Este documento resume los principales conceptos de la teoría de conjuntos y los conjuntos numéricos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y propiedades como ser finito o infinito. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego introduce los conjuntos numéricos de naturales, enteros, racionales y reales junto con sus propiedades. Finalmente, cubre temas como números primos, divisibilidad y cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Este documento presenta un curso de matemáticas discretas. El curso tiene como objetivo enseñar conceptos y herramientas básicas de matemáticas universitarias para resolver problemas complejos. Cubrirá temas como conjuntos, lógica, demostraciones, teoría de grafos y redes. El estudiante será evaluado a través de exámenes, tareas y asistencia.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjuntos, conjunto universal, diagrama de Venn, igualdad de conjuntos, operaciones como unión, intersección y diferencia. También explica el conjunto vacío, conjunto potencia, complemento de conjuntos, y cardinalidad. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos.
Conjuntos Unidad III Estructuras Discretas IYormanP
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo: (1) La definición de un conjunto y cómo se representan sus elementos; (2) Las propiedades de los conjuntos como subconjuntos, conjuntos universales y conjuntos vacíos; y (3) Operaciones básicas con conjuntos como la unión e intersección.
Este documento describe diferentes tipos de conjuntos, incluyendo conjuntos vacíos, finitos, infinitos y unitarios. También describe relaciones entre conjuntos como conjuntos equivalentes, iguales, subconjuntos y conjuntos potencia. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de conjunto y relación.
Clasificacion de los conjuntos y subconjuntos como tambien las formas de resolver problemas, como se usan adecuadamente y las propiedades que conlleva estos temas.
Este documento introduce los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos bien definidos y presenta ejemplos de conjuntos. Explica la notación utilizada para representar conjuntos y sus elementos. Introduce los conceptos de subconjuntos, conjuntos iguales, conjuntos vacíos, conjuntos finitos e infinitos, y conjuntos disjuntos.
El documento introduce conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, subconjunto propio, conjunto vacío y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento. Explica cómo construir conjuntos mediante extensión e intención y cómo representar relaciones entre conjuntos usando diagramas de Venn.
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Conjuntos Unidad III Estructuras Discretas IYormanP
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo: (1) La definición de un conjunto y cómo se representan sus elementos; (2) Las propiedades de los conjuntos como subconjuntos, conjuntos universales y conjuntos vacíos; y (3) Operaciones básicas con conjuntos como la unión e intersección.
Este documento describe diferentes tipos de conjuntos, incluyendo conjuntos vacíos, finitos, infinitos y unitarios. También describe relaciones entre conjuntos como conjuntos equivalentes, iguales, subconjuntos y conjuntos potencia. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de conjunto y relación.
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Este documento introduce los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos bien definidos y presenta ejemplos de conjuntos. Explica la notación utilizada para representar conjuntos y sus elementos. Introduce los conceptos de subconjuntos, conjuntos iguales, conjuntos vacíos, conjuntos finitos e infinitos, y conjuntos disjuntos.
El documento introduce conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, subconjunto propio, conjunto vacío y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento. Explica cómo construir conjuntos mediante extensión e intención y cómo representar relaciones entre conjuntos usando diagramas de Venn.
Este documento define conjuntos y describe sus propiedades. Un conjunto es una colección de objetos considerados como un solo objeto. Se describen diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios. También se explican operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia.
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Los conjuntos y sus operaciones básicas como la unión, intersección y pertenencia son herramientas fundamentales en matemáticas. La teoría de conjuntos fue desarrollada por Georg Cantor en el siglo XIX y proporciona los fundamentos para construir otros objetos matemáticos como números, funciones y figuras geométricas.
1) Los diagramas lineales ilustran las relaciones entre conjuntos mediante la posición relativa de los conjuntos y líneas de conexión.
2) La teoría de conjuntos se desarrolla axiomáticamente mediante términos, relaciones y axiomas no definidos.
3) Los problemas resueltos incluyen ejercicios sobre notación de conjuntos, igualdad, subconjuntos y el conjunto vacío.
