1. Aplicaciones de Termodin´mica.
a
Transmisi´n del calor.
o
J. G¨´mez
ue
Departamento de F´
ısica Aplicada,
Universidad de Cantabria
E-39005 Santander.
Diciembre 12, 2003
1 Introducci´n
o
En Termodin´mica del Equilibrio los contactos diatermos permiten
a
el intercambio de calor entre un sistema y su entorno. Puesto que
el tiempo no juega ning´n papel en Termodin´mica del equilibrio,
u a
tampoco lo hace en esta clase de contactos, por lo que no se presta
atenci´n a la forma concreta en la que el calor se transmite. Pero
o
desde un punto de vista pr´ctico, la manera precisa en que se produce
a
la transmisi´n del calor s´ es importante.
o ı
Existen tres mecanismos mediante los cuales se transmite la en-
erg´ t´rmica: la conducci´n, la convecci´n y la radiaci´n. La con-
ıa e o o o
ducci´n y la convecci´n necesitan un soporte material, t´
o o ıpicamente
un s´lido en la conducci´n y alguna clase de fluido en la convecci´n,
o o o
mientras que la radiaci´n permite la transmisi´n de energ´ t´rmica
o o ıa e
sin soporte material. En la conducci´n el flujo energ´tico se difunde
o e
a trav´s de la sustancia, sin que haya transporte de masa, mientras
e
que en la convecci´n es la totalidad de la masa del fluido la que se
o
ve implicada en la transmisi´n de energ´ habiendo tanto transporte
o ıa,
de masa como de energ´ En el caso de la radiaci´n se trata de on-
ıa. o
das electromagn´ticas emitidas por una superficie, transmitidas en el
e
vac´ y absorbidas por otra superficie.
ıo
1

2. 2 Conducci´n. R´gimen estacionario
o e
En la conducci´n hay transmisi´n de energ´ entre objetos en con-
o o ıa
tacto material a temperaturas diferentes. Pero no hay transporte de
materia. Cuando una parte de un s´lido se calienta, la temperatura
o
entre sus diversas partes se va modificando debido a un proceso de
agitaci´n t´rmica de sus componentes, pero sin que haya desplaza-
o e
mientos macrosc´picos. Se habla entonces de conducci´n del calor.
o o
Cuando se considera un s´lido homog´neo e is´tropo de una cierta
o e o
anchura h, (aislado del exterior excepto por sus extremos) mucho
menor que sus otras dimensiones, cuando las temperaturas a am-
bos lados del s´lido son diferentes, TC y TF debidas a focos de calor,
o
se produce un proceso de transmisi´n de calor desde la superficie a
o
mayor temperatura hasta la superficie a menor temperatura a trav´s e
del s´lido. La transmisi´n de calor a trav´s de esa superficie obedece
o o e
la denominada ley de Fourier de la conducci´n que relaciona el flujo
o
de calor por unidad de secci´n, o energ´ transmitida por unidad de
o ıa
superficie y unidad de tiempo, JQ , con el gradiente de temperatu-
ras y con un coeficiente caracter´ ıstico del material denominado, κ,
coeficiente de conductividad t´rmica:
e
Q ∆T
JQ = ≈ −κ , (1)
A∆t h
siendo ∆T = TC − TF la diferencia de temperaturas entre el foco
caliente y el foco fr´ Cuando la diferencia de temperaturas ∆T es
ıo.
peque˜a, y la anchura h es infinitesimal, dx, se puede aproximar la
n
Ec.(1) por
˙ dT
Φ = JQ A = Q = −K , (2)
dx
que es la que se conoce con el nombre de ley de Fourier. El coeficiente
K viene dada por K = κA, siendo A la secci´n. A la derivada
o
˙
dT /dx se la denomina gradiente de temperatura y a Q flujo calor´ ıfico
o t´rmico. N´tese que en esta ecuaci´n se supone que el foco caliente
e o o
se encuentra en la posici´n x = h y el foco fr´ en x = 0, por lo que la
o ıo
direcci´n del flujo de calor es decreciente, dx < 0, por lo que Q > 0
o
al ir en la direcci´n natural de foco caliente a foco fr´
o ıo.
En el SI κ viene dado en W·m−1 ·K−1 . En general κ var´ con la
ıa
temperatura en el caso de s´lidos y l´
o ıquidos y tambi´n con la presi´n
e o
2

3. Sustancia κ/ W·m−1 ·K−1
Acero 46
Aire (27 ◦ C) 0,026
Agua (27 ◦ C) 0,609
Aluminio 237
Asbestos 0,08
Cobre 401
Hielo (-10 ◦ C) 0,592
Hierro 80,4
Hormig´no 1,9-1,3
Oro 318
Pino Blanco 0,11
Plata 429
Plomo 353
Roble 0,15
Vidrio 0,7-0,9
Tabla 1: Coeficiente de conductividad t´rmica de algunas sustancias a 25
e
◦
C y 1, 01×105 Pa. N´tense los elevados valores de κ en los metales y el
o
bajo valor en el hielo.
en el caso de gases. En la Tabla 1 se dan algunos valores t´ ıpicos de
κ a temperatura y presi´n ordinarias.
o
Los materiales con altos valores de κ (por ejemplo, los metales) se
dice que son buenos conductores del calor, mientras que aquellos con
valores peque˜os de κ (por ejemplo, el vidrio) se dice que son buenos
n
aislantes del calor.
En termodin´mica del equilibrio se consideran las paredes adiab´ticas
a a
como paredes no conductoras del calor. La pared de un vaso Dewar
(dos paredes de vidrio plateadas y entre las que se ha hecho un vac´ ıo
parcial) son un buen ejemplo de paredes adiab´ticas, donde se ha in-
a
tentado eliminar los tres mecanismos de conducci´n del calor: pare-
o
des de vidrio para eliminar la conducci´n, vac´ parcial para evitar la
o ıo
convecci´n y paredes plateadas para evitar la radiaci´n. En el otro
o o
3

4. extremo estar´ las paredes diatermas, caracterizadas t´
ıan ıpicamente
como met´licas, y que ser´ buenas conductoras del calor.
a ıan
Ejemplo TC.1. Conducci´n del calor en hielo y ecuaci´n de
o o
Clausius-Clapeyron
Una barra de acero de secci´n recta rectangular (altura a y anchura b)
o
y longitud c est´ colocada sobre un bloque de hielo con sus extremos
a
sobresaliendo un poco. Se cuelga un peso de masa m de cada uno
de los extremos de la barra. (Estos pesos son mucho mayores que
el de la propia barra). Todo el conjunto se encuentra a 0 ◦ C. Como
consecuencia del aumento de la presi´n ejercida por la barra, el hielo
o
funde debajo de la barra y el agua vuelve a congelar encima de ella.
Por tanto, se libera calor encima de la barra que, conducido a trav´s
e
de la barra, cuyo coeficiente de conducci´n del calor es κ, es luego
o
absorbido por el hielo debajo de ella. Se puede demostrar que una
expresi´n aproximada para la velocidad v con la que la barra se hunde
o
en el hielo ser´
ıa
2mgκT 1 1
v= 2 −
λh→a bcaρh ρa ρh
siendo g la constante de gravedad de la Tierra y ρa y ρh las densidades
del agua l´
ıquida y del hielo, respectivamente, y λh→a es el calor latente
de la transici´n hielo-agua.
o
Cuando la barra presiona sobre el hielo, la temperatura de 0 ◦ C ya
no es la del equilibrio s´lido-l´
o ıquido a esa nueva presi´n. Dadas las
o
especiales caracter´
ısticas del sistema agua-hielo, disminuye el punto
de congelaci´n y el hielo funde. Se produce entonces una disminuci´n
o o
de la temperatura.
Puesto que el incremento de presi´n que se ejerce sobre el hielo viene
o
dado por
2mg
∆P =
bc
donde 2mg es la fuerza ejercida por las dos masas (el propio peso de
la barra no se considera) y bc la secci´n sobre la que se ejerce.
o
De acuerdo con la ecuaci´n de Clausius-Clepeyron, la variaci´n de la
o o
temperatura de equilibrio hielo agua ser´ (tomando el calor latente
a
como positivo)
∆P λh→a λh→a
= = ≤0
∆T T (va − vh ) T ( ρ1 − ρ1 )
a h
4

