COBACAM Campeche. Elementos de la circunferencia.

1. MATEMÁTICAS II
BLOQUE 3: ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
DESEMPEÑO 1: RECONOCEY DISTINGUE LOS DIFERENTES TIPOS DE RECTAS, SEGMENTOS Y ÁNGULOS
ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
3.1. CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
3.1.1. CONCEPTO DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
CIRCULO:
 Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.
 Es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto
interior llamado centro.
 El símbolo del círculo es
 El círculo es la región del plano delimitada por la circunferencia, es decir, es el área contenida
en la circunferencia
CIRCUNFERENCIA:
 Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. (Baldor)
 La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita.
 Es la distancia alrededor del círculo.
 Es una línea curva y cerrada. Todos los puntos que la componen, están situados a la misma
distancia del punto 0, llamado centro de la circunferencia.
NOTA:
Un círculo puede considerarse como un polígono regular de un número infinito de lados.
Todos los círculos son similares o semejantes porque todos tienen la misma forma.
3.1.2. SEGMENTOS Y RECTAS DE LA CIRCUNFERENCIA
ELEMENTOS
RADIO
Segmento de línea que une el centro con cualquier punto
sobre el círculo.
DIÁMETRO
 Es toda cuerda que pasa por el centro, es la mayor
cuerda
 Es toda recta que pasa por el centro y termina en
puntos opuestos de la circunferencia.
 El diámetro de una circunferencia es igual al doble del
radio: D = 2 x r
CUERDA
 Es el segmento determinado (que une) por dos puntos
de la circunferencia
 Segmento de recta que une los extremos de un arco
ARCO
 Es la porción o parte de una circunferencia.
 Sección de contorno de circulo interceptado por los
lados de un ángulo central o uno inscrito
TANGENTE
 Es una recta que tiene con la circunferencia un solo
punto en común
 Tangente a un círculo, es una recta de longitud ilimitada
que tiene con la circunferencia un punto común, y solo
uno. El punto en común se llama Punto de contacto o
punto de tangencia
SECANTE
 Es una recta que tiene dos puntos comunes con la
circunferencia.
 La secante de un círculo, es toda recta que corta la
circunferencia. Hay que hacer notar que una recta NO
puede cortar una circunferencia en más de dos
puntos.
DIÁMETRO
SEMICIRCULO
SEMICIRCULO
SEMICIRCUNFERENCIA
SEMICIRCUNFERENCIA
ARCO
TANGENTE
CUERDA
SECANTE
CENTRO
RADIO
PUNTO DE TANGENCIA
O DE CONTACTO
La
circunferencia
es la línea de
contorno
Si medimos con un hilo la longitud de la
circunferencia, veremos que es igual a 3.1416…
veces su diámetro. A este número decimal se lo
define con la letra griega “pi”:
 = 3.1416 L = D X 

2. 3.1.3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ANGULOS DIBUJO REPRESENTATIVO ANÁLISIS
ANGULO CENTRAL:
Con respecto a un círculo
cualquiera, el ángulo central es
todo ángulo cuyo vértice está en el
centro del círculo, es decir, es un
ángulo formado por dos radios.
El ángulo central tiene el mismo número
de grados que el arco que lo intercepta.
El ángulo central de 40°, intercepta el
Arco BC de 40°.
El ángulo central de 180°, intercepta un
arco AD de 180°.
ANGULO INSCRITO:
Es un ángulo cuyo vértice está en
la circunferencia y cuyos lados son
secantes si atraviesa la
circunferencia; y son cuerdas si se
dejan tocando puntos de la
circunferencia.
Un ángulo inscrito en un arco tiene su
vértice sobre el arco y sus lados pasan a
través de extremos del arco.
Los lados del ángulo inscrito ABC, son las
cuerdas AB y BC.
El ángulo B intercepta al arco AC y está
inscrito en el ángulo ABC
La medida del ángulo inscrito se mide por
la mitad del arco interceptado o subtendido.
2
AC
B