La teoría de conjuntos permite analizar problemas visualizando las intersecciones y partes que los componen. Explica los diferentes tipos de conjuntos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Describe propiedades como subconjuntos, conjuntos vacíos e identidad. Define conceptos como intersección, diferencia y universo.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como conjuntos, subconjuntos, uniones e intersecciones. Los objetivos son conocer el concepto de aplicación entre conjuntos y entender los conjuntos como el modelo matemático más sencillo. Se describen conjuntos mediante extensiones y comprensión, y se clasifican como finitos, infinitos, universos o vacíos. Finalmente, se presentan ejemplos y conclusiones sobre la importancia de la teoría de conjuntos en aplicaciones como sistemas de
1) El documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad, subconjuntos, conjunto universal, conjuntos disjuntos y diagramas de Venn. 2) También define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento y presenta ejemplos ilustrativos de cada una. 3) El objetivo es introducir estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos que son una base para el estudio de la estadística y la probabilidad.
El documento define los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, elementos, cardinalidad, pertenencia, subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjuntos disjuntos, conjuntos potencia, tipos de números y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento presenta la teoría básica de conjuntos. Introduce la notación y representación de conjuntos, incluyendo definiciones, formas de expresar conjuntos de manera extensiva y comprensiva, y el uso de diagramas de Venn. También explica conceptos como subconjuntos, complementos de subconjuntos, y operaciones básicas con conjuntos como la unión e intersección.
Este documento introduce la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario. Explica relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y complemento. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar o denotar. Explica conceptos básicos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar estas operaciones.
El documento presenta una introducción a los conjuntos, incluyendo diferentes formas de definir conjuntos (por tabulación, por comprensión), si son finitos o infinitos, igualdad de conjuntos, subconjuntos, conjuntos vacíos, conjuntos de conjuntos y representación gráfica de conjuntos.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conjuntos numéricos y especiales como el conjunto vacío y conjunto potencia. Finalmente, presenta algunos problemas para practicar conceptos como expresar conjuntos por comprensión y calcular cardinalidad y operaciones entre conjuntos.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y cómo se representan y notan los conjuntos y sus elementos. También define los subconjuntos, el conjunto vacío y las formas de expresar la igualdad y pertenencia de elementos a conjuntos.
El documento introduce los conceptos básicos de conjuntos matemáticos, incluyendo elementos, pertenencia, representación, determinación, tipos (vacío, unitario, binario, infinito, universal) y lenguaje simbólico. Explica cómo definir conjuntos por comprensión o enumeración, y cómo representarlos gráficamente usando diagramas de Venn.
Este documento resume los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Explica la notación de conjuntos, operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia, y tipos especiales de conjuntos como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia. También define relaciones entre conjuntos como la inclusión, igualdad y disyunción. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos y resuelve problemas aplicando los conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, notación, tipos de conjuntos (finitos, infinitos, vacíos, unitarios), relaciones entre conjuntos (inclusión, igualdad, disyunción), operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia, complemento), y diagramas de Venn para representar conjuntos.
El documento trata sobre los conjuntos en matemáticas. Explica que un conjunto es una agrupación de objetos o elementos que comparten alguna característica. Luego describe diferentes tipos de conjuntos como los conjuntos finitos e infinitos y las operaciones entre conjuntos como la unión y la intersección. Por último, explica que la teoría de conjuntos fue introducida por Georg Cantor y revolucionó el estudio de los conjuntos infinitos.
Teoria de conjuntos maria antonieta hernandezmahex
Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, subconjuntos, operaciones de conjunto como unión e intersección, el conjunto potencia, diferencia de conjuntos, leyes importantes como las leyes de De Morgan, y cómo el producto cartesiano forma pares ordenados. Además, explica cómo la teoría de conjuntos se aplica de manera implícita en la vida diaria al tomar decisiones que involucran elegir entre opciones.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, tipos de conjuntos (finitos, infinitos, vacíos, etc.), operaciones con conjuntos como la unión y la intersección, y diagramas de Venn para representar conjuntos de forma gráfica. También define conjuntos numéricos como los números naturales, enteros y reales.
