instrumentos opticos

1. TEMA 3. CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LOS
INSTRUMENTOS ÓPTICOS.
Al proyectar un instrumento óptico se deben tener en cuenta una serie de parámetros que
caracterizan sus prestaciones y definen su calidad. Estos parámetros son: el aumento, el campo, la
luminosidad y el poder separador.
3.1. Aumento.
El aumento es un parámetro que caracteriza la ventaja que supone el sistema óptico en
cuanto al tamaño de la imagen presentada. Si el valor absoluto del aumento es mayor que la unidad,
las imágenes aparecen más grandes que los objetos. Si el aumento es negativo, la imagen aparece
invertida respecto al objeto.
En los instrumentos objetivos (forman una imagen real sobre una superficie sensible o sobre
una pantalla) se utiliza como parámetro caracterizador típico el aumento lateral, ’, definido en el
tema 1 (Eq.1.4). En los instrumentos subjetivos (la imagen es vista directamente por el observador)
se utiliza el aumento visual, ’, definido como el cociente de las tangentes de los ángulos
subtendidos por la imagen (’) y el objeto (), esto es, los ángulos bajo los cuales se ve un objeto
sobre el eje con y sin instrumento:
tan '
'
tan


  (3.1)
El aumento visual permite medir cuantitativamente la ventaja que supone el uso de un
instrumento en lo que se refiere al tamaño aparente de la imagen presentada al ojo.
3.2. Campo.
El campo es la parte del objeto que puede ser vista a través de un instrumento de una sola
vez, es decir, sin desplazar el instrumento. El campo para objetos próximos es una magnitud lineal,
mientras que para objetos lejanos es angular. Frecuentemente se utiliza el semicampo que, al ser la
altura lineal o angular sobre el eje óptico, es una magnitud más fácil de incluir en una expresión
matemática. Se distingue el campo real o campo objeto, medido sobre el objeto y el campo aparente
o campo imagen, medido sobre la imagen.
Se llama campo de iluminación plena al valor máximo del campo para el cual toda la luz
que atraviesa la pupila de entrada llega a la imagen. En algunos instrumentos, según veremos en
cada caso, al alejarnos del centro de la imagen puede disminuir la cantidad de luz que llega a cada
punto, debido a que parte de la luz que llenaría la pupila de entrada es eliminada o viñeteada. El
campo de iluminación media corresponde al campo para el cual llega a la imagen la mitad de la luz
que pasa por la pupila de entrada. El campo límite es el campo máximo que se ve a través del
instrumento.
La profundidad de campo representa la zona que se ve nítidamente a través del instrumento
por delante y detrás del objeto principal. Puede variar mucho de un instrumento a otro, desde
fracciones de mm en los microscopios hasta decenas de metros en los telescopios.
3.3. Luminosidad.
La luminosidad (o claridad ) del instrumento óptico hace referencia a la cantidad de luz en la
imagen. Se trata de un parámetro importante, ya que de poco sirve una imagen aumentada y nítida
si no es suficientemente luminosa.
Instrumentos objetivos. En los instrumentos objetivos la claridad viene expresada por el
cociente entre la iluminación de la imagen y la luminancia del objeto, a partir de la ecuación (2.49)
obtenemos:
 
22
4 1 / p
E
C
L N

 
 

(3.2)
3 - 1

2. donde  es el coeficiente de transmisión del sistema óptico,  su aumento lateral, p su aumento
pupilar y N el número de diafragma. Si el objeto está en el infinito, la imagen está en el plano focal
imagen ( 0  ) y si el sistema es simétrico, 1p  , quedando:
2
4
C
N

 (3.3)
Aplicando este resultado al propio ojo, como los objetos pueden considerarse lejanos, en
comparación con el tamaño de pupila, se obtendría para la claridad retiniana la ley
2
oC K (3.4)
donde K es una constante que depende del sujeto y o el diámetro de la pupila del ojo.
Instrumentos subjetivos. Si el objeto es extenso se debe tener en cuenta la ecuación (2.44)
que demuestra que la luminancia de la imagen no puede ser mayor que la luminancia del objeto.
Además, debemos tener en cuenta si el diámetro de entrada de luz al ojo del observador es el mismo
cuando ve el objeto o la imagen. Puesto que en el segundo caso la extensión del haz de luz que sale
del instrumento está limitada por su pupila de salida, se deduce que la luminancia de la imagen y la
claridad dependen del área de la pupila de salida comparada con la del ojo de acuerdo con:
2
' PS
o
L L