5. donde ρa y ρh son las densidades respectivas del agua l´
ıquida y del
hielo.
El mecanismo por el que la barra se hunde en el hielo es esencialmente
el siguiente.
(i) El hielo a 0 ◦ C no se encuentra en equilibrio bajo la nueva
presi´n. Al haber aumentado la presi´n, la nueva temperatura
o o
de equilibrio es ahora menor.
(ii) En esas condiciones el hielo funde, se pasa a la zona l´
ıquida
del diagrama de fases del agua, se absorbe un calor latente y
la temperatura de la zona disminuye, logr´ndose que el hielo
a
debajo de la barra se encuentre en equilibrio.
(iii) El agua es desplazada hacia arriba de la barra, congela, pues de
nuevo se encuentra en equilibrio a 0 ◦ C bajo presi´n atmosf´rica,
o e
y el calor latente cedido se dirige preferentemente hacia la zona
a menor temperatura.
(iv) El hielo debajo de la barra vuele a encontrarse a una tempera-
tura de no equilibrio con la presi´n. El proceso se repite.
o
Por tanto, la diferencia de temperaturas que se establece entre la
parte superior e inferior de la barra de acero ser´
a
2mg 1 1
∆T = T −
λh→a bc ρa ρh
Esta diferencia de temperaturas (el agua absorbe calor latente al
fundirse el hielo, por lo que la parte inferior se enfr´ Encima de
ıa.
la barra el agua se congela por lo que cede calor latente. Este es
el calor transmitido, hacia arriba como agua l´ıquida y hacia abajo a
trav´s de la barra. La variaci´n de energ´ potencial de las masas es
e o ıa
peque˜a comparada con este calor y sirve para fundir las primeras
n
cantidades de hielo), hace que se transmita calor a trav´s de la barra.
e
La cantidad de calor transmitida por unidad de area y de tiempo
´
viene dada por
dQ dT
=κ
dt dx
El gradiente de temperatura dT /dx se puede sustituir por ∆T /a, pues
a es la altura de la barra, longitud a lo largo de la que se transmite
el calor. A su vez, el calor transmitido se utiliza para fundir el hielo,
por lo que la masa de hielo fundida por unidad de tiempo y superficie
ser´
a
dm ∆T
λh→a = −κ
dt a
5

6. Puesto que la superficie de transmisi´n es la secci´n de la barra, se
o o
tiene que la masa total fundida por unidad de tiempo ser´
a
λh→a dM ∆T
=κ
bc dt a
Suponiendo que esa masa de hielo fundida ocupa un volumen bcdl
donde dl es el peque˜o diferencia de longitud que avanza la barra,
n
M = ρh bcdl, y se tiene que la distancia avanzada por la barra de
acero por unidad de tiempo, ser´
a
dl 2mgκT 1 1
=v= 2 −
dt λh→a bcaρh ρa ρh
Una experiencia que puede llevarse a cabo es medir la velocidad de
hundimiento de la barra en funci´n de las masas colgadas de la misma.
o
Debe obtenerse una l´ınea recta en la representaci´n de estas veloci-
o
dades frente a la masa. Por otro lado, en las mismas condiciones,
mismas masas colgadas, la velocidad de penetraci´n de la barra en el
o
hielo debe ser menor cuanto menor sea el coeficiente κ del material
de la barra.
2.1 Analog´ el´ctrica
ıa e
Un concepto util en el an´lisis de conducci´n del calor es el de resisten-
´ a o
cia t´rmica R = ∆x/κA = Rf /A, que permite escribir la ecuaci´n de
e o
Fourier en la forma
∆T = ΦR
Este concepto es util cuando las secciones atravesadas por el calor
´
no son iguales en los distintos elementos. En este caso se conserva el
flujo de calor Φ, pero no el flujo por unidad de secci´n JQ . El caso de
o
tubos conc´ntricos diferentes, por cuyo eje com´n circula un l´
e u ıquido
a una temperatura diferente de la del entorno, es un ejemplo de este
tipo, con el flujo de calor perpendicular al eje de los cilindros.
La ecuaci´n anterior es formalmente an´loga a la Ley de Ohm para
o a
la conducci´n el´ctrica, lo que permite tratar la resistencia t´rmica
o e e
como se maneja la resistencia el´ctrica. Esta analog´ permite tratar
e ıa
o simular problemas t´rmicos por medio de redes el´ctricas. Para una
e e
serie de paredes perpendiculares al flujo de calor, las resistencias se
suman en serie por lo que la resistencia mayor (el material con menor
relaci´n conductividad a espesor) determina el flujo de calor. En el
o
caso de paredes paralelas al flujo de calor, las resistencias se suman
6

7. en paralelo y el problema de n paredes se convierte en n problemas
diferentes. La conducci´n a trav´s de paredes compuestas, con distin-
o e
tos tipos de materiales, o a trav´s de tubos conc´ntricos se analizar´
e e a
utilizando una analog´ de este tipo.
ıa
Ejemplo TC.2. Conducci´n del calor en una esfera
o
Un calentador el´ctrico situado en una peque˜a cavidad en el centro
e n
de una esfera met´lica de 0,05 m de di´metro, desarrolla una potencia
a a
de 100 W. Calcular el gradiente de temperatura a la distancia de 1 cm
del centro y el gradiente en su superficie exterior. Determinar la tem-
peratura a 1 cm del centro de la esfera si en la periferia es de 30 ◦ C.
La conductividad t´rmica del metal es de κ = 0, 838×102 W·m−1 ·K−1 .
e
El flujo de calor, calor por unidad de tiempo, viene dado por
δQ
= −κΣ(r)grad T
dt
donde Σ(r) es la superficie atravesada, que depende de la distancia r
a que se encuentre del centro de la esfera. En el caso de una esfera
homog´nea, se tiene que Σ(r) = (4πr2 ) y
e
δQ dT
= −κ(4πr2 ) .
dt dr
Este flujo se conserva, pues la energ´ se conserva.
ıa
Como el flujo de calor es constante (aunque no el flujo de calor por
unidad de superficie), se tiene que aunque la esfera es homog´nea, el
e
gradiente de temperaturas var´ con r. As´ a una distancia de 0,01
ıa ı,
m del centro
dT 100
=− = −9, 52×102 K/m .
dr 0, 838×102 ×4π ×0, 012
A 2, 5 cm del centro,
dT 100
=− = −1, 52×102 K/m .
dr 0, 838×102 ×4π ×0, 0252
Cuando se alcance el estado estacionario, las temperaturas en cada
punto de la esfera ser´n constantes. Integrando la ecuaci´n diferencial
a o
anterior,
R TE
4π dr
2
= −κ dT
r1 Φ r T1
7

