dsfgadfg

2. 2
Introducción
Este manual de cálculo integral y series es una ayuda preparada para
los estudiantes que tienen que cursar esta materia y para los amantes de las
matemáticas. En este se empieza con una retroalimentación al cálculo
diferencial con el objetivo de reforzar los conocimientos principalmente de
límites y derivadas.
Entre los contenidos se encuentran tiene: Diferencia entre calculo
Diferencial e integral, Derivación logarítmica, derivadas por formulas,
formas indeterminadas y límites por la Regla de L°Hoppital , historia del
cálculo integral, primitiva de una función, integral definida e indefinida,
Resolución de integrales inmediatas, integrales por el método de
sustitución, integrales trigonométricas, Integrales por identidades
trigonométricas, integrales por partes, integrales cíclicas, método tabular,
integrales de potencias de la distintas funciones trigonométricas , integrales
de ángulos distintos, método de sustitución trigonométrica inversa,
integración por tabla, integrales que contienen polinomios cuadráticos,
método de fracciones parciales, método de Heaviside, integración de
funciones racionales de seno y coseno, Integrales con valor absoluto,
sumatoria y propiedades, estimación de áreas , sumas de Riemann , Reglas
de Simpson, Reglas del trapecio, integral definida, Teoremas fundamentales
del cálculo, áreas entre curvas, integrales impropias, integrales
convergentes y divergentes, volumen de sólidos de revolución, método de
los discos, método de las arandelas, series, serie de Maclaurin, serie de
Taylor y serie de Fourier.
Al final de cada unidad hay actividades de ejercicios para que el
lector se pueda ejercite. Se espera que este manual sea de mucha ayuda.
Wilton Oltmanns
Revisado el 18 de enero del 2015
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3. 3
C á l c u l o
El cálculo elemental incluye dos procesos que son fundamentales en el
análisis matemático:
 El cálculo diferencial: Estudia el cambio que hay en las
funciones. Define la pendiente de la recta tangente de la función
en un punto determinado.
 El cálculo Integral: Permite hallar el área de figuras curvas las
cuales se forman por regiones limitadas por funciones
continuas.
Definición y propiedades de la función logaritmo natural.
La función logaritmo natural se define como 1
1
ln , 0
x
x dt x
t
 
 .
Propiedades de los logaritmos. Si a y b son números positivos y n es
racional, se satisfacen las siguientes propiedades.
1. ln1=0 3) ln Pn
=n ln P
2. ln (PQ)= ln P + ln Q 4) ln (P/Q)= ln P – ln Q
Derivada de la función logaritmo natural.
Sea u una función derivable en x
1
1. (ln ) , 0
d
x x
dx x
 
1 '
2. ( ) , 0
d du u
lu u
dx u dx u
  
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4. 4
2 1 3 2
'
2 3 2 1
y y
x x x
 
 
  
 
 
 
 
  2
2
2 1 3 2 3 2
'
2 3 2 1 ( 1)
x x
y
x x x x
  
 
  
 
 
  
 
 
Derivación logarítmica.
Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos como
ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas. Ejempló.
Ejemplo: Hallar la derivada de
2
2
3 2
, 1
( 1)
x x
y x
x

 

1. Se Reescribe la función.
2
2
3 2
, 1
( 1)
x x
y x
x

 

2. Se aplica logaritmo en ambos miembros.
2
2
3 2
ln ln
( 1)
x x
y
x



3. Aplicando las propiedades logarítmicas en ambos miembros.
1
2
ln 2ln ln(3 2) 2ln( 1)
y x x x
    
4. Derivar en ambos lados.
5. Despejar a y
6. Sustituyendo a y por el paso 1.
Ejemplo 2: Hallar la derivada de
4
7
( 1)
2
x
y
x



Resolviendo
4
9
7 9
8 8 4
9 9 7
( 1) 1
4 ( 1) ( 2)
7
2
' 1 1 9 4 1 9 ( 1)
4( ) ' ( )
1 7 2 1 7 2 2
x
Lny Ln Lny Ln x Ln x
x
y x x x
y
y x x x x x

     

 
    
    
 
   
    
   
 
 "Cuando se muere un viejo es como si se quemara una biblioteca"
(Probervio africano)
' 2 1 3 2
2 3 2 1
y
y x x x
 
  
 
 
 
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5. 5
Resolución de derivadas por fórmulas
Sean u y v funciones de x.
1. La regla de la constante
( )
0
df d c
dx dx
 
2.Regla de una variable
respecto a ella misma
( )
1
df d x
dx dx
 
3 .Regla del múltiplo constante.
( )
d cu du
c
dx dx
 
  
 
4. Regla de las potencias.
1
'
n n
d
u nu u
dx

  
 
5. Regla de la suma
 
d
' '
dx
u v u v
  
6. Regla del producto:
  ' '
d
uv uv vu
dx
 
7. Derivada del cociente.
2
' '
d u vu uv
dx v v

 

 
 
   
3
3 3
3
3 2
Esta es la derivada de un producto,
por lo tanto se tiene que:
( 1) (5 1) (5 1) ( 1)
( 1) 5 (5 1)
Ejemplo 1: Resolver
3
5
las siguientes d
1
erivadas
( 1)(
5
1
3
5 )
dy d d
x x x x
dx dx dx
x x x
x x
d
x x
dx
x
     
   
 
 
  
 
     
2
2
5
6 4
2
Ejemplo 2: Resolver ( 6 4)
6
dy d d d
x x
d
d
x x
x dx dx dx
dy
x
d
dx
x

  




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6. 6
Derivadas de funciones trigonométricas
   
   
   
2
2
8) ( ) cos . ' 11) ( ) cosec . '
9) os( ) . ' 12) ( ) sec .tan . '
10) ( ) sec . ' 13) ( ) co
d d
Sen u u u Cot u u u
dx dx
d d
C u senu u Sec u u u u
dx dx
d d
Tan u u u Cosec u
dx dx
  
  
   sec .cot . '
u u u
2
2
Ejemplo: Derivar y = ( ' 2 cos ( 9)
9) y x x
Sen x   

Derivadas de funciones exponenciales
14. función potencial inversa
1
1 '
n n
d nu
dx u
u

 
 
 
 
15. Derivadas para raíz (n-esima) 1
'
n
n n
d u
u
dx n u 
  
 
9 2
8
2
9
Ejemplo: Derivar y = 3
2
'
9 3
y
x
x
x
  
 

 
16. Derivada de la función exponencial en base a.
) ( ) .ln b) ( ) .ln . '
x x u u
d d
a a a a a a a u
dx dx
 
17. Derivada de la función exponencial natural.
( )
) b) ( )
x
x u u
d e d du
a e e e
dx dx dx
 
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7. 7
18) Derivada de una función elevada a otra función.
1
( ) . . ' + . Ln u . v'
v v v
d
u v u u u
dx


Derivadas de funciones Logaritmicas
18. Derivada de la función logaritmo natural.
 
'
( ) , 0
d u
Ln u u
dx u
 
19. Derivada de la función logaritmo decimal.
 
'
( )
.ln
a
d u
Log u
dx u a

 
 
3
3 2
3
3 3
1
E
+ 1 3 1
+ 1
jemplo: Deriva
+
r y = Ln +
1
1
Senx
d
Cosx x x
dy dx
dx Cosx x Cosx
Cosx x
x
 
 
 
 
 
 

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8. 8
Cálculo Integral
Práctica: 1
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Práctica de funciones logarítmicas y exponenciales.
 
  
 
   
 
   
  
5
5
4
9
3
6
3
7
5 3 4
3
8
3 3
7
23
4
3 5
8
. Deriva las siguienttes funciónes:
1. y = ln 2
2. y = Log 2 5
3. y = ln 2 1 3 4
6 2
4. y =
3
1 6
5. y =
2 7
5 2
6. y=
2 2
4 2 2 6
7. y=ln
5 2
I
x x
x
x x
x x
x
x x x
x
x x
x
x x
x


 
 
 


 



 
 
 
 

 
 
 
   
 
 
4 3
5 3
7
3
3
ln
6 9
cot8 6 4
sec
9 2 6
3 5
2 8
. Halle la derivada de las funciones
exponenciales dadas:
1. y = e
2. y = Tan
3. y = e ln
4. y = 5 cos
5. y = x cos
6. y = 7
7.
x senx x
x x
x
x x
x
sen x
sen x senx
II
e x e
sen x
Cot e x
e
 
 


 

 

 
 
 
 
 
6 3
ln
cos 5
3
y = e 9
8. y = x Tan .
9. y= sec9 (ln cos )
x senx
x x
x
e senx
Co x x



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9. 9
 
 
 
 
5
2
5
4 cos
sec6
3
16
6 5
2
10
5
9 3
18
. Determine la derivada de cada función:
1. y = log
2. y = log
an
3. y = log cot
4. y = log 2tan cos * 7
5. y = log sec
x x
x
x
IV
senx x
Sen x x
T e
x x
x x x
x e

 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
8 2
2 4
6
3 2
3
ln2
tan cos 3
lncos
ln 6
cot ln
ln 5
. Encuentre la derivada de las funciones exponenciales
1. y = 5
2. y = 4 7
3. y = sec 10
4. y = 6
5. y = 6
6. y = 12
x x sen x
x x x x
x x
x x x Cotx
x x x
cos x x
III
 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
2
3
2
sec cos2
tan
cos
4
7. y = 16
8. y =10 ln 4
9. y = 6
x
x senx x
sen x
x
sen
e
x



"La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan en
silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo)
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10. 10
20. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
2 2
2 2
2
' '
( ) (arccos )
1 1
' '
( tan ( cot )
1 1
' '
( sec ) ( sc )
1
d u d u
arcsenu u
dx dx
u u
d u d u
arc u arc u
dx u dx u
d u d u
arc u arcc u
dx dx
u u u u

 
 
 
 

 
 2
1

26. Derivación e integración de funciones hiperbólicas.
2
2
( ) (cosh ) ' (coth ) (csc ) '
(cosh ) ( ) ' (sec ) (sec tanh ) '
(tanh ) (sec ) ' (csc ) (csc coth ) '
d d
senhu u u u u u
dx dx
d d
u senhu u hu hu u u
dx dx
d d
u h u u hu hu u u
dx dx
  
  
  
32. Derivación de funciones hiperbólicas inversas.
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
' '
[ ] [ ]
1 1
' '
[tan ] [ t ]
1 1
' '
[sec ] [ sc ]
1 1
d u d u
senh u cosh u
dx dx
u u
d u d u
h u co h u
dx u dx u
d u d u
h u c h u
dx dx
u u u u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: Hallar la derivada de las funciones dadas.
 
 
     
2
2
5 6
6
6
2 2
'
1 4
' 6 3 3
1) ( 4)
2) 3
3 1
1
1
y Arcsen x
y Sech x
x
y
x
y x Sech x x Tanh x x
x
 
 
      

  


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11. 11
 
 
   
 
 
 
8
4
7 10
8
5
11
9
tanh 2
II. Determine la derivada de cada función:
1. y=senh ln
2. tanh
tan
3. y sec 9 ln
3
4. cos
5. tan coth ln
6. log tanh
7. ln 3 coth 5 4
8.
x
x
x
x
x x
y arcsenx x
senh e x
x h
x
y ch x senx
y x e x
y senhx x
senx x x
y


 

 

 
 

   

   
4
cosh tanh ln
13 9
x
x e x

Cálculo Integral
Práctica: 2
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Práctica de funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas:
El mejor medio de conservar los amigos es no pedirles ni deberles nada.
François de la Rochefoucauld. Escritor francés.
   
 
 
5
9 5 arccos
csc 4
ln cot 9
5
. Halle la derivada de las siguientes funciones:
1. y = tanh ln 7
2. y = arctan 9
3. y = arcsec 4
4. y = 11 arccos
5. y = 3 arctan 6 3
x x
x
arc x
x
I
arcsen x x x
x x e
x
sen x x
x x

  
 

 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
2
6 3
sec 6
10 9
2 3
7
arctan 8 4
6
6. y = 6 log
5
7. y = Arccos 9
8. y = Sen sec ln ln arctan
9. y = 14 11 sec
10. y = Arcsen ln
arc x x
sen x
x
senx x
x
x
arc x x
x x arc x
x x



 
 
 

 

 

 


 
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12. 12
Indeterminaciones y Límites
Las formas indeterminadas
A 0
0
y 

Se le llama formas indeterminadas porque no garantizan que
el límite exista, ni indican cual es en caso de existir.
Las más comunes son 0 0
, , , 0 , , 0 ,1 ,
0
 
 
   
  
Regla de L’HÔpital
Sean f y g funciones que son derivables en un intervalo abierto (a,b)
conteniendo un (a,b)
c . Asumir que g´(x) existe para todo x en (a,b),
excepto posiblemente el propio c. si el límite de
( )
( )
f x
g x
cuando x tiene a c
produce la forma indeterminada 0 ,
0


, entonces ,
( ) ´( )
im im
( ) ´( )
x c x c
f x f x
L L
g x g x
 

Supuesto que el límite de la derecha existe es infinito). Este resultado
también aplica si el límite de
( )
( )
f x
g x cuando x tiende a C produce
cualquiera de las formas indeterminadas
, ,
,
ó
   
    .
Ejemplo 1. Encuentre el
0
2
lim
x
x senx
x


0
2 2(0) 0 0 0 0
lim
0 0 0
x
x senx sen
x

  
   Como el cálculo directo nos lleva a la
forma indeterminada
0
0 podemos aplicar la regla de L’HÔpital.
0 0 0
2 2 cos
lim lim lim2 cos 2 cos0 2 1 1
1
x x x
x senx x
x
x
  
 
       
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13. 13
Ejemplo 2. Halle el límite de
2
ln(3 5)
( 2)
x
x
Lim
Tan x



2
2 2
2 2
ln(3 5) 0
Evaluando se tienes que
( 2) 0
3
3 3
3 5
Ahora plicando regla de L'Hopital 3
( 2) (3 5) ( 2) 1
x
x x
x
Lim
Tan x
x
Lim Lim
Sec x x Sec x

 



   
  
Ejemplo 3. Determine el límite
0
im(cos )Cotx
x
L x

1. Evaluando directamente se tiene que
2. Ahora se aplica logaritmo natural
3. Aplicando propiedades logarítmicas y evaluando
0
0
ln y = lim1 (cos ) limcot 1 cos (cot0)1 cos .0
0
Cotx
x
x
n x x n x n


  

4. Para aplicar el Hoppital se debe obtener las indeterminaciónes 0
0
ó


5.
En la expresión (2) aplicar identidades trigonométricas y evaluar
6.
 
0 0
cos
limcot 1 cos lim
0
0
x x
Ln x
x n x
Tanx
 
  
7. Ahora si se puede aplicar la regla de Hoppital
 
 
0 0 0
0
cos
lim lim lim
1
lim 0
x x x
x
Ln x Senx Senx
Lny
Tanx Cosx Secx
Senx Lny
  

   
    
   
   
   
8. Como La variable dependiente esta afectada por un logaritmo se
aplica la operación inversa de esta.
0
0
0 1 im(cos 1
)
Ln Cotx
x
y
L
e x
Lny e y

      
csc
0
lim (cos ) x
x
Ln y Ln x


cot cot0
0
im(cos ) ) 1
(cos0
x
x
L x


 
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14. 14
Cálculo Integral
Práctica: 3
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
  2
2
2
3
2
2
2
2
1
0
0
3
3
I. Busca el límite de las siguientes funciones:
2
1. y= lim
4
8
2. lim
2
3 5
3. lim
5 6 3
4. lim
5. lim cos
2
6. lim
3
7. lim
3
1
8. lim 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x x
y
x x
y x e
y x
sen x
y
sen x
e e
y
x
y
x














 

 







 

2
3
5 2
2
0
5 2
9. lim
9 3
3
10. lim
8
x
x
x
y
x x
x x
y
x x



 

 
 
 
 
 



El hombre que sabe gastar y ahorrar es el más feliz, porque disfruta de
ambas cosas. Samuel Johnson. Ensayista, poeta y dramaturgo inglés.
 
 
2
3
0
3 3
0
2
0
2
3 2
1
0
2
2
2
11. lim
1
12. lim
tan3
13. lim
14. lim
15. lim tan
7 4
16. lim
2
17. lim cos
4
18. lim
19. lim 5 2
x
x
x
x
x x
x
x
senx
x
x
x
x
x
x
x
e e
e
x
e e
senx
x x x
x
x x
x x
x x
x
x x x














 
 
 


 
  
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15. 15
Cálculo Integral
En el siglo III a.c Arquímedes y otros griegos empezaron a investigar
cómo conseguir el área y volumen de cualquier figura geométrica. Dieron
una regla general para calcular la medida del área de un rectángulo (b.h),
por tal razón el área de un triangulo rectángulo es (1/2.b.h).
Se sabe que la trigonometría nos proporciona fórmulas para hallar la
medida de cualquier clase de triángulo (1/2b.h senθ). Los pitagóricos
inventaron que un polígono se puede descomponer en triángulos, entonces
su área se consigue mediante la suma de las áreas de los tr iángulos en que
se ha dividido (Método del agotamiento). Este procedimiento de medir áreas
sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas y es un
aproximado. En esa época los griegos no encontraron una expresión general
por falta de herramientas (limite).
La ciencia queda al desnudo con la quema de la biblioteca de
Alejandría (S. III d.c), años más tarde (1600) Johane Keepler Comienza a
investigar sobre área de figuras curvas y funciones, acertó en muchas cosas
pero no pudo encontrar un método general.
Después Pierret Fermat y Renet Descartes (Franceses) combinan algebra y
geometría (descripción de figuras a través de ecuaciones).
Finalmente ha mediado del siglo XVII se logra inventar un método
general para buscar área bajo curva, a ese método se le llamo integración.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una
rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso
de integración o anti-derivación.
Fue inventado por Leibniz, Newton y Barrow, éste último junto a
Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone
que la derivación y la integración son procesos inversos.
La integración es una herramienta para calcular mucho más que áreas
y volúmenes. Tiene aplicaciones en estadística, economía, ciencias e
ingeniería. Permitiéndo calcular rangos de aplicaciones de probabilidad y
promedios de consumo de energía, así como la fuerza del agua contra las
compuertas de una presa. Su objetivo es permitir calcular efectivamente
muchas cantidades, dividiéndola en partes más pequeña y sumando después
en total cada trozo.
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16. 16
Función primitiva, antiderivada o integral.
Es la relación dependiente de datos
sobre uno o más valores que declaran los
límites de un área. A través de la primitiva se
encuentran una familia de funciones que solo
difieren en la constante. Por lo que
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
dy
f x dx F x c F x c f x
dx
    
 ,
eso indica que la operación inversa de la
integración es la derivación y viceversa. La
función f (x) posee infinitas integrales que solo
se diferenciaran en una constante (c).
Tipos de Integrales.
Hay dos tipos de integrales, las cuales son la integral definida cuyo resultado es un
número y la integral indefinida mediante la cual se obtiene otra función.
En este manual empezaremos por el estudio de las integrales indefinidas Las cuales formar
parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías de
matemáticas puras y aplicadas.
El diferencial es el que nos indica respecto a cual variable es que vamos a integral.
( )d
 

 la integración se va a realizar respecto a  , no sobre  .
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17. 19
1
1
n
n x
x c
n

 


Resolución de integrales
Por medio de integración inmediata.
Para resolver integrales de este tipo es conveniente que el estudiante memorice una serie de
integrales fundamentales
1. Integral de Cero: Será igual a una constante.
2. Integral del diferencial de una variable:
Es igual a la variable más una constante.
3. La integral del producto de una constante por una función :
Es igual al producto de la constante por la integral de la función.
4. La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones: Es igual a la
suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.
5. Integral de una función exponencial: Es igual a la base de la
función elevada al exponente aumentado en uno y dividido por el
exponente aumentado en uno, más una constante, es ,
decir, para 1
n   de una forma general tenemos que , Para todo número real
1
n   .
6. integral de la función exponencial e
Reglas para la integración de este tipo:
1. Se reescribe la función ponerla de tal forma que se pueda integral.
2. Se integra.
3. Reducción de términos semejantes.
4. Escribir el resultado de la integral.
( ) ( )
kf x dx k f x dx

 

( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
   

  
0dx C


dx x C
 

 
 C
e
du
e u
u
.
1
1
n
n u
u C
n

 


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18. Ejemplos: Resuelva las siguientes integrales.
En los siguientes ejemplos hay que desarrollar el numerador.
Ejemplo g: 3 2 3 6 4 7
1
(4 ) 16 8 16 2
7
x dx dx x dx x dx x x x c
       
   
Ejemplo h: 2 2 2
1
(1 ) | 2 2
2
x x x x x
e dx dx e dx e dx x e e c
       
    .
Solo si estás dispuesto a ir demasiado lejos sabrás lo lejos que puedes llegar.
Autor pendiente
6 1 7
6
.
6 1 7
x x
a x dx C

  


4 1
4 4 5
. 5 5 5( )
4 1
x
d x dx x dx x c

   

 
 







c
x
c
x
dx
x
b 3
3
4 1
3
.  


 c
x
c
x
dx
x
f 2
3
2
3
2
1
.
3
2
.
2
3
5 4 2
5 4 2
6 5 1 2
. ( 4 3 1)
4 3
1 4 1
3
6 5 2
c x x x x dx
x dx x dx x dx xdx dx
x x x x x c



   
    
     

    
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19. 26
Resolución de integrales por el método de
sustitución o cambio de variable.
Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy
complicadas, para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales,
de los cuales uno de los métodos más importante para la resolución de
integrales complicadas es el llamado método de sustitución o cambio de
variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable (u) para
sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión
resultante sea más fácil de integrar. Hay que tomar en cuenta que si tenemos a u
también debemos tener su diferencial por lo tanto debemos derivar.
7. La función logaritmo natural y la integración.
Sea u una función derivable de x.
a.
ln
dx
x x c
 
 b.
ln
du
u u c
 

Ejemplo 1: resolver las siguientes integrale.
6 6
5 5 (1 )
(1 ) |
6 6
1 ,
x
x x
x x
u e
e e dx u du c c
u e du e dx

     
  
 
Ejemplo 2: Separando el numerador.
2
3
3 2
2
x
dx
x x


 ; haciendo
3
2
u x x
  el denominador y luego derivando para obtener
el numerado y sustituir cada valor
 
2
3 2
du x dx
 
, por lo tanto tenemos que
y obtenemos de resultado a  
3
lim 2
du
LnU x x c
u
   

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20. 27
Ejemplo 3: Integrar 2
1
x
x
dx


2
2
1
2
1
1 1 y 2
despejando a du se tiene que:
x
x u
dx du u x du xdx

    
 
2
du
xdx

, aplicando la regla logarítmica para la integración:
2
1 1 1
2 2 2
1 ln ln 1
udu u c x c
    

Ejemplo4: 2
2
2
6
6
1
x
d L x
x
x x
x


 
 
 Esta integral es inmediata ya
que el numerador es exactamente la derivada del denominador la siguiente
también solo que tenemos que acomodar el numerador a través de artificios
matemáticos.
Ejemplo5: 2
2 2
1
6
1
x
dx
x x
c

 


 
1 4
5 4 3 3
4
3
5
5
3
4
5
3
4
1 1 3
1 , 5
:
5 5 4
3
1 1
1
20
z x dz x dx z dz z
x x d
x
c
dx
x
x
x
 
      
 
   





Ejemplo 6 Resuelva la siguiente integral
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21. 28
Resolución de integrales trigonométricas y
potenciales aplicando el método de sustitución.
8)  
 C
e
du
e u
u
.
9)  
 C
a
a
du
a
u
u
ln
.
10)  

 C
u
du
senu cos
.
11)  
 C
senu
du
u.
cos
13) . ln(sec ) ó - ln cos
tgu du u C x c
  

14)  
. ln ó - ln csc
ctgu du senu C x c
  

15)
 
 

 C
tgu
u
du
u .
sec
ln
.
sec
16)
 
 

 C
ctgu
u
ec
du
ecu .
cos
ln
.
cos
a) Demostración de la integral de la tangente.
tan ln sec
xdx x c
 

1 1
sin 1
tan ( sin )
cos cos
cos , sin
tan 1 sec
,
1
tan 1 1 1 cos ,
x
xdx dx xdx
x x
sea
u x du xdx
al hacer las sustituciones respectivas seobtiene
xdx du n u c n u
xdx
c n x c
u
n x c
 
   
   
       



 




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22. 29
b) Demostración de la integral de la cotangente.
sin cos
t ln ln
siu x du xdx
du
co xdx n
u
se x c
u
  
   

 
c) Demostración de la integral de la secante Secxdx
 .
Multiplicando y dividiendo el integrando por secx+tanx
Resolviendo por el método de sutitución trigonométrica
ln sec tan
Secxdx x x c
   

d)Demostración de la integral de la cosecante Cscxdx

Multiplicando y dividiendo el integrando por cscx-cotx
Por lo que cot
Ln Cscx
Cscx x C
dx   

Ejemplos: Calcular la siguentes integrales.
   