ANGULO INTERIOR:
Es el ángulo cuyo vértice es un
punto interior de la circunferencia.
Medida: La medida del ángulo interior es
igual a la semisuma de las medidas de los
arcos comprendidos por sus lados y por sus
prolongaciones.
En este caso, en la gráfica se puede observar
que los ángulos ABC, EBD, EBA y DBC son
interiores, ya que el vértice de todos los
ángulos es el punto B, y se localiza en el
interior de la circunferencia.
La medida del ángulo ABC es:
2
EDAC
ABC


¿Cuál es la fórmula para calcular la medida
del ángulo DBC?
ANGULO EXTERIOR:
Es el ángulo cuyo vértice es un
punto exterior de la circunferencia.
Medida: La medida del ángulo exterior es
igual a la semidiferencia de las medidas de
los arcos comprendidos por sus lados
En la gráfica se puede observar el ángulo A, tiene
su vértice en el punto A, el cual se encuentra
fuera de la circunferencia.
Arco CD es mayor que arco BE
La medida del ángulo A es:
2
BECD
CAD


ANGULO SEMI-INSCRITO:
Es el que tiene su vértice en la
circunferencia, uno de sus lados es
una tangente y el otro una secante,
o una cuerda si solo toca dos
puntos de la circunferencia.
La MEDIDA de:
2
BA
ABC


¿Cuánto mide el ángulo
central AOB y COD; y
cuánto el arco que
interceptan
respectivamente?
A
B
C
D
40°
40°
180°180°
O
B
A
C
O
A
B
D
E
C
A
B
C
O
tangente
secante
A
B
C
D
E

3. DESEMPEÑO 2: EMPLEA LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS ASOCIADOS A UNA CIRCUNFERENCIA COMO: RADIO,
DIÁMETRO, CUERDA, ARCO, SECANTES Y TANGENTES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
EJEMPLO 1.- Si el ángulo “x” mide 95°, calcule la medida del arco “y”.
Dibujo, en la que se observan los datos
proporcionados.
Se trata de un ángulo interior. Ya
que el ángulo “x” es interior y es
igual a:
2
ACDB
BEDx


Se sustituyen los datos:
2
70
95


y
Despejamos el  y , y tendremos:
 70)2(95 y
y 70190
 70190y
Entonces:  120y
La solución es:  y = 120°
EJEMPLO 2.- Si el ángulo “x” mide 67° cuánto mide el arco “y”
Dibujo, en la que se observan los datos
proporcionados.
Se trata de un ángulo exterior y su
fórmula es:
2
BECB
DAC


2
200
67
BE

BE 200)2)(67(
BE 200134
BE 200134
−66° = − ∩ 𝐵𝐸
− ∩ 𝐵𝐸 = −66°
∩ 𝐵𝐸 =
−66°
−1
∩ 𝐵𝐸 = 66°
La suma de los ángulos en una
circunferencia es 360°, entonces el
arco “y” se puede calcular con la
fórmula:
 360yBEBC
 36066200 y
 66200360y
 94266360y
 94y
La solución es: y = 94
EJEMPLO 3.- Si el ángulo “x” mide 40° calcule el arco “y”.
Dibujo, en la que se observan los datos proporcionados. Se trata de un ángulo
exterior y para calcularlo
usamos la fórmula:
2
DEBC
BAC


Se sustituyen los datos
2
200
40
y

Despejamos el arco “y”.
y 200)2(40
y 20080
−120° = −𝑦
−𝑦 = −120°
𝑦 =
−120°
−1
𝑦 = 120°
La solución es y = 120°
x = 95°
y
70°
A
B
C
D
E
x = 67°
y
A
B
C
D
200°
E
A
B
C
D
E
x = 40°y200°

4. EJEMPLO 4.- Si el ángulo “y” mide 46° cuánto mide el ángulo ”x”
Dibujo, en la que se observan los datos proporcionados. El ángulo “x” es un
ángulo inscrito, la
fórmula es:
2
AC
ABC


