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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2-1 Modelo de una línea de longitud corta. .......................................................................... 16
Figura 2-2 Modelo 𝜋 nominal de una línea de longitud mediana. ................................................... 16
Figura 2-3 Modelo del transformador en fase con relación de vueltas 𝑎pq. ..................................... 17
Figura 2-4 Modelo equivalente 𝜋 de un transformador en fase. ...................................................... 18
Figura 2-5 Modelo simétrico del transformador. ............................................................................. 19
Figura 2-6 Modelo de rama unificado.............................................................................................. 19
Figura 2-7 Nodo genérico en donde se aplica una inyección de corriente....................................... 20
Figura 2-8 Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de estado.............................................. 26
Figura 2-9 Estructura del vector de estado en la k-ésima iteración.................................................. 27
Figura 2-10 Estructura del vector de mediciones............................................................................. 27
Figura 2-11 Estructura de la función de mediciones en la k-ésima iteración................................... 29
Figura 2-12 Estructura de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración.................... 33
Figura 2-13 Diagrama de flujo de la prueba 𝜒2
................................................................................ 41
Figura 2-14 Diagrama de flujo de la prueba rN
. ............................................................................... 43
Figura 3-1 Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de parámetros...................................... 55
Figura 3-2 Estructura del vector de estado aumentado en la k-ésima iteración............................... 56
Figura 3-3 Estructura de la función de mediciones para el modelo aumentado en la k-ésima iteración.
........................................................................................................................................................... 58
Figura 3-4 Estructura de la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración............................ 65
Figura 3-5 Transformación de una esfera unitaria en un elipsoide debido a la matriz 𝐴. Adaptado
de [78]. .............................................................................................................................................. 71
Figura 3-6 Diagrama de flujo del algoritmo de análisis de robustez numérica................................ 73
Figura 3-7 Diagrama de flujo del algoritmo de cálculo de intervalos de confianza e indicadores de
precisión............................................................................................................................................ 77
Figura 4-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59]................................................... 80
Figura 4-2 Diagrama unifilar con 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos.......................... 82
Figura 4-3 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3........................... 86
Figura 4-4 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ............................................. 87
Figura 4-5 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando
en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................... 87
Figura 4-6 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. .............................................................. 88
Figura 4-7 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3............................................................................ 89
Figura 4-8 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4................. 92
Figura 4-9 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1A tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. ......................................... 93
Figura 4-10 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1A
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4....................... 93
Figura 4-11 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en cuenta
los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4...................................................... 94
Figura 4-12 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. .......................................................... 95
Figura 4-13 Diagrama unifilar con 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos.......................... 98](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-19-320.jpg)
![XVIII
Figura 4-14 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3...................... 101
Figura 4-15 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 2 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ........................................... 101
Figura 4-16 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 2
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3......................... 102
Figura 4-17 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 2 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ............................................................ 102
Figura 4-18 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................................... 104
Figura 4-19 Diagrama unifilar con 41 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos........................ 107
Figura 4-20 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3...................... 109
Figura 4-21 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 3 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ........................................... 109
Figura 4-22 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 3
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3......................... 110
Figura 4-23 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 3 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ............................................................ 110
Figura 4-24 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................................... 112
Figura 4-25 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60]............................. 113
Figura 4-26 Diagrama unifilar con 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra........................ 117
Figura 4-27 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.................. 125
Figura 4-28 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 126
Figura 4-29 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 126
Figura 4-30 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ........................................................ 127
Figura 4-31 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 128
Figura 4-32 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29......... 131
Figura 4-33 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1A tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. ................................. 132
Figura 4-34 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1A
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29............... 132
Figura 4-35 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en cuenta
los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.............................................. 133
Figura 4-36 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. .................................................. 134
Figura 4-37 Diagrama unifilar con 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra........................ 138
Figura 4-38 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.................. 145
Figura 4-39 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 2 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 145
Figura 4-40 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 2
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 146](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-20-320.jpg)
![XIX
Figura 4-41 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 2 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ........................................................ 146
Figura 4-42 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 148
Figura 4-43 Diagrama unifilar con 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra........................ 151
Figura 4-44 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso
3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.................. 155
Figura 4-45 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 3 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 155
Figura 4-46 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 3
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 156
Figura 4-47 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 3 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ........................................................ 156
Figura 4-48 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores
de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 158
Figura C-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59]. ............................................... 181
Figura C-2 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60].............................. 183
Figura D-1 Estructura del archivo de datos “EJEMPLO.DAT” para el estimador de estado........ 187
Figura D-2 Ingreso del archivo de datos para el estimador de estado............................................ 188
Figura D-3 Ingreso del archivo de resultados para el estimador de estado.................................... 189
Figura D-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de estado............................. 189
Figura E-1 Estructura del archivo de datos “EJEMPLO.DAT” para el estimador de parámetros. 211
Figura E-2 Ingreso del archivo de datos para el estimador de parámetros. ................................... 212
Figura E-3 Ingreso del archivo de resultados para el estimador de parámetros............................. 213
Figura E-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de parámetros. .................... 213](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-21-320.jpg)
![XXXI
𝑯(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz Jacobiana de mediciones para el estimador de parámetros.
𝑯 𝒑(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz Jacobiana de parámetros para el estimador de parámetros.
𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz Jacobiana aumentada para el estimador de parámetros.
𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz de Ganancia aumentada para el estimador de parámetros.
𝚫𝒙 𝒂𝒖𝒎 Vector de incrementos aumentado para el estimador de parámetros.
‖. ‖ Norma de un vector o una matriz.
𝒄𝒐𝒏𝒅[. ] Número de condición de una matriz.
𝒓𝒂𝒏𝒌[. ] Rango de una matriz.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[. ] Máximo valor singular de una matriz.
𝝈 𝒎𝒊𝒏[. ] Mínimo valor singular de una matriz distinto de cero.
𝑫𝑹[. ] Distancia relativa a la singularidad de una matriz.
𝑻 𝒑 𝒊
Distribución t del i-ésimo parámetro estimado.
𝒃𝒊 Desviación máxima posible del i-ésimo parámetro estimado.
𝑰𝒊 Indicador de precisión del i-ésimo parámetro estimado.
𝑯 𝟎 Hipótesis nula.
𝑯 𝟏 Hipótesis alternativa.
𝑵𝑨 No aplica.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-33-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
1
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
1.1 Generalidades
En 1965 las redes eléctricas eran monitoreadas por sistemas de control y supervisión, los cuales
monitoreaban y controlaban el estado de los interruptores en las subestaciones, así como la frecuencia
del sistema y la potencia de salida de los generadores [1]. Sin embargo, con la necesidad de enfocarse
en la seguridad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), se requerían más mediciones y en intervalos
de tiempo más cortos, con lo que se llegó al desarrollo de los sistemas de Supervisión, Control y
Adquisición de Datos o SCADA (“Supervisory Control and Data Adquisition” en inglés). Con la
llegada de estos sistemas se obtuvo más información del SEP para propósitos de seguridad. No
obstante, los primeros intentos de obtener el estado del sistema en línea presentaban problemas ya
sea por falta o inconsistencia de algunas mediciones. Debido a esto, Fred Schweppe [2, 3, 4] fue el
primero que propuso la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) para resolver el
problema de las mediciones y de la solución en tiempo real, por lo tanto, se pudieron realizar otras
funciones de aplicación. Estos avances dirigieron al desarrollo de lo que se conoce hoy en día como
Sistema de Gestión de Energía o EMS (“Energy Management System” en inglés).
La SE en sistemas de potencia es una función importante del EMS ya que obtiene un modelo de red
en tiempo real del SEP que es usado por las funciones de seguridad y control del EMS. De acuerdo
con [5, 6], algunas funciones de aplicación del EMS son: Análisis de contingencias, flujos de potencia
óptimos con restricciones de seguridad, despacho económico, pronóstico de carga, simulador de
entrenamiento para operadores, etc. Según [7], los datos de entrada que generalmente necesita un
estimador de estado convencional son:
Las mediciones analógicas variantes en el tiempo que son las mediciones de campo en tiempo
real proporcionadas por el sistema SCADA.
Mediciones virtuales que no requieren ser medidas, como las mediciones de inyecciones cero
en nodos de paso. Poseen la característica de que pueden ser usadas como mediciones libres
de error y por lo tanto se les deben asignar pesos altos en la formulación de la estimación de
estado convencional.
Pseudo-mediciones que pueden ser generadas a partir de pronósticos de carga a corto plazo,
datos históricos u otros métodos similares. Poseen la característica de que se les deben asignar
pesos bajos debido a que se consideran que tienen menos precisión en comparación de si
fuesen realmente medidos.
Valores de parámetros de red y de la topología actual del SEP.
Modelado matemático del sistema.
Por lo tanto se pueden distinguir dos tipos de bases de datos que son requeridas por un estimador de
estado: Una base de datos dinámicos y una base de datos estáticos [5]. La base de datos dinámicos es
obtenida a partir del sistema SCADA, el cual proporciona un conjunto de mediciones que según [6]
incluyen: Flujos de potencia de líneas, magnitudes de voltajes nodales, magnitudes de corrientes de
líneas, cargas, potencias de salida de generadores, información del estado de interruptores, posiciones
de los taps de transformadores y valores de bancos de capacitores conmutables. Conforme con [5], la
base de datos estáticos incluye datos de parámetros de los elementos del SEP (impedancia serie y
admitancia en derivación de líneas, transformadores, etc.). Por otra parte, según [5, 6, 8] un estimador
de estado generalmente incluye las siguientes funciones:](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-35-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
2
Procesador de la topología: Construye el modelo de red (diagrama unifilar) en base a la
información del estado de los interruptores del SEP.
Análisis de observabilidad: Determina si el estado del sistema se puede obtener a partir de
las mediciones disponibles de la red eléctrica. En el caso de que solo un conjunto de nodos
es observable, entonces identifica las islas observables.
Solución de la estimación de estado: Obtiene un estimado del estado del SEP o el estado
que mejor se ajusta a las mediciones disponibles a partir de un conjunto de datos de
conectividad y parámetros de la red eléctrica.
Procesador de datos erróneos: Detecta la presencia de errores sustanciales en las
mediciones disponibles y si la redundancia de medición es adecuada, estas mediciones
pueden ser removidas del conjunto de mediciones.
Procesador de errores de topología y errores de parámetros: Detecta errores en la
topología de la red eléctrica y si la redundancia de medición es adecuada es posible identificar
el estado incorrecto de interruptores. Estima diversos parámetros de red como los parámetros
del modelo de línea de transmisión, taps de transformadores y parámetros de capacitores o
reactores en derivación.
Como se puede notar, el estimador de estado procesa un conjunto de datos con el objetivo de filtrar
el ruido de medición inherente en las mediciones y detectar errores sustanciales. La solución del
estimador proporcionará un estimado del estado del SEP basado en las mediciones disponibles y el
modelo del sistema para luego realizar las distintas funciones de aplicación de un EMS.
1.2 Planteamiento del Problema
El estado del SEP es estimado a partir del estimador de estado, el cual usa un conjunto de datos de
mediciones y datos de parámetros de red. Por lo tanto el desempeño del estimador depende de la
precisión de las mediciones, así como de los parámetros de la red eléctrica. Los datos de mediciones
están sujetos a ruido o errores en el sistema de medición y en el proceso de comunicación. Los
parámetros de red pueden estar sujetos a errores en los parámetros de las líneas y a las posiciones de
los taps de transformadores, según [9]. Todos estos errores pueden afectar los resultados
proporcionados por el estimador de estado.
Por consiguiente se pueden definir 3 tipos de errores que pueden afectar la calidad de la solución de
la SE [6, 10]:
Errores sustanciales: Son los errores en las mediciones analógicas y pueden ocurrir cuando
los medidores presentan sesgos, desviaciones grandes o conexiones erróneas, así como
también cuando existen fallas en el sistema de telecomunicación o el ruido causado por
alguna interferencia inesperada.
Errores de topología: Se refiere a la información incorrecta de la topología de la red y suelen
presentarse cuando algunos de los interruptores de la red eléctrica (los cuales pueden no ser
medidos u operados de forma remota) no funcionan correctamente. Otras causas pueden ser
cuando los equipos de mantenimiento realizan algún cambio en algunos interruptores sin
reportarlo al centro de control, fallas mecánicas de los dispositivos de señalización, etc.
Errores de parámetros de red: Son los errores en el modelo de los elementos de la red
eléctrica y pueden acaecer cuando se presenta la sustitución de algunos elementos del SEP
(por ejemplo: líneas) y no son apropiadamente actualizados en la base de datos, cambios en
las condiciones ambientales y de posicionamiento a las que son expuestas las líneas, datos de
fabricación incorrectos o una mala estimación de longitud de línea, la modificación local de
un cambiador de taps sin reportarlo al centro de control, una mala operación o una mala](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-36-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
3
calibración de cualquier dispositivo eléctrico o mecánico involucrado en el proceso de
monitoreo de los taps de transformadores, etc.
El procesamiento de datos erróneos para la detección e identificación de errores sustanciales es ahora
una rutina implícita en la mayoría de los estimadores de estado [9]. Normalmente los errores de
topología pueden causar grandes errores en las mediciones estimadas y en consecuencia, estos pueden
ser detectados fácilmente. Sin embargo, los errores de parámetros son menos evidentes y pueden
ocasionar errores en los resultados proporcionados por el estimador por un largo periodo de tiempo
sin poder percatarse de que están presentes [11].
Por lo tanto esta tesis se centra en el problema de estimar los parámetros de algunas líneas de
transmisión para obtener mejores valores de parámetros de líneas y así conseguir mejores resultados
del estimador de estado, los cuales como se ha estado describiendo, son el punto de partida de las
diversas funciones de aplicación que tiene un EMS.
1.3 Objetivo
Desarrollar un algoritmo para la estimación de parámetros de líneas de transmisión que procese un
conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use la formulación de mínimos cuadrados
ponderados y además que incluya el análisis de robustez numérica de matrices, el proceso de
detección de datos erróneos y el cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión de los
parámetros estimados. Asimismo, desarrollar un algoritmo para la estimación de estado convencional
que procese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use la formulación de
mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis de robustez numérica de matrices y
el proceso de detección de datos erróneos.
1.4 Justificación
Tradicionalmente [12], la SE se lleva a cabo suponiendo que los errores de mediciones son
estadísticamente pequeños, la redundancia de los datos es adecuada (considerando la cantidad, el tipo
y distribución topológica de las mediciones), además de que la configuración y los parámetros de red
son correctos. Frecuentemente estas hipótesis no son absolutamente verdaderas [7], lo que ha llevado
a los investigadores a desarrollar algoritmos que puedan tratar con los errores que pueden afectar los
resultados del estimador de estado.
Según [13], al ignorar los errores en los parámetros de la red, la mayoría de los algoritmos de SE
relacionan cualquier inconsistencia detectada durante el proceso de estimación a errores en las
mediciones analógicas o a las mediciones digitales incorrectas (aquellas reportando el estado de
interruptores). Como consecuencia [12], los errores de los parámetros de las líneas permanecen sin
ser detectados por largos lapsos de tiempo, lo que puede producir errores permanentes en los
resultados de las funciones de aplicación de un EMS. Para evitar esto, el algoritmo de SE debe ser
enriquecido para que pueda depurar los errores presentes en los parámetros de la red. Si la precisión
de la SE puede ser incrementada, entonces se obtendrá una mejor representación del SEP y las
funciones de aplicación del EMS pueden tener un mejor desempeño.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-37-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
4
Desde que las estimaciones son obtenidas de ecuaciones que relacionan las mediciones a las variables
de estado (ecuaciones de flujos de potencia), cualquier error de parámetro de línea está obligado a
afectar las estimaciones proporcionadas por el estimador de estado, ya que el proceso de estimación
supone que todos los parámetros son conocidos y las emplea en el algoritmo de estimación de estado
en forma iterativa para obtener un vector de estado del SEP [14].
Las empresas eléctricas en la mayoría de los casos usan valores teóricos para el cálculo de los
parámetros del circuito equivalente de las líneas de transmisión [15]. Conforme con [15, 16, 17],
existen algunos factores que influyen en los parámetros de las líneas como los siguientes:
La altura del conductor por encima del plano de tierra es variable debido a la catenaria que
presenta y es imposible de estimar sobre terreno montañoso, lo que puede afectar la
capacitancia de la línea.
La resistencia de la línea puede cambiar significativamente con la temperatura ambiente y
esta depende de las propiedades del material del conductor, corriente eléctrica que transporta,
diámetro del conductor, condiciones de superficie y las condiciones ambientales a las que es
sometida la línea.
El valor de reactancia serie usado es el de una línea idealmente transpuesta aunque ésta no lo
es debido al costo de construcción adicional generado por alterar mecánicamente las
posiciones de los conductores cada un tercio de la distancia entre torres de transmisión.
Además de que la construcción de nuevas líneas en paralelo con acoplamiento mutuo afecta
las bases de datos anteriores.
Según [18], las bases de datos de los parámetros que tienen las distintas empresas eléctricas pueden
ser incorrectos como resultado de:
Datos de fabricación incorrectos o una mala calibración de los equipos de medición de los
fabricantes.
Cambios en la red que no se actualizaron apropiadamente en la base de datos (por ejemplo:
una sección de línea aérea que sufre calentamiento puede ser sustituida por un cable).
Desgaste de los materiales. Puede ser lento, normal o rápido (como el desgaste producido por
el efecto corona).
Parámetros que dependen de la temperatura (como la resistencia).
Cambios en las condiciones ideales con las que se calculó el modelo 𝜋 (no se tienen en cuenta
los diferentes cambios de altura de la línea respecto al terreno, se considera la resistividad del
terreno constante, se supone que la línea es transpuesta a cada tercio de su longitud y también
se supone que la longitud se conoce con exactitud).
De acuerdo con [6], estos valores de parámetros incorrectos pueden tener las siguientes
consecuencias:
Una degradación de los resultados proporcionados por el estimador de estado y, como
consecuencia, de los resultados de los programas cuyos datos de entrada son la salida del
estimador.
Que mediciones correctas sean identificadas como mediciones erróneas debido a
inconsistencias con los parámetros de red incorrectos.
Desconfianza por parte del operador en los resultados del estimador de estado.
En el artículo [15] se afirma que debido a las desviaciones de las condiciones ideales supuestas
durante los cálculos de los parámetros de líneas de transmisión y pocas mediciones reales, los valores
encontrados en las bases de datos de las empresas eléctricas presentan errores que pueden llegar a ser](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-38-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
5
de hasta 25% a 30% comparados con los valores reales. Como los parámetros de las líneas de
transmisión tienen una influencia en los resultados del estimador de estado y por lo tanto también
afectan a las distintas funciones de aplicación del EMS, es evidente la necesidad de encontrar métodos
para estimar los parámetros del modelo de línea de transmisión.
1.5 Limitaciones y Alcances
En esta tesis se desarrolla un algoritmo de estimación de parámetros de líneas de transmisión que usa
el método que aumenta el vector de estado para incluir los parámetros de las líneas que presentan
errores de parámetros como variables de estado a estimar.
Los alcances que presenta esta tesis son:
Mostrar los efectos que se presentan en las variables de estado estimadas cuando se presentan
errores en los parámetros de algunas líneas (resistencia serie, reactancia serie y susceptancia
en derivación sobre dos) mediante el uso de un estimador de estado convencional.
Realizar el proceso de detección de datos erróneos usando la prueba 𝜒2
(chi-cuadrada) y la
prueba 𝑟 𝑁
(residuales normalizados).
Estimar los parámetros de algunas líneas de transmisión (conductancia serie, susceptancia
serie y susceptancia en derivación sobre dos) mediante el uso de un estimador de estado y
parámetros.
Utilizar el método de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando
ecuaciones normales para el desarrollo del algoritmo.
Analizar la robustez numérica del estimador de parámetros usando el método de
descomposición de valores singulares.
Calcular los intervalos de confianza de los parámetros estimados y un índice que indique la
precisión de la estimación de parámetros.
Las limitaciones que presenta esta tesis son:
El algoritmo desarrollado solo toma en cuenta un conjunto de mediciones y contempla
magnitudes de voltaje, flujos de potencia (activa y reactiva) e inyecciones de potencia (activa
y reactiva), además de que se pueden simular mediciones de inyecciones cero en nodos de
paso.
Se simulan errores de medición de hasta ±2% para tomar en cuenta el efecto del error en las
mediciones. Esto se realiza con el uso de un generador de números pseudo-aleatorios que
sigue una distribución normal o gaussiana.
Se simulan errores de parámetros de +30% con respecto al valor nominal que presentan las
líneas de transmisión en las bases de datos de los parámetros de red.
El algoritmo no contempla la estimación de los taps de transformadores, por lo tanto solo se
centra en la estimación de parámetros de líneas de transmisión.
No se desarrolla el algoritmo del proceso de identificación de parámetros sospechosos.
El porcentaje de error de ±2% para las mediciones es de acuerdo al nivel de error presentado en [10,
19, 20] y el porcentaje de error de +30% es debido a [15].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-39-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
6
1.6 Estado del Arte
En esta sección se presentan los antecedentes que existen en la literatura de la Estimación de Estado
o SE (“State Estimation” en inglés) y la Estimación de Parámetros o PE (“Parameter Estimation”
en inglés). Para una mejor descripción, los trabajos se presentan en dos secciones que abarcan: la
investigación desarrollada a nivel internacional y la investigación desarrollada en la Sección de
Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Unidad Zacatenco.
1.6.1 Trabajos Desarrollados a Nivel Internacional
El primer trabajo de SE fue desarrollado por Fred Schweppe en 1970. El propuso un algoritmo de
procesamiento de un conjunto de mediciones redundantes y otra información disponible del SEP que
obtiene un estimado del estado de la red eléctrica. En sus trabajos [2, 3] desarrolló el modelo
matemático exacto (que necesita de una técnica de solución iterativa) y el modelo matemático
aproximado (que necesita de una técnica de solución no iterativa) y presentó los conceptos de
detección e identificación de datos erróneos. En [4] muestra algunos problemas que conlleva su
implementación como el tiempo y almacenamiento de cómputo, la dimensión del vector de estado
que resulta de un gran número de nodos y el hecho de que un SEP nunca está realmente en estado
estable.
En el mismo año R. E. Larson, W. F. Tinney y J. Peschon presentan en [21] la teoría básica de la
estimación de estado estática y se muestran algunos resultados de un estimador de estado en un
sistema de 8 nodos en el que se ve una aplicación a la estimación de la admitancia de un elemento
junto con las variables de estado de ese sistema. A pesar de solo presentarse un caso de estimación
de admitancia, este representa uno de los primeros intentos de realizar la PE usando el modelo no
lineal de estimación. El artículo complementario es [22] en donde R. E. Larson, W. F. Tinney, L. P.
Hajdu y D. Piercy describen un algoritmo de SE en línea y su aplicación en una red de 400 nodos
mostrando resultados experimentales, así como menciona las aplicaciones de la SE en la operación y
planeación de redes eléctricas.
Antes de finalizar ese año J. F. Dopazo, 0. A. Klitin, G. W. Stagg y L. S. V. Slyck desarrollan en [23]
un algoritmo para la solución del problema de flujos de potencia en línea que obtiene el vector de
estado del sistema, el cual solamente procesa mediciones de flujos de potencia y simula los errores
de medición tomando en cuenta el error presente en los transformadores de instrumento, los
transductores de potencia y en los convertidores analógico digital. Dos años más tarde, en 1972 J. F.
Dopazo, 0. A. Klitin y L. S. VanSlyck presentan en [24] el artículo complementario donde se detalla
los fundamentos presentados en [23], el peso relativo que se le da a las mediciones de magnitud de
voltaje y de flujos de potencia debidos a los errores en las mediciones y la importancia que tiene para
la determinación del estado del sistema.
Para 1973, T. A. Stuart y C. J. Herget [25] presentan un estudio sobre como los errores en los valores
esperados y varianzas de las estimaciones de estado son afectados por errores en algunos parámetros
de red, y como los errores en las estimaciones de estado resultantes afectan los cálculos subsecuentes
de flujos de potencia. Evalúan la sensibilidad del método de mínimos cuadrados ponderados y
muestran resultados experimentales que indican los efectos de los errores en diferentes tipos de
parámetros del sistema como capacitancia, inductancia y resistencia de la línea, taps de
transformadores y las varianzas de los errores de medición.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-40-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
7
Un año más tarde, en 1974, A. S. Debs [26] trata el problema de estimar algunos parámetros de líneas
de transmisión y transformadores. En este trabajo se muestran algunos resultados que demuestran que
los errores de parámetros pueden causar errores en la SE y se desarrolla un algoritmo de PE de tipo
recursivo que emplea la teoría de filtros de Kalman para procesar un conjunto de muestras de
mediciones fuera de línea. El algoritmo es recursivo ya que en un tiempo de muestreo, solamente se
considera un vector de mediciones junto con las estimaciones previas actualizadas de parámetros y
su matriz de covarianza.
En el artículo presentado en [27], D. L. Fletcher y W. O. Stadlin proponen en 1983 un algoritmo de
estimación de la posición de taps de transformadores basado en el análisis de sensibilidad residual y
es aplicado cuando la diferencia entre el flujo de potencia reactiva medida y la calculada a través del
transformador es mayor que una tolerancia preestablecida.
Un año después, B. K. Mukherjee y G. R. Fuerst [28] describen en 1984 un algoritmo de estimación
de taps que se lleva a cabo después de la SE y emplea las estimaciones para generar un conjunto de
estimaciones de taps, además de que describen la experiencia de campo que representa la
implementación de ese algoritmo en un sistema de despacho de carga de la UEP (Union Electric
Company).
En el año de 1985, R. A. Smith [29] presenta un algoritmo de estimación de taps de transformadores
basado en el artículo [27], discute la experiencia y los detalles computacionales que se observaron al
trasladarlo al programa de SE en tiempo real de la FPC (Florida Power Corporation). Se observó que
a pesar de que el algoritmo era útil en la comprobación del modelo de la red y de las mediciones, este
producía estimaciones de taps imprecisas.
V. H. Quintana y Th. V. Cutsem [30] proponen en 1987 un método general para la estimación de taps
de transformadores usando datos de mediciones. Se usa un estimador de estado y parámetros de tipo
secuencial y emplea los residuales de medición para calcular el error del parámetro que los afecta. El
algoritmo es de tipo secuencial ya que realiza la estimación de taps después de realizar una SE. El
desarrollo se basa en la teoría de estimación usando una relación lineal entre los residuales de
medición y el error de taps de transformadores.
Para 1992, W. H. E. Liu, F. F. Wu y S. M. Lun [31] desarrollan un algoritmo de estimación de errores
de parámetros de líneas que consta de 2 etapas. La primera etapa realiza varias simulaciones de SE
para obtener una secuencia de vectores de sesgo a partir de los residuales de medición. Esta secuencia
de vectores combina los efectos de los errores de parámetros y de estado del sistema. La segunda
etapa consiste en estimar los errores de parámetros a partir de esta secuencia mediante un método de
estimación recursiva. El algoritmo solo se aplica para la estimación de los errores en las susceptancias
serie de líneas.
El algoritmo presentado en ese mismo año por P. A. Teixeira, S. R. Brammer, W. L. Rutz, W. C.
Merritt y J. L. Salmonsen [32] es un estimador de estado y parámetros de tipo simultáneo. Convierte
los taps y los ángulos de desfasamiento de transformadores en variables de estado a estimar por lo
que puede ser aplicado a transformadores en fase y transformadores desfasadores. En este algoritmo
es necesario añadir nuevos elementos a la matriz Jacobiana, los cuales son las derivadas parciales de
las cantidades medidas con respecto a las nuevas variables de estado a estimar (taps y ángulos de
desfasamiento).
En 1995, W. H. E. Liu y S. W. Lim [9] desarrollan un algoritmo de identificación de líneas
sospechosas basado en sensibilidad y un algoritmo de PE de líneas que usa la formulación de Mínimos
Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés). El proceso de identificación](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-41-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
8
es totalmente separado del proceso de estimación. El algoritmo de PE es de tipo simultáneo ya que
extiende el vector de estado para incluir los parámetros de líneas como variables de estado a estimar.
Sin embargo, en vez de usar los parámetros de líneas como variables de estado, usa los cambios en
los flujos de las líneas debidos a estos errores de parámetros.
Ese mismo año, E. Handschin y E. Kliokys [33] presentan un método de estimación de seguimiento
de taps de transformadores que hace uso de la información del comportamiento dinámico de las
mediciones y de los taps estimados para así incrementar la confiabilidad de la detección e
identificación de datos erróneos y disminuir la sensibilidad de las estimaciones al ruido de medición.
Para esto, un pre filtrado de las mediciones para el procesamiento de datos erróneos y una PE de
modelo múltiple para el seguimiento de los taps son usados como herramientas adicionales junto con
un estimador simultáneo de estado y taps de transformadores.
El artículo presentado en 1996 por I. W. Slutsker y K. A. Clements [34] describe un algoritmo de PE
de impedancias de líneas de tipo recursivo. Este método usa un filtro de Kalman para obtener
estimaciones de parámetros de líneas refinándolos continuamente a través del uso de varias muestras
de mediciones. El método no supone la presencia de parámetros correctos por lo que estima los
parámetros de todas las líneas de la red eléctrica. Presenta la capacidad de dar resultados precisos con
la presencia de ruido en las mediciones, además de que detecta y rechaza mediciones con errores
sustanciales.
Un año más tarde, en 1997 P. J. Zarco Periñán [1] presenta un completo estudio de la influencia de
los errores de los parámetros de las líneas sobre la SE analizándose los aspectos más importantes,
para esto se utilizaron distintos niveles de redundancia y errores de medición. También desarrolla un
algoritmo de estimación de estado y parámetros simultáneo tomando en cuenta varios conjuntos de
mediciones con el objetivo de aumentar la redundancia alrededor de los parámetros erróneos. El autor
afirma que el algoritmo debe ser usado fuera de línea.
J. B. A. London, L. Mili y N. G. Bretas [35] presentan en 2004 un método de análisis de
observabilidad para la estimación simultánea de estado y parámetros de líneas de transmisión basado
en un estimador de WLS que procesa un conjunto de mediciones del SEP. El vector de estado es
aumentado para incluir los parámetros de las líneas y el vector de mediciones también es aumentado
para incluir las mediciones que casi no presentan cambios durante cierto periodo de tiempo. Los
parámetros que se contemplan son la admitancia serie y la susceptancia en derivación. El método de
análisis de observabilidad determina la porción del sistema cuyos estados y parámetros pueden ser
estimados a partir de las mediciones seleccionadas. Este método es basado en la factorización de la
matriz de Ganancia aumentada y usa trayectorias de factorización.
El mismo año, G. L. Kusic y D. L. Garrison [15] presentan un artículo donde se afirma que las bases
de datos de los parámetros de las empresas eléctricas presentan errores que pueden ser de hasta 25%
a 30% comparados con los valores reales. Muestran estudios de PE basado en el algoritmo presentado
en [31], incluyendo la estimación de la susceptancia en derivación de las líneas a partir de datos de
mediciones del sistema SCADA. A partir de un ejemplo económico, muestra el impacto que puede
tener los errores de parámetros de líneas en el despacho económico de un SEP manifestando la
importancia de tener valores de parámetros de líneas más cercanos a los reales.
Posteriormente en 2006, J. Zhu y A. Abur [13] describen un algoritmo para detectar, identificar y
corregir errores sustanciales en mediciones y errores de parámetros de red, incluso si aparecen
simultáneamente. La primera parte del método usa el proceso de solución de un estimador de estado
WLS para obtener los residuales de medición y después calcular los multiplicadores de Lagrange de
los errores de parámetros. El proceso de identificación prueba la significancia de los residuales y los](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-42-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
9
multiplicadores, es decir, prueba si se encuentran por encima de un límite especificado. Una vez
identificado los parámetros erróneos, se lleva a cabo un proceso de estimación de estado y parámetros
simultáneo. Los autores probaron el algoritmo simulando errores de parámetros en líneas de
transmisión, taps de transformadores, elementos en derivación y en las mediciones.
El artículo presentado en 2007 por M. Bockarjova y G. Andersson [16] describe la influencia de los
cambios del parámetro de resistencia en las líneas de transmisión debidos a las corrientes que
transporta y a las condiciones del medio ambiente sobre la SE. Proponen un algoritmo de SE para
tomar en cuenta el efecto del calentamiento del conductor con condiciones particulares del medio
ambiente y de la carga, el cual es desarrollado a través del uso de la ecuación de balance de calor de
la línea de transmisión.
Para 2008, C.S. Indulkar y K. Ramalingam [36] presentan un método para estimar los parámetros de
líneas de transmisión del modelo de línea larga a partir de mediciones simultáneas de voltaje, corriente
y potencia en las dos terminales de la línea. El método toma en cuenta la naturaleza distribuida de los
parámetros de líneas y determina los parámetros por unidad de longitud (resistencia/m, inductancia/m
y capacitancia/m).
A. Olarte y H. Díaz [14] proponen el mismo año un algoritmo para estimar los parámetros de líneas
de transmisión y transformadores. El algoritmo usa varios conjuntos de mediciones de magnitud de
voltaje y flujos de potencia en ambos extremos del elemento para crear un sistema ficticio compuesto
de varias copias idénticas del elemento estudiado y así realizar el proceso de estimación de estado y
parámetros simultáneamente para cada muestra de medición.
Ese mismo año, M. B. Do C. Filho, J. C. S. de Sousa y E. B. M. Meza [12] presentan una metodología
para validar parámetros de líneas de transmisión empleando las mediciones procesadas por un
estimador de estado ejecutándose fuera de línea. Los métodos presentados usan los conceptos de
líneas irrelevantes y líneas apenas relevantes para eliminar o bien mitigar temporalmente la
participación de los parámetros sospechosos en el proceso de SE. El proceso de PE se realiza sin
aumentar el vector de estado y por lo tanto complementa la función de SE.
Y. Liao [37] desarrolla en 2009 un método para la PE de líneas de transmisión compensadas en serie
usando fasores de voltaje y corriente en los dos extremos de la línea obtenidos de las unidades de
medición fasorial en distintos instantes de tiempo. Así también, propone un método para la PE de
líneas en paralelo no compensadas utilizando datos de un extremo de la línea para casos especiales.
Los algoritmos son desarrollados en base al modelo de línea con parámetros distribuidos y así
considerar los efectos de la capacitancia en derivación y los efectos de parámetros distribuidos de
líneas largas.
El mismo año, C. E. Borda Zapata [38] desarrolla varios algoritmos de PE de líneas de transmisión y
transformadores usando diferentes conjuntos de mediciones fasoriales sincronizadas para aumentar
la redundancia del proceso de estimación. Entre los algoritmos propuestos se incluye el usado para
estimar los parámetros de líneas de transmisión con el modelo 𝜋 nominal y el modelo de parámetros
distribuidos de líneas de transmisión largas, así como también se incluye el usado para estimar los
parámetros del transformador con el modelo con tap real y el modelo con tap complejo para incluir
el efecto del desfase en un transformador.
Continuando en el mismo año, M. R. M. Castillo, J. B. A. London y N. G. Bretas [19] proponen un
algoritmo para la detección, identificación y corrección de errores de parámetros de líneas con un
enfoque fuera de línea. Se usa un estimador de estado y parámetros de tipo múltiple secuencial usando
varios conjuntos de mediciones para estimar los parámetros serie de líneas sospechosas. El algoritmo](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-43-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
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toma ventaja del hecho de que estos parámetros pueden ser considerados invariantes en el tiempo
para el periodo de tiempo que contemplan los conjuntos de mediciones. Un análisis de los residuales
de medición obtenidos de un estimador WLS es usado para el proceso de detección e identificación
de errores de parámetros. Como el algoritmo debe ser usado fuera de línea, se suponen que se pueden
seleccionar conjuntos de mediciones sin errores sustanciales y sin errores de topología.
Para 2010, J. Zhu, F. Liu y S. Mei [39] describen un algoritmo de identificación y estimación de
parámetros de líneas de transmisión. El proceso de identificación se basa en un método de
clasificación y evaluación exhaustiva tomando en cuenta las características principales de los errores
de parámetros y errores sustanciales. El proceso de PE se basa en los residuales de medición y evita
el problema de la inestabilidad numérica.
Ese mismo año, Y. Zhang y M. Larsson [40] detallan la aplicación de los filtros de Kalman en la PE
de las líneas de transmisión. Los parámetros que se estiman son la impedancia serie y la admitancia
en derivación. A través de un esquema simple de reajuste de la matriz de covarianza de parámetros,
demuestra cómo se mejora el desempeño de la estimación durante el periodo de cambios repentinos
de parámetros. Por lo tanto el método propuesto permite al estimador de parámetros dar seguimiento
a la variación de los parámetros de líneas de transmisión.
En 2011, M. R. M. Castillo, J. B. A. London, N. G. Bretas, S. Lefebvre, J. Prévost y B. Lambert [20]
proponen un algoritmo fuera de línea para la detección, identificación y corrección de errores de
parámetros de líneas de transmisión. Se usa un estimador de estado y parámetros de tipo múltiple
secuencial usando varios conjuntos de mediciones para estimar los parámetros de admitancia serie y
admitancia en derivación de líneas sospechosas. El algoritmo es una extensión del propuesto en [19].
Como el algoritmo debe ser usado fuera de línea, se suponen que se pueden seleccionar conjuntos de
mediciones sin errores sustanciales y sin errores de topología.
Continuando el mismo año, L. Zhang y A. Abur [41] desarrollan un algoritmo de detección e
identificación de errores de parámetros de líneas de transmisión a partir de los resultados de un
estimador de estado WLS y el cálculo de multiplicadores de Lagrange. El algoritmo es una extensión
del publicado en [13] pero tomando en cuenta varios conjuntos de mediciones. Presenta las ventajas
de que mejora la redundancia y permite la observabilidad de ciertos errores de parámetros que no
eran detectables e identificables.
En el año 2012, C. Rakpenthai, S. Uatrongjit y S. Premrudeepreechacharn [42] describen un método
de SE para determinar los límites de las variables de estado de un SEP cuyos parámetros de líneas de
transmisión se encuentran dentro de ciertos límites. El método usa datos de mediciones obtenidos de
unidades de medición fasorial y supone que el sistema es completamente observable. El proceso de
SE es formulado como un sistema lineal de ecuaciones de intervalos paramétricos obteniendo los
resultados en intervalos de los límites externos de las variables de estado. El método toma en cuenta
que aunque los parámetros de líneas de transmisión no se conocen con exactitud, se pueden
especificar los límites inferiores y superiores en los que se encuentran.
J. Chen y. Liao [43] presentan ese mismo año un método de SE basado en la formulación de mínimos
cuadrados ponderados extendidos para tomar en cuenta los errores de mediciones y los errores de
parámetros de red. El trabajo muestra que la formulación extendida obtiene mejores resultados en
comparación con la formulación convencional cuando el modelo de la red no es exacto.
Continuando el mismo año, J. Zhu, F. Liu, S. Mei y G. He [44] proponen un marco de evaluación
para la PE de líneas de transmisión y así mejorar la precisión de la estimación. El proceso consta de
3 pasos. El primer paso evalúa los resultados del estimador de parámetros calculando sus intervalos](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-44-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
11
de confianza, aun cuando los valores verdaderos son desconocidos. El segundo paso evalúa la
precisión de la estimación a través del cálculo de indicadores de precisión para proporcionar
información cuantitativa acerca de la validez de la estimación. El tercer paso evalúa la dominancia
de parámetros para encontrar los parámetros clave y ayudar a obtener una redundancia de medición
adecuada para la PE.
Ese mismo año, G. D’ Antona y M. Davoudi [45] desarrollan un algoritmo para analizar los efectos
de la incertidumbre de mediciones y de los parámetros sobre la SE que emplea la formulación de
WLS usando un procedimiento de Monte Carlo. En el trabajo se ve que la incertidumbre de
parámetros tiene la mayor contribución en la desviación estándar de los errores del estimador de
WLS. Además de que llega a la conclusión de que el estimador de estado es más sesgado cuando
existe correlación entre los parámetros de la red. Al finalizar ese año, M. R. M. Castillo, J. B. A.
London y N. G. Bretas [10] describen un algoritmo para la detección, identificación y corrección de
errores de parámetros de líneas de transmisión que funciona incluso cuando se presentan errores
sustanciales en las mediciones relacionadas con las líneas que presentan errores de parámetros. El
algoritmo es planteado fuera de línea usando varios conjuntos de mediciones y es una extensión del
propuesto en [20].
En 2013, K. R. Davis, S. Dutta, T. J. Overbye y J. Gronquist [46] proponen una metodología para
estimar los parámetros de líneas de transmisión utilizando datos históricos a través del tiempo. Los
parámetros de admitancia serie y admitancia en derivación del modelo de línea de longitud mediana
son estimados a partir de mediciones múltiples de potencia compleja y magnitud de voltaje en ambos
extremos de la línea.
Y. Guo, B. Zhang, W. Wu y H. Sun [47] presentan ese mismo año algunos índices para la evaluación
de la precisión de la SE. Esto se desarrolló ya que los estados reales de sistemas de potencia prácticos
son desconocidos y la precisión del estimador solo puede ser medido a partir de los residuales de
medición.
Para 2014, S. Uatrongjit [48] desarrolla un algoritmo de SE robusto en el que los parámetros de líneas
de transmisión son desconocidos pero se encuentran dentro de límites. El algoritmo usa mediciones
de magnitudes de voltaje, flujos de potencia e inyecciones de potencia y expresa las variables de
estado en forma rectangular. El método usa la técnica de iteración de punto fijo para transformar la
SE robusta en un problema de optimización convexa que es resuelta con programación semidefinida.
El mismo año, M. A. Jirdehi y M. T. Hagh [49] proponen un método para identificar y estimar errores
de parámetros de líneas de transmisión (admitancia serie y admitancia en derivación). El método se
compone de 3 etapas. La primera etapa obtiene la solución modificada de la SE de WLS y los
multiplicadores de Lagrange normalizados de los errores de parámetros. En la etapa 2 los errores de
parámetros de líneas son detectados e identificados basados en los resultados de la etapa 1. Por último,
en la etapa 3 se realiza la PE de líneas con parámetros erróneos a través de un enfoque de
aproximación lineal para eliminar la necesidad de aumentar el vector de estado.
Finalmente en 2015, N. G. Bretas y A. C. P. Martins [50] describen una metodología para detectar,
identificar y corregir errores de parámetros de líneas de transmisión usando un enfoque geométrico.
El método identifica primero si existen errores sustanciales en las mediciones y los estima a partir de
los residuales de medición y un índice de innovación propuesto. El proceso de identificación de
errores de parámetros se lleva a cabo verificando si los errores de medición compuestos de una línea
se encuentran por arriba de un límite especificado para después llevar a cabo el proceso de corrección.
El método usa un conjunto de mediciones y se analizan dos tipos de errores: errores de parámetros
muy grandes y el cortocircuito de una línea.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-45-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
12
1.6.2 Trabajos Desarrollados en la S.E.P.I-E.S.I.M.E.
En 1993, J. Robles García [51] presenta algoritmos robustos de SE desarrollando los métodos de la
mediana cuadrada mínima, mediana cuadrada mínima podada y el punto de inutilización alto aplicado
a sistemas de potencia. Con estos métodos fue capaz de procesar hasta un 50% de errores sustanciales
en el conjunto de mediciones y obtener buenas estimaciones. La principal ventaja de este método es
que no se requiere de una fase previa de detección e identificación de datos erróneos.
En 1996, J. Robles García [52] desarrolla técnicas avanzadas para la SE robusta desarrollando los
métodos de la norma y la norma podada, los cuales se basan en el método de la mediana cuadrada
mínima y el método de la mediana cuadrada mínima podada, respectivamente. Con el desarrollo de
estos métodos se logró procesar hasta un 50% de errores sustanciales en el conjunto de mediciones.
Para 2009, H. Y. Michel Hernández [53] presenta un algoritmo de SE de Mínimos Cuadrados
Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés) usando el método de Newton y así obtener
las variables de estado del SEP. El estimador usa un conjunto de mediciones y toma en cuenta
mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia e inyecciones de potencia.
Posteriormente en 2011, F. Trejo Nixcomel [54] desarrolla un método de SE para sistemas de
distribución radial usando la formulación de WLS e incluyendo la implementación de la técnica de
barrido progresivo-regresivo.
En 2012, D. F. Ávila Álvarez [55] presenta un algoritmo de SE de WLS que usa el método de Newton.
En esta tesis se analiza la robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones y la matriz de
Ganancia usando el método de Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value
Decomposition” en inglés). El algoritmo usa un conjunto de mediciones y considera mediciones de
magnitudes de voltaje, flujos de potencia e inyecciones de potencia. El mismo año, J. U. S. Romero
[56] presenta un algoritmo de SE para alimentadores de distribución en media tensión usando la
formulación de WLS.
Para 2014, D. M. González González [57] desarrolla un algoritmo de SE de WLS que usa el método
de Newton tomando en cuenta la correlación entre mediciones, es decir, la covarianza entre
mediciones. Se compara el estimador convencional y el estimador con covarianza. El algoritmo usa
un conjunto de mediciones y contempla mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia,
inyecciones de potencia, corrientes y mediciones fasoriales.
Finalmente en 2016, J. Aceves Orihuela [58] presenta un algoritmo de SE en redes radiales de
distribución de energía eléctrica usando la formulación de WLS y la técnica de barrido progresivo-
regresivo.
No hay un trabajo realizado en la S.E.P.I.-E.S.I.M.E. con respecto a la PE de líneas de transmisión,
por lo que la presente tesis se enfoca en desarrollar un algoritmo de PE de líneas de transmisión de
tipo simultáneo que usa un conjunto de mediciones del SEP. Los parámetros a estimar son la
conductancia serie, la susceptancia serie y la susceptancia en derivación (sobre dos), para esto el
modelo 𝜋 nominal de líneas de longitud corta y mediana es empleado. Se analiza la robustez numérica
que tienen algunas matrices dentro de la formulación de la estimación de parámetros. Además de que
se calculan los intervalos de confianza de los parámetros estimados para evaluar los resultados del
estimador de parámetros y se calcula un indicador que proporciona información cuantitativa de la
precisión de la PE.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-46-320.jpg)
![CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
14
estructuras de las matrices del proceso de estimación y algunas de sus características. Después se
estudian algunos temas relacionados con la detección e identificación de datos erróneos en el conjunto
de mediciones y se presentan algunos métodos que usan los resultados de la SE. Por último se describe
brevemente el concepto de observabilidad de un SEP.
CAPÍTULO 3 Este capítulo describe el estudio de PE de líneas de transmisión en SEP. Se presentan
las posibles causas y consecuencias de los errores de parámetros en el estudio de SE, se estudia el
proceso de identificación de parámetros sospechosos usando los residuales normalizados presentados
en el CAPÍTULO 2. Se muestran algunas clasificaciones de los métodos de la PE y luego se detalla
el método usado en esta tesis. Se desarrolla la formulación matemática del estimador de parámetros
para luego mostrar las estructuras de las matrices involucradas en este proceso. Después se presenta
un método para el análisis de la robustez numérica a partir del método de la Descomposición de
Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés). Finalmente se presentan
algunos cálculos para los parámetros estimados como los intervalos de confianza y los indicadores
de precisión de los parámetros estimados.
CAPÍTULO 4 En este capítulo se muestran las simulaciones realizadas en el sistema IEEE de 14
nodos y el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos con los algoritmos desarrollados en el CAPÍTULO
2 y el CAPÍTULO 3 de esta tesis.
CAPÍTULO 5 En este capítulo se presentan las conclusiones y aportaciones derivadas de esta tesis,
así como las recomendaciones para futuros trabajos de investigación.
APÉNDICE A En este apéndice se describen algunos conceptos básicos relacionados con la teoría
de variable aleatoria la cual fue aplicada en el desarrollo de esta tesis.
APÉNDICE B En este apéndice se presentan los conceptos de normas vectoriales y normas
matriciales las cuales fueron empleadas en el desarrollo de esta tesis.
APÉNDICE C En este apéndice se presentan los datos para el estudio de flujos de potencia del
sistema IEEE de 14 nodos [59] y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60] utilizados en el
CAPÍTULO 4.
APÉNDICE D En este apéndice se presenta la ejecución del programa de estimación de estado
convencional, además de que se incluyen los códigos de programación que se emplearon para las
simulaciones en los sistemas de prueba. Los códigos de programación se desarrollaron en lenguaje
FORTRAN 90.
APÉNDICE E En este apéndice se presenta la ejecución del programa de estimación de parámetros
de líneas de transmisión por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales, además de
que se incluyen los códigos de programación que fueron usados para las simulaciones de los sistemas
de prueba. Los códigos de programación se desarrollaron en lenguaje FORTRAN 90.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-48-320.jpg)
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15
CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
2.1 Introducción
El alma vital de un centro de control es una base de datos limpia describiendo el estado del sistema.
Esta es obtenida a partir de la recopilación de las mediciones de la red eléctrica. El estimador de
estado, según [61], es el sistema digestivo que remueve las impurezas de las mediciones y las
convierte en una forma tal que el cerebro (hombre o computadora) del centro de control pueda usarlos
para tomar decisiones relacionadas con la seguridad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). La
Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) se refiere al proceso de limpiar los datos
de mediciones (tratando con errores aleatorios en los dispositivos de medición, errores sustanciales,
errores de topología y errores de parámetros) adquiridos en una computadora y basados en un modelo
matemático, para así estimar cantidades y variables que pueden no ser directamente medidas. Los
resultados del estimador son la mejor estimación posible del estado verdadero del sistema a partir de
la información disponible [21]. La SE desarrollada en esta tesis es aplicable con el sistema operando
en estado estable y por lo tanto es necesario primero describir el modelo matemático de la red eléctrica
para luego desarrollar su algoritmo. En este capítulo se hace una descripción del modelado de los
elementos en un SEP, se desarrolla la teoría de la SE, su formulación matemática, las estructuras de
las matrices involucradas en el proceso de estimación y el algoritmo necesario para su programación.
Por último se tratan con los temas de detección e identificación de datos erróneos, así como el
concepto de observabilidad de un sistema.
2.2 Modelado de Elementos del Sistema de Potencia
Debido a las hipótesis que toma en cuenta la SE, entonces los datos y variables de la red son
expresados en por unidad (pu) ya que el modelo de secuencia positiva del SEP es usado en la
formulación del problema [8]. La solución obtenida corresponderá a la componente de secuencia
positiva del estado del sistema durante la operación de estado estable. Los modelos que se describen
a continuación serán usados para la representación de la red eléctrica en el estudio de SE.
2.2.1 Modelo de Líneas de Transmisión
Como las líneas de transmisión son normalmente operadas con carga trifásica balanceada, entonces
el análisis se puede llevar a cabo en un modelo por fase [62]. La forma en que las líneas son
representadas depende de su longitud y de la precisión requerida [63]. Existen 3 tipos de líneas de
acuerdo con su longitud [62, 63, 64, 65, 66]: líneas de longitud corta, mediana y larga. En esta sección
solo se describirán los modelos de parámetros concentrados para las líneas cortas y medianas ya que
el modelo de línea larga requiere de un modelo de parámetros distribuidos que toma en cuenta que
los parámetros se distribuyen uniformemente a lo largo de su longitud.
Las líneas aéreas de longitud corta tienen menos de 80 km (50 millas) de longitud, de acuerdo con
[64]. En la Figura 2-1 se muestra el modelo de una línea de longitud corta donde se puede verificar
que solamente la resistencia y reactancia serie son incluidas y la admitancia en derivación es
despreciada ya que la capacitancia en derivación es tan pequeña que puede despreciarse [65].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-49-320.jpg)
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16
Vp Vq
zpq
I pq Iqp
p q
( ) ( )
( ) ( )
Figura 2-1 Modelo de una línea de longitud corta.
De donde:
𝑧 𝑝𝑞 = 𝑟𝑝𝑞 + 𝑥 𝑝𝑞 es la impedancia serie total por fase de la línea en pu.
𝑉𝑝, 𝑉𝑞 son los voltajes complejos en el nodo de envío y el nodo de recepción
respectivamente.
𝐼 𝑝𝑞, 𝐼 𝑞𝑝 son las corrientes complejas del nodo de envío al nodo de recepción y del nodo de
recepción al nodo de envío respectivamente.
A medida que la longitud de la línea se incrementa, la corriente debida al efecto capacitivo de la línea
se vuelve considerable y la capacitancia en derivación debe ser tomada en cuenta [66]. Las líneas de
longitud mediana están entre 80 km (50 millas) y 240 km (150 millas), conforme con [64]. En la
Figura 2-2 se muestra el modelo 𝜋 nominal para la línea de longitud mediana.
Vp Vq
zpq
I pq Iqp
p q
( ) ( )
( ) ( )
shypq
shyqp
Figura 2-2 Modelo 𝜋 nominal de una línea de longitud mediana.
De donde:
𝑧 𝑝𝑞 = 𝑟𝑝𝑞 + 𝑥 𝑝𝑞 es la impedancia serie total por fase de la línea en pu.
𝑦𝑝𝑞
𝑠ℎ
= 𝑦𝑞𝑝
𝑠ℎ
= 𝑔 𝑝𝑞
𝑠ℎ
+ 𝑏 𝑝𝑞
𝑠ℎ
es la admitancia en derivación total por fase al neutro de la línea
(sobre dos) en pu.
𝑉𝑝, 𝑉𝑞 son los voltajes complejos en el nodo de envío y el nodo de recepción
respectivamente.
𝐼 𝑝𝑞, 𝐼 𝑞𝑝 son las corrientes complejas del nodo de envío al nodo de recepción y del nodo de
recepción al nodo de envío respectivamente.
Según [64], en los modelos anteriores la conductancia en derivación 𝑔 𝑝𝑞
𝑠ℎ
generalmente se desprecia
por lo que este parámetro no se tomara en cuenta en el desarrollo del algoritmo de SE.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-50-320.jpg)
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17
2.2.2 Modelo de Transformadores
La Figura 2-3 muestra el modelo del transformador en fase formado por un transformador ideal en el
lado primario con una relación de transformación 𝑎 𝑝𝑞 y una impedancia serie 𝑧 𝑝𝑞 que representa las
pérdidas resistivas y la reactancia de dispersión [5].
j p
V ep
j q
V eq
zpq
I pq Iqp
j sV es
1: apq
p q
s
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Figura 2-3 Modelo del transformador en fase con relación de vueltas 𝑎pq.
En este modelo la relación de los voltajes complejos entre los nodos 𝑝 y 𝑠 es:
s
p
j
ss
pqj
p p
V eV
a
V V e
(2-1)
En el transformador ideal de la Figura 2-3 no hay pérdidas de potencia (activa o reactiva), lo que
produce la ecuación (2-2).
* *
0p pq s qpV I V I (2-2)
Aplicando la ecuación (2-1) en la ecuación (2-2) se obtiene la ecuación (2-3).
* *
p pq s qpV I V I
*
*
pq s
pq
qp p
I V
a
I V
pqpq
pq
qp qp
II
a
I I
(2-3)
Es decir, las corrientes complejas están desfasadas 180° entre sí. La Figura 2-4 muestra el modelo
equivalente π para el transformador en fase de la Figura 2-3.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-51-320.jpg)
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18
pV qV
A
pqI qpI
B C
p q
( )
( )
( )
( )
Figura 2-4 Modelo equivalente 𝜋 de un transformador en fase.
De la Figura 2-3 y aplicando la ecuación (2-3) se obtienen las expresiones (2-4) y (2-5).
2
( ) ( ) ( )pq pq qp pq pq q s pq pq p pq pq qI a I a y V V a y V a y V (2-4)
( ) ( ) ( )qp pq q s pq pq p pq qI y V V a y V y V (2-5)
Aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) en el nodo 𝑝 y 𝑞 de la Figura 2-4 se obtienen las
ecuaciones (2-6) y (2-7).
( ) ( )pq p qI A B V A V (2-6)
( ) ( )qp p qI A V A C V (2-7)
Al comparar las ecuaciones (2-4)-(2-5) con (2-6)-(2-7) se obtienen los parámetros del modelo
equivalente 𝜋 de un transformador en fase.
pq pqA a y (2-8)
( 1)pq pq pqB a a y (2-9)
(1 )pq pqC a y (2-10)
2.2.3 Modelo de Rama Unificado
A continuación se desarrollan las expresiones de corrientes complejas generales que pueden ser
aplicadas a líneas y transformadores sin importar en qué lado el tap es ubicado, o incluso en los casos
en que los taps sean ubicados en ambos lados del transformador. En la Figura 2-5 se muestra el modelo
simétrico del transformador que contempla los taps en ambos lados [5].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-52-320.jpg)
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20
2 2
( ) sh
pq pq p pq qp q pq pq pq pI a V a a V y y a V (2-13)
2 2
( ) sh
qp qp q qp pq p pq pq qp qI a V a a V y y a V (2-14)
2.2.4 Modelo de Capacitores y Reactores en Derivación
Los capacitores y reactores en derivación son modelados por la susceptancia por fase en pu en los
nodos a los que están conectados [6]. El signo de la susceptancia dependerá del tipo de elemento. Si
es un capacitor en derivación entonces será de signo positivo y si es un reactor en derivación entonces
será de signo negativo.
2.2.5 Modelo de Generadores y Cargas
Para el estudio de SE, las cargas y los generadores serán modelados como inyecciones de potencia
compleja [6]. En lo que respecta a las potencias, se considerará que las potencias complejas entrando
a un nodo son inyecciones positivas y las potencias complejas saliendo de un nodo son inyecciones
negativas. El mismo criterio aplica para las inyecciones de corrientes complejas.
2.3 Modelo de Red
La Figura 2-7 muestra como la inyección de corriente compleja neta en un nodo de la red eléctrica
está relacionada con los flujos de corriente en los elementos incidentes a ese nodo [5].
I pq
p
I p
shyp
shI p
Figura 2-7 Nodo genérico en donde se aplica una inyección de corriente.
Aplicando la LCK al nodo genérico de la Figura 2-7 se obtiene la ecuación (2-15).
, 1, ,
p
sh
p p pq
q
I I I p N
(2-15)
En la ecuación (2-15), 𝑝 es el nodo al que se aplica la LCK, 𝑞 es un nodo adyacente al nodo 𝑝, Ω 𝑝 es
el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝 (excluyendo al nodo 𝑝) y 𝑁 es el número de nodos del
SEP. Al comparar las ecuaciones (2-13) y (2-15) se obtiene la expresión de inyección de corriente
compleja neta en el nodo 𝑝, siendo 𝑞 = 1, … , 𝑁.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-54-320.jpg)
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21
2
( )
p p
sh sh
p p pq pq pq p pq qp pq q
q q
I y a y y V a a y V
(2-16)
Según [6], la expresión (2-16) presenta la forma matricial dada por la ecuación (2-17).
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
N
N
N N N NN N
I Y Y Y V
I Y Y Y V
I YV
I Y Y Y V
(2-17)
De donde:
𝐼 es el vector de inyecciones de corrientes complejas con los siguientes elementos 𝐼 𝑝 =
|𝐼 𝑝|𝑒 𝑗𝜃 𝑝 , (𝑝 = 1, … , 𝑁).
V es el vector de voltajes nodales complejos con los siguientes elementos 𝑉𝑝 =
|𝑉𝑝|𝑒 𝑗𝜃 𝑝, (𝑝 = 1, … , 𝑁).
𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵 es la matriz de admitancia nodal, la cual tiene los siguientes elementos.
pq pq qp pqY a a y (2-18)
2
( )
p
sh sh
pp p pq pq pq
q
Y y a y y
(2-19)
Los elementos 𝑌𝑝𝑝 son llamados las admitancias propias o admitancias de punto de operación de los
nodos y los elementos 𝑌𝑝𝑞 son las admitancias mutuas o admitancias de transferencia de los nodos
[62, 64, 65, 66]. La matriz de admitancia nodal es una matriz compleja [6], es estructuralmente
simétrica, excepto cuando hay transformadores desfasadores en la red eléctrica [62] y es dispersa ya
que muchos de sus elementos son cero debido a que en un SEP típico no todos los nodos están
conectados entre sí [66].
2.4 Formulación Matemática
De acuerdo con [5, 6, 7, 8], el vector de mediciones puede ser expresado en función de los estados
del sistema a través de un modelo de medición no lineal dado por la ecuación (2-20). Se recomienda
ver el APÉNDICE A para estudiar el concepto de variable aleatoria.
1 1 1 2 1
2 2 1 2 2
1 2
( , , , )
( , , , )
( )
( , , , )
n
n
m m n m
z h x x x e
z h x x x e
z h x e
z h x x x e
(2-20)
De donde:
𝑧 es el vector de mediciones disponibles de dimensión 𝑚 × 1.
𝑥 es el vector de estado verdadero del sistema de dimensión 𝑛 × 1.
ℎ(. ) es una función vectorial no lineal relacionando las mediciones disponibles con las
variables de estado del sistema. Tiene dimensión 𝑚 × 1.
𝑒 es un vector de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 1.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-55-320.jpg)
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22
𝑚 es el número de mediciones disponibles.
𝑛 es el número de variables de estado del SEP.
En la ecuación (2-20), 𝑥 es el valor verdadero del estado desconocido del SEP y además como los
elementos de 𝑒 son variables aleatorias, los elementos de 𝑧 también lo son. Ahora bien, las hipótesis
con las que se realiza la SE son [7, 8]:
Las condiciones de operación son balanceadas.
El sistema trifásico se puede modelar por su circuito equivalente monofásico.
Las mediciones se recolectan en el mismo instante de tiempo.
Los errores de los dispositivos de medición presentan las siguientes características:
- Presentan una función de distribución gaussiana (normal).
- Presentan valor esperado igual a 0.
( ) 0iE e (2-21)
- Son variables aleatorias independientes, por lo que su matriz de covarianza es una matriz
diagonal.
( ) 0i jE e e (2-22)
2
1
2
2
2
0 0
0 0
( )
0 0
T
m
R E ee
(2-23)
Los parámetros de la red son conocidos e invariantes en el tiempo.
Los estados de todos los interruptores obtenidos a partir del sistema de Supervisión, Control
y Adquisición de Datos o SCADA (“Supervisory Control and Data Adquisition” en inglés)
son correctos, por lo que también la topología es correcta.
La formulación del problema de SE se basa en la Estimación de Máxima Verosimilitud o MLE
(“Maximum Likelihood Estimation” en inglés), que es un método muy usado en estadística. La
derivación, que se desarrollará de este método, está basado en las tres suposiciones que se
mencionaron anteriormente con respecto a los errores de los dispositivos de medición. La primera
consideración es que los errores de los dispositivos de medición son distribuidos acorde a una Función
de Distribución de Probabilidad Acumulada o CPDF (“Cumulative Probability Distribution
Function” en inglés) gaussiana. Un elemento del vector 𝑧 se dice que tiene una distribución gaussiana
si su Función de Densidad de Probabilidad o PDF (“Probability Density Function” en inglés) se
representa por la ecuación (2-24), según [6].
21( )/
21
( )
2
i
i
i i iz
f z e
(2-24)
De donde:
𝑧𝑖 es el i-ésimo elemento del vector de mediciones.
𝜇𝑖 es el valor esperado del i-ésimo elemento del vector de mediciones.
𝜎𝑖 es la desviación estándar del i-ésimo elemento del vector de mediciones.
La segunda consideración toma en cuenta que los errores de medición tienen una esperanza
matemática igual a 0, por lo que se puede concluir que la esperanza matemática de los elementos del
vector 𝑧 viene dada por la ecuación (2-25), según [8].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-56-320.jpg)
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23
( ) ( )i i iE z h x (2-25)
La tercera consideración implica que la función de densidad de probabilidad conjunta del vector 𝑧 se
puede obtener multiplicando las funciones de densidad individuales de cada elemento de ese vector
ya que considera que las variables aleatorias en cuestión son independientes [7].
1 2( ) ( ) ( ) ( )mf z f z f z f z
1/2 1 ( ) ( )
2( )
2
m
T
z h x W z h xW
f z e
(2-26)
De donde:
𝑓(𝑧) es conocida como la función de densidad de probabilidad.
𝑊 = 𝑅−1
es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición de dimensión
𝑚 × 𝑚.
El objetivo de la MLE es maximizar la función de densidad de probabilidad a partir de un conjunto
de observaciones 𝑧, esto es ya que si se han observado dichas mediciones es porque el estado que da
lugar a ellas es, en sentido estadístico el más probable [7]. El conjunto 𝑥 que maximiza la función de
probabilidad de la ecuación (2-26) es el estimado de máxima verosimilitud 𝑥̂.
Se puede usar la función de densidad de probabilidad logarítmica en lugar de la función de densidad
de probabilidad de la ecuación (2-26) para simplificar los cálculos. La función de probabilidad
logarítmica es expresada según [6] por la ecuación (2-27).
2
1 1 1
1
log ( ) log ( ) log 2 log
2 2
m m m
i i
i i
i i ii
z m
f z f z
(2-27)
De acuerdo con [8], maximizar ℒ y 𝑓(𝑧) producirá la misma solución debido a la naturaleza
monotónicamente creciente de la función logaritmo, por lo tanto la MLE maximiza la función de
densidad de probabilidad o la función de densidad de probabilidad logarítmica a partir de un conjunto
dado de observaciones 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑚 . Entonces la estimación puede ser obtenida resolviendo
cualquiera de los siguientes planteamientos, según [6, 7, 8].
2
1
maximizar log ( )
minimizar
m
i i
i i
f z
ó
z
(2-28)
El problema de minimización puede reescribirse en términos de los residuales de medición [6], los
cuales se pueden calcular por la ecuación (2-29).
( ) ( )i i i i i i ir z z E z z h x (2-29)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-57-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
24
El recíproco de las varianzas de medición son los pesos asignados a cada medición. Para las
mediciones más precisas se les asignan pesos altos con pequeñas varianzas y para las mediciones
menos precisas se les asignan pesos bajos con altas varianzas [8]. Los pesos serán definidos por la
ecuación (2-30).
2
ii iW
(2-30)
El problema de minimización de la ecuación (2-28) puede ser reescrita como el siguiente problema
de optimización, según [6, 8].
2
1
minimizar
sujeto a ( ) , 1, ,
m
ii i
i
i i i
W r
z h x r i m
(2-31)
La solución del problema de optimización dado por la ecuación (2-31) es llamado el estimador de
Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés) para el vector de
estado 𝑥. El estimador de WLS minimizará la siguiente función objetivo [6, 7, 8].
2
2
2
1 1
( )
( ) ( )
m m
i i
ii i i
i ii
z h x
J x W z h x
( ) ( ) ( )
T
J x z h x W z h x (2-32)
Donde 𝑊 = 𝑅−1
.
La solución del estimador de WLS debe satisfacer la siguiente condición de optimización de primer
orden [5, 6, 7, 8], ya que es la condición necesaria para que 𝑥 minimice a 𝐽(𝑥).
( )
0 ( ) ( ) ( ) 0TJ x
g x H x W z h x
x
(2-33)
Donde 𝐻(𝑥) =
𝜕ℎ(𝑥)
𝜕𝑥
.
Expandiendo la función vectorial no lineal ℎ(𝑥 𝑘+1
) en series de Taylor alrededor del vector de estado
𝑥 𝑘
y despreciando los términos de orden igual o mayor a dos se obtiene la ecuación (2-34), según [6].
1 1
( ) ( ) ( )k k k k k
h x h x H x x x
(2-34)
Aplicando la expansión de Taylor dada por la ecuación (2-34) en la ecuación (2-33) se obtiene el
esquema de solución iterativa conocido como el método de Gauss-Newton [5, 6].
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0k T k k k k k
g x H x W z h x H x x x
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0T k k T k k k k
H x W z h x H x WH x x x
1
( ) ( ) ( ) ( )T k k k k T k k
H x WH x x x H x W z h x
1
( ) ( ) ( )k k T k k
G x x H x W z h x
(2-35)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-58-320.jpg)
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25
De donde:
𝐺(𝑥 𝑘
) = 𝐻 𝑇
(𝑥 𝑘
)𝑊𝐻(𝑥 𝑘
) es la matriz de Ganancia en la k-ésima iteración de dimensión
𝑛 × 𝑛.
∆𝑥 𝑘+1
= 𝑥 𝑘+1
− 𝑥 𝑘
es el vector de incrementos de los estados en la k-ésima iteración de
dimensión 𝑛 × 1.
𝐻 𝑇
(𝑥 𝑘
) es la transpuesta de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración de
dimensión 𝑛 × 𝑚.
𝐻(𝑥 𝑘
) es la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × 𝑛.
𝑊 es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 𝑚.
𝑧 es el vector de mediciones de dimensión 𝑚 × 1.
ℎ(𝑥 𝑘
) es la función de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × 1.
Conforme con [6], la ecuación (2-35) es conocido como las ecuaciones normales. El conjunto de
ecuaciones normales se resuelve en cada iteración hasta que el máximo valor absoluto del vector de
incrementos se encuentre por debajo de una tolerancia especificada 𝜀.
2.5 Algoritmo de Estimación de Estado
El algoritmo del proceso de solución iterativo del estimador de estado usando la formulación de
WLS se describe a continuación.
1. Establecer el contador de iteraciones en 𝑘 = 1.
2. Inicializar el vector de estado 𝑥 𝑘
con perfil plano de voltajes.
3. Calcular la función de mediciones ℎ(𝑥 𝑘
) y el vector de los residuales 𝛥𝑧 𝑘
= 𝑧 − ℎ(𝑥 𝑘
).
4. Calcular la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥 𝑘
) y su transpuesta 𝐻 𝑇
(𝑥 𝑘
).
5. Calcular el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales 𝐻 𝑇
(𝑥 𝑘
)𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑘
)).
6. Calcular la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥 𝑘
).
7. Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos de los estados
𝛥𝑥 𝑘+1
.
8. Realizar la prueba de convergencia, 𝑚𝑎𝑥|𝛥𝑥 𝑘+1
| ≤ 𝜀?
9. Si no se cumple, actualizar el vector de estado 𝑥 𝑘+1
= 𝑥 𝑘
+ 𝛥𝑥 𝑘+1
, hacer 𝑘 = 𝑘 + 1 y
regresar al paso 3. Si se cumple, actualizar el vector de estado 𝑥 𝑘+1
= 𝑥 𝑘
+ 𝛥𝑥 𝑘+1
y salir
del proceso iterativo.
En la Figura 2-8 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo de SE. El
código del programa principal de estimación de estado convencional se incluye en la sección D.3 del
APÉNDICE D como PROGRAM ESTIMATOR_CA. Asimismo, en el APÉNDICE D se presentan
los módulos (sección D.4) y las subrutinas (sección D.5) necesarias para la ejecución del programa
principal.
En las siguientes secciones se detallan las estructuras de datos de los vectores y matrices que
conforman el conjunto de ecuaciones normales dado por la ecuación (2-35).](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-59-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
28
El vector de mediciones contiene las mediciones disponibles del SEP, en esta tesis las mediciones
que se contemplan son mediciones de magnitudes de voltaje nodal, flujos de potencia (activa y
reactiva) de elementos e inyecciones de potencia (activa y reactiva) nodal. Sea 𝑚 el número de
mediciones disponibles, 𝑚𝑉 el número de mediciones de magnitudes de voltaje, 𝑚𝐹𝑃𝐴 el número de
mediciones de flujos de potencia activa, 𝑚𝐹𝑃𝑅 el número de mediciones de flujos de potencia
reactiva, 𝑚𝐼𝑃𝐴 el número de mediciones de inyecciones de potencia activa y 𝑚𝐼𝑃𝑅 el número de
mediciones de inyecciones de potencia reactiva, entonces la dimensión del vector de mediciones es
de (𝑚𝑉 + 𝑚𝐹𝑃𝐴 + 𝑚𝐹𝑃𝑅 + 𝑚𝐼𝑃𝐴 + 𝑚𝐼𝑃𝑅) × 1.
2.5.3 La Función de Mediciones
La función de mediciones es un vector que contiene las ecuaciones que relacionan las mediciones
disponibles con las variables de estado de la red eléctrica. La dimensión de la función de mediciones
es de 𝑚 × 1 y como es función de las variables de estado va estar actualizándose en cada iteración.
Las expresiones se obtienen a partir de la ecuaciones del estudio de flujos de potencia y se detallan a
continuación basándose en el modelo de rama unificado dado por la Figura 2-6.
Según [5], las ecuaciones de magnitudes de voltaje son:
( )k k
p pV x V (2-36)
Según [5], las ecuaciones de flujos de potencia activa son:
22
( )
cos( ) sin( )
k k
pq pq pqp
k k k kk k k k
pq qp pq p q pq qp pq p qp q p q
P x a gV
a a g a a bV V V V
(2-37)
22
( )
cos( ) sin( )
k k
qp qp pqq
k k k kk k k k
qp pq pq q p qp pq pq q pq p q p
P x a gV
a a g a a bV V V V
(2-38)
Según [5], las ecuaciones de flujos de potencia reactiva son:
22
( ) - ( )
cos( - )- sin( - )
k shk
pq pq pq pqp
k k k kk k k k
pq qp pq p q pq qp pq p qp q p q
Q x a b bV
a a b a a gV V V V
(2-39)
22
( ) - ( )
cos( - )- sin( - )
k shk
qp qp pq pqq
k k k kk k k k
qp pq pq q p qp pq pq q pq p q p
Q x a b bV
a a b a a gV V V V
(2-40)
Según [5], las ecuaciones de inyecciones de potencia activa son:
( ) cos( ) sin( )k k k k k k k
p p q pq p q pq p q
q M
P x V V G B
(2-41)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-62-320.jpg)
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29
Según [5], las ecuaciones de inyecciones de potencia reactiva son:
( ) sin( ) cos( )k k k k k k k
p p q pq p q pq p q
q M
Q x V V G B
(2-42)
De donde:
𝑎 𝑝𝑞 y 𝑎 𝑞𝑝 son los taps ubicados en el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente.
𝑔 𝑝𝑞 es la conductancia serie del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞.
𝑏 𝑝𝑞 es la susceptancia serie del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞.
𝑏 𝑝𝑞
𝑠ℎ
es la susceptancia en derivación sobre dos del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞.
𝐺 𝑝𝑞 es la parte real del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la
columna 𝑞.
𝐵𝑝𝑞 es la parte imaginaria del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝
y la columna 𝑞.
|𝑉𝑝
𝑘
| y |𝑉𝑞
𝑘
| son las magnitudes de voltaje nodal en el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente en
la k-ésima iteración.
|𝜃 𝑝
𝑘
| y |𝜃 𝑞
𝑘
| son los ángulos de fase del nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente en la k-ésima
iteración.
𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝.
La función de mediciones presenta una estructura en la k-ésima iteración mostrada en la Figura 2-11.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
k
p
k
pq
k
qp
k k
pq
k
qp
k
p
k
p
V x
P x
P x
h x Q x
Q x
P x
Q x
Figura 2-11 Estructura de la función de mediciones en la k-ésima iteración.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-63-320.jpg)
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30
2.5.4 La Matriz Jacobiana de Mediciones
La matriz Jacobiana de mediciones está conformado por las derivadas parciales de las ecuaciones de
la función de mediciones con respecto a las variables de estado del SEP, su dimensión es de 𝑚 × 𝑛 y
como es función de las variables de estado va estar actualizándose en cada iteración. A continuación
se presentan las expresiones de las derivadas parciales que conforman la matriz Jacobiana de
mediciones. Las siguientes expresiones toman en cuenta que el nodo de referencia es el 1. Según [5],
las derivadas parciales de las ecuaciones de magnitudes de voltaje son:
Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos:
( )
1
k
p
k
p
V x
V
(2-43)
( )
0
k
p
k
q
V x
V
(2-44)
Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia):
( )
0
k
p
k
p
V x
(2-45)
( )
0
k
p
k
q
V x
(2-46)
Según [5], las derivadas parciales de las ecuaciones de flujos de potencia activa son:
Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos:
2
2
si
(
c
n
)
osk k k k
pq p pq pq qp q pq p q
k
pq
k
p
k k k
pq qp q pq p q
P x
a V g a a V g
a a V b
V
(2-47)
(
cos sin
) k k k k k k
pq p qp pq p q
k
pq
pq p qp pq pk
q
qa V a g a
P
V a
x
b
V
(2-48)
(
cos sin
) k k k k k k
qp q pq pq q p
k
qp
qp q pq pq qk
p
pa V a g a
P
V a
x
b
V
(2-49)
2
2 c
s
(
in
)
osk k k
qp pq qp pq p pq q p
k k k
qp pq p pq q
k
qp k
qk
q
p
P x
a g a a V g
a a V
V
b
V
(2-50)
Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia):](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-64-320.jpg)
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31
in co
(
s s
)k
pq k k
p pk
k k k k k k
pq p qp q pq q pq p qp q pq q
p
a V a V g a V a V
P
b
x
(2-51)
(2-52)
sin c
(
os
) k k k k k k k k
qp q pq p pq q p qp q pq p
k
q
pq
p
k q p
p
a V a V g a V a V
P x
b
(2-53)
si
( )
n cosk k k k k k
pq p qp
k
pq k k
q pq p pq p qp q pq pq qk
q
a V a V g a V a V
P x
b
sin s
(
co
) k k k k k k k k
qp q pq p pq q
k
qp
k
q
p qp q pq p pq q pa V a V g a V a V
x
b
P
(2-54)
Según [5], las derivadas parciales de las ecuaciones de flujos de potencia reactiva son:
Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos:
2
( )
2
cos sin
sh
pq pq pq
k k k k k k
pq qp
k
pq k
p
q pq p q pq qp q
p
p q
k
q p
a b b
a a V b a a V
x
g
Q
V
V
(2-55)
(
cos sin
) k k k k k k
pq p qp pq p q pq p
k
qp pq
pq
pk
q
qa V a b a V a
x
g
Q
V
(2-56)
(
cos sin
) k k k k k k
qp q pq pq q p qp q
k
pq pq
qp
qk
p
pa V a b a V a
x
g
Q
V
(2-57)
2
2
cos s n
( )
i
k sh
qp q pq pq
k k k k k k
qp pq p pq
k
qp
q p qp pq p
k
p p
q
q q
a V b b
a a V b a a V
x
V
g
Q
(2-58)
Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia):
sin c
(
os
) k k k k k k k k
pq p qp q pq p q pq p qp q
k
p
pq
q
k p q
p
a V a V b a V a V
Q x
g
(2-59)
sin s
(
co
) k k k k k k k k
pq p qp q pq p
k
pq
k
q
q pq p qp q pq p qa V a V b a V a V
x
g
Q
(2-60)
sin s
(
co
) k k k k k k k k
qp q pq p pq q
k
qp
k
p
p qp q pq p pq q pa V a V b a V a V
x
g
Q
(2-61)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-65-320.jpg)
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32
sin c
(
os
) k k k k k k k k
qp q pq p pq q p qp q pq p
k
q
pq
p
k q p
q
a V a V b a V a V
Q x
g
(2-62)
Según [5], las derivadas parciales de las inyecciones de flujos de potencia activa son:
Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos:
2 cos n
)
i
(
s
p
k
p k k k k k k
p pp q pq p q pq p qk
qp
P x
V G V G B
V
(2-63)
c s n
(
o i
)
s
k
p k k k k k
p pq p q pq p qk
q
P x
V G B
V
(2-64)
Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia):
sin cos
( )k
p k k k k k k
p q pq p q pq p qk
q Mp
P x
V V G B
(2-65)
s n c
(
i o
)
s
k
p k k k k k k
p q pq p q pq p qk
q
P x
V V G B
(2-66)
Según [5], las derivadas parciales de las inyecciones de flujos de potencia reactiva son:
Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos:
2 sin cos
( )
p
k
p k k k k k k
p pp q pq p q pq p qk
qp
Q x
V B V G B
V
(2-67)
s n s
(
i o
)
c
k
p k k k k k
p pq p q pq p qk
q
Q x
V G B
V
(2-68)
Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia):
cos sin
( )k
p k k k k k k
p q pq p q pq p qk
q Mp
Q x
V V G B
(2-69)
c s s
(
o i
)
n
k
p k k k k k k
p q pq p q pq p qk
q
Q x
V V G B
(2-70)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-66-320.jpg)
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34
2.5.5 La Matriz de Ponderación
La desviación estándar 𝜎𝑖 de cada medición se usa para reflejar la precisión de la correspondiente
medición disponible [6]. Y debido a las consideraciones que se establecieron para desarrollar la teoría
de SE, los errores aleatorios de los dispositivos de medición son variables aleatorias de valor esperado
cero con una desviación estándar σi. Más aun, son variables aleatorias independientes, por lo que se
toma en cuenta que no existe una correlación entre ellas y en consecuencia su matriz de covarianza R
viene dado por la ecuación (2-23).
Dentro de la formulación matemática de WLS, los pesos que se obtienen aplicando la ecuación (2-30)
se usan para dar más peso a las mediciones más precisas y la matriz que muestra el conjunto de los
pesos de las mediciones disponibles es la matriz de ponderación que tiene una dimensión de 𝑚 × 𝑚
y presenta una estructura dada en la ecuación (2-71).
2
1
21
2
2
1
0 0
1
0 0
1
0 0 0
m
W R
(2-71)
El factor de ponderación de la i-ésima medición 𝑊𝑖𝑖 es una función de las características del equipo
de medición para ese dato. Especifica la importancia relativa de esa medición con respecto a las demás
en la determinación del vector de estado. Es importante en el sentido de que describe que tan cercano
uno desea que el vector de estado coincida con esta medición en particular. Un valor grande de
ponderación es usado cuando uno quiere una concordancia estrecha con un valor de dato particular
[24].
2.5.5.1 Desviación Estándar de los Dispositivos de Medición
Según [23] los componentes del sistema de adquisición de datos que pueden influir en las mediciones
del SEP son los transformadores de instrumento, los transductores de potencia, los convertidores
analógico-digitales y la transmisión de datos analógicos. Por lo tanto, los errores en los dispositivos
de medición deben representar un valor que sea una conjunción de la suma acumulativa de los errores
de todos los elementos que intervienen en todo el proceso [1].
El cálculo de la desviación estándar de los errores de los dispositivos de medición 𝜎𝑖 se propone de
distintas formas y según [1, 7] se pueden diferenciar 4 grupos, los cuales se presentan en la Tabla 2-2,
la Tabla 2-3, la Tabla 2-4 y la Tabla 2-5.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-68-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
35
𝜎𝑖 es un valor constante.
Tabla 2-2 Valores constantes para 𝜎i.
Criterio
Medición de
magnitud de
voltaje
Medición de flujo de
potencia
Medición de inyección de
potencia
Inyección cero
1 𝜎𝑖 = 0.004 𝜎𝑖 = 0.008 𝜎𝑖 = 0.01 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
2 𝜎𝑖 = 0.01 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
3 𝜎𝑖 = 0.002
𝜎𝑖 = 0.02 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 100 𝑀𝑉𝐴
𝜎𝑖 = 0.02 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 100 𝑀𝑉𝐴
𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
4 𝜎𝑖 = 0.005 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
5 𝜎𝑖 = 0.005
𝜎𝑖 = 1.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑒𝑛 132 𝑘𝑉𝑦
0.8 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 33 𝑘𝑉
𝜎𝑖 = 1.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛
132 𝑘𝑉 𝑦
0.8 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 33 𝑘𝑉
𝜎𝑖 = 0.2 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅
6 𝜎𝑖 = 0.005
𝜎𝑖 = 0.5 ÷ 1.1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑒𝑛 70 𝑘𝑉 𝑦
1.2 ÷ 5.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝜎𝑖 = 0.5 ÷ 1.1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑒𝑛 70 𝑘𝑉 𝑦
1.2 ÷ 5.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛
𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝜎𝑖 = 0.3 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅
𝑒𝑛 70 𝑘𝑉 𝑦
0.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝜎𝑖 es una función del valor medido por el dispositivo de medición.
Tabla 2-3 Valores para 𝜎i en función del valor medido por el dispositivo de medición.
Criterio
Medición de magnitud de
voltaje
Medición de flujo de
potencia
Medición de inyección de
potencia
1 𝜎𝑖 = 1% × 𝑉𝑀
2 𝜎𝑖 ≤ 2% × 𝑉𝑀
3 𝜎𝑖 ≤ 3% × 𝑉𝑀
4 𝜎𝑖 = 2% × 𝑉𝑀
5 𝜎𝑖 = 0.01% × 𝑉𝑀
𝜎𝑖 es una función del total de la escala del dispositivo de medición.
Tabla 2-4 Valores para 𝜎i en función del total de la escala del dispositivo de medición.
Criterio
Medición de
magnitud de voltaje
Medición de flujo de
potencia
Medición de inyección
de potencia
Pseudo-mediciones
1 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
𝜎𝑖 = 0.5% × 𝑇𝐸, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑇𝐸 = 1000 𝑀𝑊
𝜎𝑖 = 0.5% × 𝑇𝐸, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑇𝐸 = 1000 𝑀𝑊
𝜎𝑖 = 10 ÷ 40% × 𝑇𝐸
𝜎𝑖 es una función del valor medido y del total de la escala del dispositivo de medición.
Tabla 2-5 Valores para 𝜎i en función del valor medido y el total
de la escala del dispositivo de medición.
Criterio
Medición de
magnitud de voltaje
Medición de flujo
de potencia
Medición de inyección
de potencia
1 𝜎𝑖 = (0.0067 × 𝑉𝑀) + (0.00163 × 𝑇𝐸)
2
𝜎𝑖 = 0.015 × 𝑉𝑀 × 𝛿 + 0.003 × 𝑇𝐸 × 𝛿
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛿 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 1
3 𝜎𝑖 = 0.005 × 𝑇𝐸 𝜎𝑖 = √(0.006 × 𝑉𝑀)2 + (0.005 × 𝑇𝐸)2
4
𝜎𝑖 = 𝛿 × [(0.02 × 𝑉𝑀) + (0.0035 × 𝑇𝐸)]
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 |𝛿| ≤ 1 𝑦 𝑇𝐸 = 2000 𝑀𝑉𝐴
5 𝜎𝑖 = 0.001 × 𝑉𝑀 𝜎𝑖 =
1
3
(0.02 × 𝑉𝑀 + 0.005 × 𝑇𝐸)
6
𝜎𝑖 = 0.012 × 𝑉𝑀 + 0.0035 × 𝑇𝐸
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑇𝐸 = 20
7
𝜎𝑖 =
1
3
(𝛼 × 𝑉𝑀 + 𝛽 × 𝑇𝐸)
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 0.005,
𝛽 = 0.0026, 𝑉𝑀 = 1.0 𝑦 𝑇𝐸 = 1.5](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-69-320.jpg)
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36
De donde:
𝑉𝑀 es el valor medido por el dispositivo de medición.
𝑇𝐸 es el total de la escala del dispositivo de medición.
Dependiendo del fabricante y del modelo del dispositivo de medición, la precisión de éste es
proporcional al valor medido, al total de la escala o una suma de estos factores, pero nunca es
constante [1, 7].
2.5.6 La Matriz de Ganancia
La matriz de Ganancia o matriz de información es una matriz de dimensión 𝑛 × 𝑛 y su cálculo
depende de la matriz Jacobiana de mediciones y de la matriz de ponderación. Esta matriz viene dada
por la ecuación (2-72) en la k-ésima iteración.
( ) ( ) ( )k T k k
G x H x WH x (2-72)
Y de acuerdo con [6], presenta las siguientes características:
Es una matriz dispersa, pero menos dispersa que 𝐻(𝑥 𝑘
).
Es una matriz estructuralmente y numéricamente simétrica.
Es una matriz definida positiva por lo que sus eigenvalores son positivos.
Esta matriz es de suma importancia ya que asegura la observabilidad del sistema [7]. Para que el
conjunto de ecuaciones normales dado por (2-35) tenga solución única, la matriz de Ganancia debe
ser no singular. Para esto es necesario que la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥 𝑘
) sea de rango
columna completo, si lo es, entonces se asegura que 𝐺(𝑥 𝑘
) es definida positiva y el conjunto de
ecuaciones normales tiene solución única [8].
2.6 Tópicos Adicionales
El estimador de estado puede ser enriquecido con algunas funciones adicionales como la detección
de datos erróneos en los dispositivos de medición y su identificación, para eliminarlos si es posible
[6]. Los datos erróneos pueden ser debidos a errores en los parámetros de la red, errores en la
topología y a errores sustanciales [7], en este apartado se estudiaran métodos de detección de datos
erróneos debidos a errores sustanciales. A menos que los datos erróneos sean detectados e
identificados, el estimador de estado presentará resultados incorrectos. En esta sección primero se
describen las propiedades de los residuales de medición, así como una clasificación de datos erróneos
y de las mediciones que se encuentran en el conjunto de mediciones. Además se presentan algunos
métodos básicos para detectar e identificar datos erróneos después de realizar la SE de WLS. Por
último se describe el análisis de observabilidad que es importante para que se pueda obtener una
solución para el vector de estado y se explican muy brevemente algunos métodos para el análisis de
observabilidad.
2.6.1 Propiedades de los Residuales de Medición
Expandiendo la función vectorial no lineal ℎ(𝑥̂) de la ecuación (2-20) en series de Taylor alrededor
del vector de estado 𝑥 y despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se obtiene la ecuación
(2-73), según [6].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-70-320.jpg)
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37
ˆ ˆ( ) ( ) ( )h x h x H x x x (2-73)
De acuerdo con [5, 6, 8, 67], sustituyendo la ecuación (2-73) en la ecuación (2-20) se obtiene el
modelo de medición linealizado dado por la ecuación (2-74).
ˆ( ) ( )z h x H x x x e
ˆ( ) ( )z h x H x x x e
ˆ( )z H x x e (2-74)
De donde:
∆𝑧 = 𝑧 − ℎ(𝑥) es un vector de dimensión 𝑚 × 1.
∆𝑥̂ = 𝑥̂ − 𝑥 es un vector de dimensión 𝑛 × 1.
𝐻(𝑥) es la matriz Jacobiana de mediciones de dimensión 𝑚 × 𝑛.
𝑒 es el vector de los errores de medición aleatorios de dimensión 𝑚 × 1. Se supone que
𝐸(𝑒) = 0 y que 𝐸(𝑒𝑒 𝑇
) = 𝑅, basado en la suposición de que los errores de medición no están
correlacionados.
𝑚 es el número de mediciones disponibles.
𝑛 es el número de variables de estado del SEP.
Entonces la solución del estimador de estado de WLS del modelo de medición linealizado, según [5,
6, 8], está dado por la ecuación (2-75).
1 1 1 1 1
ˆ [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )T T T
x H x R H x H x R z G x H x R z
(2-75)
Y el valor de las mediciones estimadas viene dado por la ecuación (2-76).
1 1
ˆˆ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]T
z H x x H x G x H x R z K z
(2-76)
De donde:
𝐾 es la matriz sombrero de dimensión 𝑚 × 𝑚.
De acuerdo con [6], la matriz sombrero tiene las siguientes propiedades.
K K K K K (2-77)
( ) ( )K H x H x (2-78)
( ) ( ) 0I K H x (2-79)
Ahora se procede a expresar los residuales de medición en función de los errores de los dispositivos
de medición [67].
ˆr z z
( )r I K z
ˆ( )[ ( ) ]r I K H x x e
ˆ ˆ( ) ( )r H x x e KH x x Ke
ˆ( ) ( ) ( ) ( )r I K H x x I K e I K e
r Se (2-80)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-71-320.jpg)
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38
De donde:
S es la matriz de sensibilidad residual de dimensión 𝑚 × 𝑚. Representa la sensibilidad de los
residuales de medición a los errores de los dispositivos de medición.
La matriz de sensibilidad residual posee las siguientes propiedades, según [6].
S S S S S (2-81)
T
S R S SR (2-82)
Debido a las ecuaciones (2-21), (2-22) y (2-23), la distribución de los errores de los dispositivos de
medición son normales con media 0 y una matriz de covarianza de 𝑅.
(0, )i iie N R (2-83)
Usando la ecuación (2-80) se pueden definir las propiedades estadísticas de los residuales de medición
dadas por las ecuaciones (2-84) y (2-85).
( ) ( ) ( ) 0E r E S e S E e (2-84)
( ) ( )T T T T
E rr S E ee S SRS SR (2-85)
Y conforme con [8], las distribuciones de los residuales de medición son normales con media 0 y con
una matriz de covarianza de Ω.
(0, )i iir N (2-86)
De donde:
Ω es la matriz de covarianza residual de dimensión 𝑚 × 𝑚.
La matriz de covarianza residual posee las siguientes propiedades, según [6].
Ω es una matriz real y simétrica.
Ω𝑖𝑗
2
≤ Ω𝑖𝑖Ω𝑗𝑗.
Ω𝑖𝑗 ≤
(Ω 𝑖𝑖+Ω 𝑗𝑗)
2
.
2.6.2 Clasificación de Datos Erróneos
Los datos erróneos se pueden clasificar de la siguiente forma, de acuerdo con [6].
Dato erróneo individual: Solamente una medición en todo el conjunto de mediciones
presenta error sustancial.
Datos erróneos múltiples: Más de una medición presentaran errores sustanciales.
Los datos erróneos múltiples pueden ser clasificados en tres grupos, según [8].
- Datos erróneos múltiples no interactivos: Se presentan en mediciones con residuales de
medición débilmente correlacionados. Es decir, si 𝑆𝑖𝑘 ≈ 0, entonces las mediciones 𝑖 y 𝑘 son
no interactivos.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-72-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
39
- Datos erróneos múltiples interactivos y no conformes: Se presentan en mediciones con
residuales fuertemente correlacionados. Es decir, si 𝑆𝑖𝑘 es grande, entonces las mediciones 𝑖
y 𝑘 son interactivos. Sin embargo si los errores en las mediciones son no consistentes uno
con otro, entonces son no conformes.
- Datos erróneos múltiples interactivos y conformes: Se presentan en mediciones con
residuales fuertemente correlacionados. Es decir, si 𝑆𝑖𝑘 es grande, entonces las mediciones 𝑖
y 𝑘 son interactivos. Sin embargo si los errores en las mediciones son consistentes uno con
otro, entonces también son conformes.
Las mediciones fuertemente correlacionadas son aquellas cuyos errores afectan el valor estimado de
cada una significativamente, es decir, una es afectada cuando la otra presenta error sustancial. Por
otra parte, conforme con [6], las estimaciones de las mediciones con residuales débilmente
correlacionados no son afectados significativamente por los errores que presentan cada una.
2.6.3 Clasificación de las Mediciones
De acuerdo con [6, 8], las diferentes mediciones que tiene un SEP pueden pertenecer a uno de los
siguientes grupos.
Medición crítica: Es aquella cuya eliminación del conjunto de mediciones convierte al
sistema en no observable. El residual de medición de una medición crítica es cero y su
correspondiente columna en la matriz de covarianza residual es también igual a cero. Por lo
tanto, los errores en las mediciones críticas no pueden ser detectados e identificados.
Par crítico de mediciones: Es un par de mediciones en donde cada una no es crítica pero su
eliminación simultánea del conjunto de mediciones convierte al sistema en no observable.
k-tupla crítica de mediciones: Contiene k mediciones cuya eliminación simultánea causa
que el sistema sea no observable. Ninguna de estas mediciones pertenece a una tupla crítica
de menor orden. Las k columnas de la matriz de covarianza residual que corresponden a los
elementos de la k-tupla crítica son linealmente dependientes.
Medición redundante: Es aquella que no es una medición crítica. Las mediciones
redundantes pueden tener residuales de medición distintos de cero.
Una medición que contiene dato erróneo individual es detectable si y solo si la medición no es crítica,
y es identificable si y solo si no es crítica y además no pertenece a ningún par crítico [6, 67].
2.6.4 Detección de Datos Erróneos
El proceso de detección se refiere a la determinación de si el conjunto de mediciones disponibles
contienen datos erróneos [6]. Algunas técnicas básicas para la detección de datos erróneos son la
prueba 𝜒2
(chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁
(residuales normalizados). Estos métodos se describen en
las siguientes secciones.
2.6.4.1 Descripción y Algoritmo de la Prueba 𝝌2
Debido a las ecuaciones (2-21), (2-22) y (2-23) se considera que los errores de los dispositivos de
medición 𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 presentan una distribución normal, son independientes y tienen un valor
esperado de 0 y una varianza de 𝜎𝑖
2
. Por lo tanto, la función objetivo evaluada con el estado estimado](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-73-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
40
se expresa mediante la ecuación (2-87). Esta función objetivo sigue una distribución 𝜒 𝑚−𝑛
2
, es decir
una distribución chi-cuadrada con 𝑚 − 𝑛 grados de libertad, de acuerdo con [5, 6, 8].
2
1
ˆ( )
ˆ( )
m
i i
i i
z h x
J x
(2-87)
De donde:
𝐽(𝑥̂) es la función objetivo evaluada con el estado estimado.
𝑥̂ es el vector de estado estimado de la red eléctrica.
𝑧𝑖 es la i-ésima medición disponible.
ℎ𝑖(𝑥̂) es la i-ésima ecuación de la función de mediciones evaluada con el vector de estado
estimado.
𝜎𝑖 es la desviación estándar de la i-ésima medición disponible.
𝑚 y 𝑛 son el número de mediciones disponibles y el número de variables de estado,
respectivamente.
Según [5], la distribución de 𝐽(𝑥̂) es el de una variable aleatoria 𝜒2
con una media de 𝑚 − 𝑛 y una
varianza de 2(𝑚 − 𝑛).
ˆ( ( ))E J x m n (2-88)
2
2( )ˆ[ ( ) ( )]E m nJ x m n (2-89)
Así se pueden considerar dos hipótesis.
0
ˆ: ( ( ))H E J x m n (2-90)
1
ˆ: ( ( ))H E J x m n (2-91)
De donde:
𝐻 𝑜 es la hipótesis nula.
𝐻1 es la hipótesis alternativa.
La hipótesis 𝐻0 es rechazada cuando 𝐽(𝑥̂) > 𝐶, donde 𝐶 es una límite estadístico a ser determinado
[5]. El nivel de relevancia de la prueba está dado por 𝛼 que es la probabilidad de que 𝐽(𝑥̂) > 𝐶. El
nivel de confianza es la probabilidad de que 𝐽(𝑥̂) < 𝐶 y está dado por 1 − 𝛼. Por lo tanto 𝐶 está en
función de 𝛼 y viene expresado por la ecuación (2-92).
1
2 2
0 2
( ) 1 con ( )
2
2
m n t
C
m n
t e
f t dt f t
m n
(2-92)
De donde:
Γ(. ) es la función gamma.
𝑚 − 𝑛 son los grados de libertad del sistema.
De la ecuación (2-92) se puede observar que 𝑓(𝑡) es la función de densidad de probabilidad de una
distribución 𝜒2
con una media de 𝑚 − 𝑛 y una varianza de 2(𝑚 − 𝑛). Según [5], el valor de 𝐶 viene
dado por la ecuación (2-93).](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-74-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
41
2
,1m nC (2-93)
Basado en lo descrito anteriormente, un procedimiento para la detección de datos erróneos puede ser
desarrollado. En esta tesis se utilizó la subrutina DCHIIN de la biblioteca IMSL de FORTRAN [68]
para obtener el valor de la distribución 𝜒2
. El algoritmo del proceso de detección de datos erróneos
se describe a continuación.
1. Resolver el problema de SE de WLS dado por la ecuación (2-35) y calcular la función
objetivo aplicando la ecuación (2-87).