1 1
cos
9 9
1
9 = 9
9
c s 9
9
o zdz senz
z x
x dx
sen x c
dz dx
  
 

 
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23. 30
2
2 1 cos2
2
1
cos2 ;
2
sen d
como sen Entonces sera
d d
 


  




 
   
7
8
7
1 8
7
7
11 cos ,
7
= 1 cos
8
Resolver 1 c
7 8
os
u x du senxd
senx xd
x
u
u du x c
x
  
  



Resolución de integrales aplicando identidades
y sustitución trigonométricas.
Las integrales trigonométricas vistas en cursos anteriores son de mucha
importancia, pues las vamos a usar para poder integrar fácilmente.
Ejemplo 1: Hallar 2
(tan 1)
x dx


Como
2 2
tan 1 sec
x x
  , entonces
2 2
(tan 1) sec sec
x dx xdx xdx
  
  
Aplicando la fórmula 15 tendremos que:
sec ln sec tan
xdx x x c
  

Ejemplo 2: 1
cox
senx dx


1 cos
ln ln 1
du
u
u senx du x
u c senx c
   
    

Ejemplo 3:
La primera es una integral directa y la segunda por sustitucion.
“Libros, caminos y dias dan al hombre sabiduria”.
Proverbio árabe.
2 1 1
2
2 4
sen d sen c
   
  

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24. 31
   
   
   
1 2
1
z +Tan z z +Tan z z dz
z
= z z dz + z dz, Resolviend
z +T
o cada integral
1
z z dz z +c & + z dz=
an z
Ejemplo 4: Resolver
-co z
2
z
s
Se
Sen dz Sen Cos
Sec
Sen Cos Sen
I Se
n
dz
n Cos s
Sec
en I Sen

  
 
 
 
 



  +c
z +T 1
z - cosz
an z
+
2
z
c
Sen
dz sen
Sec

 
 
 


El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella conquistar a
una mujer. William Shakespeare
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25. 33
Cálculo Integral
Práctica: 4
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales inmediatas y sustitución
1
9
x dx

2.  
2
4
r r dr
 

3.
3
4
x dx

4.
5.
2 1
5 4 3
1
5. 2
5
y y y dy
 
  
 
 

6.
3
2
2 3 9
y y
dy
y
 

7.
9
(4 7 6 )
t
e Sen t dt


8.
2
Ln xdx
x

9.  
5
2 3x dx


10.
2 3
2 ( 4)
z z dz


11.
3
1 Lnx
dx
x


12. 7
Cos d
 

13.
2
Sen Cos d
  

14. 4
5w dw


3
2
15)
4
u
du
u


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26. 34
 
 
2
2
2
5
2 2
tan
sec
2
3
2
2
II. Resuelve las siguientes integrales:
1) tan 11
4
2)
1
sec 1
cos
3)
cot
1 1
4)
sec sec
sec
5)
cos
6)
1
cot
7)
1
6
8)
1 arccos
7
9)
ln
7
10)
x
arc x
x dx
dx
sen x
x
x
dx
x
dx
c x x
xe
dx
x
e
dx
x
arc
dx
x
x x
dx
x x
x
 

 
 













ln
dx
x

Las personas no cambian por el simple hecho de cambiar, sino,
cuando hacen conciencia de que realmente deben cambiar.
Wilton Oltmanns
 
 
9
7
2
2
2
5 ln
11)
3
12)
3
13) 4
14)
2 3
tanarccos
15)
1
x
dx
x
x
dx
x
x x dx
x
dx
x
x
dx
x









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27. 35
Derivando a (uv) ( )
Despejando a ( ) -
ahora se integra -
y se obtiene -
d uv udv vdu
udv udv d uv vdu
udv duv vdu c
udv uv vdu c
  
 
 
 
  
 
Integración por partes
El método de integración por parte surge cuando hay un producto fruto de
combinaciones de funciones, tal como una algebraica unida a una
trigonométrica, una algebraica unida a una logarítmica, una
trigonométrica inversa y una logarítmica solas, aunque también puede ser
una trigonométrica con una transcendente cualquiera, etc.
Debido a que no hay una integral inmediata para resolver un producto de
integrales, ha sido necesario crear un método para darle solución a estas.
Sean u y v funciones de x con derivadas continuas.
Demostración: udv uv vdu c
  
 
Nota: Cuando se está frente a una integral por partes, es conveniente
seleccionar como dv la parte más complicada, pero de más fácil
integración y como u el resto. Luego se hacia el proceso de integración
cuantas veces sea necesario
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28. 36
Regla nemotécnica:
 Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas
sabiendo que esta sera la función de la izquierda.
1. Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas,
Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ L I A T E.
2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales,
Trigonométricas ⇒ I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la
izquierda de la palabra ILPET, LIATE O ALPES.
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella
conquistar a una mujer. William Shakespeare
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29. 37
Resuelva las siguientes integrales:
. .
1: Re
x x
x
x x
x x
x
siu x du dx
dv e v e
acoplando x e dx ala fórmula ud
Ejemplo solver
v uv vd
xe e
xe dx
u c
xe e dx c
  
  
  


   
  


2
2 2
2
1
ln
2
ln .
2: Re
ln
2
ln .
4
1
ln
2 2
siu du d
dv d v
acoplando d a
Ejemplo so
la fórmula udv uv vdu
lv
C
er d
c
d
 

 

 
  


 


 
  
  
   
 
 
 
 
 
  
 
 
  


2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
int
3:
:
2 2
Re
2 4
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
u x du dx
dv e dx
e
Integrando a dv e dx v
Aplicando el métdo de egración tenemos que
xe e
xe d
Ejemplo solver xe dx
x uv vdu c dx
xe
xe e
C
dx
  
 
 
  
    

 
  


A veces se tendría que aplicar varias veces este método hasta llegara a
resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuanta tal como ya lo
vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola
integral y que la misma sea directa.
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30. 38
2
Ejemplo 4: Resolver cos
x xdx

2
2 2
2 2
2
cos
cos 2 . .
Re . .
cos
cos cos cos
( cos ) cos
siu x du xdx
dv xdx v senx
x xdx x senx x senx dx
solviendo x senx dx
siu x du dx
dv senxdx v x
x x xdx x x senx
Uniendo x x senx x x senx c
senx x x senx
  
  
 
  
   
    
  

 
 
 


 
 
2
2
2
2
1
: Arctanx ; du= ; ;
1
Arctan dx arctan
La siguiente integral se resuelve por sustitución
1 ;
5: Resolver Arctan
1
1
1
1
x
d
dx
x
u dx dv dx v x
x
udv uv vdu c x
Eje
dx
mplo
x x
z
x
x
x
 

     
 


   


 
2
1 2
2 ;
2
1 1
1
2 2 2
Arct
1
an x
2
d 1
dz
dz xdx dx
x
x dz dz
xTan x Ln x
Ln
x z
c
x c
z
x 
 
 
    
 

 
 


 

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31. 39
Integrales cíclicas
Son aquellas que vuelven a su integral original por lo tanto hay que hacer
algunos arreglos para obtener su resultado final.
cos
int :
cos
que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el m
6: Re
étdo d
x x
x x
x
x
u senx du xdx
dv e dx v e
Aplicando el métdo de egración tenemos que
e senx
E
dx e senx e xdx
Da
jemplo solver e se
do
nxdx
  
  
 
 

e nuevo.
cos cos cos
cos
;
se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica,
cos
x x x x x
x x x
x x x x
x
e xdx e x e senxdx e x e senxdx
u x du senx
dv e dx dv e dv v e
Como
e senxdx e senx e x e senxdx c
e s
    
   
   
   
  
 
 
c
cos
2
2
c
o
s
s
o
x x
x
x
x
x
x
x
x
enxdx e senxdx e senx e x c
e senxdx e senx e x c
e senxd
e senx e x
x c
   
 
 


 


2
Ejemplo 7 : Resolver .
sen x dx

Reescribiéndola tenemos   
 dx
senx
senx .










dx
x
du
senx
u
x
v
dx
senx
dv
.
cos
cos
.
Aplicamos el método:

 

 dx
x
x
senx
dx
x
sen .
cos
cos
.
. 2
2
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32. 40
Aplicando identidades trigonométricas
 

 


 dx
x
sen
x
senx
dx
x
sen .
1
cos
.
. 2
2
Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales:


 


 dx
x
sen
dx
x
senx
dx
x
sen .
cos
.
. 2
2
Luego operamos algebraicamente:
x
x
senx
dx
x
sen
dx
x
senx
dx
x
sen
dx
x
sen 










 cos
.
.
2
cos
.
.
. 2
2
2
2 . os
2
.
c
se
sen x
nx x x
C
dx
 
 

2 2
2
Resolver
ln
.
. cosxdx
2 3 3cos3
. 3 sol:
Jer
13 13
cicios:
x
x x
x
x
dx
x
e
sen xe xe
e sen x x c
E
d  



 "La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan
en silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo)
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33. 41
Método Tabular
Es otro método de resolución de integrales que se usa frecuentemente
sustitución del método de integrales por partes, pero este es una técnica
matemática más fácil. Su inventor fue Dan Rosen profesor de la universidad
de Hofstra.
Este método es para integrales que tienen la forma:
cos , ,
n n n ax
x axdx x senaxdx x e dx
  
Procedimiento:
Según el prof. ing. gil Sandro Gómez.
Para calcular    
f x g x dx
 construye una tabla, donde se puedan poner las
funciones a derivar (fx) en la columna “D” y en la columna “I” las
funciones a integral (gx). Los signos van alternándose.
   
   
 
2
( )
Int
De
f x g x
Df
rivadas
Sign egra
x I g x
D
l
os
f x
es



 
  
   
2
1
( )
... ... ...
( )
n n
I g x
D f x I g x
 
Se continúa este proceso hasta que:
 La función a la izquierda se convierta en cero. En este caso siempre
debe ser una algebraica.
 El producto de las funciones en el último reglón se pueda integrar.
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34. 42
 El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto
de las funciones en el primer reglón.
Resuelva la integral dada utilizando el método tabular.
4
4
3
sus int
- 4
: Re x
x
Ejemplo solver
Signos u y sus derivada
x e dx
s dv y egrales
x e
x


2
12
- 24x
24
-
x
x
x
x
e
x e
e
e


4 3
4 2
0
4 12 24x
x x x
x
x x
e
x e x e x e x e
x e C
d
 
   

Resolucion de Integrales Trigonométricas con
exponentes enteros.
Hay varios casos de este tipo de integrales, pero es bueno reconocer que
los más comunes son del tipo.
cos sec tan
m n m n
sen x xdx y x xdx
 
a) Integrales que contienen potencias de senos y cosenos
Caso 1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor
seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e
integrar.
   
2 1 2
2 2
cos cos cos
cos 1 cos cos
m n k n k n
k k
n n
sen x xdx sen x xdx sen x xsenxdx
sen x xsenxdx x xsenxdx

 
  
  
 
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35. 43
   
 
2 2
5 4 2 2
5 2 4
5
4 2
. . . . . 1 cos .
. . 1 2cos cos . . 2 .cos . .cos .
Tenemos tres integrales que se res
Ejemplo 1: Resolve
uelven p met d
r
or o
sen x dx senx sen x dx senx sen x dx senx x dx
sen x dx senx x x dx senx dx senx x dx senx x dx
sen xdx
    
     
   
    

1
3
2
2
5
4
3
4
os anteriormente vistos,
como a) se resuelve directamente, b) y c) por sustitucion.
) . cos
cos
) .cos .
3
cos
) .cos .
5
cos
.
. .
a senx dx x C
x
b senx x dx C
x
c senx x dx C
u x
du
du senx dx dx
senx
du
senx u
se
  
  
  




    


 



5 5
4
3
3 5
3
5
cos
.
5 5
Arnando la integral original te
2 1
c
ndremos :
os cos cos
3 5
.
u x
u du C C
nx
s x x x C
en x dx
    

  
  

 

3
3
3 4 4
4
cos
Sustituyendo tenemos que :
1 1
cos
Ejemplo 2: Resolver sen xcosx
4 4
x
4
d
u senx du x
sen x xdx u du u c sen
sen
x
x
C
c
  
 
 
  
 

Caso 2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor
coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e
integrar.
   
