1. La respuesta en frecuencia permite determinar la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) cuando la entrada es una señal sinusoidal. Se define como la función H(ejw) que actúa sobre la amplitud y fase de la señal de entrada.
2. Para señales causales, la respuesta en frecuencia H(ejw) es igual a la transformada z de la respuesta impulsional h(k) evaluada en ejw.
3. En estado estacionario, sólo se necesita la respuesta en frecuencia H(ejw) para determinar
Este documento discute tres puntos principales: 1) La importancia de resumir documentos de manera concisa para ofrecer la información clave, 2) Cómo los resúmenes deben identificar las ideas fundamentales y de alto nivel, 3) La necesidad de comenzar resúmenes con una oración introductoria.
Scriptie AR als communicatiemiddel voor musea 1Erfgoed 2.0
Here is a summary of the key points from the document in 3 sentences or less:
[SUMMARY]
This thesis examines the potential of Augmented Reality as a communication tool for museums. Chapter 1 defines Augmented Reality and how it works by overlaying a digital layer on top of the real world. The following chapters discuss how museums can benefit from implementing AR technologies, including examples of museums that have already started experimenting with AR.
Este documento presenta una serie de oraciones cortas que describen varios temas como números, letras, palabras, frases y conceptos. Cada oración introduce un nuevo tema de una manera concisa.
Este documento presenta una serie de oraciones cortas que describen varios temas como números, letras, palabras, frases y conceptos. Cada oración introduce un nuevo tema de una manera concisa.
El documento describe varios temas, incluyendo la naturaleza, la sociedad, la tecnología y más. Se mencionan conceptos como la naturaleza, la sociedad, la tecnología, los números, las letras y más. El documento contiene una lista de temas y conceptos breves sin contexto o detalles adicionales.
1) Απληστοι Αλγόριθμοι
1.1) Συντομότερο Μονοπάτι σε Γράφο
1.1.1) Ο αλγόριθμος του Dijkstra
1.2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1.2.1) Ο αλγόριθμος του Prim
1.2.2) Ο αλγόριθμος του Kruskal
1.3) Ελαχιστοποίηση Νομισμάτων με Ρέστα
Εφαρμογές
1) Επιστροφή χρηματικού ποσού για ρέστα
2) Άπληστος Αλγόριθμος για Χρωματισμό Γραφήματος
8085 instruction set and addressing modesVijay Kumar
- Cada instrucción de un programa opera sobre datos. El método de especificar los datos a operar se llama direccionamiento.
- El EJE tiene los siguientes tipos de direccionamiento: direccionamiento inmediato, direccionamiento directo, direccionamiento indirecto, direccionamiento implícito y direccionamiento acumulador.
- Las instrucciones que son usadas para transferir el control de programa de una memoria a otra son agrupadas bajo este encabezado.
Este documento discute tres puntos principales: 1) La importancia de resumir documentos de manera concisa para ofrecer la información clave, 2) Cómo los resúmenes deben identificar las ideas fundamentales y de alto nivel, 3) La necesidad de comenzar resúmenes con una oración introductoria.
Scriptie AR als communicatiemiddel voor musea 1Erfgoed 2.0
Here is a summary of the key points from the document in 3 sentences or less:
[SUMMARY]
This thesis examines the potential of Augmented Reality as a communication tool for museums. Chapter 1 defines Augmented Reality and how it works by overlaying a digital layer on top of the real world. The following chapters discuss how museums can benefit from implementing AR technologies, including examples of museums that have already started experimenting with AR.
Este documento presenta una serie de oraciones cortas que describen varios temas como números, letras, palabras, frases y conceptos. Cada oración introduce un nuevo tema de una manera concisa.
Este documento presenta una serie de oraciones cortas que describen varios temas como números, letras, palabras, frases y conceptos. Cada oración introduce un nuevo tema de una manera concisa.
El documento describe varios temas, incluyendo la naturaleza, la sociedad, la tecnología y más. Se mencionan conceptos como la naturaleza, la sociedad, la tecnología, los números, las letras y más. El documento contiene una lista de temas y conceptos breves sin contexto o detalles adicionales.