SharePoint kann als gemeinsame Basis für Intranet, Extranet und Internet betrieben werden. In dieser Präsentation wird darauf eingegangen, wei Microsoft Marketing Leitern dabei hilft, sich auf die neuesten Trends im Internet einzustellen.
Este documento define conjuntos y describe sus propiedades. Un conjunto es una colección de objetos considerados como un solo objeto. Se describen diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios. También se explican operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia.
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Los conjuntos y sus operaciones básicas como la unión, intersección y pertenencia son herramientas fundamentales en matemáticas. La teoría de conjuntos fue desarrollada por Georg Cantor en el siglo XIX y proporciona los fundamentos para construir otros objetos matemáticos como números, funciones y figuras geométricas.
1) Los diagramas lineales ilustran las relaciones entre conjuntos mediante la posición relativa de los conjuntos y líneas de conexión.
2) La teoría de conjuntos se desarrolla axiomáticamente mediante términos, relaciones y axiomas no definidos.
3) Los problemas resueltos incluyen ejercicios sobre notación de conjuntos, igualdad, subconjuntos y el conjunto vacío.
La teoría de conjuntos permite analizar problemas visualizando las intersecciones y partes que los componen. Explica los diferentes tipos de conjuntos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Describe propiedades como subconjuntos, conjuntos vacíos e identidad. Define conceptos como intersección, diferencia y universo.
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El documento resume los principales eventos y características de la Edad Media en Europa. Resalta que este periodo se sitúa entre la caída del Imperio Romano y la revolución marítima y urbana. Destaca figuras como Carlomagno y cómo contribuyó a reconstruir la cristiandad amenazada. También describe el surgimiento del feudalismo, las cruzadas, el ascenso de las ciudades y gremios, y la transición hacia una sociedad estamental.
Codina, v., los caminos del oriente cristiano. iniciación a la teología orien...Oscar Conti
Este documento presenta una introducción general e histórica a la teología oriental cristiana, dividiéndola en cuatro períodos: el primer milenio, la ruptura del segundo milenio, hacia el tercer milenio. Luego aborda temas como el método teológico, la antropología, la cristología, el Espíritu Santo, la Trinidad, la eclesiología, la espiritualidad y la escatología. El autor espera que este libro ayude a los lectores occidentales a conocer mejor la rica
El documento describe el metabolismo del calcio en el organismo, incluyendo su absorción, distribución, funciones y regulación. El calcio se encuentra principalmente en los huesos y su homeostasis está regulada por hormonas como la hormona paratiroidea y la vitamina D que actúan en el intestino, riñones y huesos.
Este documento presenta las guías para la octava sesión ordinaria del Consejo Técnico Escolar del ciclo escolar 2013-2014. El objetivo es realizar una evaluación del proceso del CTE durante el ciclo, identificando logros, áreas de oportunidad y temas a abordar en el próximo ciclo. La sesión incluye tres momentos: 1) reflexionar sobre los aprendizajes del colectivo docente en las sesiones, 2) valorar los logros en mejora de aprendizajes y normalidad escolar, y 3)
El documento detalla los elementos que debe incluir la página del título de un artículo, como el título del artículo, los nombres y afiliaciones de los autores, el departamento e institución responsable, la información de contacto del autor correspondiente, la fuente de financiamiento, y el número de palabras, figuras y tablas. La página del título provee información clave sobre el artículo y sus creadores.
Este documento trata sobre el liderazgo en los emprendimientos sociales. Explica que los líderes de estos emprendimientos tienen habilidades como la emprendedora, la diagnóstica, la de armonizar, motivar al equipo y tener visión y compromiso social. También habla sobre los estilos de liderazgo requeridos como los emprendimientos crecen, como uno más participativo y menos directivo. Además, destaca la importancia de la delegación, coordinación y habilidades políticas para el éxito de los conglomerados sociales.
El documento habla sobre los orígenes y logros más importantes del baloncesto. Fue inventado por James Naismith y la selección española consiguió la medalla de plata en los Juegos Olímpicos. También destaca los éxitos del baloncesto femenino y las ligas más importantes como la NBA y la ACB, mencionando a los mejores equipos y jugadores de cada una.
The document discusses family members like aunt, uncle, mum, dad, brother and sister and parts of the body. It also mentions happy father's day and spring.
El documento define la gramática como la ciencia que estudia los componentes y combinaciones de una lengua. Explica que la gramática se refiere tanto al estudio académico de una lengua como al uso correcto de la misma en el habla y la escritura. Además, detalla que la gramática establece las reglas y principios que rigen el uso particular de cada lenguaje y que abarca aspectos como la fonética, morfología, sintaxis, semántica y etimología.
Hi5 fue una red social fundada en 2003 por Ramu Yalamanchi que alcanzó más de 700 millones de usuarios registrados en 2007. Originalmente centrada en conectar a personas con intereses similares, Hi5 evolucionó hacia los juegos en 2010 antes de ser vendida a su competidor Tagged en 2011.
Twitter es un servicio de microblogging con sede en San Francisco y filiales en otros estados de EE.UU. Fue creado en 2006 por Jack Dorsey y ha ganado popularidad mundial con más de 200 millones de usuarios que publican 65 millones de tuits diarios. Existe controversia sobre cómo surgió originalmente la idea de Twitter dentro de la compañía Odeo durante el desarrollo de un servicio de podcasting fallido.
El documento presenta información sobre conjuntos, números reales, valor absoluto y desigualdades. Define conjuntos como colecciones de elementos únicos y describe formas de representarlos. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define números reales, sus propiedades y ejemplos de operaciones con ellos. Finalmente, introduce el valor absoluto y cómo se usan desigualdades con este concepto para comparar expresiones algebraicas.
En la siguiente dispositiva podrán encontrar definicion de conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades, definición de valor adsoluto, desigualdades con valor adsoluto, espero sea de gran ayuda para ustedes.
1) El documento habla sobre conjuntos y sus elementos. Un conjunto contiene objetos llamados elementos que pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre sí.
2) Explica diferentes operaciones que se pueden realizar con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
3) También define números reales, que incluyen números racionales e irracionales, y explica algunas de sus propiedades como desigualdades y el valor absoluto.
Este documento presenta información sobre conjuntos y operaciones con conjuntos. Define conceptos como unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También explica propiedades de los números reales como su representación geométrica en una recta numérica y operaciones básicas como la suma y multiplicación.
Este documento describe los números reales y el plano numérico. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales, y que pueden clasificarse como algebraicos o trascendentes. También describe operaciones básicas con números reales como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, explica conceptos como desigualdades, valor absoluto, distancia entre puntos, y curvas como la parábola y elipse.
El documento proporciona una introducción al cálculo y los números reales. Explica que el cálculo consiste en procedimientos para derivar consecuencias a partir de datos conocidos y ha tenido aplicaciones importantes en ciencias y tecnología. Describe los diferentes tipos de números reales como racionales, irracionales e inteiros y cómo se representan. También define conceptos matemáticos como conjuntos, operaciones con conjuntos y funciones.
Este documento presenta un resumen de los temas vistos en la asignatura de Matemática I. Introduce los conceptos de conjunto, operaciones con conjuntos, y los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las operaciones básicas que se pueden realizar con números reales como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento define los conceptos básicos de conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de elementos y que pueden ser finitos o infinitos. Define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También describe los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales y sus propiedades.
Este documento define los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, pertenencia, subconjuntos, operaciones (unión, intersección, diferencia, complemento) y diagramas de Venn. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y que los elementos de un conjunto pueden representarse entre llaves o separados por comas.
Tarea de Matemática de 5 contenidos:
*Conjuntos.
*Números Reales.
*Desigualdades.
*Valor Absoluto.