2. Llama a subrutina DCHIIN para obtener el valor de la distribución 𝜒2
correspondiente a un
nivel de confianza especificado en porciento y con 𝑚 − 𝑛 grados de libertad, es decir
𝜒 𝑚−𝑛,1−𝛼
2
. Para esta tesis se ocupó un nivel de confianza de 95%, de acuerdo con [6, 8].
3. Evaluar si 𝐽(𝑥̂) ≥ 𝜒 𝑚−𝑛,1−𝛼
2
. Si se cumple, entonces se sospecha de la presencia de datos
erróneos. De lo contrario, las mediciones no presentan datos erróneos.
La Figura 2-13 muestra el diagrama de flujo del algoritmo descrito anteriormente. El código de la
subrutina de la prueba 𝜒2
se incluye en la sección D.5 del APÉNDICE D para el estimador de estado
convencional como SUBROUTINE CHI_CUADRADA. Asimismo, el código de la subrutina de la
prueba 𝜒2
se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E para el estimador de parámetros como
SUBROUTINE CHI_CUADRADA.
Lectura de
datos
¿Función objetivo evaluada con la
estimación de estado es mayor o igual al
valor de la distribución chi-cuadrada?
FIN
INICIO
Calcula la función objetivo
evaluada con la estimación de
estado
Llama a subrutina DCHIIN y obtén el
valor de la distribución chi-cuadrada con
el nivel de confianza especificado
“Se han detectado
datos erróneos”
“No se han detectado
datos erróneos”
Realiza el estudio de
estimación de estado de WLS
No
Sí
Figura 2-13 Diagrama de flujo de la prueba 𝜒2
.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-75-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
42
2.6.4.2 Descripción y Algoritmo de la Prueba rN
Otro método puede ser derivado haciendo uso de los residuales normalizados de medición. El valor
normalizado del residual de la i-ésima medición es obtenido a partir de la ecuación (2-94), según [5,
6, 8].
iN
i
ii
r
r
(2-94)
De donde:
𝑟𝑖 es el residual de la i-ésima medición estimada dado por la ecuación (2-95).
ˆ( )i i ir z h x (2-95)
Ω𝑖𝑖 es la entrada diagonal de la matriz de covarianza residual correspondiente a la i-ésima
medición y viene dado por la ecuación (2-85).
Como se considera que los errores de los dispositivos de medición 𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 presentan una
distribución normal, son independientes, tienen un valor esperado de 0 y varianza de 𝜎𝑖
2
, entonces los
residuales de medición estimados 𝑟̂𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 son también distribuidos de una forma normal con
media cero y una varianza de Ω𝑖𝑖, de acuerdo con [8]. Debido a lo anterior, la distribución de los
residuales normalizados de medición es normal con media cero y una varianza unitaria [6].
( ) 0N
iE r (2-96)
1( )N N T
i i
E r r (2-97)
Es decir.
(0, )N
r N I (2-98)
De donde:
𝐼 es una matriz identidad de dimensión 𝑚 × 𝑚.
Así se pueden considerar 2 hipótesis.
0 : ( ) 0N
iH E r (2-99)
1 : ( ) 0N
iH E r (2-100)
De donde:
𝐻0 es la hipótesis nula.
𝐻1 es la hipótesis alternativa.
La hipótesis 𝐻0 es rechazada cuando |𝑟𝑖
𝑁
| > 𝐶, donde 𝐶 es una límite estadístico a ser determinado
[5]. El nivel de relevancia de la prueba está dado por 𝛼 que es la probabilidad de que |𝑟𝑖
𝑁
| > 𝐶. El
nivel de confianza es la probabilidad de que |𝑟𝑖
𝑁
| < 𝐶 y está dado por 1 − 𝛼. Por lo tanto 𝐶 está en
función de 𝛼 y viene expresado por la ecuación (2-101).
2
2
( ) 1 con ( )
2
t
C
C
e
f t dt f t
(2-101)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-76-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
43
Donde 𝑓(𝑡) es la función de densidad de probabilidad de una distribución normal estándar con media
cero y varianza unitaria. Basado en lo descrito anteriormente, se puede desarrollar un procedimiento
para la detección de datos erróneos empleando los residuales normalizados. El algoritmo del proceso
de detección de datos erróneos se describe a continuación.
1. Resolver el problema de SE de WLS dado por la ecuación (2-35).
2. Calcular los residuales normalizados de cada medición usando la ecuación (2-94).
3. Encuentra k tal que 𝑟𝑘
𝑁
es el máximo residual normalizado del conjunto 𝑟𝑖
𝑁
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
4. Evaluar si 𝑟𝑘
𝑁
> 𝐶. Si se cumple, entonces se sospecha de la presencia de datos erróneos. De
lo contrario, las mediciones no tienen datos erróneos. Para esta tesis se ocupó 𝐶 = 3 para un
nivel de confianza de 99.73%, conforme con [6, 8].
La Figura 2-14 muestra el diagrama de flujo del algoritmo descrito anteriormente. El código de la
subrutina de la prueba 𝑟 𝑁
se incluye en la sección D.5 del APÉNDICE D para el estimador de estado
convencional como SUBROUTINE RES_NORM. Asimismo, el código de la subrutina de la prueba
𝜒2
se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E para el estimador de parámetros como
SUBROUTINE RES_NORM.
Lectura de
datos
¿Máximo residual normalizado es
mayor a un límite estadístico
propuesto?
FIN
INICIO
Calcula los residuales
normalizados de medición
Encuentra el máximo
residual normalizado
“Se han detectado
datos erróneos”
“No se han detectado
datos erróneos”
Realiza el estudio de
estimación de estado de WLS
No
Sí
Figura 2-14 Diagrama de flujo de la prueba rN
.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-77-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
44
2.6.5 Identificación de Datos Erróneos
El proceso de identificación se refiere al procedimiento de averiguar cuáles mediciones específicas
son las que contienen datos erróneos [6], es decir a la selección de las mediciones erróneas una vez
que se ha detectado la presencia de datos erróneos. A continuación se describe brevemente un método
para la identificación de un dato erróneo individual usando los residuales normalizados de medición
que es conocida como la prueba del máximo residual normalizado 𝑟 𝑚𝑎𝑥
𝑁
.
2.6.5.1 Descripción de la Prueba rN
max
Según [6, 8], si solo hay un dato erróneo en el conjunto de mediciones (siempre que no sea una
medición crítica), entonces el residual normalizado más grande corresponderá a la medición errónea.
Esto también aplica a algunos casos de datos erróneos múltiples siempre y cuando las mediciones
erróneas tengan una débil correlación. A continuación se muestra el proceso de identificación para
un dato erróneo o para el caso de datos erróneos múltiples no interactivos.
1. Resolver el problema de SE de WLS dado por la ecuación (2-35).
2. Calcular los residuales normalizados de cada medición usando la ecuación (2-94).
3. Encuentra k tal que 𝑟𝑘
𝑁
es el máximo residual normalizado del conjunto 𝑟𝑖
𝑁
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
4. Evaluar si 𝑟𝑘
𝑁
> 𝐶. Si se cumple, entonces se sospecha de la presencia de datos erróneos. De
lo contrario, las mediciones no tienen datos erróneos.
5. Elimina la k-ésima medición del conjunto de mediciones y regresa al paso 1.
El desempeño de la prueba 𝑟 𝑚𝑎𝑥
𝑁
depende del tipo de dato erróneo que se procesa. Por lo tanto presenta
limitaciones de acuerdo a cada tipo [8]. Para un dato erróneo individual el máximo residual
normalizado corresponderá a la medición que presenta el dato erróneo. Para datos erróneos múltiples
no interactivos, la prueba 𝑟 𝑚𝑎𝑥
𝑁
puede identificar las mediciones con datos erróneos incluso si
aparecen simultáneamente, esto lo hace de forma secuencial. Para datos erróneos múltiples
interactivos y no conformes, la prueba 𝑟 𝑚𝑎𝑥
𝑁
aún puede indicar correctamente las mediciones con
datos erróneos. Por el contrario, para datos erróneos múltiples interactivos y conformes, la prueba
puede fallar en identificar cualquiera de las mediciones con datos erróneos.
2.6.6 Concepto de Observabilidad
Cuando hay suficientes mediciones disponibles para estimar el vector de estado del sistema completo,
se dice que la red eléctrica es observable. El análisis de observabilidad determina si existe una
solución única para el estado del SEP dado un conjunto de mediciones y sus localizaciones [6]. Puede
realizarse fuera de línea durante la fase inicial de la instalación del estimador para verificar si la
configuración de medición es adecuada. También se puede llevar a cabo en línea, antes de realizar la
SE con la finalidad de asegurar que se puede obtener un estimado del estado del sistema a partir del
último conjunto de mediciones recibido.
Debido a los cambios en la topología, errores de telecomunicación o a las fallas en los dispositivos
de medición, se puede dar el caso de que no se pueda obtener el estado del sistema completo. Por lo
tanto el análisis identifica las islas observables y resuelve para ellas con un nodo de referencia para
cada una [67]. El análisis se realiza con el modelo de medición linealizado dado por la ecuación (2-74)
sin pérdida de generalidad y se pueden usar enfoques topológicos o numéricos. Los enfoques](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-78-320.jpg)
![CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
45
topológicos usan la teoría de grafos, mientras que los numéricos son basados en la factorización
numérica de la matriz de Ganancia [6]. Estos procedimientos son:
Análisis de observabilidad topológica: Estos algoritmos usan la información de la topología
de la red (representa la conectividad de la red) y de la topología de medición (se refiere a las
mediciones eléctricas) para la determinación de la observabilidad topológica y así evitar el
cálculo numérico del rango de la matriz Jacobiana de mediciones [67]. Requieren rutinas no
numéricas que pueden ser algo complejas pero generalmente son más rápidas que los
algoritmos numéricos.
Análisis de observabilidad numérica: Estos algoritmos presentan la ventaja de que son
conceptualmente simples y emplean rutinas numéricas que ya son necesarias en la SE. La
principal dificultad es la determinación de si un número pequeño que aparece en la diagonal
de la factorización triangular de la matriz de Ganancia es un valor cero o no, esto es debido
al redondeo numérico de cifras [67].
En esta tesis no se desarrolla ningún algoritmo para el análisis de observabilidad, sin embargo en el
CAPÍTULO 3 se describe un método para calcular el rango numérico de la matriz Jacobiana de
mediciones y la matriz de Ganancia de la última iteración y así aplicarlo para conocer si el sistema es
observable.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-79-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
47
CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
3.1 Introducción
Según [8], siempre que exista un nivel de redundancia adecuado, el estimador de estado puede ser
mejorado con algunas funciones adicionales entre las cuales se pueden mencionar las siguientes.
Detectar y si es posible identificar errores de estado de los interruptores.
Estimar algunos valores de parámetros (parámetros de líneas y taps de transformadores) para
mejorar el contenido de la base de datos.
La información incorrecta de la topología normalmente da lugar a grandes inconsistencias en las
mediciones estimadas y por lo tanto pueden ser detectadas (pero no necesariamente identificadas).
Sin embargo, los errores en los parámetros de las líneas o de taps de transformadores son menos
visibles y permanecen sin ser detectados por largos periodos de tiempo [6], por lo que es importante
el estudio de Estimación de Parámetros o PE (“Parameter Estimation” en inglés).
En este capítulo se presentan las posibles causas y consecuencias de los errores de parámetros que
pueden afectar la calidad de la solución de la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en
inglés), se estudia el proceso de identificación que se requiere para identificar los parámetros
sospechosos a partir del uso de los residuales normalizados estudiados en el CAPÍTULO 2. Se
presentan algunas clasificaciones de los métodos de PE encontrados en la literatura para luego detallar
el método usado en esta tesis para únicamente estimar los parámetros de líneas de transmisión. Se
desarrolla su formulación matemática que es una extensión del estudio de estimación de estado
convencional estudiado en el CAPÍTULO 2, también se presentan las estructuras de las matrices
involucradas en el proceso de PE y el algoritmo necesario para su programación. Después se describe
un método para analizar la robustez numérica de la PE, así como el algoritmo empleado en su
programación. Por último se presentan algunos cálculos que se realizan después del proceso de PE
como los intervalos de confianza y los indicadores de precisión de los parámetros estimados para
luego detallar el algoritmo empleado en su programación.
3.2 Posibles Causas y Consecuencias de los Errores de
Parámetros
En la mayoría de los casos, las empresas eléctricas usan valores teóricos para el cálculo de los
parámetros del circuito equivalente de las líneas de transmisión [15]. Conforme con [15, 16], algunos
factores que pueden influir en los parámetros de las líneas son los siguientes:
La altura del conductor por encima del plano de tierra es variable debido a la catenaria que
presenta y es imposible de estimar sobre terreno montañoso, lo que puede afectar la
capacitancia de la línea.
La resistencia de la línea puede cambiar significativamente con la temperatura ambiente y
ésta depende de las propiedades del material del conductor, corriente eléctrica que transporta,](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-81-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
48
diámetro del conductor, condiciones de superficie y las condiciones ambientales a las que es
sometida la línea.
El valor de reactancia serie usado es el de una línea idealmente transpuesta aunque ésta no lo
es debido al costo de construcción adicional generado por alterar mecánicamente las
posiciones de los conductores cada un tercio de la distancia entre torres de transmisión.
Además de que la construcción de nuevas líneas en paralelo con acoplamiento mutuo afecta
las bases de datos anteriores.
Según [18], algunas causas de valores de parámetros incorrectos pueden ser:
Datos de fabricación incorrectos o una mala calibración de los equipos de medición de los
fabricantes.
Cambios en la red que no se actualizaron apropiadamente en la base de datos (por ejemplo:
una sección de línea aérea que sufre calentamiento puede ser sustituida por un cable).
Desgaste de los materiales. Puede ser lento, normal o rápido (como el desgaste producido por
el efecto corona).
Parámetros que dependen de la temperatura (como la resistencia).
Cambios en las condiciones ideales con las que se calculó el modelo 𝜋 (no se tienen en cuenta
los diferentes cambios de altura de la línea respecto al terreno, se considera la resistividad del
terreno constante, se supone que la línea es transpuesta a cada tercio de su longitud y también
se supone que la longitud se conoce con exactitud).
Los valores de parámetros incorrectos pueden tener las siguientes consecuencias [6]:
Una degradación de los resultados proporcionados por el estimador de estado y, como
consecuencia, de los resultados de los programas cuyos datos de entrada son la salida del
estimador.
Que mediciones correctas sean identificadas como mediciones erróneas debido a
inconsistencias con los parámetros de red incorrectos.
Desconfianza por parte del operador en los resultados del estimador de estado.
En [15] se afirma que debido a las desviaciones de las condiciones ideales supuestas durante los
cálculos de los parámetros de líneas de transmisión y pocas mediciones reales, los valores encontrados
en las bases de datos de las empresas eléctricas presentan errores que pueden llegar a ser de hasta
25% a 30% comparados con los valores reales.
3.3 Identificación de Líneas con Parámetros Sospechosos
En la práctica, solamente un conjunto reducido de parámetros puede ser estimado, según [8]. Para
realizar el proceso de PE es necesario primero identificarlos, procediendo posteriormente a estimar
únicamente aquellos que han sido identificados [7]. Por lo tanto, es necesario identificar primero los
parámetros candidatos para realizar la PE. El conjunto de parámetros de líneas sospechosas puede ser
seleccionado manualmente, sin embargo, en la mayoría de los casos se prefiere un procedimiento
basado en el cálculo de los residuales de medición [6].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-82-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
49
Desde el punto de vista del estimador de estado, un error de parámetro tiene el mismo efecto que el
de un conjunto de errores correlacionados actuando en todas las mediciones cercanas a la línea
errónea, principalmente las mediciones de flujos de potencia en esa línea y las mediciones de
inyecciones de potencia en los nodos terminales de esa misma línea [11]. Si ahora el modelo de
medición no lineal de la ecuación (2-20) incluye los parámetros de líneas sospechosas, se obtiene la
ecuación (3-1).
1 1 2 1 2
1 1
2 1 2 1 22 2
1 2 1 2
( , , , , , , , )
( , , , , , , , )
( , )
( , , , , , , , )
n np
n np
m mm n np
h x x x pl pl pl
z e
h x x x pl pl plz e
z h x pl e
z eh x x x pl pl pl
(3-1)
De donde:
𝑧 es el vector de las mediciones disponibles de dimensión 𝑚 × 1.
𝑥 es el vector de estado verdadero del sistema de dimensión 𝑛 × 1.
𝑝𝑙 es el vector de parámetros verdaderos de líneas sospechosas del sistema de dimensión
𝑛 𝑝 × 1.
ℎ(. ) es una función vectorial no lineal que relaciona las mediciones disponibles con las
variables de estado del sistema y los parámetros de la red. Tiene dimensión 𝑚 × 1.
𝑒 es un vector de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 1.
𝑚 es el número de mediciones disponibles.
𝑛 es el número de variables de estado del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP).
𝑛 𝑝 es el número de parámetros de líneas con parámetros sospechosos del sistema.
Manipulando el modelo de medición de la ecuación (3-1) se puede observar que los errores de los
parámetros de líneas tienen el mismo efecto que el de los errores de medición [38]. Por ejemplo, las
mediciones estimadas que están relacionadas con una línea presentarán residuales de medición
grandes si los parámetros de líneas son erróneos. De acuerdo con [20], lo descrito anteriormente se
puede ver en la ecuación (3-2).
* *
( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )]i i i i i i iz h x pl e h x pl h x pl h x pl e (3-2)
De donde:
𝑧𝑖 es la i-ésima medición del conjunto de mediciones disponibles.
ℎ𝑖(. ) es la función no lineal que relaciona la i-ésima medición con los estados y los
parámetros de las líneas sospechosas del sistema.
𝑒𝑖 es el error de la i-ésima medición.
𝑥 es el valor verdadero del estado del sistema.
𝑝𝑙 es el valor verdadero de los parámetros de las líneas sospechosas del sistema.
𝑝𝑙∗
es el valor erróneo de los parámetros de las líneas sospechosas del sistema.
El término entre corchetes de la ecuación (3-2) actúa como un error de medición adicional. Cuando
los errores de parámetros son notables, las mediciones adyacentes (flujos e inyecciones de potencia)
relacionadas con las líneas que presentan errores de parámetros tendrán probablemente los mayores
residuales normalizados y por lo tanto serán detectadas como datos erróneos, según [30, 69].
Expandiendo la función no lineal ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙) de la ecuación (3-2) en series de Taylor alrededor de 𝑝𝑙∗
y despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se obtiene la ecuación (3-3).](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-83-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
50
*
* * * * *
( , ) ( , ) ( , ) ( , )i
i i i i
pl
h
h x pl h x pl pl pl h x pl H x pl pl pl
pl
(3-3)
Aplicando la expansión de Taylor dada por la ecuación (3-3) en la ecuación (3-2) se obtiene el error
de medición debido a los errores de parámetros de líneas [38].
* * * * *
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i i ih x pl h x pl h x pl H x pl pl pl h x pl
* * *
( , ) ( , ) ( , )i i ih x pl h x pl H x pl pl pl
*
* *
( , ) ( , ) i
i i
pl
h
h x pl h x pl pl pl
pl
(3-4)
De donde:
𝑝𝑙 − 𝑝𝑙∗
son los errores de parámetros de líneas sospechosas.
ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙) − ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙∗
) es el i-ésimo error de medición adicional debido a los errores de
parámetros de líneas.
𝐻𝑖(𝑥, 𝑝𝑙∗
) = [
𝜕ℎ 𝑖
𝜕𝑝𝑙
]
𝑝𝑙∗
es la derivada parcial de la i-ésima función no lineal con respecto a los
parámetros y evaluada con los valores erróneos de los parámetros de líneas sospechosas.
De la ecuación (3-4) se puede concluir que los errores de parámetros de líneas influyen de forma casi
lineal a los errores de mediciones adicionales. Según [7, 11], aquellas líneas cuyas mediciones
adyacentes presenten residuales normalizados elevados serán sospechosas y habrá que realizar la PE
sobre ellas.
3.4 Clasificación de los Métodos de Estimación de Parámetros
En [30, 69], se propone la siguiente clasificación.
1. Métodos que usan un conjunto de mediciones: Estos métodos usan un vector de
mediciones disponibles en un determinado tiempo para estimar el vector de estado y el vector
de parámetros sospechosos ya sea de una forma simultánea o de una forma secuencial.
a) Estimación simultánea de estado y parámetros [9]: El método consiste en estimar un
vector de estado aumentado, compuesto de las variables de estado del SEP (magnitudes de
voltajes nodales y ángulos de fase nodales) y de los parámetros sospechosos, a partir del
vector de mediciones disponibles. Es decir, resuelve simultáneamente para estimar variables
de estado y parámetros sospechosos juntos.
b) Estimación secuencial de estado y parámetros [27, 29]: El método consiste en primero
estimar el vector de estado del SEP (magnitudes de voltajes nodales y ángulos de fase
nodales) con los parámetros sospechosos fijos, para después estimar los parámetros
sospechosos a partir de los resultados de SE previos. Las sucesivas correcciones de
parámetros y las nuevas estimaciones de estado se pueden ver como un lazo externo que
incluye el estimador.
2. Métodos que usan varios conjuntos de mediciones: En este tipo de métodos se usan varios
conjuntos de mediciones tomados en diferentes instantes de tiempo ya que se pueden obtener
mejores estimaciones a partir de esta consideración. En este caso la técnica del aumento del
estado no es recomendable debido a problemas de dimensión de arreglos, por lo que se
proponen los siguientes esquemas.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-84-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
51
a) Estimador adaptativo [26]: Consiste en procesar secuencialmente los vectores de
mediciones disponibles 𝑧1, … , 𝑧 𝑘. Al procesar el i-ésimo vector de medición, las variables de
estado y los parámetros sospechosos son estimados a partir de un estimador simultáneo de
estado y parámetros, usando el vector de medición 𝑧𝑖, aumentado con pseudo-mediciones que
resumen el conocimiento adquirido de los parámetros en el procesamiento de los vectores de
mediciones anteriores 𝑧1, … , 𝑧1−𝑖. Este puede ser visto como un filtro adaptativo debido a que
la PE se mejora conforme 𝑖 se incrementa. Este método puede ser utilizado en línea.
b) Estimación secuencial múltiple de estado y parámetros [61, 19, 20]: Consiste en realizar
k estimaciones de estado independientes con valores fijos de los parámetros sospechosos,
después se obtienen los valores estimados de los parámetros a partir de los resultados de SE
anteriores. El ciclo completo es repetido hasta que un criterio de convergencia se cumple.
Este método es una generalización del estimador secuencial de estado y parámetros descrito
anteriormente y puede ser empleado fuera de línea.
En [6, 7, 8], se considera la siguiente clasificación.
1. Métodos basados en el análisis de sensibilidad residual [27, 28, 29, 30, 31, 69]: Este tipo
de métodos realizan la PE después del estudio de estimación de estado convencional. Usando
este enfoque los procedimientos de identificación y estimación de parámetros constituyen
rutinas separadas y adicionales al estudio de SE, por lo tanto, la principal ventaja es que el
código principal del estimador de estado no es modificado. Con los resultados del estimador
se analizan los residuales de medición, seleccionando aquellas mediciones que presentan los
mayores residuos. Por medio de la relación existente de los residuales de medición y los
errores de los dispositivos de medición dada por la ecuación (2-80), se calculan los errores
de los parámetros y se actualizan sus valores.
2. Métodos que aumentan el vector de estado: Estos métodos agregan al vector de estado, los
parámetros sospechosos que requieren ser estimados. En este caso, el estimador de estado se
lleva a cabo al mismo tiempo que el estimador de parámetros. Para identificar cuales
parámetros deben incluirse en el vector de estado, se debe ejecutar una SE previa. Claramente
es necesario modificar la rutina de estimación de estado convencional.
a) Solución basada en ecuaciones normales [9, 32, 1, 19, 20, 70]: Este método es una
extensión del modelo de estimación de estado convencional estudiado en el CAPÍTULO 2 de
esta tesis. Se pueden usar varios conjuntos de mediciones que pueden ser procesadas de forma
simultánea o de forma secuencial con el objetivo de incrementar la redundancia alrededor de
los parámetros sospechosos.
b) Solución basada en la teoría de filtros de Kalman [26, 33, 34, 40, 71]: Este método es de
tipo recursivo ya que va estimando los parámetros sospechosos conforme se vaya procesando
un nuevo conjunto de mediciones, es decir, varios conjuntos de mediciones son procesados
de forma secuencial para mejorar de forma recursiva los valores de parámetros sospechosos.
Partiendo de un conjunto de mediciones, el estimador basado en la teoría de Kalman estima
los parámetros sospechosos y sus respectivos valores de covarianza. Al procesar el siguiente
conjunto de mediciones 𝑘 + 1, las estimaciones de parámetros determinados en 𝑘, se utilizan
como pseudo-mediciones y la covarianza asociada es la calculada en 𝑘. En el procesamiento
de cada conjunto de mediciones es necesario la actualización de una matriz de covarianza de
errores de parámetros, lo cual puede causar que el método sea complicado cuando el número
de parámetros es grande.
La segunda clasificación resalta la diferencia más importante, que es el aumento o no del vector de
estado con los parámetros sospechosos como variables adicionales para realizar la PE. El método que
se usó para esta tesis es el de PE por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales, el
cual se detallará en la siguiente sección.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-85-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
52
3.5 Estimación de Parámetros de Líneas de Transmisión por el
Aumento del Vector de Estado Usando Ecuaciones
Normales
El uso de las ecuaciones normales se refiere a la solución de la estimación simultánea de estado y
parámetros por medio de la formulación de Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted
Least Squares” en inglés), según [38]. El método aumenta el vector de estado con los parámetros de
líneas a estimar como si fuesen variables independientes, por lo tanto éstas se calculan junto con las
magnitudes de voltaje y los ángulos de fase de los nodos del sistema. Los parámetros que se añaden
al vector de estado son la conductancia serie (𝑔 𝑝𝑞), la susceptancia serie (𝑏 𝑝𝑞) y la susceptancia en
derivación sobre dos (𝑏 𝑝𝑞
𝑠ℎ
), esto es a partir del modelo de rama unificado dado por la Figura 2-6. La
formulación matemática que se desarrolla a continuación contempla solo un conjunto de mediciones.
3.5.1 Formulación Matemática
Considerando el modelo de medición de la ecuación (3-1) se puede desarrollar la formulación
matemática del estimador de parámetros de líneas a estimar. Se recomienda ver el APÉNDICE A
para estudiar el concepto de variable aleatoria. Usando la formulación de WLS, la estimación puede
ser obtenida a partir del siguiente planteamiento.
2
1 1 1
( , ) ( )
minimizar
m m m
i i i i i i aum
i i ii i i
z z h x pl z h x
(3-5)
De donde:
𝑧𝑖 es el i-ésimo elemento del vector de mediciones.
𝜇𝑖 = ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙) es el valor esperado del i-ésimo elemento del vector de mediciones.
𝜎𝑖 es la desviación estándar del i-ésimo elemento del vector de mediciones.
𝑥 𝑎𝑢𝑚 = [𝑥 𝑝𝑙] 𝑇
es el vector de estado aumentado compuesto de las magnitudes de voltajes
nodales, los ángulos de fase nodales y los parámetros de líneas a estimar.
𝑚 es el número de mediciones disponibles.
El problema de minimización de la ecuación (3-5) puede ser reescrito como el siguiente problema de
optimización.
2
1
minimizar
sujeto a ( ) , 1, ,
m
ii i
i
i i aum i
W r
z h x r i m
(3-6)
De donde:
𝑊𝑖𝑖 = 𝜎𝑖
−2
es el peso asignado a la i-ésima medición.
𝑟𝑖 = 𝑧𝑖 − ℎ𝑖(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es el i-ésimo residual de medición.
La solución del problema de optimización dado por la ecuación (3-6) es el estimador WLS para el
vector de estado aumentado (magnitudes de voltajes nodales, ángulos de fase nodales y parámetros
de líneas a estimar). Según [6, 38], el estimador de WLS minimizará la función objetivo dada por la
ecuación (3-7).](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-86-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
53
2
2
2
1 1
( )
( ) ( )
m m
i i aum
aum ii i i aum
i ii
z h x
J x W z h x
( ) ( ) ( )
T
aum aum aumJ x z h x W z h x (3-7)
De donde 𝑊 = 𝑅−1
.
La condición de optimización que debe satisfacer el estimador de WLS para el modelo aumentado se
presenta por la ecuación (3-8).
( )
0 ( ) ( ) ( ) 0Taum
aum aum aum aum
aum
J x
g x H x W z h x
x
(3-8)
De donde 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) = [ 𝐻(𝑥 𝑎𝑢𝑚) 𝐻 𝑝(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] 𝑇
= [
𝜕ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚)
𝜕𝑥
𝜕ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚)
𝜕𝑝𝑙
]
𝑇
.
Expandiendo la función vectorial no lineal ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
) en series de Taylor alrededor del vector de estado
aumentado 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
y despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se obtiene la ecuación (3-9).
1 1
( ) ( ) ( )k k k k k
aum aum aum aum aum aumh x h x H x x x
(3-9)
Según [11], sustituyendo la ecuación (3-9) en la ecuación (3-8) se obtiene el esquema de solución
iterativo para el modelo aumentado, el cual incluye los parámetros de las líneas a estimar como se
muestra en la ecuación (3-10).
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0k T k k k k k
aum aum aum aum aum aum aum aumg x H x W z h x H x x x
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0T k k T k k k k
aum aum aum aum aum aum aum aum aumH x W z h x H x WH x x x
1
( ) ( ) ( ) ( )T k k k k T k k
aum aum aum aum aum aum aum aum aumH x WH x x x H x W z h x
1
( ) ( ) ( )k k T k k
aum aum aum aum aum aumG x x H x W z h x
(3-10)
De donde:
𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) = 𝐻 𝑎𝑢𝑚
𝑇
(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
)𝑊𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) es la matriz de Ganancia aumentada en la k-
ésima iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × (𝑛 + 𝑛 𝑝).
Δ𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
= 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
− 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
es el vector de incrementos aumentado de los estados y los
parámetros de líneas a estimar en la k-ésima iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × 1.
𝐻 𝑎𝑢𝑚
𝑇
(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) es la transpuesta de la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración de
dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × 𝑚.
𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) es la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 ×
(𝑛 + 𝑛 𝑝).
𝑊 es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 𝑚.
𝑧 es el vector de mediciones de dimensión 𝑚 × 1.
ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) es la función de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × 1.
𝑚 es el número de mediciones disponibles.
𝑛 es el número de variables de estado del SEP.
𝑛 𝑝 es el número de parámetros de líneas a estimar del sistema.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-87-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
54
El método trata entonces de minimizar el residuo de las mediciones ponderado por sus varianzas y
haciendo ajustes simultáneos a los estados y a los parámetros de líneas a estimar. El conjunto de
ecuaciones normales dada por la ecuación (3-10), se resuelve en cada iteración hasta que el máximo
valor absoluto del vector de incrementos aumentado se encuentre por debajo de una tolerancia
especificada 𝜀. Al comenzar el proceso iterativo de la ecuación (3-10) con perfil plano de magnitudes
y ángulos de fase, esto conducirá a una matriz de Ganancia aumentada casi singular durante la primera
iteración. Por eso es necesario, según [6, 38], aumentar el vector de estado a partir de la segunda
iteración para evitar este problema.
3.5.2 Algoritmo de Estimación de Parámetros de Líneas de
Transmisión
El algoritmo del proceso de solución iterativo del estimador de parámetros por el aumento del
vector de estado usando ecuaciones normales se describe a continuación.
1. Establecer el contador de iteraciones en 𝑘 = 1.
2. Inicializar el vector de estado aumentado 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
con perfil plano de voltajes y con los valores
de parámetros de líneas a estimar que se tengan en la base de datos.
3. Si 𝑘 = 1 entonces realizar una iteración de estimación de estado convencional y después ir
al paso 4. Si 𝑘 ≠ 1 ir directamente al paso 4.
4. Calcular la función de mediciones ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) y el vector de los residuales 𝛥𝑧 𝑘
= 𝑧 −
ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
).
5. Calcular la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) y su transpuesta 𝐻 𝑎𝑢𝑚
𝑇
(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
).
6. Calcular el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales 𝐻 𝑎𝑢𝑚
𝑇
(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
)𝑊(𝑧 −
ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
)).
7. Calcular la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
).
8. Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos aumentado
∆𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
.
9. Realizar la prueba de convergencia, 𝑚𝑎𝑥|∆𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
| ≤ 𝜀?
10.Si no se cumple, actualizar el vector de estado aumentado 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
= 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
+ ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
, formar la
nueva matriz de admitancia nodal con los parámetros estimados, hacer 𝑘 = 𝑘 + 1 y regresar
al paso 3. Si se cumple, actualizar el vector de estado 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
= 𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
+ ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
y salir del
proceso iterativo.
En la Figura 3-1 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo de PE. El
código del programa principal de estimación de parámetros se incluye en la sección E.3 del
APÉNDICE E como PROGRAM PARAMETER_ESTIMATOR. Asimismo, en el APÉNDICE E
se presentan los módulos (sección E.4) y las subrutinas (sección E.5) necesarias para la ejecución del
programa principal.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-88-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
56
En las siguientes secciones se detallan las estructuras de datos de los vectores y matrices involucrados
en el proceso de estimación dado por la ecuación (3-10). El vector de mediciones y la matriz de
ponderación tienen las mismas estructuras presentadas en el CAPÍTULO 2 de esta tesis.
3.5.2.1 El Vector de Estado Aumentado
Sea 𝑁 el número de nodos del SEP y 𝑛 𝑝 el número de parámetros a estimar, entonces el vector de
estado aumentado se compone de 𝑛 + 𝑛 𝑝 = (2𝑁 − 1) + 𝑛 𝑝 elementos que son las variables de
estado y de los cuales 𝑁 son magnitudes de voltajes nodales, 𝑁 − 1 son ángulos de fase nodales y 𝑛 𝑝
son los parámetros de líneas a estimar. La dimensión del vector de estado es de (𝑛 + 𝑛 𝑝) × 1. Las
siguientes derivaciones toman en cuenta que el nodo 1 es el nodo de referencia y por lo tanto el vector
de estado aumentado presenta una estructura en la k-ésima iteración dada en la Figura 3-2.
1
2
2
3
k
k
k
N
k
k
k
aum
k
N
k
pq
k
pq
ksh
pq
V
V
V
x
g
b
b
Figura 3-2 Estructura del vector de estado aumentado en la k-ésima iteración.
3.5.2.2 La Función de Mediciones
La función de mediciones es un vector que contiene las ecuaciones que relacionan las mediciones
disponibles con las variables de estado del modelo aumentado. La dimensión de la función de
mediciones es de 𝑚 × 1 y como es función de las variables de estado, entonces se estará actualizando
debido a los valores estimados que se obtengan en cada iteración. Las expresiones se basan en las
ecuaciones de flujos de potencia dados en [5] y se detallan a continuación basándose en el modelo de
rama unificado dado por la Figura 2-6.
Las ecuaciones de magnitudes de voltaje son:
( )k k
p aum pV x V (3-11)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-90-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
58
𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝.
La Figura 3-3 muestra la estructura en la k-ésima iteración de la función de mediciones para el modelo
aumentado.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
k
p aum
k
pq aum
k
qp aum
k k
aum pq aum
k
qp aum
k
p aum
k
p aum
V x
P x
P x
h x Q x
Q x
P x
Q x
Figura 3-3 Estructura de la función de mediciones para el modelo aumentado en la k-ésima
iteración.
3.5.2.3 La Matriz Jacobiana Aumentada
Como el vector de estado es aumentado, la matriz Jacobiana de mediciones presentada en la Figura
2-12 debe aumentarse para colocar tantas columnas como nuevas variables de estado fueron añadidas
[6, 7, 11]. La matriz Jacobiana aumentada se compone por las derivadas parciales de las ecuaciones
de la función de mediciones con respecto a las variables de estado del SEP (incluyendo los parámetros
sospechosos).
La dimensión de la matriz Jacobiana aumentada es de 𝑚 × (𝑛 + 𝑛 𝑝) y como es función de las
variables de estado, entonces va estar actualizándose en cada iteración, por lo que dicha matriz viene
dada por la ecuación (3-18).](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-92-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
64
Con respecto a la susceptancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar:
22
( )
cosp k k k k
p pq p qp
k
aum k
pq pq qk
pq
Q x
a V a V a V
b
(3-66)
Con respecto a la susceptancia en derivación sobre dos de las líneas cuyos parámetros se van
a estimar:
2 2( )p k
pksh
pq
k
aum
pq
Q x
a V
b
(3-67)
De donde:
𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝.
Ω 𝑝 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, excluyendo al nodo 𝑝.
La Figura 3-4 muestra la estructura en la k-ésima iteración de la matriz Jacobiana aumentada.
3.5.2.4 La Matriz de Ganancia Aumentada
La matriz de Ganancia aumentada es una matriz de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × (𝑛 + 𝑛 𝑝) y viene dada por
la ecuación (3-68) en la k-ésima iteración [33].
( ) ( ) ( )k T k k
aum aum aum aum aum aumG x H x WH x (3-68)
Según [33], una red es observable con respecto a la estimación simultánea de estado y parámetros si
y solo si la matriz Jacobiana aumentada dada por la Figura 3-4 es de rango columna completo. Si lo
es, entonces se asegura que 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
) es no singular y el conjunto de ecuaciones normales tiene
solución única.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-98-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
66
3.5.3 Observabilidad de Parámetros de Red
La observabilidad de los parámetros que definen una línea en particular depende de las mediciones
adyacentes a dicha línea, estas incluirán flujos de potencia de la línea e inyecciones de potencia en
los nodos terminales de dicha línea. Cuando todas las mediciones en este conjunto son críticas,
entonces ninguno de los parámetros de esa línea será observable, de hecho cualquier parámetro
permanecerá sin ser detectado debido a que sus correspondientes residuales serán nulos. Por el
contrario, si todos los elementos de dicho conjunto son redundantes, entonces al menos un parámetro
de línea puede ser añadido al vector de estado convencional para realizar la estimación simultánea de
estado y parámetros, de acuerdo con [33]. Para la estimación de varios parámetros se requiere un
nivel más alto de redundancia.
Desde el punto de vista numérico se debe tener especial cuidado al realizar la PE. Según [6], los
términos de la matriz Jacobiana aumentada correspondientes a los parámetros a ser estimados de una
línea son casi nulos cuando se inicia con un perfil plano de voltajes nodales y además cuando el flujo
de potencia a través de esa línea es muy pequeño. Por lo tanto, esos parámetros son no observables
para líneas cuyos flujos de potencia son despreciables o al menos el valor estimado obtenido no es
muy fiable debido a inestabilidades numéricas. Se debe recurrir a los métodos de observabilidad
numérica para decidir si un parámetro particular añadido al vector de estado es observable.
3.6 Robustez Numérica de Matrices
Una vez descritos los algoritmos de SE y de PE, es necesario describir un método para analizar la
robustez numérica de las matrices involucradas en estos procesos. Esto se puede realizar a través del
cálculo del rango numérico de la matriz Jacobiana de mediciones y la matriz Jacobiana aumentada,
así como el cálculo del rango numérico, el número de condición y la distancia relativa a la
singularidad de la matriz de Ganancia y la matriz de Ganancia aumentada. Esta sección se centra en
una de las descomposiciones más importantes dentro del algebra lineal numérica que es la
Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés) y
algunas de sus aplicaciones.
3.6.1 Condición de Problemas Numéricos y Estabilidad
Numérica de Algoritmos
Los problemas planteados matemáticamente cuya solución se obtiene a partir del uso de una
computadora usualmente realizan los cálculos matemáticos con una representación inexacta del
modelo o bien del problema mismo. Además, estos cálculos se realizan con una aritmética limitada,
es decir con una precisión finita (los cálculos se realizan con la presencia de errores de redondeo y de
truncamiento en cada iteración) y rango finito (los resultados parciales y finales están dentro del rango
de la aritmética de la máquina que se esté usando). Debido a esto se puede decir que en la mayoría de
los casos, la solución calculada será la solución de un problema perturbado debido a la máquina
empleada y a la precisión de la aritmética usada, de acuerdo con [72].
Según [73], un problema numérico es una descripción clara e inconfundible de la relación funcional
entre los datos de entrada (variables independientes) y los datos de salida (resultados deseados), los
cuales se componen de un número finito de valores reales y por lo tanto son representados por
vectores de dimensión finita. Ahora bien, un algoritmo de un problema numérico es una
descripción completa de operaciones bien definidas (pueden ser aritméticas o lógicas) a partir de las](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-100-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
67
cuales el vector de datos de entrada es transformado en un vector de datos de salida. Con la
descripción de estos términos se procede a efectuar el análisis desarrollado en [72] para describir la
estabilidad numérica de un algoritmo y la condición de los problemas numéricos que son conceptos
muy importantes en la rama del análisis numérico.
Suponga que tenemos un problema definido matemáticamente y representado por 𝑓 el cual actúa
sobre un conjunto de datos 𝑑 ∈ 𝔇 para producir un conjunto solución 𝑓(𝑑) ∈ 𝒮. Dado 𝑑 ∈ 𝔇 se
requiere calcular 𝑓(𝑑), pero solo se tiene una aproximación 𝑑∗
del conjunto de datos y a lo mucho
podemos aspirar a calcular 𝑓(𝑑∗
). Si 𝑓(𝑑∗
) es cercano a 𝑓(𝑑), el problema está bien condicionado,
pero si 𝑓(𝑑∗
) difiere mucho de 𝑓(𝑑) cuando 𝑑∗
es cercano a 𝑑, el problema está mal condicionado.
El algoritmo para determinar 𝑓(𝑑) es numéricamente estable si no añade más sensibilidad a la
perturbación inherente al problema, ya que la estabilidad asegura que el conjunto solución calculado
con 𝑓∗
es cercano al conjunto solución ligeramente perturbado. Es decir, sea 𝑓∗
el algoritmo usado
para aproximar a 𝑓, entonces 𝑓∗
es estable si para toda 𝑑 ∈ 𝔇 existe 𝑑∗
∈ 𝔇 que es cercano a 𝑑 tal
que 𝑓∗
(𝑑) es cercano a 𝑓(𝑑∗
). Esto no quiere decir que un algoritmo numéricamente estable puede
resolver problemas mal condicionados y aun así obtener buenos resultados, pero un algoritmo
numéricamente inestable puede producir soluciones deficientes incluso con problemas bien
condicionados. Asimismo, en [73] se argumenta que existen algunas causas para la poca precisión de
los datos de salida ya sea porque el algoritmo fue mal construido o porque los datos de salida son
muy sensibles a las perturbaciones en los datos de entrada independientemente de la elección del
algoritmo. En el primer caso se dice que el algoritmo está mal condicionado y en el segundo caso se
dice que el problema está mal condicionado, aunque también se puede decir que el algoritmo es
numéricamente inestable o que el problema es matemáticamente inestable. El análisis de los
algoritmos requiere del uso de normas matriciales, ya que la calidad de la solución de un sistema
lineal puede ser deficiente si la matriz de coeficientes es casi singular. Entonces para cuantificar la
noción de cercanía a la singularidad se requiere de una medida de distancia en el espacio de las
matrices, por lo que las normas matriciales son usadas para definirla, según [74]. En el APÉNDICE
B se presenta una breve explicación de las normas vectoriales y las normas matriciales que son útiles
en los cálculos posteriores.
Se dice en [74] que frecuentemente las normas se usan para cuantificar el efecto de las perturbaciones
y por lo tanto es de mucha utilidad para el siguiente planteamiento. Suponga que 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛
, 𝑏 ∈ ℝ 𝑛
y se requiere la solución del siguiente sistema lineal de ecuaciones.
Ax b (3-69)
De donde:
𝐴 es la matriz de coeficientes de dimensión 𝑛 × 𝑛.
𝑥 es el vector de incógnitas de dimensión 𝑛 × 1.
𝑏 es el vector de coeficientes del miembro derecho de dimensión 𝑛 × 1.
Como se puede notar, la ecuación (3-69) representa el conjunto de ecuaciones normales dado por la
ecuación (2-35) para el estimador de estado convencional y la ecuación (3-10) para el estimador de
parámetros, por lo que se puede hacer la siguiente analogía a partir de las ecuaciones antes
mencionadas.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-101-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
68
𝐴 ⟹ 𝐺(𝑥 𝑘
) y 𝐴 ⟹ 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
), la matriz de coeficientes representa la matriz de Ganancia
(para el estimador de estado convencional) o bien la matriz de Ganancia aumentada (para el
estimador de parámetros).
𝑥 ⟹ ∆𝑥 𝑘+1
y 𝑥 ⟹ ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘+1
, el vector de incógnitas representa el vector de incrementos de
los estados (para el estimador de estado convencional) o bien el vector de incrementos
aumentado (para el estimador de parámetros).
𝑏 ⟹ 𝐻 𝑇
(𝑥 𝑘
)𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑘
)) y 𝑏 ⟹ 𝐻 𝑎𝑢𝑚
𝑇
(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
)𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚
𝑘
)), el miembro derecho de
la ecuación (3-69) representa el miembro derecho de la ecuación (2-35) o bien el miembro
derecho de la ecuación (3-10).
Ahora bien, la solución calculada a través del uso de una computadora es obtenida del siguiente
problema perturbado, conforme con [74].
[ ] ( ) , (0)A F x b f x x (3-70)
De donde:
𝜀𝐹 es la perturbación de la matriz de coeficientes de dimensión 𝑛 × 𝑛.
𝜀𝑓 es la perturbación del miembro derecho de la ecuación (3-69) de dimensión 𝑛 × 1.
𝑥(𝜀) es la solución perturbada del sistema de ecuaciones lineales de dimensión 𝑛 × 1.
𝜀 es un escalar que representa el error entre la solución perturbada y la solución no perturbada.
Derivando la ecuación (3-70) con respecto a 𝜀 y evaluándola en 0, se obtiene lo siguiente:
[ ] ( ) [ ] ( )A F x F x f
[ ] ( ) [ ] ( )A F x f F x
[ ] ( )
( )
[ ]
f F x
x
A F
[ ] (0)
(0)
[ (0) ]
f F x f Fx
x
A F A
1
(0) [ ]x A f Fx
(3-71)
Expandiendo 𝑥(𝜀 ) en series de Taylor alrededor de 0 y empleando las ecuaciones (3-70) y (3-71) se
obtiene la ecuación (3-72).
( ) (0) [ ( ) (0)] (0)x x x x x
1
( ) [ ]x x A f Fx
(3-72)
Aplicando las normas de vectores y las normas de matrices consistentes a la ecuación (3-72) se
obtiene la ecuación (3-73), según [74].
1
( ) [ ]x x A f Fx
1
( )x x f
FA
x x
(3-73)
Ahora se define el número de condición para una matriz cuadrada como sigue.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-102-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
69
1(A)cond A A (3-74)
Además, de la ecuación (B-10) establecida en el APÉNDICE B y la ecuación (3-69), se deduce la
ecuación (3-75).
b Ax
b Ax xA
b xA (3-75)
Aplicando las ecuaciones (3-74) y (3-75) en la ecuación (3-73) se obtiene la relación entre el error
relativo de 𝑥 y los errores relativos de la matriz 𝐴 y el vector 𝑏.
1
( )x x f F
A A
x xA A
( )
( )
x x fFcond A
x xA A
( )
( )
x x fFcond A
x bA
( )x A bcond A (3-76)
De donde:
𝜌 𝑥 es el error relativo de la solución 𝑥.
𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) es el número de condición de la matriz de coeficientes 𝐴.
𝜌 𝐴 es el error relativo de la matriz de coeficientes 𝐴.
𝜌 𝑏 es el error relativo del vector de coeficientes del miembro derecho 𝑏.
La ecuación (3-76) es muy importante ya que muestra como el error relativo en 𝑥 puede ser
incrementado por un factor 𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) de los errores relativos de la matriz 𝐴 y el vector 𝑏, es por esto
que el número de condición cuantifica la sensibilidad del problema 𝐴𝑥 = 𝑏. Se dice que si el número
de condición es grande, entonces el problema está mal condicionado y si el número de condición es
pequeño, entonces el problema está bien condicionado.
3.6.2 Descomposición de Valores Singulares
Una de las herramientas más importantes en el campo del algebra lineal numérica es la
Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés) que se
define para matrices cuadradas o rectangulares y desempeña un papel importante en la caracterización
de matrices cercanas a ser singulares. Antes de presentar el teorema de la SVD se define el término
de valores singulares como sigue [75, 76].
Definición 3.1 Si 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛
, los valores singulares de A son las raíces cuadradas de los eigenvalores
de 𝐴 𝑇
𝐴 y se denotan como 𝜎1, 𝜎2, … , 𝜎 𝑛. Es convencional ordenar los valores singulares de modo
que 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛.
Ahora se presenta el teorema de la SVD, según [77] cualquier matriz puede factorizarse usando este
teorema.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-103-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
70
Teorema 3.1 Sea 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛
, entonces existe una matriz ortogonal 𝑈 ∈ ℝ 𝑚×𝑚
, una matriz ortogonal
𝑉 ∈ ℝ 𝑛×𝑛
y una matriz diagonal 𝛴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛
tales que:
T
A U V (3-77)
De donde 𝛴 = [
𝑆 0
0 0
], 𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎𝑟) 𝜖 ℝ 𝑟×𝑟
y 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟 > 0. En el que su versión
abreviada es:
1
1 11 2
2
0
0 0
T
T
T
S V
A U SVU U
V
(3-78)
En la ecuación (3-78) los tamaños de las submatrices son determinados por 𝑟 (el cual debe ser ≤
𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}), es decir, 𝑈1 ∈ ℝ 𝑚×𝑟
, 𝑈2 ∈ ℝ 𝑚×(𝑚−𝑟)
, 𝑉1 ∈ ℝ 𝑛×𝑟
, 𝑉2 ∈ ℝ 𝑛×(𝑛−𝑟)
y los bloques de 0 en
Σ presentan dimensiones adecuadas.
Definición 3.2 Sea 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇
la SVD de 𝐴 en el Teorema 3.1, entonces:
1. Los valores singulares de 𝐴 distintos de cero son denotados por 𝛴(𝐴) = {𝜎1, … , 𝜎𝑟} tal que
𝑟 ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}. Note que también existen 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} − 𝑟 valores singulares iguales a cero.
2. Las columnas de 𝑈 son llamados vectores singulares del lado izquierdo de 𝐴 y son los
eigenvectores ortonormales de 𝐴𝐴 𝑇
.
3. Las columnas de 𝑉 son llamados vectores singulares del lado derecho de 𝐴 y son los
eigenvectores ortonormales de 𝐴 𝑇
𝐴.
Ahora se mencionan algunas propiedades básicas de la SVD, según [75, 76, 77].
Teorema 3.2 Sea 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛
que tiene una SVD dada por 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇
. Usando la notación del
Teorema 3.1, las siguientes propiedades se mantienen.
1. El número de valores singulares distintos de cero es el rango de 𝐴.
( )rank A r (3-79)
2. Sean 𝑈 = [𝑢1, … , 𝑢 𝑚] y 𝑉 = [𝑣1, … , 𝑣 𝑛], la forma del producto externo de la SVD viene
dada por la siguiente ecuación.
1
r
T
i i i
i
A u v
(3-80)
3. Los vectores singulares satisfacen las siguientes ecuaciones.
,i i iAv u i r (3-81)
,T
i i iA u v i r (3-82)
4. Sean 𝑈1 = [𝑢1, … , 𝑢 𝑟] , 𝑈2 = [𝑢 𝑟+1, … , 𝑢 𝑚] , 𝑉1 = [𝑣1, … , 𝑣𝑟] y 𝑉2 = [𝑣 𝑟+1, … , 𝑣 𝑛] ,
entonces constituyen bases ortonormales de los cuatro subespacios fundamentales.
𝑈1 es una base ortonormal de 𝑐𝑜𝑙(𝐴).
𝑈2 es una base ortonormal para 𝑛𝑢𝑙𝑜(𝐴 𝑇
).
𝑉1 es una base ortonormal para 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛(𝐴).
𝑉2 es una base ortonormal para 𝑛𝑢𝑙𝑜(𝐴).
3.6.3 Cálculo del Rango, el Número de Condición y la Distancia
Relativa a la Singularidad
El rango de una matriz es el número máximo de renglones y el número máximo de columnas
linealmente independientes de dicha matriz o equivalentemente es la dimensión de sus espacios](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-104-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
71
renglón y columna [74, 75, 76]. Este puede ser calculado al reducir la matriz a su forma escalonada
reducida por renglones y contar el número de renglones distintos de cero, pero como se ha descrito
anteriormente, debido a los errores de redondeo y de truncamiento este proceso puede ser afectado,
en especial si es un problema mal condicionado, de acuerdo con [75]. Esto es por ejemplo, si las
entradas que deben ser cero pueden terminar como números muy pequeños distintos de cero, lo que
puede afectar la capacidad para determinar con precisión el rango de esa matriz. Una alternativa es el
uso de la SVD para el cálculo del rango numérico de una matriz. Este puede ser calculado usando el
Teorema 3.1 y apoyándose del punto 1 del Teorema 3.2. La idea básica del uso de la SVD es que las
matrices ortogonales 𝑈 y 𝑉 del Teorema 3.1 preservan las longitudes y por lo tanto no introducen
errores adicionales, según [75].
Ahora bien, el mayor y el menor valor singular de una matriz 𝐴 son muy importantes por lo que se
tendrá la siguiente notación para ellos.
max ( ) Máximo valor singular deA A (3-83)
min ( ) Mínimo valor singular deA A (3-84)
Según [75], los valores singulares 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 de una matriz 𝐴 proporcionan información
acerca de que tanta distorsión puede ocurrir debido a la transformación 𝐴. Esto es ya que el grado de
distorsión que presenta una esfera unitaria bajo la transformación de 𝐴 puede ser medido como una
relación de los valores singulares de la matriz 𝐴. Esto está representado en el siguiente teorema, de
acuerdo con [78].
Teorema 3.3 Para una matriz 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛
teniendo valores singulares 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 y una SVD
dada por 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇
con 𝛴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎 𝑛), la imagen de una esfera unitaria es una elipsoide
con 𝑘 semiejes dados por 𝜎 𝑘 𝑢 𝑘 (vea la Figura 3-5). Además 𝑣 𝑘 es un punto en la esfera unitaria tal
que 𝐴𝑣 𝑘 = 𝜎 𝑘 𝑢 𝑘. Particularmente se cumple lo siguiente.
2
2max 1 1 22 1
( ) max
x
A Av Ax A
(3-85)
2
1
min 2 22 1
( ) min 1/n n
x
A Av Ax A
(3-86)
1v2v
3v
A
1 1u
2 2u
3 3u
Figura 3-5 Transformación de una esfera unitaria en un elipsoide debido a la matriz 𝐴.
Adaptado de [78].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-105-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
72
El grado de distorsión de la esfera unitaria a la cual se le aplica la transformación de 𝐴 puede ser
medido usando la 2-norma y este valor es conocido como el número de condición. Sustituyendo las
ecuaciones (3-85) y (3-86) en la ecuación (3-74).
max
min
( )
( )
( )
A
cond A
A
(3-87)
Es decir, la cantidad de distorsión de la esfera unitaria bajo la transformación de 𝐴 determina el grado
en que las incertidumbres del problema 𝐴𝑥 = 𝑏 pueden ser magnificados.
De [74] se sabe que la magnitud de 𝜎𝑟 (el último valor singular distinto de cero de la matriz 𝐴) es
muy influyente en la sensibilidad del problema 𝐴𝑥 = 𝑏, ya que representa la distancia de la matriz 𝐴
a un conjunto de matrices singulares. Por lo que mientras la matriz de coeficientes se acerque más a
este conjunto, es claro que el vector solución 𝑥 será cada vez más sensible a las perturbaciones. Esto
se detalla en el Teorema 3.4, conforme con [74, 78].
Teorema 3.4 Si 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟 son los valores singulares distintos de cero de 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛
, 𝑘 <
𝑟 = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) y 𝐴 𝑘 = ∑ 𝜎𝑖 𝑢𝑖 𝑣𝑖
𝑇𝑘
𝑖=1 , entonces se cumple lo siguiente.
21 2( ) ( )
min min
k
k k
rank B k rank A k
A AA B
(3-88)
El Teorema 3.4 dice que el valor singular más pequeño de 𝐴 es la distancia de 𝐴 a un conjunto de
matrices de rango deficiente, aunque también nos dice que la matriz 𝐴 𝑘 es la matriz de rango 𝑘 más
cercana a 𝐴. Ahora bien, a partir del Teorema 3.3 para matrices cuadradas y el Teorema 3.4 se puede
derivar el concepto de distancia relativa a la matriz singular más cercana, el cual viene dada por el
siguiente teorema, según [55].
Teorema 3.5 Sea 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛
que tiene valores singulares 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 y una SVD dada por
𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇
con 𝛴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎 𝑛). Además sea 𝐴 𝑘 la matriz singular más cercana a 𝐴 en el
sentido de que ‖𝐴 − 𝐴 𝑘‖2 es lo más pequeño posible. Entonces ‖𝐴 − 𝐴 𝑘‖2 = 𝜎 𝑛 y se cumple lo
siguiente.
2 min
2 1 max
( ) 1
( )
( ) ( )
k n
A A A
DR A
A cond AA
(3-89)
Es decir, la distancia de la matriz 𝐴 a la matriz singular más cercana es igual al valor singular más
pequeño 𝜎 𝑚𝑖𝑛(𝐴) de 𝐴 y la distancia relativa de 𝐴 a la matriz singular más cercana es el inverso del
número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴)−1
.
3.6.4 Algoritmo de Análisis de Robustez Numérica
Para obtener la SVD en esta tesis se utilizó la subrutina DLSVRR de la biblioteca IMSL de
FORTRAN [79]. Una vez obtenida la SVD se procede a calcular el rango, el número de condición y
la distancia relativa a la singularidad de las matrices de la última iteración del proceso de PE. El
algoritmo de análisis de robustez numérica del estimador de parámetros por el aumento del vector de
estado usando ecuaciones normales se describe a continuación.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-106-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
74
3.7 Cálculos para los Parámetros Estimados
Ya que los valores verdaderos de los parámetros son desconocidos desde el inicio y los resultados del
estimador de parámetros pueden ser afectados por el ruido de medición, los valores estimados no son
siempre correctos. Es decir, pueden producirse algunos resultados poco razonables o incorrectos en
el estimador de parámetros. Según [44], cuando se usa el método de PE por el aumento del vector de
estado se pueden obtener algunos resultados irrazonables como resistencias negativas o valores de
parámetros muy grandes. Para esto se usa el análisis probabilístico ya que está muy relacionado con
la característica aleatoria del estimador de parámetros. Los resultados del estimador de parámetros y
la precisión de los valores estimados es el tema principal de esta sección, ya que estos pueden ser
evaluados a partir del cálculo de sus intervalos de confianza e indicadores de precisión
respectivamente. Con los intervalos de confianza se pueden definir los parámetros con posibilidad de
error y solo estos deben ser corregidos con los valores estimados. Por otra parte los indicadores de
precisión de los parámetros estimados proporcionan información cuantitativa acerca de la precisión
de la PE. A continuación se describen los términos antes mencionados.
3.7.1 Intervalos de Confianza de Parámetros
Los intervalos de confianza de los parámetros pueden ser usados para describir los rangos de la
distribución de probabilidad de los valores de parámetros verdaderos, por lo que proporciona una
forma de evaluar los resultados del estimador de parámetros. Esto se hace calculando los intervalos
de confianza de los parámetros a estimar, si el valor se encuentra dentro de su intervalo de confianza
entonces se considera como un parámetro sin posibilidad de error y por lo tanto debe mantenerse sin
cambios. De otra forma, es un parámetro con posibilidad de error y debe ser corregido.
Considere la formulación de WLS descrita en la sección 2.4 y 3.5.1. La media y la covarianza del
vector de los errores de los dispositivos de medición viene dado por 𝐸(𝑒) = 0 y 𝐶𝑜𝑣(𝑒) = 𝜎2
𝐸
donde 𝜎2
es una constante desconocida y 𝐸 es una matriz diagonal conocida con elementos diferentes
de dimensión 𝑚 × 𝑚, según [44]. Se puede notar que 𝐸 representa la estructura supuesta de las
varianzas de los errores aleatorios y es usada en las ecuaciones (2-35) y (3-10) como 𝑊 = 𝐸−1
. De
acuerdo con [1], el vector de estado aumentado estimado 𝑥̂ 𝑎𝑢𝑚 se distribuye normalmente con una
media dada por 𝐸(𝑥̂ 𝑎𝑢𝑚) = 𝑥 𝑎𝑢𝑚 con una matriz de covarianza dada por 𝐶𝑜𝑣(𝑥̂ 𝑎) = 𝜎2
𝐺 𝑎𝑢𝑚
−1
.
Tomando en cuenta lo descrito anteriormente, una distribución t puede ser empleada para caracterizar
la distribución de los parámetros estimados 𝑝𝑙̂ 𝑖. Según [44], las estimaciones se distribuyen con una
distribución t con 𝑚 − (𝑛 + 𝑛 𝑝) grados de libertad que se describe por la ecuación (3-90).
2
ˆ
ii
pi
i
pl pl
T
c
(3-90)
De donde:
𝑇𝑝𝑖
es la distribución t del i-ésimo parámetro.
𝑝𝑙̂ 𝑖 es el i-ésimo parámetro estimado.
𝑝𝑙𝑖 es el i-ésimo parámetro verdadero.
𝜎̂2
es el valor estimado de la varianza de error 𝜎2
.
𝑐𝑖 es el i-ésimo elemento diagonal de 𝐺 𝑎𝑢𝑚
−1
correspondiente a 𝑝𝑙𝑖.
𝑚 es el número de mediciones disponibles.
𝑛 es el número de variables de estado del SEP.
𝑛 𝑝 es el número de parámetros de líneas a estimar.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-108-320.jpg)
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SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
75
Según [44], el valor estimado de la varianza de error 𝜎̂2
puede ser calculado por la ecuación (3-91).
2
ˆ ˆ( ) ( ) ˆ( )
ˆ
T
aum aum aum
p p
z h x W z h x J x
n n n nm m
(3-91)
Los intervalos de confianza con un nivel de confianza de 100 × (1 − 𝛼) del parámetro 𝑝𝑙𝑖 es
calculado a partir de la ecuación (3-92).
2 2
, ( ) , ( )
2 2
ˆ ˆi i ii im n n m n np p
pl t c pl pl t c
(3-92)
De donde:
𝑡 𝛼
2⁄ ,𝑚−(𝑛+𝑛 𝑝) es el valor de la distribución t evaluado con 𝛼
2⁄ y con 𝑚 − (𝑛 + 𝑛 𝑝) grados
de libertad.
La ecuación (3-92) proporciona una forma de calcular los intervalos de confianza de los parámetros
estimados usando un conjunto de mediciones y así evaluar los parámetros a estimar determinando los
parámetros con posibilidad de error que necesitan ser corregidos.
3.7.2 Indicadores de Precisión de la Estimación de Parámetros
Como la PE se lleva acabo tomando en cuenta el ruido aleatorio inherente en los dispositivos de
medición, por lo tanto los resultados proporcionados por el estimador de parámetros se propagarán
en la vecindad de sus valores verdaderos en una forma aleatoria. Sin embargo, no se sabe que tan
buenos son los resultados de la estimación puesto que los valores verdaderos son completamente
desconocidos. Los intervalos de confianza aportan información acerca del rango de distribución de
los valores estimados alrededor de su valor verdadero por lo que la precisión de la estimación puede
ser evaluada con la ayuda de ellos. Según [44], para un intervalo de confianza en específico, la
desviación máxima posible de la estimación puede ser calculada por la ecuación (3-93).
,max ,min
2
i i
i
i
b
pl
(3-93)
De donde:
𝜇𝑖,𝑚𝑎𝑥 es el límite superior del intervalo de confianza del parámetro 𝑝𝑙𝑖 dado en la ecuación
(3-92).
𝜇𝑖,𝑚𝑖𝑛 es el límite inferior del intervalo de confianza del parámetro 𝑝𝑙𝑖 dado en la ecuación
(3-92).
De acuerdo con [44], si la distribución t de la estimación es empleada, la ecuación (3-93) se puede
formular de la siguiente manera.
2
, ( )
2
ˆ i
i m n np
i
c
b t
pl
(3-94)
El indicador de precisión para la PE viene dado por la ecuación (3-95), conforme con [44].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-109-320.jpg)
![CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
76
1 min( ,1)i iI b (3-95)
En la ecuación (3-95), 𝐼𝑖 es un número entre 0 y 1. Mientras más grande sea 𝐼𝑖, la precisión de la
estimación será mayor. Por consiguiente, proporciona una medida para evaluar la precisión de los
resultados de la estimación de parámetros aun cuando los valores de parámetros verdaderos son
desconocidos.
3.7.3 Algoritmo de Cálculo de Intervalos de Confianza e
Indicadores de Precisión
Para obtener el valor de la distribución t, en esta tesis se utilizó la subrutina DTDF de la biblioteca
IMSL de FORTRAN [68]. Con el cálculo de la distribución t, se procede a calcular los intervalos de
confianza y el indicador de precisión de cada parámetro estimado. El algoritmo de cálculo de
intervalos de confianza e indicadores de precisión del estimador de parámetros por el aumento del
vector de estado usando ecuaciones normales se describe a continuación.
1. Resolver el problema de PE por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales
dado por la ecuación (3-10).
2. Calcula la inversa de la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración del estimador
de parámetros.
3. Calcula el valor estimado de la varianza de error dado por la ecuación (3-91).
4. Llama a la subrutina DTDF para obtener la distribución t evaluado con 𝛼
2⁄ y con 𝑚 − (𝑛 +
𝑛 𝑝) grados de libertad. Para esta tesis se ocupó 𝛼
2⁄ = 0.025 que corresponde a un nivel de
confianza de 1 − 𝛼 = 95% y un nivel de relevancia de 𝛼 = 5%, de acuerdo con [44].
5. Calcula los intervalos de confianza de los parámetros empleando la ecuación (3-92).
6. Calcula los indicadores de precisión de la PE usando las ecuaciones (3-94) y (3-95).
7. Imprime los intervalos de confianza y los indicadores de precisión descritos anteriormente.
En la Figura 3-7 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo cálculo de
intervalos de confianza e indicadores de precisión. El código de la subrutina de cálculo de intervalos
de confianza e indicadores de precisión se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E como
SUBROUTINE EVAL_CREDI_PARAM.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-110-320.jpg)
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79
CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
4.1 Introducción
En este capítulo se presentan los resultados de las simulaciones realizadas a los sistemas de 14 nodos
[59] y 39 nodos [60], utilizando el algoritmo de estimación de estado convencional estudiado en el
CAPÍTULO 2 y el algoritmo de estimación de parámetros estudiado en el CAPÍTULO 3. Para las
simulaciones de los sistemas se consideró una tolerancia de 1 × 10−5
para el criterio de convergencia
y una potencia base de 100 MVA. Los datos de los sistemas de prueba se pueden ver en el APÉNDICE
C.
Para la simulación de los errores de los dispositivos de medición se consideraron errores de
mediciones de hasta ±2% con una distribución normal, esto es de acuerdo al nivel de error presentado
en [10, 19, 20]. Asimismo, se simulan errores de parámetros de +30% con respecto a los valores
nominales encontrados en los datos de parámetros de red del SEP, esto es de acuerdo con [15].
Además, se tienen en cuenta las siguientes consideraciones con respecto a las desviaciones estándar
de los dispositivos de medición.
1. Sistema Eléctrico de 14 nodos.
Para mediciones de magnitudes de voltaje 𝜎 = 0.008.
Para mediciones de flujos de potencia 𝜎 = 0.01.
Para mediciones de inyecciones de potencia 𝜎 = 0.012.
Para mediciones de inyecciones cero 𝜎 = 0.001.
2. Sistema Eléctrico de 39 nodos.
Para mediciones de magnitudes de voltaje 𝜎 = 0.014.
Para mediciones de flujos de potencia 𝜎 = 0.028.
Para mediciones de inyecciones de potencia 𝜎 = 0.030.
Para mediciones de inyecciones cero 𝜎 = 0.012.
Los algoritmos de SE y PE requieren de los datos de parámetros de red (líneas, transformadores y
elementos en derivación) así como de los resultados de un estudio de flujos de potencia (previamente
realizado) que serán perturbados con un generador de números pseudo-aleatorios, por lo que se
presentan en este capítulo. La Tabla 4-1 describe la simbología usada para representar cada tipo de
medición.
Tabla 4-1 Simbología para el tipo de medición.
Simbología Tipo
Mediciones de magnitudes de voltaje
Mediciones de flujos de potencia (activa y reactiva)
Mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva)
La metodología de prueba es la siguiente.
1. Leer los datos del SEP y los resultados del estudio de flujos de potencia que corresponden a
las mediciones ideales del SEP.
2. Perturbar los resultados del estudio de flujos con errores de hasta ±2% con una distribución
normal.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-113-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
80
3. Perturbar los parámetros de algunas líneas con errores de +30% del valor nominal
encontrado en los datos de parámetros de red del SEP.
4. Realizar el estudio de estimación de estado convencional contemplando los valores
perturbados de parámetros del paso 3.
5. Realizar el análisis de robustez numérica con el cálculo del rango numérico 𝑟𝑎𝑛𝑘[. ], el
número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑[. ] y la distancia relativa a la singularidad 𝐷𝑅[. ] de las matrices
de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional.
6. Realizar la prueba 𝜒2
(chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁
(residuales normalizados) para la
detección de datos erróneos.
7. Realizar la estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones
normales para las líneas cuyos parámetros se perturbaron en el paso 3.
8. Realizar el análisis de robustez numérica con el cálculo del rango numérico 𝑟𝑎𝑛𝑘[. ], el
número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑[. ] y la distancia relativa a la singularidad 𝐷𝑅[. ] de las matrices
de la última iteración del proceso de estimación de parámetros.
9. Realizar la prueba 𝜒2
y la prueba 𝑟 𝑁
para la detección de datos erróneos.
10.Realizar el cálculo de los intervalos de confianza y los indicadores de precisión de los
parámetros estimados.
Finalmente, la computadora utilizada para realizar las simulaciones presentadas en este capítulo tiene
las siguientes características:
Modelo: Toshiba Satellite C55-A.
Procesador: Intel Core i3-3110M CPU a 2.40 GHz.
Memoria instalada (RAM): 8 GB.
Disco duro: 680 GB.
Tipo de sistema: Sistema operativo de 64 bits.
4.2 Sistema Eléctrico de 14 Nodos
La Figura 4-1 muestra el sistema IEEE de 14 nodos. El sistema cuenta con 14 nodos (el nodo 7 es un
nodo de paso), 20 elementos (15 son líneas y 5 son transformadores) y 1 elemento en derivación. Los
datos del sistema se pueden ver en el APÉNDICE C.
1
2
5
6
11
10
4
3
7
8
9
12
13
14
[E1]
[E2]
[E3]
[E4]
[E5]
[E6]
[E7]
[E8]
[E9]
[E10]
[E11][E12]
[E13]
[E14]
[E15][E16]
[E17]
[E18]
[E19] [E20]
Figura 4-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59].](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-114-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
81
4.2.1 Resultados del Estudio de Flujos de Potencia
Ahora se presentan los resultados del estudio de flujos de potencia utilizando el programa desarrollado
en [80] a partir de los datos mostrados en el APÉNDICE C para el sistema IEEE de 14 nodos. Los
resultados se validaron con los mostrados en [59]. En la Tabla 4-2 se muestran los resultados de las
variables de estado del sistema.
Tabla 4-2 Variables de estado del sistema IEEE de 14 nodos.
Nodo 1 2 3 4 5 6 7
𝜽 (°) 0.000000 -4.982592 -12.725110 -10.312910 -8.773857 -14.220950 -13.359630
|𝑽| (pu) 1.060000 1.045000 1.010000 1.017671 1.019514 1.070000 1.061520
Nodo 8 9 10 11 12 13 14
𝜽 (°) -13.359630 -14.938530 -15.097290 -14.790630 -15.075590 -15.156280 -16.033650
|𝑽| (pu) 1.090000 1.055932 1.050985 1.056906 1.055189 1.050382 1.035530
En la Tabla 4-3 se muestran los resultados de las potencias de generación y carga por nodo.
Tabla 4-3 Potencias de generación y carga por nodo del sistema IEEE de 14 nodos.
Nodo 1 2 3 4 5 6 7
𝑷 𝑮 (MW) 232.393300 40.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
𝑸 𝑮 (MVAR) -16.549340 43.557100 25.075380 0.000000 0.000000 12.731010 0.000000
𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 21.700000 94.200000 47.800000 7.600000 11.200000 0.000000
𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 12.700000 19.000000 -3.900000 1.600000 7.500000 0.000000
Nodo 8 9 10 11 12 13 14
𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
𝑸 𝑮 (MVAR) 17.623470 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 29.500000 9.000000 3.500000 6.100000 13.500000 14.900000
𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 16.600000 5.800000 1.800000 1.600000 5.800000 5.000000
En la Tabla 4-4 se muestran los resultados de los flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos.
Tabla 4-4 Flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos del sistema IEEE de 14 nodos.
Conectividad 1 a 2 1 a 5 2 a 3 2 a 4 2 a 5 3 a 4 4 a 5
𝑷 𝒑𝒒 (MW) 156.882980 75.510400 73.237640 56.131540 41.516200 -23.285730 -61.158470
𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -20.404310 3.854920 3.560200 -1.550440 1.170920 4.473050 15.823740
Conectividad 4 a 7 4 a 9 5 a 6 6 a 11 6 a 12 6 a 13 7 a 8
𝑷 𝒑𝒒 (MW) 28.074130 16.079760 44.087330 7.353420 7.786010 17.747890 0.000000
𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -9.681230 -0.427640 12.470750 3.560680 2.503260 7.216390 -17.162700
Conectividad 7 a 9 9 a 10 9 a 14 10 a 11 12 a 13 13 a 14
𝑷 𝒑𝒒 (MW) 28.074300 5.227370 9.426400 -3.785090 1.614290 5.643890
𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) 5.778880 4.219090 3.610090 -1.614670 0.754000 1.747230](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-115-320.jpg)
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1
Nodos
Errorp(%) % Error
Figura 4-6 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta
los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
De la Figura 4-3 y la Figura 4-4 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen
porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 1,
2 y 3 que son los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de
la Figura 4-5 y la Figura 4-6 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de
fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de
error menores a 25%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan en los nodos 2
y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-9 y la Tabla 4-10 respectivamente.
Tabla 4-9 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
80.617231 0.896819 27
Tabla 4-10 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando
en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
721691056.568341 12040.503604 27 59938.610569 0.000016683737
De la Tabla 4-9 y la Tabla 4-10 se puede observar que 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tienen rango columna completo,
por lo tanto existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta
la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2
con 88
grados de libertad (115 mediciones-27 variables de estado) y con un de nivel de confianza del 95%.
Los resultados se muestran en la Tabla 4-11.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-122-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
90
la presencia de parámetros erróneos. Además se observa que el máximo residual normalizado
corresponde a una medición de la línea 2-3 que es una de las líneas con parámetros erróneos.
Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las
líneas 1-2 y 2-3 (elementos 1 y 3) considerando el esquema de 115 mediciones dado por la Figura
4-2. Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-14 donde el algoritmo se
tomó 5 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.062400 segundos.
Tabla 4-14 Resultados del estudio de estimación de parámetros
de los elementos 1 y 3 para el caso 1.
Parámetro 𝒓 𝟏−𝟐 𝒙 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.025194 0.076921 0.034320
Valor Estimado (pu) 0.019526 0.059253 0.026246
Valor Correcto (pu) 0.019380 0.059170 0.026400
% Error de Estimación 0.755590 0.140747 -0.583945
Parámetro 𝒓 𝟐−𝟑 𝒙 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.061087 0.257361 0.028470
Valor Estimado (pu) 0.046730 0.197554 0.021858
Valor Correcto (pu) 0.046990 0.197970 0.021900
% Error de Estimación -0.552691 -0.210241 -0.189866
Se observa de la Tabla 4-14 que las estimaciones de parámetros presentan porcentajes de error
menores a 1% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-15 y la Tabla 4-16
se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada
𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de
estimación de parámetros.
Tabla 4-15 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de
la estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 1.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
80.593600 0.032000 33
Tabla 4-16 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de
parámetros los elementos 1 y 3 para el caso 1.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
722023000.000000 10.116900 33 71367743.966612 0.000000014012
De la Tabla 4-15 y Tabla 4-16 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de
33, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de
las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-10 y Tabla 4-16 se puede ver que el número de
condición 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es de más de 1190 veces el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la
distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más pequeña que la de 𝐺(𝑥). En la Tabla 4-17
se presentan los resultados de la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-124-320.jpg)
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-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1A
Nodos
Errorp(%) % Error
Figura 4-11 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4.
De la Figura 4-8 y la Figura 4-9 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen
porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 1,
2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos.
Asimismo, de la Figura 4-10 y la Figura 4-11 se observa que existen mayores porcentajes de error en
los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan
porcentajes de error menores a 25%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-21 y la Tabla 4-22 respectivamente.
Tabla 4-21 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
79.937783 0.894554 27
Tabla 4-22 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando
en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
719616935.609652 11957.432798 27 60181.558011 0.000016616386
De la Tabla 4-21 y la Tabla 4-22 se puede observar que la 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tienen rango columna
completo y debido a esto existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable).
Ahora se presenta la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la
distribución 𝜒2
con 88 grados de libertad (115 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de
nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-23.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-128-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
96
De la Figura 4-12 y la Tabla 4-24 los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3
corresponden a las mediciones de las líneas 1-2, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4 y 4-5; en este conjunto se
encuentran las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-25 el máximo residual normalizado es
12.771139 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos,
además de que el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 1-5 que no es
una línea errónea pero es cercana a ellas. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por
el aumento del vector de estado para las líneas 1-2, 2-3 y 2-4 (elementos 1, 3 y 4). La Tabla 4-26
muestra los resultados del estudio de estimación de parámetros donde el algoritmo tomó 5 iteraciones
para converger con un tiempo de cómputo de 0.046800 segundos.
Tabla 4-26 Resultados del estudio de estimación de
parámetros de los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A.
Parámetro 𝒓 𝟏−𝟐 𝒙 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.025194 0.076921 0.034320
Valor Estimado (pu) 0.019537 0.059219 0.026252
Valor Correcto (pu) 0.019380 0.059170 0.026400
% Error de Estimación 0.809297 0.082170 -0.560718
Parámetro 𝒓 𝟐−𝟑 𝒙 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.061087 0.257361 0.028470
Valor Estimado (pu) 0.046700 0.197606 0.021915
Valor Correcto (pu) 0.046990 0.197970 0.021900
% Error de Estimación -0.617060 -0.183737 0.069737
Parámetro 𝒓 𝟐−𝟒 𝒙 𝟐−𝟒 𝒃 𝟐−𝟒
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.075543 0.229216 0.022100
Valor Estimado (pu) 0.058042 0.176484 0.016752
Valor Correcto (pu) 0.058110 0.176320 0.017000
% Error de Estimación -0.117341 0.092879 -1.456237
Se observa de la Tabla 4-26 que para las líneas 1-2 y 2-3 se obtienen porcentajes de error menores a
1% y para la línea 2-4 se obtuvieron porcentajes de error menores a 1.5%. Ahora se muestran los
resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la
matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de
parámetros.
Tabla 4-27 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de
la estimación de parámetros los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
80.592300 0.027800 36
Tabla 4-28 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de
parámetros los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
722040000.000000 7.691530 36 93874749.172613 0.000000010652
De la Tabla 4-27 y Tabla 4-28 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de
36, esto es porque se añadieron 9 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-130-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
103
en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-33 y la Tabla 4-34.
Tabla 4-33 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 2
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
48.825521 0.873699 27
Tabla 4-34 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 2 tomando
en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
662238113.359094 11599.324562 27 57092.816900 0.000017515338
De la Tabla 4-10 y Tabla 4-34 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 2 es de
0.95 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de
𝐺(𝑥) para el caso 2 es mayor que el de 𝐺(𝑥) para el caso 1. Ahora se presenta la prueba 𝜒2
para la
detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2
con 62 grados de libertad (89
mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran
en la Tabla 4-35.
Tabla 4-35 Prueba 𝜒2
para el caso 2 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
81.381014 669.517437 Sí
De la Tabla 4-35 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2
calculada, por
lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Ahora bien, en la Figura 4-18 se muestran
todos los residuales normalizados para el caso 2 y en la Tabla 4-36 se presentan únicamente los
residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de
99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-37 se muestran los resultados de la prueba de los residuales
normalizados.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-137-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
105
Tabla 4-38 Resultados del estudio de estimación de
parámetros para los elementos 1 y 3 para el caso 2.
Parámetro 𝒓 𝟏−𝟐 𝒙 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.025194 0.076921 0.034320
Valor Estimado (pu) 0.019538 0.059215 0.026087
Valor Correcto (pu) 0.019380 0.059170 0.026400
% Error de Estimación 0.813296 0.075790 -1.186693
Parámetro 𝒓 𝟐−𝟑 𝒙 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.061087 0.257361 0.028470
Valor Estimado (pu) 0.046829 0.197772 0.022148
Valor Correcto (pu) 0.046990 0.197970 0.021900
% Error de Estimación -0.343260 -0.100162 1.132844
Se observa de la Tabla 4-38 que las estimaciones de parámetros para la línea 1-2 y la línea 2-3
presentan porcentajes de error menores a 2% con respecto a los valores correctos de parámetros. En
la Tabla 4-39 y la Tabla 4-40 se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la
matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la
última iteración del proceso de estimación de parámetros.
Tabla 4-39 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de
la estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 2.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
48.848900 0.030000 33
Tabla 4-40 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de
parámetros los elementos 1 y 3 para el caso 2.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
662891000.000000 9.025510 33 73446384.304297 0.000000013615
De la Tabla 4-39 y Tabla 4-40 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de
33, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de
las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-34 y Tabla 4-40 se puede ver que el número de
condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 1200 veces el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la
distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más pequeña que la de 𝐺(𝑥). En la Tabla 4-41
se presentan los resultados de la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos.
Tabla 4-41 Prueba 𝜒2
para el caso 2 tomando en cuenta los
valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
81.381014 18.564953 No
De la Tabla 4-41 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos tomando en cuenta las
estimaciones de parámetros debido a que la función objetivo es menor que el cálculo de la distribución
𝜒2
con 62 grados de libertad (89 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de
confianza. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos
erróneos se muestran en la Tabla 4-42.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-139-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
111
en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-45 y la Tabla 4-46.
Tabla 4-45 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 3
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
64.408806 0.841553 27
Tabla 4-46 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 3 tomando
en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
720938161.271952 8710.677076 27 82764.882108 0.000012082419
De la Tabla 4-10 y Tabla 4-46 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 3 es de
1.38 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de
𝐺(𝑥) para el caso 3 es menor que el de la matriz de Ganancia para el caso 1.
Ahora se presenta la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la
distribución 𝜒2
con 14 grados de libertad (41 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de
nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-47.
Tabla 4-47 Prueba 𝜒2
para el caso 3 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
23.684790 18.524653 No
De la Tabla 4-47 se puede ver que la función objetivo es menor que la distribución 𝜒2
calculada, por
lo tanto no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Ahora bien, en la Figura 4-24 se
muestran todos los residuales normalizados para el caso 3. Asimismo, en la Tabla 4-48 se muestran
los resultados de la prueba de los residuales normalizados.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-145-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
113
4.3 Sistema Eléctrico de 39 Nodos
La Figura 4-25 muestra el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. El sistema cuenta con 39 nodos y
46 elementos (de los cuales 34 son líneas y 12 son transformadores). Los datos del sistema se pueden
ver en el APÉNDICE C.
1
3
30
5
11
13
35
36
37
38
34
2 33
14
32
39
18
31
10 25
8
26
27
28
29
24
6
22
21
16
17
15
19
20
4
23
7
[E1]
[E2]
[E3]
[E4]
[E5]
[E6]
[E7]
[E8]
[E9] [E10]
9
[E11]
[E12]
12
[E13]
[E14]
[E15]
[E16]
[E17]
[E18][E19]
[E20]
[E21]
[E22]
[E23]
[E24]
[E25]
[E26]
[E27]
[E28]
[E29]
[E30]
[E31]
[E32]
[E33]
[E34]
[E35]
[E36]
[E37]
[E38][E39]
[E40]
[E41]
[E42]
[E43] [E44]
[E45]
[E46]
Figura 4-25 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60].
4.3.1 Resultados del Estudio de Flujos de Potencia
Ahora se presentan los resultados del estudio de flujos de potencia utilizando el programa desarrollado
en [80] a partir de los datos mostrados en el APÉNDICE C para el sistema Nueva Inglaterra de 39
nodos. En la Tabla 4-49 se muestran los resultados de las variables de estado del sistema.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-147-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
127
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
-50
0
50
100
150
200
Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1
Nodos
Errorp(%)
% Error
Figura 4-30 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta
los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
De la Figura 4-27 y la Figura 4-28 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen
porcentajes de error menores a 0.6% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 6,
7, 22 y 23 que son los nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos.
Asimismo, de la Figura 4-29 y la Figura 4-30 se observa que existen mayores porcentajes de error en
los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan
porcentajes de error menores a 225%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-55 y la Tabla 4-56.
Tabla 4-55 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
1307.792297 1.704713 77
Tabla 4-56 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
8081269023.834400 7852.688502 77 1029108.568625 0.000000971715
De la Tabla 4-55 y la Tabla 4-56 se puede observar que 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tienen rango columna completo
por lo que existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta
la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2
con 224
grados de libertad (301 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los
resultados se muestran en la Tabla 4-57.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-161-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
129
Como se puede observar de la Figura 4-31 y la Tabla 4-58 los residuales normalizados que sobrepasan
el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 14-15, 14-33, 15-16, 16-21, 16-24, 18-32,
21-22, 22-23, 23-24 y 32-33. De la Tabla 4-59 el máximo residual normalizado es 16.233122 y
sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Además el
máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 23-24 que es cercana a las
líneas con parámetros erróneos. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el
aumento del vector de estado para las líneas 15-16 y 21-22 (elementos 20 y 29) considerando el
esquema de 301 mediciones dado por la Figura 4-26. Los resultados de los parámetros estimados se
muestran en la Tabla 4-60 donde el algoritmo se tomó 6 iteraciones para converger con un tiempo
de cómputo de 0.280801 segundos.
Tabla 4-60 Resultados del estudio de estimación de parámetros
de los elementos 20 y 29 para el caso 1.
Parámetro 𝒓 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150
Valor Estimado (pu) 0.000907 0.009363 0.084472
Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500
% Error de Estimación 0.744231 -0.396114 -1.202646
Parámetro 𝒓 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725
Valor Estimado (pu) 0.000804 0.013985 0.126691
Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250
% Error de Estimación 0.502220 -0.108659 -1.215385
Se observa de la Tabla 4-60 que las estimaciones de parámetros presentan porcentajes de error
menores a 2% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-61 y la Tabla 4-62
se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada
𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de
estimación de parámetros.
Tabla 4-61 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada
de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
1308.620000 0.010000 83
Tabla 4-62 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de
parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
2007850000.000000 0.181948 83 11035275719.779600 0.000000000091
De la Tabla 4-61 y Tabla 4-62 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de
83, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de
las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-56 y Tabla 4-62 se puede ver que el número de
condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 10000 veces mayor que el número de condición de 𝐺(𝑥),
además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es muy pequeña. En la Tabla
4-63 se presentan los resultados de la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-163-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
133
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
-50
0
50
100
150
200
250
300
Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1A
Nodos
Errorp(%)
% Error
Figura 4-35 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
De la Figura 4-32 y la Figura 4-33 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen
porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 6,
7, 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos.
Asimismo, de la Figura 4-34 y la Figura 4-35 se observa que existen mayores porcentajes de error en
los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan
porcentajes de error menores a 300%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-67 y la Tabla 4-68.
Tabla 4-67 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
1307.361643 1.711120 77
Tabla 4-68 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
8076066999.765720 7879.674654 77 1024923.915594 0.000000975682
De la Tabla 4-67 y la Tabla 4-68 se observa que 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tiene rango columna completo por lo
que existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta la
prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2
con 224
grados de libertad (301 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los
resultados se muestran en la Tabla 4-69.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-167-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
135
Como se puede observar de la Figura 4-36 y la Tabla 4-70 los residuales normalizados que sobrepasan
el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 14-15, 14-33, 15-16, 16-21, 16-24, 18-32,
21-22, 22-23, 23-24 y 32-33, en los que se encuentran las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla
4-71 el máximo residual normalizado es 23.048502 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha
de la presencia de parámetros erróneos. Además de que el máximo residual normalizado corresponde
a una medición de la línea 23-24 que es cercana a las líneas con parámetros erróneos.
Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las
líneas 15-16, 16-21 y 21-22 (elementos 20, 23 y 29) considerando el esquema de 301 mediciones
dado por la Figura 4-26. Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-72,
donde el algoritmo tomó 8 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.312002
segundos.
Tabla 4-72 Resultados del estudio de estimación de
parámetros para los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.
Parámetro 𝒓 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150
Valor Estimado (pu) 0.000905 0.009363 0.084539
Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500
% Error de Estimación 0.553599 -0.395387 -1.123428
Parámetro 𝒓 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒙 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒃 𝟏𝟔−𝟐𝟏
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.017550 0.165620
Valor Estimado (pu) 0.002216 0.012800 0.123359
Valor Correcto (pu) 0.000800 0.013500 0.127400
% Error de Estimación 177.049632 -5.187440 -3.172012
Parámetro 𝒓 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725
Valor Estimado (pu) -0.000025 0.014283 0.129972
Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250
% Error de Estimación -103.186137 2.020960 1.342677
Se observa de la Tabla 4-72 que para la línea 15-16 se obtienen porcentajes de error menores a 2%.
La línea 16-21 presentó los mayores porcentajes de error, siendo la resistencia la que tiene un valor
estimado muy malo debido a su porcentaje de error de 177.049632%. Mientras que para la línea 21-
22 se obtuvo un porcentaje de error de resistencia de −103.186137%, siendo negativo el valor de
resistencia para esa línea. Por lo que no todos los parámetros tienen buenas estimaciones.
En la Tabla 4-73 y la Tabla 4-74 se presentan los resultados del análisis de la robustez numérica de
la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la
última iteración del proceso de estimación de parámetros.
Tabla 4-73 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la
estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
1308.370000 0.000300 86](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-169-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
136
Tabla 4-74 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de
parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
2007090000.000000 0.000123 86 16281006136940.30000 0.0000000000000614
De la Tabla 4-73 y Tabla 4-74 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de
86, esto es porque se añadieron 9 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de
las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-68 y Tabla 4-74 se puede ver que el número de
condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 15000000 el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la
distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es mucho más pequeña que el de 𝐺(𝑥).
Se realizó la prueba 𝜒2
usando los valores de parámetros estimados de la Tabla 4-72 y los resultados
se presentan en la Tabla 4-75.
Tabla 4-75 Prueba 𝜒2
para el caso 1A tomando en cuenta los
valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
259.912993 64.414264 No
De la Tabla 4-75 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos a pesar de que las
estimaciones de resistencia para las líneas 16-21 y 21-22 tienen errores de más de 100% con respecto
a sus valores nominales. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección
de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-76.
Tabla 4-76 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en
cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29.
Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?
3 2.569834 No
De la Tabla 4-76 se puede observar que la prueba de los residuales normalizados tampoco detecta la
presencia de datos erróneos aunque se tengan errores de resistencia mayores al 100% ya que el
máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3. Es por esto que es necesario el
cálculo de los intervalos de confianza y los indicadores de precisión para los parámetros estimados,
debido a que algunas veces el estimador de parámetros puede producir resultados irrazonables.
En la Tabla 4-77 se muestran los resultados del cálculo de los intervalos de confianza e indicadores
de precisión de los parámetros estimados para los elementos 20, 23 y 29.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-170-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
147
en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-79 y la Tabla 4-80.
Tabla 4-79 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 2
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
1296.600945 1.357784 77
Tabla 4-80 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 2 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
8051995155.421260 6192.486640 77 1300284.622814 0.000000769062
De la Tabla 4-56 y Tabla 4-80 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 2 es de
1.26 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de
𝐺(𝑥) para el caso 2 es más pequeña que el de 𝐺(𝑥) para el caso 1.
Ahora se presenta la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la
distribución 𝜒2
con 170 grados de libertad (247 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de
nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-81.
Tabla 4-81 Prueba 𝜒2
para el caso 2 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
201.421656 1156.779914 Sí
De la Tabla 4-81 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2
calculada, por
lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-42 se muestran todos los
residuales normalizados para el caso 2 y en la Tabla 4-82 se presentan únicamente los residuales
normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%.
Asimismo, en la Tabla 4-83 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-181-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
149
Tabla 4-84 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los
elementos 20 y 29 para el caso 2.
Parámetro 𝒓 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150
Valor Estimado (pu) 0.000917 0.009348 0.086122
Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500
% Error de Estimación 1.895276 -0.555913 0.727819
Parámetro 𝒓 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐
𝒔𝒉
Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725
Valor Estimado (pu) 0.000783 0.014045 0.128159
Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250
% Error de Estimación -2.153705 0.318046 -0.070978
Se observa de la Tabla 4-84 que las estimaciones de parámetros presentan porcentajes de error
menores a 2.5% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-85 y la Tabla 4-86
se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada
𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de
estimación de parámetros.
Tabla 4-85 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la
estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 2.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
1297.880000 0.010000 83
Tabla 4-86 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de
parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 2.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
1977360000.000000 0.171801 83 11509586534.381200 0.000000000087
De la Tabla 4-85 y Tabla 4-86 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de
83, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de
las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-80 y Tabla 4-86 se puede ver que el número de
condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 8000 veces el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la
distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es muy pequeña. En la Tabla 4-87 se presentan
los resultados de la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos.
Tabla 4-87 Prueba 𝜒2
para el caso 2 tomando en cuenta los
valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
201.421656 44.844569 No
De la Tabla 4-87 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos tomando en cuenta las
estimaciones de parámetros debido a que la función objetivo es menor que el cálculo de la distribución
𝜒2
con 170 grados de libertad (247 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de
confianza. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos
erróneos se muestran en la Tabla 4-88.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-183-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
157
en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros
erróneos.
El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia
𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla
4-91 y la Tabla 4-92.
Tabla 4-91 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 3
tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)]
1036.544514 1.404530 77
Tabla 4-92 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 3 tomando en
cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)]
7253259295.549840 6142.988106 77 1180737.968271 0.000000846928
De la Tabla 4-56 y Tabla 4-92 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 3 es de
1.14 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de
𝐺(𝑥) para el caso 3 es más pequeña que el de 𝐺(𝑥) para el caso 1.
Ahora se presenta la prueba 𝜒2
para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la
distribución 𝜒2
con 40 grados de libertad (117 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de
nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-93.
Tabla 4-93 Prueba 𝜒2
para el caso 3 tomando en cuenta los
valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
Distribución 𝝌 𝟐
Función Objetivo ¿Datos Erróneos?
55.758478 12.138544 No
De la Tabla 4-93 se puede ver que la función objetivo es menor que la distribución 𝜒2
calculada, por
lo tanto no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-48 se muestran todos
los residuales normalizados para el caso 3 y en la Tabla 4-94 se muestran los resultados de la prueba
de los residuales normalizados.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-191-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
159
4.4 Análisis de Resultados
A continuación se presentan algunas tablas que resumen los resultados para cada uno de los sistemas
de prueba. Mediante estas tablas es posible comparar la robustez numérica, el comportamiento del
proceso de detección de datos erróneos y el número de iteraciones para la convergencia de los
algoritmos del estimador de estado y del estimador de parámetros para cada uno de los casos.
4.4.1 Sistema Eléctrico de 14 Nodos
La Tabla 4-95 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Estado o SE (“State
Estimation” en inglés) del sistema IEEE de 14 nodos para cada uno de los casos.
Tabla 4-95 Análisis de resultados de la SE del sistema IEEE de 14 nodos.
Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3
N° mediciones 115 115 89 41
N° variables de estado 27 27 27 27
Grados de libertad 88 88 62 14
Iteraciones de la SE 4 4 4 5
Tiempo de cómputo (s) 0.046800 0.015600 0.031200 0.015600
𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮(𝒙)] 27 27 27 27
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)] 59938.610569 60181.558011 57092.816900 82764.882108
𝑫𝑹[𝑮(𝒙)] 0.000016683736 0.000016616386 0.000017515338 0.000012082419
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝝌 𝟐
?
Sí Sí Sí No
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝒓 𝑵
?
Sí Sí Sí No
La Tabla 4-96 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Parámetros o PE
(“Parameter Estimation” en inglés) del sistema IEEE de 14 nodos para cada uno de los casos.
Tabla 4-96 Análisis de resultados de la PE del sistema IEEE de 14 nodos.
Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3
N° de parámetros a estimar 6 9 6 NA
Elementos a estimar 1 y 3 1, 3 y 4 1 y 3 NA
Grados de libertad 82 79 56 NA
Iteraciones de la PE 5 5 5 NA
Tiempo de cómputo (s) 0.062400 0.046800 0.046800 NA
𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 33 36 33 NA
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 71367743.966612 93874749.172613 73446384.304297 NA
𝑫𝑹[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 0.0000000140119323 0.0000000106524918 0.0000000136153741 NA
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)]
1190.680652906610 1559.859071037250 1286.438264781030 NA
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝝌 𝟐
?
No No No NA
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝒓 𝑵
?
No No No NA
De la Tabla 4-95 se puede observar que para estimación de estado convencional, el caso 3 presenta
la robustez más débil ya que el número de condición de la matriz de Ganancia 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más
grande y la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más pequeña
con respecto a los demás casos. Mientras que el caso más robusto es el caso 2 ya que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es
la más pequeña y 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más grande con respecto a los demás casos.
Se puede observar de la Tabla 4-95 que el caso 3 fue el único caso en el que no se pudo detectar la
presencia de parámetros erróneos usando la prueba 𝜒2
y la prueba 𝑟 𝑁
, además de que este caso
presentó el mayor número de iteraciones para la convergencia del estimador de estado convencional.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-193-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
160
Esto es debido a que el caso 3 tiene el menor número de mediciones y solamente cuenta con
mediciones de magnitudes de voltaje y mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva),
además de que el sistema cuenta con solo un nodo de paso.
De la Tabla 4-96 se observa que para estimación de parámetros el caso 1A tiene la robustez más débil
debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña con
respecto a los demás casos. Esto es ya que el caso 1A presenta el mayor número de elementos a
estimar. Además de que el caso 1 es el más robusto debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más
pequeña y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande con respecto a los demás casos.
De la Tabla 4-96, la relación 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)]/𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es mayor para el caso 1A y es menor
para el caso 1. Este número proporciona el factor que magnifica el número de condición de la matriz
de Ganancia 𝐺(𝑥) del estimador de estado para obtener el número de condición de la matriz de
Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros en cada caso.
Se puede notar de la Tabla 4-96 que en el caso 1, el caso 1A y el caso 2 no se detectaron datos erróneos
tomando en cuenta los valores de parámetros estimados y además de que el caso 3 no tiene resultados
de estimación de parámetros ya que no se pudo detectar la presencia de parámetros erróneos en el
proceso de estimación de estado convencional usando la prueba 𝜒2
y la prueba 𝑟 𝑁
.
De la Tabla 4-95 y la Tabla 4-96 se puede ver que para el caso 1, el caso 1A y el caso 2 se requirieron
5 iteraciones para la convergencia del estimador de parámetros mientras que se requirieron 4
iteraciones para la convergencia del estimador de estado convencional en dichos casos. Esto es debido
a que el estimador de parámetros realiza una iteración de estimación de estado convencional y
aumenta el vector de estado a partir de la segunda iteración.
4.4.2 Sistema Eléctrico de 39 Nodos
La Tabla 4-97 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Estado o SE (“State
Estimation” en inglés) del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos para cada uno de los casos.
Tabla 4-97 Análisis de resultados de la SE sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos.
Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3
N° mediciones 301 301 247 117
N° variables de estado 77 77 77 77
Grados de libertad 224 224 170 40
Iteraciones de la SE 4 5 4 4
Tiempo de cómputo (s) 0.187201 0.234001 0.124800 0.078000
𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮(𝒙)] 77 77 77 77
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)] 1029108.568625 1024923.915594 1300284.622814 1180737.968271
𝑫𝑹[𝑮(𝒙)] 0.000000971714 0.000000975682 0.000000769062 0.000000846927
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝝌 𝟐
?
Sí Sí Sí No
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝒓 𝑵
?
Sí Sí Sí No
La Tabla 4-98 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Parámetros o PE
(“Parameter Estimation” en inglés) del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos para cada uno de los
casos.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-194-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS
161
Tabla 4-98 Análisis de resultados de la PE del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos.
Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3
N° de parámetros a estimar 6 9 6 NA
Elementos a estimar 20 y 29 20, 23 y 29 20 y 29 NA
Grados de libertad 218 215 164 NA
Iteraciones de la PE 6 8 6 NA
Tiempo de cómputo (s) 0.280801 0.312002 0.187201 NA
𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 83 86 83 NA
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 11035275719.779640 16281006136940.30 11509586534.3812 NA
𝑫𝑹[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 0.0000000000906184 0.0000000000000614 0.000000000086884 NA
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)]
𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)]
10723.140450112000 15885087.55550360 8851.5901306844 NA
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝝌 𝟐
?
No No No NA
¿Detectó datos erróneos
con la prueba 𝒓 𝑵
?
No No No NA
De la Tabla 4-97 se puede observar que para estimación de estado convencional, el caso 2 presenta
la robustez más débil ya que el número de condición de la matriz de Ganancia 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más
grande y la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más pequeña
con respecto a los demás casos, esto es debido a que el caso 2 presenta 12 nodos de paso que tienen
mediciones de inyecciones cero y se les asignaron los menores pesos en el proceso de estimación.
Mientras que el caso más robusto es el caso 1A ya que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más pequeña y 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)]
es la más grande con respecto a los demás casos.
Se puede observar de la Tabla 4-97 que el caso 3 fue el único caso en el que no se pudo detectar la
presencia de parámetros erróneos usando la prueba 𝜒2
y la prueba 𝑟 𝑁
. Además de que el caso 1A
presentó el mayor número de iteraciones para la convergencia del estimador de estado convencional.
De la Tabla 4-98 se observa que para estimación de parámetros el caso 1A tiene la robustez más débil
debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña con
respecto a los demás casos. Esto es ya que el caso 1A presenta el mayor número de elementos a
estimar. Además de que el caso 1 es el más robusto debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más
pequeña y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande con respecto a los demás casos.
De la Tabla 4-98, la relación 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)]/𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es mayor para el caso 1A y es menor
para el caso 2. Este número proporciona el factor que magnifica el número de condición de la matriz
de Ganancia 𝐺(𝑥) del estimador de estado convencional para obtener el número de condición de la
matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros en cada caso.
Se puede notar de la Tabla 4-98 que en el caso 1, el caso 1A y el caso 2 no se detectaron datos erróneos
tomando en cuenta los parámetros estimados y además de que el caso 3 no tiene resultados de
estimación de parámetros ya que no se pudo detectar la presencia de parámetros erróneos en el
proceso de estimación de estado convencional usando la prueba 𝜒2
y la prueba 𝑟 𝑁
.
De la Tabla 4-97 y la Tabla 4-98 se puede ver que para el caso 1 y el caso 2 se requirieron 6 iteraciones
para la convergencia del estimador de parámetros mientras que se requirieron 4 iteraciones para la
convergencia del estimador de estado en dichos casos. Además de que para el caso 1A se requirieron
8 iteraciones para la convergencia del estimador de parámetros mientras que se requirieron 5
iteraciones para la convergencia del estimador de estado. Esto es debido a que el número de condición
de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es mucho mayor que la matriz de ganancia 𝐺(𝑥) y
se presentan problemas de robustez numérica.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-195-320.jpg)
![CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
164
A partir del caso 3 del sistema IEEE de 14 nodos y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos se
concluye que solamente contando con mediciones de magnitudes de voltaje y mediciones de
inyecciones de potencia (en el conjunto de mediciones) no es posible detectar la presencia de líneas
con parámetros erróneos usando la prueba 𝜒2
(chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁
(residuales
normalizados).
Se concluye del caso 1 y el caso 2 del sistema Nueva Inglaterra que al realizar la estimación de
parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales se incrementa el número
de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) en comparación de la matriz de
Ganancia 𝐺(𝑥) para el estimador de estado convencional como consecuencia de agregar nuevas
columnas que corresponden a los parámetros de líneas que se van a estimar. Este comportamiento
también se conserva en el caso 1 y el caso 2 del sistema IEEE de 14 nodos.
Del caso 1 y el caso 1A del sistema Nueva Inglaterra se puede observar que al estimar un mayor
número de parámetros se obtiene un incremento en el número de condición de la matriz de Ganancia
aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) además de que el caso 1A convergió en 8 iteraciones en comparación del
caso 1 que convergió en 6 iteraciones. El caso 1A del sistema Nueva Inglaterra presenta problemas
de robustez numérica ya que se obtuvieron estimaciones de parámetros con porcentajes de error
mayores al 100% y se incrementó el número de iteraciones para la convergencia. Por lo que se
concluye que a pesar de que en las pruebas se tienen matrices de rango columna completo, asegurando
la observabilidad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), las estimaciones proporcionadas por el
estimador de parámetros no son siempre buenas debido al mal condicionamiento de matrices como
se vio en el caso 1A del sistema Nueva Inglaterra. Con esto se puede apreciar la importancia del
cálculo del número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚). A medida que
aumenta el número de parámetros a estimar, se incrementa el número de condición
𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] y disminuye la distancia relativa a la singularidad 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] de la matriz
de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros. Esto se ve reflejado en un
incremento en las iteraciones del proceso de estimación de parámetros para llegar a la convergencia
del método.
Del caso 1A del sistema Nueva Inglaterra, se observó que el estimador de parámetros de líneas de
transmisión puede proporcionar valores de parámetros estimados irrazonables con porcentajes de
error mayores del que se comenzó el proceso de estimación y aun así la función objetivo se minimiza
y las pruebas de detección de datos erróneos fallan en detectar errores de parámetros. Los cálculos de
los intervalos de confianza y de los indicadores de precisión presentados en esta tesis proporcionan
una herramienta para decidir que parámetros deben ser corregidos con las estimaciones de parámetros
que se obtuvieron. Los parámetros que tienen posibilidad de error y con un buen indicador de
precisión son los que deben corregirse con los valores de parámetros estimados. Debido al mal
condicionamiento de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) que se genera al estimar un gran
número de parámetros se recomienda tomar en cuenta un indicador de precisión mayor a 0.90 para la
corrección de los parámetros de líneas de transmisión.
El algoritmo desarrollado en esta tesis es válido para la estimación de los parámetros de una o varias
líneas simultáneamente, pero es necesaria una redundancia adecuada (como la redundancia del caso
1, caso 1A o caso 2 del sistema IEEE de 14 nodos y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos) usando
el método que aumenta el vector de estado, esto es ya que los parámetros de las líneas se consideran
nuevas variables de estado a estimar y por consiguiente los grados de libertad se reducen en el proceso
de estimación de parámetros.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-198-320.jpg)
![CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
166
Se propone también comparar los resultados obtenidos del estimador desarrollado en esta tesis con
otro que sea capaz de estimar parámetros de líneas de transmisión a partir de varios conjuntos de
mediciones, esto es ya que según [1] se pueden obtener mejores estimaciones de parámetros a partir
de esta consideración.
Por último, se sugiere desarrollar alguna metodología para determinar cuáles parámetros son los
dominantes y deben estimarse primero para evitar el mal condicionamiento numérico generado al
agregar todos los parámetros de las líneas a estimar en la ejecución del programa de estimación de
parámetros, con esto se puede mejorar la redundancia para la estimación de parámetros. En [44] se
trata la propuesta antes mencionada.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-200-320.jpg)
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SEPI-ESIME Zacatenco, Diciembre 2015.
[81] A. León-García, Probability, Statistics and Random Processes for Electrical Engineering, 3rd
ed., Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2008.
[82] P. Z. Peebles Jr, Probability, Random Variables and Random Signal Principles, 2nd ed.,
McGraw-Hill, 1987.
[83] G. R. Cooper and C. D. McGillem, Probabilistic Methods of Signal and System Analysis, 3rd
ed., Oxford University Press, 1998.
[84] A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes, 3rd ed., McGraw-Hill,
1991.
[85] A. Gut, An intermediate Course in Probability, 2nd ed., Springer, 2009.
[86] G. W. Stewart, Matrix Algorithms Volume I: Basic Decompositions, Philadelphia: Society for
Industrial and Applied Mathematics, 1998.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-205-320.jpg)
![APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA
173
APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA
A.1 Concepto de Variable Aleatoria
Una variable aleatoria 𝑋 es una función que asigna un número real 𝑋(𝑠) a cada elemento 𝑠 que
compone el espacio muestral 𝑆 de un experimento aleatorio [81]. Es decir, es una función que mapea
todos los elementos de un espacio muestral sobre los puntos de la línea real o en algunas partes del
mismo. Según [82], las condiciones necesarias para que una función sea una variable aleatoria son:
No debe ser una función multivaluada. Esto es que cada elemento en 𝑆 debe corresponder a
solamente un valor de la variable aleatoria.
El conjunto {𝑋 ≤ 𝑥} es un evento para cualquier 𝑥. La probabilidad de este evento se denota
por 𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} y es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales
correspondiente s a {𝑋 ≤ 𝑥}.
Las probabilidades de los eventos {𝑋 = ∞} y {𝑋 = −∞} son iguales a cero.
A.2 Función de Distribución de Probabilidad Acumulada
Sea 𝑋 una variable aleatoria y 𝑥 cualquier valor de esta variable aleatoria. La Función de
Distribución de Probabilidad Acumulada o CPDF (“Cumulative Probability Distribution
Function” en inglés) es la probabilidad del evento {𝑋 ≤ 𝑥}. Según [83], la CPDF viene dada por la
ecuación (A-1).
( ) { },XF x P X x x (A-1)
De donde:
𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} representa la probabilidad de que la variable aleatoria 𝑋 tome un valor en el
conjunto (−∞, 𝑥].
Conforme con [81], la CPDF tiene las siguientes propiedades:
0 ( ) 1XF x (A-2)
lim ( ) 1X
x
F x
(A-3)
lim ( ) 0X
x
F x
(A-4)
( ) ( ),X XF a F b a b (A-5)
0
( ) lim ( ) ( )X X X
h
F b F b h F b
(A-6)
{ } ( ) ( )X XP a X b F b F a (A-7)
{ } ( ) ( )X XP X b F b F b
(A-8)
{ } 1 ( )XP X x F x (A-9)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-207-320.jpg)
![APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA
174
A.3 Función de Densidad de Probabilidad
De acuerdo con [84], la Función de Densidad de Probabilidad o PDF (“Probability Density
Function” en inglés) se define como la derivada de 𝐹𝑋(𝑥) y viene dada por la ecuación (A-10).
( )
( ) X
X
dF x
f x
dx
(A-10)
Conforme con [81], la PDF tiene las siguientes propiedades:
( ) 0Xf x (A-11)
{ } ( )
b
Xa
P a X b f x dx (A-12)
( ) ( )
x
X XF x f u du
(A-13)
( ) 1Xf u du
(A-14)
A.4 Valor Esperado de una Variable Aleatoria
Es el nombre del proceso de promediar cuando una variable aleatoria está implicada. Se usa la
notación 𝐸(𝑋) para referirse al valor esperado de una variable aleatoria 𝑋. Según [82], el valor
esperado de cualquier variable aleatoria está definida por la ecuación (A-15).
( ) ( )XE X X xf x dx
(A-15)
Otros parámetros útiles relacionados con 𝑋 pueden ser derivados a partir del cálculo del valor
esperado de una función 𝑔(∙) de la variable aleatoria 𝑋. Conforme con [83], el valor esperado de
una función de una variable aleatoria en general viene dado por la ecuación (A-16).
( [ ]) [ ] ( )XE g X g X f x dx
(A-16)
Una aplicación del valor esperado de una función de una variable aleatoria es en calcular momentos.
El momento que más interesa para el desarrollo de esta tesis es el segundo momento central que se
describe en la siguiente sección.
A.5 Varianza de una Variable Aleatoria
El segundo momento central o varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersión
definido como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable aleatoria con respecto a
su valor esperado y según [84] viene dada por la ecuación (A-17).
2 2 2
([ ] ) [ ] ( )X XE X X X X f x dx
(A-17)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-208-320.jpg)
![APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA
175
La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación estándar de 𝑋 y es una medida de la
propagación de 𝑓𝑋(𝑥) alrededor de 𝐸(𝑋).
A.6 Concepto de Vector Aleatorio
Un vector aleatorio 𝑋 es una función que asigna un vector de números reales a cada resultado 𝑠 en
el espacio muestral 𝑆 de un experimento aleatorio. De acuerdo con [81], un vector aleatorio de
dimensión 𝑁𝑉𝐴 × 1 es representado por la ecuación (A-18).
1 2( , , , )NVAX X X X (A-18)
A.7 Función de Distribución de Probabilidad Acumulada
Conjunta
Para 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴, la función de distribución de probabilidad
acumulada conjunta se define, según [82], como la probabilidad del evento conjunto {𝑋1 ≤
𝑥1, 𝑋2 ≤ 𝑥2, … , 𝑋 𝑁𝑉𝐴 ≤ 𝑥 𝑁𝑉𝐴} y viene dado por la ecuación (A-19).
1 2, , , 1 2 1 1 2 2( , , , ) { , , , }NVAX X X NVA NVA NVAF x x x P X x X x X x (A-19)
Conforme con [83], la función de distribución conjunta para dos variables aleatorias 𝑋 e 𝑌 presenta
las siguientes propiedades:
,0 ( , ) 1X YF x y (A-20)
, , ,( , ) ( , ) ( , ) 0X Y X Y X YF F y F x (A-21)
, ( , ) 1X YF (A-22)
, ( , ) es una función no decreciente para o o ambasX YF x y x y (A-23)
, 2 2 , 1 1 , 1 2
, 2 1 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) { , } 0
X Y X Y X Y
X Y
F x y F x y F x y
F x y P x X x y Y y
(A-24)
, ,( , ) ( ), ( , ) ( )X Y X X Y YF x F x F y F y (A-25)
A.8 Función de Densidad de Probabilidad Conjunta
Según [82], cuando 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴 están involucradas, la función de
densidad de probabilidad conjunta se convierte en la 𝑁𝑉𝐴-ésima derivada parcial de la función de
distribución de probabilidad acumulada conjunta como se muestra en la ecuación (A-26).
1 2
1 2
, , , 1 2
, , , 1 2
1 2
( , , , )
( , , , ) NVA
NVA
X X X NVA
X X X NVA
NVA
F x x x
f x x x
x x x
(A-26)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-209-320.jpg)
![APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA
176
Según [83], la función de densidad conjunta para dos variables aleatorias 𝑋 e 𝑌 presenta las siguientes
propiedades:
, ( , ) 0X Yf x y (A-27)
, ( , ) 1X Yf x y dxdy
(A-28)
, ,( , ) ( , )
y x
X Y X YF x y f u v dudv
(A-29)
, ,( ) ( , ) , ( ) ( , )
x y
X X Y Y X YF x f u v dvdu F y f u v dudv
(A-30)
2 2
1 1
1 2 1 2 ,{ , } ( , )
y x
X Yy x
P x X x y Y y f x y dxdy (A-31)
, ,( ) ( , ) , ( ) ( , )X X Y Y X Yf x f x y dy f y f x y dx
(A-32)
A.9 Valor Esperado de Una Función de Varias Variables
Aleatorias
De acuerdo con [82], para 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴 y alguna función de estas
variables denotado por 𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁𝑉𝐴), el valor esperado de esa función viene dada por la
ecuación (A-33).
11 1 , , 1 1( [ , , ]) ( , , ) ( , , )NVANVA NVA X X NVA NVAE g X X g x x f x x dx dx
(A-33)
Para obtener el valor esperado de una función de 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias es necesario integrar 𝑁𝑉𝐴
veces debido a la cantidad de variables involucradas.
A.10 Matriz de Covarianza de Varias Variables Aleatorias
Según [82], la matriz de covarianza de un vector aleatorio que posee 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias
𝑋 𝑢, 𝑢 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴 viene dada por la ecuación (A-34).
11 12 1
21 22 2
1 2
[ ]
NVA
NVA
X
NVA NVA NVANVA
Cov Cov Cov
Cov Cov Cov
Cov
Cov Cov Cov
(A-34)
De donde:
𝐶𝑜𝑣𝑖𝑖 = 𝜎 𝑋 𝑖
2
. Los elementos de la diagonal corresponden a la varianza de los elementos del
vector aleatorio 𝑋.
𝐶𝑜𝑣𝑖𝑗 = 𝐸([𝑋𝑖 − 𝑋̅𝑖][𝑋𝑗 − 𝑋̅𝑗]) . Los elementos fuera de la diagonal corresponden a la
covarianza entre las variables aleatorias 𝑋𝑖 y 𝑋𝑗. La covarianza entre 2 variables aleatorias
también es conocida como el momento central conjunto de segundo orden.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-210-320.jpg)
![APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA
177
A.11 Características de Algunas Variables Aleatorias
La Tabla A-1 describe las principales características de las variables aleatorias empleadas en esta tesis
como sus funciones de densidad, valores esperados y varianzas [85].
Tabla A-1 Principales Características de Algunas Variables Aleatorias.
Variable Aleatoria Especificaciones Función de Densidad Valor esperado Varianza
Normal
−∞ < 𝑥 < ∞
−∞ < 𝑋̅ < ∞
𝜎𝑋 > 0
𝑓𝑋(𝑥) =
1
𝜎𝑋√2𝜋
𝑒−(𝑥−𝑋̅)2/2𝜎 𝑋
2
𝑋̅ 𝜎𝑋
2
Normal Estándar −∞ < 𝑥 < ∞ 𝑓𝑋(𝑥) =
1
√2𝜋
𝑒−𝑥2/2
0 1
𝝌 𝟐 𝑥 > 0
𝐺𝐿 = 1,2, …
𝑓𝑋(𝑥) =
1
Γ (
𝐺𝐿
2
)
𝑥
1
2 𝐺𝐿−1
(
1
2
)
𝐺𝐿/2
𝑒−𝑥/2
𝐺𝐿 2𝐺𝐿
t-Estudiante
−∞ < 𝑥 < ∞
𝐺𝐿 = 1,2, …
𝑓𝑋(𝑥) =
Γ (
𝐺𝐿 + 1
2
)
√𝜋𝐺𝐿 ∙ Γ (
𝐺𝐿
2
)
∙
1
(1 +
𝑥2
𝐺𝐿
)
(𝐺𝐿+1)/2 0
𝐺𝐿
𝐺𝐿 − 2
, 𝐺𝐿 > 2
De donde:
𝑋 es la variable aleatoria especificada.
𝑥 es un valor de la variable aleatoria especificada.
Γ(𝑥) = ∫ 𝑢 𝑥−1
𝑒−𝑢
𝑑𝑢
∞
0
, 𝑥 > 0 es la función gama.
𝐺𝐿 es el número de grados de libertad de la variable aleatoria.](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-211-320.jpg)
![APÉNDICE B NORMAS DE VECTORES Y MATRICES
179
APÉNDICE B NORMAS DE VECTORES Y
MATRICES
B.1 Normas de Vectores
Una norma en un espacio vectorial desempeña el mismo papel que el valor absoluto, es decir,
representa una medida de distancia. En particular, sea 𝑓 la norma de un vector en ℝ 𝑛
entonces se
define como una función 𝑓: ℝ 𝑛
→ ℝ que satisface las siguientes propiedades [74, 86]:
( ) 0, , ( ( ) 0 0)n
f x x f x si x (B-1)
( ) ( ) ( ), , n
f x y f x f y x y (B-2)
( ) ( ), , n
f x f x x (B-3)
Conforme con [74] una clase útil de norma de un vector es la i-norma que se define en la ecuación
(B-4):
1
1( ) , 1
ii i
ni x ixx (B-4)
B.2 Normas de Matrices
Sea 𝑓 la norma de una matriz en ℝ 𝑚×𝑛
entonces se define como una función 𝑓: ℝ 𝑚×𝑛
→ ℝ que
presenta las siguientes propiedades [74, 86]:
( ) 0, , ( ( ) 0 0)m n
f A A f A si A
(B-5)
( ) ( ) ( ), , m n
f A B f A f B A B
(B-6)
( ) ( ), , m n
f A f A A
(B-7)
Según [74], la norma más usada en el álgebra lineal numérica es la i-norma que se define en la
ecuación (B-8):
0
max , 1i
i
x
i
Ax
iA
x
(B-8)
El tipo de normas de matrices que se emplearon en esta tesis son las normas mutuamente consistentes
que parte de la observación de que la ecuación (B-8) representa una familia de normas. Sea
𝑓1: ℝ 𝑚×𝑞
→ ℝ , 𝑓2: ℝ 𝑚×𝑛
→ ℝ y 𝑓3: ℝ 𝑛×𝑞
→ ℝ tal que 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛
y 𝐵 ∈ ℝ 𝑛×𝑞
entonces la
desigualdad representada por (B-9) se cumple, según [74].
1 2 3( ) ( ) ( )f AB f A f B (B-9)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-213-320.jpg)
![APÉNDICE C DATOS DE LOS SISTEMAS DE PRUEBA
181
APÉNDICE C DATOS DE LOS SISTEMAS DE
PRUEBA
C.1 Sistema Eléctrico de 14 Nodos
1
2
5
6
11
10
4
3
7
8
9
12
13
14
[E1]
[E2]
[E3]
[E4]
[E5]
[E6]
[E7]
[E8]
[E9]
[E10]
[E11][E12]
[E13]
[E14]
[E15][E16]
[E17]
[E18]
[E19] [E20]
Figura C-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59].
Tabla C-1 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el
sistema IEEE de 14 nodos.
Elemento 1 2 3 4 5 6 7
Conectividad (p a q) 1 a 2 1 a 5 2 a 3 2 a 4 2 a 5 3 a 4 4 a 5
𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.019380 0.054030 0.046990 0.058110 0.056950 0.067010 0.013350
𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.059170 0.223040 0.197970 0.176320 0.173880 0.171030 0.042110
𝒃 𝒑𝒒
𝒔𝒉
(pu) 0.026400 0.024600 0.021900 0.017000 0.017300 0.006400 0.000000
𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
Elemento 8 9 10 11 12 13 14
Conectividad (p a q) 4 a 7 4 a 9 5 a 6 6 a 11 6 a 12 6 a 13 7 a 8
𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.094980 0.122910 0.066150 0.000000
𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.209120 0.556180 0.252020 0.198900 0.255810 0.130270 0.176150
𝒃 𝒑𝒒
𝒔𝒉
(pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
𝒂 𝒑𝒒 0.978000 0.969000 0.932000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-215-320.jpg)
![APÉNDICE C DATOS DE LOS SISTEMAS DE PRUEBA
183
C.2 Sistema Eléctrico de 39 Nodos
1
3
30
5
11
13
35
36
37
38
34
2 33
14
32
39
18
31
10 25
8
26
27
28
29
24
6
22
21
16
17
15
19
20
4
23
7
[E1]
[E2]
[E3]
[E4]
[E5]
[E6]
[E7]
[E8]
[E9] [E10]
9
[E11]
[E12]
12
[E13]
[E14]
[E15]
[E16]
[E17]
[E18][E19]
[E20]
[E21]
[E22]
[E23]
[E24]
[E25]
[E26]
[E27]
[E28]
[E29]
[E30]
[E31]
[E32]
[E33]
[E34]
[E35]
[E36]
[E37]
[E38][E39]
[E40]
[E41]
[E42]
[E43] [E44]
[E45]
[E46]
Figura C-2 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60].
Tabla C-5 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el
sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos.
Elemento 1 2 3 4 5 6 7
Conectividad (p a q) 1 a 35 2 a 38 2 a 39 3 a 30 4 a 19 5 a 20 6 a 22
𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000000 0.001000 0.001000 0.000000 0.000700 0.000900 0.000000
𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.025000 0.025000 0.025000 0.020000 0.014200 0.018000 0.014300
𝒃 𝒑𝒒
𝒔𝒉
(pu) 0.000000 0.600000 0.375000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
𝒂 𝒒𝒑 1.070000 1.000000 1.000000 1.070000 1.070000 1.009000 1.025000
Elemento 8 9 10 11 12 13 14
Conectividad (p a q) 7 a 23 8 a 25 9 a 29 10 a 31 11 a 12 11 a 30 11 a 35
𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000500 0.000600 0.000800 0.000000 0.001600 0.000400 0.000700
𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.027200 0.023200 0.015600 0.018100 0.043500 0.004300 0.008200
𝒃 𝒑𝒒
𝒔𝒉
(pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.036450 0.069450
𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.025000 1.025000 1.025000 1.006000 1.000000 1.000000](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-217-320.jpg)
![APÉNDICE D CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL
206
WRITE(3,60) NC2
60 FORMAT (/, 5X, 'NC(G)=', 1X, F20.6)
!IMPRIME LA DISTANCIA RELATIVA A LA
SINGULARIDAD DE G EN EL ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,380) 1.0/NC2
380 FORMAT (/, 5X, 'DR(G)=', 1X, F30.20)
!IMPRIME LAS MATRICES DE LA DESCOMPOSICION
DE VALOR SINGULAR DE G EN EL ARCHIVO DE
SALIDA
!CALL DWRRRN ('U(G)', 2*n-1, 2*n-1, U2, 2*n-1, 0)
CALL DWRRRN ('Sigma(G)', 1, 2*n-1, SIGMA2, 1, 0)
!CALL DWRRRN ('V(G)', 2*n-1, 2*n-1, V2, 2*n-1, 0)
!IMPRIME EL VECTOR DE ESTADO EN EL ARCHIVO
DE SALIDA
WRITE(3,70)
70 FORMAT (2/,5X,'<< Estimación de Estado >>',/)
DO i=1,2*n
IF (i .LE. n) THEN
WRITE(3, 80) i, VEaux(i)
ELSE
WRITE(3, 90) i-n, VEaux(i)*180/PI
END IF
END DO
80 FORMAT (5X, '|V(', I2, ')| = ', F11.6, ' pu')
90 FORMAT (5X, 'Ang(', I2, ') = ', F11.6, ' °')
!IMPRIME LA FUNCION OBJETIVO EN EL ARCHIVO DE
SALIDA
WRITE(3,100) Jx
100 FORMAT (/, 5X, 'J(x)= ', F14.6)
!IMPRIME EL VECTOR hFM(MEDICIONES ESTIMADAS)
EN EL ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,110) 'Z estimado'
110 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/)
j=0
DO i=1,mV
WRITE(3, 120) '|V', mP(i), hFM(i)
j=j+1
END DO
120 FORMAT (6X, A2,'(', I2, ')| = ', F11.6)
j=j+1
DO i=mV+1,mV+mFPA
WRITE(3, 130) 'P', mP(j),mQ(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
130 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR
WRITE(3, 140) 'Q', mP(j),mQ(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
140 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA
WRITE(3, 150) 'P', mP(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
150 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6)
DO
i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI
PR
WRITE(3, 160) 'Q', mP(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
160 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6)
!IMPRIME EL VECTOR deltaZ(RESIDUALES) EN EL
ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,170) 'Residuales'
170 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/)
j=0
DO i=1,mV
WRITE(3, 180) 'Res[|V', mp(i), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
180 FORMAT (6X, A6,'(', I2, ')|] = ', F11.6)
j=j+1
DO i=mV+1,mV+mFPA
WRITE(3, 190) 'Res[P', mP(j), mQ(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
190 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR
WRITE(3, 200) 'Res[Q', mP(j),mQ(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
200 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA
WRITE(3, 210) 'Res[P', mP(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
210 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6)
DO
i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI
PR
WRITE(3, 220) 'Res[Q', mP(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
220 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6)
!IMPRIME EL VECTOR ResNorm(RESIDUALES
NORMALIZADOS) EN EL ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,230) 'Residuales Normalizados'
230 FORMAT (2/,5X,'<< ', A23, ' >>',/)
j=0
DO i=1,mV
WRITE(3, 240) 'ResN[|V', mp(i), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
240 FORMAT (6X, A7,'(', I2, ')|] = ', F11.6)
j=j+1
DO i=mV+1,mV+mFPA
WRITE(3, 250) 'ResN[P', mP(j), mQ(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
250 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR
WRITE(3, 260) 'ResN[Q', mP(j),mQ(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
260 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA
WRITE(3, 270) 'ResN[P', mP(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
270 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6)
DO
i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI
PR
WRITE(3, 280) 'ResN[Q', mP(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
280 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6)
!IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE
WRITE(3,290)
290 FORMAT(/,17X,'<< Flujos de Potencia, Pérdidas y
Balance Reactivo de Elementos >>'&
,/,98X,'Balance',/,,30X,'Flujo de p a q',13X,'Flujo de q a
p',11X,'Pérdidas',8X,'Reactivo',/,)
WRITE(3,300)
300
FORMAT(3X,'Elemento',3X,'p',5X,'q',6X,'P(MW)',9X,'Q(MV
AR)',6X,'P(MW)',9X,'Q(MVAR)',9X,'(MW)',10X,'(MVAR)',/)](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-240-320.jpg)
![APÉNDICE E CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS
220
PRINT *, ' *** ELABORO: OMAR YAMIL
VIDAL LEON ROMAY ***'
PRINT *, '
**************************************************
****************************'
PRINT *, '
**************************************************
****************************'
PRINT *
END SUBROUTINE ENCABEZADO
SUBROUTINE ERROR_MEDICIONES2
!USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL
USE MSIMSL
!USA LOS SIGUIENTES MODULOS
USE mDATA01
USE mDATA02
USE mDATA05
IMPLICIT NONE
!DECLARACION DE VARIABLES
INTEGER :: i
REAL*8 :: R
!DEFINE LA SEMILLA PARA GENERAR NUMEROS
PSEUDOALEATORIOS
CALL RNSET(1234567)
!INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO
CERO
Z=0.0
!AÑADE ERROR A LAS MEDICIONES IDEALES
(RESULTADOS DE FLUJOS DE POTENCIA)
DO i=1, m
!GENERA EL NUMERO PSEUDOALEATORIO CON
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR (0,1)
100 R=DRNNOF()
!ESTE ES EL FILTRO PARA NO OBTENER UN NUMERO
PSEUDOALEATORIO
!FUERA DE +3*DESVIACION O -3*DESVIACION
IF ( (R .GE. 3.0) .OR. (R .LE. -3.0) ) THEN
GOTO 100
ELSE
IF ( i .LE. mV ) THEN
!APLICA LA TRANSFORMACION DE LA VARIABLE
ALEATORIA NORMAL ESTANDARIZADA
!ESTO PARA OBTENER UNA DISTRIBUCIUON
NORMAL (0,(ERRORMV/100.0)*Zlf(i)/3.0)
Z(i)=(R*( (ERRORMV/100.0)*Zlf(i)/3.0 ))+Zlf(i)
ELSE
!APLICA LA TRANSFORMACION DE LA VARIABLE
ALEATORIA NORMAL ESTANDARIZADA
!ESTO PARA OBTENER UNA DISTRIBUCIUON
NORMAL (0,(ERRORMP/100.0)*Zlf(i)/3.0)
Z(i)=(R*( (ERRORMP/100.0)*Zlf(i)/3.0 ))+Zlf(i)
END IF
END IF
END DO
PRINT *
PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA
ERROR_MEDICIONES2 !!!'
END SUBROUTINE ERROR_MEDICIONES2
SUBROUTINE ERROR_PARAMETROS_LINEAS
!USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL
USE MSIMSL
!USA LOS SIGUIENTES MODULOS
USE mDATA01
USE mDATA04
IMPLICIT NONE
!DECLARACION DE VARIABLES
INTEGER :: i
!AÑADE ERROR A LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS
A ESTIMAR
DO i=1, NLE
!PARA LA IMPEDANCIA SERIE DE LA LINEA
imps(VLE(i))=imps(VLE(i))+(ERRORLE/100.0)*(imps(VLE(
i)))
!PARA LA ADMITANCIA SERIE DE LA LINEA
ys(VLE(i))=1.0/imps(VLE(i))
!PARA LA ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE DOS
DE LA LINEA
yd(VLE(i))=yd(VLE(i))+(ERRORLE/100.0)*(yd(VLE(i)))
END DO
!GUARDA LOS VALORES INICIALES DE LOS
PARAMETROS DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y
TRANSFORMADORES)
!IGUALA EL VECTOR impsaux CON EL VECTOR imps
impsaux=imps
!IGUALA EL VECTOR ydaux CON EL VECTOR yd
ydaux=yd
!IGUALA EL VECTOR ysaux CON EL VECTOR ys
ysaux=ys
PRINT *
PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA
ERROR_PARAMETROS_LINEAS !!!'
END SUBROUTINE ERROR_PARAMETROS_LINEAS
SUBROUTINE EVAL_CREDI_PARAM
!USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL
USE MSIMSL
!USA LOS SIGUIENTES MODULOS
USE mDATA01
USE mDATA02
USE mDATA03
USE mDATA04
USE mDATA06
USE mDATA07
USE mDATA13
USE mDATA14
USE mDATA15
IMPLICIT NONE
!DECLARACION DE VARIABLES
INTEGER :: i
REAL*8 :: VarErr, DtStudent, T, DF, Arg, uno
!INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO
invGaum=0.0
VarErr=0.0
DtStudent=0.0
LimInf=0.0
LimSup=0.0
!CALCULA LOS GRADOS DE LIBERTAD
DF=m-((2*n-1)+(3*NLE))
!EL 0.025 ES PORQUE SE CALCULARA UN INTERVALO
DE CONFIANZA DEL 95%
T=0.025
uno=1.0
!CALCULA Gaum^(-1)
CALL DLINRG ((2*n-1)+(3*NLE), Gaum, (2*n-1)+(3*NLE),
invGaum, (2*n-1)+(3*NLE))
!CALCULA Jx/[m-((2*n-1)+(3*NLE))]. VER ARTICULO
DE ZHU. LIU, MEI Y HE (2012)
VarErr=Jx(1,1)/(m-((2*n-1)+(3*NLE)))
!CALCULA LA DISTRIBUCION t DE ESTUDIANTE CON
DF GRADOS DE LIBERTAD.
DtStudent=DTDF(T,DF)
!CALCULA LOS INTERVALOS DE CONFIANZA DE LOS
PARAMETROS
DO i=1, 3*NLE
LimInf(i)=VEparam(i)-
DtStudent*DSQRT(VarErr*invGaum(2*n-1+i,2*n-1+i))](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-254-320.jpg)
![APÉNDICE E CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS
235
170 FORMAT (5X, 'g(', I2, ',',I2, ')', 8X, F12.6, 13X, F10.6,
7X, '(', F12.6, ', ', F12.6, ')', 11X, F10.6)
WRITE(3, 180) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(ysaux(VLE(k))), DIMAG(ys(VLE(k))), LimInf(j+2),
LimSup(j+2), Ipr(j+2)
180 FORMAT (5X, 'b(', I2, ',',I2, ')', 8X, F12.6, 11X, F12.6,
7X, '(', F12.6, ', ', F12.6, ')', 11X, F10.6)
WRITE(3, 190) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))), LimInf(j+3),
LimSup(j+3), Ipr(j+3)
190 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 6X, F12.6, 13X, F10.6,
7X, '(', F12.6, ', ', F12.6, ')', 11X, F10.6)
k=k+1
j=j+3
END DO
!IMPRIME LOS PORCENTAJES DE ERROR DE
ESTIMACION DE PARAMETROS EN EL ARCHIVO DE
SALIDA
WRITE(3,1500)
1500 FORMAT (2/,5X,'<< Porcentaje de Error de los
Parámetros de Líneas >>',/)
WRITE(3,1600)
1600 FORMAT(5X,'Parámetro',5X,'Valor Inicial
(pu)',5X,'Valor Estimado (pu)',&
5X,'Valor Correcto (pu)',5X,'% Error de Estimación',/)
k=1!LLEVA EL CONTEO DE EL NUMERO DE LINEAS
SOSPECHOSAS
DO i=(2*n), (2*n-1)+(3*NLE)-2, 3
IF ( DREAL(impsorg(VLE(k))).LT.DREAL(imps(VLE(k))) )
THEN
WRITE(3, 1700) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DREAL(impsaux(VLE(k))), DREAL(imps(VLE(k))),
DREAL(impsorg(VLE(k))), DABS(
DREAL(impsorg(VLE(k)))-DREAL(imps(VLE(k)))
)*100.0/DREAL(impsorg(VLE(k)))
1700 FORMAT (5X, 'r(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 14X, F15.6)
ELSE
WRITE(3, 1701) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DREAL(impsaux(VLE(k))), DREAL(imps(VLE(k))),
DREAL(impsorg(VLE(k))), -1.0*DABS(
DREAL(impsorg(VLE(k)))-DREAL(imps(VLE(k)))
)*100.0/DREAL(impsorg(VLE(k)))
1701 FORMAT (5X, 'r(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 14X, F15.6)
END IF
IF ( DIMAG(impsorg(VLE(k))).LT.DIMAG(imps(VLE(k))) )
THEN
WRITE(3, 1800) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(impsaux(VLE(k))), DIMAG(imps(VLE(k))),
DIMAG(impsorg(VLE(k))), DABS(
DIMAG(impsorg(VLE(k)))-DIMAG(imps(VLE(k)))
)*100.0/DIMAG(impsorg(VLE(k)))
1800 FORMAT (5X, 'x(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 14X, F15.6)
ELSE
WRITE(3, 1801) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(impsaux(VLE(k))), DIMAG(imps(VLE(k))),
DIMAG(impsorg(VLE(k))), -1.0*DABS(
DIMAG(impsorg(VLE(k)))-DIMAG(imps(VLE(k)))
)*100.0/DIMAG(impsorg(VLE(k)))
1801 FORMAT (5X, 'x(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 14X, F15.6)
END IF
IF ( DIMAG(ydorg(VLE(k))).NE. 0.0 ) THEN
IF ( DIMAG(ydorg(VLE(k))).LT.DIMAG(yd(VLE(k))) )
THEN
WRITE(3, 1900) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))),
DIMAG(ydorg(VLE(k))), DABS( DIMAG(ydorg(VLE(k)))-
DIMAG(yd(VLE(k))) )*100.0/DIMAG(ydorg(VLE(k)))
1900 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 8X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 14X, F15.6)
ELSE
WRITE(3, 1901) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))),
DIMAG(ydorg(VLE(k))), -1.0*DABS(
DIMAG(ydorg(VLE(k)))-DIMAG(yd(VLE(k)))
)*100.0/DIMAG(ydorg(VLE(k)))
1901 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 8X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 14X, F15.6)
END IF
ELSE
WRITE(3, 1902) p(VLE(k)), q(VLE(k)),
DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))),
DIMAG(ydorg(VLE(k)))
1902 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 8X, F10.6, 13X, F10.6,
14X, F10.6, 16X, '--------')
END IF
k=k+1
END DO
!IMPRIME EL VECTOR hFM(MEDICIONES ESTIMADAS)
EN EL ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,250) 'Z estimado'
250 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/)
j=0
DO i=1,mV
WRITE(3, 260) '|V', mP(i), hFM(i)
j=j+1
END DO
260 FORMAT (6X, A2,'(', I2, ')| = ', F11.6)
j=j+1
DO i=mV+1,mV+mFPA
WRITE(3, 270) 'P', mP(j),mQ(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
270 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR
WRITE(3, 280) 'Q', mP(j),mQ(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
280 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA
WRITE(3, 290) 'P', mP(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
290 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6)
DO
i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI
PR
WRITE(3, 300) 'Q', mP(j), hFM(i)
j=j+1
END DO
300 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6)
!IMPRIME EL VECTOR deltaZ(RESIDUALES) EN EL
ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,310) 'Residuales'
310 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/)
j=0
DO i=1,mV
WRITE(3, 320) 'Res[|V', mp(i), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
320 FORMAT (6X, A6,'(', I2, ')|] = ', F11.6)
j=j+1
DO i=mV+1,mV+mFPA
WRITE(3, 330) 'Res[P', mP(j), mQ(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO](https://image.slidesharecdn.com/eb255026-c65c-4753-86d7-9ffffb5b07af-160825165834/85/Parameter-Estimation-of-Transmission-Lines-in-Electric-Power-Systems-269-320.jpg)
![APÉNDICE E CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS
236
330 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR
WRITE(3, 340) 'Res[Q', mP(j),mQ(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
340 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA
WRITE(3, 350) 'Res[P', mP(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
350 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6)
DO
i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI
PR
WRITE(3, 360) 'Res[Q', mP(j), deltaZ(i)
j=j+1
END DO
360 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6)
!IMPRIME EL VECTOR ResNorm(RESIDUALES
NORMALIZADOS) EN EL ARCHIVO DE SALIDA
WRITE(3,370) 'Residuales Normalizados'
370 FORMAT (2/,5X,'<< ', A23, ' >>',/)
j=0
DO i=1,mV
WRITE(3, 380) 'ResN[|V', mp(i), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
380 FORMAT (6X, A7,'(', I2, ')|] = ', F11.6)
j=j+1
DO i=mV+1,mV+mFPA
WRITE(3, 390) 'ResN[P', mP(j), mQ(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
390 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR
WRITE(3, 400) 'ResN[Q', mP(j),mQ(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
400 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6)
DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA
WRITE(3, 410) 'ResN[P', mP(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
410 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6)
DO
i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI
PR
WRITE(3, 420) 'ResN[Q', mP(j), ResNorm(i)
j=j+1
END DO
420 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6)
!IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE
WRITE(3,430)
430 FORMAT(/,17X,'<< Flujos de Potencia, Pérdidas y
Balance Reactivo de Elementos >>'&
,/,98X,'Balance',/,,30X,'Flujo de p a q',13X,'Flujo de q a
p',11X,'Pérdidas',8X,'Reactivo',/,)
WRITE(3,440)
440
FORMAT(3X,'Elemento',3X,'p',5X,'q',6X,'P(MW)',9X,'Q(MV
AR)',6X,'P(MW)',9X,'Q(MVAR)',9X,'(MW)',10X,'(MVAR)',/)
!IMPRIME LOS FLUJOS DE POTENCIA DE LOS
ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) EN EL
ARCHIVO DE SALIDA
DO elem=1, b
!IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE
WRITE (3,450) elem, p(elem), q(elem), Ppq(elem)*Sbase,
Qpq(elem)*Sbase, Pqp(elem)*Sbase, Qqp(elem)*Sbase,
(Ppq(elem) + Pqp(elem))*Sbase, (Qpq(elem) +
Qqp(elem))*Sbase
450 FORMAT (6X, I3, 3X, I3, 3X, I3, 4X, F10.5, 4X, F10.5,
3X, F10.5, 4X, F10.5, 4X, F10.5, 5X, F10.5)
END DO
!IMPRIME LOS FLUJOS DE POTENCIA DE LOS
ELEMENTOS EN DERIVACION EN EL ARCHIVO DE
SALIDA
IF ( nED .NE. 0 ) THEN
!IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE
WRITE(3,460)
460 FORMAT(/,5X,'<< Flujos de Potencia de Elementos en
Derivación >>'&
,/,,34X,'Flujo de p',/,)
WRITE(3,470)
470
FORMAT(12X,'Elemento',3X,'p',6X,'P(MW)',8X,'Q(MVAR)',/
)
DO elem=1, nED
!IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE
WRITE (3,480) elem, pED(elem), PpED(elem)*Sbase,
QpED(elem)*Sbase
480 FORMAT (15X, I3, 3X, I3, 1X, F10.5, 6X, F10.5)
END DO
END IF
!IMPRIME EL BALANCE DE POTENCIA DEL SISTEMA
(PERDIDAS Y BALANCE REACTIVO TOTAL)
WRITE(3,490)
490 FORMAT(/,5X,'<< Balance de Potencia del Sistema >>',/)
WRITE(3,500) Ptotal
500 FORMAT(5X, 'Pérdidas Totales = ', F10.5, ' (MW)')
WRITE(3,510) Qtotal
510 FORMAT(5X, 'Balance Reactivo Total = ', F10.5, '
(MVAR)')
PRINT * !DEJA UN ESPACIO EN PANTALLA
PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA
PRINT_RESULTADOS2 !!!'
END SUBROUTINE PRINT_RESULTADOS2
SUBROUTINE PRINTDATOS
!USA LOS SIGUIENTES MODULOS
USE mDATA01
USE mDATA02
USE mDATA03
USE mDATA04
USE mDATA05
USE mDATA06
USE mDATA07
USE mDATA08
IMPLICIT NONE
!DECLARACION DE VARIABLES
INTEGER :: i
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Parameter Estimation of Transmission Lines in Electric Power Systems
Este documento presenta la tesis de maestría de Ing. Omar Yamil Vidal León Romay para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica. La tesis se enfoca en la estimación de parámetros de líneas de transmisión en sistemas eléctricos de potencia. Se programaron algoritmos de estimación de estado y estimación de parámetros usando aumento del vector de estado. También se desarrollaron subrutinas para detección de datos erróneos y análisis de robustez numérica.
Parameter Estimation of Transmission Lines in Electric Power Systems
- 1. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELASUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA “ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA” TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELÉCTRICA PRESENTA: ING. OMAR YAMIL VIDAL LEÓN ROMAY DIRECTORES DE TESIS: DR. DAVID ROMERO ROMERO M. EN C. JESÚS REYES GARCÍA CIUDAD DE MÉXICO, JUNIO DE 2016
- 3. I ACTA DE REVISIÓNDE TESIS
- 4.
- 5. III CARTA DE CESIÓNDE DERECHOS
- 6.
- 7. V DEDICATORIA A mis padres: OraliaRomay Hernández y José Vidal León Carrillo Esto es por y para ustedes. Gracias por confiar en mí.
- 8.
- 9. VII AGRADECIMIENTOS A Dios portodas las bendiciones que tengo en mi vida. A mi madre Oralia Romay Hernández, la persona a quien se lo debo todo, por su amor incondicional, amistad, paciencia y confianza. Por enseñarme a ser un mejor ser humano y siempre dar lo mejor de mí. Eres luz y lo mejor de mi vida. A mi padre José Vidal León Carrillo por su apoyo incondicional, por alentarme a ser mejor, por compartir su experiencia de vida y aconsejarme en los momentos difíciles. A mi hermano José David Vidal León Romay por haber compartido este viaje conmigo, por escucharme, darme consejos, motivarme a ser mejor y haber estado ahí siempre. De igual forma, agradezco a mi familia por su apoyo y confianza. Al Dr. David Romero Romero porque bajo su dirección, enseñanzas y valiosa asesoría, fui capaz de realizar este trabajo. El Dr. Romero me impartió los cursos más importantes para poder desarrollar esta tesis y agradezco todo el tiempo que invirtió en mi formación. Asimismo agradezco su amistad, paciencia y confianza durante el desarrollo de este trabajo. Al M. en C. Jesús Reyes García por sus enseñanzas y palabras estimulantes que me sirvieron para seguir adelante. El maestro Reyes me impartió el curso propedéutico de programación y métodos numéricos que me sirvió de base para mis estudios de maestría. De igual forma agradezco su amistad y confianza. A los miembros de la Comisión Revisora de Tesis conformado por: Dr. Daniel Olguín Salinas, Dr. Jaime Robles García, Dr. Raúl Ángel Cortés Mateos y Dr. David Sebastián Baltazar; por sus observaciones y sugerencias para mejorar este trabajo. A mis amigos y compañeros de la sección de graduados de la ESIME con los que compartí buenos momentos durante mis estudios de maestría e hicieron inolvidable este viaje. De cada uno de ustedes me llevo algo bueno y agradezco el tiempo que pasamos juntos. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca de estudios de maestría otorgada durante dos años y a la Fundación TELMEX por la beca de excelencia otorgada durante año y medio.
- 10.
- 11. IX RESUMEN La Estimación deEstado (EE) en Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP) es una función importante de un Sistema de Gestión de Energía (SGE) ya que aprovecha la redundancia que existe en las mediciones con el objetivo de filtrar el ruido que inevitablemente lleva asociado el proceso de medición. El estimador de estado obtiene el estado del SEP a partir de datos de mediciones y datos de parámetros de red, por lo que su desempeño depende de estos datos. El estimador de estado puede ser enriquecido con otras funciones como la de Estimación de Parámetros (EP) para que pueda procesar los errores en los parámetros de red y así se pueda obtener un mejor estimado del estado de la red eléctrica. En esta tesis se programó el algoritmo de EE convencional usando la formulación de Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP) para procesar un conjunto de mediciones que incluye mediciones de magnitudes de voltaje, mediciones de flujos de potencia (activa y reactiva) y mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva) además de que se pueden incluir mediciones de inyecciones cero en nodos de paso. Este algoritmo se desarrolló con la finalidad de mostrar los efectos en los resultados del estimador de estado al tomar en cuenta errores de parámetros de algunas líneas de transmisión. Aparte de este algoritmo, se programó el algoritmo de EP por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales, con este método se añaden los parámetros de líneas de transmisión al vector de estado como nuevas variables de estado a estimar para así realizar el proceso de estimación simultánea de estado y parámetros. Por otra parte se desarrollaron dos subrutinas para el proceso de detección de datos erróneos que son la prueba 𝜒2 (chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Con estas subrutinas es posible detectar la presencia de datos erróneos en el conjunto de mediciones debido a errores de parámetros por lo que se puede detectar la presencia de líneas de transmisión con parámetros erróneos. Aparte de esto, se programó una subrutina para analizar la robustez numérica de las matrices involucradas en el proceso de estimación usando la Descomposición de Valores Singulares (DVS). Con esta subrutina se calcula el rango numérico de la matriz Jacobiana aumentada, así como el rango numérico, el número de condición y la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia aumentada para observar el mal condicionamiento que se genera en el proceso de EP debido a que al agregar nuevas variables de estado se consigue un aumento en el número de iteraciones para la convergencia y a veces el estimador no proporciona buenas estimaciones a pesar de que se cuenta con una buena redundancia. Finalmente, se desarrolló una subrutina para evaluar los resultados del estimador de parámetros y la precisión de sus parámetros estimados ya que el estimador de parámetros a veces llega a soluciones irrazonables como resistencias negativas o valores de parámetros muy grandes. Con esta herramienta se calculan los intervalos de confianza de los parámetros para definir aquellos con posibilidad de error que deben ser corregidos y aparte un número que indica la precisión de la estimación, por lo tanto solo se deben modificar los parámetros con posibilidad de error que tienen un buen indicador de precisión. Los algoritmos antes mencionados se probaron en dos sistemas. El primero es el sistema IEEE de 14 nodos y el segundo es el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Los resultados muestran que usando el método que aumenta el vector de estado se pueden estimar los parámetros de algunas líneas de transmisión con una buena redundancia.
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- 13. XI ABSTRACT The State Estimation(SE) in Electric Power Systems (EPS) is an important function of an Energy Management System (EMS). The estimator takes advantage of the redundancy that exists in measurements in order to filter out the noise inevitably associated with the measurement process. The state estimator obtains the state of the system from a set of measurements and network parameter data, so its performance depends on these data. The state estimator can be improved with other functions such as Parameter Estimation (PE) to not only process network parameter errors but also to obtain a better estimate of the state of the EPS. In this thesis the SE algorithm was programmed using the Weighted Least Squares (WLS) approach to process a set of measurements including voltage magnitude measurements, power flows measurements (active and reactive), power injections measurements (active and reactive) and zero power injections measurements. This algorithm was developed in order to show the effects on the results provided by the state estimator taking into account parameter errors of some transmission lines. Apart from this algorithm, the algorithm of PE by augmenting the state vector using normal equations was programmed. The latter can estimate the parameters of some transmission lines and the state of the EPS simultaneously, i.e. the algorithm adds parameters to the state vector as new state variables to be estimated and thus it makes the process of simultaneous state and parameter estimation. Equally important, two subroutines for detecting bad data such as 𝜒2 (chi-square) test and 𝑟 𝑁 (normalized residuals) test were programmed. With these subroutines it is possible to detect the presence of bad data in the measurement set due to parameter errors so it detects the presence of transmission lines with wrong parameter values. Moreover, a subroutine to analyze the numerical robustness of the matrices involved in the estimation process using the Singular Value Decomposition (SVD) was programmed. Thanks to this subroutine the numerical rank of the augmented Jacobian Matrix as well as the numerical rank, the condition number and the relative distance to singularity of the augmented Gain matrix are calculated to observe the ill-conditioning that is generated in the process of PE because adding new state variables increases the number of iterations for convergence of the estimator and sometimes it does not provide good estimates despite having a good redundancy. Finally, a subroutine to assess the results of PE and the accuracy of parameter estimates was programmed because the parameter estimator sometimes provides unreasonable solutions such as negative resistances and large parameter values. With this tool the confidence intervals are calculated to define the parameters that are likely to be wrong and must be corrected. Apart from this, a number indicating the accuracy of estimations is calculated. Therefore, only those parameters that are likely to be wrong and presenting a good accuracy indicator must be corrected. The aforementioned algorithms were tested on two systems. The former is the IEEE 14-bus system and the latter is the New England 39-bus system. The results show that the method of PE developed in this thesis can estimate the parameters of some transmission lines with a good redundancy.
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- 15. XIII ÍNDICE GENERAL ACTA DEREVISIÓN DE TESIS ....................................................................................................I CARTA DE CESIÓN DE DERECHOS........................................................................................III DEDICATORIA............................................................................................................................... V AGRADECIMIENTOS ................................................................................................................ VII RESUMEN.......................................................................................................................................IX ABSTRACT.....................................................................................................................................XI ÍNDICE GENERAL.....................................................................................................................XIII ÍNDICE DE FIGURAS.............................................................................................................. XVII ÍNDICE DE TABLAS..................................................................................................................XXI ABREVIATURAS....................................................................................................................XXVII NOMENCLATURA..................................................................................................................XXIX CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 1 1.1 Generalidades............................................................................................................................ 1 1.2 Planteamiento del Problema...................................................................................................... 2 1.3 Objetivo..................................................................................................................................... 3 1.4 Justificación .............................................................................................................................. 3 1.5 Limitaciones y Alcances ........................................................................................................... 5 1.6 Estado del Arte.......................................................................................................................... 6 1.6.1 Trabajos Desarrollados a Nivel Internacional...................................................................... 6 1.6.2 Trabajos Desarrollados en la S.E.P.I-E.S.I.M.E. ............................................................... 12 1.7 Aportaciones ........................................................................................................................... 13 1.8 Artículos Publicados ............................................................................................................... 13 1.9 Contenido de la Tesis.............................................................................................................. 13 CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA.................................................................................................................................... 15 2.1 Introducción ............................................................................................................................ 15 2.2 Modelado de Elementos del Sistema de Potencia................................................................... 15 2.2.1 Modelo de Líneas de Transmisión..................................................................................... 15 2.2.2 Modelo de Transformadores .............................................................................................. 17 2.2.3 Modelo de Rama Unificado ............................................................................................... 18 2.2.4 Modelo de Capacitores y Reactores en Derivación ........................................................... 20 2.2.5 Modelo de Generadores y Cargas ...................................................................................... 20 2.3 Modelo de Red........................................................................................................................ 20 2.4 Formulación Matemática ........................................................................................................ 21
- 16. XIV 2.5 Algoritmo deEstimación de Estado........................................................................................ 25 2.5.1 El Vector de Estado............................................................................................................ 26 2.5.2 El Vector de Mediciones.................................................................................................... 27 2.5.3 La Función de Mediciones................................................................................................. 28 2.5.4 La Matriz Jacobiana de Mediciones................................................................................... 30 2.5.5 La Matriz de Ponderación.................................................................................................. 34 2.5.5.1 Desviación Estándar de los Dispositivos de Medición ................................................. 34 2.5.6 La Matriz de Ganancia....................................................................................................... 36 2.6 Tópicos Adicionales................................................................................................................ 36 2.6.1 Propiedades de los Residuales de Medición ...................................................................... 36 2.6.2 Clasificación de Datos Erróneos........................................................................................ 38 2.6.3 Clasificación de las Mediciones......................................................................................... 39 2.6.4 Detección de Datos Erróneos............................................................................................. 39 2.6.4.1 Descripción y Algoritmo de la Prueba 𝝌2 ..................................................................... 39 2.6.4.2 Descripción y Algoritmo de la Prueba rN ...................................................................... 42 2.6.5 Identificación de Datos Erróneos....................................................................................... 44 2.6.5.1 Descripción de la Prueba rN max ...................................................................................... 44 2.6.6 Concepto de Observabilidad .............................................................................................. 44 CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA............................................................................. 47 3.1 Introducción ............................................................................................................................ 47 3.2 Posibles Causas y Consecuencias de los Errores de Parámetros............................................. 47 3.3 Identificación de Líneas con Parámetros Sospechosos........................................................... 48 3.4 Clasificación de los Métodos de Estimación de Parámetros................................................... 50 3.5 Estimación de Parámetros de Líneas de Transmisión por el Aumento del Vector de Estado Usando Ecuaciones Normales....................................................................................................... 52 3.5.1 Formulación Matemática ................................................................................................... 52 3.5.2 Algoritmo de Estimación de Parámetros de Líneas de Transmisión.................................. 54 3.5.2.1 El Vector de Estado Aumentado................................................................................... 56 3.5.2.2 La Función de Mediciones............................................................................................ 56 3.5.2.3 La Matriz Jacobiana Aumentada................................................................................... 58 3.5.2.4 La Matriz de Ganancia Aumentada............................................................................... 64 3.5.3 Observabilidad de Parámetros de Red ............................................................................... 66 3.6 Robustez Numérica de Matrices ............................................................................................. 66 3.6.1 Condición de Problemas Numéricos y Estabilidad Numérica de Algoritmos ................... 66 3.6.2 Descomposición de Valores Singulares............................................................................. 69 3.6.3 Cálculo del Rango, el Número de Condición y la Distancia Relativa a la Singularidad ... 70
- 17. XV 3.6.4 Algoritmo deAnálisis de Robustez Numérica................................................................... 72 3.7 Cálculos para los Parámetros Estimados................................................................................. 74 3.7.1 Intervalos de Confianza de Parámetros.............................................................................. 74 3.7.2 Indicadores de Precisión de la Estimación de Parámetros ................................................. 75 3.7.3 Algoritmo de Cálculo de Intervalos de Confianza e Indicadores de Precisión.................. 76 CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS ............................................................................. 79 4.1 Introducción ............................................................................................................................ 79 4.2 Sistema Eléctrico de 14 Nodos ............................................................................................... 80 4.2.1 Resultados del Estudio de Flujos de Potencia.................................................................... 81 4.2.2 Esquema de 115 Mediciones.............................................................................................. 82 4.2.2.1 Caso 1............................................................................................................................ 86 4.2.2.2 Caso 1A......................................................................................................................... 91 4.2.3 Esquema de 89 Mediciones................................................................................................ 98 4.2.3.1 Caso 2.......................................................................................................................... 100 4.2.4 Esquema de 41 Mediciones.............................................................................................. 107 4.2.4.1 Caso 3.......................................................................................................................... 108 4.3 Sistema Eléctrico de 39 Nodos ............................................................................................. 113 4.3.1 Resultados del Estudio de Flujos de Potencia.................................................................. 113 4.3.2 Esquema de 301 Mediciones............................................................................................ 116 4.3.2.1 Caso 1.......................................................................................................................... 124 4.3.2.2 Caso 1A....................................................................................................................... 130 4.3.3 Esquema de 247 Mediciones............................................................................................ 138 4.3.3.1 Caso 2.......................................................................................................................... 144 4.3.4 Esquema de 117 Mediciones............................................................................................ 151 4.3.4.1 Caso 3.......................................................................................................................... 154 4.4 Análisis de Resultados .......................................................................................................... 159 4.4.1 Sistema Eléctrico de 14 Nodos ........................................................................................ 159 4.4.2 Sistema Eléctrico de 39 Nodos ........................................................................................ 160 CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES............................................... 163 5.1 Introducción .......................................................................................................................... 163 5.2 Conclusiones......................................................................................................................... 163 5.3 Aportaciones ......................................................................................................................... 165 5.4 Recomendaciones para Trabajos Futuros.............................................................................. 165 REFERENCIAS ............................................................................................................................ 167 APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA................................................................................. 173 A.1 Concepto de Variable Aleatoria ........................................................................................... 173 A.2 Función de Distribución de Probabilidad Acumulada ......................................................... 173
- 18. XVI A.3 Función deDensidad de Probabilidad.................................................................................. 174 A.4 Valor Esperado de una Variable Aleatoria........................................................................... 174 A.5 Varianza de una Variable Aleatoria ..................................................................................... 174 A.6 Concepto de Vector Aleatorio.............................................................................................. 175 A.7 Función de Distribución de Probabilidad Acumulada Conjunta.......................................... 175 A.8 Función de Densidad de Probabilidad Conjunta.................................................................. 175 A.9 Valor Esperado de Una Función de Varias Variables Aleatorias......................................... 176 A.10 Matriz de Covarianza de Varias Variables Aleatorias ....................................................... 176 A.11 Características de Algunas Variables Aleatorias................................................................ 177 APÉNDICE B NORMAS DE VECTORES Y MATRICES...................................................... 179 B.1 Normas de Vectores ............................................................................................................. 179 B.2 Normas de Matrices.............................................................................................................. 179 APÉNDICE C DATOS DE LOS SISTEMAS DE PRUEBA..................................................... 181 C.1 Sistema Eléctrico de 14 Nodos............................................................................................. 181 C.2 Sistema Eléctrico de 39 Nodos............................................................................................. 183 APÉNDICE D CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL.................. 187 D.1 Introducción ......................................................................................................................... 187 D.2 Ejecución del Programa ESTIMATOR_CA.exe.................................................................. 187 D.3 Programa Principal............................................................................................................... 190 D.4 Módulos................................................................................................................................ 192 D.5 Subrutinas............................................................................................................................. 193 APÉNDICE E CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS................... 211 E.1 Introducción.......................................................................................................................... 211 E.2 Ejecución del Programa PARAMETER_ESTIMATOR.exe ............................................... 211 E.3 Programa Principal ............................................................................................................... 214 E.4 Módulos................................................................................................................................ 215 E.5 Subrutinas............................................................................................................................. 217
- 19. XVII ÍNDICE DE FIGURAS Figura2-1 Modelo de una línea de longitud corta. .......................................................................... 16 Figura 2-2 Modelo 𝜋 nominal de una línea de longitud mediana. ................................................... 16 Figura 2-3 Modelo del transformador en fase con relación de vueltas 𝑎pq. ..................................... 17 Figura 2-4 Modelo equivalente 𝜋 de un transformador en fase. ...................................................... 18 Figura 2-5 Modelo simétrico del transformador. ............................................................................. 19 Figura 2-6 Modelo de rama unificado.............................................................................................. 19 Figura 2-7 Nodo genérico en donde se aplica una inyección de corriente....................................... 20 Figura 2-8 Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de estado.............................................. 26 Figura 2-9 Estructura del vector de estado en la k-ésima iteración.................................................. 27 Figura 2-10 Estructura del vector de mediciones............................................................................. 27 Figura 2-11 Estructura de la función de mediciones en la k-ésima iteración................................... 29 Figura 2-12 Estructura de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración.................... 33 Figura 2-13 Diagrama de flujo de la prueba 𝜒2 ................................................................................ 41 Figura 2-14 Diagrama de flujo de la prueba rN . ............................................................................... 43 Figura 3-1 Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de parámetros...................................... 55 Figura 3-2 Estructura del vector de estado aumentado en la k-ésima iteración............................... 56 Figura 3-3 Estructura de la función de mediciones para el modelo aumentado en la k-ésima iteración. ........................................................................................................................................................... 58 Figura 3-4 Estructura de la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración............................ 65 Figura 3-5 Transformación de una esfera unitaria en un elipsoide debido a la matriz 𝐴. Adaptado de [78]. .............................................................................................................................................. 71 Figura 3-6 Diagrama de flujo del algoritmo de análisis de robustez numérica................................ 73 Figura 3-7 Diagrama de flujo del algoritmo de cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión............................................................................................................................................ 77 Figura 4-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59]................................................... 80 Figura 4-2 Diagrama unifilar con 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos.......................... 82 Figura 4-3 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3........................... 86 Figura 4-4 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ............................................. 87 Figura 4-5 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................... 87 Figura 4-6 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. .............................................................. 88 Figura 4-7 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3............................................................................ 89 Figura 4-8 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4................. 92 Figura 4-9 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. ......................................... 93 Figura 4-10 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4....................... 93 Figura 4-11 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4...................................................... 94 Figura 4-12 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. .......................................................... 95 Figura 4-13 Diagrama unifilar con 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos.......................... 98
- 20. XVIII Figura 4-14 Comparaciónde las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3...................... 101 Figura 4-15 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ........................................... 101 Figura 4-16 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3......................... 102 Figura 4-17 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ............................................................ 102 Figura 4-18 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................................... 104 Figura 4-19 Diagrama unifilar con 41 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos........................ 107 Figura 4-20 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3...................... 109 Figura 4-21 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ........................................... 109 Figura 4-22 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3......................... 110 Figura 4-23 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ............................................................ 110 Figura 4-24 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................................... 112 Figura 4-25 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60]............................. 113 Figura 4-26 Diagrama unifilar con 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra........................ 117 Figura 4-27 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.................. 125 Figura 4-28 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 126 Figura 4-29 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 126 Figura 4-30 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ........................................................ 127 Figura 4-31 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 128 Figura 4-32 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29......... 131 Figura 4-33 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. ................................. 132 Figura 4-34 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29............... 132 Figura 4-35 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.............................................. 133 Figura 4-36 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. .................................................. 134 Figura 4-37 Diagrama unifilar con 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra........................ 138 Figura 4-38 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.................. 145 Figura 4-39 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 145 Figura 4-40 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 146
- 21. XIX Figura 4-41 Porcentajesde error de los ángulos de fase nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ........................................................ 146 Figura 4-42 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 148 Figura 4-43 Diagrama unifilar con 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra........................ 151 Figura 4-44 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.................. 155 Figura 4-45 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 155 Figura 4-46 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 156 Figura 4-47 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ........................................................ 156 Figura 4-48 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 158 Figura C-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59]. ............................................... 181 Figura C-2 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60].............................. 183 Figura D-1 Estructura del archivo de datos “EJEMPLO.DAT” para el estimador de estado........ 187 Figura D-2 Ingreso del archivo de datos para el estimador de estado............................................ 188 Figura D-3 Ingreso del archivo de resultados para el estimador de estado.................................... 189 Figura D-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de estado............................. 189 Figura E-1 Estructura del archivo de datos “EJEMPLO.DAT” para el estimador de parámetros. 211 Figura E-2 Ingreso del archivo de datos para el estimador de parámetros. ................................... 212 Figura E-3 Ingreso del archivo de resultados para el estimador de parámetros............................. 213 Figura E-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de parámetros. .................... 213
- 22.
- 23. XXI ÍNDICE DE TABLAS Tabla2-1 Definición de parámetros del modelo de rama unificado para líneas y transformadores.19 Tabla 2-2 Valores constantes para 𝜎i. .............................................................................................. 35 Tabla 2-3 Valores para 𝜎i en función del valor medido por el dispositivo de medición.................. 35 Tabla 2-4 Valores para 𝜎i en función del total de la escala del dispositivo de medición................. 35 Tabla 2-5 Valores para 𝜎i en función del valor medido y el total de la escala del dispositivo de medición............................................................................................................................................ 35 Tabla 4-1 Simbología para el tipo de medición................................................................................ 79 Tabla 4-2 Variables de estado del sistema IEEE de 14 nodos.......................................................... 81 Tabla 4-3 Potencias de generación y carga por nodo del sistema IEEE de 14 nodos. ..................... 81 Tabla 4-4 Flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos del sistema IEEE de 14 nodos.................. 81 Tabla 4-5 Flujos de potencia de 𝑞 a 𝑝 de los elementos del sistema IEEE de 14 nodos.................. 82 Tabla 4-6 Flujos de potencia de los elementos en derivación.......................................................... 82 Tabla 4-7 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. ................................................................................................................................................ 83 Tabla 4-8 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 1 y 3.. 86 Tabla 4-9 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................... 88 Tabla 4-10 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3............................................................................ 88 Tabla 4-11 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.................................................................................................................................. 89 Tabla 4-12 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3........................... 89 Tabla 4-13 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3................................................................................. 89 Tabla 4-14 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 1......................................................................................................................................................... 90 Tabla 4-15 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 1. .................................................................................................... 90 Tabla 4-16 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1 y 3 para el caso 1. .................................................................................................... 90 Tabla 4-17 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3.................................................................................................................................. 91 Tabla 4-18 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3.................................................................................... 91 Tabla 4-19 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 1 y 3 para el caso 1........................................................................................................... 91 Tabla 4-20 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 1, 3 y 4. ........................................................................................................................................................... 92 Tabla 4-21 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. ......................................... 94 Tabla 4-22 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. .......................................................... 94 Tabla 4-23 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4........................................................................................................................ 95
- 24. XXII Tabla 4-24 Residualesnormalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4....................... 95 Tabla 4-25 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4............................................................................. 95 Tabla 4-26 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A...................................................................................................................................................... 96 Tabla 4-27 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A.................................................................................................... 96 Tabla 4-28 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A. ............................................................................................. 96 Tabla 4-29 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1, 3 y 4.............................................................................................................................. 97 Tabla 4-30 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1, 3 y 4................................................................................ 97 Tabla 4-31 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A.................................................................................................... 97 Tabla 4-32 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. ................................................................................................................................................ 98 Tabla 4-33 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ........................................... 103 Tabla 4-34 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................................... 103 Tabla 4-35 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3................................................................................................................................ 103 Tabla 4-36 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3......................... 104 Tabla 4-37 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3............................................................................... 104 Tabla 4-38 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los elementos 1 y 3 para el caso 2....................................................................................................................................................... 105 Tabla 4-39 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 2. .................................................................................................. 105 Tabla 4-40 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1 y 3 para el caso 2. .................................................................................................. 105 Tabla 4-41 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3................................................................................................................................ 105 Tabla 4-42 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3.................................................................................. 106 Tabla 4-43 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 1 y 3 para el caso 2......................................................................................................... 106 Tabla 4-44 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 41 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. .............................................................................................................................................. 107 Tabla 4-45 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. ........................................... 111 Tabla 4-46 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.......................................................................... 111 Tabla 4-47 Prueba 𝜒2 para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3................................................................................................................................ 111
- 25. XXIII Tabla 4-48 Pruebade los residuales normalizados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3............................................................................... 112 Tabla 4-49 Variables de estado del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. .................................. 114 Tabla 4-50 Potencias de generación y carga por nodo del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos.114 Tabla 4-51 Flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. ......................................................................................................................................................... 115 Tabla 4-52 Flujos de potencia de 𝑞 a 𝑝 de los elementos del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. ......................................................................................................................................................... 116 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. ........................................................................................................................................ 117 Tabla 4-54 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 20 y 29. ......................................................................................................................................................... 125 Tabla 4-55 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 127 Tabla 4-56 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 127 Tabla 4-57 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29............................................................................................................................ 128 Tabla 4-58 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 128 Tabla 4-59 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29........................................................................... 128 Tabla 4-60 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 1....................................................................................................................................................... 129 Tabla 4-61 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1..................................................................................................... 129 Tabla 4-62 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1............................................................................................... 129 Tabla 4-63 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29............................................................................................................................ 130 Tabla 4-64 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.............................................................................. 130 Tabla 4-65 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20 y 29 para el caso 1..................................................................................................... 130 Tabla 4-66 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 20, 23 y 29..................................................................................................................................................... 131 Tabla 4-67 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. ................................. 133 Tabla 4-68 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. .................................................. 133 Tabla 4-69 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29................................................................................................................ 134 Tabla 4-70 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29............... 134 Tabla 4-71 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29..................................................................... 134 Tabla 4-72 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A........................................................................................................................................ 135 Tabla 4-73 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A............................................................................................ 135
- 26. XXIV Tabla 4-74 Robusteznumérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A. ..................................................................................... 136 Tabla 4-75 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29...................................................................................................................... 136 Tabla 4-76 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29........................................................................ 136 Tabla 4-77 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A............................................................................................ 137 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. ........................................................................................................................................ 138 Tabla 4-79 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 147 Tabla 4-80 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 147 Tabla 4-81 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29............................................................................................................................ 147 Tabla 4-82 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29..................... 148 Tabla 4-83 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29........................................................................... 148 Tabla 4-84 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los elementos 20 y 29 para el caso 2............................................................................................................................................... 149 Tabla 4-85 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 2............................................................................................... 149 Tabla 4-86 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 2. ......................................................................................... 149 Tabla 4-87 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29............................................................................................................................ 149 Tabla 4-88 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.............................................................................. 150 Tabla 4-89 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20 y 29 para el caso 2..................................................................................................... 150 Tabla 4-90 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. ........................................................................................................................................ 151 Tabla 4-91 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. ....................................... 157 Tabla 4-92 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29...................................................................... 157 Tabla 4-93 Prueba 𝜒2 para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29............................................................................................................................ 157 Tabla 4-94 Prueba de los residuales normalizados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29........................................................................... 158 Tabla 4-95 Análisis de resultados de la SE del sistema IEEE de 14 nodos. .................................. 159 Tabla 4-96 Análisis de resultados de la PE del sistema IEEE de 14 nodos. .................................. 159 Tabla 4-97 Análisis de resultados de la SE sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. ...................... 160 Tabla 4-98 Análisis de resultados de la PE del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. ................ 161 Tabla A-1 Principales Características de Algunas Variables Aleatorias........................................ 177
- 27. XXV Tabla C-1 Datosde parámetros de líneas y transformadores para el sistema IEEE de 14 nodos. . 181 Tabla C-2 Datos de elementos en derivación para el sistema IEEE de 14 nodos. ......................... 182 Tabla C-3 Datos de voltajes nodales iniciales para el sistema IEEE de 14 nodos......................... 182 Tabla C-4 Datos de potencias de generación y carga por nodo para el sistema IEEE de 14 nodos. ......................................................................................................................................................... 182 Tabla C-5 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. .............................................................................................................................................. 183 Tabla C-6 Datos de Voltajes Nodales Iniciales para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos..... 185 Tabla C-7 Datos de Potencias de Generación y Carga por Nodo para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. ......................................................................................................................................... 186
- 28.
- 29. XXVII ABREVIATURAS SEP Sistema Eléctricode Potencia. SCADA Supervisión, Control y Adquisición de Datos (Supervisory Control and Data Adquisition*). EMS Sistema de Gestión de Energía (Energy Management System*). WLS Mínimos Cuadrados Ponderados (Weighted Least Squares*). PU Por Unidad. LCK Ley de Corrientes de Kirchhoff. MLE Estimación de Máxima Verosimilitud (Maximum Likelihood Estimation*) CPDF Función de Distribución de Probabilidad Acumulada (Cumulative Probability Distribution Function*). PDF Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function*). SVD Descomposición de Valores Singulares (Singular Value Decomposition*). FORTRAN Traducción de Fórmula (Formula Translation*). IMSL Biblioteca Internacional de Matemática y Estadística (International Mathematics and Statistics Library*) Slack Nodo Compensador. PQ Nodo de Carga. PV Nodo de Voltaje Controlado. IEEE Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (Institute of Electrical and Electronics Engineers *). SE Estimación de Estado (State Estimation*). PE Estimación de Parámetros (Parameter Estimation*). *Por sus siglas en inglés.
- 30.
- 31. XXIX NOMENCLATURA 𝒑 Nodo deenvío. 𝒒 Nodo de recepción. 𝑵 Número de nodos del SEP. 𝒛 𝒑𝒒 Impedancia serie conectada entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒚 𝒑𝒒 Admitancia serie conectada entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒚 𝒑𝒒 𝒔𝒉 Admitancia en derivación sobre dos del elemento conectado entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝑽 𝒑 Voltaje complejo en el nodo de envío. 𝑽 𝒒 Voltaje complejo en el nodo de recepción. 𝑰 𝒑𝒒 Corriente compleja del nodo de envío al nodo de recepción. 𝑰 𝒒𝒑 Corriente compleja del nodo de recepción el nodo de envío. 𝒓 𝒑𝒒 Resistencia serie conectada entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒙 𝒑𝒒 Reactancia serie conectada entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒈 𝒑𝒒 Conductancia serie conectada entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒃 𝒑𝒒 Susceptancia serie conectada entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒈 𝒑𝒒 𝒔𝒉 Conductancia en derivación sobre dos del elemento conectado entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 Susceptancia en derivación sobre dos del elemento conectado entre el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞. 𝒓 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 Resistencia serie errónea. 𝒙 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 Reactancia serie errónea. 𝒃 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒉 Susceptancia en derivación sobre dos errónea. |𝑽 𝒑| Magnitud de voltaje en el nodo de envío. 𝜽 𝒑 Ángulo de fase en el nodo de envío. |𝑽 𝒒| Magnitud de voltaje en el nodo de recepción. 𝜽 𝒒 Ángulo de fase en el nodo de recepción. 𝒂 𝒑𝒒 Tap en el nodo 𝑝. 𝒂 𝒒𝒑 Tap en el nodo 𝑞. 𝒚 𝒑 𝒔𝒉 Admitancia del elemento en derivación conectado al nodo 𝑝. 𝑰 𝒑 Inyección de corriente compleja en el nodo 𝑝. 𝑰 𝒑 𝒔𝒉 Corriente compleja del elemento en derivación conectado al nodo 𝑝. 𝒀 Matriz de admitancia nodal. 𝑮 𝒑𝒒 Parte real del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la columna 𝑞. 𝑩 𝒑𝒒 Parte imaginaria del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la columna 𝑞. 𝑰 Vector de inyecciones de corriente compleja. 𝑽 Vector de voltajes nodales complejos. 𝒛 Vector de mediciones disponibles. 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 Vector de mediciones ideales. 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 Vector de mediciones perturbadas. 𝒙 Vector de estado verdadero. 𝒙̂ Vector de estado estimado.
- 32. XXX 𝒉(𝒙) Función vectorialno lineal o función de mediciones para el estimador de estado convencional. 𝒆 Vector de errores de medición. 𝒎 Número de mediciones disponibles. 𝒏 Número de variables de estado del SEP. 𝒎𝑽 Número de mediciones de magnitud de voltaje. 𝒎𝑭𝑷𝑨 Número de mediciones de flujos de potencia activa. 𝒎𝑭𝑷𝑹 Número de mediciones de flujos de potencia reactiva. 𝒎𝑰𝑷𝑨 Número de mediciones de inyecciones de potencia activa. 𝒎𝑰𝑷𝑹 Número de mediciones de inyecciones de potencia reactiva. 𝑬(. ) Esperanza matemática. 𝑹 Matriz de covarianza de los errores de medición. 𝝈𝒊 𝟐 Varianza del i-ésimo error de medición. 𝝈𝒊 Desviación estándar del i-ésimo error de medición. 𝝁𝒊 Esperanza matemática del i-ésimo error de medición. 𝒇(𝒛) Función de densidad de probabilidad. 𝑾 Inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición o matriz de ponderación. 𝓛 Función de densidad de probabilidad logarítmica. 𝒓𝒊 Residual de la i-ésima medición disponible. 𝑱(𝒙) Función objetivo para el estimador de estado convencional. 𝑯(𝒙) Matriz Jacobiana de mediciones para el estimador de estado convencional. 𝑮(𝒙) Matriz de Ganancia para el estimador de estado convencional. 𝚫𝒙 Vector de incrementos de los estados para el estimador de estado convencional. 𝑷 𝒑𝒒 Flujo de potencia activa del nodo 𝑝 al nodo 𝑞. 𝑷 𝒒𝒑 Flujo de potencia activa del nodo 𝑞 al nodo 𝑝. 𝑸 𝒑𝒒 Flujo de potencia reactiva del nodo 𝑝 al nodo 𝑞. 𝑸 𝒒𝒑 Flujo de potencia reactiva del nodo 𝑞 al nodo 𝑝. 𝑷𝒅 𝒑 Flujo de potencia activa del elemento en derivación conectado al nodo 𝑝. 𝑸𝒅 𝒑 Flujo de potencia reactiva del elemento en derivación conectado al nodo 𝑝. 𝑷 𝒑 Inyección de potencia activa en el nodo 𝑝. 𝑸 𝒑 Inyección de potencia activa en el nodo 𝑝. 𝑲 Matriz sombrero. 𝑺 Matriz de sensibilidad residual. 𝛀 Matriz de covarianza residual. 𝝌 𝟐 Chi-cuadrada. 𝒓 𝑵 Residuales normalizados. 𝒓𝒊 𝑵 Residual normalizado de la i-ésima medición disponible. 𝒓 𝒎𝒂𝒙 𝑵 Máximo residual normalizado. 𝜶 Nivel de relevancia. 𝟏 − 𝜶 Nivel de confianza. 𝒑𝒍 Vector de parámetros verdaderos. 𝒑𝒍̂ Vector de parámetros estimados. 𝒑𝒍∗ Vector de valores erróneos de parámetros. 𝒏 𝒑 Número de parámetros de líneas a estimar del SEP. 𝒙 𝒂𝒖𝒎 Vector de estado aumentado para el estimador de parámetros. 𝒉(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Función vectorial no lineal o función de mediciones para el estimador de parámetros. 𝑱(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Función objetivo para el estimador de parámetros.
- 33. XXXI 𝑯(𝒙 𝒂𝒖𝒎) MatrizJacobiana de mediciones para el estimador de parámetros. 𝑯 𝒑(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz Jacobiana de parámetros para el estimador de parámetros. 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz Jacobiana aumentada para el estimador de parámetros. 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎) Matriz de Ganancia aumentada para el estimador de parámetros. 𝚫𝒙 𝒂𝒖𝒎 Vector de incrementos aumentado para el estimador de parámetros. ‖. ‖ Norma de un vector o una matriz. 𝒄𝒐𝒏𝒅[. ] Número de condición de una matriz. 𝒓𝒂𝒏𝒌[. ] Rango de una matriz. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[. ] Máximo valor singular de una matriz. 𝝈 𝒎𝒊𝒏[. ] Mínimo valor singular de una matriz distinto de cero. 𝑫𝑹[. ] Distancia relativa a la singularidad de una matriz. 𝑻 𝒑 𝒊 Distribución t del i-ésimo parámetro estimado. 𝒃𝒊 Desviación máxima posible del i-ésimo parámetro estimado. 𝑰𝒊 Indicador de precisión del i-ésimo parámetro estimado. 𝑯 𝟎 Hipótesis nula. 𝑯 𝟏 Hipótesis alternativa. 𝑵𝑨 No aplica.
- 34.
- 35. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1 CAPÍTULO1 INTRODUCCIÓN 1.1 Generalidades En 1965 las redes eléctricas eran monitoreadas por sistemas de control y supervisión, los cuales monitoreaban y controlaban el estado de los interruptores en las subestaciones, así como la frecuencia del sistema y la potencia de salida de los generadores [1]. Sin embargo, con la necesidad de enfocarse en la seguridad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), se requerían más mediciones y en intervalos de tiempo más cortos, con lo que se llegó al desarrollo de los sistemas de Supervisión, Control y Adquisición de Datos o SCADA (“Supervisory Control and Data Adquisition” en inglés). Con la llegada de estos sistemas se obtuvo más información del SEP para propósitos de seguridad. No obstante, los primeros intentos de obtener el estado del sistema en línea presentaban problemas ya sea por falta o inconsistencia de algunas mediciones. Debido a esto, Fred Schweppe [2, 3, 4] fue el primero que propuso la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) para resolver el problema de las mediciones y de la solución en tiempo real, por lo tanto, se pudieron realizar otras funciones de aplicación. Estos avances dirigieron al desarrollo de lo que se conoce hoy en día como Sistema de Gestión de Energía o EMS (“Energy Management System” en inglés). La SE en sistemas de potencia es una función importante del EMS ya que obtiene un modelo de red en tiempo real del SEP que es usado por las funciones de seguridad y control del EMS. De acuerdo con [5, 6], algunas funciones de aplicación del EMS son: Análisis de contingencias, flujos de potencia óptimos con restricciones de seguridad, despacho económico, pronóstico de carga, simulador de entrenamiento para operadores, etc. Según [7], los datos de entrada que generalmente necesita un estimador de estado convencional son: Las mediciones analógicas variantes en el tiempo que son las mediciones de campo en tiempo real proporcionadas por el sistema SCADA. Mediciones virtuales que no requieren ser medidas, como las mediciones de inyecciones cero en nodos de paso. Poseen la característica de que pueden ser usadas como mediciones libres de error y por lo tanto se les deben asignar pesos altos en la formulación de la estimación de estado convencional. Pseudo-mediciones que pueden ser generadas a partir de pronósticos de carga a corto plazo, datos históricos u otros métodos similares. Poseen la característica de que se les deben asignar pesos bajos debido a que se consideran que tienen menos precisión en comparación de si fuesen realmente medidos. Valores de parámetros de red y de la topología actual del SEP. Modelado matemático del sistema. Por lo tanto se pueden distinguir dos tipos de bases de datos que son requeridas por un estimador de estado: Una base de datos dinámicos y una base de datos estáticos [5]. La base de datos dinámicos es obtenida a partir del sistema SCADA, el cual proporciona un conjunto de mediciones que según [6] incluyen: Flujos de potencia de líneas, magnitudes de voltajes nodales, magnitudes de corrientes de líneas, cargas, potencias de salida de generadores, información del estado de interruptores, posiciones de los taps de transformadores y valores de bancos de capacitores conmutables. Conforme con [5], la base de datos estáticos incluye datos de parámetros de los elementos del SEP (impedancia serie y admitancia en derivación de líneas, transformadores, etc.). Por otra parte, según [5, 6, 8] un estimador de estado generalmente incluye las siguientes funciones:
- 36. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 2 Procesador de la topología: Construye el modelo de red (diagrama unifilar) en base a la información del estado de los interruptores del SEP. Análisis de observabilidad: Determina si el estado del sistema se puede obtener a partir de las mediciones disponibles de la red eléctrica. En el caso de que solo un conjunto de nodos es observable, entonces identifica las islas observables. Solución de la estimación de estado: Obtiene un estimado del estado del SEP o el estado que mejor se ajusta a las mediciones disponibles a partir de un conjunto de datos de conectividad y parámetros de la red eléctrica. Procesador de datos erróneos: Detecta la presencia de errores sustanciales en las mediciones disponibles y si la redundancia de medición es adecuada, estas mediciones pueden ser removidas del conjunto de mediciones. Procesador de errores de topología y errores de parámetros: Detecta errores en la topología de la red eléctrica y si la redundancia de medición es adecuada es posible identificar el estado incorrecto de interruptores. Estima diversos parámetros de red como los parámetros del modelo de línea de transmisión, taps de transformadores y parámetros de capacitores o reactores en derivación. Como se puede notar, el estimador de estado procesa un conjunto de datos con el objetivo de filtrar el ruido de medición inherente en las mediciones y detectar errores sustanciales. La solución del estimador proporcionará un estimado del estado del SEP basado en las mediciones disponibles y el modelo del sistema para luego realizar las distintas funciones de aplicación de un EMS. 1.2 Planteamiento del Problema El estado del SEP es estimado a partir del estimador de estado, el cual usa un conjunto de datos de mediciones y datos de parámetros de red. Por lo tanto el desempeño del estimador depende de la precisión de las mediciones, así como de los parámetros de la red eléctrica. Los datos de mediciones están sujetos a ruido o errores en el sistema de medición y en el proceso de comunicación. Los parámetros de red pueden estar sujetos a errores en los parámetros de las líneas y a las posiciones de los taps de transformadores, según [9]. Todos estos errores pueden afectar los resultados proporcionados por el estimador de estado. Por consiguiente se pueden definir 3 tipos de errores que pueden afectar la calidad de la solución de la SE [6, 10]: Errores sustanciales: Son los errores en las mediciones analógicas y pueden ocurrir cuando los medidores presentan sesgos, desviaciones grandes o conexiones erróneas, así como también cuando existen fallas en el sistema de telecomunicación o el ruido causado por alguna interferencia inesperada. Errores de topología: Se refiere a la información incorrecta de la topología de la red y suelen presentarse cuando algunos de los interruptores de la red eléctrica (los cuales pueden no ser medidos u operados de forma remota) no funcionan correctamente. Otras causas pueden ser cuando los equipos de mantenimiento realizan algún cambio en algunos interruptores sin reportarlo al centro de control, fallas mecánicas de los dispositivos de señalización, etc. Errores de parámetros de red: Son los errores en el modelo de los elementos de la red eléctrica y pueden acaecer cuando se presenta la sustitución de algunos elementos del SEP (por ejemplo: líneas) y no son apropiadamente actualizados en la base de datos, cambios en las condiciones ambientales y de posicionamiento a las que son expuestas las líneas, datos de fabricación incorrectos o una mala estimación de longitud de línea, la modificación local de un cambiador de taps sin reportarlo al centro de control, una mala operación o una mala
- 37. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 3 calibraciónde cualquier dispositivo eléctrico o mecánico involucrado en el proceso de monitoreo de los taps de transformadores, etc. El procesamiento de datos erróneos para la detección e identificación de errores sustanciales es ahora una rutina implícita en la mayoría de los estimadores de estado [9]. Normalmente los errores de topología pueden causar grandes errores en las mediciones estimadas y en consecuencia, estos pueden ser detectados fácilmente. Sin embargo, los errores de parámetros son menos evidentes y pueden ocasionar errores en los resultados proporcionados por el estimador por un largo periodo de tiempo sin poder percatarse de que están presentes [11]. Por lo tanto esta tesis se centra en el problema de estimar los parámetros de algunas líneas de transmisión para obtener mejores valores de parámetros de líneas y así conseguir mejores resultados del estimador de estado, los cuales como se ha estado describiendo, son el punto de partida de las diversas funciones de aplicación que tiene un EMS. 1.3 Objetivo Desarrollar un algoritmo para la estimación de parámetros de líneas de transmisión que procese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use la formulación de mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis de robustez numérica de matrices, el proceso de detección de datos erróneos y el cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados. Asimismo, desarrollar un algoritmo para la estimación de estado convencional que procese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use la formulación de mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis de robustez numérica de matrices y el proceso de detección de datos erróneos. 1.4 Justificación Tradicionalmente [12], la SE se lleva a cabo suponiendo que los errores de mediciones son estadísticamente pequeños, la redundancia de los datos es adecuada (considerando la cantidad, el tipo y distribución topológica de las mediciones), además de que la configuración y los parámetros de red son correctos. Frecuentemente estas hipótesis no son absolutamente verdaderas [7], lo que ha llevado a los investigadores a desarrollar algoritmos que puedan tratar con los errores que pueden afectar los resultados del estimador de estado. Según [13], al ignorar los errores en los parámetros de la red, la mayoría de los algoritmos de SE relacionan cualquier inconsistencia detectada durante el proceso de estimación a errores en las mediciones analógicas o a las mediciones digitales incorrectas (aquellas reportando el estado de interruptores). Como consecuencia [12], los errores de los parámetros de las líneas permanecen sin ser detectados por largos lapsos de tiempo, lo que puede producir errores permanentes en los resultados de las funciones de aplicación de un EMS. Para evitar esto, el algoritmo de SE debe ser enriquecido para que pueda depurar los errores presentes en los parámetros de la red. Si la precisión de la SE puede ser incrementada, entonces se obtendrá una mejor representación del SEP y las funciones de aplicación del EMS pueden tener un mejor desempeño.
- 38. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 4 Desdeque las estimaciones son obtenidas de ecuaciones que relacionan las mediciones a las variables de estado (ecuaciones de flujos de potencia), cualquier error de parámetro de línea está obligado a afectar las estimaciones proporcionadas por el estimador de estado, ya que el proceso de estimación supone que todos los parámetros son conocidos y las emplea en el algoritmo de estimación de estado en forma iterativa para obtener un vector de estado del SEP [14]. Las empresas eléctricas en la mayoría de los casos usan valores teóricos para el cálculo de los parámetros del circuito equivalente de las líneas de transmisión [15]. Conforme con [15, 16, 17], existen algunos factores que influyen en los parámetros de las líneas como los siguientes: La altura del conductor por encima del plano de tierra es variable debido a la catenaria que presenta y es imposible de estimar sobre terreno montañoso, lo que puede afectar la capacitancia de la línea. La resistencia de la línea puede cambiar significativamente con la temperatura ambiente y esta depende de las propiedades del material del conductor, corriente eléctrica que transporta, diámetro del conductor, condiciones de superficie y las condiciones ambientales a las que es sometida la línea. El valor de reactancia serie usado es el de una línea idealmente transpuesta aunque ésta no lo es debido al costo de construcción adicional generado por alterar mecánicamente las posiciones de los conductores cada un tercio de la distancia entre torres de transmisión. Además de que la construcción de nuevas líneas en paralelo con acoplamiento mutuo afecta las bases de datos anteriores. Según [18], las bases de datos de los parámetros que tienen las distintas empresas eléctricas pueden ser incorrectos como resultado de: Datos de fabricación incorrectos o una mala calibración de los equipos de medición de los fabricantes. Cambios en la red que no se actualizaron apropiadamente en la base de datos (por ejemplo: una sección de línea aérea que sufre calentamiento puede ser sustituida por un cable). Desgaste de los materiales. Puede ser lento, normal o rápido (como el desgaste producido por el efecto corona). Parámetros que dependen de la temperatura (como la resistencia). Cambios en las condiciones ideales con las que se calculó el modelo 𝜋 (no se tienen en cuenta los diferentes cambios de altura de la línea respecto al terreno, se considera la resistividad del terreno constante, se supone que la línea es transpuesta a cada tercio de su longitud y también se supone que la longitud se conoce con exactitud). De acuerdo con [6], estos valores de parámetros incorrectos pueden tener las siguientes consecuencias: Una degradación de los resultados proporcionados por el estimador de estado y, como consecuencia, de los resultados de los programas cuyos datos de entrada son la salida del estimador. Que mediciones correctas sean identificadas como mediciones erróneas debido a inconsistencias con los parámetros de red incorrectos. Desconfianza por parte del operador en los resultados del estimador de estado. En el artículo [15] se afirma que debido a las desviaciones de las condiciones ideales supuestas durante los cálculos de los parámetros de líneas de transmisión y pocas mediciones reales, los valores encontrados en las bases de datos de las empresas eléctricas presentan errores que pueden llegar a ser
- 39. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 5 dehasta 25% a 30% comparados con los valores reales. Como los parámetros de las líneas de transmisión tienen una influencia en los resultados del estimador de estado y por lo tanto también afectan a las distintas funciones de aplicación del EMS, es evidente la necesidad de encontrar métodos para estimar los parámetros del modelo de línea de transmisión. 1.5 Limitaciones y Alcances En esta tesis se desarrolla un algoritmo de estimación de parámetros de líneas de transmisión que usa el método que aumenta el vector de estado para incluir los parámetros de las líneas que presentan errores de parámetros como variables de estado a estimar. Los alcances que presenta esta tesis son: Mostrar los efectos que se presentan en las variables de estado estimadas cuando se presentan errores en los parámetros de algunas líneas (resistencia serie, reactancia serie y susceptancia en derivación sobre dos) mediante el uso de un estimador de estado convencional. Realizar el proceso de detección de datos erróneos usando la prueba 𝜒2 (chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Estimar los parámetros de algunas líneas de transmisión (conductancia serie, susceptancia serie y susceptancia en derivación sobre dos) mediante el uso de un estimador de estado y parámetros. Utilizar el método de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales para el desarrollo del algoritmo. Analizar la robustez numérica del estimador de parámetros usando el método de descomposición de valores singulares. Calcular los intervalos de confianza de los parámetros estimados y un índice que indique la precisión de la estimación de parámetros. Las limitaciones que presenta esta tesis son: El algoritmo desarrollado solo toma en cuenta un conjunto de mediciones y contempla magnitudes de voltaje, flujos de potencia (activa y reactiva) e inyecciones de potencia (activa y reactiva), además de que se pueden simular mediciones de inyecciones cero en nodos de paso. Se simulan errores de medición de hasta ±2% para tomar en cuenta el efecto del error en las mediciones. Esto se realiza con el uso de un generador de números pseudo-aleatorios que sigue una distribución normal o gaussiana. Se simulan errores de parámetros de +30% con respecto al valor nominal que presentan las líneas de transmisión en las bases de datos de los parámetros de red. El algoritmo no contempla la estimación de los taps de transformadores, por lo tanto solo se centra en la estimación de parámetros de líneas de transmisión. No se desarrolla el algoritmo del proceso de identificación de parámetros sospechosos. El porcentaje de error de ±2% para las mediciones es de acuerdo al nivel de error presentado en [10, 19, 20] y el porcentaje de error de +30% es debido a [15].
- 40. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 6 1.6Estado del Arte En esta sección se presentan los antecedentes que existen en la literatura de la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) y la Estimación de Parámetros o PE (“Parameter Estimation” en inglés). Para una mejor descripción, los trabajos se presentan en dos secciones que abarcan: la investigación desarrollada a nivel internacional y la investigación desarrollada en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco. 1.6.1 Trabajos Desarrollados a Nivel Internacional El primer trabajo de SE fue desarrollado por Fred Schweppe en 1970. El propuso un algoritmo de procesamiento de un conjunto de mediciones redundantes y otra información disponible del SEP que obtiene un estimado del estado de la red eléctrica. En sus trabajos [2, 3] desarrolló el modelo matemático exacto (que necesita de una técnica de solución iterativa) y el modelo matemático aproximado (que necesita de una técnica de solución no iterativa) y presentó los conceptos de detección e identificación de datos erróneos. En [4] muestra algunos problemas que conlleva su implementación como el tiempo y almacenamiento de cómputo, la dimensión del vector de estado que resulta de un gran número de nodos y el hecho de que un SEP nunca está realmente en estado estable. En el mismo año R. E. Larson, W. F. Tinney y J. Peschon presentan en [21] la teoría básica de la estimación de estado estática y se muestran algunos resultados de un estimador de estado en un sistema de 8 nodos en el que se ve una aplicación a la estimación de la admitancia de un elemento junto con las variables de estado de ese sistema. A pesar de solo presentarse un caso de estimación de admitancia, este representa uno de los primeros intentos de realizar la PE usando el modelo no lineal de estimación. El artículo complementario es [22] en donde R. E. Larson, W. F. Tinney, L. P. Hajdu y D. Piercy describen un algoritmo de SE en línea y su aplicación en una red de 400 nodos mostrando resultados experimentales, así como menciona las aplicaciones de la SE en la operación y planeación de redes eléctricas. Antes de finalizar ese año J. F. Dopazo, 0. A. Klitin, G. W. Stagg y L. S. V. Slyck desarrollan en [23] un algoritmo para la solución del problema de flujos de potencia en línea que obtiene el vector de estado del sistema, el cual solamente procesa mediciones de flujos de potencia y simula los errores de medición tomando en cuenta el error presente en los transformadores de instrumento, los transductores de potencia y en los convertidores analógico digital. Dos años más tarde, en 1972 J. F. Dopazo, 0. A. Klitin y L. S. VanSlyck presentan en [24] el artículo complementario donde se detalla los fundamentos presentados en [23], el peso relativo que se le da a las mediciones de magnitud de voltaje y de flujos de potencia debidos a los errores en las mediciones y la importancia que tiene para la determinación del estado del sistema. Para 1973, T. A. Stuart y C. J. Herget [25] presentan un estudio sobre como los errores en los valores esperados y varianzas de las estimaciones de estado son afectados por errores en algunos parámetros de red, y como los errores en las estimaciones de estado resultantes afectan los cálculos subsecuentes de flujos de potencia. Evalúan la sensibilidad del método de mínimos cuadrados ponderados y muestran resultados experimentales que indican los efectos de los errores en diferentes tipos de parámetros del sistema como capacitancia, inductancia y resistencia de la línea, taps de transformadores y las varianzas de los errores de medición.
