El documento define los sistemas de numeración como conjuntos de símbolos y reglas para representar cantidades numéricas. Explica que los sistemas posicionales más comunes son el binario, octal y hexadecimal, los cuales representan números a través de cifras en posiciones con valores de potencias de su base. Además, describe los procesos de conversión entre estos sistemas y el decimal.

1. Elaborado por:
De Gracia, Yamileth

2. Definimos sistema de numeración como el conjunto de símbolos
y reglas que se utilizan para representar cantidades o datos
numéricos.
Tienen como característica una base a la que referencian y que
determina el diferente número de símbolos que lo componen.
Nosotros utilizamos el sistema de numeración en base
10, compuesto por diez símbolos diferentes (del 0 al 9).
Los sistemas de numeración que utilizamos son sistemas
posicionales, es decir, el valor relativo que cada símbolo
representa quedará determinado por su valor absoluto y la
posición que ocupe dicho símbolo en un conjunto.

3. Todos los sistemas posicionales están basados en el Teorema
Fundamental de la Numeración (TFN), que sirve para relacionar
una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración
con la misma cantidad expresada en el sistema decimal.
Viene dado por la fórmula siguiente: donde X es el valor
absoluto del dígito en cuestión, i es la posición que ocupa el
dígito con respecto al punto decimal y B es la base.
i
i
BX *

4. Un sistema de numeración posicional en base b usa un alfabeto de b símbolos distintos (o
cifras), y cada posición tiene un peso especifico. Así, cada número se representará como una
secuencia de cifras, contribuyendo cada una de ellas con un valor que dependerá de:
La cifra en sí.
La posición de la cifra dentro de la secuencia
....... 432101234
nnnnnnnnnN
(Número expresado como secuencia de cifras donde cada pertenece al conjunto de símbolos)
...*********...
4
4
3
3
2´
2
1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
bnbnbnbnbnbnbnbnbnN
(Valor numérico del número N interpretado en base b)
i
n
ELEMPLO: supongamos que la base b es 10. El conjunto de símbolos será de 0 a
9. El número 345.2 puede representarse como:
1012
10*210*510*410*32.05403002.345

5. Utiliza la base b=2 y, por tanto, el alfabeto de símbolos será { 0,1 }.
REPRESENTACIÓN POSICIONAL
Los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias positivas de
dos: de derecha a izquierda
Los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas
de dos: de izquierda a derecha
EJEMPLO: el número binario 1101001
012345
222222
22222
-5-4-3-21
1x20x20x21x20x21x22x11101001
0123456
=1x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1
= 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1
= 105

6. El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos
consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111

7. El sistema de numeración hexadecimal es un sistema de base 16.
En un sistema hexadecimal debe haber por tanto 16 dígitos distintos.
Como sólo disponemos de diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) necesitamos ampliar esa cantidad y
se hace mediante letras, con la siguiente relación en sistema decimal:
A B C D E F
10 11 12 13 14 15
EJEMPLO: el número hexadecimal 3BD2 convertido a su equivalente decimal:
0123
2x1613x1611x16x163
2x113x1611x256x40963
2208281612288
15314

8. Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones
sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido
obtenidos (parte entera del número).
Ejemplo: para convertir al sistema binario el número 6710 haremos una serie de divisiones que
arrojarán los restos siguientes:
67 : 2= 33 Resto 1
33 : 2= 16 Resto 1
16 : 2= 8 Resto 0
8 : 2= 4 Resto 0
4 : 2= 2 Resto 0
2 : 2= 1 Resto 0
1 : 2=0 Resto 1
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria 1000011

9. EJERCICIO. Expresa en código binario el número 191
191 : 2= 95 Resto 1
95 : 2= 47 Resto 1
47 : 2= 23 Resto 1
23 : 2= 11 Resto 1
11 : 2= 5 Resto 1
5 : 2= 2 Resto 1
2 : 2=1 Resto 0
1 : 2=0 Resto 1
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria 10111111

10. La forma de pasar un número decimal a hexadecimal es dividiendo entre la base del sistema, en este
caso 16. Veamos un ejemplo.
2654 : 16= 165 Resto 14  E
165 : 16= 10 Resto 5
10 : 16= 0 Resto 10  A
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la
cifra hexadecimal A5E

11. EJERCICIO: Convierte al sistema hexadecimal el siguiente número 409510
14095 : 16= 880 Resto 15  F
880 : 16= 55 Resto 0
55 : 16= 3 Resto 7
3: 16 =0 Resto 3
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la
cifra hexadecimal 370F

12. La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que
ya hemos utilizado en la conversión a binario y hexadecimal, mediante
divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso.
EJEMPLO: Convierte el número 122 a base 8.
122 : 8= 15 Resto 2
15 : 8= 1 Resto 7
1 : 8= 0 Resto 1
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la
cifra octal 172

13. EJERCICIO. Convertir 1409510 a su equivalente en octal
14095 : 8= 1761 Resto 7
1761 : 8= 220 Resto 1
220 : 8= 27 Resto 4
27 : 8= 3 Resto 3
3 : 8= 0 Resto 3
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la
cifra octal 33417

14. El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más
sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada
dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el
bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos
avanzando posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo
desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
= 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20
= 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
= 83

15. EJERCICIO. Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:
110111, 111000.
=110111
= 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20
= 1*32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1
= 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1
= 55
=111000
= 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20
= 1*32 + 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 0*1
= 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0
= 56

16. La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo“ o
"contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios.
Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará
con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su
equivalente hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se
deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16

17. EJERCICIO. Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:
10101001010111010102, 1110000111100002
1010100101011101010  Debemos agregar un 0 para completar
el último grupo de bits 01010100101011101010
1010= 1*23 + 0* 22 + 1*21 + 0*20 = 10  A
1110= 1*23 + 1* 22 + 1*21 + 0*20 = 14  E
1010= 1*23 + 0* 22 + 1*21 + 0*20 = 10  A
0100= 0*23 + 1* 22 + 0*21 + 0*20 = 4
0101= 0*23 + 1* 22 + 0*21 + 1*20 = 5
10101001010111010102  54AEA16