*Desigualdades de Valor Absoluto (<)y(>).
Con Definición y Ejercicio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define conjuntos como colecciones de objetos bien definidos. Explica las formas de definir conjuntos (por extensión y por comprensión), y cómo representar elementos, pertenencia y no pertenencia a conjuntos. También introduce conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y diagramas de Venn para representar conjuntos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define conjuntos como colecciones de objetos bien definidos. Explica las formas de definir conjuntos (por extensión y por comprensión), y cómo representar elementos, pertenencia y no pertenencia a conjuntos. También introduce conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y diagramas de Venn para representar conjuntos.
Este documento define los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo la definición de un conjunto, los elementos que lo componen, la notación para escribir conjuntos, y operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También explica conceptos como subconjuntos, el conjunto universal, conjuntos vacíos y ajenos, y la representación de conjuntos mediante diagramas de Venn.
Este documento define los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo la definición de un conjunto, los elementos que lo componen, la notación para escribir conjuntos, y operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También explica conceptos como subconjuntos, el conjunto universal, conjuntos vacíos y ajenos, y la representación de conjuntos mediante diagramas de Venn.
1. El documento presenta ejemplos de conjuntos numéricos como N, Z, Q, R y C, y define lo que es un conjunto.
2. Explica cómo representar conjuntos mediante letras mayúsculas y elementos mediante letras minúsculas, y cómo indicar la pertenencia o no pertenencia de un elemento a un conjunto.
3. Introduce conceptos como subconjuntos, igualdad de conjuntos, unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Definición de Conjuntos.docx UNIDAD 2 YESSENIA DAZA 30353142.docxYesseniaDaza1
El documento define conjuntos y sus propiedades. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten características y que se representan con letras mayúsculas. Describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conceptos matemáticos como números reales, desigualdades y valor absoluto.
1) El documento presenta información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. 2) Se definen conjuntos, sus elementos y propiedades. También se explican operaciones como unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. 3) Los números reales incluyen números racionales e irracionales que pueden ser algebraicos o trascendentes. Finalmente, se describen desigualdades matemáticas y su comportamiento.
1) El documento presenta información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales y desigualdades. 2) Se definen conjuntos, sus elementos y propiedades. También se explican operaciones como unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. 3) Los números reales incluyen números racionales e irracionales, que pueden clasificarse como algebraicos o trascendentes.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
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Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
1. Juan Carlos González Pérez Maturita Matemáticas Curso 2009/10
TEMA 2: TEORÍA DE CONJUNTOS Y CONJUNTOS NUMÉRICOS.
TEORÍA DE CONJUNTOS.
Definiciones.
Se define un conjunto como una colección de objetos o cosas, se nombran con letras mayúsculas (A, B...).
Cada uno de los objetos de un conjunto se llama elemento, se nombran con letras minúsculas (a, b...).
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el símbolo ∈ (a ∈ A) . Podemos definir
los conjuntos de dos formas:
a) Por extensión: se nombran todos los elementos del conjunto y sólo estos, sin repetir. Por
ejemplo: A = {a, e, i, o, u}.
b) Por comprensión: se nombra una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto y
solo ellos. Por ejemplo: A = {x / x es una vocal}, B = {x / x es un número par}.
Cuando podemos contar los elementos del conjunto se dice que es finito, si no podemos contarlos
decimos que el conjunto es infinito, por ejemplo, A es finito y B es infinito. Al número de elementos del
conjunto se le llama cardinal del conjunto y se denota n(A). Por ejemplo n(A) = 5, n(B) = infinito (∞).
Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento o tiene cardinal uno, y conjunto vacío es el que
no tiene elementos o tiene cardinal cero. Se denota A = {} o A = ∅. Por ejemplo: C = {números reales con
raíz cuadrada negativa}, n(C) = 0, C = ∅.
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los que pertenecen a A también pertenecen a B y
viceversa, se denota como A = B, y en lenguaje formal: A = B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B y ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A.
Por ejemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {x / x es un impar menor de 10}, se ve claramente que A = B.