- 41. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 7 Unaño más tarde, en 1974, A. S. Debs [26] trata el problema de estimar algunos parámetros de líneas de transmisión y transformadores. En este trabajo se muestran algunos resultados que demuestran que los errores de parámetros pueden causar errores en la SE y se desarrolla un algoritmo de PE de tipo recursivo que emplea la teoría de filtros de Kalman para procesar un conjunto de muestras de mediciones fuera de línea. El algoritmo es recursivo ya que en un tiempo de muestreo, solamente se considera un vector de mediciones junto con las estimaciones previas actualizadas de parámetros y su matriz de covarianza. En el artículo presentado en [27], D. L. Fletcher y W. O. Stadlin proponen en 1983 un algoritmo de estimación de la posición de taps de transformadores basado en el análisis de sensibilidad residual y es aplicado cuando la diferencia entre el flujo de potencia reactiva medida y la calculada a través del transformador es mayor que una tolerancia preestablecida. Un año después, B. K. Mukherjee y G. R. Fuerst [28] describen en 1984 un algoritmo de estimación de taps que se lleva a cabo después de la SE y emplea las estimaciones para generar un conjunto de estimaciones de taps, además de que describen la experiencia de campo que representa la implementación de ese algoritmo en un sistema de despacho de carga de la UEP (Union Electric Company). En el año de 1985, R. A. Smith [29] presenta un algoritmo de estimación de taps de transformadores basado en el artículo [27], discute la experiencia y los detalles computacionales que se observaron al trasladarlo al programa de SE en tiempo real de la FPC (Florida Power Corporation). Se observó que a pesar de que el algoritmo era útil en la comprobación del modelo de la red y de las mediciones, este producía estimaciones de taps imprecisas. V. H. Quintana y Th. V. Cutsem [30] proponen en 1987 un método general para la estimación de taps de transformadores usando datos de mediciones. Se usa un estimador de estado y parámetros de tipo secuencial y emplea los residuales de medición para calcular el error del parámetro que los afecta. El algoritmo es de tipo secuencial ya que realiza la estimación de taps después de realizar una SE. El desarrollo se basa en la teoría de estimación usando una relación lineal entre los residuales de medición y el error de taps de transformadores. Para 1992, W. H. E. Liu, F. F. Wu y S. M. Lun [31] desarrollan un algoritmo de estimación de errores de parámetros de líneas que consta de 2 etapas. La primera etapa realiza varias simulaciones de SE para obtener una secuencia de vectores de sesgo a partir de los residuales de medición. Esta secuencia de vectores combina los efectos de los errores de parámetros y de estado del sistema. La segunda etapa consiste en estimar los errores de parámetros a partir de esta secuencia mediante un método de estimación recursiva. El algoritmo solo se aplica para la estimación de los errores en las susceptancias serie de líneas. El algoritmo presentado en ese mismo año por P. A. Teixeira, S. R. Brammer, W. L. Rutz, W. C. Merritt y J. L. Salmonsen [32] es un estimador de estado y parámetros de tipo simultáneo. Convierte los taps y los ángulos de desfasamiento de transformadores en variables de estado a estimar por lo que puede ser aplicado a transformadores en fase y transformadores desfasadores. En este algoritmo es necesario añadir nuevos elementos a la matriz Jacobiana, los cuales son las derivadas parciales de las cantidades medidas con respecto a las nuevas variables de estado a estimar (taps y ángulos de desfasamiento). En 1995, W. H. E. Liu y S. W. Lim [9] desarrollan un algoritmo de identificación de líneas sospechosas basado en sensibilidad y un algoritmo de PE de líneas que usa la formulación de Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés). El proceso de identificación
- 42. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 8 estotalmente separado del proceso de estimación. El algoritmo de PE es de tipo simultáneo ya que extiende el vector de estado para incluir los parámetros de líneas como variables de estado a estimar. Sin embargo, en vez de usar los parámetros de líneas como variables de estado, usa los cambios en los flujos de las líneas debidos a estos errores de parámetros. Ese mismo año, E. Handschin y E. Kliokys [33] presentan un método de estimación de seguimiento de taps de transformadores que hace uso de la información del comportamiento dinámico de las mediciones y de los taps estimados para así incrementar la confiabilidad de la detección e identificación de datos erróneos y disminuir la sensibilidad de las estimaciones al ruido de medición. Para esto, un pre filtrado de las mediciones para el procesamiento de datos erróneos y una PE de modelo múltiple para el seguimiento de los taps son usados como herramientas adicionales junto con un estimador simultáneo de estado y taps de transformadores. El artículo presentado en 1996 por I. W. Slutsker y K. A. Clements [34] describe un algoritmo de PE de impedancias de líneas de tipo recursivo. Este método usa un filtro de Kalman para obtener estimaciones de parámetros de líneas refinándolos continuamente a través del uso de varias muestras de mediciones. El método no supone la presencia de parámetros correctos por lo que estima los parámetros de todas las líneas de la red eléctrica. Presenta la capacidad de dar resultados precisos con la presencia de ruido en las mediciones, además de que detecta y rechaza mediciones con errores sustanciales. Un año más tarde, en 1997 P. J. Zarco Periñán [1] presenta un completo estudio de la influencia de los errores de los parámetros de las líneas sobre la SE analizándose los aspectos más importantes, para esto se utilizaron distintos niveles de redundancia y errores de medición. También desarrolla un algoritmo de estimación de estado y parámetros simultáneo tomando en cuenta varios conjuntos de mediciones con el objetivo de aumentar la redundancia alrededor de los parámetros erróneos. El autor afirma que el algoritmo debe ser usado fuera de línea. J. B. A. London, L. Mili y N. G. Bretas [35] presentan en 2004 un método de análisis de observabilidad para la estimación simultánea de estado y parámetros de líneas de transmisión basado en un estimador de WLS que procesa un conjunto de mediciones del SEP. El vector de estado es aumentado para incluir los parámetros de las líneas y el vector de mediciones también es aumentado para incluir las mediciones que casi no presentan cambios durante cierto periodo de tiempo. Los parámetros que se contemplan son la admitancia serie y la susceptancia en derivación. El método de análisis de observabilidad determina la porción del sistema cuyos estados y parámetros pueden ser estimados a partir de las mediciones seleccionadas. Este método es basado en la factorización de la matriz de Ganancia aumentada y usa trayectorias de factorización. El mismo año, G. L. Kusic y D. L. Garrison [15] presentan un artículo donde se afirma que las bases de datos de los parámetros de las empresas eléctricas presentan errores que pueden ser de hasta 25% a 30% comparados con los valores reales. Muestran estudios de PE basado en el algoritmo presentado en [31], incluyendo la estimación de la susceptancia en derivación de las líneas a partir de datos de mediciones del sistema SCADA. A partir de un ejemplo económico, muestra el impacto que puede tener los errores de parámetros de líneas en el despacho económico de un SEP manifestando la importancia de tener valores de parámetros de líneas más cercanos a los reales. Posteriormente en 2006, J. Zhu y A. Abur [13] describen un algoritmo para detectar, identificar y corregir errores sustanciales en mediciones y errores de parámetros de red, incluso si aparecen simultáneamente. La primera parte del método usa el proceso de solución de un estimador de estado WLS para obtener los residuales de medición y después calcular los multiplicadores de Lagrange de los errores de parámetros. El proceso de identificación prueba la significancia de los residuales y los
- 43. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 9 multiplicadores,es decir, prueba si se encuentran por encima de un límite especificado. Una vez identificado los parámetros erróneos, se lleva a cabo un proceso de estimación de estado y parámetros simultáneo. Los autores probaron el algoritmo simulando errores de parámetros en líneas de transmisión, taps de transformadores, elementos en derivación y en las mediciones. El artículo presentado en 2007 por M. Bockarjova y G. Andersson [16] describe la influencia de los cambios del parámetro de resistencia en las líneas de transmisión debidos a las corrientes que transporta y a las condiciones del medio ambiente sobre la SE. Proponen un algoritmo de SE para tomar en cuenta el efecto del calentamiento del conductor con condiciones particulares del medio ambiente y de la carga, el cual es desarrollado a través del uso de la ecuación de balance de calor de la línea de transmisión. Para 2008, C.S. Indulkar y K. Ramalingam [36] presentan un método para estimar los parámetros de líneas de transmisión del modelo de línea larga a partir de mediciones simultáneas de voltaje, corriente y potencia en las dos terminales de la línea. El método toma en cuenta la naturaleza distribuida de los parámetros de líneas y determina los parámetros por unidad de longitud (resistencia/m, inductancia/m y capacitancia/m). A. Olarte y H. Díaz [14] proponen el mismo año un algoritmo para estimar los parámetros de líneas de transmisión y transformadores. El algoritmo usa varios conjuntos de mediciones de magnitud de voltaje y flujos de potencia en ambos extremos del elemento para crear un sistema ficticio compuesto de varias copias idénticas del elemento estudiado y así realizar el proceso de estimación de estado y parámetros simultáneamente para cada muestra de medición. Ese mismo año, M. B. Do C. Filho, J. C. S. de Sousa y E. B. M. Meza [12] presentan una metodología para validar parámetros de líneas de transmisión empleando las mediciones procesadas por un estimador de estado ejecutándose fuera de línea. Los métodos presentados usan los conceptos de líneas irrelevantes y líneas apenas relevantes para eliminar o bien mitigar temporalmente la participación de los parámetros sospechosos en el proceso de SE. El proceso de PE se realiza sin aumentar el vector de estado y por lo tanto complementa la función de SE. Y. Liao [37] desarrolla en 2009 un método para la PE de líneas de transmisión compensadas en serie usando fasores de voltaje y corriente en los dos extremos de la línea obtenidos de las unidades de medición fasorial en distintos instantes de tiempo. Así también, propone un método para la PE de líneas en paralelo no compensadas utilizando datos de un extremo de la línea para casos especiales. Los algoritmos son desarrollados en base al modelo de línea con parámetros distribuidos y así considerar los efectos de la capacitancia en derivación y los efectos de parámetros distribuidos de líneas largas. El mismo año, C. E. Borda Zapata [38] desarrolla varios algoritmos de PE de líneas de transmisión y transformadores usando diferentes conjuntos de mediciones fasoriales sincronizadas para aumentar la redundancia del proceso de estimación. Entre los algoritmos propuestos se incluye el usado para estimar los parámetros de líneas de transmisión con el modelo 𝜋 nominal y el modelo de parámetros distribuidos de líneas de transmisión largas, así como también se incluye el usado para estimar los parámetros del transformador con el modelo con tap real y el modelo con tap complejo para incluir el efecto del desfase en un transformador. Continuando en el mismo año, M. R. M. Castillo, J. B. A. London y N. G. Bretas [19] proponen un algoritmo para la detección, identificación y corrección de errores de parámetros de líneas con un enfoque fuera de línea. Se usa un estimador de estado y parámetros de tipo múltiple secuencial usando varios conjuntos de mediciones para estimar los parámetros serie de líneas sospechosas. El algoritmo
- 44. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 10 tomaventaja del hecho de que estos parámetros pueden ser considerados invariantes en el tiempo para el periodo de tiempo que contemplan los conjuntos de mediciones. Un análisis de los residuales de medición obtenidos de un estimador WLS es usado para el proceso de detección e identificación de errores de parámetros. Como el algoritmo debe ser usado fuera de línea, se suponen que se pueden seleccionar conjuntos de mediciones sin errores sustanciales y sin errores de topología. Para 2010, J. Zhu, F. Liu y S. Mei [39] describen un algoritmo de identificación y estimación de parámetros de líneas de transmisión. El proceso de identificación se basa en un método de clasificación y evaluación exhaustiva tomando en cuenta las características principales de los errores de parámetros y errores sustanciales. El proceso de PE se basa en los residuales de medición y evita el problema de la inestabilidad numérica. Ese mismo año, Y. Zhang y M. Larsson [40] detallan la aplicación de los filtros de Kalman en la PE de las líneas de transmisión. Los parámetros que se estiman son la impedancia serie y la admitancia en derivación. A través de un esquema simple de reajuste de la matriz de covarianza de parámetros, demuestra cómo se mejora el desempeño de la estimación durante el periodo de cambios repentinos de parámetros. Por lo tanto el método propuesto permite al estimador de parámetros dar seguimiento a la variación de los parámetros de líneas de transmisión. En 2011, M. R. M. Castillo, J. B. A. London, N. G. Bretas, S. Lefebvre, J. Prévost y B. Lambert [20] proponen un algoritmo fuera de línea para la detección, identificación y corrección de errores de parámetros de líneas de transmisión. Se usa un estimador de estado y parámetros de tipo múltiple secuencial usando varios conjuntos de mediciones para estimar los parámetros de admitancia serie y admitancia en derivación de líneas sospechosas. El algoritmo es una extensión del propuesto en [19]. Como el algoritmo debe ser usado fuera de línea, se suponen que se pueden seleccionar conjuntos de mediciones sin errores sustanciales y sin errores de topología. Continuando el mismo año, L. Zhang y A. Abur [41] desarrollan un algoritmo de detección e identificación de errores de parámetros de líneas de transmisión a partir de los resultados de un estimador de estado WLS y el cálculo de multiplicadores de Lagrange. El algoritmo es una extensión del publicado en [13] pero tomando en cuenta varios conjuntos de mediciones. Presenta las ventajas de que mejora la redundancia y permite la observabilidad de ciertos errores de parámetros que no eran detectables e identificables. En el año 2012, C. Rakpenthai, S. Uatrongjit y S. Premrudeepreechacharn [42] describen un método de SE para determinar los límites de las variables de estado de un SEP cuyos parámetros de líneas de transmisión se encuentran dentro de ciertos límites. El método usa datos de mediciones obtenidos de unidades de medición fasorial y supone que el sistema es completamente observable. El proceso de SE es formulado como un sistema lineal de ecuaciones de intervalos paramétricos obteniendo los resultados en intervalos de los límites externos de las variables de estado. El método toma en cuenta que aunque los parámetros de líneas de transmisión no se conocen con exactitud, se pueden especificar los límites inferiores y superiores en los que se encuentran. J. Chen y. Liao [43] presentan ese mismo año un método de SE basado en la formulación de mínimos cuadrados ponderados extendidos para tomar en cuenta los errores de mediciones y los errores de parámetros de red. El trabajo muestra que la formulación extendida obtiene mejores resultados en comparación con la formulación convencional cuando el modelo de la red no es exacto. Continuando el mismo año, J. Zhu, F. Liu, S. Mei y G. He [44] proponen un marco de evaluación para la PE de líneas de transmisión y así mejorar la precisión de la estimación. El proceso consta de 3 pasos. El primer paso evalúa los resultados del estimador de parámetros calculando sus intervalos
- 45. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 11 deconfianza, aun cuando los valores verdaderos son desconocidos. El segundo paso evalúa la precisión de la estimación a través del cálculo de indicadores de precisión para proporcionar información cuantitativa acerca de la validez de la estimación. El tercer paso evalúa la dominancia de parámetros para encontrar los parámetros clave y ayudar a obtener una redundancia de medición adecuada para la PE. Ese mismo año, G. D’ Antona y M. Davoudi [45] desarrollan un algoritmo para analizar los efectos de la incertidumbre de mediciones y de los parámetros sobre la SE que emplea la formulación de WLS usando un procedimiento de Monte Carlo. En el trabajo se ve que la incertidumbre de parámetros tiene la mayor contribución en la desviación estándar de los errores del estimador de WLS. Además de que llega a la conclusión de que el estimador de estado es más sesgado cuando existe correlación entre los parámetros de la red. Al finalizar ese año, M. R. M. Castillo, J. B. A. London y N. G. Bretas [10] describen un algoritmo para la detección, identificación y corrección de errores de parámetros de líneas de transmisión que funciona incluso cuando se presentan errores sustanciales en las mediciones relacionadas con las líneas que presentan errores de parámetros. El algoritmo es planteado fuera de línea usando varios conjuntos de mediciones y es una extensión del propuesto en [20]. En 2013, K. R. Davis, S. Dutta, T. J. Overbye y J. Gronquist [46] proponen una metodología para estimar los parámetros de líneas de transmisión utilizando datos históricos a través del tiempo. Los parámetros de admitancia serie y admitancia en derivación del modelo de línea de longitud mediana son estimados a partir de mediciones múltiples de potencia compleja y magnitud de voltaje en ambos extremos de la línea. Y. Guo, B. Zhang, W. Wu y H. Sun [47] presentan ese mismo año algunos índices para la evaluación de la precisión de la SE. Esto se desarrolló ya que los estados reales de sistemas de potencia prácticos son desconocidos y la precisión del estimador solo puede ser medido a partir de los residuales de medición. Para 2014, S. Uatrongjit [48] desarrolla un algoritmo de SE robusto en el que los parámetros de líneas de transmisión son desconocidos pero se encuentran dentro de límites. El algoritmo usa mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia e inyecciones de potencia y expresa las variables de estado en forma rectangular. El método usa la técnica de iteración de punto fijo para transformar la SE robusta en un problema de optimización convexa que es resuelta con programación semidefinida. El mismo año, M. A. Jirdehi y M. T. Hagh [49] proponen un método para identificar y estimar errores de parámetros de líneas de transmisión (admitancia serie y admitancia en derivación). El método se compone de 3 etapas. La primera etapa obtiene la solución modificada de la SE de WLS y los multiplicadores de Lagrange normalizados de los errores de parámetros. En la etapa 2 los errores de parámetros de líneas son detectados e identificados basados en los resultados de la etapa 1. Por último, en la etapa 3 se realiza la PE de líneas con parámetros erróneos a través de un enfoque de aproximación lineal para eliminar la necesidad de aumentar el vector de estado. Finalmente en 2015, N. G. Bretas y A. C. P. Martins [50] describen una metodología para detectar, identificar y corregir errores de parámetros de líneas de transmisión usando un enfoque geométrico. El método identifica primero si existen errores sustanciales en las mediciones y los estima a partir de los residuales de medición y un índice de innovación propuesto. El proceso de identificación de errores de parámetros se lleva a cabo verificando si los errores de medición compuestos de una línea se encuentran por arriba de un límite especificado para después llevar a cabo el proceso de corrección. El método usa un conjunto de mediciones y se analizan dos tipos de errores: errores de parámetros muy grandes y el cortocircuito de una línea.
- 46. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 12 1.6.2Trabajos Desarrollados en la S.E.P.I-E.S.I.M.E. En 1993, J. Robles García [51] presenta algoritmos robustos de SE desarrollando los métodos de la mediana cuadrada mínima, mediana cuadrada mínima podada y el punto de inutilización alto aplicado a sistemas de potencia. Con estos métodos fue capaz de procesar hasta un 50% de errores sustanciales en el conjunto de mediciones y obtener buenas estimaciones. La principal ventaja de este método es que no se requiere de una fase previa de detección e identificación de datos erróneos. En 1996, J. Robles García [52] desarrolla técnicas avanzadas para la SE robusta desarrollando los métodos de la norma y la norma podada, los cuales se basan en el método de la mediana cuadrada mínima y el método de la mediana cuadrada mínima podada, respectivamente. Con el desarrollo de estos métodos se logró procesar hasta un 50% de errores sustanciales en el conjunto de mediciones. Para 2009, H. Y. Michel Hernández [53] presenta un algoritmo de SE de Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés) usando el método de Newton y así obtener las variables de estado del SEP. El estimador usa un conjunto de mediciones y toma en cuenta mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia e inyecciones de potencia. Posteriormente en 2011, F. Trejo Nixcomel [54] desarrolla un método de SE para sistemas de distribución radial usando la formulación de WLS e incluyendo la implementación de la técnica de barrido progresivo-regresivo. En 2012, D. F. Ávila Álvarez [55] presenta un algoritmo de SE de WLS que usa el método de Newton. En esta tesis se analiza la robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones y la matriz de Ganancia usando el método de Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés). El algoritmo usa un conjunto de mediciones y considera mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia e inyecciones de potencia. El mismo año, J. U. S. Romero [56] presenta un algoritmo de SE para alimentadores de distribución en media tensión usando la formulación de WLS. Para 2014, D. M. González González [57] desarrolla un algoritmo de SE de WLS que usa el método de Newton tomando en cuenta la correlación entre mediciones, es decir, la covarianza entre mediciones. Se compara el estimador convencional y el estimador con covarianza. El algoritmo usa un conjunto de mediciones y contempla mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia, inyecciones de potencia, corrientes y mediciones fasoriales. Finalmente en 2016, J. Aceves Orihuela [58] presenta un algoritmo de SE en redes radiales de distribución de energía eléctrica usando la formulación de WLS y la técnica de barrido progresivo- regresivo. No hay un trabajo realizado en la S.E.P.I.-E.S.I.M.E. con respecto a la PE de líneas de transmisión, por lo que la presente tesis se enfoca en desarrollar un algoritmo de PE de líneas de transmisión de tipo simultáneo que usa un conjunto de mediciones del SEP. Los parámetros a estimar son la conductancia serie, la susceptancia serie y la susceptancia en derivación (sobre dos), para esto el modelo 𝜋 nominal de líneas de longitud corta y mediana es empleado. Se analiza la robustez numérica que tienen algunas matrices dentro de la formulación de la estimación de parámetros. Además de que se calculan los intervalos de confianza de los parámetros estimados para evaluar los resultados del estimador de parámetros y se calcula un indicador que proporciona información cuantitativa de la precisión de la PE.
- 47. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 13 1.7Aportaciones Las principales aportaciones de esta tesis son: Elaboración de un algoritmo de estimación de estado usando la formulación de mínimos cuadrados ponderados que procesa un conjunto de mediciones incluyendo mediciones de magnitudes de voltaje, mediciones de flujos de potencia (activa y reactiva) y mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva), además de que es capaz de simular mediciones de inyecciones cero en nodos de paso. Elaboración de un algoritmo de estimación de parámetros de líneas de transmisión empleando el método que aumenta el vector de estado y usando ecuaciones normales. Elaboración de dos algoritmos para la detección de datos erróneos que son la prueba 𝜒2 (chi- cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Elaboración de un algoritmo para el análisis de robustez numérica de las matrices involucradas en el proceso de estimación de estado convencional y el proceso de estimación de parámetros usando el método de la descomposición de valores singulares. Elaboración de un algoritmo para evaluar los resultados y la precisión de la estimación de parámetros a partir del cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados. Desarrollo de un programa computacional en lenguaje FORTRAN 90 (“Formula Translation” en inglés) para la estimación de estado convencional que incluye las subrutinas de análisis de robustez numérica y detección de datos erróneos. Desarrollo de un programa computacional en lenguaje FORTRAN 90 (“Formula Translation” en inglés) para la estimación de parámetros de líneas de transmisión que incluye las subrutinas de análisis de robustez numérica, detección de datos erróneos y el cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados. 1.8 Artículos Publicados I. O. Y. Vidal León Romay y D. Romero Romero, “Estimación de Parámetros de Una Línea de Transmisión en Sistemas Eléctricos de Potencia”, 15vo Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas (XV CNIES 2015), 19 al 23 de Octubre de 2015, Ciudad de México. 1.9 Contenido de la Tesis La tesis ha sido estructurada de la siguiente manera: CAPÍTULO 1 Este capítulo aborda conceptos generales acerca de la SE y su importancia, para luego presentar los errores que pueden afectar la solución de un estimador. Se establece el objetivo general de la tesis y se explican los motivos por los que es importante la herramienta de PE, expresando el interés por el desarrollo del tema. Se detallan las limitaciones y alcances del presente trabajo y se presenta un resumen amplio de los trabajos relacionados con la estimación de estado y parámetros. Por último se muestran las publicaciones derivadas en el desarrollo de la tesis. CAPÍTULO 2 Este capítulo describe el estudio de estimación de estado convencional. Se describe el modelado de algunos elementos de la red eléctrica como líneas, transformadores, capacitores o reactores en derivación, generadores y cargas, los cuales son usados para modelar el SEP. Se detalla la formulación matemática del estudio de SE usando la formulación de WLS. Luego se presentan las
- 48. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 14 estructurasde las matrices del proceso de estimación y algunas de sus características. Después se estudian algunos temas relacionados con la detección e identificación de datos erróneos en el conjunto de mediciones y se presentan algunos métodos que usan los resultados de la SE. Por último se describe brevemente el concepto de observabilidad de un SEP. CAPÍTULO 3 Este capítulo describe el estudio de PE de líneas de transmisión en SEP. Se presentan las posibles causas y consecuencias de los errores de parámetros en el estudio de SE, se estudia el proceso de identificación de parámetros sospechosos usando los residuales normalizados presentados en el CAPÍTULO 2. Se muestran algunas clasificaciones de los métodos de la PE y luego se detalla el método usado en esta tesis. Se desarrolla la formulación matemática del estimador de parámetros para luego mostrar las estructuras de las matrices involucradas en este proceso. Después se presenta un método para el análisis de la robustez numérica a partir del método de la Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés). Finalmente se presentan algunos cálculos para los parámetros estimados como los intervalos de confianza y los indicadores de precisión de los parámetros estimados. CAPÍTULO 4 En este capítulo se muestran las simulaciones realizadas en el sistema IEEE de 14 nodos y el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos con los algoritmos desarrollados en el CAPÍTULO 2 y el CAPÍTULO 3 de esta tesis. CAPÍTULO 5 En este capítulo se presentan las conclusiones y aportaciones derivadas de esta tesis, así como las recomendaciones para futuros trabajos de investigación. APÉNDICE A En este apéndice se describen algunos conceptos básicos relacionados con la teoría de variable aleatoria la cual fue aplicada en el desarrollo de esta tesis. APÉNDICE B En este apéndice se presentan los conceptos de normas vectoriales y normas matriciales las cuales fueron empleadas en el desarrollo de esta tesis. APÉNDICE C En este apéndice se presentan los datos para el estudio de flujos de potencia del sistema IEEE de 14 nodos [59] y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60] utilizados en el CAPÍTULO 4. APÉNDICE D En este apéndice se presenta la ejecución del programa de estimación de estado convencional, además de que se incluyen los códigos de programación que se emplearon para las simulaciones en los sistemas de prueba. Los códigos de programación se desarrollaron en lenguaje FORTRAN 90. APÉNDICE E En este apéndice se presenta la ejecución del programa de estimación de parámetros de líneas de transmisión por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales, además de que se incluyen los códigos de programación que fueron usados para las simulaciones de los sistemas de prueba. Los códigos de programación se desarrollaron en lenguaje FORTRAN 90.
- 49. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 15 CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓN DE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.1 Introducción El alma vital de un centro de control es una base de datos limpia describiendo el estado del sistema. Esta es obtenida a partir de la recopilación de las mediciones de la red eléctrica. El estimador de estado, según [61], es el sistema digestivo que remueve las impurezas de las mediciones y las convierte en una forma tal que el cerebro (hombre o computadora) del centro de control pueda usarlos para tomar decisiones relacionadas con la seguridad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). La Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) se refiere al proceso de limpiar los datos de mediciones (tratando con errores aleatorios en los dispositivos de medición, errores sustanciales, errores de topología y errores de parámetros) adquiridos en una computadora y basados en un modelo matemático, para así estimar cantidades y variables que pueden no ser directamente medidas. Los resultados del estimador son la mejor estimación posible del estado verdadero del sistema a partir de la información disponible [21]. La SE desarrollada en esta tesis es aplicable con el sistema operando en estado estable y por lo tanto es necesario primero describir el modelo matemático de la red eléctrica para luego desarrollar su algoritmo. En este capítulo se hace una descripción del modelado de los elementos en un SEP, se desarrolla la teoría de la SE, su formulación matemática, las estructuras de las matrices involucradas en el proceso de estimación y el algoritmo necesario para su programación. Por último se tratan con los temas de detección e identificación de datos erróneos, así como el concepto de observabilidad de un sistema. 2.2 Modelado de Elementos del Sistema de Potencia Debido a las hipótesis que toma en cuenta la SE, entonces los datos y variables de la red son expresados en por unidad (pu) ya que el modelo de secuencia positiva del SEP es usado en la formulación del problema [8]. La solución obtenida corresponderá a la componente de secuencia positiva del estado del sistema durante la operación de estado estable. Los modelos que se describen a continuación serán usados para la representación de la red eléctrica en el estudio de SE. 2.2.1 Modelo de Líneas de Transmisión Como las líneas de transmisión son normalmente operadas con carga trifásica balanceada, entonces el análisis se puede llevar a cabo en un modelo por fase [62]. La forma en que las líneas son representadas depende de su longitud y de la precisión requerida [63]. Existen 3 tipos de líneas de acuerdo con su longitud [62, 63, 64, 65, 66]: líneas de longitud corta, mediana y larga. En esta sección solo se describirán los modelos de parámetros concentrados para las líneas cortas y medianas ya que el modelo de línea larga requiere de un modelo de parámetros distribuidos que toma en cuenta que los parámetros se distribuyen uniformemente a lo largo de su longitud. Las líneas aéreas de longitud corta tienen menos de 80 km (50 millas) de longitud, de acuerdo con [64]. En la Figura 2-1 se muestra el modelo de una línea de longitud corta donde se puede verificar que solamente la resistencia y reactancia serie son incluidas y la admitancia en derivación es despreciada ya que la capacitancia en derivación es tan pequeña que puede despreciarse [65].
- 50. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 16 Vp Vq zpq I pq Iqp p q ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 2-1 Modelo de una línea de longitud corta. De donde: 𝑧 𝑝𝑞 = 𝑟𝑝𝑞 + 𝑥 𝑝𝑞 es la impedancia serie total por fase de la línea en pu. 𝑉𝑝, 𝑉𝑞 son los voltajes complejos en el nodo de envío y el nodo de recepción respectivamente. 𝐼 𝑝𝑞, 𝐼 𝑞𝑝 son las corrientes complejas del nodo de envío al nodo de recepción y del nodo de recepción al nodo de envío respectivamente. A medida que la longitud de la línea se incrementa, la corriente debida al efecto capacitivo de la línea se vuelve considerable y la capacitancia en derivación debe ser tomada en cuenta [66]. Las líneas de longitud mediana están entre 80 km (50 millas) y 240 km (150 millas), conforme con [64]. En la Figura 2-2 se muestra el modelo 𝜋 nominal para la línea de longitud mediana. Vp Vq zpq I pq Iqp p q ( ) ( ) ( ) ( ) shypq shyqp Figura 2-2 Modelo 𝜋 nominal de una línea de longitud mediana. De donde: 𝑧 𝑝𝑞 = 𝑟𝑝𝑞 + 𝑥 𝑝𝑞 es la impedancia serie total por fase de la línea en pu. 𝑦𝑝𝑞 𝑠ℎ = 𝑦𝑞𝑝 𝑠ℎ = 𝑔 𝑝𝑞 𝑠ℎ + 𝑏 𝑝𝑞 𝑠ℎ es la admitancia en derivación total por fase al neutro de la línea (sobre dos) en pu. 𝑉𝑝, 𝑉𝑞 son los voltajes complejos en el nodo de envío y el nodo de recepción respectivamente. 𝐼 𝑝𝑞, 𝐼 𝑞𝑝 son las corrientes complejas del nodo de envío al nodo de recepción y del nodo de recepción al nodo de envío respectivamente. Según [64], en los modelos anteriores la conductancia en derivación 𝑔 𝑝𝑞 𝑠ℎ generalmente se desprecia por lo que este parámetro no se tomara en cuenta en el desarrollo del algoritmo de SE.
- 51. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 17 2.2.2 Modelo de Transformadores La Figura 2-3 muestra el modelo del transformador en fase formado por un transformador ideal en el lado primario con una relación de transformación 𝑎 𝑝𝑞 y una impedancia serie 𝑧 𝑝𝑞 que representa las pérdidas resistivas y la reactancia de dispersión [5]. j p V ep j q V eq zpq I pq Iqp j sV es 1: apq p q s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 2-3 Modelo del transformador en fase con relación de vueltas 𝑎pq. En este modelo la relación de los voltajes complejos entre los nodos 𝑝 y 𝑠 es: s p j ss pqj p p V eV a V V e (2-1) En el transformador ideal de la Figura 2-3 no hay pérdidas de potencia (activa o reactiva), lo que produce la ecuación (2-2). * * 0p pq s qpV I V I (2-2) Aplicando la ecuación (2-1) en la ecuación (2-2) se obtiene la ecuación (2-3). * * p pq s qpV I V I * * pq s pq qp p I V a I V pqpq pq qp qp II a I I (2-3) Es decir, las corrientes complejas están desfasadas 180° entre sí. La Figura 2-4 muestra el modelo equivalente π para el transformador en fase de la Figura 2-3.
- 52. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 18 pV qV A pqI qpI B C p q ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 2-4 Modelo equivalente 𝜋 de un transformador en fase. De la Figura 2-3 y aplicando la ecuación (2-3) se obtienen las expresiones (2-4) y (2-5). 2 ( ) ( ) ( )pq pq qp pq pq q s pq pq p pq pq qI a I a y V V a y V a y V (2-4) ( ) ( ) ( )qp pq q s pq pq p pq qI y V V a y V y V (2-5) Aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) en el nodo 𝑝 y 𝑞 de la Figura 2-4 se obtienen las ecuaciones (2-6) y (2-7). ( ) ( )pq p qI A B V A V (2-6) ( ) ( )qp p qI A V A C V (2-7) Al comparar las ecuaciones (2-4)-(2-5) con (2-6)-(2-7) se obtienen los parámetros del modelo equivalente 𝜋 de un transformador en fase. pq pqA a y (2-8) ( 1)pq pq pqB a a y (2-9) (1 )pq pqC a y (2-10) 2.2.3 Modelo de Rama Unificado A continuación se desarrollan las expresiones de corrientes complejas generales que pueden ser aplicadas a líneas y transformadores sin importar en qué lado el tap es ubicado, o incluso en los casos en que los taps sean ubicados en ambos lados del transformador. En la Figura 2-5 se muestra el modelo simétrico del transformador que contempla los taps en ambos lados [5].
- 53. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 19 j p V ep j q V eq zpq I pq Iqp j sV es 1: apq p q s t j tV et :1aqp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 2-5 Modelo simétrico del transformador. Las ecuaciones de corrientes complejas asociadas al modelo de la Figura 2-5 son: 2 ( ) ( ) ( )pq pq st pq s t pq pq pq p qp q pq pq p pq qp q pqI a I a V V y a a V a V y a V a a V y (2-11) 2 ( ) ( ) ( )qp qp ts qp t s pq qp qp q pq p pq qp q qp pq p pqI a I a V V y a a V a V y a V a a V y (2-12) En la Figura 2-6 se muestra el modelo de rama unificado, en el cual se pueden derivar los modelos de líneas y transformadores estudiados anteriormente. Este modelo será usado para la programación del algoritmo de SE. zpq shypq shyqp j p V ep I pq 1: apq p j sV es s j tV et t j q V eq q Iqp :1aqp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Figura 2-6 Modelo de rama unificado. La Tabla 2-1 muestra los parámetros que deben ser definidos para obtener el modelo de línea o transformador a partir del modelo de la Figura 2-6. Tabla 2-1 Definición de parámetros del modelo de rama unificado para líneas y transformadores. Elemento Tap en el nodo 𝒑 Tap en el nodo 𝒒 Componente en derivación Línea de transmisión 1 1 𝑦𝑝𝑞 𝑠ℎ Transformador con tap ubicado en el nodo 𝑝 𝑎 𝑝𝑞 1 0 Transformador con tap ubicado en el nodo 𝑞 1 𝑎 𝑞𝑝 0 Las expresiones generales de corrientes complejas a partir del modelo de la Figura 2-6 se representan por (2-13) y (2-14).
- 54. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 20 2 2 ( ) sh pq pq p pq qp q pq pq pq pI a V a a V y y a V (2-13) 2 2 ( ) sh qp qp q qp pq p pq pq qp qI a V a a V y y a V (2-14) 2.2.4 Modelo de Capacitores y Reactores en Derivación Los capacitores y reactores en derivación son modelados por la susceptancia por fase en pu en los nodos a los que están conectados [6]. El signo de la susceptancia dependerá del tipo de elemento. Si es un capacitor en derivación entonces será de signo positivo y si es un reactor en derivación entonces será de signo negativo. 2.2.5 Modelo de Generadores y Cargas Para el estudio de SE, las cargas y los generadores serán modelados como inyecciones de potencia compleja [6]. En lo que respecta a las potencias, se considerará que las potencias complejas entrando a un nodo son inyecciones positivas y las potencias complejas saliendo de un nodo son inyecciones negativas. El mismo criterio aplica para las inyecciones de corrientes complejas. 2.3 Modelo de Red La Figura 2-7 muestra como la inyección de corriente compleja neta en un nodo de la red eléctrica está relacionada con los flujos de corriente en los elementos incidentes a ese nodo [5]. I pq p I p shyp shI p Figura 2-7 Nodo genérico en donde se aplica una inyección de corriente. Aplicando la LCK al nodo genérico de la Figura 2-7 se obtiene la ecuación (2-15). , 1, , p sh p p pq q I I I p N (2-15) En la ecuación (2-15), 𝑝 es el nodo al que se aplica la LCK, 𝑞 es un nodo adyacente al nodo 𝑝, Ω 𝑝 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝 (excluyendo al nodo 𝑝) y 𝑁 es el número de nodos del SEP. Al comparar las ecuaciones (2-13) y (2-15) se obtiene la expresión de inyección de corriente compleja neta en el nodo 𝑝, siendo 𝑞 = 1, … , 𝑁.
- 55. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 21 2 ( ) p p sh sh p p pq pq pq p pq qp pq q q q I y a y y V a a y V (2-16) Según [6], la expresión (2-16) presenta la forma matricial dada por la ecuación (2-17). 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 N N N N N NN N I Y Y Y V I Y Y Y V I YV I Y Y Y V (2-17) De donde: 𝐼 es el vector de inyecciones de corrientes complejas con los siguientes elementos 𝐼 𝑝 = |𝐼 𝑝|𝑒 𝑗𝜃 𝑝 , (𝑝 = 1, … , 𝑁). V es el vector de voltajes nodales complejos con los siguientes elementos 𝑉𝑝 = |𝑉𝑝|𝑒 𝑗𝜃 𝑝, (𝑝 = 1, … , 𝑁). 𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵 es la matriz de admitancia nodal, la cual tiene los siguientes elementos. pq pq qp pqY a a y (2-18) 2 ( ) p sh sh pp p pq pq pq q Y y a y y (2-19) Los elementos 𝑌𝑝𝑝 son llamados las admitancias propias o admitancias de punto de operación de los nodos y los elementos 𝑌𝑝𝑞 son las admitancias mutuas o admitancias de transferencia de los nodos [62, 64, 65, 66]. La matriz de admitancia nodal es una matriz compleja [6], es estructuralmente simétrica, excepto cuando hay transformadores desfasadores en la red eléctrica [62] y es dispersa ya que muchos de sus elementos son cero debido a que en un SEP típico no todos los nodos están conectados entre sí [66]. 2.4 Formulación Matemática De acuerdo con [5, 6, 7, 8], el vector de mediciones puede ser expresado en función de los estados del sistema a través de un modelo de medición no lineal dado por la ecuación (2-20). Se recomienda ver el APÉNDICE A para estudiar el concepto de variable aleatoria. 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n m m n m z h x x x e z h x x x e z h x e z h x x x e (2-20) De donde: 𝑧 es el vector de mediciones disponibles de dimensión 𝑚 × 1. 𝑥 es el vector de estado verdadero del sistema de dimensión 𝑛 × 1. ℎ(. ) es una función vectorial no lineal relacionando las mediciones disponibles con las variables de estado del sistema. Tiene dimensión 𝑚 × 1. 𝑒 es un vector de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 1.
- 56. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 22 𝑚 es el número de mediciones disponibles. 𝑛 es el número de variables de estado del SEP. En la ecuación (2-20), 𝑥 es el valor verdadero del estado desconocido del SEP y además como los elementos de 𝑒 son variables aleatorias, los elementos de 𝑧 también lo son. Ahora bien, las hipótesis con las que se realiza la SE son [7, 8]: Las condiciones de operación son balanceadas. El sistema trifásico se puede modelar por su circuito equivalente monofásico. Las mediciones se recolectan en el mismo instante de tiempo. Los errores de los dispositivos de medición presentan las siguientes características: - Presentan una función de distribución gaussiana (normal). - Presentan valor esperado igual a 0. ( ) 0iE e (2-21) - Son variables aleatorias independientes, por lo que su matriz de covarianza es una matriz diagonal. ( ) 0i jE e e (2-22) 2 1 2 2 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 T m R E ee (2-23) Los parámetros de la red son conocidos e invariantes en el tiempo. Los estados de todos los interruptores obtenidos a partir del sistema de Supervisión, Control y Adquisición de Datos o SCADA (“Supervisory Control and Data Adquisition” en inglés) son correctos, por lo que también la topología es correcta. La formulación del problema de SE se basa en la Estimación de Máxima Verosimilitud o MLE (“Maximum Likelihood Estimation” en inglés), que es un método muy usado en estadística. La derivación, que se desarrollará de este método, está basado en las tres suposiciones que se mencionaron anteriormente con respecto a los errores de los dispositivos de medición. La primera consideración es que los errores de los dispositivos de medición son distribuidos acorde a una Función de Distribución de Probabilidad Acumulada o CPDF (“Cumulative Probability Distribution Function” en inglés) gaussiana. Un elemento del vector 𝑧 se dice que tiene una distribución gaussiana si su Función de Densidad de Probabilidad o PDF (“Probability Density Function” en inglés) se representa por la ecuación (2-24), según [6]. 21( )/ 21 ( ) 2 i i i i iz f z e (2-24) De donde: 𝑧𝑖 es el i-ésimo elemento del vector de mediciones. 𝜇𝑖 es el valor esperado del i-ésimo elemento del vector de mediciones. 𝜎𝑖 es la desviación estándar del i-ésimo elemento del vector de mediciones. La segunda consideración toma en cuenta que los errores de medición tienen una esperanza matemática igual a 0, por lo que se puede concluir que la esperanza matemática de los elementos del vector 𝑧 viene dada por la ecuación (2-25), según [8].
- 57. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 23 ( ) ( )i i iE z h x (2-25) La tercera consideración implica que la función de densidad de probabilidad conjunta del vector 𝑧 se puede obtener multiplicando las funciones de densidad individuales de cada elemento de ese vector ya que considera que las variables aleatorias en cuestión son independientes [7]. 1 2( ) ( ) ( ) ( )mf z f z f z f z 1/2 1 ( ) ( ) 2( ) 2 m T z h x W z h xW f z e (2-26) De donde: 𝑓(𝑧) es conocida como la función de densidad de probabilidad. 𝑊 = 𝑅−1 es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 𝑚. El objetivo de la MLE es maximizar la función de densidad de probabilidad a partir de un conjunto de observaciones 𝑧, esto es ya que si se han observado dichas mediciones es porque el estado que da lugar a ellas es, en sentido estadístico el más probable [7]. El conjunto 𝑥 que maximiza la función de probabilidad de la ecuación (2-26) es el estimado de máxima verosimilitud 𝑥̂. Se puede usar la función de densidad de probabilidad logarítmica en lugar de la función de densidad de probabilidad de la ecuación (2-26) para simplificar los cálculos. La función de probabilidad logarítmica es expresada según [6] por la ecuación (2-27). 2 1 1 1 1 log ( ) log ( ) log 2 log 2 2 m m m i i i i i i ii z m f z f z (2-27) De acuerdo con [8], maximizar ℒ y 𝑓(𝑧) producirá la misma solución debido a la naturaleza monotónicamente creciente de la función logaritmo, por lo tanto la MLE maximiza la función de densidad de probabilidad o la función de densidad de probabilidad logarítmica a partir de un conjunto dado de observaciones 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑚 . Entonces la estimación puede ser obtenida resolviendo cualquiera de los siguientes planteamientos, según [6, 7, 8]. 2 1 maximizar log ( ) minimizar m i i i i f z ó z (2-28) El problema de minimización puede reescribirse en términos de los residuales de medición [6], los cuales se pueden calcular por la ecuación (2-29). ( ) ( )i i i i i i ir z z E z z h x (2-29)
- 58. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 24 El recíproco de las varianzas de medición son los pesos asignados a cada medición. Para las mediciones más precisas se les asignan pesos altos con pequeñas varianzas y para las mediciones menos precisas se les asignan pesos bajos con altas varianzas [8]. Los pesos serán definidos por la ecuación (2-30). 2 ii iW (2-30) El problema de minimización de la ecuación (2-28) puede ser reescrita como el siguiente problema de optimización, según [6, 8]. 2 1 minimizar sujeto a ( ) , 1, , m ii i i i i i W r z h x r i m (2-31) La solución del problema de optimización dado por la ecuación (2-31) es llamado el estimador de Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés) para el vector de estado 𝑥. El estimador de WLS minimizará la siguiente función objetivo [6, 7, 8]. 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) m m i i ii i i i ii z h x J x W z h x ( ) ( ) ( ) T J x z h x W z h x (2-32) Donde 𝑊 = 𝑅−1 . La solución del estimador de WLS debe satisfacer la siguiente condición de optimización de primer orden [5, 6, 7, 8], ya que es la condición necesaria para que 𝑥 minimice a 𝐽(𝑥). ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0TJ x g x H x W z h x x (2-33) Donde 𝐻(𝑥) = 𝜕ℎ(𝑥) 𝜕𝑥 . Expandiendo la función vectorial no lineal ℎ(𝑥 𝑘+1 ) en series de Taylor alrededor del vector de estado 𝑥 𝑘 y despreciando los términos de orden igual o mayor a dos se obtiene la ecuación (2-34), según [6]. 1 1 ( ) ( ) ( )k k k k k h x h x H x x x (2-34) Aplicando la expansión de Taylor dada por la ecuación (2-34) en la ecuación (2-33) se obtiene el esquema de solución iterativa conocido como el método de Gauss-Newton [5, 6]. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0k T k k k k k g x H x W z h x H x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0T k k T k k k k H x W z h x H x WH x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( )T k k k k T k k H x WH x x x H x W z h x 1 ( ) ( ) ( )k k T k k G x x H x W z h x (2-35)
- 59. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 25 De donde: 𝐺(𝑥 𝑘 ) = 𝐻 𝑇 (𝑥 𝑘 )𝑊𝐻(𝑥 𝑘 ) es la matriz de Ganancia en la k-ésima iteración de dimensión 𝑛 × 𝑛. ∆𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 es el vector de incrementos de los estados en la k-ésima iteración de dimensión 𝑛 × 1. 𝐻 𝑇 (𝑥 𝑘 ) es la transpuesta de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑛 × 𝑚. 𝐻(𝑥 𝑘 ) es la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × 𝑛. 𝑊 es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 𝑚. 𝑧 es el vector de mediciones de dimensión 𝑚 × 1. ℎ(𝑥 𝑘 ) es la función de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × 1. Conforme con [6], la ecuación (2-35) es conocido como las ecuaciones normales. El conjunto de ecuaciones normales se resuelve en cada iteración hasta que el máximo valor absoluto del vector de incrementos se encuentre por debajo de una tolerancia especificada 𝜀. 2.5 Algoritmo de Estimación de Estado El algoritmo del proceso de solución iterativo del estimador de estado usando la formulación de WLS se describe a continuación. 1. Establecer el contador de iteraciones en 𝑘 = 1. 2. Inicializar el vector de estado 𝑥 𝑘 con perfil plano de voltajes. 3. Calcular la función de mediciones ℎ(𝑥 𝑘 ) y el vector de los residuales 𝛥𝑧 𝑘 = 𝑧 − ℎ(𝑥 𝑘 ). 4. Calcular la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥 𝑘 ) y su transpuesta 𝐻 𝑇 (𝑥 𝑘 ). 5. Calcular el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales 𝐻 𝑇 (𝑥 𝑘 )𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑘 )). 6. Calcular la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥 𝑘 ). 7. Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos de los estados 𝛥𝑥 𝑘+1 . 8. Realizar la prueba de convergencia, 𝑚𝑎𝑥|𝛥𝑥 𝑘+1 | ≤ 𝜀? 9. Si no se cumple, actualizar el vector de estado 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 + 𝛥𝑥 𝑘+1 , hacer 𝑘 = 𝑘 + 1 y regresar al paso 3. Si se cumple, actualizar el vector de estado 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 + 𝛥𝑥 𝑘+1 y salir del proceso iterativo. En la Figura 2-8 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo de SE. El código del programa principal de estimación de estado convencional se incluye en la sección D.3 del APÉNDICE D como PROGRAM ESTIMATOR_CA. Asimismo, en el APÉNDICE D se presentan los módulos (sección D.4) y las subrutinas (sección D.5) necesarias para la ejecución del programa principal. En las siguientes secciones se detallan las estructuras de datos de los vectores y matrices que conforman el conjunto de ecuaciones normales dado por la ecuación (2-35).
- 60. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 26 1 1 Lectura de datos Inicializa el vector de estado Forma la matriz de admitancia nodal Forma la matriz de ponderación Forma la matriz de incidencia elemento-nodo i=1, it Calcula la función de mediciones Calcula el vector de los residuales Calcula la matriz Jacobiana de mediciones Calcula el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales Calcula la matriz de Ganancia Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos de los estados Actualiza el vector de estado Calcula el máximo valor absoluto del vector de incrementos ¿Máximo valor absoluto es menor a una tolerancia? i=it STOP NoNo Sí Sí Imprime los resultados del estudio de estimación de estado FIN Calcula la función objetivo Calcula las mediciones estimadas Calcula los residuales de medición estimados Calcula la transpuesta de la matriz Jacobiana de mediciones INICIO Añade error a las mediciones Añade error a los parámetros de algunas líneas Figura 2-8 Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de estado. 2.5.1 El Vector de Estado Sea 𝑁 el número de nodos del SEP, entonces el vector de estado se compone de 𝑛 = 2𝑁 − 1 elementos, que son las variables del estado de la red eléctrica y de los cuales 𝑁 son magnitudes de voltaje nodal y 𝑁 − 1 son ángulos de fase. La dimensión del vector de estado es de 𝑛 × 1. Las
- 61. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 27 derivaciones de las secciones posteriores toman en cuenta que el nodo 1 es el nodo de referencia y por lo tanto el vector de estado presenta una estructura en la k-ésima iteración dada en la Figura 2-9. 1 2 2 3 k k k k N k k k N V V V x Figura 2-9 Estructura del vector de estado en la k-ésima iteración. 2.5.2 El Vector de Mediciones Este vector no cambia en cada iteración, por lo que presenta la estructura mostrada en la Figura 2-10. p pq qp pq qp p p V P P z Q Q P Q Figura 2-10 Estructura del vector de mediciones.
- 62. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 28 El vector de mediciones contiene las mediciones disponibles del SEP, en esta tesis las mediciones que se contemplan son mediciones de magnitudes de voltaje nodal, flujos de potencia (activa y reactiva) de elementos e inyecciones de potencia (activa y reactiva) nodal. Sea 𝑚 el número de mediciones disponibles, 𝑚𝑉 el número de mediciones de magnitudes de voltaje, 𝑚𝐹𝑃𝐴 el número de mediciones de flujos de potencia activa, 𝑚𝐹𝑃𝑅 el número de mediciones de flujos de potencia reactiva, 𝑚𝐼𝑃𝐴 el número de mediciones de inyecciones de potencia activa y 𝑚𝐼𝑃𝑅 el número de mediciones de inyecciones de potencia reactiva, entonces la dimensión del vector de mediciones es de (𝑚𝑉 + 𝑚𝐹𝑃𝐴 + 𝑚𝐹𝑃𝑅 + 𝑚𝐼𝑃𝐴 + 𝑚𝐼𝑃𝑅) × 1. 2.5.3 La Función de Mediciones La función de mediciones es un vector que contiene las ecuaciones que relacionan las mediciones disponibles con las variables de estado de la red eléctrica. La dimensión de la función de mediciones es de 𝑚 × 1 y como es función de las variables de estado va estar actualizándose en cada iteración. Las expresiones se obtienen a partir de la ecuaciones del estudio de flujos de potencia y se detallan a continuación basándose en el modelo de rama unificado dado por la Figura 2-6. Según [5], las ecuaciones de magnitudes de voltaje son: ( )k k p pV x V (2-36) Según [5], las ecuaciones de flujos de potencia activa son: 22 ( ) cos( ) sin( ) k k pq pq pqp k k k kk k k k pq qp pq p q pq qp pq p qp q p q P x a gV a a g a a bV V V V (2-37) 22 ( ) cos( ) sin( ) k k qp qp pqq k k k kk k k k qp pq pq q p qp pq pq q pq p q p P x a gV a a g a a bV V V V (2-38) Según [5], las ecuaciones de flujos de potencia reactiva son: 22 ( ) - ( ) cos( - )- sin( - ) k shk pq pq pq pqp k k k kk k k k pq qp pq p q pq qp pq p qp q p q Q x a b bV a a b a a gV V V V (2-39) 22 ( ) - ( ) cos( - )- sin( - ) k shk qp qp pq pqq k k k kk k k k qp pq pq q p qp pq pq q pq p q p Q x a b bV a a b a a gV V V V (2-40) Según [5], las ecuaciones de inyecciones de potencia activa son: ( ) cos( ) sin( )k k k k k k k p p q pq p q pq p q q M P x V V G B (2-41)
- 63. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 29 Según [5], las ecuaciones de inyecciones de potencia reactiva son: ( ) sin( ) cos( )k k k k k k k p p q pq p q pq p q q M Q x V V G B (2-42) De donde: 𝑎 𝑝𝑞 y 𝑎 𝑞𝑝 son los taps ubicados en el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente. 𝑔 𝑝𝑞 es la conductancia serie del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞. 𝑏 𝑝𝑞 es la susceptancia serie del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞. 𝑏 𝑝𝑞 𝑠ℎ es la susceptancia en derivación sobre dos del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞. 𝐺 𝑝𝑞 es la parte real del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la columna 𝑞. 𝐵𝑝𝑞 es la parte imaginaria del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la columna 𝑞. |𝑉𝑝 𝑘 | y |𝑉𝑞 𝑘 | son las magnitudes de voltaje nodal en el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente en la k-ésima iteración. |𝜃 𝑝 𝑘 | y |𝜃 𝑞 𝑘 | son los ángulos de fase del nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente en la k-ésima iteración. 𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝. La función de mediciones presenta una estructura en la k-ésima iteración mostrada en la Figura 2-11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k p k pq k qp k k pq k qp k p k p V x P x P x h x Q x Q x P x Q x Figura 2-11 Estructura de la función de mediciones en la k-ésima iteración.
- 64. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 30 2.5.4 La Matriz Jacobiana de Mediciones La matriz Jacobiana de mediciones está conformado por las derivadas parciales de las ecuaciones de la función de mediciones con respecto a las variables de estado del SEP, su dimensión es de 𝑚 × 𝑛 y como es función de las variables de estado va estar actualizándose en cada iteración. A continuación se presentan las expresiones de las derivadas parciales que conforman la matriz Jacobiana de mediciones. Las siguientes expresiones toman en cuenta que el nodo de referencia es el 1. Según [5], las derivadas parciales de las ecuaciones de magnitudes de voltaje son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: ( ) 1 k p k p V x V (2-43) ( ) 0 k p k q V x V (2-44) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): ( ) 0 k p k p V x (2-45) ( ) 0 k p k q V x (2-46) Según [5], las derivadas parciales de las ecuaciones de flujos de potencia activa son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 2 si ( c n ) osk k k k pq p pq pq qp q pq p q k pq k p k k k pq qp q pq p q P x a V g a a V g a a V b V (2-47) ( cos sin ) k k k k k k pq p qp pq p q k pq pq p qp pq pk q qa V a g a P V a x b V (2-48) ( cos sin ) k k k k k k qp q pq pq q p k qp qp q pq pq qk p pa V a g a P V a x b V (2-49) 2 2 c s ( in ) osk k k qp pq qp pq p pq q p k k k qp pq p pq q k qp k qk q p P x a g a a V g a a V V b V (2-50) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia):
- 65. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 31 in co ( s s )k pq k k p pk k k k k k k pq p qp q pq q pq p qp q pq q p a V a V g a V a V P b x (2-51) (2-52) sin c ( os ) k k k k k k k k qp q pq p pq q p qp q pq p k q pq p k q p p a V a V g a V a V P x b (2-53) si ( ) n cosk k k k k k pq p qp k pq k k q pq p pq p qp q pq pq qk q a V a V g a V a V P x b sin s ( co ) k k k k k k k k qp q pq p pq q k qp k q p qp q pq p pq q pa V a V g a V a V x b P (2-54) Según [5], las derivadas parciales de las ecuaciones de flujos de potencia reactiva son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 ( ) 2 cos sin sh pq pq pq k k k k k k pq qp k pq k p q pq p q pq qp q p p q k q p a b b a a V b a a V x g Q V V (2-55) ( cos sin ) k k k k k k pq p qp pq p q pq p k qp pq pq pk q qa V a b a V a x g Q V (2-56) ( cos sin ) k k k k k k qp q pq pq q p qp q k pq pq qp qk p pa V a b a V a x g Q V (2-57) 2 2 cos s n ( ) i k sh qp q pq pq k k k k k k qp pq p pq k qp q p qp pq p k p p q q q a V b b a a V b a a V x V g Q (2-58) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): sin c ( os ) k k k k k k k k pq p qp q pq p q pq p qp q k p pq q k p q p a V a V b a V a V Q x g (2-59) sin s ( co ) k k k k k k k k pq p qp q pq p k pq k q q pq p qp q pq p qa V a V b a V a V x g Q (2-60) sin s ( co ) k k k k k k k k qp q pq p pq q k qp k p p qp q pq p pq q pa V a V b a V a V x g Q (2-61)
- 66. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 32 sin c ( os ) k k k k k k k k qp q pq p pq q p qp q pq p k q pq p k q p q a V a V b a V a V Q x g (2-62) Según [5], las derivadas parciales de las inyecciones de flujos de potencia activa son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 cos n ) i ( s p k p k k k k k k p pp q pq p q pq p qk qp P x V G V G B V (2-63) c s n ( o i ) s k p k k k k k p pq p q pq p qk q P x V G B V (2-64) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): sin cos ( )k p k k k k k k p q pq p q pq p qk q Mp P x V V G B (2-65) s n c ( i o ) s k p k k k k k k p q pq p q pq p qk q P x V V G B (2-66) Según [5], las derivadas parciales de las inyecciones de flujos de potencia reactiva son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 sin cos ( ) p k p k k k k k k p pp q pq p q pq p qk qp Q x V B V G B V (2-67) s n s ( i o ) c k p k k k k k p pq p q pq p qk q Q x V G B V (2-68) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): cos sin ( )k p k k k k k k p q pq p q pq p qk q Mp Q x V V G B (2-69) c s s ( o i ) n k p k k k k k k p q pq p q pq p qk q Q x V V G B (2-70)
- 67. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 33 De donde: 𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝. Ω 𝑝 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, excluyendo al nodo 𝑝. La matriz Jacobiana de mediciones presenta una estructura en la k-ésima iteración dada en la Figura 2-12. 1 2 3 2 3 3 4 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k N k k k k pq pq pq pq k pqk kk k p qp k k k k k k k q k k qp qp k N k p k NV V V x V V x V x V x P x P x P x P x P x V V P x P x V x V H 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k qp qp k qpk kk p qq k k k k pq pq pq pq k pqk kk k p qp q k k k k qp qp qp qp k qpk kk k k k k k p qp q P x P x P x V Q x Q x Q x Q x Q x V P x P x V Q x Q x Q x Q x Q x V V V V 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 43 2 3 41 2 3 2 3 41 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 k k k k k k k k k kk k NN k k k k k k k k k k k kk k k k NN k k k k k k k k kk k k k N N k k P x P x P x P x P x P x P V V P x P x P x P x P x P x P x P x P V V V V P x P x P x P x P x P x P x V V V x V x 2 3 41 2 3 3 3 1 1 1 1 2 1 1 1 3 41 1 2 2 2 3 1 2 k k k N k k k k k k k k k k k kk k k k NN k k k k k k k k k k k kk k k k k N N N N N N N NN k k N N k k k k N P x P P x P x P x P x P x P x P x P x P V V V V Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q V V V V Q x Q x V V x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 43 2 3 41 2 3 2 3 21 3 k k k k k k k k k kk k NN k k k k k k k k k k k kk k k k NN k k k k k k N N N k k kk k k k N N N N Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q V V Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q V x x V V V Q x Q x Q x Q x Q x Q x V V V V 3 4 N N k k k k N N k k x Q x Q x Q Figura 2-12 Estructura de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-ésima iteración.
- 68. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 34 2.5.5 La Matriz de Ponderación La desviación estándar 𝜎𝑖 de cada medición se usa para reflejar la precisión de la correspondiente medición disponible [6]. Y debido a las consideraciones que se establecieron para desarrollar la teoría de SE, los errores aleatorios de los dispositivos de medición son variables aleatorias de valor esperado cero con una desviación estándar σi. Más aun, son variables aleatorias independientes, por lo que se toma en cuenta que no existe una correlación entre ellas y en consecuencia su matriz de covarianza R viene dado por la ecuación (2-23). Dentro de la formulación matemática de WLS, los pesos que se obtienen aplicando la ecuación (2-30) se usan para dar más peso a las mediciones más precisas y la matriz que muestra el conjunto de los pesos de las mediciones disponibles es la matriz de ponderación que tiene una dimensión de 𝑚 × 𝑚 y presenta una estructura dada en la ecuación (2-71). 2 1 21 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 m W R (2-71) El factor de ponderación de la i-ésima medición 𝑊𝑖𝑖 es una función de las características del equipo de medición para ese dato. Especifica la importancia relativa de esa medición con respecto a las demás en la determinación del vector de estado. Es importante en el sentido de que describe que tan cercano uno desea que el vector de estado coincida con esta medición en particular. Un valor grande de ponderación es usado cuando uno quiere una concordancia estrecha con un valor de dato particular [24]. 2.5.5.1 Desviación Estándar de los Dispositivos de Medición Según [23] los componentes del sistema de adquisición de datos que pueden influir en las mediciones del SEP son los transformadores de instrumento, los transductores de potencia, los convertidores analógico-digitales y la transmisión de datos analógicos. Por lo tanto, los errores en los dispositivos de medición deben representar un valor que sea una conjunción de la suma acumulativa de los errores de todos los elementos que intervienen en todo el proceso [1]. El cálculo de la desviación estándar de los errores de los dispositivos de medición 𝜎𝑖 se propone de distintas formas y según [1, 7] se pueden diferenciar 4 grupos, los cuales se presentan en la Tabla 2-2, la Tabla 2-3, la Tabla 2-4 y la Tabla 2-5.
- 69. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 35 𝜎𝑖 es un valor constante. Tabla 2-2 Valores constantes para 𝜎i. Criterio Medición de magnitud de voltaje Medición de flujo de potencia Medición de inyección de potencia Inyección cero 1 𝜎𝑖 = 0.004 𝜎𝑖 = 0.008 𝜎𝑖 = 0.01 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 2 𝜎𝑖 = 0.01 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 3 𝜎𝑖 = 0.002 𝜎𝑖 = 0.02 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 100 𝑀𝑉𝐴 𝜎𝑖 = 0.02 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 100 𝑀𝑉𝐴 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 4 𝜎𝑖 = 0.005 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝜎𝑖 = 1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 5 𝜎𝑖 = 0.005 𝜎𝑖 = 1.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 132 𝑘𝑉𝑦 0.8 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 33 𝑘𝑉 𝜎𝑖 = 1.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 132 𝑘𝑉 𝑦 0.8 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 33 𝑘𝑉 𝜎𝑖 = 0.2 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 6 𝜎𝑖 = 0.005 𝜎𝑖 = 0.5 ÷ 1.1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 70 𝑘𝑉 𝑦 1.2 ÷ 5.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝜎𝑖 = 0.5 ÷ 1.1 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 70 𝑘𝑉 𝑦 1.2 ÷ 5.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝜎𝑖 = 0.3 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 70 𝑘𝑉 𝑦 0.5 𝑀𝑊/𝑀𝑉𝐴𝑅 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝜎𝑖 es una función del valor medido por el dispositivo de medición. Tabla 2-3 Valores para 𝜎i en función del valor medido por el dispositivo de medición. Criterio Medición de magnitud de voltaje Medición de flujo de potencia Medición de inyección de potencia 1 𝜎𝑖 = 1% × 𝑉𝑀 2 𝜎𝑖 ≤ 2% × 𝑉𝑀 3 𝜎𝑖 ≤ 3% × 𝑉𝑀 4 𝜎𝑖 = 2% × 𝑉𝑀 5 𝜎𝑖 = 0.01% × 𝑉𝑀 𝜎𝑖 es una función del total de la escala del dispositivo de medición. Tabla 2-4 Valores para 𝜎i en función del total de la escala del dispositivo de medición. Criterio Medición de magnitud de voltaje Medición de flujo de potencia Medición de inyección de potencia Pseudo-mediciones 1 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝜎𝑖 = 0.5% × 𝑇𝐸, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇𝐸 = 1000 𝑀𝑊 𝜎𝑖 = 0.5% × 𝑇𝐸, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇𝐸 = 1000 𝑀𝑊 𝜎𝑖 = 10 ÷ 40% × 𝑇𝐸 𝜎𝑖 es una función del valor medido y del total de la escala del dispositivo de medición. Tabla 2-5 Valores para 𝜎i en función del valor medido y el total de la escala del dispositivo de medición. Criterio Medición de magnitud de voltaje Medición de flujo de potencia Medición de inyección de potencia 1 𝜎𝑖 = (0.0067 × 𝑉𝑀) + (0.00163 × 𝑇𝐸) 2 𝜎𝑖 = 0.015 × 𝑉𝑀 × 𝛿 + 0.003 × 𝑇𝐸 × 𝛿 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛿 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 1 3 𝜎𝑖 = 0.005 × 𝑇𝐸 𝜎𝑖 = √(0.006 × 𝑉𝑀)2 + (0.005 × 𝑇𝐸)2 4 𝜎𝑖 = 𝛿 × [(0.02 × 𝑉𝑀) + (0.0035 × 𝑇𝐸)] 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 |𝛿| ≤ 1 𝑦 𝑇𝐸 = 2000 𝑀𝑉𝐴 5 𝜎𝑖 = 0.001 × 𝑉𝑀 𝜎𝑖 = 1 3 (0.02 × 𝑉𝑀 + 0.005 × 𝑇𝐸) 6 𝜎𝑖 = 0.012 × 𝑉𝑀 + 0.0035 × 𝑇𝐸 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑇𝐸 = 20 7 𝜎𝑖 = 1 3 (𝛼 × 𝑉𝑀 + 𝛽 × 𝑇𝐸) 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 0.005, 𝛽 = 0.0026, 𝑉𝑀 = 1.0 𝑦 𝑇𝐸 = 1.5
- 70. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 36 De donde: 𝑉𝑀 es el valor medido por el dispositivo de medición. 𝑇𝐸 es el total de la escala del dispositivo de medición. Dependiendo del fabricante y del modelo del dispositivo de medición, la precisión de éste es proporcional al valor medido, al total de la escala o una suma de estos factores, pero nunca es constante [1, 7]. 2.5.6 La Matriz de Ganancia La matriz de Ganancia o matriz de información es una matriz de dimensión 𝑛 × 𝑛 y su cálculo depende de la matriz Jacobiana de mediciones y de la matriz de ponderación. Esta matriz viene dada por la ecuación (2-72) en la k-ésima iteración. ( ) ( ) ( )k T k k G x H x WH x (2-72) Y de acuerdo con [6], presenta las siguientes características: Es una matriz dispersa, pero menos dispersa que 𝐻(𝑥 𝑘 ). Es una matriz estructuralmente y numéricamente simétrica. Es una matriz definida positiva por lo que sus eigenvalores son positivos. Esta matriz es de suma importancia ya que asegura la observabilidad del sistema [7]. Para que el conjunto de ecuaciones normales dado por (2-35) tenga solución única, la matriz de Ganancia debe ser no singular. Para esto es necesario que la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥 𝑘 ) sea de rango columna completo, si lo es, entonces se asegura que 𝐺(𝑥 𝑘 ) es definida positiva y el conjunto de ecuaciones normales tiene solución única [8]. 2.6 Tópicos Adicionales El estimador de estado puede ser enriquecido con algunas funciones adicionales como la detección de datos erróneos en los dispositivos de medición y su identificación, para eliminarlos si es posible [6]. Los datos erróneos pueden ser debidos a errores en los parámetros de la red, errores en la topología y a errores sustanciales [7], en este apartado se estudiaran métodos de detección de datos erróneos debidos a errores sustanciales. A menos que los datos erróneos sean detectados e identificados, el estimador de estado presentará resultados incorrectos. En esta sección primero se describen las propiedades de los residuales de medición, así como una clasificación de datos erróneos y de las mediciones que se encuentran en el conjunto de mediciones. Además se presentan algunos métodos básicos para detectar e identificar datos erróneos después de realizar la SE de WLS. Por último se describe el análisis de observabilidad que es importante para que se pueda obtener una solución para el vector de estado y se explican muy brevemente algunos métodos para el análisis de observabilidad. 2.6.1 Propiedades de los Residuales de Medición Expandiendo la función vectorial no lineal ℎ(𝑥̂) de la ecuación (2-20) en series de Taylor alrededor del vector de estado 𝑥 y despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se obtiene la ecuación (2-73), según [6].
- 71. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 37 ˆ ˆ( ) ( ) ( )h x h x H x x x (2-73) De acuerdo con [5, 6, 8, 67], sustituyendo la ecuación (2-73) en la ecuación (2-20) se obtiene el modelo de medición linealizado dado por la ecuación (2-74). ˆ( ) ( )z h x H x x x e ˆ( ) ( )z h x H x x x e ˆ( )z H x x e (2-74) De donde: ∆𝑧 = 𝑧 − ℎ(𝑥) es un vector de dimensión 𝑚 × 1. ∆𝑥̂ = 𝑥̂ − 𝑥 es un vector de dimensión 𝑛 × 1. 𝐻(𝑥) es la matriz Jacobiana de mediciones de dimensión 𝑚 × 𝑛. 𝑒 es el vector de los errores de medición aleatorios de dimensión 𝑚 × 1. Se supone que 𝐸(𝑒) = 0 y que 𝐸(𝑒𝑒 𝑇 ) = 𝑅, basado en la suposición de que los errores de medición no están correlacionados. 𝑚 es el número de mediciones disponibles. 𝑛 es el número de variables de estado del SEP. Entonces la solución del estimador de estado de WLS del modelo de medición linealizado, según [5, 6, 8], está dado por la ecuación (2-75). 1 1 1 1 1 ˆ [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )T T T x H x R H x H x R z G x H x R z (2-75) Y el valor de las mediciones estimadas viene dado por la ecuación (2-76). 1 1 ˆˆ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]T z H x x H x G x H x R z K z (2-76) De donde: 𝐾 es la matriz sombrero de dimensión 𝑚 × 𝑚. De acuerdo con [6], la matriz sombrero tiene las siguientes propiedades. K K K K K (2-77) ( ) ( )K H x H x (2-78) ( ) ( ) 0I K H x (2-79) Ahora se procede a expresar los residuales de medición en función de los errores de los dispositivos de medición [67]. ˆr z z ( )r I K z ˆ( )[ ( ) ]r I K H x x e ˆ ˆ( ) ( )r H x x e KH x x Ke ˆ( ) ( ) ( ) ( )r I K H x x I K e I K e r Se (2-80)
- 72. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 38 De donde: S es la matriz de sensibilidad residual de dimensión 𝑚 × 𝑚. Representa la sensibilidad de los residuales de medición a los errores de los dispositivos de medición. La matriz de sensibilidad residual posee las siguientes propiedades, según [6]. S S S S S (2-81) T S R S SR (2-82) Debido a las ecuaciones (2-21), (2-22) y (2-23), la distribución de los errores de los dispositivos de medición son normales con media 0 y una matriz de covarianza de 𝑅. (0, )i iie N R (2-83) Usando la ecuación (2-80) se pueden definir las propiedades estadísticas de los residuales de medición dadas por las ecuaciones (2-84) y (2-85). ( ) ( ) ( ) 0E r E S e S E e (2-84) ( ) ( )T T T T E rr S E ee S SRS SR (2-85) Y conforme con [8], las distribuciones de los residuales de medición son normales con media 0 y con una matriz de covarianza de Ω. (0, )i iir N (2-86) De donde: Ω es la matriz de covarianza residual de dimensión 𝑚 × 𝑚. La matriz de covarianza residual posee las siguientes propiedades, según [6]. Ω es una matriz real y simétrica. Ω𝑖𝑗 2 ≤ Ω𝑖𝑖Ω𝑗𝑗. Ω𝑖𝑗 ≤ (Ω 𝑖𝑖+Ω 𝑗𝑗) 2 . 2.6.2 Clasificación de Datos Erróneos Los datos erróneos se pueden clasificar de la siguiente forma, de acuerdo con [6]. Dato erróneo individual: Solamente una medición en todo el conjunto de mediciones presenta error sustancial. Datos erróneos múltiples: Más de una medición presentaran errores sustanciales. Los datos erróneos múltiples pueden ser clasificados en tres grupos, según [8]. - Datos erróneos múltiples no interactivos: Se presentan en mediciones con residuales de medición débilmente correlacionados. Es decir, si 𝑆𝑖𝑘 ≈ 0, entonces las mediciones 𝑖 y 𝑘 son no interactivos.
- 73. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 39 - Datos erróneos múltiples interactivos y no conformes: Se presentan en mediciones con residuales fuertemente correlacionados. Es decir, si 𝑆𝑖𝑘 es grande, entonces las mediciones 𝑖 y 𝑘 son interactivos. Sin embargo si los errores en las mediciones son no consistentes uno con otro, entonces son no conformes. - Datos erróneos múltiples interactivos y conformes: Se presentan en mediciones con residuales fuertemente correlacionados. Es decir, si 𝑆𝑖𝑘 es grande, entonces las mediciones 𝑖 y 𝑘 son interactivos. Sin embargo si los errores en las mediciones son consistentes uno con otro, entonces también son conformes. Las mediciones fuertemente correlacionadas son aquellas cuyos errores afectan el valor estimado de cada una significativamente, es decir, una es afectada cuando la otra presenta error sustancial. Por otra parte, conforme con [6], las estimaciones de las mediciones con residuales débilmente correlacionados no son afectados significativamente por los errores que presentan cada una. 2.6.3 Clasificación de las Mediciones De acuerdo con [6, 8], las diferentes mediciones que tiene un SEP pueden pertenecer a uno de los siguientes grupos. Medición crítica: Es aquella cuya eliminación del conjunto de mediciones convierte al sistema en no observable. El residual de medición de una medición crítica es cero y su correspondiente columna en la matriz de covarianza residual es también igual a cero. Por lo tanto, los errores en las mediciones críticas no pueden ser detectados e identificados. Par crítico de mediciones: Es un par de mediciones en donde cada una no es crítica pero su eliminación simultánea del conjunto de mediciones convierte al sistema en no observable. k-tupla crítica de mediciones: Contiene k mediciones cuya eliminación simultánea causa que el sistema sea no observable. Ninguna de estas mediciones pertenece a una tupla crítica de menor orden. Las k columnas de la matriz de covarianza residual que corresponden a los elementos de la k-tupla crítica son linealmente dependientes. Medición redundante: Es aquella que no es una medición crítica. Las mediciones redundantes pueden tener residuales de medición distintos de cero. Una medición que contiene dato erróneo individual es detectable si y solo si la medición no es crítica, y es identificable si y solo si no es crítica y además no pertenece a ningún par crítico [6, 67]. 2.6.4 Detección de Datos Erróneos El proceso de detección se refiere a la determinación de si el conjunto de mediciones disponibles contienen datos erróneos [6]. Algunas técnicas básicas para la detección de datos erróneos son la prueba 𝜒2 (chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Estos métodos se describen en las siguientes secciones. 2.6.4.1 Descripción y Algoritmo de la Prueba 𝝌2 Debido a las ecuaciones (2-21), (2-22) y (2-23) se considera que los errores de los dispositivos de medición 𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 presentan una distribución normal, son independientes y tienen un valor esperado de 0 y una varianza de 𝜎𝑖 2 . Por lo tanto, la función objetivo evaluada con el estado estimado
- 74. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 40 se expresa mediante la ecuación (2-87). Esta función objetivo sigue una distribución 𝜒 𝑚−𝑛 2 , es decir una distribución chi-cuadrada con 𝑚 − 𝑛 grados de libertad, de acuerdo con [5, 6, 8]. 2 1 ˆ( ) ˆ( ) m i i i i z h x J x (2-87) De donde: 𝐽(𝑥̂) es la función objetivo evaluada con el estado estimado. 𝑥̂ es el vector de estado estimado de la red eléctrica. 𝑧𝑖 es la i-ésima medición disponible. ℎ𝑖(𝑥̂) es la i-ésima ecuación de la función de mediciones evaluada con el vector de estado estimado. 𝜎𝑖 es la desviación estándar de la i-ésima medición disponible. 𝑚 y 𝑛 son el número de mediciones disponibles y el número de variables de estado, respectivamente. Según [5], la distribución de 𝐽(𝑥̂) es el de una variable aleatoria 𝜒2 con una media de 𝑚 − 𝑛 y una varianza de 2(𝑚 − 𝑛). ˆ( ( ))E J x m n (2-88) 2 2( )ˆ[ ( ) ( )]E m nJ x m n (2-89) Así se pueden considerar dos hipótesis. 0 ˆ: ( ( ))H E J x m n (2-90) 1 ˆ: ( ( ))H E J x m n (2-91) De donde: 𝐻 𝑜 es la hipótesis nula. 𝐻1 es la hipótesis alternativa. La hipótesis 𝐻0 es rechazada cuando 𝐽(𝑥̂) > 𝐶, donde 𝐶 es una límite estadístico a ser determinado [5]. El nivel de relevancia de la prueba está dado por 𝛼 que es la probabilidad de que 𝐽(𝑥̂) > 𝐶. El nivel de confianza es la probabilidad de que 𝐽(𝑥̂) < 𝐶 y está dado por 1 − 𝛼. Por lo tanto 𝐶 está en función de 𝛼 y viene expresado por la ecuación (2-92). 1 2 2 0 2 ( ) 1 con ( ) 2 2 m n t C m n t e f t dt f t m n (2-92) De donde: Γ(. ) es la función gamma. 𝑚 − 𝑛 son los grados de libertad del sistema. De la ecuación (2-92) se puede observar que 𝑓(𝑡) es la función de densidad de probabilidad de una distribución 𝜒2 con una media de 𝑚 − 𝑛 y una varianza de 2(𝑚 − 𝑛). Según [5], el valor de 𝐶 viene dado por la ecuación (2-93).
- 75. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 41 2 ,1m nC (2-93) Basado en lo descrito anteriormente, un procedimiento para la detección de datos erróneos puede ser desarrollado. En esta tesis se utilizó la subrutina DCHIIN de la biblioteca IMSL de FORTRAN [68] para obtener el valor de la distribución 𝜒2 . El algoritmo del proceso de detección de datos erróneos se describe a continuación. 1. Resolver el problema de SE de WLS dado por la ecuación (2-35) y calcular la función objetivo aplicando la ecuación (2-87). 2. Llama a subrutina DCHIIN para obtener el valor de la distribución 𝜒2 correspondiente a un nivel de confianza especificado en porciento y con 𝑚 − 𝑛 grados de libertad, es decir 𝜒 𝑚−𝑛,1−𝛼 2 . Para esta tesis se ocupó un nivel de confianza de 95%, de acuerdo con [6, 8]. 3. Evaluar si 𝐽(𝑥̂) ≥ 𝜒 𝑚−𝑛,1−𝛼 2 . Si se cumple, entonces se sospecha de la presencia de datos erróneos. De lo contrario, las mediciones no presentan datos erróneos. La Figura 2-13 muestra el diagrama de flujo del algoritmo descrito anteriormente. El código de la subrutina de la prueba 𝜒2 se incluye en la sección D.5 del APÉNDICE D para el estimador de estado convencional como SUBROUTINE CHI_CUADRADA. Asimismo, el código de la subrutina de la prueba 𝜒2 se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E para el estimador de parámetros como SUBROUTINE CHI_CUADRADA. Lectura de datos ¿Función objetivo evaluada con la estimación de estado es mayor o igual al valor de la distribución chi-cuadrada? FIN INICIO Calcula la función objetivo evaluada con la estimación de estado Llama a subrutina DCHIIN y obtén el valor de la distribución chi-cuadrada con el nivel de confianza especificado “Se han detectado datos erróneos” “No se han detectado datos erróneos” Realiza el estudio de estimación de estado de WLS No Sí Figura 2-13 Diagrama de flujo de la prueba 𝜒2 .
- 76. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 42 2.6.4.2 Descripción y Algoritmo de la Prueba rN Otro método puede ser derivado haciendo uso de los residuales normalizados de medición. El valor normalizado del residual de la i-ésima medición es obtenido a partir de la ecuación (2-94), según [5, 6, 8]. iN i ii r r (2-94) De donde: 𝑟𝑖 es el residual de la i-ésima medición estimada dado por la ecuación (2-95). ˆ( )i i ir z h x (2-95) Ω𝑖𝑖 es la entrada diagonal de la matriz de covarianza residual correspondiente a la i-ésima medición y viene dado por la ecuación (2-85). Como se considera que los errores de los dispositivos de medición 𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 presentan una distribución normal, son independientes, tienen un valor esperado de 0 y varianza de 𝜎𝑖 2 , entonces los residuales de medición estimados 𝑟̂𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 son también distribuidos de una forma normal con media cero y una varianza de Ω𝑖𝑖, de acuerdo con [8]. Debido a lo anterior, la distribución de los residuales normalizados de medición es normal con media cero y una varianza unitaria [6]. ( ) 0N iE r (2-96) 1( )N N T i i E r r (2-97) Es decir. (0, )N r N I (2-98) De donde: 𝐼 es una matriz identidad de dimensión 𝑚 × 𝑚. Así se pueden considerar 2 hipótesis. 0 : ( ) 0N iH E r (2-99) 1 : ( ) 0N iH E r (2-100) De donde: 𝐻0 es la hipótesis nula. 𝐻1 es la hipótesis alternativa. La hipótesis 𝐻0 es rechazada cuando |𝑟𝑖 𝑁 | > 𝐶, donde 𝐶 es una límite estadístico a ser determinado [5]. El nivel de relevancia de la prueba está dado por 𝛼 que es la probabilidad de que |𝑟𝑖 𝑁 | > 𝐶. El nivel de confianza es la probabilidad de que |𝑟𝑖 𝑁 | < 𝐶 y está dado por 1 − 𝛼. Por lo tanto 𝐶 está en función de 𝛼 y viene expresado por la ecuación (2-101). 2 2 ( ) 1 con ( ) 2 t C C e f t dt f t (2-101)
- 77. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 43 Donde 𝑓(𝑡) es la función de densidad de probabilidad de una distribución normal estándar con media cero y varianza unitaria. Basado en lo descrito anteriormente, se puede desarrollar un procedimiento para la detección de datos erróneos empleando los residuales normalizados. El algoritmo del proceso de detección de datos erróneos se describe a continuación. 1. Resolver el problema de SE de WLS dado por la ecuación (2-35). 2. Calcular los residuales normalizados de cada medición usando la ecuación (2-94). 3. Encuentra k tal que 𝑟𝑘 𝑁 es el máximo residual normalizado del conjunto 𝑟𝑖 𝑁 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚. 4. Evaluar si 𝑟𝑘 𝑁 > 𝐶. Si se cumple, entonces se sospecha de la presencia de datos erróneos. De lo contrario, las mediciones no tienen datos erróneos. Para esta tesis se ocupó 𝐶 = 3 para un nivel de confianza de 99.73%, conforme con [6, 8]. La Figura 2-14 muestra el diagrama de flujo del algoritmo descrito anteriormente. El código de la subrutina de la prueba 𝑟 𝑁 se incluye en la sección D.5 del APÉNDICE D para el estimador de estado convencional como SUBROUTINE RES_NORM. Asimismo, el código de la subrutina de la prueba 𝜒2 se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E para el estimador de parámetros como SUBROUTINE RES_NORM. Lectura de datos ¿Máximo residual normalizado es mayor a un límite estadístico propuesto? FIN INICIO Calcula los residuales normalizados de medición Encuentra el máximo residual normalizado “Se han detectado datos erróneos” “No se han detectado datos erróneos” Realiza el estudio de estimación de estado de WLS No Sí Figura 2-14 Diagrama de flujo de la prueba rN .
- 78. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 44 2.6.5 Identificación de Datos Erróneos El proceso de identificación se refiere al procedimiento de averiguar cuáles mediciones específicas son las que contienen datos erróneos [6], es decir a la selección de las mediciones erróneas una vez que se ha detectado la presencia de datos erróneos. A continuación se describe brevemente un método para la identificación de un dato erróneo individual usando los residuales normalizados de medición que es conocida como la prueba del máximo residual normalizado 𝑟 𝑚𝑎𝑥 𝑁 . 2.6.5.1 Descripción de la Prueba rN max Según [6, 8], si solo hay un dato erróneo en el conjunto de mediciones (siempre que no sea una medición crítica), entonces el residual normalizado más grande corresponderá a la medición errónea. Esto también aplica a algunos casos de datos erróneos múltiples siempre y cuando las mediciones erróneas tengan una débil correlación. A continuación se muestra el proceso de identificación para un dato erróneo o para el caso de datos erróneos múltiples no interactivos. 1. Resolver el problema de SE de WLS dado por la ecuación (2-35). 2. Calcular los residuales normalizados de cada medición usando la ecuación (2-94). 3. Encuentra k tal que 𝑟𝑘 𝑁 es el máximo residual normalizado del conjunto 𝑟𝑖 𝑁 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚. 4. Evaluar si 𝑟𝑘 𝑁 > 𝐶. Si se cumple, entonces se sospecha de la presencia de datos erróneos. De lo contrario, las mediciones no tienen datos erróneos. 5. Elimina la k-ésima medición del conjunto de mediciones y regresa al paso 1. El desempeño de la prueba 𝑟 𝑚𝑎𝑥 𝑁 depende del tipo de dato erróneo que se procesa. Por lo tanto presenta limitaciones de acuerdo a cada tipo [8]. Para un dato erróneo individual el máximo residual normalizado corresponderá a la medición que presenta el dato erróneo. Para datos erróneos múltiples no interactivos, la prueba 𝑟 𝑚𝑎𝑥 𝑁 puede identificar las mediciones con datos erróneos incluso si aparecen simultáneamente, esto lo hace de forma secuencial. Para datos erróneos múltiples interactivos y no conformes, la prueba 𝑟 𝑚𝑎𝑥 𝑁 aún puede indicar correctamente las mediciones con datos erróneos. Por el contrario, para datos erróneos múltiples interactivos y conformes, la prueba puede fallar en identificar cualquiera de las mediciones con datos erróneos. 2.6.6 Concepto de Observabilidad Cuando hay suficientes mediciones disponibles para estimar el vector de estado del sistema completo, se dice que la red eléctrica es observable. El análisis de observabilidad determina si existe una solución única para el estado del SEP dado un conjunto de mediciones y sus localizaciones [6]. Puede realizarse fuera de línea durante la fase inicial de la instalación del estimador para verificar si la configuración de medición es adecuada. También se puede llevar a cabo en línea, antes de realizar la SE con la finalidad de asegurar que se puede obtener un estimado del estado del sistema a partir del último conjunto de mediciones recibido. Debido a los cambios en la topología, errores de telecomunicación o a las fallas en los dispositivos de medición, se puede dar el caso de que no se pueda obtener el estado del sistema completo. Por lo tanto el análisis identifica las islas observables y resuelve para ellas con un nodo de referencia para cada una [67]. El análisis se realiza con el modelo de medición linealizado dado por la ecuación (2-74) sin pérdida de generalidad y se pueden usar enfoques topológicos o numéricos. Los enfoques
- 79. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 45 topológicos usan la teoría de grafos, mientras que los numéricos son basados en la factorización numérica de la matriz de Ganancia [6]. Estos procedimientos son: Análisis de observabilidad topológica: Estos algoritmos usan la información de la topología de la red (representa la conectividad de la red) y de la topología de medición (se refiere a las mediciones eléctricas) para la determinación de la observabilidad topológica y así evitar el cálculo numérico del rango de la matriz Jacobiana de mediciones [67]. Requieren rutinas no numéricas que pueden ser algo complejas pero generalmente son más rápidas que los algoritmos numéricos. Análisis de observabilidad numérica: Estos algoritmos presentan la ventaja de que son conceptualmente simples y emplean rutinas numéricas que ya son necesarias en la SE. La principal dificultad es la determinación de si un número pequeño que aparece en la diagonal de la factorización triangular de la matriz de Ganancia es un valor cero o no, esto es debido al redondeo numérico de cifras [67]. En esta tesis no se desarrolla ningún algoritmo para el análisis de observabilidad, sin embargo en el CAPÍTULO 3 se describe un método para calcular el rango numérico de la matriz Jacobiana de mediciones y la matriz de Ganancia de la última iteración y así aplicarlo para conocer si el sistema es observable.
- 80. CAPÍTULO 2 ESTIMACIÓNDE ESTADO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 46
- 81. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 47 CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 3.1 Introducción Según [8], siempre que exista un nivel de redundancia adecuado, el estimador de estado puede ser mejorado con algunas funciones adicionales entre las cuales se pueden mencionar las siguientes. Detectar y si es posible identificar errores de estado de los interruptores. Estimar algunos valores de parámetros (parámetros de líneas y taps de transformadores) para mejorar el contenido de la base de datos. La información incorrecta de la topología normalmente da lugar a grandes inconsistencias en las mediciones estimadas y por lo tanto pueden ser detectadas (pero no necesariamente identificadas). Sin embargo, los errores en los parámetros de las líneas o de taps de transformadores son menos visibles y permanecen sin ser detectados por largos periodos de tiempo [6], por lo que es importante el estudio de Estimación de Parámetros o PE (“Parameter Estimation” en inglés). En este capítulo se presentan las posibles causas y consecuencias de los errores de parámetros que pueden afectar la calidad de la solución de la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés), se estudia el proceso de identificación que se requiere para identificar los parámetros sospechosos a partir del uso de los residuales normalizados estudiados en el CAPÍTULO 2. Se presentan algunas clasificaciones de los métodos de PE encontrados en la literatura para luego detallar el método usado en esta tesis para únicamente estimar los parámetros de líneas de transmisión. Se desarrolla su formulación matemática que es una extensión del estudio de estimación de estado convencional estudiado en el CAPÍTULO 2, también se presentan las estructuras de las matrices involucradas en el proceso de PE y el algoritmo necesario para su programación. Después se describe un método para analizar la robustez numérica de la PE, así como el algoritmo empleado en su programación. Por último se presentan algunos cálculos que se realizan después del proceso de PE como los intervalos de confianza y los indicadores de precisión de los parámetros estimados para luego detallar el algoritmo empleado en su programación. 3.2 Posibles Causas y Consecuencias de los Errores de Parámetros En la mayoría de los casos, las empresas eléctricas usan valores teóricos para el cálculo de los parámetros del circuito equivalente de las líneas de transmisión [15]. Conforme con [15, 16], algunos factores que pueden influir en los parámetros de las líneas son los siguientes: La altura del conductor por encima del plano de tierra es variable debido a la catenaria que presenta y es imposible de estimar sobre terreno montañoso, lo que puede afectar la capacitancia de la línea. La resistencia de la línea puede cambiar significativamente con la temperatura ambiente y ésta depende de las propiedades del material del conductor, corriente eléctrica que transporta,
- 82. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 48 diámetro del conductor, condiciones de superficie y las condiciones ambientales a las que es sometida la línea. El valor de reactancia serie usado es el de una línea idealmente transpuesta aunque ésta no lo es debido al costo de construcción adicional generado por alterar mecánicamente las posiciones de los conductores cada un tercio de la distancia entre torres de transmisión. Además de que la construcción de nuevas líneas en paralelo con acoplamiento mutuo afecta las bases de datos anteriores. Según [18], algunas causas de valores de parámetros incorrectos pueden ser: Datos de fabricación incorrectos o una mala calibración de los equipos de medición de los fabricantes. Cambios en la red que no se actualizaron apropiadamente en la base de datos (por ejemplo: una sección de línea aérea que sufre calentamiento puede ser sustituida por un cable). Desgaste de los materiales. Puede ser lento, normal o rápido (como el desgaste producido por el efecto corona). Parámetros que dependen de la temperatura (como la resistencia). Cambios en las condiciones ideales con las que se calculó el modelo 𝜋 (no se tienen en cuenta los diferentes cambios de altura de la línea respecto al terreno, se considera la resistividad del terreno constante, se supone que la línea es transpuesta a cada tercio de su longitud y también se supone que la longitud se conoce con exactitud). Los valores de parámetros incorrectos pueden tener las siguientes consecuencias [6]: Una degradación de los resultados proporcionados por el estimador de estado y, como consecuencia, de los resultados de los programas cuyos datos de entrada son la salida del estimador. Que mediciones correctas sean identificadas como mediciones erróneas debido a inconsistencias con los parámetros de red incorrectos. Desconfianza por parte del operador en los resultados del estimador de estado. En [15] se afirma que debido a las desviaciones de las condiciones ideales supuestas durante los cálculos de los parámetros de líneas de transmisión y pocas mediciones reales, los valores encontrados en las bases de datos de las empresas eléctricas presentan errores que pueden llegar a ser de hasta 25% a 30% comparados con los valores reales. 3.3 Identificación de Líneas con Parámetros Sospechosos En la práctica, solamente un conjunto reducido de parámetros puede ser estimado, según [8]. Para realizar el proceso de PE es necesario primero identificarlos, procediendo posteriormente a estimar únicamente aquellos que han sido identificados [7]. Por lo tanto, es necesario identificar primero los parámetros candidatos para realizar la PE. El conjunto de parámetros de líneas sospechosas puede ser seleccionado manualmente, sin embargo, en la mayoría de los casos se prefiere un procedimiento basado en el cálculo de los residuales de medición [6].
- 83. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 49 Desde el punto de vista del estimador de estado, un error de parámetro tiene el mismo efecto que el de un conjunto de errores correlacionados actuando en todas las mediciones cercanas a la línea errónea, principalmente las mediciones de flujos de potencia en esa línea y las mediciones de inyecciones de potencia en los nodos terminales de esa misma línea [11]. Si ahora el modelo de medición no lineal de la ecuación (2-20) incluye los parámetros de líneas sospechosas, se obtiene la ecuación (3-1). 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 ( , , , , , , , ) ( , , , , , , , ) ( , ) ( , , , , , , , ) n np n np m mm n np h x x x pl pl pl z e h x x x pl pl plz e z h x pl e z eh x x x pl pl pl (3-1) De donde: 𝑧 es el vector de las mediciones disponibles de dimensión 𝑚 × 1. 𝑥 es el vector de estado verdadero del sistema de dimensión 𝑛 × 1. 𝑝𝑙 es el vector de parámetros verdaderos de líneas sospechosas del sistema de dimensión 𝑛 𝑝 × 1. ℎ(. ) es una función vectorial no lineal que relaciona las mediciones disponibles con las variables de estado del sistema y los parámetros de la red. Tiene dimensión 𝑚 × 1. 𝑒 es un vector de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 1. 𝑚 es el número de mediciones disponibles. 𝑛 es el número de variables de estado del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). 𝑛 𝑝 es el número de parámetros de líneas con parámetros sospechosos del sistema. Manipulando el modelo de medición de la ecuación (3-1) se puede observar que los errores de los parámetros de líneas tienen el mismo efecto que el de los errores de medición [38]. Por ejemplo, las mediciones estimadas que están relacionadas con una línea presentarán residuales de medición grandes si los parámetros de líneas son erróneos. De acuerdo con [20], lo descrito anteriormente se puede ver en la ecuación (3-2). * * ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )]i i i i i i iz h x pl e h x pl h x pl h x pl e (3-2) De donde: 𝑧𝑖 es la i-ésima medición del conjunto de mediciones disponibles. ℎ𝑖(. ) es la función no lineal que relaciona la i-ésima medición con los estados y los parámetros de las líneas sospechosas del sistema. 𝑒𝑖 es el error de la i-ésima medición. 𝑥 es el valor verdadero del estado del sistema. 𝑝𝑙 es el valor verdadero de los parámetros de las líneas sospechosas del sistema. 𝑝𝑙∗ es el valor erróneo de los parámetros de las líneas sospechosas del sistema. El término entre corchetes de la ecuación (3-2) actúa como un error de medición adicional. Cuando los errores de parámetros son notables, las mediciones adyacentes (flujos e inyecciones de potencia) relacionadas con las líneas que presentan errores de parámetros tendrán probablemente los mayores residuales normalizados y por lo tanto serán detectadas como datos erróneos, según [30, 69]. Expandiendo la función no lineal ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙) de la ecuación (3-2) en series de Taylor alrededor de 𝑝𝑙∗ y despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se obtiene la ecuación (3-3).