1) Απληστοι Αλγόριθμοι
1.1) Συντομότερο Μονοπάτι σε Γράφο
1.1.1) Ο αλγόριθμος του Dijkstra
1.2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1.2.1) Ο αλγόριθμος του Prim
1.2.2) Ο αλγόριθμος του Kruskal
1.3) Ελαχιστοποίηση Νομισμάτων με Ρέστα
Εφαρμογές
1) Επιστροφή χρηματικού ποσού για ρέστα
2) Άπληστος Αλγόριθμος για Χρωματισμό Γραφήματος
8085 instruction set and addressing modesVijay Kumar
- Cada instrucción de un programa opera sobre datos. El método de especificar los datos a operar se llama direccionamiento.
- El EJE tiene los siguientes tipos de direccionamiento: direccionamiento inmediato, direccionamiento directo, direccionamiento indirecto, direccionamiento implícito y direccionamiento acumulador.
- Las instrucciones que son usadas para transferir el control de programa de una memoria a otra son agrupadas bajo este encabezado.
El documento describe varios resúmenes de documentos en 3 oraciones o menos. Resume la información sobre un documento que habla sobre la generación de resúmenes automáticos de textos mediante el aprendizaje profundo y las redes neuronales recurrentes. Explica que el modelo puede generar resúmenes concisos que capturan la información clave del documento original en pocas oraciones.
Este documento presenta una serie de resúmenes en 3 oraciones o menos sobre diferentes temas. Cada resumen resume brevemente la información clave de un documento diferente sobre varios temas como economía, política, ciencia y más.
1. El documento discute el resumen de un texto sobre la protección de los consumidores y la información fundamental y de alto nivel que ofrecen los resúmenes concisos de 3 oraciones o menos.
2. Se proporcionan ejemplos de resúmenes cortos de un párrafo cada uno sobre temas como la protección del consumidor, información financiera y servicios médicos.
3. Los resúmenes capturan la idea principal de cada párrafo de manera concisa en 3 oraciones o menos sin incluir detalles específicos.
Este documento resume la situación económica actual y las perspectivas futuras para Latinoamérica. Explica que la crisis económica global ha afectado severamente a las industrias de la región y ha aumentado el desempleo. A pesar de las dificultades actuales, se espera que la reducción de la mano de obra para equilibrar las demandas económicas actuales y futuras ayude a las organizaciones a posicionarse para el éxito a largo plazo. El proceso de alineamiento de talento no debe basarse únicamente en las
20141 s matsegundaevaluacion11h30version0solucioncoroio
Este documento contiene la segunda evaluación de matemáticas para ciencias, ingenierías y educación comercial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral. Incluye 10 problemas con sus respectivas soluciones sobre funciones, trigonometría, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
La composición contiene la Sinfonía Maya Hunak Ke, dirigida por el Maestro Alejandro Escovedo. Fue estrenada en el Palacio de Bellas Artes de la Ciudad de México y posteriormente ha sido interpretada en diversos países de América.
Arrangement: Workshop i strategi og Forretningsudvikling i Aalborg den 29. Februar ved Anna Porse Nielsen.
Workshoppen er del af forretningsudviklingsforløbet Passion A/S og handler om strategi og udvikling af forretningsmodeller gennem Alexander Osterwalders Business Model Generation Canvas
Cloud migration refers to the process of moving applications, data, and other business items from on-premises to the cloud environment. Additionally, cloud migration can be defined as the process of moving applications and data from one cloud platform or provider to another. Many companies move their applications with the help of cloud migration development company and data to the cloud to avoid the need to create and maintain an on-premises infrastructure.
! Microfinanzas y micropréstamos pueden integrarse fácilmente en una variedad de cursos porque son temas sorprendentemente versátiles que funcionan bien con disciplinas como economía, emprendimiento, desarrollo internacional, finanzas, sociología y ciencias ambientales.
! Campus Microfinanzas ofrece a los estudiantes la oportunidad de desempeñar un papel directo en el cambio de vidas al participar en programas de préstamos y emprendimiento social. Nuestro misión es educar a los estudiantes sobre el impacto pot
El documento habla sobre una conferencia donde se discuten varios temas relacionados con la coordinación entre diferentes entidades para mejorar la atención a pacientes. Se mencionan discusiones sobre el intercambio de información médica entre hospitales y clínicas, así como el uso de nuevas tecnologías para facilitar la comunicación entre proveedores.
El documento resume el proceso de simplificación de funciones lógicas utilizando mapas de Karnaugh. Inicialmente presenta las funciones lógicas f(a) a f(g) que representan los dígitos binarios de 0 a 9. Luego, aplica mapas de Karnaugh a cada función para simplificarlas y obtener expresiones minimizadas con menos términos. Finalmente, indica que se pueden implementar las funciones lógicas simplificadas utilizando puertas lógicas y dispositivos.