Dados dos conjuntos A y B, decimos que B es subconjunto de A cuando todos los elementos de B
pertenecen también a A. Se denota B ⊂ A. Por ejemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 5, 9}; B ⊂ A.
Dos conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común; por ejemplo los conjuntos
A = {2, 4, 6} y B = {1, 5, 9, 7} son disjuntos.
Se llama conjunto universal al que contiene a los demás como subconjuntos, se denota como U y se
representa con un rectángulo. Por ejemplo: A = {a, o}, B = {e, i, u}; en este caso U = {x / x es vocal}.
Dado un conjunto A, su conjunto potencia es el formado por todos sus subconjuntos incluyéndose a él
mismo y al conjunto vacío. Se denota como ℘(A) o P(A) y si A tiene x elementos, n(℘) = 2x
. Por
ejemplo: A = {1, 3, 5}; n(A) = 3 ⇒ n(℘) = 23
= 8. ℘(A) = {{}, 1, 3, 5, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}.
El conjunto potencia también se llama conjunto de las partes de un conjunto.
Diagramas de Venn.
Los diagramas de Venn son una forma de representar gráficamente conjuntos. Para ello se utilizan
círculos y rectángulos, como hemos dicho, un rectángulo representa el conjunto universal y los conjuntos
se representan con círculos. En ocasiones dentro del los círculos se escriben los elementos del conjunto,
pero no siempre es necesario. Veamos algunos ejemplos, el conjunto U, el conjunto A sin sus elementos,
el conjunto A con sus elementos y una representación de A ⊂ B.
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2. Juan Carlos González Pérez Maturita Matemáticas Curso 2009/10
Operaciones con conjuntos.
Unión. Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B al conjunto que contiene a todos los
elementos de A y a todos los de B, se representa por A ∪ B, formalmente: A ∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}.
Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}; A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Gráficamente:
Intersección. Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección de A y B al conjunto que contiene a todos
los elementos que pertenecen a la vez al conjunto A y al conjunto B, se representa por A ∩ B,
formalmente: A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, entonces
A ∩ B = {4, 5}. Gráficamente:
Diferencia. Dados dos conjuntos A y B, se llama conjunto diferencia de A menos B al conjunto compuesto
por todos los elementos de A que no pertenecen a B, formalmente: A - B = {x / x ∈ A y x ∉ B}. Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, entonces A - B = {1, 2, 3}; B – A = {6, 7, 8}. Gráficamente:
Complementario. Dados dos conjuntos A y B y tales que B es subconjunto de A (B ⊂ A), se llama
conjunto complementario de B respecto de A al conjunto A – B, se denota BA
C
. Vamos a verlo con un
ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2}; BA
C
= A – B = {3, 4, 5}.
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3. Juan Carlos González Pérez Maturita Matemáticas Curso 2009/10
Partición de un conjunto. Si tenemos varios subconjuntos A, B, C... de un universo U que cumplen que
son disjuntos dos a dos (su intersección es el conjunto vacío) y la unión de todos es el universo, entonces
se dice que tenemos una partición del universo U. Veamos un ejemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {8, 9} y D = {7, 8, 9}; entonces A, B y C son una partición de U, pero
A, B y D no lo son porque B ∩ D = {7}.
CONJUNTOS NUMÉRICOS.
Números naturales.
Los números naturales aparecen por la necesidad de contar cosas. Es un conjunto infinito que comienza
en el cero y que va aumentando una unidad sucesivamente sin llegar a ningún final. Se representan por
ℕ y es el conjunto: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8....}. Algunos libros no incluyen el cero pero en
general si se incluye.
Las operaciones con los números naturales son la suma, la resta (o diferencia), el producto, la potencia de
base natural y exponente natural y la división. En la división se cumple: D = d⋅c + r con D: dividendo,
d: divisor, c: cociente y r: resto. Las propiedades que cumplen las operaciones son las conocidas.
Números enteros.
