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Matemática Básica - EER.pdf

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Educación
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MATEMATICA BASICA ♦ LOGICA ♦ CONJUNTOS e * = x f ♦ N° REALES n = o n ! ♦ RELACIONES Y FUNCIONES ♦ INDUCCION MATEMATICA ♦ N° COMPLEJOS ♦ TEORIA DE POLINOMIOS ♦ VECTORES EN R2 EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ
IMPRESO EN EL PERÚ 05 - 05 - 2005 2 oEDICIÓN DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas'de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor. RUC N °10070440607 Ley del Libro N° 28086 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Registro comercial N° 10716 Escritura Publica N° 4484
PROLOGO La presente obra titulada “Matemática Básica” en su segunda edición contiene esencialmente los temas que generalmente se desarrolla en los primeros cursos en las carreras de ciencias. Ingeniería. Economía, Administración, Medicina, etc., así como también en los Institutos Superiores. En la actualidad el contenido científico de un libro debe complementarse con el aspecto didáctico que es tan importante como el contenido científico, por tal motivo en el presente trabajo se expone en forma Teórica y Práctica en donde en cada capítulo comienza con enunciados claros de las definiciones y Teoremas juntos con sus respectivos ejemplos seguidos de una colección de problemas resueltos y problemas propuestos. En las definiciones importantes así como los Teoremas y Propiedades son explicados en forma clara y amena ilustrado con gráficos y ejemplos en forma graduada. La presente obra consta de ocho capítulos: Lógica, Conjunto, Sistema de los Números Reales, Relaciones y Funciones, inducción Matemática, Números Complejos, la Teoría de Polinomios y Vectores en R2 que es el capítulo que se ha agregado a la edición anterior así mismo se ha incluido la divisibilidad de los números enteros, se ha incluido mas problemas y aplicaciones a la economía. El presente texto es básicamente para estudiantes recién ingresantes a las Universidades en las especialidades de Ciencias Matemáticas, Físicas, Ingeniería y Economía y a toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas de las diversas universidades en donde presto mis servicios, quienes con su apoyo moral y sugerencias han hecho posible la realización de este libro en su 2da edición. Agradezco por anticipado la acogida que brinden a la presente obra. Eduardo Espinoza Ramos
( OÍMMÍOÍ'j
DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos: RONALD, JORGE Y DIANA que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de su prójimo
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1 2 3 3 3 4 4 8 9 9 12 13 13 18 18 19 20 21 25 25 26 26 28 28 29 33 33 35 36 49 INDICE CAPITULO I LÓGICA 1.1. Introducción 1.2. Elementos de Lógica Simbólica 1.3. Proposiciones Lógicas 1.4. Definición 1.5. Conectivos Lógicos 1.6. Clases de Proposiciones Lógicos 1.7. Proposiciones Compuestos Básicos 1.8. Proposiciones Compuestas 1.9. Jerarquía de los Conectivos Lógicos 1.10. Tautológicas, contradicciones y contingencias 1.11. Implicación Lógica y Equivalencia Lógica 1.12. Proposiciones Lógicamente Equivalente 1.13. Principales Leyes Lógicas o Tautológicas 1.14. La Inferencia Lógica o Argumento Lógico 1.15. Definición 1.16. Teorema 1.17. Inferencia Validas Notables 1.18. El Método Abreviado 1.19. Métodos de Demostración 1.20. Forma o Método Directo de Demostración 1.21. Forma o Método Indirecto de Demostración 1.22. Definición 1.23. Circuitos Lógicos 1.24. Diseño de Circuitos Eléctricos en Sene 1.25. Diseño de Circuitos Eléctricos en Paralelo 1.26. Lógica Cuantificacional 1.27. Cuantificadores Existencial y Universal 1.28. Negación de Proposiciones en Cuantificadores 1.29. Ejercicios Desarrollados 1.30. Ejercicios Propuestos
69 69 69 70 71 72 73 73 73 76 76 77 79 80 83 103 104 107 108 11? 117 117 125 140 141 143 143 CAPITULO II 2.1. Definición 2.2. Definición 2.3. Relación de Pertenencia 2.4. Diagrama de VENN - EULER 2.5. Determinación de Conjuntos 2.6. Conjuntos Numéricos 2.7. Conjunto Finito 2.8 Conjunto Infinito 2.9. Relaciones entre Conjunto 2.10. Igualdad de Conjuntos 2.11. Propiedades de la Igualdad de Conjunto 2.12. Conjuntos Especiales 2.13. Representación Gráfica de los Conjuntos 2.14. Ejercicios Propuestos ? 15. Operaciones con Conjuntos 2.16. Conjunto Potencia 2.17. Propiedades del Conjunto Potencia 2.18. Intervalos 2.19. Operaciones de Conjuntos Aplicados a los Intervalos 2.20. Familia de Conjuntos 2.21. Numere de Elementos de un Conjunto 2.22. Propiedades del Número de Elementos de un Conjunto 2.23. Ejercicios Propuestos CAPITULO III SISTEMA DE NÚMEROS REALES 3.1. Introducción 3.2. Definición 3.3. Axioma de Sustitución 3.4. Axioma Distributivo
143 143 143 144 144 144 145 149 150 151 151 151 152 152 153 153 154 154 162 168 170 170 170 172 177 181 183 185 196 221 238 239 242 244 249 254 293 3.5. Teorema de la Igualdad para la Suma 3.6. Teorema de la Igualdad para la Multiplicación 3.7. Teorema de Cancelación para la Adición 3.8. Teorema de Cancelación para la Multiplicación 3.9. Sustracción de Números Reales 3.10. División de Números Reales 3.11. Ejercicios Desarrollados 3.12. Representación de los Numero«. Reales 3.13. Desigualdades 3.14. Axioma de la Relación de Orden 3.15. Definición 3.16. Teorema 3.17. Teorema 3.18. Teorema 3.19. Teorema 3.20. Teorema 3.21. Teorema 3.22. Ejercicios Dejan'ollados 3.23- Ejercicios Propuestos 3.24. Inecuaciones 3.25 Conjunto Solucion de una Inecuación 3.26. Resolución de una Inecuación 3.27. Inecuación de Primar Grado en una Incógnita 3.28. Inecuación de Segundo Grado en una Incógnita 3.29. Inecuaciones Polinómicas 3.30. Inecuaciones Fraccionarias 3 31. Inecuaciones Exponenciales 3.32. Inecuaciones Irracionales 3.33. Ejercicios Desarrollados 3.34 Ejercicios Propuestos 3.35 Valor Absoluto 3.36. Propiedades Básicas para resolver Ecuación e Inecuaciones donde interviene Valor Absoluto 3.37. Máximo Entero 3.38. Propiedades del Máximo Entero 3.39. Inecuación Logarítmica 3.40. Ejercicios Desarrollados 3.41. Ejercicios Propuestos
314 313 373 332 339 343 353 356 357 358 359 360 365 365 366 370 388 399 404 411 411 423 433 436 438 439 441 441 454 466 477 483 3.42. Aplicaciones de las Inecuaciones a la Administración y Economía 3.43. Ejercicios Propuestos CAPITULO IV RELACIONES / FUNCIONES 4.1. Introducción 4.2. Relaciones Binarias 4.3. Gráfica de una Relación de Ren R 4.4. Ejercicios Desarrollados 4.5. Ejercicios Propuestos 4.6. Funciones 4.7. Dominio y Rango de una Función 4.8. Criterio parael Calculo de Dominio y Rango de una Función 4.9. Aplicación de A en B 4.10. Funciones Especiales 4.11 Evaluación de una Función 4.12. Funciones Definidas con Varias Regla de Correspondencia 4 13. Trazado de Gráfica Especiales 4.14. Ejercicios Desarrollados 4.15. Ejercicios Propuestos 4.16. Operaciones con Funciones 4.17. Composición de Funciones 4.18. Propiedades de la Composición de Funciones 4.19. Ejercicios Desarrollados 4.20. Ejercicios Propuestos 4.21. Función: Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva 4.22. Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas 4.23. Cálculo de Rango de Funciones Inyectivas Monótonas 4.24. Función Inversa 4.25. Función Inversa de una Composición 4.26. Ejercicios Desarrollados 4.27. Ejercicios Propuestos 4.28. Aplicaciones de las Funciones en Administración y Economía 4.29. Ejercicios Desarrollados 4.30. Ejercicios Propuestos
490 491 4Q2 493 495 495 496 496 498 499 499 500 507 511 511 516 520 523 529 534 538 539 540 541 542 543 544 546 548 548 551 CAPITULO V INDUCCIÓN MATEMATICA 5.1. Introducción 5.2. Conjuntos Acotados 5.3. Axioma del Supremo o Axioma de la Mínima Cota Superior 5 4. Principio Arquimediano 5 5 Principio del Buen Orden 5 6 Menor Elemento y Mayor elemento de A cz R 5.7. Proposición 5.8 Sub Conjuntos Inductivos de R 5.9. El Principio de Inducción Matemática Completa 5.10 Teorema 1 (Primer Principio de Inducción) 5.11. Teorema 2 (Segundo Principio de Inducción) 5.12. Definición 5.13. Ejercicios Propuestos 5.14 Sumatorias 5.15 Propiedades de la Sumatoria 5.16 Fórmulas de la Sumatoria 5.17. Notación del Producto de n Números 5 18 Ejercicios Propuestos 5.19. Divisibilidad en Z 5.20. Máximo como Divisor M.C.D. 5.21. Lema 5.22 Mínimo Común Múltiplo 5.23. Regla para averiguar si un número dado es primo 5.24. Criba de Erastóstenes 5.25. Ejercicios Propuestos 5.26. La Función Factorial 5.27. Números Combinatorios 5.28. Principales Propiedades de los Coeficientes Binomiales 5.29. El Triángulo de BLAISE PASCAL 5.30. Potencias de un Binomio 5.31. Ejercicios Propuestos
557 557 557 558 558 558 559 560 560 5ó6 566 566 567 568 589 598 600 601 604 605 606 607 619 623 635 637 637 CAPITULO VI 6.1. Ecuaciones sin Solución en K 6.2. Definición 6.3. Definición 6.4. Plano Complejo 6.5. Definición 6.6. Ejercicios Propuestos 6.7. Cero y Opuesto de un Número Complejo 6.8. Operaciones con Complejos 6.9. Unidad Imaginaria 6.10. Forma Estándar o Binómica de Números Complejos 6.11. Teorema 6.12. La Conjugación en C 6.13. Módulo de un Número Complejo 6.14. Ejercicios Desarrollados 6.15. Ejercicios Propuestos 6.16. Forma Trigonométrica o Polar de un Número Complejo 6.17. Multiplicación y División en Forma Polar 6.18. Potencia y Raíces de Números Complejos 6.19. Exponenciales Complejas (Fórmula de Euler) 6.20. Logaritmos en C 6.21. Exponencial Compleja General 6.22. Ejercicios Desarrollados 6.23. Ejercicios Propuestos 6.24. Miscelánea de Ejercicios CAPITULO VII TEORIA d e e c u a c io n e s 7.1. Definición 7.2. Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado 7.3. Raíces y Discriminante de una Ecuación Cuadrática
638 639 640 642 643 643 645 646 646 G46 647 647 648 649 650 651 653 t»53 654 654 654 655 C56 657 660 6o2 664 666 669 682 685 687 7.4. Relación Entre Raíces y Coeficientes de una Ecuación Cuadrática 7 5 Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas 7.6. Ecuaciones Irracionales 7.7. Algoritmo de la División 7.8. Teorema (Algoritmo de la División para Polinomio) 7.9. La División Sintética 7.10. Teorema del Resto 7.11. Teorema del Factor 7.12. Raíces de un Polinomio 7.13. Teorema Fundamental del Algebra 7.14. Número de Raíces de una Ecuación Polinómica 7.15. Definición 7.16. Raíces Enteras 7.17. Forma Factorizada de un Polinomio 7 18. Relación Entre los Coeficientes y las Raíces de una Ecuación Polinómica 7.19. Naturaleza de las raíces de Polinomios Reales 7.20. Raíces Racionales de un Polinomio 7.21. Teorema del Limite Superior de las Raíces Reales (LAGRANGF.) 7.22. Variación de Signos de un Polinomio 7.23. Regla de los Signos de Descartes 7.24. Ecuaciones Binómicas 7.25. Ecuaciones Trinómicas Bicuadradas 7.26. Ecuaciones Recíprocas 7.27. Ecuaciones Polinomicas de Tercer Orden 7.28. Ecuaciones Cuartica 7.29. Gráfica de un Polinomio 7.30. Regla 7.31. Solución Numérica de Ecuaciones con el Método de Newton 7.32 Ejercicios Propuestos CAPITULO VII VECTORES EN R2 8.1. Conceptos Básicos 8.2. V'ectores B¡dimensional 8.3. Operaciones con Vectores
694 696 69'7 697 698 700 701 702 703 704 705 706 Tv6 707 708 709 710 710 712 713 714 714 715 716 717 718 720 721 722 760 784 8.4. Longitud o Módulo de un Vector 8.5. Propiedades del Módulo de un Vector 8.6. Vector Unitario 8.7. Teorema 8 8. Dirección de un vector en R2 8.9. Producto Escalar de Vectores 8.10. Propiedades del Producto Escalar de Vectores 8.11. Vectores Paralelos y Ortogonales 8.12. Criterio de Colinealidad 8.13. Interpretación Geométrica de la Ortogonalidad de Vectores 8.14. Teorema 8.15. Teorema 8.16. Teorema 8.17. Corolario 8.18. Combinación Lineal de Vectores 8.19. Teorema 8.20. Teorema 8.21. Dependencia en Independencia Lineal de Vectores en R2 8.22. Vectores Fundamentales 8.23. Propiedades de los Vectores Ortogonales Unitarios 8.24. Definición 8.25. Proyección Ortogonal y Componente 8.26. Definición 8.27. Propiedades del Vector Proyección y Componente 8.28. Relación entre Proyección y Componente 8.29. Angulo entre Dos Rectas 8.30. La Desigualdad de Cauchy - Schwarz 8.31. Área de: Triángulo y Paralelogramo 8.32. Ejercicios Desarrollados 8.33 Ejercicios Propuestos BIBLIOGRAFIA
Lógica 1 CAPITULO I LÓGICA 1.1. INTRODUCCIÓN.- Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. En la actualidad, el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las Humanidades como el de las ciencias y la técnica requieren conocer los fundamentos y mítodos del razonamiento lógico preciso que permite al estudiante o profesional extraer y depurar ais cunclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es aun más en esta era de la computación, herramienta que es empleada en todus los campos del desarrollo de una sociedad y con la velocidad a la cuál se procesan los datos cualquier error de lógica puede originar problemas técnicos, sociales y económicos. Siendo muy importante, en la matemática moderna análisis del lenguaje con un criterio lógico: la L ó g ic a tiene como fin de conducimos a un hábil manejo del lenguaje matemático y el empleo de métodos eficaces de razonamiento. Existen dos tipos importantes del razonamiento: El inductivo y el Deductivo. El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cuál una persoi a en base a sus experiencias específicas, decide aceptar como válida un principio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cuál dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez nabrá de determinar el curso de su acción. Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo, en el desarrollo de nuestro estudio veremos lo esencial de la lógica preposicional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.
2 Eduardo Espinoza Ramos 1.2. ELEMENTOS DE LÓGICA SlMBÓLICA.- a) ENUNCIADO.- Se denomina enunciado a toda frase u oración. Ejemplo.- i ) 11 es un número primo. © París está en Italia. © ¿Qué hora es'/ 0 ¡Viva el Perú! © 5 > 9 © 6 + 2 = 8 © x 2 <9 ( T 1x 2+y 2 <4 Los enunciados que matemáticamente tienen significado son aquellos que pueden ser considerados como verdaderos o falsos (proposiciones); algunos enunciados no es posible afirmar si es verdadero o falso, como por ejemplo, las inte.rogaciones, las exclamaciones o las preguntas. b) ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Ejemplo.- © x < 7, es un enunciado abierto, porque no podemos afumar si es verdadero o falso, solamente cuando a la variable x se le dá un valor numérico podemos decir si es verdadero o falso. Así por ejemplo: para x = 3, 3 < 7 es verdadero para x = 9, 9 < 7 es falso © x 2 +y 2 = 16, también es un enunciado abierto. c) VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido, a las variaLles representaremos por las letras minúsculas x, y, z. t, u, v, a estas variables se les dá el nombre de variables indeterminados. Ejemplo.- © y = ^ 5 es un número real, si x es un número real que sea mayor o igual a 5 El campo o recorrido dt- x es x > 5.
Lógica 3 © En la ecuación x +y 2 = 16 El campo o recorrido de x es • 4 < x < 4 El campo c recorrido de j es - 4 < y < 4 . 1.3. PROPOSICIONES LOCICAS.- Llamaremos proposiciones lógicas a todo enunciado abierto que pueden ser calificado como verdaderas o bien como falsas, ¡>inambigüedades NOTACIÓN.- Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsculas p, q, r, t, etc. A la veracidad o falsedad de una proposición se denomina valor de veidad. Ejemplos de Proposiciones Lógicas.- © p: 15 - 4 = 1 1 , verdadei .■ >■ V) © q: Lima es la capital del Perú, verdadero (V) Q j r: 107 + 301=48, falsa (F) t: 7 es un número par, falsa (F). 1.4. ÜEFINICIÓN.- Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabl? de verdad en la forma. P V F 1.5. CONECTIVOS LÓGICOS.- Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos. La conjunción, disyunción, implicación, bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguiente cuadru.
Eduardo Espinoza Ramos Nornore Expresión Simooio Lógico Conjunción y •* A Disyunción ó V Implicación Sí,.... entonces,... -----> Bicondicional, equivalencia doble implicación ... Sí y sólo sí,... < -------» Negación No Contradicción no equivalente,... 1.6. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS.- a) PROPOSICIONES SIMPLES Ó ATÓMICAS.- En una proposición que no contiene ningún conectivo lógico. Ejemplo.- ^ 6 es par. @ 2 + 5 = 7 b) PROPOSICIONES COMPUESTOS O MOLECULARES.- Es una proposición que contiene al menos un conectivo lógico. Ejemplo.- © 5 es primo y 2 es par. (2^ Si 5 es par entonces 2 es impar. © Si n es par entonces n es divisible por 2. 1.7. PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSK OS.- a) LA NEGACIÓN.- Dado una proposición P, llagaremos la negación de P, a otra proposición que denotaremos por -P, y que se le asigna el valor opuesto a p, y su tabla de verdad es: El principio lógico de la negación es:
Lógica 5 Si una proposición es vercLder^ V, su negación es falsa F y recíprocamente, si dicha proposición es falsa F, su negación es verdadera V. La proposición ~P es leída así “no P”, ' no es cierto que P” Ejemplo.- (T ) 2 es primo V Su negación es: 2 no es primo F ( 2) 5 es par F Su negación es: no es cierto que 5 es par V © Dada la proposición P: 5 x 7 =35 Su negación es: ~P: no es cierto que 5 x 7 = 35 b) LA DISYUNCIÓN.- La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que reculta de unir p y q por el conectivo lógico “o” en el sentido inclusivo y/o y que el principio lógico es ‘La proposición p v q es falsa únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera”. La tabla de verdad paia la disyunción es: Ejemplo.- Hallar el valor de p v q donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5 Solu. ión p v q c) LA CONJUNCIÓN.- La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “y” que se simboliza p a q, donde el principio logico es “Lz conjunción p a q es verdadero V, sólo cuando p es verdadero y q es verdadero V, en todos los demás casos es falso”. Su rabia de verdad es:
6 Eduardo Espinoza Ramos p q p a q V V V V F F F V F F F F Ejemplo.- Sí p: 4 < 7 y q: 6 es número par. Calcular el valor de verdad de p a q Solución P q pAq V V V d) LA CONDICIONAL (IMPLICATIVA).- La implicación o condicional de dos pr( posiciones p y q es la proposición compuesta meuiante el conectivo lógico “s i,..., entonces, ...” y se simboliza p -----» q, donde el principio lógico es “La proposición .mphcativa es falso únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos. Su tabla de verdad es: P q D - » q V V V V F F F V V F F V La proposición p es llamado antecedente y la proposición q es llamado consecuente. P --------------------------------- >q Antecedente Consecuente Premisa Conclusión. Hipótesis Tesis. OBSERVACIÓN.- © Una implicación es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea el consecuente. © Una impl.cación es verdadera si el consecuente es verdadera, cualquiera que sea el antecedente.
Lógica 1 Ejemplo.- Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p ----->q Solución Para calcular el valor de verdad de la proposición p ----->q, primero calcularemos el valor de verdad de las proposiciones dadas. p : Cristóbal Colón descubrió América es verdadera V q : 6 + 3 = 8, es falsa F e) LA BICONDICIONAL (Equivalente ó Doble Implicación).- La doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si y sólo si” y se simboliza p < — » q son verdaderos V o son falsos F, en otros casos es falso F. Su tabla de verdad es: p ti V V V V F F F V F F F V f) LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- La disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q es la proposición compuesto mediante conectivo lógico “o” y se simboliza p A q, donde ambas proposiciones p y q tengan valores de verdad opuestos y es falsa si ambas tiene idénticos valores. Su tabla de verdad es: P q p Aq V V F V F V F V V F F F
8 Eduardo Espinoza Kamos Ejemplo.- Sea p : k es par ; q : k es, impar. Hallar el valor de verdad de p A q. Solución Para calcular el valor de verdad de p A q, primero veamos lo siguiente: Si k es par, si puede ser impar (Si p es V ; q es F) © Si k es impar, no puede ser par (Si p es F ; q es V) De las notaciones (1) y (2) vemos que p A q es verdadera. En efecto: p q p A q V F V F V V 1.8. PROPOSICIONES COMPUESTAS.- Mediante los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier numen> finito de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se puede indicar los valores resultantes de estas proposiciones compuestas, para todas las «'ombinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones compuestas. Ejemplo.- La tabla de verdad de la proposición compuesta de: [(p----->q) a (q----->r)]----->(p-----*r) Solución
Lógica 9 1.9. JERARQUÍA DE LOS CONECTIVOS LÓGICQS.- Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las operaciones primero se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las negaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como paréntesis). Ejemplo.- Hallar la tabla de valor de verdad de la proposición: [p v(q-----*~r)] A[(~pvi)<---->~ ql p q r [P V (q- ->)] A [(~p v r) < — » ~q] V V V V V F F V F F V V F V V V V F V F V F V V V V V V V V V F F V V V F F F V F V V F F F F V F F F V F F V V F V F F F F V F V V V V V V F F F F V V V V V V 1.10. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.- a) TAUTOLOGÍA.- Son proposiciones compuestos que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componcnto Ejemplos de Tautología.- © p v - p (principio del tercio excluido) (2 ) [(p----->q) a p]-----■ *q (5) (p ~p> Fn electo tenemos
10 Eduardo Espinoza Ramos © p P V ~p V V V F F F V V Es Tautología © Es una Tautología © P ~P 1 - (p a ~p) V F V F F V V F b) CONTRADICTONES. compuestas. Es una tautología Son proposiciones compuestas que siempre son falsas, cualquiera que sea el valor de las proposiciones Ejemplo de contradicciones.- © p a ~p (principio de contradicción) (T ) ~(p v ~p) En efecto tenemos: © © ( p ------ > q ) A ( p A ~ q ) P ~P P A 'P V F F F V F Es una contradicción
Lógica 11 © p ~P ~ (p V ~p) V F F V F V F V Es una contradicción © - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ „ P q (p— >q) A (P a ~q) V V V F F V F F F V F V V F F F F V F F Es una contradicción. c) CONTINGENCIA.- Son proporciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es F, y en otros es V. Ejemplos de Contingencia.- © p < — >q © p a q © (p— >q)— >p En efecto tenemos: © Es una contingencia © P q p Aq V V V V F F F V F F F F Es una contingencia
12 Eduardo Espinoza F amos ® p q (P ->q) »P V V V V V V F F V V F V V F F F F V F F Es una contingencia 1.11. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA.- i) A toda proposición condicional p — »q que sea tautología le llamaremos implicación lógica (o simplemente implicación) en éste caso a la condicional denotaremos por p=>q Ejemplo de Implicación lógica se tiene: [((~p) v q) a ~q] => ~p puesto que: P q K(~p) v q) A ~q] => -P V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V V X . _ _ / Es una tautología. Por lo tanto es una implicación lógica. ii) A toda bicondicional p <-» q que sea tautología se le llama equivalencia lógica (o simplemente equivalencia) y en éste caso a la bicondicional denotaremos por p<=> q. Ejemplo de equivalencia lógica se tiene: [p a (p v q)] < = >p puesto que: > ______ ______________________ P q [p A (P v q)] < = > p V V V V V V V V F V V V V V F V F F V V F F F F F F V F ''-1 ____ Es una tautología. Por lo tanto es una equivalencia lógica.
Lógica 13 1.12. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES.- Cuando sus tablas de verdad de dos proposiciones p y q son idénticos se denominan equivalentes (o lógicamente equivalentes) en este caso se simboliza en la forma p=q. Ejemplo.- Las proposiciones (p ----->q) y (~q----->~p) ,;ort lógicamente equivalentes. puesto que sus tablas de verdad son idénticos. En efecto: p q p — >q -.q-----> p V V V F V F V F F V F F F V V F V V F F V V V V Idénticos ••• p — * q = ~ q — >~p OBSERVACIÓN.- © La equ valencia de este ejemplo es muy importante, porque viene a ser la base del llamado método de demostración por Reducción al absurdo, en una forma indirecta de un proceso de demostración que se va utilizar en el desarrollo del curso. © Un par de proposiciones equivalentes p e e q resulta siempre una equivalencia lógica p « q y viceversa, por esta razón cuando se tiene una equivalencia lógica entre p y q, también se dice p = q. 1.13. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS.- Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas preposicionales tautológicas de caractcr general y que a partir de estas leyes lógicas se puede generar otras tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes lógicas mencionaremos.
14 Eduardo Espinoza Ramos Io LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS.- © Ley de identidad. í P ----- 5P • { “una proposición sólo son idénticos así mismo” [P<---- >P © Ley no contradicción. ~(p a -p) "una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez” © Ley del Tercio excluido. p v -p “una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posibilidad" 2o EIIIVALENCIAS NOTABLES.- © Ley de la doble negación. ~(~p) = p “la negación de la negación es una afirmación” © Ley de la Idempotencia. a) p a p = p b) p v p ^ p © Leyes conmutativas. a) (p a q) = (q a p) b) ( p v q ) E ( q v p) c) p < — >q = q<— >p © Leyes Asociativa. a) p a (q a r) s (p a qj a r b) p v (q v r) = (p v q) v r c) p < — >(q < ---- >r) = (p < — >q) < — > r © Leyes Distributivas a) p a (q v r) s (p a q) v (p a r) b) p v (qa r) = (p v q) a (p v r) c) p ------»(q a r) = (p-----»q) a (p---->r) d) p ------>lqvr) = (p----->q)v(p---->r)
Lógica 15 © Leyes De Morgan a) ~(p a q) = ~p v ~q b) ~(p v q) = - p a ~q © Leyes del Condicional. a) p ----- >q = ~P v q b) -(p ------>q) = p A ~ q © Las Leyes del Bicondicional.- a) (p<— ► q) = (p------ > q )A (q ------>p) b) (p < — >q) s (p a q) v (~p v -q) © Leyes De La Absorción. a) p a (p v q) = p b p a (~p v q) = p a q c) p v íp a q) = p d p v (~p a q) = p v q @ Leyes De Transposición. a) (p----- > q ) s - q ----- >--p b) (p<— >q) = ~q<— >~p © Leyes De Exportación. a) (pAq)----- >r = p--->(q------ >r) b) (Pi a p 2 a ...a pn)- - - - - - ->r = {pxa P2 a ...a pn— i )- - - - - - -K p n - - - - - - - ->r) (l2) Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción. a) p a V s p. V neutro de la conjunción. b) p v F = p, F neutro de la Disyunción. (O ) También: a) (p v q) a (p v -q) = p b) (p a q) v (p a ~q) = p OBSERVACIÓN.- Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplaza! una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.
