Presentación electrónica que contiene los aspectos teóricos del Tema 1.1: Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica, tema que se analiza en la Unidad 1 de la materia de Calculo Vectorial

1. UNIDAD 1: VECTORES EN EL
ESPACIO
Tema 1.1: Definición de un vector en
el plano y en el espacio y su
interpretación geométrica
CALCULO VECTORIAL
INGENIERIA INDUSTRIAL E INGENIERIA EN SISTEMAS
COMPUTACIONALES
DOCENTE: M.E. ALEJANDRO HERNANDEZ LOPEZ

2. Competencias:
1. Define un vector geométricamente.
2. Reconocer un vector en el plano y el espacio.

3. Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemática o
física que se pueda representar solamente por un número
real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.
Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en las que
además del número que las determina, se requiere
conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza,
aceleración, etc. El ente matemático que representa a
estas magnitudes se llama vector .
INTRODUCCION

4. Por ejemplo, el vector en la figura 1 tiene longitud de 2.3
unidades y dirección 30° al noreste (o 30° respecto al eje x
positivo.)

5. Origen. O también denominado punto de aplicación. Es el punto
exacto sobre el que actúa el vector.
Modulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarlo es
preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber
cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen
hasta su extremo.
Dirección. Viene dada por la orientación en el espacio de la recta
que lo contiene.
Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el
extremo del vector, indicando hacía que lado de la línea de acción
se dirige el vector.
Directriz. Es la recta en que se apoya el segmento.

6. En la figura 14.7 se muestran varios ejemplos de cantidades
vectoriales, tales como: peso W, velocidad V, y la fuerza
retardatriz de fricción Ff.
Por medio de letras en negritas como u y v simbolizaremos a los
vectores. Como esto es difícil hacerlo en la escritura normal,
usted podría emplear y . La magnitud o la longitud de un
vector u se simboliza
u

v

u


7. Definamos el vector
como un segmento de
recta dirigido.
Sean P y Q dos
puntos del espacio. El
segmento de recta
dirigido PQ, es el
segmento de recta
que va del punto
inicial P al punto
final Q.
Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)
VECTORES

8. Notación y terminología
Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo punto terminal
(o extremo) es B se escribe . La magnitud de tal vector se
indica por . Dos vectores que tienen la misma magnitud y la
misma dirección e idéntico sentido, se dice que son iguales sin que
importe su localización en el espacio. De esta manera en la figura
14.8 se tiene que AB = CD.
AB

AB

Se dice que los vectores son libres. Eso
significa que un vector se puede desplazar
en el espacio siempre que su magnitud y su
dirección no sean modificadas.

9. El negativo de un vector , que se simboliza por , es un
vector que tiene la misma magnitud y dirección que , pero su
sentido es opuesto. Si k ≠ 0 es un escalar, el múltiplo de un
vector, k es un vector de la misma dirección que pero que
tiene magnitud igual a veces el de y un sentido igual u
opuesto al de , según que el escalar k sea positivo o negativo.
AB


AB

AB

k
AB

AB

AB

AB

Cuando k = 0, decimos que 0 = 0 es el
vector cero.
Dos vectores son paralelos si y solo si son
mutuamente vectores múltiplos distintos
de cero. Véase la figura 14.9.

10. Definición 2: (Definición algebraica de un vector)
Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números
reales (a,b), donde a y b se llaman componentes del vector.
v = <a, b> se llama vector de
posición canónica o
estándar, cuyo punto inicial
es el origen (0,0)
VECTORES EN EL PLANO (R2)
(a,b)

y
x
v

11. A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si 𝒗 = 1,
v es un vector unitario. Y 𝒗 = 0 si y solo si v es el vector cero
0.
Dirección del vector <a, b>: ángulo
medido en radianes, que forma el vector con
el semi – eje positivo de las x (abscisas).

0
a
,
a
b
tan 

 
 2
0 


12. EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, se
debe poder identificar puntos en el sistema de coordenadas
tridimensional. Se puede construir este sistema trazando en el
origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y. La figura 1.14
muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas. Tomados
por pares, los ejes determinan tres planos coordenados: el plano
xy, el plano xz y el plano yz. Estos tres planos coordenados
dividen el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer
octante es en el que todas las coordenadas son positivas.
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales
recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota
por R3. Cada terna ordenada (x, y, z) se denomina punto del
espacio numérico tridimensional.

13. x y
z
plano xz
plano yz
plano xy
orígen
FIGURA 1.14.
SISTEMA DE
COORDENADAS
CARTESIANAS
Donde x, y y z son:
x = distancia dirigida que va del plano yz a P
y = distancia dirigida que va del plano xz a P
z = distancia dirigida que va del plano xy a P

14. VECTOR EN R3
2
3
2
2
2
1 a
a
a
a 



p(a1, a2, a3)
z
x
y
a

a1
a2
a3
módulo de a :
vector a = <a1, a2, a3> de R3

15. La dirección de está definida por la medida de los
ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los
ejes x, y, z.
𝑣 = < 𝑥, 𝑦, 𝑧 >
v
x



cos
v
y



cos
v
z



cos

16. PREGUNTAS PARA RETROALIMENTAR LO
APRENDIDO DEL TEMA 1.1
1. ¿Qué es una magnitud escalar?
2. ¿Qué es una magnitud vectorial?
3. Menciona y describa los elementos que conforman a un vector
4. Mencione por lo menos 3 ejemplos de magnitudes escalares
5. Mencione por lo menos 3 ejemplos de magnitudes vectoriales
6. Indique como se representa un vector y su modulo o magnitud
7. Proporcione la definición geométrica de un vector
8. Describa y mencione los tipos de vectores que se muestran en este tema

17. 9. Proporcione la definición algebraica de un vector
10. ¿A qué se refiere con vector de posición canónico o estándar?
11. ¿A qué se refiere con dirección de un vector hablando geométricamente?
12. ¿ Que es el espacio numérico tridimensional y como está constituido?
13. Proporcione las fórmulas para obtener el módulo o magnitud de un vector,
tanto en el plano como en el espacio
14. Proporcione la fórmula para obtener la dirección de un vector en el plano
cartesiano
15. Proporcione la fórmula para obtener la dirección de un vector en el espacio
tridimensional