El ángulo central y su
arco subtendido son
iguales, por lo tanto:
< 𝐴𝑂𝐶 =∩ 𝐴𝐶
Entonces:
∩ 𝐴𝐶 = 46°
Sustituyendo en la fórmula:
< 𝐴𝐵𝐶 =
∩ 𝐴𝐶
2
< 𝐴𝐵𝐶 =
46
2
< 𝐴𝐵𝐶 = 23°
La solución es <ABC = 23°
EJEMPLO 5.- Si el ángulo “y” mide 112°, calcule el ángulo “x”
Dibujo, en la que se observan los datos
proporcionados.
ANÁLISIS
En la gráfica se observa que:
El arco completo AC, mide 180°,
El ángulo y =112° es un ángulo central,
por lo tanto
y = AB = 112°
Entonces,
el arco BC es igual a 180°-112° = 68°
Utilizando la fórmula del ángulo inscrito
para el ángulo BAC. Tendremos:
Sustituyendo en la fórmula:
< 𝐵𝐴𝐶 = < 𝒙 =
∩ 𝑩𝑪
2
< 𝐵𝐴𝐶 =
68°
2
< 𝐵𝐴𝐶 = 34°
La solución es: <BAC = 34°
EJEMPLO 6.- Si el ángulo “y” mide 75° calcule el ángulo “x
Dibujo, en la que se observan los datos
proporcionados. ANÁLISIS
El ángulo “y” mide 75°
El arco subtendido AP mide el doble, es
decir 150°: ∩ 𝑨𝑷 = 150°
Se tiene 150° + 100° + z = 360°
porque da toda la circunferencia.
Entonces  z = 360°-150°-100° = 110°
 z = 110°
El arco “z”o arco “BP” mide
110° y su medida es el
doble del ángulo que lo
subtiende, por lo tanto el
ángulo “x” mide:







55
2
110
22
x
zBP
x
La solución es: x = 55°
x y
O
A
B
C
x
y
A
B
C D
P
100°
z
x y = 46°O
A
B
C

5. DESEMPEÑO 3: RESUELVE EJERCICIOS DE PERÍMETROS Y ÁREAS DE LA CIRCUNFERENCIA.
3.1.4. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DEL CÍRCULO.

PERIMETRO Y AREA
PERIMETRO:
Es la circunferencia o
medida longitudinal
(contorno) de la
circunferencia.
Fórmula:
DC
rC



2
Símbolos
 = 3.1416
r = radio
D = Diámetro
AREA
Es la medida de la
superficie de un círculo.
Se da en unidades
cuadradas.
Fórmula:
4
2
2
D
A
rA







EJEMPLOS
1.- Calcula la longitud del radio de un círculo cuya circunferencia o perímetro es 45 = 141.3
Dibujo Análisis y despeje Sustitución y solución
El único dato con que se cuenta es el perímetro,
por lo tanto la fórmula que debemos usar es la
del Perímetro de un círculo.
Perímetro = Circunferencia
P = C
Arbitrariamente se toma la C,
Fórmula: P = C = 2  r
Dato: P = C = 141.3
Se despeja el radio “r” de la fórmula:
C = 2  r
𝐶
2𝜋
= 𝒓
O lo que es lo mismo:
𝑟 =
𝐶
2𝜋
5.22
)14.3(2
3.141
2



r
r
C
r

r = 22.5 u
EJEMPLO 2.- Calcule el radio y la circunferencia si sabemos que el área es de 80 m2 .
A) Cálculo del Radio
Datos Fórmula Despeje Resolución
A = 80 m2
 = 3.14
r = ?
2
rA 