 
  
 
y
2
PS
o
C



 
  
 
(3.6)
En esta expresión o es el diámetro de la pupila del ojo y PS el diámetro de la pupila de salida
efectiva del instrumento. Como el diámetro habitual de la pupila del ojo es de unos 4 ó 5 mm, los
instrumentos que tengan una pupila de salida de diámetro mayor que estos valores (entonces la PS
es el diámetro del ojo) darán una imagen de parecida luminancia que el objeto y una claridad
próxima a la unidad, salvo las pérdidas cuantificadas por el factor de transmisión, y se habla de
instrumentos muy luminosos. En cambio, para instrumentos con pupilas de salida muy pequeñas, la
luminancia de la imagen se reduce respecto de la del objeto y también la claridad. Si se quiere
aumentar la luminancia de la imagen es necesario utilizar sistema objetivos con dispositivos
amplificadores de luz basados en el tratamiento de señales eléctricas.
Si el objeto es puntual, la claridad viene dada por el cociente entre el flujo luminoso que
llega al ojo con instrumento y el que llega sin instrumento, de modo que:
2
PE
o
C



 
  
 
(3.7)
En este caso interviene la pupila de entrada del instrumento y, puesto que, ésta es igual o mayor que
la del ojo, podemos conseguir claridades mucho mayores que la unidad. La pupila de entrada debe
ser la efectiva, es decir, aquella parte de la pupila por la que pasa la luz que después es capaz de
entrar dentro del ojo del observador.
3.4. Poder separador.
Aunque el objetivo perseguido en la utilización de los instrumentos ópticos sea poder
percibir los detalles más pequeños de los objetos, no interesa aumentar el tamaño de la imagen, si
ésta no es nítida. Llamamos límite de resolución de un instrumento óptico a la distancia mínima que
debe separar dos fuentes puntuales para que el ojo pueda verlas resueltas o separadas. El límite de
resolución se da en magnitudes angulares para objetos lejanos (minutos o segundos de arco,
milirradianes) o en magnitudes lineales para objetos próximos (m, mm). El poder separador es el
inverso del límite de resolución, expresado en líneas por milímetro o en ciclos por miliradián o por
segundo de arco. Se denomina también poder resolutivo, poder de resolución o resolución.
La resolución puede medirse en el laboratorio mediante las miras de Foucault, compuestas
3 - 2

3. por barras alternativamente claras y oscuras, organizadas en
grupos con diferentes espaciados y orientaciones. Con el
instrumento enfocado a la mira, se busca aquella en la que se
deja de percibir la estructura periódica y especialmente la
dirección de los trazos. El paso de esa mira (distancia entre dos
trazos del mismo tipo) es el límite de resolución y su inversa
será la resolución. A veces se habla de pares de líneas por
milímetro, para tener en cuenta que el límite de resolución
coincide con la anchura de la pareja de líneas blanca y negra. Fig. 3.1
En el poder separador de un instrumento óptico pueden influir muchos factores. Algunos
pueden ser calculados como las aberraciones del sistema óptico, la difracción, la influencia del
detector, sea el ojo u otro instrumento, o de las características del objeto a observar. Otros factores
como la calidad de la fabricación, el mantenimiento y almacenamiento, los golpes o la corrosión, las
luces parásitas, los tratamientos antirreflejantes, la correcta utilización del instrumento son difíciles
de tener en cuenta teóricamente, por lo que no se conoce el poder separador de un instrumento
óptico hasta que no se mide en el laboratorio.
3.4.1. Aberraciones monocromáticas de punto.
Los sistemas ópticos centrados son perfectos en zona paraxial, es decir para pequeños
ángulos de abertura y campo. Sin embargo si se trazan rayos con marcha exacta o se analizan los
sistemas ópticos en el laboratorio fuera de la zona paraxial, se observa que la imagen de un plano es
una superficie curvada (1ª CM), que la imagen de punto es una mancha (2ª CM) y que no se
mantiene la razón de semejanza (3ª CM).
Las discrepancias entre la imagen real y la predicha por la aproximación paraxial se
denominan aberraciones ópticas y no son debidas a defectos de fabricación de las superficies
esféricas o planas, sino que son consecuencia de la de la aplicación de la ley de la refracción en
dichas superficies. Las aberraciones que se encuentran en los sistemas ópticos aunque la luz sea
monocromática son las aberraciones monocromáticas o de Seidel, mientras que las producidas por
la variación del índice de refracción con la longitud de onda reciben el nombre de aberraciones
cromáticas. Cuando la aproximación sen  es insuficiente, se añade el siguiente término del
desarrollo en serie de la función seno, obteniéndose la aproximación del tercer orden:
3
3!
sen

