Este documento presenta información sobre conjuntos y operaciones con conjuntos. Define conceptos como unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También explica propiedades de los números reales como su representación geométrica en una recta numérica y operaciones básicas como la suma y multiplicación.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA
LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA EXPERIMENTAL
“ANDRES ELOY BLANCO” UPTAEB
PARTICIPANTE:
Galofre S., Yaneth C.
CI: 13.265.614
SECCIÓN: 0401
PNF Contaduría
Prof: Carlos A., Lucena
BARQUISIMETO, MARZO 2021

2. Se denotan por letras
mayúsculas: A, B, X, Y.
Ejemplo: A = { a,b,c,d,e}
Pueden ser infinitos por ejemplo
el conjunto de números
naturales
N = {1,2,3,4,5…..} o finitos
ejemplo el conjunto de los
colores primarios C = {Amarillo,
azul y rojo}
Los objetos que lo conforman se
conocen como ELEMENTOS.
Regularmente se usas llaves { } para
escribir estos elementos separados por
comas.
Se dice que «pertenecen» al conjunto,
se denota con el símbolo ∈, a ∈ A
y se lee « a pertenece a A » , « A
contiene a a ». Para la negación se
usa ∉ queriendo decir “no pertenece”
Se le conoce como una colección de
objetos cualesquiera, que comparten las
mismas características por ejemplo: los
números 1,2,3,4 forman un conjunto, un
grupo de personas sería otro conjunto.

3. Gráficamente un conjunto se visualiza como un área
cerrada, a través de un Diagrama de Venn.
Si definimos un conjunto por extensión, debemos
enumerar cada uno de sus elementos. En el caso de las
vocales, se deben nombrar todas ellas: a, e, i, o, u, como
lo hemos hecho anteriormente.
Si lo definimos por comprensión nombramos solamente
la propiedad o característica que los agrupa. En el
mismo caso diríamos A= {las vocales} o A= {X/X es una
vocal} que corresponde leer: A es el conjunto de X, tales
que X es una vocal
a, b, c, d, e
A = {a, b, c, d, e}

4. UNIÓN
Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al
menos a uno de los conjuntos A y B. Es la suma de los
elementos de dos conjuntos pero que dichos elementos no se
repitan.
Se denota por el símbolo U y se representa como A U B
Sean A y B dos conjuntos entonces:
A U B = {x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}
Ejemplo: Si A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e} entonces
A U B = {a, b, c, d, e, }

5. INTERSECCIÓN
Esta operación permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes. Es decir dados dos conjuntos A y B, la intersección de
estos conjuntos estará formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y
B, será excluidos. Se denota por el símbolo ∩ y se representa como
A ∩ B
Sean A y B dos conjuntos entonces:
A ∩ B = {x ∈ U / x ∈ A ^ x ∈ B}
Ejemplo: Si A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e} entonces
A ∩ B = { b, c }

6. DIFERENCI
A
Aquí se forma un conjunto resultante, de dos conjuntos que tendrá
todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A
y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan
a B. Se denota por el símbolo “-” y se representa como A – B
Sean A y B dos conjuntos entonces: A – B = {x ∈ A / x ∉ B}
Ejemplo: 1: Si A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e} entonces A – B = { a }
Ejemplo 2: Sea A= {1,3,5,7,9,11} y B = {5, 9, 11} entonces A – B = { 1,
3, 7}

7. DIFERENCIA SIMÉTRICA
Aquí se forma un conjunto resultante, de dos conjuntos que tendrá
todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formada
por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo
que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es : △
Sean A y B dos conjuntos entonces: A △ B = (A – B ) U (B – A )
Ejemplo: 1: Si A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e} entonces A △ B = { a ,
d, e }
Ejemplo 2: Sea A= {1,3,5,7,9,11} y B = {5, 9, 11, 13} entonces
A △ B = { 1, 3, 7, 13}

8. COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U
(conjunto universal) que lo contiene. En esta operación el
complemento de un conjunto también se denota con un apostrofe
sobre el conjunto que se opera, se dice A' en donde el conjunto A es el
conjunto del cual se hace la operación de complemento
Ejemplo: 1: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}.

9. COMPLEMENTO
También se cumple que Si B ∁ A, el complemento de B con respecto
a A es el conjunto ∁ AB = A – B
El complemento de B, ∁B es el complemento de B respecto a U, esto
es:
∁B = ∁UB
Ejemplo: Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio}
y el conjunto V={x/x estudiantes que juegan voley}, el conjunto V'
estará formado por los siguientes elementos V'={x/x estudiantes que
no juegan voley}.

10. Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en
la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Cualquier número real está comprendido entre
menos infinito (-∞) y más infinito (+∞) y se puede representar en la
recta real. Se denota con el símbolo R y están compuestos por:
 Números Naturales: Son los números que usamos desde pequeños
para contar sin incluir el cero. 1,2,3,4,5 ….. Se denotan con el símbolo N.
Números Enteros: son todos los números incluyendo el cero y los
negativos, sin incluir decimales, se denotan con el símbolo Z.
Números Racionales: Son las fracciones, cocientes de números enteros
y que pueden dar como resultado un decimal finito. Se denotan con Q .
Números Irracionales: Son números decimales que no se pueden
expresar de forma exacta . Se denotan con el símbolo I

11. Una representación geométrica de los números reales , es a través
de una recta fija donde se ubican el(los) punto(s) que conforman este
conjunto.
Los positivos se ubican hacia la derecha, los negativos a la izquierda,
ambos sentidos representados por una flecha, donde se debe fijar un
punto de origen al cual se le asigna el valor de cero (0). Aquí se debe
escoger la unidad de longitud que va a representar cada número real
y que debe tener la misma longitud entre todos los elementos.
Las operaciones básicas de los números reales son Adición y
Multiplicación, las otras operaciones Sustracción y División se definen
a partir de las 2 primeras.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5

12. 1. ORDEN: Todos los números reales tienen un orden:
1>2>3>4>5>6….. En el caso de las fracciones sería por ejemplo :
3 , 4, 5 , ……
15 17 18
2. INTEGRAL: esto quiere decir que no hay espacios vacíos en este
conjunto, tienen un limite superior y un limite mas pequeño.
3. INFINITUD: en el caso de los racionales e irracionales son
infinitamente numerosos, es decir no tienen final tanto el lado
positivo como el negativo.
4. EXPANSIÓN DECIMAL: estos números se pueden representar en
forma decimal finita o infinita, por ejemplo el número π =
3,141592265358…..

13. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
Leyes Conmutativas: a+b = b+a y ab = ba, v a,b ∈ R
Leyes Asociativas: a + (b+c) = (a+b) + c, y a(bc) = (ab)c v a,b,c ∈
R
Ley Distributiva: a (b+c) = (ab) + (ac) v a,b,c ∈ R
Elementos Neutros:
∃ 0 ∈ R y ∃ 1 ∈ R, siendo 0 ≠ 1 y son tales que:
a + 0 = a y 1.a= a, ) v a ∈ R
Inverso Aditivo: v a ∈ R ∃ –a ∈ R tal que a+(-a) = 0
Inverso Multiplicativo: v a ∈ R tal que a ≠ 0, ∃ a-1 ∈ R tal que a. a-1 =
1

14. 1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ R,
entonces a+b ∈ R.
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces
a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que
su suma es igual a 0: a+(-a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ R,
entonces a . b ∈ R.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b=
b. a
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
10.Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real
llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
11.Si a, b y c ∈ R, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

15. Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. También se le
conoce como INECUACIONES cuando la desigualdad posee incógnitas.
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto
que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente
menor que" o "estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades
amplias (o no estrictas).

16. Es el valor de un número más allá de su signo. Es la magnitud numérica
de la cifra sin importar su signo siendo positivo o negativo. También se le
conoce como Módulo.
El valor absoluto de un numero es el mismo tanto en positivo y negativo.
También se puede decir que el valor absoluto es la distancia de dicho
número con el cero (0) en un recta numérica.
Se escribe entre dos barras verticales I I
El valor absoluto de un número real a denotado por I a I se define
como:
1 a l=
Como todo número positivo x tiene 2 raíces cuadradas, una positiva √x
una negativa - √x luego se tiene que √a2 = 1 a l
a si a ≥ 0
-a si a < 0

17. Una desigualdad de valor absoluto es una inecuación que tiene un
signo de valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor
que 4.
Así, x > -4 y x < 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar:
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,

18. INECUACIONES LINEALES:
Una desigualdad será lineal si la máxima potencia de la variable es 1. Su
resolución es fácil , se procede a despejar la variable haciendo uso de
las propiedades básicas de las desigualdades.
Para cualquier valor positivo de a:
lxI ≤ a es equivalente a -a ≤ x ≤ a (esta regla también aplica a IxI < a
)
lxI ≥ a es equivalente a x ≥ -a o x ≥ a (esta regla también aplica a IxI >
a )
Donde x puede ser una expresión algebraica

19. Ejemplo: Resolver I4x + 2I ≤ 6 – x Solución:
- (6 – x) ≤ 4x + 2 ≤ 6 – x luego x – 6 ≤ 4x + 2 ≤ 6 – x
Resolviendo cada inecuación por separado
x – 6 ≤ 4x + 2 4x + 2 ≤ 6 – x
– 6 ≤ 4x – x + 2 4x +x + 2 ≤ 6
– 6 ≤ 3x + 2 5x + 2 ≤ 6
– 6 + 2 ≤ 3x 5x ≤ 6 – 2
– 4 ≤ x x ≤ 4
3 5
Finalizando la solución es: x ∈ [- 4 , 4 ]
3 5