2 1 2
2 2
cos cos cos cos
cos cos 1 s cos
m n m k m k
k k
m m
sen x xdx sen x xdx sen x x xdx
x xsen xdx sen x en x xdx

 
  
  
 
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36. 44
5 2 5
5 3
2 5 7
6 7
5 7 5 7
Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno:
cos cos (1 s
Ejemplo 3: Resolver sen xcos x
)cos ( cos cos )
c
dx
os cos
6 7
sen x xdx sen x en x xdx sen x x sen x x dx
u u
sen x xdx sen x xdx u du u du C
Ha
   
     
 



  
6 7
:
6
c
7
os
cem
sen x sen x
C
os
u senx du xdx

  


Caso 3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar
repetidamente las identidades.
2 2
1 cos2 1 cos2
cos
2 2
x x
sen x y x
 
 
Nota: para potencias diferentes consultar libros de tablas matemáticas.
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37. 45
   
2
2
4
4 2 2
4 2
1 cos2 1
cos . cos . . 1 2.cos2 cos 2 .
2 4
1 1 1
cos . cos2 . cos 2 .
4
Ejemplo 4: Resolver cos x.
2 4
1 1
)
4 4
2
1
) cos2 .
2 2
dx
.
2
x
x dx x dx dx x x dx
x dx dx x dx x dx
a dx x
u x
b x dx du
du dx dx
Sustituyendo y resolviend

 
    
 
 
  





  


   
   



 
2
4
1 1 1 1
: cos . cos . 2
2 2 4 4 4
1 1 1 cos4 1 1 1
) cos 2 . . cos4 . cos4 .
4 4 2 8 8 8
1 1
. 4
8 32
1 1 1 1
cos . 2 . 4
4 4 8 32
3 1 1
2 4
8 4 32
du
o u u du senu sen x
x
c x dx dx dx x dx dx x dx
x s
x s
en x
x dx x sen x x sen x en x sen x C
  

 
    
 
 
  
    
  
 
     

2
2
2
2 2
:
1 cos2 1 co
Ejemplo 5: Re cos
s2
~ (2),cos ~ (3)
2 2
(2) (3) (1) :
1 cos2 1 cos2 1 cos 2 1
(1
2 2 4 4
Aplicamos la identidad del ángulo duplo
x x
sen x x
Sustituyendo y en tenemos que
x
sol
x x
dx dx
ver sen x xdx
 
 
  
  
 
  
  

 
2
2
1
4
1 cos4 cos4
1 1
2 2 4 4
1 1 1 1
4 8 8 8 32
cos4
1
2 4
cos4
1
2 4
cos 2 ) ~ (4)
:
1 cos4
cos 2 ~ (5)
2
. (5) en (4):
1
(1 ) (1 ) (1 )
4
( ) cos4 cos
x x
x
x
x
x dx
Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez
x
x
Sust
dx dx dx
dx dx xdx




    
   





  
  
4
4
8 32
4 4
: dz
x sen x
zdz
Hacemos z x dz dx
De a hí q
C
ue dx

  




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38. 46
Integrales que contienen potencias de secante -
tangente y cotangente – cosecante.
Caso 4. Si la potencia de la secante o cosecante es par y positiva y hay
factores tangentes o cotangente, conservar un factor secante o cosecante
cuadrado y convertir los factores restantes en tangente o cotangente.
Entonces desarrollar e integrar.
2 2 1 2 2 1 2
sec tan (sec ) tan sec (1 tan ) tan sec
k n k n k n
x xdx x x xdx x x xdx
 
  
  
Caso 5. Si la potencia de la tangente o cotangente es impar y positiva y hay
factores secante o cosecante, se debe conservar un factor secante tangente
o cosecante cotangente y convertir todos los demás en secante o secante y
luego desarrollar e integrar.
2 1 1 2 1 2
sec tan sec (tan ) sec tan sec (sec 1) sec tan
m k m k m k
x xdx x x x dx x x x xdx
  
  
  
Caso 6. Si la tangente o cotangente están solas y su potencia (n) es
cualquier entero positivo, se convierte un factor cuadrático de ellos en
2
sec x o 2
c sc x y se deja todo lo demás en tangente o cotangente. Aplicar
este proceso tantas veces sea necesario hasta obtener una tangente o
cotangente de n=1, la cual se hará inmediatamente.
2 2 2 2
tan tan (tan ) tan (sec 1)
n n n
xdx x x dx x x dx
 
  
  
Caso 7. Si se tiene una integral de la forma secm
xdx
 se aplican los
siguientes criterios.
a) Para m par aplicar el caso 4
b) Para m impar aplicar la integración por parte.
Caso 8. Si ningunas de las guías anteriores aplican tratar de convertir el
integrando en senos y cosenos.
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39. 47
Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral.
2 4 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2 4 2
2
3
2 4
tan sec tan sec sec tan (1 tan )sec
(tan sec tan sec ) tan sec tan sec ~ ( )
:
tan
~ ( ) ( ) ( ):
sec
3
x xdx x x xdx x x xdx
x x x x dx x xdx x xdx a
Hacemos
u x
b Sustituyendo b en a
du xdx
u
u du u du
  
   


  
  
  
 
5 3 5
tan tan
5 3 5
u x x
C C
   
Ejemplo 7. Calcule el integral.
3 3 2 2 2 2
4 2 4 2
tan sec tan sec sec tan (sec 1)sec sec tan
(sec sec tan sec sec tan ) sec sec tan sec tan sec ~ ( )
:
sec
~ ( ) ( )
sec tan
x xdx x x x xdx x x x xdx
x x x x x dx x x xdx x x xdx a
Hacemos
u x
b Sustituyendo b en
du x xdx
  
   


  
  
5 3 5 3
4 3
( ):
sec sec
5 3 5 3
a
u u x x
u du u du C C
      
 
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40. 48
Cálculo Integral
Práctica: 5
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
2
3
2
cos
5
5
2 4
5
3 2
6
6 2
Integrales por parte y trigonometricas:
1. xsen2xdx
2.
5
3. cos
4. 5
5. 2
6.
7.
8. cos
9. tan
10. cos
11. tan
12. sec tan
x
x
x
x
xsen dx
x xdx
e x dx
e sen xdx
x e dx
sen xdx
sen x xdx
xdx
sen x xdx
xdx
x xd
 
 
 










3
13. sec
x
x


 
2 2
2 2 2
cos
3 5
3
4 2
5 3
1
R : cos2 sin 2
2 4
R : 5 cos 25sin
5 5
R : cos
R :5 10
R : 2 cos 1
R :?
2 1
R : cos cos cos
3 5
1 1 1 1
R : 4 2
8 2 8 6
1 1
R : tan tan ln cos
4 2
1 1
R : cos cos
5 3
R :?
R :?
x x
x
x
x x c
x x
x c
xsenx x c
x e e c
e x c
x x x c
x sen x sen x c
x x x c
x x c
  
  
 
 
  
   
 
  
 
 
  
 
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41. 49
 
2
2 3 2
2
2
13) R: ln cos
cos
1 1 1
14) arctan R: arctan ln(1 )
3 6 6
15) ln
x
dx xTanx x c
x
x xdx x x x c
x
xdx

   



2
R: ln 2 ln 2
x x x x x c
  
 
4
3
2
5 4
4
2
16) ln ............ (4ln 1)
16
1
17) 2 ....... 2 1 4
2
1
18) 2 cos2x dx.... sen 2
12
1
19) ................ 12 8 2 4
32
20) Tanx ...............
x
x xdx x c
arcsen xdx xarcsen x x c
sen x x c
sen xdx x sen x sen x
Sec x dx
   

 
  

 




2
2
1
.
2
21) 3
22) 2
Tan x c
x Cos xdx
e Cos dx







"Tener hijos no nos convierte en padre, del mismo
modo tener un piano no nos convierte en pianista".
(Michael Levine)
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42. 50
Integrales que contienen los productos seno-coseno
de ángulos distintos.
En este tipo de integrales es necesario convertir dicho producto en función
de una suma. Su demostración está en el manual de precálculo en la parte de
trigonometría. Aquí se dan las formulas directamente. Se debe tomar en
cuenta que m y n son las veces que se repite un ángulo y que 𝑚 ≠ 𝑛.
1
2
1
2
1
2
. (cos[ ] cos[ ] )
.cos ( [ ] s [ ] )
cos .cos (cos[ ] cos[ ]
17 : Pr
)
sen mx sen nx m n x m n x
sen mx nx sen m
Fórmula s o
n x en m n x
mx nx m n x m n x
ductos
   
   
   
Ejemplo: Resolver las siguientes integrales.
   
   
 
1
2
1
8 5 . 8 5 8 5
2
1
3 13
2
1
3
) 8 5
Senmx Sennx Cos m n x Cos m n x
Sen x Sen x dx C
Sen x Sen
os x Cos x
Cos x dx Cos xdx
Cos x
x dx
    
 
 
    
 
 
 



3 1
3 3
dx
u x
Cosu du
du dx
dx du


 



 
   
1 1
1
2 3 13
1 1
1
2 3 13
1 1
6 26
1 1
3 13
6 26
Cosu du Cos dz
Senu Sen z c
Senu Sen
Sen x Sen x c
 
  
 
 
 
  
 
 
  
  
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43. 51
   
 
1
2
1 1
10 3 7 13
2 2
1 1 1 1
3). 10 3
7 16
2 7 2 13
1 1
7 13
14 26
Cosmx Cosnx Cos m n x Cos m n x
Sen x Cos x Cos xdx Cos xdx
Sen x Sen x
Cos
Sen x
x Co
Sen x
s xd
c
x
    
  
  


 
   
   
 

 

   
 
1
2
1
6 2 4 8
2
4
1 1
4
4 2
4
4
1 1
2) 6
4 8
8 16
2
Senmx Cosnx Sen m n x Sen m n x
Sen x Cos x Sen xdx Sen xdx
Sen xdx
u x Sen u du
du dx
du
dx
Cos
Sen x Cos xd
x Cos
x
x
    
 
 
  
 
  
 
 






 Transformarte en la persona que tu realmente quieres ser
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44. 52
Método de sustitución trigonométrica inversa.
Para aplicar el método es necesario usar el Teorema de Pitágoras y las
identidades trigonométricas. Se hará uso de un triángulo rectángulo desde
donde se sacaran todas las funciones que serán sustituidas en el ejercicio.
2
Ejemplo1: Resuelve
16
dx
x


Sustituyendo en la integral!
 
 
 
2
2
2
2
2
:
4cos
16 4
4cos
16 16
4cos
16 1
4cos
4 1
4
4
4
,
4
d
Sen
d
Sen
d
Sen
d Cos d
Cos
Sen
C
x
ol
os d
d C
Cos
x
arcSen C aplicam
ucion arcSen
os la inversa
x
arcSen arcSen
arcSe
C
nx
s
 

 

 

   


 
 





 


   
 
  
 
 






 
 

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45. 53
   
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Ahora sustituyendo en la integral se tiene que :
2
2 4 2
2
4 4 4
2
4 4 1
2
1
4 2
1 1
4 4
Ahora aqu debemos aplicar iden
Cos d
Sen Sen
Cos d
Sen Sen
Cos d
Sen Sen
Cos d
Sen Cos
Cos d d
Sen Cos Sen
í
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  







 




 
2
2
2
tidades
trigonom tricas, pues recordemos
1 1
que cos
4
1 4
,
4
:
4
4
é
Coscx ec d
senx
x
Cot c peroCot
x
soluci
x
C
x
ón
 
 
 

 




2 2
Haciendo sustituc
E
iones de , 2 , dx = 2 cos d
2
jemplo 2: Resuelve
4
x
Se
dx
x Se
x x
n n
   

 


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46. 54
 
 
  
 
  
 
3
3
2
2 2
3 2
2
3 2
2
2
3
3
2
2
2
5tan
(5sec )
25 5tan 25
5 25tan sec
25tan 25
5 125tan sec
25 tan
Ejempl
1
125 tan sec 125 tan sec tan
125 sec 1 sec tan
125 sec s
o 3: R
ec t
esuelve
an 125 s
25
x
dx d
x
d
d
x
dx
d
d
x
d

 

  

  

     
  
   

 



 
 
 


 


 

2
2
3
2
3
2
3
2
2
ec tan
sec ; sec tan
125 125sec
125
125sec
3
125 25 125
25
3
1
25 25 25
3
5
5
d
u du d u du d
x x c
u
u du
u
c
x
x
  
   


    

  
 

 
 
 

 
  

 


 
 

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47. 55
Integración por Tabla
El método de sustitución trigonométrica puede ser muy útil cuando
aparecen expresiones algebraicas como la siguientes, sabiendo que ( )
u u x
 .
Lo que debemos es memorizar estas fórmulas y en vez de irnos por el
método anterior, sustituir tal como la igualdad.
 
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
18) arctan 22) ln
1
19) .ln 23) ln
2
1
20) ln 24)
2
du u du
C u u a C
u a a a u a
du u a du
C u u a C
u a a u a u a
du a u du
C
a u a a u u u
 
     
 
   

 
     
 
 
  

 
 
 
 
 
 
 
 2
2 2
1
sec
21) 25) u du u Lnu - u +C
u
arc C
a a
a
du u
arcsen c Ln
a
a u
 

 
  
 
 


 
Ejemplo 1. Resolver las siguientes integrales:
La descomponemos en dos integrales en la cual en la primera aplicamos la
fórmula 1 y en la otra una integral por sustitución.
   









C
x
L
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
)
1
(
arctg
1
2
1
1
1
2
1 2
2
2
2
Integrales que contienen polinomios cuadráticos.
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o potencias negativas de
un polinomio de la forma 2
ax bx c
  se pueden simplificar con el proceso de
completar cuadrado. Tienen la forma 2 2
dx dx
ó
ax bx c ax bx c
   
  .
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales.
1)
1
2
2
( 1)
( 1)
2 2 1
d dx
Tan x
x x
c
x
x 
  
 

 


2)
1
2
2
( 2)
( 2)
4 5 1
d dx
Tan x
x x
c
x
x 
  
 

 


3) 2 2
1 3
tan( )
( 3) 4 2 2
6 13
dx x
Arc c
x
dx
x x

 
 

  

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48. 56
 
 
 
2
11 3ln
cos
arctan 2
1
1
11arctan 2 3ln
2
1 3lnco
1
s
u c
u
du sen d
x
c
c
x
x


 

 
  

 
 

 
 
  
 
 
 

 
 
2 2
2 2
2
2
2 2
sec tan 2sec
5 3
tan 1 tan 1
tan 2 sec
sec
5 3
sec 1 sec
5 3 tan 2
5 3 6
cos
5 3
d d
d
d
d d
sen
d d
du
u
    
 
  
 
 
  

  




 
 

 

 
  
  
 
 
 
 
 


4) 2
4 7
dx
x x
 
 Podemos escribir el denominador como la suma de dos
cuadrados donde tenemos que  
2 2 2
2 3
x u a
   
.
En esta forma de cuadrados completados tenemos que
2
u x
  y 3
a  por lo tanto
2 2
1 2
tan( )
4 7 ( 2) 3 3 3
dx dx x
Arc C
x x x

  
   
 
2
5 3
5) int
4 5
x
Encuentre la egral de dx
x x

 

Completando al cuadrado el denominador para transformarlo en el tema
anterior. Descomponiendo distributivamente
 
 
 
2
2
2
2
2
4 5
4 4 1
2 1
5 3 5 3
5 4 5 2 1
x x
x x
x
x x
dx dx
x x x
 
  
 
 

   
  2
tan 2
tan 2
sec
x
x
dx d


 
 
 

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49. 57
 
 
 
 
  
  
 
 
2
2
2
2
2
2
2
4 sec 1 2
4sec tan 2
4sec 2 2sec tan
4sec 16
4sec 2 2sec tan
16sec 16
4sec 2 2sec tan
1
16 tan
4sec 2 2sec
1
16 tan
sec
4 2 sec
8 tan 8 tan
se
1
2 1
2 1 16
2
d d
dx
dx x
dx
Solucion
d
d
d
d
x
d
x
d
x
d

 
   

   

   

  

   
 
 



 


 





 


 






 
 
2
1
cos
2
cos
2
c 1
tan 4
tan ; sec
1 1 1
2 4
1 1
ln cos
2 4
1 1
ln tan ln cos cot
2 4
sen
d
d
u du d
du
d
u sen
u c d
c c



 


  


 
 

 
 
 
   
 
 

    
  
 
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 1
2
2 15
1
4 4
2
2
4 4 15
4 4
4 4 15
2 2
2 2 19 4 2 2 2 4 19
15 1 1 15
4 2 2 4
1 1
4
2 2
1
4
2 1
Ejemplo 6 :
4 4
2
1
2 1 4
1
4
2
5
4
4
1
1
x x
x x
x x x
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
 
   
   
   
   
     
   
      
   
   
  
   
  
  
 
  
 
 
   
   
 


 


   
 
2
2
2
2 2
1
4
2
4 2 1
2
16
2 1
sec , 4sec 2 1, 4s
1
2
ec 1
1 1
2
4
6
x
dx
Transformado
x
x
x
dx
x
x x
  


 

 
 
    

   






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50. 58
Método de fracciones parciales
Función racional: Es una función que puede expresarse como el cociente
de dos polinomios. Es decir,
( )
( )
( )
P x
R x
Q x
 ; Donde ( ) ( )
P x y Q x son polinomios.
El método de fracciones parciales: Es una técnica algebraica que
descompone un polinomio ( )
R x en una suma de términos. Nos permite
integrar cierta clase de funciones racionales
1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
( )
k
P x
R x p x F x F x F x
Q x
     
Donde ( )
p x es un polinomio y ( )
i
F x es una expresión que puede integrarse
con facilidad.
Esta integral cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo
general son de fácil solución.
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los
siguientes criterios:
 Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el
denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso de factorización.
 Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se
debe resolver primero la división de polinomios.
Fracción parcial Simple: Es cualquier fracción propia de polinomios, es decir, el
grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador.
 
.
1
2
3
;
3
2
5
;
4
3
, 3
2
x
x
x
x
x
x
Así






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51. 59
Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en que el
estudiante debe tener conocimientos previos de precálculo el cual debe dominar, por lo
menos, una técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al
momento de intentar calcular dichas constantes.
Una vez determinadas las mencionadas constantes, se obtienen integrales que por lo
general se resuelven aplicando los métodos ya expuestos, por esta razón, es conveniente
que el estudiante los domine todos.
Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación
q(x) = 0, el cual es el denominador. Al realizar la mencionada descomposición, es posible
encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:
Primer caso:
1. Fracción impropia: Si p(x)/q(x) es una fracción impropia (es
decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del
denominador), dividir el denominador para obtener
Donde: p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto y se cumple que
q(x) es de mayor grado que r(x). Ahora aplicando el símbolo integral a ambos miembros y
los respectivos diferenciales, se obtiene:
 
 
   
 
x
q
x
r
x
c
x
q
x
p


 
 
   
 
   
 
dx
x
q
x
r
dx
x
c
dx
x
q
x
r
x
c
x
q
x
p


 









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52. 60
Ejemplo 1: Resuelve
2
1
1
x
dx
x



Se resuelve realizando previamente la división, a través de la cual
obtenemos el cociente x+1 y el resto 2 que es símbolo de
  










C
x
L
x
x
dx
x
x
dx
x
x
1
2
2
)
1
2
1
(
1
1 2
2
Ejemplo 2: Resuelva
2
3
2
x x
dx
x
 


Dividimos el numerador por el denominador y luego aplicamos integramos
cada parte.
 
 
 
 
2
2
2
3 9
3
2 2
3 9
3
2 2
3 9
2
3 9ln 2
2
x x
x
x x
x x
dx x dx
x x
dx
x
x
x x c
dx
x
 
  
 
 
  
 



 

 
 
 
 
 
   
 
x
q
x
r
x
c
x
q
x
p


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53. 61
2do Caso: Factores lineales.
2.a) Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada
debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en
el numerador y dichos factores en el denominador. Como se muestra a continuación:
x
Q es un polinomio que tiene raíces reales distintas, es decir,
     
1 2 3 ...
x n
Q x a x a x a x a
     , por lo tanto:
1 2
1 2
... n
n n
Px A A x a
Qx x a x a x a

 
  
Integrando 1 2
1 2
( ... )
n
n n
Px A A x a
dx dx
Qx x a x a x a

 
  
 
  
  
   
   
2
2
2
Factorizamos el polinomio que est enel denominador.
6 3 2
1 1
6 3 2
3 2
2 3 1 2 3 1
El coeficiente de
1
x es 0x 1, mult
3: R
ip
6
li
e
á
x x x x
dx dx
x x x x
A B
dx
x x
A x B x Ax A B
Ejemplo solve
x B
r dx
x x
    

   
 
  
 
 
 
       








  
 
 
5 5
2
5
cando por 3 2
:
1 1 1 1
; ;
5 5 5 3 5 2
1 1
ln 3 ln 2
5 5
0
2 3
2
ln
3
ln 3 l
1
n 2
1
6
A B
A B
x x
Como mas abajo se formo un sistema de ecuaciones
dx dx
B A
x x
x x c
x x c
c
x
x x
x
x
d
 
     
 
     
      


 







 

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54. 62
2
dx
Ejemplo 4: Resolver
x -16

 
  
   
   
 
2
2
16 4 ( 4)
1
4 4
1
16 4 4
1 4 4
1 4 4
0
0
0
0 4
x x x
dx
x x
A B
x x x
A x B x
Ax A Bx B
Ax Bx x
x A B
A B
A B A
   
 
 
  
   
   
 
 
 
  

4 0
4 4 1 4
B
A B A
 
    
   
1 1
8 8
2
4 1
8 1
1 1
8 8
1
16 4 4
1 1 1 1
ln 4 ln 4
8
1 1
ln
4 8 4 8
4 l 4
8 8
8
n
B
B
A B
x x x
dx d
x
x x c
x
x x
x

 

  


  

  
      
 
 
 
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55. 63
     
        
     
2 2 2
2 2
3 2
2
2 2
2
2
3 2
2
4 18 38 4 18 38 4 18 38
5 3 3 1 3 1
4 18 38
Re alg
3 1
3 1 1
1
4 18 38
5: Re
5 3
1 3 1
x x x x x x
dx dx dx
x x x x x x x
x x A B C
solviendo ebraicamente
x x
x x x
A x x B
x x
Ejemplo solver dx
x x x
x x C x
     
 
      
 
    
 
  
 
 
  
   
  

  
   
     
2
2
2
3 1 4 18 38
4
2 2 18
3 3 38
8 4 6
3 1 1
8ln 3 4ln 1 6 1
8, 4 6
ln
,
x x x
Operando y luego resolviendo el sistema de ecuaciones
A B
A B C
A B C
dx dx dx
x x x
x x x dx c
x
A B c

  
    
 


    

   


  
  
      
 
  

   
 
 
 
1
8
4
4
8
1
3 ln 1 6
3 6
ln
1
1
1
x
x c
x
C
x
x


 




 



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56. 64
Método de Heaviside para factores lineales distintos.
 
 
   
 
       
Si se tienen funciones parciales sumando el grado de p y los factores
de son todos lineales distintos
R ,,, .
para aplicar este metodo hacer los siguientes pasos:
1. Escribir el co
P x
x R x
R x
R x
x x a x b x c x z

    
 
 
 
 
     
 
 
 
    
 
  
ciente R en forma factorizada:
,,,
2. Eliminar uno a uno los factores de R , reemplazando
cada en los factores por el numero que la elimina.
cuando
,,,
,,,
x
P x p x
R x x a x b x c x z
x
x
p x
A x a
x b x c x z
p x
B
x a x c x

   
  
  

   
 
    
 
 
 
       
2
3
2 2
3
cuando
cuando
,,,
3. Escribir el desarrollo de como:
,,,
3 10
Ejemplo: resolver
2 2
por el metodo de Hearside.
3 10 3
2 2
x b
z
p x
C x c
x a x b x z
P x
R x
P x A B C Z
R x x a x b x c x z
x x
dx
x x x
x x x x
dx
x x x
 

  
  
    
   
 
  
  

  

   
         
  
2
2
10
1 1 2
Como todos son lineales distintos podemos
aplicar este metodo.
3 10
1 1 2 1 1 2
A cuando 1 es el valor que la anula
3 10 6
A= 1
1 2 6
dx
x x x
x x A B C
x x x x x x
x
x x
x x

  
 
  
     
 
  
  
 
 
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57. 65
  
  
     
 
2
2
cuando 1 es el valor que la anula
3 10 12
6
1 2 2
C cuando 2 es el valor que la anula.
3 10 12
C= 4
1 1 3
1 6 4
1 1 2
6
1 1 2
6ln 1 ln
B x
x x
B
x x
x
x x
x x
dx
x x x
dx dx dx
x x x
x
 
  
  
  
 
  
  
 
 
 
   
 
 
  
 
   
  
 

  
   
     
 
 
  
2
2
3
1 ln 2
6ln 1 ln 1 ln 2
1
3 10
ln
2 2 1 2
x x c
x x x c
x
x x
dx c
x x x x x
   
     

 

 
 
 
    
 
 

2.b) Factores lineales repetidos en el denominador.
Para cada factor lineal ( )m
px q
 , la descomposición en fracciones simples
debe incluir la suma siguiente de (m=n) fracciones.
1 2
2
...
( ) ( ) ( )
m
m
A
A A
px q px q px q
  
  
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,
B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a
continuación:
 
       