16 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas. (1 ) [(pv-q)A q]------>p Solución l(p v ~q) A q]----->p = ~[(p v ~q) A q] v p - [~(p v -q) v -q] v p = t— (P v ~q)J v (p v -q) E P v ~q ( 2) — [— (p a q)----- >~q]vq Solución ~l~(p a q)- - - - - - -> -q] v q s [ -(p a q) a - (~q)] v q por (7b) = ~Up a q) v (-q)] v q por toa) S [~(p A q) A — (~q)] v q por (6 b; = [(~p v -q) a q] v q = q v ((-p v ~q) a q) por (3b) s qv [q a (~p v ~q)] = q por (9b) © Comprobar que las tres proposiciones siguientes son equivalentes: a) _ [(q v _p) v (q a (r v ~p))] b) (p a - q) a [~q v (— r v p)] c) ~(~q----->-p) a [q----->-(p ------ >r)] Determinar si (a) y (b) son proposiciones equivalentes: a) p ----------»(r v ~q) b) (q-->~p> v (— r — -p) Dejamos el desarrollo de este ejercicio al lector.
Lógica 17 ( j ) [((~P) a q)-----! (r a ~r)J a - q Solución [((~p) a q)----->(r a ~r>] a ~q = [((~p) a q)----->F] a ~q = K(~P) A q) v F] a -q = [(P v -q) v F] a -q = (p v ~q) a q = q Ejemplo.- Detenr.inar si a) y b) son proposiciones equivalentes: a) p ---- >(rv ~q) b) (q----- >-p) v (~r----->~p) Solución Determinaremos la equivalencia mediante la tabla de verdad. p q r (r v ~p) P L q > I Vv~r ' ■ >--pj V V V V V V F V V V V F V F F F F F V F V V V V V V V V F F V V V V V F F V V F V V V V V F V F F V F V V V F F V F V V V V V F F F F V V V V V ... (2) Idénticos ^ 1__________________________ J Otra manera es mediante la simplificación. a) p ----->(rv~q) = (~p)v(rv~q) b) (q----->~p) v (~r----->~p) = (— q v ~pj v r v ~p) = (~q) v (~p v ~p) v r = (-q) v (~p) v r = (~p) v (r v ~q) Luego de (1) y (2) se tiene: a) = b)
18 Eduardo Espinoza Ramos 1.1 LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO.- A1 proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se denomina inferencia lógica o Argumento lógico. La inferencia lógica es una condicional de la forma: ÍPi * P i a ...a p „)- - - - - - -...(a) donde las proposiciones p,p-i,—.p„ son llamadas premisas y que originan como consecuencia otra proposición q llamada conclusión. OBSERVACIÓN.- Una inferencia 15gica puede ser una tautología, una contingencia o una contradicción y por lo tanto se tiene: Si la condicional (a) es una tautología se denomina argumento válido o inferencia válida. © Si la condicional (a) no es una tautología se denomina FALACIA. Ahora veremos como se determina el valor de verdad de un argumento lógico. 1.15. DEFINICIÓN.- EI argumento (a) es verdadero si q es verdadero cuándo todas las premisas p¡, p 2,..., pn son verdaderos, en cualquier otro caso el argumento (a) es falso. NOTACIÓN.- También el argumento (a) se denota por: P 1 . P 2 - - ’ P n --------->9 - ( P ) Ejemplo.- Determinar si p v q es una consecuencia válida de ~p----->~q,~q----->r, ~r Solución En este problema las premisas ~p---- >~q, ~q----- >r, ~r y la conclusión es p v q, por lo tanto se debe demostrar que (~ p-----> ~q) a (~ q-----> r) a ~ r -----» p v q es una tautología.
Lógica 19 p q r t( P -» ~q) a (~q ->r)] a [-~r— — * (P Vq)] V V V V V V F F V V V V F V V V V V V V V F V V V V F F V V V F F V F F F V V V F V V F F V F F V V F V F F F V F V V V F F V V V V F F V F F F F V F F F V V F _ _ T * . Es una tautología Como es una tautología es una inferencia váliua. 1.16. TFOREMA.- Si el argumento (a) es válida y las premisas px, p 2,...,pn son verdaderas, entonces la conclusión q es verdadera. Demostración Si el argumento (a) es válido, la condicional p, a p 2 a ...a pn ------ >q es una tautología en que (px/p < ..a pn) es verdadera (puesto que cada p lf p2,..., P„ son verdaderos) de donde se tiene que la única posibilidad para la conclusión q es que sea verdadera, pues si fuese falsa, la condicional seria falsa y la inferencia no seria válida, contradiciendo la hipótesis. OBSERVACIÓN.- Una inferencia no se modifica si una o varias de las proposiciones componentes p ,, p 2 , p„ - q se reemplaza por otra u otras que sean equivalentes. NOTACIÓN.- Al aigumento (p, a p2 a ...a p„)------ >q, ¿ambién se denota en la forma siguiente: P Pi Pi Pn q
20 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Demostrar que el argumento es válido. P p— >q •• q Solución Se debe demostrar que la condicional [p a (p---- »q>]------» q es una tautología [p a (p---- >q)]-»q — [p a (p----------->q)]vq = [~pv~(p----->q)]vq = (~P v q) v ~(~p v q) = (~p v q) v (p a -q) s ~(p a ~q) v (p a ~q) = V es tautología También puede haberse demostrado con la tabla de verdad. Es una tautología 1.17. INFERENCIAS VÁLIDAS NOTABLES.- © Ley De Módus Pones.- [(p------->q) a q] => q también se simboliza p -------------------->q _P_______ .-. q © Ley De Módus Tollens.- [(p----- >q) a (~q)] =>(~p) también se simboliza p -----»q
Lógica 21 (5 ) Ley Del Silogismo Hipotético, [(p-----»q) a (q-----»r)] => <p----->r) También se simboliza: p ----- »q q - -> r p ----->r © Ley Del Silogismo Disyuntivo, [(p v q) a (~p)] => q También se simboliza: p ✓q ~P q Ley Del Dilema Constructivo, h p -----»q) a (r----->s) a (p v r)] => (q v s) También se simboliza: p ----- » q r ----->s p v r q v s © Ley De Simplificación a ) p A q = > p b) p a q => q También se simboliza: P P _q_ _ q__ de p q 1.18. EL MÉTODO A3REVI DO.- E1 desarrollo de la tabla de valores de la inferencia (pxa p2 a ...a pn)------>q es muy laborioso cuando se desea saber su validez, esto se puede evitar mediante el “método abreviado” que es fácil de manejar y de gran precisión. El método abreviado consiste en analizar la única posibilidad de ser falsa la implicación p -----»q, es decir:
22 Eduardo Espinoza í amos O sea que la implicación es falsa F sólo cuando el antecedente es verdadero V y el consecuente falsa F. Ahora haremos un análisis a la inferencia, (p, a p 2 a...a pn)- - - - - - - »q mediante los siguientes pasos: Io Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas p ,, p 2,—, P„ y falso F a la conclusión, como el antecedente es verdadero y por ser una conjunción n premisas entonces cada premisa p¡, p2,..., p„ es verdadera es decir: (p, a p2 a ...a pn) - - - - - - - - - - - - - - - - ->q v ---------- v -----------' 2° Deducir el valor de cada una de las variabler proporcionales teniendo en cuenta las reglas a , v ,- - - - - -», ~ que se pueden presentar en cada premisa. 3° Si cada una de las variables proporcionales tiene un sólo valor, entonces la inferencia no es válida, es decir no hay implicación puesto que la conjunción de premisas es V y la conclusión es F. 4° Si una variable proporcional llega tener dos valores a la vez (V y F), entonces quedará demostrado que no es posible que la conjunción de premisas es V y la conclusión es F, por lo tanto hay implicación y la inferencia es válida Ejemplo. Analizar la inferencia [(p----->q) a (r----->~s) a (~q v ~s)]-----»(~p v ~r) Solución [(p |—>q) a (r - —* ~s) a (~q y ~s)]----------->(~p v ~r) v v W ! i
Lógica 23 Analizando la conclusión (~p v -r) ~p v ~r de donde p es F j p es V r es F Ir es V ahora analizaremos cada premisa p ---- -j----->q de donde p es V V4_ ( ^ V r ---- -j-— >~s de donde r esV ▲ ▼ V ~s es V entonces S es F. (y ) ^ -q v s de donde - q es V A s es F entonces q es F ------ 1 F como se puede apreciar que q es V por una parte y q es F por otra parte, lo cual es una contradicción por lo tanto la inferencia es válida. Ejemplo.- Analizar la inferencia [(p----->q) a (~p— -»r) a (p v ~p)]------»(p v r) Solución [(p----->q) a (~p----->r) a (p v ~p)]----------- >(p v r) i I I ▼ ▼ T I I ¡ I v. v V v . T T V . F' Analizando la conclusión p v r p es F p v r de donde { :es F
24 Eduardt ■ Espinoza Ramos Ahora analizamos cada una de las premisas. P ■ >q de donde p es F ▲ q es V ~P - p ----------->r ■ »r de donde -p es F entonces p es V como podemos apreciar p es F por una parte p es V por otra parte lo cual es una contradicción, por lo tanto la inferencia es válida. Ejemplo.- Analizar la inferencia: [(~p < — *(~q v r)) a (r-------------------------- »s)]--- »(s------»- Solución [(~p < — >(~q v r)) a (r----- >s)] * (s----->-p) ▼ V V Analizando la conclusión s -----»~p s 4 ~p de donde entonces p es V Ahora analizamos cada una de las premisas. ~p < ----------»(~q v r) ~q v r de donde
Lógica 25 ->s de donde re s F s es F FT ▼ L - ® Corno se tiene una contradicción. Luego la inferencia nc tiene validez. 1.19. IVfÉTCDOS DE DEMOSTRACIÓN.- En la demostración de teoremas y proposiciones qut se presentan en el álgebra y el análisis se aplican ordenadamente los pa os lógicos agotando todas las premisas (antecedentes o hipótesis) para verificar la conclusión (consecuente o tesis). Existen dos formas o métodos de demostración matemática, la directa y la indirecta. 1.20. I ORM¿ O MÉTODO D)RECTO DE DEMOSTRACIÓN. En la tabla de verdad de la implicación p -----»q. Si p es falso, la proposición p -----»q es válida cualquiera que sea el valor de q, entonces no se tendrá nada que demostrar, es decr que interesan los casos de antecedente verdadero. Sí a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma. se deduce la verdad de la conclusión de q, se dice que se na usado una demostración directa. Ejemplo.- Mediante el método directo comprobar la validez de la inferencia lógica. (pi a p2 a ...a pn)- - - - - - - ->q (1) [~p a (p v q)]----->q Solución [~p a (p v q)]-----»q = ~[~p a (p v q)] v q = [pv ~(p v q ) ]v q = ( p v q ) v ~(p v q) V = tautología
26 Eduardo Espinoza Ramos 1.21. FORMA O MÉTQuO INDIRECTO D e dEMOSTRACíON.- A esta forma de demostración también se denomina demostración por contradicción o por reducción al absurdo, este método consiste es negar la conclusión q y considerarla como una premisa, y a una de las premisas p ,, p , p n negarla digamos a p¡ y construir el siguiente argumento lógico ((— q) A P2 A - A Pn ) ------ *~Pl —(2) ahora probaremos que el argumento lógico(2) es equivalente al argumento lógico (1). ((~q) r,p2 a...a p n) ------ >~Pl = ~[~q a p 2 a ...a p n]v pj = [ q v - f t v - v - p „ ] v - p i = [- p, V - p 2v ... v - p n ] v q = -[ Pl A P2A A Pn ] V q = ( P a p2a ... a p n ) ----- >q (argumento 1) 1.22. DEFINICIÓN.- Cuando en una demostración se emplea el argumento lógico (2) se due que se está aplicando el método indirecto o método por reducción al absurdo, Ejemplo.- Por el método indirecto comprobar la validez a la inferencia lógica siguiente: [~ p a (p v q)]----- >q Solución Negaremos la conclusión q y la consideremos como premisa y negaremos a la premisa ~p y considerarla como conclusión.
Lógica 27 t(-q) a (p v q)]----->p = ~[(~q) a (p v q)] v p = Iq v ~ÍP v q ; ] v p = ( p v q ) v -(p v q) _____________ j v V s ¿autologh Ejemplo.- Probar que él número -Jl no es racional. Solución La comprobación lo haremos por el método de reducción al absurdo, lro. Suponemos que y¡2 es racional. 2do. Si y¡2 es racional => 3 m, n e Z primos entre sí lal que ¡2 =— n 2 3ro. Sí yÍ2 =— => 2 = ^ — => m2 =2n2 ... (ex) n n 4to. Como m2 - 2 n2, con n entero => m2 es par, por lo tanto m es par. 5to. Como m es par => m = 2k, para algún k entero. 6to. Reemplazando en (a) se tiene: 4k2 =2n2 => n2 =2k2 7mo Como n2 - 2 k 2 => n2 es par, por lo tanto n es par. 8vo. Como n es par n = 21, para algún 1entero. 9no. De 5to. y 8vo. se tiene m = 2k, n = 21 de donde m y n nene un factor común 2, lo cual contradice a la hipótesis de que m y n son primos entre sí. lOmo. Conclusión, por lo tanto Í2 no es racional.
28 Eduardo Espinoza Ramos £23. CIRCUITOS LOGICOS.- A un ensamblaje de interruptores automáticos que permiten el pa.,o de la corriente eléctrica o la interrumpen de denomina circuitos eléctricos. A un interruptor se puede representar por medio de una proposición p y viceversa, de tal manera que el valor de verdad de la proposición p se identifique con el “paso de la corriente” en este caso se dice que el “circuito está cerrado” y c.'ando el valor es “falso" con la interrupción de la corriente en este caso se dice que el circuito está abierto. Circuito cerrado Circuito Abierto (pasa corriente V) (no pasa corriente F) OBSERVACIÓN.- Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa la siguiente notación. El 1indica “pasa corriente” El 0 indica ‘no pasa corriente” Luego en circuitos eléctricos se usan como notación. “El 1en lugar de V” “El 0 en lugar de F ’ En el diseño de esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones compuestas y viceversa consideramos dos clases de instalaciones, en serie y en paralelo. 1.24. DISEÑO DE CIRCUITOS ELECTRICOS EN SERIE.- Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie. ------------ p --------- ► ----------- q ---------- ► ---------- o Pasa corriente
Lógica 29 Se observa que este circuito admite paso de comente cuando estos dos interruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente, es decir ésta situación corrc ponde a la tabla de verdad de la conjunción p y q. p q P Aq 1 i 1 1 0 0 0 i 0 0 0 0 En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los interruptores esté abierto ‘O para que no circule la corriente en todo el circuito A la expresión p a q se le llama la "Función Booleana del circuito en serie”. 1.25. DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN PARALELO.- Consideremos dos interruptores p y q instalados en paralelo. Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno delos interruptores o ambos p o q esté cerrado “1” y no hay paso de comente si ambos interruptores están abiertos (ambos con el valor "O”)- Este circuito corresponde a la tabla de verdad de la disyunción p v q, es decir:
30 Eduardo Espinoza Ramos p q p v q 1 i 1 1 0 1 0 i 1 0 0 0 A la expresión p v q se denomina la función Booleana del circuito en paralelo. © no pasa corriente NOTACIÓN.- A un interruptor p representaremos simplemente como o---------------------- p ----------------------o Ejemplo.- p Aq ------------------ p -------------------- q ------------------ p v q OBSERVACIÓN.- A una tautología se representa mediante un circuito siempre cerrado (.donde la corriente siempre está circulando). En las computadoras no son de utilidad. Ejemplos.- Construir el circuito lógico de las funciones Booleanas. a) p----->q Solución
Logica 31 p ----->q = ~p v q (paralelo) b) (p v q) a r Solución p v q es en paralelo o- © (p v q) a r es en serie Describir simbòlicamente el circuito. r -------o Solución ~q en paralelo rv ~ q -q En serie p A (r v q)
32 Eduardo Espinoza Ramos © © [p a (r v ~q)J v (q a -r) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: --------- P ---------- --------- q ---------- -q ~P -P Sdudóg [p v (q v (~q a ~p))] a -p = [p v (q v ~(q v p))] a ~p = [(P v q) v ~(p v q)] a -p s [(p v q) a -p] v [~(p v q) a -p] s [~p a q] v [~p a ~ q a ~p] [~p a q] v [~p a ~q] = [(~p a q) v ~p] a [(~p a q) v -q] -p a (~q v -p) = ~[p v (q v p)] v ~p Determinar el circuito lógico que representa el esquema molecular. ~[p - Solución ~[p-----»~(q v r)] = ~[~p v ~(q vr)] = p a (q v r) -(q v r)]
Lógica 33 1.26. LÓGICA CUANTIFIC ÍCIONAL.- FUNC1ÓN PROPOSICIONAL.- A todo enunciado abierto de la forma P(x) se denomina función proposicional la cual tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la vauable x por una constante “a” especifica, al conjunto de todos los valores convenidos para la variable x se denomina dominio de la variable. De acuerdo a la definición de enunciado abierto, la función proposicional sobre D es toda expresión P(x) donde P(a) es verdadero o falsopara todo a e D. Ejemplo.- P(x) = x + 1 < 9, si x pertenece al conjunto de los enteros, entonces P(x) es una función proposicional cuyo dominio es los enteros. Si x = -2 e Z, -2 + 1< 9 es verdadero x = 10 e Z, 10 + 1< 9 es falso por lo tanto P(x) es una función proposicional. 1.27. CUANTIFICADORES EXISTENCIAL Y UNIVERSAL - Se ha visto un método que nos permite que a pan ir de una función proposicional P(x) se puede obtener proposiciones, sin embargo se tiene otro método completamente distinto que permite obtener proposiciones a partir de una función proposicional, dicho método es llamado cuantificadores. Ejcmpko.- Sea la función proposicional P(x): x es un número primo ... (1) Si a la función proposicional le anteponemos “para todo x” se obtiene: "para todo x, x es un número primo’’ ... (2) La frase "para todo x" se denomina el cuantificador universal y se simboliza por: V x que se lee para todo x.
34 Eduardo Espinoza Ramos Luego (2) se puede escribir en la forma. V x: x es un número pi imo ... (3) aclarando (1) es una función preposicional (3) es una proposición. A un cuantificador universal puede ser reemplazado por: Vx: P(x) o V x / p(x) ó (V x) (P(x)) y en todas estas notaciones, se lee “para todo x, tal que se verifica P(x)” es decir: V se lee “para todo” El cuantificador El cuantificado Vx : #>íx) Notación: Vx / P(x) (Vx) (/>(X)) Ejemplo.- V x: x + 4 = x El cuantificador universal no es el único cuantificador que permite obtener proposiciones a partir de funciones proposicionales, existe otro llamado cuantificador existencial. Sí en (1) P(x): x es un número primo antes ponemos la frase “existe x tal que” es nuevo cuantificador, se obtiene: “Existe x tal que x es un número primo” ... (4) Al cuantificador existencial x “existe x tal que” se simboliza 3 x. de donde (4) se escribe 3 x: x es un número primo ... (5) un cuantificador existencial puede ser representado por 3 x: P(x) o 3 x/P(x) o (3x) (P(x)) y en todas éstas notaciones se lee: “Existe por lo menos un x, tal que se verifique P(x)” es decir: 3 se lee existe
Lógica 35 El cuantificador El cuantificatio Notación 3 x - P(x) 3.1 / P(x) (3x)(P(x)) Ejemplo.- Sea el conjunto A = {-2.-1,2,3.4} se tiene, 3 x e A: x 2 —2jt = 8 3 x e A / i - 2jc= 8 A)'jc2 - 2 x =8) 1.28. NEGACIÓN DE PROPOSICIÓN CON CU/vN HFICADORES.- Proposición La negación V x : P(x) 3 x : P(x) V x e A : P(x) 3 x e A : P(x) ~ [V x : P(x)] = 3 x : - P(x) -[3 x : P(x)] s V x : ~P(x.) ~[V x e A : Pix)] = 3 x e A : -P(x) -[3 x e A : P(x)l = V x e A : ~P(x) Ejemplo.- Negar la proposición, V x e N / x + 3 > 5 a>olucion ~[V x e N /x + 3>5] = 3 x e N / x + 3 < 5 Ejemplos.- Negar cada una de las siguientes proposiciones si el conjunto de referencia es los reales R. (7) (Vx)(3y)ÍP(x)->(q(y)-»r(x)j] (? ) (V x)(3 y)(3 z) [P(x,y)->q(x) a r(z)] ( D (3 x)(V y)(3 z)[~(P(x)->q(y)) v r(z)] ( 4) (V x)(3 y)(V z)[~(r() v ~P(x)) v q(z)]
36 Eduardo Espinoza Kanos Solución © -(V x)(3 y)[P(x)----- »(q(y)----->r(x'v)] = (3 x)(V y)[P(x) a ~(q(y)----->r(x)] = (3 x)(V y)[P(x) a (q(y) a -r(x))] (2 ) ~(V x)(3 y)(3 y)(P(x,y)-------->(q(x) a r(z)) = (3 x)(V y)(V z)[P(x,y) a ~(q(x) a r(z))] = (3 x)(V y)(V z)[P(x,y) a (-q(x) v -r(z))] ( 3) -(3 x)(V y)(3 z)[~(P(x)------------------------------->q(y)] v r(z)] = (V z)(3 y)(V z)[P(x)->q(y)) a ~r ( í ) ~(V x)(3 y)(V z)[~(r(x) v -P(x)) v q(z)] = (3 x)(V y)(3 z)[r(x) v ~p(x)) a ~q^z)] |l.29. EJERCICIOS DESARROLLADOS^ © Deter m ar el valor de verdad ae cada una de las siguientes proposiciones: a) Sí 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6=12 Solución Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero. b) No es verdad que 3 + 3 = 7 sí y solo sí 5 + 5=12 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador. Solución Es falso puesto que ambas componentes son falsas d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verd adera
Lógica 37 V Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) 4 + 8=12 y 9 - 4 = 5 Solución Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas. b) 8 + 4= 12 y 8 - 3 = 2 Solución Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición simple falsa. c) 8 + 4=12 o 7 - 2 = 3 So ución Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera. d) La UNMSM está en Arequipa o está en Lima. Solución Es verdadera V, puesto que es una disyunción exclusiva con una proposición simple verdadera. e) La UNI está en Lima o está en Trujillo. Solución Es verdadera V, puesto que es una disyunción exclusiva con una proposición simple verdadera. f) Sí 5 + 2 = 7, entonces 3 + 6 = 9 Solución Es verdadera V, puesto que es una implicación con las dos proposiciones simples - verdadera». g) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5=10 Solución Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.
