1. Flujo Multifásico y Transporte
Alfredo Olvera Gómez

2. Objetivos: determinar las ecuaciones que
gobiernan el flujo de fluidos en medios porosos y
determinar los factores que influyen en dichas
ecuaciones.
1. Ecuaciones que Gobernantes
2. Ecuación de Balance de Masa
3. Ley de Darcy para Flujo
Multifásico
4. Presión Capilar y Ecuaciones
Gobernantes

3. Ecuaciones que Gobernantes
Usualmente tomamos una aproximación matemática para
analizar los sistemas de interés. Nosotros escribiremos
solamente ecuaciones generales, después las
simplificaremos así que podemos derivar algunos resultados
prácticos que proporcionan ideas dentro del comportamiento
del problema bajo consideración y provee cuantitativas
herramientas para la respuesta del sistema estudiado.
Comenzaremos por escribir el balance de masa para
describir las partes relevantes del sistema, sin embargo el
aumento de las ecuaciones de balance con material-
dependiente constitutivo.

4. Ecuación de Balance de Masa
Consideremos en general un sistema de dos fluidos en un
medio poroso el cual se representa esquemáticamente en la
figura 11.1. La figura muestra dos fluidos en la tierra. Para
un sistema que contiene un par de fluidos y el sólido, uno de
los fluidos tiende a ser más fuerte que otro que se atrae a la
superficie sólida. A tal fluido se le conoce como mojable y
consecuentemente al otro se le conoce como no mojable
Definición: se define como mojabilidad a la capacidad que
tiene el líquido a esparcirse o adherirse sobre una superficie
sólida en presencia de otro fluido.

6. Si denotamos a los dos fluidos w (para la fase mojante) y nw
(para la fase no mojante), entonces podemos escribir una
afirmación de balance de masa para cada fluido, basados en
un balance como el caso de una fase simple. Para el sistema
descrito en la figura 11.1, podemos escribir la siguiente
afirmación de balance de masa definida por el cubo
elemental.
[(ρ εSα α )
t + Δt / 2
− (ρα εSα )
t − Δt / 2
]ΔxΔyΔz
= [(ρα q xα ) x+Δx / 2 − (ρα q xα ) x−Δx / 2 ]ΔtΔyΔz
[
+ (ρα q yα ) y+Δy / 2 − (ρα q yα ) y−Δy / 2 ΔtΔxΔz]
+ [(ρα q zα ) z+Δz / 2 − (ρα q zα ) z−Δz / 2 ]ΔtΔxΔy
α
+ ρα Q ΔtΔxΔyΔz. (11.1)

7. En la ecuación (11.1), α denota un fluido en particular (α=w o
nw), ρw es la densidad del fluido en la fase α, ε es la
porosidad, Sα es la saturación en la fase α, qα el flujo
volumétrico o la velocidad del fluido, Qα denota la fuente de
la masa. El balance de masa del fluido está escrito alrededor
del punto (X,t)=(x,y,z,t) y todos los términos en la ecuación
son interpretados han sido promediados con la
representación elemental de volumen. El resultado de la
ecuación de balance de masa para un fluido α.
∂ ∂ ∂ ∂
∂t
(ρ α ε S α )+
∂t
(ρ α q x α )+
∂t
(ρ α q yα )+ ∂t
(ρ α q z α )= ραQ α
(11.2)
Usando la notación de divergencia obtenemos
∂
(ρ α ε S α )+ ∇ ⋅ (ρ α q α )= ραQ α
(11.3)
∂t

8. Ley de Darcy para Flujo Multifásico
Recordamos el experimento de Darcy de 1856 proviene la
formulación de la ecuación para el análisis de flujo de agua
subterránea. Darcy llevo a cabo experimentos usando la
columna saturada de tierra homogénea y buscaba que el
volumen volumétrico es proporcional al gradiente de carga
hidráulica. El coeficiente de proporcionalidad es llamado
conductividad hidráulica. La forma de la ecuación de Darcy
queda de la siguiente forma.
q = − K∇ h (11.4)

9. La conductividad hidráulica está compuesta de la
permeabilidad intrínseca k, la densidad del fluido ρ y la
viscosidad μ y la constante de gravedad g con K=kρg/μ.
Como pudimos observar anteriormente la permeabilidad
intrínseca puede tener diferentes valores para el flujo en
diferentes direcciones, por eso requiere de un tensor
(matriz) para tomar el caso anisotrópico.
La expresión más general de la ley de Darcy trata las
componentes de la carga hidráulica, llamada presión de
elevación por separado.

