Cap 3 dinámica de fluidos elemental.en.es

CHAPTER OPENING PAGSHOTO: Fluir más allá de un cuerpo contundente: en cualquier objeto colocado en un fluido en
movimiento hay un punto de estancamiento en la parte frontal del objeto donde la velocidad es cero. Esta ubicación
tiene una presión relativamente grande y divide el campo de flujo en dos porciones: una que fluye hacia la izquierda
y otra hacia la derecha del cuerpo.1Tinte en agua.2
Objetivos de aprendizaje
Después de completar este capítulo, debería poder:
■ discuta la aplicación de la segunda ley de Newton a los flujos de fluidos.
■ explicar el desarrollo, los usos y las limitaciones de la ecuación de Bernoulli.
■ use la ecuación de Bernoulli (independiente o en combinación con la ecuación de
continuidad) para resolver problemas simples de flujo.
■ Aplicar los conceptos de presiones estáticas, estancadas, dinámicas y totales.
■ Calcule varias propiedades de flujo utilizando las líneas de grado energético e hidráulico.
En este capítulo investigamos algunos movimientos típicos de fluidos (dinámica de fluidos) de una manera elemental.
Discutiremos con cierto detalle el uso de la segunda ley de Newton (F metroa) como se aplica al fluido
movimiento de partículas que es "ideal" en algún sentido. Obtendremos la célebre ecuación de Bernoulli y la
aplicaremos a varios flujos. Aunque esta ecuación es una de las más antiguas en mecánica de fluidos y las
suposiciones involucradas en su derivación son numerosas, puede usarse de manera efectiva para predecir y
analizar una variedad de situaciones de flujo. Sin embargo, si la ecuación se aplica sin el debido respeto a sus
restricciones, pueden surgir errores graves. De hecho, la ecuación de Bernoulli se llama apropiadamente la
ecuación más utilizada y más abusada en mecánica de fluidos.
Una comprensión profunda del enfoque elemental de la dinámica de fluidos involucrada en este capítulo
será útil por sí sola. También proporciona una buena base para el material de los siguientes capítulos, donde se
eliminan algunas de las restricciones actuales y se presentan resultados "más casi exactos".
El Bernoulli
la ecuación puede ser
la ecuación más
usada y abusada
en mecánica de fluidos.
A medida que una partícula de fluido se mueve de un lugar a otro, generalmente experimenta una aceleración o desaceleración.
De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula de fluido en consideración
debe ser igual a su masa multiplicada por su aceleración,
F metroa
101
Traducido del inglés al español - www.onlinedoctranslator.com

102 Capítulo 3 ■ Dinámica de fluidos elemental: la ecuación de Bernoulli
En este capítulo consideramos el movimiento de los fluidos no viscosos. Es decir, se supone que el fluido tiene
viscosidad cero. Si la viscosidad es cero, entonces la conductividad térmica del fluido también es cero y no puede haber
transferencia de calor.1excepto por radiación2.
En la práctica, no existen fluidos no viscosos, ya que todo fluido soporta esfuerzos cortantes cuando se somete a
una tasa de desplazamiento de deformación. Para muchas situaciones de flujo, los efectos viscosos son relativamente
pequeños en comparación con otros efectos. Como primera aproximación para tales casos, a menudo es posible
ignorar los efectos viscosos. Por ejemplo, a menudo las fuerzas viscosas desarrolladas en el agua que fluye pueden ser
varios órdenes de magnitud más pequeñas que las fuerzas debidas a otras influencias, como la gravedad o las
diferencias de presión. Para otras situaciones de flujo de agua, sin embargo, los efectos viscosos pueden ser los
dominantes. De manera similar, los efectos viscosos asociados con el flujo de un gas a menudo son insignificantes,
aunque en algunas circunstancias son muy importantes.
Suponemos que el movimiento del fluido se rige únicamente por las fuerzas de presión y gravedad y examinamos la
segunda ley de Newton tal como se aplica a una partícula de fluido en la forma:
1Fuerza de presión neta sobre la partícula2
1masa de partículas2
1fuerza de gravedad neta sobre la partícula2
1aceleración de partículas2
Los resultados de la interacción entre la presión, la gravedad y la aceleración proporcionan numerosas
aplicaciones útiles en mecánica de fluidos.
Aplicar la segunda ley de Newton a un fluido 1o cualquier otro objeto2, debemos definir un
sistema de coordenadas apropiado para describir el movimiento. En general, el movimiento será
tridimensional e inestable, por lo que se necesitan tres coordenadas espaciales y tiempo para describirlo.
Hay numerosos sistemas de coordenadas disponibles, incluido el rectangular más utilizado.1x, y, z2 y
cilíndrico 1r, u, z2 sistemas mostrados por las figuras al margen. Por lo general, la geometría de flujo
específica dicta qué sistema sería el más apropiado.
En este capítulo nos ocuparemos del movimiento bidimensional como el que se limita a la x – z plano
como se muestra en la Fig. 3.1una. Claramente, podríamos optar por describir el flujo en términos de los
componentes de aceleración y fuerzas en el X y z coordinar direcciones. Las ecuaciones resultantes se
denominan con frecuencia una forma bidimensional de laEcuaciones de Euler de movimiento en coordenadas
cartesianas rectangulares. Este enfoque se discutirá en el Capítulo 6.
Como se hace en el estudio de la dinámica 1Árbitro. 12, el movimiento de cada partícula de fluido se describe en
términos de su vector de velocidad, V, que se define como la tasa de cambio en el tiempo de la posición de la partícula.
La velocidad de la partícula es una cantidad vectorial con una magnitud1la velocidad, V 0 V 0 2 y di-
Rección. A medida que la partícula se mueve, sigue un camino particular, cuya forma se rige por la velocidad de
la partícula. La ubicación de la partícula a lo largo del camino es una función de dónde comenzó la partícula en
el momento inicial y su velocidad a lo largo del camino. Si esto esflujo constante 1es decir, nada cambia con el
tiempo en una ubicación determinada en el campo de flujo2, cada partícula sucesiva que pasa por un punto
dado [como el punto 112 en la figura 3.1a] Seguirá el mismo camino. Para tales casos, la ruta es una línea fija en
elx – z avión. Partículas vecinas que pasan a ambos lados del punto.112 seguir sus propios caminos, que pueden
ser de una forma diferente a la que pasa por 112. La totalidad x – z El plano está lleno de esos caminos.
Para flujos constantes, cada partícula se desliza a lo largo de su trayectoria, y su vector de velocidad es en todas
partes tangente a la trayectoria. Las líneas que son tangentes a los vectores de velocidad en todo el campo de flujo se
denominanracionaliza. Para muchas situaciones, es más fácil describir el flujo en términos de
Flujo de fluido invisible
está gobernado por
presión y gravedad
efectivo.
z
X
y
Rectangular
z
r
Cilíndrico
z z
= (s) n = n1
Partícula de fluido
norte n = 0
V (2)
V
s
(1) Streamlines
X X
(a) (B)
■ Figura 3.1 (a) Fluir en el x – z avión. (B) Flujo en términos de líneas aerodinámicas y coordenadas normales.

3.1 Segunda ley de Newton 103
Coordenadas "aerodinámicas" basadas en las líneas aerodinámicas como se ilustra en la Fig. 3.1B. El movimiento de las
partículas se describe en términos de su distancia, ss1t2, a lo largo de la línea de corriente desde algún origen
conveniente y el radio de curvatura local de la línea de corriente, rr1s2. La distancia a lo largo de la línea de corriente
está relacionada con la velocidad de la partícula por V ds dt, y el radio de curvatura está relacionado con la forma de la
línea de corriente. Además de la coordenada a lo largo de la línea de corriente,s, la coordenada normal a la línea de
corriente, norte, como se muestra en la Fig. 3.1B, será de utilidad.
Para aplicar la segunda ley de Newton a una partícula que fluye a lo largo de su línea de corriente, debemos escribir la
aceleración de la partícula en términos de las coordenadas de la línea de corriente. Por definición, la aceleración es la tasa de
cambio en el tiempo de la velocidad de la partícula,a DVdt. Para flujo bidimensional en el x – z
plano, la aceleracin tiene dos componentes: uno a lo largo de la lnea de as, la aceleración en sentido de la
corriente, y una normal a la línea de corriente, anorte, la aceleración normal.
La aceleración en sentido de la corriente resulta del hecho de que la velocidad de la partícula generalmente varía
a lo largo de la línea de corriente, VV1s2. Por ejemplo, en la figura 3.1a la velocidad puede ser de 50 pies s en el punto 11
2 y 100 ft s en el punto 122. Así, mediante el uso de la regla de diferenciación de la cadena, la s componente de la
aceleración viene dada por as dV dt 10V 0s2 1ds dt2 10V 0s2V. Hemos usado
el hecho de que la velocidad es la tasa de cambio de la distancia en el tiempo, V ds dt. Tenga en cuenta que la
aceleración en sentido de la corriente es el producto de la tasa de cambio de velocidad con la distancia a lo largo de la
línea de corriente, 0V 0s, y la velocidad, V. Ya que 0V 0s puede ser positiva, negativa o cero, la aceleración en sentido de
la corriente puede, por lo tanto, ser positiva (aceleración), negativa (desaceleración) o cero (velocidad constante).
El componente normal de la aceleración, la aceleración centrífuga, se da en términos de la velocidad de la
partícula y el radio de curvatura de su trayectoria. Por lo tanto,anorte V2 r, donde ambos V y r puede variar a lo
largo de la línea de corriente. Estas ecuaciones para la aceleración deben ser familiares por el estudio del movimiento
de partículas en física.1Árbitro. 22 o dinámica 1Árbitro. 12. En el Capítulo 4 se puede encontrar una derivación y una
discusión más completas de estos temas.
Así, los componentes de la aceleración en el s y norte direcciones, as y anorte, son dadas por
Partículas de fluido ac-
celerate normal a
y a lo largo de la corriente
líneas.
V3.1 Streamlines
más allá de un perfil aerodinámico
as = unnorte = 0
0V
0s
V2
r
as V , anorte (3,1)
as > 0
donde r es el radio de curvatura local de la línea de corriente, y s es la distancia medida a lo largo de la línea de corriente
desde algún punto inicial arbitrario. En general, hay aceleración a lo largo de la línea de corriente.1porque la velocidad
de la partícula cambia a lo largo de su trayectoria, 0V 0s 02 y aceleración normal a la
línea de corriente 1porque la partícula no fluye en línea recta, r q2. Varios flujos y el ac-
Las celebraciones asociadas con ellos se muestran en la figura al margen. Como se discutió en la Sección 3.6.2, para un flujo
incompresible, la velocidad es inversamente proporcional al espaciamiento de la línea de corriente. Por tanto, las líneas de
corriente convergentes producen una aceleración positiva en sentido de corriente. Para producir esta aceleración debe haber
una fuerza neta distinta de cero sobre la partícula de fluido.
Determinar las fuerzas necesarias para producir un flujo dado. 1o por el contrario, qué flujo resulta de un
conjunto dado de fuerzas2, consideramos el diagrama de cuerpo libre de una pequeña partícula de fluido como
se muestra en la figura 3.2. La partícula de interés se retira de su entorno, y las reacciones del entorno sobre la
partícula se indican mediante las fuerzas apropiadas presentes,F1, F2, Etcétera. Para el presente caso, se supone
que las fuerzas importantes son la gravedad y la presión. Otras fuerzas,
as < 0
anorte > 0
z
Partícula de fluido
F4 F5
as > 0, anorte > 0
Línea de corriente
gramo
F1 F2
F3
X
■ Figura 3.2 Aislamiento de una pequeña partícula de fluido en un campo de flujo. (Foto cortesía de Diana
Planeadores.)

tales como fuerzas viscosas y efectos de tensión superficial, se suponen insignificantes. La aceleración de la gravedad,
gramo, se asume que es constante y actúa verticalmente, en sentido negativo z dirección, en un ángulo tu relativo a lo
normal a la línea de corriente.
F metroa
Considere la pequeña partícula de fluido de tamaño Ds por Dnorte en el plano de la figura y Dy normal a la figura como se
muestra en el diagrama de cuerpo libre de la Fig. 3.3. Los vectores unitarios a lo largo y normales a la línea de corriente se
indican mediante ŝ y n̂, respectivamente. Para un flujo constante, el componente de la segunda ley de Newton a lo largo de la
dirección de la línea de corriente,s, Se puede escribir como
0V
0s
0V
0s
a DFs
Dmamás Dm V rdVV (3,2)
donde gramo DFs representa la suma de la s componentes de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, que tiene
masa Dmetro rdV, y V 0V 0s es la aceleración en el s dirección. Aquí,DV Ds Dnorte Dy es
el volumen de partículas. La ecuación 3.2 es válida tanto para fluidos compresibles como incompresibles. Es decir, no es
necesario que la densidad sea constante en todo el campo de flujo.
La fuerza de gravedad 1peso2 en la partícula se puede escribir como Dw
el peso específico del fluido 1lb ft3 o N m32. Por tanto, la componente de la fuerza de peso en la dirección
de la línea de corriente es
gdV, donde gramo rgramo es
Dws Dw pecado tu gdV pecado tu
0, y no hay ningún componente de
En un fluido que fluye,
la presión varía
desde un lugar
a otro.
Si la línea de corriente es horizontal en el punto de interés, entonces tu
peso de partícula a lo largo de la línea de corriente para contribuir a su aceleración en esa dirección.
Como se indica en el Capítulo 2, la presión no es constante en un fluido estacionario. 1§pags debido al peso del
fluido. Asimismo, en un fluido que fluye, la presión no suele ser constante. En general, para un flujo constante,páginas1
s, n2. Si la presión en el centro de la partícula que se muestra en la figura 3.3 se denota como pags, entonces su valor
promedio en las dos caras de los extremos que son perpendiculares a la línea de corriente son pags
Dpagss y pags Dpagss. Dado que la partícula es "pequeña", podemos usar una expansión de la serie de Taylor de un término
para el campo de presión 1como se hizo en el Capítulo 2 para las fuerzas de presión en fluidos estáticos2 para obtener
02
0pags Ds
0s 2
Dpagss
gramo
(p + pagsnorte) s y
sy = 0
Partícula gruesanorteess = y
(p + ps) Nueva York
norte
s
s
norte
norte
s
s y = 0
(pags - pagss) norte y
norte
z ■ Figura 3.3 Cuerpo libre
s (pags - pagsnorte) s y diagrama de una partícula de fluido
cuyas fuerzas importantes son las
debidas a la presión y la gravedad.
z
Normal a streamlinortemi
Alonorteg streamlinortemi