38 Eduarde Espinoza Ramos h) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1=2 Solución Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F. i) Si 7 + 3 = 4, entonces 11-7 = 9 Solución Es verdadera V, pueito que las proposiciones que intervienen en la implicación son falsas. (5 ) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta. ~(p a q) < — >(~p v ~q) Solución D Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: ~{~[p v (~q-----»p)] v ~[(p < — >~q)---- »(q a ~p)] Solución Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan: — {[p v (~q-----»p)] a [(p r— >~q)----->(q a ~p)]} de donde se tiene: [p v (~q- - - - - -»p)] a [(p *— >-q )— (q a ~p)] . . - j j ^ El valor de verdad
Lógica 39 © Determinar la proposición [((~p) v q) a ~q]-----»~p es una ¿autologia. Solución p q [(~p v q) A ~ql ---- > ~p V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V V V Es una tautología © Verificar que las .siguientes proposiciones son contradicciones: a) (p a q) a ~(p v q) b) ~[p v (~p v ~q)] Solución P q (p Aq) A -(p v q) - fP V (~p V ~q)] V V V F F V F V V F V F F F F V F V V V F V F F F V F F V V F F F F V F F F V V * Contradicción Contradicción © Demostrar que las proposiciones dada es una tautología: [(p v -q) a q] - Solución Es una tautología
40 Eduardo Espinovi Ramos ^8) Verificar que la proposición dada es una contingencia [~p a (q v r)] < — »[(p v r) a q] Solución p q r [~P A (q v r)] < — »[(p v r) A q] V V V F F V F V V V V V F F F V F V V V V F V F F V V V F F V F F F F F V V f F F V V V V V V V V V F V F V V V F F F V F F V V V V F V F F F F F V F F V F F F I ^ 1 I __________X _________ J A Es una contingencia Determinar si las proposiciones [p----->(r v ~q)] y [(q----->~p) v (~r----->-p)J son equivalentes. Solución P q r lP -----» (r v ~q)] [(q— * p ) y ( r- —>~p)] V V V V V V F V V V V F V F F F F F V F V V V V V V V V F F V V V V V F F V V F V V V V V F V F F V F V V V F F V F V V V V V F F F F V V V V V Por lo tanto son equivalentes es decir: [ p—— »(r v ~q)] = [(q----------------- »~p) v (~r----------» fíüi Determinar si las proposiciones [(-p v q) v (~r a ~p)] y ~q-----»~ p son equivalentes. SoIjcícji
Logica 41 p q r [(— P )v q) v(--r a ~p)] -q- - - - - - ->~p V V V V V F V V V F V V F V V F V F F F F V F F F F F F F V V V V F V F V F V V F V F F V V V F V F F F V V V V ^ — Idénticas — ^ Por lo tanto son equivalentes es decir: (~p v q) v (~r a ~p) = ~q-----»~ p Determinar los esquemas más simples de la proposición: ~[~(p a q)-----»-q] v p Solución ~[~(p a q)-----»~qj v p por la condicional — [— (~(p a q) v -q)] v p por la negación — [(p a q) v ~q] v p por conmutatividad en la conjunción ~[~q v (p a qtj v p por absorción ~[~q v p] v p por Morgan (~p a q) v p por absorción p v q ~[~(p a q)-----»~q] v p = p v q ^ 2 ) De la falsedad de la proposición: (p---- ■ >~q) v (~r----->s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares a) (~p a ~q) v -q b) (~rvq)<— >'~qvr)AS c) <p-----»q)-----»(p v q) a ~q Solución
42 Eduardo Espinoza Ramos Determinaremos el valor de verdad de p, q, r y i Por lu tanto: p es V, q es V , r es F, s es F a) (~p a ~q) v ~q b) (~r v q )« - -> (~q v r) a ♦ : i : ¡ ♦ ! * ! i ! ♦ ! F ! F ! ♦ i 1 F ¡ F v ! v l l 1 i 1 F ! F ! ■ i i ! ♦ ! ! F ! i t i l c) (P- ->q)- + V ♦ V El valor de verdad es F -»(p v q) a ♦ ! ♦ V ! V ♦ ! ♦ V ¡ F ♦ F El valor de verdad es F ♦ F | V |El valor verdad V El valor de verdad de: — [(— p v q ) v (r----->q)] a [(~p v q)-----»<q a -p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de p, q, y r Solución
Lógica 43 Se sabe que p a q y q -----■ >t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes: a) (~p v t) v ~q b) ~[p a (~q v ~p)] <0 [(p----- >q a ~(q a t)] < — >l~p v (q a ~t)] Soluciói. Determ naremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t
44 Eduardo Espinoza Ramos por lo tanto p es F, q es V y t es F a) (~p v t) v ~q * i* V ¡ F I ♦ V b) I F el valor de verdad es V ~[p a (~q v ~p)] + ! + F ¡ V ♦ i ♦ F ¡ V i F 0 El valor de verdad es V c) [(p-----»q) a ~(q a t)] i F V V +: + v ! F I ♦ F V V [~p V (q A -t)] + : + v! v ♦ v ♦ V V Si la proposición (~p a q) son verdaderas: a) ~[(p-------------->q)--------->r] c) [(p v ~q) a p] v ~q Solución Detenninaremos los valores de p, q, r, s 0 El valor de verdad es V ---- » (~s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones b) ~(~p a q) a [(~r v r) a s]
Lógica 45 por lo tanto jp es F , q es V s es V , r es F a) ~1(P----->q)----->r] b) [~(~ p a q)] a [(~r v r) a s] F i V ♦ V ♦ F V V ♦ V È F F + ! + V¡ F i ♦ ♦ V V El valor de verdad es V [ I El valor de verdad F c) [(p v ~q) a p] v ~q F ! F I ♦ F F i F 0 E1 valor de verdad es F Por lo tanto únicamente es verdadero la a) 16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q) Solución [(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q) por distribución respecto a a [(ip a q) v pj a ((p a q; v ~q)] v (~p a ~q) por absorciün (p a (~q v p)] v (~p a ~q) por conmutatividad en v [p a (p v ~q)] v (~p a ~q) por absorción p v (~p a ~q) por absorción p v - q por lo tanto [(p a q) v (p a — q)] v (~p a -q) = p v ~ q
46 Eduardo Espinoza Ramos 17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito lógico. distribuidad respecto a a distribuida respecto a v por equivalencias Solución La ftmclón bo^leana del circuito dado es: [p v q v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p] Simplificando la proposición obtenida se tiene: [(P v q) v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p)l [(p v q v ~ p) a (p v q v ~q)] a [(~p v q) a p] (V a V) a [(p a ~p) v (p a q)] V a [F v (p a q)] = V v (p a q) = p a q Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (~p a ~q)] v [(~p v q) a p] = p a q por lo tanto el circuito simplificado equivalente es: O ----------------- P ------------------ Q ----------------- o Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: ---------P ------------ -------- q ------------ ~q ~P Solución La función booleana del circuito dado es: [p v (~q a ~p) v q] a -p ahora simplificamos la proposición obtenida
I ógica 47 [p v (~q a ~p) v q] a ~p s [p v q v ~p] a -p = [(p v ~q) v q] a ~p = (V v q) a ~p = q a ~p Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: -----------p ----------------------- q - Solución La función booleana del circuito dado es: [(~p a ~q) v (p a (~p v q)j] ahora simpl.ficando ia pioposición obtenida [(~p a -q) v (p a (~p v qj)] s [(-p A-q) a (p a q> ] = p < — >q Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: r ----- Solución La función booleana del circuito dado es: (p v q) a [(~q a (r v ~q)) v (p a q)] a r simplificando la proposición obtenida (p v q) a [(~q a (r v ~q» v (p a q)] a r = (p v q) a [~q v (q a p)] a r E E(p V c) A [~q v p] A r = [p v (q a ~q>] a r = ( p v F ) A r = p A r
48 Eduardo Espinoza Ramos Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares, a) ~[p----->-(qvr)] Solución Simplificando se tiene: ~[p----->~(q v r)] s ~[~p v ~(q v r)] ° I = p a (q v r) b) (~p)<— >(p---- >~q) ioli ción (~p) < — »(p - »-q) = (~p) < — >(-p v -q) = (~p a (~p v -q) v (p a (p a q)) o------------- = (~P) (P) c) ( pv q) ---- >[(~pvq)----->(p a q)] Solución (p v q)---- >[(~p v q)----->(p a q)] = ~(p v q ) v [~(~p v q) v (p a q)] = ~(p v q) v [(p a -q) v (p a q)] s (-p a -q) v p = (p V ~q) ~q
Lógica 49 1.30. EJERCICIOS PROPUESTOS.- © Determinar cuáles de los siguientes enunciado, sonproporciones: a) 5 + 7 = 1 6 - 4 b)3 x 6 = 1 5 + 1 y 4 - 2 * 23 x5 c) ¿El silencio es fundamental para estudiar? d) ¡Estudia lógica simbólica! e) Nosotros estuuiamos en la Universidad Peruana f) Los hombres no pueden vivir sin oxígeno. g) ¡Arriba Callao! h ) 5 + x = 7 i ) 2 + x * 3 + x © Determine cuáles de los siguientes enunciados son enunciados abiertos: a) x es hermano de y b) 28 <15 c) x + y + z * 1 d ) 9 x + 3>12 e) Tenga calma, no se impaciente g) x es ingeniero y Juan es matemático. h) La UNAC sobresalió en el deporte en el 2000. © ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas? a) Sí 3 + 3 = 6, entonces 4 = 4 b) Si 5(7) = 35, entonces 10 - 3 = 13 c) Si 19-7 = 3. entonces 4(5 + 3) = 32 d) Si 2 = 3 entonces 8 es un número primo. e) Si 3(7) es un número natural, ;ntonces17 es un número pr no f) Si x =2, entonces 3x =6
50 Eduardo Espinoza Ramos ( ! ) Deten' ¡nar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (3 + 5 = 8) v (5 - 3 = 4) b) (3 + 8 = 11) v (7 - 3 > 1) c) ( 5 - 3 = 8)------>(1-7 = 6) d) (4 + 6 = 9) < — >(5- 2 = 4) (? ) Dados las siguientes proposiciones: p: 5 > 10 q: si x2 +1 =0, entonces x es un número real r: “El punto medio de un segmento, equidista de los extremos del segmento” t: Sí x + 3 = 0, entonces x = -3 Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) [(pAq)---->r] a ~t b) [(p < — >q)-->~rAt]v (ó ) Si P{x) : x2 -16 = 0: qvx): x - 12 = 0, r(x) : x 2 >9 . Hallar el valorde verdad de: a) [p(2) a ~q(2)] < — >r(4) b) [~p(4)----- >r(5)] v ~q(4) c) [(p(l) a p(3)) < — >(r(2) v p(3)]---- >[~(p(2) v q(2))] ( 7) Si P(x): x3 =27 q{x): x 2 =9 ; r(x): x < 10. Hallar el valor de verdad de: a) (p(l)----- >q(12)] [r(-3) v ~r(3)] b) [p(0) a ~q(-1)] v [r(-5)----- >(r(-6) v r(0)] c)[(p(3) v p(2)) < — >(r(2) a ~q(3))] < — >[~q(3) v -p(-3)] © Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: a) (p<— >~q) < — >(q----- >p) b) (pA -q)-->(~pvq) c) [(p v -r) a (p v r)] a [(q----- >p)A(qvp)] d) ~(p v -q) a (~p v r) e) [p a (~q------->p)] a [~(p < — >~q)------>(q v~p)]
lj)gica 51 ® Construir la tabla de virrdad de las siguientes, proposiciones: a) (p a q) v (~p) =>(pvq) b) (p q) r c) (p ^ q) (q p) d/ ((~p) v q) => (~q => ~p) e) (p a r) => (~q v r) f) (p a q) v r < = > (~p v ~q) a (~r) (lO) Hallar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: a) p ----- >(pv ~q) b) [(p v ~q)------>(q----- >p,] c) [p v (q ------) ~r)] a l(~p v r) < — >~q] d) ~ H p a q)-----»~q] v p e) ~{[(p----->q)v(q----->r)]-----»(r----->p)} Deducir el valor de verdad de a) (p---- >r)----- »l(p v q) a ~q] b) (~ p A ~ q )v ~ q c) [(~r v q) a q] < ----->[(~q v r) a s] (l2) Indicar cuál es la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: ~[(p v q) a (-p v ~q)] Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautología a) [(p v -q) a q]----->p b) [(p a q) v q] t— >q c) [~p a (q a ~r)J < — >f(~p a q) v ~(p v r)] (l4) Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes esquemas moleculares es tautología, contingencia o contradictoria. a) -[~ p ----- »~(~q a ~p)J v ~( -p v -q) b) [(p v ~q) a ~p] a (~q-------- c) ~(p------>q) < — >~(~q------»~p) d) lp------>(q---->r)]<— >[(pA-r)---->~q] e) lp a (~q------------>p)]A~l(p->~q)--->(q v ~p)] f) f-p a (q v ~r)] < ----r lf~p a q) v ~(pv r)]
52 Eduardo Espinoza Ramos Determinar mediante la tabla de verdad, cuales de las siguientes proposiciones son: tautologías, contradicciones o contingencias a) (p------>q) a (q-----»p) b) [( p v q ) A - q ] ------------>p c) ~[(pvp)- - - - - ->p] d) ~(p v q) a p e) [p------>(q— r)J a [(q v p)---- »r] Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautología, contradicciones y contingencias. a) ~(~P)<— >~H~p)] b) (~p v q) a (~q---------- >p) c) (p v q) a r < — >~(p a r) a -(q a r) d) [(p a q a r)------>s] < — >[(p a q)---------------->(r------->s)] (17) Dadas las proposiciones siguientes: a) ~(p a q) < — >(pv ~q) b) ~(p------>q) < — >(pv-q) c) -(p < — >q) < — >(~p < — >-q) indicar cuál o cuales es una contradicción (18) ¿Algunos de las siguientes proposiciones es una tautología? a) - K p v q ) ------»~q]<— »(p------>q) b) ~[(~p) < — » q] < — » (p- - - - - - - >q) c) ~[(p a q) v (p a (~p v q))] < — >(p------------->-q) Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o contradictorias. a) [(p a ~q) a (~p----->r)]----->(p v ~q) b) {p v (q----->-r)] a [(~p v r) < — »-q] c) [(~p a q)-----»-r] < — »[r a ~(p v ~q)] d) ~{(p a q) v [p a (~p v q)]} < — >(p-----» -q)
Lógica 53 @ t,Cual de las iguienies esquemas no señalar una tautología? a) (p a q) < = >(q v p; b) (p a q) < = >(~p a ~q) c) (p a q) < = >(q a p) d) (p-> q ) « ( - p A - q ) (2^ Determinar la validez del esquema: ~|~(~p a ~q)----- >~(pv q)] « — * [— (— P v q)] (22) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es una tautología, aj (p a q) v [p a (~p v q)]< — >(p----- > -q) b) — [— (p v q)----- >~q]<— >(p----->q) c) ~(~p----- >q) < ---»(p < ---------> 23) Construir la tabla de verdad y determinar cuáles son tautología, contradicción o contingencia. a) (p----->q)<— M(r------>q)A(q------>p)] b) (p-----»(q v ~r)] a ~Ip < — >rj (24) ¿Cuales de las siguientes proposiciones es una tautología? a) — {(p a q) v [p a (— p vq)]] < ---->(p--------------->~q) b) ~(-p<— >q)<— >(p<— >q) c) [(p v — q) a q]------>p d) — [(— p v q)----- >q] « — >(p-----*q) e) [~p a (q v ~r)] < ---->[(~p a q) v~(p v r)] @ Simplificar las siguientes proposiciones: a) {[(~qj — » (-q)]--------------------------------------->[(~p)---------- >(~q)]}-* ~(p a q; b) [(p---->q) v -p] a (~q------->p) c) ~{[~(~p a q) v ~q]---->Hpv~q)]} d) (~p v ~q) a [~p a (q >p)] e) [(p = > q ) ^ ( p A q)] v (p a r) f) -[-(p a q) -» ~q] v p g) [(— p a q) => (q => p>] a p '26 Simplificar la» siguientes proposiciones:
54 Eduardo Espinoza Ramos a) [(~p a q)-----»(r a ~r)] a ~q b) K~q----- *~p)----- *(~p---- >~q)] a ~(p a q) c) [(p a q) v (p a ~q)] v (-p a -q) d) (p a q) v (~p a ~q) v p e) t => [(p => q) => q] a [~p a (q => p)] f)[~(p => q) => ~(q => p>] a (p v q) g) [(p a -q) a (q p) a r] v p 27) Si ~[(~p v q) v (r----->q)] a [(~p v q)----->(q a ~p)] es verdadera, hallar los valores de verdad de p, q y r. (S ) Si la proposición (p----->~q)----->(r----->~s) es falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones p,q,r,s. ^9 ) Si la proposición ~(p a q) a (q < — »p) es verdadera; entonces hallar ios valores de verdad de p y q respectivamente. 30) Si la proposición (p => ~q) v (~ r------> s) es falsa. Hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. a) (p = > q) => [(p v q) a ~q] b) (~r v q; < = >[(~q v r) a s ] c) (~p a -q) v -q (5 ^ Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la información siguiente: a) íp a q) < = >(p v q) es verdadero b) ~(pAq) es verdadero (32) Determinar el valor de verdad de lasproposicionesp y q si se conoce que el valor de verdad del siguiente esquema [— (~p => q; => ~(p----->~q;] => (p----->q) es falso. (33) Si p y q son verdaderos ¿para qué valores de r, el esquema siguiente es verdadero? (r----->p) (~q => r) 34) Si se tiene los siguientes datos: p es verdadero; r => ~p es verdadero y w t es verdadero, hallar el valor de verdad de ~r y de t.
/ vgica 55 35) Si el e »quema (p a q)----->(p-----»r) tiene valor de verdad, falso, halla el valor de verdad de los esquemas. a) [(p a q) v fq v ~r)] < = >(p v — r) b) (p v - q) (~r a q) c) ~(q v r ) v ( p v q ) (36) Si la proposición (~p a q) => [(p a r) v t] es falsa, hallar el valor veritativo de: a) ~[(~p v -q )----- >(rv ~t)] b) (~q v ~r) v [~t v (p v q)] c) (~p =» t) =* (~q => r) 37 Si la proposición (p a q) => (q => r) es falsa y se tiene los esquemas moleculares, a) ~(q v r) v (p v q) b) (p v ~q) => (~r a q) c) [(P a q) v (q a ~r)] o ( p v ~r) Cuáles son falsas ^8 ) Si la proposición (~p a q) => [(p a r) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. a) (~p => t) =* (~q =» r) b) (~q a ~r) v [~t a (p v q)] c) ~[(~p v ~q) ^ ( r v ~t)] (39) Sean p.q,r,s,t proposiciones. Si [(~p) a q] => [(r => p) v t] es una proposición falsa, hallar el valor de verdad de: ~(q v ~r) v ~[t (~q a p)] ^¡0) Si la proposición (~p a q) => (~s v r) es falsa, de las proposiciones siguientes, cuales son verdaderas? a) ~[('p => q) =? r] b) ~[(~p a q) a (~r v r)] a s c) [(p v ~q) a p] v (-q) Admitiendo la falsedad de: — [p v q v r] => ~(M a N a t). Hallar el valor de verdad de: a) [(p A M ) ^ ( q v N ) ) A t b) [(p=>q)=>(q=> M)] < = >(r => t) c) { [ ( pv q) ------>í i a s )] A ( - q ----->~t)} =>[(p— > q ) A ( q ------»M)]
56 Eduardo Espinoza Ramos 42) Admitiendo la falsedad de la proposición: (p a q) => [(r v s) => (t => w)] hallar el valor de verdad de: a) (p => w) a (r => q) b ) ~(p a t) => (~s => p) c) {[q => ~(t v r)] a [p => ~(r a w)]}« [(p => ~q) v ~t] 43) Si la proposición (~p a q)------- >[(p a q) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de: a) ~[(~p v -q )----->(r v ~t)] b ) (~p----->t)----->(~q----->r) c) (— q v ~r) v [~t a (p v q)J @ Si q—— »t y p a q son falsas. Determinar el valor de verdad de: a) (~p v t) v -q b ) ~[p a (~q v ~p;] c) [(p----->q) a ~(q a t)j < — >[~p v (q a ~t)] 45) Si la proposición í~p / q)-------»(~s v r) es falsa. Determinar el valor de verdad de: a) ~[(p------>q)---->r] b) ~(~p a q) a [(~r v r) a s] c) [Cp v -q) a p] v ~q (4ó) Si la proposición (~p----->q) v (s-----»~r) es falsa. Determinar el valor de verdad de las proposiciones. a) ~(p v q) v ~q b) ~[(pvq)A~q]----- >~(p----->q) c) [(r- - - - - - - - - - -> q) a q] < — > [(~q v r) a s] 47) Si la proposición (q a ~p)------> [(p a r) v t] es falsa, calcular el valor de verdad de la proposición: (~p----->t)----->(~q----->r) (48) Sabiendo que (q----->t) y (pAq) son falsas, deteiminar el valor de verdad de: a) ~[p a (~q v ~p)] b ) (~p v t) v s c> [~pv(qA~t)](---->1(p ----->q) A-(qAl)]
Lógica 57 (4$) s; el esquema (~p----->~q) v (r A q) es falsa, determinar el valor de verdad de: a) (p----->q)----->(r A ~q) b) - q ----- >[(p<— >q)Ar] (SO) Si [(r----->s) a t]----->(p v q', es falsa determinar el valor de verdad de: a) ~r v (~ó----------->~t) b) (p < — »t) v [q a (~r v s)] c) [(r A s) v (t-----»s)] a (p a r) (5^ Dado los esquemas proposic.onales denotados por A, B y C respectivamente: A: p < — »~(q a r) ; B: -p A ~r ; C: -(p a q) v -r Determinar si A ----->C y B -- »C son implicaciones (tautología) (52) Si la proposición (~p a q) => [(p a q) v t] es falsa Hallar el valor de verdad de: a) ~[(~p v ~q) =}(rv ~t)] b) (~q a ~r) v [~ta (p v q)] (53) Si el esquema indicado: [(~p v q ) v [(p -4 q) a t]] a q es veidadero, indicar el valor de verdad de: a) p => q b) t v q c) - q v ( t v p ) (54) Sila proposición [(p v t) — » (p a q)] es falsa, dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) [(~p a ~t) a (q >r)] b) [(p vt)<-> (~p v ~q)] c) [íp v t) A (p a q)] 55) Si la siguiente proposición lógica ~[(p a q) => (q < = > (r v s))] es verdadera, hallar los valores de verdad de p, r, q, s. 56)De la falsedad de la proposición: (p — » ~q) v (~r — » s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares. a) (~p a ~q) v ~q b) (~r vq)<-> (~q v r) a s c) (p q) (p v q) a ~q 57)De la falsedad de (p => ~q) v (~r => ~s). hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) ~(~q v -s) ~p b) ~(~r a s) = >(-p = >q) c) p = >~(q = >~(s = >r))
58 Eduardo Espinoza Ramos (58) Hallar los valores de vjrdad de: p, q, r si: [(~p v q) v (r => q)] a [(~p v q) => (q a ~p)] es falso. (59) Si la proposición: [~(p => q) a (~r v s)] => r es falso, halle los valores de verdad de: p, q yr- ^0 ) Si: ~p v [(p a r) => (r < = >q)] es falso, halle el valor de verdad de. [(p => q) v r] < = >(p a r) (ól) Si [~(p =* q) a -r] =* [p a (q v r)] es falsa, halle los valores de verdad de: p, q y r. (í>2) De la proposición compuesta: ~[(p a q a r) => s] => (~p v s) se conoce que es falso, señale el valor de: p, q, r y s. (S ) Si la proposición “s” es falsa, y el siguiente esquema: (~p a q) <=v[(q => r) v (p a ~s)] es una tautología, hallar los valores de verdad de p, q y r. (6^ Demostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes: a) - p A q = ~(p v q) b) p A - p = - [ ( p ' ' p ) « p ] c) -q v p = ~(~p a q) = ~p < = >(p => ~q) d) ~[(p a q) a ~r] s ~[(~p a -q) a (p v r)] e) ~(p => q) = ~p « q = p «= >~q s ~(~p «= >~q) (6S) Probar que son equivalentes p => q y (~p) v q Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones: a) ~(p => q) y p a (~q) b) ~(p a q) y (~p) v (-q) c) ~(p v q) y (~p) a -q d) p => q y -q => ~p e) (p q) a (q => r) y p => r (67) Demostrar que las bicondicionales siguientes son equivalencias lógicas. a) (p-----> q ) « ( ~ p ) v q b) (p<— > q ) « ( p --------------------------------------------------------->q) a (q-->p)c) ( p A q ) v p d) ( p v q ) A p » p e) ~(p------»q) < = >(p a -q)
Lógica 59 (68) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando como universo a los números reales. a) {Vxe R / x 3 — jc} b) {3xe R/2x = x} c) {3jte R / x 2 + 3x— 2 = 0} d) {3jce R / x 2 — 2jc+ 5 = 0) e) {Vxe R / 2x + 3x = 5x} f) {3xe R / 2 x '' +jc = 15} g) {Vxe R / x - 3 < x } h) {Vxe R / x + 3<6} i) {3 x e R / x + 3 <6} j) {Vxe R / x 2 -10<8} Evaluar ~{~(p v ~q)} < = > {~[(r a p) —-> (p A - -p)]} sí: p : {Vxe R!x° = 1} q {3xe Q/ 3 x 2 = * - 5 } ; r : {3 x e Z / x2 - 2 x —l = — l, 4 = jc} 70) Sean las proposiciones p : {Vjce Q / ^ +x > 0 }, q: {3 x e I / x + 0 = 7t}, r : {Vjte R / x 2 +1 = 0}. Hallar el valor de [(p----------->q) a r] < = >~q (7 ^ De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad. a) ( V x e R / | x | = x ) A ( 3 x e R / x + l í x ) b) (-3 x e R / j t 2 * j t ) v ( ~ V x e z / x + l * x - l ) c) (~ V x e N / 1x | * 0)----->(~3 x e Q / 1x | * 0) (72) ¿Cuáles son equivalencias lógicas? a) ~(q---- >~p) o ( q v p ) b) [í~p a ~q) v ~q] < = >[(p v q) a q] c) ~(p--------->q) < = > [(p v q) a ~q] (73) Sea U el conjunto universal y p, q, r las proposiciones: U={-10,-9.... 80}, U c Z(números enteros) ; p: {Vxe U, 3 y e U / x - x 2 <-2y}
60 Eduardo Espinoza Ramos q: [3j e U, V x e U / x - 5 y < 3 x - y ] : r: {Vze U 3 y e U,3xe U / x +y < »'■} Evaluar (~p v r) < — >(p a -q) (74^ Determinar el valor de cada uno de las siguientes proposiciones: a) {3xe Z I x 2 = x) b) { V x e Z / x - 7 < x } c) {3 x e Z / x + 5 = 5} d) { V x e Z / x + 8> xl e) {Vxe Z / x 2 >jc} f) { V x e Z / x + l = x } ^ 5) Si U = |x e R / 2 < x < 10) y p: (Vxe U)(3 y e í/)(V¿e U ) / - x - y > - < z 2, q : (Vxe i/)(3 z e í/)(3 z e U)(x+ y < z 2), hallar el valor de verdadde (~pv~q) => (pAq) Si U = {1,2,3,... 99}, determinar cuáles de los siguientes proposiciones son verdaderos, a) {3xe U / x + 5 = 2x} b) { V x e U / x + l e U ) c) {3 x e U / |x- 8| > 5} d) {V x e U / 2 0 - 3 x <0} (¿n) Hallar el valor de verdad de la fórmula, [(p v q)------»(~r v ~w)] < = >(q----------------»r) sí p: 3 xe Q/x+3 =y¡2+3, q: 3 x e I/x + 0 = 7t r: V x e N /x + 2.5 = 5, w: 3 jce Q/x +0 =y¡2 (78) Hallar el valor de verdad de: [(~p a -q )------»(r v q)] a [~(p a q) < — >r] Sí U = ( x e Z/-100 < x < 100} ; p: (V xe U)(3 y e U)(V z e U)(x + y - z > 30) q: (Vxe U)(V y e U)(V z e U)(2x + z - 4y < 800) r: (3 x e U)(V y e U)(3 z e U)(5x < z - y + 50) '^9) Si x puede tomar cualquier valor 1,2,3, demostrar mediante contraejemplos la falsedad de las siguientes proposiciones. a) {(Vx)/jc2 = jc} b) {3x/x = 2x}
Lógica 61 c) {Vx/x + 2 = 5} d) { V x / x + l > 3 } e) ~ { 3 x l x 2 =4} f) {3 x / x > 4} y8^ Si x, y pueden ser cualquiera de los números 1 y 2, determine el valor de erdad de las siguientes proposiciones: a) (3 x)(V y)(x < y + 2) b) (V x)(3 y)( x + y < 5) c) ( (Vjc)(Vy)(jc2+ y 2 < 1) d) (Vj0(3 y)(x2 > y) e) (3 x)(3 y)(x + y = 2) (8l) Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si U = {1,2,3) es el universo y sí x, y e U a) 3x, 3 y / x 2 < y + 1 b ) Vjc.By/x2 +y 2 <12 c) Vx, / y / x 2 + y 2 <12 d) 3 x , 3 y , V z / x 2 +y 2 < 2 z 2 e) 3 x , / y , 3 z / x 2 + y 2 < 2 z 2, z e U (S ) Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones. a) 3 r e /?/jc2 +1 = 0 b) 3 x b R / x 2 =1 c) (V x e R)(V y e R)/x + y = 7 d) ( V x e z)(3ye z / x - y > 0 ) (83) Sean A= {1,2,3.4}, B = {1,4,5.8} ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas' a) 3 x , y e A / x + y>z, V z e B b ) ~[V x e A, 3 y e B/ x> yJ c) V x e B, 3 y e A / x - y e A d) V r e A , V y e B / x + y<10 (84) Si A = {0,1,2,3,4} hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) P: 3 x e A / 2x + 1= 5 b ) q: / ne Z + / 3n es divisible por 3 c) r : 3 x e R / x2 +7 <0 d) 5 : V .ve Q / x 2 > x
62 Eduardo Espinoza Ramos (85) Si M = {-1,1,2,7} cual es el valor de verdad, de las siguientes proposiciones: a) V x e M, 3 y e M / r > v c) 3 x e M , 3 y e M / ( x < 3 ) v (y2 > 2) b) 3 x e M , V y e M / j c > y >0 Dadas las proposiciones P: 3 xe Z/(4x + 2)(3x - 7) = 0; q: V xe Z / (jt2 > 0) v (je-1) < 0 , r: 3 x e N / (4x + 2)(3x - 7) = 0, señale el valor de verdad df p, q, r y además f(p a q) =* fp v r)] =* r Sea M = {0,1,2,3} el dominio de x e y, señale el valor de verdad de: a) V x , 3 y/(jt2- y 2 <10) v (je2 < y + l) b) V x, V y / (x2- y2 > -10) a (jc 2 > y +1) Negar las siguientes proposiciones para el conjunto z. a) V x e z / x + l > x c) 3 jte z / x 2 =x Negar las siguientes proposiciones a) 3 x / x + 7 < y c) G x / p(x))------>(Vy / ~p(y)) e) 3 x / q(x)_ 5x + 7 < 10 Negar los enunciados del ejercicio 56) Negar los siguientes enunciados, a) {3 x / p(x) v ~q(x)} c) {V x, 3 y / x.y = 0} e) {(3 y)(p(x))------ >(V x)(~q(x))} b) 3 j t e z / x + l = 0 d) V x e z l x 2-1 >0 b) (Vx/p(x)) a (3 y / q(y)) d) ^ pv -q) -----i (pA -D f) 3 x / 5 x + 8 < 4 b) |Vx/p(x) ----- >q(x)} d) {(V x)(p(x)) a G x)(q(x))} f) {(3 x)(~p(x)) v (V x)(q(x))}
Lógica 63 g) (3x,3y/p(x)v-q(y)] h) {V x, 3 y /p(x,y)------->q(y)} i) {3x, 3y / p(x) a q(y)} j) {Vx, 3u, Vz / p(x,y,z)} (92) Negar cada una de las proposiciones siguientes: a) {3x /x + 7>2} b) ( V x / x + 0 = x) c) {Vx/x2 +7 > x2 +3} d) {3x/~(x*x)} e) ~{Vx/x2 =x} f) ~ { 3 x / x t 3 = x] (93) Negar las proposiciones del ejercicio 52) y verificar que estas .legaciones resultan ser proposiciones verdaderas (5 ^ Si x puede ser cualquier número natural, determine el valor de verdad de las p.oposiciones p : (Vjc)(jc2 > x) =* (Vx)(x < 3x) ; q : (Vx)(jt2 > x)=> (3 x)(x = x) r: (3 x)(x + 3 = 5) «= > fVx)(x + I > x) (95) Verifique la validez de los siguientes argumentos: a) p a q b) (p a q)------>(r a s) ~p— >q (~q)v(~s) ••• (-p )v (-q ) c) p a (p v q) d) r — >~q p v q - p-------»q r ----->s -r- »s s p ------>s 96) Demostrar, por la tabla de valores o por el método abreviado si los esquemas representan o no reglas de inferencia válidas.
