ò Ö Ð Ô Ö ØÓ ÔÖÓ Ù ÓÒ
Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò ¸ ÔÙ ÑÓ ¬ Ö× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ê Ò¹Ã ÖÔ Ô Ö
Ú Ö ¬ Ö ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ × Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÓÑ Ø Ó Ð ÙÒ ÔÐ Óº Ò ×Ø ×Ó¸ ×
× Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ÕÙ ÑÓ Ð Ð × Ù Ò ×Ó×Ô Ó× ÔÐ Óº
5.3.2 Supertraza
Ä ÓÑÔÙØ ÓÒ ×Ø ÐÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ Ñ Ò Ò ÓÒ ÙÒØÓ× ØÓ× ÑÙÝ Ö Ò ×
ÑÙ Ó× ÐÐÓ× ÒØÖ Ø Ð × Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð ÒØ ØÓ× × ÜÔÓÒ Ò Ðº
À Ý Ó × ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × ÙÒ ØÓ Ó Ö ×ÙÐØ Ó Ù Ö Ö× ØÓ× ÒÓ Ö Ô Ø Ö ×Ù
Ð ÙÐÓ Ý¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ ÒÓ Ö Ô Ø Ö ÐÓ× ØÓ× ÕÙ ×Ù Ò Ð Ö Ò × Ù ÖØÓº
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ × Ù Ò ÒÖ ØÓ× < d1 −→ d2 −→ d3 −→ · · · −→ dn >
Ø Ð ÕÙ d2 Ô Ò Ð Ð ÙÐÓ d1 Ý × × Ù Ò Ð Ý Ò Ö Ñ ÒØ Ô Ö ØÓ Ó ØÓ di+1¸

482. 456 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ð ÙÐ Ö diº Ä ÙÖ Ö ØÓ di Ò ÙÒ Ø Ð × × ÕÙ ¸ × ÙÒ
Ð Ò ÓÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ Ð Ð ÙÐÓ ÙÒ ØÓ di Ô Ö Þ Ö Ô Ø Ó × ×Ø
× Ð ×Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ð ÙÐÓ ØÓ Ð × Ù Ò ×Ù ¹× Ù ÒØ di ´di+1 −→ di+1 −→
· · · −→ di+k >µ × Ö Ô Ø ÒÙ ÚÓº
ÌÓÑ ÑÓ× ÓÑÓ ÑÔÐÓ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ù ÖÞ ÖÙØ × Ù Ö Ñ Ò Ö × ÓÐÓ Ö
n Ö Ò × Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ Ö Þ × Ò ÕÙ ×Ø × × Ñ Ò Òº × Ö¸ ÓÑ ÒÞ ÑÓ× ÔÓÖ
ÓÐÓ Ö ÙÒ Ö Ò Ò Ð × ÕÙ a1 Ý ÔÖÓ× Ù ÑÓ× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÐÓ Ö Ð × Ù ÒØ Ò
Ð × ÙÒ × ÕÙ × b × Ò ÕÙ ×Ø Ñ Ò a1º ÓÑ ÒÞ Ò Ó ÔÓÖ b1 Ú ÑÓ× ÕÙ
Ð Ö Ò Ñ Ò Þ Ð ÔÙ ×Ø Ò a1 ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ × Ð ÓÐÓ ÑÓ× Ò b2º ×Ø × Ó×
ÓÑ Ò ÓÒ ×¸ ÕÙ ¬Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÓÒ Ù Ò Ð ×ÓÐÙ ÓÒ¸ ×ÓÒ ÓÒÚ Ò ÒØ × Ù Ö ÖÐ ×
ØÓ× ÕÙ ¸ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ n × n × ÕÙ × ÒÓ Ö Ô Ø ÑÓ× Ð Ð ÙÐÓ Ò Ú ÒÓº È Ö
ÐÐÓ¸ Ð × Ù Ò ÜÔÐÓÖ × Ù Ö Ò ÙÒ Ø Ð º
ÙÒÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× × Ò Ò × ÙÒ Ø Ð ¸ ×Ø ÐÙ×ØÖ
Ó× ×Ô ØÓ× ÒØ Ö × ´½µ Ð Ù Ö Ö ×Ø Ó Ð ÙÐÓ Ô Ö Ú Ø Ö Ö Ô Ø ÓÒ Ý
´¾µ Ð Ó ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ ÙÑ ÒØ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð Ø Ð ÖÓ Ý Ð ÒØ Ö Ò×
ÙÑ ÒØ Ð ÒØ ×Ø Ó׺ È Ö ÙÒ Ø Ð ÖÓ Ñ Ò× ÓÒ n ÑÙÝ Ö Ò ¸ Ð ÒØ
×Ø Ó× ÔÙ × Ö Ò ÓÖ Ð º
Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö Ó× Ò Ñ Ó× ×Ø Ó¸ × × Ù Ö Ó ÙÒ ÑÙÝ
ÒØ Ö × ÒØ Ø Ò ÐÐ Ñ ×ÙÔ ÖØÖ Þ ½ º Ò ÐÙ Ö Ù Ö Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ×Ø Ó
Ð ÙÐÓ¸ × × Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ ×Ô Ö× ÓÒ Ý × Ñ Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ø× ×Ù Ô Ö ÓÒº
×Ø Ñ Ö ÙÑ ÒØ ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ô ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ¸ ÔÙ × ×ÓÐÓ ×
Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ø ÔÓÖ ×Ø Ó¸ ÐÓ ÕÙ ÙÑ ÒØ Ð Ô ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð × Ð Ð ÔÖÓ¹
Ð Ñ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ Ý Ñ Ò Ö Ø ÖÑ Ò ×Ø × Ö × ÙÒ × ÐÑ Ò Ó Ò Ð
Ø Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ×Ø Ó ØÙ Ð Ð ÙÐÓ Ó × ØÖ Ø ÓØÖÓ ×Ø Ó ÕÙ Ù× ÓÐ × ÓÒº
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ × ÑÔÓ× Ð Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ø Ó× × Ù Ö Òº
ÁÑÔÓ× Ð Ò Ö ÒØ Þ Ö ÒÓ Ü ÐÙÝ ×Ù ÔÖÓ Ð º Ä Ò ÖØ ÙÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ×
Ø ÙØ Ò Ó Ð Ø Ò ÓÒ ×Ø ÒØ × ÙÒ ÓÒ × × Ñ Ò Ö Ó Ö Ö ÙÒ Ù Ò
ÜÔ Ø Ø Ú Ù Ö Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ø Ó× ÔÓ× Ð ×º
5.3.3 Cache (el TAD Hash Cache<Key,Data> )
ÍÒÓ ÐÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × Ù×Ó× Ð × Ø Ð × ×Ô Ö× ÓÒ × Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ ×º
ÍÒ × ÙÒ Ø Ð ×Ó Ø Ú ¸ ¬Ò Ø Ô ÖÓ ×Ó Ö Ô Ó¸ ÕÙ × ÓÐÓ ÒØÖ ÙÒ
ÔÖÓ Ö Ñ Ý ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ׺ È Ö ÕÙ × Ö ÓÑÔ Ò× Ð ÙØ Ð Þ ÓÒ ÙÒ ¸ ×Ø
× Ö ÑÙ Ó Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ Ð × ÑÔÐ ×Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ׺ È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ð
×ÙÒØÓ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Programa Medio contentivo
a Cache a de datos
velocidad velocidad a velocidad
Vc Vd
Vp

483. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 457
Ò ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ ¸ Ð ÔÖÓ Ö Ñ × ÙØ ÙÒ Ú ÐÓ vp Ý ØÓ×
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ ÓÔ Ö Ú ÐÓ vdº Ð ¸ ÓÔ Ö Ú ÐÓ vc | vp < vc < vdº
×Ø ÑÓ Ó¸ Ù Ò Ó × × Ù× Ö ÙÒ ØÓ¸ × Ö Ú × ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ý¸ × × Ò Ù Ò¹
ØÖ ¸ ÒØÓÒ × × Ö ÙÔ Ö Ð ØÓ × Ò Ò × Ô Ö Ð Ó×Ø ÕÙ ÖÖ ÖÐÓ
Ú ÐÓ vdº Ä × ×Ù×Ø ÒØ Ò Ð Ö Ð ¼¹¾¼ Ñ Ò ÓÒ Ò Ü ¿º º½ ´Ô Ò ¾¾ µº
Ä ÔÐ Ö ÔÖÓÚ Ò Ð Ú Ö Ó ÐÓ Ö ÕÙ × Ò ¬ × ÓÒ Ö Ý ÐÓ
ÐÙ× ÓÒ ÔÓÖÕÙ Ú × ×Ø × Ñ Ò ØÖ ×Ô Ö ÒØ Ñ ÒØ × Ö¸ Ð ÔÖÓ Ö Ñ
ÐÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ñ Ó ×Ô Ö Ó × Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ö
Ð Ü ×Ø Ò Ð ×Ø × Ð × ØÙ ÓÒ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ö Û Ö º ÄÓ× Ö Ò × ×
Ø Ñ Ò Ð ÐÐ Ñ Ò ÒØ ¹Ñ ÑÓÖ ´ ÒØ Ñ ÑÓ Ö µ¸ ×Ó Ö ØÓ Ó Ô Ö Ð Ö Û Ö º
À Ý ÙÒ Ú ×Ø ÒØ Ö ÙÒ×Ø Ò × Ò ÕÙ Ð Ù×Ó ÙÒ Ð ÖÒ
ÒØÖ ÙÒ ÑÙÝ ÐØÓ Ý ÔÓ Ö × ÑÔ ÒÓº Ä × ØÙ ÓÒ × Ø Ô × × ÔÙ Ò Ö ×ÙÑ Ö ÓÑÓ
× Ù
Medio de almacenamiento de datos distinto a memoria principal: ÐÓ× Ò Ú Ð ×
ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ¸ Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ú ÐÓ Ý Ö ÒØ Ð Ô ¸
ÔÙ Ò Ð × ¬ Ö× ÓÑÓ
½º Å ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº
¾º Å ÑÓÖ × ÙÒ Ö ´ × Ó× ÙÖÓ×µº
¿º Å ÑÓÖ Ø Ö Ö ´ ¹ÊÇŸ Î ¸ Ñ ÑÓÖ × ­ × ¸ ÒØ ×µº
º Å ÑÓÖ Ö ÑÓØ ´ ×ÔÓÒ Ð ÔÓÖ Ö µº
Ù Ò Ó ÐÓ× ØÓ× ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ò Ú Ð Ñ ÑÓÖ
Ñ × Ð ÒØÓ ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð¸ ÒØÓÒ × ÙÒ ÒØÖ Ð Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð Ý
Ð Ñ Ó ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ ÔÙ Ð Ö Ö ×Ù×Ø Ò ÐÑ ÒØ Ð Ù ÓÒº
Estructuras de datos est´ticas: ÔÓÖ Ö ÞÓÒ ×
a Ú Ö× Ò ÓÐ ¸ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ Ý
ÕÙ ÑÔÐ Ö ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÕÙ ÒÓ × Ù ÖØÓ ×Ø ÐÓ Ö Ù¹
Ô Ö ÓÒº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ñ ÒØ Ò ÑÓ× Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÙÒ ÓÒ¹
ÙÒØÓ Ö ×ØÖÓ׺ Ð Ö ÓÐ × Ò Þ ÔÓÖ Ð ÙÒ Ð Ú ÔÖ Ò Ô Ð ÒÙÑ Ö ÔÓÖ Ò×¹
Ø Ò ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÙÐ ¸ ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÙÒ Ö ÙÔ Ö ÓÒ ×Ô Ö O(Ð (n))
Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö ×ØÖÓº
ÓÒ Ñ ÒÓ× Ö Ù Ò × Ö ÕÙ Ö Ö ÙÔ Ö Ö ÔÓÖ Ð ÙÒ Ð Ú Ð Ø × ÙÒ Ö
ÙÒ Ô ÐÐ Ó¸ ÓÑÓ Ð × Ó ÖÕÙ Ø ÔÓº Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÙ × Ö ÑÙÝ Ó×ØÓ×Ó¸ Ý ÔÖÓ Ð ¹
Ñ ÒØ ÒÒ × Ö Ó¸ Ò Þ Ö Ñ ÒØ ÙÒ × ÙÒ Ó Ö ÓÐ Ò Ö Óº Ò ×Ù ÐÙ Ö¸ ÔÓ ÑÓ×
Ù Ö Ö Ò ÙÒ ¸ Ò Þ Ó ÔÓÖ Ô ÐÐ Ó¸ ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ ÓÒ×Ùй
Ø Ó׸ × Ò ÔÓÖ ÙÐ Ó ÔÓÖ Ô ÐÐ Ó¸ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÒÓ× ÓÖÖ ÑÓ×
ÙÒ Ù×ÕÙ × Ù Ò Ð ×Ó Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú ×º
C´lculos que puedan repetirse: Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ ×¸ × Ö ÕÙ Ö Ò Ö Ð Þ Ö Ð ÙÐÓ×
a
ÓÑÔÐ Ó× ×Ù× ÔØ Ð × Ö Ô Ø Ö× º Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ù Ö Ö Ò ÙÒ Ð
× Ù Ò ÓÖ Ò Ö Ð Ð ÙÐÓ Ý ×Ù Ö ×ÙÐØ Óº ×Ø ÑÓ Ó¸ × Ð Ò Ñ Ð
ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÕÙ Ö ÒÙ ÚÓ Ð Ð ÙÐÓ¸ ×Ø Ý × Ò Ù ÒØÖ ×ÔÓÒ Ð º
Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ ×Ù Ð Ù× Ö× Ô ÖØ Ð × Ù Ò ÓÖ Ò Ö Ð ÙÐÓ ÓÑÓ Ð Ú
ÙÒ ÙÒ ÓÒ ×Ô Ö× ÓÒº

484. 458 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ä ÑÔ×ÓÒ ¾½ ÙÒ Ü Ð ÒØ ÜÔÓ× ÓÒ Ð Ö ×Ô ØÓ × Ð Ô Ö×Ô Ø Ú Ð × ÒÓ
× ×Ø Ñ ×º
ÍÒ Ö Ø Ö ×Ø ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ × ÕÙ × ¬Ò ØÓ × Ö¸ Ø Ò ÙÒ
Ô Ñ Ü Ñ ¸ ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ó ØÓ Ð ×Ø ÓÒº
Ù Ò Ó × Ö ÕÙ Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ ØÓ Ò ÙÒ ÐÐ ÒÓ¸ ÒØÓÒ × Ý ÕÙ × Ð ÓÒ Ö ÙÒÓ
×Ù× ØÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ý ×Ù ×Ø ØÙ ÖÐÓ ÔÓÖ Ð ÒÙ ÚÓº Ù Ð × Ð ÓÒ Ö× Ë × Ó ÑÓ×
ÙÒ ØÓ ÕÙ × Ö Ö Ö Ò Ó Ò ÙÒ ÙØÙÖÓ Ö ÒÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð ØÓ
× Ó¸ Ô Ö ÑÓ× Ð ÓÒ Ð º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð ÐÓ Ð Ö Ö Ò ×Ù Ö
× Ð ÓÒ Ö Ð ØÓ Ñ × ÒØ ÙÓº
ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ð × × Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÓÒ Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ
Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº × Ò ÐÑ ÒØ ÔÓÖ ÙÒ Ö ÞÓÒ × Ò ÔÖÓÑ Ó Ð ×ÕÙ Ñ Ö Ù¹
Ô Ö ÓÒ Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ × ÓÒÓ º ÍÒ × ÙÒ ÝÙ Ð × ÑÔ ÒÓ¸ Ô ÖÓ ×Ù ÓÒ
ÔÒ Ð Ô ØÖÓÒ ×Óº ÆÓ ×¸ Ô٠׸ Ö Ø Ó Ð Ø Ò Ö ÙÒ × ÑÔ ÒÓ Ö ÒØ Þ Ó¸ ÔÙ ×
× ×Ø Ù × Ð ×Ó¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ö ÑÓ× Ù× Ö ÙÒ º Ò Ò ÙÖ ¸ Ð ÙÒ ÓÒ
× ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ô ÖØ ÐÓ ÕÙ × ÔÖ Ø Ò Ù Ö Öº ÓÑÓ ÑÔÐÓ× Ø Ò ÑÓ×
ÐÓ× Ù×Ó× × Ö ØÓ× Ò Ð × Ó× ×Ù ¹× ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × Ý Ð ×Ô Ö× Ö Ð ÙÐÓ× ÕÙ ÔÙ Ò
Ö Ô Ø Ö× º
ALEPH ÓÒØ Ò ÙÒ Ì ¸ ÐÐ Ñ Ó Hash Cache<Key,Data> ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ ×Ø
ÓÒØ Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ × ºÀ
ØÔÐ × ºÀ ≡
template <typename Key, typename Data, class Cmp = Aleph::equal_to<Key> >
class Hash_Cache
{
ÒØÖ Hash Cache<Key,Data>
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾
};
¬Ò ×
Hash Cache¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò º
Hash Cache<Key,Data> ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ò Þ Ó ÔÓÖ Ð Ú × Ø ÔÓ Key¸ ÕÙ
Ù Ö ØÓ× Ø ÔÓ Data Ý ÕÙ ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ó Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ð × º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÙÒ ×Ø ×Ø Ò Ó × Ö ¬Ò ØÓ Ý ÐÓ Ñ × Ö Ô Ó ÔÓ× Ð ¸ Ð Ù×Ó ÙÒ
Ø Ð × Ð Ò Ð ÒÓ Ô Ö ÓÒ× Ð º À ×Ø ÓØ ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö
Ò ÓÕÙ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ´Ý ×Ù× Ø ÔÓ× Ö Ð ÓÒ Ó×µ ÔÙ Ù× Ö× ÓÑÓ ØÖ × ÓÒ Ó
ÑÔÐ ÒØ ÓÒº ÈÓÖ ×Ù × ÑÔÐ ¸ Ù× Ö ÑÓ× Ð Ø ÔÓ LhashTable<Key>
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> ≡ ´ µ
LhashTable<Key, Cmp> hash_table;
Í× × LhashTable ¼ º
×ØÓ ÑÔÐ ¬Ò Ö ÙÒ Ð × Ù Ø ¸Ð Ù Ð× ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> ≡ ´ µ
class Cache_Entry : public LhashTable<Key, Cmp>::Bucket
{
Data data;
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data>
}; // fin class Cache_Entry
¬Ò ×

485. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 459
Cache Entry¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò ¾ß º
Í× × LhashTable ¼ º
Ð Ó × ÖÚ ÓÖ Ð Ð Ú × Ö LhashTable<Key, Cmp>::Bucket¸ Ý Ð Ð ØÓ
× ¬Ò ÓÑÓ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> ≡ ´ µ
Data & get_data() { return data; }
È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ò Ð × Ð Ñ × ÒØ ÙÓ¸ Ð ×
Ù Ø × Ð Ø Ð × × ÓÖ Ò Ò Ò ÙÒ ÓÐ × Ð ÒØÖ Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ ¹
×Ø Ð Ñ ÒÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Ù× º Ò ÐÙ Ö Ù× Ö ÙÒ ÓÐ × Ô Ö ¸ ¬Ò ÑÓ×
Ð × Ù ÒØ ØÖ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ Ð ÒØÖ Ð
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> ≡ ´ µ
Dlink dlink_lru; // enlace a la cola lru
¬Ò ×
dlink lru¸ Ù× Ò ÙÒ º
Ë Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÑÔÓ dlink lru¸ ÒØÓÒ × Ð × Ù ÒØ Ñ ÖÓ Dlink
´Ü ¾º º ´Ô Ò ¿µµ Ò Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÓÒÚ Ö× ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ
LINKNAME_TO_TYPE(Cache_Entry, dlink_lru);
Í× × Cache Entry ¸ dlink lru ¸ Ò LINKNAME TO TYPE ¿º
Ý ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ØÖ ÙØÓ dlink lru × Ó Ø Ò Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ
Dlink* link_lru() { return &dlink_lru; }
Í× × dlink lru º
ÄÊÍ × ÖÓÒ ÑÓ Ò Ð × Ð ×Ø Ö ÒØÐÝ Ù× ¸ Ù Ð Ð Ø Ö ÐÑ ÒØ × Ò ¬
Ñ ÒÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó º Ò ÒÙ ×ØÖÓ × ÙÖ×Ó ×Ø ÐÐ ÒÓ ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ð Ö ×
Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ Ó º dlink lru × ÙÒ Ó Ð ÒÐ ÒØÖÓ ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ Ö ÙÐ Ö¸ ÙÝÓ ×Ø Ó × Ñ ÒØ Ò × Ð Ó ØÓ Hash Cache<Key,Data>
Ñ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¼
Dlink lru_list; // cabecera de la lista lru
size_t num_lru; // n´mero de elementos en lista lru
u
¬Ò ×
lru list¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾¸ ¿¸ Ò º
ÈÓÖ Ñ × ÒØ Ù ÕÙ ÔÙ × Ö ÙÒ ÒØÖ Ò Ð ¸ Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × ×
Ö ÕÙ Ö ÕÙ ×Ø ÒÓ × ×Ù ×Ø ØÙÝ Ù Ò Ó Ð ×Ø ÐÐ ÒÓ Ò Ö × ÙÒ ÒÙ Ú ÒØÖ º
×Ø Ø ÔÓ ÒØÖ × Ñ Ö ÓÑÓ ØÖ Ò ´lockedµ Ý × ÒØ ¬ Ñ ÒØ Ð
× Ù ÒØ ØÖ ÙØÓ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ
bool locked; // indica si la entrada est´ trancada
a
Ù Ò Ó Ó Ø Ò ÑÓ× Ð ÒØÖ Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ ¸ Ò × Ø ÑÓ× × Ö × ×Ø Ó
ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ð Ø Ð × º È Ö ÐÐÓ¸ Ñ ÒØ Ò ÑÓ× ÙÒ ØÖ ÙØÓ ÕÙ Ò ×Ø ×Ø Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¼
bool is_in_hash_table; // indica si la entrada est´ contenida dentro de
a
// la tabla hash

486. 460 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× Cache Entry ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð × Ù ÒØ ×ØÖÙ ØÙÖ Ô ØÓÖ
key
dlink de hash
data
locked
is in hash table
dlink inside
dlink lru
ËÓÒ ØÖ × Ó Ð × ÒÐ × Ð Ð Ù Ø Ð Ø Ð × ´dlink × µ¸ dlink lru ÕÙ
× Ð Ð ÓÐ ÓÖ Ò ÔÓÖ Ø ÑÔÓ ×Ó Ý dlink inside ÕÙ × Ð Ð Ð ×Ø
Ù Ø × ÕÙ ×Ø Ò ÒØÖÓ Ð Ø Ð × º
×Ø ÐØÙÖ Ð ÜÔÐ ÓÒ ÕÙ Þ Ð Ù Ò Ý Ý ÔÐ ÒØ Ó ÓÑÓ Ó ÓÒ Ð Ù× Ö Ð
Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ò ÐÙ Ö ÙÒ Ò ÓÕÙ ÖÖ Óº Ë ÙØ Ð Þ × ÑÓ× Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸
ÒØÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ð × ÒØÖ × × ÔÙ Ò ÑÓÚ Ö Ý ÐÐÓ ÑÔ ÕÙ
ÓØÖ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ ÔÙÒØ ÙÒ Ó ØÓ Cache Entryº ÓÒ Ð ×ÓÒ Ó ÔÓÖ Ó Ð ×
Ø Ò ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ö ÕÙ ¬Ò Ö Ó× ÙÒ ÓÒ × × Ý ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × Ø ÑÔÓ
×Ø Öº
× Ô٠׸ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ì Hash Cache<Key,Data> ÒÓ Ô ÖØ Ò Ð Ö Ñ ÑÓÖ
Ô Ö Ò Ò ÙÒ ÒØÖ cache entry ×Ø × × Ô ÖØ Ò Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÒØ ÙÓ Ò Ø ÑÔÓ
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒº ×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÖÓÚ ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ Ó Ð ÓÑÔÙØ ÓÖ Ý ÒÓ ×Ô Ö ¹
ÑÓ× Ø ÑÔÓ Ò ÐÐ Ñ × Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ
ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ ×Ø × ÒØÖ × ×Ø Ò Ò ÓÐ × Ó Ð × Ù ÒØ ÒÐ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× ÒØÖ Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ
Dlink dlink_inside; // enlace a la lista de entradas que
ÙÝÓ ×Ø Ó × Ñ Ò Ó Ò Hash Cache<Key,Data> Ñ ÒØ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ×
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ½
Dlink inside_list; // lista de cubetas ya apartadas y metidas en tabla hash
size_t cache_size; // m´ximo n´mero de entradas que puede contener el cache
a u
¬Ò ×
cache size¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò º
inside list¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò º
cache-size
lru list .....
inside list
ÙÖ º ×Ø Ó Ò Ð Ð ÖÖ ÐÓ ÓÒØ ÙÓ Ù Ø ×º ÌÓ × Ð × ÒØÖ × Ô ÖØ Ò Ò
Ð Ð ×Ø ÐÖÙº
ÄÓ× ÒÐ × Ð × ÓÐ × ÙÒ Cache Entry × Ñ Ò Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½º lru list ÓÐ ÒØÖ × ÓÖ Ò × × Ð Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ ×Ø Ð
Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ º ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ×Ø Ú Ó Ý ØÓ × ×Ù× ÒØÖ ×
ÔÖ ¹ Ô ÖØ × ÒÐ Þ × ÔÓÖ ×Ø ÓÐ º
¾º inside list Ð ×Ø ÒØÖ × Ò× ÖØ × Ò Ð Ø Ð × º ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ ×Ø Ð ×Ø
×Ø Ú ¸ ÔÙ × Ð ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓº Ä × ÒØÖ × Ò ×Ø Ð ×Ø

487. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 461
Ø Ñ Ò ×Ø Ò ÓÖ Ò × × Ð Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ ×Ø Ð Ñ × Ö Ò¹
Ø Ñ ÒØ º ÆÓØ ÑÓ׸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ÕÙ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ø ÓÐ ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò Ò¹
ØÖ × ÐÓ Ñ ÒØ Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð ¸ ×Ù ×Ø Ó ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × Ð Ñ ×ÑÓ
ÕÙ Ð Ð ÓÐ lru list¸ Ð Ù Ð ÓÖ Ò ÒØÖ × ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò Ó ÒÓ Ð º
45
lru list
false 0
true
inside list
1
false
0 false
1 false 2
false
2 375
3 3
true
true
4
4
5 false
false
6 58
false 5
7 true
8
false 6
9 false
479
locked list false 7
true
ÙÖ º ×Ø Ó ÙÒ Ø Ñ ÒÓ ÓÒ Ø Ð × Ø Ñ ÒÓ ½¼º Ë ÑÙ ×ØÖ Ð
ÖÖ ÐÓ Ð Ø Ð × Ý Ð ÖÖ ÐÓ ÔÖ ¹ Ô ÖØ Ó Ù Ø ×º ÄÓ× ÒÐ × Ð Ø Ð ×
×ÓÒ ÓÒØ ÙÓ׸ ÐÓ× Ð Ð ×Ø ÒØÖ × ÕÙ ×Ø Ò ÒØÖÓ Ð Ø Ð ÔÙÒØ Ó× Ý ÐÓ×
Ð Ð ×Ø ÄÊÍ ØÖ Þ Ó׺ Ä ÒØÖ ÓÒ Ð Ú ¿ ¸ ÕÙ × ÓÐ × ÓÒ Ò Ð Ø Ð × ÓÒ Ð
Ð Ú ¸ ×Ø ØÖ Ò ÔÓÖ ×Ó Ô ÖØ Ò Ð Ð ×Ø locked listº
Ä ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ð Ð ×Ø inside list × ÔÖÓÚ Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ × ÑÔÐ ×Ó Ö ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× Ð º
Ë Ð Ø Ð ×Ø ÐÐ Ò ¸ ÒØÓÒ × inside list Ú Ò Ú º
¿º locked list Ä × ÒØÖ × ØÖ Ò × × × Ò lru list Ý × ÒØÖÓ Ù Ò Ò
ÙÒ Ø Ö Ö Ð ×Ø ¬Ò ×
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¼ ¾
Dlink locked_list; // lista de entradas trancadas
size_t num_locked; // n´mero de elementos trancados
u

488. 462 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Ð ÒÐ dlink lru × Ü ÐÙÝ ÒØ Ó Ð Ù Ø ×Ø Ò lru list Ó Ò locked list
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒÕÙ ÒÓ Ö × Ö Ð ×Ó¸ ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö× Ð Ø Ñ ÒÓ Ð
º È Ö ÐÐÓ¸ × Ô ÖØ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÖÖ ÐÓ Cache Entryº È Ö ÔÓ Ö Ð Ö ÖÐÓ׸ ÐÓ×
ÐÓÕÙ × ÖÖ ÐÓ× Cache Entry × ÒÐ Þ Ò Ò ÙÒ Ð ×Ø ÕÙ ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ½ ¾
typedef Dnode<Cache_Entry*> Chunk_Descriptor;
Chunk_Descriptor chunk_list;
¬Ò ×
chunk list¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò º
Í× × Cache Entry Ò Dnode º
chunk list × Ð ÙÐØ ÑÓ ØÖ ÙØÓ Hash Cache<Key,Data> Ý ¬Ò Ð Ð ×Ø ÐÓÕÙ ×
´ ÖÖ ÐÓ× Cache Entryµº ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ¬Ò Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ ≡ ´ µ
Hash_Cache(size_t (*hash_fct)(const Key&),
const size_t & __hash_size, const size_t & __cache_size)
: hash_table(hash_fct, __hash_size, false),
num_lru(0), cache_size(__cache_size), num_locked(0)
{
// apartar entradas del cache
Cache_Entry * entries_array = new Cache_Entry [cache_size];
// apartar el descriptor del arreglo
std::auto_ptr<Chunk_Descriptor>
chunk_descriptor (new Chunk_Descriptor (entries_array));
chunk_list.insert(chunk_descriptor.get());
for (int i = 0; i < cache_size; i++) // insertar Cache_Entry en lista lru
insert_entry_to_lru_list(&entries_array[i]);
chunk_descriptor.release();
}
Í× × Cache Entry ¸ cache size ¼ ¸ chunk list ¾¸ Hash Cache ¸
Ò insert entry to lru list ¾ º
Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ô Ð ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÒØ ÖÒÓ insert entry to lru list()¸
Р٠и ÙÒØÓ ÓÒ ÓØÖÓ× Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Ò ØÓÖÒÓ lru list¸ × ¬Ò Ò Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¾ ¿
void insert_entry_to_lru_list(Cache_Entry * cache_entry)
{
num_lru++;
lru_list.insert(cache_entry->link_lru());
}
void remove_entry_from_lru_list(Cache_Entry * cache_entry)
{
num_lru--;
cache_entry->link_lru()->del();
}
¬Ò ×
insert entry to lru list¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò º
remove entry from lru list¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × Cache Entry Ò lru list º

489. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 463
Ä Ñ ×Ñ Ð × ÖÙØ Ò × × ¬Ò Ô Ö Ð Ð ×Ø locked listº
Ð ¬Ò Ð ÓÐ lru list ÒÓ × ÓØÖÓ ÕÙ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð ÓÖ Ò × ÙÒ Ð ×Óº À Ý
Ú Ö × × ØÙ ÓÒ × Ò Ð Ù Ð × ×Ø ÓÐ Ø Ò ÕÙ ØÙ Ð Þ Ö×
½º Ù Ò Ó × Ò× ÖØ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð ¸ Ó Ø Ò ÑÓ× ×Ù Cache Entry
Ð Ö ÒØ lru list¸ Ð Ù Ð ÓÒØ Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ Ó
¹Ö ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ØÓ × Ð × ÒØÖ × Cache Entry × Ñ Ø Ò Ò ×Ø ÓÐ ÙÖ ÒØ Ð
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð ¹º
¾º Ù Ò Ó Ö Ö Ò ÑÓ× ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÒØÖÓ Ð ÑÓ× ×Ô ¬ Ö ÕÙ ×Ø
× Ð Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó Ô Ö ÐÐÓ¸ Ð Ñ Ò ÑÓ× ×Ù Cache Entry ØÖ Ú × Ð
Ó Ð ÒÐ dlink lru Ý ÐÓ Ö ¹ Ò× ÖØ ÑÓ× Ò Ð ØÖ × ÖÓº ×ØÓ ÐÓ Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ
ÖÙØ Ò
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¾ ¿
void do_mru(Cache_Entry * cache_entry)
{
cache_entry->link_lru()->del(); // elimine de su posici´n actual
o
lru_list.insert(cache_entry->link_lru()); // col´quelo en el trasero
o
}
¬Ò ×
do mru¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ Ò º
Í× × Cache Entry Ò lru list º
do mru() Ð ÒØÖ Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ
cache entry º
¿º Ù Ò Ó Ð Ñ Ò ÑÓ× ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÐÓ ÓÐÓ ÑÓ× Ò Ð Ö ÒØ ¸ ÓÒ ÕÙ
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¿ ¿
void do_lru(Cache_Entry * cache_entry)
{
cache_entry->link_lru()->del(); // elimine de su posici´n actual
o
lru_list.append(cache_entry->link_lru()); // ins´rtelo en el frente
e
}
Í× × Cache Entry Ò lru list º
do lru() Ð ÒØÖ Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ
cache entry º
ÓÖ ×Ø ÑÓ× ÔÖ ×ØÓ× Ô Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÙÒ ÖÙØ Ò Ö Ø ¸ Ð Ù Ð × Ð ÓÒ Ð ÒØÖ
Ñ × ÒØ Ù ´ ÓÒØ Ò Ó ÒÓ Ò Ð µÝÐ Ð Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Hash Cache<Key,Data> +≡ ´ µ ¿
void remove_entry_from_hash_table(Cache_Entry * cache_entry)
{
cache_entry->link_inside()->del();
hash_table.remove(cache_entry);
cache_entry->is_in_hash_table = false;
do_lru(cache_entry);
}
Cache_Entry * get_lru_entry()
{
// obtenga la entrada m´s antigua -la menos recientemente accedida
a
Dlink * lru_entry_link = lru_list.get_prev();

490. 464 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
Cache_Entry * cache_entry = dlink_lru_to_Cache_Entry(lru_entry_link);
// si cache_entry contenida en tabla ==> eliminarlo
if (cache_entry->is_in_hash_table)
remove_entry_from_hash_table(cache_entry);
do_mru(cache_entry); // la entrada deviene la m´s recientemente accedida
a
return cache_entry;
}
¬Ò ×
get lru entry¸ Ù× Ò ÙÒ º
remove entry from hash table¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × Cache Entry ¸ do mru ¿ ¸ Ò lru list º
remove entry from hash table() Ð Ñ Ò cache entry Ð Ø Ð × Ý Ð ØÓÖÒ ÓÑÓ
Ð ÒØÖ Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ º get lru entry() × Ð ÖÙØ Ò Ö Ø ÕÙ × Ð ÓÒ
Ð ÒØÖ Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ Ý ÕÙ × ÒÚÓ Ù Ò Ó × Ò× ÖØ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ
Ò Ð º
ÜÔÐ Ó ×ØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ ¾
Cache_Entry * insert(const Key & key, const Data & data)
{
Cache_Entry * cache_entry = get_lru_entry(); // obtener entrada m´s antigua
a
cache_entry->get_key() = key; // escribirle el par
cache_entry->get_data() = data;
inside_list.insert(cache_entry->link_inside()); // ins´rtela en inside_list
e
hash_table.insert(cache_entry); // insertarla en la tabla hash
cache_entry->is_in_hash_table = true;
return cache_entry;
}
Í× × Cache Entry ¸ get lru entry ¿ ¸ Ò inside list ¼ º
Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ ×Ù ¹ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÙÐØ ÑÓ× cache size Ð Ñ ÒØÓ× Ó× ÓÒ
Ð ×Ô Ö ÒÞ ÕÙ ¸ × × Ö Ö Ò Ò ÒÙ ÚÓ¸ ÒØÓÒ × ÒÓ × Ô Ù ÙÒ Ó×Ø ÐØÓ ÔÓÖ ×Ù
Ù×ÕÙ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ðº È Ö Ù× Ö Ò Ð ÔÖÓÚ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ
Cache_Entry * search(const Key & key)
{ // buscar en la tabla hash
Cache_Entry * cache_entry = static_cast<Cache_Entry*>(hash_table.search(key));
if (cache_entry != NULL) // ¿fue encontrada la clave?
{ // s´ ==> hacerla la m´s recientemente usada
ı a
do_mru(cache_entry);
move_to_inside_front(cache_entry);
}
return cache_entry;
}
Í× × Cache Entry Ò do mru ¿º
Ä Ù×ÕÙ Ö Ö × Ð ÒØÖ Ò Ð Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð Ð Ñ ×Ö Ò¹
Ø Ñ ÒØ º
È Ö ØÖ Ò Ö ÙÒ ÒØÖ × Ö¸ Ô Ö × ÙÖ Ö ÕÙ ÐÐ ÒÓ × × Ð
Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ¸ × ÑÔÐ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ
void lock_entry(Cache_Entry * cache_entry)

491. 5.3. Otros usos de las tablas hash y de la dispersi´n
o 465
{
remove_entry_from_lru_list(cache_entry);
insert_entry_to_locked_list(cache_entry);
cache_entry->lock();
}
Í× × Cache Entry Ò remove entry from lru list ¾º
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð ÒØÖ × ÔÙ ×ØÖ Ò Ö
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ
void unlock_entry(Cache_Entry * cache_entry)
{
remove_entry_from_locked_list(cache_entry);
insert_entry_to_lru_list(cache_entry);
cache_entry->unlock();
}
Í× × Cache Entry Ò insert entry to lru list ¾º
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð ÔÙ Ô Ö Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ö ÙÒ ÒØ
ÒÒ × Ö ¸ ÔÙ × ×Ø ÓÒ Ø Ò ×ÓÐÓ ÒÓ Ö Ñ × ÙÒ ÒØÖ Ô Ö ÕÙ ×Ø × Ð
Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÖØ ÖÓ ÕÙ ÙÒ Ð Ú Ñ × × Ö ÒÓ
×ÓÐÓ Ô ÖÑ Ø ×ÔÓÒ Ö ×Ù ÒØÖ Ô Ö ÙÒ Ò× Ö ÓÒ¸ × ÒÓ ÕÙ ÔÓØ Ò ÓØÖ × Ð Ú ×
Ò ¬ Ö× Ð º ÈÓÖ ×Ó¸ × ÙÒ Ð Ò ÓÐ Ð ÔÐ ÓÒ¸ ÔÙ Ó ÒÓ × Ö ÑÙÝ Ú Ð Ó×
Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ð Ñ Ò ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ
void remove(Cache_Entry * cache_entry)
{
remove_entry_from_hash_table(cache_entry);
}
Í× × Cache Entry Ò remove entry from hash table ¿º
Ä × Ð ÓÒ Ð Ø Ñ ÒÓ Ð ÔÙ × Ö Ö Ø Ô Ö Ð × ÑÔ ÒÓ ÐÓ Ð ÙÒ
× ×Ø Ñ º ÍÒ Ô Ò×Ù¬ ÒØ ÔÙ Ö ÕÙ Ð × Ò× Ö ÓÒ × Ö ÑÔÐ Ò ÒØÖ ×
ÕÙ × Ö Ò Ö Ö Ò ×º Ë ×ØÓ Ó ÙÖÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ù×ÕÙ × ÑÔÖ × Ö Ú Ò Ý Ð
× ÑÔ ÒÓ Ð ×Ó ÐÓ Ð × Ö Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ô ÓÖ ÕÙ × ÒÓ × ØÙÚ × Ð º
×Ø ÒÓÑ ÒÓ × Ð ÒÓÑ Ò Ø Ö × Ò ¾ Ý ÔÙ × Ö ×ÙÑ Ñ ÒØ Ó×ØÓ×Ó × Ð
× ÑÔÐ Ò Ð Ñ ÒÓ Ö Ø Ó ÙÒ × ×Ø Ñ Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ ×Ù Ð × Ö Ð ×Óº
× Ô٠׸ Ù Ò Ó × ÓÔØ ÔÓÖ Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ ¸× ¸ Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ñ
ÔÓ× Ð ¸ ×ÔÓÒ Ö ÙÒ ×Ø Ñ ÓÒ ÔÖ × Ð Ö Ð ÓÒ Ö Ö Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓº Ò
×ØÓ ÔÙ × Ö ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ö Ð ÓÒ ¼¹¾¼ ´Ü ¿º º½ ´Ô Ò ¾¾ µµ¸ Ô ÖÓ¸ Ù ÒØ
Ð Ó×Ø ÕÙ ÔÙ ÖÖ Ö ÙÒ Ñ Ó Ó ÖÖÓÖ Ò Ð ×Ø Ñ ÓÒ¸ × Ö ÓÑ Ò Ð ÕÙ Ð
Ø Ñ ÒÓ Ð ÔÙ Ù×Ø Ö× Ò Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº Ä × ÕÙ × ÙÖ ÒØ Ð
Ù ÓÒ × Ö Ú Ð Ò × Ö Ó Ö ÙÒ Ù×Ø ¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÔÓ× Ð ¸ ÐÓ Ù Ð ×Ø
× Ö ÙÒ Ò ÓÕÙ Ò Ñ Ó ÓÑÓ Ð ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ðº Ò Ú ÖØÙ ×ØÓ¸ × Ò ÑÓ×
Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò ÜÔ Ò× ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ
void expand(const size_t & plus_size)
{
¾
Ä ØÖ Ù ÓÒ Ð Ø Ö Ð ×Ø Ø ÖÑ ÒÓ × Ð ÔÓÖÕÙ Ô Ò× ÑÓ× ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ØÓ
×Ø ÐÐ ÒÓº Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð ¸ Ø Ö × Ò Ð ÓÖ Þ ­ Ð Ö ¸ Ô٠׸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ù Ò Ó ÙÒ
ÒØÖ Ò ×Ø ×Ø Ó ÖÖ ÙÒ Ô Ò Ð Ñ × Ó × Ú Ö ×Ó Ö Ð × ×Ø Ñ ÕÙ ÐÓ Ù× º

492. 466 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
const size_t new_cache_size = cache_size + plus_size;
Cache_Entry * entries_array = new Cache_Entry [plus_size];
std::auto_ptr<Chunk_Descriptor> // apartar el descriptor
chunk_descriptor (new Chunk_Descriptor (entries_array));
// Calcular nuevo tama~o de tabla y relocalizar sus entradas
n
const float curr_hash_ratio = 1.0*cache_size/hash_table.capacity();
const size_t new_hash_capacity = new_cache_size/curr_hash_ratio;
hash_table.resize(new_hash_capacity);
for (int i = 0; i < plus_size; i++) // meter nuevas entradas en lru_list
insert_entry_to_lru_list(&entries_array[i]);
chunk_list.insert(chunk_descriptor.release());
cache_size = new_cache_size;
}
Í× × Cache Entry ¸ cache size ¼ ¸ chunk list ¾ ¸ expand ¿ ¸ insert entry to lru list ¾ ¸
Ò lru list º
ÆÓ× Ö ×Ø ÙÒ Ø ÐÐ ÙÐØ ÑÓ ÙÒ Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Hash Cache<Key,Data> ¾ +≡ ´ µ
class Iterator : public Dlink::Iterator
{
Iterator(Hash_Cache & cache) : Dlink::Iterator(&cache.inside_list) { }
Cache_Entry * get_current()
{
return Cache_Entry::dlink_inside_to_Cache_Entry(Dlink::Iterator::get_current());
}
};
Í× × Cache Entry ¸ Hash Cache ¸ Ò inside list ¼ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ × Ø Ö ×Ó Ö Ð Ð ×Ø inside list¸ ×ÓÐÓ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ò Ð
×ÓÒ Ú ×ØÓ׺ ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ø Ð ×Ø ×Ø ÓÖ Ò ÔÓÖ Ø ÑÔÓ ×Ó¸ Ð ÓÖ Ò Ú × Ø ×
× Ð Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó ×Ø Ð Ñ ÒÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Óº
5.4 Notas bibliogr´ficas
a
Ò ×Ù Ü Ð×Ó Ð ÖÓ ×Ó Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ Ú Ò Ö Ä Ò Ò ¾ Ñ Ò ÓÒ ¸ Ñ Ø ÓÖ Ñ ÒØ ¸
ÕÙ × Ð Ð ØÓ × ×Ø Ö Ò ÙÒ ×Ð × ÖØ Ý Ð × Ò × Ó Ö ÙÒ ×ÓÐ ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ׸ ÒØÓÒ × ×Ø × Ö Ð Ø Ð × º ÔÓÖ ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ú ÖØÙÓ×Ó ÓÒ¹
× Ö Ø Ò Ú Ø Ð ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ÉÙ Þ ÔÓÖÕÙ Ð ÒÓ × ÙÒÓ ÒÓ × ÙÒÓ ÐÓ× × Ö ×
Ø Ô Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ó× ÔÓÖ ÙÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø Ð ÑÙÒ Óº
Ò ÐÓ ÓÒ Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ð ×Ô Ö× ÓÒ × ÙÒ Ø Ò
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ × Ò Ð ÔÖÓ Ð × Ö¸ ÖÙ Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ Ò ×Ó ÕÙ
Ò ×ØÖ ÐÑ ÒØ ÐÐ Ñ ÑÓ× Ð ×Ù ÖØ Ó Þ Ö¸ Ý ÕÙ ÓÝ × Ñ Ö ÓÒ × Òº ÓÑÓ × Ö
ÜØÖ Ò ×Ø ¬Ð ÔÓÖ Ð Ø ÖÑ Ò ×ÑÓ ÕÙ ÑÙÝ ÔÓ Ó× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × × Ô Ö Ø Ò ÕÙ
ÑÔÐ Ö ÙÒ Ù Ò ÙÒ ÓÒ ×Ô Ö× ÓÒ Ô Ö Ù× Ö Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ¸ × Ò ÔÖ Ó ÙÔ Ö×
Ð × ÓÐ × ÓÒ × Ò Ñ Ö Ö Ð × Ð ×¸ Ø Ò ÑÙ × Ñ ÓÖ × ÔÖÓ Ð × Ò ÓÒØÖ Ö
Ö Ô Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ú ÕÙ Ð Ñ Ö Ù×ÕÙ × Ù Ò Ðº
Ð ÓÑ Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ö Ö × Ö ÓÖØÙÒ Ó ÕÙ Ù ÒÓ¸ Ø Ò ÙÒ ÔÖÓ ÙÒ
Ô Ö×Ô Ø Ú Ð Ú º Ä ÒØ Ø Ñ Ö ÓÒÓ Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ò Ô ÖØ Ð Ú ÔÒ
Ð ×Ù ÖØ º Ñ Ó Ô Ò× Ö Ò ØÓ Ó ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ó Ö ÐÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò ÑÓ× ÓÒØÖÓкºº ¾ º
¾
ÈÖ Ñ ÙÐÓ Ð Ô Ð ÙÐ Å Ø ÈÓ ÒØ º

493. 5.5. Ejercicios 467
×Ø Ø ÙÒ Ô Ð ÙÐ ÏÓÓ Ý ÐÐ Ò ÒÓ× Ò ÙÒ ÔÓ Ó Ð × Ò ÕÙ Ò ×Ø ÔÓ
Ø Ò ÑÓ× Ð Þ Öº À ÙÒÓ× ¾ ¼¼ ÒÓ× ÑÓ Ö ØÓ¸ ÕÙ Þ ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× ÕÙ
Ô Ò× ÒÐ ØÙ Ð ØÓÑÓ¸ ÕÙ Ò Ð Þ Ö Ý Ð ×ÔÓÒØ Ò Ý
ÓÒ× Ò º
Å ÕÙ Ú ÐÓ Ú Ó Ò Ð ×Ù ÖØ ÙÒ ØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ô Ö Ð ×Ø ÒÓ ÐÓ× ÔÙ ÐÓ׺ Ð ¹
ÓÖ Þ Ð Ú ÓÑÓ ÙÒ Ö Ó ÙÝÓ ­Ù Ö ÓØ ÒÓ Ð ×Ù ÖØ ÔÓ Ñ Ö ÙÒ ÒÙÒ ÓÒ¸
ÔÓÖ ÑÔÐÓº Ó × × ÒØ Ó Ð ÓÖ Ó¸ Ð Ö ÓÑ Ò ÔÖ Ô Ö Ö× Ô Ö Ù Ò Ó Ð ×Ù ÖØ
ØÓÖÒ × Ý ÐÓ Ð ÓÖ Þ ÓÒ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ ÕÙ º Ò Ð Ú ÑÓ ÖÒ ×ØÓ ÔÙ
ØÖ Ù Ö× Ð ÓÖÖÓº Ò Ð Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÙÒ ×ØÖ Ø Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÐ × ÓÒ ×º
Ë ÙÒ ÃÒÙØ Ð ×Ô Ö× ÓÒ Ù × Ù ÖØ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÔÓÖ
Àº Ⱥ ÄÙ Ò ½ Ý Ñ Ð Ø Ð Ò ½ ¿º Ð ÙÐØ ÑÓ ÖØ ÙÐÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ×ÓÒ Ó Ð ¹
Ò Ðº
Ð Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó Ý Ð Ñ ØÓ Ó Ú × ÓÒ Ô Ö ÔÖ Ñ ÖÓ × Ù ÖØÓ ÔÓÖ
ÙÑ Ý º
Ð ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð Ù ×Ù Ö Ó ÔÓÖ Ö× ÓÚ ½¼ ¸ ÙÝÓ Ò Ð × ×¸ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ ¬ Ùй
ØÓ×Ó¸ Ù × Ù ÖØÓ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ ÃÒÙØ Ò ½ ¾¸ ÓÑÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓ ÜÔÐ Ò
ÙÒ ÒÓØ Ô Ô Ò ½ Ô º ¿º
Ð ÑÓ ÐÓ ×ÓÒ Ó Ð¸ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ ÙØ Ð ÓÑÓ Ñ Ö Ó Ò Ð × × Ð × Ø Ò ×
×ÓÒ Ó¸ Ù ÒØÖÓ Ù Ó ÔÓÖ È Ø Ö×ÓÒ Ò ½ ¾ º
Ä ÔÖ Ó Ð ÙÑÔÐ ÒÓ× × ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð × Ó Ð Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð ×º
ÍÒ ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÙÖÓ× ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö× Ò Ð Ð × Ó ÐÐ Ö ½½ º ×Ø Ô Ö Ó Ù
Ò Ö ÐÞ Ò Ð Ð Ö ÙÒ ÓÒ Q Ê Ñ ÒÙ Ò ½¿ º ÍÒ Ò Ð × × ×Ù ÔÐ ÓÒ Ò
Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÔÙ Ò ÓÒØÖ Ö× Ò ½¾ º
Ä Ø Ò ÔÖ × ÒØ Ò ×Ø Ø ÜØÓ Ô Ö Ð Ñ Ò Ö Ð × Ð × Ñ Ö × DELETED ÓÒ Ð
Ó Ð × Ù ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ Ò ½ º ÍÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ö Ø ¸ Ô ÖØ
Ð ÕÙ ÜÔÙ ×Ø ÒÓ × ÓÒÓ ÔÙ Ð Ñ ÒØ º
Ä ×Ô Ö× ÓÒ ÙÒ Ú Ö× Ð Ù × Ù ÖØ Ò ½ ÔÓÖ ÖØ Ö Ý Ï Ñ Ò º
Ä ×Ô Ö× ÓÒ Ð Ò Ð Ù ÔÓÔÙÐ Ö Þ ÔÓÖ Ð È ÙÐ Ä Ö×ÓÒ ¾¾ Ý ×Ù × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ù
Ö ÔÓÖØ Ó ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ Ò ½ ¼ ÔÓÖ Ï ØÓÐ Ä ØÛ Ò ¾ ¸ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð × × ×
ØÓ׺
Ä ×Ô Ö× ÓÒ Ô Ö Ø Ô Ö ¬Ò Ð × ÐÓ× × Ø ÒØ º ÍÒ ÖØ ÙÐÓ Ô Ö Ñ Ø Ó ×
ÐÐ º
5.5 Ejercicios
½º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ø Ð × ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × × Ô Ö Ñ ÒØ
Ò Ò × Ò Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
¾º Ä ÙÒ ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ì LhashTable<Key> Ý DynLhashTable<Key, Record>
ÒÓ Ú Ö ¬ × Ð Ö ×ØÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ô ÖØ Ò Ð Ø Ð º × ÙØ Ö ÒØ × Ò ÓÕÙ ×
ÔÖ ØÙ Ö ×Ø Ú Ö ¬ ÓÒº
¿º ÑÙ ×ØÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º¾º ´·µ
º ÜÔÐ ÕÙ Ø ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð ÜÔÖ × ÓÒ ´ º¾ µº

494. 468 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
º ×ÙÑ Ò Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó ÓÒ Ð ×Ø × × ÑÔÐ × Ý ÙÒ Ø Ð ÔÙÖÓ× ÔÙÒ¹
Ø ÖÓ׸ Ð ÙÐ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Óº Ô ÖØ Ö Ù Ð Ú ÐÓÖ α Ý ST Ð Ö ¹
ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖÖ Ó × Ñ ÒÓ× Ó×ØÓ×Ó Ò ×Ô Ó
º ÓÒ× Ö ÙÒ Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó
´ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×µ¸ ÙÒ Ø Ñ ÒÓ Ø Ð M = 13 Ý ÙÒ ÙÒ ÓÒ × h(k) =
k ÑÓ Mº
´µ Ù Ð Ø Ð Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð × Ù ÒØ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ
23, 13, 20, 5, 7, 2, 40, 50, 30, 45, 12, 21, 33, 34
´ µ ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ð × Ð Ú × ×Ø Ò ÒØÖ ½ Ý ½¼¼¸ ÕÙ ÒÓ × Ö Ô Ø Ò Ý ÕÙ
Ð Ú Ø Ò Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓ Ð Ù× Ö× ¸ Ð ÙÐ
º ÈÖÓ Ð ÕÙ ÙÒ Ð Ú × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ø Ð º
º ÈÖÓ Ð ÕÙ ÙÒ Ð Ú × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ø Ð Ý ÕÙ × Ö ÕÙ Ö
Ö ÓÖÖ Ö Ó× ´¾µ Ó Ñ × ÒÓ Ó× ÙÖ ÒØ ×Ù Ù×ÕÙ º
º ×ÙÑ ÙÒ Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÓÒ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Óº
×ÙÑ ÙÒ ÒØ ×Ô Ö Ð Ú × 105 ÓÒ ÙÒ ×Ú ÓÒ 104º ËÙ Ö
ÙÒ Ø Ñ ÒÓ Ø Ð Ø Ð ÕÙ Ð ØÓÖ Ö α ÒÓ Ü Ð 97 ±º Ð ÙÐ Ð
ÐÓÒ ØÙ ×Ô Ö Ð ×Ø ÓÐ × ÓÒ li Ý ×Ù ×Ú ÓÒ Ø Ô º
º Ä ×ØÖÙ ØÙÖ Ù Ø ÙØ Ð Þ ÔÓÖ Ð Ì ODhashTable<Key, Record> ÙØ Ð Þ
ÙÒ ÑÔÓ ×Ô Ð ÒÓÑ Ò Ó probe typeº ÙÞ Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ × ÔÙ
Ø ÖÑ Ò Ö Ò Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ÔÓÖØ ÔÓÖ ×Ø ÑÔÓº Ó
ÓØÖÓ¸ ÓÑÓ ÔÙ ÔÖ × Ò Ö× ×Ø ÑÔÓ
º Ò Ð Ì ODhashTable<Key, Record>¸ ÙÞ ÙÒ Ñ Ò Ö ÔÖ × Ò Ö ÐÓ×
ÑÔÓ× Ð Ù Ø status Ý probe typeº ´·µ
½¼º ÙÒ Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ¸ ¹
ÙÞ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ð Ó× × × ÕÙ Ö ÙÞ Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÒØ Ù Ø×
ÓÒ ×Ø Ó DELETEDº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÓ Ö × Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ×ØÖ Ø
Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓº
Ä ÔÖ Ñ Ö × ÓÒ× ×Ø Ò Ü Ñ Ò Ö Ð Ø Ð Ý Ñ Ö Ö ÓÒ EMPTY ØÓ × Ð × ÒØÖ ×
ÓÒ Ú ÐÓÖ DELETEDº Ä × ÙÒ × ×ØÙ Ð × Ù Ø × ÓÒ Ú ÐÓÖ BUSY Ý Ø ÖÑ Ò
Ù Ð × Ù Ø × ÓÒ ×Ø Ó EMPTY Ò× Ö Ñ × Ð ×Ø Ó DELETED Ñ Ò Ö
ÕÙ Ð Ð Ú ÔÙ × Ö ÐÓ Ð Þ º
ÆÓ ×Ø Ô ÖÑ Ø Ó ÑÓÚ Ö ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ò Ð × Ù Ø ×º ´·µ
½½º ÒÙÒ Ð × Ú ÒØ × Ý ×Ú ÒØ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÙÒ Ó Ò Ð ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖº
½¾º Ð ÙÐ ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ × Ñ Ð Ö ´ º¾ µ ÕÙ ÓÑÔ Ö Ð Ó×Ø Ò ×Ô Ó Ð Ì
ODhashTable<Key, Record> ÓÒ Ð OLHashTable<Key,Record>º
½¿º Ë ÙÒ Ø Ð × Ø Ñ ÒÓ m = 23 ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ¹
ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý Ù×Ó Ó× ÙÒ ÓÒ × ×
´µ h1(k) = k ÑÓ 23

495. 5.5. Ejercicios 469
´µ h2(k) = 1 + (k ÑÓ 19)
×ÙÑ ÓÑÓ ×ÕÙ Ñ × Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÖÑÙÐ (h1(k) + i × h2(k))
ÑÓ m, m = 23¸ ÓÒ i × Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÐ × ÓÒ × k Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ò× Ö ÓÒº
× Ö¸ × h1(k) ÒÓ Ø Ò ÓÐ × ÓÒ ´i = 0µ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ ÒØÓ × Ò× ÖØ Ó Ò Ð
ÔÓ× ÓÒ h1(k)º Ë Ý ÙÒ ÓÐ × ÓÒ¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ ÒØÓ × Ò× ÖØ Ó Ò h1(k) +
h2(k) × Ý Ó× ÓÐ × ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ñ ÒØÓ × Ò× ÖØ Ó Ò h1(k) + 2h2(k)¸ Ý
× ×Ù × Ú Ñ ÒØ º
´ µ × Ö Ð ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ø Ð ´Ó Ù Ð Ø Ð µ ÐÙ Ó Ð × Ù ÒØ
× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ
4 13 27 31 28 26 40 23 47 1
´ µ ×ÙÑ ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ ÓÒ×ÙÐØ ÒØÖ ÙÒ ØÓØ Ð 20 ÔÓ× Ð × Ð Ú ×º
º Ù Ð × Ð ÔÖÓ Ð Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ð Ú
º Ù Ð × Ð ÔÖÓ Ð ÒÓ Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ð Ú
º Ù Ð × Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× × Ö ×Ù ÐØ ÓÒ Ð
ÔÖ Ñ Ö ÙÒ ÓÒ ×
Úº Ù Ð × Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÒ Ù×ÕÙ Ü ØÓ× × Ö ×Ù ÐØ ÓÒ Ð
× ÙÒ ÙÒ ÓÒ ×
½ºÀ ÙÒ Ò Ð × × ÓÑÔ Ö Ø ÚÓ ÒØÖ ÐÓ× Ì DynLhashTable<Key, Record> Ý
ODhashTable<Key, Record>º ÒÙÒ Ú ÒØ ×¸ ×Ú ÒØ ×¸ × Ñ Ð ØÙ × Ý Ö¹
Ò ×º
½º ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð¸ Ð ÙÐ Ð ÒØ ×Ô Ö ÐÐ Ñ × Ð ÙÒ ÓÒ
× Ú Þ ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ó Ù×ÕÙ º ´·µ
½ º Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ DynLhashTable<Key, Record> Ö LhashTable<Key> Ð
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ý Ô ÖØ ×Ù ÒØ Ö Þº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ DynLhashTable<Key, Record> ×
Ö Ú ÔÙ Ð Ñ ÒØ LhashTable<Key>¸ Ý Ñ ØÓ Ó× LhashTable<Key>¸
ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ Ô ÖØ Ð ÒØ Ö Þ DynLhashTable<Key, Record>¸ ÕÙ ÔÙ Ò
ÐÐ Ñ Ö× × ÙÒ Ò×Ø Ò DynLhashTable<Key, Record>º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð
Ù×Ù Ö Ó ÔÓ Ö ÒÚÓ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ LhashTable<Key> × ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ
DynLhashTable<Key, Record>
DynHashTable<int, Record> table;
LhashTable<int>::Bucket bucket = new LhashTable<int>::Bucket (key);
table.insert(bucket);
ÜÔÐ ÕÙ ÙÒ Ñ Ò ×ÑÓ Ô Ö Ú Ø Ö ÕÙ ×ØÓ Ó ÙÖÖ º × Ö¸ Ô Ö ÑÔ Ö Ó¸
Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó׸ Ô Ö Ø Ø Ö ÕÙ Ð Ù×Ù Ö Ó ÐÐ ÑÓ Ð Ò× Ö ÓÒ
LhashTable<Key> Ý Ö ÔÓÖØ Ö ÙÒ ÖÖÓÖ Ò Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
½ º ÓÒ× Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ Ó ØÓº ×ØÓ ×¸ Ó ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ
Ó ØÓ Ø ÔÓ¸ ÑÓ× Object¸ × × Ú Ö ¬ Ö × Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÔÙÒØ
Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ó ØÓ × Ø ÔÓº

496. 470 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
× ÙØ ØÓ × Ð × ÐØ ÖÒ Ø Ú × ÔÓ× Ð × Ô Ö × Ò Ö ÙÒ × ×Ø Ñ Ò Ö Ð Ú Ö ¬ ÓÒ
Ü ×Ø Ò Ó ØÓ׺
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð × Ð × × LhashTable<Key> Ý LhashTableVtl<Key> Ô Ö ÕÙ ÙØ Ð Ò
Ð ×Ø × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ò ÐÙ Ö Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð × Ð × × LhashTable<Key> Ý LhashTableVtl<Key> Ô Ö ÕÙ ÙØ Ð Ò
Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ÓÖ Ò ×º Ê Ð ÙÒ ×ØÙ Ó ÓÑÔ Ö Ø ÚÓ ÓÒ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
ØÖ ÓÒ Ð ÜÔÐ Ò Ü º½º¿º½º
¾¼º Ð ÙÐ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ k ÑÓ 150 ×ÓÐÓ ØÓÑ Ò Ù ÒØ ÐÓ× Ó×
ØÓ× Ñ ÒÓ× × Ò ¬ Ø ÚÓ׺
¾½º ÓÒ× Ö ÙÒ Ø Ð × Ð Ò Ð ÓÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð M = 5 Ý ÙÒ ØÓÖ Ö Ñ Ü ÑÓ
Ô ÖÑ Ø Ó αu = 0, 9º È Ö Ð × Ù ÒØ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ
181 186 10 6 5 58 191 22 113 7 83 118 138 122 16 18 150 39 48 157
Ù Ð ×Ø Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð Ø Ð ÐÙ Ó Ð × Ò× Ö ÓÒ ×º
Bibliograf´
ıa
½ ØØÔ »»ÛÛÛº ÒÙºÓÖ »×Ó ØÛ Ö » Ô Ö »º
¾ Ó¸ ÀÓÔ ÖÓ Ø¸ Ò ÍÐÐÑ Òº Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ
Ê Ò ¸ ½ ¿º
¿ Ó¸ ÀÓÔ ÖÓ Ø¸ Ò ÍÐÐÑ Òº ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Ð Ý
Á ÖÓ Ñ Ö Ò ¸ ½ º ÌÖ Ù Ò Ñ Ö Ó Î Ö × Î ÐÐ Þ Ò Ý ÂÓÖ ÄÓÞ ÒÓ
ÅÓÖ ÒÓº
Ò Åº Ñ Ð¸ Ð Ò Åº Ó Ñ ¸ ƺ ÊÓ ×Ø Ö¸ Ò ÖØ ÙÖ Äº Ë Ñ٠к Ì
Ý Ö × ÙÒ ÖØ Ò ´ µº Ñ Ð ÓÖ Ò Ø Ø Ó ÓÔ Ò Ö ×× Ò Û Ø Ð Ò Ö
ÔÖÓ Ò ¸ Û Û × Ð Ø Ö Ò Ô Ò ÒØÐÝ Ö × ÓÚ Ö Ò ÔÙ Ð × ½¼ º¸ ½ ¿º
Ò Ð Âº ÖÒ×Ø Òº È Ò Û Ò Ð º ÖÒ×Ø Òº
ÖØ Ö Ò Ï Ñ Òº ÍÒ Ú Ö× Ð Ð ×× × Ó × ÙÒ Ø ÓÒ׺ ÁÒ ËÌÇ Å ËÝÑÔÓ¹
× ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò ´ËÌÇ µ¸ ½ º
ʺº ÐÐ º Å Ò Ñ Ð Ô Ö Ø × ÙÒ Ø ÓÒ× Ñ × ÑÔÐ º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø
Ÿ ¾¿´½µ ½ ß½ ¸  ÒÙ ÖÝ ½ ¼º
̺ Àº ÓÖÑ Ò¸ º º Ä × Ö×ÓÒ¸ Ò Êº ĺ Ê Ú ×غ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÅÁÌ
ÈÖ ×׸ Ñ Ö ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º
ÖÒÓÐ Áº ÙÑ Ýº ÁÒ Ü Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ò ÓÑ ×× Ñ ÑÓÖÝ ×Ý×Ø Ñ׺ ÓÑÔÙØ Ö× Ò
ÙØÓÑ Ø ÓÒ¸ ´½¾µ ß ¸ Ñ Ö ½ º Ö×Ø Ô Ô Ö Ò ÓÔ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÒ × Ò º
Ö×Ø Ù× Ó × Ò Ý Ø Ò Ø ÑÓ ÙÐÙ× Ó Ú × ÓÒ Ý ÔÖ Ñ ÒÙÑ Öº Å ÒØ ÓÒ×
Ò Ò ÓÖ ÓÐÐ × ÓÒ Ò Ð Ò ¸ ÙØ ÒÓØ ÓÔ Ò Ö ×× Ò º Ë ½¼ ÓÖ Ø Ð ØØ Öº

497. 5.5. Bibliograf´
ıa 471
½¼ º Ⱥ Ö× ÓÚº Ó Ð Ý º Æ Ù ËËËʸ ½½ ¾ ß ¿¼¸ ½ º Ê × ÓÚ ÖÝ Ò ¬Ö×Ø
ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ö ÓÔ Ò Ö ×× Ò º Ë ¸ º
½½ Ϻ ÐÐ Öº Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò Ø× ÔÔÐ Ø ÓÒ׺ ÂÓ Ò
Ï Ð Ý¸ ÔÙ ¹ÂÏ Ö¸ ½ ¼º Ë Ø × Ù×× ÓÒ Ó Ø ÖØ Ý Ô Ö ÓÜ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¿º
½¾ Ⱥ Ð ÓРظ º Ö Ý¸ Ò Äº Ì ÑÓÒ Öº ÖØ Ý Ô Ö Óܸ ÓÙÔÓÒ ÓÐÐ ØÓÖ׸ Ò
Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò × Ð ¹ÓÖ Ò Þ Ò × Ö º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ËÌ Æ¹ ˹ ¹½½ ¸ Ô Öع
Ñ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö× Øݸ ½ ¸ Ù Ù×غ
½¿ È Ð ÔÔ Ð ÓРظ Ⱥ º Ö Ò Ö¸ Ⱥ à Ö× Ò Ó Ö¸ Ò Àº ÈÖÓ Ò Öº ÇÒ Ö Ñ ÒÙ Ò³×
ɹ ÙÒ Ø ÓÒº Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ Êʹ½ ¼¸ ÁÒÖ ¸ ÁÒ×Ø ØÙØ Æ Ø ÓÒ Ð Ê Ö Ò
ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ò ÙØÓÑ Ø ÕÙ º
½ ʺ ĺ Ö Ñ¸ º º ÃÒÙØ ¸ Ò Çº È Ø × Ò º ÓÒ Ö Ø Å Ø Ñ Ø × ÓÙÒ¹
Ø ÓÒ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Ð Ý ÈÙ º¸ ½ º
½ Ì Ó ÙÒ Ò ÓØÓº ËØÙ × ÓÒ × Ò ½º ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Ó × Ò
Ð ÓÖ Ø Ñ× Û Ø Ý Ð Ø ÓÒº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÖÓ ×× Ò ËÓ ØÝ Ó
Â Ô Ò¸ ¿´½µ ½ß½¾¸ ½ ¼º
½ Ö Ö Âº ÀÓÐÞÑ ÒÒº Ò Ò ÐÝ× × Ó Ø×Ø Ø × Ò º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó × Ò ËÝ×Ø Ñ
× Ò¸ ½¿´¿µ ¾ ß¿¼ ¸ ½ º
½ à ÖÔ Ò Ê Òº Æ ÒØ Ö Ò ÓÑ Þ Ô ØØ ÖÒ¹Ñ Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׺ Á ÅÂÊ Á Å
ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ê × Ö Ò Ú ÐÓÔÑ Òظ ¿½¸ ½ º
½ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º Ë Ñ ÒÙÑ Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÚÓÐÙÑ ¾ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ Ø Ö Ø ÓÒ¸ ½ º
½ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º ËÓÖØ Ò Ò Ë Ö Ò ¸ ÚÓÐÙÑ ¿ Ó Ì ÖØ Ó ÓÑÔÙØ Ö
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ × ÓÒ Ø ÓÒ¸ ½ º
¾¼ ÓÒ Ð º ÃÒÙØ º Ë Ð Ø È Ô Ö× ÓÒ Ò ÐÝ× × Ó Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ËÄÁ ÈÙ Ð Ø ÓÒ׸
ËØ Ò ÓÖ ¸ ¸ ÍË ¸ ¾¼¼¼º
¾½ ÙØÐ Ö Ïº Ä ÑÔ×ÓÒº À ÒØ× ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ×Ý×Ø Ñ × Òº Á ËÓ ØÛ Ö ¸ ½´½µ ½½ß¾ ¸
 ÒÙ ÖÝ ½ º
¾¾ Ä Ö×ÓÒº ÝÒ Ñ × Ø Ð ×º Å ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø Å¸ ¿½¸ ½ º
¾¿ À ÖÖÝ Êº Ä Û × Ò Ä ÖÖÝ Ò Ò Ö º Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ì Ö Ð ÓÖ Ø Ñ׺
À ÖÔ Ö ÓÐÐ Ò× ÈÙ Ð × Ö׸ Æ Û ÓÖ ¸ ½ ½º
¾ Ï ØÓÐ Ä ØÛ Òº Ä Ò Ö × Ò Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ¬Ð × Ò Ø Ð × Ö ×× Ò º ÁÒ
Á Ç ¸ Ô × ¾ ¼ß¾ ¸ ½ ¼º
¾ Æ ÓÐ × Æ Ø Ö ÓØ Ò ÂÙÐ Ò Ë Û Ö º Î Ð Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ö Ñ ÛÓÖ º
Ð ØÖº ÆÓØ × Ì ÓÖº ÓÑÔÙغ Ë ¸ ´¾µ¸ ¾¼¼¿º
¾ ÇÞ Ò Ø ÓÞ Ò ÜÙ׺ÝÓÖ Ùº º È Ò Û Ð ÔÖÓÝ ØÓ × Ñº

498. 472 Cap´
ıtulo 5. Tablas hash
¾ Ϻ Ϻ È Ø Ö×ÓÒº Ö ×× Ò ÓÖ Ö Ò ÓÑ ×× ×ØÓÖ º Á Å ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ê × Ö
Ò Ú ÐÓÔÑ Òظ ½´¾µ¸ ÔÖ Ð ½ º
¾ ÊÓ ÖØ Ë Û Ò È Ð ÔÔ Ð ÓРغ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò ÐÝ× × Ó Ð Ó¹
Ö Ø Ñ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Ð Ý ÈÙ Ð × Ò ÓÑÔ Òݸ ½ º
¾ È Ø Ö Ú Ò Ö Ä Ò Òº ÜÔ ÖØ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ¹ Ô Ë Ö Ø׺ ËÙÒËÓ Ø ÈÖ ×× ¹
ÈÖ ÒØ À ÐÐ Ì ØØÐ ¹¸ ½ º ÁË Æ ¼¹½¿¹½ ¾ ¹ º
¿¼ ź º Ï ×׺ Ø ËØÖÙ ØÙÖ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÝ× × Ò º ×ÓÒ Ï ×Рݸ ½ º
Ë Ò ÒÓØ Ò ¸ Ò Ñ Ò ÙÑÑ Ò ×¸ ³ ¾º

499. Cap´
ıtulo 6
´
Arboles de b´squeda equilibrados
u
ÉÙ Þ Ð ÙÒ Ú Þ Ð ÒÓ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ó × ÒÓ× Ý Ô Ö Ó Ó ÙÒ Ò ×ØÖ Ð¹
Ñ ÒØ ÒÑ ÑÓÖ Ð Ý ÙÝÓ ×Ô ØÓ Ú ×Ù Ð × Ð × Ù ÒØ
Ä Ñ Ò Ô ØÓÖ Þ ÙÒ ÖØ ØÓ ÒØ ÕÙ × ÑÓ¸ ÓÒ Ø Ò Ò ØÙ Ð Ð ×Ù×Ó¸ Ô ÖÓ ÙÒ
Ú ÒØ Ò Ð ÙÒÓ× × ×Ó× ÓÒØ ÜØÓ׸ ÙÝ ¬Ò Ð × Ô × Ö Ó × ¸ Ñ Ö Ô ×Ó׺ Ä ×
ÓÐÓ Ö Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÔÐ Ø ÐÐÓ× ÐÓ ÕÙ × × Ô × Ö¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò Ð ÓØÖÓ × ÔÓÒ Ò Ô ×Ó×
Ö ÖÒ ØÙ ÐÑ ÒØ ÐÐ Ñ Ó× ÔÐÓÑ × º Ù Ò Ó ÐÓ× ÔÐ Ø ÐÐÓ× Ð ÒÞ Ò Ù Ð
ÐØÙÖ × ÕÙ ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÕÙÙ× ¸ ÕÙ × Ò ¬ Ù Ð Ý Ð Ö ÕÙ
Ö Ð ÒÓÑ Ö ÖÓÑ ÒÓ Ð ÔÐÓÑ Ý ÙÒ Ú ÒØ ÓÑÓ ÙÒ Ñ Ö Ð Ô ×Ó Ó Ú ÐÓÖ
ÓÒÓÑ Óº
Ð ÖØ ØÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ¸ Ó ÒÓ × Ð ÒÓÑ Ò Ð ÒÞ ¸ Ô ÖÓ ÒØ ÒÓ ÐÓ× ÖÓÑ ÒÓ×
Ø Ñ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÖÓÒ ÓÑÓ Ð Ö ¸ ÔÙ × ×ØÓ× Ö ¬Ò ÖÓÒ Ð Ñ Ò ×ÑÓ Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð
Ö ÞÓ Ð Ð ÒÞ ÔÓ ×ÔÐ Þ Ö× Ý ×Ù×Ø ØÙ Ö Ð ÙÒ × ÔÐÓÑ × Ö Ö Ò º ×
ÒØÓÒ ×¸ Ð Ð ÒÞ Ó Ð Ö × Ñ ÓÐ Þ Ó × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × Ò Ð Ð ÙÒ
×Ô Ù Ð Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ × Ó Ð × Ñ ÓÐÓ Ð Ù×Ø ¸ ÕÙ Þ Ð
Ú ÖØÙ Ñ × Ð ÙÐØ Ú Öº
Ò Ð Ñ ØÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ Ð ÕÙ Ð Ö Ó × Ô ØÓÖ Þ Ó Ð Ý Ò ÓÒÓ
Ñ Ò × Ù ÒØ
T
L(T ) R(T )
Ä × Ö Ñ × Ð Ö ÓÐ T Ø Ò Ò Ô ×Ó× ÕÙ Ú Ð ÒØ × × Ö¸ ÓÒØ Ò Ò Ð × Ñ ×Ñ × ÒØ ×
ÒÓ Ó׺ T ×Ø Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÕÙ Ð Ö Ó Ó ÕÙ Ð Ö Óº Ê ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ¸ × ØÓ Ó× ÐÓ×
ÒÓ Ó× T ×Ø Ò ÕÙ Ð Ö Ó׸ ÒØÓÒ × Ð ÐØÙÖ T Ø Ò O(Ð (n))¸ ÐÓ Ù Ð
¿

500. 474 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
ÕÙ Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ Ð Ù×ÕÙ ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÐ × Ø Ñ Ò O(Ð (n))º Ð Ù Ð ÕÙ
Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð × Ú ÖØ٠׸ ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ØÖ ØÓ× ×ÓÒ Ù ÒÓ× Ò Ð Ñ Ò ÕÙ ×ØÓ× ×Ø Ò
ÕÙ Ð Ö Ó׺
6.1 Equilibrio de ´rboles
a
Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò×Ø Ò ¸ ÔÓ ÑÓ× ÒØ ÒØ Ö Ð ÒÞ Ö ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ó × Ó Ò Ð × Ù ÒØ
¬Ò ÓÒ
Definici´n 6.1 (Equilibrio fuerte de Wirth [17]) ÍÒ Ö ÓÐ
o Ò Ö Ó Ì × ÕÙ Ð Ö Ó
⇐⇒
∀ni ∈ T , | | Ä(ni)| − | Ê(ni)| | ≤ 1
Ó ×Ø ¬Ò ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓ× ÕÙ Ð Ö ÙÒ Ö Óк
ÆÙ ×ØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÙØ Ð Þ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÜØ Ò Ó× ´ µ ÜÔÐ Ó× Ò Ü º½½ ´Ô Ò ¿ ¿µº
Ä × ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ÕÙ Ö × Ð × Ò ÐÙ ÑÓ× Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ Ð Ò ØºÀ ´Ò Ú Ö ¬Ò µ º
ÍÒ Ð × Ú ÒØ × ÙÒ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ × Ð ÓÒ ´Ü º½½º½ ´Ô Ò ¿ µµº
Å ÒØ ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× × Ð ÓÒ Ö Ð Ð Ú Ð ÒØÖÓ Ý ÖÐ Ö Þ Ð Ö Óк
Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò Ñ Ó× Ð Ó× Ö Ö ÐÓ ×ÙÑÓ Ò ÙÒÓº Ë ÔÐ ÑÓ× ×Ø ÔÖÓ ¹
Ñ ÒØÓ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ ÕÙ Ð Ö Ó × ÙÒ Ï ÖØ º
Ê ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ × Ð ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó × ÙÒ ×Ù ÔÓ× ÓÒ Ò¬ Ý ÐÓ ×Ù ×Ø
Ð Ö Þº Ì Ð ÓÔ Ö ÓÒ × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
ÊÙØ Ò × ÕÙ Ð Ö Ó ≡
template <class Node> inline
Node * select_gotoup_root(Node * root, const size_t & i)
{
if (i == COUNT(LLINK(root)))
return root;
if (i < COUNT(LLINK(root)))
{
LLINK(root) = select_gotoup_root(LLINK(root), i);
root = rotate_to_right_xt(root);
}
else
{
RLINK(root) = select_gotoup_root(RLINK(root), i - COUNT(LLINK(root)) - 1);
root = rotate_to_left_xt(root);
}
return root;
}
¬Ò ×
select gotoup root¸ Ù× Ò ÙÒ º
select gotoup root() × Ð ÓÒ Ð i¹ × ÑÓ ÒÓ Ó Ð Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ root Ý ÐÓ ×Ù ×Ø
Ð Ö Þº Ë ØÓÑ ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ n ÒÓ Ó׸ × Ð ÓÒ ÑÓ× Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð
ÔÓ× ÓÒ n/2 Ý ÐÓ ×Ù ÑÓ× ×Ø Ð Ö Þ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò Ú Ð Ð ÒÓ Ó n/2¸ Ð ÖÒ
ÒÓ Ó× ÒØÖ ×Ù ×Ù Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó Ý Ö Ó × ÐÓ ×ÙÑÓ ÙÒÓº Ë ÔÐ ÑÓ× Ð Ñ ×ÑÓ
ÔÖ Ò Ô Ó Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ¸ Ù ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÒØ
ÊÙØ Ò × ÕÙ Ð Ö Ó +≡

501. 6.1. Equilibrio de ´rboles
a 475
template <class Node> inline
Node * balance_tree(Node * root)
{
if (COUNT(root) <= 1)
return root;
root = select_gotoup_root(root, COUNT(root) / 2);
LLINK(root) = balance_tree(LLINK(root));
RLINK(root) = balance_tree(RLINK(root));
return root;
}
Í× × select gotoup root º
ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ñ ÒØ Ð Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ ÜÔÐ
select gotoup root()
ÒÜ º½½º ´Ô Ò ¿ µº ×ØÓ × Ð Ó Ö Óº
´ µ ÒØ × ÐÒ Ö
´ µ ×ÔÙ × ÐÒ Ö
ÙÖ º½ ÑÔÐÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ñ ÒØ balance()
Ë Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ × Ù Ò Ð ØÓÖ ¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÐØÙÖ
Ø Ò O(Ð n) Ý Ð × ÑÔ ÒÓ select gotoup root() ÐÐ Ñ Ó × balance tree()
× O(Ð n)º Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ö ÓÐ ÕÙ Ô ÖØ ÓÒ Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÕÙ Ø Ø Ú ×¸
ÙÒ ÓÒ ÙÒ ÓÒ×ÙÑÓ Ø ÑÔÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ð ÒØÖ º ÈÓ ÑÓ׸ Ô٠׸
ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ Ô Ö Ð × ÑÔ ÒÓ balance tree()
T (n) =
1 × n≤1
.
2T (n/2) + O(Ð n) × n>1
ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ n × ÙÒ ÔÓØ Ò Ü Ø 2¸ Ö Ð Þ ÑÓ× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ n = 2k =⇒
k = Ð nº ×ØÓ ÒÓ× ÔÐ ÒØ
T (2k) = 2T (2k−1) + k .

502. 476 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ú Ò ÓÐ Ù ÓÒ ÒØÖ 2k¸ Ø Ò ÑÓ×
T (2k) T (2k−1) k
= + k
2k 2k−1 2
T (2k−2) k − 1 k
= k−2
+ k−1 + k
2 2 2
k
T (2k−3) k − 2 k − 1 k i
= k−3
+ k−2 + k−1 + k = 1 + =⇒
2 2 2 2 2i
i=1
k k
T (n)
n
= 1+
i
2i
=⇒ T (n) = n + n
i
2i
. ´ º½µ
i=1 i=1
Sk
Ä ×ÓÐÙ ÓÒ Ð Ö ÙÖÖ Ò Ô Ò ¸ Ô٠׸ Ð Ú ÐÓÖ Ð ×ÙÑ ØÓÖ Sk = k i
i=1 2i ¸Ð
Ù Ð ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× ÔÓÖ Ô ÖØÙÖ ÓÒ
k
i
Sk = =⇒
2i
i=1
k
k+1 i+1
Sk + =
2k+1 2i+1
i=0
k k
i 1
= + =⇒
2i+1 2i+1
i=0 i=0
Sk
2
k
k+1
Sk
2
=
2i+1
1
−
2k+1
. ´ º¾µ
i=0
Qk
Ð Ú Þ¸ ´ º¾µ Ô Ò Ð ×ÓÐÙ ÓÒ
k
Qk =
1
2i+1
=
1 1 1
+ 2 + · · · + k+1 .
2 2 2
´ º¿µ
i=0
ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ´ º¿µ ÔÓÖ 2 Ø Ò ÑÓ×
2Qk = 1 +
1 1 1
+ 2 + ··· + k .
2 2 2
´ºµ
ÓÖ Ö ×Ø ÑÓ× ´ º µ Ñ ÒÓ× ´ º¿µ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÓÑÓ ×ÓÐÙ ÓÒ ´ º¿µ
Qk = 1 −
1
2k+1
; ´ºµ
ÙÝÓ Ú ÐÓÖ¸ Ð ×Ù×Ø ØÙ ÖÐÓ Ò ´ º¾µ ÒÓ× ÖÖÓ
k+1 k+2
Sk = 2 −
1
2k
− k =2− k
2 2
´ºµ
ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ´ º µ Ò ´ º½µ Ø Ò ÑÓ×
T (n) = n + n 2 −
k+1
= n+n 2−
Ð n+2
= 3n − Ð n − 2, n ≥ 1 ; ´ºµ
2k n

503. ´
6.2. Arboles aleatorizados 477
Ö ×ÙÐØ Ó ÕÙ × O(n Ð n)º
balance tree() ׸ Ô٠׸ O(n Ð n)¸ ÙÒ Ø ÑÔÓ Ó×ØÓ×Ó × Ð ÙÒ ÓÒ × ÒÚÓ Ö¹
Ù ÒØ Ñ ÒØ º À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ò × Ù ÖØÓ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔØ Ð ÕÙ ÑÓ ¹
¬ÕÙ ÙÒ Ý ÕÙ Ö ÒØ ÙÒ ÓÒ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ó Ù ÖØ º Ê ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ×
ÓÔØ Ó ÔÓÖ Ö Ð Ö Ð × ÓÒ ÓÒ × ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö ÖÐ × Ñ ÒÓ× Ö ×ØÖ Ø Ú ×º Ë ÙÒ
Ð × Ø Ò × Ð ÓÖ ØÑ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ Ð × ¬ ÓÒ ÐÓ× Ñ Ò ×ÑÓ×
ÕÙ Ð Ö Ó ÓÒÓ Ó×
¯ Equilibrio Probabil´ ıstico: ×Ø Ò ÓÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò ØÓÑ Ö × ÓÒ × Ð ØÓÖ ×
Ø Ò ÒØ × Ö ×Ø Ð Ö Ð ÕÙ Ð Ö Óº ÄÓ× Ö ÓÐ × Ó Ø Ò Ó׸ Ó Ö Ò ÙÒ Ø ÑÔÓ
×Ô Ö Ó O(Ð n) Ô Ö ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×º
×Ø Ð × ÕÙ Ð Ö Ó ×ØÙ Ö ÑÓ× Ó× ×ØÖÙ ØÙÖ × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× Ý
ÐÓ× ØÖ Ô׺
¯ Equilibrio garantizado: Ò ×Ø Ò ÓÕÙ × ÔÐ ÒØ Ò ÓÒ ÓÒ × ÕÙ Ð Ö Ó¸
Ñ ÒÓ× Ö ×ØÖ Ø Ú × ÕÙ Ð Ù ÖØ ¸ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò ÑÓ ¬ ÓÒ × O(Ð n) ×Ó Ö ÙÒ Ö ÓÐ
Ò Ö Ó Ý ÕÙ ÓØ Ò Ð ÐØÙÖ O(Ð n)º ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× ×Ø Ø ÔÓ Ó Ö Ò ÙÒ
Ö ÒØ O(Ð n) Ò ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×º
Ó ×Ø Ø ÔÓ ÕÙ Ð Ö Ó ×ØÙ Ö ÑÓ× Ó× ×ØÖÙ ØÙÖ × ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ Ý ÐÓ×
Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ׺
¯ Equilibrio amortizado: ×Ø Ò ÓÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò ÙØ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ô Ð ×
ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓÔ Ö ÓÒ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ø Ò ×Ø Ö
ÕÙ Ð Ö Óº Ó ×Ø ÓÒ Ô ÓÒ¸ × Ö ÒØ Þ ÙÒ Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó O(p Ð n)
Ô Ö p ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ù × Ú × ×Ó Ö Ð Ö Óк
Ò ×Ø ÖÙÔÓ¸ Ð ÙÒ Ø Ò ÑÓÖØ Þ ÓÒÓ Ô Ö ÕÙ Ð Ö Ö Ö ÓÐ × × Ð
×ÔÐ Ó ´splayµ¸ ÑÔÐ Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔРݺ
6.2 ´
Arboles aleatorizados
ÍÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ Þ Ó ´ µ × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ
ÜØ Ò Ó ´ Ò Ü º½½ ´Ô Ò ¿ ¿µµ ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ô Ð × ÕÙ Ö ÒØ Þ Ò ÕÙ
Ð × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ð ÕÙ
ÒÓ Ó ÐÑ Ò Ð Ö Ò Ð Ð Ö ÓÐ Ð Ù Ð Ð × Ö Þº
ÆÓØ ÑÓ× Ð ×Ø Ò ÓÒ ÕÙ ÑÓ× ÒØÖ Ð ØÓÖ Ó Ý Ð ØÓÖ Þ Ó º ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸
ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö
× Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ × Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÒÓ Ð ØÓÖ Þ Ó × ÙÒÓ Ø Ð ÕÙ ×Ù× ÓÔ Ö ¹
ÓÒ × Ö ÒØ Þ Ò ÕÙ ×Ø × ÑÔÖ × Ð ØÓÖ Ó¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ ÓÔ Ö ÓÒº
´
Definici´n 6.2 (Arbol binario de b´ squeda aleatorio (ABBA))
o u Ë T ÙÒ Ö ÓÐ
Ò ÖÓ Ù×ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ð |T | = nº
¯ Ë n = 0¸ ÒØÓÒ × T = ∅ × ÙÒ º
¯ Ë n > 0¸ ÒØÓÒ × T × ÙÒ × Ý ×ÓÐÓ × Ä(T ) Ý Ê(T ) ×ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ ×¸
Ý
P(| Ä(T )| = i | |T | = n) = ´ºµ
1
, 0 ≤ i < n, n > 0
n

504. 478 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ð ÔÙÒØÓ ÖÙ Ð Ð ¬Ò ÓÒ¸ ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð Ù ÓÒ ´ º µ¸ × ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö
Ð × Ð Ú × Ð Ö ÓÐ Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓ Ð × Ö Ð Ö Þ Ð Ö Óк ×Ø
ÔÖÓÔ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð × ÒÓ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒº È Ö
ÔÖÓ Ù Ö ÙÒ ¸ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ú Ò× ÖØ Ö Ø Ò Ö Ð ÙÒ ÔÓ× Ð Ú ÒÖÐ
Ö Þ Ð Ö Óи Ó Ð Ö Þ Ð ÙÒÓ ×Ù× ×Ù Ö ÓР׺ Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ù Ò Ó × Ð Ñ Ò
ÙÒ Ð Ú ¸ Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ð Ú × Ö ×Ø ÒØ × Ø Ò Ö ÔÓ× Ð × Ú ÒÖ Ö Þ Ð
Ö ÓÐ Ó ×Ù× ×Ù Ö ÓР׺
6.2.1 El TAD Rand Tree<Key>
ÒØ × ÜÔÐ Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÙÒ × × × Ô Ö ÙÒ Ì ÕÙ ÒÓ× ÑÓ Ð
ÙÒ º Ì Ð Ì × ÒÓÑ Ò Gen Rand Tree<Key> Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÚÓ
ØÔÐ Ö Ò ØÖ ºÀ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ð × Ù ÒØ
ØÔÐ Ö Ò ØÖ ºÀ ≡
template <template <typename> class NodeType, typename Key, class Compare>
class Gen_Rand_Tree
{
typedef NodeType<Key> Node;
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rand Tree<Key>
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rand Tree<Key>
};
Ð × × ÔÙ Ð × Rand Tree<Key>
¬Ò ×
Gen Rand Tree¸ Ù× Ò ÙÒ º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Gen Rand Tree<Key> × ¬Ò Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÒÓ Ó
ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ ÙÒ
ØÔÐ Ö Ò ÆÓ ºÀ ≡
DECLARE_BINNODE_SENTINEL(RandNode, 80, BinNodeXt_Data);
¬Ò ×
RandNode¸ Ù× Ò ÙÒ º
RandNodeVtl¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × DECLARE BINNODE SENTINEL ¾ º
ÁÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ¸ Ð Ì Gen Rand Tree<Key> ØÖ ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ÒÓ Ó Ñ¹
ÔÐ Ó Ô Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × ÓÒ Ö Ò Ó ×ØÙ Ó× Ò Ü º½½ ´Ô Ò ¿ ¿µ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ù Ö Ò Ð
Ö ÒÐ Ð Ö ÓÐ Ý NullPtr × ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ Ò Ð ÙÝ Ö Ò Ð × ÖÓº
Ä Ð × Gen Rand Tree<Key> Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ô× Ù Ó Ð ØÓ¹
Ö Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× Ú Ð ÑÓ× Ð Ð ÓØ gsl½º Í× Ö ÑÓ× Ð Ò Ö ÓÖ ØÓÖ¹
Ò Ó ´ ÌÛ ×Ø µ¸ ØÙ ÐÑ ÒØ ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð Ñ ÓÖ Ò Ö ÓÖ ÓÒÓ Ó ÒÙÑ ÖÓ×
× Ù Ó¹ Ð ØÓÖ Ó× ½¼¸ ¸ ½½ º ÍÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ó ØÓ gsl¸ Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó׸
ÔÙ Ó Ø Ò Ö× Ñ ÒØ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rand Tree<Key> ≡ ´ µ ¼
gsl_rng * gsl_rng_object() { return r;}
ØÖ Ú × ×Ø ÔÙÒØ ÖÓ¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ÔÙ ÐØ Ö Ö Ð Ò Ö ÓÖ ×Ù ÔÐ ÒÓ Ö × Óº
ÄÓ× Ñ Ñ ÖÓ× ØÓ Gen Rand Tree<Key>
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rand Tree<Key> ≡ ´ µ
Node * tree_root;
gsl_rng * r;
½
Gnu Scientific Library º

505. ´
6.2. Arboles aleatorizados 479
tree root × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ö Þ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº r × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ó ØÓ
Ò Ö ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ× Ô× Ù Ó Ð ØÓÖ Ó× Ð Ð ÓØ gslº
Ä × Ð × × ÕÙ × ÜÔÓÖØ Ò Ð Ù×Ù Ö Ó
Ð × × ÔÙ Ð × Rand Tree<Key> ≡ ´ µ
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class Rand_Tree : public Gen_Rand_Tree<RandNode, Key, Compare>
{ /* empty */ };
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class Rand_Tree_Vtl : public Gen_Rand_Tree<RandNodeVtl, Key, Compare>
{ /* empty */ };
Í× × Gen Rand Tree ¸ RandNode ¸ Ò RandNodeVtl º
6.2.1.1 Inserci´n en un ABBA
o
Ä × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ × ØÙ Ö × ÓÒ × Ð ØÓÖ ×¸ Ò ÙÒ ÓÒ
Ð ¬Ò ÓÒ º¾¸ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò × Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö Ú Ò Ó ÒÓ Ö Þ Ý¸ × ÑÓ Ó¸
Ö ÒØ Ò ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð ØÓÖ Óº È Ö ÐÐÓ¸ ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
× Ù ÒØ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rand Tree<Key> +≡ ´ µ
Node * random_insert(Node * root, Node * node)
{
if (root == Node::NullPtr) // ¿inserci´n en ´rbol vac´o?
o a ı
return node;
const long & n = COUNT(root);
Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ ¼ Ý Ò ¼ ;
if (rn == n) // ¿Gana node el sorteo de ser ra´z?
ı
return insert_root_xt <Node, Compare> (root, node); // s´, node ser´ ra´z
ı a ı
Node * result;
if (Compare () (KEY(node), KEY(root))) // ¿insertar en arbol izquierdo?
´
{
result = random_insert(LLINK(root), node); // inserta en rama izquierda
if (result != Node::NullPtr) // ¿hubo inserci´n?
o
{ // si ==> actualizar rama y contadores
LLINK(root) = result;
++COUNT(root);
}
}
else if (Compare() (KEY(root), KEY(node)))// ¿insertar en arbol derecho?
´
{
result = random_insert(RLINK(root), node); // inserta en rama derecha
if (result != Node::NullPtr) // ¿hubo inserci´n?
o
{ // si ==> actualizar rama y contadores
RLINK(root) = result;
++COUNT(root);
}
}
else
return Node::NullPtr; // clave duplicada ==> no hay inserci´n
o
return result;

506. 480 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
}
¬Ò ×
random insert¸ Ù× Ò ÙÒ ¼ º
Í× × insert root xt ¿ º
Ð ÔÙÒØÓ ÒØÖ Ð Ð Ò× Ö ÓÒ × Ð ×ÓÖØ Ó ØÙ Ó Ò Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ ¼
Ý Ò ¼ ¸ Р٠и Ò ÓÒ×ÓÒ ÓÒ Ð ¬Ò ÓÒ º¾¸ × Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö Ú Ò Ö
Ö Þ Ó ÒÓ
¼ Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ ¼ Ý Ò ¼ ≡ ´ µ
const size_t rn = gsl_rng_uniform_int(r, n + 1);
Ä Ò× Ö ÓÒ Ò Ð Ö Þ × Ö Ð Þ ÔÓÖ Ð ÖÙØ Ò insert root xt() ÜÔÐ Ò
Ü º½½º ´Ô Ò ¿ µº
random insert() ÑÔÐ ÒØ Ð Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ Þ º Ä Ú Ö× ÓÒ ÔÙ Ð Ð Ò× Ö ÓÒ
Ô Ö Ð Ø ÔÓ Gen Rand Tree<Key> × ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rand Tree<Key> +≡ ´ µ ¼
Node * insert(Node * p)
{
Node * result = random_insert(tree_root, p);
if (result == Node::NullPtr)
return NULL;
tree_root = result;
return p;
}
Í× × random insert º
6.2.1.2 Eliminaci´n en un ABBA
o
Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ Ð × ÓÒ × Ó Ö Ð Ö Þ Ö ×ÙÐØ ÒØ
Ð ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú × ÑÔÖ × Ð Ö Þ Ð ×Ù ¹ Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Ó ´Ü º½½º ´Ô Ò ¿ µµº
×ØÓ ÒØÖÓ Ù ÙÒ × × Ó Ò Ð ÕÙ Ð Ö Ó ÔÖÓ Ð ×Ø Ó Ò ÓÒØÖ Ð Ð ØÓÖ º ËÓÖØ Ö
ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ù Ð Ð × Ö × ¹ ÞÕÙ Ö Ó Ö ¹ Ö ÑÔÐ Þ Ö× ÒÓ ÙÒ ÓÒ ¸ ÔÙ ×
ÒÓ × ÔÓÒ Ö Ð ÒØ ÒÓ Ó× ÕÙ Ø Ò ÖѺ
Ð ØÖÙ Ó Ô Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ÔÖÓ ÙÞ ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó × ×ÓÖØ Ö¸ Ò ÙÒ ÓÒ
Ð× Ö ÒР׸ Ù Ð Ð × Ö × Ú Ò Ö Ð Ö Þ Ð Ö ×ÙÐØ Óº ×Ø × ÔÐ ×Ñ
Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÒØ
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rand Tree<Key> +≡ ´ µ ¼ ½
Node * random_join_exclusive(Node * tl, Node * tr)
{
if (tl == Node::NullPtr)
return tr;
if (tr == Node::NullPtr)
return tl;
const size_t & m = COUNT(tl);
const size_t & n = COUNT(tr);
Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ ½ Ý Ñ · Ò ½
if (rn <= m)
{ // rama izquierda gana sorteo
COUNT(tl) += COUNT(tr);
RLINK(tl) = random_join_exclusive(RLINK(tl), tr);
return tl;

507. ´
6.2. Arboles aleatorizados 481
}
else
{
COUNT(tr) += COUNT(tl);
LLINK(tr) = random_join_exclusive(tl, LLINK(tr));
return tr;
}
}
¬Ò ×
random join exclusive¸ Ù× Ò ÙÒ ½ º
½ Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ ½ Ý Ñ · Ò ½ ≡ ´ ¼µ
const size_t rn = 1 + gsl_rng_uniform_int(r, m + n);
ÍÒ Ú Þ Ö Ð Þ Ð ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ð ØÓÖ Þ ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð ØÓÖ Ò Ö ÓÐ
Ò ÖÓ Ù×ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ó× × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÒØ Ð ÙÒ
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rand Tree<Key> +≡ ´ µ ¼ ½
Node * random_remove(Node *& root, const Key & key)
{
if (root == Node::NullPtr)
return Node::NullPtr;
Node * ret_val;
if (Compare() (key, KEY(root)))
{
ret_val = random_remove(LLINK(root), key);
if (ret_val != Node::NullPtr)
COUNT(root)--;
return ret_val;
}
else if (Compare() (KEY(root), key))
{
ret_val = random_remove(RLINK(root), key);
if (ret_val != Node::NullPtr)
COUNT(root)--;
return ret_val;
}
// clave encontrada
ret_val = root;
root = random_join_exclusive(LLINK(root), RLINK(root));
ret_val->reset();
return ret_val;
}
¬Ò ×
random remove¸ Ù× Ò ÙÒ ½º
Í× × random join exclusive ¼º
Ä ÐÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × × Ò Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×Ø Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Öº ÍÒ Ú Þ
Ò ÓÒØÖ Ó ×Ø ÒÓ Ó¸ × ØÙ ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ð ØÓÖ ÒØÖ Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ý
Ð Ö ¸ Ð Ù Ð × Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ð Ñ Ò ÓÒº
ÙÐÑ Ò ÑÓ× ×Ø × ÓÒ ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÖÙØ Ò ÔÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rand Tree<Key> +≡ ´ µ ½
Node * remove(const Key & key)

508. 482 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
{
Node * ret_val = random_remove(tree_root, key);
return ret_val != Node::NullPtr ? ret_val : NULL;
}
Í× × random remove ½ º
6.2.2 An´lisis de los ´rboles aleatorizados
a a
Ä ÒØÖ Ð Ò ×Ø Ò Ð × × × ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò× Ö ÓÒ º¾º½º½ Ý
Ð Ñ Ò ÓÒ º¾º½º¾¸ ÔÖÓ Ù Ò Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× Ò Ð × ÒØ Ó Ð ¬Ò ÓÒ º¾º
Lema 6.1 (Mart´ ınez y Roura 1998 [8]) Ë Ò T< Ý T> ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ù×ÕÙ ÔÖÓ Ù Ó× ÔÓÖ Ð ÐÐ Ñ split key rec xt(T , x, T<, T>) ÑÔÐ ÒØ
× ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÜÔÐ Ó Ò Ü º½½º ´Ô Ò ¿ µº Ë T × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó¸ Ò¹
ØÓÒ ×¸ T< Ý T> ×ÓÒ Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× Ò Ô Ò ÒØ ×º split key rec xt(Ê(T ), x, T< , T> )
T T<
y y>x y
Ä(T ) Ê(T ) Ä(T ) Ê(T< ) T>
=⇒
´ µ ÒØ × Ô ÖØ ¹ ´ µ ×ÔÙ × Ô ÖØ ÓÒ Ö
ÓÒ Ö
ÙÖ º¾ split key rec xt(T , x, T<, T>)
Demostraci´n (Por inducci´n sobre n = |T |)
o o
n = 0: × T = ∅¸ ÒØÓÒ × split key rec xt(T , x, T<, T>) ÔÖÓ Ù T< = T> = ∅¸ Ð
Ù Ð × ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº Ð Ð Ñ ×¸ Ô٠׸ ÖØÓ Ô Ö n = 0º
n > 0: ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó n Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × Ð Ð Ñ × ÖØÓ
Ô Ö n + 1º
Ë y = Ã (Ö Þ(T ))º Ë x > y¸ ÒØÓÒ × b Ö Þ(T<) = Ö Þ(T ) Ý Ð Ö ÓÐ
T> Ý Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Ó Ê(T<) × Ð ÙÐ Ò Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÐÐ Ñ
split key rec xt(Ê(T ), x, T<, T>) ÈÓÖ ÔÖ Ñ × Ð Ð Ñ ¸ Ä(T ) × Ð ØÓÖ Ó Ò¹
Ô Ò ÒØ ¸ ÔÙ × T Ø Ñ Ò ÐÓ ×º ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ê(T<)
Ý T> ×ÓÒ Ð ØÓÖ Ó× Ò Ô Ò ÒØ ×¸ ÔÙ × ÐÐÓ× ×ÓÒ Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÐÐ Ñ
split key rec xt(Ê(T ), x, T<, T>)º
Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ ÕÙ T> × Ð ØÓÖ Ó Ò Ô Ò ÒØ º
ÉÙ Ö T< Ë ÑÓ× ÕÙ ×Ù× Ö Ñ × ÞÕÙ Ö Ý Ö ×ÓÒ Ð ØÓÖ ×
Ò Ô Ò ÒØ ×º ÆÓ× ÐØ ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ù ÓÒ º × × Ø × Ô Ö
T<º È Ö ÐÐÓ ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö ÕÙ ∀z ∈ T< , P(Ö Þ(T<) = z) = m ÓÒ m = |T<|º
1
×ØÓ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÐ ÒØ Ö
P(Ö Þ(T ) = z ∩ Ö Þ(T ) < x)
P(Ö Þ(T<) = z | Ö Þ(T ) < x) =
1/n 1
= =
P(Ö Þ(T ) < x) m/n m

509. ´
6.2. Arboles aleatorizados 483
Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ ×ÑÓ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ × ÔÐ × x < y¸ ÒØ Ö Ñ Ò Ó ÐÓ× ÖÓÐ ×
T< Ý T>¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ
Ð Ð Ñ º½ × ÙØ Ð ÔÓÖÕÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ × ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÒØ ÖÒ Ð Ò× Ö ÓÒ¸ ÙÝ Ú Ð Þ
×Ø ÑÓ×ØÖ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × Ù ÒØ
Proposici´n 6.1 (Mart´
o ınez y Roura 1998 [8]) Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ý × p
ÙÒ ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö ÓÒ Ð Ú kº ÒØÓÒ ×¸ Ð ÐÐ Ñ insert(T , p) ÑÔÐ ÒØ
Ò Ü º¾º½º½ ´Ô Ò µ ÔÖÓ Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
Demostraci´n (Por inducci´n sobre n = |T |)
o o
n = 0: × T = ∅¸ ÒØÓÒ × insert(∅, p) = pº ÄÓ× ×Ù Ö ÓÐ × Ä(p) Ý Ê(p) ×ÓÒ Ú Ó׸ ÐÓ×
٠Р׸ ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ ×ÓÒ Ð ØÓÖ Ó׺ ËÓ Ö p × Ú Ö ¬ ÕÙ P(Ö Þ(p) = k) = 1 = |p| º
1
× Ô٠׸ insert(∅, p) = p × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ý Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö n = 0º
n > 0: ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó n Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × ÐÓ × Ô Ö
n + 1º Ë T =insert(T , p)¸ × x = Ã (p) y = Ö Þ(T )º ÒØ × Ò× ÖØ Ö
x, P(Ö Þ(T ) = y) = n ¸ ÔÙ × T × Ð ØÓÖ Óº
1
Ô ÖØ Ö ×Ø × ×ÙÔÓ× ÓÒ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ò Ù Ö Ó× ×Ó× ×ÔÙ × Ð Ò× Ö ÓÒ
´½µ ÕÙ y ÓÒØ ÒÙ ÓÑÓ Ö Þ T Ó ´¾µ ÕÙ x × Ð Ö Þ T
½º Ë Ö Þ(T ) = y¸ ÒØÓÒ × x Ô Ö Ö Ò Ð ×ÓÖØ Ó Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ
¼ Ý Ò ¼ Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ Ý Ð ÔÖ Ó rn == n
× Ö Ð×Óº Ä ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð ÔÖ Ó rn == n × Ð×Ó × n+1 ´ Ð
n
ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÔÖÓ Ð ×Ø Ó n+1 ¸ ÕÙ × Ð ÔÖÓ Ð
1
ÕÙ x × Ö Þ
T µº × ÔÙ ×
∀y ∈ T , P(Ö Þ(T ) = y) 1 n 1
= × =
n n+1 n+1
P(Ö Þ(T)=y) P(Ö Þ(T )=y)
Ò ×Ø ×Ó x × Ö Ò× ÖØ Ó Ò Ð ÙÒÓ ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × T ݸ ÔÓÖ Ð ÔÓØ × ×
Ò Ù Ø Ú ¸ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
¾º Ë Ö Þ(T ) = x¸ ÒØÓÒ × x Ð ÔÖ Ó rn == n ×Ö ÖØÓ ×ØÓ ×Ù ÓÒ
ÔÖÓ Ð P(Ö Þ(T ) = x) = n+1 ¸ ÕÙ × ÐÓ ×Ô Ö Ó ×
1
ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓº ÈÓÖ
ÓØÖ Ô ÖØ ¸ T = < T<, x, T> >¸ ÓÒ T< Ý T> ×ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ö ×ÙÐØ ÒØ ×
random join(T , x, T<, T>) ÐÓ× Ù Ð × ×ÓÒ¸ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º½¸ Ð ØÓÖ Ó×
Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ð Ö Ð ÓÖÓÐ Ö Ó × Ù ÒØ º
Corolario 6.1 Ë K = {k1, k2, . . . , kn} ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ù ÐÕÙ Ö º Ë T ÙÒ Ö ÓÐ
Ð ØÓÖ Þ Óº ÒØÓÒ ×¸ Ù ÐÕÙ Ö Ô ÖÑÙØ ÓÒ Ò× Ö ÓÒ K ×Ó Ö T ¸ × ÙÒ Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓ × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü º¾º½º½ ´Ô Ò µ¸ ÔÖÓ Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº
Ð ÓÖÓÐ Ö Ó ÓÒÐÐ Ú ÑÔÐ ÓÒ × ÑÔÓÖØ ÒØ ×º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ù ÐÕÙ Ö × Ð
ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ¸ × ÑÔÖ Ó Ø Ò Ö ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ð
Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ
Ð ØÓÖ º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÓÒÓ Ó× Ô Ö ÙÒ ×ÓÒ ÔÐ Ð ×
Ð Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÐÓ× × Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¾ ÕÙ ÒÓ× ÔÖÓÑ Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ
O(Ð n)º

510. 484 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ò Ù ÒØÓ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ô Ö Ò Ð Þ ÖÐ × ×ØÙ Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú
Ð ØÓÖ ¸ Ð Ù Ð × Ò Ð Þ Ò Ð Ð Ñ × Ù ÒØ
Lema 6.2 (Mart´ ınez y Roura 1998 [8]) Ë Ò T< Ý T> Ó× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× Ò Ô Ò¹
ÒØ × Ø Ð ÕÙ ∀kl ∈ T<, ∀kr ∈ T>, kl < kr × Ö¸ ØÓ × Ð × Ð Ú × T< ×ÓÒ ×ØÖ Ø ¹
Ñ ÒØ Ñ ÒÓÖ × ÕÙ Ð × Ð Ú × T>º ÒØÓÒ ×¸ T = random join exclusive(T<, T>)
× ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
Demostraci´n (por inducci´n sobre m = |T<| y n = |T>|)
o o
m = 0 o n = 0: Ó ×Ø ÔÖ Ó¸ Ø Ò ÑÓ× Ó× ×Ó×
½º Ë m = 0 Ý n = 0¸ ÒØÓÒ × random join exclusive(T<, T>) = ∅¸ Р٠Р׸
ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ Ð ØÓÖ Óº
¾º Ë m = 0 Ó n = 0¸ ÒØÓÒ × random join exclusive(T<, T>) Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÐ
ÒÓ Ú Ó Ð Ô Ö¸ Р٠Р׸ ÔÓÖ ÔÖ Ñ × Ð Ð Ñ ¸ Ð ØÓÖ Óº Ð Ð Ñ ×¸ Ô٠׸
ÖØÓ Ô Ö m = 0 Ó n = 0º
m > 0 y n > 0: ×
¯ a=Ã (Ö Þ(T>))¸
¯ b=Ã (Ö Þ(T>)) Ý
¯ T = random join exclusive(T<, T>)
×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ a Ò Ð ×ÓÖØ Ó Ò Ö ÖÒ Ð ØÓÖ Ó ÒØÖ ½ Ý Ñ · Ò ½
ØÙ Ó Ò Ð random join exclusive() × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü º¾º½º¾ ´Ô Ò ¼µ
Ó × ÕÙ Ð ÔÖ Ó rn <= m × ÖØÓº ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ a × Ö Ð Ö Þ T º
ÈÓ ÑÓ× Ó×ÕÙ Ö Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
T = random join exclusive(T<, T> )
a
random join exclusive(Ê(T< ), T> )
Ä(T< ) T>
ÈÓÖ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ý Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ×ÓÖØ Ó¸ Ð ÖÑ
ÞÕÙ Ö T × Ä(T )¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ö × Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú
random join exclusive(Ê(T<), T>)º ÓÖ Ò¸ Ä(T ) × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó
Ô٠׸ ÔÓÖ ÔÖ Ñ × Ð Ð Ñ ¸ T Ø Ñ Ò ÐÓ ×º Á Ù ÐÑ ÒØ ¸ ÔÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸
T> Ø Ñ Ò × Ð ØÓÖ Óº Ä(T ) Ý T> ×ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ ×¸ ÔÙ × Ä(T ) Ý Ê(T ) ×ÓÒ¸ ÔÓÖ
ÔÖ Ñ × Ð Ð Ñ ¸ Ò Ô Ò ÒØ × Ý T> = random join exclusive(Ê(T<), T>)
׸ ÔÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ò Ô Ò ÒØ º À Ò Ó ÑÓ×ØÖ Ó ÕÙ Ð ×
ÖÑ× T ×ÓÒ Ð ØÓÖ × Ò Ô Ò ÒØ ×¸ ×ÓÐÓ ÒÓ× Ö ×Ø ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ
∀x ∈ T< , P(Ö Þ(T ) = x) = m+n º ×ØÓ ×
1
1 m 1
P(Ö Þ(T ) = x) = P(Ö Þ(Ä(T )) = x) × P(rn <= M × ÖØÓ) = × =
m m+n m+n
ÓÒ ×Ø Ð Ñ ¸ ×Ø ÑÓ× Ò Ô ×ØÙ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸ Ð Ù Ð × Ò Ð Þ
Ò Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × Ù ÒØ

511. ´
6.2. Arboles aleatorizados 485
ınez y Roura 1998 [8]) Ë T ÙÒ
Proposici´n 6.2 (Mart´
o Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ý x ÙÒ Ð Ú
ÓÒØ Ò Ò T º Ë Ð ÐÐ Ñ remove(T , x) Ý × T Ð Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ
×ÔÙ × Ð ÐÐ Ñ remove()º ÒØÓÒ ×¸ T × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
Demostraci´n (por inducci´n sobre n = |T |)
o o
n = 1: ÒØÓÒ × T = ∅¸ Р٠Р׸ ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ Ð ØÓÖ Óº
n > 1: ÒØÓÒ × ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó |T | < n Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × Ø Ñ Ò
× ÖØÓ Ô Ö nº ÕÙ ÔÓ ÑÓ× × Ô Ö Ö Ó× ×Ó×
½º Ë Ö Þ(T ) = x¸ ÒØÓÒ × x × Ð Ñ Ò Ó ÙÒÓ ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × T ݸ ÔÓÖ Ð
ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ ×Ø Ð Ñ Ò ÓÒ ÖÖÓ ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
¾º Ë Ö Þ(T ) = x¸ ÒØÓÒ × remove(T , x) ØÙ Ð ÐÐ Ñ random join(Ä(T ), Ê(T ))
Р٠и ÔÓÖ Ð Ð Ñ º¾¸ × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº ÈÓ ÑÓ× ¬ÖÑ Ö¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ
Ä(T ) Ý Ê(T ) ×ÓÒ Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× Ò Ô Ò ÒØ ×º ÆÓ× Ö ×Ø ÔÓÖ ÓÑÔÖÓ Ö
ÕÙ ∀y ∈ T , P(Ö Þ(T ) = y) = n−1 ¸ ÐÓ Ù Ð × Ú Ö ¬ ÓÑÓ × Ù
1
P(Ö Þ(T ) = y) = P(Ö Þ(T ) = y | Ö Þ(T ) = x) × P(Ö Þ(T ) = x) +
P(Ö Þ(T ) = y | Ö Þ(T ) = x) × P(Ö Þ(T ) = x)
= P(Ö Þ(random join(Ä(T ), Ê(T ))) = y) ×
1
+
n
−
P(Ö Þ(T ) = y | Ö Þ(T ) = x) × n n 1
1 1 1 n−1 1
= × + × =
n−1 n n−1 n n−1
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó 512 ÒÓ Ó×
Ð × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÑÓ×ØÖ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ÒÙÒ Ö Ð × Ù ÒØ ÓÖÓÐ Ö Óº
Corolario 6.2 Ë T × ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ ÒØÓÒ × Ù ÐÕÙ Ö × Ù Ò
Ò× Ö ÓÒ × Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × ÔÖÓ Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
Ë ÙÒ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ Ù ÐÕÙ Ö × Ð × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ¸ ÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ ×
ÒØ Ö Ð × Ö ØÖ Ö ×¸ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÑÔÖ × Ð ØÓÖ Óº ÈÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÓÒ ÐÙ Ö
ÕÙ Ò ÔÖÓÑ Ó Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó × O(Ð n)º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ Ð ×
ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ô Ò Ð ÐØÙÖ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö¸ Ø Ñ Ò¸
ÕÙ Ò ÔÖÓÑ Ó Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ×ÓÒ O(Ð n)º
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× Ø Ò Ò Ó× Ó×Ø × ÓÒ Ð × Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× Ò Ö Ó× Ð × Ó׺
Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÒÓ Ó ÙÒ Ö ÕÙ Ö ×Ô Ó ÓÒ Ð Ô Ö Ð¹
Ñ Ò Ö Ð Ö Ò Ð º Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ ÙÒ Ö ÕÙ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒ Ð ×
Ö ×Ô ØÓ ÙÒ º ÙÖ ÒØ Ð Ò× Ö ÓÒ¸ × Ò × Ö Ó ØÙ Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ Ý ØÙ Ð Þ Ö
Ð× Ö ÒР׺
Ô × Ö Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÙÒ Ø Ò Ð Ú ÒØ ÐÑÒ Ö Ð
Ô Ð ÖÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÔÓÖ Ð × × Ó Ò Ð × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ Ý Ð × Ò× Ö ÓÒ × ÒØ Ö¹
Р׺ Ò Ò ÙÖ ¸ Ð ÓÒØ ÓÖ ÔÖ × ÒØ Ò ÒÓ Ó Ð Ø Ô Ö Ø Ý Ò ØÙÖ Ð¹
Ñ ÒØ Ð ×Ó ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ÓÒ ØÓ × ×Ù× ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó ×¸ Ø Ð ÓÑÓ × ÜÔÐ Ó
Ò Ü º½½ ´Ô Ò ¿ ¿µº ×ØÓ ÙÐØ ÑÓ × ÕÙ Þ Ð Ö Ò ÓÒ ×Ø ×ÕÙ Ñ ÕÙ Ð Ö Óº

512. 486 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
6.3 Treaps
ÓÖ ×ØÙ Ö ÑÓ× ÓØÖÓ Ò ÓÕÙ Ð ØÓÖ Þ ÓÒ Ö ÐÑ ÒØ Ö ÒØ ÙÒ Ð
×ØÖÙ ØÙÖ ØÖ Ôº
Definici´n 6.3 (Treap)
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ò Ù Ð ÒÓ Ó ni Ø Ò Ó× ÑÔÓ×
× Ö
½º à (ni) ∈ K × Ð Ð Ú Ù×ÕÙ ¸ ÓÒ K × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÕÙ Ö º
¾º ÈÊÁÇ(ni) ∈ P × Ð ÔÖ ÓÖ Ð ÒÓ Ó¸ ÓÒ P × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÕÙ Ö º
ÒØÓÒ ×¸ T × ÙÒ ØÖ Ô × Ý ×ÓÐÓ ×
¯ T ∈ × ÙÒ Ð × Ð Ú × Kº
¯ ∀ni ∈ T, ÈÊÁÇ(ni) ≤ ÈÊÁÇ(Ä(ni)) y ÈÊÁÇ(ni) ≤ ÈÊÁÇ(Ê(ni)) .
Ä × ÙÒ ÔÖÓÔ × ÒÓÑ Ò Ö Ð ÓÒ Ð Ò ×ØÖÓº Ë Ð × ÔÖ ÓÖ × ×ÓÒ
ÙÒ ×¸ × Ö¸ × ×Ø × ÒÓ × Ö Ô Ø Ò¸ ÒØÓÒ × Ð ØÖ Ô × ÒÓÑ Ò Ó ÔÙÖÓ º
Ä ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÖ Ò ÙÒ Ð × ÙÒ Ð ÓÖ Ò
ÙÒ Ôº ÐÐ ¸ Ô٠׸ Ð ÒÓÑ Ö ØÖ Ô ØÖ Ý Ôº
ÈÓ ÑÓ× Ö Ø Ö Þ Ö ÙÒ ØÖ Ô ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò Ô Ö × ´ Ð Ú ¸ ÔÖ ÓÖ µ ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ ÒØ ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÒÓ Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ØÖ Ô Ð ¬ ÙÖ º ÔÙ Ö ¹
Ø Ö Þ Ö× ÓÑÓ (1, 470)¸ (2, 537)¸ (3, 625)¸ (5, 658)¸ (7, 608)¸ (8, 652)¸ (14, 685)¸ (17, 713)¸
(19, 729)¸ (21, 575)¸ (22, 769)¸ (24, 571)¸ (27, 515)¸ (44, 734)¸ (45, 587)¸ (55, 511)¸ (56, 659)¸
(60, 854)¸ (61, 681)¸ (62, 457)¸ (65, 718)¸ (66, 718)¸ (77, 558)¸ (84, 649)¸ (86, 646)¸ (89, 454)¸
(92, 490)¸ (93, 725)¸ (94, 761)¸ (96, 440)
ÍÒ ØÖ Ô Ø Ò ÙÒ ÔÖÓÔ ÑÙÝ ÒØ Ö × ÒØ Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ð Ñ º
Lema 6.3 (Lema de la unicidad del treap (Seidel - Aragon 1996) [13]) Ë K =
{k1, k2, . . . kn} ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × Ý P = {p1, p2, . . . pn} ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖ ÓÖ ×º
ÒØÓÒ ×¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ {(k1, p1), (k2, p2), . . . (kn, pn), } ⊂ K × P Ø Ò ÙÒ ÙÒ Ó ØÖ Ôº
Demostraci´n (Por inducci´n sobre n)
o o
n = 1: Ò ×Ø ×Ó Ü ×Ø ÙÒ ÙÒ Ó ØÖ Ô ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ô Ö ÙÒ Óº Ð Ð Ñ × ÖØÓ
ÔÖ n = 1º
n > 1: ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó n Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× ×Ù Ú Ö
Ô Ö n + 1º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × ÔÖ ÓÖ × ×ÓÒ ÙÒ ×¸ Ð ØÖ Ô n + 1 ÒÓ Ó× ×ÓÐÓ
ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ Ö Þ ÙÝ ÔÖ ÓÖ × Ð Ñ ÒÓÖ ØÓ ×º Ë (ki, pi) Ð ÒÓ Ó
Ö Þ Ð ØÖ Ôº ÍÒ Ú Þ Ø ÖÑ Ò Ð Ö Þ Ð ØÖ Ô Ý Ù× Ð ÔÖÓÔ
ÓÖ Ò ÙÒ ¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ð × Ö Ñ × ÞÕÙ Ö Ý Ö ÕÙ
Ø ÖÑ Ò Ó Ò K< = {(k1, p1), . . . , (Ki−1, pi−1)} Ý K> = {(ki+1, pi+1), . . . , (kn, pn)}¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ K< Ý K>¸ ÙÝ × Ö Ò Ð × ×ÓÒ
Ò Ö ÓÖ × n + 1¸ Ø Ò Ò ØÖ Ô× ÙÒ Ó׺ Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó n
Ò ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ð Ð ØÓÖ ÙÒ ØÖ Ô Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð × Ð ÓÒ
Ð ÔÖ ÓÖ º Ù Ò Ó × Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó¸ × × Ð ÓÒ Ð ÔÖ ÓÖ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ×
Ò× ÖØ Ð ÒÓ Ó × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð × Ó Ò× Ö ÓÒ Ò Ý Ð × Ú ÓÐ ÓÒ × Ú ÒØÙ Ð ×
Ð Ö Ð ÓÒ Ð Ò ×ØÖÓ × ÓÖÖ Ò Ñ ÒØ ÖÓØ ÓÒ ×º

513. 6.3. Treaps 487
96
440
89
454
62 92
457 490
1 77 93
470 558 725
55 66 86 94
511 718 646 761
27 56 65 84
515 659 718 649
2 45 61
537 587 681
24 44 60
571 734 854
21
575
7 22
608 769
3 8
625 652
5 14
658 685
17
713
19
729
ÙÖ º ÑÔÐÓ ØÖ Ôº ÑÔÓ× ×ÙÔ Ö ÓÖ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð × Ð Ú × Ò Ö ÓÖ × ÔÖ ÓÖ ¹
×
6.3.1 El TAD Treap<Key>
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ò Ð × ÒÓ ÙÒ Ì ÕÙ ÒÓ× ÑÓ Ð ÙÒ ØÖ Ô × Ø ÖÑ Ò Ö Ð
×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÒÓ Ó ÕÙ ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ º À Ý Ó× Ñ Ò Ö × Ò Ö Ð × ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ØÖ Ô

514. 488 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ö ÙÖ× Ú Ó Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ º Ñ Ó× Ò ÓÕÙ × ×ÓÒ ÑÙÝ × Ò ÐÐÓ× Ý ÓÑÔ ÖØ Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ
Ð ÒÓ Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ñ ÒØ Ò Ö ÑÓ× Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÒÓ Ó Ò ÙÒ Ö ÚÓ × Ô Ö Ó
ÒÓÑ Ò Ó ØÖ ÔÆÓ ºÀ ¸ Ð Ù Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÑÓ × Ù
ØÖ ÔÆÓ ºÀ ≡
const long Max_Priority = ULONG_MAX;
const long Min_Priority = 0;
class TreapNode_Data
{
unsigned long priority;
TreapNode_Data () : priority (Max_Priority) { /* empty */ }
unsigned long & getPriority () { return priority; }
};
DECLARE_BINNODE_SENTINEL(TreapNode, 80, TreapNode_Data);
# define PRIO(node) ( (node) -> getPriority () )
¬Ò ×
TreapNode¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × DECLARE BINNODE SENTINEL ¾ º
ÕÙ × ¬Ò Ð ÒÓ Ó Ò Ö Ó TreapNode<Key> ÕÙ ÐÑ Ò ÙÒ ÔÖ ÓÖ
Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó getPriority() Ó Ð Ñ ÖÓ PRIOº Ð Ö ÚÓ ÜÔÓÖØ Ó× ÓÒ×Ø ÒØ ×
Min Priority Ý Max Priority ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ñ Ò ÑÓ Ý Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ÔÙ
Ø Ò Ö ÙÒ ÔÖ ÓÖ º
ÍÒ TreapNode<Key> Ø Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Node::NullPtr ÔÙÒØ Ó ÙÒ ÒØ Ò Ð ÓÒ
ÔÖ ÓÖ Ñ Ü Ñ º ×Ø ÒÓ Ó ÙÒ ÒØ Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ö ÖÓØ ÓÒ × × Ò ÒØ ×
Ó × Ð Ö Óк
ÆÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ØÖ Ô Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ö Ô Ö Ð Ö Þº Ì Ð
ÒÓ Ó Ø Ñ Ò ÙÒ ÒØ Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ö ÖÓØ ÓÒ × × Ò ÒØ × Ð Ö Þº
ÓÖ ÔÖÓ ÑÓ× × ÖÖÓÐÐ Ö Ð Ì Treap<Key>
ØÔÐ ØÖ ÔºÀ ≡
template <template <typename> class NodeType, typename Key, class Compare>
class Gen_Treap
{
Å Ñ ÖÓ× Gen Treap<Key>
};
Ð × × ÔÙ Ð × Gen Treap<Key>
¬Ò ×
Gen Treap¸ Ù× Ò ÙÒ º
ÒØ × ÑÔÐ ÒØ Ö ÐÓ× ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ×¸ × Ò × Ö Ó ¬Ò Ö ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ÒØ ÖÒÓ×
Gen Treap<Key>
Å Ñ ÖÓ× Gen Treap<Key> ≡ ´ µ
Node head;
Node * head_ptr;
Node *& tree_root;
head × ÙÒ ÒÓ Ó Ö ¸ Ô Ö ÒØ Ò Ð Ð Ö Þ¸ head ptr × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð
ÒÓ Ó Ö Ý tree root × ÙÒ Ö Ö Ò ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ö Þ Ð ØÖ Ôº
ÍÒ ØÖ Ô Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ò Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð ×
ÔÖ ÓÖ ×º È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× Ú Ð ÑÓ× Ð Ð ÓØ gsl¾º Í× Ö ÑÓ× Ð Ò Ö ÓÖ ØÓÖ¹
¾
Gnu Scientific Library º

515. 6.3. Treaps 489
Ò Ó ´ ÌÛ ×Ø µ¸ ØÙ ÐÑ ÒØ ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð Ñ ÓÖ Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× × Ù Ó¹
Ð ØÓÖ Ó× ½¼¸ ¸ ½½
Å Ñ ÖÓ× Gen Treap<Key> +≡ ´ µ ¼
gsl_rng * r;
Ä Ð × Gen Treap<Key> ÒÓ × Ô Ö Ù×Ó Ö ØÓ Ð Ð ÒØ ¸ ÔÙ × ×Ù ÖÓÐ × ÑÔÐ ÒØ Ö
ÙÒ ØÖ Ô Ò Ö Ó ÕÙ × Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ ×Ù× ÒÓ Ó× × Ò Ú ÖØÙ Ð × Ó ÒÓº Ð Ð ÒØ
Ù× Ö Ð ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × Ð × ×
Ð × × ÔÙ Ð × Gen Treap<Key> ≡ ´ µ
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class Treap : public Gen_Treap<TreapNode, Key, Compare>
{ /* empty */ };
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class Treap_Vtl : public Gen_Treap<TreapNodeVtl, Key, Compare>
{ /* empty */ };
Í× × Gen Treap Ò TreapNode º
6.3.2 Inserci´n en un treap
o
ÓÒ ÔØÙ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó p ÔÙ Ö Ø Ö Þ Ö× Ò Ó× Ô ÖØ ×
½º ØÙ Ö ÙÒ Ò× Ö ÓÒ ÓÑÓ Ò × Ö¸ ×Ù ×Ø ØÙ Ö Ð ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ ÔÓÖ pº
¾º ÊÓØ Ö p¸ ÓÖÑ ÕÙ ×Ø ×Ù Ò Ú Ð¸ ×Ø ÕÙ ×Ù ÔÖ ÓÖ ÒÓ Ú ÓÐ Ð Ö Ð ÓÒ
Ò ×ØÖ Ðº
×Ø ÑÓ× ÔÖ Ô Ö Ó× Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ
ÁÒ× Ö ÓÒ Ò Gen Treap<Key> ≡
static Node * insert(Node * root, Node * p)
{
if (root == Node::NullPtr)
return p;
Node * insertion_result = NULL;
if (Compare() (KEY(p), KEY(root)))
{
insertion_result = insert(LLINK(root), p);
if (insertion_result == Node::NullPtr)
return Node::NullPtr;
LLINK(root) = insertion_result;
if (PRIO(insertion_result) < PRIO(root))
return rotate_to_right(root);
else
return root;
}
else if (Compare() (KEY(root), KEY(p)))
{
insertion_result = insert(RLINK(root), p);
if (insertion_result == Node::NullPtr)
return Node::NullPtr;
RLINK(root) = insertion_result;
if (PRIO(insertion_result) < PRIO(root))

516. 490 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
return rotate_to_left(root);
else
return root;
}
return Node::NullPtr;
}
insert() ØÙ ÙÒ Ù×ÕÙ Ö ÙÖ× Ú Ð Ð Ú ÓÒØ Ò Ò Ð ÒÓ Ó pº Ë × Ò¹
Ù ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ø Ð Ð Ú ¸ ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ Node::NullPtr º
Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ð Ú ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÙÖ× ÓÒ × Ø Ò Ò Ð ÒÓ Ó
ÜØ ÖÒÓ ÓÒ Ò ÐÑ ÒØ × Ò× ÖØ Ð ÒÓ Óº Ä × Ù Ò Ö ÙÖ× Ú Ö ØÓÖÒÓ× Ú Ö ¬
× Ý ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ Ò ×ØÖ Ð¸ Ð Ù Ð Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÓÖÖ ÓÒ ÙÒ
ÖÓØ ÓÒº
Ä Ú Ö× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ insert() × ÙÒ Ñ Ñ ÖÓ ÔÖ Ú Ó¸ ×Ø Ø Ó¸ ÙÝÓ ÖÓÐ × Ö Ð Þ Ö
Ð Ò× Ö ÓÒ Ý ÓÖÖ Ö Ð × Ú ÓÐ ÓÒ × Ð Ö Ð ÓÒ Ò ×ØÖ Ðº Ä × Ð ÓÒ Ð ØÓÖ Ð
ÔÖ ÓÖ Ý Ð ÒÚÓ ÓÒ Ò Ð Ð Ñ ØÓ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ ×ÓÒ Ö Ð Þ Ó× ÔÓÖ Ð Ú Ö× ÓÒ ÔÙ Ð
insert() ÙÝ ¬Ò ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
¼ Å Ñ ÖÓ× Gen Treap<Key> +≡ ´ µ ¼
Node * insert(Node * p)
{
PRIO(p) = gsl_rng_get(r); // selecci´n aleatoria de prioridad
o
Node * result = insert(tree_root, p);
if (result == Node::NullPtr)
return NULL;
tree_root = result;
return p;
}
6.3.3 Eliminaci´n en treap
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ × ÓÒ ÔØÙ ÐÑ ÒØ Ñ × × ÑÔÐ ÕÙ Ð Ð × Ò ÙÒ º ÈÖ Ñ ÖÓ × Ù×
Ð ÒÓ Ó ÓÒ Ð Ð Ú ÒØ Ö ×º ÍÒ Ú Þ Ù Ó¸ Ð ÒÓ Ó × ÖÓØ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ó
Ñ ÒÓÖ ÔÖ ÓÖ ×Ù Ò Ú Ðº Ð ÔÖÓ ×Ó ÓÒØ ÒÙ ×Ø ÕÙ Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö ÚÒ
Ó Ò × ÑÓÑ ÒØÓ Ð ÒÓ Ó × ×Ù ×Ø ØÙÝ ÔÓÖ Node::NullPtr º
ËÓÖÔÖ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ø Ö Ø Ú Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × ÐÑ ÒØ Ö Ð Þ Ð¸Ð
Ù Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó× Ô ÖØ × ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ò ÓÑÓ × Ù
¼ Å Ñ ÖÓ× Gen Treap<Key> +≡ ´ µ ¼
Node * remove(const Key & key)
{
Ù× Ö ÒÓ Ó ÐÑÒ ÖÔ ¼
if (p == Node::NullPtr)
return NULL; // clave no fue encontrada
ÊÓØ Ö Ô ×Ø ÕÙ ÚÒ Ó ½
p->reset();
return p;
}
Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÓÕÙ ¸ Ù× Ö ÒÓ Ó ÐÑÒ Ö Ô ¼ ¸× Ò Ö Ù Ö Ð ÒÓ Ó
×ÙÔÖ Ñ Ö p Ý × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¼ Ù× Ö ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö Ô ¼ ≡ ´ ¼ µ

517. 6.3. Treaps 491
Node ** pp = &RLINK(head_ptr);
Node * p = tree_root;
while (p != Node::NullPtr)
if (Compare() (key, KEY(p)))
{
pp = &LLINK(p);
p = LLINK(p);
}
else if (Compare() (KEY(p), key))
{
pp = &RLINK(p);
p = RLINK(p);
}
else
break;
×Ø ÐÓÕÙ Ð Ö Ó× Ú Ö Ð ×º Ä Ú Ö Ð p Ù Ö Ð Ö ÓÒ Ð ÒÓ Ó ×ÙÔÖ Ñ Öº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò Ð × ÙÒ × Ð ÒÓ Ó p × Ö ÖÓØ Ó ×Ø ÕÙ Ú Ò Ó ¸ × Ò × Ö Ó¸
Ò ÔÖ Ò Ô Ó¸ Ù Ö Ö Ð Ö ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ô Ö Ø Ð ÕÙ Ñ Ò Ö ×Ø × ØÙ Ð Ò
ÖÓØ ÓÒº ÓÑÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ø Ö Ø ÚÓ¸ × ÔÖ Ö Ð Ù Ö Ö Ð Ö ÓÒ Ð Ð
ÒØÖÓ Ð ÒÓ Ó Ô Ö ÕÙ ÔÙÒØ p Ø Ð ÔÙÒØ ÓÖ × Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ú Ö Ð ppº
Ð × ÙÒ Ó ÐÓÕÙ ¸ ÊÓØ Ö Ô ×Ø ÕÙ Ú Ò Ó ½ × ×Ô ¬ Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
½ ÊÓØ Ö Ô ×Ø ÕÙ Ú Ò Ó ½ ≡ ´ ¼ µ
while ( Ô ÒÓ × Ó ½ )
if (PRIO(LLINK(p)) < PRIO(RLINK(p)))
{
*pp = rotate_to_right(p);
pp = &RLINK(*pp);
}
else
{
*pp = rotate_to_left(p);
pp = &LLINK(*pp);
}
*pp = Node::NullPtr;
Ä ÙÐØ Ñ Ð Ò × Ð ÕÙ ¬Ò ÐÑ ÒØ Ð Ñ Ò Ð ÒÓ Ó p Ð × Ò ÖÐ Ð Ð Ð ÒÓ Ó ÕÙ
ÔÙÒØ p Ð ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ Node::NullPtr º
Ð ÔÖ Ó Ô ÒÓ × Ó ½ ÓÒ× ×Ø Ò Ú Ö ¬ Ö × ÐÓ× ×Ù Ö ÓÐ × p ×ÓÒ
ÜØ ÖÒÓ׺ ×ØÓ × Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ Ô ÒÓ × Ó ½ ≡ ´ ½µ
not (LLINK(p) == Node::NullPtr and RLINK(p) == Node::NullPtr)
× Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ó × ÖÚ ÓÒ ÒØ Ö × ÒØ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó
Ó ÙÖÖ Ü Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ×ÑÓ × Ø Ó ÓÒ ×Ø × Ù × Ò× ÖØ Óº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð
Ò× Ö ÓÒ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ ÓÐÓ Ö Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÓÑÓ Ó º Ë ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ð Ú
Ý ÐÙ Ó Ò× ÖØ ÖÐ ¸ Ð Ó Ð ÒÓ Ó Ò× Ö ÓÒ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÕÙ ÙÒÓ Ù
Ð Ñ Ò º ÍÒ ÑÔÐÓ ×Ø × ØÙ ÓÒ × ÐÙ×ØÖ ÓÒ Ð ÒÓ Ó 38 Ð ¬ ÙÖ ºº
ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ×Ø ÒÓÑ ÒÓ × Ú Ò Ó ÔÓÖ Ð Ð Ñ Ð ÙÒ Ð ØÖ Ô

518. 492 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
5
8
5 1 12
8 70 28
1 38 0 8 38
70 26 24 38 26
0 12 39 28 39
24 28 30 54 30
8 28 40 21 40
38 54 36 69 36
21 64 22 64
69 97 89 42
22 43 43
89 81 81
42 42
42 97
´µ ´ µ
5 5
8 8
1 12 1 12
70 28 70 28
0 8 39 0 8 39
24 38 30 24 38 30
38 40 28 40
26 36 54 36
28 64 21 38 64
54 42 69 26 42
21 43 22 43
69 81 89 81
22 42 42
89 97 97
´µ ´ µ
ÙÖ º ÑÔÐÓ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ú 38 Ò ÙÒ ØÖ Ôº Ä ÔÓ× ÓÒ ¬Ò Ð Ð 38
ÒØ × ×ÙÔÖ Ñ ÖÐÓ × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò Ð Ò× Ö ÓÒº
´Ð Ñ º¿µº È Ö ÕÙ Ð ØÖ Ô × ÙÒ Ó ØÖ Ú × ØÓ × Ð × ÑÓ ¬ ÓÒ ×¸ Ð Ò× Ö ÓÒ
Ý Ð Ñ Ò ÓÒ × ÑÔÖ Ò Ú Ö Ð Ñ ×ÑÓ ØÖ Ôº
6.3.4 An´lisis de los treaps
a
Ò Ò Ð × × ÐÓ× ØÖ Ô× Ö ÕÙ Ö ×Ø Ð Ö ÙÒ ÔÖÓÔ ÑÙÝ ×Ó Ð Ð ØÓÖ
Ð ÔÖÓÔ Ù× Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ð × × ÓÒ × Ð ØÓÖ ×º Ì Ð ÔÖÓÔ ×Ø
ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ

519. 6.3. Treaps 493
Proposici´n 6.3
o ÍÒ ØÖ Ô T × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð ØÓÖ Óº
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÙÒ ØÖ Ô × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ × ¹
ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ º
Demostraci´n ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × ÔÖ ÓÖ
o × ×ÓÒ × Ð ÓÒ × Ð ØÓÖ Ò Ô Ò ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÕÙ ØÓ × Ð × ÔÖ ÓÖ × ×ÓÒ × Ó × ÒØ × ÕÙ × Ò Ð
× ÙÒ Ò× Ö ÓÒº
Ë K = {k1, k2, . . . , kn} ÙÒ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ý × P = {p1, p2, . . . , pn}
ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖ ÓÖ × × Ð ÓÒ × Ð ØÓÖ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ ×ÓÒ × Ò ×
Ð × Ð Ú × K Ø Ð ÕÙ Ô Ö (ki, pi) ÓÑÔÓÒ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ð ØÖ Ôº
ÈÓÖ Ð Ð Ñ º¿¸ × ÑÓ× ÕÙ × Ð × Ð Ú × Ý ×Ù× ÔÖ ÓÖ × Ð ØÖ Ô × ÙÒ Óº ×ØÓ
ÑÔÐ ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ ÒÓ Ø Ð ØÖ Ô Ö ×ÙÐØ ÒØ º ×Ø ÑÓ Ó¸ × Ò Ô Ö
Ò Ö Ð ¸ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÙÒ × Ù Ò Ò× Ö ÓÒ SABB ÕÙ Ú × Ð Ñ ÒÓÖ
×Ø Ð Ñ ÝÓÖ ÔÖ ÓÖ Ð Ù Ð ÔÓ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ ×
½º Ê ×Ô ØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ú × K¸ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ SABB × Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ
Ô ÖÑÙØ ÓÒ ×Ô ¬ × |K|! ¸ ÔÙ × Ð ÓÖ Ò Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒ ×Ø
1
Ó ÔÓÖ Ð
ÓÖ Ò Ð × ÔÖ ÓÖ × ÕÙ ×ÓÒ × Ò × Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ð Ú º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸
Ð × Ù Ò SABB ÓÖ Ò ÔÓÖ ÔÖ ÓÖ × Ð ØÓÖ ¸ ÔÙ × Ð × ÔÖ ÓÖ × Ù ÖÓÒ
× Ó × Ð ØÓÖ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ º
¾º SABB ÒÓ Ù× ÖÓØ ÓÒ × Ò Ð ØÖ Ô¸ ÔÙ × ÒÓ Ó × Ò× ÖØ Ó ÓÑÓ Ó Ý¸
ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ù Ò× ÖØ Ó ÔÓÖ ÔÖ ÓÖ × Ò ÒØ ¸ Ð Ö Ð ÓÒ Ò ×ØÖ Ð Ñ × ×
Ú ÓÐ º ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ SABB Ó ÙÖÖ Ð
Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ Ò ÙÒ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ SABB × ÙÒ × Ù Ò Ð ØÓÖ Ý ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ Ó ÙÖÖ ÓÑÓ Ò ÙÒ
¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ ÙÒ ØÖ Ô × ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ
× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ
ÙÖ º ÍÒ ØÖ Ô 512 ÒÓ Ó×
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ ×Ô Ö Ó Ô Ö Ð Ù×ÕÙ Ò ÙÒ
ØÖ Ô × O(Ð n)º ÉÙ Ö Ð × Ò× Ö ÓÒ × Ý ×ÙÔÖ × ÓÒ × Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ñ ×
ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ø Ò ÓÑ Ò × ÔÓÖ Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ Ý ÕÙ ×Ø × Ö ×ÙÐØ Ò Ò ØÖ Ô׺ Ä
ÒØ Ñ Ü Ñ ÖÓØ ÓÒ × Ø Ñ Ò × ÙÒ ÓÒ Ð ÐØÙÖ º ×Ø Ñ Ò Ö ¸ ÔÓ ÑÓ×
ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ ×ÓÒ O(Ð n)º

520. 494 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
6.3.5 Prioridades impl´
ıcitas
ÄÓ× ØÖ Ô× ×ÓÒ Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó׺ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ù×ÕÙ ×
ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó׺ Ò Ù ÒØÓ Ð ×Ô Ó¸ ÐÓ× Ó×Ø × Ø Ñ Ò ×ÓÒ
ÕÙ Ú Ð ÒØ ×¸ ÔÙ × Ñ Ó× Ö ÓÐ × Ö ÕÙ Ö Ò ÐÑ Ò Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓÒ Ð ÔÓÖ ÒÓ Ó Ò
ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× × Ð Ö Ò Ð Ò ÐÓ× ØÖ Ô× × Ð ÔÖ ÓÖ º
ËÓÖÔÖ Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ò ÙÒ ØÖ Ô ÔÓ ÑÓ× Ó Ú Ö Ð ÔÖ ÓÖ × Ð ×Ù ×Ø ØÙ ÑÓ× ÔÓÖ
ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ÕÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ð Ð Ú ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÓÖ º ×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð
ÔÖ ÓÖ ÒÓ Ò × Ø ÐÑ Ò Ö× ¸ ÔÙ × ×Ø ÔÙ Ð ÙÐ Ö× ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÚÞ
ÕÙ × Ö ÕÙ Ö º Ð ØÖ Ô Ó ÙÔ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ×Ô Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ÙÒ º
È Ö ÕÙ ×Ø Ò ÓÕÙ × ¬ Þ¸ × Ò × Ö ÙÒ Ù Ò ÙÒ ÓÒ × º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸
ØÓ Ð Ø ÓÖ ÙÒ ÓÒ × × ÑÔ ÖØ Ò Ü º¾ ´Ô Ò µ × ÔÐ Ð º
6.4 ´
Arboles AVL
ÍÒ Ö ÓÐ Îĸ Ó ÙÒ Îĸ × ÙÒ Ð × ×Ô Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¬Ò Ó
ÓÑÓ × Ù
o ´
Definici´n 6.4 (Arbol AVL) Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ º Ë ÕÙ T ×
ÎÄ × Ý ×ÓÐÓ ×
∀ni ∈ T, −1 ≤ h(Ê(ni)) − h(Ä(ni)) ≤ 1 ´ºµ
× Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó ÒÓ Ó¸ Ð ÖÒ ÐØÙÖ ÒØÖ Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ý Ö ÒÓ
Ü Ö Ð ÙÒ º
È Ö ÙØÙÖÓ× × ÙÖ×Ó׸ Ð ÖÒ ÐØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó ni × ÒÓÑ Ò δ(ni) =
h(Ê(ni)) − h(Ä(ni))º Ò ÓÒØ ÜØÓ× Ó Ó¸ δ(ni) × ÒÓØ ÓÑÓ DIFF(n)º
ÙÖ º ÍÒ Ö ÓÐ ÎÄ 512 ÒÓ Ó×
Ä ÓÒ ÓÒ ´ º µ × ÒÓÑ Ò ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ý × Ñ ÒÓ× Ù ÖØ ÕÙ Ð ÕÙ Ð Ö Ó Ù ÖØ
Ï ÖØ ¬Ò Ó Ò Ü º½ ´Ô Ò µº Ä × Ô Ö Ö ÙÒ ÔÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ö ×
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ × ¬ ÒØ × ÕÙ Ö ÒØ Ò Ð ÓÒ ÓÒ Îĺ Å × Ð ÒØ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ×
ÕÙ Ð ÐØÙÖ ÙÒ ÎÄ ×Ø ÐÓ Ö ØÑ Ñ ÒØ ÓØ º Ä Ò Ò ×ØÖ ¸ ÒØÓÒ ×¸
Ò ÐÓ Ö Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÑÓ ¬ ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ Ó׺ ×ØÓ × Ø Ð × ÐÑ Ò ÑÓ× Ò
ÒÓ Ó Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ó Ö Ð ÕÙ Ð Ö Óº
Ë ÓÒÓ Ò Ó× ÓÖÑ × ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ Îĺ Ä ÔÖ Ñ Ö ¸ ÕÙ × Ð Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö Ý
¬ ÒØ ¸ Ô ÖÓ Ø Ñ Ò Ð Ñ × Ð¸ ÓÒ× ×Ø Ò ÐÑ Ò Ö Ò ÒÓ Ó Ð ÖÒ
ÐØÙÖ ×º È Ö ÐÐÓ ×ÓÐÓ × Ö ÕÙ Ö Ò Ó× Ø׸ ÐÓ× Ù Ð ×¸ Ó ÐÓ× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ×
Ð Ò ÓÒ Ô Ð Ö ÑÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð × ÖÕÙ Ø ØÙÖ × ÑÓ ÖÒ ×¸ Ò ÜØ Ò Ö× ×Ø
Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ô Ð Ö Ð ÖÕÙ Ø ØÙÖ º

521. ´
6.4. Arboles AVL 495
Ä × ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò ÐÑ Ò Ö Ò ÒÓ Ó ×Ù ÐØÙÖ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
Ð Ö ÓÐ × ÐÓ Ö ØÑ Ñ ÒØ ÓØ Ó¸ ÙÒ ÝØ × ×Ù¬ ÒØ º ×Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÒ Ù
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ × × Ò ÐÐÓ׸ Ô ÖÓ Ñ ÒÓ× ¬ ÒØ ¸ Ô٠׸ Ù Ò Ó × ÑÓ ¬ Ð Ö Óи ×
Ö ÕÙ Ö Ò ØÙ Ð Þ Ö Ñ × ÒÓ Ó× ÓÒ ×Ù ÐØÙÖ º
Ò ×Ø Ø ÜØÓ ÓÔØ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ø ÐÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ö¸ ÐÑ Ò Ö ÑÓ× Ð
ÖÒ ÐØÙÖ × Ò ÒÓ Óº Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÎÄ × ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ
ÚÐÆÓ ºÀ ¸ Ð Ù Ð Ø Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ù ÒØ
ÚÐÆÓ ºÀ ≡
class AvlNode_Data
{
signed char diff; // diferencia de altura
AvlNode_Data() : diff(0) { /* EMPTY */ }
signed char & getDiff() { return diff; }
};
DECLARE_BINNODE(AvlNode, 40, AvlNode_Data);
# define DIFF(p) ((p)->getDiff())
Í× × AvlNode Ò DECLARE BINNODE ¾ º
6.4.1 El TAD Avl Tree<Key>
Ð Ì Gen Avl Tree<Key> ¬Ò ÙÒ Ð × Ò Ö Ö ÓÐ ÎÄ Ò Ô Ò ÒØ
ÕÙ Ð ÒÓ Ó × Ú ÖØÙ Ð Ó ÒÓº Ä Ð × Ò Ù ×Ø ÓÒ × ¬Ò Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ÚкÀ ¸
ÕÙ × ¬Ò ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
ØÔÐ ÚкÀ ≡
template <template <typename> class NodeType, typename Key, class Compare>
class Gen_Avl_Tree
{
typedef NodeType<Key> Node;
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key>
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Avl Tree<Key>
};
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class Avl_Tree : public Gen_Avl_Tree<AvlNode, Key, Compare> { /* empty */ };
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
class Avl_Tree_Vtl : public Gen_Avl_Tree<AvlNodeVtl, Key, Compare> { /* empty */ };
Í× × AvlNodeº
Ä × Ð × × Avl Tree Vtl<Key> Ý Avl Tree<Key> ¬Ò Ò Ö ÓÐ × ÕÙ Ñ Ò Ò ÒÓ Ó×
Ú ÖØÙ Ð × Ý ÒÓÖÑ Ð × Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÙÒÕÙ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö ÓÐ × ×ÓÒ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÜÔÖ × Ð × Ò
ÓÖÑ Ö ÙÖ× Ú ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ ÒÓ Ò Ò Ò ×Ø Ø ÓÖ º Ä × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ö ÙÖ¹
× Ú × ÕÙ × ÓÒÓ Ò ×Ø Ò × × Ò ÐÑ Ò Ö Ò ÒÓ Ó ×Ù ÐØÙÖ Ý ØÙ Ð Þ ÖÐ
Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ò ÑÓ ¬ ÓÒº Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ Ò Ö × ÐÓ Ö Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
Ñ × ¬ ÒØ ÕÙ Ð Ö ÙÖ× Ú ¸ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× ÙÒ Ô Ð ¸ Ð Ù Ð × ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> ≡ ´ µ
FixedStack<Node *, Node::MaxHeight> avl_stack;
¬Ò ×
avl stack¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¸ ¼¼ß ¼¿¸ Ò ¼º
Í× × FixedStack ½¼ º

522. 496 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
avl stack ×ÑÔÖ Ù Ö Ö Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ × Ð Ö Þ ×Ø Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó Ó
Ð Ñ Ò Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÐØÙÖ ÙÒ ÎÄ ×Ø ÓØ ¸ Ð Ô Ð ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ú Ö ¬ ÓÒ ×
× ÓÖ º
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ
Node head_node;
Node * head_ptr;
Node *& root;
Compare cmp;
head node × ÙÒ ÒÓ Ó ÙÜ Ð Ö ÕÙ × Ö Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ö Þº head ptr × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ
Ð ÒÓ Ó ÙÜ Ð Öº Ð Ù×Ó Ð ÒÓ Ó Ö × ÑÙÝ ÙØ Ð Ô Ö Ò Ö Ð Þ Ö Ð × ÖÓØ ÓÒ ×º Ë
ÒÓ Ù× × ÑÓ× ×Ø Ö ¸ ÒØÓÒ × Ð ÖÓØ ÓÒ Ð Ö Þ Ö ØÖ Ø Ö× × Ô Ö Ñ ÒØ º
head ptr × ÑÔÖ ×Ø Ö Ò× ÖØ Ó Ò Ð Ô Ð º ØÓ× Ð ÓÖ ØÑ Ó׸ × ÓÒ× Ö Ö
ÕÙ Ð Ô Ð ×Ø Ú Ù Ò Ó ×Ø ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó Ö º ÈÐ ÒØ ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸
Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ ×
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ
bool avl_stack_empty() { return avl_stack.top() == head_ptr; }
void clean_avl_stack() { avl_stack.popn (avl_stack.size() - 1); }
¬Ò ×
avl stack empty¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼¼ Ò ¼½ º
clean avl stack¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¼¼ß ¼¾¸ Ò ¼º
Í× × avl stack º
avl stack empty() ÖØÓÖÒ ÖØÓ × avl stack ×Ø ÐÓ Ñ ÒØ Ú º clean avl stack()
Ð ÑÔ Ð Ô Ð × Ö¸ ÜØÖ ØÓ Ó× ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ׺
ÈÓÖ ÓÒÚ Ò ÓÒ¸ Ð Ö Þ root × Ö Ð Ö Ð ÒÓ Ó Ö head ptrº ÆÓØ ÑÓ×
ÕÙ root × ÙÒ Ö Ö Ò RLINK (head ptr) Ý ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓº ×Ø Ö ÒÓ× Ô ÖÑ Ø
ØÖ Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ RLINK (head ptr) Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö rootº
6.4.1.1 Inserci´n en un arbol AVL
o ´
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÎÄ Ò Ð Ù Ð × Ö Ð Þ ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ð × Ò ÙÒ × Ö¸
Ð ÒÓ Ó × Ò× ÖØ ÓÑÓ Ó Ò Ð ÐÙ Ö Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ Ð ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ð
Ù×ÕÙ º Ì Ð Ò× Ö ÓÒ Ð Ö Ð Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÒØ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Avl Tree<Key> ≡ ´ µ ¼½
Node * insert(Node * p)
{
if (root == Node::NullPtr)
{
root = p;
return p;
}
Node *pp = search_and_stack_avl(KEY(p));
if (cmp (KEY(p), KEY(pp)))
LLINK (pp) = p;
else if (cmp (KEY(pp), KEY(p)))
RLINK(pp) = p;
else
{ // clave duplicada
clean_avl_stack();

523. ´
6.4. Arboles AVL 497
return NULL;
}
restore_avl_after_insertion(KEY(p));
return p;
}
Í× × clean avl stack ¸ restore avl after insertion ¼¼ ¸ Ò search and stack avl º
Ä ÙÒ ÓÒ search and stack avl() Ù× Ð Ð Ú ÓÒØ Ò Ò p Ý Ð Ú Þ Ù Ö ØÓ Ó
Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ Ò Ð Ô Ð avl stack
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ
Node * search_and_stack_avl(const Key & key)
{
Node * p = root;
do // desciende en b´squeda de key y empila camino de b´squeda
u u
{
avl_stack.push(p);
if (cmp(key, KEY(p))) // ¿key < KEY(p)?
p = LLINK(p);
else if (cmp(KEY(p), key)) // ¿key > KEY(p)?
p = RLINK(p);
else
return p; // clave duplicada
}
while (p != Node::NullPtr);
return avl_stack.top();
}
¬Ò ×
search and stack avl¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò ¼½ º
Í× × avl stack º
Ë KEY(p) Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óи ÒØÓÒ × search and stack avl() Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó
ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ð Ú º Ä ÙÔÐ ÓÒ × Ø Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ifº Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ pp ×
Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ö pº Ð ÒÓ Ó p × Ò× ÖØ × Ñ ÒØ Ý × ØÙ Ð Þ Ð ØÓÖ
ÐÒ ppº
Restauraci´n de la condici´n AVL
o o
×ÔÙ × Ð Ò× Ö ÓÒ × ¸ × Ú Ö ¬ × Ó ÙÖÖ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ Îĸ Ð
Ù Ð × Ö Ø Ö Þ Ò Ó× ×Ó× Ò Ö Ð ×º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÐÓ× × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º ´ µº
ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÒÓ Ó y × Ò Ù ÒØÖ Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ×Ù Ô Ö
x ×Ø Ð Ö Ñ ÒØ × ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ö º Ç ÙÖÖ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ
Ú ÐÓÖ Ñ ÝÓÖ ÕÙ y¸ Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ö Ñ χ ÙÑ ÒØ ÐØÙÖ º Ð ÒÓ Ó x ×Ù Ö ÙÒ
× ÕÙ Ð Ö Ó ÕÙ Ú ÓÐ Ð ÓÒ ÓÒ Îĺ
Ä Ú ÓÐ ÓÒ × Ö Ø Ò Ð ¬ ÙÖ º ´ µ × ÓÖÖ Ñ ÒØ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ Ð
ÞÕÙ Ö Ð ÒÓ Ó y¸ ÙÝÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ö Ð × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º ´ µº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
Ò Ð × Ó× ¬ ÙÖ × ¹ º ´ µ Ý º ´ µ¹ Ð Ú ÐÓÖ ÐØÙÖ ÐÓ Ð h + 2 Ô ÖÑ Ò ÒØ ØÓº ÈÓÖ
ÐÓ Ø ÒØÓ¸ × Ð × Ò Ò T × ÎÄ ÒØ × Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ø Ñ Ò ÐÓ × ×Ô٠׺ Ò
ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ô Ö Ð ×Ó × ÕÙ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º ´ µ¸ Ð ÓÖÖ ÓÒ Ö ×ÙÐØ ÒØ
×ÔÙ × Ð ÖÓØ ÓÒ ÔÖÓ Ù ÙÒ Ö ÓÐ ÒØ Ö Ñ ÒØ Îĺ
Ð × ÕÙ Ð Ö Ó ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ´ µ Ø Ò ÙÒ ×Ó × Ñ ØÖ Ó ÕÙ Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó
Ð Ò× Ö ÓÒ × ÔÖÓ Ù ÔÓÖ Ð ÞÕÙ Ö º Ö ¬ Ñ ÒØ ¸ Ð × ÕÙ Ð Ö Ó Ý ×Ù ÓÖÖ ÓÒ ×

524. 498 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
T T
x y
2 0
y x
1 0
α
χ
h
β α β h+1
χ h
h+1
=⇒
´µ ´ µ
ÙÖ º ÈÖ Ñ Ö ×Ó Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
Ú Ò Ù Ð ÕÙ Ð × ¬ ÙÖ × º ´ µ Ý º ´ µ Ö ­ × Ò ÙÒ ×Ô Óº
ÄÓ× Ú ÐÓÖ × ÐÓ× ØÓÖ × Ô ÖÑ Ø Ò ÒØ ¬ Ö Ð × ØÙ ÓÒ × ÕÙ Ð Ö Ó ÑÓ×ØÖ Ò
Ð ¬ ÙÖ º ´ µº Ó ÙÒ ÒÓ Ó x ÓÒ ÙÒ × ÕÙ Ð Ö Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ö Ø Ö Þ Ö Ð × × Ù ÒØ ×
× ØÙ ÓÒ × Ý ×Ù× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ×
½º Ë DIFF(x) == 2 and DIFF(y) == 1 =⇒ × ØÙ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ × ÑÔÐ Ð
ÞÕÙ Ö º
¾º Ë DIFF(x) == -2 and DIFF(y) == -1 =⇒ × ØÙ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ × ÑÔÐ Ð
Ö º
ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× rotateLeft() Ý rotateRight() ÖÓØ Ò Ð ÒÓ Ó p Ð ÞÕÙ Ö Ý
Ö Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× Ò ØÙ Ð Þ Ö ÐÓ× ØÓÖ × ÕÙ Ð Ö Ó ÐÓ×
ÒÓ Ó× ÒÚÓÐÙ Ö Ó׺ Ð Ö ×Ô ØÓ¸ Ü ×Ø ÙÒ ×Ó ÕÙ ×ÓÐÓ Ó ÙÖÖ ÙÖ ÒØ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸
Ú ÐÙ Ó Ò Ð if Ý ÕÙ ÜÔÐ Ö ÑÓ× ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÐÓ× ØÓÖ ×
Ð Ò × ÓÐÓ Ò Ò ÖÓº × ÔÓ× Ð Ù Ö ÐÓ× Ñ Ó× Ò ÐÓ× ØÓÖ × Ý Ù×Ø ÖÐÓ×
ØÖ Ú × ÓÔ Ö ÓÒ × Ö ØÑ Ø × ÑÔ ÖÓ¸ × Ö ÕÙ Ö Ò Ú Ö Ó× if Ô Ö ÖÐÓº ÈÓÖ ÐÓ
Ø ÒØÓ¸ × Ñ × × ÑÔÐ Ö Ò Ö ÐÓ× ×Ó× Ý × Ò Ö ÐÓ× ØÓÖ × Ö Ø Ñ ÒØ º
Ð × ÙÒ Ó ×Ó Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º ´ µº Ð
Ö ÓÐ ÎÄ T ×Ù Ö ÙÒ × ÕÙ Ð Ö Ó ÔÓÖ Ð Ö Ò Ð ÒÓ Ó x¸ Ù× Ó ÔÓÖ ÙÒ ÙÑ ÒØÓ
ÐØÙÖ Ð ÒÓ Ó z ÕÙ ×Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Óº Ä Ò× Ö ÓÒ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÔÓÖ
Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ð Ó× zº
Ð × ÕÙ Ð Ö Ó × ÓÖÖ Ñ ÒØ Ó× ÖÓØ ÓÒ × ×Ù × Ú × Ð ÒÓ Ó zº ÈÖ Ñ ÖÓ¸
Ð ÒÓ Ó z × ÖÓØ Ð Ö ¸ ÐÙ Ó Ð ÞÕÙ Ö º Ä ÓÖÖ ÓÒ × ÐÙ×ØÖ Ò
Ð ¬ ÙÖ º ´ µº ÒØ × Ý ×ÔÙ × Ð ÓÖÖ ÓÒ¸ Ð ÐØÙÖ ÐÓ Ð Ð Ö Óи h + 2¸ ×
Ð Ñ ×Ñ º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × Ð × Ò Ò T × Îĸ ÒØÓÒ ×¸ ×ÔÙ × Ð
Ò× Ö ÓÒ Ý ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ÓÖÖ ÓÒ¸ Ð × Ò Ò Ø Ñ Ò × Îĺ
Ð ×Ó ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð × ¬ ÙÖ × º ´ µ Ý º ´ µ Ø Ò ×Ù ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ñ ØÖ Ó ÔÓÖ
Ð ÞÕÙ Ö ¸ Ð Ù Ð × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ­ Ö Ð × ¬ ÙÖ × Ò ÙÒ ×Ô Óº
Ä ÒØ ¬ ÓÒ Ð × ØÙ ÓÒ × ÕÙ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º ´ µ¸ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù
ÓÖÖ ÓÒ¸ × Ö Ø Ö Þ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö

525. ´
6.4. Arboles AVL 499
T
x
2
T
y z
−1 0
α
z x y
h −1 0 1
δ
χ h χ
α β δ
β h−1 h−1
h
=⇒
´µ ´ µ
ÙÖ º Ë ÙÒ Ó ×Ó Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
½º Ë DIFF(x) == 2 and DIFF(y) == -1 =⇒ ÔÖ Ñ ÖÓ × ÖÓØ Ð ÒÓ Ó z Ð Ö
Ý ÐÙ Ó Ð ÞÕÙ Ö º
¾º Ë DIFF(x) == -2 and DIFF(y) == 1 =⇒ ÔÖ Ñ ÖÓ × ÖÓØ Ð ÒÓ Ó z Ð
ÞÕÙ Ö Ý ÐÙ Ó Ð Ö º
ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× doubleRotateLeft() Ý doubleRotateRight() Ö Ð Þ Ò Ð × Ó Ð × ÖÓØ ¹
ÓÒ × Ð ÞÕÙ Ö Ý Ö ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÄÓ× ×Ó× ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ð × ¬ ÙÖ × º ´ µ Ý º ´ µ¸ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× ÕÙ Ú Ð ÒØ ×
× Ñ ØÖ Ó׸ Ö Ø Ö Þ Ò × ØÙ ÓÒ × Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò ÙÖ ÒØ
Ð Ò× Ö ÓÒº Ð × ¬ Ö ÑÓ× Ð × ÓÒ × ÓÖÖ ÓÒ Ò Ð × Ù ÒØ Ö Ò Ó
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ
enum Rotation_Type
{ ROTATE_LEFT, ROTATE_RIGHT, DOUBLE_ROTATE_LEFT, DOUBLE_ROTATE_RIGHT };
×Ø Ø ÔÓ Ú ÐÓÖ × ÚÙ ÐØÓ ÔÓÖ ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ü Ñ Ò ÙÒ ÒÓ Ó × ÕÙ Ð Ö Ó Ý
Ø ÖÑ Ò ¸ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ø ÔÓ × ÕÙ Ð Ö Ó¸ Ù Ð Ð × ÖÓØ ÓÒ × Ö ÔÐ
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ ¼¼
static Rotation_Type rotation_type(Node * p)
{
Node * pc; // guarda hijo de p
if (DIFF(p) == 2) // hacia la izquierda
{
pc = RLINK(p);
if (DIFF(pc) == 1 or DIFF(pc) == 0)
return ROTATE_LEFT;
return DOUBLE_ROTATE_LEFT;
}
pc = LLINK(p);
if (DIFF(pc) == -1 or DIFF(pc) == 0)
return ROTATE_RIGHT;
return DOUBLE_ROTATE_RIGHT;
}

526. 500 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
¬Ò ×
rotation type¸ Ù× Ò ÙÒ ¼¼ º
rotation type() × ÐÐ Ñ ÔÓÖ ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ù×Ó Ò Ö Ð ÕÙ Ö ×Ø ÙÖ Ð ÓÒ ÓÒ
Îĺ ËÙ ×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ú Ö ¬ Ö ÐÓ× Ù ØÖÓ Ø ÔÓ× ÖÓØ ÓÒ Ò
ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ú ÓÐ ØÓÖ Ó Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ý Ð ØÓÖ ×Ù Óº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
rotation type() ØÙ ÙÒ Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÒ Ð¸ DIFF(pc) == 0¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
ÓØÖÓ ×Ó ÕÙ ×ÓÐÓ × ÔÖ × ÒØ Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ý ÕÙ ÜÔÐ Ö ÑÓ× ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ØÓ Ð ÙØ Ð Ö Ö ÕÙ Ö Ô Ö Ö ×Ø ÙÖ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ò
Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ×Ó× Ò× Ö ÓÒ
¼¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ ¼¼
static Node * restore_avl(Node * p, Node * pp)
{
Node ** link = LLINK(pp) == p ? &LLINK(pp) : &RLINK(pp);
switch (rotation_type(p))
{
case ROTATE_LEFT: return *link = rotateLeft(p);
case ROTATE_RIGHT: return *link = rotateRight(p);
case DOUBLE_ROTATE_LEFT: return *link = doubleRotateLeft(p);
case DOUBLE_ROTATE_RIGHT: return *link = doubleRotateRight(p);
}
return NULL;
}
¬Ò ×
restore avl¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼½ Ò ¼ º
Í× × doubleRotateLeft¸ doubleRotateRight¸ rotateLeft¸ rotateRight¸ Ò rotation type º
Ð Ñ ØÓ Ó restore avl() ØÓÑ Ó× ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ׺ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ p¸ × Ð ÒÓ Ó ÕÙ
×Ù Ö Ð × ÕÙ Ð Ö Ó Ð × ÙÒ Ó¸ pp¸ × Ð Ô Ö pº Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ø ÔÓ × ÕÙ Ð Ö Ó
Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ rotation type()¸ restore avl() ÑÔÖ Ò Ð × ÓÒ × Ò × Ö × Ô Ö
Ö ×Ø ÙÖ Ö Ð ÓÒ ÓÒ Îĺ
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ ÑÓ× × ÖÖÓÐÐ Ó ÙÒ × Ö ÖÙØ Ò × Ò Ö × ÓÖÖ Ö ÙÒ
Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ò ÙÒ ÒÓ Óº ÆÓ× Ö ×Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × Ð ÒÓ Ó ÕÙ ×Ù Ö
Ð × ÕÙ Ð Ö Óº È Ö Ð Ò× Ö ÓÒ¸ ×Ø ÓÒ Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó × ÕÙ Ð Ö Ó
Ò Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ ¸ ÔÙ × ×Ø × Ð ÙÒ Ó ×Ù× ÔØ Ð ×Ù Ö Ö ÙÒ × ÕÙ Ð Ö Óº
Í Ó ×Ø ÒÓ Ó¸ × ØÙ Ð Þ ×Ù ØÓÖ Ý × Ú Ö ¬ × × Ö ÕÙ Ö ÑÔÖ Ò Ö ÓÒ ×
ÓÖÖ Ø Ú × ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó restore avl()º
ÓÖ ×ÓÐÓ ÒÓ× Ö ×Ø ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ù×ÕÙ ÒØÖÓ Ð Ô Ð Ð ÒÓ Ó × ÕÙ Ð Ö Ó¸
ØÙ Ð Ð ØÓÖ Ý¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ØÙ Ð ÓÖÖ ÓÒ
¼¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ ¼¼ ¼¿
void restore_avl_after_insertion(const Key & key)
{
Node *pp = avl_stack.pop(); // padre del nodo insertado
Ù×Ø Ö ØÓÖ Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó ¼½
if (avl_stack_empty())
return; // pp es ra´z
ı
Node *gpp; // padre de pp
ØÙ Ð Þ Ö Ò ×ØÖÓ× ÔÔ ¼½
clean_avl_stack();
}
¬Ò ×

527. ´
6.4. Arboles AVL 501
restore avl after insertion¸ Ù× Ò ÙÒ º
Í× × avl stack ¸ avl stack empty ¸ Ò clean avl stack º
Ð ÐÓÕÙ Ù×Ø Ö ØÓÖ Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó ¼½ ÜØÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ò
Ð Ô Ð ¸ ØÙ Ð Þ ×Ù ØÓÖ Ý Ú Ö ¬ × ×Ø ÒÓ × Ð Ö Þ
¼½ Ù×Ø Ö ØÓÖ Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó ¼½ ≡ ´ ¼¼ µ
if (key > KEY(pp)) // ajuste el factor del padre del nodo insertado
DIFF(pp)++;
else
DIFF(pp)--;
if (DIFF(pp) == 0)
{ // en este caso, altura del ascendiente de pp no aumenta
clean_avl_stack();
return;
}
Í× × clean avl stack º
ØÙ Ð Þ Ö Ò ×ØÖÓ× ÔÔ ¼½ Ö Ú × Ò ×ØÖÓ gpp pp Ý ØÙ Ð Þ ×Ù ØÓÖº
Ë Ð ØÓÖ Ð ÙÒ gpp × ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÐØÙÖ gpp Ô ÖÑ Ò Ù Ð Ý¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ
Ð × Ò Ò gpp × Îĸ Ð Ö ×ØÓ Ð Ö ÓÐ × ÎÄ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò º Ò
×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ö Ú × × Ý ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ Îĸ Ð Ù Ð × ÓÖÖ º Ò
×Ø ÙÐØ ÑÓ ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ¸ ÔÙ × × ÑÓ× ÕÙ Ò Ð Ò× Ö ÓÒ Ð Ö ÓÐ
ÓÑÔÐ ØÓ × ÎÄ ÐÙ Ó ØÙ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÖÖ ÓÒ
¼½ ØÙ Ð Þ Ö Ò ×ØÖÓ× ÔÔ ¼½ ≡ ´ ¼¼ µ
do // buscar nodo con factor igual a 0
{
gpp = avl_stack.pop();
// actualizar factores de equilibrio
if (key > KEY(gpp))
DIFF(gpp)++;
else
DIFF(gpp)--;
if (DIFF(gpp) == 0)
break; // no se necesita reajuste
else if (DIFF(gpp) == -2 or DIFF(gpp) == 2) // ¿se viola condici´n AVL?
o
{ // se requiere reajuste
Node *ggpp = avl_stack.pop();
restore_avl(gpp, ggpp);
break;
}
}
while (not avl_stack_empty());
Í× × avl stack ¸ avl stack empty ¸ Ò restore avl ¼¼ º
6.4.1.2 Eliminaci´n en un arbol AVL
o ´
×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × Ú Ò ØÖ × Ô ×Ó× ´½µ Ù× Ö Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö¸
´¾µ Ð Ñ Ò ÖÐÓ Ý ´¿µ Ö Ú × Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ Ö ×Ø ÙÖ ÖÐ º Ò × × ÒØ Ó¸
Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¼½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ
Node * remove(const Key & key)

528. 502 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
{
if (root == Node::NullPtr)
return NULL;
Node * p = search_and_stack_avl(key);
if (no_equals<Key, Compare> (KEY(p), key))
{ // clave no fue encontrada
clean_avl_stack();
return NULL;
}
Ð Ñ Ò ÓÒ × Ô ¼¾
restore_avl_after_deletion(removed_key);
return p;
}
Í× × clean avl stack ¸ restore avl after deletion ¼ ¸ Ò search and stack avl º
Eliminaci´n f´
o ısica del nodo
Ð Ñ Ò ÓÒ × Ô ×¼¾ ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ð ×ÕÙ Ñ ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ Ð Ñ Ò ÓÒ
ÜÔÐ Ó Ò Ü º º ¹½ ´Ô Ò ¿ ¾µ¸ Р٠и Ö ÓÖ ÑÓ׸ ÓÒ× ×Ø Ò Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ Ð ÒÓ Ó
Ð Ñ Ò Ö × Ò ÓÑÔÐ ØÓ Ý¸ Ò Ð ×Ó ÕÙ × ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ù×Ø ØÙ ÖÐÓ ÔÓÖ Ð
×Ù ×ÓÖ Ó Ð ÔÖ ×ÓÖº Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÓÔØ ÑÓ× ÔÓÖ Ð ×Ù ×ÓÖ Ý ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ
Ð ÓÖ ØÑÓ
¼¾ Ð Ñ Ò ÓÒ × Ô ¼¾ ≡ ´ ¼½ µ
Key removed_key = KEY(p);
Node * pp = avl_stack.top(1); // obtener padre de p
while (true)
{
if (LLINK(p) == Node::NullPtr) // ¿incompleto por la izquierda?
{ // S´, ate a pp el hijo de p
ı
if (LLINK(pp) == p)
LLINK(pp) = RLINK(p);
else
RLINK(pp) = RLINK(p);
break;
}
if (RLINK(p) == Node::NullPtr) // ¿incompleto por la izquierda?
{ // S´, ate a pp el hijo de p
ı
if (LLINK(pp) == p)
LLINK(pp) = LLINK(p);
else
RLINK(pp) = LLINK(p);
break;
}
// en este punto, p es un nodo completo ==> intercambiar por sucesor
Node * succ = swapWithSuccessor(p, pp);
removed_key = KEY(succ);
}
if (pp == head_ptr) // verifique si se elimin´ la ra´z
o ı
{ // factores quedan inalterados y no se viola condici´n AVL
o
clean_avl_stack();
return p;

529. ´
6.4. Arboles AVL 503
}
Í× × avl stack Ò clean avl stack º
Ë Ó ÙÖÖ ÙÒ ÒØ Ö Ñ Ó Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö ÓÒ ×Ù ×Ù ×ÓÖ Ò¬ Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÒÓ Ó
Ð Ñ Ò Ó ÒÓ × ÖÚ Ô Ö ØÙ Ð Þ Ö Ð ØÓÖ Ð ÒÓ Ó ×Ù ×ÓÖ¸ ÔÙ × Ü ×Ø ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ
Ø ÑÔÓÖ Ð Ð ÔÖÓÔ ÓÖ Ò ÙÒ º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ð Ú Ö Ð removed key
ÐÑ Ò Ð Ð Ú × ÙÒ Ð Ù Ð × ØÙ Ð Þ Ö Ò ÐÓ× ØÓÖ × Ò Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ º
ÓÑÓ ×Ù ÒÓÑ Ö ÐÓ ÜÔÖ × ¸ Ð ÖÙØ Ò swapNodeWithSuccessor() ÒØ Ö Ñ p ÓÒ
×Ù ×Ù ×ÓÖ Ò¬ Óº Ð Ü Ô ÓÒ ÐÓ× ×Ô ØÓ× Ô ÖØ Ò ÒØ × ÐÓ× Ö ÓÐ × Îĸ Ð × Ù ÒØ
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÒØ Ô Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ØÓ Ð × Ö ÓÐ ¹
Ò ÖÓ Ù×ÕÙ ÕÙ ×Ù Ý Þ Ò Ð ÒØ Ö Ñ Ó Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ó ÓÒ ×Ù ×Ù ×ÓÖ ´Ó
ÔÖ ×ÓÖµ Ò¬ Ó
¼¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ ¼¼ ¼
Node* swapWithSuccessor(Node * p, Node *& pp)
{ // Referencia al tope de la pila, pues p ser´ intercambiado con el
a
// sucesor y la posici´n en la pila la ocupar´ el sucesor de p
o a
Node *& ref_to_stack_top = avl_stack.top();
// encuentre el sucesor a la vez que actualiza la pila
Node *fSucc = p; // padre del sucesor
Node *succ = RLINK(p); // b´squeda comienza desde RLINK(p)
u
avl_stack.push(succ);
while (LLINK(succ) != Node::NullPtr) // descienda hasta el m´s a la izquierda
a
{
fSucc = succ;
succ = LLINK(succ);
avl_stack.push(succ);
}
// actualice antigua entrada de pila ocupada por p. Equivalente a
// intercambiar antiguo tope (antes de buscar sucesor) con el actual
ref_to_stack_top = succ;
avl_stack.top() = p;
if (LLINK(pp) == p) // actualice el nuevo hijo de pp (sucesor)
LLINK(pp) = succ;
else
RLINK(pp) = succ;
LLINK(succ) = LLINK(p); // intercambie las ramas izquierdas
LLINK(p) = Node::NullPtr;
if (RLINK(p) == succ) // actualice ramas derechas
{ // sucesor es exactamente el hijo derecho de p
RLINK(p) = RLINK(succ);
RLINK(succ) = p;
pp = succ;
}
else
{ // sucesor es el descendiente m´s a la izquierda de RLINK(p)
a
Node *succr = RLINK(succ);
RLINK(succ) = RLINK(p);
LLINK(fSucc) = p;
RLINK(p) = succr;
pp = fSucc;
}

530. 504 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
DIFF(succ) = DIFF(p); // intercambie factores de equilibrio
return succ;
}
Í× × avl stack º
Restauraci´n de la condici´n AVL
o o
T
x
2
y
y 0
T
1
x
0
α
h+1 β χ
h
χ
α β h+1
h+1
h
=⇒
´µ ´ µ
ÙÖ º½¼ ÈÖ Ñ Ö ×Ó Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
Ä ¬ ÙÖ º½¼´ µ ÐÙ×ØÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó × ÕÙ Ð Ö Ó Ù× Ó ÔÓÖ ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒº
Ä ¬ ÙÖ ×ÙÔÓÒ ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ð Ö Ñ α ÕÙ Ð Ù× ÙÒ ÔÖ ÐØÙÖ º Ä
× ØÙ ÓÒ × ÒØ Ð ¬ ÙÖ º ´ µ Ý ×Ù ÓÖÖ ÓÒ × Ñ Ð Ö × Ö¸ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ
Ð ÞÕÙ Ö ÙÝÓ Ö ×ÙÐØ Ó¸ ÒØ Ó Ð ¬ ÙÖ º ´ µ¸ × ÔÖ × ÒØ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼´ µº
T
x
2
T
y z
−1 0
α z x y
h − − −
δ
h α
δ
β χ h−1 β χ
h
=⇒
´µ ´ µ
ÙÖ º½½ Ë ÙÒ Ó ×Ó Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
Ó Ð ÒÓ Ó Ò Ð Ù Ð Ó ÙÖÖ Ð Ú ÓÐ ÓÒ¸ Ð ÒØ ¬ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó × ÒØ
Ð Ð Ò× Ö ÓÒ × Ö¸ ØÓÖ × ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ × ÒÓ Ý ÙÒ ÙÒ ÖÒ º
È Ö ×Ø ×Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÙØ Ò rotation type()º Ë Ò Ñ Ö Ó¸

531. ´
6.4. Arboles AVL 505
ÖÒ Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ð Ö ÓÐ T ×Ù Ö ÙÒ Ô Ö ÒÖÐ ÐØÙÖ º Ò ØÓ¸
ÒØ × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ¸ Ð Ö ÓÐ T Ø Ò ÐØÙÖ Ò Ö Ð h + 3¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ×ÔÙ ×
Ð Ñ Ò Ö Ð ÐØÙÖ Ò Ö Ð × h + 2º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð × Ò Ò T ÔÙ ×Ù Ö Ö
ÙÒ × ÕÙ Ð Ö Ó Ú ÓÐ ØÓÖ Ó Ð ÓÒ ÓÒ Îĺ
Ä ¬ ÙÖ º½½´ µ ÑÙ ×ØÖ Ð × ÙÒ Ó ×Ó Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Îĸ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò
× × Ñ Ð Ö Ð × ÙÒ Ó ×Ó Ð Ò× Ö ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ´ µº Ò Ð ¬ ÙÖ º½½´ µ¸
Ð Ö Ñ α ×Ù Ö ÙÒ Ô Ö ÐØÙÖ ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÙÒ Ù×Ø ÕÙ Ð Ö Óº
ÖÒ Ð ¬ ÙÖ º ´ µ¸ Ð ÒÓ Ó z ÔÙ ×Ø Ö Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó Ó ×Ù Ö Ö
ÙÒ Ð ÖÓ Ý ÒÓ Ú ÓÐ ØÓÖ Ó × ÕÙ Ð Ö Óº Ò ØÓ Ó ×Ó¸ Ð ÐØÙÖ z × h + 1º Ä ÓÖÖ ÓÒ
× ÔÖ × ÒØ Ò Ð ¬ ÙÖ º½½´ µ¸ ÕÙ × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ô Ö Ð Ò× Ö ÓÒ ÔÖ × ÒØ ÒÐ
¬ ÙÖ º ´ µ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ Ó Ð ¸ ÖÙÞ ¸ Ð ÒÓ Ó z Ð Ö Ý ÐÙ Ó Ð
ÞÕÙ Ö º
Ë Ñ Ð Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó¸ Ð × ÙÒ Ó Ø Ñ Ò Ö Ù Ð ÐØÙÖ Ò Ö Ð Ð Ö ÓÐ T h + 3
h + 2º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ø Ñ Ò × Ò × Ö Ó Ö Ú × Ö Ð × Ò Ò T Ò Ù×ÕÙ
Ú ÓÐ ÓÒ × Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ù× × ÔÓÖ Ð Ù×Ø º Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ú ÓÐ ØÓÖ Ó
Ð ÓÒ ÓÒ Îĸ Ð × ÙÒ Ó ×Ó × ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÒØ ¬ Ð ÐÓ× × ÒÓ× Ð ÒÓ Ó
Ú ÓÐ ØÓÖ Ó Ý ×Ù Ó ×ÓÒ ÒÚ Ö×Ó׺ ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ø × Ð Ñ ×Ñ × ØÙ ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ð × ÙÒ Ó
×Ó Ú ÓÐ ÓÒ Ò Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× Ö ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÙØ Ò rotation type()º
Ð Ø Ö Ö Ý ÙÐØ ÑÓ ×Ó Ú ÓÐ ÓÒ Ù× Ó ÔÓÖ ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð
¬ ÙÖ º½¾´ µº ÕÙ Ð Ö Ñ α Ô Ö ÐØÙÖ Ó ÙÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÙÒ Ù×Ø
ÔÖ Ú Óº ×Ø ×Ó Ý ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ ×ÓÒ Ô Ö Ó× Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð × ¬ ÙÖ × º½¼´ µ
Ý º½¼´ µ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä Ö Ò ×ØÖ Ò ÕÙ Ð ÒÓ Ó y ×Ø ÕÙ Ð Ö Óº ×Ø
×Ó Ø Ñ Ò × ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ÒØ ¬ Ð Ð Ó Ð ÒÓ Ó Ú ÓÐ ØÓÖ Ó ×Ø ÕÙ Ð Ö Ó Ý
Ù ÓÒ× Ö ¸ Ô ÖÓ ×Ø ÓÖ ÒÓ ÜÔÐ ¸ Ò Ð × ÒÓ Ð ÖÙØ Ò rotation type()º
Ä ÓÖÖ ÓÒ Ð Ø Ö Ö ×Ó ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ ÖÓØ ÓÒ × ÑÔÐ Ð ÞÕÙ Ö ÕÙ
ÖÖÓ ÓÑÓ ×ÓÐÙ ÓÒ Ð × ØÙ ÓÒ × Ö Ø Ò Ð ¬ ÙÖ º½¾´ µº Ó ÕÙ y ×Ø
Ò ÐÑ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó¸ Ð ÐØÙÖ Ò Ö Ð T ÒÓ Ñ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ × Ð × Ò Ò
T × Îĸ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð ÓÖÖ ÓÒ Ø Ñ Ò ÐÓ × Ý Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÙ
ÙÐÑ Ò Ö ÒØ ×ØT ×Óº T
x y
2 −1
y x
0 1
χ
α
h α h
β χ β
h
h
=⇒
´µ ´ µ
ÙÖ º½¾ Ì Ö Ö ×Ó Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ × ×Ó׸ Ø Ò ×Ù× ÕÙ Ú Ð ÒØ × × Ñ ØÖ Ó× ÐÑ ÒØ ÒØ ÖÔÖ Ø Ð ×
Ñ Ò Ò ÓÐÓ× Ö ­ Ó× Ò ÙÒ ×Ô Óº
Ñ Ò Ö Ò Ö Ð¸ ×ÔÙ × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × ¸ ÑÓ× Ö ØÖÓ Ö Ò Ð Ñ ÒÓ

532. 506 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ù×ÕÙ ¸ ØÙ Ð Þ Ö ØÓÖ Ý Ö Ú × ÖÐÓ Ô Ö Ú Ö × Ü ×Ø Ð ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒº Ë
× Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ØÓÖ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ÑÓ× ÓÖÖ ÖÐ × ÙÒ
ÐÓ× ×Ó× ÔÖ × ÒØ Ó׺ Ë Ð ÓÖÖ ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ø Ö Ö ×Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ø ÖÑ Ò º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÑÓ× Ö Ô Ø Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ØÓÖ ÕÙ
ÒÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ó ×Ø Ò ÓÒØÖ ÖÒÓ× ÓÒ Ð Ö Þº ×Ø ÓÒ Ù Ø × ÜÔÖ × Ò
Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ
¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Avl Tree<Key> +≡ ´ µ ¼¿
void restore_avl_after_deletion(const Key & key)
{
Node * pp = avl_stack.top(1); // padre de p
Node * ppp = avl_stack.popn(3); // elimina de pila p, su padre y su abuelo
while (true)
{ // actualice factores de equilibrio
if (key >= KEY(pp))
DIFF(pp)--;
else
DIFF(pp)++;
if (DIFF(pp) == -2 or DIFF(pp) == 2) // verifique una violaci´n AVL
o
pp = restore_avl(pp, ppp);
if (DIFF(pp) != 0 or pp == root)
break; // altura global del arbol no ha cambiado ==> terminar
´
pp = ppp; // avance al pr´ximo ascendiente
o
ppp = avl_stack.pop();
}
clean_avl_stack();
}
¬Ò ×
restore avl after deletion¸ Ù× Ò ÙÒ ¼½ º
Í× × avl stack ¸ clean avl stack ¸ Ò restore avl ¼¼ º
6.4.2 An´lisis de los ´rboles AVL
a a
ÓÑ ÒÞ Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ Ò Ð × × ÔÓÖ Ð ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ý × Ù× ÓÒ
×Ù× ÓÒ× Ù Ò ×
Proposici´n 6.4 (Adelson Velsky - Landis, 1962 [1])
o Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ ÓÒ n ÒÓ¹
Ó׸ ÒØÓÒ ×
Ð (n + 1) ≤ h(T ) < 1.4404 Ð (n + 2) − 0.3277 ´ º½¼µ
Demostraci´n Î Ö Ü º º¾º¾º
o
Ä ÑÓ×ØÖ ÓÒ × Ð Ó ¬ ÙÐØÓ× Ý × × ÖÖÓÐÐ Ö Ò Ø ÐÐ Ò Ð × × ÓÒ × ×Ù × ¹
Ù ÒØ ×º È ÖÓ ×Ù× ÓÒ× Ù Ò × Ô Ö Ð Ò Ð × × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ ¹
Ò ÓÒ ×ÓÒ ÑÙ Ó Ñ × Ú ÒØ ×º
Ä ÔÖ Ñ Ö Ó × ÖÚ ÓÒ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼ × ÕÙ Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ ÙÒ
Ö ÓÐ ÎÄ × O(Ð n)º ÆÓ ÑÔÓÖØ Ù ÒØÓ Ö Þ Ð Ö Óи Ð ÙÑ ÒØÓ Ð ÐØÙÖ × ÑÔÖ
× ÐÓ Ö ØÑ Óº
Ê ×Ô ØÓ Ð Ó×Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ø Ò ÑÓ׸ Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó׸ ÙÒ ÐØÙÖ ÙÒ 44± Ñ ÝÓÖ
ÕÙ Ð ÙÒ Ö ÓÐ Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Óº Ò Ð × × ØÙ ÓÒ × Ö ×Ø ÒØ ×¸ Ð ÐØÙÖ ×

533. ´
6.4. Arboles AVL 507
Ñ ÒÓÖ Ý Ð Ø ÑÔÓ Ù×ÕÙ × Ñ ÓÖº ÓÖ Ò¸ ÕÙ Ø Ò Ó×ØÓ×Ó × ×Ø 44± Ë
Ö ÓÖ ÑÓ× ÐÓ× 1300 Ñ ÐÐÓÒ × ÒÓ× ÓÒ× Ö Ó× Ò Ò Ü º ¸ Ð ÒÓÑ Ö Ò Ë ÙÒ¹
Ò Ò ÙÒ ÏÙ ÔÙ × Ö ÐÓ Ð Þ Ó Ò ÐÓ ×ÙÑÓ 1.44 Ð 1300000000 = 44 ÒØ ÒØÓ׸ 13
Ñ × ÕÙ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó Ý ×ØÓ ×ÓÐÓ × ×ÓÑÓ× ÑÙÝ × ÓÖØÙÒ Ó׺
Ä ÓØ ÑÔÙ ×Ø ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼ Ø Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ù×ÕÙ º ÉÙ
Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ä Ò× Ö ÓÒ Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ù×ÕÙ ÕÙ ¸ ÔÓÖ Ð
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼¸ × O(Ð n)º ÄÙ Ó¸ × Ö ØÖÓ Ò Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ Ô Ö Ú Ö¹
¬ Ö × Ý Ð ÙÒ × ÕÙ Ð Ö Ó¸ ÕÙ ÒÓ ØÓÑ Ñ × ØÖ × ÒÓ Ó׸ Ý ÕÙ ÐÓ ¸ Ô٠׸
ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÓØ Óº Ë × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ × ÕÙ Ð Ö Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÓÖÖ Ò¸
ÐÓ ×ÙÑÓ¸ Ó× ÖÓØ ÓÒ ×¸ Ð × Ù Ð × Ø Ñ Ò ×Ø Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ÓØ ×º ÈÓ ÑÓ×
ÓÒ ÐÙ Ö¸ ÒØÓÒ ×¸ ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ × O(Ð n) + O(1) + O(1) = O(Ð n)º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × ÙÒ Ù×ÕÙ ¸ Ð Ù Ð Ý ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ ØÓÑ
O(Ð n)º ×Ô٠׸ ÑÓ× Ö ØÖÓ Ö Ò Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ ¸ Ú Ö ¬ Ö × Ý × ÕÙ ¹
Ð Ö Ó Ý¸ × × Ð ×Ó¸ ÓÖÖ ÖÐÓº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÖÖ ÓÒ × ÕÙ Ð Ö Ó ÔÙ
Ù× Ö ÓØÖÓ × ÕÙ Ð Ö Ó Ò Ð × Ò Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ Óº Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó׸
Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÖÖ ÓÒ ÔÙ Ù× Ö ÙÒ Ò ÓÖÖ ÓÒ × ×Ù × Ú × ÕÙ ÔÙ ÐÐ Ö
×Ø Ð Ö Þº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÐØÙÖ × O(Ð n) Ð Ò ÓÖÖ ÓÒ × × ÐÓ ×ÙÑÓ O(Ð n)
× ×Ø ÐÐ × ×Ø Ð Ö Þº Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ×¸ Ô٠׸ O(Ð n) + O(Ð n) = O(Ð n) Ñ ×
Ó×ØÓ× ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ Ô ÖÓ Ø Ñ Ò O(Ð n)º
Ò ÓÒ ÐÙ× ÓÒ¸ ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ ×ÓÒ O(Ð n) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Óº
Ë × Ö ÕÙ Ö Ò Ö ÒØ × × ÑÔ ÒÓ Ý × ×ÔÓÒ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ ×
ÎÄ ×ÓÒ ÙÒ Ù Ò × Ó Ò º
6.4.2.1 ´
Arboles de Fibonacci
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ ×ØÙ Ö ÙÒ Ð × ×Ô Ð Ö ÓÐ
ÒÓÑ Ò Ó ÓÒ º
Definici´n 6.5 (Arbol de Fibonacci) ÍÒ
o ´ Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò k¸ ÒÓÑ Ò Ó
Tk¸ × ¬Ò Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÑÓ
⎧
⎪∅
⎪
⎨ × k=0
Tk =
⎪
∅, 0, ∅ × k=1
⎪
⎩T ,
k−1 (k + 1) − 1, T k−2 + (k + 1) × k≥2
Ð ÙÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ¸ Tk−1, (k + 1) − 1, Tk−2 + (k + 1) ¸ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× Ù Ó× ¹
Ñ ÒØ º Ä Ö Ñ ÞÕÙ Ö ¸ Tk−1 × Ð Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò k − 1º Ä Ö Þ Tk
×Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ (k + 1) − 1 ÓÒ (i) × Ð i¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ º Ä
ÖÑ Ö × Ð Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò k − 2 Ô ÖÓ ÓÒ ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ×ÙÑ Ó×
Ò (k + 1)º
Ä ¬ ÙÖ º½¿ ÑÙ ×ØÖ Ð Ö ÓÐ ÓÒ Ô Ö k = 8º Ä Ö Ñ ÞÕÙ Ö × Ð Ö ÓÐ
T7º ×Ù Ú Þ¸ Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö T7 × Ð Ö ÓÐ T6 ÕÙ Ò ×Ù Ú Þ Ø Ò Ö Ñ ÞÕÙ Ö
T5 Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ º Ä Ö Ñ Ö Tk Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÓÖÑ ÕÙ
Tk−1¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ó × Ò Ö Ñ ÒØ Ó Ò (k + 1)º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¿ ×
ÔÙ Ú Ö ¬ Ö ÕÙ Ð Ö Ñ Ö ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÓÖÑ ÕÙ T6¸
Ü ÔØÓ ÕÙ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÒÓ Ó ×ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ó× Ò (9) = 34º

534. 508 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
33
20 46
12 28 41 51
7 17 25 31 38 44 49 53
4 10 15 19 23 27 30 32 36 40 43 45 48 50 52
2 6 9 11 14 16 18 22 24 26 29 35 37 39 42 47
1 3 5 8 13 21 34
0
ÙÖ º½¿ Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò 8
Ð ¬ ÙÖ º½¿ × Ó × ÖÚ ÕÙ Ð Ø ÕÙ Ø ÒÓ Ó × Ü Ø Ñ ÒØ ×Ù ÔÓ× ÓÒ
Ò¬ º ×Ø ØÖÙ Ó ¿ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÒØÙ Ö Ð Ö Ò Ð ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ º Ä
Ö Þ Ð Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò 8 ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½¿ × (8 + 1) − 1 = 33º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó× ÓÒ ×Ù ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ¸ (7 + 2) = 33 × Ð
ÒØ ÒÓ Ó× ÕÙ ÔÖ Ò Ð Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Óº È ÖÓ¸ ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ Ä(T8) = T7¸ ÔÓÖ
ÐÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ù Ö ÕÙ |T7| = (7 + 2) − 1º ÈÓ ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ö ÒØ × Ö ÓÐ ×
ÓÒ Ý ÓÖÖÓ ÓÖ Ö ×Ø ÒØÙ ÓÒ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
Proposici´n 6.5
o Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò k × (k +
2) − 1º
Demostraci´n (por inducci´n sobre k)
o o
¯ k=0 Ò ×Ø ×Ó¸ |T0| = (0) = 0º Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö k = 0º
¯ k>0 ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × ÙÒ
ÐÓ × Ô Ö k + 1º
ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ
|Tk+1| = |Tk| + 1 + |Tk−1| ´ º½½µ
× Ö¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ð Ö Ñ ÞÕÙ Ö Ñ × Ð Ö Þ Ñ × Ð ÒÙÑ ÖÓ
ÒÓ Ó× Ð Ö Ñ Ö º ÔÐ Ò Ó Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú Ð Ù ÓÒ ´ º½½µ¸
Ø Ò ÑÓ×
|Tk+1| = (k + 1) − 1 + 1 + (k + 1) − 1
= (k + 2) + (k + 1) − 1
= (k + 3) − 1
¿
Ò Ö Ð ¸ Ð ÒØ Ö × ÔÖ Ñ Ö Ó ÐÓ× Ö ÓÐ × ÓÒ × ØÓÔÓÐÓ Ó¸ Ô ÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ ÐÓ×
Ø ÕÙ Ø ÑÓ× ÒÓ× Ñ × ÔÖ Ò× Ð Ð × ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×º

535. ´
6.4. Arboles AVL 509
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ ×¸ ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k
Ä ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ Ø Ñ Ò × ÐÑ ÒØ ×Ù Ö Ð ÔÓÖ Ó × ÖÚ ÓÒº
Ò Ð ×Ó Ð Ö ÓÐ ÓÖ Ò 8 ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½¿ × 8 × Ö¸ ×Ù ÓÖ Òº
Proposici´n 6.6
o Ä ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò k × kº
Demostraci´n (por inducci´n sobre k)
o o
¯ k=0 ×Ø ×Ó × Ö ØÓ ÔÙ × Ð Ö ÓÐ Ú Ó Ø Ò ÐØÙÖ ÒÙÐ º
¯ k>0 ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× Ô Ö
k + 1º
Ë Tk+1 Ð Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò k + 1º ÒØÓÒ ×¸ h(Tk+1) = 1 +
Ñ Ü(h(Tk), h(Tk−1))º ÔÐ Ò Ó Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ñ Ü(h(Tk), h(Tk−1)) =
h(Tk) = k¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ h(Tk+1) = 1 + k
ÙÖ º½ Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò 13
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ ×
Îĸ Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ Ö ×ÔÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÕÙ × Ù
Proposici´n 6.7
o ÍÒ Ö ÓÐ ÓÒ × Îĺ
Demostraci´n Ë Tk Ð Ö ÓÐ
o ÓÒ ÓÖ Ò kº ÓÒ×ØÖÙ Ö ÑÓ× Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ
ÔÓÖ Ò Ù ÓÒ ×Ó Ö k
¯ k = 0 ×Ø ×Ó × Ö ØÓ ÔÙ × Ð Ö ÓÐ Ú Ó × Îĺ
¯ k = 1 Ò ×Ø ×Ó T1¸ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÓ Ó¸ × ÙÒ Ö ÓÐ Îĺ
¯ k>0 ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× Ô Ö
Tk+1º
È Ö ÕÙ Tk+1 × Îĸ Ð ÖÒ ÐØÙÖ × ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ÒÓ Ü Ö
ÙÒÓº ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ Ð × Ö Ñ × Tk+1 ×ÓÒ Ö ÓÐ × ÓÒ ¸ ÐÓ× Ù Ð ×¸ ÔÓÖ
Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ ×ÓÒ Îĺ × Ô٠׸ Ð ÙÒ Ó ÒÓ Ó Ò ÕÙ Ý ÕÙ Ú Ö ¬ Ö
Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ × Ò Ð Ö Þ Tk+1º Ä ÖÒ ÐØÙÖ × Ö Þ(Tk+1) ×Ø
ÔÓÖ δ(raiz(Tk+1)) = h(Ê(Tk+1)) − h(Ä(Tk+1)) = h(Tk−1) − h(Tk) Р٠и ÔÓÖ Ð
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ × k − 1 − k = −1º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Tk+1 × Ø × Ò Ð
ÓÒ ÓÒ Îĸ Tk+1 × ÎÄ Ý Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k
Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÐ ÓÒ × Îĺ × ×Ø Ô Ö×Ô Ø Ú ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÓÒ
×ÓÒ ÐØÓ ÒØ Ö ×¸ ÔÙ × ÒÓ× Ö Ø Ö Þ Ò Ö ÓÐ × ÎÄ ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ º È Ö ÔÖ Ö
×Ø Ù ×Ø ÓÒ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ

536. 510 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
´
Definici´n 6.6 (Arbol AVL cr´
o ıtico) Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ ÐØÙÖ hº Ë ÕÙ T
× Ö Ø Ó × Ý ×ÓÐÓ × ¸ Ð Ð Ñ Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ó¸ Ð Ö ÓÐ × Ö ÎÄ Ó Ô Ö ÐØÙÖ º
Ä × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒÓ× ×Ø Ð Ð Ö Ø ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ º
Proposici´n 6.8 ÍÒ Ö ÓÐ
o ÓÒ × ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ Ö Ø Óº
Demostraci´n (por inducci´n sobre k = |T |)
o o
¯ k=0 Ò ×Ø ×Ó¸ T0 = ∅ ÕÙ ¸ × Ò × ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ Îĸ ÒÓ Ñ Ø Ð Ñ Ò ÓÒº
¯ k = 1 Ò ×Ø ×Ó T1 × ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÓ Óº Ð ØÙ Ö Ð ÙÒ
Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓ× Ð × Ô Ö Ò T0¸ Р٠и ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ Ø Ò Ñ ÒÓÖ
ÐØÙÖ ÕÙ T1º Ð Ð Ñ × ÔÙ × ÖØÓ Ô Ö ×Ø ×Óº
¯ k = 2 Ò ×Ø ×Ó × ØÖ Ø T2¸ Ð Ù Ð ×ÓÐÓ × ÔÓ× Ð Ð Ñ Ò Ö Ó× ÒÓ Ó׺
ÁÒ Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð ÒÓ Ó ÕÙ Ð Ñ Ò ÑÓ׸ Ð Ö ÓÐ Ô Ö Ò T1 Ó × ÕÙ ×
Ô Ö ÐØÙÖ º
¯ k = 3 ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× T3
T3 2
T2 1 3 T0
T1 0
ÕÙ Ø Ò ÑÓ× Ù ØÖÓ ×Ó×
½º Ë Ð Ñ Ò ÑÓ× Ð ÒÓ Ó 0¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÓÐ Ô Ö ÐØÙÖ º
¾º Ë Ð Ñ Ò ÑÓ× Ð ÒÓ Ó 3¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÓÐ × Ö ÎÄ Ý Ù ÐÕÙ Ö Ù×Ø
ÕÙ × ÓÒÐÐ Ú ÙÒ Ô Ö ÐØÙÖ º
¿º Ë Ð Ñ Ò ÑÓ× Ð ÒÓ Ó 1¸ ÒØÓÒ × Ð Ø Ö Ð Ö Þ 2 ÓÒ Ð Ó 0 Ð Ö ÓÐ Ô Ö
ÐØÙÖ º
º Ò ÐÑ ÒØ ¸ × Ð Ñ Ò ÑÓ× Ð Ö Þ 2¸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× Ó× ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ô Ö
×Ù×Ø ØÙ ÖÐ
´ µ ÓÐÓ ÑÓ× Ð ÒÓ Ó 1 ÓÑÓ Ö Þ¸ ÐÓ ÕÙ ÖÖ ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ô Ö ÐØÙÖ º
´ µ ÓÐÓ ÑÓ× Ð ÒÓ Ó 3 ÓÑÓ Ö Þ¸ ÐÓ ÕÙ Ù× ÕÙ Ð Ö ÓÐ × Ö Îĺ
¯ k>3 ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ × ÖØÓ Ô Ö ØÓ Ó k Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × ÙÒ ÐÓ ×
Ô Ö k + 1º
Ð Ö ÓÐ Tk+1 ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× ÓÑÓ
Tk+1
Tk Tk−1

537. ´
6.4. Arboles AVL 511
ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × Tk Ý Tk−1 ×ÓÒ Ö Ø Ó׸ × ÕÙ Ð Ð Ñ Ò Ö
Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó ÐÐÓ× Ð Ö ÓÐ Ö × Ö ÎÄ Ó Ô Ö Ö ÐØÙÖ º × Ô٠׸ Ð
ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ù ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Þ Tk+1º
Ð Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Þ¸ ÕÙ × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÑÓ× ×Ù×Ø ØÙ ÖÐ ÔÓÖ Ð ÙÒÓ ÐÓ×
ÒÓ Ó× Tk Ó Tk−1º Ì Ò ÑÓ× Ó× ×Ó×
½º ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× Ð Ö Þ ÔÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó Tk × Tk Ô Ö ÐØÙÖ ¸ ÒØÓÒ × Tk+1 Ø Ñ Ò
Ô Ö ÐØÙÖ º
Ë Tk × Ö Îĸ ÒØÓÒ × Tk+1 Ø Ñ Ò × Ö Îĺ
¾º ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× Ð Ö Þ ÔÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó Tk−1 × Tk−1 × Ö Îĸ ÒØÓÒ × Tk+1
ØÑ Ò × Ö Îĺ
Ë Tk−1 Ô Ö ÐØÙÖ ¸ ÒØÓÒ × Ó ÙÖÖ ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÎÄ Ò Ð
Ö Þ Tk+1¸ ÔÙ × δ(Tk+1) = −2º Tk+1 ÔÙ × × Ö Îĺ
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Tk+1 × ÙÒ ÎÄ Ö Ø Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó k
×ØÙ Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × ÓÒ ¸ Ø Ò ÑÓ× ØÓ × Ð × ÖÖ Ñ ÒØ × Ö ÕÙ Ö × Ô Ö
Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º º
6.4.2.2 Demostraci´n de la proposici´n 6.4
o o
Ä ÐØÙÖ Ñ Ò Ñ ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ Ð Ù Ð
Ù ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÒÓ× ÓÒ ÒØÖ Ö ÑÓ× Ò ×ØÙ Ö Ð ÐØÙÖ
Ñ Ü Ñ ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Îĺ
×Ø ÑÓ× ÒØ Ö × Ó× Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö ×ÔÓÒ Ö n ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ×Ù ÐØÙÖ × Ñ Ü Ñ º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÑÓ× ×ÔÓÒ Ö ÐÓ× n ÒÓ Ó×
Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö Ø Óº ÓÑÓ × ÑÓ× Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ × Ö Ø Óº
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ × Îĺ ÓÒ × ÙÖ ¸
ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö Ð ÓØ Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ ØÖ Ú × ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ º
ÙÒ ÐØÙÖ ÒÓÑ Ò Ð h¸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ Ð Ö ÓÐ ÓÒ Th¸ ÎÄ Ý
Ö Ø Ó¸ Ø Ò ¸ × ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ (h + 2) − 1 ÒÓ Ó׺ × Ô٠׸ ÔÐ ÒØ ÑÓ×
n ≥ |Th| = (h + 2) − 1 ´ º½¾µ
Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÐ ÎÄ ÐØÙÖ h Ø Ò ÕÙ Ø Ò Ö Ù Ð Ó Ñ × ÒÓ Ó× ÕÙ |Th|¸ ÔÙ ×
Th × Ö Ø Óº ×Ø ÑÓ Ó¸ ÐÓ ÙÒ Ó ÕÙ ÒÓ× Ö ×Ø × Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÕÙ ÒÓ×
ÒÓØ Ð n¹ × ÑÓÒÙÑ ÖÓ ÓÒ Ý ×Ô Ö h Ð × Ù Ð ´ º½¾µº Ô ÖØ Ö Ð
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ (0) = 0, (0) = 1¸ ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò
(k) = (k − 1) + (k − 2) =⇒ ´ º½¿µ
(k + 2) = (k + 1) + (k) =⇒ ´ º½ µ
Ä Ù ÓÒ ´ º½ µ × ÙÒ Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ÓÑÓ Ò × ÙÒ Ó ÓÖ Òº Ë ¹
ÒÓÑ Ò ×Ø Ñ Ò Ö ÔÓÖÕÙ × Ö Ñ Ò × ÒØ ÙÒ Ù ÓÒ Ö Ò Ð ÓÑÓ Ò
× ÙÒ Ó ÓÖ Òº Ó¸ Ð × Ù ÓÒ × Ö ÙÖÖ Ò × Ñ ÒÙ Ó × ÒÓÑ Ò Ò Ù ¹
ÓÒ × Ö Ò × ¸ ÔÓÖ ×Ù × Ñ Ð ØÙ × ÓÒ Ð × Ù ÓÒ × Ö Ò Ð ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸

538. 512 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ð Ù ÓÒ ´ º½ µ × Ö Ñ Ò × ÒØ ÙÒ Ù ÓÒ Ö Ò Ð Ð Ò Ð ÓÑÓ Ò × ÙÒ Ó
ÓÖ Ò ÓÒ Ó ¬ ÒØ × ÓÒ×Ø ÒØ × × Ö¸ ÓÖÑ y + a1 y + a2 y = 0º
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× Ö ×ÓÐÚ Ö Ð Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ´ º½ µ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ò ÐÓ Ó
Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ Ù ÓÒ Ö Ò Ðº È Ö ÐÐÓ¸ Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÙÒ Ù ÓÒ Ö Ò Ð
ÓÑÓ Ò × ÙÒ Ó ÓÖ Ò¸ ÔÐ ÑÓ× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ × Ù ÒØ
(k) = c ωk, c, ω = 0, k ≥ 2 . ´ º½ µ
ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× ´ º½ µ Ò ´ º½ µ¸ ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ù ÓÒ Ö Ø Ö ×Ø × Ù ÒØ
c ωk+2 = c ωk+1 + c ωk , ´ º½ µ
Р٠и Ð Ú Ö ÔÓÖ c ωk¸ ÔÙ × ÑÔÐ ¬ Ö× Ð Ð Ò Ö Ù ÓÒ Ú Ò
ω2 − ω − 1 = 0 , ´ º½ µ
ÙÝ × Ö × ×ÓÒ √
1± 5
ω=
2
. ´ º½ µ
×ØÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ×ÓÒ Ð Ò Ö Ó׸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ϕ Ý ϕ ÙÝÓ×
^ Ú ÐÓÖ × ×ÓÒ
√
1+ 5
ϕ =
2√
≈ 1.61803 , ´ º½ µ
1− 5
ϕ =
^
2
≈ 0.61803 ´ º¾¼µ
×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ò Ö Ð ×
(k) = c1 ϕk + c2 ϕk
^ ´ º¾½µ
È Ö Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × c1 Ý c2¸ ÑÓ× ÐÓ Ñ ×ÑÓ ÕÙ ÓÒ ÙÒ Ù ÓÒ Ö Ò Ð
ÔÐ ÒØ ÑÓ× ÙÒ × ×Ø Ñ Ù ÓÒ × ÓÒ Ú ÐÓÖ × ÓÒÓ Ó× (k)º Ò ×Ø ×Ó¸
ÙØ Ð Þ ÑÓ× (0) = 0 Ý (1) = 1
(0) = 0 = c1 ϕ0 + c2 ϕ0 = c1 + c2
^ ´ º¾¾µ
(1) = 1 = c1 ϕ1 + c2 ϕ1 = c1 ϕ + c2 ϕ
^ ^ ´ º¾¿µ
Ð Ù ÓÒ ´ º¾¾µ Ø Ò ÑÓ×
c2 = −c1 ´ º¾ µ
Ý ×Ù×Ø ØÙÝ Ò Ó ´ º¾ µ Ò ´ º¾¿µ
c1 ϕ − c1 ϕ = 1 =⇒ c1(ϕ − ϕ) = 1 =⇒ c1 =
^ ^
1
ϕ−ϕ^
=√
1
´ º¾ µ
5
ÓÑ Ò Ò Ó ´ º¾ µ Ý ´ º¾ µ Ò ´ º¾½µ
ϕk − ϕk
^
1 1
(k) = √ ϕk − √ ϕk =
^ √ ´ º¾ µ
5 5 5

539. ´
6.5. Arboles rojo-negro 513
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ϕ < 1¸ Ð Ø ÖÑ ÒÓ ϕk Ú Ò ÜÔÓÒ Ò ÐÑ ÒØ ÑÙÝ Ô ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÓÖÑ
^ ^
Ö k¸ Ö Ó¸ ϕ × ×ÔÖ Ð Ò ´ º¾ µ√Ô Ö Ú ÐÓÖ × k ÑÙÝ Ö Ò ×º ÓÒ× Ù ÒØ ¹
^
Ñ ÒØ ¸ (k) × ×Ø ÒØ Ö ÒÓ ϕk/ 5 ÓÒ ÓÖÑ Ö kº × Ô٠׸ ÔÓ ÑÓ× Ø Ò Ö
ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ñ × × ÑÔÐ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð k¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ
ϕk
(k) = √ Ö ÓÒ Ó Ð ÒØ ÖÓ Ñ × ÔÖÓÜ ÑÓ ´ º¾ µ
5
ÐÓ Ù Ð ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º º
ÓÖ Ö ØÓÑ ÑÓ× Ð × Ù Ð ´ º½¾µ
n ≥ |Th| = (h + 2) − 1 =⇒ ´ º¾ µ
> √
ϕ h+2
Ö ÓÒ Ó Ð ÒØ ÖÓ Ñ × Ö ÒÓ − 1 =⇒ ´ º¾ µ
5
n > √
ϕ h+2
−2 ´ º¿¼µ
5
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ù ÓÒ ´ º¾ µ ×Ø Ð ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ö ÓÒ Ó Ð ÒØ ÖÓ Ñ × Ö ÒÓ
ÔÐ Ö× º È Ö ×Ô Ö h Ð Ò Ù ÓÒ ´ º¾ µ¸ × Ö Ò × Ö Ó ÓÒÓ Ö Ð ÒÚ Ö×
Ð ÙÒ ÓÒ Ö ÓÒ Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ö ×Ø ÑÓ× ÙÒ ÙÒ ÐÐ Ó Ö Ó Ð
Ò Ù ÓÒ ´ º¾ µ ݸ Ô ÖØ Ö ÐÐ ¸ ÜÔÖ × ÑÓ× ÙÒ × Ù Ð ×ØÖ Ø
√
ϕh+2 < 5 (n + 2) =⇒
√
h+2 < ÐÓ ϕ [ 5 (n + 2)] =⇒ √
h < ÐÓ ϕ (n + 2) + ÐÓ ϕ ( 5) − 2 =⇒
Ð (n + 2) − 0.3277 =⇒
h <
Ð ϕ
h < 1.4404 Ð (n + 1) − 0.3277
6.5 ´
Arboles rojo-negro
ÓÖ ×ØÙ Ö ÑÓ× ÙÒ Ð × Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÙÝÓ ×ÕÙ Ñ Ð Ò Ø Ñ Ò × Ö Ò¹
Ø Þ Óº Ð ×ÕÙ Ñ × ÖÓÑ Ø Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×ÓÒ ÓÐÓÖ Ó× ÖÓ Ó Ó
Ò ÖÓ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä × Ö Ð × ÓÐÓÖ ÓÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò Ö ÙÑ ÒØÓ× ÓÑ Ò ØÓÖ Ó׸
Ò ÙÒ ÓÒ Ð × ÔÓ× Ð × ÓÑ Ò ÓÒ × ÓÐÓÖ ×¸ ÕÙ Ö ÒØ Þ Ò ÙÒ ÕÙ Ð Ö Óº
´
Definici´n 6.7 (Arbol rojo-negro)
o ÍÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ Ó ÊƸ × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó
Ù×ÕÙ ¸ ÓÒ ÙÒ ØÖ ÙØÓ ÓÒ Ð Ò ÙÒÓ ×Ù× ÒÓ Ó× ÒÓÑ Ò Ó ÓÐÓÖ ¸
ÕÙ × Ø × Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × ÒÓÑ Ò × ÖÓÑ Ø ×
¯ Condici´n crom´tica primaria ÙÒ ÒÓ Ó × ÖÓ Ó Ó Ò ÖÓº
o a
¯ Condici´n roja × ÙÒ ÒÓ Ó × ÖÓ Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ù× Ó×
o Ó× Ò × Ö Ò ÖÓ׺
×ØÓ Ö ÒØ Þ ÕÙ Ó× ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× ÒÙÒ ÔÙ Ò ×Ø Ö ÓÒØ ÙÓ× Ò Ð Ñ ÒÓ
Ù×ÕÙ º
¯ Condici´n negra Ù ÐÕÙ Ö Ñ ÒÓ
o × Ð Ö Þ ×Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ ÓÒØ Ò
Ð Ñ ×ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׺

540. 514 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
¯ Nodo externo negroÐÓ× ÒÓ Ó× ÜØ ÖÒÓ× ×ÓÒ Ò ÖÓ׺
×Ø ¬Ò ÓÒ Ý ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ×ÙÐØ ÒØ × ×Ø Ò Ù ÖØ Ñ ÒØ Ò×Ô Ö Ó× Ð Ü Ð×
ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö ÏÓÓ ½ º ËÙ ¬Ò ÓÒ ¬ Ö Ð Ö ¹
Ñ ÒØ ÓØÖÓ× ×ØÙ Ó×Ó× ÕÙ Ü Ò ÕÙ Ð Ö Þ × ÑÔÖ × Ò Ö º
Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓ ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ò Ð Ù Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× ÖÓ Ó×
×Ø Ò ×ÓÑ Ö Ó׺
48
34 74
6 41 53 90
4 11 38 46 49 69 86 96
2 5 7 32 35 39 42 64 73 78 87 93 98
28 62
ÙÖ º½ ÍÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ
Ä ÓÒ ÓÒ Ò Ö Ù×Ø ¬ ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÓÒ ÔØÓ Ð ÐØÙÖ Ò Ö ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò ÓÑÓ
× Ù
Definici´n 6.8 (Altura negra en un nodo rojo-negro) Ë T ÙÒ Ö
o ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý
ni ∈ T ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö Tº Ë ¬Ò Ð ÐØÙÖ Ò Ö ni¸ ÒÓØ
ÓÑÓ (ni)¸
ÓÑÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò ÖÓ× × ni ×Ø Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ Tº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÐØÙÖ Ò Ö ×Ø ¬Ò Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ñ ÒÓ × Ö Þ(T )º ×ØÓ
× ÙÒ ÓÒ× Ù Ò Ö Ø Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö ÕÙ ÒÓ× Ö ÒØ Þ ÕÙ ×Ø ÐØÙÖ × Ð
Ñ ×Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ó ÕÙ × ÓÒ× Ö º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ð × ÒÓ ÙÒ Ø ÔÓ ×ØÖ ØÓ ØÓ × ×Ô ¬ Ö ÙÒ ÒÓ Ó
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ
½ Ö ÆÓ ºÀ ½ ≡
typedef unsigned char Color;
# define COLOR(p) ((p)->getColor())
# define RED (0)
# define BLACK (1)
class RbNode_Data
{
Color color; // RED o BLACK
RbNode_Data() : color(RED) { /* empty */ }
RbNode_Data(SentinelCtor) : color(BLACK) { /* empty */ }

541. ´
6.5. Arboles rojo-negro 515
Color& getColor() { return color; }
};
DECLARE_BINNODE_SENTINEL(RbNode, 128, RbNode_Data);
¬Ò ×
RbNode¸ Ù× Ò ÙÒ ½ º
Í× × DECLARE BINNODE SENTINEL ¾ º
Ä Ð × RbNode ×Ø × Ò Ô Ö ÙÑÔÐ Ö Ð × ÓÒ ÓÒ × × º Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ
ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ × ÑÔÖ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Óº ÍÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÖÓ Ó ÒÓ ÐØ Ö Ð ÐØÙÖ Ò Ö ¸ ÔÓÖ
ÓÒ× Ù ÒØ ¸ × ÔÖ × ÖÚ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö º ØÓ× × Ø × Ö Ð ÙÐØ Ñ ÓÒ ÓÒ Ý
Ð Ø Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ù× Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÒÙÐÓ ÒØ Ò Ð ÕÙ × Ò ÖÓº
ÁÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ× ÔÖ Ö Ð ÕÙ Ð Ö Ó ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ØÓ Ó ÒÓ Ó ×Ø
Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ò ÖÓ ¹ ÕÙ Ð Ö Ó × Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó ÒÓ Ó¸ Ð ÖÒ ÐØÙÖ × Ò Ö ×
ÒØÖ ×Ù× Ó× Ö Ñ × × ÒÙÐ º Ó¸ Ð Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½ ×Ø
ÔØ Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Óº
ÙÖ º½ ÍÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ 512 ÒÓ Ó×
6.5.1 El TAD Rb Tree<Key>
Ä Ì Gen Rb Tree<Key> ¬Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÙÝ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÖ Ò Ô Ð × ×ÓÒ
Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ¬Ò Ó× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ÔÖ Ò Ô Ð × ÓÑÓ
× Ù
½ ØÔÐ Ö ØÖ ºÀ ½ ≡
template <template <typename> class NodeType, typename Key, class Compare>
class Gen_Rb_Tree
{
typedef NodeType<Key> Node;
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rb Tree<Key> ½
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rb Tree<Key> ½
};
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
struct Rb_Tree : public Gen_Rb_Tree<RbNode, Key, Compare>
{ /* Empty */ };
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
struct Rb_Tree_Vtl : public Gen_Rb_Tree<RbNodeVtl, Key, Compare>
{ /* Empty */ };
Í× × RbNode ½ º
ÄÓ× ÙÒ Ñ ÒØÓ× ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×ÓÒ ÑÙÝ × Ñ Ð Ö × ÐÓ× Ñ × Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ×¹
ØÙ Ó× ÙÒ ÒÓ Ó Ö ¸ ÙÒÓ ÒØ Ò Ð Ý ÐÙ ÓÒ Ù×Ó Ó ÒÓ Ð Ö ÙÖ× Ú º

542. 516 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ÓÒ Ñ × × Ò ÐÐÓ× ÕÙ ÐÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Îĸ Ô ÖÓ ÒÓ ÐÓ ×Ù¬ ÒØ ÓÑÓ Ô Ö
Ô ÖÑ Ø Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ö ÙÖ× Ú º
ÍÒ Ð× × ÓÒ × ÕÙ ØÓÑ ÑÓ× ÔÖ ÓÖ × Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ø Ö Ø Ú
× ×Ø ÙÒ Ô Ð ¸ Ð Ù Ð Ù×Ø ¬ ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ ÙØÓ×
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rb Tree<Key> ½ ≡ ´½µ ½
Node head_node; // nodo cabecera centinela
Node * head; // puntero a cabecera centinela
Node *& root;
FixedStack<Node*, Node::MaxHeight> rb_stack;
Í× × FixedStack ½¼ º
Ä Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ò ÑÔ Ð Ö Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ º ×Ø ÓÒ ×
Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÒ ÖÙØ Ò ×Ô ¬
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rb Tree<Key> ½ +≡ ´½µ ½ ½
Node * search_and_stack_rb(const Key & key)
{
Node * p = root;
rb_stack.push(head);
do
{
rb_stack.push(p);
if (Compare () (key, KEY(p)))
p = LLINK(p);
else if (Compare () (KEY(p), key))
p = RLINK(p);
else
return p;
}
while (p != Node::NullPtr);
return rb_stack.top();
}
¬Ò ×
search and stack rb¸ Ù× Ò ÙÒ × ½ Ò ¾¼º
6.5.1.1 Inserci´n en un arbol rojo-negro
o ´
Ò ÔÖ Ò Ô Ó¸ Ð Ò× Ö ÓÒ × Ü Ø Ñ ÒØ Ù Ð Ð Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ×Ø Ò Öº
ÄÙ Ó¸ × × Ò × Ö Ó¸ × ØÙ Ò ÐÓ× Ù×Ø × Ô Ö ÔÖ × ÖÚ Ö Ð Ð Ò
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rb Tree<Key> ½ ≡ ´ ½ µ ¾¼
Node * insert(Node * p)
{
if (root == Node::NullPtr)
return root = p; // inserci´n en arbol vac´o
o ´ ı
Node * q = search_and_stack_rb(KEY(p));
if (Compare () (KEY(p), KEY(q)))
LLINK(q) = p;
else if (Compare () (KEY(q), KEY(p)))
RLINK(q) = p;
else
{
rb_stack.empty();

543. ´
6.5. Arboles rojo-negro 517
return NULL; // clave duplicada
}
fix_red_condition(p);
return p;
}
Í× × fix red condition ½ Ò search and stack rb ½ º
Ä ÖÙØ Ò ÑÔÐ ÒØ Ð Ò× Ö ÓÒ × Ð × º fix red condition() Ú Ö ¬ Ú ÓÐ ÓÒ ×
Ð × ÓÒ ÓÒ × ÖÓÑ Ø × Ý Ð × ÓÖÖ × × Ð ×Óº
Ò Ð ×Ó Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ð ØÖÙ Ó × Ò× ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Ó¸ ÔÙ × ×Ø ÒÓ ÐØ Ö Ð
ÓÒ ÓÒ Ò Ö ¸ Ö Ó¸ Ð Ð Ò ÐØÙÖ × Ò Ö ×º ÑÔ ÖÓ¸ Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Ó
ÔÙ Ù× Ö ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ × Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó × ÖÓ Óº Ë Ð
Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó × Ò ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ø ÖÑ Ò º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ò × Ö Ó Ö ×Ø Ð Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ × Ò ÐØ Ö Ö Ð ÓÒ ÓÒ
Ò Öº
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ fix red condition() × ÓÑÓ × Ù
½ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rb Tree<Key> ½ +≡ ´½µ ½ ¾¾
void fix_red_condition(Node * p)
{
while (p != root)
{
Node * pp = rb_stack.pop(); // padre de p
if (COLOR(pp) == BLACK) // ¿padre de p negro?
break; // s´ ==> no hay nodos rojos consecutivos ==> terminar
ı
if (root == pp) // ¿p es hijo directo de la ra´z?
ı
{ // s´ ==> colorear ra´z de negro y terminar
ı ı
COLOR(root) = BLACK;
break;
}
Node * ppp = rb_stack.pop(); // abuelo de p
Node * spp = LLINK(ppp) == pp ? RLINK(ppp) : LLINK(ppp); // t´o de p
ı
if (COLOR(spp) == RED) // ¿t´o de p rojo?
ı
{ // intercambiar colores entre los niveles
COLOR(ppp) = RED;
COLOR(pp) = BLACK;
COLOR(spp) = BLACK;
p = ppp;
continue; // avanzar al pr´ximo ancestro y verificar violaciones
o
}
Node * pppp = rb_stack.pop(); // bisabuelo de p
if (LLINK(pp) == p and LLINK(ppp) == pp)
{
rotate_to_right(ppp, pppp);
COLOR(pp) = BLACK;
}
else if (RLINK(pp) == p and RLINK(ppp) == pp)
{
rotate_to_left(ppp, pppp);
COLOR(pp) = BLACK;
}
else

544. 518 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
{
if (RLINK(pp) == p)
{
rotate_to_left(pp, ppp);
rotate_to_right(ppp, pppp);
}
else
{
rotate_to_right(pp, ppp);
rotate_to_left(ppp, pppp);
}
COLOR(p) = BLACK;
}
COLOR(ppp) = RED;
break; // ´rbol es rojo-negro ==> terminar
a
}
rb_stack.empty();
}
¬Ò ×
fix red condition¸ Ù× Ò ÙÒ ½ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó p¸ ÕÙ × Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Öº Ä × Ð × ÙÒ
Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÓÒ Ð ÒÓ Ó p Ò× ÖØ Óº
Ð Ò Ó Ð while¸ p × ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Ó Ö Ò Ò× ÖØ Óº Ð ÙÒ × ÓÖÖ ÓÒ × ÔÙ Ò
Ù× Ö ÓØÖ × Ú ÓÐ ÓÒ × ×Ó Ö Ð × Ò Ò pº Ù Ò Ó ×ØÓ Ó ÙÖÖ ¸ p × ØÙ Ð Þ
ÕÙ ÔÙÒØ ×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Ó ÕÙ Ú ÓÐ Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ º
Ë ÐÔ Ö p × Ò ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó ÒÓ Ù× Ò Ò ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ Ý Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò º ×Ø × Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö ¬ ÓÒ Ð whileº
Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ pp × ÖÓ Ó¸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× Ó× ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ÕÙ
Ú ÓÐ Ò Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ º Ä ÓÖÖ ÓÒ × Ö Ð Þ × ÙÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó×
½º p × Ó Ö ØÓ Ð Ö Þ ×Ø × ØÙ ÓÒ × Ú Ö ¬ Ò Ð × ÙÒ Ó if Ý × Ö ×Ù ÐÚ
ÓÐÓÖ Ò Ó Ð Ö Þ Ò ÖÓ
root root
pp
p p
=⇒
Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò º
¾º Ì Ó p × ÖÓ Ó ×Ø Ö ÙÒ×Ø Ò ¸ Ø Ø ÔÓÖ Ð Ø Ö Ö if¸ × ×ÓÖØ ÓÒ ÙÒ
ÒØ Ö Ñ Ó ÓÐÓÖ × ÒØÖ ÐÓ× Ò Ú Ð ×º × Ö¸ Ð Ù ÐÓ p Ú Ò ÖÓ Ó Ý ×Ù× Ó×
Ó× Ú Ò Ò Ò ÖÓ׺ ÄÓ× Ó× ×Ó× ÔÓ× Ð × × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ð ¬ ÙÖ º½ º
ÄÙ Ó ×Ø Ù×Ø Ð Ô Ö ppp × ÔÓ Ö × Ö ÖÓ Ó¸ ÐÓ ÕÙ ÖÖ Ö ÙÒ Ú ÓÐ ÓÒ
Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÙØ ÑÓ× p = ppp Ý Ú ÒÞ ÑÓ× ÙÒ ÒÙ Ú
Ø Ö ÓÒº
¿º Ì Ó p × Ò ÖÓ Ò ×Ø ×Ó Ö Ð Þ ÑÓ× ÖÓØ ÓÒ × ÕÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ
Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×º

545. ´
6.5. Arboles rojo-negro 519
ppp ppp
pp spp pp spp
p p
χ δ χ δ
α β α β
ppp =⇒ ppp
pp spp pp spp
p p
α δ α δ
β χ β χ
=⇒
ÙÖ º½ ÁÒØ Ö Ñ Ó ÓÐÓÖ × ÒØÖ ÐÓ× Ò Ú Ð ×
À Ý Ó× ÔÓ× Ð × × ØÙ ÓÒ × Ò Ö Ð ×
´ µ ×Ø × ØÙ ÓÒ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½ Ý × Ø Ø ÔÓÖÕÙ p¸ pp Ý ppp
×Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ó× × Ð ÞÕÙ Ö Ó Ð Ö º ËÙ
Ø ÓÒ Ý ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ó ÙÔ ÐÓ× Ù ÖØÓ Ý ÕÙ ÒØÓ ifº
Ä ÓÖÖ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò ØÙ Ö ÙÒ ÖÓØ ÓÒ × ÑÔÐ pp ÐÐ Ó
spp ×ØÓ ÕÙ pp Ú Ò Ð Ö Þ Ð ×Ù Ö Óк ÈÓÖ ÙÐØ ÑÓ¸ × ÒØ Ö Ñ Ò
ÐÓ× ÓÐÓÖ × pp Ý pppº
ppp pp
pp spp p ppp
p spp
χ δ α β χ
α β δ
=⇒
ÙÖ º½ ÊÓØ ÓÒ Ý ÓÐÓÖ ÓÒ Ô Ö Ö ×Ø ÙÖ Ö ÓÒ ÓÒ ÖÓ
´ µ × × ØÙ ÓÒ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½ ¸ × ÔÖ × ÒØ Ù Ò Ó p¸ pp Ý ppp ÒÓ ×Ø Ò
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ó׺ Ä ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ Ó Ð ÖÓØ ÓÒ ÖÙÞ
p Ð Ð Ó sppº Ò ×Ø ×Ó¸ p Ú Ò Ð Ö Þ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ý ÐÓ×
ÓÐÓÖ × p Ý ppp ×ÓÒ ÒØ Ö Ñ Ó׺

546. 520 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
ppp p
pp spp pp ppp
p spp
α δ α β χ
β χ δ
=⇒
ÙÖ º½ Ó Ð ÖÓØ ÓÒ p Ý ÓÐÓÖ ÓÒ Ô Ö Ö ×Ø ÙÖ Ö ÓÒ ÓÒ ÖÓ
Ò Ð × Ó× × ØÙ ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ø ÖÑ Ò º
Ð ÙÒ × Ø Ö ÓÒ × ÔÙ Ò Ó ÙÖÖ Ö Ù Ò Ó × Ò Ð × ÙÒ Ó ×Ó¸ ÔÙ Ò Ó × Ö
Ò × Ö Ó ×Ù Ö ×Ø Ð Ö Þº Ù Ò Ó ×ØÓ Ó ÙÖÖ ¸ Ð Ú ÒØÙ Ð Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ
ÖÓ ×Ñ ÒÙÝ Ó× Ò Ú Ð ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ Ø Ö ÓÒ × ×Ø ÓØ Ó
ÔÓÖ Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ Ú ÒØÖ Ó× ´h/2µº
6.5.1.2 Eliminaci´n en un arbol rojo-negro
o ´
Ò ÔÖ Ò Ô Ó¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × × Ñ Ð Ö Ð ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó ×Ø Ò Öº ÄÙ Ó¸ × ×
Ò × Ö Ó¸ × Ö Ð Þ Ò ÐÓ× Ù×Ø × ÕÙ Ö ×Ø ÙÖ Ò Ð × ÓÒ ÓÒ × ÖÓÑ Ø ×º
¾¼ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Rb Tree<Key> ½ +≡ ´½µ ½
Node* remove(const Key & key)
{
if (root == Node::NullPtr)
return NULL;
Node * q = search_and_stack_rb(key);
if (no_equals<Key, Compare> (KEY(q), key)) // ¿clave no encontrada?
{
rb_stack.empty();
return NULL;
}
Node * pq = rb_stack.top(1); // padre de 1
Node * p; // hijo de q luego de que este ha sido eliminado
´
repeat: // Eliminaci´n tradicional en ´rbol binario de b´squeda
o a u
if (LLINK(q) == Node::NullPtr)
{
if (LLINK(pq) == q)
p = LLINK(pq) = RLINK(q);
else
p = RLINK(pq) = RLINK(q);
goto end;
}
if (RLINK(q) == Node::NullPtr)
{
if (LLINK(pq) == q)

547. ´
6.5. Arboles rojo-negro 521
p = LLINK(pq) = LLINK(q);
else
p = RLINK(pq) = LLINK(q);
goto end;
}
find_succ_and_swap(q, pq);
goto repeat;
end:
if (COLOR(q) == BLACK) // ¿se elimin´ un nodo negro?
o
fix_black_condition(p);
q->reset();
rb_stack.empty();
return q;
}
Í× × find succ and swap¸ fix black condition ¾¾¸ Ò search and stack rb ½ º
Ä ÖÙØ Ò Ù× Ð Ð Ú Ð Ú Þ ÕÙ ÑÔ Ð Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ º Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö
× ÐÐ Ñ Ó q Ý ×Ù Ô Ö pqº Ð while ÑÔÐ ÒØ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × Ð ÒÓ Ó¸ Р٠и
×Ø × ÐØÙÖ × Ð ×ØÙ Ó¸ × Ö ÓÑÔÖ × Ð Ô Ö Ð Ð ØÓÖº ×ÔÙ × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ
× ¸ Ü ×Ø Ð Ö × Ó Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö ¸ ÔÙ × Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ó ÔÙ
× Ö × Ó Ò ÖÓ¸ ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÚÓ ÙÒ Ô Ö Ò ÐØÙÖ Ò Ö º Ò Ð ÒØ ¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× p Ð
ÒÓ Ó Ð Ù Ð ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ ¬ Ø Ò ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׺
find succ and swap() ÒØ Ö Ñ q ÓÒ ×Ù ×Ù ×ÓÖ Ò¬ Óº Ä ÖÙØ Ò × ×ØÖÙ ØÙÖ Ð¹
Ñ ÒØ ÒØ Ð Ú Ö× ÓÒ Ô Ö Ö ÓÐ × ÎÄ ´Ü º º½º¾ ´Ô Ò ¼¾µµº
find succ and swap() × Ö Ñ Ð Ö Ð Ð ØÓÖº Ð ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ö ÓÖ Ö × ÕÙ
× × Ð Ñ Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ×Ù ×ÓÖ ¹Ó ÔÖ ×ÓÖ¹ ÕÙ × ×Ù×Ø ØÙÝ
Ö Ö Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Óº ×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð Ú ÓÐ ÓÒ Ú ÒØÙ Ð Ó ÙÖÖ
×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒ ÖØ Þ × Ò ÓÑÔÐ ØÓº
pp
p sp
¹
α β
snp np
ÙÖ º¾¼ ÓÒ Ñ Ð Ö × ÓÒ ÒØ × ÒÓ Ó ÖÓ Ó
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ×Ø Ò Ö Ò ÙÒ × ÑÔÖ × Ö Ñ Ø Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ÙÝÓ
Ô Ö × Ò ÓÑÔÐ ØÓº Ä × ØÙ Ö ÙÒ ÓÖØÓ¹ Ö Ù ØÓ ¹Ü º º ´Ô Ò ¿ ¾µ¹ Ð
Ó q Ð Ù Ð ÒÓÑ Ò ÑÓ× pº Ë q × ÖÓ Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ×ÙÖ Ù Ò Ó q × Ò ÖÓ¸ ÔÙ × × Ú ÓÐ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö º Ò ×Ø ×Ó¸ Ö ÑÓ×
ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ¬ Ø ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÖÓ Ò Ð Ñ ÒÓ × Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ó ×Ø
pº Ñ Ò Ö Ò Ö Ð¸ Ð ×ØÖ Ø Ö ×Ø ÙÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö × Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ
ÒÓ Ó ÖÓ Ó Ò Ð × ÒÑ ÓÒ × p Ø Ð ÓÑÓ × Ò Ò Ð ¬ ÙÖ º¾¼º Ë × Ò Ù ÒØÖ Ø Ð
ÒÓ Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÔÙ Ô × Ö× Ð Ð Ó Ð ¬ Ø Ý ÓÐÓÖ ÖÐÓ Ò ÖÓ Ô Ö ×
ÓÑÔ Ò× Ö Ð ¬ غ Ð ØÖ Ó × Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð ÖÙØ Ò fix black condition()¸ Ð Ù Ð

548. 522 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
ØÓÑ ÓÑÓ ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó p ÓÒ ÙÒ ¬ Ø Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÖÓ ÕÙ × Ö Ö ×Ø ÙÖ Óº
Ä × Ð × ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÖÙØ Ò × Ð × Ù ÒØ
¾¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Rb Tree<Key> ½ +≡ ´½µ ½
void fix_black_condition(Node * p)
{
if (COLOR(p) == RED) // ¿p es rojo?
{ // s´ ==> lo pintamos de negro y terminamos
ı
COLOR(p) = BLACK; // esto compensa el d´ficit
e
return;
}
Node * pp = rb_stack.popn(2); // padre de p
while (p != root)
{
Node * sp = LLINK(pp) == p ? RLINK(pp) : LLINK(pp); // hermano de p
if (COLOR(sp) == RED) // ¿hermano de p es rojo?
ÖÓØ Ö ×Ô Ð Ð Ó Ô ÒØ Ö Ñ Ö ×Ù× ÓÐÓÖ × ¾¿
Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ×Ó Ö ÒÓ× Ô ´ Ó× ×Ôµ ¾¿
if (COLOR(np) == RED) // ¿np es rojo?
{
ÖÓØ Ö ×Ô Ô¸ Ö ÖÐ ÓÐÓÖ ÔÔ Ý Ô ÒØ Ö Ò ÖÓ ÒÔ Ý ÔÔ ¾
return;
}
if (COLOR(snp) == RED) // ¿snp es rojo?
{
ÖÓØ Ö Ó Ð ×ÒÔ Ý Ô ÒØ Ö Ò ÖÓ ÔÔ ¾ ;
return;
}
if (COLOR(pp) == RED) // ¿pp es rojo?
{
ÒØ Ö Ñ Ö ÓÐÓÖ × Ô Ý ÔÔ ¾ ;
return;
}
// no hay nodo rojo en las adyacencias de p ==> desplazar el
// d´ficit hacia pp y repetir la iteraci´n
e o
COLOR(sp) = RED;
p = pp;
pp = rb_stack.pop();
}
}
¬Ò ×
fix black condition¸ Ù× Ò ÙÒ ¾¼º
Ä ÖÙØ Ò ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ú ÐÙ Ö × Ð ÒÓ Ó ¬ Ø Ö Ó × ÖÓ Ó Ò × ×Ó ×Ø ÓÒ
Ô ÒØ Ö p Ò ÖÓ Ý Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ð × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ × ØÙ ÓÒ Ý ÓÖÖ ÓÒ ÐÙ×ØÖ × Ò Ð
¬ ÙÖ º¾½º
Ò Ð ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØÖ Ò ÙÒ ÐÓ ÕÙ Ù× ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Ó Ò Ð ÞÓÒ
ÒÑ Ö Ò Ð ¬ ÙÖ º¾¼ Ô Ö ÒØ ÒØ Ö ×Ù×Ø ØÙ Ö Ð ÒÓ Ó Ò ÖÓ Ý × ÓÑÔ Ò× Ö Ð ¬ غ
Ä Ø Ö ÓÒ Ü Ñ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÞÓÒ Ò Ð ÓÖ Ò sp¸ np¸ snp Ý pp¸ × ÙÒ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
×Ó×

549. ´
6.5. Arboles rojo-negro 523
pq
RN
q pq
←−
Nodo a eliminar RN
p p
=⇒
ÙÖ º¾½ Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÖÓ ÓÒ Ó ÖÓ Ó
½º sp ÖÓ Ó Ð × ØÙ ÓÒ Ý ×Ù ÓÖÖ ÓÒ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ð ¬ ÙÖ º¾¾º
sp
pp pp
δ
p - sp p -
χ
α β χ δ α β
=⇒
ÙÖ º¾¾ ×Ó Ù Ò Ó sp × ÖÓ Ó
¾¿ ÖÓØ Ö ×Ô ÐÐ Ó Ô ÒØ Ö Ñ Ö ×Ù× ÓÐÓÖ × ¾¿ ≡ ´ ¾¾µ
{
Node *& ppp = rb_stack.top(); // abuelo de p
if (LLINK(pp) == p)
{
sp = LLINK(sp);
ppp = rotate_to_left(pp, ppp);
}
else
{
sp = RLINK(sp);
ppp = rotate_to_right(pp, ppp);
}
COLOR(ppp) = BLACK;
COLOR(pp) = RED;
}
×Ø ÓÒ ÙÑ ÒØ Ð ÒÓ Ó ¬ Ø Ö Ó Ò ÙÒ Ò Ú Ð¸ Ô ÖÓ ÕÙ Ð ÒÙ ÚÓ ÖÑ ÒÓ
p × Ò ÖÓ Ý ÕÙ ÒØÖ Ò Ð ÞÓÒ Ñ Ð Ö × ÓÒ ÒØ × × Ö Ø Ò Ð ¬ ÙÖ º¾¼º
Ë sp × Ò ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ý ÕÙ Ö Ú × Ö ×Ù× ×Ó Ö ÒÓ׸ Ô ÖÓ ÒØ ×¸ × Ò × Ø Ð Ù¹
Ð ÖÐÓ× Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¾¿ Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ×Ó Ö ÒÓ× Ô ´ Ó× ×Ôµ ¾¿ ≡ ´ ¾¾µ
Node * np, * snp; // sobrinos de nodo p
if (LLINK(pp) == p) // ¿p es hijo izquierdo?
{ // s´ ==> que sp es hijo derechos
ı
np = RLINK(sp);

550. 524 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
snp = LLINK(sp);
}
else
{
np = LLINK(sp);
snp = RLINK(sp);
}
¾º ÖÓ Ó Ð × ØÙ ÓÒ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾¿ Ý × ÒØ ¬ ÔÓÖÕÙ np ×Ø Ð Ò Ó
np
Ð Ö ÓÒ spº Ä ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò ÖÓØ Ö sp Ð Ð Ó p Ý ÓÐÓÖ Ö
Ò ÖÓ np Ý ppº ÓÒ ×ØÓ Ò ÑÓ× Ð ÒÓ Ó Ò ÖÓ pp Ò Ð Ñ ÒÓ p¸ ÐÓ ÕÙ ÓÑÔ Ò×
Ð ¬ غ
¾ ÖÓØ Ö ×Ô Ô¸ Ö ÖÐ ÓÐÓÖ ÔÔ Ý Ô ÒØ Ö Ò ÖÓ ÒÔ Ý ÔÔ ¾ ≡ ´ ¾¾µ
Node * ppp = rb_stack.top();
if (RLINK(sp) == np)
rotate_to_left(pp, ppp);
else
rotate_to_right(pp, ppp);
COLOR(sp) = COLOR(pp);
COLOR(pp) = BLACK;
COLOR(np) = BLACK;
pp sp
RN RN
p pp
sp np
-
p
np
α β χ χ δ
δ α β
=⇒
ÙÖ º¾¿ ×Ó Ù Ò Ó np × ÖÓ Ó
¿º snp ÖÓ Ó Ð × ØÙ ÓÒ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ Ü ÔØÓ
ÕÙ ÒÓ Ý Ð Ò ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð Ö º Ä ×ÓÐÙ ÓÒ Ø Ñ Ò × × Ñ Ð Ö ÖÓØ Ö
snp Ó× Ú × Ð Ð Ó p Ý ÐÙ Ó ÓÐÓÖ Ö Ò ÖÓ pp Ý spº Ð Ù Ð ÕÙ Ð ×Ó
ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ÒÒ Ð ÒÓ Ó Ò ÖÓ pp Ò Ð Ñ ÒÓ p ÓÑÔ Ò× Ð ¬ غ
¾ ÖÓØ Ö Ó Ð ×ÒÔ Ý Ô ÒØ Ö Ò ÖÓ ÔÔ ¾ ≡ ´ ¾¾µ
Node * ppp = rb_stack.top();
if (LLINK(sp) == snp)
{
rotate_to_right(sp, pp);
rotate_to_left(pp, ppp);
}
else
{
rotate_to_left(sp, pp);

551. ´
6.5. Arboles rojo-negro 525
rotate_to_right(pp, ppp);
}
COLOR(snp) = COLOR(pp);
COLOR(pp) = BLACK;
pp snp
RN RN
p sp pp sp
-
snp np p np
α β χ δ
χ δ φ α β φ
=⇒
ÙÖ º¾ ×Ó Ù Ò Ó snp × ÖÓ Ó
º pp ÖÓ Ó Ð × ØÙ ÓÒ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ Ý × Ö ×Ù ÐÚ ÒØ Ö Ñ Ò Ó ÐÓ× ÓÐÓÖ ×
pp ÓÒ spº ×ÔÙ × ×Ø Ù×Ø ¸ Ð Ñ ÒÓ p Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÖÓ ØÖ Ú ×
×Ù Ô Ö ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ñ ÒÓ sp Ô ÖÑ Ò ÓÒ Ð Ñ ×Ñ ÒØ ÒÓ Ó×
Ò ÖÓ׺ ×Ø Ù×Ø ×ÓÐÓ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× × × Ò Ú ÐÙ Ó ÐÓ× ×Ó× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÔÙ × ×
ÔÓ Ö Ú ÓÐ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ × Ð ÙÒÓ ÐÓ× ×Ó Ö ÒÓ× p Ù × ÖÓ Óº
¾ ÒØ Ö Ñ Ö ÓÐÓÖ × Ô Ý ÔÔ ¾ ≡ ´ ¾¾µ
COLOR(pp) = BLACK;
COLOR(sp) = RED;
pp pp
p sp p sp
-
snp np snp np
=⇒
ÙÖ º¾ ×Ó Ù Ò Ó Ð Ô Ö p × ÖÓ Ó
º Æ Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ñ Ð Ö × × ÖÓ Ó × ÐÓ× ×Ó× ÒØ Ö ÓÖ × ÐÐ Ò¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ý ÒÓ Ó× ÖÓ Ó×
Ò Ð ÞÓÒ ÒÑ Ö Ò Ð ¬ ÙÖ º¾¼º ÒØ ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ Ð ÙÒ × Ð × ×ÔÐ Þ Ö
Ð ¬ Ø ÐÔ Ö p Ý ÐÙ Ó Ö Ô Ø Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ p = ppº Ð
×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ¸ ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ ¸ ÓÒ× ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÓÐÓÖ Ö sp ÖÓ Óº
ÓÒ ×ØÓ Ð Ñ Ò ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÖÓ Ô ÖØ Ö sp Ý ØÖ ×Ð ÑÓ× Ð ¬ Ø ppº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ö × ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× Ò Ð ÞÓÒ ÒÑ Ö ÒÐ
¬ ÙÖ º¾¼º Ä ÒØ Ñ ÜÑ Ø Ö ÓÒ × Ô Ò × Ý Ó ÒÓ ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× Ò Ð ×
ÒÑ ÓÒ × Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ Ð Ð Ú Ð Ñ Ò º Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó׸ ÔÙ
× Ö Ò × Ö Ó ×Ù Ö ×Ø Ð Ö Þº Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ Ð ¬ Ø Ó ÙÖÖ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ×
× Ð Ö Þ ×Ø Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó ÒÙÐÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ Ý Ú ÓÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö º

552. 526 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
pp pp
-
p sp p sp
-
snp np snp np
=⇒
ÙÖ º¾ ×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ð ¬ Ø ÔÔ
Ð Ñ ÒÓ Ñ × Ð Ö Ó × Ù Ò Ó Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ó ÙÖÖ Ò ÙÒ Ð× Ó ×Ñ×
ÔÖÓ ÙÒ × Ò ÐØÙÖ Ò Ö º ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ p Ð Ö ÓÐ ×Ø Ö
Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ ÔÙ × × ÒÓ Ð ÞÓÒ ÒÓ × Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ò Ö º Ð Ð Ñ º
ÒÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð ÐØÙÖ Ð ÞÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ò Ö × h/2 Ô Ö Ð Ô ÓÖ Ö Óк
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ÒÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ × 2 Ð (n + 2) − 2º × Ô٠׸ Ð
Ð Ñ Ò ÓÒ × O(Ð n) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Óº
6.5.2 An´lisis de los ´rboles rojo-negro
a a
ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö Ö ÒØ Þ ¸ ÔÓÖ × Ñ ×Ñ ¸ ÙÒ Ð Ò
Ò Ú Ð ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׺ Ë ×ÓÐÓ × Ù ÒØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö ÒÓ Ó¸
Ð ÖÒ ÐØÙÖ × ÒØÖ Ð × Ó× Ö Ñ × × ÖÓº Ó Ð ÐØÙÖ Ò Ö ¸ Ð Ö ÓÐ ×Ø
Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Óº Ð Ò Ð × × × Ò Ó ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ×ØÙ Ö Ð ÑÔ ØÓ ÐÓ×
ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× ×Ó Ö Ð ÐØÙÖ ÐÓ Ð Ð Ö Óк
ÈÓÖ Ð ÓÒ ÓÒ ÖÓ ¸ Ð ÐØÙÖ ÜÔÖ × Ö× Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׸ ÔÙ × ÒÓ
ÔÙ Ò Ö Ó× ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× ÒÚÓÐÙ¹
Ö Ó× ÒÓ ÔÙ Ü Ö¸ Ô٠׸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ò ÖÓ× Ñ × ÙÒÓº Ñ Ò Ö ÒØÙ Ø Ú
ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ò Ð Ô ÓÖ ×Ó Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ×Ø Ø ÖÑ ¹
Ò ÔÓÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ñ Ü Ñ Ò ÒÓ Ó× Ò ÖÓ× ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ Ó׺ × Ö¸ ×ÙÑ ÑÓ×
ÕÙ Ð Ñ ÒÓ Ð Ö Ñ Ñ × Ð Ö ×Ø Ö ÔÐ ØÓ ÒÓ Ó× ÖÓ Ó× ÒØ Ö Ð Ó× ÒØÖ ÒÓ Ó×
Ò ÖÓ׺
ÓÒ ×Ø × Ó × ÖÚ ÓÒ × Ò Ñ ÒØ ¸ ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÒÙÒ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × Ù ÒØ º
Proposici´n 6.9 ´
o Ù ×ÝË Û ¹½ µË T ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÓÒ n ÒÓ Ó× Ý
ÐØÙÖ hº ÒØÓÒ ×
h ≤ 2 Ð (n + 2) − 2 ´ º¿½µ
Demostraci´n
o Ð Ò ÓÕÙ × × Ñ Ð Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ ´ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º µº
× Ö¸ Ú ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × Ð Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÐØÙÖ h ÓÒ Ð Ñ Ü ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ
ÒÓ Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ ÑÓ× ÒØ ¬ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Óº
´
Definici´n 6.9 (Arbol rojo-negro cr´
o ıtico) Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÐØÙÖ h(T )º
Ë ÕÙ T × Ö Ø Ó × Ý ×ÓÐÓ × Ð ÕÙ Ø ÖÐ ÙÒ Ó Ð Ö ÓÐ × Ö ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ó
Ô Ö ÐØÙÖ º
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × Îĸ Ð Ö Ò Ð ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó ×
Ñ Ò Ñ Ð ÐØÙÖ h(T ) × Ö¸ × T × Ö Ø Ó¸ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ð Ñ ×Ñ
ÐØÙÖ ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ ÒÓ Ó׺

553. ´
6.5. Arboles rojo-negro 527
ÓÖ ÔÖÓ ÑÓ× ×ØÙ Ö Ù ÒØÓ× ÒÓ Ó× Ø Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö Ø Ó Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù
ÐØÙÖ º ÈÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ó × ÖÚ Ö Ð × Ö Ò × ÐØÙÖ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ
Ö ÓÐ Ö Ø Óº
Lema 6.4 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó ÐØÙÖ h(T ) > 1 ÓÒ Ö Ñ × Ä(T ) Ý Ê(T )
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ × h(Ä(T )) = h(Ê(T ))º
Demostraci´n (por reducci´n al absurdo) ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹
o o
Ò ÖÓ Ö Ø Ó ÓÒ h(Ä(T )) = h(Ê(T ))º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ h(T ) > 1¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÑÔÐ Þ Ö
Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ö Ñ × ÔÓÖ ÓØÖÓ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ñ × Ô ÕÙ ÒÓ Ò ÐØÙÖ Ý Ö Ò Ð ¸ ÐÓ
ÕÙ ÖÖÓ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö ÒÐ Ò Ö ÓÖº ×ØÓ Ù× ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒ¸
ÔÙ × ÑÓ× Ó ÕÙ T × Ö Ø Óº Ð Ð Ñ × ÔÙ × ÖØÓ
ÓÖ Ú ÑÓ× Ù ÒØÓ× ×Ù Ö ÓÐ × Ö Ø Ó× Ü ×Ø Ò ÒØÖÓ ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Óº
Lema 6.5 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó ÐØÙÖ h(T ) > 1º ÒØÓÒ ×¸ h(Ê(T )) =
h(T ) − 1 =⇒ Ê(T ) × Ö Ø Ó Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ñ Ò ÑÓº
Ä × ØÙ ÓÒ × Ñ ØÖ ¸ × Ö¸ × h(Ä(T )) = h(T ) − 1¸ × ÕÙ Ú Ð ÒØ º
Demostraci´n (por reducci´n al absurdo) ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ T × Ö Ø Ó Ý ÕÙ Ê(T ))
o o
ÒÓ × Ö Ø Óº ÒØÓÒ ×¸ Ê(T ) ÔÓ Ö × Ö Ö ÑÔÐ Þ Ó ÔÓÖ ÙÒ ×Ù Ö ÓÐ T , h(T ) = h(T ) − 1
Ø Ð ÕÙ |T | < | Ê(T )|º ×ØÓ ÑÔÐ Ö ÕÙ T Ø Ò Ñ ÒÓ× ÒÓ Ó× Ð Ñ ×Ñ ÐØÙÖ ¸ ÐÓ Ù Ð
× ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒ ÓÒ Ð ×ÙÔÓ× ÓÒ ÕÙ T × Ö Ø Ó
ÓÒ ×Ø Ð Ñ ¸ ÔÓ ÑÓ× ×ØÙ Ö Ð ÓÑÔÓ× ÓÒ ÖÓÑ Ø ÙÒÓ ÐÓ×
×Ù Ö ÓÐ × ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Óº
Lema 6.6 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó ÐØÙÖ h(T ) > 1º ÒØÓÒ ×¸ h(Ê(T )) =
h(T ) − 1 =⇒
½º Ä(T ) ÒÓ Ø Ò ÒÓ Ó× ÖÓ Ó׺
¾º Ä(T ) × ÙÒ Ö ÓÐ Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó Ý ÓÑÔÐ ØÓº
Demostraci´n
o
½º Ë Ä(T ) Ø Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÖÓ Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÒÓ Ó ÔÙ × Ö ×ÙÔÖ Ñ Ó Ý ×Ù×Ø ØÙ Ó ÔÓÖ
Ð Ö ÓÐ Ú Óº Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ô ÖÓ Ø Ò Ñ ÒÓ× ÒÓ Ó׸ ÐÓ ÕÙ Ú ÓÐ
Ð ×ÙÔÓ× ÓÒ ÕÙ T × Ö Ø Óº
¾º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ä(T ) ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׸ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÖ × ÖÚ Ö Ð ÓÒ ÓÒ
Ò Ö × ÕÙ Ä(T ) × Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó Ý ÓÑÔÐ ØÓ
×Ø Ð Ñ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð ÓÖÑ ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó × Ð Ð ¬ ÙÖ º¾ º
× Ö¸ Ð Ö Ñ Ñ ÒÓÖ ÐØÙÖ × ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ý Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ò º ÆÓØ
ÕÙ Ð Ð Ñ º Ø Ñ Ò Ò ÕÙ Ð ÓÖÑ Ð ×Ù Ö ÓÐ Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ ׸ Ò
Ø ÖÑ ÒÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ׸ × Ñ Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º¾ º ×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ
ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ð ÙÐ Ö ÙÒ ÓØ Ð ÒØ ÒÓ Ó× ÒÓ Ó× ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö Ø Ó
Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù ÐØÙÖ º
Ë T × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ÒØÓÒ × (Ä(T )) = (Ê(T ))º Ë ¸ Ñ ×¸ T × Ö Ø Ó¸ ÒØÓÒ ×
(Ê(T )) = h(Ä(T ))¸ Ô٠׸ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º ¸ Ä(T ) ×ÓÐÓ Ø Ò ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׺ ÈÓÖ Ð Ð Ñ º ¸
× ÑÓ× ÕÙ h(Ê(T )) = h(T ) − 1º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ø Ñ Ò ÔÓÖ Ð Ð Ñ º ¸ × Ê(T ) ×
Ö Ø Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ ÑÓ×ØÖ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º º

554. 528 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
h/2
h−1
ÙÖ º¾ ÓÖÑ ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó
Lema 6.7 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó ÐØÙÖ h(T ) = hº ÒØÓÒ ×¸
(T ) =
h
2
´ º¿¾µ
Demostraci´n (por inducci´n sobre la altura h)
o o
¯ h=0 Ò ×Ø ×Ó 0/2 = 0 Ý Ð ÔÓØ × × × ×Ú Ð º
¯ h>0 ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð Ñ × Ú Ð Ó Ô Ö ØÓ Ó Ö ÓÐ Th ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó
ÐØÙÖ h Ý Ú Ö ¬ ÑÓ× × ÙÒ ÐÓ × Ô Ö Ð Ö ÓÐ Th+1 ÐØÙÖ h+1º Ä ÑÓ×ØÖ ÓÒ
ÔÒ Ö Ð Ó ÕÙ h × Ô Ö Ó ÑÔ Ö
½º Ë h × ÑÔ Ö =⇒ h + 1 × Ô Öº Ò ×Ø ×Ó¸ × ÓÐÓÖ ÑÓ× Ò ÖÓ Ð Ö Þ
Th+1 Ø Ò ÑÓ×
(Th+1) = (Th) + 1 =⇒
h h−1
= +1= + 1 =⇒
2 2
h+1 h+1
=
2
=
2
´ º¿¿µ
Ð Ð Ñ × Ú Ð Ó Ô Ö h ÑÔ Öº
¾º Ë h × Ô Ö =⇒ h + 1 × ÑÔ Öº Ò ×Ø ×Ó¸ × ÓÐÓÖ ÑÓ× ÖÓ Ó Ð Ö Þ
Th+1 Ø Ò ÑÓ×
(Th+1) = (Th) =⇒
h+1
=
h
2
=
2
´ º¿ µ
Ð Ð Ñ × Ú Ð Ó Ô Ö h¸ Ô Ö Ó ÑÔ Ö
Ä ÑÓ×ØÖ ÓÒ Ð Ð Ñ º ÔÖ Ò× Ð Ð Ó ÕÙ Ð ÓÐÓÖ Ð Ö Þ ÙÒ
Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÔÙ × Ö Ò ÖÓ ×ÓÐ Ñ ÒØ × Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ × Ô Öº
Ð Ð Ñ º Ô ÖÑ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÔÖÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÓÖÕÙ ÓÖ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö
ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÕÙ Ò ÕÙ Ð ÒØ ØÓØ Ð ÒÓ Ó× ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Óº
Ë Th × ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó ÐØÙÖ h¸ ÒØÓÒ ×
|Th| = 1 + | Ä(Th)| + | Ê(Th)| ´ º¿ µ

555. ´
6.5. Arboles rojo-negro 529
ÈÓÖ ÐÓ× Ð Ñ × º Ý º ¸ × ÑÓ× ÕÙ Ä(Th) ×ÓÐÓ Ø Ò ÒÓ Ó× Ò ÖÓ׸ ÔÓÖ Ò
| Ä(Th)| = 2 (h−1)/2
−1 ´ º¿ µ
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º ¸ × ÑÓ× ÕÙ Ê(Th) × Ö Ø Ó Ý ÕÙ ×Ù ÐØÙÖ × h − 1º
ËÙ×Ø ØÙ ÑÓ× ´ º¿ µ Ò ´ º¿ µ Ý Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ù ÓÒ Ö ÙÖÖ ÒØ ÐÑ ÒØ Ö ×ÓÐÙ Ð
|Th| = |Th−1| + 2 (h−1)/2
´ º¿ µ
Р٠и Ð ÜÔ Ò Ö |Th−1|
|Th| = |Th−2| + 2 (h−2)/2
+2 (h−1)/2
´ º¿ µ
¯ Ë h × Ô Ö =⇒
|Th| = |Th−2| + 2(h−2)/2 + 2(h−2)/2 = |Th−2| + 2h/2 =⇒
h/2
|Th| = 2i = 2h/2+1 − 2 ´ º¿ µ
i=1
¯ Ë h × ÑÔ Ö =⇒
|Th| = |Th−2| + 2(h−3)/2 + 2(h−1)/2 =⇒
|Th| = |Th−2| + 2−1 . 2(h−1)/2 + 2(h−1)/2| =⇒
|Th| = |Th−2| + 3 . 2(h−3)/2 =⇒
(h−3)/2
|Th| = |Th−2| + 3 . 2i = 1 + 3 . 2(h−3)/2 − 3 = 3 . 2(h−3)/2 − 2 ´ º ¼µ
i=0
È Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ¸ × n Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ
ÐØÙÖ hº n × Ö Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ð Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ö Ø Ó
ÐØÙÖ hº ÌÓÑ Ò Ó Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÖÑ ÒÓ Ö Ó Ð × Ù ÓÒ × ´ º¿ µ Ý ´ º ¼µ ÔÐ ÒØ ÑÓ×
n ≥ 2h/2+1 − 2 =⇒
n + 2 ≥ 2h/2+1 =⇒
Ð (n + 2) ≥
h
2
+ 1 =⇒
h ≤ 2 Ð (n + 2) − 2
Ä Ñ Ü Ñ ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ × ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ÙÒ ¾ ± Ñ × Ö Ò
ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ ´2 Ð (n + 2) Ú Ö×Ù× 1.4404 Ð (n + 2)µº × Ô٠׸
Ò Ð Ø Ñ ÒØ ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ù×ÕÙ Ö × Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ ÕÙ
Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº ÑÔ ÖÓ¸ ×Ø Ö Ò ÒÓ × × Ò ¬ Ø Ú º Ð × ÑÔ ÒÓ
Ñ Ó× Ö ÓÐ × × ÑÙÝ × Ñ Ð Öº

556. 530 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
6.6 ´
Arboles splay
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× Ý ÐÓ× ØÖ Ô× × Ò ×Ù× ÕÙ Ð Ö Ó× ×Ó Ö Ð ØÓÑ × ÓÒ ×
Ð ØÓÖ ×º Ò ÔÖÓÑ Ó¸ Ð ÐØÙÖ ×ØÓ× Ö ÓÐ × Ú Ò ÐÓ Ö ØÑ ÓÒ ÔÖÓ Ð ×
ÑÙÝ × Þ × Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ð ×Óº ÄÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ Ý ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ × Ò ×Ù× ÕÙ Ð Ö Ó× Ò
Ö Ð × ×Ô Ð × ÕÙ × Ñ ÒØ Ò Ò Ò Ø ÑÔÓ× ÐÓ Ö ØÑ Ó׺ Ò ×Ø Ð × Ö ÓÐ × Ð
ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ Ý¸ ÔÓÖ Ò ¸ Ð Ø ÑÔÓ ×Ó¸ ×Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ÒØ ÓØ Ó׺ Ü ×Ø
ÙÒ Ø Ö Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ Ð Ö Ó × Ò ØÙ Ö ÑÓ ¬ ÓÒ × ×ØÖÙ ØÙÖ Ð × ×Ó Ö
Ð Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ò ÚÓÐÚ ÖÐÓ ÕÙ Ð Ö Óº Ì Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ð Ó ØÓ ×ØÙ Ó×
×Ø × ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔРݺ
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ð × × ×Ó Ö ÙÒ Ø Ð × Ñ ÓÐÓ× Ý ÙÒ ÖÖ ÐÓ
ÕÙ ÐÑ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×ÓÖ Ò Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ú ÑÓ× Ò Ü ¾º½º½ ´Ô Ò ¿½µ¸ Ò
ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ð × ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÓÒ O(n)º ÓÖ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÑÓ ¬ ÓÒ ×Ó Ö Ð
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ð Ú Þ ÕÙ × Ö Ð Þ ÙÒ ×Ó¸ × ÔÓÖ Ù×ÕÙ ¸ Ò× Ö ÓÒ Ó
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ × ÓÐÓ Ó Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÓ× ÓÒº Ó ×Ø Ö Ð ¸ Ð Ò× Ö ÓÒ Ý
Ð Ñ Ò ÓÒ Ú Ò Ò O(1) Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó× Ý Ð Ù×ÕÙ O(n) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Óº Ë
Ð ÔÐ ÓÒ Ü ÐÓ Ð Ö Ö Ò ¸ ÒØÓÒ × Ð Ù×ÕÙ Ø Ò × Ö O(1)¸ ÔÙ ×
ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó× × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð × ÔÖ Ñ Ö × ÔÓ× ÓÒ × Ð ÖÖ ÐÓº
ÉÙ Ø Ò Ù Ò × ×Ø Ø Ò ÄÓ× Ò Ð × × ÓÖÑ Ð × Ý ÑÔ Ö Ó× ÑÙ ×ØÖ Ò ÕÙ × ÑÙÝ
Ù Ò Ò ÑÙ Ó× ×Ó׺ Ù Ò Ó ÒÓ Ý ÐÓ Ð Ö Ö Ò ¸ Ð Ù×ÕÙ × O(n) Ô Ö
ÐÓ× ×Ó× ÔÖÓÑ Ó Ý Ô ÓÖ¸ ÙÒ × ÑÔ ÒÓ ÔØ Ð ×Ø × Ð × Ñ Ò ×º
Ë ÔÙ ÔÐ Ö Ð Ø Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ Ä Ö ×¹
ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú Ý Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ ÓÒ × ÑÓÚ Ö Ð ÒÓ Ó Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó
×Ø Ð Ö Þº Ä Ò× Ö ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ö Ò Ò× ÖØ Ö Ò Ð Ö Þ × ÙÒ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ØÙ¹
Ó× Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ ¿µº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÔÓ Ö ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ ÖÙØ Ò × Ñ Ð Ö
Ð select() ×ØÙ Ó Ò Ü º½½º½ ´Ô Ò ¿ µ ÕÙ Ù×ÕÙ ÙÒ Ð Ú Ý Ñ ÒØ ÖÓØ ¹
ÓÒ × ×Ù × Ú × ×Ù Ð ÒÓ Ó Ò ÓÒØÖ Ó ×Ø Ð Ö Þº Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ׸ ×Ø
Ø Ò ÔÖÓ Ó Ø Ò Ö ÙÒ × ÑÔ ÒÓ Ù ÒÓ Ô Ö ÔÐ ÓÒ × ÕÙ Ü Ò ÐÓ Ð
Ö Ö Ò º Ä Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ø Ò ÒÓ Ö Ð Þ Ò Ò ÙÒ Ù×Ø ÕÙ Ð Ö Ó
×Ó Ö Ð Ö Óи ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÒÓ × Ö ÑÙÝ ÕÙ Ð Ö Óº È ÓÖ ÙÒ¸ × ÐÓ× ×Ó× ×ÓÒ
× × Ó× ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ð ÓÖ Ò Ð × Ð Ú ×¸ Ð Ö ÓÐ ÔÙ Ú Ò Ö × Ú Ö Ñ ÒØ
× ÕÙ Ð Ö Óº
ËÐ ØÓÖ Ý Ì Ö Ò ½ × Ù Ö ÖÓÒ ÙÒ Ø Ò Ù×Ø ÕÙ Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð Ó×ØÓ
ÔÖÓÑ Ó n ÓÔ Ö ÓÒ × × O(Ð n)º ËÙ Ø Ò × ÒÓÑ Ò ×ÔÐ Ý Ò Ý ÐÓ× Ö ÓÐ ×
Ö ×ÙÐØ ÒØ × ×ÓÒ ÒÓÑ Ò Ó× Ö ÓÐ × ×ÔÐ Ý º × Ñ ÒØ ¸ Ð ×ÔÐ Ý Ò ÓÒ× ×Ø Ò
ÐÐ Ú Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ó ×Ø Ð Ö Þ Ñ ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ô Ð × ÕÙ ÚÓÖ Ö Ò
ÙØÙÖÓ× ×Ó׺
Ä ÔÖ Ñ Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × × ÒÓÑ Ò Þ ¹Þ Ý × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ º Î ×Ø
ÞÕÙ Ö Ö ¸ Ð ÓÔ Ö ÓÒ × ÒÓÑ Ò zig zig right¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò Ð × ÒØ Ó
ÓÒØÖ Ö Ó × ÒÓÑ Ò zig zig leftº Ä ÓÔ Ö ÓÒ ×Ù Ð ÒÓ Ó A ØÖ × Ò Ú Ð × Ý × ¬Ò
ÓÑÓ × Ù
¿¼ ÓÔ Ö ÓÒ × Þ ¿¼ ≡ ´ ¿¾ µ ¿½
Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ ÒÓ Ü ×Ø ÙÒ Ø ÖÑ ÒÓ ÕÙ Ù Ñ ÒØ Ö ­ Ð Ô Ð Ö ×ÔÐ Ý º Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò
ÔÐ Ó Ý Ò ×ÔÐ Ó Ð × ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ × Ñ × Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú ×¸ Ô ÖÓ¸ ÒÙ ×ØÖÓ Ù Ó¸ Ö ÓÐ ×
×ÔÐ Ó× Ó Ö ÓÐ × ÔÐ Ó× ÒÓ ÜÔÖ × Ò ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× × Ò ¬ Ó× ÕÙ ×ÔÐ Ý ØÖ × º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸
ÔÖ Ö ÑÓ× ÙØ Ð Þ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÓÖ Ò Ðº

557. ´
6.6. Arboles splay 531
p
C
A
B
δ B
A p
α
χ C
β
α β
χ δ
=⇒
ÙÖ º¾ ÇÔ Ö ÓÒ Þ ¹Þ
static Node * zig_zig_right(Node* p)
{
Node * q = LLINK(p);
Node * r = LLINK(q);
LLINK(p) = RLINK(q);
LLINK(q) = RLINK(r);
RLINK(q) = p;
RLINK(r) = q;
return r;
}
Ä ÓÔ Ö ÓÒ × Ñ ØÖ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó × ÖÚ Ö Ð ¬ ÙÖ º¾ Ö ÞÕÙ Ö Ý ×
ÒÓÑ Ò zig zig left()¸ Ð Ù Ð × Ò×ØÖÙÑ ÒØ × Ñ ØÖ Ñ ÒØ × Ñ Ð Öº
C p
B
A
p A C
δ
B
α
α β χ δ
β χ
=⇒
ÙÖ º¾ ÇÔ Ö ÓÒ Þ ¹Þ
Ä × ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ × ÒÓÑ Ò Þ ¹Þ Ý × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ º ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ
× ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ó Ð ÖÓØ ÓÒº Ð Ù Ð ÕÙ Ð Þ ¹Þ ¸ Ð ÒÓ Ó p ×Ù ØÖ × Ò Ú Ð × Ý
× ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¿½ ÓÔ Ö ÓÒ × Þ ¿¼ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¼
static Node * zig_zag_right(Node* p)
{
LLINK(p) = rotate_to_left(LLINK(p));
return rotate_to_right(p);
}
Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ñ ØÖ Ó × ÒÓÑ Ò zig zag left()º
Ä ÙÐØ Ñ ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÕÙ × ÒÓÑ Ò Þ ¸ ÓÒ× ×Ø Ò ØÙ Ö ÙÒ ÖÓØ ÓÒ × ÑÔÐ Ý

558. 532 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
×ÓÐÓ × Ö Ð Þ × Ð ÒÓ Ó ÕÙ Ú Ò Ö Ö Þ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ò Ú Ð 1 × Ö¸ Ü Ø Ñ ÒØ
ÙÒ Ò Ú Ð Ò Ö ÓÖ Ð Ö Þ º
Ó ÙÒ ÒÓ Ó x Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ Ð ×ÔÐ Ý Ò Ð ÒÓ Ó x ÓÒ× ×Ø Ò
×Ù ÖÐÓ ×Ø Ð Ö Þ Ñ ÒØ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Þ ¸ Þ ¹Þ Ý Þ ¹Þ º ÄÓ× Ò Ð × × ÔÓ×Ø Ö ÓÖ ×
ÑÓ×ØÖ Ö Ò ÕÙ × ×ØÓ × Ö Ð Þ ÔÓÖ ×Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ó×ØÓ ÔÖÓÑ Ó n ×Ó×
× O(Ð n)º
6.6.1 El TAD Splay Tree<Key>
Ð Ì Gen Splay Tree<Key> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ò Ð ÕÙ
Ù ÐÕÙ Ö Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ù× ÙÒ ×ÔÐ Ý Ò Ð ÒÓ Ó Óº Ð Ì × ¬Ò
Ò Ð Ö ÚÓ ØÔÐ ×ÔÐ Ý ØÖ ºÀ ¿¾ ¸ Ð Ù Ð × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¿¾ ØÔÐ ×ÔÐ Ý ØÖ ºÀ ¿¾ ≡
template <template <typename> class NodeType, typename Key, class Compare>
class Gen_Splay_Tree
{
typedef NodeType<Key> Node;
ÓÔ Ö ÓÒ × Þ ¿¼
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾
Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿
};
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
struct Splay_Tree : public Gen_Splay_Tree<BinNode, Key, Compare> { /* Empty */ };
template <typename Key, class Compare = Aleph::less<Key> >
struct Splay_Tree_Vtl : public Gen_Splay_Tree<BinNodeVtl, Key, Compare>
{ /* Empty */ };
Í× × BinNode ¾ ¼ Ò BinNodeVtl ¾¼º
Ð Ì Gen Splay Tree<Key> ÒÓ Ö ÕÙ Ö ¬Ò Ö ÙÒ ÒÙ Ú Ð × ÒÓ Ó Ò Ö Ó¸
ÔÙ × ÒÓ × Ò × Ö Ó ÐÑ Ò Ö Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ø Ó Ò ÒÓ Óº
Ä × ÓÔ Ö ÓÒ × Þ ¹Þ Ý Þ ¹Þ ÒÚÓÐÙ Ö Ò 4 ÒÓ Ó× ÕÙ ×ÓÒ Ü Ñ Ò Ó× Ó Ó×
Ô Ö×Ô Ø Ú ×º ÈÖ Ñ ÖÓ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð Ð × × × ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÓ× Ð ×
ÙØ Ö× º Ë ÙÒ Ó¸ ÑÓ× ÙØ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒº Ð ×ÔÐ Ý Ò ÙÒ ÒÓ Ó
ÒÚÓÐÙ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ × Ð Ö Þ ×Ø Ð ÒÓ Ó
ÓÒ × Ö Ð Þ Ð ×ÔÐ Ý Ò º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ù× ÑÓ× ÙÒ Ô Ð ÕÙ ÐÑ Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÓ
Ù×ÕÙ
¿¾ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾ ≡ ´ ¿¾ µ ¿¿
struct Node_Desc
{
Node * node;
Node ** node_parent;
};
ArrayStack<Node_Desc, Node::MaxHeight> splay_stack;
Í× × ArrayStack ½¼ º
ÒØÖ Ð Ô Ð Ù Ö Ö ×ØÖÓ× Ø ÔÓ Node Desc¸ Ð Ù Ð ×Ù Ú Þ Ù Ö Ó×
Ú ÐÓÖ × Ð ÒÓ Ó Ô ÖØ Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ Ý ÙÒ Ó Ð ÔÙÒØ ÓÖ ×Ù Ô Ö º Ð ÔÙÒØ ÖÓ
Ó Ð Ô ÖÑ Ø ØÙ Ö Ð × ÖÓØ ÓÒ × × Ò Ò × ÔÖ ÙÒØ Ö ÕÙ Ð Ó¸ ÞÕÙ Ö Ó Ó
Ö Ó¸ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ô Ö º
Î × Ü º ½ ´Ô Ò ¿ ¾µº

559. ´
6.6. Arboles splay 533
Ä ÓÒ ×ÔÐ Ý Ø Ò ÕÙ Ð Ö Ö Ð Ö Óи Ô ÖÓ ÒÓ Ü ÐÙÝ ÙÒ ×Ó ÑÙÝ × ÓÖ¹
ØÙÒ Óº Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ splay stack ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ × ÓÖ ÕÙ × Ö Ñ Ò Óº
ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ¬Ò ÑÓ× ÙÒ Ñ ØÓ Ó ×Ô Ð ÕÙ Ò× ÖØ ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ð Ô Ð Ý ÕÙ Ú Ö ¬
Ð × ÓÖ
¿¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¾ ¿¿
void push_in_splay_stack(Node * p, Node ** pp)
{
try { splay_stack.push(Node_Desc(p, pp)); }
catch (std::overflow_error)
{
splay_stack.empty();
throw;
}
}
¬Ò ×
push in splay stack¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¿ß¿ º
Ä ÙÒ Ö ×ÔÓÒ× Ð push in splay stack() × ØÖ Ô Ö Ð Ü Ô ÓÒ
std::overflow errorº Ë ×ØÓ Ó ÙÖÖ ¸ ÐÓ ÙÒ Ó ÕÙ × × Ú Ö Ð Ô Ð ÒØ ×
ÔÖÓÔ Ö Ð Ü Ô ÓÒº
push in splay stack() × ÙØ Ð Þ Ú Þ ÕÙ × ØÙ ÙÒ Ù×ÕÙ ¸ Ð Ù Ð ×
Ö Ð Þ ÔÓÖ Ð ÖÙØ Ò × Ù ÒØ
¿¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¿ ¿
void search_and_push_in_splay_stack(const Key & key)
{
splay_stack.empty();
Node ** pp = &RLINK(head);
Node * p = root;
while (p != NULL) // buscar iterativamente key
{
push_in_splay_stack(p, pp);
if (Compare()(key, KEY(p)))
{
pp = &LLINK(p);
p = LLINK(p);
}
else if (Compare()(KEY(p), key))
{
pp = &RLINK(p);
p = RLINK(p);
}
else
return;
}
}
¬Ò ×
search and push in splay stack¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ Ò ¿º
Í× × push in splay stack ¿¿ º
× ÙÒ ÖÙØ Ò ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ù Ð × Ò ×¹
search and push in splay stack()
Ô Ò× Ð ÓÑÔÖ Ò Öº × Ñ ÒØ ¸ Ð ÖÙØ Ò Ù× ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ð Ú key Ý ÑÔ Ð Ð
Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ó ÒÓ Ð Ð Ú º Ë Ð Ù×ÕÙ

560. 534 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
× Ü ØÓ× ¸ ÒØÓÒ × Ð ØÓÔ Ð Ô Ð ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó Ò ÓÒØÖ Óº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð ØÓÔ
ÓÒØ Ò Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó ÒØ × Ð ÜØ ÖÒÓ ØÙÚÓ Ð Ù×ÕÙ º Ä ÖÙØ Ò × ÑÔÐ Ô Ö
Ð × ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × × × Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ý Ð Ñ Ò ÓÒº
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× Ö ×Ø ÒØ × Ý ×ÓÒ Ñ Ð Ö × Ð Ð ØÓÖ
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾ +≡ ´ ¿¾ µ ¿¿ ¿
Node head_node;
Node *head;
Node *&root;
Ä ×Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×Ù Ý Ò ÙÒ ÖÙØ Ò splay() ÕÙ Ö Ð Þ Ð ×ÔÐ Ý Ò
Ð ÒÓ Ó × ØÙ Ó Ò Ð ØÓÔ Ð Ô Ð º splay() Ö ÕÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø ÔÓ ÓÔ Ö ÓÒ
ÙØ Ö × ÙÒ Ð Ð Ò ÓÒ Ð Ñ ÒÓ Ù×ÕÙ º ×ØÓ × Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ
ÖÙØ Ò
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾ +≡ ´ ¿¾ µ ¿ ¿
enum Zig_Type { ZIG_LEFT, ZIG_RIGHT, ZIG_ZAG_LEFT, ZIG_ZAG_RIGHT,
ZIG_ZIG_LEFT, ZIG_ZIG_RIGHT };
Zig_Type zig_type(Node *& p, Node **& pp)
{
Node_Desc first = splay_stack.pop();
Node_Desc second = splay_stack.pop();
Zig_Type ret = Compare()(KEY(second.node), KEY(first.node)) ? ZIG_LEFT : ZIG_RIGHT;
if (splay_stack.is_empty())
{
p = second.node;
pp = second.node_parent;
return ret;
}
Node_Desc third = splay_stack.pop();
pp = third.node_parent;
p = third.node;
if (ret == ZIG_LEFT)
return Compare()(KEY(third.node), KEY(second.node)) ? ZIG_ZIG_LEFT : ZIG_ZAG_RIGHT;
return Compare()(KEY(second.node), KEY(third.node)) ? ZIG_ZIG_RIGHT : ZIG_ZAG_LEFT;
}
¬Ò ×
zig type¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º
zig type() Ö ØÓÖÒ Ð Ø ÔÓ ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ Ö Ð Þ Ö× ×Ó Ö Ð ÒÓ Ó Ò Ð ØÓÔ
Ð ÔÐ º ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÖÙØ Ò ÚÙ ÐÚ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × p Ý pp ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð ÙÐØ ÑÓ
ÒÓ Ó Ò Ð Ò Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ý ×Ù Ô Ö º ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö Ð ÖÙØ Ò splay()¸ Ð
Ù Ð × ÑÙÝ × Ò ÐÐ ÙÒ Ú Þ ¬Ò Ð Ñ ÕÙ Ò Ö Ò × Ö
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿¾ +≡ ´ ¿¾ µ ¿
void splay()
{
if (splay_stack.is_empty() or splay_stack.top().node == root)
return;
Node **pp, *p;
while (true)
{
switch (zig_type(p, pp))
{

561. ´
6.6. Arboles splay 535
case ZIG_LEFT: *pp = rotate_to_left(p); break;
case ZIG_RIGHT: *pp = rotate_to_right(p); break;
case ZIG_ZIG_LEFT: *pp = zig_zig_left(p); break;
case ZIG_ZIG_RIGHT: *pp = zig_zig_right(p); break;
case ZIG_ZAG_LEFT: *pp = zig_zag_left(p); break;
case ZIG_ZAG_RIGHT: *pp = zig_zag_right(p); break;
}
if (splay_stack.is_empty())
break;
push_in_splay_stack(p, pp);
}
}
¬Ò ×
splay¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿ Ò ¿º
Í× × push in splay stack ¿¿ Ò zig type ¿ º
splay() × Ð ÖÙØ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ì Gen Splay Tree<Key>º ÐÐ ×ÙÑ ÕÙ ×
ØÙÓ ÙÒ ÐÐ Ñ ÔÖ Ú search and push in splay stack() Ý ÕÙ Ð ØÓÔ Ð Ô Ð
ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × × Ö Ð Þ Ö Ð ×ÔРݺ Ú Þ ÕÙ × ÙØ Ù ÐÕÙ Ö
ÓÔ Ö ÓÒ Ò× Ö ÓÒ¸ Ù×ÕÙ Ó Ð Ñ Ò ÓÒ¸ × Ö Ð Þ Ö ÙÒ ×ÔÐ Ý Ð Ö Óк Ä
×Ø ÓÔ Ö ÓÒ × ÑÓÖØ Þ Ö ÐÓ× ×Ó× × ÓÖØÙÒ Ó× Ý ÕÙ Ð Ö Ö Ð Ö Óк
Ð × ØÖ × ÓÔ Ö ÓÒ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×¸ Ð Ñ × × ÑÔÐ × Ð Ù×ÕÙ ¸ Ð Ù Ð ×
¬Ò ÓÑÓ × Ù
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿ ≡ ´ ¿¾ µ ¿
Node * search(const Key & key)
{
if (root == NULL)
return NULL;
search_and_push_in_splay_stack(key);
splay();
if (are_equals<Key, Compare>(key, KEY(root)))
return root;
return NULL;
}
Í× × search and push in splay stack ¿¿ Ò splay ¿ º
Ä Ù×ÕÙ × ÑÙÝ × Ò ÐÐ ÔÓÖÕÙ ØÓ Ð Ò Ö ×ØÖÙ ØÙÖ × Ò Ù ÒØÖ ÑÔÐ ÒØ ÔÓÖ
ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× search and push in splay stack() Ý splay()º ÆÓØ ÕÙ Ð ×ÔÐ Ý
× ÑÔÖ × Ö Ð Þ ¸ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ × ÐÐ Ó ÒÓº
Ä Ò× Ö ÓÒ × Ð Ö Ñ ÒØ Ñ × ÓÑÔÐ Ô ÖÓ¸ Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ Ð Ù×ÕÙ ¸ ØÓ Ó
Ð ØÖ Ó × ÑÔÐ ÒØ Ó ÔÓÖ search and push in splay stack() Ý splay()
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿ +≡ ´ ¿¾ µ ¿ ¿
Node * insert(Node * p)
{
if (root == NULL)
{
root = p;
return root;
}
search_and_push_in_splay_stack(KEY(p));
Node * pp = splay_stack.top().node;

562. 536 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
if (Compare()(KEY(p), KEY(pp))) // meter p en la pila
{
LLINK(pp) = p;
push_in_splay_stack(p, &LLINK(pp));
}
else if (Compare()(KEY(pp), KEY(p)))
{
RLINK(pp) = p;
push_in_splay_stack(p, &RLINK(pp));
}
else
{ // clave duplicada
splay(); // de todos modos hacemos el splay
return NULL;
}
splay();
return root;
}
Í× × push in splay stack ¿¿ ¸ search and push in splay stack ¿¿ ¸ Ò splay ¿ º
È Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × Ø Ò Ò Ó× ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð × ÕÙ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó
ÓÑÔÐ ØÓ × Ð ÓÒ Ð ×Ù ×ÓÖ Ó ÔÖ ×ÓÖ¸ Ó Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ join() × ÖÖÓÐÐ
Ò Ü º º ´Ô Ò ¿ µº ÈÓÖ × Ö Ð Ñ × × Ò ÐÐ Ý ÔÓ× Ð Ñ ÒØ Ð Ñ × ¬ Þ¸ × Ó ÑÓ×
Ð × ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú
¿ Ñ Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Gen Splay Tree<Key> ¿ +≡ ´ ¿¾ µ ¿
Node * remove(const Key & key)
{
search_and_push_in_splay_stack(key);
splay(); // Suba el nodo hasta la ra´z mediante el splay
ı
if (no_equals <Key, Compare> (KEY(root), key))
return NULL; // key no est´
a
Node * p = root;
root = join_exclusive(LLINK(root), RLINK(root));
p->reset();
return p;
}
Í× × join exclusive ¿ ½ ¸ search and push in splay stack ¿¿ ¸ Ò splay ¿ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ð Þ Ð Ù×ÕÙ Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö Ý Ö Ð Þ ÙÒ ×ÔÐ Ý Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ
ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ý × Ó Ü ØÓ× Ó ÒÓº Ë Ð Ð Ú × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Óи ÒØÓÒ ×
Ð Ö Þ ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö Ý Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð ÓÒ Ø Ò ÓÒ ×Ù× Ö Ñ ×º
Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò ¸ ÔÙ × ÒÓ × Ò × Ö Ó Ö Ð Þ Ö ÓØÖ ÓÔ Ö ÓÒº
6.6.2 An´lisis de los ´rboles splay
a a
Ð Ò Ð × × ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý × Ô Ö Ñ Ø Ó Ð ÑÓÖØ Þ Óº
ÌÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ö Ð Þ Ò ÙÒ Ù×ÕÙ ¸ ÙÝÓ × ÑÔ ÒÓ Ô Ò Ð ÔÖÓ ÙÒ¹
Ð ÒÓ Ó ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ × Ö Ð Þ Ð ×ÔÐ Ý Ð ÒÓ Ó¸ ÙÝÓ × ÑÔ ÒÓ Ø Ñ Ò
ÔÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØÖ Ð Ö Þ Ý Ð ÒÓ Óº Ä Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ù×ÕÙ
Ø Ò Ò O(Ò Ú Ð(ni)) + O(Ò Ú Ð(ni)) = O(Ò Ú Ð(ni))¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ø Ò
O(Ò Ú Ð (ni)) + O(Ò Ú Ð (ni)) + O(Ò Ú Ð (ni)) = O(Ò Ú Ð (ni))¸ × Ò Ó Ò Ú Ð(ni) Ð Ò Ú Ð Ð

563. ´
6.6. Arboles splay 537
ÒÓ Ó ×Ù ØÓ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ×ÔРݺ ×ØÓ ÒÓ× ×Ù Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ÓÒ× Ö Ö
Ð Ò Ú Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ô ÖØ Ð Ó×Ø º
Ä ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ¸ ÔÖ × ÒØ Ò Ð ¬Ò ÓÒ Ü º ´Ô Ò ¾ µ¸ ÒÓ×
ÖÖÓ ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ ÓÒ× Ö Ð Ò Ú Ðº ÓÖ Ò¸ Ð Ö Ø Ö ÑÙÐ ÓÒ Ð
Ù×ÕÙ Ò Ö ¸ Ý Ð × Ò Ó Ð × × ÒØ Ö ÓÖ × Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ Ó¸
×Ù Ö Ò ÕÙ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ÕÙ ÒÓ× ÔÓÒ Ö Ð Ò Ú Ðº
Definici´n 6.10 (Rango de un ´rbol)
o a Ë ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó T n ÒÓ Ó׺ Ë (ni)
Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ð ×Ù ¹ Ö ÓÐ ÓÒ Ö Þ Ò niº ÒØÓÒ ×¸ Ð Ö Ò Ó T ¸ ÒÓØ Ó
ÓÑÓ r(T )¸ × ¬Ò ÓÑÓ
r(T ) = Ð (T ) ´ º ½µ
ËÐ ØÓÖ Ý Ì Ö Ò ½ × Ð ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð × Ò Ð Ö Ò Ó ÙÒ
Ö ÓÐ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Φ(T ) = r(ni) = Ð (ni) ´ º ¾µ
∀ni ∈T ∀ni ∈T
ni × ÒØ ÖÒÓ ni × ÒØ ÖÒÓ
Ò ÖØ ÓÖÑ ¸ ×Ø ÔÓØ Ò Ð × Ö Ñ Ò × ÒØ Ð ÁÈÄ(T ) Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÔÓÒ Ö
Ù Ò ÕÙ Ð Ö Ó ×Ø T º Ä Ö Ò ÓÒ× ×Ø Ò ÕÙ Φ(T ) ×Ø ÓØ Ó ÔÓÖ O(n Ð (n))¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÁÈÄ(T ) ÔÓÖ O(n2)º
È Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÓÑÔÐ ØÓ Ð Ö Ò Ó × Ô ÕÙ ÒÓ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö
T=
Φ(T ) = Ð (9) + Ð (5) + 2 Ð (3) + 5 Ð (1) ≈ 8, 66 ;
Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ñ × × ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ö Ò Ó × Ñ ÝÓÖ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö
T=
Φ(T ) = Ð (9) + Ð (8) + Ð (7) + Ð (4) + 2 Ð (2) + 3 Ð (1) ≈ 17, 62 .
Å ÒØÖ × Ñ × ÕÙ Ð Ö Ó ×Ø ÙÒ Ö Óи Ñ ÒÓÖ × ×Ù ÔÓØ Ò Ð Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ñ ÒØÖ ×
Ñ ÒÓ× ÕÙ Ð Ö Ó¸ Ñ ÝÓÖ ×Ø ×º
Proposici´n 6.10 ´Ä
o Ñ ×Ó ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý ¹ ËÐ ØÓÖ Ý Ì Ö Ò ½ ½ µ
Ë T ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý Ý k ∈ T ÙÒ Ð Ú º Ë Ò i−1(k) Ý i(k) Ð × Ö Ò Ð × Ð
×Ù ¹ Ö ÓÐ ÙÝ Ö Þ × k ÒØ × Ý ×ÔÙ × ÙÒ Ô ×Ó ÙÒ ×ÔÐ Ý ÙÒ ØÓØ Ð m Ô ×Ó׺
Ë Ò ri−1(k) Ý ri(k) ÐÓ× Ö Ò Ó× k ÒØ × Ý ×ÔÙ × ÙÒ Ô ×Ó Ð ×ÔÐ Ý ÙÒ ØÓØ Ð m
Ô ×Ó׺ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó Ò Ð i¹ × ÑÓ Ô ×Ó¸ ¬Ò Ó ÓÑÓ i¸ ×Ø ÓØ Ó
ÓÑÓ
3ri(k) − 3ri−1(k) × i<m
i≤ ´ º ¿µ
3ri(k) − 3ri−1(k) + O(1) × i = m

564. 538 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Demostraci´n
o Ä ÑÓ×ØÖ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ð ÙÐ Ö Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó Ô Ö Ø ÔÓ
ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÖ ÒØ ÙÒ Ô ×Ó Ð ×ÔÐ Ý ÒØÖ ÐÓ× m Ö ÕÙ Ö Ó× Ô Ö ×Ù Ö k
×Ø Ð Ö Þº ×Ø ÑÓ Ó
i = Øi +Φ(Ti) − Φi−1(Ti−1) ´º µ
ÓÒ Ti−1 Ý Ti ×ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÒØ × Ý ×ÔÙ × ÙÒ Ô ×Ó Ò Ð ×ÔÐ Ý ÒØÖ ÐÓ× ØÖ ×
ÔÓ× Ð × Ø ÔÓ× ¬Ò Ó׺ Ë k Ð ÒÓ Ó ÕÙ ×Ù Ö Ò Ú Ð Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ô ×Ó× Ð ×ÔРݸ
ÒØÓÒ ×¸ ØÓ× ×Ø ÑÓ×ØÖ ÓÒ¸ ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ÒÓ× ÔÖ ×
ÐÐÑ ×Ó
i ≤ 3ri(k) − 3ri−1(k) + O(1) , 1 ≤ i ≤ m ´º µ
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ØÖ Ø Ö ÑÓ× ÐÓ× ØÖ × ÔÓ× Ð × Ô ×Ó× ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò Ò ÙÒ ×ÔÐ Ý
½º zig
b k
Ti−1 = k χ Ti = α b
α β =⇒ β χ
Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ ÕÙ Ú Ð ÙÒ ÖÓØ ÓÒ¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð ×Ùѹ
ÑÓ× Øi = 1º Ð Þ ÒÓ ÐØ Ö Ð × Ö Ò Ð × Ð × Ö Ñ × α¸ β Ý χ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ
×Ù× Ö Ò Ó× × Ò ÐÒ ÒÐ ÖÒ ÔÓØ Ò Ðº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð ÖÒ
ÔÓØ Ò Ð ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ö Ò Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× k Ý bº ×Ø ÑÓ Ó
i = 1 + ri(k) + ri(b) − ri−1(k) − ri−1(b) ´º µ
ÆÓØ ÑÓ׸ ÔÓÖ Ó × ÖÚ ÓÒ Ð ¬ ÙÖ Ð Þ ¸ ÕÙ i−1(b) = i(k)¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ
ri(k) − ri−1(b) = 0¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ×
i = 1 + ri(b) − ri−1(k) ´º µ
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ri−1(b) ≥ ri(k)¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù Ð
× Ù ÒØ
i ≤ 1 + ri(k) − ri−1(k) ´º µ
≤ 3ri(k) − 3ri−1(k) + O(1)
¾º zig-zig
c k
Ti−1 = b δ Ti = α b
k χ β c
α β =⇒ χ δ

565. ´
6.6. Arboles splay 539
Ò ×Ø ×Ó Ø ÑÔÓ Ó Ñ Ò Ð × Ö Ò Ð × α¸ β¸ χ Ý δ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÐÓ×
Ö Ò Ó× Ô ÖÑ Ò Ò Ù Ð × ÒØÖ Ti−1 Ý Ti Ý × Ò Ð Ò ÑÙØÙ Ñ ÒØ Ò Ð Ð ÙÐÓ
Ð Ö Ò Ð ÔÓØ Ò Ðº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ð Þ ¹Þ × Ñ × Ó×ØÓ×Ó Ò ÙÖ ÓÒ ÕÙ Ð
Þ º Ò ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓ¸ × ÔÙ Ö ÕÙ Ð Þ ¹Þ ØÙ ÙÒ ÖÓØ ÓÒ Ñ ×¸
Ð Ù Ð × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð 2 Ó × Ð Ó Ð Ð Þ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó
× ¬Ò ÓÑÓ
i = 2 + ri(k) + ri(b) + ri(c) − ri−1(k) − ri−1(b) − ri−1(c)
Ò ×Ø ×Ó¸ i−1(c) = i(k)¸ ÐÓ ÕÙ ÕÙ ri−1(c) − ri(k) = 0¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð
ÜÔÖ × ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ú Ò Ò
i = 2 + ri(b) + ri(c) − ri−1(k) − ri−1(b) ´º µ
Á Ù Ð ÕÙ Ô Ö Ð Þ ¸ ri−1(b) ≥ ri−1(k) Ý ri(k) ≥ ri(b)º ËÙ ×Ø ØÙ ÑÓ× Ò Ð Ù ÓÒ
ÒØ Ö ÓÖ Ý Ð ÑÓ× ÙÒ × Ù Ð
i ≤ 2 + ri(k) + ri(c) − 2ri−1(k) ´ º ¼µ
Ë Ò
i−1(k) i(c)
x=
(k)
, y= ´ º ½µ
i i(k)
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ i(k) > i−1(k) Ý i(k) > i(c)¸ ÒØÓÒ × x > 0 y > 0º Ò Ò ÙÖ ¸
x+y< 1 ÐÓ Ù Ð × Ú Ò ÜÔÖ × Ò Ó Ð × Ö Ò Ð × Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù× ×Ù ¹
Ö ÓÐ ×
1 + (α) + (β)1 + (β) + (χ) 2 + (α) + (β) + (χ) + (δ)
x+y= = ´ º ¾µ
3 + (α) + (β) + (χ) + (δ) 3 + (α) + (β) + (χ) + (δ)
ÓÑÓ × ÓØ Ö Ð (x) + Ð (y) Ó¸ Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ù Ð × Ö Ð Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ
ÕÙ ØÓÑ Ö Ð (x) + Ð (y) Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ØÖ Ø Ò Ð × Ù ÒØ Ð Ñ
Lema 6.8 Ë Ò x, y ∈ R | x > 0, y > 0, x + y ≤ 1¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð (x) + Ð (y) ≤ −2º
Demostraci´n ÈÓÖ ÙÒ ÔÖÓÔ
o Ý ÓÒÓ ¸ Ð (x) + Ð (y) = Ð (xy)º Ä ÙÖÚ
Ð ÐÓ Ö ØÑÓ × ÑÓÒÓØÓÒ Ñ ÒØ Ö ÒØ Ý¸ ÒØÖÓ Ð ÓÑ Ò Ó ÒÙ ×ØÖÓ ÒØ Ö ×¸
Ü Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
½
lg(n)
¼º
¼
¹¼º
¹½
¹½º
¹¾
¹¾º
¹¿
¼ ¼º¾ ¼º ¼º ½ ½º¾ ½º ½º ¾
n

566. 540 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ð Ú ÐÓÖ Ð (xy) × Ñ Ü ÑÓ Ù Ò Ó Ð ÔÖÓ Ù ØÓ xy × Ñ Ü ÑÓº × Ð × ÓÒ ¹
ÓÒ × x y¸ xy × Ñ Ü ÑÓ Ù Ò Ó x = y = 1/2 =⇒ Ð (xy) = −2
ÓÖ ÜÔ Ò ÑÓ× Ð (x) + Ð (y)
i−1(k) i(c)
Ð (x) + Ð (y) = Ð +Ð
i(k) i(k)
= Ð i−1(k) − Ð i(k) + Ð i(c) −Ð i(k)
= Ð i−1(k) +Ð i(c) − 2Ð i(k)
= ri−1(k) + ri(c) − 2ri−1(k) ´ º ¿µ
Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ð Ñ º ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ÙÐ
ri−1(k) + ri(c) − 2ri(k) ≤ −2 =⇒
2ri(k) − ri(k) − ri−1(k) − 2 ≥ 0 ´º µ
ÓÑÓ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × ÔÓ× Ø ÚÓ ÐÓ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö Ð × ÙÐ ´ º ¼µ
i ≤ 2 + ri(k) + ri(c) − 2ri−1(k) + 2ri(k) − ri(k) − ri−1(k) − 2
≤ 3ri(k) − 3ri−1(k)
≤ 3ri(k) − 3ri−1(k) + O(1) ´º µ
¿º zig-zag
c
Ti−1 = a δ k
α k Ti = a c
β χ =⇒ α β χ δ
Ð Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ×Ø ×Ó × ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ × Ñ Ð Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ ×Ø ´ º µº
Ç × ÖÚ Ò Ó ÕÙ ri−1(a) ≥ ri−1(k)¸ Ý ÕÙ ri(k) ≥ ri(c)ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¹
× ÙÐ
i ≤ 2 + ri(a) + ri(c) − 2ri−1(k) ´º µ
Ë Ò
i(a) i(c)
x= , y= ´º µ
i(k) i(k)
Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ × Ö Ð ÖÓ ÕÙ x + y < 1¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð¸ ÔÐ Ò Ó Ð
Ð Ñ º Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
Ð
x + Ð y ≤ −2 =⇒
i(a) i(ca)
Ð (k)
+Ð ≤ −2 =⇒
i i(k)
2ri(k) − ri(a) − ri(c) − 2 ≥ 0 ´º µ

567. ´
6.6. Arboles splay 541
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ×ÙÑ Ò Ó Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ´º µ Ð Ö Ó ´ º µ¸ Ø Ò ÑÓ×
i ≤ 2ri(k) − 2ri−1(k) ´º µ
≤ 3ri(k) − 3ri−1(k) + O(1)
ÄÓ× ØÖ × ×Ó× ÔÓ× Ð × ÙÒ Ô ×Ó Ð ×ÔÐ Ý ×Ø Ò ÓØ Ó× ÔÓÖ 3ri(k) − 3ri−1(k) + O(1)
ÙÖ º¿¼ ÍÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý 512 ÒÓ Ó×
Ð ÐÑ ×Ó × Ð × ÑÓ×ØÖ Ø Ú ÙÒÓ× Ù ÒØÓ× Ø ÓÖ Ñ × ×Ó Ö ÐÓ×
Ö ÓÐ × ×ÔРݸ ÒØÖ ÐÐÓ× Ð × Ù ÒØ
Proposici´n 6.11
o Ð Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó s ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ splay() ×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó k
Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý × O(Ð n)º
Demostraci´n Ä ÓÔ Ö ÓÒ ×ÔÐ Ý ÔÙ
o Ñ Ò Ö× ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò Ô ×Ó× Þ
× ÙÒ Ð ÓÖ ÒØ ÓÒ Ð ÒÓ Ó ÙÝÓ Ó×ØÓ ÑÓÖØ Þ Ó ØÓØ Ð ÔÙ ¬Ò Ö× ÓÑÓ
m
s = i .
i=1
×Ø × Ù Ò ÓÔ Ö ÓÒ × ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
m
º
º
º
i+1
i
k
º
º
º
1

568. 542 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Ð ÒÓ Ó k ×Ù Ð Ö Þ Ñ ÒØ m − 1 ÓÔ Ö ÓÒ × Þ ¹Þ Ó Þ ¹Þ Ý ÙÒ m¹ × Ñ
ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ ÔÓ Ö × Ö Ù ÐÕÙ Ö Ð × ØÖ × ÔÓ× Ð ×º Å × ÔÖ × Ñ ÒØ × ÑÓ׸ ÔÓÖ
ÐÐ Ñ ×Ó¸ ÕÙ ÐÓ× m − 1 ÔÖ Ñ ÖÓ× Ô ×Ó× ×Ø Ò ÓØ Ó× ÔÓÖ 3ri(k) − 3ri−1(k)¸ ÔÙ ×
×Ø Ú ÐÓÖ ÓØ Ø ÒØÓ Ð Þ ¹Þ ÓÑÓ Ð Þ ¹Þ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÙÐØ Ñ ÓÔ Ö ÓÒ ÔÙ Ö
× Ö Ù ÐÕÙ Ö Ð × ØÖ ×¸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð × Ò × Ö Ó ÓØ ÖÐ Ð Ñ Ü ÑÓ × Ö¸
3rm(k) − 3rm−1(k) + 1º
Ò × ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö
m−1
s = 3ri (k) − 3ri−1 (k) + 3rm (k) − 3rm−1 (k) + 1
i=1
m−1 m−1
= 3ri (k) − 3ri−1 (k) + 3rm (k) − 3rm−1 (k) + 1
i=1 i=1
= 3r1 (k) + 3r2 (k) + · · · + 3rm−1 (k) − 3r0 (k) + 3r1 (k) + · · · + 3rm−2 (k) + 3rm (k) − 3rm−1 (k) + 1
= 3rm (k) − 3r0 (k) + 1
≤ 3rm (k) + 1 = 1 + Ð n = O(Ð n)
ÓÑÓ ÓÖÓÐ Ö Ó Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½½ ÔÓ ÑÓ× ÒÙÒ Ö ÕÙ p ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö
ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý Ø Ò Ò Ó×Ø ÑÓÖØ Þ Ó O(p Ð n)º Ò ØÓ¸ ÓÑÓ Ý ÐÓ ÜÔÖ × ÑÓ×
ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ÓÒ× Ö Ð Ð ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ö Óи Ð Ù Ð
Ù ÒØ Ô Ö Ð Ø ÑÔÓ Ù×ÕÙ ÕÙ Ö Ð Þ ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔРݺ
6.7 Conclusi´n
o
×Ø Ô ØÙÐÓ ØÖ ØÓ Ð ÕÙ Ð Ö Ó Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ º Ä ×Ù Ý ÒØ ×
Ñ Ò Ñ Þ Ö Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ò×Ô ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ù×ÕÙ º
Ø ÒÓÖ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×ØÙ ÑÓ× Ú Ö × Ð × × ÕÙ Ð Ö Ó ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× Ö ÓÐ × ÓÖ¹
Ö ×ÔÓÒ ÒØ ×º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÕÙ Ð Ö Ó Ù ÖØ Ï ÖØ Ý × ÖÖÓÐÐ ÑÓ×
ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð n) ÕÙ ÕÙ Ð Ö ÙÒ Ù ÐÕÙ Ö º Ð × ÖÖÓÐÐÓ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ
ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ó Ô Ö Ø ÖÒÓ× Ð × Ú × ØÙ × Ý ¬ ÙÐØ × Ò Ö ÒØ × Ð ÕÙ Ð Ö Óº
Ð Ö ×ØÓ Ð Ô ØÙÐÓ × ÓÒ× ÖÓ ×ØÙ Ö Ò Ó Ð × × Ö ÓÐ × ÕÙ Ð Ö Ó× Ð ¹
ØÓÖ Þ Ó׸ ØÖ Ô׸ Îĸ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý ×ÔРݺ ÙÒÓ ÓÒ ×Ù× Ú ÒØ × Ý ×Ú ÒØ ×
ÓÒ× Ö Ö × ÙÒ Ð ÔÐ ÓÒº
Ð ×Ù × Ö ÔØÓÖ Ð ÔÖ × ÒØ Ø ÜØÓ ÐÐ Ú Ó ÙÒ ×ØÙ Ó ÑÔ Ö Ó ×Ó Ö ÐÓ× Ö ÒØ ×
Ø ÔÓ× Ö ÓР׺ ÄÓ× Ö ×ÙÐØ Ó׸ × Ò Ö ÓÖ ×Ø ×Ø Ó¸ ÑÙ Ó Ñ ÒÓ× × Ò ÜÔÖ × Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ×
ÓÒ¬ ÒÞ ¸ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ð × ¬ ÙÖ × º¿½¸ º¿¾¸ º¿ Ý º¿ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä ×
Ö ¬ × Ò Ù ×Ø ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ñ × ×Ó Ö Ð × Ù ÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ
½º Ë Ò Ö ÙÒ × Ù Ò Ð ØÓÖ Ð Ú × Ò× Ö ÓÒº
¾º È Ö Ø ÔÓ Ö ÓÐ × Ö Ð Þ ¿ Ú × Ð Ò× Ö ÓÒ Ð × Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ý¸
ÔÓØ Ò Ü Ø ¾¸ × ØÙ Ò Ð × Ñ ×º
Ä ×Ñ × ÓÒ × ÜÔÖ × Ø ÑÔÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ñ × Ö ÒÓ× Ð ÒØÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ
ÓÒ¬ ÒÞ Ý Ù ÖÓÒ Ö Ð Þ Ó× ×Ó Ö ÙÒ ÁÒØ Ð È ÒØ ÙÑ ÁÁÁ ¼¼ Å Þº
Å × ×Ó Ö ÖÕÙ Ø ØÙÖ × Ö ÒØ × ¹ËÔ Ö Ý ÅÁÈ˹¸ ×ØÙ Ó× ×Ó Ö × × Ó× Ô Ö Ú Ö ¬ Ö ÓÒ × Ð
×ÔРݸ ÓØÖ × Ñ ØÖ × ¹ÒÙÑ ÖÓ ÖÓØ ÓÒ ×¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¹ Ý Ò Ð × × Ñ × Ü Ù×Ø ÚÓ× ÙÒ ×Ø Ò Ô Ò ÒØ ×
Ý × ÙÒ ÑÔÓ ÖØ Ð Ô Ö ØÖ Óº

569. 6.7. Conclusi´n
o 543
¼
ÎÄ 3
¼ ÊÓ Ó¹Ò ÖÓ +
Ð ØÓÖ Þ Ó 2 2
×
ÌÖ Ô × ×
2
¼ ËÔÐ Ý 2 2
× ×
Ò ÖÓ 2 2
2
×
¼ ÐØÙÖ Ñ Ò Ñ
Ð 2 2 ×
×
Ø ×
Ù ×
Ö ¿¼ 2
×
×
× 2
2 + 3
+
3 3
+
× 3 3
+ +
¾¼ 2 2
+
+ 3
+ 3
× × × + 3
+ 3
2 + 3
3 3
+
½¼ × 2 3 3 3
2 + +
× 2
× 3 +
+
3 3
+ +
× × 3
+ 2
2
3 +
3 3
+ 2
× +
2
¼32
×
+
¼ ½¼ ½ ¾¼
n=2 k
ÙÖ º¿½ ÐØÙÖ Ö ÒØ ×
Ä Ñ ÒÓÖ ÙÖ ÓÒ Ñ ÒØÖ Ð × ØÖ × Ö Ô Ø ÓÒ × × ÓÒ× Ö ÓÑÓ Ð Ø ÑÔÓ
ÙÖ ÓÒº
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ö Ô Ø Ó Ú × × Ö¸ × Ò Ö ÖÓÒ × Ù Ò × Ð ØÓÖ × Ò× Ö ÓÒº
Ä × Ö ¬ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÐÓ× ÔÖÓÑ Ó׺
Ä ¬ ÙÖ º¿½ ÐÙ×ØÖ Ð × ÐØÙÖ × ÐÓ× × × Ø ÔÓ× ×ØÙ Ó× Ô Ö × Ù Ò ×
Ò× Ö ÓÒ Ð ØÓÖ ×º ×Ø Ñ × ÙØ Ð ÔÓÖÕÙ ÒÓ× ÙÒ Ð Ó×ØÓ Ñ Ü ÑÓ
ÒÚÓÐÙ Ö Ó Ò Ð Ù×ÕÙ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ð ¬ ÙÖ º¿½ Ú Ò Ý ÓÒ¬ÖÑ Ð Ø ÓÖ
Ö ÕÙ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý ÎÄ ×ÓÒ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× ÐØÙÖ º Ä ×ÓÖÔÖ ×
×Ø Ö ¬ × ÕÙ ¸ Ð Ñ ÒÓ× Ô Ö ÒØÖ × Ð ØÓÖ ×¸ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÒÓ Ð ÒÞ Ò
Ð ÓØ Ø ÓÖ 2 Ð (n + 1) − 2º
Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒÓ ÒÓ× Ò Ù Ò ÕÙ Ð Ö Ó ×Ø Ð Ö Óк Ò ×Ø
× ÒØ Ó Ð ¬ ÙÖ º¿¾ Ú Ò ÕÙ Ð Ð ØÓ Ó× ÐÓ× Ö ÓÐ × × ÕÙ Ú Ð ÒØ ¸ × Ò Ó
Ð Ö Ñ ÒØ ÚÓÖ Ð ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ Ý ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº
Ä × ¬ ÙÖ × º¿½ Ý º¿¾ × ÓÒ Ò Ð Ó×ØÓ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ×ÔÐ Ý Ô Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð
Ñ ×ÑÓ ÒÓÑ Ö ¸ ÔÙ × Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÒÓ ÓÒ× Ö Ò ÑÙÐ Ð ÐÓ Ð Ö ÖÒ º Ò
×Ø × ÒØ Ó¸ Ô Ö ÕÙ × Ù ÐÕÙ Ö ÒØÖ Ð × Ð Ú × Ø Ò Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓ Ð
Ù× Ö× ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý × Ð Ñ × ÔÓ Ö × ÑÔ ÒÓº È ÖÓ ×ØÓ × ÔÙ × Ö
Ð Ó×Ó¸ ÔÙ × Ð ÐÓ Ð Ö Ö Ò Ù ÙÒ ÖÓÐ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð×
ÔÐ ÓÒ ×º Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × ÐØÙÖ ÓØ ¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ð ×Ø Ó× Ý ÐÓ× Ò Ö Ó× Ð × Ó׸
Ð × Ð Ú × Ñ × Ö ÒØ × Ø Ò Ò Ò ÓÒØÖ Ö× Ð × Ó × Ñ ÒØÖ × Ñ × ÓÚ Ò × ÙÒ
Ð Ú ¸ Ñ ÝÓÖ × Ð Ø ÑÔÓ ×Ô Ö Ó Ù×ÕÙ º ×ØÓ ÒÓ ×Ù ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý Ð ×
Ð Ú × Ö ÒØ Ñ ÒØ × × Ò Ù ÒØÖ Ò Ö Ò × Ð Ö Þ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð × ÑÔ ÒÓ
Ö × Ö ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ô Ö ÔÐ ÓÒ × ÓÒ ÐÓ Ð Ö ÖÒ º
Ä × ÙÖ ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ô Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔÐ Ý ÒÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò ÔÓÖÕÙ
×ÓÒ Ø Ò ÒÓØ Ð Ñ ÒØ ×ÙÔ Ö ÓÖ × Ð Ö ×ØÓ ÕÙ ×Ù Ú ×Ù Ð Þ ÓÒ Ó ×Ø ÙÐ Þ Ö ÔÖ Ö Ð ×
Ö Ò × ÒØÖ Ð × Ñ × ÙÖÚ ×º
Ë Ò ÐÓ× Ò Ó Ò ÓÕÙ × ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ö Ò × ÑÔ ÒÓ× O(Ð n) Ô Ö Ð × ØÖ × ÓÔ ¹

570. 544 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
1.07374e+09
AVL
Rojo−negro
Aleatorizado
Treap
3.35544e+07 Binario
Splay
IPL mínimo
1.04858e+06
32768
IPL
1024
32
1
0.03125
0 5 10 15 20
2**k
ÙÖ º¿¾ ÁÈÄ Ô Ö Ö ÒØ × ´ Ò × Ð ÐÓ Ö ØÑ µ
Ö ÓÒ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×¸ × ÖÙ Ð Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ô Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ ØÓ Ó× ×ØÓ×
Ò ÓÕÙ × ÕÙ Ð Ö Ó ÖÖ Ò Ó×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ × × Ú Ö Ñ ÒØ Ñ ÝÓÖ × ÕÙ ÐÓ× ÙÒ
Ð × Óº Ä × ¬ ÙÖ × º¿ Ý º¿ Ú Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ ÒØ ×Ø ×Ô ØÓ Ð Ð× Ó
× Ð Ñ × Ö Ô Ó ×Ø 2 19 ÒÓ Ó× Ô Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ý 2 14 ÒÓ Ó× Ô Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒº
Ô ÖØ Ö ×ØÓ× Ú ÐÓÖ ×¸ Ð Ð × Ó × Ð Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖ Ô ÖÓ × Ø Ò Ù ÒÓ ÓÑÓ Ð
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ Ý Ð Îĺ È Ö ×Ø ÙÐØ Ñ Ó × ÖÚ ÓÒ ÒÓ × ÓÐÚ Ö ÕÙ ÐÓ× ÓÖ Ò ×
Ò× Ö ÓÒ ×ÓÒ Ð ØÓÖ Ó׺
Ò Ð × Ð ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ ÒÓ × ×ÔÖ Ö Ð Ù×Ó ÙÒ Ð × Óº Ò
Ø Ð × ÒØ Ó¸ ÙÒ ÓÒ× Ö Ö× ÒØ × ÕÙ Ù Ð ×ÕÙ Ö ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ÕÙ Ð Ö Ó
× ÖÖÓÐÐ Ó× Ò ×Ø Ô ØÙÐÓº Ä × Ð ÓÒ ÙÒ ÓÒ× Ö Ö ÐÓ× × Ù ÒØ ×
×Ô ØÓ×
½º Ä × Ð Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× × Ô ÕÙ Ò Ó Ñ Ò º
¾º Ä × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ ÒÓ Ò ×Ø Ö ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ × × ×¸ ÔÙ × ÙÒ
× O(Ð n) Ô Ö Ò× Ö ÓÒ × Ð ØÓÖ ×º Ë Ð × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ ×ÓÒ Ð ØÓÖ ×¸
ÒØÓÒ × × ÔÙ ÓÒ× Ö Ö ÙÒ Ô Ö Ö Ò × × Ð ×º
¿º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × Ð Ñ Ò ÓÒ × Ö Ò ÙÒ ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ Ò ÓÒ × ×Ö
ÑÙ Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ ×º
º Ð × ÑÔ ÒÓ O(Ð n) × ÔÖÓ Ð ×Ø Óº ÙÒ ÓÒ Ò× Ö ÓÒ × Ð ØÓÖ × Ý Ù× Ò
Ð Ñ Ò ÓÒ ×¸ ÙÒ ÔÙ Ü Ö ÙÒ ×Ó × ÓÖØÙÒ Óº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ÙÒ
ÒÓ ÙØ Ð Þ Ö× × Ü ×Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ ×ÓÐÙØÓ× × ÑÔ ÒÓº
Ä ×Ù Ý ÒØ ÐÓ× Ò ÓÕÙ × Ð ØÓÖ Þ Ó× × Ð Ñ Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö × × Ó Ò Ð
Ò× Ö ÓÒ Ó Ð Ñ Ò ÓÒ Ñ ÒØ × ÓÒ × Ð ØÓÖ × ÕÙ Ð ØÓÖ Þ Ò Ð Ö ÓÐ Ò ÓÐÓ
ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ × Ù Ò Ð Þ Öº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ×
ÔÙ ÑÔÐ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó Ó ÙÒ ØÖ Ô Ù Ò Ó × Ø Ñ × × Ó Ò Ð ÒØÖ º ÈÙ ×ØÓ

571. 6.7. Conclusi´n
o 545
´ µ ÌÖ Ô
´ µ Ð ØÓÖ Ó
´ µ ËÔÐ Ý
´ µ ÎÄ
´ µ ÊÓ Ó¹Ò ÖÓ
ÙÖ º¿¿ Ö ÒØ × ÑÓ ÐÓ× ÕÙ Ð Ö Ó Ý ×Ù× Ö ÓÐ × Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ô Ö Ð Ñ ×Ñ
× ÙÒ 512 Ð Ú × Ð ØÓÖ ×

572. 546 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
½
ÎÄ 3 2
½ ÊÓ Ó¹Ò ÖÓ + 2
Ð ØÓÖ Þ Ó 2 2
2
½¾ ÌÖ Ô ×
2
Ò ÖÓ 2
½¼ 2
2 2 × ×
μ× ×
2 × ×
× 3
+
23 3
+
× × 3 3 +
2
2 + +
2 × × 3 3
3 +
+
2 2
2 × 3 +
3 +
2 2 2 2 2 2 × × +
× 3 3
+
¾× 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 +
× × × +
3 × × × × × × + + +
+ + + + + + +
¼
¼ ½¼ ½ ¾¼
n=2 k
ÙÖ º¿ Ì ÑÔÓ Ò× Ö ÓÒ Ô Ö Ö ÒØ ×
ÕÙ Ð × ÑÔ ÒÓ × ÔÖÓ Ð ×Ø Ó¸ × Ö ÒØ Þ Ö Ð Ð Ð Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ×
Ô× Ù Ó Ð ØÓÖ Ó׺ ÙÒ ÓÒ ÙÒ Ù Ò Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó׸ Ð × ÑÔ ÒÓ ÙÒ
Ò ÓÕÙ Ð ØÓÖ Þ Ó × ×Ù× ÔØ Ð Ð Ò ÓÖØÙÒ Óº × Ô٠׸ ÐÓ× ÕÙ Ð Ö Ó× ÔÖÓ Ð ×Ø Ó×
ÒÓ Ò Ù× Ö× × × ÔÖ × ÒØ Ò Ö ×ØÖ ÓÒ × Ù ÖØ × × ÑÔ ÒÓº
Ä × ¬ ÙÖ × º¿ Ý º¿ Ú Ò Ò Ð Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó ÓÑÓ ÙÒÓ ÐÓ× Ñ × Ó×ØÓ×Ó׺
Ó¸ Ô Ö Ð Ò× Ö ÓÒ¸ × ÔÖ ÙÒ Ö ÓÒ ÔÖ Ð ÓÒ ÓÖÑ ÙÑ ÒØ Ð
ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó׺ Ö ÓÒ ÕÙ ÒÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð ÓØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ð ØÓÖ Þ Ð ØÖ Ôº
Ò Ð ÓÔ Ò ÓÒ Ð ÙØÓÖ¸ ×ØÓ × ÜÔÐ Ð ÔÓÖ Ð × × Ù ÒØ × Ö ÞÓÒ ×
½º ÄÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× ×ÓÒ Ñ × × Ò× Ð × Ð Ð Ð Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓ¹
Ö Ó× ÕÙ ÐÓ× ØÖ Ô׺ ÄÓ× Ö ÕÙ Ö Ò ÒÙÑ ÖÓ× Ð Þ Ö ÒØÖ ÖÓ Ý Ð Ö Ò Ð
Ð Ö ÓÐ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × ÔÖ ÓÖ × ÐÓ× ØÖ Ô× ÙØ Ð Þ Ò ØÓ Ó Ð ×Ô ØÖÓ Ð
Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó׺ ×Ø Ó × ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ× Ö Ö ÔÓÖÕÙ
Ð Ö Ò Ó Ö ×ØÖ Ò Ó ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× ÐÓ Ñ × × Ò× Ð ÐР׸ × × Ó× Ý
Ñ × ÑÔ Ö ÓÒ × Ð Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó׺
ÇØÖÓ ×Ô ØÓ ÓÒ× Ö Ö × ÕÙ Ð ØÖ Ô ØÙ ÑÙ × Ñ ÒÓ× ÐÐ Ñ × Ð Ò Ö ÓÖ
ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× ÕÙ Ð º Ð ØÖ Ô Ò Ö ÙÒ Ð ØÓÖ Ó ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ ÔÓÖ
Ò× Ö ÓÒ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ØÙ ×ÓÖØ Ó× Ò Ð Ò× Ö ÓÒ Ý Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÒº
Ñ ×¸ Ð ÔÙ Ö Ð Þ Ö Ú Ö Ó× ×ÓÖØ Ó× Ò ÓÔ Ö ÓÒº Ä ÒØ
×Ô Ö ×ÓÖØ Ó× Ô Ò Ð Ö ÒÐ Ð Ö ÓÐ Ñ ÝÓÖ ÒØ
ÒÓ Ó׸ Ñ ÝÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ô Ö Ó ×ÓÖØ Ó׺ ×Ø ÓÒ× Ö ÓÒ × × Ò Ð¸ ÔÙ ×
ÑÙ Ó× Ò Ö ÓÖ × ×Ù Ö Ò Ø Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ×Ù Ð ØÓÖ ×Ñ ÒÙÝ
ÓÒ ÓÖÑ ÙÑ ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÐÐ Ñ ×º
¾º ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ØÖ Ô ×ÓÒ Ñ × × ÑÔÐ × Ý Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× Ó×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ × ÕÙ ÐÓ×
Ð º
Ä × Ù× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ú Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ × Ü ×Ø Ò Ö ×ØÖ ÓÒ × Ò× ÐÚ Ð ×
× ÑÔ ÒÓ Ý × ÒÓ Ý ×Ô Ó Ô Ö Ð Ñ Ð ×Ù ÖØ ¸ ÒØÓÒ × Ð × Ó Ò ØÓ ×

573. 6.8. Notas bibliogr´ficas
a 547
2
2 ×
ÎÄ 3 ×
ÊÓ Ó¹Ò ÖÓ + 2 × 3
Ð ØÓÖ Þ Ó 2 2 +
3
ÌÖ Ô × 2 +
Ò ÖÓ × × 3
+
2
× 3 3
+
2 +
3
2 × +
3
μ× × 2 3 +
×
+
3
×
+
3
2
¿ +
2 ×
3
+
¾ 3 3
2
3 3 + × ×
3 3 3 + + 2 +
2 + 2 2
3 3 3 3 3 + + × × × ×
2
+ + + + + 2 ×
2 2
2 × × × × ×
2
½ × 2
¼ ½¼ ½ ¾¼
n=2 k
ÙÖ º¿ Ì ÑÔÓ Ð Ñ Ò ÓÒ Ô Ö Ö ÒØ ×
ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ ÐØÙÖ ÓØ ÙÒ ÎÄ Ó ÙÒ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº Ë × × ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ
× Ò ÐÐ Ý ÕÙ Ü Ù Ò Ø ÑÔÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò Ð ÓÔ Ò ÓÒ Ð ÙØÓÖ¸ ÐÓ× ØÖ Ô× ×ÓÒ Ð Ñ ÓÖ
ÐØ ÖÒ Ø Ú º Ò ÐÑ ÒØ ¸ × × Ø Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ù Ò ÐÓ Ð Ö ÖÒ ¸
ÒØÓÒ × Ð × ÑÔ ÒÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔÐ Ý ÔÙ × Ö ×Ô Ø ÙÐ Öº
6.8 Notas bibliogr´ficas
a
Ä ×ØÓÖ ÐÓ× Ò ÓÕÙ × ÕÙ Ð Ö Ó ÙÒ Ö ÓÐ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ù×ÕÙ Ð × Ó׺ ÔÖ Ò Ô Ó ½ ¼¸ ÐÓ× ÒÚ ×Ø ÓÖ × Ý × Ò ÕÙ Ð × ÔÖÓÑ × ×
× ÑÔ ÒÓ ÙÒ ×ÓÐÓ Ö Ò Ú ÒØ × ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ö × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ
Ð ØÓÖ × Ý ÒÓ Ó ÙÖÖ Ö Ü × Ú × Ð Ñ Ò ÓÒ ×º
Ò ½ ¾ × ÔÙ Ð ÖÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÎÄ ÔÓÖ Ð×ÓÒ Î Ð× Ý Ý Ä Ò × ½ º À ×Ø Ö ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ ×ØÓ× Ö ÓÐ × Ô ÖÑ Ò ÖÓÒ Ð × Ó Ò ØÓ Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ø Ð ×
× Ñ ÓÐÓ× Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº ÙÒ ÓÝ Ò ¸ ×Ø Ð × Ö ÓÐ × Ù× Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ
Ý ÓÒ ÓÖÑ Ð ×Ø Ò Ö ÑÙ × ÔÐ ÓÒ ×º
Ð ÒÙÑ ÖÓ ϕ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÑÙ Ó× ÐÙ Ö × Ð × Ñ Ø Ñ Ø ×º × ÔÖÓ Ð
ÕÙ ×Ù Ù×Ó ÔÖÓÚ Ò Ð ÑÙÒ Ó ÖØ ×Ø Ó Ô٠׸ × Ø ÑÔÓ× ÒÑ ÑÓÖ Ð ×¸ ϕ × Ó
ÓÒ× Ö Ó ÓÑÓ Ð Ñ × ÐÐ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÒØÖ Ó× Ö ÒØ × Ø Ñ ÒÓ׺ × Ö Ïº ¹
×ØÖ ÜÔÓÒ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÒ Ý Ð × ÓÒ ÙÖ ÓÖ ÒØ Ð× Ò ×
ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð × º
×Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ×Ø ÓÒÑ Ò × ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ × ÒØ ÐÓ Ð Ö Ó ØÓ Ð Ò ØÙÖ Ð Þ ¸ Ð Ò ØÓÑ ÙÑ Ò ¸
Ò ÐÙ× Ú º ÓÑÓ ÑÔÐÓ× Ú Ò Ó×Ó׸ Ð ÓÑ Ð Ó × ÓÒ× Ö Ó ÔÓÖ ÐÓ× × ÙÐØÓÖ × ÓÑÓ Ð Ú × ÓÒ Ò ØÙÖ Ð
ØÓ Ó Ð Ù ÖÔÓº ÈÙ × Ò¸ Ð ×Ø Ò × Ð ×Ù ÐÓ Ð ÓÑ Ð Ó¸ Ú ÒØÖ Ð ×Ø Ò × Ð
ÓÑ Ð Ó ×Ø Ð Þ × ϕº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ × ÔÖ × ÖÚ ÒØÖ Ð
Þ Ý Ð ÕÙ ÓÒ ϕ ×Ø Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØ Ð Ò Ö Þº ÌÓ × Ð × Ô ÖØ × Ð Ù ÖÔÓ ÙÑ ÒÓ
Ö ×Ô Ø Ò ×Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒº
Ä ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒ × ÕÙ ¸ Ð Ú Ö ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ò Ó× Ô ÖØ ×¸ ÑÓ× x y¸ × × Ø ×
Ð × Ù ÒØ Ù ÓÒ x+y = y º Ë × Ö Ð Þ Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ϕ = y × Ø Ò Ð Ù ÓÒ Ú Ò
x
x
x

574. 548 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
¬Ò Ð × ½ ¼ ÒÚ ×Ø ÓÒ × Ò Ö ÙÔ Ö ÓÒ Ð Ú × Ò ÐÑ Ò Ñ ÒØÓ × ÙÒ¹
Ö Ó ÓÒ Ù ÖÓÒ ÙÒ ÒÙ Ú Ý ÔÓÔÙÐ Ö Ð × Ö ÓÐ Ð ¸ × Ù ÖØÓ ÔÓÖ Ý Ö º
×Ø Ð × Ö ÓÐ Ò ÖÓ ÙÒ ÓÖÖ ÒØ ÒÚ ×Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ù Ó Ú Ö× × ×ØÖÙ ØÙÖ ×
Ù×ÕÙ Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð¸ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐ ¾¹¿ × Ù ÖØÓ ÔÓÖ ÀÓÔ ÖÓ Ø
Ý × Ö ØÓ ÔÓÖ Ó¸ ÀÓÔ ÖÓ Ø Ý ÍÐÐÑ Ò ¾ Ý Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ñ ØÖ Ó ÕÙ × ÙÒ ×Ó
Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ö ÓÐ × Ù ÖØÓ ÔÓÖ Ý Ö ¿ º ÄÓ× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ×ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ò Ö Ó ÙÒ Ø ÔÓ Ö ÓÐ Ù Ø ÖÒ Ö Ó ÒÓÑ Ò Ó ÔÓÖ Ý Ö ¾¹¿¹ º ÁÑÔÐ ÒØ Ö Ö ÓÐ ×
¾¹¿¹ Ò Ñ ÑÓÖ × ÓÑÔÐ Ó ÔÓÖÕÙ Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ñ ÒØ Ò Ö× Ð Ú × ÓÖ Ò × Ý
ÔÙÒØ ÖÓ× ÐÓ× Ó׺ ×Ø Ð Ö ØÓÖ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ Ð × ÑÓ×ØÖ ÓÒ × Ö Ð
Ö ÒØ Ð Ò ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × ¾¹¿¹ º
Ò½ ¸ Ù ×ÝË Û ÔÖÓÚ ÖÓÒ ÙÒ ×ÓÑÓÖ¬×ÑÓ ÒØÖ ÐÓ× Ö ÓÐ × ¾¹¿¹
Ý ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ Ý ÒÙÒ ÖÓÒ Ð Ö ÓÐ Ó ØÓ ×Ø × ÓÒ Ð Ö ÓÐ
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº Ô ÖØ ÕÙ × Ñ × Ð ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÕÙ ÙÒ Ö ÓÐ ¾¹¿¹ ¸
Ð ¬Ò ÓÒ º ×Ø Ð ÙÒ Ò ÓÕÙ ÓÑ Ò ØÓÖ Ó¸ Ò ØÙÖ Ð¸ Ô Ö Ú Ö ÔÓÖ ÕÙ ÐÓ× Ö ÓÐ ×
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ×ÓÒ Ð Ò Ó׺ ÏÓÓ ½ ¸ Ó Ö ÙÒ Ü Ð ÒØ × Ñ Ô Ö×Ô Ø Ú ÐÓ× Ö ÓÐ ×
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ × Ò ×Ù× ÔÖÓÔ × ÖÓÑ Ø × Ó Ð Ù Ð × ÓÒ×Ø ØÙÝÓ Ð × ÙÖ×Ó
×Ø Ø ÜØÓº
ÄÓ× ØÖ Ô× Ù ÖÓÒ × Ù ÖØÓ× ÔÓÖ ÎÙ ÐÐ Ñ Ò Ò ½ ½ Ý ×ØÙ Ó× Ò ÔÖÓ ÙÒ
ÔÓÖ Ë Ð Ý Ö ÓÒ ½¿ º ÈÓÖ ×Ù × ÑÔ ÒÓ Ý × Ò ÐÐ Þ¸ ×Ø Ð × Ö ÓÐ × Ð × Ð ÓÒ
ÚÓÖ Ø ÑÙ × ÔÐ ÓÒ ×º
ÅÙ × Ö Ò × × ×ÓÒ × ÑÔÐ × Ý Ò ØÙÖ Ð × ÓÒ ÓÒ ÕÙ Ý Ý Ò × Ó Ö Ú ¹
Р׺ ÍÒ ÒÓØ Ð ÑÔÐÓ ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× × Ù ÖØÓ× ÔÓÖ Å Ö¹
Ø Ò Þ Ý ÊÓÙÖ º ÙÖ ÒØ × ÐÓ× Ø ÓÖ Ó× Ù× ÖÓÒ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ØÓÖ Ò ØÙÖ Ð
ÕÙ Ö ×ÓÐÚ × Ð × Ñ ØÖ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ º Ô × Ö Ð ØÖ Ô ÎÙ ÐÐ Ñ Ò ½
Ý ÕÙ Ë Ð Ý Ö ÓÒ Ý Ò ÑÓ×ØÖ Ó ×Ù Ð ØÓÖ Ý ÕÙ Ú Ð Ò ÓÒ Ð ½¿ ¸
Ð Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó × ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ Ò ØÙÖ Ð ÕÙ ÔÓÒ Ö ÔÖÓ Ð ×Ø Ñ ÒØ × ÙÒ Ð
ÕÙ Ð Ö Ó Ù ÖØ Ï ÖØ ½ º
× ÔÖ Ò Ô Ó× Ð ÓÑÔÙØ ÓÒ¸ ÐÓ× × Ò ÓÖ × × ×Ø Ñ × Ò ÙØ Ð Þ Ó Ð Þ¹
Ñ ÒØ ÙÖ ×Ø × ÙØÓ¹ Ù×Ø ÒØ × ÕÙ ÑÙ Ú Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó× ÔÓ× ¹
ÓÒ × Ö Ô Ó ×Óº × Ð × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ð Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ö Þ ½ ¸ ÑÙ Ó×
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × Ù× ÖÓÒ ×Ø ×Ô ØÓ Ô Ö ÔÖÓÚ Ö Ð ÐÓ Ð Ö Ö Ò º È ÖÓ ÒÓ Ù
×Ø ½ ¸ Ù Ò Ó ËÐ ØÓÖ Ý Ì Ö Ò ÔÙ Ð ÖÓÒ ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔÐ Ý ½ ¸ ÕÙ × ×ÔÙ×Ó
ÙÒ Ö ÓÐ ÐÓ Ö ØÑ Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÑÓÖØ Þ Óº Ò Ò ÙÖ ¸ ×Ø Ù ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ×
×ØÙ Ó× ÓÒÚ Ò ÒØ × ×Ó Ö Ð Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Óº
6.9 Ejercicios
½º Ù ÒØÓ× ÒÓ Ó× Ø Ò Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½´ µ
ϕ 2 − ϕ − 1 = 0º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ñ ÝÓÖ ×ÓÑÓ× Ö Ý ÒØ ×¸ Ò ÓÒÓÖ Ó׸ Ö ÓÖ Ð ÍÒ Ú Ö×Ó ¹Ý Ð ÀÓÑ Ö Ò ÐÙ× Ú ¹
ϕ × ÐÐ Ñ Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ÒÓ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ó׸ Ð Ö Ó ÓÖÓ Ó¸ ÖØ ×Ø Ñ ÒØ ¸ Ð × ÓÒ ÙÖ ¸ ÔÙ ×
Ô Ö ÕÙ Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÕÙ Ó× ÙØ Ð ÞÓ Ô Ö Ö Ö ÒÙ ×ØÖÓ ÑÙÒ Óº
Ð ÒÓÑ Ö ϕ × Ò ÓÒÓÖ ×¸ ÓÒ× Ö Ó Ð Ñ × Ö Ò × ÙÐØÓÖ Ð ÒØ Ù Ö ¸ ÙØÓÖ Ð
×Ø ØÙ Ù× Ò Ð ÑÓÒØ ÇÐ ÑÔÓ¸ Ö Ð Þ Ñ Ö¬Ð Ý ÓÖÓ¸ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ò Ð ÒÓ ¼ º º ×Ø
Ó Ö ¸ Ù Ò ÐÙ ÔÓÖ Ð ÔÓ Ø ÒØ Ô Ø Ö Ë ÓÒ¸ Ò ×Ù Ð Ö Ð ×Ø Ð × × Ø Ñ Ö Ú ÐÐ × Ð ÑÙÒ Ó
ÒØ ÙÓº

575. 6.9. Ejercicios 549
¾º × Ò Ð ÖÙØ Ò select gotoup root() ÔÖ × ÒØ Ò Ü º½ ´Ô Ò µ Ò ÙÒ ÓÒ
Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ insert by pos xt(()) ÜÔÐ Ó Ò Ü º½½º ´Ô Ò ¿ µº
¿º ÙØ Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Óº
´ µ ½¾ ½ ¿ ¿¼ ½ ½ ½ ¼ ½¾ ¿ ½½ ½½¼ ½¿ ½ ½ ½ ½½ ½½¾ ½ ½
´ µ ½ ¿ ½½ ¿ ½½½ ½¾ ½ ½¼½ ½¾ ¿ ½¾ ½ ½ ¾½ ½ ½¿ ½ ½ ½
´ µ ½ ½ ½ ¾ ½¼ ½ ½ ½ ¿ ½¾ ½¼¾ ½¿ ½ ¾ ¿ ½ ½½ ½ ½ ¾ ½
´ µ ½¼ ½¼ ¿ ½ ½ ¼ ½¿ ¿ ½ ¾ ½ ½ ½¼¼ ½½¾ ½ ¾ ½ ½ ¿ ½ ¼ ¿¿
´ µ ½¾¿ ½ ¿ ½¿ ½ ¼ ½½ ½ ¼ ¾ ½¿ ¿ ½ ½ ½ ½¼ ¾ ½¼½
È Ö ØÓ × Ð × × Ù Ò ×¸ ×ÙÑ Ð × Ù ÒØ × Ù Ò ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× ÒØÖ
½ Ý ½¼¼
¿½ ¿ ¾ ½½ ½¼ ¿ ¿ ¾¿ ¿ ½ ¿¼ ¿½ ½ ½¾ ¿ ¿¾ ¼ ¿ ¿¾ ½ ¿
¿ ½ ¾ ½¾ ½¿ ½ ¿ ½½ ¼ ¿¿ ¾ ½¿ ¿¼ ¾½ ½ ¿ ½ ¿ ½ ¿½ ¾¿ ¼ ¿
¿¼ ¿ ¿ ¼ ½ ¿ ¼ ½ ¿¼ ¾ ¾¿ ¿ ¼ ¿¿ ½¼ ¾¾ ¿ ¿¾ ¾ ½ ¼ ¿ ½¾ ½¼ ½¼ ¾
¿ ¾ ¾½ ¾ ½ ¾ ½ ¿ ¿ ¾ ¾¼ ¼ ¿½ ¾¼ ¼ ¿ ½¿ ½¿ ½ ¼ ¿ ¿ ¿
¿ ¿¾ ½ ½ ½ ¼ ¿¾ ¾ ½ ½¾ ¾ ¿¿ ¾
º È Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó׸ ¬Ò Ó× ÔÓÖ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó׸ ÙØ
Ð × × Ù Ò × Ð Ñ Ò ÓÒ ×
´ µ Prefijo: ½½ ½ ½ ½ ½¼¾ ¿ ¼ ½ ¿ ½¼¿ ½¾ ½¾ ½ ¼ ½ ½ ¿ ½ ¾ ½ ¼ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ½¾ ½ ½ ½½ ½¾ ½ ¼ ½ ½ ½¼¾ ½ ¿
´µ Prefijo: ½ ½ ¿ ½¼ ¼ ¿¿ ¿½ ¾¾ ¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½½¾ ½¿ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ¿½ ½ ¾¾ ½ ½¼ ½½¾ ½ ½ ½ ½
´µ Prefijo: ½¿¾ ¿ ¾ ½¾ ¼ ¾ ½¼ ½¼¾ ½ ¿ ½¿ ½ ½ ½ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ¿
´µ Prefijo: ¾ ¾½ ½¿ ¿¼ ¿ ½ ½ ½¿¾ ½¼ ½¼½ ½ ¾ ½ ¼ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ¾ ½¿¾ ½¿ ½¼½ ½ ¼ ½ ½
´µ Prefijo: ½ ¼ ¿ ¿ ¿ ½¿ ¿ ¾ ¿ ½½ ½ ¼ ½¾ ½¾¾ ½ ½¿ ½ ¾ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ¼ ¿ ½¾ ½ ¼ ½ ¾ ½¾¾ ½ ¿ ½¿
È Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ×ÙÑ Ð × Ù ÒØ × Ù Ò ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× ÒØÖ ½
Ý ½¼¼
½ ¿ ½¼¼ ¿ ¾¼ ¿ ¾ ½ ½¼¼ ¼ ¼ ½ ½ ¾½ ¾ ¼ ¼ ¿ ½ ¾¿
¼¿ ¾ ¿¿ ¿ ¼ ¿½ ¾ ¿ ½¾ ½ ¿ ¿ ¾½ ¿ ¾ ¼ ¿ ½¼¼
¿ ¿ ½¼ ½¿ ½¼¼ ½ ¿ ¼ ¿ ¿ ½ ¼ ¿¼ ¿¼ ¿ ¾
¿ ½ ¾ ½¾ ½¾ ¾ ¿¼ ¼ ¿ ¿¾ ¿ ¿ ½
½ ¼ ¼½ ¼ ¿ ½¾ ½ ¾ ¾½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼½ ¼ ½
º ×ØÙ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº
Ë Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö ×Ø Ò ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × × ØÙ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ØÖ ÓÒ Ðº
Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÓÑÔÐ ØÓ¸ ÒØÓÒ × × Ö Ð Þ ÙÒ ×ÓÖØ Ó Ô Ö × Ó Ö
Ù Ð ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ð ÔÖ ×ÓÖ Ó Ð ×Ù ×ÓÖ¸ × Ö ÒØ Ö Ñ Óº Ð ÔÖ ×ÓÖ
Ø Ò Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð 1
| Ä(T)| × Ö × Ð ÓÒ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ×Ù ×ÓÖ ØÒÖ
ÙÒ ÔÖÓ Ð | Ê(T)| º ÈÖÙ
1
Ó × ÔÖÙ ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð ØÓÖ Óº
´·µ

576. 550 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
º Ò Ð Ù Ó× Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó Ý ×Ø Ñ
Ð ÒØ ×Ô Ö ×ÓÖØ Ó× ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù Ú Ö ÒÞ º
º Ò Ð Ù Ó× Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó Ý ×Ø Ñ
Ð ÒØ ×Ô Ö ×ÓÖØ Ó× ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù Ú Ö ÒÞ º
º ÓÑÓ × Ñ Ò ÓÒ Ó¸ ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó× × ÕÙ
× Ö Ð Þ Ò ÑÙ Ó× ×ÓÖØ Ó× ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó× Ð¹
Ò ×Ù ÔÙÒØÓ Ø Ñ × Ö Ô Ñ ÒØ º ÈÖÓÔÓÒ ÙÒ ×ÕÙ Ñ ÕÙ Ñ Ò Ñ Ð ×
ÔÓ× Ð × Ø Ð Ò Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó׺
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ Ó × Ö¸ ÕÙ ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ Ð ¬Ò ÓÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ò Ü º¾ ´Ô Ò µº
½¼º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ ÙÒ ÓÒ
template <class Node> luka_to_tree(char *& cod)
Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ô Ð Ö ÄÙ × Û Þ ÐÑ ¹
Ò Ò cod ´Ú Ö Ü º ´Ô Ò ¿¾½µµº ×ÙÑ ÕÙ Ð Ô Ð Ö × ÓÖÖ Ø º × Ö Ð
ÙÒ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒº
½½º Ê Ð Ð × ÔÖÙ × ×Ø ×Ø × Ô ÖØ Ò ÒØ × Ô Ö Ú Ö ¬ Ö × Ð ×ÓÖØ Ó Ò× Ö ÓÒ Ò
Ð Ö Þ × ×ØÖ ÙÝ ÓÒ ÔÖÓ Ð p = n+1 º
1
½¾º Ê Ð Ð × ÔÖÙ × ×Ø ×Ø × Ô ÖØ Ò ÒØ × Ô Ö Ú Ö ¬ Ö × Ð ×ÓÖØ Ó Ô Ö Ð × Ð ÓÒ
Ð Ö Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ð ØÓÖ × ×ØÖ ÙÝ ÓÒ ÔÖÓ Ð
p = m¸ ÓÒ m × Ð
1
ÒØ ÒÓ Ó× Ð Ö ÓÐ ÞÕÙ Ö Óº
½¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× T1 Ý T2 Ø Ð ÕÙ Ð Ú ×
Ô ÖØ Ò ÒØ × T1 ÔÙ Ò × Ö Ñ ÝÓÖ × ÕÙ Ð ÙÒ × Ð Ú × Ô ÖØ Ò ÒØ × T2º Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ × Ö O(n Ð (n))º
½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Ó× T1 Ý T2 Ø Ð ÕÙ Ð Ú ×
Ô ÖØ Ò ÒØ × T1 ÔÙ Ò × Ö Ñ ÝÓÖ × ÕÙ Ð ÙÒ × Ð Ú × Ô ÖØ Ò ÒØ × T2º Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ × Ö O(n Ð (n))º
½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö Ð Ð Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº
Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ö Ð ØÓÖ Óº ÑÙ ×ØÖ ×Ù Ö ×ÔÙ ×Ø º ´·µ
½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö Ð Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Óº
Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ö Ð ØÓÖ Óº ÑÙ ×ØÖ ×Ù Ö ×ÔÙ ×Ø º ´·µ
½º × Ò ÙÒ Ì ÕÙ Ú Ð ÒØ Gen Rand Tree<Key> Ò Ð Ù Ð ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ ×
ÒÓ × Ò Ö ÙÖ× Ú ×º
½º ÙØ Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ ØÖ Ô
´ µ ¾½ ¾½ ½ ½¾¿ ½ ½¾ ½ ¼ ½½ ½ ¾ ½¼ ¿¿ ¿ ¿
´ µ ½½ ¾ ½¾ ½¼ ½ ½¼¼ ½ ¾ ½ ½ ¼ ½¾ ½ ¿
´ µ ½ ½ ½ ½ ½¾¼ ½ ¾ ½½ ½¾¿ ½ ½ ½ ½ ½ ¿½ ½¼ ½ ¿ ½ ¾ ½

577. 6.9. Ejercicios 551
´ µ ½¿¼ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½¾ ½¾ ½ ¿ ¼ ½¾¾ ½¿ ½ ¼ ½ ½ ¿¼ ½ ½ ¿
´ µ ½ ½ ¿ ½¾¼ ½ ½ ½ ¼ ½ ½ ½¿ ¾ ½½ ½½ ¾½ ½¼ ½¼ ½ ¼ ½ ½ ½
È Ö ØÓ × ÐÓ× Ö Ó׸ Ù× Ð × Ù ÒØ × Ù Ò ÒÙÑ ÖÓ× Ð ØÓÖ Ó×
¿¿ ½ ¾¿ ½ ¼½ ¿ ¿ ¿ ¾ ¾½ ¼
½ º È Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × ØÖ Ô׸ ¬Ò Ó× ÔÓÖ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó׸ ÙØ Ð × × Ù Ò ×
Ð Ñ Ò ÓÒ ×
´µ Prefijo: ½ ¾¾ ½ ½ ½¾ ¿¼ ¿ ½¾ ½¾ ½½ ½½¿ ½½½ ½ ¼ ½ ¿ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n: ½
o ¾¿ ½ ½½ ½½½ ¼ ½ ½ ½
´µ Prefijo: ½ ¾ ¿¾ ½ ¿ ½ ½¾ ¼ ½¼¾ ½¾ ½½ ½¼ ½¿ ½ ½ ½ ¾
Secuencia de eliminaci´n:
o ½¼¼ ¿½ ½ ¼ ½ ½¼ ½ ½¼ ¾ ¿¾
´µ Prefijo: ¿ ½¿ ½ ¼ ½¿¿ ½½¾ ½ ½ ¿ ½ ½ ½ ½ ½½¿ ¿
Secuencia de eliminaci´n:
o ½¿¿ ½ ½ ½ ½ ½ ½½
´µ Prefijo: ½ ¼ ¿ ¾ ½ ½½¼ ½¼¾ ¿ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ¾¾ ¿ ¿ ¿ ½½ ½ ¼ ½¾¿ ½¾¿ ¾
´µ Prefijo: ½¾¾ ½½¿ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½¿¿ ½¾ ½ ¿ ½¿ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
Secuencia de eliminaci´n:
o ½ ¼ ¾ ½ ¼ ¾ ½½ ½
¾¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ØÖ Ô Ó× × Ò Ó× ÖÖ ÐÓ× ÓÒ Ð Ú × Ý
ÔÖ ÓÖ ×º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ ÔÙ Ù× Ö Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ð ØÖ Ôº
¾½º × Ò ÙÒ Ì ÕÙ Ú Ð ÒØ Gen Treap<Key> Ò Ð Ù Ð ØÓ × Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ÒÓ
× Ò Ö ÙÖ× Ú ×º
¾¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó× ØÖ Ô׺
¾¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð ÒØ Ö× ÓÒ Ó× ØÖ Ô׺
¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ ´×ÔРص Ó× ØÖ Ô׺
¾º ÓÒ× Ö ÙÒ ØÖ Ô Ò Ð Ù Ð Ð ÔÖ ÓÖ ×Ø ÔÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ×Ó׺
Ñ ÝÓÖ ÒÙÑ ÖÓ ×Ó׸ Ñ ÒÓÖ × Ð ÔÖ ÓÖ º ×Ø ÑÓ Ó Ð ØÖ Ô Ú Ò Ö
ÙØÓ Ù×Ø ÒØ Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð × Ð Ú × Ö ÒØ Ñ ÒØ × × Ò ÓÒØÖ Ö Ò
Ò Ð Ö Þº ×ØÙ Ý ÓÑÔ Ö ×Ø Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ð × Ð ÓÒ Ð ØÓÖ ÔÖ ÓÖ ×º
¾º ÓÒ× Ö Ð Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ö Þ ÙÒ ØÖ Ô
Node * insert_root(Node * r, Node * p)
Ä Ù Ð Ò× ÖØ Ð ÒÓ Ó p¸ ÓÒ Ð Ú K(p) Ý ÔÖ ÓÖ ×Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ P(p)¸
ız Ð ØÖ Ô rº
como ra´
´ µ ÁÒ×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ insert root()º
´ µ ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ P(p) × ÙÒ Ó Ò Ð ØÖ Ô Ö ×ÙÐØ ÒØ ¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ö ÙÒ ØÖ Ôº

578. 552 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
¾º ÙØ Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
´ µ ¾¿ ¾¼ ½ ½ ½ ½¼ ½¿ ¾¼ ½ ½ ¿ ½ ¾¿½ ½ ¾¿ ¾ ½¿ ¿¼ ½ ¾ ¼ ¿
´ µ ¾¼ ¾¾ ¾½ ¿ ½¾ ¾¾½ ¾¿¼ ½ ¾ ¾¼½ ¾¼ ¾½¾ ½ ¿ ½¿ ¾½ ½¾¾
½
´ µ ¾ ½ ½½¿ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾¾¿ ½¼ ½¾¾ ½ ½ ½¼¼ ½½ ½ ¾½ ¾ ½ ¾¾ ½ ¾ ½¾¿ ¾¾
¾ ¾½¾
´ µ ½ ¾ ½ ¿ ¾½¿ ¾¿¼ ¾ ½½ ½ ½ ¾¿½ ¼ ½ ¿ ½¼ ¾¾ ¾ ½¾ ½¿¾ ½ ½¿
´ µ ¿ ¾¿ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½¼ ¿¼ ½ ¼ ¾ ½ ¾¿¾ ¿ ½ ¼ ½ ¼ ½¼¼ ½¿¿ ¼ ¾ ½¿ ½¾ ½ ¾¿ ½½
¾¿
¾ º È Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÐ × Îĸ ¬Ò Ó× ÔÓÖ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó׸ ÙØ Ð ×
× Ù Ò × Ð Ñ Ò ÓÒ ×
´µ Prefijo: ½¿ ½¼¿ ¾ ¾¾ ½ ½¾ ¼ ½¾¿ ½¾½ ½¾ ½¿ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¿
½ ¾¼ ½ ¾¿
Secuencia de eliminaci´n:
o ½¾¿ ½¾½ ½ ½ ½¿ ½ ¿ ½¾ ¾¾ ¾¼ ¾ ½
´µ Prefijo: ½¾ ½ ¾ ¾½ ¾ ¾ ¿ ½½ ¾¼ ½ ½ ½ ¿ ½ ½ ¾ ½ ¼ ¾¾ ¾½½
¾½¿ ¾ ¾¿
Secuencia de eliminaci´n:
o ½ ¾ ¾½½ ¾ ¾¿ ½¾ ¾ ½ ¾½
´µ Prefijo: ½½¼ ¾ ½½ ½ ¾½ ¿ ½ ¼ ½¼¾ ½ ½ ½ ¿ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾½ ¾½¼
¾¼ ¾¾ ¾¾ ¾¿¼
Secuencia de eliminaci´n: ¼ ¾½
o ¾¾ ½ ½ ¿ ½½ ½ ¾ ½ ¾ ½
´µ Prefijo: ½ ½ ½¿ ½½ ¿ ½ ½ ¼ ½¾ ¾½ ¾¼¿ ½ ½ ¿ ¾¼½ ½ ¾ ¾½¿ ¾¼
¾¿¾ ¾¿½ ¾¾ ¾ ¿
Secuencia de eliminaci´n: ½ ¾¾ ¾½¿ ¾¼
o ½ ½ ¾¿½ ½½
´µ Prefijo: ½ ¾ ½¿½ ¾ ½½¼ ½¼ ½½ ½ ½ ½ ½¿ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¿ ½ ¼ ¾¾¾
¾¼½ ¾½ ¾ ¾¿ ¾¿½ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ½ ½¿½ ¾¼½ ½
o ½ ½ ¼ ½ ¾ ¾½ ¾¿ ½ ¾ ½
¾ºË ÒÓ Ó ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ ÐÑ Ò ×Ù ÐØÙÖ ¸ Ù ÒØÓ× Ø× × Ö ÕÙ Ö Ò
¿¼º Ð ÙÐ Ð ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓ Ð ÙÒ ÓÒ is avl()º
¿½º ÁÑÔÐ ÒØ ÒØ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð Ö ÓÐ × ÎÄ Ò Ð Ù Ð ÒÓ Ó Ù Ö
×Ù ÐØÙÖ º ´·µ
¿¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Îĺ
¿¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ ´×ÔРص Ó× Ö ÓÐ × Îĺ
¿ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð ÒØ Ö× ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × Îĺ
¿ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò × ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó × ÓÒ º Ð ÙÐ ×Ù
ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓº
¿ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ö Ð Ö ÓÐ ÓÒ ÓÖ Ò kº

579. 6.9. Ejercicios 553
¿º´ ÅÓ ÚÖ ¹ ½ ½ µ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ
√
(n + 1) 1+ 5
ÐÑ
n→∞ (n)
=
2
.
ÓÒ (i) × Ð ¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ º
¿º Ç Ø Ò ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÕÙ ÒÓØ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ó × ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ º
¿º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ Ù× ÐÓ Ñ × ÙÒ ÖÓØ ÓÒ Ó Ð º
¼º ÜÔÐ ÕÙ Ý × ÖÖÓÐÐ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ Ó Ð Ö ÓÖÖ Ó
Ò¬ Ó Ð × Ð Ú × Ý ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÖÒ ÐØÙÖ ÒÓ Óº
½º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó Ö ÓÐ Îĸ Ü ×Ø ÙÒ ÓÐÓÖ ÓÒ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº ´·µ
¾º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ü Ñ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö Ý Ø ÖÑ Ò × ×
ÓÐÓÖ Ð º
¿º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÐÓÖ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ ÙÒ Ö ÓÐ Ù ÐÕÙ Ö ÕÙ Ý Ô × Ó
Ð Ø ×Ø Ð Ö Ó ÒØ Ö ÓÖº
º ÙØ Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ
´ µ ½ ¾ ½¼ ½ ½ ½½ ½ ½½ ½ ½ ¾½ ½ ½¾ ½ ¾½¿ ½ ½ ¿
´ µ ½½¼ ½ ½ ½ ¼ ½¼ ½¾ ¾ ¼ ¼ ¿ ½¼ ½ ¾¼ ½ ¿ ½ ½ ½¼½ ¾¼ ½ ½
´ µ ½ ¾ ½ ¿ ¿½ ½¾ ¾¿ ¼ ¾ ½¾ ½ ½ ½¿¿ ½¿ ¾ ¿¾ ¿ ½¼¾ ¾¼¼ ¾¾¼ ¼
´ µ ¾¾ ¾¾ ½ ½ ½ ½ ¾½ ¾ ¼ ¾¾ ¾¿ ½ ¼ ½ ¿ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾¾ ½
´ µ ½ ¾ ½¼ ¼ ¾ ½½ ½¾ ¾¾½ ½¾¾ ½ ½¼ ½¾ ¾ ½ ¾¼ ¾½ ½ ¾½¿ ¿¾ ¾
½ ¾
º È Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÐ × Îĸ ¬Ò Ó× ÔÓÖ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó׸ ÙØ Ð ×
× Ù Ò × Ð Ñ Ò ÓÒ ×
´µ Prefijo: ½ ½ ¿ ¼ ¼ ½ ¿ ½¾ ½¼ ½ ½ ½ ¿ ½ ½ ½ ½ ¿ ¾ ¾½ ¾½ ¾½½
¾¿¾ ¾¾ ¾¿ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ¾ ½ ¿ ½ ¾¾ ½¼ ½
o ¼ ¾½ ½ ½¾ ¾ ¼ ¾½ ¾
´µ Prefijo: ½ ¼ ¿ ¾¼ ½ ¾ ¿¾ ½¿¿ ½ ½¿ ½ ¾ ¾ ¾½¿ ½ ½ ½ ½ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ¾ ¾ ¾ ½ ¼ ¾ ½ ¿¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ½¿¿ ¾ ¾½¿ ¾ ¾ ½
o
½
´µ Prefijo: ½¾ ¾ ¿ ½¾ ¿½ ¾ ¿ ½¼ ¿ ½¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¿ ½ ¼ ½ ½ ¿ ¾¾
¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ½ ¾ ½
o ¾ ¿½ ½¾ ¾ ½ ½ ¿ ½ ½¾ ¾ ½ ½ ¼ ¾ ½¼
´µ Prefijo: ½ ¾¿ ½¿ ½¼ ¾¾ ¿ ¿¼ ½½ ¿ ½¿ ½¿ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ¾¾
½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¾ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½¿ ¾ ¾ ½ ½¿ ½ ¾ ¿ ½ ½ ½¿
o
´µ Prefijo: ½¼ ¿ ¾½ ¿ ¿ ¼ ½ ¿ ¼ ¼ ¿ ¾ ¾¾ ½ ½¾ ½¾ ½½¼ ½¿¼ ½
½ ¿ ½ ¾¾ ½ ¾ ¿ ¾¿ ¾ ¼ ¾

580. 554 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
Secuencia de eliminaci´n:
o ½ ½¾ ½¿¼ ¿ ½ ¿¾ ¾ ¿½ ½¿ ½ ¾ ¾½
º ´ÌÓÑ Ó Ý ØÖ Ù Ó È Ö ÖÖÝ ½¾ µ Ù ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ð Ñ¹
Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ö ÕÙ Ö Ó× ÖÓØ ÓÒ × Ó Ð ×º Ù Ð Ö Óи ÒØ ¬ÕÙ Ð
ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö Ý ÜÔÐ ÕÙ ÔÓÖÕÙ Ó× ÖÓØ ÓÒ × ×ÓÒ Ò × Ö × Ý ×Ù¬ ÒØ ×º ´·µ
º ÓÒ× Ö Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ Ù×ÕÙ
template <typename T> int search(T a[], const T & x, int n)
a × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó n Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ð Ù Ð × Ù× Ð Ð Ú xº
Ð ¬Ò ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ ×ÕÙ Ñ Ù×ÕÙ ÒÓÑ Ò Ó ¹
ÓÒ ¸ Ð Ù Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð × Ó × ÖÚ ÓÒ × ×Ó Ö Ð ÖÖ ÐÓ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
ÒÖÐ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Base T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
Fk × Ð k¹ × ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ º i × Ð ÔÓ× ÓÒ Ò×Ô ÓÒ Ø٠и Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ p Ý q ×ÓÒ ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× ÓÒ ÓÖ Ò ÒÑ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖ iº Ä
Ð ×ÕÙ Ñ Ù×ÕÙ × ÓÑÔ Ö Ö x ÓÒ a[i] ݸ × x != a[i]¸ ÒØÓÒ ×¸
× ÙÒ ÕÙ x × Ñ ÒÓÖ Ó Ñ ÝÓÖ a[i]¸ ×ÔÐ Þ Ö ÐÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ù×ÕÙ
ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÒÓÖ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ iº
´ µ ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ n + 1 = Fk+1¸ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð Ù×ÕÙ
ÓÒ º
ÝÙ ½ ÐÓ× Ò × q Ý p × ÑÔÖ ×ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ÓÒ ¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ × ÒÓ × ÑÔÖ × Ð ×Ó Ô Ö Ð Ò iº
ÝÙ ¾ Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð i × Fkº
ÝÙ ¿ Ä ÓÒ ÓÒ Ô Ö × ÕÙ x != a[i] Ý q == 0 or p == 1º ×
Ö¸ Ð Ð Ñ ÒØÓ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ý ÒÓ × ÔÓ× Ð ×ÔÐ Þ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ × Ò ÕÙ
× ×Ð Ð ÖÖ ÐÓº
´ µ Ò Ð Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ Ð Ù×ÕÙ ÓÒ º
´ µ ÓÑÓ ÔÙ Ö× × n + 1 = Fk+1
º ´ÌÓÑ Ó Ý ØÖ Ù Ó È Ö ÖÖÝ ½¾ µ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ∀n ∈ N Ü ×Ø ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ö ÕÙ Ö Ü Ø Ñ ÒØ n ÖÓØ ÓÒ ×º ÁÒ ÕÙ
ÓÑÓ × ÓÒ×ØÖÙÝ Ø Ð Ö Óи Ò ÕÙ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Ö Ý ÜÔÐ ÕÙ
ÔÓÖÕÙ n ÖÓØ ÓÒ × ×ÓÒ Ò × Ö ×º
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº
¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ ´×ÔРص Ó× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹
Ò ÖÓº
½º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ O(n Ð (n)) ÕÙ ØÙ Ð ÒØ Ö× ÓÒ Ó× Ö ÓÐ × ÖÓ Ó¹Ò ÖÓº
¾º ÙØ Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔÐ Ý

581. 6.9. Ejercicios 555
´ µ ½ ¿ ¾¾¼ ¾¼ ½¿ ¾¼ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¿½ ½ ½¾ ½ ¾¿ ½ ½ ¾ ¿
¾ ¼¾ ½½ ½ ¼ ¼ ¾ ¼ ½½
´ µ ¿ ½ ¾ ½¼ ¾ ¼ ½¼ ¾¼ ¿¾ ½ ½ ¾ ½ ¼ ¿ ¿¼ ½ ½ ½¼½ ¾ ¿ ¾¼ ¿
½ ½ ¿ ½ ¿
´ µ ½¿ ¾¼¼ ½ ½ ½ ¿ ¾¿ ¾¾½ ¿ ¿¿ ¾½ ¾¾ ¾ ¾½ ¾ ½ ¾ ¾ ¿ ½¼¼ ½ ¾ ½ ¾ ¾
½ ¿ ¾¼ ¿ ¾ ¾ ½
´ µ ½½¾ ½¾ ½ ¾¿ ¾ ¾¾ ¿ ¾¾ ¾ ¼ ½ ¾ ¾¿ ¿ ¾¿¾ ½½ ½ ¾
½¿ ¾¾ ¿¿ ¾ ¾¾ ½ ½ ½½½
´ µ ¾ ½ ½ ½ ¾¼ ¾ ½¾½ ½¾ ½¼ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¿ ½½ ½½ ½ ¾ ¿ ¾ ¾¼ ½ ¾¿ ¾¿
½ ½ ½ ¼ ½¿ ¾ ½ ½¼
¿º È Ö ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö ÓÐ × Îĸ ¬Ò Ó× ÔÓÖ ×Ù× Ö ÓÖÖ Ó× ÔÖ ¬ Ó׸ ÙØ Ð ×
× Ù Ò × Ð Ñ Ò ÓÒ ×
´ µ Prefijo: ½ ¾½ ¿ ¾ ¾ ¾ ¿ ¾¾ ¾¼ ½¿¼ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾¿
¾¿¼ ¾ ¾ ¼¾ ¾ ¼¾ ½¾ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ¾ ¾ ¾ ½
o ¿ ¾¾ ½ ¾¿ ¿ ¾¼ ¾½
´ µ Prefijo: ¾ ¾ ½¼ ¿ ½ ½ ¼ ¿ ½ ¼ ¾¿ ½ ¼ ¾¿½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ½
¾¼ ¾¾ ¾½½ ¾½ ¾ ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¿
Secuencia de eliminaci´n: ½¼ ¼
o ¾ ½ ½ ¾ ½ ¼ ¿ ½ ½ ¼ ¾¿½ ¾ ¾ ¼ ¾ ¿
´µ Prefijo: ¾½ ¾½ ½ ½ ½ ½ ½¿¼ ½¾¾ ¾¿ ½ ½¼ ¾ ¼ ¿ ½½¿ ½ ½ ½
¾¼¾ ¾¼¼ ¾½¿ ¾¿ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ¾ ¾½¿ ½ ½¾¾
o ¿ ½ ¾¿ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾½
´ µ Prefijo: ¼ ½¼ ½ ¾ ½ ¿¼ ¾¾ ¾ ½ ¿ ¼ ½ ½ ¿ ½¿½ ½½ ½ ¿ ¾¿
½ ½ ½¾ ¾ ¾¾ ½¾ ¿¾ ¾
Secuencia de eliminaci´n: ½ ½¼ ¼ ¾ ¼ ½ ¾¿
o ¾ ½ ¿ ¾ ½½ ¾
´µ Prefijo: ¼ ¾ ¾¼ ½ ½¾ ¾ ½ ¾ ¿ ½¿ ½¿ ¼ ½¼ ½½ ½ ¾ ½ ¾¾¾ ¾½¿ ½ ¼
½ ½ ½ ½ ¾½½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¿
Secuencia de eliminaci´n: ½ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¿
o ¾¼ ¾ ½ ½½ ¾½¿ ¿ ½¿ ½¼
º Ù Ð Ö ÓÐ ÎÄ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ð ÒÓ Ó 53 Ð Ö ÓÐ Ð ¬ ÙÖ º½¿º
º Ó Ð × Ù ÒØ Ö ÓÐ ÎÄ

582. 556 Cap´ ´
ıtulo 6. Arboles de b´ squeda equilibrados
u
20
7 33
2 12 25 41
0 4 9 15 22 28 36 46
1 3 5 8 10 13 17 21 23 26 30 34 38 43 49
6 11 14 16 18 24 27 29 31 35 37 39 42 44 47 51
19 32 40 45 48 50 52
53
Ù Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ð ÒÓ Ó 0 ´ ÖÓµº
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÙ Ð Ô ÖØ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ ×ÔРݺ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð
ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÐÓ Ö ØÑ º
Bibliograf´
ıa
½ º ź г×ÓÒ¹Î Ð³× Ò º ź Ä Ò ×º Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ó
Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ËÓÚ Ø Å Ø Ñ Ø × Ó Ð Ý¸ ¿ ½¾ ß½¾ ¿¸ ½ ¾º
¾ Ð Ö Îº Ó¸ ÂÓ Ò º ÀÓÔ ÖÓ Ø¸ Ò Â «Ö Ý º ÍÐÐÑ Òº Ì × Ò Ò Ò ÐÝ× ×
Ó ÓÑÔÙØ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ÍË ¸ ½ º
¿ ÊÙ ÓÐ Ý Öº ËÝÑÑ ØÖ Ò ÖÝ ¹ØÖ × Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ñ ÒØ Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׺
Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ¸ ½´ µ ¾ ¼ß¿¼ ¸ ÆÓÚ Ñ Ö ½ ¾º
ÊÙ ÓÐ Ý Ö Ò Û Ö Åº Å Ö Øº ÇÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ò Ñ ÒØ Ò Ò Ó Ð Ö
ÓÖ Ö Ò ×º Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ¸ ½ ½ ¿ß½ ¸ ½ ¾º
º Ϻ ×ØÖ º ÁÒ ÓÒÓÙÖ Ó ¬ ÓÒ º ÁÒ º ĺ Ù Ö Ò Åº ÖÓݸ ØÓÖ׸ ÈÖÓ Ö Ñ
ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ¸ ÚÓÐÙÑ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ß ¼º
ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ½ º
ØØÔ »»ÛÛÛº ÒÙºÓÖ »×Ó ØÛ Ö » ×лº
Ù × Ò Ë Û º ÖÓÑ Ø Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ Ð Ò ØÖ ×º ÁÒ Ç Ë Á
ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒ× Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ´ Ç Ëµ¸ Ô × ß¾½¸ ½ º
ÓÒÖ Ó Å ÖØ Ò Þ Ò Ë ÐÚ ÓÖ ÊÓÙÖ º Ê Ò ÓÑ Þ Ò ÖÝ × Ö ØÖ ×º ÂÓÙÖÒ Ð Ó
Ø Å¸ ´¾µ ¾ ß¿¾¿¸ Å Ö ½ º
Å ÓØÓ Å Ø×ÙÑÓØÓ Ò Ó× ÖÙ ÃÙÖ Ø º ÌÛ ×Ø ËÊ Ò Ö ØÓÖ׺ Å ÌÖ Ò×¹
Ø ÓÒ× ÓÒ ÅÓ Ð Ò Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ ¾´¿µ ½ ß½ ¸ ÂÙÐÝ ½ ¾º

583. 6.9. Bibliograf´
ıa 557
½¼ Å ÓØÓ Å Ø×ÙÑÓØÓ Ò Ó× ÖÙ ÃÙÖ Ø º ÌÛ ×Ø ËÊ Ò Ö ØÓÖ× ÁÁº Å
ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× ÓÒ ÅÓ Ð Ò Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ ´¿µ ¾ ß¾ ¸ ÂÙÐÝ ½ º
½½ Å ÓØÓ Å Ø×ÙÑÓØÓ Ò Ì Ù Æ × ÑÙÖ º Ì ÝÒ Ñ Ö Ø ÓÒ Ó ×ØÖ ÙØ
Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö Ò Ö ØÓÖ׺ ÁÒ ÈÈË ¸ ½ º
½¾ Á Ò È Ö ÖÖݺ ÈÖÓ Ð Ñ× ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÈÖ ÒØ ¹À Ðи Ò Ð ÛÓÓ Ð «×¸ Ƹ ½ º
½¿ ʺ Ë Ð Ò º ʺ Ö ÓÒº Ê Ò ÓÑ Þ × Ö ØÖ ×º Ð ÓÖ Ø Ñ ¸ ½ ´ » µ ß
¸ Ç ØÓ Ö»ÆÓÚ Ñ Ö ½ º
½ º º ËÐ ØÓÖ Ò ÊÓ ÖØ Ì Ö Òº Ë Ð ¹ Ù×Ø Ò Ò ÖÝ Ë Ö ÌÖ ×º ÂÓÙÖÒ Ð Ó
Ø Å¸ ´¿¾µ ½ ß¾¼ ¸ ½ º
½ º º ËØ Ô Ò×ÓÒº Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ò ÖÝ × Ö ØÖ × Ý Ñ Ò Ò× Ö¹
Ø ÓÒ× Ø Ø ÖÓÓغ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò ×¸
´½µ ½ ß¾ ¸ ÖÙ ÖÝ ½ ¼º
½ Â Ò ÎÙ ÐÐ Ñ Òº Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÖ Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò ÔÖ ÓÖ ØÝ Õ٠٠׺ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ×
Ó Ø Å¸ ¾½´ µ ¿¼ ß¿½ ¸ ÔÖ Ð ½ º
½ Æ Ð Ù× Ï ÖØ º Ð ÓÖ Ø Ñ× + Ø ËØÖÙ ØÙÖ × = ÈÖÓ Ö Ñ׺ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ Ë Ö × Ò
ÙØÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÈÖ ÒØ ¹À Ðи ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö¸ Æ ¼ ¸ ÍË ¸ ½ º
½ Ö ÏÓÓ º Ø ËØÖÙ ØÙÖ ×¸ Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ò È Ö ÓÖÑ Ò º ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ
Ê Ò ¸ ½ ¿º

585. Cap´
ıtulo 7
Grafos
ÒÙ ×ØÖÓ× × ÒØ Ó× × Ò×ÓÖ Ð ×¸ Ô Ö ÕÙ Ð Ú ×Ø × Ð ÕÙ Ó ÙÔ Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ
ÒÙ ×ØÖ Ô Ö Ô ÓÒº ÆÙ ×ØÖ Ñ ÑÓÖ Ý Ö Ù Ö Ó ×Ø Ò ÑÔÖ Ò Ó× Ò Ö Ò Ñ
Ñ Ò × Ú ×٠Р׺ Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ × ÔÖ Ö ÑÓ× ØÖ Ø Ö ÓÒ Ñ Ò × ÔÓÖÕÙ ÒÓ× ×ÓÒ
Ñ × ÓÒ Ö Ø × ÒÙ ×ØÖ Ô Ö Ô ÓÒ Ý ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÓ× ÓÒ ÔØÓ× ×ØÖ ØÓ׺ Ù Ò Ó
Ð ÑÓ× ÓÒ ÐÓ ÔÙÖ Ñ ÒØ ×ØÖ ØÓ¸ × ÑÙÝ ÔÓ× Ð ÕÙ ×Ó ÑÓ× ÙÒ Ñ Ò Ú ×٠к
Ù Ò Ó × Ù ÑÓ× ØÖ × ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × ÔÓ× Ð ÕÙ × ÒÓ× Ô Ö Þ ÙÒ Ñ Ò Ö Ð ¹
ÓÒ ÙÒ ØÖ ÔÐ Ó Ð ØÓ 3 º
Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÒÓ ×Ù Ð Ò ÙØ Ð Þ Ö× Ñ Ò × ÖØ ¬ Ð × Ô Ö
ÜÔÖ × Ö Ñ ÓÖ × Ý ÓÒ ÔØÓ׸ Ó Ô Ö × ÒØ Ø Þ ÖÐ × Ò ÙÒ Ñ Ò ÕÙ Ò ÐÓ Ý Ö ×ÙÑ
ÐÓ× ×ÙÒØÓ× ÒØ Ö ×º Ä × Ñ Ò × ×Ø Ø ÔÓ ×ÓÒ ÐÐ Ñ × ÓÑÙÒÑ ÒØ Ö ¬ Ó× º
ÄÓ× Ö ¬ Ó× ÖØ × ÒÓ× × Ö¸ ÙÖÚ × Ñ Ø Ñ Ø × Ù × Ò Ð ÖØ × ÒÓ
ÓÓÖ Ò ×¸ Ô ÖÑ Ø Ò Ñ Ö Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÓÑÔÓÖ¹
Ø Ñ ÒØÓ ÕÙ ÔÙ ×Ø Ö Ó ÙÐØÓ Ò Ð Ñ Ö ÓÖÑÙÐ º ×Ø Ð × Ö ¬ Ó × ÖØ ¬ Ð Ò
Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ó × ¸ ÒÓ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÙÒ Ñ Ò
ÔÖ Ò Ð ÑÙÒ Ó Ò ØÙÖ Ðº
Ü ×Ø ÙÒ ÑÔÐ Ú Ö ÔÖÓ Ð Ñ × Ò Ð Ù Ð × Ò ÜÔÖ × Ö Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ
Ó× × Ð ÙÒ Ø ÔÓº ÉÙ Þ ÙÒ Ù Ò ÑÔÐÓ Ô Ö ×Ø Ø ÑÔÓ ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ ÙÒ Ñ Ô Ú Ð
ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö ÖÖ Ø Ö × ÒØÖ Ù ×º Ò Ð Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð¸ ×Ø
Ø ÔÓ Ö ¬ Ó × Ð ÒÓÑ Ò ÓÖÑ ÐÑ ÒØ “grafo”º
Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ö Ó ÔÖÓÚ Ò Ð Ö Ó γρ φος ´ Ö Ó×µ¸ Ð Ù Ð × Ò ¬ × Ö ØÙÖ º Ä
× Ö ØÙÖ × ÜÔÖ × ÓÒ × Ò×ÓÖ Ð½ ×Ó Ø Ò Ñ Ö Ú ÐÐÓ×Ó Ý Ñ ×Ø Ö Ó×Ó ÓÑÓ ÐÓ × Ð Ð Ò Ù º
Ù Ò Ó Ð ÑÓ׸ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ × Ò Ð × Ö ØÓÖ¾ ¸ × ÒÓ Ð ÙÒ × ÒØ Ó Ô Ö Ô ÓÒ Ý
ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ ÓÑÓ Ð ØÓÖº ÄÓ× Ö ¬ Ó× ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÙÒ Ð × ÔÖ Ñ Ö × ÓÖÑ × ÙÑ Ò ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ý Ð ÓÑÔÙØ ÓÒ Ý ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÒÓ × Ô Ò Ð Ö ÕÙ Þ
ÜÔÖ × Ú ÐÓ Ö ¬ Óº
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó׸ ÙÒ Ö Ð ÓÒ × ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ ´R ⊆ A × Bµ
Ð ÙÒ ÔÖÓ Ù ØÓ ÖØ × ÒÓ ÒØÖ Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ý Bº Ò ×Ø × ÓÒ ÒÓ× ÒØ Ö ¹
× Ò Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ Ó× × ÙÒ Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× ÓÖ Ò Ý ×¹
Ø ÒÓ ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ý Ð Ö Ð ÓÒ¸ Ð ¬ Ò Ö ¸ × Ö ¬ Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÖØ ¹
× ÒÓ A × Aº À Ý Ú Ö Ó× ×ÕÙ Ñ × Ö ¬ Ó× Ô Ö ÜÔÖ × Ö ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ò Ö º Ò
ÑØÑØ × Ö Ù ÒØ ÙØ Ð Þ Ö ÐÓ× Ö Ñ × × Ø Ð ×¸ Ô ÖÓ ×ØÓ× ×ÓÒ Ò ÓÖÖÓ×Ó×
½
Ò × Ú ×٠и Ø Ø Ð Ó Ð ÙÒ ÓØÖ Ð × º
¾
ÙÒÕÙ ÔÙ Ò Ô Ö Ö× Ð ÙÒ × ÑÓ ÓÒ × ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ × ÒÚÓÐÙ Ö × Ù Ò Ó× ×Ù Ö ¹
Ø Ñ ÒØ Ð Ð ØÓÖº

586. 560 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ô Ö Ð × Ö Ð ÓÒ × Ò Ö ×º Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ ×Ø ×ØÙ Ó¸ Ü ×Ø ÙÒ Ö ÔÖ ¹
× ÒØ ÓÒ Ö ¬ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ñ Ö Ö Ý ÒØ Ò Ö Ñ ÓÖ ÙÒ Ö Ð ÓÒº Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ Ð
Ö Ð ÓÒ R = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (b, f), (b, e), (c, a), (c, b), (c, g), (c, f),
(c, h), (d, a), (d, b), (d, e), (g, c), (g, h), (f, c), (f, b), (f, h)} ⊆ A×A, A = {a, b, c, d, e, f, g, h}¸
ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÒØ Ý¸ Ò Ò Ö Ð Ñ × × ÑÔÐ ¸ ÕÙ ÙÒ Ö Ñ × Ø Ðº
ÙÖ º½ ÑÔÐÓ Ö Ð ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ ÙÒ Ö ¬ Ó
ÙÖ × ÓÑÓ Ð º½¹ × ÒÓÑ Ò Ò Ö Ó× º Ò Ð ÑÔÐÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ¸ × ÔÖ ¹
Ò Ú ×Ù ÐÑ ÒØ Ð × ÓÒ Ü ÓÒ × ÒØÖ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ Aº ÄÓ× Ð Ñ Ò¹
ØÓ× × Ù Ò Ò ÖÖ Ó× ÒØÖ Ö ÙÐÓ׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ ÐÐÓ× × Ò¹
Ò Ñ ÒØ × Ð Ò × ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÐÓ× Ö ÙÐÓ׺ × ÑÙÝ ÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ð ØÓÖ Ð
× Ñ × × Ò ÐÐÓ ÔÖ Ö Ð Ö Ð ÓÒ Ñ ÒØ Ð ¬ ÙÖ º½¸ ÕÙ Ò ×Ù Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ
Ñ Ø Ñ Ø R = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d), (b, f), (b, e), (c, a), (c, b), (c, g),
(c, f), (c, h), (d, a), (d, b), (d, e), (g, c), (g, h), (f, c), (f, b), (f, h)}, A = {a, b, c, d, e, f, g, h}º
ÒÐ Ö Ö Ó׸ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ö Ð ÓÒ × ÒÓÑ Ò Ò Ú ÖØ × Ó ÒÓ Ó׸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ Ð × Ö Ð ÓÒ × × ÐÐ Ñ Ò Ö ×Ø × Ó Ö Ó׺ Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º½¹ ÐÓ× Ú ÖØ × ×
Ù Ò ÓÒ Ö ÙÐÓ× Ø ÕÙ Ø Ó× ÓÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ A = {a, b, c, d, e, f, g, h}¸
Ô ÖÓ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒ ×Ó Ö Ð ÓÖÑ Ú ×Ù Ð ÕÙ Ø Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÔÓ Ö
Ö× Ù Ó ÓÒ Ù Ö Ó׸ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ¬ ÙÖ º
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ù ÒÓ × Ò Ú ×Ø º È ÖÓ Ú × ×¸ Ù×¹
Ø Ñ ÒØ ¸ Ò Ð Ô ÜÔÖ × Ö ÓÖÑ × Ö ¬ × Ö ÒØ × Ô Ö ÙÒ Ñ ×Ñ Ö Ð ÓÒ¸
Ò ÓÒ Ö × Ð ÔÓ Ö ×ØÖ ÓÒ Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ Ö Óº ÍÒ Ö Ó ×¸ Ô٠׸
ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÓÖ ÒØ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ¬ Ð × Ö Ð ÓÒ × Ò¹
ØÖ Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓº Ä Ö ÞÓÒ ÕÙ ÑÓØ Ú ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×¸ Ò Ò ÖÓ׸
Ñ Ø Ñ Ø Ó× Ý Ñ × ÔÖ Ø ÒØ × ÙØ Ð Þ Ö Ö Ó׸ × Ð ÓÑÓ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ô Ö Ð
ÒØ Ò Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ò Ö ×ØÖ ÓÒ × Ö ¬ ׺ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ô Ö ÕÙ × Ð
Ö Ó ÙÒ ×ØÖ ÓÒ Ò Ö Ð ÕÙ ÔÖ Ø Ò Ö Ö ÙÒ Ú ×Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ×
Ò ÐÓ× Ù Ð × × ÔÙ Ò ÜÔÖ × Ö Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ Ð Ñ ÒØÓ× ÙÒ Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ Ý ÒÓ× ×
Ñ × ÓÑÓ Ó Ú ×Ù Ð Þ ÖÐ × Ò ÙÒ Ö ¬ Óº
Ë ÒÐ Ö Ó × Ú ×Ù Ð Ò ×Ù × ÒØ Ó × Ò×ÓÖ Ð¸ ×Ù ØÖ Ø Ñ ÒØÓ Ø Ò Ó×
Ô Ö×Ô Ø Ú × ×ØÙ Ó ÕÙ ÒÓ ÐÓ ×ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ý Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº
Ð ÓÒ ÔØÓ Ö Ó Ý ×Ù× ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ó Ó× Ü ×Ø Ò × ÑÙ Ó ÒØ × ÕÙ Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ ÑÓ Ð Þ Ò ÐÓ× Ö Ó× Ö ¹
ÕÙ Ö Ò ÑÙ Ó ÓÑÔÙØÓ¸ ÙÖ ÒØ ÑÙ Ó Ø ÑÔÓ ×Ù ÒØ Ö × Ý ×ØÙ Ó ×ØÙÚÓ Ö × ÖÚ Ó ÐÓ×
Ñ Ø Ñ Ø Ó׺ Ä Ô Ö×Ô Ø Ú Ñ Ø Ñ Ø Ø Ò ÒÚ ×Ø Ö Ð Ö Ó ÓÑÓ ÙÒ Ö Ð ÓÒ
× Ö¸ ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÑ ÒØ º

587. 7.1. Fundamentos 561
Ä ÓØÖ Ô Ö×Ô Ø Ú Ð Ò Ð × × Ð ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö
Ö Ó׺ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÐ ÒØ Ò × Ó× Ð ÓÖ ÙÒ × Ð Ý ÓÑÔÐ ÕÙ
ÙÒ ÒÓ × Ó ÓÖ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ º ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó× ÓÒ Ù Ò Ð Ù×Ó
Ú Ö× × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ׺ ÈÓÖ Ð ÒØ Ö ÙÒ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð ÙÐÓ
Ñ ÒÓ× ÓÔØ ÑÓ× ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ý Ô× Ò Ö Ó׺
7.1 Fundamentos
ÓÑÓ ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ Ý × Ñ Ò ÓÒ Ó¸ ÙÒ Ö Ó G × ¬Ò ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ñ ÒØ
ÙÒ ÙÔÐ G =< V, A > ÓÑÔÙ ×Ø Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× V × Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÖØ × Ó ÒÓ Ó×
Ý A × Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö ×Ø × Ó Ö Ó× Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º¾¸ V × ÓÑÔÓÒ ÔÓÖ
¿º
Ð × Ð ØÖ × × Ð A ×Ø Ð M¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ A ÐÓ ÓÑÔÓÒ Ò Ð × ÓÒ Ü ÓÒ × ÒÙÑ Ö ×
× Ð 1 ×Ø Ð 29º
29
B 2 J 3 H 4 M
5
1 28 9 15 8 16 7
L
14 6
A 10 D E 17 25
N
24
11 12 13 18 18 22 23 I
27
C 20 F 21 G 26 K
ÙÖ º¾ ÍÒ Ö Ó
Ä ÒÙÑ Ö ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ð × ¬ ÙÖ × º¾ Ý º¿ ÒÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ñ Ò ØÙ × Ó Ø ÔÓ׺
Ë ÙÒ Ð × Ö Ø Ö ×Ø × Ð ÔÐ ÓÒ¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÔÙ Ò ×Ó Ö× Ð × Ø ÔÓ×
ØÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ö Ó Ú Ð ÖÖ Ø Ö × Ù Ö Ö Ò ×Ù× ÒÓ Ó× ÐÓ× ÒÓÑ Ö ×
Ð × Ù × ÙÒØÓ ÓÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ ØÙÖ ×Ø Ý × ÖÚ Ó× × Ó× ´ ×Ø ÓÒ × ×ÓÐ Ò ¸
ÓØ Ð ×¸ Ø Ø Ö µº ÄÓ× Ö Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ò Ð × ÖÖ Ø Ö × Ý ÐÑ Ò Ö Ò Ð × ×Ø Ò ×
ÒØÖ Ð × Ù × ÙÒØÓ ÓÒ ÙÒ Ð ¬ ÓÖ ÕÙ Ò × ×Ù Ð ´ ÙØÓÔ ×Ø ¸ ÖÖ Ø Ö ¸
ØÖÓ ¸ Ø Ø Ö µº Ñ ÒÙ Ó¸ ×Ø Ð × Ö Ó¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ð ÙÝÓ× Ö Ó×
Ù Ö Ò ÒØ ×¸ × Ð ÒÓÑ Ò Ö Ó ÓÒ Ô ×Ó× ¸ ÔÓÖÕÙ Ð × ÒØ × × ÔÓÒ Ö Ò
Ý × ÙØ Ð Þ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð ×Ø Ò Ñ × ÓÖØ ÒØÖ Ó×
٠׺
Ò Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾¸ Ù ÐÕÙ Ö Ö Ó Ö Ð ÓÒ ×Ù× ÒÓ Ó× Ò ÐÓ× Ó× × ÒØ Ó׺ ÈÓÖ
ÑÔÐÓ¸ Ð Ö Ó 1 Ö ÔÖ × ÒØ Ð × Ö Ð ÓÒ × A → B Ý B → A¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ò Ø ÖÑ ÒÓ×
Ñ Ø Ñ Ø Ó׸ Ð Ö Ó 1 Ö ÔÖ × ÒØ (A, B), (B, A) ∈ A × Aº Ò Ô Ð Ö × Ñ Ø Ñ Ø ×¸ Ð
Ö Ð ÓÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ × × Ñ ØÖ º
Ù Ò Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÒÓ × × Ñ ØÖ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó × “dirigido” Ý ÐÓ× Ö Ó× × Ð ×
ÓÐÓ Ò ­ × ÕÙ Ò Ò Ð × ÒØ Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó׺ ÍÒ grafo dirigido
¿
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × Ù× Ò Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÒÓ Ó ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó× ÔÖ ¬ Ö Ò
Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ú ÖØ º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ × ÙØ Ð Þ Ò Ð ÚÓ ÐÓ Ö Ó Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ×
Ñ Ø Ñ Ø Ó× × Ò Ð Ò Ò ÔÓÖ Ù× Ö Ö ×Ø º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ø Ø ÜØÓ × Ñ × Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×¸ × Ù× Ö Ò Ò
ÔÖ Ö Ò ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× nodo Ý arco¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º

588. 562 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ø Ñ Ò × ÒÓÑ Ò “digrafo”º Ä ¬ ÙÖ º¿ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº ÆÓØ × ÕÙ Ð Ö Ó 1
Ö Ó × Ð ÒÓ Ó A Ð ÒÓ Ó B Ö ÔÖ × ÒØ (A, B) ∈ Rº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÒÓØ ×
ÕÙ (B, A) ∈ R × ÜÔÖ × ÔÓÖ Ð Ù× Ò
/ Ð ÖÓ Ö Ó × B Aº
B 2 E
1
3
A 4 5 6 F
9 7
C 8 D
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö ÓÓ Ö Ó Ö Ó
Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× ÓÒ Ø Ó× ÙÒ ÒÓ Ó × ÐÐ Ñ Ó Ð grado del nodoº Ð
Ö Ó Ð Ö Ó × Ð Ñ ÝÓÖ Ö Ó ÒØÖ ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó׺ Ó ÙÒ ÒÓ Ó v¸ ÐÓ× ÒÓ Ó×
Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ó× × v ØÖ Ú × ×Ù× Ö Ó× × ÐÐ Ñ Ò ÒÓ Ó× Ý ÒØ ×º ÈÓÖ
ÑÔÐÓ¸ Ò Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ÒØ × B ×ÓÒ {C, D, E}º ÄÓ× ÒÓ Ó×
× ÐÓ× Ù Ð × × ÐÐ Ö Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó v × ÒÓÑ Ò Ò nodos incidentesº È Ö
Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ A × Ð ÙÒ Ó ÒÓ Ó Ò ÒØ Bº ÍÒ Ö Ó × incidente ×Ó Ö Ð´ÐÓ×µ
ÒÓ Ó´×µ ÕÙ Ð ÓÒ Ø º ×Ø Ö × ÔÐ Ð ÙÒ Ö Ó ÒÓ Ö Ó¸ Ô ÖÓ ÔÙ ÓÑÔÐ ¹
Ñ ÒØ Ö× × ÐÓ× ÒÙÑ ÖÓ× Ö Ó× ÒØÖ ÒØ × Ý × Ð ÒØ × × Ð × ÐÐ Ñ Ò “grado de entrada”
Ý “grado de salida”¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ó ÙÒ Ö Ó Ö Ó¸ ×Ù ÒÓ Ó ÓÖ Ò × Ð ÒÓÑ Ò Ý ÒØ Ý Ð ×Ø ÒÓ
Ò ÒØ º
ÍÒ “camino” È ∈ G ÙÒ Ö Ó G × ¬Ò ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ò ÒØ Ö Ð
ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× Gº À Ý Ú Ö × ÓÖÑ × ÜÔÖ × Ö ÙÒ Ñ ÒÓ¸ Ð × Ù Ð × Ô Ò Ò Ð
Ø ÔÓ Ö Ó Ý Ð ÔÐ ÓÒº Ò Ð ×Ó Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾¸ Ð × Ù Ò È =
A → B → J → H → N → L → I Ò ÙÒ Ñ ÒÓ × Ð ÒÓ Ó A ×Ø Ð ÒÓ Ó Iº
ÇØÖ Ñ Ò Ö ÔÙ × Ö Ö Ø Ñ ÒØ A, B, J, H, N, L, I¸ Ó Ñ ÒØ Ð × Ø ÕÙ Ø × ÐÓ×
Ö Ó× 1, 2, 3, 16, 6, 25 ×Ø ÙÐØ Ñ ÓÖÑ ×Ø ×ÙÔ Ø ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó×
Ö ÕÙ × ØÓ ÕÙ ÒÓ × Ö ÙÒ× Ö Ò Ð ¬Ò ÓÒ ÓÖÑ Ð Ö Óº Ä ÐÓÒ ØÙ ÙÒ
Ñ ÒÓ × ÓÑÔÓÒ ÔÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× ÕÙ ×Ø ÓÒØ Ò Ó × ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó×
Ñ ÒÓ× ÙÒÓº
ÍÒ Ð × ÔÐ ÓÒ × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÐÓ× Ö Ó× Ð ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ù×ÕÙ
Ñ ÒÓ× × ÙÒ Ð ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒ º ÉÙ Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö × Ð Ù×ÕÙ
Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó׺
ÍÒ Ñ ÒÓ ÙÝÓ ÔÖ Ñ Ö Ý ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó × Ò Ù Ð × × ÒÓÑ Ò ciclo o circuitoº Ë
Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÐÓ × ÙÒÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ñ ÒÓ × Ð Ð ¬ “simple” “bucle” Ó
“lazo”º Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ ÓÒØ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ ÐÓ × ÑÔÐ Ò Ð ÒÓ Ó J × Ö¸ Ð
Ô Ö (J, J)º
ÍÒ Ö Ó G =< V, A > × Ð ¬ conexo × Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× ÒÓ Ó×
(v1, v2) ∈ G Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ × v1 ×Ø v2º ÜÔÖ × Ó ÓØÖ Ñ Ò Ö ¸ ÙÒ Ö Ó ×
ÓÒ ÜÓ × Ô Ö ØÓ Ó ÒÓ Ó Ð Ö Ó Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × × ÑÔÐ º
ÍÒ Ö Ó × ÕÙ × total¸ completamente conexo Ó¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ completo¸
× ÒÓ Ó Ð Ö Ó × Ý ÒØ Ð Ö ×ØÓº Ð Ö Ó ÙÒ Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ × ×Ù ÒÙÑ ÖÓ
ÒÓ Ó׺ Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ Ð Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ó 5º

589. 7.1. Fundamentos 563
A B
C D
F
ÙÖ º ÍÒ Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ó5
Ð grafo complemento ÙÒ Ö Ó G¸ ÕÙ × ÒÓØ G¸ × Ð Ö Ó ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ
ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ö Ò Ô Ö ÕÙ G Ú Ò × ÓÑÔÐ ØÓº Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ö Ó
ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ó |V| Ñ ÒÓ× ÐÓ× Ö Ó× Gº Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº Ä ÙÒ ÓÒ
ÙÒ Ö Ó Ý ×Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ × Ð Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ó |V|º Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÙÐ Ö Ð Ö Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÓØÖÓ× Ö ÕÙ Ö Ò Ð Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ¸ Ð Ù Ð ÔÙ
Ð ÙÐ Ö× × × Ø Ò Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ñ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ G ∪ Gº
A B A B
C D C D
F F
´µ ´ µ
ÙÖ º ÍÒ Ö Ó Ý ×Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ
Ä × × Ð × Ò ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ×ÓÒ ÐÓ× ØÓÖ × ÔÖ Ò Ô Ð × ÕÙ Ò Ò Ò
Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Óº Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × Ð ÙÐÓ׸
ÔÖ Ð Ø Ö Ð × ÙÖ×Ó¸ Ð × Ö Ò Ð × ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× V Ý A ×Ù Ð Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ö×
Ö Ø Ñ ÒØ × Ò Ð × ÖÖ ×º
B 2 J 3 H
1 4 6 7 8
14
A 9 D E 17 18
1
11 12 13 15 16
C 10 F 17 G
ÙÖ º ÍÒ ÑÙÐØ Ö Ó
ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ø Ò Ó× Ó Ñ × Ö Ó× ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÒÓ Ó× × Ð ÒÓÑ Ò ¸
Ò Ô Ö Ö × × ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ׸ “multigrafo”º Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº ÍÒ ÑÙÐØ ¹

590. 564 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ö Ó ÔÙ × Ö Ö Ó¸ Ò ÙÝÓ ×Ó × Ð ÐÐ Ñ multidigrafo Ó multigrafo dirigidoº
ÍÒ Ö Ó Ö ÙÒ ÒØ × Ø Ð “paralelo”º
Ó ÙÒ Ö Ó G =< V, A >¸ Ù ÐÕÙ Ö ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ G =< V , A > | (V ⊆ V)(A ⊆ A |
∀a = (v1, v2) ∈ A =⇒ v1, v2 ∈ V ) × ÒÓÑ Ò subgrafo Gº Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ Ó×
×Ù Ö Ó× Ð ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º¾º Ù ÐÕÙ Ö ×Ù Ö Ó ÓÑÔÐ ØÓ × ÒÓÑ Ò cliqueº
B H 4 M
5
1 28 16 7
L
14 6
A 10 D E 17 25
N
24
11 12 13 18 22 23 I
27
C 20 F G 26 K
´µ ´ µ
ÙÖ º Ó× ×Ù Ö Ó× Ð Ö Ó Ò º¾
ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÒÓ × ÓÒ ÜÓ × Ð ÐÐ Ñ “inconexo”º ÍÒ Ö Ó Ò ÓÒ ÜÓ G × ÓÑÔÓÒ
Ö Ó× ÓÒ ÜÓ׸ ÐÓ× Ù Ð × × ÒÓÑ Ò Ò “subgrafos conexos de G”º
ÍÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ × Ò ÐÓ× × ÒÓÑ Ò “´rbol”º Å Ò ×Ø Ö ÒÓØ Ö ÕÙ ×Ø × ÙÒ
a
ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ð Ö ÓÐ ØÖ Ø Ò Ü º½ ´Ô Ò ¾ µ¸ ÔÙ × Ò ×Ø ×Ó ÒÓ
× Ö ÕÙ × ØÓ ÒÓØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ö Þ ÙÒÕÙ Ò ÑÔ ÖÐÓº
ÍÒ “´rbol abarcador” ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ G × ÙÒ Ö ÓÐ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÓÒ Ö Ó× G
a
ÕÙ ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Gº Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ð Ö Ó
ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º¾º
B 2 J H M
15 8 16 7
L
6
A 10 D E 17 25
N
13 18
I
27
C 20 F 21 G K
ÙÖ º ÍÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ð ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º¾
Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÕÙ Ö Ò Ú Ö ¬ Ö × Ð Ö Ó × “bipartido” Ó Ò ÓÒØÖ ÖÐÓº ÍÒ
Ö Ó × “bipartido” × ×Ø ÔÙ Ú Ö× Ò Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× × ÙÒØÓ× ÒÓ Ó× B Ý C
Ø Ð ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó× B ÓÒ ÒÓ Ó× C Ý ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø
ÓÒ Ü ÓÒ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ñ ×ÑÓ ÓÒ ÙÒØÓº Ä ¬ ÙÖ º ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº
Ð × ÒØ Ó Ú ×Ù Ð Ð ÓÒ ÔØÓ Ö Ó ×ÙÖ Ð ÓÐÓÖ ÓÒ × ×Ó ÑÓ×
ÓÐÓÖ × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó Ö Ó׺ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÓÖ Ö ÒÓ Ó× ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÒØ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó×
Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ó× ÒÓ Ó× Ý ÒØ × ÒÓ Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖº Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó¸
Ò ÒÐ× “spanning tree”º

591. 7.1. Fundamentos 565
B H D
A A B C D E
F G C E
B F G H I J
A I J
´µ ´ µ
ÙÖ º ÍÒ Ö Ó Ô ÖØ Ó
ÓÐÓÖ Ö Ö Ó× ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÒØ ÖÐÓ× ÓÖÑ Ø Ð ÕÙ Ó× Ö Ó× ÕÙ Ò Ò ×Ó Ö Ð Ñ ×ÑÓ
ÒÓ Ó Ø Ò Ò ÓÐÓÖ × Ö ÒØ ×º
Ó× Ö Ó× G1 =< V1, A1 > Ý G2 =< V2, A2 > ×ÓÒ ×ÓÑÓÖ Ó× × × ÔÓ× Ð Ñ Ö
Ð × Ø ÕÙ Ø × V1 ÔÓÖ Ð × V2 Ø Ð ÕÙ A1 = A2º Ä ¬ ÙÖ º½¼ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº
6
A B
1
C D
2
4 3
F G
5
ÙÖ º½¼ Ó× Ö Ó× ×ÓÑÓÖ Ó×
ÍÒ Ö Ó × ÐÐ Ñ Ó planar × × ÔÓ× Ð Ù ÖÐÓ Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ × Ò ÕÙ ×Ù× Ö Ó× ×
ÖÙ Òº
ÍÒ Ñ ÒÓ ÙÐ Ö ÒÓ × ÙÒÓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þº ×Ø
Ø ÔÓ Ñ ÒÓ Ø Ô ¬ Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ × ÓÔØ Ñ ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÙÒ
ÖØ ÖÓº ÍÒ Ñ ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ × ÙÒÓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ
Ú Þº Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ð × ÒØ Ö ÓÖ¸ ×Ø Ø ÔÓ Ñ ÒÓ Ø Ñ Ò ÑÓ Ð Þ × ØÙ ÓÒ ×
ÓÔØ Ñ ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ñ ÒÓ ÕÙ Ö ÙÒ Ú × Ø ÓÖ Ñ Ó Ô Ö Ù Ö Ö ØÓ ×
Ð × Ù × ×Ù Ö ×ÔÓÒ× Ð º
ÄÓ× Ö Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒ Ð × ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ × ÓÑÔÐ ÕÙ Ù×Ó ÒØ Ò× ÚÓ
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ Ä Ò ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ ×
ÓÒ Ö Ó× ÔÙ Ð × ¬ Ö× Ò Ù ØÖÓ Ø ÔÓ׺
Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × Ð × ¬ Ò “de existencia”º Ó ÙÒ Ö Ó Ý ÙÒÓ×
Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× ×Ó Ö ×Ø ¸ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó ÕÙ × Ø × ÐÓ× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
× ÙÒ Ö Ó ÔÐ Ò Ö
Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ × Ø Ô ¬ Ò “de construcci´n”º ÍÒ Ú Þ ÕÙ × ÓÒÓ Ð Ü ×¹
o
ØÒ ÙÒ Ö Ó ×Ô Ð¸ ÒØÓÒ × ÓÑÓ ÓÒ×ØÖÙ ÖÐÓ º Ð ÙÒ Ú × ÒÓ × Ò × Ö Ó
Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ü ×Ø Ò ÔÓÖÕÙ ×Ø × ÓÒÓ ÒØ Ñ ÒÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸ Ô Ö Ð Ù¹

592. 566 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ó Ð ÙÒ Ñ ÒÓº ÇØÖ × Ú × × ÓÒÚ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ü ×Ø Ò
ÔÖ Ñ ÖÓ¸ ÒØ × ÓÖ Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÔÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ð Ù Ó ÙÒ Ö Ó ÔÐ Ò Öº
Ð Ø Ö Ö Ø ÔÓ × Ø Ð Ò “de enumeraci´n” Ó “conteo”º ÍÒ Ú Þ ÕÙ × Ø ÖÑ Ò
o
Ð Ü ×Ø Ò ¸ ÒØÓÒ × × × ÓÒÓ Ö Ð ÒØ ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ×ØÓ×
ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò Ò Ñ × Ð ÒØ Ö × Ñ Ø Ñ Ø Ó ÕÙ ÔÐ Ø ÚÓº
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÙÐØ ÑÓ Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÑ Ò “de optimizaci´n” Ý ÓÒ× ×Ø
o
Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ñ ÓÖ ×ÓÐÙ ÓÒ × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÓÔØ Ñ ÓÒº Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ×Ø
Ø ÜØÓ × Ò ÓÒØÖ Ö Ò ÑÙ Ó× ÑÔÐÓ× Ú Ö Ò Ó × Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ ×Ø Ð
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓº
7.2 Estructuras de datos para representar grafos
Ë ÓÒÓ Ò Ó× ×ÕÙ Ñ × Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö Ó× Ò Ð Ñ ÑÓÖ ÙÒ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ñ ¹
ØÖ × Ó Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
C D
B A E
G F
ÙÖ º½½ ÍÒ Ö Ó
7.2.1 Matrices de adyacencia
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÙÒ Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ú ×Ù ÐÑ ÒØ ÙÒ Ö Ð ÓÒ¸ Ð × Ñ ØÖ × Ô Ö Ò × Ö Ð ×¹
ØÖÙ ØÙÖ Ò ØÙÖ Ð º Ó¸ ×Ø × Ø Ò Ò ÙÒ ØÖ ÓÒ Ù×Ó Ü ØÓ× Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø
Ô Ö ÜÔÖ × Ö Ý Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö Ð ÓÒ × Ò Ö × Ý¸ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ö Ó׺
ÍÒ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö Ó × ÒÓÑ Ò “de adyacencia”º Ë ØÖ Ø
ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ù Ö M[V × V] ÙÝ × ÒØÖ × M(i, j) Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÓÒ Ü ÓÒ ÒØÖ Ð
ÒÓ Ó i Ý jº Ä Ñ Ò Ñ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò × Ö Ò ÒØÖ × ÙÒ Ø ÕÙ Ò ÕÙ
Ð Ü ×Ø Ò Ó ÒÓ Ð Ö Óº Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º½½ × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Þ
ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¾º ÍÒ ÖÓ Ò Ð Ù× Ò Ö Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÒ ÙÒÓ ×Ù
ÔÖ × Ò º
Ë Ð Ø ÔÓ ØÓ ×Ó Ó ÙÒ ÒÓ Ó ÒÓ × ÒØ ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ý ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ
Ñ Ô Ó ÒÓ Ó× Ò × Ð Ñ ØÖ Þº Ä Ñ Ò Ö Ñ × × ÑÔÐ ÖÐÓ × Ñ ÒØ
ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÒÓ Ó× ÙÝÓ× Ò × × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ò × Ò Ð Ñ ØÖ Þº Ë Ð ÖÖ ÐÓ
×Ø ÓÖ Ò Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ù×ÕÙ Ò Ö ÜÔÐ Ò Ü ¿º½º ´Ô Ò ½ µ Ò Ù ÒØÖ
ÑÙÝ ¬ ÞÑ ÒØ ÙÒ Ò Ó ÙÒ ÒÓ Óº

593. 7.2. Estructuras de datos para representar grafos 567
⎛ ⎞
A B C D E F G
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎜ A ⎟ 0 1 1 1 0 1 1
⎜ ⎟ ⎜ 1
⎜ B ⎟ ⎜ 0 1 0 1 1 1 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜ 1
⎜
⎜
C ⎟
⎟ ⎜ 1 0 1 1 0 0 ⎟
⎟
⎜ D ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 0 1 0 0 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ E ⎟ ⎜ 0 1 1 1 0 1 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
F ⎝ 1 1 0 0 1 0 1 ⎠
G 1 1 0 0 0 1 0
ÙÖ º½¾ Å ØÖ Þ Ý Ò Ð Ö Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½½
Ë ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÙÒ Ø ÔÓ ×Ó Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ì BitArray¸ ×ØÙ Ó
Ò Ü ¾º½º¿ ´Ô Ò ¿ µ¸ ÔÙ ÙØ Ð Þ Ö× ÓÑÓ × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Þ Ý¹
Ò º ÈÓÖ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ÐÓ× Ö Ó× ×Ó Ò Ð ÙÒ Ø ÔÓ¸ ÒØÓÒ × ÒØÖ Ð
Ñ ØÖ Þ ÔÓ Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ò×Ø Ò Ð Ø ÔÓ ÕÙ ×Ø Ö ×Ó Ð Ö Óº Ò ×Ø ×Ó¸
Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò×Ø Ò ×Ô Ð Ð Ø ÔÓ Ô Ö Ò Ö Ð Ù× Ò Ð Ö Óº
ÍÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ó ÙÔ O(V 2) Ð × Ó×Ø ÐØÓ ÙÒ Ô Ö Ö Ó× Ñ Ò
× Ð º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ö × ÒØ Ð Ù×Ó ×ØÖÙ ØÙÖ × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ¹
ØÖ × ×Ô Ö × ÕÙ ÒÓ Ó ÙÔ Ò ×Ô Ó ÔÓÖ ÒØÖ × ÒÙÐ × Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÔÓÖ Ù× Ò
Ö Ó׺
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ò Ö ÓÖÖ Ö Ñ ÑÓÖ Ð ÓÒ×Ø ØÙÝ ÓÒ× Ö Ö Ð Ø ÔÓ Ö Óº Ë
Ð Ñ ØÖ Þ ÒÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÓÒ ×ÓÐÓ Ù Ö Ö ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ó Ö
Ó Ó Ð ÓÒ Ðº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ × Ð Ö Ó ÒÓ ÓÒØ Ò Ð ÞÓ׸ ÒØÓÒ × ÒÓ ×
Ò × Ö Ó ÓÒ× Ö Ö Ð ÓÒ Ðº
ÍÒ Ñ ØÖ Þ ØÖ ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ ÓÒØ ÙÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð O(V 2)º
Ñ ÕÙ ÙÑ ÒØ V ¸ × Ñ × Ð Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ
ÐÓÕÙ ÓÒØ ÙÓº ÍÒ ×ÕÙ Ñ ÙÒ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÖØ Ö ÙÒ ÖÖ ¹
ÐÓ ÖÖ ÐÓ× ÙÝ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô ØÓÖ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¿º Ò × ×Ó¸ Ð
Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ Ö ÕÙ Ö Ô ÖØ Ö V ÐÓÕÙ × ÓÒØ ÙÓ× Ø Ñ ÒÓ V ¸ ÐÓ Ù Ð × Ñ ×
Ð ÕÙ ÙÒÓ ×ÓÐÓ V × V º Ò C++¸ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ö Ó× Ð Ø ÔÓ T ×
ÐÖ Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Ò Ð Þ Ö ÖÖ ÐÓ ÖÖ ÐÓ× ≡
T ** matriz = new T * [V];
for (int i = 0; i < V; ++i)
matriz[i] = new T [V];
×Ø Ó Ó ÔÙ ÑÓ ¬ Ö× Ô Ö Ù× Ö Ð Ø ÔÓ BitArray¸ ÐÓ ÕÙ × ÓÑÓ Ö Óº
À Ý Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ × × ÑÔ Ò Ò Ñ ÓÖ ÓÒ Ñ ØÖ × Ý Ò ÕÙ ÓÒ ×Ù ÓÒ¹
ØÖ Ô ÖØ ÕÙ Ù× Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÒ Ñ ØÖ × Ý Ò Ö ÕÙ Ö Ò
ÓØÖ × Ñ ØÖ × Ô Ö Ñ ÒØ Ò Ö ×Ø Ó ×Ù× Ð ÙÐÓ׸ ÐÓ ÕÙ Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ó×Ø Ò Ñ ÑÓ¹
Ö º
Ô ÖØ Ð ÔÖÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ø ÔÓ Ö Ó¸ ÓØÖ ÓÖÑ ÓÖÖ Ö ×Ô Ó × Ù× Ö
ÙÒ ÖÖ ÐÓ ×Ô Ö Ó Ð Ø ÔÓ DynArray<T> ×ØÙ Ó Ò Ü ¾º½º ´Ô Ò ½µº
ÍÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö ÔÖ ÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó׺ ÈÓÖ ×Ø
Ö ÞÓÒ¸ ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÒÓ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ö × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × Ð Ö Ó × Ð
Ò× ÖØ Ò Ý Ð Ñ Ò Ò ÒÓ Ó× Ó Ö Ó× Ò Ñ Ñ ÒØ º

594. 568 Cap´
ıtulo 7. Grafos
A 0 1 1 1 0 1 1
B 1 0 1 0 1 1 1
C 1 1 0 1 1 0 0
D 1 0 1 0 1 0 0
E 0 1 1 1 0 1 0
F 1 1 0 0 1 0 1
G 1 1 0 0 0 1 0
ÙÖ º½¿ ÖÖ ÐÓ ÖÖ ÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ð ¬ ÙÖ º½½
7.2.2 Listas de adyacencia
Ó ÙÒ ÒÓ Ó v Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ö Ó¸ ×Ù Ð ×Ø Ý Ò × ÓÑÔÓÒ ÔÓÖ ÐÓ× ÒÓ Ó×
ÐÓ× Ù Ð × v ×Ø ÓÒ Ø Ó Ñ ÒØ Ö Ó׺ ×Ø ÑÓ Ó¸ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ö Ó Ò
Ñ ÑÓÖ ¸ × ÙØ Ð Þ Ò Ð ×Ø × Ý Ò ÔÖ ÒÓ Ó Ð Ö Óº Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ
ÙÒ ÑÔÐÓº
A B C D F G
B A C G F E
C A D B E
D E D A
E D C B F
F B G A E
G B A F
ÙÖ º½ Ä ×Ø × Ý Ò Ð Ö Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½½
ÒÓ Ó ÙÒ Ð ×Ø Ý Ò Ù Ö Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ú ÖØ Ò
Ð Ö Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ Ö Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò ÙÒ Ö Ó ÐÓ× Ö Ó× ×ÓÒ
Ö ÓÒ Ð ×¸ ×ØÓ× × Ö ­ Ò Ó× Ú × Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ý Ò Ó
× ¸ ÙÒ Ú Þ ÔÓÖ ÒÓ Ó ÜØÖ ÑÓ Ö Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º½½¸
Ð Ö Ó A ↔ B Ô Ö Ò Ð × Ð ×Ø × Ý Ò ÐÓ× ÒÓ Ó A Ý Bº
Ä ÙÔÐ Ö Ó× Ò Ð × Ð ×Ø × Ý Ò ÖÖ ÙÒ ×Ó Ö Ó×ØÓ ×Ô Ó
Ù Ò Ó ÐÓ× Ö Ó× ×Ó Ò Ð ÙÒ Ø ÔÓ ØÓ¸ ÔÙ × × ÙÔÐ Ò ÓÖÑ ÓÒº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸
Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ù Ö Ò ×Ø Ó Ð ÙÐÓ Ò ÐÓ× Ö Ó׸ ÐÓ ÕÙ Ö ÕÙ Ö ¸ Ò ×Ó
Ñ ÒØ Ò Ö× Ð ÙÔÐ Ñ Ò ÓÒ ¸ ÕÙ Ð ×Ø Ó × ØÙ Ð Ò Ó× Ö ÓÒ ×
Ñ ÑÓÖ Ö ÒØ ×º ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ × ÔÖ Ö Ð ×ØÖ Ö ÙÒ Ö Ó Ý Ù Ö Ö Ö ÓÒ ×
×Ø Ò Ð × Ð ×Ø × Ý Ò ¸ Ò ÐÙ Ö Ù Ö Ö Ö ÓÒ × ÒÓ Ó׺
×Ø Ñ Ò Ö ¸ Ð Ð ×Ø Ý Ò Ú Ò ÙÒ Ð ×Ø Ö Ó׺ Ä ×Ø Ò ÓÒ Ð
ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ × Ö Ð Þ × ÙÒ Ð ÒÓ Ó ÔÖÓÔ Ø Ö Ó Ð Ð ×Ø º Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º½½
× ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò Ð Ð ×Ø Ý Ò Ð ÒÓ Ó B Ý Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð Ö Ó A ↔ B¸
ÒØÓÒ × × ÑÓ× ÕÙ × ØÖ Ø Ð Ö Ó ÓÒ × ÒØ Ó B ↔ Aº
ÓÒ Ð ×ÕÙ Ñ ÒØ Ö ÓÖ × ÔÙ Ñ ÒØ Ò Ö ×Ø Ó Ò ÐÓ× Ö Ó× × Ò Ò × Ð Ö
ÓÒ Ð × ÙÔÐ × ÒÓ Ó׺ ×Ø ×ÕÙ Ñ Ø Ñ Ò ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ö Ó× ÜÔ Ò× ×
Ë Ù× Ú ÖØ Ò ÐÙ Ö ÒÓ Ó Ô Ö ×Ø Ò Ù ÖÐÓ ÒÓ Ó Ò Ð Ð ×Ø Ý Ò º

595. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 569
ÙÒ Ó×ØÓ Ò Ñ ÑÓÖ Ð Ö Ñ ÒØ ×ÙÔ Ö ÓÖ ÕÙ Ð Ù Ö Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׺
Ä × Ð ×Ø × Ý Ò Ø Ò Ò Ú Ö × Ú ÒØ × Ö ×Ô ØÓ Ð × Ñ ØÖ ×º Ä ÔÖ Ñ Ö
ÐР׸ × ÕÙ Ð Ó×Ø Ò ×Ô Ó × Ü Ø Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó׺ ×ØÓ ×
ØÖ Ù Ò ÓÖÖÓ× Ñ ÑÓÖ Ù Ò Ó Ð Ö Ó × ×Ô Ö Óº
Ä × ÙÒ Ú ÒØ × ÕÙ × Ð Ø ÓÔ Ö Ö Ð Ö Ó Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù Ö Ø Ö Ö ¬ Ó
× Ö¸ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺ ×ØÓ Ò Ò Ö Ð ÒÓ ×Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ
Ù× ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ð Ù Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ø Ò × ÒØ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ð
Ö ¬ Ó ÕÙ × Ò Ð ÑÓ× Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ô ØÙÐÓº
Ä ÙÐØ Ñ Ú ÒØ ÕÙ ÔÖ ÑÓ× Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × × ×Ù ­ Ü Ð Ô Ö
Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ý Ò Ñ ×ÑÓº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ × Ô ÖØ Ñ ÑÓÖ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó×
Ý Ö Ó׸ × Ñ × × ÑÔÐ Ô Ö Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ ÑÓÖ Ó Ø Ò Ö ÐÓÕÙ × ÙÒ Ò × Ò Ö Ó×
Ò ÕÙ Ý ÔÓ Ñ ÑÓÖ Ó ×Ø ×Ø ÑÙÝ Ö Ñ ÒØ º ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ ÔÓÖ ×Ù Ö Ø Ö
Ð ×Ø ×¸ ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÑÙ Ó Ñ × Ò Ñ Ô Ö ÓÔ Ö ÓÒ × ÒØ Ö Ð ×
Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒ ×Ó Ö ØÓ Ó × Ð × Ð ×Ø × ×ÓÒ Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×º
ÓÑÓ ×Ú ÒØ ÔÓ ÑÓ× ÒØ ¬ Ö ÕÙ Ð Ú Ö ¬ ÓÒ Ü ×Ø Ò ÙÒ Ö Ó ×
Ò Ð ÔÖÓÑ Ó Ó Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó× O(V)¸ ÔÙ × × Ò × Ö ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÙÒ Ð ×Ø
Ý Ò º ÓÒ ÙÒ Ñ ØÖ Þ¸ Ò Ñ Ó¸ ×Ø Ú Ö ¬ ÓÒ × O(1) Ó O(Ð (n))º
ÓÒ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò ¸ ÐÓ× Ö Ó× Ô Ö Ò Ò Ð ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ ×Ù× ¬Ð ×
´Ó ÓÐÙÑÒ ×µº Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º½½¸ ÐÓ× Ö Ó× Ð ÒÓ Ó D × ÑÔÖ Ô Ö Ò
ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÐÓ× ÕÙ Ú Ò Ð ÒÓ Ó Eº ÓÒ Ð ×Ø × Ý Ò ¸ Ð ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ
ÐÓ× Ö Ó× Ý¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ×Ù ÓÖ Ò ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × Ö Ð Ø ÚÓ ×Ù ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð
Ð ×Ø Ý Ò º Ð Ú Þ¸ Ð ÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ Ô Ò Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ Ò Ð
Ö Óº Ô ÖØ Ð ×Ù ÖØ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ×ØÓ ÒÓ Ô Ö Ø Ò Ö ÑÔÐ ÓÒ × × ÑÔ ÒÓº
7.3 Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>)
Ò ×Ø × ÓÒ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× Ð × ÒÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ì List Graph<Node, Arc>¸
Ð Ù Ð ÔÖ Ø Ò ÑÓ Ð Þ Ö Ö Ó× Ò Ö Ð × ÕÙ ÔÙ Ò Ù× Ö× Ô Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ð××
ÔÐ ÓÒ × ÓÒÓ × ×Ó Ö Ö Ó׺
Ô × Ö ÕÙ Ò ×Ù × ÒØ Ó Ú ×Ù Ð ÙÒ Ö Ó Ô Ö × Ö ÑÙÝ Ò Ö Ð¸ ×Ø ×ØÖ ÓÒ
ÓÒ ÔØÓ × Ù× Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÙÝ ×Ø ÒØÓ׺ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ò ÓÒØÖ Ö
ÙÒ Ô ØÖÓÒ Ò Ö Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÑÓ Ð Þ Ö ÙÒ Ì ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ô Ö ØÓ × Ð × Ð × ×
ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ó Ö Ö Ó× × Ð Ó Ðº Ñ ×¸ ÓÑÓ Ý × Ö Ò × Ó¸ ÐÙ Ó
Ò× ×Ø Ö Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò ´Ü ½º º¾ ´Ô Ò ¾¾µµ¸ Ð Ò Ö Ð Ø Ò ×Ù× Ó×Ø × Ò Ð
× ÒØ Ó ÕÙ Ð ÙÒ × ÔÐ ÓÒ × ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ò Ð Ñ ÕÙ Ò Ö ×ÔÐ Ô Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ
ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó× ÔÓ× Ð ×º
Ð Ó Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÐÓ× Ì ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ×Ó Ö Ö Ó× × ×Ô ¬ Ò Ð
Ö ÚÓ tpl graph.Hº
ÈÙ Ö Ö× ÕÙ ÙÒ Ð × ÔÖ Ò Ô Ð × ¬ ÙÐØ × Ô Ö ÑÓ Ð Þ Ö ÙÒ Ì
Ö Ó× × Ð Ó ÕÙ ×Ø ÒÚÓÐÙ Ö ÓØÖ × Ð × × Ó ØÓº × Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ó
Ñ Ò ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׸ ÐÓ× Ù Ð ×¸ Ò ÑÙ Ó× ×Ó׸ Ý ÕÙ ØÖ Ø ÖÐÓ× ÓÑÓ ÙÒ ×ØÖ ÓÒ
× Ô Ö ¸ ÙÒÕÙ Ö Ð ÓÒ ¸ Ð ÔÖÓÔ Ó Ö Óº ÍÒ ×Ô ØÓ × Ò Ð Ô Ö Ð ÓÑÔÖ × ÓÒ
× Ð Ó × ÖÚ Ò ÕÙ × Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÕÙ × ¬Ò Ð Ö Ó¸ × Ö¸ Ù Ò Ó ×Ø
× Ð Ö Ý × ÓÑÔ Ð ¸ ÕÙ × ÓÒÓ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ø ÔÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺
Ó ×Ù ÐØÓ Ò Ñ ×ÑÓ¸ List Graph<Node, Arc> ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ì
Ô ÖØ Ò ÒØ ÐÓ× Ö Ó׺ ×Ø Ì Ô ÖÑ Ø ÓÔ Ö¸ × Ò Ö Ý ÑÓ ¬ Ö ×Ù ØÓÔÓÐÓ Ö ¹

596. 570 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ø Ö ×Ø × Ò × Ö × Ô Ö ÙÒ ÑÔÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑÓ׺ Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò Ñ ØÖ ×
Ý Ò Ù× Ö Ò ÙÒ Ñ Ð Ì ÓÖ ÒØ Ó× Ñ ØÖ × Map Matrix Graph<GT>¸
Matrix Graph<GT> Ý Ady Mat<GT, Entry>¸ ÐÓ× Ù Ð × × Ö Ò Ø ÐÐ Ñ ÒØ × ÖÖÓÐÐ ¹
Ó× Ò Ü º ´Ô Ò µº
7.3.1 Grafos
ÍÒ List Graph<Node, Arc> × ÙÒ Ð × ÕÙ ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ö Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó ÓÒ Ð ×Ø ×
Ý Ò º ËÙ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ø ÔÓ ×ÓÒ Ð ÒÓ Ó Ý Ð Ö Ó¸ Ý × ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¼ Ö Ó× ¼ ≡
template <typename __Graph_Node, typename __Graph_Arc>
class List_Graph
{
Ì ÔÓ× List Graph<Node, Arc> ¼
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½
ÁØ Ö ÓÖ × List Graph<Node, Arc>
};
¬Ò ×
List Graph¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ ¸ ½ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ß ½¸ ß ¸ Ò ¼½º
È Ö ÔÓ Ö Ù× Ö ÙÒ Ó ØÓ List Graph<Node, Arc> × Ò × Ö Ó Ö ¬Ò Ó ÐÓ× Ø ÔÓ×
ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׸ Ù ×Ø ÓÒ Ð ÕÙ ÒÓ× Ó Ö ÑÓ× Ò Ð × ÔÖÓÜ Ñ × ×Ù ¹× ÓÒ ×º
List Graph<Node, Arc> × Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ò Ö
× Ö¸ Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ò Ô Ö Ð × × Ò Ö Ð × Ö Ó׺
Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ò Ö × Ñ ÒÙ Ó Ò × Ö Ó ÓÒÓ Ö ÐÓ× ×Ù Ø ÔÓ×
List Graph<Node, Arc>¸ ÐÓ× Ù Ð × × ¬Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
¼ Ì ÔÓ× List Graph<Node, Arc> ¼ ≡ ´ ¼µ
typedef List_Graph<__Graph_Node, __Graph_Arc> Graph_Class;
typedef __Graph_Node Node;
typedef __Graph_Arc Arc;
typedef typename Node::Node_Type Node_Type;
typedef typename Arc::Arc_Type Arc_Type;
Í× × List Graph ¼ º
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ö Ñ ÒØÓ Ó Ó¸ Ð Ù Ð ÑÔÐ ¬ Ð Ù×Ó ×ØÓ× Ø ÔÓ×
template <class GT>
void fct(GT & g)
{
typename GT::Arc * arc;
typename GT::Arc_Type dato;
// ...
}
Ä ÙÒ ÓÒ × Ò Ö Ý Ö ÙÒ List Graph<Node, Arc> ÐÐ Ñ Ó GTº Ä ÔÖ Ñ Ö
ÐÒ Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Ö Ó Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × Ù ÒØ Ð Ö ÙÒ Ú Ö Ð Ð
Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ÕÙ Ð ØÖ ÙØÓ ×Ó Ó Ð Ö Óº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ó Ó × Ò Ö Ó Ò Ð
× ÒØ Ó ÕÙ Ö ÓÔ Ö Ö ×Ó Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÑ Ò ÓÒ Ø ÔÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù Ð × × Ù ÒØ × ×Ù ¹× ÓÒ ×¸ Ñ Ò ÓÒ Ö ÑÓ× ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö
List Graph<Node, Arc> Ò Ú Ð ÒØ Ö Þ Ý ÒÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒº

597. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 571
7.3.2 Digrafos (List Digraph<Node, Arc>)
Ð Ì ÕÙ ÑÓ Ð Þ Ö Ó× × ÒÓÑ Ò List Digraph<Node, Arc>º Ì ÒØÓ
ÒÚ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ÓÑÓ Ò Ú Ð ÒØ Ö Þ¸ Ð List Graph<Node, Arc>
Ø Ò × ØÓ Ó ÐÓ Ö ÕÙ Ö Ó Ô Ö Ñ Ò Ö Ö Ó׺ ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ ¬Ò Ö ÑÓ×
List Digraph<Node, Arc> ÔÓÖ Ö Ò ÔÙ Ð List Graph<Node, Arc> Ø Ð ÓÑÓ
× ÔÖ × ÒØ ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
½ Ö Ó× ½ ≡
template <typename Node_Info, typename Arc_Info>
class List_Digraph : public List_Graph<Node_Info, Arc_Info>
{
List_Digraph();
List_Digraph(const List_Digraph & dg);
List_Digraph & operator = (List_Digraph & dg);
};
¬Ò ×
List Digraph¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò º
Í× × List Graph ¼º
Ä ÒØ Ö Þ List Digraph<Node, Arc> × ÒØ Ð List Graph<Node, Arc>
Ó¸ ׸ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ Ð × ×¸ Ð Ñ ×Ñ º Ò Ú Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ¸ Ð ÖÒ
Ö × Ò ÕÙ Ò List Graph<Node, Arc> × Ö ÙÒ Ð Ö Ó¸ × Ò Ø Ö Ð Ó Ö Ò
ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ÓÒ ÙÒ Ð ÖÓ ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó¸ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ö ÓÒ Ð
Ð Ö Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò List Digraph<Node, Arc> ×ÓÐÓ × ÓÐÓ Ð Ö Ó Ò Ð Ð ×Ø
Ý Ò ×Ù ÒÓ Ó Ý ÒØ º
ÈÙ Ö × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × Ò × Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ö × ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ
List Graph<Node, Arc> × Ó ÒÓ ÙÒ Ö Óº È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÖÓÚ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ù ÒØ
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ ≡ ´ ¼µ ¾
bool is_digraph() const;
Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ true × Ð Ó ØÓ × ÙÒ Ö Ó false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
7.3.3 Nodos
È Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ Ö Ó¸ × ÙØ Ð Þ Ð Ì Graph Node<Node Type>¸ ÙÝ
×Ô ¬ ÓÒ Ò Ö Ð × ÓÑÓ × Ù
½ ¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó Ö Ó ½ ≡
template <typename Node_Info>
class Graph_Node : public Dlink
{
typedef Graph_Node Node;
typedef Node_Info Node_Type;
Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾
};
¬Ò ÓÒ ÒÓ Ó Ö Ó ½ ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ö Ó ÑÔÐ Ò¹
Ø Ó Ñ ÒØ Ð ×Ø × Ý Ò º ÍÒ Graph Node<Node Type> × ÙÒ Ð × ÔÐ ÒØ ÐÐ
ÙÝÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ × Ð Ø ÔÓ Ó ØÓ ×Ó Ó Ð ÒÓ Ó Ý ÕÙ × ÒÓÑ Ò Node Infoº Ë ×
× ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ö Ó Ù ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ð Ò × Ù ÒØ
Graph_Node<Ciudad> * nodo;

598. 572 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÒÓ Ó ÓÒ ØÖ ÙØÓ Ø ÔÓ Ciudadº
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ × ÒÓ × Ö ÕÙ Ö Ò Ò ÙÒ ØÖ ÙØÓ Ô Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ó¸ × × ÔÖ ¬ Ö ÓÐÓ ÖÐÓ
Ò ÙÒ Ö Ú ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ×Ô ¬ ÖÐÓ ÓÒ ØÖ ÙØÓ× Ú Ó× Ð × Ù ÒØ
ÓÖÑ
Graph_Node<Empty_Class> node;
Ð ØÖ ÙØÓ ÙÒ ÒÓ Ó × Ù Ö Ò Ð Ñ Ñ ÖÓ ØÓ node info¸ Ð Ù Ð × ÐÖ
ÓÑÓ × Ù
¾ Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾ ≡ ´ ½µ ¾
Node_Info node_info;
Ý ÕÙ × Ó × ÖÚ Ý ÑÓ ¬ Ñ ÒØ
¾ Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾ +≡ ´ ½µ ¾ ¾
Node_Info & get_info() { return node_info; }
ÒØÖÓ ÙÒ List Graph<Node, Arc>¸ ÒÓ Ó Ô ÖØ Ò ÙÒ Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö Ó Ð ¹
Ñ ÒØ ÒÐ Þ ÒÓ Ó׺ Ð ÒÐ ÒØÖÓ × Ð ×Ø × this Ñ ÒØ Ö Ò ÔÙ Ð
Dlinkº
7.3.3.1 Inserci´n de nodos
o
È Ö Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ Ý Ð × ×Ù ¹× Ù ÒØ × × Ò × Ö Ó ÔÖ Ò Ö ÕÙ
ÙÒ Ö Ó List Graph<Node, Arc> Ù× Ó ØÓ× Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc>::Node
Ý ÒÓ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ø ÔÓ Graph Node<Node Type>º
ÙÒÕÙ ×Ò Ù Ö × Ö× Ò Graph Node<Node Type>¸
List Graph<Node, Arc>::Node ÔÓ Ö × Ö ÙÒ Ö Ú ÓÒº ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ ØÓ×
Ð ÓÑÔÐ Ø ØÙ Ø ÔÓ׸ × Ò × Ö Ó Ò× ×Ø Ö Ò ÕÙ Ò ÙÒ List Graph<Node, Arc> Ð
ÒÓ Ó × Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc>::Nodeº
À Ð Ð Ö ØÓÖ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× Ð Ö Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÙÒ
List Graph<Node, Arc>º À Ý Ó× ÓÔ Ö ÓÒ ×
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ½ ¾
inline virtual Node * insert_node(Node * node);
inline virtual Node * insert_node(const Node_Type & node_info);
Ä ÔÖ Ñ Ö Ú Ö× ÓÒ ØÓÑ ÙÒ ÒÓ Ó Ý Ö Ó¸ × Ö¸ ÙÝ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ý Ù Ö Ð Þ ¸
Ý ÐÓ Ò× ÖØ ÒØÖÓ Ð Ö Óº Ä × ÙÒ Ô ÖØ Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ
List Graph<Node, Arc>::Node¸ Ð × Ò Ð ØÖ ÙØÓ node info Ý ÐÙ Ó ÐÓ Ò× ÖØ ÒØÖÓ
Ð Ö Óº
Ë ÒÓ Ý Ñ ÑÓÖ ×Ù¬ ÒØ Ô Ö Ö Ö Ð ÒÓ Ó¸ ÒØÓÒ × × Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ
×Ø Ò Ö bad allocº
ØÓ× ÒÓ Ö Ð ÒØ Þ Ö Ð × ÑÔ ÒÓ Ò Ñ Ó List Graph<Node, Arc>¸
insert node() ÒÓ Ö Ð Þ Ò Ò ÙÒ Ú Ð ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ó Ð Ò¹
× Ö ÓÒº
7.3.3.2 Eliminaci´n de nodos
o
È Ö Ð Ñ Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ Ö Ó ×ÓÐÓ ×Ø Ø Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ñ ×ÑÓ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¾ ¿
inline virtual void remove_node(Node * node);

599. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 573
remove node() Ð Ñ Ò Ð Ö Ó Ð ÒÓ Ó node ÙÒØÓ ØÓ Ó× ×Ù× Ö Ó× Ò ÒØ × Ý Ý ¹
ÒØ ×º ÌÓ Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ Ð ÒÓ Ó Ý ×Ù× Ö Ó× × Ð Ö º
Ó Ð Ñ ×ÑÓ ×Ô Ö ØÙ ÒÓ ×Ø Ö ÐÓ× Ò Ú Ð ÓÒ¸ remove node() ÒÓ Ö Ð Þ
Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò Þ Ð
Ö Óº
7.3.3.3 Acceso a los nodos de un grafo
Ë Ò Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò× Ö ÓÒ ÚÙ ÐÚ Ò Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó Ò× ÖØ Ó¸ ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø
Ö ÓÖ ÖÐÓ ¸ ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö× ×Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× × ÙÒ List Graph<Node, Arc>º Ä
ÔÖ Ñ Ø Ú × Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö Ð Ö Ó ×
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¾ ¿
inline Node * get_first_node();
Ä Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓÒØ Ò Ó ÒØÖÓ Ð Ö Óº
get first node() × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö ×Ó Ð Ö Óº ÆÓ Ö× Ò Ò ÙÒ
ÓÒ× Ö ÓÒ Ö Ð ÒÓ Ó ÕÙ Ö ØÓÖÒ Ö ×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú º
Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ List Graph<Node, Arc> ÔÙ ÓÒÓ Ö× Ñ ¹
ÒØ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¿ ¿
inline const size_t & get_num_nodes() const;
B´squeda de nodos
u
Ó ÙÒ Ö Ó¸ ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× Ð Ù×ÕÙ Ð ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ Ö ÙÒ Ð ÙÒ × Ö ¹
Ø Ö ×Ø ×º List Graph<Node, Arc> Ó Ö ØÖ × ÓÖÑ × Ù×ÕÙ ¸ × Ù Ò Ð ×¸ × Ö
ÕÙ ×Ù Ó×Ø × O(n) ´|V| = nµ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × Ö ÓÑ Ò ×Ù Ù×Ó × Ð Ù×ÕÙ × ÑÙÝ
Ö Ù ÒØ º
× Ñ Ò ×Ø Ö × Ò Ð Ö ÕÙ × Ð ÔÐ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ù×ÕÙ × Ö Ù ÒØ ×¸ ÒØÓÒ × ×
ÔÖ Ö Ð Ò Þ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò Ð ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ×Ô Ð ÙÒ Ø Ð × Ó
Ð ÙÒ Ð × Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÔÓ Ù×ÕÙ ×Ø Ó ÔÓÖ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¿ ¿
template <class Equal>
Node * search_node(const Node_Type & node_info);
Ò ×Ø ×Ó¸ × Ö Ð Þ ÙÒ Ù×ÕÙ × Ù Ò Ð ÓÒ Ö Ø Ö Ó Ù Ð Equal ×Ó Ö ÐÓ×
ØÖ ÙØÓ× Ð ÒÓ Óº Ä Ð × Equal Ô ÖÑ Ø ×Ø Ð Ö Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó × Ð Ø ÚÓ ×Ó Ö Ð ÙÒ
Ô ÖØ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ׺ Ë × × Ò ÓÑÔ Ö Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ׸ ÒØÓÒ × × ÔÙ
Ù× Ö Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¿
Node * search_node(const Node_Type & node_info);
Ä × ÔÖ Ñ Ö × Ú Ö× ÓÒ × List Graph<Node, Arc> ÓÒØ Ò Ò ÒÚ Ö ÒØ × ÕÙ Ò ÖØÓ ÑÓ Ó Ô ÖÑ Ø Ò
Ú Ð Ö ×Ù Ù×Óº ÆÓ Ó ×Ø ÒØ ¸ × Ð Ñ Ò ÖÓÒ ÔÓÖÕÙ Ð Ö ÓÒ × ÑÔ ÒÓ Ô Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÖÓØÓØ Ô Ó×
Ö Ø Ò × Ú Ö ÕÙ ÑÔ ÙÒ Ó ¬ ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø Ú º

600. 574 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ù Ð ÒÚÓ Ð ÓÔ Ö ÓÖ == Ð Ð × Node Typeº
Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ Ù×ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò Ú Ö ¬ Ö × Ð ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ó ÒÓ Ô ÖØ
Ð Ö Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¿
bool node_belong_to_graph(Node * node);
node belong to graph() Ö ØÓÖÒ true × node × Ô ÖØ Ð Ö Ó false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ú × × Ö ÕÙ Ö Ù× Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ö Ø Ö ×Ø × ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ Ô ÖØ ×Ù× ØÖ ¹
ÙØÓ× Ø Ô Ó× ´ Ð × Node::Node Type Ó Node Infoµº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÙÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ
ÓÐÓ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ Graph Node<Node Type>º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÓ Ý Ñ Ò Ö ÓÒÓ¹
Ö ÔÖ ÓÖ ×Ø × Ð × × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÕÙ × ÒÓ× Ó ÙÖÖ Ô Ö ÓÑÙÒ Ö
Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ó Ö Ð Ù×ÕÙ × ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÓÔ Óº × Ô٠׸ ÒÙ ×ØÖ ÙÐØ Ñ Ð ×
Ù×ÕÙ × Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
template <class Equal>
Node * search_node(void * ptr);
Р٠и Ù× Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó Ù Ð bool Equal::operator() (Node * curr, void *
ptr)¸ Ù× ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ö Ø Ö ×Ø × ×Ô ¬ × Ò Ð ÔÙÒØ ÓÖ ptrº
Iterador de nodos
Ó ÙÒ List Graph<Node, Arc> Ý ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÓÖÖ Ö ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó׺ È Ö
ÐÐÓ¸ List Graph<Node, Arc> ÜÔÓÖØ Ð × Ù ÒØ ×Ù Ð ×
ÁØ Ö ÓÖ × List Graph<Node, Arc> ≡ ´ ¼µ
class Node_Iterator : public Dlink::Iterator
{
inline Node_Iterator() { /* empty */ }
inline Node_Iterator(List_Graph & _g);
inline Node_Iterator(const Node_Iterator & it);
inline Node_Iterator & operator = (const Node_Iterator & it);
inline Node * get_current_node();
Node * get_current() { return get_current_node(); }
};
¬Ò ×
Node Iterator¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ß ¸ ¸ ¼¸ ¸ ¼¼ ¸ ½¼ ¸ ¾¼ ¸ ¿ ¸ ¸ ¾¸ ¸
¸ ¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ½ß ¿¸ ¾ ¸ ½ ¸ ¼¾ ¸ ½ ¸ ¾¾¸ ¾¿¸ Ò ¾ º
Í× × List Graph ¼ º
Ä ÓÔ Ö ÓÒ get current node() Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð Ò ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ø Ö ¹
ÓÖº ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × ÓÑÔ Ø Ð ¸ Ð Ñ ØÓ Ó ØÖ ÓÒ Ð get current() × ×Ó Ö Ö
Ô Ö ÕÙ ÒÚÓÕÙ get current node()º
Node Iterator Ö ÓÖÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ×Ù× Ö Ð ÓÒ ×
ÓÒ Ø Ú º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ö Ú Dlink::Iterator¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×ÔÐ Þ ¹
Ñ ÒØÓ Ý Ù ÓÒ ×ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × next()¸ prev() Ý has current()º
Ð ÓÖ Ò Ú × Ø Node Iterator ÓÒ× Ö Ö× Ò Ø ÖÑ Ò Óº
Ä × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ ÑÔÐ ¬ Ð Ö ÓÖÖ Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ý Ð ÑÔÖ × ÓÒ¸
ÔÖ ÙÒÓ ÐÐÓ׸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó×
template <class GT>
void recorrer(GT & g)
{

601. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 575
for (typename GT::Node_Iterator it(g); it.has_current(); it.next())
print("%dn", g.get_num_arc(it.get_current_node());
}
Iterador de arcos de un nodo
Ü ×Ø ÙÒ Ð × Ø Ö ÓÖ Ð Ù Ð Ö ÓÖÖ ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒØ × ÙÒ ÒÓ Óº ÈÓ× Ð ¹
Ñ ÒØ ×Ø × Ð Ø Ö ÓÖ Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ ¸ ÔÙ × × Ð × Ù ÐÕÙ Ö Ö ÓÖÖ Ó
ÓÑÔÙØÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Óº ËÙ ×Ô ¬ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
ÁØ Ö ÓÖ × List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ
class Node_Arc_Iterator : public Dlink::Iterator
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ
};
¬Ò ×
Node Arc Iterator¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¸ ¸ ¼ ¸ ½¾ ¸ ½ ¸ ½ ß½ ¸ ¾¾¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸
¿¼ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¸
¸ ¿¸ ¸ ¾ ¸ ¸ ¸ ¾¸ ¸ ¸ ½ß ¿¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ½ ¸ ½ ¸
¿¿ ¸ ¼¸ ½ ¸ ß ¸ ½ ¸ ½ ¸ Ò ¾¿ º
Ä × ÓÖÑ × Ð Ö Ö ´ ÓÒ×ØÖÙ Öµ ÙÒ Ó ØÓ Node Arc Iterator × ÜÔÖ × Ò Ñ ÒØ
ÐÓ× × Ù ÒØ × ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ ≡ ´ µ
inline Node_Arc_Iterator();
inline Node_Arc_Iterator(Node * _src_node);
inline Node_Arc_Iterator(const Node_Arc_Iterator & it);
Í× × Node Arc Iterator º
ÁÒØ Ö × ÒØ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ð Ó ØÓ ×Ó Ó ÙÒ Node Arc Iterator × ÙÒ ÒÓ Ó
Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ö Ó Ý ÒÓ Ð Ö Ó Ñ ×ÑÓº
Node Arc Iterator Ö ÕÙ Ö Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒ¸ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ × ÔÙ Ò
ÓÔ Ö ×Ø Ó× Ø ÑÔÓÖ Ð × Ø Ö ÓÒº È Ö ÐÐÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÓÔ Ö ÓÖ =
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ +≡ ´ µ
inline Node_Arc_Iterator & operator = (const Node_Arc_Iterator & it);
Í× × Node Arc Iterator º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Node Arc Iterator ׸ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ¸ Ð Ø ÔÓ Dlink::Iterator¸ ×Ø
ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ×Ù× Ñ ØÓ Ó× ×Ó Ó× ´next()¸ prev()¸ has current()¸ Ø Ø Ö µº Ð
Ó ØÓ ØÙ Ð Ð Ø Ö ÓÖ × Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ +≡ ´ µ
typedef Arc * Item_Type;
typedef Node * Set_Type;
inline Arc * get_current_arc();
Arc * get_current() { return get_current_arc(); }
inline Node * get_tgt_node();
get current arc() Ö ØÓÖÒ Ð Ö Ó ØÙ Ð ´ Ø ÔÓ Arcµ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ get tgt node()
Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ð Ö Ó ØÙ Ð ´ Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò × Ð ÕÙ Ð ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ø Ö µº
get tgt node() × ÑÙÝ ÙØ Ð ÔÓÖÕÙ Ò ×Ø ×Ó × × ×Ø Ò Ù Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ × Ö¸
ÕÙ Ð ÕÙ ×Ø ÓÒ Ø Ó Ð ÜØÖ ÑÓ Ð Ö Ó ØÙ Ð Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò ×Ó Ö Ð Ù Ð × ×Ø
Ø Ö Ò Óº

602. 576 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ë Ñ Ð Ö Ð Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö ÒÓ Ó׸ Ð Ñ ØÓ Ó get current() ×Ø ×Ó Ö Ö Ó Ô Ö ÕÙ
ÒÚÓÕÙ get current arc()].
[[Node Arc Iterator × Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ò ×ÑÓ Ô Ö Ñ Ò ÔÙÐ Ö Ö Ó× ÑÔÐ ÒØ Ó×
Ñ ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º × ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ö ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× ÙÒ ÒÓ Ó × Ú × Ø Ò Ò
ÙÒ ÓÖ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ó¸ Р٠и ÓÒ× Ö Ö× Ð ØÓÖ Ó ÔÓÖ Ù ÐÕÙ Ö ÔÐ ÓÒ ÕÙ
Ù×Ó Node Arc Iteratorº
7.3.4 Arcos
ÍÒ Ö Ó ÙÒ Ö Ó × ¬Ò Ñ ÒØ Ð Ì Graph Arc<Arc Type> ÓÑÓ × Ù
¬Ò ÓÒ ÖÓ Ö Ó ≡
template <typename Arc_Info>
class Graph_Arc : public Dlink
{
typedef Graph_Arc Arc;
typedef Arc_Info Arc_Type;
ØÖ ÙØÓ× Graph Arc<Arc Type> ¾
Å ØÓ Ó× Graph Arc<Arc Type>
};
¬Ò ×
Graph Arc¸ Ù× Ò ÙÒ º
Graph Arc<Arc Type> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÒ Ö Ó ÑÔÐ ÒØ Ó Ñ ÒØ
Ð ×Ø × Ý Ò º Ð Ù Ð ÕÙ Graph Node<Node Type>¸ Graph Arc<Arc Type> ×
ÙÒ Ð × Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÙÝÓ Ø ÔÓ ×Ó Ó¸ Arc Info¸ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ Ö Ð ¹
ÓÒ Ð ÖÓÝÐ Ù Ð× Ñ ÒØ
Å ØÓ Ó× Graph Arc<Arc Type> ≡ ´ µ ½
Arc_Info & get_info() { return arc_info; }
Ë × × ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ö Ó ÖÖ Ø Ö ×¸ ÒØÓÒ × Ð × Ù ÒØ Ð Ò
Arc<Carretera> * arco;
Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ù× ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ ÙÒ Ø ÔÓ Carreteraº
ÍÒ Ö Ó ÓÒ Ø Ó× ÒÓ Ó× ÐÐ Ñ Ó× ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓ ÕÙ ÔÙ Ò Ö× Ð
× Ù ÒØ Ñ Ò Ö
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline Node * get_src_node(Arc * arc);
inline Node * get_tgt_node(Arc * arc);
× ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ö Ö Ó× Ó× × Ò Ö Ð ÓÒ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó
½º Ò Ð ×Ó ÙÒ Ö Ó¸ ×ØÓ× Ñ ØÓ Ó× ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ø Ò Ò × ÒØ Ó × ÙÒ Ð
Ö ÓÒ Ð Ö Ó × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÒÓ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ
×Ø ÓÒ Ø º Ò Ð ×Ó ÙÒ Ö Ó¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ get src node() Ö ØÓÖÒ Ð
ÒÓ Ó Ý ÒØ Ý get tgt node() Ð Ò ÒØ º
¾º Ñ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×¸ × ÓÑÓ Ð Ñ ÝÓÖ Ð× ×Ó ÙÒ Ö Ó¸ ×ÓÒ Ô ÖØ
Ð Ð × List Graph<Node, Arc> Ý ÒÓ Ð Ð × Graph Arc<Arc Type>º ×ØÓ
ÑÔÐ ÕÙ ÓÒÓ Ö× Ð Ö Ó Ô Ö ÔÓ Ö ÒÚÓ Ö ÙÒÓ ×ØÓ× Ñ ØÓ Ó׺

603. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 577
Ð Ó ÕÙ × Ø Ò × ÒØ Ó × ÓÒÓ Ö Ù Ð × Ð ÒÓ Ó ÕÙ ÓÒ Ø ÙÒ Ö Ó Ó ÙÒ ÒÓ Ó
ÓÖ Òº È Ö ×ØÓ¸ × ÔÖÓÚ Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline Node * get_connected_node(Arc * arc, Node * node);
Ä Ù Ð × ÑÔÖ Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó ÓÒ Ø Ó node¸ ÔÓÖ Ð Ö Ó arc Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ
ÕÙ × ÙÒ Ö Ó Ó Ö Óº
Ç × ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ ÔÙ × Ö Ò × Ö Ó Ò Ö × ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø Ó ÒÓ Ö Ð ÓÒ Ó ÓÒ ÓØÖÓ
ØÖ Ú × ÙÒ Ö Óº È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ù ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline bool node_belong_to_arc(Arc * arc, Node * node) const;
Ä Ù Ð Ö ØÓÖÒ true × node ×Ø ÓÒ Ø Ó Ð Ö Ó arcº
7.3.4.1 Inserci´n de arcos
o
È Ö ¬Ò Ö ÙÒ Ö Ó Ò ÙÒ Ö Ó Ò Ö× ¬Ò Ó Ò× ÖØ Ó Ò Ð Ö Ó ×Ù× Ó×
ÒÓ Ó× Ñ ÒØ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ¬Ò × Ò Ü º¿º¿º½ ´Ô Ò ¾µº ÓÒ
Ð × Ö ÓÒ × ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÔÙ ÒÚÓ Ö× Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline virtual Arc * insert_arc(Node * src_node, Node * tgt_node,
const typename Arc::Arc_Type & arc_info);
src node Ý tgt node ×ÓÒ ÐÓ×
ÒÓ Ó× ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ð Ö Óº Ë × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó¸ ÒØÓÒ ×
Ð ÓÖ Ò ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒÓ Ø Ò ÑÔÓÖØ Ò º Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó¸
ÒØÓÒ × src node × Ð ÒÓ Ó Ý ÒØ Ý tgt node Ð Ò ÒØ º arc info × Ð Ú ÐÓÖ
ØÖ ÙØÓ Ð Ö Ó ÓÒ ÕÙ × × Ö ÖÐÓº
insert arc() Ô ÖØ Ð Ñ ÑÓÖ Ö ÕÙ Ö Ô Ö Ð Ö Ó¸ ÓÒ×ØÖÙÝ Ð Ö Ó Ô Ö ÐÓ×
Ú ÐÓÖ × ×Ô ¬ Ó× ÔÓÖ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ׸ ÐÓ Ò× ÖØ Ò Ð Ö Ó Ý Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÒ
Ñ ÑÓÖ Ð ÒÙ ÚÓ Ö Óº Ë ÒÓ Ý ×Ù¬ ÒØ Ñ ÑÓÖ ¸ × Ò Ö Ð Ü Ô ÓÒ bad allocº
7.3.4.2 Eliminaci´n de arcos
o
È Ö Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ö Ó¸ ×ÓÐÓ × Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö ×Ù Ö ÓÒ Ý ÒØÓÒ × Ú Ð Ö× Ð Ñ ØÓ Ó
× Ù ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline virtual void remove_arc(Arc * arc);
Ð Ù Ð Ð Ñ Ò Ð Ö Ó Ð Ö Ó arc Ý Ð Ö Ð Ñ ÑÓÖ º
Ð Ñ ØÓ Ó ÒÓ Ö Ð Þ Ò Ò ÙÒ Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ
ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ð Ö Óº
ÄÓ× Ñ ØÓ Ó× ÕÙ ÐØ Ö Ò Ð ØÓÔÓÐÓ ¸ ÒØ Ò × ¸ insert node()¸ remove node()¸
insert arc() Ý remove arc() ×ÓÒ Ú ÖØ٠Р׺ ×ØÓ × × Ð Ô Ö ×Ù Ö Ù×Ó ÙÒ ÓÒ Ð ÔÓÖ
Ô ÖØ ÜØ Ò× ÓÒ × Ó ×Ô Ð Þ ÓÒ × Ö Ú ×º
Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó× Ö ÕÙ Ö Ò Ð Ñ Ò Ö ÓÒ ÙÒØÓ× Ö Ó׸ Ö Ð Þ Ö ÙÒ
Ð ÙÐÓ Ô Ö Ð Ý ÐÙ Ó Ö ×Ø ÙÖ ÖÐÓ׺ Ò ×Ø × × ØÙ ÓÒ × × × Ð ÕÙ Ð Ð Ñ ¹
Ò ÓÒ Ö Ó × ØÓÔÓÐÓ ¸ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÑÔÓÖ Ð¸ Ý ÒÓ ÓÑÔÐ Ø ÓÑÓ × ÔÐ ÒØ
ÓÒ remove arc()º È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÖÓÚ Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline virtual void desconnect_arc(Arc * arc);

604. 578 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÍÒ Ö Ó × ÓÒ Ø Ó Ñ ÒØ desconnect arc() ÔÙ ÓÒ Ø Ö× ÒÙ ÚÓ ØÖ Ú ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
inline virtual Arc * connect_arc(Arc * arc);
7.3.4.3 Acceso a los arcos de un grafo
ÍÒ Ñ Ò Ö ÔÖ Ñ Ò Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö ÙÒ Ö Ó Ð ÓÒ ÓÖÑ Ð Ñ ØÓ Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline Arc * get_first_arc();
Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö Ð Ö Óº ÆÓ Ò Ö× ×ÙÔÓ× ÓÒ × Ö ÙÐ
Ö Ó × Ö Ö ØÓÖÒ Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÐÓ× Ö Ó× ÒØÖÓ Ð Ö Ó ÔÙ Ò ÓÖ Ò Ö× Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
template <class Compare> inline void sort_arcs();
sort arcs<Compare>() ÓÖ Ò ÐÓ× Ö Ó× × ÙÒ Ð Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ
Compare¸ Ð
Ù Ð ÒÚÓ Ð ÓÔ Ö ÓÖ bool Compare::operator () (Arc * a1, Arc * 2)º Ð ÔÖÓ¹
Ö Ñ ÓÖ × Ö ×ÔÓÒ× Ð ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ×Ó Ð ØÖ ÙØÓ Ð Ö Ó ÔÓÖ Ð Ù Ð × ÓÑÔ Ö
Ý Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ñ ×Ñ º Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ × Ö Ð Þ Ò O(n Ð (n)) ÓÒ ÓÒ×ÙÑÓ
×Ô Ó O(1)º
Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× ÙÒ Ö Ó ÔÙ ÓÒÓ Ö× Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline const size_t & get_num_arcs() const;
Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× ÕÙ Ø Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
inline const size_t & get_num_arcs(Node * node) const;
B´squeda de arcos
u
È Ö ÐÓ× Ö Ó× Ü ×Ø Ò Ù ØÖÓ Ø ÔÓ× Ù×ÕÙ ¸ ÐÓ× Ù Ð × × ÒÙÒ Ò ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
½º Ù×ÕÙ ÔÓÖ ØÖ ÙØÓ Arc::Arc Type Ó Arc Info Ò ×Ø ×Ó ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
template <class Equal>
Arc * search_arc(const Arc_Type & arc_info);
Arc * search_arc(const Arc_Type & arc_info);
Ä ÔÖ Ñ Ö Ú Ö× ÓÒ Ù× Ð Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ Equal¸ ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø × ÖÒ Ö
Ð ÙÒ Ô ÖØ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× Ò Ð Ù×ÕÙ º Ä × ÙÒ Ú Ö× ÓÒ ÒÚÓ Ö Ø Ñ ÒØ
Ð ÓÔ Ö ÓÖ bool Node Type::operator == (const Node Type & info)º
¾º ÈÖÙ Ô ÖØ Ò Ò Ö Ð Þ ÔÓÖ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
bool arc_belong_to_graph(Arc * arc);
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ×ÓÒ × ÒÓÒ ÑÓ׺

605. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 579
Ë Ö ØÓÖÒ true × ÙÒ Ö Ó ÓÒ Ö ÓÒ arc Ô ÖØ Ò Ð Ö Ó false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
¿º Ü ×Ø Ò ÙÒ Ö Ó ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó× Ô Ö ÐÐÓ × Ù× Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ
ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> ≡
template <class GT, class SA>
typename GT::Arc * search_arc(GT & g, typename GT::Node * src_node,
typename GT::Node * tgt_node);
Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ò ×Ó Ü ×Ø Ö Ð ÙÒÓ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó×
src node Ý tgt nodeº
ÖÒ ×Ù× ÖÙØ Ò × ÔÖ ×ÓÖ ×¸ ÕÙ ×ÓÒ Ñ ØÓ Ó× List Graph<Node, Arc>¸
×Ø Ú Ö× ÓÒ × ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÜØ ÖÒ Ð Ð × º ×ØÓ Ô ÖÑ Ø ×Ô Ð Þ Ö Ú Ö× ÓÒ ×
Ô ÖØ ÙÐ Ö × search arc() ÕÙ × ÖÒ Ò ÐÓ× Ö Ó× × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Óº
Ä ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ö Ó׺
Ò ×Ó ØÖ Ø Ö× ÙÒ ÑÙÐØ Ö Ó ´Ó ÑÙÐØ Ö Óµ Ý Ö Ñ × ÙÒ Ö Ó ÒØÖ
ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒÚÓÐÙ Ö Ó׸ × Ö ØÓÖÒ Ù ÐÕÙ Ö ÒØÖ ÐÓ× Ö ÙÒ ÒØ × × Ò ÓÒ× Ö ÓÒ
Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó ×Ô ¬ Óº
º Ù×ÕÙ ×Ô Ð Þ ×Ø × Ð ×Ó Ù Ò Ó Ò Ð Ù×ÕÙ × × ×Ø Ò Ù Ö
Ð ÙÒ ØÓ ÕÙ ÒÓ × Ô ÖØ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× Ð Ö Ó ´Arc Typeµº
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¾
template <class Equal>
Arc * search_arc(void * ptr);
Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ Ð Ö ÓÒÐ Ö Ó ÕÙ × Ø × ÙÐ ÔÓÖ bool
Equal::operator () (Arc * arc, void *ptr)¸ Ó NULL Ò ×Ó ÕÙ × Ý Ò
Ö ÓÖÖ Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× × Ò × Ø × Ö Ð Ö Ø Ö Ó ÙÐ º
ÌÓ × Ð × Ù×ÕÙ × ×ÓÒ O(E) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó ´ Ù×ÕÙ ÐÐ µº
Iterador sobre los arcos de un grafo
ÄÓ× Ö Ó× ÙÒ Ö Ó ÔÙ Ò Ó × ÖÚ Ö× Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ø Ö ÓÖ
ÁØ Ö ÓÖ × List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ
class Arc_Iterator : public Dlink::Iterator
{
inline Arc_Iterator() { /* empty */ }
inline Arc_Iterator(List_Graph & _g);
inline Arc_Iterator(const Arc_Iterator & it);
inline Arc_Iterator & operator = (const Arc_Iterator & it);
inline Arc * get_current_arc();
Arc * get_current() { return get_current_arc(); }
};
¬Ò ×
Arc Iterator¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ß ¸ ¸ ¼ ¸ ß ¼¼¸ ½¼ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¿½¸ ¿ ¸
½ ¸ ½ ¸ ¼¿ ¸ ½ ¸ ¾¾¸ ¾ ¸ Ò ¿¾ º
Í× × List Graph ¼ º

606. 580 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÐÓ× Ø Ö ÓÖ × ×Ø Ø ÜØÓ¸ Arc Iterator ÓÒØ Ò Ð × ÙÒ ÓÒ × Ø Ô ×
next()¸ prev() Ý has current() ´ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ Dlink::Iteratorµº Ä Ó Ø Ò ÓÒ
Ð Ö Ó Ú × Ø ØÙ Ð × Ö Ð Þ Ñ ÒØ get current arc()º
Ë ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ Ò × Ó ÓÖ Ò Ó׸ ÒØÓÒ × Ð ÓÖ Ò Ú × Ø × Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÐÓ
ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ø Ö ÓÖ Ú × Ø Ö ÐÓ× Ö Ó× × ÙÒ Ð ÓÖ Ò ×Ø Ð Ó Ò Ð ÙÐØ Ñ ÒÚÓ ÓÒ
sort arcs()º
7.3.5 Atributos de control de nodos y arcos
Ò ÑÙ Ó× ×Ó׸ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó× Ö ÕÙ Ö Ò Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ×Ø Ó Ð ÙÐÓ Ò
×Ù× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺ ÉÙ Þ Ð ×Ó Ñ × ÓÑÙÒ × Ñ Ö Ö Ó Ô ÒØ Ö ÓÑÓ Ú × Ø Ó ÙÒ
ÒÓ Ó Ó ÙÒ Ö Óº
Ò ×Ø × ÒÓ ÓÒØ ÑÔÐ ÑÓ× ØÖ × Ñ Ò Ö × ÐÐ Ú Ö ×Ø Ó¸ Ø ÒØÓ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ
Ò ÐÓ× Ö Ó× Ø× ÓÒØÖÓи ÓÒØ ÓÖ × Ý ÓÓ × º Ð× ×Ø Ó × Ù Ö
Ö Ø Ñ ÒØ Ò Ð ÒÓ Ó Ó Ò Ð Ö Óº
7.3.5.1 Bits de control
ØÓ× Ô ÒØ Ö ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ×ÓÐÓ × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Øº ÈÓ Ö ÑÓ× Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ
Ø ÔÓÖ ÒÓ Ó Ý Ö Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ ÖÓ Ý¸ Ð ÔÖÓ × ÖÐÓ × ÙÒ Ð ÒØ Ö × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸
Ô ÒØ ÖÐÓ ÓÒ ÙÒÓº Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ø Ò × ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ù× Ò Ð Ø
Ú Ò Ò ÒÓ¹Ö ÒØÖ ÒØ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÔÖÙ ÓÒ Ø Ú ÔÙ Ò×Ô ÓÒ Ö ÐÓ×
ÒÓ Ó× ØÖ Ú × ÐÓ× Ö Ó× Ý Ô ÒØ ÖÐÓ× Ñ ÕÙ ÐÓ× Ú × Ø º Ð Ö Ó × Ö ÓÒ ÜÓ × ×
Ú × Ø Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× × Ö¸ × Ð ¬Ò Ð Ð Ø Ö ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ô ÒØ Ó׺
ÓÖ Ò¸ ÓØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÚÓÕÙ ÔÖÙ × ÓÒ Ø Ú ÒÓ ÔÙ Ù× Ö Ð Ñ ×ÑÓ
Ø Ù× Ó ÔÓÖ Ð ÔÖÙ ÓÒ Ø Ú Ô Ö Ô ÒØ Ö ×Ù× ÒÓ Ó׸ ÔÙ × ÓÑÔÖÓÑ Ø Ö Ð
ÓÒ× ×Ø Ò Ð Ø ×Ø ÓÒ Ø Ú º
È Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ Ð × ØÙ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ù× Ö ÑÓ× Ú Ö Ó× Ø× Ð × ¬ Ó× × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÕÙ ÐÓ× ÙØ Ð º ×ØÓ× × ×Ô ¬ Ò ÓÑÓ × Ù
¼ ¬Ò ÓÒ Ø× ÓÒØÖÓÐ ¼ ≡
ÆÙÑ ÖÓ Ø ½
class Bit_Fields
{
unsigned int depth_first : 1;
unsigned int breadth_first : 1;
unsigned int test_cycle : 1;
unsigned int is_acyclique : 1;
unsigned int test_path : 1;
unsigned int find_path : 1;
unsigned int kruskal : 1;
unsigned int prim : 1;
unsigned int dijkstra : 1;
unsigned int euler : 1;
unsigned int maximum_flow : 1;
unsigned int spanning_tree : 1;
unsigned int build_subtree : 1;
unsigned int convert_tree : 1;
unsigned int cut : 1;
unsigned int min : 1;

607. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 581
Bit_Fields()
: depth_first(0), breadth_first(0), test_cycle(0), find_path(0),
kruskal(0), prim(0), dijkstra(0), euler(0), maximum_flow(0),
spanning_tree(0), build_subtree(0), convert_tree(0), cut(0), min(0)
{ /* empty */ }
Å ØÓ Ó× Ø× ÓÒØÖÓÐ ½
};
¬Ò ×
Bit Fields¸ Ù× Ò ÙÒ ¾º
Bit Fields × ÙÒ ØÖ ÙØÓ ÕÙ Ñ Ò ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ 16 Ø× ×Ø Ò Ó× ÐÐ Ú Ö ×Ø Ó
Ú×Ø º
Ù ÐÕÙ Ö Ø ÓÒØÖÓÐ ÔÙ ÓÒ×ÙÐØ Ö× Ñ ÒØ
½ Å ØÓ Ó× Ø× ÓÒØÖÓÐ ½ ≡ ´ ¼µ ½
bool get_bit(const int & bit) const
{
switch (bit)
{
case Aleph::Depth_First: return depth_first;
// ...
}
}
× ÓÑÓ Ø Ñ Ò¸ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÔÙ ÑÓ ¬ Ö× ØÖ Ú ×
½ Å ØÓ Ó× Ø× ÓÒØÖÓÐ ½ +≡ ´ ¼µ ½
void set_bit(const int & bit, const int & value)
{
switch (bit)
{
case Aleph::Depth_First: depth_first = value; break;
// ...
}
}
ÄÓ× Ø× ÓÒØÖÓÐ ×Ø Ò ÒÙÑ Ö Ó× Ñ Ñ ÒØ × ÙÒ ×Ù ¬Ò ÔÖ Ø Ò Ó ÔÓÖ
ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
½ ÆÙÑ ÖÓ Ø ½ ≡ ´ ¼µ
enum Graph_Bits
{
Depth_First,
Breadth_First,
Test_Cycle,
Is_Acyclique,
Test_Path,
Find_Path,
Kruskal,
Prim,
Dijkstra,
Euler,
Maximum_Flow,
Spanning_Tree,
ÒÐ Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ¸ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ó × ÙÒÓ ÕÙ × ÒÓÑ Ö Ó ÓÒ ÙÒ ÒØ ¬ ÓÖº

608. 582 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Build_Subtree,
Convert_Tree,
Cut,
Min,
};
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖÙ ÐÓ ÒÚÓ Ö
control_bits.set_bit(Test_Cycle, 1);
ØÓ× Ô ÒØ Ö ÙÒ Ú × Ø º
ÒÓ Ó Ý Ö Ó ÙÒ Ö Ó ÓÒØ Ò Ø× ÓÒØÖÓÐ ×Ô ¬ Ó× ÓÑÓ × Ù
¾ Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾ +≡ ´ ½µ ¾ ¿
Bit_Fields control_bits;
Í× × Bit Fields ¼º
¾ ØÖ ÙØÓ× Graph Arc<Arc Type> ¾ ≡ ´ µ ¿
Bit_Fields control_bits;
Í× × Bit Fields ¼º
Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÐÓ× Ø× ÓÒØÖÓÐ ÔÙ Ò Ö× Ñ ÒØ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ ¾
inline Bit_Fields & get_control_bits(Node * node);
Í× × Bit Fields ¼º
Ì Ñ Ò ÔÙ Ò ÓÐÓ Ö× ØÓ Ó× ÐÓ× Ø× Ò ÖÓ Ñ ÒØ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ ¾ ¾
inline void reset_bit(Node * node, const int & bit);
Ç × Ò Ö× ÙÒ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÖ Ú ×
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ ¾ ¾
inline void set_bit(Node * node, const int & bit, const int & value);
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ü ×Ø Ò Ð × Ñ ×Ñ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ô Ö ÙÒ Ö Ó
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¾ ¾
inline Bit_Fields & get_control_bits(Arc * arc);
inline void reset_bit(Arc * arc, const int & bit);
inline void set_bit(Arc * arc, const int & bit, const int & value);
Í× × Bit Fields ¼º
Ë ÔÙ Ò Ö Ò Ö ÐÓ× Ø× ÓÒØÖÓÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó Ö Ó× ÙÒ Ö Ó Ñ ÒØ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¾ ¿
void reset_bit_nodes(const int & bit)
{
for (Node_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
reset_bit(itor.get_current_node(), bit);
}
void reset_bit_arcs(const int & bit)
{
for (Arc_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
reset_bit(itor.get_current_arc(), bit);
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
ÄÓ× Ù Ð × ÓÐÓ Ò Ò ÖÓ¸ × Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó Ö Ó׸ Рع × ÑÓ bit ÓÒØÖÓк

609. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 583
7.3.5.2 Contadores
Ð × ÙÒ Ó Ò Ú Ð Ò Ñ Ò Ó ×Ø Ó Ô Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ö Ó × ÙÒ ÓÒØ ÓÖ ÒØ ÖÓº ÈÓÖ ÐÓ
Ò Ö Ð¸ ×Ø × Ù× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒØ Ú × Ø × Ó Ô Ö Ñ Ö Ö ÓÐÓÖ × º ËÙ
¬Ò ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÒÓ Ó × ÓÑÓ × Ù
¿ Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾ +≡ ´ ½µ ¾
long counter;
Ý Ô Ö ÙÒ Ö Ó
¿ ØÖ ÙØÓ× Graph Arc<Arc Type> ¾ +≡ ´ µ ¾
long counter;
Ð ÓÒØ ÓÖ ÔÙ Ö× Ó Ö Ò Ö× ´ ÓÐÓ Ö× Ò ÖÓµ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó×
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ ¾ ¿
inline long & get_counter(Node * node);
inline void reset_counter(Node * node);
Ó Ô Ö ÐÓ× Ö Ó×
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ ¿ ¿
inline long & get_counter(Arc * arc);
inline void reset_counter(Arc * arc);
Á Ù ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ× Ö Ò Ö ÐÓ× ÓÒØ ÓÖ × ´ ÓÐÓ ÖÐÓ× Ò ÖÓµ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó
Ö Ó×
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¿
void reset_counter_nodes()
{
for (Node_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
reset_counter(itor.get_current_node());
}
void reset_counter_arcs()
{
for (Arc_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
reset_counter(itor.get_current_arc());
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
7.3.5.3 Cookies
Ü ×Ø Ò ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò ×Ó Ö ×Ø Ó Ð ÙÐÓ ÙÒ Ñ Ò Ö ÑÙÝ
Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ø ÔÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ý Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × ÐÓ× Ø× ÓÒØÖÓÐ Ý ÓÒØ ÓÖ × ÒÓ ×ÓÒ ×Ù¹
¬ ÒØ ×º Ä Ù×ÕÙ Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ × ÙÒ ×ØÖ ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò × Ø Ù Ö Ö
ÖØ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ÐÓ× Ö Ó׺ Ä ÓÖÑ Ý Ù×Ó ×Ø ×Ø Ó × Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ Ý ÔÓ× Ð Ñ ÒØ ÒÓ × ÖÚ Ô Ö ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
Ê ÕÙ Ö ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÓÖÑ Ñ × ÑÔÐ ×Ó Ö ×Ø Ó Ò Ö Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ × Ð ×Ø Ó × Ø ÑÔÓÖ Ð × Ö¸ ×ÓÐÓ × Ö ÕÙ Ö ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÒÓ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÖÐÓ Ò ÙÒ ÔÐ ÒØ ÐÐ ÕÙ × Ð Ô × Ð ÒÓ Ó Ó
Ö Ó Ù Ò Ó ×ØÓ× × Ò×Ø Ò Òº
ÍÒ ÓÖÑ Ò Ö ¸ Ô ÖÓ Ð ¸ Ô Ö ×Ó Ö Ò Ö Ñ ÒØ ØÓ× ÐÓ× ÒÓ Ó× ×
ØÖ Ú × ÙÒ “cookie”º Ð Ø ÖÑ ÒÓ ÓÓ ÔÖÓÚ Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ × ×Ø Ñ ×

610. 584 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ý ÓÒÒÓØ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÔ Ó ÕÙ × Ð ØÖ ×Ñ Ø ÙÒ ÙÒ ÓÒº Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÙÒ
ÓÓ × ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÓÔ Ó ÕÙ × Ð ×Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ó ÙÒ Ö Óº
× Ô٠׸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ÐÓ× Ö Ó× ÔÓ× Ò ÙÒ ØÖ ÙØÓ cookie¸ ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ × Ð
× Ù ÒØ
Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾ +≡ ´ ½µ ¿ ¾
void * cookie;
ØÖ ÙØÓ× Graph Arc<Arc Type> ¾ +≡ ´ µ ¿ ½
void * cookie;
ÄÓ× ÓÓ × ÔÙ Ò Ö× Ñ ÒØ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ ¿
inline void *& get_cookie(Node * node);
inline void *& get_cookie(Arc * arc);
get cookie()Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ö Ö Ò ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ó× ÓÑÔÐ ØÓ׺
ÄÓ× ÓÓ × ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó Ö Ó× ÔÙ Ò Ö Ò Ö× Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
void reset_cookie_nodes()
{
for (Node_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
itor.get_current_node().cookie = NULL;
}
void reset_cookie_arcs()
{
for (Arc_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
itor.get_current_arc().cookie = NULL;
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
ËÙÔÓÒ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÕÙ Ò × Ø ÑÓ× Ù Ö Ö Ò ÒÓ Ó ÙÒ Ð ×Ø Ò Ñ
Ú ÐÓÖ × Ö Ð ×º Ë Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó¸ ÒÓÑ Ò Ó node¸ ÒØÓÒ × ÙÒ
ÓÖÑ ÖÐÓ × ÓÑÓ × Ù
node->get_cookie() = new DynDlist<float>;
Ù Ò Ó Ð Ù×Ù Ö Ó Ö ÕÙ Ö Ö Ð Ð ×Ø ¸ ÔÙ ÖÐÓ Ñ ÒØ ÙÒ ×Ø Ò
static_cast<DynDlist<float>*>(node->get_cookie()) ...
ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÒÓ ÓÐÚ Ö× ÒØÖ Ö Ñ ÑÓÖ Ð × ×Ø Ñ Ù Ò Ó ×Ø Ý ÒÓ ×
Ö ÕÙ Ö º Ì Ð ÓÒ × Ö Ð Þ ÓÑÓ × Ù
delete static_cast<DynDlist<float>*>(node->get_cookie())
Ë Ð Ù×Ù Ö Ó Ö ÕÙ Ö ÙÒ ×Ø Ó ×ØÖÙ ØÙÖ Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÙØ Ð Þ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ
struct Ó class × ÙÒ × Ð ×Óº
Ú × × Ò × Ö Ó Ù Ö Ö Ð ÙÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ó Ð Ö Ó¸ ÒÓ ÐÓ× ÒÓ Ó×
Ó Ö Ó× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ö Ó ÒØ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ø ÑÔÓÖ Ðº È Ö ×ØÓ× ×Ó׸
×ÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ÓÓ Ò Ð Ö Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> ≡ ´ ¼µ
void * cookie;

611. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 585
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
void *& get_cookie() { return cookie; }
Mapeo entre nodos y arcos
ÍÒ Ù×Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ð cookie × ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ñ Ô Ó ÒØÖ Ö Ó× ÓÑÓÑÓÖ Ó× Ó ×Ó¹
ÑÓÖ Ó׺ Ò ÖØÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò Ð Ð ÙÐÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ ×
Ð ÙÐ Ö ÙÒ Ö Ó ÓÒ Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖº È Ö ÒØ ¬ Ö ÒØÖÓ Ð
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ù Ð × ×Ù ÒÓ Ó Ò Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ð¸ Ð cookie ÐÑ Ò Ð Ñ Ò Ð
ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ð Ö ÓÐ Ý Ú Ú Ö× º ×Ø Ø ÔÓ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð × ÔÙ × Ö ÑÙÝ ÙØ Ð Ð ×
× Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
static void map_nodes(Node * p, Node * q);
static void map_arcs(Arc * p, Arc * q);
map nodes() Ñ Ô ÒØÖ × ÐÓ× ÒÓ Ó× p Ý q¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ý Ü ×Ø ÙÒ Ñ Ô Ó
ÔÖ Ú Ó Ó × × p->get cookie() ÓÒØ Ò ÙÒ Ö ÓÒ¸ ÒØÓÒ × map nodes() Ö Ð Þ
ÙÒ Ñ Ô Ó ÓÑÔÙ ×ØÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ p Ý q ×Ø Ò Ñ Ô Ó× ÒØÖ × Ý ÕÙ
Ö Ð Þ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÐÐ Ñ
map_nodes(q, t);
ÒØÓÒ ×¸ Ð Ñ Ô Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑÓ p ←→ q ←→ t ←→ pº
Ð Ñ Ô Ó ÒØÖ Ö Ó× Ö Ð Þ Ó Ñ ÒØ map arcs() Ø Ò × Ñ ÒØ × Ñ Ð Ö Ð ÐÓ×
ÒÓ Ó׺
Ä × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ñ Ô Ó Ô ÖÑ Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ö Ò × Ñ Ô Ó× Ý ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÙÒ
ÑÒÖ × ÑÔÐ ¬ Ö ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ Ä × ØÙ ÓÒ Ñ × ÓÑÙÒ Ø Ò Ð × Ð × ×
Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÑÓ ¬ Ò Ð Ö Ó Ô Ö ØÙ Ö ×Ù× Ð ÙÐÓ× ÐÓ ÕÙ ÖÖ Ô Ö Ð
Ö Ó ÓÖ Ò Ðº È Ö Ú Ø Ö ×Ó¸ Ö Ð Þ ÑÓ× ÙÒ ÓÔ ÓÒ Ñ Ô Ó Ý ÓÔ Ö ÑÓ× ×Ó Ö Ð
ÓÔ º ÄÓ× ÓÓ × Ð Ö Ó ÓÔ Ñ ÒØ Ò Ò Ð Ñ Ò Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ðº ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸
×ØÓ Ø Ñ Ò Ö ÕÙ Ö ÕÙ × Ñ Ô Ò ÐÓ× Ö Ó× ÐÓ ÕÙ × Ö Ð Þ Ñ Ò Ö × Ñ Ð Ö ÐÓ×
ÒÓ Ó׺
Ð Ù×Ó ÐÓ× ÓÓ ×¸ ÙÒÕÙ ×Ø ÒØ ­ Ü Ð ¸ × ÑÙÝ Ð Ó ÔÓÖÕÙ ÒÓ ×Ø Ò
×ÓÑ Ø Ó× Ð × ×Ø Ñ Ø ÔÓ× Ð ÓÑÔ Ð ÓÖº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ × ÐØ Ñ ÒØ Ö ÓÑ Ò Ð
× ÙÖ Ö× ÕÙ ÐÓ× ÓÓ × × Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ × ÕÙ ØÙ Ò Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ
Ø ÔÓº
7.3.5.4 Reinicio de nodos y arcos
ÌÓ Ó× ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓÐ ÙÒ ÒÓ Ó Ó ÙÒ Ö Ó¸ × Ö¸ ÐÓ× Ø׸ Ð ÓÒØ ÓÖ Ý Ð
ÓÓ ¸ ÔÙ Ò Ö Ò Ö× ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
inline void reset_node(Node * node);
inline void reset_arc(Arc * arc);
Ì Ñ Ò ÔÙ Ò Ö Ò Ö× ØÓ Ó× ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó
Ö Ó× Ð Ö Óº Ò ×Ø × ÒØ Ó ÔÓ ÑÓ× ÐÙ×ØÖ Ö ÙÒ Ù×Ó ÓÒ Ö ØÓ Ð× Ð××
Operate On Nodes()() Ý Operate On Arcs()()º

612. 586 Cap´
ıtulo 7. Grafos
× Ñ ÒØ ¸ ÐÓ ÕÙ × ÑÓ× × Ö ÓÖÖ Ö ÒÓ Ó ÒÚÓ Ö reset() Ô Ö ØÖ ¹
ÙØÓ ÓÒØÖÓк ×Ø Ø Ú × ÔÙ ×Ô ¬ Ö Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ
struct Reset_Node
{
void operator () (List_Graph&, Node * node) const
{
node->control_bits.reset();
node->counter = 0;
node->cookie = NULL;
}
};
Í× × List Graph ¼ º
ÓÖ × ÑÔÐ Ñ ÒØ × Ö ÑÓ× Ð Ö Ò ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ ÒØ ÒÚÓ ÓÒ
operate on nodes() ÓÒ Reset Node ÓÑÓ ÓÔ Ö ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
void reset_nodes() { Operate_On_Nodes <Graph_Class, Reset_Node> () (*this); }
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ ×Ñ Ø Ò × ÔÐ Ô Ö Ö Ò Ö ÐÓ× Ö Ó׺
× Ø Ô Ó¸ ÒØ × Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ð ÙÐÓ ÕÙ ÒÚÓÐÙ Ö ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓи Ø ÒØÓ
ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ö Ó׸ ÒÚÓ Ö reset nodes() Ý reset arcs() Ô Ö Ð ÑÔ ÖÐÓ×
Ú ÐÓÖ × ÙØ Ð Þ Ó× ÔÓÖ Ð ÙÐÓ× ÔÖ Ú Ó׺
7.3.6 Macros de acceso a nodos y arcos
ØÓ× ÐØ Ö Ð Ð Ð Ó Ó¸ ÙÒÕÙ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ Ð ÒÓ×Ø Ó
× ÒØ Ø Ó Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ¸ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> Ý Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ Ø¹
ÑÓ× Ù× Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ÖÓ×
Å ÖÓ× Ô Ö Ö Ó× ≡
# define NODE_BITS(p) ((p)->control_bits)
# define NODE_COUNTER(p) ((p)->counter)
# define IS_NODE_VISITED(p, bit) (NODE_BITS(p).get_bit(bit))
# define NODE_COOKIE(p) ((p)->cookie)
# define ARC_COUNTER(p) ((p)->counter)
# define ARC_BITS(p) ((p)->control_bits)
# define IS_ARC_VISITED(p, bit) (ARC_BITS(p).get_bit(bit))
# define ARC_COOKIE(p) ((p)->cookie)
7.3.7 Construcci´n y destrucci´n de List Graph<Node, Arc>
o o
× Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ó ÔÙ ÓÒ×ØÖÙ Ö× ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ Ó ÔÓÖ ÓÔ × ÓØÖÓ Ö Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline List_Graph();
inline List_Graph(const List_Graph & g);
Í× × List Graph ¼ º
Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ö ÙÒ Ö Ó Ú Ó ´× Ò ÒÓ Ó× Ý Ö Ó×µ Ð × ÙÒ Ó Ö Ð Þ ÙÒ ÓÔ
Ö Ó gº

613. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 587
× ÔÓ× Ð × Ò ÖÐ ÙÒ Ö Ó ÓØÖÓ Ö Ó
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
inline List_Graph& operator = (List_Graph & g);
Í× × List Graph ¼ º
Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ö Ó ×Ø ÒÓ × ×ØÖÙÝ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ý × ÓÔ Ð Ù ÒØ gº
Ð ×ØÖÙ ØÓÖ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼ µ
inline virtual ~List_Graph();
Í× × List Graph ¼ º
Ð Ñ Ò Ð Ö Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÕÙ ×Ø ÓÒØ Ò º ÌÓ Ð Ñ ÑÓÖ × Ð Ö º
Ë ÔÙ ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ Ö Ó¸ × ÓÑÓ Ø Ñ Ò × Ò ÖÐ ÙÒ
Ö Ó ÙÒ Ö Óº Ò × ×Ó¸ ÐÓ× Ö Ó× Ö Ó× ×ÓÒ ×Ù×Ø ØÙ Ó× ÔÓÖ Ö Ó× Ö ÓÒ Ð ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× List Graph<Node, Arc> ½ +≡ ´ ¼µ
inline List_Graph(List_Digraph<Node, Arc> & g);
inline List_Graph & operator = (List_Digraph<Node, Arc> & g);
Í× × List Digraph ½ Ò List Graph ¼º
Ò Ó × ÓÒ × ÒÓ Ø Ò Ü Ô ÓÒ Ð ×¸ × Ö ÕÙ Ö ¸ Ñ × Ð ÓÔ Ð Ö Ó¸ ÙÒ Ñ Ô Ó
×ÓÑÓÖ Ó ÒØÖ Ð × ÓÔ ×º Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ ×Ô Ð ÔÙ Ù× Ö× Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ
ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> +≡
template <class GT>
void copy_graph(GT & gtgt, GT & gsrc, const bool & cookie_map = false);
Р٠и Ò ×Ó ÕÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ cookie map × ÖØÓ¸ Ö Ð Þ ÙÒ Ñ Ô Ó Ý Ø ÚÓ
ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ö Ó× ØÖ Ú × ÐÓ× ÓÓ × ×Ù× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺ Ð ¬Ò Ð Ð ÓÔ ¸ Ð
ÔÙÒØ ÖÓ cookie ÒÓ Ó ÓÒØ Ò Ö Ð Ñ Ò Ò Ð Ö Ó ÓÔ Ù Ð × ÔÐ Ô Ö
ÐÓ× Ö Ó׺
ÆÓØ × ÕÙ Ð ÓÔ Ñ Ô × ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÜØ ÖÒ Ð Ð × × Ö¸ ÒÓ × ÙÒ
Ñ ØÓ Ó List Graph<Node, Arc>º Ä Ö ÞÓÒ × ÕÙ × ÑÔÓ× Ð ÓÒÓ Ö Ð Ø ÔÓ ¬Ò Ð
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÙÒ Ð × × Ò List Graph<Node, Arc>º Ð ÖÐ ÜØ ÖÒ
Ð Ð × ¸ × ×Ø Ò ÔÓ× ÓÒ ÓÒÓ Ö ÐÓ× Ø ÔÓ× Ò Ù ×Ø ÓÒ Ý Ö Ð Þ Ö Ð × ÓÔ ×
٠׺ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÒÓ × Ö ÓÑ Ò Ð ÕÙ Ð ÓÔ Ö Ó× ×Ù Ý Þ Ò Ð
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ Ó Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒº
Ä ÓÔ Ñ Ô × ÑÙÝ ÙØ Ð Ô Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸
Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Ó¸ ÔÓ ÑÓ׸ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÓÔ Ö Ð Ö Ó¸
ÐÙ Ó Ò× ÖØ ÑÓ× ×Ó Ö Ð ÓÔ ÐÓ× Ö Ó× Ò × Ö Ó× Ô Ö ÚÓÐÚ ÖÐÓ ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ
ݸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ñ Ò ÑÓ× Ð ÓÔ ÕÙ ÐÐÓ× Ö Ó× ÕÙ Ý Ò × Ó Ñ Ô Ó׺
ÆÓ ØÓ × Ð × Ú × × ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ Ô Ö Ð × ÓÔ × Ñ ÒØ ÐÓ× ÓÓ ×º Ä Ò Ö Ð ¹
Ð ×Ó Ð Ö ÔÖ × ÒØ ØÓ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð Ð Ö Ó ÓÔ Ö Ý ÓÒØ Ò ØÓ× Ò
ÐÓ× ÓÓ ×º ×Ø × Ð Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð Ñ Ô Ó ÒØÖ ÐÓ× ÓÓ × × ÓÔ ÓÒ Ð Ð ÓÔ º
× ÔÓ× Ð ÓÖÖ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ó × Ö¸ Ð Ñ Ò Ö ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ´Ý
Ö Ó×µº È Ö ÐÐÓ × Ù× Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> +≡
template <class GT>
inline void clear_graph(GT & g);
×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú × ÑÙÝ Ú Ð Ó× Ù Ò Ó × Ù× Ò Ö Ó× Ø ÑÔÓÖ Ð × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð ÙÐÓ×
ÒØ ÖÑ Ó׺

614. 588 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.3.8 Operaciones gen´ricas sobre nodos
e
Ò Ó × ÓÒ × × Ö ÕÙ Ö Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×Ô ¬ ×Ó Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ¸ ÓÐÓ Ö Ð ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð ØÖ ÙØÓº È Ö Ø Ð × ØÓ× × ÔÖÓÚ Ò Ð × × Ù ÒØ ×
ÖÙØ Ò ×¸ Ð × Ù Ð ×¸ ÔÓÖ ×Ù × Ò ÐÐ Þ¸ × ÑÔÐ ÒØ Ò Ö Ø Ñ ÒØ
ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> +≡
template <class GT, class Operation, class SN = Default_Show_Node<GT> >
class Operate_On_Nodes
{
void operator () (GT & g) const
{
for (Node_Iterator<GT, SN> it(g); it.has_current(); it.next())
Operation () (g, it.get_current_node());
}
void operator () (GT & g, void * ptr) const
{
for (Node_Iterator<GT, SN> itor(g); itor.has_current(); itor.next())
Operation () (g, itor.get_current_node(), ptr);
}
};
Í× × Node Iterator º
ÓÑÓ × Ú ¸ × Ò × Ð × × Ö ÓÖÖ Ò ÒÓ Ó Ð Ö Ó g Ø ÔÓ Ò Ö Ó GT Ý ØÙ Ò
Ð ÓÔ Ö ÓÒ Operation () () ×Ó Ö ÒÓ Óº Ä × ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ô ÖÑ Ø Ô × Ö
Ô Ö Ñ ØÖÓ× ØÖ Ú × Ð ÔÙÒØ ÖÓ ptrº
7.3.9 Operaciones gen´ricas sobre arcos
e
Ð Ù Ð ÕÙ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׸ × ÔÓ× Ð ØÙ Ö ÓÔ Ö ÓÒ × Ò Ö × ×Ó Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó×
Ð Ö Óº È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÖÓÚ ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð × Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ
ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> +≡
template <class GT, class Operation, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Operate_On_Arcs
{
void operator () (GT & g) const
{
for (Arc_Iterator<GT, SA> it(g); it.has_current(); it.next())
Operation () (g, it.get_current_arc());
}
void operator () (GT & g, typename GT::Node * node) const
{
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(node); it.has_current(); it.next())
Operation () (g, it.get_current_arc());
}
};
Í× × Arc Iterator Ò Node Arc Iterator º
Ä × Ñ ÒØ × × Ñ Ð Ö Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× ´Ú Ö Ü º¿º ´Ô Ò µµº
Ä × ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×ÓÐÓ × Ö ÙÒ× Ö ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒØ × ÙÒ ÒÓ Óº

615. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 589
7.3.10 Implantaci´n de List Graph<Node, Arc>
o
List Graph<Node, Arc> Ñ Ò Ó× Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × ÙÒ Ð ×Ø
×Ù× ÒÓ Ó× Ý ÓØÖ ×Ù× Ö Ó׺ Ð ×Ø ×Ó ÙÒ ÓÒØ ÓÖ ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ
Dlink node_list; // lista de nodos
size_t num_nodes; // cantidad de nodos
Dlink arc_list; // lista de arcos
size_t num_arcs; // cantidad de arcos
num nodes Ý num arcs ÓÒØ Ð Þ Ò Ð × ÒØ × ØÓØ Ð × ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× Ð Ö Óº
×ØÓ× ØÖ ÙØÓ× × ØÙ Ð Þ Ò Ò Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ò× Ö ÓÒ Ý Ð Ñ Ò ÓÒº
node list Ý arc list ×ÓÒ Ð × Ö ×¸ Ø ÔÓ Dlink¸ Ð × Ð ×Ø × ÒÓ¹
Ó× Ý Ö Ó׸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö Óº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð × Ð × ×
Graph Node<Node Type> Ý Graph Arc<Arc Type> Ö Ú Ò Dlinkº Ä × Dlink¸
Ô٠׸ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð × ¸ Ð ÒÐ Ó Ð Ð Ð ×Ø × node list Ý arc listº
ÓÑÓ node list Ý arc list ×ÓÒ¸ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ¸ Ø ÔÓ Dlink¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ×
Ð × × Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × ÓÒÚ Ö× ÓÒ Dlink Graph Node<Node Type> Ý
Graph Arc<Arc Type>
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ
static Node * dlink_to_node(Dlink * p) { return static_cast<Node*>(p); }
static Arc * dlink_to_arc(Dlink * p) { return static_cast<Arc*>(p); }
7.3.10.1 Acceso a nodos y arcos
ÓÒ ×Ø × ÓÒÚ Ö× ÓÒ × Ý ÔÓ ÑÓ× Ó ¬ Ö Ð Ð Ñ ÒØ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× × Ó× ×Ó
ÒÓ Ó× Ý Ö Ó×
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ ¾
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> ≡ ¼
template <typename Node, typename Arc>
Node * List_Graph<Node, Arc>::get_first_node()
{
return dlink_to_node(node_list.get_next());
}
template <typename Node, typename Arc>
Arc * List_Graph<Node, Arc>::get_first_arc()
{
return dlink_to_arc(arc_list.get_next());
}
Í× × List Graph ¼ º
Ì ÒØÓ Ð Ù×ÕÙ ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ð Ö Ó× Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ö Ö ×Ó Ö Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
Ð ×Ø ´node list Ó arc list × ÙÒ × Ð ×Óµº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÒÓ× ÓÒÚ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö
×ØÓ× Ø Ö ÓÖ × ØÓ× ÕÙ Ð × Ù×ÕÙ × × Ö Ð Ò Ñ ÒØ ÐÐÓ׺
Iterador de nodos
Ä Ð × Node Iterador × ÑÔÐ ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ ÔÙ Ð
Dlink::Iteratorº

616. 590 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Iterador de arcos
Ä Ñ ×Ñ ÓÒ× Ö ÓÒ ÕÙ Ô Ö Ð Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÐ ×Ó Ö Ð Ø Ö ÓÖ
×Ó Ö ÐÓ× Ö Ó׸ ÔÙ × ×ØÓ× Ø Ñ Ò × ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ò Dlinkº
B´squeda de nodos
u
ÄÓ× Ö ÒØ × ×Ø ÐÓ× Ù×ÕÙ ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ò ØÖ Ú × Ð ÙÒÓ×
ÐÓ× Ó× Ø Ö ÓÖ × ÔÖ × ÒØ Ó× Ò Ð × × ÓÒ × ÔÖ Ú ×º Ä ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÒ
Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÐÙ×ØÖ Ð ×ÕÙ Ñ Ò Ö Ð
¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡ ¼
template <typename Node, typename Arc>
template <class Equal>
Node * List_Graph<Node, Arc>::search_node(const typename Node::Node_Type & node_info)
{
for (Node_Iterator itor(*this); itor.has_current(); itor.next())
{
Node * current_node = itor.get_current_node();
if (Equal() (current_node->get_info(), node_info))
return current_node;
}
return NULL;
}
Í× × List Graph ¼ Ò Node Iterator º
Ð Ü Ô ÓÒ Ð ×Ô Ð Þ ÓÒ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ ÖÙØ Ò × ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ð
Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Node Iteratorº
B´squeda de arcos
u
Ä Ù×ÕÙ ÙÒ Ö Ó ÒØÖÓ Ð Ö Ó × Ö Ñ Ò × ÒØ Ð ÙÒ ÒÓ Ó Ö ÓÖÖ Ö
Ñ ÒØ Ð Ø Ö ÓÖ Ö Ó× ×Ø × Ø × Ö Ð Ù×ÕÙ Ó ÖÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó ÒØ Ö Ñ ÒØ ¸
Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ù×ÕÙ × ÐÐ º Ä ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡ ¼ ½
template <typename Node, typename Arc>
template <class Equal>
Arc * List_Graph<Node, Arc>::search_arc(const typename Arc::Arc_Type & arc_info)
{
for (Arc_Iterator it(*this); it.has_current(); it.next())
{
Arc * current_arc = it.get_current_arc();
if (Equal () (current_arc->get_info(), arc_info))
return current_arc;
}
return NULL;
}
Í× × Arc Iterator Ò List Graph ¼º
Å × Ð ÒØ ¸ Ù Ò Ó ¬Ò ÑÓ× Ð Ø Ö ÓÖ Ö Ó× ×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó¸ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÑÓ×
Ð Ù×ÕÙ ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÓÒ Ø Ó× ÒÓ Ó׺

617. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 591
7.3.10.2 Arcos
ÍÒ Ö Ó ÓÒ Ø Ó× ÒÓ Ó× ÐÐ Ñ Ó× ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓ¸ Ð Ö Ó× Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ ØÖ ÙØÓ× Graph Arc<Arc Type> ¾ +≡ ´ µ ¿
void * src_node; // nodo origen
void * tgt_node; // nodo destino
×ØÓ× ØÖ ÙØÓ× ×ÓÒ Ø ÔÓ void* ÔÓÖÕÙ × ÙÒ Graph Arc<Arc Type> ÒÓ × ÔÙ
ÓÒÓ Ö Ð Ø ÔÓ Ü ØÓ Graph Node<Node Type> ×Ø × ÓÒÓ Ö Ù Ò Ó × Ò×¹
Ø Ò Ð Ö Óº Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ×Ó ×ØÓ× ØÖ ÙØÓ× × Ö Ð Þ × Ð Ð ×
List Graph<Node, Arc> Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡ ¼ ½
template <typename Node, typename Arc>
Node * List_Graph<Node, Arc>::get_src_node(Arc * arc)
{
return static_cast<Node*>(arc->src_node);
}
template <typename Node, typename Arc>
Node * List_Graph<Node, Arc>::get_tgt_node(Arc * arc)
{
return static_cast<Node*>(arc->tgt_node);
}
template <typename Node, typename Arc>
bool List_Graph<Node, Arc>::node_belong_to_arc(Arc * arc, Node * node) const
{
return node == arc->src_node or node == arc->tgt_node;
}
Í× × List Graph ¼ º
È Ö Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ get connected node() × Ò ÑÓ× ÙÒ ÖÙØ Ò ÓÑÓÒ Ñ ¸
Ô ÖØ Graph Arc<Arc Type>¸ ÕÙ ÒÓ× × ÖÚ ÒØ ÖÑ Ö
½ Å ØÓ Ó× Graph Arc<Arc Type> +≡ ´ µ
void * get_connected_node(void * node)
{
return src_node == node ? tgt_node : src_node;
}
Ñ ÒØ ÐÐ Ö Ð Þ Ö Ð Ñ ØÓ Ó List Graph<Node, Arc>
½ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡ ½
template <typename Node, typename Arc>
Node * List_Graph<Node, Arc>::get_connected_node(Arc * arc, Node * node)
{
return static_cast<Node*>(arc->get_connected_node(node));
}
Í× × List Graph ¼ º
Listas de adyacencia
Ä ÒÓ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ð Ð ×Ø Ý Ò ×Ù Ö ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒØ Ò ÙÒ Ð ×Ø
ÒÓ Ó× Ý ÒØ × ÙÒØÓ ÓÒ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ×Ó Ó× Ð Ö Óº Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò ÓÕÙ
× ÕÙ ¸ Ô Ö ÙÒ Ö Ó ´ÒÓ ÙÒ Ö Óµ ÑÓ× ÙÔÐ Ö Ü Ø Ñ ÒØ ÕÙ ÐÐ Ò ÓÖÑ ÓÒº
×Ø Ö ÙÒ Ò ÖÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × × Ö ÕÙ Ö ÑÓ ¬ Ö Ð Ö Ó¸

618. 592 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÒØÓÒ × ÑÓ× ÒØÖ Ö ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÒÓ Ó× ´ Ð ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓµ Ý Ö Ð Þ Ö Ó× ÑÓ ¬ ¹
ÓÒ ×º ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ô Ö Ú Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ò ÒØ Ö ÓÖ Ý ÔÓÖ ¬ Ò
¬Ò ÑÓ× Ð Ø ÔÓ Arc Node¸ ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
¾ ¬Ò ÓÒ Ö Ó¹ÆÓ Ó ¾ ≡
struct Arc_Node : public Dlink
{
void * arc;
Arc_Node() : arc(NULL) { /* empty */ }
Arc_Node(void * __arc) : arc(__arc) { /* empty */ }
};
¬Ò ×
Arc Node¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ß Ò ß º
Arc NodeÖ Ú Dlink¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ×Ø × Ô ÖØ ÙÒ Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ º Ð
ÑÔÓ arc× ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Graph Arc<Arc Type> ´Ó Ñ Ð Ö Ð ÔÓÖ Ö Ú ÓÒµº
×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ð ×Ø Ý Ò ÙÒ ÒÓ Ó × Ð Ö ÓÑÓ × Ù
¾ Å Ñ ÖÓ× Graph Node<Node Type> ¾ +≡ ´ ½µ
Dlink arc_list;
×ØÓ Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ú ÖØ Ö Ó¸ Ð Ù Ð
× Ö ÔÖ × ÒØ Ô ØÓÖ Ñ ÒØ Ð ÑÓ Ó × Ù ÒØ
Dlink arc_list (lista de arcos del nodo)
counter num_arcs
counter
Dlink control_bits Node_Info
Enlace cookie
del nodo en la lista de nodos del grafo
Å ÒØÖ × ÕÙ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÙÒ Arc Node × ×Ö Ô ØÓÖ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ
ÓÖÑ
Dlink Puntero hacia el arco
enlace void*
del Arc_Node
en la lista arc_list de un nodo
×Ø Ñ Ò Ö ¸ × × ÐØ Ö ÙÒ Ö Ó¸ Ð ÑÓ ¬ ÓÒ × Ö Ð Þ ×Ó Ö ÙÒ ×ÓÐ Ò×Ø Ò
Ø ÔÓ Graph Arc<Arc Type> Ý Ð ×Ø Ó Ð Ö Ó × Ñ ÒØ Ò Ó Ö ÒØ Ô Ö ÐÓ× Ó×
ÒÓ Ó× ÓÒ Ø Ó׺
Ä Ð ×Ø Ý Ò ÙÒ ÒÓ Ó × Ø ÔÓ Dlink¸ Ô ÖÓ ×Ù× ÒÓ Ó× ×ÓÒ Ø ÔÓ
Arc Nodeº ÑÓ׸ Ô٠׸ ×ÔÓÒ Ö Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ ¿
static Arc_Node * dlink_to_arc_node(Dlink * p)
{ return static_cast<Arc_Node*>(p); }
Í× × Arc Node ¾ º
Ò Ö ×ÙÑ Ò¸ Ñ Ò ÑÓ× ØÖ × Ø ÔÓ× Ð ×Ø × Ö ÙÐ Ö × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ð Ð ×Ø
ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó¸ Ð Ð ×Ø ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Ó Ý Ð Ð ×Ø ÔÓÖ ÒÓ Ó ×Ù×
Ö Ó׺ Ì Ð × Ð ×Ø × ×ÓÒ × Ñ ÒØ Ð Ð × Dlinkº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð ×
× Ù ÒØ × ÙÒ ÓÒ × ÓÒÚ Ö× ÓÒ
Ë Ø Ò ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Ó ØÓ Node¸ ÔÓ ÑÓ× Ö Ð ÔÖ Ñ ÖÓ
×Ù× Ö Ó× Ò ×Ù Ð ×Ø Arc Node
Ì Ò × Ù Ó ÓÒ Ð Ñ Ù º Ò ×Ø Ö × ÒÓ× Ö Ö ÑÓ× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ Ý
ÒÓ ÐÓ× ÙÒ Ö Óº

619. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 593
Arc_Node * p = dlink_to_arc_node(node->arc_list.get_next());
Ð ÙÐ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö× ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Arc Ñ ÒØ
Arc * arc = static_cast<Arc*>(p->arc);
ÔÙ × p->arc × Ø ÔÓ void*º È Ö Ò ÙÐÞ Ö ÙÒ ÔÓ Ó ×Ø ÓÒÚ Ö× ÓÒ¸ Ð Ò Ô×ÙÐ ÑÓ×
Ò Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ ¾ ¿
static Arc * void_to_arc(Arc_Node * arc_node)
{ return static_cast<Arc*>(arc_node->arc); }
Í× × Arc Node ¾ º
ÓÑÔÐ Ø ÑÓ× ÓÖ Ð ÑÓ Ð Þ ÓÒ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ¬Ò к Ê ÓÖ ÑÓ×
ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ð ×Ø arc list Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Arc Node ÒÐ Þ Ó× Ñ ¹
ÒØ × ÔÙÒØ ÖÓ× Ó Ð × Dlinkº ×Ù Ú Þ¸ ÙÒ Arc Node Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Ö Ó
Ø ÔÓ Graph Arc<Arc Type>º ×Ø ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ Ô ÖÑ Ø ÙÒ Ò× Ö ÓÒ O(1) Ð Ú Þ ÕÙ
ÒÓ × Ö ÙÒ Ð Ö Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ × Ð × Ó× ×¸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ö ÕÙ Ö Ö
Ö ÓÖÖ Ö Ð Ð ×Ø Ö Ó× Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö ×Ù Arc Node Ý Ð Ñ Ò ÖÐÓº ÈÓÖ
×Ø Ö ÞÓÒ¸ ÓÐÓ Ö ÑÓ× Ò Graph Arc<Arc Type> ÙÒ Ó Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð Arc Node¸ ÙÒÓ Ð
Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò¸ ÓØÖÓ Ð Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº Ð Graph Arc<Arc Type> Ø Ò Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð
ÓÖÑ Ô ØÓÖ × Ù ÒØ
src_arc_node
counter
Dlink control_bits Arc_Info
enlace cookie
en la lista
de arcos del tgt_arc_node
grafo
ÄÓ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ð × × Ù ÒØ × Ð Ö ÓÒ × Ô Ö ÙÒ Ö Ó
¿ ØÖ ÙØÓ× Graph Arc<Arc Type> ¾ +≡ ´ µ ½
Arc_Node * src_arc_node; // puntero al Arc_Node del nodo fuente
Arc_Node * tgt_arc_node; // puntero al Arc_Node del nodo destino
Í× × Arc Node ¾ º
Ý ÙÝ ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö ×ÓÐÚ Ö Ó× ÔÖÓ Ð Ñ ×
½º Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ö Ó Ò ÙÒ Ö Ó¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö Ð Arc Node Ð ×
Ð ×Ø × Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ×ØÓ × ÐÓ Ö Ò O(1) Ñ ÒØ Ð
×Ó ÐÓ× ÑÔÓ× src arc node Ý tgt arc nodeº
¾º Ù Ò Ó × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó¸ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ð Ö Ó ÒÓ ÓÒØ Ò ÙÒ Arc Node ÕÙ
ÔÙÒØ Ð Ö Óº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó Ð ÑÔÓ tgt arc node × Ñ ÒØ Ò Ò NULLº
List Digraph<Node, Arc> Ö ØÓ Ð ÒØ Ö Þ List Graph<Node, Arc> Ý
× ØÓ ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒº Ò Ð ÙÒ × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ Ö ÕÙ Ö Ö ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö × × ØÖ Ø
ÙÒ Ö Ó Ó ÙÒ Ö Óº È Ö ÐÐÓ¸ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò Ö ÐÓ
¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× List Graph<Node, Arc> +≡ ´ ¼µ ¿
bool digraph;
Ð Ú ÐÓÖ digraph × true × × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº

620. 594 Cap´
ıtulo 7. Grafos
A B
C
counter
num_arcs=2
counter A
control_bits
cookie counter
control_bits
cookie
1
counter
num_arcs=2
counter B
control_bits counter
cookie
Arc_Nodes control_bits
cookie
2
counter
num_arcs=2 counter
counter C control_bits
control_bits cookie
cookie
3
Arcos
Nodos
ÙÖ º½ ÍÒ Ö Ó × ÑÔÐ Ý Ð ×Ø Ó ×Ù ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ×
Iterador de arcos sobre un nodo
ÓÑÓ Ý × Ó¸ ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ö Ó× Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó × Ö Ð Þ Ô ÖØ Ö
Dlink::Iterator¸ ÔÙ × Arc Node × ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ Ø ÔÓ Dlinkº
Ô ÖØ Ù Ö Ö Ð Ö Ó Ý Ð ÒÓ Ó × Ð Ù Ð × Ø Ö ¸ Node Arc Iterator¸
Ñ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ù Ð Ö Ó ÑÓ×ØÖ Ö
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ ≡ ´ µ
Node * src_node;
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Node Arc Iterator × ÔÓÖ Ö Ú ÓÒ Ø ÔÓ Dlink::Iterator¸ ×Ø Ø Ò
ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ×Ó Ó× ´next()¸ prev()¸ has current()¸ Ø Ø Ö µº Ð Ñ ØÓ Ó
Dlink::Iterator::get current() ÒÓ ÔÙ Ù× Ö× Ö Ø Ñ ÒØ ÔÓÖÕÙ ×Ø Ö ØÓÖÒ ÙÒ
Dlink Ý Ò × Ø ÑÓ× ÓÒÓ Ö Ò ÔÖ Ò Ô Ó Ð Arc Nodeº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ × Ò ÑÓ× ×Ø ÓÒ¹
Ú Ö× ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ÆÓ +≡ ´ µ
Arc_Node * get_current_arc_node()
{
return dlink_to_arc_node(Dlink::Iterator::get_current());
}
Í× × Arc Node ¾ º
B´squeda de un arco dados dos nodos
u
ÓÒ Ð Ø Ö ÓÖ Ö Ó× ×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö ÐÑ ÒØ Ð Ù×ÕÙ
ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÓÒ Ø Ó× ÒÓ Ó׺ Ä × ØÓÑ Ö ÙÒÓ ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÔÖ Ö Ð Ñ ÒØ Ð ÕÙ

621. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 595
ÓÒØ Ò Ñ ÒÓ× Ö Ó׸ Ý × ÐÐ Ö ÓÖÖ Ö ×Ù× Ö Ó× ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÓØÖÓ ÒÓ Ó Ó ×Ø
ÕÙ ÒÓ Ý Ò Ñ × Ö Ó× ÕÙ Ö ÓÖÖ Ö¸ Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ù×ÕÙ × ÐÐ º
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> ≡
template <class GT, class SA>
typename GT::Arc * search_arc(GT & g, typename GT::Node * src_node,
typename GT::Node * tgt_node)
{
Node_Arc_Iterator<GT, SA> itor;
typename GT::Node * searched_node;
if (g.is_digraph() or src_node->num_arcs < tgt_node->num_arcs) // nodo con menos arcos
{
searched_node = tgt_node;
itor = Node_Arc_Iterator<GT, SA>(src_node);
}
else
{
searched_node = src_node;
itor = Node_Arc_Iterator<GT, SA>(tgt_node);
}
for (/* nada */; itor.has_current(); itor.next())
if (itor.get_tgt_node() == searched_node) // ¿conecta a searched_node?
return itor.get_current_arc();
return NULL;
}
Í× × Node Arc Iterator º
7.3.10.3 Inserci´n de nodos
o
Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÔÓ Ò× Ö ÓÒ ×ÙÑ ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ý × Ó Ô ÖØ Ý×
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡ ½
template <typename Node, typename Arc>
Node * List_Graph<Node, Arc>::insert_node(Node * node)
{
++num_nodes;
node_list.append(node);
return node;
}
Í× × List Graph ¼ º
Ð × ÙÒ Ó Ø ÔÓ ÜØ Ò Ð ØÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ô ÖØ Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ý
ÓÐÓ ÖÐ Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ Ð ÓÖÑ × Ù ÒØ
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡
template <typename Node, typename Arc>
Node * List_Graph<Node, Arc>::insert_node(const typename Node::Node_Type & node_info)
{
return List_Graph<Node, Arc>::insert_node( new Node (node_info) );
}
Í× × List Graph ¼ º

622. 596 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.3.10.4 Inserci´n de arcos
o
È Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ Ö Ó Ò ÓÒÓ Ö× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ×Ø Ö Ð ÓÒ ¸ ÐÓ× Ù Ð × Ò
Ö× Ò× ÖØ Ó ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ò Ð Ö Óº Ä Ò× Ö ÓÒ ÙÒ Ö Ó × Ö ×ÙÑ Ò ÐÓ×
× Ù ÒØ × Ô ×Ó×
½º Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð Ö Ó ´ Ø ÔÓ Arcµ Ý × Ò ÖÐ ×Ù× ØÓ׺
¾º Ë Ð Ò× Ö ÓÒ Ó ÙÖÖ Ò ÙÒ Ö Ó ´ÒÓ ÙÒ Ö Óµ¸ ÒØÓÒ × Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö
ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Arc Node ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ tgt node¸ ÓÐÓ ÖÐÓ
ÔÙÒØ Ö Ð Ö Ó Ö Ó Ò ´½µ Ò× ÖØ ÖÐÓ Ò Ð Ð ×Ø Ý Ò tgt nodeº
Ò ×Ø ÔÙÒØÓ ÑÓ× ×Ø Ö Ô Ò ÒØ × ÕÙ Ð Ö Ó Ò× ÖØ Ö ÒÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ
ÐÓ Ý × ¸ × ÑÓ Ó¸ ÒÓ ÙÔÐ Ö Ð Arc Nodeº
¿º Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Arc Node ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò
src node¸ ÓÐÓ ÖÐÓ ÔÙÒØ Ö Ð Ö Ó Ö Ó Ò ´½µ Ò× ÖØ ÖÐÓ Ò Ð Ð ×Ø
Ý Ò src node
º ÁÒ× ÖØ Ö Ð Ö Ó Ò Ð Ð ×Ø Ö Ó× Ð Ö Óº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ó ¬ ÓÑÓ × Ù
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡
template <typename Node, typename Arc> Arc *
List_Graph<Node, Arc>::insert_arc(Node * src_node, Node * tgt_node)
{ // paso (1): apartar memoria para Arc e iniciar
auto_ptr<Arc> arc ( new Arc ); // apartar memoria para arco
arc->src_node = src_node; // Iniciar sus campos
arc->tgt_node = tgt_node;
// paso (3) (parcial): apartar memoria para Arc_Node de src_node
auto_ptr<Arc_Node> src_arc_node ( new Arc_Node (arc.get()) );
// Paso (2): si es grafo ==> apartar memoria para Arc_Node del tgt_node
if (not digraph) // si es digrafo ==> no hay que insertar en el otro nodo
{ // inserci´n en nodo destino
o
if (src_node == tgt_node) // verificar si se trata de un ciclo
arc->tgt_arc_node = src_arc_node.get(); /* este es un ciclo */
else
{ // apartar arco nodo para tgt_node
auto_ptr<Arc_Node> tgt_arc_node ( new Arc_Node (arc.get()) );
// inserci´n en lista de adyacencia de tgt_node
o
arc->tgt_arc_node = tgt_arc_node.get();
tgt_node->arc_list.append(tgt_arc_node.get());
tgt_node->num_arcs++;
tgt_arc_node.release(); // desbloquear auto-puntero tgt_arc_node
}
}
// paso (3) (resto) inserci´n en lista adyacencia src_node
o
arc->src_arc_node = src_arc_node.get();
src_node->arc_list.append(src_arc_node.get());
src_node->num_arcs++;
arc_list.append(arc.get()); // paso (4) insertar arco lista de arcos de grafo
++num_arcs;
src_arc_node.release(); // desbloquear tgt_arc_node

623. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 597
return arc.release(); // desbloquear arc
}
Í× × Arc Node ¾ Ò List Graph ¼º
Ä Ó ¬ ÓÒ × Ð Ö Ñ ÒØ Ö ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ ÔÓÖÕÙ Ò ÐÐ ×
ÓÒ× Ö Ð ÔÓ× Ð ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ ÐÐ Ñ ÑÓÖ º È Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ó Ó ÐÓ
Ñ × Ô Ö Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ Ù× ÑÓ× ÙØÓ¹ÔÙÒØ ÖÓ×½¼ º ÈÓÖ ×Ó¸ Ð ×ØÖ Ø ×
Ô ÖØ Ö ÐÓ× ØÖ × ÐÓÕÙ × Ñ ÑÓÖ ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ´ Ð Ð Arc Ý ÐÓ× Ó× Arc Nodeµ ݸ ×
ÒÓ Ó ÙÖÖ Ó Ü Ô ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× Ò× ÖØ Ö Ò ØÓ × Ð × Ð ×Ø × × Ò Ö × Ó ÐÐ º
7.3.10.5 Eliminaci´n de arcos
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ó × Ñ × × Ò ÐÐ ÔÓÖÕÙ ÒÓ Ý ÔÙÒØÓ× Ú ÒØÙ Ð × Ü Ô ÓÒ½½ º
Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × Ö ×ÙÑ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ô ×Ó×
½º Ð Ñ Ò Ö Ð × Ð ×Ø Ý Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ð Arc Node Ý Ð Ö Ö ×Ù Ñ ÑÓÖ º
Ð ×Ó ×Ø Arc Node × ÔÓÖ Ð ØÖ ÙØÓ arc->src arc nodeº
¾º Ë × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó ´ÒÓ ÙÒ Ö Óµ¸ ÒØÓÒ × Ð Ñ Ò Ö Ð × Ð ×Ø Ý Ò
Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ð Arc Node Ý Ð Ö Ö ×Ù Ñ ÑÓÖ º
Ð ×Ó ×Ø Arc Node × ÔÓÖ Ð ØÖ ÙØÓ arc->tgt arc nodeº
Ò ×Ø Ô ×Ó Ý ÕÙ ÔÖ ×Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ó × ÙÒ ÐÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó ÒÓ
Ý ÕÙ Ò Ð Ñ Ò Ö Ð Ð ×Ø Ý Ò Ò Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ñ × ÓÒ ×
Ý Ù ÖÓÒ × Ò Ð Ô ×Ó ÒØ Ö ÓÖº
¿º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Ó Ð Ð ×Ø Ö Ó× Ð Ö Ó Ý Ð Ö Ö ×Ù Ñ ÑÓÖ º
ÄÓ× Ô ×Ó× ÒØ Ö ÓÖ × × Ö ­ Ò Ò Ð × Ù ÒØ Ó Ó
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡
template <typename Node, typename Arc>
void List_Graph<Node, Arc>::remove_arc(Arc * arc)
{ // paso (1): eliminaci´n del Arc_node del nodo origen src_node
o
Node * src_node = get_src_node(arc);
Arc_Node * src_arc_node = arc->src_arc_node;
src_arc_node->del(); // desenlaza src_node de la lista de nodos
src_node->num_arcs--; // decrementa contador de arcos de src_node
delete src_arc_node; // entrega memoria
if (not digraph)
{ // eliminaci´n arco en nodo destino
o
Node * tgt_node = get_tgt_node(arc);
if (src_node != tgt_node) // verificar eliminaci´n de ciclo
o
{ // paso (2): eliminaci´n del Arc_node del nodo destino tgt_node
o
Arc_Node * tgt_arc_node = arc->tgt_arc_node;
tgt_arc_node->del();
tgt_node->num_arcs--;
½¼
ÍÒ ÙØÓ¹ÔÙÒØ ÖÓ × ÙÒ Ð × Ó ØÓ ÔÙÒØ ÓÖ ÕÙ Ñ Ò Ð Ð Ö ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ñ ÑÓÖ
Ù Ò Ó × ÒÚÓ Ð ×ØÖÙ ØÓÖº ×Ø ÑÓ Ó¸ × ÓÖÖ Ð Ò ÐÙ× ÓÒ ÙÒ Ñ Ò ÓÖ Ü Ô ÓÒ × ÕÙ
ÔÖ Ú ÙÒ ÐÐ Ñ ÑÓÖ Ý ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ð ÑÔ Ö ×Ø Ó ÒØ ÖÑ Óº ÄÓ× ÙØÓ¹ÔÙÒØ ÖÓ× × Ð Ö Ò
Ù Ò Ó× ÙØ Ð Ñ ØÓ Ó release() Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ×ØÖÙ ØÓÖ ÒÓ ØÙ Ö Ð deleteº
½½
Ë ÐÚÓ ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ ÖÖÓÖ Ð Ù×Ù Ö Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ñ Ò ÓÒ Ó Ð Ó ÙÒ Ù Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒº

624. 598 Cap´
ıtulo 7. Grafos
delete tgt_arc_node;
}
}
// eliminaci´n de arco del grafo
o
arc->del(); // desenlazar arc de la lista de arcos del grafo
--num_arcs;
delete arc;
}
Í× × Arc Node ¾ Ò List Graph ¼º
7.3.10.6 Eliminaci´n de nodos
o
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ÔÙ Ô Ö Ö ÓÑÔÐ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò
Ð Ñ Ò Ö× ØÓ Ó× ×Ù× Ö Ó× Ò ÒØ × Ý Ý ÒØ ×º Ô × Ö ØÓ Ó¸ × ÒÓ × ØÖ Ø
ÙÒ Ö Ó¸ Ö ×ÙÐØ × Ò ÐÐ × ÒÓ× × ÑÓ× Ò Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ó ÑÔÐ ÒØ ÒÐ
×Ù ¹× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡
template <typename Node, typename Arc>
void List_Graph<Node, Arc>::remove_node(Node * node)
{
if (not digraph)
// Eliminar arcos adyacentes a node
while (not node->arc_list.is_empty()) // repita mientras a´n hayan arcos
u
{ // obtener el Arc_Node
Arc_Node * arc_node = dlink_to_arc_node(node->arc_list.get_next());
Arc * arc = void_to_arc(arc_node); // obtener el arco
remove_arc(arc); // eliminarlo del grafo
}
else
for (Arc_Iterator it(*this); it.has_current();)
{
Arc * arc = it.get_current();
if (get_src_node(arc) == node or get_tgt_node(arc) == node)
{
it.next();
remove_arc(arc);
}
else
it.next();
}
// en este punto el nodo ya no tiene arcos
node->del(); // desenlazar nodo de lista de nodos del grafo
--num_nodes;
delete node;
}
Í× × Arc Iterator ¸ Arc Node ¾ ¸ Ò List Graph ¼º
Ë × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ù ×Ø ÓÒ × Ñ × Ð Ò ¬ ÒØ ¸ Ô٠׸ ÓÒ Ð
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× × Ò ¸ ÒÓ ÕÙ ÓØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ Ñ Ö Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý Ð Ñ Ò Ö
ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ ÔÙÒØ Ò nodeº ×ØÓ ÔÙ × Ö ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ò ¬ ÒØ Ý × ×Ø Ö
ÓÒ× ÒØ ×Ø Ó×Ø Ð ÓÖ ÐØ Ö Ö Ð ØÓÔÓÐÓ ÙÒ Ö Óº

625. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 599
7.3.10.7 Limpieza de grafos
remove node() ÒÓ× Ð Ñ ÝÓÖ Ô ÖØ Ð ØÖ Ó Ò × Ö Ó Ô Ö Ð ÑÔ Ö ÙÒ Ö Ó ´ÓÔ¹
Ö ÓÒ clear graph()µ¸ ÔÙ × ×Ø × Ö Ñ Ø Ð Ñ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> +≡ ¼¼
template <class GT>
void clear_graph(GT & g)
{
for (Arc_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); ) // eliminar arcos
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current();
it.next();
g.remove_arc(arc);
}
for (Node_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); ) // eliminar nodos
{
typename GT::Node * p = it.get_current();
it.next(); // avanzar antes de borrar por consistencia de iterador
g.remove_node(p); // eliminarlo del grafo
}
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ remove arc() Ý remove node() ×ÓÒ Ú ÖØ٠Р׸ ÔÙ Ö ØÓ ÙÒ Ò
Ö Ú ÓÒº ÈÓÖ ×Ó¸ × Ñ × × ÙÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÐÓ× Ö Ó× Ý ÐÙ Ó ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ò ÐÙ Ö
Ð Ñ Ò Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÐÓ× ÒÓ Ó× ´ÕÙ ÒØÖ Ò× Ñ ÒØ Ø Ñ Ò Ð Ñ Ò Ò ÐÓ× Ö Ó×µº
7.3.10.8 Mapeo de nodos y arcos
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÔÙÐ ÑÓ× Ð Ñ Ô Ó ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ØÖ Ú × ÐÓ× ÓÓ ×º ÓÒ¹
ÒØÖ ÑÓ×ÒÓ× Ò map node()¸ Ð Ù Ð Ñ Ô ÐÓ× ÓÓ × Ó× ÒÓ Ó× Ý ÔÖ × ÖÚ Ð Óѹ
ÔÓ× ÓÒ Ñ Ô Ó× Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ × ÐÓ× ÓÓ × ×ÓÒ ×Ø ÒØÓ× NULL¸ ÒØÓÒ × Ð
Ñ Ô Ó × ÔÖÓÔ ÓÑÓ × ÐÓ× ÓÓ × Ù × Ò ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ Ö ÙÐ Öº ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ ×
ÒÓ Ý Ñ Ô Ó¸ ÒØÓÒ × node map(p, q) ÓÒ×ØÖÙÝ Ð × Ù ÒØ ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ ÒÐ ×
p q
ÄÙ Ó¸ × Ó ÙÖÖ ÓØÖ ÐÐ Ñ node map(q,r)¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ÒÐ × Ú Ò Ò Ò
p q r
Ð Ö Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ñ Ô Ó× Ò ÓÑÔÓÖØ Ö× ÓÑÓ × ØÖ Ø × ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ
Ð ×Ø Ö ÙÐ Ö¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ × Ò ÒÓ Ó Ö º ÄÓ ÕÙ ÒÓ× ÓÒ Ù
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡ ¼½
template <typename Node, typename Arc>
void List_Graph<Node, Arc>::map_nodes(Node * p, Node * q)
{
if (NODE_COOKIE(p) == NULL)

626. 600 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
NODE_COOKIE(p) = q;
NODE_COOKIE(q) = p;
return;
}
NODE_COOKIE(q) = NODE_COOKIE(p);
NODE_COOKIE(p) = q;
}
template <typename Node, typename Arc>
void List_Graph<Node, Arc>::map_arcs(Arc * p, Arc * q)
{
if (ARC_COOKIE(p) == NULL)
{
ARC_COOKIE(p) = q;
ARC_COOKIE(q) = p;
return;
}
ARC_COOKIE(q) = ARC_COOKIE(p);
ARC_COOKIE(p) = q;
}
Í× × List Graph ¼ º
7.3.10.9 Copia de grafos
Ñ Ò Ö Ò Ö Ð¸ Ð ÓÔ ÔÙ × Ô Ö Ö× Ò Ó× × × ´½µ ÓÔ ÒÓ Ó× Ý ´¾µ ÓÔ
Ö Ó׺ ÓÔ Ö ÒÓ Ó× × Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÓÖ ÒÓ Ó Ð Ö Ó ÓÖ Ò × Ö ÙÒ
ÓÔ Ý × Ò× ÖØ Ò Ð Ö Ó ×Ø ÒÓº
Ä ÓÔ Ö Ó× × × Ñ Ð Ö ÔÓÖ Ö Ó Ð Ö Ó ÓÖ Ò × Ö ÙÒ ÓÔ Ý ×
Ò× ÖØ Ò Ð Ö Ó ×Ø ÒÓº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ Ö Ó Ý ÕÙ ×Ô ¬ Ö
×Ù× ÒÓ Ó׺ Ù Ò Ó Ò×Ô ÓÒ ÑÓ× ÙÒ Ö Ó Ð Ö Ó ÓÖ Ò¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ Ü Ñ Ò ÑÓ×
Ö ¬ Ö Ò Ð Ö Ó ÓÖ Ò¸ Ô ÖÓ Ð Ö Ó Ò× ÖØ Ö Ò Ð Ö Ó ×Ø ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÒÓ Ó× Ö ×Ô ØÓ
Ð Ö Ó ×Ø ÒÓ Ý ÒÓ Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÖ Òº Ë ÒÓ× ÔÖ × ÒØ ÒØÓÒ × Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ
Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ð Ö Ó ÓÖ Ò¸ ÓÑÓ ÓÒÓ Ö ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ð Ö Ó ÓÔ ×Ø ÒÓ
ÍÒ Ñ Ò Ö ÖÐÓ × Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ñ Ô Ó ÒÓ Ó× ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ö Ó× ØÖ Ú ×
×Ù× ÓÓ ×¸ Ô ÖÓ Ð × Ñ ÒØ Ð ÒØ Ö Þ copy graph() ÔÙ ÑÔ Ö ×Ø Ø ÔÓ
Ñ Ô Ó ´ Ù Ò Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ cookie map == falseµº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ö Ð Þ Ö ÑÓ× Ð
Ñ Ô Ó Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ ÎÄ
¼¼ Ð Ö ÓÒ Ø Ð Ñ Ô Ó ¼¼ ≡ ´ ¼¼ µ
DynMapAvlTree<typename GT::Node*, typename GT::Node*> mapping_table;
mapping table Ñ Ô ÒÓ Ó× Ð Ö Ó ÓÖ Ò src graph ÒÓ Ó× Ð Ö Ó ×Ø ÒÓ
thisº
Ð Ñ ØÓ Ó ÓÔ × ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
¼¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÓÒ × List Graph<Node, Arc> +≡
template <class GT>
void copy_graph(GT & gtgt, GT & gsrc, const bool & cookie_map)
{
clear_graph(gtgt); // limpiar this antes de copiar
Ð Ö ÓÒ Ø Ð Ñ Ô Ó ¼¼
// Fase (1): recorrer nodos de grafo src_graph e insertar copia en this

627. 7.3. Un TAD para grafos (List Graph<Node, Arc>) 601
for (typename GT::Node_Iterator it(gsrc); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * src_node = it.get_current_node();
auto_ptr<typename GT::Node> tgt_node(new typename GT::Node(src_node));
mapping_table.insert(src_node, tgt_node.get()); // insertar en mapeo
typename GT::Node * tgt = tgt_node.release();
gtgt.insert_node(tgt); // insertarla en grafo destino
if (cookie_map)
GT::map_nodes(src_node, tgt);
}
// fase (2): por cada arco de src_graph, crear en this un
// arco que conecte a los nodos mapeados de mapping_table
for (typename GT::Arc_Iterator it(gsrc); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * src_arc = it.get_current_arc();
// obtener im´genes de nodos en el grafo destino y crear arco
a
typename GT::Node * src_node = mapping_table[gsrc.get_src_node(src_arc)];
typename GT::Node * tgt_node = mapping_table[gsrc.get_tgt_node(src_arc)];
typename GT::Arc * tgt_arc = gtgt.insert_arc(src_node, tgt_node);
*tgt_arc = *src_arc;
if (cookie_map)
GT::map_arcs(src_arc, tgt_arc);
}
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
Ô ÖØ ×Ù ÙØ Ð Þ ÓÒ ÔÙ Ð Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ ÙÒ ÔÐ ÓÒ¸ copy graph() ×
Ù× Ó ÔÓÖ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ Ý Ð ÓÔ Ö ÓÖ × Ò ÓÒº
7.3.10.10 Ordenamiento de arcos
ÄÓ× Ö Ó× ×Ø Ò ÓÒØ Ò Ó× Ò Ð Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ arc listº È Ö ÓÖ Ò ÖÐÓ׸ ÒÓ×
Ú Ð Ö ÑÓ× Ð Ñ Ö ×ÓÖØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò Ü ¿º¾º½º ´Ô Ò ½ µº Ô Ð ÑÓ× Ð Ñ Ö ×ÓÖØ
ÔÓÖ Ú Ö × Ö ÞÓÒ ×º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ö Ò ¸ ÔÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ð ÕÙ ×ÓÖظ Ð × ÑÔ ÒÓ
O(n Ð (n)) Ð Ñ Ö ×ÓÖØ ×Ø Ö ÒØ Þ Ó Ý ÒÓ ×ÙÔ Ø Ó Ð Ô ÖÑÙØ ÓÒº Ò × ÙÒ Ó
ÐÙ Ö¸ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó Ð Ñ Ö ×ÓÖØ × ÐÓ ×ÙÑÓ O(Ð (n))¸ ÖÒ Ð O(n)
ÕÙ × Ð Ô ÓÖ ×Ó ÓÒ×ÙÑÓ Ô Ö Ð ÕÙ ×ÓÖØ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
× Ô٠׸ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ÐÓ× Ö Ó× × Ö Ñ Ø
¼½ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ List Graph<Node, Arc> +≡
template <typename Node, typename Arc>
template <class Compare>
void List_Graph<Node, Arc>::sort_arcs() { mergesort<Cmp_Arc<Compare> >(arc_list); }
Í× × List Graph ¼ Ò mergesort ½ º
sort arcs() Ö Ð Ð× ÓÑÔ Ö ÓÒ Compare ×Ó Ö ÔÙÒØ ÖÓ× Ö Ó× Ø ÔÓ
Arc ×Ø Ð × ¸ ÕÙ Ð ÔÖÓÚ Ö Ð Ù×Ù Ö Ó ÒØ Ö × Ó Ò ÓÖ Ò Ö ÐÓ× Ö Ó׸ Ö Ð Þ
Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ bool operator () (Arc *, Arc *)º È ÖÓ Ð Ñ Ö ×ÓÖØ ×Ó Ö Ð ×Ø × Ò¹
Ð Þ × ÒÚÓ bool operator () (Dlink *, Dlink *) ´Ü ¿º¾º½º ´Ô Ò ½ µµ¸ Ô Ö
ÓÑÔ Ö Öº ÑÓ׸ Ô٠׸ × Ö Ö Ð Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ Ô Ö mergesort()¸ Ð Ù Ð ×
ÒÓÑ Ò Cmp Arcº ËÙ ÙÒ ÓÒ × ÓÒÚ ÖØ Ö ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× Ø ÔÓ Dlink Arc* ÒÚÓ Ö
Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Compareº

628. 602 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.4 TAD camino sobre un grafo (Path<GT>)
Ä Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× × ÙÒ Ð × Ø Ú × Ñ × ÓÑÙÒ × Ò Ð Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ ×Ó Ö
ÙÒ Ö Óº ÈÓÖ ×ØÓ Ú Ð Ð Ô Ò ÙÒ Ì ÕÙ ÑÓ Ð Ñ ÒÓ× Ý Ð Ø ×Ù ÓÒ×ØÖÙ ÓÒº
Ð Ì Path<GT> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ñ ÒÓ ×Ó Ö ÙÒ List Graph<Node, Arc>¸ ×Ù ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ Ò Ö Ð × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¼¾ Ñ ÒÓ Ö Ó ¼¾ ≡ ¾¿
template <class GT>
class Path
{
Ì ÔÓ× Ô Ø ¼¾
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ø ¼¾
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾
};
¬Ò ×
Path¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼¿¸ ¼ ¸ ¾¿ß¾ ¸ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾¾¸ ¾ ¸ ¿ ß ½¸ ¾ ¸ ¿¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¿¿¸
Ò ¿º
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ GT × Ö Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc>¸ List Digraph<Node, Arc>
Ó Ð ÙÒ Ð × × Ò ÒØ º
Path<GT> Ù Ö Ð Ò×Ø Ò Ð Ö Ó Ò ÙÒ ØÖ ÙØÓ
¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ø ¼¾ ≡ ´ ¼¾ µ ¼¾
GT * g;
Ð Ù Ð × ÓÒ×ÙÐØ Ð Ñ ÒØ
¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ ≡ ´ ¼¾ µ ¼¾
GT & get_graph() { return *g; }
Ò Ó × ÓÒ × × Ö ÕÙ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ð ÙÐÓ ÙÒ Ñ ÒÓ ÓÒØ Ð Þ Ö ×Ù Ó×Ø ¸ ÔÓÖ
ÑÔÐÓº ØÓ× ÔÓ× Ð Ø Ö ×Ó Ö Ð ÙÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒÓ¸ Path<GT>
ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÓÓ
¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¾ ¼¿
void * cookie;
Ð Ù Ð × Ò Ð Þ Ó NULL Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ý Ó × ÖÚ Ð Ý ÑÓ ¬ Рѹ
ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¾ ¼¾
void *& get_cookie() { return cookie; }
Ò Ó × ÓÒ ×¸ × Ò × Ö Ó Ú Ð Ö × ÙÒ Ñ ÒÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ö ¬ Ö ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ ¹
ÙÐ Öº Ð Ñ ØÓ Ó
¼¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¾ ¼¿
bool inside_graph(GT & gr) const { return g == &gr; }
Ö ØÓÖÒ true × gr × Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ó ÕÙ Ñ Ò Ð Ò×Ø Ò Ó ØÓ Path<GT>º
Ä Ð × Path<GT> Ð ÐÓ× Ø ÔÓ× ÓÒ ÖÒ ÒØ × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× Ð Ö Ó Ð
× Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¼¾ Ì ÔÓ× Ô Ø ¼¾ ≡ ´ ¼¾ µ
typedef typename GT::Node_Type Node_Type;
typedef typename GT::Arc_Type Arc_Type;

629. 7.4. TAD camino sobre un grafo (Path<GT>) 603
ÄÓ Ñ ×ÑÓ × ÔÐ Ô Ö ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÓÒ Ð Ü Ô ÓÒ ÕÙ ×ØÓ× ×
Ñ Ò Ò Ñ Ò Ö ÔÖ Ú
¼¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¾ ¼¿
typedef typename GT::Node Node;
typedef typename GT::Arc Arc;
ÆÙ ×ØÖ Ñ Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ × Ñ ÒØ ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ ÐÓ Óѹ
ÔÓÒ Òº ×Ø ÓÖÑ × Ò Ô Ò ÒØ Ó× Ò Ö × × Ø Ð × ÓÑÓ ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ
ÑÙÐØ Ö Ó¸ ÙÒ Ö Ó¸ Ø Ø Ö º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò List Graph<Node, Arc> Ý Ò ×Ù
Ö Ú Ó List Digraph<Node, Arc>¸ ÙÒ Ö Ó ÒÓ ÜÔÖ × Ð Ö ÓÒ¸ × Ò × Ö Ó Ò¹
Ö Ù Ð × Ð ÒÓ Ó ÓÖ Òº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÓØÖÓ ÒÓ Ó Ð Ö Ó × Ö Ð ×Ù ×ÓÖ Ò Ð
Ñ ÒÓº
Ä Ó × ÖÚ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ×Ù Ö Ð × Ù ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ×
ÔÙÒØÓ Ð Ñ ÒÓ
¼¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¿ ¼¿
struct Path_Desc
{
Node * node; // nodo origen
Arc * arc; // arco adyacente
Path_Desc(Node * _node = NULL, Arc * _arc = NULL) : node(_node), arc(_arc) {}
};
¬Ò ×
Path Desc¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼¿¸ ¼ ¸ Ò ¼ º
×Ø ÑÓ Ó¸ ÙÒ Ñ ÒÓ × Ö ÔÖ × ÒØ ÓÑÓ ÙÒ Ð ×Ø Path Desc
¼¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¿
DynDlist<Path_Desc> list;
Í× × DynDlist ¿ Ò Path Desc ¼¿ º
Ä ÓÖÑ ØÖ ÓÒ Ð ½¾ Ð Ö Ö ÙÒ Ñ ÒÓ × ÙÒÓ Ú Ó ÕÙ Ö ¬ Ö ÙÒ Ø ÖÑ ¹
Ò Ó Ö Ó
¼¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¾ ¼¿
Path(GT & _g, void * __cookie = NULL) : g(&_g), cookie(__cookie) { /* empty */ }
Í× × Path ¼¾ º
Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ò ÙÒ Ñ ÒÓ Ú Ó ×Ó Ö Ð Ö Ó gº
Ç × ÓÒ ÐÑ ÒØ ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö× Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ
¼¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¿ ¼¿
Path(void * __cookie = NULL) : g(NULL), cookie(__cookie) { /* empty */ }
Í× × Path ¼¾ º
Ð Ù Ð ÒÓ Ø Ò Ö Ó ×Ó Óº
È Ö ÓÑ ÒÞ Ö ÓÔ Ö Ö ×Ó Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ú Ó Ý ÕÙ Ò Ö Ù Ð × ×Ù ÒÓ Ó Ò Ðº
×ØÓ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
¼¿ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¿ ¼
void init(Node * start_node) { list.append(Path_Desc(start_node)); }
Í× × Path Desc ¼¿ º
½¾
ÒÖ Ð Ð ØÖ ÓÒ ÙÒ ÒÓ ×Ø Ò×Ø ØÙ º

630. 604 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÓÒ start node × ÒÓ Ó Ò Ó Ð Ñ ÒÓº
Ë ÔÙ Ö ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ñ ÒØ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼¿ ¼
Path(GT & _g, Node * start_node, void * __cookie = NULL)
: g(&_g), cookie(__cookie) { init(start_node); }
Í× × Path ¼¾ º
ÓÒ start node × Ð ÒÓ Ó Ò Ó Ð Ñ ÒÓº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ × Ô ÖÑ Ø Ð Ö Ö ÙÒ Path<GT> × Ò ×Ô ¬ Ö ×Ù Ö Ó¸ ÑÓ× × Ò Ö
ÙÒ ×ÕÙ Ñ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ×Ô ¬ ÖÐÓ¸ ÐÙ Ó Ð Ö Ó ÙÒ Path<GT>º È Ö ÐÐÓ¸
ÔÖÓÚ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
void set_graph(GT & __g, Node * start_node = NULL)
{
clear_path();
g = &__g;
if (start_node == NULL)
return;
init(start_node);
}
Ä ÐÓÒ ØÙ ÙÒ Ñ ÒÓ × Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× ÕÙ ÐÓ ÓÑÔÓÒ Òº Ò ÒÙ ×ØÖ ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ׸ ×Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ø ÔÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ð ØÖ ÙØÓ list
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
const size_t & size() const { return list.size(); }
Ì Ñ Ò × ÔÓ× Ð ÔÖ ÙÒØ Ö × Ð Ñ ÒÓ ×Ø Ó ÒÓ Ú Ó
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
bool is_empty() const { return list.is_empty(); }
Ä Ð ÑÔ Þ ÙÒ Ñ ÒÓ ÓÒ× ×Ø Ò ÓÖÖ Ö ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׸ÐÓ Ù Ð × Ö Ð Þ
ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒ × Ù ÒØ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
void clear_path()
{
while (not list.is_empty())
list.remove_first();
}
Ä Ù Ð Ú Ð Ð ×Ø Path Descº
× ÔÓ× Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÓÔ ÓØÖÓ Ñ ÒÓ Ó × Ò ÖÐÓ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
Path(const Path & path) : g(path.g), list(path.list) { /* empty */ }
Path & operator = (const Path & path)
{
clear_path();
g = path.g;
list = path.list;
return *this;
}
Í× × Path ¼¾ º

631. 7.4. TAD camino sobre un grafo (Path<GT>) 605
Ä × Ò ÓÒ Ð ÑÔ Ð Ñ ÒÓ ×Ø ÒÓ ÒØ × ÓÔ Ö Ð Ñ ÒÓ ÓÖ Ò pathº
list.get last()->arc ×Ø Ö¸ siempre¸ Ò NULLº ×Ø ÑÓ Ó¸ list.get first()->node
× Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ð Ñ ÒÓ Ñ ÒØÖ × ÕÙ list.get last()->node Ð ÙÐØ ÑÓº Ð Ö Ó¹
ÖÖ Ó Ð Ñ ÒÓ × ×Ø Ò Ù ÒØÖ ÐÓ× Ö Ó× Ñ ÒØ Ð ÑÔÓ node Path Desc
listº
ÄÙ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ò Ó × Ö¸ ÓÒ ×Ù ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó¸ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð
Ñ ÒÓ × Ö Ñ Ø Ò ÖÐ ÐÓ× Ö Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ × ×ÔÓÒ Ð × Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
void append(Arc * arc)
{
Path_Desc & last_path_desc = list.get_last(); // ultimo elemento de list
last_path_desc.arc = arc;
list.append(Path_Desc(g->get_connected_node(arc, last_path_desc.node)));
}
Í× × Path Desc ¼¿ º
ÇØÖ ÓÖÑ Ò Ö ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ñ ÒÓ × ×Ô ¬ Ö Ð × Ù ÒØ ÒÓ Ó Ò ÐÙ Ö
Ð Ö Óº È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÖÓÚ Ð append() ÔÓÖ ÒÓ Ó
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
void append(Node * node)
{
if (list.is_empty())
{
init(node);
return;
}
Node * last_node = get_last_node();
Arc * arc = search_arc(*g, last_node, node);
append(arc);
}
Ä ÖÙØ Ò × Ð ÔÓÖÕÙ ÔÙ ÖÖ Ö Ñ Ù × ×Ó Ö ÑÙÐØ Ö Ó× Ý ÑÙÐØ ¹
Ö Ó׺
ÄÓ ÓÑÙÒ Ò Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ñ ÒÓ× × ÔÓÖ Ð ÜØÖ ÑÓ ÒÓÑ Ò Ó ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó º
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ó × ÓÒ ÐÑ ÒØ × ÔÓ× Ð ÜØ Ò Ö Ð Ñ ÒÓ ÔÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó × Ö¸
Ò Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ó Ö Ó Ø Ð ÕÙ ×Ø Ú Ò Ð ÔÖ Ñ ÖÓº ×ØÓ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð ×
ÓÒØÖ Ô ÖØ × insert()º
ÄÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÙÒ Ñ ÒÓ × ÓÒ×ÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × × Ù ÒØ ×
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
Node * get_first_node() { return list.get_first().node; }
Node * get_last_node() { return list.get_last().node; }
Arc * get_first_arc() { return list.get_first().arc; }
Arc * get_last_arc()
{
typename DynDlist<Path_Desc>::Iterator it(list);
it.reset_last();
it.prev();
return it.get_current().arc;
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Path Desc ¼¿ º

632. 606 Cap´
ıtulo 7. Grafos
×Ø × ÖÙØ Ò ×¸ ÕÙ Þ Ð ÕÙ Ñ Ö ÙÒ ÜÔÐ ÓÒ × get last arc()º Ê ÓÖ ÑÓ×
ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÙÒ DynDlist<T> ×ÓÐÓ ÔÙ Ö× ÔÓÖ ×Ù× ÜØÖ ÑÓ׺ Ë × × ÙÒ
Ð Ñ ÒØÓ Ö ÒØ ¸ ÒØÓÒ × × Ò × Ö Ó Ö ÓÖÖ Ö Ð × Ù Ò ØÖ Ú × ÙÒ Ø Ö ÓÖº
ÓÖ Ò¸ get last arc() Ö ØÓÖÒ Ö Ð ÙÐØ ÑÓ Ö Ó Ð Ñ ÒÓ¸ Ô ÖÓ ×Ø ÒÓ ×
Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Path Desc list¸ × ÒÓ Ò Ð Ô ÒÙÐØ ÑÓº À ÐÐ Ð Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð
Ù Ð Ð Ø Ö ÓÖ × ÔÓ× ÓÒ Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Path Desc Ý ÐÙ Ó Ö ØÖÓ ÙÒ ÔÓ× ÓÒº
×Ø ÓÖÑ ¸ × Ð Ô ÒÙÐØ ÑÓ Path Desc × Ð ÙÐØ ÑÓ Ö Óº
ÅÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ×Ó Ö ØÓ Ó ÐÓ× ÕÙ ØÙ Ò Ö ØÖÓ ×Ó ´ ØÖ Ò µ¸ ÓÒ×ØÖÙÝ Ò
Ñ ÒÓ× ÙÝÓ× ÜØÖ ÑÓ× ¬Ò Ð × Ò × Ö ÓÖÖ Ó׺ ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ × Ò ×Ô Ò× Ð Ð
× Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
void remove_last_node()
{
list.remove_last();
list.get_last().arc = NULL;
}
Ð Ù Ð ÓÖÖ Ð ÙÐØ ÑÓ Ö Ó ´ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù ÒÓ Óµ Ð Ñ ÒÓº
ÄÙ Ó ÓÒ×ØÖÙ Ó ÙÒ Ñ ÒÓ¸ ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö× Ö ÓÖÖ ÖÐÓº È Ö ×ØÓ × ÔÖÓÚ ÙÒ
Ø Ö ÓÖ ÙÒØÓ ÓÒ ÙÒ Ñ Ð ÙÒ ÓÒ × ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÙÒ
Ñ ÒÓº
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼ ¼
class Iterator : public DynDlist<Path_Desc>::Iterator
{
// ...
Path_Desc & get_curr_path_desc()
{
return this->DynDlist<Path_Desc>::Iterator::get_current();
}
Node * get_current_node() { return this->get_curr_path_desc().node; }
Arc * get_current_arc()
{
return this->get_curr_path_desc().arc;
}
bool has_current_arc() const
{
return this->has_current() and not this->is_in_last();
}
bool has_current_node() const { return this->has_current(); }
};
Í× × DynDlist ¿ Ò Path Desc ¼¿ º
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ô Ø ¼¾ +≡ ´ ¼¾ µ ¼
template <class Operation> void operate_on_nodes()
{
for (Iterator it(*this); it.has_current(); it.next())
Operation () (it.get_current_node());
}
template <class Operation> void operate_on_arcs()
{

633. 7.5. Recorridos sobre grafos 607
for (Iterator it(*this); it.has_current(); it.next())
Operation () (it.get_current_arc());
}
7.5 Recorridos sobre grafos
Ë Ò ÒØ ¬ Ó Ó× Ô ØÖÓÒ × ÖÕÙ Ø Ô Ó× ÜÔÐÓÖ ÓÒ¸ ÐÐ Ñ Ó× Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ¹
ÙÒ Ý Ò ÑÔÐ ØÙ ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó× Ü
ÙÒ Ù ÓØÖ Ó Ñ × Ñ Ò Ö × ÜÔÐÓÖ ÖÐÓº
Ä ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× × × Ñ Ð Ö ÐÓ× ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ØÙ Ó× Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ü
× Ö ÙÒ Ô ØÖÓÒ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÔÖ × ÒØ Ò ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺
ÄÓ× Ö ÓÖÖ Ó× Ý ÓØÖ × ÔÖ Ñ Ø Ú × × × Ò ÐÐÓ× × ¬Ò Ò Ò Ð Ö ÚÓ tpl graph utils.Hº
7.5.1 Iteradores filtro
× ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð Ø Ö ÓÖ × Ò Ù ÒØÖ ÒØÖ ÐÓ× Ñ × ÙØ Ð × Ý Ú Ö× Ø Ð × Ô ØÖÓÒ ×
× ÒÓ ½ º À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ø Ö ÓÖ × ÕÙ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ó
ÓÑÔÖ Ò Ð ØÓØ Ð Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð ÕÙ Ö ¬ Ö Òº
ÈÖÓÒØ Ñ ÒØ ÓÒ×Ø Ø Ö ÑÓ× ÕÙ ÑÙ Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÓ Ð Þ Ó× ×Ó Ö Ö Ó× Ö ÕÙ Ö Ò
×Ó¬×Ø × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׸ × ÓÑÓ Ð ÑÔÐ Ó ×Ø ÒØÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ Ù×
×ØÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÓÑÙÒ¸ × Ò Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó× ÒÓ × ÙÒ Ø Ö
× Ò ÐÐ ¸ Ñ Ü Ñ Ù Ò Ó ÔÖ Ø Ò ÑÓ× Ð Ò Ö Ð Ý ÒÖ º Ò Ò ÙÖ ¸ ÐÓ×
Ö Ó× Ö ÕÙ Ö Ò ×Ø ÒØ ×Ô Ó Ñ ÑÓÖ ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ×Ù ÓÖÖ ÔÙ × Ö Ö Ø Ó Ò
ÑÙ × × ØÙ ÓÒ ×º
Ú × × ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ × Ö Ð ÙÒ × Ð × × ÒÓ Ó Ó Ö Ó ÙÒ Ö Ó Ý × ÖØ ×
ÓØÖÓ׺ ÍÒ Ñ Ò Ö Ò Ö ¬ÐØÖ Ö Ð × Ù Ò ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÓÒ× ×Ø
Ò Ù× Ö ÙÒ “iterador filtro”¸ Ð Ù Ð Ò ÒØ Ö Þ × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ ØÖ ¹
ÓÒ Ðº È Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ×Ô ¬ Ö× Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ø Ö ¸ ÙÒ
Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ý ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÕÙ × ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÚÙ ÐØÓ ÔÓÖ Ð Ø ¹
Ö ÓÖ Ó ÒÓ × Ö ÑÓ×ØÖ Ó ÔÓÖ Ð Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓº ËÙ ×Ô ¬ ÓÒ Ö × Ò Ð Ö ÚÓ
filter iterator.H¸ Ð Ù Ð × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
¼ ¬ÐØ Ö Ø Ö ØÓÖºÀ ¼ ≡
template <class Container, class It, class Show_Item>
class Filter_Iterator : public It
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ¼
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ¼
};
¬Ò ×
Filter Iterator¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ ß½¼º
Ù Ò Ó × Ò×Ø Ò ÙÒ Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ´Filter Iteratorµ¸ × ×Ô ¬ Ò ØÖ × Ð × ×
Ô Ö Ñ ØÖ Þ × × ÙÒ ÐÓ Ý Ñ Ò ÓÒ Ó
½º Container Ð Ø ÔÓ ÓÒ ÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ø Ö º
¾º It ÙÒ Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Containerº
ÁÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ¸ Ð Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ Ò×Ø Ò ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ø ÔÓ Container::It ÓÒ Ð
Ù Ð × Ö ÓÖÖ Ò ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Containerº

634. 608 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¿ºShow Item ÙÒ Ð × ÕÙ Ø ÖÑ Ò × ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÒÓ
× Ö ÑÓ×ØÖ Ó ÔÓÖ Ð Ø Ö ÓÖº ×ØÓ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ñ ÐÓ bool
Show Item::operator()(Container&, Container::Item Type&) Ð Ù Ð Ö¹
ØÓÖÒ Ö true × Ð Ð Ñ ÒØÓ ÑÓ×ØÖ Ö× Ó false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ × Ò ÐÐ Ý ×Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ð Ö Ú ÓÒ ÔÙ Ð
Container::Itº È Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð ÐÐ Ñ ÓÒÚ Ò Show Item()()¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ×
Ù Ö Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò ÔÙÒØ ÖÓ ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ Ð Ð ×
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ¼ ≡ ´¼µ ¼
Container * cont;
Ñ ×¸ ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ó× Ø ÔÓ ÖÙØ Ò ×¸ ÙÒ Ô Ö ÓÐÓ Ö Ð Ø Ö ÓÖ Ò ÙÒÓ ÐÓ×
ÜØÖ ÑÓ× Ð × Ù Ò Ý ÓØÖ Ô Ö Ú ÒÞ ÖÐÓ ×Ø × Ö Ð Þ Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ¼ +≡ ´¼µ ¼
void goto_first_valid_item()
{
try
{ // colocarse en el primer elemento que acepte Show_Item
for (It::reset_first(); true; It::next())
if (not It::has_current() or Show_Item () (*cont, It::get_current()))
return;
}
catch (std::overflow_error) { /* se queda en overflow sin propagar */ }
}
void forward()
{
It::next();
try
{ // avanzar hasta el siguiente item que acepte Show_Item
for (;true; It::next())
if (not It::has_current() or Show_Item () (*cont, It::get_current()))
return;
}
catch (std::overflow_error) { /* se queda en overflow sin propagar */ }
}
goto first valid item() ÓÐÓ Ð Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ú Ð Ó ÕÙ Ø Ö¹
Ñ Ò Show Item()(*cont,It::get current())µº forward() ÐÓ Ú ÒÞ ×Ø Ð ÔÖ Ñ Ö
ÔÓ× ÓÒ Ú Ð × ÙÒ Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ø Ö Óº Ò Ñ × ÓÔ Ö ÓÒ × Ü ×Ø Ð ÔÓ× Ð ÕÙ
ÒÓ Ý Ñ × Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÑÓ×ØÖ Öº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ø Ö ÓÖ Ö× Ò Ð ×Ø Ó
× ÓÖ std::overflow error × Ò ÔÖÓÔ Ö Ð Ü Ô ÓÒ ´ Ñ ÒÓ× ÕÙ × ÙØ ÙÒ
next() ×Ó Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ × ÓÖ Ó¸ Ý ×Ø × Ð Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð ÔÖ Ñ Ö next() ×Ó Ö
forward() ÒÓ ØÖ Ô Ð Ü Ô ÓÒµº
À Ý Ó× ÖÙØ Ò × Ò ÐÓ × Ô Ö ÓÐÓ Ö Ð Ø Ö ÓÖ Ò Ð ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ ÒØÓ Ý Ú ÒÞ Ö
ØÖ × goto last valid item() Ý backward()º
Ä × ÖÙØ Ò × ÚÒ ¬Ò × Ó ÙÐØ Ò Ð ÒÑ × Ö Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ× ØÖ Ú ×
Show Itemº Å ÒØ ÐР׸ Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ × Ö ÐÑ ÒØ ÓÑÔÖ Ò× Ð
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ¼ ≡ ´¼µ
typedef typename It::Item_Type Item_Type;
Filter_Iterator() : cont(NULL) { /* empty */ }
Filter_Iterator(Container & cont) : It(cont), cont(&cont)

635. 7.5. Recorridos sobre grafos 609
{
goto_first_valid_item();
}
Filter_Iterator(const Filter_Iterator & it) : It(it), cont(it.cont) { /* empty */ }
Filter_Iterator & operator = (const Filter_Iterator & it)
{
*((It*) this) = it;
cont = it.cont;
return *this;
}
void next() { forward(); }
void prev() { backward(); }
void reset_first() { goto_first_valid_item(); }
void reset_last() { goto_last_valid_item(); }
Í× × Filter Iterator ¼ º
Å ÒØ ×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú × ÙÒ Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ Ó Ö Ð ÐÙ× ÓÒ × Ö ÙÒ Ø Ö ÓÖ ALEPH
´Ó Ö Ü Ø Ñ ÒØ ×Ù Ñ ×Ñ ÒØ Ö Þµº
ÄÓ× Ø Ö ÓÖ × ALEPH Ù ÖÓÒ × Ò Ó× Ô Ò× Ò Ó Ò Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ Ý Ð Ð º
× ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ ÔÓÖ × Ö ÞÓÒ ÕÙ ×ØÓ× ÒÓ ÜÔÓÖØ Ò ÙÒ ÒØ Ö Þ Ö Ñ Ò × ÒØ Ð
Ð Ð ÓØ stdc++¸ ÔÙ × ×Ø ÙÐØ Ñ ÓÒ×ÙÑ Ø ÑÔÓ× Ò ÓÔ × Ø ÑÔÓÖ Ð ×½¿ º
7.5.1.1 Iterador filtro de arcos de un nodo
Ð Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ÕÙ ÑÓ× ¬Ò Ö × ÔÐ Ð ÔÖ Ø Ñ ÒØ Ù ÐÕÙ Ö ÓÒØ Ò ÓÖ
ALEPH ÐÓ× Ö Ð ÓÒ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ò ÐÙ× Ú º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × ÙÒ Ð × Ö ÙÒ×¹
Ø Ò × Ð ÓÖ ØÑ ×¸ Ð ÙÒ × Ú × Ò × Ø Ö ÑÓ× Ø Ö Ö Ñ Ò Ö ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÒÓ
Ú Ò Ð ÙÒ × Ð × × Ö Ó× ÐÓ× Ù× Ó× Ô Ö Ð ÙÐÓ Ô Ö Ð ×¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓº ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸
¬Ò Ö ÑÓ× ÙÒ Ø Ö ÓÖ ÜØ ÖÒÓ Ð Ð × List Graph<Node, Arc> ÕÙ ÓÔ Ö ×Ó Ö ÐÓ×
Ö Ó× ÙÒ ÒÓ Óº Ì Ð Ð × × ×Ô ¬ Ð ÑÓ Ó × Ù ÒØ
¼ ÁØ Ö ÓÖ × ¬ÐØÖÓ× List Graph<Node, Arc> ¼ ≡ ½¼
template <class GT, class Show_Arc = Default_Show_Arc<GT> >
class Node_Arc_Iterator :
public Filter_Iterator<typename GT::Node*, typename GT::Node_Arc_Iterator,
Show_Arc>
{
};
Í× × Filter Iterator ¼ Ò Node Arc Iterator º
Ë Ò Ó ÖÚ Filter Iterator ÓÒ Ð Ø Ö ÓÖ ÒÓ Ó× Ð Ö Ó¸ Ð ÒØ Ö Þ
Node Arc Iterator × ÒØ List Graph<Node, Arc> Node Arc Iteratorº
Ä Ð × ÐÓ Ð Node Arc Iterator Ø Ò ÙÒ ×Ô Ð Þ ÓÒ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ ÕÙ ÒÓ Ö Ð Þ
Ò Ò ÙÒ ¬ÐØÖ Ó Ý ÕÙ × ÑÔÐ ÒØ Ó ÔÓÖ Ð Ð × Default Show Arcº × Ö¸ × ÒÓ ×
×Ô ¬ ÙÒ Ð × ¬ÐØÖÓ Ö Ó׸ ÒØÓÒ × Node Arc Iterator ÑÙ ×ØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺
×Ø Ø Ö ÓÖ × Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
Ö Ó׺ ËÙ Ú Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ × Ò × ÑÔ ÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ø Ö ÓÖ
½¿
ÍÒ ÑÔÐÓ Ø Ô Ó
for (typename set<T>::iterator = s.begin(); it < s.end(); it++)

636. 610 Cap´
ıtulo 7. Grafos
List Graph<Node, Arc> Node Arc Iterator¸
ÔÙ × Ð Ö Ø Ö ÒÐ Ò ÐÓ× Ñ ØÓ Ó×
Ð Ô ÖÑ Ø Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ö Ð Þ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ñ º
7.5.1.2 Iterador filtro de arcos
Ë Ñ Ð Ö Ð Ø Ö ÓÖ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ô ÖÓ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ö Ó¸ ¬Ò ÑÓ× ÙÒ Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ
½¼ ÁØ Ö ÓÖ × ¬ÐØÖÓ× List Graph<Node, Arc> ¼ +≡ ¼ ½¼
template <class GT, class Show_Arc = Default_Show_Arc<GT> >
class Arc_Iterator :
public Filter_Iterator<GT, typename GT::Arc_Iterator, Show_Arc>
{
};
Í× × Arc Iterator Ò Filter Iterator ¼º
Ð Ù×Ó ×Ø Ø Ö ÓÖ × Ñ ÒÓ× Ö Ù ÒØ ÕÙ Node Arc Iteratorº
7.5.1.3 Iterador filtro de nodos
ÅÙ Ó Ñ ÒÓ× Ö Ù ÒØ Ù×Ó¸ Ô ÖÓ ÔÐ Ù× Ð ¸ ¬Ò ÑÓ× ÙÒ Ø Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ ×Ó Ö ÐÓ× ÒÓ Ó×
½¼ ÁØ Ö ÓÖ × ¬ÐØÖÓ× List Graph<Node, Arc> ¼ +≡ ½¼
template <class GT, class Show_Node = Default_Show_Node<GT> >
class Node_Iterator :
public Filter_Iterator<GT, typename GT::Node_Iterator, Show_Node>
{
};
Í× × Filter Iterator ¼ Ò Node Iterator º
7.5.2 Recorrido en profundidad
Ò ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ Ð Ö Ó × Ú × Ø ØÖ Ø Ò Ó ÓÒ ÓÖÑ Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ ×
Ð Ö Ó ÔÓ× Ð ÒØ × Ö ØÓÖÒ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ý Ú × Ø Óº
× ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÓÐ Ö ÙÖ× Ú º Ë dft(p) Ù × Ð ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö
Ð ÒÓ Ó p¸ ÒØÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ð × Ö ÓÑÓ × Ù º
Algoritmo 7.1 (Recorrido en profundidad desde el nodo p ) Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ö ¹
ÙÖ× ÚÓ ÓÒ ÔÖÓØÓØ ÔÓ dft(p) ÓÒ p × Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð Ú × Ø º
Ë Ù× ÙÒ Ú Ö Ð ÐÓ Ð¸ num nodes¸ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð × ÖÓ¸ Ô Ö ×Ò Ð ÖÐ Ò¹
Ø ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó׺
½º Ë p ×Ø Ô ÒØ Ó × Ö¸ Ý Ù Ñ Ö Ó ÓÑÓ Ú × Ø Ó¸ =⇒ Ö ØÓÖÒ º
¾º È ÒØ Ö pº
¿º ÁÒ Ö Ñ ÒØ Ö num nodes Ò ÙÒÓº
º Ë num nodes == |V| =⇒ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ò × Ó Ö ÓÖÖ Ó× Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ø ÖÑ Ò º
º È Ö ØÓ Ó Ö Ó a Ý ÒØ p
´ µ Ë q Ð ÒÓ Ó Ò ÒØ × p ØÖ Ú × Ð Ö Ó aº

637. 7.5. Recorridos sobre grafos 611
´ µ ÄÐ Ñ Ö dft(q);
Ë Ð Ò ÔÖÓ ÙÒ ÔÓÖÕÙ ¸ Ó Ð ÒÓ Ó p¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÒÓ Ö Ú × ÙÒ ÒÙ ÚÓ
Ö Ó p −→ r ×Ø ÒÓ Ö Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð ÒÓ Ó q × Ð
Ö Ó ØÙ Ð p −→ qº
ÅÙ × Ú × ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ×Ó Ö Ö Ó× ÓÒ× ×Ø Ò Ù× Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ð ÙÒ × Ö ¹
Ø Ö ×Ø × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ×ÓÐÙ ÓÒº ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Ö Ó× Ø Ñ Ò
× Ð ÒÓÑ Ò ¸ Ò ×Ø ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ù×ÕÙ × º ÑÔÐ Ö ÑÓ× ÓÑÓ × ÒÓÒ ÑÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð
ÜÔÖ × ÓÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô Ö Ö Ö Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÓÒ ÑÓº
Î ÑÓ× ÓÖ ÓÑÓ Ó ¬ Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º È Ö ÐÐÓ¸ Ü Ñ Ò ÑÓ× Ð
ÔÖÓØÓØ ÔÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ÕÙ ÒÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½
½½ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ½½ ≡ ½¾
template <class GT, class SA> inline static bool
__depth_first_traversal(GT & g,
typename GT::Node * node,
typename GT::Arc * arc,
bool (*visit)(GT & g,
typename GT::Node *,
typename GT::Arc *),
size_t & count);
×Ø × Ð ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½º
depth first traversal<GT,SA>() ÓÔ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ó ØÓ Ö Ú Ó List Graph<Node, Arc>¸
Ð Ù Ð ×Ø ÜÔÖ × Ó ÔÓÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ GTº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ SA Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ö Ø ¹
ÖÓ ÑÖ ÐÓ× Ö Ó× ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ¸ depth first traversal() ÙØ Ð Þ ÙÒ Ø Ö ÓÖ
¬ÐØÖÓ ×Ó Ö ÐÓ× Ö Ó׺ ×Ø ÑÓ Ó¸ × ÔÙ ÓÒ¬ ÙÖ Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ô Ö ÓÒ× Ö Ö Ó ÒÓ
Ö Ó× Ð Ö Ó × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Óº
ÄÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð ÙÒ ÓÒ × × Ö Ò ×
½º g Ð Ö Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ö Ð Þ Ð Ö ÓÖÖ Óº
¾º node Ð ÒÓ Ó ÕÙ × ×Ø Ú × Ø Ò Óº
¿º arc Ð Ö Ó × Ð Ù Ð × ÐÐ Ð ÒÓ Ó nodeº
º (*visit)() ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ú × Ø º Ë ×Ø ÔÙÒØ ÖÓ × ×Ø ÒØÓ ÒÙÐÓ¸
ÒØÓÒ × Ð ÙÒ ÓÒ Ú × Ø × ÒÚÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÕÙ × Ú ÙÒ ÒÓ Óº
Ä ÙÒ ÓÒ Ú × Ø Ø Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ô Ö Ñ ØÖÓ×
´ µ g Ð Ö Ó ÕÙ × ×Ø Ú × Ø Ò Óº
´ µ n ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Óº
´ µ a ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ö Ó ÕÙ ÓÒ Ù Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó nº
(*visit)() Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÐÓ Óº Ë × true ÒØÓÒ × × ×ÙÑ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ
Ø ÖÑ Ò Ó ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ù×ÕÙ ÔÖÓ× Ù ×Ø ÕÙ (*visit)() Ö ØÓÖÒ ØÖÙ
Ó ×Ø ÕÙ × Ý Ò Ú × Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒÓ Ó× Ð Ö Ó × ÙÒ ×Ù ÓÒ Ø Ú º
º node counter Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÓÖ Ö Ö Ò ÕÙ ÓÒØ Ð Þ Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ú × ¹
Ø Ó׺

638. 612 Cap´
ıtulo 7. Grafos
depth first traversal() Ö ÓÖÖ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð Ö Ó Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó nodeº Ð
Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ (*visit)() Ô ÖÑ Ø Ø Ò Ö Ð Ù×ÕÙ × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó ×Ô ¬ Ó
Ñ Ó Ò Ð ÙÒ ÓÒº
Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × ÒÚÓ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ × Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò Ù×Ó
ÔÙ Ð Ó
½¾ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ½½ +≡ ½½ ½¾
template <class GT, class SA> inline
size_t depth_first_traversal(GT & g,
typename GT::Node * start_node,
bool (*visit)(GT & g, typename GT::Node *,
typename GT::Arc *) )
{
g.reset_bit_nodes(Depth_First); // reiniciar bit Depth_First de los nodos
g.reset_bit_arcs(Depth_First); // reiniciar bit Depth_First de los arcos
size_t counter = 0; // inicialmente no se ha visitado ning´n nodo
u
__depth_first_traversal <GT, SA> (g, start_node, NULL, visit, counter);
return counter;
}
Ð Ù Ð ÜÔÐÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó g Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó start node Ý Ö ØÓÖÒ Ð ÒØ
ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó׺ Ë × ×Ô ¬ ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ú × Ø ¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÒÚÓ ÚÞ
ÕÙ ÙÖ ÒØ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ × × Ù Ö ÙÒ ÒÓ Óº
À Ý ÓØÖ Ú Ö× ÓÒ¸ ÕÙ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ×Ô ¬ Ö Ð ÒÓ Ó Ò Ó¸ ÕÙ ÖÖ Ò Ð Ú × Ø
×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö Ð Ö Ó ´ Ð ÕÙ ÖÖÓ get first node()µº
ÒØ × ÑÔÐ ÒØ Ö depth first traversal() × ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ð Þ Ö Ð ÙÒ × Ð Ö ¹
ØÓÖ × ÕÙ ÒÓ× ÝÙ Ö Ò ÓÑÔÖ Ò Ö Ð Ó Ó ×Ø Ý ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×Ó Ö Ö Ó׺
Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÓÖ ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö Ñ Ö Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ð Ù Ð × Ö Ñ ÒØ
ÙÒ Ø ÓÒØÖÓÐ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ Ð Ø Depth Firstº Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ ØÓ×
Ð Ö Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó¸ Ú ÑÓ× Ñ Ö Ö¸ Ø Ñ Ò¸ ÐÓ× Ö Ó× Ú ×ØÓ׺ ×ØÓ ÒÓ× ÓÖÖ ÐÐ Ñ ×
Ö ÙÖ× Ú × ÕÙ Ú Ò Ö ×Ó Ö ÒÓ Ó× ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ú × Ø Ó× × ÓØÖÓ Ñ ÒÓº À ×
Ð × Ð Ö ØÓÖ × Ô ÖØ Ò ÒØ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ö Ð ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú
½¾ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ½½ +≡ ½¾
template <class GT, class SA> inline static bool
__depth_first_traversal(GT & g,
typename GT::Node * node,
typename GT::Arc * arc,
bool (*visit)(GT & g,
typename GT::Node *,
typename GT::Arc *),
size_t & count)
{
if (IS_NODE_VISITED(node, Depth_First))
return false;
NODE_BITS(node).set_bit(Depth_First, true); // marca nodo visitado
count++;
// Aqu´ se visita el nodo mediante la funci´n de visita
ı o
// recorrer arcos de node y visitar recursivamente nodos conectados
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(node); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();

639. 7.5. Recorridos sobre grafos 613
if (IS_ARC_VISITED(arc, Depth_First))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Depth_First, true); // marca arco actual visitado
if (__depth_first_traversal<GT, SA>(g, it.get_tgt_node(), arc, visit, count))
return true; // ya se explor´ cabalmente it.get_tgt_node()
o
}
return false; // retorne y siga explorando
}
Í× × Node Arc Iterator º
ÆÓØ × ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ Ø Ö ÓÒ Ð for ÓÒ× Ö Ð Ø Ò ÓÒ × Ý × ÒÚ×Ø Ó
ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׺
B J H M
L
A D E N
I
C F G K
ÙÖ º½ ÍÒ Ö Ó ÑÔÐÓ
Ò ÖØÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × Ö Ñ Ò × ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ×Ó Ö
ÙÒ Ö Óк Ó¸ ×Ù ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ÓÑÓ Ö ÓÐ × ÑÙÝ ÙØ Ð Ô Ö ×ØÙ Ö Ð × ÒØ Ó
Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒº Ä ¬ ÙÖ º½ ÐÙ×ØÖ Ó× ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ × Ö ÓÖÖ Ó Ô Ö Ð Ö Ó Ð
¬ ÙÖ º½ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò Ð ÒÓ Ó A Ý ÓØÖÓ Ò Nº ÍÒ Ú Þ ×Ø Ð Ó Ð
ÒÓ Ó Ò Ó¸ Ð ÓÖ Ò Ú × Ø Ô Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ö Ó Ý Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ×
ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× Ö Ó× Ò Ð × Ð ×Ø × Ý Ò ÒÓ Óº
Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × Ù× Ò Ù Ò Ó × ×Ø Ñ ÕÙ Ð
ÒÓ Ó ×ÓÐÙ ÓÒ ×Ø Ð ÒÓ Ð Ò Óº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ö ÓÐ × ÔÖÓ ÙÒ Ð
¬ ÙÖ º½ ×ÓÒ Ð Ö Ó× Ý Ð Ó× ¸ ÓÒ ÔÓ × Ö Ñ ×º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ × ÔÐ ÒÓ ÔÓÖÕÙ Ô ÖØ Ö
A × ÔÓ× Ð Ú × Ø Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ó × Ò Ò × Ö Ö × Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ý Ú × Ø Óº
Ò Ð × ÙÒ Ó Ö ÓÐ Ú ÑÓ× ÙÒ Ö Ö ×Ó Ð ÒÓ Ó Gº
Ë Ð Ö Ó × ÓÒ ÜÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ö ÕÙ Ö ÐÓ ×ÙÑÓ O(V) +
O(E) = O(Ñ Ü(V, E)) Ô ×Ó× Ô Ö Ò Ð Þ Ö ÐÓ× Ø× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺ ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸
Ð ÖÙØ Ò ÓÑ ÒÞ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ð Ö Ó Ý ÐÓ ×ÙÑÓ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ V Ú ×
depth first traversal()º ÙÖ ÒØ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú × Ö ÓÖÖ ¸ ÒØ Ö Ñ ÒØ ¸
Ð Ð ×Ø Ý Ò Ð ÒÓ Ó Ú × Ø ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ¸ Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó׸ ×
Ú × Ø Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × ×¸
Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ O(V) + O(E)º
Ð Ô ÓÖ Ó×Ø Ò ×Ô Ó Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ó ÙÖÖ × Ð Ö Ó × Ù ÖØ ¹
Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓº ÍÒ Ò ÓÒ ×ØÓ × ÑÙ ×ØÖ Ñ Ö Ò Ó Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ¹
Ð ¬ ÙÖ º½ ¹´ µº Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐ Ö Ñ ÐÓ ÕÙ × ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÙÒ Ð ×Ø ÒÐ Þ º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÔÖÓ ÙÒ Ö ÙÖ× Ú × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð O(V)º
Ë Ð Ö Ó ÒÓ × ÓÒ ÜÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö ÓÖÖ Ó ÙÐÑ Ò × Ò Ö Ú × Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ×
ÒÓ Ó× ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ × Ò Ú × Ø Ó× Ô Ò Ö Ò Ð ÒÓ Ó ÔÓÖ Ð Ù Ð × Ò Ð Ù×ÕÙ º
Ð Ö ÓÖÖ Ó ÕÙ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ó Ù× ÒÓ Ó׸ ÔÓÖ ×Ó ÔÓ ÑÓ× Ø Ò ÖÐÓ Ù Ò Ó ×

640. 614 Cap´
ıtulo 7. Grafos
A
B
J N
D E
C D
F A
E B
G J
H H
M M
N L
L G
I F K
K C I
´µ ´ µ ÁÒ Ó Ò Æ
ÁÒ Ó Ò
ÙÖ º½ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º½
Ò Ú × Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׺ Ò Ó × ÓÒ ×¸ Ð Ù×ÕÙ × ÔÐ ÒØ Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ó׸
Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ö ÓÖÖ Ó Ø Ò × Ö Ñ × Ó×ØÓ×Ó¸ ÔÙ × Ð Ø Ò ÓÒ Ö× Ù Ò Ó
× Ý Ò Ú × Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ Ö Ó׺
7.5.3 Conectividad entre grafos
ÍÒ Ð × ÔÐ ÓÒ × Ñ × × ÑÔÐ × Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ × Ð ÔÖÙ ÓÒ ¹
ØÚ ÙÒ Ö Óº Ä × × Ö ÓÖÖ Ö Ð Ö Ó Ý Ú Ö ¬ Ö × Ù ÖÓÒ Ú × Ø Ó× ØÓ Ó×
ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ò ÙÝÓ ×Ó ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÓÒ ÖØ ØÙ ÕÙ Ð Ö Ó × ÓÒ ÜÓº
À Ý ÙÒ ÓÒ× Ö ÓÒ ÓÒ Ð ÕÙ ÒÙ ×ØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ý ÓÒ× ×Ø Ò Ö Ú × Ö Ð
ÒØ Ö Ó׸ Р٠и × × Ñ ÒÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ñ ÒÓ× ÙÒÓ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ×
ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ö Ó × Ò ÓÒ ÜÓ Ý ÓÖÖ ÖÒÓ× Ð Ö ÓÖÖ Óº
Ä ÖÙØ Ò Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÑÔÐ ÒØ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ ÈÖÙ ÓÒ Ø Ú ½ ≡
template <class GT, class SA> inline
bool test_connectivity(GT & g)
{
if (g.get_num_arcs() < g.get_num_nodes() - 1)

641. 7.5. Recorridos sobre grafos 615
return false;
return depth_first_traversal <GT, SA> (g, NULL) == g.get_num_nodes();
}
test connectivity() Ö ØÓÖÒ true × Ð Ö Ó × ÓÒ ÜÓ¸ false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ä ÔÖÙ ×Ó Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× Ú Ð ÓÒ Ö × Ð Ô Ò ÔÓÖÕÙ ØÓÑ Ø ÑÔÓ O(1) Ý
ÔÙ ÓÖÖ Ö Ó×Ø × Ð Ò Ð ×º ÑÔ ÖÓ¸ ×Ø × ÑÔÐ ÔÖÙ ÓÒ Ø Ú ÒÓ × ÓÖÖ Ø
× ØÖ Ø ÑÓ× ÓÒ ÙÒ ÑÙÐØ Ö Óº
test connectivity() ÒÓ ÓÔ Ö ×Ó Ö Ö Ó׺ ×Ø Ð × ÓÒ Ø Ú × ×ØÙ
Ò Ü º º½º
7.5.4 Recorrido en amplitud
ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ× Ò Ó¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ÑÙÐ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó ×Ó Ö ÙÒ
Ö ÓÐ ØÖ Ø Ö ÐÓ Ñ × ÔÖÓ ÙÒ Ó Ò Ò Ú Ð ÒØ × Ö Ö × Ö ÔÖÓ × Ö Ö Ó× ÙÒ ÒÓ
Ö ÓÖÖ Ó׺
ÇØÖ ÓÖÑ ÔÖÓ × Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÔÖ Ú Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ × Ö ÒÓ×
×Ó Ö ÐÓ× Ñ × Ð ÒÓ× Ý ÕÙ ¸ × ÙÒ Ð Ò ÓÐ Ð Ö Ó¸ ÔÙ × Ö Ñ × ÓÒÚ Ò ÒØ ¸ × Ð
Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ º Ò ×Ø Ð × Ù×ÕÙ ÒÓ × ÔÖÓ × ÙÒ ÒÓ Ó ÙÒ Ò Ú Ð i
×Ø ÕÙ ÒÓ × Ý Ò ÔÖÓ × Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ò Ú Ð ÒØ Ö ÓÖ i − 1 × Ö¸ ÙÒ
×Ô Ö ÓÖÖ Ó× ÔÓÖ Ò Ú Ð ×º Ð Ñ Ó Ô Ö Ù Ö Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓÖ Ò Ú Ð × × Ð Ñ ×ÑÓ
ÕÙ Ô Ö ÐÓ× Ö ÓÐ × ÙÒ ÓÐ º Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ Ù× ÑÓ× ÙÒ ÓÐ ÔÙÒØ ÖÓ× Ö Ó׺
A
B C D F N
J H E G E H G M L I K
M N L K D J F
I A B C
´ µ ÁÒ Ó Ò ´ µ ÁÒ Ó Ò Æ
ÙÖ º½ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ÑÔÐ ØÙ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º½
Ä Ö Ò × Ò Ð ÒØÖ Ð Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ý Ð ÔÖÓ ÙÒ × ÕÙ Ð
ÑÔÐ ØÙ ÜÔÐÓÖ ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ × ÓÖØÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙÒ Ø Ò
Ö ÔÓÖ ÐÓ× Ñ × Ð Ö Ó׺ ×Ø Ó× Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒØÖ ×Ø Ò Ó ÐÓ× Ö ÓÐ ×
Ö ÓÖÖ Ó׸ ÐÓ× Ù Ð × ×ÓÒ Ñ × ÖÓÒ Ó×Ó× Ô Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ´Ú Ö ¬ ÙÖ ×
Ü º½ ´Ô Ò ½ µ Ý Ü º½ ´Ô Ò ½ µµº
Ä ÔÖ Ñ Ø Ú ÒÓ × Ö ÙÖ× Ú º Ì Ò Ð Ñ ×Ñ ÒØ Ö Þ Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÕÙ ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ
Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ½ ≡ ¾
template <class GT, class SA> inline size_t
breadth_first_traversal(GT & g,
typename GT::Node * start,
bool (*visit)(GT &, typename GT::Node *,
typename GT::Arc *) )
{

642. 616 Cap´
ıtulo 7. Grafos
g.reset_bit_nodes(Breadth_First);
g.reset_bit_arcs(Breadth_First);
DynListQueue<typename GT::Arc*> q; // cola de arcos pendientes
// ingresar a la cola los arcos de nodo start
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(start); it.has_current(); it.next())
q.put(it.get_current_arc());
NODE_BITS(start).set_bit(Breadth_First, true); // marcar visitado start
size_t node_counter = 0; // contador de nodos visitados
// mientras queden arcos en cola y resten todos por visitar
while (not q.is_empty() and node_counter < g.get_num_nodes())
{
typename GT::Arc * arc = q.get(); // extraiga arco m´s cercano de la cola
a
ARC_BITS(arc).set_bit(Breadth_First, true); // marcar arco
typename GT::Node * src = g.get_src_node(arc);
typename GT::Node * tgt = g.get_tgt_node(arc);
if (IS_NODE_VISITED(src, Breadth_First) and IS_NODE_VISITED(tgt, Breadth_First))
continue;
typename GT::Node * visit_node = // seleccionar nodo a visitar
IS_NODE_VISITED(src, Breadth_First) ? tgt : src;
// Aqu´ se visita el nodo mediante la funci´n de visita
ı o
NODE_BITS(visit_node).set_bit(Breadth_First, true);
node_counter++;
// insertar en cola arcos del nodo reci´n visitado
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(visit_node); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * curr_arc = it.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(curr_arc, Breadth_First))
continue;
// revise nodos del arcos para ver si han sido visitados
if (IS_NODE_VISITED(g.get_src_node(curr_arc), Breadth_First) and
IS_NODE_VISITED(g.get_tgt_node(curr_arc), Breadth_First))
continue; // nodos ya visitados ==> no vale la pena meter el arco
q.put(curr_arc);
}
}
return node_counter;
}
Í× × DynListQueue ½ ¼ Ò Node Arc Iterator º
Ä Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ø Ò × Ö Ñ × Ó×ØÓ× Ò Ø ÑÔÓ Ý Ò ×Ô Ó ÕÙ Ð
ÔÖÓ ÙÒ ¸ ÔÙ × Ð Ò ÓÐ Ñ ÒØÓ Ñ ÒØ Ò Ö Ó× ÕÙ ÒÓ Ò × Ó Ú × Ø Ó× ÐÓ ÕÙ ÒÓ
×Ù ÓÒ Ð ÑÔ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÕÙ ÐÑ Ò Ö Ó× Ú × Ø Ó׺
Ð Ô ÓÖ ×Ó Ù ÓÒ Ð Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó × Ò × Ö Ó Ú × Ø Ö
ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÒØ × Ö Ú ×ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó × ¸ O(E)¸ Ù Ð × Ð Ñ ×ÑÓ Ð
Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ º
È Ö Ò Ð Þ Ö Ð Ó×Ø Ò ×Ô Ó × ÓÒÚ Ò ÒØ Ó × ÖÚ Ö Ð Ò Ñ Ò× Ö ÓÒ
Ý Ð Ñ Ò ÓÒ Ö Ó× Ò Ð ÓÐ º Ù Ò Ó × × Ð ÓÐ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ò ÒØ Ð
Ò Ú Ð i ´Ö ×Ô ØÓ Ð ÒÓ Ó Ò Óµ¸ Ð ÓÐ ÔÙ ÓÒØ Ò Ö Ö Ó× Ð Ò Ú Ð i Ý Ð ×ÙÔ Ö ÓÖ
i + 1º Ë ÒØ ÖÔÖ Ø ÑÓ× Ð Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð × ÙÒ Ö Óи ÒØÓÒ ×
ÔÓ ÑÓ× Ô Ö Ø ÖÒÓ× ÕÙ ÐÓ ×ÙÑÓ × Ø Ò Ö Ò E/2 Ö Ó× Ò Ð ÓÐ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ú Ð
ÙÒ Ó×Ø O(E)¸ Ù Ð ÔÙ × Ö ×Ø ÒØ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ó×Ø Ò ×Ô Ó O(V) Ð Ö ÓÖÖ Ó

643. 7.5. Recorridos sobre grafos 617
Ò ÔÖÓ ÙÒ º
Ù Ò Ó Ö ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ô Ò Ú Ö Ó×
ØÓÖ ×¸ ÐÓ× Ù Ð × Ð ÔÖ Ò Ô Ð × Ð ÔÖ ×ÙÒ ÓÒ Ö Ò ÕÙ × Ø Ò Ö Ð
ÒÓ Ó ×ÓÐÙ ÓÒ¸ ÓÒ× Ö Ò Ó ÕÙ Ð Ö Ø Ö Ó Ö Ò Ò Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ö Ó Ý ×Ù
Ò× º Ë Ð ÒÓ Ó ×ÓÐÙ ÓÒ × ÔÖ ×ÙÑ Ö ÒÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ø Ö Ó ÑÔÐ ØÙ Ø Ò
Ò ÓÒØÖ ÖÐÓ Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙÒ º
À Ý ÙÒ Ó × ÖÚ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ô Ö Ð Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö
×Ø ÓÒ ÖØ ØÙ Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò ÒØ Ö Ó׺
ÈÓÖ Ó×ØÙÑ Ö ¸ ÒÓ Ò Ö Ð ¸ × Ø Ò Ö Ð Þ Ö ÔÖ Ñ ÖÓ ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ¹
Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ Ó ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ý¸ ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ô Ö ¬Ò ÖÐ ¸ ×
Ö Ð Þ ÙÒ Ò ÑÔÐ ØÙ º
7.5.5 Prueba de ciclos
ÈÐ ÒØ ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ò Ö × Ü ×Ø Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö
src nodeº Ò ×Ø ×Ó¸ ÙÒ Ö Ø Ö Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô Ö ÔÖ Ö Ð Ð ÑÔÐ ØÙ ÔÓÖÕÙ
ÒÓ ×Ø Ø ÑÔÓ Ò ×Ô Ó Ò ÐÓ× Ö Ó× Ô Ö Ð × ÕÙ ÙÒ ÒÓ ×ÓÒ ÔÖÓ × Ó׺
ÍÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô Ö Ð¸ × Ö¸ ÕÙ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ ÔÖ Ø Ò Ú × Ø Ö
ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ × ÖÚ Ô Ö Ø Ø Ö × Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Óº Ä ×
ÜÔÐÓÖ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÒÓ Ó Ô ÖØ ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó Ð ÔÖÙ ×
ÔÓ× Ø Ú ¸ Ó ÙÐÑ Ò Ö Ð Ù×ÕÙ ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó × Ò Ø Ú º
ÆÙ ×ØÖ ÔÖÙ ÐÓ × ÔÓÝ ×Ó Ö Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú
½ Ù×ÕÙ ÐÓ ½ ≡ ½
template <class GT, class SA> inline static
bool __test_cycle(GT & g,
typename GT::Node * src_node,
typename GT::Node * curr_node);
test cycle() × Ù×Ó ÔÖ Ú Ó¸ Ö Ð Þ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ò ÔÖÓ ÙÒ ÔÓÖ Ð
ÒÓ Ó curr node Ò Ù×ÕÙ Ð ÒÓ Ó src node Ý Ñ Ò ØÖ × Ô Ö Ñ ØÖÓ×
½º g Ð Ö Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ö Ð Þ Ð ÔÖÙ º
¾º src node Ð ÒÓ Ó Ô Ö Ð Ù Ð × Ú Ö ¬ × Ü ×Ø ÙÒ ÐÓº
¿º curr node × Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú º
Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ true × × curr node × Ð ÒÞÓ Ð ÒÓ Ó Ò Ð src node Ò ×Ø
×Ó¸ Ü ×Ø ÙÒ ÐÓº Ë × Ö ÓÖÖ ÒØ Ö Ý Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ø Ó
curr node¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ô × Ò Ó ÔÓÖ curr node ÒÓ × ÔÓ× Ð Ð ÒÞ Ö
src node Ý ÕÙ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓÖ ×Ø Ú ÒÓ Ý ÐÓº Ò ×Ø ×Ó Ö ØÓÖÒ ÑÓ× falseº
Ä ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð × ÔÐ ÒØ Ý × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
½ Ù×ÕÙ ÐÓ ½ +≡ ½ ½
template <class GT, class SA> inline
bool test_for_cycle(GT & g, typename GT::Node * src_node)
{
g.reset_bit_nodes(Test_Cycle); // reiniciar bit Test_Cycle para los nodos
g.reset_bit_arcs(Test_Cycle); // reiniciar bit Test_Cycle para los arcos
// explorar recursivamente a trav´s de los arcos adyacentes a src_node
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(src_node); it.has_current(); it.next())

644. 618 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Test_Cycle))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Test_Cycle, true); // pintar arco
if (__test_cycle<GT,SA> (g, src_node, it.get_tgt_node())) // ¿ciclo por arc?
return true; // s´ ==> retornar true y detener la exploraci´n
ı o
}
// En este punto se han explorado todos los caminos desde src_node
// sin encontrar de nuevo a src_node ==> no existe ciclo
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator º
test for cycle() Ö ØÓÖÒ true × Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ × src node false ÐÓ ÓÒ¹
ØÖ Ö Óº
ÍÒ ÔÙÒØÓ × Ò Ð Ò ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÕÙ ¸ ÖÒ ÐÓ ÕÙ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ò Ð ×
×Ù ¹× ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × ÓÒ ÖÒ ÒØ × Ð × Ù×Õ٠׸ ÒÓ ÑÓ× Ø Ò ÖÒÓ× Ù Ò Ó
Ý ÑÓ× Ú × Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÔÙ × Ð ÙÒ ÐÓ ÔÙ Ö Ò ÓÒØÖ Ö× ÔÓÖ Ð ÙÒ Ö Ó ÕÙ
ÒÓ Ý × Ó Ú × Ø Óº ÆÓ Ø Ò ÑÓ× Ò ×Ø ×Ó ÓØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ×
Ö Ó׸ Ö ÞÓÒ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × O(E) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó Ò ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø ÐÓº
Ó ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú
½ Ù×ÕÙ ÐÓ ½ +≡ ½
template <class GT, class SA> inline static
bool __test_cycle(GT & g,
typename GT::Node * src_node,
typename GT::Node * curr_node)
{
if (src_node == curr_node)
return true; // ciclo detectado!
if (IS_NODE_VISITED(curr_node, Test_Cycle))
return false;
NODE_BITS(curr_node).set_bit(Test_Cycle, true); // marque nodo
// busque los caminos desde current_node a ver si llega a src_node
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(curr_node); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Test_Cycle))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Test_Cycle, true); // marque arco
if (__test_cycle<GT,SA>(g, src_node, it.get_tgt_node()))
return true; // ciclo encontrado desde el arco actual
}
// En este punto se han explorado todos los caminos desde curr_node
// sin encontrar src_node ==> no existe ciclo que pase por curr_node
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator º

645. 7.5. Recorridos sobre grafos 619
7.5.6 Prueba de aciclicidad
ÍÒ Ö Ó × Ð Ó × ×Ø ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ׺ ÓÑÓ ÑÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÕÙ Ö Ò Ú Ö ¬ Ö
×Ø ÓÒ ÓÒ ×Ó Ö Ð ÙÐÓ× Ö Ó× Ô Ö Ð ×¸ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ×Ø ÔÖÙ × Ö Ð
¬ ÒØ Ñ ÒØ º
ÍÒ Ú Ö ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÙ ÐÓ× ÔÙ ÙØ Ð Þ Ö× Ô Ö Ú Ö ¬ Ö
Ð ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ò ÓÒ ÜÓº ÈÓ ÑÓ× ÒÚÓ Ö test for cycle() Ô Ö
ÒÓ Ó Ð Ö Ó Ý¸ × ØÓ × Ð × Ù ÓÒ × ÖÖÓ Ò ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó Ð×Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó
× Ð Óº
Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð ÔÖÙ Ð × ÕÙ × ÙÖ ÒØ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ð Ö Ó¸
Ô × Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó ÒÓ Ú × Ø Ó¸ Ú ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ý Ú × Ø Ó¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó Ø Ò ÙÒ
ÐÓ ´ Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ö × Ö Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó ÔÓÖ ÙÒ Ñ ÒÓ Ö ÒØ µº Ò Ú ÖØÙ
×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò ¸ ÔÖ Ú ¸ Ö ÙÖ× Ú ¸ ÜÔÐÓÖ ÓÒ
Ò ÔÖÓ ÙÒ
½ ÈÖÙ Ð ½ ≡ ¾¼
template <class GT, class SA> inline static
bool __is_graph_acyclique(GT & g, typename GT::Node * curr_node)
{
if (IS_NODE_VISITED(curr_node, Is_Acyclique))
return false;
NODE_BITS(curr_node).set_bit(Is_Acyclique, true); // marcar nodo
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(curr_node); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Is_Acyclique))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Is_Acyclique, true);
if (not __is_graph_acyclique<GT,SA>(g, i.get_tgt_node()))
return false;
}
// todos los arcos recorridos sin encontrar ciclo ==> el grafo es
// ac´clico pasando por curr_node
ı
return true;
}
Í× × Node Arc Iterator º
is graph acyclique() Ö Ð Þ ÙÒ ÔÖÙ Ð Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó
curr nodeº Ë Ö ØÓÖÒ true × Ý Ð false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ä Ø Ò ÓÒ × Ö Ð Þ Ù Ò Ó × Ø Ø ÙÒ ÐÓ Ò ×Ø ×Ó is graph acyclique()
Ö ØÓÖÒ falseº Ð ÕÙ ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ ÐÓ ÔÓÖ Ð ÙÒ Ö Ó Ý ÒØ curr node ÒÓ
ÑÔÐ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ð ÙÒÓ ÔÓÖ ÓØÖÓ ×Ù× Ö Ó׺ ËÓÐÓ Ù Ò Ó × Ý Ò ÜÔÐÓÖ Ó ØÓ¹
Ó× ÐÓ× Ö Ó× curr node × Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ × ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ô × Ò Ó ÔÓÖ
curr node Ð Ö Ó × Ð Óº
Ë ÙÒ ×Ù Ö Ó ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ × Ð Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ × Ò ÑÔÓÖØ Ö × Ù Ð ÒÓ Ó ×
Ò ¸ ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ø Ø Ö ÙÒ ÐÓ ÔÓÖ Ò Ù ÒØÖÓ ÙÒ ÒÓ Ó Ý
Ñ Ö Óº Ë ×Ó ÒÓ Ó ÙÖÖ ¸ × Ö¸ × ÒÓ ÔÓ ÑÓ× Ö Ö × Ö Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ð Ù×ÕÙ ¸
ÒØÓÒ ×¸ ÓÒ ØÓ ÖØ ØÙ ¸ Ð ×Ù Ö Ó × Ð Óº Ë ×Ó ×Ù Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó×
ÓÒ ÜÓ׸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó × Ð Óº
À Ý ÙÒ Ó × ÖÚ ÓÒ ÖÙ Ð Ò Ð ×Ó ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ ´ÒÓ ÙÒ Ö Ó¸ ÑÙÐØ Ö Ó

646. 620 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ó ÑÙÐØ Ö Óµ × Ð ÒØ Ö Ó× × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó ÒÓ
ÔÙ ÓÒØ Ò Ö Ò Ò ÙÒ ÐÓº ×Ø Ó ÒÓ× ÓØ Ð ÔÖÙ Ð O(V)º Ä
ÔÖÙ ÔÙ Ò Ö× × Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó Ý Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ ÔÙ Ð × Ô Ö Ø Ñ ÒØ
ÔÐ Ð
¾¼ ÈÖÙ Ð ½ +≡ ½ ¾¼
template <class GT, class SA> inline
bool is_graph_acyclique(GT & g, typename GT::Node * start_node)
{
if (g.get_num_arcs() >= g.get_num_nodes())
return false;
g.reset_bit_arcs(Is_Acyclique);
g.reset_bit_nodes(Is_Acyclique);
return __is_graph_acyclique<GT,SA>(g, start_node);
}
is graph acyclique()Ö Ð Þ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ò ÔÖÓ ÙÒ start node
× Ð ÒÓ Ó Ò Ó Ð ÔÖÙ ¸ Ð Ù Ð Ô ÖØ Ò Ö ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ó
×Ó×Ô Ó×Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÐÓº Ä ÙØ Ð Ð ÒØ Ö Þ ÒØ Ö ÓÖ × Ù Ò Ó start node
Ý × Ó Ò Ó Ò Ð ÙÒ Ð ÙÐÓ Ý × Ö ÕÙ Ö Ú Ö ¬ Ö × Ð ÓÒ Ù× Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓº
×Ø ÖÙØ Ò ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö Ó ÓÒ ÜÓ ´× Ò ÑÔÓÖØ Ö Ð ÒÓ Ó Ò Óµ Ó Ô Ö
Ú Ö¬ Ö Ð × ÙÒ ÒÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö start nodeº
Ë ÒÓ × Ø Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ö Ð ÓÒ Ø Ú Ð Ö Ó¸ ÒØÓÒ × × Ò × Ö Ó
Ò×Ô ÓÒ Ö ÐÓ× Ú ÒØÙ Ð × ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ð Ö Ó Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ × ÔÙ Ö Ð Þ Ö
Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾¼ ÈÖÙ Ð ½ +≡ ¾¼
template <class GT, class SA> inline
bool is_graph_acyclique(GT & g)
{
if (g.get_num_arcs() >= g.get_num_nodes())
return false;
g.reset_bit_arcs(Is_Acyclique);
g.reset_bit_nodes(Is_Acyclique);
for (Node_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); it.next()) // recorrer nodos
{
typename GT::Node * current_node = it.get_current_node();
if (IS_NODE_VISITED(current_node, Is_Acyclique))
continue;
if (not __is_graph_acyclique<GT,SA>(g, current_node))
return false;
}
return true;
}
Í× × Node Iterator º
×ÔÙ × Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ Ñ is graph acyclique(g, curr node)¸ Ð ÙÒÓ× ÒÓ Ó×
Ý ÕÙ Ò Ñ Ö Ó× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Is Acyclique ×Ó Ö ×ØÓ× ÒÓ × Ö Ô Ø Ö Ð ÔÖÙ
Ð º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ is graph acyclique() Ø Ø ÐÓ Ú Ö ¬ Ò Ó × ÙÒ ÒÓ Ó × Ó Ó ÒÓ
Ú × Ø Ó¸ ×Ø ÒÓ ÓÔ Ö Ô Ö Ö Ó׺
Ë Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö Ó¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÐÐ Ñ Ö test for cycle() Ô Ö ÒÓ Ó

647. 7.5. Recorridos sobre grafos 621
Ð Ö Óº Ë Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÙÒ ÐÓ ÒÓ× Ø Ò ÑÓ× Ý × ÑÓ× ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓ × Ð Óº
Ë ÔÖÓ ÑÓ× Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ö Ó × Ð Óº ×Ø
Ø Ò ÖÖ ÙÒ Ó×Ø O(V × E)º
Ò Ü º º ´Ô Ò µ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× ÙÒ Ø Ò ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ò
O(V + E)º
7.5.7 B´squeda de caminos por profundidad
u
Ä Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× × ÕÙ Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ × ÓÑÙÒ Ý Ö Ø Ó ÐÓ× Ö Ó׺ À Ý
Ú Ö× × Ú Ö ÒØ ×¸ ÒØÖ Ð Ù Ð × Ø Ò ÑÓ×
½º Ü ×Ø Ò Ó× Ó× ÒÓ Ó׸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ ÐÐÓ×
¾º Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ Ñ ÒÓ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖ Ò ÙÒÓ
×Ø ÒÓº
¿º Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ ÒÓÖ Ó×Ø ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó׺
º Ñ ÒÓ ÙÐ Ö ÒÓ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÐ Ö ÒÓ Ó¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ÙÐ Ö ÒÓ ¸ × ÙÒ Ñ ÒÓ
ÕÙ Ô × ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× × Ò Ö Ô Ø Ö Ò Ò ÙÒÓ ÐÐÓ׺
ÕÙ Ø Ò ÑÓ׸ Ø Ñ Ò¸ Ú Ö× ×Ø Ò ÓÒ × Ð Ü ×Ø Ò ¸ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ
ÙÐ Ö ÒÓ Ý Ð Ù×ÕÙ ÙÒÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓº
º Ñ ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ¸
× ÙÒ Ñ ÒÓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× × Ö Ô Ø Ö Ò Ò ÙÒÓ ÐÐÓ׺
Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ ×ÓÐÓ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× ÔÖÙ Ü ×Ø Ò Ý Ø ÖÑ Ò ÓÒ
Ñ ÒÓ׺ Ò Ð × ÓÒ Ü º ´Ô Ò ½¼µ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ú Ö Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö
Ð Ñ ÒÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓº
7.5.7.1 Prueba de existencia
Ó ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö × Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ ÐÐÓ× ÄÐ Ñ ÑÓ×
test for path() Ð ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú ¸ ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó¸ Ò Ù×ÕÙ
ÙÒ ÒÓ Ó ¬Ò Ñ ÒÓ end node Ý ÙÝÓ ÔÖÓØÓØ ÔÓ × ÒÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÓÒ
¾½ ÈÖÙ Ñ ÒÓ ¾½ ≡ ¾¾
template <class GT, class SA> inline static
bool __test_for_path(GT& g,
typename GT::Node * curr_node, // nodo procedencia
typename GT::Node * end_node); // arco destino
g × Ð Ö Óº curr node × Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð ÕÙ × ×Ø Ú × Ø Ò Ó Ý end node × Ð ÒÓ Ó
×Ø ÒÓ Ð Ñ ÒÓº Ë × Ò Ù ÒØÖ end node¸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø Ð Ñ ÒÓ Ô × Ò Ó ÔÓÖ
curr node Ý Ð ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ trueº Ë × ÜÔÐÓÖ Ò ØÓ × Ð × Ú × ÔÓÖ curr node × Ò
Ò ÓÒØÖ Ö end node¸ ÒØÓÒ × × ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ Ô × Ò Ó ÔÓÖ curr node ÒÓ Ü ×Ø Ñ ÒÓ
end node Ý Ð ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ falseº
È Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ×Ó Ö Ð ÓÒ Ø Ú Ð Ö Ó ÒÓ×
ÝÙ ÙÒ ÔÓ Óº Ð Ö Ó ÔÙ × Ö Ò ÓÒ ÜÓ Ý ÙÒ × Ü ×Ø Ö Ñ ÒÓ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó×
ÓÒ× Ö Ó׺ × Ð × Ó× ×¸ Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ ÒÓ Ø Ò ÑÓ× Ñ × ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ö Ð

648. 622 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ö Óº È ÖÓ × Ð Ö Ó × ÓÒ ÜÓ ´Ý ÒÓ × Ö Óµ¸ ÒØÓÒ × ÓÒ ÖØ ØÙ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ
ÒØÖ Ù ÐÕÙ Ö ×Ù× ÒÓ Ó× Ý ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÜÔÐÓÖ ÖÐÓº
Î ÑÓ× ÓÖ ÓÑÓ × ÔÐ Ð ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ð ÔÖÙ Ü ×Ø Ò Ñ ÒÓ
ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ð start node Ý ÓØÖÓ ¬Ò Ð end node
¾¾ ÈÖÙ Ñ ÒÓ ¾½ +≡ ¾½ ¾¾
template <class GT, class SA> inline
bool test_for_path(GT& g, typename GT::Node * start_node,
typename GT::Node * end_node)
{ // si el grafo es conexo ==> existe camino
if (not g.is_digraph() and g.get_num_arcs() >= g.get_num_nodes())
return true;
g.reset_bit_nodes(Test_Path); // reiniciar bit Test_Path para nodos y arcos
g.reset_bit_arcs(Test_Path);
// buscar recursivamente caminos por arcos adyacentes a start_node
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(start_node); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
ARC_BITS(arc).set_bit(Test_Path, true); // marcar arco
if (__test_for_path<GT, SA>(g, i.get_tgt_node(), end_node))
return true;
}
// todos los arcos de start_node han sido explorados sin encontrar un
// camino hasta end_node ==> no existe camino
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator º
test for path() Ö ØÓÖÒ true × Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ start node Ý end node
false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ä ÔÖÙ Ñ ÒÓ Ô Ö Ð × Ö¸ Ø ÖÑ Ò Ö × Ý ÙÒ Ñ ÒÓ × ÙÒ ÒÓ Ó
ÒØ ÖÑ Ó curr node ×Ø ÙÒÓ ¬Ò Ð end node × ÑÔÐ Ñ ÒØ × ÙÒ Ð Ô ØÖÓÒ Ù×ÕÙ
Ò ÔÖÓ ÙÒ
¾¾ ÈÖÙ Ñ ÒÓ ¾½ +≡ ¾¾
template <class GT, class SA> inline static
bool __test_for_path(GT & g,
typename GT::Node * curr_node, // nodo procedencia
typename GT::Node * end_node) // arco destino
{
if (curr_node == end_node)
return true; // se alcanz´ a end_node
o
if (IS_NODE_VISITED(curr_node, Test_Path)) // ¿Ya se visit´ curr_node?
o
return false; // s´, no explore
ı
NODE_BITS(curr_node).set_bit(Test_Path, true); // pintar curr_node
// buscar recursivamente a trav´s de arcos de curr_node
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(curr_node); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Test_Path))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Test_Path, true); // pintar arco
if (__test_for_path<GT, SA>(g, i.get_tgt_node(), end_node))

649. 7.5. Recorridos sobre grafos 623
return true;
}
// todos los arcos adyacente de curr_node fueron explorados sin
// encontrar a end_node ==> no existe camino pasando por curr_node
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator º
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ Ð ¬ Ò ¸ ØÖ Ú × test for path() ÔÓ ¹
ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ× Ó Ð ÞÓ׺
Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ test for path() ׸ Ò Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð
ÒØ Ö Ó׸ ÔÙ × ×Ø ÒÓ Ø Ö Ö Ñ × E Ú ×º test for path() ׸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ O(E)º
ÓÒ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ØÖ Ð¸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ Ò Ö Ð ÙÐ Ö Ð × Ö Ð ÓÒ × ÓÒ ¹
ØÚ ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ö Óº Ì Ð Ö Ð ÓÒ × ÐÐ Ñ Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú
Ý × Ð ÙÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐ Ñ Ó Ï Ö× ÐÐ ÕÙ × Ö ÔÖ × ÒØ Ó
Ò Ü º º ´Ô Ò ½µº
7.5.7.2 B´ squeda de camino entre dos nodos
u
Ò ÓØÖ × Ó × ÓÒ ×¸ ÓÒ ÓÒ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ ×Ù Ü ×Ø Ò ¸ ÐÓ ÕÙ × × × Ò ÓÒØÖ Ö
Ý ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ù ÐÕÙ Ö ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ × Ò Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ¸
ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÙÝÓ ¬Ò × Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Path
ÓÒØ ÒØ ÚÓ ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó× Ý ÓÒ Ð ÒØ Ö Þ × Ù ÒØ
¾¿ Ñ ÒÓ Ö Ó ¼¾ +≡ ¼¾ ¾¿
template <class GT, class SA> inline
bool find_path_depth_first(GT& g,
typename GT::Node * start_node,
typename GT::Node * end_node,
Path<GT> & path);
Í× × Path ¼¾ º
find path depth first() Ò Ù ÒØÖ Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ¸ Ñ ÒØ ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸
ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ start node Ý end node Ð Ö Ó× gº Ð Ñ ÒÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ù Ö Ò
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ pathº Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ true × ¸ Ò ØÓ¸ × ÐÓ Ö Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ
false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ú ÐÓÖ path ÓÒ× Ö Ö× Ò Ø ÖÑ Ò Óº
Ä ÙÒ ÓÒ ÓÒØ ÑÔÐ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ø ÔÓ
½º GT Ð Ø ÔÓ Ö Óº
¾º SA Ð ¬ÐØÖÓ Ð Ø Ö ÓÖ Ö Ó׺
ÅÙ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö ÕÙ Ö Ò Ù× Ö Ñ ÒÓ× ÒØÖ Ô Ö × ÒÓ Ó׺ ÈÓÖ ×Ó¸ ÔÙ × Ö
ÙØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ö Ð Ñ ØÓ Ó find path depth first() Ó × ¸ ÕÙ ×Ø × Ô × Ó ÓÑÓ
Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÒ Ñ ØÓ Óº × Ð Ð Ò Ù C¸ Ð Ñ Ó ØÖ ÓÒ Ð Ô Ö ×ØÓ × ÙÒ ÔÙÒ¹
Ø ÖÓ ÙÒ ÓÒ¸ Ô ÖÓ Ð ×Ø Ò Ö C++ ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÔÙÒØ ÖÓ× ÙÒ ÓÒ × ÔÐ ÒØ ÐР׺ È Ö
ÓÒØÓÖÒ Ö ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ Ý Ð Ú Þ ÖÐ ÙÒ ×Ø ÐÓ Ñ × ÐÓ× Ó ØÓ׸ ÜÔÓÖØ Ö ÑÓ×
find path depth first() Ó Ð ÒÓÑ Ö ÙÒ Ð ×
¾¿ Ñ ÒÓ Ö Ó ¼¾ +≡ ¾¿ ¾
template <class GT, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Find_Path_Depth_First
{

650. 624 Cap´
ıtulo 7. Grafos
bool operator () (GT & g,
typename GT::Node * start_node,
typename GT::Node * end_node,
Path<GT> & path) const
{
return find_path_depth_first<GT, SA> (g, start_node, end_node, path);
}
};
Í× × Path ¼¾ º
find path depth first() × Ð ÒØ Ö Þ ÔÙ Ð ¸ Ð Ù Ð × ÔÓÝ ×Ó Ö Ð ÖÙØ Ò × ¹
Ù ÒØ ¸ ÕÙ × Ð ÕÙ Ö Ð Þ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ò ÔÖÓ ÙÒ
¾ Ñ ÒÓ Ö Ó ¼¾ +≡ ¾¿ ¾
template <class GT, class SA> inline
bool __find_path_depth_first(GT& g,
typename GT::Node * curr_node, // nodo actual
typename GT::Arc * curr_arc, // arco procedencia
typename GT::Node * end_node, // nodo destino
Path<GT> & curr_path) // camino actual
{
if (curr_node == end_node) // ¿se alcanz´ nodo final?
o
{ // s´, terminar a~adir el arco y terminar
ı n
curr_path.append(curr_arc);
return true;
}
if (IS_NODE_VISITED(curr_node, Find_Path)) // ¿No ha sido visitado?
return false; // s´ ==> desde el no hay camino
ı ´
curr_path.append(curr_arc); // a~adir curr_arc al camino
n
NODE_BITS(curr_node).set_bit(Find_Path, true);
// buscar recursivamente a trav´s de arcos de curr_node
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(curr_node); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * next_arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(next_arc, Find_Path))
continue;
ARC_BITS(next_arc).set_bit(Find_Path, true); // marcar arco
typename GT::Node * next_node = i.get_tgt_node();
// continuamos exploraci´n en profundidad desde next_node
o
if (__find_path_depth_first<GT, SA> (g, next_node, next_arc,
end_node, curr_path))
return true; // se encontr´ camino, terminar retornando true
o
}
curr_path.remove_last_node();
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator Ò Path ¼¾ º
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ð Ð × Ö ÒØ × ÜÔÐÓÖ ÓÒ × Ò ÔÖÓ ÙÒ ÕÙ
ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Óº Ä Ö Ò ×ØÖ Ò ÕÙ ÒØ × Ú × Ø Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÐÓ× Ö Ó×
curr node¸ ÐÓ Ò ÑÓ× Ð Ñ ÒÓº Ë Ö ÓÖÖ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× curr node × Ò
Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ end node¸ ÒØÓÒ × × ÑÓ× curr node Ð Ñ ÒÓº Ð
Ò ÓÐ Ö ÙÖ× Ú Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ path ÙÒ ÓÑÓ Ô Ð º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ñ Ü ÑÓ Ø Ñ ÒÓ

651. 7.5. Recorridos sobre grafos 625
path ÔÓ Ö Ð ÒÞ Ö O(E)º
find path depth first() Ö ØÓÖÒ true × ×ÐÓ Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ¹
end node ÔÖÓÚ Ò Ò Ó × current nodeº À ÝÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÓÒ Ð × Ö ×Ô ØÓ
test for path() Ð Ö Ó ØÙ Ð current arc Ý Ð
Ñ ÒÓ pathº path × ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ
× Ð ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ ÒÓ Ò ÓÒØÖ Óº current arc × ÙÒ Ö Ó ÙÝÓ ÒÓ Ó
ÓÖ Ò × current node ÕÙ × Ö ÕÙ Ö ÔÓÖÕÙ Ò Ð Ð × Path × Ò× ÖØ ÔÓÖ Ö Ó× Ý ÒÓ
ÔÓÖ ÒÓ Ó׺
ÆÓ× Ö ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÔÖ Ñ Ø Ú ÔÙ Ð
¾ Ñ ÒÓ Ö Ó ¼¾ +≡ ¾
template <class GT, class SA> inline
bool find_path_depth_first(GT & g,
typename GT::Node * start_node,
typename GT::Node * end_node,
Path<GT> & path)
{
path.clear_path(); // limpiamos path
path.init(start_node); // insertamos nodo origen
g.reset_bit_nodes(Find_Path);
g.reset_bit_arcs(Find_Path);
NODE_BITS(start_node).set_bit(Find_Path, true); // marcar start_node visitado
// explorar recursivamente cada arco de start_node
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(start_node); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
ARC_BITS(arc).set_bit(Find_Path, true);
typename GT::Node * next_node = i.get_tgt_node();
if (IS_NODE_VISITED(next_node, Find_Path))
continue;
if (__find_path_depth_first<GT, SA>(g, next_node, arc, end_node, path))
return true;
}
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator Ò Path ¼¾ º
Ù Ò Ó × × ÓÒ×ØÖÙ Ö ´Ó Ø ÖÑ Ò Ö Ü ×Ø Ò µ ÙÒ Ñ ÒÓ Ù ÐÕÙ Ö ÒØÖ Ó×
ÒÓ Ó׸ × ÔÖ Ö Ð Ú Ð Ö× ¸ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò×Ø Ò ¸ ÙÒ ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÒ º
ÄÙ Ó¸ × × Ö ÕÙ Ö ÙÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò Ö Ó׸ Ó ÕÙ ÓÒ×ÙÑ Ñ ÒÓ× Ñ ÑÓÖ ¸ ÒØÓÒ ×
ÔÙ Ö× ÔÓÖ ÑÔÐ ØÙ º ÇØÖ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð × ¬Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ Ö Ð Ð
ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÒ × Ù Ò Ó × Ù×ÕÙ ÙÒ Ñ ÒÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ð Ó Ó ÙÒ
Ö Óк
7.5.8 B´squeda de caminos por amplitud
u
Ð ¬Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÔÓÖ ÑÔÐ ØÙ ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó× start
Ý endº Ð ÓÑ ÒÞ Ö ÔÓÖ start¸ ÜÔÐÓÖ ÑÓ× Ý ÑÔ Ð ÑÓ× ØÓ Ó× ×Ù× Ö Ó× Ò Ù×ÕÙ
endº Ë ÒÓ ÑÓ× ÐÐ Ó end¸ ÒØÓÒ × ÓÒØ ÒÙ ÑÓ× ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÐÓÒ ØÙ
Ó׺ ×Ø ÔÖÓ ×Ó ÓÒØ ÒÙ ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓ Ò Ù ×Ø ÓÒº
È Ö Ö Ð Þ Ö Ð ×ØÖ Ø ÒØ Ö ÓÖ¸ Ð ÓÐ Ù Ö Ö Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð × × Ð
ÒÓ Ó Ò Ó ×Ø Ð Ð ÙÐØ ÑÓ Ò Ú Ð ÕÙ × Ý ÜÔÐÓÖ Ó ÐÓ ÕÙ × ×Ô ¬ Ð

652. 626 Cap´
ıtulo 7. Grafos
× Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾ Ð Ö ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓ× ¾ ≡ ´¾µ
DynListQueue<Path<GT>*> q; // cola de caminos parciales
Í× × DynListQueue ½ ¼ Ò Path ¼¾ º
ÆÓØ × ÕÙ × ÙÒ ÓÐ ÔÙÒØ ÖÓ× Ñ ÒÓ׸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ñ ÑÓÖ ×ØÓ×
Ô ÖØ Ö× Ý¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ Ù Ò Ó × Ú Ð ÓÐ ¸ Ð Ö Ö× º ÓÑÓ × ØÖ Ø ÔÙÒØ ÖÓ×
Path* Ð ×ØÖÙ ØÓÖ Ð ÓÐ ÒÓ Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ ÐÓ× Ñ ÒÓ׸ ÐÓ ÕÙ
Ö ÕÙ Ö Ð × Ù ÒØ ÓÒ ÜÔÐ Ø Ô Ö Ð Ö Ö Ð ÓÐ
¾ Ú Ö ÓÐ Ý Ð Ö Ö Ñ ÒÓ× ¾ ≡ ´¾µ
while (not q.is_empty())
delete q.get();
×Ø ÓÒ Ö× Ð ¬Ò Ð Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ð Ù×ÕÙ ¸ × Ý Ò ÓÒØÖ Ó Ó
ÒÓ ÙÒ Ñ ÒÓ¸ Ó × Ó ÙÖÖ ÙÒ Ü Ô ÓÒº
ÈÖ Ñ Ò Ö Ð Ñ ÒÓ ØÙ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ¸ Ñ Ò Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ú Ö Ð
¾ ÐÖ ÓÒ Ñ ÒÓ ØÙ Ð ¾ ≡ ´¾µ
Path<GT> * path_ptr = NULL;
Í× × Path ¼¾ º
Ä Ò× Ö ÓÒ Ò Ð ÓÐ Ö ÕÙ Ö ´½µ Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð Ñ ÒÓ Ý ´¾µ Ð ÔÖÓÔ
ÓÒ Ò× ÖØ Ö Ò Ð ÓÐ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ý Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ Ò Ñ × ÓÔ Ö ÓÒ ×¸
Ù× Ö ÑÓ× ÙÒ ÖÙØ Ò ÓÒ ÙØÓ¹ÔÙÒØ ÖÓ×
¾ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ½ +≡ ½ ¾
template <class GT> inline static
void __insert_in_queue(GT & g,
DynListQueue<Path<GT> *> & q,
typename GT::Node * node,
typename GT::Arc * arc,
Path<GT> * path_ptr = NULL)
{
auto_ptr<Path<GT> > path_auto;
if (path_ptr == NULL)
path_auto = auto_ptr<Path<GT> >(new Path<GT>(g, node)); // camino desde node
else
path_auto = auto_ptr<Path<GT> >(new Path<GT>(*path_ptr)); // copia de *path_ptr
path_auto->append(arc); // a~adir el nuevo arco
n
q.put(path_auto.get()); // insertar el nuevo camino en cola
path_auto.release();
}
Í× × DynListQueue ½ ¼ Ò Path ¼¾ º
insert in queue() Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ñ ÒÓ ÓÒ Ð Ö Ó Ò Ó arc Ý ÐÓ Ò ÓÐ Ò Ð
ÓÐ qº Ä ÖÙØ Ò Ñ Ò ÙÒ Ú Ö Ð Path ÐÐ Ñ path auto¸ Р٠и × ÙÒ Ð Ú ÐÓÖ
path ptr¸ × ÔÖÓ × Ó× ÔÓ× Ð × ÓÖÑ ×
½º Ë path ptr == NULL ÒØÓÒ × path auto × ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ñ ÒÓ ÓÒ ÒÓ Ó Ò¹
Ó nodeº
¾º Ë path ptr != NULL ÒØÓÒ × Ð Ñ ÒÓ ÓÒØ Ò Ó Ò *path ptr × ÓÔ
path autoº

653. 7.5. Recorridos sobre grafos 627
Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ó× ×Ó׸ Ð Ö Ó arc × Ð Ò path auto Ý ×Ø × Ò× ÖØ Ò Ð
ÓÐ º
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ò Ö Ð × Ù ÒØ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ Ò ÑÔÐ ØÙ
¾ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ½ +≡ ¾ ¾
template <class GT, class SA> inline
bool find_path_breadth_first(GT& g,
typename GT::Node * start,
typename GT::Node * end,
Path<GT> & path)
{
path.clear_path(); // limpiamos cualquier cosa que est´ en path
e
g.reset_bit_nodes(Find_Path);
g.reset_bit_arcs(Find_Path);
Ð Ö ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓ× ¾
Ð Ö ÓÒ Ñ ÒÓ ØÙ Ð ¾
// insertar los caminos parciales con nodo inicio start
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(start); i.has_current(); i.next())
__insert_in_queue<GT>(g, q, start, i.get_current_arc());
NODE_BITS(start).set_bit(Find_Path, true); // m´rquelo visitado
a
while (not q.is_empty()) // repetir mientras haya arcos sin visitar
{
path_ptr = q.get(); // extraiga camino actual
typename GT::Arc * arc = path_ptr->get_last_arc();
ARC_BITS(arc).set_bit(Find_Path, true); // marcar arco
typename GT::Node * tgt = path_ptr->get_last_node();
if (IS_NODE_VISITED(tgt, Find_Path)) // ¿visit´ ´ltimo nodo de camino?
o u
{ // s´ ==> el camino no conduce al nodo end ==> borrar camino
ı
delete path_ptr;
continue;
}
if (tgt == end) // ¿se encontr´ un camino?
o
{ // s´ ==> path_ptr contiene el camino buscado
ı
path.swap(*path_ptr); // copiar resultado al par´metro path
a
Ú Ö ÓÐ Ý Ð Ö Ö Ñ ÒÓ× ¾
return true;
}
NODE_BITS(tgt).set_bit(Find_Path, true); // marcar ultimo nodo camino
´
// insertar en cola arcos del nodo reci´n visitado
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(tgt); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * curr_arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(curr_arc, Find_Path)) // ¿se visit´ arco?
o
continue; // s´ ==> avanzar al siguiente (ya fue visto)
ı
// revise nodos del arco para ver si han sido visitados
if (IS_NODE_VISITED(g.get_src_node(curr_arc), Find_Path) and
IS_NODE_VISITED(g.get_tgt_node(curr_arc), Find_Path))
continue; // nodos ya visitados ==> no vale la pena meter arco
__insert_in_queue<GT>(g, q, NULL, curr_arc, path_ptr);
}
delete path_ptr; // borrar camino extra´do de la cola
ı
} // fin while (not q.is_empty())

654. 628 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ú Ö ÓÐ Ý Ð Ö Ö Ñ ÒÓ× ¾
return false;
}
Í× × Node Arc Iterator Ò Path ¼¾ º
Ë ÔÖ ×Ø Ö ÑÙ Ø Ò ÓÒ Ð Ö Ö ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÕÙ × Ò Ú ×ØÓ× Ý × Ó×
Ò × ÔÓÖÕÙ Ð ÒÓ Ó Ý Ý × Ó Ú × Ø Ó¸ Ó Ò × ÔÓÖÕÙ path ptr Ý Ý × Ó
ÓÔ Óº
ÓÑÓ × ÔÖ Ö¸ find path breadth first() ÓÒ×ÙÑ ÑÙ Ñ × Ñ ÑÓÖ
ÕÙ ×Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ Ò ÔÖÓ ÙÒ º Ô ÖØ ÕÙ Ð ÓÐ Ø Ò Ö Ö Ñ × ÕÙ ÙÒ
Ô Ð ¸ Ù Ð × Ð ×Ó Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ Ð ÓÐ Ù Ö Ñ ÒÓ× ÒØ ÖÓ× ×
Ð ÒÓ Ó Ò Óº
Ð Ù Ð ÕÙ Ô Ö find path depth first()¸ find path breadth first() Ø Ñ Ò
ÔÙ ÒÚÓ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ò×Ø Ò ×Ô Ð Ð ×
¾ Ê ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ½ +≡ ¾
template <class GT, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Find_Path_Breadth_First
{
bool operator () (GT & g,
typename GT::Node * start,
typename GT::Node * end,
Path<GT> & path) const
{
return find_path_breadth_first <GT, SA> (g, start, end, path);
}
};
Í× × Path ¼¾ º
7.5.9 ´
Arboles abarcadores de profundidad
Ð Ó ØÓ ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ × × ÖÖÓÐÐ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ¸ Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ó¸
ÜÔÐÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÙÒ Ö Ó Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ÓØÖÓ Ö Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ Ö¹
ÓÖº Ì Ð ÖÙØ Ò Ø Ò Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ Ò Ö Ð
¾ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ¾ ≡ ¿¼
template <class GT, class SA> inline
bool find_depth_first_spanning_tree(GT & g,
typename GT::Node * gnode,
GT & tree)
{
ÁÒ Ð Þ Ö ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ¾
Ê ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ ÒÓ Ó× Ý ÒØ × ÒÓ ¾
return true;
}
Ñ Ò ØÖ × Ô Ö Ñ ØÖÓ×
find depth first spanning tree()
½º g ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ö ÕÙ Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖº
¾º gnode Ð ÒÓ Ó Ò Ð × Ð Ù Ð × × ÓÑ ÒÞ Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ö¹
ÓÖº

655. 7.5. Recorridos sobre grafos 629
¿º tree ÙÒ Ö Ó × Ð ÓÒ × ÓÐÓ Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ö ×ÙÐØ ÒØ º
Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ × true × Ü ×Ø ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ false ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº
Ò Ò ÙÖ ¸ find depth first spanning tree() Ñ Ô ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ØÖ Ú ×
ÐÓ× ÓÓ ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ÔÙ ÓÒÓ Ö¸ ÒØÖÓ Ð Ö Ó¸ Ù Ð × ÒÓ Ó× Ó
Ö Ó× Ô ÖØ Ò Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖº
ÒØ × ÓÑ ÒÞ Ö Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú g¸ × Ò × Ö Ó Ð ÑÔ Ö ×Ù× Ø× ÓÒØÖÓÐ
Ý × ÙÖ Ö× ÕÙ tree ×Ø Ú Ó
¾ ÁÒ Ð Þ Ö ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ¾ ≡ ´¾ µ
g.reset_nodes();
g.reset_arcs();
clear_graph(tree); // asegurar que arbol destino est´ vac´o
´ e ı
NODE_BITS(gnode).set_bit(Spanning_Tree, true); // marcar gnode
typename GT::Node * tnode = tree.insert_node(gnode->get_info());
GT::map_nodes(gnode, tnode);
Í× ÑÓ× Ð Ø Spanning Tree Ô Ö Ô ÒØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ö Ó ÕÙ Ý × Ó Ú × Ø Óº
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô ÖØ Ö
gnode
¾ Ê ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ ÒÓ Ó× Ý ÒØ × ÒÓ ¾ ≡ ´¾ ¿¼ µ
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(gnode); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Spanning_Tree))
continue;
typename GT::Node * arc_tgt_node = i.get_tgt_node();
if (IS_NODE_VISITED(arc_tgt_node, Spanning_Tree))
continue; // nodo destino tambi´n ya ha sido visitado desde otro arco
e
if (__find_depth_first_spanning_tree<GT,SA>(g, arc_tgt_node, arc, tree, tnode))
return false; // ya el arbol est´ calculado
´ a
}
Í× × Node Arc Iterator º
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ × × Ñ Ð Ö Ð ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º
Ä ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú × find depth first spanning tree()¸ Ð Ù Ð ÔØ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ò Ð ÓÖ Ò ÔÖ × ÒØ Ó
½º g Ð Ö Ó Ö ÓÖÖ Öº
¾º arc tgt node ÙÒ ÒÓ Ó ÒØÖÓ g ÕÙ ÙÒ ÒÓ × Ó Ú × Ø Ó Ý ÕÙ ÒÓ Ø Ò
Ñ Ò Ò treeº
¿º garc Ð Ö Ó ØÙ Ð g ÙÝÓ ÒÓ Ó ÓÖ Ò × gnodeº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
Ð Ö Ó ÙÒ ÒÓ Ø Ò Ñ Ò Ò tree ×Ø × Ö Ò× ÖØ Ó Ð ÓÑ ÒÞÓ
find depth first spanning tree()º
º gnode ÙÒ ÒÓ Ó g¸ Ý Ú × Ø Ó¸ ÕÙ Ø Ò Ñ Ò Ò treeº
º tree Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÕÙ × ×Ø ÓÒ×ØÖÙÝ Ò Óº
º tnode Ð Ñ Ò gnode Ò treeº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø ×Ó ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº

656. 630 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ä ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú Ö ×ÙÐØ ÒØ Ø Ò ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
¿¼ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ¾ +≡ ¾ ¿¼
template <class GT, class SA> inline static
bool __find_depth_first_spanning_tree(GT & g,
typename GT::Node * gnode,
typename GT::Arc * garc,
GT & tree,
typename GT::Node * tnode)
{
NODE_BITS(gnode).set_bit(Spanning_Tree, true); // marcar nodo
ARC_BITS(garc).set_bit(Spanning_Tree, true); // marcar arco
// insertar tgt_node en arbol y mapearlo
´
typename GT::Node * tree_tgt_node = tree.insert_node(gnode->get_info());
GT::map_nodes(gnode, tree_tgt_node);
// insertar arc en arbol y mapearlo
´
typename GT::Arc * tarc = tree.insert_arc(tnode, tree_tgt_node, garc->get_info());
GT::map_arcs(garc, tarc);
tnode = tree_tgt_node; // esto hace que el bloque de recorrido sea el mismo
if (tree.get_num_nodes() == g.get_num_nodes()) // ¿se ha abarcado el grafo?
return true; // tree ya contiene el arbol abarcador
´
Ê ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ ÒÓ Ó× Ý ÒØ × ÒÓ ¾
return false;
}
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÒØ Ò Ö ×Ù ÓÒ ÓÒ Ô Ö ¸ Ù Ð × Ð ÒÞ
Ù Ò Ó × Ò Ö Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× g × Ö¸ Ù Ò Ó Ð ÒØ ÒÓ Ó×
tree × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ð gº Ì Ñ Ò × ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ú Ø Ö Ð Ò ÙÖ
ÙÒ Ö Ó Ó ÒÓ Ó Ý Ú × Ø Ó Ò tree¸ × ÑÔÓ× Ð Ù× Ö ÙÒ ÐÓ Ö ÞÓÒ ÕÙ Ö ÒØ Þ
ÕÙ tree × ¸ Ò ØÓ¸ ÙÒ Ö Óк
7.5.10 ´
Arboles abarcadores de amplitud
Ò Ð Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó ÕÙ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö
ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ ÒÓ× ÜØÖ Ð Ö Ó Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò
ÑÔÐ ØÙ × ÙÒ ÒÓ Ó Óº Ì Ð ÖÙØ Ò × Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿¼ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ¾ +≡ ¿¼ ¿¾
template <class GT, class SA> inline
void find_breadth_first_spanning_tree(GT & g,
typename GT::Node * gnode,
GT & tree)
{
g.reset_bit_nodes(Spanning_Tree);
g.reset_bit_arcs(Spanning_Tree);
clear_graph(tree); // inicialice arbol e inserte copia mapeada de gnode
´
auto_ptr<typename GT::Node> tnode_auto (new typename GT::Node(gnode));
tree.insert_node(tnode_auto.get());
GT::map_nodes(gnode, tnode_auto.release());
DynListQueue<typename GT::Arc*> q; // recorra arcos gnode e ins´rtelos en cola
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(gnode); i.has_current(); i.next())
q.put(i.get_current_arc());
NODE_BITS(gnode).set_bit(Spanning_Tree, true); // marque visitado gnode

657. 7.5. Recorridos sobre grafos 631
while (not q.is_empty()) // repita mientras queden arcos en la cola
{
typename GT::Arc * garc = q.get(); // sacar arco y marcarlo
ARC_BITS(garc).set_bit(Spanning_Tree, true);
typename GT::Node * gsrc = g.get_src_node(garc); // nodos de garc
typename GT::Node * gtgt = g.get_tgt_node(garc);
if (IS_NODE_VISITED(gsrc, Spanning_Tree) and IS_NODE_VISITED(gtgt, Spanning_Tree))
continue; // los dos nodos de garc ya fueron visitados
if (IS_NODE_VISITED(gtgt, Spanning_Tree)) // ¿gtgt visitado?
Aleph::swap(gsrc, gtgt); // s´, interc´mbielo con gsrc
ı a
typename GT::Node * tsrc = // imagen de gsrc en tree
static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gsrc));
NODE_BITS(gtgt).set_bit(Spanning_Tree, true); // marque gtgt visitado
// crear copia de gtgt, insertarlo en tree y mapearlo
auto_ptr<typename GT::Node> ttgt_auto (new typename GT::Node(gtgt));
tree.insert_node(ttgt_auto.get());
typename GT::Node * ttgt = ttgt_auto.release();
GT::map_nodes(gtgt, ttgt);
// insertar nuevo arco en tree y mapearlo
typename GT::Arc * tarc = tree.insert_arc(tsrc, ttgt, garc->get_info());
GT::map_arcs(garc, tarc);
if (tree.get_num_nodes() == g.get_num_nodes()) // ¿tree abarca a g?
break;
// insertar en cola arcos de gtgt
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(gtgt); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * current_arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(current_arc, Spanning_Tree))
continue;
// revise nodos de arcos para ver si han sido visitados
if (IS_NODE_VISITED(g.get_src_node(current_arc), Spanning_Tree) and
IS_NODE_VISITED(g.get_tgt_node(current_arc), Spanning_Tree))
continue; // nodos ya visitados ==> no vale la pena meter el arco
q.put(current_arc);
}
}
}
Í× × DynListQueue ½ ¼ Ò Node Arc Iterator º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÓÐ × Ó Ø Ò Ò Ö Ó× ÐÓ× Ù Ð × ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÓ Ó ×Ø ÓÒØ Ò Ó Ò
tree ݸ Ñ ×¸ tree × Ô ÖÑ Ò ÒØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ¸ ÒØÓÒ × × ÑÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ò ÐÙ× ÓÒ
ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ö Ó Ù× ÙÒ ÐÓº tree ׸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖº
7.5.11 ´
Arboles abarcadores en arreglos
ÍÒ Ñ Ò Ö ÑÙÝ × ÑÔÐ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ö Óи ÕÙ ÒÓ ÜÔÐ ÑÓ× Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ü ¸
ÓÒ× ×Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ô Ö × ÒÓ Ó Ð Ö Óк ÒØÖ i Ð
ÖÖ ÐÓ ÓÒØ Ò Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó ÙÝÓ Ò Ó ÒÙÑ ÖÓ × iº Ä × Ô ØÓÖ Þ
Ñ ÒØ ÐÓ× ÑÔÐÓ× Ð ¬ ÙÖ º½ º
È Ö Ð ×Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÙÒ Ö Ó Ý¸ Ò Ò Ö Ð Ô Ö Ö ÓÐ × Ù ÐÕÙ Ö
Ò ÓÐ ¸ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ô ØÓÖ Þ ×ÙÑ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò ÒÙÑ Ö Ó׸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ×

658. 632 Cap´
ıtulo 7. Grafos
6
3 0 3
4 5 2 5 6 4
1 ¼ ½ ¾ ¿ 0 1 2 ¼ ½ ¾ ¿
¾ ¼ ¿ ¿ ¹ ¹ ¿ ¿ ¿
´µ ´ µ
ÙÖ º½ Ó× ÑÔÐÓ× Ö ÓÐ × Ö ÔÖ × ÒØ Ó× ÓÒ ÖÖ ÐÓ×
Ö ×ØÖ Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒº È Ö Ú Ø Ö ×ØÓ¸ ÑÔÐ ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÓ Ó׸
Ò Ð Ù Ð Ð ÒØÖ ÓÒØ ÒØ Ú NULL Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ö Þº
ÓÑÓ Ð Ì List Graph<Node, Arc> Ô ÖÑ Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÑÙÐØ Ö Ó׸ Ð Ñ ÖÓ ÖÖ ¹
ÐÓ Ô Ö × ÒÓ × ×Ù¬ ÒØ Ô Ö ×Ø Ò Ù Ö ÑÙÐØ ¹ Ö Ó׺ ×Ø Ñ Ù ÔÙ Ö ×Óй
Ú Ö× Ñ ÒØ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ö Ó× Ò ÐÙ Ö Ð ÒÓ Ó׺ ÑÔ ÖÓ¸ ×ØÓ × Ú Ð Ó ×ÓÐÓ ×
Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ö ¬ Ö ÙÒ Ö Óº × ÕÙ ¸ Ò Ö × Ð Ò Ö Ð ¸ ÑÔÐ Ö ÑÓ×
Ó× ÖÖ ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ׸ ÙÒÓ ÒÓ Ó× Ý ÓØÖÓ Ö Ó׺
Ë g × ÙÒ Ö Ó Ý Ð ÙÒ Ñ Ò Ö Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò ÐÓ×
ÖÖ ÐÓ× ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÓ Ó× pred[] Ý Ö Ó× arcs[]¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ×
Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö Ó tree ÓÒØ ÒØ ÚÓ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¿¾ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ¾ +≡ ¿¼
template <class GT>
void build_spanning_tree(GT & g, GT & tree,
DynArray<typename GT::Node> * pred,
DynArray<typename GT::Arc> * arcs,
const bool with_map = false)
{
tree.clear();
for (int i = 0; i < g.get_num_nodes(); ++i)
{
typename GT::Arc * garc = arcs[i];
if (garc == NULL)
continue;
typename GT::Node * gsrc = g.get_src_node(garc);
typename GT::Node * tsrc = NULL;
if (IS_NODE_VISITED(gsrc, Spanning_Tree))
tsrc = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gsrc));
else
{
NODE_BITS(gsrc).set_bit(Spanning_Tree, true); // marcar bit
tsrc = tree.insert_node(gsrc->get_info());
}
typename GT::Node * gtgt = g.get_tgt_node(garc);
typename GT::Node * ttgt = NULL;
if (IS_NODE_VISITED(gtgt, Spanning_Tree))
ttgt = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gtgt));
else

659. 7.5. Recorridos sobre grafos 633
{
NODE_BITS(gtgt).set_bit(Spanning_Tree, true); // marcar bit
ttgt = tree.insert_node(gtgt->get_info());
}
typename GT::Arc * tarc = tree.insert_arc(tsrc, ttgt, garc->get_info());
ARC_BITS(garc).set_bit(Min, true);
if (with_map)
{
GT::map_nodes(gsrc, tsrc);
GT::map_nodes(gtgt, ttgt);
GT::map_arcs(garc, tarc);
}
}
}
Í× × arcs ¾ ¸ DynArray ¾¸ Ò pred ¾ º
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ with map Ò × Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ó ÒÓ Ñ Ô Ö× ÓÒ Ð Ö Ó gº
Ô ÖØ Ð ÓÒÓÑ ×Ô Ó¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ö Ó× Ñ ÒØ
ÖÖ ÐÓ× × Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ ÙØ Ð Ô Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ×¹
Ô ¬ Ñ ÒØ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÐÓÝ Ý ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ ÐÓ× Ù Ð × ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò Ü º º¾
Ý Ü º º¿¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
7.5.12 Conversi´n de un ´rbol abarcador a un Tree Node<T>
o a
Ò Ü º ´Ô Ò ¾ ¿µ × ÖÖÓÐÐ ÑÓ× Ð Ì Tree Node<T>¸ Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ö ÓÐ
m¹Ö Ó Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ × ÔÖ ÒØ × ÑÓ× × ÖÖÓÐÐ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ×
Paraguiapos Coro
82 Cumaná
254 310 10 Pto La Cruz
Caracas
55 Barcelona
109
252 199
Maracaibo Maracay
139 166
49
Maturín
130 Valencia
315
251 435 El Tigre
171
222 San Juan
Machiques San Felipe 130 Pto Ordaz
295 220 100
Santa Barbara 107
252 Valera 86
120 241 Ciudad Bolivar
San Antonio 59
36 Carora 102
69 86 167 Barquisimeto
La Fría El Vigía 261
San Cristobal San Carlos
48 79
113 173
22 Mérida
526
Sacramento 38
Rubio 180 Guanare
El Cantón 94
150 Barinas 547
200 San Fernando
Caparo
ÙÖ º¾¼ ÍÒ Ö Ó Ú Ð Ù × Ý ×Ø Ò ×
Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý Ñ¹
ÔÐ ØÙ ÙÒ Ö Óº Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓ× ÓÒÚ ÖØ
ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc> ÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔÓ Tree Node<T>º
Ô ÖØ ×Ù Ú ÐÓÖ Ø Ó¸ ×Ø ÖÙØ Ò ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ô Ð Ö Ð Ù Ó ÙØÓÑ Ø Ó
Ö ÓÐ × m¹Ö Ó× Ý × ×ÕÙ Ñ Ø Þ Ö¸ ÐÓ Ð Ö Ó ×Ø Ø ÜØÓ¸ Ö ÒØ × Ö ÓÐ × ÕÙ ×
× Ù Ö Ò Ò ÑÙ Ó× ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø Ò ×Ó Ö Ö Ó׺
ÆÙ ×ØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒÚ Ö× ÓÒ Ö × Ò Ð Ö ÚÓ graph to tree.Hº

660. 634 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Merida
El Vigia
La Fria
Machiques
Maracaibo Sta Barbara
Coro Paraguaipos
Valencia
Barquisimeto
Carora Guanare
Valera Barinas
Caparo Sn Fernando
Rubio Sn Juan
Sn Cristobal Caracas
Sn Antonio Smento Barcelona Maracay
El Canton Pto La Cruz Sn Felipe
Cumana Sn Carlos
Maturin
Pto Ordaz
Cd Bolivar
El Tigre
ÙÖ º¾½ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ Ü º¾¼ ´Ô Ò ¿¿µ
ÓÒ ÒÓ Ó Ò Ó Å Ö
Ä ÓÒÚ Ö× ÓÒ × ÒÚÓ ØÖ Ú × Ð × Ù ÒØ ÒØ Ö Þ
¿ ÓÒÚ Ö× ÓÒ List Graph<Node, Arc> Tree Node<T> ¿ ≡ ¿
template <class GT, typename Key, class Convert> static
Tree_Node<Key> * graph_to_tree_node(GT & g, typename GT::Node * groot);
Ä Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔÓ Tree Node<Key>* ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖg
ÓÒ Ö Þ Ò groot½ º
graph to tree node()Ø Ò ØÖ × Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ø ÔÓ
½º GT Ð Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc>¸ ÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ Ý ÕÙ ×
× ÓÒÚ ÖØ Ö Tree Node<T>º
¾º Key Ä Ð Ú ÕÙ × ÐÑ Ò Ö Ò Ð Tree Node<T>º
¿º Convert ÍÒ Ð × ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ × typename GT::Node*
Tree Node<Key>*º
½
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ù Ó× Ò ×Ø Ø ÜØÓ ×ÓÒ ÔÖÓ × Ó× ÓÒ ÙÒ ÖÙØ Ò ÐÐ Ñ generate tree() Ö × ÒØ
Ò Ð Ö ÚÓ generate tree.H¸ Ð Ù Ð Ò Ö ÙÒ Ö ÓÐ ÒØÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ù Ó ntreepicº

661. 7.5. Recorridos sobre grafos 635
Ò Ð ÓÔ Ö ÓÖ () ×Ø Ð × × Ð Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ØÖ Ú × Ð × Ù ÒØ
ÐÐ Ñ
void operator () (typename GT::Node * groot, Tree_Node<Key>* troot)
Ú Þ ÕÙ × Ö Ý × Ñ Ô ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÔÓ groot Ø ÔÓ typename GT::Node
*¸ × ÒÚÓ
Convert () (groot, troot);
Ä Ù Ð ÜØÖ Ð ÙÒ Ò ÓÖÑ ÓÒ groot¸ Ð ÓÒÚ ÖØ Ð Ø ÔÓ Key Ý × Ò ×Ø
Ö ×ÙÐØ Ó troot->get key()º
º SA Ð ¬ÐØÖÓ Ö Ó׺
graph to tree node() × ÔÓÝ ×Ó Ö Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò ÔÖ Ú
¿ ÓÒÚ Ö× ÓÒ List Graph<Node, Arc> Tree Node<T> ¿ +≡ ¿ ¿
template <class GT, typename Key, class Convert> static void
__graph_to_tree_node(GT & g, typename GT::Node * groot, Tree_Node<Key> * troot);
Ð Ù Ð× Ò Ö Ö ÓÖÖ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖg Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó groot
Ý Ñ ÒØ Ò Ò troot Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÔÓ Tree Node<Key>º
Å ÒØ graph to tree node() ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÖÙØ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ð × ¹
Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¿ ÓÒÚ Ö× ÓÒ List Graph<Node, Arc> Tree Node<T> ¿ +≡ ¿ ¿
template <class GT, typename Key,
class Convert, class SA> inline
Tree_Node<Key> * graph_to_tree_node(GT & g, typename GT::Node * groot)
{
Tree_Node<Key> * troot = new Tree_Node<Key>; // apartar memoria para ra´z
ı
Convert () (groot, troot); //convertir de groot y copiar a troot
__graph_to_tree_node <GT, Key, Convert, SA> (g, groot, troot);
return troot;
}
graph to tree() Ò Ð Þ Ð Ö Þ Tree Node<Key>º Ð Ö ×ØÓ Ð ØÖ Ó ÐÓ Ö Ð Þ Ð
ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú groot ÑÔÐ ÒØ ÔÓÖ graph to tree()
¿ ÓÒÚ Ö× ÓÒ List Graph<Node, Arc> Tree Node<T> ¿ +≡ ¿
template <class GT, typename Key, typename Convert, class SA> static
void __graph_to_tree_node(GT & g,
typename GT::Node * groot,
Tree_Node<Key> * troot)
{
typedef typename GT::Node Node;
typedef typename GT::Arc Arc;
// recorrer arcos de groot y construir recursivamente
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(groot); it.has_current(); it.next())
{
Arc * arc = it.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Convert_Tree))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Convert_Tree, true); // marcar visitado arc

662. 636 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Node * gtgt = it.get_tgt_node();
Tree_Node<Key> * ttgt = new Tree_Node<Key>; // crear nuevo nodo
Convert () (gtgt, ttgt); // asignarle la clave
troot->insert_rightmost_child(ttgt); // insertarlo como hijo
__graph_to_tree_node <GT, Key, Convert, SA> (g, gtgt, ttgt);
}
}
Í× × Node Arc Iterator º
× ×Ù¬ ÒØ ÓÒ ×ÓÐÓ Ñ Ö Ö ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ Ý × Ò Ú × Ø Ó¸ Ô٠׸ ÓÑÓ g × ÙÒ
Ö Óи ÒÓ Ý ÔÓ× Ð Ú × Ø Ö Ð ÒÓ Ó × ÓØÖÓ Ö Óº Ð Ø Ñ Ö × ÒÓ¹
Ñ Ò Convert Treeº
Merida
El Vigia Valera Barinas
La Fria Sta Barbara Carora Maracaibo Caparo Guanare Sn Fernando
MachiquesSn Cristobal Barquisimeto Coro Paraguaipos Rubio Sn Carlos Sn Juan
Sn Antonio Smento Valencia Sn Felipe Caracas El Tigre
El Canton Maracay Barcelona Cd Bolivar
Pto La Cruz Pto Ordaz
Cumana Maturin
ÙÖ º¾¾ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÑÔÐ ØÙ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ Ü º¾¼ ´Ô Ò ¿¿µ ÓÒ
ÒÓ Ó Ò Ó Å Ö
7.5.13 Componentes inconexos de un grafo
Ó ÙÒ Ö Ó¸ × × Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒØ ×Ù Ö Ó× Ò ÓÒ ÜÓ× ÕÙ ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ Òº
Ø Ð × ØÓ׸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ¿ ≡ ¿
template <class GT, class SA> inline
void inconnected_components(GT & g, DynDlist<GT> & list);
Í× × DynDlist ¿ Ò inconnected components ¿ º
inconnected components() Ö ÙÒ Ö Ó g Ý ÙÒ Ð ×Ø Ú listº ÄÙ Ó Ð ¹
Ù ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú ¸ list ÓÒØ Ò ÐÓ× ×Ù Ö Ó× Ñ Ô Ó× g ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ×Ù×
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ׺ Ë g × ÓÒ ÜÓ¸ ÒØÓÒ × list ÓÒØ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ö Óº
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÔÖÓÚ Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø ÔÖÓ¹
Ð Ñ ¸ Ð ÙÒ × Ñ × ¬ ÒØ × Ý ÓØÖ × Ñ × × ÑÔÐ × ÑÔÐ ÒØ Öº Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ×Ó׸ Ð
× × Ö ÓÖÖ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó × ÙÒ ÕÙ Ð ÒÓ Ó Ü Ñ Ò Ó × Ý Ú × Ø Ó
Ó ÒÓº
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔÐ ÓÒ× ×Ø Ò Ö Ð Þ Ö Ó× Ô × ×º Ä ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÖÖ ÐÓ× Ö Ó× ÔÓÖ
ÔÖÓ ÙÒ Ý Ô ÒØ ÐÓ× ÒÓ Ó× × ÙÒ Ð ÓÒ Ø Ú º Ð ¬Ò Ð ×Ø Ô × ¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý
Ö Ó× ÕÙ Ò Ô ÒØ Ó× × ÙÒ Ð ÓÐÓÖ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ ÜÓ × Ð Ù Ð × Ò Ó ×Ù

663. 7.5. Recorridos sobre grafos 637
Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º ÙÖ ÒØ ×Ø Ô × × Ò× ÖØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ñ × ÒÓ ÐÓ× Ö Ó׸ Ò
ÐÓ× ×Ù Ö Ó× Ö ×ÙÐØ Ó׺
ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ò ÙÒ × ÙÒ Ô × ¸ × Ö ÓÖÖ Ò ÐÓ× Ö Ó× Ý ×ØÓ׸ × ÙÒ ×Ù ÓÐÓÖ¸
× Ò× ÖØ Ò Ò ×Ù ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×Ù Ö Ó Ö ×ÙÐØ Óº Ä ÔÖ Ñ Ö Ô × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ØÓÑ O(E)¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × ÙÒ O(E)º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × O(E)º
Ë ÔÙ ÐÓ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ × ¬ ÒØ ÕÙ ÓÖÖ Ð × ÙÒ Ô × × × ÓÒ×ØÖÙÝ
Ö Ø Ñ ÒØ Ð ×Ù Ö Ó ÙÖ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ Ò ÐÙ Ö ÔÓ×Ø Ö ÖÐÓ Ô Ö
Ð × ÙÒ Ô × º ×Ø × Ð Ò ÓÕÙ ÕÙ ÑÔÐ Ö ÑÓ׺
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ù ÒØ
¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ¿ +≡ ¿ ¿
template <class GT, class SA> inline
void build_subgraph(GT & g, // grafo original
GT & sg, // componente inconexo
typename GT::Node * g_src, // nodo actual en g
size_t & node_count); // contador de nodos
build subgraph() Ö ÓÖÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó g Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ sg × ÙÒ
Ð ÓÒ Ø Ú Ð ÒÓ Ó ÕÙ × ×Ø Ú × Ø Ò Óº g src × Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð g ÕÙ ×
ÒØ ÒØ Ú × Ø Öº node count × ÙÒ ÓÒØ ÓÖ ×Ó Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× ÕÙ Ô ÖÑ Ø
Ø Ø Ö Ù Ò Ó× Ò×Ô ÓÒ Ó ØÓ Ó Ð Ö Óº
build subgraph() × ÒÚÓ Ó ÔÓÖ inconnected components()¸ Ð Ù Ð Ö ÓÖÖ ØÓ Ó×
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ý¸ Ô Ö ÒÓ Ó curr node ÕÙ ÒÓ Ý × Ó Ú × Ø Ó¸ Ö Ð Þ ÙÒ
ÐÐ Ñ build subgraph()¸ Ð Ù Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ ÜÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × curr nodeº È Ö ÔÓ Ö Ñ Ô Ö ØÓ Ó Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ
Ò ÓÒ ÜÓ¸ Ð Ø Ò ÓÒ Ö Ð Þ Ö× Ù Ò Ó × Ý Ò Ö ÓÖÖ Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺
Ó Ð × Ö ÒØ ÔÖ Ñ × ×¸ ÔÓ ÑÓ× ÒÙÒ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¬Ò Ø ÚÓ
¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ¿ +≡ ¿ ¿
template <class GT, class SA> inline
void inconnected_components(GT & g, DynDlist <GT> & list)
{
g.reset_nodes();
g.reset_arcs();
size_t count = 0; // contador de nodos visitados
for (typename GT::Node_Iterator i(g); // recorrer nodos de g
count < g.get_num_nodes() and i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Node * curr = i.get_current_node();
if (IS_NODE_VISITED(curr, Build_Subtree))
continue;
// crear subgrafo componente inconexo conectado por curr_node
list.append(GT()); // crea subgrafo y lo inserta en lista
GT & subgraph = list.get_last(); // referencia grafo insertado en list
build_subgraph <GT, SA> (g, subgraph, curr, count); // subgrafo a curr
}
}
¬Ò ×
inconnected components¸ Ù× Ò ÙÒ ¿º
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Iterator º
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö build subgraph()¸ Ð Ù Ð × Ö Ñ Ø ÜÔÐÓÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ¹
× ÙÒ ÒÓ Ó g src Ð Ù×ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒÓ Ó× × ÕÙ Ð × ×

664. 638 Cap´
ıtulo 7. Grafos
g srcÝ ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ö Ò ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ð Ö Ó
¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ¿ +≡ ¿
template <class GT, class SA> inline
void build_subgraph(GT & g, // grafo original
GT & sg, // subgrafo componente inconexo
typename GT::Node * g_src, // nodo actual en g
size_t & node_count)
{
if (IS_NODE_VISITED(g_src, Build_Subtree))
return;
NODE_BITS(g_src).set_bit(Build_Subtree, true); // marcar g_src visitado
++node_count;
typename GT::Node * sg_src = // imagen de g_src en sg
static_cast<typename GT::Node *>(NODE_COOKIE(g_src));
if (sg_src == NULL) // ¿est´ mapeado g_src?
a
{ // No, cree imagen de g_src en el subgrafo sg y mapee
sg_src = sg.insert_node(g_src->get_info());
GT::map_nodes(g_src, sg_src);
}
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(g_src); // explore desde g_src
node_count < g.get_num_nodes() and i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Build_Subtree))
continue; // avance pr´ximo arco
o
ARC_BITS(arc).set_bit(Build_Subtree, true); // marque arc visitado
typename GT::Node * g_tgt = i.get_tgt_node(); // nodo destino de arc
typename GT::Node * sg_tgt = static_cast<typename GT::Node *>(NODE_COOKIE(g_tgt));
if (sg_tgt == NULL) // ¿est´ mapeado en sg?
a
{ // no, hay que mapearlo e insertarlo en el subgrafo sg
sg_tgt = sg.insert_node(g_tgt->get_info());
GT::map_nodes(g_tgt, sg_tgt);
}
// tenemos los nodos en el subgrafo, insertamos arco y lo mapeamos
typename GT::Arc * sg_arc = sg.insert_arc(sg_src, sg_tgt, arc->get_info());
GT::map_arcs(arc, sg_arc);
build_subgraph<GT,SA>(g, sg, g_tgt, node_count); // prosigue recursivamente
}
}
Í× × Node Arc Iterator º
7.5.14 Puntos de articulaci´n de un grafo
o
Ó ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ¸ ÙÒ punto de articulaci´n, o de corte × ÙÒ ÒÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ð
o
Ð Ñ Ò Ö× Ú Ð Ö Ó Ò Ð Ñ ÒÓ× Ó× ×Ù Ö Ó× × ÙÒØÓ׺ Ä ¬ ÙÖ º¾¿ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ
ÑÔÐÓ Ò Ð Ù Ð ×Ù× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ ×Ø Ò Ö × ÐØ Ó׺
ÄÓ× ×Ù Ö Ó× × ÙÒØÓ× Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ÙÒ Ö Ó
× ÒÓÑ Ò Ò ÐÓÕÙ × Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× º
Ä Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð ÔÖÙ
ÔÐ Ò Ö Ý Ô Ö Ð ÙÒÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ù Ó Ð Ú Þ ÕÙ ÓÒ×Ø ØÙÝ ÓØÖ ÔÐ ÓÒ

665. 7.5. Recorridos sobre grafos 639
M K B E G
I J A F
L K H
D C
ÙÖ º¾¿ ÍÒ Ö Ó Ý ×Ù× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ
Ñ × Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ º Ì Ñ Ò¸ ÖØÓ ÑÓ Ó¸ Ö Ú Ð ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ö Ø Ó×
ÙÒ Ö Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò ÙÒ Ö Ð ØÖ ¸ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ Ò Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
ÕÙ Ð ÐÐ Ö ÔÙ Ò ÓÑÔÖÓÑ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ñ ×ÑÓ ÔÐ Ð Ñ ÝÓÖ Ð×× Ö ×
ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ Ô ÕÙ Ø × Ö ¸ Ø Ø Ö º
ÒÐ Ù ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖØ ¸ × Ñ Ò ×Ø Ö Ö ¹
Ø Ö Þ Ö Ð ÙÒ × ×Ù× ÔÖÓÔ × Ý ×Ù× Ö Ð ÓÒ × ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ
ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ º ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ñ × × ÑÔÐ ØÓ ×¸ Ö Ø Ö Þ
ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ð Ñ º
Lema 7.1 Ë ÙÒ ÒÓ Ó v × ÓÖØ ¸ Ø Ð ÕÙ Ú ÙÒ Ö Ó G Ò Ó× ÓÑÔÓÒ ÒØ × G1 Ý
G2¸ Ö ×Ô Ø Ú
Ñ ÒØ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ñ ÒÓ × ÙÒ ÒÓ Ó u Ò G1 ÙÒ ÒÓ Ó w Ò
G2 ¸Ò × Ö Ñ ÒØ ¸ ÓÒØ Ò Ö vº
Demostraci´n Ë Ð Ð Ñ ÒÓ Ù ×
o ÖØÓ¸ ÒØÓÒ × × Ö ÓÒØÖ ØÓÖ Ó ÕÙ v Ù × ÙÒ
ÔÙÒØÓ ÓÖØ ¸ ÔÙ × Ü ×Ø Ö ÓØÖÓ Ñ ÒÓ ÒØÖ u Ý w ÕÙ Ò Ö ÓØÖ Ö Ñ ÓÒ ¹
Ø Ú º Ä × Ù ÒØ ¬ ÙÖ ÒÓ× Ô ØÓÖ Þ ×Ø × ØÙ ÓÒ
u v w
G2
G1
Ä ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ × ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ö Ø Ö Þ Ö ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÕÙ Ô Ö ÒØÖ ÙÒ
ÒÓ Ó ÓÖØ Ù Ò Ó ×Ø × Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸
ÔÓ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÓØÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÒ Ñ ÒØÓ Ô Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ
Ð ÙÐÓ ÒÓ Ó× ÓÖØ º
B F I J
A D H
C G L K
ÙÖ º¾ ÍÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÖØ ÙÐ ÓÒ

666. 640 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Lema 7.2 Ë T Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ÙÒ Ö Ó G =< V, E > Ò Ö Ó
Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó vº ÒØÓÒ ×¸ v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ ÙÒ Ö Ó G × Ý ×ÓÐÓ × Ð Ö Þ v
Ø Ò Ñ × ÙÒ Óº
Demostraci´n È Ö
o ÑÓ×ØÖ Ö Ð Ò × ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð Ò Ó Ð Ð Ñ ×ÙÔÓÒ ¹
ÑÓ× ÕÙ v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ ÓÒ ÙÒ ÙÒ Ó Ó w
v
w G-v
.
.
Ë Ð × ØÙ ÓÒ Ù × × ¸ ÒØÓÒ × w × Ö Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÕÙ
Ù Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ×ØÓ ÐÓ ÒÓ Ó× V − {v}¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ð ¬ÖÑ ÓÒ ÕÙ v
× ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ò ÓÒ Ð Ð Ñ × ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒ¸ × Ò × Ö Ó
ÕÙ v Ø Ò Ó× Ó Ñ × Ó× Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
Ò Ù ÒØÓ Ð ×Ù¬ Ò ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× Ó× ÒÓ Ó× u Ý w Ó× v
v
u w
Æ Ò ÙÒÓ ÐÓ× × Ò ÒØ × u × Ò ×ØÖÓ Ó × Ò ÒØ w Ò T Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸
ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ Ô Ö wº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ T Ù Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð
×Ù ¹ Ö ÓÐ u ×ÓÒ Ú × Ø Ó× ÒØ × ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ×Ù ¹ Ö ÓÐ wº ×ØÓ Ò ÕÙ Ò Ò ÙÒ
ÒÓ Ó v ×Ø ÓÒ Ø Ó ÙÒ ÒÓ Ó w ÔÓÖ Ð ÙÒ Ö Ó G¸ ÔÓÖÕÙ × ÒÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò
ÔÖÓ ÙÒ ÐÓ× Ù × × Ù ÖØÓº ÄÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ñ ÒÓ ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ð
×Ù ¹ Ö ÓÐ u ÙÒ ÒÓ Ó Ð ×Ù ¹ Ö ÓÐ w ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó Ö Þ v¸ Р٠и ÔÓÖ Ð Ð Ñ º½¸
× ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÖØ
×Ø Ð Ñ ¸ ÔÓ ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ü Ñ Ò Ö ÒÓ Ó
v¸ Ð ÙÐ Ö ×Ù Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô ÖØ Ö v Ý Ú Ö ¬ Ö × v Ø Ò Ñ ×
ÙÒ Ö Ñ º Ä ÓÑÔÐ × O(V) Ú × ÐÓ ÕÙ ÑÓÖ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ô ÓÖ × ÑÔ ÒÓ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × O(V 2) Ó O(V × E) × ÙÒ Ð Ò×
Ð Ö Óº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× × Ò Ò × ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö ÓÐ Ö¹
ÓÖº ×Ø ÓÒ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ØÖ ÓÒ Ð × Ó Ò
depth first traversal() Ý ÔÖ ×Ø Ö Ø Ò ÓÒ Ð Ð ÞÓ ÜØ ÖÒÓ ÕÙ Ò Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ
Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó vº Ë Ð ÐÐ Ñ depth first traversal() ×Ó Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ó v
ÒÓ Ù Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × v ÓÑÓ Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ø Ò
Ñ × ÙÒ Ö Ñ Ý ×¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ º
ÈÙ Ò Ð ÙÐ Ö× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ÓÒ ÙÒ ×ÓÐ ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð
Ö Ó ÆÓ× ÔÖÓÜ Ñ Ö ÑÓ× Ð Ö ×ÔÙ ×Ø Ñ ÒØ ÓØÖÓ Ð Ñ º

667. 7.5. Recorridos sobre grafos 641
ººº
ººº
ººº
ºº
ºº
ºº D ºº
ºº
ºº
ºº
º
º ºº
ºº
ºº
ºº º
ºººº
ºº º
ºº ºº
ºº ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º
ºº ºº º
ºº ºº ºº
ºº
ºº º
ºº ºº
º º ºº
º ºº
º º
º º B ºº
º
º ºº
º º ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º º
ºº
º
ºº ººº
ººº
ºº ºº
ºº
ºº
º
º
º
º ººº
ºº
ºº º ºº
º
º º ºº
ººº º ºº
ººº º ºº
ºº
ºº
ºº ºº
º º º ºº
ºº ºº
º
ºº
ºº ºº º
º
ºº
º ºº º
º
º
ºº
ºº ºº
º
º º
ºº
º ºº
º
º º
º
ºº º º
A ºº º
º º
º º
º º
º º
J º
º
ºº
º
º
ººº ºº º º ºº
º
º
º ºº º
º º ºº
º º º
ºº
ºº
º
º
º ºº ºº
º ºº ºº º ººº
º º ºº º ºº ºº
ºº º
ºº
ºº
ºº
ºº
º
ºº
º
º º º º
º ººº ºº
ººº ºº
ºº ºº º
º ºº
ºº
º ºº
ºººº ºº
ºº
ºº
º
ºº
ºº
ºººº
º ºº ºº
ºº
º C ºº
º
ºº
ºº
º
ºº
º I ºº º º
º ºº
ºº
ºº
º º ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º º º
º º ºº
º º º
ºº º º º º
ºº
ºº º º
º ºº º
ºº º
ºº º ºº º
ºº
ºº
ºº º º
º º
º º ºº º
ºº º
º
º º ºº º
º
G ººº
ººº
ººº
ººº º ººº
ººº º º
ºº ºº º
º º
º º
º º º
º
º H ºº º
º º
º º
ºº º
ºº º
º
º
º H º
ºº
º
ºººº
ºººº
ººº º
ºº ººº º
ººº
ºº º
ºº º
ººº ºº º
ººº ºº º
ººº ºº
ºº º
º
º
º ºº
º ºº
º ºº º
º
º
ºº
ºº
ººº
ºº
º
ºº º º º º
ººº
ºº
ºº ºº º ºº
º ºº º
ºº
ºº º º
º º ºº
º ºº º
º º
ºº
ººº
ºº
º ºº º
º º
º ºº
º
º ºº
F º
º
º
º º
º
ºº
ºº
ºº
F ºº
ºº
ºº º
º
º
º º º L º
ºº
º
ºº
ºº
F ºº
ºº
ºº º
º
º
º
ºº
ºº
I ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ºº
º ºº
ºº
ºº ºº º ºº
ºº
ºº º
º º
ººº
º ºº
ºº
ºº º º
ºº ºº
ºº
ºº º
º º
º ººº
ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
º
ºº º
º ºº
ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
ºº º º º ºº
ºº
ºº º º ºº
ºº
º
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º
º
ºº
º ºº
ºº
ºº º ºº
º ºº
ººº
ººº
ººº ºº
º ºº º º ºº
ºº
ºº
º ºº º
ºº ºº
ºº
º ººº º
H ººº
ººº
ººº B º
ººº º K º B º
ººº
º
º L º
ººº
ººº
ººº ºº
º
º ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º ºº º º ººº ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º ºº º ººº
ººº
ººº
º
º
ººº
ººº
ºº º
ºº
º º ººº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º ºº
º º
º º º
ºº
º º ººº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º ºº
º º
º º ººº
ººº
ºº º
º
º
ººº
ºº
ºº º ºº ºº
º ºº
ºº º
ºº º
ºº ºº º
º º ºº ºº
º ºº
ºº º
ºº º
ºº º º ºº ººº
ºº
ºº ºº
ºº
º
ºº
ºº
º º ºº º ºº º
º º ºº º ºº º
º ºº
ºº
º º
ºº
ºº
º º ºº º
º º º º º ºº º
º º º º ºº
ºº
º ºº
ºº
º
ººº
º º º
ºº ººº
ºº
ºººº º
º º º
ºº ººº
ºº
ºººº º
º
º ºº
º ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº º ºº
º º
º ºº º
ºº ºº
ºº º ºº
ºº ºº º ºº
º ºº
º ººº
ººº
ºº
º º º º
º
º
º
ºº
I ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
ºº
ºº
A º
º
º º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
A ºº
º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
J ººº
ººº
ºº
ººº ººº
ºº
ºº ººº º
º
º º ººº º
º
º º ººº
ºº
ºº ºº º ºº
º º º º º
º
ºº º ºº
º º º º º
ºº
ºº º
ººº
ºº ºº
ºº º
ºº
º
ºº
ºº ºº º ºº º
ºº º ºº º
º º º º º
º ºº
ºº
º
º ºº
º ºº º
º º º º
ºº ºº
º
º
ºº
º
º
ºº
ºº
ºº º º
º º ºº
º º º º ºº ºº
º
º º º ºº
ººº
ººº
ºº º º ººº
ºº
ºº º
º ºº
º
º ºº ººº
ººº
ºº ºº º
º
º ººº
ººº
ºº
ººº º º
º º ººº º º ººº º ººº
ººº
ººº
ºº
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº L º
º º
º ºº
º
º
º ºº
º
ººº
ººº
º º
ºº
ºº
ººº
ººº
ºº C º
º
º
º
º
ºº
ºº
ºº
º
º
º
ºº
ºº
º
º
ººº
ººº
º º
ºº
ºº
ºº
ººº
ºº C º
º
º
ºº
º
º
º
ºº
ºº
ºº
ººº
ººº
K
º
º ºººº ºº
ºººº º ºº º ºººº ºº
ºººº º ºº º
ººº
ºº
ºº ººº
º ººº º ºº
ºº
ºº ºººº º ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º ºº ºº
ºº ºº
º º º ºº ºº ºº
ºº ºº
º º ºº
ºº
º ºº
ºº
º ºººº º º
º ºº
ºº º
ººº º º
º
º ºº
ºº
ººº
º ºº
ºº
ºº ºº
º ºº
ºº
ºº º º
º º º
º
º ºº
ºº
ºº º
º ºº
º º
ºº
º ººº
ººº
ººº ºº
º
º ºº
ºº
ºº
º
º
º º º
º ºº
º
º ºº
ºº
ºº
º
º
º º
º
º
º
º
º
J ººº
ººº
ºº º
ºº
º
º
º
G ºº º
º º
º º
ºº º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
G ºº º
º º
º º
ºº º
º º
º º
º
º º º º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º º
º º
º º
ºº º
ºººº
ºº º ºº
º º
º º
ºº º
ºº
ºº ºº
ºº º º
º º º ºº
ºº º º
º º º
º
ºº
ºº
ºº
º
ºº
ºº
ºº ºº º
ºº º
º
º
ºº
ºº
ºº ºº º
ºº º
º
º º
ººº
ººº
ºº ººº
ººº
ºº ºº º
ºº º
ºº º ººº
ººº
ºº ºº º
ºº º
ºº º
ººº ººº ºº
ºº
ºº ººº ºº
ººº
ºº
ººº
ººº
K ººº
ººº
D ººº
ºº
ºº
ººº
ººº
D ºº
ºº
ºº
´µ ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò Â ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò À
ÓÑ ÒÞÓ
Ò
ÙÖ º¾ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ ÙÒØÓ ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ¹
Ö ÓÖ ×º Ì ÒØÓ Ò Ð ¬ ÙÖ ´ µ ÓÑÓ ´ µ¸ Ò Ò ÙÒ × Ò ÒØ Ð ÒÓ Ó À Ø Ò
ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ÕÙ ÓÒ Ø ÙÒ Ò ×ØÖÓ Àº Ò Ð ¬ ÙÖ ´ µ¸ À × Ö Þ Ý ÓÒØ Ò
Ó× Ö Ñ ×¸ ÐÓ ÕÙ × Ø × Ð Ð Ñ º¾º
B F I J
A D H
C G L K
ÙÖ º¾ ÍÒ Ö Ó × Ò ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ
Lema 7.3 Ë G =< V, E > ÙÒ Ö Óº Ë T =< V, E >, E ⊂ E ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ
ÔÖÓ ÙÒ Gº Ë E ⊂ E Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ × ¸ Ó× ÔÓÖ ÐÓ× Ö Ó×
ÕÙ ×Ø Ò Ò E Ô ÖÓ ÒÓ Ò E º
ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÒÓ Ó v ∈ G¸ ÕÙ ÒÓ × Ö Þ T ¸ × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ × Ý ×ÓÐÓ × v Ø Ò
ÙÒ Ó w Ò T Ø Ð ÕÙ Ò Ò ÙÒ × Ò ÒØ w ×Ø ÓÒ Ø Ó ÙÒ Ò ×ØÖÓ v Ò T
ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖº
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ × ×Ø ÓÒØ Ò ÙÒ ×Ù ¹ Ö ÓÐ ÙÝÓ× Ö Ó× ÒÓ¹
Ö ÓÖ × ÒÓ ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó× Ò ×ØÖÓ× vº ÓÑÓ ÑÔÐÓ׸ ÓÒ× Ö Ð × ¬ ÙÖ × º¾ ¹
Ý º¾ ¹ º Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ ¹ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ × Ð ×Ù ¹ Ö ÓÐ H ÓÒ
Ö Þ I ÓÒ Ø ÙÒ Ò ×ØÖÓ Hº Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ ¹ ¸ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ×Ù ¹ Ö ÓÐ
ÙÝ Ö Þ × F × ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ÙÒ Ò ×ØÖÓ Hº

668. 642 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ò Ð Ñ Ð ¬ ÙÖ × º¾ Ú ÑÓ× ÕÙ ØÓ Ó ×Ù ¹ Ö ÓÐ ÓÒØ Ò ÙÒ
Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ÕÙ ÓÒ Ø ÙÒ Ò ×ØÖÓ Ð Ö Þº
Demostraci´n Ë Ñ Ð Ö Ð Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ô Ö ÔÖÓ Ö Ð Ò ×
o Ò ÑÓ× Ð Ð Ñ
× Ö ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ v Ø Ð ÕÙ ÙÒ × Ò ÒØ w Ø Ò ÙÒ Ö Ó Ò
G ÕÙ ÓÒ Ø ÙÒ Ò ×ØÖÓ u vº Ì Ð × ØÙ ÓÒ ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
u Ò ×ØÖÓ
ÖÓ Ò
ÆÓ Ó v
ÓÖØ
w × Ò ÒØ
Ä Ô ØÓÖ Þ ÓÒ Ö Ú Ð Ð ÓÒØÖ ÓÒº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ × u
w Ô × Ò Ó ÔÓÖ v¸ ÔÙ × ×Ø ×Ø ¬Ò Ó ÔÓÖ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ø Ñ Ò
Ü ×Ø Ö ÙÒ Ñ ÒÓ × u w × Ò Ô × Ö ÔÓÖ vº Ä ÙÒ ÓÖÑ Ò ÕÙ Ó ÙÖÖ ×ØÓ ×
ÕÙ u Ý v Ô ÖØ Ò Þ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ ÜÓ ÕÙ Ù× Ö Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ vº È ÖÓ
×ØÓ × ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒ¸ ÔÙ × × Ô ÖØ Ò × Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒ ÜÓ¸ ÒØÓÒ ×
ÒÓ Ü ×Ø Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ u Ý w Ô × Ò Ó ÔÓÖ v
Ä ×Ù¬ Ò × Ñ × × ÑÔÐ º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ v Ø Ò ÙÒ Ó w Ø Ð ÕÙ Ò Ò ÙÒ
× Ò ÒØ w ×Ø ÓÒ Ø Ó ÙÒ Ò ×ØÖÓ v ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó G ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò Þ
T º ÒØÓÒ ×¸ Ñ ÒÓ Ò G × w ×Ø Ð ÒÓ Ó Ö Þ T Ô × Ö ÔÓÖ v¸ ÐÓ
ÕÙ Ò ¸ × ÙÒ Ð Ð Ñ º½¸ ÕÙ v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ
×Ø Ð Ñ ÔÓ Ö ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ð ÙÐ Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
× ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö º ÈÓÖ ÒÓ Ó w ÒÓ Ö Þ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ × ×Ø Ð Ò
Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ý D Ò ×ØÖÓ× Ý × Ò ÒØ ×¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÄÙ Ó × ÑÔÐ
Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð Ð Ñ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö × w × Ó ÒÓ ÓÖØ º ÙÒÕÙ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ
× Ö Ð Þ Ð ¸ ×Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ý Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÐÓ×
ÓÒ ÙÒØÓ× A Ý D¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ × × ÑÔÐ Ö Ð Þ Öº
ÓÖØÙÒ Ñ ÒØ ¸ Ó ÙÒÓ ÒÓ Ó v Ý ÙÒÓ ×Ù× Ó× w¸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ø
Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ò Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ A ÐÓ× Ò ×ØÖÓ× v Ý Ð ÓÒ ÙÒØÓ D
ÐÓ× × Ò ÒØ × wº È Ö ÐÐÓ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ
Definici´n 7.1 (N´ mero
o u ) Ë ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ G =< V, E > ×Ó Ö Ð Ù Ð ×
Ö Ð Þ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º Ë v ∈ V ÙÒ ÒÓ Óº ÒØÓÒ ×¸ (v) × ¬Ò ÓÑÓ Ð
ÓÖ Ò Ð Ú × Ø ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ò Ð Ù Ð (v) = 0º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸
(v) ÒÓØ Ð ÓÖ Ò Ú × Ø Ò ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º
Corolario 7.1 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ÙÒ Ö Ó G ÙÝÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò
Ø ÕÙ Ø Ó× × ÙÒ Ð ÓÖ Ò Ú × Ø º ÒØÓÒ ×
½º Ä Ö Þ T × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ × Ý ×ÓÐÓ × ×Ø Ø Ò Ñ × ÙÒ Óº ×Ø ×Ó
×Ø ÐÙ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º¾ ¹ ÓÒ Ð ÒÓ Ó ÓÖØ Hº
¾º ÍÒ ÒÓ Ó v¸ ÒÓ Ö Þ T ¸ × ÓÖØ × Ý ×ÓÐÓ × v Ø Ò ÙÒ Ó w Ø Ð ÕÙ Ò Ò ÙÒ
× Ò ÒØ w ×Ø ÓÒ Ø Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÙÝÓ ×
Ñ ÒÓÖ ÕÙ (v)º

669. 7.5. Recorridos sobre grafos 643
ºººº
ºººº
ººº
ºº
º
º D ºº
ºº
ºº
ºº
º
º ºº
ºº
ºº
ºººº
ºº º
ºº º
ºº ºº
ºº ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º
ºº ºº º
ºº ºº ºº
ººº
ºº º
ºº ºº
º º ºº
º
º º
º º
º º B ºº H
º ºº
º ºº ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º ºº
º
º
º
º
º ºº ººº
ººº
ºº ºº
ºº
ºº
º
º ºº
ºº
ºº ºº
ºº ººº
ºº
ºº º º º
º
º º ºº
ººº ºº ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º
º
ººº º ºº º
ºº º
º
º
º º
º
ºº
ºº
º
º ºº
ºº
ºº º
º ºº
ºº
º ºº
º
ºº
ºº ºº
ºº
º
ºº
º ºº
º º
ºº
ºº
ºº º º
º
ºº
ºº
º º
º º
º ºº
ºº º
º
ºº º
A º º
º º
º º
º º
º º
º º
J º
ºº
ºº
ºº ºº
º
º
º
º º
ºº
ºº
ºº
º
º F º ºº
º º
º º
º
ºº
º
ººº ºº º º ºº º ºº º
ºº º
ºº º
º ºº
º ºº º
º ºº º
º º ºº
º º º
ºº ººº
ºº º
º ºº º º
º ºº ºº
º ºº ºº º
º º º º ºº
ºº º º
º º
º º ºº º ºº
ºº
º
º ºº
º º º ºº
º
º
º º
º
ºº
ºº ºº
ºº º
º º
ººº ºº º
º º º º
º
º ºº
ºº º ºº
º ºº
º ºº
ººº ºº
ºº ºº º º º º º
ºº ºº
ºººº º º º
º º ºº ºº
ºº
º º
º º ºº
º
º
ºº
ºº
ºººº
º ºº ºº
ºº
º C ºº
ºº
ºº
º
ºº
º I º º
º º
ºº º º
ºº º ºº
º
º
º º
º º
º º
º
º
ºººº º
ººº º
ºººº º
º
º
ººº
ººº
ºººº B º ºº
º ºº
º ºººº
ºº
ºº
º ºº
ºº ºº º
º º
º º
º º
ºº ºº º º
ºº
º º ºº
º ºº
ºº
ºº º º
º º º ºº º
º º ºº º º º º ºº
º ºº
ºº
ºº
ºº ºº º º º
º º ºº ºº ºº º
º º
º º
º ºº
º º
º ºº º ºº º ºº º º ºº
ºº
ºº
ºº ºº º º
º º º
º º º º ºº º
º º
º
ºº º º º º ºº
º ºº
º º
º º º º º ºº º º º ºº
ºº
ºº
ºº º
º º º º
º º º
º
ºº
º º º
º º ºº
º
ºº
ººº
ºº
G ººº
ººº
ººº
ººº º ººº
ººº º º
ºº
º º
º º
ºº º
º º
ºº
ºº
º
º
ºº F ºº º º º ºº
º º º º
º º º
ººº º
º
º º
º º
º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º º
º º A º ºº
º
º ºº
º ºº
º
ºº
ºº
ºº
º º ººº
ºººº
º º
º ºº º
ºº º
ºº º ºº º
º º º º ºº
ºº
º ºº º ºº
º º º º ºº
º ºº
º ºº
ººº ºººº ºº ºº
ºº
ºº º
ºº º
ºº º º
º º
º º º ºº
º ºº º º º ººº
ºº
º ºººº ºº º
º º ºº
ºº ºº ºº ºº
º ºº º ºº º ºººº
º º ºº
º º º ºº º º
º º º ºº
ºº
ºº ºº
º ºº
ººº ºº
ºº
º
º ºº º º
º º º º ººº
ººº
ºº ººº
ººº
ºº
º ºº º
º
º º º ºº ººº
º º ººº ºº º º
ºº
º º
ºº
ºº º º ºº º º
º º º
º º º ºº º ºº º
ºº º
ºº
º ºº
ºº
ººº
ºº
º ºº ºº
º º
º
º º ºº
º ºº º º º º º º º ººº ºº º ºº º
ºº
ºº
ºº F ººº
ººº
ººº
ººº
º
º
º
º ºº
ºº
ººº º
º ººº
ºº
ºº
ººº B ºº º
ºº º
ºº º º
º º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º º
º ººº
ºº º º
º ºº
º ºº º
ººº
ºº
º
º C ººº
ºº º
ºº º
ºº
º ººº
ºº
ººº
ºº ºº ºº
º ººº
ººº º
º º º º º ºº º
ºº º º º ººº
ºº ººº
ºº º
ºº º ºº
º ºº º
ºº º
ºº º
ºº ºº
ºº
ºº º ºº ºº
º ºº º º
ºº ººº º º º
º º º
º º º º ºº
º
ºº º
º ºº º º
ºº º
ºº º ºº
º º º ºº º º º ºº º
º ºº
º ºº
º ºº º ºº º
º º º º º
º º
ºº
ºº
ºº º º º
º º º º º ºº ºº º
ºº ºººº º ºº º
º
º ºº
ºº
ºº ººº º º º ºº º
ºº
º ºº º
ºº
º ºº ºº
ºº
º º
º º ºº
ºº º º ºº ºº
ºº
º
ºº ºº
ºº º ºº
º
º ººº
ººº
ººº ºº
º ºº
º º º
ºº º º
º º º
º ºº º
ºº
ºº
ººº
ººº ºº º
ºº º
ººº º º ºº º
º
º
º
º
º
º ººº
ººº
ºº
ººº
ººº
ººº H ººº
ººº
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
º
º
º º
º º
º º
º º º
A ºº
º
º
º
ºº
ºº
º º
º º
º
ºº
ºº
ºº
º
º
ºº
º
º º ºº
ºº º
ºº º
º º
º º
ºº º
ººº
ºº G ºº º
ºº
ºº º
ºº º
º º
º
º ººº º º ºº º º
ºº º
º
º
º ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
º º ºº
º º º º º
º º
ºº
ºº
ºº ºº
ºº º
º º ºº º
ºº º
ºº º
º º ºº
º ºº º ºº ºº
º º ºº º º ºº ºº ºº ºº º
ºº º
ºº º ºº
º º ºº
º º º º º ºº º º
ºº º º
ºº
ºº º
ºº º
º ºº ºº
ºº º
º º
ºº º
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º
º º ºº
ºº
º
º
º
º ºº º ºº º
º
º º
º ºº ººº
ººº
ºº ºº
º º ººº º
º ºº
ºº
º ººº ººº ºº
ºº
º
º
º
º º
ºº ºº
º
ºº
ºº
ºº º º
º
ºº º
ºº º
º º
º
º
º
ºº
º
ºº
ºº
I ºººº
ººº
ººº
ººº
ºº
º
º º ººº
ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº º º
ºº º º
º º
º ººº
ºº
º
º C º
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
º
º
D ºº
ºººº
ººº
ººº
ºº ºº
º
º º
º
º L ººº
ººº
ººº
ººº
º
ºº ºº
ºº
º ººº
ºº
ºº ºº º
º
ºº
ºº ºº
º ºº ºº ººº º
º ºº
º º ººº
ºº
ºº
º
º ºº
ºº ºº
ºº
ºº ºº º
ºº
º º ºº ºº
º º ºº ººº
ºº
º º
º
º
º ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º º º º ºº º
ºº ºº º º º ºº
º º º ºº
ºº
º
ºº º ºº
ºº
ºº º
ºº
ºº
º ºº
º ºº
ºº º ºº º
ºº
º º
º ºº
ºº
º
ººº ºº º
ººº º º
ºº ºº
ºº ºº
ºº
ºº
º
ºº
ºº º ºº
º º ºº
º ºº
ºº
º º
ºº º
º
ºººº
ºººº º
º º º ººº ºº
ºº º ºº
º
ººº º
º º ºº
ººº
ººº
ºº
ºººº º
ºº º
ºººº L º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
ºº º
ºº º
º
ºº º º ººº
º º
º
º
ººº
ºº
ººº
ººº
ººº G ºº º
ºº º
º
º
º
ºº
º
ººº
ººº
º
º
ºº
º
º
º
ººº
º
º ºº
º I º
º
º
º
º
ººº
ºº
ºº ºº
º ºº ºº
ºº º ººº ºº
º ººº º
ºº
º
ºº
ºº ººº º º º ºº º
º
º
º
º º
º ºº
º
ºº
º
ºº
ºº
º ºº ºº
º ºº
ºº ºº
ºº º
ºº º ºº º
ºº º
º º
º
º º
º
º ºº
º
º
ºº
º º º º º ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
ºº ºº
ºº ººº º
º
º º
º º
º ººº
ººº
º
ºº
º ººº
ººº
ººº ºº º
º ºº
º
º ºº
º ºº
º º
º
º
ºº º
º ººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
J ººº
ººº
ºº D º
ºº
ºº
º
º
º
ºº
ºº
ºº
º
ºº
ºº
º º
º
º L º
º
ºº
º
º
ºº
º
º
ºº
ºº
º
J ººº
ººº
ººº
º
ºº º
ºº ººº ºº
ºº
º
º ºº
ºº ºº
ºº º ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
º ººº
º º
º ºº
ºº
ºº ºº
ºº ººº º ºº
ºº
ºº ºº ºº
ºº
ºº º
º ººº
ºº
ºº
ººº
ººº
ºº ººº
ººº
ºº º
º º
ººº ººº ºº
º º ººº
ººº
ºº
ººº
ººº
K ººº
ººº
H ºº
ºº ºº
º K K
´µ ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò Â ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò À
ÓÑ ÒÞÓ
Ò
ÙÖ º¾ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ ÙÒØÓ ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ¹
Ö ÓÖ ×º ÕÙ ÓÒ¬ÖÑ ÑÓ× ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ¸ Ô٠׸ Ò ØÓ × Ð × ¬ ÙÖ ×¸
Ô Ö ØÓ Ó ÒÓ Ó ÒÓ Ö Þ v¸ × ÑÔÖ Ý ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ÔÓÖ Ó ÕÙ ÓÒ Ø ÙÒ
ÒÓ Ó Ò ×ØÖÓ vº
×Ø Ô ÖØ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó × ÐÓ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ º Ò × ÒØ × ×¸ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÒØ ¸
Ð ÔÖÙ Ô Ö ÙÒ ÒÓ Ó v ÓÒ× ×Ø Ò ÓÒ× Ö Ö Ó w v Ý Ñ Ö Ö ØÓ Ó× ×Ù×
× Ò ÒØ ×º Ë ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ Ö ÓÖ × ØÓ Ó× ÐÓ× × Ò ÒØ × w
ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó× ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÕÙ (v) ÒØÓÒ × v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ º
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ð ×ÙÒØÓ × ÓÖÖÓ ÓÖ Ò Ð × ¬ ÙÖ × º¾ ¹ Ý º¾ ¹ º Ò º¾ ¹ ¸ Ð
ÒÓ Ó H¸ ÕÙ × ÓÖØ ¸ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐ Ö Ñ ÓÒ Ö Þ I Ý × ÓÒ×Ø Ø ÕÙ Ò Ò ÙÒÓ
ÐÓ× × Ò ÒØ × u ∈ {L, J, K} I × ÓÒ Ø ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ÓØÖÓ
ÒÓ Ó u ÙÝÓ df(u) > (H) = 6º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ô Ö Ð ¬ ÙÖ º¾ ¹ ¸ ÔÓ ÑÓ×
Ú Ö ÕÙ ¸ Ô Ö Ð Ö Ñ ÙÝ Ö Þ × F¸ ×ÓÐÙØ Ñ ÒØ Ò Ò ÙÒÓ ×Ù× × Ò ÒØ ×
u ∈ {B, A, C, G, D} Ø Ò Ò df(v) > (H) = 2º
Demostraci´n
o
½º Ò ×Ø ×Ó Ð ÔÖÙ × ×ÔÖ Ò Ð Ð Ñ º¾
¾º Ë ÙÒ Ð Ð Ñ º¿¸ × v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ ¸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÕÙ Ü ×Ø Ö ÙÒ Ó w ÙÝÓ×
× Ò ÒØ × ÒÓ ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ò ×ØÖÓ v ØÖ Ú × ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖº
Ð ¬Ò ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ × ×ÔÖ Ò ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ò ×¹
ØÖÓ u v =⇒ (u) < df(v)º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ × Ð ÙÒ

670. 644 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ººº
ººº
ººº
D,0,-
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
º
º ºº
ºº
ºº
ºº º
ºººº
ºº º
ºº ºº
ºº ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º
ºº ºº º
ºº ºº º
ºº
º
ºº ºº
ºº ºº
º º º
º
ºº º
º º
º º
º ºº
ºº
º ºº ººº
ººº
ºº
B,1,0
ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º
ºº
ºº
º
º
ºº
ºº
º ºº º
º
º ººº
ºº
ºº º º
º
º º ºº
ººº º ºº
ººº ºº ºº
ºº
ºº
ºº º
º
º ºº º ºº
ºº º
º
º
ºº ºº º
º
ºº
º
º ºº ºº
º
ºº
ºº ºº
º
ºº
º º
ºº
º º
º º
ºº º º
ºº
A,2,0 ºº º
º º
º º
º º
º º
º º
J,0,- º
º
ºº
º
ºº
ººº ºº
º ºº º º º º
º
º º ºº
º º º
ºº
º º
º ºº ºº
º ºº ºº º
º º ºº º ºº ººº
ºº
º ºº ºº
ºº º
º º ºº
ºº º
ºº
ºº
º ººº ºº
ººº ºº
ºº ºº ºº
º ºº
ºº
º ºº
ºººº º ºº
ºº
º
ºº
ºº
ºº
º
ºººº
º ºº
C,3,0
ºº
ºº
º
ºº
ºº
º
ºº
ºº
ºº
º I,1,0 º ºº
º ºº
ºº
ºº
º
º º ºº
ºº
ºº
º ºº º º º
ºº ºº
ºº º º º
º º º
ºº
ºº ºº º º
ºº
ºº
ºº º
º
ºº ºº º
º º ºº
º º ºº
º
ºº
ºº
ºº º º
º º
º º ºº º
ºº º
º
º ºº º
º
G,4,0 ººº
ººº
ººº
ººº º ººº
ººº º º
ºº
º º
º º
º º
ºº º º
º
H,2,0
º º º
º º
º º
ºº º
ºº º
º
º
H,0,-
º
º
ºº
ºººº
ºººº
ººº
º º
ºº ººº º
º ºº
º º
ºº º
ººº ºº º
ºººº ºº º
ººº ºº
º º
º
º
º ºº
º ºº
º º º
º
º
ºº
ºº
ººº
º ºº
º
ºº º º º
º
ººº
ºº
º º
ºº º
º ºº
º ºº º
ºº º º ºº
º ºº º
º º
ºº
ººº
ºº
º ºº º
º º
º ºº
º
º ºº
F,5,0 º
º
º
º º
F,3,2
º
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º
º
º
L,9,0
º ºº
º
F,1,0
ºº
º
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º
º
º
ºº
º
º
º
I,7,0
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº ºº º º
º
º ºº
ºº
ºº ºº
º
º º
º ººº
ºº
ºº
ººº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº º
º º
ºº
ºº
ºº
ºº º
º ºº ºº
ºº
ºº
ºº
º ºº ºº
ºº º ºº ºº
ºº º º
º ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº ºº º º
º ºº
ºº ºº º º
ºº
ºº ºº ºº º
º
º
º ºº ºº º
º ºº
º ºº
ºº
ººº
ººº
ººº ºº
ºº
º ºº
º ºº ºº
ºº
º ººº º
º
H,6,4 ººº
ººº
ººº º B,4,2 º
ººº K,10,0
º º B,2,0 º
ººº
º
º L,8,0 ºº
ººº
ººº
ººº ººº ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ººº ººº º ºº
º ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º ºº º ººº
ººº
ººº
º
º
ººº
ººº
ºº º
ºº
º º ººº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º ºº
º º
º º º
ºº
º º ººº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º ºº
º º
º º ººº
ººº
ºº º
º
º
ººº
ºº
ºº º ºº ºº
º ºº
ºº º
ºº º
ºº º º ºº º ºº ºº
º ºº
ºº º
ºº º
ºº º º ºº ººº
ºº
ºº ººº
º
ºº
ºº
º º ºº º ºº º
º º ºº º ºº º
º ºº
ºº
º º
ºº
ºº
º º ºº º
º º º ºº º º ºº º
º º º º ºº
ºº
º ºº
ºº
º
ºº º ºº
ºº ººº
ºººº º
º
º º º
ºº ººº
ºº
ºººº º
º
º ºº
º ºº
ºº
ºº
ººº
º ºº
ºº
ºº º ºº
ºº ºº º ºº
º ºº
º
ºº º ºº
ºº ºº º ºº
º ºº
º ººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
I,7,6 ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
ºº
ºº
A,5,2 º
º
º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
A,3,0 º
º
º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º º
º
º
º
º
º
J,9,7 ººº
ººº
ºº
ººº ººº
ºº
ºº ººº º
º
º º º ººº º
º
º º ººº
ºº
º
º ºº º ºº
º º º º º
ºº
ºº º ºº
º º º º º
º
ºº ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº º ºº º º ºº º ºº
º
ºº ºº
ºº
º º ºº º
º º º ºº ºº
º
º º ºº º
º º º º
º ºº
ºº
º
ºº
º
ºº
ºº
ºº ºº º ºº
º
º º º ºº
º
º º ºº
ºº
ººº
ººº
ºº ºº º
ºº ººº
ººº
ºº º
º
º º
º
º º
º ººº
ººº
ºº ºº
º º
º
º ººº
ººº
ºº
ººº º
º º ººº º º ººº º ººº
ººº
ººº
ºº
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº L,8,6 º
º
º
º
º
ºº
º
ºº
º
º
ººº
ººº
º º
ºº
ºº
C,6,2
ºº
ººº
ºº º
º
º ºº
º
º
º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ººº
ººº
º º
ºº
ºº
C,4,0
ºº
ººº
ºº
º
º
º
ºº
º
º
º
ºº
ºº
ºº
ººº
ººº
K,10,8
º
º ºººº ºº
ºººº º º
º º ºººº ºº
ºººº º ºº º
ººº
ºº
ºº ºº
º ºººº º º
ºº
ºº ºººº º ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º ºº ºº
ºº ºº
º º º º º ºº ºº
ºº ºº
º º ºº
º
ºº ºº
ºº
º º
ººº º º
º
º
ºº
ºº
ºº ºººº º º
º
º ºº
ºº
ººº
º ºº
ºº
ºº ºº
º ºº
ºº
ºº º º ºº
º
º º º
º
º ºº
ºº
ºº º
º ºº
º º
ºº
º ººº
ººº
ººº ºº
º
º ºº
ºº
ºº º
º
º º ºº
º
º ºº
ºº
ºº
º
º
º º
º
º
º
º
º
º
J,9,7 ººº
ººº
ºº º
º
º
º
º
º
G,7,2 ºº º
º º
º º
º º
º º
º º
ºº º
º º
º
º
º
º
º
G,5,0 ºº º
º º
º º
ºº º
º º
º º
º
ººº º
ºº º º
º º º
ºº º º
º º º
ºº
ºº ºº
ºº º º
ºº º ºº
ºº º º
ºº º
ºº
ºº ºº
ºº ºº º
º ºº
ºº º º º
º
ºº
ºº
º
ºº
ºº ºº º
ºº º
º
ºº
ºº º º
ºº º
ºº º
ºº ºº º
ºº ºº ºº
ººº
ººº
ºº ººº
ººº
ºº ºº º
ºº º
ºº º ººº
ººº
ºº ºº º
ºº º
ºº º
ººº ººº ºº
ººº
º ººº ºº
ººº
ºº
ººº
ººº
K,10,8 ººº
ººº
D,8,3 ººº
ºº
ºº
ººº
ººº
D,6,1 ºº
ºº
ºº
´µ ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò Â ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò À
ÓÑ ÒÞÓ
Ò
ÙÖ º¾ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× ÒÙÑ ÖÓ× ¸ ÐÓÛ
Ý Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ ×
× Ò ÒØ ÙÒ Ó w v Ø Ò Ò ÕÙ ÓÒ Ø Ö ÒÓ Ó× ÙÝÓ× × Ò Ñ ÒÓÖ ×
ÕÙ (v)¸ ÔÙ × × ÒÓ Ð Ð Ñ º¿ ÒÓ × Ö ÖØÓ
Ð ÓÖÓÐ Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ñ Ò Ö ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ñ × ¬ ÒØ
Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖØ ÙÒ Ö Óº × Ñ ÒØ ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ÙÒ ×ÓÐÓ
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý¸ ÔÓÖ ÒÓ Ó ÔÐ ÑÓ× Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð ÓÖÓ¹
Ð Ö Ó º½º
È Ö ÓÖÖ ÖÒÓ× Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ ÒÙÒ Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÓÒ¹
ÔØÓº
Definici´n 7.2 (N´ mero
o u ÐÓÛ) Ë G =< V, E > ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ ×Ó Ö Ð Ù Ð ×
Ö Ð Þ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ º Ë v ∈ V ÙÒ ÒÓ Óº ÒØÓÒ ×¸ ÐÓÛ(v) × ¬Ò ÓÑÓ
Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ (v) Ý ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ø Ó× v ÔÓÖ Ñ ÒÓ× ÓÒ ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ Ö Ó×
Ö ÓÖ × Ý ÒÓ¹ Ö ÓÖ ×º
ÆÓØ × ÕÙ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ ÐÓ× Ö Ó× Ö ÓÖ × ×ÓÒ Ö Ó׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
ÐÓ× ÒÓ¹ Ö ÓÖ × ÒÓº
ÑÔÐÓ× × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ð × ¬ ÙÖ × º¾ Ý º¾ ÔÖ ×Ø × Ø Ò ÓÒ Ú Ö ¬ Ö ÕÙ ÐÓ×
ÒÙÑ ÖÓ× ÐÓÛ ÒÓ Ó ´ Ü ÔØÓ Ð Ö Þµ¸ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ð ¬Ò ÓÒº
ÍÒ ÓÖÑ ÐØ ÖÒ Ý¸ ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ñ × ÓÒÚ Ò ÒØ ¬Ò Ö ÐÓÛ(v) × ÓÑÓ

671. 7.5. Recorridos sobre grafos 645
× Ù
⎧
⎪df(v)
⎪
⎨
ÐÓÛ(v) = Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ (x) | x Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó ÓÒ Ø Ó v ÔÓÖ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ ´ º½µ
⎪
⎪
⎩ÐÓÛ(w) | w ÙÒ Ó v
ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÔÖÙ × ÑÙÝ × Ò ÐÐ × v × ÙÒ Ó Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ Ò¹
ØÓÒ × Ð Ø Ö Ö ÔÓ× Ð ÕÙ Ü ÐÙ Ý Ð × Ó× ÔÖ Ñ Ö × × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ð
¬Ò ÓÒ º¾º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ö ÙÖ× ÚÓ× ¸ ÐÓÛ(v) Ñ ÑÓÖ Þ Ð Ñ Ò ÑÓ
ØÓ Ó× ×Ù× × Ò ÒØ ×º
Ä ÓÖÑ ÐØ ÖÒ ÒÓ× ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÓÑÔÐ Ø Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ
ÙÒ Ö Ó Ò ÙÒ ×ÓÐ ÜÔÐÓÖ ÓÒ¸ × Ò ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ÓÒ Ð¸
ÕÙ × Ö ×ÙÑ Ò Ð × Ù ÒØ ÓÖÓÐ Ö Ó
Corolario 7.2 Ë T ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ÙÒ Ö Ó G =< V, E >º Ë v
ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ÒÓ × Ð Ö Þ T º ÒØÓÒ ×¸ v × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ × Ý ×ÓÐÓ v Ø Ò ÙÒ Ó w
Ø Ð ÕÙ ÐÓÛ(w) ≥ (v)º
Demostraci´n Ë
o ×ÔÖ Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð × ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó º½º Ë
ÐÓÛ(w) ≥ (v) ÒØÓÒ × Ò Ò ÙÒ × Ò ÒØ w × ÓÒ Ø ÙÒ Ò ×ØÖÓ v
ººº
ººº
ººº
ºº
D,0,-
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
º ºº
ººººº
ºº º
ºº º ºº
ºº ºº
ºº ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº ºº
ºº ºº º
ºº
º
ºº ºº
º º
º º º
º º
º º
º º B,1,0 ºº
ºº H,0,-
º º
º º ººº
ººº
ººº ºº
ºº
ºº
º º
ºº
º
º
º º ºº
ººº
ºº ºº º ºº
ºº
ºº
º
º
º ºº
º ºº º ººº
º ºº
ºº
ºº
ºº
º º
ºº º
º
º º º ºº
º ºº
ºº
ºº º ºº
ºº
º º
º
ºº º ºº º ºº º
º
º
ºº ºº
ººº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º ºº
ºº
ºº º
º
º
º
º
ºº ºº º
ºº º
ºº º
º
ºº
ºº
º ºº
º º
º º
º
º º
ºº
ºº
º º
º º
ºº º º
º
A,2,0 º º
º º
º º
º º
º º
º º
J,0,- º
ºº
ººº
º ºº
ºº
ºº
º º
ººº
ºº
ººº
F,1,0º ºº
º º
º º
º
º ºº
º
ººº ºº
º ºº º
º º ºº ºº ºº
ºº º
ºº º º ºº º
º º ºº
º º º
ºº
º ºº
ºº º
º ºº º ºº
º ºº ºº
º ºº ºº º ºº º
º ºº
ºº º º
º
º º ºº º ºº
ºº
º
º ºº
º º º ºº
º
º
º º ºº º
ºº
ºº ºº
ºº º
º º º
º º º º
º ºº
ºº º º
º ºº
ºº ººº ºº
ººº ºº
ºº ºº º º º ºº
º º
ººººº º º º
º º
ºº
º ººº ºº
º º
º º ºº
º
ººº
ºº
ºº
ºººº
ºººº
C,3,0
ºº
º
º ºº
º
ºº
ººº
I,1,0 º º
º
ººº º
ºº º º
º º
º º
º º
º º
º º ººº º
º
ººº
º ººº
ºº º
ººº º
ºººº º
ºº B,2,0 º ºº
º ºº
º ºººº
ºº
ºº
º
º
ºº º º ºº
º º º º
º ºº ºº º º
º º ºº
º ºº
ºº º º º º
ººº
º º º ºº
ºº
ºº ºº
ºº º ºº º
º º ºº ººº º ºº
º
º º ºº ºº º º º ºº
º ºº
ºº º ºº º º º º ºº
ºº
ºº º º
º
º º º º º ºº ººº
º º
ººº º
º
º º ºº
ºº
º º
º ºº º º º º
º º º º ºº
º º º
º º º ºº
º ºº
ººº
ºº
ºº ºº ºº º º º º
º º º
º
º
ºº º º
º º ºº
G,4,0
ºº
ºº
º
ºº ººº
ººº
ººº
ººº º º ºº
ººº º º
ºº
º º
º ºº
º
º º
F,2,0
º
ºº
ºº
ººº
ºº º º
º º º
º º
º º º
º º
º º ºº
º º
º º
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º
º
º
º º
º º
º º
A,3,0 º ºº
ºº
º ºº
º ºº
ººº
ºº
ºº
ºº
º ºº
º º
ºººº
ººº ºº
ºº º
ºº º
ºº º
ºº º
ºº º ººº
º
ººº
º ºº
º º
º º ººº
ºº º ºº ºº
ºº
ºº º º
º º
º º º ºº
ºº º º
º ºº ººº
ººº
ºº
ºº ººº ºº º
ººº ºº
º º ºº ºº
ºº º
º º
ºº
ºº º ºº º ºººº
º º ºº º º º
ººº º º º
º º º ºº
ºº
º
º ºº º ºº
º
º ºº
º º ºº º º º
º º ººº
ºº º
º ºººº
ººº
º
º ºº
ººº ºº ººº
º
º º º º ºº º º
ºº
º º
ºº º º
º º º º
ºº
ººº º
ººº ºº
ºº
º º
º ººº
º ºº ºº º º ºº º
º º º ººº ººº
ºº
º
º ºº º
ºº º
ºº
ººº
ººº º
º º º º º
ºº
º F,5,0 ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
º
ºº
º
ºººº º
ºº º
ººº º
º
B,3,0
ººº
ººº
ºººº ºº
º º
ºº º
ºº º
º º
º º
º ºº
º º
º º
º º
º º ºº
º ººº
º º
º ºº
º ºº
º ººº
ººº
ºº
º
º C,4,0 ºº º
ºº º
ºº º
º
ºº
ººº
ºº
ºº ºº
º ºº
º º º º º
ºº
ºº º º ºº º
º º ºº º º
º º º ºº
ºººº
ºº º
º º ºº
ºº ºº º
ºº º
ºº º
º ºº
º
º
º ººº ºº
ºº ººº
ºº º º
º
º ºº ºº
º
º º º ºº
º º º
º º º º º
º º
º º ºº ºº ºº
º ºº º º ºº º
º º
ºº º ºº º º ºº º º º º
ºº º ºº º ºº º
º
º
º º º ºº
º ºº º
ºº º º º ºº
ºº ºº º º ºº º º º º º
º º ºº º º
ººº
ºº ºº º
ºº
ºº
º
º ººº
ººº
ººº
ºº ºº
º ºº
º
ºº
º
º º
º º ºº
ºº
ºº º º ºº ºº
ºº
º
ºº ºº
ºº º
º
ººº º
º ºº
º º º º º
º
ºº º ººº º
ººº
ººº ºº º
ºº º
ºº º
º
º
º
º
º
º ººº
ººº
ºº
H,6,4
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº º
º
º
º º
º
º
º
º
ºº
º
º º
º º º A,4,0 º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º º
º º
ºº
ºº
ºº
º
º
ºº
º
º
º º ºº
ºº º
ºº º
ººº
º ºº
ºº G,5,0 º º
ºº
ºº º
ºº º
º
º
º ºº º º
º º ºº ºº ºº º
ºº ºº
ºº ºº ºº º
ºº
º ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
º ººº
º ºº
º º º º
ºº
ºº ºº
º º ºº º
º º ºº
º ºº º ºº ºº º
º ºº º ºº
º º º
ºº ºº º
ºº ºº º º
º º
º º
ºº º
ºº º ºº
ºº º ºº
º º º º º ºº º
ºº º º
ººº
ºº
º
º
º
º ºº
º º º º
º
ºº º
º ºº
ºº
ºº º º ºº º
º ºº ºº º
ºº
ºº
º ººº
ººº
º
º ººº
º ººº
ºº º
º ºº º º
º º
º º
º º ººº
ººº º
º
º
º ºº ººº ºº
ºº
º
º
º º
ºº ºº
ºº
ºº º
º º
º º
º ºº
º
º
º
ºº
º
I,7,4 ºººº
ººº
ººº
ºº
ºº
º º ººº
ºº
ºº
º
ºº ºº
º ºº
ºº º º
º
º ººº
ººº
C,5,0
º
º
º
ºº
ºº
ºº
ºº º
º
º
º
º
ºº º
ºº
º
D,6,1ºº º º
º º
º º
º º
ºººº
ººº
ºº
º
L,7,0 ººº
ººº
ººº
ºº
ºº ºº
ºº ººº
ºº
ºº ººº
ººº
º
º ºº
ºº º ºº
ºº
ºº ººº ºº
ºº
ºº º ººº
ººº
ºº
ºº º º
ºº
º ºº ºº
ºº
ºº º
ºº
º º ºº ºº
ºº ºº
ºº º
º ºº
º
º
º ºº
ºº
ºº
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º º
º º º º
ºº ºº º º ºº º
º ºº º ºº
ºº
ºº
ºº
º
ºº º ºº
ºº
ºº º
ºº
ºº
º º º º
º ºº º
º ºº
ºº
º
ººººº º
ººº º
ºº º
ºº
ººº ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº º ºº
º ºº
º ºº
º º
º
ºº ºº
ºº
º º
ºº ºº
º
ºººº
ºººººº º º ººº ºº
ºº ºº
ºº º
º ºº
º º
ººº
ºº
ºº
ººº
º ºL,8,4
ººº
ººº
ºº
º
º
º
º
º
º
ºº ºº
ºº º
ºº º
ºº º º ººº
º
º
ººº º
G,6,0
ººº
ººº
ºº
ºº º
ººº
º
º
ººº
º
ºº
º
ºº
º ºº
º
º
I,8,0
º
ºº
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº º ºº
º ºº ººº ºº
ºº ºººº ººº
º
ºº
º
º
º
º
º ººº
ºº
ºº ºº
ºº
º ºº º ºº
ººº º
º º º
ºº
ºº
º ºº ºº ºº
º ººº
ºº ººº º ºº
º º
º ºº
º
º
ºº
ºº
º ºººº
ºº
º º
ºº
ºººº
º
º ºº º
ºº º
ºº º
º
º
º
º ºº
ºº
ºº
ºº
º ºº º
ºº ºº º º º
º
º º
º ººº
ºº
ºº
ºº ººº
ººº
ºº ºº
ºº º
º ºº
º ºº
ºº
ºº º
º º º
º ººº
ººº
ºº
º
º J,9,7 ººº
ººº
ººº D,7,2 ºº
ºº
ºº
ºº
ºº L,8,0
º
º
º º
º
º
º
º J,9,7 ººº
ººº
ººº
º
º º
º ºº
º ºº º
º
ºº ºº ºº º ºº
ºº
º
ºº
ºº
º
ºººº
º º
ºººº
º º
º ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
º
º ºº
º
º ºº
ºº
ºº
º
º
º ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº º º
ººº
ººº
ºº ººº
ººº
ºº ºº
ºº
ºº
º ººº
ºº
ºº
º ºº
ººº ººº ºº
ºº
ººº
ººº
ºº
ººº
ººº
K,10,8 ººº
ººº
H,9,1 ºº K,10,0
ºº
ºº K,10,7
´µ ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò Â ´ µ ÓÑ ÒÞÓ Ò À
ÓÑ ÒÞÓ
Ò
ÙÖ º¾ Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¾ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× ÒÙÑ ÖÓ× ¸ ÐÓÛ
Ý Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ ×º

672. 646 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÈÖ Ö Ñ × ÓÑÔÖ × Ð Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
ÓÖØ ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ ≡
template <class GT> inline static long & df(typename GT::Node * p)
template <class GT> inline static long & low(typename GT::Node * p)
Ä × Ù Ð × Ö ØÓÖÒ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × (p) Ý ÐÓÛ (p)¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ×
ÔÖ Ö¸ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÓÖ ÒÓ Ó × Ù× Ô Ö ÐÑ Ò Ö ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð
ÔÙÒØ ÖÓ ÓÓ Ô Ö ÐÑ Ò Ö ÐÓÛ(p)º ×ØÓ¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÑÔ Ð Ð ÙÐÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
ÓÖØ × ÐÓ× ÓÓ × ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò × Ò Ó ÙØ Ð Þ Ó׺
ÒØ × ÓÑ ÒÞ Ö Ð Ð ÙÐÓ¸ Ò Ò Ð Þ Ö× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× Ð Ö Ó ÐÓ ÕÙ ×
Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
ÁÒ Ð Þ Ö ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ≡ ´ µ
Operate_On_Nodes <GT, Init_Low <GT> > () (g);
g.reset_arcs();
ÓÒ Ð Ò Ð Þ ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÔÓÖ Ð Ð × Init Low¸ ÙÝ ×Ô ¹
¬ ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡
template <class GT>
struct Init_Low
{
void operator () (GT & g, typename GT::Node * node)
{
g.reset_counter(node); // inicializa df
low <GT> (node) = -1; // inicializa low
}
};
Ð × Ù ÒØ Ô ×Ó × ¬Ò Ö Ð ÒØ Ö Þ¸ ÐÐ Ñ compute cut nodes(g, start, list)¸
ÙÝÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ×ÓÒ Ð Ö Ó¸ Ð ÒÓ Ó Ò Ó Ù×ÕÙ Ý ÙÒ Ð ×Ø ×Ó Ö Ð Ù Ð ×
ÐÑ Ò Ò ×Ù× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¾
template <class GT, class SA>
void compute_cut_nodes(GT & g, typename GT::Node * start,
DynDlist<typename GT::Node *> & list)
{
ÁÒ Ð Þ Ö Ø ÓÒ ÒÓ Ó× ÓÖØ
ÜÔÐÓÖ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð × Ö Ñ × ×Ø ÖØ
Î Ö ¬ Ö × ×Ø ÖØ × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ
}
Í× × DynDlist ¿ º
Ä ÖÙØ Ò Ø Ò ØÖ × × × ÙÝ × ÙÒ ÓÒ × ×Ø Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÒÙÒ ×º Ô ÖØ
Ö Ò Ö ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒÓ Ó׸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÓÒØ ÓÖ ÐÓ Ð Ú × Ø × ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð
ÒÓ Ó¸ Ð ÒÓ Ó Ò Ð ÔÓÖ ÓÒ ÓÑ ÒÞ Ö Ù× Ö Ý ÙÒ ÓÒØ ÓÖ ÐÐ Ñ ×
Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ Ð Ù Ð × Ö ÑÔÐ ÒØ ÔÓÖ compute cut nodes()
ÁÒ Ð Þ Ö Ø ÓÒ ÒÓ Ó× ÓÖØ ≡ ´ µ
ÁÒ Ð Þ Ö ÒÓ Ó× Ý Ö Ó×
long current_df = 0; // contador global de visitas

673. 7.5. Recorridos sobre grafos 647
NODE_BITS(start).set_bit(Depth_First, true); // pintar visitado start
df <GT> (start) = current_df++;
int call_counter = 0; // contador llamadas recursivas
call counter Ù ÒØ Ð ÒØ ÐÐ Ñ × Ö Ð Þ × compute cut node()¸ ÐÓ Ù Ð
ÐÙ Ó Ô ÖÑ Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ö × start × Ó ÒÓ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ º
Ä × × Ù ÒØ × Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ø Ó× ÔÓÖ start
ÜÔÐÓÖ Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ Ð × Ö Ñ × ×Ø ÖØ ≡ ´ µ
// Recorra los arcos de start mientras g no haya sido abarcado
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> i(start);
i.has_current() and current_df < g.get_num_nodes(); i.next())
{
typename GT::Node * tgt = i.get_tgt_node();
if (IS_NODE_VISITED(tgt, Depth_First))
continue;
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Depth_First))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Depth_First, true);
__compute_cut_nodes <GT, SA> (g, list, tgt, arc, current_df);
++call_counter;
}
Í× × Node Arc Iterator º
Ë ÙÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó º½¸ start × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ × Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
ÔÖÓ ÙÒ ÓÒ Ö Þ start Ø Ò Ñ × ÙÒ Óº Ò ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ× ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ×ØÓ
×Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÒØ Ú × ÕÙ × ÜÔÐÓÖ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÒ Ø Ó
start Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ð ÒØ Ú × ÕÙ × ÐÐ Ñ compute cut nodes()º
Ë × ÐÐ Ñ ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó × ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ö Ó × Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ó
Ú ×ØÓ × start Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ start ÒÓ ÔÙ × Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸
× Ò ÑÔÓÖØ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ call counter¸ start × ÓÖØ º
ÄÓ ÒØ Ö ÓÖ × ÜÔÖ × ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Î Ö ¬ Ö × ×Ø ÖØ × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ ≡ ´ µ
if (call_counter > 1) // ¿es la ra´z un punto de articulaci´n?
ı o
{
NODE_BITS(start).set_bit(Cut, true);
list.append(start);
}
Ú Þ ÕÙ × Ø Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ ¸ ×Ø × Ñ Ö Ö ÓÒ Ð Ø Cut¸ Р٠и ÐÙ Ó¸
ÒÓ× × ÖÚ Ö Ô Ö Ñ Ö Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ×Ó Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ º
Ä ÒØ Ö Þ Ð ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ compute cut nodes()¸ × ÜÔÖ × Ò Ð × ¹
Ù ÒØ ÐÓÕÙ
¬Ò ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ô Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ≡
template <class GT, class SA> inline static
void __compute_cut_nodes(GT & g,
DynDlist<typename GT::Node *> & list,
typename GT::Node * p,
typename GT::Arc * a,
long & curr_df);
Í× × DynDlist ¿ º

674. 648 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÙÝÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× × ¬Ò Ò ÓÑÓ × Ù
½º g Ð Ö Óº
¾º list Ð Ð ×Ø ÒÓ Ó× ÓÖØ º compute cut nodes() Ò ÔÙÒØÓ ÓÖØ
Ò ÓÒØÖ Ó ×Ø Ð ×Ø º
¿º p Ð ÒÓ Ó ØÙ ÐÑ ÒØ × Ò Ó Ú × Ø Óº
º a Ð Ö Ó × Ð Ù Ð × Ð ÒÞ pº ×Ø ×¸ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ¸
Ð Ö Ó ÕÙ ÓÒ Ø ×Ù ÒÓ Ó Ô Ö º
º curr df Ð Ú ÐÓÖ ØÙ Ð Ð ÓÒØ ÓÖ Ú × Ø × ÕÙ × Ö × Ò Ó Ð ÒÓ Ó × Ò Ó
Ú × Ø Ó ÓÑÓ ×Ù Ú ÐÓÖ º
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ compute cut nodes() Ò Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸ Ð Ð ÙÐÓ ÐÓ× Ú ÐÓ¹
Ö × ÐÓÛ ÒÓ Ó Ý Ð ×Ø Ò ÓÒ ÕÙ Ð ÒÓ Ó Ú × Ø Ó × Ó ÒÓ ÙÒ Ó ÒØÖÓ Ð
Ú ÒØÙ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ô Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ≡
template <class GT, class SA> inline static
void __compute_cut_nodes(GT & g,
DynDlist<typename GT::Node *> & list,
typename GT::Node * p,
typename GT::Arc * a,
long & curr_df)
{
NODE_BITS(p).set_bit(Depth_First, true); // pinte p como visitado
low <GT> (p) = df <GT> (p) = curr_df++; // as´gnele df
ı
// Recorrer recursivamente arcos de p mientras g no haya sido abarcado
bool p_is_cut_node = false;
for (Node_Arc_Iterator <GT, SA> i(p); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * arc = i.get_current_arc();
if (arc == a)
continue; // a es el padre de arc ==> ignorarlo por definci´n
o
typename GT::Node * tgt = i.get_tgt_node(); // nodo destino de arc
if (IS_NODE_VISITED(tgt, Depth_First))
{
if (not IS_ARC_VISITED(arc, Depth_First)) // ¿es arco no-abarcador?
if (df <GT> (tgt) < low <GT> (p)) // s´, verificar valor de low
ı
low <GT> (p) = df <GT> (tgt); // actualizar low(p)
continue;
}
if (IS_ARC_VISITED(arc, Depth_First))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Depth_First, true); // marque arco
__compute_cut_nodes <GT, SA> (g, list, tgt, arc, curr_df);
if (low <GT> (tgt) < low <GT> (p)) // verificar hijo de p - low(tgt)
low <GT> (p) = low <GT> (tgt); // actualizar low(p)
if (low <GT> (tgt) >= df <GT> (p) and df <GT> (tgt) != 0) // ¿de corte?
p_is_cut_node = true;

675. 7.5. Recorridos sobre grafos 649
}
// p fue explorado recursivamente
if (p_is_cut_node)
{
NODE_BITS(p).set_bit(Cut, true);
list.append(p);
}
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Arc Iterator º
Ä ÖÙØ Ò ÔÖÓÚ Ð ÔÖÓÔ Ó Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö ÐÓ× Ö Ó× Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÐÓÛ(p) Ü Ø ¹
Ñ ÒØ × ÙÒ Ð ÓÖÑÙÐ ´ º½µº ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓÛ(p) = (p) ÐÙ Ó¸ ÙÖ ÒØ Ð Ò×Ô ÓÒ
ÐÓ× Ö Ó× p¸ × Ø ÖÑ Ò × × ØÖ Ø Ð Ö Ó Ô Ö ¸ ÙÒ Ö Ó ÒÓ¹ Ö ÓÖ Ó ÙÒ
Óº Ñ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ó Ó ÙÒÓ ÒÓ¹ Ö ÓÖ Ú Ö ¬ × Ý ÙÒ Ú ÐÓÖ Ñ ÒÓÖ
Ô Ö ÓÐÓ ÖÐ ÐÓÛ(p)º
× ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð Ö Ð ÓÖÑ Ò ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ø Ò Ù Ð × ØÖ × Ð × ×
Ö Ó׺ ÄÓ× Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ × × ÒØ ¬ Ò ÔÓÖÕÙ ÒÓ ×ÓÒ Ñ Ö Ó× ÓÒ Ð
Ø Depth Firstº Ð Ö Ó Ô Ö × ×Ø Ò Ù Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ aº Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ×
Ö Ó× Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ × ×ÓÒ Ñ Ö Ó× Ù×ØÓ ÒØ × Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú º
19
18
20
16
17 15
9 8 14
21 28 27
23 26
13 10 7 1
22 24 25
11 12
2 3
4
5 6
ÙÖ º¿¼ ÍÒ Ö Ó ÓÒ Ú Ö Ó× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö × p × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ × Ò × Ö Ó Ò×Ô ÓÒ Ö ØÓ Ó×
×Ù× Ö Ó× ´ Ö ÓÖ × Ý ÒÓ¹ Ö ÓÖ ×µ¸ Ð Ø Ò ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö× Ù Ò Ó
× Ý Ò Ñ Ö Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׺
×ÔÙ × ÙÒ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú ¸ × × ÕÙ tgt × ÙÒ Ó pº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ×
ÓÑÔ Ö ÐÓÛ(tgt) ≥ (p) Ô Ö Ø Ø Ö × p × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖÓÔ
Ð Ñ ÒÓÖ Ú ÐÓÖ low × Ð × Ó × ×Ø ×Ù× Ò ×ØÖÓ׸ ÔÙ × Ð × Ñ ÑÓÖ Þ Ö ×
Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó ÒØÖÓ ÙÒ × Ò Ò ÕÙ ÖÙ Ó ÒÓ ÙÒ × Ò Ò º

676. 650 Cap´
ıtulo 7. Grafos
1,0,-
ºº
ºº ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº ºº
ºº
ºº
º
ºº
ººº
ºº
º º
ºº
ºº
2,1,0
º
ºº º
º
º
7,6,6 º
ºº
ºº
ºº
ºº
º 14,13,13
º
º
º
º
º
ººº
º º
ºº
ºº
º º
21,20,0
º
º
º
ºº º
º º
ºº º ºº
ºº º
º º º
ºº º º
º º
ºº
º º
º
º
º ºº
ºº
ºº º
º º ºº
º ºº º
º ºº
º
º
º º º ºº
º
º º
º
º
º
º º
º
º ºº
ºº º
º º º
º
º º
º ºº
ºº
º º
º º º
ºº º
º
º ºº º
º
º ºº º
ºº
ºº
ºº º
º º º
ºº º º
º º
º ºº
ºº
ºº º
º
º
º
º º
º º
º º
º
º
º
º
5,2,0º
ºº
º
º º
º º
º º
8,7,6 º
ºº
º
ºº º
º
º
º
15,14,13
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
23,21,0
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º ºº ºº
ºº
ºº º
º
º º
º º
º º
º
º ºº
ºº
ºº º
º
º º
º
º
º
º
º
º
º ºº
º
ºº
º ºº
ºº º
º
º
º
º
º º
º ºº
ºº
ºº º º
º
ºº
ºº º
º º ºº º º
º
ºº
º º
º
º º
º º ºº º º ºº
ºº º
º
º º
º º º º º
º º
º º
º
ºº º º
º º º º
º ºº
ºº
ºº
º ºº º º
ºººº
º º
º º º
º º º
º
ººº º º ºº
ºº º
º
ºº º
º ººº
ºº
º ºº º
º º ºº
º º
º º
º
º
º
4,3,0 º
º
º
º º º
º º
ººº
º ºº
º
ºº º
10,8,6
º
º
º ºº
ºº
º
18,15,13
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº
º
ºº
22,22,0 28,23,21
ºº
ºº
º º
º º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º ºº º ºº ºº
º
ºº
º º ºº
º º
º º
ºº
º º ºº º º º
ºº º º º º
º
º ºº
º
º º
º º
º
ºº º ºº
ºº
ºº º ºº
º º
º ºº
º
ºº
º º ºº
º ºº º
ºº º ºº º
º º
ººº
º º º
º
º
º º
º ºº ºº
ºº º
º º
º
º
º
º
º º
º
º º º
º º º º
º ºº º º
º º
º º
º ºº
º º ºº ºº
ºº º
º
ºº º
º
º
º
º
º
º ºº ºº
ºº ºº º
ºº º
º º ºº
ºº
ºº
º
º º
º
º
º º
º
º
º
º
º
º
º
6,4,0 º
º
ºº
ºº ºº
ºº
º
9,9,6 ºº
º
ºº
º
19,16,13
º
º
º
º º
º
º
º
º
º
º
º
º
24,24,21
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
ºº
ºº º
º º º º º
º
ºº ºº
ºº
º ºº º º
º º
º
º
º
º º
º º º
ºº º
ºº
º º º
º
º
º º
º º
º
º
º º
º
ºº ºº ºº º
º º º º
º º º
º ºº
º
º º
º ºº
ººº º
º
º
º
º º
º º
º
º
º º º º
º
º
º
ºº º
ºº º º
º º
º º º º
º
º ºº
º ºº
º
º º ºº º º
º º
ºº ºº º º
º º º º º º
º
3,5,0
º
ºº ººº ºº
ºº
ºº
ºº
13,10,6 º
º
º 20,17,13 16,19,13º
º
º
º
º
º
ºº
º
º
º º27,25,23
º ºº ºº
º
ºº
ºº
ºº
ºº º
º º ºº
ºº
ºº
º
º
º º º
º
ºº
ºº º º º º
ºº º
º º ºº
ºº
º º
º
ºº
ºº ºº º
º ºº
ºº º
ºº º º º º º
ºº º º ºº º
º
ºº
ºº ºº º º º
º º
º
º
º ººº º
º
ºº
ºº ºº º ººº
ººº º
ºº
ºº
ºº
ºº
11,11,6 º
17,18,13 25,26,24
º
ºº
º
º
º
º
º
ºº
ºº
ºº º
ºº º
º
º
ºº
ºº
ºº º
º
º
ºº
ºº
ºº
ºº
ºº
º
º º
º
º ºº
º
º
º
º
12,12,6 26,27,25 º
º
º
ÙÖ º¿½ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿¼ ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù×
Ý ÐÓÛº
7.5.15 Componentes conexos de los puntos de corte
ÍÒ Ú Þ ÕÙ ÑÓ× Ð ÙÐ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ¸ ÔÙ × Ö × Ð ÓÒÓ Ö Ù Ð × ×ÓÒ
×Ù× “componentes conexos” Ó¸ Ø Ñ Ò¸ “bloques” × Ö¸ ÐÓ× ×Ù Ö Ó× Ö ×ÙÐØ ÒØ ×
×ÙÔÖ Ñ Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ º
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ý ÑÙÝ × ÑÔÐ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ÓÒ× ×Ø
Ò ØÓÑ Ö ÙÒ ÓÔ Ñ Ô Ð Ö Ó Ý ×Ó Ö ×Ø Ð Ñ Ò Ö ×Ù× ÒÓ Ó× ÓÖØ º ÄÓ×
×Ù Ö Ó× Ö ×ÙÐØ ÒØ × ×ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ð Ö Óº Ð ÔÖÓ Ð Ñ
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÕÙ ÔÙ × Ö Ó×ØÓ×Ó Ò ×Ô Ó × Ð Ö Ó × ÑÙÝ Ö Ò º
Ò Ò ÙÖ ¸ ÔÙ × Ö ÒØ Ö × ÒØ ¸ ÒÓ ×ÓÐÓ Ø Ò Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× × ÒÓ Ð Ö ×ØÓ
Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ð ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ ¸ ÔÙ Ö ÑÓ× Ö ÓÒ×ØÖÙ ÖÐÓ Ô ÖØ Ö ×Ù× ÓÑÔÓÒ ÒØ ×
ÓÒ ÜÓ׸ ÔÙÒØÓ× ÓÖØ Ý Ö Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÖØ º × ÑÓÑ ÒØÓ
ÒØÖÓ Ù Ö Ó× ÒÙ Ú × ¬Ò ÓÒ ×º
Definici´n 7.3 (Arco de corte)
o Ë ÙÒ Ö Ó G =< V, E > Ý Ó× ÒÓ Ó× ÓÖØ u, v
Ø Ð × ÕÙ ×ØÓ× ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ö Ó a = (u, v) ∈ Eº ÒØÓÒ ×¸ Ð Ö Ó (u, v) × ÒÓÑ Ò Ó
ÓÖØ º
Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ ÙÒ Ö Ó ÓÖØ × ÕÙ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó× ÒÓ Ó× ÓÖØ º
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ó ÓÖØ × Ò Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
G1 u v G2
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ö Ó× (1, 7) Ý (1, 14) Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿¼ ×ÓÒ ÓÖØ º
Definici´n 7.4 (Arco de cruce)
o Ë ÙÒ Ö Ó G =< V, E > Ý ÙÒ Ö Ó a ∈ E Ø Ð ÕÙ

677. 7.5. Recorridos sobre grafos 651
×Ø ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ u Ý ÔÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó v Ô ÖØ Ò
a = (u, v) ÒØ Ð ÙÒ
ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÜÓº ÒØÓÒ ×¸ Ð Ö Ó a = (u, v) × ÐÐ Ñ Ó ÖÙ º
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ó ÖÙ × Ò Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
u v G2
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ö Ó× (1, 2), (1, 21) Ý (1, 22) Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿¼ ×ÓÒ¸ ÒØÖ ÓØÖÓ×
Ñ ×¸ ÖÙ º
Ä ×Ø Ò ÓÒ ×Ø × Ð × × Ö Ó× ÒÓ× × ÖÚ Ö Ô Ö ÒÚ ÖØ Ö Ð ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ
Ð Ö Ó × ÙÒ ×Ù× ÒÓ Ó× ÓÖØ º Ô ÖØ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ý ÐÓ× ÒÓ Ó×
ÓÖØ ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ö Ó× ÓÖØ Ý ÖÙ Ô Ö ÔÓ Ö Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ðº
Ç Ø Ò Ö ÑÓ× ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ò Ó× × ×º Ä ÔÖ Ñ Ö × × Ò Ö
Ô ÒØ Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÓÖØ Ý ÐÓ× Ö Ó× ÖÙ ÓÒ
Ö ÒØ × ÓÐÓÖ × ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ò Ð × × Ù ÒØ × Ð × ×Ø Ò º È Ö ×Ø ×
ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ð ÖÙØ Ò paint subgraphs()º
ÙÒ Ð ×Ø ÒÓ Ó× ÓÖØ Ð ÙÐ Ñ ÒØ compute cut nodes()¸
paint subgraphs() Ô ÒØ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ð Ö Ó × ÙÒ ÐÓ× ÓÖØ ×º ×Ø
Ø Ò ¸ Ñ × ÓÑÔÐ ¸ Ô ÖÓ ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÒØ Ö Ð Ö Ó
Ô ÖØ Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ö Ñ Ò Ó ÐÓ× ÓÐÓÖ × × ÙÒ × Ö Ö × Ð ÔÙÒØÓ Ô Ö¹
Ø Ó × Ð Ò ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÓÖØ º ×ØÓ ÔÖ ×ÙÑ ÕÙ Ð × Ñ Ö × Ò × ´ Ð Ø Cutµ
ÔÓÖ compute cut nodes() ÙÒ × Ù Ò ÔÖ × ÒØ ×º ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú ×
paint subgraphs()¸ Ð Ù Ð Ø Ò Ð × Ù ÒØ ÒØ Ö Þ
template <class GT, class SA>
long paint_subgraphs(GT & g, const DynDlist<typename GT::Node*> & cut_node_list);
g × ÙÒ Ö Ó ÓÒ ×Ù× ÒÓ Ó× ÓÖØ Ð ÙÐ Ó× Ý Ù Ö Ó× Ò Ð Ð ×Ø cut node list
Ñ ÒØÖ × ÕÙ cut arc list × ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ × Ð ÕÙ Ö ØÓÖÒ ÐÓ× Ö Ó× ÓÖØ Ð
Ö Óº Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ × Ð ÒØ ÓÐÓÖ × Ò ÓÒØÖ Ó × ¸ Ð ÒØ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ó ÐÓÕ٠׺
paint subgraphs() ×ÙÑ ÕÙ ÔÖ Ú Ñ ÒØ × ÙØÓ ×Ó Ö Ð Ö Ó Ð ÖÙØ Ò
compute cut nodes()º
ÄÙ Ó ÙÒ ÐÐ Ñ paint subgraphs()¸ Ð Ö Ó g Ú Ò ÓÐÓÖ Ó Ð ×¹
Ù ÒØ ÓÖÑ
½º ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ÐÖ ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖØ ×ÓÒ ÓÐÓÖ Ó× ÓÒ ÙÒ ÓÐÓÖ
ÒØÖ 0 Ý n ÓÒ n × Ð ÒØ ØÓØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ÕÙ Ø Ò Ð
Ö Óº ÈÓÖ ÓÐÓÖ Ó× ¸ Ò× ×Ø ÑÓ׸ ÕÙ Ö ÑÓ× Ö ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó×
Ô ÖØ Ò ÒØ × ÙÒ ÓÐÓÖ i Ø Ò Ò ×Ù Ú ÐÓÖ ÓÒØ ÓÖ Ò iº
¾º ÄÓ× ÒÓ Ó× ÓÖØ Ø Ò Ò ÓÐÓÖ 0º
¿º ÄÓ× Ö Ó× ÓÖØ Ø Ò Ò ÓÐÓÖ 0 Ý Ð Ø Cut Ò trueº
º ÄÓ× Ö Ó× ÖÙ ×ÓÒ ÓÐÓÖ Ó× ÓÒ Ð ÓÐÓÖ ×Ô Ð Cross Arcº ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø
Ð× Ö Ó ÒÓ ×¸ Ò ÓÖØ Ò Ô ÖØ Ò ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÜÓº

678. 652 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð ÓÐÓÖ ÙÒ Ö Ó ÖÙ × ¬Ò ÓÑÓ
¾ ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¾
const long Cross_Arc = -1;
¬Ò ×
Cross Arc¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò ¿º
È Ö Ú Ö ¬ Ö × ÙÒ Ö Ó × ÖÙ ¸ ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ø Ú × Ù ÒØ
¾ ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¾ ¿
template <class GT> inline static
bool is_a_cross_arc(typename GT::Arc * a) { return ARC_COUNTER(a) == Cross_Arc; }
Í× × Cross Arc ¾ º
Ä × ÙÒ × ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ô Ö Ð Ö Ó ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ô ÒØ Ó × ÙÒ Ð ÙÒÓ ÐÓ×
ÓÐÓÖ × ÑÔÐ Ó× Ò Ð ÔÖ Ñ Ö × º È Ö ×Ø × × ÑÔÐ Ò Ó× ÔÖ Ñ Ø Ú ×
½º template <class GT, class SA>
void map_subgraph(GT & g, GT & sg, const long & color);
Ë ÙØ Ð Þ Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ð Ö Ó × ÙÒ ×Ù× ÔÙÒØÓ× Ö¹
Ø ÙÐ ÓÒº
g × ÙÒ Ö Ó ÓÒ ×Ù× ÒÓ Ó× ÓÖØ ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ð ÙÐ Ó× Ý Ñ Ö Ó Ñ ¹
ÒØ compute cut nodes()º sg × Ð Ö Ó Ò ÓÒ × × Ó Ø Ò Ö ÙÒ
ÓÔ Ñ Ô Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÜÓ ÓÐÓÖ color ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ô ÒØ Ó Ñ ¹
ÒØ paint subgraphs()º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö Ø ÒØ × ÐÐ Ñ × ×Ó Ö ×Ù Ö Ó× sg ×Ø ÒØÓ× ÓÑÓ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ø Ò gº Ç × ¸ Ð ÒØ ÓÐÓÖ ×¸ Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ
Ö ØÓÖÒÓ paint subgraphs()º
¾º template <class GT, class SA>
void map_cut_graph(GT & g,
DynDlist<typename GT::Node*> & cut_node_list,
GT & cut_graph,
DynDlist<typename GT::Arc*> & cross_arc_list);
Ç Ø Ò Ð Ö Ó ÓÖØ × Ö¸ Ð Ö Ó ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó×
ÓÖØ º
g × ÙÒ Ö Ó ÓÒ ×Ù× ÒÓ Ó× ÓÖØ ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ð ÙÐ Ó× Ý Ñ Ö Ó Ñ ¹
ÒØ compute cut nodes()º cut node list × Ð Ð ×Ø ÒÓ Ó× ÓÖØ Ø Ñ Ò
Ó Ø Ò ÐÙ Ó ÐÐ Ñ Ö compute cut nodes()º cut graph × Ð Ö Ó ÓÒ ×
× ÙÒ ÓÔ Ñ Ô Ð Ö Ó ÓÖØ º Ò ÐÑ ÒØ ¸ cross arc list × Ð Ð ×Ø
Ö Ó× ÖÙ Ò g¸ ÐÓ× Ù Ð × ÒÓ Ô ÖØ Ò Ò Ò ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸ Ò Ð
Ö Ó ÓÖØ º
7.5.15.1 Pintado de componentes conexos
ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ð Ø Ò Ô ÒØ Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ò Ö ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ×
ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÖØ ÓÒ ÙÒ ÓÐÓÖ Ò Ð 0º Ù Ò Ó Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ð Ò ÙÒ ÒÓ Ó
ÓÖØ ¸ ÕÙ ÔÙ × Ö Ð Ñ ×ÑÓ Ô ÖØ ¸ ÒØÓÒ × × Ö Ð Þ ÙÒ Ñ Ó ´ Ò Ö Ñ ÒØÓµ

679. 7.5. Recorridos sobre grafos 653
ÓÐÓÖº ÙÖ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ¸ Ø ÒØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ ÐÓ× Ö Ó× ×ÓÒ
ÓÐÓÖ Ó× ÓÒ Ð ÓÐÓÖ Ø٠к ÍÒ Ú Þ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý Ò × Ó Ö ÓÖÖ Ó× × Ò ÖÙÞ Ö
ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÖØ ¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó ×Ø Ö ÓÐÓÖ Ó × ÙÒ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ×Ó Ó×
×Ù× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒº
¿ ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¾ ¿
template <class GT, class SA> inline static
void __paint_subgraph(GT & g,
typename GT::Node * p, // Nodo actual
typename GT::Arc * a, // Arco que conduce a p
const long & current_color)
{
if (is_a_cut_node <GT> (p))
return; // p es de corte ==> ign´relo!
o
paint_arc <GT> (a, current_color);
if (is_node_painted <GT> (p))
return;
paint_node <GT> (p, current_color);
// recorrer y pintar recursivamente el bloque a trav´s de arcos de p
e
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
if (is_arc_painted <GT> (arc))
continue;
__paint_subgraph <GT, SA> (g, it.get_tgt_node(), arc, current_color);
}
}
Í× × Node Arc Iterator º
×Ø Ú Ö× ÓÒ ×ÙÑ ÕÙ p × Ð ÒÞ × ÙÒ ÒÓ Ó Ý Ô ÒØ Ó ÓÒ current colorº Ð
Ò Ó¸ Ó × ¸ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó ÕÙ × ÒØÖ Ô ÒØ Ö Ý ÕÙ ×Ø ÓÒ Ø Ó ÙÒ Ö Ó ÖÙ ¸
× Ô ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ
¿ ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¿ ¿
template <class GT, class SA> inline static
void __paint_subgraph(GT & g, typename GT::Node * p, const long & current_color)
{
paint_node <GT> (p, current_color);
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
if (is_arc_painted <GT> (arc))
continue;
__paint_subgraph <GT, SA> (g, it.get_tgt_node(), arc, current_color);
}
}
Í× × Node Arc Iterator º
×Ø Ú Ö× ÓÒ Ò Ð ÓÐÓÖ ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ð Ù Ð × Ð ÐÐ × ÙÒ
ÒÓ Ó ÓÖØ Ú ×ØÓ ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¿ ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¿
template <class GT, class SA> inline static
void __paint_from_cut_node(GT & g, typename GT::Node * p, long & current_color)

680. 654 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
// pintar recursivamente con distintos colores los bloques conectados a p
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename GT::Node * tgt_node = it.get_tgt_node();
if (is_a_cut_node <GT> (tgt_node)) // ¿ es un arco de corte?
{
ARC_BITS(arc).set_bit(Cut, true); // marque arco como de corte
continue; // avance a pr´ximo arco
o
}
else
{
paint_arc <GT> (arc, Cross_Arc); // marque arco como de cruce
if (is_node_painted <GT> (tgt_node))
continue;
}
// pintar recursivamente con current_color nodo conectado a arc
// (no es ni de corte ni de cruce)
__paint_subgraph <GT, SA> (g, tgt_node, current_color);
current_color++; // cambiar color (siguiente arco pertenece a otro bloque)
}
}
Í× × Cross Arc ¾ Ò Node Arc Iterator º
ÓÑÓ × Ú ¸ paint from cut node() ØÓÑ ÙÒ ÒÓ Ó
ÓÖØ Ý × Ò Ö ÒÚÓ Ö
paint subgraph() ×Ó Ö Ð Ö Ó ØÙ Ð Ó Ô ÒØ ÖÐ Ö Ó ÓÖØ º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÒÓ Ö ×Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÖÙØ Ò ÔÖ Ò Ô Ð
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡ ¿
template <class GT, class SA> inline
long paint_subgraphs(GT & g, const DynDlist<typename GT::Node*> & cut_node_list)
{
g.reset_counter_nodes();
g.reset_counter_arcs();
long current_color = 1;
// Recorrer cada nodo de corte y pintar sus bloques
for (typename DynDlist<typename GT::Node*>::Iterator i(cut_node_list);
i.has_current(); i.next())
__paint_from_cut_node <GT, SA> (g, i.get_current(), current_color);
return current_color;
}
Í× × DynDlist ¿ º
×ÔÙ × Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ Ý Ø Ò ÖÐÓ× Ò cut node list¸ Ð Ù×Ù Ö Ó ÒÚÓ
paint subgraphs() Ô Ö Ô ÒØ Ö ÓÒ ×Ø ÒØÓ× ÓÐÓÖ × ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ð Ö Óº ÐÓÕÙ
ÔÙ ×Ø Ò Ù Ö× Ñ ÒØ ×Ù ÓÐÓÖº ÄÓ× Ö Ó× ÖÙ × ×Ø Ò Ù Ò ØÖ Ú × Ð ÓÐÓÖ
×Ô Ð Cross Arcº ÄÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÓÖØ × ×Ø Ò Ù Ò Ñ ÒØ Ð Ø Cutº À ×Ø
Ð ÔÖ × ÒØ ¸ ÒÓ × Ö Ð Þ Ó ÙÒ ÓÔ ÓÒ Ð Ð Ö Óº

681. 7.5. Recorridos sobre grafos 655
7.5.15.2 Copia mapeada de componentes conexos
Ò Ð ÙÒ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ ÓÔ Ö ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× ÐÓÕÙ × ÙÒ Ö Óº ÈÓÖ
ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ù ÓÓ Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ö × ÑÔÐ ¬ Ò ×Ù× Ð ÙÐÓ×
ØÖ Ò Ó ×Ó Ö ÐÓ× ÐÓÕ٠׺ ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ñ ÒÙ Ó × Ò × Ö Ó ÑÓ ¬ Ö ÐÓ× ÐÓÕ٠׸ ×
ÔÖ Ö Ð ÖÐÓ ×Ó Ö ÓÔ × ÕÙ ×Ó Ö Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ðº
Ð ÔÖÓ ×Ó ÒØ ¬ ÓÒ¸ ÓÔ Ý Ñ Ô Ó ÙÒ ×Ù Ö Ó¸ Ó ÙÒ ÓÐÓÖ × × ÑÔÐ ÙÒ
Ú Þ ÕÙ × Ø Ò Ò Ô ÒØ Ó× ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ù× Ö Ý Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó
ÓÒ Ð ÓÐÓÖ ÒØ Ö × Ý¸ Ô ÖØ Ö Ð¸ Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÕÙ Ú × Ø ¸
ÓÔ Ý Ñ Ô ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖº
ËÓ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ð Ö Ó gsrc¸ ÓÒ Ð ÓÐÓÖ ÒØ Ö × color ¸ Ý ÓÔ Ó Ý Ñ Ô Ó
ÙÒ ×Ù Ö Ó sg¸ Ð Ö ×ØÓ Ð Ñ Ô Ó × ÓÑÔÐ Ø ¸ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡
template <class GT, class SA> inline static
void __map_subgraph(GT & g, // grafo con ptos de corte
GT & sg, // subgrafo donde se copia bloque
typename GT::Node * gsrc, // nodo de g ya copiado en sg
const long & color)
{
typename GT::Node * tsrc = // imagen de gsrc en sg
static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gsrc));
// recorrer arcos de gsrc y a~adir a sg aquellos con el color de inter´s
n e
for (Node_Arc_Iterator <GT, SA> i(gsrc); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Arc * garc = i.get_current_arc();
if (get_color <GT> (garc) != color or IS_ARC_VISITED(garc, Build_Subtree))
continue; // arco es de otro color o ya est´ visitado
a
ARC_BITS(garc).set_bit(Build_Subtree, true); // marque arco
typename GT::Node * gtgt = i.get_tgt_node(); // nodo destino de garc
typename GT::Node * ttgt = NULL; // imagen de gtgt en sg
if (IS_NODE_VISITED(gtgt, Build_Subtree)) // ¿gtgt ya est´ en sg?
a
ttgt = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gtgt)); // s´ı
else
{ // gtgt no est´ en sg ==> copiarlo y mapearlo
a
auto_ptr<typename GT::Node> ttgt_auto(new typename GT::Node(gtgt));
sg.insert_node(ttgt_auto.get());
GT::map_nodes(gtgt, ttgt_auto.get());
NODE_BITS(gtgt).set_bit(Build_Subtree, true); // marque gtgt
ttgt = ttgt_auto.release();
}
// copiar y mapear arco en sg
typename GT::Arc * tarc = sg.insert_arc(tsrc, ttgt, garc->get_info());
GT::map_arcs(garc, tarc);
__map_subgraph<GT, SA> (g, sg, gtgt, color); // recursivamente a gtgt
}
}
Í× × Node Arc Iterator º
map subgraph() Ñ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× Ú × Ø Ó× ÓÒ Ð Ø Build Subtree ×Ø
ÑÓ Ó¸ × ×Ø Ò Ù ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ö Ó ÓÒ Ð ÓÐÓÖ ÒØ Ö × Ý × Ó Ó ÒÓ Ñ Ô Óº
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö Þ map subgraph() Ù× ×Ó Ö Ð Ö Ó g Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó ÓÒ ÓÐÓÖ

682. 656 Cap´
ıtulo 7. Grafos
colorÝÑ Ô Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ð ×Ù Ö Ó sgº Ë ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡
template <class GT, class SA>
void map_subgraph(GT & g, GT & sg, const long & color)
{
clear_graph(sg);
typename GT::Node * first = NULL; // busque primer nodo con el color
for (typename GT::Node_Iterator it(g); it.has_current(); it.next())
if (get_color <GT> (it.get_current_node()) == color)
first = it.get_current_node();
// cree first, ins´rtelo en sg y map´elo
e e
auto_ptr<typename GT::Node> auto_tsrc ( new typename GT::Node(first) );
sg.insert_node(auto_tsrc.get());
GT::map_nodes(first, auto_tsrc.release());
NODE_BITS(first).set_bit(Build_Subtree, true); // m´rquelo visitado
a
__map_subgraph <GT, SA> (g, sg, first, color); // mapee first
}
Í× × Node Iterator º
ÆÓ× Ö ×Ø ÔÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ö Ó ÓÖØ Ý Ù Ö Ö ÐÓ× Ö Ó× ÖÙ º È Ö ÐÐÓ¸
ÓÒ ÙÒ Ô × ×Ó Ö Ð Ð ×Ø ÒÓ Ó× ÓÖØ Ö ÑÓ× Ý Ñ Ô ÑÓ× ×Ù× Ñ Ò × Ò Ð
Ö Ó ÓÖØ cut graphº ×Ô٠׸ ØÙ ÑÓ× ÙÒ ÖÖ Ó ×Ó Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺ ÄÓ× ÕÙ
×Ø Ò Ô ÒØ Ó× ÐÓ× ÒÓÖ ÑÓ׸ ÔÙ × Ô ÖØ Ò Ò ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׺ ÄÓ× Ö Ó×
ÓÖØ ÐÓ× ÓÔ ÑÓ× Ò× ÖØ ÑÓ× Ò cut graph Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× ÖÙ ÐÓ× Ò× ÖØ ÑÓ× Ò
Ð Ð ×Ø cross arc listº ÍÒ Ø ÐÐ × Ò Ð × Ô Ö Ø Ö× ÕÙ ¸ Ð Ü Ô ÓÒ ÐÓ×
ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× Ý Ð Ö Ó ÓÖØ ¸ ÐÓ× Ö Ó× ÖÙ ÒÓ ×ÓÒ ÓÔ Ó׺
ÈÙÒØÓ× ÓÖØ +≡
template <class GT, class SA>
void map_cut_graph(GT & g, DynDlist<typename GT::Node*> & cut_node_list,
GT & cut_graph, DynDlist<typename GT::Arc*> & cross_arc_list)
{
clear_graph(cut_graph);
// recorra lista de nodos de corte e ins´rtelos en cut_graph
e
for (typename DynDlist<typename GT::Node*>::Iterator it(cut_node_list);
it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * gp = it.get_current();
auto_ptr<typename GT::Node> tp_auto ( new typename GT::Node(gp) );
cut_graph.insert_node(tp_auto.get());
GT::map_nodes(gp, tp_auto.release());
}
// recorra arcos de g ==> cut_graph={arcos no corte} cross_arc_list={de cruce}
for (Arc_Iterator <GT, SA> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * garc = it.get_current_arc();
if (is_a_cross_arc <GT> (garc))
{
cross_arc_list.append(garc);
continue;
}
if (not is_an_cut_arc <GT> (garc))

683. 7.6. Matrices de adyacencia 657
continue;
typename GT::Node * src =
static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(g.get_src_node(garc)));
typename GT::Node * tgt =
static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(g.get_tgt_node(garc)));
typename GT::Arc * cut_arc = cut_graph.insert_arc(src, tgt, garc->get_info());
GT::map_arcs(garc, cut_arc);
}
}
Í× × Arc Iterator Ò DynDlist ¿º
Ð Ö Ó cut graph × Ò ÓÒ ÜÓ Ý ×Ù× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÔÙ Ò ÐÐ Ö× Ñ ÒØ
build subgraph() ÑÔÐ ÒØ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ¿ ´Ü º º½¿ ´Ô Ò ¿ µµ
7.6 Matrices de adyacencia
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ ÑÓ× Ö ×Ù ÐØÓ ÙÒ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÒ Ð Ø ÔÓ
List Graph<Node, Arc>¸ × Ó Ò Ð ×Ø × Ý Ò º
Ä Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ø Ò Ð Ö Ò Ú ÒØ Ð Ò Ñ ×ÑÓ ÔÓ ÑÓ×
Ú Ö× Ø ÐÑ ÒØ Ò Ö Ý ×ÙÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺ ÓÒ Ð × Ñ ØÖ × Ý Ò ×ØÓ ×
ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ × Ðº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ü ×Ø ÙÒ ÑÔÐ Ó ÓÖÔÙ× Ð Ø ÓÖ Ö Ó׸
× ÓÑÓ ÙÒ ÜØ Ò× Ú Ö Ö ÙÒ×Ø Ò × × ÑÔ ÒÓ¸ Ò Ð × Ù Ð × ÔÙ × Ö
ÔÖ Ö Ð Ù× Ö Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ò ÓÑÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ Ö Óº
ALEPH ÜÔÓÖØ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ì Ú Ò ÙÐ Ó× Ð × Ñ ØÖ × Ý Ò
½º Map Matrix Graph<GT> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò ÑÔÓ ÙÒ Ö Ó
Ø ÔÓ GT × Ó ×Ó Ö List Graph<Node, Arc>º ×Ø Ì ÑÔÐ ÓÑÓ Ó ¹
ØÓ× Ð × Ð × × Graph Node<Node Type> Ý Graph Arc<Arc Type> ÙØ Ð Þ × Ô Ö
List Graph<Node, Arc>º
Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þ Ö ØÓÖÒ ÙÒ Graph Arc<Arc Type> Ý × Ö Ð Þ
×Ô ¬ Ò Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÔÓ Graph Node<Node Type>º ÄÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ð × ×ÓÒ
ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Graph Arc<Arc Type> Ó NULL × ÒÓ Ý Ö Óº
Map Matrix Graph<GT> ÒÓ ×Ø ×Ø Ò Ð ÙÐÓ× × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð
ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò º
¾º Matrix Graph<GT> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò ÙÒ List Graph<Node, Arc>
ÓÒ ÐÓ× Ø ÔÓ× ×Ó Ó× ÓÑÓ ØÖ ÙØÓ× Ð × Ð × × Graph Node<Node Type> Ý
Graph Arc<Arc Type>º
¿º Ady Mat<GT, Entry> ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ò Ð Ù Ð Ð Ù×Ù Ö Ó
×Ô ¬ Ð Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ × × ÓÑÓ ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þº
º Bit Mat Graph<GT> Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ø׺
Ä × ØÖ × Ð × ÒØ Ö ÓÖ × × ¬Ò Ò Ò Ð Ö ÚÓ tpl matgraph.Hº

684. 658 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.6.1 El TAD Map Matrix Graph<GT>
Ð ¬Ò ×Ø Ì × ×ÔÓÒ Ö ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ØÖ Ð ÙÒ Ö Ó ×Ô ¬ Ó
ÓÒ Ð Ì List Graph<Node, Arc>º Ë ×Ô ¬ ÓÑÓ × Ù
Map Matrix Graph<GT> ≡
template <class GT, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Map_Matrix_Graph
{
Ì ÔÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> ´Ò Ú Ö ¬Ò µ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Map Matrix Graph<GT>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT>
};
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Map Matrix Graph<GT>
Map Matrix Graph<GT> Ñ Ô ÙÒ Ö Ó Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc> ÙÒ Ñ ¹
ØÖ Þ Ý Ò º ÈÓ× Ó× ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> ≡ ´ µ
Map_Matrix_Graph(GT & g);
Map_Matrix_Graph(Map_Matrix_Graph & mat);
Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ØÓÑ ÙÒ List Graph<Node, Arc> Ø ÔÓ GT Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ
Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ñ Ô Óº Ð × ÙÒ Ó × Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ º
ÍÒ Ñ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ó× Ó ÒÓ Ó× Ð List Graph<Node, Arc>no se refleja
Ò ÙÒ Ñ Ô Ó Map Matrix Graph<GT>º ÆÓ Ó ×Ø ÒØ ¸ × ÔÖ ×Ø Ö ×Ô Ð Ù Ó ÓÒ
Ð Ñ ØÓ Ü ×Ø Ò Ð List Graph<Node, Arc>¸ Ð Ù Ð ×ØÖÙ Ö× ×ÔÙ ×
ØÓ Ó Ó ØÓ Map Matrix Graph<GT> ÕÙ Ð ×Ø Ö Ð ÓÒ Óº
Ð ×Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ × Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ () ´ÒÓ ÓÒ Ð
ÓÔ Ö ÓÖ ØÖ ÓÒ Ð []µº À Ý Ù ØÖÓ ÔÖ × ÒØ ÓÒ ×
½º
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ
inline Node * operator () (const long & i);
Ê ØÓÖÒ Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð i¹ × Ñ ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þº
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð Ö ÓÒ
Map_Matrix_Graph<Grafo> m(g);
ÓÒ g × ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Grafo ÖÚ Ó List Graph<Node, Arc>º Ò¹
ØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ
Grafo::Node * p = m(20);
× Ò Ð ÔÙÒØ ÖÓ ÒÓ Ó p Ð Ú × ÑÓ¹ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ð Ö Óº
¾º
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ
inline long operator () (Node * node) const;

685. 7.6. Matrices de adyacencia 659
Ê ØÓÖÒ Ð Ò Ó ÔÓ× ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ñ ØÖ Þ Ð ÒÓ Ó ÓÒ Ö ÓÒ nodeº
¿º
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ
inline Arc * operator () (Node * src_node, Node * tgt_node) const;
Ê ØÓÖÒ Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ö Ó ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× src node Ý tgt nodeº Ë ÒÓ Ü ×Ø Ø Ð
Ö Ó¸ ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ NULLº
º
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼
inline Arc * operator () (const long & i, const long & j) const;
Ê ØÓÖÒ Ð ÔÙÒØ ÓÖ Ö Ó ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ò × ÒØÖÓ Ð Ñ ØÖ Þ i Ý j¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÄÓ× Ò × ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö× ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ (ptr)¸ ÓÒ ptr
× ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÒÓ Óº
Ä Ö Ø Ö ×Ø Ñ × ÔÖ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò × Ð ×Ó Ö ØÓ
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÙÒ ÔÖÙ Ö Ó O(1)º Ò ÒÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ
ÑÓ× × ÙÖ Ö × × ÑÔ ÒÓº × ÔÓÖ ×Ó ÕÙ × Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò Ð
Ø ÔÓ DynArray<T> ÜÔÐ Ó Ü ¾º½º ´Ô Ò ½µº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ Ø Ò Ö ÑÓ× ÙÒ ÖÖ ÐÓ
ÒÓ Ó× ×Ô ¬ Ó Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Map Matrix Graph<GT> ≡ ´ µ ¼
DynArray<Node*> nodes;
Í× × DynArray ¾º
×Ø ÓÖÑ ¸ ØÓ Ó ×Ó nodes[i] Ö ØÓÖÒ Ò O(1) Ð ÔÙÒØ ÓÖ ÒÓ Óº ÓÑÓ
Ø Ñ Ò Ù× Ö ÑÓ× ×Ø ×Ø ÐÓ Ò Ð × Ð × × Matrix Graph<GT> Ý Ady Mat<GT, Entry>¸
ÒÓ × ÑÙÝ ÓÒÚ Ò ÒØ Ò Ô×ÙÐ Ö Ð ×Ó Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÔÖ Ú
ÍØ Ð Ø Ö Ó× Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò ≡ ¼
template <typename GT> inline static
typename GT::Node * get_node(DynArray<typename GT::Node *> & nodes,
const long & i)
{
return nodes.access(i);
}
Í× × DynArray ¾º
nodes × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÒÓ Ó× i × Ð Ò ×Óº ÈÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÑÔÐ ÒØ Ö
ÒÙ ×ØÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Ö× ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ()
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Map Matrix Graph<GT> ≡ ´ µ ¼
template <class GT, class SA>
typename GT::Node * Map_Matrix_Graph<GT, SA>::operator () (const long & i)
{
return get_node <GT> (nodes, i);
}

686. 660 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ØÓ× Ð ÙÐ Ö ÐÓ Ñ × Ö Ô Ñ ÒØ ÔÓ× Ð Ð Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ó ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ¸
Ð ÖÖ ÐÓ nodes ×Ø Ö ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ Ð × Ö ÓÒ × ×Ù× ÔÙÒØ ÖÓ׺ ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð
Ð ÙÐÓ ÙÒ Ò ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× Ò Ö Ñ ÒØ Ò O(Ð (n)) Ñ ÒØ Ð Ù×ÕÙ
ÒÖ
¼ ÍØ Ð Ø Ö Ó× Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò +≡ ½
template <typename GT>
inline static long index_of_node(DynArray<typename GT::Node *> & nodes,
const long & n, typename GT::Node * p)
{
return Aleph::binary_search<typename GT::Node*>(nodes, p, 0, n - 1);
}
Í× × binary search ¿¾ Ò DynArray ¾º
nodes × ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÓÖ Ò Ó ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÓ Ó׸ n × Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ý p × Ð
ÔÙÒØ ÓÖ Ù× Öº
index of node() × Ù× ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÖ ()
¼ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ½
template <class GT, class SA>
long Map_Matrix_Graph<GT, SA>::operator () (typename GT::Node * node) const
{
return index_of_node <GT> (nodes, num_nodes, node);
}
ÒØ × ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Ð Ð × Map Matrix Graph<GT>¸ ¹
ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð Ö ×ØÓ ×Ù× Ñ Ñ ÖÓ× ØÓº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö× Ð ÔÖÓÔ Ó
List Graph<Node, Arc>
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼
GT * lgraph;
Ð ÙÐ × × Ð Ñ ÒØ
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼
GT & get_list_graph() { return *lgraph; }
Ä ÒØ ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ó × ¸ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð Ñ ØÖ Þ¸ Ð ÐÑ Ò Ö ÑÓ× Ò
ÙÒ Ö Ö Ò
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼ ½
mutable size_t num_nodes;
Ð Ù Ð × Ö ÙÒ Ö Ö Ò Ö Ø Ð List Graph<Node, Arc> ÓÒØ Ò Ó Ò lgraphº ×Ø
ØÖ ÙØÓ × Ó × ÖÚ Ð ØÖ Ú ×
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼ ¾
const size_t & get_num_nodes() const { return num_nodes; }
Ä Ñ ØÖ Þ Ö Ó× Ø Ñ Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× ÓÒ ÙÒ DynArray<T> Ñ Ò× ÓÒ
n×n ÓÒ n = num nodesº ÆÓ × Ú ×ÐÙÑ Ö ÓØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ ÒÓ Ò ÙÖÖ Ò Ù×ÕÙ
Ð Ò Ð ÐÓ× Ö Ó× Ò lgraphº
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ DynArray<T> × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒØ ¹
ÒØÖ × ÕÙ × Ý Ò × Ö ØÓº ×ØÓ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ú ÒØ Ò ÓÒÓÑ
×Ô Óº À Ö Ò¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÙÒ × ÒØÖ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × NULL ÕÙ × Ò¹
ÓÒØÖ Ö Ò Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Óº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ ÒÓ ÑÓ× Ð Ö Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ó
ÓÑÓ
DynArray<Arc*> arcos(n*n);

687. 7.6. Matrices de adyacencia 661
ÔÙ × Ö ÕÙ × Ö Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ Ü ×Ø ÒØ × ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ NULL¸ ÐÓ
ÕÙ ÕÙ ÖÖ Ö × Ö Ö Ò Ð × n × n ÒØÖ × Ý Ô Ö Ö Ð Ú ÒØÙ Ð ÓÖÖÓ ×Ô Óº
È Ö Ô Ð Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ù× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ø ÔÓ ÒØ ÖÑ Ó
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼ ½
struct Mat_Entry
{
Arc * arc;
Mat_Entry(Arc * __arc = NULL) : arc(__arc) { /* empty */ }
};
× Ô٠׸ Ð × ÒØÖ × ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ñ ÑÓÖ ¸ Ô ÖÓ ÕÙ ÒÓ Ý Ò × Ó × Ö Ø ×¸ ÓÒ¹
Ø Ò Ö Ò Ð Ú ÐÓÖ NULL ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ò Ó ÔÓÖ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒº Ä Ñ ØÖ Þ
Ý Ò × Ð Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÑÓ × Ù
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ½
DynArray<Mat_Entry> mat;
Í× × DynArray ¾º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ñ ØÖ Þ × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ÙÒ ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × ¹
Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
½ ÍØ Ð Ø Ö Ó× Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò +≡ ¼ ½
inline static long index_array(const long & i, const long & j, const long & n)
Ä Ù Ð Ö ØÓÖÒ Ð Ò Ð ×Ó (i,j) ÒØÖÓ ÙÒ DynArray<T> Ù× Ó Ô Ö
ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ n*nº
Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò × Ö ÐÞ Ò Ö Ñ ÒØ Ð
× Ù ÒØ ÓÖÑ
½ ÍØ Ð Ø Ö Ó× Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò +≡ ½
template <typename Entry>
inline static Entry * read_matrix(const DynArray<Entry> & mat,
const long & i, const long & j,
const long & n)
{
const long index = index_array(i, j, n);
if (not mat.exist(index))
return NULL;
return &const_cast<Entry&>(mat.access(index));
}
¬Ò ×
read matrix¸ Ù× Ò ÙÒ ½º
Í× × DynArray ¾º
Ä ÖÙØ Ò Ð Ð ÒØÖ (i,j) Ò Ð DynArray<T>mat Ø ÔÓ Entry ÕÙ ÑÔÐ ÒØ ÙÒ
Ñ ØÖ Ü n*nº
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÓÔ Ö ÓÖ × ×Ó
½ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼ ¾
template <class GT, class SA>
typename GT::Arc * Map_Matrix_Graph<GT, SA>::operator () (const long & i,
const long & j) const
{
Mat_Entry * mat_entry = read_matrix<Mat_Entry>(mat, i, j, num_nodes);
if (mat_entry == NULL)
return NULL;

688. 662 Cap´
ıtulo 7. Grafos
return mat_entry->arc;
}
template <class GT, class SA>
typename GT::Arc * Map_Matrix_Graph<GT, SA>::operator () (Node * src_node,
Node * tgt_node) const
{
Mat_Entry * mat_entry =
read_matrix<Mat_Entry>(mat, index_of_node<GT>(nodes, num_nodes, src_node),
index_of_node<GT>(nodes, num_nodes, tgt_node),
num_nodes);
if (mat_entry == NULL)
return NULL;
return mat_entry->arc;
}
Í× × read matrix ½ º
ÍÒ Ú Þ ¬Ò Ó× ÐÓ× ×Ó׸ ÒÓ× Ö ×Ø ÔÓÖ ¬Ò Ö ÐÓ× ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × Ý Ð × Ò ÓÒº
È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× ÓÒÚ Ò Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò ÓÔ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¼
void copy_list_graph(GT & g);
Í× × copy list graph ¿ º
Ð Ù Ð ÓÔ Ö Ó g Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ ÙÒ List Graph<Node, Arc> this¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ó
ÓÒ Map Matrix Graph<GT>º ×Ø ÖÙØ Ò ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÑÙÝ ÓÒ × Ñ ÒØ ÑÔÐ ÒØ Ö ÐÓ×
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × Ý Ð × Ò ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ
¾ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ½ ¿
template <class GT, class SA>
Map_Matrix_Graph<GT, SA>::Map_Matrix_Graph(GT & g)
: lgraph(&g), num_nodes(g.get_num_nodes()) { copy_list_graph(g); }
Í× × copy list graph ¿ º
È Ö ÙÐÑ Ò Ö ÓÒ ×Ø Ð × ¸ ÑÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö copy list graph()¸ Ð Ù Ð ×
Ö Ñ Ø ¸ × Ñ ÒØ ¸ Ó× × ×
½º
¾ ÓÔ Ö ÒÓ Ó× ¾ ≡ ´ ¿µ
int i = 0;
for (typename GT::Node_Iterator it(g); it.has_current(); it.next(), ++i)
nodes[i] = it.get_current_node();
quicksort(nodes); // ordenar nodes de modo que se soporte la b´squeda binaria
u
Í× × Node Iterator Ò quicksort ½¿º
¾º
¾ ÓÔ Ö Ö Ó× ¾ ≡ ´ ¿µ
for (typename GT::Node_Iterator nit(g); nit.has_current(); nit.next())
{
Node * src = nit.get_current_node();
const long src_idx = index_of_node<GT>(nodes, num_nodes, src);
// para cada arco de src escribirlo en la matriz mat
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> ait(src); ait.has_current(); ait.next())
{

689. 7.6. Matrices de adyacencia 663
Arc * arc = ait.get_current_arc();
Node * tgt = g.get_connected_node(arc, src);
const long tgt_idx = index_of_node<GT>(nodes, num_nodes, tgt);
write_matrix<Mat_Entry>(mat, src_idx, tgt_idx, num_nodes, arc);
}
}
Í× × Node Arc Iterator Ò Node Iterator º
ÆÓØ ÑÓ× Ð Ù×Ó write matrix()¸ Ð Ù Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ö ØÙÖ Ò ÙÒ
ÒØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ DynArray<T>º
ÒØ Ò × Ð × × ×¸ Ð ÓÔ × ×Ø ÒØ × ÑÔÐ
¿ ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Map Matrix Graph<GT> +≡ ´ µ ¾
template <class GT, class SA>
void Map_Matrix_Graph<GT, SA>::copy_list_graph(GT & g)
{ // copiar atributos
lgraph = &g;
num_nodes = g.get_num_nodes();
nodes.cut(); // limpiar arreglos din´micos de contenidos anteriores
a
mat.cut();
ÓÔ Ö ÒÓ Ó× ¾
ÓÔ Ö Ö Ó× ¾
}
¬Ò ×
copy list graph¸ Ù× Ò ÙÒ × ¾ Ò ¼º
7.6.2 El TAD Matrix Graph<GT>
Ð Ì Map Matrix Graph<GT> Ö ÒØ Ñ ÒØ ×ØÙ Ó¸ ×ÓÐÓ × ÖÚ Ô Ö Ó Ø Ò Ö
ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ØÖ Ð Ò ÙÒ ÓÒ Ó ØÓ× Ø ÔÓ Graph Node<Node Type>
Ý Graph Arc<Arc Type>º ÍÒ ÑÓ ¬ ÓÒ ×Ó Ö ÙÒ ÒØÖ Ñ ØÖ Ð (i, j)
Map Matrix Graph<GT> Ö ÙÒ Ò ÙÒ ÑÓ ¬ ÓÒ Ö Ø ×Ó Ö Ð Ö Ó Ø ÔÓ
Graph Arc<Arc Type>º
Ú × ÐÓ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö × ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÔ ÙÒ List Graph<Node, Arc> Ó ÙÒ
Map Matrix Graph<GT> ÕÙ × ÔÙ ÑÓ ¬ Ö × Ò ÐØ Ö Ö Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ð ´ Ò× ×Ø ÑÓ׸
Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc>µº Ð ÔÖÓÔÓ× ØÓ Matrix Graph<GT> ׸ Ô٠׸ Ó Ø Ò Ö
ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò ÙÝÓ× ÓÒØ Ò Ó× × Ò ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÙÒ Ö Ó
ÓÖ Ò ÐÑ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÓÒ List Graph<Node, Arc>º
Matrix Graph<GT> × ¬Ò ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ð ×
¿ Matrix Graph<GT> ¿ ≡
template <typename GT, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Matrix_Graph
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Matrix Graph<GT>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Matrix Graph<GT>
};
¬Ò ×
Matrix Graph¸ Ù× Ò ÙÒ º

690. 664 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ä Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Map Matrix Graph<GT> × ÕÙ Matrix Graph<GT> ×
ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ò Ô Ò ÒØ Ð List Graph<Node, Arc> ÓÖ Ò Ð¸ ×Ó Ö Ð Ù Ð × ÔÙ Ò
Ö Ð Þ Ö ÑÓ ¬ ÓÒ × Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ ÐÓ× ÐÓ× Ö Ó׺ ÆÓ × ÔÓ× Ð
Ó Ø Ò Ö Ð List Graph<Node, Arc> Ô ÖØ Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Matrix Graph<GT>º
Matrix Graph<GT> Ù× Ö× ÔÓÖ ÕÙ ÐÐ × ÔÐ ÓÒ × ÕÙ ×ÓÐÓ × Ò ØÖ Ö ÓÒ
Ñ ØÖ × Ý Ò º
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× Matrix Graph<GT> ×ÓÒ ÑÙÝ × Ñ Ð Ö × ÐÓ× Map Matrix Graph<GT>
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Matrix Graph<GT> ≡ ´ ¿ µ
DynArray<Node_Type> nodes;
DynArray<Arc_Type> arcs;
mutable size_t n;
Í× × arcs ¾ Ò DynArray ¾º
n ×Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ó × ¸ Ð Ñ Ò× ÓÒ Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ð ÖÖ ÐÓ ÒÓ Ó׺
Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ (i) ÙÒ Ó ØÓ Matrix Graph<GT> Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ
typename GT::Node Typeº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ (i, j) Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ó ØÓ
Ø ÔÓ typename GT::Arc Typeº
ÓÒ Ð Ñ ØÖ Þ arcs¸ × ÒÓ× ÔÐ ÒØ ÙÒ Ô ÕÙ ÒÓ Ò ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ö ÓÖÖ Ö Ð ×Ô Ó
Ó ÙÔ Ó ÔÓÖ Ð × ÒØÖ × ÒÙÐ × × Ö¸ ÔÓÖ Ð × ÒØÖ × Ò Ð × Ù Ð × ÒÓ Ý Ò Ö Ó׺
È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ× × ÖÚ Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ØÖ ÙØÓ ÓÒ Ð
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Matrix Graph<GT> +≡ ´ ¿ µ
mutable Arc_Type Null_Value;
¬Ò ×
Null Value¸ Ù× Ò ÙÒ × ß º
Ð Ù Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ ÕÙ × ÓÒ× Ö Ð Ù× Ò Ö Óº ×Ø Ú ÐÓÖ ×Ô Ð ÔÙ
Ó × ÖÚ Ö× Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Matrix Graph<GT> ≡ ´ ¿ µ
const Arc_Type & null_value() const { return Null_Value; }
Í× × Null Value º
Ë Ð ×Ó (i, j) ÙÒ Matrix Graph<GT> Ö ØÓÖÒ Null value¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ü ×Ø Ö Ó
ÒØÖ Ð ÒÓ Ó i Ý jº Ì ÒØÓ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÓÑÓ Ð × Ò ÓÒ × ÔÓÝ Ò Ò ÙÒ ÖÙØ Ò
ÓÑÙÒ ÐÐ Ñ copy()¸ Ð Ù Ð × ×Ó Ö Ö Ò Ó× Ú Ö× ÓÒ ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Matrix Graph<GT> +≡ ´ ¿ µ
void copy(Matrix_Graph & mat)
{
n = mat.n; // copiar atributos
Null_Value = mat.Null_value;
nodes.cut(); // limpiar memoria de arreglos din´micos
a
arcs.cut();
arcs.set_default_initial_value(Null_Value);
for (int i = 0; i < n; ++i) // recorrer mat[i,j] y copiarla a nodes[], arcs[]
{
nodes[i] = mat.nodes[i];
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
const long mat_index = index_array(i, j, n);
if (not arcs.exist(mat_index))
continue;
arcs.touch(mat_index) = mat.arcs.access(mat_index);

691. 7.6. Matrices de adyacencia 665
}
}
}
void copy(GT & g)
{
n = g.get_num_nodes();
DynArray<typename GT::Node *> ptr; // arreglo temporal
int i = 0;
for (typename GT::Node_Iterator it(g); it.has_current(); it.next(), ++i)
ptr[i] = it.get_current_node();
quicksort(ptr); // ordenar por si se requiere relaci´n con Map_Matrix_Graph
o
arcs.set_default_initial_value(Null_Value);
for (i = 0; i < n; ++i) // coloca contenidos de ptr[] en nodes[]
{
typename GT::Node * src = ptr[i];
nodes[i] = src->get_info();
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(src); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename GT::Node * tgt = it.get_tgt_node();
const long j = index_of_node<GT>(ptr, n, tgt);
const long mat_index = index_array(i, j, n);
arcs[mat_index] = arc->get_info();
}
}
}
Í× × arcs ¾ ¸ DynArray ¾¸ Matrix Graph ¿ ¸ Node Arc Iterator ¸ Node Iterator ¸
Null Value ¸ Ò quicksort ½ ¿ º
ÄÓ× ×Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ñ ØÖ Þ × Ö Ð Þ Ò Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ () Ñ Ò Ö
× Ñ Ð Ö Ð Ø ÔÓ ×ØÙ Ó Ò Ü º º½ ´Ô Ò µº Ò Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ Ñ ØÖ Ð
(i, j) × Ö Ð Þ Ð ×Ø Ò ÓÒ ÒØÖ ÙÒ Ð ØÙÖ Ý × Ö ØÙÖ º ÁÐÙ×ØÖ ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ
× Ñ Ò Ð Ñ ÑÓÖ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó Ý ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÒÙÐÓ× Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ
ÓÔ Ö ÓÖ ×Ó ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÒ×Ø ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Matrix Graph<GT> +≡ ´ ¿ µ
const Arc_Type & operator () (const long & i, const long & j) const
{
const long mat_index = index_array(i, j, n);
if (not arcs.exist(mat_index)) // ¿Existe entrada?
return Null_Value; // No ==> no hay arco
return arcs.access(mat_index);
}
Í× × arcs ¾ Ò Null Value º
7.6.3 El TAD Ady Mat<GT, Entry>
Ò ÑÙ × Ö ÙÒ×Ø Ò × × Ö ÕÙ Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÑÓÑÓÖ ÙÒ Ý Ò ÕÙ ÓÒ¹
Ø Ò Ú ÐÓÖ × ×Ø ÒØÓ× Ý¸ ÑÙÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ¸ Ø ÔÓ× Ö ÒØ × ÐÓ× Ð Ö Óº ÈÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ¸ ÔÙ Ö Ò × Ø Ö× ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÒØ ÒØ Ú ÙÖ ÓÒ × ØÖ Ý ØÓ× ÒØÖ Ö Ó׺
È Ö Ð × ØÙ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × Ø Ò Ð Ø ÔÓ Ady Mat<GT, Entry>¸ Ð Ù Ð ÑÓ Ð Þ ÙÒ
Ñ ØÖ Þ Ð Ñ ÒØÓ× Ø ÔÓ Entry Type Ý ×Ô ¬ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ

692. 666 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ady Mat<GT, Entry> ≡
template <class GT, typename __Entry_Type, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Ady_Mat
{
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ady Mat<GT, Entry>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry>
};
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× Ady Mat<GT, Entry>
¬Ò ×
Ady Mat¸ Ù× Ò ÙÒ × ß Ò ¾½ß¾¿º
Ady Mat<GT, Entry> ×Ø Ö ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ð
Ó ÙÒ Ó ØÓ List Graph<Node, Arc>º
Ð ÔÙÒØÓ × Ò Ð Ò Ð Ð × Ady Mat<GT, Entry> ×Ø Ó ÔÓÖ Ð Ó ÕÙ Ð Ù×Ù Ö Ó
ÔÙ Ö Ð Ø ÔÓ ØÓ× ÕÙ Ð Ö Ö Ò Ð × ÒØÖ × Ð Ñ ØÖ Þº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸
Ady Mat<GT, Entry> ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò º
ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× Ady Mat<GT, Entry> ×ÓÒ ÑÙÝ × Ñ Ð Ö × ÐÓ× Ð × Ñ ØÖ × ÒØ ¹
Ö ÓÖ ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ady Mat<GT, Entry> ≡ ´ µ
GT * lgraph;
DynArray<Node*> nodes;
DynArray<Entry_Type> mat;
mutable size_t num_nodes;
mutable Entry_Type Null_Value;
Í× × DynArray ¾ Ò Null Value º
ÄÓ× ×Ó× ÙÒ Ó ØÓ Ady Mat<GT, Entry> ×ÓÒ × Ñ Ð Ö × ÐÓ× Map Matrix Graph<GT>º
ÄÓ× ÒÓ Ó× ÔÙ Ò Ö Ö Ö× ÔÓÖ ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÓ Ó× Ò ÙÒ List Graph<Node, Arc> Ó ÔÓÖ
×Ù× Ò × ÒØ ÖÓ× Ö ×Ô ØÓ Ð Ñ ØÖ Þº
Ð ÓÒ×ÙÑÓ Ñ ÑÓÖ Ð Ñ ØÖ Þ × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÒØ ÒØÖ × ÕÙ
Ý Ò × Ó × Ö Ø ×º ÍÒ ÒØÖ (i, j) ÕÙ ÒÓ Ý × Ó × Ö Ø ÔÙ Ö ØÓÖÒ Ö false
Ù Ò Ó × ÒÚÓÕÙ mat.exist(index)º × ÔÓÖ ×Ø Ñ Ó ÕÙ × Ø Ø × Ð ÒØÖ
× ÒÙÐ º
Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× ×ÓÒ Ó × ÖÚ Ð ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> ≡ ´ µ
GT & get_list_graph() { return *lgraph; }
const Entry_Type & null_value() const { return Null_Value; }
const size_t & get_num_nodes() const { return num_nodes; }
Í× × Null Value º
Ð Ù×Ó Null Value × Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ð × Matrix Graph<GT> ¬Ò Ö Ð ÖÓ
Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ô ÖÑ Ø Ö ÙÒ ÓÖÖÓ ×Ô Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ö Ó× Ù× ÒØ ×º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ñ ØÖ Þ × Ò Ô Ò ÒØ Ð Ó ØÓ
List Graph<Node, Arc>¸ ÒÓ Ý Ò × Ó ÙÔ Ö ×Ô Ó ÔÖ ÓÖ Ô Ö Ð ÓÒØ Ò Ó
Ð Ñ ØÖ Þº ÈÓÖ ×Ó Ø Ò × ÒØ Ó Ð × Ù ÒØ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> +≡ ´ µ
Ady_Mat(GT & g) : lgraph(&g), num_nodes(lgraph->get_num_nodes()) { copy_nodes(g); }
Í× × Ady Mat º
Ò ×Ø ×Ó Ð Ñ ØÖ Þ ÒÓ Ó ÙÔ Ñ ÑÓÖ Ò ÐÑ ÒØ ×Ø × Ô ÖØ Ö Ñ ÕÙ Ð ×
ÒØÖ × × Ú Ý Ò × Ö Ò Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ × × ÓÔØ ÔÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ö ×Ø ÓÖÑ ÙÒ
Ó ØÓ Ady Mat<GT, Entry>¸ ÒØÓÒ × Ð Ù×Ù Ö Ó ¸ Ð Ñ ×ÑÓ¸ Ò Ö Ö× ×Ö Ö

693. 7.6. Matrices de adyacencia 667
ØÓ × Ð × ÒØÖ × Ð Ñ ØÖ Þ ´ ØÖ Ú × Ð ÓÔ Ö ÓÖ (i, j)µ¸ ÔÙ × Ð Ú ÐÓÖ Null Value
ÒÓ × ¬Ò Ó Ó¸ ¬Ò Ö Null Value ÒØ × Ö Ð Þ Ö Ù ÐÕÙ Ö × Ö ØÙÖ º Ð Ì ÒÓ
Ú Ö ¬ ×Ø ÓÖ Òº
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ÓÖÖ Ö Ñ ÑÓÖ ÔÓÖ Ù× Ò Ö Ó× Ó ÔÓÖÕÙ Ð ÔÐ ÓÒ
Ñ Ò Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÒÙÐÓ¸ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ× ×Ø Ò ¬Ò Ö Null Value Ò Ø ÑÔÓ
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> +≡ ´ µ
Ady_Mat(GT & g, const Entry_Type & null)
: lgraph(&g), num_nodes(lgraph->get_num_nodes()), Null_Value(null)
{ copy_nodes(*lgraph); }
Í× × Ady Mat Ò Null Value º
Ò ×Ø ×Ó¸ Entry Type × Ö Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÔÓ ÕÙ GT::Arc Typeº ÍÒ ÖÖÓÖ ÓÑÔ ¹
Ð ÓÒ Ò Ö Ö× × ÒÓ × × º Ä × ÙÒ Ñ Ò Ö × Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÔÖ Ñ Ø Ú
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> +≡ ´ µ
void set_null_value(const Entry_Type & null) { Null_Value = null; }
Í× × Null Value º
Ð Ø ÔÓ Ady Mat<GT, Entry> ×Ø ×Ø Ò Ó Ô Ö Ù Ö Ö ØÓ× Ù ÐÕÙ Ö Ø ÔÓ
×Ó Ö ØÓ Ó Ô Ö Ð ÙÐÓ× Ø ÑÔÓÖ Ð × Ö ÕÙ Ö Ó× ÔÓÖ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö Ó× × Ò Ó×
Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò º ÓÑÓ Ø Ð¸ × ÑÙÝ ÓÑÙÒ Ò Ð Þ Ö Ñ ØÖ × Ø ÔÓ
Ady Mat<GT, Entry>º È Ö ×Ø Ø Ö ¸ × ÔÖÓÚ Ò Ó× Ð × × ÒØ Ö ×
½º
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> +≡ ´ µ
template <class Operation> void operate_all_arcs_list_graph();
Í× × operate all arcs list graph º
×Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÙØ Ð ÓÔ Ö ÓÒ Operation() ×Ó Ö ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þ ÕÙ
ÓÒØ Ò ÙÒ Ö Ó Ò List Graph<Node, Arc>º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÒÓ × ÒÚÓ Ô Ö Ö Ó× Ù× ÒØ ×º
Ð ÓÖÑ ØÓ Ð Ð × Operation() × Operation()(mat, arc, i, j, entry)¸ ÙÝÓ×
Ô Ö Ñ ØÖÓ× × × Ö Ò ×
´ µ mat × ÙÒ Ö Ö Ò Ð Ó ØÓ Ady Mat<GT, Entry> ×Ó Ö Ð Ù Ð × ×Ø
Ö Ð Þ Ò Ó Ð ÓÔ Ö ÓÒº
´ µ arc × ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð Ö Ó ÒØÖÓ Ð List Graph<Node, Arc> ×Ó Ó
Ð Ñ ØÖ Þº
´µi × Ð Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ò Ð Ñ ØÖ Þº
´µj × Ð Ò Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ò Ð Ñ ØÖ Þº
´ µ entry × ÙÒ Ö Ö Ò Ð ÓÒØ Ò Ó Ð ÒØÖ (i, j) Ò Ð Ñ ØÖ Þº
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ × × Ö ÕÙ Ö ØÖ Ò×Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÒ Ð Ð ÓÔ Ö ÓÒ¸ ÒØÓÒ ×
ÔÙ Ù× Ö× Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> +≡ ´ µ
template <class Operation> void operate_all_arcs_list_graph(void * ptr);
Í× × operate all arcs list graph º

694. 668 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ä Ù Ð ÒÚÓ Operation()(mat, arc, i, j, entry, ptr)º
ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ò Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÒ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ×Ø Ò × Ù Ö Ó×
Ò Ö Óº ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ Ð ×Ø Ò ÙÒ Ö Ó × × Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ð
Ö Ó ÐÐ Ñ Ó get distance()¸ Ð Ò Ð Þ ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ò Ð Ñ ØÖ Þ ÔÙ ×Ô ¬ Ö×
×Ø ÑÓ Ó
struct Init_Arc
{
void operator () (AdyMat<Grafo) & mat, Grafo::Arc * arc, int & i, int & j, Entry & entry)
{
entry = arc->get_distance();
}
};
×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÙ Ò Ò Ö× ØÓ × Ð × ÒØÖ ×Ñ ÒØ
mat.operate_all_arcs_list_graph <Init_Arc> ();
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×ÓÐÓ × Ò Ð Þ Ò ÒØÖ × Ô Ö Ö Ó× ÒØÖÓ Ð List Graph<Node, Arc>
×Ó Ó¸ ÕÙ ÐÐ × ÒØÖ × Ò ÓÒ ÒÓ Ý Ö Ó ÓÒØ Ò Ò Ð Ú ÐÓÖ Null Valueº
¾º Ä × ÙÒ ÒØ Ö Þ ×Ø × Ò Ò × Ady Mat<GT, Entry>
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ady Mat<GT, Entry> +≡ ´ µ
template <class Operation> void operate_all_arcs_matrix();
template <class Operation> void operate_all_arcs_matrix(void * ptr);
Í× × operate all arcs matrix º
Ð ×ÕÙ Ñ × × Ñ Ð Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÐÚÓ ÕÙ ¸ Ò ×Ø ×Ó¸ × Ö ÓÖÖ Ò ØÓ × Ð × ÒØÖ × Ý¸
ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ × Ô ÖØ Ð Ñ ÑÓÖ Ô Ö ØÓ ×º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó ×
O(n2)º
Ð ×ÕÙ Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð Ð × Operation() × Ð × Ù ÒØ
´ µ mat Ö Ö Ò Ð Ñ ØÖ Þº
´ µ src node ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò ÒØÖÓ Ð List Graph<Node, Arc> ×Ó¹
Óº
´ µ tgt node ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ ÒØÖÓ Ð List Graph<Node, Arc> ×Ó¹
Óº
´µs Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖ Òº
´µt Ò Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº
´ µ entry Ö Ö Ò ÒØÖ ÒØÖÓ Ð Ñ ØÖ Þº
´ µ ptr ´ÓÔ ÓÒ Ð × ÙÒ Ð ÒØ Ö Þµ ÔÙÒØ ÖÓ ÓÔ Óº
Ð Ö¬ Ð ÒØ Ö Þ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÙÒ × Ð × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ × ÐÓ×
Ñ ØÓ Ó× ÒØ Ö ÓÖ ×
ÁÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ñ ØÓ Ó× Ady Mat<GT, Entry> ≡ ´ µ
template <class GT, typename __Entry_Type, class SA>
template <class Operation>
void Ady_Mat<GT, __Entry_Type, SA>::operate_all_arcs_list_graph()

695. 7.6. Matrices de adyacencia 669
{ // recorrer todos los nodos del grafo
for (typename GT::Node_Iterator nit(*lgraph); nit.has_current(); nit.next())
{
Node * src = nit.get_current_node();
const long src_idx = index_of_node<List_Graph_Type>(nodes, num_nodes, src);
// recorrer todos los arcos del nodo origen
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> at(src); at.has_current(); at.next())
{
Arc * arc = at.get_current_arc();
const long tgt_idx = index_of_node<List_Graph_Type>(nodes, num_nodes,
arc->get_tgt_node());
Entry_Type & entry = mat.touch(index_array(src_idx, tgt_idx, num_nodes));
Operation () (*this, arc, src_idx, tgt_idx, entry);
}
}
}
template <class GT, typename __Entry_Type, class SA>
template <class Operation>
void Ady_Mat<GT, __Entry_Type, SA>::operate_all_arcs_matrix()
{
const long & n = num_nodes;
for (int s = 0; s < n; ++s)
{
Node * src_node = get_node<GT>(nodes, s);
for (int t = 0; t < n; ++t)
{
Node * tgt_node = get_node<GT>(nodes, t);
Entry_Type & entry = mat.touch(index_array(s, t, num_nodes));
Operation () (*this, src_node, tgt_node, s, t, entry);
}
}
}
¬Ò ×
operate all arcs list graph¸ Ù× Ò ÙÒ º
operate all arcs matrix¸ Ù× Ò ÙÒ × Ò ¾¿ º
Í× × Ady Mat ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò Node Iterator º
7.6.4 El TAD Bit Mat Graph<GT>
Ä ÙÐØ Ñ Ð × Ñ ØÖ Þ × ÒÓÑ Ò Bit Mat Graph<GT> Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÑÙÝ × ÑÔÐ
Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ø׺ ÍÒ Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ò ÔÖ × Ò Ö Ó ÙÒÓ ÒÙÐÓ¸ Ù× Ò¹
º ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ð Ø ÔÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ ×Ø × Ó Ò Ð Ì BitArray × ÖÖÓÐÐ Ó
Ò Ü ¾º½º¿ ´Ô Ò ¿ µ Ý × ¬Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
Å ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Bit Mat Graph<GT> ≡ ´ µ ¼
BitArray bit_array;
Í× × BitArray ¿ º
Å ÒØÖ × ÕÙ Ð Bit Mat Graph<GT> × ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ð ×
Bit Mat Graph<GT> ≡
template <class GT, class SA = Default_Show_Arc<GT> >
class Bit_Mat_Graph

696. 670 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
Å ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Bit Mat Graph<GT>
Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Bit Mat Graph<GT> ¼
};
¬Ò ×
Bit Mat Graph¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ ¸ ¾¸ Ò ¿º
ÍÒ Bit Mat Graph<GT> Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò ¸ ÙÝÓ× Ø× ×ÓÐÓ
ÜÔÖ × Ò ÔÖ × Ò Ó Ù× Ò Ö Ó ÒØÖÓ ÙÒ Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ó ÓÒ ÙÒ
List Graph<Node, Arc>º Bit Mat Graph<GT> ÒÓ × ÖÚ Ô Ö Ñ Ò Ö ÑÙÐØ Ö Ó× Ó ÑÙй
Ø Ö Ó׺
Bit Mat Graph<GT> Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖ Ð List Graph<Node, Arc> ×Ó Ó¸
ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó ÒÓ Ó× ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö Ð ÙÐ Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ð Ò Ñ ÒØ Ð
Ù×ÕÙ Ò Ö Ý Ð ÒØ ÒÓ Ó×
¼ Å ØÓ Ó× ÔÖ Ú Ó× Bit Mat Graph<GT> +≡ ´ µ
GT * lgraph;
DynArray<typename GT::Node*> nodes;
mutable size_t n;
Í× × DynArray ¾º
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Bit Mat Graph<GT>
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Bit Mat Graph<GT> ¼ ≡ ´ µ ¼
Bit_Mat_Graph() : lgraph(NULL) { /* empty */ }
Bit_Mat_Graph(GT & g) : lgraph(&g) { copy_list_graph(g); }
Bit_Mat_Graph(const Bit_Mat_Graph & bitmat)
: bit_array(bitmat.bit_array), lgraph(bitmat.lgraph),
nodes(bitmat.nodes), n(bitmat.n) { /* empty */ }
Bit_Mat_Graph(const size_t & dim)
: bit_array(dim*dim), lgraph(NULL), nodes(dim), n(dim) { /* empty */ }
Í× × Bit Mat Graph Ò copy list graph ¿º
Ð Ù ÖØÓ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÙÒ List Graph<Node, Arc> ÔÓÖÕÙ ×Ø ×Ø Ò Ó Ô Ö
Ð Ö Ö Ñ ØÖ × Ø× Ù× Ö× Ô Ö Ð ÙÐÓ× Ô Ö Ð ×º ×ØÓ¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÑÔ Ð
×Ó ÔÓÖ Ö ÓÒ × ÒÓ Ó× Ò ÙÒ List Graph<Node, Arc>º
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ × ÔÙ ×Ô ¬ Ö Ð List Graph<Node, Arc> ÔÓÖ × Ô Ö Ó¸ ×
ÓÑÓ Ø Ñ Ò ÓÒ×ÙÐØ ÖÐÓ
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Bit Mat Graph<GT> ¼ +≡ ´ µ ¼ ¼
void set_list_graph(GT & g)
{
lgraph = &g;
copy_list_graph(g);
}
GT * get_list_graph() { return lgraph; }
¬Ò ×
set list graph¸ Ù× Ò ÙÒ ¿ º
Í× × copy list graph ¿º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ØÖÓ ÓÖÑ × ×Ó¸ Ó× Ð × Ù Ð × ÔÙ Ò
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö× Ö Ø Ñ ÒØ ÓÖÑ × Ñ Ð Ö Ð × Ð × × Ñ ØÖ × ÕÙ Ý ÑÓ× ØÖ Ø Ó
¼ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Bit Mat Graph<GT> ¼ +≡ ´ µ ¼
Node * operator () (const long & i)

697. 7.6. Matrices de adyacencia 671
{
return Aleph::get_node<GT>(nodes, i);
}
long operator () (Node * node) const
{
return index_of_node<GT>(nodes, n, node);
}
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ×Ó ÙÒ ÒØÖ Ñ ØÖ Ð (i, j) × Ñ × ÓÑÔÐ ÕÙ Ð ×
ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÔÙ × Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ý Ð Ñ ÝÓÖ Ö Û Ö ÒÓ Ñ Ò Ò Ø× ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ º
Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ Ñ Ò Ô Ð Ö × ÓÑÔÙ ×Ø × ÔÓÖ Ø׺ ÆÓ ÔÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÑÔÐ ÒØ Ö Ð
ÓÔ Ö ÓÖ (i, j) Ô Ö ÕÙ Ö ØÓÖÒ ÙÒ Øº Ì ÑÔÓ Ó ÒÓ× × ÖÚ ÕÙ Ð ÓÔ Ö ÓÖ (i, j) ÒÓ×
Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ô Ð Ö Ø ÔÓ int¸ ÔÙ × Ð ×Ó ÔÓ Ö × Ö × Ö ØÙÖ º ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸
×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× ×Ó× × Ö ØÙÖ ÐÓ× Ð ØÙÖ Ý¸ Ô Ö ÐÐÓ¸ Ù× Ö ÑÓ× ÙÒ Ð × Proxy
Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ø ÐÓ ÕÙ ÓØÖÓ× Ø ÔÓ× Ý ×ØÙ Ó׺
7.6.5 Algoritmo de Warshall
ÁÐÙ×ØÖ Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖ ÔÖ Ñ Ö ÙØ Ð Þ ÓÒ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö ÙÒ
Ð Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ ØÓ × Ð × Ö Ð ÓÒ × ÓÒ Ø Ú ÙÒ Ö Ó ØÖ Ú ×
ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× Ñ ÒÓ׺ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ù ×Ø ÓÒ Ø Ò Ñ × × ÒØ Ó ×Ó Ö Ö Ó× Ö Ó× Ý
× ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ï Ö× ÐÐ ¿ Ò ÓÒÓÖ ×Ù × Ù Ö ÓÖº
02 04 06 10 13
03 07 09 11
01 05 08 12 14
ÙÖ º¿¾ ÍÒ Ö Ó Ö Ó
ÓÑÓ ÒÙÒ ÑÓ× Ð ÔÖ Ò Ô Ó¸ ÙÒ Ö Ó × ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ö Ð ÓÒ
Ñ Ø Ñ Ø º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ò Ö E ×Ó Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ V ´ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ
Ð Ö Ó < V, E >µ es transitiva × ∀x, y, z ∈ V, (x, y), (y, z) ∈ Eº ÍÒ grafo transitivo ×
ØÓ Ó ÕÙ Ð ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö Ð ÓÒ ØÖ Ò× Ø Ú º
Definici´n 7.5 (Clausura transitiva) Ä Ð Ù×ÙÖ
o ØÖ Ò× Ø Ú ÙÒ Ö Ð ÓÒ R × Ð
Ö Ð ÓÒ R∗ ¬Ò ÔÓÖ ØÓ Ó Ô Ö (x, y) ∈ R∗ Ø Ð ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ x yº
Ä Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú R∗ ÙÒ Ö Ð ÓÒ R × Ð Ñ Ò Ñ Ö Ð ÓÒ ÕÙ ÓÒØ Ò Rº
Ë ÙÒ Ö Ð ÓÒ R × Ö ÔÖ × ÒØ Ñ ØÖ ÐÑ ÒØ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ñ ØÖ Þ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
Ð Ö Ð ÓÒ R∗ Ö ÔÖ × ÒØ ØÓ × Ð × Ö Ð ÓÒ × ÔÓ× Ð × ÓÒ Ø Ú ÒØÖ ÔÖ
ÒÓ Ó׺ ÍÒ ÒØÖ R∗ = 0 Ò ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× i Ý jº Ð ÙÐ Ö
(i,j)
R∗ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ¸ Ô٠׸ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÒ ÔÖÙ Ü ×Ø Ò Ñ ÒÓ ÒØÖ Ù ÐÕÙ Ö
Ô Ö ÒÓ Ó׺
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú × × ÖÚ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ
Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ Ñ ÒÓ× ÐÓÒ ØÙ i + 1º Ä × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ × Ù Ò

698. 672 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ö Ð ÓÒ × ÒØ ÖÑ × ´Ó Ö Ó×µ R0, R1, R2, . . . , Rnº Ò Ø Ö ÓÒ ÕÙ Ð ÙÐ Rk¸
× Ü Ñ Ò Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ØÖ Ó× (vk, vi, vj) ÒÓ Ó× R k−1º Ë Ð ØÖ Ò× ØÓÖ vi −→ vj −→
vk Ü ×Ø Ò R k−1¸ ÒØÓÒ × × Ò Ð Ö Ó vi −→ vk R k
k i j
k i j
=⇒
´ µ Rk−1 ´ µ Rk
ÙÖ º¿¿ Ò ÙÖ Ö Ó Ò Rk
ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ × ÒØÖÓ ÙÒ ØÖ Ó (vk, vi, vj) Ò Rk−1 Ý Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó vi −→ vk¸
ÒØÓÒ × Ð ÒØÖ Rk = 1º Ä ÓÖÑÙÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ ×¸ ÒØÓÒ ×
i,j
Ri = Ri−1 ∨ (Ri−1 ∧ Ri−1)
i,j i,j i,k k,j ´ º¾µ
Ð ÔÖÓ ×Ó × ÙØ n Ú × ×Ø ÐÐ Ö ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÐÓÒ ØÙ nº ÄÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ
n
∗
R =R = n
Rk−1 × Rk ´ º¿µ
k=1
Ä ÓÔ Ö ÓÒ Rk−1 × Rk × Ö Ð Þ × ÙÒ ´ º¾µº
½ ¾ ¿ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½
½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¾ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¿ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼
R0 = ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼
½¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼
½½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼
½¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼
½¿ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½
½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼
ÙÖ º¿ Å ØÖ Þ Ý Ò Ø× Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿¾
Ð Ð ÙÐÓ Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ÙÒ Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ñ ÒØ ÙÒ Ó ØÓ
Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc> × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ò Ð Ö ÚÓ Û Ö× ÐкÀ ¾ ×Ô ¬ Ó
Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾ Û Ö× ÐкÀ ¾ ≡
template <class GT, class SA>
void warshall_compute_transitive_clausure(GT & g,
Bit_Mat_Graph<GT, SA> & mat)
{

699. 7.6. Matrices de adyacencia 673
Ð ÙÐ Ö Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¿
}
Í× × Bit Mat Graph º
× ÙÒ List Graph<Node, Arc> ×Ó Ö Ð Ù Ð × × Ð ÙÐ Ö Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú
g
Ñ ÒØÖ × ÕÙ mat × Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ð Ù×ÙÖ Ò Ù ×Ø ÓÒ × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× Ðк
ØÓ× ÓÖÖÓ ×Ô Ó¸ ÔÓ ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ×ÓÐÓ Ù× Ó× Ñ ØÖ ×
Ñ Ò Ö Ø Ð ÒÓ Ö ÙÒ Ö Ð ×Ô Ó Ð × n Ñ ØÖ ×º È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓÑ Ò ÑÓ× mat
ÓÑÓ Ð Ñ ØÖ Þ Ø× Rk Ò Ð Ø Ö ÓÒ k Ý mat prev ÓÑÓ Rk−1¸ Ð Ù Ð Ý ÕÙ
Ò ÖR 0
¿ Ð ÙÐ Ö Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¿ ≡ ´ ¾µ ¿
Bit_Mat_Graph<GT, SA> mat_prev(g);
Í× × Bit Mat Graph º
ÒØ × Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö Ð ÙÐÓ¸ ÑÓ× × ÙÖ Ö ÕÙ mat ×Ø ×Ó Ó Ð Ö Óg
¿ Ð ÙÐ Ö Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¿ +≡ ´ ¾µ ¿ ¿
if (mat.get_list_graph() != &g)
mat.set_list_graph(g);
Í× × set list graph ¼ º
ÆÓ× Ö ×Ø ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ö ×ØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ ´ º¿µ
¿ Ð ÙÐ Ö Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¿ +≡ ´ ¾µ ¿
const size_t & n = mat.get_num_nodes();
for (int k = 0; k < n; k++)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
mat(i, j) = mat_prev(i, j) or (mat_prev(i, k) and mat_prev(k, j));
mat_prev = mat;
}
½ ¾ ¿ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½
½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
¾ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
¿ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ½
R∗ = ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ ½
½¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½
½½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½
½¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½
½¿ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½
½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½
ÙÖ º¿ Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú Ð Ö Ó Ð Ð ¬ ÙÖ º¿¾ ´Ô º ½µº

700. 674 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.7 T´picos sobre grafos dirigidos
o
Ð Ò Ó ×Ø Ô ØÙÐÓ ÒØÖÓ Ù ÑÓ× Ð ÒÓ ÓÒ Ö Ó Ö Ó Ó Ö Óº Ò
Ü º¿º¾ ´Ô Ò ½µ ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ð Ì ÕÙ ÐÓ Ö ÔÖ × ÒØ ¸ List Digraph<Node, Arc>¸
ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×¸ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ¸ ÒØ Ð List Graph<Node, Arc>¸ ÔÙ ×
×Ø ÙÐØ Ñ × ×Ù × ÔÓÖ Ö Ò º
× ØÓ Ó× ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ÑÓ× × Ò Ó ÓÔ Ö Ò ÓÒ Ö Ó׺
Ó¸ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ ØÖ Ð ×¸ Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò Ð Ï Ö× ÐÐ Ô Ö Ð Ð Ù×ÙÖ
ØÖ Ò× Ø Ú ¸ Ý Ð ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ô Ö Ð Ð ÙÐÓ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׸ Ù ÖÓÒ ÓÒ Ó×
Ô Ö Ö Ó׺ ÐÐÓ× ÓÔ Ö Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ ×Ó Ö Ö Ó× ÔÓÖÕÙ ÙÒ Ö Ó ×¸ Ø Ñ Ò¸ ÙÒ
Ö Ó½ º
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× Ý ×Ù× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ö Ú Ó× ÒÓ× Ò × ÖÚ Ó ÓÑÓ
Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ× Ô Ö ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ ÈÓÖ ×Ó¸ × Ñ Ò ×Ø Ö Ù ×Ø ÓÒ Ö Ò ÕÙ Ñ Ò
ÐÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Ö Ó× Ä Ò ÓÐ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÓÑÓ Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ Ô Ò Ó×
ØÓÖ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ´½µ Ð ÓÒ Ø Ú Ý ´¾µ ×Ù Ö Ø Ö Ð Óº Ê Ú × Ö Ò ÐÓ×
Ö Ó× Ð ÙÒÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ ÒÓ× ÔÐ ÒØ ÑÓ× ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ× Ö Ú Ð Ö ×ØÓ×
ØÓÖ ×º
7.7.1 Conectividad entre digrafos
Ò Ö Ó׸ Ð ÓÒ Ø Ú ÔÙ × Ö ÓÒ Ù× º Ó× ÒÓ Ó× ×ÓÒ ÓÒ ÜÓ× Ó ×Ø Ò
Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ó× × ÒØÖ ÐÐÓ× Ü ×Ø ÙÒ Ö Óº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ×ÓÒ ÓÒ ÜÓ× Ó
×Ø Ò Ò Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ó× × ÒØÖ ÐÐÓ× Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÕÙ ÐÓ× ÓÒ Ø º Ë Ñ¹
Ð ÖÑ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ó × ÓÒ ÜÓ × ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ×ÓÒ ÓÒ ÜÓ׺ Ò ÙÒ Ö Ó¸ ÑÔ ÖÓ¸
ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó p ×Ø ÓÒ Ø Ó q ÒÓ ÑÔÐ ÕÙ q ×Ø ÓÒ Ø Ó pº ×Ø ÓØ Ò
ÓÒ× Ù Ò × Ò ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ¸ ÒÓ× Ö Ú Ð ÕÙ Ð
ÖÙØ Ò test connectivity() ×ØÙ Ò Ü º º¿ ´Ô Ò ½ µ ÒÓ ÒÓ× × ÖÚ Ô Ö Ö Ó׺
È Ö Ö Ó× Ñ ÒÙ Ó × ÔÖ Ö Ð ÑÔÐ Ö Ð ÒÓ ÓÒ Ð ÒÞ Ð ÒØÖ Ó×
ÒÓ Ó× ÙÒ ÒÓ Ó q × Ð ÒÞ Ð × ÓØÖÓ p × Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ p −→ qº
× Ð × Ó× ×¸ ÔÓ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÔÖÙ ÓÒ Ø Ú × Ò ÓÒÓ× Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó
Ò ÔÖÓ ÙÒ ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ × × ÒÓ Ó × ÔÙ Ò Ð ÒÞ Ö ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ ×¸ Ð Ù Ð
Ý Ù ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ò×ØÖÙÑ ÒØ
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö Ö Ó× ≡
template <class GT, class SA>
bool is_reachable(GT & g, typename GT::Node * src, typename GT::Node * tgt)
{
return test_for_path <GT, SA> (g, src, tgt);
}
½
ÕÙ ÔÙ Ö Ú Ð Ö× ÒÓ× ÙÒ Ò ÓÒ× ×Ø Ò ÜÔÖ × ÔÓÖ Ð Ó ÕÙ List Digraph<Node, Arc>
Ö List Graph<Node, Arc> Ý ÒÓ Ð Ö Ú × ÓÑÓ ÔÙ Ö ×Ù Ö Ö Ð Ð Ò Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ ÕÙ
×Ø ÑÓ× ØÓÑ Ò Óº Ä ÒÚ Ö× ÓÒ × Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ý Ð Ö ÙØ Ð Þ ÓÒº Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ
Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ Ð ÙÒ ÖÒ ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ø ÔÓ× × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó
insert arc() ´Ü º¿º½¼º ´Ô Ò µµº Ë Ó × ÖÚ ÑÓ× Ò ×Ø Ñ ØÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ô Ö Ø ÖÒÓ× ÕÙ
ÔÓ Ö ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö ÐÓ× Ö Ó× ÓÑÓ × ÐÓ× Ö Ó׺ Ä × ÓÒ Ó Ó ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
×Ó Ö Ö Ó× ×ÓÒ Ñ × Ò Ö Ð × ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× Ý¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ Ñ × × ÑÔР׺ È Ö Ô٠׸ ÓÒ Ñ × × ÒØ Ó
ÓÑÙÒ ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× × Ò × Ó Ø Ú ´Ø Ò Ò ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ñ ØÓ Ó×µ Ý ×Ù Ø Ú ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒÓ Ð
ÓÒØÖ Ö Óº

701. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 675
Ä Ñ ×Ñ ÖÙØ Ò × Ò Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÔÙ Ù× Ö× ¸ × Ò ÔÖÓ Ð Ñ
Ð ÙÒÓ Ô Ö Ö Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ó× ÓÒ Ð ×Ø ×º
7.7.2 Inversi´n de un digrafo
o
Ò Ó × ÓÒ ×¸ ÔÙ × Ö ÙØ Ð Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ó ÒÚ Ö×Ó G =< V, E > × Ö¸ ÙÒ Ö Ó
ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÒÓ Ó× Ô ÖÓ ×Ù× Ö Ó× ÒÚ ÖØ Ó׺ ×ØÓ × ÐÓ Ö ÑÙÝ ÐÑ ÒØ Ö ÓÖÖ Ò Ó
Ð Ö Ó Ò× ÖØ Ò Ó Ö Ó× ÒÚ ÖØ Ó Ò Ð Ö Ó ×Ø ÒÓ
Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö Ö Ó× +≡
template <class GT, class SA>
void invert_digraph(GT & sg, GT & rg)
{
// recorrer todos los arcos del digrafo sg
for (Arc_Iterator<GT, SA> it(sg); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current();
typename GT::Node * ssrc = sg.get_src_node(arc); // procesar nodo origen
typename GT::Node * rsrc = NODE_COOKIE(ssrc);
if (rsrc == NULL) // ¿ya est´ creado ssrc en rg?
a
{ // no == crearlo, insertarlo y mapearlo
auto_ptr<typename GT::Node> rsrc_auto(new typename GT::Node(ssrc));
sg.insert_node(rsrc_auto.get());
GT::map_nodes(ssrc, rsrc_auto.get());
rsrc = rsrc_auto.release();
}
typename GT::Node * stgt = sg.get_tgt_node(arc); // procesar nodo destino
typename GT::Node * rtgt = NODE_COOKIE(stgt);
if (rtgt == NULL) // ¿ya est´ creado ssrc en rg?
a
{ // no == crearlo, insertarlo y mapearlo
auto_ptr<typename GT::Node> rtgt_auto(new typename GT::Node(stgt));
sg.insert_node(rtgt_auto.get());
GT::map_nodes(stgt, rtgt_auto.get());
rtgt = rtgt_auto.release();
}
rg.insert_arc(rtgt, rsrc, arc->get_info());
}
}
Í× × Arc Iterator º
invert digraph() × ÙÒ ÖÙØ Ò ÑÙÝ × ÑÔÐ º Ð Ö Ñ ÒØ ¸ ×Ù × ÑÔ ÒÓ × O(E) Ý
Ñ ÒÙ Ó × Ù× ÓÑÓ Ø Ô Ò Ð ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÐÓ ÕÙ ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð ÐÓ× Ñ×
Ð ÒØÓ× Ý Ó×ØÓ×Ó× Ò ×Ô Ó ÚÓÖ ×Ù Ð Ð º ÍÒ ÔÐ ÓÒ × ÓÒÓ Ö Ð Ö Ó
ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Óº Ó ÙÒ ÒÓ Ó p¸ sg.get num arcs(p) ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö Ó
× Ð ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ rg.get num arcs(p) Ð ÒØÖ º
Ò ÜÔÖ × ÓÒ × ÓÖÑ Ð ×¸ ×Ù Ð × Ò Ö× Ð Ö Ó ÒØÖ ÓÑÓ Ò(v) Ý ÓÙØ (v)
ÓÑÓ Ð × Ð º
ÒÐ Ö Ö Ó× ×Ù Ð Ò Ù× Ö× ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ö Ó Ý Ò Ô Ö Ö ÖÖ Ð
Ö Ó × Ð ¸ Ý Ö Ó Ò Ò Ô Ö Ð ÒØÖ º Ò × × ÒØ Ó¸ × ×Ø Ò Ù Ò
Ó× Ð × × ÒÓ Ó× ×Ô Ð ×º ÙÒÓ Ð Ù Ð ×ÓÐÓ Ð ÐÐ Ù Ò Ö Ó× Ý × Ð Ù Ð ÒÓ
× Ð Ò Ò ÙÒÓ¸ × Ö¸ ÙÒÓ ÙÝÓ Ö Ó Ý Ò × ÖÓ¸ × Ð Ø Ð ×ÙÑ ÖÓ º

702. 676 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ò Ð × ÒØ Ó × Ñ ØÖ Ñ ÒØ ÒÚ Ö×Ó¸ ÙÒÓ × Ð Ù Ð ×ÓÐÓ × Ð Ò Ö Ó× Ý ÒÓ Ð ÐÐ Ù
Ò Ò ÙÒÓ¸ Ó × ¸ ÙÒÓ ÓÒ Ö Ó Ò Ò ÖÓ¸ × ÐÐ Ñ Ù ÒØ º
7.7.3 Componentes fuertemente conexos de un digrafo
ÍÒ × Ñ Ð Ö Ð ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× × Ð “conectividad fuerte”º ÑÓ×
ÕÙ Ó× ÒÓ Ó× u Ý v ×Ø Ò Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ó× × Ü ×Ø Ò ÐÓ× Ñ ÒÓ× u v Ý v uº
Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù Ð ÒÞ Ð ¸ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ö Ó × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ
× ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ×ÓÒ Ð ÒÞ Ð × ÒØÖ × º ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ ¸ ÑÓ× ÕÙ ×
ÐÑ ÒØ ÓÒ ÜÓ × ÒÓ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓº
ÍÒ Ò ÓÒ Ð Ù ÖÞ ÓÒ Ø Ú ÙÒ Ö Ó ÔÙ ÓÒÓ Ö× Ñ ÒØ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ ´Ü º º ´Ô Ò ½µµº Ë Ð Ö Ó × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ¸ Ò¹
ØÓÒ × ×Ù Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ÒÓ ÓÒØ Ò ÖÓ׺ Ò ÓÒØÖ ÑÓ׸ Ô٠׸ Ò ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÒ
Ø Ò O(V 3) Ô Ö Ú Ö Ù Ö ÔÓÖ Ð ÓÒ Ø Ú Ù ÖØ ¸ × ÓÑÓ Ø Ñ Ò Ò Ö ×Ó Ö
Ð Ð ÒÞ Ð ÒØÖ Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÓ Ó׺ ×ÔÓÒ Ò Ó Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¸ Ð
ÔÖÙ Ð ÒÞ Ð ØÓÑ ÐÓ ×ÙÑÓ O(Ð V)¸ × × Ö ÕÙ Ö Ò Þ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׺
A E A E
B D D B D D
C F C F
´µ ´ µ
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö Ó Ý ×Ù× Ó× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ×
È Ö Ö Ó× ÒÓÖÑ × Ý Ò×Ó× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ ÔÙ × Ö Ò ÔÐ Ð Ò ×Ô Ó
Ò ×ØÓ× ×Ó׸ ÔÓ ÑÓ× ÓÔØ Ö ÙÒ ×ØÖ Ø × Ò Ð ÖÙØ Ò is reachable()
ÒÚÓ ÖÐ Ô Ö Ô Ö ÒÓ Ó× ÒÓ× Ð Ñ ×ÑÓ ØÖ Ó Ò O(V 2) × O(V E) = O(V 3E)
Ô ×Ó× Ñ × Ó×ØÓ×Ó Ò Ø ÑÔÓ¸ Ô ÖÓ Ñ ÒÓ× Ò ×Ô Óº
Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ú Ù ÖØ ¸ Ò ÙÒ Ö Ó ÔÙ Ò ÒØ ¬ Ö× ×Ù×
“componentes fuertemente conexos” × Ö¸ ÐÓÕÙ × Ó ×Ù ¹ Ö Ó× ÐÑ ÒØ
ÓÒ ÜÓ× ÒØÖ × ¸ Ô ÖÓ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× Ò ×Ù× ÒÓ Ó× ÒØ ÖÒÓ׺
À Ý Ú Ö Ó× Ý Ð Ö × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׺
7.7.3.1 Algoritmo de Kosaraju
Ð Ñ × ÒØ ÙÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒÓ Ó Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ×
ÙÒ Ö Ó¸ Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð Ñ × × ÑÔÐ ÓÑÔÖ Ò Ö¸ × Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ð
ÃÓ× Ö Ùº
Algoritmo 7.2 (Algoritmo de Kosaraju para los componentes fuertes)
Ä ÒØÖ × ÙÒ Ö Ó G =< V, E >º
Ä × Ð × ÙÒ Ð ×Ø l ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׺
½º l=∅

703. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 677
¾º Ê Ð ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ò G Ò Ð Ù Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× × ÒÙÑ Ö Ò ÔÓÖ ×Ù
ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÓÒº Ë (v) ×Ø ÒÙÑ ÖÓº
(v) × × Ò Ð ¬Ò Ð ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú depth first traversal(g, v,
...)º
¿º ÓÒ×ØÖÙÝ Ð Ö Ó ÒÚ ÖØ Ó G =< V, E > Ñ Ô Ó ÓÒ G × Ö¸ ÐÓ× ÑÔÓ×
(v) Ò G ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ð ÙÐ Ó× Ò Ð Ô ×Ó ¾º
º Ë SÐ × Ù Ò ÒÓ Ó× ÓÖ Ò × Ò ÒØ Ñ ÒØ ÔÓÖ º Ë i = 0º
º ∀v ∈ S =⇒ ´ÐÓ× ÒÓ Ó× Ô Ö Ò ÓÖ Ò Ó× ÔÓÖ (v)µ
´ µ Ë v ÒÓ ×Ø Ñ Ö Ó =⇒
º Ë T =∅
º T = { Ö Ó Ð ÒÞ Ð ÔÓÖ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × v}
Ð ¬Ò Ð ÐÓ¸ T × ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ Gº
º Å ÖÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× T º
º l = l ∪ Tº
2 11 2 1
10 11 1 10
A B G F A B G F
3 5 3 5
E H I J E H I J
7 6 7 6
C D K C D K
9 8 4 9 8 4
´µ Ð Ö Ó ÐÙ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÖÖ Ó ´ µ Ð Ö Ó ÒÚ ÖØ Ó G
ÙÖ º¿ Ä × Ó× × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÓ× Ö Ùº ÄÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó× × ÙÒ
×Ù ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ö ÙÖ× Ú Ò ÔÖÓ ÙÒ º Ë ×ÙÑ ÕÙ Ð ÐÐ Ñ Ò Ð Ó ÙÖÖ
Ò Ð Ð ÒÓ Ó º
ÈÓ ÑÓ× ÒØ ¬ Ö ØÖ × × × ÔÖ Ò Ô Ð ×¸ ØÓ × O(E) Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ
ÕÙ ÒÙÑ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓÖ ×Ù ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ö ÙÖ× Ú ¸ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ G Ý
Ð Ö ÓÖÖ Ó ¬Ò Ð ÓÖ Ò Ó × Ò ÒØ Ñ ÒØ Ò Ð ÕÙ × × Ù Ö Ò ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ ×
Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׺ Ó ÙÒ ÐÓÕÙ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ¸ Ð ÒÙÑ Ö ÓÒ ×Ù× ÒÓ Ó×
Ó ÙÖÖ × Ð Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ ×Ø Ð Ñ × ÒØ Ù Ñ ÒØ Ú × Ø Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò
Ð ÐÓÕÙ Ñ × Ð Ö Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿ ¹ Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ÒÓ Ó ´ µ ×
ÙÐØ ÑÓ Ò Ö× Ú × Ø Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ´½½µ Ð ÔÖ Ñ ÖÓº × Ð Ö Ó ÒÚ Ö×Ó Ð
¬ ÙÖ º¿ ¹ ÓÒ×Ø Ø ÑÓ× ÕÙ × ´ µ × Ð ÒÞ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׺ ÆÓ ÑÔÓÖØ ×
Ù Ð ÒÓ Ó × Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó¸ ÓÑÓ ÐÙ Ó × Ú Ö ÒÚ ÖØ Ó¸ × × ÙÖ Ð Ó ÖØÙÖ Ð
ÐÓÕÙ ÒØ ÖÓº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÒÓ × Ò × Ö Ó ÓÖ Ò Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓÖ ×Ù ÒÙÑ Ö ÓÒ¸ Ò ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ô
Ô Ö ÓÒÓ Ö Ð Ñ ÝÓÖ ×Ø ÓÒ Ø Ò Ö ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ý Ù Ö ÖÐÓ× × ÙÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒº
Ä Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÓ× Ö Ù¸ × ÓÑÓ ×Ù Ú Ö ¬ ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ ¸
× Ð Ò Ò Ö Óº

704. 678 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.7.3.2 Algoritmo de Tarjan
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò Ø Ò Ð Ú ÖØÙ ÒØ ¬ Ö ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÙÒ Ö Ó Ò ÙÒ ×ÓÐ
Ô × º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ×Ó Ö ÙÒ Ö Óº Ä ÖÙØ Ò ÕÙ ÙÒ
ÒØ Ö Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ý ÕÙ ÒÚÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ö ÙÖ× ÚÓ Ò × ×
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× ≡ ¿
template <class GT, class SA> inline
void strongly_connected_components(GT & g,
DynDlist <GT> & block_list,
DynDlist<typename GT::Arc*> & arc_list)
{
ÁÒ ÐÞ ÖÌ Ö Ò
for (typename GT::Node_Iterator it(g); curr_df < n; it.next())
{
typename GT::Node * v = it.get_current();
if (not IS_NODE_VISITED(v, Aleph::Depth_First)) // ¿p visitado?
__scc<GT, SA>(g, block_list, stack, v, curr_df);
}
ÓÒ×ØÖÙ Ö Ý Ñ Ô Ö ÐÓ× ÐÓÕÙ × ¾
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Iterator º
g × Ð Ö Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × × Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ÐÓÕ٠׺ block list × ÙÒ Ð ×Ø
Ö Ó× Ñ Ô Ó× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× ÐÓÕÙ × gº Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ× Ö Ó×
g ÕÙ ÖÙÞ Ò ÒØÖ ÐÓ× ÐÓÕÙ × × Ù Ö Ò Ò Ð Ð ×Ø arc listº
Ä ÖÙØ Ò ÑÔÐ Ð ÙÒ × Ú Ö Ð × ÒØ ÖÒ ×¸ Ð × Ù Ð × ÓÖ × Ñ Ò ×Ø Ö Ð Ö ¬ Ö
Ð × × Ù ÒØ ×
ÁÒ Ð Þ Ö Ì Ö Ò ≡ ´ ¿µ
long curr_df = 0; // contador de visitas
const long & n = g.get_num_nodes();
curr df × Ð ÓÒØ ÓÖ ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó׸ Ð Ù Ð ×ÓÐÓ × Ò Ö Ñ ÒØ Ð × Ù Ö Ö ÙÒ ÒÓ Ó
ÒÓ Ú × Ø Óº
strongly connected components() ÒÚÓ Ð ÖÙØ Ò scc()¸ Ð Ù Ð × ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó
Ò ÔÖÓ ÙÒ Ö ÙÖ× ÚÓº Ð for Ö Ú × ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÒÚÓ scc() Ô Ö ÒÓ Ó ÒÓ
Ú×Ø Ó Ý × Ø Ò ÙÒ Ó× Ò Ú × Ø Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÐÓ Ù Ð × Ø Ø Ù Ò Ó
curr df == nº
scc() × ¬Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ÊÙØ Ò × ×Ø Ø × Ì Ö Ò ≡ ¿
template <class GT, class SA> inline
void __scc(GT & g,
DynDlist <GT> & list,
DynListStack<typename GT::Node*> & stack,
typename GT::Node * v,
long & df_count)
{
ÁÒ Ó Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö v ½
Ê ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ v ¾
Î Ö ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÑÔ Ð Ö ÐÓÕÙ ½
}
Í× × DynDlist ¿ Ò DynListStack ½½ º

705. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 679
×Ø ÖÙØ Ò Ö ÓÖÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð ÒÓ Ó vº g × Ð Ö Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × Ð ÙÐ Ò ÐÓ×
ÐÓÕ٠׸ list × ÙÒ Ð ×Ø ÐÓÕ٠׸ stack × ÙÒ Ô Ð ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó× ÙÝÓ × ÒØ Ó
ÜÔÐ Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ ¸ v × Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð ÕÙ × Ö ÓÖÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý df count
× Ð ÓÒØ ÓÖ Ú × Ø ×º
B1 B2
B4
A B G F
J B5
E H I K M N
B3
C D L O
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö Ó ÓÒ ×Ù× ÐÓÕÙ ×
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö vº × × Ò Ð Ô Ö Ð ÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÔÖ Ò Ö ÕÙ
ÙÒ ÐÐ Ñ Ö ÙÖ× Ú scc(v,...) Ö ÒØ Þ × Ù Ö Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÐÓÕÙ Ð ÕÙ
Ô ÖØ Ò vº ÌÓÑ ÑÓ× Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿ Ý ÑÔÐ ¬ÕÙ ÑÓ× Ú Ö × ÐÐ Ñ ×º Ë Ð
ÐÐ Ñ Ó ÙÖÖ ×Ó Ö Ð ÒÓ Ó Å¸ ÒØÓÒ × ×Ø ×ÓÐÓ × × Ù Ö ÙÒ ×ÓÐÓ ÐÓÕÙ ¸ Ð B5º Ë
Ð ÐÐ Ñ Ó ÙÖÖ ×Ó Ö H¸ ÒØÓÒ × × × Ù Ö Ò ÐÓ× ÐÓÕÙ × B3¸ B4 Ý B5º Ë Ð ÐÐ Ñ
Ó ÙÖÖ ×Ó Ö ¸ ÒØÓÒ × × × Ù Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÐÓÕ٠׺ ËÙÖ ¸ Ô٠׸ Ð ÔÖ ÙÒØ Ü ×Ø
Ð ÙÒ Ñ Ò Ö Ð Ñ Ø Ö Ð ÐÓÕÙ × Ö¸ Ù Ò Ó Ò×Ô ÓÒ ÑÓ× ÙÒ Ö Ó w → x¸
ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ× × ÖÒ Ö × w Ý x ×Ø Ò Ó ÒÓ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÕÙ
Ä ×ÓÐÙ ÓÒ Ù × Ù ÖØ ÔÓÖ Ì Ö Ò ¿ ¸ ¾¼ Ý × × ÖÚ ÐÓ× ÑÔÓ× Ý ÐÓÛ
×ØÙ Ó× Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¿ µ¸ ´ º½µ Ô º Ö Ð Ð ÙÐÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
ÓÖØ Ó ÖØ ÙÐ ÓÒº
Ò ÕÙ Ð ÒØÓÒ ×¸ ¬Ò ÑÓ× (v) ÓÑÓ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × Ú × Ø Ó Ð ÒÓ Ó v ÔÓÖ ÙÒ
Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý ÐÓÛ(v) ÓÑÓ Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ø Ó×
v ÔÓÖ Ñ ÒÓ× ÓÒ ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ Ö Ó× Ö ÓÖ × Ý ÒÓ¹ Ö ÓÖ ×º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ × ØÖ Ø
ÙÒ Ö Ó¸ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ô Ò× Ö Ò Ö Ó× ÒÓ¹ Ö ÓÖ ×¸ × ÒÓ¸ Ñ × Ò¸ Ò ÒÓ Ó×
Ð ÒÞ Ð ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ ÐÓÛ(v) ÔÙ ¬Ò Ö× Ñ × × ÑÔÐ ÓÑÓ
ÐÓÛ(v) = Ñ Ò ÑÓ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ v ´ º µ
B1 B2
11,5 10,5 8,8 9,8 B4
A B G F
J 3,1 B5
7,5 2,1 1,1 14,13 15,13
E H I K M N
5,5 12,12
C D 6,5 B3 L 4,1 O 13,13
ÙÖ º¿ ÍÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿ º ÒÓ Ó ×Ø
Ø ÕÙ Ø Ó ÓÒ Ð Ô Ö , ÐÓÛº
ÁÒ Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð ÒÓ Ó ÔÓÖ ÓÒ Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ Ð
Ú ÐÓÖ ÐÓÛ(v)¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó v¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ (v) Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó
Ú × Ø Ó ÒØÖÓ Ð ÐÓÕÙ º Ê ØÓÑ Ò Ó Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º¿ ¸ ÙÒ Ú ÒØÙ Ð ÓÖ Ò
Ú × Ø ÔÙ Ü Ñ Ò Ö× Ò Ð ¬ ÙÖ º¿ º Ð ÓÖ Ò ÔÖ Ñ Ö × ÐÐ Ñ × scc(v,...)