3.2 F metroa lo largo de un Streamline 105
Por tanto, si DFPD es la fuerza de presión neta sobre la partícula en la dirección de la línea de corriente, se sigue que
DFPD 1pags Dpagss2 Dnorte Dy 1pags Dpagss2 Dnorte Dy 2 Dpagss Dnorte Dy
La presión neta
la fuerza sobre una
partícula está determinada
por el gradiente de presión.
0pags
0s
0pags
Ds Dnorte Dy
0s
DV
Tenga en cuenta que el nivel real de presión, pags, no es importante. Lo que produce una fuerza de presión neta
es el hecho de que la presión no es constante en todo el fluido. El gradiente de presión distinto de cero,§pags
0pags 0s ŝ 0pags 0n n̂, es lo que proporciona una fuerza de presión neta sobre la partícula. Fuerzas viscosas
representado por tds Dy, son cero, ya que el fluido es no viscoso.
Por lo tanto, la fuerza neta que actúa en la dirección de la línea de corriente sobre la partícula que se muestra en la figura 3.3 está dada por
0pags
0s
a DFs
Dws DFPD a gramo pecado tu B DV (3,3)
Combinando las Ecs. 3.2 y 3.3, obtenemos la siguiente ecuación de movimiento a lo largo de la dirección de la línea de
corriente:
0pags
0s
0V
0s
gramo pecado tu rV ras (3,4)
Hemos dividido el factor de volumen de partículas común, DV, que aparece tanto en la parte de fuerza como en
la de aceleración de la ecuación. Esta es una representación del hecho de que es la densidad del fluido1masa
por unidad de volumen2, no la masa, per se, de la partícula de fluido que es importante.
La interpretación física de la ecuación. 3.4 es que un cambio en la velocidad de las partículas del fluido se logra
mediante la combinación apropiada de gradiente de presión y peso de partículas a lo largo de la línea de corriente. Para
situaciones de fluido estático, este equilibrio entre las fuerzas de presión y de gravedad es tal que no se produce ningún
cambio en la velocidad de las partículas, el lado derecho de la Ec. 3.4 es cero y la partícula permanece estacionaria. En
un fluido que fluye, las fuerzas de presión y peso no necesariamente se equilibran; el desequilibrio de fuerzas
proporciona la aceleración adecuada y, por lo tanto, el movimiento de las partículas.
EJEMPLO 3.1 Variación de presión a lo largo de una línea de corriente
DADO Considere el flujo constante, invisible e incompresible a lo largo de la línea
de corriente horizontal A – B delante de la esfera de radio a, como se muestra en la
Fig. E3.1una. A partir de una teoría más avanzada del flujo que pasa por una
esfera, la velocidad del fluido a lo largo de esta línea de corriente es
ENCONTRAR Determine la variación de presión a lo largo de la línea de corriente
desde el punto A muy por delante de la esfera 1XA
punto B en la esfera 1XB a y VB
y VA V02 a
02.
a3
X3
V V0 a1 B 1 Vo
como se muestra en la Fig. E3.1B. 0,75 Vo
z
V 0,5 Vo
VA = V ˆ
OI V = Vî VB = 0
0,25 Vo
B X
A a
0
- 3a - 2a - 1a 0
X
(B)
(a)
∂_pags_
∂X
pags
0,610 V 2/
0 a 0,5 V 20
- 3a - 2a - a 0 X - 3a - 2a - a 0
X
(C) (D) ■ Figura E3.1

OLUCIÓN
Dado que el flujo es constante e no viscoso, la ecuación. 3.4 es válido. Además, dado que
la línea de corriente es horizontal, el pecadotu pecado 0 °
ecuación de movimiento a lo largo de la línea de corriente se reduce a
Esta variación se indica en la Fig. E3.1C. Se ve que la presión
aumenta en la dirección del flujo. 10pags 0X 7 02 desde el punto A
apuntar B. El gradiente de presión máximo 10,610 rV2
un poco por delante de la esfera 1X 1.205a2. Es la presion
0 y el
0 a2 ocurre
0pags
0s
0V
0s
rV (1) gradiente que ralentiza el fluido desde VA V0 a VB 0 como
se muestra en la Fig. E3.1B.
La distribución de presión a lo largo de la línea de corriente se puede obtener
integrando la Ec. 2 depags 0 1calibrar2 en X
ubicación X. El resultado, representado en la Fig. E3.1D, es
Con la variación de velocidad dada a lo largo de la línea de corriente, el
término de aceleración es presionar pags en
0V
0s
0V
0X
a3
X3
3V a3
X4
V V V0 a1 licenciado en Letras
0 B a 1hacha26
X 2
3
pags rV2
0 taxi D (Respuesta)
a
X3
3
a
X4
3
3V 2
0 a1 B
COMENTARIO La presión en B, un punto de estancamiento desde VB
0, es la presión más alta a lo largo de la línea de corriente 1 pagsB rV2
Como se muestra en el Capítulo 9, este exceso de presión en el frente de la esfera
1es decir, pagsB 7 02 contribuye a la fuerza de arrastre neta sobre la esfera. Tenga
en cuenta que el gradiente de presión y la presión son directamente
proporcionales a la densidad del fluido, una representación del hecho de que la
inercia del fluido es proporcional a su masa.
donde hemos reemplazado s por X ya que las dos coordenadas son idénticas
1dentro de una constante aditiva2 a lo largo de la línea aerodinámica A – B.
Resulta que V 0V 0s 6 0 a lo largo de la línea de corriente. El fluido se
ralentiza desdeV0 muy por delante de la esfera a velocidad cero en la "nariz"
de la esfera 1xa2.
Por lo tanto, de acuerdo con la Ec. 1, para producir el movimiento dado, el gradiente
de presión a lo largo de la línea de corriente es
0 22.
0pags 3ra3V20 11 a3 X32
(2)
0X X4
F l tu I D s I norte t h mi norte mi w s
Forma incorrecta de la gota de lluvia La representación incorrecta de que las
gotas de lluvia tienen forma de lágrima se encuentra en casi todas partes,
desde libros para niños hasta mapas meteorológicos en Weather Channel.
Casi el único momento en que las gotas de lluvia poseen la forma típica de
lágrima es cuando corren por el cristal de una ventana. La forma real de una
gota de lluvia que cae es una función del tamaño de la gota y resulta del
equilibrio entre las fuerzas de tensión superficial y la presión del aire
ejercida sobre la gota que cae. Las gotas pequeñas con un radio de menos
de aproximadamente 0,5 mm tienen una forma esférica porque el efecto de
tensión superficial (que es inversamente proporcional a la caída
tamaño) gana sobre el aumento de presión, rV 2 0 2, causado por el
movimiento de la gota y ejercido sobre su fondo. Con el aumento de
tamaño, las gotas caen más rápido y el aumento de presión hace que
las gotas se aplanen. Una gota de 2 mm, por ejemplo, se aplana en
forma de pan de hamburguesa. Las gotas un poco más grandes son en
realidad cóncavas en la parte inferior. Cuando el radio es superior a
unos 4 mm, la depresión del fondo aumenta y la gota toma la forma de
una bolsa invertida con un anillo anular de agua alrededor de su base.
Este anillo finalmente se rompe en gotas más pequeñas.
Streamlinortemi
n = conortestanortet
s p = p (s)
La ecuación 3.4 se puede reorganizar e integrar de la siguiente manera. Primero, observamos en la figura 3.3 que a lo largo de la
línea de corriente sentu dz ds. Tambien podemos escribir V dVds
valor de norte es constante 1dn 02 de modo que dp 10pags 0s2 ds
cated por la figura en el margen, a lo largo de una línea de corriente dada p (s, n)
ideas combinadas con Eq. 3.4 dar el siguiente resultado válido a lo largo de una línea de corriente
1
2D1V22 ds. Finalmente, a lo largo de la línea de
10pags 0norte2 dn 10pags 0s2 ds. Por tanto, como indi-
PD) y 0pags 0s
norte
dp ds. Estos
dz
ds
dp
ds
1
2
D1V22
ds
gramo r
Esto simplifica a
1
2
Para constante, no viscoso
fluir la suma de
cierta presión,
velocidad y elevación
efectos es constante a
lo largo de un
línea de corriente.
dp rD1V22 gramo dz 0 1a lo largo de una línea de corriente2 (3,5)
que, para una aceleración constante de la gravedad, se puede integrar para dar
dp
r
1
2
V2 gz C 1a lo largo de una línea de corriente2 (3,6)
donde C es una constante de integración que será determinada por las condiciones en algún punto de la línea de
corriente.

3.2 F metroa lo largo de un Streamline 107
En general, no es posible integrar el término de presión porque la densidad puede no ser constante y,
por lo tanto, no puede eliminarse de debajo del signo integral. Para llevar a cabo esta integración debemos
conocer específicamente cómo varía la densidad con la presión. Esto no siempre se determina fácilmente. Por
ejemplo, para un gas perfecto, la densidad, la presión y la temperatura están relacionadas de acuerdo con r
p RT, donde R es la constante del gas. Para saber cómo varía la densidad con la presión, también debemos
conocer la variación de temperatura. Por ahora asumiremos que la densidad y el peso específico son constantes
1flujo incompresible2. La justificación de este supuesto y las consecuencias de la compresibilidad se
considerarán más a fondo en la Sección 3.8.1 y más detalladamente en el Capítulo 11.
Con el supuesto adicional de que la densidad permanece constante 1una muy buena suposición para
líquidos y también para gases si la velocidad "no es demasiado alta"2, Eq. 3.6 asume la siguiente representación
simple para flujo constante, no viscoso e incompresible.
Equilibrio V3.2
bola
pags
1
2rV2 gramoz constante a lo largo de la línea de corriente (3,7)
Este es el celebrado Ecuación de Bernoulli—Una herramienta muy poderosa en mecánica de fluidos. En 1738 Daniel
Bernoulli11700-17822 publicó su Hidrodinámica en el que apareció por primera vez un equivalente de esta famosa
ecuación. Para usarlo correctamente debemos recordar constantemente los supuestos básicos utilizados en su
derivación:112 los efectos viscosos se suponen insignificantes, 122 se supone que el flujo es constante, 132 se supone
que el flujo es incompresible, y 142 la ecuación es aplicable a lo largo de una línea de corriente. En la derivación de la
ecuación. 3.7, asumimos que el flujo tiene lugar en un plano1el x – z avión2. En general, esta ecuación es válida tanto
para planar como para no planar. 1tridimensional2 flujos, siempre que se aplique a lo largo de la línea de corriente.
Proporcionaremos muchos ejemplos para ilustrar el uso correcto de la ecuación de Bernoulli y
mostraremos cómo una violación de los supuestos básicos utilizados en la derivación de esta ecuación puede
llevar a conclusiones erróneas. La constante de integración en la ecuación de Bernoulli se puede evaluar si se
conoce suficiente información sobre el flujo en un lugar a lo largo de la línea de corriente.
V3.3 Fluye más allá de un
motociclista
EJEMPLO 3.2 La ecuación de Bernoulli
DADO Considere el flujo de aire alrededor de un ciclista que se mueve a través del
aire quieto con velocidad V0, como se muestra en la Fig. E3.2.
V2 = 0
(2)
V1 = V0
(1)
ENCONTRAR Determinar la diferencia de presión entre puntos. 11
2 y 122.
OLUCIÓN
En una coordenada fijada al suelo, el flujo es inestable a medida que pasa el
ciclista. Sin embargo, en un sistema de coordenadas fijado a la bicicleta,
parece que el aire fluye de manera constante hacia el ciclista con velocidadV
0. Dado que el uso de la ecuación de Bernoulli está restringido a flujos
estables, seleccionamos el sistema de coordenadas fijo a la bicicleta. Si los
supuestos de la ecuación de Bernoulli son válidos1flujo constante,
incompresible, no viscoso2, Eq. 3.7 se puede aplicar de la siguiente manera a
lo largo de la línea de corriente que pasa por112 y 122
■ Figura E3.2
la distribución de la velocidad a lo largo de la línea de corriente, V1s2, se conocía.
La ecuación de Bernoulli es una integración general deF determinar pags2
no es necesario el ion, sólo las "condiciones de contorno" en 112 y 122 son
requeridos. Por supuesto, el conocimiento del valor deV a lo largo de la línea
de corriente es necesario para determinar la presión en los puntos entre 112
y 122. Tenga en cuenta que si medimos pags2
termine la velocidad, V Como se discutió en la Sección 3.5, este es el
principio en el que se basan muchos dispositivos de medición de
velocidad.
Si el ciclista estuviera acelerando o desacelerando, el flujo
sería inestable 1es decir, V0 constante2 y el análisis anterior sería
incorrecto ya que la Ec. 3.7 está restringido a flujo constante.
metrouna. A
conocimiento de la distribución de velocidad detallada
pags1
1
2rV21 gramoz1 pags2
1 pags1,
2rV22 gramoz2
Consideramos 112 estar en la corriente libre para que V1
estar en la punta de la nariz del ciclista y asumir que z1
V2 0 1Ambos, como se discute en la Sección 3.4, son supuestos
razonables2. De ello se deduce que la presión en 122 es mayor que en
112 por una cantidad
V0 y 122 a
z2 y
pags1podemos de-
0.
pags2 pags1
1 2 1 2
2rV1 2rV0 (Respuesta)
COMENTARIOS Se obtuvo un resultado similar en el ejemplo 3.1
integrando el gradiente de presión, que se conocía porque

La diferencia en la velocidad del fluido entre dos puntos en un campo de flujo, V1 y V2, a menudo se puede
controlar mediante restricciones geométricas apropiadas del fluido. Por ejemplo, una boquilla de manguera de jardín
está diseñada para dar una velocidad mucho más alta en la salida de la boquilla que en su entrada donde está
conectada a la manguera. Como se muestra en la ecuación de Bernoulli, la presión dentro de la manguera debe ser
mayor que en la salida.1para elevación constante, un aumento en la velocidad requiere una disminución en la presión si
Eq. 3.7 es válido2. Es esta caída de presión la que acelera el agua a través de la boquilla. De manera similar, un perfil
aerodinámico está diseñado para que la velocidad del fluido sobre su superficie superior sea mayor1en el promedio2
que eso a lo largo de su superficie inferior. De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, por lo tanto, la presión promedio
en la superficie inferior es mayor que la de la superficie superior. Se produce una fuerza ascendente neta, la elevación.
F metroa
En esta sección consideraremos la aplicación de la segunda ley de Newton en una dirección normal a la línea de
corriente. En muchos flujos, las líneas de corriente son relativamente rectas, el flujo es esencialmente
unidimensional y las variaciones en los parámetros a lo largo de las líneas de corriente.1en la dirección normal2
a menudo puede pasarse por alto en comparación con las variaciones a lo largo de la línea de corriente. Sin
embargo, en muchas otras situaciones se puede obtener información valiosa considerandoF metroa normal a
las líneas de corriente. Por ejemplo, la devastadora región de baja presión en el centro de un tornado se
puede explicar aplicando la segunda ley de Newton a través de las líneas de corriente casi circulares del
tornado.
Volvemos a considerar el equilibrio de fuerzas sobre la partícula de fluido que se muestra en la figura 3.3 y la
figura del margen. Esta vez, sin embargo, consideramos componentes en la dirección normal, n̂, y escribimos la
segunda ley de Newton en esta dirección como
V3.4 hidrociclón
separador
Dm V2
r
rdVV2
r
a DFnorte
(3,8)
donde gramo DFnorte representa la suma de norte componentes de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula y Dmetro es la
masa de partículas. Suponemos que el flujo es estable con una aceleración normal.anorte
el radio local de curvatura de las líneas de corriente. Esta aceleración se produce por el cambio en la dirección de la velocidad de
la partícula a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria curva.
Nuevamente asumimos que las únicas fuerzas importantes son la presión y la gravedad. El componente
del peso1fuerza de gravedad2 en la dirección normal es
2
norte
V r, donde r es
V
metro
Dwnorte Dw porque tu gdV porque tu
90 °, y no hay ningún componente de la par-
Si la línea de corriente es vertical en el punto de interés, tu
ticle peso normal a la dirección del flujo para contribuir a su aceleración en esa dirección.
Si la presión en el centro de la partícula es pags, entonces sus valores en la parte superior e inferior de la
partícula son pags Dpagsnorte y pags Dpagsnorte, donde Dpagsnorte 10pags 0norte2 1Dnorte 22. Por tanto, si DF es la fuerza de presión neta
sobre la partícula en la dirección normal, se sigue que
Aplicar F
normal a la transmisión
líneas, lo normal
componentes de
se necesita fuerza.
metroa
pn
DFpn 1 pags Dpagsnorte2 Ds Dy 1 pags Dpagsnorte2 Ds Dy 2 Dpagsnorte Ds Dy
0pags
0norte
0pags
0norte
Ds Dnorte Dy DV
V3.5 Ala de avión
vórtice de punta
Por tanto, la fuerza neta que actúa en la dirección normal sobre la partícula que se muestra en la figura 3.3 está dada por
0pags
0norte
a DFnorte
Dwnorte DFpn a gramo porque tu B DV (3,9)
Combinando las Ecs. 3.8 y 3.9 y utilizando el hecho de que a lo largo de una línea normal a la línea de corriente costu
dz dn 1ver Fig. 3.32, obtenemos la siguiente ecuación de movimiento a lo largo de la dirección normal:
dz
dn
0pags
0norte
rV2
r
gramo (3.10a)

3.3 F metrode normal a aerodinámico 109
La interpretación física de la ecuación. 3.10 es que un cambio en la dirección del flujo de una partícula de fluido1
es decir, un camino de curvas, r 6 q2 se logra mediante la combinación apropiada de gradiente de presión y peso de
partícula normal a la línea de corriente. Una mayor velocidad o densidad o un radio de curvatura más pequeño del
movimiento requiere un mayor desequilibrio de fuerza para producir el movimiento. Por ejemplo, si se descuida la
gravedad1como se hace comúnmente para los flujos de gas2 o si el flujo es en horizontal 1dz dn
02 plano, Eq. 3.10 se convierte en
Peso y / o presión
seguro que puede producir
líneas de corriente curvas.
0pags
0norte
rV2
r
(3.10b)
Esto indica que la presión aumenta con la distancia desde el centro de curvatura. 10pags 0norte es
negativo ya que rV2 r es positivo - el positivo norte la dirección apunta hacia el "interior" de la línea de
corriente curva2. Por lo tanto, la presión fuera de un tornado 1presión atmosférica típica2 es más grande
que cerca del centro del tornado 1donde puede ocurrir un vacío parcial a menudo peligrosamente bajo2.
Esta diferencia de presión es necesaria para equilibrar la aceleración centrífuga asociada con las líneas
de corriente curvas del movimiento del fluido. (Consulte la Fig. E6.6a en la Sección 6.5.3.)
V3.6 Vórtice libre
EJEMPLO 3.3 Variación de presión normal a una línea aerodinámica
DADO Mostrado en las Figs. E3.3a, b son dos campos de flujo con líneas de
corriente circulares. Las distribuciones de velocidad son
y y
V = (V0/ r0) r V = (V0r0) /r
V1r2 1V0 /r02r en caso (a)
y
1V0 r02
r
X X
r =
V1r2 en caso (B)
norte
(a) (B)
donde V0 es la velocidad en r r0.
6
ENCONTRAR Determine las distribuciones de presión,
pags Dado que páginas0 en rr0.
p (r), para cada,
(a)
4
2
OLUCIÓN p - p0
0
Suponemos que los flujos son estables, no viscosos e incompresibles con
líneas de corriente en el plano horizontal (dz / dn 0). Porque el
las líneas de corriente son círculos, la coordenada norte puntos en una dirección
opuesta a la de la coordenada radial, ∂ / ∂norte ∂ / ∂r, y el radio
de curvatura viene dada por r r. Por tanto, la ecuación. 3.10b se convierte en
V 2
0/ 2
(B)
2
4
6
0pags
0r
rV2
r
0 0,5 1 1,5 2 2,5
r / r0
(C)
En caso (a) esto da
0pags
0r
■ Figura E3.3
r1V0 /r022r
mientras que para el caso (B) da
en caso (a) y
0pags
0r
r1V0 r022
r 3
pags
en caso (B). Estas distribuciones de presión se muestran en la Fig. E3.3C.
pags0 1rV2
0 22 3 1 1r0 /r22 4 (Respuesta)
En cualquier caso, la presión aumenta a medida que r aumenta desde ∂pags/∂r
Integración de estas ecuaciones con respecto a r, comenzando con una presión
conocida pags
0.
pags0 en r
pags0
r0, da COMENTARIO Las distribuciones de presión necesarias para equilibrar las
aceleraciones centrífugas en los casos (a) y (B) no son iguales porque las
distribuciones de velocidad son diferentes. De hecho, para el caso (a) el
pags 1rV2
0 22 3 1r / r022 14 (Respuesta)

la presión aumenta sin límite como r → q, mientras que para el caso (B) la
presión se acerca a un valor finito como r → q. Sin embargo, los patrones de
simplificación son los mismos para cada caso.
Físicamente, caso (a) representa la rotación de un cuerpo rígido (como se obtiene en
una lata de agua en un plato giratorio después de haber sido "girado") y
caso (B) representa un vórtice libre (una aproximación a un tornado, un
huracán o el remolino de agua en un desagüe, el "vórtice de la bañera").
Consulte la Fig. E6.6 para ver una aproximación de este tipo de flujo.
Si multiplicamos la ecuación. 3.10 pordn, usa el hecho de que 0pags 0norte
a través de la línea de corriente 1en el norte dirección2 obtenemos
dp dn Si s es constante, e integra
La suma de presión,
elevación y
efectos de velocidad es
constante a través
racionaliza.
dp
r
V2
r
dn gz constante a través de la línea de corriente (3,11)
Para completar las integraciones indicadas, debemos saber cómo varía la densidad con la presión y cómo
varía la velocidad del fluido y el radio de curvatura con norte. Para flujo incompresible, la densidad es
constante y la integración que involucra el término de presión da simplemente pags r. Sin embargo,
todavía nos queda la integración del segundo término en la ecuación. 3.11. Sin conocer elnorte
dependencia en VV1s, n2 y rr1s, n2 esta integración no se puede completar.
Por lo tanto, la forma final de la segunda ley de Newton aplicada a través de las líneas de corriente para un flujo
constante, no viscoso e incompresible es
V2
r
pags
r dn gramoz constante a través de la línea de corriente (3,12)
Al igual que con la ecuación de Bernoulli, debemos tener cuidado de que los supuestos involucrados en la
derivación de esta ecuación no se violen cuando se utilice.
En las dos secciones anteriores, desarrollamos las ecuaciones básicas que gobiernan el movimiento de los
fluidos bajo un conjunto bastante estricto de restricciones. A pesar de los numerosos supuestos impuestos a
estos flujos, se pueden analizar fácilmente una variedad de flujos con ellos. Una interpretación física de las
ecuaciones será de ayuda para comprender los procesos involucrados. Con este fin, reescribimos las
ecuaciones. 3.7 y 3.12 aquí e interpretarlos físicamente. Aplicación deF
metroa a lo largo y normal a la línea aerodinámica
resultados en
pags
1 2
2rV gramoz constante a lo largo de la línea de corriente (3,13)
y
V2
r
pags
r dn gramoz constante a través de la línea de corriente (3,14)
z
como lo indica la figura al margen.
Se hicieron las siguientes suposiciones básicas para obtener estas ecuaciones: El flujo es estable y
el fluido es invisible e incompresible. En la práctica, ninguna de estas suposiciones es exactamente cierta.
p + 1 rV2 + gramoz
2
= constante
Una violación de uno o más de los supuestos anteriores es una causa común para obtener una
coincidencia incorrecta entre el "mundo real" y las soluciones obtenidas mediante el uso de la ecuación de
Bernoulli. Afortunadamente, muchas situaciones del "mundo real" se modelan adecuadamente mediante el uso
de las ecuaciones. 3.13 y 3.14 porque el flujo es casi constante e incompresible y el fluido se comporta como si
fuera casi invisible.
La ecuación de Bernoulli se obtuvo mediante la integración de la ecuación de movimiento a lo largo de la
dirección coordenada "natural" de la línea de corriente. Para producir una aceleración, debe haber un desequilibrio de
las fuerzas resultantes, de las cuales solo se consideraron importantes la presión y la gravedad. Por lo tanto,
p + r V2
= constante
dn + gramoz