- 84. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 50 * * * * * * ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i i i pl h h x pl h x pl pl pl h x pl H x pl pl pl pl (3-3) Aplicando la expansión de Taylor dada por la ecuación (3-3) en la ecuación (3-2) se obtiene el error de medición debido a los errores de parámetros de líneas [38]. * * * * * ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i i ih x pl h x pl h x pl H x pl pl pl h x pl * * * ( , ) ( , ) ( , )i i ih x pl h x pl H x pl pl pl * * * ( , ) ( , ) i i i pl h h x pl h x pl pl pl pl (3-4) De donde: 𝑝𝑙 − 𝑝𝑙∗ son los errores de parámetros de líneas sospechosas. ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙) − ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙∗ ) es el i-ésimo error de medición adicional debido a los errores de parámetros de líneas. 𝐻𝑖(𝑥, 𝑝𝑙∗ ) = [ 𝜕ℎ 𝑖 𝜕𝑝𝑙 ] 𝑝𝑙∗ es la derivada parcial de la i-ésima función no lineal con respecto a los parámetros y evaluada con los valores erróneos de los parámetros de líneas sospechosas. De la ecuación (3-4) se puede concluir que los errores de parámetros de líneas influyen de forma casi lineal a los errores de mediciones adicionales. Según [7, 11], aquellas líneas cuyas mediciones adyacentes presenten residuales normalizados elevados serán sospechosas y habrá que realizar la PE sobre ellas. 3.4 Clasificación de los Métodos de Estimación de Parámetros En [30, 69], se propone la siguiente clasificación. 1. Métodos que usan un conjunto de mediciones: Estos métodos usan un vector de mediciones disponibles en un determinado tiempo para estimar el vector de estado y el vector de parámetros sospechosos ya sea de una forma simultánea o de una forma secuencial. a) Estimación simultánea de estado y parámetros [9]: El método consiste en estimar un vector de estado aumentado, compuesto de las variables de estado del SEP (magnitudes de voltajes nodales y ángulos de fase nodales) y de los parámetros sospechosos, a partir del vector de mediciones disponibles. Es decir, resuelve simultáneamente para estimar variables de estado y parámetros sospechosos juntos. b) Estimación secuencial de estado y parámetros [27, 29]: El método consiste en primero estimar el vector de estado del SEP (magnitudes de voltajes nodales y ángulos de fase nodales) con los parámetros sospechosos fijos, para después estimar los parámetros sospechosos a partir de los resultados de SE previos. Las sucesivas correcciones de parámetros y las nuevas estimaciones de estado se pueden ver como un lazo externo que incluye el estimador. 2. Métodos que usan varios conjuntos de mediciones: En este tipo de métodos se usan varios conjuntos de mediciones tomados en diferentes instantes de tiempo ya que se pueden obtener mejores estimaciones a partir de esta consideración. En este caso la técnica del aumento del estado no es recomendable debido a problemas de dimensión de arreglos, por lo que se proponen los siguientes esquemas.
- 85. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 51 a) Estimador adaptativo [26]: Consiste en procesar secuencialmente los vectores de mediciones disponibles 𝑧1, … , 𝑧 𝑘. Al procesar el i-ésimo vector de medición, las variables de estado y los parámetros sospechosos son estimados a partir de un estimador simultáneo de estado y parámetros, usando el vector de medición 𝑧𝑖, aumentado con pseudo-mediciones que resumen el conocimiento adquirido de los parámetros en el procesamiento de los vectores de mediciones anteriores 𝑧1, … , 𝑧1−𝑖. Este puede ser visto como un filtro adaptativo debido a que la PE se mejora conforme 𝑖 se incrementa. Este método puede ser utilizado en línea. b) Estimación secuencial múltiple de estado y parámetros [61, 19, 20]: Consiste en realizar k estimaciones de estado independientes con valores fijos de los parámetros sospechosos, después se obtienen los valores estimados de los parámetros a partir de los resultados de SE anteriores. El ciclo completo es repetido hasta que un criterio de convergencia se cumple. Este método es una generalización del estimador secuencial de estado y parámetros descrito anteriormente y puede ser empleado fuera de línea. En [6, 7, 8], se considera la siguiente clasificación. 1. Métodos basados en el análisis de sensibilidad residual [27, 28, 29, 30, 31, 69]: Este tipo de métodos realizan la PE después del estudio de estimación de estado convencional. Usando este enfoque los procedimientos de identificación y estimación de parámetros constituyen rutinas separadas y adicionales al estudio de SE, por lo tanto, la principal ventaja es que el código principal del estimador de estado no es modificado. Con los resultados del estimador se analizan los residuales de medición, seleccionando aquellas mediciones que presentan los mayores residuos. Por medio de la relación existente de los residuales de medición y los errores de los dispositivos de medición dada por la ecuación (2-80), se calculan los errores de los parámetros y se actualizan sus valores. 2. Métodos que aumentan el vector de estado: Estos métodos agregan al vector de estado, los parámetros sospechosos que requieren ser estimados. En este caso, el estimador de estado se lleva a cabo al mismo tiempo que el estimador de parámetros. Para identificar cuales parámetros deben incluirse en el vector de estado, se debe ejecutar una SE previa. Claramente es necesario modificar la rutina de estimación de estado convencional. a) Solución basada en ecuaciones normales [9, 32, 1, 19, 20, 70]: Este método es una extensión del modelo de estimación de estado convencional estudiado en el CAPÍTULO 2 de esta tesis. Se pueden usar varios conjuntos de mediciones que pueden ser procesadas de forma simultánea o de forma secuencial con el objetivo de incrementar la redundancia alrededor de los parámetros sospechosos. b) Solución basada en la teoría de filtros de Kalman [26, 33, 34, 40, 71]: Este método es de tipo recursivo ya que va estimando los parámetros sospechosos conforme se vaya procesando un nuevo conjunto de mediciones, es decir, varios conjuntos de mediciones son procesados de forma secuencial para mejorar de forma recursiva los valores de parámetros sospechosos. Partiendo de un conjunto de mediciones, el estimador basado en la teoría de Kalman estima los parámetros sospechosos y sus respectivos valores de covarianza. Al procesar el siguiente conjunto de mediciones 𝑘 + 1, las estimaciones de parámetros determinados en 𝑘, se utilizan como pseudo-mediciones y la covarianza asociada es la calculada en 𝑘. En el procesamiento de cada conjunto de mediciones es necesario la actualización de una matriz de covarianza de errores de parámetros, lo cual puede causar que el método sea complicado cuando el número de parámetros es grande. La segunda clasificación resalta la diferencia más importante, que es el aumento o no del vector de estado con los parámetros sospechosos como variables adicionales para realizar la PE. El método que se usó para esta tesis es el de PE por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales, el cual se detallará en la siguiente sección.
- 86. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 52 3.5 Estimación de Parámetros de Líneas de Transmisión por el Aumento del Vector de Estado Usando Ecuaciones Normales El uso de las ecuaciones normales se refiere a la solución de la estimación simultánea de estado y parámetros por medio de la formulación de Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés), según [38]. El método aumenta el vector de estado con los parámetros de líneas a estimar como si fuesen variables independientes, por lo tanto éstas se calculan junto con las magnitudes de voltaje y los ángulos de fase de los nodos del sistema. Los parámetros que se añaden al vector de estado son la conductancia serie (𝑔 𝑝𝑞), la susceptancia serie (𝑏 𝑝𝑞) y la susceptancia en derivación sobre dos (𝑏 𝑝𝑞 𝑠ℎ ), esto es a partir del modelo de rama unificado dado por la Figura 2-6. La formulación matemática que se desarrolla a continuación contempla solo un conjunto de mediciones. 3.5.1 Formulación Matemática Considerando el modelo de medición de la ecuación (3-1) se puede desarrollar la formulación matemática del estimador de parámetros de líneas a estimar. Se recomienda ver el APÉNDICE A para estudiar el concepto de variable aleatoria. Usando la formulación de WLS, la estimación puede ser obtenida a partir del siguiente planteamiento. 2 1 1 1 ( , ) ( ) minimizar m m m i i i i i i aum i i ii i i z z h x pl z h x (3-5) De donde: 𝑧𝑖 es el i-ésimo elemento del vector de mediciones. 𝜇𝑖 = ℎ𝑖(𝑥, 𝑝𝑙) es el valor esperado del i-ésimo elemento del vector de mediciones. 𝜎𝑖 es la desviación estándar del i-ésimo elemento del vector de mediciones. 𝑥 𝑎𝑢𝑚 = [𝑥 𝑝𝑙] 𝑇 es el vector de estado aumentado compuesto de las magnitudes de voltajes nodales, los ángulos de fase nodales y los parámetros de líneas a estimar. 𝑚 es el número de mediciones disponibles. El problema de minimización de la ecuación (3-5) puede ser reescrito como el siguiente problema de optimización. 2 1 minimizar sujeto a ( ) , 1, , m ii i i i i aum i W r z h x r i m (3-6) De donde: 𝑊𝑖𝑖 = 𝜎𝑖 −2 es el peso asignado a la i-ésima medición. 𝑟𝑖 = 𝑧𝑖 − ℎ𝑖(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es el i-ésimo residual de medición. La solución del problema de optimización dado por la ecuación (3-6) es el estimador WLS para el vector de estado aumentado (magnitudes de voltajes nodales, ángulos de fase nodales y parámetros de líneas a estimar). Según [6, 38], el estimador de WLS minimizará la función objetivo dada por la ecuación (3-7).
- 87. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 53 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) m m i i aum aum ii i i aum i ii z h x J x W z h x ( ) ( ) ( ) T aum aum aumJ x z h x W z h x (3-7) De donde 𝑊 = 𝑅−1 . La condición de optimización que debe satisfacer el estimador de WLS para el modelo aumentado se presenta por la ecuación (3-8). ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0Taum aum aum aum aum aum J x g x H x W z h x x (3-8) De donde 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) = [ 𝐻(𝑥 𝑎𝑢𝑚) 𝐻 𝑝(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] 𝑇 = [ 𝜕ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚) 𝜕𝑥 𝜕ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚) 𝜕𝑝𝑙 ] 𝑇 . Expandiendo la función vectorial no lineal ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 ) en series de Taylor alrededor del vector de estado aumentado 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 y despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se obtiene la ecuación (3-9). 1 1 ( ) ( ) ( )k k k k k aum aum aum aum aum aumh x h x H x x x (3-9) Según [11], sustituyendo la ecuación (3-9) en la ecuación (3-8) se obtiene el esquema de solución iterativo para el modelo aumentado, el cual incluye los parámetros de las líneas a estimar como se muestra en la ecuación (3-10). 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0k T k k k k k aum aum aum aum aum aum aum aumg x H x W z h x H x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0T k k T k k k k aum aum aum aum aum aum aum aum aumH x W z h x H x WH x x x 1 ( ) ( ) ( ) ( )T k k k k T k k aum aum aum aum aum aum aum aum aumH x WH x x x H x W z h x 1 ( ) ( ) ( )k k T k k aum aum aum aum aum aumG x x H x W z h x (3-10) De donde: 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) = 𝐻 𝑎𝑢𝑚 𝑇 (𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 )𝑊𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la matriz de Ganancia aumentada en la k- ésima iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × (𝑛 + 𝑛 𝑝). Δ𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 = 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 − 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 es el vector de incrementos aumentado de los estados y los parámetros de líneas a estimar en la k-ésima iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × 1. 𝐻 𝑎𝑢𝑚 𝑇 (𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la transpuesta de la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × 𝑚. 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × (𝑛 + 𝑛 𝑝). 𝑊 es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición de dimensión 𝑚 × 𝑚. 𝑧 es el vector de mediciones de dimensión 𝑚 × 1. ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la función de mediciones en la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × 1. 𝑚 es el número de mediciones disponibles. 𝑛 es el número de variables de estado del SEP. 𝑛 𝑝 es el número de parámetros de líneas a estimar del sistema.
- 88. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 54 El método trata entonces de minimizar el residuo de las mediciones ponderado por sus varianzas y haciendo ajustes simultáneos a los estados y a los parámetros de líneas a estimar. El conjunto de ecuaciones normales dada por la ecuación (3-10), se resuelve en cada iteración hasta que el máximo valor absoluto del vector de incrementos aumentado se encuentre por debajo de una tolerancia especificada 𝜀. Al comenzar el proceso iterativo de la ecuación (3-10) con perfil plano de magnitudes y ángulos de fase, esto conducirá a una matriz de Ganancia aumentada casi singular durante la primera iteración. Por eso es necesario, según [6, 38], aumentar el vector de estado a partir de la segunda iteración para evitar este problema. 3.5.2 Algoritmo de Estimación de Parámetros de Líneas de Transmisión El algoritmo del proceso de solución iterativo del estimador de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales se describe a continuación. 1. Establecer el contador de iteraciones en 𝑘 = 1. 2. Inicializar el vector de estado aumentado 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 con perfil plano de voltajes y con los valores de parámetros de líneas a estimar que se tengan en la base de datos. 3. Si 𝑘 = 1 entonces realizar una iteración de estimación de estado convencional y después ir al paso 4. Si 𝑘 ≠ 1 ir directamente al paso 4. 4. Calcular la función de mediciones ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) y el vector de los residuales 𝛥𝑧 𝑘 = 𝑧 − ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ). 5. Calcular la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) y su transpuesta 𝐻 𝑎𝑢𝑚 𝑇 (𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ). 6. Calcular el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales 𝐻 𝑎𝑢𝑚 𝑇 (𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 )𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 )). 7. Calcular la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ). 8. Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos aumentado ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 . 9. Realizar la prueba de convergencia, 𝑚𝑎𝑥|∆𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 | ≤ 𝜀? 10.Si no se cumple, actualizar el vector de estado aumentado 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 = 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 + ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 , formar la nueva matriz de admitancia nodal con los parámetros estimados, hacer 𝑘 = 𝑘 + 1 y regresar al paso 3. Si se cumple, actualizar el vector de estado 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 = 𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 + ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 y salir del proceso iterativo. En la Figura 3-1 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo de PE. El código del programa principal de estimación de parámetros se incluye en la sección E.3 del APÉNDICE E como PROGRAM PARAMETER_ESTIMATOR. Asimismo, en el APÉNDICE E se presentan los módulos (sección E.4) y las subrutinas (sección E.5) necesarias para la ejecución del programa principal.
- 89. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 55 1 1 Lectura de datos Inicializa el vector de estado aumentado Forma la matriz de admitancia nodal Forma la matriz de ponderación Forma la matriz de incidencia elemento-nodo i=1, it Calcula la función de mediciones Calcula el vector de los residuales Calcula la matriz Jacobiana aumentada Calcula el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales Calcula la matriz de Ganancia aumentada Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos aumentado Actualiza el vector de estado aumentado Calcula el máximo valor absoluto del vector de incrementos aumentado ¿Máximo valor absoluto es menor a una tolerancia? i=it STOP NoNo Sí Sí Imprime los resultados del estudio de estimación de parámetros Calcula la función objetivo Calcula las mediciones estimadas Calcula los residuales de medición estimados Calcula la transpuesta de la matriz Jacobiana aumentada INICIO Añade error a las mediciones i=1 Realiza una iteración de estimación de estado convencional Actualiza los vectores de admitancia serie y admitancia en derivación con los valores estimados de parámetros Forma la matriz de admitancia nodal Actualiza los vectores de admitancia serie y admitancia en derivación con los valores estimados de parámetros Forma la matriz de admitancia nodal Sí No FIN Añade error a los parámetros de algunas líneas Figura 3-1 Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de parámetros.
- 90. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 56 En las siguientes secciones se detallan las estructuras de datos de los vectores y matrices involucrados en el proceso de estimación dado por la ecuación (3-10). El vector de mediciones y la matriz de ponderación tienen las mismas estructuras presentadas en el CAPÍTULO 2 de esta tesis. 3.5.2.1 El Vector de Estado Aumentado Sea 𝑁 el número de nodos del SEP y 𝑛 𝑝 el número de parámetros a estimar, entonces el vector de estado aumentado se compone de 𝑛 + 𝑛 𝑝 = (2𝑁 − 1) + 𝑛 𝑝 elementos que son las variables de estado y de los cuales 𝑁 son magnitudes de voltajes nodales, 𝑁 − 1 son ángulos de fase nodales y 𝑛 𝑝 son los parámetros de líneas a estimar. La dimensión del vector de estado es de (𝑛 + 𝑛 𝑝) × 1. Las siguientes derivaciones toman en cuenta que el nodo 1 es el nodo de referencia y por lo tanto el vector de estado aumentado presenta una estructura en la k-ésima iteración dada en la Figura 3-2. 1 2 2 3 k k k N k k k aum k N k pq k pq ksh pq V V V x g b b Figura 3-2 Estructura del vector de estado aumentado en la k-ésima iteración. 3.5.2.2 La Función de Mediciones La función de mediciones es un vector que contiene las ecuaciones que relacionan las mediciones disponibles con las variables de estado del modelo aumentado. La dimensión de la función de mediciones es de 𝑚 × 1 y como es función de las variables de estado, entonces se estará actualizando debido a los valores estimados que se obtengan en cada iteración. Las expresiones se basan en las ecuaciones de flujos de potencia dados en [5] y se detallan a continuación basándose en el modelo de rama unificado dado por la Figura 2-6. Las ecuaciones de magnitudes de voltaje son: ( )k k p aum pV x V (3-11)
- 91. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 57 Las ecuaciones de flujos de potencia activa son: 22 ( ) cos( ) sin( ) k kk pq aum pq pqp k k k k k kk k k k pq qp pq p q pq qp pq p qp q p q P x a gV a a g a a bV V V V (3-12) 22 ( ) cos( ) sin( ) k kk qp aum qp pqq k k k k k kk k k k qp pq pq q p qp pq pq q pq p q p P x a gV a a g a a bV V V V (3-13) Las ecuaciones de flujos de potencia reactiva son: 22 ( ) - ( ) cos( - )- sin( - ) kk k shk pq aum pq pq pqp k k k k k kk k k k pq qp pq p q pq qp pq p qp q p q Q x a b bV a a b a a gV V V V (3-14) 22 ( ) - ( ) cos( - )- sin( - ) kk k shk qp aum qp pq pqq k k k k k kk k k k qp pq pq q p qp pq pq q pq p q p Q x a b bV a a b a a gV V V V (3-15) Las ecuaciones de inyecciones de potencia activa son: ( ) cos( ) sin( )k k k k k k k k k p aum p q pq p q pq p q q M P x V V G B (3-16) Las ecuaciones de inyecciones de potencia reactiva son: ( ) sin( ) cos( )k k k k k k k k k p aum p q pq p q pq p q q M Q x V V G B (3-17) De donde: 𝑎 𝑝𝑞 y 𝑎 𝑞𝑝 son los taps ubicados en el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente. 𝑔 𝑝𝑞 𝑘 es la conductancia serie del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞. Si es un elemento del vector de estado aumentado, entonces se estará actualizando en cada iteración. 𝑏 𝑝𝑞 𝑘 es la susceptancia serie del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞. Si es un elemento del vector de estado aumentado, entonces se estará actualizando en cada iteración. 𝑏 𝑝𝑞 𝑠ℎ 𝑘 es la susceptancia en derivación (sobre dos) del elemento conectado entre los nodos 𝑝 y 𝑞. Si es un elemento del vector de estado aumentado, entonces se estará actualizando en cada iteración. 𝐺 𝑝𝑞 𝑘 es la parte real del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la columna 𝑞. Si es función de alguno de los parámetros incluidos en el vector de estado aumentado, entonces se estará actualizando en cada iteración. 𝐵𝑝𝑞 𝑘 es la parte imaginaria del elemento de la matriz de admitancia nodal situado en la fila 𝑝 y la columna 𝑞. Si es función de alguno de los parámetros incluidos en el vector de estado aumentado, entonces se estará actualizando en cada iteración. |𝑉𝑝 𝑘 | y |𝑉𝑞 𝑘 | son las magnitudes de voltajes en el nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente en la k- ésima iteración. |𝜃 𝑝 𝑘 | y |𝜃 𝑞 𝑘 | son los ángulos de fase del nodo 𝑝 y el nodo 𝑞 respectivamente en la k-ésima iteración.
- 92. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 58 𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝. La Figura 3-3 muestra la estructura en la k-ésima iteración de la función de mediciones para el modelo aumentado. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k p aum k pq aum k qp aum k k aum pq aum k qp aum k p aum k p aum V x P x P x h x Q x Q x P x Q x Figura 3-3 Estructura de la función de mediciones para el modelo aumentado en la k-ésima iteración. 3.5.2.3 La Matriz Jacobiana Aumentada Como el vector de estado es aumentado, la matriz Jacobiana de mediciones presentada en la Figura 2-12 debe aumentarse para colocar tantas columnas como nuevas variables de estado fueron añadidas [6, 7, 11]. La matriz Jacobiana aumentada se compone por las derivadas parciales de las ecuaciones de la función de mediciones con respecto a las variables de estado del SEP (incluyendo los parámetros sospechosos). La dimensión de la matriz Jacobiana aumentada es de 𝑚 × (𝑛 + 𝑛 𝑝) y como es función de las variables de estado, entonces va estar actualizándose en cada iteración, por lo que dicha matriz viene dada por la ecuación (3-18).
- 93. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 59 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k aum aum aum aum aum p aum k k h x h x H x H x H x x pl (3-18) De donde: 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la matriz Jacobiana aumentada de dimensión 𝑚 × (𝑛 + 𝑛 𝑝). 𝐻(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la matriz Jacobiana de mediciones dado en la Figura 2-12 de dimensión 𝑚 × 𝑛. 𝐻 𝑝(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es la matriz Jacobiana de parámetros que contiene las derivadas parciales de las mediciones disponibles con respecto a cada uno de los parámetros de líneas que se van a estimar de dimensión 𝑚 × 𝑛 𝑝. A continuación se presentan las ecuaciones de las derivadas parciales que conforman la matriz Jacobiana aumentada. Las siguientes expresiones toman en cuenta que el nodo de referencia es el 1 y se basan en el modelo de rama unificado dado por la Figura 2-6. Las derivadas parciales de las ecuaciones de magnitudes de voltaje son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: ( ) 1 k p aum k p V x V (3-19) ( ) 0 k p aum k q V x V (3-20) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): ( ) 0 k p aum k p V x (3-21) ( ) 0 k p aum k q V x (3-22) Con respecto a la conductancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: ( ) 0 k p aum k pq V x g (3-23) Con respecto a la susceptancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: ( ) 0 k p aum k pq V x b (3-24) Con respecto a la susceptancia en derivación sobre dos de las líneas cuyos parámetros se van a estimar:
- 94. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 60 ( ) 0 k p aum ksh pq V x b (3-25) Las derivadas parciales de las ecuaciones de flujos de potencia activa son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 2 cos si ( n ) k pq p k k k k k k pq k pq aum k pqk qp q p q pq qp q p p k k pq pq q a V g a a V g a a V P b x V (3-26) cos ( ) sin k pq aum k k pq k k k k k k pq p qp p q pq p qp ppqk q q P x V a V a g a V a b (3-27) cos ( ) sin k qp aum k k pq k k k k k k qp q pq q p qp q pq qpqk p p P x V a V a g a V a b (3-28) 2 2 cos s ( in ) qp k k k k k k qp k qp aum k k q pqk q k k pq pqpq p q p qp pq p q p a g a a V g P x a a V b V V (3-29) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): sin cos ( )k pq aum k k k k pq p k k k k k k pq p qp q q pq pq pk p p qp q qa V a V g a V a V b P x (3-30) sin ( ) cos k pq aum k k k k p k k k q q pq qk q k k k pq p qp q p pq p qp q p P x a V a V g a V a V b (3-31) sin ( ) cos k qp aum k k p k k k k k k k k qp q pq p q p qp q pq p pq pqk p q P a V a V x g a V a V b (3-32) sin cos ( ) k k k k k k k k qp q pq p q k qp aum k k pq pqk p qp q pq p q q pa V a V g a V V x a b P (3-33) Con respecto a la conductancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: 22 os ( c ) k k k k p pq k pq aum k pq pk p p qp q q qa V a V V P x g a (3-34) 22 os ( c ) k k k k q k qp aum k qp qp q ppq qk pq pa V a V a V P x g (3-35) Con respecto a la susceptancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar:
- 95. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 61 sin ( )k pq aum k pq qp p k k k p q q p qk a V a V P x b (3-36) sin ( )k qp aum k qp pq q k k k q q p p pk a V a V P x b (3-37) Con respecto a la susceptancia en derivación sobre dos de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: ( ) 0 k pq aum ksh pq P x b (3-38) ( ) 0 k qp aum ksh pq P x b (3-39) Las derivadas parciales de las ecuaciones de flujos de potencia reactiva son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 2 c ( ) os sin ksh pq pq k k k k k k pq qp k pq aum k k p pqk p k k pq pq p q p qq qp q p q Q x a b b a a V b a a V V V g (3-40) cos ( ) sink k k k k k pq p qp p q pq k pq au p q m p p q k k pq pqk q a V a b a V a g Q x V (3-41) cos ( ) sink k k k k k qp q pq q p qp k qp au q p m q q p k k pq pqk p a V a b a V a g Q x V (3-42) 2 2 cos si ( n ) kk sh qp q pq k k k k k k qp pq k qp aum k pqk q k k pq pp q p p pqqp pq q a V b b a Q x V a V b a a V g (3-43) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): sin ( ) cos k pq aum k k p k k k k k k k k pq p qp q p q pq p qp q qq pqk p p Q a V a V x b a V a V g (3-44) sin cos ( ) k k k k k k k k pq p qp q p k pq aum k k pq pqk q pq p qp q p q qa V a V b a V V x a g Q (3-45) sin cos ( ) k k k k k k k k qp q pq p q k qp aum k k pq pqk p qp q pq p q p pa V a V b a V V x a g Q (3-46)
- 96. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 62 sin ( ) cos k qp aum k k p k k k k k k k k qp q pq p q p qp q pq p pq pqk q q Q a V a V x b a V a V g (3-47) Con respecto a la conductancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: ( sin ) k k k pq p qp k pq aum k pq qk pq Q x g a V a V (3-48) sin ( )k qp aum k qp pq q k k k q q p p pk a V a V Q x g (3-49) Con respecto a la susceptancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: 2 2) cos ( k k k k p pq p k pq qp q q aum k pq pk pq a V a V Q a V x b (3-50) 2 2) cos ( k k qp aum k qp q k k k q q pp pq q pq pk a V a V a V Q x b (3-51) Con respecto a la susceptancia en derivación sobre dos de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: 2 2( )k pq aum pqksh pq k pa V Q x b (3-52) 2 2( )k qp aum qpksh pq k qa V Q x b (3-53) Las derivadas parciales de las inyecciones de potencia activa son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 co ( ) s sin p p k k k k k k p q k aum k k k pp p p q p q p q pqk q P x V G V G B V (3-54) cos sin ( )p k k aum k kk k k k p p q ppq pk q q q P x V G B V (3-55) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): o ( sin c s )k aum k k pq p k k k k k k p q p q ppq qk q Mp P x V V G B (3-56)
- 97. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 63 sin ) cos (p k k k aum k k k k k p q p q p q k pq pqk q P x V V G B (3-57) Con respecto a la conductancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: 22 ( ) cosp k k k k p pq p qp q qk p k aum k pq q p P x a V a V a V g (3-58) Con respecto a la susceptancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: si ( ) np k k k pq p qp k a q m k pk q u q p P x a V a V b (3-59) Con respecto a la susceptancia en derivación sobre dos de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: ( ) 0p k q k um h a s p P x b (3-60) Las derivadas parciales de las inyecciones de potencia reactiva son: Con respecto a las magnitudes de voltaje de los nodos: 2 si ( ) n cos p p k k k au k k k k p q p m k k k pp pq q p qpk qp q Q x V B V G B V (3-61) sin cos ( )p k k aum k kk k k k p p q ppq pk q q q Q x V G B V (3-62) Con respecto a los ángulos de fase de los nodos (sin contar el de referencia): cos sin ( )k aum k k pq p k k k k k k p q p q p qk qp pq M Q x V V G B (3-63) cos n ( ) sip k k k k k k p q p q p qk q k aum k k pq pq Q x V V G B (3-64) Con respecto a la conductancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: si ( ) np k k k pq p qp k a q m k pk q u q p Q x a V a V g (3-65)
- 98. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 64 Con respecto a la susceptancia serie de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: 22 ( ) cosp k k k k p pq p qp k aum k pq pq qk pq Q x a V a V a V b (3-66) Con respecto a la susceptancia en derivación sobre dos de las líneas cuyos parámetros se van a estimar: 2 2( )p k pksh pq k aum pq Q x a V b (3-67) De donde: 𝑀 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, incluyendo al nodo 𝑝. Ω 𝑝 es el conjunto de nodos adyacentes al nodo 𝑝, excluyendo al nodo 𝑝. La Figura 3-4 muestra la estructura en la k-ésima iteración de la matriz Jacobiana aumentada. 3.5.2.4 La Matriz de Ganancia Aumentada La matriz de Ganancia aumentada es una matriz de dimensión (𝑛 + 𝑛 𝑝) × (𝑛 + 𝑛 𝑝) y viene dada por la ecuación (3-68) en la k-ésima iteración [33]. ( ) ( ) ( )k T k k aum aum aum aum aum aumG x H x WH x (3-68) Según [33], una red es observable con respecto a la estimación simultánea de estado y parámetros si y solo si la matriz Jacobiana aumentada dada por la Figura 3-4 es de rango columna completo. Si lo es, entonces se asegura que 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ) es no singular y el conjunto de ecuaciones normales tiene solución única.
- 99. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 65 1 2 3 1 2 3 4 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) kk k sh pq pq pq k aum k aum k aum k N aum k pq aum pq aum k p k aum aum k k k k k k k k N N g b b V x V x V x V x P x V V V P x V H x V ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum k pq aumkk k k kk sh p q pq pqq pq k k k k k qp aum qp aum qp aum qp aum qp aum qp a k k kk k p q pqp q P x P x P x P x P x P x g bV b P x P x P x P x P x P x gV V ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k um qp aum k qp aumkk sh pq pq k k k k k k k pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum k pq aumkk k k kk k sh p q pq pqp q pq qp aum P x P x b b Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x g bV V b Q x 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k qp aum qp aum qp aum qp aum qp aum qp aum k qp aumkk k k kk k sh p q pq pqp q pq k k k k k k aum aum aum aum a k kk k k k u N um a m Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x g b P x P x P x P x P x P x V V V V V V b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 3 41 2 2 2 2 2 2 2 2 3 k k k k k aum aum aum aum aum k aumkk k sh pq pq pq k k k k k k k k k k aum aum aum k k N k k k kk k k aum aum aum aum aum aum aum k k pq pq k NN P x P x P x P x P x P x b P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x V g b V V g bV 2 3 41 2 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 k aum k aumksh pq k k k k k k k k k k k aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum k aumkk k sh pq pq pq k N aum k k k kk k k k NN k P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x bV V V V P x P V b g b 2 3 42 3 21 2 3 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k k k N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum k N aumkkk k k kk k k NN kk k k sh pq pq pq k k k k k aum aum aum aum au k m a k N x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x bV V V Q x Q x Q x Q x Q x Q x V V V V g b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 41 2 3 k k k k k k um aum aum aum aum aum k aumkk k sh pq pq pq k k k k k k k k k aum aum aum aum aum aum a k k k N k k k kk k um aum aum k k NN au k pq Q x Q x Q x Q x Q x Q x b Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x V V gV g b V 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 41 2 3 3 3 3 3 k k m aum k aumkk sh pq pq k k k k k k k k k k k aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum k aumkk k k k sh pq pq pq N k kk k k k NN au Q x Q x b Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x bV V V V Q x b g b 2 3 41 2 3 k k k k k k k k k k k m N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum k N aumkk k sh pq p k k k k q pq k k k k NN Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x bV V gV bV Figura 3-4 Estructura de la matriz Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración.
- 100. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 66 3.5.3 Observabilidad de Parámetros de Red La observabilidad de los parámetros que definen una línea en particular depende de las mediciones adyacentes a dicha línea, estas incluirán flujos de potencia de la línea e inyecciones de potencia en los nodos terminales de dicha línea. Cuando todas las mediciones en este conjunto son críticas, entonces ninguno de los parámetros de esa línea será observable, de hecho cualquier parámetro permanecerá sin ser detectado debido a que sus correspondientes residuales serán nulos. Por el contrario, si todos los elementos de dicho conjunto son redundantes, entonces al menos un parámetro de línea puede ser añadido al vector de estado convencional para realizar la estimación simultánea de estado y parámetros, de acuerdo con [33]. Para la estimación de varios parámetros se requiere un nivel más alto de redundancia. Desde el punto de vista numérico se debe tener especial cuidado al realizar la PE. Según [6], los términos de la matriz Jacobiana aumentada correspondientes a los parámetros a ser estimados de una línea son casi nulos cuando se inicia con un perfil plano de voltajes nodales y además cuando el flujo de potencia a través de esa línea es muy pequeño. Por lo tanto, esos parámetros son no observables para líneas cuyos flujos de potencia son despreciables o al menos el valor estimado obtenido no es muy fiable debido a inestabilidades numéricas. Se debe recurrir a los métodos de observabilidad numérica para decidir si un parámetro particular añadido al vector de estado es observable. 3.6 Robustez Numérica de Matrices Una vez descritos los algoritmos de SE y de PE, es necesario describir un método para analizar la robustez numérica de las matrices involucradas en estos procesos. Esto se puede realizar a través del cálculo del rango numérico de la matriz Jacobiana de mediciones y la matriz Jacobiana aumentada, así como el cálculo del rango numérico, el número de condición y la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia y la matriz de Ganancia aumentada. Esta sección se centra en una de las descomposiciones más importantes dentro del algebra lineal numérica que es la Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés) y algunas de sus aplicaciones. 3.6.1 Condición de Problemas Numéricos y Estabilidad Numérica de Algoritmos Los problemas planteados matemáticamente cuya solución se obtiene a partir del uso de una computadora usualmente realizan los cálculos matemáticos con una representación inexacta del modelo o bien del problema mismo. Además, estos cálculos se realizan con una aritmética limitada, es decir con una precisión finita (los cálculos se realizan con la presencia de errores de redondeo y de truncamiento en cada iteración) y rango finito (los resultados parciales y finales están dentro del rango de la aritmética de la máquina que se esté usando). Debido a esto se puede decir que en la mayoría de los casos, la solución calculada será la solución de un problema perturbado debido a la máquina empleada y a la precisión de la aritmética usada, de acuerdo con [72]. Según [73], un problema numérico es una descripción clara e inconfundible de la relación funcional entre los datos de entrada (variables independientes) y los datos de salida (resultados deseados), los cuales se componen de un número finito de valores reales y por lo tanto son representados por vectores de dimensión finita. Ahora bien, un algoritmo de un problema numérico es una descripción completa de operaciones bien definidas (pueden ser aritméticas o lógicas) a partir de las
- 101. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 67 cuales el vector de datos de entrada es transformado en un vector de datos de salida. Con la descripción de estos términos se procede a efectuar el análisis desarrollado en [72] para describir la estabilidad numérica de un algoritmo y la condición de los problemas numéricos que son conceptos muy importantes en la rama del análisis numérico. Suponga que tenemos un problema definido matemáticamente y representado por 𝑓 el cual actúa sobre un conjunto de datos 𝑑 ∈ 𝔇 para producir un conjunto solución 𝑓(𝑑) ∈ 𝒮. Dado 𝑑 ∈ 𝔇 se requiere calcular 𝑓(𝑑), pero solo se tiene una aproximación 𝑑∗ del conjunto de datos y a lo mucho podemos aspirar a calcular 𝑓(𝑑∗ ). Si 𝑓(𝑑∗ ) es cercano a 𝑓(𝑑), el problema está bien condicionado, pero si 𝑓(𝑑∗ ) difiere mucho de 𝑓(𝑑) cuando 𝑑∗ es cercano a 𝑑, el problema está mal condicionado. El algoritmo para determinar 𝑓(𝑑) es numéricamente estable si no añade más sensibilidad a la perturbación inherente al problema, ya que la estabilidad asegura que el conjunto solución calculado con 𝑓∗ es cercano al conjunto solución ligeramente perturbado. Es decir, sea 𝑓∗ el algoritmo usado para aproximar a 𝑓, entonces 𝑓∗ es estable si para toda 𝑑 ∈ 𝔇 existe 𝑑∗ ∈ 𝔇 que es cercano a 𝑑 tal que 𝑓∗ (𝑑) es cercano a 𝑓(𝑑∗ ). Esto no quiere decir que un algoritmo numéricamente estable puede resolver problemas mal condicionados y aun así obtener buenos resultados, pero un algoritmo numéricamente inestable puede producir soluciones deficientes incluso con problemas bien condicionados. Asimismo, en [73] se argumenta que existen algunas causas para la poca precisión de los datos de salida ya sea porque el algoritmo fue mal construido o porque los datos de salida son muy sensibles a las perturbaciones en los datos de entrada independientemente de la elección del algoritmo. En el primer caso se dice que el algoritmo está mal condicionado y en el segundo caso se dice que el problema está mal condicionado, aunque también se puede decir que el algoritmo es numéricamente inestable o que el problema es matemáticamente inestable. El análisis de los algoritmos requiere del uso de normas matriciales, ya que la calidad de la solución de un sistema lineal puede ser deficiente si la matriz de coeficientes es casi singular. Entonces para cuantificar la noción de cercanía a la singularidad se requiere de una medida de distancia en el espacio de las matrices, por lo que las normas matriciales son usadas para definirla, según [74]. En el APÉNDICE B se presenta una breve explicación de las normas vectoriales y las normas matriciales que son útiles en los cálculos posteriores. Se dice en [74] que frecuentemente las normas se usan para cuantificar el efecto de las perturbaciones y por lo tanto es de mucha utilidad para el siguiente planteamiento. Suponga que 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 , 𝑏 ∈ ℝ 𝑛 y se requiere la solución del siguiente sistema lineal de ecuaciones. Ax b (3-69) De donde: 𝐴 es la matriz de coeficientes de dimensión 𝑛 × 𝑛. 𝑥 es el vector de incógnitas de dimensión 𝑛 × 1. 𝑏 es el vector de coeficientes del miembro derecho de dimensión 𝑛 × 1. Como se puede notar, la ecuación (3-69) representa el conjunto de ecuaciones normales dado por la ecuación (2-35) para el estimador de estado convencional y la ecuación (3-10) para el estimador de parámetros, por lo que se puede hacer la siguiente analogía a partir de las ecuaciones antes mencionadas.
- 102. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 68 𝐴 ⟹ 𝐺(𝑥 𝑘 ) y 𝐴 ⟹ 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 ), la matriz de coeficientes representa la matriz de Ganancia (para el estimador de estado convencional) o bien la matriz de Ganancia aumentada (para el estimador de parámetros). 𝑥 ⟹ ∆𝑥 𝑘+1 y 𝑥 ⟹ ∆𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘+1 , el vector de incógnitas representa el vector de incrementos de los estados (para el estimador de estado convencional) o bien el vector de incrementos aumentado (para el estimador de parámetros). 𝑏 ⟹ 𝐻 𝑇 (𝑥 𝑘 )𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑘 )) y 𝑏 ⟹ 𝐻 𝑎𝑢𝑚 𝑇 (𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 )𝑊(𝑧 − ℎ(𝑥 𝑎𝑢𝑚 𝑘 )), el miembro derecho de la ecuación (3-69) representa el miembro derecho de la ecuación (2-35) o bien el miembro derecho de la ecuación (3-10). Ahora bien, la solución calculada a través del uso de una computadora es obtenida del siguiente problema perturbado, conforme con [74]. [ ] ( ) , (0)A F x b f x x (3-70) De donde: 𝜀𝐹 es la perturbación de la matriz de coeficientes de dimensión 𝑛 × 𝑛. 𝜀𝑓 es la perturbación del miembro derecho de la ecuación (3-69) de dimensión 𝑛 × 1. 𝑥(𝜀) es la solución perturbada del sistema de ecuaciones lineales de dimensión 𝑛 × 1. 𝜀 es un escalar que representa el error entre la solución perturbada y la solución no perturbada. Derivando la ecuación (3-70) con respecto a 𝜀 y evaluándola en 0, se obtiene lo siguiente: [ ] ( ) [ ] ( )A F x F x f [ ] ( ) [ ] ( )A F x f F x [ ] ( ) ( ) [ ] f F x x A F [ ] (0) (0) [ (0) ] f F x f Fx x A F A 1 (0) [ ]x A f Fx (3-71) Expandiendo 𝑥(𝜀 ) en series de Taylor alrededor de 0 y empleando las ecuaciones (3-70) y (3-71) se obtiene la ecuación (3-72). ( ) (0) [ ( ) (0)] (0)x x x x x 1 ( ) [ ]x x A f Fx (3-72) Aplicando las normas de vectores y las normas de matrices consistentes a la ecuación (3-72) se obtiene la ecuación (3-73), según [74]. 1 ( ) [ ]x x A f Fx 1 ( )x x f FA x x (3-73) Ahora se define el número de condición para una matriz cuadrada como sigue.
- 103. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 69 1(A)cond A A (3-74) Además, de la ecuación (B-10) establecida en el APÉNDICE B y la ecuación (3-69), se deduce la ecuación (3-75). b Ax b Ax xA b xA (3-75) Aplicando las ecuaciones (3-74) y (3-75) en la ecuación (3-73) se obtiene la relación entre el error relativo de 𝑥 y los errores relativos de la matriz 𝐴 y el vector 𝑏. 1 ( )x x f F A A x xA A ( ) ( ) x x fFcond A x xA A ( ) ( ) x x fFcond A x bA ( )x A bcond A (3-76) De donde: 𝜌 𝑥 es el error relativo de la solución 𝑥. 𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) es el número de condición de la matriz de coeficientes 𝐴. 𝜌 𝐴 es el error relativo de la matriz de coeficientes 𝐴. 𝜌 𝑏 es el error relativo del vector de coeficientes del miembro derecho 𝑏. La ecuación (3-76) es muy importante ya que muestra como el error relativo en 𝑥 puede ser incrementado por un factor 𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) de los errores relativos de la matriz 𝐴 y el vector 𝑏, es por esto que el número de condición cuantifica la sensibilidad del problema 𝐴𝑥 = 𝑏. Se dice que si el número de condición es grande, entonces el problema está mal condicionado y si el número de condición es pequeño, entonces el problema está bien condicionado. 3.6.2 Descomposición de Valores Singulares Una de las herramientas más importantes en el campo del algebra lineal numérica es la Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés) que se define para matrices cuadradas o rectangulares y desempeña un papel importante en la caracterización de matrices cercanas a ser singulares. Antes de presentar el teorema de la SVD se define el término de valores singulares como sigue [75, 76]. Definición 3.1 Si 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 , los valores singulares de A son las raíces cuadradas de los eigenvalores de 𝐴 𝑇 𝐴 y se denotan como 𝜎1, 𝜎2, … , 𝜎 𝑛. Es convencional ordenar los valores singulares de modo que 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛. Ahora se presenta el teorema de la SVD, según [77] cualquier matriz puede factorizarse usando este teorema.
- 104. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 70 Teorema 3.1 Sea 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 , entonces existe una matriz ortogonal 𝑈 ∈ ℝ 𝑚×𝑚 , una matriz ortogonal 𝑉 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 y una matriz diagonal 𝛴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 tales que: T A U V (3-77) De donde 𝛴 = [ 𝑆 0 0 0 ], 𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎𝑟) 𝜖 ℝ 𝑟×𝑟 y 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟 > 0. En el que su versión abreviada es: 1 1 11 2 2 0 0 0 T T T S V A U SVU U V (3-78) En la ecuación (3-78) los tamaños de las submatrices son determinados por 𝑟 (el cual debe ser ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}), es decir, 𝑈1 ∈ ℝ 𝑚×𝑟 , 𝑈2 ∈ ℝ 𝑚×(𝑚−𝑟) , 𝑉1 ∈ ℝ 𝑛×𝑟 , 𝑉2 ∈ ℝ 𝑛×(𝑛−𝑟) y los bloques de 0 en Σ presentan dimensiones adecuadas. Definición 3.2 Sea 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇 la SVD de 𝐴 en el Teorema 3.1, entonces: 1. Los valores singulares de 𝐴 distintos de cero son denotados por 𝛴(𝐴) = {𝜎1, … , 𝜎𝑟} tal que 𝑟 ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}. Note que también existen 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} − 𝑟 valores singulares iguales a cero. 2. Las columnas de 𝑈 son llamados vectores singulares del lado izquierdo de 𝐴 y son los eigenvectores ortonormales de 𝐴𝐴 𝑇 . 3. Las columnas de 𝑉 son llamados vectores singulares del lado derecho de 𝐴 y son los eigenvectores ortonormales de 𝐴 𝑇 𝐴. Ahora se mencionan algunas propiedades básicas de la SVD, según [75, 76, 77]. Teorema 3.2 Sea 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 que tiene una SVD dada por 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇 . Usando la notación del Teorema 3.1, las siguientes propiedades se mantienen. 1. El número de valores singulares distintos de cero es el rango de 𝐴. ( )rank A r (3-79) 2. Sean 𝑈 = [𝑢1, … , 𝑢 𝑚] y 𝑉 = [𝑣1, … , 𝑣 𝑛], la forma del producto externo de la SVD viene dada por la siguiente ecuación. 1 r T i i i i A u v (3-80) 3. Los vectores singulares satisfacen las siguientes ecuaciones. ,i i iAv u i r (3-81) ,T i i iA u v i r (3-82) 4. Sean 𝑈1 = [𝑢1, … , 𝑢 𝑟] , 𝑈2 = [𝑢 𝑟+1, … , 𝑢 𝑚] , 𝑉1 = [𝑣1, … , 𝑣𝑟] y 𝑉2 = [𝑣 𝑟+1, … , 𝑣 𝑛] , entonces constituyen bases ortonormales de los cuatro subespacios fundamentales. 𝑈1 es una base ortonormal de 𝑐𝑜𝑙(𝐴). 𝑈2 es una base ortonormal para 𝑛𝑢𝑙𝑜(𝐴 𝑇 ). 𝑉1 es una base ortonormal para 𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛(𝐴). 𝑉2 es una base ortonormal para 𝑛𝑢𝑙𝑜(𝐴). 3.6.3 Cálculo del Rango, el Número de Condición y la Distancia Relativa a la Singularidad El rango de una matriz es el número máximo de renglones y el número máximo de columnas linealmente independientes de dicha matriz o equivalentemente es la dimensión de sus espacios
- 105. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 71 renglón y columna [74, 75, 76]. Este puede ser calculado al reducir la matriz a su forma escalonada reducida por renglones y contar el número de renglones distintos de cero, pero como se ha descrito anteriormente, debido a los errores de redondeo y de truncamiento este proceso puede ser afectado, en especial si es un problema mal condicionado, de acuerdo con [75]. Esto es por ejemplo, si las entradas que deben ser cero pueden terminar como números muy pequeños distintos de cero, lo que puede afectar la capacidad para determinar con precisión el rango de esa matriz. Una alternativa es el uso de la SVD para el cálculo del rango numérico de una matriz. Este puede ser calculado usando el Teorema 3.1 y apoyándose del punto 1 del Teorema 3.2. La idea básica del uso de la SVD es que las matrices ortogonales 𝑈 y 𝑉 del Teorema 3.1 preservan las longitudes y por lo tanto no introducen errores adicionales, según [75]. Ahora bien, el mayor y el menor valor singular de una matriz 𝐴 son muy importantes por lo que se tendrá la siguiente notación para ellos. max ( ) Máximo valor singular deA A (3-83) min ( ) Mínimo valor singular deA A (3-84) Según [75], los valores singulares 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 de una matriz 𝐴 proporcionan información acerca de que tanta distorsión puede ocurrir debido a la transformación 𝐴. Esto es ya que el grado de distorsión que presenta una esfera unitaria bajo la transformación de 𝐴 puede ser medido como una relación de los valores singulares de la matriz 𝐴. Esto está representado en el siguiente teorema, de acuerdo con [78]. Teorema 3.3 Para una matriz 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 teniendo valores singulares 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 y una SVD dada por 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇 con 𝛴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎 𝑛), la imagen de una esfera unitaria es una elipsoide con 𝑘 semiejes dados por 𝜎 𝑘 𝑢 𝑘 (vea la Figura 3-5). Además 𝑣 𝑘 es un punto en la esfera unitaria tal que 𝐴𝑣 𝑘 = 𝜎 𝑘 𝑢 𝑘. Particularmente se cumple lo siguiente. 2 2max 1 1 22 1 ( ) max x A Av Ax A (3-85) 2 1 min 2 22 1 ( ) min 1/n n x A Av Ax A (3-86) 1v2v 3v A 1 1u 2 2u 3 3u Figura 3-5 Transformación de una esfera unitaria en un elipsoide debido a la matriz 𝐴. Adaptado de [78].
- 106. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 72 El grado de distorsión de la esfera unitaria a la cual se le aplica la transformación de 𝐴 puede ser medido usando la 2-norma y este valor es conocido como el número de condición. Sustituyendo las ecuaciones (3-85) y (3-86) en la ecuación (3-74). max min ( ) ( ) ( ) A cond A A (3-87) Es decir, la cantidad de distorsión de la esfera unitaria bajo la transformación de 𝐴 determina el grado en que las incertidumbres del problema 𝐴𝑥 = 𝑏 pueden ser magnificados. De [74] se sabe que la magnitud de 𝜎𝑟 (el último valor singular distinto de cero de la matriz 𝐴) es muy influyente en la sensibilidad del problema 𝐴𝑥 = 𝑏, ya que representa la distancia de la matriz 𝐴 a un conjunto de matrices singulares. Por lo que mientras la matriz de coeficientes se acerque más a este conjunto, es claro que el vector solución 𝑥 será cada vez más sensible a las perturbaciones. Esto se detalla en el Teorema 3.4, conforme con [74, 78]. Teorema 3.4 Si 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟 son los valores singulares distintos de cero de 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 , 𝑘 < 𝑟 = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) y 𝐴 𝑘 = ∑ 𝜎𝑖 𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑇𝑘 𝑖=1 , entonces se cumple lo siguiente. 21 2( ) ( ) min min k k k rank B k rank A k A AA B (3-88) El Teorema 3.4 dice que el valor singular más pequeño de 𝐴 es la distancia de 𝐴 a un conjunto de matrices de rango deficiente, aunque también nos dice que la matriz 𝐴 𝑘 es la matriz de rango 𝑘 más cercana a 𝐴. Ahora bien, a partir del Teorema 3.3 para matrices cuadradas y el Teorema 3.4 se puede derivar el concepto de distancia relativa a la matriz singular más cercana, el cual viene dada por el siguiente teorema, según [55]. Teorema 3.5 Sea 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 que tiene valores singulares 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎 𝑛 y una SVD dada por 𝐴 = 𝑈𝛴𝑉 𝑇 con 𝛴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎 𝑛). Además sea 𝐴 𝑘 la matriz singular más cercana a 𝐴 en el sentido de que ‖𝐴 − 𝐴 𝑘‖2 es lo más pequeño posible. Entonces ‖𝐴 − 𝐴 𝑘‖2 = 𝜎 𝑛 y se cumple lo siguiente. 2 min 2 1 max ( ) 1 ( ) ( ) ( ) k n A A A DR A A cond AA (3-89) Es decir, la distancia de la matriz 𝐴 a la matriz singular más cercana es igual al valor singular más pequeño 𝜎 𝑚𝑖𝑛(𝐴) de 𝐴 y la distancia relativa de 𝐴 a la matriz singular más cercana es el inverso del número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴)−1 . 3.6.4 Algoritmo de Análisis de Robustez Numérica Para obtener la SVD en esta tesis se utilizó la subrutina DLSVRR de la biblioteca IMSL de FORTRAN [79]. Una vez obtenida la SVD se procede a calcular el rango, el número de condición y la distancia relativa a la singularidad de las matrices de la última iteración del proceso de PE. El algoritmo de análisis de robustez numérica del estimador de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales se describe a continuación.
- 107. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 73 1. Resolver el problema de PE por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales dado por la ecuación (3-10). 2. Llama a la subrutina DLSVRR para obtener la SVD de la matriz Jacobiana aumentada y la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración. 3. Calcula el rango numérico de la matriz Jacobiana aumentada y la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración a partir de la ecuación (3-79). 4. Calcula el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración usando la ecuación (3-87). 5. Calcula la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración usando la ecuación (3-89). 6. Imprime los resultados de los cálculos realizados anteriormente. Cabe aclarar que el proceso descrito anteriormente puede aplicarse fácilmente al proceso de estimación de estado convencional presentado en el CAPÍTULO 2. En la Figura 3-6 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo de análisis de robustez numérica. El código de la subrutina de análisis de robustez numérica se incluye en la sección D.5 del APÉNDICE D para el estimador de estado convencional como SUBROUTINE ROBUSTEZ_NUMERICA. Asimismo, el código de la subrutina de análisis de robustez numérica se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E para el estimador de parámetros como SUBROUTINE ROBUSTEZ_NUMERICA. Lectura de datos FIN INICIO Llama a subrutina DLSVRR y obtén la SVD de la matriz Jacobiana aumentada y la matriz de Ganancia aumentada de la ultima iteración Calcula el rango numérico de la matriz Jacobiana aumentada y la matriz de Ganancia aumentada de la ultima iteración Imprime los resultados del análisis de robustez numérica Realiza el estudio de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales Calcula el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada de la ultima iteración Calcula la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia aumentada de la ultima iteración Figura 3-6 Diagrama de flujo del algoritmo de análisis de robustez numérica.
- 108. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 74 3.7 Cálculos para los Parámetros Estimados Ya que los valores verdaderos de los parámetros son desconocidos desde el inicio y los resultados del estimador de parámetros pueden ser afectados por el ruido de medición, los valores estimados no son siempre correctos. Es decir, pueden producirse algunos resultados poco razonables o incorrectos en el estimador de parámetros. Según [44], cuando se usa el método de PE por el aumento del vector de estado se pueden obtener algunos resultados irrazonables como resistencias negativas o valores de parámetros muy grandes. Para esto se usa el análisis probabilístico ya que está muy relacionado con la característica aleatoria del estimador de parámetros. Los resultados del estimador de parámetros y la precisión de los valores estimados es el tema principal de esta sección, ya que estos pueden ser evaluados a partir del cálculo de sus intervalos de confianza e indicadores de precisión respectivamente. Con los intervalos de confianza se pueden definir los parámetros con posibilidad de error y solo estos deben ser corregidos con los valores estimados. Por otra parte los indicadores de precisión de los parámetros estimados proporcionan información cuantitativa acerca de la precisión de la PE. A continuación se describen los términos antes mencionados. 3.7.1 Intervalos de Confianza de Parámetros Los intervalos de confianza de los parámetros pueden ser usados para describir los rangos de la distribución de probabilidad de los valores de parámetros verdaderos, por lo que proporciona una forma de evaluar los resultados del estimador de parámetros. Esto se hace calculando los intervalos de confianza de los parámetros a estimar, si el valor se encuentra dentro de su intervalo de confianza entonces se considera como un parámetro sin posibilidad de error y por lo tanto debe mantenerse sin cambios. De otra forma, es un parámetro con posibilidad de error y debe ser corregido. Considere la formulación de WLS descrita en la sección 2.4 y 3.5.1. La media y la covarianza del vector de los errores de los dispositivos de medición viene dado por 𝐸(𝑒) = 0 y 𝐶𝑜𝑣(𝑒) = 𝜎2 𝐸 donde 𝜎2 es una constante desconocida y 𝐸 es una matriz diagonal conocida con elementos diferentes de dimensión 𝑚 × 𝑚, según [44]. Se puede notar que 𝐸 representa la estructura supuesta de las varianzas de los errores aleatorios y es usada en las ecuaciones (2-35) y (3-10) como 𝑊 = 𝐸−1 . De acuerdo con [1], el vector de estado aumentado estimado 𝑥̂ 𝑎𝑢𝑚 se distribuye normalmente con una media dada por 𝐸(𝑥̂ 𝑎𝑢𝑚) = 𝑥 𝑎𝑢𝑚 con una matriz de covarianza dada por 𝐶𝑜𝑣(𝑥̂ 𝑎) = 𝜎2 𝐺 𝑎𝑢𝑚 −1 . Tomando en cuenta lo descrito anteriormente, una distribución t puede ser empleada para caracterizar la distribución de los parámetros estimados 𝑝𝑙̂ 𝑖. Según [44], las estimaciones se distribuyen con una distribución t con 𝑚 − (𝑛 + 𝑛 𝑝) grados de libertad que se describe por la ecuación (3-90). 2 ˆ ii pi i pl pl T c (3-90) De donde: 𝑇𝑝𝑖 es la distribución t del i-ésimo parámetro. 𝑝𝑙̂ 𝑖 es el i-ésimo parámetro estimado. 𝑝𝑙𝑖 es el i-ésimo parámetro verdadero. 𝜎̂2 es el valor estimado de la varianza de error 𝜎2 . 𝑐𝑖 es el i-ésimo elemento diagonal de 𝐺 𝑎𝑢𝑚 −1 correspondiente a 𝑝𝑙𝑖. 𝑚 es el número de mediciones disponibles. 𝑛 es el número de variables de estado del SEP. 𝑛 𝑝 es el número de parámetros de líneas a estimar.
- 109. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 75 Según [44], el valor estimado de la varianza de error 𝜎̂2 puede ser calculado por la ecuación (3-91). 2 ˆ ˆ( ) ( ) ˆ( ) ˆ T aum aum aum p p z h x W z h x J x n n n nm m (3-91) Los intervalos de confianza con un nivel de confianza de 100 × (1 − 𝛼) del parámetro 𝑝𝑙𝑖 es calculado a partir de la ecuación (3-92). 2 2 , ( ) , ( ) 2 2 ˆ ˆi i ii im n n m n np p pl t c pl pl t c (3-92) De donde: 𝑡 𝛼 2⁄ ,𝑚−(𝑛+𝑛 𝑝) es el valor de la distribución t evaluado con 𝛼 2⁄ y con 𝑚 − (𝑛 + 𝑛 𝑝) grados de libertad. La ecuación (3-92) proporciona una forma de calcular los intervalos de confianza de los parámetros estimados usando un conjunto de mediciones y así evaluar los parámetros a estimar determinando los parámetros con posibilidad de error que necesitan ser corregidos. 3.7.2 Indicadores de Precisión de la Estimación de Parámetros Como la PE se lleva acabo tomando en cuenta el ruido aleatorio inherente en los dispositivos de medición, por lo tanto los resultados proporcionados por el estimador de parámetros se propagarán en la vecindad de sus valores verdaderos en una forma aleatoria. Sin embargo, no se sabe que tan buenos son los resultados de la estimación puesto que los valores verdaderos son completamente desconocidos. Los intervalos de confianza aportan información acerca del rango de distribución de los valores estimados alrededor de su valor verdadero por lo que la precisión de la estimación puede ser evaluada con la ayuda de ellos. Según [44], para un intervalo de confianza en específico, la desviación máxima posible de la estimación puede ser calculada por la ecuación (3-93). ,max ,min 2 i i i i b pl (3-93) De donde: 𝜇𝑖,𝑚𝑎𝑥 es el límite superior del intervalo de confianza del parámetro 𝑝𝑙𝑖 dado en la ecuación (3-92). 𝜇𝑖,𝑚𝑖𝑛 es el límite inferior del intervalo de confianza del parámetro 𝑝𝑙𝑖 dado en la ecuación (3-92). De acuerdo con [44], si la distribución t de la estimación es empleada, la ecuación (3-93) se puede formular de la siguiente manera. 2 , ( ) 2 ˆ i i m n np i c b t pl (3-94) El indicador de precisión para la PE viene dado por la ecuación (3-95), conforme con [44].
- 110. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 76 1 min( ,1)i iI b (3-95) En la ecuación (3-95), 𝐼𝑖 es un número entre 0 y 1. Mientras más grande sea 𝐼𝑖, la precisión de la estimación será mayor. Por consiguiente, proporciona una medida para evaluar la precisión de los resultados de la estimación de parámetros aun cuando los valores de parámetros verdaderos son desconocidos. 3.7.3 Algoritmo de Cálculo de Intervalos de Confianza e Indicadores de Precisión Para obtener el valor de la distribución t, en esta tesis se utilizó la subrutina DTDF de la biblioteca IMSL de FORTRAN [68]. Con el cálculo de la distribución t, se procede a calcular los intervalos de confianza y el indicador de precisión de cada parámetro estimado. El algoritmo de cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión del estimador de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales se describe a continuación. 1. Resolver el problema de PE por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales dado por la ecuación (3-10). 2. Calcula la inversa de la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración del estimador de parámetros. 3. Calcula el valor estimado de la varianza de error dado por la ecuación (3-91). 4. Llama a la subrutina DTDF para obtener la distribución t evaluado con 𝛼 2⁄ y con 𝑚 − (𝑛 + 𝑛 𝑝) grados de libertad. Para esta tesis se ocupó 𝛼 2⁄ = 0.025 que corresponde a un nivel de confianza de 1 − 𝛼 = 95% y un nivel de relevancia de 𝛼 = 5%, de acuerdo con [44]. 5. Calcula los intervalos de confianza de los parámetros empleando la ecuación (3-92). 6. Calcula los indicadores de precisión de la PE usando las ecuaciones (3-94) y (3-95). 7. Imprime los intervalos de confianza y los indicadores de precisión descritos anteriormente. En la Figura 3-7 se muestra el diagrama de flujo usado para la programación del algoritmo cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión. El código de la subrutina de cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión se incluye en la sección E.5 del APÉNDICE E como SUBROUTINE EVAL_CREDI_PARAM.
- 111. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 77 Lectura de datos FIN INICIO Llama a subrutina DTDF y obtén la distribución t con el nivel de confianza especificado Calcula los intervalos de confianza de los parámetros Imprime los intervalos de confianza y los indicadores de precisión Realiza el estudio de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales Calcula los indicadores de precisión de la estimación de parámetros Calcula la inversa de la matriz de Ganancia aumentada de la última iteración del estimador de parámetros Calcula el valor estimado de la varianza de error Figura 3-7 Diagrama de flujo del algoritmo de cálculo de intervalos de confianza e indicadores de precisión.
- 112. CAPÍTULO 3 ESTIMACIÓNDE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 78
- 113. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 79 CAPÍTULO 4 PRUEBAS Y RESULTADOS 4.1 Introducción En este capítulo se presentan los resultados de las simulaciones realizadas a los sistemas de 14 nodos [59] y 39 nodos [60], utilizando el algoritmo de estimación de estado convencional estudiado en el CAPÍTULO 2 y el algoritmo de estimación de parámetros estudiado en el CAPÍTULO 3. Para las simulaciones de los sistemas se consideró una tolerancia de 1 × 10−5 para el criterio de convergencia y una potencia base de 100 MVA. Los datos de los sistemas de prueba se pueden ver en el APÉNDICE C. Para la simulación de los errores de los dispositivos de medición se consideraron errores de mediciones de hasta ±2% con una distribución normal, esto es de acuerdo al nivel de error presentado en [10, 19, 20]. Asimismo, se simulan errores de parámetros de +30% con respecto a los valores nominales encontrados en los datos de parámetros de red del SEP, esto es de acuerdo con [15]. Además, se tienen en cuenta las siguientes consideraciones con respecto a las desviaciones estándar de los dispositivos de medición. 1. Sistema Eléctrico de 14 nodos. Para mediciones de magnitudes de voltaje 𝜎 = 0.008. Para mediciones de flujos de potencia 𝜎 = 0.01. Para mediciones de inyecciones de potencia 𝜎 = 0.012. Para mediciones de inyecciones cero 𝜎 = 0.001. 2. Sistema Eléctrico de 39 nodos. Para mediciones de magnitudes de voltaje 𝜎 = 0.014. Para mediciones de flujos de potencia 𝜎 = 0.028. Para mediciones de inyecciones de potencia 𝜎 = 0.030. Para mediciones de inyecciones cero 𝜎 = 0.012. Los algoritmos de SE y PE requieren de los datos de parámetros de red (líneas, transformadores y elementos en derivación) así como de los resultados de un estudio de flujos de potencia (previamente realizado) que serán perturbados con un generador de números pseudo-aleatorios, por lo que se presentan en este capítulo. La Tabla 4-1 describe la simbología usada para representar cada tipo de medición. Tabla 4-1 Simbología para el tipo de medición. Simbología Tipo Mediciones de magnitudes de voltaje Mediciones de flujos de potencia (activa y reactiva) Mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva) La metodología de prueba es la siguiente. 1. Leer los datos del SEP y los resultados del estudio de flujos de potencia que corresponden a las mediciones ideales del SEP. 2. Perturbar los resultados del estudio de flujos con errores de hasta ±2% con una distribución normal.
- 114. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 80 3. Perturbar los parámetros de algunas líneas con errores de +30% del valor nominal encontrado en los datos de parámetros de red del SEP. 4. Realizar el estudio de estimación de estado convencional contemplando los valores perturbados de parámetros del paso 3. 5. Realizar el análisis de robustez numérica con el cálculo del rango numérico 𝑟𝑎𝑛𝑘[. ], el número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑[. ] y la distancia relativa a la singularidad 𝐷𝑅[. ] de las matrices de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional. 6. Realizar la prueba 𝜒2 (chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados) para la detección de datos erróneos. 7. Realizar la estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales para las líneas cuyos parámetros se perturbaron en el paso 3. 8. Realizar el análisis de robustez numérica con el cálculo del rango numérico 𝑟𝑎𝑛𝑘[. ], el número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑[. ] y la distancia relativa a la singularidad 𝐷𝑅[. ] de las matrices de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. 9. Realizar la prueba 𝜒2 y la prueba 𝑟 𝑁 para la detección de datos erróneos. 10.Realizar el cálculo de los intervalos de confianza y los indicadores de precisión de los parámetros estimados. Finalmente, la computadora utilizada para realizar las simulaciones presentadas en este capítulo tiene las siguientes características: Modelo: Toshiba Satellite C55-A. Procesador: Intel Core i3-3110M CPU a 2.40 GHz. Memoria instalada (RAM): 8 GB. Disco duro: 680 GB. Tipo de sistema: Sistema operativo de 64 bits. 4.2 Sistema Eléctrico de 14 Nodos La Figura 4-1 muestra el sistema IEEE de 14 nodos. El sistema cuenta con 14 nodos (el nodo 7 es un nodo de paso), 20 elementos (15 son líneas y 5 son transformadores) y 1 elemento en derivación. Los datos del sistema se pueden ver en el APÉNDICE C. 1 2 5 6 11 10 4 3 7 8 9 12 13 14 [E1] [E2] [E3] [E4] [E5] [E6] [E7] [E8] [E9] [E10] [E11][E12] [E13] [E14] [E15][E16] [E17] [E18] [E19] [E20] Figura 4-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59].
- 115. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 81 4.2.1 Resultados del Estudio de Flujos de Potencia Ahora se presentan los resultados del estudio de flujos de potencia utilizando el programa desarrollado en [80] a partir de los datos mostrados en el APÉNDICE C para el sistema IEEE de 14 nodos. Los resultados se validaron con los mostrados en [59]. En la Tabla 4-2 se muestran los resultados de las variables de estado del sistema. Tabla 4-2 Variables de estado del sistema IEEE de 14 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 𝜽 (°) 0.000000 -4.982592 -12.725110 -10.312910 -8.773857 -14.220950 -13.359630 |𝑽| (pu) 1.060000 1.045000 1.010000 1.017671 1.019514 1.070000 1.061520 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 𝜽 (°) -13.359630 -14.938530 -15.097290 -14.790630 -15.075590 -15.156280 -16.033650 |𝑽| (pu) 1.090000 1.055932 1.050985 1.056906 1.055189 1.050382 1.035530 En la Tabla 4-3 se muestran los resultados de las potencias de generación y carga por nodo. Tabla 4-3 Potencias de generación y carga por nodo del sistema IEEE de 14 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 𝑷 𝑮 (MW) 232.393300 40.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) -16.549340 43.557100 25.075380 0.000000 0.000000 12.731010 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 21.700000 94.200000 47.800000 7.600000 11.200000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 12.700000 19.000000 -3.900000 1.600000 7.500000 0.000000 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 17.623470 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 29.500000 9.000000 3.500000 6.100000 13.500000 14.900000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 16.600000 5.800000 1.800000 1.600000 5.800000 5.000000 En la Tabla 4-4 se muestran los resultados de los flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos. Tabla 4-4 Flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos del sistema IEEE de 14 nodos. Conectividad 1 a 2 1 a 5 2 a 3 2 a 4 2 a 5 3 a 4 4 a 5 𝑷 𝒑𝒒 (MW) 156.882980 75.510400 73.237640 56.131540 41.516200 -23.285730 -61.158470 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -20.404310 3.854920 3.560200 -1.550440 1.170920 4.473050 15.823740 Conectividad 4 a 7 4 a 9 5 a 6 6 a 11 6 a 12 6 a 13 7 a 8 𝑷 𝒑𝒒 (MW) 28.074130 16.079760 44.087330 7.353420 7.786010 17.747890 0.000000 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -9.681230 -0.427640 12.470750 3.560680 2.503260 7.216390 -17.162700 Conectividad 7 a 9 9 a 10 9 a 14 10 a 11 12 a 13 13 a 14 𝑷 𝒑𝒒 (MW) 28.074300 5.227370 9.426400 -3.785090 1.614290 5.643890 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) 5.778880 4.219090 3.610090 -1.614670 0.754000 1.747230
- 116. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 82 En la Tabla 4-5 se muestran los resultados de los flujos de potencia de 𝑞 a 𝑝 de los elementos. Tabla 4-5 Flujos de potencia de 𝑞 a 𝑝 de los elementos del sistema IEEE de 14 nodos. Conectividad 2 a 1 5 a 1 3 a 2 4 a 2 5 a 2 4 a 3 5 a 4 𝑷 𝒒𝒑 (MW) -152.585370 -72.747530 -70.914370 -54.454880 -40.612450 23.659180 61.672890 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) 27.676280 2.229430 1.602260 3.020790 -2.098960 -4.835580 -14.201090 Conectividad 7 a 4 9 a 4 6 a 5 11 a 6 12 a 6 13 a 6 8 a 7 𝑷 𝒒𝒑 (MW) -28.074130 -16.079760 -44.087330 -7.298040 -7.714200 -17.535800 0.000000 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) 11.384440 1.732350 -8.049580 -3.444720 -2.353810 -6.798730 17.623160 Conectividad 9 a 7 10 a 9 14 a 9 11 a 10 13 a 12 14 a 13 𝑷 𝒒𝒑 (MW) -28.074300 -5.214500 -9.310240 3.797670 -1.607990 -5.589810 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) -4.976800 -4.184890 -3.363010 1.644120 -0.748310 -1.637120 En la Tabla 4-6 se presentan los flujos de potencia de los elementos en derivación. Tabla 4-6 Flujos de potencia de los elementos en derivación. Nodo 9 𝑷𝒅 𝒑 (MW) 0.000000 𝑸𝒅 𝒑 (MVAR) -21.184860 4.2.2 Esquema de 115 Mediciones La Figura 4-2 muestra el esquema de 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos conformado por: 13 mediciones de magnitudes de voltaje, 37 mediciones de flujos de potencia activa, 37 mediciones de flujos de potencia reactiva, 14 mediciones de inyecciones de potencia activa y 14 mediciones de inyecciones de potencia reactiva. Se puede notar de la Figura 4-1 que el nodo 7 es un nodo de paso por lo que tiene mediciones de inyecciones cero. 1 2 5 6 11 10 4 3 7 8 9 12 13 14 Figura 4-2 Diagrama unifilar con 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos.
- 117. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 83 La Tabla 4-7 muestra los datos de las mediciones correspondientes al esquema de mediciones de la Figura 4-2. Tabla 4-7 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. N° Medición 1 2 3 4 5 6 7 Variable |𝑉1| |𝑉2| |𝑉3| |𝑉4| |𝑉5| |𝑉6| |𝑉8| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.060000 1.045000 1.010000 1.017671 1.019514 1.070000 1.090000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.062957 1.039442 1.008221 1.014449 1.026558 1.075649 1.094469 𝝈 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 𝝈 𝟐 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 N° Medición 8 9 10 11 12 13 14 Variable |𝑉9| |𝑉10| |𝑉11| |𝑉12| |𝑉13| |𝑉14| 𝑃1−2 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.055932 1.050985 1.056906 1.055189 1.050382 1.035530 1.568830 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.069967 1.061114 1.038481 1.038634 1.046954 1.033682 1.571123 𝝈 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000100 N° Medición 15 16 17 18 19 20 21 Variable 𝑃1−5 𝑃2−3 𝑃2−4 𝑃2−5 𝑃3−4 𝑃4−5 𝑃4−7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.755104 0.732376 0.561315 0.415162 -0.232857 -0.611585 0.280741 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.764601 0.730867 0.565743 0.419179 -0.232086 -0.608445 0.280301 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 22 23 24 25 26 27 28 Variable 𝑃4−9 𝑃5−6 𝑃6−11 𝑃6−12 𝑃6−13 𝑃9−10 𝑃9−14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.160798 0.440873 0.073534 0.077860 0.177479 0.052274 0.094264 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.162357 0.437521 0.073107 0.078162 0.178870 0.052592 0.094731 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 29 30 31 32 33 34 35 Variable 𝑃10−11 𝑃12−13 𝑃13−14 𝑃2−1 𝑃3−2 𝑃4−2 𝑃4−3 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.037851 0.016143 0.056439 -1.525854 -0.709144 -0.544549 0.236592 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.037493 0.016222 0.055843 -1.527062 -0.713208 -0.540325 0.236209 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 36 37 38 39 40 41 42 Variable 𝑃5−1 𝑃5−2 𝑃5−4 𝑃6−5 𝑃8−7 𝑃9−4 𝑃9−7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.727475 -0.406125 0.616729 -0.440873 0.000000 -0.160798 -0.280743 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.722319 -0.407535 0.615945 -0.436093 0.000000 -0.159093 -0.278876 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100
- 118. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 84 Tabla 4-7 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos (Cont.). N° Medición 43 44 45 46 47 48 49 Variable 𝑃10−9 𝑃11−6 𝑃11−10 𝑃12−6 𝑃13−6 𝑃13−12 𝑃14−9 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.052145 -0.072980 0.037977 -0.077142 -0.175358 -0.016080 -0.093102 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.052311 -0.072657 0.037867 -0.077262 -0.174998 -0.015999 -0.093474 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 50 51 52 53 54 55 56 Variable 𝑃14−13 𝑄1−2 𝑄1−5 𝑄2−3 𝑄2−4 𝑄2−5 𝑄3−4 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.055898 -0.204043 0.038549 0.035602 -0.015504 0.011709 0.044730 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.055460 -0.202682 0.038841 0.035584 -0.015645 0.011747 0.044570 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 57 58 59 60 61 62 63 Variable 𝑄4−5 𝑄4−7 𝑄4−9 𝑄5−6 𝑄6−11 𝑄6−12 𝑄6−13 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.158237 -0.096812 -0.004276 0.124708 0.035607 0.025033 0.072164 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.157702 -0.097425 -0.004263 0.125192 0.035857 0.024953 0.071183 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 64 65 66 67 68 69 70 Variable 𝑄9−10 𝑄9−14 𝑄10−11 𝑄12−13 𝑄13−14 𝑄2−1 𝑄3−2 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.042191 0.036101 -0.016147 0.007540 0.017472 0.276763 0.016023 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.042220 0.036297 -0.016095 0.007502 0.017587 0.276609 0.015923 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 71 72 73 74 75 76 77 Variable 𝑄4−2 𝑄4−3 𝑄5−1 𝑄5−2 𝑄5−4 𝑄6−5 𝑄8−7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.030208 -0.048356 0.022294 -0.020990 -0.142011 -0.080496 0.176232 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.030186 -0.048106 0.022045 -0.021139 -0.142377 -0.080481 0.177215 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 78 79 80 81 82 83 84 Variable 𝑄9−4 𝑄9−7 𝑄10−9 𝑄11−6 𝑄11−10 𝑄12−6 𝑄13−6 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.017323 -0.049768 -0.041849 -0.034447 0.016441 -0.023538 -0.067987 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.017112 -0.049665 -0.041516 -0.034771 0.016628 -0.023639 -0.067599 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100
- 119. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 85 Tabla 4-7 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 115 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos (Cont.). N° Medición 85 86 87 88 89 90 91 Variable 𝑄13−12 𝑄14−9 𝑄14−13 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.007483 -0.033630 -0.016371 2.323933 0.183000 -0.942000 -0.478000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.007450 -0.033646 -0.016368 2.332719 0.183694 -0.951367 -0.479685 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 92 93 94 95 96 97 98 Variable 𝑃5 𝑃6 𝑃7 𝑃8 𝑃9 𝑃10 𝑃11 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.076000 -0.112000 0.000000 0.000000 -0.295000 -0.090000 -0.035000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.076472 -0.112748 0.000000 0.000000 -0.297721 -0.089720 -0.034854 𝝈 0.012000 0.012000 0.001000 0.001000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000001 0.000001 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 99 100 101 102 103 104 105 Variable 𝑃12 𝑃13 𝑃14 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.061000 -0.135000 -0.149000 -0.165493 0.308571 0.060754 0.039000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.060682 -0.134965 -0.149693 -0.165044 0.311405 0.060752 0.039073 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 106 107 108 109 110 111 112 Variable 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8 𝑄9 𝑄10 𝑄11 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.016000 0.052310 0.000000 0.176235 -0.166000 -0.058000 -0.018000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.015896 0.052427 0.000000 0.174950 -0.164613 -0.058431 -0.017974 𝝈 0.012000 0.012000 0.001000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000001 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 113 114 115 Variable 𝑄12 𝑄13 𝑄14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.016000 -0.058000 -0.050000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.016148 -0.057505 -0.049839 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144
- 120. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 86 4.2.2.1 Caso 1 Se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 115 mediciones dado por la Figura 4-2 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 1-2 y 2-3 (elementos 1 y 3). En la Tabla 4-8 se presentan los valores de parámetros perturbados para dichas líneas. Tabla 4-8 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 1 y 3. Elemento 1 3 Conectividad (p a q) 1 a 2 2 a 3 𝒓 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.025194 0.061087 𝒙 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.076921 0.257361 𝒃 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒉 (pu) 0.034320 0.028470 El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 4 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.046800 segundos. En la Figura 4-3 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura 4-4 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los valores con errores de parámetros de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-5 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados, además en la Figura 4-6 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1 Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-3 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
- 121. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 87 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1 Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-4 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1 Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-5 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
- 122. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 88 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1 Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-6 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. De la Figura 4-3 y la Figura 4-4 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 1, 2 y 3 que son los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-5 y la Figura 4-6 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 25%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-9 y la Tabla 4-10 respectivamente. Tabla 4-9 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 80.617231 0.896819 27 Tabla 4-10 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 721691056.568341 12040.503604 27 59938.610569 0.000016683737 De la Tabla 4-9 y la Tabla 4-10 se puede observar que 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tienen rango columna completo, por lo tanto existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 88 grados de libertad (115 mediciones-27 variables de estado) y con un de nivel de confianza del 95%. Los resultados se muestran en la Tabla 4-11.
- 123. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 89 Tabla 4-11 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 110.895230 749.728265 Sí De la Tabla 4-11 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-7 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 1 y en la Tabla 4-12 se presentan únicamente los residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-13 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados. 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 0 3 6 9 12 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1 Número de Medición r N rN Figura 4-7 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Tabla 4-12 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Medición 𝑷 𝟏−𝟐 𝑷 𝟏−𝟓 𝑷 𝟐−𝟑 𝑷 𝟑−𝟒 𝑷 𝟒−𝟓 𝑷 𝟐−𝟏 𝑷 𝟑−𝟐 𝒓 𝑵 7.249877 9.708574 10.682431 9.132882 5.543483 7.914929 11.088874 Medición 𝑷 𝟒−𝟑 𝑷 𝟓−𝟏 𝑷 𝟓−𝟒 𝑷 𝟏 𝑷 𝟐 𝑷 𝟒 𝑷 𝟓 𝒓 𝑵 9.532171 10.356735 5.392634 3.437704 3.367849 3.153567 4.720643 Tabla 4-13 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 11.088874 Sí Como se puede observar de la Figura 4-7 y la Tabla 4-12, los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 1-2, 1-5, 2-3, 3-4 y 4-5. De la Tabla 4-13 el máximo residual normalizado es 11.088874 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de
- 124. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 90 la presencia de parámetros erróneos. Además se observa que el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 2-3 que es una de las líneas con parámetros erróneos. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las líneas 1-2 y 2-3 (elementos 1 y 3) considerando el esquema de 115 mediciones dado por la Figura 4-2. Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-14 donde el algoritmo se tomó 5 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.062400 segundos. Tabla 4-14 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 1. Parámetro 𝒓 𝟏−𝟐 𝒙 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.025194 0.076921 0.034320 Valor Estimado (pu) 0.019526 0.059253 0.026246 Valor Correcto (pu) 0.019380 0.059170 0.026400 % Error de Estimación 0.755590 0.140747 -0.583945 Parámetro 𝒓 𝟐−𝟑 𝒙 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.061087 0.257361 0.028470 Valor Estimado (pu) 0.046730 0.197554 0.021858 Valor Correcto (pu) 0.046990 0.197970 0.021900 % Error de Estimación -0.552691 -0.210241 -0.189866 Se observa de la Tabla 4-14 que las estimaciones de parámetros presentan porcentajes de error menores a 1% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-15 y la Tabla 4-16 se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. Tabla 4-15 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 1. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 80.593600 0.032000 33 Tabla 4-16 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1 y 3 para el caso 1. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 722023000.000000 10.116900 33 71367743.966612 0.000000014012 De la Tabla 4-15 y Tabla 4-16 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de 33, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-10 y Tabla 4-16 se puede ver que el número de condición 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es de más de 1190 veces el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más pequeña que la de 𝐺(𝑥). En la Tabla 4-17 se presentan los resultados de la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos.
- 125. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 91 Tabla 4-17 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 110.89523 19.582753 No De la Tabla 4-17 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos tomando en cuenta las estimaciones de parámetros debido a que la función objetivo es menor que el cálculo de la distribución 𝜒2 con 88 grados de libertad (115 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-18. Tabla 4-18 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.293068 No De la Tabla 4-18 se puede observar que no se detecta la presencia de datos erróneos tomando en cuenta los valores de parámetros estimados ya que el máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3, por lo que no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Por último se realizó el cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados para los elementos 1 y 3, los resultados se muestran en la Tabla 4-19. Tabla 4-19 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 1 y 3 para el caso 1. Parámetro 𝒈 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.845486 -11.740836 0.034320 Valor Estimado (pu) 5.016769 -15.223468 0.026246 Intervalo de Confianza (pu) (4.940904, 5.092635) (-15.295180, -15.151756) (0.024888, 0.027604) Indicador de Precisión 0.984878 0.995289 0.948258 Parámetro 𝒈 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.873092 -3.678356 0.028470 Valor Estimado (pu) 1.133922 -4.793690 0.021858 Intervalo de Confianza (pu) (1.116106, 1.151737) (-4.811281, -4.776098) (0.020451, 0.023266) Indicador de Precisión 0.984289 0.996330 0.935590 De la Tabla 4-19 se puede observar que los valores iniciales de los 6 parámetros para las líneas 1-2 y 2-3 se encuentran fuera de los intervalos de confianza calculados, por lo que se consideran como parámetros con posibilidad de error y deben ser corregidos. También se observa que los indicadores de precisión para los 6 parámetros se encuentran por encima de 0.90 por lo que se pueden considerar buenas estimaciones. 4.2.2.2 Caso 1A Ahora se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 115 mediciones dado por la Figura 4-2 y errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 1-2, 2-3 y 2-4 (elementos 1, 3 y 4). En la Tabla 4-20 se presentan los valores de parámetros perturbados para dichas líneas.
- 126. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 92 Tabla 4-20 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 1, 3 y 4. Elemento 1 3 4 Conectividad (p a q) 1 a 2 2 a 3 2 a 4 𝒓 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.025194 0.061087 0.075543 𝒙 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.076921 0.257361 0.229216 𝒃 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒉 (pu) 0.034320 0.028470 0.022100 El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 4 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.015600 segundos; la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros) se presenta en la Figura 4-8, y en la Figura 4-9 se muestran los porcentajes de error entre los valores correctos y los estimados de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-10 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados, y en la Figura 4-11 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1A Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-8 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4.
- 127. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 93 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1A Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-9 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1A Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-10 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4.
- 128. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 94 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1A Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-11 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. De la Figura 4-8 y la Figura 4-9 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 1, 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-10 y la Figura 4-11 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 25%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-21 y la Tabla 4-22 respectivamente. Tabla 4-21 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 79.937783 0.894554 27 Tabla 4-22 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 719616935.609652 11957.432798 27 60181.558011 0.000016616386 De la Tabla 4-21 y la Tabla 4-22 se puede observar que la 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tienen rango columna completo y debido a esto existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 88 grados de libertad (115 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-23.
- 129. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 95 Tabla 4-23 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 110.895230 1089.515046 Sí De la Tabla 4-23 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-12 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 1A y en la Tabla 4-24 se presentan únicamente los residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-25 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados. 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 0 3 6 9 12 15 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1A Número de Medición rN rN Figura 4-12 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. Tabla 4-24 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. Medición 𝑷 𝟏−𝟐 𝑷 𝟏−𝟓 𝑷 𝟐−𝟑 𝑷 𝟐−𝟒 𝑷 𝟐−𝟓 𝑷 𝟑−𝟒 𝑷 𝟒−𝟓 𝒓 𝑵 9.504491 12.358585 8.536805 9.205222 3.564604 6.969770 9.634887 Medición 𝑷 𝟐−𝟏 𝑷 𝟑−𝟐 𝑷 𝟒−𝟐 𝑷 𝟒−𝟑 𝑷 𝟓−𝟏 𝑷 𝟓−𝟐 𝑷 𝟓−𝟒 𝒓 𝑵 9.968017 9.104152 8.163202 7.252317 12.771139 3.642561 9.586979 Medición 𝑷 𝟏 𝑷 𝟐 𝑷 𝟑 𝑷 𝟒 𝑷 𝟓 𝒓 𝑵 4.006631 5.069817 3.059452 6.531383 7.407375 Tabla 4-25 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1, 3 y 4. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 12.771139 Sí
- 130. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 96 De la Figura 4-12 y la Tabla 4-24 los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 1-2, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4 y 4-5; en este conjunto se encuentran las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-25 el máximo residual normalizado es 12.771139 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos, además de que el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 1-5 que no es una línea errónea pero es cercana a ellas. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las líneas 1-2, 2-3 y 2-4 (elementos 1, 3 y 4). La Tabla 4-26 muestra los resultados del estudio de estimación de parámetros donde el algoritmo tomó 5 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.046800 segundos. Tabla 4-26 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A. Parámetro 𝒓 𝟏−𝟐 𝒙 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.025194 0.076921 0.034320 Valor Estimado (pu) 0.019537 0.059219 0.026252 Valor Correcto (pu) 0.019380 0.059170 0.026400 % Error de Estimación 0.809297 0.082170 -0.560718 Parámetro 𝒓 𝟐−𝟑 𝒙 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.061087 0.257361 0.028470 Valor Estimado (pu) 0.046700 0.197606 0.021915 Valor Correcto (pu) 0.046990 0.197970 0.021900 % Error de Estimación -0.617060 -0.183737 0.069737 Parámetro 𝒓 𝟐−𝟒 𝒙 𝟐−𝟒 𝒃 𝟐−𝟒 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.075543 0.229216 0.022100 Valor Estimado (pu) 0.058042 0.176484 0.016752 Valor Correcto (pu) 0.058110 0.176320 0.017000 % Error de Estimación -0.117341 0.092879 -1.456237 Se observa de la Tabla 4-26 que para las líneas 1-2 y 2-3 se obtienen porcentajes de error menores a 1% y para la línea 2-4 se obtuvieron porcentajes de error menores a 1.5%. Ahora se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. Tabla 4-27 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 80.592300 0.027800 36 Tabla 4-28 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 722040000.000000 7.691530 36 93874749.172613 0.000000010652 De la Tabla 4-27 y Tabla 4-28 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de 36, esto es porque se añadieron 9 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de
- 131. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 97 las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-22 y la Tabla 4-28 se puede ver que el número de condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 1550 veces mayor el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es mucho más pequeña que el de 𝐺(𝑥). En la Tabla 4-29 se muestran los resultados de la prueba 𝜒2 . Tabla 4-29 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1, 3 y 4. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 110.89523 19.577507 No De la Tabla 4-29 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos debido a que la función objetivo es menor que la distribución 𝜒2 calculada. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-30. Tabla 4-30 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1, 3 y 4. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.294072 No De la Tabla 4-30 se puede observar que la prueba de los residuales normalizados tampoco detecta la presencia de datos erróneos ya que el máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3. En la Tabla 4-31 se muestran los resultados del cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados para los elementos 1, 3 y 4. Tabla 4-31 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 1, 3 y 4 para el caso 1A. Parámetro 𝒈 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.845486 -11.740836 0.034320 Valor Estimado (pu) 5.024219 -15.229038 0.026252 Intervalo de Confianza (pu) (4.936850, 5.111588) (-15.310980, -15.147097) (0.024848, 0.027656) Indicador de Precisión 0.982610 0.994619 0.946506 Parámetro 𝒈 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.873092 -3.678356 0.028470 Valor Estimado (pu) 1.132695 -4.792880 0.021915 Intervalo de Confianza (pu) (1.113367, 1.152024) (-4.812164, -4.773596) (0.020458, 0.023373) Indicador de Precisión 0.982936 0.995977 0.933499 Parámetro 𝒈 𝟐−𝟒 𝒃 𝟐−𝟒 𝒃 𝟐−𝟒 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 1.296949 -3.935260 0.022100 Valor Estimado (pu) 1.681622 -5.113193 0.016752 Intervalo de Confianza (pu) (1.657989, 1.705255) (-5.137014, -5.089372) (0.015274, 0.018231) Indicador de Precisión 0.985946 0.995341 0.911755 De la Tabla 4-31 se puede observar que los 6 parámetros de las 3 líneas se encuentran fuera de sus intervalos de confianza calculados, por lo que se consideran parámetros con posibilidad de error que deben ser corregidos. Además, los 6 indicadores de precisión calculados se encuentran por encima de 0.90, por lo que se pueden considerar buenas estimaciones.
- 132. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 98 4.2.3 Esquema de 89 Mediciones El esquema de la Figura 4-13 considera 13 mediciones de magnitudes de voltaje, 37 mediciones de flujos de potencia activa, 37 mediciones de flujos de potencia reactiva y 2 mediciones de inyecciones cero (activa y reactiva) conformando un total de 89 mediciones. 1 2 5 6 11 10 4 3 7 8 9 12 13 14 Figura 4-13 Diagrama unifilar con 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. La Tabla 4-32 muestra los datos de las mediciones correspondientes al esquema de mediciones de la Figura 4-13. Tabla 4-32 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. N° Medición 1 2 3 4 5 6 7 Variable |𝑉1| |𝑉2| |𝑉3| |𝑉4| |𝑉5| |𝑉6| |𝑉8| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.060000 1.045000 1.010000 1.017671 1.019514 1.070000 1.090000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.062957 1.039442 1.008221 1.014449 1.026558 1.075649 1.094469 𝝈 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 𝝈 𝟐 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 N° Medición 8 9 10 11 12 13 14 Variable |𝑉9| |𝑉10| |𝑉11| |𝑉12| |𝑉13| |𝑉14| 𝑃1−2 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.055932 1.050985 1.056906 1.055189 1.050382 1.035530 1.568830 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.069967 1.061114 1.038481 1.038634 1.046954 1.033682 1.571123 𝝈 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000100
- 133. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 99 Tabla 4-32 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos (Cont.). N° Medición 15 16 17 18 19 20 21 Variable 𝑃1−5 𝑃2−3 𝑃2−4 𝑃2−5 𝑃3−4 𝑃4−5 𝑃4−7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.755104 0.732376 0.561315 0.415162 -0.232857 -0.611585 0.280741 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.764601 0.730867 0.565743 0.419179 -0.232086 -0.608445 0.280301 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 22 23 24 25 26 27 28 Variable 𝑃4−9 𝑃5−6 𝑃6−11 𝑃6−12 𝑃6−13 𝑃9−10 𝑃9−14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.160798 0.440873 0.073534 0.077860 0.177479 0.052274 0.094264 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.162357 0.437521 0.073107 0.078162 0.178870 0.052592 0.094731 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 29 30 31 32 33 34 35 Variable 𝑃10−11 𝑃12−13 𝑃13−14 𝑃2−1 𝑃3−2 𝑃4−2 𝑃4−3 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.037851 0.016143 0.056439 -1.525854 -0.709144 -0.544549 0.236592 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.037493 0.016222 0.055843 -1.527062 -0.713208 -0.540325 0.236209 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 36 37 38 39 40 41 42 Variable 𝑃5−1 𝑃5−2 𝑃5−4 𝑃6−5 𝑃8−7 𝑃9−4 𝑃9−7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.727475 -0.406125 0.616729 -0.440873 0.000000 -0.160798 -0.280743 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.722319 -0.407535 0.615945 -0.436093 0.000000 -0.159093 -0.278876 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 43 44 45 46 47 48 49 Variable 𝑃10−9 𝑃11−6 𝑃11−10 𝑃12−6 𝑃13−6 𝑃13−12 𝑃14−9 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.052145 -0.072980 0.037977 -0.077142 -0.175358 -0.016080 -0.093102 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.052311 -0.072657 0.037867 -0.077262 -0.174998 -0.015999 -0.093474 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 50 51 52 53 54 55 56 Variable 𝑃14−13 𝑄1−2 𝑄1−5 𝑄2−3 𝑄2−4 𝑄2−5 𝑄3−4 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.055898 -0.204043 0.038549 0.035602 -0.015504 0.011709 0.044730 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.055460 -0.202682 0.038841 0.035584 -0.015645 0.011747 0.044570 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100
- 134. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 100 Tabla 4-32 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 89 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos (Cont.). N° Medición 57 58 59 60 61 62 63 Variable 𝑄4−5 𝑄4−7 𝑄4−9 𝑄5−6 𝑄6−11 𝑄6−12 𝑄6−13 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.158237 -0.096812 -0.004276 0.124708 0.035607 0.025033 0.072164 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.157702 -0.097425 -0.004263 0.125192 0.035857 0.024953 0.071183 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 64 65 66 67 68 69 70 Variable 𝑄9−10 𝑄9−14 𝑄10−11 𝑄12−13 𝑄13−14 𝑄2−1 𝑄3−2 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.042191 0.036101 -0.016147 0.007540 0.017472 0.276763 0.016023 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.042220 0.036297 -0.016095 0.007502 0.017587 0.276609 0.015923 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 71 72 73 74 75 76 77 Variable 𝑄4−2 𝑄4−3 𝑄5−1 𝑄5−2 𝑄5−4 𝑄6−5 𝑄8−7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.030208 -0.048356 0.022294 -0.020990 -0.142011 -0.080496 0.176232 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.030186 -0.048106 0.022045 -0.021139 -0.142377 -0.080481 0.177215 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 78 79 80 81 82 83 84 Variable 𝑄9−4 𝑄9−7 𝑄10−9 𝑄11−6 𝑄11−10 𝑄12−6 𝑄13−6 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.017323 -0.049768 -0.041849 -0.034447 0.016441 -0.023538 -0.067987 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.017112 -0.049665 -0.041516 -0.034771 0.016628 -0.023639 -0.067599 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 0.010000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 0.000100 N° Medición 85 86 87 88 89 Variable 𝑄13−12 𝑄14−9 𝑄14−13 𝑃7 𝑄7 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.007483 -0.033630 -0.016371 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.007450 -0.033646 -0.016368 0.000000 0.000000 𝝈 0.010000 0.010000 0.010000 0.001000 0.001000 𝝈 𝟐 0.000100 0.000100 0.000100 0.000001 0.000001 4.2.3.1 Caso 2 Se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 89 mediciones dado por la Figura 4-13 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 1-2 y 2-3 (elementos 1 y 3). En la Tabla 4-8 se presentan los valores de parámetros perturbados para dichas líneas. El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 4 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.031200 segundos. En la Figura 4-14 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura 4-15 se muestran los
- 135. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 101 porcentajes de error entre los valores correctos y los estimados de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-16 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados y en la Figura 4-17 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 2 Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-14 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 2 Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-15 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
- 136. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 102 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 2 Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-16 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -30 -20 -10 0 10 20 30 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 2 Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-17 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. De la Figura 4-14 y Figura 4-15 la se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 1 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-16 y la Figura 4-17 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 30%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
- 137. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 103 en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-33 y la Tabla 4-34. Tabla 4-33 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 48.825521 0.873699 27 Tabla 4-34 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 662238113.359094 11599.324562 27 57092.816900 0.000017515338 De la Tabla 4-10 y Tabla 4-34 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 2 es de 0.95 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de 𝐺(𝑥) para el caso 2 es mayor que el de 𝐺(𝑥) para el caso 1. Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 62 grados de libertad (89 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-35. Tabla 4-35 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 81.381014 669.517437 Sí De la Tabla 4-35 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Ahora bien, en la Figura 4-18 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 2 y en la Tabla 4-36 se presentan únicamente los residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-37 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados.
- 138. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 104 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 0 3 6 9 12 15 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 2 Número de Medición r N rN Figura 4-18 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Tabla 4-36 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Medición 𝑷 𝟏−𝟐 𝑷 𝟏−𝟓 𝑷 𝟐−𝟑 𝑷 𝟑−𝟒 𝑷 𝟐−𝟏 𝑷 𝟑−𝟐 𝑷 𝟒−𝟑 𝒓 𝑵 4.706604 11.155997 12.478994 9.334256 5.638239 12.701857 9.861860 Medición 𝑷 𝟓−𝟏 𝒓 𝑵 11.656093 Tabla 4-37 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 12.701857 Sí Como se puede observar de la Figura 4-18 y la Tabla 4-36, los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 1-2, 1-5, 2-3 y 3-4. De la Tabla 4-37 el máximo residual normalizado es 12.701857 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Además de que el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 2-3 que es una de las líneas con parámetros erróneos. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las líneas 1-2 y 2-3 (elementos 1 y 3). Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-38 donde el algoritmo se tomó 5 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.046800 segundos.
- 139. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 105 Tabla 4-38 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los elementos 1 y 3 para el caso 2. Parámetro 𝒓 𝟏−𝟐 𝒙 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.025194 0.076921 0.034320 Valor Estimado (pu) 0.019538 0.059215 0.026087 Valor Correcto (pu) 0.019380 0.059170 0.026400 % Error de Estimación 0.813296 0.075790 -1.186693 Parámetro 𝒓 𝟐−𝟑 𝒙 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.061087 0.257361 0.028470 Valor Estimado (pu) 0.046829 0.197772 0.022148 Valor Correcto (pu) 0.046990 0.197970 0.021900 % Error de Estimación -0.343260 -0.100162 1.132844 Se observa de la Tabla 4-38 que las estimaciones de parámetros para la línea 1-2 y la línea 2-3 presentan porcentajes de error menores a 2% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-39 y la Tabla 4-40 se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. Tabla 4-39 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 1 y 3 para el caso 2. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 48.848900 0.030000 33 Tabla 4-40 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 1 y 3 para el caso 2. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 662891000.000000 9.025510 33 73446384.304297 0.000000013615 De la Tabla 4-39 y Tabla 4-40 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de 33, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-34 y Tabla 4-40 se puede ver que el número de condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 1200 veces el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más pequeña que la de 𝐺(𝑥). En la Tabla 4-41 se presentan los resultados de la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos. Tabla 4-41 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 81.381014 18.564953 No De la Tabla 4-41 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos tomando en cuenta las estimaciones de parámetros debido a que la función objetivo es menor que el cálculo de la distribución 𝜒2 con 62 grados de libertad (89 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-42.