Son los números naturales a los que añadimos todos los negativos (se utiliza el signo “-” delante del
número). Se se representan con ℤ y es el conjunto: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Las operaciones son las mismas que en los naturales, pero hay que tener en cuenta las reglas al operar con
los signos de los números. Vamos a añadir la operación valor absoluto que se define como el número
natural resultante de suprimir el signo del número, se representa con a. Ejemplo: −3= 3.
Números racionales.
Los números racionales representan el cociente entre dos números enteros
a
b
, se le llama fracción
siendo la parte superior, a, el numerador y la parte inferior, b, el denominador y con b ≠ 0. Se representa
por ℚ y es el conjunto ℚ = {
a
b
/ a, b ∈ ℤ , b ≠ 0}.
También podemos decir que los números racionales están formados por los enteros, los decimales exactos
y los decimales periódicos.
Las operaciones de las fracciones son conocidas así que no vamos a insistir en ellas. Los números
racionales se pueden representar como fracción de varias maneras, cuando esto ocurre se dice que los
números racionales son equivalentes, por ejemplo
1
5
y
2
10
son fracciones equivalentes.
Números reales.
Los números reales están formados por los racionales y los llamados irracionales. Los irracionales están
formados por los número que tiene infinitos decimales pero no se pueden expresar en forma de fracción,
tiene infinitas cifras no periódicas. Por ejemplo: e, π, 2 ... Los números irracionales se representan por
I mientras que los reales se representan con ℝ . Las operaciones de los números reales son conocidas
así que no abundaremos en ellas.
Números complejos.
Aunque no vamos a trabajar con ellos, hay otro conjunto de números que se llaman complejos y se
representan con ℂ , los complejos engloban a los números reales y a los llamados números imaginarios.
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Vamos a ver un gráfico que nos muestra las relaciones entre los distintos conjuntos de números.
Número primos y compuestos.
Decimos que un número entero b es divisible por otro entero a distinto de cero si existe un entero c tal que
b = a.c, se puede escribir también que ab y se dice que a divide a b, que a es divisor de b o que b es
múltiplo de a. Otra forma de expresarlo es diciendo que el resto de la división entera a/b es cero.
Cuando un número sólo es divisible por si mismo y por 1 se dice que es un número primo, si un número
tiene otros divisores distintos del 1 y de si mismo se dice que es un número compuesto. Por ejemplo son
primos 2, 3, 5, 7, 11...; son compuestos 4 = 22
, 6 = 2.3, 8 = 23
...
Hay un famoso algoritmo para obtener una tablas de números primos llamada criba de Eratóstenes.
Vamos a ver como se aplica con un ejemplo, calculemos los primos entre 1 y 30. El 1 no se considera al
calcular números primos. El dos es primo, entonces borramos de la tabla todos los múltiplos del 2, es
decir, los pares (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 y 30), el siguiente primo es el 3 y borramos
todos los múltiplos de 3 que quedan (9, 15, 21 y 27), operamos de la misma forma con los siguientes
primos (5, 7, 11...) y al final tendremos una tabla con los primos hasta el 30.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Se llama factorizar a descomponer un número en los factores primos que lo componen. Por ejemplo,
factorizemos 100 = 22
.52
Divisibilidad de enteros.
Para saber si un número es divisible por otro hay unos criterios que suele ser sencillos, vamos a ver unos
pocos de los más utilizados:
Criterio del 2. Un número es divisible por 2 si y solo si termina en cero o cifra par.
Criterio del 3. Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Criterio del 4. Un número es divisible por 4 si y solo si las dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4.
Criterio del 5. Un número es divisible por 5 si y solo si termina en 0 o 5.
Criterio del 6. Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3.
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Criterio del 9. Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Criterio del 10. Un número es divisible por 10 si y solo si termina en 0.
Criterio del 11. Un número es divisible por 11 si y solo si la suma de sus cifras en lugar par menos la
suma de sus cifras en lugar impar es 0 o múltiplo de 11.