A
r
r
A
rA



2
2
2


A
r
A
r

2
mr
m
m
r
A
r
04.5
47.25
14.3
80 2
2




B) Cálculo de la Circunferencia (o perímetro)
Datos Fórmula Despeje Resolución
Ya se cuenta con
el radio.
 = 3.14
r = 5.04 m?
C = ?
rC  2
No hace falta despejar, en la
fórmula se sustituye en forma
directa.
mC
mC
rC
65.31
)04.5()14.3(2
2


 
r
C = 141.3 u
r

6. 3.1.5. SECCIONES DE UN CÍRCULO (CORONA, SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR).
DEFINICIÓN FIGURA FORMULA
SECTOR CIRCULAR: Es la
porción de círculo limitada
por dos radios y su arco
subtendido
(correspondiente entre
ellos).
AREA DEL SECTOR CIRCULAR
𝑨 𝑺 =
𝝅𝒓 𝟐
𝜶
𝟑𝟔𝟎°
CORONA CIRCULAR: es la
porción de círculo o
espacio limitado por dos
circunferencias
concéntricas (mismo
centro)
AREA DE LA CORONA CIRCULAR
𝑨 𝒄 = 𝝅(𝑹 𝟐
− 𝒓 𝟐)
TRAPECIO CIRCULAR:
Porción de plano limitada
por dos circunferencias
concéntricas y dos radios.
AREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
𝑨𝒕 =
𝝅(𝑹 𝟐
− 𝒓 𝟐)𝜶
𝟑𝟔𝟎°
donde 𝜶 = 𝒂𝒃𝒆𝒓𝒕𝒖𝒓𝒂 en grados.
EJEMPLOS:
1.- Calcule el área del sector circular de un círculo si un arco de 40° tiene una longitud de 4.
Dibujo fórmula Sustitución y solución
La fórmula es
𝑨 𝑺 =
𝝅𝒓 𝟐
𝜶
𝟑𝟔𝟎°
No se cuenta con el radio, entonces es lo
primero que se va calcular con la fórmula
que calcula la longitud de arco l:
𝑙 =
π ∙ α ∙ r
180°
De la cual se despeja el radio “r”.
180 𝑙
𝜋 ∙ 𝛼
= 𝑟
O lo que es lo mismo.
𝑟 =
180 𝑙
𝜋 ∙ 𝛼
𝑟 =
180° (4π)
𝜋 ∙ (40°)
=
720 π
𝜋 ∙ 40
= 18 𝑢
Cálculo del Área del sector circular
𝑨 𝑺 =
𝝅𝒓 𝟐 𝜶
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 =
𝝅(𝟏𝟖) 𝟐
(𝟒𝟎°)
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 =
𝝅 ∙ 𝟑𝟐𝟒 𝒖 𝟐
∙ (𝟒𝟎°)
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 =
𝝅 ∙ 𝟏𝟐𝟗𝟔𝟎 𝒖 𝟐
𝟑𝟔𝟎
𝑨 𝑺 = 𝟑𝟔𝝅 𝒖 𝟐
𝑨 𝑺 = 𝟏𝟏𝟑. 𝟎𝟒 𝒖 𝟐
2.- Calcule el área de K de un sector circular de 300° de un círculo cuyo radio es 12.
El área de un sector circular lo tenemos simbolizado
con la letra As
La fórmula es
𝑨 𝑺 =
𝝅𝒓 𝟐
𝜶
𝟑𝟔𝟎°
La fórmula es
𝑨 𝑺 =
𝝅𝒓 𝟐
𝜶
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 =
𝝅(𝟏𝟐 𝒄𝒎) 𝟐
(𝟑𝟎𝟎°)
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 =
𝝅 ∙ 𝟏𝟒𝟒 𝒄𝒎 𝟐
∙ (𝟑𝟎𝟎°)
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 =
𝝅 ∙ 𝟒𝟑𝟐𝟎𝟎° 𝒄𝒎 𝟐
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝑺 = 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝝅 𝒄𝒎 𝟐
𝑨 𝑺 = 𝟑𝟕𝟔. 𝟖 𝒄𝒎 𝟐
r
α
rR
α
rR
Sector
circular
I = 4
40°
Sector
circular
300°
r = 12 cm