 





 n
b
ax
z
b
ax
B
b
ax
A
x
q
x
p
...
2
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58. 66
 
 
5
3
5
3 3 2
5
5
,
3 3
: Re
1
1
1
x x
dx dividiendo tenemos
x
x
Ejemplo solver dx
x
x
x
x
x



 

 

3 2
5
3 3 1
x x x
x
  
 4 3 2 2
4
3 3 3 6
3
x x x x x
x
    
3 2
4
3
3
x x
x
 
 3 2
3
9 9
6
x x
x
 
2
3
8 3
6
x x
x
 

 
   
       
 
2 3 2
2 2
3 3
2
3 2 3
2
3
2
int :
10 15 6 3 10 15 6
3 6 6
3
18 18 6
10 15 6
2
1 1
10 15 6
1
1 1 1
1
Aplicando egrales
x x x x x
x x dx dx x x dx
x x
x x A B C
dx
x
x x x
Multiplicar por
x
x
x
x x
   
       
 
 
   

  
  



  
 
   
 
2
2
2 2
2 2
10 15 6 1 1
10 15 6 2 1
10 15 6 2
x x A x B x C
x x A x x Bx B C
x x Ax Ax A Bx
      
       
     
           
2 3 2 3
2 15
6 1
formó un sistema de ecuacion de 3*3 cuya solucion será:
10 5 1
10 5
1 1
1 1 1 1
10l
0, 5, 1
5
n
1 2
B C
Se
dx dx dx dx dx dx
x x
x
A B
A B C
x
A B C
B
x x
A

 
     

 
  


   
 
 


     
     
 
 
 
3
2
2 3
1 2
2
2
3 5 1
6 10ln
1 5 1
1
3 2 1 2 1
1
1 1
10ln 1 5
1 2
5 1
10ln 1
1 2 1
x x dx x dx
x x
x
x c
x
x
x x x c
x
x x
 
 
   
    
 
   
   
   
 

  
  
 

 
  
 
 
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59. 67
 
 
2
2
3
3
Este es otro método de determinar las constantes que aparecen
en las fracciones parcial
Método de la di
3 4
Ejemplo:Res
ferenciación en factores lineales repetidos
olver
2
es.
solucio
.
n:
3 4
2
x x
dx
x x
x
x
 





     
   
2 3
2
2
2 2 2
Ahora se procede a eliminar las fracciones
para determinar el valor de las constantes A,B,C
3 4 2 2
a) Para encontrar el valor de C basta con buscar
un valor de
A B C
dx dx
x x x
x x A x B x C
 
  
 
 
  
 
      
 
   
   
2 2
X que anule todas las demas constantes
en este caso seria x=2 y sustituimos
A 2 2 3 4
x = 2
A 0 0 6
6
x B x C x x
B C
c
      
  

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60. 68
 
 
b) Ahora se deriva la misma expresión de en ambos lados.
2A 2 0 2 3
2 2 2 3
Como se puede observar para obtener a B
se sustituye x=2 para eliminar la constante
A y asi se obtiene el valor de
a
x B x
A x B x
    
   
   
 
   
     
2 3
3
B.
2A 2 2 2 2 3
c) Para obtener C
2A 2 2 3 derivar
2A=2
Eso implica que:
2 2 2
1 7 6
2
7
A=
2
1
2
2
B
x B x
A B C
dx
x x x
dx dx dx
x x x
d
B
x
x
   
   
 
  
 
 
  
 
  
  



  
   
 
   
2 3
1
1
2
2 2 2
7 6
2 2
ln 2
2
1
2
dx dx
x x
dx
I x c
x
dx dz z
I z dz
x z


 
 
   

   


  

  
   
 
 
 
3 3 2
2
1 2 2
3
2
1 1
2; =
2
1 1
ln 2
2
1
2 2 2
3 4
2 2 2
z
z x
z x
d dx
dx
I
x x
x x
dx I I C
x
x
x
I
x
    

  
 
 
       
 



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61. 69
3cer caso Factores cuadráticos
3a) Factores cuadráticos repetidos.
La descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de
n fracciones en 2
( )n
ax bx c
  .
2 2 2 2
...
( ) ( ) ( )
X
n
Ax B Cx D W Z
ax bx c ax bx c ax bx c
  
  
     
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compues to por:
Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el
denominador, como se muestra a continuación:
  
2
1
: Re
1 1
Ejemplo solver dx
x x
 

Multiplicamos por   
2
1 1
x x
 
 
       



 











 n
c
bx
ax
Z
Wx
c
bx
ax
D
Cx
c
bx
ax
B
Ax
x
q
x
p
2
2
2
2
...
    
2
2 2
2
1 1 1
0
0
1
1 1 1
; ;
2 2 2
1 1 1
2 1 2 1 2 1
1
2
2
A x Bx C x
A B
B C
A C
siA B C
dx x dx
dx
x x x
u x
du x
du
xdx
    
 
 
 
    
  
  
 


  
 
 
2
2
2
4
2
1
1 1 1
ln 1 arctan
2 2 2
1 1 1
ln 1 arctan
2 4 2
1 1
ln 1 ln arctan
4 2
arctan
ln 1 ln 1
2
1 arctan
ln
2
1
du
dx
x
x x
u
du
x x c
u
x u x c
x
x x c
x x
c
x

   
    
    
     

  





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62. 70
3B) Factores cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en
función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos
factores en el denominador, como se muestra a continuación:

Para cada factor cuadrático 2
( )n
ax bx c
  , Factorizar completamente el
denominador en fracciones de los tipos:
2
2
( ) ( )
m n
px q y ax bx c
donde ax bx c es irreducible
  
 
y recordando que Cuando tengamos
denominadores que nos den raíces complejas entonces tendremos
,
Ax B Cx D
  sobre el polinomio.
Ejemplo 7: Calcula la integral.
 
 
...
2
2








 

 e
dx
cx
D
Cx
c
bx
ax
B
Ax
x
q
x
p
 
 
 
 
 
    
3 2
5
2
4 2
2
2
2
3
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 5 16
8 16
2 5 16
2 5 16
8
4
4 4
. 4
4 2 5 16
0, 2, 5
tan 2 tan 2se
16
c
2
4
2
x x x
dx
x x x
x x
x
Ax B Cx D
dx
x x
Mult por x
Ax B x Cx D x x
A B C
x
x dx d
du
u x xdx
x x x
dx
x x x
   
 

 
 


 
 
 

      
  

    
  








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63. 71
 
 
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 5 4
4 4
2sec
2 2
4 2tan 4
sec
4
4tan 4
4 sec
4 tan
arctan
1
x
x
dx dx
x x
dx d
x
d
d
d c
c
 

 

 
 



 

 


   

 
 
 

 
   
2
2
2 2
2
2 2
2
1
4
2
2 1
cos
2
5 8
4 4
5 2sec
8
2 4sec
5 sec
16
2 16sec
cos
sec
1 cos 1 1
cos 2
2 2 2
1
2 ; ;
2 2 4
1
2 2
2 4
1 1
arctan
2 2 4
x dx
dx
x x
du d
u
d
u
d d
d
d d d
dz
z d senz
dz d sen
x

 


 

 
 


   

 

 


 
 
 
  

  
   
 
 
 
 
 
 
 

  
  
 
2
3 5 1
arctan 2arctan
2
2a
2 4
rctan
2
2
2 4
x
x
sen c
x
sen c
x
   
   

 
  

  






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64. 72
2
5 4
3 2
8:Resolver la siguiente integral
1
x x
Ejemplo dx
x x x
 
  

Factorizando el denominador aplicando unos de los métodos ya conocidos
como es el método de Ruffini tenemos que:     
2
5 4 2
1 1 1 1
x x x x x x
      
por lo que tenemos.
    
2
2 2
3 2
1 1 1
x x
dx
x x x
 
  
 Observando cada uno de los
miembros del divisor lo expresaremos en la forma.
 
   
2 2
x x
x
Q M n
A B C
R x a x b x d
x b

   
  

Ha de hacer notar que la última parte tiene esa forma por tener raíces
complejas.
    
2
2 2
3 2
1 1 1
x x
dx
x x x
 
  
 =
 
2 2
1 1 1
1
x
M n
A B C
dx
x x x
x
 

  
 
 
  

 
 por lo tanto
      
2
2 2
2 2
3 2
1 1 1
1 1 1 1
x
M n
A B C x x
x x x
x x x x
  
   
  
   
              
           
         
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 3 2 2
2
4 3 2 4 3 2 4 3 3 2
2
2 1 1 1 1 1 1 1 2 1
3 2
2 1 1 1 1 1 1 2 1
3 2
2 2 2 1 1 1 1 1
3 2
x
x
A x x B x x x C x x M N x x x
x x
A x x x B x x C x x M N x x x
x x
A x x x x B x C x x x M x x x N x x x
x x
              
 
              
 
                  
 
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65. 73
Ahora se forma un sistema de ecuación
0
2 0
2 1
2 3
2
A B M
B C M N
A C N
B C M N
A B C M N
  
    
  
     
    
Ponerlo en forma para resolver por Gauss.
0 0 0
2 0 0
2 0 0 1
2 0 3
2
A B C M N
A B C M N
A B C M N
A B C M N
A B C M N
    
     
    
      
    
Resolviendo el sistema obtenido obtuvimos:
1 5 3 1 3
; ; ; ;
8 8 4 2 2
A B C M N
      
Sustituyendo en la integral:
 
 
3
1
2 2
2 2
2 2 2
5
1 3
8 8 4
1 1 1
1
1 5 3 1 3
8 1 8 1 4 2 1 2 1
1
x
dx
x x x
x
dx dx dx x dx
dx
x x x x
x
 
 
 
   
    

 
   
   


    
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66. 74
Resolviendo detenidamente cada integral
a)
1 1 1
ln ln 1
8 1 8 8
dx du
u x C
x u
    

 
b)  
5 5
ln 1
8 1 8
dx
x C
x
    


c)
   
2 2
3 3 3 1 3
4 4 4 4 1
1
1
dx dz
C
z z x
x
z x
dz dx
  
    
 

 

 

 
d)
2
2
2
1 1 1 1
ln
2 1 2 2 4
1
ln 1
4
1
2
x dv
dx v
x v
x C
v x
dv xdx
 
 
 
  
  
 

 
e) 2
3 3
arctan
2 1 2
dx
x
x



Solución:
 
 
2
5 4
2
1 5 3 1 3
ln 1 ln 1 ln 1 arctan
8 8 4
3 2
1 4 2
1
x x
dx
x x
x x x x C
x
x
      
 

 
 


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67. 75
   
 
 
 
3 2
2
2
2
2
2
2
3
3
III. Integrales por fracciones parciales.
12)
11
13)
3 4
3 13
14)
3 10
17 3
15)
3 2
7 2 3
16)
2 1 3 2 3
17)
9
18)
2
19)
1
IV. Resolver las siguientes integral
dx
x x x
x
dx
x x
x
x x
x
dx
x x
x x dx
x x x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
 

 

 

 
 
  











2
2
2
2
es por
complexion de cuadrados.
20)
8 19
21)
5 15 20
2 1
22)
2 2
2
23)
6 13
dx
x x
dx
x x
x
dx
x x
x
dx
x x
 
 

 
 




Cálculo Integral
Práctica: 6
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales con ángulos repetidos, fracciones parciales y
complexión de cuadrados.
 