64 Eduardo Espinoza Ramos c) p ----- >q d) (p----- »q) a (r----->s) q ----->p) p v r p < — >q q v s e) p<— >q f) q ->p r v q q ----- »(rv s) -r ~(~q v -s) ->(s----->p) g) p -----»q h) (pv-q) q ----- >r r ------ >-p r ------ »s s < — >p -»s p v (q------>~r) i) q ----->(~pvr) j) p r v s (~p v -s)----- >(~p a -r) -p < — >r s /. q v r (5 ^ Determinar los circuitos lógicos qui:representan a los siguientes esquemas moleculares. a) (~p) < ---------------- »(P-------- >~q) b) p a (q v ~p) c) ~[ pv - - - - - - - - - -»-(qvr)] d) {[(r v q) a p] v -r) a q e) (p v q ) - - - - - - ->[(~pvq)- - - - -»(p a q)] f) [(p- - - - - - -> q) v p H (p - - - - - ->q)v -p] ($8) Representar mediante funciones boolianas los siguientes argumentos:
LSgica 65 c) P q ~p d ) ~q -p - -p ~q ~q (99) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: a) o— b) ~q ~ p c) q
66 Fduardo Espinozt fiamos
Lógica 67 ~ p ---------- q 100) Determinarlos circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares. a) {[(rvq)Ap] v~r) Aq b) ~[(p v ~q) v (p a -r) v ~(r v q v ~p)] @ Simplificar los siguientes circuitos lógicos: a) - P - —q- q ' ~P- P - ~q- b) —p- -P- q- —q- — q c) ~p ~q ■ -q - —P- -------q- P — ~p--------q ~P
68 Eduardo Espinoza Ramos d) ~p — q — ~r -P Dado el circuito lógico, hallar el circuito lógico más simple posible. - q ------~r ------ p— r — ~r Simplificar el siguiente circuito ------- P ---------- -------q ------------ .~p--------~q. -P q Representar mediante funcione*. Bouieanas los circuitos. ------- q ------- a) o----- P -P -~p- - q ----- c b) -P
Teona de Conjuntos 69 CAPITULO II TEOKÍ/ l)E CQNJUN QS 2.1. DEFINICIÓN.- Un concepto se dice que es primitivo, cuando dicho concepto se acepta sin definición, en la matemática son conceptos primitivos, el de conjunto, de elemento y la relación de pertenencia, sin embargo debido a su gran importancia en todas las ramas de la matemática aceptaremos las siguientes definiciones. 2.2. DEF1NICIÓN.- Entenderemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que ‘pertenecen a un conjunto” se llama elementos del conjunto. NOTACIÓN.- A los conjuntos representaremos con las letras mayúsculas A.B.C,..., y a sus elementos representaremos con letras minúsculas a,b,x.... 23. RELACIÓN DE PERTENENCIA (e ).- La relación de pertenencia es el >-ímholo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto: (elemento) e (conjunto) Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto A, escribiremos x e A y leeremos “x pertenece al conjunto A”. Si x no es un elemento del conjunto A. escribiremos x í A y leeremos "x no pertenece al conjunto A”
70 Eduardo Espinoza Ramos OBSERVACIÓN.- Sea A el cc?..junto formado por los nombres de los siguientes países, Perú, Chile, Ecuador, Colombia, podemos escribir entonces Perú e A Colombia e A Argentina g A Brasil g A Al conjunto A expresaremos en cerrando entre llaves a sus elementos: A = {Perú. Chile, Ecuador, Colombia} © Sea A el conjunto formado por las letras n. m. p. q, t del mismo modo podemos escribir: p e A qe A w í A z í A Al conjunto A expresaremos encerrando entre llaves a sus elementos: A={n,m,p',q,t} _________ »___________________________________ 2.4. DIAGRAMAS DE VENN - EULER.- Para facilitar nuestra compresión intuitiva de los conjuntos, los representaremos gráficamente mediante los llamados “Diagramas de VENN”, estos diagramas son curvas cerradas de la forma.
Teoría de Conjuntos 71 En el interior de estás curvas cerradas, representaremos mediante puntos a los elementos del conjunto. Ejemplo.- © Sea A={ 1,10,12,15}. El conjunto A será representado mediante el diagrama de Venn ( 2) Sea A = {-1,3,-5,0}, su diagrama de VENN es 2.5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.- Un conjunto está bien determinado, cuando se conoce con exactitud que elementos pertenecen o no al conjunto. Cuando se conoce qué elementos pertenece o no al conjunto se dice que el conjunto está bien definido, un conjunto se puede definir por extensión y por comprensión. -► Por Extensión Definición de un conjunto —► Por Comprensión POR EXTENSIÓN.- Cuando se nombra cada uno de los elementos del conjunto, se dice que el conjunto ha sido definido por extensión. Ejemplo.- © El conjunto A de los números naturali_s que son mayores o iguales a cero y menor o igual a 10 queda definido por extensión si escribimos. A= {0.1.2,3,4*5 b.7,8,9,10}
72 Eduardo Espinoza Ramos ( y El conjunto A dt los números naturales que dividen simultáneamente a los números 8 y 12, queda definido por extensión si escribimos A = {1,2,4} Observe que 3g A, pues 3 no divide a 8 a pesar que 3 divide a 12. POR COMPRENSIÓN.-Un conjunto se define por comprensión, cuando se da una propiedad P. que sólo lo satisfacen los elementos del conjunto. Ejemplos © A = {x/x es una vocal}y se lee: “A es el conjunto de las x ¿al que x es una vocal” © A = {x e N / 0 < x < 9} y se lee “A es el conjunto de las x perteneciente a los naturales tal que los x sean mayores que cero y menores que 9. 2.6. CONJUNTOS NUMÉRICOS.- En matemática los conjuntos numéricos característicos que se estudian son: Los números naturales, los números enteros, los números rae lunales, los números irracionales, los números reales y los números complejos. El conjunto de los números naturales N = {1,2,3,...} El conjunto de los números enteros Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...} El conjunto de los números racionales Q = {— /me Z a ne Z, «*0} n El conjunto de los números irracionales I = {x/x tiene representación decimal infinita no periódica} El conjunto de los números reales R = {x/x es racional o x esirracional1 El conjunto de los números complejos C = {a +bi/ ae R a be R,i = >/— I }
Teoría de Conjuntos 73 OBSERVACIÓN.- El conjunto de los números reales, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir: R = N u Z u Q u l A los números reales se representa mediante una rev'ta que se denomina recta real. - OC --------------------- 1 ----- — ------- 1 -------------------------1 ----------------------►+CJO x 0 x x < 0 x > 0 2.7. CONJUNTO FINITO.- Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos Ejemplos.- Q ) A = {x/x es una vocal} (2 ) B= [x e N / 5 < x < 12} © C = {x/x es un día de la semana) 2.8. CONJUNTO ÏNF1NITO.- Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos. Ejemplo.- ( l ) A = [ x e Z / x e s impar} = {x/x es número natural] 2.9. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. a) INCLUSION DE CONJUNTOS.- (Sub - conjuntos) Se dice que el conjunto A es un subconjunto B, o que A está contenido en B, o que A es parte de B, si todo elementos de A pertenece al conjunto B se escribe A c B y se lee “A está incluido en B, o A está contenido ei. B o A es parte de B”. Esta definición en forma sunbulica se expresa. A c B » { V i e A , x e A x e B]
74 Eduardo Espinoza Rann s De la misma definición se sigue que es suficiente que exista al menos un elemento del conjunto A que no sea elemento de B para que A no sea subconjunto de B, en este caso se denota: A c B A c B AqtB AczB Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {1,2,3,4,5.6,7} entonces A c B. En efecto se observa por simple inspección que todo elemento de A es también elemento de B. Ejemplo.- Consideremos los siguientes conjuntos: A={ 1.3.5,7}, B={ 1,3,5,7,9,11} M = {a,b,c,d,e}, N = {b,c,d,m,n}. Pódeme^ afirmar que: i) AczB, por que todos,los elementos de A están en B. ii) M ex N, por que algunos elementos de M no están en N. Estos representaremos usando diagrama de VENN - EULER. b) SUBCONJUNTO PROPIO.- Diremos que A es un subconjunto propio de B. o parte de B, si se verifica A c B y además existe algún x e B tal que x í A. Ejemplo.- El conjunto A = {2,4,6} es un subconjunto propio de B = {1,2,3.4,5,6} puesto que A c B además le B, 3e B, 5e B tal que lg A, 3e A, 5 e A.
Teona de Conjuntos 75 c) PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN.- © ijicA. V conjunto A. donde <J>esel conjunto vacío. © A c A , (propiedad reflexiva) © A c z B a B c z C => A c C (propiedad transitiva) © Sí A czB y B c A => A = B (propiedad antisimétrica) Demostración f° V x. x e < { > => x e A, def. C 2o p ----- »q (es una tautología) F Fo V 3o < { >c A, por definición de C © 1° Suponiendo que V x, x e A hipótesis 2° Como p ----- »p es una tautología 3o Sí x e A => x e A es verdadero por la parte 2o 4o A c A de3°y def. C © Io A cz B hipótesis 2° V x, x e A => x e B, Iodef. C 3o Be: C.hipótesis 4o V x, x e B =» x e C, 3o def. C 5o Por la Ley Transitiva (p----- >q)A(q— —»r) => p --- j-r (le hipotético) 6° V x e A => x € C. de 2 4Üy 5o 7o A c C , 6o def. C
76 Eduardo Espinoza Ramos 2.10. IGUALDAD PE CONJUNTOS.- DEFINICIÓN.- Dos conjuntos A y B se dice que son iguales sí y sólo sí A c B y B e A. En forma simbólica se tiene: A - B < = > A c B a B —A Se lee “El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si A está contenido en B y B está contenido en A” 2.11. PROPIEDADES DE L a IGUALDAD DE CONJUNTOS. (7 ) A = A, VA (reflexiva) ( ? ) A = B => B = A (simétrica) A = B y B = C => A = C (Transitiva) Demostración © Io A c A por reflexividad de inclusión. 2o A = A Ioy definición de igualdad. ® Io A = B por hipótesis 2o A c B a B e A l°dei de = 3o B c A a A c B 2oy la ley conmutativa 4o B = A 3oy definición de = ( 3) Io A = B por hipótesis 2o A c B a Be: A, Iodefinición de = 3o B = C por hipótesis 4° B c C a C c B 3odefinición de = 5o A c B a B c C 2oy 4oy transitiva de inclusión. 6o A c C 5otransitiva inclusión. 7o C c B a B c A, 4oy 3oy transitiva. 8o C c A, 7otransitiva inclusión. 9o A = C, 6oy 8odefinición de =.
Teoría de Conjuntos 77 2.12. CONJUNTOS ESPEC1ALES.- (7) CONJUNTO VACÍO (Nulo).- Es el conjunto qje no tiene elementos y se representa simbólicamente por la letra giiega < ¡) (phi) y .se define como: < ¡)= {x /x # x} y se lee: para cualquier x tal que, x es diferente de x, no se satisface para algún elemento Ejemplo.- (7) A= {a-6 R / x 2 +1 = 0} es un conjunto vacío, pues la ecuación x 2 +1 = 0 no tiene raíz real, luego A = 0. © A = { x e N / 2 < x < 3 } es un conjunto vac.o, porque no existe un número natural que sea mayor que 2 y menor que 3, luego A = < ¡). © A = {xe Z/ I5 x 2 —11jc+2 = 0} es un conjunto vacío, pues al resolver la ecuación T 2 1 15jt‘ -1 U + 2 = 0 se obtiene x =—,jt=-que son números enteros por lo tanto A=<b. 5 3 OBSERVACIÓN.- El conjunto vacío < ¡ )está incluido en todo conjunto es decir (JxzA, VA (5 ) CONJUNTO UNIVERSAL.- Es el conjunto tomado como base o conjunto fijo, para la determinación de otros conjuntos y se denota por U. También al conjunto universal se le llama el universo. Los conjuntos más importantes er matemática son los conjuntos numéricos: R, N, Z, Q, 1, C en ese orden. Ejemplos.- (7 ) El conjunto universal U = (x e Z / -3 < x < 9] es universo de los conjuntos A= {-3,0,2,5}, B = {-2,1,3,7}, C = {-1,0,2,5,8/ porque tudos los elementos de los conjuntos A, B y C pertenecen al conjunto U.
78 Eduardo Espinoza Ramos © Dado el conjunto universal U ={xe Z +/ x<4b]. DeD*nnjiar los siguientes conjuntos. a) A = {x /x2 < 28} Solución Tabulando el conjunto universal U = {1,2,3,4,5,...,39,40} 1 6 A puesto que 1< 28 2 6 A puesto que 22 < 28 3 € A puesto que 32 = 9 < 28 4 fi A puesto que 42 = 16 < 28 5 e A puesto que 52 = 25 < 28 6« A puesto que 62 = 36 £ 28 por lo tanto el conjunto A está dad j por: A = {1,2,3,4,5} b) B={x + 2/ x<9} Solución Para x = l => x + 2 = 3 e B x = 2 => x +2 = 4e B x = 3 => x +2 = 5e B x = 4 = > x + 2 = 6 e B x = 5 => x +2 = 7e B * x = 6 => x +2 = 8e B x = 7 => x + 2 = 9 e B Luego se tiene: B = {3,4,5,6,7,8} ( 3) CONJUNTO UNITARIO.- Se llama conjunto unitario, al conjunto que consiste de un sólo elemento.
Teoría de Conjuntos 79 Ejemplos.- a) A = { x e R / x + 2 = 0} = {-2} b) A = {x e N / 1 < x < 3} = {2} c) A = {xeZ+ / jc2— 1= 0) = {1} (4 ) CONJUNTOS COMPARABLES.- Dos conjuntos A y B son comparables sí: A c B v B c A . Los conjuntos A y B no serán comparables sí: A c B a B c A . Ejemplos.- a) SiA={a.e,i) y B = {a.e.i.o.u} de donde A es comparable con B para que AcrB. b) Si M = {l,5,7,8}y N = {2,5,6,8,9} los conjuntos M y N no son comparables pues M C N a N C M. ( D CONJUNTOS DISJUNTOS - Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, se dice que A y B son disjuntos. En forma simbólica se expresa: A es disjunto con B si y solo si, 3 x/x 6 A a x 6 B Ejemplos.- a) Los conjuntos A ={1,3,5,7} y B = {2,4,6,8} son disjuntos. b) Los conjuntos A={a,b,c,d} y B={r,s,t,u} son disjuntos. 2.13. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS.- Para mostrar a los elementos de los conjuntos o visualizar relaciones entre estos, existen los llamados diagrama de VENN - EULER que son regiones del plano limitados por líneas geométricas. Al conjunto universal se acostumbra representar por medio de un rectángulo. U A C B
80 Eduardo Espinoza Ramos 2.14. EJERCICIOS PROPUESTOS.- © Determinar por extensión los siguientes conjuntos. © a) A = { x e N / x < 3 v 5 < x< 7} b) c) C = | 3 - 5 x / x e Z , - 2 < x < 5 a 3 < x < 8} d) D = [ xe Z 1x 3 —x 2 -10jc— 8 = 0} e) E f) F = {xe Z ! x 2 >0 a x 2 <20} g) - h) H = {jc6 R!(x2 + 6 x ) 2 =172} Determinar por extensión los siguientes conjuntos: a) A = {x! x* — 7x + 6 = 0} b) c) C = { x / 2 x 3 - 3 x 2 -7jc + 3 = 0} d) e) E = {x / x 4 + x 3 — 6 x — jc+ 5 = 0} f) F = [ x ! x A+ 2 x 3 — 31jc2 -32JC+60 = 0} g) £ = {jc/jc3-19jc -36JC+1440 = 0} © Hallar el conjunto solución del siguiente conjunto: A = {x / 64jt3+ 24x2 —6x — 1= 0} ¿-(-¿.-¿.¿i © Determinar los elementos de cada conjunto. a) A = {números naturales x que satisfacen x 2 = 16 } b) B = {números enteros x que satisfacen x 2 = 16 } c) C = [ x e N/2x + 3 = 15} d) D = {x e Q/(2x - l)(x - 2) = 0} e) E = { x e Z / x 2 - 2*-3 = 0} f) G = {x e N / 5 < x < 12}
Teoría de Conjuntos 81 © Determinar por comprensión el siguiente conjunto T = {-1,1,2} Rpta. T ={xe Z / x3 —2x2- x + 2 = 0] © Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A= {-7,-3,1,5,9,...} b) B = (-1,1,2,1,5,...} c) C= {2,3,6.11,18,...} (9 ) Si A = {2,3,5,7}, diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas ó falsas a) 5 e A b) 3 c A c) ( 7 ) c A d) {3,5} 6 A © Si A = { x e N / x < 2 v x = 7}, hallar todos los subconjuntos propios de A. © Dados los siguientes conjuntos A = {7x + 2 / x e Z}, B = {7x - 26 / x e Z}, C = {4x + 1 / x e Z} y D = {2x + 1 / x e Z}, analizar y justificar debidamente su conclusión en los siguientes casos. a) A = B b) C = D Rpta. a) A = B b) C * D 10) Sean U = {1,2,3.4,5,6,7.8,9}, A = {2,4,6,8}, B = {1,3,5,7,9} y C = {3,4,5}. Al hallar un subconjunto x de U tal que x c C , x <z A, x d B , cuántas soluciones existe. Rpta. tres l l j Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos: a) A = { x e U / x * l i } b) B = { x e Z / x 3 =3) c) C =[xe R / - e R) d) D = {x eQI x 2- x = 2) X e) E = {xe N / x 2 +1 = 0} f) F = { x e Z I 12i 1+4v2 - 3 * - l = 0}
82 Eduardo Espinoza Rames 12j ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el conjunto vacío? a) {x / x es un entero par y x 2 =9] b) {xe Z + / jc< 0} c) ( x e Z / x + 18= 18} d) {jee Z l t x 2 +5jc-4 = 0} e) {xe Z +/ x 2- 3 x - 4 =0] f) { x e N / x * x } (13) Dado A y B determinar si A = B en los siguientes ejercicios. a) A = {-2,0,2} y B = {xe Z / x3—4x = 0} b) A = {1,-2} y B= |x e Z / ( x —1)(x + 2)(2x —3) = 0} c) A ={xe Z +/l<x<6] y B = {1,2,3,4,5,6} (14) Si A, B y C son conjuntos tal que A c B c C . ¿Cuál es la relación entre C - B y C - A? Rpta. C - B c C - A 15) Si A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4}, C = {2,4,5}, D = {2,4}. ¿Cuái de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) A c B b) A c D c) C c A d) B c A e) B c C f) D c B g) A c A h) B * C i) D c A @ Sean A ={xlx3 - l x 2 +71jc-55 = 0}; B = {jc/jc4 -15jc3+37jc2-16jc + ll0 = 0}es AcB © Sea U={ 1,2,3,4,5,9} el conjunto universal, si A = {x2 I x e U] hallar A y A' por extensión ( l ^ Sea A= {^-— I xe Z/0< x<4) y B = {X - - / x e Z, -2<x<3} determinar cual de las relaciones se cumplen A c B , B c A , A = B . Í9) Sí A = {jce N / x 3 - 3 x 2 -6jc+8 = 0} y B = { ^ ^ -! x e Z, -4 < x <3}. Determinar cual de las relaciones se cumplen A c B , B c A , A = B.
Teoría de Conjuntos 83 (2^ Sea U = { x e N / l < x < 5 } , A = {x e U / x es par}, B = {x e U / x e s impar} y C ■ =(.ve A / x = 2",ne LWj^{12}. Si D = { x e U / x e U x e B ) n | x e A / x e s múltiplo de 4) ¿cuantos subconjuntos de C contienen a D? 2.15. OPERACIONES CON C^NJÜNTQS.- (T) UNIÓN DE CONJ l NTOS.- La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todas los elementos de A y todos los elementos B. A la unión de los conjuntos A y B denotaremos por: A ^ B y se lee “A unión B”. En forma simbólica: A u B = ( x e U / x e A o x e B } La parte sombreada de los siguientes diagramas es una representación gráfica de la unión. U A y B disjuntos Donde U representa al conjunto universal y la parte sombreada representa la unión AuB Ejemplo.- Sí A = { x e N / l < x < 6 } y B = j x e N / 3 < x < 8 |. C a l c u l a r A u B Soluiion Calculando los elementos de cada conjunto A y B: A = {2 .4,5 }, B ={■ 5,6,7} A u B = {2,4,5} u {4,5,6.7} = {2,4 5,6,7} © Sí A = {x e N / x es par} y B = { x e N / x e s impar} entonces A u B = {x e N/xe s par v x es impai}= N
84 Eduardo Espinoza Ramos a) PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.- © A u A = A © A u < { >= A © A u U = U © A u B = B u A © ( A u B ) u C = A u ( B u C ) © A cr A u B © B cr A 'o B © A c C a B c C=í A l 'B crC Dcmostración © .» A u A c A por demostrar Io x e A u A , por hipótesis 2o x e A v x e A, Iodefinición de U 3o por la tautología de P v P o P podemos afirmar que: x e A v x e A => x e A 4o x e A u A =$ x e A , 3odefinición U 5o A u A c A , 4odefinición C ii) A c A u A por demostrar 1° x e A, por hipótesis 2° Sí x e A (x e A v x e A), por tautología p « p v p 3o X6 A => x e A u A , 2° definición U 4o A c A u A , 3odefinición C 5o de i), ii) se tiene A u A = A definición de = © o A u i f c A por demostrar. Io x e Au^i, por hipótesis 2° x e A v x e 0, Iodefinición U 3o x j e A, 2odefinición de < b 4° xeA»j<|> = > x e A, Ioy 3C 5° A u < |>cr A, 4° definición C
Teoría de Conjuntos 85 ii) A c A u < |> por demostrar 1° X 6 A, por hipótesis 2 o X 6 A v x e < ¡), 1° definición < t > 3o x e A tj), 2 ' definición U 4o X E A => x e A u < |> , 1° y 4o 5o A c A u ^ 4o definición U de i) y ii) se concluye que A u < ¡)= A definición de = © o A u U c U por demostrar Io x e A u U , por hipótesis 2° x e A v x e U, Io definición U 3o x e U , 2° y definición de U 4o x e A u U => x e U, Io y 3o 5° A u U c A , 4' definiciónC ii) U c A u U por demostrar Io x e U, por hipótesis 2° x e A v x e U , Io definición U 3o x e A u U , 2° definición U 4° x e U = > x e A u U , 1o y 3o 5C U c A u U , 4° definición C 6° A u U = U, poi i), ii) definición = © i) A u B c B u A pcv demos'rar 1& x e A u B , por hipótesis 2° x e A v x e B , 1° definición U
86 Eduardo Espinoza Ramos 3o x e B v x e A , 2°y tautología p v q o q v p 4o x e B u A , 3o definición U 5o x e A u B => x e B u A, Ioy 4o 6o A u B c B u A , 5 ° definición C ii) B u A c A u B por demostrar Io x e B u A , por hipótesis 2° x e B v x e A , Iodefinición U 3o x e A v x e B , 2°y tautología p v q < = > q v p 4o x e A u B , 3o definición U 5o x e B u A => x e A u B, l°y4° 6o B u A c A u B , 5 ° definición C /. A u B = BU de i), ii) y definición = ( A u B ) u C c A u (Bu C) por demostrar 1° x e ( A u B ) u C , por hipótesis 2o x e A u B v x e C 1° definición U 3o x e A v x e B v x e C , 2° definición 4o x e A v ( x e B v x e C), 3opropiedad 5o x e A v x e B u C , 4odefinición U 6o x e A u ( B u C ) , 5odefinición U 7° x e (A u B) u C => x e A u (B u C), 1° y 8o ( A u B ) u C c A u ( B u C ) , 7° definición ii) A u ( B u C ) c ( A u B ) u C , por demostrar I o x e A u ( B u C ) , por hipótesis
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  • 1.