3.4 Interpretación física 111
Hay tres procesos involucrados en el flujo: la masa por la aceleración. 1el rV 2 2 término2, presión 1el pags
término2, y el peso 1el gramoz término2.
Integración de la ecuación de movimiento para dar la ecuación. 3.13 corresponde en realidad al principio de la
energía de trabajo que se utiliza a menudo en el estudio de la dinámica [ver cualquier texto de dinámica estándar1
Árbitro. 12]. Este principio resulta de una integración general de las ecuaciones de movimiento de un objeto de una
manera muy similar a la que se hizo para la partícula de fluido en la sección 3.2. Con ciertas suposiciones, una
declaración del principio trabajo-energía se puede escribir de la siguiente manera:
El trabajo realizado en una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al cambio
de la energía cinética de la partícula.
La ecuación de Bernoulli es un enunciado matemático de este principio.
A medida que la partícula de fluido se mueve, tanto la fuerza de gravedad como la de presión actúan sobre la partícula.
Recuerde que el trabajo realizado por una fuerza es igual al producto de la distancia que recorre la partícula por la componente
de la fuerza en la dirección del viaje.1es decir, trabajo F d2. Los términos gramoz y pags en Eq. 3,13
están relacionados con el trabajo realizado por las fuerzas de peso y presión, respectivamente. El término
restante, rV 2 2, obviamente está relacionado con la energía cinética de la partícula. De hecho, un método
alternativo para derivar la ecuación de Bernoulli es usar la primera y segunda leyes de la termodinámica.1las
ecuaciones de energía y entropía2, en lugar de la segunda ley de Newton. Con las restricciones apropiadas, la
ecuación de energía general se reduce a la ecuación de Bernoulli. Este enfoque se analiza en la Sección 5.4.
Una forma alternativa pero equivalente de la ecuación de Bernoulli se obtiene dividiendo cada término de la
ecuación. 3,7 por el peso específico,gramo, para obtener
El Bernoulli
la ecuación puede ser
escrito en términos
de alturas llamado
cabezas.
pags
gramo
V2
2gramo
z constante en una línea de corriente
Cada uno de los términos en esta ecuación tiene las unidades de energía por peso 1LF F
metros2 y representa un cierto tipo de cabeza.
El término de elevación, z, está relacionado con la energía potencial de la partícula y se llama cabeza de
elevación. El término de presión, pags gramo, se llama el cabeza de presión y representa la altura de una columna del
fluido que se necesita para producir la presión pags. El término de velocidad, V 2 2gramo, es el cabeza de velocidad y
representa la distancia vertical necesaria para que el fluido caiga libremente 1descuidar la fricción2 si es para alcanzar la
velocidad V del reposo. La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la altura de presión, la altura de velocidad y la
altura de elevación es constante a lo largo de una línea de corriente.
L2 o longitud 1pies,
EJEMPLO 3.4 Energía cinética, potencial y de presión
DADO Considere el flujo de agua de la jeringa que se muestra en la figura
E3.4.una. Como se indica en la Fig. E3.4B, una fuerza, F, aplicado a la
el émbolo producirá una presión mayor que la atmosférica en el punto
112 dentro de la jeringa. El agua fluye de la aguja, apunte122, con
velocidad relativamente alta y costa hasta el punto 132 en la cima de
su trayectoria.
(3)
ENCONTRAR Analice la energía del fluido en puntos 112, 122, y 132
utilizando la ecuación de Bernoulli.
gramo
(2)
Tipo de energía
(1)
Cinético
RV 2 2
Potencial
GRAMOz
Presión
pags
Punto
1
2
3
Pequeña
Grande
Cero
Cero
Pequeña
Grande
Grande
Cero
Cero
F
(a) (B)
■ Figura E3.4

OLUCIÓN
Si las suposiciones 1flujo constante, invisible e incompresible2 de la
ecuación de Bernoulli son aproximadamente válidas, entonces se
deduce que el flujo se puede explicar en términos de la partición de la
energía total del agua. Según Eq. 3.13, la suma de los tres tipos de
energía1cinética, potencial y presión2 o cabezas 1velocidad, elevación
y presión2 debe permanecer constante. La tabla de arriba indica la
magnitud relativa de cada una de estas energías en los tres puntos que
se muestran en la figura.
El movimiento da como resultado 1o se debe a2 un cambio en la
magnitud de cada tipo de energía a medida que el fluido fluye de un lugar a
otro. Una forma alternativa de considerar este flujo es la siguiente. El
gradiente de presión entre 112 y 122 produce una aceleración para expulsar
el agua de la aguja. Gravedad que actúa sobre la partícula entre122 y 132
produce una desaceleración para hacer que el agua se detenga
momentáneamente en la parte superior de su vuelo.
COMENTARIO Si la fricción 1viscoso2 efectos eran importantes,
habría una pérdida de energía entre 112 y 132 y por lo dado
pags1 el agua no podría alcanzar la altura indicada en la figura. Tal fricción
puede surgir en la aguja.1consulte el Capítulo 8 sobre el flujo de la tubería2
o entre la corriente de agua y el aire circundante 1consulte el Capítulo 9
sobre flujo externo2.
Armado con un chorro de agua para cazar El pez arquero, conocido por
su capacidad para derribar insectos que descansan sobre el follaje, es
como pistolas de agua submarinas. Con su hocico sobresaliendo del
agua, arrojan un chorro de agua a alta velocidad a su presa, tirándola a
la superficie del agua donde la atrapan para su comida. El cañón de su
pistola de agua se forma colocando su lengua contra una ranura en el
techo de su boca para formar un tubo. Al cerrar sus branquias, el agua
se fuerza a través del tubo y se dirige con la punta del
su lengua. El pez arquero puede producir unacabeza de presión dentro de sus
branquias lo suficientemente grandes como para que el chorro pueda alcanzar de
2 a 3 m. Sin embargo, tiene una precisión de solo 1 m. Investigaciones recientes
han demostrado que los peces arquero son muy hábiles para calcular dónde
caerán sus presas. En 100 milisegundos (un tiempo de reacción dos veces más
rápido que el de un humano), el pez ha extraído toda la información necesaria
para predecir el punto en el que la presa golpeará el agua. Sin más señales
visuales, carga directamente a ese punto.
Se requiere una fuerza neta para acelerar cualquier masa. Para un flujo constante, la aceleración puede
interpretarse como resultado de dos sucesos distintos: un cambio de velocidad a lo largo de la línea de corriente y un
cambio de dirección si la línea de corriente no es recta. La integración de la ecuación de movimiento a lo largo de la
línea de corriente explica el cambio en la velocidad1cambio de energía cinética2 y da como resultado la ecuación de
Bernoulli. La integración de la ecuación de movimiento normal a la línea de corriente explica la aceleración centrífuga1V
2 r2 y da como resultado la ecuación. 3.14.
Cuando una partícula de fluido viaja a lo largo de una trayectoria curva, se requiere una fuerza neta dirigida
hacia el centro de curvatura. Bajo los supuestos válidos para Eq. 3.14, esta fuerza puede ser gravedad o presión, o una
combinación de ambas. En muchos casos, las líneas de corriente son casi rectas.1r q2 de modo que
Los efectos centrífugos son insignificantes y la variación de presión a través de las líneas de corriente es meramente
hidrostática. 1solo por la gravedad2, aunque el fluido esté en movimiento.
La variación de presión
ción en línea recta
Streamlines es
hidrostático.
EJEMPLO 3.5 Variación de presión en una corriente que fluye
DADO El agua fluye en un tobogán de agua curvo y ondulado como se
muestra en la Fig. E3.5una. Como aproximación a este flujo, considere
z (4)
(3) h4-3
gramo
Superficie libre
(p = 0)
(2)
norte
h2-1
C D
(1)
A B
■ Figura E3.5
el flujo constante, incompresible y no viscoso que se muestra en la figura E3.5B. De
la sección A a B las líneas de corriente son rectas, mientras que desde C a D siguen
caminos circulares.
ENCONTRAR Describe la variación de presión entre puntos. 112 y 122
y puntos 132 y 142.
■ Figura E3.5 (Foto cortesía de Schlitterbahn®
Parques acuáticos.)

3.5 Presión estática, estancada, dinámica y total 113
OLUCIÓN
Con los supuestos anteriores y el hecho de que r
ción de A a B, Eq. 3.14 se convierte en
para el por- Con pags4 0 y z4 z3 h4-3 esto se convierte en
z4 V2
pags
gramoz constante
pags3 gramoh4-3 r dz (Respuesta)
r
z3
La constante se puede determinar evaluando las variables conocidas en las
dos ubicaciones usando pags2 0 1calibrar2, z1 0, y z2
Para evaluar la integral, debemos conocer la variación de V y r con z.
Incluso sin esta información detallada, notamos que la integral tiene
un valor positivo. Por lo tanto, la presión en132 es menor que el valor
hidrostático, gramoh4-3, por una cantidad igual a r z4 1V2 r2 dz. Esta
presión más baja, causada por la línea de corriente curva, es necesaria
para acelerar el fluido alrededor de la trayectoria curva.
h2-1 dar
pags1pags2gramo1z2z12 pags2 gramoh2-1 (Respuesta)
z3
Tenga en cuenta que dado que el radio de curvatura de la línea de corriente es
infinito, la variación de presión en la dirección vertical es la misma que si el fluido
estuviera estacionario.
Sin embargo, si aplicamos la ecuación. 3.14, entre puntos132 y 142,
obtenemos 1utilizando dn
COMENTARIO Tenga en cuenta que no aplicamos la ecuación de Bernoulli 1Eq.
3,132 a través de las líneas de corriente desde 112 a 122 o 132 a 142. Más bien
usamos la ecuación. 3.14. Como se analiza en la Sección 3.8, la aplicación de la
ecuación de Bernoulli a través de líneas de corriente1en lugar de a lo largo de ellos
2 puede dar lugar a errores graves.
dz2
z4 V2
pags4 r 1 dz2 gramoz4 pags3 gramoz3
r
z3
Un concepto útil asociado con la ecuación de Bernoulli se ocupa del estancamiento y las presiones dinámicas.
Estas presiones surgen de la conversión de energía cinética en un fluido que fluye en un "aumento de presión" a
medida que el fluido se detiene.1como en el ejemplo 3.22. En esta sección exploramos varios resultados de este
proceso. Cada término de la ecuación de Bernoulli, Eq. 3.13, tiene las dimensiones de fuerza por unidad de área:
psi, lb ft2, N m2. El primer término,pags, es la presión termodinámica real del fluido a medida que fluye. Para
medir su valor, uno podría moverse junto con el fluido, siendo así "estático" en relación con el fluido en
movimiento. Por lo tanto, normalmente se denominapresión estática. Otra forma de medir la presión estática
sería perforar un agujero en una superficie plana y sujetar un tubo de piezómetro como lo indica la ubicación
del punto 132 en la Fig. 3.4. Como vimos en el ejemplo 3.5, la presión en el fluido que fluye en112 es pags1
pags3, lo mismo que si el fluido estuviera estático. De las consideraciones del manómetro
del Capítulo 2, sabemos que pags3 gramoh4-3. Por lo tanto, dado queh3-1 h resulta que pags1 gramoh.
El tercer término de la ecuación. 3,13,gramoz, se denomina el presion hidrostatica, obviamente con respecto a la
variación de la presión hidrostática discutida en el Capítulo 2. En realidad no es una presión, pero representa el cambio de
presión posible debido a las variaciones de energía potencial del fluido como resultado de los cambios de elevación.
El segundo término de la ecuación de Bernoulli, rV2 2, se denomina presión dinámica. Su interpretación
se puede ver en la Fig. 3.4 considerando la presión en el extremo de un pequeño tubo insertado en el flujo y
apuntando aguas arriba. Después de que el movimiento transitorio inicial haya desaparecido, el líquido llenará
el tubo hasta una altura deH como se muestra. El líquido del tubo, incluido el de la punta,122, estará
estacionario. Es decir,V2 0, o punto 122 es un punto de estancamiento.
Si aplicamos la ecuación de Bernoulli entre puntos 112 y 122, utilizando V2
z2, encontramos eso
Cada término de la
ecuación de Bernoulli
Puede ser interpretado
como una forma de
presión. gramoh3-1
h4-3
0 y asumiendo
ese z1
pags2 pags1
1
2rV 2
1
Abierto
(4) H
h h4-3
V
(3)
h3-1
(1)
V1 = V
(2)
V2 = 0
■ Figura 3.4 Medida de presiones estáticas y
de estancamiento.