706. 680 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ strongly connected components() × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º ¼º Ö ÓÐ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ ÐÐ Ñ × Ð for strongly connected components() Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ Ö ÓÐ ÑÙ ×ØÖ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÕÙ × × Ù Ö Ò Ò ÐÐ Ñ scc()º
K-(1,1) C-(5,5) O-(13,13)
I-(2,1) D-(6,5) M-(14,13)
J-(3,1) E-(7,5) N-(15-13)
L-(4,1) G-(8,8) B-(10,5) H-(12,12)
F-(9,8) A-(11,5)
ÙÖ º ¼ Ö ÓÐ × Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ÔÖ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º¿ º
ÒÓ Ó ÑÙ ×ØÖ Ð Ø ÕÙ Ø Ð ÒÓ Ó Ý ×Ù× ÒÙÑ ÖÓ× Ý ÐÓÛº
Ð ¬ ÙÖ º ¼ ÔÓ ÑÓ× Ö Ð ÙÒ × Ó × ÖÚ ÓÒ × Ò ÔÓ× × ÖÒ Ö × ÙÒ Ô Ö
ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ó ÒÓ ÒØÖÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÕÙ
½º Ë Ð Ö ÓÐ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐ Ö Ñ ¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÓÒØ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ ÐÓÕÙ º ×Ø × Ð
×Ó ÐÓ× ÐÓÕÙ × B4 Ý B5º
¾º Ë Ð Ö ÓÐ ÓÒØ Ò Ú Ö × Ö Ñ ×¸ ÒØÓÒ × Ý Ø ÒØ × Ö Ñ × ÓÑÓ ÐÓÕ٠׺ ×Ø ×
Ð ×Ó Ð × ÙÒ Ó Ö Óи ÙÝ Ö Þ × ¸ Ð Ù Ð ÓÒØ Ò ÐÓ× ÐÓÕÙ × B1¸ B2 Ý B3º
Ò ×Ø ×Ó¸ ÓÑÓ ×Ø Ò Ù ÑÓ× ÙÒ ÐÓÕÙ Ð ÓØÖÓ ÍÒ Ó × ÖÚ ÓÒ Ñ × Ø ÐÐ
ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÒØ ¬ Ö ÕÙ ÐÓ× ÐÓÕÙ × B2 Ý B3 × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ö Ñ × × Ð ÒÓ Ó
º ÕÙ ÒÓ× Ô Ö Ð ÔÖ ÙÒØ ÓÑÓ ÒØ ¬ ÑÓ× Ð Ò Ó ÙÒ Ö Ñ º Ä
Ö ×ÔÙ ×Ø ×Ø ÔÓÖ Ð Ô Ö < (v), ÐÓÛ(v) >º Ò Ó Ö Ñ ¸ ÕÙ ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð Ò Ó ÙÒ ÐÓÕÙ ¸ × ÒØ ¬ ÔÓÖ Ð Ó ÕÙ (v) = ÐÓÛ(v)º
×ØÓ × Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖÑ Ð Ö Ñ º
Ó ÙÒ ÒÓ Ó v¸ Ð Ú ÐÓÖ (v) × Ð ÙÐ Ð Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒØ ÓÖ Ú × Ø ×¸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ ÐÓÛ(v) × Ð ÙÐ Ð ÔÓÖ Ö ØÓÖÒÓ Ö ÙÖ× ÓÒ ´ ØÖ µº ÈÓÖ ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ׸
ÓÒ ÓÖÑ ÑÓ×ÒÓ× ÓÒ ×ÙÑ Ö ÕÙ × Ð ÙÐ Ð Ú ÐÓÖ ÐÓÛ(v) Ý ×ØÙ ÑÓ× ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ º
Lema 7.4 Ë ÙÒ Ö Ó G =< V, E > Ý T =< V, E > ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ ÙÒ
Ù ÐÕÙ Ö º Ë v ∈ V ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö G Ý Tº Ë (v) = ÐÓÛ (v)¸ ÒØÓÒ × ∀w ∈
G, T | ÐÓÛ (w) = ÐÓÛ (v) =⇒ w Ô ÖØ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÕÙ vº
Demostraci´n (Por contradicci´n) ËÙÔÓÒ Ö ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ÒÓ Ó w ÓÒ ÐÓÛ (w) =
o o
ÐÓÛ(v) ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÕÙ v ÓÒØÖ ´ º µ¸ Ð Ù Ð ÒÙÒ ÐÓÛ(w)
ÓÑÓ Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÐÓÕÙ ÓÒ × Ò Ù ÒØÖ w
×ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö Ó ÓÒ ×Ù× Ú ÐÓÖ × Ý ÐÓÛ Ð ÙÐ Ó׸ ÔÓ ÑÓ×
×Ø Ò Ù Ö ×Ù× ÐÓÕÙ × Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½º ÒÓ Ó v ÓÒ (v) = ÐÓÛ(v) × Ò Ù ÒØÖ Ò ÙÒ ÐÓÕÙ ×Ø ÒØÓº Ü ×Ø Ò Ø ÒØÓ×
ÐÓÕÙ × ÓÑÓ ÒÓ Ó× ÕÙ × Ø × Ò (v) = ÐÓÛ(v)º

707. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 681
¾º ÈÓÖ ÐÓÕÙ ÒØ ¬ Ó Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó v ÓÒ (v) = ÐÓÛ(v)¸ ÒØ ¬ Ö
ÕÙ ÐÐÓ× ÒÓ Ó× w ÓÒ ÐÓÛ(w) = ÐÓÛ(v) ×ØÓ× Ô ÖØ Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÕÙ v
À Ý ÓØÖÓ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸ × Ò Ð Ô Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ý ×Ù ¬ Ò ¸ ÕÙ × Ö Ø Ö Þ
Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÜ ÑÓ Ð Ñ º
Lema 7.5 Ë ÙÒ Ö Ó G =< V, E > Ý T =< V, E > ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ¹
ÙÒ Ù ÐÕÙ Ö º Ë v ∈ V ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö G Ý Tº Ë (v) = ÐÓÛ (v)¸ Ò¹
ØÓÒ × Ð ÐÓÕÙ ÕÙ Ð Ñ Ø v ×Ø ÒØ Ö Ý Ü Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ó Ò ÙÒ × Ù Ò
< (v, (v), ÐÓÛ (v)) , (w, (w), ÐÓÛ (w)) , . . . , (z, (z), ÐÓÛ (v)) > ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò Ð
ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ú × Ø Ó Ð ÐÓÕÙ Ý ÙÐÑ Ò Ò ÙÒ Ó Ð Ö Óк
Demostraci´n È Ö
o ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð × Ù Ò ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÐÓÕÙ ÐÓ
ÑÓ× ÔÓÖ ÓÒØÖ ÓÒº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø Ð × Ù Ò Ô ÖÓ ÕÙ ×Ø ÒÓ ÓÒØ Ò
ØÓ Ó ÐÓÕÙ º ÈÓÖ Ð ¬Ò ÓÒ ´ º µ Ð × Ù Ò ÓÑ ÒÞ Ö ÔÓÖ ÙÒ ÒÓ Ó v Ð
ÐÓÕÙ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Ñ × Ó ×Ù ÐÓÕÙ ¸ ÔÙ × × ØÖ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó Ú × Ø Ó Ò Ð
ÐÓÕÙ º ÈÓÖ Ð Ð Ñ º ØÓ Ó ÒÓ Ó w Ð ÐÓÕÙ ÕÙ ÓÒØ Ò v Ø Ò ÐÓÛ(w) = ÐÓÛ(v)º
ÓÖ Ò¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ØÓ Ó ÒÓ Ó w ÙÒ ÐÓÕÙ × Ð ÒÞ Ð × v¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò
ÔÖÓ ÙÒ × Ù Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ØÓ Ó Ð ÐÓÕÙ ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ØÓ Ó× ×Ù× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ò
Ð × ÙÒ º
È Ö ÙÐÑ Ò Ö¸ ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × Ð × Ù Ò ÑÔ Þ Ý Ø ÖÑ Ò Ò ÒÓ Ó× ÓÒ
Ð Ñ ×ÑÓ ÐÓÛ¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÓØÖÓ ÐÓÕÙ º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ
Ü ×Ø ÙÒ × Ù Ò (v, (v), ÐÓÛ (v), . . . , (x, (x), ÐÓÛ(x))), . . . , (z, (z), ÐÓÛ(v)) Ó × ¸ Ð
× Ù Ò Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÒÓ Ó x ÓÒ ÐÓÛ(x) = ÐÓÛ(v)º ×ØÓ × Ò ¬ Ö ÕÙ × Ú × ØÓ ÙÒ
ÒÓ Ó ÓØÖÓ ÐÓÕÙ ÓÒ ÐÓÛ(x) Ý ÐÙ Ó × Ö Ö ×Ó Ð ÐÓÕÙ ÓÒ ÐÓÛ(v)¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ
ÕÙ x ×Ø Ò ÓØÖÓ ÐÓÕÙ ¸ ÔÙ × × Ð ÒÞ Ð × Ð ÐÓÕÙ ÓÒ ÐÓÛ(v)
Ä × Ù Ò ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÐÓÕÙ × × Ù Ö Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ÓÐ × ÙÒ
ÐÐ Ñ × scc(v,...)→ scc(w...)→ · · · → scc(z,...)º Ð Ñ Ö ÖÐÓ ×Ø ÓÖÑ
Ö Ú Ð Ð ÔÖ Ò Ô Ó × Ò Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ Ù Ð Ô ÖÑ Ø ÒØ ¬ Ö ÔÐ Ò Ñ ÒØ Ð ÐÓÕÙ
ÙÒ Ô Ð ÒÓ Ó× ØÖ Ö ÙÖ× ÚÓº
Ð ÒØÖ Ö scc(v,...) × ÑÔ Ð v
½ ÁÒ Ó Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö v ½ ≡ ´ ¿ µ ¾
push_in_stack<GT>(stack, v);
Ä ÔÐ × ÒÓÑ Ò stack Ý × ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÓÖ Ö Ö Ò scc()¸ ÐÓ ÕÙ Ð
ÐÓ Ð ØÓ × Ð × ÐÐ Ñ ×º
ÍÒ Ú Þ Ö ÓÖÖ Ó× Ò ÔÖÓ ÙÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ÒØ × v¸ × ÔÖ ÙÒØ ÔÓÖ (v) =
ÐÓÛ(v)º Ë × ÖØÓ¸ ÒØÓÒ × Ð Ô Ð ÓÒØ Ò Ð × Ù Ò z, y, . . . , w, v ´ ÒÚ ÖØ µ¸ ÔÓÖ ÐÓ
ÕÙ ÔÓ ÑÓ׸ ÓÒ × ÙÖ ¸ × ÑÔ Ð Ö Ð ÐÓÕÙ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÑÓ× v
½ ÎÖ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÑÔ Ð Ö ÐÓÕÙ ½ ≡ ´ µ
if (low <GT> (v) == df <GT> (v)) // ¿primer nodo visitado del bloque?
{ // s´ ==> saque los nodos del bloque que est´n en pila
ı a
const size_t & block_idx = list.size();
list.append(GT());
GT & block = list.get_last();
while (true) // sacar el bloque de la pila hasta sacar a v
{
typename GT::Node * p = pop_from_stack<GT>(stack);
typename GT::Node * q = block.insert_node(p->get_info());

708. 682 Cap´
ıtulo 7. Grafos
GT::map_nodes(p, q);
NODE_COUNTER(p) = NODE_COUNTER(q) = block_idx;
if (p == v)
break;
}
}
Ð Ú ÐÓÖ block idx × Ð ÒÙÑ ÖÓ ÐÓÕÙ º ×Ø Ò Ô ÖÑ Ø ¸ ÐÙ Ó Ö Ö ÓÖÖ Ó
ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ó¸ Ö ÓÒÓ Ö ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× ÐÓÕ٠׺
Ä Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÐÓÛ(v) Ø Ñ Ò × ÔÓÖ ØÖ º Ù Ò Ó Ú × Ø ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó
v¸ Ð Ú ÐÓÖ ÐÓÛ(v) × Ò Ò (v)
¾ ÁÒ Ó Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö v ½ +≡ ´ ¿ µ ½
NODE_BITS(v).set_bit(Aleph::Depth_First, true);
df<GT>(v) = low<GT>(v) = df_count++;
ÄÙ Ó × Ö Ú × Ò ÐÓ× Ö Ó× v Ý × ÒÚÓ Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ scc(w,...) ÔÓÖ ÒÓ Ó
w ÕÙ × ÓÒ ÜÓ v Ý ÕÙ ÒÓ Ý × Ó Ú × Ø Ó
¾ Ê ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ v ¾ ≡ ´ ¿ µ
// recorrer en profundidad todos los nodos conectados a v
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(v); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * w = it.get_tgt_node();
if (not IS_NODE_VISITED(w, Aleph::Depth_First))
{
__scc <GT, SA> (g, list, stack, w, df_count);
low <GT> (v) = Aleph::min(low <GT> (v), low <GT> (w));
}
else if (is_node_in_stack<GT>(w))
// si est´ en pila ==> v fue visitado antes que p
a
low <GT> (v) = Aleph::min(low <GT> (v), df <GT> (w));
}
Í× × Node Arc Iterator º
Ð× ÐÖ scc(g, list, stack, w, df count)¸ w Ý Ø Ò Ð ÙÐ Ó ×Ù ÐÓÛ(w)¸ ÔÓÖ ÐÓ
ÕÙ ×Ø × ÓØ ÓÒ ÐÓÛ(v) Ô Ö Ú Ö ¬ Ö × × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ø٠к
Ë wÝ × Ó Ú × Ø Ó × ÓØÖ Ø Ö ÓÒ strongly connected components()¸
ÒØÓÒ × ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö ×Ù ÐÓÛ(w) ×ÓÐÓ × w Ô ÖØ Ò Ð ÐÓÕÙ v¸ ÐÓ ÕÙ Ú Ö ¬ ÑÓ×
ÔÓÖ Ð ÔÖ × Ò w ÒÐ ÔÐ º
È Ö ÐÑ Ò Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ý ÐÓÛ ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ð ÓÒØ ÓÖ Ý Ð ÓÓ ¸ Ü Ø Ñ ÒØ
Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ¸ Ý ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × ÖÙØ Ò ×¸ ÕÙ ÑÔÐ ÑÓ× Ò Ü º½ ´Ô Ò µº
È Ö ÙÐÑ Ò Ö¸ Ð ÙÐØ Ñ Ô ÖØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò ÓÒ× ×Ø Ò ÓÒ×ØÖÙ Ö ÐÓ× ×Ù ¹
Ö Ó× Ñ Ô Ó× ÐÓ× ÐÓÕÙ ×
¾ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ý Ñ Ô Ö ÐÓ× ÐÓÕÙ × ¾ ≡ ´ µ
// recorrer cada uno de los subgrafos parciales y a~adir sus arcos
n
for (typename DynDlist<GT>::Iterator i(block_list); i.has_current(); i.next())
{ // recorrer todos los nodos del bloque
GT & block = i.get_current();
for (typename GT::Node_Iterator j(block); j.has_current(); j.next())
{
typename GT::Node * gsrc = j.get_current(); // nodo actual del bloque
// recorrer los arcos de gsrc

709. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 683
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> k(gsrc); k.has_current(); k.next())
{
typename GT::Node * gtgt = k.get_tgt_node();
typename GT::Arc * ga = k.get_current_arc();
if (NODE_COUNTER(gsrc) != NODE_COUNTER(gtgt)) // ¿arco inter-bloque?
{ // s´ ==> a~´dalo a arc_list
ı na
arc_list.append(ga);
continue;
}
// insertar y mapear el arco en el sub-bloque
typename GT::Node * bsrc = (typename GT::Node*) NODE_COOKIE(gsrc);
typename GT::Node * btgt = (typename GT::Node*) NODE_COOKIE(gtgt);
typename GT::Arc * ba = block.insert_arc(bsrc, btgt, ga->get_info());
GT::map_arcs(ga, ba);
}
}
}
Í× × DynDlist ¿ ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò Node Iterator º
strongly connected components() Ö Ð Þ ÙÒ ØÖ Ó Ð ÓÖ Ó×Ó¸ Ô ÖÓ Ö ÒØ Þ
Ó Ø Ò Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× ÓÑÓ ×Ù Ö Ó׺ Ú ×¸ ×ÓÐÓ × ÔÖ Ö Ð
ÒØ ¬ Ö ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × × Ò Ò × Ñ ÒØ Ò ÖÐÓ× ÓÑÓ Ö Ó׺ Ò × ×Ó¸ ÔÓ ¹
ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ Ú Ö× ÓÒ
¿ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× +≡
template <class GT, class SA> inline void
strongly_connected_components(GT & g,
DynDlist<DynDlist<typename GT::Node*> > & blocks)
{
ÁÒ ÐÞ ÖÌ Ö Ò
for (typename GT::Node_Iterator it(g); curr_df < n; it.next())
{
typename GT::Node * v = it.get_current();
if (not IS_NODE_VISITED(v, Aleph::Depth_First)) // ¿p visitado?
__scc<GT, SA>(g, blocks, stack, v, curr_df);
}
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Iterator º
Ä Ö Ò ¸ Ö ×Ô ØÓ Ð Ú Ö× ÓÒ ÕÙ ×Ø ÓÖ ÑÓ× × ÖÖÓÐÐ Ó¸ ×ØÖ Ò ÕÙ
Ò ÐÙ Ö Ð ÙÐ Ö Ý Ö ØÓÖÒ Ö ÙÒ Ð ×Ø ×Ù Ö Ó׸ ØÖ ÑÓ× ÓÒ ÙÒ Ð ×Ø Ð ×Ø
ÒÓ Ó× Ð ×Ø ÓÒØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ º
×Ø Ú Ö× ÓÒ ×Ó Ö Ö strongly connected components() Ø Ñ Ò Ö ÕÙ Ö
×Ó Ö Ö Ö scc() Ô Ö ÕÙ Ö Ð Ð ×Ø Ð ×Ø ×
¿ ÊÙØ Ò × ×Ø Ø × Ì Ö Ò +≡
template <class GT, class SA> inline
void __scc(GT & g,
DynDlist<DynDlist<typename GT::Node*> > & list,
DynListStack<typename GT::Node*> & stack,
typename GT::Node * v,
long & df_count)
{

710. 684 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÁÒ Ó Ö ÓÖÖ Ó ×Ó Ö v ½
Ê ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ v ¾
Î Ö ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÐÐ Ò Ö Ð ×Ø
}
Í× × DynDlist ¿ Ò DynListStack ½½ º
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ × × Ò ÐÑ ÒØ ÒØ Ð ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ × ÖÖÓÐÐ ¸ × ÐÚÓ ÔÓÖ Ð ÙÐØ ÑÓ
ÐÓÕÙ ¸ Î Ö ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÐÐ Ò Ö Ð ×Ø ¸ Ð Ù Ð× × Ö
Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
Î Ö ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÐÐ Ò Ö Ð ×Ø ≡ ´ ¿ µ
if (low <GT> (v) == df <GT> (v)) // ¿primer nodo visitado del bloque?
{ // s´ ==> saque los nodos del bloque que est´n en pila
ı a
list.append(DynDlist<typename GT::Node*>());
DynDlist<typename GT::Node*> & l = list.get_last();
while (true) // sacar el bloque de la pila hasta sacar a v
{
typename GT::Node * p = pop_from_stack<GT>(stack);
l.append(p);
if (p == v)
break;
}
}
Í× × DynDlist ¿ º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ú Ö× ÓÒ strongly connected components() Ø Ò ×Ø ÒØ × Ò¹
Ø Ó ÔÖ Ø Óº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÓÑÓ ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ×Ù Ö Ó× Ñ Ô Ó× ÐÓ×
ÐÓÕ٠׸ × Ñ × ¬ ÒØ Ò Ø ÑÔÓ Ý ×Ô Óº Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ Ð Ñ ÖÓ Ó ×ÔÖÖ
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ò ÓÒ ÙÒØÓ× × ÙÒ ×Ù Ô ÖØ Ò Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ
ÖÖÓ ×Ø ÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒ ×Ó Ö Ð ÓÒ Ø Ú º Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ¸ ØÓ Ó Ð ØÖ Ó ÕÙ
Ý Ö Ð Þ ÑÓ× Ñ Ô Ö ÐÓ× ÐÓÕÙ × Ò ×Ù Ö Ó× ÔÙ Ö× ÓÒ Ð Ð ×Ø Ð ×Ø ×º Ð
ÔÙÒØÓ ÕÙ × ÕÙ ÓÒ Ø Ò ×ÓÐÓ Ø Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ý ×
Ø Ò ÔÓ× Ð ÔÖÓ × ÖÐÓ × Ò Ø Ö ÐÓ× Ñ × ÓÑÔÓÒ ÒØ ×º
7.7.4 Prueba de aciclicidad
Ò Ü º º ´Ô Ò ½ µ × Ò ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ø Ú is grapph acyclique()¸ ×Ø Ò Ú Ö¹
¬ Ö ÔÓÖ Ð Ü ×Ø Ò ÐÓ Ò ÙÒ Ö Óº ÓÑÓ ÕÙ ÐÐ ÖÙØ Ò × × Ò Ð Ô ÒØ Ó
ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÐÐ ÒÓ ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ö Ó׺ Ù Ò Ó × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ Ý × Ó
Ô ÒØ Ó¸ ÒÓ Ý Ñ Ò Ö × Ö × ÐÓ Ù ÔÓÖ ÙÒ ÐÓ Ó ÔÓÖ ÔÖÓ Ò × ÙÒ ÒÓ Ó
Ô ÖØ Ò ÒØ ÓØÖÓ ÐÓÕÙ º
ÇØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú ÕÙ × ÖÖÓÐÐ ÑÓ× Ò Ü º º ´Ô Ò ½ µ Ù test cycle()º ÈÓ ÑÓ×
Ú Ö ¬ Ö ÔÓÖ Ð Ð ÐÐ Ñ Ò Ó test cycle() ÔÓÖ ÒÓ Ó Ð Ö Ó ×Ø Ù Ö Ö
ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ó Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÐÓº ×Ø Ò ÓÕÙ ØÓÑ Ö O(V × E)º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò ÔÙ ÑÔÐ Ö× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ¬ ÒØ Ñ ÒØ × ÙÒ Ö Ó
Ø Ò Ó ÒÓ ÐÓ׺ Ë Ô ÖØ ÑÓ× Ð Ó ÕÙ ÙÒ ÐÓÕÙ ÓÖÞ Ñ ÒØ Ø Ò Ö ÐÓ׸
ÒØÓÒ × Ð Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ö ×ÔÓÒ Ö ÔÓÖ ×Ù
Ü ×Ø Ò º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ × Ð ÒØ ÐÓÕÙ × ÙÒ Ö Ó × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð
ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÐÓ¸ ÔÙ × ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ ÓÒØ Ò
ÙÒ ÐÓº

711. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 685
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð Ø Ø Ö × ÙÒ × Ù Ò ÔÓÔ× Ò Ð
ÐÓÕÙ Î Ö ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÑÔ Ð Ö ÐÓÕÙ ½ ÓÒØ Ò
Ñ × ÙÒ ÒÓ Óº Ë Ð Ð ÞÓ ÜØÖ Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ
Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ó× Ó Ñ × ÒÓ Ó׸ Р٠и ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ ÓÒØ Ò ÙÒ ÐÓº
Ë ÙÒ Ð × ÓÒ× Ö ÓÒ × ×¸ Ð ÖÙØ Ò Ö ÙÖ× Ú Ú Ò Ò
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× +≡ ¿
template <class GT, class SA> inline static
bool __ida(GT & g,
DynListStack<typename GT::Node*> & stack,
typename GT::Node * v,
long & df_count)
{
push_in_stack <GT> (stack, v);
NODE_BITS(v).set_bit(Aleph::Depth_First, true);
df <GT> (v) = low <GT> (v) = df_count++;
// recorrer en profundidad todos los nodos conectados a v
for (Node_Arc_Iterator <GT, SA> it(v); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * w = it.get_tgt_node();
if (not IS_NODE_VISITED(w, Aleph::Depth_First))
{
if (__ida <GT, SA> (g, stack, w, df_count))
return true;
low <GT> (v) = Aleph::min(low <GT> (v), low <GT> (w));
}
else if (is_node_in_stack <GT> (w))
// si est´ en pila ==> v fue visitado antes que p
a
low <GT> (v) = Aleph::min(low <GT> (v), df <GT> (w));
}
if (low< GT> (v) == df <GT> (v)) // ¿primer nodo visitado del bloque?
{ // s´ ==> verifique si tiene dos o m´s nodos
ı a
int i = 0;
for (; true; ++i) // sacar el bloque de la pila hasta sacar a v
{
typename GT::Node * p = pop_from_stack <GT> (stack);
if (p == v)
break;
}
return i > 1; // si sacamos dos o m´s nodos entonces hay ciclo
a
}
return false;
}
Í× × DynListStack ½½ Ò Node Arc Iterator º
ida() × ÙÒ ÖÙØ Ò ×Ø Ø º Ä Ù×Ó ÔÙ Ð Ó × ¬Ò ÓÑÓ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× +≡
template <class GT, class SA> inline
bool is_digraph_acyclique(GT & g)
{
long curr_df = 0; // contador de visitas
const long & n = g.get_num_nodes();

712. 686 Cap´
ıtulo 7. Grafos
DynListStack<typename GT::Node*> stack; // pila de nodos que define rama
for (Node_Iterator <GT, SA> it(g); curr_df < n; it.next())
{
typename GT::Node * v = it.get_current();
if (not IS_NODE_VISITED(v, Aleph::Depth_First)) // ¿p visitado?
if (__ida <GT, SA> (g, stack, v, curr_df)) // visita recursivamente a p
return true;
}
return false;
}
Í× × DynListStack ½½ Ò Node Iterator º
Ä Ù Ð Ø Ò Ð Ñ ×Ñ ×ØÖÙ ØÙÖ ÕÙ strongly connected components()º
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò Ð Ü ×Ø Ò ÐÓ× Ò ÙÒ Ö Ó Ò Ø ÑÔÓ O(V + E) Ý
ÓÒ ÙÒ Ñ Ü ÑÓ ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó O(V)º
7.7.5 C´lculo de ciclos en un digrafo
a
Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ò Ö Ð Ú Ö ÒØ Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÔÖ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ Ö Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓ Ì Ö Ò Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ø Ú Ý ¬ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÐÓ Ò ÙÒ Ö Óº
Ù Ò Ó × ÑÓ× Ð Ô Ð Ò Ð ÐÓÕÙ Î Ö ¬ Ö × (v) = ÐÓÛ(v) Ý Ú ÒØ٠й
Ñ ÒØ × ÑÔ Ð Ö ÐÓÕÙ ½ ¸ ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× ÙÒ Ö Ó ÙÜ Ð Ö ÕÙ Ñ Ô Ð ÓÑÔÓ¹
Ò ÒØ ÓÒ ÜÓº ËÓ Ö ×Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ¸ Ù× ÑÓ× ÙÒ ÐÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ù×ÕÙ Ò
ÔÖÓ ÙÒ º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ñ ÒØ Ð Ñ Ô Ó¸ ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× Ð Ñ ÒÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð
ÐÓ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× +≡
template <class GT, class SA> inline static
bool __cc(GT & g,
DynListStack<typename GT::Node*> & stack,
typename GT::Node * v,
long & df_count,
Path<GT> & path)
{
push_in_stack <GT> (stack, v);
NODE_BITS(v).set_bit(Aleph::Depth_First, true);
df <GT> (v) = low <GT> (v) = df_count++;
// recorrer en profundidad todos los nodos conectados a v
for (Node_Arc_Iterator <GT, SA> it(v); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * w = it.get_tgt_node();
if (not IS_NODE_VISITED(w, Aleph::Depth_First))
{
if (__cc <GT, SA> (g, stack, w, df_count, path))
return true;
low <GT> (v) = Aleph::min(low <GT> (v), low <GT> (w));
}
else if (is_node_in_stack <GT> (w))
// si est´ en pila ==> v fue visitado antes que p
a
low <GT> (v) = Aleph::min(low <GT> (v), df <GT> (w));
}
if (low <GT> (v) == df <GT> (v)) // ¿primer nodo visitado del bloque?

713. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 687
{ // saque nodos que est´n en pila e insertelos en un bloque auxiliar
a
GT block; // grafo auxiliar
DynMapAvlTree<typename GT::Node*, typename GT::Node*> table;
while (true) // saca el componente y lo inserta en block
{
typename GT::Node * p = pop_from_stack<GT>(stack);
typename GT::Node * q = block.insert_node(p->get_info());
table.insert(q, p);
table.insert(p, q);
if (p == v)
break;
}
if (block.get_num_nodes() == 1)
return false; // si block s´lo tiene un nodo no hay ciclo
o
// terminanos de construir el bloque con los arcos
for (typename GT::Node_Iterator j(block); j.has_current(); j.next())
{
typename GT::Node * bsrc = j.get_current(); // nodo actual del bloque
typename GT::Node * gsrc = table[bsrc];
// recorrer los arcos de gsrc
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> k(gsrc); k.has_current(); k.next())
{
typename GT::Node * gtgt = k.get_tgt_node();
typename GT::Node ** btgt_ptr = table.test(gtgt);
if (btgt_ptr == NULL) // ¿arco del bloque?
continue;
typename GT::Arc * ga = k.get_current_arc();
block.insert_arc(bsrc, *btgt_ptr, ga->get_info());
}
}
// buscar ciclo en block.
typename GT::Arc * a = block.get_first_arc();
Path<GT> aux_path(block);
Find_Path_Depth_First <GT> () (block, block.get_tgt_node(a),
block.get_src_node(a), aux_path);
path.clear_path();
for (typename Path<GT>::Iterator it(aux_path); it.has_current();
it.next())
path.append(table[it.get_current_node()]);
path.append(table[block.get_tgt_node(a)]);
return true;
}
return false;
}
Í× × DynListStack ½½ ¸ Node Arc Iterator ¸ Node Iterator ¸ Ò Path ¼¾ º
Find Path Depth First <GT> ()ÒÓ ×Ø × Ò Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ׺ ÈÓÖ ÐÐÓ¸ ÐÓ ÕÙ
ÑÓ× × × Ð ÓÒ Ö ÙÒ Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö s −→ t Ý Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ t sº ×Ø
ÑÓ Ó¸ Ð ÐÓ ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ t s −→ tº
Ä ÖÙØ Ò ÔÖ Ò Ô Ð × ÒÓÑ Ò compute cycle in digraph()¸ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ ¸ ÓÒ
Ð Ò Ó ÖÖ Ö Ð ÐÓ¸ × × Ñ Ð Ö strongly connected components()º

714. 688 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.7.6 Digrafos ac´
ıclicos (DAG)
Definici´n 7.6 (Digrafo ac´
o ıclico -DAG-) ÍÒ Ö Ó Ð ÓÓ ½ ¸ × ÙÒ Ö Ó
×Ò ÐÓ׺
Ð ÑÔÐ Ó Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö ÐÓ× Ö Ó× Ð Ó× × Ô Ö ÑÓ Ð Þ Ö ÔÐ Ò ¬ ÓÒ × Ù
ÓÖ Ö Ó׺ Ò ×Ø ×Ó¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ø Ö × Ó Ø Ú × ÕÙ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ò
ÙÒ Ó Ö Ý ÐÓ× Ö Ó× Ð × ÔÖ Ò × ÔÓ× Ð × Ð × Ø Ú ×º ÓÒ× Ö ÑÓ׸ Ð Ø Ö
Ò Ö Ð Ú ×Ø Ö× ¸ Ð Ù Ð ÓÒ× ×Ø Ò ÓÐÓ Ö× Ð × ÔÖ Ò × Ò ÙÒ ÓÖ Ò ×Ô ¬ Ó ÕÙ
ÔÙ Ö Ð ÓÒ Ö× × ÙÒ Ð × Ù ÒØ Ö Ó
Medias Interiores Camisa
Zapatos Pantalon Corbata
Correa Chaleco
Paltó
Ì Ò ÑÓ× ÒÙ Ú ÓÒ ×¸ Ö ×ÙÑ × Ò Ð Ö Ó Ó ÐÓ× ÒÓÑ Ö × Ð × ÔÖ Ò ×¸ ÕÙ ÒÓ
ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö ØÖ Ö Ó¸ × ÒÓ Ò Ð ÜÔÖ × Ó ÔÓÖ Ð × Ö Ð ÓÒ × Ð Ö Óº
È Ö Ú ×Ø ÖÒÓ× Ù Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÐÓ ÖÒÓ× Ð ÓÖÖ ÒØ × ÕÙ Ð
Ô ÒØ ÐÓÒº
Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ó × ÑÔÖ × ×Ø Ò Ù Ò¸ Ù Ò Ó Ñ ÒÓ׸ ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÒØ Ý ÙÒÓ
×ÙÑ ÖÓº Ò Ð Ú ×Ø Ö× Ø Ò ÑÓ× ÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ Ñ × Ý Ñ × ÓÑÓ Ù ÒØ ×¸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ ÐÓ× Þ Ô ØÓ× Ý Ð Ô ÐØÓ ÓÑÓ ×ÙÑ ÖÓ׺
7.7.7 Planificaci´n de tareas
o
Ì Ò ÖÖ Ó ÔÓÖ ÒÙ ×ØÖ ÙÐØÙÖ ÒÓ× ×Ø Ð Ú ×Ø Ö× ¸ ÕÙ ÕÙ Þ ÒÓ ÔÖ ÑÓ× Ò Ð
Ò × Ð ÓÖ Ò ÓÖÖ ØÓ¸ Ò Ð ÓÑÔÐ Ò Ö ÒØ ÕÙ ÔÙ Ø Ò Ö Ð Ò ÓÒØÖ Ö
Ó ÓÖ Ò ½ º ÓÒ ÓÖÑ ÙÑ ÒØ Ð ÒØ ØÚ ×¸ ÙÑ ÒØ Ð ¬ ÙÐØ º Ò
Ó Ö × Ö Ò ×¸ × Ò × Ö Ó¸ Ò ÑÙ × Ó × ÓÒ × Ö٠и Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÓÖ Ò × Ù Ò Ð
ÓÖÖ ØÓ Ò ÕÙ Ò ÙØ Ö× ØÓ × Ð × Ø Ö × Ó Ø Ú ×º Ì Ð ÓÖ Ò × ÒÓÑ Ò Ó
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó º
Ð Ú ×Ø Ö× ÔÙ ÓÖ Ò Ö× ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ ¸ × ÒÓ Ó× Ù ÒØ × ×Ø ÒÓ Ó× ×ÙÑ ¹
ÖÓ׸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö Ô ØÓÖ
Interiores Pantalon Medias Camisa Correa Corbata Chaleco Zapatos Paltó
½
Ð ÒÐ× Ö Ø Ý Ð ÕÙ Ö Ô º
½
ÓÒ× Ö ÙÒ Ò Ú ÙÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒÓÞ Ð ÙÐØÙÖ Ó ÒØ Ð Ý × Ð ÔÖÓÔÓÒ Ú ×Ø Ö× º ÓÒ× Ö ¸
Ø Ñ Ò¸ Ñ Ò Ö ÔÓÖ Ð × ÐÚ Ñ ÞÓÒ ÓÒ Ú ×Ø Ñ ÒØ × Ó ÒØ Ð ×º

715. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 689
× Ö¸ × Ð × Ø Ú × Ò Ð × Ó ÔÖ Ñ Ò ×¸ Ô × Ò Ó ÔÓÖ Ð × ÒØ ÖÑ × × ÙÒ
Ð × Ô Ò Ò ×¸ ×Ø Ð × ¬Ò Р׺
Ò Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ó Ö ¸ Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × ÕÙ × ÔÓ× Ð Ö Ð Þ Ö Ø Ú ¹
× Ò Ô Ö Ð ÐÓ¸ Ú × × ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º Ò Ð Ó ÙÖÖ Ò ÓÒ Ð Ú ×Ø Ö× ¸ ÔÓ Ö ÑÓ×
ÔÓÒ ÖÒÓ× ÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ñ ÒØÖ × ÓØÖ × Ó× Ô Ö×ÓÒ × Ñ × ÒÓ× ÓÐÓ Ò Ð Ñ × Ý Ð ×
Ñ ×º Ë ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ô Ö Ð ÓÐÓ ÓÒ ÙÒ ÔÖ Ò
Ú ×Ø Ö¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÐÙ Ö ÑÔÐ Ö ÒÙ Ú Ô ×Ó× Ô Ö Ú ×Ø ÖÒÓ× ×ÓÐÓ׸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÑÔÐ Ö
Ò Ó × ÒÓ× ÝÙ Ò Ó× Ô Ö×ÓÒ × Ñ ×º È Ö ÔÖ Ò ÖÐÓ¸ Ú ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¬ ÙÖ
Medias Interiores Camisa
Paso 1
Pantalon Corbata
Paso 2
Zapatos Correa Paso 3
Chaleco Paso 4
Paltó Paso 5
Ù Ò Ó × Ó Ö Ò Ô Ö Ð ÐÓ¸ Ý ÕÙ × Ò ÖÓÒ Þ Ö ÐÓ× Ó Ö ÒØ × Ô Ö ÕÙ ÒÓ ÑÔÖ Ò Ò
Ø Ö × × Ò ÕÙ ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ý Ò ÙÐÑ Ò Ó Ø Ú × Ô Ò ÒØ × Ö Ð Þ × ÔÓÖ
ÓØÖÓ× Ó Ö ÒØ ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ø Ö ÕÙ ÓÐÓÕÙ Ð × Ñ × ×Ô Ö Ö ÕÙ Ð Ô ÒØ ÐÓÒ
×Ø ÔÙ ×ØÓ ÒØ × ÔÓÒ Ö ÐÓ× Þ Ô ØÓ׺
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÔÙ Ó Ø Þ Ö× Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÓÑÓ Ð ÔÐ Ò ¬ ÓÒ n
Ø Ö ×¸ ÙÝ Ô Ò Ò × ×Ø ¬Ò ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó Ð Ó¸ Ò m Ó Ö ÒØ ×º
Ð × Ø Ö × × Ð × ÔÙ ×Ó Ö ÙÒ ÙÖ ÓÒ Ó Ó×Ø º Ò ×Ø ×Ó¸ × ØÖ Ø
Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ò Ñ ÔÐ Ò ¬ ÓÒ × Ö¸ Ò ÓÒØÖ Ö m > 1 × Ù Ò × Ø Ö ×¸ Ô Ö
ÖÐ m Ó Ö ÒØ ×¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ÙÖ ÓÒ Ó Ó×Ø ØÓØ Ð × Ñ Ò ÑÓº
ÄÓ Ö Ó× Ø Ö × ÔÙ Ò × ÑÔÐ ¬ Ö× × ÙÒ Ö ÙÒ×Ø Ò × Ð × ØÙ ÓÒ Ö Ð
ÑÓ Ð Þ ¸ Ð Ñ Ó Ù ÓÒ Ý Ð ¬Ò Ð ÔÐ Ò ¬ ÓÒº ÈÓ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸
×ÙÑ Ö ÕÙ ÓÐÓ Ö× Ð Ñ × Ý Ð ÓÖ Ø ×ÓÒ ÙÒ ×ÓÐ Ø Ö ÓÒ ÙÒ ÙÖ ÓÒ Ñ ÝÓÖº
×Ø ÓÒ × Ð ÒÓÑ Ò Ö Ù ÓÒ ÔÓÖÕÙ Ö Ù Ð ÒØ ÒÓ Ó× Ð Ö Ó¸
× ÑÔÐ ¬ Ð ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ Ð ÑÓ ÐÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð Ö Ù Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒº
Ò × × Ù Ò Ð ×¸ × Ö¸ Ñ ÒÓ× × ÑÔÐ × ÒÓ Ó× ÓÒ ÙÒ ×ÓÐÓ Ö Ó ÒØÖ Ý
ÓØÖÓ × Ð ¸ ÔÙ Ò ÓÑÔÖ Ñ Ö× ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÓ Ó ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ù ×ÙÑ Ø Ö ×º
Ä Ö Ù ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × ØÙÓ ×Ó Ö ÙÒ Ò × Ù Ò Ð¸ Ô ÖÓ ÔÙ Ô Ö Ø Ñ ÒØ
Ö Ð Þ Ö× ×Ó Ö ÙÒ ×Ù ¹ Ö Ó ÒØ ÖÓº ÓÑÓ ÑÔÐÓ ÙÐÑ Ò ÒØ ÓÒ× Ö ÑÓ× ×Ø ÒÙ Ú
ÓÖ Ò Þ ÓÒ Ð Ú ×Ø Ö×
Medias, interiores Camisa
Pantalon, Zapatos
Correa Corbata
Chaleco
Paltó

716. 690 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÄÓ× Ö Ó× ÔÐ Ò ¬ ÓÒ Ø Ò Ò Ú Ö× × ÔÐ ÓÒ ×¸ ÒØÖ Ð × Ù Ð × Ñ Ò¹
ÓÒ Ö
½º ÈÐ Ò ¬ ÓÒ Ò×ØÖÙ ÓÒ × Ò ÙÞ Ö ÔÓÖ ÙÒÓ Ó Ú Ö Ó× ÔÖÓ × ÓÖ × ÐÓ× Óѹ
Ô Ð ÓÖ × Ò Ö Ò Ò×ØÖÙ ÓÒ × Ò Ó Ó Ñ ÕÙ Ò º Ò×ØÖÙ ÓÒ Ø Ò ÙÒ
ÙÖ ÓÒ Ò ÐÓ× Ý ÙÒ ÔÖ Ò ×Ó Ö ÓØÖ × Ô Ö ÕÙ ÒÓ Ó ÙÖÖ ÖÙÔØÙÖ Ð Ò¹
ÙÞ Ñ ÒØÓ ´Ô Ô Ð Ò Ò µº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö Ó Ð Ó
× ÙÒ Ð Ò ÓÐ Ð ÔÖÓ × ÓÖ Ý ÓÔØ Ñ Þ Ð × Ù Ò Ò×ØÖÙ ÓÒº
¾º ÈÐ Ò ¬ ÓÒ Ó Ö × Ó ÔÖÓÝ ØÓ× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ÓÑÔÐ Ó
¬ Ó× × ÔÙ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ö Ó ØÚ × Ý¸ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÓ× Ó Ö ÒØ ×
´ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ×¸ Ñ ÕÙ Ò Ö ×¸ ÒØ Ô Ö×ÓÒ ×µ¸ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÔÐ Ò ¬ ÓÒ
Ó Ó×Ø Ó Ñ Ò Ñ ÙÖ ÓÒº
7.7.8 Ordenamiento topol´gico
o
Ü ×Ø ÙÒ Ð × Ó Ý × ÑÔÐ × ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓØÓÔÓÐÓ Ó ÙÒ
Ö Ó Ð Ó
Algoritmo 7.3 (Ordenamiento topol´gico) Ä
o ÒØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ Ö Ó
Gº
Ä × Ð × ÙÒ Ð ×Ø ÒÓ Ó× l¸ Ò ÐÑ ÒØ Ú ¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ
ØÓÔÓÐÓ Ó Ð Ö Ó Gº
Ê Ô Ø Ñ ÒØÖ × G Ø Ò ÒÓ Ó×
½º × Ó ÙÒ ÒÓ Ó ×ÙÑ ÖÓ v ´ÙÒÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ö Ó× × Ð µº
¾º Ð Ñ Ò ÐÓ G ÙÒØÓ ÓÒ ØÓ Ó× ×Ù× Ö Ó× ÒØÖ º
¿º ÁÒ× ÖØ v Ð Ð ×Ø lº
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ù ÒØÖ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ò Ö ÒÚ Ö× × ÐÓ× ×ÙÑ ÖÓ× ×Ø
ÐÓ× Ù ÒØ ×º Ø Ö ÓÒ Ð Ñ Ò ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ Ð Ö Ó¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ Ð
Ð Ñ Ò Ö ×Ù× Ö Ó× ÒØÖ ¸ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÒÙ ÚÓ ×ÙÑ ÖÓ ÒØÖÓ Ð Ö Óº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÔÖÓ Ö × ×Ø ÕÙ ×ÓÐÓ ÕÙ Ò ÙÒÓ Ó Ñ × Ù ÒØ ×º
ÍÒ Ñ Ò Ö Ö Ø Ý × ÑÔÐ ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º¿ × Ó Ø Ò Ò Ó Ð Ö Ó
ÒÚ Ö×Ó Ý ÒØÓÒ × ÙØ Ö Ð Ø Ö ÐÑ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓº Ð ÙÒ Ó Ò ÓÒÚ Ò ÒØ × ÕÙ ×
ÙÔÐ Ð ×Ô Ó¸ ÐÓ ÕÙ ÔÙ × Ö Ó×ØÓ×Ó Ô Ö Ö Ó× ÒÓÖÑ ×º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º¿ ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÓ× Ù ÒØ × × Ö¸
× Ð ÓÒ Ö ÒÓ Ó× Ù ÒØ ×¸ Ð Ñ Ò ÖÐÓ× ÙÒØÓ ×Ù× Ö Ó× × Ð Ý ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÒ ÐÓ× ÒÙ ÚÓ×
Ù ÒØ ×º ÙÒ Ò ×Ø ×Ó¸ × Ò × Ö Ó Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÓÔ × × × ÓÒ× ÖÚ Ö Ð Ö Ó
ÓÖ Ò Ðº
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º¿ × Ò ØÙ Ö ÙÒ ÓÔ Ð Ö Ó × Ñ × ÓÑÔÐ ¸
ÔÙ × ÑÓ× ØÖ Ø Ö ÓÒ Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ Ð Ì List Digraph<Node, Arc> ÒÓ ÒÓ×
Ö ×Ù ÐÚ Ö Ø Ñ ÒØ ´½µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ó ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ý ´¾µ ÔÖÓ × Ö
Ö Ô Ñ ÒØ ÐÓ× ÒÓ Ó׸ × ÐÓ× ×ÙÑ ÖÓ× ×Ø ÐÓ× Ù ÒØ ×º

717. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 691
Ordenamiento topol´gico por profundidad
o
Ë ÙÒ Ð × ÒØ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ó× Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ׺ Ë Ú ÑÓ× × ÐÓ×
×ÙÑ ÖÓ× ÐÓ× Ù ÒØ ×¸ ÒØÓÒ × ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ ÕÙ Ú × Ø ÒÓ Ó
Ò ×Ù¬ Ó¸ ÓÑ ÒÞ Ö ÔÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÙÑ ÖÓ ÕÙ × Ò ÓÒØÖ Óº Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö
curr¸ ×Ø ÔÙ Ö ÓÖÖ Ö× Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ¸ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý Ò ×Ù¬ Ó¸ Ð × Ù ÒØ
ÓÖÑ
½ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó ½ ≡ ½
template <class GT, class SA> static inline
void __topological_sort(GT & g, typename GT::Node * curr,
DynDlist<typename GT::Node*> & list)
{
if (IS_NODE_VISITED(curr, Depth_First))
return;
NODE_BITS(curr).set_bit(Depth_First, 1); // marcarlo como visitado
// visitar recursivamente en sufijo los nodos adyacentes a curr
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(curr);
it.has_current() and list.size() < g.get_num_nodes(); it.next())
__topological_sort<GT, SA> (g, it.get_tgt_node(), list);
list.insert(curr); // inserci´n en sufijo de un nodo que devino sumidero
o
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Arc Iterator º
Ë Ò ÑÔÓÖØ Ö Ù Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó × Ð Ù Ð × ÒÚÓÕÙ ×Ø ÖÙØ Ò ¸ ×Ø Ú ÒÞ Ö
Ö ÙÖ× Ú Ñ ÒØ ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ý Ú × Ø Ó Ó ×Ø ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ Ò ×Ø ÙÐØ ÑÓ
×Ó¸ ÒÓ × ÒØÖ Ò Ð for Ý Ð ÒÓ Ó × Ò× ÖØ Ò listº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò× ÖØ ÑÓ× Ò list Ð
ÔÖ Ò Ô Ó¸ Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÙÑ ÖÓ ÕÙ × Ó × ÖÚ × Ö Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó Ò Ð Ð ×Ø ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
Ð ÙÐØ ÑÓ Ó × ÖÚ Ó¸ Ó × ¸ ÙÒ Ù ÒØ ¸ × Ö Ð ÔÖ Ñ ÖÓº ÁÒ× ÖØ Ö Ò list ÓÑÓ Ò ÙÒ Ô Ð
ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÓÖ Ò ØÓÔÓÐÓ Óº
ÍÒ Ú Þ ÕÙ ÒÚÓ Ð ÙÐØ Ñ Ò×ØÖÙ ÓÒ list.insert(curr)¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÒÞ ¹
Ð × × curr Ý Ò × Ó Ò× ÖØ Ó× Ò listº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÖ Ò Ò× Ö ÓÒ
× ÓÖÖ ØÓ¸ ÔÙ × curr Ú ÒØ × Ò ×Ù ÓÖ Ò ØÓÔÓÐÓ Óº
× ÑÔÓÖØ ÒØ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ð for Ò ÐÙÝ Ð Ó ÕÙ
Ý ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ò × Ó Ú × Ø Ó׺ ×ØÓ × Ø Ø Ù Ò Ó Ð ÒØ ÒÓ Ó×
Ð Ð ×Ø × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ð Ö Ò Ð Ð Ö Óº
Ò ×Ó ÕÙ topological sort() × Ò × ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ ÒÓ × Ù ÒØ ¸
Ó ÕÙ Ü ×Ø Ò Ú Ö Ó× Ù ÒØ ×¸ Ö ×Ø Ö Ò ÒÓ Ó× × Ò Ú × Ø Ö¸ Ö Ó × Ò Ò× ÖØ Ö Ò Ð Ð ×Ø º
×ØÓ × Ö ×Ù ÐÚ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÖÖ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó ÒÚÓ Ò Ó
topological sort()
½ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó ½ +≡ ½ ¾
template <class GT, class SA> inline
void topological_sort(GT & g, DynDlist<typename GT::Node*> & list)
{
for (typename GT::Node_Iterator it(g);
it.has_current() and list.size() < g.get_num_nodes(); it.next())
{
typename GT::Node * curr = it.get_current_node();
if (not IS_NODE_VISITED(curr, Depth_First))
__topological_sort<GT, SA>(g, curr, list);
}

718. 692 Cap´
ıtulo 7. Grafos
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Iterator º
topological sort() ÔÙ Ø Ö Ö Ø ÒØ × Ú × ÓÑÓ Ö Ó× Ø Ò Ð Ö Ó ×ØÓ
ÕÙ Ð × ÑÔ ÒÓ Ø Ò O(E) ÐÓ Ù Ð¸ Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ× ×Ó׸ ÔÙ × Ö O(V 2)º È ÖÓ¸
ÔÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ Ô Ö ÙÒ Ö Ó Ð Ó¸ E ≈ 2V º
A I P
F M
B J Q
G N
C K R
O
H
D L S
→À→Ä→Ã→Ç→Ë→ → → → → →Â→Æ→Ê→Å→É→Á→È
´ µ topological sort()
→À→Ä→Ã→Ç→Ë→ → → → → →Â→Æ→Ê→Å→É→Á→È
´ µ q topological sort()
ÙÖ º ½ ÍÒ Ö Ó Ý ×Ù× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× ØÓÔÓÐÓ Ó×
Ordenamiento topol´gico por amplitud
o
ÇØÖÓ Ò ÓÕÙ Ô Ö ÓÖ Ò Ö ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ × ÕÙ Ô Ö ÓÒ ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ
ÐÓ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ð Ú ÒØ ÓÒØÖÓÐ Ö Ñ ÓÖ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó Ð Ð Ñ Ø ÖÐÓ ÙÒ ÓÐ
ÒÓ Ó× ¹ ÓÒ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÔÙ Ð ÒÞ Ö O(V)¸ ÐÓ ÕÙ ÔÙ Ö ¸
Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׸ ÖÖ Ö Ô Ð ÖÓ Ô Ö Ð Ô Ð Ð × ×Ø Ñ ¹
¾ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó ½ +≡ ½ ¿
template <class GT, class SA> inline
void q_topological_sort(GT & g, DynDlist<typename GT::Node*> & list)
{
// recorra todos los nodos para contabilizar su grado de entrada
for (typename GT::Node_Iterator i(g); i.has_current(); i.next())
for (Node_Arc_Iterator <GT, SA> j(i.get_current_node());
j.has_current(); j.next()) // incremente grado entrada nodo destino
NODE_COUNTER(j.get_tgt_node())++;
// revisar nodos con grado de entrada 0 y meterlos en cola
DynListQueue<typename GT::Node*> q; // cola de fuentes
for (typename GT::Node_Iterator it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * p = it.get_current_node();
if (NODE_COUNTER(p) == 0) // ¿es un nodo fuente?
q.put(p); // s´ ==> colocarlo en la cola
ı
}
while (not q.is_empty())
{
typename GT::Node * p = q.get(); // saque ultimo nodo fuente
´
list.append(p); // ins´rtelo en el orden topol´gico
e o

719. 7.7. T´picos sobre grafos dirigidos
o 693
// decrementar grado de entrada de cada nodo adyacente a p
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * tgt = it.get_tgt_node();
if (--NODE_COUNTER(tgt) == 0) // ¿tgt deviene nodo fuente?
q.put(tgt); // s´ ==> col´quelo en la cola
ı o
}
}
}
Í× × DynDlist ¿ ¸ DynListQueue ½ ¼ ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò Node Iterator º
Ð × ÑÔ ÒÓ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × 2 × O(V) ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× Ð ÞÓ× Ñ × O(E) ÔÓÖ
Ð whileº ÄÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ O(E) ÓÑÓ × ÑÔ ÒÓ Ò Ö Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÙÒ Ö Ò Ñ ÒØÓ
× Ñ Ð Ö Ð Ú Ö× ÓÒ × Ò Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ º
Rangos topol´gicos
o
Ð Ö Ò Ó ØÓÔÓÐÓ Ó ÙÒ ÒÓ Ó × ×Ù Ò Ú Ð Ò Ð Ö Ó Ö ×Ô ØÓ Ð × Ø Ö × ÕÙ ÐÓ
ÔÖ Ò Ý Ð × ÕÙ ÐÓ× ×Ù Òº ÍÒ Ö Ò Ó ØÓÔÓÐÓ Ó × × ¹× Ò ×Ô ¬ Ö ÕÙ × ØÖ Ø
ÙÒ ÒÓ Ó¹¸ × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ö × ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þ
ÕÙ Ò × Ó ÙÐÑ Ò × Ð × Ø Ú × Ð Ö Ò Ó ÔÖ ×ÓÖº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÐÓ× Ö Ò Ó×
ØÓÔÓÐÓ Ó× Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º ½ ×ÓÒ
½º R1 = {A, C, D}
¾º R2 = {B, G, H}
¿º R3 = {F, K, L}
º R4 = {I, J, O}
º R5 = {M, N, S}
º R6 = {P, Q, R}
ÄÓ ÕÙ × Ò ¬ ÕÙ × Ð × Ø Ö × ØÓÑ × Ò Ð Ñ ×Ñ ÙÖ ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ÕÙ
ÙØ Ö R1¸ ÐÙ Ó R2 Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ º
Ð Ð ÙÐÓ ÐÓ× Ö Ò Ó× ÔÙ Ö Ð Þ Ö× Ñ ÒØ Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Óº À ÕÙ ÙÒ Ú Ö ÒØ Ð × Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ÕÙ ÑÔÐ Ó×
ÓÐ ×
¿ ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó ½ +≡ ¾
template <class GT, class SA> inline
void q_topological_sort(GT & g,
DynDlist<DynDlist<typename GT::Node*>*> & ranks)
{
// recorra todos los nodos para contabilizar su grado de entrada
for (typename GT::Node_Iterator i(g); i.has_current(); i.next())
for (Node_Arc_Iterator <GT, SA> j(i.get_current_node());
j.has_current(); j.next()) // incremente grado entrada nodo destino
NODE_COUNTER(j.get_tgt_node())++;
// revisar nodos con grado de entrada 0 y meterlos en cola
DynListQueue<typename GT::Node*> q; // cola de fuentes
for (typename GT::Node_Iterator it(g); it.has_current(); it.next())

720. 694 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
typename GT::Node * p = it.get_current_node();
if (NODE_COUNTER(p) == 0) // ¿es un nodo fuente?
q.put(p); // s´ ==> colocarlo en la cola
ı
}
while (not q.is_empty())
{
DynDlist<typename GT::Node*> * rank = new DynDlist<typename GT::Node*>;
DynListQueue<typename GT::Node*> aq;
while (not q.is_empty()) // saca todos los nodos del nivel i
{
typename GT::Node * p = q.get(); // saque ultimo nodo fuente
´
rank->append(p); // ins´rtelo en el rango topol´gico
e o
// decrementar grado de entrada de cada nodo adyacente a p
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * tgt = it.get_tgt_node();
if (--NODE_COUNTER(tgt) == 0) // ¿tgt deviene nodo fuente?
aq.put(tgt); // s´ ==> col´quelo en cola auxiliar
ı o
}
}
ranks.append(rank);
q.swap(aq);
}
}
Í× × DynDlist ¿ ¸ DynListQueue ½ ¼ ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò Node Iterator º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ × Ñ Ð Ö q topological sort()º Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ranks ×
ÙÒ Ð ×Ø Ð ×Ø × ÒÓ Ó׺ Ð ×Ø × ÙÒ Ö Ò Ó Ý ÓÒØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ Òº
Ä Ð ×Ø ×Ø ÓÖ Ò ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ð Ö Ò Ó × Ö¸ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ×Ø ÓÒØ Ò Ð × Ø Ö ×
ÕÙ × ÙØ Ò ÔÖ Ñ ÖÓ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÐ ÙÒ ÓÐ ÙÜ Ð Ö aqº Ù Ò Ó × Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ó Ý × Ø Ö¹
Ñ Ò ÕÙ Ý ÕÙ Ò ÓÐ Ö¸ Ð ÒÓ Ó × Ñ Ø Ò qaº ÍÒ Ú Þ ÕÙ × Ò × Ó ØÓ Ó× ÐÓ×
ÒÓ Ó× Ö Ó ÖÓ¸ ÐÓ× Ù Ð × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÐÓ× Ð Ö Ò Ó Ø٠и ÐÓ× ÒÓ Ó× qa ×
ÓÔ Ò ´ Ò O(1) Ñ ÒØ swap()µ q Ý × Ö Ô Ø Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓº
Ò Ó × ÓÒ ×¸ Ð × Ø Ö × ÒÓ Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ ÙÖ ÓÒ¸ ÐÓ ÕÙ Ò ÖØ ÓÖÑ ÖÓÑÔ ÓÒ
Ð ÔÖ Ð ÓÒº Ò ×Ø × × ØÙ ÓÒ ×¸ Ð × Ø Ö × ÔÙ Ò Ú Ö× Ò ÙÖ ÓÒ × Ø ÖÑ Ò ×
Ý × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÝÓ× ÒÓ Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð Ñ ×Ñ ÙÖ ÓÒº ËÓ Ö
×Ø Ö Ó ÜØ Ò Ó × Ð ÙÐ Ð Ö Ò Óº
7.8 Arboles abarcadores m´
ınimos
Ó ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ G =< V, E > ÓÒ ×Ø Ò × ´Ó Ô ×Ó×µ¸ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ
× ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ G Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓØ Ð ×Ù× ×Ø Ò × × Ñ Ò Ñ º
ÄÓ× Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ø Ò Ò ÑÙÝ ÙØ Ð × ÔÐ ÓÒ ×º ËÙÔÓÒ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸
Ð ÔÐ Ò ¬ ÓÒ ÙÒ × ×Ø Ñ ÖÖÓÚ Ö Ó Ò ÓÒ Ð¸ Ó ÙÒ Ö ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ Ð ØÖ
Ô Ö Ð Ô ×º Ñ Ó× ÔÖÓÝ ØÓ× ÓÒÐÐ Ú Ò Ó×Ø × Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ØÖ Ó¸ ÙÖ ÓÒ Ý ¬¹
Ò Ò Ñ ÒØÓº Ò ×Ø × × ØÙ ÓÒ × × ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö ÙÒ Ö Ó ØÓ × Ð × ÐØ ÖÒ Ø Ú ×
Ø Ð × ÙÒ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ Ò ÓÒ Ó׺ Ð Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ö Ð × ÔÓ× Ð × Ú × Ò

721. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 695
G C L
H
Á
À Ã
I F B M
Ä
K D A
Å Â J
´µ ´ µ
ÙÖ º ¾ ÍÒ Ö Ó Ý ×Ù Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ
ÙÒ ÓÒ Ð Ó Ö ¸ Ó Ð ÙÖ ÓÒ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ó Ð Ó×Ø ¬Ò Ò Ñ ÒØÓº Ò
Ñ × × ØÙ ÓÒ ×¸ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö Ñ Ò Ñ ¸ × ÙÒ ÐÓ×
Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ÑÓ ÐÓ¸ ÕÙ Ö ÒØ Þ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ø Ú º
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö Ó G =< V, E > Ý ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ T =< V, E > | E ⊂ Eº
ÈÙÒØÙ Ð ÑÓ× Ð ÙÒ × Ó × ÖÚ ÓÒ × ×Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ö ÓÐ Ý Ñ Ò Ñ Ð T
½º Ë G ÓÒØ Ò ÐÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ |E | < |E|º
¾º Ë T × Ñ Ò ÑÓ¸ ÒØÓÒ ×
Ô ×Ó(e) × Ñ Ò Ñ ´ºµ
∀e∈E
Ë ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Ö Ô Ø Ó Ô ×Ó Ò G¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒ ÓØÖÓ
ÓÒ ÙÒØÓ E ÙÝ ×ÙÑ × Ñ ÒÓÖº
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÔÙ Ò Ü ×Ø Ö ÙÒÓ Ó Ñ × ÓÒ ÙÒØÓ× Ö Ó× E ÙÝ ×ÙÑ × Ù Ð
Ð E ¸ Ô ÖÓ ×ØÓ× Ø Ñ Ò ×ÓÒ Ñ Ò ÑÓ׺ Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸ ÙÒ Ö Ó G ÔÙ
Ø Ò Ö Ú Ö Ó× Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ñ Ò ÑÓ׺
ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ ×Ø Ò Ù Ö ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ
Ô ÖØ Ò Ò E ÐÓ× ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò Òº Ù Ò Ó ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö Ó G¸ ÓÑÓ
× ÑÓ× × ×Ø Ô ÖØ Ò Ó ÒÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ È Ö Ð ÓÖ ×Ø Ù ×Ø ÓÒ
Ö ÕÙ Ö Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒ
Definici´n 7.7 (Corte de un grafo) Ë ÙÒ Ö Ó Gº ÍÒ
o ÓÖØ ×Ó Ö G × ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ
G Ò Ó× ×Ù Ö Ó× × ÙÒØÓ× G1 Ý G2º
ÄÓ× Ö Ó× Ð Ñ Ò Ó× G¸ × Ö¸ ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó× G1 ÓÒ ÒÓ Ó×
G2¸ × ÒÓÑ Ò Ò Ö Ó× ÓÖØ º
Ä × ØÙ ÓÒ Ò Ù ×Ø ÓÒ × ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö ×

722. 696 Cap´
ıtulo 7. Grafos
G
.
G1 . G2
.
arcos de corte
Ë Ò ×Ø ¬ ÙÖ Ñ Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÒÓ× × Ö Ó Ú Ó ÕÙ ×ÓÐÓ ÙÒÓ
ÒØÖ ÐÓ× Ö Ó× ÖÙ Ô ÖØ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ¸ Ô٠׸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ö
ÙÒ ÐÓ Ý ÒÓ ÔÓ Ö ÑÓ× Ö ÕÙ × ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖº Ù Ð ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó×
ÖÙ Ô ÖØ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÒÓ× Ð Ó Ö Ð × Ù ÒØ
ÔÖÓÔÓ× ÓÒº
Proposici´n 7.1 (Propiedad del corte - Sedgewick-2001 [33]) Ë G =< V, E >
o
ÙÒ Ö Ó Ý T =< V, E > | E ⊂ E¸ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ Gº Ë < G1, G2 > ÙÒ
ÓÖØ Ù ÐÕÙ Ö Gº ÒØÓÒ × Ð Ö Ó ÖÙ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ÐÓ× ÔÓ× Ð × ÖÙ ÒØÖ
G1 Ý G2 Ô ÖØ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓº
Demostraci´n (por contradicci´n)
o o ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ÓÖØ Ù ÐÕÙ Ö < G1, G2 > Ý Ð
Ü ×Ø Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ T =< V, E > ÙÝÓ Ö Ó ÖÙ ÒÓ × Ð Ñ Ò ÑÓº
Ë Ò T1 Ý T2 ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × T × ÙÒ Ð ÓÖØ º È ØÓÖ ÑÓ× Ð ×ÙÒØÓ ×
T
.
T1 . T2
.
arcos de corte
Ë a Ð ÖÓ ÖÙ ÒØÖ T1 Ý T2¸ Р٠и ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ó¸ ÒÓ × Ð Ñ Ò ÑÓ
ÐÓ× ÖÙ ÒØÖ G1 Ý G2º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ T1 Ý T2 ×ÓÒ Ð Ó׸ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÔÖ Ñ Ö Ð
Ö Ó ÖÙ a Ý ×Ù ×Ø ØÙ ÖÐÓ ÔÓÖ Ð ÖÙ Ñ Ò ÑÓ amin Ý × Ö Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ
T =< V, E >=< V, E − {a} ∪ {aÑ Ò } >º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ô ×Ó(amin) < Ô ×Ó(a) =⇒
∀e∈E Ô ×Ó(e) < ∀e∈E Ô ×Ó(e)º ÄÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ð ÔÖ Ñ × Ò Ð ÕÙ T × Ð
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ Gº Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÔÙ × ÖØ
ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ØÖ Ø Ö ÑÓ× ÓÒ×ØÖÙÝ Ò ÔÖÓ Ö × Ú Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÓÐ T ÔÓÖ Ò ÙÖ
ÔÖÓ Ö × Ú Ö Ó׺ Ú Þ ÕÙ × Ò ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ö Ó Ð Ö ÓÐ T × Ú Ö ¬ × ×
Ù× ÙÒ ÐÓº Ë × ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ö Ó Ö Ò Ò Ó × Ð Ñ Ò Ð Ö ÓÐ ÐÓ
ÓÒØÖ Ö Ó¸ ×Ø Ô ÖØ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓº Ä Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
× Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ × × Ó Ò ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Ó Ô Ö ÖÐÓ× Ò ÓÖÔÓÖ Ò Ó T º ×Ø
ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ú ×ÐÙÑ Ö Ö Ð × Ù ÒØ Ô ØÖÓÒ Ò Ö Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ
Algoritmo 7.4 (Patr´n general de c´lculo de ´rbol abarcador m´
o a a ınimo)
ÒØÖ ÙÒ Ö Ó ÓÒ Ô ×Ó× ÓÒ ÜÓ G =< V, E >º
Ë Ð ÍÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ T =< V, E > Gº

723. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 697
½º Ë T =< V , E >=< ∅, ∅ >º
¾º Ê Ô Ø Ñ ÒØÖ × T ÒÓ ÖÕÙ G
´µ (*)Ë Ð ÓÒ ÓÒ Ö Ø Ö Ó ÙÒ Ö Ó e ∈ E Ý Ö Ð E = E − {e} ´ ×Ø × Ð Ô ×Ó
ÕÙ Ú Ö × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓµº
´ µ E = E ∪ eº
´ µ Ë T × Ð Ó =⇒
º (**) × Ó Ö Ð Ö Ó ÕÙ × Ô ÖØ Ð ÐÓ ÕÙ Ø Ò Ñ ÝÓÖ Ô ×Óº
º E = E − {e}
×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ñ ×Ñ Ô Ö ÐÓ× Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ׸ Ñ ÒØ Ó× ÃÖÙ× Ð
Ý ÈÖ Ñ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä Ö Ò ÒØÖ ÐÐÓ× Ö × ÔÖ ÑÓÖ ÐÑ ÒØ Ò Ð Ô ×Ó
¾ × Ö¸ Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ × × Ó Ò ÐÓ× Ö Ó× Ô Ö Ò× ÖØ ÖÐÓ× Ò T º ÍÒ ÖÒ
× ÙÒ Ö × ÓÑÓ × Ø Ø × T Ý Ö Gº
Ù Ò Ó Ð Ò ÐÙ× ÓÒ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ö Ó Ò Ð Ö ÓÐ T Ù× ÙÒ ÐÓ Ð Ñ Ò Ö× Ð
Ö Ó Ô ÖØ Ð ÐÓ ÕÙ Ø Ò Ñ ÝÓÖ Ô ×Óº Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × Ù ÒØ ÒÓ× Ú Ò ÕÙ Ð
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ñ Ò ÑÓº
Proposici´n 7.2 (Propiedad del ciclo - Sedgewick-2001 [33])
o Ë G ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ
Ù ÐÕÙ Ö Ý T ×Ù Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓº Ë G ÙÒ Ö Ó ÓÒ×ØÖÙ Ó ÔÓÖ Ò ÙÖ
ÙÒ Ö Ó e Gº ÒØÓÒ ×¸ Ò Ö e T Ý Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Ó Ñ ÝÓÖ Ô ×Ó Ò Ð ÐÓ Ö ×ÙÐØ
Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ T ÕÙ × Ñ Ò ÑÓº
Demostraci´n Ë e × Ð Ö Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ Ô ×Ó Ð
o ÐÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÒÓ ÔÙ × Ö Ô ÖØ
T ÔÓÖÕÙ × ÒÓ T ÒÓ × Ö Ñ Ò ÑÓ ´ Ü ×Ø Ö ÓØÖÓ Ö Ó Ñ ÒÓÖ Ô ×Óµº
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × emax Ð Ö Ó Ô ÖØ Ð ÐÓ ÓÒ Ñ ÝÓÖ Ô ×Óº Ð Ñ Ò Ö emax T
ÐÓ ÓÖØ Ò Ó× Ö ÓÐ × × ÙÒØÓ× ÐÓ× Ù Ð ×¸ × ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½ ×Ø Ò ÓÒ Ø Ó× Ò
T ÔÓÖ Ð Ñ Ò ÑÓ Ö Ó ÖÙ º T ׸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ñ Ò ÑÓ
7.8.1 Acceso a los pesos del grafo
Ë ÔÖ Ø Ò ÑÓ× Ð ÓÖ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ò Ö Ð × Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ñ Ò ÑÓ׸
× Ö¸ ÕÙ ÓÔ Ö Ò Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ð × Ô ×Ó׸ ÒØÓÒ × ÑÓ× × Ô Ö Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ØÓ Ó ÐÓ ÕÙ Ø Ò ÐÓ× Ô ×Ó׺ Ò Ø Ð × ÒØ Ó¸ Ù× Ö ÑÓ× Ó× Ð × × ÕÙ × Ö Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ×
Ø ÔÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ
½º Distance<GT> Ð × ×Ó Ð Ô ×Ó ÙÒ Ö Ó¸ Ð Ù Ð ÜÔÓÖØ Ö ÐÓ× × Ù ÒØ ×
ØÖ ÙØÓ×
´ µ Distance<GT>::Distance Type Ð Ø ÔÓ ØÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ô ×Ó Ò ÙÒ
Ö Óº
´ µ typename Distance<GT>::Distance Type operator () (typename GT::Arc *a) Ö ¹
ØÓÖÒ Ð Ú ÐÓÖ Ô ×Ó ÓÒØ Ò Ó Ò Ð Ö Ó aº
´ µ typename Distance<GT>::Max Distance ÓÒ×Ø ÒØ ×Ø Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ ×Ø Ò ÕÙ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× Ö Ö ÓÑÓ Ú ÐÓÖ Ò¬Ò ØÓº

724. 698 Cap´
ıtulo 7. Grafos
´µ ÓÒ×Ø ÒØ ×Ø Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ
typename Distance<GT>::Zero Distance
Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ð ×ÙÑ º ÌÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ò Ð ÒÑ Ò× Ñ ÝÓÖ
×Ó׸ ×Ø × Ö Ð ÖÓº
¾º Compare<GT> Ð × ÕÙ Ö Ð Þ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ó× Ô ×Ó× Ý ÕÙ ÜÔÓÖØ Ö
bool operator () (const typename Distance<GT>::Distance_Type & op1,
const typename Distance<GT>::Distance_Type & op2) const;
Ô Ö ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ö Ð ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÕÙ º
¿º Plus Ð × ×ÙÑ ÒØÖ ×Ø Ò × ÑÔÐ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö ÓÖ
typename Distance<GT>::Distance_Type
Plus::operator () (const typename Distance<GT>::Distance_Type & op1,
const typename Distance<GT>::Distance_Type & op2) const;
Ä × Ð × × Distance Ý Compare × ÓÒ Ù Ò Ó ÙÒ Ð × ×Ô Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ
Ö Ó× ÙÝ ¬Ò ÓÒ × ÓÑÓ × Ù
ÓÑÔ Ö ÓÖ Ö Ó× ≡
template <class GT, class Distance, class Compare>
struct Distance_Compare
{
bool operator () (typename GT::Arc * a1, typename GT::Arc * a2) const
{
return Compare () ( Distance () (a1) , Distance () (a2) );
}
};
¬Ò ×
Distance Compare¸ Ù× Ò ÙÒ × ¸ ¼¿¸ Ò ¼º
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑ ÓÒ Ù Ö ×Ø × Ð × × × ÑÔÐ ÒØ Ò Ó Ð Ð ÙÐÓ Ð Ó×Ø ÙÒ
Ö Ó × Ö¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ô ×Ó× ØÓ Ó× ×Ù× Ö Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ Ù ÖØ
Ð × ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð ×ÙÑ Ô ×Ó×
ÓÑÔ Ö ÓÖ Ö Ó× +≡
template <class GT, class Distance, class Compare, class Plus, class SA>
typename Distance::Distance_Type total_cost(GT & g)
{
typename Distance::Distance_Type sum = Distance::Zero_Distance;
// recorrer todos los arcos y sumar su peso
for (Arc_Iterator <GT, SA> it(g); it.has_current(); it.next())
sum = Plus () (sum, Distance () (it.get_current_arc()));
return sum;
}
template <class GT, class Distance>
typename Distance::Distance_Type total_cost(GT & g)
{
typedef Aleph::less<typename Distance::Distance_Type> Less;
typedef Aleph::plus<typename Distance::Distance_Type> Plus;
return total_cost <GT, Distance, Less, Plus, Default_Show_Arc<GT> > (g);
}
Í× × Arc Iterator º

725. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 699
7.8.2 Algoritmo de Kruskal
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð × Ð ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ò× ÖØ Ö Ò T × ÙÒ ×Ù Ô ×Ó¸ × Ð Ñ ÒÓÖ
Ð Ñ ÝÓÖº È Ö ÐÐÓ¸ ÐÓ× Ö Ó× × ÓÖ Ò Ò ÔÖ Ú Ñ ÒØ ¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ¸ Ø Ö Ò Ó ×Ó Ö
ÐÐÓ× ´Ú Ö Ü º¿º½¼º½ ´Ô Ò ¼µµ¸ ×ØÓ× Ô Ö Þ Ò ÓÖ Ò Ñ ÒØ º ×Ø ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ
ÔÖ Ú Ó ÐÓ Ö Ð Þ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ÓÖ Ò Ö Ö Ó× ≡ ´ ¼½µ
g.template sort_arcs<Distance_Compare<GT, Distance, Compare> >();
Í× × Distance Compare º
× Ö¸ × ÒÚÓ Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ó× ÔÐ ÒØ Ó Ò Ü º¿º½¼º½¼ ´Ô Ò ¼½µº
ÈÖÓ × Ö ÐÓ× Ö Ó× ÓÖ Ò Ñ ÒØ × Ð ×ØÖ Ø ÕÙ Ò Ð ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÃÖÙ× Ð ÙÑÔÐ Ð ÖÓÐ Ð Ô ×Ó ¾ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó º º
Ð ÔÖÓ ×Ó Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ¸ ÐÙ Ó Ø Ò Ö ÐÓ× Ö Ó× ÓÖ Ò Ó×
× Ð Ò ¸ Ö Ò × Ö × Ó׸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÃÖÙ× Ð ≡ ´ ¼½µ
// Recorrer arcos ordenados de g hasta que numero de arcos de tree sea
// igual a numero de nodos de g
for (Arc_Iterator<GT, SA> arc_itor(g);
tree.get_num_arcs() < g.get_num_nodes() - 1; arc_itor.next())
{ // obtenga siguiente menor arco
typename GT::Arc * arc = arc_itor.get_current_arc();
Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼
Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼
typename GT::Arc * arc_in_tree =
tree.insert_arc(tree_src_node, tree_tgt_node, arc->get_info());
if (Has_Cycle <GT, SA> () (tree)) // verifique si nuevo arco causa un ciclo
{ // hay ciclo ==> hay que remover el arco
tree.remove_arc(arc_in_tree); // eliminar arco e ir a procesar
continue; // siguiente arco
}
GT::map_arcs(arc, arc_in_tree);
}
Í× × Arc Iterator º
Ð ÐÓ Ñ Ö ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Ó × Ð Ñ ÒÓÖ ×Ø Ð Ñ ÝÓÖº Ö Ó ÕÙ × Ñ Ö Ó ×
Ò× ÖØ Ò tree ݸ × ×Ø ÒÓ Ù× ÙÒ ÐÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ø × Ô ÖØ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖº Ð
ÔÖÓ ×Ó ÓÒØ ÒÙ ×Ø ÕÙ Ð ÒØ Ö Ó× Ð Ö ÓÐ × Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÒØ
ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ñ ÒÓ× ÙÒÓ¸ ÐÓ Ù Ð × Ð Ò ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ý Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó × Ò Ô Ö Ö ×Ù ÓÒ ÓÒ Ö ÓÐ ¹ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö Ó ÕÙ × Ò× ÖØ
Ò tree Ù× Ö ÙÒ ÐÓ¹º
ÍÒ Ö Ò ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð¸ ÔÖ Ò× Ð Ñ ÒØ Ò×Ô ÓÒ ×Ù×
ÐÓÕÙ × ÔÖ Ò Ô Ð ×¸ × ÕÙ ÔÙ ÑÓ ¬ Ö× ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ð Ô Ö ÕÙ ÓÔ Ö
ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ñ ÒØ º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ ÓÑÓ ×Ù ÒØ Ñ ÒØ ÜÔÐ ÑÓ× ÓÒ Ð ÕÙ ×ÓÖØ
Ò Ü ¿º¾º¾º ´Ô Ò ½ µ¸ ÔÓ ÑÓ× Ð Ö ÖÐÓ ×Ù ×Ø Ò ÐÑ ÒØ × ÐÓ ÑÓ ¬ ÑÓ× Ô Ö
Ù× Ö Ú Ö Ó× ÔÖÓ × ÓÖ × Ñ Ø Ö Ð ×º Å × Ð¸ Ô ÖÓ ÓÑÔÖÓ Ñ ÒØ ÔÓ× Ð ¸ × ÑÓ ¹
¬ Ö Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÃÖÙ× Ð Ô Ö ÕÙ Ñ Ò
ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÒØ ÖÒÓ× Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼ Ý Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó
×Ø ÒÓ Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼ Ò ÔÖÓ × ÓÖ × Ö ÒØ ×º
ÈÓÖ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö Þ¸ Ô Ö Ò× ÖØ Ö ÙÒ Ö Ó Ò tree × Ò × Ö Ó ÕÙ ×Ù× ÒÓ Ó×

726. 700 Cap´
ıtulo 7. Grafos
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´ µ
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´ µ
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´µ
ÙÖ º ¿ ÈÖÓ Ö ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð ´ ¬ ÙÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÖ × Ø Ö ÓÒ ×µ
Ý Ý Ò × Ó ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ò× ÖØ Ó׺ ×Ø × Ð ÖÓÐ × Ó ÐÓ× ÐÓÕÙ × Î Ö ¬ Ö ×
ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼ Ý Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼ ¸ Ð
Ù Ð ÓÑ ÒØ Ö ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ ÖÓ
¼¼ Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼ ≡ ´ µ
typename GT::Node * g_src_node = g.get_src_node(arc); // nodo origen en g
typename GT::Node * tree_src_node; // nodo origen en tree
if (not IS_NODE_VISITED(g_src_node, Aleph::Kruskal)) // ¿est´ en tree?
a
{ // No, crearlo en tree, atarlo al cookie y marcar como visitado
NODE_BITS(g_src_node).set_bit(Aleph::Kruskal, true);
tree_src_node = tree.insert_node(g_src_node->get_info());
GT::map_nodes(g_src_node, tree_src_node);
}
else
tree_src_node = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(g_src_node));
ÓÑÓ × Ú ¸ Ð ÐÓÕÙ Ø Ò Ó× ­Ù Ó× Ó Ð ÒÓ Ó Ý ×Ø Ò× ÖØ Ó Ý Ñ Ô Ó Ò tree
´­Ù Ó Ð elseµ¸ Ó Ý ÕÙ Ö ÖÐÓ¸ Ñ Ö ÖÐÓ Ý Ñ Ô ÖÐÓº Ð ÓØÖÓ ÐÓÕÙ × × Ñ Ð Ö Ô ÖÓ
ÓÒ Ð ÓØÖÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ö Ó
¼¼ Î Ö ¬ Ö × ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ü ×Ø Ò ØÖ ¼¼ ≡ ´ µ
typename GT::Node * g_tgt_node = g.get_tgt_node(arc);
typename GT::Node * tree_tgt_node; // Nodo destino en arbol abarcador
´
if (not IS_NODE_VISITED(g_tgt_node, Aleph::Kruskal))
{ // No, crearlo en tree, atarlo al cookie y marcar como visitado
NODE_BITS(g_tgt_node).set_bit(Aleph::Kruskal, true);

727. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 701
tree_tgt_node = tree.insert_node(g_tgt_node->get_info());
GT::map_nodes(g_tgt_node, tree_tgt_node);
}
else
tree_tgt_node = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(g_tgt_node));
ÓÒ ØÓ × Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÔÓ ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð ÖÙØ Ò ÒØ Ö Þ
¼½ Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð ¼½ ≡
template <class GT, class Distance, class Compare, class SA> inline
void kruskal_min_spanning_tree(GT & g, GT & tree)
{
g.reset_bit_nodes(Aleph::Kruskal); // limpiar bits de marcado
clear_graph(tree); // limpia grafo destino
ÓÖ Ò Ö Ö Ó×
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÃÖÙ× Ð
}
Ð ¬Ò Ð Ð ÐÐ Ñ ¸ tree ÓÒØ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÙÝÓ× cookies¸ Ø ÒØÓ
ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ö Ó׸ ×Ø Ò Ñ Ô Ó× Ð Ö Ó g Ý Ú Ú Ö× º Ä × ×Ø Ò × ÐÓ× Ö Ó×
×ÓÒ Ø ÔÓ Distance::Distance Type Ý × ÔÓÖ ×Ø Ð × º Ä × ÓÑÔ Ö ÓÒ ×
ÒØÖ ×Ø Ò Ð × Ö Ð Þ Ð Ð × Compareº
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ö × Ò Ð Ö ÚÓ Kruskal.Hº
7.8.2.1 An´lisis del algoritmo de Kruskal
a
Ð Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ ×Ø Ö Ó ÔÓÖ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÓÖ Ò Ö Ö Ó× Ñ×
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÃÖÙ× Ð º
Ë ÑÓ׸ ÔÓÖ Ò Ð × × ÔÖ Ú Ó׸ ÕÙ Ð Ñ ÓÖ Ñ Ò Ö ÓÖ Ò Ö ÙÒ Ð ×Ø × O(n Ð (n))¸
ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÐÓÕÙ ÓÖ Ò Ö Ö Ó× Ü O(E Ð E)¸ ×Ô Ö Ó Ó Ø ÖÑ Ò ×Ø × ÙÒ
Ð Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓº
È Ö Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÃÖÙ× Ð ×ÙÑ ÑÓ׸
ÓÑÓ Ô ÓÖ ×Ó¸ ÕÙ Ð ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ Ö Ó× × Ø Ð ÕÙ ×ØÓ× Ò Ö Ú × Ö× Óѹ
ÔÐ Ø Ñ ÒØ º Ð while Ö ÕÙ Ö Ö ¸ Ô٠׸ O(E) Ø Ö ÓÒ ×º ÒØÖÓ Ð while × Ù¹
Ø Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØ Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × Ð Ò× Ö ÓÒ Ð Ö Ó Ò tree Ý Ð ÔÖÙ ¹
Ð has cycle()º Ä Ò× Ö ÓÒ ÙÒ Ö Ó × O(1)¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÒÚÓ ÓÒ
has cycle() ´Ú Ö Ü º º ´Ô Ò ½ µµ × O(V)¸ Ô٠׸ ÔÓÖ ×Ù ÓÒ ÓÒ Ö ÓÐ Ó
Ö Ó¸ Ô Ö ÐÑ ÒØ Ò ÓÒ ÜÓ¸ Ò tree E ≤ V º Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ
Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÃÖÙ× Ð ÓÒÐÐ Ú ¸ ÒØÓÒ ×¸ O(E) × O(V) = O(E V) Ò Ð Ô ÓÖ ÐÓ×
×Ó׺
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð ÓÒ×ÙÑ ¸ Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ O(E Ð E) + O(E V) =
O(max(E Ð E, E V)¸ ÐÓ Ù Ð ÐÓ ØÖ Ø ÚÓ Ô Ö Ö Ó× ×Ô Ö Ó׺
7.8.2.2 Correctitud del algoritmo de Kruskal
È Ö Ú Ò Ö Ð ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ × Ö¸ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ØÓ Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ö¹
ÓÖ Ñ Ò ÑÓ¸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
Proposici´n 7.3
o Ë G ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ Ù ÐÕÙ Ö º ÒØÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð
Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓº

728. 702 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Demostraci´n (por inducci´n sobre V)
o o
½º V≤2 Ð ÔÖÙ × ÒÑ Ø º
¾º V > 2 ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó n Ý Ú Ö ¬ Ö ÑÓ× ×Ù Ú Ð Þ
Ô Ö n + 1º
ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ö ÓÖ × Ò Ö ÓÐ × Ö¹
ÓÖ × Ñ Ò ÑÓ׺ Ù Ò Ó × ØÓÑ ÙÒ Ö Ó a n + 1 ÔÙ Ò Ó ÙÖÖ Ö Ó× × ØÙ ÓÒ ×
´ µ ÉÙ × Ö ÙÒ ÐÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× Ù ÖÓÒ Ú ×ØÓ× ÓÖ Ò ¹
Ñ ÒØ ¸ a × Ð Ö Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ Ô ×Ó ÒØÖÓ Ð ÐÓ Ù× Óº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð
Ð Ñ Ò ÖÐÓ Ð Ö Óи × ÙÒ Ð ÔÖÓÔ Ð ÐÓ ´ÔÖÓÔº Ü º¾µ¸ Ð Ö ÓÖ × Ò
× ÔÖ × ÖÚ Ý ×Ø × Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ñ Ò ÑÓ׺
´ µ ÆÓ × Ö ÙÒ ÐÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó Ð ÓÒ a ÙÒ Ó× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò¹
ÓÒ ÜÓ׺ ÓÖ Ò¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ a × Ú ×ØÓ ÓÖ Ò Ñ ÒØ ¸ a × Ð Ñ Ò ÑÓ Ö Ó
ÖÙ ÒØÖ ×ØÓ× Ó× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ý¸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ÓÖØ ´ÔÖÓÔº Ü º½µ¸
Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó Ö Ó
7.8.3 Algoritmo de Prim
Ð × ÙÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ × × Ò ÙÒ ÑÓ ¬ ÓÒ Ð
Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ Ò Ð Ù Ð¸ Ò ÐÙ Ö ÑÔÐ Ö ÙÒ ÓÐ Á Ǹ × Ù× ÙÒ ÓÐ
ÔÖ ÓÖ ÕÙ ÔÓÒ Ö ÐÓ× Ô ×Ó× ÐÓ× Ö Ó׺
7.8.3.1 Interfaz del algoritmo de Prim
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ × ÒÚÓ Ñ ÒØ Ð × × Ù ÒØ ÒØ Ö Þ
¼¾ Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ ¼¾ ≡
template <class GT, class Distance, class Compare, class SA> inline
void prim_min_spanning_tree(GT & g, GT & tree)
{
ÁÒ ÐÞ Ö ÈÖ Ñ ¼
ÐÖ ÓÒ ÓÐ ÔÖ ÓÖ ¼
ÁÒ Ð Þ Ö Ô ¼
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÈÖ Ñ ¼
}
ÙÒ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ ×Ø ÒØ Ö Þ × Ü Ø Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ðº
7.8.3.2 Heap exclusivo de arcos m´
ınimos
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ × Ñ Ð Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ º Ä ÖÒ
×ØÖ Ò ÕÙ Ð ÐÙ Ö ÑÔÐ Ö ÙÒ ÓÐ Á Ç × ÑÔÐ ÙÒ ÔÖ ÓÖ ¸ Ð Ù Ð ×Ù
Ú Þ ×Ù Ý ×Ó Ö ÙÒ Ôº
Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ´Ü º º ´Ô Ò ½ µµ¸ Ð Ó×Ø Ò ×Ô Ó Ó Ð ÓÐ
ÔÙ Ð ÒÞ Ö O(E)º Ò Ð ÔÖ Ø ¸ ×Ø × Ð Ñ ×ÑÓ ÓÒ×ÙÑÓ ÕÙ ÖÖ ÙÒ Ôº Ë
Ð Ö Ó × Ò×Ó¸ Ð Ó×Ø Ø Ò O(V 2)º

729. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 703
Ü ×Ø ÙÒ Ø Ò ¸ ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ Ë Û ¿¿ ¸ ÕÙ Ö Ù ×Ù ×Ø Ò ÐÑ ÒØ Ð
Ø Ñ ÒÓ Ð Ô ÒÓ Ñ × V ÒØÖ × ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ó×Ø Ò Ø ÑÔÓ × Ö Ù
O(Ð V) Ý Ð ×Ô Ó O(V)º Ä Ò Ö ÒØ ×Ø Ø Ò ×Ù Ý Ò Ð × Ù ÒØ
¬Ò ÓÒº
Definici´n 7.8 (Heap exclusivo de arcos m´
o ınimos) ÍÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ Ö Ó×
Ñ Ò ÑÓ× × ÙÒ Ô ÕÙ Ù Ö Ö Ó× ÙÒ Ö Ó ÓÖ Ò Ó× ÔÓÖ ×Ù Ô ×Ó Ñ Ò Ö
Ø Ð ÕÙ ¸ Ò Ò Ò ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ¸ ÔÙ Ò Ü ×Ø Ö Ó× Ö Ó× ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº
È Ö ÙÒ Ö Ó G =< V, E >¸ × ÑÔÓ× Ð ÕÙ Ð Ô ÓÒØ Ò Ñ × V − 1 Ö Ó׸
ÔÙ × × ÒÓ Ö Ò Ó× Ö Ó× ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº
ÈÓÖ ×Ù Ö Ø Ö Ô¸ × Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð ÜØÖ ÓÒ ÙÒ Ö Ó × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö
ÓÒ Ð Ô ×Ó Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò ÐÙ Ó× Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓº
ÍÒ Ô Ø Ð ÓÑÓ Ð ÕÙ ÑÓ× ¬Ò Ö × ÑÔÐ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ð
Ì BinHeap<Key> ×ØÙ Ó Ò Ü º ´Ô Ò ¿¼½µº ×Ø Ð × Ô¸
ÕÙ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ArcHeap<GT, Distance, Compare, Access Arc>¸ × ¬Ò Ò Ð
Ö ÚÓ Ö ÔºÀ ¼¿
¼¿ Ö ÔºÀ ¼¿ ≡
template <class GT, class Distance, class Compare, class Access_Heap_Node>
struct ArcHeap :
public BinHeap<typename GT::Arc*, Distance_Compare<GT, Distance, Compare> >
{
ØÖ ÙØÓ× ÔÙ Ð Ó× Ö À Ô ¼¿
};
¬Ò ×
ArcHeap¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ ¸ ¼ ¸ ½¾ ¸ Ò ½ º
Í× × Distance Compare º
Ð Ö ÚÓ ¬Ò Ð Ð × ArcHeap<GT, Distance, Compare, Access Arc>¸ Р٠Рѹ
ÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ Ö Ó× Ñ Ò ÑÓ׸ Ô ÖØ Ò ÒØ × ÙÒ Ö Ó Ø ÔÓ GT¸ ÓÒ
×Ó ÐÓ× Ô ×Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ñ ÒØ Ð Ð × Distance Ý ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð × ×Ø Ò¹
× ØÖ Ú × Ð Ð × Compareº Ð × ÒØ Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ Access Arc × Ö ÜÔÐ Ó
ÔÖÓÒØ Ñ ÒØ º
ÓÑÓ × ÔÙ Ó × ÖÚ Ö Ð Ð Ö ÓÒ¸ ×Ø Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ
BinHeap<Key>¸ ÔÙ × Ð ÓÖ Ò × Ð × ÙÒÓ ÐÓ× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × Ù Ò Ó ×
ÜØÖ Ð ÙÒ Ö Óº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð BinHeap<Key> Ñ Ò Ö ÒÓ Ó× Ð × Ù ÒØ Ø ÔÓ
¼¿ ØÖ ÙØÓ× ÔÙ Ð Ó× Ö À Ô ¼¿ ≡ ´ ¼¿ µ ¼
typedef typename
BinHeap<typename GT::Arc*, Distance_Compare<GT, Distance, Compare> >::Node Node;
Í× × Distance Compare º
Ò ×Ø Ô Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ò× Ö ÓÒ ÙÒ Ö Ó × Ö ×ÙÑ Ó Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
Algoritmo 7.5 ´ÁÒ× Ö ÓÒ Ò Ö Ò ÙÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓµ
Ä ÒØÖ × ÙÒ Ö Ó a ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ó× ÒÓ Ó× s Ý t¸ ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
s × ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ Ý Ô ÖØ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ý × Ó¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ú × Ø Óº t ÒÓ
× Ó Ú × Ø Ó Ý ÒÓ Ô ÖØ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖº
½º Ù×ÕÙ Ò Ð Ô ÙÒ Ö Ó a Ø Ð ÕÙ ×Ù ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ × tº
¾º Ë a × Ó Ò ÓÒØÖ Ó =⇒

730. 704 Cap´
ıtulo 7. Grafos
´µË a < a =⇒ ´× ÙÒ ÐÓ ÕÙ ÖÖÓ Ð Ð × ×Ø Ò µ
º ×Û Ô(a, a ) ´ ÒØ Ö Ñ a ÓÒ a µ
´ µ ÐÑÒ a Ð Ô
¿º ÁÒ× ÖØ a Ò Ð Ô
× Ò × Ö Ó Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö Ö Ô Ö ÙÔ Ö Ö a ÕÙ ÒÓ ÓÑÔÖÓÑ Ø Ð ¹
× ÑÔ ÒÓ Ð Ôº ÈÓ ÑÓ× Ù× Ö ÙÒ Ø Ð ÒÓ Ó× ×Ø ÒÓ× Ö Ó× ÓÒØ Ò Ó× Ò Ð
Ô¸ Ð Ù Ð ÔÙ Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ð × Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ Ô ÖÓ
×ØÓ ÖÖ Ò ÖØ ÙÑ Ö ¸ × Ù× ÑÓ× ÙÒ Ø Ð × ¸ Ó Ó×Ø × O(Ð (n)) × Ù× ÑÓ× Ö ÓÐ ×
Ò Ö Ó׺
Ò Ú ÖØÙ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÙÒÕÙ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ Ð Ð Ö ¸ ÒÓØ Ö ÑÓ× Ò ÒÓ Ó
Ð Ö Ó¸ ØÖ Ú × Ð ÓÓ ¸ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó Ð Ô ÒØÖÓ Ð ArcHeapº È Ö
Ö Ð ÓÓ ¸ ÒÓ× Ú Ð ÑÓ× ÙÒ Ð × ×Ó¸ ÒÓÑ Ò Access Heap Node¸
ÙÝÓ ÓÔ Ö ÓÖ () ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÔÖÓØÓØ ÔÓ
template <class GT, class Distance, class Compare> typename
BinHeap<typename GT::Arc*, Distance_Compare<GT, Distance, Compare> >::Node *&
Access_Heap_Node::operator () (typename GT::Node * p);
Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÒÓ Ó Ð Ô ÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ Ö Ó Ò ÐÙ¹
Ó Ò Ð ArcHeap ÙÝÓ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ × p¸ Ó NULL¸ × Ð Ô ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ò ÙÒ
Ö Ó ÓÒ p ÓÑÓ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº × Ö ×ÔÓÒ× Ð Ð Ù×Ù Ö Ó ArcHeap Ð ÕÙ
Access Heap Node::operator () Ö ØÓÖÒ NULL Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Þ Ò ÕÙ × Ò× ÖØ ÙÒ Ö Ó
ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ × Ö ØÓÖÒ ÙÒ Ö Ö Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ý ÒÓ
ÙÒ ÓÔ ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ × ÔÙ Ñ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð ÔÙÒØ ÓÖº
ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º
¼ ØÖ ÙØÓ× ÔÙ Ð Ó× Ö À Ô ¼¿ +≡ ´ ¼¿ µ ¼¿ ¼
void put_arc(typename GT::Arc * arc, typename GT::Node * tgt)
{
Node *& heap_node = Access_Heap_Node () (tgt);
if (heap_node == NULL) // ¿existe arco insertado en el heap?
{ // No ==> crear nuevo nodo para el heap y asignarle arco
heap_node = new Node;
heap_node->get_key() = arc;
this->insert(heap_node);
return;
}
// dos arcos con mismo nodo destino ==> seleccionar menor y descartar mayor
typename GT::Arc *& arc_in_heap = heap_node->get_key();
// ¿arc_in_heap tiene distancia menor que arc?
if (Distance_Compare <GT, Distance, Compare> () (arc_in_heap, arc))
return; // S´ ==> el antiguo arco permanece en el heap y nuevo se ignora
ı
// arc_in_heap ser´ el arco reci´n insertado arc
a e
arc_in_heap = arc; // cambia el arco
update(heap_node); // actualiza el heap con el nuevo peso de arc
}
¬Ò ×
put arc¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ ¸ ¼¸ ½ ¸ Ò ½ º
Í× × Distance Compare º

731. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 705
È Ö ÙÒ Ö Ó G =< V, E >¸ Ð Ó×Ø ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ö Ó× × O(Ð V)¸ ÔÙ × Ð
×Ù ×Ø ØÙ ÓÒ ÙÒ Ö Ó ÓØ Ð Ô ÙÒ Ñ Ü ÑÓ V − 1 Ð Ñ ÒØÓ׺
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ × Ø Ò ÓÑÔÐ ÓÑÓ Ð Ò× Ö ÓÒ¸ Ô٠׸ Ô ÖØ Ð Ñ Ò Ó Ñ ÑÓÖ ¸
Ý ÕÙ × ÙÖ Ö ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ò Ó ÒÓ × Ö Ð ÓÒ ÓÒ ×Ù ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ
¼ ØÖ ÙØÓ× ÔÙ Ð Ó× Ö À Ô ¼¿ +≡ ´ ¼¿ µ ¼
typename GT::Arc * get_min_arc()
{
Node * heap_node = this->getMin();
typename GT::Arc * arc = heap_node->get_key();
// seleccionar nodo que retorne la clase de acceso
typename GT::Node * p = static_cast<typename GT::Node*>(arc->src_node);
if (Access_Heap_Node () (p) != heap_node)
p = static_cast<typename GT::Node*>(arc->tgt_node);
Access_Heap_Node () (p) = NULL;
delete heap_node;
return arc;
}
¬Ò ×
get min arc¸ Ù× Ò ÙÒ × ¼ Ò ½ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ô Ý ×Ø ÓØ Ó ÙÒ Ñ Ü ÑÓ V −1 Ö Ó׸ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ × O(Ð V)º
7.8.3.3 Inicializaci´n del algoritmo de Prim
o
ÄÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÑÓ× Ö × ¬Ò Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÕÙ ÓÒØ Ò Ö Ð ÓÓ ÙÒ ÒÓ Ó¸
ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ù× Ö Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ × Ò Ó Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÔÖ ÒØ
¼ ¬Ò ÓÒ × ÈÖ Ñ ¼ ≡ ¼
template <class GT> struct Prim_Info
{
typename GT::Node * tree_node; // imagen del nodo en el arbol abarcador
´
void * heap_node; // puntero dentro del heap exclusivo
};
¬Ò ×
Prim Info¸ Ù× Ò ÙÒ ¼ º
Ð ÑÔÓ tree node Ù Ö Ð Ñ Ò Ð ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
heap node Ð Ö ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ ÕÙ Ù Ö Ð Ñ Ò ÑÓ Ö Ó Ð ÒÓ Ó Ò
Ù ×Ø ÓÒ ÓÑÓ ×Ø ÒÓº heap node × Ð Ö ÓÑÓ void* Ó ÕÙ Ø Ò ÑÓ× Ö ÒØ ×
ÖÙ × Ø ÔÓ× ÒÚÓÐÙ Ö Ó׺ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × ÙÖ ÕÙ ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ ÐÓ× ÑÔÓ× ×
Ò Ò Ò NULL Ù Ò Ó × Ô ÖØ Ð Ñ ÑÓÖ º
Ó ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÒÓ Ó p¸ Ð ×Ó ×ØÓ× ÑÔÓ× × Ð Ø Ñ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ñ ÖÓ× PRIMINFO()¸ TREENODE() Ý HEAPNODE()º
ÓÖ ¸ × ÙÒ ÐÓ× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ× Ð Ø ÔÓ ArcHeap<GT, Distance, Compare, Access Arc>¸
ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð ×Ó Ð ÑÔÓ heap node
¼ ¬Ò ÓÒ × ÈÖ Ñ ¼ +≡ ¼ ¼
template <class GT, class Distance, class Compare>
struct Prim_Heap_Info
{
typedef typename ArcHeap<GT, Distance, Compare, Prim_Heap_Info>::Node Node;
Node *& operator () (typename GT::Node * p) { return (Node*&) HEAPNODE(p); }
};

732. 706 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¬Ò ×
Prim Heap Info¸ Ù× Ò ÙÒ ¼ º
Í× × ArcHeap ¼¿ º
Ä Ò Ð Þ ÓÒ Ð ÓÓ Ð ÒÓ Ó × Ö Ð Þ Ñ ÒØ
¼ ¬Ò ÓÒ × ÈÖ Ñ ¼ +≡ ¼
template <class GT> struct Init_Prim_Info
{
void operator () (GT & g, typename GT::Node * p)
{
g.reset_bit(p, Aleph::Prim);
NODE_COOKIE(p) = new Prim_Info<GT>;
}
};
¬Ò ×
Init Prim Info¸ Ù× Ò ÙÒ ¼ º
Í× × Prim Info ¼ º
¼ ÁÒ Ð Þ Ö ÈÖ Ñ ¼ ≡ ´ ¼¾µ
Operate_On_Nodes <GT, Init_Prim_Info <GT> > () (g);
Í× × Init Prim Info ¼ º
×ÔÙ × ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ Ð ÙÐ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ × Ð Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ó Ù¹
Ô ÔÓÖ ÐÓ× ÓÓ ×º È ÖÓ ÒØ × Ñ Ô Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ ÒØ Ð × Ñ Ò × Ò Ð Ö ÓÐ Ö¹
ÓÖ ÕÙ ×Ø Ò ÓÒØ Ò × Ò Ð ÑÔÓ tree nodeº
ÄÓ ÕÙ Ö ×Ø Ð Ò Ð Þ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ ÓÒ ÖÒ Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓº Ò
ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ×Ù Ð Ö ÓÒ
¼ Ð Ö ÓÒ ÓÐ ÔÖ ÓÖ ¼ ≡ ´ ¼¾µ
typedef Prim_Heap_Info<GT, Distance, Compare> Acc_Heap;
ArcHeap<GT, Distance, Compare, Acc_Heap> heap;
Í× × ArcHeap ¼¿ Ò Prim Heap Info ¼ º
Ò ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ¸ Ð ÓÔ Ö ÓÒ heap.get min arc() ÒÓ× ÖÖÓ Ð Ö Ó ÓÒ Ð Ñ ÒÓÖ
Ô ×Ó ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò ÐÙ Ó× ÒØÖÓ Ð Ôº ×Ø ×¸ ×Ø ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ׸ Ð
ÙÒ Ö Ò ÓÒ Ð ÓÐ ØÖ ÓÒ Ð ÑÔÐ Ò Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ×ØÙ Ó
Ò Ü º º½¼ ´Ô Ò ¿¼µº
Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸ Ð Ò× Ö ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒØ × Ð ÒÓ Ó Ò Ó
¼ ÁÒ Ð Þ Ö Ô ¼ ≡ ´ ¼¾µ
typename GT::Node * first = g.get_first_node();
NODE_BITS(first).set_bit(Aleph::Prim, true); // marcarlo visitado
TREENODE(first) = tree.insert_node(first->get_info()); // imagen first en tree
// meter en heap arcos iniciales del primer nodo
for (Node_Arc_Iterator<GT,SA> it(first); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
ARC_BITS(arc).set_bit(Aleph::Prim, true);
heap.put_arc(arc, it.get_tgt_node());
}
Í× × Node Arc Iterator Ò put arc ¼º

733. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 707
7.8.3.4 El algoritmo de Prim
ÓÖ ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò Ð ÓÖ Ò ×Ø Ð ¹
Ó ÔÓÖ Ð ÓÐ ¸ ÐÓ Ù Ð × Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¼ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÈÖ Ñ ¼ ≡ ´ ¼¾µ
while (tree.get_num_nodes() < g.get_num_nodes()) // mientras tree no abarque a g
{ // obtenga siguiente menor arco
typename GT::Arc * min_arc = heap.get_min_arc();
typename GT::Node * src = g.get_src_node(min_arc);
typename GT::Node * tgt = g.get_tgt_node(min_arc);
if (IS_NODE_VISITED(src, Aleph::Prim) and IS_NODE_VISITED(tgt, Aleph::Prim))
continue; // Este arco cerrar´a un ciclo en el ´rbol
ı a
typename GT::Node * tgt_node = IS_NODE_VISITED(src, Aleph::Prim) ? tgt : src;
// inserte en arbol, guarde node de arbol y marquelo visitado
´ ´
TREENODE(tgt_node) = tree.insert_node(tgt_node->get_info());
NODE_BITS(tgt_node).set_bit(Aleph::Prim, true);
// insertar en heap arcos no visitados de tgt_node
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(tgt_node); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Aleph::Prim))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Aleph::Prim, true); // marcar arco
typename GT::Node * tgt = it.get_tgt_node();
if (IS_NODE_VISITED(tgt, Aleph::Dijkstra))
continue; // nodo visitado ==> causar´ ciclo ==> no insertar en heap
a
heap.put_arc(arc, tgt);
}
// insertar nuevo arco en tree y mapearlo
typename GT::Arc * tree_arc =
tree.insert_arc(TREENODE(src), TREENODE(tgt), min_arc->get_info());
GT::map_arcs(min_arc, tree_arc);
}
Í× × get min arc ¼ ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò put arc ¼º
ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ö ×ÙÐØ ÒØ ×Ø ÔÖÓ ×Ó × Ñ Ò ÑÓº
À Ý ÙÒ Ö Ò ÖÙ Ð Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ð
ÔÖÓÔ Ð ÐÓ ´ º¾ Ô º µ Ý ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ú Ö ÙÒ ÔÖÙ Ð º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ tree × ÑÔÖ × ÓÒ ÜÓ¸ ÔÓ ÑÓ׸ ÔÓÖ × ÑÔÐ Ò×Ô ÓÒ
Ú × Ø ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÒ Ö Ó ÔÖÓ × Ó¸ Ø ÖÑ Ò Ö × Ð Ò ÐÙ× ÓÒ Ð ÒÙ ÚÓ Ö Ó Ò tree
Ù× Ö ÙÒ ÐÓº Ë Ñ Ó× ÒÓ Ó× Ý Ò × Ó Ú × Ø Ó׸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ò× Ö ÓÒ Ð Ö Ó
Ù× Ö ÙÒ ÐÓ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ö Ó ÓÖÑ Ô ÖØ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓº ÓÒ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÖÙ× Ð ÒÓ ÔÓ ÑÓ× Ö ×Ø ÓÒ× Ö ÓÒ ÔÓÖÕÙ tree × Ò ÓÒ ÜÓº
7.8.3.5 An´lisis del algoritmo de Prim
a
Ð Ò Ð × × ÓÑÔÐ ØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ Ö ÕÙ Ö ÓÒØ Ð Þ Ö ×Ù× ÐÓÕÙ × ÔÖ Ò Ô Ð ×
ÁÒ Ð Þ Ö ÈÖ Ñ ¼ ¸ ÁÒ Ð Þ Ö Ô ¼ ¸ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ
× ÙÒ ÈÖ Ñ ¼ Ý × Ò Ð Þ Ö ÈÖ Ñ ´Ò Ú Ö ¬Ò µ º
Ä Ò Ð Þ ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× ÐÓ× ÓÓ × Ý ×Ù Ð Ö ÓÒ Ð ¬Ò Ð
Ö ÕÙ Ö Ò ÖÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Óº Ñ Ó× ×ÓÒ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ O(V)º

734. 708 Cap´
ıtulo 7. Grafos
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´ µ
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´ µ
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´µ
ÙÖ º ÈÖÓ Ö ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ ´ ¬ ÙÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÖ × Ø Ö ÓÒ ×µ
Ð ÐÓÕÙ ÁÒ Ð Þ Ö Ô ¼ Ö ÓÖÖ ÐÓ× Ö Ó× Ð ÒÓ Ó ÓÖ Òº Ò Ð ÑÙÝ ÜØÖ ÑÓ
Ô ÓÖ ×Ó Ò Ð ÕÙ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÓÒ Ø Ó Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ÁÒ Ð Þ Ö Ô ¼
× O(V)º
ÄÓ× ØÖ × ÐÓÕÙ × ÒØ Ö ÓÖ × ×ÓÒ¸ Ò ÓÒ ÙÒØÓ¸ O(V)º
Ò Ù ÒØÓ Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÈÖ Ñ ¼ ¸ ×Ø × ÙÒ
ÔÓ Ó Ñ × ×ÙØ Ð Ò Ð Þ Ö ÔÓÖÕÙ Ð ÒØ Ø Ö ÓÒ × Ð while Ô Ò ÐÓ ÕÙ
×Ù ÓÒ Ð for ÒØ ÖÒÓ¸ Р٠и ×Ù Ú Þ¸ Ø ÑÔÓ Ó Ø Ò ÙÒ ÒØ Ö Ô Ø ÓÒ ×
Ü Ø º Ë Ü Ñ Ò ÑÓ× ÓÒ Ù Ó Ð ÐÓÕÙ ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö ÕÙ ÑÓ×
Ò Ö Ó× ÒØ ×
½º Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú × ÕÙ × Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ¸ Ð Ù Ð ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð
ÓÑÔÐ Ð while ÓÑ Ò Ó ÓÒ Ð forº
Ó Ð ×ÙÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö Ó × ÓÒ ÜÓ¸ × Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò×Ö
Ñ Ö Ó× ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÔÙ × ×Ø × Ò × Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ó Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ý
ÙÐÑ Ò ×Ø ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø Ò Ö Ó׸ ÐÓ Ù Ð × Ð ÓÒ ÓÒ Ô Ö
Ð whileº ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ò×Ô ÓÒ Ó ÖÖ ×Ù Ò ÐÙ× ÓÒ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ¹
ÓÖ ½ Ý Ð ÓÒ× Ù ÒØ Ò× Ö ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ Ú × Ø Ó× Ý ÒØ × Ð ÒÓ Ó
Ö Ò ÔÖÓ × Óº Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ Ð Ò× Ö ÓÒ Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó¸ Ý ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð
Ö Ó Ò × Ó Ú × Ø Ó× Ý¸ ÓÑÓ ×ØÓ× ×ÓÒ Ñ Ö Ó׸ × × Ò Ð Ô ÙÒ ×ÓÐ Ú Þº
½
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ × ÑÔÖ × ÓÒ ÜÓ¸ ÐÓ ÕÙ × ÙÖ ÕÙ ÒÓ ×
Ö Ö ÙÒ ÐÓ Ù Ò Ó × Ò× ÖØ Ò Ð Ö ÓÐ ÙÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ú × Ø Óº

735. 7.8. Arboles abarcadores m´
ınimos 709
Î ÑÓ׸ Ô٠׸ ÕÙ × Ö Ð Þ Ò ÐÓ ×ÙÑÓ E Ò× Ö ÓÒ × Ö Ó Ò Ð Ôº Ò Ù ÒØÓ
Ð ÒØ ÜØÖ ÓÒ ×¸ ÑÓ× ÒÓØ Ö ÕÙ ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ØÖ Ø ÑÓ× ÓÒ ÙÒ Ô Ü¹
ÐÙ× ÚÓ¸ ×Ø × Ö Ó× ÙÖ ÒØ Ð Ò× Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ó×Ø O(1)º Ç ÙÖÖ Ò¸ ÒØÓÒ ×¸ ÐÓ
×ÙÑÓ V ÜØÖ ÓÒ × Ö Ó× ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ ÙÒ ÓÑÔÐ O(V +E) = O(E)
Ô Ö Ð ÒØ Ö Ô Ø ÓÒ × ÕÙ Ö Ð Þ Ò Ð while Ý Ð for ÓÑ Ò Ó׺
Ë Ò ÐÙ Ö ÙÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ ØÖ Ø × ÑÓ× ÓÒ ÙÒ Ô ØÖ ÓÒ Ð¸ ÒØÓÒ × Ö Ð ¹
Þ Ö ÑÓ× E ÜØÖ ÓÒ × Ø Ò Ö ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ × Ð ÒØÓ Ô ÖÓ ÓÒ Ð Ñ ×Ñ
ÓÑÔÐ Ø Ö ØÚ º
¾º Ð Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ Ó ÔÖÓÑ Ó Ð Ô¸ Ð Ù Ð ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ó×Ø ÓÔ Ö Ö
ÓÒ Ðº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ù× ÑÓ× ÙÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ¸ × × ÙÖÓ¸ ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ò ÑÓ×
Ò Ð ¬Ò ÓÒ º ´Ü º º¿º¾ ´Ô Ò ¼¾µµ¸ ÕÙ ×Ù Ø Ñ ÒÓ ÒÓ Ü V−1
Ð Ñ ÒØÓ׸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ ÙÒ Ó×Ø ÓÔ Ö ÓÒ O(Ð V) ÔÓÖ Ð Ò× Ö ÓÒ
Ó Ð Ñ Ò ÓÒº
Ð Ó×Ø ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ ×¸ Ô٠׸ O(Ð V)º
Ð × ÒØ × Ö ÒØ Ñ ÒØ Ð ÙР׸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ó×Ø Ð ÐÓÕÙ
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ ÈÖ Ñ ¼ × O(E) × O(Ð V) = O(E Ð V)º
ÄÓ× Ù ØÖÓ ÐÓÕÙ × ÒÚÓÐÙ Ö Ó× ÓÒØ Ð Þ Ò O(V) + O(E Ð V) = O(E Ð V)¸ ÕÙ ×
Ð × ÑÔ ÒÓ ¬Ò Ø ÚÓ Ò Ø ÑÔÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñº
× ÑÔÓÖØ ÒØ × ÑÓ ×Ø Ö ÕÙ × Ù× × ÑÓ× ÙÒ Ô ØÖ ÓÒ Ð Ô Ö Ù Ö Ö ÐÓ× Ö Ó׸
ÒØÓÒ × Ð Ó×Ø ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö Ð Ô ×Ø Ö ÓØ Ó ÔÓÖ O(Ð E)¸ Ð Ù Ð ÓØ Ö
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ ÙÒ × ÑÔ ÒÓ O(E Ð E)¸ ÙÒ Ó×Ø ×Ù ×Ø Ò ÐÑ ÒØ Ñ ÝÓÖ Ð
ÕÙ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ø Ò Ö ÑÓ× ÙÒ Ó×Ø Ò ×Ô Ó
O(E) Ú Ö×Ù× Ð O(V)º Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ¸ ÙÒÕÙ ÓÑÔÐ Ó¸ ÒÓ × ÙÒ ÔÖ Ó¸ ÔÙ × ×Ù Ù×Ó
× Ö ÓÑÔ Ò× ÓÒ Ö ×¸ Ø ÒØÓ Ò Ø ÑÔÓ ÓÑÓ Ò ×Ô Óº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ × Ð Ñ ØÓ Ó ÔÖ Ö Ò Ô Ö Ö Ó× Ò×Ó׺
7.8.3.6 Correctitud del algoritmo de Prim
Proposici´n 7.4
o Ë G ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ Ù ÐÕÙ Ö º ÒØÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ
Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓº
Demostraci´n (por inducci´n sobre el n´ mero de nodos)
o o u
½º V<2 Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ô Ö ØÓÖÒ Ð Ñ ÒÓÖ Ö Ó Ð ÒÓ Ó Ò Ð Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ
Ö ÓÐ Ô Ö Ð Ó× ÒÓ Ó× Ð Ù Ð ×¸ ÓÒ ÖØ ØÙ Ñ Ò ÑÓº
¾º V > 2 ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÖØ Ô Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ Ô Ö Ðº
ÍÒ Ó × ÖÚ ÓÒ ÖÙ Ð Ô Ö ×Ø ÑÓ×ØÖ ÓÒ × ÔÖ Ò Ö ÕÙ Ð Ô × ÑÔÖ
ÒÓ× Ð Ñ ÒÓÖ Ö Ó ÒØÖ ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ × ´ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÃÖÙ× Ðµº Ù Ò Ó × ÜØÖ ÙÒ Ñ ÒÓÖ Ö Ó¸ Ü ×Ø Ò Ó× ÔÓ× Ð ×
´ µ ÉÙ Ð Ö Ó ÓÖÑ ÙÒ ÐÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó¸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ð ÐÓ¸ ×Ø × Ð
Ñ ÝÓÖ ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð ÐÓ Ý¸ ÔÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸
Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ × Ñ Ò ÑÓº
´ µ ÉÙ Ð Ö Ó ÒÓ ÓÖÑ ÙÒ ÐÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó¸ ÔÐ ÒØ Ò Ó ÙÒ ÓÖØ ÒØÖ Ð
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ô Ö Ð Ý ÙÒ Ö Ó ÙÒ ×ÓÐÓ ÒÓ Ó¸ Ð Ö Ó × Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ

736. 710 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÐÓ× ÔÓ× Ð × ÖÙ ´ Ù ÜØÖ Ó Ð Ôµ ݸ ÓÑÓ ÐÓ × ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ
ÖÙ ¸ Ð ÒÙ ÚÓ Ö ÓÐ × Ñ Ò ÑÓº
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÔÙ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ö Ó
7.9 Caminos m´
ınimos
Ò Ö Ó× ÔÓÒ Ö Ó׸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ
ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó× Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓØ Ð ØÓ Ó× ÐÓ× Ô ×Ó× × Ñ Ò Ñ º ÓÑÓ ÑÔÐÓ×
ÔÓ ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö
½º × Ù × Ý ×Ø Ò × ÒØÖ ÖÖ Ø Ö ×¸ Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ ÒÓÖ ×Ø Ò
ÒØÖ ÙÒ Ô Ö Ù ×º
¾º × Ù × Ý ÙÖ ÓÒ × Ò ÓÖ × ÚÙ ÐÓ Ò Ú ÓÒ Ý Ò × Ð ×¸ × ÙÒ Ó ÖØ × Ý
×ÔÓÒ Ð × ÖÓÐ Ò ×¸ ÓÒ× Ù Ö Ð Ø Ò Ö Ö Ó ÕÙ ÐÐ Ú ÙÒ Ù ÓØÖ
Ò Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÑÔÓ ÔÓ× Ð º
Ë Ñ ÑÓ× ÙÖ ÓÒ × ÔÓÖ Ó×Ø × ÓÒÓÑ Ó׸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð Ò¹
ÓÒØÖ Ö Ð Ø Ò Ö Ö Ó ÓÒÓÑ Ñ ÒØ Ñ × Ö ØÓº
¿º ÙÒ Ö ÓÑÔÙØ ÓÖ ×¸ × × Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ ÒÓ Ó×
ÒØ ÖÑ Ó× ÔÓÖ ÓÒ ÔÙ Ò Ö ÙÐ Ö ÐÓ× Ô ÕÙ Ø × Ò Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÑÔÓ ÔÓ× Ð º
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ × × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ø Ð ÓÒ ¸ ÒØÓÒ ×¸ ØÓ× ÔÖ ×Ø Ö Ù Ò
× ÖÚ Ó Ý¸ Ð Ú Þ¸ ÓÖÖ Ö Ó×Ø ×¸ × × Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò¹
ØÖ ÓÒÑÙØ ÓÖ × ÒØ ÖÑ Ö Ó× Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ × Ñ ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÓÑÓ
ÐØÒ ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ ´ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒµ Ó ÒØ ÐÐ Ñ ×
× ÑÙÐØ Ò × ÕÙ ÔÙ Ò ØÙ Ö× Ò Ð Ö º
º ÍÒ ÖÓ Óظ Ò ÙÒ ÓÒ ×Ù× Ñ Ò ×ÑÓ× Ú × ÓÒ¸ ÔÐ Ò ¬ Ö ÙÒ ØÖ Ý ØÓ ×
ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓØÖÓº Ð Ø ÖÖ ÒÓ Ý ×Ù× Ó ×Ø ÙÐÓ× × ÑÓ Ð Þ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Óº Ò ×Ø
×Ó¸ Ô Ö ÓÖÖ Ö Ø ÑÔÓ Ý Ò Ö ¸ × Ð ÙÐ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò Ñ ×Ø Ò ÒØÖ
ÐÓ× ÔÙÒØÓ׺
À Ý ÑÙ × Ñ × × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × ÕÙ ÔÙ Ô Ö Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ º È Ö ÕÙ ×Ø
Ø Ò × ÒØ Ó¸ Ð Ö Ó × Ö ÓÒ ÜÓ Ó ÕÙ Ð Ñ ÒÓ× Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ ÙÒ Ô Ö
ÒÓ Ó× Ù ×Ø ÓÒ ÙÐØ Ñ ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ÒØ Ð ÖÙØ Ò test for path()
×ØÙ Ò Ü º º º½ ´Ô Ò ¾½µº
ÄÓ× ØÖ × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ÕÙ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ò ×Ø × ÓÒ ÓÔ Ö Ò Ô Ö
Ö Ó׺ ËÓÐÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÓÔ Ö Ô Ö Ö Ó׺
ÍÒ Ñ Ò Ö Ò ÓÖ Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÓ ¬ Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ù×ÕÙ
Ñ ÒÓ× ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ Ó½ Ô Ö ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ò ØÓ Ó× ÐÓ Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × ÒØÖ Ð
Ô Ö ÒÓ Ó׺ Ä × ÕÙ × ÓÒØ Ð Ò Ý × Ù Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × ÒØÖ
Ð Ô Ö Ò Ù ×Ø ÓÒ Ý × × Ó Ð Ñ ÒÓÖ ÒØÖ ÐÐÓ׺ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò ÓÕÙ × ÕÙ
ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ × ÒØÖ Ø Ð ¸ ÔÙ × Ð ÒØ Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × ÒØÖ Ù ÐÕÙ Ö
Ô Ö ÒÓ Ó× × ÓÑ Ò ØÓÖ º
½
ÊÙØ Ò × find path depth first() Ò Ü º º º¾ ´Ô Ò ¾¿µ Ý find path breadth first()
Ò Ü º º ´Ô Ò ¾ µº

737. 7.9. Caminos m´
ınimos 711
ÆÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÔÓÖ Ö ÞÓÒ × ×ØÖ ÓÒ¸ × ÔÐ Ù× Ð Ø Ò Ö Ô ×Ó× Ò Ø ÚÓ× Ò ÙÒ Ö Óº
Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ Ò Ð ×ØÙ Ó Ý Ð ÙÐÓ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ý ÙÒ ×ÙÖ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó
ݸ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ × Ó¸ Ð Ù Ð ÑÓ× Ø Ò Ö ×Ô Ð Ù Óº Ë ØÖ Ø ÐÓ× ÐÓ×
Ò Ø ÚÓ׺ ËÓÒ ×ÙÖ Ó× ÔÓÖÕÙ ×Ù Ü ×Ø Ò Ò Ð Ö Ó ÔÐ ÒØ ÙÒ ÐÓ ÕÙ Ò¬Ò Ø Ñ ÒØ
Ö ÓÖÖ Ó × Ö Ñ Ò ÑÓº
7.9.1 Algoritmo de Dijkstra
Ò ½ ¸ × Ö Ïº ×ØÖ ¸ ÔÓ× Ð Ñ ÒØ ÙÒÓ ÐÓ× ÒØ ¬ Ó× Ð × Ò × ÓÑÔÙØ ¹
ÓÒ Ð × Ñ × Ö Ò Ó×Ó× ØÓ Ó× ÐÓ× Ø ÑÔÓ׸ ÞÓ ÔÙ Ð Ó ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö
ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ × ÓÖØÓ× ÒØÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ó Ý Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× Ð Ö Óº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÔÙ ÑÔÐ Ö× Ô Ö Ö Ó× Ó Ö Ó׺ × ×Ø ÒØ Ù Ó
Ô Ö Ö Ó× Ù Ð ÒÓ׺
ÌÓ Ó ÐÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ð ÙÐÓ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ×Ù ¹
Ý Ò Ð Ö ÚÓ Dijkstra.Hº
À Ý ÙÒ Ö Ò Ö Ñ Ò × Ò ÒØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ Ý Ð ÈÖ Ñ ÜÔÖ × ÔÓÖ
Ð Ó ÕÙ Ñ Ó× × × Ò Ò ÙÒ ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ö Ó × ÙÒ Ð × ÔÖ ÓÖ ×º Ä
Ö Ò × Ò Ð ×Ù Ý Ò ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ Ù× Ú ÐÓÖ × Ô Ö Ð × Ø ÒØÓ Ò
ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ò ÐÓ× Ö Ó׺
Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ð v0¸ Ù Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ¸ ÐÓ×
Ú ÐÓÖ × ÐÓ× ÕÙ Ð ÑÓ× × Ö ¬ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ × Ð × ¬ Ò Ð × Ù ÒØ
ÑÒÖ
Para los nodos: Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö vu¸ (vi) Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ñ Ò Ñ ×Ø Ò
ÙÑÙÐ × v0 ×Ø viº
ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ (v0) = 0º
Para los arcos: Ó ÙÒ Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö e ÒØÖ ÐÓ× Ý ÒØ × ÙÒ ÒÓ Ó vi¸ ÈÓØ(e)
× Ò Ð ×Ø Ò ÔÓØ Ò Ð ÙÑÙÐ Ù Ö Ö × Ð ÒÓ Ó v0 ×Ø Ð ÒÓ Ó
×Ø ÒÓ eº
Ë d(e) × Ò Ð ×Ø Ò ´Ó Ô ×Óµ Ð Ö Ó e¸ ÒØÓÒ ×¸ Ó ÙÒ ÒÓ Ó vi
ÈÓØ(e) = (vi) + d(e) ´ºµ
×Ø ÓÔ Ö ÓÒ × Ö Ð Þ Ô Ö Ö Ó ÙÒ ÒÓ Ó ØÖ Ò× ØÓ ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓº
ÁÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò Ó v0¸ ∀e Ý ÒØ v0, ÈÓØ(e) = d(e)¸ ÔÙ × Ð
×Ø Ò ÙÑÙÐ × v0 × ÒÙÐ ´ (v0) = 0µº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÙØ Ð Þ ÙÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ ´Ü º º¿º¾ ´Ô Ò ¼¾µµ × ÙÒ ÐÓ×
ÔÓØ Ò Ð × Ö Ó׺ ÓÑÓ Ø Ð¸ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ó Ö Ð Ô ÒÓ Ü Ò O(Ð V)
Ò Ø ÑÔÓ Ý O(V) Ò ×Ô Óº
¬Ò Ó ÙÒ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ × ÙÒ ÔÓØ Ò Ð × Ö Ó׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ×
×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ù Ð Ð ÈÖ Ñº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ Ö ÕÙ Ö ÙÒ ÔÓ Ó
Ñ× Ù Ó¸ ÔÙ × Ñ Ò Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓÒ Ð Ø ÒØÓ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÑÓ Ô Ö ÐÓ×
Ö Ó׺

738. 712 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð ÔÖÓØÓØ ÔÓ ÒÙ ×ØÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ × ¬Ò Ð × Ù ÒØ
ÑÓ Ó
½¾ ÈÖÓØÓØ ÔÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½¾ ≡ ½
template <class GT, class Distance, class Compare,
class Plus, class SA> inline
void dijkstra_min_spanning_tree(GT & g, typename GT::Node * start_node, GT & tree)
{
Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½
}
g × Ð Ö Ó ´Ó Ö Óµ ×Ó Ö Ð Ù Ð × × Ð ÙÐ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×Ø Ò ×
Ñ Ò Ñ ×º start node × Ð ÒÓ Ó Ò Ð¸ Ð Ù Ð ÔÙ ÓÒ× Ö Ö× Ö Þ Ð Ö ÓÐ Ö ¹
ÓÖº Ò ÐÑ ÒØ ¸ tree × Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ÓÒ Ò Ó ´Ó Ö Þµ Ò
start nodeº ÄÙ Ó Ð Ù ÓÒ¸ g Ý tree ×Ø Ò Ñ Ô Ó× Ñ ÒØ ×Ù× ÓÓ ×º
Ò Ù ÒØÓ ÐÓ× Ø ÔÓ× Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ó׸ GT × Ð Ø ÔÓ Ð Ö Ó Ý Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
×Ø Ò × Ñ Ò Ñ ×º Distance × ÙÒ Ð × ÕÙ Ð ×Ø Ò ÐÑ Ò Ò
Ð Ö Ó × ÙÒ Ð Ò ÓÐ ÓÒ ÕÙ × ¬Ò Ð Ô ×Óº Compare × ÙÒ Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ
ÒØÖ Ø ÔÓ× typename Distance::Distance Typeº Plus × ÙÒ Ð × ÕÙ Ö Ð Þ Ð ×ÙÑ
Ð Ö ×Ø Ò ×º ÈÓÖ ÙÐØ ÑÓ¸ SA × ÙÒ ¬ÐØÖÓ Ö Ó׺
7.9.1.1 Distancia acumulada en los nodos
Ä ×Ø Ò ÙÑÙÐ ÔÙ Ù Ö Ö× Ñ ÒØ Ð ÓÓ Ð ÒÓ Óº ÑÓ× Ô ÖØ Ö
ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ ÑÓÖ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ð ÙÑÙÐ Ó (vi)º Ù Ö Ö ÑÓ׸ Ô٠׸
ÔÓÖ ÒÓ Ó¸ Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ¬Ò ÔÓÖ Ð × Ù ÒØ Ö ×ØÖÓ
½¾ ÁÒ ÓÖÑ ÓÒ ÔÓÖ ÒÓ Ó Ò ×ØÖ ½¾ ≡ ½¾
template <class GT, class Distance>
struct Dijkstra_Node_Info
{
typename GT::Node * tree_node; // Imagen del nodo en el arbol abarcador
´
typename Distance::Distance_Type dist; // distancia acumulada
void * heap_node;
Dijkstra_Node_Info()
: tree_node(NULL), dist(Distance::Zero_Distance), heap_node(NULL)
{ /* empty */ }
};
¬Ò ×
Dijkstra Node Info¸ Ù× Ò ÙÒ ½¿º
tree node ׸ ÓÑÓ ×Ù ÓÑ ÒØ Ö Ó ÐÓ Ò ¸ Ð Ñ Ò Ð ÒÓ Ó Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׺ dist × Ð ÙÑÙÐ Ó (vi) × start nodeº heap node × ÙÒ
ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ ÔÓØ Ò Ð ×º
Ò ÓÒ×ÓÒ ÓÒ Ð ÒØ Ö Þ ArcHeap¸ ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð Ð × ×Ó Ð ÑÔÓ
heap node
½¾ ÁÒ ÓÖÑ ÓÒ ÔÓÖ ÒÓ Ó Ò ×ØÖ ½¾ +≡ ½¾
template <class GT, class Distance, class Compare>
struct Dijkstra_Heap_Info
{
typedef typename ArcHeap<GT, Distance, Compare, Dijkstra_Heap_Info>::Node Node;
Node *& operator () (typename GT::Node * p) { return (Node*&) HEAPNODE(p); }

739. 7.9. Caminos m´
ınimos 713
};
¬Ò ×
Dijkstra Heap Info¸ Ù× Ò ÙÒ ½ º
Í× × ArcHeap ¼¿ º
Ä Ñ Ò ÔÙÐ ÓÒ ÐÓ× ÑÔÓ× ÒØ Ö ÓÖ × × Ö Ð Þ ØÖ Ú × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ñ ÖÓ×
½¿ ¬Ò ÓÒ Ñ ÖÓ× Ô Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½¿ ≡
// conversi´n de cookie a Node_Info
o
# define DNI(p) (static_cast<Dijkstra_Node_Info<GT, Distance>*>(NODE_COOKIE((p))))
// Acceso al nodo del arbol en el grafo
´
# define TREENODE(p) (DNI(p)->tree_node)
# define ACC(p) (DNI(p)->dist) // Acceso a la distancia acumulada
# define HEAPNODE(p) (DNI(p)->heap_node)
Í× × Dijkstra Node Info ½¾ º
Ð Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc> ×ÔÓÒ ØÓ Ð Ñ ÕÙ Ò Ö Ô Ö Ò Ð Þ Ö Ý
×¹ Ò Ð Þ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׺ Ë ÙÒ ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð Ò Ð Þ ÓÒ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½¿ Ð × Ô ÖØ ÓÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÒÓ Ó ½¿ ≡
template <class GT, class Distance>
struct Initialize_Dijkstra_Node
{
void operator () (GT & g, typename GT::Node * p)
{
g.reset_bit(p, Aleph::Dijkstra);
NODE_COOKIE(p) = new Dijkstra_Node_Info <GT, Distance>;
}
};
Í× × Dijkstra Node Info ½¾ º
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ð × Ô Ö ×¹ Ò Ð Þ Ö × ¬Ò ×
½¿ Ð × Ð Ö ÓÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÒÓ Ó ½¿ ≡
template <class GT, class Distance>
struct Destroy_Dijkstra_Node
{
void operator () (GT &, typename GT::Node * p)
{
Dijkstra_Node_Info <GT, Distance> * aux = DNI(p); // guardar bloque liberar
GT::map_nodes (p, TREENODE(p));
delete aux; // liberar bloque
}
};
Í× × Dijkstra Node Info ½¾ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÓÓ × ÙØ Ð Þ Ô Ö Ù Ö Ö ×Ø Ó Ø ÑÔÓÖ Ð Ð ÙÐÓ¸ ×Ø ÕÙ
ÒÚ Ð Ó¸ ÙÖ ÒØ Ð Ð ÙÐÓ¸ Ô Ö Ù Ö Ö Ð Ñ Ò Ð ÒÓ Ó Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖº
ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ Ð Ñ Ô Ó Ð ÒÓ Ó × Ö Ð Þ Ð ¬Ò Ð Ð Ð ÙÐÓ¸ ÙÖ ÒØ Ð Ð Ö ÓÒ Ð
Ò ÓÖÑ ÓÒ Dijkstra Node Infoº ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ Ö ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ý Ð ÔÓØ Ò Ðº
Ä Ò Ð Þ ÓÒ Ý ×¹ Ò Ð Þ ÓÒ × Ö Ð Þ Ò¸ ØÖ Ú × Ð Ñ ÕÙ Ò Ö
List Graph<Node, Arc>¸ Ð × Ù ÒØ × ÓÖÑ ×
½¿ Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½¿ ≡ ´½ µ
Operate_On_Nodes <GT, Initialize_Dijkstra_Node <GT, Distance> > () (g);

740. 714 Cap´
ıtulo 7. Grafos
½ Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½ ≡ ´½ ½ µ
Operate_On_Nodes <GT, Destroy_Dijkstra_Node <GT, Distance> > () (g);
Ò Ñ Ó× ÐÓÕÙ × g × Ð Ö Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × × Ð ÙÐ Ö ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ × ÓÖØÓ׺
7.9.1.2 Potencial en los arcos
Ä Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ö Ó × Ô Ö Ð Ð ÒÓ Ó Ý × ¬Ò Ñ Ò Ö ×ÑÐ Ö
½ ÁÒ ÓÖÑ ÓÒ ÔÓÖ Ö Ó Ò ×ØÖ ½ ≡
template <class GT, class Distance>
struct Dijkstra_Arc_Info
{
typename GT::Arc * tree_arc; // imagen en el arbol abarcador
´
typename Distance::Distance_Type pot; // potencial del arco
};
¬Ò ×
Dijkstra Arc Info¸ Ù× Ò ÙÒ ½º
Ð Ñ Ò Ó ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ñ ÒØ Ñ ÖÓ׸ ×Ù Ò Ð Þ ÓÒ Ý Ð Ö ÓÒ × Ö Ð Þ
Ñ Ò Ö ×ÑÐ Ö ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó׺
Ä ÓÖÑ Ò ÕÙ × Ô ÖØ Ò Ð Þ Ð ÔÓØ Ò Ð ÙÒ Ö Ó × × Ñ Ð Ö Ð ÙÒ
ÒÓ Ó
½ Ð × Ô ÖØ ÓÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö Ö Ó ½ ≡
template <class GT, typename Distance>
struct Initialize_Dijkstra_Arc
{
void operator () (GT & g, typename GT::Arc * a)
{
g.reset_bit(a, Aleph::Dijkstra);
ARC_COOKIE(a) = new Dijkstra_Arc_Info <GT, Distance>;
POT(a) = Distance::Zero_Distance;
TREEARC(a) = NULL;
}
};
Í× × Dijkstra Arc Info ½ ¸ POT¸ Ò TREEARCº
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ
½ Ð × Ð Ö ÓÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö Ö Ó ½ ≡
template <class GT, class Distance>
struct Destroy_Dijkstra_Arc
{
void operator () (GT &, typename GT::Arc * ga)
{
Dijkstra_Arc_Info<GT, Distance> * aux = DAI(ga);
typename GT::Arc * ta = TREEARC(ga);
if (ta != NULL) // ¿pertenece este arco al arbol abarcador?
´
GT::map_arcs (ga, ta); // s´ ==> mapearlo
ı
delete aux;
}
};
Í× × Dijkstra Arc Info ½ Ò TREEARCº

741. 7.9. Caminos m´
ınimos 715
ÓÖ ¸ ÓÖÑ × Ñ Ð Ö ÓÑÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ×Ô ¬ ÑÓ× Ð Ô ÖØ Ó Ý
Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ
½ Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½ ≡ ´½ µ
Operate_On_Arcs <GT, Initialize_Dijkstra_Arc<GT, Distance> > () (g);
½ Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½ ≡ ´½ ½ µ
Operate_On_Arcs <GT, Destroy_Dijkstra_Arc<GT, Distance> > () (g);
ÒØ × ¬Ò Ö Ð Ô ÑÓ× ×Ô ¬ Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ × ÓÑÔ Ö Ò ÐÓ× ÔÓØ Ò¹
Ð×
½ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ ÔÓØ Ò Ð × ½ ≡
template <class GT, class Compare, class Distance>
struct Compare_Arc_Data
{
bool operator () (typename GT::Arc * a1, typename GT::Arc * a2) const
{
return Compare () (POT(a1), POT(a2));
}
};
¬Ò ×
Compare Arc Data¸ Ò Ú Ö Ù× º
Í× × POTº
×ØÓ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÐÖÖ Ð Ô
½ Ð Ö ÓÒ Ô Ò ×ØÖ ½ ≡ ´½ ½ µ
typedef Dijkstra_Heap_Info<GT, Distance, Compare> Acc_Heap;
ArcHeap<GT, Distance, Compare, Acc_Heap> heap;
Í× × ArcHeap ¼¿ Ò Dijkstra Heap Info ½¾ º
7.9.1.3 El algoritmo de Dijkstra
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ò Ó× × × ÙÒ Ò Ð Þ ÓÒ ÓØÖ Ð ÙÐÓº Ä Ò Ð Þ ÓÒ Ô ÖØ
Ð Ñ ÑÓÖ ÓÒ Ð Ô Ö Ð ×Ø Ò ÙÑÙÐ Ý ÐÓ× ÔÓØ Ò Ð ×
½ ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½ ≡ ´½ ½ µ
clear_graph(tree); // limpiar arbol abarcador destino
´
Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½¿
Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½
NODE_BITS(start_node).set_bit(Aleph::Dijkstra, true);
ACC(start_node) = Distance::Zero_Distance;
TREENODE(start_node) = tree.insert_node(start_node->get_info());
NODE_COOKIE(TREENODE(start_node)) = start_node;
ÓÒ Ð Ô Ý Ð Ñ Ò Ó Ð Ñ ÑÓÖ ÑÓ× × Ö ÑÙÝ Ù Ó×Ó׺ Ð Ô Ù Ö
Ö Ó׸ ÐÓ× Ù Ð × ×Ù Ú Þ Ñ ÒØ Ò Ò ÐÓ× ÔÓØ Ò Ð × Ô ÖØ Ó× Ò Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö
ÐÓ× Ö Ó× ½ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ð Ô × ×ØÖÙÝ ÒØ × Ð
Ð Ö ÓÒ Ñ ÑÓÖ ÙØ Ò Ð ÐÓÕÙ Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½ º
Ë Ó ÙÖÖ Ð Ö Ú ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ô Ö Ö Ò Ö ÓÓ × ÕÙ Ý Ù ÖÓÒ Ð Ö Ó׺ È Ö
× ÙÖ Ö ×ØÓ¸ Ö Ö ÑÓ× ÙÒ ÐÓÕÙ ÒØ ÖÒÓ ÓÒ × Ð Ö Ö Ð Ôº × ÑÓ Ó¸ Ð
×ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÕÙ ÓÑÓ × Ù
½ Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½ ≡ ´ ½¾ µ
ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½

742. 716 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{ // bloque adicional para asegurar que el heap se destruya antes que
// los bloques almacenados en los cookies
Ð Ö ÓÒ Ô Ò ×ØÖ ½
Å Ø Ö Ö Ó× Ò Ð× Ò Ô ½
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ ½
} // aqu´ se destruye el heap
ı
Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½
Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½
Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ¸ ÑÓ× Ñ Ø Ö ÐÓ× Ö Ó×
Ò Ó Ò Ð Ô ÒØ × Ò Ö Ð Ð ÙÐÓ
½ Å Ø Ö Ö Ó× Ò Ð × Ò Ô ½ ≡ ´½ ½ µ
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(start_node); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
POT(arc) = ARC_DIST(arc);
ARC_BITS(arc).set_bit(Aleph::Dijkstra, true);
heap.put_arc(arc, it.get_tgt_node());
}
Í× × ARC DIST¸ Node Arc Iterator ¸ POT¸ Ò put arc ¼º
ÍÒ Ú Þ ÕÙ ÐÓ× ÔÓØ Ò Ð × Ò Ð × ×Ø Ò Ò Ð Ô Ý Ð Ú ÐÓÖ ×Ø Ò ÒÙÐ Ò
start node¸ × Ò Ð Ø Ö ÓÒ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ ¸ ÙÝ × Ö Ñ ×
×ÓÒ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× × Ð Ö Þ start node
½ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ ½ ≡ ´½ µ
while (tree.get_num_nodes() < g.get_num_nodes()) // mientras tree no abarque a g
{
Ç Ø Ò Ö Ý ÔÖÓ × Ö ÔÖÓÜ ÑÓ Ö Ó ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÔÓØ Ò Ð ½
ØÙ Ð Þ Ö ÔÓØ Ò Ð × Ý Ñ Ø ÖÐÓ× Ò Ô ½
}
Ð ÐÓÕÙ Ö Ô Ø Ø ÚÓ × Ù Ò Ó tree Ö g¸ ÐÓ Ù Ð × Ø Ø Ù Ò Ó tree Ð ÒÞ
Ð Ñ ×Ñ ÒØ ÒÓ Ó׺ Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ¸ Ð ×ØÖ Ñ ÒØ Ò
tree ÓÒ ÜÓ¸ ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ø Ø Ö ÐÓ× ÔÓÖ × ÑÔÐ Ñ Ö Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× Ú × Ø Ó׸
×ÒÒ × ÙÒ ÔÖÙ Ð º ÈÓÖ ÑÓ ÙÐ Ö ¸ × ÑÙÝ ÓÒÚ Ò ÒØ Ú Ö
Ð Ð ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ð Ð ÞÓ Ò Ó× Ô ÖØ × ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÒØ × Ð Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò
ÑÔÐ ØÙ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ
½º
½ Ç Ø Ò Ö Ý ÔÖÓ × Ö ÔÖÓÜ ÑÓ Ö Ó ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÔÓØ Ò Ð ½ ≡ ´ ½ ½ µ
typename GT::Arc * garc = heap.get_min_arc(); // obtener arco menor potencial
typename GT::Node * gsrc = g.get_src_node(garc);
typename GT::Node * gtgt = g.get_tgt_node(garc);
// ¿Est´n los dos nodos visitados?
a
if (IS_NODE_VISITED(gsrc, Aleph::Dijkstra) and IS_NODE_VISITED(gtgt, Aleph::Dijkstra))
continue; // ambos visitados ==> insertar este arco causar´a ciclo
ı
typename GT::Node * new_node = // seleccionar nodo no visitado
IS_NODE_VISITED(gsrc, Aleph::Dijkstra) ? gtgt : gsrc;
// insertar nuevo nodo en arbol y guardarlo en registro de nodo
´
typename GT::Node * ttgt = tree.insert_node(new_node->get_info());
TREENODE(new_node) = ttgt;
NODE_BITS(new_node).set_bit(Aleph::Dijkstra, true);

743. 7.9. Caminos m´
ınimos 717
typename GT::Arc * tarc = // insertar nuevo arco en tree y guardarlo en registro
tree.insert_arc(TREENODE(gsrc), TREENODE(gtgt), garc->get_info());
TREEARC(garc) = tarc;
Í× × get min arc ¼ Ò TREEARCº
¾º
½ ØÙ Ð Þ Ö ÔÓØ Ò Ð × Ý Ñ Ø ÖÐÓ× Ò Ô ½ ≡ ´½ ½µ
ACC(new_node) = POT(garc); // actualizar distancia recorrida desde nodo inicial
const typename Distance::Distance_Type & acc = ACC(new_node);
// por cada arco calcular potencial e insertarlo en heap
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(new_node); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
if (IS_ARC_VISITED(arc, Aleph::Dijkstra))
continue;
ARC_BITS(arc).set_bit(Aleph::Dijkstra, true);
typename GT::Node * tgt = it.get_tgt_node();
if (IS_NODE_VISITED(tgt, Aleph::Dijkstra))
continue; // nodo visitado ==> causar´ ciclo ==> no se mete en heap
a
POT(arc) = Plus () (acc, ARC_DIST(arc)); // calcula potencial
heap.put_arc(arc, tgt);
}
Í× × ARC DIST¸ Node Arc Iterator ¸ POT¸ Ò put arc ¼º
× ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ñ Ö Ö Ð ÓÒ ÕÙ ÔÓÖØ Ú Ö ¬ Ö × Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ð Ö Ó Ý
× Ó Ú × Ø Óº Ò ØÓ¸ ×Ø Ú Ö ¬ ÓÒ ÔÙ ÓÖÖ ÑÓ× ÙÒ Ò× Ö ÓÒ Ð Ô¸ ÙÝÓ
Ó×Ø × O(Ð V)º Ó ×Ø Ñ ×Ñ Ð Ò Ó × ÖÚ ÓÒ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ Ð
×Ø ÒÓ arc Ý Ý × Ó Ú × Ø Ó¸ ÔÙ × Ý ÔÙ Ü ×Ø Ö ÓØÖ Ú Ò× ÖØ Ò Ð Ô
ÕÙ Ð Ò Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ × Ò × Ö Ó ÕÙ Ò Ð ÐÓÕÙ Ç Ø Ò Ö Ý
ÔÖÓ × Ö ÔÖÓÜ ÑÓ Ö Ó ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÔÓØ Ò Ð ½ × Ú Ö ¬ÕÙ Ú × Ø ÐÓ× Ó× ÒÓ Ó× Ð
Ö Óº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö× ÐÑ ÒØ ÓÒ Ñ ØÖ × Ý Ò ºÄ
×ØÖÙ ØÙÖ × × Ñ Ð Ö ¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ ÔÙ Ù Ö Ö× Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÕÙ ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ÐÓ×
ÔÖ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׺ ×Ø Ø Ò × ×ØÙ Ö Ò Ü º º¾ ´Ô Ò ¾¼µº
7.9.1.4 C´lculo de un camino m´
a ınimo
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð ÙÐ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÓÒ Ö Þ Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖ Òº ËÙ× Ö Ñ ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× × Ð ÓÖ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÒÓ Óº Ë ÐÓ ÕÙ × ÔÖ Ø Ò ×
ÓÒÓ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó׸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÖÖ Ö Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ
× Ø Ò ÑÓ× Ð Ð ÙÐÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × Ð Ò Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº ×ØÓ
ÐÓ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ ÈÖÓØÓØ ÔÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½¾ +≡ ½¾
template <class GT, class Distance, class Compare,
class Plus, class SA> inline
void dijkstra_min_path(GT & g,
typename GT::Node * start_node,
typename GT::Node * end_node,

744. 718 Cap´
ıtulo 7. Grafos
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´ µ
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´ µ
L 4 M 2 N 3 O 6 P L 4 M 2 N 3 O 6 P
10 12 10 8 3 1 3 1 1 7 10 12 10 8 3 1 3 1 1 7
F 5 G 15 H I J 4 K F 5 G 15 H I J 4 K
2 2 2 2
9 4 1 7 3 2 1 2 5 2 9 4 1 7 3 2 1 2 5 2
A 3 B 4 C 3 D 4 E A 3 B 4 C 3 D 4 E
´µ ´µ
ÙÖ º ÈÖÓ Ö ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÓÒ Ö Þ Ò Ð ÒÓ Ó ´ ¬ ÙÖ ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ ØÖ × Ø Ö ÓÒ ×µ
Path<GT> & min_path)
{
GT tree; // arbol abarcador temporal
´
ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½
{
Ð Ö ÓÒ Ô Ò ×ØÖ ½
Å Ø Ö Ö Ó× Ò Ð× Ò Ô ½
Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ Ô Ö Ð ½
}
Ù× Ö Ò ØÖ Ñ ÒÓ ÒØÖ ×Ø ÖØ ÒÓ Ý Ò ÒÓ ½
Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½
Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½
}
Í× × Path ¼¾ º
Ä ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ð ÐÓÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ½ º
Ä ÙÒ Ö Ò ×Ø ÔÓÖ Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ
Ô Ö Ð ½ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ô Ö Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ¹
×ØÖ ½ ¸ × ÐÚÓ ÕÙ ¸ Ô Ö ÓÖÖ Ö Ø ÑÔÓ Ù ÓÒ¸ Ð Ð ÙÐÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
× Ø Ò Ù Ò Ó × Ñ Ö Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ end node¸ Ó × ¸ Ù Ò Ó gtgt == end node
½ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ Ô Ö Ð ½ ≡ ´½ µ
while (tree.get_num_nodes() < g.get_num_nodes()) // mientras tree no abarque a g
{

745. 7.9. Caminos m´
ınimos 719
Ç Ø Ò Ö Ý ÔÖÓ × Ö ÔÖÓÜ ÑÓ Ö Ó ÓÒ Ñ ÒÓÖ ÔÓØ Ò Ð ½
if (gtgt == end_node) // ¿est´ end_node en arbol abarcador?
a ´
break; // s´ ==> camino m´nimo ya est´ en arbol abarcador
ı ı a ´
ØÙ Ð Þ Ö ÔÓØ Ò Ð × Ý Ñ Ø ÖÐÓ× Ò Ô ½
}
Ð Ø ÖÑ ÒÓ ×Ø ÐÓÕÙ ¸ tree ÓÒØ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ô Ö Ð¸ ÕÙ
ÓÒØ Ò ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ × start node ×Ø end nodeº ÄÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÑÓ׸
Ô٠׸ × Ò ÓÒØÖ Ö × Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ
½ Ù× Ö Ò ØÖ Ñ ÒÓ ÒØÖ ×Ø ÖØ ÒÓ Ý Ò ÒÓ ½ ≡ ´½ µ ½
Path<GT> tree_min_path(tree, TREENODE(start_node));
find_path_depth_first(tree, TREENODE(start_node), TREENODE(end_node), tree_min_path);
Í× × Path ¼¾ º
tree min pathÓÒØ Ò Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ò tree¸ Ô ÖÓ ÐÓ ÕÙ × ÑÓ× × Ð Ñ ÒÓ
Ñ Ò ÑÓ Ò gº × Ô٠׸ Ð × Ù ÒØ × ÓÒ× ×Ø Ò ÓÔ Ö¸ × Ù Ò Ó Ð Ñ Ô Ó¸ Ð Ñ ÒÓ
tree min pathÐ Ô Ö Ñ ØÖÓ min path
½ Ù× Ö Ò ØÖ Ñ ÒÓ ÒØÖ ×Ø ÖØ ÒÓ Ý Ò ÒÓ ½ +≡ ´ ½ µ ½
min_path.clear_path();
min_path.init(start_node);
typename Path<GT>::Iterator it(tree_min_path);
for (it.next(); it.has_current(); it.next())
min_path.append(GRAPHNODE(it.get_current_node()));
Í× × Path ¼¾ º
7.9.1.5 Correctitud del algoritmo de Dijkstra
ÍÒ ×ÙÒØÓ × Ò Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ × ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÒÓ ÓÔ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ
Ô Ö Ö Ó× Ò Ø ÚÓ׺ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ÙÑ ÕÙ Ð ×Ø Ò ØÓØ Ð × Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò ÒÓ
2
3 -2
0 2 1
ÙÖ º ÑÔÐÓ Ö Ó Ò Ø ÚÓ ÕÙ ÐÐ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ
Ö ÔÖ Ñ × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ù Ö Ô ÖØ Ò Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
Ñ Ò ÑÓ ÓÒ Ö Þ Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖ Òº ÓÒ× Ö ÑÓ׸ ÔÓÖ ÓÒØÖ ¹ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö Ó Ð
¬ ÙÖ º Ý ÓÖ Ò Ò Ð ÒÓ Ó 0º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ × Ð ÓÒ ÓÑÓ Ö ÓÐ Ö ÓÖ
ÐÓ× Ö Ó× 0 −→ 2 Ý 0 −→ 1¸ ÐÓ ÕÙ ¸ Ð× Ñ ÒØ ¸ Ð Ö Ó 0 −→ 2 ÓÑÓ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ
× 0 ×Ø 2 ÓÒ Ó×Ø 3¸ Ù Ò Ó Ð Ñ Ò ÑÓ × 0 −→ 1 −→ 2 ÓÒ Ó×Ø 0º
Ê Ð Þ Ð Ð Ö ØÓÖ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ð Ö Ð ÓÖÖ Ø ØÙ Ó Ð × Ù ÒØ
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
Proposici´n 7.5
o Ë G ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ Ù ÐÕÙ Ö º ÒØÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ
×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖ Ò v Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÓÒØ ÒØ ÚÓ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ×
Ñ Ò ÑÓ× × vº

746. 720 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Demostraci´n (por contradicci´n inductiva sobre la cantidad de nodos V)
o o
ËÙÔÓÒ ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÜÓ G =< V, E >¸ ÙÒ ÒÓ Ó v ∈ V Ö Þ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ
×ØÖ Ý ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ T =< V, E >º Ð ÙÒ Ñ ÒØÓ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×ØÖ Ò
×ÙÔÓÒ Ö ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó a ∈ E º
/
½º V =2 Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ × Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ö Ó Ð
Ù Ð × Ð Ñ Ò ÑÓ × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓº Ò ×Ø ×Ó¸ a ∈ E × ÙÒ ÓÒØÖ
/ ÓÒ¸ ÔÙ ×
Ð Ô Ö ÒØ Þ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ó ÕÙ × ÔÖÓ × × Ð Ñ Ò ÑÓ Ý ÒØ vº
¾º ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó V ≤ n Ý ÓÒ×Ø Ø ÑÓ× × ÐÓ
× Ô Ö V = n + 1º
Ë v ∈ V Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ý w ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ ÕÙ Ò Ð Ø Ö ÓÒ
n ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ T º Ë ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ w × Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó
Ò ÐÙ Ö Ò T ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÐÙ Ó Ð Ø Ö ÓÒ n + 1¸ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ ∃a ∈ E | a ×
/
Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ v Ý wº
Ë w × Ð ÙÐØ ÑÓ ÒÓ Ó Ò ÐÙ Ö Ò T ¸ ÒØÓÒ × Ð Ô ÓÒØ Ò Ö Ó× ÕÙ ¸ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ò
ÐÓ× Ó ÓÒ Ø Ò wº ÄÓ× Ö Ó× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÐÓ× ÒÓ ×ÓÐÓ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ò T ¸
× ÒÓ ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ò × Ö Ñ Ò ÑÓ× ÔÙ × ÙÒ ÐÓ ÙÑ ÒØ Ð Ó×Ø º × Ô٠׸ ×ÓÐÓ ÒÓ×
ÒØ Ö × Ò ÐÓ× Ö Ó× Ò Ð Ô Ð Ø ÔÓ x −→ w ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÙÒ ÒÓ Ó x ∈ V ÓÒ wº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ô ×Ø ÓÖ Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÔÓØ Ò Ð × × w ×Ø x¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
×ØÖ × Ö Ð Ö Ó ÓÒ Ñ ÒÓÖ Ó×Ø ØÓØ Ð × vº ÓÖ Ò¸ Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ
Ö Ó Ñ Ò ÑÓ a ∈ E × ÙÒ ÓÒØÖ
/ ÓÒ¸ Ô٠׸ Ð ÙÐØ ÑÓ Ö Ó x −→ w ÓÖÖ ×ÔÓÒ
ÙÒ Ó×Ø ØÓØ Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ v Ý w
7.9.1.6 An´lisis del algoritmo de Dijkstra
a
Ð Ò Ð × × × ÔÖ Ø Ñ ÒØ × Ñ Ð Ö Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ¸ ÔÙ × Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ­Ù Ó
Ñ Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ ×º
ÄÓ× ÐÓÕÙ × Ò Ð Þ ÓÒ Ô ÖØ Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½¿ Ý Ô ÖØ Ö
Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½ ÓÒ×ÙÑ Ò O(V) + O(E)¸ ÐÓ Ù Ð¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö Ó ×
ÓÒ ÜÓ¸ ÔÙ ÓÒ× Ö Ö× O(E)º ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ Ô Ö ÐÓ× ÐÓÕÙ × ¬Ò Ð × Ä Ö Ö
Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× Ö Ó× ½ Ý Ä Ö Ö Ñ ÑÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ½ º
× Ô٠׸ Ð Ò Ð × × × ÒØÖ Ò ÓÒØ Ð Þ Ö Ð × Ø Ö ÓÒ × Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö
Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ ½ ¸ ÙÝÓ Ò Ð × × × ÒØ Ó Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÈÖ Ñ¸
ÔÙ × Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ñ ×Ñ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ Ø Ñ Ò Ù× Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓº
Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ØÖ ½ Ø Ò ÙÒ ÓÑÔÐ Ò Ø ÑÔÓ
O(E Ð V)¸ Ù Ð × Ð × ÑÔ ÒÓ ¬Ò Ø ÚÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ º
7.9.2 Algoritmo de Floyd-Warshall
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ð ÙÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ÒØÖ Ô Ö × ÒÓ Ó׺
× ÙÒ Ú Ö ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ×ØÙ Ó
Ò Ü º º ´Ô Ò ½µº ÓÑÓ Ø Ð¸ ÓÔ Ö ×Ó Ö Ñ ØÖ × Ý Ò Ý ÔÓ× Ð Ú ÖØÙ
ÓÔ Ö Ö ÓÒ Ô ×Ó× Ò Ø ÚÓ׺ ÈÙ ÔØ Ö× Ô Ö Ø Ø Ö Ý Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׺
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ö ÔÓÖØ Ó × Ù ÖØÓ ÔÓÖ ÐÓÝ ½½ ¸ Ô ÖÓ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ
×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ × × Ñ Ð Ö Ð Ï Ö× Ðи ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö× Ð ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ º
Ä ×Ô ¬ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÚÓ Floyd.Hº

747. 7.9. Caminos m´
ınimos 721
7.9.2.1 Interfaces
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ñ Ò Ð × × Ù ÒØ × ÒØ Ö ×
½º
¾½ ÁÒØ Ö × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾½ ≡
template <class GT, typename Distance, class Compare, class Plus, class SA>
void floyd_all_shortest_paths
(GT & g,
Ady_Mat<GT, typename Distance::Distance_Type, SA> & dist,
Ady_Mat<GT, long, SA> & path);
Í× × Ady Mat Ò floyd all shortest paths ¾½ º
Ä ÖÙØ Ò Ö Ù ØÖÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ø ÔÓ
´ µ GT Ð Ø ÔÓ Ö Ó ´Ó Ö Óµº
´ µ Distance × Ð Ð × ÕÙ Ñ Ò Ð × ×Ø Ò ×º Å Ò Ñ ÐÑ ÒØ ¸ ×Ø
ÜÔÓÖØ Ö ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× × Ù ÒØ × ÜÔÐ Ó× Ò Ü º º½ ´Ô Ò µ
º Distance Typeº Ö Ó׺
º Max Distanceº
º Zero Distance
Úº operator () (typename GT::Arc *)º
´ µ Compare Ð × ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ ×Ø Ò ×º
´ µ Plus Ð × ×ÙÑ ÒØÖ ×Ø Ò ×º
´ µ SA ¬ÐØÖÓ Ö Ó׺
ÄÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð ÖÙØ Ò ×ÓÒ
´ µ g Ð Ö Ó Ó Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ö ÒØ List Graph<Node, Arc>º
´ µ dist Ñ ØÖ Þ Ó×Ø × Ñ Ò ÑÓ× ÒØÖ Ô Ö × ÒÓ Ó׺ ÒØÖ ×Øi,j
ÓÒØ Ò Ð Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò × Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ò
i Ý j Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
´ µ path Ñ ØÖ Þ Ö ÙÔ Ö ÓÒ Ñ ÒÓ׺ ÒØÖ Ô Ø i,j ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó
k ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ i Ý jº ÁÒ×Ô ÓÒ × ×Ù × Ú × Ô Ø k,j
×Ø ÕÙ Ô Ø k,j = j Ô ÖÑ Ø Ò Ö ÙÔ Ö Ö × Ò Ù×ÕÙ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ
Ð Ô Ö < i, j >º
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ × ÑÔÐ ÒØ Ö Ò Ð × Ù ÒØ ÐÓÕÙ
¾½ ÊÙØ Ò × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾½ ≡
template <class GT, typename Distance, class Compare, class Plus, class SA>
void floyd_all_shortest_paths
(GT & g,
Ady_Mat<GT, typename Distance::Distance_Type, SA> & dist,
Ady_Mat<GT, long, SA> & path)
{
ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾¿
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¾
}
¬Ò ×
floyd all shortest paths¸ Ù× Ò ÙÒ ¾½ º
Í× × Ady Mat º

748. 722 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¾º
¾¾ Ê ÙÔ Ö ÓÒ Ñ ÒÓ× ¾¾ ≡ ¾¾
template <class Mat>
void find_min_path(Mat & p,
const long & src_index, const long & tgt_index,
Path<typename Mat::List_Graph_Type> & path);
Í× × find min path ¾ Ò Path ¼¾ º
ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ð ÙÐ Ñ ÒØ floyd all shortest paths()¸
Ð ÖÙØ Ò ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ÐÓ× Ô Ö × ÒÓ Ó× ÓÒ Ò × src index Ý
tgt indexº
¿º
¾¾ Ê ÙÔ Ö ÓÒ Ñ ÒÓ× ¾¾ +≡ ¾¾ ¾
template <class Mat>
void find_min_path(Mat & p,
typename Mat::Node * src_node, typename Mat::Node * tgt_node,
Path<typename Mat::List_Graph_Type> & path)
{
find_min_path(p, p(src_node), p(tgt_node, path);
}
Í× × find min path ¾ Ò Path ¼¾ º
Ë Ñ Ð Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÐÚÓ ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× × ×Ô ¬ Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÔÙÒØ ÖÓ×
Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×º
7.9.2.2 El algoritmo de Floyd-Warshall
Ë Ñ Ð Ö Ð Ï Ö× Ðи Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÑÔÐ ØÖ × Ð ÞÓ× ÕÙ ÜÔÐÓÖ Ò¸
ÓÑÔ Ö Ò Ý × Ð ÓÒ Ò ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÐÓÒ ØÙ 1, 2, . . . V ×Ø Ù Ö Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ó׺
Inicializaci´n
o
Ä × ÓÒ× ×Ø Ò ÓÒ× Ö Ö ÒÓ Ó× ÒØ ÖÑ Ó× Ñ ÒÓ× Ñ × ÓÖØÓ× Ó
Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖ Ò Ô Ó Ð Ï Ö× Ðк È Ö ÐÐÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÙØ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÖ Þ ×Øi,j
×Ø Ò × n × n ÙÝÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × Ó Ò ÐÓ × Ù ÒØ
⎧
⎪
⎨ × Ü ×Ø Ö Ó ÒØÖ i Ý j
⎪Ci,j
×Øi,j = ⎪∞
0
× ÒÓ Ü ×Ø Ö Ó ÒØÖ i Ý j ; ´ºµ
⎪
⎩0 × i=j
Ci,j × Ð Ô ×Ó Ð Ö Ó ÒØÖ Ð ÒÓ Ó i Ý jº
Ó ÙÒ Ö Ó¸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × × ÓÐÓ Ò Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ð ×
¾¾ ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ñ ØÖ × ¾¾ ≡
template <class AM, class Distance, class SA>
struct Initialize_Dist_Floyd
{
typedef typename AM::List_Graph_Type::Arc_Type Arc_Type;
typedef typename AM::List_Graph_Type GT;
typedef typename GT::Node Node;
typedef typename GT::Arc Arc;

749. 7.9. Caminos m´
ınimos 723
typedef typename Distance::Distance_Type Distance_Type;
// inicializa cada entrada de la matriz
void operator () (AM & mat,
Node * src, Node * tgt,
const long & i, const long & j,
Distance_Type & entry,
void * p) const
{
Ady_Mat <typename AM::List_Graph_Type, long, SA> & path =
* reinterpret_cast <Ady_Mat <typename AM::List_Graph_Type, long> *> (p);
if (i == j) // ¿es diagonal de la matriz?
{ // s´ ==> la distancia es cero
ı
entry = Distance::Zero_Distance;
path(i, j) = j;
return;
}
GT & g = mat.get_list_graph();
Arc * arc = search_arc(g, src, tgt); // arco en representaci´n con listas
o
if (arc == NULL) // ¿existe un arco?
{ // s´ ==> se coloca coste infinito
ı
entry = Distance::Max_Distance;
return;
}
// existe arco ==> extraiga distancia
entry = Distance () (arc); // la coloca en cost(i, j)
path(i, j) = j; // coloca camino directo
}
};
¬Ò ×
Initialize Dist Floyd¸ Ù× Ò ÙÒ ¾¿ º
Í× × Ady Mat º
×Ø ÓÔ Ö ÓÖ × ÒÚÓ Ó Ò Ð × Ð Ò Ð Þ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ
¾¿ ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾¿ ≡ ´ ¾½ µ ¾¿
typedef typename Distance::Distance_Type Dist_Type;
typedef Ady_Mat <GT, Dist_Type> Dist_Mat;
dist.template operate_all_arcs_matrix
<Initialize_Dist_Floyd <Dist_Mat, Distance, SA> > (&path);
Í× × Ady Mat ¸ Initialize Dist Floyd ¾¾ ¸ Ò operate all arcs matrix º
ÄÓ ÕÙ Ð × Ñ ØÖ × Ò ÐÓ× ×Ø Ó× Ò Ð × × ÙÒ ´ º µº
Ð Ö ×ØÓ Ð × Ò Ð Þ ÓÒ × ¬ Ö Ð ÙÒ × ÓÒ×Ø ÒØ × Ñ Ò Ö ÐØ Ö Ð
ØÖ Ó ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ Ð ÓÑÔ Ð ÓÖ
¾¿ ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾¿ +≡ ´ ¾½ µ ¾¿
const Dist_Type & max = Distance::Max_Distance;
const long & n = g.get_num_nodes();
El algoritmo de Floyd-Warshall
ÓÑÓ Ý ÐÓ × Ò Ð ÑÓ׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÙØ Ð Þ ØÖ × Ð ÞÓ× Ò Ó× ÕÙ
ÜÔÐÓÖ Ò Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × Ý Ò Ð Ñ Ò ÑÓº Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ k¸ ÒØÖ ×Øk
i,j
ÓÒØ Ò Ð Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ Ô Ö Ö Ð ÒÓ Ó i Ð ÒÓ Ó j ÓÒ ÙÒ Ö Ó ÐÓÒ ØÙ

750. 724 Cap´
ıtulo 7. Grafos
kº
È ØÓÖ Ñ ÒØ ¸ Ò Ð k¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ¸ Ð Ù ×Ø ÓÒ × ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ
ÑÒÖ
k
×Øk−1
i,k ×Øk−1
k,j
i j
×Øk−1
i,j
Ì Ò ÑÓ× ÙÒ Ó×Ø ×Øk−1 ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ð ÙÐ Ó Ô Ö Ö × Ð ÒÓ Ó i ×Ø Ð jº ÓÖ Ð
i,j
Ù ×Ø ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ù× Ö × Ò Ó× Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð × ( i, k) Ý ( k, j)¸ ÓÒ ×Ø Ò × Ô Ö Ð ×
×Øk−1 Ý ×Øk−1¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ý Ú ÐÙ Ö × ×Øk−1 + ×Øk−1 × Ñ ÒÓ× Ó×ØÓ×Ó ÕÙ
i,k k,j i,k k,j
×Øi,j º ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ Ð
k−1
× ÓÒ × ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
×Øk = Ñ Ò ×Øk−1
i,j
´ºµ
i,j
×Øk−1 + ×Øk−1
i,k k,j
Ä Ù Ð × ÑÓ Ð Þ Ñ Ò Ö × Ñ Ð Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ
¾ Ä ÞÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾ ≡
for (int k = 0; k < n; ++k)
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < n; ++j)
if (dist(i, k) + dist(k, j) < dist(i, j))
dist(i, j) = dist(i, k);
Ä Ö Ò × Ò Ð ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ × ÕÙ Ð if × Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ
Ñ ÒÓÖ Ó×Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÙÒ Ñ ÒÓ ÓÒ ÒÓ Ó ÒØ ÖÑ Ó kº
À Ý ÙÒ ÓÔØ Ñ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ó × ÖÚ Ö ÕÙ ¸ ×
Ð ÒØÖ ×Øk−1 = ∞¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÒ ÖØ ØÙ ¸ ÒÓ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ ÕÙ Ô ×
i,j
ÔÓÖ Ð ÒÓ Ó ÒØ ÖÑ Ó kº Ò ÙÒ ÓÒ ×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö ÙÒ Ú Ö ÒØ
ÕÙ ÓÖÖ Ð × Ø Ö ÓÒ × Ð Ð ÞÓ Ñ × ÒØ ÖÒÓ
¾ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¾ ≡ ´ ¾½ µ
for (int k = 0; k < n; ++k)
for (int i = 0; i < n; ++i)
if (dist(i, k) < max) // ¿es posible encontrar una distancia menor?
for (int j = 0; j < n; ++j)
{ // calcule nueva distancia pasando por k
Dist_Type new_dist = Plus () (dist(i, k), dist(k, j));
if (Compare () (new_dist, dist(i,j))) // ¿d(i,j) < d(i,k) + d(k,j)?
{
dist(i, j) = new_dist; // actualice menor distancia
path(i, j) = path(i, k); // actualice nodo intermedio
}
}
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Plus::operator()() ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ×ÙÑ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Compare::operator()()
Ð ÓÑÔ Ö ÓÒº
Ä ØÙ Ð Þ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Þ Ô Ø i,j × Ö ÜÔÐ Ò Ü º º¾º ´Ô Ò ¾ µº
È Ö Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐ Ð × × Ù ÒØ × Ñ ØÖ × ÔÓÖ Ø Ö ÓÒ

751. 7.9. Caminos m´
ınimos 725
-2
B 3 D H
2 1 -2 3 4 2
5 3 -1 -1
A F G 3
2 2 4
1 -1
C E I
4 -4
ÙÖ º ÍÒ Ö Ó ÓÒ ×Ø Ò × Ò Ø Ú ×
À Á À Á
0 2 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞
∞ 0 ∞ 3 ∞ 1 ∞ ∞ ∞
1 ∞ 0 ∞ 4 ∞ ∞ ∞ ∞
D0
∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ P0
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
∞ ∞ −1 −2 2 0 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ 3 ∞ −1 0 2 ∞ À
À ∞ ∞ ∞ −2 ∞ ∞ −1 0 ∞ À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞
∞ 0 ∞ 3 ∞ 1 ∞ ∞ ∞
1 3 0 ∞ 4 6 ∞ ∞ ∞
D1
∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ P1
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
∞ ∞ −1 −2 2 0 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ 3 ∞ −1 0 2 ∞ À
À ∞ ∞ ∞ −2 ∞ ∞ −1 0 ∞ À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 ∞ 5 ∞ 3 ∞ ∞ ∞
∞ 0 ∞ 3 ∞ 1 ∞ ∞ ∞
1 3 0 6 4 4 ∞ ∞ ∞
D2
∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ P2
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
∞ ∞ −1 −2 2 0 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ 3 ∞ −1 0 2 ∞ À
À ∞ ∞ ∞ −2 ∞ ∞ −1 0 ∞ À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 ∞ 5 ∞ 3 ∞ ∞ ∞
∞ 0 ∞ 3 ∞ 1 ∞ ∞ ∞
1 3 0 6 4 4 ∞ ∞ ∞
D3
∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ P3
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
0 2 −1 −2 2 0 ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ 3 ∞ −1 0 2 ∞ À
À ∞ ∞ ∞ −2 ∞ ∞ −1 0 ∞ À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 ∞ 5 ∞ 3 ∞ 9 ∞
∞ 0 ∞ 3 ∞ 1 ∞ 7 ∞
1 3 0 6 4 4 ∞ 10 ∞
D4
∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ P4
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
0 2 −1 −2 2 0 ∞ 2 ∞
∞ ∞ ∞ 3 ∞ −1 0 2 ∞ À
À ∞ ∞ ∞ −2 ∞ 0 −1 0 ∞ À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á

752. 726 Cap´
ıtulo 7. Grafos
À Á À Á
0 2 ∞ 5 ∞ 3 ∞ 9 ∞
∞ 0 ∞ 3 ∞ 1 ∞ 7 ∞
1 3 0 6 4 4 6 10 2
D5
∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ 4 ∞ P5
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
0 2 −1 −2 2 0 4 2 0
∞ ∞ ∞ 3 ∞ −1 0 2 ∞ À
À ∞ ∞ ∞ −2 ∞ 0 −1 0 ∞ À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 2 1 5 3 7 5 3
1 0 0 −1 3 1 5 3 1
1 3 0 2 4 4 6 6 2
D6
2 4 1 0 4 2 6 4 2
P6
À
∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2 ∞ −2 Á
0 2 −1 −2 2 0 4 2 0
−1 1 −2 −3 1 −1 0 1 −1
À 0 2 −1 −2 2 0 −1 0 0 À À
Á ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 2 1 5 3 7 5 3
1 0 0 −1 3 1 5 3 1
1 3 0 2 4 4 6 6 2
D7
2 4 1 0 4 2 6 4 2
P7
À
1 3 0 −1 0 1 2 3 −2 Á
0 2 −1 −2 2 0 4 2 0
−1 1 −2 −3 1 −1 0 1 −1
À −2 0 −3 −4 0 −2 −1 0 −2 À À
Á 3 5 2 1 5 3 4 3 0 Á À Á
À Á À Á
0 2 2 1 5 3 4 5 3
1 0 0 −1 3 1 2 3 1
1 3 0 2 4 4 5 6 2
D8
2 4 1 0 4 2 3 4 2
P8
À À
1 3 0 −1 0 1 2 3 −2 Á
0 2 −1 −2 2 0 1 2 0
−1 1 −2 −3 1 −1 0 1 −1
À −2 0 −3 −4 0 −2 −1 0 −2 À À
Á 1 3 0 −1 3 1 2 3 0 Á À À À À À À À À Á
À Á À Á
0 2 2 1 5 3 4 5 3
1 0 0 −1 3 1 2 3 1
1 3 0 1 4 3 4 5 2
D9
2 4 1 0 4 2 3 4 2
P9
À À
−1 1 −2 −3 0 −1 0 1 −2 Á Á Á Á Á Á Á Á
0 2 −1 −2 2 0 1 2 0
−1 1 −2 −3 1 −1 0 1 −1
À −2 0 −3 −4 0 −2 −1 0 −2 À À
Á 1 3 0 −1 3 1 2 3 0 Á À À À À À À À À Á
7.9.2.3 An´lisis del algoritmo de Floyd-Warshall
a
È Ö ×ØÙ Ö Ð × ÑÔ ÒÓ Ð ÐÓÕÙ ÁÒ Ð Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ¾¿ ¸
ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÖÙØ Ò operate all arcs list graph() × Ö Ø
Ò Ü º º¿ ´Ô Ò µ Ý Ú Ö ¬ Ö ÕÙ ×Ø ÙØ O(V 2) Ø Ö ÓÒ ×¸ ÔÙ × Ò Ö Ð ¹
× Ö ÓÖÖ ØÓ Ð Ñ ØÖ Þº ÈÓÖ Ø Ö ÓÒ¸ × ÒÚÓ Ð ÓÔ Ö ÓÖ () Ð Ð ×
Initialize Dist Floyd¸ Ð Ù Ð ÙØ ÙÒ Ù×ÕÙ Ð Ò Ð search arc() Ý ÕÙ ×
O(V) ¾¼ º Ä Ò Ð Þ ÓÒ ÓÒ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ ×¸ O(V 2) × O(E) = O(V 2 E)º
Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ð ÐÓÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¾ × O(V 3)º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ × ÒØ Ó ×¸ ÒØÓÒ ×¸ O(V 2 E)¸ Ö ×ÙÐØ Ó ÕÙ ¬ Ö Ð ØÖ ÓÒ Ð
O(V 3) ×Ó Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× Ðк Ä Ö ÞÓÒ × × ÑÔÐ ¸ Ð Ò Ð × × ØÖ ÓÒ Ð
×ÙÑ ÕÙ Ð Ö Ó Ý ×Ø ÓÐÓ Ó Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò º
¾¼
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÑÔÐ ÒØ ÓÒ search arc() ÔÖ × ÒØ Ò Ü º¿º½¼º¾ ´Ô Ò µ Ù× ÒØÖ ÐÓ×
Ö Ó× Ð ÒÓ Ó ÙÝÓ Ö Ó × Ñ ÒÓÖ Ý ÒÓ ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Óº ÕÙ ¸ Ô٠׸ ÕÙ Ð Ù×ÕÙ
ÙÒ Ö Ó Ó ×Ù× Ó× ÒÓ Ó× ×Ø ÓØ ¸ Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó¸ ÔÓÖ O(V )º

753. 7.9. Caminos m´
ınimos 727
7.9.2.4 Correctitud del algoritmo de Floyd-Warshall
Ä ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ × ÖÒÓ× Ñ Ö Ò × ÑÓ× ÔÖ ¹
Ò Ó ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ ÜÔÐÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × ÒØÖ Ô Ö ×
ÒÓ Ó׺ ×ØÓ ÔÙ ÔØ Ö× ÓÑÓ ÓÖÖ ØÓ × ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ï Ö× ÐÐ Ð ÙÐ Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú Ð Ö Ð ÓÒ Ò Ö ÓÒ ÓÖÑ ÔÓÖ Ð
Ö Ó ´Ú Ö Ü º º ´Ô Ò ½µµ ¾½ º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ø Ñ Ò ÜÔÐÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ô Ö × Ñ ÒÓ׸ ÐÓ Ù Ð ×
ÓÖÖÓ ÓÖ ÔÖ Ò Ó Ð × Ñ Ð ØÙ ÒØÖ Ð × Ù ÓÒ × ´ º¿µ Ý ´ º µº Ø Ö ÓÒ ÒØ ÖÒ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ü Ñ Ò Ý ÓÑÔ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ó×Ø ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó׺
ÈÓÖ Ô Ö ÒÓ Ó׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÜÔÐÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð ×
Ý × Ð ÓÒ Ð Ñ ÒÓÖ ÐÐÓ׺ ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ × Ù Ö ØÓ Ó×
ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ÒØÖ Ô Ö × ÒÓ Ó׺
7.9.2.5 Recuperaci´n de caminos
o
Ä Ñ ØÖ Þ ×Øi,j Ð ÙÐ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ó×Ø × Ñ Ò ÑÓ×
ÒØÖ Ô Ö ÒÓ Ó× i Ý jº Ð ¬Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ô Ø i,j × Ù Ö Ö Ð ÒÓ Ó k ÕÙ Ô ÖÑ Ø
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ ×Øi,jº
Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ find min path()¸ ÕÙ Ö ÙÔ Ö Ý ÓÐÓ Ò path Ð Ñ ÒÓ Ñ ×
ÓÖØÓ¸ ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÝÓ× Ò × ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓ Ò Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ò p ×ÓÒ
src index Ý tgt index¸ × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾ Ê ÙÔ Ö ÓÒ Ñ ÒÓ× ¾¾ +≡ ¾¾
template <class Mat>
void find_min_path(Mat & p, const long & src_idx, const long & tgt_idx,
Path<typename Mat::List_Graph_Type> & path)
{
typedef typename Mat::List_Graph_Type GT;
GT & g = p.get_list_graph();
typename GT::Node * src = p(src_idx);
path.set_graph(g, src);
for (int i = src_idx, j; j != tgt_idx; i = j)
{
j = p(i, tgt_idx);
path.append(p(j));
}
}
¬Ò ×
find min path¸ Ù× Ò ÙÒ ¾¾º
Í× × Path ¼¾ º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÔÙ Ö ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ Ñ ÒØ Ò Ò Ñ ØÖ × Ñ ÒÓ× × Ñ Ð Ö ×¸
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓ Ò ÐÙ ÑÓ× Ò Ð Ö ÚÓ mat path.Hº
¾½
Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ Ü º º ´Ô Ò ½µ ÒÓ × ÑÓ×ØÖÓ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ × ÓÖÖ ØÓº

754. 728 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.9.3 Algoritmo de Bellman-Ford
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ ½ ¸ ÐÐ Ñ Ó × Ò ÓÒÓÖ ×Ù× ÔÖ Ñ ÖÓ× × Ù Ö ÓÖ ×
ÓÒÓ Ó× ¾¾ ¸ Ò Ô Ò ÒØ × ÒØÖ × ¸ Ò Ù ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× × ÙÒ ÒÓ Ó
Óº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÔ Ö ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ý Ø Ò Ð Ö Ò ÓÒ Ô ÖÑ Ø Ö ×Ù
Ø ÓÒº
× ×ÑÐ Ö Ð ×ØÖ Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ØÓ Ó×
ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× × ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖ Ò¸ Ð Ù Ð ÕÙ Ö ÕÙ Ö ×Ó Ö ÒÓ Ó Ð
×Ø Ò ÙÑÙÐ × Ð ÓÖ Òº
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ö × Ò Ð Ö ÚÓ Bellman Ford.H¸ Ò Ð Ù Ð × Ü¹
ÔÓÖØ Ò Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
¾ ÊÙØ Ò × Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ ≡ ¿
template <class GT, class Distance, class Compare, class Plus, class SA>
inline bool bellman_ford_min_spanning_tree(GT & g,
typename GT::Node * start_node,
GT & tree)
{
ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½
Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿
}
template <class GT, class Distance, class Compare, class Plus, class SA>
inline bool q_bellman_ford_min_spanning_tree(GT & g,
typename GT::Node * start_node,
GT & tree)
{
ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿¾
Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿
ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿
}
bellman ford min spanning tree() Ð ÙÐ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ×
× Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò start node × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð × Óº Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ GT Ö ÔÖ ¹
× ÒØ Ð Ö Ó¸ Distance Ð Ð × ÜØÖ ØÓÖ ÐÓ× Ô ×Ó× ÓÒØ Ò Ó× Ò ÐÓ× Ö Ó׸ Compare
Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ô ×Ó׸ Plus Ð ×ÙÑ ÒØÖ Ô ×Ó× Ý SA Ð ¬ÐØÖÓ ×Ó Ö ÐÓ× Ö Ó׺ Ë Ü ×Ø
Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ true ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸
Ü ×Ø ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ Ý × Ö ØÓÖÒ falseº q bellman ford min spanning tree() × ÙÒ
Ú Ö× ÓÒ Ñ ÓÖ ÕÙ Ù× ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÐ ÒÓ Ó׸ ÐÓ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ñ ÝÓÖ ÓÒ×ÙÑÓ
×Ô Ó Ô ÖÓ Ø Ò ×Ù ×Ø Ò ÐÑ ÒØ Ð Ö Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓº
7.9.3.1 Inicializaci´n del algoritmo de Bellman-Ford
o
È Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÙØ Ð Þ Ó× ÖÖ ÐÓ× Ø ÑÔÓÖ Ð ×¸ ÙÒÓ
ÒÓ Ó× ÔÖ ×ÓÖ ×¸ Ô ÖØ ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ý ÓØÖÓ Ö Ó× ØÓ Ó × ÙÒ ÐÓ ØÖ Ø Ó
Ò Ü º º½½
¾ ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ ≡ ´¾ ¼µ ¾
¾¾
Ò Ö Ð ¸ Ô Ö ÕÙ Ý ÓØÖÓ× ÙØÓÖ ×º Î Ò× Ð × ÒÓØ × Ð Ó Ö ¬ × Ò Ü º½ ´Ô Ò µÔ Ö
Ð Ö ØÓÖ × Ð Ö ×Ô ØÓº

755. 7.9. Caminos m´
ınimos 729
DynArray<typename GT::Node*> pred;
DynArray<typename GT::Arc*> arcs;
¬Ò ×
arcs¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¾¸ ¸ ¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ Ò ¼º
pred¸ Ù× Ò ÙÒ × ¿¾¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ Ò ¼º
Í× × DynArray ¾º
ÈÓÖ ÒÓ Ó¸ × Ñ ÒØ Ò Ð × Ù ÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒ
¾ ÁÒ ÓÖÑ ÓÒ ÔÓÖ ÒÓ Ó Ò ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ ≡
template <class GT, class Distance>
struct Bellman_Ford_Node_Info
{
int idx;
typename Distance::Distance_Type acum;
};
¬Ò ×
Bellman Ford Node Info¸ Ù× Ò ÙÒ ¾ º
idx × ÐÒ ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ preds¸ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ö Ò O(1) Ð ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ
Ò Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ô Ö Ðº acum × Ð ×Ø Ò Ô Ö Ð ÙÑÙÐ × Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò
start nodeº
Ð ×Ó ÐÓ× ÑÔÓ× ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ñ ÖÓ× NI Ô Ö idx
Ý ACU Ô Ö acum¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð ACU(start node) × ÖÓ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð Ö ×ØÓ × Ò¬Ò ØÓº Ò
Ø ÖÑ ÒÓ× Ó Ó¸ Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð ACU(start node) × Distance::Zero Distance
Ý Distance::Max Distance Ô Ö Ð Ö ×ØÓº
ÄÓ× ÒÓ Ó× Ý ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× × Ò Ò Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ð ÞÓ
¾ ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ +≡ ´ ¾ ¼µ ¾ ¿¼
{
typename GT::Node_Iterator it(g);
for (int i = 0; it.has_current(); ++i, it.next())
{
pred[i] = NULL;
arcs[i] = NULL;
typename GT::Node * p = it.get_current_node();
g.reset_bit(p, Aleph::Min); // colocar bit en cero
Bellman_Ford_Node_Info <GT, Distance> * ptr =
new Bellman_Ford_Node_Info <GT, Distance>;
ptr->idx = i;
ptr->acum = Distance::Max_Distance; // infinito
NODE_BITS(p).set_bit(Min, false);
NODE_BITS(p).set_bit(Breadth_First, false);
NODE_COOKIE(p) = ptr;
}
}
Í× × arcs ¾ ¸ Bellman Ford Node Info ¾ ¸ Node Iterator ¸ Ò pred ¾ º
Ð Ø Breadth First × ÙØ Ð Þ Ö Ô Ö ×Ø Ò Ù Ö ÒÓ Ó× ÕÙ × Ý Ò Ò× ÖØ Ó Ò ÙÒ
ÓÐ º Í× ÑÓ× Breadth First ÔÓÖÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ö ÓÖÖ Ð Ö Ó Ò
ÑÔÐ ØÙ ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× Ò Ü º º¿º ´Ô Ò ¿½µº Ð Ø Min × Ö ÜÔÐ Ó Ò
Ü º º¿º º

756. 730 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð ÙÒ Ó ÒÓ Ó ÓÒ Ú ÐÓÖ ÙÑÙÐ Ó ×Ø Ò ÓÒÓ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó × start node
¿¼ ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ +≡ ´¾ ¼µ ¾
ACU(start_node) = Distance::Zero_Distance;
7.9.3.2 Manejo del ´rbol abarcador
a
ÖÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ¸ Ò Ð ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ð × Ö Ñ × Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ
× ÑÓ ¬ Ò ÙÖ ÒØ Ð Ð ÙÐÓº ÈÓÖ × Ö ÞÓÒ¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÓÐ
ÜÔÐ Ò Ü º º½½º
ÄÐ Ñ ÑÓ× pred Ð ÖÖ ÐÓ Ô Ö × Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ö Óк ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó p
ÙÝÓ Ò Ò pred × kº Ä ÒØÖ pred[i] Ò ÕÙ Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ò
k Ø Ò Ð Ú ÐÓÖ pred[k] ÓÑÓ ÒÓ Ó ÔÖ ×ÓÖ Ò Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ×
× Ð ÒÓ Ó start nodeº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö ÓÐ
4
6 3 0
2 7
5 1
× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÖÖ ÐÓ pred ÓÑÓ
ÁÒ Ò pred ¼ ½ ¾ ¿
ÆÓ Ó ÔÙÒØ Ó 4 2 6 4 ¹ 2 4 3
×Ø ¬ ÙÖ Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ× Ò × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò pred Ô ÖÓ Ö ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ò ÒÙ ×ØÖ
ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ × Ù Ö Ò ÔÙÒØ ÖÓ× ÒÓ Ó׺
Ë Ò Ð ØÖ Ò× ÙÖ×Ó Ð Ð ÙÐÓ × ÑÓ ¬ ÙÒ Ö Ñ Ð Ö Óи ÒØÓÒ × ×Ø ÓÒ
ÑÓ ¬ Ö Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó Ò ÔÖ º
7.9.3.3 El algoritmo gen´rico Bellman-Ford
e
Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ö × Ò ÐÓ ÕÙ × ÓÒÓ ÓÑÓ
“relajaci´n de arco”º
o ÓÒ× Ö Ò Ó ÕÙ ÒÓ Ó ÐÑ Ò Ð Ñ Ò Ñ ×Ø Ò Ù¹
ÑÙÐ × ÓÖ Ò¸ Ð Ö Ð ÓÒ ÙÒ Ö Ó s → t ÓÒ× ×Ø Ò Ú Ö ¬ Ö × (s) + w(s →
t) < (t)º Ë Ð ÔÖ Ó × ÖØÓ¸ ÒØÓÒ × × ØÙ Ð Þ (t) = (s) + w(s → t)
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó (t) Ô ÖÑ Ò ÒÚ Ö Ð º
Ð ÔÖÓ ×Ó ÒØ Ö ÓÖ × Ó ¬ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿¼ Ê Ð Ö Ö Ó ¿¼ ≡ ´ ¿½µ
const typename Distance::Distance_Type & acum_src = ACU(src);
if (acum_src == Distance::Max_Distance)
continue;
const typename Distance::Distance_Type & dist = Distance () (arc);
typename Distance::Distance_Type & acum_tgt = ACU(tgt);
const typename Distance::Distance_Type sum = Plus () (acum_src, dist);
if (Compare () (sum, acum_tgt)) // ¿sum < acum_tgt?

757. 7.9. Caminos m´
ınimos 731
{
const int & idx = IDX(tgt);
pred[idx] = src;
arcs[idx] = arc;
acum_tgt = sum;
}
Í× × arcs ¾ Ò pred ¾ º
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð Ö Ó u→ v¸ ×Ø ÜÔÖ × ÓÒ × ÕÙ Ú Ð ÒØ
w
−
¯ if (v) > (u) + w =⇒
– pred[v] = u
– (v) = (u) + w
Ä Ö Ð ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò ØÖ Ø Ö ×Ñ ÒÙ Ö Ð ÙÑÙÐ Ó Ð ÒÓ Ó tgt nodeº Ì Ð ×¹
Ñ ÒÙ ÓÒ ×ÓÐÓ Ó ÙÖÖ × Ð ÔÖ Ó (v) = (u) + w × ÖØÓ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó¸ Ð
ÖÖ ÐÓ pred × ØÙ Ð Þ Óº
Ù Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÑÓ× ÔÖ ×Ø Ö ÓÒ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ∞º Ë × × Ó Ð Ñ ÝÓÖ
ÒÙÑ ÖÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ð ¸ ÒØÓÒ × Ð ÓÔ Ö ÓÒ (u) + w ÔÙ ÖÖ Ö ÙÒ × ÓÖ º
ÐÐ ÔÙ × Ð if acum src == Distance::Max Distance) ÕÙ ÒÓ× ×ÙÔ ÖÚ × Ø Ð ÔÓ× Ð º
ÙÒ × ¸ × ÔÓ× Ð ¸ ÙÒÕÙ ×Ô Ö ÑÓ× ÑÔÖÓ Ð ¸ Ø Ò Ö × ÓÖ × × ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð ×
×Ø Ò × ×ÓÒ ÑÙÝ Ö Ò ×¸ Ö ÒÓ× Ð Ñ Ü ÑÓº
ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ð Ð ÙÐÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÓÒ× ×Ø Ò Ö Ú × Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý Ö Ð ¹
ÖÐÓ׸ ÐÓ ÕÙ × Ö Ð Þ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¿½ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ ≡ ´¾ ¼µ
for (int i = 0, n = g.get_num_nodes() - 1; i < n; ++i)
// recorrer los arcos para evaluar relajamiento
for (Arc_Iterator<GT, SA> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename GT::Node * src = g.get_src_node(arc);
typename GT::Node * tgt = g.get_tgt_node(arc);
Ê Ð Ö Ö Ó ¿¼
}
Í× × Arc Iterator º
×Ø Ó Ó ÔÓ ÑÓ× ÒÓØ Ö × Ò ¬ ÙÐØ ÕÙ × ÙØ Ò O(V E) Ú ×º
Ë ÒÓ Ó ×Ó ×Ù ÔÖÓÔ Ó ÖÖ ÐÓ pred¸ ÒØÓÒ × Ð ×ÙÔ ÖÔÓ× ÓÒ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ×
ÓÒ ÓÖÑ Ð Ñ ØÖ Þ Ñ ÒÓ× path Ü Ø Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ×Ø ÐÓ ÕÙ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÐÓÝ ¹Ï Ö× Ðк
7.9.3.4 Algoritmo mejorado de Bellman-Ford
Ð ÐÓÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ × × ÑÔРݸ Ú Ö ÑÓ× ×Ô٠׸
ÓÖÖ ØÓ Ý ÐÑ ÒØ ÔØ Ð Ñ ØÖ × Ý Ò º ÈÓ ÑÓ× Ñ ÓÖ ÖÐÓ × Ó × ÖÚ ¹
ÑÓ× ÕÙ Ù Ò Ó Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ ÒÓ × ÑÓ ¬ÕÙ Ò ÐÓ× ÙÑÙÐ Ó× ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó×
ÓÒ Ø Ó× ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò Ð × Ù ÒØ Ø Ö ÓÒ Ð Ö Ó Ø ÑÔÓ Ó × Ö Ð Ö º
ÌÑ Ò ÑÓ× ÒÓØ Ö¸ ÓÑÓ Ò ØÓ × ÔÙ Ó × ÖÚ Ö Ò Ð ¬ ÙÖ º ¸ ÕÙ Ò Ð ×
ÔÖ Ñ Ö × Ø Ö ÓÒ × ÔÙ Ò Ö ÒÓ Ó× ÙÝÓ× ÙÑÙÐ Ó× Ô ÖÑ Ò Ò ÒÚ Ö ÒØ × Ø Ò¹
Ò ÕÙ × ÔÓØ Ò Ñ ÕÙ Ð Ö Ó × Ñ × Ö Ò Ó Ñ × ×Ô Ö Óº

758. 732 Cap´
ıtulo 7. Grafos
3 2 3 2 3 2
B D H B D H B D H
∞ 1 ∞ -2 ∞ 2 1 ∞ -2 ∞ 2 1 2 -2 ∞
1 1 1
2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1
2 2 2
5 5 5
A F G A F G A F G
1 1 1
0 ∞ ∞ 0 5 ∞ 0 3 ∞
3 2 3 2 3 2
1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2
-1 -1 -1 -1 -1 -1
4 4 4
-2 -2 -2
C E I C E I C E I
∞ 1 ∞ ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 2 1 5 ∞
´µ ¼ ´ µ ½ ´µ ¾
3 2 3 2 3 2
B D H B D H B D H
2 1 2 -2 4 2 1 2 -2 4 2 1 2 -2 4
1 1 1
2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1
2 2 2
5 5 5
A F G A F G A F G
1 1 1
0 3 3 0 3 3 0 3 3
3 2 3 2 3 2
1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2
-1 -1 -1 -1 -1 -1
4 4 4
-2 -2 -2
C E I C E I C E I
2 1 5 3 2 1 2 1 2 1 2 0
´ µ ¿ ´µ ´µ
3 2 3 2 3 2
B D H B D H B D H
2 1 2 -2 4 2 1 2 -2 4 2 1 2 -2 4
1 1 1
2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1
2 2 2
5 5 5
A F G A F G A F G
1 1 1
0 3 3 0 3 3 0 3 3
3 2 3 2 3 2
1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2
-1 -1 -1 -1 -1 -1
4 4 4
-2 -2 -2
C E I C E I C E I
2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0
´µ ´ µ ´µ
ÙÖ º ÈÖÓ Ö ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ÓÒ Ö Þ Ò Ð ÒÓ Ó º Ç × ÖÚ ¹
ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ¬Ò Ø ÚÓ Ô ÖÑ Ò ÒÚ Ö ÒØ Ô ÖØ Ö Ð Ð ÕÙ ÒØ Ø¹
Ö ÓÒ ´i = 5µº
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÒ Ñ ÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø Ò ÔÖÓ × Ö ×ÓÐÓ ÕÙ ÐÐÓ× Ö Ó× ÙÝÓ×
ÙÑÙÐ Ó× ×Ù ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ý Ò × Ó ÑÓ ¬ Ó× Ý¸ Ð Ú Þ¸ × ÙÖ Ö ÕÙ ÒÓ ×
Ö Ô Ø Ð ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Ó × Ò ÕÙ ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ý Ò ÔÖÓ × Ó Ð Ö ×ØÓ
ÐÓ× Ö Ó׺ ×Ø ÓÒ Ù Ø ­Ù Ó ÔÓ ÑÓ× ÑÓ Ð Þ ÖÐ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ­Ù Ó
×Ø Ò Ô Ö ÐÐÓ × Ö¸ ÙÒ ÓÐ ÕÙ ÐÑ Ò ÕÙ ÐÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÝÓ ÙÑÙÐ Ó Ý
× Ó ÑÓ ¬ Óº Ì Ð ÓÐ × Ð Ö ÓÑÓ × Ù
¿¾ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿¾ ≡ ´ ¾ µ ¿¿
DynListQueue<typename GT::Node*> q;
ÓÐÓ Ö ÒØ Ò Ð ¿¿
put_in_queue <GT> (q, start_node);
Í× × DynListQueue ½ ¼ º
Ä ÓÐ ÓÒØ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ó ÙÝÓ ÙÑÙÐ Ó × Ó ÑÓ ¬ Ó Ý × ÓÒÓ Ó Ð ÒÓ Ó

759. 7.9. Caminos m´
ınimos 733
ÓÖ Òº Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Breadth First × Ò Ð ÞÓ Ù Ò Ó × Ô ÖØÓ Ð Ñ ÑÓÖ
Ô Ö Ð ØÖ ÙØÓ Bellman Ford Node Info ´Ü º º¿º½ ´Ô Ò ¾ µµº
Ä ÖÙØ Ò put in queue() Ò ÓÐ Ð ÒÓ Ó Ý Ð Ñ Ö Ð Ø Breadth First¸ Ð Ù Ð ×
Ô ÖØ Ð × Ù ÒØ ØÖ Ó ÖÙØ Ò × Ò ØÓÖÒÓ Ð ÓÐ
¿¿ ÊÙØ Ò × ÓÐ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿¿ ≡
template <class GT> inline static
void put_in_queue(DynListQueue<typename GT::Node*> & q, typename GT::Node * p)
{
q.put(p);
NODE_BITS(p).set_bit(Breadth_First, true);
}
template <class GT> inline static
typename GT::Node * get_from_queue(DynListQueue<typename GT::Node*> & q)
{
typename GT::Node * p = q.get();
NODE_BITS(p).set_bit(Breadth_First, false);
return p;
}
template <class GT> inline static
bool is_in_queue(typename GT::Node * p)
{
return IS_NODE_VISITED(p, Breadth_First);
}
Í× × DynListQueue ½ ¼ º
Ð ÔÖÓÔÓ× ØÓ Ñ Ò Ö Ð ÓÐ ÓÒ ×Ø × ÖÙØ Ò × × × ÙÖ Ö× ÒÓ Ø Ò Ö ÙÔÐ Ó× Ò
Ð ÓÐ º
Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÓØ Ð Ö Ô Ø ÓÒ × ÕÙ ÙØ Ð ÐÓÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ × Ü Ø Ñ ÒØ V −1×E Ú × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð × V −1 Ö Ð ÓÒ ×
×Ó Ö ÐÓ× E Ö Ó׺ ×Ø ÒØ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ ÒÓ× ÓØ Ð Ñ Ü Ñ ÒØ
Ú × ÕÙ Ö Ø Ö Ö Ð Ú Ö× ÓÒ ÓÒ ÓÐ ¸ × Ò Ô Ö ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø ×
Ý Ò Ø Ð ÓÑÓ List Digraph<Node, Arc>º × ¸ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö
× ÑÙÐ Ö Ð V − 1 Ø Ö ÓÒ ×º È Ö ÖÐÓ¸ Ë Û ¿¿ ÔÖÓÔÓÒ Ù× Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò¹
Ø Ò Ð Ò Ð ÓÐ ÕÙ ÒÓ× Ò ÕÙ Ù Ò Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½
Ö Ó ÙÒ Ö Ð ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó×
¿¿ ÓÐÓ Ö ÒØ Ò Ð ¿¿ ≡ ´ ¿¾µ
typename GT::Node __sentinel;
typename GT::Node * sentinel = &__sentinel;
put_in_queue <GT> (q, sentinel);
×Ø ÑÓ Ó¸ Ú Þ ÕÙ × ÕÙ ÑÓ× Ð ÓÐ sentinel Ø Ò Ö ÑÓ× Ð × ÙÖ
Ö Ö Ð Þ Ó Ð Ñ ×ÑÓ ØÖ Ó ÕÙ ÙÒ Ø Ö ÓÒ ÜØ ÖÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ º
× Ð × Ó× ×¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÓÖ Ó Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÓÒ ÓÖÑ ÓÑÓ × Ù
¿¿ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿¾ +≡ ´ ¾ µ ¿¾
for (int i = 0, n = g.get_num_nodes() - 1; not q.is_empty(); )
{
typename GT::Node * src = get_from_queue <GT> (q);
if (src == sentinel) // ¿se saca el centinela?
if (i++ == n)

760. 734 Cap´
ıtulo 7. Grafos
break;
else
put_in_queue <GT> (q, sentinel);
// recorrer y relajar arcos del nodo src
for (Node_Arc_Iterator<GT, SA> it(src); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
const typename Distance::Distance_Type & acum_src = ACU(src);
if (acum_src == Distance::Max_Distance)
continue;
typename GT::Node * tgt = it.get_tgt_node();
const typename Distance::Distance_Type & w = Distance()(arc);
const typename Distance::Distance_Type sum_src = Plus()(acum_src, w);
typename Distance::Distance_Type & acum_tgt = ACU(tgt);
if (Compare () (sum_src, acum_tgt)) // relajar arco
{
const int & idx = IDX(tgt);
pred[idx] = src;
arcs[idx] = arc;
acum_tgt = sum_src;
if (not is_in_queue <GT> (tgt))
put_in_queue <GT> (q, tgt);
}
}
}
Í× × arcs ¾ ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò pred ¾ º
×Ø Ó Ó × Ñ Ò ×Ø Ö ÓÑ ÒØ Ö
½º Ð Ø Breadth First¸ Ð Ù Ð × Ó ÙÐØ Ó Ò Ð × ÊÙØ Ò × ÓÐ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿¿ ¸ Ú Ø ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ ´tgtµ¸ ÙÝÓ ÙÑÙÐ Ó Ý × Ó
ÑÓ ¬ Ó Ò Ð Ø Ö ÓÒ Ø٠и × Ó Ð Ñ ÒØ ÒØÖÓ Ù Ó Ò Ð ÓÐ º
ÈÓÖ Ð Ú ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ý × Ó ÔÖÓ × Ó¸ × ÔÓ× Ð ÑÓ ¬ Ö Ð ÙÑÙ¹
Ð Ó ÙÒ ÒÓ Ó ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÓÐ Ò× Ð i¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ ØÙ Ð
Ó Ð ÙÒ i − 1¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ ÒØ Ö ÓÖº
¾º Ð ÓÖ Ò Ð ÓÐ Ö ÒØ Þ ÕÙ ¸ Ð Ñ ÒÓ× Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ö ÓÒ ´i = 0µ¸ Ð Ö ÓÖÖ Ó
× Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒÓ ÑÔÐ ØÙ º ÈÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ i¸ Ò ÙÒ ÓÒ
ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ Ý Ò × Ó Ñ Ø Ó× Ò Ð ÓÐ ´×ÓÐÓ ÕÙ ÐÐÓ× ÙÝÓ ÙÑÙÐ Ó Ý × Ó
ÑÓ ¬ Óµ¸ × ÔÖÓ × Ö Ò Ù Ð Ó Ñ ÒÓ× Ö Ó× ÕÙ Ò Ð Ø Ö ÓÒ 0º ÕÙ ×
Ù ÔÓÖÕÙ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ò × Ö Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ º
Ð ÓÖ Ò Ð ÓÐ × ÙÖ ÕÙ × ÔÖÓ × Ò Ö Ó× ÓÒ Ø Ó× ÒÓ Ó× ÙÝÓ× Ù¹
ÑÙÐ Ó× Ý Ò × Ó ÑÓ ¬ Ó׸ ÐÓ ÕÙ ÔÓ× Ð Ø ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÕÙ ×Ñ ÒÙÝ Ð
ÙÑÙÐ Óº ÈÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½
Ö Ò Ø Ö ÓÒ × ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ò Ö Ó× ÙÝÓ× ÙÑÙÐ Ó× ÓÖ Ò Ý ×Ø ÒÓ ×ÓÒ
Ò¬Ò ØÓ× Ý ÕÙ ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÒÓ × ÑÓ ¬ Ö Ò Ô × Ö ÕÙ Ð Ö Ó × Ö Ú × Óº ÈÓÖ
ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÓØÖ Ö Ð ÔÓÖÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò Ð ÓÐ Ø Ò × Ö
Ñ × ¬ ÒØ ÕÙ Ð Ò Ö Óº

761. 7.9. Caminos m´
ınimos 735
3 2 3 2
B D H B D H
∞ 1
∞ -2
∞ 2
1
∞ -2
∞
1 1
2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1
2 2
5 5
A F G A F G
1 1
0 ∞ ∞ 0 ∞ ∞
3 2 3 2
1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2
-1 -1 -1 -1
4 4
-2 -2
C E I C E I
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
1
´µ 1
´ µ
3 2 3 2
B D H B D H
2 2 4 2 2 4
1 -2 1 -2
1 1
2 -1 1 3 2 -1 2 -1 1 3 2 -1
2 2
5 5
A F G A F G
1 1
0 3 3 0 3 3
3 2 3 2
1 1 2 4 -2 1 1 2 4 -2
-1 -1 -1 -1
4 4
-2 -2
C E I C E I
2 2 1 2 2 0
1
´µ 1
´ µ
ÙÖ º ÈÖÓ Ö ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ñ ÓÖ Ó ÓÒ Ö Þ Ò Ð ÒÓ Ó º
¬ ÙÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ E Ö Ó× Ò×Ô ÓÒ Ó׸ ÐÓ ÕÙ ¸ Ù ÒØ Ð ÒØ
¬ ÙÖ × Ö ×Ô ØÓ Ð ¬ ÙÖ º ¸ Ó Ö ÙÒ Ð Ð Ö ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÓÖ Óº
¿º ÍÒ Ö Ó a Ö Ð Ó ÙÝÓ ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ × Ó Ñ Ø Ó Ò Ð ÓÐ ÒÓ ÚÓÐÚ Ö Ú × Ø Ö×
×Ø ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ý ÒØ × ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒØ Ö ÓÖ × Ð ÓÐ Ý Ò × Ó
Ú × Ø Ó׺ Ä Ø Ö ÓÒ 0 Ú × Ø ¸ ÓÒ ÖØ Þ ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׸ ÔÙ × ÐÓ× ÙÑÙÐ Ó×
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø Ò Ò Ú ÐÓÖ Ò¬Ò ØÓ¸ ÐÓ ÕÙ × ÙÖ ×Ù Ö Ð ÓÒº ÍÒ Ö Ó a Ö Ð Ó
Ò Ð Ø Ö ÓÒ i Ö ×Ô Ö Ö Ð Ø Ö ÓÒ i + 1 Ô Ö Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÚÓÐÚ Ö × Ö
Ö Ð Óº
º Ë Ð Ö Ó ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ × × × ÙÖÓ ÕÙ Ð ÓÐ × Ú Ö ¸ Ô٠׸
Ù Ò Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ø Ð ÐÓ× ÙÑÙÐ Ó× ×Ù× Ú ÐÓÖ × ¬Ò Ø ÚÓ׸ × Ö¸ ×Ù×
Ó×Ø × Ñ Ò ÑÓ׸ ÒÓ Ö Ò Ñ × Ò× Ö ÓÒ × Ò Ð ÓÐ º
º Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ö Ó ÓÒØ Ò Ð ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ÙÑÙÐ Ó×
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ð ÐÓ × ÑÔÖ × Ö Ò Ö Ð Ó׸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ ×
Ø Ò Ö ÔÓÖ Ð ÓÐ Ú º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÓÒØ ÓÖ i Ð ÒÞ Ö Ð Ú ÐÓÖ V − 1¸ ÐÓ
ÕÙ Ø Ò Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓº
7.9.3.5 Detecci´n de ciclos negativos
o
Ü ×Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ó Ö Ö Ó× ÕÙ ÔÐ ÒØ Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ô ×Ó× Ö Ó× ×Ù ÖØ ÕÙ ×ØÓ×
Ú Ò Ò Ò Ø ÚÓ× Ó Ð ÓÒ Ö Ó× ¬ Ø Ó× ÓÒ Ô ×Ó× Ò Ø ÚÓ׺ Ó¸ ×

762. 736 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ô Ö×Ô Ø Ú Ð ÑÓ Ð Þ ÓÒ¸ × ÔÓ× Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× Ò Ø ÚÓ× ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸
Ù Ò Ó Ñ ÒÓ× ÔÓÖ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ¸ × ÔÐ Ù× Ð ÑÓ Ð Þ Ö ÙÒ Ö Ó ÕÙ ÓÒØ Ò ÐÓ×
Ò Ø ÚÓ׺
ÓÑÓ × Ö × Ü ×Ø Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓ È Ö Ø Ö ×Ø ÔÖ ÙÒØ ¸ × Ñ Ò ×Ø Ö Ø Ò Ö Ò
Ù ÒØ ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ ÐÓÒ ØÙ Ò Ö Ó× ÙÒ Ñ ÒÓ × ÐÓ ×ÙÑÓ V − 1º × ¸ Ð
Ð for Ò Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ ׸ Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ Ö Ð Þ Ö V − 1 × E
Ö Ð ÓÒ ×¸ Ð × Ù Ð ×¸ Ò ×Ø Ò ÙÑÙÐ Ù Ö Ò ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ò Ö Ó× Ñ × Ð Ö Ó×
ÔÓ× Ð ×º ÄÙ Ó Ð V −1¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ¸ Ú ÐÓÖ (v) ÓÒØ Ò Ð Ñ Ò Ñ ×Ø Ò
× Ð ÓÖ Ò¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ö Ð Ö Ñ × Ö Ó׺
Ä ÓÒ× Ö ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × ÓÖÖ Ø ×ÓÐÓ × ÒÓ Ý ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ Ô٠׸ × ÐÓ× Ý¸
ÒØÓÒ × × ÑÔÖ × Ö ÔÓ× Ð Ö Ð Þ Ö Ö Ð ÓÒ × ÓÒ Ð ×¸ Ò¬Ò Ø Ñ ÒØ Ñ ÒÙ Ó¸
ÕÙ ×Ñ ÒÙÝ Ò Ð Ú ÐÓÖ (v) ÒÓ Ó ÒÚÓÐÙ Ö Ó Ò Ð ÐÓº
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ñ Ò Ö Ö Ø Ø Ø Ö Ð ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ ÓÒ× ×Ø Ò
Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÙÐØ Ñ Ø Ö ÓÒ Ò Ð Ù Ð¸ Ó ÙÖÖ Ö ÙÒ Ö Ð ÓÒ¸ ÑÔÐ Ð ÔÖ × Ò
ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓº
×Ø ÑÓ Ó¸ Ô Ö Ø Ø Ö × Ý ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ ×Ø ÓÒ Ú Ö ¬ Ö × × ÔÓ× Ð
Ö Ð Þ Ö Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ñ ×
¿ Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿ ≡ ´¾ ¼µ
bool negative_cycle = false;
// recorrer todos los arcos en b´squeda de un ciclo negativo
u
for (Arc_Iterator<GT, SA> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename GT::Node * src = g.get_src_node(arc);
const typename Distance::Distance_Type & acum_src = ACU(src);
if (acum_src == Distance::Max_Distance)
continue;
typename GT::Node * tgt = g.get_tgt_node(arc);
const typename Distance::Distance_Type & dist = Distance () (arc);
typename Distance::Distance_Type & acum_tgt = ACU(tgt);
const typename Distance::Distance_Type sum = Plus ()(acum_src, dist);
if (Compare () (sum, acum_tgt)) // ¿se relaja arco?
{ // s´ ==> ciclo negativo!
ı
negative_cycle = true;
const int & idx = IDX(tgt);
pred[idx] = src;
arcs[idx] = arc;
acum_tgt = sum;
}
}
Í× × Arc Iterator ¸ arcs ¾ ¸ Ò pred ¾ º
Ð ÐÓÕÙ ÓÔ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ô Ö ÐÓ× Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׺ ØÓ× ÕÙ ¸ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ×
ÔÓ×Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ Ð ÐÓ ÕÙ Ù Ö Ó Ò ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× pred Ý arcs¸ × ÑÔÓÖØ ÒØ ÙÐÑ ¹
Ò Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð forº Ë ×ÓÐÓ × ØÖ Ø × Ö × Ü ×Ø Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ¸ ÒØÓÒ ×
ÔÓ ÑÓ× Ø Ò ÖÒÓ× Ô Ò × ÐÓ Ø Ø ÑÓ׺

763. 7.9. Caminos m´
ınimos 737
7.9.3.6 Construcci´n del ´rbol abarcador
o a
Ë ÒÓ Ý ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ × ÓÒ×ØÖÙ ÑÓ× Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÐÓ ÕÙ ÔÙ Ö×
Ò ÙÒ ×ÓÐ Ô × Ö ÓÖÖ Ò Ó Ð ÖÖ ÐÓ arcs Ò× ÖØ Ò Ó ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× Ð Ú Þ ÕÙ
ÐÓ× Ñ Ô ÑÓ׺ ÙÖ ÒØ ×Ø Ô × ÔÖÓÚ ÑÓ× Ô Ö Ð Ö Ö Ð Ñ ÑÓÖ Ó ÙÔ ÔÓÖ ÐÓ×
ÓÓ ×º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö × Ð ÓÓ ÐÑ Ò ÙÒ Ñ Ô Ó Ó ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ
Bellman Ford Node Info ÒÓ× Ú Ð ÑÓ× Ð Ø Minº Ë ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø Ñ Ö Ó ÓÒ Min¸
ÒØÓÒ × ×Ù ÓÓ Ñ Ô Ð ÒÓ Ó Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð ÒÓ Ó ÒÓ ×Ø Ò
Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ý Ð ÓÓ ÓÒØ Ò ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ Ó ØÓ Bellman Ford Node Info
¿ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿ ≡ ´ ¾ µ
if (negative_cycle) // ¿hay ciclos negativos?
// liberar memoria de los cookies de los nodos y terminar
for (int i = 0; i < g.get_num_nodes(); ++i) // Construir arbol abarcador
´
{
typename GT::Arc * garc = arcs[i];
if (garc == NULL)
continue;
typename GT::Node * gsrc = g.get_src_node(garc);
typename GT::Node * tsrc = NULL;
if (IS_NODE_VISITED(gsrc, Min))
tsrc = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gsrc));
else
{
NODE_BITS(gsrc).set_bit(Min, true); // marcar bit
delete NI(gsrc);
tsrc = tree.insert_node(gsrc->get_info());
GT::map_nodes(gsrc, tsrc);
}
typename GT::Node * gtgt = g.get_tgt_node(garc);
typename GT::Node * ttgt = NULL;
if (IS_NODE_VISITED(gtgt, Min))
ttgt = static_cast<typename GT::Node*>(NODE_COOKIE(gtgt));
else
{
NODE_BITS(gtgt).set_bit(Min, true); // marcar bit
delete NI(gtgt);
ttgt = tree.insert_node(gtgt->get_info());
GT::map_nodes(gtgt, ttgt);
}
typename GT::Arc * tarc = tree.insert_arc(tsrc, ttgt, garc->get_info());
GT::map_arcs(garc, tarc);
ARC_BITS(garc).set_bit(Min, true);
}
return false; // no hay ciclos negativos
Í× × arcs ¾ º
ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ tree ÔÓ ÑÓ× × ÖÚ ÖÒÓ× Ð ÖÙØ Ò find path depth first()
×ØÙ Ò Ü º º º¾ ´Ô Ò ¾¿µ Ý × Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ × start node
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÒÓ Óº

764. 738 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.9.3.7 An´lisis del algoritmo de Bellman-Ford
a
Ò Ð Þ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ö ÕÙ Ö Ò Ð Þ Ö ×Ù× Ù ØÖÓ× ÐÓÕÙ ÔÖ Ò Ô Ð ×
ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ ¸ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹
ÓÖ ¿½ ¸ Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿ Ý ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿ º
ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ Ö ÕÙ Ö Ö ÓÖÖ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý
ÐÓ× Ö Ó× ÐÓ ÕÙ ÖÖÓ ÙÒ ÓÑÔÐ O(V + E)º
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ Ø Ö ¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ Ñ Ö ÑÓ×
Ò Ü º º¿º¿ ´Ô Ò ¿¼µ¸ V × E Ú ×º
Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿ Ø Ö ÐÓ ×ÙÑÓ O(E)º ×ØÓ¸ ÙÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ
ÒÖ Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ × ÔÖÓÜ Ñ O(V E)º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿
ØÓÑ O(V) Ú ×º
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓÑ O(V +E)+O(V E)+O(V) = O(V E)º Ä Ú Ö× ÓÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿¾ × Ò Ð ÓÐ Ø Ò Ð Ñ ×Ñ ÓÑÔÐ ¸ ÙÒ Ó
ÙÒ Ó×Ø ÓÒ Ð ×Ô Ó O(V) Ô ÖÓ Ò Ð ÔÖ Ø ¸ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹
ÓÖ ¿¾ Ø Ò × Ö Ñ × Ú ÐÓÞ ÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ º
7.9.3.8 Correctitud del algoritmo de Bellman-Ford
Proposici´n 7.6
o ¾¿
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ × Ó Ò Ð ÐÓÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹
ÓÖ ¿½ × ÓÖÖ ØÓº
Demostraci´n (por inducci´n sobre la i-´sima iteraci´n)
o o e o Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ×
ÓÖÖ Ø × ÒÓ Ü ×Ø Ñ ÒÓ × u v¸ Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ó×Ø × Ò¬Ò ØÓ Ý ÒÓ Ý
Ö Ó׺ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ú Ö ¬ ÑÓ× ÔÓÖ Ò Ù ÓÒº
Ä ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú × ÕÙ ÐÙ Ó Ð i¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ (v) × Ñ ÒÓÖ Ó
Ù Ð Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ i Ó Ñ ÒÓ× Ö Ó׺
Ë u ∈ V Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò ´start node Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓµ Ý × v ∈ V ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö º
ÒØÓÒ ×
½º i = 0 ÄÙ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ö ÓÒ¸ v ÔÙ Ò ÐÓ Ö× Ó Ó× ×Ó×
´ µ Ë Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó u→ v¸ ÒØÓÒ × (v) = w¸ Ð Ù Ð × Ð Ñ Ò ÑÓ Ñ ÒÓ ÔÓ× Ð
w
−
ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ ÙÒ ×ÓÐÓ Ö Óº
´ µ Ë ÒÓ Ü ×Ø Ö Ó Ö ØÓ ÒØÖ u Ý v¸ ÒØÓÒ × (v) = ∞ Ý Ð ÒØ
Ö Ó× ÒÚÓÐÙ Ö × ÒÙÐ ÐÓ ÕÙ ÒÓ Ú ÓÐ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú º
¾º i > 0 ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó i Ý Ú Ö ¬ ÑÓ×
× ÙÒ ÐÓ × Ô Ö i + 1º ÈÓ ÑÓ× ×Ø Ò Ù Ö Ó× ×Ó× ÒØÖ Ñ ÒÓ× × u v
´ µ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ p ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ i Ó Ñ ÒÓ× Ö Ó× Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÙ ×ØÓ
ÕÙ p × Ñ Ò ÑÓ¸ ØÓ Ö Ð ÓÒ v ÒÓ Ø Ö Ð Ú ÐÓÖ (v)º
´ µ Ò Ð ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ p × u v¸ ÓÑÔÙ ×ØÓ ÔÓÖ i Ó
Ñ ÒÓ× Ö Ó׸ ÕÙ × Ð Ñ × ÓÖØÓ ÔÓ× Ð ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÔÓ× Ð × ×
u v ÐÓÒ ØÙ i+1º ×Ø Ñ ÒÓ ÔÙ ×ØÖÙ ØÙÖ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¾¿
× Ò Ð ÔÖÙ Ë Û ¿¿ º

765. 7.9. Caminos m´
ınimos 739
ÒÓ Ó×
Ù Û Ú
× Ö¸ ÙÒ Ñ ÒÓ i Ó Ñ ÒÓ× Ö Ó× × u w Ý ÙÒ Ö Ó × w
vº ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ (w) ÓÒØ Ò Ð Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ ×
u w ÔÓ× Ð ÓÒ i Ó Ñ ÒÓ× Ö Ó׺ Ð ÐÓÕÙ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½ Ú ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ö ÓÒ i + 1 Ó × ÖÚ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× w
Ý × Ð ÓÒ Ö Ð Ö Ó ÕÙ Ú v ØÙ Ð Þ Ò Ó ×Ù (v)
7.9.3.9 B´ squeda de ciclos negativos
u
Ò Ó × ÓÒ ×¸ ÒÓ ×ÓÐÓ × Ò × Ö Ó × Ö × Ü ×Ø Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓ¸ × ÒÓ Ø ÖÑ Ò ÖÐÓ Ü Ø ¹
Ñ ÒØ ´ÒÓ Ó× Ý Ö Ó×µº ÓÑÓ ÖÐÓ
Ù Ò Ó ÙØ ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó ÓÒ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÐÓ
Ò Ø ÚÓ¸ Ð × Ö Ð ÓÒ × ÐÓ× Ö Ó× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ð ÐÓ × ÑÔÖ ×Ñ ÒÙÝ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ ×
×Ù× ÒÓ Ó׺ Ú Þ ÕÙ × Ö Ð ÙÒ Ö Ó¸ Ð Ô Ö v × ØÙ Ð Þ Ò Ð ÖÖ ÐÓ
pred[]º ÓÑÓ ×ØÓ ×Ù Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ò ÐÙ Ó× ÐÓ× Ð ÐÓ¸ Ð ÖÖ ÐÓ pred[]
ÓÒØ Ò Ð ´Ó ÐÓ×µ ÐÓ´×µ Ò Ù ×Ø ÓÒº
Ä Ö ­ Ü ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ö Ú Ð ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô Ö Ø Ø Ö ÙÒ ÐÓ¸ Ð Ù Ð ÓÒ¹
× ×Ø Ò Ù× Ö Ô Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ð ÖÖ ÐÓ pred[] Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ ÐÓº Ë ÐÓ
Ò ÓÒØÖ ÑÓ׸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× Ð Ð ÙÐÓ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ý ÜØÖ ÑÓ× Ð ÐÓ Ð
ÖÖ ÐÓº
Ë pred[] ÓÒØ Ò Ð ÐÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÑÓ Ù× ÖÐÓ º ÈÓÖ × ÑÔÐ ¸ ×Ù×Ø Ò¹
Ø Ò ÔÖ Ú Ó× × ÖÖÓÐÐÓ׸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð Ð × Compute Cycle In Digraph()
× Ò Ð Ð ÙÐÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× × ÙÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò
Ò Ü º º ´Ô Ò µº È ÖÓ ×Ø Ð × Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð Ö Ó ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò ÙÒ
Ö Ú ÓÒ List Digraph<Node, Arc> Ý ÒÓ Ò ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× pred[] Ý arcs[]º È Ö
Ð ÙÐ Ö Ð ÐÓ ÑÓ׸ Ô٠׸ ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ List Digraph<Node, Arc>
Ý ×Ó Ö Ð Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÐÓº Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÔÙ Ö ×ÙÑ Ö× ×
½º ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ó ÙÜ Ð Ö Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× pred[] Ý arcs[]º ÄÐ Ñ ÑÓ× aux
×Ø Ö Ó¸ Ð Ù Ð ×Ø Ö Ñ Ô Ó Ð Ö Ó ÓÒ ÐÓ׺
aux ÓÒØ Ò ÓÒ ÖØ ØÙ ÙÒ ÐÓ¸ ÔÙ × ×Ø ÓÒ×ØÖÙ Ó Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÖÖ ÐÓ×
pred[] Ý arcs[] Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð Ø ÓÒ ÙÒ ÐÓ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹
ÓÖ º
¾º ÑÔÐ Ö Ð Ð × Compute Cycle In Digraph¸ ×Ó Ö Ð Ö Ó ÙÜ Ð Ö Ô Ö Ù Ö ÙÒÓ
×Ù× ÐÓ× ´ÔÙ Ö Ñ ×µº Ë path Ø Ð ÐÓº
¿º Ð ÐÓ ×Ó Ö g × ¬Ò ÔÓÖ Ð Ñ Ô Ó path Ò gº
ÒØ Ò Ó ×Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
¿ ÊÙØ Ò × Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ +≡ ¾ ¼
template <class GT>
bool search_cycle(GT & g,
DynArray<typename GT::Node *> & pred,
DynArray<typename GT::Arc *> & arcs,
Path<GT> & cycle)
{