10. Esas consideraciones llevan a la forma más general de la
ecuación de Darcy la cual se toma directamente de (11.4) y
se obtiene:
k
q=− (∇p − ρg ) (11.5)
μ
donde g es el vector de aceleración de la gravedad;
además, g es su magnitud; μ es la viscosidad dinámica del
fluido; k es el 'tensor de permeabilidad intrínseca'; p es la
presión del fluido; ρ se le llama simplemente permeabilidad.
Si consideramos a z como la altura respecto a un nivel de
referencia dado y la coordenada x3=z, entonces el vector
aceleración de la gravedad se puede expresar como:
g = g∇ z
ˆ ˆ

11. Consideremos la ley de Darcy para el caso de dos fluidos en
un medio poroso, para tal caso hay que tomar en cuenta:
•El impacto que existe en la fórmula de Darcy con más de
un fluido.
•El coeficiente de permeabilidad es un factor que afecta de
manera particular a un fluido determinado.
•La permeabilidad depende del tamaño del poro. Esto
significa que dado el gradiente de potencial produce un flujo
bajo o inversamente, un largo potencial produce un flujo
alto.
•La reducción de la permeabilidad por cambios de la
saturación.

12. Suponemos tener dos sistemas:
•El primero totalmente saturado, con fluido no mojante
•Y el segundo con solamente la mitad de los poros llenos y
con fluido no mojante.
Si el mismo gradiente potencial del gradiente es aplicado a
ambos sistemas y las muestras son de manera idénticas, el
flujo de fluido no mojante, en el caso parcialmente saturado
será menor que el flujo en el caso saturado.
La razón de esos dos fluidos la tasa es una medida de la
reducción del flujo debido a la variable de la saturación.
Nos referimos a la razón como a la permeabilidad relativa,
krnw, donde el subíndice r denota la relatividad y nw denota la
fase no mojante.

13. La función de la permeabilidad relativa puede ser definida
por la razón de flujo como una función de la saturación.
qα Sα
k ra (Sα ) = sat
qα
donde α de nota el fluido, qαsat denota el fluido totalmente
saturado, que es Sα=1.
Antes de escribir la ecuación de Darcy para flujo multifásico,
necesitamos introducir conceptos adicionales para el cual
regresar en breve con más detalles. En un sistema
multifásico, cada fluido tiene su propia presión,
relacionadas. Con estos conceptos de permeabilidad
relativa y la presión de cada fluido podemos regresar a la
definición de la velocidad de Darcy para flujo multifásico.

14. Regresando a la ecuación de Darcy escrita en la ecuación
(11.5) puede ser rescrita del lado derecho tomando en
cuenta la permeabilidad relativa, de tal forma que la
velocidad de Darcy para flujo multifásico queda de la
siguiente forma:
k k rα
qα = − (∇pα − ρα g ) (11.6)
μα
donde g es el vector de aceleración de la gravedad; μ es la
viscosidad dinámica del fluido; k es el 'tensor de
permeabilidad intrínseca'; p es la presión del fluido; r es la
fase; krα es la permeabilidad relativa de cada fase; ρα la
densidad del fluido.

15. Este simple argumento heurístico acerca de la dependencia
de la saturación sobre la permeabilidad, nace por muchas
observaciones experimentales. La figura 11.2 muestra la
forma típica del funcionamiento para la función de la
permeabilidad relativa, para un sistema de dos fluidos.
Observaciones:
•Las curvas no son lineales, algunas curvas no lineales se
pueden adecuar con polinomios, frecuentemente de grado
3.
•La curva de la permeabilidad relativa para un fluido dado
parece irse a cero en los valores grandes de la saturación.

