Este documento presenta información sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos y que los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Describe operaciones básicas entre conjuntos como la unión. Además, define los números reales como cualquier número que se encuentre en la recta numérica, incluyendo números racionales e irracionales. Finalmente, presenta propiedades clave de los números reales como el orden y las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

1. Aquí podrás encontrar diferentes
contenidos que te ayudaran aprender mas
sobre la matemática.
UPTAEB - Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy
Blanco
Materia:
Matemáticas
Prof: Carlos Perozo
Seccion:0104
Presentado por:
C.I: 29.851.439

2. Definición de Conjuntos
 En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
 Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
 AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos
sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número
primo, el conjunto de los números primos es:
 P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular,
un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos
repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
 S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}AI = {rojo, naranja,
amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}Los conjuntos pueden
ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema
solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de
manera similar a las operaciones con números.
 Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más
elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por
otro lado, con las categorías son un de los conceptos fundamentales de la matemática: mediante ellos (o las
categorías) puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su
estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

3. •Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números,
personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
• A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
• B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
• C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
• D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
•Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o
miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1​ la expresión a ∈ A se lee entonces
como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:
• 3 ∈ A , ♠ ∈ D
• amarillo ∉ B, z ∉ C
•Notación
•Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho
conjunto, pero otras no.
•Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición
intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los
conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.
•Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:
• B = {verde, blanco, rojo}
• C = {a, e, i, o, u}
•Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una
propiedad:
• A = {Números naturales menores que 5}
• D = {Palos de la baraja francesa}
•Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
• A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
• D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
• F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},
•En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la
forma n2 tal que n es un número entero entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez
primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .
•Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se
establece como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.
Igualdad de conjuntos

4. Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas,
en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números naturales menores que 5 es el
mismo conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:
B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}
C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}
Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento
de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
{1, 2} = {1, 2, 1}
En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del
conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.
Operaciones con conjuntos

5. Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad, podemos crear unos nuevos a
través de las operaciones entre conjuntos. Aquí aprenderás de que se trata.
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos
como se muestra en la siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a M o a N. A este nuevo conjunto
le llamamos unión de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M U N. En la imagen de abajo puedes observar
el resultado de unir los conjuntos M y N.
Tenemos en este caso:
Μ U N={a,c,b,g,e,l}:

6. Números reales
Los números reales no son nuevos en la historia pues ya los egipcios utilizaban
fracciones dando pie al concepto de números reales. El conjunto de los números reales
abarca a los números racionales y a los números irracionales, pudiendo ser expresados
por un número entero o un número decimal. El descubrimiento de estos números se
atribuye a Pitágoras, famoso matemático griego.
Los números reales son parte de nuestro día a día y los usamos para realizar todo
tipo de cálculos cotidianos de manera inconsciente. Cuando se consulta la hora, se
hace un presupuesto, se realiza una compra o se mira un extracto bancario, se están
utilizando números reales.
Qué son los números reales
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el
dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada
conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su
dominio está entre menos infinito y más infinito.
Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita.

7. Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes
números.
Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números
naturales no tiene en cuenta el cero.
Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los
números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador
diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.
Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con
denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni
de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.
Operaciones de los números reales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con
una serie de propiedades:
Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se
obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la
multiplicación de números reales, que también da como
resultado otro número real.
Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de
una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c

8. Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad
conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
Elemento neutro y elemento opuesto
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar
como resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0).
En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real
que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad:
a x 1/a = 1
3.4 x 1/3.4 = 1
Propiedad Distributiva
El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que
son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números como los
naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden,
pudiendo ser decimales y negativos.
Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos
de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y
realizar cálculos.

9. Desigualdad matemática
•En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en
caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
•Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser
comparados.
•La notación a < b significa a es menor que b;
•La notación a > b significa a es mayor que b
•Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse
como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
•La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
•La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
•este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
•La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
•La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios
órdenes de magnitud.
•La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son
comparables.
•Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando;
didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
•La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de «mayor que» cortado con una
barra, «no». Lo mismo ocurre con a no menor que b y la notación a ≮ b.
Propiedades
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades de
transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de
desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

10. Valor Absoluto
En matemáticas, el valor absoluto o módulo1​ de un número real , denotado por , es el valor de sin
considerar el signo, sea este positivo o negativo.2​ Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor
absoluto de es . Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a los números complejos,
donde el valor absoluto coincide con el módulo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse
a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Para cualquier número real , el valor absoluto o módulo de se denota por y se define como:3
El valor absoluto de es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo: cuando es un número
negativo entonces su valor absoluto es necesariamente positivo .
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que existe
entre ese número y el cero. De manera general, el valor absoluto de la diferencia entre dos números es la distancia
entre ellos.
El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales, considere entonces

11. Desigualdades con Valor Absoluto
(<):
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable
dentro
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es
menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1 :
Resuelva y
grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

12. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor
que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

13. Bibliografía
Conjunto - Wikipedia, la enciclopedia
librees.wikipedia.org
Los Conjuntos: Operaciones entre
conjuntosedu.gcfglobal.org
▷ Números reales ¿Qué son?www.sdelsol.com
Desigualdad matemática - Wikipedia, la
enciclopedialibrees.wikipedia.org
Valor absoluto - Wikipedia, la enciclopedia
librees.wikipedia.org
Desigualdades de valor absolutowww.varsitytutors.com