El documento describe varias formas alternativas de obtener energía renovable, centrándose en la energía eólica. Explica que la energía eólica se obtiene de la energía cinética del viento y actualmente se usa principalmente para generar energía eléctrica mediante aerogeneradores. Luego, presenta el proyecto de crear un aerogenerador urbano, describiendo los antecedentes y el desarrollo del diseño a través de bocetos y maquetas hasta llegar al diseño final.
A Paradigm Shift for Integrated Solid Waste Management - A Case Study of DelhiSahil Singh Kapoor
El documento describe los desafíos del manejo integrado de residuos sólidos en India, incluyendo la rápida urbanización y el crecimiento exponencial de la generación de desechos que ha sobrepasado la capacidad de los sitios de relleno sanitario existentes. Se requieren tecnologías descentralizadas para minimizar los desechos y aprovechar el potencial de los residuos como recurso. Un enfoque integrado que considere las variaciones regionales y factores socioeconómicos puede ayudar a abordar este desafío cre
El documento trata sobre varios temas incluyendo la negligencia, la deshonestidad, las autages y los benchmarks. En 3 oraciones resume lo siguiente: El documento discute varios temas controversiales como la negligencia, la deshonestidad y las autages, que son cosas que pueden ocurrirle a cualquier persona, y sugiere que los benchmarks no deben usarse para comparar productos o empresas de manera inapropiada.
Artificial intelligence and machine learning in particular is the powerful new tool to minimize additive and energy consumption in almost all industrial processes. Today, traditional manufacturing industries are beginning to actively implement machine learning methods to save costs.
Este documento presenta una serie de temas relacionados con la industria de la telefonía móvil. Incluye discusiones sobre el marketing móvil, las adquisiciones, el engagement de los consumidores, los pagos móviles, los datos móviles y el ciclo de vida útil de los teléfonos móviles. También menciona temas como el comportamiento del consumidor, las interacciones móviles y las finanzas conductuales.
Este documento presenta una lista de sustantivos en hebreo y sus formas plurales y de género. Incluye palabras como "rey", "reina", "pecho", "oreja", "caballo", "ciudad", "piedra", "mujer", "palabra", "año" y sus correspondientes formas masculinas, femeninas, singulares y plurales. También incluye algunas notas sobre el uso de acentos en las formas plurales.
El documento describe varios resúmenes de documentos en 3 oraciones o menos. Resume la información sobre un documento que habla sobre la generación de resúmenes automáticos de textos mediante el aprendizaje profundo y las redes neuronales recurrentes. Explica que el modelo puede generar resúmenes concisos que capturan la información clave del documento original en pocas oraciones.
Este documento presenta una serie de resúmenes en 3 oraciones o menos sobre diferentes temas. Cada resumen resume brevemente la información clave de un documento diferente sobre varios temas como economía, política, ciencia y más.
1. El documento discute el resumen de un texto sobre la protección de los consumidores y la información fundamental y de alto nivel que ofrecen los resúmenes concisos de 3 oraciones o menos.
2. Se proporcionan ejemplos de resúmenes cortos de un párrafo cada uno sobre temas como la protección del consumidor, información financiera y servicios médicos.
3. Los resúmenes capturan la idea principal de cada párrafo de manera concisa en 3 oraciones o menos sin incluir detalles específicos.
Este documento resume la situación económica actual y las perspectivas futuras para Latinoamérica. Explica que la crisis económica global ha afectado severamente a las industrias de la región y ha aumentado el desempleo. A pesar de las dificultades actuales, se espera que la reducción de la mano de obra para equilibrar las demandas económicas actuales y futuras ayude a las organizaciones a posicionarse para el éxito a largo plazo. El proceso de alineamiento de talento no debe basarse únicamente en las
20141 s matsegundaevaluacion11h30version0solucioncoroio
Este documento contiene la segunda evaluación de matemáticas para ciencias, ingenierías y educación comercial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral. Incluye 10 problemas con sus respectivas soluciones sobre funciones, trigonometría, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
La composición contiene la Sinfonía Maya Hunak Ke, dirigida por el Maestro Alejandro Escovedo. Fue estrenada en el Palacio de Bellas Artes de la Ciudad de México y posteriormente ha sido interpretada en diversos países de América.
Arrangement: Workshop i strategi og Forretningsudvikling i Aalborg den 29. Februar ved Anna Porse Nielsen.
Workshoppen er del af forretningsudviklingsforløbet Passion A/S og handler om strategi og udvikling af forretningsmodeller gennem Alexander Osterwalders Business Model Generation Canvas
Cloud migration refers to the process of moving applications, data, and other business items from on-premises to the cloud environment. Additionally, cloud migration can be defined as the process of moving applications and data from one cloud platform or provider to another. Many companies move their applications with the help of cloud migration development company and data to the cloud to avoid the need to create and maintain an on-premises infrastructure.
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! Campus Microfinanzas ofrece a los estudiantes la oportunidad de desempeñar un papel directo en el cambio de vidas al participar en programas de préstamos y emprendimiento social. Nuestro misión es educar a los estudiantes sobre el impacto pot
El documento habla sobre una conferencia donde se discuten varios temas relacionados con la coordinación entre diferentes entidades para mejorar la atención a pacientes. Se mencionan discusiones sobre el intercambio de información médica entre hospitales y clínicas, así como el uso de nuevas tecnologías para facilitar la comunicación entre proveedores.
El documento resume el proceso de simplificación de funciones lógicas utilizando mapas de Karnaugh. Inicialmente presenta las funciones lógicas f(a) a f(g) que representan los dígitos binarios de 0 a 9. Luego, aplica mapas de Karnaugh a cada función para simplificarlas y obtener expresiones minimizadas con menos términos. Finalmente, indica que se pueden implementar las funciones lógicas simplificadas utilizando puertas lógicas y dispositivos.
El documento describe varias formas alternativas de obtener energía renovable, centrándose en la energía eólica. Explica que la energía eólica se obtiene de la energía cinética del viento y actualmente se usa principalmente para generar energía eléctrica mediante aerogeneradores. Luego, presenta el proyecto de crear un aerogenerador urbano, describiendo los antecedentes y el desarrollo del diseño a través de bocetos y maquetas hasta llegar al diseño final.
A Paradigm Shift for Integrated Solid Waste Management - A Case Study of DelhiSahil Singh Kapoor
El documento describe los desafíos del manejo integrado de residuos sólidos en India, incluyendo la rápida urbanización y el crecimiento exponencial de la generación de desechos que ha sobrepasado la capacidad de los sitios de relleno sanitario existentes. Se requieren tecnologías descentralizadas para minimizar los desechos y aprovechar el potencial de los residuos como recurso. Un enfoque integrado que considere las variaciones regionales y factores socioeconómicos puede ayudar a abordar este desafío cre
El documento trata sobre varios temas incluyendo la negligencia, la deshonestidad, las autages y los benchmarks. En 3 oraciones resume lo siguiente: El documento discute varios temas controversiales como la negligencia, la deshonestidad y las autages, que son cosas que pueden ocurrirle a cualquier persona, y sugiere que los benchmarks no deben usarse para comparar productos o empresas de manera inapropiada.
Artificial intelligence and machine learning in particular is the powerful new tool to minimize additive and energy consumption in almost all industrial processes. Today, traditional manufacturing industries are beginning to actively implement machine learning methods to save costs.
Este documento presenta una serie de temas relacionados con la industria de la telefonía móvil. Incluye discusiones sobre el marketing móvil, las adquisiciones, el engagement de los consumidores, los pagos móviles, los datos móviles y el ciclo de vida útil de los teléfonos móviles. También menciona temas como el comportamiento del consumidor, las interacciones móviles y las finanzas conductuales.
Este documento presenta una lista de sustantivos en hebreo y sus formas plurales y de género. Incluye palabras como "rey", "reina", "pecho", "oreja", "caballo", "ciudad", "piedra", "mujer", "palabra", "año" y sus correspondientes formas masculinas, femeninas, singulares y plurales. También incluye algunas notas sobre el uso de acentos en las formas plurales.
TIA portal Bloques PLC Siemens______.pdfArmandoSarco
Bloques con Tia Portal, El sistema de automatización proporciona distintos tipos de bloques donde se guardarán tanto el programa como los datos
correspondientes. Dependiendo de la exigencia del proceso el programa estará estructurado en diferentes bloques.
MATERIALES PELIGROSOS NIVEL DE ADVERTENCIAROXYLOPEZ10
Introducción.
• Objetivos.
• Normativa de referencia.
• Política de Seguridad.
• Alcances.
• Organizaciones competentes.
• ¿Qué es una sustancia química?