  • 2. MATEMATICA BASICA ♦ LOGICA ♦ CONJUNTOS e * = x f ♦ N° REALES n = o n ! ♦ RELACIONES Y FUNCIONES ♦ INDUCCION MATEMATICA ♦ N° COMPLEJOS ♦ TEORIA DE POLINOMIOS ♦ VECTORES EN R2 EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ
  • 3. IMPRESO EN EL PERÚ 05 - 05 - 2005 2 oEDICIÓN DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas'de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y Editor. RUC N °10070440607 Ley del Libro N° 28086 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Registro comercial N° 10716 Escritura Publica N° 4484
  • 4. PROLOGO La presente obra titulada “Matemática Básica” en su segunda edición contiene esencialmente los temas que generalmente se desarrolla en los primeros cursos en las carreras de ciencias. Ingeniería. Economía, Administración, Medicina, etc., así como también en los Institutos Superiores. En la actualidad el contenido científico de un libro debe complementarse con el aspecto didáctico que es tan importante como el contenido científico, por tal motivo en el presente trabajo se expone en forma Teórica y Práctica en donde en cada capítulo comienza con enunciados claros de las definiciones y Teoremas juntos con sus respectivos ejemplos seguidos de una colección de problemas resueltos y problemas propuestos. En las definiciones importantes así como los Teoremas y Propiedades son explicados en forma clara y amena ilustrado con gráficos y ejemplos en forma graduada. La presente obra consta de ocho capítulos: Lógica, Conjunto, Sistema de los Números Reales, Relaciones y Funciones, inducción Matemática, Números Complejos, la Teoría de Polinomios y Vectores en R2 que es el capítulo que se ha agregado a la edición anterior así mismo se ha incluido la divisibilidad de los números enteros, se ha incluido mas problemas y aplicaciones a la economía. El presente texto es básicamente para estudiantes recién ingresantes a las Universidades en las especialidades de Ciencias Matemáticas, Físicas, Ingeniería y Economía y a toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas de las diversas universidades en donde presto mis servicios, quienes con su apoyo moral y sugerencias han hecho posible la realización de este libro en su 2da edición. Agradezco por anticipado la acogida que brinden a la presente obra. Eduardo Espinoza Ramos
  • 6. DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos: RONALD, JORGE Y DIANA que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser guías de su prójimo
  • 8. 1 2 3 3 3 4 4 8 9 9 12 13 13 18 18 19 20 21 25 25 26 26 28 28 29 33 33 35 36 49 INDICE CAPITULO I LÓGICA 1.1. Introducción 1.2. Elementos de Lógica Simbólica 1.3. Proposiciones Lógicas 1.4. Definición 1.5. Conectivos Lógicos 1.6. Clases de Proposiciones Lógicos 1.7. Proposiciones Compuestos Básicos 1.8. Proposiciones Compuestas 1.9. Jerarquía de los Conectivos Lógicos 1.10. Tautológicas, contradicciones y contingencias 1.11. Implicación Lógica y Equivalencia Lógica 1.12. Proposiciones Lógicamente Equivalente 1.13. Principales Leyes Lógicas o Tautológicas 1.14. La Inferencia Lógica o Argumento Lógico 1.15. Definición 1.16. Teorema 1.17. Inferencia Validas Notables 1.18. El Método Abreviado 1.19. Métodos de Demostración 1.20. Forma o Método Directo de Demostración 1.21. Forma o Método Indirecto de Demostración 1.22. Definición 1.23. Circuitos Lógicos 1.24. Diseño de Circuitos Eléctricos en Sene 1.25. Diseño de Circuitos Eléctricos en Paralelo 1.26. Lógica Cuantificacional 1.27. Cuantificadores Existencial y Universal 1.28. Negación de Proposiciones en Cuantificadores 1.29. Ejercicios Desarrollados 1.30. Ejercicios Propuestos
  • 9. 69 69 69 70 71 72 73 73 73 76 76 77 79 80 83 103 104 107 108 11? 117 117 125 140 141 143 143 CAPITULO II 2.1. Definición 2.2. Definición 2.3. Relación de Pertenencia 2.4. Diagrama de VENN - EULER 2.5. Determinación de Conjuntos 2.6. Conjuntos Numéricos 2.7. Conjunto Finito 2.8 Conjunto Infinito 2.9. Relaciones entre Conjunto 2.10. Igualdad de Conjuntos 2.11. Propiedades de la Igualdad de Conjunto 2.12. Conjuntos Especiales 2.13. Representación Gráfica de los Conjuntos 2.14. Ejercicios Propuestos ? 15. Operaciones con Conjuntos 2.16. Conjunto Potencia 2.17. Propiedades del Conjunto Potencia 2.18. Intervalos 2.19. Operaciones de Conjuntos Aplicados a los Intervalos 2.20. Familia de Conjuntos 2.21. Numere de Elementos de un Conjunto 2.22. Propiedades del Número de Elementos de un Conjunto 2.23. Ejercicios Propuestos CAPITULO III SISTEMA DE NÚMEROS REALES 3.1. Introducción 3.2. Definición 3.3. Axioma de Sustitución 3.4. Axioma Distributivo
  • 10. 143 143 143 144 144 144 145 149 150 151 151 151 152 152 153 153 154 154 162 168 170 170 170 172 177 181 183 185 196 221 238 239 242 244 249 254 293 3.5. Teorema de la Igualdad para la Suma 3.6. Teorema de la Igualdad para la Multiplicación 3.7. Teorema de Cancelación para la Adición 3.8. Teorema de Cancelación para la Multiplicación 3.9. Sustracción de Números Reales 3.10. División de Números Reales 3.11. Ejercicios Desarrollados 3.12. Representación de los Numero«. Reales 3.13. Desigualdades 3.14. Axioma de la Relación de Orden 3.15. Definición 3.16. Teorema 3.17. Teorema 3.18. Teorema 3.19. Teorema 3.20. Teorema 3.21. Teorema 3.22. Ejercicios Dejan'ollados 3.23- Ejercicios Propuestos 3.24. Inecuaciones 3.25 Conjunto Solucion de una Inecuación 3.26. Resolución de una Inecuación 3.27. Inecuación de Primar Grado en una Incógnita 3.28. Inecuación de Segundo Grado en una Incógnita 3.29. Inecuaciones Polinómicas 3.30. Inecuaciones Fraccionarias 3 31. Inecuaciones Exponenciales 3.32. Inecuaciones Irracionales 3.33. Ejercicios Desarrollados 3.34 Ejercicios Propuestos 3.35 Valor Absoluto 3.36. Propiedades Básicas para resolver Ecuación e Inecuaciones donde interviene Valor Absoluto 3.37. Máximo Entero 3.38. Propiedades del Máximo Entero 3.39. Inecuación Logarítmica 3.40. Ejercicios Desarrollados 3.41. Ejercicios Propuestos
  • 11. 314 313 373 332 339 343 353 356 357 358 359 360 365 365 366 370 388 399 404 411 411 423 433 436 438 439 441 441 454 466 477 483 3.42. Aplicaciones de las Inecuaciones a la Administración y Economía 3.43. Ejercicios Propuestos CAPITULO IV RELACIONES / FUNCIONES 4.1. Introducción 4.2. Relaciones Binarias 4.3. Gráfica de una Relación de Ren R 4.4. Ejercicios Desarrollados 4.5. Ejercicios Propuestos 4.6. Funciones 4.7. Dominio y Rango de una Función 4.8. Criterio parael Calculo de Dominio y Rango de una Función 4.9. Aplicación de A en B 4.10. Funciones Especiales 4.11 Evaluación de una Función 4.12. Funciones Definidas con Varias Regla de Correspondencia 4 13. Trazado de Gráfica Especiales 4.14. Ejercicios Desarrollados 4.15. Ejercicios Propuestos 4.16. Operaciones con Funciones 4.17. Composición de Funciones 4.18. Propiedades de la Composición de Funciones 4.19. Ejercicios Desarrollados 4.20. Ejercicios Propuestos 4.21. Función: Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva 4.22. Funciones Crecientes, Decrecientes y Monótonas 4.23. Cálculo de Rango de Funciones Inyectivas Monótonas 4.24. Función Inversa 4.25. Función Inversa de una Composición 4.26. Ejercicios Desarrollados 4.27. Ejercicios Propuestos 4.28. Aplicaciones de las Funciones en Administración y Economía 4.29. Ejercicios Desarrollados 4.30. Ejercicios Propuestos
  • 12. 490 491 4Q2 493 495 495 496 496 498 499 499 500 507 511 511 516 520 523 529 534 538 539 540 541 542 543 544 546 548 548 551 CAPITULO V INDUCCIÓN MATEMATICA 5.1. Introducción 5.2. Conjuntos Acotados 5.3. Axioma del Supremo o Axioma de la Mínima Cota Superior 5 4. Principio Arquimediano 5 5 Principio del Buen Orden 5 6 Menor Elemento y Mayor elemento de A cz R 5.7. Proposición 5.8 Sub Conjuntos Inductivos de R 5.9. El Principio de Inducción Matemática Completa 5.10 Teorema 1 (Primer Principio de Inducción) 5.11. Teorema 2 (Segundo Principio de Inducción) 5.12. Definición 5.13. Ejercicios Propuestos 5.14 Sumatorias 5.15 Propiedades de la Sumatoria 5.16 Fórmulas de la Sumatoria 5.17. Notación del Producto de n Números 5 18 Ejercicios Propuestos 5.19. Divisibilidad en Z 5.20. Máximo como Divisor M.C.D. 5.21. Lema 5.22 Mínimo Común Múltiplo 5.23. Regla para averiguar si un número dado es primo 5.24. Criba de Erastóstenes 5.25. Ejercicios Propuestos 5.26. La Función Factorial 5.27. Números Combinatorios 5.28. Principales Propiedades de los Coeficientes Binomiales 5.29. El Triángulo de BLAISE PASCAL 5.30. Potencias de un Binomio 5.31. Ejercicios Propuestos
  • 13. 557 557 557 558 558 558 559 560 560 5ó6 566 566 567 568 589 598 600 601 604 605 606 607 619 623 635 637 637 CAPITULO VI 6.1. Ecuaciones sin Solución en K 6.2. Definición 6.3. Definición 6.4. Plano Complejo 6.5. Definición 6.6. Ejercicios Propuestos 6.7. Cero y Opuesto de un Número Complejo 6.8. Operaciones con Complejos 6.9. Unidad Imaginaria 6.10. Forma Estándar o Binómica de Números Complejos 6.11. Teorema 6.12. La Conjugación en C 6.13. Módulo de un Número Complejo 6.14. Ejercicios Desarrollados 6.15. Ejercicios Propuestos 6.16. Forma Trigonométrica o Polar de un Número Complejo 6.17. Multiplicación y División en Forma Polar 6.18. Potencia y Raíces de Números Complejos 6.19. Exponenciales Complejas (Fórmula de Euler) 6.20. Logaritmos en C 6.21. Exponencial Compleja General 6.22. Ejercicios Desarrollados 6.23. Ejercicios Propuestos 6.24. Miscelánea de Ejercicios CAPITULO VII TEORIA d e e c u a c io n e s 7.1. Definición 7.2. Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado 7.3. Raíces y Discriminante de una Ecuación Cuadrática
  • 14. 638 639 640 642 643 643 645 646 646 G46 647 647 648 649 650 651 653 t»53 654 654 654 655 C56 657 660 6o2 664 666 669 682 685 687 7.4. Relación Entre Raíces y Coeficientes de una Ecuación Cuadrática 7 5 Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas 7.6. Ecuaciones Irracionales 7.7. Algoritmo de la División 7.8. Teorema (Algoritmo de la División para Polinomio) 7.9. La División Sintética 7.10. Teorema del Resto 7.11. Teorema del Factor 7.12. Raíces de un Polinomio 7.13. Teorema Fundamental del Algebra 7.14. Número de Raíces de una Ecuación Polinómica 7.15. Definición 7.16. Raíces Enteras 7.17. Forma Factorizada de un Polinomio 7 18. Relación Entre los Coeficientes y las Raíces de una Ecuación Polinómica 7.19. Naturaleza de las raíces de Polinomios Reales 7.20. Raíces Racionales de un Polinomio 7.21. Teorema del Limite Superior de las Raíces Reales (LAGRANGF.) 7.22. Variación de Signos de un Polinomio 7.23. Regla de los Signos de Descartes 7.24. Ecuaciones Binómicas 7.25. Ecuaciones Trinómicas Bicuadradas 7.26. Ecuaciones Recíprocas 7.27. Ecuaciones Polinomicas de Tercer Orden 7.28. Ecuaciones Cuartica 7.29. Gráfica de un Polinomio 7.30. Regla 7.31. Solución Numérica de Ecuaciones con el Método de Newton 7.32 Ejercicios Propuestos CAPITULO VII VECTORES EN R2 8.1. Conceptos Básicos 8.2. V'ectores B¡dimensional 8.3. Operaciones con Vectores
  • 15. 694 696 69'7 697 698 700 701 702 703 704 705 706 Tv6 707 708 709 710 710 712 713 714 714 715 716 717 718 720 721 722 760 784 8.4. Longitud o Módulo de un Vector 8.5. Propiedades del Módulo de un Vector 8.6. Vector Unitario 8.7. Teorema 8 8. Dirección de un vector en R2 8.9. Producto Escalar de Vectores 8.10. Propiedades del Producto Escalar de Vectores 8.11. Vectores Paralelos y Ortogonales 8.12. Criterio de Colinealidad 8.13. Interpretación Geométrica de la Ortogonalidad de Vectores 8.14. Teorema 8.15. Teorema 8.16. Teorema 8.17. Corolario 8.18. Combinación Lineal de Vectores 8.19. Teorema 8.20. Teorema 8.21. Dependencia en Independencia Lineal de Vectores en R2 8.22. Vectores Fundamentales 8.23. Propiedades de los Vectores Ortogonales Unitarios 8.24. Definición 8.25. Proyección Ortogonal y Componente 8.26. Definición 8.27. Propiedades del Vector Proyección y Componente 8.28. Relación entre Proyección y Componente 8.29. Angulo entre Dos Rectas 8.30. La Desigualdad de Cauchy - Schwarz 8.31. Área de: Triángulo y Paralelogramo 8.32. Ejercicios Desarrollados 8.33 Ejercicios Propuestos BIBLIOGRAFIA
  • 16. Lógica 1 CAPITULO I LÓGICA 1.1. INTRODUCCIÓN.- Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. En la actualidad, el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las Humanidades como el de las ciencias y la técnica requieren conocer los fundamentos y mítodos del razonamiento lógico preciso que permite al estudiante o profesional extraer y depurar ais cunclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es aun más en esta era de la computación, herramienta que es empleada en todus los campos del desarrollo de una sociedad y con la velocidad a la cuál se procesan los datos cualquier error de lógica puede originar problemas técnicos, sociales y económicos. Siendo muy importante, en la matemática moderna análisis del lenguaje con un criterio lógico: la L ó g ic a tiene como fin de conducimos a un hábil manejo del lenguaje matemático y el empleo de métodos eficaces de razonamiento. Existen dos tipos importantes del razonamiento: El inductivo y el Deductivo. El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cuál una persoi a en base a sus experiencias específicas, decide aceptar como válida un principio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el cuál dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez nabrá de determinar el curso de su acción. Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo, en el desarrollo de nuestro estudio veremos lo esencial de la lógica preposicional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.
  • 17. 2 Eduardo Espinoza Ramos 1.2. ELEMENTOS DE LÓGICA SlMBÓLICA.- a) ENUNCIADO.- Se denomina enunciado a toda frase u oración. Ejemplo.- i ) 11 es un número primo. © París está en Italia. © ¿Qué hora es'/ 0 ¡Viva el Perú! © 5 > 9 © 6 + 2 = 8 © x 2 <9 ( T 1x 2+y 2 <4 Los enunciados que matemáticamente tienen significado son aquellos que pueden ser considerados como verdaderos o falsos (proposiciones); algunos enunciados no es posible afirmar si es verdadero o falso, como por ejemplo, las inte.rogaciones, las exclamaciones o las preguntas. b) ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Ejemplo.- © x < 7, es un enunciado abierto, porque no podemos afumar si es verdadero o falso, solamente cuando a la variable x se le dá un valor numérico podemos decir si es verdadero o falso. Así por ejemplo: para x = 3, 3 < 7 es verdadero para x = 9, 9 < 7 es falso © x 2 +y 2 = 16, también es un enunciado abierto. c) VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido, a las variaLles representaremos por las letras minúsculas x, y, z. t, u, v, a estas variables se les dá el nombre de variables indeterminados. Ejemplo.- © y = ^ 5 es un número real, si x es un número real que sea mayor o igual a 5 El campo o recorrido dt- x es x > 5.
  • 18. Lógica 3 © En la ecuación x +y 2 = 16 El campo o recorrido de x es • 4 < x < 4 El campo c recorrido de j es - 4 < y < 4 . 1.3. PROPOSICIONES LOCICAS.- Llamaremos proposiciones lógicas a todo enunciado abierto que pueden ser calificado como verdaderas o bien como falsas, ¡>inambigüedades NOTACIÓN.- Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsculas p, q, r, t, etc. A la veracidad o falsedad de una proposición se denomina valor de veidad. Ejemplos de Proposiciones Lógicas.- © p: 15 - 4 = 1 1 , verdadei .■ >■ V) © q: Lima es la capital del Perú, verdadero (V) Q j r: 107 + 301=48, falsa (F) t: 7 es un número par, falsa (F). 1.4. ÜEFINICIÓN.- Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabl? de verdad en la forma. P V F 1.5. CONECTIVOS LÓGICOS.- Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos. La conjunción, disyunción, implicación, bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguiente cuadru.
  • 19. Eduardo Espinoza Ramos Nornore Expresión Simooio Lógico Conjunción y •* A Disyunción ó V Implicación Sí,.... entonces,... -----> Bicondicional, equivalencia doble implicación ... Sí y sólo sí,... < -------» Negación No Contradicción no equivalente,... 1.6. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS.- a) PROPOSICIONES SIMPLES Ó ATÓMICAS.- En una proposición que no contiene ningún conectivo lógico. Ejemplo.- ^ 6 es par. @ 2 + 5 = 7 b) PROPOSICIONES COMPUESTOS O MOLECULARES.- Es una proposición que contiene al menos un conectivo lógico. Ejemplo.- © 5 es primo y 2 es par. (2^ Si 5 es par entonces 2 es impar. © Si n es par entonces n es divisible por 2. 1.7. PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSK OS.- a) LA NEGACIÓN.- Dado una proposición P, llagaremos la negación de P, a otra proposición que denotaremos por -P, y que se le asigna el valor opuesto a p, y su tabla de verdad es: El principio lógico de la negación es:
  • 20. Lógica 5 Si una proposición es vercLder^ V, su negación es falsa F y recíprocamente, si dicha proposición es falsa F, su negación es verdadera V. La proposición ~P es leída así “no P”, ' no es cierto que P” Ejemplo.- (T ) 2 es primo V Su negación es: 2 no es primo F ( 2) 5 es par F Su negación es: no es cierto que 5 es par V © Dada la proposición P: 5 x 7 =35 Su negación es: ~P: no es cierto que 5 x 7 = 35 b) LA DISYUNCIÓN.- La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que reculta de unir p y q por el conectivo lógico “o” en el sentido inclusivo y/o y que el principio lógico es ‘La proposición p v q es falsa únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera”. La tabla de verdad paia la disyunción es: Ejemplo.- Hallar el valor de p v q donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5 Solu. ión p v q c) LA CONJUNCIÓN.- La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “y” que se simboliza p a q, donde el principio logico es “Lz conjunción p a q es verdadero V, sólo cuando p es verdadero y q es verdadero V, en todos los demás casos es falso”. Su rabia de verdad es:
  • 21. 6 Eduardo Espinoza Ramos p q p a q V V V V F F F V F F F F Ejemplo.- Sí p: 4 < 7 y q: 6 es número par. Calcular el valor de verdad de p a q Solución P q pAq V V V d) LA CONDICIONAL (IMPLICATIVA).- La implicación o condicional de dos pr( posiciones p y q es la proposición compuesta meuiante el conectivo lógico “s i,..., entonces, ...” y se simboliza p -----» q, donde el principio lógico es “La proposición .mphcativa es falso únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos. Su tabla de verdad es: P q D - » q V V V V F F F V V F F V La proposición p es llamado antecedente y la proposición q es llamado consecuente. P --------------------------------- >q Antecedente Consecuente Premisa Conclusión. Hipótesis Tesis. OBSERVACIÓN.- © Una implicación es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea el consecuente. © Una impl.cación es verdadera si el consecuente es verdadera, cualquiera que sea el antecedente.
  • 22. Lógica 1 Ejemplo.- Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p ----->q Solución Para calcular el valor de verdad de la proposición p ----->q, primero calcularemos el valor de verdad de las proposiciones dadas. p : Cristóbal Colón descubrió América es verdadera V q : 6 + 3 = 8, es falsa F e) LA BICONDICIONAL (Equivalente ó Doble Implicación).- La doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si y sólo si” y se simboliza p < — » q son verdaderos V o son falsos F, en otros casos es falso F. Su tabla de verdad es: p ti V V V V F F F V F F F V f) LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- La disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q es la proposición compuesto mediante conectivo lógico “o” y se simboliza p A q, donde ambas proposiciones p y q tengan valores de verdad opuestos y es falsa si ambas tiene idénticos valores. Su tabla de verdad es: P q p Aq V V F V F V F V V F F F
  • 23. 8 Eduardo Espinoza Kamos Ejemplo.- Sea p : k es par ; q : k es, impar. Hallar el valor de verdad de p A q. Solución Para calcular el valor de verdad de p A q, primero veamos lo siguiente: Si k es par, si puede ser impar (Si p es V ; q es F) © Si k es impar, no puede ser par (Si p es F ; q es V) De las notaciones (1) y (2) vemos que p A q es verdadera. En efecto: p q p A q V F V F V V 1.8. PROPOSICIONES COMPUESTAS.- Mediante los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier numen> finito de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se puede indicar los valores resultantes de estas proposiciones compuestas, para todas las «'ombinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones compuestas. Ejemplo.- La tabla de verdad de la proposición compuesta de: [(p----->q) a (q----->r)]----->(p-----*r) Solución
  • 24. Lógica 9 1.9. JERARQUÍA DE LOS CONECTIVOS LÓGICQS.- Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las operaciones primero se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las negaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como paréntesis). Ejemplo.- Hallar la tabla de valor de verdad de la proposición: [p v(q-----*~r)] A[(~pvi)<---->~ ql p q r [P V (q- ->)] A [(~p v r) < — » ~q] V V V V V F F V F F V V F V V V V F V F V F V V V V V V V V V F F V V V F F F V F V V F F F F V F F F V F F V V F V F F F F V F V V V V V V F F F F V V V V V V 1.10. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.- a) TAUTOLOGÍA.- Son proposiciones compuestos que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componcnto Ejemplos de Tautología.- © p v - p (principio del tercio excluido) (2 ) [(p----->q) a p]-----■ *q (5) (p ~p> Fn electo tenemos
  • 25. 10 Eduardo Espinoza Ramos © p P V ~p V V V F F F V V Es Tautología © Es una Tautología © P ~P 1 - (p a ~p) V F V F F V V F b) CONTRADICTONES. compuestas. Es una tautología Son proposiciones compuestas que siempre son falsas, cualquiera que sea el valor de las proposiciones Ejemplo de contradicciones.- © p a ~p (principio de contradicción) (T ) ~(p v ~p) En efecto tenemos: © © ( p ------ > q ) A ( p A ~ q ) P ~P P A 'P V F F F V F Es una contradicción
  • 26. Lógica 11 © p ~P ~ (p V ~p) V F F V F V F V Es una contradicción © - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ „ P q (p— >q) A (P a ~q) V V V F F V F F F V F V V F F F F V F F Es una contradicción. c) CONTINGENCIA.- Son proporciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es F, y en otros es V. Ejemplos de Contingencia.- © p < — >q © p a q © (p— >q)— >p En efecto tenemos: © Es una contingencia © P q p Aq V V V V F F F V F F F F Es una contingencia
  • 27. 12 Eduardo Espinoza F amos ® p q (P ->q) »P V V V V V V F F V V F V V F F F F V F F Es una contingencia 1.11. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA.- i) A toda proposición condicional p — »q que sea tautología le llamaremos implicación lógica (o simplemente implicación) en éste caso a la condicional denotaremos por p=>q Ejemplo de Implicación lógica se tiene: [((~p) v q) a ~q] => ~p puesto que: P q K(~p) v q) A ~q] => -P V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V V X . _ _ / Es una tautología. Por lo tanto es una implicación lógica. ii) A toda bicondicional p <-» q que sea tautología se le llama equivalencia lógica (o simplemente equivalencia) y en éste caso a la bicondicional denotaremos por p<=> q. Ejemplo de equivalencia lógica se tiene: [p a (p v q)] < = >p puesto que: > ______ ______________________ P q [p A (P v q)] < = > p V V V V V V V V F V V V V V F V F F V V F F F F F F V F ''-1 ____ Es una tautología. Por lo tanto es una equivalencia lógica.
  • 28. Lógica 13 1.12. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES.- Cuando sus tablas de verdad de dos proposiciones p y q son idénticos se denominan equivalentes (o lógicamente equivalentes) en este caso se simboliza en la forma p=q. Ejemplo.- Las proposiciones (p ----->q) y (~q----->~p) ,;ort lógicamente equivalentes. puesto que sus tablas de verdad son idénticos. En efecto: p q p — >q -.q-----> p V V V F V F V F F V F F F V V F V V F F V V V V Idénticos ••• p — * q = ~ q — >~p OBSERVACIÓN.- © La equ valencia de este ejemplo es muy importante, porque viene a ser la base del llamado método de demostración por Reducción al absurdo, en una forma indirecta de un proceso de demostración que se va utilizar en el desarrollo del curso. © Un par de proposiciones equivalentes p e e q resulta siempre una equivalencia lógica p « q y viceversa, por esta razón cuando se tiene una equivalencia lógica entre p y q, también se dice p = q. 1.13. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS.- Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas preposicionales tautológicas de caractcr general y que a partir de estas leyes lógicas se puede generar otras tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes lógicas mencionaremos.
  • 29. 14 Eduardo Espinoza Ramos Io LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS.- © Ley de identidad. í P ----- 5P • { “una proposición sólo son idénticos así mismo” [P<---- >P © Ley no contradicción. ~(p a -p) "una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez” © Ley del Tercio excluido. p v -p “una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posibilidad" 2o EIIIVALENCIAS NOTABLES.- © Ley de la doble negación. ~(~p) = p “la negación de la negación es una afirmación” © Ley de la Idempotencia. a) p a p = p b) p v p ^ p © Leyes conmutativas. a) (p a q) = (q a p) b) ( p v q ) E ( q v p) c) p < — >q = q<— >p © Leyes Asociativa. a) p a (q a r) s (p a qj a r b) p v (q v r) = (p v q) v r c) p < — >(q < ---- >r) = (p < — >q) < — > r © Leyes Distributivas a) p a (q v r) s (p a q) v (p a r) b) p v (qa r) = (p v q) a (p v r) c) p ------»(q a r) = (p-----»q) a (p---->r) d) p ------>lqvr) = (p----->q)v(p---->r)
  • 30. Lógica 15 © Leyes De Morgan a) ~(p a q) = ~p v ~q b) ~(p v q) = - p a ~q © Leyes del Condicional. a) p ----- >q = ~P v q b) -(p ------>q) = p A ~ q © Las Leyes del Bicondicional.- a) (p<— ► q) = (p------ > q )A (q ------>p) b) (p < — >q) s (p a q) v (~p v -q) © Leyes De La Absorción. a) p a (p v q) = p b p a (~p v q) = p a q c) p v íp a q) = p d p v (~p a q) = p v q @ Leyes De Transposición. a) (p----- > q ) s - q ----- >--p b) (p<— >q) = ~q<— >~p © Leyes De Exportación. a) (pAq)----- >r = p--->(q------ >r) b) (Pi a p 2 a ...a pn)- - - - - - ->r = {pxa P2 a ...a pn— i )- - - - - - -K p n - - - - - - - ->r) (l2) Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción. a) p a V s p. V neutro de la conjunción. b) p v F = p, F neutro de la Disyunción. (O ) También: a) (p v q) a (p v -q) = p b) (p a q) v (p a ~q) = p OBSERVACIÓN.- Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplaza! una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.