7. 3.- Calcule el área de la corona circular sombreada donde r = 5cm y R = 8 cm.
DIBUJO FORMULA SUSTITUCION Y SOLUCION
El área de una CORONA circular lo
tenemos simbolizado con la letra Ac
La fórmula es
𝑨 𝒄 = 𝝅(𝑹 𝟐
− 𝒓 𝟐
)
La fórmula es
𝑨 𝒄 = 𝝅(𝑹 𝟐
− 𝒓 𝟐)
𝑨 𝒄 = 𝝅 ((𝟖 𝒄𝒎) 𝟐 − (𝟓 𝒄𝒎) 𝟐))
𝑨 𝒄 = 𝝅(𝟔𝟒 𝒄𝒎 𝟐
− 𝟐𝟓 𝒄𝒎 𝟐
)
𝑨 𝒄 = 𝝅(𝟑𝟗 𝒄𝒎 𝟐)
𝑨 𝑺 = 𝟏𝟐𝟐. 𝟓𝟐 𝒄𝒎 𝟐
4.- Calcule el área del TRAPECIO circular sombreado donde r = 5cm y R = 8 cm y el ángulo central vale 52°.
DIBUJO FORMULA SUSTITUCION Y SOLUCION
El área de una TRAPECIO circular lo
tenemos simbolizado con la letra At
La fórmula es
𝑨 𝒕 =
𝝅(𝑹 𝟐
− 𝒓 𝟐
)𝜶
𝟑𝟔𝟎°
La fórmula es
𝑨 𝒕 =
𝝅(𝑹 𝟐
− 𝒓 𝟐
)𝜶
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝒕 =
𝝅((𝟖 𝒄𝒎) 𝟐
− (𝟓 𝒄𝒎) 𝟐
)𝟓𝟐°
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝒕 =
𝝅(𝟔𝟒 𝒄𝒎 𝟐 − 𝟐𝟓 𝒄𝒎 𝟐)𝟓𝟐°
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝒕 =
𝝅(𝟑𝟗 𝒄𝒎 𝟐
)𝟓𝟐°
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝒕 =
𝝅 ∙ 𝟐𝟎𝟐𝟖° 𝒄𝒎 𝟐
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 𝒕 = 𝟓. 𝟔𝟑 ∙ 𝝅 𝒄𝒎 𝟐
𝑨 𝒕 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟗𝟖 𝒄𝒎 𝟐
α
rR

8. 4 cm
3.1.6. ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS
Las regiones sombreadas son áreas en que se cruzan un círculo con otro círculo, un cuadrado con un circulo, un
rectángulo con un circulo, y otras maneras. En esos casos se forman figuras que aparentan ser algo dificultosos,
pero con algo de práctica es más simple.
EJEMPLO 3: Calcule el área sombreada del dibujo presentado.
Dibujo Análisis y solución
Aquí se muestra que el
área que debe calcularse,
está sombreada.
Ésta, es la cuarta parte de
un círculo de radio r =4
cm
El área de la cuarta parte
del circulo de radio r= 4
cm.
𝐴 =
𝜋∙𝑟2
4
𝐴 =
(3.1416)(4𝑐𝑚)2
4
𝐴 =
(3.1416)(16 𝑐𝑚2
)
4
𝐴 =
50.2656 𝑐𝑚2
4
𝐴 = 12.5664 𝑐𝑚2
El triángulo es la
mitad del
cuadrado de lado
4 cm, su área es:
𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝐴 =
(4𝑐𝑚)(4𝑐𝑚)
2
𝐴 =
16 𝑐𝑚2
2
𝐴 = 8 𝑐𝑚2
El Área curva en verde es la
diferencia del área del ¼ de
círculo menos el área del
triángulo;
el área es:
𝐴 = 12.5664 𝑐𝑚2
− 8 𝑐𝑚2
𝐴 = 4.5664 𝑐𝑚2
También ésta, es la cuarta
parte de un círculo de
radio r =4 cm
El área de la cuarta parte
del circulo de radio r= 4
cm.
𝐴 =
𝜋∙𝑟2
4
𝐴 =
(3.1416)(4𝑐𝑚)2
4
𝐴 =
(3.1416)(16 𝑐𝑚2
)
4
𝐴 =
50.2656 𝑐𝑚2
4
𝐴 = 12.5664 𝑐𝑚2
El triángulo es la
mitad del
cuadrado de lado
4 cm, su área es:
𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝐴 =
(4𝑐𝑚)(4𝑐𝑚)
2
𝐴 =
16 𝑐𝑚2
2
𝐴 = 8 𝑐𝑚2
El Área curva en amarillo es
la diferencia del área del ¼
de círculo menos el área del
triángulo;
el área es:
𝐴 = 12.5664 𝑐𝑚2
− 8 𝑐𝑚2
𝐴 = 4.5664 𝑐𝑚2
El Área buscada es la suma de las áreas en verde y amarillo; el área es:
𝐴 = 4.5664 𝑐𝑚2
+ 4.5664 𝑐𝑚2
𝐴 = 𝟗. 𝟏𝟑𝟐𝟖 𝑐𝑚2
4 cm
4 cm
4 cm
4cm
4cm