   (3.8)
Las diferencias existentes entre las aproximaciones de primer y tercer orden generan las cinco
aberraciones primarias: esférica, coma, astigmatismo, curvatura y distorsión. Las tres primeras se
refieren a la calidad de la imagen de un punto, mientras que la cuarta y quinta afectan a su posición.
Aberración esférica. Esta aberración se refiere a los rayos que proceden de puntos objeto
en el eje. En la figura 3.2 se aprecia como la luz que incide paralela al eje de la lente gruesa positiva
alcanza su foco en puntos separados, dependiendo de que los rayos pasen por el centro o por la
periferia de la lente.
Fig. 3.2
Se define la aberración esférica longitudinal, AEL, como:
3 - 3

4. 3 - 4
' ' ,p hAEL f f  (3.9)
donde 'pf es la distancia focal paraxial y 'hf es la distancia focal para el rayo marginal (que incide
a una altura h). En la figura se observa la envolvente de los rayos a la salida de una lente afectada de
aberración esférica. Esta envolvente recibe el nombre de cáustica. Además en la figura 3.2b) se
representa la variación de la AEL con la altura de incidencia. Para ellos se representa en abscisas la
aberración y en ordenadas la altura de incidencia si se trata de rayos paralelos al eje, o bien el
ángulo con el eje si el punto objeto está a distancia finita.
En las lentes positivas la AEL es positiva, mientras que en las lentes negativas dicha
aberración es negativa. La combinación de elementos positivos y negativos con AEL opuesta
permite corregir en gran medida la aberración esférica del sistema. A tal efecto se diseñan dobletes
donde dos lentes, una positiva y otra negativa, se cementan juntas de manera que el sistema
resultante presenta una aberración esférica muy pequeña o nula.
Se define la aberración esférica transversal (AET) como la altura correspondiente al punto
en el que el rayo marginal corta el plano paraxial. La AET se expresa como:
tan ',AET AEL  (3.10)
donde ' es el ángulo que forma, a la salida del sistema, el rayo marginal con el eje óptica.
Fig. 3.3
beneficioso para los objetivos fotográficos
para retrato, donde la aberración esférica da a
las fotografías un aspecto suave y agradable.
La aberración esférica también se da
para
positiva para los espejos convexos y negativa
los espejos esféricos, siendo la AEL
para los espejos cóncavos, fig. 3.3. En general
la aberración esférica reduce el contraste y
degrada detalle. Esto que es
extraordinariamente perjudicial para los
instrumentos de uso científico porque supone
disminuir su poder resolutivo, resulta
Fig. 3.4

5. 3 - 5
Como ejemplo, en la figura 3.4 se muestra la distribución de la luz en distintos planos
cuando se quiere focalizar un haz colimado mediante una lente planoconvexa. En ninguna de estos
planos se consigue un único punto de luz nítido como predice la óptica paraxial, sino que aparece
una mancha de desenfoque con forma aproximadamente circular. Se consigue la mínima
degradación y el máximo contraste en el plano donde el tamaño del círculo de desenfoque es
mínimo. En este caso, el círculo obtenido se denomina círculo de mínima confusión.
Coma. Es una aberración que se manifiesta en las imágenes de los puntos objeto extraxiales
cuando el sistema posee gran apertura. Se trata de la peor aberración de todas ya que la imagen de
un punto se convierte en una figura distorsionada, sin simetría esférica, que daña considerablemente
su aspecto. En caso de que el sistema opere con objetos muy pequeños y aberturas relativas
pequeñas se le pueden aplicar los desarrollos del tercer orden.
Fig. 3.5
La figura 3.5 muestra en este caso la aberración que se produce cuando un haz de rayos que
procede de un punto extraxial O es refractado por una lente. Los rayos que inciden en la lente a una
cierta distancia del eje óptico convergen en un círculo (círculo comático) en el plano imagen. De
modo que si un rayo recorriera una circunferencia en la pupila de entrada, recorrería también una
circunferencia en el plano paraxial, pero dando dos vueltas a la misma. Los haces de rayos
contenidos en el plano tangencial (rayos 1, 1') forman la imagen en la parte del círculo comático
más distante del eje óptico, mientras que los rayos contenidos en el plano sagital (rayos 2, 2')
forman la imagen en la parte de dicho círculo comático más próxima al eje óptico. Los restantes
haces de rayos forman imágenes de manera que completan el círculo comático. La combinación de
todos estos círculos comáticos, cuyo radio crece y cuyo centro se desplaza al aumentar la altura de
incidencia de los haces en la lente, conforman una figura, con plano de simetría el plano meridiano
y que se parece a la cola de un cometa, derivándose de aquí el nombre de coma. La envolvente de
las circunferencias en el plano imagen paraxial son dos rectas que forman entre si sesenta grados.
Se define el coma tangencial CT como la distancia entre el impacto de los rayos contenidos
en el plano tangencial y la imagen paraxial (los puntos P y 1), mientras que la distancia entre los
puntos contenidos en el plano sagital y la imagen paraxial (los puntos P y 2) es el coma sagital CS.
La región triangular comprendida entre P y 2 concentra, aproximadamente, la mitad de la energía de
la imagen y su altura eR coincide con el radio del círculo comático extremal, por lo que 3T SC C .
Astigmatismo (oblicuo). Es una aberración debida a la asimetría del cono de luz emitido
por un punto objeto fuera de eje que incid a óptico. Lo llamamos así parae sobre el sistem
distinguirlo del que se produce para puntos objetos situados en el eje cuando el sistema óptico no
presenta la misma potencia en todos los planos meridianos. Por ejemplo para una lente