2
2
2
2
2
2
2
2
I. Integrales con angulos repetidos
1) 7 3
2) cos9 cos12
3) cos 25 cos12
II. Resuelva
4)
100
5)
4 1
6)
1 1
7)
5
8)
16
9)
9
10)
25 9
11)
25 9
sen x sen xdx
x xdx
x xdx
dx
x
dx
x x
dx
x
dx
x
dx
x
dy
y
dx
x
dx
x


 

 














"No hay amistad sin libertad" (Francesc Torralba)
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68. 76
Integración de funciones racionales de seno y coseno
Hay integrales que a veces se nos complica resolverla por los métodos
anteriormente vistos, por lo que si el integrando es una función racional de
de ( ) ^ ( )
Sen u Cos u debemos reducirla a una función racional de z, Por lo que
asumiendo que
1
2
z Tan u
 , para obtener las formulas del seno, coseno y el
diferencial en función de z partiremos de las identidades del ángulo duplo .
1. Demostración de Sen u.
2u = 2sen( ). ( );
Sen u Cos u Como
1
u=
2
u tenemos que
1 1
(u) = 2sen .
2 2
Sen u Cos u
Ahora multiplicamos por
1
2
1
2
Cos u
Cos u
y obtenemos que
2
1 1
2
1 1 1
2 2
(u) = 2sen . (u) *
1 1
2 2 2
2 2
Cos u Sen u
Sen u Cos u Sen Cos u
Cos u Cos u
   
     
 
     
 
   
   
2 2
1 1 1 1
2 . 2 .
1 1
2 2 1
2 2
Tan u Tan u
Sec u Tan u
   
   
 
   
   

   
2
1
2
2
1
1
2
Tan u
Tan u


; ahora haciendo
sustituciones de
1
2
z Tan u
 tenemos que 2
2
( )
1
z
Sen u
z


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69. 77
2. Demostración de Cos U.
Como 2 1
( ) 2 1
2
Cos u Cos u
  aplicando identidades trigonométricas para el
coseno obtendremos que
2 2
2 2
( ) 1 ( ) 1
1 1
ec 1
2 2
Cos u Cos u
S u Tan u
    

y
operando algebraicamente
2 2
2
2
2
2 2
1
( )
1 1
1 1
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
2 2 2
Tan u Tan u
Tan u Tan u Tan u
z
Cos u
z
 
  


 



c) Demostración del diferencial
Como 2
1 1 1
.
2 2 2
z Tan u dz Sec u du
   por lo que aplicando identidades y luego
haciendo transposición de términos tendremos que
 
2
2
2
1
2 (1 )
2
2
1
Tan u du
dz dz z
d
z
du
z
du 

  

  .
En conclusión: 2
2
2
2
1
(
2
( ) ;
1
) ;
2
1
1
z
S
z
Co
en u
z
d
z
s u
z
z
du

 
 


Ejemplo 1. Calcule la siguiente integral
4
1
du
Cos u


2 2
2
2
2
2 8
4
4 1 1 4 4
2
1 1
1
1
1
dz dz
du z z dz z
Cos u z
z
z
 
 

  
   
  

   

 
    Como ya sabemos que
1
2
z Tan u

tenemos que
4
1
1
4
2
du
Cos u
Tan u C




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70. 78
Cálculo Integral
Práctica: 7
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales de seno y coseno
1) ln 1 tan
1 cos 2
cos
2) cos ln 1 cos
1 cos
3) cos ln tan
2
1
4) - se
tan 4
dx x
c
senx x
senx x
dx x x c
x
x
ecxdx c
dx
senx x
 
 
 
   
  

 

 
 





2 1
c ln tan
2 2 2
cot 1
5) ln
3 2 3 3 2
2
6) arctan 3 tan +c
2 cos 2
3
tan
2
7) ln
1 cos
x x
c
x senx
dx c
senx senx
dx x
x
x
dx
senx x
   
 
   
   

 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 

tan 1
2
x
 

 
 
"Un país con grandes desigualdades sociales mata de hambre a los de
abajo, de miedo a los de arriba, y deja sin libertad y sin felicidad a
todos" (Juan)
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71. 79
Sumatoria y área de figuras planas
Para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotad a por una
curva y=f(x) y las rectas x = a y x = b, hay que hallar la suma de muchos
términos; por lo que hay que utilizar la expresión de sumatoria.
Sumatoria:
Dado un conjunto de números 1 2
( , , ,..., )
i i i n
b b b b
  , su suma la representamos como
,
donde
 : denota sumatoria
k
b : representa el k-ésimo término
k : se llama índice de sumatoria y adquiere valores enteros sucesivos.
:
i Extremo inferior, :
n Extremos superior.
Ejemplos: Resuelve por sustitución directa.
Sustituir k por 1,2,3,4 realizar las operaciones indicadas.
1 2
1
... ,
n
k i i i n
k
b b b b b
 

    

4
2 2 2 2 2
1
) (1) (2) (3) (4) 1 4 9 16 30
k
a k

        

5
3
2 2 2 2 47
)
3 4 5 30
k
b
k

   

2 2 2
2
2
( 2) ( 1) 0 1 2
)
2 1 2( 2) 1 (2)( 1) 1 2(0) 1 2(1) 1 2(2) 1
k
k
c
k

 
     
       

4 1 1 2 1 2 8
0 1
3 1 3 5 3 5 5
        
 
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72. 80
5) ( ) ( )
b b c
k a k a c
f k f k c

  
 
 
Sumatoria por propiedades
1) Regla del valor constante: Es igual a la constante multiplicada por
el extremos superior.
2) Regla del múltiplo constante: Es igual a la constante por la
sumatoria de la secuencia.
3) Regla de la suma: Es igual a la suma de la sumatoria de cada
secuencia.
4) Regla de la resta: Es igual a la resta de la sumatoria de cada
secuencia.
4)
1 1 1
( )
n n n
k k k k
k k k
a b a b
  
  
  
5)
Regla para cuando 1
k 
7) Regla de la potenciación de sumatoria.
1
1) , : constante
n
k
c cn c



.
1 1
2) , : constante
n n
k k
k k
ca c a c
 

 
 
1 1 1
3)
n n n
k k k k
k k k
a b a b
  
  
  
Si ,Entonces
n z

2
1
( 1)(2 1)
6
n
k
n n n
k

 


2 2
3
1
( 1)
4
n
k
n n
k




3 2
4
1
( 1)(6 9 1)
30
n
k
n n n n n
k

   


1
( 1)
2
n
k
n n
k




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73. 81
Ejemplos: Hallar la suma a través de sumatorias. (Asumir que k=i)
3) Hacer la sumatoria de si obtenemos 133,560.
Estimación de áreas a través de sumas finitas.
Es a través de la cual podemos encontrar
una proximidad del área de figuras
geométricas que no tienen formulas
especifica.
Sea y=f(x) una curva; acotada en el eje
positivo por x a x b

  . Continúa en
el cual formara la región.
Para hallar el área debemos dividir la región en intervalos cuya longitud
Serán rectángulos cuya A=b.h.
5
2
1
1) ( 3)
i
i



5 5 5
2 2
1 1 1
( 3) (3)
i i i
i i
  
   
  
( 1)(2 1)
5(3)
6
n n n
 
 
5(6)(11)
15 55 15 70
6
    
20
1
2) (3 )( 2)
k
k k



20 20 20
2 2
1 1 1
(3 6 ) 3 6
k k k
i i i i
  
   
   ( 1)(2 1) ( 1)
3( ) 6( )
6 2
n n n n n
  
 
 
1
( 1)(2 1) 3 ( 1)
2
n n n n n
 
    
   
1
20(20 1)(2(20) 1) 3 20(20 1)
2
 
    
 
8,610 1260 7,350
  
20
2
1
3 ( 2)
k
k k



 
,
a b
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74. 82
 
2
Como se dividió el área en 4 rectángulos, tenemos
1
que:b = , h = y, aplicando sumatoria se tiene que
4
1 1 31 1 7 1 23
2
4 4 16 4 4 4 16
1 31 7 23
2 64 16
71
2.21875 unid
3
64
2
S
S
S
     
   
     
     
   
 
2
Buscando la altura para lueg
Ejemplo : Encontrar el rea d
o hacer la gráfica, por lo q
e la curva 2 entre las rectas
verticales x 0 y x 1
ue se evalua la
1 3
función y los resultados son: (0,2); ,
.
4
á y x
 
 
1 1 7 3 23
; , ; , . Aquí en cada
16 2 4 4 16
rectángulo se incluye el extremo final.
     
     
     
Sumas de Riemann
Bernard Riemann fue un matemático Alemán que murió a la temprana edad
de 40 años. (1826-1866). Su suma es un método matemático utilizado para
aproximar el área total bajo la gráfica de una curva.
Aplicaciones
La determinación del área por este método es solo una de las muchas
aplicaciones que implican el límite de una suma. Un enfoque similar puede
utilizarse para determinar cantidades tan diversas como longitudes de arco,
valores medios, centroides, volúmenes y áreas superficiales.
Sea :[ ]
f D R
 , continua en [a, b] contenido en D, siendo P un conjunto de
intervalos abiertos de particiones I, tales como
0 1 1 2 1
[( , );( , ) ... ( , )]
a n n b
p x x x x x x

   por lo tanto P se define como la suma de
Riemann.
1
( ).
n
i
i
Lim
S f c x
n 
 
 

Donde:
b a
x
n

 
y i
c a i x
  
f (ci) es el valor mínimo absoluto de f en i-Enésima sub-intervalo. Esto significa
1
0, 0 / ( )
n
i
n N f ci x A
 

    

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75. 83
Resolución de Área por sumatorias de Riemann.
1. Desarrollar operaciones si es necesario.
2. Despejar las constantes
3. Aplicar las propiedades de las sumatorias
4. Reducir términos semejantes
5. Aplicar limite cuando n tiende a infinito.
Ejemplo: Buscar el límite de
1
2 2
n
n
i
i
s
n n

  
   
  

 
1
1
2 2
2 2 2
1
lim 2 lim 1
2 0 2
n
n
i
n
n
i
n
i
s
n n
s i n
n n n
s
n n n


   
    
   
 
     
  
     
 
     
 
    
   


Ejemplo 2: Dada la función 2
y x
 limitada por las recta 0^ 3
x x
 
Hallar el área de la curva a través de sumatoria de Riemann.
3 0 3
b a
x
n n n
 
   
y 0
i
c a i x i x i x
       
La definición dice que
1
( ).
n
i
i
Lim
A f c x
n 
 
 
 por lo que
2
2 2 2 2 2
3
1 1 1 1
3 3 27
( ) . ( ) . .
n n n n
i i i
S i x x i x x i i
n n n
  
   
       
   
   
   
Operando con i=k cuadratico tenemos que por definicion da
3 2
3
9 2 3
2
n n n
s
n
 
 
  
 
Al tomar el límite cuando n tiende a infinito ( ), se hace para buscar que al
incrementarse el número de rectángulos, el valor del área obtenido por la suma de Riemann
se aproxime al valor real del área bajo la curva. Por tanto:
por lo tanto Unid cuadráticas.
2
Dada la funcion y=3x limitada por las rectas x=1 x=3

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76. 84
 
1
2
2
1 1
2
2
3 1 2
1
lim ( )
2 2
lim 3 1 lim 3 1
6 4 4
lim 1
ahora aplicamos propie+dades de la sumatoria asumiendo que n es co
n
n
i
n n
n n
i i
n
b a
x
n n n
Ci a xi xi
A f ci x
i
A xi x
n n
i i
n n n


 
 

 
   
     
 
   
     
   
   
 
  
 
 

 
    
 
2
2
1 1 1
2
2
nstante.
6 4 4
= lim 1
ahora las potencias de i o k.
1 1 2 1
6 4 4
lim
2 6
6 2
lim 2 1 2 3 1
3
6
Multiplicando por
n n n
n
i i i
n
n
i i
n n n
aplicando
n n n n n
n
n n n
n n n n
n n
n

  


 
 
 
 
 
  
   
   
 
   
 
   
 
 
 
     
 
 
 
  
2
2
. y aplicando prop.limites
12
A= lim 6 lim 12 lim lim 8
12 4
lim lim 6 12 8
26
n n n n
n n
n
n n
A unid
   
 
 
 
 
  
    

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77. 85
Cálculo Integral
Práctica: 8
Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………..
Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………….…………….……………..
 
