1. POTENCIAL ELÉCTRICO
ELÉ
1 Introducción.
2 Potencial eléctrico. Gradiente.
3 Potencial de una carga puntual.
4 Potencial de un sistema de cargas puntuales.
5 Cálculo del potencial eléctrico.
6 Superficies equipotenciales.
7 Potencial creado por un dipolo eléctrico.
8 Movimiento de una partícula en un campo eléctrico. Si la fuerza F es conservativa
9 Conductor en equilibrio electrostático.
19/04/2011 1 19/04/2011 2
19/04/2011 3 19/04/2011 4

2. La fuerza ejercida sobre qo por el Campo
Eléctrico uniforme es conservativa. Esto
significa que el trabajo Wa-b realizado por el
campo es independiente de la trayectoria que
sigue la partícula de a a b. Se puede
representar este trabajo mediante una función
de energía potencial. Esta energía potencial U
es:
Entonces cuando la carga se desplaza desde
la altura ya a la altura yb, el trabajo
realizado sobre la partícula por el campo es
19/04/2011 5 19/04/2011 6
REGLAS GENERALES
Ya sea que la carga de prueba sea positiva o negativa, se
aplican las reglas generales siguientes:
 U aumenta si la carga de prueba se desplaza en dirección
opuesta a la fuerza eléctrica
 U disminuye si la carga de prueba se desplaza en la misma
dirección de la fuerza eléctrica
19/04/2011 7 19/04/2011 8

3. DESPLAZAMIENTO GENERAL
Si las cargas tienen el mismo signo, la fuerza
es de repulsión y F es positiva. Si las dos cargas
tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y
F es negativa.
La F no es constante durante el desplazamiento y
es necesario integrar para calcular el trabajo
realizado sobre qo, por esta fuerza conforme se
desplaza de a hasta b. Resulta: Por lo tanto el trabajo realizado sobre la
carga, depende solo de de ra y rb y no de los
detalles de la trayectoria.
Asimismo si qo regresa a su punto de partida
a por un camino diferente, el trabajo total de
19/04/2011 9 19/04/2011 un viaje de ida y vuelta es cero. 10
ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
19/04/2011 11 19/04/2011 12

4. es el Voltio y
De la ecuación del trabajo realizado por la fuerza eléctrica durante un desplazamiento
de a a b se tiene:
19/04/2011 13 19/04/2011 14
DIFERENCIA DE POTENCIAL Vab
POTENCIAL DEBIDO A CARGAS PUNTUALES
= V ab El potencial V debido a una carga puntual q es:
En los circuitos eléctricos, a la diferencia de potencial entre dos puntos se le De modo análogo para hallar el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales.
llama voltaje. La ecuación: Vab = Va – Vb establece que el potencial de a
con respecto a b, es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando
una UNIDAD de carga se desplaza entre a y b.
19/04/2011 15 19/04/2011 16

5. POTENCIAL DEBIDO A DISTRIBUCION CONTINUAS DE CARGAS
Cuando
d
anterior
19/04/2011 17 19/04/2011 18
se
b
19/04/2011 19 19/04/2011 20

6. y
19/04/2011 21 19/04/2011 22
19/04/2011 23 19/04/2011 24

7. Superficies equipotenciales Ejemplos de superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de
encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un
punto A a otro punto B a lo largo de una superficie
equipotencial es nulo, ya que
WAB
VB  VA 
qo
A lo largo de una
superficie VA  VB WAB  0
equipotencial
19/04/2011 25 19/04/2011 26
7 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO
ELÉCTRICO
ELÉ Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos
escribir
Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un q 2 a Cos 
V
dipolo eléctrico en un punto del espacio. 4 o r2
P
Recordando la definición de P  2aq
1 q q 
 V  V1  V2     momento dipolar eléctrico
r1 4 o  r1 r2 
  1 P Cos 
r r2 V
+q Para puntos muy alejados del dipolo,
tales que r>>2a, se pueden hacer
4o r 2

las siguientes aproximaciones No se requiere trabajo para llevar
2a
  una carga de prueba desde el
 r2  r
1 r2  r1  2 a Cos V = 0 para  = 90º infinito hasta el dipolo a lo largo
-q r1r2  r 2 de la línea perpendicular al punto
medio entre las dos cargas.
19/04/2011 27 19/04/2011 28