9. EJEMPLO 4: Encuentre el área de los círculos inscrito y circunscrito en un cuadrado de 8 cm de lado.
Dibujo Análisis y solución Análisis y solución
El circulo interior es el
inscrito al cuadrado
Circulo interior, su diámetro
es 8 cm
Su radio es r = 4 cm
El área del circulo interior o
circulo inscrito es:
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐴 = 𝜋 ∙ (4 𝑐𝑚)2
𝐴 = 16 ∙ 𝜋 𝑐𝑚2
𝐴 = 16 ∙ (3.1416) 𝑐𝑚2
𝐴 = 𝟓𝟎. 𝟐𝟔𝟓𝟔 𝑐𝑚2
El círculo exterior es circunscrito al cuadrado, su diámetro no se sabe,
pero es la diagonal del cuadrado.
La diagonal es la hipotenusa y las medidas de 8 cm son los catetos de
un triángulo rectángulo.
Entonces, primero se usa el teorema de Pitágoras para calcular la
hipotenusa, y por tanto, el diámetro del círculo más grande.
Calculo del diámetro.
𝐻 = √𝐶1
2
+ 𝐶2
2
𝐻 = √82 + 82
𝐻 = √64 + 64
𝐻 = √128 = √2 ∙ 64
𝐷 = 𝐻 = 8√2
𝑟 =
8√2
2
= 4√2
Cálculo del área del circulo
exterior
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐴 = 𝜋 ∙ (4 ∙ √2 𝑐𝑚)2
𝐴 = 16 ∙ 2 ∙ 𝜋 𝑐𝑚2
𝐴 = 32 ∙ (3.1416) 𝑐𝑚2
𝐴 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟓𝟑 𝑐𝑚2
MAS EJEMPLOS DE USOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
Ejemplo 5: Ocurre un terremoto en Guatemala, su epicentro fue localizado en Quetzaltenango a 196 km de
la Ciudad Capital Guatemala. Su intensidad fue de 4.2 en la escala de Richter, ¿Cuál es el área de afectación
del terremoto?
Dibujo: Análisis Fórmula y Sustitución
La posición de Quetzaltenango
(epicentro) es el centro del círculo, y la
afectación es respecto a la distancia con
la Ciudad de Guatemala. Así, el radio es
de 196 km.
La fórmula es:
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2
𝐴 = 𝜋 ∙ (196 𝑘𝑚)2
𝐴 = 38416 ∙ 𝜋 𝑘𝑚2
𝐴 = 38416 ∙ (3.1416) 𝑘𝑚2
𝐴 = 𝟏𝟐𝟎 𝟔𝟖𝟕. 𝟕 𝑘𝑚2
Esta es el área de afectación
Ejemplo 6: Un estudiante debe viajar desde su casa hasta su escuela, una longitud de 3 km, para ello utiliza
una bicicleta cuyas llantas tiene 50 cm de diámetro. Su maestro le indica que calcule el número de vueltas
que darán las llantas desde su casa hasta la escuela, ¿cuántas vueltas daría cada rueda)
Dibujo: Análisis Fórmula y Sustitución
1.- Una vuelta representa un perímetro
de la llanta, por lo tanto, se calcula el
perímetro.
Se toma la medida del diámetro en
metros, por lo que 50 cm = 0.5 m
La fórmula es:
𝐶 = 𝜋 ∙ 𝐷
2.- Se toma la distancia que recorre en
metros, 3 km = 3000 m
Para usar las mismas unidades.
3.-Ésta distancia se divide entre el
perímetro o distancia recorrida en una
vuelta, eso nos dará el total de vueltas
en un recorrido.
1.- 𝐶 = 𝜋 ∙ 𝐷
𝐶 = 𝜋 ∙ (0.5 𝑚)
𝐶 = 0.5 ∙ 𝜋 𝑚
𝐶 = (0.5)(3.1416) 𝑚
𝐶 = 𝟏. 𝟓𝟕 𝑚
Esta es la distancia lineal que recorre la llanta
en una vuelta.
2.- Si recorre 3000 m, entonces dará:
3.- 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 =
3000 𝑚
1.57 𝑚/𝑣
= 1910.8 𝑣
𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟖 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
Cada llanta dará 1910.8 vueltas, entre
las dos llantas suman:
1910.8v + 1910.8v= 3821.6 vueltas
8 cm
8 cm
50 cm
EPICENTRO