Línea de estancamiento Punto de estancamiento
Punto de estancamiento
(a) (B)
■ Figura 3.5 Puntos de estancamiento.
Por tanto, la presión en el punto de estancamiento es mayor que la presión estática, pags1, por una cantidad
rV 2
1 2, la presión dinámica.
V3.7 Estancamiento
flujo puntual
Se puede demostrar que hay un punto de estancamiento en cualquier cuerpo estacionario que se coloca en un
fluido que fluye. Una parte del fluido fluye "por encima" y otra "por debajo" del objeto. La linea divisoria1o superficie
para flujos tridimensionales2 se denomina el estancamiento racionalizar y termina en el punto de estancamiento del
cuerpo. 1Vea la fotografía al comienzo del capítulo.2 Para objetos simétricos 1como una pelota de béisbol2 el punto de
estancamiento está claramente en la punta o en el frente del objeto, como se muestra en la Fig. 3.5una. Para otros
flujos, como un chorro de agua contra un automóvil, como se muestra en la figura 3.5.B, también hay un punto de
estancamiento en el coche.
Si se descuidan los efectos de elevación, presión de estancamiento, pags
obtenible a lo largo de una línea de corriente determinada. Representa la conversión de toda la energía cinética en un
aumento de presión. La suma de la presión estática, la presión hidrostática y la presión dinámica se denominapresión
total, pagsT. La ecuación de Bernoulli es una afirmación de que la presión total permanece constante a lo largo de una
línea de corriente. Es decir,
rV 2 2, es la presión más grande
pags
1
2rV2 gramoz pagsT constante a lo largo de una línea de corriente (3,15)
Nuevamente, debemos tener cuidado de que los supuestos utilizados en la derivación de esta ecuación sean apropiados
para el flujo que se está considerando.
Ojos presurizados Nuestros ojos necesitan una cierta cantidad de presión
interna para funcionar correctamente, siendo el rango normal entre 10 y 20
mm de mercurio. La presión está determinada por un equilibrio entre el
líquido que entra y sale del ojo. Si la presión está por encima del nivel
normal, se pueden producir daños en el nervio óptico donde sale del ojo, lo
que lleva a una pérdida del campo visual, lo que se denomina glaucoma. La
medición de la presión dentro del ojo se puede realizar mediante varios
tipos diferentes de instrumentos no invasivos.
mentos, todos los cuales miden la ligera deformación del globo ocular
cuando se aplica una fuerza sobre él. Algunos métodos utilizan una sonda
física que hace contacto con la parte frontal del ojo, aplica una fuerza
conocida y mide la deformación. Un método sin contacto utiliza una
"bocanada" de aire calibrada que se sopla contra el ojo. Elpresión de
estancamiento resultante del aire que sopla contra el globo ocular provoca
una ligera deformación, cuya magnitud se correlaciona con la presión
dentro del globo ocular. (Consulte el problema 3.28).
El conocimiento de los valores de las presiones estática y de estancamiento en un fluido implica que se puede
calcular la velocidad del fluido. Este es el principio sobre el queTubo de Pitot-estático se basa en [H. de Pitot
(1695-1771)]. Como se muestra en la Fig. 3.6, dos tubos concéntricos están conectados a dos manómetros1o un calibre
diferencial2 para que los valores de pags3 y pags4 1o la diferencia pags3 pags42 puede ser determinado. El
El tubo central mide la presión de estancamiento en su punta abierta. Si los cambios de elevación son insignificantes,
pags3 pags
1
2rV2

3.5 Presión estática, estancada, dinámica y total 115
(3)
(2) (1)
(4)
(1)
V
pags
(2)
(a) (B)
■ Figura 3.6 El tubo de Pitot-estático.
donde pags y V son la presión y la velocidad del fluido aguas arriba del punto 122. El tubo exterior está
hecho con varios orificios pequeños a una distancia adecuada de la punta para que midan la presión
estática. Si el efecto de la diferencia de elevación entre112 y 142 es insignificante, entonces
pags4 pags1
Al combinar estas dos ecuaciones vemos que
pags3
pags
Tubos de Pitot-estáticos
medir el fluido
velocidad por
conversión de velocidad
en presión.
pags4
1 2
2rV
que se puede reorganizar para dar
V 221 pags3 pags42 r (3,16)
La forma y el tamaño reales de los tubos estáticos de Pitot varían considerablemente. En la figura 3.7 se muestra una sonda estática de Pitot típica que
se utiliza para determinar la velocidad aerodinámica de la aeronave. (Ver Fig. E3.6a además.)
Tubos de Pitot obstruidos y obstruidos Aunque un Tubo de pitot es un dispositivo
simple para medir la velocidad del aire de una aeronave, muchos accidentes
aéreos han sido causados por lecturas inexactas del tubo de Pitot. La mayoría de
estos accidentes son el resultado de tener uno o más de los orificios bloqueados y,
por lo tanto, no indicar la presión (velocidad) correcta. Por lo general, esto se
descubre durante el despegue cuando el tiempo para resolver el problema es
corto. Las dos causas más comunes de tal bloqueo son que el piloto (o el personal
de tierra) se ha olvidado de quitar la cubierta protectora del tubo de Pitot o que los
insectos han construido
su nido dentro del tubo donde el control visual estándar no puede detectarlo. El
accidente más grave (en términos de número de víctimas mortales) causado por
un tubo Pitot bloqueado involucró a un Boeing 757 y ocurrió poco después del
despegue de Puerto Plata en República Dominicana. Los datos de velocidad aérea
incorrectos se enviaron automáticamente a la computadora, lo que provocó que el
piloto automático cambiara el ángulo de ataque y la potencia del motor. La
tripulación de vuelo quedó confundida por las falsas indicaciones; el avión se
detuvo y luego se hundió en el mar Caribe matando a todos los que estaban a
bordo.
Cuatro puertos de presión estática
Carcasa exterior calefactada
Estancamiento
puerto de presión
V3.8 Velocidad aérea
indicador
2 pulg.
Brida de montaje
Conexión a presión de estancamiento
Racor de presión estática
Conductores del calentador
(a) (B)
■ Figura 3.7 Sonda de Pitot-estática del avión. (a) Esquemático, (B) Fotografía. (Fotografía cortesía de
Aero-Instruments Co., LLC.)

EJEMPLO 3.6 Tubo Pitot-Estático
DADO Un avión vuela a 200 mph a una altura de 10,000 pies en una
atmósfera estándar, como se muestra en la figura E3.6.una.
ENCONTRAR Determine la presión en el punto 112 muy por
delante del avión, la presión en el punto de estancamiento en la
nariz del avión, punto 122, y la diferencia de presión indicada por
una sonda Pitotstatic unida al fuselaje.
(2)
(1)
V1 = 200 mph
Tubo de Pitot-estático
OLUCIÓN ■ Figura E3.6 (Foto cortesía de Hawker
Beechcraft Corporation.)
De la Tabla C.1 encontramos que la presión estática a la altitud
dada es
pags1 1456 libras · pie2 1abdominales2
0.001756 slug ft3.
10,11 psia (Respuesta)
1
0,8
0,6
0.4
0,2
0
(200 mph, 0,951)
También la densidad es r
Si el flujo es constante, no viscoso e incompresible y se ignoran los
cambios de elevación, la ecuación. 3.13 se convierte en
rV2
2
pags2 pags1
1
0 100 200 300
V1, mph
400 500 600
Con V1 200 mph 293 ft sy V2
el sistema está fijado al avión2, obtenemos
0 1desde la coordenada
■ Figura E3.6
pags2 1456 libras · pie2 10.001756 slugs ft32 12932 pie2 s22 2
11456 75,42 lb ft2 1abdominales2
Por lo tanto, en términos de presión manométrica
pags2 75,4 libras · pie2 0,524 psi
Por lo tanto, la diferencia de presión indicada por el tubo estático de Pitot es
Se asumió que el flujo es incompresible; la densidad permanece
constante desde 112 a 122. Sin embargo, desde r p RT, un cambio en
presión 1o temperatura2 provocará un cambio en la densidad. Para esta velocidad
relativamente baja, la relación de las presiones absolutas es casi la unidad 3 es decir, pags
1 pags2 110,11 psia2 110,11 0,524 psia2 0,9514, de modo que
el cambio de densidad es insignificante. Sin embargo, al repetir los cálculos para
varios valores de la velocidad,V1, los resultados que se muestran en la Fig. E3.6B
son obtenidas. Claramente, a las velocidades de 500 a 600 mph que normalmente
vuelan los aviones comerciales, la relación de presión es tal que los cambios de
densidad son importantes. En tales situaciones, es necesario utilizar conceptos de
flujo compresible para obtener resultados precisos. 1Consulte la Sección 3.8.1 y el
Capítulo 11.2
(Respuesta)
rV 2
2
pags2 pags1
1
0,524 psi (Respuesta)
COMENTARIOS Tenga en cuenta que es muy fácil obtener resultados incorrectos.
resultados mediante el uso de unidades inadecuadas. No agregue lb in.2 y lb ft2. Recordar
que1babosa ft32 1pie2 s22 1babosa # ft s22 1pie22 lb ft2.
El tubo estático de Pitot proporciona una forma sencilla y relativamente económica de medir la velocidad
del fluido. Su uso depende de la capacidad de medir las presiones estáticas y de estancamiento. Es necesario
tener cuidado para obtener estos valores con precisión. Por ejemplo, una medición precisa de la presión
estática requiere que la energía cinética del fluido no se convierta en un aumento de presión en el punto de
medición. Esto requiere un orificio liso sin rebabas ni imperfecciones. Como se indica en la Fig. 3.8, tales
imperfecciones pueden hacer que la presión medida sea mayor o menor que la presión estática real.
Además, la presión a lo largo de la superficie de un objeto varía desde la presión de estancamiento en su punto
de estancamiento hasta valores que pueden ser menores que la presión estática del flujo libre. En la figura 3.9 se indica
una variación de presión típica para un tubo de Pitot estático. Claramente es importante que
Medida precisa
La presión estática
requiere una gran
cuidado.
V
pags
V
pags
V
pags
(1)
pags1 > pags
(1)
pags1 < pags
(1)
pags1 = pags
■ Figura 3.8 Diseño incorrecto y correcto
de tomas de presión estática.
pags
1
/pags
2

3.6 Ejemplos de uso de la ecuación de Bernoulli 117
pags
V (2)
(1) Tubo
Estancamiento
presión en
propina
Estancamiento
presión sobre
madre
(1)
0 (2)
Estático
presión
■ Figura 3.9 Distribución de presión típica a lo largo de un tubo
Pitotstatic.
(3)
(2)
(1)
Si = 0
pags1 = pags3 = pags
V
pags
pags2 = p + 1
2
_ V2
■ Figura 3.10 Sección transversal de un tubo de radiogoniometría
de Pitot estático.
las tomas de presión estén ubicadas correctamente para garantizar que la presión medida sea realmente la presión
estática.
En la práctica, a menudo es difícil alinear el tubo estático de Pitot directamente en la dirección del flujo. Cualquier
desalineación producirá un campo de flujo asimétrico que puede introducir errores. Normalmente, ángulos de guiñada
de hasta 12 a 20 °1dependiendo del diseño particular de la sonda2 dar resultados con menos del 1% de error de los
resultados perfectamente alineados. Generalmente es más difícil medir la presión estática que la presión de
estancamiento.
Un método para determinar la dirección del flujo y su velocidad. 1así la velocidad2 es utilizar un tubo de Pitot de
localización direccional, como se ilustra en la figura 3.10. Se perforan tres tomas de presión en un pequeño cilindro
circular, equipado con pequeños tubos y conectado a tres transductores de presión. El cilindro se gira hasta que las
presiones en los dos orificios laterales sean iguales, lo que indica que el orificio central apunta directamente hacia
arriba. A continuación, el grifo central mide la presión de estancamiento. Los dos orificios laterales están ubicados en un
ángulo específico1B luego obtenido de V
321 pags2
La discusión anterior es válida para flujos incompresibles. A altas velocidades, la compresibilidad se
vuelve importante1la densidad no es constante2 y ocurren otros fenómenos. Algunas de estas ideas se discuten
en la Sección 3.8, mientras que otras1como ondas de choque para aplicaciones supersónicas de tubos de Pitot2
se discuten en el Capítulo 11.
Los conceptos de presión estática, dinámica, estancada y total son útiles en una variedad de
problemas de flujo. Estas ideas se utilizan con más detalle en el resto del libro.
29,5 °2 para que midan la presión estática. La velocidad es
pags12 r4 1 2.
En esta sección ilustramos varias aplicaciones adicionales de la ecuación de Bernoulli. Entre dos puntos
cualesquiera,112 y 122, en una línea de corriente en flujo constante, no viscoso e incompresible, la ecuación de
Bernoulli se puede aplicar en la forma
pags1
1 2
2rV1 gramoz1 pags2
1 2
2rV2 gramoz2 (3,17)
Evidentemente, si se conocen cinco de las seis variables, se puede determinar la restante. En muchos
casos es necesario introducir otras ecuaciones, como la conservación de masa. Estas consideraciones se
discutirán brevemente en esta sección y con más detalle en el Capítulo 5.
Madre