8.    
Para un desplazamiento curvilíneo ds  dx i  dy j  dz k
 
la variación de potencial es dV  E ds  E x dx  E y dy  E z dz
Con esta expresión, podemos, conocido el potencial
eléctrico, calcular el campo eléctrico asociado
V V V
Si dV  dx  dy  dz
x y z
V V V
tenemos Ex   ; Ey   ; Ez  
De esta forma x y z
    V  V  V 
E  E x i  E y j  Ez k   i  j k
 
x y z E  V
El operador se llama “grad”. Esto se lee “E es el negativo del gradiente de
 
V” o “E es igual al grad V negativo” . E  V se denomina gradiente de potencial
19/04/2011 29 19/04/2011 30
La elevación de potencial entre dos puntos a lo largo de una línea de campo
En cada punto, el gradiente de potencial apunta en la dirección en la que V
eléctrico es una medida del gradiente del potencial, en la misma forma que
aumenta con mas rapidez con un cambio de posición. Por consiguiente, en
el aumento en la elevación entre dos puntos en una cuesta es una medida
cada punto la dirección de E es la dirección en la que V disminuye mas
del gradiente de la cuesta.
rápidamente y siempre es perpendicular a la superficie equipotencial que
Se define entonces el “gradiente de potencial en un punto, como el aumento
pasa por el punto. Este coincide con lo que dijimos que desplazarse en la de potencial ΔV, a través de un elemento de longitud Δl a lo largo de una
dirección del campo eléctrico significa desplazarse en la dirección de
línea de campo:
potencial decreciente.
Si E es radial con respecto a un punto y r es la distancia al punto la relación Gradiente de V = lim ΔV = ∂ V
es: Δl ∂l
El gradiente de V es un vector cuya dirección es a lo largo de una línea de
Er = ∂ V (campo eléctrico radial) campo con una magnitud dada por ∂ V / ∂ l
∂r Puesto que ocurre un aumento de potencial cuando se mueve en contra del
campo eléctrico, “ la dirección del gradiente es opuesta a la del Campo.”
Gradiente de V = - E
 
En notación mas simbólica : Gradiente de V = Grad. V = E  V

9. Relación entre las líneas de campo y el potencial eléctrico 6.6 COMPORTAMIENTO MICROSCÓPICO
MICROSCÓ
DE UN DIELÉCTRICO
DIELÉ
Si dejamos en libertad una carga de prueba en el seno de
un campo eléctrico, se acelerará en el sentido de dicho
campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hecho de que Las cargas ligadas o cargas de polarización son las
se acelere hace que aumente su energía cinética, con lo responsables de la disminución del campo eléctrico entre
cual, su energía potencial debe disminuir. Esto quiere las placas de un condensador cuando se introduce un
decir que las líneas de campo señalan en la dirección dieléctrico. Dichas cargas se encuentran en la superficie del
en la que disminuye el potencial eléctrico. dieléctrico.
-Ze
Visto en términos del Modelo atómico simple
qo gradiente, ya que su
V bajos
Una carga puntual +Ze rodeada por
significado físico es la +Ze
V altos
una distribución esférica de carga
dirección de máxima
negativa –Ze formada por electrones
variación de la función, el
signo menos indica sentido  
19/04/2011 decreciente del potencial.
33
Eo  0 P0
Si sometemos el átomo en un campo externo, éste ejerce Si colocamos un dieléctrico entre las placas de un condensador
planoparalelo, se polariza a medida que se introduce en el seno del
una fuerza en un sentido sobre el núcleo y en sentido condensador Aparece una densidad superficial de carga en las
opuesto sobre los electrones. Así, la posición del núcleo y caras adyacentes a las placas del condensador
del centro de distribución de las cargas negativas queda p
desplazado. - + - +
- +
+ -
-
- -
+ + + - + - + -
Centro de distribución + -
+ + - + -  + -
- + Ep
+ + + - + - - - - -
- + + +
de cargas negativas + + - - -
En este caso el átomo adquiere -
-
+
+
- + + +
+
+ - + - + -
un momento dipolar inducido y +
+
- +
- +
- -
- + +
-
-
+
-
-
 +
-
-
- + - + + +
- - - - - -
+ - +
+ - - ++
entonces se dice que está + -
+ +
-
+
-
+
-
+Ze polarizado.   
Eo  0 Eo Eo
  