 
 
7 1
1 3
6 3
3 3
10 4
2
5 1
100
2
1
1) 2 3 5)
2) 6) 5
1
1 1
3) 2 1 7)
4)
Tema I. Encuentre el valor de la sumatorias encontradas:
k k
k k
k k
n
k
k k
k
k
k
k
k
k
k
 
 
 




 

 
 
 
  
 
 
 
 
2
3
0
10
2
1
20
2
1
15
2
2
1
3 2
1
25
1
8) 2
9) 1 , : 375
10) 1 , :10
1
11) 1 , : 0.3
4 3
12) 2
Tema II. Calcular la suma usando la
1 , :
6
13) 2 1 , :1
s propiedade
,
s:
0
k
i
i
i
n
i
i
k k
i sol
i sol
i sol
n
n n n
i i sol
n
i i sol










 








 
 
2
Tema III. Buscar una aproximacion de
400
14) 2 , 1,5
15)
area en:
6 , 1,3
y x
y x x
 
  
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78. 86
2
1
2
3
1
2
1 1
16)s lim 2 ,
3
3
1
Tema IV. Busca el limite de las siguientes sumatorias:
Tema V. Busca el area a traves de suma de Rieman,
haga la ilustracion grafica
7)
18)Dado y=
:
x
n
n
n
i
n
n
i
i
sn
n n
n i
s
n



 
  
 
 




 
 
2
1
3 2
1
3
2
2
1
Tema VI. Busca el valor de las siguientes in
0,8
19)Dado y 3 x=0 ^ x=1
20)Dado y 3 4 x=2 ^ x=6
8
21) 3 1 , :
3
8
22) , :
tegrales definida
ln
1 3
2
:
3)
s
e
en
x en
x en
x x x dx sol
x
dx sol
x
dx
x


 
   




 
2
0
3 4
2
0
2
, :1
24) , :1
2
25) cos
Tema VII. Valor medio para
, :
35
26) Determina el valor medio de
f 3 2 en
integ
el inte
ra s
va
e
r
l
sol
senxdx sol
sen x xdx sol
x x x


 


 
  2 2
0
lo 1,4
27) Determina el valor de
f cos
x xsen xdx

 
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79. 87
No esperes que lleguen las circunstancias ideales ni la mejor ocasión para actuar, porque tal vez no
lleguen nunca.
Autor pendiente
4
2
0
7
2
3
0
2
1
2 2
2
0
4
2
0
2
1
28) 2
2 1
1209
29) 1
28
1
30)
Tema VIII. Buscar el valor de area de
2
3 2
31) 2 3
10
32)
:
x
dx u
x
x x dx u
e
e dx u
e
sen sen d u
sen xdx



  











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80. 88
Método de Simpson
Es una manera de obtener una estimación más exacta de una integral. Usa polinomios
de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra
entre y , entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de
tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios
se les llaman Reglas de Simpson.
Regla de Simpson 1/3.
Se utiliza cuando la integral es complicada y no se puede resolver por ningún método.
La regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que
consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva medi ante
parábolas de segundo grado y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área
aproximada bajo la curva. Se resuelve mediante la fórmula:
( ) 4 ( ) ; donde
3 2
)
2
(
b
a
h a b b a
f a f f b
x d h
f x
   
 
  
 
 
 
 

 , es igual usar
   
( ) 4 ( ) ( ) , c es el punto medio de , .
( )
6
b
a
b a
f a f c f b
f x dx a b


 
 
 
 

3
2
3 2
1
2
2
1
( ) ( ) 4 ( ) ; donde
3 2 2
1 ( ) 4 ( )
(2)3 2
2 1 3
(1) 4 (2
Ejemplo 1: Resolver 1 por medio del método de Simpso
*
n.
)
6 2
(1
h a b b a
f x dx f a f f b h
b a a b
x dx f
x dx
a f f b
f f f
f
   
 
   
 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 




 
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3
2
3 2
1
2
3 2
2
1
) 1 (1) 1 2 1.2599
* (1.5) 1 (1.5) 1 3.5 1.5183
* (2) 1 (2) 1 5 1.7100
1 0.1667 1.2599 4(1.5183)
1.5075 uni
1.7100
1 d
x
f x
f x
x dx
x dx
     
     
     

   




 
 
 
2
2
1
0
0
1
0
2
.5
Organizandolos datos a=0; c=0.5;
1.4757 unid
b=1
( ) 4 ( )
6
(0) 4 0.5 (
2:
1)
1 0
6
1 4
6
x
x f a f c f b
e dx
Ejemplo Resuelv
b a
f f
e
dx
f
e
e e
 
 
   
 
 
 
   
 

 



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81. 89
Regla del trapecio
La Regla o Método de los Trapecio es una técnica de aproximación que se utiliza para encontrar
áreas bajo curvas. Una de las formas para aproximar una integral definida es utilizar n números de
trapecios. Las integrales definidas son límites de las Sumas de Riemann, cualquiera de estas sumas
se pueden utilizar como una aproximación tomando como referencia la fórmula de este método que
supone que f(x) es continua y positiva en el intervalo [a, b] en n sub-intervalos de iguales longitud.
 
0 1 3 1
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ... ( ) ( )
2
b
n n
a
x
f x dx f x f x f x f x f x


     

Donde:
b a
x
n

  , el error se puede estimar al utilizar la regla del trapecio:
3
2
| ( ) | , [ , ] el error que se comete al usar
la regla del trapecio no es mayor que:
( )( )
12
Si M
f x b a
n
R y f x M x a b
 
 
    
Ejemplos: Hallar el área bajo la curva de la 2
( )
f x x
 en el intervalo 1 , 2
x x
  .
Con 4
n  se tiene que:
2 1 1
0.25
4 4
x

   
Luego, se sustituye en la ecuación para buscar
el área y se tiene:
 
2
2
1
0.25
(1) 2 (1.25) 2 (1.5) 2 (1.75) (2)
2
x f f f f f
dx     

A continuación, se evalúa la función con los valores dados y se tiene:
0.25
(1 3.125 4.5 6.125 4)
2
     2
0.25
(18.75) 2.34575 .
2
unid
 
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82. 90
Y ese será el valor del área bajo la curva en los intervalos dados.
Calculando el error:
3
2
( )( )
12
f x b a
n


=
3
2
2(2 1)
12(4)

= 0.04166666667
Así se ve que la inexactitud de la regla del trapecio. Sin embargo, para funciones
lineales esta regla es exacta.
También podemos comparar el resultado mediante el teorema fundamental del
cálculo:
2 3
2 2 2
1
1
8 1 7
| 2.33333 .
3 3 3 2
x
x dx unid
    

Ejemplo 2: ( ) 3 ; 0; 3; 6
f x sen x x x n
   
3 0 1
6 2
x

  
 
0
3
2
1 1 3 5
3 (0) 2 ( ) 2 (1) 2 ( ) 2 (2) 2 ( ) (3)
4 2 2 2
1
3 (0) 2(3 (0.5)) 2(3 (1)) 2(3 (1.5)) 2(3 (2)) 2(3 (2.5)) 3 (3)
4
5.84 .
senxdx f f f f f f f
sen sen sen sen sen sen sen
unid
 
      
 
 
      


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83. 91
1
Ejemplo 3: ( ) ; 2, 7, 8
f x x x n
x
   
7 2
0.625
8
x

  
7
2
(2) 2 (2.625) 2 (3.25) 2 (3.875) 2 (4.5)
1 0.625
2 (5.125) 2 (5.75) 2 (6.375) (7))
2
f f f f f
dx
f f f f
x
   
 
  
   
 

0.625 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ( )
2 2 2.625 3.25 3.25 3.875 4.5 5.125 5.75 6.375 7
f
 
         
 
 
2
0.625
(4.0325) 1.26 .
2
unid
 
"Aunque esperes encontrar la felicidad en la meta, no te olvides nunca de
divertirte durante el camino" (Juan)
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84. 92
La integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. La integral definida de la función entre los extremos
del intervalo [a, b] se denota como ( )
b
a
f x dx
 siendo a y b rectas de x.
Primer Teorema fundamental del cálculo
En relación con la controversia de quien fue el inventor del cálculo de Isaac Newton
y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, surgió a partir de esa época una forma de
demostrar el cálculo de diferentes maneras, una es el cálculo diferencial o método de
las fluxiones por Newton, la otra se le llamo Integrales.
El teorema fundamental del cálculo era investigado tiempos atrás de tal forma que
Newton le dio seguimiento dando lugar así a la derivación, esta última era la manera
de estudiar las áreas y los volúmenes a diferencia de la integración que estudia algo
más de lo que se había investigado a través de las derivadas de figuras cuadráticas, el
área debajo de figuras curvas.
La importancia del primer teorema fundamental del cálculo radica en la relación
existente entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, es decir el mismo consiste
en demostrar que la integración y la derivación son operaciones inversas
 
     
 
int , ,
,
, ,
Este esblece que :
x
a
Dadauna función f egrableen a b
definimos F sobre a b por F x f t dt
Si f escontinuaenc a b entonces F es



   
'
derivableenc y F c f c

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85. 93
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Este teorema es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular
fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de
la función.
   
     
Si f es continua en a,b y F es una integral de f en a,b
b
a
f x dx F b F a
  

 
     
   
   
1) Sea g(x)=
2) Por el primer Teorema fundamental el cálculo.
' ( ) ' , / ( )
3) Evaluar a ( ) en , ; tomando en cuenta valor final
menos el valor inici l.
:
a
x
a
f t dt
F x f x g x x c F x g x c
x g x c a b
F b g
Demostración
b
        
 
 

   
       
 
   
       
y , por lo que se tiene que :
Ahora aplicando el paso 1, g(x)= en el punto c a evaluar,
tal como evaluar a g(b)= y g(a)=
x
a
b a
a a
b a
a a
c F a g a c
F b F a g b c g a c
f t dt
f t dt f t dt
F b F a f t dt f t
 
    
   
   

  

 
   
       
, se que 0
b
a
b
a a
a
dt Como sabe f t d
F b F a f
t
t dt f x dx


    

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86. 94
Henri Lebesgue
La figura del matemático francés Henri Lebesgue (1875-1941) resultó fundamental para la
sistematización del cálculo integral y su aplicación a las modernas teorías de las ciencias
naturales y económicas.
 
2
2
0
3
2
Ejemplo 2: Calcular el rea bajo la curva
8 0
Aplicandoelteorema
3 3 3
8
3
.
á x dx
unid
x
F x    

 
   
3
3 3
1
2
0
2
2
1
0
la funcion que la satisface es
3
1 0 1
Aplicandoel
Ejemplo 1 : Calcular
teorema 1 0
3 3 3
x
F x
x dx F F unid
x dx

    


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87. 95
Propiedades de las integrales definidas
Para facilitar el cálculo de una integral definida sin tener que recurrir al
método de sumatorias de Riemanns en donde se estableció que
Se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales.
1) Si a > b, entonces
2) Si f(a) existe, entonces
3) Si k es una constante cualquiera, entonces
4) Si la función f es integrable en [a, b] y, k es una constante arbitraria,
entonces
5) Si las funciones f y g son integrables en [a, b], entonces f g
también es integrable en [a, b] y
6) Si f es integrable en [a, b], [a, c] y [c, b], y a< c < b, entonces
7) Si f es integrable en un intervalo cerrado 1 y, (a, b, c) 1, entonces
1
( ) lim ( ) ,
n
b
i i
a x
i
f x dx f x



 


( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
 
 
( ) 0
a
a
f x dx 

( )
b
a
kdx k b a
 

( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx

 

 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x f x dx g x dx
  
  
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 
  

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 
  
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88. 96
8) Si f es integrable en [a, b] y f (x) 0 x [a, b], entonces
9) Si las funciones f y g son integrables en [a, b] y f (x) g (x) x
[a, b], entonces
Ejemplos: Evalúa las siguientes integrales.
1.
2.
3.
4.
  
( ) 0
b
a
f x dx 

  
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx

 
3 3 2
3 3
2
2 2
(3) ( 2) 27 4 23
3 3 3 3 3 3
x
x dx
 

     
 
 
 
0
0
sen cos cos cos0
1 1 2
xdx x



    
    




2
2
5
si
3 2
5 5
2
2 2
( 1)
Aplicando propiedad 1. ( ) ( )
- ( +x-1)dx=- + -x
3 2
125 25 8
5 2 2
3 2 3
117 25 93
5
3 2 2
b a
a b
a b
x x dx
f x dx f x dx
x x
x

  
 





     



    



 
 
 
  
2
2
( 5cos 2)
cos 5 2
cos2 5 2 2( ) cos 5 2
1 5(0) 2 ( 1) 5(0) 2
1 2 1 2 2
sen d
sen
sen sen




  
  
     
 
 
 
   
 
       
 

        

      

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89. 97
Valor promedio de una función
Si f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor promedio de
f en el intervalo es
1
( )
( )
b
a
f x dx
b a
 
Ejemplo: Determine el valor promedio de 3
( ) ; [0,2]
f x x

Teorema del valor medio para cálculo integral.
El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte entre
los rectángulos inscritos y circunscritos hay un rectángulo cuya área es
precisamente igual al área de la región bajo la curva.
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en el
intervalo cerrado [a, b] tal que es lo mismo decir
 
 
1
3
3 3
2
1
2
Como la funci n es continua en 1,3 se puede aplicar elteorema de la media.
1 1 1
( ) ( ) 3 3
3 1 2 3
1 27 1
( 9) (
2 3
: 3 1,3
3
b
a
ó
x
f
fx x
c f x d x
a
n
x x
b
e
 
    
 
   
 
 
 
Ejemplo Encuentre el área de la función
2 2
1 8 8
3) (0 )
2 3 6
Buscando ahora el valor de tenemos que:
4
(
4
c
13
13
c 3
3
)
3
3
3
f
c
c
c
 
    
 

    



4
2 3 2
0 0
1 1 1
( )
2 0 2 4
1 16 16
es el valor promedio de ( )
2 4 8
2
b
a
x
f x dx x dx
b a
f x
 
   
   
 
  
 
 

1
( ) ( )
b
a
f c f x dx
b a

  ( )( ) ( )
b
a
f c b a f x dx
  
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