8. se tiene que
1 1 4π
− − = −κ (TE − T1 ) ,
r2 r1 Φ
donde R es el radio de la esfera y TE la temperatura del entorno. Para
los valores dados, si TE = 30 grados Celsius, para r1 = 0, 01 m, se
tiene que T1 = 35, 7 grados Celsius.
2.2 Ecuaci´n del calor
o
Cuando una barra sometida a un flujo de calor alcanza el estado
estacionario, es decir, la temperatura en cada uno de sus puntos no
var´ en el tiempo, el flujo de energ´ t´rmica por unidad de secci´n y
ıa ıa e o
˙
unidad de tiempo, Q dado por Ec.(2), es constante. Sin embargo, en
el caso m´s general, el flujo de calor depende tanto del tiempo como
a
de la posici´n. En ese caso, la Ec.(2) se puede poner como
o
˙ ∂T (x, t)
Q(x, t) = −κA , (3)
∂x
donde Kx puede depender de la coordenada x. Si se toma un elemento
de barra dx y se le aplica la ecuaci´n anterior, Ec.(3), la diferencia
o
q(x, t) entre la energ´ t´rmica que fluye por x y la energ´ que fluye
ıa e ıa
por el elemento x + dx viene dada por
q(x, t) = [Q(x, t) − Q(x + dx, t)] dt .
Aplicando la ecuaci´n anterior, Ec.(3), a cada secci´n, se tiene
o o
que
∂T (x + dx, t) ∂T (x, t) ∂ 2 T (x, t)
q(x, t) = −κA − dt = −κA dxdt .
∂x ∂x ∂x2
(4)
Pero como la barra se supone lateralmente aislada (y no hay fuentes
internas de calor), ese calor s´lo ha podido ser utilizado en variar la
o
temperatura del elemento dx durante ese tiempo dt. Si c es el calor
espec´ıfico de la barra y ρ su densidad, se tiene que para el volumen
infinitesimal dV = Adx,
∂T (x, t)
q(x, t) = cρAdxdT = cρAdx dt . (5)
∂t
8

9. Si se igualan las expresiones para q(x, t) dadas por las Ec.(4) y Ec.(5),
se tiene que
∂T (x, t) ∂ 2 T (x, t)
= κD , (6)
∂t ∂x2
donde κD = κ/cρ es la difusividad t´rmica del material.
e
2.2.1 Estado estacionario
Desde un punto de vista pr´ctico interesa caracterizar el denominado
a
estado estacionario o distribuci´n estacionaria de las temperaturas
o
a lo largo del s´lido despu´s de que se haya dejado evolucionar el
o e
sistema tiempo suficiente. Desde un punto de vista matem´tico este
a
estado estacionario viene caracterizado por la condici´n
o
∂T (x, t)
=0
∂t
en la Ec.(6)
Por ejemplo, si las temperaturas a ambos lados de una barra
(aislada excepto por sus extremos) de anchura h son constantes, e
iguales a T1 y T2 , al cabo de cierto tiempo, la temperatura a una
profundidad x en el muro vendr´ dada por
a
T1 − T 2
T (x) = T1 − x (7)
h
de tal manera que se tiene una ca´ lineal de la temperatura entre
ıda
ambas caras de la pared.
Ejemplo TC.3 Generalizaci´n de la ecuaci´n del calor
o o
Al estudiar la conducci´n de energ´ t´rmica en una barra no aislada
o ıa e
de longitud L y situada en un entorno a temperatura Te , la ecuaci´n
o
del calor se generaliza teniendo en cuenta la ley de Newton del enfri-
amiento, tal que
∂T (x, t) ∂ 2 T (x, t)
= κD − k(T (x, t) − Te ) , (8)
∂t ∂x2
donde k es la constante de la ley de Newton del enfriamiento (con-
vecci´n). La temperatura del foco caliente es T1 , la del foco fr´ es
o ıo
T2 y la temperatura del entorno permanece constante.
9

10. Pero en una barra mal aislada, el estado estacionario viene dado por
una ley algo m´s complicada. As´ para
a ı,
∂ 2 T (x)
κD − k(T (x) − Te ) = 0
∂x2
las soluciones son del tipo
√k √k
T (x) − Te = Ae κ x + Be− κ x
tal que para x = L,
√k √k
T2 − Te = Ae κ L + Be− κ L
y para x = 0,
T1 − Te = A + B
de donde se pueden obtener las constantes A y B. Si l >> (κD /k)1/2 ,
se puede aproximar la soluci´n a distancias largas por
o
Tc − Tf k
T (x) = − xe κD
+ Tc
L
tal que si k = 0 se recupera la primera soluci´n.
o
En caso particularmente sencillo es aquel en el que Te = T2 y la barra
tiene una longitud infinita. En este caso, la exponencial creciente no
tiene sentido f´
ısico, por lo que debe ser A = 0 y se obtiene que
√k
Tf − Te = (T1 − Te )e− κ x ,
y se tiene una ca´ exponencial de la temperatura.
ıda
Ejemplo TC.4 Crecimiento del espesor de una capa de hielo
A las 19 horas de un d´ dado el espesor de la capa de hielo sobre un
ıa
lago de una ciudad es de 0,01 m. A las 8 horas del d´ siguiente el
ıa
espesor de la capa de hielo ha aumentado hasta 0,024 m. Estimar la
temperatura media del aire esa noche. Para el hielo (entre -10 ◦ C - 0
◦
C ) puede tomarse κ = 0, 55 W/m K. La densidad del agua puede
tomarse como ρ = 1000 kg/m3 . El calor latente de fusi´n del hielo es
o
de λ = 330 kJ/kg.
10

11. Para una capa de hielo de espesor h con una diferencia de temperatu-
ras ∆T entre sus caras, el flujo de calor, calor por unidad de tiempo
dt, por unidad de area A viene dado por
´
δQ ∆T
= −κA .
dt h
◦
Ese calor que se toma del agua l´
ıquida a 0 se emplea en congelar
una masa dm de agua.
El volumen de agua congelada ser´ entonces dV = Adh, y la masa de
a
agua congelada ser´ dm = ρAdh, siendo ρ la densidad del agua. La
a
anchura de la capa de hielo aumentar´ en dm = ρh Adh , siendo ahora
a
ρh la densidad del hielo. Por simplicidad se toma ρ = ρh y dh = dh .
El calor cedido al congelar esa capa de hielo dh, ser´ δQ = λρAdh.
a
Por tanto, la rapidez con que crece la capa de hielo est´ relacionada
a
con la rapidez con que se transmite el calor por misma la capa de
hielo. As´
ı,
δQ dh
= λρA .
dt dt
La velocidad con que crece la capa de hielo depende de gradiente de
temperaturas y del propio espesor de la capa de hielo. As´ ı,
δQ dh ∆T
= λρA = −κA .
dt dt h
Admitiendo que el gradiente de temperaturas entre los extremos de
la capa de hielo es constante, pues la temperatura del agua es de 273
K y la del aire se va a suponer constante, se tiene que, separando
variables e integrando esta ecuaci´n
o
h2f 0, 012 κ∆T
− =− t.
2 2 λρ
Despejando, se tiene que
h2f 0, 012 λρ
∆T = − − .
2 2 κt
Sustituyendo los valores dados, se obtiene que ∆T = 3, 05 K. Por
tanto, se puede estimar una temperatura media de -3 ◦ C durante la
noche.
11

12. 3 Convecci´n.
o
Cuando en las cercan´ de una pared, u otro objeto caliente, se en-
ıas
cuentra un fluido en contacto con la pared, la transmisi´n de calor de
o
la pared al fluido da lugar a un movimiento de part´ıculas del fluido de-
bido al efecto de la gravedad y del principio de Arqu´ımedes. Se tiene
en este caso un proceso de transmisi´n de calor donde se producen
o
movimientos en la totalidad del fluido que transmite este calor. Se
habla entonces de convecci´n. En contraste con la conducci´n, donde
o o
s´lo hay un transporte de energ´ en la convecci´n hay transporte
o ıa, o
tanto de masa como de energ´ ıa.
Figura 1: Para hacer perceptibles los movimientos de las mol´culas del
e
l´
ıquido se pone un s´lido reducido a polvo fino. Al calentar, el flujo caliente
o
va pegado a las paredes. Al enfriar, el l´ ıquido caliente desciende por el
centro. ( M. Rico y M. Santisteban, Manual de F´ ısica y Qu´ımica, Madrid
1865. )
La convecci´n, movimiento de un fluido que sirve para el trans-
o
porte de masa o calor es un fen´meno corriente para quien haya
o
observado la turbidez de un caldo caliente, la ascensi´n del humo
o
que sale por una chimenea o el reflejo de la luz por las corrientes de
aire que se forman sobre una carretera asfaltada en un d´ caluroso.
ıa
Id´ntico mecanismo de corriente convectiva provoca las grandes cor-
e
rientes oce´nicas o la circulaci´n global de la atm´sfera. Los altos
a o o
niveles de contaminaci´n que se alcanzan sobre algunas ciudades se
o
deben, bien a la ausencia de movimiento convectivo, o bien a la ex-
12

13. istencia de un movimiento convectivo t´rmico en trayectorias cer-
e
radas que impide la difusi´n de las part´
o ıculas a capas m´s altas de la
a
atm´sfera.
o
El caso m´s sencillo de convecci´n aparece cuando un fluido se
a o
calienta por debajo. Debido al calentamiento, la capa inferior del
fluido se expande y se hace menos densa que las capas superiores.
En estas circunstancias, la capa inferior m´s caliente y ligera tender´
a a
a elevarse y la capa superior m´s fr´ y densa a caer. Sin embargo
a ıa
este mecanismo simple no permite explicar los tipos m´s elementales
a
de convecci´n. En el caso del fluido calentado por abajo, el empuje
o
de Arqu´ ımedes es la fuerza que origina la convecci´n y la magnitud
o
de esa fuerza viene determinada por la diferencia de temperaturas
entre la parte superior e inferior de la capa. Pero la distribuci´n o
de temperaturas se ve alterada por la corriente convectiva que lleva
calor desde la parte inferior a la superior. De este modo, la fuerza
que origina la corriente se ve modificada por dicha corriente.
Cuando las fuerzas que act´an sobre una regi´n de fluido no est´n
u o a
en equilibrio se inicia la convecci´n. El calentamiento genera en el
o
fluido gradientes verticales de temperatura y densidad. Si una regi´n o
de fluido caliente, en las proximidades de la placa inferior, se desplaza
hacia arriba, se introduce en una regi´n de mayor densidad media,
o
estando, por tanto, la regi´n desplazada sometida a un empuje ascen-
o
dente debido al principio de Arqu´ ımedes. Como la fuerza neta hacia
arriba es esencialmente proporcional a la diferencia de densidades, el
desplazamiento inicial se ve desplazado ya que la fuerza resultante
favorece la continuaci´n del movimiento.
o
An´logamente, si una regi´n de fluido fr´ se desplaza hacia abajo,
a o ıo
tender´ a seguir cayendo, puesto que es m´s pesada que sus alrede-
a a
dores 1 .
Este an´lisis parece indicar que debe observarse convecci´n en
a o
una capa de fluido para cualquier gradiente de temperatura, pues
cualquier gradiente infinitesimal deber´ bastar para establecer la cor-
ıa
riente. Sin embargo, no es eso lo que se observa, sino que se precisa
que el gradiente de temperatura supere un cierto valor cr´ ıtico para
que se desarrolle el movimiento convectivo. Lord Rayleigh indic´ que
o
una teor´ de la convecci´n debe tener en cuenta, al menos, otros
ıa o
dos mecanismos que influyen sobre el movimiento del fluido. Uno
1
El equilibrio del fluido es inestable y las perturbaciones tienden a amplificarse.
13

14. Figura 2: Fuerzas que act´an en un proceso de convecci´n. ( M. Garc´
u o ıa
Velarde y C. Normand, Convecci´n, Investigaci´n y Ciencia, septiembre
o o
1980, pag. 55. )
de ellos, el frenado viscoso equivale en un fluido al rozamiento entre
s´lidos. El otro mecanismo es el de la difusi´n molecular del calor
o o
(por conducci´n a las temperaturas a las que se llevan a cabo los
o
experimentos), que tiende a anular el gradiente de temperatura que
potencia la corriente convectiva.
Tanto el frenado viscoso, cuya magnitud es proporcional a la vis-
cosidad multiplicada por el radio de la regi´n del fluido que se mueve
o
y la velocidad, como la difusi´n calor´
o ıfica molecular, debida a que la
regi´n de fluido caliente se encuentra en un entorno m´s fr´ al de-
o a ıo
splazarse, tiende a reducir la diferencia local de temperaturas y, por
ende, a reducir el empuje de Arqu´ ımedes inducido por aquella, por
lo que ambos efectos se oponen al empuje de flotaci´n. o
El tiempo necesario para que una regi´n de fluido alcance el equi-
o
14

15. librio t´rmico con su entorno depende, principalmente, de su difusivi-
e
dad t´rmica. El orden de magnitud de este tiempo es inversamente
e
proporcional a la difusividad y directamente proporcional al area su-
´
perficial de la regi´n considerada. Si ese tiempo caracter´
o ıstico del
proceso de difusi´n t´rmica es comparable al tiempo necesario para
o e
que la regi´n del fluido se desplace una distancia dada, del orden de
o
su di´metro, desaparece la fuerza de flotaci´n. Es decir, si el fluido
a o
no se mueve m´s deprisa de lo que intercambia calor por difusi´n, la
a o
corriente convectiva no puede mantenerse. En esta descripci´n ideal
o
se ha supuesto que unicamente la densidad del fluido depende de la
´
temperatura. Sin embargo, en los fluidos reales hay m´s propiedades,
a
como, por ejemplo, la viscosidad y el coeficiente de difusi´n t´rmica,
o e
que tambi´n dependen de la temperatura.
e
3.1 Aproximaci´n de capa l´
o ımite
Como se ha visto, la caracterizaci´n de los procesos convectivos es
o
considerablemente m´s compleja que la de los procesos de conducci´n.
a o
Sin embargo, para una convecci´n poco desarrollada, se puede hacer
o
una aproximaci´n sencilla. Definiendo lo que se denomina capa l´
o ımite
entre la pared s´lida y el fluido, de anchura hc , la ley de Fourier se
o
aplicar´ dentro de dicha capa l´
ıa ımite como
(TS − T )
JQ = K (9)
h
donde TS es la temperatura de la pared y T es la temperatura en el
seno del flu´
ıdo.
Puesto que resulta dif´ caracterizar tanto el grosor de la capa
ıcil
l´
ımite como el coeficiente de conducci´n a lo largo de la misma, se
o
suele simplificar la expresi´n anterior definiendo un coeficiente de
o
convecci´n λ caracter´
o ıstico del flu´ tal que
ıdo
δQ
= hC A(TS − T )n , (10)
dT
donde A es la superficie a trav´s de la cual tiene lugar la transmisi´n
e o
del calor. Para procesos de convecci´n forzada se tiene que n ≈ 1,
o
con lo que se tiene la Ley de Newton del enfriamiento. Para procesos
de convecci´n no forzada se tiene que n ≈ 5/4, que se conoce como
o
Ley de Dulong y Petit del enfriamiento.
15

16. Para n = 1, considerando adem´s que δQ = −mcdT , siendo m la
a
masa del cuerpo y c su calor espec´
ıfico, la variaci´n con el tiempo de
o
la temperatura del cuerpo obdece la ecuaci´no
dT
= −k(T − TE ) ,
dt
donde k = AhC /mc, y que se conoce propiamente como ley de Newton
del enfriamiento, con TE como temperatura del entorno y donde k es
la denominada constante de enfriamiento. La integraci´n de esta
o
ecuaci´n conduce a
o
T (t) = (T0 − TE ) exp(−kt) + TE (11)
donde T0 es la temperatura inicial del cuerpo. Como puede obser-
varse, a tiempos largos, t → ∞, se termina por alcanzar la tempera-
tura del entorno. Esta ecuaci´n es v´lida en la aproximaci´n de con-
o a o
vecci´n forzada, con fluido circulando. En el r´gimen de convecci´n
o e o
no forzada, se tiene la denominada Ley de Dulong y Petit,
dT
= −k(T − TE )5/4 .
dt
Ejemplo TC.5. Calor latente de vaporizaci´n del agua
o
En un experimento para determinar el calor latente de vaporizaci´n o
del agua, se suministra calor mediante una resistencia a una masa de
agua encerrada en un cono de diam´tro de la base 14 cm y altura 20
e
cm. En una experiencia previa, con la temperatura ambiente igual
a TE = 20 ◦ C, cuando el voltaje es de 220 V y la intensidad de la
corriente que circula por la resistencia es de 0,95 A, la temperatura
ımite que alcanza el agua es de 99 ◦ C.
l´
Se va a calcular el tiempo que tardar´ en empezar a hervir la misma
a
cantidad de agua, en el mismo entorno, si desde la temperatura inicial
del agua de Ti = TE = 20 ◦ C, se calienta mediante una corriente
el´ctrica de 220 V y 1,02 A. Tomar la densidad del agua como 1000
e
kg·m−3 . El tiempo obtenido experimentalmente es de 70 minutos.
El volumen de agua es aproximadamente de 1, 02×10−3 m3 de agua.
En una primera aproximaci´n, si se considera que todo el calor disi-
o
pado por la resistencia se emplea en aumentar la temperatura del
agua, con un voltaje de 220 V y una intensidad de 0,95 A circulando
16