6. planocilíndrica o esferocilíndrica, el astigmatismo también se presenta en eje. Otro tipo de
astigmatismo es el ocular producido por la falta de esfericidad en la superficie anterior de la córnea.
La figura 3.6 muestra las imágenes astigmáticas de un punto O fuera de eje. Los haces de
rayos situados en el plano tangencial se cortan, a la salida del sistema, en puntos diferentes de los
que provienen del plano sagital, formando las imágenes 'TO y 'SO , respectivamente. La imagen
'TO está contenida en el plano sagital, mientras que la imagen 'SO se encuentra en el plano
Fig. 3.6
tangencial. 'TO y 'SO son las llamadas imágenes o focales de Sturm y la distancia entre ellas es la
distancia astigmática. En general las secciones por plano perp iculares al rayo principal son
elipses, excepto en la posición de las focales sagital y tangencial que son segmentos de rectas y en
lano de mínima confusión que es un círculo. Si en el siste se consigue que el astigm
s end
el p ma atismo
sea nulo en un punto del campo, se dice que el sistema es anastigmático.
Fig. 3.7
Debido a la aberración de astigmatism ágenes tangencial y sagital de un círculo con
ido de las aberraciones de
punto, pero las imágenes de los puntos de un plano no se formen sobre el plano imagen paraxial,
sino sobre una superficie curva. En dicho caso se dice que el sistema tiene curvatura de imagen.
o las im
radios son las que se muestran en la figura 3.7. En el plano de la imagen tangencial, las líneas
tangentes a circunferencias centradas en el eje óptico se ven nítidas, mientras que las líneas radiales
se desenfocan. En el plano sagital, la situación es opuesta.
3.4.2. Aberraciones monocromáticas de campo.
Curvatura de imagen. Puede ocurrir que el sistema esté correg
3 - 6

7. 3 - 7
Cuando los campos son pequeños se mide
la curvatura como la de la esfera tangente en el
eje a la superficie imagen. En caso contrario la
curvatura se mide dando la distancia del punto
imagen stigmático al plano imagen paraxial. En la
figura el segmento 2 2' 'O O
agen
representa la
curvatura de im del punto
correspondiente al del objeto. El efecto de
la curvatura es que hay puntos del campo que
aparecen desenfocados.
2'O 2O
Fig. 3.8
Si , por ejemplo, el sistema de la figura 3.8 se tratase de una cámara fotográfica con la
aberración de curvatura de imagen y se pusiese una placa perpendicular al eje y que pasase por 1'O ,
aparecería desenfocado el punto del eje y enfocados los puntos de un círculo a la misma distancia
ueq 1 del eje.
En los instrumentos de visión una concavidad hacia el observador es tolerable, pues es la
misma sensación que al mirar al horizonte.
'O
de semejanza entre objeto e imagen. Se debe aDistorsión. La distorsión rompe la relación
una falta de constancia en el aumento lateral con la distancia del punto objeto al eje
Fig. 3
Supongamos un sistema ante el cual tomam
3.9. Si el sistema fuera perfecto le correspondería un
.9
os como objeto el segmento l normal al eje, fig.
a imagen l' tal que en a:ella serí
' ' ' '
'
O P O R
OP OR
  (3.11)
Sin embargo, si suponemos que el aumento crece con la distancia al eje, el aumento que
sufre R será mO ayor que el que sufre OP por estar R más distante del eje que P. Por tanto, los
puntos imagen de P, Q, R, no estarán en l' sino más alejados en los puntos de una curva como la 1'P ,
1'Q , 1'R . Si el aumento disminuye al crecer el objeto, las imágenes estarán en otra curva como la
2P 2' , 2'' , Q R . Todo ello hace que en un sistema con distorsión las líneas rectas del objeto que no
pasen por el eje se vean curvadas con la convexidad o la concavidad hacia el eje según el caso.
Fig. 3.10