766. 740 Cap´
ıtulo 7. Grafos
const size_t & n = pred.size(); // debe ser la cantidad de nodos de g
DynMapAvlTree<typename GT::Node*, typename GT::Node*> nodes_table;
GT aux; // construir grafo auxiliar aux
for (int i = 0; i < n; ++i) // insertar nodos en aux
{
typename GT::Node * p = pred.access(i);
if (p == NULL or NODE_COOKIE(p) != NULL) // ¿nodo ya insertado y mapeado?
continue; // s´ ==> avance al siguiente
ı
typename GT::Node * q = aux.insert_node(p->get_info());
GT::map_nodes(p, q);
nodes_table.insert(q, p);
}
for (int i = 0; i < n; ++i) // insertar arcos en aux
{
typename GT::Arc * a = arcs.access(i);
if (a == NULL or ARC_COOKIE(a) != NULL)
continue;
typename GT::Node * gsrc = g.get_src_node(a);
typename GT::Node * gtgt = g.get_tgt_node(a);
if (NODE_COOKIE(gsrc) == NULL or NODE_COOKIE(gtgt) == NULL)
continue; // Uno de los nodos no est´ en pred ==> no es parte de ciclo
a
typename GT::Node * aux_src = (typename GT::Node*) NODE_COOKIE(gsrc);
typename GT::Node * aux_tgt = (typename GT::Node*) NODE_COOKIE(gtgt);
aux.insert_arc(aux_src, aux_tgt);
}
Path<GT> path; // buscar el ciclo en aux mediante algoritmo de Tarjan
if (not Compute_Cycle_In_Digraph <GT> () (aux, path))
return false; // no existe ciclo
cycle.set_graph(g); // mapear ciclo en aux al camino cyle en g
for (typename Path<GT>::Iterator it(path); it.has_current(); it.next())
cycle.append(nodes_table[it.get_current_node()]);
return true;
}
Í× × arcs ¾ ¸ DynArray ¾¸ Path ¼¾ ¸ Ò pred ¾ º
search cycle() Ù× Ò Ð ×Ù ¹ Ö Ó g ¬Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÖÖ ÐÓ× pred[] Ý arcs[]¸
Ö ×ÙÐØ ÒØ × Ð Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ Ð ÔÖ × Ò ÙÒ ÐÓº Ë Ð
ÐÓ × Ò ÓÒØÖ Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÒ ÓÒ Ö ØÓÖÒ true Ý Ù Ö Ò Ð Ñ ÒÓ cycle Ð ÐÓº
ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ö ØÓÖÒ falseº
Ä × ÒØ Ö × ÕÙ ÑÓ× × ÖÖÓÐÐ Ó Ò ØÓÖÒÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ò Ò ×
Ü ×Ø Ó ÒÓ ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Òº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÒØ ¬ Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ×
× ÙÒ Ø Ö ÔÐ Ù× Ð Ô Ö ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ÔÙ ÑÔÐ Ö×
Ô Ö Ð ÙÐ ÖÐÓ׺ Ò × × ÒØ Ó¸ × Ò Ö ÑÓ× Ð ÖÙØ Ò × Ù ÒØ
¼ ÊÙØ Ò × Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ +≡ ¿ ½
template <class GT, class Distance, class Compare, class Plus, class SA>
inline bool bellman_ford_negative_cycle(GT & g,
typename GT::Node * start_node,
Path<GT> & cycle)
{
GT tree; // arbol sobre el cual opera algoritmo de Bellman-Ford
´
ÁÒ Ð Þ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾

767. 7.9. Caminos m´
ınimos 741
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¿½
Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ¿
if (not negative_cycle)
return false;
Search_Cycle <GT> () (g, pred, arcs, cycle);
return true;
}
Í× × arcs ¾ ¸ Path ¼¾ ¸ Ò pred ¾ º
ÓÑÓ ÔÖ ÑÓ׸ Ð ÖÙØ Ò × × Ò ÐÑ ÒØ Ù Ð ÕÙ q bellman ford min spanning tree()º
Ð Ò Ó × ÕÙ ÒÓ × Ð ÙÐ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ ×ÓÐÓ × Ø ÖÑ Ò × Ü ×Ø Ò Ó ÒÓ ¹
ÐÓ× Ü ×Ø Ö¸ ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ ¸ Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ cycle¸ Ð ÐÓ ÓÒ × Ø ØÓ Ð
Ò ØÚ º
7.9.3.10 C´lculo de ciclos negativos en un digrafo
a
Ä ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ ×ÓÐÓ Ð ÙÐ ÐÓ× Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ Ð ÕÙ
Ô ÖØ Ò Þ start node¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ Ö ×ÔÓÒ ×ÓÐÙØ Ñ ÒØ × g Ø Ò Ó ÒÓ ÐÓ× Ò ¹
Ø ÚÓ׺ Ë × ÔÖ Ø Ò ÒÖÐ Ý × ÙÖ Ö × Ü ×Ø Ò Ó ÒÓ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ò ÙÒ Ö Ó
Ù ÐÕÙ Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒÕÙ Ð Ø Ò × ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ Ð Ñ ×Ñ ¸ ÑÓ× Ö Ð Þ Ö
ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × ØÖ Óº
× Ñ ÒØ ¸ Ð Ø Ò ÕÙ ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ô Ö Ù× Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× × Ö ×ÙÑ Ò
½º Ç Ø Ò C = { ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ×}
¾º ∀c ∈ C =⇒
´ µ Ë there is is cycle = Bellman Ford Negative Cycle() ÙØ Ó ×Ó Ö c
Ô ÖØ Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö cº
´ µ Ë there is cycle =⇒
º Å Ô Ð ÐÓ Ó Ø Ò Ó ÔÓÖ Bellman Ford Negative Cycle() Ð ¹
Ö Ó ÓÖ Ò Ð g
º Ì ÖÑ Ò Ö ÓÒ Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ true
¿º Ì ÖÑ Ò Ö ÓÒ Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ false
È Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó ÔÓ ÑÓ× Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ù× Ö Ð ÖÙØ Ò Strongly Connected Components(g,
list)¸ × ÖÖÓÐÐ Ò Ü º º¿º¾ ´Ô Ò µº ÄÓ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ¬Ò Ö
½ ÊÙØ Ò × Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¾ +≡ ¼
template <class GT, class Distance, class Compare, class Plus, class SA>
inline bool bellman_ford_negative_cycle(GT & g, Path<GT> & cycle)
{
DynDlist<DynDlist<typename GT::Node*> > blocks;
Strongly_Connected_Components <GT, SA> () (g, blocks);
// recorrer todos los bloques
for (typename DynDlist<DynDlist<typename GT::Node*> >::Iterator it(blocks);
it.has_current(); it.next())
{
DynDlist<typename GT::Node*> & block = it.get_current();
if (block.size() == 1)
continue;

768. 742 Cap´
ıtulo 7. Grafos
typename GT::Node * src = block.get_first(); // nodo desde donde iniciar
if (bellman_ford_negative_cycle <GT, Distance, Compare, Plus, SA>
(g, src, cycle))
return true;
}
return false;
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Path ¼¾ º
7.9.4 Discusi´n sobre los algoritmos de caminos m´
o ınimos
Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ × ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ Ö ×ÓÐÙ Ð × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × ÐÓ×
Ö Ó׺ ÒØÖ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ØÙ Ó׸ Ý ÓØÖÓ× Ü ×Ø ÒØ ×¸ Ù Ò Ó Ý ÓÑÓ × Ð ÓÒ Ö
ÙÒÓ º ÁÒ ÑÓ× ÒÙ ×ØÖ × Ù× ÓÒ ÔÖ × ÒØ Ò Ó Ð × Ù ÒØ Ø Ð Ö Ô ØÙÐ Ø Ú Ø ÑÔÓ×
Ù ÓÒ Ý ×Ô Ó
Ð ÓÖ ØÑÓ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ó
×ØÖ Ä ×Ø × Ý Ò O(E Ð V) O(V)
ÐÓÝ Å ØÖ × Ý Ò O(V ) 3
O(V 2 )
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ä ×Ø × Ý Ò O(V E) O(V)
À Ý Ú Ö Ó× Ö Ø Ö Ó× Ô Ö Ø Ö × ÔÖ ÙÒØ º ÍÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ×Ø Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð
Ó ÕÙ Ð Ö Ó × Ó ÒÓ Ö Óº Ë × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó × Ò Ô ×Ó× Ò Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ ×¸
Ó ×Ù Ñ ÓÖ Ö Ò Ñ ÒØÓ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ × Ð × Ó Ò ØÓº ÄÓ×
Ö Ó× ÔÓÒ Ö Ó× Ò ØÙÖ Ð × ÒÓ Ø Ò Ò Ô ×Ó× Ò Ø ÚÓ× ÔÓÖ Ò ØÙÖ Ð ÒØ Ò ÑÓ× ÕÙ
Ð Ö Ó ÑÓ Ð Þ Ö Ø Ñ ÒØ ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ý ÒÓ × ÙÒ ÓÒ× Ù Ò
Ð ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ö Ó Ù Ð ÒÓ¸ × Ö¸
ÙÒÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ×Ø Ò × Ù Ð Ò ×¸ Ó Ò ÙÒ Ö Ó Ø ÑÔÓÖ Ð¸ Ó × ÙÒÓ ÕÙ ÑÓ Ð
ÙÖ ÓÒ ×¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ × Ð Ñ ÓÖ ÓÔ ÓÒ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ
ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó׺
Ä Ü ×Ø Ò Ô ×Ó× Ò Ø ÚÓ× × ÖØ ÔÐ ÒÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ º Ò ×Ø
× ØÙ ÓÒ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ × Ð ÔÖ Ö Ò ¸ ÔÙ × ÒÓ ×ÓÐÓ Ü Ñ ÓÖ Ø ÑÔÓ¸
× ÒÓ ÕÙ Ø Ø ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ÙÒÕÙ ×ØÓ ÙÐØ ÑÓ × Ñ × ÙÒ ÓÒ× Ö ÓÒ Ú Ð ¹
ÓÒ ÕÙ Ö Ð Ñ Ø Ñ Ø ¸ ÒÓ × Ô ÙÒ Ó×Ø × Ò ¬ Ø ÚÓ ÔÓÖ Ð Ú Ö ¬ ÓÒº
ÈÐ ÒØ × Ð × Ö ­ Ü ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÒÓ× Ô Ö ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÔÖ ÙÒØ
Ù Ò Ó Ù× Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ö
Ù Ò Ó × Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÙÐ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ô Ö × Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׺ Ø Ð × ØÓ׸ ÓÒÚ Ò
ÓÑÔ Ö Ö ÐÓ× ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ó× Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ Ô Ö × Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ×
Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔ ÒÓ ×Ô Ó
×ØÖ O(V E Ð V) O(V 2 ) + O(V)
ÐÓÝ O(V 3 ) O(V 2 )
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ O(V 2 E) O(V 2 ) + O(V)
È Ö Ö Ó× Ò×Ó× Ò ÐÓ× ÕÙ E ≈ V2 Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ × Ó×ØÓ×Ó Ý ÒÓ× ÕÙ Ð
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ÓÑÓ Ð ÙÒ Ó ÓÑÔ Ø Ø ÚÓ Ò Ø ÑÔÓ¸ Ñ × ÒÓ Ò ×Ô Óº × Ð × Ó× ×¸ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ × Ð × Ó Ò Ù Ò Ó Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ô Ö ×
Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ý Ð Ö Ó× Ò×Ó Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ÐÓ
× Ù Ò Ó Ð Ö Ó × ×Ô Ö Óº

769. 7.10. Redes de flujo 743
È ÖÓ Ð ÔÖ ÙÒØ Ý Ö ­ Ü ÓÒ ÔÖ Ú × ÒÓ Ø Ò Ò × ÒØ Ó × Ò Ð ÔÖ ÙÒØ Ö ÙÒÓ
× Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÙÐ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ô Ö × Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ü ×Ø Ò Ó×
× ØÙ ÓÒ × Ù Ò Ó × Ö ÕÙ Ö ×ÔÓÒ Ö Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÓ Ó× Ó Ù Ò Ó
× Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö Ð Ñ ØÖÓ ÙÒ Ö º
Ò Ö Ó׸ Ð Ñ ØÖÓ × ¬Ò ÓÑÓ Ð Ñ ÒÓ × ÑÔÐ Ñ × Ð Ö Óº Ä Ö ×ÔÙ ×Ø
×Ø ÒØ ÖÖÓ ÒØ Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ñ × Ð Ö Ó Ñ ÒÓ ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó׸ ØÓ ÕÙ
× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ Ð Ñ ØÖ Þ Ó×Ø × ÖÖÓ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ó ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ò ×Ù Ú Ö× ÓÒ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ ÒÓ×
Ñ Ò ÑÓ׺
7.10 Redes de flujo
Ä × Ó× × ÕÙ ÒÓ× ×ÓÒ ÑÙÝ Ò×Ø ØÙ × Ú Ò Ò Ô ÖØ ÒÙ ×ØÖÓ ÓÒ Ó Ý ØÖ × ÓÒ Óº ×
ÕÙ Þ ÔÓÖ ÐÐÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÒÓ ×Ø Ò Ù ÖÐ × Ý¸ ÑÙ Ó Ñ ÒÓ׸ Ö ÓÒÓ Ö Ð ØÖ × Ò Ò
ÕÙ Ð ÙÒ × ÐÐ × Ø Ò Ò ×Ó Ö ÒÙ ×ØÖ Ú º ÍÒ × × Ó× ×¸ Ù Ù ¸ ÙÒ Ñ ÒØ Ð
Ô Ö ÒÙ ×ØÖÓ ÑÓ Ó Ú ¸ × Ð ØÙ Ó Ó ØÙ Ö ÓÒ Ð ­Ù Ó ÕÙ ×Ø ÐÐ Ú Ý Ð Ö
ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ÐÐ Ñ ØÙ Ö × ÕÙ ×Ø Ø ÒÓÐÓ ÓÒÐÐ Ú º
× ÖÒÓ× Ö Ñ Ò × ÒØ ÙÒ Ô Ö Ò ÓÒ ÒØÖ ÙÒ Ö ØÙ Ö × Ý ÙÒ Ö Ó Ð × ØÙ Ö ×
×ÓÒ Ö Ó× Ý ÐÓ× ÑÔ ÐÑ × ÕÙ ÙÒØ Ò Ó× Ó Ñ × ØÙ Ö × ×ÓÒ ÒÓ Ó׺ ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö
ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÙÒ ­Ù Ó¸ Ø Ñ Ò ÑÓ× Ö ÔÖ Ò Ó ÕÙ × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó Ö Ó¸
ÔÙ × Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ Ò ÙÒ ×ÓÐ Ö ÓÒº ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÑÓ Ð
ÙÒ Ö ØÙ Ö × Ý Ð ÙÒ Ð × ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ × Ð ÒÓÑ Ò Ö º
7.10.1 Definiciones y propiedades fundamentales
Definici´n 7.9 (Red) ÍÒ Ö
o × ÙÒ Ö Ó G =< V, E > ÓÒ Ø Ó ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð
ÕÙ ÒØÙÔÐ < V, E, s, t, C > ÓÒ
½º s∈V× Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ Ù ÓÖ Ò ´ Ò(s) = 0µº
t ∈ V × Ð ÒÓ Ó ×ÙÑ ÖÓ Ó Ø ÖÑ Ò Ð ´ ÓÙØ (t) = 0µº
¾º
¿º
C : E −→ C × ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ô ÕÙ Ð × Ò Ö Ó e ∈ E ÙÒ
Ô ­Ù Ó Ô(e) Ö ÙÐ ÒØ ÔÓÖ Ð Ö Ó ¾ º
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ C = Z + × Ö¸ Ð × Ô × ×ÓÒ ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ë Ò Ñ Ö Ó¸
ÔÙ Ò × Ö Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ö ÓÒ Ð ×¸ ÖÖ ÓÒ Ð × Ó Ð ÙÒ ÓØÖ Ð × Ò ÐÐÓ Ò Ð × ÒØ Ó
Ð Ö Ó ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ñ Ò ØÙ ­Ù Óº
Ò Ð ÙÒÓ× ÓÒØ ÜØÓ׸ ×Ø Ð × Ö × Ð ÒÓÑ Ò “red capacitada”º
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ × Ñ Ð Ö × ÓÒ Ð Ú Ò Ö ÒÙ ×ØÖÓ × ÙÖ×Ó¸ ÙÒ Ö × ÙÒ Ö Ó
ÓÒ Ô ×Ó× ÓÒ × ×Ô ¬ ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÒØ Ý ÙÒÓ ×ÙÑ ÖÓº Ä ¬ ÙÖ º ¼ ÐÙ×ØÖ
ÙÒ ÑÔÐÓ Ò Ð Ù Ð Ð ÒÓ Ó × Ð Ù ÒØ ¸ Á Ð ×ÙÑ ÖÓ Ý ÐÓ× Ô ×Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð ×
Ô × ØÙ Ö º
Ò ÙÒ Ö × ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ Ö Ó Ø Ú Ñ ÒØ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ö Ó× × Ð ÒØ × Ý
ÒØÖ ÒØ × ÙÒ ÒÓ Óº Ò × × ÒØ Ó¸ Ó ÙÒ ÒÓ Ó v ∈ V ¸ ÁÆ(v) × Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó×
ÒØÖ ÒØ × Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÇÍÌ(v) Ð × Ð ÒØ ×º
¾
ÌÙ Ó Ó Ò Ð¸ Ø Ø Ö ¸ × ÙÒ × Ð ×Óº

770. 744 Cap´
ıtulo 7. Grafos
K 6 E 8 L
5 4 5 4 9 5
A D 4 7 H 3 I
F
6 7 6
3 4
B 1 G 10 J
ÙÖ º ¼ ÍÒ Ö
Ò × ØÙ ÓÒ × Ð Ú Ö Ð¸ ÔÙ Ò ÔÐ ÒØ Ö× ÑÙÐØ ¹Ö × × Ö¸ ÙÒ ÑÙÐØ Ö Óº
×ØÓ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ö Ó× Ó Ñ × ØÙ Ö × ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó׺
×ØÓ ÔÙ × Ö ÙÒ ÔÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ñ Ò Ö¸ ×Ó Ö ØÓ Ó × Ù× ÑÓ× Ñ ØÖ × Ô ÖÓ
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ÑÓ Ð Þ ÓÒ¸ Ð Ò ÙÖ ÙÒ ØÙ Ö Ö ÙÒ ÒØ × ×ØÖ ÓÒ ÙÒ
ÙÑ ÒØÓ Ð Ô Ð Ö Ó ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÒ ÓÖØ
ØÙ Ö × Ò ¬ ÙÒ ×Ñ ÒÙ ÓÒº
Definici´n 7.10 (Flujo factible)
o Ë N =< V, E, s, t, C > ÙÒ Ö ­Ù Óº ÍÒ ­Ù Ó
Ø Ð × ÙÒ ÙÒ ÓÒ f : E −→ C ÕÙ Ð × Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ f(e) Ö Ó¸ ÒÓÑ Ò Ó
­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ ÕÙ × Ø × Ð × × Ù ÒØ ÓÒ ÓÒ ×
½º Condici´n de capacidad:
o
∀e ∈ E =⇒ f(e) ≤ Ô(e) ´ºµ
¾º Condici´n de conservaci´n del flujo:
o o
∀v ∈ V|v = s ∧ v = t =⇒ f(e) = f(e) ´ º½¼µ
∀e∈ÁÆ(v) ∀e∈ÇÍÌ(v)
K 6/2 E 8/5 L
5/3 4/1 5/3 4/1 9/1 5/3
A D 4/1 F 7/1 H 3/3 I
6/4 3/3 7/1
4/1 6/1
B 1/1 G 10/1 J
ÙÖ º ½ ÍÒ ­Ù Ó Ø Ð ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ¼
Ä ¬ ÙÖ º ½ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓ ÙÒ ­Ù Ó Ø Ð ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ¼º
Ä Ô × × ÓÐÓ Ò Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ Ð Ö º Ë ÙÒ Ð Ò ÓÐ
Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ× ­Ù Ó׸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ò ÐÓ× Ö Ó× ÔÙ Ò × Ô Ö Ö× Ñ ÒØ
ÓÑ ×¸ ÖÖ × Ó × ÑÔÐ Ñ ÒØ ×Ô Ó׺ Ü Ô ÓÒ Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓ ØÓ Ó ÒÓ Ó
× Ø × Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ ­Ù Óº

771. 7.10. Redes de flujo 745
Definici´n 7.11 (Valor de flujo)
o Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ò ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ
­Ù Ó f¸ ÒÓØ Ó ÓÑÓ ­Ù Ó(N, f) × ¬Ò ÓÑÓ
­Ù Ó(N, f) = f(e) = f(e) ´ º½½µ
∀e∈ÇÍÌ(s) ∀e∈ÁÆ(t)
Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó × Ð ÒØ ­Ù Ó ÕÙ Ð Ù ÒØ ¸ Ð Ù Ð
× Ö Ð Ñ ×Ñ ÕÙ ÐÐ Ð ×ÙÑ ÖÓº
Ò Ð ¬ ÙÖ º ½ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó × 7º
7.10.2 El TAD Net Graph<TNode,TArc,T>
Ä × Ö × Ô Ø × ÑÓ Ð Þ Ò × ØÙ ÓÒ × Ö Ð × ÐÓ× ÑÙÒ Ó× Ò ØÙÖ Ð Ý Ø ¹
ÒÓÐÓ Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÙÒ Ö × ÙÒ Ö Ó Ö Ó¸ ÒÓ× Ú Ð Ö ÑÓ× Ð Ì
List Digraph<Node, Arc>º Ð Ì Ö ×ÙÐØ ÒØ ÐÓ ÒÓÑ Ò ÑÓ× Net Graph<TNode,TArc,T>º
Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ò ÙÒ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ö Ó× Ú ÐÓÖ × ÒÓÑ Ò Ð × Ð ÖÓ Ó Ð ¹
Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ð ×ÙÑ Ý Ð Ò¬Ò ØÓ¸ ÐÓ× Ù Ð × ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> ≡ ´ µ
mutable Flow_Type Infinity;
Ð Ò Ó × Ò Ð Net Graph<TNode,TArc,T> Ö × Ò ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× Ñ Ò Ò
Ð Ô Ý ­Ù Óº È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø ÔÓ Ö Ó¸ Ö Ó
Graph Arc<Arc Type>¸ Ô Ö × Ö Ù× Ó ÓÒ Net Graph<TNode,TArc,T>
ÖÓ Ö ≡
template <typename Arc_Info, typename F_Type = long>
class Net_Arc : public Graph_Arc<Arc_Info>
{
typedef F_Type Flow_Type;
Flow_Type cap;
Flow_Type flow;
Å Ñ ÖÓ× Net Arc<Arc Info,F Type> ¼
};
Í× × Graph Arc º
Ä Ð × Net Arc<Arc Info,F Type> ×ÓÐÓ × ×Ø Ò ÑÓ Ð Þ Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð Ù¹
Ò × Ú Ð ÓÒ × ÒÓ × ×Ø Ò Ò×Ø Ò Ö× ÔÓÖ Ð Ù×Ù Ö Ó Ò Ö× Ñ ÒØ Ð ÙÒÓ
×Ù× Ñ ØÓ Ó׺
ØÓ× × ÑÔ ÒÓ Ò Ø ÑÔÓ¸ Ò ØÖ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÔÓ Ó ×Ô Ó¸ Ô ÖÓ Ò
Ð ÒØ Ö × Ð Ú Ð ÓÒ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð Ð × Net Node<Node Info,F Type> Ö Ú
Graph Node<Node Type>
ÆÓ Ó Ö ≡
template <typename Node_Info, typename F_Type = long>
class Net_Node : public Graph_Node<Node_Info>
{
typedef F_Type Flow_Type;
size_t in_degree;
Flow_Type out_cap;
Flow_Type in_cap;
Flow_Type out_flow;
Flow_Type in_flow;
Net_Node()

772. 746 Cap´
ıtulo 7. Grafos
: in_degree(0), out_cap(0), in_cap(0), out_flow(0), in_flow(0) { /* empty */ }
};
in degree ÐÑ Ò Ð ÒØ Ö Ó× ÒØÖ ÒØ × ´Ð × Ð ÒØ × Ý × Ò Ù ÒØÖ ×
Graph Node<Node Type>µ ×Ø × ÒØ × × ÖÚ Ò Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ò O(1) ÒÓ Ó× Ù ÒØ ×
Ý ×ÙÑ ÖÓ׺ out cap × Ð Ô × Ð Ó × Ð ×ÙÑ ØÓ × Ð × Ô ×
ÐÓ× Ö Ó× × Ð Ñ ÒØÖ × ÕÙ in cap × Ð ×ÙÑ Ð× ÒØÖ º out flow ×
Ð ×ÙÑ ØÓØ Ð ­Ù Ó ÒØÖ ÒØ Ñ ÒØÖ × ÕÙ in flow Ð Ð × Ð ÒØ º ×Ø × Ñ Ò ØÙ ×
Ô ÖÑ Ø Ò Ú Ö ¬ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ ­Ù Ó¸ × ÙÒ ´ º½¼µ¸ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ó
out flow == in flowº ÄÓ× ØÖ ÙØÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ö ×ÓÒ Ó × ÖÚ Ð × Ñ ÒØ Ð ×
× Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ
const Flow_Type & get_in_cap(Node * node) const { return node->in_cap; }
const Flow_Type & get_out_cap(Node * node) const { return node->out_cap; }
const size_t & get_in_degree(Node * node) const { return node->in_degree; }
const size_t & get_out_degree(Node * node) const { return get_num_arcs(node); }
const Flow_Type & get_out_flow(Node * node) const { return node->out_flow; }
const Flow_Type & get_in_flow(Node * node) const { return node->in_flow; }
Ô ÖØ Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ ØÖ ÙØÓ× Node Info Ý Arc Info¸ ÑÓ× Ö ÒÓØ Ó ÕÙ
Ð × Ð × × Net Arc<Arc Info,F Type> Ý Net Node<Node Info,F Type> Ñ Ò Ò ÓÑÓ
Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÐ ÒØ ÐÐ ÙÒ Ø ÔÓ Ö ØÑ Ø Ó ÐÐ Ñ Ó F Type¸ ÜÔÓÖØ Ó ÔÓÖ Ñ × Ð × × Ó
Ð × ÒÓÒ ÑÓ Flow Typeº ÈÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ Flow Type × long¸ Ô ÖÓ Ò ÔÙ Ö × Ö float Ó
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ø ÔÓ Ð Ö Óº
Ä Ö × ¬Ò Ñ ÒØ Ð Ø ÔÓ Net Graph<TNode,TArc,T> ÙÝ ×Ô ¬ ÓÒ ¹
Ò Ö Ð × ÓÑÓ × Ù
Net Graph<TNode,TArc,T> ≡
template <class NodeT, class ArcT>
class Net_Graph : public List_Digraph<NodeT, ArcT>
{
typedef List_Digraph<NodeT, ArcT> Digraph;
typedef ArcT Arc;
typedef NodeT Node;
typedef typename Arc::Flow_Type Flow_Type;
typedef typename Node::Node_Type Node_Type;
typedef typename Arc::Arc_Type Arc_Type;
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T>
};
Í× × List Digraph ½ º
ÄÓ× × ÒÓÒ ÑÓ× Ø ÔÓ× Ø Ò Ò ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× × ÒØ Ó× ÕÙ Ô Ö ÐÓ× Ø ÔÓ× Ö Ó
List Graph<Node, Arc> Ý List Digraph<Node, Arc>º
7.10.3 Manejos de varios fuentes o sumideros
× Ð ÖÓ ÕÙ ÙÖ ÒØ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ö Ü ×Ø Ö Ò Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ׺
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ × ÔÐ Ù× Ð ¸ Ø ÒØÓ Ò Ú Ð Ð ÔÖÓÔ Ó Ì ¸ × ÓÑÓ Ð × Ó¸ Ø Ò Ö ÙÒ Ö
ÓÒ Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ׺
È Ö ÓÒÓ Ö Ö Ô Ñ ÒØ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ× × ÙØ Ð Þ Ò × Ò Ó× ÓÒ ÙÒØÓ×
Ò Ñ Ó× ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × × Ò Ð Ø ÔÓ set<T> Ð Ð ÓØ ×Ø Ò Ö C++¸ Ð

773. 7.10. Redes de flujo 747
Ù Ð Ò ALEPH ×Ø × Ó Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó×
Ð Ø ÔÓ ØÖ Ô ×ØÙ Ó Ò Ü º¿ ´Ô Ò µ
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ
Aleph::set<Node*> src_nodes;
Aleph::set<Node*> sink_nodes;
src nodes ÐÑ Ò Ð Ð ×Ø ÒÓ Ó× Ù ÒØ Ý tgt nodes Ð ×ÙÑ ÖÓ׺ Ù Ò Ó
× Ö ÙÒ ÒÓ Ó¸ ×Ø × Ò× ÖØ Ò Ñ Ó× Ö ÓР׺ Ù Ò Ó × Ò× ÖØ ÙÒ Ö Ó¸ × Ð Ñ Ò
×Ù ÒÓ Ó ÓÖ Ò sink nodes Ý ×Ù ×Ø ÒÓ src nodesº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ò Ù ÐÕÙ Ö
ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒÓ ÑÓ× ÐÓ× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ× Ð Ö º
È Ö ÓÒÓ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ù ÒØ × Ó ÐÓ× ×ÙÑ ÖÓ׸ × ÜÔÓÖØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú × Ö Ö Ò
ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ×
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ
Aleph::set<Node*> & get_src_nodes() { return src_nodes; }
Aleph::set<Node*> & get_sink_nodes() { return sink_nodes; }
ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × ÔÖ Ø × Ð × Ö Ö Ò × ×ØÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÓ ×ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ ×¸ Ô ÖÓ ×Ø × ÒÓ
×Ø Ò ×Ø Ò × ÑÓ ¬ ÓÒº
Ä ÙØ Ð Þ ÓÒ ÙÒ ×ÓÐÓ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÓÐÓ ×ÙÑ ÖÓ Ò ÙÒ Ö × ÔÓÖ × ÑÔÐ
Ñ Ø Ñ Ø Ý Ð ÓÖ ØÑ º Ë Ð Ö ÔÓ× Ñ × ÙÒ Ù ÒØ Ó ×ÙÑ ÖÓ¸ ÒØÓÒ × ×Ø ×
Ö Ù ÓÐÓ Ö ÙÒ ÒÓ Ó ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ ÙÒ Ó¸ ÕÙ ÒÓ × Ô ÖØ ÐÓ Ð Ö ¸ ÓÒ Ø Ó
ÐÓ× Ù ÒØ × ØÖ Ú × Ö Ó× ÓÒ Ô Ù Ð Ð ×ÙÑ Ð× Ô × ÐÓ×
Ö Ó× × Ð ØÓ Ó× ÐÓ× Ù ÒØ ×º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÐÓ× ×ÙÑ ÖÓ× × ÓÒ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÓ
×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓ ÓÒ Ö Ó× Ô Ù Ð Ð ×ÙÑ ØÓ × Ð × Ô × ÐÓ×
Ö Ó× ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ×ÙÑ ÖÓ׺ Ä ¬ ÙÖ º ¾ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓº
A F
A f1 F FA D I
f2 f6 FI
D I S FB B G T
f3 f7
FJ
B G FC E J
f4 f8
E J C H
f5 f9
C f6 H
´ µÊ ÓÒ Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ× ´ µ Ä Ñ ×Ñ Ö ÓÒ ÙÒ ×ÙÔÖ Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓ
ÙÖ º ¾ ÑÔÐÓ Ö Ù ÓÒ ÙÒ Ö ÓÒ Ú Ö Ó× ÒÓ Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ× ÙÒ
ÓÒ ÙÒ ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓº Ä Ô ÐÓ× ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó× ÕÙ Ñ Ò Ò
× Ð Ù ÒØ × FA = Ô(ÇÍÌ(A)), FB = Ô(ÇÍÌ(B)), FC = Ô(ÇÍÌ(C))¸ Ý Ð ÐÓ×
ÕÙ ÖÖ Ò Ð ×ÙÑ ÖÓ FI = Ô(ÁÆ(J)), FJ = Ô(ÁÆ(J))º
Ä Ò ÙÖ ×ÙÔÖ ¹ÒÓ Ó× × Ö Ð Þ ØÖ Ú × Ð × Ù ÒØ ÑÐ ÔÖ Ñ Ø Ú ×
ÔÙ Ð ×
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ
void make_super_source()
{
DynDlist<Node*> src_list;
for (typename Aleph::set<Node*>::iterator it = src_nodes.begin();

774. 748 Cap´
ıtulo 7. Grafos
it != src_nodes.end(); ++it)
src_list.append(*it);
Node * super_source = insert_node();
while (not src_list.is_empty())
{
Node * p = src_list.remove_first();
insert_arc(super_source, p, get_out_cap(p));
}
with_super_source = true;
}
void unmake_super_source()
{
remove_node(*src_nodes.begin());
with_super_source = false;
}
void make_super_sink()
{
DynDlist<Node*> sink_list;
for (typename Aleph::set<Node*>::iterator it = sink_nodes.begin();
it != sink_nodes.end(); ++it)
sink_list.append(*it);
Node * super_sink = insert_node();
while (not sink_list.is_empty())
{
Node * p = sink_list.remove_first();
insert_arc(p, super_sink, get_in_cap(p));
}
with_super_sink = true;
}
void unmake_super_sink()
{
remove_node(*sink_nodes.begin());
with_super_sink = false;
}
void make_super_nodes()
{
make_super_source();
make_super_sink();
}
void unmake_super_nodes()
{
unmake_super_source();
unmake_super_sink();
}
Í× × DynDlist ¿ º
×Ø × ÔÖ Ñ Ø Ú ×¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð × Ó× ÙÐØ Ñ ×¸ × Ö Ò ÒÚÓ × ÔÓÖ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ý ¬Ò Ð ×Ù× Ð ÙÐÓ׺
ÓÑÓ ÔÙ ÔÖ Ö× ¸ Ð × ÖÙØ Ò × ÑÔÐ Ò Ð × Ò Ö × ÐÓ × with super source
Ý with super sink Ô Ö Ò Ö × Ý Ó ÒÓ ×ÙÔÖ ¹ÒÓ Ó׺ ×Ø × Ò Ö × ×ÓÒ ØÖ ÙØÓ×
Net Graph<TNode,TArc,T>º

775. 7.10. Redes de flujo 749
ÍÒ Ú Þ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ð Ö Ñ ÒØ make super nodes()¸ × Ö ÒØ Þ ÕÙ × Ø Ò
ÙÒ ×ÓÐÓ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÓÐÓ ×ÙÑ ÖÓº × Ô٠׸ Ú Ð Ð Ô Ò ×ÔÓÒ Ö Ó× Ó × ÖÚ ÓÖ ×
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ
Node * get_source() { return *get_src_nodes().begin(); }
Node * get_sink() { return *get_sink_nodes().begin(); }
7.10.4 Operaciones topol´gicas sobre una red capacitada
o
Net Graph<TNode,TArc,T>Ö ÕÙ Ö ×Ó Ö Ö Ö Ý ÜØ Ò Ö Ð ÙÒ × ÙÒ ÓÒ ×
List Digraph<Node, Arc>¸×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð × Ö Ð ÓÒ × ÓÒ Ð Ñ Ò Ó ÒÓ Ó× Ý
Ö Ó׺ ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ
Node * insert_node(const Node_Type & node_info)
{
Node * p = Digraph::insert_node(node_info);
src_nodes.insert(p);
sink_nodes.insert(p);
return p;
}
Ä ÖÙØ Ò Ô Ð Ð Ñ ÕÙ Ò Ö List Digraph<Node, Arc>¸ ÙÝÓ × ÒÓÒ ÑÓ ÒØÖÓ
Net Graph<TNode,TArc,T> × Digraphº Ä ×Ó Ö Ö ÜØ Ò Ð Ò Ö Ð ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó
ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× src nodes Ý sink nodesº
ÓÖ Ú ÑÓ× Ð ÜØ Ò× ÓÒ Ô Ö Ð Ò× Ö ÓÒ ÙÒ Ö Ó
Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼
virtual Arc * insert_arc(Node * src_node, Node * tgt_node,
const typename Arc::Arc_Type & arc_info,
const Flow_Type & cap, const Flow_Type & flow)
{ // inserci´n en la clase base
o
Arc * arc = Digraph::insert_arc(src_node, tgt_node, arc_info);
src_nodes.erase(tgt_node); // elimina destino de src_nodes
sink_nodes.erase(src_node); // elimina fuente de sink_nodes
arc->cap = cap; // ajuste capacidad y flujo de arco
arc->flow = flow;
tgt_node->in_degree++; // actualiza informaci´n de control de nodo
o
src_node->out_cap += cap;
tgt_node->in_cap += cap;
src_node->out_flow += flow;
tgt_node->in_flow += flow;
return arc;
}
insert arc() ×Ó Ö Ö Ó Ò Ð Þ Ð ×Ø Ó ÐÓ× ­Ù Ó× Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖ Ò Ý ×¹
Ø ÒÓ × ÓÑÓ Ð Ö Ó ÒØÖ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓº ÍÒ Ú Þ ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó
src node→tgt node¸ src node ÓÒ ÖØ ØÙ × Ö ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ
tgt node × Ö Ù ÒØ ÐÐ Ð × Ð Ñ Ò ÓÒ × ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× src nodes Ý
sink nodesº
ØÓ× Ú Ö× Ø Ð ¸ Net Graph<TNode,TArc,T> ÜÔÓÖØ Ú Ö× ÓÒ × ×Ó Ö Ö ×
insert arc() ÓÒ ×Ø ÒØ × ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ô Ö Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ô Ý ­Ù Ó

776. 750 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð × Ù Ð × ÕÙ Þ Ð Ñ × ÒØ Ö × ÒØ ×
¼ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼
virtual Arc * insert_arc(Node * src_node, Node * tgt_node, const Flow_Type & cap)
{
return insert_arc(src_node, tgt_node, Arc_Type(), cap, 0);
}
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ö ÕÙ Ö ØÙ Ð Þ Ö Ð Ö Ó ÒØÖ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ
Ý ÐÓ× ÙÑÙÐ Ó× ­Ù Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó׸ × ÓÑÓ Ð Ò ÙÖ Ú ÒØÙ Ð Ò ÐÓ× ÓÒ ÙÒ¹
ØÓ× src nodes Ý sink nodesº ÈÓÖ ×Ó¸ Ò Net Graph<TNode,TArc,T> Ø Ñ Ò ÑÓ×
×Ó Ö Ö Ö
¼ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼ ¼
virtual void remove_arc(Arc * arc)
{
Node * src = get_src_node(arc);
Node * tgt = get_tgt_node(arc);
if (--(tgt->in_degree) == 0)
src_nodes.insert(tgt);
src->out_cap -= arc->cap;
src->out_flow -= arc->flow;
tgt->in_cap -= arc->cap;
tgt->in_flow -= arc->flow;
Digraph::remove_arc(arc);
if (get_num_arcs(src) == 0)
sink_nodes.insert(src);
}
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ö ÕÙ Ö Ð Ñ Ò Ö ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× src nodes Ý sink nodes
´ Ò ×Ó ÕÙ Ð ÒÓ Ó × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÙÒÓ ÐÐÓ×µ¸ Ô ÖÓ Ø Ñ Ò Ö ÕÙ Ö ØÙ ¹
Ð Þ Ö ÐÓ× ×Ø Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ø Ó× ÔÓÖ ÐÓ× Ö Ó× Ð ÒÓ Ó Ð Ñ Ò Óº Ò Ð Ð ×
List Graph<Node, Arc> ×ØÓ × Ö ×Ù ÐÚ ÐÐ Ñ Ò Ó ×Ù × Ú Ñ ÒØ remove arc()º ÕÙ
Ý ÕÙ Ö ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ñ × Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× src nodes Ý sink nodesº
ËÙÖ ÒØÓÒ × Ð ÔÖ ÙÒØ ÔÓ ÑÓ× Ö Ù× Ö List Graph<Node, Arc>::remove node()
Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú ¸ ÔÙ × remove arc() × ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ú ÖØÙ Ð × Ð Ð × ×
List Graph<Node, Arc>º ×Ø ÑÓ Ó¸ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö remove node() × ÑÙÝ × ÑÔÐ
¼ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼ ¼
virtual void remove_node(Node * p)
{
Digraph::remove_node(p);
src_nodes.erase(p);
sink_nodes.erase(p);
}
Ä Ò×ØÖÙ ÓÒ ¬Ò Ð Digraph::remove node(p) ÒÚÓ Ö Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ö Ó×
ÙÒ ÒÓ Ó ´Ú Ö Ü º¿º½¼º ´Ô Ò µµº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ remove arc() × Ú ÖØ٠и
Digraph::remove node(p) ÒÚÓ Net Graph<TNode,TArc,T>::remove arc()º
ÅÙ Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × Ö Ó× × Ö ×Ù ÐÚ Ò ØÖ Ú × Ö × ­Ù Óº × ÔÙ × ÔÐ Ù× Ð Ý
ÔÖÓ Ð ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ô ÖØ Ö ÙÒ Ö Ó Ý Ü ×Ø ÒØ ¸ Ö ×ÓÐÚ Ö ÓÒ ÐÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ
Ò Ù ×Ø ÓÒ¸ Ý ÐÙ Ó Ö Ö × Ö Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ðº ÈÓÖ ×Ø Ö ÞÓÒ¸ × × Ð ×ÔÓÒ Ö ÙÒ
ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ ÓÔ Ö Ó ÕÙ ÒÓ× ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ö Ñ Ô
¼ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼ ½

777. 7.10. Redes de flujo 751
Net_Graph(Digraph & digraph)
{
Net_Graph::Net_Graph(); // inicializa atributos
copy_graph(*this, digraph, true); // copia mapeada
}
À Ý ÓØÖÓ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Net Graph(Net Graph & net)¸ Ð Ù Ð ÒÓ Ö Ð Þ Ð ÓÔ Ñ Ô º
È Ö ÕÙ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Ô ÖØ Ö ÙÒ Ö Ó Ø Ò × ÒØ Ó¸ × Ö ÕÙ Ö ÔÓ Ö Ò Ö Ó
ÑÓ ¬ Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ô Ý ­Ù Óº È Ö ÐÐÓ¸ ÜÔÓÖØ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ô Ö
ÔÖ Ñ Ø Ú ×
½ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼ ½
void set_cap(Arc * arc, const Flow_Type & cap)
{
const Flow_Type old_cap = arc->cap;
arc->cap = cap;
Node * src_node = get_src_node(arc);
src_node->out_cap -= old_cap;
src_node->out_cap += cap;
Node * tgt_node = get_tgt_node(arc);
tgt_node->in_cap -= old_cap;
tgt_node->in_cap += cap;
}
void set_flow(Arc * arc, const Flow_Type & flow)
{
const Flow_Type old_flow = arc->flow;
arc->flow = flow;
Node * src_node = get_src_node(arc);
src_node->out_flow -= old_flow;
src_node->out_flow += flow;
Node * tgt_node = get_tgt_node(arc);
tgt_node->in_flow -= old_flow;
tgt_node->in_flow += flow;
}
ÈÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ Ø Ñ Ò ÑÓ× ÔÓ Ö ÓÒÓ Ö ÐÓ× ØÖ ÙØÓ× Ö ×Ó Ó× ÙÒ Ö ¸ ÐÓ
ÕÙ Ö Ð Þ ÑÓ× Ñ ÒØ Ó× Ó × ÖÚ ÓÖ ×
½ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ½ ½
const Flow_Type & get_flow(Arc * arc) const { return arc->flow; }
const Flow_Type & get_cap(Arc * arc) const { return arc->cap; }
ÍÒ ÖÙØ Ò ×Ø ÒØ × Ð ÓÒ× ×Ø Ò Ö ¹ Ò Ö ÙÒ Ö ×ØÓ ×¸ ÓÐÓ Ö ×Ù Ú ÐÓÖ
­Ù Ó Ò ÖÓ
½ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ½ ¾
void reset()
{
for (Arc_Iterator<Net_Graph> it(*this); it.has_current(); it.next())
it.get_current()->flow = 0;
for (Node_Iterator<Net_Graph> it(*this); it.has_current(); it.next())
{
Node * p = it.get_current();
p->in_flow = p->out_flow = 0;
}

778. 752 Cap´
ıtulo 7. Grafos
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × × ÓÒÓ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð ­Ù Ó Ð
Ö
¾ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ½ ¼
const Flow_Type & flow_value() { return get_source()->out_flow; }
7.10.5 Cortes de red
Ð ÙÒÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ö Ó× ÔÙ Ò ÔÐ ÒØ Ö× Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ÙÒ Ö ÒÚ Ö× Ñ ÒØ º
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ú Ò ÙÐÓ ÒØÖ ×Ø × Ó× Ú × ÓÒ × × ÒÓØ Ö Ò Ð ÔÖÓÜ Ñ ¬Ò ÓÒº
Definici´n 7.12 (Corte de una red)
o Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C >º Ë Ò
½º Vs = {s} ∪ {v ∈ V | v = t}
¾º Vt = {t} ∪ {v ∈ V | v = s}
Ì Ð × ÕÙ Vs ∪ Vt = V ∧ Vs ∩ Vt = ∅ × Ö¸ ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ × ÙÒØ V ¸ ÒÓÑ Ò
Vs¸ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ Ô ÖÓ ÒÓ Ð ×Ø ÒÓ Ý Vt¸ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ Ô ÖÓ
ÒÓ Ð Ù ÒØ º
ÍÒ ÓÖØ Ð Ö N¸ ÒÓØ Ó < Vs, Vt >¸ × ¬Ò ÔÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× ÕÙ
ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó× Vs ÒÓ Ó× Vtº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ < Vs, Vt > ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ Ú Ò × Vt < Vs, Vt >º ×Ø
ÓÒ ÙÒØÓ × ÒÓØ ÓÑÓ < Vs, Vt >
Ä ¬ ÙÖ º ¿ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÓÖØ ÓÒ Vs = {A, B, D, F, G, K} Ý Vt = {E, H, I, J, L} ÓÒ
< Vs, Vt >= {(K → E), (D → E), (F → H), (G → H), (G → J)} Ý < Vs, Vt >= {(L → F)}º
Vt
Vs K 6 E 8 L
5 4 5 4 9 5
A D 4 7 H 3 I
F
6 7 6
3 4
B 1 G 10 J
ÙÖ º ¿ ÍÒ ÓÖØ ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ¼
Ñ ÒÙ Ó¸ Ð Ð Ø Ö ØÙÖ Ö Ó× ÒÓÑ Ò < Vs, Vt > ÓÑÓ ÙÒ ÓÖØ ×¹Ø ¸ ÔÓÖ Ð
Ó ÕÙ ×ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓ ÐÓ× ÕÙ ÓÑ Ò Ò Ð Ô ÖØ ÓÒº
Ð ×ÙÒØÓ × Ò Ð Ð Ô Ö Ò ÓÒ ÒØÖ Ð Ö Ý Ð Ö Ó × Ð Ö Ø Ö Ò Ñ Ó ÙÒ
­Ù Ó Ò Ð ØÙ Ö º Ë ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ö ÑÓ× ÙÒ ÐÐ Ú Ý ÒÓ ×ÙÖØ Ù ¸ ÒØÓÒ × ÒØÙ ÑÓ×
ÕÙ Ý ÙÒ ÓÖØ Ò Ð ÙÒ Ô ÖØ º Ä Ö Ð ÓÒ ÓÒ Ø Ú ÙÒ Ö Ó ÔÙ ×ØÙ Ö×
× ÙÒ ×Ø ÒØÙ ÓÒº Ë Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö Ó Ý × ÑÓ× Ú Ö Ù Ö ×Ù ÓÒ Ø Ú ¸ ÒØÓÒ ×
ÔÓ Ö ÑÓ× ÒÝ Ø ÖÐ ÙÒ ­Ù Ó Ð ­Ù Ó Ô ÖÑ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ Ø Ó׺

779. 7.10. Redes de flujo 753
Definici´n 7.13 (Valor de flujo de un corte)
o Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ
­Ù Ó f Ý ÙÒ ÓÖØ Ù ÐÕÙ Ö < Vs, Vt >º Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ð ÓÖØ × ¬Ò ÓÑÓ
­Ù Ó(< Vs, Vt >, f) = f(e) − f(e) ´ º½¾µ
∀e∈ÇÍÌ(Vs ) ∀e∈ÁÆ(Vt )
ÓÒ ÇÍÌ(Vs) ×ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ð ÓÖØ ÕÙ Ú Ò × Vs Vt ݸ Ö ÔÖÓ Ñ ÒØ ¸
ÁÆ(Vt) ×ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ð ÓÖØ ÕÙ Ú Ò × Vt Vsº
Proposici´n 7.7 (Equivalencia de flujo entre una red y un corte) Ë
o ÙÒ Ö
N =< V, E, s, t, C > ÓÒ ­Ù Ó f Ý ÙÒ ÓÖØ Ù ÐÕÙ Ö < Vs, Vt >º ÒØÓÒ ×
­Ù Ó(< Vs, Vt >, f) = ­Ù Ó(N, f) =⇒ ´ º½¿µ
f(e) − f(e) = f(e) − f(e) ´ º½ µ
∀e∈ÇÍÌ(Vs ) ∀e∈ÁÆ(Vt ) ∀e∈ÇÍÌ(s) ∀e∈ÁÆ(s)
= f(e)
∀e∈ÇÍÌ(s)
Demostraci´n
o Ë ÑÓ× ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¾ ¸ ÕÙ
­Ù Ó(N, f) = f(e) − f(e) .
∀e∈ÇÍÌ(Vs ) ∀e∈ÁÆ(Vt )
× Ô٠׸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ð ÓÖØ ÓÑÓ
­Ù Ó(N, f) = f(e) − f(e)
∀v∈Vs ∀e∈ÇÍÌ(v) ∀e∈ÁÆ(v)
= f(e) − f(e) . ´ º½ µ
∀v∈Vs ∀e∈ÇÍÌ(v) ∀v∈Vs ∀e∈ÁÆ(v)
Ü Ñ Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ØÙ ÓÒ Ô ØÓÖ Ò Ð ÕÙ × ÒØ ¬ ÙÒ ÒÓ Ó v ∈ Vs¸ Ð
Ù Ð ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× × Ò Ò Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ
Vt
Vs
t
s
v
{e ∈ ÇÍÌ(v) | e ∈< Vs , Vt >}
{e ∈ ÇÍÌ(v) | e ∈< Vs , Vt >}
/
ÕÙ × ×ÔÖ Ò ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× ×Ð v ÔÙ Ò Ô ÖØ ÓÒ Ö× Ò
ÇÍÌ(v) = {e ∈ ÇÍÌ(v) | e ∈< Vs, Vt >}
/ ∪ {e ∈ ÇÍÌ(v) | e ∈< Vs, Vt >}
¾
Ò ×Ø ÔÙÒØÓ × × Ò Ð Ö ÓÖ Ö Ó ÒÓØ Ö ÕÙ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ù ÒØ s ÒÓ Ø Ò Ö Ó× ÒØÖ ¸ Ð
Ö ×Ø Ò Ó ∀e∈ÁÆ(s) f(e) = 0º ÈÓÖ ÓÒ× Ù ÒØ Ð ­Ù Ó ÙÒ Ö × ∀e∈ÇÍÌ(s) f(e) − ∀e∈ÁÆ(s) f(e) =
∀e∈ÇÍÌ(s) f(e) ÐÓ ÕÙ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ´ º½½µº

780. 754 Cap´
ıtulo 7. Grafos
× Ö¸ ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × Vs Ý ÐÓ× ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÒÓ Ó×
Ô ÖØ Ò ÒØ × Vt ¾ º ÜØ Ò Ò Ó ×Ø Ó × ÖÚ ÓÒ Ô Ö ØÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vs¸ ÒØÓÒ ×
ÇÍÌ(v) = {e ∈ ÇÍÌ(v) | e ∈< Vs, Vt >} ∪ {e ∈ ÇÍÌ(v) | e ∈< Vs, Vt >}
/
∀v∈Vs ∀v∈Vs
= {e ∈ ÇÍÌ(Vs) | e ∈< Vs, Vt >} ∪ < Vs, Vt >
/ ´ º½ µ
×Ø Ö ×ÙÐØ Ó ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÓÖÑÙÐ Ö
f(e) = f(e) + f(e) ´ º½ µ
∀v∈Vs ∀e∈ÇÍÌ(v) ∀e∈{e∈ÇÍÌ(v)|e/ s ,Vt >}
∈<V ∀e∈<Vs ,Vt >
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÓÒ Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ò ÐÓ Ó ´ º½ µ¾
f(e) = f(e) + f(e) ´ º¾¼µ
∀v∈Vs ∀e∈ÁÆ(v) ∀e∈{e∈ÁÆ(v)|e/ s ,Vt >}
∈<V ∀e∈<Vs ,Vt >
ËÙ ×Ø ØÙÝ Ò Ó ´ º½ µ Ý ´ º¾¼µ Ò ´ º½ µ
­Ù Ó(N, f) = f(e) + f(e) −
∀e∈{e∈ÇÍÌ(v)|e/ s ,Vt >}
∈<V ∀e∈<Vs ,Vt >
f(e) − f(e) ´ º¾½µ
∀e∈{e∈ÁÆ(v)|e/ s ,Vt >}
∈<V ∀e∈<Vs ,Vt >
Ä ÔÖÙ Ö ÕÙ Ö ÔÖ Ò Ö ÕÙ
f(e) = f(e) .
∀e∈{e∈ÇÍÌ(v)|e/ s ,Vt >}
∈<V ∀e∈{e∈ÁÆ(v)|e/ s ,Vt >}
∈<V
Ó¸ ÐÓ ÕÙ Ñ ×ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó׸ Ô ÖÓ ÐÓ× Ö Ó× ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ׸ ÔÙ × ÙÒ Ö Ó ÕÙ ×
× Ð Ò ÙÒ ÒÓ Ó ÐÓ × ÒØÖ Ò ×Ù ×Ø ÒÓº ÔÖ Ò Ó ×ØÓ¸ ´ º¾½µ × ÔÐ ÒØ
ÓÑÓ
­Ù Ó(N, f) = f(e) − f(e) ,
∀e∈<Vs ,Vt > ∀e∈<Vs ,Vt >
ÐÓ Ù Ð¸ ÔÓÖ Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Ó¸ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ­Ù Ó Ð ÒÓ Ó
Ù ÒØ ¸ ÔÙ × Ò Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× ×Ø × ÓÒ× ÖÚ Ý Ð Ö Ò × ÒÙÐ
ÓÑÓ ÓÖÓÐ Ö Ó Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ð Ö ÕÙ ¸ Ó ÙÒ ÓÖØ
< Vs, Vt >¸ ÒØÓÒ ×
­Ù Ó(< Vs, Vt >, f) = f(e) = f(e) = ­Ù Ó(N, f) ´ º¾¾µ
∀e∈ÇÍÌ(s) ∀e∈ÁÆ(t)
¾
Ò ÐÓ Ñ ÒØ
ÁÆ(v) = {e ∈ ÁÆ(v) | e ∈< Vs , Vt >}
/ ∪ {e ∈ ÁÆ(v) | e ∈< Vs , Vt >} . ´ º½ µ
¾
[
ÁÆ(v) = {e ∈ ÁÆ(Vs ) | e ∈< Vs , Vt >} ∪
/ < Vs , Vt > ´ º½ µ
∀v∈V s

781. 7.10. Redes de flujo 755
7.10.6 Flujo m´ximo/corte m´
a ınimo
Ä Ö Ý ­Ù Ó Ó Ö Ñ ÝÓÖ ÒØ Ö × Ù Ò Ó ÒÓ× ÔÖ ÙÒØ ÑÓ× ÓÑÓ Ò ÓÒØÖ ÑÓ×
ÙÒ ­Ù Ó f Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ø × Ñ Ü ÑÓ º Ì Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × ÒÓØ ÓÑÓ f∗ º
× Ò ÐÑ ÒØ ¸ ×Ø × Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ ×Ø × ÓÒ Ý¸ ÐÓ Ð ¬ ÑÓ×
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð ÔÓÖÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ú ÙÐÓ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ ÑÔÐ
Ñ ÓØÖÓ× ÔÖÓ Ð Ñ ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÒÓ× ÓÒÚ Ò ÑÓ×ØÖ Ö Ð Ô Ö Ð Ð ×ÑÓ ÒØÖ ÙÒ
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ÙÒ ÓÖØ Ô Ñ Ò Ñ ÐÓ ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ð × Ù ÒØ ¬Ò ÓÒº
Definici´n 7.14 (Capacidad de un corte) Ë
o ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > Ý ÙÒ ÓÖØ
Ù ÐÕÙ Ö < Vs, Vt >º Ä Ô Ð ÓÖØ ¸ ÒÓØ ÓÑÓ Ô(< Vs, Vt >)¸ × ¬Ò
ÓÑÓ Ð ×ÙÑ Ð× Ô × ÐÓ× Ö Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð ÓÖØ º Ç ×
Ô(< Vs, Vt >) = Ô(e) ´ º¾¿µ
∀e∈<Vs ,Vt >
Ò ÓÒØÖ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÙÒ Ö ×Ø ×ØÖ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ó ÓÒ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ
ÓÖØ Ô Ñ Ò Ñ ÔÓÖ Ð × ÑÔÐ Ö ÞÓÒ ÕÙ ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ö Ñ ÒÓÖ
Ó Ù Ð ÕÙ Ð Ñ Ò Ñ Ô ÔÓ× Ð ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò ÙÒ ÓÖØ Ö º Ò ØÓ¸
ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º × ÑÓ× ÕÙ
­Ù Ó(N, f) ≤ Ô(e) − f(e) = Ô(< Vs, Vt >) − f(e),
∀e∈<Vs ,Vt > ∀e∈<Vs ,Vt > ∀e∈<Vs ,Vt >
´ º¾ µ
ÔÙ × ∀e ∈ E =⇒ f(e) ≤ Ô(e)º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ó ÕÙ ÐÓ× ­Ù Ó× ×ÓÒ ÔÓ× Ø ÚÓ×
­Ù Ó(N, f) ≤ Ô(< Vs, Vt >) . ´ º¾ µ
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × f∗ × ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ ÒØÓÒ ×
­Ù Ó(N, f∗ ) ≤ Ô(< Vs, Vt >) ´ º¾ µ
×ØÓ ÒÓ× ÓÒ Ù ÙÒ ÑÙÝ ÒØ Ö × ÒØ Ö ×ÙÐØ Óº
Proposici´n 7.8 Ë f ÙÒ ­Ù Ó ×Ó Ö ÙÒ Ö
o N =< V, E, s, t, C > Ý < Vs, Vt > ÙÒ ÓÖØ
×Ó Ö Ð Nº Ë ­Ù Ó(N, f) = Ô(< Vs, Vt >) ÒØÓÒ × f × ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý < Vs, Vt >
× ÙÒ ÓÖØ Ô
ÑÒÑ º
Demostraci´n Ë
o ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ×Ó Ö N Ý × < Vs, Vt >min Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ
f∗
Nº È ØÓÖ ÑÓ× Ò Ö Ñ ÒØ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
< Vs , Vt >min Vt
Vs
t
s
< Vs , Vt >min
ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ × ÑÓ× ÕÙ × s Ô ÖØ ÙÒ ­Ù Ó f∗ ÓÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó(N, f∗ )º ×Ø Ú ÐÓÖ ×
Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ ÐÐ tº Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ô Ö ÕÙ f∗ ÔÙ Ô × Ö ÔÓÖ < Vs, Vt >¸
× ÙÑÔÐ Ö ÕÙ ­Ù Ó(N, f∗) ≤ Ô(< Vs, Vt >) ݸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ¬ÖÑ

782. 756 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÕÙ ­Ù Ó(N, f∗ ) = Ô(< Vs, Vt >)¸ ÒØÓÒ × f∗ × Ð Ñ Ü ÑÓ ÔÓ× Ð ÕÙ ÔÙ Ô × Ö ÔÓÖ
< Vs, Vt > ÐÓ ÕÙ ÓÖÖÓ ÓÖ ´ º¾ µº Ä Ñ Ü Ñ Ð f∗ ×Ø ÔÙ × ÑÓ×ØÖ
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ô(< Vs, Vt >) = K = ­Ù Ó(N, f∗ )¸ Ô ÖÓ ÕÙ < Vs, Vt > ÒÓ ×
Ñ Ò ÑÓº Ë × Ù × ¸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø Ö ÓØÖÓ ÓÖØ ÓÒ ÙÒ Ô K < K¸ Ô ÖÓ ÔÓÖ
×Ø Ô ÒÓ ÔÙ ­Ù Ö f∗ ¸ ÔÙ × ­Ù Ó(N, f∗ ) > K º Ä ÓÒØÖ ÓÒ ÑÙ ×ØÖ ÔÙ ×
Ð ÑÒÑ Ð < Vs, Vt >
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒÓ× Ò ÕÙ × Ð ÙÐ ÑÓ× Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÓÑ Ò ÓÒ
ÙÝÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× < Vs, Vt > ÒÓ× ÓÒ Ô Ù Ð Ð ­Ù Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÖØ
Ñ Ò ÑÓº
Corolario 7.3 Ë f∗ ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ ÓÖØ
Ñ Ò ÑÓ < Vs, Vt >º ÒØÓÒ ×
½º
∀e ∈< Vs, Vt >=⇒ f(e) = Ô(e) ´ º¾ µ
¾º
∀e ∈< Vs, Vt >=⇒ f(e) = 0 ´ º¾ µ
Demostraci´n
o
½º ÁÒÑ ØÓ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º
¾º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ∀e∈ÇÍÌ(s) f(e) = ∀e∈ÁÆ(t) f(e) = ­Ù Ó(N, f∗ )¸ ÒØÓÒ × ­Ù Ó(< Vs, Vt >, f∗) = 0¸
ÔÙ × ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó f∗ ÒÓ × Ö Ñ Ü ÑÓ
Ð ÓÖÓÐ Ö Ó ÒÓ× ¬Ò Ñ × Ð ÓÑÔÙØÓ ÙÒ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Ô ÖØ Ö Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ
Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº ÌÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ô ÖØ Ò Þ < Vs, Vt > Ø Ò Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ù Ð ×Ù
Ô º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ô ÖØ Ò Þ < Vs, Vt > Ø Ò Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÖÓº
Ë ×Ø Ö Ø Ö Ó Ð ÙÒ ÑÓ× ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ ÕÙ Ð ×ÙÑ Ð × Ô × ÐÓ× Ö Ó×
< Vs, Vt > Ø Ò ÕÙ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ ÒØÓÒ × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ
Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸ Ó Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº
7.10.7 Caminos de aumento
ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ÙÐÓ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × × Ò Ò Ò ÓÒØÖ Ö Ñ ÒÓ× ×Ô Ð × ÐÐ Ñ ¹
Ó× ÙÑ ÒØÓº ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ¸ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ × ÙÒ × Ù Ò Ö Ó× ÒØÖ Ð
Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓ ÔÓÖ Ð Ù Ð × ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ × ÙÒ Ñ ÒÓ
ØÖ ÓÒ Ð Ý¸ Ô Ö ÔÖ Ò Ö ÐÐÓ¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÙÒ ¬Ò ÓÒ ÒØ ÖÑ º
Definici´n 7.15 (Semi-camino) ÍÒ × Ñ ¹ Ñ ÒÓ Ò ÙÒ
o Ö N =< V, E, s, t, C >¸ Ó
Ù × ¹ Ñ ÒÓ¸ × ÙÒ × Ù Ò < s, e1, v1, e2, . . . , ek−1, t > ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÒØÖ Ð ÒÓ Ó
Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× ÙÒ × Ñ ¹ Ñ ÒÓ ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ú Ò Ö Ó× × Ð
Ù ÒØ Ð ×ÙÑ ÖÓ ÔÙ Ò Ö Ö Ó× × Ð ×Ø ÒÓ Ð ×ÙÑ ÖÓº
ÍÒ Ö Ó × Ð Ù ÒØ Ð ×ÙÑ ÖÓ × ÒÓÑ Ò “arco de adelanto”º
Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ ÙÒÓ × Ð ×ÙÑ ÖÓ Ð Ù ÒØ “arco de retroceso”º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ð × Ù ÒØ × Ñ ¹ Ñ ÒÓ Ð Ö ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º ¼

783. 7.10. Redes de flujo 757
K L
5 4 5
A D 4 F I
ÄÓ× Ö Ó× {(A, K), (K, B), (B, F), (L, I)} ×ÓÒ Ð ÒØÓ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ {(L, F)} × Ö ØÖÓ ×Óº
ÓÒ Ð × Ñ ¹ Ñ ÒÓ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓº
Definici´n 7.16 (Camino de aumento)
o Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C >º ÍÒ Ñ ÒÓ
ÙÑ ÒØÓ Ca × ÙÒ × Ñ ¹ Ñ ÒÓ Ò N Ø Ð ÕÙ Ð ­Ù Ó ×Ù× Ö Ó× Ð ÒØÓ ÔÙ
Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ý Ð ×Ù× Ö Ó× Ö ØÖÓ ×Ó Ö Ñ ÒØ Ö× º
Ë Ca × ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ ÔÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö Ó e
Ð ÒØÓ f(e) < Ô(e)¸ ÔÙ × × ÒÓ ÒÓ Ö ÓÖÑ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Óº Ò Ð Ñ ×ÑÓ
× ÒØ Ó¸ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö Ó e Ö ØÖÓ ×Ó f(e) > 0º
Ä ÒØ Ò ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ö Ó Ð ÒØÓ¸ Ó Ö Ñ ÒØ Ö×
Ò ÙÒÓ Ö ØÖÓ ×Ó × ÒÓÑ Ò ×Ð ÓÒ ´ ×Ð µ¾ ¸ × × Ò Δe Ý × Ø ÖÑ Ò
Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
Δe =
Ô(e) − f(e) × e × Ð ÒØÓ ´ º¾ µ
f(e) × e × Ö ØÖÓ ×Ó
Ó ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ca¸ Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ò ÕÙ ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö× Ð
­Ù Ó Ð Ö ÔÓÖ × Ñ ÒÓ ×Ø ×ÙÔ Ø Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ ­Ù Ó Ý ×
Ø ÖÑ Ò ÓÑÓ
ΔCa = ÑÒ
∀e∈Ca
Δe ; ´ º¿¼µ
× Ö¸ Ð “m´ınimo eslab´n” Ð Ñ ÒÓ
o ÙÑ ÒØÓº
Ë Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ca ×Ó Ö ÙÒ Ö ¸ ÒØÓÒ × × × ÙÖÓ ÕÙ ×Ó Ö
×Ù× Ö Ó× ÔÓ ÑÓ× ÙÑ ÒØ Ö Ó ×Ñ ÒÙ Ö Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ò Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒº
×ØÓ Ò Ð Ö Ø Ö Ð ÓÖ ØÑ Ó ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ð
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº
4 3
K 2 E 5 L
2
2 3
3 1 2 3 1 8 1 3
3
3 6
A D F H 3 I
1 1 3
4 3 3 6 5
1 1 5
2 9
B 1 G J
1
ÙÖ º Ê Ö × Ù Ð Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º ½º ÄÓ× Ö Ó× ­Ù Ó Ö ×Ø ÒØ ×ÓÒ
ÓÒØ ÒÙÓ׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× Ö × Ù Ð × ×ÓÒ ÔÙÒØ Ó׺
¾
×Ø × Ð Ø ÖÑ ÒÓ ×Ø ÐÐ ÒÓ ÕÙ ×Ø ×Ù× Ö ØÓ Ó ÑÔÐ Ö ÔÓÖ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò Ð × ×Ð º

784. 758 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Definici´n 7.17 (Red residual) Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ú ÐÓÖ
o ­Ù Ó
­Ù Ó(N, f)º Ð Ö Ó Ö × Ù Ð N ÒÓØ Ó ÓÑÓ N =< V, E , s, t, C >¸ Ø Ð ÕÙ E Ý C ×
ÓÒ×ØÖÙÝ Ò Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½º ∀e = (u, v) ∈ E =⇒
´ µ ∃e = (u, v) ∈ E | Ô(e ) = Ô(e) − f(e) ´ Ö Ó ­Ù Ó Ö ×Ø ÒØ µº
´ µ ∃e = (v, u) ∈ E | Ô(e) = f(e) ´ Ö Ó Ö × Ù Ðµº
Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ Ð Ö Ö × Ù Ð Ð Ö Ó ÓÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ
º ½º
Ä Ö Ö × Ù Ð ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ò ÓÒØÖ Ö Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ñ ÒØ × Ù×ÕÙ ×
Ñ ÒÓ׸ × ÔÓÖ ÔÖÓ ÙÒ Ó ÔÓÖ ÑÔÐ ØÙ ¸ × Ð Ù ÒØ Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ Ò Ð
Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ØÙ Ó× Ò Ü º º º¾ ´Ô Ò ¾¿µ Ý Ü º º ´Ô Ò ¾ µº
× Ø ÒÓÖ¸ Ð ¬ ÙÖ º ¹ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ Ú ÒØÙ Ð Ñ ÒÓ Ò ÓÒØÖ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÔÓØ Ø
Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý Ð ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ´ º ¹ µº
4 3 4
K 2 E 5 L K E L
2 2
2 3 2 2 8
3 1 2 3 1 8 1 3
3
3 6 3 6
A D F H 3 I A D F H I
1 1 3
4 3 3 6 5
1 1 5
2 9
B 1 G J
1
´µ Ñ ÒÓ Ò ÓÒØÖ Ó ÔÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ´ µ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ò Ð Ö
ÙÖ º ÍÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ò Ð Ö Ö × Ù Ð Ð ¬ ÙÖ º º
ÍÒ Ú Þ ÐÐ Ó ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ÔÓ ÑÓ× Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ð Ö Ò
Ð Ú ÐÓÖ ×Ù Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒº È Ö Ð ¬ ÙÖ ÑÔÐÓ º ½ Ý Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ
ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ¹ ÓÒ Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒ ΔC = 1¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÓ ¬ Ö Ð ­Ù Ó a
ÐÓ× Ö Ó× Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ò Ð Ú ÐÓÖ ΔC º ×ØÓ ÒÓ× ÓÒ Ù Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó a
Ð ¬ ÙÖ º º
K 6/3 E 8/5 L
5/4 4/1 5/2 4/1 9/0 5/4
A D 4/2 F 7/2 H 3/3 I
6/4 7/1 6/1
3/3 4/1
B 1/1 G 10/1 J
ÙÖ º ÍÒ ­Ù Ó Ø Ð ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ¼ ÐÙ Ó Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò
ΔCa = 2 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒ Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ
º ¹º
Ð ÑÓ ¬ ÓÒ Ö Ð Þ ¸ ÕÙ Ô ÖÓ Ò Ð ¬ ÙÖ º ¸ ÒÓ× ÓÒÚ Ò ×Ø Ð Ö Ð ×
× Ù ÒØ × Ó × ÖÚ ÓÒ × ÔÓÖ × Ô Ö Ó

785. 7.10. Redes de flujo 759
½º Ð Ú ÐÓÖ Ð ­Ù Ó Ð Ö × Ò Ö Ñ ÒØÓ 7 8º
¾º Ä × ÑÓ ¬ ÓÒ × ×Ó Ö Ð ­Ù Ó ×ÓÐÓ ÒÚÓÐÙ Ö Ò Ö Ó× Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓº
¿º Ô × Ö Ð × ÑÓ ¬ ÓÒ × Ö Ð Þ ×¸ × Ñ ÒØ Ò Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ
­Ù Ó ×Ó Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓº
×Ø × Ó × ÖÚ ÓÒ × × Ò Ö Ð Þ Ò Ó Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒº
Proposici´n 7.9 (Ford-Fulkerson 1956 [12]) Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ
o
Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ­Ù Ó(N, f)º Ë Ca ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ×Ó Ö Ð Ö N¸ Ð ÙÐ Ó Ñ ÒØ
ÙÒ Ù×ÕÙ t Ò Ð Ö Ö × Ù Ð Ô ÖØ Ö s Ý ÙÝÓ Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒ × ΔCa º ÒØÓÒ ×¸
Ð ­Ù Ó Ð Ö ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö× Ò Ð Ú ÐÓÖ ΔCa Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
⎧
⎪f(e) + ΔCa × e × ÙÒ Ö Ó
⎪ Ð ÒØÓ
⎨
f(e) = f(e) − ΔCa × e × ÙÒ Ö Ó
⎪
Ö ØÖÓ ×Ó ´ º¿½µ
⎪
⎩f(e) Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ×Ó
Demostraci´n ÄÓ×
o Ö Ó× Ð Ö Ó ÕÙ ×ÓÒ ÑÓ ¬ Ó× ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò
Caº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ΔCa × Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ Ð ÙÒ Ô(e) − f(e) Ý f(e) ´Ú Ö ¬Ò ÓÒ
Ü º½ Ô º µ¸ Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ð ÒØÓ e ÒÓ ×Ó Ö Ô × Ô(e)º Ð
Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ö Ñ ÒØÓ ×Ó Ö ÙÒÓ Ö ØÖÓ ×Ó e ÒÓ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 0º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ×
ÔÖ × ÖÚ Ð ÓÒ ÓÒ Ô ×Ó Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ò Caº
ÈÓÖ ¬Ò ÓÒ¸ ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× Ca ×ÓÒ s Ý tº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ca Ù Ð ÙÐ Ó Ô ÖØ Ö
s¸ × × ÙÖÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ó s → v Ca × Ð ÒØÓ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ­Ù Ó Ð Ö
× ÙÑ ÒØ Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò Ð Ö Ó Ð ÒØÓ Ò Ð Ú ÐÓÖ ΔC º Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ ¸
a
Ð ÙÐØ ÑÓ Ö Ó Ca¸ ÓÒ ÓÖÑ w → t¸ ÕÙ ÙÐÑ Ò Ò t Ø Ñ Ò × Ð ÒØÓ Ý ×Ù
­Ù Ó × Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ú ÐÓÖ ΔC º × Ô٠׸ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ð Ö ÙÑ ÒØ
a
Ò ΔC ºa
È Ö Ð Ö ×ØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ca ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö ÕÙ × ÔÖ × ÖÚ Ð ÓÒ ÓÒ
ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Óº Ä × ÔÓ× Ð × ÓÑ Ò ÓÒ × ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö v ∈ Ca, v =
s, v = t ×ÓÒ
½º +ΔC a +ΔC
→ v →a Ò ÙÝÓ ×Ó Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ ×Ó Ö Ð ­Ù Ó ÒØÖ ÒØ × Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ Ô Ö
Ð ­Ù Ó × Ð ÒØ º
¾º −ΔC a
←− v ←−a −ΔC
× Ñ ØÖ Ó Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ Ô ÖÓ ÓÒ Ö Ñ ÒØÓº
¿º −ΔC a
←− v → a
+ΔC
× Ò ÑÔÓÖØ Ö Ù Ð × ×ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ò ÒØ × Ó Ý ÒØ × v¸ Ò Ù ÒØÓ×
×ØÓ× ×ÓÒ¸ Ð ­Ù Ó × ÓÒ× ÖÚ ¸ ÔÙ × Ò ÙÒ Ö Ó × Ð × ÙÑ ÒØ Ò ΔC Ô ÖÓ Ò a
ÓØÖÓ × Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ×Ñ ÒØ º
º +Δ v −Δ × Ñ ØÖ Ó Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô ÖÓ Ô Ö Ö Ó× ÒØÖ
→
Ca
←−
Ca
7.10.8 Calculo de la red residual
Ë ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ × Ð ÙÐ Ò ÔÓÖ Ò×Ô ÓÒ Ð Ö Ö × Ù Ð¸ ÒØÓÒ × Ö ¹
ÕÙ Ö ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ Ò Ö Ð ÙÐ ÖÐ º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ× ×Ø Ò Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÓÔ
Ñ Ô ¸ ÑÓ ¬ ÖÐ ×Ù× Ö Ó× ×Ù× Ô × Ö ×Ø ÒØ × Ý ÐÙ Ó Ò ÖÐ ÐÓ× Ö Ó× Ö × ¹
٠Р׺ ËÓ Ö Ð Ö Ö × Ù Ð × ÔÙ ØÙ Ð Þ Ö Ð ­Ù Ó Ð ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ ÙÒ Ñ ÒÓ

786. 760 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÙÑ ÒØÓ Ý Ö Ô Ø Ö Ð Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ý ØÙ Ð Þ ÓÒ × ­Ù Ó ×Ø
Ñ Ü Ñ Þ ÖÐÓº È ÖÓ ×Ø Ò ÓÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÔÐ Ö Ð ×Ô Ó Ò ÒÓ Ó× Ý Ð
ÓÐ Ö Ó׺ ÈÙ Ö× Ò Ø ÑÔÓ ÕÙ Ô Ö Ð Ý × Ò Ò × ÙÔÐ Ö
Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú × Ö¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð Ö Ö × Ù Ð ×Ó Ö Ð Ö
ÓÖ Ò Ðº È Ö ÐÐÓ¸ Ò ÑÓ× ÙÒ ØÖ ÙØÓ Ð Ö Ó ÕÙ Ò ÕÙ × Ð Ö Ó × Ó ÒÓ Ö × Ù Ð
Ý ÜÔÓÖØ ÑÓ× ÒØ Ö × ÕÙ ÑÙ ×ØÖ Ò ÐÓ× Ô ×Ó× ÙÒ Ö Ó × ÙÒ ´ º¿½µº È Ö × Ö × Ð
Ö Ó × Ó ÒÓ Ö × Ù Ð¸ Ù Ö Ö ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö × Ù Ð Ð Ö Ó Ò ÔÙÒØ ÖÓ Ý ÙÒ Ò ÓÒ
ÐÓ
¼ Å Ñ ÖÓ× Net Arc<Arc Info,F Type> ¼ ≡ ´ µ
Net_Arc * img_arc;
bool is_residual;
Ë this × ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð¸ ÒØÓÒ × img arc × ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð Ö Ó Ð Ù Ð this ×
Ö × Ù Ðº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ × this × ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ð Ö ¸ ÒØÓÒ × img arc × Ð Ö ÓÒ
×Ù Ö Ó Ö × Ù Ðº
Ð ØÖ ÙØÓ is residual Ò × this × Ó ÒÓ Ö × Ù Ðº
ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ÙÐÓ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ó× Ò Ù×ÕÙ × Ñ ÒÓ× Ù¹
Ñ ÒØÓ ×Ó Ö Ð Ö Ö × Ù Ð × × Ò Ò Ð “capacidad restante” Ò Ð Ö Ó¸ Ð Ù Ð
ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ× ÓÑÓ Cr(e) = Ô(e) − f(e) Ô Ö ÙÒ Ö Ó ÒÓÖÑ Ðº È Ö ÕÙ Ð ÐÙ× ÓÒ
Ô Ö ×Ø ÒØ × Ð Ñ ×Ñ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð e¸ × Ø × Ö× ÕÙ
Ô(e) − f(e) = Ô(e) − f(e)º × ¸ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð × ÑÔÖ × ÓÐÓ Ò
Ò
Ô(e) = Ô(e) ´ º¿¾µ
f(e) = Ô(e) − f(e) ´ º¿¿µ
×Ø ÑÓ Ó¸ Ô Ö ÙÒ Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö e Ý ×Ù Ö × Ù Ð e¸ Ôr(e) = Ô(e)−f(e) ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ
Ð Ô Ö ×Ø ÒØ e Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ôr(e) = Ô(e) − f(e) = f(e) ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð
­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ ÔÓÖ eº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð Ò ÐÑ ÒØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ ÙÒÓ Ö Ð¸ Ò ×Ù Ö ÓÒ
× ×Ô ¬ Ð Ö Ó Ö Ð
¼ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¾ ½
void insert_residual_arc(Arc * arc)
{
Arc * residual_arc =
Digraph::insert_arc(get_tgt_node(arc), get_src_node(arc));
residual_arc->is_residual = true;
residual_arc->img_arc = arc;
residual_arc->cap = arc->cap;
residual_arc->flow = arc->cap - arc->flow;
arc->img_arc = residual_arc;
}
Ð ¬Ò Ð Ö Ö × Ù Ð × × ÖÚ Ö Ñ Ó Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓº ÈÓÖ
×Ø Ö ÞÓÒ¸ ÒÓ Ú Ð Ð Ô Ò ÔÖ Ó ÙÔ Ö× ÔÓÖ Ð × Ú ÒØÙ Ð × Ò ÓÒ× ×Ø Ò × Ù× × ÔÓÖ Ð
ÔÖ × Ò ÐÓ× Ö Ó× Ö × Ù Ð × Ð Ö Ó × Ð ÙÒ ÒÓ Ó Ó Ð Ö ÓÖÖ Ö ÐÓ× Ö Ó×
ÙÒ Ö ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ׺ Ð Ö Ó Ö × Ù Ð × Ö Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý × ×ØÖÙÝ
ÒÑ Ø Ñ ÒØ ×Ø × Ý Ð ÙÐ Óº
Ä Ð Ñ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð Ö Ð Þ Ö× Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ × Ö¸ ÒÓ ÔÓ ¹
ÑÓ× ÒÚÓ Ö Net Graph<TNode,TArc,T>::remove arc()¸ ÔÙ × ×Ø ÔÖ ×ÙÑ Ö ÕÙ Ð

787. 7.10. Redes de flujo 761
Ö Ó × Ô ÖØ ÐÓ Ð Ö ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð ×Óº × ¸ ÐÓ ÑÓ× Ñ ÒØ
ÓØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú Ô ÖØ ÙÐ Ö
½ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ¼ ½
void remove_residual_arc(Arc * arc)
{
Digraph::remove_arc(arc);
}
Ë Ò Ó Ò× ÖØ Ö Ý Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× Ö × Ù Ð ×¸ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ý ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö
Ö × Ù Ð ÒØÖÓ Ð ÔÖÓÔ Ö ×ÓÒ Ö Ø ×
½ Å Ñ ÖÓ× Net Graph<TNode,TArc,T> +≡ ´ µ ½
void make_residual_net()
{
size_t n = this->get_num_arcs(); // cantidad de arcos residuales a insertar
for (Arc_Iterator<Net_Graph> it(*this); it.has_current() and n > 0; it.next())
{
Arc * arc = it.get_current_arc();
if (not arc->is_residual)
{
insert_residual_arc(arc);
--n;
}
}
}
void unmake_residual_net()
{
for (Arc_Iterator<Net_Graph> it(*this); it.has_current(); )
{
Arc * arc = it.get_current_arc();
if (arc->is_residual)
{
it.next();
remove_residual_arc(arc);
}
else
it.next();
}
}
Í× × Arc Iterator º
7.10.9 Calculo de caminos de aumento
ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ò Ó¸ Ð Ù×ÕÙ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ØÖ Ú × Ð Ö
Ö × Ù Ð × Ö Ñ Ø ÙÒ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ × Ð Ù ÒØ ×Ø Ð ×ÙÑ ÖÓº Ì Ð
Ù×ÕÙ ÔÙ Ö Ð Þ Ö× ÔÓÖ ÔÖÓ ÙÒ Ó ÑÔÐ ØÙ ØÖ Ú × Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × Ð ÙÐÓ
Ñ ÒÓ× ×ØÙ × Ò Ü º º º¾ ´Ô Ò ¾¿µ Ý Ü º º ´Ô Ò ¾ µ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ØÓ× ÙØ Ð Þ Ö Ü Ø Ñ ÒØ Ð × Ñ ×Ñ × ÔÖ Ñ Ø Ú × ÑÓ× Ö ÕÙ Ð Ð ×
Node Arc Iterator Ö Ð Ð Ù×ÕÙ ×Ó Ö Ð Ö Ö × Ù Ð Ý ÒÓ ×Ó Ö Ð ÓÖ Ò Ðº Ò
ÓØÖ × Ó × ÓÒ × × Ö Ò × Ö Ó ÕÙ Ð Ø Ö ÓÖ ×ÓÐÓ ÑÙ ×ØÖ Ö Ó× Ö × Ù Ð × Ý Ò ÓØÖ × Ñ ×
ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺

788. 762 Cap´
ıtulo 7. Grafos
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
A 7/0 B 6/0 F 4/0 H 5/0 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
5/0 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5 3 5 7 6 4 6
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
ÙÖ º ÍÒ Ö ÑÔÐÓ Ý ×Ù Ö × Ù Ðº
È Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ ×ØÓ ¬Ò ÑÓ× ÙÒ Ð × ¬ÐØÖÓ ÕÙ ¬ÐØÖ Ð Ö Ó × ÙÒ Ð Ú ÐÓÖ Ð ­Ù Ó
Ö ×Ø ÒØ ¸ × ×Ø Ó ÒÓ Ð Ö Ó Ö × Ù Ð
¾ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ ≡ ¾
template <class N> class Res_F
{
bool operator () (typename N::Node *, typename N::Arc * a) const
{
return (a->cap - a->flow) != 0;
}
};
ÓÒ ×Ø ¬ÐØÖÓ¸ find path depth first() Ý find path breadth first()¸ ÒÚÓ × ×Ó¹
Ö Ð Ö Ó ÓÒ Ð Ö Ö × Ù Ð¸ Ò ÓÒØÖ Ö Ò Ö Ø Ý ØÖ ×Ô Ö ÒØ Ñ ÒØ Ñ ÒÓ× Ù¹
Ñ ÒØÓ ÒØÖ Ð Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓº
7.10.10 Incremento del flujo por un camino de aumento
Ë Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ù Ö Ó Ò ÙÒ Ó ØÓ Ø ÔÓ Path<Net Graph>
´× ÙÒ Ü º ´Ô Ò ¼¾µµ¸ ÒØÓÒ ×¸ × ÙÒ ´ º¿½µ¸ ÔÓ ÑÓ× Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ð
Ö º È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ
¾ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¾ ¿
template <class Net>
typename Net::Flow_Type increase_flow(Net & net, Path<Net> & path)
{
typename Net::Flow_Type slack = net.Infinity; // valor del eslab´n m´nimo
o ı
// calcular el eslab´n m´nimo del camino de aumento
o ı
for (typename Path<Net>::Iterator it(path); it.has_current_arc(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();
const typename Net::Flow_Type w = arc->cap - arc->flow;
if (w < slack)
slack = w;
}
// aumentar el flujo de la red por el camino de aumento
for (typename Path<Net>::Iterator it(path); it.has_current_arc(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();

789. 7.10. Redes de flujo 763
typename Net::Arc * img = (typename Net::Arc*) arc->img_arc;
arc->flow += slack;
img->flow -= slack;
if (not arc->is_residual)
{
net.increase_out_flow(net.get_src_node(arc), slack);
net.increase_in_flow(net.get_tgt_node(arc), slack);
}
else
{
net.decrease_in_flow(net.get_src_node(arc), slack);
net.decrease_out_flow(net.get_tgt_node(arc), slack);
}
}
return slack;
}
Í× × Path ¼¾ º
Ù Ò Ó × Ò Ö Ñ ÒØ Ð ­Ù Ó ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð × ÜÔÖ × ÕÙ Ý ÙÒ ×Ñ ÒÙ ÓÒ Ð
­Ù Ó Ð Ö Ó Ö Ð Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó ÒÓÖÑ Ð ÑÔÐ ÙÒ ÙÑ ÒØÓ
Ð Ô Ö ×Ø ÒØ Ð Ö Ó Ö × Ù Ðº ÕÙ ÕÙ × Ú Ð Ó ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò arc
Ý ×Ñ ÒÙ ÖÐÓ Ò img Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ arc × Ó ÒÓ Ö × Ù Ðº
7.10.11 El algoritmo de Ford-Fulkerson
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ÑÓ× × Ù ÖØÓ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ö ÓÑÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó
ÙÒ Ö º ÓÑÓ Ò ÓÒØÖ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö ÙÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÔÖÓ Ö × Ú Ñ ÒØ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ð ­Ù Ó ×Ø
ÕÙ ×Ø Ú Ò Ñ Ü ÑÓº Ù Ð × Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÔÖ
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ö ×ÔÙ ×Ø ÒÓ× Ð ÖÖÓ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó º¿ Ô º Ô ÖÓ ×Ø Ú ÔÙ × Ö
ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ó×ØÓ× ¸ ÔÙ × Ö ÕÙ Ö Ñ Ò Ö ÓÒ ÙÒØÓ× ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÑ ÒØ º ÍÒ
Ú Ñ × ¬ ÒØ Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒº
Proposici´n 7.10
o Ëf ÙÒ ­Ù Ó ÙÒ Ö Nº ÒØÓÒ × f × Ñ Ü ÑÓ × Ý ×ÓÐÓ × ÒÓ
Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ò Nº
Demostraci´n Ä Ò ×
o × ÑÙ ×ØÖ ÔÓÖ ÓÒØÖ ÓÒº Ë f × Ñ Ü ÑÓ Ô ÖÓ
Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ ×¸ × ÙÒ ´ º¿½µ¸ × ÔÓ× Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó¸ ÐÓ
ÕÙ ÓÒØÖ ¬ÖÑ Ö ÕÙ f × Ñ Ü ÑÓ
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ×Ù¬ Ò ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓº Ä
Ù× Ò Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ò ÕÙ Ð ÒÓ Ó ×ÙÑ ÖÓ × Ò Ð ÒÞ Ð × Ð
Ù ÒØ ¸ ÔÙ × Ð Ö Ó Ö Ù Ó ×Ø Ö Ò ÓÒ ÜÓ × Ö¸ ØÓ Ó Ñ ÒÓ Ò Ð Ö Ó Ö Ù Ó
ÕÙ Ô ÖØ × Ð Ù ÒØ × ÓÖØ Ð Ð ÒÞ Ö Ö Ó× ÓÒ ­Ù Ó Ù Ð ×Ù Ô º ÆÓ ×
ÔÓ× Ð ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÑ ÒØ Ö Ñ × Ð ­Ù Ó¸ ÐÓ ÕÙ Ò ÕÙ f × Ñ Ü ÑÓ
×Ø ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÒÓ× Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó Ô Ö ÕÙ ×Ø ÑÓ× Ù× Ò Ó Ý × Ð ×
Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¾
template <class Net, template <class, class> class Find_Path>
typename Net::Flow_Type aumenting_path_maximum_flow(Net & net,
const bool & leave_residual = false)

790. 764 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
net.make_super_nodes();
net.make_residual_net();
typename Net::Node * source = net.get_source();
typename Net::Node * sink = net.get_sink();
while (true) // mientras exista un camino de aumento
{
Path<Net> path(net);
if (not Find_Path <Net, Res_F<Net> > () (net, source, sink, path))
break;
increase_flow <Net> (net, path);
}
const typename Net::Flow_Type ret_val = source->out_flow;
if (not leave_residual)
{
net.unmake_residual_net();
net.unmake_super_nodes();
}
return ret_val;
}
Í× × Path ¼¾ º
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ leave residual Ð Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð Ö Ö × Ù Ð ÒÓ Ð Ö Ö× º
×ØÓ ÔÙ × Ö ÙØ Ð Ô Ö ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÒØÖ ÐÐÓ× Ð Ð ÙÐÓ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº
È Ö ÕÙ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÔ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ¸ Ð × Ù×ÕÙ × Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ
×ÓÐÓ Ò ÓÒ× Ö Ö Ö Ó× ÒÓÖÑ Ð × ÙÝ Ô Ý ×Ø Ð ÒÞ ¸ Ó Ö Ó× Ö × Ù Ð ×
ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð ÙÒ ­Ù Óº È Ö ÐÐÓ¸ Ò×Ø Ò ÑÓ× Ð Ù×ÕÙ ÓÒ Ð ¬ÐØÖÓ Res F<Net>º
ÍÒ Ò×Ø Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ù×ÕÙ × Ñ ÒÓ× Ò ÔÖÓ ÙÒ ¹
×Ó Ö Ð Ö Ö × Ù Ð ÒÓ× ÓÒ Ù Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ñ × Ð Ö Ð ÓÖ ØÑÓ × Ù ÖØÓ Ô Ö
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¿
template <class Net> typename Net::Flow_Type
ford_fulkerson_maximum_flow(Net & net, const bool & leave_residual = false)
{
return
aumenting_path_maximum_flow<Net, Find_Path_Depth_First>(net, leave_residual);
}
ØÓ× Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ Ò ÓØÖ × ÔÐ ÓÒ × ÕÙ ÐÓ
Ö ÕÙ Ö Ò¸ ÜÔÓÖØ Ö ÑÓ× ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ð ÒÓÑ Ö ÙÒ Ð ×
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net> class Ford_Fulkerson_Maximum_Flow
{
typename Net::Flow_Type operator () (Net & net,
const bool & leave_residual = false) const
{
return ford_fulkerson_maximum_flow(net, leave_residual);
}
};
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÕÙ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× Ø Ò Ö Ò ×Ù Ð ×
ÒÚÓ ÒØ º

791. 7.10. Redes de flujo 765
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
A 7/0 B 6/0 F 4/0 H 5/0 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
5/0 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5 3 5 7 6 4 6
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
D 4 E 8 I 4 K
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K
6 3 4 5 3 4 3 4
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
A 7 B 6 F 4 H 5 M
A 7/0 B 6/0 F 4/0 H 5/0 M
2 4 3
5 3 5 6 4
3 3 3
5/3 5/0 3/3 5/0 7/3 6/0 4/0 6/3
2
C 4 G 6 J L
C G J 5/3 L 3
4/0 6/0
´µ ´ µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
5 4
A 7/2 B 6/2 F 4/0 H 5/0 M A B F 4 H 5 M
2 2
2 2 1
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/0 4/0 6/5 5 3 5 6 4
3 5 5
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
4 3
A 7/3 B 6/3 F 4/0 H 5/0 M A B F 4 H 5 M
3 3
5
2 2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/1 4/0 6/6 5 3 5 4 6
3 5
1
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´ µ
ÙÖ º ÚÓÐÙ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º
ÙÖ × Ð ÞÕÙ Ö ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ×Ø Ó ­Ù Ó Ð Ö Ý Ö × ÐØ Ò Ð Ñ ÒÓ
ÙÑ ÒØÓº ÙÖ × Ð Ö ÑÙ ×ØÖ Ò Ð Ö Ö × Ù Ð¸ ÙÒØÓ ÓÒ Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ
Ø Ð ÓÑÓ × × Ù Ö Ò Ð Ù×ÕÙ Ö Ó× ÓÒ Ú ÐÓÖ 0 ÒÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ð Ö Ö × Ù Ðº

792. 766 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ × × Ò Ò ÓÒØÖ Ö Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ ÔÓÖ Ù×ÕÙ
Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý ÔÖÓ Ö × Ú Ñ ÒØ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò Ð ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓº ÄÓ× Ñ ÒÓ×
× ÐÓ Ð Þ Ò Ò Ð Ö Ö × Ù Ð ÕÙ × ÓÒ×ØÖÙÝ ÓÑÓ ÜØ Ò× ÓÒ Ð Ö ÓÖ Ò Ð Ý Ð ×
ØÙ Ð Þ ÓÒ × Ð ­Ù Ó Ø Ñ Ò × Ö Ð Þ Ò ×Ó Ö Ð Ö º
Ä × ¬ ÙÖ × º Ý º ÐÙ×ØÖ Ò ØÓ × Ð × Ø Ö ÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ
×Ó Ö Ð Ö ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º º
7.10.11.1 An´lisis del algoritmo de Ford-Fulkerson
a
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ö × Ù Ð × ÓÒ×ØÖÙÝ ×Ó Ö Ð ÔÖÓÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó
make residual net() ´Ü º½¼º½¼ ´Ô Ò ¾µµ¸ Ð ÓÒ×ÙÑÓ ×Ô Ó × O(E)¸ ÒØ
ÕÙ ×ÓÖ Ð ×Ô Ó ÕÙ ÔÙ Ó ÙÔ Ö Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ pathº
Ð Ó×Ø Ò ÙÖ ÓÒ Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ð Ö Ö × Ù Ð × O(E)¸ ÔÙ × × Ö ÕÙ Ö Ò
Ö Ú × Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö º
Ä ÙÖ ÓÒ Ñ Ü Ñ Ó ÔÖÓÑ ÙÒ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÔÓÖ ÜÔÐÓ¹
Ö ÓÒ Ò ÔÖÓ ÙÒ ×Ø ÓØ ÔÓÖ O(E) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó ÐÓ Ù Ð × Ú ÒØ Ô × Ö
ØÒÖ Ð ÓÐ Ö Ó׺ Ë N Ù × Ð ÒØ Ú × ÕÙ Ö Ô Ø Ð while¸ ÒØÓÒ × Ð
ÙÖ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × O(E) + N × O(E) = N × O(E)º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÙÖ ÓÒ Ô Ò
ÕÙ Ø Ò Ù ÒÓ × Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ò ÓÒØÖ Ó ÔÓÖ find path depth first()º
Ù ÒØÓ Ñ ÝÓÖ × Ð Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ Ñ × × Ö Ö Ð
Ò Ö Ñ ÒØÓ Ð ­Ù Ó Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓº Ä ÓÒ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ×ØÖ ¸ Ò¹
ØÓÒ ×¸ Ò ÕÙ ×Ù ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ × ÐØÓº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ find path depth first()
ÒÓ ÒÓ× Ó Ö Ò Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ó Ð ÖÙØ Ò Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ × ÙÒ Ð × Ö¹
ÙÒ×Ø Ò × ØÓÔÓÐÓ ×¸ Ð × Ù Ð ×¸ ÒÙ ×ØÖÓ× ØÓ× ÔÙ Ò ÓÒ× Ö Ö× Ð ØÓÖ ×º ÈÓÖ
Ø ÒØÓ¸ ×ÙÑ Ò Ó Ô × ÒØ Ö ×¸ ÔÙ Ö Ò Ö ÕÙ Ö Ö× O(f∗ ) Ö Ô Ø ÓÒ × Ô Ö ÐÐ Ö
Ð Ñ Ü ÑÓ¾ º Ò Ð ÓÑ Ò Ó ÒØ ÖÓ¸ ×ØÓ ×Ù × find path depth first() × ÑÔÖ
ÒÓ× Ò Ù ÒØÖ Ñ ÒÓ× ÓÒ ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ ÙÒ Ø Ö Óº È Ö ÔÖ Ò Ö Ñ ÓÖ Ð ×ÙÒØÓ¸
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ½º Ë Ð ×Ù ÖØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒÓ
ÙÑ ÒØÓ × Ù ÖØÓ ÔÓÖ find path depth first() × s → v → w → t¸ ÒØÓÒ ×¸
ford fulkerson maximum flow() ÔÙ Ö Ð Þ Ö N Ò Ö Ñ ÒØÓ× ­Ù Ó × ¸ Ô ÖØ Ö Ð
Ö Ó Ö × Ù Ð Ð ¬ ÙÖ º ½¹ ¸ find path depth first() × ÑÔÖ Ò Ù ÒØÖ ÓÑÓ
Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ s → w → v → t¸ ÙÝÓ ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ × ÑÔÖ × Ö 1º
ÍÒ Ð × Ö Ø × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ × ÕÙ ×Ù Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÒÓ ×Ø Ö Ò¹
ØÞ × Ð × Ô × × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÓÒ ÖÖ ÓÒ Ð ×º Ä Ö Ø × Ò ÓÐ Ø ÓÖ ¸
ÔÙ × × ÐÓ× ÖÖ ÓÒ Ð × × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ò ÔÙÒØÓ ­ÓØ ÒØ ¸ ÒØÓÒ × ÐÓ× ×Ù × ÚÓ× ÙÑ ÒØÓ×
­Ù Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ð ÒÞ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ Ô ÙÒ Ö Óº Ë × ÑÔÐ Ò Ö ÓÒ ×
ÓÑÓ Ô ×¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ÔÙ Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö× ÒØ ÖÓ× × ÙÒ ×Ù Ñ Ò ÑÓ ÓÑÙÒ
ÑÙÐØ ÔÐÓº
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÙÒ × ×ÙÔ Ø ÑÓ× Ð × Ô × Ð ÓÑ Ò Ó ÒØ ÖÓ Ý ÙÒ ÜÔÐÓÖ ÓÒ
Ò ÔÖÓ ÙÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ ÔÙ Ü Ö¸ Ò Ð Ô ÓÖ
×Ó¸ ÙÒ ¬ Ò O(f ∗ × E)¸ ÐÓ ÕÙ ¸ ÓÑÓ × ÔÖ Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º ½¸
ÔÙ Ö × Ö ×Ø ÒØ × Ú ÖÓº
¾
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ f∗ × Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº

793. 7.10. Redes de flujo 767
5 1
D 4/0 E 8/3 I 4/3 K D 4 E I K
3 3
1
6/0 3/0 4/0 5/0 3/3 4/0 3/0 4/3 6 3 4 5 3 4 3
3
1
A 7/6 B 6/6 F 4/0 H 5/0 M A B F 4 H 5 M
6
6
2
2 2 3
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/4 4/3 6/6 5 3 5 6
3 5 1
4
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´ µ
5
D 4/0 E 8/3 I 4/4 K D 4 E I K
4
3
2
4 1
6/0 3/1 4/0 5/1 3/3 4/1 3/0 4/4 6 4 3 3 4
1 3
1
1
A 7/6 B 6/6 F 4/0 H 5/0 M A B F 4 H 5 M
6
6
1
2 2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/5 4/4 6/6 5 3 5 4 6
3 5
5
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´ µ
5
D 4/0 E 8/3 I 4/4 K D 4 E I K
4
3
2 1
6/0 3/3 4/0 5/3 3/3 4/1 3/0 4/4 6 3 4 3 3 4
3 3
1 2 3
A 7/6 B 6/6 F 4/2 H 5/2 M A B F H M
6
6 2 2
1
2 2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/5 4/4 6/6 5 3 5 4 6
3 5
5
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´µ
2 5
D 4/2 E 8/3 I 4/4 K D E I K
4
2 3
4 1
6/2 3/3 4/0 5/5 3/3 4/1 3/0 4/4 3 4 5 3 3 4
2 3
1 1
A 7/6 B 6/6 F 4/4 H 5/4 M A B F H M
6 4
6 4
1
2 2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/5 4/4 6/6 5 3 5 4 6
3 5
5
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´ µ
ÙÖ º ÓÒØ ÒÙ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º
ÆÓØ × ÕÙ Ò Ð ÙÐØ Ñ Ö Ö × Ù Ð Ð ×ÙÑ ÖÓ Ú Ò Ò ÓÒ ÜÓ¸ ÐÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ð
ÔÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓº

794. 768 Cap´
ıtulo 7. Grafos
1 4
D 4/3 E 8/4 I 4/4 K D E I K
4
3 4
3
6/3 3/3 4/0 5/5 3/3 4/0 3/0 4/4 3 4 5 3 4 3 4
3
1
A 7/6 B 6/6 F 4/4 H 5/5 M A B F H M
6 4 5
6
1
2 2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/5 4/4 6/6 5 3 5 4 6
3 5
5
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´ µ
ÙÖ º ¼ ×Ø Ó ¬Ò Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ ÓÒ Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º
v v v
N-1
N N N
N/1 N
1 t
s 1 t s 1/1 t s 1/1
N/1
N N N N/1 N
w w 1
w
´ µ Ö ÓÖ × Ù Ð ´ µ ÓÒ Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ ­Ù Ó ´ µ Ö Ó Ö × Ù Ð Ö ×ÙÐØ ÒØ
ÙÖ º ½ ÑÔÐÓ Ö ÙÝÓ Ô ÓÖ ×Ó ÓÒ ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ö ÕÙ Ö
O(N) Ò Ö Ñ ÒØÓ× ­Ù Ó Ô Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒº
7.10.12 El algoritmo de Edmonds-Karp
ÍÒ Ö ¬Ò Ñ ÒØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÒØ Ö ÓÖ ×ØÖ Ò ×Ù ×Ø ØÙ Ö Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ
ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ò ÑÔÐ ØÙ º Ë Ò Ð Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ø Ò
× Ö ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × ÓÒ ÖÓ× Ò Ñ ÑÓÖ ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙÒ ¸ Ó Ð Ò ÓÐ Ñ ÒØÓ
Ñ ÒÓ× Ô Ö Ð ×¸ ×Ø ×ÙØ Ð Ñ Ó × ÙÖ ÙÒ Ö Ò Ñ ÒØÓ ÓÒ× Ö Ð Ñ ÒØ Ñ ×
¬ ÒØ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ O(V E2)¸ Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Óº
À Ù ÒØ ØÓ Ð Ñ ÕÙ Ò Ö ×ÔÐ ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ×
×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÒØ Ó Ð ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¾
template <class Net> typename Net::Flow_Type
edmonds_karp_maximum_flow(Net & net, const bool & leave_residual = false)
{
return
aumenting_path_maximum_flow<Net, Find_Path_Breadth_First>(net, leave_residual);
}
Ð ×ÙØ Ð × ÑÓ Ñ Ó ×Ó Ö ÙÒ Ô Ð Ö ¹ ÔØ ÔÓÖ Ö Ø ¹ ׸ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× ÔÖÓÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÓØ Ö Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓº
Ä × ¬ ÙÖ × º ¾ Ý º ¿ ÐÙ×ØÖ Ò ØÓ × Ð × Ø Ö ÓÒ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ
×Ó Ö Ð Ö ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º º Ô × Ö Ð × Ð Ý Ð Þ Ö¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
Ð ÙÐ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ Ñ ÒÓ× ÕÙ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ
´Ú Ö ¬ ÙÖ × º Ý º ¸ Ô ×º Ý µº
È Ö ÒÙ ×ØÖ × Ö ÙÒ×Ø Ò ×¸ Ý ÙÒ Ò Ò Ò × ÑÔ ÒÓ ÐÑ ÒØ ÔÖ Ò× Ð º
Ð ÔÓ×ØÖ ¸ ÓÒ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ¸ Ð ÖÙØ Ò increase flow() ÓÔ Ö Ñ × Ö Ô Ó ÕÙ ÓÒ Ð

795. 7.10. Redes de flujo 769
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
A 7/0 B 6/0 F 4/0 H 5/0 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
5/0 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5 3 5 7 6 4 6
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
A 7/0 B 6/0 F 4/0 H 5/0 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
3
2 3
5/3 5/0 3/3 5/0 7/0 6/3 4/0 6/3 5 3 5 7 4
3 3
3
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
4 3
A 7/3 B 6/3 F 4/0 H 5/0 M A B F 4 H 5 M
3 3
2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/0 6/6 4/0 6/6 5 3 5 7 6 4 6
3
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4 5 3 4 3 4
1 1 2
A 7/6 B 6/6 F 4/3 H 5/3 M A B F H M
6
6 3 3
2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/0 6/6 4/0 6/6 5 3 5 7 6 4 6
3
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4 E 8 I 4 K
2
4
6/0 3/1 4/0 5/1 3/0 4/0 3/0 4/0 6 4 3 4 3 4
1
1
1 1
A 7/6 B 6/6 F 4/4 H 5/4 M A B F H M
6 4
6 4
2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/0 6/6 4/0 6/6 5 3 5 7 6 4 6
3
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´µ
ÙÖ º ¾ ÚÓÐÙ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º

796. 770 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ¸ ÔÙ × Ð Ô × ÔÖ Ð ÙÐ Ö Ð ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ × ×Ó Ö Ð Ñ ÒÓ
Ñ × ÓÖØÓº
6 2
D 4/0 E 8/2 I 4/2 K D 4 E I K
2 2
4 2
6/0 3/3 4/0 5/1 3/0 4/0 3/0 4/2 6 3 4 3 4 3
1 2
1 1
A 7/6 B 6/6 F 4/4 H 5/4 M A B F H M
6 4
6 4
2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/0 6/6 4/0 6/6 5 3 5 7 6 4 6
3
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
2 4
D 4/2 E 8/4 I 4/4 K D E I K
4
2 4
4 4
6/2 3/3 4/0 5/1 3/0 4/0 3/0 4/4 3 4 3 4 3 4
2 1
1 1
A 7/6 B 6/6 F 4/4 H 5/4 M A B F H M
6 4
6 4
2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/0 6/6 4/0 6/6 5 3 5 7 6 4 6
3
C G J 5/0 L C G J 5 L
4/0 6/0 4 6
´µ ´ µ
ÙÖ º ¿ ÓÒØ ÒÙ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º
7.10.12.1 An´lisis del algoritmo de Edmonds-Karp
a
ÍÒ Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ö ÕÙ Ö O(E) Ô Ö Ð Ô ÓÖ ×Ó ´Ú Ö Ü º º ´Ô Ò ½ µµº
ÒÙ ÚÓ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ø Ö ÓØ Ó ÔÓÖ N × O(E)¸ ÓÒ N × Ö Ð
Ñ Ü Ñ ÒØ Ø Ö ÓÒ ×¸ Ó Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ò Ö Ñ ÒØÓ× ­Ù Óº
ÓÑÓ Ð Ù×ÕÙ × Ò ÑÔÐ ØÙ ¸ ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ × × Ù Ö Ò × ÐÓ× Ñ ×
ÓÖØÓ× ¸ Ò ÒØ Ö Ó׸ ×Ø ÐÓ× Ñ × Ð Ö Ó׺ ¬Ò ÑÓ× d(u, v) ÓÑÓ Ð ×Ø Ò
Ò Ö Ó× ÙÒ Ñ ÒÓ ÒØÖ Ó× ÒÓ Ó× u Ý vº
Lema 7.6 Ë Ca ÙÒ Ñ ÒÓ i
ÙÑ ÒØÓ Ð ÙÐ Ó ÔÓÖ find path breadth first()
ÙÖ ÒØ Ð i¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔº ÒØÓÒ ×¸ ÐÙ Ó Ð i¹ × ÑÓ
Ò Ö Ñ ÒØÓ Ð ­Ù Ó¸ di+1(s, t) ≥ di(s, t)º
Demostraci´n Ä o ÑÓ×ØÖ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ¸ ×Ó Ö Ð Ö Ó Ö × Ù Ð¸ ∀v ∈
V − {s, t} Ø Ð ÕÙ Ò Ò ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ×Ñ ÒÙÝ Ð ×Ø Ò Ò Ö Ó× Ð Ñ ÒÓ
Ñ × ÓÖØÓ ÒØÖ s Ý vº ×ØÓ ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö× ÔÓÖ ÓÒØÖ ÓÒº
ËÙÔÓÒ ÑÓ× Ci = s v Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò Ö Ó× × s ×Ø
vº ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ca ¸ Ð ÙÐ Ó ÔÓÖ i
find path breadth first()¸ ÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ × Ö¸ ÕÙ di+1(s, v) <
d(Ci)º ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ó× × ØÙ ÓÒ × Ò Ö Ð ×

797. 7.10. Redes de flujo 771
1 4
D 4/3 E 8/4 I 4/4 K D E I K
4
3 4
3
6/3 3/3 4/0 5/5 3/3 4/0 3/0 4/4 3 4 5 3 4 3 4
3
1
A 7/6 B 6/6 F 4/4 H 5/5 M A B F H M
6 4 5
6
1
2 2
5/3 5/0 3/3 5/0 7/5 6/5 4/4 6/6 5 3 5 4 6
3 5
5
C G J 5/5 L C G J L
4/0 6/0 4 6 5
´µ ´ µ
ÙÖ º ×Ø Ó ¬Ò Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ÓÒ Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º
½º v ∈ Cai =⇒ Ci
/ × Ù × Ò Ó Ñ Ò ÑÓ Ò Ö Ó׺
¾º ∃w ∈ Ci|w ∈ Ca =⇒ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö Ó× ÔÓ× Ð
i
×
´ µ Ë Ca = s v w t¸ ÒØÓÒ × Ci × Ù × Ò Ó Ñ Ò ÑÓº È ÖÓ¸
i
´ µ Ë Ca = s w v × Ö ÙÒ ÓÒØÖ
i
ÓÒ ÓÒ Ð Ó ÕÙ Ci × Ð Ñ Ò ÑÓ
Ñ ÒÓ Ò Ö Ó× × s vº ×Ø ÙÒ ÔÓ× Ð × ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒº
Ð Ð Ñ × ÔÙ × ÖØÓ
o ıtico de un camino de aumento) Ë Ca = s
Definici´n 7.18 (Arco cr´ v1
...u → v vm t ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö ×Ó Ö ÙÒ Ö Ö × Ù Ðº Ë
ÕÙ ÙÒ Ö Ó (u, v) ∈ Ca × Ö Ø Ó × ×Ù Ô Ò Ð Ö ÓÖ× ÙÐ × ÙÐ Ð
Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒ Ca Ý (u, v) ∈ E × Ö¸ (u, v) ∈ E º
/
Ä ÔÖÓÔ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ö Ó Ö Ø Ó × ÕÙ ×Ø × Ð Ñ Ò Ð Ö Ö× ÙÐ Ð
Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ð ­Ù Ó × × ØÖ Ø ÙÒ Ö Ó Ð ÒØÓ¸ Ó Ð Ö Ñ ÒØ Ö× 0 × × ÙÒÓ
Ö ØÖÓ ×Óº Ô ÖØ Ö ×Ø Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ð Ö ÕÙ × Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ
Ca ÓÒØ Ò ÙÒ Ö Ó Ö Ø Ó (u, v)¸ ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö ÙÒ Ø Ö ÓÒ ÙØÙÖ ¸ ÙÒ Ñ ÒÓ
i
ÙÑ ÒØÓ Ca ÕÙ ÒÚÓÐÙ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× u Ý v × × ÙÖÓ ÕÙ d(Ca ) ≥ d(Ca ) + 2º È Ö
i+k i+k i
ÔÖ Ò Ö ×Ø Ó¸ Ó × ÖÚ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ¬ ÙÖ
Ca i
s u v t
Arco cr´
ıtico
w
Ca i+k
Ä Ð Ò ÓÒØ ÒÙ ÐÙ×ØÖ ÙÒ ÔÓØ Ø Ó Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ö Ø Ó u, v
Ð i¹ × Ñ Ø Ö ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð Ò ÔÙÒØ ÙÒ
Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ ÙØÙÖ i + kº Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ð ­Ù Ó Ð Ö Ó Ö Ø Ó
× Ô Ö º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ù ÐÕÙ Ö Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÙØÙÖÓ ÕÙ ÒÚÓÐÙ Ö u
Ý v Ø Ò ÕÙ ÓÒØ Ò Ö¸ Ù Ò Ó Ñ ÒÓ׸ ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ ÖÑ Ó w Ý Ó× Ö Ó× Ñ × ×ØÓ
× × ÙÖÓ ÔÓÖÕÙ ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ × Ù× Ò Ò ÑÔÐ ØÙ ¸ ÐÓ ÕÙ ¸ ÓÑÓ Ý ÐÓ
Ð Ö ÑÓ׸ Ö ØÓÖÒ Ñ ÒÓ× × ÐÓ× Ñ × ÓÖØÓ× ÐÓ× Ñ × Ð Ö Ó׺

798. 772 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ä Ñ Ü Ñ ÐÓÒ ØÙ ÔÓ× Ð ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ × V ÒÓ Ó׺ ÓÒ× Ù ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ó ÔÙ × Ö Ö Ø Ó Ò ÐÓ ×ÙÑÓ V/2 Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð
Ñ Ü Ñ ÒØ ÔÓ× Ð Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ × E × 2 º
V
ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ × E× V ×O(E) = O(VE2)º
2
Ë Ð Ö × ×Ô Ö ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × Ò Ö Ù ÒØ ¸ ÒØÓÒ × E ≈ c V Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ × Ö O(V 3)
7.10.13 Algoritmos de empuje y pre-flujo
ÍÒ ­Ù Ó × Ò Ñ Ó Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ð ­Ù Ó × ÑÔÖ ×Ø ÓÖÖ Ò Ó ÔÓÖ Ð × ØÙ Ö ×
× ÒÓ¸ ÒØÓÒ × ÒÓ ÔÓ Ö ÑÓ× Ð Ö ­Ù Óº
ÁÑ Ò ÑÓ× ÙÒ Ö ØÙ Ö Ù ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ × ÑÓ×
Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ÒØ Ù ÕÙ ÐÐ Ð ×ÙÑ ÖÓº
ÍÒ Ò ÓÕÙ ÕÙ ×Ù Ö Ð ÒØÙ ÓÒ × × ØÙÖ Ö Ð Ñ Ü ÑÓ Ð × ØÙ Ö × Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ
×Ø Ý¸ ×Ù × Ú Ñ ÒØ ¸ × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ × Ý ÒØ × Ð Ù ÒØ ×Ø Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ Ö
¬Ò Ò Ó Ð × ÐÐ Ú × ­Ù Ó Ð × ØÙ Ö × Ð Ö Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ð ­Ù Ó Ò Ð ÔÙ
Ö ÙÐ Ö × Ò ÓÒØ Ò ÓÒº
× ÖÒÓ× Ð ÖÓ ÕÙ Ð Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ø Ò ÕÙ × Ö Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ×Ø ­Ù Ó
Ò Ð¸ × ÓÑÓ ÕÙ ¸ × ØÓ × Ð × ÐÐ Ú × ×Ø Ò
ÄÓ× ÒÓ Ó× ×Ø ÒÓ Ð × ØÙ Ö × ÕÙ Ñ Ò Ò Ð ×ÙÑ ÖÓ Ø Ò Ö Ò ÕÙ ×ÔÓÒ Ö
ÙÒ ×Ô Ð Ú ÖÓ׸ ÑÓ Ó ÕÙ Ð ­Ù Ó × Ð ÒØ Ð Ù ÒØ ÔÙ Ñ ÒØ Ò Ö×
ÓÒ×Ø ÒØ Ñ ÒØÖ × × Ú Ò Ù×Ø Ò Ó Ð × ÐÐ Ú × Ð Ö ×ØÓ Ð × ØÙ Ö ×º
×Ø Ô ØÖÓÒ ÒØÙ Ø ÚÓ × Ð ÙÒ Ñ ÒØÓ ÙÒ × Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× ÒÓÑ Ò Ó×
“empuje de pre-flujo”¸ Ö ÔÓÖØ Ó× × Ù ÖØÓ× ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ ÓÐ Ö Ý Ì Ö¹
Ò ½ ¸½ º
Definici´n 7.19 (Pre-flujo) Ë
o ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C >º ÍÒ “pre-flujo” × ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ E ⊂ E Ö Ó× ÓÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÔÓ× Ø ÚÓ Ø Ð ÕÙ ∀e = (u, v) ∈ E
½º f(e) ≤ Ô(e)¸ Ý
¾º u = s, v = s =⇒ ÇÍÌ(u) ≤ ÁÆ(u), ÇÍÌ(v) ≤ ÁÆ(v)º Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ Ð ­Ù Ó
×Ð × Ö Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ð ÒØÖ º ÁÑÔÓÖØ ÒØ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ó ×Ø
¬Ò ÓÒ ÒÓ × ÙÑÔÐ ¹Ø ÑÔÓÖ ÐÑ ÒØ ¹ Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Ó
ÐÐ ¸ Ô٠׸ Ð Ò × ×ØÖ Ø Ý × Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ø ÕÙ ÒÓ Ó ÔÓ× Ð
Ð Ú ÖÓº ÈÓÖ Ð Ñ ×Ñ Ö ÞÓÒ × ÕÙ ×Ø Ñ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ð ÒÓÑ Ò
ÔÖ ¹­Ù Ó ¸ ÔÙ × ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÒØÙ Ø ÚÓ ÒÓ Ý ­Ù Ó ×Ó Ö
Ð ÙÒÓ× ÒÓ Ó׸ Ò ÐÙ Ó Ð ×ÙÑ ÖÓº
ÍÒ ÒÓ Ó ×Ø ÒØÓ Ð Ù ÒØ Ó Ð ×ÙÑ ÖÓ × ÐÐ Ñ Ó ÒØ ÖÒÓ º ÍÒ ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓ ÙÝÓ
­Ù Ó ÒØÖ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð × Ð × ÒÓÑ Ò Ó “activo”º
Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ì Net Graph<TNode,TArc,T>¸ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ
× × ÑÔÐ
¾ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¿
template <class Net> static
bool is_node_active(typename Net::Node * p)
{
return p->in_flow > p->out_flow;
}

799. 7.10. Redes de flujo 773
È Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ u¸ Ð Ú ÐÓÖ ÁÆ(u) − ÇÍÌ(u) × ÒÓÑ Ò Ó Ü ×Ó Ý ÒÓØ Ó
ÓÑÓ Ü ××(u)º
Ë Ù Ò Ó ÓÒ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÒØÙ Ø ÚÓ Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹
­Ù Ó × ÓÑ ÒÞ Ö ÑÔÙ Ö × Ð Ù ÒØ Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ÔÓ× Ð ­Ù Ó ×Ø ÕÙ
ÒÓ × ÔÙ ÑÔÙ Ö Ñ × ×Ó Ö Ð ×ÙÑ ÖÓº Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ Ð ­Ù Ó × Ö Ñ Ü ÑÓ¸
Ô ÖÓ ÑÙÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ÙÝÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ý ÕÙ Ö ×Ø ÙÖ Öº
ÓÑÓ Ð Ö ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÔÓÖ ÓÒ ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó Ð Ò Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð
Ö ×ÔÙ ×Ø × Ö Ø Ð Ù ÒØ Ý ØÓ Ó× ×Ù× Ö Ó׺ ÄÙ Ó¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ×ÓÒ Ð Ð ×
Ô ÖÓ¸ ÔÓÖ Ù Ð × ÒØÖ ×Ù× Ö Ó× ÑÔÙ Ö Ð ÔÖ ¹­Ù Ó ×Ø ÔÖ ÙÒØ Ú ÞÓÖ Ð ×ÙÒØÓ
Ñ × ÓÑÔÐ Ó ×Ø Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ÔÙ × Ð Ð ÙÐÓ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ
ÔÒ ÙÒ × Ó Ò Ù Ð ÔÖÓÜ ÑÓ ÒÓ Ó ÔÖÓ × Ö Ý ÔÓÖ Ù Ð × ÒØÖ ×Ù×
Ö Ó× × Ð ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Óº
7.10.13.1 Altura de un nodo
Ä ÑÐ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÔÖÓÒØ Ñ ÒØ ¬Ò Ö ÑÓ׸ ×Ù Ý Ð ×Ó Ò Ð ÔÖÓÜ ÑÓ
ÒÓ Ó Ò Ð ÐØÙÖ º
Definici´n 7.20 (Funci´n de altura de un nodo)
o o Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C >
ÓÒ Ö Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º ÍÒ ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ Ah : V −→ N × ÙÒ ÙÒ ÓÒ
ÒØÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ø Ð ÕÙ
½º h(t) = 0º
¾º ∀e = (u, v) ∈ E =⇒ h(u) ≤ h(v) + 1º
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ô Ö × ÓÖ Ò Ó׺ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó
Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ø ÔÓ Ah = {(u1, h(u1)), (u2, h(u2)), . . . (un, h(un))}º
ÍÒ Ö Ó e = (u, v) × Ð ¬ “elegible” × h(u) = h(v) + 1º
È Ö Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó¸ Ù× Ö ÑÓ× ×Ù ÓÒØ ÓÖ
´Ú × Ü º¿º º¾ ´Ô Ò ¿µµ
¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¾
template <class Net> static
long & node_height(typename Net::Node * p) { return NODE_COUNTER(p); }
Ä Ô ÖØ Ò Ò Ó ÒÓ ÙÒ ÒÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah Ø ÖÑ Ò Ð ÙÒ ÓÒº
Ä Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ × Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ö Ð ÓÒ ÔÖÓÜ Ñ ÒØÖ Ð ÔÖ ¹
­Ù Ó Ý ÐÓ× ÒÓ Ó× Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓº Ù Ò Ó Ð ÐØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð
Ð Ù ÒØ ¸ ÒØÓÒ × × ÔÖÓ Ð ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó Ð ×ÙÑ ÖÓº Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ ×
Ð ÐØÙÖ × Ñ ÝÓÖ¸ ÒØÓÒ × ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ý ÕÙ ÚÓÐÚ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó Ð Ù ÒØ º
7.10.13.2 Algoritmo gen´rico de pre-flujo
e
Ò Ú ÖØÙ ×Ù Ö Ø Ö ÒØÙ Ø ÚÓ¸ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ×ÓÒ
Ñ × × ÑÔÐ × ÕÙ ÐÓ× × Ó× Ò Ù×ÕÙ × Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓº Ò Ò ÙÖ ¸
ÔÖ Ø Ñ ÒØ × ØÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ×Ù Ý ×Ó Ö Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
Ò Ö Óº

800. 774 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Algoritmo 7.6 (Algoritmo gen´rico de empuje de pre-flujo)
e Ä ÒØÖ × ÙÒ
Ö N =< V, E, s, t, C >º Ä × Ð × Ð Ñ ×Ñ Ö ÓÒ Ú ÐÓÖ × ­Ù Ó Ù×Ø Ó Ð
Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ ­Ù Óº
Ñ × Ð Ö Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù× ÙÒ ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ÒØ ÖÒ ¸ ÒÓÑ Ò Ah¸ ÙÝÓ ¬Ò × ÑÔÐ ÒØ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ º
ÒÓ Ó u ×Ó ×Ù Ú ÐÓÖ h(u) Ø Ð ÓÑÓ × ÜÔÐ Ó Ò Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÒØ Ö ÓÖº
½º Ð ÙÐ Ö Ð Ö Ö × Ù Ð N
¾º × Ò Ö ÒÓ Ó u ×Ù Ú ÐÓÖ h(u) × ÙÒ ¬Ò ÓÒ º¾¼
¿º Ah = ∅ ´ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ×µ
º ∀e = (s, u) ∈ s ÈÖ ¹­Ù Ó Ò Ð Ö Ó× Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ ½
´ µ f(e) = Ô(e) [Saturaci´n]o
´ µ Ë u = t =⇒ Ah = Ah ∪ {u} [a˜adir u al conjunto de nodos activos]
n
º Å ÒØÖ × Ah = ∅ [Equilibrar nodos activos]
´ µ Ë Ð ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ u ∈ Ah, Ah = Ah − {u}
´ µ ∀e ∈ u, e ∈ E [Empuje de pre-flujo de u]
º Ë e = (u, v) × ÙÒ “arco elegible” × Ö¸ × h(u) = h(v) + 1 =⇒
ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó ØÙ Ð ½
º fp = Ñ Ò( Ü ××(u), Ô(e) − f(e)) [Flujo a empujar sobre el arco]
º f(e) = fp
º Ü ××(u) = Ü ××(u) − fp
º Ë u = s Ý u = t =⇒ Ah = Ah ∪ {v}
´ µ Ë Ü ××(u) > 0 =⇒ h(u) = h(u) + 1, Ah = Ah ∪ {u} ´u × ÙÒ ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ
ÓÒ ÙÒ Ò Ö Ñ ÒØÓ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ µ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÙ ØÓ Ó Ð ÔÓ× Ð ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ö Ó× Ð Ù ÒØ º È ÙÐ Ø Ò Ñ ÒØ ¸
× ÙÒ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׸ Ð Ü ×Ó × Ú ÔÖÓÔ Ò Ó ×Ø
Ð ÒÞ Ö Ð ×ÙÑ ÖÓº Ù Ò Ó ×Ø Ú Ò × ØÙÖ Ó¸ Ð Ü ×Ó Ö ØÓÖÒ Ð Ù ÒØ
Ö Ò Ò Ó× ¸ × × ÔÓ× Ð ¸ Ò ÕÙ ÐÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ Ø Ò Ò Ô º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ù Ò Ó Ð
Ü ×Ó Ð ÒÞ Ð Ù ÒØ ¸ ×Ø × Ð Ö ×Ø ×Ù× Ö Ó× ×Ø ÕÙ Ð ­Ù Ó Ú Ò ×Ø Ð º Ò
×Ø ×Ø Ó¸ Ð ­Ù Ó × Ñ Ü ÑÓ Ý Ý ÒÓ Ü ×Ø Ò ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺
Ò Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ ´ µ × Ø ÖÑ Ò × × ÑÔÙ Ó ÒÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó × Ð ÒØ
Ð ÒÓ Ó ØÙ ÐÑ ÒØ × Ð ÓÒ Óº Ë ÒÓ × ÐÓ Ö ÑÔÙ Ö ØÓ Ó Ð Ü ×Ó¸ ÒØÓÒ × Ð ÒÓ Ó
× ÓÐÓ Ó ÒÙ ÚÓ Ò Ah¸ Ô ÖÓ ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ h(u) Ò Ö Ñ ÒØ Ó Ò ÙÒ ÙÒ ×ØÓ ×
ÐÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÕÙ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÓØÖ Ø Ö ÓÒ ×Ó Ö Ð Ñ ×ÑÓ ÒÓ Ó Ú ÓÑÓ Ð Ð
ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ Ô × ÒÓ ÐÓ Ù Ý¸ Ò ÐÙ Ö Ú ÒÞ Ö Ð ÔÖ ¹­Ù Ó Ð
×ÙÑ ÖÓ¸ × Ö ØÖÓ Ð Ù ÒØ ¸ ÔÙ Ò Ó Ó ÙÖÖ Ö¸ Ò ÐÙ× Ú ¸ ÕÙ × ×Ñ ÒÙÝ Ò ÐÓ×
­Ù Ó× Ñ Ò ÒØ × Ð Ù ÒØ º
ÍÒ Ñ Ò Ö ÔÖÓÜ Ñ Ö× Ð ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ü Ñ Ò Ö ÐÓ ÕÙ
× ÙÒ Ñ Ð ×Ó Ô Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÐÕÙ Ö × Ó Ò Ð Ù×ÕÙ ÙÒ Ñ ÒÓ
ÙÑ ÒØÓº È Ö ÐÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö Ò Ö Ð ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ

801. 7.10. Redes de flujo 775
x y
Ò ×Ø Ð × Ö Ð ÒÓ Ó x Ø Ò × Ø ÙÖ ÓÒ × ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ò ÓÒ ×Ø ÒÓ yº Ò
×Ø ×Ó¸ × Ö ÕÙ Ö Ò ÓÒØÖ Ö × Ø Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸ Ô Ö ÔÓ Ö ÐÐ Ò Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× x
y Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÐÓ× ÐÐ Ò Ö
Ô Ò × × ÑÔÙ Ð Ü ×Ó xº
ÒØ × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó Ý Ð ÙÒÓ× Ô ÖØ ÙÐ Ö ×¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ×Ù
ÓÖÖ Ø ØÙ × Ö¸ ÕÙ Ð ÙÐ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ × Ö
ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ×Ø Ò × ÔÖÓ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÓÖÖ Ø ØÙ º × Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ
× ÙÖ×Ó Ò Ð ÔÐ ÒØ Ñ ÒØÓ Ë Û ¿¿ ¸ Ð Ù Ð ÓÒ× Ö ÑÓ× × Ð Ñ × ÐÑ ÒØ
ÔÖÓÔ Ð º
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ð ÔÖÙ ÓÖÖ Ø ØÙ × ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ ×
ÚÐ º
Proposici´n 7.11 (Sedgewick 2002 [33]) Ë ÙÒ Ö
o N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ö
Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º Ë h : V −→ N ÙÒ ÙÒ ÓÒÐØÙÖ º ÒØÓÒ × Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó º ÓÒ× ÖÚ Ð Ú Ð Þ Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ
× ÙÒ Ð ¬Ò ÓÒ º¾¼º
Demostraci´n È Ö ¬ÖÑ Ö ÕÙ h × Ú Ð ¸ Ý ÕÙ
o ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÐÓ Ð Ö Ó Ð
Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ h(u) ≤ h(v) + 1 Ô Ö ØÓ Ó Ö Ó Ð Ö Ö × Ù Ðº
Ð Ô ×Ó ¾ × Ò Ú ÐÓÖ × ÓÖÖ ØÓ× × ÙÒ Ð ¬Ò ÓÒº Ñ ×¸ Ah × Ò ÐÑ ÒØ
Ú Óº ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒ × Ö Ñ Ø ÓÑÔÖÓ Ö ÕÙ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ × ÒØÖÓ ÙÞ Ò
Ah × Ø × Ò Ð ¬Ò ÓÒº
ÁÑ Ò ÑÓ× ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ uº Ë ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ð ¸ ÒØÓÒ × h(u) =
h(u) + 1 Ý u Ö Ö × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ÓÒ h(u) Ò Ö Ñ ÒØ Ó Ò ÙÒÓ
ÔÓÖ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ º ÒØ × ×Ø Ò×ØÖÙ ÓÒ¸ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ú Ð Ó Ah =
{(v1, h(v1)), (v2, h(v2)), . . . (u, h(u)), . . . , (vn, h(vn))} ÐÙ Ó¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò ÓÖÑ Ah =
{(v1, h(v1)), (v2, h(v2)), . . . (u, h(u) + 1), . . . , (vn, h(vn))}¸ Ð Ù Ð × Ù × Ò Ó Ú Ð Ó × ÙÒ
Ð ¬Ò ÓÒº
Ë u Ø Ò ÙÒÓ Ó Ñ × Ö Ó× Ð Ð ×¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÒÓ× × × ØÙÖ Ö Ò ÔÐ Ò Ô ¸
× Ô Ö Ö Ò Ð Ö Ö × Ù Ð Ý Ô Ö Ö Ò ÓØÖÓ× ÒÚ Ö×Ó׺ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÙÐØ ÑÓ
ÐÓ× Ö Ó× Ð Ð × u → v¸ Ð Ù Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ u Ô ÖÑ Ò Þ Ó ÒÓ ÒØÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ
ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺ ÑÓ× ÓÒØ ÑÔÐ Ö Ó× ÔÓ× Ð ×
½º ÉÙ u → v × × ØÙÖ ÔÐ Ò Ô Ò ×Ø ×Ó¸ u → v Ø Ñ Ò × Ô Ö

802. 776 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð Ö Ö × Ù Ð¸ × Ö ÙÒ Ö Ó ÒÚ Ö×Ó v → u Ý u × Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓº ÈÓÖ ÐÓ
ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ h × ÓÖÖ Ø º
¾º ÉÙ u → v ÒÓ × × ØÙÖ ÔÐ Ò Ô Ò ×Ø ×Ó¸ u → v × Ñ ÒØ Ò Ò Ð
Ö Ö × Ù Ð¸ Ô Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ö Ó v → u¸ Ô ÖÓ h(u) × Ò Ö Ñ ÒØ º Ä × ØÙ ÓÒ
¬Ò Ð × ÔÙ Ñ Ò Ö ×
.
. Nuevos nodos
. a Ah
u
v
Ö Ó w → u × Ø × h(w) ≤ h(u) + 1¸ ÔÙ × u Ù Ò Ö Ñ ÒØ Óº
È Ö ÐÓ× Ö Ó× u → v Ý v → u Ø Ò ÑÓ× ÕÙ h(u) = h(v)¸ ÐÓ ÕÙ × Ø × Ð Ú Ð Þ
Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ
Ä ÓØ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ h(u) ÒÓ× ÓØ Ð ÒØ Ö Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ñ ÒÓ
Ñ Ò ÑÓ u t¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ ×Ø Ð Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × Ù ÒØ º
Proposici´n 7.12 (Sedgewick 2002 [33]) Ë ÙÒ Ö
o N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ö
Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º Ë Ah : V −→ N ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ º ÒØÓÒ ×¸ ∀v ∈ V
h(v) × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ð Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò Ö Ó× × v t Ò
Ð Ö Ö × Ù Ðº
Demostraci´n Ë d Ð ÐÓÒ ØÙ
o Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò Ö Ó× × ÙÒ ÒÓ Ó v
tº Ë Cv,t = v = v1 → v2 · · · → vd = t Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ò Ð Ö Ö × Ù Ðº ÒØÓÒ ×
h(v) = h(v1) ≤ h(v2) + 1
≤ h(v3) + 1
ººº
≤ h(vd) + d = h(t) + d = d
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔÖ Ñ ÒØ Ò ÓÒ Ø Ó Ð Ü ×Ó × Ö¸ ÒÓ Ý ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ÕÙ
×Ø Ò Ò ÓÒ ÜÓ× Ò Ð Ö Ö × Ù Ðº ÁÒ ÐÑ ÒØ Ð Ü ×Ó ­Ù Ó¸ Ñ Ò Ð Ù ÒØ Ý ×
Ö Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ Ð Ù Ð Ø Ò h(t) = 0 Ý ÒÙÒ × Ò Ahº ÄÓ× Ü ×Ó× ×ÓÒ
ÔÖÓÔ Ó× Ð ×ÙÑ ÖÓ Ò Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ ´ µ º Ë ÒÓ × Ð ÒÞ Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ Ó
ÙÒ Ö ×Ø Ò ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ × Ð Ü ×Ó × ÑÔÙ Ó Ð Ù ÒØ Ô Ö Ö Ñ Ò¹
Ø ÖÐÓº ×Ø Ó¸ ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ÒØÙ Ø ÚÓ¸ ÔÙ ÓÒ¬ÖÑ Ö× Ó Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÒØ
Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒº
Proposici´n 7.13 (Sedgewick 2002 [33]) Ë ÙÒ
o Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ö
Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º Ë Ah : V −→ N
ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ º ÒØÓÒ ×¸
ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð Ð ÞÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ¸ Ô Ö ÒÓ Ó Ø ÚÓ
½º Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ Ò Ð Ö Ö × Ù Ð × Ð ÒÓ Ó Ø ÚÓ ×Ø Ð Ù ÒØ º
¾º ÆÓ Ü ×Ø Ñ ÒÓ × Ð Ù ÒØ Ð ×ÙÑ ÖÓº

803. 7.10. Redes de flujo 777
Demostraci´n ´ÔÓÖ Ò Ù
o ÓÒ ×Ó Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ×µ ÒØ × ÒØÖ Ö Ð Ð ÞÓ¸ Ð Ô ×Ó
ÒØÖÓ Ù Ò Ah ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× {u1, u2, . . . , un} Ý ÒØ × sº ×ØÓ× Ö Ó× ×ÓÒ × ØÙÖ Ó×
×Ù ÔÐ Ò Ô ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ Ð Ô Ö ÓÒ Ö Ó× (u1, s), (u2, s), . . . (un, s) Ò Ð
Ö Ö × Ù Ð Ý Ð × Ô Ö ÓÒ ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó× (s, u1), (s, u2), . . . (s, un)º ÄÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ×
u1, u2, . . . , un Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× ×Ø Ð ×ÙÑ ÖÓ Ý Ð Ù ÒØ Ý¸ ÔÓÖ Ð × Ô Ö ÓÒ ÐÓ×
ÒÚ Ö×Ó׸ s ÕÙ × ÓÒ Ø Óº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÒØÖ Ö Ð Ð ÞÓ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× Ò Ð × Ý ÒØ × Ð Ù ÒØ º
ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ Ô Ö ØÓ Ó ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah
ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺
Ä ÙÒ Ñ Ò Ö ÕÙ × Ò ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó v Ah¸ × Ö¸ ÕÙ Ô Ö Þ
ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ø ÚÓ¸ × ÕÙ × ÙÒ ØÙ Ð Ø ÚÓ u Ü ×Ø ÙÒ Ö Ó Ð Ð u → v
´ Ò×ØÖÙ ÓÒ ´ µ µº À Ý Ó× ×Ó× ÓÒ× Ö Ö
½º v ÒÙÒ × Ó Ø ÚÓ Ò ×Ø ×Ó h(u) = h(v) + 1º ÒØ × ÑÔÙ Ö ÔÓÖ u → v¸
ÒÓ Ý Ñ ÒÓ v s¸ ÔÙ × ÐÓ× Ö Ó× × Ð ÒØ × v ÒÓ ×ÓÒ Ö × Ù Ð ×º
Ù Ò Ó × ÑÔÙ Ü ×Ó ÔÓÖ Ð Ö Ó u → v¸ Ô Ö ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð × Ð ÒØ v → uº
ÈÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ u s ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ö Ó Ö × Ù Ð v → u
Ö ÒØ Þ ÕÙ Ø Ñ Ò Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ × v sº
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÔÓÖ Ð ÔÓØ × × Ò Ù Ø Ú ÒÓ Ý Ñ ÒÓ s t Ý Ð Ò ÙÖ Ð
Ö Ó v → u ÒÓ ÐØ Ö ×Ø ¬ÖÑ ÓÒº
¾º v Ý Ù Ø ÚÓ Ò ÙÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ×Ø ×Ó Ó ÙÖÖ Ù Ò Ó v × × Ah Ý ÒÓ
Ý Ò Ò ÙÒ Ö Ó Ð Ð º Ë Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ h(v) Ý v Ö Ö × Ah × Ò ÐØ Ö Ö
Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ö Ö× ÙÐ
Ä ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÓØ Ð Ô Ö Ó× ×Ó× Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ù ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ó× Ò Ð
ÑÐ ¬ ÙÖ × º ´Ô º µ¸ º ´Ô º µ Ý º ¼ ´Ô º ¿µº
ÓÖ Ø Ò ÑÓ× ØÓ × Ð × ÖÖ Ñ ÒØ × Ò × Ö × Ô Ö Ú Ö ¬ Ö Ð ÓÖÖ Ø ØÙ Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓ º º
Proposici´n 7.14 (Sedgewick 2002 [33])
o Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º Ð ÙÐ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ
ÙÒ Ö º
Demostraci´n
o Ð ÔÖ Ñ Ö ×ÙÒØÓ ÓÑÔÖÓ Ö × ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÐÑ Ò Ó × ¸ Ú Ö ¹
¬ Ö ÕÙ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × ÒØÖ Ð Ð ÞÓ ´ Ò×ØÖÙ ÓÒ µ ×Ø Ø ÖÑ Ò º Ä Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ó ÙÖÖ
Ù Ò Ó Ah Ú Ò Ú Óº Æ × Ø ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ Ñ Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ Ah Ö Ý
Ö Ý × ÙÖ ÖÒÓ× ÕÙ Ð Ð ÞÓ ÔÖÓ Ö × × Ö¸ ÕÙ ÒÓ Ò ÙÒ ÐÓ Ò¬Ò ØÓº
Ah Ö ÔÓÖ Ó× Ö ÞÓÒ ×º Ä ÔÖ Ñ Ö × ÔÓÖ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó u → v
´ Ò×ØÖÙ ÓÒ ´ µ µ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó v Ú Ò Ø ÚÓº Ä × ÙÒ × ÔÓÖÕÙ ÒÓ × ÔÙ
ÑÔÙ Ö ØÓ Ó Ð ­Ù Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ ´ Ò×ØÖÙ ÓÒ µ Ò ×Ø ×Ó¸ u Ö Ö × Ah ÓÒ
ÙÒ Ú ÐÓÖ h(u) Ò Ö Ñ ÒØ Óº
Ah ×ÓÐÓ Ö Ò Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ò
ÕÙ Ð ÒØ Ò ÙÖ × Ah ×Ø ÓØ º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÒÓ× × Ö ÑÙÝ ÙØ Ð Ð
× Ù ÒØ Ð Ñ º
Lema 7.7 ÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó º ¸ ∀u ∈ V =⇒ h(u) < 2V º

804. 778 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Demostraci´n
o Ë ÑÓ׸ × ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¾¸ ÕÙ h(u) × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ð
ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ × u tº ÓÑÓ ØÖ Ø ÑÓ× ÓÒ ÙÒ Ö Ö × Ù Ð¸
ÔÓ ÑÓ× Ø Ò Ö ×Ø Ð Ó Ð Ö Ó× Ý ÔÙ Ö Ñ ÒÓ× ÕÙ Ô × Ò ÔÓÖ Ð Ù ÒØ º
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ñ ÒÓ Ñ × Ð Ö Ó × ÙÒ ÒÓ Ó u t ÒÓ ÔÙ Ü Ö 2V Ö Ó׸
ÔÙ × × ÒÓ ÓÒØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¾
ÓÒ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ×Ø Ð Ñ ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬ÖÑ Ö ÕÙ Ð ÒØ Ú × ÕÙ Ð
Ò×ØÖÙ ÓÒ Ò ÒÓ Ó× Ah ×Ø ÓØ º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ô Ö ÕÙ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ
´µ Ò Ð ÒÓ Ó Ø ÚÓ v¸ Ð Ö Ó u v Ø Ò ÕÙ × Ö Ð Ð × Ö¸ h(u) = h(v)+1º
ÁÒ Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð × ÓÑ Ò ÓÒ × ÕÙ × ×Ù Ò¸ Ð Ú ÐÓÖ h(u) ×Ø ÓØ Ó¸
ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ú × ÕÙ × Ò ÙÒ ÒÓ Ó Ø ÚÓ v ÔÓÖ Ý Ò
× ÙÒ ÒÓ Ó u Ø Ñ Ò ÐÓ ×Ø º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ð ÞÓ ÜØÖ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× Ah Ý Ð ÒØ Ò ÙÖ × Ah ×Ø
ÓØ ¸ ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ Ah Ú Ò Ú Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ð ÞÓ Ø ÖÑ Ò Ý ÓÒ Ð Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÍÒ Ú Þ ÕÙ Ah Ú Ò Ú Ó Ð Ö ÓÒØ Ò ÙÒ ­Ù Ó Ø Ð º Ò ×Ø ×Ø Ó × ÑÓ׸
ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¿¸ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒ Ñ ÒÓ × Ð Ù ÒØ Ð ×ÙÑ ÖÓ¸
ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ò ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ × ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ
Ü º½¼ ´Ô Ò ¿µ¸ Ð ­Ù Ó × Ñ Ü ÑÓ
Ð Ò Ð×× × ÑÔ ÒÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ ÑÔÐ ÒØ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× Ahº È ÖÓ ÒØ × ÓÖ Ö ×Ø ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ ÑÓ× × Ó Ö
ÙÒ ÓÖÑ × Ò Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × ÐØÙÖ ÒÓ Óº
7.10.13.3 Valores iniciales de la funci´n de altura
o
ÀÝÚÖ ×ÑÒÖ× × Ò Ö Ú ÐÓÖ × Ò Ð × h(u) ÕÙ × Ø × Ò Ð ¬Ò ÓÒ Ý ¹
Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º º È ÖÓ Ð Ò Ð Þ ÓÒ ÔÙ × Ö × Ò Ð Ô Ö Ð × ÑÔ ÒÓº È Ö
Ò Ö ×ØÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ò Ð Þ ÓÒ
V u=s
h(u) =
0 u=s
ÙÒÕÙ ×Ø ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × Ú Ð ¸ ×Ø Ø Ò Ù× Ö ÜØÖ ÓÒ × Ú Ò × × Ö Ü¹
ØÖ ÓÒ × ÒÓ Ó× × Ò Ö Ó× Ð Ð ×º ÄÙ Ó V Ø Ö ÓÒ ×¸ ÙÒÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ÒØ ×
Ð Ù ÒØ Ð ÒÞ Ð Ú ÐÓÖ V + 1 Ý Ú Ò Ð Ð º
Ù Ð × Ð Ñ ÓÖ ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × ÙÒ ÔÖ ÙÒØ ÕÙ Ô Ú Ö× × ÒÚ ×Ø ÓÒ ×
ÕÙ ÓÒ× Ö Ò¸ ÒØÖ ÓØÖ × Ó× ×¸ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ö Ó¸ Ð Ø ÔÓ Ö ÕÙ ÑÓ Ð Þ ¸ ×Ù×
ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ¸ Ø Ø Ö ¸ ÕÙ ÒÓ ÓÖ Ö ÑÓ× Ò ×Ø Ø ÜØÓº ÓÖ Ò¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒÓ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ñ × ÓÖØ Ö × Ð Ù ÒØ
Ð ×ÙÑ ÖÓ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ º
Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÑÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð h(u) Ð ÐÓÒ ØÙ Ñ × ÓÖØ
× u ×Ø Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ Ð Ù Ð ÔÙ Ð ÙÐ Ö× Ò O(E) Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ó¹
ÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ Ò Ó × Ð ×ÙÑ ÖÓ Ý Ö Ø Ñ ÒØ Ö Ð Þ Ð ÔÓÖ Ð ÖÙØ Ò
breadth first traversal() ×ØÙ Ò Ü º º ´Ô Ò ½ µº
ØÓ× Ð × ÑÔÐ Ý Ð ¬ Ò ¸ breadth first traversal() ×ÓÐÓ
ÓÒ× Ö Ö Ö Ó× Ö × Ù Ð ×º È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ö Ø Ö Ó Ñ Ö Ö Ó¿¼
¿¼
Î × Ü º º½º½ ´Ô Ò ¼ µ Ý Ü º º ´Ô Ò ½ µ Ô Ö Ö Ö × Ö Ñ ÑÓÖ º

805. 7.10. Redes de flujo 779
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¿
template <class N> class Res_Arc
{
bool operator () (typename N::Node *, typename N::Arc * a) const
{
return a->is_residual;
}
};
ÓÒ ×Ø × ÑÔÐ ¬ÐØÖÓ¸ Ð ÒÚÓ ÓÒ breadth first traversal() ×Ó Ö Ð Ö Ó Ö × Ù Ð
Ò × Ð ×ÙÑ ÖÓ ÓÔ Ö ÓÑÓ × × ØÖ Ø × Ð Ö ÒÚ Ö× ´× Ò Ò ×
ÓÒ×ØÖÙ ÖÐ µº Ë × Ò ÑÓ× h(t) = 0¸ ÒØÓÒ × Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ Ú × Ø ×Ó Ö
ÒÓ Ó × Ò Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ Ð ×ÙÑ ÖÓ
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net> static
bool initial_height(Net & net, typename Net::Node * p, typename Net::Arc * a)
{
node_height<Net>(p) = node_height<Net>(net.get_src_node(a)) + 1;
return false;
}
Ë Ú × Ø ÑÓ× Ò ÑÔÐ ØÙ Ð ÒÓ Ó p ÔÖÓÚ Ò ÒÓ × Ð Ö Ó a¸ ÒØÓÒ ×
node height<Net>(net.get src node(a)) + 1 ´ÕÙ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ h(p) + 1µ Ò
ÕÙ Ý ÙÒ Ö Ó Ñ × × Ð ×ÙÑ ÖÓº
Ð Ô ×Ó ¾ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó º × ÑÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net> static void init_height_in_nodes(Net & net)
{
breadth_first_traversal <Net, Res_Arc<Net> >
(net, net.get_sink(), &initial_height);
}
×Ø ÑÓ Ó¸ Ð ÐÐ Ñ init height in nodes() × ÒÖ ÒÓ Ó ×Ù ×Ø Ò
×Ø Ð ×ÙÑ ÖÓº
7.10.13.4 Manejo del conjunto Ah
Ð Ñ Ò Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÐÓ× Ö Ø Ö Ó× Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ Ò¹
Ø Ðº × ÕÙ Ò ÔÖ Ñ Ö Ò×Ø Ò ÔÙ Ö ÑÓ× ÑÔÐ Ö Ù ÐÕÙ Ö ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÒØÖ
Ð × Ú Ö× × ×Ø٠׺ Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ×Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ó Ð Ð
Ö Ó ÒÓ× Ó Ö Ñ Ò Ö × ÑÔÐ Ö ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÕÙ ¸ Ù Ò Ó ÜØÖ ÙÒ ÒÓ Ó
Ah ÒÓ× Ó Ö Þ ÙÒ Ö Ò ÔÖÓ Ð ÕÙ ×Ø ÓÒØ Ò Ö Ó× Ð Ð ×º Ò ×Ø
× ÒØ Ó¸ Ð × ÑÔÐ ÒØ ÓÒ × ÔÖ Ö × ×ÓÒ Ð × ÓÖ ÒØ × Ð ­Ù Ó Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÓÐ ×
Á Ç Ý ÔÖ ÓÖ º
ØÓ× Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ò Ö ¸ ÑÔÐ ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÖÙØ Ò × Ô Ö
Ò× ÖØ Ö Ý Ð Ñ Ò Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼
template <class Q_Type> static
void put_in_active_queue(Q_Type & q, typename Q_Type::Item_Type & p)
{
if (p->control_bits.get_bit(Aleph::Maximum_Flow))

806. 780 Cap´
ıtulo 7. Grafos
return;
p->control_bits.set_bit(Aleph::Maximum_Flow, true);
q.put(p);
}
template <class Q_Type> static
typename Q_Type::Item_Type get_from_active_queue(Q_Type & q)
{
typename Q_Type::Item_Type p = q.get();
p->control_bits.set_bit(Aleph::Maximum_Flow, false);
return p;
}
put in active queue() Ò× ÖØ Ð Ð Ñ ÒØÓ p Ò ÙÒ ÓÐ q Ø ÔÓ Ò Ö Ó Q Type¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ get from active queue ÜØÖ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ× Ð ÓÐ qº È Ö Ø Ø Ö
¬ ÒØ Ñ ÒØ Ý Ú Ø Ö Ò× Ö ÓÒ × ÙÔР׸ Ñ Ö ÑÓ× Ð Ø ÓÒØÖÓÐ Maximum Flow
Ù Ò Ó ÙÒ ÒÓ Ó ×Ø ÒØÖÓ Q Typeº
Ù Ò Ó ÐÙ Ó ÑÔÙ Ö Ð ÔÖ ¹­Ù Ó ÙÒ ÒÓ Ó u ×Ø ÙÒ Ô ÖÑ Ò Ø ÚÓ¸ Ð
Ö Ö × Ah ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ó h(u)º ÍÒ Ù ×Ø ÓÒ ÒØ Ö × × Ù Ò ÔÖÓ Ð
× ÕÙ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ó h(u) u ÓÒØ Ò Ö Ó× Ð Ð ×
7.10.13.5 Implantaci´n del algoritmo gen´rico
o e
Ð Ù Ð ÕÙ ÓÒ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× × Ó× Ò Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸ ÐÓ× ÔÖ ¹
­Ù Ó Ø Ñ Ò Ò ÐÓ Ö× Ò ÙÒÓ Ò Ö Ó¿½
¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net, class Q_Type> typename Net::Flow_Type
generic_preflow_vertex_push_maximum_flow(Net & net,
const bool & leave_residual = false)
{
net.make_residual_net();
net.reset_counter_nodes();
init_height_in_nodes(net);
typename Net::Node * source = net.get_source();
typename Net::Node * sink = net.get_sink();
Q_Type q; // instancia el conjunto de nodos activos
ÈÖ ¹­Ù Ó Ò Ð Ö Ó× Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ ½
while (not q.is_empty()) // mientras haya nodos activos
{
typename Net::Node * src = get_from_active_queue(q);
typename Net::Flow_Type excess = src->in_flow - src->out_flow;
for (Node_Arc_Iterator<Net, Res_F<Net> > it(src);
it.has_current() and excess > 0; it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename Net::Node * tgt = net.get_tgt_node(arc);
if (node_height<Net>(src) != node_height<Net>(tgt) + 1) // ¿elegible?
continue; // no ==> avance al siguiente arco
ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó ØÙ Ð ½
}
¿½
Ë ÓÑ Ø ¸ ÔÓÖ × ÑÔÐ ¸Ð Ö ÓÒ ÐÓ× ×ÙÔÖ Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓº

807. 7.10. Redes de flujo 781
if (excess > 0) // ¿src a´n sigue activo?
u
{ // s´ ==> incremente h(src) y re-inserte en q
ı
node_height<Net>(src)++;
put_in_active_queue(q, src);
}
}
const typename Net::Flow_Type ret_val = source->out_flow;
if (not leave_residual)
net.unmake_residual_net();
return ret_val;
}
Í× × Node Arc Iterator º
Ä ×ØÖÙ ØÙÖ × × ÒØ ¹Ý × Ð ÙÒ × Ô Ö×Ô Ø Ú × Ñ × ÓÑÔÖ Ò× Ð ¹ Ð ÜÔÖ ¹
× Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ü º ´Ô Ò µº
Ä Ò×ØÖÙ ÓÒ ½ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ÒÚÓ ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó net.make residual net()¸
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ¾ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ÐÐ Ñ Ð ÖÙØ Ò init height in nodes(net)º
Ð ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó Ò Ð ÔÓÖ ÐÓ× Ö Ó× Ñ Ò ÒØ × Ð Ù ÒØ ´ Ò×ØÖÙ ÓÒ µ ×
Ö ÐÞ ×
½ ÈÖ ¹­Ù Ó Ò Ð Ö Ó× Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ ½ ≡ ´ ¼µ
for (Node_Arc_Iterator<Net, Res_F<Net> > it(source); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename Net::Node * tgt = net.get_tgt_node(arc);
arc->flow = tgt->in_flow = arc->cap - arc->flow; // inunde arco actual
arc->img_arc->flow = 0;
if (tgt != sink)
put_in_active_queue(q, tgt); // tgt deviene activo
}
source->out_flow = source->out_cap;
Í× × Node Arc Iterator º
Ç × ÖÚ Ò Ó Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Ó¸ × Ø ÒØ ÓÖ Ô Ö ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ×
ÒÓÚ Ð × ÑÔÙ Ö Ð Ô Ñ Ò Ñ ÒØÖ Ð ØÓØ Ð × Ð Ð Ù ÒØ Ý Ð ØÓØ Ð
ÒØÖ Ð ×ÙÑ ÖÓº × ÑÓ Ó ÔÓ Ö Ò ×Ñ ÒÙ Ö× Ð × Ø Ö ÓÒ ×º È ÖÓ ×ØÓ ÒÓ
Ò × Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÔÓÖÕÙ ÔÓ Ö Ó ÙÖÖ Ö ÕÙ Ð ÙÒÓ× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ÒØ × Ð
Ù ÒØ ÒÓ Ú Ò × Ø ÚÓ ÐÓ ÕÙ ÔÓ× Ð Ø Ö ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ × ÐÓ Ú × º Ð ÔÖ Ñ Ö
ÑÔÙ × Ö ×Ù Ñ Ü Ñ Ô º
Ð ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ð Ö Ó × ÐÑ ÒØ ÓÑÔÖ Ò× Ð × × ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ó
Ð Ö Ö × Ù Ð¿¾
½ ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó ØÙ Ð ½ ≡ ´ ¼µ
const typename Net::Flow_Type flow_avail_in_arc = arc->cap - arc->flow;
typename Net::Flow_Type flow_to_push = Aleph::min(flow_avail_in_arc, excess);
arc->flow += flow_to_push;
arc->img_arc->flow -= flow_to_push;
if (arc->is_residual)
{
net.decrease_out_flow(tgt, flow_to_push);
net.decrease_in_flow(src, flow_to_push);
¿¾
Î × Ø Ñ Ò Ð Ñ ØÓ Ó increase flow() Ò Ü º½¼º½¼ ´Ô Ò ¾µº

808. 782 Cap´
ıtulo 7. Grafos
}
else
{
net.increase_out_flow(src, flow_to_push);
net.increase_in_flow(tgt, flow_to_push);
}
excess -= flow_to_push;
if (is_node_active<Net>(tgt) and tgt != sink and tgt != source)
put_in_active_queue(q, tgt);
7.10.13.6 An´lisis del algoritmo de pre-flujo
a
Ð Ò Ð×× × ÒØÖ Ò Ð × ¬ Ö Ý ÓØ ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò ÒØÖÓ Ð
while (not q.is empty()) ¹ Ò×ØÖÙ ÓÒ Ò Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó¹º Ð Ö ×Ô ØÓ¸ Ð × ¬ÕÙ ¹
ÑÓ× Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × Ò
½º ÑÔÙ × ØÙÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð ÐÓÕÙ ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó ØÙ Ð ½
¹ Ò×ØÖÙ ÓÒ ´ µ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó¹ ÕÙ ÐÓ Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ö Ó ×Ù ÔÐ Ò ¹
Ô º
ÍÒ ÑÔÙ × ØÙÖ ÒØ ÑÔÐ Ð Ò ÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah Ý Ð ¹
× Ô Ö ÓÒ Ð Ö Ó Ò Ð Ö Ö × Ù Ðº
¾º ÑÔÙ ÒÓ × ØÙÖ ÒØ ÙÒ Ù ÓÒ Ð ÐÓÕÙ ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó ¹
ØÙ Ð ½ ÕÙ ÒÓ ÐÓ Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ö Ó ×Ù ÔÐ Ò Ô º
¿º ÁÒ Ö Ñ ÒØÓ Ó Ö ¹ Ø ÕÙ Ø Ó Ù ÓÒ Ð if (excess > 0) ¹ Ò×ØÖÙ ÓÒ Ò Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó¹º
Ä ÒØ Ò Ö Ñ ÒØÓ× × ÐÓ Ñ × Ð ÓÒØ Ð Þ Ö¸ × ÙÒ ÐÓ ÑÙ ×ØÖ Ð Ð Ñ
× Ù ÒØ º
Lema 7.8 (Cantidad de incrementos) Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ö Ö × ¹
Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º ÒØÓÒ × Ð ÒØ Ò Ö Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ó ÙÖÖ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
º × ÐÓ ×ÙÑÓ 2V 2º
Demostraci´n ÄÓ× Ò Ö Ñ ÒØÓ× Ó ÙÖÖ Ò ×Ó Ö V − 2 ÒÓ Ó×
o Ð Ö ¸ ÔÙ × Ð Ù ÒØ Ý Ð
×ÙÑ ÖÓ ÒÙÒ ×ÓÒ Ø ÚÓ׺ ÒÓ Ó × Ò Ö Ñ ÒØ Ò ÙÒÓ ×Ø ÙÒ Ñ Ü ÑÓ 2V − 1¸
× ÙÒ Ð Ð Ñ º º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÒØ Ò Ö Ñ ÒØÓ× × (V − 1) × (2V − 1) < 2V 2
ÓÖ ÓÒØ Ð Þ ÑÓ× Ð ÒØ ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ ×º
Lema 7.9 (Cantidad de empujes saturantes) Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ
Ö Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º ÒØÓÒ × Ð ÒØ ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ × × Ñ ÒÓÖ
ÕÙ 2VEº
Demostraci´n
o ËÙÔÓÒ ÑÓ× Ó× ÒÓ Ó× Ù Ð ×ÕÙ Ö u Ý v ÐÓ× Ù Ð × × ÑÓ× ÓÒ¹
Ø Ð Þ Ö Ð ÒØ ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ ×º È Ö ÕÙ Ó ÙÖÖ Ø Ò ÑÔÙ ¸ Ü ×Ø Ö Ò
Ð Ö Ö × Ù Ð Ó ÙÒ Ö Ó u → v Ó ÙÒÓ v → uº
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ ÑÔÙ × ØÙÖ ÒØ Ò Ð Ö Ó u → vº ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ
h(u) = h(v) + 1º × Ò Ð ÒÓØ Ö ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ó ÙÖÖ ÓØÖÓ ÑÔÙ × ØÙÖ ÒØ Ò u → v

809. 7.10. Redes de flujo 783
ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ÙÖÖ Ö ÙÒ ÑÔÙ Ò v → u¸ ÔÙ × Ô Ö ÕÙ u → v Ú Ò Ð Ð
ÙÑÔÐ Ö× ÒÙ ÚÓ ÕÙ h(u) = h(v) + 1º h(v) Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ò Ð Ñ ÒÓ× 2 ÙÒ ×º
Ë ÑÓ׸ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º ¸ ÕÙ ∀x ∈ V =⇒ h(x) < 2V º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð ÒØ Ú ×
ÕÙ ÙÒ ÒÓ Ó ÔÙ Ò Ö Ñ ÒØ Ö× × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 2V º À ݸ Ô٠׸ ÐÓ ×ÙÑÓ 2V ÑÔÙ ×
× ØÙÖ ÒØ × Ò u → vº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ Ð ÒØ Ö Ó× Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ØÓØ Ð Ñ Ü ÑÓ
2VE ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ ×º
ÆÓ× Ö ×Ø ÓÒØ Ð Þ Ö Ð ÒØ ÑÔÙ × ÒÓ¹× ØÙÖ ÒØ ×¸ Ð Ù Ð × ×Ø Ð ÔÓÖ Ð
× Ù ÒØ Ð Ñ º
Lema 7.10 Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ö Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º
ÒØÓÒ × Ð ÒØ ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ × × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 4V 2(V + E)º
Demostraci´n
o ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ×Ó Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ah
Φ(Ah) = h(u) ´ º¿ µ
u∈Ah
À Ý Ó× Ñ Ò Ö × Ò ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ñ ÒØ Ö× Ð Ú ÐÓÖ Φ(Ah)
½º ÍÒ ÑÔÙ × ØÙÖ ÒØ Ò ×Ø ÓÔ Ö ÓÒ × Ò ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ah¸ Ô ÖÓ ÒÓ ×
ÙÑ ÒØ Ò Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ h(u) Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ÒÓ Ó uº ÈÓÖ Ð Ð Ñ º × ÑÓ× ÕÙ
h(u) < 2V Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö uº ÍÒ ÑÔÙ × ØÙÖ ÒØ ÙÑ ÒØ Φ(Ah) Ò ÐÓ ×ÙÑÓ 2V º
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ÒØ ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ × ×Ø ÓØ ÔÓÖ 2VE ´Ð Ñ º µ¸ Ð
Ò Ö Ñ ÒØÓ ÐÓ× ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ × ×Ó Ö Φ(Ah) ×Ø ÓØ Ó ÔÓÖ 2V × 2VE =
4V 2Eº
¾º ÍÒ Ò Ö Ñ ÒØÓ Ò Ö Ñ ÒØÓ ÙÒ ÒÓ Ó u ÙÑ ÒØ Φ(Ah) Ò ÙÒÓº Ä Ò Ò
ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö u ×Ó Ö Φ(Ah) ׸ ÔÓÖ Ð Ð Ñ º ¸ Ñ ÒÓÖ ÕÙ 2V º
ÈÓÖ Ð Ð Ñ º × ÑÓ× ÕÙ Ð ÒØ Ñ ÜÑ Ò Ö Ñ ÒØÓ× × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 2V 2º
ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð Ò Ò ÐÓ× Ò Ö Ñ ÒØÓ× ×Ó Ö Φ(Ah) × Ñ ÒÓÖ ÕÙ 2V 2 × 2V =
4V 2V º
ÉÙ Ö ÐÓ× ÑÔÙ × ÒÓ¹× ØÙÖ ÒØ × ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ó ÙÖÖ ÙÒ ÑÔÙ ÒÓ¹
× ØÙÖ ÒØ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó u → vº Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ u Ú Ò Ò Ø ÚÓ Ý v ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ
Ø ÚÓº × Ô٠׸ Φ(Ah) = Φ(Ah) − h(u) + h(v)¸ Ô ÖÓ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ h(u) = h(v) + 1¸
ÒØÓÒ × Φ(Ah) = Φ(Ah) − h(v) − 1 + h(v) = Φ(Ah) − 1º Ç × ¸ Φ(Ah) Ö Ð Ñ ÒÓ×
Ò ÙÒ ÙÒ º
À Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ó ÕÙ ÐÓ× ÑÔÙ × ÒÓ¹× ØÙÖ ÒØ × ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ú ÐÓÖ Φ(Ah)¸
ÓØ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò × ×Ø Ö Ó ÔÓÖ
Φ(Ah) < 4V 2E + 4V 2V = 4V 2(V + E)
ÁÒ Ö Ñ ÒØÓ× ÑÔÙ × × ØÙÖ ÒØ ×
ÓÖ Ø Ò ÑÓ× ØÓ × Ð × ÖÖ Ñ ÒØ × Ò × Ö × Ô Ö ÓÒ ÐÙ Ö Ö Ð × ÑÔ ÒÓ
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Óº
Proposici´n 7.15 Ë ÙÒ Ö N =< V, E, s, t, C > ÓÒ Ö Ö × Ù Ð N =< V, E , s, t, C >º
o
Ë Ah : V −→ N ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ º ÒØÓÒ × Ð ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ × ÕÙ ÙØ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó º × O(V 2E)º

810. 784 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Demostraci´n
o ÁÒÑ Ø ÐÓ× Ð Ñ × º ¸ º Ý º½¼
7.10.13.7 Empuje de pre-flujo FIFO
Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × ÑÔÙ Ð ÔÖ ¹­Ù Ó ØÖ Ú × ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÙ Ò Ö ÒÓØ Ð Ñ ÒØ Ò
Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Óº Ë ØÖ Ø ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖ ¹­Ù Ó Ð Ò ÐÓ Ñ ×
Ö Ô Ñ ÒØ ÔÓ× Ð Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ ÒØÓÒ × ÙÒ Ò ÓÕÙ ÕÙ ÜØÖ Ð ÓÐ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ò
ÔÖÓ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ø Ò ¸ ÙÖ ×Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ó¸ Ñ × ÔÓ× Ð × ÖÖ Ö
Ñ × Ö Ô Ó Ð ×ÙÑ ÖÓº Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÙÒ Ñ Ò Ö ÑÙÐ Ö Ð ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ò
ÔÖÓ ÙÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÓÐ Ö Á Ç ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺ ×Ø Ò ÓÕÙ × Ö Ø Ñ ÒØ
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ô ÖØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼
template <class Net> typename Net::Flow_Type
fifo_preflow_maximum_flow(Net & net, const bool & leave_residual = false)
{
return generic_preflow_vertex_push_maximum_flow
<Net,DynListQueue<typename Net::Node*> >(net, leave_residual);
}
Í× × DynListQueue ½ ¼ º
Ë ØÖ Ø Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ Q Type Ò×Ø Ò Ó ÙÒ ÓÐ Ø ÔÓ
DynListQueue<T> ×ØÙ Ó Ò Ü ¾º º ´Ô Ò ½ ¼µº
6 4/0 3 8/0 0 4/0 0
D E I K
4 0 3 0 2 0 1 0
6/6 3/3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
0 7/7 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0
A B F H M
4 21 3 0 2 0 1 0 0 0
5/5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0
ÙÖ º × Ò Ð ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º Ò ×Ø
×Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× × Ð ÒØ × Ð Ù ÒØ ×ÓÒ ÒÙÒ Ó× ´Ý ×Ø Ò Ö × ÐØ Ó×µº Ä × ÐØÙÖ ×
ÒÓ Ó ×Ø Ò Ù × Ð ×ÙÖÓ ×Ø º
ÍÒ Ù ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ó Ö Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º × ÑÙ ×ØÖ Ò
Ð ¬ ÙÖ º ´Ô ׺ ¹ µ¿¿ º ÆÓØ × ÕÙ Ð ×ÙÑ ÖÓ × Ð ÒÞ Ó Ò Ð Ó Ø Ú ¬ ÙÖ
ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó 6º
Ä ÙÖ ×Ø ÒØ ÒØ Ö ÓÖÖ Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ ØÖ Ú × Ö Ó× Ð Ð ×¸ Ô ÖÓ ÒÓ ×
ØÖ Ø ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ØÖ ÓÒ Ðº ×Ø Ö× Ð × ÒØ Ó ÙÖ ×Ø Ó¸ ÔÙ ×
ÒÐ Ð Ð ÐÓ× Ö Ó× Ò Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ô × Ý Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ×ØÓ× ×
ÔÖ × ÒØ Ò ÙÖ ÒØ Ð × Ø Ö ÓÒ ×º
×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × O(V 3)º ÍÒ Ú ÑÓ×ØÖ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò ¬Ò Ö ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ
, Ah = ∅
ÔÓØ Ò Ð Φ(Ah) = 0 Ý Ü Ñ Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ Φ(Ah) × ÙÒ
Ñ Ü{h(u) | u ∈ Ah} , Ah = ∅
¿¿
ÙÒÕÙ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ñ × ¬ ÙÖ ×¸ ÒÓ Ý Ñ × Ø Ö ÓÒ × ÕÙ ÓØÖÓ× Ò ÓÕÙ × × Ó× Ò Ñ ÒÓ×
ÙÑ ÒØÓ¸ ÔÙ × Ð × ¬ ÙÖ × Ô Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ Ý ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ÓÒØ Ò Ò ÐÓ× Ñ ÒÓ×
ÙÑ ÒØÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ× Ù Ð × Ý ÕÙ Ø Ö Öº

811. 7.10. Redes de flujo 785
×× Ñ Ø × Ò Ð ÓÐ º Ä ÔÖ Ñ Ö × Ð Ð Ñ Ø Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ×
Ù×ØÓ ×ÔÙ ×
[u1, u2, . . . um] ÙØ Ö ÈÖ ¹­Ù Ó Ò Ð Ö Ó× Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ ½ º
ÄÙ Ó¸ Ð × × × × Ù ÒØ × ×Ø Ò Ð Ñ Ø × ÔÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ÐÙ Ó ÕÙ
um × Ð Ð ÓÐ º Ð Ò Ð × × × Ö Ð Þ ×Ù × Ú Ñ ÒØ º
6 4/0 3 8/0 0 4/0 0 6 4/0 3 8/0 0 4/0 0
D E I K D E I K
4 0 3 0 2 0 1 0 4 0 3 0 2 0 1 0
6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
0 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0 0 7 6/0 3 4/0 0 5/0 0
A 7 B F H M A 7 B F H M
4 21 3 0 2 0 1 0 0 04 21 3 0 2 0 1 0 0 0
5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0 5 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0 4 3 4 0 2 0 1 0
6 4/0 3 8/0 0 4/0 0 6 4/0 3 8/0 0 4/0 0
D E I K D E I K
4 0 3 0 2 0 1 0 4 0 3 3 2 0 1 0
5/3
6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0
3
0 7 9 4/0 0 5/0 0 0 7 12 4/0 0 5/0 0
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F H M
4 21 4 6 2 0 1 0 0 04 21 4 6 2 0 1 0 0 0
5 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0 5 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
4 3 4 0 2 0 1 0 4 3 4 0 2 0 1 0
6 7 8/0 0 4/0 0 6 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 3 2 0 1 0 5 4 3 3 2 0 1 0
5/3 5/3
6 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0
3 3
0 7 12 4/0 0 5/0 0 0 7 12 4 5/0 0
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F 4 H M
4 21 4 6 2 0 1 0 0 04 21 5 6 3 10 1 0 0 0
5 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5/0 3 5/0 7/0 6 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0 5 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
4 3 4 0 2 0 1 0 5 3 4 0 2 0 1 0
8/4 8/4
6 7 4 4/0 0 4 7 4 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 0 1 0 5 4 3 7 2 0 1 0
4 4
5/3 6/4 5/3
6 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0
3 4 3
0 7 12 4 5/0 0 0 7 12 4 5/0 0
A 7 B 6 F 4 H M A 7 B 6 F 4 H M
4 21 5 6 3 10 1 0 0 04 19 5 6 3 10 1 0 0 0
5 5/0 3 5/0 7/0 6 4/0 6/0 5 5/0 3 5/0 7/0 6 4/0 6/0
5 0 0 5/0 6 5 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 0 5 3 4 0 2 0 1 0
ÙÖ º Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ ÓÐ ×Ó Ö Ö Ð ¬ ÙÖ º º Ð ÒÓ Ó ÜØÖ Ó
ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× Ö Ó× Ð Ð × ×ÓÒ Ö × ÐØ Ó׺ Ð ­Ù Ó ÒØÖ ÒØ × ÓÐÓ Ð ÒÓÖ ×Ø Ð ÒÓ Ó¸
Ð × Ð ÒØ Ð ×ÙÖ ×Ø Ý Ð Ú ÐÓÖ Ð ÐØÙÖ ×ÙÖÓ ×Ø º

812. 786 Cap´
ıtulo 7. Grafos
8/4 8/4
4 7 4 4/0 0 4 7 4 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 0 1 0 5 4 3 7 2 0 1 0
4 4
6/4 5/3 6/4 5/3
3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 3 4 3
5/4
0 7 12 4 5/0 6 0 7 12 4 10
A 7 B 6 F 4 H M A 7 B 6 F 4 H M
4 19 5 6 3 10 1 0 0 04 19 5 6 3 10 1 4 0 0
4
5 5/0 3 5/0 7/0 6 4/0 6 5 5/0 3 5/0 7/0 6 4/0 6
5 0 0 5/0 6 5 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
8/4 8/4
4 7 4 4/0 0 4 7 4 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 0 1 0 5 4 3 7 2 0 1 0
4 4
6/4 5/3 6/4 5/3
3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 3 4 3
5/4 5/4
0 7 12 4 10 0 7 12 4 10
A 7 B 6 F 4 H M A 7 B 6 F 4 H M
4 19 5 6 3 12 1 4 0 04 17 5 6 3 12 1 4 0 0
4 4
7/2 5/3 7/2
5 5/0 3 5/0 6 4/0 6 5/0 3 5/0 6 4/0 6
2 3 2
5 0 2 5/0 6 3 0 2 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
8/4 8/4
4 7 4 4/0 0 4 7 4 4
D 4 E I K D 4 E I 4 K
5 4 3 7 2 0 1 0 5 4 3 7 2 4 1 0
4 4
6/4 5/3 6/4 5/3
3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 3 4 3
7/6 5/4 7/6 5/4
0 6 12 4 10 0 6 12 4 10
A B 6 F 4 H M A B 6 F 4 H M
4 16 5 6 3 12 1 4 0 04 16 5 6 3 12 1 4 0 0
6 4 6 4
5/3 7/2 5/3 7/2
5/0 3 5/0 6 4/0 6 5/0 3 5/0 6 4/0 6
3 2 3 2
3 0 2 5/0 6 3 0 2 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
8/4 8/4
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 3 7 2 4 1 0 5 4 3 7 2 4 1 4
4 4
6/4 5/3 6/4 5/3
3 4/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4
4 3 4 3
7/6 5/4 7/6 5/4
0 6 12 4 10 0 6 12 4 14
A B 6 F 4 H M A B 6 F 4 H M
4 16 5 6 3 12 1 4 0 04 16 5 6 3 12 1 4 0 0
6 4 6 4
5/3 7/2 5/3 7/2
5/0 3 5/0 6 4/0 6 5/0 3 5/0 6 4/0 6
3 2 3 2
5/2 5/2
3 0 2 8 3 0 2 8
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 2 1 6 5 3 4 0 2 2 2 6
2 2
8/4 8/4
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 3 7 2 4 1 4 5 4 3 7 2 4 1 4
4 4
6/4 5/3 6/4 5/3
3 4/0 3/0 4/0 3/0 4 3 4/0 3/0 4/0 3/0 4
4 3 4 3
7/6 5/4 7/6
0 6 12 6 14 0 6 12 6 15
A B 6 F 4 H M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 12 1 4 0 04 16 5 6 3 12 3 5 0 0
6 4 6
5/3 7/2 2 5/3 7/2 2
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 2 4/2 3 2 4/2
5/2 5/2
3 0 2 8 3 0 2 8
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 2 2 8 5 3 4 0 2 2 2 8
2 2

813. 7.10. Redes de flujo 787
8/4 8/3
4 7 5 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 3 7 4 4 1 4 5 4 4 6 4 4 1 4
4 3
6/4 5/3 1 6/4 5/3 1
3 4/0 3/0 3/0 4 3 4/0 3/0 3/0 4
4 3 4/1 4 3 4/1
7/6 7/6
0 6 12 6 15 0 6 12 6 15
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 12 3 6 0 04 16 5 6 3 12 3 6 0 0
6 6
5/3 7/2 2 5/3 7/2 2
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 2 4/2 3 2 4/2
5/2 5/2
3 0 2 8 3 0 2 8
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 2 2 8 5 3 4 0 2 2 2 8
2 2
8/3 8/3
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 4 7 4 4 1 4 5 4 4 7 4 4 1 4
3 3
6/4 5/4 1 6/4 5/4 1
3 4/0 3/0 3/0 4 3 4/0 3/0 3/0 4
4 4 4/1 4 4 4/1
7/6 7/6
0 6 13 6 15 0 6 13 6 15
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 12 3 6 0 04 16 5 6 3 13 3 6 0 0
6 6
5/3 7/2 2 5/3 7/3 2
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 2 4/2 3 3 4/2
5/2 5/2
3 0 2 8 3 0 3 8
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 2 2 8 5 3 4 0 3 2 2 8
2 2
8/3 8/3
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 4 7 4 4 1 4 5 4 4 7 4 4 1 4
3 3
6/4 5/4 1 6/4 5/4 1
3 4/0 3/0 3/0 4 3 4/0 3/0 3/0 4
4 4 4/1 4 4 4/1
7/6 7/6
0 6 13 6 15 0 6 13 7 15
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 13 3 6 0 04 16 5 6 3 13 4 6 0 0
6 6
5/3 7/3 2 5/3 7/3 3
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 3 4/2 3 3 4/3
5/3 5/3
3 0 3 9 3 0 3 9
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 3 3 4 8 5 3 4 0 3 3 4 9
3 3
8/3 8/3
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 4 7 4 4 1 4 5 4 4 7 4 4 1 4
3 3
6/4 5/4 1 6/4 5/4 1
3 4/0 3/0 3/0 4 3 4/0 3/0 3/0 4
4 4 4/1 4 4 4/1
7/6 4/3 7/6 4/3
0 6 13 6 15 0 6 13 6 15
A B 6 F H 5 M A B 6 F H 5 M
4 16 5 6 4 12 4 6 0 04 16 5 6 4 13 4 6 0 0
6 3 6 3
5/3 7/3 3 5/3 7/4 3
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 3 4/3 3 4 4/3
5/3 5/3
3 0 3 9 3 0 4 9
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 3 3 4 9 5 3 4 0 5 3 4 9
3 3
8/3 8/3
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 4 7 4 4 1 4 5 4 4 7 4 4 1 4
3 3
6/4 5/4 1 6/4 5/4 1
3 4/0 3/0 3/0 4 3 4/0 3/0 3/0 4
4 4 4/1 4 4 4/1
7/6 4/3 7/6 4/3
0 6 13 6 15 0 6 13 6 15
A B 6 F H 5 M A B 6 F H 5 M
4 16 5 6 4 13 4 6 0 04 16 5 6 4 13 4 6 0 0
6 3 6 3
5/3 7/4 3 5/3 7/4 3
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 4 4/3 3 4 4/3
1 5/3 1 1 5/3
3 1 4 9 4 1 4 9
C 4/0 G J L C G J L
5 3 6 0 5 4 4 9 5 3 6 1 5 4 4 9
6/1 3 4/1 6/1 3

814. 788 Cap´
ıtulo 7. Grafos
4 4/4 7 8/3 4 4/4 4
D E I K
5 4 4 7 4 4 1 4
6/4 3/3 4/0 5/4 3/0 4/1 3/0 4/4
0 7/6 6 6/6 13 4/3 6 5/5 15
A B F H M
4 15 5 6 4 13 4 6 0 0
5/2 5/0 3/3 5/0 7/4 6/6 4/3 6/6
3 1 4 5/3 9
C 4/1 G 6/1 J L
5 3 6 1 5 4 4 9
ÙÖ º ×Ø Ó ¬Ò Ð Ù ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ×Ó Ö Ð ¬ ÙÖ º Ô Ö ÓÐ
Á Ǻ
7.10.13.8 Empuje de pre-flujo con mayor distancia
Ä × ÙÒ ÙÖ ×Ø Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö¸ Ð Ù Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØ Ö ×ÙÐØ Ñ ÓÖ ÕÙ Ð ÓÐ Á Ǹ
ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ö Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× Ò ÑÔÐ ØÙ º Ä ÒØÙ Ø Ú × ÑÔÙ Ö ØÓ Ó Ð
ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓ× Ð ÒØ × Ú ÒÞ Ö ÙÒ Ò Ú Ð × Ö × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ × ×Ø ÒØ × Ð
×ÙÑ ÖÓ ×Ø ÐÓ× Ñ × Ö ÒÓ׺ Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÕÙ ÒÓ× Ó Ö ×Ø × ÔÐ Ò
× ÙÒ ÓÐ ÔÖ ÓÖ ÙÝ ÜØÖ ÓÒ Ö ØÓÖÒ Ð ÒÓ Ó Ø ÚÓ ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÐØÙÖ Ó × ¸
× Ð ÔÖ ÓÖ Ð ÒÓ Ó Ø ÚÓ Ñ × Ö ÒÓ Ù ÒØ ¹Ó Ñ × Ð ÒÓ Ð ×ÙÑ ÖÓ × ÙÒ
ÓÒÚ Ò Ú Ö¹º
Ä ÓÐ ÔÖ ÓÖ ×Ø Ò ×ÔÓÒ Ð × Ó Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ø ÔÓ× ×Ó Ó× ÐÓ×
Ô׺ Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÑÔÐ Ö ÑÓ× Ð Ø ÔÓ DynBinHeap<Key>¸ Ð Ù Ð × Ð Ú Ö× ÓÒ
ÒÑ Ð Ø ÔÓ BinHeap<Key> ×ØÙ Ó Ò Ü º º ´Ô Ò ¿½¾µº
Ð Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× Ð Ô × ¬Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net> struct Compare_Height
{
bool operator () (typename Net::Node * n1, typename Net::Node * n2) const
{
return node_height<Net>(n1) > node_height<Net>(n2);
}
};
Ä ÓÑÔ Ö ÓÒ ×Ø ÒÚ ÖØ ØÓ× Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ × ÑÔÖ × ÜØÖ Ð ÒÓ Ó ÓÒ
Ñ ÝÓÖ ÔÖ ÓÖ º
×Ø Ð Ó Ð Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ¸ Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ð ÑÔÙ ÓÒ Ð ÙÖ ×Ø ÔÓÖ
ÑÔÐ ØÙ × Ö Ø
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¾
template <class Net> typename Net::Flow_Type
heap_preflow_maximum_flow(Net & net, const bool & leave_residual = false)
{
return generic_preflow_vertex_push_maximum_flow
<Net, DynBinHeap<typename Net::Node*, Compare_Height<Net> > >
(net, leave_residual);
}
Ä Ù ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ó Ö Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º × ÑÓ×ØÖ Ò
Ð ¬ ÙÖ º ´Ô ׺ ¹ ¾µº Ð ÒÓ Ó ×ÙÑ ÖÓ × Ð ÒÞ Ò Ð ÓÒ Ú Ø Ö ÓÒ¸ ÓÒ ÙÒ
Ú ÐÓÖ ­Ù Ó 4 ØÖ × Ø Ö ÓÒ × Ñ ÒÓ× ÕÙ ÓÒ Ð ÓÐ Á Ç Ý ÙÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ñ ÒÓ׺

815. 7.10. Redes de flujo 789
Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ÙÖ ×Ø ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ × ØÖ Ø Ö Ò ÑÔÐ ØÙ ¸
× ÑÓÖ Ñ × Ò Ð ÒÞ Ö Ð ×ÙÑ ÖÓº Ä Ñ ×Ñ Ó × ÖÚ ÓÒ ÔÐ Ô Ö Ð Ú ÐÓÖ
­Ù Ó Ò Ö ÓÖ Ð ­Ù Ó ×Ø ÓÒ ÒØÖ Ó Ð Ù ÒØ ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÓÒ Ð ÓÐ Á Ç ×Ø
×Ô Ö× Ó ØÖ Ú × ÐÓ× Ñ ÒÓ× ÕÙ Ð ×Ù ÖØ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ý Ø ÖÑ Ò Óº
× ÑÓ×ØÖ Ð ÕÙ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙØ Ò O(V 3) Ô ×Ó׺ È Ö ÐÐÓ¸ × ¬Ò Ð
Ñ ×Ñ ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð ÕÙ Ô Ö Ð ÓÐ Á Ǹ Ô ÖÓ × Ñ Ö Ð × Ù Ò ÓÒ ÕÙ ÐÓ×
ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ×ÓÒ Ü Ñ Ò Ó׺
6 4/0 3 8/0 0 4/0 0 6 7 8/0 0 4/0 0
D E I K D 4 E I K
4 0 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
0 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0 0 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0
A 7 B F H M A 7 B F H M
4 21 3 0 2 0 1 0 0 04 21 3 0 2 0 1 0 0 0
5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0 5 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0 3 0 4 0 2 0 1 0
4 7 8/0 0 4/0 0 4 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6/4 6/4
3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
0 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0 0 7 6/0 3 4/0 0 5/0 0
A 7 B F H M A 7 B F H M
4 19 3 0 2 0 1 0 0 04 19 3 0 2 0 1 0 0 0
5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0 5 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0 5 3 4 0 2 0 1 0
4 7 8/0 0 4/0 0 4 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6/4 6/4
3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
0 7 6/0 3 4/0 0 5/0 0 0 7 9 4/0 0 5/0 0
A 7 B F H M A 7 B 6 F H M
4 17 3 0 2 0 1 0 0 04 17 5 6 2 0 1 0 0 0
5/3 5/3
5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
3 3
3 0 0 5/0 0 3 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 0 5 3 4 0 2 0 1 0
8/2
4 7 8/0 0 4/0 0 4 7 2 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 7 2 0 1 0
2
6/4 6/4
3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
7/6 7/6
0 6 9 4/0 0 5/0 0 0 6 14 4/0 0 5/0 0
A B 6 F H M A B 6 F H M
4 16 5 6 2 0 1 0 0 04 16 5 6 2 0 1 0 0 0
6 6
5/3 5/3
5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5/0 3 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
3 3
3 0 0 5/0 0 3 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 0 5 3 4 0 2 0 1 0
ÙÖ º Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ Ô ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º

816. 790 Cap´
ıtulo 7. Grafos
8/2 8/2
4 7 2 4/0 0 4 7 2 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 0 1 0 5 4 3 7 2 0 1 0
2 2
6/4 6/4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
7/6 7/6
0 6 14 4 5/0 0 0 6 14 4 5/0 0
A B 6 F 4 H M A B 6 F 4 H M
4 16 5 6 3 10 1 0 0 04 16 5 6 3 14 1 0 0 0
6 6
5/3 5/3 7/4
5/0 3 5/0 7/0 6 4/0 6/0 5/0 3 5/0 6 4/0 6/0
3 3 4
3 0 0 5/0 6 3 0 4 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 0 5 3 4 0 2 0 1 0
8/2 4/2
4 7 2 2
8/2 4/2 D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0
4 7 2 2 2 2
D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0
2 2 6/4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
6/4 4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 7/6
0 6 14 4 5/0 0
7/6 A B 6 F 4 H M
4 16 5 6 3 14 1 0 0 0
0 6 14 4 5/0 0 6
A B 6 F 4 H M
4 16 5 6 3 14 1 0 0 0
6 5/3 7/4
5/0 3 5/0 6 4/0 6/0
5/3 7/4 3 4
5/0 3 5/0 6 4/0 6/0
3 4 5/4
3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 1 0
3 0 4 5/0 6 4
C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 0
8/2 4/2 8/2 4/2
4 7 2 2 4 7 2 2
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0 5 4 3 7 2 2 1 0
2 2 2 2
6/4 6/4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
7/6 7/6
0 6 14 4 5/0 6 0 6 14 8 5/0 6
A B 6 F 4 H M A B 6 F 4 H M
4 16 5 6 3 14 1 0 0 04 16 5 6 3 14 1 0 0 0
6 6
5/3 7/4 5/3 7/4
5/0 3 5/0 6 4/0 6 5/0 3 5/0 6 4 6
3 4 3 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 6 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4
8/2 4/2 8/2 4/2
4 7 2 2 4 7 5 2
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0 5 4 3 7 2 2 1 0
2 2 2 2
6/4 6/4 3
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4 4/3
7/6 7/6
0 6 14 8 11 0 6 14 8 11
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 14 3 5 0 04 16 5 6 3 14 3 8 0 0
6 6
5/3 7/4 5/3 7/4
5/0 3 5/0 6 4 6 5/0 3 5/0 6 4 6
3 4 3 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4
8/2 8/1
4 7 5 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 3 7 4 4 1 0 5 4 5 6 4 4 1 0
2 1
6/4 3 6/4 3
3 4/0 5 3/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4/3 4 4/3
7/6 7/6
0 6 14 8 11 0 6 14 8 11
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 14 3 8 0 04 16 5 6 3 14 3 8 0 0
6 6
5/3 7/4 5/3 7/4
5/0 3 5/0 6 4 6 5/0 3 5/0 6 4 6
3 4 3 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4

817. 7.10. Redes de flujo 791
8/2 8/2
4 7 5 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 5 7 4 4 1 0 5 4 5 7 4 4 1 0
2 2
6/4 3 6/4 2
3 4/0 5 3/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4/3 4 4/2
7/6 7/6
0 6 14 8 11 0 6 14 8 11
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 14 3 8 0 04 16 5 6 3 14 3 7 0 0
6 6
5/3 7/4 5/3 7/4
5/0 3 5/0 6 4 6 5/0 3 5/0 6 4 6
3 4 3 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4
8/2 8/2
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 5 7 4 4 1 0 5 4 5 7 4 4 1 0
2 2
6/4 2 6/4 2
3 4/0 5 3/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4/2 4 4/2
7/6 7/6
0 6 14 7 11 0 6 14 7 11
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 14 3 7 0 04 16 5 6 3 14 3 7 0 0
6 6
5/3 7/4 3 5/3 7/4 3
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 6
3 4 4/3 3 4 4/3
5/4 5/3
3 0 4 10 3 0 4 9
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 3 9 5 3 4 0 4 3 3 9
4 3
8/2 8/2
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 5 7 4 4 1 0 5 4 5 7 4 4 1 0
2 2
6/4 2 6/4 2
3 4/0 5 3/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4/2 4 4/2
7/6 7/6
0 6 14 7 11 0 6 14 8 11
A B 6 F 4 H 5 M A B 6 F 4 H 5 M
4 16 5 6 3 14 3 7 0 04 16 5 6 3 14 4 7 0 0
6 6
5/3 7/4 3 5/3 7/4
5/0 3 5/0 6 6 5/0 3 5/0 6 4 6
3 4 4/3 3 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 4 4 4 9 5 3 4 0 4 4 4 10
4 4
8/2 8/2
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 5 7 4 4 1 0 5 4 5 7 4 4 1 0
2 2
6/4 2 6/4 2
3 4/0 5 3/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4/2 4 4/2
7/6 4/3 7/6 4/3
0 6 14 7 11 0 6 14 7 11
A B 6 F H 5 M A B 6 F H 5 M
4 16 5 6 5 13 4 7 0 04 16 5 6 5 14 4 7 0 0
6 3 6 3
5/3 7/4 5/3 1 7/4
5/0 3 5/0 6 4 6 5/0 3 6 4 6
3 4 3 5/1
4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 1 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 4 4 4 10 5 3 6 0 4 4 4 10
4 4
8/2 8/2
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 5 7 4 4 1 0 5 4 5 7 4 4 1 0
2 2
6/4 2 6/4 2
3 4/0 5 3/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4/0
4 4/2 4 4/2
7/6 4/3 7/6 4/3
0 6 14 7 11 0 6 14 7 11
A B 6 F H 5 M A B 6 F H 5 M
4 16 5 6 5 14 4 7 0 04 15 5 6 5 14 4 7 0 0
6 3 6 3
5/3 1 7/4 5/2 1 7/4
5/0 3 6 4 6 5/0 3 6 4 6
3 5/1
4 2 5/1
4
1 5/4 1 5/4
4 1 4 10 3 1 4 10
C G 6/0 J L C G 6/0 J L
5 3 6 1 4 4 4 10 5 3 6 1 4 4 4 10
4/1 4 4/1 4

818. 792 Cap´
ıtulo 7. Grafos
4 4/4 7 8/2 4 4/4 4
D E I K
5 4 5 7 4 4 1 4
6/4 3/3 4/0 5/5 3/0 4/2 3/0 4/4
0 7/6 6 6/6 14 4/3 7 5/5 15
A B F H M
4 15 5 6 5 14 4 7 0 0
5/2 5/0 3/3 5/1 7/4 6/6 4/4 6/6
3 1 4 5/4 10
C 4/1 G 6/0 J L
5 3 6 1 4 4 4 10
ÙÖ º ×Ø Ó ¬Ò Ð Ù ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ×Ó Ö Ð ¬ ÙÖ º ÓÒ ÓÐ
ÔÖ ÓÖ º
7.10.13.9 Empuje de pre-flujo con cola aleatoria
× ÑÙÝ ÔÖÓ Ð ÜØÖ Ö ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× × Ò Ö Ó× Ð Ð ×º ÈÓÖ ×Ó¸ × × Ð Ñ Ò Ñ Þ Ö
Ð ÒØ ×Ø Ð × ÜØÖ ÓÒ × Ú Ò ×¸ ÐÓ Ù Ð Ô Ò Ð ×Ù ÖØ ØÓÔÓÐÓ
Ð Ö Ó¸ Ð ×Ù ÖØ ÓÒ ÕÙ × Ñ Ö Ò ÐÓ× Ö Ó× Ý Ð ×Ù ÖØ ÓÒ ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ×
Ú ÐÓÖ × Ð × Ô ×º
× ¸ Ø ÒØÓ Ô Ö Ò Ð ×Ù ÖØ ÕÙ × Ø ÒØ ÓÖ ÒØÖÓ Ù ÖÐ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓº ×
Ø ÒÓÖ¸ ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ah × ÒÓÑ Ò “cola aleatoria”¸ Ð Ù Ð
ÔÙ ÑÔÐ ÒØ Ö× ÑÙÝ ÐÑ ÒØ
¾ ØÔÐ Ö Ò ÓÑ ÕÙ Ù ºÀ ¾ ≡
template <class T> class Random_Set
{
DynArray<T> array;
gsl_rng * r;
void put(const T & item) { array[array.size()] = item; }
T get()
{
const size_t pos = gsl_rng_uniform_int(r, array.size()); // ındice al azar
´
T ret_val = array.access(pos);
array.access(pos) = array.access(array.size() - 1);
array.cut(array.size() - 1);
return ret_val;
}
};
Í× × DynArray ¾º
Ç × ¸ ÙÒ ÓÐ ÙÝ ÓÔ Ö ÓÒ get() × Ð ÓÒ Ð Þ Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ò Öº ÓÒ ×Ø
×ØÖÙ ØÙÖ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ ÒØ Ö Ð × Ù ÒØ ×Ô Ð Þ ÓÒ
¾ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net> typename Net::Flow_Type
random_preflow_maximum_flow(Net & net, const bool & leave_residual = false)
{
return generic_preflow_vertex_push_maximum_flow
<Net, Random_Set<typename Net::Node*> > (net, leave_residual);
}
ÍÒ Ù ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ¸ Ù Ò ¸ ÓÒ ×Ø ÓÐ ¸ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º ¼ ´Ô ׺
¿¹ µº

819. 7.10. Redes de flujo 793
6 4/0 3 8/0 0 4/0 0 6 7 8/0 0 4/0 0
D E I K D 4 E I K
4 0 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
0 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0 0 7 6/0 0 4/0 0 5/0 0
A 7 B F H M A 7 B F H M
4 21 3 0 2 0 1 0 0 04 21 3 0 2 0 1 0 0 0
5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5 0 0 5/0 0 5 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0 3 0 4 0 2 0 1 0
6 7 8/0 0 4/0 0 6 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
0 7 6 4/0 0 5/0 0 0 7 6 4/0 0 5/0 0
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F H M
4 21 4 6 2 0 1 0 0 04 21 4 7 2 0 1 0 0 0
1
5 5/0 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0 5 3/0 5/0 7/0 6/0 4/0 6/0
5/1
5 0 0 5/0 0 6 0 0 5/0 0
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0 3 0 4 0 2 0 1 0
6 7 8/0 0 4/0 0 6 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
0 7 6 4/0 0 5/0 0 0 7 6 4/0 0 5/0 6
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F H M
4 21 4 7 2 6 1 0 0 04 21 4 7 2 6 1 0 0 0
1 1
5 3/0 5/0 7/0 6 4/0 6/0 5 3/0 5/0 7/0 6 4/0 6
5/1 5/1
6 0 0 5/0 6 6 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 0 3 0 4 0 2 0 1 6
4 7 8/0 0 4/0 0 4 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6/4 6/4
3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
0 7 6 4/0 0 5/0 6 0 7 9 4/0 0 5/0 6
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F H M
4 19 4 7 2 6 1 0 0 04 19 4 7 2 6 1 0 0 0
1 1
5 3/0 5/0 7/0 6 4/0 6 5 3 5/0 7/0 6 4/0 6
5/1 5/1
6 0 0 5/0 6 6 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
3 0 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
4 7 8/0 0 4/0 0 4 7 8/0 0 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 0 2 0 1 0 5 4 3 0 2 0 1 0
6/4 6/4
3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
4/3
0 7 9 4/0 0 5/0 6 0 7 9 3 5/0 6
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F H M
4 16 4 7 2 6 1 0 0 04 16 4 7 2 9 1 0 0 0
3
1
5/2 1
5/2
3 5/0 7/0 6 4/0 6 3 5/0 7/0 6 4/0 6
2 5/1 2 5/1
3 0 0 5/0 6 3 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
ÙÖ º ¼ ÍÒ Ù ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÚÓÖ Ð ´¿¾ Ø Ö ÓÒ ×µ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó
ÓÒ ÓÐ Ð ØÓÖ ×Ó Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º º

820. 794 Cap´
ıtulo 7. Grafos
8/2 8/2
4 7 2 4/0 0 4 7 2 4/0 0
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 0 1 0 5 4 3 7 2 0 1 0
2 2
6/4 6/4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
4/3
0 7 14 3 5/0 6 0 7 14 4 5/0 6
A 7 B 6 F H M A 7 B 6 F 4 H M
4 16 4 7 2 9 1 0 0 04 16 4 7 3 10 1 0 0 0
3
1
5/2 1
5/2
3 5/0 7/0 6 4/0 6 3 5/0 7/0 6 4/0 6
2 5/1 2 5/1
3 0 0 5/0 6 3 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
8/2 4/2 8/2 4/2
4 7 2 2 4 7 2 2
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0 5 4 3 7 2 2 1 0
2 2 2 2
6/4 6/4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0 3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 4
5/4
0 7 14 4 5/0 6 0 7 14 4 10
A 7 B 6 F 4 H M A 7 B 6 F 4 H M
4 16 4 7 3 10 1 0 0 04 16 4 7 3 10 1 4 0 0
4
1
5/2 1
5/2
3 5/0 7/0 6 4/0 6 3 5/0 7/0 6 4/0 6
2 5/1 2 5/1
3 0 0 5/0 6 3 0 0 5/0 6
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6 5 3 4 0 2 0 1 6
8/2 4/2
4 7 2 2
8/2 4/2 D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0
4 7 2 2 2 2
D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 0
2 2 6/4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
6/4 4
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 4/0
4 5/4
0 7 14 4 10
5/4 A 7 B 6 F 4 H M
4 16 4 7 3 14 1 4 0 0
0 7 14 4 10 4
A 7 B 6 F 4 H M
4 16 4 7 3 14 1 4 0 0
4 1
5/2 7/4
3 5/0 6 4/0 6
1
5/2 7/4 2 5/1 4
3 5/0 6 4/0 6
2 5/1 4 5/4
3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 1 6
3 0 4 5/0 6 4
C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 0 1 6
8/2 4/2 8/2 4/2
4 7 2 2 4 7 2 2
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 2 5 4 3 7 2 2 1 2
2 2 2 2
6/4 4/2 6/4 4/2
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 3 4/0 5 3/0 4/0 3/0
4 2 4 2
5/4 5/4
0 7 14 4 12 0 7 14 8 12
A 7 B 6 F 4 H M A 7 B 6 F 4 H M
4 16 4 7 3 14 1 4 0 04 16 4 7 3 14 1 4 0 0
4 4
1
5/2 7/4 1
5/2 7/4
3 5/0 6 4/0 6 3 5/0 6 4 6
2 5/1 4 2 5/1 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 6 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4
8/2 4/2 8/2 4/2
4 7 2 2 4 7 5 2
D 4 E I K D 4 E I K
5 4 3 7 2 2 1 2 5 4 3 7 2 2 1 2
2 2 2 2
6/4 4/2 6/4 3 4/2
3 4/0 5 3/0 4/0 3/0 3 4/0 5 3/0 3/0
4 2 4 4/3 2
0 7 14 8 13 0 7 14 8 13
A 7 B 6 F 4 H 5 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
4 16 4 7 3 14 3 5 0 04 16 4 7 3 14 3 8 0 0
1
5/2 7/4 1
5/2 7/4
3 5/0 6 4 6 3 5/0 6 4 6
2 5/1 4 2 5/1 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4

821. 7.10. Redes de flujo 795
8/2 8/2
4 7 5 4 4 7 5 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 3 7 4 4 1 2 5 4 3 7 4 4 1 4
2 2
6/4 3 4/2 6/4 3
3 4/0 5 3/0 3/0 3 4/0 5 3/0 3/0 4
4 4/3 2 4 4/3
0 7 14 8 13 0 7 14 8 15
A 7 B 6 F 4 H 5 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
4 16 4 7 3 14 3 8 0 04 16 4 7 3 14 3 8 0 0
1
5/2 7/4 1
5/2 7/4
3 5/0 6 4 6 3 5/0 6 4 6
2 5/1 4 2 5/1 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4
8/1 8/1
4 7 4 4 4 7 4 4
D 4 E I 4 K D 4 E I 4 K
5 4 5 6 4 4 1 4 5 4 5 7 4 4 1 4
1 1
6/4 3 6/4 1 3
3 4/0 5 3/0 3/0 4 3 5 3/0 3/0 4
4 4/3 4 4/1 4/3
0 7 14 8 15 0 8 14 8 15
A 7 B 6 F 4 H 5 M A 7 B 6 F 4 H 5 M
4 16 4 7 3 14 3 8 0 04 16 5 7 3 14 3 8 0 0
5/2
1 7/4 5/2
1 7/4
3 5/0 6 4 6 3 5/0 6 4 6
2 5/1 4 2 5/1 4
5/4 5/4
3 0 4 10 3 0 4 10
C 4/0 G 6/0 J L C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10 5 3 4 0 2 4 2 10
4 4
4 4/4 7 8/1 4 4/4 4
D E I K
5 4 5 7 4 4 1 4
6/4 3/3 4/1 5/5 3/0 4/3 3/0 4/4
0 7/6 7 6/6 14 4/4 8 5/5 15
A B F H M
4 15 5 7 3 14 3 8 0 0
5/2 5/1 3/3 5/0 7/4 6/6 4/4 6/6
3 0 4 5/4 10
C 4/0 G 6/0 J L
5 3 4 0 2 4 2 10
ÙÖ º ½ ÍÐØ Ñ × Ø Ö ÓÒ × Ý ×Ø Ó ¬Ò Ð Ù ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó ×Ó Ö
Ð ¬ ÙÖ º ÓÒ ÓÐ Ð ØÓÖ º
Ä Ø Ð × Ù ÒØ Ö ×ÙÑ Ð ÒØ ØÓØ Ð Ø Ö ÓÒ × ÕÙ ØÓÑ Ò Ð × ØÖ × ÙÖ ×Ø ×
ÔÖ Ð Ö ÑÔÐÓ
À ÙÖ ×Ø ÆÙÑ ÖÓ ØÖ ÓÒ ×
ÓÐ Á Ç
ÓÐ ÔÖ ÓÖ ¿
ÓÐ Ð ØÓÖ ÑÒ ¾ ¹ ÔÖÓÑ Ó ¼¸¿ ¹ Ñ Ü ¼
Ð ÔÖÓÑ Ó × Ð ÙÐÓ Ô Ö 100 Ù ÓÒ ×º È Ö Ð ÑÔÐÓ¸ Ð ÓÐ Ð ØÓÖ Ó Ö ÙÒ
Ù ÓÒ ÔÖÓÑ Ó Ñ ÓÖ Ð × ÓØÖ × Ó× ÙÖ ×Ø ×º Ò Ð ÑÔÐÓ ÑÓ×ØÖ Ó × ØÙÚÓ Ð
×Ù ÖØ Ð ÒÞ Ö Ð ×ÙÑ ÖÓ Ò Ò Ó Ø Ö ÓÒ × ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÕÙ ÓÒ Ð
ÓÐ Á Ç ´6µº
7.10.13.10 Algoritmo gen´rico de empuje de pre-flujo por arcos
e
ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ñ Ò Ö ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÓÖ Ò¹
Ø Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× Ð Ð × Ò ÐÙ Ö Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺ Ä ÜØÖ ÓÒ Ð

822. 796 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÓÐ × Ö Ð ÙÒ Ö Ó Ð Ð × ÙÒ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÓÑ Ò Ó ÓÒ Ð ÐØÙÖ Ð ÒÓ Óº
ÑÓ× Ø Ò Ö ×Ô Ð Ù Ó ÓÒ Ð Ö ¹ Ø ÕÙ Ø Ó¸ ÔÙ × Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò Ö Ñ ÒØÓ
ÐØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó¸ Ö Ó× Ú Ò Ò Ð Ð ×¸ Ô ÖÓ ÓØÖÓ× ÕÙ Ö Ò Ð Ð × Ú Ò Ò
Ò Ð Ð ×º Ä ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ñ Ò Ö Ø ÒØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× ÓÑÓ ÐÓ× Ö Ó×
РР׺
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ñ ÒØ Ò Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× Ð Ð ×º ÇÔØ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÑÔÐ Ö
Ó× ÓÒ ÙÒØÓ× Ð ÐÓ× Ö Ó× Ð Ð × Ý Ð ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× Ý ÒÓ ÒÓ× ÔÖ Ó ÙÔ Ö ÑÓ׸
Ò Ð Ò ¸ ÔÓÖ × Ö Ö Ó× ÕÙ Ò × Ö Ð Ð × Ù Ò Ó Ó ÙÖÖ ÙÒ Ò Ö Ñ ÒØÓº Ó
ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¾
template <class Net, class QN_Type, class QA_Type> typename Net::Flow_Type
generic_preflow_edge_maximum_flow(Net & net,
const bool & leave_residual = false)
{
net.make_residual_net();
net.reset_counter_nodes();
init_height_in_nodes(net);
typename Net::Node * source = net.get_source();
typename Net::Node * sink = net.get_sink();
QA_Type q; // conjunto de arcos elegibles
QN_Type p; // conjunto de nodos activos
ÁÒÙÒ Ö Ö Ó× Ð Ù ÒØ
process_active_arcs:
while (not q.is_empty()) // mientras haya arcos elegibles
{
typename Net::Arc * arc = get_from_active_queue(q);
typename Net::Node * src = net.get_src_node(arc);
typename Net::Node * tgt = net.get_tgt_node(arc);
if (node_height<Net>(src) != node_height<Net>(tgt) + 1) // ¿a´n elegible?
u
continue; // No ==> ignore arco
typename Net::Flow_Type excess = src->in_flow - src->out_flow;
if (excess == 0) // ¿fuente fue descargado en una iteraci´n anterior?
o
{ // s´ ==> ignore arco
ı
remove_from_active_queue(p, src);
continue; // avance al siguiente arco elegible
}
ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö
if (is_node_active<Net>(tgt) and tgt != source and tgt != sink)
Å Ø Ö Ò Õ Ö Ó× Ð Ð× ØØ
if (excess == 0) // ¿se descarg´ el fuente?
o
{ // s´ ==> fuente deviene inactivo
ı
remove_from_active_queue(p, src);
continue;
}
if (src != source and src != sink and // ¿empuje no-saturante?
not has_arcs_in_active_queue<Net>(src))
{ // s´ ==> incremente h(active) y re-inserte arc en q
ı
remove_from_active_queue(p, src);
node_height<Net>(src)++;
put_in_active_queue(p, src);

823. 7.10. Redes de flujo 797
Å Ø Ö Ò Õ Ö Ó× Ð Ð× ×Ö
}
}
while (not p.is_empty()) // mientras haya nodos activos
{
typename Net::Node * src = get_from_active_queue(p);
node_height<Net>(src)++;
put_in_active_queue(p, src);
Å Ø Ö Ò Õ Ö Ó× Ð Ð× ×Ö
goto process_active_arcs; // volver a procesar nuevos arcos elegibles
}
if (not leave_residual)
net.unmake_residual_net();
return source->out_flow;
}
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ Ò Ó× Ð ÞÓ× ÓÒØ ÒÙÓ× ´whileµ¸ ÙÒÓ ×Ó Ó ÜØÖ Ö Ý ÔÖÓ ¹
× Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓº Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ ÙÒØÓ q¸ Ø ÔÓ QN Type¸ Ö ÔÖ × ÒØ
Ð ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × ÙÒ Ó p¸ Ø ÔÓ QA Type¸ Ð Ö Ó× Ð Ð ×º
Ñ Ó× Ð ÞÓ× ×ÓÒ Ô ÖØ ÙÒ ×ÙÔÖ ¹Ð ÞÓ ÑÔÐ ØÓ ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ò×ØÖÙ ÓÒ goto
process active arcs¸ ÕÙ ÖÓÑÔ Ù Ò Ó Ý ÒÓ Ý Ñ × ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺
ÄÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× q Ý p ×ÓÒ Ò Ð Þ Ó× ÔÓÖ Ð ÐÓÕÙ Ò Ð ÁÒÙÒ Ö Ö Ó× Ð
Ù ÒØ ¸ ÙÝÓ ¬Ò Ð ÓÖ ØÑ Ó × Ð Ñ ×ÑÓ ÕÙ Ð ÈÖ ¹­Ù Ó Ò Ð Ö Ó× Ð
ÒÓ Ó Ù ÒØ ½ Ö Ö Ð Ñ Ü ÑÓ ÔÖ ¹­Ù Ó Ò Ð
ÁÒÙÒ Ö Ö Ó× Ð Ù ÒØ ≡ ´ µ
for (Node_Arc_Iterator<Net, Res_F<Net> > it(source); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename Net::Node * tgt = net.get_tgt_node(arc);
arc->flow = tgt->in_flow = arc->cap - arc->flow; // inunde arco actual
arc->img_arc->flow = 0; // arco residual sin capacidad
// meter arcos elegibles de tgt
for (Node_Arc_Iterator<Net, Res_F<Net> > it(tgt); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc * a = it.get_current_arc();
if (node_height<Net>(tgt) == node_height<Net>(net.get_tgt_node(a)) + 1)
put_in_active_queue(q, a); // mete en cola de arcos elegibles
}
put_in_active_queue(p, tgt); // mete en cola de nodos activos
}
source->out_flow = source->out_cap;
Í× × Node Arc Iterator º
Ð ÐÓÕÙ ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö ¸ ××ÑÐ Ö ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ó
ØÙ Ð ½
ÑÔÙ Ö ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö ≡ ´ µ
const typename Net::Flow_Type push = Aleph::min(excess, arc->cap - arc->flow);
arc->flow += push;
arc->img_arc->flow -= push;
if (arc->is_residual)
{

824. 798 Cap´
ıtulo 7. Grafos
net.decrease_out_flow(net.get_tgt_node(arc), push);
net.decrease_in_flow(net.get_src_node(arc), push);
}
else
{
net.increase_in_flow(net.get_tgt_node(arc), push);
net.increase_out_flow(net.get_src_node(arc), push);
}
excess -= push;
Ù Ò Ó × ÑÔÙ Ð ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ arc¸ Ð ÒÓ Ó ×Ø ÒÓ tgt ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ú Ò
Ø ÚÓº Ò × ×Ó¸ Ý ÕÙ Ñ Ø Ö Ò Ð ÓÐ q ÐÓ× Ö Ó× × Ð ÒØ × tgt ÕÙ × Ò Ð Ð ×
Ý tgt Ò p
Å Ø Ö Ò Õ Ö Ó× Ð Ð × Ø Ø ≡ ´ µ
{
for (Node_Arc_Iterator<Net, Res_F<Net> > it(tgt); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc * a = it.get_current_arc();
if (node_height<Net>(tgt) == node_height<Net>(net.get_tgt_node(a)) + 1)
put_in_active_queue(q, a);
}
put_in_active_queue(p, tgt);
}
Í× × Node Arc Iterator º
×ÔÙ × Å Ø Ö Ò Õ Ö Ó× Ð Ð × Ø Ø ¸ ÔÙ ×Ù Ö ÕÙ src × Ý
× Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ º Ò × ×Ó¸ src Ú Ò Ò Ø ÚÓ Ý Ý ÕÙ Ð Ñ Ò ÖÐÓ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺ × × Ð ÙÒ ÓÒ Ð if (excess == 0)º
Ð ÐÓÕÙ ÒØÖÓ Ð if (src != source and ...) × ÕÙ Þ Ð Ô ÖØ Ñ × Ð
ÓÑÔÖ Ò Öº ÕÙ Ý ÕÙ Ú Ö ¬ Ö × Ð ÒÓ Ó src Ú ÒÓ Ò Ø ÚÓ¸ ÐÓ Ù Ð × ÓÒÓ
Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ó excess > 0º Ë × Ð×Ó¸ ÒØÓÒ × ÓÒ × ÙÖ Ý × Ò Ø ÚÓ¸
ÔÙ × Ð Ü ×Ó Ù Ö Ò Ó Ò Ð Ö Óº ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÑÓ× Ú Ö ¬ Ö × ÑÔÙ Ö
ÔÖ ¹­Ù Ó ÔÓÖ Ö Ù Ó ÒÓ × ØÙÖ ÒØ ¸ Ù ×Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ø ÖÑ Ò Ð Ü ×Ø Ò
Ö Ó× × Ð src ÕÙ ×Ø Ò ÒØÖÓ Ð ÓÐ ×Ø × Ð ¬Ò Ð ÖÙØ Ò
has arcs in active queue<Net,Q Type>(q, src)¸ ÙÝ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ×ÓÐÓ × Ö Ñ Ø
Ò×Ô ÓÒ Ö Ð Ø Maximum Flow Ò ÐÓ× Ö Ó× × Ð ÒØ srcº
Ò Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ ÐØÙÖ ÙÒ ÒÓ Ó Ý ÕÙ × ÙÖ Ö× Ó × ÖÚ Ö Ú Ö Ó× ×ÙÒØÓ×
¯ ÈÙ ×ØÓ ÕÙ src ×Ø Ø ÚÓ¸ ×Ø × Ò Ù ÒØÖ ÒØÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ pº Ë ÙÒ Ð ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ ØÓ× ÒØ Ö Þ QN Type¸ ÒÓ × ÔÙ Ö Ð Þ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ
node height<Net>(src)++ × src ×Ø ÓÒØ Ò Ó ÒØÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ¸ ÔÙ × × Ø
Ð × ÔÐ Ò ÓÖ Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ × ÔÓÖ × Ö ÞÓÒ ÕÙ Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ
× src p¸ Ò Ö Ñ ÒØ Ð ÐØÙÖ Ý Ñ Ø ÒÙ ÚÓ Ò pº
¯ Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ node height<Net>(src)++; ÔÙ ÔÖÓÚÓ Ö Ð Ô Ö ÓÒ Ý ¹
× Ô Ö ÓÒ Ö Ó× Ð Ð ×¸ Ø ÒØÓ × Ð ÒØ × × ÓÑÓ ÒØÖ ÒØ × srcº ÈÓÖ ÐÓ×
Ö Ó× × Ð ÒØ × ÒÓ Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ú × ÖÐÓ׸ ÐÐÓ× ×ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ × Ð × Ô ÖÓ
ÐÓ× ÒØÖ ÒØ × ÒÓ ÐÓ ×ÓÒº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ö × Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ö × Ù Ð ×Ø ÒØÖÓ
Ð ÔÖÓÔ Ö Ù ÙÒ Ô Ô Ð × Ò Ð¸ ÔÙ × ÔÓÖ Ö Ó ÒØÖ ÒØ src Ü ×Ø

825. 7.10. Redes de flujo 799
ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ÓÒÓ Ö Ò O(1) Ð Ö Ó ÒØÖ ÒØ srcº
Å Ø Ö Ò Õ Ö Ó× Ð Ð × ×Ö ≡ ´ µ
for (Node_Arc_Iterator<Net> it(src); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc * a = it.get_current_arc(); // arco saliente desde src
if (node_height<Net>(src) == node_height<Net>(net.get_tgt_node(a)) + 1
and a->cap - a->flow > 0)
put_in_active_queue(q, a);
typename Net::Arc * i = a->img_arc; // arco entrante a src
if (i->cap - i->flow > 0 and // ¿i es elegible?
node_height<Net>(net.get_src_node(i)) == node_height<Net>(src) + 1)
put_in_active_queue(q, i);
}
Í× × Node Arc Iterator º
Ð Ø Ö ÓÖ ÒÓ ÙØ Ð Þ Ð ¬ÐØÖÓ Res F ¬Ò Ó Ò Ü º½¼º ´Ô Ò ¾µ¸ ÔÙ × ×Ø
Ù×Ø Ñ ÒØ ÒÓ× ¬ÐØÖ Ö Ö Ó× × ØÙÖ Ó× Ý ÒÓ× ÑÔ Ö Ú Ö Ð ÒÓ Ó ÓÖ Ò ÙÒ
Ö Ó ÒØÖ ÒØ srcº
ÄÓ× Ö Ó× ÓÒØ Ò Ó× Ò q ÕÙ Ò × Ö Ð Ð × × ÑÔÐ Ñ ÒØ × ÒÓÖ Òº
ÈÙ Ö ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ò Ö Ñ ÒØÓ Ö ØÓ Ý Ð Ñ¹
Ò ÐÓ× Ö Ó× ÒÓ Ð Ð × Ò O(1)º
È Ö ÕÙ ×Ø Ò ÓÕÙ × ÙÒ ÐÓ× Ö Ó× Ð Ð × Ò ÕÙ ¬ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
× ÙÒ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× Ê ×ÙÐØ ÕÙ ÓÒ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ Ñ × × Ò ÐÐÓ Ô Ò× Ö
Ð ÓÖ Ò ØÖ Ø Ñ ÒØÓ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÙÒ × ×Ô Ð Þ ÓÒ ×
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡
template <class Net> typename Net::Flow_Type
depth_first_preflow_edge_maximum_flow(Net & net,
const bool & leave_residual = false)
{
typedef DynSetTreap<typename Net::Node*> Active;
typedef DynListStack<typename Net::Arc*> Stack;
return generic_preflow_edge_maximum_flow<Net,Active,Stack>(net, leave_residual);
}
Í× × DynListStack ½½ º
ÄÓ× ÒÓ Ó× Ø ÚÓ× × Ù Ö Ò Ò ÙÒ ØÖ Ô ´Ü º¿ ´Ô Ò µµ ÙÝ ÓÔ Ö ÓÒ get()
Ö ØÓÖÒ Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ Ó × Ð ÒÓ Ó Ñ ÝÓÖ ÐØÙÖ º
ÍÒ Ò Ö Ñ ÒØÓ Ù ×Ø O(Ð V)¸ Ó×Ø ÕÙ ÔÙ ÐÐ Ú Ö× O(1) × × Ð ÓÖ ÓÒ Ù Ó
ÙÒ Ø Ð × ¸ ÙÝ ÙÒ ÓÒ × Ò ÐÙÝ Ð ÐØÙÖ Ý Ð Ö ÓÒ Ð ÒÓ Óº ÈÓ Ö × Ö¸
ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ø ÔÓ ODhashTable<Key, Record> ¬Ò Ó Ò Ü º½º º ´Ô Ò ¾ µ ÓÒ
ÙÒ Ø Ñ ÒÓ Ù×Ø Ó ÙÒ ¾¼± Ñ × Ö ×Ô ØÓ V º
ÄÓ× Ö Ó× Ð Ð × × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ô Ð ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ×Ù ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ó Ð
ÖÕÙ Ø ÔÓ Ò ÔÖÓ ÙÒ º
ÇØÖ Ú Ö× ÓÒ¸ ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÑÙÝ × Ñ Ð Ö Ô ÖÓ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÑÙÝ ×Ø ÒØÓ ×
¬Ò ÓÑÓ
ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¼
template <class Net> typename Net::Flow_Type
breadth_first_preflow_edge_maximum_flow(Net & net,
const bool leave_residual = false)

826. 800 Cap´
ıtulo 7. Grafos
{
typedef DynSetTreap<typename Net::Node*> Active;
typedef DynListQueue<typename Net::Arc*> Queue;
return generic_preflow_edge_maximum_flow<Net, Active, Queue>(net, leave_residual);
}
Í× × DynListQueue ½ ¼ º
Ä Ù Ð Ö ÓÖÖ ÐÓ× Ö Ó× Ð Ð × Ò ÔÖÓ ÙÒ º
Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÔÙ Ö ÑÓ× ×Ô ¬ Ö ÙÒ ÔÖ ÓÖ Ð Ð ÒØÖ Ó× Ö Ó×
¼¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¼
template <class Net> struct Compare_Arc
{
bool operator () (typename Net::Arc * a1, typename Net::Arc * a2) const
{
typename Net::Node * src1 = (typename Net::Node *) a1->src_node;
typename Net::Node * src2 = (typename Net::Node *) a2->src_node;
if (src1->counter == src2->counter)
return a1->cap - a1->flow > a2->cap - a2->flow;
return src1->counter > src2->counter;
}
};
Ð Ö Ø Ö Ó Ñ Ö Ð × ÐØÙÖ × ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖ Ò Ö Óº Ë ×Ø × ×ÓÒ Ù Ð ×¸ ÒØÓÒ ×
× Ð Ð Ö Ó ÕÙ Ø Ò Ñ ÝÓÖ Ô ×ÔÓÒ Ð ¸ Ó Ð ÜÔ Ø Ø Ú ÕÙ × ÑÔÙ
Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ ­Ù Óº Ë ¸ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð × ÐØÙÖ × ¬ Ö Ò¸ ÒØÓÒ × × × Ù Ð
Ö Ø Ö Ó ÔÖ ÓÖ Ý × × Ð ÓÒ Ð Ö Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÐØÙÖ º
ÓÒ Ð ÔÖ ÓÖ ¬Ò ¸ ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö ÓØÖ Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ
¼¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¼ ¼¼
template <class Net> typename Net::Flow_Type
priority_first_preflow_edge_maximum_flow(Net & net,
const bool & leave_residual = false)
{
typedef DynSetTreap<typename Net::Node*> Active;
typedef DynBinHeap<typename Net::Arc*, Compare_Arc<Net> > Prio_Queue;
return generic_preflow_edge_maximum_flow <Net, Active, Prio_Queue>
(net, leave_residual);
}
Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× Ð Ö Ð Þ Ö
¼¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¼ ¼¾
template <class Net> typename Net::Flow_Type
random_first_preflow_edge_maximum_flow(Net & net,
const bool & leave_residual = false)
{
typedef DynSetTreap<typename Net::Node*> Active;
typedef Random_Set <typename Net::Arc*> Random_Queue;
return generic_preflow_edge_maximum_flow <Net, Active, Random_Queue>
(net, leave_residual);
}

827. 7.10. Redes de flujo 801
7.10.13.11 Conclusi´n sobre algoritmos de pre-flujo
o
Ð × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ý ×ØÙ Ó ÙÖ ×Ø × ÓÖ Ò ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÒÓ Ó× Ø ÚÓ×
× Ò ÐÓ× Ø ÑÔÓ× ØÙ Ð × ÙÒ ÑÔÓ ÒÚ ×Ø ÓÒ ÖØ Ðº × Ø ÒÓÖ × ÑÔÓÖØ ÒØ
×Ø Ö Ð ÙÒ × Ú × ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ô Ö Ð × Ù Ö Ñ ÒØÓ Ñ ÓÖ × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ó ×Ù
ÔØ ÓÒ Ð × × ÔÖÓ Ð Ñ × Ô ÖØ ÙÐ Ö ×º
Ä ÔÖ Ñ Ö Ú × Ð × Ò ÓÒ Ò Ð Ð ÙÒ ÓÒ ÐØÙÖ º Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×ØÙ Ó ×ÓÐÓ
ÑÓ× ÓÒ× Ö Ó Ð ×Ø Ò ×Ø Ð ×ÙÑ ÖÓ¸ Ô ÖÓ ÔÙ Ö ÑÓ× Ô Ò× Ö Ò ÓØÖÓ׺ ÈÓÖ
ÑÔÐÓ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÔÖ ÓÖ Þ Ö ÕÙ × Ð Ò Ò ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ ÐÐÓ× ÒÓ Ó× ÙÝÓ× Ö Ó×
× Ð × Ò ×Ø ÒØ × Ö Ò ×¸ ÑÓ Ó ÕÙ ×ØÓ× Ø Ò Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÔÓ× Ð Ú ÒÖ
Ò Ø ÚÓ× Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ó × ÖÚ ÓÒ Ø Ñ Ò ÔÓ Ö Ò ÓÒ× Ö Ö× Ð Ô ØÓØ Ð
ÒØÖ × Ö¸ ÖÐ ÔÖ ÓÖ ÕÙ ÐÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ Ò ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙ Ò ÒÚ Ö Ý Ö Ö
Ñ ÝÓÖ × ­Ù Ó׺
ÇØÖÓ Ñ ÒÓ ÜÔÐÓÖ ÓÒ ÐÓ ÓÒ ÓÖÑ Ð × ÒÓ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÐØ Ñ ÒØ
¬ ÒØ × Ô Ö Ñ Ò Ö ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ö Ó× Ð Ð × Ý ÒÓ Ó× Ø ÚÓ׺ ÓÑÓ Ú ÑÓ׸ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÓÖ ÒØ Ó Ö Ó× ´Ü º½¼º½¿º½¼ ´Ô Ò µµ × Ñ × Ñ Ð Ð Ò
Ù ÒØÓ Ð ÓÖ Ò ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ð Ö ¸ Ô ÖÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ô Ö ÙÒÓ× Ù ÒØÓ× ÐÓ×
Ó ÜØÖ ÓÒ × Ö Ó× ÕÙ ÒÓ ×ÓÒ Ð Ð ×º ÍÒ ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ÕÙ Ñ×
Ò× ÖØ Ö Ò O(1) Ø Ñ Ò Ô ÖÑ Ø Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× ÒÓ Ð Ð × ÐÙ Ó ÙÒ Ò Ö Ñ ÒØÓ
ÙÑ ÒØ Ö Ð ¬ Ò º
Ä Ø Ö Ö Ú ¸ ÔÓÖ ×ÙÔÙ ×ØÓ¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÓÒØÖ Ö Ñ ÓÖ × Ð ÓÖ ØÑÓ׺ × Ø ÒÓÖ¸
ÙÒ Ú Ö ÒØ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó × ÒÓÑ Ò ÔÓÖ ÐÓÕÙ × º Ä ÓÒ× ×Ø Ò
× Ô Ö Ö Ð Ö Ò ÐÓÕÙ × ´×Ù Ö Ó×µ ÔÓÖ ÓÒ × ÐÐ Ú Ð ÔÖ ¹­Ù Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð
Ö Ó ÑÔÐ Ö Ð ¬ ÙÖ º ÔÓ Ö ÑÓ× × ÓÑÔÓÒ ÖÐÓ Ò ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÓÒ ÓÖÑ Ó×
ÔÓÖ {D, E, I, K}, {B, F, H} Ý {C, G, J, L}º ×Ø ¸ Ô ÖØ ÕÙ ÔÙ ÖÑ×ÖÔ Ó
Ð Ð ÙÐÓ¸ × Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ô Ö Ð Ð Þ Ð × Ö¸ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÔÙ Ò ÔÖÓ × Ö× Ò
Ô Ö Ð ÐÓ ÔÓÖ Ú Ö Ó× ÔÖÓ × ÓÖ × × ÙÒ Ð Ö Û Ö º
7.10.14 C´lculo del corte m´
a ınimo
Ì Ð Ú Þ × ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒÚ Ö× Ö ×Ó Ö ÔÐ ÓÒ × ÓÒ Ö Ø × ÕÙ ÒÓ× Ò Ñ × ÔÖ Ò× ¹
Ð × ÐÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ׺ ÓÒ× Ö ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð ­Ù Ó ÙØÓÑÓØÓÖ ÙÒ Ù º ×
Ò ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÑÓ ÐÓ ÙÝÓ ¬Ò × Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó ÙØÓÑÓÚ Ð × ÙÖ ÒØ Ó¹
Ö × Ö Ø × ÒØÖ ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ù ÒØ Ý ÓØÖÓ ×ÙÑ ÖÓº Ò × × ÒØ Ó¸ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ö
ÑÙÝ ÙØ Ð Ô Ö × Ò Ö ÙÒ ÔÓÐ Ø Ö ÓÒ ØÖ Ò× ØÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ ÐÓ× × Ñ ÓÖÓ׸
×Ú Ó׸ Ú Ð Ò Ú × Ö Ø ×¸ Ø Ø Ö ¸ Ø Ò ÒØ × ÓÒ ×Ø ÓÒ Ö Ð ØÖ ¬ Óº
ÓÒ ÑÙ Ó Ñ Ö Ó¸ Ò ×Ø Ú ÔÓ×عÑÓ ÖÒ × Ò Ù ÒØÖ Ò ÒÙÑ ÖÓ× × ÑÓ× ÑÔÐÓ×
Ò ÕÙ ¸ Ô × Ö ÓÒÓ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ÑÔÖ Ò Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓÐ Ø × Ô Ö
ÔÖ × ÖÚ ÖÐÓ¸ Ð ­Ù Ó ÙØÓÑÓØÖ Þ × Ð Ò ÒØ Ô Ö Ð Ù Ò º Ò ×ØÓ× ×Ó× ÔÙ Ö
ÔÐ ÒØ Ö× ÙÑ ÒØ Ö Ð Ô Ú Ðº Ù Ð × ×ÓÒ ÐÓ× ÐÙ Ö × Ù Ò ÓÒ
ÙÑ ÒØ Ö× Ð Ô Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº Ò ØÓ¸ Ð ÓÖØ
Ñ Ò ÑÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× ÕÙ × × Ö Ù × Ò Ñ ÒÓ× Ö Ð ­Ù Ó Ð
Ö º Ë ØÖ Ø Ú × Ö Ø ×¸ ÐÓ ÕÙ Ñ ÒÙ Ó × Ð Ø Ð Ù ÐÐÓ ÓØ ÐÐ º
À Ý ÑÙ × Ñ × Ö ÙÒ×Ø Ò × Ð ÔÓ×عÑÓ ÖÒ Ú Ö Ð Ò Ð × Ù Ð × Ð ÔÖÓ Ð Ñ
Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ×Ù Ù Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ÔÙ Ò × Ö Ö Ø ÙØ Ð ¸ × ÙÒ Ö
Ù Ø Ò ¸ ÙÒ Ö ÖÖÓÚ Ö Ó ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ò Ô Ö Ó Ó× Ù ÖØ Ñ Ò Ó ÙÒ
Ö ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ Ð ØÖ º

828. 802 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ê Ö × ÑÓ× Ð ×ÙÒØÓ ÓÖÑ Ð Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ØÖ Ø Ó Ò Ü º½¼º ´Ô Ò µº Ò
ÕÙ Ð ÒØÓÒ × × Ù Ö ÑÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ¸ Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ Ð ×Ø Ð Ó ÔÓÖ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó
º¿ ´Ô º µ¸ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø ¬Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº Ò Ð
Ñ ×ÑÓ × ÒØ Ó¸ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ´Ô º µ¸ ÒÓ× Ó Ö ÖØ ØÙ ÕÙ ÔÓÖ Ð Ú Ð ­Ù Ó
Ñ Ü ÑÓ ÔÓ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº
ØÓ× ÔÖ Ò Ö Ð ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÕÙ ÐÐÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ׸ Ô Ö¹
Ñ Ø ÑÓ×ÒÓ× Ñ Ö Ö ÙÒ ÔÓ Ó Ð ÓÑÔÐ Ò ÓÒØÖ Ö Ù ÖÞ ÖÙØ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº
× Ñ ÒØ ¸ Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð × ÓÑ Ò ÓÒ × ÔÓ× Ð × ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Vs
Ý Vt ÙÒØÓ ÓÒ ×Ù× Ö Ó× ÖÙ º ÍÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò ×Ø ÔÖ Ò Ô Ó Ö ÕÙ Ö Ö ¸ ÔÖÓ¹
Ü Ñ Ñ ÒØ ¸ Ü Ñ Ò Ö V−2 V−2 ÓÑ Ò ÓÒ × Vs Ý Vt ÔÓ× Ð ×º ÈÓÖ
i=0 i ÙÒÓ
ÐÐÓ׸ Ö ÕÙ Ö ÓÖÖ Ö ÐÓ× E Ö Ó× Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÖØ º Ë Ö ÕÙ Ö Ö Ò¸ ÒØÓÒ ×¸
i ×E Ø Ö ÓÒ × ÒØ ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÑ ÒØ ÜÔÐÓ× Ú ÒØÖ Ø Ð Ô ÖØ Ö
V−2 V−2
i=0
× Ð × Ñ Ò ×º ÔÖ Ò ÑÓ׸ Ô٠׸ ÕÙ Ð ×Ø Ñ Ó ×Ó Ö ÐÓ× Ö Ó× ÖÙ ÕÙ ÒÓ×
ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÓÖÓÐ Ö Ó º¿ ´Ô º µ ÒÓ× Ö Ù ÑÙÝ × Ò ¬ Ø Ú Ñ ÒØ Ð ¬ ÙÐØ Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø ÓÒ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× × ØÙÖ Ó× Ó ÔÐ ÒÓ׸ × Ö¸ ÕÙ ÐÐÓ×
ÙÝÓ ­Ù Ó × Ù Ð ×Ù Ô ¸ Ý Ù ÐÕÙ Ö ÓÑ Ò ÓÒ ÒØÖ ×ØÓ× Ö Ó× ÙÝ ×ÙÑ
× Ù Ð Ð Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÓÒ Ö Ó× Ö ØÖÓ ×Ó ÓÒ ­Ù Ó ÖÓ × ÙÒ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº
ÑÔ ÖÓ¸ ÙÒ ÓÒ ×Ø ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ù × Ò Ó Ð Ó ÓÑÔÐ Óº
ÈÙ × ÑÔÐ ¬ Ö× Ð Ð ÙÐÓ Ð ÓÖØ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú × Ö ÓÖ ÑÓ×
Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼ ´Ô º ¿µ Ù Ð ÒÓ× × ÙÖ ÕÙ × ÒÓ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸
ÒØÓÒ × Ð ­Ù Ó × Ñ Ü ÑÓº È ÖÓ¸ ÕÙ ×Ù Ý ØÖ × ×Ø ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ× Ô ÖÑ Ø
Ð ÙÐ Ö Ö Ô Ý ÖØ Ö Ñ ÒØ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× ÓÑÓ
ÓÖÓÐ Ö Ó Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼ ´Ô º ¿µ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸
ÒØÓÒ × × ÑÔÓ× Ð ÐÐ Ö Ð ×ÙÑ ÖÓº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Vs × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ó× Ð ÒÞ Ð ×
× s Ý Vt × V − Vsº ÍÒ × ÑÔÐ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ×Ó Ö Ð Ö Ö × Ù Ð Ö ×ÙÐØ ÒØ
ÐÙ Ó Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó ÒÓ× ÔÙ × Ù Ö Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vsº
Ô ÖØ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓ ÑÓ× Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò×Ø Ò × Ò Ö ÙÒ ÙÒ ÓÒ
Ú × Ø Ô Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ð Ö Ö × Ù Ð ÕÙ ÒÓ× Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ
vs ptr ÐÓ× ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × Vs
¼¾ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¼ ¼¿
template <class Net> static bool
add_vertex_to_vs(Net &, typename Net::Node * node, typename Net::Arc*)
{
((Aleph::set<typename Net::Node*>*)vs_ptr)->insert(node);
return false; // indica que debe seguir explorando
}
vs ptr × ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÐÓ Ð Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vsº
×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö Ð Ð ÙÐÓ Vs ×
¼¾ Ð ÙÐ Ö Vs ¼¾ ≡ ´ ¼¿ µ
vs_ptr = &vs;
depth_first_traversal <Net, Res_F<Net> > (net, source, &add_vertex_to_vs);
ÄÙ Ó Ð Ö ÓÖÖ Ó¸ vs ÓÒØ Ò ØÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vsº Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vt ÔÓ Ö Ð ÙÐ Ö×
ÔÓÖ Ò×Ô ÓÒ Ò Vs¸ Ô ÖÓ ÙÒ Ú Ñ × ÜÔ Ø ÓÒ× ×Ø Ð Ñ Ö Ö Ð Ø Depth First ÕÙ
Ñ Ö Ó Ð ÐÐ Ñ depth first traversal() × ÒÓ Ó ÒÓ ×Ø Ñ Ö Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø
Ô ÖØ Ò Vtº Ð Ð ÙÐÓ Vt × ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
¼¾ Ð ÙÐ Ö Vt ¼¾ ≡ ´ ¼¿ µ

829. 7.10. Redes de flujo 803
const size_t size_vt = net.get_num_nodes() - vs.size();
for (Node_Iterator<Net> it(net); it.has_current() and vt.size() < size_vt; it.next())
{
typename Net::Node * p = it.get_current();
if (not IS_NODE_VISITED(p, Aleph::Depth_First))
vt.insert(p);
}
Í× × Node Iterator º
ÄÙ Ó ÓÒÓ Ó× vs Ý vt ÐÓ ÕÙ Ö ×Ø × ÓÒÓ Ö ÐÓ× Ö ×Ô Ø ÚÓ× Ö Ó× ÖÙ º
È Ö ÐÐÓ¸ Ö ÓÖÖ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ ÒÓ × Ò Ö × Ù Ð × Ý × Ð ÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÐÐÓ×
ÕÙ × Ø × Ò Ð × ÓÒ ÓÒ × Ð ÓÖÓÐ Ö Ó º¿ ´Ô º µº ×ØÓ Ö ÕÙ Ö ¬ÐØÖ Ö ÐÓ× Ö Ó×
Ö× ÙÐ×
¼¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¾ ¼¿
template <class N> class No_Res_Arc
{
bool operator () (N&, typename N::Arc * a) const
{
return not a->is_residual;
}
};
ÓÒ ×Ø ¬ÐØÖÓ¸ Ò×Ô ÓÒ ÑÓ× ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Ö × Ù Ð Ý ÔÖÓ × ÑÓ× ÕÙ ÐÐÓ× ÓÒ
f(e) = 0 Ý f(e) = Ô(e)
¼¿ Ð ÙÐ Ö Ö Ó× ÖÙ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ¼¿ ≡ ´ ¼¿ µ
for (Arc_Iterator<Net, No_Res_Arc<Net> > it(net); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current();
if (arc->flow == 0) // ¿candidato a arco de retroceso?
if (vt.count(net.get_src_node(arc)) > 0 and // ¿arc desde vt hacia vs?
vs.count(net.get_tgt_node(arc)) > 0)
{
cutt.insert(arc);
continue;
}
if (arc->flow == arc->cap) // ¿candidato a arco de cruce?
if (vs.count(net.get_src_node(arc)) > 0 and // ¿arc desde vs hacia vt?
vt.count(net.get_tgt_node(arc)) > 0)
cuts.insert(arc);
}
Í× × Arc Iterator º
ÄÓ× ÐÓÕÙ × × ÖÖÓÐÐ Ó× × ÙÒØ Ò × Ù Ò ÐÑ ÒØ Ô Ö Ö Ð Þ Ö Ð Ð ÙÐÓ Ð ÓÖØ
Ñ Ò ÑÓ
¼¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¿ ¼
template <class Net, template <class> class Maxflow>
typename Net::Flow_Type min_cut(Net & net,
Aleph::set<typename Net::Node*> & vs,
Aleph::set<typename Net::Node*> & vt,
DynDlist<typename Net::Arc *> & cuts,
DynDlist<typename Net::Arc *> & cutt,
const bool leave_residual = false)

830. 804 Cap´
ıtulo 7. Grafos
D 4/1 E 1/1 I 4/1 K
6/1 3/3 4/0 3/3 3/0 4/0 3/0 4/1
3/3
A 7/3 B F 4/4 H 5/4 M
1/0
5/3 5/0 3/3 5/0 7/2 3/3 4/0 6/5
C G J 5/2 L
4/0 6/0
ÙÖ º ¾ ÍÒ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ô Ø º ÄÓ× Ö Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ <
Vs, Vt > ×ÓÒ Ö × ÐØ Ó׸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× Ô ÖØ Ò ÒØ × < Vs, Vt > Ò Ð Ò ÓÖØ º
{
Maxflow <Net> () (net, true); // calcula flujo m´ximo y deja red residual
a
typename Net::Node * source = net.get_source();
Ð ÙÐ Ö Vs ¼¾
Ð ÙÐ Ö Vt ¼¾
Ð ÙÐ Ö Ö Ó× ÖÙ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ¼¿
if (not leave_residual)
{
net.unmake_residual_net();
net.unmake_super_nodes();
}
return source->out_flow;
}
Í× × DynDlist ¿ º
min cut() Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ð Ø ÔÓ Ö Ð Ù Ð × Ð × Ð ÙÐ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý Ð ÓÖØ
Ñ Ò ÑÓ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÕÙ × × ÑÔÐ Öº ÄÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ×
Ð ÙÒ ÓÒ ×ÓÒ Ð Ö net¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vs vs¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Vt vt¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó×
< Vs, Vt > cuts Ý Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× < Vs, Vt > cuttº
7.10.15 Aumento o disminuci´n de flujo de una red
o
Ò Ð × Ö × Ö Ð × ÒÓ × ÑÔÖ × Ö ÕÙ Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Óº ÒØÖÓ Ð × Ö ÙÒ×Ø Ò ×
× ÔÓ× Ð ¸ ÓÑÓ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ¸ ÙÒ Ù×Ø Ð ­Ù Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ Óº
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ­Ù Ó Ô ØÖÓÐ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ó Ù ØÓ× ÕÙ ÓÑÔÖ Ò ×
ÐÓ× ÔÓÞÓ× ×Ø ÐÓ× Ø ÒÕÙ × ÐÐ Ò ÖÓ׺ ÆÓ× ÒØ Ö × ×Ø Ð × ­Ù Ó ÔÓÖÕÙ ÒÓ ×
Ø Ò Ö¿ º Ò ×Ø ×Ó¸ × ÙÒ Ð Ñ Ò Ò ÐÓ× ÐÐ Ò ÖÓ׸ ÔÙ × Ö Ò × Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ö
Ð ­Ù Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ ×Ô ¬ Óº ÓÑÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Ó
Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ Ó Ö ÑÙ Ó × ÒØ Ó Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ÔÙ × ×Ù ×Ð ÓÒ
Ñ Ò ÑÓ Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÓØ Ò Ö Ñ ÒØÓ ´Ó Ö Ñ ÒØÓµ Ð ­Ù Ó ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ Ò
Ù ×Ø ÓÒº Ë ÑÓ׸ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º ¸ ÕÙ × Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ca ÓÒ
Ñ Ò ÑÓ ×Ð ÓÒ × ΔC ¸ ÒØÓÒ × Ð ­Ù Ó ÔÙ
a ÙÑ ÒØ Ö× Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ x ≤ ΔC º È Ö a
Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ó Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ x ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÓÒ ×Ð ÓÒ
Ñ Ò ÑÓ ΔC ≥ xº
a
¿
Ð Ô ØÖÓÐ Ó¸ Ù Ò Ó × Ò Ù ÒØÖ ÒÑÓÚ Ð¸ Ø Ò ×ÓÐ ¬ Ö× º

831. 7.10. Redes de flujo 805
Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÓÒ ÓÒ Ó ÕÙ ×Ù ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ × Ñ ÝÓÖ Ó
Ù Ð ÙÒ x × × Ò ÐÐÓ × ÑÔÐ ÑÓ× ÙÒ ¬ÐØÖÓ Ô Ö Ð Ø Ö ÓÖ ×Ó Ö ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ ÒÓÖ
ÐÓ× Ö Ó× ÙÝÓ ­Ù Ó Ö ×Ø ÒØ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ xº
È Ö ÐÐÓ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð × ¬ÐØÖÓ Ð Ø Ö ÓÖ Ö Ó×
¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼¿ ¼
template <class N> class Flow_Filter
{
static typename N::Flow_Type min;
typename N::Arc * operator () (typename N::Node *, typename N::Arc * arc)
{
return arc->cap - arc->flow >= min ? arc : NULL;
}
};
Ä Ð × Flow Filter<N> ¬ÐØÖ Ö Ó× ÙÝÓ ­Ù Ó Ö ×Ø ÒØ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ min¿ º
×Ø ÑÓ Ó¸ ÔÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ð Ù×ÕÙ ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ÓÒ ÙÑ Ö Ð
min¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼ ¼
template <class Net, template <class, class> class Find_Path>
bool find_aumenting_path(Net & net, Path<Net> & path,
const typename Net::Flow_Type & min_slack)
{
Flow_Filter<Net>::min = min_slack;
typename Net::Node * src = net.get_source();
typename Net::Node * sink = net.get_sink();
if (not net.residual_net)
net.make_residual_net();
return Find_Path<Net, Flow_Filter<Net> > () (net, src, sink, path);
}
Í× × Path ¼¾ º
find aumenting path() Ù× ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÓÒ ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ ×Ù¬ ÒØ Ô Ö
ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò Ð Ú ÐÓÖ min slackº Ð Ø ÔÓ Ù×ÕÙ ´ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ó Ò
ÑÔÐ ØÙ µ × ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ÔÓ Ð ÖÙØ Ò º Ë Ð Ñ ÒÓ Ü ×Ø ¸ ÒØÓÒ × Ð ÖÙØ Ò
Ö ØÓÖÒ true ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ö ØÓÖÒ falseº
ÉÙ ×Ù × × × Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ×¹ ÙÑ ÒØÓ Ó × ÙÒÓ ÔÓÖ Ð Ù Ð¸
Ò ÐÙ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Ó¸ × ×Ñ ÒÙÝ º Ä Ø Ò × × Ñ Ð Ö¸ ÓÒ
Ð ×ÙØ Ð Ö Ò ÕÙ Ð Ù×ÕÙ Ö Ð Þ Ö× × Ð ×ÙÑ ÖÓ Ð Ù ÒØ
¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼ ¼
template <class Net, template <class, class> class Find_Path>
bool find_decrementing_path(Net & net, Path<Net> & path,
const typename Net::Flow_Type & min_slack)
{
Flow_Filter<Net>::min = min_slack;
typename Net::Node * src = net.get_source();
typename Net::Node * sink = net.get_sink();
if (not net.residual_net)
¿
ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð × ÒÓ ×Ø Ð × × ÕÙ ÒÓ × Ö ÒØÖ ÒØ º ÙÖ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ò ÕÙ ÙÒ Ð Ó¹
Ö ØÑÓ ×Ø ÑÔÐ Ò Ó Flow Filter Ð Ú Ö Ð min ÒÓ ÔÙ × Ö ÙØ Ð Þ º ÙØÙÖ × Ú Ö× ÓÒ × ALE PH
Ñ Ò Ö Ò ×Ø Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÖÑ Ö ÒØÖ ÒØ º

832. 806 Cap´
ıtulo 7. Grafos
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4/0 E 8/0 I 4/0 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0
A 7/0 B 6/0 F 4/0 H 5/0 M A 7/3 B 6/3 F 4/0 H 5/0 M
5/1 5/0 3/1 5/0 7/1 6/0 4/0 6/1 5/1 5/0 3/1 5/0 7/4 6/0 4/0 6/4
C G J 5/1 L C G J 5/4 L
4/0 6/0 4/0 6/0
´ µ slack = 1 ´ÔÖÓ ÙÒ µ ´ µ slack = 3 ´ÔÖÓ ÙÒ µ
D 4/0 E 8/0 I 4/0 K D 4/4 E 8/0 I 4/0 K
6/0 3/0 4/0 5/0 3/0 4/0 3/0 4/0 6/4 3/0 4/0 5/4 3/0 4/0 3/0 4/0
A 7/3 B 6/3 F 4/0 H 5/0 M A 7/3 B 6/3 F 4/4 H 5/4 M
5/3 5/0 3/3 5/0 7/4 6/2 4/0 6/6 5/3 5/0 3/3 5/0 7/4 6/2 4/0 6/6
C G J 5/4 L C G J 5/4 L
4/0 6/0 4/0 6/0
´ µ slack = 2 ´ ÑÔÐ ØÙ µ ´ µ slack = 4 ´ ÑÔÐ ØÙ µ
ÙÖ º ¿ ÁÒ Ö Ñ ÒØÓ× ×Ù × ÚÓ× Ð ­Ù Ó Ñ ÒØ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ò ÓÒØÖ Ó×
ÔÓÖ find aumenting path()
net.make_residual_net();
return Find_Path<Net, Flow_Filter<Net> > () (net, sink, src, path);
}
Í× × Path ¼¾ º
È Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó¸ × ÑÔÐ ÙÒ Ú Ö ÒØ Ð ÖÙØ Ò increase flow()¸ ¹
× ÖÖÓÐÐ Ò Ü º½¼º½¼ ´Ô Ò ¾µ¸ ÓÒ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÒ Ð valº Ë × × ¸ ÔÓÖ
ÑÔÐÓ¸ ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ val ØÖ Ú × ÙÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ ×
× ÒÚÓ increase flow(net, path, val)¸ Ð Ù Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ð ­Ù Ó Ò val Ý ÒÓ Ò
Ð ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ pathº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÓØÖ ÖÙØ Ò ¸ ÐÐ Ñ decrease flow()
Ð ØÖ Ó ÒÚ Ö×Ó Ó × Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ valº
¼ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T> ¾ +≡ ¼
template <class Net>
void increase_flow(Net & net, Path<Net> & path,
const typename Net::Flow_Type & val)
{
// aumentar el flujo de la red por el camino de aumento
for (typename Path<Net>::Iterator it(path); it.has_current_arc(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename Net::Arc * img = (typename Net::Arc *) arc->img_arc;
if (arc->cap - arc->flow < val)
throw std::domain_error("minimum slack of aumenting path es smaller "
"than val");
arc->flow += val;
img->flow -= val;

833. 7.10. Redes de flujo 807
if (not arc->is_residual)
{
net.increase_out_flow(net.get_src_node(arc), val);
net.increase_in_flow(net.get_tgt_node(arc), val);
}
else
{
net.decrease_in_flow(net.get_src_node(arc), val);
net.decrease_out_flow(net.get_tgt_node(arc), val);
}
}
}
template <class Net>
void decrease_flow(Net & net, Path<Net> & path,
const typename Net::Flow_Type & val)
{
if (not net.residual_net)
throw std::domain_error("Residual net is not created");
// decrementar el flujo de la red por el camino de decremento
for (typename Path<Net>::Iterator it(path); it.has_current_arc(); it.next())
{
typename Net::Arc * arc = it.get_current_arc();
typename Net::Arc * img = (typename Net::Arc *) arc->img_arc;
if (arc->cap - arc->flow < val)
throw std::domain_error("minimum slack of decrementing path es smaller "
"than val");
arc->flow -= val;
img->flow += val;
if (not arc->is_residual)
{
net.decrease_out_flow(get_src_node(arc), val);
net.decrease_in_flow(net.get_tgt_node(arc), val);
}
else
{
net.increase_out_flow(get_tgt_node(arc), val);
net.increase_in_flow(net.get_src_node(arc), val);
}
}
}
Í× × Path ¼¾ º
× ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ð ÖÙØ Ò ÒÓ Ú Ö ¬ ÕÙ × ØÖ Ø ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ÒÓ
ÙÑ ÒØÓº ×ØÓ Ó Ö Ð ÔÓ× Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ñ ÒÓ ÕÙ ÒÓ
Ò × Ö Ñ ÒØ Ô ÖØ × Ð Ù ÒØ Ý ÐÐ Ù Ð ×ÙÑ ÖÓº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ñ ÒÓ
ÔÙ × Ö ÙÒ ÐÓ¸ ÐÓ ÕÙ Ó Ö Ö ÒØ Ö × Ñ × Ð ÒØ Ù Ò Ó ×ØÙ ÑÓ× Ö ÙÐ ÓÒ ×
´Ü º½½º ´Ô Ò ½ µµ Ý ­Ù Ó× Ñ Ü ÑÓ× Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ ´Ü º½¾ ´Ô Ò ¾ µµº

834. 808 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.11 Reducciones al problema del flujo m´ximo
a
Ò Ð × ÓÒ Ô × ×ØÙ ÑÓ× ÙÒ × Ö Ð ÓÖ ØÑÓ× Ý ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ø Ò ÒØ ×
Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº Ê ×ÙÐØ ÕÙ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÕÙ Ö ÑÓ× ÒÓ ÒÓ×
Ù ÑÙÝ × ÑÔÐ Ö ×ÓÐÚ Ö¸ × ÙÒ Ñ ÒØÓ ÑÓ Ð Þ ÓÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØÓ ×ÓÐÙ ÓÒ
ÙÒ Ú ×Ø ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ ×º Ò ×Ø × ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ö ÑÓ× Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ ×
Ð ÑÙÒ Ó Ø ÒÓÐÓ Ó Ò ÕÙ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × ÔÐ Ð ¸ ÒÙÒ Ö ÑÓ× Ú Ö ÒØ ×
ÔÖÓ Ð Ñ × Ö Ù Ð × Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ×ØÙ Ö ÑÓ× ÓÒ Ð ÙÒ Ö Ó Ø ÐÐ Ð ÙÒÓ×
ÐÐÓ׺
Ä Ð Ø Ö ØÙÖ Ñ Ò ÓÒ ÓÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ú Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ó Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ¹
ÖÓ׺ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ù ×ØÙ Ó Ý Ö ×Ù ÐØÓ Ò Ü º½¼º¿ ´Ô Ò µº Ò Ù Ð ×
ÓÒØ ÜØÓ× ÔÙ Ô Ö Ö Ò ÐÓ× ÓÒØ ÜØÓ× ÙÐØÙÖ Ð ×¸ ÔÓÖ ÖÐÓ Ð ÙÒ Ñ Ò Ö ¸ ×
ÑÙÝ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð Ö Ø Ò Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ× × ÕÙ ÔÓÖ ×Ø Ú ÒÓ× Ö ×Ùй
Ø Ò ÔÖ Ø × Ð × ÔÖ Ñ Ø Ú × make super nodes() Ý unmake super nodes() ÔÖ × ÒØ × Ò
Ü º½¼º¿ ´Ô Ò µº
7.11.1 Flujo m´ximo en redes no-dirigidas
a
Ä ÙÒ Ð ÕÙ Ó ÕÙ ­ÙÝ ÔÓÖ ÙÒ Ö ØÙ Ö × ÒÓ ×ÙÑ Ð × ÒØ Óº Ó¸
ÔÓÖ ÙÒ ØÙ Ó ÔÙ Ö ÙÐ Ö ­Ù Ó Ò Ù ÐÕÙ Ö × ÒØ Óº × Ô٠׸ ×Ø ÒØÖÓ Ð ×
ÜÔ Ø Ø Ú × Ð ÑÙÒ Ó Ø ÒÓÐÓ Ó Ò ÓÒØÖ Ö × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × × × Ñ Ü Ñ Þ Ö
Ð ­Ù Ó Ý ÓÒÓ Ö ×Ù× ØÙ Ö × Ö Ø × Ó × ¸ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº Ò × ØÙ ÓÒ × ×Ø Ø ÔÓ¸
Ø Ò Ö ÑÓ× Ö Ó× ÔÓÖ ÐÓ× Ù Ð × × Ô ÖÑ × Ð Ð ­Ù Ó Ò Ñ Ó× × ÒØ Ó׺
ÍÒ Ö ÒÓ¹ Ö G =< V, E, C >¸ ÓÒ Ô ×Ó× ÒØ ÖÔÖ Ø Ð × ÓÑÓ Ô ×¸ Ø Ò
ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ó Ö ØÓ < V, E , C > ÔÓÖ Ö Ó (u, v) = e ∈ E Ô
Ô(e) Ü ×Ø Ò Ó× Ö Ó× eu = (u, v) ∈ E Ý ev = (v, u) ∈ E Ñ Ó× ÓÒ Ô Ô(eu) =
Ô(ev) = Ô(e)º
B D B D
A F s A F t
C E C E
´ µ Ê ÒÓ¹ Ö ´ µ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ó ÓÒ Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓ
ÙÖ º ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ ÙÒ Ö ÒÓ¹ Ö Ý ÙÒ Ö º
ÍÒ ØÓ Ô Ö ÒØ Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × ÕÙ Ð Ö ÒÓ Ø Ò Ò Ù ÒØ
Ò ×ÙÑ ÖÓº Ò ÙÒ Ö ØÙ Ö × ×Ø ÔÓ Ö Ô Ö Ö × Ö Ð ×Óº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× ¹
Ö ÑÓ× ÙÒ × ×Ø Ñ Ö Ö Ö ÓÒ Ò Ð Ù Ð × Ñ Ò ×Ø Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó Ð ÕÙ Ó
Ö Ö Ö ÒØ ÙÒ × ×Ø Ñ Ö ÓÒ ÓÒ Ó Ó Ð ÓÒ ÔÓÖ Ø Ö Ó ÙÖÖ Ò × Ô Ö¹
Ø ÙÐ Ö ×º Ò ØÓ Ð × × ×Ø Ñ × ­Ù Ó × Ö ÕÙ Ö ÓÑ Ö Ð ­Ù Ó × Ð Ñ ÒÓ×
ÙÒ ØÙ Ó Ò Ð Ô Ö ÕÙ Ð ­Ù Ó × ÓÒØ ÒÙÓ¸ × Ö ÕÙ Ö ÖÖ Ö Ð Ð ÞÓ ÓÑ Óº
Ô Ö Ò Ô٠׸ Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓº Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ ÙÒ Ö ÒÓ¹ Ö Ý ×Ù
ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö Ô Ø ÓÒ ÙÒ Ù ÒØ s × ÓÒ × ÒÚ Ö ÙÒ ­Ù Ó Ò Ð¸ Ý

835. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 809
ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ ÔÓÖ ÓÒ × Ö Ó Ö Ð ­Ù Ó Ô Ö ÓÑ ÖÐÓ ÒÙ ÚÓº Ð ÐÓ× Ú ÐÓÖ ×
Ô × ÐÓ× Ö Ó× × Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ö× ÓÒ Ð
Ô ­Ù Ó ×ÔÓÒ Ð Ð Ù Ð ÔÙ × Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÕÙ
ÔÙ Ö ÙÐ Ö ÔÓÖ Ð Ö º
Ä Ú Ð ÞÑ Ø Ñ Ø Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ð ÑÓ×ØÖ Öº Ù ÐÕÙ Ö ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ
ÔÓÖ Ð Ö ÒÓ¹ Ö ÔÙ Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ö ÙÐ Ö ÔÓÖ Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò × ×Ó
ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ö Ó× Ò Ð Ö Ö Ø Ò Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÖÓº ÚÓÐÚ Ö× Ð Ö
Ð Ö Ó ÒÓ × ÔÖÓ Ð Ñ Ø Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ× Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö Ó× u → v Ý v → u ÓÒ
Ú ÐÓÖ × ­Ù Ó f(u → v) Ý f(v → u)¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë f(u → v) > f(v → u) ÒØÓÒ ×
f(u ↔ v) = f(u → v) − f(v → u) Ý Ð ­Ù Ó Ú Ò Ð × ÒØ Ó u → v ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸
f(u ↔ v) = f(v → u) − f(u → v) Ý Ð ­Ù Ó Ú Ò Ð × ÒØ Ó v → uº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×Ø × Ö Ù ÓÒ × ×ÓÒ Ö Ð Þ Ð × Ñ ÒØ Ð × ÒØ Ö × ÐÓ× Ì
List Graph<Node, Arc> Ý Net Graph<TNode,TArc,T>¸ ×Ø × ×ÓÒ Ð × Ò Ö ¹
Ó׺
7.11.2 Capacidades en nodos
ÍÒ × ØÙ ÓÒ Ø ÒÓÐÓ Ñ ÒØ ×Ô Ö Ð ¸ Ô ÖÓ Ø Ñ Ò¸ ÙØ Ð Ô Ö Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ ×
ÑÓ Ð Þ ÓÒ¸ × Ð ÓÒ× Ö Ö Ô × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׺ Ò ×Ø ×Ó¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ
Ô ÒÓ Ó Ò ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ×Ø ÔÙ Ö Öº Ä ¬ ÙÖ º ¹ ÑÙ ×ØÖ
ÙÒ ÑÔÐÓº
B‘ 4 B“ 3 E‘ 4 E“
3 4 5
3 2
B,4 E,4
5 A‘ 8 A“ 3 D‘ 3 D“ G‘ 6 G“
3 4 4
2
A,8 3 D,3 4 G,6 1
2
2 1 5 2
5 2
C,3 4 F,5 C‘ 3 C“ 4 F‘ 5 F“
´ µÊ ÓÒ Ô × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ´ µÊ Ô Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÙÖ º ÑÔÐÓ ÙÒ Ö ÓÒ Ô Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ö
ØÖ ÓÒ Ðº
ÍÒ Ö ÓÒ Ô × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÙ ØÖ Ò× ÓÖÑ × ÙÒ Ö ØÖ ÓÒ Ð Ñ ÒØ
Ð Ñ ØÓ Ó × Ù ÒØ
Algoritmo 7.7 Conversi´n de una red con capacidades en los nodos a una red
o
tradicional
Ä ÒØÖ × ÙÒ Ö → =< V, E, → s, t > ÓÒ Ô
−
G C,
−
× Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׺
Ä × Ð × ÙÒ Ö ØÖ ÓÒ Ð N G =< V , E , C , s, t >º
½º ∀u ∈ V Ô ÖØ ÓÒ Ò Ó× ÒÓ Ó× u Ý u | u , u ∈ V º
ÈÓÖ Ô ÖØ ÓÒ¸ Ò E ÙÒ Ö Ó u → u ∈ E ÓÒ Ô Ô(u →u )=
Ô(u)º
¾º ∀e = (u → v) ∈ E × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ e = (u → v ) ∈ E º

836. 810 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ä ¬ ÙÖ º ¹ ÑÙ ×ØÖ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ × ÙÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ¹ º
Ä Ð ÓØ ÓÒØ Ò ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ×Ø ×ÕÙ Ñ ÐÐ Ñ ¸
Net Cap Graph<TNode,TArc,T>¸ ÓÒØ Ò Ò Ð Ö ÚÓ tpl netcapgrah.Hº
7.11.3 Flujo realizable
Ò Ð ÙÒ × Ö ÙÒ×Ø Ò × × Ö ÕÙ Ö Ò ÔÖÓÚ × ÓÒ × ­Ù Ó × Ö¸ Ð ÙÒÓ× ÒÓ Ó× Ð
Ö Ö ÕÙ Ö Ò Ö Ö ÙÒ ÒØ ×Ô ¬ ­Ù Óº × ÔÓ× Ð ¸ Ø Ñ Ò¸ ÕÙ ÓØÖÓ× ÒÓ Ó×
ÔÖÓÚ Ò ­Ù Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ö ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ý Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ú ÒØÓ
Ü Ô ÓÒ Ð¸ Ø Ð ÓÑÓ ÙÒÓ× Ù Ó× ÔÓÖØ ÚÓ׸ ÕÙ Ñ Ð × Ñ Ò ×º ÓÑÓ Ð Ö Ú Ð
× Ù × Ò Ó Ð Ñ ×Ñ ¸ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ö ÒÓ Ñ ¸ Ô ÖÓ Ð ÒØ Ö × × ×Ø Ò Ý
×Ô Ö× ÓÒ Ó Ö ¬ ÐÓ× ÐÙ Ö × Ð × ÓÑÔ Ø ÓÒ × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ð × Ñ Ò ×º Ò
× ØÙ ÓÒ × ×Ø Ø ÔÓ¸ ×Ù Ð ÙÑ ÒØ Ö× Ð Ô ØÖ Ò×ÔÓÖØ ØÖ Ý Ò Ó Ù× ×
ÓÒ Ð ×¸ Ô Ö ÒÙ ×ØÖ × ØÙ ÓÒ ÑÔÐÓº
Ë ØÙ ÓÒ × ÓÑÓ Ð ÕÙ ÑÓ× × Ö Ö ÔÙ Ò ÑÓ Ð Þ Ö× ÓÐÓ Ò Ó ×Ó Ö
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ú ÐÓÖ × Ñ Ò Ý ÔÖÓÚ × ÓÒº ÍÒ Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ø ÚÓ Ò ÕÙ Ð ÒÓ Ó ÔÙ
×ÙÔÐ Ö Ò ­Ù Ó Ð Ú ÐÓÖ Ò Ù ×Ø ÓÒ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ × Ò ¬ ÙÒ Ñ Ò ­Ù Ó
× Ö¸ Ò Ð ÒÓ Ó Ò Ù ×Ø ÓÒ × Ö ÕÙ Ö Ö Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ò Óº ×Ø Ð × Ö
× Ð ÒÓÑ Ò Ö Ô Ø ÓÒ ÔÖÓÚ × ÓÒ ­Ù Ó º
4 5
8
8 10
B,-8 F,8 K,8 B F K
20
A,20 C,-6 E,10 L,4 P,-19 A C E L P
19
D,-4 G,-8 M,5 D G M
8 6 8
4
´ µÊ Ñ Ò »ÔÖÓÚ × ÓÒ ´ µÊ Ô Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÙÖ º ÑÔÐÓ ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ö Ñ Ò »ÔÖÓÚ × ÓÒ Ý ÙÒ Ö Ô ¹
Ø º Ë ÓÑ Ø Ò Ð × Ô × ÐÓ× Ö Ó× Ò Ð Ö ÓÖ Ò Ð Ý Ò Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ ×Ø
ÙÐØ Ñ ÑÙ ×ØÖ Ô × ÕÙ Ú Ð ÒØ × ÔÖÓÚ × ÓÒ ×º
ÅÓ ÐÓ× ×Ø Ð × ÒÓ ×ÓÒ Ô Ö Ò Ü Ô ÓÒ Ð ×º Ò ×Ø × Ö ÙÒ×Ø Ò × Ð
ÔÖ ÙÒØ ÒØ Ö × × Ú Ö Ù Ö × × ÔÙ Ó ÒÓ × Ø × Ö Ð × Ñ Ò × Ò ÙÒ ÓÒ
Ð × ÔÓ× Ð × ÔÖÓÚ × ÓÒº ÍÒ Ö ×ÔÙ ×Ø Ò Ø Ú ¸ ÑÓ×ØÖ Ø Ú ¸ Ò Ö ÕÙ Ý ÕÙ
Ò ÓÒØÖ Ö Ñ × ÔÖÓÚ × ÓÒ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÒ ¬ÖÑ Ø Ú ÕÙ ÓÒ Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ Ò Ö ×ØÖÙ ØÙÖ
× × ÔÙ Ò × Ø × Ö Ð × Ñ Ò ×º Ë Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú ¸ ÒØÓÒ × ÑÓ×
ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ­Ù Ó Ö Ð Þ Ð ¸ ÔÙ × ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ Ò ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö ×Ù ­Ù Ó
Ö ÕÙ Ö Ó ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÑÓ× ÕÙ Ð ­Ù Ó × ÖÖ Ð Þ Ð Ó ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ð Ö Ð Þ Ð º
ÓÑÓ × Ö × Ü ×Ø ÙÒ ­Ù Ó Ö Ð Þ Ð Ë Ò ×ÓÖÔÖ × ¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø ÒÓ× Ð Ð

837. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 811
Ð ÙÐÓ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ×Ó Ö ÙÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ º Ò ÔÖ Ò Ô Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö Ð
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ÐÙ Ó Ú Ö ¬ Ö × ×Ø × Ø × Ð × ÔÖÓÚ × ÓÒ × ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ×
Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÒÓ Ó× ÓÒ ÐÐ × ÔÖÓÚ × ÓÒ ×¸ Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ Ò Ñ Ò ×¸ ÒÓ ÔÓ ÑÓ×
ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø ÓØÖÓ ­Ù Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ × Ö Ð Þ Ð º Ä ×ÓÐÙ ÓÒ × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð
Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ý ×Ó Ö ÐÐ Ð ÙÐ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº
ÍÒ Ö Ô Ø ÓÒ ÔÖÓÚ × ÓÒ ­Ù Ó Ø Ò ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÙÒ Ö Ô Ø º
Ä ÕÙ Ú Ð Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ò Ö ÙÒ ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓº × Ð ×ÙÔÖ ¹
Ù ÒØ Ñ Ò Ò Ö Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÖÓÚ ÓÖ × ÓÒ Ô Ù Ð Ð Ú ÐÓÖ ÔÖÓÚ × ÓÒº
À Ð ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓ Ò Ò Ö Ó× × ÐÓ× ÒÓ Ó× Ñ Ò ÒØ × ÓÒ Ô ÙÐ
Ð ­Ù Ó Ñ Ò Óº Ò Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒÓ × Ò × Ö Ó ÓÐÓ Ö Ú ÐÓÖ × ÔÖÓÚ × ÓÒ¸
ÔÙ × ×ØÓ× ×Ø Ò ÜÔÖ × Ó× Ò Ð × Ô × ÐÓ× Ö Ó× ÒØÖ ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÔÖ ¹
×ÙÑ ÖÓ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º
ÍÒ Ö ÓÒ ÔÖÓÚ × ÓÒ ­Ù Ó × Ö Ð Þ Ð × Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÐÓ Ö ÐÐ Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ò Ó× × Ö¸ ÐÓ× ÕÙ Ñ Ò Ò × Ð ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ Ý ÐÓ
ÕÙ ÐÐ Ò Ð ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓº Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó׸ × ÔÓ× Ð × Ö ÕÙ Ð ­Ù Ó × ÖÖ Ð Þ Ð
× Ð Ô × Ð ÒØ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ × ×Ø ÒØ Ð ÒØÖ ÒØ ÔÓÖ Ð ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓº
×ØÓ × Ó Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Ó Ý × Ð ×Ó Ô Ö Ð Ö ÑÔÐÓ
Ð ¬ ÙÖ º ¹ ¸ Р٠и Ô Ö Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ¬ ÙÖ º ¹ Ø Ò ÙÒ Ô
× Ð ÒØ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ 55 Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð ÒØÖ ÒØ Ð ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓ × 45º ×Ø
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ × Ú × Ð × Ð Ö ÓÖ Ò Ð¸ Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ð ­Ù Ó ×
Ö Ð Þ Ð ¸ Ð ØÓØ Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ Ø Ò ÕÙ × Ö Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð Ñ Ò ¸ Ô ÖÓ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó
ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ × ÖØÓ ÔÓÖ ×Ó¸ × Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð Ñ Ò ×
Ò × Ö Ó Ð ÙÐ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ×Ó Ö Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô Ö Ö ×ÔÓÒ Ö × Ð ­Ù Ó × Ó
ÒÓ Ö Ð Þ Ð º
Ò ÙÒ × ØÙ ÓÒ ­Ù Ó ÖÖ Ð Þ Ð ¸ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ÒÓ× ÒØ ¬ ÓØÖÓ× ÔÙÒØÓ× ÔÓÖ
ÓÒ ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö× Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ Ó¸ Ò ×Ù ÑÔÓ× Ð ¸ Ö Ù Ö× Ó Ö Ö ÓÒ Ö×
Ð ÑÒ º
Ø ÒÓÖ Ð ­Ù Ó Ö Ð Þ Ð ¸ Ò Ð Ð ÓØ × Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Net Sup Dem Node¸ ×¹
Ô ¬ Ó Ò Ð Ö ÚÓ tpl net sup dem.Hº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÑÙ × Ú × × ÔÖ Ö Ð
ÔÐ Ö Ð Ø Ò Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ò ÐÙ Ö ÑÔÐ Ö ×Ø Ì º
7.11.4 M´ximo emparejamiento bipartido
a
ÓÒ× Ö ÑÓ× n Ô Ö×ÓÒ × Ý n Ø ÔÓ× ØÖ Ó׺ È Ö Ô Ö×ÓÒ ¸ × Ø Ò ÙÒ Ð ×Ø
ÔÓ× Ð × ØÖ Ó× Ó¸ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ ØÖ Ó × Ø Ò ÙÒ Ð ×Ø Ô Ö×ÓÒ × ÕÙ
ÔÙ Ò ÖÐÓº Ü ×Ø ÙÒ × Ò ÓÒ Ô Ö×ÓÒ × ØÖ Ó× ÕÙ Ù Ö ØÓ Ó× ÐÓ×
ØÖ Ó× Ý Ô Ö×ÓÒ × Ë Ü ×Ø ¸ Ù Ð × × ÒÓ Ü ×Ø ¸ Ù Ð × Ð × Ò ÓÒ ÕÙ Ù Ö Ð
Ñ ÝÓÖ ÒØ Ô Ö×ÓÒ × Ó ØÖ Ó×
×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ØÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð × Ò ÓÒ ¸ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ú ¹
Ö ÒØ Ñ × × ÑÔÐ ÙÒ Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ × Ò Ö Ð ÕÙ ØÖ Ø Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ º
ÈÓÖ ÐÓ× ÑÓÑ ÒØÓ׸ × Ñ Ò ×Ø Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÙÒ × ¬Ò ÓÒ × ÓÖÑ Ð ×º
Definici´n 7.21 (Emparejamiento)
o Ó ÙÒ Ö Ó G =< V, E >¸ ÙÒ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ
× ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ó× M ⊂ E Ø Ð ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ó× Ö Ó× Ò M ÕÙ Ò Ò ×Ó Ö
ÙÒ ÒÓ Ó ÓÑÙÒº
ÍÒ emparejamiento es de cardinalidad m´xima
a × |M| × Ñ Ü ÑÓ × Ö¸ ×
Ò ÐÙÝ Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ Ö Ó׺

838. 812 Cap´
ıtulo 7. Grafos
-6 0 -4 0 -6 0 -4 0
D 6/0 E 8/0 I 4/0 K D 6/6 E 8/4 I 4/4 K
6/6 3/3 4/0 5/3 3/0 4/0 3/0 4/0 6/6 3/3 4/0 5/5 3/0 4/0 3/0 4/4
0 0 -5 0 -15 0 0 -5 0 -15
A 7/1 B 1/1 F 1/0 H 5/0 M A 7/1 B 1/1 F 1/1 H 5/3 M
5/3 5/0 3/3 5/2 7/0 6/0 4/0 6/0 5/3 5/0 3/3 5/0 7/2 6/6 4/2 6/6
0 -4 0 -3 0 -4 0 -3
C G J 5/0 L C G J 5/2 L
4/0 6/0 4/0 6/0
´ µ ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ ×Ó Ö Ö ÜØ Ò ´ µ ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ
-6 0 -4 0 -6 0 -4 0
D 6/3 E 8/7 I 4/3 K D 6/6 E 8/4 I 4/4 K
9/9 9/9 4/0 5/5 3/0 4/0 3/0 4/3 9/6 9/5 4/2 5/5 3/0 4/0 3/0 4/4
0 0 -5 0 -15 0 0 -5 0 -15
A 7/7 B 8/7 F 1/0 H 5/0 M A 7/3 B 8/4 F 1/1 H 5/5 M
5/3 5/0 11/5 5/5 7/1 6/6 4/0 6/3 5/1 5/1 11/6 5/4 7/5 6/5 4/4 6/6
0 -4 0 -3 0 -4 0 -3
C G J 5/0 L C G J 5/5 L
4/2 6/1 4/4 6/0
´ µ ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ ×Ó Ö Ö ÜØ Ò ´ µ ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ
ÙÖ º Ó× ÑÔÐÓ× ­Ù Ó Ö Ð Þ Ð ×Ó Ö Ñ Ò ×º Ä ¬ ÙÖ ´ µ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÓÒ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ×Ó Ö Ð Ö ÜØ Ò ÕÙ ÒÓ × Ø × Ð × ÔÖÓÚ × ÓÒ ×
ÐÙ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ ´ µ¸ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ð Ö ÕÙ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ò× Ø × ØÓÖ Óº
Ð Ò Ð × × Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸ × Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ô × Ò ÐÓ× Ö Ó× Ð ÓÖØ ¸ ÐÓ ÕÙ
ÓÒ Ù ÙÒ ­Ù Ó Ö Ð Þ Ð ¸ Ø ÒØÓ Ò Ð Ö ÜØ Ò ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ ´ µ¸ ÓÑÓ
Ò Ð Ö × ÑÔÐ ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ ´ µº
ÍÒ emparejamiento es bipartido × Ð Ö Ó × Ô ÖØ Óº
ÍÒ emparejamiento es perfecto × × Ò ÐÙÝ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Óº
Ù Ò Ó Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö Ó ÓÒ Ô ×Ó׸ ÙÒ emparejamiento es m´ximo × Ð ×ÙÑ
a
ÐÓ× Ô ×Ó× ÐÓ× Ö Ó× M × Ñ Ü Ñ º Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ es m´ ınimo × Ð ×ÙÑ × Ñ Ò Ñ º
× Ò Ö n Ô Ö×ÓÒ × n ØÖ Ó× ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ó ÕÙ
ÑÓ Ð Ð × Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ Ð × Ô Ö×ÓÒ × Ý ÐÓ× ÔÓ× Ð × ØÖ Ó× Ø Ð ÓÑÓ Ð ÑÓ×ØÖ Ó Ò
Ð ¬ ÙÖ º ¹ º Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ò Ð Ñ Ü Ñ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð × Ò ÓÒ
ÕÙ Ñ × Ù Ö Ô Ö×ÓÒ × Ý ØÖ Ó׺
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð × Ò ÓÒ¸ Ó × ¸ ÜÔÐÓÖ Ö ØÓ ×
Ð × ÓÑ Ò ÓÒ × ÔÓ× Ð × ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ¸ Ú Ò ÒØÖ Ø Ð ¸ ÕÙ Þ ×Ø × Ð ÔÖ Ñ Ö
× ØÙ ÓÒ Ò Ð ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ÔÖ Ö Ð ÔÓØ Ò Ð Ð Ø ÓÖ Ö × ­Ù Ó Ò Ð
Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ó Ö Ö Ó׺
ÍÒ Ö Ó Ô ÖØ Ó ×Ó Ö Ð Ù Ð × ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö ÒÐ
Ñ Ü Ñ ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö ­Ù Óº ÖÓ××Ó ÑÓ Ó¸ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ×
Ð × Ù ÒØ
Algoritmo 7.8 (Transformaci´n de un grafo bipartido a una red de flujo)
o

839. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 813
L R
´ µ ÍÒ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ ÒÓ ¹ ´ µ ÍÒ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ
Ô ÖØ Ó Ô ÖØ Ó
ÙÖ º ÑÔÐÓ× ÑÔ Ö Ñ ÒØÓº ÄÓ× Ö Ó× Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ ×ÓÒ Ö × ÐØ Ó׺
ÒØÖ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ó G =< V, E > | V = L ∩ R ´L Ý R ×ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ð
Ô ÖØ ÓÒµº
ËÐ ÙÒ Ö Ô Ø → =< V , E , C, s, t > ÕÙ Ú Ð ÒØ ×Ó Ö Ð Ù Ð ÔÙ
−
G
Ð ÙÐ Ö× ÙÒ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö ÒÐ Ñ ÜÑ º
½º V = V ∪ {s} ∪ {t}º
¾º ∀e = (u, v) ∈ E =⇒ E = E ∪ {(u, v)} | Ô(e) = 1º
¿º ∀u ∈ L =⇒ E = E ∪ {(s, u)} | Ô((s, u)) = 1º
º ∀u ∈ R =⇒ E = E ∪ {(u, t)} | Ô((u, t)) = 1º
ÙÖ º Ö Ó Ö Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ð ¬ ÙÖ º ¹
7.11.4.1 Flujo m´ximo y emparejamiento bipartido
a
Ä ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ó Ö ÙÒ Ö Ô Ø ¸ ÙÝÓ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÒÓ× ÖÖÓ ¸
Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ò Ð Ù Ð ×Ù× Ö Ó× × ØÙÖ Ó× ÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ
Ö ÒÐ Ñ ÜÑ º
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ Ø Ò Ò Ô 1º ÌÓ Ó ÒÓ Ó Ò L Ø Ò ¹
Ô ÒØÖ 1 Ý Ô ×Ð Ù Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× ÕÙ × ÓÒ Ø Ò
ÓÒ Rº Ë Ñ ØÖ Ñ ÒØ ¸ ØÓ Ó ÒÓ Ó Ò R Ø Ò Ô ÒØÖ Ù Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ
Ö Ó× ÒØÖ Ý Ô × Ð 1º Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ Ü ÑÓ ­Ù Ó ×Ø Ö ×

840. 814 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ù Ð |L| = |R| Ó × ¸ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó× × Ð Ð Ù ÒØ Ó Ð ÒØÖ Ð ×ÙÑ ¹
ÖÓº ÍÒ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö ¸ ÙÝÓ ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ × ÑÔÖ × 1¸ × Ù Ö
ÙÒ × Ò ÓÒ (u, v) | u ∈ L, v ∈ Rº Ù Ò Ó Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ × Ò Ö Ñ ÒØ ¸ ÐÓ×
ÒÓ Ó× u Ý v ÕÙ Ò Ò ÓÒ ÜÓ× Ò Ð Ö Ö × Ù Ðº Ð ÒÓ Ó u × Ò × Ð × Ð Ù ÒØ
s Ý t × Ò × Ð × vº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ù ÐÕÙ Ö ÔÖÓÜ ÑÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ
ÒÓ ÓÒØ Ò Ö Ò u Ò vº ÍÒ Ú Þ ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò Ñ × Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸ Ð ­Ù Ó
× Ñ Ü ÑÓ ´ÔÖÓÔÓ× ÓÒ Ü º½¼ ´Ô Ò ¿µµº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ­Ù Ó × Ñ Ü ÑÓ Ý ÐÓ× Ö Ó×
Ø ÒÒ Ô × ÙÒ Ø Ö ×¸ Ð ÒØ Ö Ó× ÓÒ ­Ù Ó ÙÒ Ø Ö Ó ÕÙ Ú Ò × L
R × Ñ Ü Ñ º Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö ÒÐ Ñ Ü Ñ ×Ø Ó ÔÓÖ ÕÙ ÐÐÓ× Ö Ó×
ÒØÖ L Ý R ÙÝÓ ­Ù Ó × ÙÒ Ø Ö Óº
7.11.4.2 An´lisis del emparejamiento bipartido por flujo m´ximo
a a
Ä ÙÖ ÓÒ Ð Ð ÙÐÓ Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ó × Ð ×ÙÑ ÙÖ ÓÒ × Ð Ð Ó¹
Ö ØÑÓ º ¸ ÐÙ Ó Ð Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ Ð ­Ù Ó Ý¸ ¬Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ö ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ
Ô ÖØ Ò Ò Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓº
ÔÐ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ó Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ×Ó Ö Ð
Ù Ð Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó ØÓÑ O(E) Ô ×Ó× Ð Ñ ×Ñ ÓÑÔÐ × Ö ÕÙ Ö Ô Ö Ö ÓÒÓ Ö
ÐÓ× Ö Ó× Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ ÐÙ Ó Ñ Ü Ñ Þ Ó Ð ­Ù Óº
Ò Ù ÒØÓ Ð ÙÖ ÓÒ Ð Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ ­Ù Ó¸ ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ð × ÙÖ ¹
ÓÒ × ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ØÙ Ó× Ù ÖÓÒ Ù × Ô Ö ÐÓ× Ô ÓÖ × ×Ó׸ ÓÒ× Ö Ò Ó
ØÓÔÓÐÓ × Ö ØÖ Ö ×¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ × Ð × ØÙ ÓÒ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Ó¸ Ò Ñ ÒÓ× ÙÒ Ð
Ð Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ º
ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ Ó ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ÙØ Ó ×Ó Ö Ð
Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ Óº Ò Ò Ö Ð¸ Ð ÙÖ ÓÒ ×Ø ÔÓÖ NO(E)¸ ÓÒ
N ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð ÒØ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ð Ö Ö Ù º Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ò Ð
×Ó Ð Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ ×Ó Ö Ð Ö Ó Ô ÖØ Ó¸ V Ö Ó× × ×ØÖ ÙÝ Ò ÒØÖ ÐÓ× Ö Ó×
×Ð Ð Ù ÒØ Ý ÐÓ× ÒØÖ Ð ×ÙÑ ÖÓº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ ×ÓÐÓ Ø Ò Ô × ÙÒ Ø Ö ×¸ Ù ÐÕÙ Ö Ñ ÒÓ
ÙÑ ÒØÓ Ý ×Ù Ò Ö Ñ ÒØÓ ÓÖØ ÙÒ Ö Ó × Ð Ð Ù ÒØ Ý ÙÒÓ Ð ×ÙÑ ÖÓ ÕÙ Ð
Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ö Ð× Ô ×º ÈÓÖ
Ø ÒØÓ¸ Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ × ÔÖ × ÒØ Ù Ò Ó Ð ÒØ Ö Ó×
× Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓ × Ñ Ü Ñ º Ì Ð ÒØ × V/2º Å Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó
Ð Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ ØÓÑ V O(E) = O(VE) Ô ×Ó×
2 Ù ÓÒº
7.11.4.3 C´lculo de la bi-partici´n
a o
Ë Ø Ò ÑÓ× ÙÒ Ö Ó G Ô ÖØ Ó¸ ÙÒ Ô ×Ó × Ò Ð Ô Ö Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ ÒÙ ×¹
ØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ð ÙÐ Ö Ð ¹Ô ÖØ ÓÒº ÓÑÓ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÙ Ú Ö× ÔÓÖ × Ô ¹
Ö Ó¸ ×Ø Ñ Ö ÙÒ ØÖ Ø Ñ ÒØÓ Ò Ö Ð ÕÙ ÐÓ × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× Ò Ð Ö ÚÓ Ð
Ð ÓØ tpl bipartite.H¸ Ð Ù Ð ÓÒØ Ò ÖÙØ Ò × ÙØ Ð Ø Ö × ÓÒ ÖÒ ÒØ × Ö Ó×
Ô ÖØ Ó× ×Ô ¬ Ñ ÒØ Ð ÔÖÙ ¹Ô ÖØ ÓÒ test bipartite() Ý ×Ù Ð ÙÐÓ
compute bipartite()º
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ú Ö ¬ Ö Ð Ö Ø Ö Ô ÖØ Ó ÙÒ Ö Óº Ë ÙÒ Ö Ó × Ô Ö¹
Ø Ó¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÒÓ Ø Ò Ò Ò ÙÒ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ ÑÔ Öº È Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐÓ ÓÒ× Ö ÑÓ×
ÙÒ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ ÑÔ Öº Ð Ó × ÓÑÓ u1 → u2 → u3 → u4 → u5 → u1º Ë × Ù ÑÓ×
Ð ÐÓ Ý ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ × Ò ÑÓ× Ð × Ô ÖØ ÓÒ × ÔÓ ÑÓ× Ö L = {u1, u3, u5}

841. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 815
R = {u2, u4}¸Ô ÖÓ Ð Ö Ó u5 → u1 ÖÓÑÔ Ð Ô ÖØ ÓÒº Á Ù Ð Ó ÙÖÖ × ÓÑ ÒÞ ÑÓ×
× Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÒÓ Ó Ð ÐÓº Ë Ò Ö Ð Þ ÑÓ× ×Ø ÓÒØÖ ÑÔÐÓ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö
ÐÓÒ ØÙ ÑÔ Ö ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÓÒ Ð Ñ ×Ñ ÓÒØÖ ÓÒº
ÇØÖ ÓÖÑ ¸ Ñ ÒÓ× Ð Ö ¸ Ô ÖÓ ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ñ × ¬ ÒØ ¸ × Ú Ö ¬ Ö × Ð
Ö Ó × ¹ ÓÐÓÖ Ð × Ö¸ × ÔÙ Ô ÒØ Ö× ÓÒ ×ÓÐÓ Ó× ÓÐÓÖ × × Ò ÕÙ Ð Ñ ×ÑÓ
ÓÐÓÖ ÓÐ Ò º ×Ø Ñ Ò Ö Ú Ö ÒÓ× ÓÖÖ × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò ÐÓ׸ Ð
Ú Þ ÕÙ ÒÓ× ÝÙ Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒ×ØÖÙ Ö ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× L Ý Rº Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ
ÙØ Ð Þ Ð ÓÐÓÖ Ó Ô Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö Ð Ô ÖØ ÓÒ
½ ÊÙØ Ò × Ô Ö Ö Ó× Ô ÖØ Ó× ½ ≡ ½
template <class GT> void compute_bipartite(GT & g,
DynDlist<typename GT::Node *> & l,
DynDlist<typename GT::Node *> & r)
{
DynDlist<typename GT::Node *> red, blue;
typename GT::Node * p = g.get_first_node();
color<GT>(p) = Bp_Red;
red.put(p); l.put(p);
while (true)
if (not red.is_empty()) // ¿Hay rojo cuyos arcos no hayan sido mirados?
{
typename GT::Node * p = red.get();
for (Node_Arc_Iterator<GT> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * a = it.get_current();
if (color<GT>(a) == Bp_Red)
throw std::domain_error("Graph is not bipartite");
else if (color<GT>(a) == Bp_Blue)
continue;
color<GT>(a) = Bp_Red;
typename GT::Node * q = it.get_tgt_node();
if (color<GT>(q) == Bp_Red)
throw std::domain_error("Graph is not bipartite");
else if (color<GT>(q) == Bp_Blue)
continue;
color<GT>(q) = Bp_Blue;
blue.put(q); r.put(q);
}
}
else if (not blue.is_empty()) // ¿Hay azul cuyos arcos no hayan sido mirados?
{
typename GT::Node * p = blue.get();
for (Node_Arc_Iterator<GT> it(p); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * a = it.get_current();
if (color<GT>(a) == Bp_Blue)
throw std::domain_error("Graph is not bipartite");
else if (color<GT>(a) == Bp_Red)
continue;
color<GT>(a) = Bp_Blue;
typename GT::Node * q = it.get_tgt_node();

842. 816 Cap´
ıtulo 7. Grafos
if (color<GT>(q) == Bp_Blue)
throw std::domain_error("Graph is not bipartite");
else if (color<GT>(q) == Bp_Red)
continue;
color<GT>(q) = Bp_Red;
red.put(q); l.put(q);
}
}
else
break;
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Arc Iterator º
Ä ÖÙØ Ò ×Ô Ö Ð Ü Ô ÓÒ std::domain error × Ð Ö Ó ÒÓ × Ô ÖØ Óº Ë ÐÓ ×¸
ÒØÓÒ × × Ö ØÓÖÒ Ò Ò Ð × Ð ×Ø × l Ý r ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð Ô ÖØ ÓÒº
7.11.4.4 Construcci´n de la red bipartita
o
ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ð Ô ÖØ ÓÒ¸ Ý Ø Ò ÑÓ× Ð Ô Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÙÒ Ö ÕÙ Ú ¹
Ð ÒØ Ñ Ô Ð Ö Óº ÄÐ Ñ ÑÓ× g Ð Ö Ó Ô ÖØ Ó Ý net Ð Ö ÙÜ Ð Ö ÕÙ × ÑÓ×
ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö¸ Ð Ù Ð × ×Ô ¬ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
½ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½ ≡ ´½ µ ½
typedef Net_Graph<Net_Node<Empty_Class>, Net_Arc<Empty_Class> > Aux_Net;
Aux_Net net;
Ð Ð ÙÐÓ net × Ö Ð Þ ¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
½ ÓÒ×ØÖÙ Ö Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½ +≡ ´½ µ ½
// recorrer nodos de g e insertar imagen en net
for (Node_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * p = it.get_current();
NODE_COOKIE(p) = net.insert_node();
NODE_COOKIE((typename GT::Node *)NODE_COOKIE(p)) = p;
}
typename Aux_Net::Node * source = net.insert_node();
// recorrer nodos de l, atarlos al fuente e insertar sus arcos dirigidos
for (typename DynDlist<typename GT::Node*>::Iterator i(l); i.has_current(); i.next())
{
typename GT::Node * p = i.get_current();
typename Aux_Net::Node * src = (typename Aux_Net::Node *) NODE_COOKIE(p);
net.insert_arc(source, src, 1);
for (Node_Arc_Iterator<GT> j(p); j.has_current(); j.next())
{
typename GT::Arc * arc = j.get_current_arc();
typename Aux_Net::Node * tgt =
(typename Aux_Net::Node *) NODE_COOKIE(g.get_tgt_node(arc));
typename Aux_Net::Arc * a = net.insert_arc(src, tgt, 1);
ARC_COOKIE(arc) = a;
ARC_COOKIE(a) = arc;
}
}
typename Aux_Net::Node * sink = net.insert_node();

843. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 817
// recorrer nodos de r y atarlos al sumidero
for (typename DynDlist<typename GT::Node*>::Iterator it(r); it.has_current();
it.next())
{
typename GT::Node * p = it.get_current();
net.insert_arc((typename Aux_Net::Node*)NODE_COOKIE(p), sink, 1);
}
Í× × DynDlist ¿ ¸ Node Arc Iterator ¸ Ò Node Iterator º
7.11.4.5 Extracci´n del emparejamiento de la red maximizada
o
Ë matching × Ð Ð ×Ø Ö Ó× ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ¸ ×Ù Ø ÖÑ Ò ÓÒ ×
Ö Ð Þ Ñ ÒØ Ò×Ô ÓÒ Ð Ö ÙÜ Ð Ö net Ò Ù×ÕÙ ÐÓ× Ö Ó× × ØÙÖ Ó× ×Ù
Ñ Ò Ò Ð Ö Ó g Ô ÖØ Ò Ð ÑÔ Ö Ñ ÒØÓº
½ ÜØÖ Ö Ò Ø ÐÓ× Ö Ó× × ØÙÖ Ó× ½ ≡ ´½ µ
for (Arc_Iterator<Aux_Net> it(net); it.has_current(); it.next())
{
typename Aux_Net::Arc * a = it.get_current();
if (a->flow == 0)
continue;
typename GT::Arc * arc = (typename GT::Arc *) ARC_COOKIE(a);
if (arc == NULL)
continue;
matching.append(arc);
}
Í× × Arc Iterator º
7.11.4.6 Implantaci´n final del emparejamiento de cardinalidad m´xima
o a
ÓÒ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÒØ Ö ÓÖ × × ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¬Ò Ð
½ ÊÙØ Ò × Ô Ö Ö Ó× Ô ÖØ Ó× ½ +≡ ½
template <class GT, template <class> class Max_Flow>
void compute_maximum_cardinality_bipartite_matching
(GT & g, DynDlist<typename GT::Arc *> & matching)
{
DynDlist<typename GT::Node *> l, r;
compute_bipartite(g, l, r);
ÓÒ×ØÖÙ Ö Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ½
Max_Flow <Aux_Net> () (net);
ÜØÖ Ö Ò Ø ÐÓ× Ö Ó× × ØÙÖ Ó× ½
}
Í× × DynDlist ¿ º
7.11.5 Circulaciones
ÈÙ ÓÒ Ö× ÙÒ Ö × Ò Ù ÒØ × Ò ×ÙÑ ÖÓ× ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö ØÖ ÓÒ Ð
N =< V, E, C, s, t > Ý ÙÒ Ð Ö ÑÓ ¬ ÓÒ ×Ó Ö ÐÐ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ò Ö ÙÒ Ö Ó
ÓÒ Ô Ù Ð Ñ Ü( Ô(ÇÍÌ(s)), Ô(ÁÆ(t)))º Ä Ò Ö Ð × Ô ØÓÖ Þ Ò

844. 818 Cap´
ıtulo 7. Grafos
t
s Nodos internos
Arco que hace el ciclo
ÙÖ º ¼ ÖÑ ÒÖÐ ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ
Ð ¬ ÙÖ º ¼ Ý Ú Ò ÕÙ ¸ Ð Ñ ÒÓ× Ò Ð ×Ó Ò Ö Ó ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ ¸ ×
ÓÒ Ð ÙÒ Ö × Ò Ù ÒØ × Ò ×ÙÑ ÖÓ× Ö Ù Ð ÙÒ ÓÒ ÙÒ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓº
ÙÒ ­Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö × Ò Ù ÒØ × Ò ×ÙÑ ÖÓ× × Ð ÒÓÑ Ò “circulaci´n”¸ ÔÙ ×
o
Ð ÓÖ Þ ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð Ò ÒØÖ Ò × Ð ­Ù Ó Ð Ö × ÑÔÐ Ñ ÒØ ¸ ÔÓ× Ð Ø Ó
ÔÓÖ Ð ÙÒ ÜØÖ Ò Ò Ö ¿ ¸ Ó ØÓ× Ð ÑÓ ÐÓ¸ Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ ×Ø Ð Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð
Ö ×ÒÒ × ×Ô ¬ Ö ÙÒ ÒØÖ Ý × Ð ­Ù Óº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ ÖÖ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÐÓ Ò ÙÒ Ö Ó Ö Ó × ØÙ ÓÒ
ÕÙ ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÒÓ ÑÓ× ×ØÙ Ó ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ º ÄÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ
­Ù Ó ÔÖ × ÒØ Ó× ÓÔ Ö Ò ×Ó Ö Ö × ÕÙ ÔÙ Ò ÓÒØ Ò Ö ÐÓ× ÒØ ÖÒÓ׸ Ô ÖÓ ÓÒ ÙÒ
×ÓÐÓ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓº ׸ Ò Ò Ö Ð¸ ÙÒ Ö × Ò Ù ÒØ × Ò ×ÙÑ ÖÓ× Ö Ù Ð
ÙÒ Ö ØÖ ÓÒ Ð Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × ¬ÖÑ Ø Ú Ù ÐÕÙ Ö Ö Ô Ø Ú Ð ¸ ×Ò
Ù ÒØ Ò ×ÙÑ ÖÓ¸ ÔÙ Ö Ù Ö× ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ Ý ×Ó Ö ×Ø
ÙÐØ Ñ ÔÐ Ö ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ×ØÙ Ó׺
ÍÒ ÐÓ ÔÙ Ö Ù Ö× ÙÒ ×Ù ¹Ö ÓÒ ÙÒ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ
ÓÖØ Ö Ð ÐÓ Ý ×ÙÑ Ö ×Ù× ÜØÖ ÑÓ× ÓÑÓ Ù ÒØ × Ý ×ÙÑ ÖÓ׺ Ä Ö × × ÓÑÔÓÒ
× ÐÓ× ÐÓ× Ñ × × ÑÔР׸ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ò ÒÓ Ó× ÓÑÙÒ ×¸ ÐÓ× Ñ × ÓÑÔÐ Ó׸ ÕÙ
Ø Ò Ò ÒÓ Ó× ÓÑÙÒ × ÓÒ ÓØÖÓ× ÐÓ׺ Ð Ö Ó × Ð ÒÓ Ó ÖÖÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö
ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ¸ Ô ÖÓ Ý ÓØÖ Ñ ØÖ ¸ ÕÙ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× ÔÖÓÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ó Ö Ñ ÓÖ
Ò ÓÖÑ ÓÒ Ö Ð ÓÒ Ø Ú Ð Ö Ó Ý ÕÙ × ÒÓÑ Ò ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× º
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒÚ Ö× ÓÒ Ò Ö Ð × Ð Ó Ò Ö Óº
4/4 E 3/3 F
B
4/4 5/4
2/1
3/2 2/1 H
A 5/2
2/1
3/3
5/3
C D G
6/5 3/3
ÙÖ º ½ ÍÒ Ö ÙÐ ÓÒ
ÍÒ ×Ô ØÓ ÒØ Ö × ÒØ ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ × ÕÙ ×Ù Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö×
ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ­Ù Ó× Ö ÙÐ ÒØ × ÔÓÖ ×Ù× ÐÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö ÙÐ ÓÒ Ð
¬ ÙÖ º ½ ÔÙ ÜÔÖ × Ö× Ñ ÒØ ÐÓ× × Ù ÒØ × ÐÓ×
¿
× Ñ ÒØ × ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ ÔÓÖ Ð Ñ Ö Ò Ö ¸ Ô ÖÓ Ò Ð ÑÙÒ Ó Ö Ð ×
ÑÔÖÓ Ðº

845. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 819
ÐÓ Î ÐÓÖ ­Ù Ó
A→B→E→A ½
A→B→E→F→H→G→D→C→A ½
A→B→E→F→H→D→C→A ½
A→B→E→D→C→A ½
C→E→D→C ¾
D→F→H→D ½
D→F→H→G→D ½
Ä ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ­Ù Ó Ú Ò ÕÙ ¸ Ô Ö ÙÒ Ö × Ò Ù ÒØ × Ò ×Ù¹
Ñ ÖÓ׸ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ö Ù Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ ÕÙ Ñ Ü Ñ Ð ­Ù Ó Ò
Ö Óº ÈÓ ÑÓ׸ × Ò ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ð Ö × Ù Ö Ò ÓÐ ÐÓ׸ й
ÙÐ Ò ÓÐ × ×Ù Ô Ñ Ò Ñ Ý ÙÑ ÒØ Ò Ó Ð ­Ù Ó Ò ×Ø Ú ÐÓÖ ÐÓ Ð Ö Ó ØÓ Ó Ð
ÐÓº
B 4/3 E 3/3 F B 4/3 E 3/3 F
4/3 5/4 4/3 5/4
2/0 2/0
3/2 2/1 H 3/0 2/1 H
A 5/2 A 5/0
2/1 2/1
3/3 3/3
5/3 5/3
C D G C D G
6/5 3/3 6/3 3/3
´ µA→B→E→A ´ µ C→E→D→C
4/3 E 3/3 F 4/0 E 3/0 F
B B
4/3 5/3 4/0 5/0
2/0 2/0
3/0 2/0 H 3/0 2/0 H
A 5/0 A 5/0
2/0 2/0
3/3 3/0
5/3 5/0
C D G C D G
6/3 3/3 6/0 3/0
´ µ D→F→H→D ´ µ A→B→E→F→H→G→D→C→A
ÙÖ º ¾ ÑÔÐÓ Ð Ø ÓÖ Ñ × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó ×Ó Ö Ð Ö ÙÐ ÓÒ Ð
¬ ÙÖ º ½
Ä Ø Ð ÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ× Ú Ò Ð × ÒØ Ó Ö ÙÐ ÓÒ º Ò ØÓ¸
ÐÓ × ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒº Ò Ð ×Ó Ð Ø Ð ¸ Ò ÓÒØÖ ÑÓ× 7 Ö ÙÐ ÓÒ ×º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ
× ØÙÚ × ÑÓ× ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ¸ Ø Ö ÙÒ Ö Ó × Ð ×ÙÑ ÖÓ
Ð Ù ÒØ ÒÓ× Ø ÒØ × Ö ÙÐ ÓÒ × ÓÑÓ Ñ ÒÓ× ×Ø ÒØÓ× Ü ×Ø Ò × Ð Ù ÒØ
Ð ×ÙÑ ÖÓº
Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ð Ö ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ ÙÒ ×ÙÑ ÐÓ× Ý ­Ù Ó׺ È ÖÓ
Ð Ñ ×Ñ Ö Ý ×Ù Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ø Ñ Ò ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÓÑÓ ÙÒ ÓÑÔÓ× ÓÒ
ÐÓ× Ý ­Ù Ó¸ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ Ú Ò Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × Ù ÒØ º
Proposici´n 7.16 (Descomposici´n de flujo)
o o Ù ÐÕÙ Ö Ö ÙÐ ÓÒ ÔÙ Ö ÔÖ × Ò¹
Ø Ö× ÓÑÓ ÙÒ ­Ù Ó ÒØÖ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ñ × |E| ÐÓ× ×Ø ÒØÓ׺
Demostraci´n
o ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ × ÓÑÔÓ× ÓÒ

846. 820 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Algoritmo 7.9 (Descomposici´n de una circulaci´n en ciclos)
o o ½º Ë E = ∅
Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÕÙ × ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ö ÙÐ ÓÒº E ÓÒØ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ð
ÓÖÑ (e , Δ)¸ ÓÒ e × ÙÒ ÐÓ Ý Δ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÕÙ Ö ÙÐ ÔÓÖ Ð ÐÓº
¾º while Ü ×Ø Ò Ö Ó× ×Ó Ö N
´ µ Ò Ù ÒØÖ ÙÒ ÐÓ e º
´ µ Ø ÖÑ Ò Ð ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ð ÐÓ Δº
´ µ E = E ∪ {(e , Δ)}
´ µ ∀e ∈ e =⇒ f(e) = f(e) − Δº
´ µ Ð Ñ Ò N ´Ó Ð ÐÓµ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× ÓÒ ­Ù Ó ÖÓº
ÍÒ ÑÔÐÓ Ù ÓÒ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × Ú Ò Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ¾º
À Ý ØÖ × Ó × ÖÚ ÓÒ × ÖÙ Ð × ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓ× ÝÙ Ò Ö Ð Þ Ö Ð ¹
ÑÓ×ØÖ ÓÒ
½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö ×ÙÐØ ÒØ E Ô ÖÑ Ø Ö ÓÒ×ØÖÙ Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð Ö º
¾º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ø Ö ÓÒ Ð Ñ Ò ÙÒ ÐÓ¸ ÐÓ× ÐÓ× ÓÒØ Ò Ó× Ò E ×ÓÒ ×Ø ÒØÓ׺
¿º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ø ÖÑ Ò Ò ÐÓ ×ÙÑÓ |E| Ø Ö ÓÒ ×¸ ÕÙ × Ð Ñ Ü Ñ ÒØ ÔÓ× Ð
ÐÓ׺
Ù ÒØ ×Ø × Ó × ÖÚ ÓÒ × Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × ÖØ
7.11.6 Conectividad de grafos
Ê Ö × ÑÓ× Ð ÓÒ Ø Ú ÙÒ Ö Óº Ò × × ÒØ Ó¸ Ù Ò ÓÒ ÜÓ
ÔÙ ÓÒ× Ö Ö× ÙÒ Ö Ó Ó× Ñ ØÖ × Ò Ù ÒØ Ð ÔÖ ÙÒØ Ý × ÒÓÑ Ò Ò
“conectividad en arcos” Ý “conectividad en nodos”¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ä ÓÒ ¹
ØÚ Ò Ö Ó× × Ð Ñ Ò Ñ ÒØ Ö Ó× ÕÙ Ò Ð Ñ Ò Ö× ÙÒ Ö Ó Ô Ö
ÕÙ ×Ø ÕÙ Ú Ó Ò Ó× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ׺ Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ ¸ Ð ÓÒ Ø Ú Ò
ÒÓ Ó× × Ð Ñ Ò Ñ ÒØ ÒÓ Ó× Ö ÑÓÚ Ö Ô Ö ÕÙ Ð Ö Ó Ú Ò × ÓÒ Ø Óº
ÆÓ×ÓØÖÓ× Ý ÑÓ× ×ØÙ Ó × ¬Ò × Ð ÓÒ Ø Ú º Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¿ µ
×ØÙ ÑÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ Ó ÓÖØ ¸ ÐÓ× Ù Ð × Ð ÙÒ × Ñ Ò Ö ÜÔÖ × Ò
ÓÒ Ø Ú × Ò ÒÓ Ó× ÙÒ Ø Ö × Ý Ñ ×¸ ÔÓÖÕÙ ÕÙ × ÖÖÓÐÐ ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ò
O(E) ÒÓ× Ð ÙÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖØ º Ñ ×¸ Ô Ö ÑÙ × × ØÙ ÓÒ × × ×Ù¬ ÒØ
Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÓÖØ ¸ ÕÙ × Ö ØÓ Ò Ø ÑÔÓ Ý ×Ô Ó ´O(E) Ý O(1)¸ Ö ×Ô Ø Ú ¹
Ñ ÒØ µ¸ Ò ÐÙ Ö Ð ÙÐ Ö ÓÒ Ø Ú × ÕÙ ¸ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ¸ ×ÓÒ
Ñ × Ó×ØÓ× ×º
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ ÙÖ ÒØ ÒÙ ×ØÖÓ ×ØÙ Ó Ö ÓÐ × Ö ÓÖ × Ñ Ò ÑÓ× ÔÖ × ÒØ ÑÓ×
Ð ¬Ò ÓÒ ÓÖØ ´ º Ô º µº Ä ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× ÒÓ × ÓØÖ Ó× ÕÙ Ð ÙÐ Ö
ÙÒ ÓÖØ Ô Ñ Ò Ñ ¸ Ð Ü Ô ÓÒ ÕÙ ÑÓ× ÖÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÙÒ
Ö Ó Ý ÒÓ ÙÒ Ö Óº À Ö ÐØ ¸ Ô٠׸ ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ ÒØÖ Ð × Ö × ­Ù Ó× Ý ÐÓ×
Ö Ó׸ Ð Ù Ð Ù ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ü º½½º½ ´Ô Ò ¼ µº

847. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 821
7.11.6.1 El teorema de Menger
Ñ ÒÙ Ó¸ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× k × Ð ÒÓÑ Ò k¹ ÓÒ Ü ÓÒ Ý × ÒÓØ
ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÓÑÓ Ke(G)º
ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ö Ó × k¹ ÓÒ Ø Ó × s t × ¸ Ô Ö ØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ C
k − 1 ÒÓ Ó׸ Ü ÔØÙ Ò Ó s Ý t¸ Ü ×Ø ÙÒ Ñ ÒÓ × s tº Ó ÓØÖÓ ÑÓ Ó¸
ÒÓ × ÔÓ× Ð × ÓÒ Ø Ö s t × Ò Ð Ñ Ò Ö k ÒÓ Ó׺
Ó× Ñ ÒÓ× ÒØÖ s Ý t × ÒÓÑ Ò Ò Ò Ô Ò ÒØ × × ×ØÓ× ÒÓ Ø Ò Ò ÒÓ Ó× Ò
ÓÑÙÒ ´ Ð Ü Ô ÓÒ s Ý tµº
×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö ÒÙÒ Ö ÙÒÓ ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ × Ñ × ÒØ Ö × ÒØ × Ð Ø ÓÖ
Ö Ó׸ × Ù ÖØÓ ÒØ × Ð ÓÑÔÙØ ÓÒ ÑÓ ÖÒ ¸ Ð Ø ÓÖ Ñ Å Ò Öº
Proposici´n 7.17 (Karl Menger 1928 [29])
o Ë ÙÒ Ö Ó × k¹ ÓÒ Ø Ó × ÙÒ
ÒÓ Ó s ÓØÖÓ t¸ ÒØÓÒ × Ü ×Ø Ò k Ñ ÒÓ× Ò Ô Ò ÒØ × × s tº
Demostraci´n o Ó ÙÒ Ö Ó Ù ÐÕÙ Ö ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ ÐÓ×
Ñ ×ÑÓ ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÔÙ ×ØÓ× Ô ÙÒ Ø Ö º ÄÙ Ó Ð Ñ Ò ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó×
ÒØÖ ÒØ × s Ý ØÓ Ó× ÐÓ× × Ð ÒØ × tº
ÓÖ Ñ Ü Ñ ÑÓ× Ð Ö º ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º × ÑÓ× ÕÙ Ð Ö Ò Ð Ð
ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ × k¸ ÔÙ × ØÓ × Ð × Ô × ×ÓÒ ÙÒ Ø Ö × Ý Ð Ö Ó × k ÓÒ Ø Óº
Ë ÑÓ׸ ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ º½ × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó¸ ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð
­Ù Ó × s t ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ÒÓ× × ÙÒØÓ׿ ÙÝ ×ÙÑ ­Ù Ó× ´ÔÓÖ
Ñ ÒÓµ × Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ð Ö º ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð Ö Ò Ð Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ×
k¸ Ü ×Ø Ò k Ñ ÒÓ× ×Ø ÒØÓ× × s t¸ ÙÒÓ ÔÓÖ Ö Ó Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ
Ð Ø ÓÖ Ñ Å Ò Ö Ù Ò ÐÑ ÒØ ÓÖÑÙÐ Ó Ô Ö Ö Ó׺ ËÙ ÒÙÒ Ó Ý ¹
ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×ÓÒ Ð Ó× ÓÑÓ Ö Óº Ò ×Ø Ñ ØÓ¸ ÒÓ× ÔÓÖØ Ö Ø Ñ ÒØ Ð
ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö × Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ke(G) ݸ Ñ × ÙÒ¸ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð
ÓÖØ Ö Ø Ó Ó Ñ Ò ÑÓ × Ö¸ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ×Ô ¬ Ó Ö Ó× ÕÙ Ý ÕÙ ×ÙÔÖ Ñ Ö Ô Ö
ÕÙ Ð Ö Ó Ú Ò Ô ÖØ Ó Ò Ó× Ó Ñ × ×Ù ¹ Ö Ó׺
7.11.6.2 C´lculo de Ke(G)
a
→
−
ÄÐ Ñ ÑÓ× G Ð Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ö ÒÓ¹ Ö º È Ö Ò ÓÒØÖ Ö
Ke(G) ÔÓ ÑÓ× ÔÐ Ö Ð × Ù ÒØ × ÑÔÐ × ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÓº
Algoritmo 7.10 (C´lculo de Ke(G))
a
ÒØÖ ÍÒ Ö Ó G =< V, E >º
Ë Ð Ke(G)º
½º Ð ÙÐ →º −
G
¾º Ë s Ð ÒÓ Ó Ò → ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÒÓ Ó
−
G Ñ ÒÓÖ Ö Ó Ò Gº
¿º Ke(G) = ∞
º ∀v ∈ V | v = s
´ µ t=v
¿
Ø × ÙÒ Ð ÞÓ t → s ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÐÓ s t→s Ý× Ø Ò Ð Ö ÙÐ ÓÒº

848. 822 Cap´
ıtulo 7. Grafos
´ µ Ë Ð Ö N =< V, E , C, s, t > Ø Ð ÕÙ C = {1 | e ∈ E ∪ Ô(e) = 1}
´ µ Å Ü Ñ Þ Ö N Ý Ð ÙÐ Ö Ð ÓÖØ Ô Ñ Ò Ñ < Vs, Vt >º
´ µ if ­Ù Ó N < Ke(G) =⇒
º Ke(G) = | < Vs, Vt > |
º ÕÙ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ × ÔÙ Ù Ö Ö < Vs, Vt >º
7.11.6.3 Implantaci´n del algoritmo de c´lculo de Ke(G)
o a
Ä ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÙÐÓ Ð ÓÒ Ø Ú × Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ × ÑÔÐ ¸ Ù ÒØ
ÕÙ Ý ×ÔÓÒ ÑÓ× ØÓ Ð Ñ ÕÙ Ò Ö Ò × Ö Ô Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð × Ò×ØÖÙ ÓÒ ×
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½¼º ÓÑ Ò ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÓÒ Ð Ð ÙÐÓ → −
G
→
−
¾¾ Ð ÙÐ Ö G ¾¾ ≡ ´ ¾¿ µ
typedef Net_Graph<Net_Node<Empty_Class>, Net_Arc<Empty_Class> > Net;
Net net;
typename Net::Node * source = NULL; // fuente ser´ el de menor grado de salida
a
long min_degree = numeric_limits<long>::max(); // menor grado de salida
for (Node_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * p = it.get_current();
NODE_COOKIE(p) = net.insert_node();
if (g.get_num_arcs(p) < min_degree)
{
source = (typename Net::Node *) NODE_COOKIE(p);
min_degree = g.get_num_arcs(p);
}
}
if (min_degree <= 1)
return min_degree; // No vale la pena el c´lculo porque este es el resultado
a
for (Arc_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * a = it.get_current();
typename Net::Node * src = (typename Net::Node*) NODE_COOKIE(g.get_src_node(a));
typename Net::Node * tgt = (typename Net::Node*) NODE_COOKIE(g.get_tgt_node(a));
if (src != source)
net.insert_arc(tgt, src, 1);
if (tgt != source)
net.insert_arc(src, tgt, 1);
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º
ØÓ× ÓÖÖ Ö ×Ô Ó Ý ÒÓ Ø Ò Ö ÕÙ ÑÔÐ Ö ÙÒ Ø Ð ¸ ÒÓ Ó → × Ù Ö
−
G
Ò Ð ÓÓ Ð ÒÓ Ó Ò Gº
ÙÖ ÒØ Ð Ô × ×Ó Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× G ÔÖÓÚ ÑÓ× Ô→Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓ Ó
Ñ ÒÓÖ Ö Óº Ð ¬Ò Ð Ð ÔÖ Ñ Ö for¸ source × Ð Ñ Ò Ò − Ð ÒÓ Ó Ñ ÒÓÖ Ö Ó
G
Ò Gº Ë Ð Ö Ó × Ò Ö ÓÖ Ó Ù Ð Ð ÙÒ ¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ú Ð Ð Ô Ò ÔÖÓ× Ù Ö¸ ÔÙ ×
Ð ÓÒ Ø Ú ÒÓ ÔÙ → Ö Ñ ÝÓÖº
−
×
Ð ÐÓÕÙ Ð ÙÐ Ö G ¾¾ ÒÓ× Ù Ö ÐÓ× Ô ×Ó× ½ Ý ¾ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½¼º
Ð Ô ×Ó × Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÓÒ ÙÒ for ÕÙ Ö ÓÖÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× → ´net Ò Ð
−
G
ÑÔÐ ÒØ ÓÒµ Ý Ú Ö ¬ÕÙ ÒÓ ÔÖÓ × Ö Ð Ù ÒØ º Ë sink Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð ×Ó Ö Ð Ù Ð
× Ò Ù ÒØÖ Ð for Ñ Ò ÓÒ Óº

849. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 823
Ð Ô ×Ó ÓÒ× ×Ø Ò ×ÙÔÖ Ñ Ö ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ × Ð Ò sink ´ ×Ø ÑÓ Ó Ú Ò
×ÙÑ ÖÓµ¸ Ô ÖÓ ÑÓ× Ù Ö Ö ×ØÓ× Ö Ó× ×ÙÔÖ Ñ Ó× Ô Ö Ö ×Ø ÙÖ ÖÐÓ× Ò Ð × Ù ÒØ
Ø Ö ÓÒº ×ØÓ × ÑÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
¾¿ Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿ ≡ ´ ¾¿µ
DynDlist<typename Net::Arc*> from_sink_arcs;
for (Node_Arc_Iterator<Net> it(sink); it.has_current(); it.next())
from_sink_arcs.append(it.get_current());
for (typename DynDlist<typename Net::Arc*>::Iterator it(from_sink_arcs);
it.has_current(); it.next())
net.desconnect_arc(it.get_current());
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Arc Iterator º
ÑÔÐ ÑÓ× ÙÒ Ð ×Ø Ö Ó× Ð Ñ Ò Ö from sink arcsº Ê Ð Þ ÑÓ× Ó× Ô × ×¸ Ð
ÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ù Ö Ö ÐÓ× Ö Ó׸ Ð × ÙÒ Ô Ö Ð Ñ Ò ÖÐÓ׺ ÄÓ ÑÓ× ×Ø Ñ Ò Ö
ÔÓÖÕÙ × Ð Ó Ð Ñ Ò Ö ÙÒ Ö Ó ÒØÖÓ ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ö Ó׺
ÄÓ× Ö Ó× × Ð ÒØ × sink¸ Ù Ö Ó× Ò from sink arcs¸ Ò × Ö Ö ×Ø ÙÖ Ó×
Ñ ÒØ
¾¿ Ê ×Ø ÙÖ Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿ ≡ ´ ¾¿µ
while (not from_sink_arcs.is_empty())
net.connect_arc(from_sink_arcs.get());
ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× ÐÓÕÙ × × ÖÖÓÐÐ Ó׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½¼ × ÑÔÐ ÒØ ×
¾¿ ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× ¾¿ ≡ ¾¿
template <class GT, template <class> class Max_Flow>
long edge_connectivity(GT & g)
{
Ð ÙÐ Ö → ¾¾
−
G
long min_k = min_degree;
for (Node_Iterator<Net> it(net); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Node * sink = it.get_current();
if (sink == source)
continue;
Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿
const typename Net::Flow_Type flow = Max_Flow <Net> () (net);
if (flow < min_k)
min_k = flow;
Ê ×Ø ÙÖ Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿
net.reset(); // colocar flujo en cero
}
return min_k;
}
Í× × Node Iterator º
Ä ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× × ÙÒ Ñ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò× Ð Ö Óº
Ò ÑÙ Ó× ÓÒØ ÜØÓ׸ Ke(G) ÜÔÖ × Ð ÖÓ Ù×Ø Þ Ð Ö Ó Ò × ÒØ Ó ×Ù ÓÒ Ø Ú º
Ò Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ × ÔÙ × Ö ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÙÐ Ö Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Gº È Ö ÐÐÓ¸
Ð Ð ÓØ ÔÖÓÚ Ð ÖÙØ Ò compute min cut()¸ ÙÝ ×ØÖÙ ØÙÖ × Ð Ñ ×Ñ ÕÙ Ð
edge connectivity()¸ ÓÒ Ð Ò Ó ÕÙ ×Ø Ð ÙÐ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ → ݸ −
G
Ñ ÒØ Ñ Ô Ó G¸ Ó Ø Ò Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÖØ
¾¿ ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ó× ¾¿ +≡ ¾¿

850. 824 Cap´
ıtulo 7. Grafos
22 23 24 25 26 22 23 24 25 26
16 17 18 19 20 21 16 17 18 19 20 21
11 12 13 14 15 11 12 13 14 15
5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
´ µ Ke (G) = 4 ´ µ Ke (G) = 3
ÙÖ º ¿ Ó× Ö Ó× ×Ø ÒØ × ÓÒ Ø Ú × ÓÒ ×Ù× ÓÖØ ×
template <class GT, template <class> class Max_Flow>
long compute_min_cut(GT & g,
Aleph::set<typename GT::Node*> & l,
Aleph::set<typename GT::Node*> & r,
DynDlist<typename GT::Arc *> & cut)
{
Ð ÙÐ Ö Ý Ñ Ô Ö → ¾
−
G
Aleph::set<typename Net::Node*> tmp_vs, tmp_vt;
DynDlist<typename Net::Arc*> tmp_cuts, tmp_cutt;
long min_k = numeric_limits<long>::max();
for (Node_Iterator<Net> it(net); it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Node * sink = it.get_current();
if (sink == source)
continue;
Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿
Aleph::set<typename Net::Node*> vs, vt;
DynDlist<typename Net::Arc *> cuts, cutt;
const typename Net::Flow_Type flow =
Min_Cut <Net, Max_Flow> () (net, vs, vt, cuts, cutt);
if (flow < min_k)
{
min_k = flow;
tmp_vs.swap(vs);
tmp_vt.swap(vt);
tmp_cuts.swap(cuts);
tmp_cutt.swap(cutt);
}
net.reset(); // colocar flujo en cero
Ê ×Ø ÙÖ Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿
}
Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÖØ ´Ð¸ Ö Ý Ùص Ô ÖØ Ö ØÑÔ Ú׸ ØÑÔ ÚØ Ý ØÑÔ ÙØ× ¾
return min_k;

851. 7.11. Reducciones al problema del flujo m´ximo
a 825
}
Í× × DynDlist ¿ Ò Node Iterator º
ÓÒ×Ø Ø ÑÓ× ÕÙ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ × ÒØ edge connectivity()º À Ý ÙÒ ×ÙØ Ð ¹
Ö Ò ÒÓ ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÐÓÕÙ × Ð ÓÒ Ø Ú × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ Ð ÙÒ ¸ ÒÓ
× Ð ÙÐ Ð ÓÖØ ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð ÒÚÓ ÒØ ÓÒ×ÙÐØ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ö ØÓÖÒÓ Ô Ö
Ò Ö × ×Ø × Ð ÙÐÓ Ó ÒÓº Ä Ö ÞÓÒ ×Ø × ÓÒ × Ó Ð º Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö¸ × Ð
ÓÒ Ø Ú × ÙÒÓ¸ ÒØÓÒ × × ×Ø ÒØ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð Ö Ó × ×Ô Ö Ó¸ ÓÒ Ñ ×
ÙÒ ÒÓ Ó Ö Ó ÙÒ Ø Ö Óº Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐ Ö ­Ù Ó× Ú ÒÓ× Ý Ö
ÓÒ× Ö Ö Ò Ð × Ø Ö ÓÒ × Ð × ÓÒ Ü ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ØÙ Ð sinkº Ò × ÙÒ Ó ÐÙ Ö¸
Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¿ µ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÑÔÐ ×Ù ¹× ÓÒ Ô Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
ÓÖØ ¸ ÕÙ × Ð ×Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö Ke(G) = 1º
Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÓÒ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × l¸ r Ý cut¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÔÐ Ö Ø Ò × × Ñ Ð Ö × Ð ×
× ÖÖÓÐÐ × Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¼µ Ô Ö Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ÐÓÕ٠׺
¾ Ð ÙÐ Ö Ý Ñ Ô Ö → ¾ ≡
−
G ´ ¾¿ µ
typedef Net_Graph<Net_Node<Empty_Class>, Net_Arc<Empty_Class> > Net;
Net net;
typename Net::Node * source = NULL; // fuente ser´ el de menor grado de salida
a
long min_degree = numeric_limits<long>::max(); // menor grado de salida
for (Node_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Node * p = it.get_current();
typename Net::Node * q = net.insert_node();
NODE_COOKIE(p) = q;
NODE_COOKIE(q) = p;
if (g.get_num_arcs(p) < min_degree)
{
source = (typename Net::Node *) NODE_COOKIE(p);
min_degree = g.get_num_arcs(p);
}
}
if (min_degree <= 1)
return min_degree; // No vale la pena el c´lculo porque este es el resultado
a
for (Arc_Iterator<GT> it(g); it.has_current(); it.next())
{
typename GT::Arc * a = it.get_current();
typename Net::Node * src = (typename Net::Node*) NODE_COOKIE(g.get_src_node(a));
typename Net::Node * tgt = (typename Net::Node*) NODE_COOKIE(g.get_tgt_node(a));
if (src != source)
{
typename Net::Arc * arc = net.insert_arc(tgt, src, 1);
ARC_COOKIE(arc) = a;
}
if (tgt != source)
{
typename Net::Arc * arc = net.insert_arc(src, tgt, 1);
ARC_COOKIE(arc) = a;
}
}
Í× × Arc Iterator Ò Node Iterator º

852. 826 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¾ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÖØ ´Ð¸ Ö Ý Ùص Ô ÖØ Ö ØÑÔ Ú׸ ØÑÔ ÚØ Ý ØÑÔ ÙØ× ¾ ≡ ´ ¾¿ µ
for (typename Aleph::set<typename Net::Node*>::iterator it = tmp_vs.begin();
it != tmp_vs.end(); it++)
l.insert((typename GT::Node*) NODE_COOKIE(*it));
for (typename Aleph::set<typename Net::Node*>::iterator it = tmp_vt.begin();
it != tmp_vt.end(); it++)
r.insert((typename GT::Node*) NODE_COOKIE(*it));
for (typename DynDlist<typename Net::Arc*>::Iterator it(tmp_cuts);
it.has_current(); it.next())
{
typename Net::Arc* arc = it.get_current();
cut.append((typename GT::Arc*) ARC_COOKIE(arc));
}
Í× × DynDlist ¿ º
7.11.6.4 An´lisis del algoritmo 7.10
a
Ò ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× Ò ÕÙ ÐÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ó¸ Ð Ö Ò Ñ ÒØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½¼ ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ð ÖÙØ Ò edge connectivity()º →
−
ÐÐ Ð Ö Ñ ÒØ × ÒÓØ
ÕÙ × ÙØ Ò |V| − 1 Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ × ×Ó Ö G º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ð × ÑÔ ÒÓ × Ö
V − 1× ´ × ÑÔ ÒÓ Max Flow <Net> () (net)µº Ë ÑÔÐ ÑÓ× ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ¹
ÔÙ ÔÓÖ ÔÖ ¹­Ù Ó¸ ÕÙ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö Ke(G) Ò
(V − 1) × O(V 2E) = O(V 3E) Ô ×Ó׺
Ð ÙÐ Ö → ¾¾ ØÓÑ O(E) Ô ×Ó׸ ÐÓ× Ù Ð × ×ÓÒ × ÒØÓØ Ñ ÒØ ×ÓÖ Ó× ÔÓÖ
−
G
Ð forº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð Ñ Ò Ö Ö Ó× × Ð ÒØ × × Ò ¾¿ Ý Ê ×Ø ÙÖ Ö Ö Ó×
× Ð ÒØ × × Ò ¾¿ ØÓÑ Ò Ð Ö Ó × Ð sink¸ Ð Ù Ð ÐÓ ×ÓÖ × ÒØÓØ Ñ ÒØ
Max Flow <Net> () (net)º
7.11.7 C´lculo de Kv(e)
a
Ç Ú Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ø Ú Ò ÒÓ Ó× ×Ø ×ØÖ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ×Ù ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ò Ö Ó׺ × Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ð ÕÙ Kv(G) ≤ Ke(G)¸ ÔÙ × ÐÓ× Ö Ó× ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò
Ke(G) ÒÓ ×ÓÐÓ Ò Ö Ð ÓÒ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ × ÓÒ Ø Ò G¸ × ÒÓ ÕÙ × ÔÓ× Ð
ÕÙ ÙÒÓ Ó Ñ × Ö Ó× ÐÓ× ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ò Ð ÓÖØ ÕÙ ÖÖÓ Ke(G) ÓÑÔ ÖØ ÒÓ Ó×
ÒÚÓÐÙ Ö Ó× Ò Kv(G)º ÈÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö¸ Ô٠׸ Kv(G) Ô ÖØ Ö Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº È Ö
ÐÐÓ¸ Ñ ÒØ compute min cut()¸ Ð ÙÐ ÑÓ× Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Ð Ö Ó Ý ÐÙ Ó Ñ Ö ÑÓ×
ÐÓ× ÒÓ Ó× ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÓÖØ ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ö Ð ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× Ð ÓÖØ Ð ÙÐ ÑÓ×
Kv(G)º
ÇØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÒ× ×Ø Ò × ÖÖÓÐÐ Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ñ Ð Ö Ð º½¼º È ÖÓ Ô Ö
×ØÓ ÑÓ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ´Ó ÔÐ ÒØ Öµ Ð Ø ÓÖ Ñ Å Ò Ö ´ º½ µ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÓ¹
Ó× Ý ÒÓ Ö Ó׺ Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ð ÙÐÓ Kv(G)¸ ÒÓÑ Ò
vertex connectivity()¸ Ð Ñ ×ÑÓ ×Ø ÐÓ ÕÙ edge connectivity Ô ÖÓ Ô Ö ÐÓ× ÒÓ Ó׸
× ÜÔÓÖØ Ò ALEPHº
7.12 Flujos de coste m´
ınimo
Ò Ó × ÓÒ ×¸ Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ­Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö ÖÖ Ó×Ø ×º ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÙÒ × × ØÙ ¹
ÓÒ ×

853. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 827
½º Ò ÙÒ Ö ÕÙ ÑÓ Ð Ð ÙÒ ­Ù Ó¸ Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÓÒÐÐ Ú ÙÒ Ó×Ø
Ò Ö Ø Ó Ó ÓÒÓÑ Ó¸ Ú × ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ØÙ Ö º
¾º Ò ÙÒ Ö ØÖ ¬ Ó Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ö ÙÒ ­Ù Ó Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ ÖÙØ Ø Ñ Ò ÒÚÓÐÙ Ö
Ó×Ø × ÓÑ Ù×Ø Ð ¸ ÒØ Ú ÓÒ ×¸ Ø º
¿º ÍÒ Ö Ð ØÖ Ö ÕÙ Ö Ó×Ø × Ñ ÒØ Ò Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ð Ù ÓÒ Ó Ö ¬ º
×ØÓ× ÑÔÐÓ× ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ò Ú ×ÐÙÑ Ö Ö ÕÙ Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × Ù Ð × ÒÓ ×ÓÐÓ Ù ÒØ
Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ÒØ ­Ù Ó¸ × ÒÓ × Ø × Ö Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó ×Ù×Ø ÒØ Ð × ÙÒ ×
Ð Ò ÓÐ ÐÓ× Ó×Ø ×º
ÄÓ× Ó×Ø × ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ ×ÓÒ Ò ÓÐ ÓÒÓÑ Ý ÐÓ× ­Ù Ó× ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ
Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÕÙ Ó׺ Ø ÒÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÔÐ ÓÒ Ð × × Ö Ð ÓÒ ÓÒ Ð ØÖ Ò×¹
ÔÓÖØ Ò×ÙÑÓ× Ó Ñ Ö Ò ×º Ò ×Ø ×Ó Ð ÑÓ× ÙÒ Ö ØÖ Ò×ÔÓÖØ º Ä
Ô ­Ù Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ×Ó ÙÒ ÙÖ ÓÒº Ô Ö ¸ Ô٠׸
Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ÒØ Ò×ÙÑÓ× ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ö Ò Ð Ñ ÒÓÖ Ø ÑÔÓ ÔÓ× Ð º
È Ö ØÖ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ Ò Ò Ò Ð Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ ­Ù Ó Ð Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø ¸
ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÑÓ ÐÓº
Definici´n 7.22 (Modelo de red capacitada con costes) ÍÒ Ö
o Ô Ø
­Ù Ó ÓÒ Ó×Ø × × ÙÒ Ö Ô Ø N =< V, E, s, t, C, C >º C : E −→ C¸ Ð ÙÐ
Ð ×Ó Ö Ó ÙÒ ØÖ ÙØÓ ÓÒ Ð¸ ÒÓÑ Ò Ó “coste”¸ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ó×Ø
ÔÓÖ ÙÒ ­Ù Óº
Ð Ó×Ø ×Ó Ó ÙÒ Ö Ó × ÒÓØ ÓÑÓ c(a) Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ ÕÙ Ù ×Ø ­Ù Ö ÙÒ
ÙÒ º
Ð Ó×Ø ÙÒ ­Ù Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö Ó a × ¬Ò ÓÑÓ
(a) = f(a) c(a) ´ º¿ µ
Ð Ó×ØÓ ÙÒ ­Ù Ó ÙÒ Ö × ¬Ò ÓÑÓ
(N) = (e) = f(e) c(e) ´ º¿ µ
∀e∈E ∀e∈E
ÓÒ ×Ø ¬Ò ÓÒ¸ Ý ×Ø ÑÓ× ÔÖ Ô Ö Ó× Ô Ö ÒÙÒ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ð ÕÙ ÒÓ×
× ÖÚ Ö ÙÒ Ñ ÒØÓ ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ Ù Ò Ú Ö ÓØÖÓ× ÔÖÓ Ð Ñ ×º
Definici´n 7.23 (Flujo m´ximo de coste m´
o a ınimo) Ë N =< V, E, s, t, C, C > ÙÒ
Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×º ÍÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × ınimo” × ÒÓ Ü ×Ø ÓØÖÓ
“coste m´
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÓÒ Ó×Ø Ñ ÒÓÖº
Ò ÙÒ Ö Ô Ø ÔÙ Ö Ú Ö × ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × ­Ù Ó× ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ò ÙÒ
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð Ö ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º Ø Ò ÑÓ× Ó× ´Ó Ñ ×µ
ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × ÕÙ Ñ Ü Ñ Þ Ò Ð ­Ù Ó Ý ÕÙ ×ÓÒ ÑÓ×ØÖ × Ò Ð × ¬ ÙÖ × º ¹ Ý º ¹ ¸
Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ñ Ó× ­Ù Ó× ×ÓÒ Ñ Ü ÑÓ׸ Ô ÖÓ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ø Ò ÙÒ Ó×Ø 14860
Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × ÙÒ Ó 16400º
Ë ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ö Ô Ø ÔÙ Ø Ò Ö Ú Ö × ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × ÕÙ Ñ Ü Ñ Ò
Ð ­Ù Óº × Ð × Ó× ×¸ ÔÙ Ô Ö Ö× ÓÑÓ Ò ÓÕÙ ×ÓÐÙ ÓÒ Ð Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ × Ð ×
ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × Ñ Ü Ñ × Ý ÒØÓÒ × × Ð ÓÒ Ö Ð Ñ ÒÓÖ Ó×Ø ¸ Ô ÖÓ ÒØÓÒ × ÑÓ×

854. 828 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ë
¼» ¼ ¼»¾¼
¿¼» ¿¼»¾¼
¼» ¼
¿¼»½¼ ½¼»½
¼»¾¼
¼»¿¼ ¼»½¼
¿¼»½
¼»¿ ¾¼»¿¼
¼»¿¼ Á
¼»¾¼ ¿¼» ¾¼»
À ¼» ¼
½ »
¼»¾
¼»¿¼ ¼» ¼
Ã
¿¼»¾
¼»½ Â
¼»¾¼
Ì
ÙÖ º ÑÔÐÓ ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×º ÈÖ Ñ Ö Ú ÐÓÖ Ö Ó ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ Ð × Ô ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð × ÙÒ Ó Ð Ó×Ø ÐÐ Ú Ö ÙÒ ÙÒ ­Ù Óº
Ò Ð Ø ÖÖ ÒÓ ÐÓ ÒØÖ Ø Ð Ñ × ÕÙ ×Ø Ö Ø Ö ÒØÖ Ø Ð Ù Ù×Ø Ñ ÒØ ÐÓ
Ò Ö ÒØ Ó ÓÖ Ò ÐÑ ÒØ ÔÓÖ ÐÓ× ×ØÙ Ó×Ó× Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ý ÕÙ Ô ÖÓ Ò Ð × ×
Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ Ý ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Óº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ñ × Ø Ò × Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ
­Ù Ó × × ÖÚ Ò Ð Ö Ö × Ù Ð¸ × ÒØ Ö × ¬Ò Ö ÙÒ Ö Ö × Ù Ð Ò Ð Ñ ØÓ
Ó×Ø º
Definici´n 7.24 (Red residual en una red capacitada con costes)
o
Ë N =< V, E, s, t, C, C > ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×º Ê ×Ô ØÓ Ð ­Ù Ó¸ ×Ù Ö
Ö × Ù Ð × ÒØ Ð Ð ¬Ò ÓÒ º½ ÓÒ Ð ÕÙ Ý ÑÓ× ØÖ Ó¸ Ô ÖÓ¸ Ö ×Ô ØÓ
Ð Ó×Ø ¸ ÐÓ× Ö Ó× Ö × Ù Ð × Ø Ò Ò Ó×Ø Ò Ø ÚÓ׺
Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð × ÙÒ Ö Ó Ö ØÖÓ ×Ó × Ö¸ ÔÓÖ ÓÒ × ÔÙ
Ö Ñ ÒØ Ö ­Ù Óº × Ô٠׸ Ð ÕÙ ÙÒ Ö Ó Ö × Ù Ð Ø Ò Ó×Ø Ò Ø ÚÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ð
Ó ÕÙ Ð ×Ñ ÒÙ Ö Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ ÔÓÖ ×Ù Ö Ó Ö Ð ×Ñ ÒÙÝ Ð Ó×Ø º
Ä ¬ ÙÖ × º ¹ Ý º ¹ ÑÙ ×ØÖ Ò Ð × Ö × Ö × Ù Ð × ÐÓ× ­Ù Ó× Ñ Ü ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ó×
Ò Ð × ¬ ÙÖ × º ¹ Ý º ¹ ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ò Ñ × ¬ ÙÖ × × ÔÙ Ò ÒÓØ Ö Ð
ÔÖ × Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× × ÙÒ Ð Ó×Ø Ð ­Ù Óº Î ÑÓ׸ Ô٠׸ ÕÙ ÒØÖ ×Ø ÒØÓ×
­Ù Ó× ÔÓ× Ð ×¸ Ñ Ü ÑÓ× Ò ÐÙ× Ú ¸ × ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÐÓ× Ó×Ø Ò Ø ÚÓ ÐÓ ÕÙ ×Ù Ö ¸
Ù Ò Ó Ñ ÒÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó¸ ÕÙ Ð ­Ù Ó Ò Ù ×Ø ÓÒ ÒÓ ÔÙ × Ö Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø º ¸
ÒØÓÒ ×¸ Ö ÔÐ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó Ø Ð º
Definici´n 7.25 (Flujo factible sobre una red capacitada con costes)
o Ë N =<

855. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 829
Ë Ë
¼» ¼» ¼ ¼» ¼»¾¼ ¼» ¼» ¼ ¼» ¼»¾¼
¿¼»¼» ¿¼»½¼»¾¼ ¿¼»¿¼» ¿¼»½¼»¾¼
¼» ¼» ¼ ¼»¾¼» ¼
¿¼»½¼»½¼ ½¼»¼»½ ¿¼»¼»½¼ ½¼»¼»½
¼»½¼»¾¼ ¼» ¼»¾¼
¼»¼»¿¼ ¼» ¼»½¼ ¼»¼»¿¼ ¼» ¼»½¼
¿¼»¼»½ ¿¼»¾¼»½
¼» ¼»¿ ¾¼»¼»¿¼ ¼»¼»¿ ¾¼»¼»¿¼
¼»¼»¿¼ Á ¼»¾ »¿¼ Á
¼»¼»¾¼ ¿¼»¼» ¾¼»¾¼» ¼»¼»¾¼ ¿¼»¼» ¾¼»½ »
À ¼»¼» ¼ À ¼»¾¼» ¼
½ »¼» ½ »½ »
¼» ¼»¾ ¼»½¼»¾
¼»¾¼»¿¼ ¼» ¼» ¼ ¼» ¼»¿¼ ¼» ¼» ¼
à Ã
¿¼»¼»¾ ¿¼»½¼»¾
¼» ¼»½ Â ¼» ¼»½ Â
¼» ¼»¾¼ ¼» ¼»¾¼
Ì Ì
´µ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ ´ µ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ
ÙÖ º Ó× ÓÒ¬ ÙÖ ÓÒ × ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ô Ö Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º
ÙÒ Ö
V, E, s, t, C, C > Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×º ÍÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ø Ð × Ý ×ÓÐÓ ×
×Ø ÒÓ ÓÒØ Ò ÐÓ× Ó×Ø Ò Ø ÚÓº
Ä Ø Ð ×ØÖ Ò ÕÙ × ×ÙÖ Ó Ø Ò Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׺ È ÖÓ ×Ø Ö Ø Ö
×ÙÖ Ó Ø Ò Ô Ö Ú Ð ÓÖ ¸ Ø Ð ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× Ò Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÙÒ ¹
Ñ ÒØ Ðº
Proposici´n 7.18
o ÍÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ × Ý ×ÓÐÓ × ×Ù Ö Ö × Ù Ð ÒÓ
ÓÒØ Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׺
Demostraci´no È Ö Ð ÔÖ Ò× ÓÒ¸ × Ñ Ò ×Ø Ö Ö ÓÖ Ö Ð Ö ÙÐ ÓÒ Ý Ð
Ø ÓÖ Ñ º½ × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó Ò ÐÓ× Ó Ö ÙÐ ÓÒ ×º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÓÒ× ¹
Ö ÑÓ× ÙÒ ÐÓ ´Ò Ø ÚÓ Ó ÒÓµ ÓÑÓ ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ Ò Ð Ö º ÓÖ ÔÐ ÒØ ÑÓ× ÐÓ×
Ó× Ñ ÒÓ× ÑÓ×ØÖ Ø ÚÓ×
¯ =⇒ ´ÔÓÖ ÓÒØÖ ÓÒµ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ
ÙÝ Ö Ö × Ù Ð ÓÒØ Ò ÙÒ ÐÓ Ó×Ø Ò Ø ÚÓº Ë u Ð Ö Ó Ð ÐÓ ÓÒ
Ñ ÒÓÖ Ô Ö ×Ø ÒØ ÓÒ Ú ÐÓÖ cmº ÓÖ ÙÑ ÒØ ÑÓ× Ð ­Ù Ó Ð Ö
ØÖ Ú × Ð ÐÓ Ò cm ×ÙÑ Ò Ó× ÐÓ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ó×Ø ÔÓ× Ø ÚÓ ´ Ð ÒØÓµ
Ý Ö ×Ø Ò Ó× ÐÓ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ó×Ø Ò Ø ÚÓ ´ Ö ØÖÓ ×Óµº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×ØÓ×
Ñ Ó× ÒÓ Ø Ò Ð ÔÖÓÔ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Ó¸ Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ × Ð
Ñ ×ÑÓ Ý¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÙÒ Ñ Ü ÑÓ¸ Ô ÖÓ ×Ù Ó×Ø ×Ñ ÒÙÝ Ò cm¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ

856. 830 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¼»¹ ¼
Ì Â
¼»¹ ¼ ½¼»¾¼ ¼»¹¾¼ ¼»¹¾¼
À Â ¼»¹½ ½¼»¹¾ Ì ¾¼»¾
¼»¹¾ ½¼»¾ ¿¼»¾ ¿¼» ¼»¹¿¼ ¼»¹½ ½¼»½
¿¼» ½ » Ã ½ »¹ Ã
¼»¾¼ ¾¼»¹¿¼ ¿¼»¿¼ ¾¼» ¼ ¾¼»¹ ¼ ¼»¾ ½¼»¹¾
¼»¿¼ » ½ »¹ À
¼» ¼ ¼»¾¼
¼»¹¿ Á ¾¼»¹ Á ¾ »¿¼ ¾ »¹¿¼ ¼»¹½¼
¼»¹½¼ ¾¼»¿¼ ¾¼»¿¼
Ë ¼»¿ Ë
¼»¹ ¼ ¿¼»½ ½¼»¹½¼ ¾¼»½¼ ¾¼»¹½ ½¼»½ ¿¼»½¼ ¼»¹ ¼
¼»¿¼ ¼»¿¼
½¼» ¼ ¼»¹ ¼ ½¼»¹¾¼ ¿¼»¾¼ ¾¼»¹ ¼ ¿¼» ¼ ¼»¹¾¼
¼»¹¾¼ ¿¼» ¿¼»¹ ¼»¹¾¼
½¼»½ ½¼»½
¾¼»¾¼ ½¼»¹¾¼ ½¼»¹¾¼ ¾¼»¾¼
´µ º ¹ ´ µ º ¹
ÙÖ º Ê × Ö × Ù Ð × Ô Ö ÐÓ× ­Ù Ó× Ñ Ü ÑÓ× Ð × ¬ ÙÖ × º ¹ Ý º ¹
ºÈÖ ¬ ÙÖ × Ö × ÐØ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× × ÙÒ Ð Ó×Ø º
Ð ×ÙÔÓ× ÓÒ ÕÙ Ð Ó×Ø × Ñ Ò ÑÓº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ × ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × Ñ Ò ÑÓ
Ó×Ø ¸ ÒØÓÒ × ×Ø ÒÓ ÔÙ Ø Ò Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ×
¯ ⇐= ´ÔÓÖ ÓÒØÖ ÓÒµ ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ø Ò ÑÓ× ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ f¸ × Ò
ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ÙÝÓ Ó×Ø ÒÓ × Ñ Ò ÑÓº ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ
Ù ÐÕÙ Ö f ¸ × Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ÙÝÓ Ó×Ø ÒÓ × Ñ Ò ÑÓº
Ë ÙÒ Ð Ø ÓÖ Ñ º½ × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó¸ ÔÓÖ Ð Ú ÔÐ ÓÒ Ð Ð¹
ÓÖ ØÑÓ º ¸ ÔÓ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ Ñ × E ÐÓ× Ð ­Ù Ó f Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ÖÐÓ×
Ó Ø Ò ÑÓ× Ð ­Ù Ó f º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ f ÒÓ Ø Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ×Ø ÓÔ¹
Ö ÓÒ ÒÓ ÔÓ Ö Ö Ð Ó×Ø ØÓØ Ð¸ ÐÓ ÕÙ × ÙÒ ÓÒØÖ ÓÒº ÈÓÖ ÓÒ× Ù ÒØ ¸
× ÙÒ ­Ù Ó ÒÓ Ø Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ × ×Ø × Ñ Ü ÑÓ Ý Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ
Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ ×Ø Ø ÓÖ Ñ × Ð × ÙÒ Ñ Ð ÓÖ ØÑÓ×
ÕÙ Ð ÙÐ Ò Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÙÝÓ Ó×Ø × Ñ Ò ÑÓº ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ¸ ×Ø Ð ×
Ð ÓÖ ØÑÓ× × ×ØÖÙ ØÙÖ Ò ×
Algoritmo 7.11 (Algoritmo gen´rico de eliminaci´n de ciclos negativos)
e o Ä Ò¹
ØÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÙÒ Ö Ô Ø Ó×Ø × Nº
Ä × Ð × Ð Ñ ×Ñ Ö ÓÒ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÙÝÓ Ó×Ø × Ñ Ò ÑÓº
½º Ð ÙÐ ÙÒ ­Ù Ó Ò Ð ×Ó Ö N ´ÔÙ × Ö ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓµ

857. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 831
¾º while N ÓÒØ Ò ÐÓ× Ó×Ø Ò Ø ÚÓ
´ µ Ë C ÙÒ ÐÓ Ó×Ø Ò Ø ÚÓ ×Ó Ö Nº Ë cm Ð Ñ Ò Ñ Ô Ö ×Ø ÒØ
Ð ÐÓº
´ µ ÙÑ ÒØ Ð ­Ù Ó N Ò Ð Ú ÐÓÖ cmº
ÈÖ × ÖÖÓÐÐ Ö ×Ø Ý ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ × Ò × Ö Ó Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö ÙÒ Ñ ÕÙ Ò Ö
׸Р٠РÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× Ò Ð ÔÖÓÜ Ñ ×Ù ¹× ÓÒº
7.12.1 El TAD Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T>
Ð Ì Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ñ ÕÙ Ò Ö Ò × Ö
Ô Ö ÓÔ Ö Ö Ö × ­Ù Ó ÓÒ Ó×Ø × ×Ó Ó׺ ËÙ ×Ô ¬ ÓÒ Ö × Ò Ð Ö ÚÓ
tpl maxflow mincost.Hº
Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> × ÙÒ Ñ ÒØ ×Ó Ö
Net Graph<TNode,TArc,T> ÓÒ Ð Ò Ó ÕÙ ×Ù× Ö Ó× Ð Ö Ò Ò ÓÖÑ ÓÒ
Ô Ö Ð Ó×Ø
¿½ Ö Ó ÓÒ Ó×Ø ¿½ ≡
template <typename Arc_Info, typename F_Type = long>
class Net_Cost_Arc : public Net_Arc<Arc_Info, F_Type>
{
typedef F_Type Flow_Type;
Flow_Type cost;
Flow_Type flow_cost() const { return this->flow*cost; }
};
ÓÑÓ Ú ÑÓ׸ ×ÓÐÓ × Ò Ð Ó×Ø ÔÓÖ ÙÒ ­Ù Óº ÄÓ× ÒÓ Ó× ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ
Ô Ö Net Graph<TNode,TArc,T>º
ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ¸ Ý ÔÓ ÑÓ× ¬Ò Ö Ð Ì Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T>
¿½ Ð × Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿½ ≡
template <class NodeT, class ArcT>
class Net_Max_Flow_Min_Cost : public Net_Graph<NodeT, ArcT>
{
Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿½
};
Ð Ù×Ó × × Ñ Ð Ö Ð ÐÓ× Ö Ó× Ý Ö × × ×Ô ¬ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× ØÖ Ú ×
Ð Ø ÔÓ Net Node<Node Info,F Type>¸ ÐÓ× Ö Ó× ÓÒ Net Cost Arc Ý Ð Ö ÓÒ
Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T>º
ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ ØÓ Ó Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ÓÒ× ×Ø Ò Ó Ö Ö Ð
Ô ÓÒ×ÙÐØ Ö Ó ÑÓ ¬ Ö Ð Ó×Ø ×Ó Ó ÙÒ Ö Ó
¿½ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿½ ≡ ´ ¿½ µ ¿½
Flow_Type & get_cost(Arc * a) { return a->cost; }
× ÓÑÓ ÓÒ×ÙÐØ Ö Ð Ó×Ø Ð ­Ù Ó
¿½ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿½ +≡ ´ ¿½ µ ¿½ ¿¾
const Flow_Type & flow_cost(Arc * a) const { return a->flow_cost(); }

858. 832 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ò ×Ø ÑÓ ÐÓ × Ö ÕÙ Ö Ð Ó×Ø ¸ Ø Ò ÑÓ× Ð Ò × ×Ó Ö Ö Ö
Ð Ò× Ö ÓÒ Ö Ó
¿¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿½ +≡ ´ ¿½ µ ¿½ ¿¾
virtual Arc * insert_arc(Node * src_node, Node * tgt_node,
const Flow_Type & cap, const Flow_Type & cost)
{
Arc * a = Net::insert_arc(src_node, tgt_node, Arc_Type(), cap, 0);
a->cost = cost;
return a;
}
ÇØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú × ÑÔÐ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÔÖ Ñ Ø Ú Ò× Ö ÓÒ Net Graph<TNode,TArc,T>
Ý ÐÙ Ó ×Ô ¬ Ö Ð Ó×Ø ¸ Р٠и × ÙÒ Ð ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ Net Cost Arc¸ Ø Ñ Ò ØÓÑ
Ú ÐÓÖ ÓÑ × ÓÒ ÖÓº
Ð Ó×Ø Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ ÔÓÖ Ð Ö × Ð ÙÐ × ÙÒ ´ º¿ µ Ý × Ò×ØÖÙÑ ÒØ ×
¿¾ Å ØÓ Ó× ÔÙ Ð Ó× Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿½ +≡ ´ ¿½ µ ¿¾
Flow_Type compute_flow_cost()
{
Flow_Type total = 0;
for (Arc_Iterator<Net_MFMC> it(*this); it.has_current(); it.next())
{
Arc * a = it.get_current();
if (not a->is_residual)
total += a->flow_cost();
}
return total;
}
Í× × Arc Iterator º
¬Ò Ó Ð Ì Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T>¸ ÒÓ× Ó Ö ÑÓ× × ÖÖÓ¹
ÐÐ Ö ÓØÖ × Ô Þ × ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ô Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½½º
7.12.1.1 Acceso al coste de un arco
ÇØÖÓ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½½ × Ð ÔÓ Ö Ø Ø Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׺ È Ö ÐÐÓ¸ ÒÓ×
× ÖÚ ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º º¿ ´Ô Ò ¾ µº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ × ÓÑÓ ÐÓ× Ñ × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ÙÐÓ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׸ Ö ÕÙ Ö
ÙÒ Ð × ×Ó Ð ×Ø Ò ´Ú × Ü º º½ ´Ô Ò µµº Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó¸ ÑÓ×
ÑÓ Ð Þ Ö Ð Ó×Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ ÔÓÖ Ð Ö Ó Ý ÓÒ× Ö Ö × ×Ø
× Ó ÒÓ Ö × Ù Ðº ×ØÓ ÐÓ ÑÓ× × Ù Ò Ó Ð × Ö Ð × ¬Ò ÓÒ ×Ó Ô ×Ó×
ÐÓ× Ö Ó×
¿¾ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿¾ ≡ ¿¿
template <class Net>
class Access_Cost
{
typename Net::Flow_Type operator () (typename Net::Arc * a) const
{
return a->is_residual ? -((typename Net::Arc *) a->img_arc)->cost : a->cost;
}
};

859. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 833
ÓÒ ×Ø Ð × ¸ Ò×ØÖÙ ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ô Ö ÕÙ Ö Ð ×Ù× Ð ÙÐÓ× Ò
ÙÒ ÓÒ Ð Ó×Ø Ð ­Ù Ó Ö ÙÐ ÒØ ×Ó Ö ÙÒ Ö Ö × Ù Ðº
7.12.2 Algoritmos de m´ximo flujo con coste m´
a ınimo mediante elimi-
naci´n de ciclos
o
ÓÖ ×ÔÓÒ ÑÓ× ØÓ Ó ÐÓ Ò × Ö Ó Ô Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ö Ú Ö ÒØ × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½½º
ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ¸ ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× Ó× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÙÝ Ö Ò ×ØÖ Ò Ð Ñ Ò Ö
Ò ÕÙ × Ð ÙÐ ÙÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ò Ðº
7.12.2.1 Eliminaci´n de ciclos con flujo m´ximo inicial
o a
ÆÙ ×ØÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Ö ÒØ ÑÔÐ ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ò Ðº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ ×ÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ
ÓÑÔÐ Ø Ñ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ× Ô Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö ­Ù Ó¸ Ð Ö Ø Ö Ó Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ × Ö ÙÒ
Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú
¿¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿¾ +≡ ¿¾ ¿
template <class Net, template <class> class Max_Flow_Algo>
void max_flow_min_cost_by_cycle_canceling(Net & net, bool leave_residual = false)
{
typedef Aleph::less<typename Access_Cost<Net>::Distance_Type> Cmp_Dist;
typedef Aleph::plus<typename Access_Cost<Net>::Distance_Type> Plus_Dist;
typedef Res_F<Net> Res_Filter;
Max_Flow_Algo <Net> () (net, true); // obtiene un flujo m´ximo inicial
a
Path<Net> cycle(net); // aqu´ se guardan ciclos negativos
ı
// eliminar ciclos negativos mientras estos existan
´
while (Bellman_Ford_Negative_Cycle
<Net, Access_Cost<Net>, Cmp_Dist, Plus_Dist, Res_Filter>()(net, cycle))
if (increase_flow <Net> (net, cycle) == 0)
break;
if (not leave_residual)
net.unmake_residual_net();
}
Í× × Path ¼¾ º
Ä Ö Ñ ÜÑÞ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ Ð ÙÐ ÔÓÖ ×Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ × ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º º Ð Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × 13620º
Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ ÔÙ Ö× ÕÙ ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÐÑ Ò ÒØ ×Ø
Ø ÜØÓº ÓÑÓ Ú ÑÓ׸ Ð ÖÙØ Ò max flow min cost by cycle canceling() Ò×ØÖÙÑ ÒØ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½½ ÙÒ Ñ Ò Ö ÔÖ Ø Ñ ÒØ ÒØ × ÑÔÐ ÔÓ× Ð Ö ×
ÕÙ ÒÓ× ÔÓÝ ÑÓ× ×Ó Ö ØÓ ÙÒ Ñ ÕÙ Ò Ö ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ׺
Ò ×Ø ×Ó¸ ÔÓ ÑÓ× Ñ Ò ÓÒ Ö Ð Ì List Graph<Node, Arc> × ÓÑÓ ×Ù× Ð × ×
Ö Ú ×º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ×Ù Ý ×Ó Ö ÓØÖÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÐÓ× Ù Ð ×
Ñ Ò ÓÒ Ö Ð Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸ Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ ­Ù Ó¸ Ñ ÒÓ× Ñ ×
ÓÖØÓ× Ý ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׸ ÒØÖ ÓØÖÓ׸ ÐÓ× Ù Ð × ×Ù Ú Þ ×Ù Ý Ò Ò
Ñ × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ× Ý Ð ÓÖ ØÑÓ׺
7.12.2.2 Eliminaci´n de ciclos mediante supra-arco negativo
o
ÇØÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ô ÖØ × ÙÒ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÒÙÐÓº
ÄÙ Ó × ÙÑ ÒØ Ð ­Ù Ó Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Ó¸ × Ð Ñ Ò Ò ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ý × ÚÙ ÐÚ Ù¹

860. 834 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ë
¼» ¼» ¼ ¼» ¼»¾¼
¿¼»¾¼» ¿¼»½¼»¾¼
¼»¼» ¼
¿¼»¿¼»½¼ ½¼»½¼»½
¼»¾¼»¾¼
¼»¼»¿¼ ¼» ¼»½¼
¿¼»½¼»½
¼»¼»¿ ¾¼»¼»¿¼
¼»¿¼»¿¼ Á
¼»½¼»¾¼ ¿¼»¼»¾¼»¾¼»
À ¼»¼» ¼
½ »¼»
¼» ¼»¾
¼»¾¼»¿¼ ¼» ¼» ¼
Ã
¿¼»¼»¾
¼» ¼»½ Â
¼» ¼»¾¼
Ì
ÙÖ º ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ Ð
Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× ÓÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ò Ð
Ñ ÒØ Ö Ð ­Ù Óº Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ × ÔÐ ×Ù × Ú Ñ ÒØ ×Ø ÕÙ Ý ÒÓ Ý Ò ÐÓ× Ò ¹
Ø ÚÓ× ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ð Ù Ð¸ ÔÓÖ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ× ÔÓÖØÓ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½ ´⇐=µ¸
× ÑÓ× ÕÙ Ð ­Ù Ó × Ñ Ü ÑÓº
ÓÖ Ò¸ ÔÓÖ Ù Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÓÑ ÒÞ Ö Ë Ò Ü ×Ø Ò Ú Ö × Ý ÒØ Ù ×
Ø Ò × ½ ¸ ¿½¸ ¾ ¸ ÙÒ ÕÙ × Ö Ø Ö Þ ÔÓÖ ×Ù × ÑÔÐ Ý Ú ÐÓ ¹Ö Ð Ø Ú
Ð Ð× Ð ÓÖ ØÑÓ¹¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ò Ö ÙÒ Ð ÞÓ ÒØÖ Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓ ÓÒ ­Ù Ó
Ñ ÝÓÖ Ð Ñ Ü ÑÓ Ý Ó×Ø Ò Ø ÚÓ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ×ÓÐÙØÓ × Ñ ÝÓÖ Ð Ó×Ø ØÓØ Ð Ù ÐÕÙ Ö
Ñ ÒÓ ÒØÖ Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓº ×Ø Ð ÞÓ ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó º ×Ø ØÖÙ Ó
ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ö Ú Ö Ð Ð ÙÐÓ Ò Ð Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ö Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÙÐ Ò Ó Ð
Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø Ð Ú Þ ÕÙ Ñ Ü Ñ Þ ÑÓ× Ð Ö º Ä × Ö Ö ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ Ò Ð¸
Ù Ð ÔÙ Ô ØÓÖ Þ Ö× Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
s Red t
f > max/ − VC − 1
ÄÓ× ÐÓ× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó ÙÒ Ò Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸ ÔÙ × Ò ÐÙÝ Ò ÙÒ
Ñ ÒÓ ÒØÖ Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓº ÍÒ ÒØ ÒØÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ×Ø ÐÓ ÑÙ Ú Ð

861. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 835
Ñ ÝÓÖ ÒØ ÔÓ× Ð ­Ù Ó Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ ÒØÖ Ð Ù ÒØ
Ý Ð ×ÙÑ ÖÓº Ë ÙÒ × Ð Ú ÐÓÖ Ð ×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ð ÐÓ ÔÙ Ó ÒÓ Ð Ñ Ò Ö× º × ¸
×Ø Ð × ÐÓ× ÙÑ ÒØ Ð ­Ù Óº
ÄÓ× ÐÓ× ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Ò Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó ×Ø Ò ÓÑ Ò Ó׸ Ò Ð × ÒØ Ó × Ö Ò Ø ÚÓ×
ÔÓÖ Ö Ó× Ö ØÖÓ ×Ó ´Ó Ö × Ù Ð ×µº ËÙ Ð Ñ Ò ÓÒ Ö Ù Ð Ó×Ø ØÓØ Ð Ð ­Ù Óº
Ð Ò ÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ð Ö Ò Ú ÒØ × Ö Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ × Ò ÐÐÓ ÑÔÐ Ñ Ò¹
Ø Ö¸ ÔÙ × ÒÓ Ö ÕÙ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ô Ò× Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ Ñ ÒÓ×
ÙÑ ÒØÓ Ý ÓØÖ × Ó× ×º ËÓÐÓ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ × ØÓ׸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹
ÓÖ Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò¸ Ù Ð × ×ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ × Ò ÐÐÓ× ÑÔÐ Ñ ÒØ Öº ×ØÓ
Ó Ö Ö ÑÔÓÖØ Ò ¸ ×Ó Ö ØÓ Ó¸ × ÒÓ ×ÔÙ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÖÔÙ× Ð ÓØ Ö Ó × Ñ Ð Ö
Ð ×Ø Ø ÜØÓº
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó Ð × ÒÓ ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ × ÔÐ ÒØ Ö Ð Ò× Ö ÓÒ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó
¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿¾ +≡ ¿¿ ¿
template <class Net, template <class> class Cost> static
typename Net::Arc * create_dummy_arc(Net & net)
{
const typename Net::Flow_Type max_cost =
net.get_num_nodes() * search_max_arc_cost <Net, Cost> (net);
net.make_residual_net();
typename Net::Node * src = net.get_source();
typename Net::Node * tgt = net.get_sink();
const typename Net::Flow_Type max_flow =
Aleph::min(net.get_out_cap(src), net.get_in_cap(tgt));
typename Net::Net::Digraph * digraph = &net;
typename Net::Arc * a =
digraph->insert_arc(src, tgt, typename Net::Arc_Type());
net.get_cookie() = a;
typename Net::Arc * img =
digraph->insert_arc(tgt, src, typename Net::Arc_Type());
digraph->desconnect_arc(a); // no es supra-arco, pero se deja por coste
a->is_residual = false;
a->img_arc = img;
a->cap = max_flow;
a->cost = max_cost;
a->flow = 0;
img->is_residual = true;
img->img_arc = a;
img->cap = max_flow;
img->cost = max_cost;
img->flow = 0;
return img;
}
È Ö ÕÙ Ð Ð × Ó × ÖÚ ÓÒ ×Ø Ò Access Cost ÓÒ× Ö Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ò Ø ÚÓ¸
×Ø × Ö Ö × Ù Ðº ÐÐ ÕÙ Ö ÑÓ× Ó× Ö Ó׸ ÙÒÓ Ö × Ù Ð¸ ÕÙ × Ð ×ÙÔÖ Ö Ó¸
Ý ÓØÖÓ ÒÓÖÑ Ð¸ ÕÙ × ×Ð Ó Ð Ö Ñ ÒØ desconnect arc() ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð
Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó ÒÓ × Ú ×ØÓ ÔÓÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ö Ó׺
create dummy arc() Ô Ð Ó× ÖÙØ Ò ×º Ä ÔÖ Ñ Ö ¸ compute max possible flow()¸
Ö ØÓÖÒ Ð Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö Ð Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ð × Ô ×
×Ð Ð Ù ÒØ Ý ÒØÖ Ð ×ÙÑ ÖÓº Ä × ÙÒ ÖÙØ Ò ¸ search max arc cost()¸

862. 836 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ö ØÓÖÒ Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ Ð Ó×Ø C ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö º Ð Ó×Ø Ñ Ü ÑÓ
Ð ÙÒ ­Ù Ó Ö ×Ø ÓØ Ó ÔÓÖ V C¸ Ù Ð × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ ÐÓÒ ØÙ Ò Ö Ó×
ÙÒ ÐÓ ´ Ö ÙÐ ÓÒµº
Ë Ñ ØÖ Ó create dummy arc()¸ Ý ÓØÖ ÔÖ Ñ Ø Ú ÐÐ Ñ destroy dummy arc()¸
Ð Ù Ð Ð Ñ Ò Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ý Ð Ö Ö × Ù Ðº
ÓÖ Ý ×Ø ÑÓ× Ð ×ØÓ× Ô Ö × ÖÖÓÐÐ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ
¿ ÙÒ ÓÒ × Ô Ö Net Max Flow Min Cost<TNode,TArc,T> ¿¾ +≡ ¿
template <class Net>
void max_flow_min_cost_by_cycle_canceling(Net & net)
{
typedef Aleph::less<typename Access_Cost<Net>::Distance_Type> CmpD;
typedef Aleph::plus<typename Access_Cost<Net>::Distance_Type> PlusD;
typedef Res_F<Net> Res_Filter;
create_dummy_arc <Net, Access_Cost> (net);
Path<Net> cycle(net); // aqu´ se guardan ciclos negativos
ı
while (Bellman_Ford_Negative_Cycle
<Net, Access_Cost<Net>, CmpD, PlusD, Res_Filter> () (net, cycle))
if (increase_flow <Net> (net, cycle) == 0)
((typename Net::Arc *) net.get_cookie())->cost = 0;
destroy_dummy_arc(net);
}
Í× × Path ¼¾ º
Ð ­Ù Ó Ý Ó×Ø Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó ×Ø Ò Ð ÙÐ Ó× × Ö ÙÒ ÔÓ Ó Ñ × ÐØÓ× ÕÙ Ð ­Ù Ó
Ñ Ü ÑÓ Ý Ð Ó×Ø Ñ Ü ÑÓ ÔÓ× Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ ÓÒÓ ÑÓ× ÔÖ ÓÖ ×ØÓ× Ú ÐÓÖ ×º
Ò ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó¸ ×Ø ÔÓ Ö × Ö Ñ ÒÓÖ ´Ý ÕÙ Þ ÔÓÖ ÑÙ Óµ ÕÙ Ð
Ô ×Ð Ð Ù ÒØ Ó Ð ÒØÖ Ð ×ÙÑ ÖÓº × ÔÓ× Ð ¸ Ô٠׸ Ö Ò ÙÒ
× ØÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ð × ÑÔÖ Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÙÒ ÐÓ Ò Ø ÚÓ ÓÒ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ð Ù Ð ÒÓ ×
ÔÓ× Ð Ö Ù ÖÐ Ð Ó×Ø ´ÔÓÖÕÙ Ð ­Ù Ó Ý ×Ø Ñ Ü Ñ Þ Óµº ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ ÑÓ× Ù× Ö
ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× ÕÙ ÒÓ Ò ÐÙÝ Ò Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Óº ÍÒ Ø ÒØ ÓÒ Ô Ö ÖÐÓ × ÑÔÐ Ö
ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ö Ó× ÕÙ ¬ÐØÖ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó¸ Ô ÖÓ¸ Ô ÖØ ÕÙ ÒÓ × Ö ØÓ Ö ÓÒÓ Ö
Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó¸ × ÒÒ × Ö Óº Ë ÒÓ × ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö Ð ­Ù Ó ØÖ Ú × ÙÒ ÐÓ ÕÙ
Ò ÐÙÝ Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ × ÙÒ Ð ÔÖÓÔÓ× ÓÒ º½¼ ´Ô º ¿µ¸ Ð ­Ù Ó × Ñ Ü ÑÓº
Ò ×Ø ÑÓÑ ÒØÓ × ÐØ Ö Ð Ó×Ø Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ð Ú ÐÓÖ ÒÙÐÓ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ð Ö ×ØÓ
Ð × Ø Ö ÓÒ × Ù×ÕÙ Ò ÐÓ× × Ò Ð ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó Ý × ÓÒ× Ö Ò Ö Ù Ö Ð Ó×Ø ØÓØ Ðº
7.12.3 An´lisis de los algoritmos basados en eliminaci´n de ciclos nega-
a o
tivos
È Ö Ò ÐÞ ÖÐ Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ× ÕÙ ÑÓ× ×ØÙ Ö ÑÓ× Ô Ð Ö ÐÓ× Ò Ð × ×
ÔÖ Ú Ó× ­Ù Ó× Ñ Ü ÑÓ× Ý Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ º Ä × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ÐÙ
Ð Ö ×Ô ØÓº
Proposici´n 7.19
o Ë N =< V, E, s, t, C, C > ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×º Ë F Ð
Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº Ë C Ð Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø ÙÒ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓº ÒØÓÒ ×¸ × Ð Ö Ó
× ×Ô Ö Ó¸ Ð ÙÖ ÓÒ Ù ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º½½ ×Ø ÓØ ÔÓÖ O(V 3 C F)º
Demostraci´n
o Ð Ô ÓÖ × Ò Ö Ó ÕÙ ÔÓ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ö × ÕÙ ÖÓØÒ ¹
Ô F Ý Ó×Ø C º Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ ÔÙ Ð ÒÞ Ö× ÙÒ Ó×Ø Ñ Ü ÑÓ Ö
O(E C M)º

863. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 837
Ë
¼» ¼» ¼ ¼» ¼»¾¼
¿¼»¾¼» ¿¼»½¼»¾¼
¼»¼» ¼
¿¼»¿¼»½¼ ½¼»½¼»½
¼»¾¼»¾¼
¼»¼»¿¼ ¼» ¼»½¼
¿¼»½¼»½
¼»¼»¿ ¾¼»¼»¿¼
¼»¿¼»¿¼ Á
¼»½¼»¾¼ ¿¼»¼» ¾¼»¾¼»
À ¼»¼» ¼
½ »¼»
¼» ¼»¾
¼»¾¼»¿¼ ¼» ¼» ¼
Ã
¿¼»¼»¾
¼» ¼»½ Â
¼» ¼»¾¼
Ì
ÙÖ º ÐÙ Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ Ð Ö Ð ¬ ÙÖ º ÔÖÓ Ù Ó ÔÓÖ Ð
Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× × Ò ­Ù Ó Ò Ð Ý ×ÙÔÖ ¹ Ö Ó
Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ö ÓÒ ×Ø ÑÓ×ØÖ ÓÒ¸ ÐÓ× Ñ ÓÖ × Ð ÓÖ ØÑÓ× ÓÒÓ Ó× Ô Ö
Ù×ÕÙ ÐÓ× Ò Ö Ó× × × Ò Ò ÙÒ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÐÓ Ù Ð × ÒÙ ×ØÖÓ
×Ó¸ ÔÙ × ÑÔÐ ÑÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ì Ö Ò ´Ü º º¿º¾ ´Ô Ò µµ¸ Ð Ù Ð × O(E)º
× Ð Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ ´Ü º½¼º½½º½ ´Ô Ò µµ¸ × ÑÓ×
ÕÙ ÔÙ Ò Ö ÕÙ Ö Ö× O(F) Ö Ô Ø ÓÒ × Ô Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó¸ ×Ó ÜØÖ ÑÓ Ù Ò Ó
× ÙÑ ÒØ Ò Ö ÙÐ ÓÒ × Ò ÙÒ ÙÒ º ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó ÔÙ Ö ÕÙ Ö Ö
O(EF)º
È ÖÓ ÙÒ Ò Ð × × Ò ÐÓ Ó Ð Ð Ô ÖÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÒÓ× ÖÖÓ Ð ÔÓ× Ð ÕÙ ÔÙ Ò
Ö ÕÙ Ö Ö× O(E C F) ×Ñ ÒÙ ÓÒ × Ó×Ø Ô Ö ×Ñ ÒÙ Ö Ð Ó×Ø Ð Ñ Ò ÑÓº
ÙÒ ×Ø × ×Ñ ÒÙ ÓÒ × Ö ÕÙ Ö ÒÚÓ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ Ð
٠Р׸ × ÙÒ ÐÓ Ò Ð Þ Ó Ò Ü º º¿º ´Ô Ò ¿ µ¸ O(V E)º
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÙ ØÓÑ Ö O(E C F) × O(V E) = O(V E2 C F)º
Ë Ð Ö Ó × ×Ô Ö Ó¸ ÒØÓÒ × E ≈ cV ¸ ÓÒ c × ÓÒ×Ø ÒØ º ×ØÓ ÒÓ× ÖÖÓ ÙÒ
ÓÑÔÐ O(V 3 C F)
Ò Ö ÓÖ Ð ÔÖ Ø ¸ ×Ø Ò Ð × × × ÑÙÝ Ô × Ñ ×Ø º Ò Ð ÔÖÓÑ Ó¸ Ð ÙÖ ÓÒ
× ÑÙ Ó Ñ ÓÖº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÔÓÖ Ù×ÕÙ ÐÓ¸ ×Ø Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ ÒÓ
ÔÖÓÚ Ð Ð ÙÐÓ Ö Ð Þ Ó Ý ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ó Ø Ò Ó ÔÓÖ Ù×ÕÙ × ÒØ Ö ÓÖ × ¹
ÐÓ׺ Ò Ò ÙÖ ¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ö ØÓÖÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ò ÖÙØÓ ÒÓ
Ò × Ö Ñ ÒØ ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ ÔÙ Ò Ð Ö Ö Ð ÙÑ ÒØÓ Ð ­Ù Ó Ó Ð Ö Ù ÓÒ Ð Ó×Ø º

864. 838 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.12.4 Problemas que se reducen a enunciados de flujo m´ximo a coste
a
m´
ınimo
ØÓ× Ñ ÓÖ Ö ÒÙ ×ØÖ ÓÑÔÖ × ÓÒ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÔÓØ Ø × ØÙ ÓÒ Ñ ÖÓ¹
ÓÒÓÑ ÕÙ Ú Ò ÙÐ ÔÖÓ Ù ØÓ× ÖÓÔ Ù Ö Ó׸ Ö ÓÒ × Ó Ô × × ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ý Ù ×
ÕÙ Ñ Ò Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ׿ º
¼
¼
½¾¼
ÖÕÙ × Ñ ØÓ
¿½¼
¾ ¼
È × Ó
¼
Ð ÓÒ Ö ×
¿¼¼
¼¼
È × Ó
¼¼
ËÙ Ö ¼¼
½ ¼
Ö ÒØ Ò
ÈÓÐÐÓ
¿ ¼ ¼
Å Ö
¼¼ ¾¼¼
ÙÐ ÖÖÓÞ
¼¼ ÖÒ Ö × ¼
¼
¼ ÖÒ Ö ×
¼
ÈÓÐÐÓ
¾¼¼
¼¼
Ö × Ð
Å Ö Ó
½ ¼
¾ ¼
ÓÐÓÑ ¼
¾ ¼
¼
ÖÖÓÞ
¼¼
ÈÓÖØÙ Ù ×
¿¿¼ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
Ù ÓÖ ¿¼¼
´ µ ÈÖÓÚ ÓÖ × ´ µ Ñ Ò ÒØ ×
ÙÖ º Ö Ó× ÔÖÓÚ ÓÖ × Ý Ñ Ò × Ð Ñ ÒØÓ×
Ò Ð × ÒØ Ó Ý ÜÔÐ Ó¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÓÑÓ ÔÖÓ Ù ØÓ× Ð ÖÒ ¸ ÔÓÐÐÓ¸ Ô × Ó Ý
ÖÖÓÞ Ý ÓÑÓ ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ð ÓÒ¸ ËÙ Ö ¸ ÈÓÖØÙ Ù × ¸ ÙÐ ¸ Ö ÒØ Ò ¸ Ù ÓÖ¸ ÓÐÓѹ
Ý Ö × Ðº Ä × Ô × ÔÖÓ Ù ÓÒ ÞÓÒ × Ô ØÓÖ Þ Ò Ò Ð Ö Ó Ð
¬ ÙÖ º ¹ º¸ Ð Ù Ð ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ ÙÒ ×ÕÙ Ñ ÔÖÓÚ × ÓÒº
Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ Ð × Ö ÓÒ × Ö Ò ÙÒ Ñ Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ׺ Ò ÒÙ ×ØÖÓ
ÔÓØ Ø Ó ÑÔÐÓ¸ Ð Ö Ó Ð ¬ ÙÖ º ¹ ÐÙ×ØÖ Ð × Ò × × ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ× ÔÓÖ
Ö ÓÒº
È Ö ×ØÙ Ö Ð Ø Ð × Ø × ÓÒ Ò × × × ÙÒ Ð × Ô × ÔÙ
Ù× Ö× ÙÒ Ú Ö ÒØ Ð Ø Ò ÜÔÐ Ò Ü º½½º¾ ´Ô Ò ¼ µ¸ Ð Ù Ð × Ô ØÓÖ Þ Ò Ð
¬ ÙÖ º ¼º Ä ÓÒ× ×Ø Ò Ù× ÓÒ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÖÓ Ù ØÓ× Ý × ÓÒ Ø Ö ÔÖÓ Ù ØÓÖ ×
ÓÒ Ñ Ò ÒØ ×º Ò ×Ø ×Ó¸ Ð Ô ÙÒ Ö Ó ÒØÖ ÔÖÓ Ù ØÓ Ý Ù Ö ÔÖ × ÒØ
Ð Ñ Ò ¹× Ò Ò × Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó Ù ÓÑÓ × ÜÔÐ Ò Ü º½½º¾ ´Ô Ò ¼ µ¹
º ÄÙ Ó × ÒÐ Þ Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × ÓÒ ÙÒ ×ÙÔÖ ¹ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ó× Ô
Ò¬Ò Ø Ý ÐÓ× Ñ Ò ÒØ × ÓÒ ÙÒ ×ÙÔÖ ¹×ÙÑ ÖÓ ÓÒ Ö Ó× Ô Ò¬Ò Ø ´ Ò ×Ó
ÕÙ × × Ú Ð Ö Ð Ø Ð µº ÄÙ Ó Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó¸ × ÖÓ ×
¿
Ä × ØÙ ÓÒ × ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓØ Ø º

865. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 839
½ ¼
¼
¿¼¼ ¼
Ð ÓÒ È × Ó
¼¼
∞ ¼
ËÙ Ö
∞ ½ ¼
ÈÓÖØÙ Ù ×
¼¼ ¿½¼
∞ Å Ö Ó
¿¿¼ ÖÖÓÞ ¾¼¼ ∞
∞ Ù ÓÖ
¾ ¼
Ë
∞ ¼¼
ÖÕÙ × Ñ ØÓ
∞
ÓÐÓÑ ∞
∞ ¼
Ì
∞ ¾ ¼ ¼
Å Ö ∞
Ö × Ð
∞
∞ ¼ ¾ ¼ Ö × ∞
¼¼ ¼
ÖÒ Ö ×
Ö ÒØ Ò ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¿ ¼ ¼¼
¼¼
¿¼¼
ÙÐ
¾¼¼
¼¼
½¾¼
ÈÓÐÐÓ
¼
¼
¼
ÙÖ º ¼ Ê ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ø Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ» Ñ Ò
ÔÖÓ Ù ØÓ Ñ Ò ÒØ Ø Ò ­Ù Ó Ù Ð ×Ù Ô ¸ ÒØÓÒ × Ð ­Ù Ó × Ø Ð
× Ö¸ Ð Ñ Ò ÔÙ × Ö × Ø × º
ÓÒÓ Ö × Ð ­Ù Ó × Ø Ð Ó ÒÓ × × Ò Ð ÒØ × Ô Ò× Ö Ò Ó×Ø × ØÖ Ò×ÔÓÖØ
Ó Ó×Ø × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ¸ ÔÙ × Ð ÔÐ ÒØ Ñ ÒØÓ Ö Ñ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ø Ð ¹
º ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ×ÙÑ Ñ Ò × Ú Ö×Ù× Ð ×ÙÑ ÔÖÓÚ × ÓÒ × ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ
ÖÖÓ Ð Ø Ð ¸ ÔÙ × ×Ø Ô Ò Ð ÔÓ× Ð ÐÐ Ú Ö Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ð
Ñ Ò ÒØ º Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ÙÒ Ö ¸ Ð Ü ×Ø Ò Ö Ó× ÒØÖ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ý Ð
Ñ Ò ÒØ º
7.12.4.1 Transporte
Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÓÖÑ Ð × Ý Ò Ö Ð ×¸ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ × Ø Ò Ò m ÔÖÓÚ ÓÖ × Ý n
Ñ Ò ÒØ ×º ÔÖÓÚ ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÖØ Ô ÔÖÓÚ × ÓÒ Ý Ñ Ò ÒØ
Ø Ò ÙÒ Ò × Ó Ñ Ò ÔÖÓÚ × ÓÒº ÈÓÖ ×Ó ÓÒ ÒØÖ ÙÒ ÔÖÓÚ ÓÖ i Ý ÙÒ
Ñ Ò ÒØ j Ü ×Ø ÙÒ Ó×Ø ØÖ ×ÔÓÖØ ci,jº ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ
Ò×Ø Ò
Ñ Ò ÒØ × D1 D2 D3 D4 D5 D6
Ñ Ò ¿¼ ¼ ½¼ ¾ ½ ¾¼ ½ ¼
ÈÖÓÚ ÓÖ × ÈÖÓÚ × ÓÒ
P1 ¿¼ ¿¼ ¼ ½ ½ ¾¼
P2 ¼ ½ ¾¼ ½¼ ¾¼ ¾¼
P3 ¾ ½¼¼ ½¾¼ ¼ ¼
P4 ¼ ¾ ¼ ¿¼ ¾¼ ¿¼
P5 ¼ ¿ ¼ ¼ ½
¾ ¼

866. 840 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö× Ý Ö ×ÓÐÚ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ô ¹
Ø º Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ ÓÒ Ø ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × ÓÒ Ô × Ù Ð × Ð × ÔÖÓÚ × ÓÒ × Ý
Ó×Ø × ÒÙÐÓ׺ ÄÓ× ÒÓ Ó× Ñ Ò ÒØ × × ÓÒ Ø Ò Ð ×ÙÑ ÖÓ ÓÒ Ô × ÙÐ×
×Ù× Ñ Ò × Ý Ó×Ø × ÒÙÐÓ׺ Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ó×Ø ØÖ Ò×ÔÓÖØ × Ö ÔÖ × ÒØ ÔÓÖ ÙÒ
Ö Ó × Ð ÔÖÓÚ ÓÖ Ð Ñ Ò ÒØ ÓÒ Ô Ò¬Ò Ø ¹Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ ×ÙÔ Ö ÓÖ
Ó Ù Ð ÕÙ Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ¹ Ý ÓÒ Ó×Ø Ù Ð Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ × Ð ÔÖÓÚ ÓÖ Ð
Ñ Ò ÒØ º
Ä ¬ ÙÖ º ½ ÐÙ×ØÖ Ð ÑÓ ÐÓ Ò Ö Ô Ø ÒÙ ×ØÖ Ò×Ø Ò ÑÔÐÓº
∞ »¿
∞» ¼
∞ »½¾¼
∞» ¼
D7
∞ »¿¼
∞ »¾¼
∞» ¼
∞» ¼
∞ »¾¼
D10
∞ »½
¼»¼
∞ »¾¼
P5
∞»
¼»¼ ½ »¼
P3
¾ »¼
∞» ¼
Ë
¼»¼
P4
∞ »¿¼ D11
¿¼»¼ ∞ »¾¼
¾¼»¼
¼»¼
P1 ∞ »¾¼
Ì
∞» ¼
¾ »¼
P2
∞»
D9
∞»
½¼»¼
∞ »½
∞ »½¼ ¿¼»¼
∞»
∞»
D8
∞ »¿¼
∞» ¼
∞»
∞ »½¼¼
D6
∞ »¾
∞»
∞ »½
ÙÖ º ½ Ê ÕÙ ÑÓ Ð Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ × ÙÒ Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖ
Ë ÙÒ Ð × Ö Ð ÓÒ × ÔÖÓÚ × ÓÒ Ý Ñ Ò ÜÔÖ × × Ò Ð ¬ ÙÖ º ¼¸ Ý Ú Ö ×
Ñ Ò Ö × ÔÐ ÒØ Ö Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÙ Ö ÑÓ× Ñ Ö Ö ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × Ý
Ó Ø Ò Ö¸ Ô Ö Ð ×Ó ÙÐ Ý Ö × Ð¸ Ð × Ö Ð ÓÒ × Ó×Ø ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÕÙ × ÑÙ ×ØÖ Ò
Ò Ð ¬ ÙÖ º ¾º × ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ö ÕÙ ×ØÓ× Ö Ó× ×Ø Ò ÓÖ ÒØ Ó× ÐÐ Ó
Ð ÔÖÓ Ù ØÓÖº Ò ÓØÖ × Ô Ð Ö ×¸ ÐÓ× Ò ¬ Ó× Ñ Ü Ñ Þ Ö ×ØÖ Ù ÓÒ ÔÖÓ Ù ØÓ×

867. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 841
¼»½¿¼
¼»¾½¼
¼¼»½½¼ Å Ö
¼¼» ¼
¼» ¼
¼¼»½ Å Ö Ó
ÖÒ
¼¼»¾¼
¼ ¼¼»½¼¼
Å Ö
¼¼»½¼
¼» ¼
¼¼»½¾
¼¼
Ö × Ð ÈÓÐÐÓ ¼¼» ¼
¾ ¼ Ö ×
¼¼»½¼¼ Å Ö Ó ¼¼»¿¼
ÖÒ
¼¼» ÖÖÓÞ ¼»½¼¼
¼¼
ÙÐ ¼¼»¿¼
¼¼
ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¼¼»¿¼
ÈÓÐÐÓ ¼¼» ¼ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¼¼»½
¼¼»½¼
Ö ×
¼¼»
¼¼»¾ ÖÕÙ × Ñ ØÓ
ÖÕÙ × Ñ ØÓ
¼¼» ¼¼»
´ µ ÙÐ ´ µ Ö ×Ð
ÙÖ º ¾ Ê Ð ÓÒ × Ó×Ø ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ô Ö Ð ÙÒÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × Ý Ñ Ò ÒØ ×
Ð Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø Ø Ò Ò Ð ÔÖÓ Ù ØÓÖ Ý ÒÓ ÐÓ× Ñ Ò ÒØ ×º
È Ö ÕÙ ÙÒ ÑÓ ÐÓ Ð Ø ÔÓ ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º ¾ Ð ÙÐ Ð ×ØÖ Ù ÓÒ Ò
Ù ×Ø ÓÒ¸ × ÓÒÚ Ò ÒØ Ð ÙÐ Ö ÖÙ ÖÓ ÔÓÖ × Ô Ö Ó Ý ÓØ Ö Ð Ñ Ò
Ù º Ä ÖÒ ¸ Ò ÒÙ ×ØÖÓ× ÑÔÐÓ׸ ÖÖÓ Ö Ö Ó× ÓÑÓ ÐÓ× Ð ¬ ÙÖ º ¿º
Å Ö Å Ö
¼¼»¾¼ ¾¼¼»¼ ¼»½¿¼ ¾¼¼»¼
ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¼¼»½¼¼ ¼¼»¼ ¼» ¼ ¼¼»¼
¼¼ ¼¼»½¼ ¼¼»¼ ¼ ¼»¾½¼ ¼¼»¼
ÙÐ ÖÒ Å Ö Ó Ì Ö × Ð ÖÒ Å Ö Ó Ì
¼¼»½ ¼»¼ ¼»½¼¼ ¼»¼
¼¼»¿¼ ¼¼»¼ ¼» ¼ ¼¼»¼
ÖÕÙ × Ñ ØÓ ÖÕÙ × Ñ ØÓ
Ö × Ö ×
´µ ´ µ
ÙÖ º ¿ Ö Ó× ÔÖÓÚ × ÓÒ ÖÒ Ô Ö ÙÐ Ý Ö × Ðº Ô × × Ð Ù
Ð ×ÙÑ ÖÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð × Ñ Ò × Ð Ù
Ë Ñ Ö ÑÓ× Ð Ö Ó Ñ × × Ò ÐÐÓ¸ Ð ÙÐ ¸ ÒÓ× Ô Ö Ø ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÔÖÓ Ù ØÓÖ¸ ÔÓÖ
× ×ÓÐÓ¸ ÒÓ ×Ø Ô Ö Ù Ö Ö Ð Ñ Ò º Ò Ð Ú Ö Ð¸ × Ô Ð ×ÓÐ Ø ÖÐ Ð ÔÖÓÚ ÓÖ
ÙÒ ÙÑ ÒØÓ ÔÖÓ Ù ÓÒ¸ Ù× Ö ÓØÖÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ó Ñ Ó× ×ÕÙ Ñ ×º Ò Ø ÖÑ ÒÓ×
ÙÒ Ö ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ×ØÓ ÕÙ Ú Ð Ò Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × ÔÓ× Ð × Ý Ó Ø Ò Ö
Ö Ó× ÓÑÓ ÐÓ× Ð ¬ ÙÖ º º
Ë ×Ø Ð Ó× ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × ÔÓ× Ð × ÒÓ Ø Ò ÑÓ× Ø Ð × Ö¸ ÕÙ
Ð ÒØ ÔÖÓÚ ×Ø ÔÓÖ ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × ÒÓ × Ø × Ð Ñ Ò ¸ Ù Ð × Ð ×Ó Ð
ÖÒ ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÓÒ× Ö Ö ÔÖ ÓÖ Þ Ö ×ÙÑ ÖÓ× Ó × Ù ×º È Ö ÐÐÓ ÔÓ ¹
ÑÓ× ¬Ò Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ Ö Ó ÔÖ ÓÖ × ÒØÖ Ð × Ù × Ø Ð ÓÑÓ Ð Ð
¬ ÙÖ º ÔÓÖ × ÑÔÐ ¸Ð× ÑÒ × Ù ×ÓÒ ÒÓØ × Ò Ð ÒÓ Óº
Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÙÐ ÑÓ× Ð Ñ Ò ØÓØ Ð¸ Ù Ð × Ð ×ÙÑ ÑÒ × Ù º

868. 842 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¼» ¿ ¼» ¼
¼»½¿¼ ¾ ¼»¾¼
¼¼»¾¼ Å Ö ¼¼» Å Ö
¿ ¼»½ ¼ ¾ ¼» ¼
¿ ¼»¾¼¼ ¾ ¼»½¼
¼»½ ¼ ¿ ¼»½¾¼
¾¼¼»¼ ¼»¼
¼» ¼ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ ¾ ¼»½¼¼ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¼¼»½¼¼ ¼¼»½
Ö ÒØ Ò Ö × Ð
¼¼»¼ ¾¼¼»¼
¿ ¼ ¼» ¼ ¾ ¼ ¿ ¼»¿¼
ÓÐÓÑ Ù ÓÖ
¼ ¿ ¼
¼»¾½¼ ¼¼»¼ ¾ ¼»½¼ ¾¼¼»¼
¼ ÖÒ Å Ö Ó Ì ¾ ¼ ÖÖÓÞ Å Ö Ó Ì
¼¼»½¼ ¼¼»
Ö × Ð ¼¼ ¼»¼ ÓÐÓÑ ¼¼ ½ ¼»¼
¿ ¼»½¾ ¾ ¼»½¼¼
ÙÐ ¼» ¼¼»¼ ÈÓÖØÙ Ù × ¿ ¼»¿ ¼¼»¼
¼»½¼¼ ¾ ¼»½
ÖÕÙ × Ñ ØÓ ÖÕÙ × Ñ ØÓ
¼¼»½ ¼¼»¿
¿ ¼»½¿ ¾ ¼»
¼» ¼ ¿ ¼» ¼
¼» ¼ ¾ ¼»¿¼
Ö × Ö ×
¼¼»¿¼ ¼¼»
¿ ¼»½¾¼ ¾ ¼»¿¼
´µ ÖÒ Ö× ´ µ ÖÖÓÞ
ÙÖ º Ó×Ø × ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ô Ö Ð ÙÒÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ× × ÙÒ Ð × Ö Ð ÓÒ × Ð Ö
º
Å Ö Ó
¼¼
Å Ö
¾¼¼
ÖÕÙ × Ñ ØÓ Ö × ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¼ ¼¼ ¼¼
ÙÖ º Ö Ó ÔÖ ÓÖ × ×ØÖ Ù ÓÒ ÒØÖ Ð Ù ×ÔÖ Ð ÑÒ
ÖÒ
Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ ØÓØ Ð¸ Ù Ð × Ð ×ÙÑ ÔÖÓÚ × ÓÒ ×º Ò Ð
ÑÔÐÓ¸ Ø Ò ÑÓ× ÓÑÓ Ñ Ò ØÓØ Ð 2900 Ý ÔÖÓÚ × ÓÒ ØÓØ Ð 1950º ÓÖ ÓÑ ÒÞ ÑÓ×
×ÙÔÖ Ñ Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× Ù × Ý Ö ×Ø Ö Ð Ñ Ò ØÓØ Ð × Ð ÙÐØ ÑÓ Ö Ò Ó ØÓÔÓÐÓ Ó
×Ø Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ×Ø ÕÙ Ù×ØÓ Ð Ñ Ò × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð ÔÖÓÚ × ÓÒº Ò Ð ×Ó
Ð ÖÒ ´¬ ÙÖ º µ¸ ÓÑ ÒÞ ÑÓ× ÔÓÖ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ ¹ÙÐØ ÑÓ Ö Ò Ó ØÓÔÓÐÓ Ó¹¸ ÐÓ ÕÙ
ÒÓ× ÙÒ Ñ Ò 2300º ÄÙ Ó Ö ×Ø ÑÓ× Ö × ¹Ô ÒÙÐØ ÑÓ Ö Ò Ó ØÓÔÓÐÓ Ó¹¸
ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÙÒ Ñ Ò 1400¸ Ð Ù Ð × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ 1950º Ë ÙÒ
×ØÓ¸ ÒÓ× ÕÙ Ð ×Ù ¹Ö Ð ¬ ÙÖ º ¹ ¸ Ð Ù Ð ÒÓ× Ô ÖÑ Ø Ð ÙÐ Ö Ð × Ò ÓÒ
Ó×Ø Ñ Ò ÑÓº Ò ×Ø ×Ù ¹Ö × × Ò Ð Ö ×ØÖ Ò Ö Ð Ô ÙÒ Ù
Ð ×ÙÑ ÖÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ò ¸ Ô٠׸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÙ ÐÐ Ú Ö Ñ ×
­Ù Ó Ð Ñ Ò Óº
Ë Ù Ñ ÒØ ¸ Ø Ò ÑÓ× Ó× ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ò Ö Ð × Ô Ö ×ØÖ Ù Ö Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ Ö ×Ø ÒØ º
Ä ÔÖ Ñ Ö × ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ ×Ù ¹Ö ÓÒ ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ò Ó ØÓÔÓÐÓ Ó × ÙÒ
Ð ÔÖ ÓÖ Ð × ÙÒ × ÓÐÓ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ö ×Ø ÒØ ×¸ Ñ Ò Ö ÖÑ×

869. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 843
Ñ Ò Ñ Ð º ×Ø ÙÐØ ÑÓ Ö Ø Ö Ó ÒÓ× ÖÖÓ ÙÒ ×Ù ¹Ö ×ØÖÙ ØÙÖ ÐÑ ÒØ × Ñ Ð Ö Ð
Ð ¬ ÙÖ º ¹ º Ò Ù Ð ×ÕÙ Ö Ð × Ó× ÐØ ÖÒ Ø Ú × × ×ØÖ ÙÝ ØÓ Ð ÔÖÓÚ × ÓÒ
Ö ×Ø ÒØ Ð Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø º
¼»
¼»½¿¼
¼¼»¾¼ Å Ö
¿ ¼»½ ¼
Ö ÒØ Ò 200/0
¿ ¼ ¼»¾½¼
ÓÐÓÑ ¼
¼¼»½¼ 600/0
¼ ÖÒ Å Ö Ó Ì
¿ ¼»½¾
Ö × Ð ¼¼ 500/0
¼» ¼ Ö ÒØ Ò
¼»½¼¼
ÙÐ
ÓÐÓÑ ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
¼¼»½
ÖÒ
ÖÕÙ × Ñ ØÓ
Ö × Ð Ö ×
¿ ¼»½¿
¼» ÙÐ
´ µ ËÙ ¹Ö ÓÒ ÑÒ × ÙÖ ´ µ ËÙ ¹Ö ÓÒ Ñ Ò Ò×Ù¬ ÒØ
ÙÖ º ËÙ ¹Ö × Ð ÙÐÓ × ÙÒ ÔÖ ÓÖ ×
7.12.4.2 Trasbordo
Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ × ÓÖ Ó × Ø Ò Ò m ÔÖÓÚ ÓÖ ×¸ n Ñ Ò ÒØ × Ý k ÔÓ× ØÓ× Ó
ÔÙÒØÓ× ØÖ × ÓÖ Óº Ë Ñ Ð Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ÔÖÓÚ ÓÖ Ø Ò ÙÒ ¹
Ô ÔÖÓÚ × ÓÒ × ÓÑÓ Ñ Ò ÒØ ÙÒ ÑÒ º Ä Ö Ò ÓÒ Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ö × Ò ÕÙ ÔÙ Ò Ö ÒÓ Ó× ÔÓ× ØÓ× ÒØÖ ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ ×
Ý Ñ Ò ÒØ × ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÔÙÒØÓ× ØÖ × ÓÖ Ó º Ô ÖØ ÐÓ× Ó×Ø × ÒÚ Ó ×
ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × ÐÓ× ÔÓ× ØÓ× Ý × ÐÓ× ÔÓ× ØÓ× ÐÓ× Ñ Ò ÒØ ¸ Ø Ñ Ò
× Ó Ö ÔÓÖ ÐÑ Ò Ñ ÒØÓº ÜØ Ò Ò Ó Ð ÑÔÐÓ Ð ×Ù ¹× ÓÒ ÔÖ ÒØ ¸ ÓÒ¹
× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ Ø Ð
Ñ Ò ÒØ × D1 D2 D3 D4 ÌÓØ Ð
Ñ Ò ¼ ¼ ¼ ¾ ¼
ÈÖÓÚ ÓÖ × ÈÖÓÚ × ÓÒ W1 W2
P1 ¼ ¿¼ ¼ ß Ó×Ø × ¿¼ ½
P2 ¼ ½ ¾¼ ½¼ ÒÚ Ó × ß
P3 ½¼¼ ½¾¼ ß ÔÖÓÚ ÓÖ ß ¾¼
ÌÓØ Ð ½
ÔÓ× ØÓ× Ó×Ø ÔÓ× ØÓ Ó×Ø × ÒÚ Ó
W1 ¿¼ ¿ ß ¿ Ð
W2 ¼ ß ¼ ¾¼ ½¼ Ñ Ò ÒØ
Ð ÔÖÓ Ð Ñ × ÙÒ ÜØ Ò× ÓÒ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ÓÒ ÐÓ× ÔÓ× ØÓ× ÓÑÓ ÒÓ Ó× ÒØ Ö¹
Ñ Ó׺ ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÙÒ × ÒØÖ × Ò Ð Ø Ð ÒÓ Ø Ò Ò Ú ÐÓÖ × ÐÓ ÕÙ × Ò ¬ ÕÙ
ÒÓ Ü ×Ø ÓÒ Ü ÓÒ Ö Ø ÒØÖ Ð ÔÖÓÚ ÓÖ Ó ÔÓ× ØÓ Ý Ð Ñ Ò ÒØ º ×ØÓ ÔÙ
Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ú Ö× × × ØÙ ÓÒ ×¸ × ÑÔÓ× Ð × Ó Ö ¬ × ×Ø Ñ Ö Ó׺
Ä ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú Ö ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓ× ØÓ× Ò Ó׺ ÍÒ ÔÓ× ØÓ
w × Ú Ò Ó× ÒÓ Ó× w → w º À w Ò Ò Ö Ó× × ÐÓ× ÔÖÓÚ ÓÖ × ÕÙ

870. 844 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÑÓ Ð Þ Ò Ð × Ô × ÒÚ Ó Ý ×Ù× Ó×Ø ×º × w Ñ Ò ÙÒ ×ÓÐÓ Ö Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ Ð Ó×Ø ÔÓ× ØÓ ÔÓÖ ÙÒ º × w Ñ Ò Ò Ö Ó× ÐÓ× Ñ Ò ÒØ × × ÙÒ
Ð Ô ØÖ ×ÔÓÖØ Ý Ó×Ø ÒÚ Óº Ä ¬ ÙÖ º ÐÙ×ØÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ö
Ô Ø ÓÒ Ó×Ø × Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº
Ð Ó×Ø ÔÓÖ ÔÓ× ØÓ ÔÙ ÓÑ Ø Ö× × ÒÓ ÔÐ ¸ Ò ÙÝÓ ×Ó ÒÓ × Ò × Ö Ó Ú Ö
Ò Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× ÔÓ× ØÓ׺
∞ »½¼
∞ »½
¼»¿
D4
¼»¿
¼»¿¼
¼» W1 W1
P2 ¿ »½¼
∞ »¾¼
»¼
¼»
¼»¿¼ ∞»
¼»¼
∞» D1 ¼»¼
∞ »½¼¼ ¼»¼
Ì
D2
Ë
¼»¼
P1
∞ »¿¼ ¼»¼
¿ » ¼
»¼ ¿ »½
¿ » ¼
W2 W
¿ »¾¼
2
¿ »¾¼
∞» ¼ D3
P3
∞ »½¾¼
∞»
ÙÖ º Ê ÕÙ ÑÓ Ð Þ Ð ØÖ × ÓÖ Ó × ÙÒ Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖ
ÓÑÓ × Ú ¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ × ÓÖ Ó × ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ÓÒ Ð Ò Ó
ÕÙ Ü ×Ø Ò ÒÓ Ó× ÒØ ÖÑ Ó× ´ÐÓ× ØÖ × ÓÖ Ó×µº Ò × ×Ù Ú ÐÓÖ × ×ØÖ ÓÒ¸ Ò Ð
× ÒØ Ó ÕÙ ÔÙ × ÖÒÓ× Ñ × Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÙÒ × ØÙ ÓÒ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð ØÖ × ÓÖ Ó
ÕÙ Ò Ð Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ó Ö × Ô Ø ×º
ÅÙ × × ØÙ ÓÒ × ÑÙÒ Ò × ×ÓÒ ÑÓ Ð Þ Ð × Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ØÖ × ÓÖ Óº Ä × ÖÙØ ×
Ö ×¸ Ñ Ö Ø Ñ ×¸ ÑÔÓÖØ ÓÒ ×¸ ÓÑ Ö Ó׸ Ø º¸ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÑÔÐÓ× Ô Ö Ñ Ø Ó׺
ÈÙÒØÓ Ó
ÓÐÓÑ
Ë Ò ÒØÓÒ Ó Å Ö Ó
ÈÙ ÖØÓ ÐÐÓ Å Ö
Ù ÓÖ È Ò Ñ
ÖÕÙ × Ñ ØÓ
Ö ÒØ Ò
Ä Ù Ö
Å ÕÙ Ø Ö ×
×Ø Ó× ÍÒ Ó×
Ë ÒØ Ð Ò ÈÙ ÖØÓ ÇÖ Þ
Ö × Ð ÈÙ ÖØÓ Ä ÖÙÞ
ÙÖ º ÍÒ Ö ÔÓØ Ø ÔÖÓÚ ÓÖ ×¸ ÔÙÒØÓ× ØÖ × ÓÖ Ó Ý Ù × ¹
Ñ Ò ÒØ ×º ÄÓ× ØÖ × ÓÖ Ó× Ø ÖÖ ×ØÖ × ×ÓÒ Ö ÓÒÓ Ó× ÓÒ ÙÒ ÖÓÑ Ó¸ ÐÓ× Ö Ó× ÓÒ ÙÒ
Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý ÐÓ× Ñ Ö Ø ÑÓ× ÓÒ ÙÒ Ü ÓÒÓº

871. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 845
ÓÑÓ ÙÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ô × × ÜÔÓÖØ ÓÖ × Ð ¸ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙ ÖØÓ× Ó ÔÙÒØÓ× ØÖ × ÓÖ Ó Ý ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ù × Ö ÔØÓÖ ×º Ë ÙÒ
Ð Ñ Ó ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ÐÓ× ÔÙ ÖØÓ× ÔÙ Ò Ð × ¬ Ö× Ò Ø ÖÖ ×ØÖ ×¸ Ñ Ö Ø ÑÓ× Ý Ö Ó×
× Ò¸ Ô ÖØ ÐÓ× Ó×Ø ×¸ ×ØÓ ÒÓ ÓÒØ Ö Ö Ò Ó× Ò Ð ÑÓ ÐÓ¸ ÔÙ × Ö ÙØ Ð ×Ù
×Ø Ò ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÙ Ö ÑÓ× Ö ÕÙ Ö Ö ÐÓ× Ð ÙÐÓ× ×ÓÐÓ Ô Ö ÖÙØ × Ø ÖÖ ×ØÖ ×º Ä
7.12.4.3 Asignaci´n de trabajos
o
ÑÒÖ ÒÖ ¸ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ò ÓÒ × Ø Ò Ò n ØÖ Ó× Ó ÔÖÓÝ ØÓ× Ý
m ØÖ ÓÖ ×º ØÖ ÓÖ ÔÙ Ö Ð Þ Ö Ð ÙÒÓ× ´Ó ØÓ Ó×µ ØÖ Ó× ÙÒ Ó×Ø
¬ Ó ÔÓÖ Ðº Ä Ñ Ø ×¸ Ô٠׸ Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ÒØ ØÖ Ó× Ð Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø º ÍÒ
Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð × ÔÙ ×ÕÙ Ñ Ø Þ Ö× ×
ÌÖ Ó t1 t2 t3 t4 t5 t6
ÌÖ ÓÖ
T1 ¾¼ ¿¼ ½¼ ¾¼
T2 ½¼ ¾ ¾ ½
T3 ½ ½ ¿¼ ¼
T4 ¿¼ ½¼ ¾¼ ¿
Ð ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÓ Ð Þ Ý Ö ×Ù ÐÚ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø × Ò Ð Ù Ð
Ð× Ô × ÒØÖ ÐÓ× ØÖ ÓÖ × Ý ØÖ Ó× ×ÓÒ ÙÒ Ø Ö × Ý ÐÓ× Ó×Ø × ÐÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ × Ð Ö Ó׺ Ð ÒÓ Ó Ù ÒØ × ÓÒ Ø ÓÒ ÐÓ× ØÖ ÓÖ × Ô × Ñ ÝÓÖ ×
Ó Ù Ð × ÕÙ Ð ÒØ ØÖ Ó× Ý Ó×Ø × ÒÙÐÓ׺ ÄÓ× ØÖ Ó× × ÓÒ Ø Ò ÙÒ ×Ù¹
Ñ ÖÓ ÓÒ Ô × Ñ ÝÓÖ × Ó Ù Ð × ÕÙ Ð ÒØ ØÖ ÓÖ × Ý Ó×Ø × ÒÙÐÓ׺
ÍÒ ÑÔÐÓ Ô Ö Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖ × ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º º
½»¾¼
½»¾¼
t6
½»½
t1 ½»½¼
∞ »¼
½»½ t1
∞ »¼ ½»¿¼
∞ »¼
½»¾ t4
∞ »¼
½»¾¼
∞ »¼ Ì
½»¾
t2 t3
∞ »¼ ∞ »¼
Ë ∞ »¼ ½»½¼
∞ »¼ ½»¿¼
∞ »¼
t3
½»½¼ t2
t4
½»½
½» ¼
t5
½»¿¼
½»¿
ÙÖ º Ê Ô Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ò ÓÒ × ÙÒ Ð Ø Ð ÒØ Ö ÓÖ
Ä Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ Ð ­Ù Ó ÖÖÓ Ð × Ò ÓÒ ÕÙ Ù Ö Ñ × ØÖ Ó׺ ÓÒ× Ù ÒØ ¹
Ñ ÒØ ¸ Ð Ñ Ò Ñ Þ ÓÒ Ð Ó×Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ñ Ü Ñ × Ò ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø º

872. 846 Cap´
ıtulo 7. Grafos
7.12.4.4 Camino m´
ınimo
È Ö Ð ÙÐ Ö Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó× u Ý v ÙÒ Ö Ó¸ Ð ÓÒ Ø ÑÓ×
u ÙÒ Ù ÒØ s ÓÒ Ô Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø ÒØÖ ÙÒ Ñ ÒÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò
Ð Ö Óº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÓÒ Ø ÑÓ× v ÙÒ ×ÙÑ ÖÓ tº Ð Ö ×ØÓ Ð Ö Ð ÓÒ ÓÖÑ Ò
ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Ó ÓÒ Ô ÙÒ Ø Ö Ý Ó×Ø Ù Ð Ð Ô ×Ó Ð Ö Óº
ÄÙ Ó¸ Ð Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ­Ù Ó Ð Ö ÒØ Ö ÓÖ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸ ÐÓ× Ö Ó× ÓÒ ­Ù Ó Ù Ð
×Ù Ô ¸ ÕÙ ×ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ó׸ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ u Ý vº
Ò Ð ×Ó ÙÒ Ö Ó G Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × × Ñ Ð Ö¸ Ô ÖÓ ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ð ÙÐ ÑÓ× Ð
ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ó →º −
G
7.12.4.5 Planificaci´n
o
Ä ÔÐ Ò ¬ ÓÒ × ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ × ×Ó Ó× ÐÓ× Ö Ó׺ À Ý ÑÙ × Ð × ×
Ý Ú Ö×Ó× ÑÓ ÐÓ× Ý ×ÓÐÙ ÓÒ ×¸ Ý Ò Ó × ÓÑÔÐ × Ð Ò Ð × ×Ø ÒØÖ Ø Ð × Ð
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó ×ØÙ Ó Ò Ü º º ´Ô Ò ¼µ × ÙÒ ÑÔÐÓº
Ò ×Ø ×Ù ¹× ÓÒ ÔÐ ÒØ Ö ÑÓ× ÙÒ Ú Ö ÒØ ÔÐ Ò ¬ ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ¹
ÓÒ × Ö ÕÙ Ö × Ô Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÖØ Ó Ö º Ä Ó Ö Ö ÕÙ Ö × Ø × Ö m Ò × ¹
× ÕÙ Ñ Ò Ò Ð ÑÔÐ Ó n Ô × ÖØ × ÓÒ × Ý Ó×Ø ×º
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÙ ÑÓ Ð Þ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ ØÓ ´Ó ÙÒ Ñ ØÖ Þµ ÕÙ ÜÔÖ ×
Ð × Ö Ð ÓÒ × ÒØÖ Ô ×ÝÒ × ×¸ ÓÒ ×Ù× ÔÓÖ ÒØ × Ó ÙÔ ÓÒ Ý ×Ù×
Ó×Ø × ÔÓÖ ÙÒ Ð Ô×Ó ¬ Ó Ø ÑÔÓ Ý Ð Ù Ð ÙÒ ÑÔÐÓ × ÑÓ×ØÖ Ó Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼¼¹ º
È Ö ÕÙ Ð ÑÓ ÐÓ Ý ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ Ø Ò Ò × ÒØ Ó¸ Ö Ð ÓÒ Ô Ò ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÙÖ ÓÒ Ù Ðº Ë Ð × Ö Ð ÓÒ × ÜÔÖ × × Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼¼¹
Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒ Ñ × ÑÔÐ Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ × Ù Ò Ó Ð ÑÔÐÓ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö ÕÙ Ð
Ö Ð ÓÒ C1 −→ N1 Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ù×Ó Ð ½¼¼± Ð Ô C1 ÙÒ Ó×Ø ¿
ÙÖ ÒØ ÙÒ Ñ ×º ×Ø ÑÓ Ó¸ ØÓ × Ð × Ö Ð ÓÒ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒ Ñ × ÔÐ ÓÒ
Ð Ô º
Ä Ñ Ø ×¸ ÒØÓÒ ×¸ Ò ÓÒØÖ Ö¸ ÔÓÖ Ô ¸ ÓÑÓ ×Ø ÔÐ Ò ¬ Ö×
Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ × Ù Ö Ò ØÓ × Ð × Ò × × Ð Ñ ÒÓÖ Ó×Ø ÔÓ× Ð º
C1 Ä Ô×Ó ¼ Ä Ô×Ó ½ Ó×Ø C1 Ä Ô×Ó ¼ Ä Ô×Ó ½ Ó×Ø
N1 ¾¼± ¿ N1 ¼± ¿ N1 ¾¼± ¿ N1 ¼± ¿
N2 ¼± ¾¾ ¾¾ N2 ¼± ¾¾ ¾¾
ÌÓØ Ð ± ½¼¼ ¼ ¼ ÌÓØ Ð ± ½¼¼ ¼ ¼
C10 Ä Ô×Ó ¼ Ä Ô×Ó ½ Ó×Ø
N1 ¿¼± ¾ N6 ¾¼±
N2 ¾¼± ¾ ¾
N3 ¿¼±
N6 ¾¼±
ÌÓØ Ð ± ½¼¼ ¾¼ ¼
Ì Ð º½ Ð ÙÒ × ÔÐ Ò ¬ ÓÒ ×
Ð ÔÖÓ Ð Ñ × ÑÓ Ð Þ ÓÑÓ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼¼¹ º È Ö ÕÙ Ð ­Ù Ó Ô
Ò × × ÒÓ Ü Ð ½¼¼±¸ Ð Ù ÒØ × ÓÒ Ø Ô ÓÒ ÙÒ Ô
Ò ­Ù Ó Ð ½¼¼±º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ò × × ÓÒ Ø Ð ×ÙÑ ÖÓ ÓÒ Ô

873. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 847
½¼¼» ¾º¼ ½¼¼» ¾º¼
C5
»½¾º¼ C5 »½¾º¼
½¼¼»¿ º¼ ½¼¼»¿ º¼
C1
¼»¾¾º¼ ¼»¾¼º¼
C1 ¼»¾¾º¼
¼»¾¼º¼
N1 ½¼¼»¼º¼
¼»¿¼º¼ ¼»¿¼º¼
C2
½ »½¼º¼ ¼»½ º¼ N1
¼» º¼ ¿¼»¾º¼
¼»½ º¼ »½¾º¼
N2
½¼¼»¼º¼
¼» ¾º¼ C2
½ »½¼º¼ ½½¼¼»¼º¼
C0
¼» º¼ N2
¼» ¾º¼
¼»½¾º¼ ¾¼»¾º¼
½¼¼»¼º¼
¿¼»¾º¼ ¼» º¼
¾¼»¾º¼ C0
¼» º¼ ½½¼¼»¼º¼
C10
¼» º¼ N6 ½¼¼»¼º¼
C10 ¼» º¼
¿¼» º¼
¿¼»½ º¼ N6
½¼¼»¼º¼
»½¾º¼ ¼»¿¼º¼
½½¼¼»¼º¼
¿¼»½ º¼ Ë ½¼¼»¼º¼ C9 ¼» º¼
½¼¼»¼º¼
C9 ¼» º¼ ¿¼» º¼
N0 ½½¼¼»¼º¼ Ì
½¼¼»¼º¼
¼»¿º¼ C4 ½¼»¿¼º¼
½½¼¼»¼º¼
¼»½¾º¼
¿¼» º¼
N0 ½¼¼»¼º¼
¼»¿¼º¼ ¼»¿º¼ N3 ½½¼¼»¼º¼
½¼»¿¼º¼ ¼» ¼º¼
C4 N3 ¼» ¼º¼
¼» ¼º¼ C3
½¼¼»¼º¼
½½¼¼»¼º¼
¿¼» ¼º¼
¼»½ º¼
¿¼» º¼
¼» ¼º¼
C3
¼»½ º¼ ½¼¼»¼º¼ ¼»¾¼º¼ N4
C8
N4 ¼»¾ º¼
½¼¼» ¼º¼
C7 ½¼¼» ¼º¼
½¼¼» ¼º¼ C7 ¿¼» ¼º¼
¿¼» º¼
N5
C6
¾¼» º¼ ¼»½¾º¼
N5
¼»¾¼º¼
½¼¼» ¼º¼
¿¼» º¼
C8 ¼»¾ º¼ C6
¼»½¾º¼ ¾¼» º¼
´µ Ö Ó Ô ÖØ ØÓ ´ µ Ê Ô Ø ÓÒ Ó×Ø × ÕÙ Ú Ð ÒØ
Ô × Ö¹
ÕÙ Ö × Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö
Ò × ×
ÙÖ º½¼¼ ÈÐ ÒØ Ñ ÒØÓ Ö Ô Ö ÔÐ Ò ¬ Ö Ô × Ò × ×
×Ù¬ ÒØ Ô Ö ×ÓÔÓÖØ Ö ØÓ × Ð × Ô × Ð Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ÐÐ Ù Ò Ð Ò × Ò Ð
×Ó Ð ÑÔÐÓ × ×ÙÑ 100nº
Ä Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ Ð ­Ù Ó ÖÖÓ Ð ×ÕÙ Ñ ÕÙ Ñ × Ô × ÔÖÓÚ Ò Ð
ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ Óº Ä Ñ Ò Ñ Þ ÓÒ Ð Ó×Ø ¸ Ð Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ð × Ô ×
ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× Ó×Ø ×¸ ÑÓ Ó ÕÙ ×Ø × ÕÙ Ò ×ÔÓÒ Ð × Ô Ö Ò × × ÓØÖ ×
Ó Ö ×º
Ë Ð Ó Ö ÓÑÓ Ø Ð Ö ÕÙ Ö ØÓ × Ð × Ô ×¸ ÒØÓÒ × ÒÓ × Ò × Ö Ó Ð ÙÐ Ö Ð
Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸ ÔÙ × ØÓ Ó× ÑÓ Ó× Ð ÑÔÐ Ó Ô ××ÖÒÔ ×º ÐÓ ÓÒ¹
ØÖ Ö Ó¸ × Ð Ö Ó ÑÓ Ð Þ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ô × ÔÓ× Ð ×¸ ÒØÓÒ × Ð Ñ Ò Ñ Þ ÓÒ
Ð Ó×Ø ÖÖÓ Ð × Ò ÓÒ Ñ ÒÓ× Ó×ØÓ× º

874. 848 Cap´
ıtulo 7. Grafos
½¼¼» º¼¼» ¾º¼
C5 » º¼¼»½¾º¼
½¼¼»¾¼º¼¼»¿ º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
¼»¿¼º¼¼»¾¼º¼
C1 ¼» ¼º¼¼»¾¾º¼
¼» ¼º¼¼»¿¼º¼
¼» ¼º¼¼»½ º¼ N1
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
¿¼»¿¼º¼¼»¾º¼ C5 » º¼¼» ¾º¼
½½¼¼»¾½ º¼¼»¼º¼
»¼º¼¼»½¾º¼ ½¼¼» º¼¼»¼º¼
¼» ¼º¼¼»¿ º¼
C2 ½ »¼º¼¼»½¼º¼
½¼»½¼º¼¼»¾¼º¼ N1
¼»¼º¼¼» ¾º¼ N2 C1
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
¾¼»¾¼º¼¼»¾º¼ ½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼
¼» ¼º¼¼» º¼
¼»½¼º¼¼» º¼ ½½¼¼»¾¾ º¼¼»¼º¼ ½½¼¼»½ ¼º¼¼»¼º¼
» º¼¼»½¾º¼
C0 ¼»¾¼º¼¼» º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
C2
½¼¼» º¼¼»¼º¼ ½ »½ º¼¼»½¼º¼
C10 ¼»¾¼º¼¼» º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼ ¿¼»¼º¼¼»½ º¼ N6
C3 ¼» ¼º¼¼» ¼º¼
¼»¾¼º¼¼»¿¼º¼ ½½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼ N0
½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼ ½¼»½¼º¼¼» º¼
Ë ½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼ C9 ¼»¿¼º¼¼» º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼ ½½¼¼»½½¼º¼¼»¼º¼
¿¼»¿¼º¼¼» º¼ C9
½¼¼» º¼¼»¼º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼ N0 ½½¼¼»½ ¼º¼¼»¼º¼ Ì ¿¼»¿¼º¼¼»½ º¼
C4 ½¼»¼º¼¼»¿¼º¼
½½¼¼»½ ¼º¼¼»¼º¼
Ë
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
¼»¼º¼¼»½¾º¼ ¼»¼º¼¼» ¾º¼ N2 ½½¼¼» º¼¼»¼º¼
½½¼¼»½ ¼º¼¼»¼º¼ C0
¼» ¼º¼¼»¿º¼ N3 ½¼¼»¾¼º¼¼»¼º¼ ¿¼»¿¼º¼¼» º¼ Ì
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼ ½½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼
¼» ¼º¼¼» ¼º¼
¼» ¼º¼¼»¿¼º¼ N6
½½¼¼»½ ¼º¼¼»¼º¼
¼» ¼º¼¼» ¼º¼ ½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼
C3 C10
¼» ¼º¼¼»½ º¼
¼» ¼º¼¼»½¾º¼
¿¼»¿¼º¼¼» º¼
½½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼ N4 ½½¼¼»½ ¼º¼¼»¼º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼ ¾¼»¾¼º¼¼» º¼
¼» ¼º¼¼»¾¼º¼ N4 C4
C8
¼»¼º¼¼»¾ º¼ ½¼»½¼º¼¼»¿¼º¼
½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼» ¼º¼
C7 ¿¼»¿¼º¼¼» ¼º¼
¿¼»¼º¼¼» ¼º¼
½¼¼»½¼¼º¼¼»¼º¼
¼» ¼º¼¼»½¾º¼
N5 ¼» ¼º¼¼»¾ º¼
C8 N5
½¼¼»¼º¼¼» ¼º¼
¾¼»¾¼º¼¼»½¾º¼
¿¼»¿¼º¼¼» º¼
C6
C7 ½¼¼»½¼¼º¼¼» ¼º¼
¾¼»¾¼º¼¼» º¼
´µ ´ µ
¼» ¼º¼¼» ¾º¼ N2 ½½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼
Ì
½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼ C0 ½½¼¼»¾¼º¼¼»¼º¼
½¼»½¼º¼¼»½¾º¼
Ë N4
½¼¼»½¼º¼¼»¼º¼ ½¼»½¼º¼¼»¾ º¼
C8
´µ
½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼ ¼» ¼º¼¼» ¾º¼ ½½¼¼» ¼º¼¼»¼º¼
Ë C0 N2 Ì
´ µ
ÙÖ º½¼½ ËÙ × Ú × Ø Ö ÓÒ × × Ò ÓÒ Ô × Ò × × × ÙÒ Ð ×
Ö Ð ÓÒ × Ð ¬ ÙÖ º½¼¼

875. 7.12. Flujos de coste m´
ınimo 849
½¼¼» ¾º¼
C5 ½¼¼» º
½¼¼»¿ º¼
½¼¼» º¼
C1 ½¼¼»½ º
½¼¼»½ º¼
½¼¼»¼º¼ N1
½¼¼»½¾º
½¼¼»¼º
½¼¼» º
C2
½¼¼»¼º¼ ½¼¼»½º
½¼¼»¾½º¼ N2 ½½¼¼»¼º¼
½¼¼»¼º
½¼¼»¿¿º
½¼¼»¼º¼
C0
½¼¼» º¼ ½½¼¼»¼º¼
½¼¼»¼º¼ C10 ½¼¼»¾º¼
½¼¼» º N6
½¼¼»¼º¼
½¼¼»¾½º¼
½½¼¼»¼º¼
Ë ½¼¼»¼º¼ C9 ½¼¼»¾º¼
½¼¼»¼º¼
½¼¼»½º¾
N0 ½½¼¼»¼º¼ Ì
½¼¼»¼º¼ ½¼¼»¿º¼
C4
½½¼¼»¼º¼
½¼¼» º
½¼¼»¼º¼
½¼¼»½º¾ N3 ½½¼¼»¼º¼
½¼¼» º¼
½¼¼» º¼
½¼¼»¼º¼ C3
½½¼¼»¼º¼
½¼¼» º¼
½¼¼»½º
½¼¼»¼º¼
½¼¼»½¼º¼ N4
C8
½¼¼»¾½º
½¼¼» ¼º¼
C7 ½¼¼»½ º¼
½¼¼» º N5
½¼¼» ¼º¼
½¼¼»¾º½
C6
½¼¼»½º¾
ÙÖ º½¼¾ Ê Ð ¬ ÙÖ º½¼¼¹ ÓÒ ×Ù× Ô × ÒÓÖÑ Ð Þ ×
ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ׸ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ñ Ü Ñ Þ Ð ­Ù Ó Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ × Ò ÓÒ ÔÖ Ú
Ô × Ò Ð ×Ó ÑÔÐÓ¸ ÙÒ × Ò ÓÒ Ò Ð × ÑÓ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼½¹ º
Ö Ó ÐÐ ÒÓ Ò × Ò ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô Ò × Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÙÒÓ
ÓÒ ­Ù Ó¸ Ô ÖÓ ÒÓ ÐÐ ÒÓ¸ × Ò ¬ × Ò ÓÒ Ô Ö Ðº Ò ×Ø ÙÐØ ÑÓ ×Ó¸ Ó × Ð Ó Ö
Ö ÕÙ Ö ØÓ × Ð × Ô ×¸ × ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ÒÙ Ú Ö Ò Ð Ù Ð ÐÓ× Ö Ó× ÐÐ ÒÓ× ×ÓÒ
Ð Ñ Ò Ó× Ý ÐÓ× Ô Ö Ð × ØÙ Ð Þ Ó× ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ Ô ×Ù×ØÖ Ð Ú ÐÓÖ Ð ­Ù Ó
Ð Ø Ö ÓÒ ÔÖ ÒØ º
Ä ×Ö ¬ ÙÖ × º½¼½ ÑÙ ×ØÖ Ð × Ø Ö ÓÒ × ×ÙÑ Ò Ó ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÓÒ Ó×Ø
Ñ Ò ÑÓ Ò Ø Ö ÓÒº Ð ÙÒ × ÔÐ Ò ¬ ÓÒ × Ô × Ö ×ÙÐØ ÒØ × × ÑÙ ×ØÖ Ò
Ò Ð × Ø Ð × º½º
Ò Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ × Ð × Ô × ÔÙ Ò ÒÓÖÑ Ð Þ Ö× Ý ÐÐ Ú Ö× Ð ½¼¼±º ×Ø
ÔÙ Ö × Ö Ð ×Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò Ð ÙÒ × × ØÙ ÓÒ × Ò Ö ÓÒ Ó ØÖ Ò×Ñ × ÓÒ
Ð ØÖ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ð Ö Ð ÓÒ C5 −→ N1 ÔÙ ÒÓÖÑ Ð Þ Ö× 45×12 Ý × ×Ù × ¹100
Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ö ×ØÓ Ð × Ö Ð ÓÒ × ×Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Ð ¬ ÙÖ º½¼¾º

876. 850 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ò ×Ø Ð × × ØÙ ÓÒ¸ Ð Ó×Ø ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÔÐ ÓÒ Ð
Ô º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ð × Ô × Ð Ø Ö ÐÑ ÒØ ÙÒ Ò ÓÑÓ ­Ù Ó× Ý Ð × Ò × ¹
× ÔÙ Ò ×Ô Ö Ö Ø ÑÔÓ× Ö ØÖ Ö Ó׸ ÒØÓÒ × Ð Ø Ò Ø Ö ÓÒ × ×Ù × Ú × ÕÙ
Ý ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ø Ú Ñ ÒØ Ð × Ò ÓÒ Ô × ÕÙ ÓÒ×ÙÑ
Ñ ÒÓÖ ÙÖ ÓÒº ÍÒ ÑÔÐÓ ÔÓ Ö × Ö Ð ×ØÖ Ù ÓÒ Ð ÙÒ Ò×ÙÑÓ Ò ×Ó ÓÒØ Ò¹
Ò Ú ÙÒ × Ò ×Ó ÙÒ Ô Ò Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ× Ò ×Ó Ð ÙÒ ×Ø Ó Ü Ô ÓÒ
´ Ù ÖÖ Ó × ×ØÖ Ò ØÙÖ Ðµº
7.13 Programaci´n lineal
o
× Ñ ÒØ ¸ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ Ô Ö ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð × ÓÑÔÓÒ ÐÓ×
× Ù ÒØ × Ð Ñ ÒØÓ× ×Ø Ò Ö
½º Î Ö Ð × × ÓÒ ´Ó × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú Ö Ð ×µ x1, x2, . . . , xn Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÔÙÒØÓ×
Ù×Ø Ð ×¸ ÙÝÓ× Ú ÐÓÖ × ×ÓÒ × ÓÒÓ Ó× Ð Ò Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ý × Ð Ù Ð ×
ÓÒØÖÓÐ Ð × ØÙ ÓÒ ÒØ Ö ×º
Ä Ñ Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ × Ò ÓÒØÖ Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð Ú Ö Ð ÕÙ
Ñ Ü Ñ Þ Ò Ó Ñ Ò Ñ Þ Ò ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ º
¾º ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ × ÙÒ ÜÔÖ × ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÒÚÓÐÙ Ö Ð × Ú Ö Ð ×
× ÓÒ Ô Ö ÜÔÖ × Ö ÙÒ ¬Ò Ó Ñ Ø º Ä ÓÖÑ Ò Ö Ð × Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó Ñ Ò Ñ Þ Ö Ð
ÙÒ ÓÒ
Z = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn
¿º Ê ×ØÖ ÓÒ × ×ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ × Ñ Ø Ñ Ø × ÕÙ ÒÚÓÐÙ Ö Ò Ð × Ú Ö Ð × × ÓÒ
Ý ÕÙ ÜÔÖ × Ò Ð Ñ Ø × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÔÓ× Ð × Ý ÜÔÖ × × Ò ÓÖÑ
a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn ≤ b1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,nxn ≤ b2
ººº
am,1x1 + am,2x2 + · · · + am,nxn ≤ bm
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . xn ≥ 0
×Ø ÓÖÑ Ò Ö Ð ÜÔÖ × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð × Ð × ¬ “forma est´ndar”º
a
Ô Ð ÑÓ× ÙÒ ÑÔÐÓ Ð × Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÙÒ ÑÔÖ × ÔÖÓ Ù ØÓÖ
Ð Ø × ÓÒ ØÖ × ÔÐ ÒØ × Ý Ó× Ø ÔÓ× ÐØ ÑÓÒØ Ò Ý ÖÙØ ¸ ÔÖ Ó×
Ú ÒØ 2000 Ý 1400¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÄÓ× Ñ Ö Ó× Ð× ÐØ×× Ö Ò Ò
Ð ÔÐ ÒØ ½¸ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò Ð ÔÐ ÒØ ¾ Ý Ð Ò× Ñ Ð × Ö Ð Þ Ò Ð ÔÐ ÒØ ¿º
Ä ÔÐ ÒØ ÕÙ Ö ÐÓ× Ù ÖÓ× ÔÙ ÔÖÓ Ù Ö Ð Ñ × 70 Ù ÖÓ× ÑÓÒØ Ò Ý 30
ÖÙØ ¸ Ô ÖÓ ÔÓÖ Ö ×ØÖ ÓÒ × ×Ù Ð Ò ×ÓÐ ÙÖ ÔÙ Ö Ö ÐÓ ×ÙÑÓ 80
Ù ÖÓ× Ð Ñ ×º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ð ÔÐ ÒØ ¾ ÔÙ ÔÖÓ Ù Ö Ð Ñ × 40 ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ô Ö
Ð Ø ÑÓÒØ Ò Ý 90 Ô Ö ÖÙØ ¸ Ô ÖÓ ÔÓÖ Ö ×ØÖ ÓÒ × ×Ù ÔÖÓ ×Ó ÖÓÑ Ó¸
Ð Ñ Ü ÑÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÕÙ ÔÙ Ö Ö Ð Ñ × × 100º Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð ÔÐ ÒØ ¿
´Ð Ò× Ñ Ð µ¸ ÔÙ Ò× Ñ Ð Ö ÔÓÖ Ñ × 50 Ð Ø × ÑÓÒØ Ò Ö × Ý 60 ÖÙØ

877. 7.13. Programaci´n lineal
o 851
ÈÐ ÒØ ÑÓÒØ Ò ÊÙØ Ô
½ ´Ñ Ö Ó×µ ¼ ¿¼ ¼
¾ ´ ÓÑÔÓÒ ÒØ × ¼ ¼ ½¼¼
¿ ´ Ò× Ñ Ð µ ¼ ¼ ¼
ÈÖ Ó ÔÓÖ ÐØ ¾¼¼¼ ½ ¼¼
Ì Ð º¾ Ì Ð Ö ×ÙÑ Ò Ó×Ø × Ý Ö ×ØÖ ÓÒ × Ô Ö Ð ÑÔÐÓ Ö ÓÒ
ÐØ×
× Ò Ñ Ö Ó¸ Ø Ñ Ò ÔÓÖ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ñ ÒÓ Ó Ö ¸ Ð ÔÐ ÒØ ÒÓ ÔÙ Ò× Ñ Ð Ö
Ñ × 80 Ð Ø × Ð Ñ ×º
È Ö ÑÔ Ö ÕÙ Ð Ò ÐÙ Ö Ø ÚÓ ÓÒÐÐ Ú Ð ÑÔÖ × ÓÑ Ø Ö Ò Ù×Ø ×¸ Ð
Ó ÖÒÓ Ð ÑÔÓÒ Ð ÑÔÖ × Ð ÓÒ ÓÒ ÕÙ ÔÓÖ ÐØ ÖÙØ ÕÙ ×
Ú Ò ¸ Ð ÑÔÖ × Ø Ò ÕÙ Ú Ò Ö Ð Ñ ÒÓ× 0, 8 ÑÓÒØ Ò º
× Ð × Ó× ×¸ × × ÓÒÓ Ö Ð × ÒØ × ÐØ× Ø ÔÓ ÕÙ × Ò
Ö Ö Ð Ñ × Ô Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð Ò Ò º Ë x1 Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÒØ ÐØ×
ÑÓÒØ Ò Ý x2 Ð × ÖÙØ ¸ ÒØÓÒ ×¸ ×ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ð × Ð Ø × × Ö Ò Ú Ò × Ò ×Ù
ØÓØ Ð ¸ × ÔÐ ÒØ Ð × Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ
Ñ Ü Ñ Þ Ö Z = 2000x1 + 1400x2 = 10x1 + 7x2 ´ º¿ µ
ÓÒ ÓÒ Ó Ð × × Ù ÒØ × Ö ×ØÖ ÓÒ ×
70x1 + 30x2 ≤ 80 ⇒ 7x1 + 3x2 ≤ 8
40x1 + 90x2 ≤ 100 ⇒ 4x1 + 9x2 ≤ 10
50x1 + 60x2 ≤ 80 ⇒ 5x1 + 6x2 ≤ 8
0, 8x1 > x2 ⇒ 0, 8x1 − x2 ≥ 0
Ë Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð ÔÓÖÕÙ ØÓ × Ð × × Ù Ð × Ý Ù ÓÒ × ÒÚÓÐÙ Ö ×
×ÓÒ Ð Ò Ð ×º Ò ØÓ¸ Ø Ð ÓÑÓ × ÐÙ×ØÖ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼¿¸ Ð × Ö Ø × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ò Ò ÙÒ ×Ô Ó ´×ÓÑ Ö Ó Ò Ð ¬ ÙÖ µ Ò ÓÒ × × Ø × Ò Ð ×
Ö ×ØÖ ÓÒ ×º × ¸ Ú ÑÓ× ÕÙ Ð Ñ Ü ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ × ÙÑÔÐ Ò Ð ÔÙÒØÓ
ÒØ Ö× ÓÒ ÕÙ Ô × ÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ
ÈÖÓ Ö Ñ × Ð Ò Ð × ×Ø Ø ÔÓ ÔÙ Ò Ö ×ÓÐÚ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐ ¹
Ñ Ó × ÑÔÐ Ü ¸ × Ù ÖØÓ ÔÓÖ Ú Þ ÔÖ Ñ Ö ÔÓÖ ÓÖ ÒØÞ Ò ½ ¸ ÙÒ Ñ ÒØÓ
Ð ÒÚ ×Ø ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ × Ý ÕÙ Ö Ú × Ö ÑÓ× Ò Ü º½¿º ´Ô Ò µº Ò ÓÑ ØÖ ¸
ÙÒ × ÑÔÐ Ü × ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ó ÔÓÐ ØÓÔÓ n¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð n + 1 Ú ÖØ ×º × ¸ Ð Ñ ØÓ Ó
ÐÙ× ÓÒ ÕÙ Ð ×ÓÐÙ ÓÒ ×Ø Ð Ñ Ø ÔÓÖ Ð ÔÓÐ ØÓÔÓ ÙÝÓ× Ú ÖØ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
ÓÒ Ð × ÒØ Ö× ÓÒ × ÒØÖ Ð × Ö Ø × Ð × × Ù Ð × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ð × Ö ×ØÖ ¹
ÓÒ ×º Ä Ø Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ô Ò ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ô × Ó ÒÓ ÔÓÖ Ð
ÔÓÐ ØÓÔÓº Ò Ð ÑÔÐÓ Ð ¬ ÙÖ º½¼¿¸ Ü ×Ø Ò Ó× Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ Ö Ó Ó× Ö Ø ×¸ ÙÝ ×
ÒØ Ö× ÓÒ × ¬Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ð º Ä ×ÓÐÙ ÓÒ¸ Ô٠׸ × Ð Ñ Ü ÑÓ ÕÙ
Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ ÔÙ Ð ÒÞ Ö ÓÒ ÓÒ Ó ÕÙ × Ö ÙÒ× Ö ÒØÖÓ Ð Ö Ð
ØÖ Ò ÙÐÓº

878. 852 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¿
7x1 + 3x2 ≤ 8
¾º
¾
10x1 + 7x2 ´ ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓµ
½º ËÓÐÙ ÓÒ ÓÔØ Ñ
½ 0, 8x1 − x2 ≥ 0
¼º
4x1 + 9x2 9 ≤ 10
5x1 + 6x2 ≤ 8
¼
¼ ¼º ½ ½º ¾ ¾º ¿
ÙÖ º½¼¿ ÁÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð Ý ×Ù ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÔØ Ñ
7.13.1 Forma est´ndar de un programa lineal
a
À Ý Ú Ö× × Ñ Ò Ö × ÜÔÖ × Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸ Ð × Ù Ð × Ú Ö Ò × ÙÒ Ð Ö ÙÒ×¹
ØÒ º ØÓ× ÙÒ ÓÑÓ Ò Ò × Ö Ô Ö ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð¸ ×
ÓÒÚ Ò ÒØ ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð × ÜÔÖ × Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ×Ù ÓÖÑ ×Ø Ò Öº
Ò Ö Ñ ÒØ ¸ Ò Ð ÓÖÑ ×Ø Ò Ö × Ø Ò Ò n Ú Ö Ð × × ÓÒ x1, x2, . . . , , xn¸
n ÒÙÑ ÖÓ× Ö Ð × c1, c2, . . . , cn ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÐÓ× Ó ¬ ÒØ × Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ¸
m Ö Ð × b1, b2, . . . , bm ×Ó Ó× Ð × ÓØ × Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × Ý n × m Ö Ð × ai,j Ô Ö
i = 1, 2, . . . , m Ý j = 1, 2, . . . , n ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÐÓ× Ó ¬ ÒØ × Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ ×º
× ¸ Ò Ö Ý ÓÑÔÙØ ÓÒ ÐÑ ÒØ ¸ Ð ¬Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð × Ò ÓÒØÖ Ö n Ö Ð ×
x1, x2, . . . , xn Ø Ð ÕÙ
n
Å Ü Ñ Þ Ö Z = cjxj ´ º¿ µ
j=1
ËÙ ØÓ
n
ai,jxj ≤ bi ÔÖ i = 1, 2, . . . , m ´ º¿ µ
j=1
xj ≥ 0 ÔÖ j = 1, 2, . . . , n ´ º ¼µ
À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ò ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð ÔÙ ÓÒØÖ Ú Ò Ö Ð ÓÖÑ ×Ø Ò Ö
ÙÒ ÓÒ ÙÒ ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÕÙ Ð ×Ø Ò Ö Þ º
7.13.2 Minimizaci´n, no maximizaci´n, de la funci´n objetivo
o o o
Ò ×Ø ×Ó¸ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ð Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ Ð Ò ÓÒº × Ö¸
× Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ × Ñ Ò Ñ Þ Ö Z¸ ÒØÓÒ × Ñ Ü Ñ Þ Ö Z = −Z × ÕÙ Ú Ð ÒØ º

879. 7.13. Programaci´n lineal
o 853
7.13.3 Variables con restricciones negativas
×Ø × Ð ×Ó Ù Ò Ó × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ó ¬ ÒØ Ò Ø ÚÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ x1 − 2x2 ≤ 4º
Ë ÙÒ Ú Ö Ð xi Ø Ò ÙÒ Ó ¬ ÒØ Ò Ø ÚÓ¸ ÒØÓÒ × Ó ÙÖÖ Ò xi ×
×Ù×Ø ØÙÝ ÔÓÖ xi − xi ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × xi ≥ 0 Ý xi ≥ 0º Ë Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ ÓÒØ Ò ÙÒ
Ø ÖÑ ÒÓ cixi¸ ÒØÓÒ × ×Ø × ×Ù×Ø ØÙÝ ÔÓÖ ci(xi − xi º Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ØÓ Ó Ø ÖÑ ÒÓ
aj,ixi ÕÙ Ô Ö Þ Ò ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒ i × Ö ÑÔÐ Þ ÔÓÖ aj,ixi − aj,ixi º
7.13.3.1 Restricciones de igualdad
×Ø × Ð ×Ó Ù Ò Ó Ð Ö ×ØÖ ÓÒ × Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ð ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ x1 +x2 = 5º
ÍÒ Ö ×ØÖ ÓÒ Ù Ð f(x1, x2, . . . , xn) = b × ÔÐ ÒØ Ò ÓÖÑ ×Ø Ò Ö Ñ Ò¹
Ø × Ð × Ó× Ö ØÖ ÓÒ × f(x1, x2, . . . , xn) ≤ b Ý f(x1, x2, . . . , xn) ≥ bº
7.13.4 Restricciones mayor o igual
×Ø × Ð ×Ó Ù Ò Ó ÙÒ Ó Ñ × Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ Ò ÐÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö× ÓÑÓ ÙÒ × Ù Ð¹
Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð¸ × ÔÖ × ÒØ Ò ÓÑÓ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÔÓÖ ÑÔÐÓ 2x1 + x2 ≥ 2º
ÍÒ Ö ×ØÖ ÓÒ Ð Ø ÔÓ n ai,jxj ≥ bi × ÕÙ Ú Ð ÒØ
j=1 j=1 −ai,jxj ≤ −biº
n
7.13.5 Un ejemplo
ËÙÔÓÒ ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð
Å Ò Ñ Þ Ö 2x1 − x3
ËÙ ØÓ
2x1 + x2 − 3x3 ≤ 3
2x2 + x3 = 4
x1 + x2 − 2x3 ≥ −2 ´ º ½µ
x1, x2, x3 ≥ 0
Ä Ù Ð × ÕÙ Ú Ð ÒØ
Å ÜÑÞ Ö − 2x1 + (x3 + x3)
ËÙ ØÓ
2x1 + x2 + 3x3 − 3x3 ≤ 3
2x2 + x3 − x3 ≤ 4
2x2 + x3 − x3 ≥ 4
−x1 − x2 + 2x3 − 2x3 ≤ 2 ´ º ¾µ
x1, x2, x3, x3 ≥ 0
Ä ÒÚ Ö× ÓÒ Ð Ö ×ØÖ ÓÒ ´ º ½µ Ô Ö Ò Ð Ö ×ØÖ ÓÒ ´ º ¾µ¸ Ð Ù Ð ÔÐ ÒØ Ó×
ÒÙ Ú × Ö ×ØÖ ÓÒ × Ò Ø Ú ×º Ê Ð Þ Ò Ó Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ¸ Ô Ö ÑÓ×
Ò
Å Ü Ñ Þ Ö − 2(x1 + x1) + (x3 + x3)

880. 854 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ËÙ ØÓ
2x1 − 2x1 + x2 − x2 + 3x3 − 3x3 ≤ 3
2x2 − 2x2 + x3 − x3 ≤ 4
2x2 − 2x2 + x3 − x3 ≥ 4
−x1 + x1 − x2 + x2 + 2x3 − 2x3 ≤ 2
x1, x1, x2, x2, x3, x3 ≥ 0
ÈÓÖ × ÑÔÐ ¸ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð Ò ×Ù ÓÖÑ ×Ø Ò Ö ×ÓÐÓ × ×Ô ¬ Ð
ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ý ×Ù× Ö ×ØÖ ÓÒ × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × ÒÓ Ò Ø Ú ÒÓ
× ×Ô ¬ Òº
7.13.6 Forma “holgada” de un programa lineal
Ä ÓÖÑ ×Ø Ò Ö ÔÙ Ö Ú Ö× ÓÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Z Ý × Ù Ð Ñ ØÖ Ð
×
Ax ≤ b ´ º ¿µ
ÓÒ A × Ð Ñ ØÖ Þ Ó ¬ ÒØ × Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ x Ð Ú ØÓÖ Ú Ö Ð × × ÓÒ
Ý b Ð Ú ØÓÖ ÓØ × Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ ×º Ä × Ö ×ØÖ ÓÒ × ÒÓ Ò Ø Ú × ×ÙÑ Ò
ÔÖ Ð Ñ ÒØÓ xi Ý ÒÓ × ÓÐÓ Ò ÔÓÖ ÓÑ × ÓÒº
ÓÖ Ò¸ Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× ×ÓÐÙ ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ × Ð Ò Ð × Ö ÕÙ Ö Ò
ÓÑÓ ÒØÖ ÙÒ × ×Ø Ñ Ð Ò Ð ÓÖÑ
Ax = b ´º µ
× Ö¸ Ð Ü Ô ÓÒ Ð ÒÓ Ò Ø Ú ÔÖ xi¸ ØÓ × Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × ×ÓÒ
ÙÐ º
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒ n
ai,jxj ≤ bi ´º µ
j=1
ÓÖ ÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ× ÙÒ ÒÙ Ú Ú Ö Ð s Ý ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð × ÙÐ Ó Ó× Ö ×ØÖ ¹
ÓÒ ×
n
s = bi − ai,jxj ´º µ
j=1
s ≥ 0 ´º µ
Ä ÚÖ Ð s × ÒÓÑ Ò ÓÐ ´ ×Ð µ¸ ÔÓÖÕÙ ÜÔÖ × Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ó×
Ð Ó× Ð × Ù Ð ´ º µº
ÈÖ ÓÒÚ ÖØ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð Ò ÓÖÑ ×Ø Ò Ö ÙÒÓ Ò ÓÖÑ ÓÐ × Ù× Ò
mÚ Ö Ð× ÓÒ Ð × ÓÐ ÙÖ Ð Ø ÔÓ
n
xj+k = bj − ai,jxj ´º µ
j=1
xj+k ≥ 0 ÔÖ k = 1, 2, . . . , m ´º µ

881. 7.13. Programaci´n lineal
o 855
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖÑ ×Ø Ò Ö
Z = x1 − 2x2 + x3
x1 + 2x2 − x3 ≤ 4
2x1 − 3x2 − 2x3 ≤ 3
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
Ë ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ×Ù ÓÖÑ ÓÐ Ò
Z = x1 − 2x2 + x3
x4 = 4 − x1 − 2x2 + x3
x5 = 3 − 2x1 + 3x2 + 2x3
x6 = 2 − x1 − x2 − 2x3
7.13.7 El m´todo simplex
e
7.13.7.1 Esquema general
ÍÒ Ù Ò Ñ Ò Ö ÒØ Ò Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ð × ÑÔÐ Ü ÓÒ× ×Ø Ò ÔÐ ÒØ ÖÐÓ ÓÑÓ Ð
Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÙÒ × ×Ø Ñ Ù ÓÒ ×º ÓÒ× Ö ÑÓ׸ Ô٠׸ Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ
Å Ü Ñ Þ Ö Z = 25 x3 + 40 x2 + 30 x1
ËÙ ØÓ 2 x3 + 4x2 + 3 x1 ≤ 500
5 x3 + 2 x2 + 5x1 ≤ 650
2 x3 + 6 x2 + x1 ≤ 820
Ð Ù Ð Ð ÐÐ Ú ÖÐÓ ×Ù ÓÖÑ ÓÐ ÒÓ× ÕÙ
Å Ü Ñ Þ Ö z = 25 x3 + 40 x2 + 30 x1 ´ º ¼µ
ËÙ ØÓ x4 = −2 x3 − 4 x2 − 3 x1 + 500 ´ º ½µ
x5 = −5 x3 − 2 x2 − 5 x1 + 650 ´ º ¾µ
x6 = −2 x3 − 6 x2 − x1 + 820 ´ º ¿µ
ÙÒ × ×Ø Ñ Ù ÓÒ × ×Ø Ø ÔÓ ×Ù Ð ÐÐ Ñ Ö× Ð ÓÒ Ö Ó º Ò ×Ø ×Ø Ó¸
Ð Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ × 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÖØ (0, 0, 0)¸ Ð Ù Ð × ÙÒ
×ÓÐÙ ÓÒ Ú Ð Ö ×Ô ØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ñ Ü Ñ º ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ
ÙÑ ÒØ Ö Ð Ú ÐÓÖ Z ×Ô Ò Ó x2 Ð ÙÒ × Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ ×º È Ö ÙÑ ÒØ Ö Ð ×
ÔÓ× Ð × Ö ÙÒ× Ö Ö× Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ ÑÓ× × Ó Ö Ð Ñ × × Ú Ö º È Ö
ÐÐÓ¸ Ú ÐÙ ÑÓ× Ð ÑÔ ØÓ ÕÙ Ø Ò Ö Ð ÙÑ ÒØÓ Ú ÐÓÖ x2 Ò ÙÒ Ð×
Ö ×ØÖ ÓÒ ×
x4 ≥ 0 ⇒ −4 x2 + 500 ≥ 0 ⇒ x2 < 125
x5 ≥ 0 ⇒ −2 x2 + 650 ≥ 0 ⇒ x2 < 325
410
x6 ≥ 0 ⇒ −6 x2 + 820 ⇒ x2 < ≈ 136.67
3
× ¸ ×Ô ÑÓ× x2 ´ º ½µ¸ ÔÙ × × ÔÓÖ ÓÒ Ñ × ÔÓ ÑÓ× ÙÑ ÒØ Ö Z¸ Ó ÕÙ ×
Ð Ñ × ÐØÓ Ó ¬ ÒØ ¸ × Ò Ú ÓÐ Ö Ò Ò ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒ
x2 = −
x4 x3 3 x1
4
−
2
−
4
+ 125 ´º µ

882. 856 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÓÖ Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ× ×Ø Ù ÓÒ Ò Ð ÓÒ Ö Ó ÔÖ ÒØ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð × Ù ÒØ
Å ÜÑÞ Ö Z = −10 x4 + 5 x3 + 5000 ´º µ
ËÙ ØÓ x2 = x4 x3 3 x1
− −
4 2
−
4
+ 125 ´º µ
x5 =
x4
2
− 4 x3 −
7 x1
2
+ 400 ´º µ
x6 =
3 x4
2
+ x3 +
7 x1
2
+ 70 ´º µ
ÕÙ Ð × ×Ø Ñ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ (0, 125, 0)¸ Ð Ù Ð ÙÒ Ò Ò Ò Z 5000º
Ü Ñ Ò Ò Ó Z Ò ×Ø ÒÙ ÚÓ ÓÒ Ö Ó¸ Ú ÑÓ× ÕÙ Ð ÙÒ ÔÓ× Ð ÙÑ ÒØ ÖÐ
× ÔÓÖ Ð Ú Ö Ð x3¸ ÔÙ × Ð ÓØÖ Ö ×Ø ÒØ × Ò Ø Ú º × ¸ × Ð ÓÒ ÑÓ× x3 ÓÑÓ Ð
Ú Ö Ð ÙÑ ÒØ Ö Ý Ð ×Ô ÑÓ× Ð Ö ×ØÖ ÓÒ Ñ × × Ú Ö ¸ Ð Ù Ð × ´ º µº ×ØÓ
ÒÓ× Ð × Ù ÒØ ÓÒ Ö Ó
Å ÜÑÞ Ö Z = −
5 x5 75 x4 35 x1
4
−
8
−
8
+ 5500 ´º µ
ËÙ ØÓ x2 =
x5 5 x4 5 x1
8
−
16
−
16
+ 75 ´ º ¼µ
x3
x5 x4 7 x1
= − +
4 8
−
8
+ 100 ´ º ½µ
x6
x5 13 x4 21 x1
= − +
4 8
+
8
+ 170 ´ º ¾µ
Ð × Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ó ¬ ÒØ Z Ò Ø ÚÓ׸ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð ÙÑ Ò¹
Ø ÖÐ Ñ ×º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Z × Ñ Ü Ñ ¸ ÓÒ Ú ÐÓÖ 5500¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÖØ
(0, 75, 100)º
Ð ÔÖÓ ×Ó ÕÙ ÑÓ× ÑÔÐ ¬ Ö ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö× ÙÒ ÒØ ÒÖ
Ú Ö Ð × Ý ÙØÓÑ Ø Þ Ö× º È Ö ÐÐÓ¸ Ò ÔÖ Ñ Ö Ò×Ø Ò ¸ ¬Ò ÑÓ× Ð Ð × Simplex<T>¸
Ð Ù Ð Ö × Ò Ð Ö ÚÓ Ë ÑÔРܺÀ ¸ Ý ÕÙ Ö Ò × Ö × Ó× × ¬Ò ÓÑÓ × Ù
Ë ÑÔРܺÀ ≡
template <typename T> class Simplex
{
public:
enum State { Not_Solved, Solving, Unbounded, Solved, Unfeasible };
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ë ÑÔÐ Ü
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü
};
Ä Ð × Simplex × ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ × Ð Ò Ð × ×Ô ¬ Ó× Ò ÓÖÑ
×Ø Ò Ö¸ ÙÝ ÒØ ÚÖ Ð× Ò Ö× Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü ≡ ´ µ
Simplex(int n)
n ׸ Ô٠׸ Ð ÒØ Ú Ö Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ Ð × ×Ø Ñ º Ä Ú Ö Ð × × ÒÙÑ Ö Ò
× Ð 0 ×Ø n − 1º Ð Ú ÐÓÖ n¸ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÒÓÑ Ö Ó ÓÑÓ num var¸ × Ó Ø Ò
Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ø Ú get num vars()º
7.13.7.2 Definici´n de la funci´n objetivo
o o
Ù Ò Ó × Ò×Ø Ò ÙÒ × ×Ø Ñ ¸ ÐÓ× Ó ¬ ÒØ × Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ ×ÓÒ ÒÙÐÓ× Ý ÒÓ
Ý Ö ×ØÖ ÓÒ ×º × ¸ ×Ù ×Ô ¬ ÓÒ × Ö Ñ Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ö ×Ù× Ó ¬ ÒØ ×

883. 7.13. Programaci´n lineal
o 857
Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ
void put_objetive_function_coef(int i, const T & coef)
ÓÒ i × Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ú Ö Ð Ý coef ×Ù Ó ¬ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓº
ÍÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ô Ö Ò Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ ÓÒ× ×Ø Ò ÓÐÓ Ö ×Ù× Ó ¬ ÒØ × Ò
ÙÒ ÖÖ ÐÓº È Ö ÐÐÓ¸ × ÔÙ ÑÔÐ Ö Ð ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖ Ñ Ø Ú ×
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ
void put_objetive_function(DynArray<T> & coefs)
void put_objetive_function(T coefs[])
Í× × DynArray ¾º
7.13.7.3 Definici´n de las restricciones
o
È Ö Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ¸ Ý Ú Ö Ó× ×ÕÙ Ñ × Ô Ö ¬Ò Ö Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ ×º Ð
ÔÖ Ñ ÖÓ¸ Ù Ð Ô Ö × Ö Ð Ñ × Ù×٠и ÓÒ× ×Ø Ò Ò ÖÐ Ð × ×Ø Ñ Ð Ü ×Ø Ò ÙÒ
Ö ×ØÖ ÓÒ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ
T * put_restriction(T * coefs = NULL)
ÍÒ ÐÐ Ñ put restriction() Ö Ò Ð × ×Ø Ñ ÙÒ ÒÙ Ú Ö ×ØÖ ÓÒ Ò ÓÖÑ
×Ø Ò Ö ÓÒ Ó ¬ ÒØ × ÒÙÐÓ׺ Ä ÖÙØ Ò Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ó ¬ ÒØ ×
Ð Ö ×ØÖ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó× ÒØÖ 0..num varº Ä Ó Ø Ò ÓÒ ×Ø ÔÙÒØ ÖÓ ×Ó
Ö ØÓ ÙÒÓ ÐÓ× Ó ¬ ÒØ ×º
× ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö Ð Ñ ×ÑÓ ÔÙÒØ ÖÓ Ñ ÒØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ ½
T * get_restriction(int rest_num)
Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ Ð i¹ × ÑÓ ÖÖ ÐÓ Ö ×ØÖ ÓÒº
get restriction(i)
Ì Ñ Ò × ÔÓ× Ð Ô × Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÐÓ× Ó ¬ ÒØ × Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ
Ñ ÒØ ÙÒ ÐÐ Ñ put restriction(ptr)¸ ÓÒ ptr × Ð ÔÙÒØ ÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ
Ó ¬ ÒØ ×º
7.13.7.4 La estructura de datos
ÍÒ Ð Ú ÖÙ Ð Ò Ð ÙØÓÑ Ø Þ ÓÒ Ð × ÑÔÐ Ü Ö × Ò Ð ÑÔÐ Ó ÙÒ Ù
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׺ ÆÓ × Ð Ô Ö Ø Ö× ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó × ×Ø ÒØ Ö Ñ Ò × ÒØ
Ö ×ÓÐÚ Ö ÙÒ × ×Ø Ñ Ð Ò Ð Ù ÓÒ ×º Ò × × ÒØ Ó¸ ×Ù× Ñ ØÓ Ó× Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ×ÓÒ
ÔÐ Ð × Ô Ö Ð × ÑÔРܺ
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÑÓ ÑÔÐÓ Ð × Ù ÒØ × ×Ø Ñ Ò ÓÖÑ ×Ø Ò Ö
Z = 40x0 + 50x1 + 60x2 + 30x3
ËÙ ØÓ
2x0 + x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 205
x0 + x1 + 3x2 + x3 ≤ 205
x0 + 3x1 + 4x2 ≤ 255
3x0 + 2x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 250

884. 858 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Þ m (n + m + 1) × (m + 1)¸ ÓÒ
n ´num varµ × Ð ÒØ ÚÖ Ð× × ÓÒ Ý m ´num restµ Ð Ö ×ØÖ ÓÒ ×º Ä
ÔÖ Ñ Ö ¬Ð ÓÒØ Ò Z − f(x0, x1, . . . , xn−1) Ý Ð Ö ×ØÓ Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × Ò ÓÖÑ ÓÐ º
× ¸ Ô Ö ÑÙ ×ØÖÓ ÑÔÐÓ¸ Ð Ñ ØÖ Þ Ö ×ÙÐØ ÒØ × ¬Ò ÓÑÓ
⎛ ⎞
−40.00 −50.00 −60.00 −30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
⎜ 2.00 1.00 2.00 2.00 1.00 0.00 0.00 0.00 205.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1.00 1.00 3.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 205.00 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1.00 3.00 4.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 255.00 ⎠
3.00 2.00 2.00 2.00 0.00 0.00 0.00 1.00 250.00
Ë ÙÒ Ð ÒØ Ú Ö Ð × ÕÙ Ø Ò Ð × ×Ø Ñ ¸ × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ¸ ØÓ×
ÓÒÓÑ Ñ ÑÓÖ ¸ ÕÙ Ð Ñ ØÖ Þ × ×Ô Ö º Ò × × ÒØ Ó¸ Ð Ð × Simplex<T>
ÑÔÐ ÙÒ Ð × ÐÐ Ñ DynMatrix<T>¸ Ð Ù Ð ×Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ò DynArray<T>º
ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ DynMatrix<T> ÓÖÖ Ð × Ñ ÑÓÖ Ô Ö Ð Ñ ÒØÓ× ÒÙÐÓ× Ð
Ñ ØÖ Þº
7.13.7.5 Selecci´n del pivote
o
ÍÒ Ú Þ ÓÒ×ØÖÙ ×Ø Ñ ØÖ Þ Ò Ð¸ × ÔÖÓ Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ × Ð ÓÒ Ö Ð Ð Ñ ÒØÓ
Ô ÚÓØ Ý Ô ÚÓØ Ö ×Ø ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ó ¬ ÒØ × Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ¸ ÐÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö
¬Ð ¸ Ú Ò Ò ÔÓ× Ø ÚÓ׺
Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ×Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÐÙÑÒ ¸ Ù Ð × Ð Ð Ñ ÒÓÖ Ó ¬ ÒØ
Ò Ø ÚÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ó × ¸ Ð Ó ¬ ÒØ ÔÓÖ Ð Ù Ð Ý Ñ ÝÓÖ ÔÓ× Ð
ÙÑ ÒØ Ö Z
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ë ÑÔÐ Ü ≡ ´ µ
int compute_pivot_col() const
{
T minimum = numeric_limits<T>::max();
int p = -1;
for (int i = 0, M = num_var + num_rest; i < M; i++)
{
const T & c = m->read(0, i);
if (c < minimum)
{
p = i;
minimum = c;
}
}
return minimum >= 0 ? -1 : p;
}
Ë ÒÓ Ý Ó ¬ ÒØ × Ò Ø ÚÓ׸ ÒØÓÒ × Ð × ×Ø Ñ Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÔØ Ñ Ý × Ö ØÓÖÒ -1º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ö ØÓÖÒ Ð Ò Ð ÓÐÙÑÒ Ð Ô ÚÓØ ¸ Ð
Ù Ð ÒÓÑ Ò ÑÓ× pº
ÈÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ¬Ð Ð Ô ÚÓØ ¸ Ð ÙÐ ÑÓ× Ð Ñ ÒÓÖ Ö Ó ÔÓ× Ø ÚÓ
m(i,p)/m(i,n+m) ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ö ×ØÖ ÓÒ Ñ × × Ú Ö
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ
int compute_pivot_row(int p) const
{
int q = -1;

885. 7.13. Programaci´n lineal
o 859
T min_ratio = numeric_limits<T>::max();
for (int i = q + 1, M = num_var + num_rest; i <= num_rest; i++)
{
const T val = m->read(i, M);
if (val < 0)
continue;
const T den = m->read(i, p);
if (den <= 0)
continue;
const T ratio = val / den;
if (ratio < min_ratio)
{
q = i;
min_ratio = ratio;
}
}
return q;
}
Ë ÒÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò ÙÒ Ö Ó ÔÓ× Ø ÚÓ¸ ÒØÓÒ × × ØÖ Ø ÙÒ × ×Ø Ñ Ð Ñ Ø Ó
× Ö ÕÙ ÒÓ Ø Ò ÙÒ ÔÓÐ ØÓÔÓ ¬Ò Ó ´ÐÓ ÕÙ × Ö ÙÒ ÖÖÓÖ ÑÓ Ð Þ Óµ Ý ×
Ö ØÓÖÒ -1º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ × Ö ØÓÖÒ Ð Ò Ð ¬Ð Ð Ô ÚÓØ ¸ Ð Ù Ð ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ×
qº
È Ö Ô Ö Ð × Ó× ÖÙØ Ò × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÑÔÐ ÑÓ× ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò
Ð Ð Ñ ÒØÓ Ô ÚÓØ
Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ ¼
State select_pivot(int & p, int & q)
{
const int col = compute_pivot_col();
if (col == -1)
return state = Solved;
const int row = compute_pivot_row(col);
if (row == -1)
return state = Unbounded;
p = row;
q = col;
return state = Solving;
}
ÓÑÓ ÔÙ Ò Ö Ö× Ð Ò×Ô ÓÒ¸ Ð ÖÙØ Ò Ô Ð Ð × Ó× Ö ÒØ × Ý Ö ØÓÖÒ ÙÒ
×Ø Ó ×ÓÐÙ ÓÒº ÇÖ Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÒØ × Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ Ñ select pivot(p, q)¸
Ð × ×Ø Ñ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð ×Ø Ó Not Solvedº
× Ô Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ý Ð Ñ ØÖ Þ ÑÔÐÓ׸ Ð ÖÙØ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÒØ ¬ Ð × Ù ÒØ
Ô ÚÓØ ´ Ò ÖÖ Ó Ò Ö ÙÐÓµ
⎛ ⎞
−40.00 −50.00 −60.00 −30.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
⎜ ⎟
⎜ 2.00 1.00 2.00 2.00 1.00 0.00 0.00 0.00 205.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1.00 1.00 3.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 205.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ º¼¼ 255.00 ⎟
⎝ 1.00 3.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 ⎠
3.00 2.00 2.00 2.00 0.00 0.00 0.00 1.00 250.00
Ð Ù Ð × ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð ÓÐÙÑÒ ¾ ÙÝÓ Ñ Ò ÑÓ Ó ¬ ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ ×

886. 860 Cap´
ıtulo 7. Grafos
−60 Ý Ð ¬Ð ¿ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ò ÑÓ Ö Ó Ñ Ò(205/2, 205/3, 255/4, 250/2) = 255/4º
7.13.7.6 Pivoteo
Ð Ô ÚÓØ Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ð ÙÐ Ö ÐÓ× ÒÙ ÚÓ× Ó ¬ ÒØ × Ð Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð × Ù ÒØ Ö Ø Ö Ó
½º È Ö Ð ¬Ð Ð Ô ÚÓØ p Ð Ñ ÒØÓ ×Ø ¬Ð × Ú ÒØÖ m(p, q)º
×Ø Ô ×Ó × ÕÙ Ú Ð ÒØ ×Ô Ö Ð Ú Ö Ð xq Ð Ö ×ØÖ ÓÒ pº
¾º È Ö Ð Ö ×ØÓ Ð × ¬Ð × × m (p) Ð ¬Ð Ð Ô ÚÓØ ØÖ Ò× ÓÖÑ × ÙÒ Ð Ô ×Ó
ÒØ Ö ÓÖº ¬Ð m(i) × Ð ÙÐ ÓÑÓ m(i) = m(i) − m(i, p) × m (p)º
Î ×ØÓ× ÔÓÖ ¬Ð ׸ ×ØÓ× Ô ×Ó× ÕÙ Ú Ð Ò Ú ÐÙ Ö Z Ý Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × ÓÒ Ð ÓÒ
Ð Ú Ö Ð xqº
Ð ÔÖÓ ×Ó ÒØ Ö ÓÖ × ÔÙ Ó ¬ Ö ÓÑÓ × Ù
¼ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ ½
void to_pivot(size_t p, size_t q)
{
const int M = num_var + num_rest; // cantidad de columnas
const T pivot = m->read(p, q);
for (int j = 0; j <= M; j++) // fila del pivote
if (j != q)
m->write(p, j, m->read(p, j) / pivot);
m->write(p, q, 1);
for (int i = 0; i <= num_rest; i++) // resto de las filas
for (int j = 0; j <= M; j++)
if (i != p and j != q)
m->write(i, j, m->read(i,j) - m->read(i,q)*m->read(p,j));
for (int i = 0; i <= num_rest; i++) // columna del pivote en 0 salvo q
if (i != p)
m->write(i, q, 0);
}
Ð Ô ÚÓØ Ó × Ð Ñ ×Ñ ÓÔ Ö ÓÒ ×Ó Ö Ð Ù Ð × ÙÒ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÑÙÝ ÔÓÔÙÐ Ö
Ö ×ÓÐÙ ÓÒ × ×Ø Ñ × Ð Ò Ð × Ù ÓÒ × ÐÐ Ñ Ó Ù××¹ÂÓÖ Òº
È Ö ÒÙ ×ØÖ Ñ ØÖ Þ ÑÔÐÓ¸ Ð Ú ÐÓÖ Ò Ð Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ × 0¸ Ð Ù Ð ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÓÒ Ð Ú ÖØ Ð × ÑÔÐ Ü (0, 0, 0, 0)º Ð Ö Ð Þ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÚÓØ Ó¸ × Ò Ö ¹
Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ý ¸ Ð Ü Ô ÓÒ Ð ¬Ð Ô ÚÓØ ¸ ØÓ Ó× ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ×Ù ÓÐÙÑÒ ÖÓº × ¸ Ô Ö p = 2 Ý q = 3¸ Ð Ô ÚÓØ Ó ÔÖÓ Ù
⎛ ⎞
−25.00 −5.00 0.00 −30.00 0.00 0.00 15.00 0.00 3825.00
⎜ 1.50 −0.50 0.00 −0.50 77.50 ⎟
⎜ 0.00 2.00 1.00 0.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0.25 −1.25 0.00 ½º¼¼ 0.00 1.00 −0.75 0.00 13.75 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0.25 0.75 1.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 63.75 ⎠
2.50 0.50 0.00 2.00 0.00 0.00 −0.50 1.00 122.50
Ä ÓÔ Ö ÓÒ Ð Ñ Ò Ð ÓÐÙÑÒ ¾ Ý ÐÐ Ú Ð Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ 3825¸ ÓÖÖ ×¹
ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÖØ Ð × ÑÔÐ Ü (0, 0, 63.75, 0)º ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÓÒ Ð Ð ÙÐÓ¸ Ô Ö ÓÑÓ
ÒÙ ÚÓ Ô ÚÓØ p = 3 ´ Ð −30µ Ý q = 2 ´ Ñ Ò(77.5/2, 13.75, 122.5/2)µ¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÖÖÓ

887. 7.13. Programaci´n lineal
o 861
⎛ ⎞
−17.50 −42.50 0.00 0.00 0.00 30.00 −7.50 0.00 4237.50
⎜ ⎟
⎜ 1.00 ¾º¼¼ 0.00 0.00 1.00 −2.00 1.00 0.00 50.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0.25 −1.25 0.00 1.00 0.00 1.00 −0.75 0.00 13.75 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0.25 0.75 1.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 63.75 ⎠
2.00 3.00 0.00 0.00 0.00 −2.00 1.00 1.00 95.00
ÆÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ò Ð Ú ÖØ (0, 0, 63.75, 13, 75) ÓÒ Ú ÐÓÖ ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ 4237.5º
È ÚÓØ ÑÓ× ÓÒ m(1, 1) ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÔÖÓ Ù
⎛ ⎞
3.75 0.00 0.00 0.00 21.25 −12.50 13.75 0.00 5300.00
⎜ −1.00 ⎟
⎜ 0.50 1.00 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 25.00 ⎟
⎜ −0.25 −0.12 ⎟
⎜ 0.88 0.00 0.00 1.00 0.62 0.00 45.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ −0.12 0.00 1.00 0.00 −0.38 0.75 −0.12 0.00 45.00 ⎟
⎝ ⎠
0.50 0.00 0.00 0.00 −1.50 ½º¼¼ −0.50 1.00 20.00
× Ö¸ Ð ÔÙÒØÓ (0, 25, 45, 45) ÓÒ Ú ÐÓÖ ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓ 5300º ÆÓ× Ö ×Ø ÙÒ ÙÐØ ÑÓ
Ô ÚÓØ Ó m(4, 4)¸ ÙÝÓ Ö ×ÙÐØ Ó ¬Ò Ð ×
⎛ ⎞
10.00 0.00 0.00 0.00 2.50 0.00 7.50 12.50 5550.00
⎜ 1.00 1.00 0.00 0.00 −1.00 0.00 0.00 1.00 45.00 ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1.00 0.00 0.00 1.00 0.25 0.00 −0.25 0.25 50.00 ⎟
⎜ ⎟
⎝ −0.50 0.00 1.00 0.00 0.75 0.00 0.25 −0.75 30.00 ⎠
0.50 0.00 0.00 0.00 −1.50 1.00 −0.50 1.00 20.00
× ¸ Ð Ú ÖØ (0, 45, 30, 50) Ô Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ 5550º
Ð ÔÖÓ ×Ó ÒØ Ö ÓÖ × ÙØÓÑ Ø Þ ÑÙÝ × Ò ÐÐ Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ ¾
State solve()
{
for (int i, j; true;)
{
const Simplex<T>::State state = select_pivot(i, j);
if (state == Simplex<T>::Unbounded or state == Simplex<T>::Solved)
return state;
to_pivot(i, j);
}
}
ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ× ÒÓØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ¸ Ð Ú ÐÓÖ ¬Ò Ð ÙÒ Ú Ö Ð i × Ø ÖÑ Ò
Ñ Ö Ò Ó ×Ù ÓÐÙÑÒ ¸ Ð Ù Ð ÓÒØ Ò Ö ÖÓ× Ý ÙÒ ÙÒÓ¸ Ý Ü Ñ Ò Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ
m(i, num rest)¸ ÓÒ j × Ð Ò Ð Ú ÐÓÖ ÙÒÓ Ò Ð ÓÐÙÑÒ º ×ØÓ × ÔÙ Ö Ð Þ Ö
ÓÒ Ð × Ù ÒØ ÖÙØ Ò
½ Å Ñ ÖÓ× ÔÖ Ú Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ ¼
T find_value(const size_t j) const
{
T ret_val = 0.0;
for (int i = 1, count = 0; i < num_rest; i++)
{
const T & value = m->read(i, j);
if (value == 0.0)
continue;
if (value == 1.0)

888. 862 Cap´
ıtulo 7. Grafos
if (count++ == 0)
ret_val = m->read(i, num_var + num_rest);
else
return 0.0;
else
return ret_val;
}
return ret_val;
}
× ¸ ÙÒ Ú Þ Ö ×Ù ÐØÓ Ð × ×Ø Ñ ¸ ÔÓ ÑÓ× Ö Ö Ð ×ÓÐÙ ÓÒ Ñ ÒØ
¾ Å Ñ ÖÓ× ÔÙ Ð Ó× Ë ÑÔÐ Ü +≡ ´ µ ½
void load_solution()
{
for (int j = 0; j < num_var; j++)
solution[j] = find_value(j);
}
7.13.8 Conclusi´n sobre la programaci´n lineal
o o
Ò ×Ø × ÓÒ ÑÓ× ÔÖ × ÒØ Ó ÙÒ Ô ÒÓÖ Ñ ÑÙÝ Ò Ö Ð Ý ×ÙÔ Ö¬ Ð ×Ó Ö Ð ÔÖÓ Ö ¹
Ñ ÓÒ Ð Ò Ð Ý ÙÒÓ ×Ù× Ñ ØÓ Ó× Ö ×ÓÐÙ ÓÒ Ñ × ÔÓÔÙÐ Ö × Ð × ÑÔРܺ
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔÐ Ü × ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ð Ò Ð Þ Öº Å Ø Ñ Ø Ñ ÒØ × ÙÒ
Ð ÓÖ ØÑÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ý × Ò Ò ÓÒØÖ Ó ×Ó× ÕÙ ÒÖÒÐ Ù ÓÒ ×Ø Ø ÔÓ
Ö Ò Ñ ÒØÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ò Ð ÔÖ Ø ¸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ù ÓÒ Ð × ÑÔÐ Ü ×
×Ô Ø ÙÐ Ö¸ ÙÒÕÙ ÙÒ ÒÓ × ÓÑÔÖ Ò Ò Ð Ö ÞÓÒº
Ô × Ö Ð Ô Ö ÓÒ ÒÙ ÚÓ× Ñ ØÓ Ó× ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ ´Ú × × ÓÒ Ö Ö Ò ×
Ü º½ ´Ô Ò ½µµ¸ ÔÓÖ ×Ù × ÑÔÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ý ×Ù Ö Ò Ñ ÒØÓ¸ Ð × ÑÔÐ Ü
× Ù × Ò Ó ÙÒ Ð × × Ó Ò × ÔÖ Ò Ô Ð × ÓÑÓ ×ÓÐÙ ÓÒ ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ × Ð Ò Ð ×º
Ò Ð ÓÒØ ÜØÓ ×Ø Ø ÜØÓ¸ Ð ÑÔÓÖØ Ò Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð ×Ù Ý ×Ó Ö
Ð Ó ÕÙ Ü ×Ø ÙÒ ÒØ Ñ ÓÒ Ü ÓÒ ÒØÖ Ð × ÑÔРܸ × ÓÑÓ ÓØÖÓ× Ñ ØÓ Ó×
ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ¸ Ý Ð × Ö × ­Ù Óº ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ×Ø ÓÒ Ü ÓÒ × ÜØ Ò× Ú
ÐÓ× Ö Ó× Ò Ò Ö Ðº ÐÓ× ×Ô ØÓ× ×Ø Ú Ò ÙÐÓ ÒÓ× Ó Ö ÑÓ× Ö Ú Ñ ÒØ Ò Ð
× Ù ÒØ × ÓÒº
7.14 Redes de flujo y programaci´n lineal
o
ÍÒ Ö ­Ù Ó ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸ Ö ×ÓÐÙ Ð Ñ ÒØ Ù ¹
Ð ×ÕÙ Ö ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ðº
7.14.1 Conversi´n de una red capacitada de costes a un programa lineal
o
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ñ ØÖ Ð Ô Ö ÙÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø × n ÒÓ Ó׺
ÒÓ Ó × × Ò Ð ÔÓÖ ÙÒ Ò Ñ ØÖ Ð Ý Ð Ö Ó ÔÓÖ ×Ù ÒØÖ Ò Ð Ñ ØÖ Þº × ¸ Ð
ÔÖÓ Ð Ñ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ ÔÙ ÔÐ ÒØ Ö× ¸ Ò Ö Ñ ÒØ ¸ ÓÑÓ ÙÒÓ
ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ¸ Ð × Ù ÒØ ÑÓ Ó
n n
ÅÒÑÞ Ö Z= ci,jxi,j ´ º ¿µ
i=1 j=1

889. 7.14. Redes de flujo y programaci´n lineal
o 863
ËÙ ØÓ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ö ×ØÖ ÓÒ ×
n n
xi,j − xk,i = bi, i = 1, 2, . . . , n ´º µ
j=1 k=1
xi,j ≥ 0, ´º µ
i, j = 1, 2, . . . , n
ÈÓÖ Ö Ó i −→ j¸ ×Ù Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð × ÓÒ xi,jº Ä ×ÙÑ
Z¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ ­Ù Ó Ð Ö ¸ Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÚÓº ÈÓÖ
ÒÓ Ó i¸ Ð Ú ÐÓÖ bi¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð ­Ù Ó ÒØÖ Ý Ð × Ð ¸
Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒº Ð Ü Ô ÓÒ Ð Ù ÒØ Ý Ð ×ÙÑ ÖÓ¿ ¸ bi = 0¸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ Ô Ö Ð Ù ÒØ Ý ×ÙÑ ÖÓ bs = btº Ò ÐÑ ÒØ ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ð ­Ù Ó ÒÓ ÔÙ × Ö
Ò Ø ÚÓ¸ Ú Ö Ð xi,j ≥ 0º
Î ÑÓ׸ ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ Ñ Ô Ó Ö ØÓ × ÙÒ Ö Ó×Ø × ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ðº Ì Ð
Ñ Ô Ó × ÒÓÖÑ ÑÔÓÖØ Ò ÔÓÖ Ó× Ö ÞÓÒ × Ú Ò ÙÐ × ÒØÖ ×
½º Ù ÐÕÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ ÓÒ Ó × Ò Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸ ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö× Ñ ¹
ÒØ Ð Ñ ØÓ Ó × ÑÔРܺ
¾º Ð ÙÒÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð ÔÙ Ò Ö ×ÓÐÚ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ Ö ¹
Ô Ø º
Ò Ð ÔÖ Ø ¸ ×Ø × Ö ÞÓÒ × ÔÐ ÒØ Ò ÙÒ ÓÑÔÖÓÑ ×Ó Ð Ð ÓÖ ØÑ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö
ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÒ Ö × Ô Ø × × ÓÒ Ö × Ñ × ¬ ÒØ ÕÙ Ð Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
Ð Ò Ð¸ Ô ÖÓ ÒÓ ØÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ ÙÒ Ö Ô Ø º
7.14.2 Redes generalizadas
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÑÓ ÐÓ× Ö × Ô Ø ×¸ ÑÓ× ×ÙÑ Ó Ð ÓÒ ÓÒ
ÓÒ× ÖÚ ÓÒ ­Ù Ó ¬Ò Ò º½¼¹ Ô º º Ê × ÕÙ ÒÓ × Ø × Ò ÕÙ ÐÐ
ÓÒ ÓÒ ×ÓÒ ÐÐ Ñ ×¸ Ó ÖØ × Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ Ö × Ò Ö Ð Þ × º
Ò Ð × Ö × Ò Ö Ð Þ × ×ÓÒ ÐÓ× Ö Ó× ÔÓ× Ò ÙÒ ØÓÖ Ò Ò ÓÔ Ö ­Ù Óº
Ò Ð ÑÓ ÐÓ Ô ØÓÖ Ó¸ ÙÒ ØÓÖ Ò Ò ´Ó Ô Ö µ a ÒØÖ ÙÒ Ö Ó u −→ v ×
ÜÔÖ × Ñ ÒØ ×Ù Ú ÐÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ð Ô Ð ÖÓc
ac
u v
Ë a = 1¸ ÒØÓÒ × × ØÖ Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÒÓÖÑ Ðº
Ë 0 < a < 1¸ ÒØÓÒ × × ØÖ Ø ÙÒ ØÓÖ Ô Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸ ÙÒ ­Ù Ó
ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÙÒ Ö × ×Ø Ò Ó ÙÒ ­Ù Ó Ù ÕÙ ×Ù Ö Ð ÙÒ
ÔÖ ÔÓÖ Ú ÔÓÖ ÓÒ ¼ º
Ë c > 1¸ ÒØÓÒ ×¸ × ØÖ Ø ÙÒ Ò Ò ­Ù Ó¸ ÐÓ ÕÙ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ö
ÔÖ × Ñ ÒØ ÑÔÖÓ Ð º Ü ×Ø Ò¸ ÑÔ ÖÓ¸ ×Ó× ÒÓ Ø Ò Ü Ô ÓÒ Ð ×º ÈÓÖ Ñ¹
ÔÐÓ׸ Ö × ÔÓÖ ÓÒ Ö ÙÐ Ò Ô Ø Ð × ÓÒÓÑ Ó× ¸ Ö × ÒØ × ÓÐÓ Ó× ´ º º
Ø Ö ×µ¸ Ù × Ð ÒØ ÑÔ Ö ´ÕÙ ÙÑ ÒØ Ò ÔÓÖ ÐÐÙÚ ×µ¸ Ø º
¿
Ê Ù Ö × ÕÙ Ð Ö ÔÙ Ö Ù Ö× ÙÒ ×ÓÐÓ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÓÐÓ ×ÙÑ ÖÓº
Ò Ð ÙÒÓ× ×Ó× ÒÓ × ØÖ Ø Ò ×
¼
ÙÒ ØÓÖ Ô Ö ¸ × ÒÓ ÙÒ Ö Ù ÓÒ Ð Ô ¸Ð
Ù Ð ÑÓ Ð Þ Ö× Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓ Ó ÒØ ÖÑ Ó w
a ac
u w v

890. 864 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÍÒ ØÓÖ ÖÓ ÒÓ Ø Ò × ÒØ Ó¸ ÔÙ × ÕÙ Ú Ð Ð Ù× Ò Ö Óº
ÙÒÕÙ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ð ¸ ÙÒ ØÓÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÑÔÓ Ó Ø Ò ÑÙ Ó × ÒØ Ó
× Ó¸ ÔÙ × ÑÓ Ð Þ ÙÒ ×Ô Ö ØÖÓ ×Ó ­Ù Ó¸ Ð Ù Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ × ÑÓ Ð Þ¹
Ð × Ð Ô Ö×Ô Ø Ú ØÓÔÓÐÓ Ð Ö º
Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸Ô Ö ÙÒ ÒÓ Ó Ù ÐÕÙ Ö v¸ Ð ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð
­Ù Ó ÔÙ ÜÔÖ × Ö× ÓÑÓ
f(e) − ae f(e) = be ´º µ
∀e∈ÁÆ(v) ∀e∈ÇÍÌ(v)
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð ÖÒ ´ º µ ÓÒ Ð ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Ó ÜÔÖ × Ò
´ º½¼µ ´ º º½¼¹ Ô º µ × ÙÒ ØÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ae Ò Ö Ó eº
Ê × Ò Ö ÐÞ × × Ö ×Ù ÐÚ Ò ØÖ Ú × ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐ Ñ Ó × ÑÔÐ Ü Ö ¸
Ð Ù Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º½ ´Ô Ò µº
7.14.3 Capacidades acotadas
Ò ×Ø Ø ÔÓ Ö Ð ­Ù Ó ÐÓ× Ö Ó× ×Ø ÓØ Ó ×Ø ÓØ Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÙÒÓ
Ñ Ò ÑÓ Ý ÙÒÓ Ñ Ü ÑÓ ×Ø ÙÐØ ÑÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ô º
Ò Ð ÑÓ ÐÓ Ô ØÓÖ Ó¸ Ö Ó ÓÒØ Ò Ó× Ú ÐÓÖ × Ð ­Ù Ó Ñ Ò ÑÓ Ö ÕÙ Ö Ó Ý Ð
Ñ Ü ÑÓ Ô ÖÑ Ø Ó¸ ÐÓ× Ù Ð × ×Ù Ð Ò ÓÐÓ Ö× ÒØÖ ÓÖ Ø × Ø Ð ÓÑÓ Ò Ð ¬ ÙÖ º½¼ ¹ º
[min, max] min max
u v s u v
´ µ Ö Ó ÓÒ ÓØ ­Ù Ó ´ µ ÌÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ
ÙÖ º½¼ Ö Ó ÓÒ ÓØ × ­Ù Ó Ý ×Ù ØÖ Ò× ÓÖÑ ÓÒ
Ä ÓØ Ò Ö ÓÖ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö× ÓÑÓ ÙÒ Ñ Ò ­Ù Ó Ò Ð ÒÓ Ó u¸ Ñ ÒØÖ ×
ÕÙ Ð ×ÙÔ Ö ÓÖ × Ð Ô Ð Ö Óº × ¸ × ÙÒ ÐÓ Ú ×ØÓ Ò Ü º½½º¿ ´Ô Ò ½¼µ¸ ÙÒ
Ö Ó ×Ø Ø ÔÓ × ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ð ¬ ÙÖ º½¼ ¹ º
7.14.4 Redes con restricciones laterales
Ò Ð ÙÒ × Ó × ÓÒ × × Ø Ò Ò Ö ×ØÖ ÓÒ × ÓÒ Ð × ÕÙ ÒÚÓÐÙ Ö Ò Ú Ö Ó× ­Ù Ó׺ ËÙ¹
ÔÓÒ ÑÓ׸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ ØÖ × Ö Ó× a¸ b¸ c
a
c
b
Ý ÓÑÓ Ö ×ØÖ ÓÒ ×Ó Ö Ð ­Ù Ó ÐÐÓ× 2f(a) − f(b) + 3f(c) ≤ 12º ÍÒ Ö ×ØÖ ÓÒ
×Ø Ø ÔÓ × ÒÓÑ Ò Ö ×ØÖ ÓÒ Ð Ø Ö Ð º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ö × ÓÒ ×Ø Ð ×
Ö ×ØÖ ÓÒ × × Ø Ð Ò ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð × º
Ä × Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð × ÒÓ Ò × Ö Ñ ÒØ Ø Ò Ò ÕÙ ×Ø Ö Ö Ð ÓÒ × ÐÓ× Ö Ó×
ÙÒ ÒÓ Óº ÈÙ Ö ØÖ Ø Ö× ÙÒ Ö ×ØÖ ÓÒ ÒØÖ Ö Ó× ÕÙ ÒÓ ×Ø Ò Ö Ø Ñ ÒØ
Ö Ð ÓÒ Ó× ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ô Ö Ó× ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ× m Ö Ó× ×Ø Ò º
Ð Ö Ñ ÒØ ¸ Ð × Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð × ÒÓ Ò Ò Ò Ð ÑÓ ÐÓ Ö Ô Ø ¸ Ô ÖÓ
× Ò Ò ÓÑÓ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸ ÐÓ ÕÙ ÔÙ Ö ×Ù Ö Ö ÕÙ Ð Ö × Ö ×Ù ÐÚ ÓÒ
ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ðº Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ×Ø Ò ÓÕÙ × ÕÙ × Ô Ö Ð

891. 7.14. Redes de flujo y programaci´n lineal
o 865
Ò Ò Ò × ÑÔ ÒÓ¸ Ù Ð × ×Ø ÒØ Ñ ÓÖ ÕÙ Ð Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ñ ØÓ Ó× Ð
ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð¸ ÕÙ × Ø Ò ÓÒ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö º
È Ö ØÖ Ø Ö ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð ×¸ Ð Ö × Ô ÖØ ÓÒ Ò ÐÓÕÙ × ´×Ù ¹
Ö Ó×µ × Ô Ö Ó× ÔÓÖ Ð × Ò ÓÐ × ×Ù× Ö ×ØÖ ÓÒ ×¸ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ñ Ó
Ö Ð ÓÒ Ð Ö Ò Ò ½ ¸ Ð Ù Ð ÒÓ × Ö ØÖ Ø Ó Ò ×Ø Ø ÜØÓº Ò ×Ø ×Ó × ÓÒ× ¹
Ö Ò Ó× Ø ÔÓ× ÐÓÕÙ × ÐÓ× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ö ×ØÖ ÓÒ × Ý ÐÓ× ÕÙ ×ÓÒ Ö × Ô Ø ×º
×Ø ÑÓ Ó¸ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð × × Ö ×Ù ÐÚ Ò ÓÒ Ñ ØÓ Ó× ÔÖÓ¹
Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÐÓ× Ö ÓÒ Ö × ­Ù Óº Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ô Ö Ð × ×
ÓÒ Ø Ò Ò Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ ×Ø ÕÙ ÓÒÚ Ö Òº
7.14.5 Redes multi-flujo
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ¸ ØÓ Ó× ÐÓ× ÑÓ ÐÓ× Ö Ô Ø ×ÙÑ Ò ÕÙ Ð × ÙÒ × ­Ù Ó¸
Ó × ¸ Ð ­Ù Ó¸ ×ÓÒ Ð × Ñ ×Ñ × ÒØ Ò × ¸ ÔÓÖ ÐÓ× Ö Ó× ´ØÙ Ö ×µ Ö ÙÐ ÙÒ ×ÓÐÓ Ø ÔÓ
­Ù Ó ¾ º
À Ý × ØÙ ÓÒ × Ò Ð × ÕÙ ÔÓÖ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ö Ó× ÔÙ Ò Ö ÙÐ Ö ×Ø ÒØ × Ð × ×
­Ù Ó¸ Ñ Ò Ó× × Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ò Ô Ò ÒØ ×¸ Ð Ñ ÒÓ× Ø ÒØÓ× ÓÑÓ ×Ø ÒØÓ×
Ø ÔÓ× ­Ù Ó × Ø Ò Òº ÆÓ Ý Ö ×ØÖ ÓÒ ×Ó Ö Ð ÒØ ×ÙÑ ÖÓ׸ Ý Ù ÐÕÙ Ö
×ØÓ× ÔÙ Ö Ö Ù Ð ×ÕÙ Ö ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× Ø ÔÓ× ­Ù Óº
ÍÒ × ØÙ ÓÒ ØÖ ÓÒ Ð ×Ø Ð × Ö × ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ð ÑÓ Ð Ó ØÖ ¬ Ó
ÙØÓÑÓØÓÖ Ó Ô ØÓÒ Ðº Ë ÔÙ Ò ÓÒ× Ö Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ú Ö × ÞÓÒ × Ó Ö ¬ ×
z1, z2, . . . , zn ÓÑÓ ÔÖÓÚ ÓÖ × ­Ù Ó ÙØÓÑÓØÓÖº ÙÒ ÖØ ÓÖ Ô Ó ¹Ð × ½¾ÔѸ
ÔÓÖ ÑÔÐÓ¹¸ ÐÓ× ÙØÓÑÓÚ Ð × × ×ÔÐ Þ Ò × Ý Ð × ÞÓÒ × Ò Ù ×Ø ÓÒ ØÖ Ú ×
Ú × ÓÑÔ ÖØ ×º ÓÑÓ ÔÙ Ò Ö Ö× ¸ Ò ×Ø × ØÙ ÓÒ¸ ÐÓ× ­Ù Ó× Ò Ð ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ
× Ò Ù ÒØÖ Òº
ÇØÖÓ ÑÔÐÓ× ÐÓ× ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ´Ü º½¾º º½ ´Ô Ò ¿ µµ
Ý Ð ØÖ × ÓÖ Ó ´Ü º½¾º º¾ ´Ô Ò ¿µµ Ò ÐÓ× Ù Ð × × ÔÓ× Ò Ð × Ñ ×Ñ × Ð Ò × Ý
ÐÑ Ò ×¸ Ô ÖÓ ×ØÓ× × ÑÔÐ Ò Ô Ö ØÖ Ò×ÔÓÖØ Ö Ý ÐÑ Ò Ö Ú Ö×Ó× Ø ÔÓ× Ò ×º
À ×Ø Ð ÔÖ × ÒØ ×ÓÐÓ × ÓÒÓ ÙÒ Ñ Ò Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö ×ÓÐÚ Ö ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ
ØÖ Ò× ÓÖÑ ÖÐÓ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð Ý × ÐÐ ×ÓÐÙ ÓÒ ÖÐÓº
Ò Ó × ÓÒ × ÙÒ Ö ÑÙÐØ ¹­Ù Ó ÔÙ Ò Ò ÓÒØÖ Ö× Ð Ô ÞÓ× ´ ÐÓÕÙ ×µ ÙÒ ×ÓÐÓ
­Ù Óº × ¸ Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ Ô Ö Ð × Ö × Ò Ö Ð Þ ×¸ Ð Ö ÔÙ Ú Ö×
Ò ÐÓÕÙ × × ÙÒ ÐÓ× ×Ø ÒØÓ× Ø ÔÓ× ­Ù Ó¸ Ö ×ÓÐÚ Ö× Ý ÐÙ Ó Ô Ö× ×Ø Ò ÓÒØÖ Ö Ð
×ÓÐÙ ÓÒ ¿ º
7.14.6 Redes de procesamiento
ÍÒ Ö ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ö Ô Ø ×Ô Ð ÕÙ × ÖÚ Ô Ö ÑÓ Ð Þ Ö Ý
×ØÙ Ö × ×Ø Ñ × ÔÖÓ Ù ÓÒº Ì Ð Ö ÓÒØ Ò Ó× Ð × × ÒÓ Ó׺ ÄÓ× ÒÓÖÑ Ð ×¸
Ò ÐÓ× Ù Ð × × × Ø × Ð ÓÒ× ÖÚ ÓÒ ­Ù Ó Ó ×ÓÒ Ù ÒØ × Ó ×ÙÑ ÖÓ׸ Ý ÐÓ×
½
È Ö Ø ÐÐ × ×Ó Ö ×Ø Ñ ØÓ Ó ÔÙ Ò ÓÒ×ÙÐØ Ö× ¿¸ ¸ ½ º
¾
Ë Ý ×Ø ÒØÓ× ØÙ Ó× Ô Ö Ð × ­Ù Ó¸ ÒØÓÒ × × ÔÙ × Ô Ö Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÒØ ×
Ö × ÓÑÓ Ø ÔÓ× ­Ù Ó× × Ø Ò Òº ×Ø Ù Ð ×Ó Ô Ö Ð ÑÔÐÓ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÔÖ × ÒØ Ó Ò
Ü º½¾º º½ ´Ô Ò ¿ µº
¿
Á Ù Ð ÕÙ Ô Ö Ð × Ö × Ò Ö Ð Þ ×¸ Ø Ò × Ô Ö Ö ×ÓÐÚ Ö Ö × ÑÙÐØ ¹­Ù Ó ÔÙ Ò ÓÒ×ÙÐØ Ö×
¿¸ ¸ ½¸ ¾ º

892. 866 Cap´
ıtulo 7. Grafos
ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ¸ Ò Ð × ÒØ Ó ÕÙ ÑÓ Ð Þ Ò ÙÒ ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ × Ø × Ð
ÓÒ× ÖÚ ÓÒ Ð ­Ù Óº
ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð¸ ÐÓ× ÒÓ Ó× ÒÓÖÑ Ð × ×Ù Ð Ò ÒÓØ Ö× Ñ ÒØ Ð Ô× × Ý ÐÓ× ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓ Ñ ÒØ Ö Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä ¬ ÙÖ º½¼ ÑÔÐ ¬ ÙÒ ÔÓØ Ø Ö ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓ Ô Ö Ö Ö ÓØ ÐÐ × Ú Ö Ó Ò Ð Ù Ð × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÒÓ Ó× ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓº
Ë Ð Ó ½¾¼¼
ÇÜ ÒÓ ¾ ¼
ÓØ ÐÐ × ½¼
Ù ÖÞÓ ½¾ ËÓÔÐ Ó
ÐÓÖ ½¾¼¼
ÀÓÖÒÓ
Å Ø ÒÓ ¾¼ C O2 ¿ ¼
Ö ÓÒÓ ½¼¼
ÙÖ º½¼ ÍÒ ÑÔÐÓ Ö ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ
Ð ÒÓ Ó ÀÓÖÒÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ú ÒØÙ Ð ÔÖÓ ×Ó Ò Ð Ù Ð × Ñ Þ Ð × Ð Ó ÓÒ ÓÜ ÒÓ
Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ù ÖÞÓº ×Ø ÔÖÓ ×Ó¸ ÔÓÖ × ÖÐÓ¸ × Ø × Ö ÙÒ ÓÒ × ÙÒ Ó ¸
ÕÙ ÑÓ Ð Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓ× Ö ×ÙÐØ ÒØ × ÈÓÖ ÑÔÐÓ׸ Ð ÓÖÒÓ ÔÓ Ö ÑÓ Ð Þ Ö× ×
C O2 = 3 O2 + 2 C
Si O2 = 5 Si + 3 O2
Å ÒØÖ × ÕÙ Ð ×ÓÔÐ Ó ×
12 C = 10 ÓØ ÐÐ × =⇒ ÓØ ÐÐ × = 6 C
5
ÍÒ Ö ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × ÙÒ Ö ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð ×¸ Ö ×ÓÐÙ Ð ÓÑÓ Ý
ÑÓ× ÜÔÐ Óº
Ð ÔÓ Ö ÙÒ Ö ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ × ×Ù Ú Ö× Ø Ð Ô Ö Ð ÑÓ Ð Þ ÓÒ ÙÒ
ÑÙÝ ÑÔÐ Ñ × ×Ø Ñ × Ò Ò Ö Ð ×¸ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÑÙ Ó× ÔÖÓ ×Ó× ÓÒ ÖÒ ÒØ ×
Ð Ö ÓÒ Ò ×º
7.14.6.1 Cadenas de producci´n
o
ËÙÔÓÒ ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ù ÓÒ ÙÒ ÖØÓÒ Ó Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÔÐ Ò ÙÒ ÖØÓ × ÖÚ Óº
È Ö Ð ÓÖ Ö ÙÒ ÖØ ÒØ Ð Ò¸ × Ö ÕÙ Ö Ò ÓØÖÓ× Ò × Ý × ÖÚ Ó× ÐÓ×
٠Р׸ ×Ù Ú Þ¸ Ø Ñ Ò Ö ÕÙ Ö Ò ÓØÖÓ× Ò × Ý × ÖÚ Ó׺ ÄÓ× Ò × Ý × ÖÚ Ó× ×ÓÒ
Ð ÓÖ Ó× ÔÓÖ ÒØ × ÐÐ Ñ Ó× ÔÖÓ Ù ØÓÖ ×º ÍÒ ÔÖÓ Ù ØÓÖ × ÒÓ Ó ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ Ð
Ø ÔÓ
B0 ½ ¼»¾¼
½ ¼»¿¼
½ ¼»¾ ¼
P B2
B1
×Ø ×Ù ¹ Ö Ó ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× Ö Ó ÔÖÓ Ù ØÓÖ º Ò ×Ø ×Ó¸ Ò ÙÒ Ð Ô×Ó Ø ÑÔÓ ¬ Ó
Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ ×¸ Ð ÔÖÓ Ù ØÓÖ P Ð ÓÖ ½ ¼ ÙÒ × Ð Ò B2 ÕÙ × Ú Ò
ÙÒ ÔÖ Ó ¿¼ ÔÓÖ ÙÒ º È Ö Ö Ö B2¸ Ð ÔÖÓ Ù ØÓÖ P Ö ÕÙ Ö ÐÓ× Ò × B0 Ý
B1 Ð × ÒØ × Ý Ó×Ø × × Ò Ð Ó× Ò Ð Ö Óº

893. 7.14. Redes de flujo y programaci´n lineal
o 867
× ÔÓ× Ð Ø Ò Ö Ú Ö Ó× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ò ÐÙ× Ú ¸ ÔÙ Ö Ò Ö ÔÖÓ Ù ¹
ØÓÖ × ÕÙ ¸ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ Ò × Ð ¸ ¬ Ö Ò ÓØÖÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ò Ð ÙÒÓ× Ò ×
ÒØÖ ¸ ÐÓ Ù Ð ÔÙ Ö Ö× ¸ ÒØÖ ÓØÖ × Ó× ×¸ ÔÖÓ ×Ó× ×Ø ÒØÓ× Ö ÓÒ
Ù ÓÖ Ò Þ ÓÒº
Ë ×ØÙ ÑÓ× ÐÓ× Ò × ÒØÖ ¸ ÒØÓÒ × ÔÓ ÑÓ× ÒØ ¬ Ö ×Ù× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ý
Ð ÓÖ Ö ÙÒ Ö Ó ÔÖÓ Ù ØÓÖ Ô Ö ÙÒÓ ÐÐÓ׺ ÈÓ ÑÓ× ÓÒØ ÒÙ Ö ×Ø ÔÖÓ ×Ó
Ô Ö ÐÓ× ÒÙ ÚÓ× Ò × ÕÙ Ô Ö Þ Ò ×Ø ÕÙ ¬Ò ÐÑ ÒØ ÒÓ× Ò ÓÒØÖ ÑÓ× ÓÒ Ò ×
ÔÖ Ñ Ö Ó× × Ö¸ ÕÙ ÐÐÓ× ÐÓ× Ù Ð × ÒÓ × Ð × ÔÙ ÒØ ¬ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ù ØÓÖ Ò ×
ÔÓÖÕÙ ×ÓÒ Ñ Ø Ö ÔÖ Ñ ¸ Ò × ÑÔÓÖØ Ó× Ù ÓØÖ × ØÙ ÓÒº
ÄÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ò ØÓÖÒÓ ÙÒÓ Ó Ñ × Ò × ¬Ò Р׸ × Ý ×Ø ÙÒ Ò Ú Ð ÔÓ× Ð
Ý × Ó¸ × ÙÒ × Ð ÒØ Ö ×¸ Ð ÒÓÑ Ò ÑÓ× Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú º Ò ×Ø Ö Ó¸ ÕÙ
Ö Ð ÓÒ ÔÖÓ Ù ØÓÖ ×¸ ÐÓ× Ö Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ò × Ý ÐÓ× Ô ×Ó× ×Ù× ÒØ × Ý Ó×Ø ×º Ä
¬ ÙÖ º½¼ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÑÔÐÓ ÔÓØ Ø Ó¸ ÙÝÓ ÜØÖ ÑÓ× ÞÕÙ Ö Ó× Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× ¹
Py B4 200/450
P7 B6 95/650
B2 450/20 B5 100/450
B2 300/90 P4 B6 300/250 B7 1200/90
B5 400/250 Px P10
B0 750/30 P2 B6 800/550
B2 150/20
B0 1000/30 B4 400/200 P6
P0 B2 180/125
B3 150/20 P5 B5 95/250
B7 400/150
B1 400/40 B3 100/95 B4 200/350 B6 600/350
P1 P8 P9 B7 200/300
B2 550/75
P3 B4 200/350
B3 300/80
ÙÖ º½¼ ÍÒ Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú
Ò × ÔÖ Ñ Ö Ó× Ý Ö Ó× ÐÓ× Ò × ¬Ò Р׺ Ë ÙÒ Ð Ò ÓÐ Ð × ×Ø Ñ ÔÖÓ Ù Ø ÚÓ¸ ÔÙ Ò
Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ñ Ø Ö ÔÖ Ñ ´Ñ Ò Ö Ð × × Ó׸ Ù ¸ Ø ºµº Ò ÒÙ ×ØÖÓ Ò Ö Ó ÑÔÐÓ¸
ÐÓ× Ò × ÔÖ Ñ Ö Ó× ×ÓÒ B0 Ý B1¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÄÓ× ÜØÖ ÑÓ× ¬Ò Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð
Ò ¬Ò Ð Ó ØÓ ×ØÙ Ó¸ Ð Ù Ð ÒÓÑ Ö ÑÓ× B7º ÄÓ× ÒÓ Ó× Ð Ö Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÔÖÓ¹
Ù ØÓÖ × ÔÖÓ Ù ØÓ× ÒØ ÖÑ Ó× ÕÙ ÒØÖ ÐÓ× Ò × ÔÖ Ñ Ö Ó× B0 Ý B1 Ý Ð Ò ¬Ò Ð
B7 º
È Ö ÔÖ Ò Ö Ð ÑÔÓÖØ Ò ×Ø ÑÔÐÓ Ý¸ ÓÒ Ð¸ Ð Ð × Ö × ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓ¸ ÔÐ ÒØ ÑÓ× Ð ÙÒÓ× × Ò Ö Ó× Ò ÐÓ× Ù Ð × Ð × Ò × ÔÖÓ Ù Ø Ú × ÝÙ Ò
Ú ×ÐÙÑ Ö Ö Ö ×ÔÙ ×Ø ×
¯ ÁÑÔ ØÓ ÕÙ Ø Ò Ö ×Ó Ö Ð ÔÖÓ Ù ÓÒ ÙÒ × ÕÙ × ×ÙÑ ÑÓ׸ ÔÓÖ × ÑÔÐ ¸
ÕÙ Ð × ÕÙ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÑ ÒØ ØÓ Ó Ð Ø ÖÖ ØÓÖ Ó¸ ÒØÓÒ ×¸ Ü Ñ Ò Ò Ó
ÙÒÓ ÐÓ× Ö Ó× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × ÓÒ Ö Ó× ÒØÖ Ù ÖÓ׸ ÔÓ ÑÓ× Ö ×Ø Ö
Ð ×Ñ ÒÙ ÓÒº ÄÙ Ó Ð ÙÐ ÑÓ× Ð ÑÔ ØÓ ÕÙ ×Ó Ö ÐÓ× Ò × × Ð Ø Ò
Ò Ð ÙÒÓ× ÑÙÒ Ó× Ú Ò ÙÐ Ó× Ð ÓÒÓÑ ¸ ÐÓ× ×Ð ÓÒ × Ð × Ò × ÔÖÓ Ù Ø Ú × × Ð × ¬ Ò Ò
Ù × ÐØ ×¸ Ñ × Ý ×¸ Ò Ô Ö Ö × × ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒ × ÖÖ ÖÓ Ý Ð Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú Ð Ñ Öº
ÐÓ× Ó×ÕÙ × Ñ Ö ÖÓ× × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð × Ù × ÐØ × Ð Ö Óº ÄÓ× Ö ÓÐ × × ÓÖØ Ò Ý ÐÓ× ØÖÓÒ Ó× × Ò
Ð Ö Ó ÙÝ ÓÖÖ ÒØ ÐÓ× ÖÖ ×ØÖ ×Ø Ð × ÖÖ ÖÓ ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð × Ù × Ñ ´Ó ÒØ ÖÑ ×µº
Ð × ÖÖ ÖÓ Ö ÐÓ× ØÖÓÒ Ó× Ý ÐÓ× ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÔÖÓ Ù ØÓ× ÒØ ÖÑ Ó× ´Ø Р׸ ÐÓÕ٠׸ Ø ºµ ÕÙ ×
×ØÖ ÙÝ Ò Ú Ö× × Ò Ù×ØÖ × Ø Ð × ÓÑÓ ÐÓ× ×Ø ÐÐ ÖÓ׸ ÑÙ Ð Ö ×¸ ÓÒ×ØÖÙ ØÓÖ × × ×¸ Ø ºº ×Ø
Ñ Ø ÓÖ ¸ ÙÒ Ò Ù×Ó¸ ÐÙ×ØÖ Ð ÑÔÓÖØ Ò ÕÙ Ø Ò Ù Ó Ð Ó×ÕÙ Ô Ö ×Ù×Ø ÒØ Ð Ð Ò
ÔÖÓ Ù Ø Ú º

894. 868 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Ð ×Ñ ÒÙ ÓÒ Ð × ÕÙ º ÔÐ Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó Ý ÔÖÓÔ Ò ÓÐÓ ØÖ Ú ×
Ð× Ò × ÔÓ ÑÓ× Ü Ñ Ò Ö Ð × ÓÒ× Ù Ò × ÕÙ ÙÒ × ÕÙ Ø Ò ×Ó Ö Ð
ÔÖÓ Ù ÓÒ Ò º
¯ Ó ÙÒ Ò ×Ô ¬ Ó¸ Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð × Ð Ò ÒØ ÖÑ Ó Ö Ø Ó Ô Ö ×Ø
ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÒ×ØÖÙÝ ØÓ Ð Ò ÔÖÓ Ù Ø Ú ØÖ × Ð Ò ÒØ Ö ×º ÄÙ Ó
× Ð ÙÐ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸ Ð Ù Ð ÖÖÓ ÐÓ× Ö Ó× ÙÝ Ô Ð Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ù ÓÒ
Ð Ò ÒØ Ö ×º ÄÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ú Ò ÙÐ Ó× ×ØÓ× Ö Ó× ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× ÕÙ Ý
ÕÙ Ö ÒØ Þ Ö Ð ÙÑ ÒØÓ Ô Ö ÕÙ ¸ Ò ÙÐØ Ñ Ò×Ø Ò ¸ × ÔÙ ÙÑ ÒØ Ö Ð
ÔÖÓ Ù ÓÒº
¯ Ë × ÓÒÓ Ö Ù Ð × ÖÙ ÖÓ× Ý ÔÖÓ Ù ØÓÖ × Ý ÕÙ ÔÓÝ Ö Ó ÔÖÓØ Ö Ô Ö ÙÑ Ò¹
Ø Ö Ð ÔÖÓ Ù ÓÒ Ð ÙÒ Ò ×Ô ¬ Ó ÕÙ ¸ Ô ÖØ Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ× ×Ð ÓÒ ×
Ö Ø Ó׸ ÔÓ ÑÓ× ÔÐ ÒØ Ö ÒÙ ÚÓ× Ñ Ô × ÔÖÓ Ù Ø ÚÓ׺ ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× × Ñ¹
ÙÐ Ö Ð ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ Ö × ÒÙ Ú × Ò × Ö Ø Ó× Ý Ú ÐÙ Ö ×Ù ØÓ Ò Ð
ÔÖÓ Ù ÓÒº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÓÐÓ Ö Ö × Ð Ò ÒØ Ö × Ý Ó × Ö¹
Ú Ö¸ × ÙÒ Ö Ø Ö Ó× ×ØÓ ×Ø Ó× Ó Ø ÖÑ Ò ×Ø × ´ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ­Ù Ó¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓµ
ÕÙ ×Ù ÓÒ Ð ×Ø Ó Ð ÔÖÓ Ù ÓÒº
×ØÓ× × Ò Ö Ó׸ ÒØÖ ÑÙ Ó× ÓØÖÓ׸ Ö ­ Ò Ð ÑÔÓÖØ Ò Ð × Ö × ÔÖÓ ¹
× Ñ ÒØÓ ÓÑÓ ÓÒ×ÓÐ ÓÒ Ð Ö × ­Ù Ó¸ × ÓÑÓ ×Ù Ú Ö× Ø Ð Ò Ö ÔÖ ¹
× ÒØ ÓÒ Ý ÑÓ Ð Þ Óº
7.15 El simplex para redes de flujo
7.15.1 Conclusi´n sobre el problema del flujo m´ximo a coste m´
o a ınimo
Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ñ ×Ø × ÓÒ Ø Ò Ó× Ù ÒØ × ×ØÙ Óº Ä ÔÖ Ñ Ö × Ð
ÒÚ ×Ø ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×¸ Ð × ÙÒ Ð Ð Ð ÓÖ ØÑ º
Ð ÒÚ ×Ø ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ × Ø Ò ÑÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ó ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ
ÓÖÑÙÐ Ó Ò Ü º½¿ ´Ô Ò ¼µ Ý ×Ù× Ñ ØÓ Ó× Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÒØÖ ÐÐÓ× Ð × Ñ¹
ÔÐ Ü ´Ü º½¿º ´Ô Ò µµº ×Ø Ú ÖØ ÒØ Ò Ó Ð Ô Ò× Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ Ð Ý
ÓÑ ØÖ Óº
ÙÖ ÒØ ÐÓ× ÒÓ× ¼ Ý ¼ Ð × ÐÓ ¸ Ð ÒÚ ×Ø ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ × ØÓÑÓ Ð Ø ÓÖ
Ö Ó× ÓÑÓ ÙÒ Ú ÙÐÓ ÑÓ Ð Þ ÓÒº Ô ÖØ Ö ÒØÓÒ ×¸ × Ò × Ù ÖØÓ
ÓÒ Ü ÓÒ × ÒØ Ñ × ÒØÖ Ñ Ó× ÑÙÒ Ó׺
Ä Ö Ò Ú ÒØ Ð ÒÚ ×Ø ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ × × ×Ù ÒÓÖÑ ÜÔ Ö Ò Ò ÑÓ ÐÓ×
Ò Ö Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù Ñ Ô Ó × ØÙ ÓÒ × Ð Ú Ö Ð ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ØÖ Ò×¹
ÔÓÖØ ´Ü º½¾º º½ ´Ô Ò ¿ µµ¸ ØÖ × ÓÖ Ó ´Ü º½¾º º¾ ´Ô Ò ¿µµ Ý × Ò ÓÒ
ØÖ Ó× ´Ü º½¾º º¿ ´Ô Ò µµ¸ ÓÖÑÙÐ Ó× × Ð ÒÚ ×Ø ÓÒ ÓÔ Ö ÓÒ ×¸
×Ø ÒØ Ö Ð ×Ø × Ò Ð ÑÙÒ Ó ÔÖÓ Ù Ø ÚÓ¸ ×ÓÒ ÔÐ Ð × ÑÙ × ÓØÖ × × ØÙ ÓÒ ×º ѹ
Ó× ÔÖÓ Ð Ñ × Ù ÖÓÒ ÔÐ ÒØ Ó× Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ñ ØÖ × Ý Ö Ó׺ Å × Ò Ö Ð ÓÑÓ
Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ö ÓÒ Ð × ÔÖ × ÒØ × Ð Ò ×¸ Î Ò ÞÙ Ð × Ò Ù ÒØÖ Ò ÙÒ × Ú Ö × ÕÙ ÕÙ
Ø Ó ÒÓØ Ð Ñ ÒØ Ð ×ÙÑ Ò ×ØÖÓ Ð ØÖ Ó¸ Ð Ù Ð × Ò Ö Ó ÔÓÖ Ù ÒØ × ÖÓ Ð ØÖ × Ò ÙÒ
¿±º ÓÒ× Ù ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÔÖ Ø Ñ ÒØ ØÓ Ð ÔÖÓ Ù ÓÒ × Ó Ø º Ò ×Ø × ÒØ Ó¸ ÔÓ Ö ÑÓ×
Ú ×ÐÙÑ Ö Ö × Ò Ö Ó× ÙØÙÖÓ× × ÕÙ ¸ Ó ÑÔ ØÓ× Ù× Ö ÓØÖ × Ù ÒØ × ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ò Ö ¸ ØÓÑ Ò Ó
Ð Ð ØÖ ÓÑÓ ÙÒ Ò ÒØÖ ÐÓ× ÔÖÓ Ù ØÓÖ ×º

895. 7.16. Notas bibliogr´ficas
a 869
ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð ´Ü º½¿ ´Ô Ò ¼µµ¸ Ô ÖÓ ×Ø ×ÓÐÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ×
Ö ÔÖ × ÒØ Ð ¹Ý Ö ×ÓÐÙ Ð ¹ ÓÒ Ö Ó׺
ÈÓÖ ×Ù ÑÔÐ ÜÔ Ö Ò ¸ ÙÒ ÙØ ÒØ Ó ÒÚ ×Ø ÓÖ ÓÔ Ö ÓÒ × × ÙÒ ×Ù ØÓ
ÓÒ×ÙÐØ Ö Ù Ò Ó × ×Ø ÑÓ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ º È ÖÓ Ð ÓÑÔÙØ ×Ø Ø Ñ Ò × ÓØÖÓ
×Ù ØÓ Ð ÕÙ Ð ÒÚ ×Ø ÓÖ ÓÔ Ö ÓÒ × ÓÒ×ÙÐØ Ö Ð ÓÖ Ö Ð Þ ÓÒ Ð
ÑÓ ÐÓº ÆÓ × ÓÑÙÒ Ò ÓÒØÖ Ö ÙÒ Ô Ö×ÓÒ ÕÙ ÓÒÓÞ Ý ÓÑÔÖ Ò ÐÑ ÒØ ÐÓ×
Ó× ÑÙÒ Ó׺
È ÖÓ Ð ÑÓ ÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ö Ó׸ ØÖ Ú × Ð Ö Ô Ø ¸ Ø Ò ×Ó Ö ×
Ú ÒØ × ×Ó Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ðº Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÐ × × Ð Ö Ô Þ Ð ÓÖ ØÑ ¸ Ð Ù Ð
Ô Ö Ò Ð Ó Ø Ò ÓÒ Ñ × Ð Ö Ö ×ÙÐØ Ó× Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× Ò ÓÕÙ × Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
Ð Ò Ðº Ä ×Ù ¹× ÓÒ Ü º½ º½ ´Ô Ò ¾µ ÑÙ ×ØÖ Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÒØ ÖÔÖ Ø Ö
ÙÒ Ö Ô Ø ÓÑÓ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ðº Ú Þ ÕÙ × ÔÙ ÒØ ¬ Ö ×Ø
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò × ÔÖ Ö Ð Ð ÑÓ ÐÓ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð ÔÓÖ Ð × Ò ÐÐ Ö ÞÓÒ
ÕÙ ÐÓ× ÓÖ Ò × Ù ÓÒ Ð × Ö × ­Ù Ó ×Ø Ò ÐÖ ÓÖ ÙÒ ÓÖ Ò Ñ Ò ØÙ
×ÙÔ Ö ÓÖ ÐÓ× Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ðº Ä × ÙÒ Ú ÒØ × ÕÙ Ð Ö Ø Ö Ö ¬ Ó
Ð×Ö × Ô Ø × Ñ × Ð Ý ÔÖ Ò× Ð ¸ Ô Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ô Ö×ÓÒ × ÕÙ
ÒÓ Ø Ò Ò Ù ÖØ ÓÖÑ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ý ×ØÖ Ø ¸ Ð ÑÓ Ð Þ ÓÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒ
× ØÙ ÓÒ × Ð ÑÙÒ Ó Ö Ðº ×ÔÙ × ØÓ Ó¸ Ò ÕÙ Ò ×Ø ÑÙÒ Ó ÔÓ×ÑÓ ÖÒÓ ×Ø
ÓÑ Ò Ó ÔÓÖ ÐÓ Ú ×٠к Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ò Ð × Ö × Ô Ø × Ý ÙÒ Ñ Ñ × ÑÔÐ
ÓÑ Ò ÓÒ × Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ× ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÙÒ ÓÐ ÙÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ¸ Ð ÓÖ
Ñ ÓÖ Ö ÐÓ× Ø ÑÔÓ× Ù ÓÒº
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ Ø Ñ Ò ÑÓ× Ú ×ØÓ Ð ÔÐ Ð Ð × Ö × Ô Ø × ÓØÖÓ×
ÔÖÓ Ð Ñ × Ñ × Ô ÖØ Ò ÒØ × Ð ÑÙÒ Ó ÐÓ× Ö Ó׺ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ ÒÓ Ñ Ò ÑÓ ÒØÖ
ÙÒ Ô Ö ÒÓ Ó׸ Ø Ú Ñ ÒØ ØÖ Ø Ó Ò Ü º ´Ô Ò ½¼µ¸ Ø Ñ Ò ÔÙ Ö ×ÓÐÚ Ö×
Ñ ÒØ Ö × Ô Ø × ´Ü º½¾º º ´Ô Ò µµº È Ö Ó Ó ÙÖÖ ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ×
ÓÖØ ×ØÙ Ó× Ò Ü º º½ ´Ô Ò ¿ µ Ý Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø ¸ ÒÓ ×ØÙ Ó
ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ¸ Ô ÖÓ Ù Ð Ô ÖØ Ö Ü º½½º º¿ ´Ô Ò ¾¿µº
Ò ÖØ ÓÖÑ ¸ Ð ÑÓ ÐÓ Ö Ô Ø × ÐÓ× Ö Ó׸ Ý ÕÙ Þ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ
Ð Ò Ð¸ ÐÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ Ä ÔÐ × Ð Ð ÙÐÓ Ö Ò Ð ÓØÖ Ô Ö×Ô Ø Ú
ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ô Ö Ð Ù Ð¸ Ò ÖØ × × ØÙ ÓÒ ×¸ × Ñ × × ÑÔÐ Ò ÓÒØÖ Ö
×ÓÐÙ ÓÒ ×º
7.16 Notas bibliogr´ficas
a
ÍÒ Ö Ó¸ ÓÑÓ ÐÓ× ×ØÙ ÑÓ× Ò ×Ø Ø ÜØÓ¸ ÓÒ ÓÖÑ ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ¸ Ö ¬ Ñ ÒØ
ÓÖ ÒØ ¸ ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ö Ø ¸ Ó × ¸ Ð Ó ÔÖ × ÒØ ¸ Ð Ú Ö Ð¸ Ø Ð ÓÑÓ ÙÒ
Ñ Ô ¸ Ó ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ ×ØÖ ÓÒ¸ Ø Ð ÓÑÓ ÙÒ Ö Ð ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø º × ¸
ÐÓ× Ö Ó× ×ÓÒ Ò Ö ÒØ × Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÒÓº Ð ÙÒ ÓÖÑ Ù ÓØÖ ×Ø Ò ÔÖ × ÒØ ×
× Ø ÑÔÓ× ÒÑ ÑÓÖ Ð × ÔÖ Ø Ñ ÒØ × ÐÓ× Ð ÓÖ × Ð × Ö ÙÑ ÒÓº ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
Ð Ö Ó × Ô ÖØ Ð ÖÚÓ ÙÑ ÒÓ × Ø ÑÔÓ× Ñ Ð Ò Ö Ó׸ ÒÓ Ô Ö Ù×ØÓ
ØÖ Ù ÖÐ Ð ÙÒ ÙØÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ò Ú Ù Ðº
Ë Ò × Ù ÖØÓ Ñ Ô × ÐÓÒ Ó× ÕÙ × Ö ÑÓÒØ Ò Ð ¾¿¼¼ º º × ÕÙ ÔÖÓ Ð ¹
Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ × ÓÑÓ Ð Ð ÖÙØ Ñ × ÓÖØ ÒØÖ Ó× × Ø Ó× Ò × Ó ÔÐ ÒØ Ó× Ò
×Ø ÒØÓ× Ø ÑÔÓ׸ Ò ÐÙ Ö × Ö ÒØ ×¸ ÔÓÖ Ú Ö× × ÙÐØÙÖ ×º
ÓÖ Ò¸ × Ò ÔÖ Ø Ò× ÓÒ Ñ Ö ØÓ¸ Ð ×ØÓÖ Ó¬ Ð ÐÓ× Ö Ó× × Ö ÑÓÒØ
Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð Ö ÖØ ÙÐÓ ÒØ ¬ Ó × Ö ØÓ ÔÓÖ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ×Ù ÞÓ Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ý

896. 870 Cap´
ıtulo 7. Grafos
×Ù ×ØÙ Ó ×Ó Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒÓ ÓÒÓ Ó ÓÑÓ ÐÓ× ÈÙ ÒØ × ÃÓÒ × Ö º ÈÓÖ
×Ø Ù Ô × Ð Ö Ó ÈÖ Ð¸ Ð Ù Ð Ü ×Ø Ò Ó× ×Ð × ÒÑ Ö × Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð
Ù º × Ð ×Ö Ö × Ð × ×Ð × Ý ÒØÖ ÐÐ × × Ù ÒØ Ò × Ø ÔÙ ÒØ × ×ØÖ Ù Ó×
Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö
ÄÓ× Ø ÒÓ× × ÔÖ ÙÒØ Ò × Ð ÙÒ Ñ Ò Ö Ö ÓÖÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÙ ÒØ × Ü ¹
Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þ × Ö¸ × Ò Ô × Ö Ó× Ú × ÔÓÖ Ð Ñ ×ÑÓ ÔÙ ÒØ º ÙÐ Ö ÑÓ Ð ÞÓ Ð
×ÙÒØÓ Ñ ÒØ Ð × Ù ÒØ Ö Ó
¸ Ý × Ö Ó Ð Ñ Ò Ö Ò Ö Ð Ö ×ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ù Ð × ÓÝ ÓÒÓ Ó Ð ÖÓØÙÐÓ
ÐÓ ÙÐ Ö ÒÓ º × ÒØÓÒ ×¸ ÙÐ Ö ÐÓ ÓÒ× Ö Ò ÓÑÓ Ð ÔÖ ÙÖ×ÓÖ Ð Ø ÓÖ
Ö Ó× Ó¸ Ñ × Ù×Ø Ñ ÒØ ¸ Ð ØÓÔÓÐÓ º
Æ Ø ÚÓ ÃÓÒ × Ö Ù Ù×Ø Ú ÊÓ ÖØ Ã Ö Ó« ÕÙ Ò¸ Ø ÒÓÖ Ð × ÓÖÖ ÒØ × Ý
ÚÓÐØ × Ò Ö × Ð ØÖ ×¸ ÔÐ ÒØ Ó ÕÙ
½º Ä ×ÙÑ Ð × ÓÖÖ ÒØ × ×Ó × ÐÓ× Ö Ó× Ò ÒØ × ÙÒ ÒÓ Ó × ÖÓ¸ Ý
¾º Ä ×ÙÑ ÐÓ× ÚÓÐØ × ×Ó Ó× Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ × ÖÓº
À ÕÙ ÙÒ Ö Ñ Ò × Ò ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÓÒ× ÖÚ ÓÒ ­Ù Ó ´ º½¼µ ´Ô º µ Ý Ð
Ø ÓÖ Ñ º½ ´Ô º ½ µ Ð × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ü º½½º º
ÄÓ× Ö ÓÖÖ Ó× ÖÕÙ Ø Ô Ó× ×Ó Ö Ö Ó׸ ÔÖÓ ÙÒ Ý ÑÔÐ ØÙ ¸ Ù ÖÓÒ Ö ÔÓÖ¹
Ø Ó× ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÔÓÖ ÊÓ Öغ º Ì Ö Ò ¿ º
Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ × ÓÒÓ × ÐÓ× ÒÓ× ¾¼ Ð × ÐÓ º
ÓÖÙÚ Ö ÔÓÖØÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ Ò ½ ¾ ݸ ÔÖ Ø Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÝ ÓÒÓ Ó Ð Ó¹
Ö ØÑÓ ÈÖ Ñ Ù × Ù ÖØÓ Ø Ñ Ò¸ Ý Ú Ö × × ÒØ ×¸ ÔÓÖ Â ÖÒ ¾½ º
ÓÑÓ Ý ÐÓ ÑÓ× Ò Ó¸ Ð × Ö × ­Ù Ó Ù ÖÓÒ ÔÖ × ÔÓÖ ÐÓ× ØÖ Ó×
Ã Ö Ó«º Ò ×Ø Ø Ñ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ö × ÒØ ÓÒ× Ö Ö Ð ÔÖ ×Ñ ÙÐØÙÖ Ðº Ò ÓÒØÖ Ö
Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ ÒÓ ×ÓÐÓ × Ò × Ö Ó Ô Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö ­Ù Ó¸ × ÒÓ¸ Ø Ñ Ò¸ Ô Ö ×ÙÔÐ Ö
ÙÒ Ñ Ò ­Ù Ó Ô ØÖÓÐ Ó Ò ÙÒ ÒØÖ Ò Ö ÓÐ Ó Ù ØÓ׺ Ð Ø ÓÖ Ñ Ð
ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ ×ØÙ Ó Ò Ü º½¼º ´Ô Ò µ¸ Ù Ð Ó Ô ÐÓ× ×Ù × ÚÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
Ñ Ü Ñ Þ ÓÒ × Ó× Ò Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ Ù ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ¸
Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÒÓ¸ ÔÓÖ ÓÖ Ý ÙÐ Ö×ÓÒ ½¿ Ý ÔÓÖ Ð ×¸ Ò×Ø Ò Ý Ë ÒÒÓÒ º ÈÓ×¹
Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÑÓÒ × Ý Ã ÖÔ ÑÓ×ØÖ ÖÓÒ ÙÒ Ñ ÓÖ ×Ù ×Ø Ò Ð ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ×
ÔÖ Ñ Ò Ó Ð Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓº ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸
ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÖ ¹­Ù Ó Ù ÖÓÒ ÔÖ Ó× ÔÓÖ Ð ØÖ Ó Ã ÖÞ ÒÓÚ ¾ º Ð ÔÖ ¹­Ù Ó

897. 7.17. Ejercicios 871
Ø Ò Ñ × × ÒØ Ó Ô Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö ÙÒ ­Ù Ó Ò ÙÒ Ö ÓÒ Ð Ú × Ó× Ð ­Ù Ó ×
ÑÙÝ ÐÓ Ù Ð × Ð ×Ó Ð Ù Ý ÐÓ× × ×Ø Ñ × Ö Óº
ËÓ Ö Ð × Ö × ­Ù Ó Ý Ð ÖÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ ×¸ Ý Ò Ó × Ð × Ó× ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ
ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÑÓ Ð Ä ÛÐ Ö ¾ Ó Ð È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ý ËØ Ð ØÞ ¿½ ×Ø ÓØÖÓ× Ñ × Ö ¹
ÒØ × ÓÑÓ Ð ÃÓÖØ Ý ÎÝ Ò ¾ ¸ Ð Ê Ó ¿¾ Ý Ð ÆÓ Ð ÏÖ Ø ¿¼ º Ì Ñ Ò Ý Ø Ü¹
ØÓ× ×Ô Ð Þ Ó× Ò Ð × Ö × ­Ù Ó ÐÓ Ñ × ÒÓØ Ð ×ÓÒ Ð Ù ¸ Å Ò ÒØ Ý ÇÖÐ Ò ½
Ý Ð Þ Ö ¸ Â ÖÚ × Ý Ë Ö Ð ¿ º
ÈÙ Ö× ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð¸ Ý ×Ù Ð Ö Ñ ØÓ Ó × ÑÔРܸ ¬ ÙÖ Ò ÒØÖ
ÐÓ× × Ù Ö Ñ ÒØÓ× Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð × ÐÓ º ØÙ ÐÑ ÒØ ¸ ÒÓ Ü ×Ø ÓÖ Ò Þ ÓÒ
× Ö ÕÙ ÒÓ Ö Ø ×Ù× Ó×Ø × ÔÖÓ Ù ÓÒ¸ ×Ø ÓÒ¸ × ÖÚ Ó¸ Ø º¸ Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ Ó
Ý Ö ×ÓÐÙ ÓÒ ÑÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ðº Ò × × ÒØ Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔРܸ
Ú ×ÐÙÑ Ö Ó ¬Ò Ð × ÐÓ× ÒÓ× ¿¼ Ð × ÐÓ ¸ ¬Ò Ð Ý ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÔÙ Ð Ó Ò ½ ¸
ÒÓ ×ÓÐÓ ÙÒ × ÙÒÓ ÐÓ× ÔÖ Ò Ô Ð × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð¸ × ÒÓ ÕÙ ×
Ò Ù ÒØÖ ÒØÖ ÐÓ× Þ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð × ÐÓ ¿ º
Ð ½ ¸ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ÖÙ×Ó Ä ÓÒ Ã Ý Ò ÔÙ Ð Ó ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ñ ØÓ Ó ×ÓÐÙ ÓÒ
ÙÝÓ Ø ÑÔÓ × ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ¾ º ËÙ ØÖ Ó × ÙÒ ØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÕÙ Ó Ò Ó ÙÒ Ñ
Ð ÓÖ ØÑÓ× ÒÓÑ Ò Ó× ÔÙÒØÓ× ÒØ ÖÒÓ× × Ù ÖØÓ× ÔÓÖ Æ Ö Ò Ö Ã ÖÑ Ö Ö
Ò ½ ¾¿ º
Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð × Ò Ù ÒØÖ Ò ÑÙÝ Ù ÒÓ× Ý ÑÓ ÖÒÓ× Ø ÜØÓ׸ Ð ÙÒÓ× ÐÐÓ×
ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ø Ó× ¿¼¸ ¾ ¸ ¿¾¸ ¿ Ý ÓØÖÓ× Ñ × ×Ô Ð Þ Ó× ÒØÖ ÐÓ× Ù Ð × ÒÓØ Ö
Ð ÄÙ Ò Ö Ö Ý ¾ º
ËÓ Ö Ö Ó× Ò Ò Ö Ð¸ Ñ Ò ×Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ö Ð Ð × Ó Ø ÓÖ Ó¸ ÙÒÕÙ Ý ÓÐ ÒØ
ÐØ × Ù Ö Ñ ÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ ×¸ À Ö ÖÝ ½ º Ð ×Ø ÔÙ Ð ÓÒ¸
Ò Ð ÖØ ÖÓ ×Ø ×Ù× Ö ØÓ¸ Ð Ñ ÓÖ Ø ÜØÓ Ø ÓÖ Ó ×Ó Ö Ö Ó× × Ð Ø ÜØÓ ÂÙÒ ¹
Ò Ð ¾¾ º ÍÒ Ü Ð ÒØ Ø ÜØÓ¸ ÒØÖ ÐÓ Ø ÓÖ Ó Ý ÐÓ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð ÐÓ ÓÒ×Ø ØÙÝ Ð Ð ÖÓ
ÖÓ×× Ý ÐÐ Ò ¿ º È Ö Ø ÜØÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð × ´ Ð ÓÖ ØÑ Ó×µ ÙÒ Ü Ð ÒØ Ð ÖÓ × Ð
ÐÒ ÓÒ× ½ ݸ Ñ × Ö ÒØ Ñ ÒØ ¸ Ð Ë Û ¿¿ º
Ð ÙÒÓ× ÐÓ× Ö Ó× ÑÓ×ØÖ Ó× Ò ×Ø Ø ÜØÓ Ù ÖÓÒ Ù Ó× Ñ ÒØ Ð ÑÙÝ Ù Ò
Ù ÓÖ Graphviz ½¼ ÔÓÖ ÑÔÐÓ׸ ÐÓ× Ð × ¬ ÙÖ × º ¸ º ¸ º ¸ º ¸ º ¸ º ¸
º ¼¸ º ½¸ º ¾¸ º ¿¸ º ¸ º ¸ º ¸ º Ý º ¸ ÒØÖ ÓØÖ × Ñ ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ô Ö ÓØÖÓ×
Ö Ó× × ÑÔÐ Ó ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ù Ó × ÖÖÓÐÐ Ó ÔÓÖ ×Ø Ö ØÓÖ Ý ÒÓÑ Ò Ó
ÒÐ Ð ÓØ graphpic Ñ ÒØ Ð × Ù ÖÓÒ ¬ ÙÖ × ÓÑÓ º ¸ º ¸ º ¸ º ¸
º ¸ º ¸ º ½¸ º ¾¸ º ¿¸ º ¸ º ¸ º ¸ º ¼ º ¸ º½¼º½¿º ¸ º½¼º½¿º ¸ º½¼º½¿º ¸
º ¼¸ º½¼º½¿º Ý º ½¸ Ø Ñ Ò ÒØÖ ÓØÖ × Ñ × Ù × Ñ ÒØ ×Ø ÔÖÓ Ö Ñ º Ò
Ð × ÖÖÓÐÐÓ graphpic¸ Ð Ð ÖÓ ÃÓÞÓ ËÙ Ý Ñ ¿ Ù ÑÙÝ ÙØ Ðº ÇØÖÓ Ø ÜØÓ Ð
Ö ×Ô ØÓ × Ð ØØ ×Ø ¸ ׸ Ì Ñ ×× Ý ÌÓÐÐ × ¾ º
7.17 Ejercicios
½º Ù ÒØ × Ð ÒØ Ñ ÜÑ Ö Ó× ÕÙ ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ Ö Ó
¾º Ù ÒØ × Ð ÒØ Ñ ÜÑ Ö Ó× ÕÙ ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ Ö Ó
¿º È Ö Ð × Ù ÒØ Ö Ó

898. 872 Cap´
ıtulo 7. Grafos
J B E G
A F
I D C H
´ µ Ø ÖÑ Ò Ý Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó Aº
´ µ Ø ÖÑ Ò Ý Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó Aº
´ µ Ø ÖÑ Ò Ý Ù ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ô ÖØ Ö Ð ÒÓ Ó Fº
´ µ Ò Ù ÒØÖ Ð ´Ó ÐÓ× µ Ñ ÒÓ´×µ Ñ × Ð Ö Ó´×µº
´ µ Ò Ù ÒØÖ Ð Ö Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓº
´ µ Ò Ù ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð ÕÙ × Ó ×Ù Ö Ó× ÓÑÔÐ ØÓ׺
º ÈÐ ÒØ ×Ú ÒØ × ÐÓ× Ö Ñ × × Ø Ð × Ô Ö ÜÔÖ × Ö Ö Ð ÓÒ × Ò Ö ×º
ÈÖ ÔÐ ÒØ Ñ ÒØÓ¸ ×Ø Ð Þ Ð Ö Ò ÓÒ ÙÒ Ö Óº
º × Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ Ö Ð Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × Ò ÙØ Ð Þ Ö Ö ÙÖ× ÓÒº
º × Ò Ð ÔÖ Ñ Ø Ú test for cycle()¸ ÔÖ × ÒØ Ò Ü º º ´Ô Ò ½ µ¸ ×
Ò ÙÒ ÜÔÐÓÖ ÓÒ Ò ÑÔÐ ØÙ º
º × Ò Ð ÔÖ Ñ Ø Ú test for cycle(g, node, len) Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ true × Ü ×Ø
ÙÒ ÐÓ Ò Ð ÒÓ Ó node ÙÝ ÐÓÒ ØÙ × Ü Ø Ñ ÒØ len Ö Ó׺
º ÓÑÓ ÔÙ ×Ô ¬ Ö× ÙÒ Ñ ÒÓ Ò ÙÒ Ö Ó Ó Ö Ó ØÖ Ú × ×Ù× Ö Ó×
Ù Ò Ó ×ØÓ× ÒÓ ×Ø Ò Ø ÕÙ Ø Ó×
º ÈÐ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÖÞ ÖÙØ ÕÙ Ú Ö ¬ÕÙ × Ó× Ö Ó× ×ÓÒ Ó ÒÓ ×ÓÑÓÖ Ó׺
½¼º ÈÐ ÒØ ×ÕÙ Ñ × Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÙÒ
ÑÙÐØ Ö Óº
½½º × Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ × Ò Ö ÙÖ× ÓÒº
½¾º ÅÓ ¬ÕÙ Ð ÐÓÕÙ Ò Ð Þ Ö ÖÖ ÐÓ ÖÖ ÐÓ× Ô Ö ÕÙ ×ÓÐÓ Ô ÖØ ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ÔÓÖ ÖÖ Ð ÓÒ Ðº
½¿º ÅÓ ¬ÕÙ Ð ÐÓÕÙ Ò Ð Þ Ö ÖÖ ÐÓ ÖÖ ÐÓ× Ô Ö Ù× Ö Ð Ø ÔÓ BitArrayº
½ º × Ò ÙÒ Ì Ady Bit ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Þ Ý Ò Ø׺ Í× ÙÒ
ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó DynArray<T> ÖÖ ÐÓ× Ø× BitArrayº Å Ò Ñ Ð ÓÒ×ÙÑÓ
Ñ ÑÓÖ º
½º Ó ÙÒ Ö Ó < V, A > Ý × Ò sv Ý sa ÐÓ× Ø Ñ ÒÓ× ÐÓ× Ø ÔÓ× ÐÑ Ò Ó× Ò
ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë sp Ð Ø Ñ ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØ ÓÖº Ù Ð × Ð
Ö Ð ÓÒ ÒØÖ Ð ÒØ Ö Ó× Ö ×Ô ØÓ Ð ÒÓ Ó× ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ × Ñ ÒÓ×
Ó Ñ × Ó×ØÓ×Ó Ò ×Ô Ó Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × Ý Ò ÕÙ ÓÒ Ð
Ñ ØÖ ×

899. 7.17. Ejercicios 873
½º Ò Ù Ð × ×Ó× Ð Ú Ö ¬ ÓÒ Ü ×Ø Ò Ö Ó ÓÒ Ñ ØÖ × Ý Ò ×
O(Ð (n))
½º Ø ÖÑ Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÖØ ÙÐ ÓÒ Ô Ö Ð × Ù ÒØ Ö Ó
J B E G
A F
I D C K H
½ º Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ì List Graph<Node, Arc>¸ ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ
Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Óº
½ º ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó sort arcs() ÕÙ ÒÓ Ù× ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ò Ñ Ó
Ø ÑÔÓÖ Ð¸ × ÒÓ ÕÙ ÓÖ Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ð ×Ø Ö Ó׺
¾¼º Ò Ð ÖÙØ Ò copy graph() ´Ü º¿º½¼º ´Ô Ò ¼¼µµ¸ Ù Ð × ×ÓÒ ÐÓ× Ò ÓÒÚ Ò ÒØ ×
ÑÔÐ ÒØ Ö Ð Ñ Ô Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ð ×
¾½º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô Ö ÕÙ ÜÔÐÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺
¾¾º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ Ô Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ñ ØÖ × Ý¹
Ò º
¾¿º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ Ô Ö ÕÙ ÜÔÐÓÖ ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó׺
¾ º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ù×ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ Ñ ØÖ × Ý Ò º
¾ º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ × ÑÓ Ð Þ ÙÒ Ð Ö ÒØÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Óº × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ
Ô Ö Ò ÓÒØÖ Ö Ð × Ð Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØÖÓ Ð Ð Ö ÒØÓº
¾ º × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ó ÙÒ Ö Óº
¾ º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ Ð ÙÐÓ Ö ÓÐ Ö ÓÖ × Ó Ò ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ º ܹ
ÔÐ ÕÙ Ð × Ö Ò × Ð Ö ÓÐ Ö ×ÙÐØ ÒØ Ö ×Ô ØÓ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ × Ó Ò Ù×ÕÙ
Ò ÔÖÓ ÙÒ × ÖÖÓÐÐ Ó Ò Ü º º ´Ô Ò ¾ µº
¾ º ÁÑÔÐ ÒØ ÙÒ ÖÙØ Ò ÕÙ ÓÒÚ ÖØ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÐÑ Ò Ó Ò ÙÒ Ó ØÓ
Ø ÔÓ List Graph<Node, Arc> ÙÒ Ö ÓÐ Ð × Tree Node<T>º ×ØÙ Ñ ÒÙ¹
Ó× Ñ ÒØ ÓÑÓ Ö Ð Þ Ö Ð ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÐÓ× Ø ÔÓ× ×Ó Ó× ÐÓ× ÒÓ Ó× Ý Ö Ó׺
¾ º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ Ý ÙÖ ÒØ Ð Ñ ×ÑÓ Ö ÓÖÖ Ó
ÓÐÓÖ ÐÓ× ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ×Ó Ó× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ º ´·µ
¿¼º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÔÓ× Ð Ö Ó ÓÖØ ´Ó Ø Ò Ó ØÖ Ú × map cut graph()µ Ý ÐÓ×
ÐÓÕÙ × ´Ó Ø Ò Ó× ÓÒ ÐÐ Ñ × map subgraph() ÓÒ ÐÓ× Ö ÒØ × ÓÐÓÖ × Ó×
ÔÓÖ compute cut nodes()µº × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ð × Ò
Ô Ð Ö ÐÓ× ÓÓ ×º

900. 874 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¿½º × ÖÖÓÐÐ ÙÒ Ú Ö× ÓÒ Ð Ì Bit Mat Graph<GT> ÕÙ Ñ Ò ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ø×
Ý ÕÙ × ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ð Ø ÔÓ DynArray<T>¸ Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ ÑÙ × ÒØÖ ×
Ú ÐÓÖ ÖÓ ÒÓ Ó ÙÔ Ò Ñ ÑÓÖ º
¿¾º Ó ÙÒ Ö Ó G Ý ÙÒ Ð ×Ø l ÒÓ Ó׸ × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ ÔÖÓØÓØ ÔÓ
template <class GT>
void cut(GT & g, const DynDlist<typename GT:Node*> & l, GT & g1, GT & g2);
Ð Ù Ð Ö ØÓÖÒ ÙÒ ÓÖØ Ð Ö Ó Ø Ð ÕÙ g1 ÓÒØ Ò ÐÓ× ÒÓ Ó× Ð Ð ×Ø l Ý g2 ÐÓ×
Ö ×Ø ÒØ ×º
¿¿º ×Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò º × ÙÖ × ÕÙ ¸
ÓÑÓ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¸ × Ð ÙÐ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ô Ö × Ñ ÒÓ× Ñ × ÓÖØÓ׺
¿º × Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ × Ý Ò º
¿º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ Ô Ö Ø Ø Ö ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׺ ´·µ
¿º ËÙÔÓÒ ÙÒ Ö Ó ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ × Ö ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒØ ¬ÕÙ ÐÓ× ÐÓ×
Ý ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ Ð ×Ø Ñ ÒÓ× ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ÐÓ× ÐÓ× Ò Ù ×Ø ÓÒº ´·µ
ÝÙ Ú Ü º º¿º ´Ô Ò ¿ µº
¿º ÓÑÓ × Ò × Ó¸ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÒÓ ÓÔ Ö Ô Ö Ö Ó× ÓÒ ×Ø Ò ×
Ò Ø Ú ×º ÍÒ Ø Ò Ô Ö ÔÐ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ÙÒ Ö Ó ÓÒ ×Ø Ò ×
Ò Ø Ú × ÓÒ× ×Ø Ö Ò Ù× Ö Ð Ñ Ò Ñ ×Ø Ò Ð Ö Ó Ý¸ ÒØÓÒ × ×ÙÑ ÖÐ Ð
Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ö Ó× Ð Ö Óº ×Ø ÑÓ Ó¸ Ð Ö Ó ×ÓÐÓ ÓÒØ Ò Ö ×Ø Ò ×
ÔÓ× Ø Ú ×º
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ×Ø Ø Ò ÒÓ × Ú Ð Ý ÕÙ ÐÓ× Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ× ×Ó Ö Ð Ö Ó
ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó ÔÙ Ò × Ö ×Ø ÒØÓ× ÐÓ× Ð Ö Ó ÓÖ Ò Ðº ´·µ
¿º Ë ÙÒ ÐÓ ×ØÙ Ó ×Ó Ö Ð Ô Ü ÐÙ× ÚÓ Ò Ü º º¿º¾ ´Ô Ò ¼¾µ¸ × Ò ÙÒ
×ØÖ Ø Ò Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ÙÝÓ ÓÒ×ÙÑÓ Ò ×Ô Ó ÒÓ Ü
O(V)º ´·µ
¿º × Ö Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó × Ó Ò Ð Ö Ó ÒÚ Ö×Óº
¼º × ÖÖÓÐÐ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× × Ó Ò
Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× Ðк
½º ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÓ× Ö Ù Ó×ÕÙ Ó Ò Ü º º¿º½ × ÓÖÖ ØÓº
¾º ÁÑÔÐ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÃÓ× Ö Ù Ó×ÕÙ Ó Ò Ü º º¿º½º
¿º ÅÓ ¬ÕÙ ÐÓ× Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ÙÐÓ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ö Ô Ö ÕÙ Ð ÙÐ Ò Ð
×Ð ÓÒ Ñ Ò ÑÓ Ò Ð Ñ ×Ñ Ô × ÕÙ Ð Ð ÙÐÓ Ð Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓº
º Ê Ð Ð Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ ÓÐ Á Ç ×ØÙ Ó Ò
º½¼º½¿º º
º Ê Ð Ð Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ ×Ø Ò ×ØÙ Ó
Ò º½¼º½¿º º

901. 7.17. Ejercicios 875
º ÅÓ ¬ÕÙ ØÓ × Ð × ÙÒ ÓÒ × × Ò × Ô Ö Ð ÙÐ Ö Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ × ÙÒ ÑÔÙ
ÔÖ ¹­Ù Ó Ô Ö ÕÙ Ø Ò Ò ÓÑÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ð Þ ÓÒ Ð
ÐØÙÖ ÐÓ× ÒÓ Ó× ´Ú × Ü º½¼º½¿º½¼ ´Ô Ò µµº
º × Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö Ó ÓÒ Ô × ÙÒ Ö Ð Ø ÔÓ
Net Graph<TNode,TArc,T>º
º × Ò ÙÒ ÖÙØ Ò ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö Ð Ø ÔÓ Net Graph<TNode,TArc,T>
ÙÒ Ö Ó List Graph<Node, Arc>º
º × Ò Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ð ÕÙ ÓÒÚ ÖØ ÙÒ Ö ÙÐ ÓÒ ÓÒ ÙÒ
ÒØ Ö ØÖ Ö ÐÓ× ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓº
¼º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÕÙ ÓÒÚ ÖØ ÙÒ Ö Ö ÙÐ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ
×ÓÐÓ Ù ÒØ Ý ÙÒ ×ÙÑ ÖÓº
½º Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÔÓÖØ Ð Ø ÓÖ Ñ × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó º½ ¸
Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ º ÑÔÐ Ó Ô Ö Ð ÑÓ×ØÖ ÓÒº
¾º ÒÙÒ Ý ÑÙ ×ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Å Ò Ö Ô Ö Ö Ó× ÒÓ Ö Ó׺
¿º Ò ÙÒ ÓÖ Ò Þ ÓÒ × Ø Ò Ò n ØÖ ÓÖ × {t1, t2, . . . , tn} Ý m ÔÖÓÝ ØÓ×
{p1, p2, . . . , pm}º ØÖ ÓÖ ×Ø ÒØ Ö × Ó Ò Ô ÖØ Ô Ö Ò Ð ÙÒÓ× ÔÖÓÝ ØÓ×
{px, py, . . . }º ÔÖÓÝ ØÓ Ø Ò ÙÒ ÓØ Ô ÖØ Ô ÒØ × N(pi) × Ö¸ Ò Ð
ÔÖÓÝ ØÓ pi ÐÓ ×ÙÑÓ ÔÙ Ò Ô ÖØ Ô Ö N(pi) ØÖ ÓÖ ×º
´ µ ÅÓ Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö Ð ÒØ ØÖ ÓÖ × ÕÙ Ô ÖØ ¹
Ô Ö Ò Ò ÐÓ× ÔÖÓÝ ØÓ׺
´ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÒ ØÖ ÓÖ ti Ó Ö ÙÒ ÒØ S(ti, pj) ÔÓÖ Ô ÖØ Ô Ö Ò Ð
ÔÖÓÝ ØÓ pjº ÓÑÓ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ØÖ ÓÖ × Ñ Ü Ñ Ð
Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø
´ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÒ ØÖ ÓÖ ti Ø Ò ÙÒ ¬ Ò E(ti, pj) Ò Ð ÔÖÓÝ ØÓ pjº
ÓÑÓ × Ò Ù ÒØÖ Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ØÖ ÓÖ × Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÒØ
ÔÖÓÝ ØÓ× ÓÒ Ð Ñ Ü Ñ ¬ Ò
º Ó ÙÒ ÓÖØ ÙÒ Ö Ó Ð ÙÐ Ó Ñ ÒØ compute min cut() ´Ü º½½º º¿ ´Ô Ò ¾¿µµ¸
Ð ÙÐ ÐÓ× ÐÓÕÙ × ÕÙ × ÓÒ Ø Ö Ð ×ÙÔÖ × ÓÒ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓº
º × Ò ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ð ÙÐ Kv(G) ÓÒÓ Ó Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ Gº
º ÅÓ ¬ÕÙ Ð Ì Net Graph<TNode,TArc,T> Ô Ö ÕÙ Ò ÐÙÝ ØÓÖ × Ò Ò¹
Ò ÐÓ× Ö Ó× Ð Ñ Ò Ö ÜÔÐ Ò Ü º½ º¾ ´Ô Ò ¿µº Ê Ú × ØÓ × Ð
ÖÙØ Ò × Ð Ð ÓØ Ö Ð ÓÒ × ÓÒ Ö × ­Ù Ó¸ ÒØ ¬ÕÙ Ð × ÕÙ Ñ Ò Ò
Ò Ö Ñ ÒØÓ× Ó Ö Ñ ÒØÓ× ­Ù Ó Ý ÑÓ ÕÙ Ð × Ô Ö ÕÙ ÓÒ× Ö Ò ×Ø ØÓÖº
º ÜÔÖ × ÙÒ Ö Ò Ö ÑÙÐØ ¹­Ù Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ðº
º ×ØÙ Ñ ÒÙ Ó× Ñ ÒØ Ð Ø ÓÒ ÐÓ× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ Ò
Ô ÖØ ÙÐ Ö bellman ford negative cycle()¸ ÔÖ × ÒØ Ü º º¿º½¼ ´Ô Ò ½µ Ý
ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ ÔÓ Ö ×Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ÓÒØÖ Ö Ú Ö Ó× ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׺ ´··µ

902. 876 Cap´
ıtulo 7. Grafos
Bibliograf´
ıa
½ ʺ ú Ù ¸ ̺ ĺ Å Ò ÒØ ¸ Ò Âº º ÇÖÐ Òº Æ ØÛÓÖ ÐÓÛ× Ì ÓÖݸ Ð ÓÖ Ø Ñ׸
Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ׺ ÈÖ ÒØ À Ðи ½ ¿º
¾ º ØØ ×Ø ¸ Ⱥ ׸ ʺ Ì Ñ ×× ¸ Ò Áº º ÌÓÐР׺ Ö Ô Ö Û Ò Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÓÖ Ø Î ×Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ô ×º ÈÖ ÒØ À Ðи ½ º
¿ ÅÓ Ø Ö Ëº Þ Ö ¸ ÂÓ Ò Âº  ÖÚ ×¸ Ò À Ò º Ë Ö Ð º Ä Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò
Æ ØÛÓÖ ÐÓÛ׺ Ï Ð Ý¸ ÓÙÖØ Ø ÓÒ¸ ¾¼¼ º
Ê Ö ÐÐÑ Òº ÇÒ ÖÓÙØ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÉÙ ÖØ ÖÐÝ Ó ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ×¸
½ ´½µ ß ¼¸ ½ º
Ñ ØÖ Èº ÖØ× ×º Æ ØÛÓÖ ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò × Ö Ø ÅÓ Ð׺
Ø Ò Ë ÒØ ¬ ¸ ÐÑÓÒظ Å ×× Ù× ØØ׸ ½ º
Ǻ ÓÖÙÚ º Ç ×Ø Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñº ÈÖ ÅÓÖ Ú× ÈÖ ÖÓ ÓÚ
ËÔÓÐ ÒÓ×Ø ¸ ¿ ¿ ß ¸ ½ ¾ º ÁÒ Þ º
º º ÆÌ Á º ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ð Ò Ö ×ØÖÙ ØÙÖ º ÓÒÓÑ ØÖ ¸ ½ ¸ ½ º
ÑÓÒ × Ò Ã ÖÔº Ì ÓÖ Ø Ð ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ× Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Æ Ò Ý ÓÖ Ò ØÛÓÖ
­ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñ׺  ŠÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å¸ ½ ¸ ½ ¾º
Ⱥ Р׸ º Ò×Ø Ò¸ Ò º º Ë ÒÒÓÒº ÆÓØ ÓÒ ­ÓÛ Ø ÖÓÙ Ò ØÛÓÖ º ÁÊ
ÌÖ Ò׺ ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÓÖݸ Ô × ½½ ß½½ ¸ ½ º
½¼ ÐÐ×ÓÒ¸ Ò×Ò Ö¸ ÃÓÙØ×Ó¬Ó׸ ÆÓÖØ ¸ Ò ÏÓÓ ÙÐк Ö Ô Ú Þ ß ÓÔ Ò ×ÓÙÖ Ö Ô
Ö Û Ò ØÓÓÐ׺ ÁÒ Ê ÏÁÆ ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ö Ô Ö Û Ò ´ µ¸ ¾¼¼½º
½½ ʺ ÐÓÝ º Ð ÓÖ Ø Ñ Ë ÓÖØ ×Ø Ô Ø º ÓÑÑÙÒº Ÿ ´ µ ¿ ¸ ½ ¾º
½¾ ĺ ʺ ÓÖ Ò º ʺ ÙÐ Ö×ÓÒº Å Ü Ñ Ð ­ÓÛ Ø ÖÓÙ Ò ØÛÓÖ º Ò Ò ÂÓÙÖÒ Ð
Ó Å Ø Ñ Ø ×¸ ¿ ß ¼ ¸ ½ º
½¿ ĺ ʺ ÓÖ Ò º ʺ ÙÐ Ö×ÓÒº Å Ü Ñ Ð ­ÓÛ Ø ÖÓÙ Ò ØÛÓÖ º Ò Ò Âº Ó
Å Ø Ñ Ø ×¸ ¿ ß ¼ ¸ ½ º
½ Ä ×ØÓÖ Êº ÓÖ ¸ ÂÖº Ò º ʺ ÙÐ Ö×ÓÒº ÐÓÛ× Ò Æ ØÛÓÖ ×º ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö× ØÝ
ÈÖ ×׸ ½ ¾º
½ º ÑÑ ¸ ʺ À ÐѸ ʺ ÂÓ Ò×ÓÒ¸ Ò Âº ÎÐ ×× ×º × Ò È ØØ ÖÒ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ
½ º
½ ÐÒ ÓÒ׺ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô Ì ÓÖݺ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö× ØÝ ÈÖ ×׸ Ñ Ö ¸
½ º
½ ÓÐ Ö Ò Ì Ö Òº Ò Û ÔÔÖÓ ØÓ Ø Ñ Ü ÑÙѹ­ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñº  Å
ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å¸ ¿ ¸ ½ º
½ ÓÐ Ö Ò Ì Ö Òº Ò Ò Ñ Ò ÑÙѹ Ó×Ø Ö ÙÐ Ø ÓÒ× Ý ×Ù ×× Ú ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ø ÓÒº ÅÇÊ Å Ø Ñ Ø × Ó ÇÔ Ö Ø ÓÒ× Ê × Ö ¸ ½ ¸ ½ ¼º

903. 7.17. Bibliograf´
ıa 877
½ Ö Ò À Ö Öݺ Ö Ô Ì ÓÖݺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ Ê Ò ¸ Å ¸ ½ º
¾¼ º º ÀÓÔ ÖÓ Ø Ò Êº º Ì Ö Òº Æ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ Ö Ô Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒº Óѹ
ÑÙÒº Ÿ ½´ µ ¿ ¾ß¿ ¸ ÂÙÒ ½ ¿º
¾½ κ  ÖÒ º Ç ×Ø Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñº ÈÖ ÅÓÖ Ú× ÈÖ ÖÓ ÓÚ
ËÔÓÐ ÒÓ×Ø ¸ ß ¿¸ ½ ¿¼º Ò Þ º
¾¾ Ø Ö ÂÙÒ Ò Ðº Ö Ô ×¸ Æ ØÛÓÖ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ËÔÖ Ò Ö¸ ¾¼¼ º
¾¿ ƺ à ÖÑ Ö Öº Ò Û ÔÓÐÝÒÓÑ ÐßØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º ÓÑ ¹
Ò ØÓÖ ¸ ¿ ¿ß¿ ¸ ½ º
¾ º κ à ÖÞ ÒÓÚº Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð ­ÓÛ Ò Ò ØÛÓÖ Ý Ø Ñ Ø Ó Ó
ÔÖ ­ÓÛ׺ ËÓÚ Ø Å Ø º Ó Ðº¸ ½ ¿ ß ¿ ¸ ½ º
¾ ĺ º Ã Ý Òº ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º ËÓÚ Ø Å Ø ¹
Ñ Ø × Ó Ð Ý¸ ¾¼ ½ ½ß½ ¸ ½ º
¾ ÖÒ Ö ÃÓÖØ Ò Â Ò× ÎÝ Òº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Ò Ð Ó¹
Ö Ø Ñ׺ ÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¸ ÓÙÖØ Ø ÓÒ¸ ¾¼¼ º
¾ º ĺ Ä ÛÐ Öº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ × Ò Å ØÖÓ ×º ÀÓÐع
Ê Ò ÖØ¹Ï Ò×ØÓÒ¸ Æ Û ÓÖ ¸ ½ º
¾ Ú º ÄÙ Ò Ö Ö Ò ÒÝÙ º Ä Ò Ö Ò ÆÓÒÐ Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò º ËÔÖ Ò ¹
ֹΠÖÐ ¸ Ø Ö Ø ÓÒ¸ ¾¼¼ º
¾ ú Å Ò Öº ÍÒØ Ö×Ù ÙÒ Ò Ù Ö ÐÐ Ñ Ò Å ØÖ º Å Ø º ÒÒº¸ ½¼¼ ß½ ¿¸ ½ ¾ º
¿¼ ÂÓÖ ÆÓ Ð Ò ËØ Ô Ò Âº ÏÖ Øº ÆÙÑ Ö Ð ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ËÔÖ Ò Ö × Ö × Ò
ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ö × Ö º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¸ ÔÙ ¹ËÎ Ö¸ × ÓÒ Ø ÓÒ¸ ¾¼¼ º
¿½ º Àº È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ò Ãº ËØ Ð ØÞº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ÈÖ ÒØ ¹À Ðи
½ ¾º
¿¾ Ë Ò Ö ×٠˺ Ê Óº Ò Ò Ö Ò ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒº ÂÇÀÆ ÏÁÄ ² ËÇÆ˸ ÁÆ º¸ ÓÙÖØ
Ø ÓÒ¸ ¾¼¼ º
¿¿ ÊÓ ÖØ Ë Û º Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò È ÖØ Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ×ÓÒ¹Ï ×Рݸ
ÔÙ ¹ Ï Ö¸ ¾¼¼¾º
¿ ÃÓÞÓ ËÙ Ý Ñ º Ö Ô Ö Û Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ× ÓÖ ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ò
ÃÒÓÛÐ Ò Ò Ö׸ ÚÓÐÙÑ ½½ Ó ËÓ ØÛ Ö Ò Ò Ö Ò Ò ÃÒÓÛÐ Ò ¹
Ò Ö Ò º ÏÓÖÐ Ë ÒØ ¬ ¸ ¾¼¼¾º
¿ ʺ º Ì Ö Òº ÔØ ¬Ö×Ø × Ö Ò Ð Ò Ö Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ËÁ Šº ÓÑÔÙغ¸
½´¾µ ½ ß½ ¼¸ ÂÙÒ ½ ¾º
¿ Î Ö Ó׺ Ù ×Ø ØÓÖ³× ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ì ØÓÔ ½¼ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÓÑÔÙØ Ò Ò Ë Ò
Ò Ò Ò Ö Ò ´ Ë µ¸ ¾´½µ ¾¾ß¾¿¸  ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼º
¿ ËØ Ô Ò Ï Ö× Ðк Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ñ ØÖ ×º ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å¸ ´½µ ½½ß½¾¸
 ÒÙ ÖÝ ½ ¾º

904. 878 Cap´
ıtulo 7. Grafos
¿ Â Ý ÐÐ Ò Ò ÂÓÒ Ø Ò Äº ÖÓ×׺ Ö Ô Ì ÓÖÝ ² ÁØ× ÔÔÐ Ø ÓÒ׺ Ê ÈÖ ×׸
½ º ÁË Æ ¼ß ß¿¿ ¾ß¼º

905. ´
Indice
Ö ÓÐ Ñ Ü ÑÓ¸ ¿¿¿
ÐØÙÖ ÙÒ¸ ¾ Ñ Ò ÑÓ¸ ¿¿¿
ÓÑÔÐ ØÓ ×ÙÔÖ × ÓÒ¸ ´¿ ¾¸ ¿ ¿
Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÓÒ ÖÖ ÐÓ × Ù Ò Ð¸ Ò Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾
¿¼¼ Ö Ó ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾
¬Ò ÓÒ¸ ¾ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ¸ ¾ ¼
Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÙÒ Ö Ó¸ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÑÔÐ ØÙ ¸ ¿¼ Ð ÙÐÓ Ð ÐØÙÖ ¸ ¾
Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ð ÙÐÓ Ð Ö Ò Ð ¸ ¾
¬Ò ÓÒ¸ ¾ ¾ ÓÑÔ Ö ÓÒ¸ ¾
ÒÓ Ó ÓÑÔÐ ØÓ¸ ¾ ×ØÖÙ ÓÒ¸ ¾
ÒÓ Ó Ò ÓÑÔÐ ØÓ¸ ¾ ÕÙ Ú Ð Ò ¸ ¾
ÒÓ Ó ÐÐ ÒÓ¸ ¾ ÜØ Ò× ÓÒ ×
Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó¸ ¾ Ð ÙÐÓ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ¸ ¿
Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ò Ú Ð ×¸ ¾ Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿
Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó¸ ¾ × Ð ÓÒ¸ ¿
Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó¸ ¾ Ð Ó׸ ´¾ ¸ ¾
Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ó Ò¸ ¿
Ù×ÕÙ ¸ ¿¿¾ Ó Ò Ü ÐÙ× ÚÓ¸ ¿ ½
¬Ò ÓÒ¸ ¿¿¼ Ô ÖØ ÓÒ¸ ¿¿
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¿ ¾ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ¿
Ò× Ö ÓÒ¸ ¿¿ Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿
Ò× Ö ÓÒ Ò Ö Þ¸ ¿ ¿ Ö ÓÖÖ Ó× ÒÓ Ö ÙÖ× ÚÓ׸ ¾
×ÙÔÖ × ÓÒ¸ ´¿ ¾¸ ¿ ¿ ÖÓØ ÓÒ¸ ¿ ½
Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ÜØ Ò Ó ×ÔРظ ¿¿
Ò× Ö ÓÒ Ò Ö Þ¸ ¿ ÙÒ ÓÒ¸ ¿
Ö ÓÐ × ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸ ¿ ½
Ò ×ØÖÓ× ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÓÒ Ö Ò Ó׸ ¿ ¿
Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ¸ ´¿¿¼¸ ¿ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ¸ ´¿¿¼
Ò Ð × ×¸ ´¿ ¸ ¿ Ò Ð × ×¸ ´¿ ¸ ¿
Ù×ÕÙ ¸ ´¿¿¾¸ ¿¿ Ö Ø ¸ ´¿ ¸ ¿
Ù×ÕÙ Ô Ö ¸ ¿¿ ÜØ Ò Ó׸ ¿ ¿
Ù×ÕÙ Ö Ò Ó¸ ¿¿ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò Ó׸ ´¿ ¿¸ µ¿ ½
Ù×ÕÙ Ð ÔÖ ×ÓÖ¸ ¿¿ Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿ ¼
Ù×ÕÙ Ð ×Ù ×ÓÖ¸ ¿¿ Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ¿ ¼
Ö Ø ¸ ´¿ ¸ ¿ Ò× Ö ÓÒ
¬Ò ÓÒ¸ ¿¿¼ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ¿
Ò× Ö ÓÒ¸ ´¿¿ ¸ ¿¿ ÖÓØ ÓÒ¸ ¿ ¿

906. 880 ´
INDICE
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸ ¿ Ð ØÓÖ Þ ÓÒ¸ ½ ¾
Ö ÓÐ × ×Ø Ø Ó× ÓÔØ ÑÓ׸ ´¿ ¸ ¿ ¾ Ð Ö O¸ ½ ¾
Ö ÑÓÚ ÐÐ Ò Ð Ø ´µ¸ Ð ÓÖ ØÑÓ
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× Ð ÙÐÓ Ke(G)¸ ¾½
ÓÖ ÒØ Ð ÓÒ ÔØÓ¸ ¾¾ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾
ÓÖ ÒØ Ð ­Ù Ó¸ ¾¾ × ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó¸ ½
ÓÖ ÒØ × ÐÓ× ØÓ׸ ¾½ ×ØÖÙ ÓÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾
ØÖ ÙØÓ׸ ¼ ÃÖÙ× Ð¸ ß ¼¾
Ù Ø ×¸ ¼ ÈÖ Ñ¸ ¼¾ß ½¼
Ò× Ö ÓÒ¸ ¼ Ö ÙÖ× ÚÓ ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸
¼¹¾¼ Ö Ð ¸ ¾¾ ¾
Ö ÙÖ× ÚÓ Ö ÒÐ ÙÒ Ö ÓÐ ¹
Ò Ö Ó¸ ¾
Ù×ÕÙ ¸ ¿¿¾ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ¸ ¿
Ù×ÕÙ × ×Ô Ð ×¸ ¿¿ Ò Ð × ×¸
ÓÒ Ø Ò ÓÒ¸ ¿ Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ¸
ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸ ¿ ½ Ò Ð × ×¸ ¼
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¿ ¾ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ Ke(G))¸ ¾½
Ò× Ö ÓÒ¸ ¿¿ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ ÓÒ Ø Ú Ö¹
Ò× Ö ÓÒ Ò Ö Þ¸ ¿ ¿ Ó׸ ¾½
Ó Ò¸ ¿ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒÚ Ö× ÓÒ Ö ÓÒ Ô ¹
Ó Ò Ü ÐÙ× ÚÓ¸ ¿ ½ × Ò ÒÓ Ó× ÙÒ Ö ØÖ ¹
Ô ÖØ ÓÒ¸ ¿¿ ÓÒ Ð¸ ¼
ÔÖ ×ÓÖ¸ ¿¿ Ð ÓÖ ØÑÓ Ê Ò¹Ã ÖÔ¸ ¿
×ÔРظ ¿¿ Ð ÓÖ ØÑÓ Ï Ö× ÐÐ Ô Ö Ð Ð Ù×ÙÖ
×Ù ×ÓÖ¸ ¿¿ ØÖ Ò× Ø Ú ¸ ½
ÙÒ ÓÒ¸ ¿ Ð ÓÖ ØÑÓ × ÑÔРܸ ß ¾
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× ÚÓ¸ ¿ ½ Ð ÓÖ ØÑÓ× Ð ØÓÖ Ó׸ ½ ¾
ÐØÙÖ
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸ ¼ ÒÓ Ó Ò Ö ­Ù Ó¸ ¿
ÙÒ Ö Óи ¾
Ð ÙÐÓ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ¸ ¿ ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾
× ÑÔ ÒÓ¸ ¿ ½ ÐØÙÖ ÙÒ Ö Óи ¾
Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿ ¼ ÐØÙÖ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾
Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ¿ ¼ ÐØÙÖ Ò Ö Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ½
Ò× Ö ÓÒ Ò Ö Þ¸ ¿ Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó¸ ¾¼¼
Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿ Ò Ð × × ÓÒØ Ð ¸ ¾¼ ß¾¼
Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ¿ Ò Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ½
Ô ÖØ ÓÒ¸ ¿ Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ¸
Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ¸ ¿ ´¿ ¸ ¿
× Ð ÓÒ¸ ¿ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ¸
×ÔРظ ¿
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸ ¿ Ò Ð×× Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ¸
×Ó Ù Ö ÐÓÕÙ ¸ ¾¾½ ¼
Ð ¸ ½ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÔÖ ¹­Ù Ó¸
ØÙ ÓÖ¸ ¾
Ð ÒÞ Ð ¸

907. ´
INDICE 881
Ò Ð×× Ð Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ¹ Ò× Ö ÓÒ¸ ´ ¸ ¼½
ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ Ý ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð¸ Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó׸ ß
¾¼ Ò Ð × ×¸ ¾ß
Ò Ð × × Ð Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò ¹ ÓÒ Ø Ò ÓÒ¸ ¼
Ò Ñ ÒØÓ ÖÖ Ó¸ ½¾ Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¼
Ò Ð × × Ð Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò ¹ Ò× Ö ÓÒ¸
Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ ¼ ×ÙÔÖ × ÓÒ¸ ¼
Ò Ð × × Ð Ñ Ö ×ÓÖظ ½ ØÖ Ô¸ ¼
Ò Ð × × Ð ×ÓÒ Ó Ð¸ ½ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ò Ð × × ÔÓØ Ò Ð¸ ¾¼½ß¾¼ ×ÑÐ Ö ¸ ¾
Ò Ð × × ÑÓÖØ Þ Ó Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ð ØÓÖ Þ Ó×
Ò Ð × × ÓÒØ Ð ¸ ¾¼ ß¾¼ ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸ ¼
Ò Ð × × ÔÓØ Ò Ð¸ ¾¼½ß¾¼ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò Ó
× Ð ÓÒ Ö ØÓ׸ ¾¼ ß¾¼ ×ÔРظ ¿
× Ð ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÔÓØ Ò Ð¸ ¾¼ ß¾¼ Ö ÓÐ × ÓÒ ¸ ¼ ß ½½
Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó׸ ¾ß ÐØÙÖ ¸ ¼
Ò Ð × × ÐÓ× Ö ÓÐ × ×ÔРݸ ¿ ß ¾ Ö ÒÐ ¸ ¼
Ò Ð × × ÐÓ× ØÖ Ô׸ ¾ß ¿ Ö ÓÐ × ÕÙ Ð Ö Ó׸ ß
Ò Ð × × Ð ÕÙ ×ÓÖظ ½ Ö ÓÐ × ×ÔРݸ ¿¼ß ¾
Ò ×ØÖÓ× ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾ Ò Ð × ×¸ ¿ ß ¾
ÔÐ ÓÒ × Ð × ÓР׸ ½¿¾ Ö ÓÐ × ØÖ Ô×
ÔÙÒØ ÓÖ × Ý ÖÖ ÐÓ¸ ¿½ Ò Ð × ×¸ ¾ß ¿
Ö ÓÐ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ¸ ¿
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ½¿ Ö ÓÐ × ÓÑÔÐ ØÓ×
ÓÒ ¸ ¼ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ¸ ¾
Ö ÓÐ ÎÄ Ö Ø Ó¸ ½¼ Ö ÓÖ × Ò ¸ ¾
Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ¸ ¾ Ö ÓÖÖ Ó׸ ¾ ¼¸ ¾
Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ñ Ò ÑÓ¸ ß ½¼ Ì Tree Node<T>¸ ¾
Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ Ó¸ ÖÓ
Ö ÓÐ × Ö Ð ÓÒ¸ ¿¼
ÎÄ Ö Ó Ò ÒØ ¸ ¾
Ò Ð × ×¸ ¼ ß ½¿ Ö Ó Ô Ö Ð ÐÓ¸
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ´ ¼½¸ ¼ Ö Ó× ÙÒ Ö Ó
Ò× Ö ÓÒ¸ ´ ¸ ¼½ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ ½
ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö ØÓ¸ Ö ØÑ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ó×
ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ù×Ó Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ½¼¼
Ì BinNode<Key>¸ ¾ Ö ØÑ Ø ÔÙÒØ ÖÓ׸ ¿½
ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ½¿ß ¾ ÖÖ ÐÓ
Ò Ð × ×¸ ¾ ß ¾ Ò Ñ ÑÓÖ Ò Ñ ¸ ¿
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ´ ¾¼¸ ¾ Ù×ÕÙ Ò Ö ¸ ¿¾
Ò× Ö ÓÒ¸ ´ ½ ¸ ¾¼ Ù×ÕÙ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿¾
×ÔРݸ ¿¼ß ¾ Ð ÙÐÓ Ö ÓÒ¸ ¿½
Ö ÓÐ × Îĸ ß ½¿ ÓÒ ÔØÓ× Ò Ö Ð ×¸ ¿¼
Ò Ð × ×¸ ¼ ß ½¿ Ø׸ ¿ ß ½
¬Ò ÓÒ¸ Ò Ñ Ó¸ ½ß ½
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ´ ¼½¸ ¼ Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿¿

908. 882 ´
INDICE
Ò Ñ ÑÓÖ ×Ø Ø ¸ ¿ Ù×ÕÙ Ð ØÓÖ
ÒÔÐ ¸ ¿ Ò ÖÖ ÐÓ¸ ½
Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿¿ Ò Ð ×Ø ×¸ ½
ÑÙÐØ Ñ Ò× ÓÒ Ð¸ ½ Ù×ÕÙ Ò Ö ¸ ¿¾¸ ½ ß½
Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö ÓР׸ ¾ ½ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÔÓÖ ÑÔÐ ØÙ ¸ ¾
× ÖØÓ׸ ¾½ Ù×ÕÙ Ñ ÒÓ× ÔÓÖ ÔÖÓ ÙÒ ¸ ¾½
× Ò ÓÒ¸ ½½ Ù×ÕÙ ÐÓ× Ò ÙÒ Ö Ó¸ ½
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸ ¸
LhashTable<Key>¸ ¼
Ð ÙÐÓ ÒÓ Ó× Ô ÖØ Ò ÒØ × ÙÒ Ò Ú Ð¸
ØÖ ÙØÓ× ÓÒØÖÓÐ ÒÓ Ó× Ý Ö Ó× ÙÒ ¾¿
Ö Ó¸ ¼ Ð ÙÐÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ Û Ý¸ ¾ ¼
ÙØÓÑ Ø ¸ ¾½ Ó Ó× ÀÙ«Ñ Ò¸ ¿ ¿ß¿
ÎÄ Ó ¬ ÓÒ Ø ÜØÓ¸ ¿ ½
Ö ÓР׸ ß ½¿ Ó ¬ ÓÒ¸ ¿
Ò Ö ×Ó Ö Ù Ò ×¸ ¿ ¼
Ù×ÕÙ ÓÔØ Ñ ÓÒ¸ ¿ ¿
Ö Ó× Ò Ö Ó¸ ¸ ¾¿¼
ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ¿ Ò × ÔÖÓ Ù ÓÒ
ÒÓ Ó× Ò Ö Ó¸ ¿ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸
× Ù Ò Ð¸ ½ Ð ÙÐÓ Ö Ö × Ù Ð Ò ÙÒ Ö ­Ù Ó¸
Ù×ÕÙ Ò Ö ¸ ¿¾
Ù×ÕÙ Ö Ó× Ò ÙÒ Ö Ó Ñ ÒÓ
ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ¸ ¼ Ù×ÕÙ Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ ¾¿
Ù×ÕÙ ÜØÖ ÑÓ׸ ½ ÒØÖ ÒÓ Ó× ÙÒ Ö Óи ¾
Ù×ÕÙ Ñ Ü ÑÓ¸ ½ ÐÓÒ ØÙ Ò ÙÒ Ö Óи ¾
Ù×ÕÙ Ñ Ò ÑÓ¸ ½ ÔÖÙ Ü ×Ø Ò ¸ ¾½¸ ½
Ù×ÕÙ ÒÓ Ó× Ò ÙÒ Ö Ó × ÑÔÐ ¸ ¾
ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ¸ ¼ Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ¸ ¾¾¿
Ù×ÕÙ Ò Ø Ð × Ð Ò Ð¸ ¿ Ñ ÒÓ Ø Ð Ò¸ ¿¾
Ù×ÕÙ × Ù Ò ¸ ½ ß½ Ñ ÒÓ ÙÒ Ö Ó¸ ¾
ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ¸ ¾¾
Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׸ ¾ ß ¾ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸
BinHeap<Key> Ð ÙÐÓ ¸ ½
ØÙ Ð Þ ÓÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ¸ ¿½ Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׸ ½¼ß ¿
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¿½ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ ¾ ß ¾
Ð Ñ Ò ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ñ ÒØÓ¸ ¿½ Ð ÓÖ ØÑÓ ×ØÖ ¸ ½½ß ¾¼
Ð Ñ Ò ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ׸ ¿½ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÝ ¹Ï Ö× Ðи ¾¼ß ¾
ÁÒ× Ö ÓÒ¸ ¿½ × Ù× ÓÒ¸ ¾
ÒØ Ö Ñ Ó ÒØÖ ÒÓ Ó׸ ¿½ Ô ¸ ¿
BinNode<Key> Ô ÙÒ ÓÖØ ¸
ÓÒÚ Ö× ÓÒ Tree Node<T>¸ ¾¾ Ö ÒÐ
BinTree<Key>¸ ¿¿ ÙÒ Ö Óи ¾
BitArray¸ ¿ ß ½ ÒØ ¸ ¾
Ø× ÓÒØÖÓи ¼ Ð Ò Ú Ð¸ ¾
Ùи ¾ Ö ÒÐ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾
Ù×ÕÙ ×Ø Ò
×Ó Ö ÖÖ ÐÓ׸ ½ Dlink ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒØ Ò ¸

909. ´
INDICE 883
Slink ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒØ Ò ¸ ¼ ÓÒ Ø Ú Ö Ó×
ØÐÒ Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ¾½
ÒÙÑ ÖÓ ¸ ¿¾ ß¿¿¼ Ð ÙÐÓ¸ ¾½
ÐÓ× ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ¸
Ù×ÕÙ Ò Ø ÚÓ׸ ¿ ¾¾
Ø ÓÒ¸ ½ ÓÒ Ø Ú ÒØÖ Ö Ó׸ ½
ÔÖÙ Ð ¸ ½ ÓÒ ÙÒØÓ¸ ¾½
Ù×Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ Ô Ö ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖ ¬ Ó¸ ¿¾¾
×Ù Ø ÓÒ¸ ¿ ÓÒ ÙÒØÓ×
ÐÓ× Ò Ø ÚÓ× Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÓР׸ ¾
Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÐÑ Ò¹ ÓÖ ¸ ¿ ÓÒØÖ ÓÒ Ø Ð × Ð Ò Ð¸ ¿
Ù×ÕÙ ¸ ¿ ÓÒÚ Ö× ÓÒ
Ö ÙÐ ÓÒ ×¸ ½ Dlink ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒØ Ò ¸
Ð× Slink ×ØÖÙ ØÙÖ ÓÒØ Ò ¸ ¼
×ØÓÖ ¸ ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ ÙÒ
ÒØ ÖÑ Ö ¸ Tree Node<T>¸ ¿¿
ÔÖÓÜݸ ÓÖÖ Ø ØÙ
Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¸ ¾¿¸ ½ Ù×ÕÙ ¸ ¾¼
Ð ÕÙ ÙÒ Ö Ó¸ Ø ÓÒ¸ ¾¼
Ó Ó ÔÐ ÒØ Ñ ÒØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ¾¼
ÄÙ × Û Þ¸ ¿¾½¸ ¿¾ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ý m¹
Ó Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¿¾½ Ö Ó׸ ¾
ÓÐ × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ BinNode<Key> Ý
ÔÐ ÓÒ ×¸ ½¿¾ Tree Node<T>¸ ¾ ¾
Ñ ÒØ ÖÖ ÐÓ׸ ½¿ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÒØÖ Tree Node<T> Ý
Ñ ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ½¿ BinNode<Key>¸ ¾ ¾
Ñ ÒØ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ò Ñ ×¸ ÓÖØ
½¼ Ô ¸
Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ò Ñ ÑÓÖ ¸ ½¿¿ Ú ÐÓÖ ­Ù Ó¸ ¿
ÓÐ × ÔÖ ÓÖ ¸ ¿¼ ÓÖØ ÙÒ Ö ¸ ¾
ØÙ Ð Þ ÓÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ¸ ¿¼ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸
ÓÑÔ Ö ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¾ Ð ÙÐÓ ¸ ¼½
ÓÑÔ Ö Ý Dlink¸ ½ ÓÖØ × Ö ¸ ¾
ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ö Ó¸ ¿ Ó×Ø Ò ×Ô Ó Ð ÓÖ ØÑÓ× Ú Ö Óѹ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÖØ ¸ Ò Ö¸ ½
¼ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ× ÙÒ ¹ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ ¾
Ö Ó¸ ß Ó×ØÙÑ Ö × ÓÖÖ Ø ØÙ
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ò ÓÒ ÜÓ× ÙÒ Ö Ó¸ ¿ ÐÓ Ó ÀÓÐØÞÑ ÒÒ¸ ¾¼
ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ ØÓ׸ ¿ ¿ß¿ ÈÖ ÙÒØ × Ø ØÙ Ò Ö × Î Ò Ð ¸
ÓÒ Ø Ò ÓÒ Ö ÓÐ × Ð ØÓÖ Þ Ó׸ ¼ ¾½¿
ÓÒ ÓÒ ÖÓ ¸ ½¿ ÖØ Ð ÓÖ ØÑÓ׸ ½
ÓÒ ÓÒ Ò Ö ¸ ½¿ ÖØ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ù×ÕÙ ¸
ÓÒ Ø Ú ¸ ¾¼ ´¿ ¸ ¿
ÒØÖ Ö Ó׸ ÖØ Ð Ñ Ö ×ÓÖظ ½
ÒØÖ Ö Ó׸ ½ ÖØ Ð ÕÙ ×ÓÖظ ½

910. 884 ´
INDICE
LhashTable<Key>¸ ¼ Ó×Ø Ò ×Ô Ó¸ ½
ÙÑÔÐ ÒÓ׸ ¼½ Ñ ÐÐÓ ¸ ¾¾¾
¸
DynArray<T>
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð¸ ½
¸ ¾¾¿ ÝÒË ØÌÖ ¸ ¿ ¼
ÐÓ ¸ ¾½
Í ¸ ¾½ ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾
ÐÓ Ó ÀÓÐØÞÑ ÒÒ¸ ¾¼ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ¼¼
Ù ÓÒ¸ ¾¿ Ð Ñ Ò ÓÒ
Ðظ¿ Ò ¸¿ ¾
ÔÙÖ ÓÖ ×¸ ¾¾¿ Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ ¿ ¾
× ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó¸ ½ Ð Ñ Ò ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ¿¿
× ÑÔ ÒÓ ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò ¹ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ½¾
Ó׸ ¿ ½ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÐ ¸ ½¾
×ØÖÓÝÊ ¸ ¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙÖ× ÓÒ ÔÓÖ ÑÙÐ ÓÒ
×ØÖÙ ÓÒ ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× Ø Ú ÓÒ¸ ½¾
Tree Node<T>¸ ¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð × Ð Ò Ð¸ ¼
×ØÖÙ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾ Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ü¹
×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØÙ Ð × Ø Ò Ó׸ ¿ ¼
ÔÖÓ Ð Ñ ¸ Ð Ñ Ò ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
Ø ÓÒ ÐÓ× Ò Ø ÚÓ׸ ¿ ÜØ Ò Ó׸ ¿ ¼
ÛÝ Ð Ñ Ò ÓÒ ØÓØ Ð Ð Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ½¿¼
Ù×ÕÙ Ò Tree Node<T>¸ ¾ ¼ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ´ ¾¼¸
ÒÓØ ÓÒ Ô Ö Ö ÓР׸ ¾ ¾
¸ ¾ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó¸ ¼
Ñ ØÖÓ ÙÒ Ö Ó¸ ¿ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ØÖ Ô¸ ¼
Ö Ñ ÍÅÄ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ¸ ½½
Ä ×Ø × Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×¸ Ô ÖØ Ó¸ ½¾
ÓР׸ ½¿¾ Ö ÒÐ Ñ Ü Ñ ¸ ½½
Ö Ó¸ ¾ Ñ Ü ÑÓ¸ ½¾
ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׸ ß Ô Ö ØÓ¸ ½¾
Ò Ð Ö¸ ¾½
Ö Ó׸ ß ÒÐ Óи
ÓÒ Ø Ú ¸ ÒÐ × ÑÔÐ ¸
ÒÚ Ö× ÓÒ¸ Ò× Ò ÒÞ
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó¸ ¼ß Ø ÑÓÐÓ ¸
ÔÐ Ò ¬ ÓÒ¸ ÒÙÑ Ö ÓÒ Ö ÓР׸ ¿¾¼
Ö Ó× Ð Ó׸ ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö ØÓ Ï ÖØ ¸
×ØÖ ÕÙ Ú Ð Ò
Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׸ ½½ß ¾¼ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¾
ÌÖ ÔÐ Ô ÖØ ÓÒ Ð ÕÙ ×ÓÖظ ½ ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ Ö Ý ÓÖØ ¸ ¿
ÔÓÐÓ׸ ½¿¾ ÖÖÓÖ × Ñ ÑÓÖ
×Ô Ö× ÓÒ Ò× Ö Ø Ö ×¸ ½ ×Ó Ù Ö ÐÓÕÙ ¸ ¾¾½
×Ô Ö× ÓÒ ÔÓÖ Ú × ÓÒ¸ Ù ¸ ¾¾½
×Ô Ö× ÓÒ ÔÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ¸ ×Ø Ð
×Ô Ö× ÓÒ ÙÒ Ú Ö× Ð¸ ½ Ò ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ½
Ú Ö ÓÑ Ò Ö¸ ½ ¼ Ñ Ö ×ÓÖظ ½

911. ´
INDICE 885
×Ø ÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ¼¼ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÑÔÙ ÔÖ ¹
×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ× ­Ù Ó¸
ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð¸ ½ ß¾½ Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÔÖ ¹­Ù Ó¸ ¿
Ø ÑÓÐÓ Ú ÐÓÖ × Ò Ð × ÐØÙÖ ¸
ÑÓÖØ Þ Ö¸ ¾¼ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÓÖ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó
Ò Ð × ×¸ ½ Ò Ö Ó ÔÓÖ Ö Ó׸
Ð ÒÞ ¸ ¿ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÑÔÙ Ý ÔÖ ¹­Ù Ó¸ ¾
Ö ØÓ¸ ¾¼ Ð ÓÖ ØÑÓ× ÔÖ ¹­Ù Ó
ÖØ ¸ ½ ÐØÙÖ ÒÓ Ó¸ ¿
Ò Ö ¸ ¾¼¾ ÐØÙÖ ÒÓ Ó¸ ¿
ÕÙ Ð Ö Ó¸ ¿ Ò Ð × × Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó ÔÖ ¹
Ò Ö Ó¸ ½ ­Ù Ó¸ ¾
Ò ÐÓ ¸ ¾ ½ Ð ÙÐÓ Ð ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸ ¼½
Ò Ö Ð¸ ½ ÓÒ Ô × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ¼
Ö Ó¸ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸ ¾
Ñ ØÓ Ó¸ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ ÓÐ Ð ØÓÖ ¸
Ó ØÓ¸ ¾
ÔÓÐ ÑÓÖ Ó¸ ½¿ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ ÓÐ ÔÖ ÓÖ ¹
ÔÓØ Ò ¸ ¾¼¾ ¸
Ö ÙÖÖ Ò ¸ ¾ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ ÓÐ Á Ǹ
Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ¾ ÑÔÙ ÔÖ ¹­Ù Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ ×Ø Ò¹
× ÒØ × ×¸ ½ ¸
×Ù ØÓ¸ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò Ö Ó
Ú ÐÙ ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ × Ò¬ ׸ ½½ ÔÖ ¹­Ù Ó¸ ¼
Ú ÐÙ ÓÒ ÜÔÖ × ÓÒ ×Ù¬ ¸ ½½ ÒÓ Ó Ø ÚÓ¸ ¾
Ü ×Ó ­Ù Ó¸ ¿ ÔÖÓÚ × ÓÒ ­Ù Ó¸ ½¼
ÜÔ Ò× ÓÒ Ø Ð × Ð Ò Ð¸ ¿ Ö Ù ÓÒ × ÙÒ Ö ÒÓ¹ Ö ¸
ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¿ ¿ ¼
Ð ÙÐÓ Ð ÔÓ× ÓÒ Ò¬ ¸ ¿ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ
ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÓ× Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× × Ñ ÓÐÓ× × Ò ÓÒ¸ ¸
× ÑÔ ÒÓ¸ ¿ ½ Ò × ÔÖÓ Ù ÓÒ¸
ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÓ× Ö ÓÐ Ò Ö Ó × Ñ ÓÐÓ× Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ò ÓÒ¸ ¸
Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú ¸ ¿ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ¿
ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ × ÓÖ Ó¸ ¿
× Ð ÓÒ¸ ¿ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ» ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸ ¸ ¼½
­Ù Ó Ö Ð Þ Ð ¸ ½¼
ÓÒ ¸ ½¾ ­Ù Ó× Ó×Ø Ñ Ò ÑÓ¸ ¾ ß
¬Ò¸ ¾¾ ÓÒÚ Ö× ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸ ¾
­ Û¬Ò Ö¸ ¾½ ÓÖÑ ×Ø Ò Ö ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸ ¾
ÐÓÝ ¹Ï Ö× ÐÐ ÓÖÑ ÓÐ ÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸
Ñ ÒÓ× Ñ Ò ÑÓ׸ ¾¼ß ¾ ÓÖØÖ Ò¸ ½
­Ù Ó Ù ÒØ ¸ ¸ ¿
Ø ÓÖ Ñ × ÓÑÔÓ× ÓÒ¸ ½ Ù × Ñ ÑÓÖ ¸ ¾¾½
Ú ÐÓÖ ¸ ÙÒ ÓÒ ÓÒ ¸ ½¾
­Ù Ó Ø Ð ¸ ÙÒ ÓÒ ×
­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ ÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒ¸

912. 886 ´
INDICE
Ñ ØÓ Ó Ú × ÓÒ¸ Ô Ü ÐÙ× ÚÓ¸ ¼¾
Ñ ØÓ Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ¸ Ô׸ ¿¼½
ÙÒ ÓÒ × × ¸ ÓÒ ÖÖ ÐÓ׸ ¿¼¾
Ô×ÓÖظ ¿¼
¸ ¾¾¿ Ö Ò ¸ ½½
Ò Ö Ó¸ ½ Ø ÔÓ׸ ½¾
Ò Ö ÓÒ ÙÒ ÒÓ Ó¸ ¾ Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ ¸ ½¿
Ò Ö Ð¸ ½ ÙÖ ×Ø
Ö Ó Ñ ÒÓ Ñ × ÓÖØÓ¸ ¾¾
ÙÒ Ö Ó¸ ¾ Ð Ó Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ´¾ ¸ ¾
Ö Ó ÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ × ¸
Ö ÓÐ Ö ÓÖ¸
Ô ÖØ Ó¸ ÀÓÐØÞÑ ÒÒ¸ ¾¼
Ñ ÒÓ¸ ¾ ÀÙ«Ñ Ò
ÐÓ¸ ¾ Ó Ó׸ ¿ ¿ß¿
Ð ÕÙ ¸ Ó ¬ ÓÒ Ø ÜØÓ¸ ¿ ½
ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ¸ ¿ Ó ¬ ÓÒ¸ ¿
ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ¸ ¾ Ò Ö ×Ó Ö Ù Ò ×¸ ¿ ¼
ÓÑÔÐ ØÓ¸ ¾ ÓÔØ Ñ ÓÒ¸ ¿ ¿
ÓÒ Ô ×Ó׸ ½
ÓÒ ÜÓ¸ ¾ Ò ÒØ ÓÒ
Ö Ó¸ ¾ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÓР׸ ¾
Ò ÓÒ ÜÓ¸ Ò Ù ÓÒ¸ ¾¿
ÒÓ Ó× LhashTable<Key>¸ ¼
Ø Ö ÓÖ Ö Ó׸ Ò× Ö ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ ¿¿
Ø Ö ÓÖ ÒÓ Ó׸ Ò× Ö ÓÒ Ò Ö Þ
×Ù Ö Ó¸ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ ¿ ¿
ØÓØ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÜÓ¸ ¾ Ò ¸¿ ¿
Ö Ó× Ò Ò ÖÓ Ù×ÕÙ ÜØ Ò Ó¸ ¿
ÓÐÓÖ ÓÒ¸ Ò× Ö ÓÒ Ò Ø Ð × ÓÒ Ö ×ÓÐÙ ÓÒ
ÓÒ Ø Ú ¸ ½ ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô¹
ÓÖØ ¸ ¾ Ö Ó¸ ¼
¬Ò ÓÒ ÓÖÑ Ð¸ ½ Ò× Ö ÓÒ Ò Ø Ð × Ð Ò Ð¸ ¼
Ñ ØÖÓ¸ ¿ Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó ÜØ Ò¹
ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ¸ ½½ Ó¸ ¿
Graph Node<Node Type>¸ ½ Ò× Ö ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó×
ÜØ Ò Ó׸ ¿
Ô Ò× Ö ÓÒ Ò Ö Þ
BinHeap<Key>¸
¿½¾ Ò ¸¿
ÔÐ ÓÒ ×¸ ¿½¼ Ò× Ö ÓÒ
ÓÐ × ÔÖ ÓÖ ¸ ¿¼ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ½ ¸ ½
ØÙ Ð Þ ÓÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ¸ ¿¼ Ò× Ö ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó¸
ÓÒ Ö ÓР׸ ¿½¾ Ò× Ö ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ö ÓÐ ÖÓ Ó¹Ò ÖÓ¸ ´ ½ ¸
ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ¿½¾ ¾¼
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¿¼ Ò× Ö ÓÒ Ò ØÖ Ô¸
Ò× Ö ÓÒ¸ ¿¼¿ ÒØ Ö ÓÖ ¬ÐØÖÓ
Ô Ö Ó× Ñ Ò ÑÓ׸ ¼¾ Ö Ó× ÒÓ Ó¸ ¼

913. ´
INDICE 887
Ö Ó× ÙÒ Ö Ó¸ ½¼ Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × Ò Ñ ×¸ ¿
ÒØ Ö Þ Ð ÙÒ ÓÒ × ¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ×
ÒÚ Ö ÒØ ×¸ ¾½ DynSlist<T>¸
ÁØ Ö ÓÖ ÒÐ × ÑÔÐ ¸
Ö Ó× ÙÒ Ö Ó Ø Ö ÓÖ¸ ¿
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ ¼ ÒÓ Ó × ÑÔÐ ¸ ½
Ö Ó× ÙÒ ÒÓ Ó Ö Ó¸ Slink¸ ¸ ½
ÒÓ Ó× ÙÒ Ö Ó Slist<T>¸ ¾
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ Ð ×Ø × Ý Ò ¸
Ð ×Ø Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ ¾ Ò List Graph<Node, Arc>¸ ½
×Ó Ö Dlink¸ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸
×Ó Ö Dnode<T>¸ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö ÓР׸ ¾ ¼
Ø Ö ÓÖ List Graph<Node, Arc>¸
Ö Ó× ÙÒ ÒÓ Ó Ö Ó¸ × Ò ÓÒ¸
ÒÓ Ó× ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó¸ ÓÒ×ØÖÙ ÓÒ¸
Ð ×Ø × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÐ Þ ¸ ¿ ×ØÖÙ ÓÒ¸
ÁØ Ö ÓÖ Ö Ó× ×Ó Ö ÙÒ ÒÓ Ó ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð ÓÔ Ö Ó׸ ¼¼
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ¸ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ Ö Ó׸
Ø Ö ÓÖ ×¸ ¾ß
Ø Ö ÓÖ × ¬ÐØÖÓ׸ ¼ ß ½¼ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÓ¹
Ø× ¸ ¾½ Ó׸
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ò× Ö ÓÒ Ö Ó׸
Ke(G)
Ð ÓÖ ØÑÓ¸ ¾½ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ò× Ö ÓÒ ÒÓ Ó׸
Ð ÙÐÓ¸ ¾½
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ð ÑÔ Þ ÙÒ Ö Ó¸
Ke(G)¸ ¾¾
ÃÓÖ ×Ù ÑÔÐ ÒØ ÓÒ Ð Ñ Ô Ó ÒÓ Ó× Ý Ö¹
Ð ÓÖ ØÑÓ Ð ÙÐÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ × Ó× ÙÒ Ö Ó¸
Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׸ Ð Ú ÐÓ ¸ ¾½
ÃÖÙ× Ð¸ ÐÓ Ð Ö Ö Ò ¸ ¾¾ ¸ ¾¿¼
Ò Ð × ×¸ ¼½ ×Ô Ð¸ ¾¾ ¸ ¾¿¼
ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ ¼½ Ø ÑÔÓÖ Ð¸ ¾¾ ¸ ¾¿¼
Ð ÞÓ¸ ¾ ÐÓÒ ØÙ
ÐÑ Ð Ñ ÒÓ Ò Ö ÓР׸ ¾
Ð ÙÒ ÙÒ ØÖ Ô¸ ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ
Ð Òظ ¾½ ¬Ò ÓÒ¸ ¾
Ð ×Ø × ÜØ ÖÒÓ
Ó Ð Ñ ÒØ ÒÐ Þ × ÓÖÑÙÐ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ñ ÒÓ Ò¹
Dlink¸ Ø ÖÒÓ¸ ¾
Dlist<T>¸
ÒØ ×¸ ¾
Dnode<T>¸
ÒØ ÖÒÓ
DynDlist<T>¸ ¿
Ð Ñ Ø ×¸ ¾
ÒÐ Óи ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÖÒ ÔÓÒ Ö ¸ ¿
Ø Ö ÓÖ¸ ¾ ÄÙ × Û Þ¸ ¿¾½
ÒÓ Ó Ó Ð ¸ Ñ Ü ÑÓ ÑÔ Ö Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ó¸ ½½ß ½

914. 888 ´
INDICE
Ñ ØÓ Ó Ú × ÓÒ ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ × ¸ ¸¾
Ñ ØÓ Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ Ò Ö ÓÒ ¸ ¾
׸ Ö Ó ÙÒ ÒÓ Ó Ò Ö Óи ¾
Ñ ØÓ Ó× Ú ÖØ٠и ½¿ ÒÓ Ó Ò ÒØ ¸ ¾
Ñ Ò ÑÓ Ó×Ø ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸ ¾ ÒÓ Ó Ø ÚÓ¸ ¾
Ñ ÖÓ× Ô Ö Ö Ó׸ ÒÓ Ó Ý ÒØ ¸ ¾
Ñ Ô¸ ¾½ ÆÓ Ó ÙÒ Ö Ó¸ ½
Ñ Ô Ó¸ ¾½ ÒÓ Ó ÜØ ÖÒÓ
Ö Ó׸ ÒØ Ò ÙÒ Ö Óи ¾
ÒÓ Ó׸ ¬Ò ÓÒ¸ ¾
Ñ Ô Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸ ÒÓ Ó × ÑÔÐ ¸ ½
Ñ ÔÔ Ò ¸ ¾½ ÒÓØ ÓÒ
Ñ Ø Ò ¸ ½½ Û Ý¸ ¾
Ñ Ø Ñ Ø × ×Ó Ö Ö ÓР׸ ´¾ ¸ ¿¿¼ ÒÓØ ÓÒ O¸ ½ ß½ ¼
Ñ ØÖ ×¸ ½ O
Ñ ØÖ Þ ¬Ò ÓÒ¸ ½
Ð ÙÐÓ Ö ÓÒ¸ ½ o¸ ½ ¼
Ò ÓÖØÖ Ò¸ ½ Ω¸ ½ ¼
Å ØÖ Þ Ý Ò ¸ ω¸ ½ ½
Ñ ØÖ Þ Ý Ò ¸ Θ¸ ½ ½
Ñ ÑÓÖÝ Ð ×¸ ¾¾½ ÒÓØ ÓÒ Ò¬ ¸ ½½
Ñ Ö ×ÓÖØ ÒÓØ ÓÒ ÔÖ ¬ ¸ ½½
Ò Ð × ×¸ ½ ÒÓØ ÓÒ ×Ù¬ ¸ ½½
ÖØ ¸ ½ ÒÙÑ ÖÓ ¸ ¾
Ñ Ø ¹ ÓÑÔ Ð ÓÒ¸ ¾½
O¸ ½ ß½ ¼
ÑÞÐ
Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ½ ¾ß½ Ð Ö O¸ ½ ¾
ÑÞÐ ÖÖ ÐÓ׸ ½ ¾ Ò Ð × × Ð ÓÖ ØÑÓ× Ñ ÒØ O¸ ½ ¾ß
ÑÓ ¬ ÓÖ¸ ½
ÑÙÐØ ÓÒ ÙÒØÓ¸ ¾½ ÖÖÓÖ ×¸ ½
o¸ ½ ¼
ÑÙÐØ Ö Ó¸
ÑÙÐØ Ö Ò ¸ ½¿ Ó × ÖÚ ÓÖ¸
ÑÙÐØ Ð ×Ø ×¸ ½ ½ Ó ÙÐØ Ñ ÒØÓ Ò ÓÖÑ ÓÒ¸ ¾
Ω¸ ½ ¼
ÑÙÐØ Ñ Ô¸ ¾½
ω¸ ½ ½
ÑÙÐØ ÔÓÔ¸ ½½½
ÑÙÐØ × Ø¸ ¾½ ÓÔ Ö ÓÖ
Ðظ¿
ÒÙÑ ÖÓ Ø Ð Ò¸ ¿¾ ß¿¿¼ Ò Û¸ ¿½¸ ¿
ÆÙÑ ÖÓ ÛÝ ÓÖ Ò
Ð ÙÐÓ¸ ¾ ¼ ÙÒ Ö Óи ¾
ÒÙÑ ÖÓ× ÓÒ ¸ ½¾ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ
Ò Ò ¸ ¾½ ß¾¾¼ ×Ø Ð ¸ ½
Net Graph<TNode,TArc,T>¸ Ò× Ö ÓÒ¸ ½ ¸ ½
Ò Û¸ ¿½¸ ¿ Ñ Þ Ð ¸ ½ ¾ß½
Ò Ú Ð ÙÒ ÒÓ Ó Ò ÙÒ Ö Óи ¾ × Ð ÓÒ¸ ½ ¾ß½
Node Arc Iterator¸ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ö Ó× ×Ó Ö ÙÒ Ö Ó¸ ¼½
ÒÓ Ó ÇÖ Ò Ñ ÒØÓ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ½

915. ´
INDICE 889
ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓÔÓÐÓ Ó¸ ¼ß ÔÖÓ ÐÑ ×ØÖÙ ØÓÖ × Ú ÖØ٠Р׸
ÓÖ ÒØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ¸ ¿
Ð ÓÒ ÔØÓ¸ ¾¾ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÖ × ÓÖ Ó¸ ¿
Ð ­Ù Ó¸ ¾¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ×
ÐÓ× ØÓ׸ ¾½ ØÓ׸ ½
ÔÖÓ¬Ð Ò ¸ ¾¾
ÔÖ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ð Ò Ð¸ ¼ß ¾
ÙÑÔÐ ÒÓ׸ ¼½ ÓÒÚ Ö× ÓÒ × ÙÒ Ö Ô Ø ¸
È Ö ØÓ Î Ð Ö Ó¸ ¾¾ ¾
Ô ÖØ ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¿¿ ÓÖÑ ×Ø Ò Ö¸ ¾
Ô ÖØ ÓÒ ¸ ¿¿ ÓÖÑ ÓÐ ¸
Ô ÖØ ÓÒ ¸¿ ÓÖÑ ×Ð ¸
Ô ÖØ ÓÒ Ð ÕÙ ×ÓÖظ ½ × ÑÔРܸ
Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ Ð Ú Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ü¹ ÔÖÓÔ × ÑØÑØ × ÐÓ× Ö ÓР׸
Ø Ò Ó׸ ¿ ´¾ ¸ ¿¿¼
Ô ÖØ ÓÒ ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ÔÖÓÜݸ
¿ ÔÖÙ Ð ¸ ½
Ô ×Ó Ù ÓÒ¸ ½ ½ ÔÖÙ ÓÒ Ø Ú ¸ ½ ¸
Ô Ö¬Ð ¸ ¾¾ ÔÖÙ Ü ×Ø Ò Ñ ÒÓ¸ ¾½¸ ½
ÔÐ ÔÙÒØ ÖÓ× Ý ÖÖ ÐÓ¸ ¿½
Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ò Ñ ÑÓÖ ¸ ½¼ ÔÙÒØÓ ÖØ ÙÐ ÓÒ¸ ¿
ÔÐ × ÔÙÒØÓ ÓÖØ ¸ ¿
ÓÒ ÖÖ ÐÓ׸ ½¼ Ô ÒØ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸ ¾
ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ½½¾ ÔÙÒØÓ× ÓÖØ
ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ × Ò Ñ ×¸ ½½ ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸ ¼
ÐÐ Ñ × ÔÖÓ Ñ ÒØÓ׸ ½¾¾ Ñ Ô Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸
Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ½¾¾
Ô ÒØ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ × ÓÒ ÜÓ׸ ¾ ÕÙ ×ÓÖظ ½ ß¾¼¼
Ô ÚÓØ Ò Ð × ×¸ ½
× Ð ÓÒ Ò Ð ÕÙ ×ÓÖظ ½ ¾ Ð Ú × Ö Ô Ø ×¸ ½
ÔÐ ÒØ ÐР׸ ½ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ½
ÔÐ Ó Ð Ú Ò ÙÒ ÓÒ × ¸ ÖØ ¸ ½
ÔÓÐ ÑÓÖ¬×ÑÓ¸ ½¿ × Ð ÓÒ Ð Ô ÚÓØ ¸ ½ ¾
ÖÒ ¸½ × Ò Ö ÙÖ× ÓÒ¸ ½ ¿
×Ó Ö Ö ¸ ½ ØÖ ÔÐ Ô ÖØ ÓÒ ×ØÖ ¸ ½
ÔÓÐ ÒÓÑ Ó× ÕÙ ×ÓÖØ ÓÒ ÙÖÖ ÒØ ¸ ½
ÑÔÐ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ð ×Ø × ÒÐ Þ ×¸ ½¼¼ ÕÙ ×ÓÖØ Ô Ö Ð ÐÓ¸ ½
×ÙÑ ¸ ½¼¿
ÈÖ ÙÒØ × Î Ò Ð ¸ ¾½¿ Ê Ò¹Ã ÖÔ
ÈÖ Ñ¸ ¼¾ Ù×ÕÙ ×Ù ¹ Ò ×¸ ¿
Ò Ð × ×¸ ¼ ÖÔ Ó
ÓÖÖ Ø ØÙ ¸ ¼ Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ¾¼¼
ÔÖ Ò Ô Ó realloc¸ ½
È Ö ØÓ¸ ¾¾ Ö ÓÖÖ Ó
Ð ¼¹¾¼¸ ¾¾ Ò¬ Ó
ÔÖ Ò Ô Ó ¬Ò¹ ¹¬Ò¸ ¾¾ ×Ó Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾
ÔÖ ÓÖ × ÑÔÐ Ø × Ò ØÖ Ô׸ ÔÓÖ Ò Ú Ð ×

916. 890 ´
INDICE
×Ó Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾ ¸ ¾ ¼ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ ¹ ÙÐ Ö×ÓÒ¸ ¿
ÔÖ ¬ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓÒ ×¹Ã ÖÔ¸
×Ó Ö Ö ÓÖ × Ò ¸ ¾ ¼ Ñ ÒÓ× ÙÑ ÒØÓ¸
×Ó Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾ ÓÒ Ô × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ¼
×Ù¬ Ó ÓÒ Ö Ó× ÒÓ¹ Ö Ó׸ ¼
×Ó Ö Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¾ ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸
×Ó Ö Ö ÓÖ × Ò ¸ ¾ ¼ ÓÖØ ×¸ ¾
Ö ÓÖÖ Ó Ò ÑÔÐ ØÙ ¸ ½ ¬Ò ÓÒ ×¸ ¿
Ö ÓÖÖ Ó Ò ÔÖÓ ÙÒ ¸ ½¼ ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ¸
Ö ÓÖÖ Ó ÒÓÖ Ò¸ × Ö ÓÖÖ Ó Ò¬ Ó Ò Ö Ñ ÒØÓ ­Ù Ó ÔÓÖ Ñ ÒÓ Ù¹
Ö ÓÖÖ Ó ÔÓ×ØÓÖ Ò¸ × Ö ÓÖÖ Ó ×Ù¬ Ó Ñ ÒØÓ¸ ¾
Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ÓÖ Ò¸ × Ö ÓÖÖ Ó ÔÖ ¬ Ó Ñ Ò Ó Ú Ö Ó× Ù ÒØ × Ó ×ÙÑ ÖÓ׸
Ö ÓÖÖ Ó×
×Ó Ö Ö ÓÖ × Ò ×¸ ¾ ¼¸ ¾ ÓÔ Ö ÓÒ × ØÓÔÓÐÓ ×¸
Ö ÓÖÖ Ó× Ô× Ù Ó¹ Ð Ó× ×Ó Ö Ö ÓÐ × ¹ Ö Ö × Ù Ð¸
Ò Ö Ó׸ ¾ Ö × Ô Ø × ÓÒ ÔÖÓÚ × ÓÒ ­Ù Ó¸ ½¼
Ö ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¾ ¿ Ö × Ô Ø × Ò Ö Ð Þ ×¸ ¿
Ö ÓÖÖ Ó× ×Ó Ö Ö Ó׸ ¼ ß Ê × ÓÒ Ö ×ØÖ ÓÒ × Ð Ø Ö Ð ×¸
Ö ÙÖ× ÓÒ Ö × ­Ù Ó¸ ¿ß ¼
ÓÒ× Ó׸ ½¾ Ö ÙÐ ÓÒ ×¸ ½
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ½¾ Ö × ÔÖÓ × Ñ ÒØÓ¸
ÑÙÐ ÓÒ ÐÓ× Ö ×ØÖÓ× Ø ¹ Ê × ÑÙÐØ ¹­Ù Ó¸
Ú ÓÒ¸ ½¾ Ö Ù ÓÒ × Ð ­Ù Ó Ñ Ò ÑÓ¸ ¼ ß ¾
Ð Ñ Ò ÓÒ ØÓØ Ð¸ ½¿¼ Ö ×ØÖÓ Ø Ú ÓÒ¸ ½¾
Ô Ð ×¸ ½¾¾ Ö Ð
Ö ÙÖ× ÓÒ ÓÐ È Ö ØÓ¸ ¾¾
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ½¾ Ð ¼¹¾¼¸ ¾¾
Ö ¸ ¿ Ö Ð ÓÒ
ÓÖØ ¸ ¾ × Ñ ØÖ ¸ ½
Ö × Ù Ð¸ Ö Ð ÓÒ Ö Ó¸ ¿¼
Ö Ö× ÙÐ Ö ÑÓÚ ÐÐ Ò Ð Ø ´µ¸
ÒÖ Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×¸ ¾ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÓÐ ×
Ö Ô Ø ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ó׸ ¾
Ð ÙÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ ½ Ò ÒØ ÓÒ¸ ¾
Ö Ô Ø ÓÒ Ó×Ø ×¸ ¾ × Ù Ò Ô Ö ÒØ Þ ¸ ¾
Ö ÓÒ Ô × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó׸ ¼ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÓÐ × ÓÒ ÖÖ ÐÓ׸ ¾ ½
Ö Ö × Ù Ð¸ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ Ö ÓÐ × ÓÒ Ð ×Ø × Ò¹
Ö × Ð Þ ×¸ ¾ ¼
Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ Ê ÔÖ × ÒØ ÓÒ ÙÒ Ö ÓÐ Ö ÓÖ Ò ÙÒ
Ò Ö Ñ ÒØÓ ­Ù Ó¸ ¾ ÖÖ ÐÓ¸ ¿½
Ô ¸ ¿ Ö ÔÖ × ÒØ ÓÒ × Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ ÓÐ ¸
Ù ÒØ ¸ ¿ ½¿¿
ÔÖ ¹­Ù Ó¸ ¾ ÖÓØ ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó׸ ¿ ½
×ÙÑ ÖÓ¸ ¿ ÖÓØ ÓÒ Ò Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò Ó׸ ¿ ¿
Ú ÐÓÖ ­Ù Ó¸ ¿
Ö × Ô Ø × × Ù Ò Ô Ö ÒØ Þ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö ÓР׸
¾

917. ´
INDICE 891
Ë Û ¸ ¼¿ Ò Ð × ×¸ ¾¼
× Ð ÓÒ Ö ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ñ ÒØÓ¸ ¿¼
Ñ ØÓ Ó ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ ½ ¾ß½ Ö Ù×Ø Ñ Ò× ÓÒ¸ ¿¼
ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó¸ ¿ ×ÙÔ ÖØÖ Þ ¸
× Ð ÓÒ Ø Ð × × Ð Ò Ð ×¸ ¿¿ß
ÔÓÖ ÔÓ× ÓÒ Ò ÖÖ ÐÓ¸ ½ Ù×ÕÙ ¸ ¿
×Ó Ö ÖÖ ÐÓ׸ ½ Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¼
× Ø¸ ¾½ ÜÔ Ò× ÓÒ¸ ¿ ¸ ¿
× Ø ÓÛÒ¸ ¿¼ Ò× Ö ÓÒ¸ ¼
× Ø ÙÔ¸ ¿¼¿ Ø Ð × × Ô Ö Ø ×¸ ¾
×ÑÐ Ö Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¾ Ì
× ÑÔРܸ ß ¾ Ady Mat<GT, Entry>¸ ß
× ÑÔÐ Ü Ö × ­Ù Ó´¸ Bit Mat Graph<GT>¸ ß ½
× ÑÔÐ Ü Ö × ­Ù Óµ¸ DynMapTree<Tree, Key, Range, Compare>¸
Ë Ò ¸ ËØ Ú Ò¸ ¾¾¿ ¿ ß¿ ¿
×Ð List Graph<Node, Arc>¸
Ò Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØÓ¸ Map Matrix Graph<GT>¸
ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ò Ð¸ Matrix Graph<GT>¸ ¿ß
Slink¸ ArrayStack<T>¸ ½¼ ß½½¾
×ÓÒ Ó ArrayQueue<T>¸ ½¿ ß½¿
Ð Ò Ð¸ ½ Avl Tree<Key>¸ ß¼
×ÓÒ Ó Ð BinNode<Key>¸ ´¾ ¸ ¾ ¾
Ò Ð × ×¸ ½ BinNodeXt<Key>¸ ´¿ ¿¸ ¿ ¿
×Ù Ö Ó ÙÒ Ö Ó¸ BinTree<Key>¸ ´¿¿ ¸ ¿
×ÙÑ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó׸ ½¼¿ Dlink¸ ß
×ÙÑ ÖÓ¸ ¸ ¿ Dlist<T>¸ ß ¿
×ÙÔ ÖØÖ Þ ¸ ¾½ ¸ Dnode<T>¸ ß
×ÙÔÖ × ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ó Ù×ÕÙ ¸ DynArray<T>¸ ½ß ½
´¿ ¾¸ ¿ ¿ DynDlist<T>¸ ¿ß
×ÙÔÖ × ÓÒ Ò Ö ÓÐ Ð ØÓÖ Þ Ó¸ ¼ DynListQueue<T>¸ ½ ¼ß½ ½
×ÙÔÖ × ÓÒ Ò ØÖ Ô¸ ¼ DynListStack<T>¸ ½½ ß½½
DynSlist<T>¸ ß
Ø Ð × ListQueue<T>¸ ½¿ ß½ ¼
ÓÐ ÙÖ ×Ô Ö× ÓÒ¸ ListStack<T>¸ ½½¾ß½½
ÒØ Ö Þ Ð ÙÒ ÓÒ × ¸ Rand Tree<Key>¸ ß ¾
ÔÐ Ó Ð Ú Ò ÙÒ ÓÒ × ¸ Rb Tree<Key>¸ ½ ß ¾
Ø Ð× × Slink¸ ß ½
×Ô Ö× ÓÒ Ò× Ö Ø Ö ×¸ ½ Slist<T>¸ ¾ß
×Ô Ö× ÓÒ ÙÒ Ú Ö× Ð¸ ½ Snode<T>¸ ½ß ¾
ÙÒ ÓÒ ×¸ Splay Tree<Key>¸ ¿¾ß ¿
ÙÒ ÓÒ × × ¸ Treap<Key>¸ ß ¾
Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ ×¸ ¼½ Tree Node<T>¸ ´¾ ¿¸ ¾
Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÖØÓ¸ ½ ÌÖ Ò
Ò Ò Ñ ÒØÓ¸ ¼¿ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ð ÙÐÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ ×
Ò Ò Ñ ÒØÓ × Ô Ö Ó¸ ¼¿ Ù ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÜÓ׸
Ñ Ò Ó ÓÐ × ÓÒ × ÔÓÖ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ø ÑÔÐ Ø ×¸ ½
ÖØÓ Ý ×ÓÒ Ó Ð Ò Ð

918. 892 ´
INDICE
Ø ÓÖ Ñ
× ÓÑÔÓ× ÓÒ ­Ù Ó¸ ½
Ø ÓÖ Ñ Ð ­Ù Ó Ñ Ü ÑÓ» ÓÖØ Ñ Ò ÑÓ¸
Ø ×Ø Ð ¸ ½
Θ¸ ½ ½
ØÖ× Ò¸
Ø ÔÓ× ×ØÖÙ ØÙÖ ØÓ׸ ¾½
Ø ÔÓ× ÖÖÓÖ ×¸ ¾¼
ÌÓÑ Î Ò Ð ¸ ¾½¿
ÌÖ Ô
¬Ò ÓÒ¸
ØÖ Ô׸ ß
Ò Ð × ×¸ ¾ß ¿
Ð Ñ Ò ÓÒ¸ ¼
Ò× Ö ÓÒ¸
ÔÖ ÓÖ × ÑÔÐ Ø ×¸
Tree Node<T>
Ù×ÕÙ ÔÓÖ ÒÙÑ ÖÓ Û Ý¸ ¾ ¼
ÓÒÚ Ö× ÓÒ BinNode<Key>¸ ¾ ¾
×ØÖÙ ÓÒ¸ ¾
ÑÓ ¬ ÓÖ ×¸ ¾
Ó × ÖÚ ÓÖ ×¸ ¾
Ó × ÖÚ ÓÖ × Ö ÓÖ × Ò ×¸ ¾
Ö ÓÖÖ Ó׸ ¾
ÍÅĸ ½¼
ÙÒ ÓÒ Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¿
ÙÒ ÓÒ ¸¿
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ö ÓÐ × Ò Ö Ó׸ ¿ ½
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× ÜØ Ò ¹
Ó׸ ¿
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú ¸¿ ½
ÙÒ Ù ÓÒ¸ ½ ½
ÙÒ ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ö ÓÐ × Ò Ö Ó× Ð ØÓÖ ¹
Þ Ó׸ ¼
Ú ÐÓÖ ­Ù Ó¸ ¸ ¿
virtual¸ ½¿
Ï Ö× Ðи ¾¿
Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ð Ð Ù×ÙÖ ØÖ Ò× Ø Ú ¸
½
Ï ÖØ
ÕÙ Ð Ö Ó Ô Ö ØÓ¸

919. ´
Indice de identificadores
Activation Record ½¾ ¸ ½¾
Ady Mat ¸ ¸ ¸ ¸ ¾½ ¸ ¾½ ¸ ¾¾ ¸ ¾¿
allocate block ¸ ¸ ¸
allocate bucket ¾ ¸ ¾
allocate dir ¸ ¸ ¾¸ ¾
allocate segment ¸ ¾¸ ¸ ¸
apply ½½ ¸ ½¾½ ¸ ½¾½ ¸ ½¾½
ARC DIST ½ ¸ ½
ArcHeap ¼¿ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ½¾ ¸ ½
Arc Iterator ¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¼¸ ¸ ¸ ¼¼ ¸ ½¼ ¸ ¸ ¸
¸ ¸ ¿½¸ ¿ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¼¿ ¸ ½ ¸ ¾¾¸ ¾ ¸ ¿¾
Arc Node ¾¸ ¾¸ ¿¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸
arcs ¿¾¸ ¸ ¸ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¼
ArrayQueue ½¿ ¸ ½¿ ¸ ¾ ¼
ArrayStack ½¼ ¸ ½½¼ ¸ ½½ ¸ ½½ ¸ ½¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¿¾
AvlNode ¸
avl stack ¸ ¸ ¸ ¼¼ ¸ ¼½ ¸ ¼¾¸ ¼¿¸ ¼
avl stack empty ¸ ¼¼ ¸ ¼½
Bellman Ford Node Info ¾ ¸ ¾
binary search ¿¾¸ ¿¿¸ ¿ ¸ ¼
BinNode ¾ ¼ ¸ ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ½ ¸ ¿¾
BinNodeVtl ¾ ¼ ¸ ¿¿ ¸ ¿¾
BitArray ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ½ ¸ ¿ ¾¸
Bit Fields ¼¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾
Bit Mat Graph ¸ ¼ ¸ ¾¸ ¿
BitProxy ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¼
Cache Entry ¸ ¸ ¾¸ ¾¸ ¾¸ ¿¸ ¿¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ¸
¸ ¸
cache size ¼¸ ¾¸
call hash fct ¿ ¸ ¿ ¸ ¼
chunk list ¾¸ ¾¸
clean avl stack ¸ ¸ ¼¼ ¸ ¼½ ¸ ¼½ ¸ ¼¾¸ ¼
Compare Arc Data ½
Compare Dnode ½ ¸½ ¸½
Complejo
computeHeightRec ¾ ¸¿ ¼
compute optimal costs ¿ ¸¿ ¼
¿

920. 894 ıtulo . ´
Cap´ Indice de identificadores
compute tree ¿ ¸ ¿ ½
contract ¿ ¸ ¼
copy list graph ¾¸ ¾¸ ¿¸ ¼¸ ¼
copyRec ¾ ¸¿ ½
COST ¿ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ½
Cross Arc ¾¸ ¾¸ ¿
deallocate bucket ¾ ¸ ¾
DECLARE BINNODE ¾ ¸ ¾ ¼ ¸ ¿½ ¸
DECLARE BINNODE SENTINEL ¾ ¸ ¿ ¿¸ ¸ ¸ ½
decrease probe counter ¾ ¸ ¾
destroyRec ¾ ¸ ¿ ½ ¸ ¿ ¾
Dijkstra Arc Info ½ ¸ ½ ¸ ½
Dijkstra Heap Info ½¾ ¸ ½
Dijkstra Node Info ½¾ ¸ ½¿ ¸ ½¿ ¸ ½¿
Distance Compare ¸ ¸ ¼¿ ¸ ¼¿ ¸ ¼
DLBucket ¿¾ ¸ ¿¿ ¸ ¿¿ ¸ ¿¿ ¸ ¿¿
dlink lru ¸ ¸
DLINK TO TYPE ¿
Dnode ¸ ¸ ¸ ¼¸ ¾¸ ¿¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
¸ ¸½ ¸½ ¸½ ¸½ ¸½ ¸½ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¾
do mru ¿¸ ¿¸
doubleRotateLeft ¼¼
doubleRotateRight ¼¼
DynArray ¾¸ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾ ¸ ¸ ¸ ¸ ½ ¸ ¾ ¾¸ ¿¿¾ ¸ ¿ ¸¿ ¼ ¸¿½¸
¿ ½ ¸ ¿¾¸ ¸ ¸ ¼¸ ½¸ ½¸ ¸ ¸ ¸ ¼¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¾¸
DynDlist ¿¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ½¼¾ ¸
½¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½ ¸ ¾¾¼¸ ¾ ¿ ¸ ¾ ¸ ¼¿ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
¸ ¸ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾¸ ¿¸ ½¸ ¸ ¼¿ ¸ ½ ¸
½ ¸ ½ ¸ ¾¿ ¸ ¾¿ ¸ ¾
DynListQueue ½ ¼ ¸ ½ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¾¸ ¿¸ ¿¾¸ ¿¿ ¸ ¸
DynListStack ½½ ¸ ½½ ¸ ¾¼½¸ ¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸
DynSlist ¸
expand ¿ ¸ ¼¸
Figure ¸ ¸ ¸ ½¾¸ ½
fill dir to null ¸
fill seg to null ¸
Filter Iterator ¼ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼
find min path ¾¾ ¸ ¾¾ ¸ ¾
find succ and swap ¾¼
fix black condition ¾¼¸ ¾¾
FixedStack ½¼ ¸ ½ ¿ ¸ ¸ ½
fix red condition ½ ¸ ½
floyd all shortest paths ¾½ ¸ ¾½
GenDlist ½¸ ½¸ ¾
GenLhashTable ¼ ¸ ¼
Gen Rand Tree ¸

921. 895
Gen Treap ¸
get lru entry ¿¸
get min arc ¼ ¸ ¼¸ ½
Graph Arc ¸
Hash Cache ¸ ¾¸
inconnected components ¿¸ ¿
index in block ¸ ¿¸ ¿¸ ¸
index in dir ¸ ¿¸ ¿¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸
index in seg ¸ ¿¸ ¿¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸
Initialize Dist Floyd ¾¾ ¸ ¾¿
Init Prim Info ¼ ¸ ¼
insert entry to lru list ¾¸ ¾¸ ¸
insert in binary search tree ¿¿ ¸ ¿¿ ¸¿
insert root ¿ ¸ ¿
insert root xt ¿ ¸
insert sorted ½ ¸ ½
inside list ¼¸ ¸
join exclusive ¿ ½ ¸ ¿ ¿ ¸ ¿
join exclusive xt ¿ ¸¿ ¼ ¸¿ ¼
LhashBucket ¼ ¸ ¼ ¸ ¿
LhashTable ¼ ¸ ¿¾ ¸ ¿¾ ¸ ¿¿ ¸ ¿¿ ¸ ¿¿ ¸ ¸
LhashTableVtl ¼
LINKNAME TO TYPE ¿¸ ¾ ¸
List Digraph ½¸ ¸
List Graph ¼¸ ¼¸ ½¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¼¸
¼¸ ½¸ ½¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¼½
ListQueue ½¿ ¸ ½¿ ¸ ½¿ ¸ ½ ¼
ListStack ½½¾ ¸ ½½¿ ¸ ½½ ¸ ½½ ¸ ½½ ¸ ½½
lru list ¸ ¾¸ ¿¸ ¿¸ ¿¸
Matrix Graph ¿¸
merge ½ ¾¸ ½ ¿
mergesort ½ ¾¸ ½ ¸ ¼½
min index ¿ ¼ ¸ ¿ ½
Node Arc Iterator ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¼ ¸ ½¾ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾¾ ¸
¾¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¿¸ ¿¸ ¿¸ ¸ ¾¸
¸ ¸ ¾¸ ¾¸ ¸ ¸ ½ ¸ ¾¸ ¿¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¿¿ ¸ ¼¸
½¸ ¸ ¸ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾¿
Node Iterator ¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¼¸ ¸ ¼¼ ¸ ½¼ ¸ ¾¼ ¸ ¿ ¸ ¸
¾¸ ¾¸ ¸ ¸ ¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ½ ¸ ¾¸ ¿¸ ¾ ¸ ½ ¸ ¼¾ ¸
½ ¸ ¾¾¸ ¾¿ ¸ ¾¿ ¸ ¾
Null Value ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
ODhashTable ¾¸ ¾
operate all arcs list graph ¸ ¸
operate all arcs matrix ¸ ¸ ¾¿
partition ½ ¸ ½ ¸ ½ ¼¸ ½ ¿ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ½
Path ¼¾ ¸ ¼¿ ¸ ¼¿ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¾¿ ¸ ¾¿ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸

922. 896 ıtulo . ´
Cap´ Indice de identificadores
¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾¾ ¸ ¾¾ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¼¸ ½¸ ¾ ¸ ¿¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¿¿¸
¿
Path Desc ¼¿ ¸ ¼¿ ¸ ¼¿ ¸ ¼ ¸ ¼ ¸ ¼
POT ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ½
precedence ½½ ¸ ½¾½
pred ¿¾¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¿¼ ¸ ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¼
Prim Heap Info ¼ ¸ ¼
Prim Info ¼ ¸ ¼
push in splay stack ¿¿ ¸ ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿
put arc ¼¸ ¼ ¸ ¼¸ ½ ¸ ½
quicksort ½ ¿ ¸ ½ ¸ ¾ ¸
RandNode ¸
RandNodeVtl ¸
random insert ¸ ¼
random join exclusive ¼¸ ½
random remove ½¸ ½
RbNode ½¸ ½
read matrix ½¸ ½
release all segments and blocks ¸
release block ¸ ¸
release blocks and segment
release segment ¸ ¸
remove entry from hash table ¿¸
remove entry from lru list ¾¸
remove from search binary tree ¿ ¿ ¸ ¿ ¿ ¸¿
restore avl ¼¼ ¸ ¼½ ¸ ¼
restore avl after deletion ¼½ ¸ ¼
restore avl after insertion ¸ ¼¼
rotateLeft ¼¼
rotateRight ¼¼
rotation type ¸ ¼¼
search and push in splay stack ¿¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿
search and stack avl ¸ ¸ ¼½
search and stack rb ½ ¸ ½ ¸ ¾¼
searchInBinTree ¿¿¾ ¸ ¿¿
search min ½ ¿ ¸ ½ ¸ ½
select gotoup root ¸
sequential search ½ ¸ ¿ ¸ ½ ¸ ½ ¸½ ¸½
set list graph ¼¸ ¿
Slink ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ½¸ ½¸ ¾¸ ¾¸
SLINK TO TYPE ½
Slist ¾¸ ¿ ¸ ¿¸ ¸ ¸
Snode ½ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¸ ½½¾ ¸ ½½¿ ¸ ½¾ ¸ ½¾ ¸ ½¿
splay ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿
split key rec ¿¿ ¸ ¿ ½ ¸ ¿
split key rec xt ¿ ¸ ¿

923. 897
split pos rec ¿ ¸¿
str to token ½½ ¸ ½¾¼
sum p ¿ ¼ ¸ ¿ ¼
Termino ½¼¾ ¸ ½¼¾ ¸ ½¼¾ ¸ ½¼¾ ¸ ½¼¾ ¸ ½¼¿ ¸ ½¼¿ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼ ¸ ½¼
Token Type ½½ ¸ ½½ ¸ ½¾¼
TreapNode ¸
TREE ¿ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ¼ ¸ ¿ ½
TREEARC ½ ¸ ½ ¸ ½
zig type ¿ ¸ ¿