17. por la resistencia, se obtiene un tiempo de aproximadamente 25 min.
hasta lograr que el agua alcance los 100 ◦ C si la temperatura ambiente
era de 20 ◦ C.
El error en el razonamiento anterior proviene del hecho de que mien-
tras el agua se calienta, parte del calor suministrado por la resistencia
se pierde al exterior debido a la ley de Newton del enfriamiento, por
lo que se debe tener en cuenta esta circunstancia para un c´lculo a
correcto de los tiempos hasta ebullici´n.
o
Planteando de forma general la ecuaci´n diferencial del balance de
o
energ´ se tiene que el calor suministrado por unidad de tiempo se
ıa,
emplea tanto en aumentar la temperatura del agua como en perderse
al exterior
dQ dT
= IV = mc + k(T − TE )
dt dt
donde I es la intensidad que circula por la resistencia, V es el voltaje,
m es la masa de agua, c es la capacidad calor´ ıfica del agua, k es la
constante de la ley de Newton del enfriamiento y TE es la temperatura
del entorno. Todos estos datos son conocidos, excepto la constante k.
o ˙
Reordenando la ecuaci´n diferencial, se obtiene que T la evoluci´n o
temporal de la temperatura del agua viene dada por
dT IV k
= − (T − TE )
dt mc mc
cuya soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea es
o o e
k
T (t) − TE = A exp(− t)
mc
y cuya soluci´n particular T (t) − TE = A exp(−k/mct) + B, viene
o
dada por
IV IV k
T (t) = TE + − exp(− t)
k k mc
Para tiempos suficientemente grandes, el sistema alcanza una tempe-
ratura l´
ımite TL dada por
IV
TL = TE +
k
Realizando un primer experimento con el voltaje y la intensidad lo
suficientemente bajos como para que dicha temperatura l´ ımite sea
menor de 100 grados Celsius y pueda ser medida, se tiene que para
V = 220 V e I = 0, 95 A, la temperatura l´ ımite es de 99 grados
Celsius, por lo que k ≈ 2, 64 J·s−1 .
17

18. Con este dato, imponiendo en la expresi´n de T (t) que se alcancen los
o
100 Celsius para V = 220 V e I = 1, 02 A, se obtiene que el tiempo
necesario para lograrlo es del orden de 4500 s, es decir, del orden de
75 minutos, lo que ya se aproxima bastante al valor experimental.
4 Radiaci´n.
o
En contraste con la conducci´n y la convecci´n, existe una forma de
o o
transmisi´n del calor, o en general, de la energ´ que no necesita
o ıa,
un soporte f´ ısico para poder llevarse a cabo y que puede tener lu-
gar en el vac´ Esta forma de propagaci´n del calor no es mas que
ıo. o
la transmisi´n de energ´ por ondas electromagn´ticas. La emisi´n
o ıa e o
de ondas, debido a las oscilaciones de las cargas el´ctricas de un
e
cuerpo va a depender de la temperatura de ese cuerpo. Por otro
lado, como los emisores son tambi´n los receptores (cargas el´ctricas),
e e
cualquier cuerpo puede tambi´n absorber energ´ Se denomina ra-
e ıa.
diaci´n t´rmica a la radiaci´n electromagn´tica emitida por un cuerpo
o e o e
en virtud de su temperatura. Esta radiaci´n se propaga en todas di-
o
recciones a la velocidad de la luz y no requiere soporte material.
Desde el punto de vista de la transmisi´n del calor, el acento se pone
o
en la energ´ radiada por las paredes y no en la radiaci´n contenida
ıa o
en una cavidad.
La forma en que una superficie absorbe determinada energ´ que ıa
le llega en forma de radiaci´n depende tanto de la temperatura ab-
o
soluta de la superficie como de las caracter´ ısticas espec´
ıficas de dicha
superficie. Por otra parte, a temperaturas distintas de 0 K, cualquier
sistema radia energ´ en forma de ondas electromagn´ticas. Para
ıa e
cada longitud de onda λ y temperatura T , la fracci´n de energ´
o ıa
que es absorbida por la superficie se denomina α(λ) coeficiente de
absorci´n espectral y depende de la temperatura absoluta y de las
o
caracter´ısticas de la superficie.
Entre los sistemas m´s interesantes desde este punto de vista se
a
encuentran aquellos que para todas las longitudes de onda y para
todas las temperaturas absorban todas las radiaciones. Esta clase
de sistemas ideales se han denominado cuerpos negros. La relaci´n o
entre la energ´ emitida por una superficie cualquiera a temperatura
ıa
T en el intervalo de longitudes de onda entre λ t λ + dλ y la energ´ ıa
emitida por una superficie cuerpo negro en las misma condiciones, se
18

19. conoce como ε(λ, T ) o coeficiente de emisi´n espectral.
o
Por consideraciones puramente termodin´micas, se obtiene la de-
a
nominada Ley de Kirchoff para cualquier material α(λ, T ) = ε(λ, T ).
Por esta raz´n, los buenos emisores a una longitud de onda y tempe-
o
ratura tambi´n son buenos absorbentes a la misma longitud de onda
e
y temperatura. De no ser as´ el equilibrio termodin´mico del cuerpo
ı, a
ser´ inestable. Para un cuerpo negro, la relaci´n ε(λ) = α(λ) = 1 a
ıa o
todas las longitudes de onda y temperaturas.
Si se pone el ´nfasis en la energ´ emitida por una unidad de
e ıa
superficie a temperatura T en las diferentes longitudes de onda del
espectro electromagn´tico, desde un punto de vista experimental se
e
encuentra que el espectro de la energ´ radiada por unidad de tiempo
ıa
es continuo, depende de la temperatura y de la longitud de onda de
la radiaci´n emitida.
o
Figura 3: Poder emisivo espectral de una superficie negra. Curvas a tempe-
raturas diferentes. La l´
ınea a trazos muestra la variaci´n con la temperatura
o
de los m´ximos de las curvas (Ley de Wien). ( C. J. Adkins, An Introduction
a
to Thermal Physics, Cambridge University Press, Bristol 1987).
Como se muestra en la Fig. 3, la potencia emitida a cada tempe-
ratura alcanza un m´ximo a una determinada longitud de onda. La
a
longitud de onda a la que le corresponde la m´xima intensidad λmax ,
a
19