8. 3 - 8
Si un sistema tiene distorsión del prim (aumento mayor que el paraxial) dará de una
n sistema está
exento de distorsión se llama ortoscópico.
ones cromáticas.
er tipo
cuadricula, Fig. 3.10(a), una imagen como la (b) y la distorsión se llamará de corsé. Si es del
segundo tipo, la imagen es como la (c) y se llama distorsión de barril. Cuando u
3.4.3. Aberraci
Debido a que los vidrios presentan distinto índice de refracción para luces de distinta
longitud de onda,  n n  , las lentes incluso en óptica paraxial presentarán diferente focal para los
distintos colores. De esta forma, dado un objeto, el sistema no formará una sola imagen de dic
eto ino una serie de imágenes situadas en diferentes posiciones. Si 'Fs , 'Cs y '
ho
obj s Ds son las
s f tales, respecto a la última superficie de un sistema, de las imágenes en el eje para las
tres longitudes de onda fundamentales, se llama aberración cromática longitudinal, ACL, (en
ocasiones también aberración cromática de posición, ACP) a la diferencia
distancia ron
' 'F CACL s s  (3.12)
La misma variación de la focal en el color hará en general que el aumento sea diferente para los
distintos colores, en cuyo caso las imágenes de distinto color presentarán distinto tamaño 'y .
Definiremos aberración cromática de aumento como la diferencia
. . . ' 'F CAC A y y  (3.13)
donde 'Fy e 'Cy son los tamaños de las imágenes para las líneas F y C. En la figura 3.11 se
muestran ambas aberraciones cromáticas para delgada.una lente
Fig. 3.11
Un sistema para el cual ' 's s se llama acromático. CuandoF C coinciden en el eje las
pondientes a los colores F, C y D, el sistem
ón de potencia, '. Una lente delgada e
imágenes corres a se llama apocromático, lo que se exige
de modo particular a los objetivos de microscopio de grandes aumentos y a los objetivos para
fotografía en color.
3.4.4. Condiciones de acromatismo para dobletes.
Variaci n aire con número de Abbe d presenta
una potencia 'd para la longitud de onda que se expresa como:d
   
1 1
' 1 1d d dn n
 
     
1 2
K
r r 
(3.14)
donde K es un factor geométrico constante que no influye en la dispersión cromática. Considerando
(3.14) la variación de potencia '
respectiv
entre los extremos rojo y azul del espectro visible,
representados por las líneas C y F amente, viene dada por:

9. 3 - 9
 
 1 '
' ' ' d d
F C F C
d d
n K
n n K

  
 

       (3.15)
Doblete pegado. Sea un doblete formado por dos lentes pegadas , fig. 8.11. La
potencia total del sistema vale '
 0e 
1 2' '    , de m
expresarse como
odo que la variación de potencia puede
1 2
1 2
1 2
' '
' ' ' d d
d d
 
  
 
       (3.16)
y se obtiene como condición de acromatismo
1 2
1 2
0
d d
' 'd d 
 
  (3.17)
Fig. 3.12
Si el doblete pegado está formado por dos lentes delgadas, fig. 3.13, se puede considerar que el
doblete en su conjunto también lo es. En tal caso, la condición de acromatismo conlleva una
corrección simultánea de ACL y ACA. De (3.17) se deduce que 1' y 2' deben ser de signo
contrario. Si suponemos 1' 0  y la asociación de las lentes ha de cia positiva, deberátener poten
ser 1 2' '  , lo que i plica para que se cumpla (3.17) quem 1 2  . H
vidrio crown para la lente posi un flint para la negativa.
abitualmente se toma un
tiva y
Fig. 3.13
Doblete despegado. La potencia ' de un sistema formado por dos lentes delgadas de
potencias 1' y 2' a distencia e, en aire, viene dada por
1 2 1' ' ' 'e 2'       (3.18)
y la variación de potencia es
 1 2 2 1 1' ' ' ' ' ' 'e 2               (3.19)
Teniendo en cuenta la ecuación (3.15) se obtiene