- 140. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 106 Tabla 4-42 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 1 y 3. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.282568 No De la Tabla 4-42 se puede observar que no se detecta la presencia de datos erróneos tomando en cuenta los valores de parámetros estimados ya que el máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3, por lo que no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Por último se realizó el cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados para los elementos 1 y 3, los resultados se muestran en la Tabla 4-43. Tabla 4-43 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 1 y 3 para el caso 2. Parámetro 𝒈 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒃 𝟏−𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.845486 -11.740836 0.034320 Valor Estimado (pu) 5.024957 -15.229700 0.026087 Intervalo de Confianza (pu) (4.930194, 5.119720) (-15.320476, -15.138923) (0.024170, 0.028004) Indicador de Precisión 0.981142 0.994040 0.926508 Parámetro 𝒈 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒃 𝟐−𝟑 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.873092 -3.678356 0.028470 Valor Estimado (pu) 1.133686 -4.787899 0.022148 Intervalo de Confianza (pu) (1.112490, 1.154882) (-4.808895, -4.766903) (0.020166, 0.024130) Indicador de Precisión 0.981304 0.995615 0.910508 De la Tabla 4-43 se puede observar que los valores iniciales de los 6 parámetros para las líneas 1-2 y 2-3 se encuentran fuera de los intervalos de confianza calculados, por lo que se consideran como parámetros con posibilidad de error y deben ser corregidos. También se observa que los indicadores de precisión para los 6 parámetros se encuentran por encima de 0.90 por lo que se pueden considerar buenas estimaciones.
- 141. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 107 4.2.4 Esquema de 41 Mediciones La Figura 4-19 muestra el esquema de mediciones para el sistema IEEE de 14 nodos, el cual considera 13 mediciones de magnitudes de voltaje, 14 mediciones de inyecciones de potencia activa y 14 mediciones de inyecciones de potencia reactiva, formando un total de 41 mediciones. La Tabla 4-44 muestra los datos de las mediciones correspondientes al esquema de mediciones de la Figura 4-19. 1 2 5 6 11 10 4 3 7 8 9 12 13 14 Figura 4-19 Diagrama unifilar con 41 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. Tabla 4-44 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 41 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos. N° Medición 1 2 3 4 5 6 7 Variable |𝑉1| |𝑉2| |𝑉3| |𝑉4| |𝑉5| |𝑉6| |𝑉8| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.060000 1.045000 1.010000 1.017671 1.019514 1.070000 1.090000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.062957 1.039442 1.008221 1.014449 1.026558 1.075649 1.094469 𝝈 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 𝝈 𝟐 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 N° Medición 8 9 10 11 12 13 14 Variable |𝑉9| |𝑉10| |𝑉11| |𝑉12| |𝑉13| |𝑉14| 𝑃1 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.055932 1.050985 1.056906 1.055189 1.050382 1.035530 2.323933 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.069967 1.061114 1.038481 1.038634 1.046954 1.033682 2.332719 𝝈 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.008000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000064 0.000144
- 142. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 108 Tabla 4-44 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 41 mediciones del sistema IEEE de 14 nodos (Cont.). N° Medición 15 16 17 18 19 20 21 Variable 𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝑃5 𝑃6 𝑃7 𝑃8 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.183000 -0.942000 -0.478000 -0.076000 -0.112000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.183694 -0.951367 -0.479685 -0.076472 -0.112748 0.000000 0.000000 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.001000 0.001000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000001 0.000001 N° Medición 22 23 24 25 26 27 28 Variable 𝑃9 𝑃10 𝑃11 𝑃12 𝑃13 𝑃14 𝑄1 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.295000 -0.090000 -0.035000 -0.061000 -0.135000 -0.149000 -0.165493 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.297721 -0.089720 -0.034854 -0.060682 -0.134965 -0.149693 -0.165044 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 29 30 31 32 33 34 35 Variable 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.308571 0.060754 0.039000 -0.016000 0.052310 0.000000 0.176235 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.311405 0.060752 0.039073 -0.015896 0.052427 0.000000 0.174950 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.001000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000001 0.000144 N° Medición 36 37 38 39 40 41 Variable 𝑄9 𝑄10 𝑄11 𝑄12 𝑄13 𝑄14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.166000 -0.058000 -0.018000 -0.016000 -0.058000 -0.050000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.164613 -0.058431 -0.017974 -0.016148 -0.057505 -0.049839 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 4.2.4.1 Caso 3 El proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 41 mediciones dado por la Figura 4-19 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 1-2 y 2-3 (elementos 1 y 3) es realizado. En la Tabla 4-8 se presentan los valores de parámetros perturbados para dichas líneas. El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 5 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.015600 segundos. En la Figura 4-20 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura 4-21 se muestran los porcentajes de error entre los valores correctos y los estimados de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-22 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados y en la Figura 4-23 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales.
- 143. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 109 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 3 Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-20 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 3 Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-21 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3.
- 144. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 3 Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-22 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -30 -20 -10 0 10 20 30 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 3 Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-23 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. De la Figura 4-20 y la Figura 4-21 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.6% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 1, 3 y 8 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-22 y la Figura 4-23 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 25%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
- 145. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 111 en los nodos 2 y 3 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-45 y la Tabla 4-46. Tabla 4-45 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 64.408806 0.841553 27 Tabla 4-46 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 720938161.271952 8710.677076 27 82764.882108 0.000012082419 De la Tabla 4-10 y Tabla 4-46 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 3 es de 1.38 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de 𝐺(𝑥) para el caso 3 es menor que el de la matriz de Ganancia para el caso 1. Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 14 grados de libertad (41 mediciones-27 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-47. Tabla 4-47 Prueba 𝜒2 para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 23.684790 18.524653 No De la Tabla 4-47 se puede ver que la función objetivo es menor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Ahora bien, en la Figura 4-24 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 3. Asimismo, en la Tabla 4-48 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados.
- 146. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 112 1 7 13 19 25 31 37 0 1 2 3 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 3 Número de Medición rN rN Figura 4-24 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Tabla 4-48 Prueba de los residuales normalizados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 1 y 3. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.368504 No Como se puede observar de la Tabla 4-48, el máximo residual normalizado es 2.368504 que corresponde a la medición |𝑉11| y no sobrepasa el límite de 3, por lo que no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Debido a la Tabla 4-47 y la Tabla 4-48, teniendo en cuenta solo mediciones de magnitudes de voltaje y mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva) no es posible detectar la presencia de parámetros erróneos para este sistema.
- 147. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 113 4.3 Sistema Eléctrico de 39 Nodos La Figura 4-25 muestra el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. El sistema cuenta con 39 nodos y 46 elementos (de los cuales 34 son líneas y 12 son transformadores). Los datos del sistema se pueden ver en el APÉNDICE C. 1 3 30 5 11 13 35 36 37 38 34 2 33 14 32 39 18 31 10 25 8 26 27 28 29 24 6 22 21 16 17 15 19 20 4 23 7 [E1] [E2] [E3] [E4] [E5] [E6] [E7] [E8] [E9] [E10] 9 [E11] [E12] 12 [E13] [E14] [E15] [E16] [E17] [E18][E19] [E20] [E21] [E22] [E23] [E24] [E25] [E26] [E27] [E28] [E29] [E30] [E31] [E32] [E33] [E34] [E35] [E36] [E37] [E38][E39] [E40] [E41] [E42] [E43] [E44] [E45] [E46] Figura 4-25 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60]. 4.3.1 Resultados del Estudio de Flujos de Potencia Ahora se presentan los resultados del estudio de flujos de potencia utilizando el programa desarrollado en [80] a partir de los datos mostrados en el APÉNDICE C para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. En la Tabla 4-49 se muestran los resultados de las variables de estado del sistema.
- 148. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 114 Tabla 4-49 Variables de estado del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 𝜽 (°) 0.000000 -10.052980 2.569002 4.194890 3.175168 5.630352 8.323248 |𝑽| (pu) 0.982000 1.030000 0.983100 0.997200 1.012300 1.049300 1.063500 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 𝜽 (°) 2.421150 7.807837 -3.333963 -6.284262 -6.243638 -6.097708 -7.656405 |𝑽| (pu) 1.027800 1.026500 1.047500 1.012690 1.000147 1.014302 1.011726 Nodo 15 16 17 18 19 20 21 𝜽 (°) -7.736052 -6.187405 -7.301231 -8.223834 -1.022585 -2.014509 -3.780362 |𝑽| (pu) 1.015371 1.031758 1.033544 1.030922 1.049855 0.991173 1.031749 Nodo 22 23 24 25 26 27 28 𝜽 (°) 0.668567 0.470298 -6.067778 -4.363365 -5.526679 -7.495391 -2.014804 |𝑽| (pu) 1.049788 1.044780 1.037287 1.057565 1.052070 1.037733 1.050120 Nodo 29 30 31 32 33 34 35 𝜽 (°) 0.744454 -5.427116 -5.753740 -8.598547 -9.606688 -8.611884 -7.949700 |𝑽| (pu) 1.049941 1.017147 1.048733 1.030167 1.003857 1.005307 1.007669 Nodo 36 37 38 39 𝜽 (°) -10.123850 -10.615410 -10.322010 -8.438694 |𝑽| (pu) 0.996997 0.996016 1.028225 1.047355 En la Tabla 4-50 se muestran los resultados de las potencias de generación y carga por nodo. Tabla 4-50 Potencias de generación y carga por nodo del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 𝑷 𝑮 (MW) 520.810200 1000.00000 650.000000 632.000000 508.000000 650.000000 560.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 198.264700 88.291870 205.162400 109.943500 165.780500 212.462100 101.208100 𝑷 𝑳 (MW) 9.200000 1104.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 4.600000 250.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 𝑷 𝑮 (MW) 540.000000 830.000000 250.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.450926 22.852500 146.174100 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 7.500000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 88.000000 0.000000 0.000000 Nodo 15 16 17 18 19 20 21 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 320.000000 329.000000 0.000000 158.000000 0.000000 628.000000 274.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 153.000000 32.300000 0.000000 30.000000 0.000000 103.000000 115.000000
- 149. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 115 Tabla 4-50 Potencias de generación y carga por nodo del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos (Cont.). Nodo 22 23 24 25 26 27 28 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 247.500000 308.600000 224.000000 139.000000 281.000000 206.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 84.600000 -92.000000 47.200000 17.000000 75.500000 27.600000 Nodo 29 30 31 32 33 34 35 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 283.500000 0.000000 0.000000 322.000000 500.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 26.900000 0.000000 0.000000 2.400000 184.000000 0.000000 0.000000 Nodo 36 37 38 39 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 233.800000 522.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 84.000000 176.000000 0.000000 0.000000 En la Tabla 4-51 se muestran los resultados de los flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞. Tabla 4-51 Flujos de potencia de 𝑝 a 𝑞 de los elementos del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Conectividad 1 a 35 2 a 38 2 a 39 3 a 30 4 a 19 5 a 20 6 a 22 𝑷 𝒑𝒒 (MW) 511.61041 20.153380 -124.153190 650.000260 632.000240 507.999950 650.000570 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) 193.66447 -57.100440 -104.607650 205.161100 109.944550 165.783260 212.461990 Conectividad 7 a 23 8 a 25 9 a 29 10 a 31 11 a 12 11 a 30 11 a 35 𝑷 𝒑𝒒 (MW) 560.00033 540.000320 830.000730 250.000070 -0.056100 -364.709320 364.764660 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) 101.20897 0.451460 22.850600 146.176500 43.089910 -72.097630 29.004830 Conectividad 12 a 13 13 a 14 13 a 30 14 a 15 14 a 33 15 a 16 16 a 17 𝑷 𝒑𝒒 (MW) -7.585080 276.814390 -284.435800 5.136120 271.007020 -314.869250 230.034460 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -45.697470 -3.900590 -42.756610 -36.147350 42.396260 -151.606440 -43.676350 Conectividad 16 a 19 16 a 21 16 a 24 17 a 18 17 a 27 18 a 32 19 a 20 𝑷 𝒑𝒒 (MW) -502.67571 -329.596660 -42.677100 210.655270 19.023650 52.362120 122.615970 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -48.134540 12.995790 -98.097790 9.705120 -43.596900 -9.669040 -10.491580 Conectividad 21 a 22 22 a 23 23 a 24 25 a 26 25 a 31 26 a 27 26 a 28 𝑷 𝒑𝒒 (MW) -604.41902 42.795230 353.839490 71.089900 243.256360 262.949750 -140.825540 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -88.743700 41.985680 0.560820 -17.029350 -93.757530 68.690010 -21.697870 Conectividad 26 a 29 28 a 29 31 a 32 31 a 39 32 a 33 33 a 34 34 a 35 𝑷 𝒑𝒒 (MW) -190.18376 -347.614300 364.257790 124.834740 92.889380 -136.985670 -454.423430 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) -25.443180 28.210220 92.258970 -42.603610 110.581660 -8.383710 -55.963640 Conectividad 34 a 37 35 a 36 36 a 37 37 a 38 𝑷 𝒑𝒒 (MW) 317.28656 420.619820 185.717900 -19.964310 𝑸 𝒑𝒒 (MVAR) 58.739080 91.581840 2.030520 -105.943330
- 150. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 116 En la Tabla 4-52 se muestran los resultados de los flujos de potencia de 𝑞 a 𝑝. Tabla 4-52 Flujos de potencia de 𝑞 a 𝑝 de los elementos del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Conectividad 35 a 1 38 a 2 39 a 2 30 a 3 19 a 4 20 a 5 22 a 6 𝑷 𝒒𝒑 (MW) -511.61041 -20.149150 124.338090 -650.000260 -629.103450 -505.492090 -650.000570 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) -116.08392 -69.882530 28.310710 -109.020730 -51.181220 -115.626070 -151.725580 Conectividad 23 a 7 25 a 8 29 a 9 31 a 10 12 a 11 30 a 11 35 a 11 𝑷 𝒒𝒑 (MW) -558.56870 -538.344080 -824.766430 -250.000070 0.085070 365.246340 -363.847570 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) -23.328370 63.589690 79.218120 -132.341960 -42.302340 70.361510 -32.436140 Conectividad 13 a 12 14 a 13 30 a 13 15 a 14 33 a 14 16 a 15 17 a 16 𝑷 𝒒𝒑 (MW) 7.619820 -276.143850 284.756270 -5.130320 -270.413870 315.912710 -229.677730 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) 46.641850 -6.255870 38.680560 -1.381350 -46.868220 144.588290 33.901310 Conectividad 19 a 16 21 a 16 24 a 16 18 a 17 27 a 17 32 a 18 20 a 19 𝑷 𝒒𝒑 (MW) 506.48893 330.418360 42.707390 -210.362640 -19.010750 -52.333720 -122.507900 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) 61.673970 -26.253540 91.415800 -20.331180 9.275300 -12.693520 12.622140 Conectividad 22 a 21 23 a 22 24 a 23 26 a 25 31 a 25 27 a 26 28 a 26 𝑷 𝒒𝒑 (MW) 607.20687 -42.770450 -351.307820 -70.941410 -239.094340 -261.990250 141.613910 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) 109.74502 -61.836280 0.591880 -38.550710 82.677390 -84.776540 -55.808350 Conectividad 29 a 26 29 a 28 32 a 31 39 a 31 33 a 32 34 a 33 35 a 34 𝑷 𝒒𝒑 (MW) 192.09752 349.170700 -362.555670 -124.338270 -92.600370 137.134660 454.837810 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) -67.237280 -38.877160 -100.279660 -28.311350 -128.749890 -2.775720 56.954000 Conectividad 37 a 34 36 a 35 37 a 36 38 a 37 𝑷 𝒒𝒑 (MW) -316.45499 -419.518430 -185.578960 20.149340 𝑸 𝒒𝒑 (MVAR) -61.876910 -86.046910 -8.178340 69.885910 4.3.2 Esquema de 301 Mediciones El esquema de 301 mediciones se presenta en la Figura 4-26 y considera 39 mediciones de magnitudes de voltaje, 92 mediciones de flujos de potencia activa, 92 mediciones de flujos de potencia reactiva, 39 mediciones de inyecciones de potencia activa y 39 mediciones de inyecciones de potencia reactiva. Se puede ver de la Figura 4-25 que los nodos 11, 13, 14, 17, 19, 22, 30, 31, 34, 35, 38 y 39 son nodos de paso por lo que tienen mediciones de inyecciones cero. Asimismo, en la Tabla 4-53 se muestran los datos de las mediciones del esquema de mediciones de la Figura 4-26.
- 151. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 117 1 3 30 5 11 13 35 36 37 38 34 2 33 14 32 39 18 31 10 25 8 26 27 28 29 24 6 2221 16 17 15 19 20 4 23 7 9 12 Figura 4-26 Diagrama unifilar con 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. N° Medición 1 2 3 4 5 6 7 Variable |𝑉1| |𝑉2| |𝑉3| |𝑉4| |𝑉5| |𝑉6| |𝑉7| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.982000 1.030000 0.983100 0.997200 1.012300 1.049300 1.063500 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.984739 1.024522 0.981368 0.994043 1.019294 1.054840 1.067860 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 8 9 10 11 12 13 14 Variable |𝑉8| |𝑉9| |𝑉10| |𝑉11| |𝑉12| |𝑉13| |𝑉14| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.027800 1.026500 1.047500 1.012690 1.000147 1.014302 1.011726 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.041461 1.036393 1.029239 0.996801 0.996883 1.012492 1.013205 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196
- 152. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 118 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 15 16 17 18 19 20 21 Variable |𝑉15| |𝑉16| |𝑉17| |𝑉18| |𝑉19| |𝑉20| |𝑉21| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.015371 1.031758 1.033544 1.030922 1.049855 0.991173 1.031749 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.028142 1.029631 1.041697 1.040897 1.046379 0.986085 1.030131 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 22 23 24 25 26 27 28 Variable |𝑉22| |𝑉23| |𝑉24| |𝑉25| |𝑉26| |𝑉27| |𝑉28| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.049788 1.044780 1.037287 1.057565 1.052070 1.037733 1.050120 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.059972 1.036836 1.031267 1.061664 1.060317 1.044047 1.055328 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 29 30 31 32 33 34 35 Variable |𝑉29| |𝑉30| |𝑉31| |𝑉32| |𝑉33| |𝑉34| |𝑉35| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.049941 1.017147 1.048733 1.030167 1.003857 1.005307 1.007669 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.040010 1.022126 1.037667 1.030982 1.009611 0.997509 1.006037 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 36 37 38 39 40 41 42 Variable |𝑉36| |𝑉37| |𝑉38| |𝑉39| 𝑃1−35 𝑃2−38 𝑃2−39 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.996997 0.996016 1.028225 1.047355 5.116104 0.201534 -1.241532 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.989930 0.999476 1.026918 1.036000 5.064915 0.199397 -1.233274 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 43 44 45 46 47 48 49 Variable 𝑃3−30 𝑃4−19 𝑃5−20 𝑃6−22 𝑃7−23 𝑃8−25 𝑃9−29 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 6.500003 6.320002 5.079999 6.500006 5.600003 5.400003 8.300007 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 6.520634 6.291997 5.065314 6.510140 5.588503 5.372881 8.333173 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 50 51 52 53 54 55 56 Variable 𝑃10−31 𝑃11−12 𝑃11−30 𝑃11−35 𝑃12−13 𝑃13−14 𝑃13−30 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 2.500001 -0.000561 -3.647093 3.647647 -0.075851 2.768144 -2.844358 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 2.480404 -0.000557 -3.674703 3.645771 -0.076539 2.777175 -2.834135 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 153. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 119 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 57 58 59 60 61 62 63 Variable 𝑃14−15 𝑃14−33 𝑃15−16 𝑃16−17 𝑃16−19 𝑃16−21 𝑃16−24 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.051361 2.710070 -3.148693 2.300345 -5.026757 -3.295967 -0.426771 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.051188 2.727218 -3.138782 2.309290 -5.062106 -3.285480 -0.420967 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 64 65 66 67 68 69 70 Variable 𝑃17−18 𝑃17−27 𝑃18−32 𝑃19−20 𝑃21−22 𝑃22−23 𝑃23−24 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 2.106553 0.190237 0.523621 1.226160 -6.044190 0.427952 3.538395 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 2.108001 0.191269 0.521930 1.220008 -6.083904 0.427714 3.516306 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 71 72 73 74 75 76 77 Variable 𝑃25−26 𝑃25−31 𝑃26−27 𝑃26−28 𝑃26−29 𝑃28−29 𝑃31−32 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.710899 2.432564 2.629497 -1.408255 -1.901838 -3.476143 3.642578 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.710374 2.420000 2.600129 -1.418310 -1.906743 -3.475491 3.662899 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 78 79 80 81 82 83 84 Variable 𝑃31−39 𝑃32−33 𝑃33−34 𝑃34−35 𝑃34−37 𝑃35−36 𝑃36−37 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.248347 0.928894 -1.369857 -4.544234 3.172866 4.206198 1.857179 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.233106 0.926972 -1.358973 -4.586990 3.208875 4.224269 1.846573 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 85 86 87 88 89 90 91 Variable 𝑃37−38 𝑃12−11 𝑃13−12 𝑃14−13 𝑃15−14 𝑃16−15 𝑃17−16 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.199643 0.000851 0.076198 -2.761439 -0.051303 3.159127 -2.296777 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.198773 0.000851 0.076185 -2.771879 -0.051498 3.190541 -2.304872 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 92 93 94 95 96 97 98 Variable 𝑃18−17 𝑃19−4 𝑃19−16 𝑃20−5 𝑃20−19 𝑃21−16 𝑃22−6 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -2.103626 -6.291035 5.064889 -5.054921 -1.225079 3.304184 -6.500006 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -2.116682 -6.333040 5.090369 -5.039371 -1.236377 3.293922 -6.472874 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 154. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 120 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 99 100 101 102 103 104 105 Variable 𝑃22−21 𝑃23−7 𝑃23−22 𝑃24−16 𝑃24−23 𝑃25−8 𝑃26−25 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 6.072069 -5.585687 -0.427704 0.427074 -3.513078 -5.383441 -0.709414 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 6.040377 -5.584227 -0.429693 0.425914 -3.545343 -5.383302 -0.710747 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 106 107 108 109 110 111 112 Variable 𝑃27−17 𝑃27−26 𝑃28−26 𝑃29−9 𝑃29−26 𝑃29−28 𝑃30−3 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.190108 -2.619902 1.416139 -8.247664 1.920975 3.491707 -6.500003 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.188872 -2.625753 1.402507 -8.187525 1.904930 3.517637 -6.490494 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 113 114 115 116 117 118 119 Variable 𝑃30−11 𝑃30−13 𝑃31−10 𝑃31−25 𝑃32−18 𝑃32−31 𝑃33−14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 3.652463 2.847563 -2.500001 -2.390943 -0.523337 -3.625557 -2.704139 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 3.686316 2.823251 -2.491975 -2.383413 -0.525278 -3.615634 -2.688538 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 120 121 122 123 124 125 126 Variable 𝑃33−32 𝑃34−33 𝑃35−1 𝑃35−11 𝑃35−34 𝑃36−35 𝑃37−34 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.926004 1.371347 -5.116104 -3.638476 4.548378 -4.195184 -3.164550 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.928668 1.370563 -5.088404 -3.658137 4.554633 -4.223614 -3.130873 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 127 128 129 130 131 132 133 Variable 𝑃37−36 𝑃38−2 𝑃38−37 𝑃39−2 𝑃39−31 𝑄1−35 𝑄2−38 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.855790 -0.201491 0.201493 1.243381 -1.243383 1.936645 -0.571004 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.877821 -0.199910 0.202791 1.241298 -1.234268 1.943545 -0.571493 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 134 135 136 137 138 139 140 Variable 𝑄2−39 𝑄3−30 𝑄4−19 𝑄5−20 𝑄6−22 𝑄7−23 𝑄8−25 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.046077 2.051611 1.099446 1.657833 2.124620 1.012090 0.004515 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.037191 2.069640 1.105287 1.654378 2.114052 1.017894 0.004524 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 155. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 121 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 141 142 143 144 145 146 147 Variable 𝑄9−29 𝑄10−31 𝑄11−12 𝑄11−30 𝑄11−35 𝑄12−13 𝑄13−14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.228506 1.461765 0.430899 -0.720976 0.290048 -0.456975 -0.039006 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.227270 1.466049 0.425481 -0.711454 0.292232 -0.449861 -0.038846 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 148 149 150 151 152 153 154 Variable 𝑄13−30 𝑄14−15 𝑄14−33 𝑄15−16 𝑄16−17 𝑄16−19 𝑄16−21 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.427566 -0.361474 0.423963 -1.516064 -0.436764 -0.481345 0.129958 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.432030 -0.365253 0.426123 -1.512023 -0.436575 -0.482550 0.128905 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 155 156 157 158 159 160 161 Variable 𝑄16−24 𝑄17−18 𝑄17−27 𝑄18−32 𝑄19−20 𝑄21−22 𝑄22−23 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.980978 0.097051 -0.435969 -0.096690 -0.104916 -0.887437 0.419857 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.990862 0.097300 -0.435065 -0.097371 -0.104773 -0.883558 0.425715 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 162 163 164 165 166 167 168 Variable 𝑄23−24 𝑄25−26 𝑄25−31 𝑄26−27 𝑄26−28 𝑄26−29 𝑄28−29 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.005608 -0.170293 -0.937575 0.686900 -0.216979 -0.254432 0.282102 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.005601 -0.169145 -0.927989 0.685094 -0.217465 -0.254345 0.284643 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 169 170 171 172 173 174 175 Variable 𝑄31−32 𝑄31−39 𝑄32−33 𝑄33−34 𝑄34−35 𝑄34−37 𝑄35−36 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.922590 -0.426036 1.105817 -0.083837 -0.559636 0.587391 0.915818 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.931824 -0.420765 1.100904 -0.083868 -0.567280 0.589819 0.915953 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 176 177 178 179 180 181 182 Variable 𝑄36−37 𝑄37−38 𝑄12−11 𝑄13−12 𝑄14−13 𝑄15−14 𝑄16−15 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.020305 -1.059433 -0.423023 0.466419 -0.062559 -0.013813 1.445883 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.020222 -1.060634 -0.418593 0.465202 -0.063374 -0.013914 1.440605 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 156. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 122 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 183 184 185 186 187 188 189 Variable 𝑄17−16 𝑄18−17 𝑄19−4 𝑄19−16 𝑄20−5 𝑄20−19 𝑄21−16 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.339013 -0.203312 -0.511812 0.616740 -1.156261 0.126221 -0.262535 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.338839 -0.204083 -0.512257 0.614706 -1.170240 0.126943 -0.260684 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 190 191 192 193 194 195 196 Variable 𝑄22−6 𝑄22−21 𝑄23−7 𝑄23−22 𝑄24−16 𝑄24−23 𝑄25−8 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.517256 1.097450 -0.233284 -0.618363 0.914158 0.005919 0.635897 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.531412 1.096102 -0.232452 -0.617607 0.913882 0.005909 0.640460 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 197 198 199 200 201 202 203 Variable 𝑄26−25 𝑄27−17 𝑄27−26 𝑄28−26 𝑄29−9 𝑄29−26 𝑄29−28 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.385507 0.092753 -0.847765 -0.558083 0.792181 -0.672373 -0.388772 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.384295 0.093106 -0.842566 -0.553293 0.786836 -0.669465 -0.386008 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 204 205 206 207 208 209 210 Variable 𝑄30−3 𝑄30−11 𝑄30−13 𝑄31−10 𝑄31−25 𝑄32−18 𝑄32−31 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.090207 0.703615 0.386806 -1.323420 0.826774 -0.126935 -1.002797 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.089122 0.700256 0.383271 -1.309883 0.820136 -0.128031 -0.999891 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 211 212 213 214 215 216 217 Variable 𝑄33−14 𝑄33−32 𝑄34−33 𝑄35−1 𝑄35−11 𝑄35−34 𝑄36−35 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.468682 -1.287499 -0.027757 -1.160839 -0.324361 0.569540 -0.860469 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.464849 -1.280504 -0.027712 -1.157329 -0.323871 0.574236 -0.858730 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 218 219 220 221 222 223 224 Variable 𝑄37−34 𝑄37−36 𝑄38−2 𝑄38−37 𝑄39−2 𝑄39−31 𝑃1 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.618769 -0.081783 -0.698825 0.698859 0.283107 -0.283114 5.116102 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.626568 -0.082353 -0.702396 0.693525 0.286368 -0.281553 5.129626 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000900
- 157. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 123 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 225 226 227 228 229 230 231 Variable 𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝑃5 𝑃6 𝑃7 𝑃8 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.040000 6.500000 6.320000 5.080000 6.500000 5.600000 5.400000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.030678 6.504408 6.302109 5.098290 6.575139 5.564242 5.417977 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 N° Medición 232 233 234 235 236 237 238 Variable 𝑃9 𝑃10 𝑃11 𝑃12 𝑃13 𝑃14 𝑃15 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 8.300000 2.500000 0.000000 -0.075000 0.000000 0.000000 -3.200000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 8.318285 2.502190 0.000000 -0.074728 0.000000 0.000000 -3.219325 𝝈 0.030000 0.030000 0.012000 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000144 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 N° Medición 239 240 241 242 243 244 245 Variable 𝑃16 𝑃17 𝑃18 𝑃19 𝑃20 𝑃21 𝑃22 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -3.290000 0.000000 -1.580000 0.000000 -6.280000 -2.740000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -3.294575 0.000000 -1.584597 0.000000 -6.265918 -2.715620 0.000000 𝝈 0.030000 0.012000 0.030000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000144 0.000900 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 N° Medición 246 247 248 249 250 251 252 Variable 𝑃23 𝑃24 𝑃25 𝑃26 𝑃27 𝑃28 𝑃29 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -2.475000 -3.086000 -2.240000 -1.390000 -2.810000 -2.060000 -2.835000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -2.472936 -3.044381 -2.206183 -1.398547 -2.815713 -2.047653 -2.857065 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 N° Medición 253 254 255 256 257 258 259 Variable 𝑃30 𝑃31 𝑃32 𝑃33 𝑃34 𝑃35 𝑃36 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 0.000000 -3.220000 -5.000000 0.000000 0.000000 -2.338000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 0.000000 -3.249436 -5.035545 0.000000 0.000000 -2.333312 𝝈 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 N° Medición 260 261 262 263 264 265 266 Variable 𝑃37 𝑃38 𝑃39 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -5.220000 0.000000 0.000000 1.936647 -1.617081 2.051624 1.099435 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -5.303638 0.000000 0.000000 1.938449 -1.607209 2.055558 1.106760 𝝈 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900
- 158. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 124 Tabla 4-53 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 301 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 267 268 269 270 271 272 273 Variable 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄8 𝑄9 𝑄10 𝑄11 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.657805 2.124621 1.012081 0.004509 0.228525 1.461741 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.668427 2.155572 1.009268 0.004549 0.230201 1.458552 0.000000 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000144 N° Medición 274 275 276 277 278 279 280 Variable 𝑄12 𝑄13 𝑄14 𝑄15 𝑄16 𝑄17 𝑄18 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.880000 0.000000 0.000000 -1.530000 -0.323000 0.000000 -0.300000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.892081 0.000000 0.000000 -1.517573 -0.326537 0.000000 -0.301998 𝝈 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000900 N° Medición 281 282 283 284 285 286 287 Variable 𝑄19 𝑄20 𝑄21 𝑄22 𝑄23 𝑄24 𝑄25 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 -1.030000 -1.150000 0.000000 -0.846000 0.920000 -0.472000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 -1.027894 -1.149408 0.000000 -0.850435 0.924401 -0.467156 𝝈 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000900 0.000900 0.000900 N° Medición 288 289 290 291 292 293 294 Variable 𝑄26 𝑄27 𝑄28 𝑄29 𝑄30 𝑄31 𝑄32 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.170000 -0.755000 -0.276000 -0.269000 0.000000 0.000000 -0.024000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.169220 -0.757159 -0.275525 -0.269989 0.000000 0.000000 -0.024169 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 N° Medición 295 296 297 298 299 300 301 Variable 𝑄33 𝑄34 𝑄35 𝑄36 𝑄37 𝑄38 𝑄39 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.840000 0.000000 0.000000 -0.840000 -1.760000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.827430 0.000000 0.000000 -0.842160 -1.762471 0.000000 0.000000 𝝈 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 4.3.2.1 Caso 1 Ahora se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 301 mediciones dado por la Figura 4-26 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 15-16 y 21-22 (elementos 20 y 29) y en la Tabla 4-54 se presentan los valores de parámetros perturbados para dichas líneas.
- 159. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 125 Tabla 4-54 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 20 y 29. Elemento 20 29 Conectividad (p a q) 15 a 16 21 a 22 𝒓 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.001170 0.001040 𝒙 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.012220 0.018200 𝒃 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒉 (pu) 0.111150 0.166725 El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 4 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.187201 segundos. En la Figura 4-27 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura 4-28 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los valores con errores de parámetros de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-29 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados, además en la Figura 4-30 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1 Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-27 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
- 160. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1 Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-28 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1 Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-29 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
- 161. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 127 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -50 0 50 100 150 200 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1 Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-30 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. De la Figura 4-27 y la Figura 4-28 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores a 0.6% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 6, 7, 22 y 23 que son los nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-29 y la Figura 4-30 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 225%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-55 y la Tabla 4-56. Tabla 4-55 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 1307.792297 1.704713 77 Tabla 4-56 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 8081269023.834400 7852.688502 77 1029108.568625 0.000000971715 De la Tabla 4-55 y la Tabla 4-56 se puede observar que 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tienen rango columna completo por lo que existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 224 grados de libertad (301 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-57.
- 162. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 128 Tabla 4-57 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 259.912993 1360.428113 Sí De la Tabla 4-57 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-31 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 1 y en la Tabla 4-58 se presentan únicamente los residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-59 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados. 1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 295 0 3 6 9 12 15 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1 Número de Medición r N rN Figura 4-31 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Tabla 4-58 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Medición 𝑷 𝟏𝟒−𝟏𝟓 𝑷 𝟏𝟒−𝟑𝟑 𝑷 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝑷 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝑷 𝟏𝟔−𝟐𝟒 𝑷 𝟏𝟖−𝟑𝟐 𝑷 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒓 𝑵 4.506871 3.098886 3.001374 9.186480 8.703856 3.424454 11.988973 Medición 𝑷 𝟐𝟐−𝟐𝟑 𝑷 𝟐𝟑−𝟐𝟒 𝑷 𝟑𝟐−𝟑𝟑 𝑷 𝟏𝟓−𝟏𝟒 𝑷 𝟏𝟔−𝟏𝟓 𝑷 𝟐𝟏−𝟏𝟔 𝑷 𝟐𝟐−𝟐𝟏 𝒓 𝑵 9.811408 16.233122 4.461621 4.491478 4.625042 9.257590 8.985814 Medición 𝑷 𝟐𝟑−𝟐𝟐 𝑷 𝟐𝟒−𝟏𝟔 𝑷 𝟐𝟒−𝟐𝟑 𝑷 𝟑𝟐−𝟏𝟖 𝑷 𝟑𝟑−𝟑𝟐 𝑸 𝟐𝟑−𝟐𝟒 𝑷 𝟐𝟑 𝒓 𝑵 9.712966 8.511881 13.924268 3.272564 4.261622 4.107357 6.181347 Medición 𝑷 𝟐𝟒 𝒓 𝑵 10.087667 Tabla 4-59 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 16.233122 Sí
- 163. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 129 Como se puede observar de la Figura 4-31 y la Tabla 4-58 los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 14-15, 14-33, 15-16, 16-21, 16-24, 18-32, 21-22, 22-23, 23-24 y 32-33. De la Tabla 4-59 el máximo residual normalizado es 16.233122 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Además el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 23-24 que es cercana a las líneas con parámetros erróneos. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las líneas 15-16 y 21-22 (elementos 20 y 29) considerando el esquema de 301 mediciones dado por la Figura 4-26. Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-60 donde el algoritmo se tomó 6 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.280801 segundos. Tabla 4-60 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 1. Parámetro 𝒓 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150 Valor Estimado (pu) 0.000907 0.009363 0.084472 Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500 % Error de Estimación 0.744231 -0.396114 -1.202646 Parámetro 𝒓 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725 Valor Estimado (pu) 0.000804 0.013985 0.126691 Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250 % Error de Estimación 0.502220 -0.108659 -1.215385 Se observa de la Tabla 4-60 que las estimaciones de parámetros presentan porcentajes de error menores a 2% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-61 y la Tabla 4-62 se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. Tabla 4-61 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 1308.620000 0.010000 83 Tabla 4-62 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 2007850000.000000 0.181948 83 11035275719.779600 0.000000000091 De la Tabla 4-61 y Tabla 4-62 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de 83, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-56 y Tabla 4-62 se puede ver que el número de condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 10000 veces mayor que el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es muy pequeña. En la Tabla 4-63 se presentan los resultados de la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos.
- 164. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 130 Tabla 4-63 Prueba 𝜒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 259.912993 65.389195 No De la Tabla 4-63 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos tomando en cuenta las estimaciones de parámetros debido a que la función objetivo es menor que el cálculo de la distribución 𝜒2 con 224 grados de libertad (301 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-64. Tabla 4-64 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.570851 No De la Tabla 4-64 se puede observar que no se detecta la presencia de datos erróneos tomando en cuenta los valores de parámetros estimados ya que el máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3, por lo que no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Por último se realizó el cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados para los elementos 20 y 29, los resultados se muestran en la Tabla 4-65. Tabla 4-65 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20 y 29 para el caso 1. Parámetro 𝒈 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 7.763908 -81.089708 0.111150 Valor Estimado (pu) 10.247089 -105.813716 0.084472 Intervalo de Confianza (pu) (9.593581, 10.900598) (-106.448098, -105.179334) (0.080143, 0.088800) Indicador de Precisión 0.936225 0.994005 0.948756 Parámetro 𝒈 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.129499 -54.766226 0.166725 Valor Estimado (pu) 4.097517 -71.270694 0.126691 Intervalo de Confianza (pu) ( 3.921214, 4.273819) (-71.444662, -71.096725) (0.122568, 0.130814) Indicador de Precisión 0.956973 0.997559 0.967457 De la Tabla 4-65 se puede observar que los valores iniciales de los 6 parámetros para las líneas 15- 16 y 21-22 se encuentran fuera de los intervalos de confianza calculados, por lo que se consideran como parámetros con posibilidad de error y deben ser corregidos. También se observa que los indicadores de precisión para los 6 parámetros se encuentran por encima de 0.90 por lo que se pueden considerar buenas estimaciones. 4.3.2.2 Caso 1A Ahora se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 301 mediciones dado por la Figura 4-26 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los
- 165. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 131 parámetros de las líneas 15-16, 16-21 y 21-22 (elementos 20, 23 y 29), en la Tabla 4-66 se presentan los valores de parámetros perturbados para dichas líneas. Tabla 4-66 Impedancias y admitancias primitivas con errores de +30% para los elementos 20, 23 y 29. Elemento 20 23 29 Conectividad (p a q) 15 a 16 16 a 21 21 a 22 𝒓 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.001170 0.001040 0.001040 𝒙 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 (pu) 0.012220 0.017550 0.018200 𝒃 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒔𝒉 (pu) 0.111150 0.165620 0.166725 El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 5 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.234001 segundos. En la Figura 4-32 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura 4-33 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los valores con errores de parámetros de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-34 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados, además en la Figura 4-35 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1A Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-32 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
- 166. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1A Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-33 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 1A Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-34 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.
- 167. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 133 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -50 0 50 100 150 200 250 300 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1A Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-35 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. De la Figura 4-32 y la Figura 4-33 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.5% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 6, 7, 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-34 y la Figura 4-35 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 300%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-67 y la Tabla 4-68. Tabla 4-67 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 1307.361643 1.711120 77 Tabla 4-68 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 8076066999.765720 7879.674654 77 1024923.915594 0.000000975682 De la Tabla 4-67 y la Tabla 4-68 se observa que 𝐻(𝑥) y 𝐺(𝑥) tiene rango columna completo por lo que existe solución única de mínimos cuadrados (el sistema es observable). Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 224 grados de libertad (301 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-69.
- 168. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 134 Tabla 4-69 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 259.912993 2596.05793 Sí De la Tabla 4-69 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-36 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 1A y en la Tabla 4-70 se presentan únicamente los residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-71 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados. 1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 295 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1A Número de Medición rN rN Figura 4-36 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. Tabla 4-70 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. Medición 𝑷 𝟏𝟒−𝟏𝟓 𝑷 𝟏𝟒−𝟑𝟑 𝑷 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝑷 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝑷 𝟏𝟔−𝟐𝟒 𝑷 𝟏𝟖−𝟑𝟐 𝑷 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒓 𝑵 4.56471 3.111669 3.427185 15.438199 12.533872 3.353276 16.720917 Medición 𝑷 𝟐𝟐−𝟐𝟑 𝑷 𝟐𝟑−𝟐𝟒 𝑷 𝟑𝟐−𝟑𝟑 𝑷 𝟏𝟓−𝟏𝟒 𝑷 𝟏𝟔−𝟏𝟓 𝑷 𝟐𝟏−𝟏𝟔 𝑷 𝟐𝟐−𝟐𝟏 𝒓 𝑵 14.025586 23.048502 4.429411 4.549259 5.053927 15.471438 13.780125 Medición 𝑷 𝟐𝟑−𝟐𝟐 𝑷 𝟐𝟒−𝟏𝟔 𝑷 𝟐𝟒−𝟐𝟑 𝑷 𝟑𝟐−𝟏𝟖 𝑷 𝟑𝟑−𝟑𝟐 𝑸 𝟐𝟑−𝟐𝟒 𝑷 𝟔 𝒓 𝑵 13.922204 12.34356 20.594221 3.201494 4.229437 4.403777 3.370952 Medición 𝑷 𝟐𝟐 𝑷 𝟐𝟑 𝑷 𝟐𝟒 𝒓 𝑵 3.686078 8.690222 13.564198 Tabla 4-71 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 23.048502 Sí
- 169. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 135 Como se puede observar de la Figura 4-36 y la Tabla 4-70 los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 14-15, 14-33, 15-16, 16-21, 16-24, 18-32, 21-22, 22-23, 23-24 y 32-33, en los que se encuentran las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-71 el máximo residual normalizado es 23.048502 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Además de que el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 23-24 que es cercana a las líneas con parámetros erróneos. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las líneas 15-16, 16-21 y 21-22 (elementos 20, 23 y 29) considerando el esquema de 301 mediciones dado por la Figura 4-26. Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-72, donde el algoritmo tomó 8 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.312002 segundos. Tabla 4-72 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A. Parámetro 𝒓 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150 Valor Estimado (pu) 0.000905 0.009363 0.084539 Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500 % Error de Estimación 0.553599 -0.395387 -1.123428 Parámetro 𝒓 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒙 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒃 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001040 0.017550 0.165620 Valor Estimado (pu) 0.002216 0.012800 0.123359 Valor Correcto (pu) 0.000800 0.013500 0.127400 % Error de Estimación 177.049632 -5.187440 -3.172012 Parámetro 𝒓 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725 Valor Estimado (pu) -0.000025 0.014283 0.129972 Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250 % Error de Estimación -103.186137 2.020960 1.342677 Se observa de la Tabla 4-72 que para la línea 15-16 se obtienen porcentajes de error menores a 2%. La línea 16-21 presentó los mayores porcentajes de error, siendo la resistencia la que tiene un valor estimado muy malo debido a su porcentaje de error de 177.049632%. Mientras que para la línea 21- 22 se obtuvo un porcentaje de error de resistencia de −103.186137%, siendo negativo el valor de resistencia para esa línea. Por lo que no todos los parámetros tienen buenas estimaciones. En la Tabla 4-73 y la Tabla 4-74 se presentan los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. Tabla 4-73 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 1308.370000 0.000300 86
- 170. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 136 Tabla 4-74 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 2007090000.000000 0.000123 86 16281006136940.30000 0.0000000000000614 De la Tabla 4-73 y Tabla 4-74 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de 86, esto es porque se añadieron 9 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-68 y Tabla 4-74 se puede ver que el número de condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 15000000 el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es mucho más pequeña que el de 𝐺(𝑥). Se realizó la prueba 𝜒2 usando los valores de parámetros estimados de la Tabla 4-72 y los resultados se presentan en la Tabla 4-75. Tabla 4-75 Prueba 𝜒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 259.912993 64.414264 No De la Tabla 4-75 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos a pesar de que las estimaciones de resistencia para las líneas 16-21 y 21-22 tienen errores de más de 100% con respecto a sus valores nominales. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-76. Tabla 4-76 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.569834 No De la Tabla 4-76 se puede observar que la prueba de los residuales normalizados tampoco detecta la presencia de datos erróneos aunque se tengan errores de resistencia mayores al 100% ya que el máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3. Es por esto que es necesario el cálculo de los intervalos de confianza y los indicadores de precisión para los parámetros estimados, debido a que algunas veces el estimador de parámetros puede producir resultados irrazonables. En la Tabla 4-77 se muestran los resultados del cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados para los elementos 20, 23 y 29.
- 171. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 137 Tabla 4-77 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A. Parámetro 𝒈 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 7.763908 -81.089708 0.111150 Valor Estimado (pu) 10.227911 -105.816674 0.084539 Intervalo de Confianza (pu) (9.574520, 10.881301) (-106.450811, -105.182538) (0.080158, 0.088921) Indicador de Precisión 0.936117 0.994007 0.948173 Parámetro 𝒈 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒃 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒃 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.364780 -56.780663 0.165620 Valor Estimado (pu) 13.134623 -75.852465 0.123359 Intervalo de Confianza (pu) (8.524590, 17.744657) (-98.486357, -53.218573) (0.104764, 0.141954) Indicador de Precisión 0.649017 0.701606 0.849264 Parámetro 𝒈 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.129499 -54.766226 0.166725 Valor Estimado (pu) -0.124945 -70.013401 0.129972 Intervalo de Confianza (pu) (-1.360668, 1.110779) (-80.250543, -59.776259) (0.095852, 0.164092) Indicador de Precisión 0.000000 0.853783 0.737480 De la Tabla 4-77 se puede observar que para la línea 15-16, los 3 parámetros iniciales están fuera de los intervalos de confianza calculados por lo que son parámetros con posibilidad de error que deben ser corregidos, además de que los indicadores de precisión para los 3 parámetros están por arriba de 0.90 por lo que se pueden considerar buenas estimaciones. Para la línea 16-21, el valor inicial de conductancia serie se encuentra fuera del rango del intervalo de confianza pero el indicador de precisión calculado es de 0.649017, el valor inicial de susceptancia serie se encuentra dentro del rango de su intervalo de confianza por lo que se puede considerar un parámetro sin posibilidad de error y el valor inicial de susceptancia en derivación está fuera del rango de su intervalo de confianza por lo que es un parámetro con posibilidad de error que debe ser corregido pero su indicador de precisión es de 0.849264. Para la línea 21-22, el valor inicial de conductancia serie se encuentra fuera de su intervalo de confianza pero su indicador de precisión es de 0.0 por lo que es una mala estimación para este parámetro, el valor inicial de susceptancia serie se encuentra fuera de su intervalo de confianza pero su indicador de precisión es de 0.853783 y por último el valor inicial de la susceptancia en derivación está fuera del rango de su intervalo de confianza por lo que es un parámetro con posibilidad de error, pero su indicador de precisión es de 0.737480. Debido a que el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada es muy grande, solo se deben sustituir los parámetros con posibilidad de error que tengan un indicador de precisión por arriba de 0.90, por lo que los parámetros que deben ser corregidos con las estimaciones que se obtuvieron son solamente 𝑔15−16, 𝑏15−16 y 𝑏15−16 𝑠ℎ para este caso.
- 172. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 138 4.3.3 Esquema de 247 Mediciones El esquema de 247 mediciones de la Figura 4-37 está compuesto por 39 mediciones de magnitudes de voltaje, 92 mediciones de flujos de potencia activa, 92 mediciones de flujos de potencia reactiva, 12 mediciones de inyecciones de potencia activa y 12 mediciones de inyecciones de potencia reactiva. Se puede observar de la Figura 4-25 que los nodos 11, 13, 14, 17, 19, 22, 30, 31, 34, 35, 38 y 39 tienen mediciones de inyecciones cero. 1 3 30 5 11 13 35 36 37 38 34 2 33 14 32 39 18 31 10 25 8 26 27 28 29 24 6 2221 16 17 15 19 20 4 23 7 9 12 Figura 4-37 Diagrama unifilar con 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. La Tabla 4-78 muestra los datos de las mediciones del esquema de la Figura 4-37. Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. N° Medición 1 2 3 4 5 6 7 Variable |𝑉1| |𝑉2| |𝑉3| |𝑉4| |𝑉5| |𝑉6| |𝑉7| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.982000 1.030000 0.983100 0.997200 1.012300 1.049300 1.063500 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.984739 1.024522 0.981368 0.994043 1.019294 1.054840 1.067860 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196
- 173. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 139 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 8 9 10 11 12 13 14 Variable |𝑉8| |𝑉9| |𝑉10| |𝑉11| |𝑉12| |𝑉13| |𝑉14| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.027800 1.026500 1.047500 1.012690 1.000147 1.014302 1.011726 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.041461 1.036393 1.029239 0.996801 0.996883 1.012492 1.013205 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 15 16 17 18 19 20 21 Variable |𝑉15| |𝑉16| |𝑉17| |𝑉18| |𝑉19| |𝑉20| |𝑉21| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.015371 1.031758 1.033544 1.030922 1.049855 0.991173 1.031749 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.028142 1.029631 1.041697 1.040897 1.046379 0.986085 1.030131 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 22 23 24 25 26 27 28 Variable |𝑉22| |𝑉23| |𝑉24| |𝑉25| |𝑉26| |𝑉27| |𝑉28| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.049788 1.044780 1.037287 1.057565 1.052070 1.037733 1.050120 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.059972 1.036836 1.031267 1.061664 1.060317 1.044047 1.055328 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 29 30 31 32 33 34 35 Variable |𝑉29| |𝑉30| |𝑉31| |𝑉32| |𝑉33| |𝑉34| |𝑉35| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.049941 1.017147 1.048733 1.030167 1.003857 1.005307 1.007669 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.040010 1.022126 1.037667 1.030982 1.009611 0.997509 1.006037 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 36 37 38 39 40 41 42 Variable |𝑉36| |𝑉37| |𝑉38| |𝑉39| 𝑃1−35 𝑃2−38 𝑃2−39 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.996997 0.996016 1.028225 1.047355 5.116104 0.201534 -1.241532 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.989930 0.999476 1.026918 1.036000 5.064915 0.199397 -1.233274 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 43 44 45 46 47 48 49 Variable 𝑃3−30 𝑃4−19 𝑃5−20 𝑃6−22 𝑃7−23 𝑃8−25 𝑃9−29 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 6.500003 6.320002 5.079999 6.500006 5.600003 5.400003 8.300007 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 6.520634 6.291997 5.065314 6.510140 5.588503 5.372881 8.333173 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 174. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 140 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 50 51 52 53 54 55 56 Variable 𝑃10−31 𝑃11−12 𝑃11−30 𝑃11−35 𝑃12−13 𝑃13−14 𝑃13−30 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 2.500001 -0.000561 -3.647093 3.647647 -0.075851 2.768144 -2.844358 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 2.480404 -0.000557 -3.674703 3.645771 -0.076539 2.777175 -2.834135 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 57 58 59 60 61 62 63 Variable 𝑃14−15 𝑃14−33 𝑃15−16 𝑃16−17 𝑃16−19 𝑃16−21 𝑃16−24 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.051361 2.710070 -3.148693 2.300345 -5.026757 -3.295967 -0.426771 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.051188 2.727218 -3.138782 2.309290 -5.062106 -3.285480 -0.420967 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 64 65 66 67 68 69 70 Variable 𝑃17−18 𝑃17−27 𝑃18−32 𝑃19−20 𝑃21−22 𝑃22−23 𝑃23−24 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 2.106553 0.190237 0.523621 1.226160 -6.044190 0.427952 3.538395 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 2.108001 0.191269 0.521930 1.220008 -6.083904 0.427714 3.516306 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 71 72 73 74 75 76 77 Variable 𝑃25−26 𝑃25−31 𝑃26−27 𝑃26−28 𝑃26−29 𝑃28−29 𝑃31−32 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.710899 2.432564 2.629497 -1.408255 -1.901838 -3.476143 3.642578 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.710374 2.420000 2.600129 -1.418310 -1.906743 -3.475491 3.662899 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 78 79 80 81 82 83 84 Variable 𝑃31−39 𝑃32−33 𝑃33−34 𝑃34−35 𝑃34−37 𝑃35−36 𝑃36−37 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.248347 0.928894 -1.369857 -4.544234 3.172866 4.206198 1.857179 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.233106 0.926972 -1.358973 -4.586990 3.208875 4.224269 1.846573 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 85 86 87 88 89 90 91 Variable 𝑃37−38 𝑃12−11 𝑃13−12 𝑃14−13 𝑃15−14 𝑃16−15 𝑃17−16 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.199643 0.000851 0.076198 -2.761439 -0.051303 3.159127 -2.296777 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.198773 0.000851 0.076185 -2.771879 -0.051498 3.190541 -2.304872 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 175. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 141 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 92 93 94 95 96 97 98 Variable 𝑃18−17 𝑃19−4 𝑃19−16 𝑃20−5 𝑃20−19 𝑃21−16 𝑃22−6 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -2.103626 -6.291035 5.064889 -5.054921 -1.225079 3.304184 -6.500006 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -2.116682 -6.333040 5.090369 -5.039371 -1.236377 3.293922 -6.472874 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 99 100 101 102 103 104 105 Variable 𝑃22−21 𝑃23−7 𝑃23−22 𝑃24−16 𝑃24−23 𝑃25−8 𝑃26−25 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 6.072069 -5.585687 -0.427704 0.427074 -3.513078 -5.383441 -0.709414 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 6.040377 -5.584227 -0.429693 0.425914 -3.545343 -5.383302 -0.710747 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 106 107 108 109 110 111 112 Variable 𝑃27−17 𝑃27−26 𝑃28−26 𝑃29−9 𝑃29−26 𝑃29−28 𝑃30−3 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.190108 -2.619902 1.416139 -8.247664 1.920975 3.491707 -6.500003 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.188872 -2.625753 1.402507 -8.187525 1.904930 3.517637 -6.490494 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 113 114 115 116 117 118 119 Variable 𝑃30−11 𝑃30−13 𝑃31−10 𝑃31−25 𝑃32−18 𝑃32−31 𝑃33−14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 3.652463 2.847563 -2.500001 -2.390943 -0.523337 -3.625557 -2.704139 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 3.686316 2.823251 -2.491975 -2.383413 -0.525278 -3.615634 -2.688538 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 120 121 122 123 124 125 126 Variable 𝑃33−32 𝑃34−33 𝑃35−1 𝑃35−11 𝑃35−34 𝑃36−35 𝑃37−34 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.926004 1.371347 -5.116104 -3.638476 4.548378 -4.195184 -3.164550 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.928668 1.370563 -5.088404 -3.658137 4.554633 -4.223614 -3.130873 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 127 128 129 130 131 132 133 Variable 𝑃37−36 𝑃38−2 𝑃38−37 𝑃39−2 𝑃39−31 𝑄1−35 𝑄2−38 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.855790 -0.201491 0.201493 1.243381 -1.243383 1.936645 -0.571004 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.877821 -0.199910 0.202791 1.241298 -1.234268 1.943545 -0.571493 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 176. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 142 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 134 135 136 137 138 139 140 Variable 𝑄2−39 𝑄3−30 𝑄4−19 𝑄5−20 𝑄6−22 𝑄7−23 𝑄8−25 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.046077 2.051611 1.099446 1.657833 2.124620 1.012090 0.004515 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.037191 2.069640 1.105287 1.654378 2.114052 1.017894 0.004524 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 141 142 143 144 145 146 147 Variable 𝑄9−29 𝑄10−31 𝑄11−12 𝑄11−30 𝑄11−35 𝑄12−13 𝑄13−14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.228506 1.461765 0.430899 -0.720976 0.290048 -0.456975 -0.039006 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.227270 1.466049 0.425481 -0.711454 0.292232 -0.449861 -0.038846 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 148 149 150 151 152 153 154 Variable 𝑄13−30 𝑄14−15 𝑄14−33 𝑄15−16 𝑄16−17 𝑄16−19 𝑄16−21 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.427566 -0.361474 0.423963 -1.516064 -0.436764 -0.481345 0.129958 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.432030 -0.365253 0.426123 -1.512023 -0.436575 -0.482550 0.128905 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 155 156 157 158 159 160 161 Variable 𝑄16−24 𝑄17−18 𝑄17−27 𝑄18−32 𝑄19−20 𝑄21−22 𝑄22−23 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.980978 0.097051 -0.435969 -0.096690 -0.104916 -0.887437 0.419857 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.990862 0.097300 -0.435065 -0.097371 -0.104773 -0.883558 0.425715 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 162 163 164 165 166 167 168 Variable 𝑄23−24 𝑄25−26 𝑄25−31 𝑄26−27 𝑄26−28 𝑄26−29 𝑄28−29 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.005608 -0.170293 -0.937575 0.686900 -0.216979 -0.254432 0.282102 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.005601 -0.169145 -0.927989 0.685094 -0.217465 -0.254345 0.284643 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 169 170 171 172 173 174 175 Variable 𝑄31−32 𝑄31−39 𝑄32−33 𝑄33−34 𝑄34−35 𝑄34−37 𝑄35−36 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.922590 -0.426036 1.105817 -0.083837 -0.559636 0.587391 0.915818 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.931824 -0.420765 1.100904 -0.083868 -0.567280 0.589819 0.915953 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 177. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 143 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 176 177 178 179 180 181 182 Variable 𝑄36−37 𝑄37−38 𝑄12−11 𝑄13−12 𝑄14−13 𝑄15−14 𝑄16−15 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.020305 -1.059433 -0.423023 0.466419 -0.062559 -0.013813 1.445883 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.020222 -1.060634 -0.418593 0.465202 -0.063374 -0.013914 1.440605 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 183 184 185 186 187 188 189 Variable 𝑄17−16 𝑄18−17 𝑄19−4 𝑄19−16 𝑄20−5 𝑄20−19 𝑄21−16 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.339013 -0.203312 -0.511812 0.616740 -1.156261 0.126221 -0.262535 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.338839 -0.204083 -0.512257 0.614706 -1.170240 0.126943 -0.260684 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 190 191 192 193 194 195 196 Variable 𝑄22−6 𝑄22−21 𝑄23−7 𝑄23−22 𝑄24−16 𝑄24−23 𝑄25−8 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.517256 1.097450 -0.233284 -0.618363 0.914158 0.005919 0.635897 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.531412 1.096102 -0.232452 -0.617607 0.913882 0.005909 0.640460 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 197 198 199 200 201 202 203 Variable 𝑄26−25 𝑄27−17 𝑄27−26 𝑄28−26 𝑄29−9 𝑄29−26 𝑄29−28 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.385507 0.092753 -0.847765 -0.558083 0.792181 -0.672373 -0.388772 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.384295 0.093106 -0.842566 -0.553293 0.786836 -0.669465 -0.386008 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 204 205 206 207 208 209 210 Variable 𝑄30−3 𝑄30−11 𝑄30−13 𝑄31−10 𝑄31−25 𝑄32−18 𝑄32−31 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.090207 0.703615 0.386806 -1.323420 0.826774 -0.126935 -1.002797 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.089122 0.700256 0.383271 -1.309883 0.820136 -0.128031 -0.999891 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 N° Medición 211 212 213 214 215 216 217 Variable 𝑄33−14 𝑄33−32 𝑄34−33 𝑄35−1 𝑄35−11 𝑄35−34 𝑄36−35 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.468682 -1.287499 -0.027757 -1.160839 -0.324361 0.569540 -0.860469 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.464849 -1.280504 -0.027712 -1.157329 -0.323871 0.574236 -0.858730 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784
- 178. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 144 Tabla 4-78 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 247 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 218 219 220 221 222 223 224 Variable 𝑄37−34 𝑄37−36 𝑄38−2 𝑄38−37 𝑄39−2 𝑄39−31 𝑃11 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.618769 -0.081783 -0.698825 0.698859 0.283107 -0.283114 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.626568 -0.082353 -0.702396 0.693525 0.286368 -0.281553 0.000000 𝝈 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.028000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000784 0.000144 N° Medición 225 226 227 228 229 230 231 Variable 𝑃13 𝑃14 𝑃17 𝑃19 𝑃22 𝑃30 𝑃31 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 232 233 234 235 236 237 238 Variable 𝑃34 𝑃35 𝑃38 𝑃39 𝑄11 𝑄13 𝑄14 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 239 240 241 242 243 244 245 Variable 𝑄17 𝑄19 𝑄22 𝑄30 𝑄31 𝑄34 𝑄35 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝝈 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 0.000144 N° Medición 246 247 Variable 𝑄38 𝑄39 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 0.000000 𝝈 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000144 4.3.3.1 Caso 2 Se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 247 mediciones dado por la Figura 4-37 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 15-16 y 21-22 (elementos 20 y 29) para el caso 2. En la Tabla 4-54 se presentan los valores de parámetros perturbados para esas líneas. El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 4 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.124800 segundos. En la Figura 4-38 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura
- 179. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 145 4-39 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los valores con errores de parámetros de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-40 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados, además en la Figura 4-41 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 2 Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-38 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 2 Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-39 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
- 180. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 146 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 2 Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-40 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -50 0 50 100 150 200 250 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 2 Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-41 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. De la Figura 4-38 y la Figura 4-39 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.6% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 6, 7, 22 y 23 que son los nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-40 y la Figura 4-41 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 250%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
- 181. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 147 en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-79 y la Tabla 4-80. Tabla 4-79 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 1296.600945 1.357784 77 Tabla 4-80 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 8051995155.421260 6192.486640 77 1300284.622814 0.000000769062 De la Tabla 4-56 y Tabla 4-80 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 2 es de 1.26 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de 𝐺(𝑥) para el caso 2 es más pequeña que el de 𝐺(𝑥) para el caso 1. Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 170 grados de libertad (247 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-81. Tabla 4-81 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 201.421656 1156.779914 Sí De la Tabla 4-81 se puede ver que la función objetivo es mayor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-42 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 2 y en la Tabla 4-82 se presentan únicamente los residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para un nivel de confianza de 99.73%. Asimismo, en la Tabla 4-83 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados.
- 182. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 148 1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 0 3 6 9 12 15 18 21 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 2 Número de Medición r N rN Figura 4-42 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Tabla 4-82 Residuales normalizados que sobrepasaron el límite estadístico de 3 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Medición 𝑷 𝟏𝟒−𝟏𝟓 𝑷 𝟏𝟒−𝟑𝟑 𝑷 𝟏𝟔−𝟐𝟏 𝑷 𝟏𝟔−𝟐𝟒 𝑷 𝟏𝟖−𝟑𝟐 𝑷 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝑷 𝟐𝟐−𝟐𝟑 𝒓 𝑵 4.836291 3.297280 9.004463 4.198834 3.589790 10.903359 7.027453 Medición 𝑷 𝟐𝟑−𝟐𝟒 𝑷 𝟑𝟐−𝟑𝟑 𝑷 𝟏𝟓−𝟏𝟒 𝑷 𝟏𝟔−𝟏𝟓 𝑷 𝟐𝟏−𝟏𝟔 𝑷 𝟐𝟐−𝟐𝟏 𝑷 𝟐𝟑−𝟐𝟐 𝒓 𝑵 19.923025 5.322671 4.820035 4.854176 9.096262 7.698771 6.924751 Medición 𝑷 𝟐𝟒−𝟏𝟔 𝑷 𝟐𝟒−𝟐𝟑 𝑷 𝟑𝟐−𝟏𝟖 𝑷 𝟑𝟑−𝟑𝟐 𝑸 𝟐𝟑−𝟐𝟒 𝒓 𝑵 3.968762 17.453180 3.413688 5.097025 5.092685 Tabla 4-83 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 19.923025 Sí Como se puede observar de la Figura 4-42 y la Tabla 4-82 los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 corresponden a las mediciones de las líneas 14-15, 14-33, 15-16, 16-21, 16-24, 18-32, 21-22, 22-23, 23-24 y 32-33. De la Tabla 4-83 el máximo residual normalizado es 19.923025 y sobrepasa el límite de 3, por lo que se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Además de que el máximo residual normalizado corresponde a una medición de la línea 23-24 que es una línea cercana a las líneas con parámetros erróneos. Ahora se realiza el proceso de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado para las líneas 15-16 y 21-22 (elementos 20 y 29) considerando el esquema de 247 mediciones dado por la Figura 4-37. Los resultados de los parámetros estimados se muestran en la Tabla 4-84 donde el algoritmo se tomó 6 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.187201 segundos.
- 183. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 149 Tabla 4-84 Resultados del estudio de estimación de parámetros para los elementos 20 y 29 para el caso 2. Parámetro 𝒓 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150 Valor Estimado (pu) 0.000917 0.009348 0.086122 Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500 % Error de Estimación 1.895276 -0.555913 0.727819 Parámetro 𝒓 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒙 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725 Valor Estimado (pu) 0.000783 0.014045 0.128159 Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250 % Error de Estimación -2.153705 0.318046 -0.070978 Se observa de la Tabla 4-84 que las estimaciones de parámetros presentan porcentajes de error menores a 2.5% con respecto a los valores correctos de parámetros. En la Tabla 4-85 y la Tabla 4-86 se muestran los resultados del análisis de la robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación de parámetros. Tabla 4-85 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 2. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 1297.880000 0.010000 83 Tabla 4-86 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 2. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝑫𝑹[ 𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 1977360000.000000 0.171801 83 11509586534.381200 0.000000000087 De la Tabla 4-85 y Tabla 4-86 se puede observar que el rango de 𝐻 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) y 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) son de 83, esto es porque se añadieron 6 nuevas variables de estado que corresponden a los parámetros de las líneas con parámetros erróneos. De la Tabla 4-80 y Tabla 4-86 se puede ver que el número de condición de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es más de 8000 veces el número de condición de 𝐺(𝑥), además de que la distancia relativa a la singularidad de 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es muy pequeña. En la Tabla 4-87 se presentan los resultados de la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos. Tabla 4-87 Prueba 𝜒2 para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 201.421656 44.844569 No De la Tabla 4-87 se puede ver que el algoritmo no detecta datos erróneos tomando en cuenta las estimaciones de parámetros debido a que la función objetivo es menor que el cálculo de la distribución 𝜒2 con 170 grados de libertad (247 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados de la prueba de los residuales normalizados para la detección de datos erróneos se muestran en la Tabla 4-88.
- 184. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 150 Tabla 4-88 Prueba de los residuales normalizados para el caso 2 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 2.353130 No De la Tabla 4-88 se puede observar que no se detecta la presencia de datos erróneos tomando en cuenta los valores de parámetros estimados ya que el máximo residual normalizado es menor que el límite estadístico de 3, por lo que no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Por último se realizó el cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados para los elementos 20 y 29; los resultados se muestran en la Tabla 4-89. Tabla 4-89 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20 y 29 para el caso 2. Parámetro 𝒈 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒃 𝟏𝟓−𝟏𝟔 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 7.763908 -81.089708 0.111150 Valor Estimado (pu) 10.394965 -105.957887 0.086122 Intervalo de Confianza (pu) (9.753963, 11.035967) (-106.578325, -105.337449) (0.081067, 0.091177) Indicador de Precisión 0.938335 0.994144 0.941307 Parámetro 𝒈 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒃 𝟐𝟏−𝟐𝟐 𝒔𝒉 Valor Inicial (pu) 3.129499 -54.766226 0.166725 Valor Estimado (pu) 3.956154 -70.981620 0.128159 Intervalo de Confianza (pu) (3.774812, 4.137496) (-71.160586, -70.802654) (0.123623, 0.132695) Indicador de Precisión 0.954162 0.997479 0.964608 De la Tabla 4-89 se puede observar que los valores iniciales de los 6 parámetros para las líneas 15- 16 y 21-22 se encuentran fuera de los intervalos de confianza calculados, por lo que se consideran como parámetros con posibilidad de error y deben ser corregidos. También se observa que los indicadores de precisión para los 6 parámetros se encuentran por encima de 0.90 por lo que se pueden considerar buenas estimaciones.
- 185. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 151 4.3.4 Esquema de 117 Mediciones El esquema de 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra es presentado en la Figura 4-43, el cual está compuesto por 39 mediciones de magnitudes de voltaje, 39 mediciones de inyecciones de potencia activa y 39 mediciones de inyecciones de potencia reactiva. Se puede observar de la Figura 4-25 que los nodos 11, 13, 14, 17, 19, 22, 30, 31, 34, 35, 38 y 39 tienen mediciones de inyecciones cero. En la Tabla 4-90 se muestran los datos de las mediciones del esquema de la Figura 4-43. 1 3 30 5 11 13 35 36 37 38 34 2 33 14 32 39 18 31 10 25 8 26 27 28 29 24 6 2221 16 17 15 19 20 4 23 7 9 12 Figura 4-43 Diagrama unifilar con 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. Tabla 4-90 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra. N° Medición 1 2 3 4 5 6 7 Variable |𝑉1| |𝑉2| |𝑉3| |𝑉4| |𝑉5| |𝑉6| |𝑉7| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.982000 1.030000 0.983100 0.997200 1.012300 1.049300 1.063500 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.984739 1.024522 0.981368 0.994043 1.019294 1.054840 1.067860 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196
- 186. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 152 Tabla 4-90 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 8 9 10 11 12 13 14 Variable |𝑉8| |𝑉9| |𝑉10| |𝑉11| |𝑉12| |𝑉13| |𝑉14| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.027800 1.026500 1.047500 1.012690 1.000147 1.014302 1.011726 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.041461 1.036393 1.029239 0.996801 0.996883 1.012492 1.013205 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 15 16 17 18 19 20 21 Variable |𝑉15| |𝑉16| |𝑉17| |𝑉18| |𝑉19| |𝑉20| |𝑉21| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.015371 1.031758 1.033544 1.030922 1.049855 0.991173 1.031749 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.028142 1.029631 1.041697 1.040897 1.046379 0.986085 1.030131 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 22 23 24 25 26 27 28 Variable |𝑉22| |𝑉23| |𝑉24| |𝑉25| |𝑉26| |𝑉27| |𝑉28| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.049788 1.044780 1.037287 1.057565 1.052070 1.037733 1.050120 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.059972 1.036836 1.031267 1.061664 1.060317 1.044047 1.055328 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 29 30 31 32 33 34 35 Variable |𝑉29| |𝑉30| |𝑉31| |𝑉32| |𝑉33| |𝑉34| |𝑉35| 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.049941 1.017147 1.048733 1.030167 1.003857 1.005307 1.007669 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.040010 1.022126 1.037667 1.030982 1.009611 0.997509 1.006037 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 N° Medición 36 37 38 39 40 41 42 Variable |𝑉36| |𝑉37| |𝑉38| |𝑉39| 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.996997 0.996016 1.028225 1.047355 5.116102 -1.040000 6.500000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.989930 0.999476 1.026918 1.036000 5.129626 -1.030678 6.504408 𝝈 0.014000 0.014000 0.014000 0.014000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000196 0.000196 0.000196 0.000196 0.000900 0.000900 0.000900 N° Medición 43 44 45 46 47 48 49 Variable 𝑃4 𝑃5 𝑃6 𝑃7 𝑃8 𝑃9 𝑃10 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 6.320000 5.080000 6.500000 5.600000 5.400000 8.300000 2.500000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 6.302109 5.098290 6.575139 5.564242 5.417977 8.318285 2.502190 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900
- 187. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 153 Tabla 4-90 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 50 51 52 53 54 55 56 Variable 𝑃11 𝑃12 𝑃13 𝑃14 𝑃15 𝑃16 𝑃17 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 -0.075000 0.000000 0.000000 -3.200000 -3.290000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 -0.074728 0.000000 0.000000 -3.219325 -3.294575 0.000000 𝝈 0.012000 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 N° Medición 57 58 59 60 61 62 63 Variable 𝑃18 𝑃19 𝑃20 𝑃21 𝑃22 𝑃23 𝑃24 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.580000 0.000000 -6.280000 -2.740000 0.000000 -2.475000 -3.086000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.584597 0.000000 -6.265918 -2.715620 0.000000 -2.472936 -3.044381 𝝈 0.030000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000900 0.000900 N° Medición 64 65 66 67 68 69 70 Variable 𝑃25 𝑃26 𝑃27 𝑃28 𝑃29 𝑃30 𝑃31 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -2.240000 -1.390000 -2.810000 -2.060000 -2.835000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -2.206183 -1.398547 -2.815713 -2.047653 -2.857065 0.000000 0.000000 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 N° Medición 71 72 73 74 75 76 77 Variable 𝑃32 𝑃33 𝑃34 𝑃35 𝑃36 𝑃37 𝑃38 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -3.220000 -5.000000 0.000000 0.000000 -2.338000 -5.220000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -3.249436 -5.035545 0.000000 0.000000 -2.333312 -5.303638 0.000000 𝝈 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 N° Medición 78 79 80 81 82 83 84 Variable 𝑃39 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 1.936647 -1.617081 2.051624 1.099435 1.657805 2.124621 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 1.938449 -1.607209 2.055558 1.106760 1.668427 2.155572 𝝈 0.012000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 N° Medición 85 86 87 88 89 90 91 Variable 𝑄7 𝑄8 𝑄9 𝑄10 𝑄11 𝑄12 𝑄13 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 1.012081 0.004509 0.228525 1.461741 0.000000 -0.880000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 1.009268 0.004549 0.230201 1.458552 0.000000 -0.892081 0.000000 𝝈 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.012000 0.030000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000144 0.000900 0.000144
- 188. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 154 Tabla 4-90 Valores del vector de mediciones ideales, vector de mediciones aleatorias, desviación estándar y varianza de cada medición para el esquema de 117 mediciones del sistema Nueva Inglaterra (Cont.). N° Medición 92 93 94 95 96 97 98 Variable 𝑄14 𝑄15 𝑄16 𝑄17 𝑄18 𝑄19 𝑄20 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 -1.530000 -0.323000 0.000000 -0.300000 0.000000 -1.030000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 -1.517573 -0.326537 0.000000 -0.301998 0.000000 -1.027894 𝝈 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.030000 0.012000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000900 0.000144 0.000900 N° Medición 99 100 101 102 103 104 105 Variable 𝑄21 𝑄22 𝑄23 𝑄24 𝑄25 𝑄26 𝑄27 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -1.150000 0.000000 -0.846000 0.920000 -0.472000 -0.170000 -0.755000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -1.149408 0.000000 -0.850435 0.924401 -0.467156 -0.169220 -0.757159 𝝈 0.030000 0.012000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 0.030000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000144 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 0.000900 N° Medición 106 107 108 109 110 111 112 Variable 𝑄28 𝑄29 𝑄30 𝑄31 𝑄32 𝑄33 𝑄34 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) -0.276000 -0.269000 0.000000 0.000000 -0.024000 -1.840000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) -0.275525 -0.269989 0.000000 0.000000 -0.024169 -1.827430 0.000000 𝝈 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 N° Medición 113 114 115 116 117 Variable 𝑄35 𝑄36 𝑄37 𝑄38 𝑄39 𝒁 𝒓𝒆𝒂𝒍 (pu) 0.000000 -0.840000 -1.760000 0.000000 0.000000 𝒁 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 (pu) 0.000000 -0.842160 -1.762471 0.000000 0.000000 𝝈 0.012000 0.030000 0.030000 0.012000 0.012000 𝝈 𝟐 0.000144 0.000900 0.000900 0.000144 0.000144 4.3.4.1 Caso 3 Se realiza el proceso de estimación de estado convencional considerando el esquema de 117 mediciones dado por la Figura 4-43 y tomando en cuenta errores de +30% del valor nominal en los parámetros de las líneas 15-16 y 21-22 (elementos 20 y 29) para el caso 3. En la Tabla 4-54 se presentan los valores de parámetros perturbados para esas líneas. El algoritmo de estimación de estado convencional tomó 4 iteraciones para converger con un tiempo de cómputo de 0.078000 segundos. En la Figura 4-44 se presenta la comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos (resultados de flujos de potencia) y los estimados (con errores de parámetros), además en la Figura 4-45 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los valores con errores de parámetros de las magnitudes de voltajes nodales. Asimismo, en la Figura 4-46 se presenta la comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados, además en la Figura 4-47 se muestran los porcentajes de error que existen entre los valores correctos y los estimados de los ángulos de fase nodales.
- 189. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 155 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 Comparación de las Magnitudes de Voltajes Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 3 Nodos |Vp|(pu) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-44 Comparación de las magnitudes de voltajes nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 3 Nodos Error|Vp|(%) % Error Figura 4-45 Porcentajes de error de las magnitudes de voltajes nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.
- 190. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 156 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Comparación de los Ángulos de Fase Nodales Correctos y Estimados Para el Caso 3 Nodos p(°) Correcto Con Errores de Parámetros Figura 4-46 Comparación de los ángulos de fase nodales correctos y estimados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -50 0 50 100 150 200 250 Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 3 Nodos Errorp(%) % Error Figura 4-47 Porcentajes de error de los ángulos de fase nodales para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. De la Figura 4-44 y la Figura 4-45 se puede observar que para magnitudes de voltajes nodales existen porcentajes de error menores al 0.4% y los mayores porcentajes de error se presentan en los nodos 15 y 22 que son algunos de los nodos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. Asimismo, de la Figura 4-46 y la Figura 4-47 se observa que existen mayores porcentajes de error en los ángulos de fase nodales en comparación de las magnitudes de voltajes nodales, ya que presentan porcentajes de error menores a 250%, y que los mayores porcentajes de error de ángulos se presentan
- 191. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 157 en los nodos 22 y 23 que son nodos cercanos a los que están conectados las líneas con parámetros erróneos. El análisis de robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones 𝐻(𝑥) y la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) de la última iteración del proceso de estimación de estado convencional se presentan en la Tabla 4-91 y la Tabla 4-92. Tabla 4-91 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑯(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑯(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑯(𝒙)] 1036.544514 1.404530 77 Tabla 4-92 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. 𝝈 𝒎𝒂𝒙[ 𝑮(𝒙)] 𝝈 𝒎𝒊𝒏[ 𝑮(𝒙)] 𝒓𝒂𝒏𝒌[ 𝑮(𝒙)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[ 𝑮(𝒙)] 𝑫𝑹[ 𝑮(𝒙)] 7253259295.549840 6142.988106 77 1180737.968271 0.000000846928 De la Tabla 4-56 y Tabla 4-92 se puede ver que el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 3 es de 1.14 veces el número de condición de 𝐺(𝑥) para el caso 1 y la distancia relativa a la singularidad de 𝐺(𝑥) para el caso 3 es más pequeña que el de 𝐺(𝑥) para el caso 1. Ahora se presenta la prueba 𝜒2 para la detección de datos erróneos, para este caso se calculó la distribución 𝜒2 con 40 grados de libertad (117 mediciones-77 variables de estado) y con un 95% de nivel de confianza. Los resultados se muestran en la Tabla 4-93. Tabla 4-93 Prueba 𝜒2 para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Distribución 𝝌 𝟐 Función Objetivo ¿Datos Erróneos? 55.758478 12.138544 No De la Tabla 4-93 se puede ver que la función objetivo es menor que la distribución 𝜒2 calculada, por lo tanto no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. En la Figura 4-48 se muestran todos los residuales normalizados para el caso 3 y en la Tabla 4-94 se muestran los resultados de la prueba de los residuales normalizados.
- 192. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 158 1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 0 1 2 3 Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 3 Número de Medición rN rN Figura 4-48 Residuales normalizados de las mediciones para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Tabla 4-94 Prueba de los residuales normalizados para el caso 3 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29. Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos? 3 1.293255 No De la Tabla 4-94 el máximo residual normalizado es 1.293255 que corresponde a la medición |𝑉10| y no sobrepasa el límite de 3, por lo que no se sospecha de la presencia de parámetros erróneos. Debido a la Tabla 4-93 y la Tabla 4-94, teniendo en cuenta solo mediciones de magnitudes de voltaje y mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva) no es posible detectar la presencia de parámetros erróneos para este sistema.
- 193. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 159 4.4 Análisis de Resultados A continuación se presentan algunas tablas que resumen los resultados para cada uno de los sistemas de prueba. Mediante estas tablas es posible comparar la robustez numérica, el comportamiento del proceso de detección de datos erróneos y el número de iteraciones para la convergencia de los algoritmos del estimador de estado y del estimador de parámetros para cada uno de los casos. 4.4.1 Sistema Eléctrico de 14 Nodos La Tabla 4-95 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) del sistema IEEE de 14 nodos para cada uno de los casos. Tabla 4-95 Análisis de resultados de la SE del sistema IEEE de 14 nodos. Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3 N° mediciones 115 115 89 41 N° variables de estado 27 27 27 27 Grados de libertad 88 88 62 14 Iteraciones de la SE 4 4 4 5 Tiempo de cómputo (s) 0.046800 0.015600 0.031200 0.015600 𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮(𝒙)] 27 27 27 27 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)] 59938.610569 60181.558011 57092.816900 82764.882108 𝑫𝑹[𝑮(𝒙)] 0.000016683736 0.000016616386 0.000017515338 0.000012082419 ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝝌 𝟐 ? Sí Sí Sí No ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝒓 𝑵 ? Sí Sí Sí No La Tabla 4-96 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Parámetros o PE (“Parameter Estimation” en inglés) del sistema IEEE de 14 nodos para cada uno de los casos. Tabla 4-96 Análisis de resultados de la PE del sistema IEEE de 14 nodos. Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3 N° de parámetros a estimar 6 9 6 NA Elementos a estimar 1 y 3 1, 3 y 4 1 y 3 NA Grados de libertad 82 79 56 NA Iteraciones de la PE 5 5 5 NA Tiempo de cómputo (s) 0.062400 0.046800 0.046800 NA 𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 33 36 33 NA 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 71367743.966612 93874749.172613 73446384.304297 NA 𝑫𝑹[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 0.0000000140119323 0.0000000106524918 0.0000000136153741 NA 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)] 1190.680652906610 1559.859071037250 1286.438264781030 NA ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝝌 𝟐 ? No No No NA ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝒓 𝑵 ? No No No NA De la Tabla 4-95 se puede observar que para estimación de estado convencional, el caso 3 presenta la robustez más débil ya que el número de condición de la matriz de Ganancia 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más grande y la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más pequeña con respecto a los demás casos. Mientras que el caso más robusto es el caso 2 ya que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más pequeña y 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más grande con respecto a los demás casos. Se puede observar de la Tabla 4-95 que el caso 3 fue el único caso en el que no se pudo detectar la presencia de parámetros erróneos usando la prueba 𝜒2 y la prueba 𝑟 𝑁 , además de que este caso presentó el mayor número de iteraciones para la convergencia del estimador de estado convencional.
- 194. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 160 Esto es debido a que el caso 3 tiene el menor número de mediciones y solamente cuenta con mediciones de magnitudes de voltaje y mediciones de inyecciones de potencia (activa y reactiva), además de que el sistema cuenta con solo un nodo de paso. De la Tabla 4-96 se observa que para estimación de parámetros el caso 1A tiene la robustez más débil debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña con respecto a los demás casos. Esto es ya que el caso 1A presenta el mayor número de elementos a estimar. Además de que el caso 1 es el más robusto debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande con respecto a los demás casos. De la Tabla 4-96, la relación 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)]/𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es mayor para el caso 1A y es menor para el caso 1. Este número proporciona el factor que magnifica el número de condición de la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) del estimador de estado para obtener el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros en cada caso. Se puede notar de la Tabla 4-96 que en el caso 1, el caso 1A y el caso 2 no se detectaron datos erróneos tomando en cuenta los valores de parámetros estimados y además de que el caso 3 no tiene resultados de estimación de parámetros ya que no se pudo detectar la presencia de parámetros erróneos en el proceso de estimación de estado convencional usando la prueba 𝜒2 y la prueba 𝑟 𝑁 . De la Tabla 4-95 y la Tabla 4-96 se puede ver que para el caso 1, el caso 1A y el caso 2 se requirieron 5 iteraciones para la convergencia del estimador de parámetros mientras que se requirieron 4 iteraciones para la convergencia del estimador de estado convencional en dichos casos. Esto es debido a que el estimador de parámetros realiza una iteración de estimación de estado convencional y aumenta el vector de estado a partir de la segunda iteración. 4.4.2 Sistema Eléctrico de 39 Nodos La Tabla 4-97 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Estado o SE (“State Estimation” en inglés) del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos para cada uno de los casos. Tabla 4-97 Análisis de resultados de la SE sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3 N° mediciones 301 301 247 117 N° variables de estado 77 77 77 77 Grados de libertad 224 224 170 40 Iteraciones de la SE 4 5 4 4 Tiempo de cómputo (s) 0.187201 0.234001 0.124800 0.078000 𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮(𝒙)] 77 77 77 77 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)] 1029108.568625 1024923.915594 1300284.622814 1180737.968271 𝑫𝑹[𝑮(𝒙)] 0.000000971714 0.000000975682 0.000000769062 0.000000846927 ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝝌 𝟐 ? Sí Sí Sí No ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝒓 𝑵 ? Sí Sí Sí No La Tabla 4-98 muestra la comparación de los resultados de la Estimación de Parámetros o PE (“Parameter Estimation” en inglés) del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos para cada uno de los casos.
- 195. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 161 Tabla 4-98 Análisis de resultados de la PE del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Característica Caso 1 Caso 1A Caso 2 Caso 3 N° de parámetros a estimar 6 9 6 NA Elementos a estimar 20 y 29 20, 23 y 29 20 y 29 NA Grados de libertad 218 215 164 NA Iteraciones de la PE 6 8 6 NA Tiempo de cómputo (s) 0.280801 0.312002 0.187201 NA 𝒓𝒂𝒏𝒌[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 83 86 83 NA 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 11035275719.779640 16281006136940.30 11509586534.3812 NA 𝑫𝑹[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 0.0000000000906184 0.0000000000000614 0.000000000086884 NA 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮 𝒂𝒖𝒎(𝒙 𝒂𝒖𝒎)] 𝒄𝒐𝒏𝒅[𝑮(𝒙)] 10723.140450112000 15885087.55550360 8851.5901306844 NA ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝝌 𝟐 ? No No No NA ¿Detectó datos erróneos con la prueba 𝒓 𝑵 ? No No No NA De la Tabla 4-97 se puede observar que para estimación de estado convencional, el caso 2 presenta la robustez más débil ya que el número de condición de la matriz de Ganancia 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más grande y la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más pequeña con respecto a los demás casos, esto es debido a que el caso 2 presenta 12 nodos de paso que tienen mediciones de inyecciones cero y se les asignaron los menores pesos en el proceso de estimación. Mientras que el caso más robusto es el caso 1A ya que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es la más pequeña y 𝐷𝑅[𝐺(𝑥)] es la más grande con respecto a los demás casos. Se puede observar de la Tabla 4-97 que el caso 3 fue el único caso en el que no se pudo detectar la presencia de parámetros erróneos usando la prueba 𝜒2 y la prueba 𝑟 𝑁 . Además de que el caso 1A presentó el mayor número de iteraciones para la convergencia del estimador de estado convencional. De la Tabla 4-98 se observa que para estimación de parámetros el caso 1A tiene la robustez más débil debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña con respecto a los demás casos. Esto es ya que el caso 1A presenta el mayor número de elementos a estimar. Además de que el caso 1 es el más robusto debido a que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña y 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] es la más grande con respecto a los demás casos. De la Tabla 4-98, la relación 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)]/𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺(𝑥)] es mayor para el caso 1A y es menor para el caso 2. Este número proporciona el factor que magnifica el número de condición de la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) del estimador de estado convencional para obtener el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros en cada caso. Se puede notar de la Tabla 4-98 que en el caso 1, el caso 1A y el caso 2 no se detectaron datos erróneos tomando en cuenta los parámetros estimados y además de que el caso 3 no tiene resultados de estimación de parámetros ya que no se pudo detectar la presencia de parámetros erróneos en el proceso de estimación de estado convencional usando la prueba 𝜒2 y la prueba 𝑟 𝑁 . De la Tabla 4-97 y la Tabla 4-98 se puede ver que para el caso 1 y el caso 2 se requirieron 6 iteraciones para la convergencia del estimador de parámetros mientras que se requirieron 4 iteraciones para la convergencia del estimador de estado en dichos casos. Además de que para el caso 1A se requirieron 8 iteraciones para la convergencia del estimador de parámetros mientras que se requirieron 5 iteraciones para la convergencia del estimador de estado. Esto es debido a que el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) es mucho mayor que la matriz de ganancia 𝐺(𝑥) y se presentan problemas de robustez numérica.
- 196. CAPÍTULO 4 PRUEBASY RESULTADOS 162
- 197. CAPÍTULO 5 CONCLUSIONESY RECOMENDACIONES 163 CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1 Introducción En este capítulo se presentan las conclusiones obtenidas a partir de los resultados mostrados en el CAPÍTULO 4, además se detallan las aportaciones derivadas de esta tesis y se proponen algunas recomendaciones para trabajos futuros de investigación. 5.2 Conclusiones De los resultados del estimador de estado convencional para el caso 1, 1A, 2 y 3 del sistema IEEE de 14 nodos y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos se concluye que al usar el estimador de estado convencional contemplando valores de parámetros de líneas perturbados con porcentajes de error de +30%, se obtienen porcentajes de error de variables de estado (magnitudes de voltajes y ángulos de fase nodales) que son mayores en los ángulos de fase estimados en comparación de las magnitudes de voltajes nodales estimados. En estos casos se obtuvieron los mayores errores de variables de estado en los nodos cercanos a las líneas con parámetros erróneos, pero no únicamente en los nodos a los que están conectados dichas líneas. De la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados) del caso 1, 1A y 2 del sistema IEEE de 14 nodos y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos se concluye que los residuales normalizados que sobrepasan el límite de 3 para un nivel de confianza de 99.73% corresponderán a las mediciones cercanas a las líneas con parámetros erróneos, pero no únicamente a las mediciones de dichas líneas. Del caso 1A del sistema IEEE de 14 nodos y del caso 1, 1A y 2 del sistema Nueva Inglaterra se concluye que el máximo residual normalizado 𝑟 𝑚𝑎𝑥 𝑁 obtenido de la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados) no siempre corresponderá a una medición de una línea con parámetros erróneos pero si a una línea cercana a las que presentan errores de parámetros. Las mediciones de inyecciones cero (en el conjunto de mediciones) incrementan el número de condición de la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) como se observó en el caso 1 del sistema Nueva Inglaterra (que cuenta con 12 nodos de paso) en comparación del caso 1 del sistema IEEE de 14 nodos (que cuenta con 1 nodo de paso) ya que se les asignaron los mayores pesos en el proceso de estimación de estado convencional. Del caso 3 del sistema IEEE de 14 nodos se puede creer que teniendo la menor cantidad de mediciones se obtiene siempre el caso menos robusto para un sistema. Pero debido al caso 2 del sistema Nueva Inglaterra, que resultó ser el más débil en cuanto a robustez numérica y a pesar de no presentar la menor cantidad de mediciones en comparación con los demás casos para ese sistema, se concluye que tener la menor cantidad de mediciones no significa tener una menor robustez ya que en algunos sistemas pueden existir diferentes cantidades de nodos de paso y es por las mediciones de inyecciones cero en estos nodos que pueden influir en la determinación del caso menos robusto para un sistema.
- 198. CAPÍTULO 5 CONCLUSIONESY RECOMENDACIONES 164 A partir del caso 3 del sistema IEEE de 14 nodos y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos se concluye que solamente contando con mediciones de magnitudes de voltaje y mediciones de inyecciones de potencia (en el conjunto de mediciones) no es posible detectar la presencia de líneas con parámetros erróneos usando la prueba 𝜒2 (chi-cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Se concluye del caso 1 y el caso 2 del sistema Nueva Inglaterra que al realizar la estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales se incrementa el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) en comparación de la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) para el estimador de estado convencional como consecuencia de agregar nuevas columnas que corresponden a los parámetros de líneas que se van a estimar. Este comportamiento también se conserva en el caso 1 y el caso 2 del sistema IEEE de 14 nodos. Del caso 1 y el caso 1A del sistema Nueva Inglaterra se puede observar que al estimar un mayor número de parámetros se obtiene un incremento en el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) además de que el caso 1A convergió en 8 iteraciones en comparación del caso 1 que convergió en 6 iteraciones. El caso 1A del sistema Nueva Inglaterra presenta problemas de robustez numérica ya que se obtuvieron estimaciones de parámetros con porcentajes de error mayores al 100% y se incrementó el número de iteraciones para la convergencia. Por lo que se concluye que a pesar de que en las pruebas se tienen matrices de rango columna completo, asegurando la observabilidad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), las estimaciones proporcionadas por el estimador de parámetros no son siempre buenas debido al mal condicionamiento de matrices como se vio en el caso 1A del sistema Nueva Inglaterra. Con esto se puede apreciar la importancia del cálculo del número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚). A medida que aumenta el número de parámetros a estimar, se incrementa el número de condición 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] y disminuye la distancia relativa a la singularidad 𝐷𝑅[𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚)] de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros. Esto se ve reflejado en un incremento en las iteraciones del proceso de estimación de parámetros para llegar a la convergencia del método. Del caso 1A del sistema Nueva Inglaterra, se observó que el estimador de parámetros de líneas de transmisión puede proporcionar valores de parámetros estimados irrazonables con porcentajes de error mayores del que se comenzó el proceso de estimación y aun así la función objetivo se minimiza y las pruebas de detección de datos erróneos fallan en detectar errores de parámetros. Los cálculos de los intervalos de confianza y de los indicadores de precisión presentados en esta tesis proporcionan una herramienta para decidir que parámetros deben ser corregidos con las estimaciones de parámetros que se obtuvieron. Los parámetros que tienen posibilidad de error y con un buen indicador de precisión son los que deben corregirse con los valores de parámetros estimados. Debido al mal condicionamiento de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) que se genera al estimar un gran número de parámetros se recomienda tomar en cuenta un indicador de precisión mayor a 0.90 para la corrección de los parámetros de líneas de transmisión. El algoritmo desarrollado en esta tesis es válido para la estimación de los parámetros de una o varias líneas simultáneamente, pero es necesaria una redundancia adecuada (como la redundancia del caso 1, caso 1A o caso 2 del sistema IEEE de 14 nodos y del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos) usando el método que aumenta el vector de estado, esto es ya que los parámetros de las líneas se consideran nuevas variables de estado a estimar y por consiguiente los grados de libertad se reducen en el proceso de estimación de parámetros.
- 199. CAPÍTULO 5 CONCLUSIONESY RECOMENDACIONES 165 5.3 Aportaciones Se programó el algoritmo de estimación de estado convencional y el algoritmo de estimación de parámetros de líneas de transmisión por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales. Por lo que se proporcionan los programas para no solo estimar el estado del sistema, sino también para estimar valores de parámetros de líneas de transmisión que no son directamente medidos en un SEP. El programa de estimación de parámetros puede estimar los parámetros de conductancia serie, susceptancia serie y susceptancia en derivación (sobre dos) de líneas de transmisión a partir de datos de mediciones de magnitudes de voltaje, flujos de potencia (activa y reactiva) e inyecciones de potencia (activa y reactiva), además de que es capaz de simular mediciones de inyecciones cero en nodos de paso. Se desarrollaron dos subrutinas para la detección de datos erróneos, los cuales son la prueba 𝜒2 (chi- cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Con esto se pueden detectar la presencia de líneas con parámetros erróneos en caso de que existan en la base de datos de los elementos del SEP. Se programó una subrutina que analiza la robustez numérica de las matrices involucradas en el proceso de estimación de estado convencional y en el proceso de estimación de parámetros usando la Descomposición de Valores Singulares o SVD (“Singular Value Decomposition” en inglés). Con esto se proporciona una herramienta que calcula el rango numérico y un número que indica el mal condicionamiento que puede tener la matriz de Ganancia 𝐺(𝑥) y la matriz de Ganancia aumentada 𝐺 𝑎𝑢𝑚(𝑥 𝑎𝑢𝑚) de la última iteración del proceso de estimación, además de mostrar la cercanía de estas matrices a la singularidad. Esto es de gran importancia en el proceso de estimación ya que puede ocasionar un retardo en la convergencia del método y además puede ocasionar malas estimaciones. Se desarrolló una subrutina que calcula los intervalos de confianza y los indicadores de precisión de los parámetros estimados. Con esta herramienta el usuario puede evaluar los resultados y la precisión de la estimación de parámetros. Con los intervalos de confianza se pueden definir los parámetros con posibilidad de error que deben ser corregidos y por otra parte los indicadores de precisión proporcionan información cuantitativa acerca de la precisión de la estimación de parámetros. Esto se realiza ya que la estimación de parámetros puede proporcionar resultados incorrectos como resistencias negativas o valores de parámetros muy grandes aun cuando la función objetivo se minimiza. 5.4 Recomendaciones para Trabajos Futuros Se propone utilizar algún método numéricamente robusto para evitar el mal condicionamiento de matrices debido a las mediciones de inyecciones cero en los nodos de paso del SEP. Por ejemplo: estimación de Mínimos Cuadrados Ponderados o WLS (“Weighted Least Squares” en inglés) con restricciones de igualdad, factorización ortogonal, matriz aumentada de Hachtel, etc. Se sugiere considerar otros tipos de mediciones en el conjunto de mediciones. Por ejemplo: mediciones de magnitud de corriente de líneas y mediciones fasoriales sincronizadas. Esto es con la finalidad de observar el comportamiento del estimador de parámetros con la presencia de estas mediciones en el conjunto de mediciones.
- 200. CAPÍTULO 5 CONCLUSIONESY RECOMENDACIONES 166 Se propone también comparar los resultados obtenidos del estimador desarrollado en esta tesis con otro que sea capaz de estimar parámetros de líneas de transmisión a partir de varios conjuntos de mediciones, esto es ya que según [1] se pueden obtener mejores estimaciones de parámetros a partir de esta consideración. Por último, se sugiere desarrollar alguna metodología para determinar cuáles parámetros son los dominantes y deben estimarse primero para evitar el mal condicionamiento numérico generado al agregar todos los parámetros de las líneas a estimar en la ejecución del programa de estimación de parámetros, con esto se puede mejorar la redundancia para la estimación de parámetros. En [44] se trata la propuesta antes mencionada.
- 201. REFERENCIAS 167 REFERENCIAS [1] P. J.Zarco Periñán, Estimación de Parámetros de Redes Electricas Utilizando Históricos de Medidas, Universidad de Sevilla: Tesis Doctoral, Marzo 1997. [2] F. Schweppe and J. Wildes, "Power System Static-State Estimation, Part I: Exact Model," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-89, no. 1, pp. 120-125, 1970. [3] F. Schweppe and D. B. Rom, "Power System Static-State Estimation, Part II: Approximate Model," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-89, no. 1, pp. 125- 130, 1970. [4] F. Schweppe, "Power System Static-State Estimation, Part III: Implementation," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-89, no. 1, pp. 130-135, 1970. [5] A. Monticelli, State Estimation in Electric Power Systems. A Generalized Approach, Kluwer Academic Publishers, 1999. [6] A. Abur and A. Gómez Expósito, Power System State Estimation. Theory and Implementation, Marcel Dekker, Inc., 2004. [7] P. J. Zarco Periñan y A. Gómez Expósito, Estimación de Estado y de Parámetros en Redes Eléctricas, Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Sevilla, 1999. [8] A. G. Expósito, A. J. Conejo and C. Cañizares, Electric Energy Systems. Analysis and Operation, CRC Press, 2009. [9] W. H. E. Liu and S. L. Lim, "Parameter Error Identification and Estimation in Power System State Estimation," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 10, no. 1, pp. 200-209, 1995. [10] M. R. M. Castillo, N. G. Bretas and J. B. A. London, "Parameter Errors and Gross Errors Detection, Identification and Correction," IEEE Power and Energy Society General Meeting, pp. 1-12, July 2012. [11] P. J. Zarco Periñan and A. Gómez Expósito, "Power System Parameter Estimation: A survey," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 15, no. 1, pp. 216-222, 2000. [12] M. B. D. C. Filho, J. C. S. de Souza and E. B. M. Meza, "Off-line Validation of Power Network Branch Parameters," IET Generation, Transmission and distribution, vol. 2, no. 6, pp. 892-905, 2008. [13] J. Zhu and A. Abur, "Identification of Network Parameter Errors," Transactions on Power Systems, vol. 21, pp. 586-592, 2006. [14] A. Olarte and H. Diaz, "Transmission Line’s Parameter Estimation Using State Estimation Algorithms," IEEE Power and Energy Society General Meeting-Conversion and Delivery of Electrical Energy in the 21st Century, pp. 1-7, July 2008. [15] G. L. Kusic and D. L. Garrison, "Measurement of Transmission Line Parameters from SCADA Data," IEEE PES Power Systems Conference and Exposition, vol. 1, pp. 440-445, October 2004. [16] M. Bockarjova and G. Andersson, "Transmission Line Conductor Temperature Impact on State Estimation Accuracy," IEEE Lausanne Power Tech, pp. 701-706, July 2007. [17] O. Y. Vidal León Romay y D. Romero Romero, «Estimación de Parámetros de Una Línea de Transmisión en Sistemas Eléctricos de Potencia,» de 15vo Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas (XV CNIES 2015), México D. F., 19 al 23 de Octubre de 2015. [18] C. Borda, H. Díaz y A. Olarte, Identificación de Parámetros de líneas de transmisión y transformadores, Universidad Nacional de Colombia, 2010.