20. var´ inversamente con la temperatura,
ıa
B
λmax = (12)
T
donde B = 2, 897 756 ×10−3 mK. Esta relaci´n se conoce con el
o
nombre de Ley de Wien.
Se tiene que la emitividad, e de un cuerpo negro, energ´ emitida
ıa
por unidad de superficie y tiempo, viene dada por
e = σT 4 (13)
donde T es la temperatura absoluta de la superficie y donde σ =
5.67×10−8 Wm−2 K−4 es la constante de Stefan-Boltzmann .
Cuando la superficie no sea la de un cuerpo negro, es todav´ ıa
posible, con un ajuste razonable, admitir que la densidad de energ´
ıa
se puede poner como
e = εσT 4 (14)
donde 0 ≤ ε ≤ 1. Para una superficie completamente reflectora ε = 0
y el cuerpo s´lo refleja, no emite ni absorbe. Para una superficie de
o
cuerpo negro, ε = 1 y el cuerpo s´lo emite y absorbe, pero no refleja,
o
propiedad que caracteriza su nombre. En general, ε = ε(λ), lo que
indica que depende de la longitud de onda.
La energ´ radiada por unidad de tiempo por la superficie A de
ıa
un cuerpo, Wrad , viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann
Wrad = εσAT 4 (15)
con (0 ≤ ε ≤ 1). Dos cuerpos semejantes a la misma temperatura
est´n en equilibrio t´rmico de radiaci´n: la energ´ emitida es igual a
a e o ıa
la energ´ absorbida. Luego la energ´ absorbida debe tener la misma
ıa ıa
expresi´n que la energ´ emitida,
o ıa
Wem = ασAT 4 (16)
La radiaci´n que incide sobre un cuerpo puede ser absorbida o re-
o
flejada por ´ste. La velocidad con la que un cuerpo absorbe radiaci´n
e o
viene dada por
4
Wab = εσATe (17)
20

21. siendo Te la temperatura del entorno. Por tanto, la velocidad neta
de transferencia de radiaci´n por un cuerpo a temperatura T hacia
o
su entorno a temperatura Te es
˙
Q = εσA(T 4 − Te )
4
(18)
de forma que un cuerpo que se encuentra en equilibrio t´rmico con
e
sus alrededores (T = Te ) emite y absorbe radiaci´n al mismo ritmo.
o
De este modo, una buena (mala) superficie emisora es tambi´n una
e
buena (mala) superficie absorbente.
Ejemplo TC.6 Filamento de una l´mpara
a
El filamento de una l´mpara de 100 W tiene un radio de R = 12 µm y
a
una longitud de L = 0, 3 m. Estimar la temperatura a la cual opera.
Sup´ngase que emite como un cuerpo negro, ε = 1. Si el radio del
o
filamento se multiplica por 4, discutir si resultar´ util esa l´mpara
a ´ a
como iluminaci´n nocturna. La constante de Stefan-Boltzmann es
o
σ = 5, 67×10−8 Wm−2 K−4 . Ley de Wien, λmax T = 2, 897 × 10−3 m
K. La radiaci´n visible se encuentra entre las longitudes de onda de
o
400 nm (400 × 10−9 m) y 800 nm (800 × 10−9 m), aproximadamente.
(1 µm = 10−6 m; 1 nm = 10−9 m).
En una l´mpara, la energ´ disipada por efecto Joule (E = IV t =
a ıa
I 2 Rt) en forma de calor debe cederse en forma de radiaci´n (pues
o
no hay p´rdidas de calor ni por convecci´n ni por conducci´n) en el
e o o
estado estacionario.
De acuerdo con la Ley de Stefan-Boltzmann, la potencia disipada por
un cuerpo a temperatura T colocado en un entorno a temperatura
T0 , viene dada por
˙
Q = ε σ A T 4 − T0
4
donde A = 2 π R L es la superficie a trav´s de la cual emite. Admi-
e
tiendo que ε = 1 (cuerpo negro), y con Q = 100 W y A = 2, 26 × 10−5
˙
m2 , se tiene que T ≈ 2 970 K. No se ha considerado la temperatura
del entorno, pues su efecto es m´
ınimo (La contribuci´n del entorno es
o
del orden de cuatro ordenes de magnitud menor).
´
Esto significa que, de acuerdo con la Ley de Wien, λmax T = 2, 9×10−3
m·K, la longitud de onda m´xima a la que emite el filamento es del
a
orden de λmax ≈ 10−6 m. No est´ pues emitiendo preferentemente
a
en la zona visible del espectro y gran parte de la energ´ se disipa en
ıa
forma de radiaci´n en la zona de los infrarrojos. A pesar de todo, la
o
proporci´n de energ´ que disipa en forma de luz visible es suficiente.
o ıa
21

22. T´ngase en cuenta que las bombillas alcanzan temperaturas m´ximas
e a
del orden de 3500 K, temperaturas a las que funde el wolframio.
Si el radio del filamento se multiplica por 4, la superficie de emisisi´n
o
aumenta en la misma proporci´n al cuadrado, y la temperatura de
o
emisi´n disminuye como la ra´ cuarta de 16, es decir, hasta la mitad,
o ız
1450 K, con lo que la longitud de onda m´xima de emisi´n aumenta
a o
en la misma proporci´n, hasta λmax ≈ 2 × 10−6 = 2 × 10−5 m, con lo
o
que empieza a caer dentro de la zona de infrarrojos.
En principio puede suponerse que ya no resultar´ muy util como
a ´
iluminaci´n nocturna pues su m´ximo cae bastante lejos de la zona
o a
visible. Pero debe tenerse en cuenta que cualquier dispositivo radia
a todas las longitudes de onda y no s´lo en el m´ximo. Es la en-
o a
erg´ disipada en la zona del visible la que determina la utilidad en
ıa
iluminaci´n y no s´lo la longitud de onda del m´ximo.
o o a
Debe tenerse en cuenta que el Sol, a una temperatura de ≈ 6000 K
radia preferentemente en la zona del visible λmax ≈ 500 nm y que la
primera bombilla a 100 W disipa una parte peque˜a de su energ´ en
n ıa
forma de radiaci´n visible, al tener el m´ximo al doble de la longitud
o a
de onda del Sol, resultando util en iluminaci´n a pesar de todo. Es
´ o
por tanto de suponer que en la segunda bombilla disminuya mucho la
proporci´n de energ´ que se disipa en la zona del visible. Para poder
o ıa
cuantificar esta idea, t´ngase en cuenta que la para la segunda bom-
e
billa es como si fuera la primera bombilla a una potencia de 100/16
W. Esta potencia ya no es una potencia habitual en bombillas utiles
´
en iluminaci´n. Por tanto, la segunda bombilla es mucho peor que la
o
primera en cuanto a iluminaci´n nocturna, e in´til para este cometido.
o u
Ejemplo TC.7. Temperatura de la Tierra
Admitiendo que la temperatura en la superficie del Sol es de 6000
K, que el radio de la orbita terrestre alrededor del Sol es de d =
´
1, 49 × 1011 m, que el radio del Sol es de rS = 6, 98 × 108 m y que
el radio de la Tierra es de rT = 6, 37 × 106 m, se va a obtener la
temperatura de equilibrio de la Tierra si se toma esta como un cuerpo
negro. Se puede considerar que, a efectos de absorci´n de la radiaci´n,
o o
la tierra se comporta como un disco de radio rT , mientras que a efectos
de emisi´n se comporta como una esfera del mismo radio.
o
Una forma simple de razonar es considerar que el calor emitido por el
Sol en forma de radiaci´n por unidad de tiempo se conserva, pero no
o
22

23. la intensidad del mismo, que va disminuyendo con la distancia. Por
tanto, si el Sol emite
˙ 2 4
Q = εS σ(4πrS )TS
la intensidad de radiaci´n recibida por la tierra ser´
o a
2 4
εS σ(4πRS )TS
ΦAT =
4πd2
siendo d la distancia de la Tierra al Sol. A su vez, la intensidad
radiada por la Tierra ser´ de
a
4
ΦRT = εT σTT
En el equilibrio, ambas intensidades deben ser iguales, por lo que
2 4
4 εS σ(4πrS )TS
εT σTT =
4πd2
lo que permite calcular la temperatura de equilibrio de la Tierra. En
esta aproximaci´n no se considera ni la geoemetr´ de la Tierra ni el
o ıa
hecho de que hay una temperatura de fondo de radiaci´n de ≈ 3 K.
o
4.1 Efecto invernadero
La radiaci´n emitida por el Sol corresponde aproximadamente a la
o
de un cuerpo negro a 6000 K (temperatura de la superficie del Sol).
Las longitudes de onda que transportan la mayor parte de la energ´ıa
de esa radiaci´n, de acuerdo con la Ley de Wien, Ec.(12), (λmax ≈
o
5×10−7 m), atraviesan perfectamente el vidrio de un invernadero. En
el interior la radiaci´n dominante corresponder´ a la temperatura
o a
media de la superficie terrestre, cerca de 300 K. A esa temperatura,
la Ley de Wien indica que la m´xima longitud de onda corresponde
a
a los infrarrojos, radiaci´n para la cual el vidrio es pr´cticamente
o a
opaco.
Por tanto, la radiaci´n que sale de un invernadero correspon-
o
der´ aproximadamente al espectro de un cuerpo a 300 K excepto
a
la porci´n correspondiente a los infrarrojos, que quedan bloqueados
o
dentro del invernadero, haciendo que aumente su temperatura. Este
efecto existe tambi´n en la atm´sfera, que impide que la Tierra se
e o
enfr´ excesivamente durante la noche.
ıe
23

