Presentation on stereometry

2. Частта от геометрията, в която се изучават свойствата на пространствените фигури, се нарича стереометрия ( от гръцката дума στερεο , която означава пространство )

12. Дадена е триъгълна пирамида ABCD. Точката M е медицентърът на триъгълника ABC. Определете взаимното положение на правата DM с всяка от правите AB, BC и CA. Дадено : ABCD – триъгълна пирамида т. М – медицентър на ABC Да се определи взаимното положение на DM с всяка от правите AB, BC и CA. Решение : AC, BC, AB Є (ABC), M Є (ABC), M не принадлежи на AB, BC и AC DM ∩ (ABC) = M => DM и AB, DM и BC, DM и AC са кръстосани прави

13. Точката М е средата на околния ръб AQ на правилна четириъгълна пирамида ABCDQ. Равнината (BCM) пресича ръба DQ в точка N. Докажете, че BMNC е трапец. Дадено : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида т. М – среда на AQ (BCM) ∩ DQ = N Да се докаже, че BMNC е трапец. Доказателство : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => BC || AD, AD Є (ADQ) => BC || (ADQ), N Є (BCM) => => (BCNM) Z BC; (BCNM) ∩ (ADQ) = MN => => BC || MN

14. Даден е куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Намерете ъгъла между правите : a) AC и B 1 D 1 б ) AC и DA 1 Дадено : куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Решение a): ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб => DD 1 || CC 1 , DD 1 = CC 1 BB 1 || CC 1 , BB 1 = CC 1 => BB 1 D 1 D – успоредник => => B 1 D 1 || BD < (AC; B 1 D 1 ) = < (AC; BD) = 90 ° , защото AC и BD – диагонали в квадрата ABCD => DD 1 || BB 1 , DD 1 = BB 1 Решение б ): <(AC; DA 1 ) A 1 B 1 || CD, A 1 B 1 = CD => => DCB 1 A 1 - успоредник => CB 1 || DA 1 , CB 1 = DA 1 < (AC; DA 1 ) = < (AC; CB 1 ) = < ACB 1 = 60 °, защото ACB 1 е равностранен триъгълник от AC = CB 1 = AB 1 – диагонали в еднакви квадрати

15. Дадено : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида AB = 2a AQ = a√2 Намерете ъглите между правите : a) QD и AB; b) QD и BC Решение : ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => AB || DC => < (QB; AB) = < (QB; DC) = < CDQ QC = QD = a√2, AB = 2a Косинусова теорема за DCQ: Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб AB = 2a и околен ръб AQ = a √2 . Намерете ъгъла между правите : a) QD и AB; b) QD и BC => < CDQ = 45 °

16. Дадено : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – правоъгълен паралелепипед М – среда на ръба AB (A 1 C 1 M) ∩ BC = N Да се докаже, че A 1 C 1 NM е трапец Доказателство : (A 1 C 1 M) ∩ BC = N => N Є (A 1 C 1 M) (ABCD) || (A 1 B 1 C 1 D 1 ) (A 1 C 1 NM) ∩ (ABCD) = MN (A 1 C 1 NM) ∩ (A 1 B 1 C 1 D 1 ) = A 1 C 1 => A 1 C 1 || MN => A 1 C 1 NM е трапец Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Равнината (A 1 C 1 M) пресича BC в точка N. Докажете, че A 1 C 1 NM е трапец. =>

17. Стр. 147 / Зад. 4 б ), Зад. 6, Зад. 8, Зад. 11