20. La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia
desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia
corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.
Ejemplo: Hallar la distancia del punto P (3, 1, -2 ) a los planos
π1 = 2x + y – z + 1 = 0 y π2 = 2y – 3 = 0
Resolviendo nos queda
D(P π1 ) = l 2.3 + 1.1 – 1.(-2) + 1 l = 10
√ 22 + 12 + (-1)2 √6
D(P π2 ) = l 2.1 – 3 l = 1
√ 02 + 22 + 02 2

21. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es
posible determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto
se encuentra en el eje de las x o de las abscisas o en una recta paralela
a éste eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
las diferencia de sus abscisas. (x2 – x1)
Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas, cuando los puntos se
encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y2 – y1 )
Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del plano cartesiano, se
calcula mediante la relación:

22. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
Ejemplo:
Hallar la distancia en el plano entre dos puntos cuyas coordenadas
cartesianas son P1​(3,2) y P2(1,5)

23. El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del
segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que:
Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos
partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los
extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a
la mediatriz del segmento.
Teorema Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA;
yA) ; B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de
AB son:

24. Ejemplo: Sea A = (3,2) y B = (-1,4) hallar el punto medio
Resolviendo:
El punto medio del segmento AB es:
M ( 3 -1 ; 4 + 2 ) = ( 1 ; 3)
2 2
M
A
B

25. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si
dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente
dichas.
Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g , que
llamamos generatriz, alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta
en un punto v, vértice.
g = la generatriz
e = el eje
v= el vértice

26. Elemento de una cónica
Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la
rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que
corta de modo oblicuo.
Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la
superficie cónica de revolución.
Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono
con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación
existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano
respecto del eje del cono
pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

27. ELIPSE
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante. Es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea
paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que
el que forman eje y generatriz
Una elipse que gira alrededor de su eje
menor genera un esferoide achatado,
mientras que una elipse que gira alrededor
de su eje principal genera un esferoide
alargado. La elipse es también la imagen
afín de una circunferencia.
Una elipse de posición en normal será el
gráfico resultante de la siguiente ecuación:
x2 + y2 = 1 donde a y b son números positivos
a2 b2

28. Elementos de la elipse:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la
semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje
mayor.
Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje
menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
PF + PF´ = 2a

29. CIRCUNFERENCIA
Lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado
centro de la circunferencia. La circunferencia es la curva que encierra a
un círculo. La circunferencia es la sección producida por un plano
perpendicular al eje.
La circunferencia de centro C =
(h,k) y radio r tiene por ecuación:
(x – h )2 + (y – k)2 = r2
Si el centro es el origen, x2 + y2 =
r2

30. Elementos de la circunferencia:
Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos
pertenecientes a la circunferencia.
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la
circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualesquiera de una
circunferencia.
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos
diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es
perpendicular a un radio

31. PARABOLA
definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una
recta fija y un punto fijo.
Esta representada por el grafico de cualquiera
de las dos ecuaciones siguientes:
1. y = ax2 + bx + c 2. x = ay2 + by + c
Hay parábolas mas simples que se resultan de
las traslaciones y reflexiones en la diagonal
principal y se obtienen con la ecuación: 3. y =
ax2 , a ≠ 0

32. PARABOLA (Cont)
Si en la ecuación y = ax2 se intercambian variables x e y darán
resultado nuevas parábolas 4. x = ay2 que aplicando el método de
inversión se reflejarán en la diagonal principal
Es una curva simétrica. El
vértice de la parábola es el
punto donde el eje de
simetría corta a la parábola.
En los casos anteriores el
vértice es el origen
O = (0,0). También hay el
caso de las parábolas
trasladadas

33. Elementos de la Parábola
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama
parámetro p.
Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de
eje. Es el eje de simetría de la parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el
punto de intersección del eje con la parábola.
Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el
foco.

34. HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Es la sección
producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por
lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. La hipérbola es una
curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas
separadas

35. La hipérbola en posición normal de dos ecuaciones donde a y b son
2 constantes positivas con centro en origen se denotan:
1 x2 - y2 = 1 y 2. y2 - x2 = 1
a2 b2 a2 b2
Los puntos de intersección V1 = (-a, 0) V2 = (a,0) son los vértices
Las ramas se les llama asíntotas se denotan por las rectas:
y = b x , y = - b x
a a
Para graficar la hipérbola se comienza primero por las asíntotas

36. Elementos de la Hipérbola:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el
eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los
focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento FF´ de longitud 2c
8. Eje mayor: Es el segmento AA´ de longitud 2a
9. Eje menor: Es el segmento BB´ de longitud 2b
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

37. Elementos de la Hipérbola: (Cont.)
11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
y = - b x , y = b x
a a
12. Relación entre los semiejes: c2 = a2 + b2 de longitud 2c.