24. Ejemplo TC.8. Calor´
ımetro en hielo
Un recipiente esf´rico, de radio 0,5 m, met´lico y pintado de negro,
e a
contiene agua a la temperatura de 80 ◦ C. Este recipiente se encuentra
completamente rodeado de hielo fundente, dentro de una cavidad de
radio 2 m. Calcular la temperatura del agua al cabo de 2 horas y la
cantidad de agua recogida en ese tiempo como resultado de la fusi´n o
de hielo. Si la cavidad de hielo se hubiera hecho de 3 m de radio, ¿se
hubiera fundido m´s o menos hielo en el mismo tiempo y las mismas
a
condiciones? Justifique la respuesta.
Para el agua, su capacidad calor´ ıfica es de c = 4 180 J/kg K; para el
hielo su calor latente de fusi´n es λf = 330 kJ/kg. La constante de
o
Stefan-Boltzmann es σ = 5, 67×10−8 Wm−2 K−4 .
El recipiente met´lico se enfr´ debido a que radia m´s energ´ de la
a ıa a ıa
que recibe. El calor radiado por unidad de tiempo viene dado por 2
δQ
= −εAσ T 4 − T0
4
dt
donde A = 4πR2 es la superficie de la esfera y T0 la temperatura de
la radiaci´n dentro de la cavidad. A su vez, este calor perdido hace
o
que disminuya su temperatura. As´ ı,
δQ dT
= mc
dt dt
Igualando ambas expresiones, se tiene que
dT εAσ 4T 3 εAσ
=− T 4 − T0 ≈ − 0
4
(T − T0 )
dt mc mc
Considerando que ε = 1 (pues se puede suponer que el recipiente
pintado de negro se comporta como un cuerpo negro), se tiene que
m = 4πR3 /3ρ,
3
4T0 εAσ
k= = 6, 62 × 10−6 s−1
mc
2
Para cuerpos introducidos en una cavidad, una forma incorrecta de razonar
es la siguiente. Si el cuerpo emite a trav´s de su superficie una potencia QE =
e ˙
2 4
4πrC εC TC y, a su vez las paredes de la cavidad emiten como Q ˙ 0 = 4πr0 ε0 T0 ,
2 4
˙
el flujo neto de calor hacia el cuerpo es Q = 4πr0 ε0 T0 − 4πrC εC TC . Pero esto
2 4 2 4
significar´ que incluso en una cavidad a la misma temperatura que el cuerpo
ıa
´ste recibir´ calor, variando su temperatura, lo que contradice la formulaci´n del
e ıa o
Kelvin-Planck del Segundo Principio. El razonamiento es incorrecto al suponer
que toda la radiaci´n emitida por el hielo es absorbida por el cuerpo, lo que no es
o
cierto, pues parte es reabsorbida por el propio hielo. Lo que s´ eerto es que toda
ı
la radiaci´n emitida por el cuerpo es absorbida por el hielo.
o
24

25. Por tanto, la temperatura (en Celsius) ser´
a
T (t) = 80 exp(−kt)
Al cabo de 2 horas, se tendr´ que T (7200) = 76, 3 ◦ C, con una
a
variaci´n de temperatura de ∆T ≈ −3, 7 ◦ C. Esta variaci´n puede
o o
medirse con un term´metro.
o
Por otra parte, para el hielo se tiene que recibe netamente el calor
neto perdido por la esfera met´lica. Es decir,
a
dmh δQ dT
λ = = mc
dt dt dt
Por tanto,
λmh = mc∆T
Al cabo de 2 horas, se tendr´ que la masa de hielo fundida es de
a
mc∆T
mh = = 24 kg
λ
El mismo c´lculo se puede llevar a cabo admitiendo que todo el calor
a
radiado a trav´s de la superficie de la esfera ha sido recibido por el
e
hielo. Puesto que ya se ha calculado que la variaci´n de temperatura
o
ha sido peque˜a, se puede admitir que la esfera radia siempre a 80
n
◦
C, por lo que
4 π R2 σ 4 T0 80
4
mh ≈= 7200 = 25, 2 kg
λ
Esta cantidad es algo mayor debido a que, en realidad, la esfera radia
un poco menos, al ir disminuyendo su temperatura. El c´lculo exacto
a
es el anterior. Esta es una cantidad f´cilmente medible.
a
Puesto que el hielo recibe el calor que pierde el agua por radiaci´n,
o
hacer m´s grande la cavidad no modifica la cantidad de hielo fundido.
a
Aunque aumenta su superficie, no por eso aumenta la energ´ recibida.
ıa
Ejemplo TC.9. Escudos contra la radiaci´n
o
Sea un cuerpo negro esf´rico mantenido a la temperatura T y de radio
e
R0 . Se encuentra inmerso en una radiaci´n t´rmica en equilibrio a
o e
temperatura T0 . Se coloca a su alrededor una c´scara esf´rica, muy
a e
delgada, de radio R1 , R1 >> R0 , que tambi´n se comporta como un
e
cuerpo negro. Calcular la temperatura de equilibrio T1 que alcanza
25

26. la c´scara colocada. (Ver Y. H. Chia, D. Kiang, Thermal radiation
a
shields. Am. J. Phys. 63, 1041 (1995).)
Para la c´scara esf´rica hay dos intercambios de energ´ Para la tasa
a e ıa.
de transferencia de calor con la esfera interior, variaci´n de calor por
o
˙
unidad de tiempo, Q, se tiene que
˙
Q = 4πR0 σ(T1 − T 4 ) = −4πR0 σ(T 4 − T1 )
2 4 2 4
N´tese que este es el calor neto perdido por el cuerpo negro interior
o
(radio R0 y no radio R1 como cabr´ esperar), pues no todo el calor
ıa
que radia la c´scara hacia el interior va a la esfera interior. A su vez,
a
la c´scara pierde hacia el exterior a una tasa de
a
˙
Q = 4πR1 σ(T1 − T0 )
2 4 4
En el equilibrio, ambas tasas se deben igualar, por lo que
4 R1 T0 + R0 T 4
2 4 2
T1 = 2 + R2
R0 1
Si la esfera interior ten´ una tasa de perdidas, en ausencia del escudo,
ıa
de
˙
Q0 = 4πR0 σ(T 4 − T0 )
2 4
con el escudo colocado en forma de c´scara, sus p´rdidas son ahora
a e
de
˙ R2 ˙
Q = 4πR0 σ(T 4 − T1 ) = 2 1 2 Q0
2 4
R0 + R1
˙ ˙
con Q ≤ Q0 . Si en vez de esferas y c´scaras se trata de cilindros y un
a
escudo cil´
ındrico, se tiene que las relaciones son ahora
˙ R1 ˙
Q = 2πR0 σ(T 4 − T1 ) =
4
Q0
R0 + R1
con
˙
Q0 = 2πR0 σ(T 4 − T0 )
4
y
4 R1 T 0 + R 0 T 4
4
T1 =
R0 + R1
26

