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1. CÁLCULO APLICADO A LA FÍSICA 3
EQUIPO DE CIENCIAS

2. Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno
será capaz de reconocer y aplicar los conceptos
de temperatura, calor y energía interna como
elementos fundamentales para la descripción
cuantitativa de los fenómenos térmicos
macroscópicos.

3. ESQUEMA DE LA UNIDAD
TERMODINÁMICA
SOLUCIÓN DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDINARIAS NO
HOMOGÉNEAS
TEMPERATURA Y
DILATACIÓN
TÉRMICA
- Escalas de
temperatura.
- Ley cero de la
termodinámica.
- Dilatación térmica.
GRÁFICAS DE
FUNCIONES
USANDO
DERIVADAS
CAPACIDAD
CALORÍFICA Y
CAMBIOS DE
FASE
- Calor específico.
- Calor latente de
fusión y
vaporización.
DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDADES
TRANSFERENCIA
DE CALOR
- Conducción.
- Radiación.
- Convección.
ROTACIÓN DE
SÓLIDOS
TEORÍA CINÉTICA
DE LOS GASES
IDEALES
- Ecuación de estado.
- Gas ideal.
- Energía cinética y
capacidad calorífica.

4. Temperatura
Con esta sección iniciaremos el estudio de una nueva área de la física, la
termodinámica, que trata de fenómenos relacionados con los conceptos de
calor y temperatura.
La temperatura es una magnitud escalar relacionada con la energía
interna de un objeto.
Cuando calentamos un objeto las molécula o átomos de este
objeto se mueven con mas rapidez.
La cantidad que indica lo caliente o frío que está un objeto es la
temperatura.

5. Temperatura
El instrumento usado para medir la temperatura es el termómetro.
Para medir la temperatura de un objeto se
coloca el termómetro en contacto con este
objeto. Una vez que el termómetro se
estabiliza para un valor en su escala de
medida se realiza la medición. La estabilidad
del termómetro ocurre cuando la
temperatura del termómetro es igual a la
temperatura del objeto. A esta condición se le
llama equilibrio térmico.
Dos objetos están en equilibrio térmico si y solo si tienen la
misma temperatura.

6. Ley cero de la termodinámica
Consideremos tres objetos A, B y C, inicialmente los tres a diferente temperatura
Ahora coloquemos en contacto A con C y C con B, y esperamos hasta que se
establezca el equilibrio térmico. El sistema esta aislado, es decir, solo hay intercambio
de calor entre los objetos y no con el ambiente.
Ley cero de la termodinámica: Si C está en equilibrio térmico con A y B, entonces A
y B también estarán en equilibrio térmico entre sí.

7. Escalas de temperatura
Escala de temperatura en Celsius:
Esta escala marca como cero la temperatura de congelación del agua pura y con
100 su temperatura de ebullición. Luego divide la distancia entre ambos puntos en
100 intervalos iguales (°C)
Escala de temperatura en Fahrenheit:
Escala de temperatura de uso común en USA. Marca
como 32 la temperatura de congelación del agua pura
y con 212 su temperatura de ebullición. Luego divide la
distancia entre ambos puntos en 180 intervalos
iguales (°F)
9
32
5
F C
T T
= 

8. Escalas de temperatura
Escala de temperatura en Kelvin:
Se observa que al medir la presión de diferentes gases
en función de la temperatura hay un punto de
coincidencia, se define este punto como la
temperatura cero en la escala Kelvin (cero absoluto).
La escala Kelvin es la usada en el SI.
=  273
K C
T T

9. Ejercicios
1 – Dos cubos A y B metálicos están inicialmente a la misma temperatura. Pasado
un tiempo debido a que los cubos se encuentran en diferentes ambientes, la
temperatura del cubo A cambia a 59°F y la del cubo B a 290 K. Cuál cubo se
encuentra a menor temperatura?
2 – La temperatura corporal humana es de 37°C. A cuántos grados Kelvin
corresponde esta temperatura.
3 - Para asar carne se necesita una parrilla que alcance una temperatura de
375°F. A qué temperatura debo fijar el graduador para asar la carne si la
graduación está en grados Celsius.

10. Dilatación térmica
Cuando aumenta la temperatura de un objeto sus átomos o moléculas se
mueven con más rapidez. Esto hace que en promedio se alejan entre sí. El
resultado es una expansión, o dilatación, del objeto. Casi todos los
materiales cumplen con esta característica.
Un ejemplo de este fenómeno es el comportamiento del mercurio en un
termómetro con los cambios de temperatura.

11. Dilatación térmica en sólidos
Dilatación lineal: Se tiene inicialmente una varilla de longitud Li a una
temperatura Ti. Si variamos su temperatura a Tf ocurrirá un cambio en su
longitud que se puede calcular como:
i
T
f
T
 
1
f i f i
L L T T
a
 
=  -
 
L = Lf
- Li
= Li
aT
Li: Longitud inicial
Lf: Longitud final
Ti: Temperatura inicial
Tf: Temperatura final
α: coeficiente de dilatación lineal

12. Ejercicios
1. A qué temperatura tiene que estar una varilla de aluminio (24×10-
6°C-1) de 1m de longitud que está a 20°, para que aumente su
longitud 0.01m.
2. Una barra metálica está formada por dos pedazos, uno de latón
(19×10-6°C-1) y otro de acero (11×10-6°C-1). A 273K las barras
tienen las dimensiones mostradas en la figura. Si la temperatura
aumenta a 333K, obtener la dimensión final de la barra.