• Tipos de sustancias químicas.
• Gases y Vapores.
• ¿Qué es un Material Peligroso?
• Residuos Peligrosos Legislación Peruana.
• Localización de Accidentes más habituales.
• Riesgos generales de los Materiales Peligrosos.
• Riesgos para la Salud.
• Vías de ingreso al organismo.
• Afecciones al organismo (secuencia).
• Video: Sustancias Peligrosas
1. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Respuesta en frecuencia.
1
2. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Interés y uso en PDS.
Tiene el mismo uso que en sistemas
continuos: determinar la salida de un sistema
(en estado estacionario; cuando t ➝∞)
cuando la entrada es una combinación de
sinusoides.
Alternativas a este método son la convolución
y usar Transformadas Z→ Y(z)=H(z)·X(z)
para, posteriormente, aplicar transformadas
inversas. De esta forma se obtiene el término
transitorio y estacionario (para t→0). Esta
forma de cálculo tiene una alta complejidad
en la mayoría de las ocasiones (recordáis los
problemas del tema anterior??).
Cabe preguntarse por
qué estamos interesados
en las sinusoides; como
veremos en los siguientes
temas siempre puedo
descomponer la inmensa
mayoría de señales
digitales como una
combinación de
sinusoides. ¡¡TENEMOS
UNA FORMA SENCILLA
DE DETERMINAR LA
SALIDA DE CUALQUIER
SISTEMA ANTE
CUALQUIER ENTRADA
EN ESTADO
ESTACIONARIO!! .
2
3. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Origen de la respuesta en frecuencia.
Supongamos que se se tiene un sistema L.T.I definido por la
respuesta impulsional h(k) y queremos determinar la salida de
dicho sistema cuanto la entrada es la exponencial compleja
!
x n
( ) = A" e jwn
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Aplicando convolución
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Si se define la función
compleja H(ejw) como
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Se tiene
entonces
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¡¡Sólo necesito la función
H(ejw) para determinar la
salida!!; dicha función se
conoce como respuesta
en frecuencia del
sistema.
Dado que es una función
compleja se tiene
!
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( )
LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ACTÚA
SOBRE LA AMPLITUD Y LA FASE DE LA
SEÑAL X(N)
3
4. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Si..pero nuestras señales suelen ser causales
La señal usada para obtener la respuesta en frecuencia era no
causal....veamos qué ocurre con una exponencial compleja causal.
!
H e jw
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!
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
$
% # h k
( )" e# jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
+
!
y n
( ) = "A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
++ A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k="$
$
%
&
'
(
)
*
+
!
y n
( ) = H e jw
( )" x n
( )
!
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
n
%
Jugando con la última expresión llegamos a
!
!
x n
( ) = A" e jwn
" u n
( )
!
y n
( ) = h k
( )" A" e jw n#k
( )
" u n # k
( )
k=#$
$
%
!
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
$
% # h k
( )" e# jw
k= n+1
$
%
&
'
(
!
y n
( ) = "A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
++ A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k="$
$
%
&
'
(
)
*
+
!
y n
( ) = H e jw
( )" x n
( )
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
n
%
El segundo término es el obtenido anteriormente y,
el término entre paréntesis es, justamente, la
respuesta en frecuencia.
En la última expresión hay que destacar que el primer término entre corchetes
desaparece si el sistema es estable BIBO (¿por qué?) cuando n→∞. Esta situación se
corresponde con el estado estacionario del sistema por lo que en este estado sólo es
necesaria la respuesta en frecuencia para determinar la salida del sistema.
4
5. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Comentarios sobre la respuesta en frecuencia.
!
H e jw
( )= h k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
!
H e jw
( )= H(z) z= e jw
!
x n
( ) = A" e jwn
" u n
( )
y n
( ) = h k
( )" A" e jw n#k
( )
" u n # k
( )
k=#$
$
%
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
$
% # h k
( )" e# jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
+
!
H e jw
( )= h k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
!
H e jw
( )= H(z) z= e jw
!
x n
( ) = A" e jwn
" u n
( )
y n
( ) = h k
( )" A" e jw n#k
( )
" u n # k
( )
k=#$
$
%
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
$
% # h k
( )" e# jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
+
La definición de la respuesta en
frecuencia de un sistema L.T.I con
una respuesta impulsional h(n) es
De aquí es inmediato obtener
La respuesta en frecuencia es la
evaluación de la Transformada Z en
la circunferencia de radio unidad.