(1)
V3.9 Flujo de
un tanque
h z
(3)
(2) (2) (4)
D
H
V
■ Figura 3.11 Vertical
(5)
Fluir de un tanque.
Una de las ecuaciones más antiguas de la mecánica de fluidos se ocupa del flujo de un líquido desde un depósito
grande. Una versión moderna de este tipo de flujo implica el flujo de café desde una urna de café como lo indica la
figura al margen. Los principios básicos de este tipo de flujo se muestran en la figura 3.11 donde un chorro de líquido
de diámetroD fluye de la boquilla con velocidad V. 1Una boquilla es un dispositivo diseñado para acelerar un fluido.2
Aplicación de la Ec. 3.17 entre puntos112 y 122 en la línea aerodinámica que se muestra da
gramoh
1 2
2rV
Hemos utilizado los hechos que z1
phere 1 pags1
h, z2 0, el depósito es grande 1V1
0 calibre2, y el fluido se va como un "jet gratis " 1 pags2 02. Así, obtenemos
02 y abierto a la atmósfera
V
gramoh
B r
V 2 12gh (3,18)
que es la versión moderna de un resultado obtenido en 1643 por Torricelli 11608-16472, un físico
italiano.
El hecho de que la presión de salida sea igual a la presión circundante 1 pags2
jugando F metroa, como lo da la ecuación. 3.14, a través de las líneas de corriente entre122 y 142. Si la aerodinámica
en la punta de la boquilla son rectas 1r q2, resulta que pags2 pags4. Ya que142 está en la superficie de
el jet, en contacto con la atmósfera, tenemos pags4 0. Por lo tanto, pags2 0 también. Ya que122 es un
punto arbitrario en el plano de salida de la boquilla, se deduce que la presión es atmosférica en este
plano. Físicamente, dado que no hay un componente de la fuerza del peso o la aceleración en la normal 1
horizontal2 dirección, la presión es constante en esa dirección.
Una vez fuera de la boquilla, la corriente continúa cayendo como un chorro libre con presión cero a lo
largo de 02 y como se ve aplicando la Ec. 3.17 entre puntos112 y 152, la velocidad aumenta según
02 puede ser visto por una persona
La presión de salida
para una incomprensión
El chorro de fluido
flexible es igual a la
presión circundante.
1 pags5
V 12gramo 1S.S2
donde, como se muestra en la Fig. 3.11, H es la distancia que el fluido ha caído fuera de la boquilla.
La ecuación 3.18 también se puede obtener escribiendo la ecuación de Bernoulli entre puntos 132 y 142
usando el hecho de que z4
hidrostática, pags3 gramo1h /2.
Como se aprendió en física o dinámica y se ilustra en la figura al margen, cualquier objeto que cae
desde el reposo que cae a través de una distancia h en el vacío obtendrá la velocidad V 12gh,
lo mismo que el agua que sale por el grifo de la regadera que se muestra en la figura al margen de la página siguiente.
Esto es consistente con el hecho de que toda la energía potencial de la partícula se convierte en energía cinética,
siempre que sea viscosa.1fricción2 los efectos son insignificantes. En términos de cabezas, la altura de elevación en el
punto112 se convierte en la cabeza de velocidad en el punto 122. Recuerde que para el caso que se muestra en la figura
3.11 la presión es la misma 1atmosférico2 en puntos 112 y 122.
Para la boquilla horizontal de la Fig. 3.12a, la velocidad del fluido en la línea central, V2, será un poco
mayor que el de la parte superior, V1, y un poco menos que en la parte inferior, V3, debido a las diferencias de
elevación. En general,dh como se muestra en la Fig. 3.12B y podemos usar con seguridad la velocidad de la línea
central como una "velocidad promedio" razonable.
0, z3 /. También,V3 0 ya que está lejos de la boquilla, y de
V = 0
h
V = 2gh

h
D
(1) h
(2) D
(3)
(a) (B)
■ Figura 3.12 Flujo horizontal de un tanque.
Dj
(1)
a
Dh
(2)
a
(3)
■ Figura 3.13 Efecto vena contracta para un
orificio de bordes afilados.
Si la salida no es una boquilla lisa y bien contorneada, sino más bien una placa plana como se muestra en la
figura 3.13, el diámetro del chorro, Dj, será menor que el diámetro del agujero, Dh. Este fenómeno, llamadovena
contracta efecto, es el resultado de la incapacidad del fluido para girar la esquina pronunciada de 90 ° indicada por las
líneas de puntos en la figura.
Dado que las líneas de corriente en el plano de salida son curvas 1r 6 q2, la presión a través de ellos no es
constante. Se necesitaría un gradiente de presión infinito a través de las líneas de corriente para que el fluido
girara en una esquina "cerrada".1r
(1)
h
(2)
V = √2gh
02. La presión más alta se produce a lo largo de la línea central en 12
2 0, está en el borde del chorro. Por tanto, la suposición de uni-
y la presión más baja, pags1 pags3
La velocidad de la forma con líneas de corriente rectas y presión constante no es válida en el plano de salida. Eso
es válido, sin embargo, en el plano de la vena contracta, sección Automóvil club británico. El supuesto de
velocidad uniforme es válido en esta sección siempre que Dj
h, como se explica para el flujo de la boquilla que se
muestra en la figura 3.12.
El efecto de la vena contracta es función de la geometría de la salida. En la figura 3.14 se muestran
algunas configuraciones típicas junto con los valores típicos de los valores obtenidos experimentalmente.
coeficiente de contracción, CC
Aj Ah, donde Aj y Ah son las áreas del chorro en la vena contracta y el área del
agujero, respectivamente.
El diámetro de un
chorro de fluido suele
ser menor que el
del agujero
del que fluye.
Algodón de azúcar, lana de vidrio y lana de acero Aunque el algodón de azúcar y el
aislamiento de lana de vidrio están hechos de materiales completamente diferentes y
tienen usos completamente diferentes, se fabrican mediante procesos similares. El
algodón de azúcar, inventado en 1897, se compone de fibras de azúcar. La lana de vidrio,
inventada en 1938, se compone de fibras de vidrio. En una máquina de algodón de azúcar,
el azúcar se derrite y luego, mediante la acción centrífuga, se fuerza a fluir a través de
numerososorificios en un "cuenco" giratorio. Al emerger, las finas corrientes de azúcar
líquida se enfrían muy rápidamente y se convierten en hilos sólidos que se acumulan en
un palo o cono. Haciendo lana de vidrio en
la sulación es algo más compleja, pero el proceso básico es similar. El vidrio líquido se
fuerza a través de pequeños orificios y emerge como chorros de vidrio muy finos que se
solidifican rápidamente. Las fibras flexibles entrelazadas resultantes, la lana de vidrio,
forman un material aislante eficaz porque las diminutas “cavidades” de aire entre las fibras
inhiben el movimiento del aire. Aunque la lana de acero se parece al algodón de azúcar o
la lana de vidrio, se fabrica mediante un proceso completamente diferente. Los alambres
de acero macizo se pasan sobre cuchillas de corte especiales que tienen ranuras cortadas
en ellas para que los hilos de acero largos y delgados se despeguen para formar la lana de
acero enmarañada.

Dj
Dh
CC = 0,61 CC = 1.0
(a) Filo del cuchillo (B) Bien redondeado
CC = Aj /Ah = (dj /Dh)2
CC = 0,50
CC = 0,61
(C) Borde afilado (D) Reentrante
■ Figura 3.14 Patrones de flujo y coeficientes de contracción típicos para varias configuraciones
de salida circular. (a) Filo del cuchillo, (B) Bien redondeado, (C) Borde afilado,
(D) Reentrante.
En muchos casos, el fluido se restringe físicamente dentro de un dispositivo de modo que su presión no se
puede prescribir a priori como se hizo para los ejemplos de chorro libre anteriores. Tales casos incluyen
boquillas y tuberías de diámetro variable para las cuales la velocidad del fluido cambia porque el área de flujo es
diferente de una sección a otra. Para estas situaciones es necesario utilizar el concepto de conservación de masa
1la ecuación de continuidad2 junto con la ecuación de Bernoulli. La derivación y el uso de esta ecuación se
discuten en detalle en los Capítulos 4 y 5. Para satisfacer las necesidades de este capítulo, podemos usar una
forma simplificada de la ecuación de continuidad obtenida a partir de los siguientes argumentos intuitivos.
Considere un fluido que fluye a través de un volumen fijo.1como una jeringa2 que tiene una entrada y una
salida como se muestra en la Fig. 3.15una. Si el flujo es constante de modo que no haya acumulación adicional
de líquido dentro del volumen, la velocidad a la que el líquido fluye hacia el volumen debe ser igual a la
velocidad a la que fluye fuera del volumen. 1de lo contrario, la masa no se conservaría2.
El caudal másico desde una toma de corriente, metro 1babosas o kg s2, es dado por metro
es el caudal volumétrico. Si el área de salida es A y el fluido fluye a través de esta área 1normal a la zona2 con una
velocidad media V, luego el volumen del fluido que atraviesa esta área en un intervalo de tiempo Dt es Virginia Dt, igual
a eso en un volumen de longitud V Dt y área de sección transversal A 1ver Fig. 3.15B2. Por tanto, el caudal volumétrico 1
volumen por unidad de tiempo2 es Q VA. Por lo tanto, metro rVIRGINIA. Para conservar la masa, la tasa de entrada
debe ser igual a la tasa de salida. Si la entrada se designa como112 y la salida como 122, resulta que metro1 metro2.
Por tanto, la conservación de la masa requiere
La continuidad
la ecuación establece que
la masa no se puede
crear ni destruir.
V2 = 2V1
# #
rQ, donde Q 1pie3 s o m3s2
A2
(2)
#
# #
r1A1V1
r2, y lo anterior se convierte en el ecuación de continuidad por
r2A2V2
Q
Si la densidad permanece constante, entonces r1
flujo incompresible
A1V1 A2V2, o Q1 Q2 (3,19)
A1 = 2A2
(1)
Por ejemplo, si, como se muestra en la figura del margen, el área de flujo de salida es la mitad del tamaño del
área de flujo de entrada, se deduce que la velocidad de salida es el doble que la velocidad de entrada, ya que
V1

V1
V2
(2)
(1)
V1 t
Volumen = V1 t A V2 t
1
V1 V2
(2)
Volumen = V2 t A
(1)
Paquete fluido en t = 0
2
Mismo paquete en t = t
■ Figura 3.15 (a) Fluir a través de una jeringa. (B) Flujo constante dentro y fuera de un
volumen.
V2
ción2 se demuestra en el ejemplo 3.7.
A1V1 A2 2V1. Uso de la ecuación de Bernoulli y la ecuación de caudal1ecuación de continuidad
EJEMPLO 3.7 Flujo de un tanque: impulsado por gravedad
DADO Un chorro de refrescante bebida de diámetro D 0.01 m fluye
constantemente desde el enfriador de diámetro D 0,20 m como se muestra
en las Figs. E3.7a y B.
ENCONTRAR Determine el caudal, Q, de la botella al enfriador si la
profundidad de la bebida en el enfriador debe permanecer constante
en h 0,20 m.
1,10
Q
(1)
Q / Q0 1.05
D = 0,20 m
h = 0,20 m
(0.05, 1.000003)
(2)
1,00
(3) 0 0,2 0.4
d / D
0,6 0,8
d = 0,01 m
(a) (B) (C)
■ Figura E3.7

OLUCIÓN
Para flujo constante, no viscoso e incompresible, la ecuación de Bernoulli
aplicada entre puntos 112 y 122 es
COMENTARIOS En este ejemplo no hemos descuidado la
energía cinética del agua en el tanque. 1V1
el diámetro es grande en comparación con el diámetro del
chorro indica que V1
02. Si el tanque
D2, Eq. 3
0 sería
pags1
1
2rV21 gramoz1 pags2
1 2
2rV2
0, z1
gramoz2
h, y z2
(1)
0, ec. 1
1D
V2 y la suposición de que V1
razonable. El error asociado con esta suposición se puede
ver calculando la relación del caudal asumiendoV1
denotado Q, a eso asumiendo V1
Escrito como
Con las suposiciones de que pags1
se convierte en
pags2
0,
0, denotado Q0. Esta relación,
1
2V21 gh 1
2V22 (2)
constante2, hay un
Aunque el nivel de líquido permanece constante 1h
velocidad media, V1, una sección transversal 112 debido al flujo del tanque. De la
ecuación. 3.19 para un flujo incompresible estable, la conservación de la masa
requiereQ1 Q2, donde Q
Q
Q0
V2
V2 0 D
22gh 31 1d D24 4 1
22gh 21 1d D24
AV. Por lo tanto, A1V1 A2V2, o
se traza en la Fig. E3.7C. Con 0 6 d D 6 0.4 se sigue que 1 6
QQ0 1.01, y el error al asumir V1
1%. Para este ejemplo cond / D 0,01 m / 0,20 m
ese Q / Q0 1.000003. Por tanto, a menudo es razonable suponer
pags
4
pags
4
0 es menor que
0.05, sigue
D2V1 D2V2
Por eso,
V1 0.
Tenga en cuenta que este problema se resolvió utilizando los puntos (1) y (2)
D 2
V1 a B V2 (3) ubicados en la superficie libre y la salida de la tubería,
respectivamente. Si bien esto fue conveniente (porque la mayoría de
las variables se conocen en esos puntos), se podrían seleccionar otros
puntos y se obtendría el mismo resultado. Por ejemplo, considere los
puntos (1) y (3) como se indica en la Fig. E3.7B. En (3), ubicado
suficientemente lejos de la salida del tanque, V3
0 y z3 z2 0. Además, pags3 h desde el
la presión es hidrostática lo suficientemente lejos de la salida. El uso de
esta información en la ecuación de Bernoulli aplicada entre (3) y (2) da
exactamente el mismo resultado que el obtenido al usarla entre (1) y
(2). La única diferencia es que el cabezal de elevación,z1
intercambiado con el cabezal de presión en (3), pags3/
D
Las ecuaciones 1 y 3 se pueden combinar para dar
2gh
1d D24
219,81 ms22 10,20 m2
10,01 m 0,20 m24
V2 1,98 ms
B1 B1
Por lo tanto,
pags
4
Q A1V1 A2V2
1,56 10
10,01 m2211,98 ms2
h, posee
4 metro3 s
(Respuesta) h.
El ejemplo 3.8 muestra el hecho de que un cambio de energía cinética suele ir acompañado de un cambio
de presión.
EJEMPLO 3.8 Flujo de un tanque: impulsado por presión
DADO El aire fluye constantemente desde un tanque, a través de una manguera de di-
0.03 m, y sale a la atmósfera por una boquilla de
0.01 m como se muestra en la Fig. E3.8. La presión en el
D = 0,03 m
pags1 = 3,0 kPa
d = 0,01 m
Q
un metro D
diámetro D
el tanque permanece constante a 3.0 kPa 1calibrar2 y las condiciones
atmosféricas son temperatura y presión estándar.
(1)
Aire (2) (3)
■ Figura E3.8
ENCONTRAR Determinar
(a) el caudal y
(B) la presión en la manguera.
OLUCIÓN
(a) Si se asume que el flujo es constante, no viscoso e incompresible,
podemos aplicar la ecuación de Bernoulli a lo largo de la
de (1) a (2) a (3) como
2pags
B r
línea de corriente V3
1
y
pags1
1 2
pags2
pags3
1 2
2rV1 gramoz1 2rV2 gramoz2
pags2 pags1
1 2
2rV2 (1)
1 2
2rV3
z2 z3 1manguera horizontal2,
gramoz3
La densidad del aire en el tanque se obtiene de la ley de los
gases perfectos, usando presión y temperatura absolutas
estándar, como
Con el supuesto de que z1
V1 0 1tanque grande2, y pags3 0 1chorro libre2, esto se convierte en