  • 31. 16 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas. (1 ) [(pv-q)A q]------>p Solución l(p v ~q) A q]----->p = ~[(p v ~q) A q] v p - [~(p v -q) v -q] v p = t— (P v ~q)J v (p v -q) E P v ~q ( 2) — [— (p a q)----- >~q]vq Solución ~l~(p a q)- - - - - - -> -q] v q s [ -(p a q) a - (~q)] v q por (7b) = ~Up a q) v (-q)] v q por toa) S [~(p A q) A — (~q)] v q por (6 b; = [(~p v -q) a q] v q = q v ((-p v ~q) a q) por (3b) s qv [q a (~p v ~q)] = q por (9b) © Comprobar que las tres proposiciones siguientes son equivalentes: a) _ [(q v _p) v (q a (r v ~p))] b) (p a - q) a [~q v (— r v p)] c) ~(~q----->-p) a [q----->-(p ------ >r)] Determinar si (a) y (b) son proposiciones equivalentes: a) p ----------»(r v ~q) b) (q-->~p> v (— r — -p) Dejamos el desarrollo de este ejercicio al lector.
  • 32. Lógica 17 ( j ) [((~P) a q)-----! (r a ~r)J a - q Solución [((~p) a q)----->(r a ~r>] a ~q = [((~p) a q)----->F] a ~q = K(~P) A q) v F] a -q = [(P v -q) v F] a -q = (p v ~q) a q = q Ejemplo.- Detenr.inar si a) y b) son proposiciones equivalentes: a) p ---- >(rv ~q) b) (q----- >-p) v (~r----->~p) Solución Determinaremos la equivalencia mediante la tabla de verdad. p q r (r v ~p) P L q > I Vv~r ' ■ >--pj V V V V V V F V V V V F V F F F F F V F V V V V V V V V F F V V V V V F F V V F V V V V V F V F F V F V V V F F V F V V V V V F F F F V V V V V ... (2) Idénticos ^ 1__________________________ J Otra manera es mediante la simplificación. a) p ----->(rv~q) = (~p)v(rv~q) b) (q----->~p) v (~r----->~p) = (— q v ~pj v r v ~p) = (~q) v (~p v ~p) v r = (-q) v (~p) v r = (~p) v (r v ~q) Luego de (1) y (2) se tiene: a) = b)
  • 33. 18 Eduardo Espinoza Ramos 1.1 LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO.- A1 proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se denomina inferencia lógica o Argumento lógico. La inferencia lógica es una condicional de la forma: ÍPi * P i a ...a p „)- - - - - - -...(a) donde las proposiciones p,p-i,—.p„ son llamadas premisas y que originan como consecuencia otra proposición q llamada conclusión. OBSERVACIÓN.- Una inferencia 15gica puede ser una tautología, una contingencia o una contradicción y por lo tanto se tiene: Si la condicional (a) es una tautología se denomina argumento válido o inferencia válida. © Si la condicional (a) no es una tautología se denomina FALACIA. Ahora veremos como se determina el valor de verdad de un argumento lógico. 1.15. DEFINICIÓN.- EI argumento (a) es verdadero si q es verdadero cuándo todas las premisas p¡, p 2,..., pn son verdaderos, en cualquier otro caso el argumento (a) es falso. NOTACIÓN.- También el argumento (a) se denota por: P 1 . P 2 - - ’ P n --------->9 - ( P ) Ejemplo.- Determinar si p v q es una consecuencia válida de ~p----->~q,~q----->r, ~r Solución En este problema las premisas ~p---- >~q, ~q----- >r, ~r y la conclusión es p v q, por lo tanto se debe demostrar que (~ p-----> ~q) a (~ q-----> r) a ~ r -----» p v q es una tautología.
  • 34. Lógica 19 p q r t( P -» ~q) a (~q ->r)] a [-~r— — * (P Vq)] V V V V V V F F V V V V F V V V V V V V V F V V V V F F V V V F F V F F F V V V F V V F F V F F V V F V F F F V F V V V F F V V V V F F V F F F F V F F F V V F _ _ T * . Es una tautología Como es una tautología es una inferencia váliua. 1.16. TFOREMA.- Si el argumento (a) es válida y las premisas px, p 2,...,pn son verdaderas, entonces la conclusión q es verdadera. Demostración Si el argumento (a) es válido, la condicional p, a p 2 a ...a pn ------ >q es una tautología en que (px/p < ..a pn) es verdadera (puesto que cada p lf p2,..., P„ son verdaderos) de donde se tiene que la única posibilidad para la conclusión q es que sea verdadera, pues si fuese falsa, la condicional seria falsa y la inferencia no seria válida, contradiciendo la hipótesis. OBSERVACIÓN.- Una inferencia no se modifica si una o varias de las proposiciones componentes p ,, p 2 , p„ - q se reemplaza por otra u otras que sean equivalentes. NOTACIÓN.- Al aigumento (p, a p2 a ...a p„)------ >q, ¿ambién se denota en la forma siguiente: P Pi Pi Pn q
  • 35. 20 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Demostrar que el argumento es válido. P p— >q •• q Solución Se debe demostrar que la condicional [p a (p---- »q>]------» q es una tautología [p a (p---- >q)]-»q — [p a (p----------->q)]vq = [~pv~(p----->q)]vq = (~P v q) v ~(~p v q) = (~p v q) v (p a -q) s ~(p a ~q) v (p a ~q) = V es tautología También puede haberse demostrado con la tabla de verdad. Es una tautología 1.17. INFERENCIAS VÁLIDAS NOTABLES.- © Ley De Módus Pones.- [(p------->q) a q] => q también se simboliza p -------------------->q _P_______ .-. q © Ley De Módus Tollens.- [(p----- >q) a (~q)] =>(~p) también se simboliza p -----»q
  • 36. Lógica 21 (5 ) Ley Del Silogismo Hipotético, [(p-----»q) a (q-----»r)] => <p----->r) También se simboliza: p ----- »q q - -> r p ----->r © Ley Del Silogismo Disyuntivo, [(p v q) a (~p)] => q También se simboliza: p ✓q ~P q Ley Del Dilema Constructivo, h p -----»q) a (r----->s) a (p v r)] => (q v s) También se simboliza: p ----- » q r ----->s p v r q v s © Ley De Simplificación a ) p A q = > p b) p a q => q También se simboliza: P P _q_ _ q__ de p q 1.18. EL MÉTODO A3REVI DO.- E1 desarrollo de la tabla de valores de la inferencia (pxa p2 a ...a pn)------>q es muy laborioso cuando se desea saber su validez, esto se puede evitar mediante el “método abreviado” que es fácil de manejar y de gran precisión. El método abreviado consiste en analizar la única posibilidad de ser falsa la implicación p -----»q, es decir:
  • 37. 22 Eduardo Espinoza í amos O sea que la implicación es falsa F sólo cuando el antecedente es verdadero V y el consecuente falsa F. Ahora haremos un análisis a la inferencia, (p, a p 2 a...a pn)- - - - - - - »q mediante los siguientes pasos: Io Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas p ,, p 2,—, P„ y falso F a la conclusión, como el antecedente es verdadero y por ser una conjunción n premisas entonces cada premisa p¡, p2,..., p„ es verdadera es decir: (p, a p2 a ...a pn) - - - - - - - - - - - - - - - - ->q v ---------- v -----------' 2° Deducir el valor de cada una de las variabler proporcionales teniendo en cuenta las reglas a , v ,- - - - - -», ~ que se pueden presentar en cada premisa. 3° Si cada una de las variables proporcionales tiene un sólo valor, entonces la inferencia no es válida, es decir no hay implicación puesto que la conjunción de premisas es V y la conclusión es F. 4° Si una variable proporcional llega tener dos valores a la vez (V y F), entonces quedará demostrado que no es posible que la conjunción de premisas es V y la conclusión es F, por lo tanto hay implicación y la inferencia es válida Ejemplo. Analizar la inferencia [(p----->q) a (r----->~s) a (~q v ~s)]-----»(~p v ~r) Solución [(p |—>q) a (r - —* ~s) a (~q y ~s)]----------->(~p v ~r) v v W ! i
  • 38. Lógica 23 Analizando la conclusión (~p v -r) ~p v ~r de donde p es F j p es V r es F Ir es V ahora analizaremos cada premisa p ---- -j----->q de donde p es V V4_ ( ^ V r ---- -j-— >~s de donde r esV ▲ ▼ V ~s es V entonces S es F. (y ) ^ -q v s de donde - q es V A s es F entonces q es F ------ 1 F como se puede apreciar que q es V por una parte y q es F por otra parte, lo cual es una contradicción por lo tanto la inferencia es válida. Ejemplo.- Analizar la inferencia [(p----->q) a (~p— -»r) a (p v ~p)]------»(p v r) Solución [(p----->q) a (~p----->r) a (p v ~p)]----------- >(p v r) i I I ▼ ▼ T I I ¡ I v. v V v . T T V . F' Analizando la conclusión p v r p es F p v r de donde { :es F
  • 39. 24 Eduardt ■ Espinoza Ramos Ahora analizamos cada una de las premisas. P ■ >q de donde p es F ▲ q es V ~P - p ----------->r ■ »r de donde -p es F entonces p es V como podemos apreciar p es F por una parte p es V por otra parte lo cual es una contradicción, por lo tanto la inferencia es válida. Ejemplo.- Analizar la inferencia: [(~p < — *(~q v r)) a (r-------------------------- »s)]--- »(s------»- Solución [(~p < — >(~q v r)) a (r----- >s)] * (s----->-p) ▼ V V Analizando la conclusión s -----»~p s 4 ~p de donde entonces p es V Ahora analizamos cada una de las premisas. ~p < ----------»(~q v r) ~q v r de donde
  • 40. Lógica 25 ->s de donde re s F s es F FT ▼ L - ® Corno se tiene una contradicción. Luego la inferencia nc tiene validez. 1.19. IVfÉTCDOS DE DEMOSTRACIÓN.- En la demostración de teoremas y proposiciones qut se presentan en el álgebra y el análisis se aplican ordenadamente los pa os lógicos agotando todas las premisas (antecedentes o hipótesis) para verificar la conclusión (consecuente o tesis). Existen dos formas o métodos de demostración matemática, la directa y la indirecta. 1.20. I ORM¿ O MÉTODO D)RECTO DE DEMOSTRACIÓN. En la tabla de verdad de la implicación p -----»q. Si p es falso, la proposición p -----»q es válida cualquiera que sea el valor de q, entonces no se tendrá nada que demostrar, es decr que interesan los casos de antecedente verdadero. Sí a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma. se deduce la verdad de la conclusión de q, se dice que se na usado una demostración directa. Ejemplo.- Mediante el método directo comprobar la validez de la inferencia lógica. (pi a p2 a ...a pn)- - - - - - - ->q (1) [~p a (p v q)]----->q Solución [~p a (p v q)]-----»q = ~[~p a (p v q)] v q = [pv ~(p v q ) ]v q = ( p v q ) v ~(p v q) V = tautología
  • 41. 26 Eduardo Espinoza Ramos 1.21. FORMA O MÉTQuO INDIRECTO D e dEMOSTRACíON.- A esta forma de demostración también se denomina demostración por contradicción o por reducción al absurdo, este método consiste es negar la conclusión q y considerarla como una premisa, y a una de las premisas p ,, p , p n negarla digamos a p¡ y construir el siguiente argumento lógico ((— q) A P2 A - A Pn ) ------ *~Pl —(2) ahora probaremos que el argumento lógico(2) es equivalente al argumento lógico (1). ((~q) r,p2 a...a p n) ------ >~Pl = ~[~q a p 2 a ...a p n]v pj = [ q v - f t v - v - p „ ] v - p i = [- p, V - p 2v ... v - p n ] v q = -[ Pl A P2A A Pn ] V q = ( P a p2a ... a p n ) ----- >q (argumento 1) 1.22. DEFINICIÓN.- Cuando en una demostración se emplea el argumento lógico (2) se due que se está aplicando el método indirecto o método por reducción al absurdo, Ejemplo.- Por el método indirecto comprobar la validez a la inferencia lógica siguiente: [~ p a (p v q)]----- >q Solución Negaremos la conclusión q y la consideremos como premisa y negaremos a la premisa ~p y considerarla como conclusión.
  • 42. Lógica 27 t(-q) a (p v q)]----->p = ~[(~q) a (p v q)] v p = Iq v ~ÍP v q ; ] v p = ( p v q ) v -(p v q) _____________ j v V s ¿autologh Ejemplo.- Probar que él número -Jl no es racional. Solución La comprobación lo haremos por el método de reducción al absurdo, lro. Suponemos que y¡2 es racional. 2do. Si y¡2 es racional => 3 m, n e Z primos entre sí lal que ¡2 =— n 2 3ro. Sí yÍ2 =— => 2 = ^ — => m2 =2n2 ... (ex) n n 4to. Como m2 - 2 n2, con n entero => m2 es par, por lo tanto m es par. 5to. Como m es par => m = 2k, para algún k entero. 6to. Reemplazando en (a) se tiene: 4k2 =2n2 => n2 =2k2 7mo Como n2 - 2 k 2 => n2 es par, por lo tanto n es par. 8vo. Como n es par n = 21, para algún 1entero. 9no. De 5to. y 8vo. se tiene m = 2k, n = 21 de donde m y n nene un factor común 2, lo cual contradice a la hipótesis de que m y n son primos entre sí. lOmo. Conclusión, por lo tanto Í2 no es racional.
  • 43. 28 Eduardo Espinoza Ramos £23. CIRCUITOS LOGICOS.- A un ensamblaje de interruptores automáticos que permiten el pa.,o de la corriente eléctrica o la interrumpen de denomina circuitos eléctricos. A un interruptor se puede representar por medio de una proposición p y viceversa, de tal manera que el valor de verdad de la proposición p se identifique con el “paso de la corriente” en este caso se dice que el “circuito está cerrado” y c.'ando el valor es “falso" con la interrupción de la corriente en este caso se dice que el circuito está abierto. Circuito cerrado Circuito Abierto (pasa corriente V) (no pasa corriente F) OBSERVACIÓN.- Para diseñar los circuitos eléctricos, se usa la siguiente notación. El 1indica “pasa corriente” El 0 indica ‘no pasa corriente” Luego en circuitos eléctricos se usan como notación. “El 1en lugar de V” “El 0 en lugar de F ’ En el diseño de esquemas de circuitos eléctricos para representar a proposiciones compuestas y viceversa consideramos dos clases de instalaciones, en serie y en paralelo. 1.24. DISEÑO DE CIRCUITOS ELECTRICOS EN SERIE.- Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie. ------------ p --------- ► ----------- q ---------- ► ---------- o Pasa corriente
  • 44. Lógica 29 Se observa que este circuito admite paso de comente cuando estos dos interruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente, es decir ésta situación corrc ponde a la tabla de verdad de la conjunción p y q. p q P Aq 1 i 1 1 0 0 0 i 0 0 0 0 En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los interruptores esté abierto ‘O para que no circule la corriente en todo el circuito A la expresión p a q se le llama la "Función Booleana del circuito en serie”. 1.25. DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN PARALELO.- Consideremos dos interruptores p y q instalados en paralelo. Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno delos interruptores o ambos p o q esté cerrado “1” y no hay paso de comente si ambos interruptores están abiertos (ambos con el valor "O”)- Este circuito corresponde a la tabla de verdad de la disyunción p v q, es decir:
  • 45. 30 Eduardo Espinoza Ramos p q p v q 1 i 1 1 0 1 0 i 1 0 0 0 A la expresión p v q se denomina la función Booleana del circuito en paralelo. © no pasa corriente NOTACIÓN.- A un interruptor p representaremos simplemente como o---------------------- p ----------------------o Ejemplo.- p Aq ------------------ p -------------------- q ------------------ p v q OBSERVACIÓN.- A una tautología se representa mediante un circuito siempre cerrado (.donde la corriente siempre está circulando). En las computadoras no son de utilidad. Ejemplos.- Construir el circuito lógico de las funciones Booleanas. a) p----->q Solución
  • 46. Logica 31 p ----->q = ~p v q (paralelo) b) (p v q) a r Solución p v q es en paralelo o- © (p v q) a r es en serie Describir simbòlicamente el circuito. r -------o Solución ~q en paralelo rv ~ q -q En serie p A (r v q)
  • 47. 32 Eduardo Espinoza Ramos © © [p a (r v ~q)J v (q a -r) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: --------- P ---------- --------- q ---------- -q ~P -P Sdudóg [p v (q v (~q a ~p))] a -p = [p v (q v ~(q v p))] a ~p = [(P v q) v ~(p v q)] a -p s [(p v q) a -p] v [~(p v q) a -p] s [~p a q] v [~p a ~ q a ~p] [~p a q] v [~p a ~q] = [(~p a q) v ~p] a [(~p a q) v -q] -p a (~q v -p) = ~[p v (q v p)] v ~p Determinar el circuito lógico que representa el esquema molecular. ~[p - Solución ~[p-----»~(q v r)] = ~[~p v ~(q vr)] = p a (q v r) -(q v r)]
  • 48. Lógica 33 1.26. LÓGICA CUANTIFIC ÍCIONAL.- FUNC1ÓN PROPOSICIONAL.- A todo enunciado abierto de la forma P(x) se denomina función proposicional la cual tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la vauable x por una constante “a” especifica, al conjunto de todos los valores convenidos para la variable x se denomina dominio de la variable. De acuerdo a la definición de enunciado abierto, la función proposicional sobre D es toda expresión P(x) donde P(a) es verdadero o falsopara todo a e D. Ejemplo.- P(x) = x + 1 < 9, si x pertenece al conjunto de los enteros, entonces P(x) es una función proposicional cuyo dominio es los enteros. Si x = -2 e Z, -2 + 1< 9 es verdadero x = 10 e Z, 10 + 1< 9 es falso por lo tanto P(x) es una función proposicional. 1.27. CUANTIFICADORES EXISTENCIAL Y UNIVERSAL - Se ha visto un método que nos permite que a pan ir de una función proposicional P(x) se puede obtener proposiciones, sin embargo se tiene otro método completamente distinto que permite obtener proposiciones a partir de una función proposicional, dicho método es llamado cuantificadores. Ejcmpko.- Sea la función proposicional P(x): x es un número primo ... (1) Si a la función proposicional le anteponemos “para todo x” se obtiene: "para todo x, x es un número primo’’ ... (2) La frase "para todo x" se denomina el cuantificador universal y se simboliza por: V x que se lee para todo x.
  • 49. 34 Eduardo Espinoza Ramos Luego (2) se puede escribir en la forma. V x: x es un número pi imo ... (3) aclarando (1) es una función preposicional (3) es una proposición. A un cuantificador universal puede ser reemplazado por: Vx: P(x) o V x / p(x) ó (V x) (P(x)) y en todas estas notaciones, se lee “para todo x, tal que se verifica P(x)” es decir: V se lee “para todo” El cuantificador El cuantificado Vx : #>íx) Notación: Vx / P(x) (Vx) (/>(X)) Ejemplo.- V x: x + 4 = x El cuantificador universal no es el único cuantificador que permite obtener proposiciones a partir de funciones proposicionales, existe otro llamado cuantificador existencial. Sí en (1) P(x): x es un número primo antes ponemos la frase “existe x tal que” es nuevo cuantificador, se obtiene: “Existe x tal que x es un número primo” ... (4) Al cuantificador existencial x “existe x tal que” se simboliza 3 x. de donde (4) se escribe 3 x: x es un número primo ... (5) un cuantificador existencial puede ser representado por 3 x: P(x) o 3 x/P(x) o (3x) (P(x)) y en todas éstas notaciones se lee: “Existe por lo menos un x, tal que se verifique P(x)” es decir: 3 se lee existe
  • 50. Lógica 35 El cuantificador El cuantificatio Notación 3 x - P(x) 3.1 / P(x) (3x)(P(x)) Ejemplo.- Sea el conjunto A = {-2.-1,2,3.4} se tiene, 3 x e A: x 2 —2jt = 8 3 x e A / i - 2jc= 8 A)'jc2 - 2 x =8) 1.28. NEGACIÓN DE PROPOSICIÓN CON CU/vN HFICADORES.- Proposición La negación V x : P(x) 3 x : P(x) V x e A : P(x) 3 x e A : P(x) ~ [V x : P(x)] = 3 x : - P(x) -[3 x : P(x)] s V x : ~P(x.) ~[V x e A : Pix)] = 3 x e A : -P(x) -[3 x e A : P(x)l = V x e A : ~P(x) Ejemplo.- Negar la proposición, V x e N / x + 3 > 5 a>olucion ~[V x e N /x + 3>5] = 3 x e N / x + 3 < 5 Ejemplos.- Negar cada una de las siguientes proposiciones si el conjunto de referencia es los reales R. (7) (Vx)(3y)ÍP(x)->(q(y)-»r(x)j] (? ) (V x)(3 y)(3 z) [P(x,y)->q(x) a r(z)] ( D (3 x)(V y)(3 z)[~(P(x)->q(y)) v r(z)] ( 4) (V x)(3 y)(V z)[~(r() v ~P(x)) v q(z)]
  • 51. 36 Eduardo Espinoza Kanos Solución © -(V x)(3 y)[P(x)----- »(q(y)----->r(x'v)] = (3 x)(V y)[P(x) a ~(q(y)----->r(x)] = (3 x)(V y)[P(x) a (q(y) a -r(x))] (2 ) ~(V x)(3 y)(3 y)(P(x,y)-------->(q(x) a r(z)) = (3 x)(V y)(V z)[P(x,y) a ~(q(x) a r(z))] = (3 x)(V y)(V z)[P(x,y) a (-q(x) v -r(z))] ( 3) -(3 x)(V y)(3 z)[~(P(x)------------------------------->q(y)] v r(z)] = (V z)(3 y)(V z)[P(x)->q(y)) a ~r ( í ) ~(V x)(3 y)(V z)[~(r(x) v -P(x)) v q(z)] = (3 x)(V y)(3 z)[r(x) v ~p(x)) a ~q^z)] |l.29. EJERCICIOS DESARROLLADOS^ © Deter m ar el valor de verdad ae cada una de las siguientes proposiciones: a) Sí 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6=12 Solución Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero. b) No es verdad que 3 + 3 = 7 sí y solo sí 5 + 5=12 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador. Solución Es falso puesto que ambas componentes son falsas d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verd adera
  • 52. Lógica 37 V Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) 4 + 8=12 y 9 - 4 = 5 Solución Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas. b) 8 + 4= 12 y 8 - 3 = 2 Solución Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición simple falsa. c) 8 + 4=12 o 7 - 2 = 3 So ución Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera. d) La UNMSM está en Arequipa o está en Lima. Solución Es verdadera V, puesto que es una disyunción exclusiva con una proposición simple verdadera. e) La UNI está en Lima o está en Trujillo. Solución Es verdadera V, puesto que es una disyunción exclusiva con una proposición simple verdadera. f) Sí 5 + 2 = 7, entonces 3 + 6 = 9 Solución Es verdadera V, puesto que es una implicación con las dos proposiciones simples - verdadera». g) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5=10 Solución Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.
