El documento describe conceptos básicos de vectores como su definición, representación y propiedades. Explica que un vector tiene magnitud, dirección y posición. Define sumas, restas y multiplicación de vectores. También describe sistemas de coordenadas cartesianas, vectores unitarios, campos vectoriales, producto cruz y producto punto.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
TEORIA ELECTROMAGNETICA
Integrantes:
Pamela Astrid Blasco Rondanelli
C.I: 26740126
(44)

2. Vectores.
Un vector es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se
caracteriza por tener módulo y una dirección En matemáticas se define un vector
como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para
muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el
módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto
escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio
euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta en el
plano 𝑅2
o en el espacio 𝑅3
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales:
la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por
su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino
que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa
sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de
la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es
necesario definir el punto inicial y final del movimiento.
Se llama vector de dimensión n a una tupla de n números reales. El conjunto de
todos los vectores de dimensión n se representa como 𝑅 𝑛
.
El vector v se representa como: 𝑣 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 … 𝑎 𝑛) Donde 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛
Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy,
se representa:
𝑉⃑ = 𝑉(𝑉𝑥, 𝑉𝑦
Siendo sus coordenadas: 𝑉𝑥, 𝑉𝑦
Si consideramos el triángulo formado por las componentes 𝑉𝑥, 𝑉𝑦 y V
Se puede calcular 𝑉𝑋
Multiplicando V por el 𝑐𝑜𝑠 ∝, siendo el ángulo formado por 𝑉𝑋 𝑦 𝑉

3. Otro método para calcular 𝑉𝑥
Multiplicando V por el 𝑠𝑒𝑛𝛽, siendo 𝛽 el ángulo formado por 𝑉𝑦 𝑦 𝑉
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
𝑉⃑ = 𝑉 = 𝑉𝑋, 𝑉𝑌 , 𝑉𝑍
Siendo sus coordenadas:
𝑉𝑋, 𝑉𝑌 , 𝑉𝑍
Una cantidad vectorial o simplemente un vector es aquella que requiere para su
descripción completa una magnitud, una dirección y una posición. Es decir, una
cantidad física es un vector si y sólo si
(a) tiene una magnitud numérica.
(b) tiene una dirección en el espacio.
(c) obedece la regla del paralelogramo para la suma.
Dos vectores libres son iguales si sus magnitudes, o longitudes, son iguales y sus
direcciones son las mismas, indiferentemente de los puntos en el espacio donde
se dibujen. En otras palabras, una cantidad vectorial puede representarse
igualmente bien mediante cualquiera de los infinitamente muchos segmentos de
líneas con la misma longitud y la misma dirección. Por ello, se acostumbra decir
que un vector puede moverse paralelo a sí mismo sin ningún cambio. La relación
A = B significa que A y B concuerdan, pero no significa necesariamente que las
colas de las flechas que representan A y B estén en el mismo punto.
Ejemplos de Vectores.

4. Suma, resta y multiplicación de Vectores.
Suma: Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del
paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y
la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano.
Resta: El método del paralelogramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar
y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo.
El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen
con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A -B], sólo
debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A.
Multiplicación: Un vector encierra más información que un número, nos da (en el
caso de una dimensión) la magnitud, que es un número, y el sentido, si apunta
hacia la izquierda o la derecha en el eje x. Si el número es positivo, lo que se hace
es multiplicar el largo del vector (su magnitud, que es un número) por el número
que instalemos delante del vector. El resultado es que la nueva magnitud del
vector es el producto de la antigua por el número dado. Si el número es negativo,
la operación es idéntica, salvo que el vector cambia su sentido.
Sistemas de Coordenadas Rectangulares.
Son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la
representación gráfica de una función, en geometría analítica , o
del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia
ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas
cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones
ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.