pags1
RT1
13,0
r 3000
(0,01 m, 2963 N / m2)
1012 kN m2 103 N kN
K2115
1286,9 N ^ m kg
1,26 kg m3
2732K 2000
Por lo tanto, encontramos que
213,0
1000
103 N m22
1,26 kilogramos m3
V3 69,0 ms
B
o 0
0 0,01 0,02 0,03
pags
4
pags
4
Q AV3
3 D 2 V3
0,00542 m3 s
10,01 m22 169,0 ms2
D, metro
■ Figura E3.8
(Respuesta)
0,05
COMENTARIO Tenga en cuenta que el valor de V3 está determinada
estrictamente por el valor de pags1 1y los supuestos involucrados en la ecuación de
Bernoulli2, independiente de la "forma" de la boquilla. La cabeza de presión dentro
del tanque,pags1 gramo 13,0 kPa2 19,81 ms22 11,26 kilogramos m32
0,04
0,03
243 m, se convierte a la altura de velocidad en la salida, V 2 2 2gramo
169,0 ms22 12 9,81 ms22 243 m. Aunque usamos gage
presión en la ecuación de Bernoulli 1 pags3 02, tuvimos que usar la
presión absoluta en la ley de los gases perfectos al calcular la densidad.
0,02
0,01
(B) La presión dentro de la manguera se puede obtener de la Ec. 1 y la
ecuación de continuidad1Eq. 3,192
(0,01 m, 0,00542 m3/s)
0,01 0,02
0
0 0,03
A2V2 A3V3 D, metro
Por eso,
■ Figura E3.8
D
D
2
V2 A3V3 A2 a B V3
veces que en la manguera, la mayor parte de la caída de presión ocurre a través de
la boquilla 1 pags1 3000 N m2, pags2
Dado que la presión cambia de 112 a 132 no es muy bueno 3 es decir, en
términos de presión absoluta 1pags1 pags32 pags1
3,0 101
0,034, De la ley de los gases perfectos se deduce que el cambio de densidad
tampoco es significativo. Por tanto, el supuesto de incompresibilidad es
razonable para este problema. Si la presión del tanque fuera
considerablemente mayor o si los efectos viscosos fueran importantes, la
aplicación de la ecuación de Bernoulli a esta situación sería incorrecta.
Repitiendo los cálculos para varios diámetros de boquilla, D, los resultados
mostrados en las Figs. E3.8antes de Cristo son obtenidas. El caudal aumenta a
medida que se abre la boquilla (es decir, mayorD). Tenga en cuenta que si el
diámetro de la boquilla es el mismo que el de la manguera (D 0,03 m), la presión
en toda la manguera es atmosférica (calibre cero).
0,01 m
0,03 m
2 2963norte metro2, y pags3 02.
a b 169,0 ms2 7,67 ms
y de Eq. 1
pags2 3,0
13000
103 N m2
37,12N m2
1 3
2 11,26 kilogramos m 2 17,67 ms22
2963 N · m2 (Respuesta)
COMENTARIOS En ausencia de efectos viscosos, la presión
a lo largo de la manguera es constante e igual a pags2. Físicamente, las
disminuciones de presión depags1 a pags2 a pags3 acelerar el aire y aumentar su
energía cinética desde cero en el tanque hasta un valor intermedio en la manguera
y finalmente hasta su valor máximo a la salida de la boquilla. Dado que la
velocidad del aire en la salida de la boquilla es nueve
Inhalador de alta tecnología El termino inhalador A menudo recuerda un
tratamiento para el asma o la bronquitis. Se está trabajando para desarrollar una
familia de dispositivos de inhalación que pueden hacer más que tratar las
dolencias respiratorias. Podrán administrar medicamentos para la diabetes y otras
afecciones rociándolos para que lleguen al torrente sanguíneo a través de los
pulmones. El concepto es hacer que las gotas de rocío sean lo suficientemente
finas para penetrar en los diminutos sacos de los pulmones, los alvéolos, donde
tienen lugar los intercambios entre la sangre y el mundo exterior. Esto se logra
mediante el uso de un láserboquilla que contiene una serie de agujeros muy finos
que hacen que el líquido se divida en una niebla de
gotitas de escala micrométrica. El dispositivo se adapta a la mano y
acepta una tira desechable que contiene la solución de medicamento
sellada dentro de un blíster de plástico laminado y la boquilla. Un
pistón accionado eléctricamente impulsa el líquido desde su depósito a
través del conjunto de boquillas y hacia el sistema respiratorio. Para
tomar el medicamento, el paciente respira a través del dispositivo y un
transductor de presión diferencial en el inhalador detecta cuando la
respiración del paciente ha alcanzado las mejores condiciones para
recibir el medicamento. En ese momento, el pistón se activa
automáticamente.
Q,
metro
3
/s
pags
2
,
N
/
m
2

En muchas situaciones, los efectos combinados de la energía cinética, la presión y la gravedad son
importantes. El ejemplo 3.9 ilustra esto.
EJEMPLO 3.9 Flujo en una tubería de área variable
DADO El agua fluye a través de un reductor de tubería como se muestra en
la Fig. E3.9. Las presiones estáticas en112 y 122 se miden con el manómetro
de tubo en U invertido que contiene aceite de gravedad específica, SG,
menos que uno.
SG
h
ENCONTRAR Determine la lectura del manómetro, h. D2
OLUCIÓN
(2)
Con los supuestos de flujo constante, no viscoso e incompresible, la
ecuación de Bernoulli se puede escribir como
z2 - z1
pags1
1 1
2rV21 gramoz1 pags2 2 rV22 gramoz2
(1)
La ecuación de continuidad 1Eq. 3,192 proporciona una segunda relación
entre V1 y V2 si asumimos que los perfiles de velocidad son uniformes en
esas dos ubicaciones y el fluido es incompresible:
Agua
QA1V1 A2V2
Combinando estas dos ecuaciones obtenemos
D1
■ Figura E3.9
pags1pags2gramo1z2z122rV2 2 31
1
1A2 A122 4 (1)
o desde V2 QA2
Esta diferencia de presión se mide con el manómetro y se puede determinar
utilizando las ideas de presión-profundidad desarrolladas en el Capítulo 2.
Por lo tanto,
1
2gramo11
1A2 A122
SG2
h 1QA222 (Respuesta)
pags1 gramo 1z2 z12 gramo/ gramoh SG gramoh gramo/ pags2
COMENTARIO La diferencia de elevación, z
o
1 z2, no estaba
necesario porque el cambio en el término de elevación en el Bernoulli
(2) La ecuación cancela exactamente el término de elevación en la ecuación del
manómetro. Sin embargo, la diferencia de presin,pags1
el ángulo u, por la elevación, z1
dado el caudal, la diferencia de presión, pags1
manómetro variaría con u, pero la lectura del manómetro, h, sería
independiente de u.
pags1 pags2 gramo1z2 z12 11 SG2gramoh
pags2, depende de z
2, en Eq. 1. Por lo tanto, para
pags2, medido por un
Como se discutió en el Capítulo 2, esta diferencia de presión no es
simplemente gramoh ni gramo1hz1
z22.
Las ecuaciones 1 y 2 se pueden combinar para obtener el resultado deseado de la siguiente
manera:
1
2
A 2
11 SG2gramoh rV2
2 C1 a 2bd
A1
En general, un aumento de velocidad va acompañado de una disminución de la presión. Por ejemplo, la
velocidad del aire que fluye sobre la superficie superior del ala de un avión es, en promedio, más rápida que la que fluye
por debajo de la superficie inferior. Por lo tanto, la fuerza de presión neta es mayor en la parte inferior que en la parte
superior: el ala genera una sustentación.
Si las diferencias de velocidad son considerables, las diferencias de presión también pueden ser
considerables. Para flujos de gases, esto puede introducir efectos de compresibilidad como se discutió en la
Sección 3.8 y Capítulo 11. Para flujos de líquidos, esto puede resultar encavitación una situación potencialmente
peligrosa que se produce cuando la presión del líquido se reduce a la presión de vapor y el líquido "hierve".
Venturi V3.10
canal

Q
(1) (2) (3)
pags
(Absoluto
presión)
Pequeña Q
Moderar Q
pagsv
Grande Q Cavitación incipiente
0 X
■ Figura 3.16 Variación de presión y cavitación en un ■ Figura 3.17 Cavitación de la punta de una hélice. (Fotografía cortesía de The
tubería de área variable. Universidad Estatal de Pensilvania, Laboratorio de Investigación Aplicada, Túnel de Agua Garfield
Thomas.)
Como se discutió en el Capítulo 1, la presión de vapor, pagsv, es la presión a la que se forman las
burbujas de vapor en un líquido. Es la presión a la que el líquido comienza a hervir. Evidentemente esta presión
depende del tipo de líquido y de su temperatura. Por ejemplo, el agua, que hierve a 212 ° F a presión
atmosférica estándar, 14,7 psia, hierve a 80 ° F si la presión es de 0,507 psia. Es decir,pagsv 0,507 psia
a 80 ° F y pagsv 14,7 psia a 212 ° F. 1Consulte las tablas B.1 y B.2.2
Una forma de producir cavitación en un líquido que fluye se observa en la ecuación de Bernoulli. Si aumenta la
velocidad del fluido1por ejemplo, por una reducción en el área de flujo como se muestra en la Fig. 3.162, la presión
disminuirá. Esta presión disminuye1necesario para acelerar el fluido a través de la constricción2 puede ser lo
suficientemente grande como para que la presión en el líquido se reduzca a su presión de vapor. Se puede demostrar
un ejemplo simple de cavitación con una manguera de jardín común. Si la manguera está “doblada”, resultará en una
restricción en el área de flujo análoga de alguna manera a la que se muestra en la Fig. 3.16. La velocidad del agua a
través de esta restricción será relativamente grande. Con una cantidad suficiente de restricción, el sonido del agua que
fluye cambiará: se producirá un sonido de "silbido" definido. Este sonido es el resultado de la cavitación.
En tales situaciones se produce ebullición. 1aunque la temperatura no necesita ser alta2, Se forman
burbujas de vapor y luego colapsan a medida que el fluido se mueve hacia una región de mayor presión. 1
menor velocidad2. Este proceso puede producir efectos dinámicos 1implosionando2 que provocan transitorios
de presión muy grandes en las proximidades de las burbujas. Presiones de hasta 100.000 psi1690 MPa2 se cree
que ocurren. Si las burbujas colapsan cerca de un límite físico, pueden, durante un período de tiempo, causar
daños a la superficie en el área de cavitación. La cavitación de la punta de una hélice se muestra en la figura
3.17. En este caso, la rotación a alta velocidad de la hélice produjo una correspondiente baja presión sobre la
hélice. Obviamente, se necesita un diseño y uso adecuados del equipo para eliminar el daño por cavitación.
Ocurre cavitación
cuando la presion
se reduce a la
presión de vapor.
Lata de cavitación
causar daño a
equipo.
EJEMPLO 3.10 Sifón y cavitación
DADO Se puede extraer un líquido de un recipiente como se muestra en la
Fig. E3.10a, siempre que el extremo del tubo, punto (3), esté debajo de la
superficie libre en el contenedor, punto (1), y la elevación máxima del tubo,
punto (2), sea "no demasiado grande". Considere el sifón de agua a 60 ° F de
un tanque grande a través de una manguera de diámetro constante
como se muestra en la Fig. E3.10B. El extremo del sifón está a 5 pies por
debajo del fondo del tanque y la presión atmosférica es de 14,7 psia.
ENCONTRAR Determine la altura máxima de la colina, H sobre el cual
el agua se puede sifonar sin que se produzca cavitación.