Para tener dicha respuesta en
frecuencia la Transformada Z debe
converger en esa circunferencia; es
decir, nuestra R.O.C debe incluir
dicha circunferencia
De la expresión de la respuesta en frecuencia o
de su relación con la Transformada Z se
comprueba que es periódica de periodo 2·π.
Además recordando nuestro rango de trabajo con
las frecuencias digitales sólo habrá que evaluarla
en el rango 0 w π. Es decir, hay que evaluar la
Transformada Z sólo en media circunferencia.
De la relación con la Transformada Z es inmediato
obtener la siguiente relación:
!
!
y n
( ) = h k
( )" A" e jw n#k
( )
" u n # k
( )
k=#$
$
%
!
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
$
% # h k
( )" e# jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
+
!
y n
( ) = "A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
++ A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k="$
$
%
&
'
(
)
*
+
!
y n
( ) = H e jw
( )" x n
( )
!
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e# jwk
k=#$
n
%
!
Y(z) = H z
( )" X z
( ) # Y(e jw
) = H e jw
( )" X e jw
( )
Donde
!
X e jw
( )= x k
( )" e# jwk
k=#$
$
% &Y e jw
( )= y k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
A estas últimas funciones, Y(ejw) y X(ejw) se les
conoce como TRANSFORMADAS DE FOURIER
EN TIEMPO DISCRETO.
5
6. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
!200
!150
!100
!50
0
50
100
Normalized Frequency (!" rad/sample)
Phase
(degrees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
!80
!60
!40
!20
0
Normalized Frequency (!" rad/sample)
Magnitude
(dB)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
!200
!150
!100
!50
0
50
100
Normalized Frequency (!" rad/sample)
Phase
(degrees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
!80
!60
!40
!20
0
Normalized Frequency (!" rad/sample)
Magnitude
(dB)
Como ya se ha visto la respuesta en
frecuencia modifica la amplitud y fase de
la señal de entrada a través del módulo y
la fase, respectivamente de la respuesta
en frecuencia; se tendrán entonces dos
representaciones: magnitud y fase.
A modo de ejemplo se plantea determinar
la repuesta en frecuencia (magnitud y
fase) del sistema definido por la
respuesta impulsional
h(n)=0.1·[u(n)-u(n-9)]
!
X e jw
( )= x k
( )" e# jwk
k=#$
$
% &Y e jw
( )= y k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
!
"g = #
d $ H(e jw
)
( )
[ ]
dw
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
!
X e jw
( )= x k
( )" e# jwk
k=#$
$
% &Y e jw
( )= y k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
!
"g = #
d $ H(e jw
)
( )
[ ]
dw
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
!
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen(
sen
!
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
!
!
"g = #
d $ H(e )
( )
[ ]
dw
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
!
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
6
7. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Retardo de fase y retardo de grupo.
Si se quiere que el sistema digital retarde igual
todas las componentes sinusoidales se debe
cumplir que el sistema sea de fase lineal.
Se define retardo de fase a
Consideremos un sistema que, lo
único que hace, es introducir un
cierto retardo a la señal de entrada
!
!
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
!
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
!
y n
( ) = x n " n0
( ) # H z
( ) = z"n0
# H e jw
( )= e" jwn0
!
H e jw
( ) =1
" H e jw
( )
( )= #w $ n0
Es inmediato comprobar la
siguiente relación
H(e jw
)
( )]
w
" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
"
1# z#10
1# z#1
" n0) # H z
( ) = z"n0
# H e jw
( )= e" jwn0
= #w $ n0
Distinguiendo magnitud y fase se
obtiene
!
!
"g = #
d $ H(e )
( )
[ ]
dw
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
!
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
!
y n
( ) = x n " n0
( ) # H z
( ) = z"n0
# H e jw
( )= e" jwn0
!
H e jw
( ) =1
" H e jw
( )
( )= #w $ n0
!
X e jw
( )= x k
( )" e# jwk
k=#$
$
% &Y e jw
( )
!
"g = #
d $ H(e jw
)
( )
[ ]
dw
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
)
!
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
!
y n
( ) = x n " n0
( ) # H z
( ) = z"n0
# H e jw
(
!
H e jw
( ) =1
" H e jw
( )
( )= #w $ n0
Se observa que en nuestro caso define el retardo
temporal entre la señal de entrada y la salida. En
general esto es así para todo sistema.