  • 53. 38 Eduarde Espinoza Ramos h) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1=2 Solución Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F. i) Si 7 + 3 = 4, entonces 11-7 = 9 Solución Es verdadera V, pueito que las proposiciones que intervienen en la implicación son falsas. (5 ) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta. ~(p a q) < — >(~p v ~q) Solución D Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: ~{~[p v (~q-----»p)] v ~[(p < — >~q)---- »(q a ~p)] Solución Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan: — {[p v (~q-----»p)] a [(p r— >~q)----->(q a ~p)]} de donde se tiene: [p v (~q- - - - - -»p)] a [(p *— >-q )— (q a ~p)] . . - j j ^ El valor de verdad
  • 54. Lógica 39 © Determinar la proposición [((~p) v q) a ~q]-----»~p es una ¿autologia. Solución p q [(~p v q) A ~ql ---- > ~p V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V V V Es una tautología © Verificar que las .siguientes proposiciones son contradicciones: a) (p a q) a ~(p v q) b) ~[p v (~p v ~q)] Solución P q (p Aq) A -(p v q) - fP V (~p V ~q)] V V V F F V F V V F V F F F F V F V V V F V F F F V F F V V F F F F V F F F V V * Contradicción Contradicción © Demostrar que las proposiciones dada es una tautología: [(p v -q) a q] - Solución Es una tautología
  • 55. 40 Eduardo Espinovi Ramos ^8) Verificar que la proposición dada es una contingencia [~p a (q v r)] < — »[(p v r) a q] Solución p q r [~P A (q v r)] < — »[(p v r) A q] V V V F F V F V V V V V F F F V F V V V V F V F F V V V F F V F F F F F V V f F F V V V V V V V V V F V F V V V F F F V F F V V V V F V F F F F F V F F V F F F I ^ 1 I __________X _________ J A Es una contingencia Determinar si las proposiciones [p----->(r v ~q)] y [(q----->~p) v (~r----->-p)J son equivalentes. Solución P q r lP -----» (r v ~q)] [(q— * p ) y ( r- —>~p)] V V V V V V F V V V V F V F F F F F V F V V V V V V V V F F V V V V V F F V V F V V V V V F V F F V F V V V F F V F V V V V V F F F F V V V V V Por lo tanto son equivalentes es decir: [ p—— »(r v ~q)] = [(q----------------- »~p) v (~r----------» fíüi Determinar si las proposiciones [(-p v q) v (~r a ~p)] y ~q-----»~ p son equivalentes. SoIjcícji
  • 56. Logica 41 p q r [(— P )v q) v(--r a ~p)] -q- - - - - - ->~p V V V V V F V V V F V V F V V F V F F F F V F F F F F F F V V V V F V F V F V V F V F F V V V F V F F F V V V V ^ — Idénticas — ^ Por lo tanto son equivalentes es decir: (~p v q) v (~r a ~p) = ~q-----»~ p Determinar los esquemas más simples de la proposición: ~[~(p a q)-----»-q] v p Solución ~[~(p a q)-----»~qj v p por la condicional — [— (~(p a q) v -q)] v p por la negación — [(p a q) v ~q] v p por conmutatividad en la conjunción ~[~q v (p a qtj v p por absorción ~[~q v p] v p por Morgan (~p a q) v p por absorción p v q ~[~(p a q)-----»~q] v p = p v q ^ 2 ) De la falsedad de la proposición: (p---- ■ >~q) v (~r----->s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares a) (~p a ~q) v -q b) (~rvq)<— >'~qvr)AS c) <p-----»q)-----»(p v q) a ~q Solución
  • 57. 42 Eduardo Espinoza Ramos Determinaremos el valor de verdad de p, q, r y i Por lu tanto: p es V, q es V , r es F, s es F a) (~p a ~q) v ~q b) (~r v q )« - -> (~q v r) a ♦ : i : ¡ ♦ ! * ! i ! ♦ ! F ! F ! ♦ i 1 F ¡ F v ! v l l 1 i 1 F ! F ! ■ i i ! ♦ ! ! F ! i t i l c) (P- ->q)- + V ♦ V El valor de verdad es F -»(p v q) a ♦ ! ♦ V ! V ♦ ! ♦ V ¡ F ♦ F El valor de verdad es F ♦ F | V |El valor verdad V El valor de verdad de: — [(— p v q ) v (r----->q)] a [(~p v q)-----»<q a -p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de p, q, y r Solución
  • 58. Lógica 43 Se sabe que p a q y q -----■ >t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes: a) (~p v t) v ~q b) ~[p a (~q v ~p)] <0 [(p----- >q a ~(q a t)] < — >l~p v (q a ~t)] Soluciói. Determ naremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t
  • 59. 44 Eduardo Espinoza Ramos por lo tanto p es F, q es V y t es F a) (~p v t) v ~q * i* V ¡ F I ♦ V b) I F el valor de verdad es V ~[p a (~q v ~p)] + ! + F ¡ V ♦ i ♦ F ¡ V i F 0 El valor de verdad es V c) [(p-----»q) a ~(q a t)] i F V V +: + v ! F I ♦ F V V [~p V (q A -t)] + : + v! v ♦ v ♦ V V Si la proposición (~p a q) son verdaderas: a) ~[(p-------------->q)--------->r] c) [(p v ~q) a p] v ~q Solución Detenninaremos los valores de p, q, r, s 0 El valor de verdad es V ---- » (~s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones b) ~(~p a q) a [(~r v r) a s]
  • 60. Lógica 45 por lo tanto jp es F , q es V s es V , r es F a) ~1(P----->q)----->r] b) [~(~ p a q)] a [(~r v r) a s] F i V ♦ V ♦ F V V ♦ V È F F + ! + V¡ F i ♦ ♦ V V El valor de verdad es V [ I El valor de verdad F c) [(p v ~q) a p] v ~q F ! F I ♦ F F i F 0 E1 valor de verdad es F Por lo tanto únicamente es verdadero la a) 16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q) Solución [(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q) por distribución respecto a a [(ip a q) v pj a ((p a q; v ~q)] v (~p a ~q) por absorciün (p a (~q v p)] v (~p a ~q) por conmutatividad en v [p a (p v ~q)] v (~p a ~q) por absorción p v (~p a ~q) por absorción p v - q por lo tanto [(p a q) v (p a — q)] v (~p a -q) = p v ~ q
  • 61. 46 Eduardo Espinoza Ramos 17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito lógico. distribuidad respecto a a distribuida respecto a v por equivalencias Solución La ftmclón bo^leana del circuito dado es: [p v q v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p] Simplificando la proposición obtenida se tiene: [(P v q) v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p)l [(p v q v ~ p) a (p v q v ~q)] a [(~p v q) a p] (V a V) a [(p a ~p) v (p a q)] V a [F v (p a q)] = V v (p a q) = p a q Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (~p a ~q)] v [(~p v q) a p] = p a q por lo tanto el circuito simplificado equivalente es: O ----------------- P ------------------ Q ----------------- o Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: ---------P ------------ -------- q ------------ ~q ~P Solución La función booleana del circuito dado es: [p v (~q a ~p) v q] a -p ahora simplificamos la proposición obtenida
  • 62. I ógica 47 [p v (~q a ~p) v q] a ~p s [p v q v ~p] a -p = [(p v ~q) v q] a ~p = (V v q) a ~p = q a ~p Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: -----------p ----------------------- q - Solución La función booleana del circuito dado es: [(~p a ~q) v (p a (~p v q)j] ahora simpl.ficando ia pioposición obtenida [(~p a -q) v (p a (~p v qj)] s [(-p A-q) a (p a q> ] = p < — >q Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: r ----- Solución La función booleana del circuito dado es: (p v q) a [(~q a (r v ~q)) v (p a q)] a r simplificando la proposición obtenida (p v q) a [(~q a (r v ~q» v (p a q)] a r = (p v q) a [~q v (q a p)] a r E E(p V c) A [~q v p] A r = [p v (q a ~q>] a r = ( p v F ) A r = p A r
  • 63. 48 Eduardo Espinoza Ramos Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares, a) ~[p----->-(qvr)] Solución Simplificando se tiene: ~[p----->~(q v r)] s ~[~p v ~(q v r)] ° I = p a (q v r) b) (~p)<— >(p---- >~q) ioli ción (~p) < — »(p - »-q) = (~p) < — >(-p v -q) = (~p a (~p v -q) v (p a (p a q)) o------------- = (~P) (P) c) ( pv q) ---- >[(~pvq)----->(p a q)] Solución (p v q)---- >[(~p v q)----->(p a q)] = ~(p v q ) v [~(~p v q) v (p a q)] = ~(p v q) v [(p a -q) v (p a q)] s (-p a -q) v p = (p V ~q) ~q
  • 64. Lógica 49 1.30. EJERCICIOS PROPUESTOS.- © Determinar cuáles de los siguientes enunciado, sonproporciones: a) 5 + 7 = 1 6 - 4 b)3 x 6 = 1 5 + 1 y 4 - 2 * 23 x5 c) ¿El silencio es fundamental para estudiar? d) ¡Estudia lógica simbólica! e) Nosotros estuuiamos en la Universidad Peruana f) Los hombres no pueden vivir sin oxígeno. g) ¡Arriba Callao! h ) 5 + x = 7 i ) 2 + x * 3 + x © Determine cuáles de los siguientes enunciados son enunciados abiertos: a) x es hermano de y b) 28 <15 c) x + y + z * 1 d ) 9 x + 3>12 e) Tenga calma, no se impaciente g) x es ingeniero y Juan es matemático. h) La UNAC sobresalió en el deporte en el 2000. © ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas? a) Sí 3 + 3 = 6, entonces 4 = 4 b) Si 5(7) = 35, entonces 10 - 3 = 13 c) Si 19-7 = 3. entonces 4(5 + 3) = 32 d) Si 2 = 3 entonces 8 es un número primo. e) Si 3(7) es un número natural, ;ntonces17 es un número pr no f) Si x =2, entonces 3x =6
  • 65. 50 Eduardo Espinoza Ramos ( ! ) Deten' ¡nar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (3 + 5 = 8) v (5 - 3 = 4) b) (3 + 8 = 11) v (7 - 3 > 1) c) ( 5 - 3 = 8)------>(1-7 = 6) d) (4 + 6 = 9) < — >(5- 2 = 4) (? ) Dados las siguientes proposiciones: p: 5 > 10 q: si x2 +1 =0, entonces x es un número real r: “El punto medio de un segmento, equidista de los extremos del segmento” t: Sí x + 3 = 0, entonces x = -3 Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) [(pAq)---->r] a ~t b) [(p < — >q)-->~rAt]v (ó ) Si P{x) : x2 -16 = 0: qvx): x - 12 = 0, r(x) : x 2 >9 . Hallar el valorde verdad de: a) [p(2) a ~q(2)] < — >r(4) b) [~p(4)----- >r(5)] v ~q(4) c) [(p(l) a p(3)) < — >(r(2) v p(3)]---- >[~(p(2) v q(2))] ( 7) Si P(x): x3 =27 q{x): x 2 =9 ; r(x): x < 10. Hallar el valor de verdad de: a) (p(l)----- >q(12)] [r(-3) v ~r(3)] b) [p(0) a ~q(-1)] v [r(-5)----- >(r(-6) v r(0)] c)[(p(3) v p(2)) < — >(r(2) a ~q(3))] < — >[~q(3) v -p(-3)] © Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: a) (p<— >~q) < — >(q----- >p) b) (pA -q)-->(~pvq) c) [(p v -r) a (p v r)] a [(q----- >p)A(qvp)] d) ~(p v -q) a (~p v r) e) [p a (~q------->p)] a [~(p < — >~q)------>(q v~p)]
  • 66. lj)gica 51 ® Construir la tabla de virrdad de las siguientes, proposiciones: a) (p a q) v (~p) =>(pvq) b) (p q) r c) (p ^ q) (q p) d/ ((~p) v q) => (~q => ~p) e) (p a r) => (~q v r) f) (p a q) v r < = > (~p v ~q) a (~r) (lO) Hallar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: a) p ----- >(pv ~q) b) [(p v ~q)------>(q----- >p,] c) [p v (q ------) ~r)] a l(~p v r) < — >~q] d) ~ H p a q)-----»~q] v p e) ~{[(p----->q)v(q----->r)]-----»(r----->p)} Deducir el valor de verdad de a) (p---- >r)----- »l(p v q) a ~q] b) (~ p A ~ q )v ~ q c) [(~r v q) a q] < ----->[(~q v r) a s] (l2) Indicar cuál es la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: ~[(p v q) a (-p v ~q)] Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautología a) [(p v -q) a q]----->p b) [(p a q) v q] t— >q c) [~p a (q a ~r)J < — >f(~p a q) v ~(p v r)] (l4) Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes esquemas moleculares es tautología, contingencia o contradictoria. a) -[~ p ----- »~(~q a ~p)J v ~( -p v -q) b) [(p v ~q) a ~p] a (~q-------- c) ~(p------>q) < — >~(~q------»~p) d) lp------>(q---->r)]<— >[(pA-r)---->~q] e) lp a (~q------------>p)]A~l(p->~q)--->(q v ~p)] f) f-p a (q v ~r)] < ----r lf~p a q) v ~(pv r)]
  • 67. 52 Eduardo Espinoza Ramos Determinar mediante la tabla de verdad, cuales de las siguientes proposiciones son: tautologías, contradicciones o contingencias a) (p------>q) a (q-----»p) b) [( p v q ) A - q ] ------------>p c) ~[(pvp)- - - - - ->p] d) ~(p v q) a p e) [p------>(q— r)J a [(q v p)---- »r] Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautología, contradicciones y contingencias. a) ~(~P)<— >~H~p)] b) (~p v q) a (~q---------- >p) c) (p v q) a r < — >~(p a r) a -(q a r) d) [(p a q a r)------>s] < — >[(p a q)---------------->(r------->s)] (17) Dadas las proposiciones siguientes: a) ~(p a q) < — >(pv ~q) b) ~(p------>q) < — >(pv-q) c) -(p < — >q) < — >(~p < — >-q) indicar cuál o cuales es una contradicción (18) ¿Algunos de las siguientes proposiciones es una tautología? a) - K p v q ) ------»~q]<— »(p------>q) b) ~[(~p) < — » q] < — » (p- - - - - - - >q) c) ~[(p a q) v (p a (~p v q))] < — >(p------------->-q) Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o contradictorias. a) [(p a ~q) a (~p----->r)]----->(p v ~q) b) {p v (q----->-r)] a [(~p v r) < — »-q] c) [(~p a q)-----»-r] < — »[r a ~(p v ~q)] d) ~{(p a q) v [p a (~p v q)]} < — >(p-----» -q)
  • 68. Lógica 53 @ t,Cual de las iguienies esquemas no señalar una tautología? a) (p a q) < = >(q v p; b) (p a q) < = >(~p a ~q) c) (p a q) < = >(q a p) d) (p-> q ) « ( - p A - q ) (2^ Determinar la validez del esquema: ~|~(~p a ~q)----- >~(pv q)] « — * [— (— P v q)] (22) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es una tautología, aj (p a q) v [p a (~p v q)]< — >(p----- > -q) b) — [— (p v q)----- >~q]<— >(p----->q) c) ~(~p----- >q) < ---»(p < ---------> 23) Construir la tabla de verdad y determinar cuáles son tautología, contradicción o contingencia. a) (p----->q)<— M(r------>q)A(q------>p)] b) (p-----»(q v ~r)] a ~Ip < — >rj (24) ¿Cuales de las siguientes proposiciones es una tautología? a) — {(p a q) v [p a (— p vq)]] < ---->(p--------------->~q) b) ~(-p<— >q)<— >(p<— >q) c) [(p v — q) a q]------>p d) — [(— p v q)----- >q] « — >(p-----*q) e) [~p a (q v ~r)] < ---->[(~p a q) v~(p v r)] @ Simplificar las siguientes proposiciones: a) {[(~qj — » (-q)]--------------------------------------->[(~p)---------- >(~q)]}-* ~(p a q; b) [(p---->q) v -p] a (~q------->p) c) ~{[~(~p a q) v ~q]---->Hpv~q)]} d) (~p v ~q) a [~p a (q >p)] e) [(p = > q ) ^ ( p A q)] v (p a r) f) -[-(p a q) -» ~q] v p g) [(— p a q) => (q => p>] a p '26 Simplificar la» siguientes proposiciones:
  • 69. 54 Eduardo Espinoza Ramos a) [(~p a q)-----»(r a ~r)] a ~q b) K~q----- *~p)----- *(~p---- >~q)] a ~(p a q) c) [(p a q) v (p a ~q)] v (-p a -q) d) (p a q) v (~p a ~q) v p e) t => [(p => q) => q] a [~p a (q => p)] f)[~(p => q) => ~(q => p>] a (p v q) g) [(p a -q) a (q p) a r] v p 27) Si ~[(~p v q) v (r----->q)] a [(~p v q)----->(q a ~p)] es verdadera, hallar los valores de verdad de p, q y r. (S ) Si la proposición (p----->~q)----->(r----->~s) es falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones p,q,r,s. ^9 ) Si la proposición ~(p a q) a (q < — »p) es verdadera; entonces hallar ios valores de verdad de p y q respectivamente. 30) Si la proposición (p => ~q) v (~ r------> s) es falsa. Hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. a) (p = > q) => [(p v q) a ~q] b) (~r v q; < = >[(~q v r) a s ] c) (~p a -q) v -q (5 ^ Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la información siguiente: a) íp a q) < = >(p v q) es verdadero b) ~(pAq) es verdadero (32) Determinar el valor de verdad de lasproposicionesp y q si se conoce que el valor de verdad del siguiente esquema [— (~p => q; => ~(p----->~q;] => (p----->q) es falso. (33) Si p y q son verdaderos ¿para qué valores de r, el esquema siguiente es verdadero? (r----->p) (~q => r) 34) Si se tiene los siguientes datos: p es verdadero; r => ~p es verdadero y w t es verdadero, hallar el valor de verdad de ~r y de t.
  • 70. / vgica 55 35) Si el e »quema (p a q)----->(p-----»r) tiene valor de verdad, falso, halla el valor de verdad de los esquemas. a) [(p a q) v fq v ~r)] < = >(p v — r) b) (p v - q) (~r a q) c) ~(q v r ) v ( p v q ) (36) Si la proposición (~p a q) => [(p a r) v t] es falsa, hallar el valor veritativo de: a) ~[(~p v -q )----- >(rv ~t)] b) (~q v ~r) v [~t v (p v q)] c) (~p =» t) =* (~q => r) 37 Si la proposición (p a q) => (q => r) es falsa y se tiene los esquemas moleculares, a) ~(q v r) v (p v q) b) (p v ~q) => (~r a q) c) [(P a q) v (q a ~r)] o ( p v ~r) Cuáles son falsas ^8 ) Si la proposición (~p a q) => [(p a r) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. a) (~p => t) =* (~q =» r) b) (~q a ~r) v [~t a (p v q)] c) ~[(~p v ~q) ^ ( r v ~t)] (39) Sean p.q,r,s,t proposiciones. Si [(~p) a q] => [(r => p) v t] es una proposición falsa, hallar el valor de verdad de: ~(q v ~r) v ~[t (~q a p)] ^¡0) Si la proposición (~p a q) => (~s v r) es falsa, de las proposiciones siguientes, cuales son verdaderas? a) ~[('p => q) =? r] b) ~[(~p a q) a (~r v r)] a s c) [(p v ~q) a p] v (-q) Admitiendo la falsedad de: — [p v q v r] => ~(M a N a t). Hallar el valor de verdad de: a) [(p A M ) ^ ( q v N ) ) A t b) [(p=>q)=>(q=> M)] < = >(r => t) c) { [ ( pv q) ------>í i a s )] A ( - q ----->~t)} =>[(p— > q ) A ( q ------»M)]
  • 71. 56 Eduardo Espinoza Ramos 42) Admitiendo la falsedad de la proposición: (p a q) => [(r v s) => (t => w)] hallar el valor de verdad de: a) (p => w) a (r => q) b ) ~(p a t) => (~s => p) c) {[q => ~(t v r)] a [p => ~(r a w)]}« [(p => ~q) v ~t] 43) Si la proposición (~p a q)------- >[(p a q) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de: a) ~[(~p v -q )----->(r v ~t)] b ) (~p----->t)----->(~q----->r) c) (— q v ~r) v [~t a (p v q)J @ Si q—— »t y p a q son falsas. Determinar el valor de verdad de: a) (~p v t) v -q b ) ~[p a (~q v ~p;] c) [(p----->q) a ~(q a t)j < — >[~p v (q a ~t)] 45) Si la proposición í~p / q)-------»(~s v r) es falsa. Determinar el valor de verdad de: a) ~[(p------>q)---->r] b) ~(~p a q) a [(~r v r) a s] c) [Cp v -q) a p] v ~q (4ó) Si la proposición (~p----->q) v (s-----»~r) es falsa. Determinar el valor de verdad de las proposiciones. a) ~(p v q) v ~q b) ~[(pvq)A~q]----- >~(p----->q) c) [(r- - - - - - - - - - -> q) a q] < — > [(~q v r) a s] 47) Si la proposición (q a ~p)------> [(p a r) v t] es falsa, calcular el valor de verdad de la proposición: (~p----->t)----->(~q----->r) (48) Sabiendo que (q----->t) y (pAq) son falsas, deteiminar el valor de verdad de: a) ~[p a (~q v ~p)] b ) (~p v t) v s c> [~pv(qA~t)](---->1(p ----->q) A-(qAl)]
  • 72. Lógica 57 (4$) s; el esquema (~p----->~q) v (r A q) es falsa, determinar el valor de verdad de: a) (p----->q)----->(r A ~q) b) - q ----- >[(p<— >q)Ar] (SO) Si [(r----->s) a t]----->(p v q', es falsa determinar el valor de verdad de: a) ~r v (~ó----------->~t) b) (p < — »t) v [q a (~r v s)] c) [(r A s) v (t-----»s)] a (p a r) (5^ Dado los esquemas proposic.onales denotados por A, B y C respectivamente: A: p < — »~(q a r) ; B: -p A ~r ; C: -(p a q) v -r Determinar si A ----->C y B -- »C son implicaciones (tautología) (52) Si la proposición (~p a q) => [(p a q) v t] es falsa Hallar el valor de verdad de: a) ~[(~p v ~q) =}(rv ~t)] b) (~q a ~r) v [~ta (p v q)] (53) Si el esquema indicado: [(~p v q ) v [(p -4 q) a t]] a q es veidadero, indicar el valor de verdad de: a) p => q b) t v q c) - q v ( t v p ) (54) Sila proposición [(p v t) — » (p a q)] es falsa, dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) [(~p a ~t) a (q >r)] b) [(p vt)<-> (~p v ~q)] c) [íp v t) A (p a q)] 55) Si la siguiente proposición lógica ~[(p a q) => (q < = > (r v s))] es verdadera, hallar los valores de verdad de p, r, q, s. 56)De la falsedad de la proposición: (p — » ~q) v (~r — » s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares. a) (~p a ~q) v ~q b) (~r vq)<-> (~q v r) a s c) (p q) (p v q) a ~q 57)De la falsedad de (p => ~q) v (~r => ~s). hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) ~(~q v -s) ~p b) ~(~r a s) = >(-p = >q) c) p = >~(q = >~(s = >r))
  • 73. 58 Eduardo Espinoza Ramos (58) Hallar los valores de vjrdad de: p, q, r si: [(~p v q) v (r => q)] a [(~p v q) => (q a ~p)] es falso. (59) Si la proposición: [~(p => q) a (~r v s)] => r es falso, halle los valores de verdad de: p, q yr- ^0 ) Si: ~p v [(p a r) => (r < = >q)] es falso, halle el valor de verdad de. [(p => q) v r] < = >(p a r) (ól) Si [~(p =* q) a -r] =* [p a (q v r)] es falsa, halle los valores de verdad de: p, q y r. (í>2) De la proposición compuesta: ~[(p a q a r) => s] => (~p v s) se conoce que es falso, señale el valor de: p, q, r y s. (S ) Si la proposición “s” es falsa, y el siguiente esquema: (~p a q) <=v[(q => r) v (p a ~s)] es una tautología, hallar los valores de verdad de p, q y r. (6^ Demostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes: a) - p A q = ~(p v q) b) p A - p = - [ ( p ' ' p ) « p ] c) -q v p = ~(~p a q) = ~p < = >(p => ~q) d) ~[(p a q) a ~r] s ~[(~p a -q) a (p v r)] e) ~(p => q) = ~p « q = p «= >~q s ~(~p «= >~q) (6S) Probar que son equivalentes p => q y (~p) v q Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones: a) ~(p => q) y p a (~q) b) ~(p a q) y (~p) v (-q) c) ~(p v q) y (~p) a -q d) p => q y -q => ~p e) (p q) a (q => r) y p => r (67) Demostrar que las bicondicionales siguientes son equivalencias lógicas. a) (p-----> q ) « ( ~ p ) v q b) (p<— > q ) « ( p --------------------------------------------------------->q) a (q-->p)c) ( p A q ) v p d) ( p v q ) A p » p e) ~(p------»q) < = >(p a -q)
  • 74. Lógica 59 (68) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando como universo a los números reales. a) {Vxe R / x 3 — jc} b) {3xe R/2x = x} c) {3jte R / x 2 + 3x— 2 = 0} d) {3jce R / x 2 — 2jc+ 5 = 0) e) {Vxe R / 2x + 3x = 5x} f) {3xe R / 2 x '' +jc = 15} g) {Vxe R / x - 3 < x } h) {Vxe R / x + 3<6} i) {3 x e R / x + 3 <6} j) {Vxe R / x 2 -10<8} Evaluar ~{~(p v ~q)} < = > {~[(r a p) —-> (p A - -p)]} sí: p : {Vxe R!x° = 1} q {3xe Q/ 3 x 2 = * - 5 } ; r : {3 x e Z / x2 - 2 x —l = — l, 4 = jc} 70) Sean las proposiciones p : {Vjce Q / ^ +x > 0 }, q: {3 x e I / x + 0 = 7t}, r : {Vjte R / x 2 +1 = 0}. Hallar el valor de [(p----------->q) a r] < = >~q (7 ^ De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad. a) ( V x e R / | x | = x ) A ( 3 x e R / x + l í x ) b) (-3 x e R / j t 2 * j t ) v ( ~ V x e z / x + l * x - l ) c) (~ V x e N / 1x | * 0)----->(~3 x e Q / 1x | * 0) (72) ¿Cuáles son equivalencias lógicas? a) ~(q---- >~p) o ( q v p ) b) [í~p a ~q) v ~q] < = >[(p v q) a q] c) ~(p--------->q) < = > [(p v q) a ~q] (73) Sea U el conjunto universal y p, q, r las proposiciones: U={-10,-9.... 80}, U c Z(números enteros) ; p: {Vxe U, 3 y e U / x - x 2 <-2y}
  • 75. 60 Eduardo Espinoza Ramos q: [3j e U, V x e U / x - 5 y < 3 x - y ] : r: {Vze U 3 y e U,3xe U / x +y < »'■} Evaluar (~p v r) < — >(p a -q) (74^ Determinar el valor de cada uno de las siguientes proposiciones: a) {3xe Z I x 2 = x) b) { V x e Z / x - 7 < x } c) {3 x e Z / x + 5 = 5} d) { V x e Z / x + 8> xl e) {Vxe Z / x 2 >jc} f) { V x e Z / x + l = x } ^ 5) Si U = |x e R / 2 < x < 10) y p: (Vxe U)(3 y e í/)(V¿e U ) / - x - y > - < z 2, q : (Vxe i/)(3 z e í/)(3 z e U)(x+ y < z 2), hallar el valor de verdadde (~pv~q) => (pAq) Si U = {1,2,3,... 99}, determinar cuáles de los siguientes proposiciones son verdaderos, a) {3xe U / x + 5 = 2x} b) { V x e U / x + l e U ) c) {3 x e U / |x- 8| > 5} d) {V x e U / 2 0 - 3 x <0} (¿n) Hallar el valor de verdad de la fórmula, [(p v q)------»(~r v ~w)] < = >(q----------------»r) sí p: 3 xe Q/x+3 =y¡2+3, q: 3 x e I/x + 0 = 7t r: V x e N /x + 2.5 = 5, w: 3 jce Q/x +0 =y¡2 (78) Hallar el valor de verdad de: [(~p a -q )------»(r v q)] a [~(p a q) < — >r] Sí U = ( x e Z/-100 < x < 100} ; p: (V xe U)(3 y e U)(V z e U)(x + y - z > 30) q: (Vxe U)(V y e U)(V z e U)(2x + z - 4y < 800) r: (3 x e U)(V y e U)(3 z e U)(5x < z - y + 50) '^9) Si x puede tomar cualquier valor 1,2,3, demostrar mediante contraejemplos la falsedad de las siguientes proposiciones. a) {(Vx)/jc2 = jc} b) {3x/x = 2x}
  • 76. Lógica 61 c) {Vx/x + 2 = 5} d) { V x / x + l > 3 } e) ~ { 3 x l x 2 =4} f) {3 x / x > 4} y8^ Si x, y pueden ser cualquiera de los números 1 y 2, determine el valor de erdad de las siguientes proposiciones: a) (3 x)(V y)(x < y + 2) b) (V x)(3 y)( x + y < 5) c) ( (Vjc)(Vy)(jc2+ y 2 < 1) d) (Vj0(3 y)(x2 > y) e) (3 x)(3 y)(x + y = 2) (8l) Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si U = {1,2,3) es el universo y sí x, y e U a) 3x, 3 y / x 2 < y + 1 b ) Vjc.By/x2 +y 2 <12 c) Vx, / y / x 2 + y 2 <12 d) 3 x , 3 y , V z / x 2 +y 2 < 2 z 2 e) 3 x , / y , 3 z / x 2 + y 2 < 2 z 2, z e U (S ) Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones. a) 3 r e /?/jc2 +1 = 0 b) 3 x b R / x 2 =1 c) (V x e R)(V y e R)/x + y = 7 d) ( V x e z)(3ye z / x - y > 0 ) (83) Sean A= {1,2,3.4}, B = {1,4,5.8} ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas' a) 3 x , y e A / x + y>z, V z e B b ) ~[V x e A, 3 y e B/ x> yJ c) V x e B, 3 y e A / x - y e A d) V r e A , V y e B / x + y<10 (84) Si A = {0,1,2,3,4} hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) P: 3 x e A / 2x + 1= 5 b ) q: / ne Z + / 3n es divisible por 3 c) r : 3 x e R / x2 +7 <0 d) 5 : V .ve Q / x 2 > x
  • 77. 62 Eduardo Espinoza Ramos (85) Si M = {-1,1,2,7} cual es el valor de verdad, de las siguientes proposiciones: a) V x e M, 3 y e M / r > v c) 3 x e M , 3 y e M / ( x < 3 ) v (y2 > 2) b) 3 x e M , V y e M / j c > y >0 Dadas las proposiciones P: 3 xe Z/(4x + 2)(3x - 7) = 0; q: V xe Z / (jt2 > 0) v (je-1) < 0 , r: 3 x e N / (4x + 2)(3x - 7) = 0, señale el valor de verdad df p, q, r y además f(p a q) =* fp v r)] =* r Sea M = {0,1,2,3} el dominio de x e y, señale el valor de verdad de: a) V x , 3 y/(jt2- y 2 <10) v (je2 < y + l) b) V x, V y / (x2- y2 > -10) a (jc 2 > y +1) Negar las siguientes proposiciones para el conjunto z. a) V x e z / x + l > x c) 3 jte z / x 2 =x Negar las siguientes proposiciones a) 3 x / x + 7 < y c) G x / p(x))------>(Vy / ~p(y)) e) 3 x / q(x)_ 5x + 7 < 10 Negar los enunciados del ejercicio 56) Negar los siguientes enunciados, a) {3 x / p(x) v ~q(x)} c) {V x, 3 y / x.y = 0} e) {(3 y)(p(x))------ >(V x)(~q(x))} b) 3 j t e z / x + l = 0 d) V x e z l x 2-1 >0 b) (Vx/p(x)) a (3 y / q(y)) d) ^ pv -q) -----i (pA -D f) 3 x / 5 x + 8 < 4 b) |Vx/p(x) ----- >q(x)} d) {(V x)(p(x)) a G x)(q(x))} f) {(3 x)(~p(x)) v (V x)(q(x))}
  • 78. Lógica 63 g) (3x,3y/p(x)v-q(y)] h) {V x, 3 y /p(x,y)------->q(y)} i) {3x, 3y / p(x) a q(y)} j) {Vx, 3u, Vz / p(x,y,z)} (92) Negar cada una de las proposiciones siguientes: a) {3x /x + 7>2} b) ( V x / x + 0 = x) c) {Vx/x2 +7 > x2 +3} d) {3x/~(x*x)} e) ~{Vx/x2 =x} f) ~ { 3 x / x t 3 = x] (93) Negar las proposiciones del ejercicio 52) y verificar que estas .legaciones resultan ser proposiciones verdaderas (5 ^ Si x puede ser cualquier número natural, determine el valor de verdad de las p.oposiciones p : (Vjc)(jc2 > x) =* (Vx)(x < 3x) ; q : (Vx)(jt2 > x)=> (3 x)(x = x) r: (3 x)(x + 3 = 5) «= > fVx)(x + I > x) (95) Verifique la validez de los siguientes argumentos: a) p a q b) (p a q)------>(r a s) ~p— >q (~q)v(~s) ••• (-p )v (-q ) c) p a (p v q) d) r — >~q p v q - p-------»q r ----->s -r- »s s p ------>s 96) Demostrar, por la tabla de valores o por el método abreviado si los esquemas representan o no reglas de inferencia válidas.
