Vectores

1. TEMA: VECTORES EN R2
Y R3
Matemática III

2. Competencias:
1. Define un vector geométricamente.
2. Reconocer un vector en el plano y el espacio.
3. Realiza operaciones con vectores: Adición,
sustracción, multiplicación por un escalar y
producto escalar.
4. Descompone un vector en términos de sus
componentes rectangulares.

3. Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemática o física que se
pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud,
área, volumen, temperatura, etc.
Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en las que además del
número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos:
desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que
representa a estas magnitudes se llama vector .
INTRODUCCION

4. Definamos el vector como
un segmento de recta
dirigido.
Sean P y Q dos puntos del
espacio. El segmento de
recta dirigido PQ, es el
segmento de recta que va
del punto inicial P al punto
final Q.
Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)
VECTORES

5. A
B
R = A+B
Método del triángulo
OPERACIONES CON VECTORES
Adición de vectores
x
z
y
Método del
paralelogramo.
B
R = A+B
A

6. Definición 2: (Definición algebraica de un vector)
Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a;b),
donde a y b se llaman componentes del vector.
v= (a,b) se llama vector de posición,
cuyo punto inicial es el origen (0,0)
VECTORES EN EL PLANO (R2)
(a,b)

y
x
v

7. Dirección del vector (a,b): ángulo
medido en radianes, que forma el
vector con el semi-eje positivo de las x
(abscisas).

22
bav 

0a,
a
b
tan 
Magnitud de un vector: Se denota por v
 20 
v= (a,b)con:

8. EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el
nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada
terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio numérico
tridimensional.
x y
z
plano xz
plano yz
plano xy
oríge
n
SISTEMA DE
COORDENADAS
CARTESIANAS

9. VECTOR EN R3
2
3
2
2
2
1 aaaa 

p(a1,a2,a3
)
z
x
y
a

a1
a2
a3
módulo de a :
vector a = (a1,a2,a3) de R3

10. Igualdad: Dos vectores u y v son
iguales u=v si tienen la misma
magnitud y dirección
);;();;( 321321 vvvuuu 
11 vu  22 vu  33 vu 
Si y solo si

11. SUMA
Producto por un escalar
),,(),,( 321321 cacacaaaacuc 

),,(),,(),,(
),,(),,(
212121222111
222111
ccbbaacbacbavu
cbavcbau




c

12. )1;0;0()0;1;0(,)0;0;1(:R3
 kyjiEn

Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten
representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les
llaman vectores unitarios canónicos y se representan por
a
aaa
a
a
ua 

 ),,( 321
1

u
i

i

)1;0(j,)0;1(:R2


iEn

13. vectores unitarios canónicos i, j , k
x
z
y
i
j
k
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de
los ejes x, y y z respectivamente.

14. Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus
componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
),,( 321 aaau 

),,( 321 bbbv 

Dado:
vu

// k
b
a
b
a
b
a

3
3
2
2
1
1
vku

