numeros reales

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad politécnica territorial Andrés Eloy blanco
Barquisimeto estado Lara
Alumno : Alfonso yustiz
C.I : 27.198.307
Prof: Mayra rodriguez
Sección : 0202

2. Definición de conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún
modo dentro de él como en los presentes ejemplos :
• Los miembros de una familia
• Una colección de objetos
• Un equipo de fútbol
• Una plantilla o un rebaño de ovejas
• Los pasajeros de un autobús etc.
La idea o concepto de conjunto es muy antigua también se le conoce como “clases” o
“agregado”.
Los conjuntos se designan por letras mayúsculas (A, B, C,…Z) y los elementos con las
letras minúsculas (a, b, c,…z), números (1, 2, 3, 4,…).
El contenido de los conjuntos se escribe dentro de llaves, paréntesis o signos de agrupación
en general [], {}, (),
Cuando un conjunto carece de elementos se le llama conjunto vació {} o Ø
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito,
pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos).

3. Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a
las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en
términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera
informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental
de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como
los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción
de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición
de conjunto:
Entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada
como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en
una totalidad mediante una ley.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas,
letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.
La propiedad más básica de los conjuntos es el hecho de que un conjunto queda definido
únicamente por sus elementos.
Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elemento son el mismo conjunto, A = B.
Operaciones con conjuntos
Unión
El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa.
Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más
conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual
los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales.
Cuando un elemento es repetido, forma parte de la junta una vez solamente; esto difiere del
concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los
elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los
conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a
todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.

4. Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al
conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto
Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} sería el conjunto
C={1,2,3,4,6}, esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6}
Intersección
El símbolo del operador de esta operación es: ∩ y es llamado capa.
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual
contiene los elementos que están en A y que están en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece
al conjunto A y x pertenece al conjunto B a la vez, por lo tanto
Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan sólo al baloncesto y el
conjunto de personas que juegan sólo al fútbol es el conjunto vacío. Por lo tanto son
disjuntos.
Diferencia
El símbolo de esta operación es: .
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede
denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es
el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.
También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a
A.
Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si
Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el conjunto C {2,4},
sin embargo la diferencia de los conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}.

5. Complemento
El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A
Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos
posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos
los elementos de A. A=U-A
Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si
Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números
impares
Diferencia simétrica
El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos
que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la
vez. A Δ B = C, donde C no tiene
Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto
de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y
sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.
Producto cartesiano
En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello
necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados,
de ahí salen las n-tuplas ordenadas.
Ejemplo: El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es
A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

6. Números reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que
los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R

7. Conjuntos de números naturales
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números
con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los
números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Todos los números están representados por los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9,
que reciben el nombre de dígitos.
Ejemplo : Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en
clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una
biblioteca.
Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números
simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números
negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se
representa como:
Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero.
Es decir, el simétrico de n es -n, ya que:
Ejemplos : Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero solo tiene 3.000 pesos
Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos.

8. Números racionales
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las
divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el
peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se
designa con la letra Q:
Ejemplos : Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para
cada persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la
división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra
mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son
inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al
diámetro el número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni
fraccionario, son números irracionales:
Propiedades de los números reales
1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-
a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.

9. 10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
11. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
Desigualdades
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual
a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general
una diferencia de varios órdenes de magnitud.
• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que
se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del
elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo
señala/apunta al elemento menor.

10. Valor absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto,
que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo)
como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo
y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe
entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo
o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

11. Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b .
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

12. En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a <
- b .
Plano numérico (distancia-punto medio)
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos
rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como
la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la
geometría analítica.

13. Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje,
la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje,
la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema
de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el
teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

14. Punto medio
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos
puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el
punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última
condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

15. Representación gráfica de las cónicas
Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un
cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el ángulo de
inclinación del plano, que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las siguientes
figuras: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor
inclinación.
Estudiemos a continuación una a una las características más importantes de cada una de las
cónicas.
CIRCUNFERENCIA
Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un
caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano
de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º.
Definición formal: Denominamos circunferencia al conjunto de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado centro.

16. ELIPSE
La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al
eje, es decir, un plano que no sea paralelo ala generatriz del cono. Por tanto el ángulo de
inclinación oscilará entre: 0<ß<90º.
Definición formal: Llamamos elipse al conjunto de los puntos del plano tales que si
sumamos las distancias a dos puntos fijos, denominados focos F1 y F2, ésta es constante.
Otros elementos representativos de una elipse que utilizamos para su descripción son el
centro O, el eje mayor AB, el eje menor CD, y la distancia focal, OF.
La ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (0,0) es:
PARÁBOLA
La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano
oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide
con el ángulo de conocidad. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo
trazo continua hasta el infinito.
Definición formal: Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un
punto fijo, conocido como foco, y de una recta, llamada directriz.
Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que
corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura).
La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el eje de ordenadas es:

17. HIPÉRBOLA
Por último, la hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un
plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño
que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también
es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos
asíntotas.
Definición formal: Denominamos hipérbola al conjunto de los puntos del plano tales que
si realizamos la diferencia de las distancias a dos puntos fijo, denominados focos, esta es
constante y además, menor que la distancia entre los focos.
Los elementos representativos de una hipérbola son: el centro, O; los vértices, así como la
distancia entre los vértices y la distancia entre los focos.
La ecuación de una hipérbola que tiene por centro el (0,0) es: