El documento aborda conceptos fundamentales de matemáticas, centrados en conjuntos y números reales. Se presentan definiciones, tipos de operaciones sobre conjuntos, así como las propiedades y características de los números reales. También se discuten desigualdades matemáticas y el valor absoluto, explicando su relevancia en operaciones y cálculos cotidianos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Barquisimeto- Estado Lara
Conjunto, Números
Reales, Valor
Integrante: Yuveli Atacho
C.I: 13.65.1.347
PNF: Ciencia de la Información
Curso: Matemática

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTO
En matemáticas, los conjuntos son una colección organizada de objetos llamados elementos
que están agrupados, estos comparten entre sí características o propiedades semejantes. Se
señalan, matemáticamente, con corchetes { }.
Los elementos de los conjuntos pueden representarse mediante varias notaciones, lista o el
constructor de conjuntos.
Ejemplo:
El conjunto F: (figuras geométricas) F
La circunferencia es el conjunto y las figuras dentro son los elementos.
Símbolos utilizados en los conjuntos
Se utilizan símbolos específicos para describir determinados conjuntos numéricos. A
continuación se muestran los más comunes y su significado.
Elementos de un conjunto
Símbol
o
Significado
U Conjunto universal.
n(s) Número cardinal del conjunto X.
{} Denota un conjunto.
∈ Es un elemento de. (Pertenece)
∉ No es un elemento de. (No
pertenece)
∅ Conjunto vacío o nulo.
∪ Unión.
∩ Intersección.
⊆ Subconjunto de.
⊇ Superconjunto
: ǀ Tales que, para los cuales.
< Menor que
> Mayor que
˄ Y
˅ O

3. Los elementos contenidos en un conjunto numérico se denominan elementos del conjunto.
Se denotan mediante llaves con comas que separan cada elemento.
Podemos utilizar una notación específica para indicar que algo es un elemento de un
conjunto determinado.
Por ejemplo, si tuviéramos A= {1,2,3,4}, podríamos escribir que 3 ∈ A, lo que significa
que 3 es un elemento de A. Sin embargo, como es evidente que 5 no es un elemento de A,
se puede denotar como 5 ∉ A.
Operaciones usando conjuntos
Bajo ciertas condiciones, se pueden realizar operaciones de conjuntos en la teoría de
conjuntos. Algunas operaciones básicas son:
 Unión de conjuntos
 Intersección de conjuntos
 Complemento de un conjunto
 Producto cartesiano de conjuntos
 Diferencia de conjuntos.
Unión de conjuntos
Una unión de conjuntos se denota con el símbolo ∪ y contiene todos los elementos de los
conjuntos relacionados. Así, si tenemos los conjuntos A y B, la unión serán todos los
elementos de A y B. Matemáticamente, la unión de A y B se verá como A ∪ B.
Si A={1,2,3,4} y B={3,4,5,6,7}, A ∪ B={1,2,3,4,5,6,7}. Esto se puede representar en un
diagrama de Venn como el siguiente:
Intersección de conjuntos

4. Un conjunto de intersección se denota con el símbolo ∩, y es aquel que contiene elementos
comunes de conjuntos relacionados. Una intersección de conjuntos A y B serán elementos que
aparecen tanto en A como en B. Esto significa que una intersección de conjuntos A y B se
escribirá, matemáticamente, como A∩B.
Si A={1,2,3,4} y B={3,4,5,6,7},A ∩ B={3,4}. Esto también puede representarse en un
diagrama de Venn:
Complementos de un conjunto
Los conjuntos complementarios contienen todos los elementos del conjunto universal que no
están en el conjunto dado. Suponiendo que A es un subconjunto de un conjunto mucho mayor,
llamado conjunto universal, el complemento de A son todos los elementos presentes en el
conjunto universal que no están presentes en A. El complemento se denotará por A′.
Si tenemos U={1,2,3,4,5,6,7} y A, el subconjunto A es A={1,4,6}, el
subconjunto B es B={5,7} . Entonces A′={2,3,5,7}.

