Ángulos en la circunferencia

1. ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
CENTRAL
INSCRITO Y SEMIINSCRITO
INTERIOR
EXTERIOR

2. ÁNGULO CENTRAL
O
A
B
α
Es el que tiene su vértice en
el centro de la circunferencia.
Su valor es el abarcado por
su arco.

3. ÁNGULO INSCRITO
O
A
B
V
β
Es el que tiene su vértice
contenido en la circunferencia.
Su valor es la mitad del
ángulo central de su arco.

4. ÁNGULO INSCRITO
O
A
B
V
β
γ
β
r
r
α
DEMOSTRACIÓN
El triángulo AOV es isósceles por
tener dos de sus lados radios de la
circunferencia (r)
El ángulo AOB = α
α
α
α es el ángulo
exterior y suplementario del
ángulo en O = γ
γ
γ
γ
α
α
α
α + γ
γ
γ
γ = 180º
γ
γ
γ
γ + β
β
β
β + β
β
β
β = 180º ; γ
γ
γ
γ + 2 β
β
β
β = 180º
Observamos que
α
α
α
α = 2 β
β
β
β
Por lo que
β
β
β
β = α
α
α
α /2

5. ÁNGULO SEMIINSCRITO
O
A
B V
α
Es un caso particular de ángulo
inscrito, tiene su vértice
contenido en la circunferencia y
uno de sus lados tangente a ella.
Su valor es la mitad del ángulo
central de su arco.

6. ÁNGULO INTERIOR
O
A
B
α
C D
V
Es el que tiene su vértice
en el interior de la
circunferencia.
Su valor es la semisuma de
los arcos determinados en
la circunferencia, por sus
lados y sus prolongaciones.

7. ÁNGULO INTERIOR
<AOB +COD
DEMOSTRACIÓN
< ADB = < AOB/2
<CBD = <COD/2
O
A
α
C D
V
B
<V = <AVB =
<AOB/2 + <COD/2
2
=

8. ÁNGULO EXTERIOR
O
A
B
C
D
V
Es el que tiene su vértice en
el exterior de la
circunferencia y los lados
del ángulo son rectas
secantes.
Su valor es la
semidiferencia de los
arcos determinados en la
circunferencia.

9. ÁNGULO EXTERIOR
DEMOSTRACIÓN
Unimos C con B, el triángulo
CVB. Su ángulo exterior en C
es ACB inscrito de valor
AOB/2, que es la suma de los
ángulos V y B; AOB/2 = V + B
O
A
B
C
D
V
El valor del ángulo inscrito
CBD es COD/2 = B, por lo
tanto el valor del ángulo
CVD = V =
2
AOB-COD
AOB/2 - COD/2 =

10. Sustituimos B por su valor
COD/2 y tenemos la
semidiferencia de los ángulos
de los arcos determinados en
la circunferencia:
ÁNGULO EXTERIOR
DEMOSTRACIÓN
O
A
B
C
D
V
En la igualdad AOB/2 = V + B
despejamos V y obtenemos
AOB/2 - B = V
2
AOB-COD
AOB/2 - COD/2 =

11. ÁNGULO EXTERIOR
O
A V
B
C
O
A V
B
Cuando un lado es secante y el
otro tangente a la circunferencia
CASOS PARTICULARES
Cuando los dos lados son
tangentes a la circunferencia

12. ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
C.Rubiales M. 2005