13. Dilatación térmica en sólidos
Dilatación superficial:
Ai: Área inicial
Af: Área final
Ti: Temperatura inicial
Tf: Temperatura final
β: coeficiente de dilatación superficial
(°C-1)
 
1
f i f i
A A T T

 
=  -
 
i
A A T

 = 
Dilatación volumétrica:
Vi: Volumen inicial
Vf: Volumen final
Ti: Temperatura inicial
Tf: Temperatura final
γ: coeficiente de dilatación volumétrica
(°C-1)
 
1
f i f i
V V T T

 
=  -
 
i
V V T

 = 
En sólidos podemos usar las siguientes aproximaciones:
2
 a

3
 a


14. Ejercicios
1. Una plancha metálica que inicialmente estaba a 20°C aumenta su
temperatura a 423,15K. Calcular su coeficiente de dilatación térmica
si su área aumenta 0,2%.
2. Una plancha cuadrada de aluminio (α = 24×10-6 °C-1) de 3m tiene
un agujero interno circular de 0,5m de radio. Si su temperatura
aumenta en 50°C, cuanto aumenta su área.

15. Calor
Cuando acercamos dos objetos que tienen diferente temperatura, después
de un tiempo se establece el equilibrio térmico. Lo que ocurre es una
transferencia de energía de el objeto a mayor temperatura (TH) al objeto
que está a menor temperatura (TC). A esta energía transferida se le llama
calor (Q).
El calor es el flujo de energía de un objeto
a otro debido a la diferencia de
temperatura entre los objetos. El flujo
ocurre de mayor a menor temperatura. TH C
T
Como el calor es una forma de energía la unidad que se usa en sus
medidas es Joules (J).
Otra unidad de calor muy usada es la caloría (cal) que se define como el
calor necesario para cambiar en un 1°C la temperatura de 1g de agua.
1 cal = 4,186 J

16. Experimento de Joule
Sobre el agua se realiza trabajo mediante la
rueda giratoria que es impulsada cuando los
bloques caen.
El agua dentro del recipiente se caliente debido
al rozamiento entre las paletas y el agua. Este
calor genera un aumento de la temperatura que
es medido por un termómetro.
Al realizar este experimento James Joule
encontró que la pérdida de energía mecánica es
proporcional a la masa de agua y la variación de
la temperatura.
La constante de proporcionalidad que encontró fue aproximadamente
4,186 J/g°C. Así, el calor necesario para cambiar en un 1°C la
temperatura de 1g de agua será 4,186 J. Esta cantidad de calor es una
caloría.

17. Capacidad calorífica
Algunos objetos requieren darles o extraerles mas o menos calor para
variar su temperatura. Entonces, un cierto tipo de material se puede
caracterizar por su capacidad de almacenamiento de energía. Se define
la capacidad calorífica, C, de una sustancia como
Q
C
T
=

[J/°C] o [cal/°C]
Además de la variación de la temperatura es muy importante considerar
la cantidad de sustancia. Así, es mas conveniente definir el calor
específico de una sustancia como la capacidad calorífica por unidad
de masa
C Q
c
m m T
= =

[J/°C Kg] o [cal/°C Kg]
Obteniendo finalmente la ecuación
= 
Q cm T
El calor necesario para que una
sustancia de masa m cambien
su temperatura un intervalo ΔT
son proporcionales.

18. Calor específico

19. Calor específico
Ejemplos:
1. Cuál es la cantidad de calor que se necesita para cambiar 1 Kg de
agua de 300 K a 350 K. cagua = 1 cal/g °C.
2. Se está diseñando un elemento de circuito electrónico hecho de 30 mg
de Si. La corriente que pasa por este circuito agrega 0,001 J. Cuál es el
cambio de temperatura en este elemento de circuito.

20. Cambio de fase
Dar o quitar calor a un material produce variación en la temperatura. Pero,
además de esto también puede ocurrir cambio de fase. Por ejemplo cuando el
agua llega a 100°C pasa estado gaseoso (vaporización). Para que 1 Kg de agua
líquida pase a estado gaseoso se necesita aproximadamente 2,26×106J de
calor.

21. Cambio de fase
Calor latente de fusión: Es el calor
que hay que agregarle a un cierto
material pase de estado sólido a estado
líquido.
f
Q
L
m
= = f
Q L m
Calor latente de evaporación: Es el
calor que hay que agregarle a un cierto
material pase de estado líquido a
estado gaseoso.
=
v
Q
L
m
= v
Q L m
Cuando se quiere realizar el proceso inverso, es decir, la solidificación o la
condensación, hay que quitar calor, por lo que
= f
Q L m = v
Q L m
f
Q L m
= - = - v
Q L m

22. Cambio de fase

23. Cambio de fase
Ejemplo:
Calcular la cantidad de calor que se necesita para que 1Kg de agua
solidifique, y para que se evapore. Lfagua = 79,7 cal/g y Lvagua = 539,4 cal/g.