- 202. REFERENCIAS 168 [19] M. R.M. Castillo, J. B. A. London and N. G. Bretas, "Identification and Estimation of Power System Branch Parameter Error," IEEE Power & Energy Society General Meeting, pp. 1-8, July 2009. [20] M. R. M. Castillo, J. B. A. London, N. G. Bretas, S. Lefebvre, J. Prévost and B. Lambert, "Offline Detection, Identification and Correction of Branch Parameter Errors Based on Several Measurement Snapshots," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 26, no. 2, pp. 870-877, 2011. [21] R. E. Larson, W. F. Tinney and J. Peschon, "State Estimation in Power Systems, Part I: Theory and Feasibility," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-89, no. 3, pp. 345-352, 1970. [22] R. E. Larson, W. F. Tinney, L. P. Hajdu and D. S. Piercy, "State Estimation in Power Systems, Part II: Implementation and Applications," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-89, no. 3, pp. 353-363, 1970. [23] J. F. Dopazo, O. A. Klitin, G. W. Stagg and L. S. Van Slyck, "State Calculation of Power Systems from Line Flow Measurements," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-89, no. 7, pp. 1698-1708, 1970. [24] J. F. Dopazo, O. A. Klitin and L. S. Van Slyck, "State Calculation of Power Systems from Line Flow Measurements, Part II," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS- 91, no. 1, pp. 145-151, 1972. [25] T. A. Stuart and C. J. Herget, "A Sensitivity Analysis of Weighted Least Squares State Estimation for Power Systems," IEEE Transactions on Power Apparatus and Sytems, Vols. PAS-92, no. 5, pp. 1696-1701, 1973. [26] A. S. Debs, "Estimation of Steady-State Power System Model Parameters," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-93, no. 5, pp. 1260-1268, 1974. [27] D. L. Fletcher and W. O. Stadlin, "Transformer Tap Position Estimation," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-102, no. 11, pp. 3680-3686, 1983. [28] B. K. Mukherjee and G. R. Fuerst, "Transformer Tap Estimation-Field Experience," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-103, no. 6, pp. 1454-1458, 1984. [29] R. A. Smith, "Transformer Tap Estimation at Florida Power Corporation," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-104, no. 12, pp. 3442-3445, 1985. [30] V. H. Quintana and T. V. Cutsem, "Real-Time Processing of Transformer Tap Positions," Canadian Electrical Engineering Journal, vol. 12, no. 4, pp. 171-180, 1987. [31] W. H. E. Liu, F. F. Wu and S. M. Lun, "Estimation of Parameter Errors from Measurement Residuals in State Estimation," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 7, no. 1, pp. 81-89, 1992. [32] P. A. Teixeira, S. R. Brammer, W. L. Rutz, W. C. Merritt and J. L. Salmonsen, "State Estimation of Voltage and Phase-Shift Transformer Tap Settings," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 7, no. 3, pp. 1386-1393, 1992. [33] E. Handschin and E. Kliokys, "Transformer Tap Position Estimation and Bad Data Detection Using Dynamical Signal Modelling," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 10, no. 2, pp. 810-817, 1995. [34] I. W. Slutsker and K. A. Clements, "Real Time Recursive Parameter Estimation in Energy Management Systems," IEEE Transactions on Power Systems, vol. 11, no. 3, pp. 1393-1399, 1996. [35] J. B. A. London, L. Mili and N. G. Bretas, "An observability Analysis Method for a Combined Parameter and State Estimation of a Power Systems," 8th International Conference on Probabilistic Methods Applied to Power Systems, pp. 594-599, September 2004.
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- 206.
- 207. APÉNDICE A VARIABLEALEATORIA 173 APÉNDICE A VARIABLE ALEATORIA A.1 Concepto de Variable Aleatoria Una variable aleatoria 𝑋 es una función que asigna un número real 𝑋(𝑠) a cada elemento 𝑠 que compone el espacio muestral 𝑆 de un experimento aleatorio [81]. Es decir, es una función que mapea todos los elementos de un espacio muestral sobre los puntos de la línea real o en algunas partes del mismo. Según [82], las condiciones necesarias para que una función sea una variable aleatoria son: No debe ser una función multivaluada. Esto es que cada elemento en 𝑆 debe corresponder a solamente un valor de la variable aleatoria. El conjunto {𝑋 ≤ 𝑥} es un evento para cualquier 𝑥. La probabilidad de este evento se denota por 𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} y es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales correspondiente s a {𝑋 ≤ 𝑥}. Las probabilidades de los eventos {𝑋 = ∞} y {𝑋 = −∞} son iguales a cero. A.2 Función de Distribución de Probabilidad Acumulada Sea 𝑋 una variable aleatoria y 𝑥 cualquier valor de esta variable aleatoria. La Función de Distribución de Probabilidad Acumulada o CPDF (“Cumulative Probability Distribution Function” en inglés) es la probabilidad del evento {𝑋 ≤ 𝑥}. Según [83], la CPDF viene dada por la ecuación (A-1). ( ) { },XF x P X x x (A-1) De donde: 𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} representa la probabilidad de que la variable aleatoria 𝑋 tome un valor en el conjunto (−∞, 𝑥]. Conforme con [81], la CPDF tiene las siguientes propiedades: 0 ( ) 1XF x (A-2) lim ( ) 1X x F x (A-3) lim ( ) 0X x F x (A-4) ( ) ( ),X XF a F b a b (A-5) 0 ( ) lim ( ) ( )X X X h F b F b h F b (A-6) { } ( ) ( )X XP a X b F b F a (A-7) { } ( ) ( )X XP X b F b F b (A-8) { } 1 ( )XP X x F x (A-9)
- 208. APÉNDICE A VARIABLEALEATORIA 174 A.3 Función de Densidad de Probabilidad De acuerdo con [84], la Función de Densidad de Probabilidad o PDF (“Probability Density Function” en inglés) se define como la derivada de 𝐹𝑋(𝑥) y viene dada por la ecuación (A-10). ( ) ( ) X X dF x f x dx (A-10) Conforme con [81], la PDF tiene las siguientes propiedades: ( ) 0Xf x (A-11) { } ( ) b Xa P a X b f x dx (A-12) ( ) ( ) x X XF x f u du (A-13) ( ) 1Xf u du (A-14) A.4 Valor Esperado de una Variable Aleatoria Es el nombre del proceso de promediar cuando una variable aleatoria está implicada. Se usa la notación 𝐸(𝑋) para referirse al valor esperado de una variable aleatoria 𝑋. Según [82], el valor esperado de cualquier variable aleatoria está definida por la ecuación (A-15). ( ) ( )XE X X xf x dx (A-15) Otros parámetros útiles relacionados con 𝑋 pueden ser derivados a partir del cálculo del valor esperado de una función 𝑔(∙) de la variable aleatoria 𝑋. Conforme con [83], el valor esperado de una función de una variable aleatoria en general viene dado por la ecuación (A-16). ( [ ]) [ ] ( )XE g X g X f x dx (A-16) Una aplicación del valor esperado de una función de una variable aleatoria es en calcular momentos. El momento que más interesa para el desarrollo de esta tesis es el segundo momento central que se describe en la siguiente sección. A.5 Varianza de una Variable Aleatoria El segundo momento central o varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersión definido como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable aleatoria con respecto a su valor esperado y según [84] viene dada por la ecuación (A-17). 2 2 2 ([ ] ) [ ] ( )X XE X X X X f x dx (A-17)
- 209. APÉNDICE A VARIABLEALEATORIA 175 La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación estándar de 𝑋 y es una medida de la propagación de 𝑓𝑋(𝑥) alrededor de 𝐸(𝑋). A.6 Concepto de Vector Aleatorio Un vector aleatorio 𝑋 es una función que asigna un vector de números reales a cada resultado 𝑠 en el espacio muestral 𝑆 de un experimento aleatorio. De acuerdo con [81], un vector aleatorio de dimensión 𝑁𝑉𝐴 × 1 es representado por la ecuación (A-18). 1 2( , , , )NVAX X X X (A-18) A.7 Función de Distribución de Probabilidad Acumulada Conjunta Para 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴, la función de distribución de probabilidad acumulada conjunta se define, según [82], como la probabilidad del evento conjunto {𝑋1 ≤ 𝑥1, 𝑋2 ≤ 𝑥2, … , 𝑋 𝑁𝑉𝐴 ≤ 𝑥 𝑁𝑉𝐴} y viene dado por la ecuación (A-19). 1 2, , , 1 2 1 1 2 2( , , , ) { , , , }NVAX X X NVA NVA NVAF x x x P X x X x X x (A-19) Conforme con [83], la función de distribución conjunta para dos variables aleatorias 𝑋 e 𝑌 presenta las siguientes propiedades: ,0 ( , ) 1X YF x y (A-20) , , ,( , ) ( , ) ( , ) 0X Y X Y X YF F y F x (A-21) , ( , ) 1X YF (A-22) , ( , ) es una función no decreciente para o o ambasX YF x y x y (A-23) , 2 2 , 1 1 , 1 2 , 2 1 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) { , } 0 X Y X Y X Y X Y F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y (A-24) , ,( , ) ( ), ( , ) ( )X Y X X Y YF x F x F y F y (A-25) A.8 Función de Densidad de Probabilidad Conjunta Según [82], cuando 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴 están involucradas, la función de densidad de probabilidad conjunta se convierte en la 𝑁𝑉𝐴-ésima derivada parcial de la función de distribución de probabilidad acumulada conjunta como se muestra en la ecuación (A-26). 1 2 1 2 , , , 1 2 , , , 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) NVA NVA X X X NVA X X X NVA NVA F x x x f x x x x x x (A-26)
- 210. APÉNDICE A VARIABLEALEATORIA 176 Según [83], la función de densidad conjunta para dos variables aleatorias 𝑋 e 𝑌 presenta las siguientes propiedades: , ( , ) 0X Yf x y (A-27) , ( , ) 1X Yf x y dxdy (A-28) , ,( , ) ( , ) y x X Y X YF x y f u v dudv (A-29) , ,( ) ( , ) , ( ) ( , ) x y X X Y Y X YF x f u v dvdu F y f u v dudv (A-30) 2 2 1 1 1 2 1 2 ,{ , } ( , ) y x X Yy x P x X x y Y y f x y dxdy (A-31) , ,( ) ( , ) , ( ) ( , )X X Y Y X Yf x f x y dy f y f x y dx (A-32) A.9 Valor Esperado de Una Función de Varias Variables Aleatorias De acuerdo con [82], para 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴 y alguna función de estas variables denotado por 𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁𝑉𝐴), el valor esperado de esa función viene dada por la ecuación (A-33). 11 1 , , 1 1( [ , , ]) ( , , ) ( , , )NVANVA NVA X X NVA NVAE g X X g x x f x x dx dx (A-33) Para obtener el valor esperado de una función de 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias es necesario integrar 𝑁𝑉𝐴 veces debido a la cantidad de variables involucradas. A.10 Matriz de Covarianza de Varias Variables Aleatorias Según [82], la matriz de covarianza de un vector aleatorio que posee 𝑁𝑉𝐴 variables aleatorias 𝑋 𝑢, 𝑢 = 1,2, … , 𝑁𝑉𝐴 viene dada por la ecuación (A-34). 11 12 1 21 22 2 1 2 [ ] NVA NVA X NVA NVA NVANVA Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov (A-34) De donde: 𝐶𝑜𝑣𝑖𝑖 = 𝜎 𝑋 𝑖 2 . Los elementos de la diagonal corresponden a la varianza de los elementos del vector aleatorio 𝑋. 𝐶𝑜𝑣𝑖𝑗 = 𝐸([𝑋𝑖 − 𝑋̅𝑖][𝑋𝑗 − 𝑋̅𝑗]) . Los elementos fuera de la diagonal corresponden a la covarianza entre las variables aleatorias 𝑋𝑖 y 𝑋𝑗. La covarianza entre 2 variables aleatorias también es conocida como el momento central conjunto de segundo orden.
- 211. APÉNDICE A VARIABLEALEATORIA 177 A.11 Características de Algunas Variables Aleatorias La Tabla A-1 describe las principales características de las variables aleatorias empleadas en esta tesis como sus funciones de densidad, valores esperados y varianzas [85]. Tabla A-1 Principales Características de Algunas Variables Aleatorias. Variable Aleatoria Especificaciones Función de Densidad Valor esperado Varianza Normal −∞ < 𝑥 < ∞ −∞ < 𝑋̅ < ∞ 𝜎𝑋 > 0 𝑓𝑋(𝑥) = 1 𝜎𝑋√2𝜋 𝑒−(𝑥−𝑋̅)2/2𝜎 𝑋 2 𝑋̅ 𝜎𝑋 2 Normal Estándar −∞ < 𝑥 < ∞ 𝑓𝑋(𝑥) = 1 √2𝜋 𝑒−𝑥2/2 0 1 𝝌 𝟐 𝑥 > 0 𝐺𝐿 = 1,2, … 𝑓𝑋(𝑥) = 1 Γ ( 𝐺𝐿 2 ) 𝑥 1 2 𝐺𝐿−1 ( 1 2 ) 𝐺𝐿/2 𝑒−𝑥/2 𝐺𝐿 2𝐺𝐿 t-Estudiante −∞ < 𝑥 < ∞ 𝐺𝐿 = 1,2, … 𝑓𝑋(𝑥) = Γ ( 𝐺𝐿 + 1 2 ) √𝜋𝐺𝐿 ∙ Γ ( 𝐺𝐿 2 ) ∙ 1 (1 + 𝑥2 𝐺𝐿 ) (𝐺𝐿+1)/2 0 𝐺𝐿 𝐺𝐿 − 2 , 𝐺𝐿 > 2 De donde: 𝑋 es la variable aleatoria especificada. 𝑥 es un valor de la variable aleatoria especificada. Γ(𝑥) = ∫ 𝑢 𝑥−1 𝑒−𝑢 𝑑𝑢 ∞ 0 , 𝑥 > 0 es la función gama. 𝐺𝐿 es el número de grados de libertad de la variable aleatoria.
- 212. APÉNDICE A VARIABLEALEATORIA 178
- 213. APÉNDICE B NORMASDE VECTORES Y MATRICES 179 APÉNDICE B NORMAS DE VECTORES Y MATRICES B.1 Normas de Vectores Una norma en un espacio vectorial desempeña el mismo papel que el valor absoluto, es decir, representa una medida de distancia. En particular, sea 𝑓 la norma de un vector en ℝ 𝑛 entonces se define como una función 𝑓: ℝ 𝑛 → ℝ que satisface las siguientes propiedades [74, 86]: ( ) 0, , ( ( ) 0 0)n f x x f x si x (B-1) ( ) ( ) ( ), , n f x y f x f y x y (B-2) ( ) ( ), , n f x f x x (B-3) Conforme con [74] una clase útil de norma de un vector es la i-norma que se define en la ecuación (B-4): 1 1( ) , 1 ii i ni x ixx (B-4) B.2 Normas de Matrices Sea 𝑓 la norma de una matriz en ℝ 𝑚×𝑛 entonces se define como una función 𝑓: ℝ 𝑚×𝑛 → ℝ que presenta las siguientes propiedades [74, 86]: ( ) 0, , ( ( ) 0 0)m n f A A f A si A (B-5) ( ) ( ) ( ), , m n f A B f A f B A B (B-6) ( ) ( ), , m n f A f A A (B-7) Según [74], la norma más usada en el álgebra lineal numérica es la i-norma que se define en la ecuación (B-8): 0 max , 1i i x i Ax iA x (B-8) El tipo de normas de matrices que se emplearon en esta tesis son las normas mutuamente consistentes que parte de la observación de que la ecuación (B-8) representa una familia de normas. Sea 𝑓1: ℝ 𝑚×𝑞 → ℝ , 𝑓2: ℝ 𝑚×𝑛 → ℝ y 𝑓3: ℝ 𝑛×𝑞 → ℝ tal que 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 y 𝐵 ∈ ℝ 𝑛×𝑞 entonces la desigualdad representada por (B-9) se cumple, según [74]. 1 2 3( ) ( ) ( )f AB f A f B (B-9)
- 214. APÉNDICE B NORMASDE VECTORES Y MATRICES 180 O bien, usando la notación i-norma se tiene la ecuación (B-10). , 1i i i iAB A B (B-10)
- 215. APÉNDICE C DATOSDE LOS SISTEMAS DE PRUEBA 181 APÉNDICE C DATOS DE LOS SISTEMAS DE PRUEBA C.1 Sistema Eléctrico de 14 Nodos 1 2 5 6 11 10 4 3 7 8 9 12 13 14 [E1] [E2] [E3] [E4] [E5] [E6] [E7] [E8] [E9] [E10] [E11][E12] [E13] [E14] [E15][E16] [E17] [E18] [E19] [E20] Figura C-1 Diagrama unifilar del sistema IEEE de 14 nodos [59]. Tabla C-1 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el sistema IEEE de 14 nodos. Elemento 1 2 3 4 5 6 7 Conectividad (p a q) 1 a 2 1 a 5 2 a 3 2 a 4 2 a 5 3 a 4 4 a 5 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.019380 0.054030 0.046990 0.058110 0.056950 0.067010 0.013350 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.059170 0.223040 0.197970 0.176320 0.173880 0.171030 0.042110 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.026400 0.024600 0.021900 0.017000 0.017300 0.006400 0.000000 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Elemento 8 9 10 11 12 13 14 Conectividad (p a q) 4 a 7 4 a 9 5 a 6 6 a 11 6 a 12 6 a 13 7 a 8 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.094980 0.122910 0.066150 0.000000 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.209120 0.556180 0.252020 0.198900 0.255810 0.130270 0.176150 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝒂 𝒑𝒒 0.978000 0.969000 0.932000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
- 216. APÉNDICE C DATOSDE LOS SISTEMAS DE PRUEBA 182 Tabla C-1 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el sistema IEEE de 14 nodos (Cont.). Elemento 15 16 17 18 19 20 Conectividad (p a q) 7 a 9 9 a 10 9 a 14 10 a 11 12 a 13 13 a 14 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000000 0.031810 0.127110 0.082050 0.220920 0.170930 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.110010 0.084500 0.270380 0.192070 0.199880 0.348020 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Tabla C-2 Datos de elementos en derivación para el sistema IEEE de 14 nodos. Conectividad (p) 9 𝒃 𝒑 (MVAR) 19.000000 Tabla C-3 Datos de voltajes nodales iniciales para el sistema IEEE de 14 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.060000 1.045000 1.010000 1.000000 1.000000 1.070000 1.000000 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.090000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Tabla C-4 Datos de potencias de generación y carga por nodo para el sistema IEEE de 14 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 Tipo Slack PV PV PQ PQ PV PQ 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 40.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 21.700000 94.200000 47.800000 7.600000 11.200000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 12.700000 19.000000 -3.900000 1.600000 7.500000 0.000000 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 Tipo PV PQ PQ PQ PQ PQ PQ 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 29.500000 9.000000 3.500000 6.100000 13.500000 14.900000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 16.600000 5.800000 1.800000 1.600000 5.800000 5.000000
- 217. APÉNDICE C DATOSDE LOS SISTEMAS DE PRUEBA 183 C.2 Sistema Eléctrico de 39 Nodos 1 3 30 5 11 13 35 36 37 38 34 2 33 14 32 39 18 31 10 25 8 26 27 28 29 24 6 22 21 16 17 15 19 20 4 23 7 [E1] [E2] [E3] [E4] [E5] [E6] [E7] [E8] [E9] [E10] 9 [E11] [E12] 12 [E13] [E14] [E15] [E16] [E17] [E18][E19] [E20] [E21] [E22] [E23] [E24] [E25] [E26] [E27] [E28] [E29] [E30] [E31] [E32] [E33] [E34] [E35] [E36] [E37] [E38][E39] [E40] [E41] [E42] [E43] [E44] [E45] [E46] Figura C-2 Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos [60]. Tabla C-5 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Elemento 1 2 3 4 5 6 7 Conectividad (p a q) 1 a 35 2 a 38 2 a 39 3 a 30 4 a 19 5 a 20 6 a 22 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000000 0.001000 0.001000 0.000000 0.000700 0.000900 0.000000 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.025000 0.025000 0.025000 0.020000 0.014200 0.018000 0.014300 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.000000 0.600000 0.375000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.070000 1.000000 1.000000 1.070000 1.070000 1.009000 1.025000 Elemento 8 9 10 11 12 13 14 Conectividad (p a q) 7 a 23 8 a 25 9 a 29 10 a 31 11 a 12 11 a 30 11 a 35 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000500 0.000600 0.000800 0.000000 0.001600 0.000400 0.000700 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.027200 0.023200 0.015600 0.018100 0.043500 0.004300 0.008200 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.036450 0.069450 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.025000 1.025000 1.025000 1.006000 1.000000 1.000000
- 218. APÉNDICE C DATOSDE LOS SISTEMAS DE PRUEBA 184 Tabla C-5 Datos de parámetros de líneas y transformadores para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos (Cont.). Elemento 15 16 17 18 19 20 21 Conectividad (p a q) 12 a 13 13 a 14 13 a 30 14 a 15 14 a 33 15 a 16 16 a 17 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.001600 0.000900 0.000400 0.001800 0.000800 0.000900 0.000700 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.043500 0.010100 0.004300 0.021700 0.012900 0.009400 0.008900 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.000000 0.086150 0.036450 0.183000 0.069100 0.085500 0.067100 𝒂 𝒑𝒒 1.006000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Elemento 22 23 24 25 26 27 28 Conectividad (p a q) 16 a 19 16 a 21 16 a 24 17 a 18 17 a 27 18 a 32 19 a 20 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.001600 0.000800 0.000300 0.000700 0.001300 0.001100 0.000700 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.019500 0.013500 0.005900 0.008200 0.017300 0.013300 0.013800 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.152000 0.127400 0.034000 0.065950 0.160800 0.106900 0.000000 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.060000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Elemento 29 30 31 32 33 34 35 Conectividad (p a q) 21 a 22 22 a 23 23 a 24 25 a 26 25 a 31 26 a 27 26 a 28 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000800 0.000600 0.002200 0.003200 0.007000 0.001400 0.004300 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.014000 0.009600 0.035000 0.032300 0.008600 0.014700 0.047400 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.128250 0.092300 0.180500 0.256500 0.073000 0.119800 0.390100 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Elemento 36 37 38 39 40 41 42 Conectividad (p a q) 26 a 29 28 a 29 31 a 32 31 a 39 32 a 33 33 a 34 34 a 35 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.005700 0.001400 0.001300 0.003500 0.001300 0.000800 0.000200 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.062500 0.015100 0.015100 0.041100 0.021300 0.012800 0.002600 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.514500 0.124500 0.128600 0.349350 0.110700 0.067100 0.021700 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Elemento 43 44 45 46 Conectividad (p a q) 34 a 37 35 a 36 36 a 37 37 a 38 𝒓 𝒑𝒒 (pu) 0.000800 0.000600 0.000400 0.002300 𝒙 𝒑𝒒 (pu) 0.011200 0.009200 0.004600 0.036300 𝒃 𝒑𝒒 𝒔𝒉 (pu) 0.073800 0.056500 0.039000 0.190200 𝒂 𝒑𝒒 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 𝒂 𝒒𝒑 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
- 219. APÉNDICE C DATOSDE LOS SISTEMAS DE PRUEBA 185 Tabla C-6 Datos de Voltajes Nodales Iniciales para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 0.982000 1.030000 0.983100 0.997200 1.012300 1.049300 1.063500 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.027800 1.026500 1.047500 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Nodo 15 16 17 18 19 20 21 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Nodo 22 23 24 25 26 27 28 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Nodo 29 30 31 32 33 34 35 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Nodo 36 37 38 39 𝜽 (°) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 |𝑽| (pu) 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
- 220. APÉNDICE C DATOSDE LOS SISTEMAS DE PRUEBA 186 Tabla C-7 Datos de Potencias de Generación y Carga por Nodo para el sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos. Nodo 1 2 3 4 5 6 7 Tipo Slack PV PV PV PV PV PV 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 1000.000000 650.000000 632.000000 508.000000 650.000000 560.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 9.200000 1104.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 4.600000 250.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Nodo 8 9 10 11 12 13 14 Tipo PV PV PV PQ PQ PQ PQ 𝑷 𝑮 (MW) 540.000000 830.000000 250.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 7.500000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 88.000000 0.000000 0.000000 Nodo 15 16 17 18 19 20 21 Tipo PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 320.000000 329.000000 0.000000 158.000000 0.000000 628.000000 274.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 153.000000 32.300000 0.000000 30.000000 0.000000 103.000000 115.000000 Nodo 22 23 24 25 26 27 28 Tipo PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 0.000000 247.500000 308.600000 224.000000 139.000000 281.000000 206.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 0.000000 84.600000 -92.000000 47.200000 17.000000 75.500000 27.600000 Nodo 29 30 31 32 33 34 35 Tipo PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 283.500000 0.000000 0.000000 322.000000 500.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 26.900000 0.000000 0.000000 2.400000 184.000000 0.000000 0.000000 Nodo 36 37 38 39 Tipo PQ PQ PQ PQ 𝑷 𝑮 (MW) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑮 (MVAR) 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 𝑷 𝑳 (MW) 233.800000 522.000000 0.000000 0.000000 𝑸 𝑳 (MVAR) 84.000000 176.000000 0.000000 0.000000
- 221. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 187 APÉNDICE D CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL D.1 Introducción En este apéndice se presenta la descripción de la ejecución del programa de estimación de estado convencional que se llama ESTIMATOR_CA.exe. Asimismo se muestran los códigos de programación del programa principal, los módulos y las subrutinas necesarias para la ejecución del programa. D.2 Ejecución del Programa ESTIMATOR_CA.exe Para ejecutar el programa ESTIMATOR_CA.exe es necesario primero crear un archivo de datos de entrada con extensión “.DAT” el cual contendrá los datos generales del sistema, datos de errores de parámetros de líneas, datos de elementos (líneas, transformadores y elementos en derivación), datos de valores iniciales de las variables de estado, datos de errores en las mediciones y datos de los resultados de flujos de potencia (mediciones ideales). La Figura D-1 muestra la estructura del archivo de datos requerida por el programa. Figura D-1 Estructura del archivo de datos “EJEMPLO.DAT” para el estimador de estado. De donde: n es el número de nodos del sistema. b es el número de elementos (líneas y transformadores). nTR es el número de transformadores. nED es el número de elementos en derivación. Sbase es la potencia base del sistema.
- 222. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 188 m es el número total de mediciones. mV es el número de mediciones de magnitud de voltaje. mFPA es el número de mediciones de flujos de potencia activa. mFPR es el número de mediciones de flujos de potencia reactiva. mIPA es el número de mediciones de inyecciones de potencia activa. mIPR es el número de mediciones de inyecciones de potencia reactiva. it es el número de iteraciones. tol es la tolerancia para el criterio de convergencia. NLE es el número de líneas que presentan errores de parámetros. ERRORLE es el porcentaje de error que presentan las líneas. VLE(NLE) es el vector que contiene las líneas a estimar. p(b) es el vector que contiene los nodos de envío. q(b) es el vector que contiene los nodos de recepción. imps(b) es el vector que contiene la impedancia serie de los elementos. yd(b) es el vector que contiene la admitancia en derivación (sobre dos) de los elementos. tipoe(b) es el vector que contiene el tipo de elemento (1=línea y 2=transformador). apq(b) es el vector que contiene el tap en el nodo p. aqp(b) es el vector que contiene el tap en el nodo q. pED(nED) es el vector que contiene los nodos a los que están conectados los elementos en derivación. bED(nED) es el vector que contiene las admitancias de los elementos en derivación. VE(2*n-1) es el vector que contiene los valores iniciales de las variables de estado. ERRORMV es el error que presentan las mediciones de magnitudes de voltaje. ERRORMP es el error que presentan las mediciones de potencia (flujos e inyecciones). mp(m) es el vector que contiene los nodos de envío para las mediciones. mq(m) es el vector que contiene los nodos de recepción para las mediciones. Zlf(m) es el vector que contiene los resultados de flujos de potencia. Una vez creado el archivo de datos “EJEMPLO.DAT” con la estructura mostrada en la Figura D-1 se debe ejecutar el programa ESTIMATOR_CA.exe y se mostrará la pantalla de la Figura D-2 en el que se puede observar que el programa solicita el nombre del archivo de datos, por lo que se debe ingresar el nombre del archivo de datos previamente creado con extensión “.DAT”. Figura D-2 Ingreso del archivo de datos para el estimador de estado. Una vez ingresado el nombre del archivo de datos se procede a presionar la tecla ENTER y luego aparecerá una nueva instrucción solicitando el nombre del archivo de resultados. Ahora se debe
- 223. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 189 ingresar el nombre del archivo de resultados con extensión “.RES” así como se muestra en la Figura D-3. Figura D-3 Ingreso del archivo de resultados para el estimador de estado. Después es necesario presionar la tecla ENTER para la ejecución del programa. En seguida aparecerá una leyenda que dice “TERMINE PROGRAMA ESTIMATOR_CA” indicando que el programa terminó de realizar el algoritmo de estimación de estado, por lo que para terminar la ejecución del programa se debe presionar otra vez la tecla ENTER. Los resultados son guardados en el archivo de resultados con el nombre que se ingresó durante la ejecución del programa. El archivo de resultados se presenta en la Figura D-4 y contiene las variables de estado y mediciones estimadas, resultados del análisis de robustez numérica, la prueba 𝜒2 (chi- cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Figura D-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de estado.
- 224. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 190 Figura D-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de estado (CONT.). D.3 Programa Principal PROGRAM ESTIMATOR_CA !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA08 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j REAL :: TIME0, TIME1 !DEFINE EL TIEMPO INICIAL EN SEGUNDOS TIME0 = CPSEC() !IMPRIME EL ENCABEZADO DEL PROGRAMA CALL ENCABEZADO !ACTIVA UNIDADES DE ENTRADA Y SALIDA DE DATOS CALL UNIDADES !LEE LOS DATOS REQUERIDOS POR EL PROGRAMA CALL LEEDATOS
- 225. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 191 !HAZ LO SIGUIENTE SI EL NUMERO DE LINEAS QUE PRESENTAN ERRORES DE PARAMETROS ES DISTINTO DE CERO IF ( NLE .NE. 0 ) THEN !AÑADE ERROR A LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS CALL ERROR_PARAMETROS_LINEAS END IF !AÑADE ERROR A LAS MEDICIONES IDEALES (RESULTADOS DEL ESTUDIO DE FLUJOS DE POTENCIA) CALL ERROR_MEDICIONES2 !CALCULA LAS VARIANZAS DE LAS MEDICIONES CALL VARIANZA2 !IMPRIME LOS DATOS EN EL ARCHIVO DE SALIDA CALL PRINTDATOS !INICIALIZA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR EN CERO VEaux=0.0 !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux !FORMA LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL (YBUS) CALL FORMA_YBUS !FORMA LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO CALL FORMA_A !CALCULA LA MATRIZ DE PONDERACION CALL FORMA_W !BUCLE QUE CONTROLA LAS ITERACIONES DEL ESTIMADOR DO i=1, it !CALCULA LA FUNCION DE MEDICION CALL FORMA_hFM !CALCULA EL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZ !CALCULA LA TRANSPUESTA DEL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZt !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJac !CALCULA LA TRANSPUESTA DE LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJact !CALCULA EL MIEMBRO DERECHO DEL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES CALL FORMA_HJactWdeltaZ !CALCULA LA MATRIZ DE GANANCIA CALL FORMA_G !RESUELVE EL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES PARA EL VECTOR DE INCREMENTOS DE LOS ESTADOS CALL CALC_deltaVE !ACTUALIZA EL VECTOR DE ESTADO CALL ACTL_VE !CALCULA LA FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR CALL CALC_Jx !IMPRIME LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN ESTA ITERACION CALL PRINT_RES_IT(i) !REALIZA LA PRUEBA DE CONVERGENCIA CALL TEST_CONV(i,j) SELECT CASE (j) CASE (1) !SI SE LOGRA LA CONVERGENCIA DEL ESTIMADOR SAL DEL BUCLE !QUE CONTROLA LAS ITERACIONES DEL ESTIMADOR WRITE(3,10) i WRITE(*,20) i 10 FORMAT (2/,5X,'*** El Estimador Converge en ', I2, ' Iteraciones.',/) 20 FORMAT (/,' *** EL ESTIMADOR CONVERGE EN ', I2, ' ITERACIONES',2/) EXIT CASE (2) !SI SE LLEGA AL NUMERO DE ITERACIONES PROPUESTO !ENTONCES TERMINA EL PROGRAMA WRITE(3,30) i WRITE(*,40) i 30 FORMAT (2/,5X,'*** El Estimador No Converge en ', I2, ' Iteraciones.',/) 40 FORMAT (/,' *** EL ESTIMADOR NO CONVERGE EN ', I2, ' ITERACIONES',2/) STOP '¡¡¡ PROGRAMA TERMINADO !!!' CASE DEFAULT WRITE(*,50) i 50 FORMAT (/,' ¡¡¡ TERMINE ITERACION NUMERO ', I3, ' !!!',2/) END SELECT !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux END DO !AQUI TERMINA EL BUCLE QUE CONTROLA LAS ITERACIONES DEL ESTIMADOR !REALIZA LO SIGUIENTE AL SALIR DEL BUCLE !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux !CALCULA LAS MEDICIONES ESTIMADAS CALL FORMA_hFM !CALCULA LOS RESIDUALES DE MEDICION CALL FORMA_deltaZ !CALCULA LA TRANSPUESTA DE LOS RESIDUALES DE MEDICIÓN CALL FORMA_deltaZt !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJac !CALCULA LA TRANSPUESTA DE LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJac !CALCULA LA MATRIZ DE GANANCIA CALL FORMA_G !CALCULA LA FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR CALL CALC_Jx !CALCULA LOS RESIDUALES NORMALIZADOS CALL CALC_ResNorm !REALIZA EL ANALISIS DE ROBUSTEZ NUMERICA CALL ROBUSTEZ_NUMERICA !CALCULA LOS FLUJOS DE POTENCIA CON LOS RESULTADOS DE LA ESTIMACION DE ESTADO CALL C_FLUJOS !IMPRIME LOS RESULTADOS DEL PROGRAMA DE ESTIMACION DE ESTADO CALL PRINT_RESULTADOS !PROCESO DE DETECCION (PRUEBA CHI-CUADRADA) CALL CHI_CUADRADA !PROCESO DE DETECCION (PRUEBA RESIDUALES NORMALIZADOS) CALL RES_NORM !DEFINE EL TIEMPO FINAL EN SEGUNDOS TIME1 = CPSEC() !IMPRIME EL TIEMPO DE COMPUTO USADO POR EL PROGRAMA WRITE (3,60) TIME1-TIME0 60 FORMAT (/,5X, '*** Tiempo de Cómputo = ', F10.8, ' (s)') !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE (3,70)
- 226. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 192 70 FORMAT (/,5X, '/// Fin del Archivo de Resultados ') PRINT * !DEJA UN ESPACIO EN PANTALLA PAUSE '¡¡¡ TERMINE PROGRAMA ESTIMATOR_CA !!!' END PROGRAM ESTIMATOR_CA D.4 Módulos MODULE mDATA01 IMPLICIT NONE !NUMERO DE NODOS !NUMERO DE ELEMENTOS (INCLUYE LINEAS Y TRANSFORMADORES) !NUMERO DE TRANSFORMADORES !NUMERO DE ELEMENTOS EN DERIVACION INTEGER :: n, b, nTR, Ned !NUMERO DE LINEAS QUE PRESENTAN ERRORES DE PARAMETROS INTEGER :: NLE !VECTOR DE LINEAS QUE PRESENTAN ERRORES DE PARAMETROS INTEGER, ALLOCATABLE :: VLE(:) !COEFICIENTE DE REDUNDANCIA !PORCENTAJE DE ERROR QUE PRESENTAN LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS REAL*8 :: CRed, ERRORLE !NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA CHARACTER(LEN=25) :: NOMBREDAT !NOMBRE DEL ARCHIVO DE RESULTADOS CHARACTER(LEN=25) :: NOMBRERES END MODULE mDATA01 MODULE mDATA02 IMPLICIT NONE !NUMERO TOTAL MEDICIONES !NUMERO DE MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE INTEGER :: m, mV !NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA !NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA INTEGER :: mFPA, mFPR !NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA !NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA INTEGER :: mIPA, mIPR !PORCENTAJE DE ERROR EN LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE !PORCENTAJE DE ERROR EN LAS MEDICIONES DE POTENCIA REAL*8 :: ERRORMV, ERRORMP END MODULE mDATA02 MODULE mDATA03 IMPLICIT NONE !VECTOR DE NODOS DE DONDE SALE LA CORRIENTE (p<q) !VECTOR DE NODOS DE DONDE ENTRA LA CORRIENTE (p<q) !VECTOR DE NODOS DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION !VECTOR QUE CONTIENE EL NUMERO DE ELEMENTO QUE ES TRANSFORMADOR INTEGER, ALLOCATABLE :: p(:), q(:), pED(:), vTR(:) !VECTOR DEL TIPO DE CADA ELEMENTO (1=LINEA DE TRANSMISION, 2=TRANSFORMADOR) INTEGER, ALLOCATABLE :: tipoe(:) !VECTOR DE LAS RELACIONES DE TRANSFORMACION DEL NODO p AL NODO q !VECTOR DE LAS RELACIONES DE TRANSFORMACION DEL NODO q AL NODO p REAL*8, ALLOCATABLE :: apq(:), aqp(:) END MODULE mDATA03 MODULE mDATA04 IMPLICIT NONE !VECTOR DE IMPEDANCIA SERIE DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE 2 DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: imps(:), yd(:) !VECTOR DE ADMITANCIA SERIE DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: ys(:), bED(:) !VECTOR DE IMPEDANCIA SERIE ORIGINAL DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE 2 ORIGINAL DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: impsorg(:), ydorg(:) !VECTOR DE ADMITANCIA SERIE ORIGINAL DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: ysorg(:) END MODULE mDATA04 MODULE mDATA05 IMPLICIT NONE !VECTOR DE NODOS DE SALIDA DE LA MEDICION !VECTOR DE NODOS DE LLEGADA DE LA MEDICION INTEGER, ALLOCATABLE :: mp(:), mq(:) !VECTOR DE MEDICIONES !VECTOR DE VARIANZAS DE LAS MEDICIONES !VECTOR DE RESULTADOS DE FLUJOS DE POTENCIA REAL*8, ALLOCATABLE :: Z(:), mVAR(:), Zlf(:) END MODULE mDATA05 MODULE mDATA06 IMPLICIT NONE !VECTOR DE ESTADO (SE VA ACTUALIZANDO Y CONTIENE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO, EXCEPTO EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) !VECTOR DE ESTADO AUXILIAR (SE VA ACTUALIZANDO Y CONTIENE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO, INCLUYE EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) REAL*8, ALLOCATABLE :: VE(:), VEaux(:) !VECTOR DE INCREMENTOS DEL VECTOR DE ESTADO (NO INCLUYE EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) REAL*8, ALLOCATABLE :: deltaVE(:) END MODULE mDATA06 MODULE mDATA07 IMPLICIT NONE !MATRIZ DE PONDERACION !VECTOR DE FUNCION DE MEDICION (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: W(:,:), hFM(:) !JACOBIANA DE MEDICIONES (SE VA ACTUALIZANDO) !MATRIZ DE GANANCIA (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: HJac(:,:), G(:,:) !VECTOR DE "Z-hFM" (SE VA ACTUALIZANDO) !TRANSPUESTA DEL VECTOR DE "Z-hFM" (SE VA ACTUALIZANDO)
- 227. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 193 REAL*8, ALLOCATABLE :: deltaZ(:),deltaZt(:,:) !TRANSPUESTA DE LA JACOBIANA DE MEDICIONES (SE VA ACTUALIZANDO) !MIEMBRO DERECHO DEL CONJUNTO DE ECS. NORMALES (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: HJact(:,:), HJactWdeltaZ(:) !PRODUCTO DE HJact y W (SE VA ACTUALIZANDO) !INVERSA DE LA MATRIZ DE PONDERACIÓN REAL*8, ALLOCATABLE :: HJactW(:,:), invW(:,:) !FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8 :: Jx(1,1) END MODULE mDATA07 MODULE mDATA08 IMPLICIT NONE !NUMERO DE ITERACIONES INTEGER :: it !TOLERANCIA USADA EN EL CRITERIO DE CONVERGENCIA REAL*8 :: tol !POTENCIA BASE DEL SISTEMA REAL*8 :: Sbase END MODULE mDATA08 MODULE mDATA09 IMPLICIT NONE !MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: YBUS(:,:) END MODULE mDATA09 MODULE mDATA10 IMPLICIT NONE !MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO-NODO INTEGER, ALLOCATABLE :: A(:,:) END MODULE mDATA10 MODULE mDATA11 IMPLICIT NONE !MATRIZ QUE CONTIENE LA FACTORIZACION DE CHOLESKY DE G REAL*8, ALLOCATABLE :: FACCHOLESKY(:,:) END MODULE mDATA11 MODULE mDATA12 IMPLICIT NONE !INVERSA DE LA MATRIZ DE GANANCIA REAL*8, ALLOCATABLE :: invG(:,:) !PRODUCTO DE HJac y (G^-1) REAL*8, ALLOCATABLE :: HJacinvG(:,:) !PRODUCTO DE HJac, (G^-1) y HJact REAL*8, ALLOCATABLE :: HJacinvGHJact(:,:) !MATRIZ SOMBRERO REAL*8, ALLOCATABLE :: Ks(:,:) !MATRIZ DE SENSIBILIDAD RESIDUAL REAL*8, ALLOCATABLE :: S(:,:) !MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL REAL*8, ALLOCATABLE :: COVdeltaZ(:,:) !VECTOR DE RESIDUALES NORMALIZADOS REAL*8, ALLOCATABLE :: ResNorm(:) !MAXIMO RESIDUAL NORMALIZADO REAL*8 :: MaxResNorm END MODULE mDATA12 MODULE mDATA13 IMPLICIT NONE !FLUJO DE POTENCIA (ACTIVA Y REACTIVA) DE p A q REAL*8, ALLOCATABLE :: Ppq(:), Qpq(:) !FLUJO DE POTENCIA (ACTIVA Y REACTIVA) DE q A p REAL*8, ALLOCATABLE :: Pqp(:), Qqp(:) !FLUJO DE POTENCIA (ACTIVA Y REACTIVA) DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION REAL*8, ALLOCATABLE :: PpED(:), QpED(:) !PERDIDAS TOTALES !BALANCE REACTIVO TOTAL REAL*8 :: Ptotal, Qtotal END MODULE mDATA13 MODULE mDATA14 IMPLICIT NONE !RANGO NUMERICO DE HJac !RANGO NUMERICO DE G INTEGER :: IRANK, IRANK2 !NUMERO DE CONDICION DE HJac !NUMERO DE CONDICION DE G !TOLERANCIA USADA POR LA RUTINA SVD REAL*8 :: NC1, NC2, tolSVD !VECTOR DE LOS VALORES SINGULARES DE HJac !MATRIZ ORTOGONAL U DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE HJac !MATRIZ ORTOGONAL V DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE HJac REAL*8, ALLOCATABLE :: SIGMA(:), U(:,:), V(:,:) !VECTOR DE LOS VALORES SINGULARES DE G !MATRIZ ORTOGONAL U DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE G !MATRIZ ORTOGONAL V DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE G REAL*8, ALLOCATABLE :: SIGMA2(:), U2(:,:), V2(:,:) END MODULE mDATA14 MODULE mDATA15 IMPLICIT NONE !NIVEL DE CONFIANZA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADA !GRADOS DE LIBERTAD DEL SISTEMA !VALOR DE LA INVERSA DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CHI-CUADRADA REAL*8 :: PrC, DF, X END MODULE mDATA15 D.5 Subrutinas SUBROUTINE ACTL_VE !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !ACTUALIZA EL VECTOR DE ESTADO DO i=1, 2*n-1 VE(i)=VE(i)+deltaVE(i) END DO END SUBROUTINE ACTL_VE SUBROUTINE C_FLUJOS !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA06 USE mDATA08 USE mDATA13 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: elem
- 228. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 194 !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO Ppq=0.0 Qpq=0.0 Pqp=0.0 Qqp=0.0 Ptotal=0.0 Qtotal=0.0 !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DO elem=1,b !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE "p A q" Ppq(elem)=((apq(elem)*VEaux(p(elem)))**2)*DREAL(ys(ele m))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DCOS(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D IMAG(ys(elem))*DSIN(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n)) Qpq(elem)=- 1.0*((apq(elem)*VEaux(p(elem)))**2)*(DIMAG(ys(elem))+D IMAG(yd(elem)))& +(apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))* DIMAG(ys(elem))*DCOS(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DSIN(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n)) !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE "q A p" Pqp(elem)=((aqp(elem)*VEaux(q(elem)))**2)*DREAL(ys(ele m))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DCOS(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D IMAG(ys(elem))*DSIN(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n)) Qqp(elem)=- 1.0*((aqp(elem)*VEaux(q(elem)))**2)*(DIMAG(ys(elem))+D IMAG(yd(elem)))& +(apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))* DIMAG(ys(elem))*DCOS(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DSIN(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n)) !CALCULA LAS PERDIDAS TOTALES DE POTENCIA ACTIVA Ptotal=Ptotal+(Ppq(elem)+Pqp(elem))*Sbase !CALCULA LAS PERDIDAS TOTALES DE POTENCIA REACTIVA Qtotal=Qtotal+(Qpq(elem)+Qqp(elem))*Sbase END DO !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO EL NUMERO DE ELEMENTOS EN DERIVACION ES DISTINTO DE CERO IF ( nED .NE. 0 ) THEN !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO PpED=0.0 QpED=0.0 DO elem=1, nED !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION PpED(elem)=0.0 QpED(elem)=- 1.0*((VEaux(pED(elem)))**2)*(DIMAG(bED(elem))) END DO END IF END SUBROUTINE C_FLUJOS SUBROUTINE CALC_COVdeltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ DE PONDERACIÓN CALL DLINRG (m, W, m, invW, m) !CALCULA G^(-1) CALL DLINRG (2*n-1, G, 2*n-1, invG, 2*n-1) !CALCULA (HJac)(G^-1) MULTIPLICANDO HJac Y invG CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, 2*n-1, invG, 2*n-1, m, 2*n-1, HJacinvG, m) !CALCULA (HJac)(G^-1)(HJact) MULTIPLICANDO HJacinvG Y HJact CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJacinvG, m, 2*n-1, m, HJact, 2*n-1, m, m, HJacinvGHJact, m) !CALCULA LA MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL COVdeltaZ=invW-HJacinvGHJact !CALCULA LA MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL !CALL DMRRRR (m, m, S, m, m, m, invW, m, m, m, COVdeltaZ, m) !MULTIPLICA S Y invW END SUBROUTINE CALC_COVdeltaZ SUBROUTINE CALC_deltaVE !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA11 IMPLICIT NONE !OBLIGA A QUE DECLAREMOS LOS TIPOS DE TODAS LAS VARIABLES QUE SE VAYAN A USAR !CALCULA LA FACTORIZACION DE CHOLESKY DE G !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES CALL DLFTDS (2*n-1, G, 2*n-1, FACCHOLESKY, 2*n-1) !RESUELVE EL SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES: HJactWdeltaZ=G*deltaVE USANDO LA DESCOMPOSICION DE CHOLESKY !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES CALL DLFSDS (2*n-1, FACCHOLESKY, 2*n-1, HJactWdeltaZ, deltaVE) !RESUELVE EL SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES: HJactWdeltaZ=G*deltaVE !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES !CALL DLSARG (2*n-1, G, 2*n-1, HJactWdeltaZ, 1, deltaVE) END SUBROUTINE CALC_deltaVE SUBROUTINE CALC_Jx !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES
- 229. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 195 REAL*8 :: deltaZtW(1,m) !CALCULA Jx !MULTIPLICA deltaZt Y W CALL DMRRRR (1, m, deltaZt, 1, m, m, W, m, 1, m, deltaZtW, 1) !MULTIPLICA deltaZtW Y deltaZ CALL DMRRRR (1, m, deltaZtW, 1, m, 1, deltaZ, m, 1, 1, Jx, 1) END SUBROUTINE CALC_Jx SUBROUTINE CALC_Ks !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !CALCULA G^(-1) CALL DLINRG (2*n-1, G, 2*n-1, invG, 2*n-1) !CALCULA (HJac)(G^-1) MULTIPLICANDO HJac Y invG CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, 2*n-1, invG, 2*n-1, m, 2*n-1, HJacinvG, m) !CALCULA (HJac)(G^-1)(HJact) MULTIPLICANDO HJacinvG Y HJact CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJacinvG, m, 2*n-1, m, HJact, 2*n-1, m, m, HJacinvGHJact, m) !CALCULA LA MATRIZ SOMBRERO MULTIPLICANDO HJacinvGHJact Y W CALL DMRRRR (m, m, HJacinvGHJact, m, m, m, W, m, m, m, Ks, m) END SUBROUTINE CALC_Ks SUBROUTINE CALC_ResNorm !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 USE mDATA07 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !CALCULA LA MATRIZ SOMBRERO CALL CALC_Ks !CALCULA LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD RESIDUAL CALL CALC_S !CALCULA LA MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL CALL CALC_COVdeltaZ !CALCULA EL VECTOR DE RESIDUALES NORMALIZADOS DO i=1,m IF ( deltaZ(i) .NE. 0.0 ) THEN ResNorm(i)=DABS (deltaZ(i))/DSQRT (COVdeltaZ(i,i)) ELSE ResNorm(i)=0.0 END IF END DO END SUBROUTINE CALC_ResNorm SUBROUTINE CALC_S !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i REAL*8 :: Id(m,m) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO Id=0.0 !FORMA LA MATRIZ IDENTIDAD DO i=1,m Id(i,i)=1.0 END DO !CALCULA LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD RESIDUAL S=Id-Ks END SUBROUTINE CALC_S SUBROUTINE CHI_CUADRADA !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA15 IMPLICIT NONE !AQUI SE DEFINE LA PROBABILIDAD CON LA CUAL LA INVERSA DE LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADA ES CALCULADA PrC=0.95 !CALCULA LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL SISTEMA DF=m-(2*n-1) !CALCULA LA INVERSA DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CHI-CUADRADA X=DCHIIN(PrC, DF) !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,10) 10 FORMAT (2/,5X,'<< Prueba Chi-Cuadrada >>',/) WRITE(3,20) PrC, DF, X, Jx(1,1) 20 FORMAT(5X,'Chi^2(',F3.2,', ',F5.1,')',12X,'J(x)',/,8X, F10.6, 2X, F20.6) !REALIZA LA PRUEBA CHI-CUADRADA IF ( Jx(1,1) .GE. X ) THEN !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,30) 30 FORMAT(/,5X,'*** Se Detectaron Datos Erróneos.') ELSE !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,40) 40 FORMAT(/,5X,'*** No Se Detectaron Datos Erróneos.') END IF PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA CHI_CUADRADA !!!' END SUBROUTINE CHI_CUADRADA SUBROUTINE ENCABEZADO !IMPRIME EL ROTULO QUE APARECERA EN EL EJECUTABLE PRINT * PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' *** INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ***' PRINT *, ' *** ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA ***' PRINT *, ' *** SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ***'
- 230. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 196 PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' *** PROGRAMA DE ESTIMACION DE ESTADO CONVENCIONAL ***' PRINT *, ' *** USANDO EL ENFOQUE DE MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS ***' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' *** ELABORO: OMAR YAMIL VIDAL LEON ROMAY ***' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT * END SUBROUTINE ENCABEZADO SUBROUTINE ERROR_MEDICIONES2 !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i REAL*8 :: R !DEFINE LA SEMILLA PARA GENERAR LOS NUMEROS PSEUDOALEATORIOS CALL RNSET(1234567) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO CERO Z=0.0 !AÑADE ERROR A LAS MEDICIONES IDEALES (RESULTADOS DE FLUJOS DE POTENCIA) DO i=1, m !GENERA EL NUMERO PSEUDOALEATORIO CON DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR (0,1) 100 R=DRNNOF() !ESTE ES EL FILTRO PARA NO OBTENER UN NUMERO PSEUDOALEATORIO !FUERA DE +3*DESVIACION O -3*DESVIACION IF ( (R .GE. 3.0) .OR. (R .LE. -3.0) ) THEN GOTO 100 ELSE IF ( i .LE. mV ) THEN !APLICA LA TRANSFORMACION DE LA VARIABLE ALEATORIA NORMAL ESTANDARIZADA !ESTO PARA OBTENER UNA DISTRIBUCIUON NORMAL (0,(ERRORMV/100.0)*Zlf(i)/3.0) Z(i)=(R*( (ERRORMV/100.0)*Zlf(i)/3.0 ))+Zlf(i) ELSE !APLICA LA TRANSFORMACION DE LA VARIABLE ALEATORIA NORMAL ESTANDARIZADA !ESTO PARA OBTENER UNA DISTRIBUCIUON NORMAL (0,(ERRORMP/100.0)*Zlf(i)/3.0) Z(i)=(R*( (ERRORMP/100.0)*Zlf(i)/3.0 ))+Zlf(i) END IF END IF END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA ERROR_MEDICIONES2 !!!' END SUBROUTINE ERROR_MEDICIONES2 SUBROUTINE ERROR_PARAMETROS_LINEAS !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA04 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !AÑADE ERROR A LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS DO i=1, NLE !PARA LA IMPEDANCIA SERIE DE LA LINEA imps(VLE(i))=imps(VLE(i))+(ERRORLE/100.0)*(imps(VLE( i))) !PARA LA ADMITANCIA SERIE DE LA LINEA ys(VLE(i))=1.0/imps(VLE(i)) !PARA LA ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE DOS DE LA LINEA yd(VLE(i))=yd(VLE(i))+(ERRORLE/100.0)*(yd(VLE(i))) END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA ERROR_PARAMETROS_LINEAS !!!' END SUBROUTINE ERROR_PARAMETROS_LINEAS SUBROUTINE FORMA_A !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA10 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO A=0 !FORMACION DE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO-NODO DO i=1, b DO j=1, n IF (p(i) .EQ. j) THEN A(i,j)=1 ELSE IF (q(i) .EQ. j) THEN A(i,j)=-1 END IF END DO END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA FORMA_A !!!' END SUBROUTINE FORMA_A SUBROUTINE FORMA_deltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA05 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !FORMA deltaZ DO i=1, m deltaZ(i)=Z(i)-hFM(i) END DO END SUBROUTINE FORMA_deltaZ SUBROUTINE FORMA_deltaZt !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL
- 231. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 197 USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !CALCULA LA TRANSPUESTA DE deltaZ CALL DTRNRR(m, 1, deltaZ, m, 1, m, deltaZt, 1) END SUBROUTINE FORMA_deltaZt SUBROUTINE FORMA_G !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !FORMA G MULTIPLICANDO HJactW Y HJac CALL DMRRRR (2*n-1, m, HJactW, 2*n-1, m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, 2*n-1, G, 2*n-1) END SUBROUTINE FORMA_G SUBROUTINE FORMA_hFM !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA09 USE mDATA10 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA hFM EN CERO hFM=0.0 !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE MAGNITUDES DE VOLTAJE EN hFM DO i=1, mV hFM(i)=VE(mp(i)) END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LOS FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA EN hFM DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1,b IF (mP(i).LT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN hFM(i)=(apq(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*DREAL(ys(j))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mP(i).GT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN hFM(i)=(aqp(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*DREAL(ys(j))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LOS FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA EN hFM DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1,b IF (mP(i).LT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN hFM(i)=- (apq(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd( j)))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mP(i).GT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN hFM(i)=- (aqp(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd( j)))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LAS INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA EN hFM DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=1, b IF (mp(i) .EQ. p(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(j))*& (DREAL(YBUS(mp(i),q(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(j)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n)) ) END IF IF (mp(i) .EQ. q(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(j))*& (DREAL(YBUS(mp(i),p(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(j)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n)) ) END IF IF (j .EQ. b) THEN hFM(i)=hFM(i)+(VEaux(mp(i))**2)*DREAL(YBUS(mp(i),m p(i))) END IF END DO END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LAS INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA EN hFM DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=1, b IF (mp(i) .EQ. p(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(j))*& (DREAL(YBUS(mp(i),q(j)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),q(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n)) ) END IF IF (mp(i) .EQ. q(j)) THEN
- 232. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 198 hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(j))*& (DREAL(YBUS(mp(i),p(j)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),p(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n)) ) END IF IF (j .EQ. b) THEN hFM(i)=hFM(i)- (VEaux(mp(i))**2)*DIMAG(YBUS(mp(i),mp(i))) END IF END DO END DO END SUBROUTINE FORMA_hFM SUBROUTINE FORMA_HJac !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA09 USE mDATA10 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, k, l REAL*8 :: B1(mV,n),B2(mV,n-1),B3(mFPA,n),B4(mFPA,n- 1),B5(mFPR,n) REAL*8 :: B6(mFPR,n-1), B7(mIPA,n), B8(mIPA,n-1), B9(mIPR,n), B10(mIPR,n-1) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO B1=0.0 B2=0.0 B3=0.0 B4=0.0 B5=0.0 B6=0.0 B7=0.0 B8=0.0 B9=0.0 B10=0.0 Hjac=0.0 !FORMA BLOQUE 1 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LAS MAGNITUDES DE VOLTAJES NODALES !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES DO i=1, mV DO j=1, n IF ( i .EQ. j ) THEN B1(i,j)=1.0 END IF END DO END DO !NOTA: EL BLOQUE 2 CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE NODAL !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES Y ES UNA MATRIZ DE CEROS !FORMA BLOQUE 3 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1,b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN !PARA dPkm/dVk B3(i- mV,mp(i))=2*(apq(j)**2)*VEaux(mp(i))*DREAL(ys(j))& - apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dVm B3(i-mV,mq(i))=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN !PARA dPkm/dVk B3(i- mV,mp(i))=2*(aqp(j)**2)*VEaux(mp(i))*DREAL(ys(j))& - aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dVm B3(i-mV,mq(i))=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 4 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1, b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mq(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))&
- 233. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 199 +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mp(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dPkm/dTHETAk B4(i-mV,mp(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dTHETAm B4(i-mV,mq(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mq(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mp(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dPkm/dTHETAk B4(i-mV,mp(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dTHETAm B4(i-mV,mq(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 5 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1,b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN !PARA dQkm/dVk B5(i-mV-mFPA,mp(i))=- 2*(apq(j)**2)*VEaux(mp(i))*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd(j))) & +apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DCOS(VEaux( mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dVm B5(i-mV- mFPA,mq(i))=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN !PARA dQkm/dVk B5(i-mV-mFPA,mp(i))=- 2*(aqp(j)**2)*VEaux(mp(i))*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd(j))) & +aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DCOS(VEaux( mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dVm B5(i-mV- mFPA,mq(i))=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 6 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA.
- 234. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 200 DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1, b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dQkm/dTHETAk B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dTHETAm B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dQkm/dTHETAk B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dTHETAm B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 7 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=1, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dPk/dVm B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=VEaux(mp(i))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dPk/Vk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=B7(i-mV-mFPA- mFPR,j)+VEaux(q(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dPk/Vk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=B7(i-mV-mFPA- mFPR,j)+VEaux(p(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF IF (k.EQ.b) THEN !PARA dPk/Vk B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=B7(i-mV-mFPA- mFPR,j)+2*VEaux(mp(i))*DREAL(YBUS(mp(i),mp(i))) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 8
- 235. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 201 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=2, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dPk/dTHETAm B8(i-mV-mFPA-mFPR,j-1)=VEaux(mp(i))*VEaux(j)*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dPk/THETAk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B8(i-mV-mFPA-mFPR,j-1)=B8(i-mV-mFPA-mFPR,j- 1)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(k))*& ( -DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dPk/THETAk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B8(i-mV-mFPA-mFPR,j-1)=B8(i-mV-mFPA-mFPR,j- 1)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(k))*& ( -DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 9 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=1, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dQk/dVm B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=VEaux(mp(i))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dQk/Vk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=B9(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j)+VEaux(q(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dQk/Vk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=B9(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j)+VEaux(p(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF IF (k.EQ.b) THEN !PARA dQk/Vk B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=B9(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j)-2*VEaux(mp(i))*DIMAG(YBUS(mp(i),mp(i))) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 10 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=2, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dQk/dTHETAm B10(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j-1)=- VEaux(mp(i))*VEaux(j)*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dQk/THETAk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B10(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j-1)=B10(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j-1)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF
- 236. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 202 IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dQk/THETAk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B10(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j-1)=B10(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j-1)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !COLOCA EL BLOQUE 1 EN HJac DO i=1, mV DO j=1, n Hjac(i,j)=B1(i,j) END DO END DO !COLOCA EL BLOQUE 2 EN HJac k=1 l=1 DO i=1, mV DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B2(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 3 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1, n Hjac(i,j)=B3(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 4 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B4(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 5 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1, n Hjac(i,j)=B5(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 6 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B6(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 7 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=1, n Hjac(i,j)=B7(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 8 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B8(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 9 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=1, n Hjac(i,j)=B9(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 10 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B10(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO END SUBROUTINE FORMA_HJac SUBROUTINE FORMA_HJact !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !CALCULA LA TRANSPUESTA DE HJac CALL DTRNRR(m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, m, HJact, 2*n-1) END SUBROUTINE FORMA_HJact SUBROUTINE FORMA_HJactWdeltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS
- 237. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 203 USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !OBLIGA A QUE DECLAREMOS LOS TIPOS DE TODAS LAS VARIABLES QUE SE VAYAN A USAR !FORMA HJactWdeltaZ !MULTIPLICA HJact Y W CALL DMRRRR (2*n-1, m, HJact, 2*n-1, m, m, W, m, 2*n-1, m, HJactW, 2*n-1) !MULTIPLICA HJactW Y deltaZ CALL DMRRRR (2*n-1, m, HJactW, 2*n-1, m, 1, deltaZ, m, 2*n-1, 1, HJactWdeltaZ, 2*n-1) END SUBROUTINE FORMA_HJactWdeltaZ SUBROUTINE FORMA_W !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO W=0.0 !FORMA LA MATRIZ DE PONDERACION DO i=1, m W(i,i)=1.0/mVAR(i) END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA FORMA_W !!!' END SUBROUTINE FORMA_W SUBROUTINE FORMA_YBUS !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA09 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: NODO, ELEMENTO, i, j !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO YBUS=(0.0,0.0) !FORMA YBUS !LLENA LA DIAGONAL PRINCIPAL DE YBUS DO NODO=1, n DO ELEMENTO=1, b IF((p(ELEMENTO).EQ.NODO) .OR. (q(ELEMENTO).EQ.NODO))THEN IF ( p(ELEMENTO).EQ.NODO ) THEN !HAZ LA SUMA DE LAS ADMITANCIAS CONECTADAS EN CADA NODO Y ASIGNASELO EN !LA LOCALIDAD DE MEMORIA DE YBUS CORRESPONDIENTE YBUS(NODO,NODO)=YBUS(NODO,NODO)+(apq(ELEME NTO)**2)*(ys(ELEMENTO)+yd(ELEMENTO)) !NOTA: COMO LA RED ES DESACOPLADA SE PUEDE SACAR LA ADMITANCIA PROPIA DE !CADA ELEMENTO CONECTADO A LA RED CON "1.0/imps(ELEM)" END IF IF ( q(ELEMENTO).EQ.NODO ) THEN !HAZ LA SUMA DE LAS ADMITANCIAS CONECTADAS EN CADA NODO Y ASIGNASELO EN !LA LOCALIDAD DE MEMORIA DE YBUS CORRESPONDIENTE YBUS(NODO,NODO)=YBUS(NODO,NODO)+(aqp(ELEME NTO)**2)*(ys(ELEMENTO)+yd(ELEMENTO)) !NOTA: COMO LA RED ES DESACOPLADA SE PUEDE SACAR LA ADMITANCIA PROPIA DE !CADA ELEMENTO CONECTADO A LA RED CON "1.0/imps(ELEM)" END IF END IF END DO END DO !INCLUYE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION EN LA DIAGONAL PRINCIPAL DE YBUS IF ( nED .NE. 0 ) THEN DO i=1,nED YBUS(pED(i),pED(i))=YBUS(pED(i),pED(i))+bED(i) END DO END IF !LLENA ELEMENTOS FUERA DE LA DIAGONAL PRINCIPAL DE YBUS DO i=1,n DO j=1,n DO ELEMENTO=1, b IF((p(ELEMENTO).EQ.i) .AND. (q(ELEMENTO).EQ.j)) THEN !SI EL ELEMENTO ESTA CONECTADO ENTRE LOS NODOS "i" E "j" !HAZ LA RESTA DE LAS ADMITANCIAS CONECTADAS ENTRE LOS NODOS "i" E "j" !Y ASIGNASELO EN LA LOCALIDAD DE MEMORIA DE YBUS CORRESPONDIENTE YBUS(i,j)=YBUS(i,j)- apq(ELEMENTO)*aqp(ELEMENTO)*ys(ELEMENTO) YBUS(j,i)=YBUS(i,j)!ESTO SE HACE PORQUE YBUS ES SIMETRICA !NOTA: EN LOS ELEMENTOS FUERA DE LA DIAGONAL NO SE TOMA EN CUENTA EL EFECTO !EN DERIVACION PORQUE LOS ELEMENTOS FUERA DE LA DIAGONAL SON EL NEGATIVO DE !LAS ADMITANCIAS CONECTADAS ENTRE 2 NODOS LOS CUALES NO PUEDEN SER EL DE !REFERENCIA END IF END DO END DO END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA FORMA_YBUS !!!' END SUBROUTINE FORMA_YBUS SUBROUTINE IG_VEyVEaux !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO DO i=1, 2*n-1 IF (i .LT. n+1) THEN VEaux(i)=VE(i) ELSE VEaux(i+1)=VE(i) END IF END DO END SUBROUTINE IG_VEyVEaux
- 238. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 204 SUBROUTINE LEEDATOS !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA08 USE mDATA09 USE mDATA10 USE mDATA11 USE mDATA12 USE mDATA13 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j REAL*8 :: apqaux, aqpaux !LEE LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE NODOS, EL NUMERO DE ELEMENTOS, !EL NUMERO DE TRANSFORMADORES, EL NUMERO DE ELEMENTOS EN DERIVACION !Y LA POTENCIA BASE READ(2,*) n, b, nTR, nED, Sbase !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO TOTAL DE MEDICIONES READ(2,*) m !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE READ(2,*) mV !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA READ(2,*) mFPA !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA READ(2,*) mFPR !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA READ(2,*) mIPA !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA READ(2,*) mIPR !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE ITERACIONES READ(2,*) it !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LA TOLERACIA USADA EN EL CRITERIO DE CONVERGENCIA READ(2,*) tol !LEE EL NUMERO DE LINEAS QUE PRESENTAN ERRORES DE PARAMETROS Y EL ERROR QUE PRESENTAN DICHAS LINEAS READ(2,*) NLE, ERRORLE IF ( NLE .NE. 0 ) THEN !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS ALLOCATE (VLE(NLE)) !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL VECTOR DE LINEAS A ESTIMAR DO i=1, NLE READ(2,*) VLE(i) END DO END IF !CALCULA EL COEFICIENTE DE REDUNDANCIA (MEDICIONES/VARIABLES DE ESTADO) CRed=m*1.0/(2*n-1) !HAZ LO SIGUIENTE PARA LOS TRANSFORMADORES (SI ES QUE HAY) IF ( nTR .NE. 0 ) THEN !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS SI EL NUMERO !DE TRANSFORMADORES ES DISTINTO DE CERO ALLOCATE (vTR(nTR)) END IF !HAZ LO SIGUIENTE PARA LOS ELEMENTOS EN DERIVACION (SI ES QUE HAY) IF ( nED .NE. 0 ) THEN !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS SI EL NUMERO !DE ELEMENTOS EN DERIVACION ES DISTINTO DE CERO ALLOCATE (pED(nED), bED(nED)) ALLOCATE (PpED(nED), QpED(nED)) END IF !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS ALLOCATE (Ppq(b), Qpq(b), Pqp(b), Qqp(b)) ALLOCATE (p(b), q(b), tipoe(b)) ALLOCATE (apq(b), aqp(b)) ALLOCATE (imps(b), ys(b), yd(b)) ALLOCATE (impsorg(b), ysorg(b), ydorg(b)) ALLOCATE (mp(m), mq(m), Z(m), mVAR(m), Zlf(m)) ALLOCATE (VE(2*n-1), VEaux(2*n), deltaVE(2*n-1)) ALLOCATE (W(m,m), hFM(m)) ALLOCATE (HJac(m,2*n-1), G(2*n-1,2*n-1)) ALLOCATE (deltaZ(m), deltaZt(1,m)) ALLOCATE (HJact(2*n-1,m), HJactW(2*n-1,m), HJactWdeltaZ(2*n-1)) ALLOCATE (YBUS(n,n), A(b,n)) ALLOCATE (FACCHOLESKY(2*n-1,2*n-1)) ALLOCATE (invG(2*n-1,2*n-1),HJacinvG(m,2*n-1)) ALLOCATE (HJacinvGHJact(m,m), Ks(m,m)) ALLOCATE (S(m,m), COVdeltaZ(m,m)) ALLOCATE (invW(m,m), ResNorm(m)) ALLOCATE (SIGMA(2*n-1), U(m,m), V(2*n-1,2*n-1)) ALLOCATE (SIGMA2(2*n-1), U2(2*n-1,2*n-1), V2(2*n- 1,2*n-1)) !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) j=1 DO i=1,b apqaux=0.0 aqpaux=0.0 READ(2,*) p(i), q(i), imps(i), yd(i), tipoe(i) IF (tipoe(i) .EQ. 1) THEN !SI EL ELEMENTO ES UNA LINEA DE TRANSMISION ENTONCES HAZ LO SIGUIENTE !ESTO ES YA QUE SE USA EL MODELO DE RAMA UNIFICADA DEL MONTICELLI (PAGS.66 Y 269) apq(i)=1.0 aqp(i)=1.0 END IF IF (tipoe(i) .EQ. 2) THEN !SI EL ELEMENTO ES UN TRANSFORMADOR ENTONCES LEE LOS TAPS EN LOS NODOS CONECTADOS AL TRANSFORMADOR !RECORDAR EL MODELO DE LINEA UNIFICADO DEL MONTICELLI READ(2,*) apqaux, aqpaux apq(i)=1.0/apqaux aqp(i)=1.0/aqpaux !COLOCA EL NUMERO DE ELEMENTO QUE ES TRANSFORMADOR EN vTR vTR(j)=i j=j+1
- 239. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 205 END IF !LLENA EL VECTOR DE LAS ADMITANCIAS SERIE DE CADA ELEMENTO ys(i)=1.0/imps(i) END DO !GUARDA LOS VALORES ORIGINALES DE LOS PARAMETROS DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) !IGUALA EL VECTOR impsorg CON EL VECTOR imps impsorg=imps !IGUALA EL VECTOR ydorg CON EL VECTOR yd ydorg=yd !IGUALA EL VECTOR ysorg CON EL VECTOR ys ysorg=ys !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION (SI ES QUE HAY) IF ( nED .NE. 0 ) THEN DO i=1, nED READ(2,*) pED(i), bED(i) END DO END IF !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS VALORES INICIALES DEL VECTOR DE ESTADO !(MAGNITUD DE VOLTAJE Y ANGULOS DE FASE SIN CONTAR EL DE REFERENCIA) DO i=1, 2*n-1 READ(2,*) VE(i) END DO !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS ERRORES QUE PRESENTAN LOS MEDIDORES READ(2,*) ERRORMV, ERRORMP !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS DATOS DE LAS MEDICIONES IDEALES DO i=1, m !PARA LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE IF (i .LE. mV) THEN READ(2,*) mp(i), Zlf(i) mq(i)=mp(i) END IF !PARA LAS MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR)) THEN READ(2,*) mp(i), mq(i), Zlf(i) END IF !PARA LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV+mFPA+mFPR) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR)) THEN READ(2,*) mp(i), Zlf(i) mq(i)=mp(i) END IF END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA LEEDATOS !!!' END SUBROUTINE LEEDATOS SUBROUTINE PRINT_RES_IT(i) !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,10) i 10 FORMAT (2/,5X,'Iteración Núm. ', I3) WRITE(3,20) 20 FORMAT(5X,'Variables de Estado',6X,'Estimación de Estado',9X,'Incrementos',/) !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LOS RESULTADOS EN CADA ITERACION DO j=1,2*n-1 IF (j .LE. n) THEN WRITE(3, 30) j, VE(j), deltaVE(j) ELSE WRITE(3, 40) j-n+1, VE(j), deltaVE(j) END IF END DO 30 FORMAT (11X, '|V(', I2, ')|', 14X, F10.6, ' pu',12X, F10.6, ' pu') 40 FORMAT (11X, 'Ang(', I2, ')', 14X, F10.6, ' rad',11X, F10.6, ' rad') WRITE(3,50) Jx 50 FORMAT (/, 5X, 'J(x)= ', F20.6) END SUBROUTINE PRINT_RES_IT SUBROUTINE PRINT_RESULTADOS !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA08 USE mDATA12 USE mDATA13 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, elem REAL*8 :: a, PI !CALCULA EL NUMERO PI a=1.0 PI=2.0*DASIN(a) !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA CALL UMACH(-2, 3)!PARA SELECCIONAR LA UNIDAD DE SALIDA CALL WROPT (-6, 5, 1)!PARA DEFINIR EL FORMATO DE LOS NUMEROS WRITE(3,10) 10 FORMAT (/,5X,'<< Robustez Numérica de H >>',/) !IMPRIME EL RANGO DE HJac EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,20) IRANK 20 FORMAT (5X, 'Rank(H)=', 1X, I3) !IMPRIME EL NUMERO DE CONDICION DE HJac EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,30) NC1 30 FORMAT (/, 5X, 'NC(H)=', 1X, F20.6) !IMPRIME LAS MATRICES DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE HJac EN EL ARCHIVO DE SALIDA !CALL DWRRRN ('U(H)', m,m, U, m, 0) CALL DWRRRN ('Sigma(H)', 1,2*n-1, SIGMA, 1, 0) !CALL DWRRRN ('V(H)', 2*n-1, 2*n-1, V, 2*n-1, 0) WRITE(3,40) 40 FORMAT (2/,5X,'<< Robustez Numérica de G >>',/) !IMPRIME EL RANGO DE G EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,50) IRANK2 50 FORMAT (5X, 'Rank(G)=', 1X, I3) !IMPRIME EL NUMERO DE CONDICION DE G EN EL ARCHIVO DE SALIDA
- 240. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 206 WRITE(3,60) NC2 60 FORMAT (/, 5X, 'NC(G)=', 1X, F20.6) !IMPRIME LA DISTANCIA RELATIVA A LA SINGULARIDAD DE G EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,380) 1.0/NC2 380 FORMAT (/, 5X, 'DR(G)=', 1X, F30.20) !IMPRIME LAS MATRICES DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE G EN EL ARCHIVO DE SALIDA !CALL DWRRRN ('U(G)', 2*n-1, 2*n-1, U2, 2*n-1, 0) CALL DWRRRN ('Sigma(G)', 1, 2*n-1, SIGMA2, 1, 0) !CALL DWRRRN ('V(G)', 2*n-1, 2*n-1, V2, 2*n-1, 0) !IMPRIME EL VECTOR DE ESTADO EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,70) 70 FORMAT (2/,5X,'<< Estimación de Estado >>',/) DO i=1,2*n IF (i .LE. n) THEN WRITE(3, 80) i, VEaux(i) ELSE WRITE(3, 90) i-n, VEaux(i)*180/PI END IF END DO 80 FORMAT (5X, '|V(', I2, ')| = ', F11.6, ' pu') 90 FORMAT (5X, 'Ang(', I2, ') = ', F11.6, ' °') !IMPRIME LA FUNCION OBJETIVO EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,100) Jx 100 FORMAT (/, 5X, 'J(x)= ', F14.6) !IMPRIME EL VECTOR hFM(MEDICIONES ESTIMADAS) EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,110) 'Z estimado' 110 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/) j=0 DO i=1,mV WRITE(3, 120) '|V', mP(i), hFM(i) j=j+1 END DO 120 FORMAT (6X, A2,'(', I2, ')| = ', F11.6) j=j+1 DO i=mV+1,mV+mFPA WRITE(3, 130) 'P', mP(j),mQ(j), hFM(i) j=j+1 END DO 130 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR WRITE(3, 140) 'Q', mP(j),mQ(j), hFM(i) j=j+1 END DO 140 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA WRITE(3, 150) 'P', mP(j), hFM(i) j=j+1 END DO 150 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR WRITE(3, 160) 'Q', mP(j), hFM(i) j=j+1 END DO 160 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6) !IMPRIME EL VECTOR deltaZ(RESIDUALES) EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,170) 'Residuales' 170 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/) j=0 DO i=1,mV WRITE(3, 180) 'Res[|V', mp(i), deltaZ(i) j=j+1 END DO 180 FORMAT (6X, A6,'(', I2, ')|] = ', F11.6) j=j+1 DO i=mV+1,mV+mFPA WRITE(3, 190) 'Res[P', mP(j), mQ(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 190 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR WRITE(3, 200) 'Res[Q', mP(j),mQ(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 200 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA WRITE(3, 210) 'Res[P', mP(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 210 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR WRITE(3, 220) 'Res[Q', mP(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 220 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6) !IMPRIME EL VECTOR ResNorm(RESIDUALES NORMALIZADOS) EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,230) 'Residuales Normalizados' 230 FORMAT (2/,5X,'<< ', A23, ' >>',/) j=0 DO i=1,mV WRITE(3, 240) 'ResN[|V', mp(i), ResNorm(i) j=j+1 END DO 240 FORMAT (6X, A7,'(', I2, ')|] = ', F11.6) j=j+1 DO i=mV+1,mV+mFPA WRITE(3, 250) 'ResN[P', mP(j), mQ(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 250 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR WRITE(3, 260) 'ResN[Q', mP(j),mQ(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 260 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA WRITE(3, 270) 'ResN[P', mP(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 270 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR WRITE(3, 280) 'ResN[Q', mP(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 280 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6) !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,290) 290 FORMAT(/,17X,'<< Flujos de Potencia, Pérdidas y Balance Reactivo de Elementos >>'& ,/,98X,'Balance',/,,30X,'Flujo de p a q',13X,'Flujo de q a p',11X,'Pérdidas',8X,'Reactivo',/,) WRITE(3,300) 300 FORMAT(3X,'Elemento',3X,'p',5X,'q',6X,'P(MW)',9X,'Q(MV AR)',6X,'P(MW)',9X,'Q(MVAR)',9X,'(MW)',10X,'(MVAR)',/)
- 241. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 207 !IMPRIME LOS FLUJOS DE POTENCIA DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) EN EL ARCHIVO DE SALIDA DO elem=1, b !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE (3,310) elem, p(elem), q(elem), Ppq(elem)*Sbase, Qpq(elem)*Sbase, Pqp(elem)*Sbase, Qqp(elem)*Sbase (Ppq(elem) + Pqp(elem))*Sbase, (Qpq(elem) + Qqp(elem))*Sbase 310 FORMAT (6X, I3, 3X, I3, 3X, I3, 4X, F10.5, 4X, F10.5, 3X, F10.5, 4X, F10.5, 4X, F10.5, 5X, F10.5) END DO !IMPRIME LOS FLUJOS DE POTENCIA DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION EN EL ARCHIVO DE SALIDA IF ( nED .NE. 0 ) THEN !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,320) 320 FORMAT(/,5X,'<< Flujos de Potencia de Elementos en Derivación >>'& ,/,,34X,'Flujo de p',/,) WRITE(3,330) 330 FORMAT(12X,'Elemento',3X,'p',6X,'P(MW)',8X,'Q(MVAR)',/ ) DO elem=1, nED !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE (3,340) elem, pED(elem), PpED(elem)*Sbase, QpED(elem)*Sbase 340 FORMAT (15X, I3, 3X, I3, 1X, F10.5, 6X, F10.5) END DO END IF !IMPRIME EL BALANCE DE POTENCIA DEL SISTEMA (PERDIDAS Y BALANCE REACTIVO TOTAL) WRITE(3,350) 350 FORMAT(/,5X,'<< Balance de Potencia del Sistema >>',/) WRITE(3,360) Ptotal 360 FORMAT(5X, 'Pérdidas Totales = ', F10.5, ' (MW)') WRITE(3,370) Qtotal 370 FORMAT(5X, 'Balance Reactivo Total = ', F10.5, ' (MVAR)') END SUBROUTINE PRINT_RESULTADOS SUBROUTINE PRINTDATOS !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA08 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i CHARACTER(9) TODAY CHARACTER(8) CHAR_TIME !DEFINE EL DIA EN QUE SE CORRE EL PROGRAMA CALL DATE (TODAY) !DEFINE LA HORA EN QUE SE CORRE EL PROGRAMA CALL TIME (CHAR_TIME) !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,10) 10 FORMAT (5X,'INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL',/,5X,& 'ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA',/,5X,& 'SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN') WRITE(3,20) 20 FORMAT(/,5X,'Programa Principal:',/,5X,& '*** ESTIMATOR_CA.f90 - Estimación de Estado Convencional', /,& 9X, 'Usando el Enfoque de Mínimos Cuadrados Ponderados ***') WRITE(3,30) 30 FORMAT(/,5X,'Elaboró:',/,5X,'Ing. Omar Yamil Vidal León Romay') WRITE(3,40) TODAY, CHAR_TIME 40 FORMAT(/,5X,'Fecha: ', A9,/,5X,'Hora: ', A8) WRITE(3,50) NOMBREDAT, NOMBRERES 50 FORMAT(/,5X,'Archivo de Datos: ', A25,/,5X,'Archivo de Resultados: '& , A25) WRITE(3,60) 60 FORMAT(2/,& '************************************************** ************************************************** *********',& /,'*',40X,'VALORES ENTRADOS COMO DATOS',40X,'*',/,& '************************************************** ************************************************** *********') WRITE(3,70) n, b, nTR, nED 70 FORMAT(/,5X,'Número de nodos = ',I4,/,5X,& 'Número de elementos = ',I4,& /,5X,'Número de transformadores = ',I4,& /,5X,'Número de elementos en derivación = ',I4) WRITE(3,80) m, mV, mFPA, mFPR 80 FORMAT(/,5X,'Número total de mediciones = ',I4,& /,5X,'Mediciones de magnitud de voltaje = ',I4,& /,5X,'Mediciones de flujos de potencia activa = ',I4,/,& 5X,'Mediciones de flujos de potencia reactiva = ',I4) WRITE(3,90) mIPA, mIPR 90 FORMAT(5X,'Mediciones de inyecciones de potencia activa = ',I4,/,& 5X,'Mediciones de inyecciones de potencia reactiva = ',I4) WRITE(3,100) CRed, ERRORMV, ERRORMP 100 FORMAT(5X,'Coeficiente de redundancia = ',F9.6,/,& 5X,'% Error en mediciones de voltaje = ',F5.2,/,& 5X,'% Error en mediciones de potencia = ',F5.2) WRITE(3,110) Sbase, it, tol 110 FORMAT(/,5X,'Potencia base = ',F10.6, ' (MVA)',& /,5X,'N° máximo de iteraciones = ',I5,& /,5X,'Tolerancia = ',F10.9) WRITE(3,120) 120 FORMAT(/,29X,'Impedancias y Admitancias Primitivas de Cada Elemento',/,& 46X,'"Valores en PU"',/,14X,'Nodo',/,) WRITE(3,130) 130 FORMAT(1X,'Elemento',4X,'P',4X,'Q',& 9X,'Impedancia Serie',14X,'Admitancia Serie',18X,'Ypq/2',/) !IMPRIME LOS DATOS ORIGINALES DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) DO i=1, b !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,140) i, p(i), q(i) 140 FORMAT(3X,I4,5X,I2,3X,I2,) WRITE(3,150) impsorg(i), ysorg(i), ydorg(i) 150 FORMAT (4X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')',3X,'(',F13.6,') + j (',& F13.6,')',3X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')') END DO !REALIZA LO SIGUIENTE SI EL NUMERO DE LINEAS CON ERRORES DE PARAMETROS NO ES IGUAL A CERO IF ( NLE .NE. 0 ) THEN
- 242. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 208 !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,1200) ERRORLE 1200 FORMAT(/,17X,'Impedancias y Admitancias Primitivas con Errores de ', F5.2,' % de Cada Elemento',/,& 46X,'"Valores en PU"',/,14X,'Nodo',/,) WRITE(3,1300) 1300 FORMAT(1X,'Elemento',4X,'P',4X,'Q',& 9X,'Impedancia Serie',14X,'Admitancia Serie',18X,'Ypq/2',/) !IMPRIME LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS CON ERRORES (LINEAS) DO i=1, NLE !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,1400) VLE(i), p(VLE(i)), q(VLE(i)) 1400 FORMAT(3X,I4,5X,I2,3X,I2,) WRITE(3,1500) imps(VLE(i)), ys(VLE(i)), yd(VLE(i)) 1500 FORMAT (4X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')',1X,'(',F10.6,') + j (',& F12.6,')',3X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')') END DO END IF !IMPRIME LOS TAPS DE LOS TRANSFORMADORES (SI ES QUE HAY) IF ( nTR .NE. 0 ) THEN WRITE(3,160) 160 FORMAT(/,12X,'Taps de Transformadores',/,& 14X,'Nodo',/,) WRITE(3,170) 170 FORMAT(1X,'Elemento',4X,'P',4X,'Q',& 8X,'apq',11X,'aqp',/) DO i=1, nTR !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,180) vTR(i), p(vTR(i)), q(vTR(i)), 1.0/apq(vTR(i)), 1.0/aqp(vTR(i)) 180 FORMAT(5X,I2,5X,I2,3X,I2,4X,F10.6,4X,F10.6) END DO END IF !IMPRIME LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION (SI ES QUE HAY) IF ( nED .NE. 0 ) THEN WRITE(3,190) 190 FORMAT(/,12X,'Elementos en',/,,13X,'Derivación',/,) WRITE(3,200) 200 FORMAT(6X,'P', 13X,'Ysh',/) DO i=1, nED !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,210) pED(i), bED(i) 210 FORMAT(5X,I2,3X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')') END DO END IF !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,220) 220 FORMAT(/,41X,'Datos de las Mediciones',/,22X,'Nodo',/,) WRITE(3,230) 230 FORMAT(1X,'N° de Medición',4X,'mP',& 6X,'mQ',4X,'Resultado de Flujos',3X,'Medición con Error',& 3X,'Desviación Estándar',4X,'Varianza',/) !IMPRIME LOS DATOS DE LAS MEDICIONES DO i=1, m !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,240) i, mp(i), mq(i) 240 FORMAT(4X,I4,11X,I2,6X,I2,) WRITE(3,250) Zlf(i), Z(i), DSQRT(mVAR(i)), mVAR(i) 250 FORMAT (7X,F10.6,12X,F10.6,9X,F14.10,3X,F14.10) END DO !IMPRIME EL VECTOR DE ESTADO INICIAL WRITE(3,260) 260 FORMAT (/,5X,'Valores Iniciales del Vector de Estado',/) DO i=1,2*n-1 IF (i .LE. n) THEN WRITE(3, 270) i, VE(i) ELSE WRITE(3, 280) i-n+1, VE(i) END IF END DO 270 FORMAT (5X, '|V(', I2, ')| = ', F9.6) 280 FORMAT (5X, 'Ang(', I2, ') = ', F9.6) WRITE(3,290) 290 FORMAT(2/,& '************************************************** ************************************************** *********',& /,'*',48X,' RESULTADOS',48X,'*',/,& '************************************************** ************************************************** *********') PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA PRINTDATOS !!!' END SUBROUTINE PRINTDATOS SUBROUTINE RES_NORM !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !IGUALA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO MaxResNorm=0.0 !IDENTIFICA EL MAXIMO RESIDUAL NORMALIZADO DO i=1, m IF ( ResNorm(i) .GT. MaxResNorm ) THEN MaxResNorm=ResNorm(i) END IF END DO !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,10) 10 FORMAT (2/,5X,'<< Prueba Residual Normalizado >>',/) WRITE(3,20) MaxResNorm 20 FORMAT(5X,'MaxResNorm',12X,'Límite',/,3X, F10.6, 12X, '3.000000') !REALIZA LA PRUEBA DEL RESIDUAL NORMALIZADO IF ( MaxResNorm .GE. 3.0 ) THEN !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,30) 30 FORMAT(/,5X,'*** Se Detectaron Datos Erróneos.') ELSE !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,40) 40 FORMAT(/,5X,'*** No Se Detectaron Datos Erróneos.') END IF PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA RES_NORM !!!' END SUBROUTINE RES_NORM SUBROUTINE ROBUSTEZ_NUMERICA !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA14
- 243. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 209 IMPLICIT NONE !DEFINE LA TOLERANCIA USADA PARA LA SUBRUTINA DE DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR tolSVD=10.0*DMACH(4) !REALIZA LA DESCOMPOSICION DE VALORES SINGULARES PARA LA MATRIZ HJac CALL DLSVRR(m, 2*n-1, HJac, m, 11, tolSVD, IRANK, SIGMA, U, m, V, 2*n-1) !CALCULA EL NUMERO DE CONDICION PARA HJac NC1=SIGMA(1)/SIGMA(2*n-1) !REALIZA LA DESCOMPOSICION DE VALORES SINGULARES PARA LA MATRIZ G CALL DLSVRR(2*n-1, 2*n-1, G, 2*n-1, 11, tolSVD, IRANK2, SIGMA2, U2, 2*n-1, V2, 2*n-1) !CALCULA EL NUMERO DE CONDICION PARA G NC2=SIGMA2(1)/SIGMA2(2*n-1) PRINT * !DEJA UN ESPACIO EN PANTALLA PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA ROBUSTEZ_NUMERICA !!!' END SUBROUTINE ROBUSTEZ_NUMERICA SUBROUTINE TEST_CONV(i,j) !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA08 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, k REAL*8 :: Er !CALCULA EL MAXIMO VALOR ABSOLUTO DEL VECTOR DE INCREMENTOS DE LOS ESTADOS Y GUARDALO EN Er Er=0.0 DO k=1,2*n-1 IF ( DABS (deltaVE(k)) .GT. Er ) THEN Er=DABS (deltaVE(k)) END IF END DO !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,110) Er 110 FORMAT (5X, 'Máximo Incremento=', 4X, F10.6) !REALIZA LA PRUEBA DE CONVERGENCIA IF ( Er .LE. tol ) THEN !SE LOGRA EL CRITERIO DE CONVERGENCIA j=1 ELSE IF (i .EQ. it) THEN !SI SE LLEGA AL NUMERO DE ITERACIONES PROPUESTO ENTONCES TERMINA EL PROGRAMA j=2 END IF END IF END SUBROUTINE TEST_CONV SUBROUTINE UNIDADES !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 IMPLICIT NONE !ACTIVA UNIDADES DE ENTRADA Y SALIDA PARA EL PROGRAMA !ACTIVA EL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS PRINT *, 'DAME EL NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS: ' READ(*,*) NOMBREDAT OPEN(UNIT=2, FILE=NOMBREDAT) PRINT* !CREA EL ARCHIVO DE SALIDA O DE RESULTADOS PRINT *, 'DAME EL NOMBRE DEL ARCHIVO DE RESULTADOS: ' READ(*,*) NOMBRERES OPEN(UNIT=3, FILE=NOMBRERES) PRINT* !EL ARCHIVO DE ENTRADA ES EL 2 (EN ESTE SE LEEN LOS DATOS REQUERIDOS PARA EJECUTAR EL PROGRAMA) !EL ARCHIVO DE SALIDA ES EL 3 (EN ESTE SE GUARDAN LOS RESULTADOS DEL PROGRAMA) END SUBROUTINE UNIDADES SUBROUTINE VARIANZA2 !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO mVAR=0.0 !DEFINE LAS VARIANZAS DE LAS MEDICIONES DO i=1, m !PARA LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE IF (i .LE. mV) THEN mVAR(i)=0.008**2!PROPUESTO IEEE 14 NODOS !mVAR(i)=0.014**2!PROPUESTO NEW ENGLAND END IF !PARA LAS MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR)) THEN mVAR(i)=0.01**2 !PROPUESTO IEEE 14 NODOS !mVAR(i)=0.028**2 !PROPUESTO NEW ENGLAND END IF !PARA LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV+mFPA+mFPR) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR)) THEN mVAR(i)=0.012**2!PROPUESTO IEEE 14 NODOS !mVAR(i)=0.030**2!PROPUESTO NEW ENGLAND END IF !PARA LAS MEDIDAS DE INYECCION CERO IF ( i .EQ. m ) THEN DO j=mV+mFPA+mFPR+1 ,m IF ( Zlf(j) .EQ. 0.0 ) THEN mVAR(j)=0.001**2!PROPUESTO IEEE 14 NODOS !mVAR(j)=0.012**2!PROPUESTO NEW ENGLAND END IF END DO END IF END DO PRINT * !DEJA UN ESPACIO EN PANTALLA PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA VARIANZA2 !!!' END SUBROUTINE VARIANZA2
- 244. APÉNDICE D CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO CONVENCIONAL 210
- 245. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 211 APÉNDICE E CÓDIGO DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS E.1 Introducción En este apéndice se presenta una descripción de la ejecución del programa de estimación de parámetros que se llama PARAMETER_ESTIMATOR.exe. Asimismo se muestran los códigos de programación del programa principal, los módulos y las subrutinas necesarias para la ejecución del programa. E.2 Ejecución del Programa PARAMETER_ESTIMATOR.exe Para ejecutar el programa PARAMETER_ESTIMATOR.exe es necesario primero crear un archivo de datos de entrada con extensión “.DAT” el cual contendrá los datos generales del sistema, datos de errores de parámetros de líneas, datos de elementos (líneas, transformadores y elementos en derivación), datos de valores iniciales de las variables de estado, datos de errores en las mediciones y datos de los resultados de flujos de potencia (mediciones ideales). La Figura E-1 muestra la estructura del archivo de datos requerida por el programa. Figura E-1 Estructura del archivo de datos “EJEMPLO.DAT” para el estimador de parámetros. De donde: n es el número de nodos del sistema. b es el número de elementos (líneas y transformadores). nTR es el número de transformadores. nED es el número de elementos en derivación. Sbase es la potencia base del sistema.
- 246. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 212 m es el número total de mediciones. mV es el número de mediciones de magnitud de voltaje. mFPA es el número de mediciones de flujos de potencia activa. mFPR es el número de mediciones de flujos de potencia reactiva. mIPA es el número de mediciones de inyecciones de potencia activa. mIPR es el número de mediciones de inyecciones de potencia reactiva. it es el número de iteraciones. tol es la tolerancia para el criterio de convergencia. NLE es el número de líneas que presentan errores de parámetros. ERRORLE es el porcentaje de error que presentan las líneas. VLE(NLE) es el vector que contiene las líneas a estimar. p(b) es el vector que contiene los nodos de envío. q(b) es el vector que contiene los nodos de recepción. imps(b) es el vector que contiene la impedancia serie de los elementos. yd(b) es el vector que contiene la admitancia en derivación (sobre dos) de los elementos. tipoe(b) es el vector que contiene el tipo de elemento (1=línea y 2=transformador). apq(b) es el vector que contiene el tap en el nodo p. aqp(b) es el vector que contiene el tap en el nodo q. pED(nED) es el vector que contiene los nodos a los que están conectados los elementos en derivación. bED(nED) es el vector que contiene las admitancias de los elementos en derivación. VE(2*n-1) es el vector que contiene los valores iniciales de las variables de estado. ERRORMV es el error que presentan las mediciones de magnitudes de voltaje. ERRORMP es el error que presentan las mediciones de potencia (flujos e inyecciones). mp(m) es el vector que contiene los nodos de envío para las mediciones. mq(m) es el vector que contiene los nodos de recepción para las mediciones. Zlf(m) es el vector que contiene los resultados de flujos de potencia. Una vez creado el archivo de datos “EJEMPLO.DAT” con la estructura mostrada en la Figura E-1 se debe ejecutar el programa PARAMETER_ESTIMATOR.exe y se mostrará la pantalla de la Figura E-2 en el que se puede observar que el programa solicita el nombre del archivo de datos, por lo que se debe ingresar el nombre del archivo de datos previamente creado con extensión “.DAT”. Figura E-2 Ingreso del archivo de datos para el estimador de parámetros.
- 247. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 213 Una vez ingresado el nombre del archivo de datos se procede a presionar la tecla ENTER y luego aparecerá una nueva instrucción solicitando el nombre del archivo de resultados. Ahora se debe ingresar el nombre del archivo de resultados con extensión “.RES” así como se muestra en la Figura E-3. Figura E-3 Ingreso del archivo de resultados para el estimador de parámetros. Después es necesario presionar la tecla ENTER para la ejecución del programa. En seguida aparecerá una leyenda que dice “TERMINE PROGRAMA PARAMETER_ESTIMATOR” indicando que el programa terminó de realizar el algoritmo de estimación de parámetros, por lo que para terminar la ejecución del programa se debe presionar otra vez la tecla ENTER. Los resultados son guardados en el archivo de resultados con el nombre que se ingresó durante la ejecución del programa. El archivo de resultados se presenta en la Figura E-4 y contiene las variables de estado y mediciones estimadas, resultados del análisis de robustez numérica, el cálculo de los intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados, la prueba 𝜒2 (chi- cuadrada) y la prueba 𝑟 𝑁 (residuales normalizados). Figura E-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de parámetros.