  Moléculas polares El campo eléctrico total es, en este caso E  Eo i  Ep (  i )
Eo  P Aquellas que tienen un momento
dipolar permanente (por ejemplo el En módulo, el campo total disminuye
agua).
E  Eo  Ep
Simulación

10. Se puede demostrar que todos los campo de fuerzas
1 INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓ
centrales son conservativos:
Campo de fuerzas centrales: Caracterizados porque la Suponemos un desplazamiento
dirección de los vectores fuerza pasan por un punto fijo 
infinitesimal d r . El trabajo
llamado Centro o Polo del Campo y cuyo módulo sólo es A
 desarrollado por esta fuerza
función de la distancia r al centro.
 F 
cuando se desplaza del punto A al
El campo eléctrico cumple estas condiciones, ya que ur dr punto B será
 
E  E(r)u r c  
B dWAB  Fc (r ) u r  d r  Fc (r ) dr
Como además es un campo conservativo, se dice que deriva
de una función potencial escalar, de forma que se cumple El trabajo total será
B 
ext
WAB   F dr  U(B)  U(A) c
A
WAB  Fc ( r ) dr  U ( A )  U (B)
19/04/2011 37 19/04/2011 38
Energía potencial: Es la función potencial asociada con el    
campo eléctrico. dWAB  Fext  dr  Fc  d r
ext
El trabajo total realizado por la fuerza externa será
Para comprender su significado, vamos a suponer una
partícula en un campo de fuerzas conservativo al que es
ext B
 
sensible.
Para que se encuentre en
WAB   A Fc  d r   Wc  U
A  equilibrio es necesario aplicar
F una fuerza externa que
 compense la ejercida por el Como el trabajo realizado sobre una partícula libre se
dr
 campo invierte en aumentar su Energía cinética, en un campo
Fext
B
  conservativo debe disminuir su energía potencial. Por esta
Fext   Fc razón se identifica la función potencial con la Energía
potencial.
En cualquier desplazamiento infinitesimal, se realiza un
trabajo en contra del campo. La energía cinética se vincula al movimiento, mientras que la
19/04/2011 39 Energía potencial se asocia con la posición.
19/04/2011 40

11. 2 POTENCIAL ELÉCTRICO. GRADIENTE
ELÉ
Potencial eléctrico: Es el trabajo desarrollado por la fuerza
externa por unidad de carga puntual
B Como la fuerza eléctrica ext
 WAB
está dirigida hacia abajo, VB  VA 
F d
debemos ejercer sobre la qo
carga una fuerza externa F
qo
hacia arriba si queremos
que la partícula se mueva Caso particular de un VB  VA  E d
A campo uniforme
 con velocidad constante
E El trabajo desarrollado por esta fuerza será Unidades del potencial: Voltio (V)
ext
WAB  Fext d  q o E d Unidades del campo eléctrico: V/m o N/C
19/04/2011 41 19/04/2011 42
   