24. Ejercicios
1. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable y aislado del
ambiente se tiene 100g de agua a 90°C. Si a este recipiente se le
adiciona 30g de hielo a 5°C. Cuál será la temperatura cuando el agua
esté en equilibrio térmico. Lfagua = 79,7 cal/g, chielo = 0,5cal/g y cagua =
1cal/g.
2. En una taza de aluminio (cAl = 900 J/Kg°C) de 0,1Kg que está a 20°C
se coloca 0,3 Kg de agua (cagua = 4190 J/Kg°C) que está a 90°C. A que
temperatura la taza y el agua estarán en equilibrio térmico.
3. En un recipiente hay 0,2 Kg de agua a 25°C. A este recipiente se
coloca hielo a -30°C. Qué cantidad de este hielo le debemos colocar si
queremos que la temperatura de equilibrio sea 10°C. Considerar que
la capacidad calorífica del recipiente es cero y que el sistema esta
asilado.

25. Mecanismos de transferencia de calor
Conductores y aislante: Hay materiales que son buenos y otros que
son malos conductores de calor.
Por ejemplo, en la cocina, se usan generalmente ollas hechas de metal,
ya que los metales son buenos conductores de calor. En cambio en un
refrigerador se usan materiales que eviten que el interior de la
refrigeradora intercambie calor con el exterior. En ambos casos
estamos preocupados por un fenómeno físico que estudiaremos en esta
sección, la transferencia de calor.
Existen tres tipos de forma para transferir
calor: conducción, convección y
radiación.
A continuación detallaremos estas formas
de transferencia de calor, haciendo más
énfasis en la conducción.

26. Conducción
Transferencia de calor por conducción: Sujeta una varilla metálica
en un extremo y coloca el otro extremo al fuego. Se observará que el calor
se transmitirá por toda la varilla desde el extremo que está en el fuego
hacia el extremo que tienes sujeto (flujo de calor). Esto es un ejemplo de
transferencia de calor por conducción.

27. Conducción
Para describir matemáticamente el proceso de conducción de calor se define
el calor transferido por unidad de tiempo, o flujo de calor, H, como
= = -
dQ dT
H kA
dt dx
k: Conductividad tèrmica [W/m.°C] o [J/s.m.°C] o [cal/s.m.°C]
A: área transversal del conductor
: variación de la temperatura con la longitud del conductor.
El signo menos en la ecuación se usa para indicar que el flujo de calor es de
mayor a menor temperatura.
Los problemas de transferencia de calor por conducción que consideraremos la
condición en la cual la corriente de calor H es constante
dT
dx
H C
T T


28. Conducción

29. Conducción
Corriente de calor por una barra: Consideremos una barra de sección
transversal A y longitud L, que tiene sus extremos a una temperatura TC y TH. No
hay flujo de calor por la superficie lateral de la barra. El flujo de calor será
Corriente de calor por un cilindro: Consideremos un cilindro hueco de radio
interno r1 y radio externo r2 y longitud L. Hay una diferencia de temperatura
entre la parte interna y la externa. El flujo de calor será
H
T
L
C
T
 
H C
kA
H T T
L
= -
 

= -
 
 
 
2
1
2
ln
H C
kL
H T T
r
r
H
H
C
T
H
T
1
r
2
r
A

30. Ejercicios
1. Una barra de acero (kacero = 50,2W/m.K) de 10cm de longitud está
soldada a una barra de cobre (kcu = 385W/m.K) de 20cm de longitud.
Ambas barras aisladas por sus costados. La sección transversal de ambas
barras es cuadrada de 2cm de lado. Calcule la temperatura T en la unión
de las barras.
2 - Dentro de un cilindro de cerámica de 0,2m de diámetro y 1m de largo
hay un alambre de cobre de 0,0001m de diámetro que se encuentra a
1500°C. El lado exterior del cilindro cerámico se encuentra a 20°C. Si el
flujo de calor es de 30cal/s. Calcular la conductividad térmica de la
cerámica.

31. Radiación
Radiación: Este tipo de transferencia de calor ocurre mediante ondas
electromagnéticas. Todo cuerpo que se encuentra a una determinada
temperatura emite energía en forma de radiación electromagnética.

32. Radiación
La corriente de calor por radiación que emite un objeto que tiene una
temperatura T y unn área superficial A se puede calcular como
donde σ es la constante de Boltzman

= 4
H AT
 -
=  8
5.67 10 2 4
W / m K
Ejemplo:
Nuestro sol emite una corriente de calor por área de 650 000W/m2. A qué
temperatura está el sol en grados centígrados.

33. Convección
Convección: Es el tipo de transferencia de calor producida por un fluido (agua
o gas). Debido a su complejidad es difícil describir matemáticamente este tipo
de transferencia de calor.