17. Presión Capilar y Ecuaciones Gobernantes
Si remplazamos el fluido volumétrico en la ecuación (11.3) y
la sustituimos en la ecuación para flujo multifásico (11.6),
entonces tenemos la siguiente ecuación para cada fase α.
∂ ⎛ kk α ⎞
(ρα εSα ) − ∇ ⋅ ⎜ ρα
⎜ (∇pα − ρα g )⎟ = ρα Q
⎟
α
∂t ⎝ μα ⎠
(11.7)
Las incógnitas primarias en la ecuación (11.7) son las dos
presiones de los fluidos y las saturaciones. Suponemos que
se conoce la densidad del fluido, la porosidad, la fuente, por
lo tanto obtenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas para
los dos fluidos.

18. Una tercera ecuación surge del simple argumento de
volumen, por definición de todo el espacio vació debe estar
lleno con fluido. Esto conduce al volumen constante.
α
∑ Sα = 1
fluid
Esto proporciona una tercera ecuación. Por lo tanto sólo
necesitamos una ecuación más para cerrar el sistema.
Al final la ecuación es casi siempre tiende a ser una relación
entre la saturación del fluido Sα y la diferencia en la presión
entre los fluidos no mojantes y mojantes, el cual se define
como presión capilar Pc.

19. Definición. La presión capilar es la diferencia de presión que
existe a lo largo de la interfase que separa a dos fluidos. Si
se tiene conocimiento de la mojabilidad, la presión capilar
será definida como la diferencia de presión entre las fases
no-mojante y mojante (la presión capilar siempre será
positiva).
p c = p nw - p w
Para poder entender la física básica de está relación,
necesitamos examinar un sistema multifásico en la escala
porosa. Para poder entender como el sistema se comporta,
considere un tubo delgado con fluido mojable en un extremo
se sumerge en un fluido mojable y en el otro extremo en un
fluido no mojable con respecto al material sólido que está
construido el tubo.

20. Suponemos que los dos fluidos comienzan con la misma
presión. Ahora incrementamos un poco la presión en el fluido
no mojante. Este giro que responde la interfase para las
diferencias de presiones por deformación, tal que logra una
curva diferente de cero y si se sigue incrementa la presión
del fluido no mojante está curvatura se incrementa.
Consideremos el sistema mostrado en la figura 11.3, donde
el fluido no mojante empuja nuevamente la interfase con
presión pnw, el fluido mojante presiona de regreso y la
interfase tiene una fuerza de atracción con respecto
alrededor del sólido.

22. Entonces tenemos un sistema donde actúan dos presiones
en el área, mientras una fuerza relacionada a la actúa a lo
largo de la línea de contacto entre los dos fluidos y el sólido,
el cual llamamos línea de contacto. Si ahora llevamos acabo
una fuerza de balance en dirección al eje del tubo, y
suponeos que tiene radio R, entonces tenemos
(p nw - p w )πR 2
= 2πRσ nw , w
cos θ nw. w
s (11.9)
donde σnw,w denotan fuerza por unidad de longitud (alrededor
de la circunferencia de contacto) debido a las interfaces.

23. Este término, σαβ, el cual es una medida de la “fuerza” de la
interfaz, es llamada tensión interfacial. La ecuación (11.9)
puede ser cambiada para dar una expresión relación presión
capilar para las propiedades de la interfase.
2σ nw , w
cos θ nw. w
(p nw - p w ) = pc = s (11.10)
R
Para sistemas de forma más compleja la ecuación (11.10)
cambia debido por diferentes expresiones geométricas, pero
la forma general de la relación permanece la misma, con
presión capilar directamente proporcional a la tensión
interfacial y al ángulo de contacto e inversamente
proporcional a la medida “efectiva del radio” del poro abierto.