Por ejemplo el 1254 es divisible por 2 (termina en 4), por 3 (la suma de sus cifras es 1 + 2 + 5 + 4 = 12
que es divisible por 3), por 6 (es divisible por 2 y por 3) y por 11 (la suma de las cifras en lugar par es
5 + 1 = 6, la suma de sus cifras en lugar impar es 4 + 2 = 6, 6 - 6 = 0).
Cálculo del mínimo común múltiplo (mcm).
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de todos los múltiplos comunes a todos los
números. Se representa como mcm.
Para calcularlo lo primero que hacemos es factorizar todos los números. Luego se escogen los factores
comunes elevados al máximo exponente y los factores no comunes, se multiplican y tenemos el mcm.
Ejemplo: calculemos el mcm de 100, 250 y 300.
100 = 22
.52
; 250 = 2.53
; 300 = 22
.3.52
. Entonces mcm = 22
.3.53
= 1500.
Cálculo del máximo común divisor (MCD).
El máximo común divisor de varios números es el mayor natural que es a la vez divisor de todos ello. Se
representa como MCD.
Para calcularlo lo primero que hacemos es factorizar todos los números. Luego se escogen los factores
comunes elevados al mínimo exponente, se multiplican y tenemos el MCD.
Ejemplo: calculemos el MCD de 100, 250.
100 = 22
.52
; 250 = 2.53
. Entonces MCD = 2.52
= 50.
Importante: La divisibilidad y el cálculo del mcm y del MCD los hemos estudiado para los números
enteros, para naturales se puede extender el estudio pero teniendo en cuenta el signo que en algunos casos
puede complicar el estudio.
Representaciones de números.
Los números reales, y por tanto también los naturales, enteros, racionales e irracionales, pueden
representarse gráficamente en una recta llamada la recta real, de modo que en el centro está el 0, a la
izquierda se dibujan los números negativos y a la derecha los números positivos. Veamos una gráfica de la
recta real y como al "acercarnos" aumenta el detalle de los números representados. De esta forma,
ampliando las veces necesarias podemos representar todos los números reales.
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6. Juan Carlos González Pérez Maturita Matemáticas Curso 2009/10
EJERCICIOS
1.- Dados: A = {x ∈ ℝ ; x ≥ 2 }, B = { x ∈ ℝ ; 2 < x <
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}, C = { x ∈ ℝ ; x ≤ -3}, calcula:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∪ B ∪ C
d) A ∩ B ∩ C
2.- Dados los siguientes números, di si son primos o no:
a) 71 b) 10 c) 67 d) 1007
3.- Dados los números
246
22
y
123
22
, escríbelos en forma decimal. Dados los números 32,4111... y
27,08282..., exprésalos en forma de fracción.
4.- Factoriza los siguientes números:
a) 234 b) 2475 c) 231 d) 5445
5.- Explica en qué consiste la criba de Eratóstenes. Aplícalo a los primos menores de 50.
6.- Diferencia entre un número primo y un número compuesto. Explique utilizando ejemplos los criterios
de divisibilidad de 3, 4, 6 y 11.
7.- Una orquesta está compuesta por 180 músicos de los cuales:
a) 6 no tocan más que el violonchelo
b) 24 tocan el violonchelo y el violín, pero no la viola.
c) 12 tocan el violonchelo y la viola, pero no el violín.
d) 6 tocan el violín y la viola pero no el violonchelo.
Además sabemos que 63 músicos tocan el violín, 54 el violonchelo y 36 la viola. ¿Cuántos músicos no
tocan ninguno de los tres instrumentos?.
8.- Tenemos el conjunto universal U = {2,4,6,8,10,12,14} y los conjuntos P ={2,4,6,8}, Q = {2,10} y
R = {4,8,10,12}, escribe los siguientes conjuntos:
a) P ∩ (Q ∪ R) b) (P ∩ Q) ∪ (P ∩ Q) c) Q ∩ (P ∪ R)
9.- Sean A = {las vocales del alfabeto español}, B = {a,e,o} y C = {i,u}. Estudia si B y C forman una
partición de A. Halla también ℘ (A).
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