Caso general: Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no Para un desplazamiento curvilíneo ds  dx i  dy j  dz k
rectilínea  
la variación de potencial es dV  E ds  E x dx  E y dy  E z dz
Debemos dividir la trayectoria
B en pequeños desplazamientos
 Con esta expresión, podemos, conocido el potencial
F infinitesimales, de forma que
 eléctrico, calcular el campo eléctrico asociado
d r qo
B  B  V V V
ext Si dV  dx  dy  dz
  A
WAB  A Fext  d r  q o A E  d r x y z
V V V
E qo E Ex   ; Ey   ; Ez  
x y z
De esta forma
W ext B
El potencial en este caso VB  VA  AB  
  
será qo A E  dr     V  V  V 
E  E x i  E y j  Ez k   i 
x y
j k
z E  V
19/04/2011 43 19/04/2011 44

12. Relación entre las líneas de campo y el potencial eléctrico 3 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
Si dejamos en libertad una carga de prueba en el seno de
un campo eléctrico, se acelerará en el sentido de dicho Se puede calcular el potencial de una carga puntual a partir
campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hecho de que del campo eléctrico que produce.
se acelere hace que aumente su energía cinética, con lo B
cual, su energía potencial debe disminuir. Esto quiere qo I.- Calculemos el trabajo realizado
decir que las líneas de campo señalan en la dirección por el campo para desplazar la
en la que disminuye el potencial eléctrico. A carga desde el punto A al
q
punto B
Visto en términos del B  
qo gradiente, ya que su
V ( B)  V ( A )   A E  dr
V bajos significado físico es la 0
 q 1
V altos dirección de máxima
variación de la función, el
Tomando como origen de
potenciales el infinito,
 V (r )   r k
r 2
dr  kq
r
signo menos indica sentido podemos identificar el punto q
V (r )  k
19/04/2011 decreciente del potencial.
45 B= 19/04/2011 r
 y A= r46
II.- Un método alternativo es calcular el trabajo que 4 POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS
debe realizar una fuerza exterior para traer una carga PUNTUALES
desde el infinito hasta un punto r. En este caso el
punto A coincide con el infinito. Para una distribución discreta de cargas
B  B   r q
ext
WAB  A F  dr V (B)  V ( A )   A E  d r    k dr 1 qn
r2 V   Vn  
0 n 4 0 n rn
q
V (r )  k Para una distribución continua de cargas
r
La energía potencial de una
qqo 1 dq
carga qo, situada a una U  qo V  k 
V  dV  
distancia r de q, será r 4o r
La energía potencial de un sistema de cargas puntuales
será el trabajo necesario para llevar cada una de ellas
desde el infinito hasta su posición final.
19/04/2011 47 19/04/2011 48

13. 5 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO
ELÉ Ejemplo 1.- Potencial eléctrico sobre el eje de un anillo
1.-
cargado.
Existen dos métodos para calcular el potencial eléctrico
asociado a una distribución continua de cargas:
I Conocido el campo eléctrico creado por la distribución
B 
V ( B)  V ( A )   A E  d r
En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de
referencia arbitrario.
II Para el caso de distribuciones finitas de carga, para
las cuales podemos suponer que V(  )=0. En este
caso
1 dq
V   dV 
4 o  r
19/04/2011 49 19/04/2011 50
Ejemplo 2.- Potencial eléctrico sobre el eje de un disco
2.- Ejemplo 3.- Potencial eléctrico en el interior y el exterior
3.-
uniformemente cargado. de una corteza esférica de carga.
19/04/2011 51 19/04/2011 52

14. 6 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de
campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,
una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas El trabajo desarrollado para mover una partícula de un
será   punto A a otro punto B a lo largo de una superficie
dW  F  d r equipotencial es nulo, ya que
En términos de incrementos WAB
VB  VA 
  qo
 r perpendicular a E V  0 V constante
  A lo largo de una
V  E   r  
 r paralelo a E Variación máxima de superficie VA  VB WAB  0
potencial equipotencial
19/04/2011 53 19/04/2011 54
7 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO
Ejemplos de superficies equipotenciales ELÉCTRICO
ELÉ
Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un
dipolo eléctrico en un punto del espacio.
P 1 q q 
 V  V1  V2    
r1 4 o  r1 r2 
 
r r2
+q Para puntos muy alejados del dipolo,
tales que r>>2a, se pueden hacer

las siguientes aproximaciones
2a
 
 r2  r
1 r2  r1  2 a Cos
-q r1r2  r 2
19/04/2011 55 19/04/2011 56

15. 8 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN
PARTÍ
Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos UN CAMPO ELÉCTRICO
ELÉ
escribir
q 2 a Cos 
V Cuando una carga eléctrica se coloca en el seno de un
4 o r2 campo eléctrico, experimenta una fuerza que viene dada por
 
Recordando la definición de F  qE
P  2aq
momento dipolar eléctrico
Si queremos calcular la aceleración que experimenta dicha
1 P Cos  carga, bastará con aplicar la Segunda Ley de Newton
V  
4o r 2  Fi  m a
i
No se requiere trabajo para llevar Por ejemplo, en el caso de un campo eléctrico uniforme, la trayectoria de
una carga de prueba desde el una partícula es una parábola. Sería el mismo caso del movimiento de
V = 0 para  = 90º infinito hasta el dipolo a lo largo un proyectil en el seno del campo gravitatorio uniforme. La medida de la
de la línea perpendicular al punto desviación de los electrones en un campo eléctrico uniforme fue
medio entre las dos cargas. utilizada por Thompson en 1897 para demostrar la existencia de dichas
19/04/2011 57 partículas y calcular su relación carga/masa.
19/04/2011 58
9 CONDUCTOR EN EQULIBRIO Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
ELECTROSTÁTICO
ELECTROSTÁ
I Toda la carga libre de un conductor se coloca en su
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas superficie.
libres que pueden moverse en su interior. Dado un conductor, supongamos una
superficie gaussiana justo en el interior de
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga
la superficie del conductor. Como E =0
libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En
dentro del conductor, también será nulo
estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio en todos los puntos de la superficie
Electrostático (E’ = Eo). gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de
+
la superficie del conductor es cero.
+
+ Cualquier exceso de carga se colocará en qint
+ la superficie del conductor, ya que el campo Por el Teorema de Gauss 
+ o Como   0 qint  0
+ eléctrico externo no es lo suficientemente
+ intenso como para vencer las fuerzas de
 +
E' + ligadura. Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie
+
+ del conductor
+ 
19/04/2011 + Eo 59 19/04/2011 60

16. II El campo eléctrico en la superficie del conductor es Conductores en contacto
perpendicular a dicha superficie y vale 
 o Cuando se ponen en contacto dos conductores, la carga de ambos
E se redistribuye hasta que el campo eléctrico en el interior de ambos
Para hallar el campo eléctrico en la conductores se anula y se restituye el equilibrio electrostático. En
superficie del conductor consideremos estas condiciones, el potencial de ambos conductores debe ser el
un elemento infinitesimal plano, con mismo.
densidad superficial de carga . Como
superficie gaussiana tomamos un
cilindro con una cara en el exterior y Supongamos un conductor con carga +q al cual se aproxima un
otra en el interior del conductor conductor descargado. En éste último aparecerán cargas inducidas.
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie Como el potencial disminuye a lo largo
debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de de las líneas de campo, en principio, el
++++
+++++ conductor cargado está a un potencial
la cara superior. +++++ más alto que el neutro. Cuando se ponen
  q  en contacto ambos conductores, la carga
   E  d s  E s  int
o
E positiva fluye hacia el neutro hasta que
qint   s
o ambos quedan al mismo potencial.
19/04/2011 61 19/04/2011 62