- 248. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 214 Figura E-4 Archivo de resultados “EJEMPLO.RES” del estimador de parámetros (CONT.). E.3 Programa Principal PROGRAM PARAMETER_ESTIMATOR !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES REAL :: TIME0, TIME1 !DEFINE EL TIEMPO INICIAL EN SEGUNDOS TIME0 = CPSEC() !IMPRIME EL ENCABEZADO DEL PROGRAMA CALL ENCABEZADO !ACTIVA UNIDADES DE ENTRADA Y SALIDA DE DATOS CALL UNIDADES !LEE LOS DATOS REQUERIDOS POR EL PROGRAMA CALL LEEDATOS !AÑADE ERROR A LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS A ESTIMAR CALL ERROR_PARAMETROS_LINEAS !AÑADE ERROR A LAS MEDICIONES IDEALES (RESULTADOS DEL ESTUDIO DE FLUJOS DE POTENCIA) CALL ERROR_MEDICIONES2 !CALCULA LAS VARIANZAS DE LAS MEDICIONES CALL VARIANZA2 !IMPRIME LOS DATOS EN EL ARCHIVO DE SALIDA CALL PRINTDATOS !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR 2 CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux2 !FORMA LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL (YBUS) CALL FORMA_YBUS !FORMA LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO CALL FORMA_A !CALCULA LA MATRIZ DE PONDERACION
- 249. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 215 CALL FORMA_W !REALIZA LA ESTIMACION DE PARAMETROS CALL Param_Estim !EVALUA LA CREDIBILIDAD DE LOS PARAMETROS CALL EVAL_CREDI_PARAM !IMPRIME LOS RESULTADOS DE LA ESTIMACION DE PARAMETROS CALL PRINT_RESULTADOS2 !PROCESO DE DETECCION (PRUEBA CHI-CUADRADA) CALL CHI_CUADRADA !PROCESO DE DETECCION (PRUEBA RESIDUALES NORMALIZADOS) CALL RES_NORM !DEFINE EL TIEMPO FINAL EN SEGUNDOS TIME1 = CPSEC() !IMPRIME EL TIEMPO DE COMPUTO USADO POR EL PROGRAMA WRITE (3,10) TIME1-TIME0 10 FORMAT (/,5X, '*** Tiempo de Cómputo = ', F10.8, ' (s)') !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE (3,20) 20 FORMAT (/,5X, '/// Fin del Archivo de Resultados ') PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE PROGRAMA PARAMETER_ESTIMATOR !!!' END PROGRAM PARAMETER_ESTIMATOR E.4 Módulos MODULE mDATA01 IMPLICIT NONE !NUMERO DE NODOS !NUMERO DE ELEMENTOS (INCLUYE LINEAS Y TRANSFORMADORES) !NUMERO DE TRANSFORMADORES !NUMERO DE ELEMENTOS EN DERIVACION INTEGER :: n, b, nTR, nED !NUMERO DE LINEAS A ESTIMAR INTEGER :: NLE !VECTOR DE LINEAS A ESTIMAR INTEGER, ALLOCATABLE :: VLE(:) !COEFICIENTE DE REDUNDANCIA !PORCENTAJE DE ERROR QUE PRESENTAN LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS A ESTIMAR REAL*8 :: CRed, ERRORLE !NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA CHARACTER(LEN=25) :: NOMBREDAT !NOMBRE DEL ARCHIVO DE RESULTADOS CHARACTER(LEN=25) :: NOMBRERES END MODULE mDATA01 MODULE mDATA02 IMPLICIT NONE !NUMERO TOTAL MEDICIONES !NUMERO DE MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE INTEGER :: m, mV !NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA !NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA INTEGER :: mFPA, mFPR !NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA !NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA INTEGER :: mIPA, mIPR !PORCENTAJE DE ERROR EN LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE !PORCENTAJE DE ERROR EN LAS MEDICIONES DE POTENCIA REAL*8 :: ERRORMV, ERRORMP END MODULE mDATA02 MODULE mDATA03 IMPLICIT NONE !VECTOR DE NODOS DE DONDE SALE LA CORRIENTE (p<q) !VECTOR DE NODOS DE DONDE ENTRA LA CORRIENTE (p<q) !VECTOR DE NODOS DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION !VECTOR QUE CONTIENE EL NUMERO DE ELEMENTO QUE ES TRANSFORMADOR INTEGER, ALLOCATABLE :: p(:), q(:), pED(:), vTR(:) !VECTOR DEL TIPO DE CADA ELEMENTO (1=LINEA DE TRANSMISION, 2=TRANSFORMADOR) INTEGER, ALLOCATABLE :: tipoe(:) !VECTOR DE LAS RELACIONES DE TRANSFORMACION DEL NODO p AL NODO q !VECTOR DE LAS RELACIONES DE TRANSFORMACION DEL NODO q AL NODO p REAL*8, ALLOCATABLE :: apq(:), aqp(:) END MODULE mDATA03 MODULE mDATA04 IMPLICIT NONE !VECTOR DE IMPEDANCIA SERIE DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE 2 DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: imps(:), yd(:) !VECTOR DE IMPEDANCIA SERIE AUXILIAR DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA EN DERIVACION AUXILIAR DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: impsaux(:), ydaux(:) !VECTOR DE IMPEDANCIA SERIE ORIGINAL DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE 2 ORIGINAL DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: impsorg(:), ydorg(:) !VECTOR DE ADMITANCIA SERIE DE CADA ELEMENTO !VECTOR DE ADMITANCIA DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: ys(:), bED(:) !VECTOR DE ADMITANCIA SERIE AUXILIAR DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: ysaux(:) !VECTOR DE ADMITANCIA SERIE ORIGINAL DE CADA ELEMENTO DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: ysorg(:) END MODULE mDATA04 MODULE mDATA05 IMPLICIT NONE !VECTOR DE NODOS DE SALIDA DE LA MEDICION !VECTOR DE NODOS DE LLEGADA DE LA MEDICION INTEGER, ALLOCATABLE :: mp(:), mq(:) !VECTOR DE MEDICIONES !VECTOR DE VARIANZAS DE LAS MEDICIONES !VECTOR DE RESULTADOS DE FLUJOS DE POTENCIA REAL*8, ALLOCATABLE :: Z(:), mVAR(:), Zlf(:) END MODULE mDATA05 MODULE mDATA06
- 250. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 216 IMPLICIT NONE !VECTOR DE ESTADO (SE VA ACTUALIZANDO Y CONTIENE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO, EXCEPTO EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) !VECTOR DE ESTADO AUXILIAR (SE VA ACTUALIZANDO Y CONTIENE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO, INCLUYE EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) REAL*8, ALLOCATABLE :: VE(:), VEaux(:) !VECTOR DE ESTADO DE PARAMETROS (SE VA ACTUALIZANDO Y CONTIENE LOS PARAMETROS QUE SE ESTIMARAN) !VECTOR DE ESTADO AUXILIAR2 (SE VA ACTUALIZANDO Y CONTIENE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO, INCLUYE EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) REAL*8, ALLOCATABLE :: VEparam(:), VEaux2(:) !VECTOR DE INCREMENTOS DEL VECTOR DE ESTADO (NO INCLUYE EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) REAL*8, ALLOCATABLE :: deltaVE(:) !VECTOR DE ESTADO AUMENTADO (NO INCLUYE EL ANGULO DEL NODO DE REFERENCIA) REAL*8, ALLOCATABLE :: deltaVEaum(:) END MODULE mDATA06 MODULE mDATA07 IMPLICIT NONE !MATRIZ DE PONDERACION !VECTOR DE FUNCION DE MEDICION (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: W(:,:), hFM(:) !JACOBIANA DE MEDICIONES (SE VA ACTUALIZANDO) !MATRIZ DE GANANCIA (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: HJac(:,:), G(:,:) !VECTOR DE "Z-hFM" (SE VA ACTUALIZANDO) !TRANSPUESTA DEL VECTOR DE "Z-hFM" (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: deltaZ(:),deltaZt(:,:) !TRANSPUESTA DE LA JACOBIANA DE MEDICIONES (SE VA ACTUALIZANDO) !MIEMBRO DERECHO DEL CONJUNTO DE ECS. NORMALES (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: HJact(:,:), HJactWdeltaZ(:) !PRODUCTO DE HJact y W (SE VA ACTUALIZANDO) !INVERSA DE LA MATRIZ DE PONDERACIÓN REAL*8, ALLOCATABLE :: HJactW(:,:), invW(:,:) !FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8 :: Jx(1,1) END MODULE mDATA07 MODULE mDATA08 IMPLICIT NONE !NUMERO DE ITERACIONES INTEGER :: it !TOLERANCIA USADA EN EL CRITERIO DE CONVERGENCIA REAL*8 :: tol !POTENCIA BASE DEL SISTEMA REAL*8 :: Sbase END MODULE mDATA08 MODULE mDATA09 IMPLICIT NONE !MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DOUBLE COMPLEX, ALLOCATABLE :: YBUS(:,:) END MODULE mDATA09 MODULE mDATA10 IMPLICIT NONE !MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO-NODO INTEGER, ALLOCATABLE :: A(:,:) END MODULE mDATA10 MODULE mDATA11 IMPLICIT NONE !MATRIZ QUE CONTIENE LA FACTORIZACION DE CHOLESKY DE G REAL*8, ALLOCATABLE :: FACCHOLESKY(:,:) !MATRIZ QUE CONTIENE LA FACTORIZACION DE CHOLESKY DE Gaum REAL*8, ALLOCATABLE :: FACCHOLESKYaum(:,:) END MODULE mDATA11 MODULE mDATA12 IMPLICIT NONE !INVERSA DE LA MATRIZ DE GANANCIA REAL*8, ALLOCATABLE :: invG(:,:) !PRODUCTO DE HJac y (G^-1) REAL*8, ALLOCATABLE :: HJacinvG(:,:) !PRODUCTO DE HJac, (G^-1) y HJact REAL*8, ALLOCATABLE :: HJacinvGHJact(:,:) !MATRIZ SOMBRERO REAL*8, ALLOCATABLE :: Ks(:,:) !MATRIZ DE SENSIBILIDAD RESIDUAL REAL*8, ALLOCATABLE :: S(:,:) !MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL REAL*8, ALLOCATABLE :: COVdeltaZ(:,:) !VECTOR DE RESIDUALES NORMALIZADOS REAL*8, ALLOCATABLE :: ResNorm(:) !MAXIMO RESIDUAL NORMALIZADO REAL*8 :: MaxResNorm END MODULE mDATA12 MODULE mDATA13 IMPLICIT NONE !FLUJO DE POTENCIA (ACTIVA Y REACTIVA) DE p A q REAL*8, ALLOCATABLE :: Ppq(:), Qpq(:) !FLUJO DE POTENCIA (ACTIVA Y REACTIVA) DE q A p REAL*8, ALLOCATABLE :: Pqp(:), Qqp(:) !FLUJO DE POTENCIA (ACTIVA Y REACTIVA) DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION REAL*8, ALLOCATABLE :: PpED(:), QpED(:) !PERDIDAS TOTALES !BALANCE REACTIVO TOTAL REAL*8 :: Ptotal, Qtotal END MODULE mDATA13 MODULE mDATA14 IMPLICIT NONE !JACOBIANA DE PARAMETROS (SE VA ACTUALIZANDO) !MATRIZ JACOBIANA AUMENTADA QUE INCLUYE HJac y Hparam (SE VA ACTUALIZANDO) !MATRIZ DE GANANCIA AUMENTADA (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: Hparam(:,:), Haum(:,:), Gaum(:,:) !TRANSPUESTA DE LA JACOBIANA AUMNETADA (SE VA ACTUALIZANDO) !MIEMBRO DERECHO DE LA EC. NORMAL EN FORMA MATRICIAL (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: Haumt(:,:), HaumtWdeltaZ(:) !PRODUCTO DE Haumt y W (SE VA ACTUALIZANDO) !INVERSA DE LA MATRIZ DE GANANCIA AUMENTADA (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: HaumtW(:,:), invGaum(:,:) END MODULE mDATA14
- 251. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 217 MODULE mDATA15 IMPLICIT NONE !VECTOR DEL LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO DE CONFIANZA (SE VA ACTUALIZANDO) !VECTOR DEL LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO DE CONFIANZA (SE VA ACTUALIZANDO) !INDICADOR DE PRECISION (SE VA ACTUALIZANDO) REAL*8, ALLOCATABLE :: LimInf(:), LimSup(:), Ipr(:) END MODULE mDATA15 MODULE mDATA16 IMPLICIT NONE !RANGO NUMERICO DE HJac !RANGO NUMERICO DE G INTEGER :: IRANK, IRANK2 !NUMERO DE CONDICION DE HJac !NUMERO DE CONDICION DE G !TOLERANCIA USADA POR LA RUTINA SVD REAL*8 :: NC1, NC2, tolSVD !VECTOR DE LOS VALORES SINGULARES DE HJac !MATRIZ ORTOGONAL U DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE HJac !MATRIZ ORTOGONAL V DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE HJac REAL*8, ALLOCATABLE :: SIGMA(:), U(:,:), V(:,:) !VECTOR DE LOS VALORES SINGULARES DE G !MATRIZ ORTOGONAL U DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE G !MATRIZ ORTOGONAL V DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE G REAL*8, ALLOCATABLE :: SIGMA2(:), U2(:,:), V2(:,:) END MODULE mDATA16 MODULE mDATA17 IMPLICIT NONE !NIVEL DE CONFIANZA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADA !GRADOS DE LIBERTAD DEL SISTEMA !VALOR DE LA INVERSA DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CHI-CUADRADA REAL*8 :: PrC, DF, X END MODULE mDATA17 E.5 Subrutinas SUBROUTINE ACTL_VE !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !ACTUALIZA EL VECTOR DE ESTADO DO i=1, 2*n-1 VE(i)=VE(i)+deltaVE(i) END DO END SUBROUTINE ACTL_VE SUBROUTINE ACTL_VECT !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA04 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !ACTUALIZA LOS VECTORES ys, imps Y yd CON LOS VALORES DE PARAMETROS ESTIMADOS i=0!CONTADOR DE LOS ELEMENTOS DE VEparam DO j=1, NLE ys(VLE(j))=DCMPLX(VEparam(i+1),VEparam(i+2)) imps(VLE(j))=1.0/ys(VLE(j)) yd(VLE(j))=DCMPLX(0.0,VEparam(i+3)) i=i+3!CONTADOR DE LOS ELEMENTOS DE VEparam END DO END SUBROUTINE ACTL_VECT SUBROUTINE ACTL_VEyVEparam !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !ACTUALIZA EL VECTOR DE ESTADO DO i=1, (2*n-1) VE(i)=VE(i)+deltaVEaum(i) END DO !ACTUALIZA EL VECTOR DE PARAMETROS j=1 DO i=(2*n), (2*n-1)+(3*NLE) VEparam(j)=VEparam(j)+deltaVEaum(i) j=j+1 END DO END SUBROUTINE ACTL_VEyVEparam SUBROUTINE C_FLUJOS !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA06 USE mDATA08 USE mDATA13 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: elem !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO Ppq=0.0 Qpq=0.0 Pqp=0.0 Qqp=0.0 Ptotal=0.0 Qtotal=0.0 !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DO elem=1,b !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE "p A q" Ppq(elem)=((apq(elem)*VEaux(p(elem)))**2)*DREAL(ys(ele m))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DCOS(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D IMAG(ys(elem))*DSIN(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n)) Qpq(elem)=- 1.0*((apq(elem)*VEaux(p(elem)))**2)*(DIMAG(ys(elem))+D IMAG(yd(elem)))&
- 252. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 218 +(apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))* DIMAG(ys(elem))*DCOS(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DSIN(VEaux(p(elem)+n)- VEaux(q(elem)+n)) !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE "q A p" Pqp(elem)=((aqp(elem)*VEaux(q(elem)))**2)*DREAL(ys(ele m))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DCOS(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D IMAG(ys(elem))*DSIN(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n)) Qqp(elem)=- 1.0*((aqp(elem)*VEaux(q(elem)))**2)*(DIMAG(ys(elem))+D IMAG(yd(elem)))& +(apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))* DIMAG(ys(elem))*DCOS(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n))& - (apq(elem)*VEaux(p(elem)))*(aqp(elem)*VEaux(q(elem)))*D REAL(ys(elem))*DSIN(VEaux(q(elem)+n)- VEaux(p(elem)+n)) !CALCULA LAS PERDIDAS TOTALES DE POTENCIA ACTIVA Ptotal=Ptotal+(Ppq(elem)+Pqp(elem))*Sbase !CALCULA LAS PERDIDAS TOTALES DE POTENCIA REACTIVA Qtotal=Qtotal+(Qpq(elem)+Qqp(elem))*Sbase END DO !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO EL NUMERO DE ELEMENTOS EN DERIVACION ES DISTINTO DE CERO IF ( nED .NE. 0 ) THEN !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO PpED=0.0 QpED=0.0 DO elem=1, nED !CALCULA FLUJOS DE POTENCIA DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION PpED(elem)=0.0 QpED(elem)=- 1.0*((VEaux(pED(elem)))**2)*(DIMAG(bED(elem))) END DO END IF END SUBROUTINE C_FLUJOS SUBROUTINE CALC_COVdeltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !CALCULA LA INVERSA DE LA MATRIZ DE PONDERACIÓN CALL DLINRG (m, W, m, invW, m) !CALCULA LA MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL MULTIPLICANDO S Y invW !CALL DMRRRR (m, m, S, m, m, m, invW, m, m, m, COVdeltaZ, m) !CALCULA G^(-1) CALL DLINRG (2*n-1, G, 2*n-1, invG, 2*n-1) !CALCULA (HJac)(G^-1) MULTIPLICANDO HJac Y invG CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, 2*n-1, invG, 2*n-1, m, 2*n-1, HJacinvG, m) !CALCULA (HJac)(G^-1)(HJact) MULTIPLICANDO HJacinvG Y HJact CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJacinvG, m, 2*n-1, m, HJact, 2*n-1, m, m, HJacinvGHJact, m) COVdeltaZ=invW-HJacinvGHJact END SUBROUTINE CALC_COVdeltaZ SUBROUTINE CALC_deltaVE !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA11 IMPLICIT NONE !CALCULA LA FACTORIZACION DE CHOLESKY DE G !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES CALL DLFTDS (2*n-1, G, 2*n-1, FACCHOLESKY, 2*n-1) !RESUELVE EL SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES: HJactWdeltaZ=G*deltaVE USANDO LA DESCOMPOSICION DE CHOLESKY !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES CALL DLFSDS (2*n-1, FACCHOLESKY, 2*n-1, HJactWdeltaZ, deltaVE) END SUBROUTINE CALC_deltaVE SUBROUTINE CALC_deltaVEaum !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA11 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !CALCULA LA FACTORIZACION DE CHOLESKY DE G !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES CALL DLFTDS ((2*n-1)+(3*NLE), Gaum, (2*n-1)+(3*NLE), FACCHOLESKYaum, (2*n-1)+(3*NLE)) !RESUELVE EL SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES: HJactWdeltaZ=G*deltaVE USANDO LA DESCOMPOSICION DE CHOLESKY !RUTINA DE IMSL MATH LIBRARY EN LA CATEGORIA DE SISTEMAS LINEALES CALL DLFSDS ((2*n-1)+(3*NLE), FACCHOLESKYaum, (2*n-1)+(3*NLE), HaumtWdeltaZ, deltaVEaum) END SUBROUTINE CALC_deltaVEaum SUBROUTINE CALC_Jx !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES REAL*8 :: deltaZtW(1,m) !CALCULA Jx !MULTIPLICA deltaZt Y W CALL DMRRRR (1, m, deltaZt, 1, m, m, W, m, 1, m, deltaZtW, 1) !MULTIPLICA deltaZtW Y deltaZ CALL DMRRRR (1, m, deltaZtW, 1, m, 1, deltaZ, m, 1, 1, Jx, 1)
- 253. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 219 END SUBROUTINE CALC_Jx SUBROUTINE CALC_Ks !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !CALCULA G^(-1) CALL DLINRG (2*n-1, G, 2*n-1, invG, 2*n-1) !CALCULA (HJac)(G^-1) MULTIPLICANDO HJac Y invG CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, 2*n-1, invG, 2*n-1, m, 2*n-1, HJacinvG, m) !CALCULA (HJac)(G^-1)(HJact) MULTIPLICANDO HJacinvG Y HJact CALL DMRRRR (m, 2*n-1, HJacinvG, m, 2*n-1, m, HJact, 2*n-1, m, m, HJacinvGHJact, m) !CALCULA LA MATRIZ SOMBRERO MULTIPLICANDO HJacinvGHJact Y W CALL DMRRRR (m, m, HJacinvGHJact, m, m, m, W, m, m, m, Ks, m) END SUBROUTINE CALC_Ks SUBROUTINE CALC_ResNorm !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 USE mDATA07 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !CALCULA LA MATRIZ SOMBRERO CALL CALC_Ks !CALCULA LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD RESIDUAL CALL CALC_S !CALCULA LA MATRIZ DE COVARIANZA RESIDUAL CALL CALC_COVdeltaZ !CALCULA EL VECTOR DE RESIDUALES NORMALIZADOS DO i=1,m IF ( deltaZ(i) .NE. 0.0 ) THEN ResNorm(i)=DABS (deltaZ(i))/DSQRT (COVdeltaZ(i,i)) ELSE ResNorm(i)=0.0 END IF END DO END SUBROUTINE CALC_ResNorm SUBROUTINE CALC_S !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i REAL*8 :: Id(m,m) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO Id=0.0 !FORMA LA MATRIZ IDENTIDAD DO i=1,m Id(i,i)=1.0 END DO !CALCULA LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD RESIDUAL S=Id-Ks END SUBROUTINE CALC_S SUBROUTINE CHI_CUADRADA !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA17 IMPLICIT NONE !AQUI SE DEFINE LA PROBABILIDAD CON LA CUAL LA INVERSA DE LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADA ES CALCULADA PrC=0.95 !CALCULA LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL SISTEMA DF=m-(2*n-1) !CALCULA LA INVERSA DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION CHI-CUADRADA X=DCHIIN(PrC, DF) !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,10) 10 FORMAT (2/,5X,'<< Prueba Chi-Cuadrada >>',/) WRITE(3,20) PrC, DF, X, Jx(1,1) 20 FORMAT(5X,'Chi^2(',F3.2,', ',F6.1,')',7X,'J(x)',2/,8X, F10.6, 1X, F16.6) !REALIZA LA PRUEBA CHI-CUADRADA IF ( Jx(1,1) .GE. X ) THEN !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,30) 30 FORMAT(/,5X,'*** Se Detectaron Datos Erróneos.') ELSE !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,40) 40 FORMAT(/,5X,'*** No Se Detectaron Datos Erróneos.') END IF PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA CHI_CUADRADA !!!' END SUBROUTINE CHI_CUADRADA SUBROUTINE ENCABEZADO !IMPRIME EL ROTULO QUE APARECERA EN EL EJECUTABLE PRINT * PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' *** INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ***' PRINT *, ' *** ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA ***' PRINT *, ' *** SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ***' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' *** PROGRAMA DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LINEAS DE TRANSMISION ***' PRINT *, ' *** POR EL AUMENTO DEL VECTOR DE ESTADO USANDO ECUACIONES NORMALES ***' PRINT *, ' ************************************************** ****************************'
- 254. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 220 PRINT *, ' *** ELABORO: OMAR YAMIL VIDAL LEON ROMAY ***' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT *, ' ************************************************** ****************************' PRINT * END SUBROUTINE ENCABEZADO SUBROUTINE ERROR_MEDICIONES2 !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i REAL*8 :: R !DEFINE LA SEMILLA PARA GENERAR NUMEROS PSEUDOALEATORIOS CALL RNSET(1234567) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO CERO Z=0.0 !AÑADE ERROR A LAS MEDICIONES IDEALES (RESULTADOS DE FLUJOS DE POTENCIA) DO i=1, m !GENERA EL NUMERO PSEUDOALEATORIO CON DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR (0,1) 100 R=DRNNOF() !ESTE ES EL FILTRO PARA NO OBTENER UN NUMERO PSEUDOALEATORIO !FUERA DE +3*DESVIACION O -3*DESVIACION IF ( (R .GE. 3.0) .OR. (R .LE. -3.0) ) THEN GOTO 100 ELSE IF ( i .LE. mV ) THEN !APLICA LA TRANSFORMACION DE LA VARIABLE ALEATORIA NORMAL ESTANDARIZADA !ESTO PARA OBTENER UNA DISTRIBUCIUON NORMAL (0,(ERRORMV/100.0)*Zlf(i)/3.0) Z(i)=(R*( (ERRORMV/100.0)*Zlf(i)/3.0 ))+Zlf(i) ELSE !APLICA LA TRANSFORMACION DE LA VARIABLE ALEATORIA NORMAL ESTANDARIZADA !ESTO PARA OBTENER UNA DISTRIBUCIUON NORMAL (0,(ERRORMP/100.0)*Zlf(i)/3.0) Z(i)=(R*( (ERRORMP/100.0)*Zlf(i)/3.0 ))+Zlf(i) END IF END IF END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA ERROR_MEDICIONES2 !!!' END SUBROUTINE ERROR_MEDICIONES2 SUBROUTINE ERROR_PARAMETROS_LINEAS !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA04 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !AÑADE ERROR A LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS A ESTIMAR DO i=1, NLE !PARA LA IMPEDANCIA SERIE DE LA LINEA imps(VLE(i))=imps(VLE(i))+(ERRORLE/100.0)*(imps(VLE( i))) !PARA LA ADMITANCIA SERIE DE LA LINEA ys(VLE(i))=1.0/imps(VLE(i)) !PARA LA ADMITANCIA EN DERIVACION SOBRE DOS DE LA LINEA yd(VLE(i))=yd(VLE(i))+(ERRORLE/100.0)*(yd(VLE(i))) END DO !GUARDA LOS VALORES INICIALES DE LOS PARAMETROS DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) !IGUALA EL VECTOR impsaux CON EL VECTOR imps impsaux=imps !IGUALA EL VECTOR ydaux CON EL VECTOR yd ydaux=yd !IGUALA EL VECTOR ysaux CON EL VECTOR ys ysaux=ys PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA ERROR_PARAMETROS_LINEAS !!!' END SUBROUTINE ERROR_PARAMETROS_LINEAS SUBROUTINE EVAL_CREDI_PARAM !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA13 USE mDATA14 USE mDATA15 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i REAL*8 :: VarErr, DtStudent, T, DF, Arg, uno !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO invGaum=0.0 VarErr=0.0 DtStudent=0.0 LimInf=0.0 LimSup=0.0 !CALCULA LOS GRADOS DE LIBERTAD DF=m-((2*n-1)+(3*NLE)) !EL 0.025 ES PORQUE SE CALCULARA UN INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% T=0.025 uno=1.0 !CALCULA Gaum^(-1) CALL DLINRG ((2*n-1)+(3*NLE), Gaum, (2*n-1)+(3*NLE), invGaum, (2*n-1)+(3*NLE)) !CALCULA Jx/[m-((2*n-1)+(3*NLE))]. VER ARTICULO DE ZHU. LIU, MEI Y HE (2012) VarErr=Jx(1,1)/(m-((2*n-1)+(3*NLE))) !CALCULA LA DISTRIBUCION t DE ESTUDIANTE CON DF GRADOS DE LIBERTAD. DtStudent=DTDF(T,DF) !CALCULA LOS INTERVALOS DE CONFIANZA DE LOS PARAMETROS DO i=1, 3*NLE LimInf(i)=VEparam(i)- DtStudent*DSQRT(VarErr*invGaum(2*n-1+i,2*n-1+i))
- 255. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 221 LimSup(i)=VEparam(i)+DtStudent*DSQRT(VarErr*invGaum (2*n-1+i,2*n-1+i)) END DO !CALCULA LOS INDICADORES DE PRECISION DE LA ESTIMACION DO i=1,3*NLE Arg=DABS(DtStudent*DSQRT(VarErr*invGaum(2*n- 1+i,2*n-1+i))/VEparam(i)) Ipr(i)=1.0-DMIN1(Arg,uno) END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA EVAL_CREDI_PARAM !!!' END SUBROUTINE EVAL_CREDI_PARAM SUBROUTINE FORMA_A !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA10 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO A=0 !FORMACION DE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO-NODO DO i=1, b DO j=1, n IF (p(i) .EQ. j) THEN A(i,j)=1 ELSE IF (q(i) .EQ. j) THEN A(i,j)=-1 END IF END DO END DO END SUBROUTINE FORMA_A SUBROUTINE FORMA_deltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA05 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !FORMA deltaZ DO i=1, m deltaZ(i)=Z(i)-hFM(i) END DO END SUBROUTINE FORMA_deltaZ SUBROUTINE FORMA_deltaZt !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !CALCULA LA TRANSPUESTA DE deltaZ CALL DTRNRR(m, 1, deltaZ, m, 1, m, deltaZt, 1) END SUBROUTINE FORMA_deltaZt SUBROUTINE FORMA_G !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !FORMA G MULTIPLICANDO HJactW Y HJac CALL DMRRRR (2*n-1, m, HJactW, 2*n-1, m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, 2*n-1, G, 2*n-1) END SUBROUTINE FORMA_G SUBROUTINE FORMA_Gaum !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !FORMA Gaum MULTIPLICANDO HaumtW Y Haum CALL DMRRRR ((2*n-1)+(3*NLE), m, HaumtW, (2*n- 1)+(3*NLE), m, (2*n-1)+(3*NLE), Haum, m, (2*n- 1)+(3*NLE), (2*n-1)+(3*NLE), Gaum, (2*n-1)+(3*NLE)) END SUBROUTINE FORMA_Gaum SUBROUTINE FORMA_Haum !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, k !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO Haum=0.0 !COLOCA HJac EN Haum DO i=1,m DO j=1, 2*n-1 Haum(i,j)=HJac(i,j) END DO END DO !COLOCA Hparam EN Haum k=1 DO i=1,m DO j=2*n, (2*n-1)+(3*NLE) Haum(i,j)=Hparam(i,k) k=k+1 END DO k=1 END DO END SUBROUTINE FORMA_Haum SUBROUTINE FORMA_Haumt !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !CALCULA LA TRANSPUESTA DE HJac CALL DTRNRR(m, (2*n-1)+(3*NLE), Haum, m, (2*n- 1)+(3*NLE), m, Haumt, (2*n-1)+(3*NLE)) END SUBROUTINE FORMA_Haumt SUBROUTINE FORMA_HaumtWdeltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL
- 256. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 222 !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !FORMA HaumtWdeltaZ !MULTIPLICA Haumt Y W CALL DMRRRR ((2*n-1)+(3*NLE), m, Haumt, (2*n- 1)+(3*NLE), m, m, W, m, (2*n-1)+(3*NLE), m, HaumtW, (2*n-1)+(3*NLE)) !MULTIPLICA HaumtW Y deltaZ CALL DMRRRR ((2*n-1)+(3*NLE), m, HaumtW, (2*n- 1)+(3*NLE), m, 1, deltaZ, m, (2*n-1)+(3*NLE), 1, HaumtWdeltaZ, (2*n-1)+(3*NLE)) END SUBROUTINE FORMA_HaumtWdeltaZ SUBROUTINE FORMA_hFM !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA09 USE mDATA10 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA hFM EN CERO hFM=0.0 !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE MAGNITUDES DE VOLTAJE EN hFM DO i=1, mV hFM(i)=VE(mp(i)) END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LOS FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA EN hFM DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1,b IF (mP(i).LT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN hFM(i)=(apq(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*DREAL(ys(j))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mP(i).GT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN hFM(i)=(aqp(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*DREAL(ys(j))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LOS FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA EN hFM DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1,b IF (mP(i).LT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN hFM(i)=- (apq(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd( j)))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mP(i).GT.mQ(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN hFM(i)=- (aqp(j)**2)*(VEaux(mp(i))**2)*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd( j)))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LAS INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA EN hFM DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=1, b IF (mp(i) .EQ. p(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(j))*& (DREAL(YBUS(mp(i),q(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n))+DIMAG(YBUS(mp(i),q(j)))*DSIN(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(q(j)+n)) ) END IF IF (mp(i) .EQ. q(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(j))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n))+DIMAG(YBUS(mp(i),p(j)))*DSIN(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(p(j)+n)) ) END IF IF (j .EQ. b) THEN hFM(i)=hFM(i)+(VEaux(mp(i))**2)*DREAL(YBUS(mp(i),m p(i))) END IF END DO END DO !COLOCA LAS FUNCIONES DE MEDICION DE LAS INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA EN hFM DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=1, b IF (mp(i) .EQ. p(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(j))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(j)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n))- DIMAG(YBUS(mp(i),q(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(j)+n)) ) END IF IF (mp(i) .EQ. q(j)) THEN hFM(i)=hFM(i)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(j))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(j)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n))- DIMAG(YBUS(mp(i),p(j)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(j)+n)) ) END IF IF (j .EQ. b) THEN
- 257. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 223 hFM(i)=hFM(i)- (VEaux(mp(i))**2)*DIMAG(YBUS(mp(i),mp(i))) END IF END DO END DO END SUBROUTINE FORMA_hFM SUBROUTINE FORMA_HJac !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA09 USE mDATA10 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, k, l REAL*8 :: B1(mV,n),B2(mV,n-1),B3(mFPA,n),B4(mFPA,n- 1),B5(mFPR,n) REAL*8 :: B6(mFPR,n-1), B7(mIPA,n), B8(mIPA,n-1), B9(mIPR,n), B10(mIPR,n-1) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO B1=0.0 B2=0.0 B3=0.0 B4=0.0 B5=0.0 B6=0.0 B7=0.0 B8=0.0 B9=0.0 B10=0.0 Hjac=0.0 !FORMA BLOQUE 1 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LAS MAGNITUDES DE VOLTAJES NODALES !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. DO i=1, mV DO j=1, n IF ( i .EQ. j ) THEN B1(i,j)=1.0 END IF END DO END DO !NOTA: EL BLOQUE 2 CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE NODAL !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES Y ES UNA MATRIZ DE CEROS !FORMA BLOQUE 3 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1,b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN !PARA dPkm/dVk B3(i- mV,mp(i))=2*(apq(j)**2)*VEaux(mp(i))*DREAL(ys(j))& - apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dVm B3(i-mV,mq(i))=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN !PARA dPkm/dVk B3(i- mV,mp(i))=2*(aqp(j)**2)*VEaux(mp(i))*DREAL(ys(j))& - aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dVm B3(i-mV,mq(i))=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DREAL(ys(j))*DCOS(VEaux(m p(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DIMAG(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 4 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1, b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mq(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mp(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))&
- 258. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 224 - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dPkm/dTHETAk B4(i-mV,mp(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dTHETAm B4(i-mV,mq(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mq(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dPkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B4(i-mV,mp(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dPkm/dTHETAk B4(i-mV,mp(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dPkm/dTHETAm B4(i-mV,mq(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 5 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1,b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN !PARA dQkm/dVk B5(i-mV-mFPA,mp(i))=- 2*(apq(j)**2)*VEaux(mp(i))*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd(j))) & +apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DCOS(VEaux( mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dVm B5(i-mV- mFPA,mq(i))=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN !PARA dQkm/dVk B5(i-mV-mFPA,mp(i))=- 2*(aqp(j)**2)*VEaux(mp(i))*(DIMAG(ys(j))+DIMAG(yd(j))) & +aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*DCOS(VEaux( mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dVm B5(i-mV- mFPA,mq(i))=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DIMAG(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*DREAL(ys(j))*DSIN(VEaux(mp (i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 6 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE LOS FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE INCIDENCIA ELEMENTO- NODO DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1, b IF (mp(i).LT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.-1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA
- 259. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 225 B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dQkm/dTHETAk B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dTHETAm B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +apq(j)*VEaux(mp(i))*aqp(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF IF (mp(i).GT.mq(i)) THEN IF ( (A(j,mp(i)).EQ.-1) .AND. (A(j,mq(i)).EQ.1) ) THEN IF ( (mp(i).EQ.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAm Y k ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).EQ.1) ) THEN !PARA dQkm/dTHETAk Y m ES EL NODO DE REFERENCIA B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF IF ( (mp(i).NE.1) .AND. (mq(i).NE.1) ) THEN !HAZ LO SIGUIENTE CUANDO k Y m NO SON EL NODO DE REFERENCIA !PARA dQkm/dTHETAk B6(i-mV-mFPA,mp(i)-1)=- aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j))*D SIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& - aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))*D COS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) !PARA dQkm/dTHETAm B6(i-mV-mFPA,mq(i)- 1)=aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DIMAG(ys(j)) *DSIN(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n))& +aqp(j)*VEaux(mp(i))*apq(j)*VEaux(mq(i))*DREAL(ys(j))* DCOS(VEaux(mp(i)+n)-VEaux(mq(i)+n)) END IF END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 7 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=1, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dPk/dVm B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=VEaux(mp(i))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dPk/Vk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=B7(i-mV-mFPA- mFPR,j)+VEaux(q(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dPk/Vk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=B7(i-mV-mFPA- mFPR,j)+VEaux(p(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF IF (k.EQ.b) THEN !PARA dPk/Vk B7(i-mV-mFPA-mFPR,j)=B7(i-mV-mFPA- mFPR,j)+2*VEaux(mp(i))*DREAL(YBUS(mp(i),mp(i))) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 8 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED
- 260. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 226 !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=2, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dPk/dTHETAm B8(i-mV-mFPA-mFPR,j-1)=VEaux(mp(i))*VEaux(j)*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dPk/THETAk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B8(i-mV-mFPA-mFPR,j-1)=B8(i-mV-mFPA-mFPR,j- 1)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(k))*& ( -DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dPk/THETAk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B8(i-mV-mFPA-mFPR,j-1)=B8(i-mV-mFPA-mFPR,j- 1)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(k))*& ( -DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 9 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LAS MAGNITUDES DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !INCLUYENDO LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=1, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dQk/dVm B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=VEaux(mp(i))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dQk/Vk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=B9(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j)+VEaux(q(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dQk/Vk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=B9(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j)+VEaux(p(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))-& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) ) END IF IF (k.EQ.b) THEN !PARA dQk/Vk B9(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j)=B9(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j)-2*VEaux(mp(i))*DIMAG(YBUS(mp(i),mp(i))) END IF END DO END IF END IF END DO END DO !FORMA BLOQUE 10 !CONTIENE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA !CON RESPECTO A LOS ANGULOS DE LOS VOLTAJES NODALES. !PRESENTA LA MISMA ESTRUCTURA DE CEROS Y NO CEROS QUE LA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL DE LA RED !SIN INCLUIR LA COLUMNA DEL NODO DE REFERENCIA. DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=2, n IF ( (DREAL(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) .OR. (DIMAG(YBUS(mp(i),j)).NE.0.0) ) THEN IF (mp(i).NE.j) THEN !PARA dQk/dTHETAm B10(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j-1)=- VEaux(mp(i))*VEaux(j)*& ( DREAL(YBUS(mp(i),j))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),j))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(j+n)) ) ELSE DO k=1,b IF (mp(i).EQ.p(k)) THEN !PARA dQk/THETAk Y EL NODO m("q(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B10(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j-1)=B10(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j-1)+VEaux(mp(i))*VEaux(q(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),q(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),q(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(q(k)+n)) ) END IF IF (mp(i).EQ.q(k)) THEN !PARA dQk/THETAk Y EL NODO m("p(k)") ES INCIDENTE AL NODO k B10(i-mV-mFPA-mFPR-mIPA,j-1)=B10(i-mV-mFPA-mFPR- mIPA,j-1)+VEaux(mp(i))*VEaux(p(k))*& ( DREAL(YBUS(mp(i),p(k)))*DCOS(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n))+& DIMAG(YBUS(mp(i),p(k)))*DSIN(VEaux(mp(i)+n)- VEaux(p(k)+n)) )
- 261. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 227 END IF END DO END IF END IF END DO END DO !COLOCA EL BLOQUE 1 EN HJac DO i=1, mV DO j=1, n Hjac(i,j)=B1(i,j) END DO END DO !COLOCA EL BLOQUE 2 EN HJac k=1 l=1 DO i=1, mV DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B2(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 3 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=1, n Hjac(i,j)=B3(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 4 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+1, mV+mFPA DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B4(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 5 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=1, n Hjac(i,j)=B5(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 6 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+1, mV+mFPA+mFPR DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B6(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 7 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=1, n Hjac(i,j)=B7(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 8 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B8(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 9 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=1, n Hjac(i,j)=B9(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO !COLOCA EL BLOQUE 10 EN HJac k=1 l=1 DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1, mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR DO j=n+1, 2*n-1 Hjac(i,j)=B10(k,l) l=l+1 END DO k=k+1 l=1 END DO END SUBROUTINE FORMA_HJac SUBROUTINE FORMA_HJact !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !CALCULA LA TRANSPUESTA DE HJac CALL DTRNRR(m, 2*n-1, HJac, m, 2*n-1, m, HJact, 2*n-1) END SUBROUTINE FORMA_HJact SUBROUTINE FORMA_HJactWdeltaZ !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !FORMA HJactWdeltaZ !MULTIPLICA HJact Y W CALL DMRRRR (2*n-1, m, HJact, 2*n-1, m, m, W, m, 2*n-1, m, HJactW, 2*n-1) !MULTIPLICA HJactW Y deltaZ
- 262. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 228 CALL DMRRRR (2*n-1, m, HJactW, 2*n-1, m, 1, deltaZ, m, 2*n-1, 1, HJactWdeltaZ, 2*n-1) END SUBROUTINE FORMA_HJactWdeltaZ SUBROUTINE FORMA_Hparam !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: j, u, v!v ES EL CONTADOR USADO PARA COLOCAR LOS BLOQUES 1, 2 Y 3 EN Hparam REAL*8 :: B1(m),B2(m),B3(m) !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO v=0 Hparam=0.0 !FORMA LA MATRIZ JACOBIANA DE PARAMETROS DO u=1, NLE!BUCLE QUE CONTROLA LA FORMACION DE Hparam !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO AL INICIO DE CADA ITERACION B1=0.0 B2=0.0 B3=0.0 !FORMA BLOQUE 1 DO j=mV+1,mV+mFPA IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mq(j))) THEN !PARA dPkm/gkm B1(j)=(apq(VLE(u))**2)*(VEaux(p(VLE(u)))**2)- apq(VLE(u))*aqp(VLE(u))*VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q(VL E(u)))*DCOS(VEaux(p(VLE(u))+n)-VEaux(q(VLE(u))+n)) END IF IF ((p(VLE(u)) .EQ. mq(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN !PARA dPmk/gkm B1(j)=(aqp(VLE(u))**2)*(VEaux(q(VLE(u)))**2)- apq(VLE(u))*aqp(VLE(u))*VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p(VL E(u)))*DCOS(VEaux(q(VLE(u))+n)-VEaux(p(VLE(u))+n)) END IF END DO DO j=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mq(j))) THEN !PARA dQkm/gkm B1(j)=- 1.0*apq(VLE(u))*aqp(VLE(u))*VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q( VLE(u)))*DSIN(VEaux(p(VLE(u))+n)-VEaux(q(VLE(u))+n)) END IF IF ((p(VLE(u)) .EQ. mq(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN !PARA dQmk/gkm B1(j)=- 1.0*aqp(VLE(u))*apq(VLE(u))*VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p( VLE(u)))*DSIN(VEaux(q(VLE(u))+n)-VEaux(p(VLE(u))+n)) END IF END DO DO j=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .OR. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN IF (mp(j).EQ.p(VLE(u))) THEN !PARA dPk/gkm Y EL NODO "q(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B1(j)=VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q(VLE(u)))*apq(VLE(u))*a qp(VLE(u))*(-1.0)*DCOS(VEaux(p(VLE(u))+n)- VEaux(q(VLE(u))+n))+(VEaux(p(VLE(u)))**2)*(apq(VLE(u) )**2) END IF IF (mp(j).EQ.q(VLE(u))) THEN !PARA dPk/gkm Y EL NODO "p(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B1(j)=VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p(VLE(u)))*apq(VLE(u))*a qp(VLE(u))*(-1.0)*DCOS(VEaux(q(VLE(u))+n)- VEaux(p(VLE(u))+n))+(VEaux(q(VLE(u)))**2)*(aqp(VLE(u) )**2) END IF END IF END DO DO j=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .OR. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN IF (mp(j).EQ.p(VLE(u))) THEN !PARA dQk/gkm Y EL NODO "q(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B1(j)=VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q(VLE(u)))*apq(VLE(u))*a qp(VLE(u))*(-1.0)*DSIN(VEaux(p(VLE(u))+n)- VEaux(q(VLE(u))+n)) END IF IF (mp(j).EQ.q(VLE(u))) THEN !PARA dQk/gkm Y EL NODO "p(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B1(j)=VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p(VLE(u)))*apq(VLE(u))*a qp(VLE(u))*(-1.0)*DSIN(VEaux(q(VLE(u))+n)- VEaux(p(VLE(u))+n)) END IF END IF END DO !FORMA BLOQUE 2 DO j=mV+1,mV+mFPA IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mq(j))) THEN !PARA dPkm/bkm B2(j)=(- 1.0)*apq(VLE(u))*aqp(VLE(u))*VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q (VLE(u)))*DSIN(VEaux(p(VLE(u))+n)- VEaux(q(VLE(u))+n)) END IF IF ((p(VLE(u)) .EQ. mq(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN !PARA dPmk/bkm B2(j)=(- 1.0)*aqp(VLE(u))*apq(VLE(u))*VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p (VLE(u)))*DSIN(VEaux(q(VLE(u))+n)- VEaux(p(VLE(u))+n)) END IF END DO DO j=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mq(j))) THEN !PARA dQkm/bkm B2(j)=(- 1.0)*(apq(VLE(u))**2)*(VEaux(p(VLE(u)))**2)+apq(VLE(u) )*aqp(VLE(u))*VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q(VLE(u)))*DCO S(VEaux(p(VLE(u))+n)-VEaux(q(VLE(u))+n)) END IF IF ((p(VLE(u)) .EQ. mq(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN !PARA dQmk/bkm B2(j)=(- 1.0)*(aqp(VLE(u))**2)*(VEaux(q(VLE(u)))**2)+aqp(VLE(u)
- 263. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 229 )*apq(VLE(u))*VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p(VLE(u)))*DCO S(VEaux(q(VLE(u))+n)-VEaux(p(VLE(u))+n)) END IF END DO DO j=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .OR. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN IF (mp(j).EQ.p(VLE(u))) THEN !PARA dPk/bkm Y EL NODO "q(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B2(j)=VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q(VLE(u)))*apq(VLE(u))*a qp(VLE(u))*(-1.0)*DSIN(VEaux(p(VLE(u))+n)- VEaux(q(VLE(u))+n)) END IF IF (mp(j).EQ.q(VLE(u))) THEN !PARA dPk/bkm Y EL NODO "p(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B2(j)=VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p(VLE(u)))*aqp(VLE(u))*a pq(VLE(u))*(-1.0)*DSIN(VEaux(q(VLE(u))+n)- VEaux(p(VLE(u))+n)) END IF END IF END DO DO j=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .OR. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN IF (mp(j).EQ.p(VLE(u))) THEN !PARA dQk/bkm Y EL NODO "q(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B2(j)=VEaux(p(VLE(u)))*VEaux(q(VLE(u)))*apq(VLE(u))*a qp(VLE(u))*DCOS(VEaux(p(VLE(u))+n)- VEaux(q(VLE(u))+n))+(VEaux(p(VLE(u)))**2)*(apq(VLE(u) )**2)*(-1.0) END IF IF (mp(j).EQ.q(VLE(u))) THEN !PARA dQk/bkm Y EL NODO "p(i)" ES INCIDENTE AL NODO k B2(j)=VEaux(q(VLE(u)))*VEaux(p(VLE(u)))*aqp(VLE(u))*a pq(VLE(u))*DCOS(VEaux(q(VLE(u))+n)- VEaux(p(VLE(u))+n))+(VEaux(q(VLE(u)))**2)*(aqp(VLE(u) )**2)*(-1.0) END IF END IF END DO !FORMA BLOQUE 3 DO j=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mq(j))) THEN !PARA dQkm/bshkm B3(j)=(-1.0)*(apq(VLE(u))**2)*(VEaux(p(VLE(u)))**2) END IF IF ((p(VLE(u)) .EQ. mq(j)) .AND. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN !PARA dQmk/bshkm B3(j)=(-1.0)*(aqp(VLE(u))**2)*(VEaux(q(VLE(u)))**2) END IF END DO DO j=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR IF ((p(VLE(u)) .EQ. mp(j)) .OR. (q(VLE(u)) .EQ. mp(j))) THEN IF (mp(j).EQ.p(VLE(u))) THEN !PARA dQk/bshkm Y EL NODO "q(k)" ES INCIDENTE AL NODO k B3(j)=(VEaux(p(VLE(u)))**2)*(-1.0)*(apq(VLE(u))**2) END IF IF (mp(j).EQ.q(VLE(u))) THEN !PARA dQk/bshkm Y EL NODO "p(k)" ES INCIDENTE AL NODO k B3(j)=(VEaux(q(VLE(u)))**2)*(-1.0)*(aqp(VLE(u))**2) END IF END IF END DO !COLOCA B1,B2 Y B3 EN LA MATRIZ Hparam DO j=1,m Hparam(j,1+v)=B1(j) Hparam(j,2+v)=B2(j) Hparam(j,3+v)=B3(j) END DO v=v+3 END DO!AQUI TERMINA EL BUCLE QUE CONTROLA LA FORMACION DE Hparam END SUBROUTINE FORMA_Hparam SUBROUTINE FORMA_W !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO W=0.0 !FORMA LA MATRIZ DE PONDERACION DO i=1, m W(i,i)=1.0/mVAR(i) END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA FORMA_W !!!' END SUBROUTINE FORMA_W SUBROUTINE FORMA_YBUS !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA09 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: NODO, ELEMENTO, i, j !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO YBUS=(0.0,0.0) !FORMA YBUS !LLENA LA DIAGONAL PRINCIPAL DE YBUS DO NODO=1, n DO ELEMENTO=1, b IF((p(ELEMENTO).EQ.NODO) .OR. (q(ELEMENTO).EQ.NODO))THEN IF ( p(ELEMENTO).EQ.NODO ) THEN !HAZ LA SUMA DE LAS ADMITANCIAS CONECTADAS EN CADA NODO Y ASIGNASELO EN !LA LOCALIDAD DE MEMORIA DE YBUS CORRESPONDIENTE YBUS(NODO,NODO)=YBUS(NODO,NODO)+(apq(ELEME NTO)**2)*(ys(ELEMENTO)+yd(ELEMENTO)) !NOTA: COMO LA RED ES DESACOPLADA SE PUEDE SACAR LA ADMITANCIA PROPIA DE !CADA ELEMENTO CONECTADO A LA RED CON "1.0/imps(ELEM)" END IF IF ( q(ELEMENTO).EQ.NODO ) THEN
- 264. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 230 !HAZ LA SUMA DE LAS ADMITANCIAS CONECTADAS EN CADA NODO Y ASIGNASELO EN !LA LOCALIDAD DE MEMORIA DE YBUS CORRESPONDIENTE YBUS(NODO,NODO)=YBUS(NODO,NODO)+(aqp(ELEME NTO)**2)*(ys(ELEMENTO)+yd(ELEMENTO)) !NOTA: COMO LA RED ES DESACOPLADA SE PUEDE SACAR LA ADMITANCIA PROPIA DE !CADA ELEMENTO CONECTADO A LA RED CON "1.0/imps(ELEM)" END IF END IF END DO END DO !INCLUYE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION EN LA DIAGONAL PRINCIPAL DE YBUS IF ( nED .NE. 0 ) THEN DO i=1,nED YBUS(pED(i),pED(i))=YBUS(pED(i),pED(i))+bED(i) END DO END IF !LLENA ELEMENTOS FUERA DE LA DIAGONAL PRINCIPAL DE YBUS DO i=1,n DO j=1,n DO ELEMENTO=1, b IF((p(ELEMENTO).EQ.i) .AND. (q(ELEMENTO).EQ.j)) THEN !SI EL ELEMENTO ESTA CONECTADO ENTRE LOS NODOS "i" E "j" !HAZ LA RESTA DE LAS ADMITANCIAS CONECTADAS ENTRE LOS NODOS "i" E "j" !Y ASIGNASELO EN LA LOCALIDAD DE MEMORIA DE YBUS CORRESPONDIENTE YBUS(i,j)=YBUS(i,j)- apq(ELEMENTO)*aqp(ELEMENTO)*ys(ELEMENTO) YBUS(j,i)=YBUS(i,j)!ESTO SE HACE PORQUE YBUS ES SIMETRICA !NOTA: EN LOS ELEMENTOS FUERA DE LA DIAGONAL NO SE TOMA EN CUENTA EL EFECTO !EN DERIVACION PORQUE LOS ELEMENTOS FUERA DE LA DIAGONAL SON EL NEGATIVO DE !LAS ADMITANCIAS CONECTADAS ENTRE 2 NODOS LOS CUALES NO PUEDEN SER EL DE !REFERENCIA END IF END DO END DO END DO END SUBROUTINE FORMA_YBUS SUBROUTINE IG_VEyVEaux !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO. RECUERDE LAS DIMENSIONES DE CADA VECTOR. DO i=1, 2*n-1 IF (i .LT. n+1) THEN VEaux(i)=VE(i) ELSE VEaux(i+1)=VE(i) END IF END DO END SUBROUTINE IG_VEyVEaux SUBROUTINE IG_VEyVEaux2 !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR 2 CON EL VECTOR DE ESTADO DO i=1, 2*n-1 IF (i .LT. n+1) THEN VEaux2(i)=VE(i) ELSE VEaux2(i+1)=VE(i) END IF END DO END SUBROUTINE IG_VEyVEaux2 SUBROUTINE LEEDATOS !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA08 USE mDATA09 USE mDATA10 USE mDATA11 USE mDATA12 USE mDATA13 USE mDATA14 USE mDATA15 USE mDATA16 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j REAL*8 :: apqaux, aqpaux !LEE LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE NODOS, EL NUMERO DE ELEMENTOS, !EL NUMERO DE TRANSFORMADORES, EL NUMERO DE ELEMENTOS EN DERIVACION Y LA POTENCIA BASE READ(2,*) n, b, nTR, nED, Sbase !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO TOTAL DE MEDICIONES READ(2,*) m !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE READ(2,*) mV !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA READ(2,*) mFPA !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA REACTIVA READ(2,*) mFPR !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA READ(2,*) mIPA !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL NUMERO DE MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA
- 265. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 231 READ(2,*) mIPR !LEE EL NUMERO DE ITERACIONES READ(2,*) it !LEE LA TOLERACIA USADA EN EL CRITERIO DE CONVERGENCIA DEL METODO READ(2,*) tol !LEE EL NUMERO DE LINEAS A ESTIMAR Y EL ERROR QUE PRESENTAN DICHAS LINEAS READ(2,*) NLE, ERRORLE !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS ALLOCATE (VLE(NLE)) !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA EL VECTOR DE LINEAS A ESTIMAR DO i=1, NLE READ(2,*) VLE(i) END DO !CALCULA EL COEFICIENTE DE REDUNDANCIA (MEDICIONES/(VARIABLES DE ESTADO + PARAMETROS A ESTIMAR)) CRed=m*1.0/((2*n-1)+(3.0*NLE)) !HAZ LO SIGUIENTE PARA LOS TRANSFORMADORES (SI ES QUE HAY) IF ( nTR .NE. 0 ) THEN !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS SI EL NUMERO !DE TRANSFORMADORES ES DISTINTO DE CERO ALLOCATE (vTR(nTR)) END IF !HAZ LO SIGUIENTE PARA LOS ELEMENTOS EN DERIVACION (SI ES QUE HAY) IF ( nED .NE. 0 ) THEN !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS SI EL NUMERO !DE ELEMENTOS EN DERIVACION ES DISTINTO DE CERO ALLOCATE (pED(nED), bED(nED)) ALLOCATE (PpED(nED), QpED(nED)) END IF !ASIGNA DE FORMA DINAMICA EL TAMAÑO DE LOS ARREGLOS ALLOCATE (Ppq(b), Qpq(b), Pqp(b), Qqp(b)) ALLOCATE (p(b), q(b), tipoe(b)) ALLOCATE (apq(b), aqp(b)) ALLOCATE (imps(b), ys(b), yd(b)) ALLOCATE (impsaux(b), ysaux(b), ydaux(b)) ALLOCATE (impsorg(b), ydorg(b), ysorg(b)) ALLOCATE (mp(m), mq(m), Z(m), mVAR(m), Zlf(m)) ALLOCATE (VE(2*n-1), VEaux(2*n), VEaux2(2*n), deltaVE(2*n-1)) ALLOCATE (W(m,m), hFM(m)) ALLOCATE (HJac(m,2*n-1), G(2*n-1,2*n-1)) ALLOCATE (deltaZ(m), deltaZt(1,m)) ALLOCATE (HJact(2*n-1,m), HJactW(2*n-1,m), HJactWdeltaZ(2*n-1)) ALLOCATE (YBUS(n,n), A(b,n)) ALLOCATE (FACCHOLESKY(2*n-1,2*n-1)) ALLOCATE (invG(2*n-1,2*n-1),HJacinvG(m,2*n-1)) ALLOCATE (HJacinvGHJact(m,m), Ks(m,m)) ALLOCATE (S(m,m), COVdeltaZ(m,m)) ALLOCATE (invW(m,m), ResNorm(m)) ALLOCATE (Hparam(m,3*NLE), Haum(m,(2*n- 1)+(3*NLE)), Gaum((2*n-1)+(3*NLE),(2*n-1)+(3*NLE))) ALLOCATE (invGaum((2*n-1)+(3*NLE),(2*n-1)+(3*NLE)), VEparam(3*NLE)) ALLOCATE (Haumt((2*n-1)+(3*NLE),m), HaumtWdeltaZ((2*n-1)+(3*NLE)), HaumtW((2*n- 1)+(3*NLE),m)) ALLOCATE (deltaVEaum((2*n-1)+(3*NLE)), FACCHOLESKYaum((2*n-1)+(3*NLE),(2*n-1)+(3*NLE))) ALLOCATE (SIGMA((2*n-1)+(3*NLE)), U(m,m), V((2*n- 1)+(3*NLE),(2*n-1)+(3*NLE))) ALLOCATE (SIGMA2((2*n-1)+(3*NLE)), U2((2*n- 1)+(3*NLE),(2*n-1)+(3*NLE)), V2((2*n-1)+(3*NLE),(2*n- 1)+(3*NLE))) ALLOCATE (LimInf(3*NLE), LimSup(3*NLE), Ipr(3*NLE)) !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) j=1 DO i=1,b apqaux=0.0 aqpaux=0.0 READ(2,*) p(i), q(i), imps(i), yd(i), tipoe(i) IF (tipoe(i) .EQ. 1) THEN !SI EL ELEMENTO ES UNA LINEA DE TRANSMISION ENTONCES HAZ LO SIGUIENTE apq(i)=1.0 aqp(i)=1.0 END IF IF (tipoe(i) .EQ. 2) THEN !SI EL ELEMENTO ES UN TRANSFORMADOR ENTONCES LEE LOS TAPS EN LOS NODOS CONECTADOS AL TRANSFORMADOR !RECORDAR EL MODELO DE LINEA UNIFICADO DEL MONTICELLI READ(2,*) apqaux, aqpaux apq(i)=1.0/apqaux aqp(i)=1.0/aqpaux !COLOCA EL NUMERO DE ELEMENTO QUE ES TRANSFORMADOR EN vTR vTR(j)=i j=j+1 END IF !LLENA EL VECTOR DE LAS ADMITANCIAS SERIE DE CADA ELEMENTO ys(i)=1.0/imps(i) END DO !GUARDA LOS VALORES ORIGINALES DE LOS PARAMETROS DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) !IGUALA EL VECTOR impsorg CON EL VECTOR imps impsorg=imps !IGUALA EL VECTOR ydorg CON EL VECTOR yd ydorg=yd !IGUALA EL VECTOR ysorg CON EL VECTOR ys ysorg=ys !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION (SI ES QUE HAY) IF ( nED .NE. 0 ) THEN DO i=1, nED READ(2,*) pED(i), bED(i) END DO END IF !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS VALORES INICIALES DEL VECTOR DE ESTADO !(MAGNITUD DE VOLTAJE Y ANGULOS DE FASE SIN CONTAR EL DE REFERENCIA) DO i=1, 2*n-1 READ(2,*) VE(i) END DO !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS ERRORES QUE PRESENTAN LOS MEDIDORES READ(2,*) ERRORMV, ERRORMP !LEE EN EL ARCHIVO DE ENTRADA LOS DATOS DE LAS MEDICIONES IDEALES DO i=1, m !PARA LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE IF (i .LE. mV) THEN READ(2,*) mp(i), Zlf(i) mq(i)=mp(i)
- 266. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 232 END IF !PARA LAS MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR)) THEN READ(2,*) mp(i), mq(i), Zlf(i) END IF !PARA LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV+mFPA+mFPR) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR)) THEN READ(2,*) mp(i), Zlf(i) mq(i)=mp(i) END IF END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA LEEDATOS !!!' END SUBROUTINE LEEDATOS SUBROUTINE Param_Estim !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA04 USE mDATA06 USE mDATA08 USE mDATA09 USE mDATA14 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA EL VECTOR DE PARAMETROS DE LAS LINEAS A ESTIMAR j=0 DO i=1,NLE VEparam(1+j)=DREAL(ys(VLE(i))) VEparam(2+j)=DIMAG(ys(VLE(i))) VEparam(3+j)=DIMAG(yd(VLE(i))) j=j+3 END DO !BUCLE QUE CONTROLA LAS ITERACIONES DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARAMETROS DO i=1,it IF (i .EQ. 1) THEN !EN LA PRIMERA ITERACION REALIZA ESTIMACION DE ESTADO CONVENCIONAL !CALCULA LA FUNCION DE MEDICION CALL FORMA_hFM !CALCULA EL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZ !CALCULA LA TRANSPUESTA DEL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZt !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJac !CALCULA LA TRANSPUESTA DE LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJact !CALCULA EL MIEMBRO DERECHO DEL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES CALL FORMA_HJactWdeltaZ !CALCULA LA MATRIZ DE GANANCIA CALL FORMA_G !RESUELVE EL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES PARA EL VECTOR DE INCREMENTOS DE LOS ESTADOS CALL CALC_deltaVE !ACTUALIZA EL VECTOR DE ESTADO CALL ACTL_VE !CALCULA LA FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR CALL CALC_Jx !IMPRIME LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN ESTA ITERACION CALL PRINT_RES_IT(i) !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux END IF IF (i .NE. 1) THEN !EN LAS SIGUIENTES ITERACIONES REALIZA LA ESTIMACION DE ESTADO Y PARAMETROS POR EL AUMENTO DEL VECTOR DE ESTADO !CALCULA LA FUNCION DE MEDICION CALL FORMA_hFM !CALCULA EL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZ !CALCULA LA TRANSPUESTA DEL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZt !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJac !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA DE PARAMETROS CALL FORMA_Hparam !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA AUMENTADA CALL FORMA_Haum !CALCULA LA TRANSPUESTA DE LA MATRIZ JACOBIANA AUMENTADA CALL FORMA_Haumt !CALCULA EL MIEMBRO DERECHO DEL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES PARA EL MODELO AUMENTADO CALL FORMA_HaumtWdeltaZ !CALCULA LA MATRIZ DE GANANCIA AUMENTADA CALL FORMA_Gaum !RESUELVE EL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES PARA EL VECTOR DE INCREMENTOS AUMENTADO CALL CALC_deltaVEaum !ACTUALIZA EL VECTOR DE ESTADO Y EL DE PARAMETROS CALL ACTL_VEyVEparam !CALCULA LA FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR CALL CALC_Jx !IMPRIME LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN ESTA ITERACION CALL PRINT_RES_IT2(i) !REALIZA LA PRUEBA DE CONVERGENCIA CALL TEST_CONV2(i, j) SELECT CASE (j) CASE (1) !SE LOGRA LA CONVERGENCIA DEL METODO WRITE(3,10) i WRITE(*,20) i 10 FORMAT (2/,5X,'*** El Estimador Converge en ', I4, ' Iteraciones para la Estimacion de Estado y Parámetros.') 20 FORMAT (' *** EL ESTIMADOR CONVERGE EN ', I4, ' ITERACIONES PARA LA ESTIMACION DE ESTADO Y PARAMETROS',/) EXIT CASE (2) !SI SE LLEGA AL NUMERO DE ITERACIONES PROPUESTO ENTONCES TERMINA EL PROGRAMA WRITE(3,30) i WRITE(*,40) i 30 FORMAT (2/,5X,'*** El Estimador No Converge en ', I4, ' Iteraciones para la Estimacion de Estado y Parámetros.',/)
- 267. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 233 40 FORMAT (' *** EL ESTIMADOR NO CONVERGE EN ', I4, ' ITERACIONES PARA LA ESTIMACION DE ESTADO Y PARAMETROS',/) PRINT * STOP '¡¡¡ PROGRAMA TERMINADO !!!' CASE DEFAULT WRITE(*,50) i 50 FORMAT (/,' ¡¡¡ TERMINE ITERACION NUMERO ', I4, ' !!!',2/) END SELECT !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux !ACTUALIZA LOS VECTORES ys, imps Y yd CON LOS VALORES DE PARAMETROS ESTIMADOS CALL ACTL_VECT !FORMA LA NUEVA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL (YBUS) CALL FORMA_YBUS END IF END DO !AQUI TERMINA EL BUCLE QUE CONTROLA LAS ITERACIONES DEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARAMETROS !REALIZA LO SIGUIENTE AL SALIR DEL BUCLE !IGUALA EL VECTOR DE ESTADO AUXILIAR CON EL VECTOR DE ESTADO CALL IG_VEyVEaux !ACTUALIZA LOS VECTORES ys, imps Y yd CON LOS VALORES DE PARAMETROS ESTIMADOS CALL ACTL_VECT !FORMA LA NUEVA MATRIZ DE ADMITANCIA NODAL (YBUS) CALL FORMA_YBUS !REALIZA EL ANALISIS DE ROBUSTEZ NUMERICA CALL ROBUSTEZ_NUMERICA !CALCULA LA FUNCION DE MEDICION CALL FORMA_hFM !CALCULA EL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZ !CALCULA LA TRANSPUESTA DEL VECTOR DE RESIDUOS CALL FORMA_deltaZt !CALCULA LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJac !CALCULA LA TRANSPUESTA DE LA MATRIZ JACOBIANA DE MEDICIONES CALL FORMA_HJact !CALCULA EL MIEMBRO DERECHO DEL CONJUNTO DE ECUACIONES NORMALES CALL FORMA_HJactWdeltaZ !CALCULA LA MATRIZ DE GANANCIA CALL FORMA_G !CALCULA LOS RESIDUALES NORMALIZADOS CALL CALC_ResNorm !CALCULA LOS FLUJOS DE POTENCIA CON LOS RESULTADOS DE LA ESTIMACION DE ESTADO CALL C_FLUJOS PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA Param_Estim !!!' END SUBROUTINE Param_Estim SUBROUTINE PRINT_RES_IT(i) !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,10) i 10 FORMAT (2/,5X,'Iteración Núm. ', I3) WRITE(3,20) 20 FORMAT(5X,'Variables de Estado',6X,'Estimación de Estado',9X,'Incrementos',/) !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LOS RESULTADOS EN CADA ITERACION DO j=1,2*n-1 IF (j .LE. n) THEN WRITE(3, 30) j, VE(j), deltaVE(j) ELSE WRITE(3, 40) j-n+1, VE(j), deltaVE(j) END IF END DO 30 FORMAT (11X, '|V(', I2, ')|', 14X, F10.6, ' pu',12X, F10.6, ' pu') 40 FORMAT (11X, 'Ang(', I2, ')', 14X, F10.6, ' rad',11X, F10.6, ' rad') WRITE(3,50) Jx 50 FORMAT (/, 5X, 'J(x)= ', F20.6) END SUBROUTINE PRINT_RES_IT SUBROUTINE PRINT_RES_IT2(i) !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA03 USE mDATA06 USE mDATA07 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, u, v REAL*8 :: PI, a !CALCULA EL NUMERO PI a=1.0 PI=2.0*DASIN(a) !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,10) i 10 FORMAT (2/,5X,'Iteracion Núm. ', I9) WRITE(3,20) 20 FORMAT(5X,'Variables de Estado',6X,'Estimación de Estado',9X,'Incrementos',/) !ESCRIBE LOS VALORES ESTIMADOS DE LOS ESTADOS EN EL ARCHIVO DE SALIDA DO j=1,2*n-1 IF (j .LE. n) THEN WRITE(3, 30) j, VE(j), deltaVEaum(j) ELSE WRITE(3, 40) j-n+1, VE(j), deltaVEaum(j) END IF END DO 30 FORMAT (11X, '|V(', I2, ')|', 14X, F10.6, ' pu',12X, F10.6, ' pu') 40 FORMAT (11X, 'Ang(', I2, ')', 14X, F10.6, ' rad',11X, F10.6, ' rad') !ESCRIBE LOS VALORES ESTIMADOS DE LOS PARAMETROS EN EL ARCHIVO DE SALIDA !LLEVA EL CONTEO DEL NUMERO DE LINEAS SOSPECHOSAS v=1 !CONTADOR DE LOS ELEMENTOS DE VEparam u=0 !LLEVA EL CONTEO DEL VECTOR DE INCREMENTOS DE LOS ESTADOS. DICE EN INCREMENTOS DE 3. DO j=(2*n), (2*n-1)+(3*NLE)-2, 3 WRITE(3, 50) p(VLE(v)), q(VLE(v)), VEparam(u+1), deltaVEaum(j)
- 268. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 234 50 FORMAT (11X, 'g(', I2, ',',I2, ')', 11X, F12.6, ' pu',12X, F10.6, ' pu') WRITE(3, 60) p(VLE(v)), q(VLE(v)), VEparam(u+2), deltaVEaum(j+1) 60 FORMAT (11X, 'b(', I2, ',',I2, ')', 11X, F12.6, ' pu',12X, F10.6, ' pu') WRITE(3, 70) p(VLE(v)), q(VLE(v)), VEparam(u+3), deltaVEaum(j+2) 70 FORMAT (11X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 9X, F12.6, ' pu',12X, F10.6, ' pu') v=v+1 u=u+3 END DO !ESCRIBE LA FUNCION OBJETIVO QUE SE BUSCA MINIMIZAR EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,80) Jx 80 FORMAT (/, 5X, 'J(x,p)= ', F14.6) END SUBROUTINE PRINT_RES_IT2 SUBROUTINE PRINT_RESULTADOS2 !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA08 USE mDATA12 USE mDATA13 USE mDATA15 USE mDATA16 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j, k, elem REAL*8 :: a, PI !CALCULA EL NUMERO PI a=1.0 PI=2.0*DASIN(a) !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA CALL UMACH(-2, 3)!PARA SELECCIONAR LA UNIDAD DE SALIDA CALL WROPT (-6, 4, 1)!PARA DEFINIR EL FORMATO DE LOS NUMEROS WRITE(3,10) 10 FORMAT (2/,5X,'<< Robustez Numérica de Haum >>') !IMPRIME EL RANGO DE Haum EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,20) IRANK 20 FORMAT (/, 5X, 'Rank(Haum)=', 1X, I3) !IMPRIME EL NUMERO DE CONDICION DE Haum EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,30) NC1 30 FORMAT (/, 5X, 'NC(Haum)=', 1X, F20.6) !IMPRIME LAS MATRICES DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE Haum EN EL ARCHIVO DE SALIDA !CALL DWRRRN ('U(Haum)', m,m, U, m, 0) CALL DWRRRN ('SIGMA', 1,(2*n-1)+(3*NLE), SIGMA, 1, 0) !CALL DWRRRN ('V(Haum)', (2*n-1)+(3*NLE), (2*n- 1)+(3*NLE), V, (2*n-1)+(3*NLE), 0) WRITE(3,40) 40 FORMAT (2/,5X,'<< Robustez Numérica de Gaum >>') !IMPRIME EL RANGO DE Gaum EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,50) IRANK2 50 FORMAT (/, 5X, 'Rank(Gaum)=', 1X, I3) !IMPRIME EL NUMERO DE CONDICION DE Gaum EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,60) NC2 60 FORMAT (/, 5X, 'NC(Gaum)=', 1X, F25.6) !IMPRIME LA DISTANCIA RELATIVA A LA SINGULARIDAD DE G EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,520) 1.0/NC2 520 FORMAT (/, 5X, 'DR(Gaum)=', 1X, F30.20) !IMPRIME LAS MATRICES DE LA DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR DE Gaum EN EL ARCHIVO DE SALIDA !CALL DWRRRN ('U(Gaum)', (2*n-1)+(3*NLE), (2*n- 1)+(3*NLE), U2, (2*n-1)+(3*NLE), 0) CALL DWRRRN ('SIGMA2', 1, (2*n-1)+(3*NLE), SIGMA2, 1, 0) !CALL DWRRRN ('V(Gaum)', (2*n-1)+(3*NLE), (2*n- 1)+(3*NLE), V2, (2*n-1)+(3*NLE), 0) !IMPRIME EL VECTOR DE ESTADO EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,70) 70 FORMAT (2/,5X,'<< Estimación de Estado >>',/) DO i=1,2*n IF (i .LE. n) THEN WRITE(3, 80) i, VEaux(i) ELSE WRITE(3, 90) i-n, VEaux(i)*180/PI END IF END DO 80 FORMAT (5X, '|V(', I2, ')|=', 1X, F10.6, ' pu') 90 FORMAT (5X, 'Ang(', I2, ')=', 1X, F10.6, ' °') !IMPRIME EL VECTOR DE PARAMETROS EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,100) 100 FORMAT (2/,5X,'<< Estimación de Parámetros >>',/) DO i=1, NLE WRITE(3, 110) p(VLE(i)), q(VLE(i)), DREAL(imps(VLE(i))) 110 FORMAT (5X, 'r(', I2, ',',I2, ')=', 3X, F10.6, ' pu') WRITE(3, 120) p(VLE(i)), q(VLE(i)), DIMAG(imps(VLE(i))) 120 FORMAT (5X, 'x(', I2, ',',I2, ')=', 3X, F10.6, ' pu') WRITE(3, 130) p(VLE(i)), q(VLE(i)), DIMAG(yd(VLE(i))) 130 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')=', 1X, F10.6, ' pu') END DO !IMPRIME LA FUNCION OBJETIVO EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,140) Jx 140 FORMAT (/, 5X, 'J(x,p)= ', F14.6) !IMPRIME LOS INTERVALOS DE CONFIANZA E INDICADORES DE PRECISION EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,150) 150 FORMAT (2/,5X,'<< Credibilidad de los Parámetros de Líneas >>',/) WRITE(3,160) 160 FORMAT(5X,'Parámetro',5X,'Valor Inicial (pu)',5X,'Valor Estimado (pu)',& 5X,'Intervalo de Confianza (pu)', 5X,'Indicador de Precisión'/) !LLEVA EL CONTEO DE EL NUMERO DE LINEAS SOSPECHOSAS k=1 !CONTADOR DE LOS ELEMENTOS DE LimInf Y LimSup j=0 !LLEVA EL CONTEO DEL VECTOR DE LIMITES INFERIOR Y SUPERIOR DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA DO i=(2*n), (2*n-1)+(3*NLE)-2, 3 WRITE(3, 170) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DREAL(ysaux(VLE(k))), DREAL(ys(VLE(k))), LimInf(j+1), LimSup(j+1), Ipr(j+1)
- 269. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 235 170 FORMAT (5X, 'g(', I2, ',',I2, ')', 8X, F12.6, 13X, F10.6, 7X, '(', F12.6, ', ', F12.6, ')', 11X, F10.6) WRITE(3, 180) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(ysaux(VLE(k))), DIMAG(ys(VLE(k))), LimInf(j+2), LimSup(j+2), Ipr(j+2) 180 FORMAT (5X, 'b(', I2, ',',I2, ')', 8X, F12.6, 11X, F12.6, 7X, '(', F12.6, ', ', F12.6, ')', 11X, F10.6) WRITE(3, 190) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))), LimInf(j+3), LimSup(j+3), Ipr(j+3) 190 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 6X, F12.6, 13X, F10.6, 7X, '(', F12.6, ', ', F12.6, ')', 11X, F10.6) k=k+1 j=j+3 END DO !IMPRIME LOS PORCENTAJES DE ERROR DE ESTIMACION DE PARAMETROS EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,1500) 1500 FORMAT (2/,5X,'<< Porcentaje de Error de los Parámetros de Líneas >>',/) WRITE(3,1600) 1600 FORMAT(5X,'Parámetro',5X,'Valor Inicial (pu)',5X,'Valor Estimado (pu)',& 5X,'Valor Correcto (pu)',5X,'% Error de Estimación',/) k=1!LLEVA EL CONTEO DE EL NUMERO DE LINEAS SOSPECHOSAS DO i=(2*n), (2*n-1)+(3*NLE)-2, 3 IF ( DREAL(impsorg(VLE(k))).LT.DREAL(imps(VLE(k))) ) THEN WRITE(3, 1700) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DREAL(impsaux(VLE(k))), DREAL(imps(VLE(k))), DREAL(impsorg(VLE(k))), DABS( DREAL(impsorg(VLE(k)))-DREAL(imps(VLE(k))) )*100.0/DREAL(impsorg(VLE(k))) 1700 FORMAT (5X, 'r(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 14X, F15.6) ELSE WRITE(3, 1701) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DREAL(impsaux(VLE(k))), DREAL(imps(VLE(k))), DREAL(impsorg(VLE(k))), -1.0*DABS( DREAL(impsorg(VLE(k)))-DREAL(imps(VLE(k))) )*100.0/DREAL(impsorg(VLE(k))) 1701 FORMAT (5X, 'r(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 14X, F15.6) END IF IF ( DIMAG(impsorg(VLE(k))).LT.DIMAG(imps(VLE(k))) ) THEN WRITE(3, 1800) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(impsaux(VLE(k))), DIMAG(imps(VLE(k))), DIMAG(impsorg(VLE(k))), DABS( DIMAG(impsorg(VLE(k)))-DIMAG(imps(VLE(k))) )*100.0/DIMAG(impsorg(VLE(k))) 1800 FORMAT (5X, 'x(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 14X, F15.6) ELSE WRITE(3, 1801) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(impsaux(VLE(k))), DIMAG(imps(VLE(k))), DIMAG(impsorg(VLE(k))), -1.0*DABS( DIMAG(impsorg(VLE(k)))-DIMAG(imps(VLE(k))) )*100.0/DIMAG(impsorg(VLE(k))) 1801 FORMAT (5X, 'x(', I2, ',',I2, ')', 10X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 14X, F15.6) END IF IF ( DIMAG(ydorg(VLE(k))).NE. 0.0 ) THEN IF ( DIMAG(ydorg(VLE(k))).LT.DIMAG(yd(VLE(k))) ) THEN WRITE(3, 1900) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))), DIMAG(ydorg(VLE(k))), DABS( DIMAG(ydorg(VLE(k)))- DIMAG(yd(VLE(k))) )*100.0/DIMAG(ydorg(VLE(k))) 1900 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 8X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 14X, F15.6) ELSE WRITE(3, 1901) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))), DIMAG(ydorg(VLE(k))), -1.0*DABS( DIMAG(ydorg(VLE(k)))-DIMAG(yd(VLE(k))) )*100.0/DIMAG(ydorg(VLE(k))) 1901 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 8X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 14X, F15.6) END IF ELSE WRITE(3, 1902) p(VLE(k)), q(VLE(k)), DIMAG(ydaux(VLE(k))), DIMAG(yd(VLE(k))), DIMAG(ydorg(VLE(k))) 1902 FORMAT (5X, 'bsh(', I2, ',',I2, ')', 8X, F10.6, 13X, F10.6, 14X, F10.6, 16X, '--------') END IF k=k+1 END DO !IMPRIME EL VECTOR hFM(MEDICIONES ESTIMADAS) EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,250) 'Z estimado' 250 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/) j=0 DO i=1,mV WRITE(3, 260) '|V', mP(i), hFM(i) j=j+1 END DO 260 FORMAT (6X, A2,'(', I2, ')| = ', F11.6) j=j+1 DO i=mV+1,mV+mFPA WRITE(3, 270) 'P', mP(j),mQ(j), hFM(i) j=j+1 END DO 270 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR WRITE(3, 280) 'Q', mP(j),mQ(j), hFM(i) j=j+1 END DO 280 FORMAT (5X, A1,'(', I2, ',', I2, ') = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA WRITE(3, 290) 'P', mP(j), hFM(i) j=j+1 END DO 290 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR WRITE(3, 300) 'Q', mP(j), hFM(i) j=j+1 END DO 300 FORMAT (8X, A1,'(', I2, ') = ', F11.6) !IMPRIME EL VECTOR deltaZ(RESIDUALES) EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,310) 'Residuales' 310 FORMAT (2/,5X,'<< ', A10, ' >>',/) j=0 DO i=1,mV WRITE(3, 320) 'Res[|V', mp(i), deltaZ(i) j=j+1 END DO 320 FORMAT (6X, A6,'(', I2, ')|] = ', F11.6) j=j+1 DO i=mV+1,mV+mFPA WRITE(3, 330) 'Res[P', mP(j), mQ(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO
- 270. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 236 330 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR WRITE(3, 340) 'Res[Q', mP(j),mQ(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 340 FORMAT (5X, A5,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA WRITE(3, 350) 'Res[P', mP(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 350 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR WRITE(3, 360) 'Res[Q', mP(j), deltaZ(i) j=j+1 END DO 360 FORMAT (8X, A5,'(', I2, ')] = ', F11.6) !IMPRIME EL VECTOR ResNorm(RESIDUALES NORMALIZADOS) EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,370) 'Residuales Normalizados' 370 FORMAT (2/,5X,'<< ', A23, ' >>',/) j=0 DO i=1,mV WRITE(3, 380) 'ResN[|V', mp(i), ResNorm(i) j=j+1 END DO 380 FORMAT (6X, A7,'(', I2, ')|] = ', F11.6) j=j+1 DO i=mV+1,mV+mFPA WRITE(3, 390) 'ResN[P', mP(j), mQ(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 390 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+1,mV+mFPA+mFPR WRITE(3, 400) 'ResN[Q', mP(j),mQ(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 400 FORMAT (5X, A6,'(', I2, ',', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA WRITE(3, 410) 'ResN[P', mP(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 410 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6) DO i=mV+mFPA+mFPR+mIPA+1,mV+mFPA+mFPR+mIPA+mI PR WRITE(3, 420) 'ResN[Q', mP(j), ResNorm(i) j=j+1 END DO 420 FORMAT (8X, A6,'(', I2, ')] = ', F11.6) !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,430) 430 FORMAT(/,17X,'<< Flujos de Potencia, Pérdidas y Balance Reactivo de Elementos >>'& ,/,98X,'Balance',/,,30X,'Flujo de p a q',13X,'Flujo de q a p',11X,'Pérdidas',8X,'Reactivo',/,) WRITE(3,440) 440 FORMAT(3X,'Elemento',3X,'p',5X,'q',6X,'P(MW)',9X,'Q(MV AR)',6X,'P(MW)',9X,'Q(MVAR)',9X,'(MW)',10X,'(MVAR)',/) !IMPRIME LOS FLUJOS DE POTENCIA DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) EN EL ARCHIVO DE SALIDA DO elem=1, b !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE (3,450) elem, p(elem), q(elem), Ppq(elem)*Sbase, Qpq(elem)*Sbase, Pqp(elem)*Sbase, Qqp(elem)*Sbase, (Ppq(elem) + Pqp(elem))*Sbase, (Qpq(elem) + Qqp(elem))*Sbase 450 FORMAT (6X, I3, 3X, I3, 3X, I3, 4X, F10.5, 4X, F10.5, 3X, F10.5, 4X, F10.5, 4X, F10.5, 5X, F10.5) END DO !IMPRIME LOS FLUJOS DE POTENCIA DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION EN EL ARCHIVO DE SALIDA IF ( nED .NE. 0 ) THEN !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,460) 460 FORMAT(/,5X,'<< Flujos de Potencia de Elementos en Derivación >>'& ,/,,34X,'Flujo de p',/,) WRITE(3,470) 470 FORMAT(12X,'Elemento',3X,'p',6X,'P(MW)',8X,'Q(MVAR)',/ ) DO elem=1, nED !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE (3,480) elem, pED(elem), PpED(elem)*Sbase, QpED(elem)*Sbase 480 FORMAT (15X, I3, 3X, I3, 1X, F10.5, 6X, F10.5) END DO END IF !IMPRIME EL BALANCE DE POTENCIA DEL SISTEMA (PERDIDAS Y BALANCE REACTIVO TOTAL) WRITE(3,490) 490 FORMAT(/,5X,'<< Balance de Potencia del Sistema >>',/) WRITE(3,500) Ptotal 500 FORMAT(5X, 'Pérdidas Totales = ', F10.5, ' (MW)') WRITE(3,510) Qtotal 510 FORMAT(5X, 'Balance Reactivo Total = ', F10.5, ' (MVAR)') PRINT * !DEJA UN ESPACIO EN PANTALLA PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA PRINT_RESULTADOS2 !!!' END SUBROUTINE PRINT_RESULTADOS2 SUBROUTINE PRINTDATOS !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA03 USE mDATA04 USE mDATA05 USE mDATA06 USE mDATA07 USE mDATA08 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i CHARACTER(9) TODAY CHARACTER(8) CHAR_TIME !DEFINE EL DIA EN QUE SE CORRE EL PROGRAMA CALL DATE (TODAY) !DEFINE LA HORA EN QUE SE CORRE EL PROGRAMA CALL TIME (CHAR_TIME) !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,10) 10 FORMAT (5X,'INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL',/,5X,& 'ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA',/,5X,& 'SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN') WRITE(3,20) 20 FORMAT(/,5X,'Programa Principal:',/,5X,& '*** PARAMETER_ESTIMATOR.f90 - Estimación de Parámetros de Líneas de Transmisión', /,& 9X, 'Por el Aumento del Vector de Estado Usando Ecuaciones Normales ***')
- 271. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 237 WRITE(3,30) 30 FORMAT(/,5X,'Elaboró:',/,5X,'Ing. Omar Yamil Vidal León Romay') WRITE(3,40) TODAY, CHAR_TIME 40 FORMAT(/,5X,'Fecha: ', A9,/,5X,'Hora: ', A8) WRITE(3,50) NOMBREDAT, NOMBRERES 50 FORMAT(/,5X,'Archivo de Datos: ', A25,/,5X,'Archivo de Resultados: '& , A25) WRITE(3,60) 60 FORMAT(2/,& '************************************************** ************************************************** *********',& /,'*',40X,'VALORES ENTRADOS COMO DATOS',40X,'*',/,& '************************************************** ************************************************** *********') WRITE(3,70) n, b, nTR, nED 70 FORMAT(/,5X,'Número de nodos = ',I4,/,5X,& 'Número de elementos = ',I4,& /,5X,'Número de transformadores = ',I4,& /,5X,'Número de elementos en derivación = ',I4) WRITE(3,80) m, mV, mFPA, mFPR 80 FORMAT(/,5X,'Número total de mediciones = ',I4,& /,5X,'Mediciones de magnitud de voltaje = ',I4,& /,5X,'Mediciones de flujos de potencia activa = ',I4,/,& 5X,'Mediciones de flujos de potencia reactiva = ',I4) WRITE(3,90) mIPA, mIPR 90 FORMAT(5X,'Mediciones de inyecciones de potencia activa = ',I4,/,& 5X,'Mediciones de inyecciones de potencia reactiva = ',I4) WRITE(3,100) CRed, ERRORMV, ERRORMP 100 FORMAT(5X,'Coeficiente de redundancia = ',F9.6,/,& 5X,'% Error en mediciones de voltaje = ',F5.2,/,& 5X,'% Error en mediciones de potencia = ',F5.2) WRITE(3,110) Sbase, it, tol 110 FORMAT(/,5X,'Potencia base = ',F6.2, ' (MVA)',& /,5X,'N° máximo de iteraciones = ',I5,& /,5X,'Tolerancia = ',F10.9) WRITE(3,120) 120 FORMAT(/,29X,'Impedancias y Admitancias Primitivas de Cada Elemento',/,& 46X,'"Valores en PU"',/,14X,'Nodo',/,) WRITE(3,130) 130 FORMAT(1X,'Elemento',4X,'P',4X,'Q',& 9X,'Impedancia Serie',14X,'Admitancia Serie',18X,'Ypq/2',/) !IMPRIME LOS DATOS ORIGINALES DE LOS ELEMENTOS (LINEAS Y TRANSFORMADORES) DO i=1, b !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,140) i, p(i), q(i) 140 FORMAT(3X,I4,5X,I2,3X,I2,) WRITE(3,150) impsorg(i), ysorg(i), ydorg(i) 150 FORMAT (4X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')',3X,'(',F10.6,') + j (',& F13.6,')',3X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')') END DO !IMPRIME EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,1200) ERRORLE 1200 FORMAT(/,17X,'Impedancias y Admitancias Primitivas con Errores de ', F5.2,' % de Cada Elemento',/,& 46X,'"Valores en PU"',/,14X,'Nodo',/,) WRITE(3,1300) 1300 FORMAT(1X,'Elemento',4X,'P',4X,'Q',& 9X,'Impedancia Serie',14X,'Admitancia Serie',18X,'Ypq/2',/) !IMPRIME LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS CON ERRORES (LINEAS) DO i=1, NLE !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,1400) VLE(i), p(VLE(i)), q(VLE(i)) 1400 FORMAT(3X,I4,5X,I2,3X,I2,) WRITE(3,1500) imps(VLE(i)), ys(VLE(i)), yd(VLE(i)) 1500 FORMAT (4X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')',3X,'(',F10.6,') + j (',& F11.6,')',3X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')') END DO !IMPRIME LOS TAPS DE LOS TRANSFORMADORES (SI ES QUE HAY) IF ( nTR .NE. 0 ) THEN WRITE(3,160) 160 FORMAT(/,12X,'Taps de Transformadores',/,& 14X,'Nodo',/,) WRITE(3,170) 170 FORMAT(1X,'Elemento',4X,'P',4X,'Q',& 8X,'apq',11X,'aqp',/) DO i=1, nTR !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,180) vTR(i), p(vTR(i)), q(vTR(i)), 1.0/apq(vTR(i)), 1.0/aqp(vTR(i)) 180 FORMAT(5X,I2,5X,I2,3X,I2,4X,F10.6,4X,F10.6) END DO END IF !IMPRIME LOS DATOS DE LOS ELEMENTOS EN DERIVACION (SI ES QUE HAY) IF ( nED .NE. 0 ) THEN WRITE(3,190) 190 FORMAT(/,12X,'Elementos en',/,,13X,'Derivación',/,) WRITE(3,200) 200 FORMAT(6X,'P', 13X,'Ysh',/) DO i=1, nED !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,210) pED(i), bED(i) 210 FORMAT(5X,I2,3X,'(',F8.6,') + j (',F8.6,')') END DO END IF !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,220) 220 FORMAT(/,41X,'Datos de las Mediciones',/,22X,'Nodo',/,) WRITE(3,230) 230 FORMAT(1X,'N° de Medición',4X,'mP',& 6X,'mQ',4X,'Resultado de Flujos',3X,'Medición con Error',& 3X,'Desviación Estándar',4X,'Varianza',/) !IMPRIME LOS DATOS DE LAS MEDICIONES DO i=1, m !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE EN CADA ITERACION WRITE(3,240) i, mp(i), mq(i) 240 FORMAT(4X,I4,11X,I2,6X,I2,) WRITE(3,250) Zlf(i), Z(i), DSQRT(mVAR(i)), mVAR(i) 250 FORMAT (7X,F10.6,12X,F10.6,9X,F14.10,3X,F14.10) END DO !IMPRIME EL VECTOR DE ESTADO INICIAL WRITE(3,260) 260 FORMAT (/,5X,'Valores Iniciales del Vector de Estado',/) DO i=1,2*n-1 IF (i .LE. n) THEN WRITE(3, 270) i, VE(i) ELSE WRITE(3, 280) i-n+1, VE(i) END IF END DO 270 FORMAT (5X, '|V(', I2, ')| = ', F9.6) 280 FORMAT (5X, 'Ang(', I2, ') = ', F9.6)
- 272. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 238 WRITE(3,290) 290 FORMAT(2/,& '************************************************** ************************************************** *********',& /,'*',48X,' RESULTADOS',48X,'*',/,& '************************************************** ************************************************** *********') PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA PRINTDATOS !!!' END SUBROUTINE PRINTDATOS SUBROUTINE RES_NORM !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA02 USE mDATA12 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i !IGUALA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO MaxResNorm=0.0 !IDENTIFICA EL MAXIMO RESIDUAL NORMALIZADO DO i=1, m IF ( ResNorm(i) .GT. MaxResNorm ) THEN MaxResNorm=ResNorm(i) END IF END DO !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,10) 10 FORMAT (2/,5X,'<< Prueba Residual Normalizado >>',/) WRITE(3,20) MaxResNorm 20 FORMAT(5X,'MaxResNorm',11X,'Límite',2/,3X, F10.6, 12X, '3.000000') !REALIZA LA PRUEBA DEL RESIDUAL NORMALIZADO IF ( MaxResNorm .GE. 3.0 ) THEN !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,30) 30 FORMAT(/,5X,'*** Se Detectaron Datos Erróneos.') ELSE !IMPRIME LO SIGUIENTE EN EL ARCHIVO DE SALIDA WRITE(3,40) 40 FORMAT(/,5X,'*** No Se Detectaron Datos Erróneos.') END IF PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA RES_NORM !!!' END SUBROUTINE RES_NORM SUBROUTINE ROBUSTEZ_NUMERICA !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA14 USE mDATA16 IMPLICIT NONE !DEFINE LA TOLERANCIA USADA PARA LA SUBRUTINA DE DESCOMPOSICION DE VALOR SINGULAR tolSVD=10.0*DMACH(4) !REALIZA LA DESCOMPOSICION DE VALORES SINGULARES PARA LA MATRIZ Haum CALL DLSVRR(m, (2*n-1)+(3*NLE), Haum, m, 11, tolSVD, IRANK, SIGMA, U, m, V, (2*n-1)+(3*NLE)) !CALCULA EL NUMERO DE CONDICION PARA Haum NC1=SIGMA(1)/SIGMA((2*n-1)+(3*NLE)) !REALIZA LA DESCOMPOSICION DE VALORES SINGULARES PARA LA MATRIZ Gaum CALL DLSVRR((2*n-1)+(3*NLE), (2*n-1)+(3*NLE), Gaum, (2*n-1)+(3*NLE), 11, tolSVD, IRANK2, SIGMA2, U2, (2*n- 1)+(3*NLE), V2, (2*n-1)+(3*NLE)) !CALCULA EL NUMERO DE CONDICION PARA Gaum NC2=SIGMA2(1)/SIGMA2((2*n-1)+(3*NLE)) PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA ROBUSTEZ_NUMERICA !!!' END SUBROUTINE ROBUSTEZ_NUMERICA SUBROUTINE TEST_CONV2(i, j) !USA LAS RUTINAS DE LA BIBLIOTECA IMSL USE MSIMSL !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA06 USE mDATA08 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES !i ES EL NUMERO DE ITERACIONES. j=1 SE LOGRA EL CRITERIO DE CONVERGENCIA. !j=2 NO SE LOGRA EL CRITERIO DE CONVERGENCIA. j=0 PARA EL CASO DEFAULT. INTEGER :: i, j, u REAL*8 :: Er !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO j=0 Er=0.0 !CALCULA EL MAXIMO ERROR Y GUARDALO EN Er DO u=1,(2*n-1)+(3*NLE) IF ( DABS (deltaVEaum(u)) .GT. Er ) THEN Er=DABS (deltaVEaum(u)) END IF END DO !ESCRIBE EN EL ARCHIVO DE SALIDA LO SIGUIENTE WRITE(3,110) Er 110 FORMAT (5X, 'Máximo Incremento=', 4X, F10.6) !REALIZA LA PRUEBA DE CONVERGENCIA IF ( Er .LE. tol ) THEN !SE LOGRA EL CRITERIO DE CONVERGENCIA j=1 ELSE !SI SE LLEGA AL NUMERO DE ITERACIONES PROPUESTO ENTONCES TERMINA EL PROGRAMA IF (i .EQ. it) THEN !NO SE LOGRA EL CRITERIO DE CONVERGENCIA Y SE LLEGA !AL NUMERO DE ITERACIONES ESTABLECIDO POR EL USUARIO j=2 END IF END IF END SUBROUTINE TEST_CONV2 SUBROUTINE UNIDADES !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 IMPLICIT NONE !ACTIVA UNIDADES DE ENTRADA Y SALIDA PARA EL PROGRAMA !ACTIVA EL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS PRINT *, 'DAME EL NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS: ' READ(*,*) NOMBREDAT OPEN(UNIT=2, FILE=NOMBREDAT) PRINT* !CREA EL ARCHIVO DE SALIDA
- 273. APÉNDICE E CÓDIGODEL ESTIMADOR DE ESTADO Y PARÁMETROS 239 PRINT *, 'DAME EL NOMBRE DEL ARCHIVO DE RESULTADOS: ' READ(*,*) NOMBRERES OPEN(UNIT=3, FILE=NOMBRERES) PRINT* !EL ARCHIVO DE ENTRADA ES EL 2 (EN ESTE SE LEEN LOS DATOS REQUERIDOS PARA EJECUTAR EL PROGRAMA) !EL ARCHIVO DE SALIDA ES EL 3 (EN ESTE SE GUARDAN LOS RESULTADOS DEL PROGRAMA) END SUBROUTINE UNIDADES SUBROUTINE VARIANZA2 !USA LOS SIGUIENTES MODULOS USE mDATA01 USE mDATA02 USE mDATA05 IMPLICIT NONE !DECLARACION DE VARIABLES INTEGER :: i, j !INICIALIZA LAS SIGUIENTES VARIABLES EN CERO mVAR=0.0 !DEFINE LAS VARIANZAS DE LAS MEDICIONES DO i=1, m !PARA LAS MEDICIONES DE MAGNITUD DE VOLTAJE IF (i .LE. mV) THEN mVAR(i)=0.008**2!PROPUESTO SISTEMA IEEE14 !mVAR(i)=0.014**2!PROPUESTO SISTEMA NEW ENGLAND END IF !PARA LAS MEDICIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR)) THEN mVAR(i)=0.01**2!PROPUESTO SISTEMA IEEE14 !mVAR(i)=0.028**2!PROPUESTO SISTEMA NEW ENGLAND END IF !PARA LAS MEDICIONES DE INYECCIONES DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA IF ((i .GT. mV+mFPA+mFPR) .AND. (i .LE. mV+mFPA+mFPR+mIPA+mIPR)) THEN mVAR(i)=0.012**2!PROPUESTO SISTEMA IEEE14 !mVAR(i)=0.030**2!PROPUESTO SISTEMA NEW ENGLAND END IF !PARA LAS MEDIDAS DE INYECCION CERO IF ( i .EQ. m ) THEN DO j=mV+mFPA+mFPR+1 ,m IF ( Zlf(j) .EQ. 0.0 ) THEN mVAR(j)=0.001**2!PROPUESTO SISTEMA IEEE14 !mVAR(i)=0.012**2!PROPUESTO SISTEMA NEW ENGLAND END IF END DO END IF END DO PRINT * PAUSE '¡¡¡ TERMINE SUBRUTINA VARIANZA2 !!!' END SUBROUTINE VARIANZA2