10. ACTIVIDAD 1. Trazos con juego de geometría.
1) Auxiliado de su juego de geometría:
- Trace un círculo de 4 cm de radio
- Trace con un color diferente las rectas siguientes: tangente, secante, radio, diámetro, cuerda y arco.
- Trace un círculo de 5 cm de radio
- Trace un ángulo central de 75° que subtienda o intercepte el arco AB.
- Trace un ángulo inscrito que subtienda o intercepte al mismo arco AB, mídelo con el transportador y
determina cómo es su valor respecto al ángulo central de 75°.
2) Se cortó un círculo a partir de un cuadrado de 30 cm de lado de material, ¿Cuánto material NO se usó?
3) Tome una moneda de 5 pesos, mida los diámetros o los radios de ambos círculos, y calcule
el área de la corona circular (parte plateada de la moneda).
ACTIVIDAD 2: Ejercicios con ángulos de la circunferencia.
FIGURA DATOS Y QUÉ SE
VA CALCULAR
JUSTIFICACIÓN
Calcular:
HIJ =
𝐺𝐼̂ =
Calcular:
PQR =
QRS =
RSP =
SPQ =
G
H
I
J
70°
25°
R
Q
P
S
80°
120°64°
96°
30 cm
30 cm

11. Datos:
ABE = 55°
𝐵𝐷̂ = 15°
Calcular:
BCD =
Encuentre:
e =
d =
ACTIVIDAD 3. Resolución de problemas
1) En la figura 1, resuelva las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el área total del cuadrado?
b) ¿Cuánto mide el radio del círculo?
c) ¿Cuál es el área del círculo?
d) ¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo?
e) ¿Cuánto mide el área de cada región sombreada?
2) Calcula las áreas sombreadas en cada figura.
PROBLEMAS
3.- Un depósito cilíndrico de agua, que tiene 5m de diámetro, está cercado por una cerca situada a
2 m del depósito. Determine la longitud de la valla. (28 . 2744 m)
4.- Al enrollar un pliego de cartulina, se forma un tubo que tiene 12 cm de largo por 6 cm de diámetro.
Con base en lo anterior, encuentra cuánto mide el área del pliego de cartulina sin enrollar. (226 . 19 cm2)
5.- Si un galón de pintura cubre 40 m2
, ¿Cuántos galones se necesitan para pintar un depósito de
gasolina (con todo y su cubierta) que mide 25 m de diámetro por 5 m de altura? (34.36  35 GALONES)
6.- Un artista va pintar un mural de 6m por 5 m, pero el muro donde lo hará tiene una ventana circular
de 1.7 m de diámetro. El pintor cobra por su trabajo la cantidad de $28 000.00 por metro cuadrado de
arte pintado, ¿cuánto cobrará el pintor por su obra? ($ 819 840 )
55°
15°
A
B
C
D
E
A B
CD
d
e
107°
40°
10 cm
FIGURA 1
18 cm
12 cm
r=3 cm
r=3 cm