10. 1 2 1 2
2 1
1 2 1 2
' ' ' '
' ' ' ,d d d d
d d
d d d d
e
   
  
   
 
     
 
(3.20)
de modo que la condición de acromatismo  ' 0  determina que:
1 2
1 2
1 2 1
' ' 1 1
' 'd d
d d
d d d
e
 
 
  
 
  
 2
0
d


(3.21)
Si las dos lentes son del mismo vidrio  1 2d d  , entonces la condición de acromatismo
exige que la separación entre las lentes sea:
1 2' '
2
f f
e

 (3.22)
Estas condiciones garantizan el acromatismo de aumento pero no el longitudinal, puesto que
aseguran la constancia de la focal del sistema total al variar el color de la luz de F a C, pero no que
los planos principales y por tanto los focos correspondientes a estos dos colores estén confundidos.
3.4.5. Difracción.
La difracción se produce cuando un d limita la extensión de la onda luminosa y es
ni n rección de las aberraciones de un sistema
di ció rcular produce la denominada mancha de
), con un círculo luminoso rodeado de anillos
la figura 3.14 b) se representa la intensidad luminosa en ordenadas frente a la distancia al centro en
iafragma
causada por la naturaleza ondulatoria de la luz. Aunque escapa del ámbito de la Óptica Geométrica
debe ser te do e cuenta para establecer límites a la cor
óptico. La frac n de la luz a través de una abertura ci
Airy, fig. 3.14 a alternativamente claros y oscuros. En
abscisas.
b)Fig. 3.14 a) Fig. 3.14
Puesto que la mayor parte de la intensidad luminosa está contenida en el círculo central (el
ema óptico que forma la imagen de un punto luminoso,
 la longitud de onda utilizada y  el diámetro de la pupila de entrada del sistema. Se demuestra que
84% de la energía total), el tamaño de la mancha de difracción se considera como la distancia desde
el centro hasta el primer mínimo. Sea un sist
el ángulo  , ba lano principal del sistema óptico valejo el que se ve el anillo central desde el p
1.22


 (3.23)
Si el sistema óptico tiene una focal f’ y el objeto está en el infinito, el radio de la mancha de
difracción por una abertura circular medida sobre la imagen es
'
' ' 1.22 1.22r f N
f
  

   (3.24)
donde N es el número de diafragma. Para objeto próximo se demuestra que el radio de la mancha de
difracción sobre el objeto, r, es:
0.61
' '
r
n sen


 (3.25)
3 - 10

11. 3 - 11
fenómeno de la difracción permite poner un límite a la corrección de las aberraciones. Si
el conjunto de las aberraciones de un sistema óptico da lugar a una mancha imagen de menor
tamaño que la mancha de difracción, entonces las aberraciones no tendrán efecto sobre la calidad
óptica del sistema. Se dice entonces que el sistema está corregido al límite de la difracción.
3.4.6. Límite de resolución. Poder separador.
El efecto de las aberraciones y la difracción hace que la imagen de un punto sea una mancha
con unas ciertas dimensiones, por lo que si tenemos dos puntos del objeto próximos entre si, las
imágenes de cada uno de los puntos se solaparán en mayor o menor medida. Se define como límite
de resolución la mínima distancia entre dos puntos del objeto para que se vean justamente resueltos
(se distingue que son dos puntos). Esta distancia se suele definir como una magnitud lineal para
bjetos próximos y como una magnitud angular para objet Se define la resolución o
donde n’ es el índice de refracción del espacio imagen y ’ el ángulo de abertura imagen.
El
o os lejanos.
poder separador como el inverso del límite de resolución. Las unidades más habituales son las
lineas/mm o los ciclos por grado, radián o milirradián.
Fig. 3.15
El criterio de Rayleigh propone que dos puntos luminosos de la misma intensidad estarán
o la distancia entre sus imágenes es igual al rad
cada uno de ellos. Esto quiere decir que la mínima distancia entre dos puntos vendrá dada, en cada
X) se toma la  de máxima sensibilidad del ojo,
resueltos cuand io de la mancha de difracción de
caso, por (3.X) y (3.X), y que el mínimo ángulo que puede resolver un sistema óptico vendrá dado
por (3.X). Si en la expresión (3. 555 nm  , y se
80 x 60 x 60/p para pasar el resultado a smultiplica por 1 egundos de arco se obtiene:
140''