OLUCIÓN
(2)
Si el flujo es constante, no viscoso e incompresible, podemos aplicar la
ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de corriente de 112 a 122 a 132
como sigue:
pags1
1 1
2rV21 gramoz1 pags2
pags3
2rV2
2rV2
2 gramoz2
gramoz3
1
3 (1)
H
(1)
Con el fondo del tanque como referencia, tenemos z1
y z3 5 pies. Además, V1 0 1tanque grande2, pags1
pags3 0 1chorro libre2, y de la ecuación de continuidad A2V2
porque la manguera tiene un diámetro constante, V2 V3. Por tanto, la velocidad de
el fluido en la manguera se determina a partir de la Ec. 1 para ser
15 pies, z2
0 1tanque abierto2,
A3V3, o
(3)
V322gramo1z1z3222132,2 pies s22 3 15
35,9 pies s V2
1 52 4 pie
Uso de Eq. 1 entre puntos112 y 122 luego da la presión pags2
en la cima de la colina como
pags2 pags1
gramo1z1
1 1 ■ Figura E3.10
2rV2
z22
1 gramoz1
2rV2
2rV22 gramoz2
1 2
(2) (2)
De la tabla B.1, la presión de vapor del agua a 60 ° F es 0.256 psia.
Por lo tanto, para la cavitación incipiente, la presión más baja en el
sistema serápags 0,256 psia. Consideración cuidadosa de la ecuación. 2
y Fig. E3.10B mostrará que esta presión más baja ocurrirá en la cima de la
colina. Dado que hemos utilizado presión manométrica en el punto112 1
pags1
(1)
H
15 pies
Agua
02, debemos usar presión manométrica en el punto 122
además. Por lo tanto, 0.256 14.7 14.4 psi y Eq. 2 da
pags2
1 14,4 lb pulg.22 1144 pulg.2 pie22 162,4
libras · pie32 115 H2pie
5 pies
(3)
1
2 11,94 pies de babosas32 135,9 pies s22
o
■ Figura E3.10
H 28,2 pies (Respuesta)
Para valores mayores de H se formarán burbujas de vapor en el punto 122 y la acción del
sifón puede detenerse.
Al utilizar las propiedades del fluido enumeradas en la Tabla 1.5 y
repetir los cálculos para varios fluidos, los resultados se muestran en la
Fig. E3.10C son obtenidas. El valor deH es una función tanto del peso
específico del fluido, gramo, y su presión de vapor, pagsv.
COMENTARIOS Tenga en cuenta que podríamos haber usado presión
absoluta en todo 1pags2 0,256 psia y pags1 14,7 psia2 y obtuvo
el mismo resultado. Cuanto menor sea la elevación del punto132,
cuanto mayor es el caudal y, por tanto, menor es el valor de H
permitido.
También podríamos haber utilizado la ecuación de Bernoulli entre 122 y
132, con V2 V3, para obtener el mismo valor de H. En este caso
no hubiera sido necesario determinar V2 mediante el uso de la
ecuación de Bernoulli entre 112 y 132.
Los resultados anteriores son independientes del diámetro y la longitud
de la manguera. 1siempre que los efectos viscosos no sean importantes2.
Diseño adecuado de la manguera 1o tubo2 es necesario para garantizar que
no colapse debido a la gran diferencia de presión 1aspiradora2 entre el
interior y el exterior de la manguera.
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Líquido
■ Figura E3.10
Se han desarrollado muchos tipos de dispositivos que utilizan principios involucrados en la ecuación de
Bernoulli para medir velocidades de fluidos y caudales. El tubo de Pitot-estático discutido en la Sección 3.5 es un
ejemplo. Otros ejemplos discutidos a continuación incluyen dispositivos para medir caudales en tuberías y
H
pie
Alcohol
Agua
Gasolina
Tet
de
carbono

(1) (2)
Orificio
Boquilla
Venturi
■ Figura 3.18 Dispositivos típicos para medir el
caudal en tuberías.
(1) (2)
conductos y dispositivos para medir caudales en canales abiertos. En este capítulo consideraremos "ideal"
Medidores de flujo—Aquellos desprovistos de viscosidad, compresibilidad y otros efectos del "mundo real". Las
correcciones de estos efectos se analizan en los Capítulos 8 y 10. Nuestro objetivo aquí es comprender los
principios operativos básicos de estos simples caudalímetros.
Una forma eficaz de medir el caudal a través de una tubería es colocar algún tipo de restricción
dentro de la tubería como se muestra en la Fig. 3.18 y medir la diferencia de presión entre la sección de
aguas arriba de alta presión y baja velocidad. 112 y la sección aguas abajo de alta velocidad y baja
presión 122. Se ilustran tres tipos de caudalímetros de uso común: el medidor de orificio, el medidor de
boquilla, y el Medidor venturi. El funcionamiento de cada uno se basa en los mismos principios físicos: un
aumento de velocidad provoca una disminución de la presión. La diferencia entre ellos es una cuestión
de costo, precisión y qué tan cerca su operación real obedece a los supuestos de flujo idealizados.
Suponemos que el flujo es horizontal 1z1
puntos 112 y 122. La ecuación de Bernoulli se convierte en
z22, estable, invisible e incompresible entre
pags1
1 2
2rV1 pags1
2 2rV22
1El efecto del flujo no horizontal se puede incorporar fácilmente al incluir el cambio de elevación,
z1 z2, en la ecuación de Bernoulli.2
Si asumimos que los perfiles de velocidad son uniformes en las secciones 112 y 122, la ecuación de continuidad 1Eq. 3,19
2 Se puede escribir como
Q A1V1 A2V2
El caudal varía
como la raíz cuadrada
de la diferencia de
presión en el
medidor de corriente.
donde A2 es el pequeño 1A2 6 A12 área de flujo en la sección 122. La combinación de estas dos ecuaciones da
como resultado el siguiente caudal teórico
21pags
A
1
2 Br31
pags 2
1A2 A122 4
Q
2
(3,20)
Q
Por lo tanto, como se muestra en la figura al margen, para una geometría de flujo dada 1A1 y A22 el caudal se
puede determinar si la diferencia de presión, pags1 pags2, es medido. El caudal medido real,
Qreal, será menor que este resultado teórico debido a varias diferencias entre el "mundo real" y los supuestos utilizados
en la derivación de la ecuación. 3.20. Estas diferencias1que son bastante consistentes y pueden ser tan pequeños como
del 1 al 2% o tan grandes como el 40%, dependiendo de la geometría utilizada2 puede contabilizarse mediante el uso de
un coeficiente de descarga obtenido empíricamente, como se discutió en la Sección 8.6.1.
Q ~ ∆pags
∆p = p1 - pags2

EJEMPLO 3.11 Medidor Venturi
DADO Queroseno 1SG
medidor mostrado en la Fig. E3.11a con caudales entre 0,005 y
0,050 m3 s.
0,852 fluye a través del Venturi
Queroseno, SG = 0,85
D1 = 0,1 m
(2) D2 = 0,06 m
(1) Q
ENCONTRAR Determine el rango de diferencia de presión, pags1
necesario para medir estos caudales.
pags2,
0,005 metros3/ s < Q < 0,050 m3/s
■ Figura E3.11
OLUCIÓN
Si se supone que el flujo es estable, no viscoso e incompresible, la
relación entre el caudal y la presión viene dada por la ecuación. 3.20.
Esto se puede reorganizar para dar
Los resultados presentados aquí son independientes de la geometría
particular del caudalímetro: un orificio, una boquilla o un medidor Venturi. 1
ver Fig. 3.182.
Se ve en la ecuación. 3.20 que el caudal varía como la raíz cuadrada
de la diferencia de presión. Por lo tanto, como se indica en los
resultados numéricos y se muestra en la figura E3.11B, un aumento de
10 veces en el caudal requiere un aumento de 100 veces en la
diferencia de presión. Esta relación no lineal puede causar dificultades
al medir caudales en una amplia gama de valores. Tales medidas
requerirían transductores de presión con un amplio rango de
operación. Una alternativa es utilizar dos caudalímetros en paralelo,
uno para los rangos de caudal más grandes y otro para los más
pequeños.
Q2r31 1A2 A122
2 A2
4
pags1 pags2
2
Con la densidad del fluido que fluye
r SG rH2O
y la relación de área
A2 A1
la diferencia de presión para el caudal más pequeño es
0,8511000 kilogramos m32 850 kilogramos m3
1D2 D122 10,06 m 0,10 m22 0,36
11
2 3 1pags 4210,06 m22 4 2
0,3622
pags1 pags2 10,005 metros3 s221850 kilogramos m32
120
1160 N · m2 1,16 kPa
Asimismo, la diferencia de presión para el mayor caudal es
(0,05 m3/ s, 116 kPa)
100
80
11 0,3622
pags1 pags2 10,052218502
23 1pags 42 10,0622 4 2
1,16 105 N m2 116 kPa
60
40
(0,005 m3/ s, 1,16 kPa)
Por lo tanto,
20
1,16 kPapags1pags2 116 kPa (Respuesta) 0
0 0,01 0,02
Q, metro3/s
0,03 0,04 0,05
COMENTARIOS Estos valores representan las diferencias de presión
para condiciones invisibles, estables e incompresibles. El ideal
■ Figura E3.11
Otros caudalímetros basados en la ecuación de Bernoulli se utilizan para medir los caudales en canales
abiertos como canales y acequias de riego. Dos de estos dispositivos, elcompuerta y el vertedero de cresta
afilada, se discuten a continuación bajo el supuesto de flujo constante, no viscoso e incompresible. Estos y otros
dispositivos de flujo de canal abierto se analizan con más detalle en el Capítulo 10.
Compuertas como las que se muestran en la Fig. 3.19a se utilizan a menudo para regular y medir el caudal en
canales abiertos. Como se indica en la Fig. 3.19B, el caudal, Q, es una función de la profundidad del agua corriente
arriba, z1, el ancho de la puerta, B, y la puerta que se abre, una. Aplicación de la ecuación de Bernoulli y la ecuación de
continuidad entre puntos 112 y 122 puede proporcionar una buena aproximación al caudal real obtenido. Suponemos
que los perfiles de velocidad son uniformes suficientemente lejos corriente arriba y corriente abajo de la puerta.
pags
1
-pags
2
,
kPa

V1
(1)
Compuerta
ancho = B
Compuertas
B
z1
a
z2
V2 (2)
Q a (3) (4)
(a) (B)
■ Figura 3.19 Geometría de la compuerta. (Fotografía cortesía de Plasti-Fab, Inc.)
Por tanto, aplicamos la ecuación de Bernoulli entre puntos de las superficies libres en 112 y 122 a
dar
pags1
1 1 2
2rV21 gramoz1 pags2 2rV2 gramoz2
bz1 y A2
Además, si la puerta tiene el mismo ancho que el canal para que A1
la ecuación da
bz2, la continuidad
Q
0, estas ecuaciones se pueden combinar y reorganizar para dar el caudal
A1V1 bV1z1 A2V2 bV2z2
Con el hecho de que pags1
como
pags2
El caudal bajo
una compuerta depende
de las profundidades del
agua en
lado de la puerta.
2gramo1z
B1
Q z2B
1 z 2
2
(3,21)
1z2 z122
En el limite de z1 z2 este resultado simplemente se convierte en
Q z2B12gz1
Este resultado limitante representa el hecho de que si la relación de profundidad, z1 z2, es grande, la energía cinética del
fluido corriente arriba de la puerta es insignificante y la velocidad del fluido después de que ha caído una distancia 1z1
z22
Los resultados de la Ec. 3.21 también podría obtenerse utilizando la ecuación de Bernoulli entre puntos 132 y 142
y el hecho de que pags3 gramoz1 y pags4 gramoz2 ya que las líneas de corriente en estas secciones son rectas.
En esta formulación, en lugar de las energías potenciales en 112 y 122, tenemos las contribuciones de presión
en 132 y 142.
La profundidad río abajo, z2, no la puerta que se abre, a, se utilizó para obtener el resultado de la Ec. 3.21. Como
se discutió en relación con el flujo de un orificio1Figura 3.142, el fluido no puede girar en una esquina cerrada de 90 °.
Una vena contracta resulta con un coeficiente de contracción,CC z2 a, menos de 1. Normalmente CC es
aproximadamente 0,61 sobre el rango de relación de profundidad de 0 6 Arizona1 6 0,2. Para valores mayores deArizona1 El valor
de CC aumenta rápidamente.
z1 es aproximadamente V2 12gz1.
EJEMPLO 3.12 Compuerta
DADO El agua fluye por debajo de la compuerta que se muestra en la figura E3.12.una. ENCONTRAR Determine el caudal aproximado por unidad de ancho
del canal.

Cap 3 dinámica de fluidos elemental.en.es

Cap 3 dinámica de fluidos elemental.en.es

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Cap 3 dinámica de fluidos elemental.en.es

Similar a Cap 3 dinámica de fluidos elemental.en.es (20)

Último

Último (20)

Cap 3 dinámica de fluidos elemental.en.es