5. Producto cartesiano de conjuntos
El producto cartesiano de conjuntos se define como el conjunto de todos los pares
ordenados (x,y) de dos conjuntos, A y B, tales que x pertenece a A e y pertenece a B.
Si A={1,2} y B ={3,4,5}, entonces el Producto Cartesiano de A y B es {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),
(2,4),(2,5)}, y se denota por A×B.
Diferencia de conjuntos
La diferencia de conjuntos se denota por A − B y enumera los elementos del conjunto A que
no están presentes en el conjunto B.
Por ejemplo, si A={1,2,3,4} y B={1,3,5,7}, entonces A−B={2,4}.
NÚMEROS REALES
Los números reales no son nuevos en la historia pues ya los egipcios utilizaban fracciones
dando pie al concepto de números reales. El conjunto de los números reales abarca a los
números racionales y a los números irracionales, pudiendo ser expresados por un número
entero o un número decimal. El descubrimiento de estos números se atribuye a Pitágoras,
famoso matemático griego.
Los números reales son parte de nuestro día a día y los usamos para realizar todo tipo de
cálculos cotidianos de manera inconsciente. Cuando se consulta la hora, se hace un
presupuesto, se realiza una compra o se mira un extracto bancario, se están utilizando números
reales.
Qué son los números reales
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por
lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Una vez revisados los anteriores conjuntos de números existentes, podemos decir que el
conjunto de los números reales (R) está integrado por:
 El conjunto de los números racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los
números cuya expresión decimal es finita o infinita periódica.
 El conjunto de los números irracionales (I) que está formado por la unión de todos los
números que admiten una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman números reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal
finita o infinita; es decir, el conjunto de los números reales (R) está formado por los elementos
del conjunto Q unido con I.

6. Las principales características de los números reales son:
 Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
 Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es
decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
 Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado
negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
 Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal
infinita.
Operaciones de los números reales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:
1) Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real.
Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como
resultado otro número real.
2) Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una
suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el
resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
3) Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad
conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
4) Elemento neutro y elemento opuesto
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se
sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número.
a + 0 = a

7. Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números
son opuestos (e - e = 0).
En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que
cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como
resultado la unidad:
a x 1/a = 1
3.4 x 1/3.4 = 1
5) Propiedad Distributiva
El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de
los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor
común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números
reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está
formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los
números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.
Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho
más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad
para organizar, contar y realizar cálculos.
DESIGUALDAD MATEMÁTICA
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o
igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su
naturaleza.

8. Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número
de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que
dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en
los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a
es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos
la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es
mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es
excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden
ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones
“a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros
o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple
si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de aceptación. Ninguna
de ellas no incluye la desigualdad general (≠). Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre elementos. De
este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor que” (>) o
“menor que” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se especifica si
uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de
“menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).

9. Propiedades
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo
de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 >
9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de
sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia
de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
VALOR
En matemáticas, el término valor puede referirse a varias nociones fuertemente
relacionadas entre sí.
En general, un valor matemático puede ser cualquier objeto matemático definido.
En matemática elemental, suele ser un número; por ejemplo, un número real como Π o
un número entero como 42.
 El valor de una variable o de una constante es cualquier número u otro objeto
matemático que se le asigne.
 El valor de una expresión matemática es el objeto asignado a esta expresión cuando a
las variables y constantes que contiene se les asignan valores.
 El valor de una función, dados los valores asignados a sus argumentos, es la cantidad
asumida por la función para estos valores de sus argumentos.12
Por ejemplo, si la función f está definida por f(x)= 2x2
– 3x + 1, asignar el valor 3 a su
argumento x produce el valor de la función 10, ya que f(3)= 2·32
– 3·3 + 1= 10.
Si la variable, expresión o función solo asume valores reales, se denomina de valor real.
Del mismo modo, una variable, expresión o función de valor complejo solo
asume números complejos.

10. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número es su magnitud más allá del signo.
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto,
que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si
su signo es positivo o negativo.
Características del Valor Absoluto
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que
0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto
de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el número
y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia
del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su
diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor
absoluto de |3|.