Una magnitud relacionada y
que da idea de la desviación
de la linealidad en la fase es
el retardo de grupo
!
X e jw
( )= x k
( )" e# jwk
k=#$
$
% &Y e j
(
!
"g = #
d $ H(e jw
)
( )
[ ]
dw
!
" f = #
$ H(e jw
)
( )
[ ]
w
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
#10
Esta magnitud podría representar el retardo
“promedio” introducido por el sistema
7
8. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Polos y ceros de H(z) y respuesta en frecuencia (I)
Existe una estrecha relación entre la Transformada Z de la
respuesta impulsional de un sistema y su respuesta en frecuencia;
!
H e jw
( )= h k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
!
H e jw
( )= H(z) z= e jw
!
x n
( ) = A" e jwn
" u n
( )
!
y n
( ) = h k
( )" A" e jw n#k
( )
"
k=#$
$
%
!
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e#
k=#$
$
%
&
'
(
!
y n
( ) = "A# e jwn
# h k
( )# e" jwk
k= n+1
$
%
&
'
(
)
*
++ A# e j
y n
( ) = H e jw
( )" x n
( )
y n
( ) = A" e jwn
" h k
( )" e#
n
%
Podemos utilizar esta relación para diseñar sistemas con una
determinada respuesta en frecuencia usando los polos/ceros de
la transformada Z. Tomemos un ejemplo sencillo; sistema con 2
polos y 2 ceros (complejos en los dos casos).
!
H z
( ) =
z " z1
( )# z " z2
( )
z " p1
( )# z " p2
( )
!
H e jw
( ) =
U1 "U2
V1 "V2
!
!
" f = #
$ H(e )
( )
[ ]
w
!
H z
( ) = 0.1" z#k
k= 0
9
$ % H z
( )z= e jw = H(e jw
) = 0.1" e#4.5" j"w sen 5w
( )
sen w
( )
!
H z
( ) = 0.1"
1# z#10
1# z#1
!
y n
( ) = x n " n0
( ) # H z
( ) = z"n0
# H e jw
( )= e" jwn0
!
H e jw
( ) =1
" H e jw
( )
( )= #w $ n0
!
H e jw
( )=
e jw
" z1
( )# e jw
" z2
( )
e jw
" p1
( )# e jw
" p2
( )
Considerando la relación
Transformada Z-Respuesta
en frecuencia se obtiene
Tomando módulos
!
H z
( ) =
z " z1
( )# z " z2
( )
z " p1
( )# z " p2
( )
!
H e jw
( ) =
U1 "U2
V1 "V2
Donde Ui es la distancia de ejw al cero zi y Vi es la
distancia de ejw al polo pi
r
r
q
q
Im[z]
Re[z]
|z| = 1
!"#$%& '()* ! "#$%&'(%)'#) **+ ,-./#) 0-/1 $%23.#4($%&5678/#
Re[z]
Im[z]
z = ejw
z = −1
p1
p2
V2
V1
U1
U2
z1
z2
!"#$%& '()) 9#%2#/)-$ #:8.68/-%& %, /1# 287&-/6'# )#"3%&"# ,)%2 /1# 3%
B
!"!#$%! &'(&$)#!
De forma gráfica.
8
9. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Polos y ceros de H(z) y respuesta en frecuencia (II)
60
80
100
egrees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
!40
!30
!20
!10
0
10
Normalized Frequency (!" rad/sample)
Magnitude
(dB)
!1 !0.5 0 0.5 1
!1
!0.8
!0.6
!0.4
!0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imaginary
Part
!
1 2
!
H e jw
( ) =
U1 "U2
V1 "V2
!
H z
( ) =
1" z"1
1"# $ z"1
# % 1
!
H z
( ) =
1" 2# r1 # cos $
( )# z"1
+ r1
2
# z"2
1" 2# r2 # cos $
( )# z"1
+ r2
2
# z"2
50
grees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
!5
0
5
10
15
Normalized Frequency (!" rad/sample)
Magnitude
(dB)
!1 !0.5 0 0.5 1
!1
!0.8
!0.6
!0.4
!0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imaginary
Part
!
!
H z
( ) =
1" z"1
1"# $ z"1
# % 1
!
H z
( ) =
1" 2# r1 # cos $
( )# z"1
+ r1
2
# z"2
1" 2# r2 # cos $
( )# z"1
+ r2
2
# z"2
9
10. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Transformada inversa de Fourier en tiempo discreto
En transparencias anteriores se ha definido la
Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) como
!