  • 79. 64 Eduardo Espinoza Ramos c) p ----- >q d) (p----- »q) a (r----->s) q ----->p) p v r p < — >q q v s e) p<— >q f) q ->p r v q q ----- »(rv s) -r ~(~q v -s) ->(s----->p) g) p -----»q h) (pv-q) q ----- >r r ------ >-p r ------ »s s < — >p -»s p v (q------>~r) i) q ----->(~pvr) j) p r v s (~p v -s)----- >(~p a -r) -p < — >r s /. q v r (5 ^ Determinar los circuitos lógicos qui:representan a los siguientes esquemas moleculares. a) (~p) < ---------------- »(P-------- >~q) b) p a (q v ~p) c) ~[ pv - - - - - - - - - -»-(qvr)] d) {[(r v q) a p] v -r) a q e) (p v q ) - - - - - - ->[(~pvq)- - - - -»(p a q)] f) [(p- - - - - - -> q) v p H (p - - - - - ->q)v -p] ($8) Representar mediante funciones boolianas los siguientes argumentos:
  • 80. LSgica 65 c) P q ~p d ) ~q -p - -p ~q ~q (99) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: a) o— b) ~q ~ p c) q
  • 82. Lógica 67 ~ p ---------- q 100) Determinarlos circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares. a) {[(rvq)Ap] v~r) Aq b) ~[(p v ~q) v (p a -r) v ~(r v q v ~p)] @ Simplificar los siguientes circuitos lógicos: a) - P - —q- q ' ~P- P - ~q- b) —p- -P- q- —q- — q c) ~p ~q ■ -q - —P- -------q- P — ~p--------q ~P
  • 83. 68 Eduardo Espinoza Ramos d) ~p — q — ~r -P Dado el circuito lógico, hallar el circuito lógico más simple posible. - q ------~r ------ p— r — ~r Simplificar el siguiente circuito ------- P ---------- -------q ------------ .~p--------~q. -P q Representar mediante funcione*. Bouieanas los circuitos. ------- q ------- a) o----- P -P -~p- - q ----- c b) -P
  • 84. Teona de Conjuntos 69 CAPITULO II TEOKÍ/ l)E CQNJUN QS 2.1. DEFINICIÓN.- Un concepto se dice que es primitivo, cuando dicho concepto se acepta sin definición, en la matemática son conceptos primitivos, el de conjunto, de elemento y la relación de pertenencia, sin embargo debido a su gran importancia en todas las ramas de la matemática aceptaremos las siguientes definiciones. 2.2. DEF1NICIÓN.- Entenderemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que ‘pertenecen a un conjunto” se llama elementos del conjunto. NOTACIÓN.- A los conjuntos representaremos con las letras mayúsculas A.B.C,..., y a sus elementos representaremos con letras minúsculas a,b,x.... 23. RELACIÓN DE PERTENENCIA (e ).- La relación de pertenencia es el >-ímholo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto: (elemento) e (conjunto) Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto A, escribiremos x e A y leeremos “x pertenece al conjunto A”. Si x no es un elemento del conjunto A. escribiremos x í A y leeremos "x no pertenece al conjunto A”
  • 85. 70 Eduardo Espinoza Ramos OBSERVACIÓN.- Sea A el cc?..junto formado por los nombres de los siguientes países, Perú, Chile, Ecuador, Colombia, podemos escribir entonces Perú e A Colombia e A Argentina g A Brasil g A Al conjunto A expresaremos en cerrando entre llaves a sus elementos: A = {Perú. Chile, Ecuador, Colombia} © Sea A el conjunto formado por las letras n. m. p. q, t del mismo modo podemos escribir: p e A qe A w í A z í A Al conjunto A expresaremos encerrando entre llaves a sus elementos: A={n,m,p',q,t} _________ »___________________________________ 2.4. DIAGRAMAS DE VENN - EULER.- Para facilitar nuestra compresión intuitiva de los conjuntos, los representaremos gráficamente mediante los llamados “Diagramas de VENN”, estos diagramas son curvas cerradas de la forma.
  • 86. Teoría de Conjuntos 71 En el interior de estás curvas cerradas, representaremos mediante puntos a los elementos del conjunto. Ejemplo.- © Sea A={ 1,10,12,15}. El conjunto A será representado mediante el diagrama de Venn ( 2) Sea A = {-1,3,-5,0}, su diagrama de VENN es 2.5. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.- Un conjunto está bien determinado, cuando se conoce con exactitud que elementos pertenecen o no al conjunto. Cuando se conoce qué elementos pertenece o no al conjunto se dice que el conjunto está bien definido, un conjunto se puede definir por extensión y por comprensión. -► Por Extensión Definición de un conjunto —► Por Comprensión POR EXTENSIÓN.- Cuando se nombra cada uno de los elementos del conjunto, se dice que el conjunto ha sido definido por extensión. Ejemplo.- © El conjunto A de los números naturali_s que son mayores o iguales a cero y menor o igual a 10 queda definido por extensión si escribimos. A= {0.1.2,3,4*5 b.7,8,9,10}
  • 87. 72 Eduardo Espinoza Ramos ( y El conjunto A dt los números naturales que dividen simultáneamente a los números 8 y 12, queda definido por extensión si escribimos A = {1,2,4} Observe que 3g A, pues 3 no divide a 8 a pesar que 3 divide a 12. POR COMPRENSIÓN.-Un conjunto se define por comprensión, cuando se da una propiedad P. que sólo lo satisfacen los elementos del conjunto. Ejemplos © A = {x/x es una vocal}y se lee: “A es el conjunto de las x ¿al que x es una vocal” © A = {x e N / 0 < x < 9} y se lee “A es el conjunto de las x perteneciente a los naturales tal que los x sean mayores que cero y menores que 9. 2.6. CONJUNTOS NUMÉRICOS.- En matemática los conjuntos numéricos característicos que se estudian son: Los números naturales, los números enteros, los números rae lunales, los números irracionales, los números reales y los números complejos. El conjunto de los números naturales N = {1,2,3,...} El conjunto de los números enteros Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...} El conjunto de los números racionales Q = {— /me Z a ne Z, «*0} n El conjunto de los números irracionales I = {x/x tiene representación decimal infinita no periódica} El conjunto de los números reales R = {x/x es racional o x esirracional1 El conjunto de los números complejos C = {a +bi/ ae R a be R,i = >/— I }
  • 88. Teoría de Conjuntos 73 OBSERVACIÓN.- El conjunto de los números reales, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir: R = N u Z u Q u l A los números reales se representa mediante una rev'ta que se denomina recta real. - OC --------------------- 1 ----- — ------- 1 -------------------------1 ----------------------►+CJO x 0 x x < 0 x > 0 2.7. CONJUNTO FINITO.- Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos Ejemplos.- Q ) A = {x/x es una vocal} (2 ) B= [x e N / 5 < x < 12} © C = {x/x es un día de la semana) 2.8. CONJUNTO ÏNF1NITO.- Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos. Ejemplo.- ( l ) A = [ x e Z / x e s impar} = {x/x es número natural] 2.9. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. a) INCLUSION DE CONJUNTOS.- (Sub - conjuntos) Se dice que el conjunto A es un subconjunto B, o que A está contenido en B, o que A es parte de B, si todo elementos de A pertenece al conjunto B se escribe A c B y se lee “A está incluido en B, o A está contenido ei. B o A es parte de B”. Esta definición en forma sunbulica se expresa. A c B » { V i e A , x e A x e B]
  • 89. 74 Eduardo Espinoza Rann s De la misma definición se sigue que es suficiente que exista al menos un elemento del conjunto A que no sea elemento de B para que A no sea subconjunto de B, en este caso se denota: A c B A c B AqtB AczB Ejemplo.- Si A = {1,3,5} y B = {1,2,3,4,5.6,7} entonces A c B. En efecto se observa por simple inspección que todo elemento de A es también elemento de B. Ejemplo.- Consideremos los siguientes conjuntos: A={ 1.3.5,7}, B={ 1,3,5,7,9,11} M = {a,b,c,d,e}, N = {b,c,d,m,n}. Pódeme^ afirmar que: i) AczB, por que todos,los elementos de A están en B. ii) M ex N, por que algunos elementos de M no están en N. Estos representaremos usando diagrama de VENN - EULER. b) SUBCONJUNTO PROPIO.- Diremos que A es un subconjunto propio de B. o parte de B, si se verifica A c B y además existe algún x e B tal que x í A. Ejemplo.- El conjunto A = {2,4,6} es un subconjunto propio de B = {1,2,3.4,5,6} puesto que A c B además le B, 3e B, 5e B tal que lg A, 3e A, 5 e A.
  • 90. Teona de Conjuntos 75 c) PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN.- © ijicA. V conjunto A. donde <J>esel conjunto vacío. © A c A , (propiedad reflexiva) © A c z B a B c z C => A c C (propiedad transitiva) © Sí A czB y B c A => A = B (propiedad antisimétrica) Demostración f° V x. x e < { > => x e A, def. C 2o p ----- »q (es una tautología) F Fo V 3o < { >c A, por definición de C © 1° Suponiendo que V x, x e A hipótesis 2° Como p ----- »p es una tautología 3o Sí x e A => x e A es verdadero por la parte 2o 4o A c A de3°y def. C © Io A cz B hipótesis 2° V x, x e A => x e B, Iodef. C 3o Be: C.hipótesis 4o V x, x e B =» x e C, 3o def. C 5o Por la Ley Transitiva (p----- >q)A(q— —»r) => p --- j-r (le hipotético) 6° V x e A => x € C. de 2 4Üy 5o 7o A c C , 6o def. C
  • 91. 76 Eduardo Espinoza Ramos 2.10. IGUALDAD PE CONJUNTOS.- DEFINICIÓN.- Dos conjuntos A y B se dice que son iguales sí y sólo sí A c B y B e A. En forma simbólica se tiene: A - B < = > A c B a B —A Se lee “El conjunto A es igual al conjunto B, si y sólo si A está contenido en B y B está contenido en A” 2.11. PROPIEDADES DE L a IGUALDAD DE CONJUNTOS. (7 ) A = A, VA (reflexiva) ( ? ) A = B => B = A (simétrica) A = B y B = C => A = C (Transitiva) Demostración © Io A c A por reflexividad de inclusión. 2o A = A Ioy definición de igualdad. ® Io A = B por hipótesis 2o A c B a B e A l°dei de = 3o B c A a A c B 2oy la ley conmutativa 4o B = A 3oy definición de = ( 3) Io A = B por hipótesis 2o A c B a Be: A, Iodefinición de = 3o B = C por hipótesis 4° B c C a C c B 3odefinición de = 5o A c B a B c C 2oy 4oy transitiva de inclusión. 6o A c C 5otransitiva inclusión. 7o C c B a B c A, 4oy 3oy transitiva. 8o C c A, 7otransitiva inclusión. 9o A = C, 6oy 8odefinición de =.
  • 92. Teoría de Conjuntos 77 2.12. CONJUNTOS ESPEC1ALES.- (7) CONJUNTO VACÍO (Nulo).- Es el conjunto qje no tiene elementos y se representa simbólicamente por la letra giiega < ¡) (phi) y .se define como: < ¡)= {x /x # x} y se lee: para cualquier x tal que, x es diferente de x, no se satisface para algún elemento Ejemplo.- (7) A= {a-6 R / x 2 +1 = 0} es un conjunto vacío, pues la ecuación x 2 +1 = 0 no tiene raíz real, luego A = 0. © A = { x e N / 2 < x < 3 } es un conjunto vac.o, porque no existe un número natural que sea mayor que 2 y menor que 3, luego A = < ¡). © A = {xe Z/ I5 x 2 —11jc+2 = 0} es un conjunto vacío, pues al resolver la ecuación T 2 1 15jt‘ -1 U + 2 = 0 se obtiene x =—,jt=-que son números enteros por lo tanto A=<b. 5 3 OBSERVACIÓN.- El conjunto vacío < ¡ )está incluido en todo conjunto es decir (JxzA, VA (5 ) CONJUNTO UNIVERSAL.- Es el conjunto tomado como base o conjunto fijo, para la determinación de otros conjuntos y se denota por U. También al conjunto universal se le llama el universo. Los conjuntos más importantes er matemática son los conjuntos numéricos: R, N, Z, Q, 1, C en ese orden. Ejemplos.- (7 ) El conjunto universal U = (x e Z / -3 < x < 9] es universo de los conjuntos A= {-3,0,2,5}, B = {-2,1,3,7}, C = {-1,0,2,5,8/ porque tudos los elementos de los conjuntos A, B y C pertenecen al conjunto U.
  • 93. 78 Eduardo Espinoza Ramos © Dado el conjunto universal U ={xe Z +/ x<4b]. DeD*nnjiar los siguientes conjuntos. a) A = {x /x2 < 28} Solución Tabulando el conjunto universal U = {1,2,3,4,5,...,39,40} 1 6 A puesto que 1< 28 2 6 A puesto que 22 < 28 3 € A puesto que 32 = 9 < 28 4 fi A puesto que 42 = 16 < 28 5 e A puesto que 52 = 25 < 28 6« A puesto que 62 = 36 £ 28 por lo tanto el conjunto A está dad j por: A = {1,2,3,4,5} b) B={x + 2/ x<9} Solución Para x = l => x + 2 = 3 e B x = 2 => x +2 = 4e B x = 3 => x +2 = 5e B x = 4 = > x + 2 = 6 e B x = 5 => x +2 = 7e B * x = 6 => x +2 = 8e B x = 7 => x + 2 = 9 e B Luego se tiene: B = {3,4,5,6,7,8} ( 3) CONJUNTO UNITARIO.- Se llama conjunto unitario, al conjunto que consiste de un sólo elemento.
  • 94. Teoría de Conjuntos 79 Ejemplos.- a) A = { x e R / x + 2 = 0} = {-2} b) A = {x e N / 1 < x < 3} = {2} c) A = {xeZ+ / jc2— 1= 0) = {1} (4 ) CONJUNTOS COMPARABLES.- Dos conjuntos A y B son comparables sí: A c B v B c A . Los conjuntos A y B no serán comparables sí: A c B a B c A . Ejemplos.- a) SiA={a.e,i) y B = {a.e.i.o.u} de donde A es comparable con B para que AcrB. b) Si M = {l,5,7,8}y N = {2,5,6,8,9} los conjuntos M y N no son comparables pues M C N a N C M. ( D CONJUNTOS DISJUNTOS - Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, se dice que A y B son disjuntos. En forma simbólica se expresa: A es disjunto con B si y solo si, 3 x/x 6 A a x 6 B Ejemplos.- a) Los conjuntos A ={1,3,5,7} y B = {2,4,6,8} son disjuntos. b) Los conjuntos A={a,b,c,d} y B={r,s,t,u} son disjuntos. 2.13. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS.- Para mostrar a los elementos de los conjuntos o visualizar relaciones entre estos, existen los llamados diagrama de VENN - EULER que son regiones del plano limitados por líneas geométricas. Al conjunto universal se acostumbra representar por medio de un rectángulo. U A C B
  • 95. 80 Eduardo Espinoza Ramos 2.14. EJERCICIOS PROPUESTOS.- © Determinar por extensión los siguientes conjuntos. © a) A = { x e N / x < 3 v 5 < x< 7} b) c) C = | 3 - 5 x / x e Z , - 2 < x < 5 a 3 < x < 8} d) D = [ xe Z 1x 3 —x 2 -10jc— 8 = 0} e) E f) F = {xe Z ! x 2 >0 a x 2 <20} g) - h) H = {jc6 R!(x2 + 6 x ) 2 =172} Determinar por extensión los siguientes conjuntos: a) A = {x! x* — 7x + 6 = 0} b) c) C = { x / 2 x 3 - 3 x 2 -7jc + 3 = 0} d) e) E = {x / x 4 + x 3 — 6 x — jc+ 5 = 0} f) F = [ x ! x A+ 2 x 3 — 31jc2 -32JC+60 = 0} g) £ = {jc/jc3-19jc -36JC+1440 = 0} © Hallar el conjunto solución del siguiente conjunto: A = {x / 64jt3+ 24x2 —6x — 1= 0} ¿-(-¿.-¿.¿i © Determinar los elementos de cada conjunto. a) A = {números naturales x que satisfacen x 2 = 16 } b) B = {números enteros x que satisfacen x 2 = 16 } c) C = [ x e N/2x + 3 = 15} d) D = {x e Q/(2x - l)(x - 2) = 0} e) E = { x e Z / x 2 - 2*-3 = 0} f) G = {x e N / 5 < x < 12}
  • 96. Teoría de Conjuntos 81 © Determinar por comprensión el siguiente conjunto T = {-1,1,2} Rpta. T ={xe Z / x3 —2x2- x + 2 = 0] © Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A= {-7,-3,1,5,9,...} b) B = (-1,1,2,1,5,...} c) C= {2,3,6.11,18,...} (9 ) Si A = {2,3,5,7}, diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas ó falsas a) 5 e A b) 3 c A c) ( 7 ) c A d) {3,5} 6 A © Si A = { x e N / x < 2 v x = 7}, hallar todos los subconjuntos propios de A. © Dados los siguientes conjuntos A = {7x + 2 / x e Z}, B = {7x - 26 / x e Z}, C = {4x + 1 / x e Z} y D = {2x + 1 / x e Z}, analizar y justificar debidamente su conclusión en los siguientes casos. a) A = B b) C = D Rpta. a) A = B b) C * D 10) Sean U = {1,2,3.4,5,6,7.8,9}, A = {2,4,6,8}, B = {1,3,5,7,9} y C = {3,4,5}. Al hallar un subconjunto x de U tal que x c C , x <z A, x d B , cuántas soluciones existe. Rpta. tres l l j Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos: a) A = { x e U / x * l i } b) B = { x e Z / x 3 =3) c) C =[xe R / - e R) d) D = {x eQI x 2- x = 2) X e) E = {xe N / x 2 +1 = 0} f) F = { x e Z I 12i 1+4v2 - 3 * - l = 0}
  • 97. 82 Eduardo Espinoza Rames 12j ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el conjunto vacío? a) {x / x es un entero par y x 2 =9] b) {xe Z + / jc< 0} c) ( x e Z / x + 18= 18} d) {jee Z l t x 2 +5jc-4 = 0} e) {xe Z +/ x 2- 3 x - 4 =0] f) { x e N / x * x } (13) Dado A y B determinar si A = B en los siguientes ejercicios. a) A = {-2,0,2} y B = {xe Z / x3—4x = 0} b) A = {1,-2} y B= |x e Z / ( x —1)(x + 2)(2x —3) = 0} c) A ={xe Z +/l<x<6] y B = {1,2,3,4,5,6} (14) Si A, B y C son conjuntos tal que A c B c C . ¿Cuál es la relación entre C - B y C - A? Rpta. C - B c C - A 15) Si A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4}, C = {2,4,5}, D = {2,4}. ¿Cuái de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) A c B b) A c D c) C c A d) B c A e) B c C f) D c B g) A c A h) B * C i) D c A @ Sean A ={xlx3 - l x 2 +71jc-55 = 0}; B = {jc/jc4 -15jc3+37jc2-16jc + ll0 = 0}es AcB © Sea U={ 1,2,3,4,5,9} el conjunto universal, si A = {x2 I x e U] hallar A y A' por extensión ( l ^ Sea A= {^-— I xe Z/0< x<4) y B = {X - - / x e Z, -2<x<3} determinar cual de las relaciones se cumplen A c B , B c A , A = B . Í9) Sí A = {jce N / x 3 - 3 x 2 -6jc+8 = 0} y B = { ^ ^ -! x e Z, -4 < x <3}. Determinar cual de las relaciones se cumplen A c B , B c A , A = B.
  • 98. Teoría de Conjuntos 83 (2^ Sea U = { x e N / l < x < 5 } , A = {x e U / x es par}, B = {x e U / x e s impar} y C ■ =(.ve A / x = 2",ne LWj^{12}. Si D = { x e U / x e U x e B ) n | x e A / x e s múltiplo de 4) ¿cuantos subconjuntos de C contienen a D? 2.15. OPERACIONES CON C^NJÜNTQS.- (T) UNIÓN DE CONJ l NTOS.- La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todas los elementos de A y todos los elementos B. A la unión de los conjuntos A y B denotaremos por: A ^ B y se lee “A unión B”. En forma simbólica: A u B = ( x e U / x e A o x e B } La parte sombreada de los siguientes diagramas es una representación gráfica de la unión. U A y B disjuntos Donde U representa al conjunto universal y la parte sombreada representa la unión AuB Ejemplo.- Sí A = { x e N / l < x < 6 } y B = j x e N / 3 < x < 8 |. C a l c u l a r A u B Soluiion Calculando los elementos de cada conjunto A y B: A = {2 .4,5 }, B ={■ 5,6,7} A u B = {2,4,5} u {4,5,6.7} = {2,4 5,6,7} © Sí A = {x e N / x es par} y B = { x e N / x e s impar} entonces A u B = {x e N/xe s par v x es impai}= N
  • 99. 84 Eduardo Espinoza Ramos a) PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.- © A u A = A © A u < { >= A © A u U = U © A u B = B u A © ( A u B ) u C = A u ( B u C ) © A cr A u B © B cr A 'o B © A c C a B c C=í A l 'B crC Dcmostración © .» A u A c A por demostrar Io x e A u A , por hipótesis 2o x e A v x e A, Iodefinición de U 3o por la tautología de P v P o P podemos afirmar que: x e A v x e A => x e A 4o x e A u A =$ x e A , 3odefinición U 5o A u A c A , 4odefinición C ii) A c A u A por demostrar 1° x e A, por hipótesis 2° Sí x e A (x e A v x e A), por tautología p « p v p 3o X6 A => x e A u A , 2° definición U 4o A c A u A , 3odefinición C 5o de i), ii) se tiene A u A = A definición de = © o A u i f c A por demostrar. Io x e Au^i, por hipótesis 2° x e A v x e 0, Iodefinición U 3o x j e A, 2odefinición de < b 4° xeA»j<|> = > x e A, Ioy 3C 5° A u < |>cr A, 4° definición C
  • 100. Teoría de Conjuntos 85 ii) A c A u < |> por demostrar 1° X 6 A, por hipótesis 2 o X 6 A v x e < ¡), 1° definición < t > 3o x e A tj), 2 ' definición U 4o X E A => x e A u < |> , 1° y 4o 5o A c A u ^ 4o definición U de i) y ii) se concluye que A u < ¡)= A definición de = © o A u U c U por demostrar Io x e A u U , por hipótesis 2° x e A v x e U, Io definición U 3o x e U , 2° y definición de U 4o x e A u U => x e U, Io y 3o 5° A u U c A , 4' definiciónC ii) U c A u U por demostrar Io x e U, por hipótesis 2° x e A v x e U , Io definición U 3o x e A u U , 2° definición U 4° x e U = > x e A u U , 1o y 3o 5C U c A u U , 4° definición C 6° A u U = U, poi i), ii) definición = © i) A u B c B u A pcv demos'rar 1& x e A u B , por hipótesis 2° x e A v x e B , 1° definición U
  • 101. 86 Eduardo Espinoza Ramos 3o x e B v x e A , 2°y tautología p v q o q v p 4o x e B u A , 3o definición U 5o x e A u B => x e B u A, Ioy 4o 6o A u B c B u A , 5 ° definición C ii) B u A c A u B por demostrar Io x e B u A , por hipótesis 2° x e B v x e A , Iodefinición U 3o x e A v x e B , 2°y tautología p v q < = > q v p 4o x e A u B , 3o definición U 5o x e B u A => x e A u B, l°y4° 6o B u A c A u B , 5 ° definición C /. A u B = BU de i), ii) y definición = ( A u B ) u C c A u (Bu C) por demostrar 1° x e ( A u B ) u C , por hipótesis 2o x e A u B v x e C 1° definición U 3o x e A v x e B v x e C , 2° definición 4o x e A v ( x e B v x e C), 3opropiedad 5o x e A v x e B u C , 4odefinición U 6o x e A u ( B u C ) , 5odefinición U 7° x e (A u B) u C => x e A u (B u C), 1° y 8o ( A u B ) u C c A u ( B u C ) , 7° definición ii) A u ( B u C ) c ( A u B ) u C , por demostrar I o x e A u ( B u C ) , por hipótesis