27. 5 Ejercicios propuestos
5.1 Conducci´n
o
1. Si un esquimal pretendiese sustituir su igl´ por una casa de
u
hormig´n, ¿qu´ espesor deber´ tener las paredes para que la
o e ıan
nueva habitaci´n tuviese las mismas caracter´
o ısticas t´rmicas del
e
igl´. El espesor de las paredes de un igl´ se puede tomar como
u u
de 20 cm. La conductividad t´rmica de la nieve compacta es de
e
κn = 0, 46 W·m −1 ·K−1 . La conductividad t´rmica del hormig´n
e o
es de κh = 1, 28 W·m−1 ·K−1 .
2. Conducci´n a trav´s de paredes compuestas. La pared de un
o e
horno est´ formada por una primera capa de ladrillo refractario
a
de 15 cm de espesor, sobre la que va colocada otra capa de
ladrillo ordinario de 10 cm de espesor, y finalmente lleva una
capa externa de chamota de 5 cm de espesor. Calcular
• La perdida de calor por conducci´n a su trav´s, si tiene una
o e
superficie de 5 m2 y las temperaturas de la capa interna del
ladrillo refractario y la externa de la chamota son 380 y
65 ◦ C, respectivamente.
• La temperatura de la capa interna del ladrillo ordinario.
3. En una ciudad castellana la temperatura var´ a los largo del
ıa
d´ seg´n la ecuaci´n
ıa u o
2π
T (t) = 263 + 10 sen (t − 8)
24
donde T es la temperatura en kelvin y t el tiempo en horas. Si
a las 0 horas de un d´ dado el espesor de la capa de hielo sobre
ıa
un lago de esa ciudad es de 0,01 m, estimar el grosor de la capa
de hielo a las 24 horas del mismo d´ Para el hielo (entre -10
ıa.
◦ C - 0 ◦ C ) puede tomarse κ = 0, 55 W/m K. La densidad del
agua puede tomarse como ρ = 1000 kg/m3 . El calor latente de
fusi´n del hielo es de λ = 330 kJ/kg.
o
5.2 Ecuaci´n del calor
o
1. Una barra de cobre muy larga de 0,01 m de radio tiene uno de
sus extremos mantenido a la temperatura de Tc = 100 ◦ C. ¿A
27

28. qu´ distancia de ese extremo la temperatura ser´ de 50 ◦ C si
e a
la temperatura ambiente es de Te = 20 ◦ C. Para esa barra, su
coeficiente de conducci´n del calor es de κ = 26, 2 kW/m s K y
o
la constante de la Ley de Newton de p´rdida de calor se puede
e
poner como k = eΣ/A, donde e es su emitividad, e = 0, 005
W/m2 C, Σ = 2πr y A = πr2 es la secci´n de la barra.
o
5.3 Convecci´n
o
1. En un experimento llevado a cabo con tres recipientes diferen-
tes, de aluminio, vidrio y un vaso Dewar, se han obtenido los
siguientes valores de las constantes de la Ley de Newton del en-
friamiento. kmet = −4, 6 × 10−4 s−1 , kvid = −3, 1 × 10−4 s−1 y
kDewar = −6, 4 × 10−5 s[ −1
En los mismos tres recipientes anteriores se colocan seis cubitos
de hielo, con un peso de 120 gr, y se miden los tiempos que
transcurren hasta que el hielo de cada uno de ellos se funde. Se
han obtenido los siguientes resultados para estos tiempos Tabla
2:
Recip. met. vid. Dew.
t (horas) 1,67 2,0 9,5
t (s) 6000 7200 34200
Tabla 2: Tiempos de fusi´n del hielo.
o
Int´ntese explicar los tiempos obtenidos en la experiencia.
e
2. Se tiene una cierta cantidad m de caf´ a una temperatura T0 .
e
Se dispone de una masa m de crema (tal que mc = m c ) a la
temperatura ambiente TR . Se puede proceder de dos maneras:
(i) se mezcla la crema con el caf´ en el instante inicial t = 0 y
e
se espera un cierto tiempo t; (ii) se espera un tiempo t a que el
caf´ se enfr´ y se vierte la crema. Determinar con que m´todo
e ıe e
se logra que el caf´ est´ a mayor temperatura en el instante t.
e e
28

29. 5.4 Radiaci´n
o
1. ¿Qu´ radio debe tener un hilo de un metal, de peso at´mico
e o
M = 156, de longitud L = 0, 3 m, para que pueda utilizarse en
una bombilla de 100 W? Una bombilla que emite a λmax ≈ 10−6
m, se considera util en iluminaci´n. Sup´ngase que se comporta
´ o o
como un cuerpo negro. La constante de Stefan-Boltzmann es
σ = 5, 67×10−8 Wm−2 K−4 . Ley de Wien, λmax T = 2, 9 × 10−3
m K.
Si se supone que todos los atomos de metal que se evaporan
´
del filamento terminan condensados en la parte fr´ del cristal
ıa
de la bombilla, ¿mejorar´ sus cualidades de iluminaci´n con el
a o
tiempo o empeorar´n?
a
2. Para peque˜as diferencias de temperatura entre un cuerpo y sus
n
alrededores, demostrar que el intercambio de energ´a debido a
ı
la radiaci´n sigue la Ley de Newton del enfriamiento.
o
En un experimento para determinar el calor latente de vapor-
izaci´n del agua, se suministra calor mediante una resistencia
o
a una masa de agua encerrada en un cono de diam´tro de la
e
base 14 cm y altura 20 cm. La temperatura ambiente es igual a
TE = 20 ◦ C. Se obtiene una constante de la Ley de Newton del
enfriamiento de k ≈ 2, 64 J(◦ s C)−1 . Determinar si la perdida
de calor se puede deber completamente a la radiaci´n.
o
3. Se dispone de una esfera de 0,1 m de radio y capacidad calor´
ıfica
c = 4180 J/K, que tiene inicialmente una temperatura de 305
K, la cual se introduce en el interior de una esfera hueca, cuya
superficie interna se encuentra a 300 K y en la que previamente
se ha hecho el vac´ Obtener la variaci´n con el tiempo del
ıo. o
exceso de temperatura de la esfera maciza y el tiempo que tarda
dicho exceso en reducirse en 1 K. Suponer que ambas esferas se
comportan como cuerpos negros.
4. En una habitaci´n a 29 ◦ C, la temperatura de la superficie de
o
la piel de una persona (cerca de 1,5 m2 ) sin ropa y en reposo
es de 33 ◦ C. La emitividad var´ con el color de la piel, pero
ıa
puede considerarse como e ≈ 1. Calcular
• La potencia neta perdida por radiaci´n.
o
29

30. • Sabiendo que la p´rdida de calor por conducci´n es des-
e o
preciable y que la p´rdida de calor por convecci´n es en
e o
estas circunstancias del orden del 50 % del total, ¿cu´ntas
a
calor´ por d´ tiene que ingerir para asegurar su metabolismo
ıas ıa
en esas condiciones?
5. Admitiendo que la temperatura en la superficie del Sol es de
6000 K, que el radio de la orbita terrestre alrededor del Sol es
´
de d = 1, 49 × 1011 m, que el radio del Sol es de rS = 6, 98 × 108
m y que el radio de la Tierra es de rT = 6, 37 × 106 m, obtener
la temperatura de equilibrio de la Tierra si se toma esta como
un cuerpo negro. T´ngase en cuenta que, a efectos de absorci´n
e o
de la radiaci´n, la tierra se comporta como un disco de radio
o
rT , mientras que a efectos de emisi´n se comporta como una
o
esfera del mismo radio.
6. Una barra de 1 m de longitud y de un material de conductividad
t´rmica 10−5 J m−1 s−1 K−1 . Se encuentra a una distancia de
e
1, 42 × 108 km del Sol y tiene un extremo mirando al Sol y el
otro expuesto al espacio exterior. Si la temperatura media del
espacio interestelar es de 3 K, calcular la temperatura aproxi-
mada del extremo de la barra. Temperatura del Sol Ts = 6000
K; Radio del Sol, rS = 6, 96 × 108 m.
30