!
H z
( ) =
1"# $ z"1
# % 1
!
H z
( ) =
1" 2# r1 # cos $
( )# z"1
+ r1
2
# z"2
1" 2# r2 # cos $
( )# z"1
+ r2
2
# z"2
!
Z e jw
( )= z k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
z(n) =
1
2" &
" Z e jw
( )"
#&
&
' e jwn
" d(
!
h(n) =
1
2" #
" H e jw
( )"
$#
#
% e jwn
" d&
!
x(n) = lim
"w#0
1
2$ %
$ X e jk"w
( )
k
& $ e jk"
A partir de la DTFT se puede obtener la
Transformada Inversa de Fourier
(IDTFT) en tiempo discreto
!
!
H e
( ) =
V1 "V2
!
H z
( ) =
1" z"1
1"# $ z"1
# % 1
!
H z
( ) =
1" 2# r1 # cos $
( )# z"1
+ r1
2
# z"2
1" 2# r2 # cos $
( )# z"1
+ r2
2
# z"2
!
Z e jw
( )= z k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
z(n) =
1
2" &
" Z e jw
( )"
#&
&
' e jwn
" d(
!
h(n) =
1
2" #
" H e jw
( )"
$#
#
% e jwn
" d&
!
x(n) = lim
"w#0
1
2$ %
$ X e jk"w
( )
k
& $ e jk"wn
"w
Usando la IDTFT se tiene una
interpretación de la DTFT cuando se
aplica a señales digitales.
!
!
H e jw
( ) = 1 2
V1 "V2
!
H z
( ) =
1" z"1
1"# $ z"1
# % 1
!
H z
( ) =
1" 2# r1 # cos $
( )# z"1
+ r1
2
# z"2
1" 2# r2 # cos $
( )# z"1
+ r2
2
# z"2
!
Z e jw
( )= z k
( )" e# jwk
k=#$
$
%
z(n) =
1
2" &
" Z e jw
( )"
#&
&
' e jwn
" d(
!
h(n) =
1
2" #
" H e jw
( )"
$#
#
% e jwn
" d&
!
x(n) = lim
"w#0
1
2$ %
$ X e jk"w
( )
k
& $ e jk"wn
"w
La DTFT representaría los términos de
un desarrollo de Fourier para señales
aperiódicas (∆w➝0; T➝∞)
Cuando la DTFT representa una respuesta en
frecuencia la IDTFT representa un camino para
diseñar filtros digitales de una manera sencilla.
!
H e jw
( )=
1 w < wc
0 w " wc
#
$
%
!
h(n) =
1
2" #
" H e jw
( )"
$#
#
% e jwn
" d& =
1
2" #
" e jwn
" d&
$wc
wc
% =
sen wc " n
( )
# " n
Filtro pasa-baja ideal.
!
H e jw
( )=
1 w < wc
0 w " wc
#
$
%
!
h(n) =
1
2" #
" H e jw
( )"
$#
#
% e jwn
" d& =
1
2" #
" e jwn
" d&
$wc
wc
% =
sen wc " n
( )
# " n
!
H e jw
( )=
1 w < wc
0 w " wc
#
$
%
!
h(n) =
1
2" #
" H e jw
( )"
$#
#
% e jwn
" d& =
1
2" #
" e jwn
" d&
$wc
wc
% =
sen wc " n
( )
# " n
10
11. Procesado Digital de Señales.4º Ingeniería Electrónica.
Universitat de València. Profesor Emilio Soria.
Algunos detalles a tener en cuenta......
El análisis frecuencial sólo determina el estado estacionario del sistema.
Si se quiere determinar la evolución total (estacionario + transitorio) hay
que aplicar métodos temporales o Transformada Z.
La DTFT tiene las mismas propiedades que la Transformada Z (evidente
por la relación que existe entre ellas). Para no repetir no se han
expuesto aquí ya que se tienen en el tema de Trasformada Z.
En el diseño de sistemas usando polos/ceros los polos siempre se
sitúan en el interior de la circunferencia de radio unidad (¿por qué?)
teniendo libertad para los ceros; aunque es preferible que también se
sitúen en el interior (sistemas de fase mínima).
Lo que tiene que quedar bien claro del tema es el significado y uso de
una respuesta en frecuencia y lo que supone en el análisis de sistemas
L.T.I. NO SE PUEDE USAR SI LOS SISTEMAS NO SON L.T.I.
11