INFO I

1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN<br />binario, octal y hexadecimal<br />Sistemas de numeración<br />Sistema de numeración decimal<br />Sistema de numeración binario<br />Conversión entre números decimales y binariosEl tamaño de las cifras binariasConversión de binario a decimal<br />Sistema de numeración octal<br />Conversión de un número decimal a octal<br />Conversión octal a decimal<br />Sistema de numeración hexadecimal<br />Conversión de números binarios a octales y viceversa<br />Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa<br />Sistemas de numeración<br />Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.<br /> Sistema de numeración decimal:<br />El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.<br />El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.<br />En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:<br />5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:<br />5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:<br />500 + 20 + 8 = 528<br />En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:<br />8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos<br />8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:<br />8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97<br /> Sistema de numeración binario.<br />El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).<br />En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.<br />De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así: <br />1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:<br />8 + 0 + 2 + 1 = 11<br />y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:<br />10112 = 1110<br /> Conversión entre números decimales y binarios<br />Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.<br />Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:<br />77 : 2 = 38 Resto: 1<br />38 : 2 = 19 Resto: 0<br />19 : 2 = 9 Resto: 1<br />9 : 2 = 4 Resto: 1<br />4 : 2 = 2 Resto: 0<br />2 : 2 = 1 Resto: 0<br />1 : 2 = 0 Resto: 1<br />y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:<br />7710 = 10011012<br />Ejercicio 1:<br />Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276<br /> El tamaño de las cifras binarias<br />La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.<br />Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.<br />Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.<br />Ejercicio 2:<br />Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.<br />Ejercicio 3:<br />Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?<br /> Conversión de binario a decimal<br />El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.<br />Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:<br />1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83<br />10100112 = 8310<br />Ejercicio 4:<br />Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110<br /> Sistema de numeración octal<br />El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.<br />En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.<br />Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:<br />2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610<br />2738 = 149610<br /> Conversión de un número decimal a octal<br />La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:<br />122 : 8 = 15 Resto: 2<br />15 : 8 = 1 Resto: 7<br />1 : 8 = 0 Resto: 1<br />Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:<br />12210 = 1728<br />Ejercicio 5:<br />Convierte los siguientes números decimales en octales: 6310, 51310, 11910<br /> Conversión octal a decimal<br />La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:<br />2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910<br />2378 = 15910<br />Ejercicio 6:<br />Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458, 1258, 6258<br /> Sistema de numeración hexadecimal<br />En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.<br />Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:<br />1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160<br /> 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719<br />1A3F16 = 671910<br />Ejercicio 7:<br />Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16<br />Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:<br />1735 : 16 = 108 Resto: 7<br />108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 1210<br />6 : 16 = 0 Resto: 6<br />De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:<br />173510 = 6C716<br />Ejercicio 8:<br />Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510<br /> Conversión de números binarios a octales y viceversa<br />Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:<br />DECIMALBINARIOOCTAL0000010011201023011341004510156110671117<br />Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a quot;
expandirquot;
cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en quot;
contraerquot;
grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.<br />Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:<br />1012 = 58<br />0012 = 18<br />0112 = 38<br />y, de ese modo: 1010010112 = 5138<br />Ejercicio 9:<br />Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112<br />La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos: <br />78 = 1112<br />58 = 1012<br />08 = 0002<br />y, por tanto: 7508 = 1111010002 <br />Ejercicio 10:<br />Convierte los siguientes números octales en binarios: 258, 3728, 27538<br /> Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa<br />Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:<br />DECIMALBINARIOHEXADECIMAL000000100011200102300113401004501015601106701117810008910019101010A111011B121100C131101D141110E151111F<br />La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza quot;
expandiendoquot;
o quot;
contrayendoquot;
cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: <br />10102 = A16<br />01112 = 716<br />00112 = 316<br />y, por tanto: 1010011100112 = A7316<br />En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:<br />1011102 = 001011102 = 2E16<br />Ejercicio 11:<br />Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:<br />10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112<br />La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:<br />116 = 00012<br />F16 = 11112<br />616 = 01102<br />y, por tanto: 1F616 = 0001111101102<br />Ejercicio 12:<br />Convierte a binario los números hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F16<br />ARITMÉTICA BINARIAOperaciones elementales con números binariosSuma de números binariosResta de números binariosComplemento a dos Complemento a uno Restar con el complemento a dos Multiplicar números binariosDividir números binariosLa Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.Suma en binarioPara aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:+01001110 + 1Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:010 + 101 = 111 210 + 510 = 710001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 50101011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810Ejercicio 1:Realiza las siguientes sumas de números binarios:111011 + 110111110111 + 11100110111 + 11011 + 10111Sustracción en binarioLa técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.-0100111 + 10Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:0 – 0 = 01 – 0 = 11 – 1 = 0La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:111 – 101 = 010 710 – 510 = 21010001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 71011011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410Ejercicio 2:Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:111011 - 110111110111 - 1110011010111 - 11011 – 10011A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 1001 1001 1101 010101110010 0101 0111 0010 010000101011 0100 0010 1011Calculando el complemento a dos del sustraendoComplemento a dosEl complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:C2N = 2n – NVeamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:N = 4510 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112Ejercicio 3:Calcula el complemento a dos de los siguientes números:11001, 10001011, 110011010Complemento a unoEl complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:C1N = C2N - 1y, por la misma razón:C2N = C1N + 1Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010C1N = 010010Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de comlicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si: N = 110100101obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:C1N = 001011010y su complemento a dos es:C2N = C1N + 1 = 001011011¡es muy fácil!Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea: N = 0110110101El complemento a uno es:C1N = 1001001010y el complemento a dos es: C2N = 1001001011Restar en binario usando el complemento a dosY, por fin, vamos a ver cómo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:Primer ejemplo:Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario:1011011 – 0101110 = 0101101Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:1011011 + 1010010 = 0101101En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.Segundo ejemplo:Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos:21910 = 110110112, 2310 = 000101112C223 = 11101001El resultado de la resta será: 11011011 + 11101001 = 111000100Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:110001002 = 19610¡Qué fácil!Ejercicio 4:Haz las siguientes restas binarias utilizando la técnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:11010001101 – 100011110110110011101 - 1110101Multiplicación binariaLa multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:x01000101En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.Veamos, por ejemplo, una multiplicación:Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:3349 * 13 = 43537¡correcto!Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal:10110101000101 x 101110100001111011 x 10011División binariaIgual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100).Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:10110101000101 : 101110100001111011 : 10011Luis GonzálezProfesor de Tecnologías de la InformaciónI.E.S. Santa Eugenia (Madrid)EJERCICIOS adicionalesRealiza las siguientes sumas de números octales:365 + 232732 + 126565 + 1773Suma los siguientes números hexadecimales:17A + 3C20F5 + 31B2E70C + 1AA7FResta los siguientes números octales:365 - 232732 - 12651773 – 65Realiza las siguientes restas de números hexadecimales:17A - 3C20F5 - 31B2E70C – 1AA7F<br />