 (3.26)
demás de la difracción deben tenerse en cuenta las
mico del observador, etc.), así como del tipo
de test presentado.
3. 5. Métodos de evaluación de la calidad de sistema óptico formador de imagen.
donde debe expresarse en milímetros. Obsérvese que para conseguir límites de resolución muy
pequeños se deben utilizar grandes diámetros de pupila. Por ejemplo, los telescopios astronómicos
requieren pupilas de entrada de varios metros de diámetro.
Resolución limitada por el receptor. A
características del sistema de detección utilizado en el instrumento.
En los instrumentos objetivos la imagen se forma sobre una película fotográfica, o el
fotocátodo de una cámara de televisión, una matriz de detectores o una pantalla. Las características
de estos elementos pueden limitar la resolución que es capaz de alcanzar el instrumento y deberán
tenerse en cuenta en cada caso.
En los instrumentos subjetivos el receptor es el ojo del observador, cuya influencia en la
resolución puede ser importante. La resolución del ojo depende mucho de las circunstancias de la
observación (iluminación ambiente, estado físico y aní
Diagrama de impactos (Spot diagram). Son gráficos que muestran donde “impactan” en el
plano imagen los rayos procedentes de un objeto puntual. Para ello se calcula el trazado real de un
gran número de rayos adecuadamente distribuidos por la pupila de entrada del sistema (fig. 3.16). Si
el sistema fuera perfecto todos los rayos coincidirían en el punto imagen, sin embargo, en los
sistemas reales, los rayos se distribuyen en una región en las proximidades del punto imagen

12. paraxial. El análisis del diagrama de impactos resultante (convenientemente ampliado) nos
proporciona información sobre el comportamiento del sistema y los tipos de aberraciones que
presenta.
Fig. 3.16
En la fig. 3. 17 pueden verse diagramas de impactos de sistema afectados de aberración
esférica, como y astigmatismo, respectivamente.
Fig. 3.16
ación de onda
ente de onda
ta muy util de diagnóstico en oftalmología clínica. Mediante un sensor de frente de onda y
el software adecuado se puede determinar la PSF del ojo de un paciente, pudiéndose similar el
efecto de posibles tratamientos sobre ella.
Gracias a la linealidad de los sistemas ópticos formadores de imagen, la imagen de un objeto
extenso puede expresarse como superposición de las PSF de cada uno de sus puntos.
Función de transferencia de modulación (MTF). Los criterios de resolución nos dan el
límite teórico del poder separador de un sistema óptico. Sin embargo, nada dicen sobre la resolución
en diferentes condiciones y para diferentes objetos. Para darnos más información sobre la calidad de
un instrumento óptico se ha desarrollado la magnitud denominada función de contraste o función de
transferencia de modulación, también conocida por sus siglas en inglés MTF.
Supongamos que frente a un sistema óptico se sitúa una mira de Foucault, con una cierta
s coordenados,
obteniendo una función escalón, tal como se ve en la figura 3.18.
Si r es la distancia desde una línea hasta la siguiente del mismo
tipo, la frecuencia espacial es  = 1/r. En la imagen no aparecerá
la misma distribución de intensidad, ya que debido a la
difracción y aberraciones, parte de la luz de las zonas claras
asará a las zonas oscur .
Con la información obtenida con el trazado de rayos puede calcularse la aberr
definida como la diferencia de camino óptico entre el frente de onda real y un fr
esférico. A partir de la aberración de onda se pueden calcular la PSF y la MTF del sistema óptico.
PSF (Point spread function). Es una función que describe la respuesta de un sistema
formador de imagen a una fuente o a un objeto puntual. Un instrumento perfecto (libre de
aberraciones) dará lugar a una mancha de Airy como PSF, mientras que la PSF de sistema con
aberraciones requerirá un cuidadoso análisis, en el que juegan un papel destacado los polinomios de
Zernike que permiten una representación práctica de las aberraciones de cualquier sistema óptico de
revolución. Además de su uso habitual en microscopía o astronomía, las PSFs han pasado a ser una
herramien
frecuencia espacial (número de líneas por mm). La intensidad
de luz del objeto puede representarse en unos eje
Fig. 3.18p as
3 - 12

13. 3 - 13
Cuanto mayor sea la frecuencia espaci strechas y juntas sean las líneas) más patenteal (más e
será el fenómeno, obteniéndose las zonas claras más oscuras y viceversa.
Fig. 3.19
Para expresar numéricamente la calidad de la imagen obtenida, se define el contraste o
modulación, m, como:
max minI
max min
I
m
I I



, (3.27)
Idonde max e Imin son las intensidades máxima y mínima.
El contraste se puede definir sobre el objeto o la imagen. Para un objeto constituido por
barras de Foucault la modulación sería 1. Para la imagen la modulación varía con la frecuencia
espacial del objeto. Cuando el objeto tiene una curva de intensidad de forma sinusoidal, la imagen
presenta la misma función sinusoidal de intensidad, aunque con menor modulación.
Se define la función de contraste como la relación entre las modulaciones de la imagen y del
objeto, cuando éste último tiene una función sinusoidal de la intensidad:
contraste imagen
MTF
contraste objeto

La MTF suele representarse como una curva frente a la frecuenci
frecuencia espacial cero y decrece con la frecuencia espacial h
frecuencia espacial correspondiente al límite de resolución. Se pued
óptico perfecto, es decir, limitado por la difracción, la MTF sigue l
(3.28)
a espacial del objeto. Vale 1 para
asta llegar a valer cero para la
e demostrar que para un sistema
a curva definida por
2
( ) ( cos ),MTF sen

     (3.29)
donde cos = /2AN, siendo AN la apertura numérica,  la longitud de onda y  la frecuencia
espacial.
La MTF de un sistema perfecto se representa en la figura 3.20a) junto con la de un sistema
que presenta aberraciones, cuya MTF queda por debajo. Habitualmente, se presentan varias curvas
de MTF para diferentes ángulos de campo. Para cada campo se calcula la función de transferencia
sagital y tangencial, según la dirección de las barras de Foucault, tal como se ve en la figura 3.20b).
cuando las barras son paralelas a la recta que une el punto objeto con el eje óptico se mide la
función de contraste en la dirección perpend las barras, esto es, en dirección sagital. Loicular a
contrario ocurre en dirección tangencial.
Fig. 3.20 a) Fig. 3.20 b)

14. 3 - 14
ación de la MTF presenta una serie de ventajas:
edir en el laboratorio, permitiendo el estud
fabricados, por lo que puede ser utilizado como control de calidad de fabricación.
unto de las
funciones de cada uno de los sistemas acoplados. Incluso puede hacerse este cálculo cuando uno
as no es puramente óptico, como una cámar
detectores.
estudio más profundo requiere conocimientos de óptica ondulatoria. En la fig. 3.21 se
La utiliz
1. Se puede m io completo de sistema ópticos ya
2. Puede calcularse mediante trazado de rayos (con ordenadores) dando una predicción fiable de la
calidad de imagen que se puede alcanzar y permite comparar entre si diferentes soluciones
antes de ser fabricadas.
3. La MTF del conjunto de varios sistemas lineales es igual al producto punto a p
delos sistem a de televisión o una matriz de
El uso de la MTF para definir la calidad de un sistema óptico está cada día más extendido,
aunque un
muestran gráficas de la PSF y de la MTF para diversos valores de la aberración de onda para
sistemas afectados de desenfoque, aberración esférica, como y astigmatismo.
Fig. 3.21

15. 3 - 15
3.6. Optimización
Se denomina optimización al proceso por el que se reducen las aberraciones de un sistema
óptico formador de imagen hasta límites tolerables, manteniendo sus características fundamentales
y especificaciones (abertura, campo, focal, poder separador aumento, etc.).
El primer paso en cálculo de los sistemas ópticos consiste en elegir un sistema de partida,
bien a partir de diseños propios similares, de patentes o publicaciones o de la creación de un diseño
a partir de cálculos paraxiales.
A continuación, para proceder a la optimización del sistema deberemos establecer
previamente:
(1) Qué parámetros constructivos pueden variar y entre qué valores (radios de curvatura, espesores,
índices de refracción, etc.)
(2) Qué condiciones de contorno se imponen al sistema (focal, distancia focal posterior, longitud
del sistema, espesor en el borde de las lentes, etc.)
(3) Una función de mérito,  , que se define como:
2
i i
i
w f   (3.30)
donde los operandos fi incluyen parámetros que definen la calidad del sistema y las condiciones
de contorno y los pesos wi ponderan la importancia relativa de cada operando y regulan su
contribución a la función de mérito. El cuadrado de las fi tiene por objeto evitar que se cancelen
contribuciones positivas y negativas. Los valores de los pesos pueden modificarse durante el
proceso de optimización para dar mayor importancia a unos operandos sobre otros. La
optimización busca minimizar el valor de la función de mérito.