5. En esta construcción se estudian las características del Sistema de Coordenadas
Cartesiano. Se llama sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) al que
formamos en un plano mediante dos rectas perpendiculares graduadas, llamadas
ejes de coordenadas, que se cruzan en el origen O. Normalmente nos referimos a
la recta horizontal como eje X y a la vertical como eje Y. El plano es entonces un
plano de coordenadas, o plano XY. Los ejes dividen el plano en cuatro partes
denominadas primero, segundos, terceros y cuartos cuadrantes, marcados como I,
II, III y IV, respectivamente. Los puntos sobre los ejes no pertenecen a ningún
cuadrante.
A cada punto P en un plano XY se le asigna un par ordenado de números (a, b).
A a le damos el nombre de coordenada x (o abscisa) de P, y b es la
coordenada y (u ordenada).
Decimos que P tiene de coordenadas (a, b) y nos referimos a él como el punto (a,
b) o punto P(a, b). Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) determina un punto
P con coordenadas a y b.
Vector Unitario.
La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo es igual a 1. Cabe recordar
que el módulo es la cifra coincidente con la longitud cuando el vector se
representa en un gráfico. El módulo, de este modo, es una norma de la
matemática que se aplica al vector que aparece en un espacio euclídeo. Otro de
los nombres por los cuales se conoce el vector unitario es vector normalizado, y
aparece con mucha frecuencia en problemas de diversos ámbitos, desde las
matemáticas hasta la programación informática. Es posible obtener el producto
interno o producto escalar de dos vectores unitarios averiguando el coseno del
ángulo que se forma entre ellos. El producto de un vector unitario por un vector
unitario, de este modo, es la proyección escalar de uno de los vectores sobre la
dirección establecida por el otro vector.

6. No olvidemos que el vector se define por medio de componentes, tantas
como dimensiones haya en el espacio en el que se encuentre. Si tomamos un
vector bidimensional, expresado en los ejes X e Y. Cabe mencionar que dichas
componentes también se conocen con el nombre de términos del vector.
Por lo tanto, si volvemos al método para hallar el vector unitario que consiste en
dividir el original por su módulo, simplemente deberemos tomar cada una de
las componentes y dividirlas por dicho valor, de manera que el resultado final
nos ofrezca un módulo igual a 1. Esto puede parecer demasiado abstracto o
arbitrario para las personas ajenas a las matemáticas, pero una vez analizado con
detenimiento resulta absolutamente lógico. Veamos a continuación la explicación.
Si nos basamos en las reglas de la división por un momento, recordaremos
que todo número es divisible por sí mismo y por 1, y que si lo dividimos por sí
mismo el resultado que obtenemos es precisamente 1. Ahora bien, en este caso
estamos buscando un vector cuyas componentes lo orienten en la misma
dirección del original, pero que generen una longitud diferente, más
específicamente, de valor 1. Por lo tanto, para calcular el módulo del vector,
debemos obtener la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. Esto nos da
como resultado 5. Para llegar al vector unitario, debemos multiplicar todo por 1/5
(un quinto), de manera que a un lado de la igualdad obtengamos 1 (la longitud del
vector normalizado) y del otro nos encontremos con 1/5.
Ejemplo de Vector Unitario
Ejemplo 1: Si es un vec tor de c omponentes (3, 4), hallar un vec tor
unitario de su mis ma direc c ión y sentido.
| 𝑣⃗|= √32 + 42 = 5
𝑤⃑⃑⃗ =
1
5
= (3,4) = (
3
5
,
4
5
)

7. Campo Vectorial.
Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial,
se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o
como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. ,
en donde representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y
el espacio vectorial que actúa como rango.
El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado
que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función
de tres variables independientes.
Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución
de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace
usando campos vectoriales.
Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a
las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en
condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.
El gradiente de un campo escalar, constituye un ejemplo adicional de campo
vectorial, dado que la magnitud y dirección del gradiente de un campo escalar es
una función de las coordenadas. Los campos vectoriales se definen
en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.
Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian
un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna
variedad). Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un
campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor
respectivamente Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para
modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio

8. podría ser multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o
multidimensional. El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se define
como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud física que requiere
sólo de un número para su caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una
función, escalar, cuyo valor depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este
tipo de funciones puede ser la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la
presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro
lado, un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango
multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su
descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de
fuerzas gravitacionales o eléctricas.
Producto Cruz.
El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es
otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y
su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a:
El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos de Producto Cruz .
Ejemplo 1:Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3)
y = (−1, 1, 2).

9. Ejemplo 2: Dados los vectores y , hallar
el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado
es ortogonal a y .
El producto vectorial de es ortogonal a los vectores
y .
Producto Punto.
El producto punto o producto escalar de dos vectores es
un número real que resulta al multiplicar el producto de sus
módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto punto

10. Ejemplo del producto punto.
Ejemplo 1: Hallar el producto punto de dos vectores cuyas
coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector:
Ejemplo 2: Hallar el valor del módulo de un vector de
coordenadas = (−3, 2, 5) en una base orto normal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores