El teorema de contrapunto en la teoría de Mazzola

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIAS

EL TEOREMA DE CONTRAPUNTO

T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE

MAESTRO EN CIENCIAS
P R E S E N T A

OCTAVIO ALBERTO AGUSTÍN AQUINO

DIRECTOR DE TESIS: DR. EMILIO ESTEBAN LLUIS PUEBLA

MÉXICO, D. F.

FEBRERO, 2009

Este trabajo est´ dedicado con mucho cari˜ o:
a
n
a mis padres,
Zoila D. Aquino P´ rez y
e
Gregorio Alberto Agust´n Escamilla;
ı
y a mi esposa, Ang´ lica,
e
por su apoyo incondicional.

´
Indice general
Prefacio

v

1. Preliminares categ´ ricos
o
1.1. Introducci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2. Categorás . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
1.3. Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Transformaciones naturales . . . . . . . . .
1.5. Conos y l´mites . . . . . . . . . . . . . . .
ı
1.5.1. Productos . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Igualadores . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Productos fibrados (retrotracciones)
1.5.4. Objeto terminal . . . . . . . . . . .
1.6. Co-conos y co-l´mites . . . . . . . . . . . .
ı
1.7. Subfuntores y cribas . . . . . . . . . . . .
1.8. Subobjetos y clasificadores de subobjetos .
1.9. Funtores adjuntos . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Topoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1
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11
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13
13
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14
16
17

2. Preliminares algebraicos
2.1. M´ dulos . . . . . . . . . .
o
´
2.2. Algebras . . . . . . . . . .
2.2.1. Producto tensorial
2.2.2. N´ meros duales . .
u

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19
19
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25
26

3. Formas, denotadores y composiciones locales
3.1. Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Denotadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Composiciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
30
35
37

4. Flechas de contrapunto
4.1. El contrapunto seg´ n Johann Fux . . .
u
4.2. Flechas en general . . . . . . . . . . .
4.3. Flechas sobre PiMod12 . . . . . . . .
´
4.4. Interpretaci´ n del algebra de intervalos
o

39
39
40
42
43

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iii

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iv

´
Indice general

4.5. El toro de terceras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Flechas autodomiciliadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
47

5. Dicotomás de intervalos y de contrapunto
ı
5.1. Dicotomás y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
5.2. Las consonancias de Fux y Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
51
58

6. Simetrás de contrapunto
ı
6.1. Simetrás de contrapunto . . . .
ı
6.2. El teorema de contrapunto . . .
6.2.1. C´ lculos preliminares . .
a
6.2.2. El algoritmo de Hichert .

61
61
64
64
67

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Conclusiones y trabajo futuro

75

A. C´ digo fuente
o

76

Bibliografá
ı

79

Prefacio
El contrapunto es una t´ cnica de composici´ n polif´ nica cuya finalidad es concere
o
o
tar dos o mas voces de modo arm´ nico y tal que cada una se conserve distinguible
o
e independiente respecto a las dem´ s. Tuvo un papel protag´ nico en la M´ sica dua
o
u
rante el Renacimiento y el Barroco. Aunque despu´ s cedi´ su lugar a los principios
e
o
homof´ nicos del Cl´ sico, ha estado presente entre los recursos de los compositores
o
a
hasta el presente siglo.
Mi objetivo al escribir la presente tesis fue estudiar y exponer el modelo de contrapunto (de la primera especie) propuesto por Guerino Mazzola (en el contexto de
la teorá de formas y denotadores) y desarrollado posteriormente por Jens Hichert y
ı
Thomas Noll. Para ello tuve que hacer m´ s precisos algunos aspectos, corregir algunas
a
errores y aterrizar nociones y definiciones que me parecieron demasiado abstractos.
Por ejemplo, la exposici´ n de la secci´ n 4.5 es má, al emplear un grafo en lugar de
o
o
ı
una idea geom´ trica intuitiva. Lo mismo aplica a los ejemplos del Cap´tulo 5 y la dee
ı
mostraci´ n de la Proposici´ n 5.9. La demostraci´ n de la Proposici´ n 6.2 corrige un
o
o
o
o
peque˜ o desliz de la Proposici´ n 52 del libro de Mazzola. La demostraci´ n del Lema
n
o
o
6.12 tambi´ n es de mi autorá, lo mismo que el an´ lisis contenido en el Escolio 6.16.
e
ı
a
Los dos resultados principales que se presentan en este trabajo son el Teorema de
Contrapunto de Mazzola y Hichert y el Teorema de Noll. El primero enuncia que siempre es posible hacer una composici´ n contrapunt´stica (de la primera especie) iniciando
o
ı
con cualquier intervalo dado entre dos voces, decidiendo el intervalo sucesor por medio
de una simetrá de contrapunto; esto es posible a´ n si la melodá de una de las voces ya
ı
u
ı
est´ dada. Si bien esto se puede deducir para las reglas de la teorá de Fux del contraa
ı
punto, lo novedoso en el teorema es que esto se logra para simetrás inducidas por los
ı
mismos intervalos vistos como un todo, y no simplemente como una yuxtaposici´ n voo
ces. La contribuci´ n de Hichert a la teorá fue demostrar que este mismo teorema vale
o
ı
para otro tipo de “consonancias” que tienen las mismas propiedades algebraicas que
la tradicional de Fux, definiendo reglas de contrapunto donde no operan los principios
est´ ticos occidentales.
e
El teorema de Noll, por otra parte, muestra que el conjunto de todas las simetrás
ı
(afines y no necesariamente invertibles) que llevan la triada dominante a la triada tonica,
junto con todas las posibles composiciones entre ellas, es isomorfo algebraicamente a
los intervalos consonantes. Esta es una forma original y a´ n no explorada del todo de
u
relacionar a la armoná y el contrapunto, sobre todo cuando se entiende en t´ rminos la
ı
e
filosofá de que, para entender un objeto, hay que mirarlo de todas las maneras posibles.
ı
La tesis se divide en seis cap´tulos y un ap´ ndice. Los tres primeros sirven para
ı
e
v

vi

Prefacio

establecer algunos resultados y definiciones b´ sicos. Los aprovecho tambi´ n para fijar
a
e
una notaci´ n apegada a la de Mazzola tanto como me fue posible.
o
Los tres siguientes contienen el modelo de intervalos (tambi´ n conocidos como
e
flechas) de contrapunto como aparece en la parte VII de The Topos of Music, [Maz02b].
´
En el unico ap´ ndice se lista el c´ digo fuente de un programa que escrib´ en C++ que
e
o
ı
implementa el Algoritmo 6.15, dado por Hichert.
No quiero perder la ocasi´ n de hacer algunos agradecimientos. Al Consejo Nao
cional de Ciencia y Tecnologá (CONACyT), por brindarme una beca de febrero de
ı
2007 a julio de 2008 con n´ mero de registro de becario 217020/207309, lo que fau
cilit´ enormemente concluir mis estudios de maestrá. Al Dr. Emilio Lluis Puebla, por
o
ı
aceptar ser mi tutor, director de tesis y por escuchar y leer con atenci´ n mis desvarós
o
ı
mientras realizaba este proyecto. Al Dr. Marcelo Aguilar, por sus excelentes cursos
de Topologá Algebraica y sus oportunos y atinados consejos. A los doctores Juan
ı
Morales, Pablo Padilla Longoria, Lourdes Palacios Fabila y Rodolfo San Agustń Chi
ı
por todos sus comentarios y recomendaciones para mejorar esta tesis. Finalmente, pero
no por ello de forma menos importante, al director Diego L´ pez Monroy y a mis como
pa˜ eros David, Habacuc, Edgar, Mario y Raymundo del Ensamble de Guitarras de la
n
Facultad de Ciencias por todos los conciertos y por consentir estrenar algunas de mis
obras.
Octavio Alberto Agustń Aquino
ı
M´ xico, Distrito Federal
e
10 de mayo de 2008

Cap´tulo 1
ı

Preliminares categ´ ricos
o
La Teorá de Categorás estudia una situaci´ n que se ha hecho ubicua en la Mateı
ı
o
m´ tica: la de objetos que son transformados en otros de modo que se preserva cierta
a
“estructura” que tienen asociada. Esto provoca que sus resultados se conviertan en una
miráda de instancias v´ lidas para muchas ramas de la Matem´ tica, trayendo consiı
a
a
go un significativo ahorro de esfuerzos y la ganancia un panorama general sobre las
propiedades de los objetos estudiados.
¿Por qu´ , entonces, la Teorá de Categorás resulta ideal como parte del sustrato de
e
ı
ı
la Musicologá Matem´ tica? Porque son diversos los objetos y estructuras matem´ ticos
ı
a
a
necesarios (o adecuados) para modelar los variados fen´ menos musicales tales como el
o
contrapunto, la armoná, el ritmo, la interpretaci´ n, la instrumentaci´ n, etc´ tera. Tamı
o
o
e
bi´ n porque son m´ ltiples las relaciones que hay entre todos estos fen´ menos; muchas
e
u
o
veces se tiene consciencia de su existencia pero no siempre se dispone de una comprensi´ n completa de su naturaleza o profundidad, limitando el aprovechamiento de
o
estos vńculos para fines art´sticos, did´ cticos o de an´ lisis. Es as´ como la Teorá de
ı
ı
a
a
ı
ı
Categorás se presenta como una herramienta para evitarnos rutas superfluas y proporı
cionarnos una visi´ n de mayor amplitud y unidad sobre los distintos aspectos de la
o
M´ sica.
u

1.1.

Introducci´ n
o

Para motivar la definici´ n principal de este cap´tulo, comenzaremos por tomar las
o
ı
matrices A y B con coeficientes en R, donde la primera es de tama˜ o n1 × m1 y la
n
segunda es de tama˜ o n2 × m2 . Podemos multiplicarlas del modo usual si, y solamente
n
si, m1 = n2 . Esto quiere decir que tal operaci´ n entre matrices es parcial, pues no
o
siempre est´ definida para dos matrices arbitrarias. Sin embargo, esta multiplicaci´ n
a
o
tiene las siguientes propiedades:
1. Si para las matrices A, B y C resulta que alguno de los productos A(BC) o (AB)C
existe, entonces el otro tambi´ n existe y coinciden. Esto es porque la multiplie
caci´ n de matrices es asociativa.
o
1

2

Cap´tulo 1. Preliminares categ´ ricos
ı
o

2. Si AB y BC est´ n definidas, entonces (AB)C est´ definida. En efecto: sean n1 ×m1 ,
a
a
n2 ×m2 y n3 ×m3 los sendos tama˜ os de A, B y C. Como AB tiene tama˜ o n1 ×m2
n
n
y C tiene tama˜ o n3 × m3 pero m2 = n3 (pues existe el producto BC), se sigue
n
que (AB)C existe.
3. Siempre existen las matrices identidad Ik de tama˜ o k × k, donde In A = AIm = A
n
cuando A es de tama˜ o n × m.
n
Cada matriz de tama˜ o n × m representa a una transformaci´ n lineal entre los esn
o
´
pacios vectoriales Rm y Rn , cuando los elementos de estos ultimos se escriben como
vectores columna. Adicionalmente, la matriz que resulta de multiplicar a las matrices
coincide con la que representa a la composici´ n de las transformaciones lineales repo
resentadas por los factores. Desde tal perspectiva, las transformaciones lineales entre
los espacios vectoriales reales (de dimensi´ n finita) tienen exactamente las mismas tres
o
propiedades anteriores.
Pero las transformaciones lineales reales son, a fin de cuentas, funciones entre
conjuntos. Por eso, si tomamos un conjunto de conjuntos y las funciones entre ellos,
tales funciones tambi´ n tienen las tres propiedades descritas respecto a la composie
ci´ n. Ciertamente: la composici´ n es asociativa y siempre existen las funciones ideno
o
tidades. Adem´ s, si para tres funciones f , g y h se cumple que codom h ⊆ dom g y
a
codom g ⊆ dom f (que es el requisito para que existan g ◦ h y f ◦ g), entonces
codom h ⊆ dom g ⊆ dom( f ◦ g),
por lo que existe la composici´ n de f ◦ g con h.
o
´
Si nos quedamos unicamente con una colecci´ n de objetos para los que existe una
o
operaci´ n parcial entre ellos, y tal operaci´ n tiene las tres propiedades, obtenemos un
o
o
concepto verdaderamente poderoso: el de categorá.
ı

1.2.

Categorás
ı

Ahora podemos abordar una de las mayores generalizaciones en la Matem´ tica.
a
Definici´ n 1.1. Una categorá C consiste en s´mbolos f, g, h, . . . (que denominaremos
o
ı
ı
morfismos) junto con una composici´ n parcial1 que al par de morfismos f y g le asocia
o
el morfismo f ◦ g en C, de modo que se satisfacen los siguientes axiomas:
´
1. Si alguna de las composiciones ( f ◦ g) ◦ h o f ◦ (g ◦ h) est´ definida, entonces la
a
otra tambi´ n est´ definida, y coinciden.
e
a
2. Si f ◦ g y g ◦ h est´ n definidos, ( f ◦ g) ◦ h est´ definido.
a
a
3. Para cada morfismo f existen dos morfismos identidades: uno izquierdo eL y otro
derecho eR , tales que eL ◦ f = f = f ◦ eR .
Muchos autores definen las categorás de manera ligeramente diferente.
ı
1 Insistimos:

en la categorá.
ı

esto quiere decir que no est´ necesariamente definida para cualquier par de morfismos f y g
a

1.2. Categorás
ı

3

Definici´ n 1.2 (Alternativa). Una categorá C consiste en los siguientes datos:
o
ı
1. Una clase de objetos.
2. Para cada par ordenado de objetos (A, B) de C existe un conjunto (posiblemente
vacó) HomC (A, B), llamado el conjunto de morfismos de A hacia B.
ı
3. Para cada tripla ordenada (A, B, C) de objetos de C existe una aplicaci´ n
o
◦ : HomC (B, C) × HomC (A, B) → HomC (A, C)
llamada composici´ n de morfismos.
o
Estos datos est´ n sujetos a los siguientes axiomas.
a
1. Los conjuntos HomC (A, B) son disjuntos dos a dos.
2. Si h ◦ g y g ◦ f est´ n definidas, entonces
a
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ),
haciendo superfluo el uso de los par´ ntesis.
e
3. Para cada objeto B existe un morfismo identidad eB ∈ HomC (B, B) para el cual
se cumple que
eB f = f, g ◦ eB = g
siempre que el lado izquierdo est´ definido.
e
Escolio 1.3. No entraremos en detalles por el momento sobre qu´ es una clase, pero
e
por ahora baste saber que todo conjunto es una clase pero no rec´procamente.
ı
Si bien nuestra definici´ n prescinde de los objetos (con la consecuente economá
o
ı
de palabras), veremos que vienen dados implćitamente.
ı
Definici´ n 1.4. Una identidad es un morfismo e tal que, siempre que est´ n definidas
o
e
las composiciones e ◦ f y f ◦ e para un morfismo f , se tiene que e ◦ f = f y f ◦ e = f .
Lema 1.5. Dos identidades e y e de una categorá C pueden componerse si, y s´ lo si,
ı
o
son iguales, en cuyo caso e ◦ e = e.
Demostraci´ n. Si eL es una identidad izquierda para e, entonces
o
eL = eL ◦ e = e;
an´ logamente, eR = e. En particular, e ◦ e = e est´ definido.
a
a
Supongamos ahora que e y e son identidades distintas, pero que su composici´ n
o
est´ definida. Entonces
a
e = e ◦ e = e,
lo cual es contradictorio. Luego, si ha de estar definida la composici´ n de una identidad
o
´
con otra, estas deben ser iguales.

4

ı
o

Teorema 1.6. Las identidades izquierdas y derechas de un morfismo f est´ n un´vocaa
ı
mente determinadas por f .
Demostraci´ n. Sean e1 y e2 identidades izquierdas de f . Entonces e1 ◦ f = e2 ◦ f =
o
f , de donde f = e1 ◦ (e2 ◦ f ). En consecuencia, f = (e1 ◦ e2 ) ◦ f . Por lo tanto,
e1 ◦ e2 est´ definida. Por el Lema 1.5, e1 = e2 . El caso para las identidades derechas es
a
enteramente an´ logo.
a
Tomemos ahora un morfismo f . Renombraremos a las identidades izquierdas y
derechas de f como
eL =: dom f y eR =: codom f,
y escribiremos, adem´ s, cuando a = dom f y b = codom f ,
a
f :a→b

´
o

f

a → b.
−

El sentido que tiene considerar a los “objetos” como morfismos identidad est´ rea
forzado con el siguiente resultado.
Proposici´ n 1.7. Si f : r → l y g : r → l son morfismos en una categorá C, la
o
ı
composici´ n g ◦ f est´ definida si, y s´ lo si, codom f = l = r = dom g.
o
a
o
Demostraci´ n. Sea e una identidad derecha de g. Si g ◦ f est´ definida, debemos tener
o
a
que
g ◦ f = (g ◦ e) ◦ f = g ◦ (e ◦ f ),
de aqu´ que e ◦ f est´ definido. Sea e la identidad izquierda de f . Ahora e ◦ (e ◦ f )
ı
e
est´ definido, (e ◦ e ) ◦ f tambi´ n y a su vez e ◦ e lo est´ . Por lo tanto dom g = e = e =
a
e
a
codom f .
Rec´procamente, si dom g = e = codom f , entonces la identidad derecha de g
ı
coincide con la identidad izquierda de f . Al estar g◦e y e◦ f definidos, g◦ f = g◦(e◦ f )
est´ definido.
a
Notaci´ n 1.8. Para dos morfismos a y b en una categorá C, la colecci´ n de aquellos
o
ı
o
f tales que dom f = a y codom f = b la denotamos con HomC (a, b). Si la categorá
ı
es clara, la omitiremos en el subńdice. A la clase de todas las identidades derechas e
ı
izquierdas de una categorá C las denotaremos con Ob(C) y las llamaremos objetos.
ı
Una ventaja de disponer de estas dos definiciones equivalentes consiste en que
algunas categorás se describen mejor en t´ rminos de sus objetos y los morfismos entre
ı
e
ellos (como la categorá de conjuntos) y con otras es m´ s f´ cil hablar solamente de
ı
a a
sus morfismos: tal es el caso de las matrices, cuyos objetos podrán tomarse como los
ı
enteros no negativos; aqu´ los objetos no nos dicen mucho sobre la categorá en s´.
ı
ı
ı
´
Ejemplo 1.9. Una de las categorás m´ s elementales es 1, que consta de un unico
ı
a
morfismo identidad.
Ejemplo 1.10. Fijemos un anillo R. La categorá de matrices sobre R es la colecci´ n
ı
o
MR de todas las matrices de tama˜ o m×n, con la multiplicaci´ n usual de matrices como
n
o
composici´ n. Observamos que los objetos son las matrices identidades En . Tambi´ n
o
e
HomMR (En , Em ) = Mm,n (R).

1.2. Categorás
ı

5

Ejemplo 1.11. Si cada objeto es un conjunto y los morfismos son las funciones entre
conjuntos, tenemos una categorá que denotamos con Conj.
ı
Ejemplo 1.12. Si los objetos son m´ dulos sobre R y los morfismos son homomorfiso
mos R-afines (v´ ase la Definici´ n 2.13), tenemos la categorá M´ dR .
e
o
ı
o
Ejemplo 1.13. Dada una categorá C y un objeto I en ella, la categorá C/I de “objetos
ı
ı
sobre I” tiene por objetos a las flechas f tales que codom( f ) = I y los morfismos son
las flechas h en C tales que g ◦ h = f , esto es tales que el tri´ ngulo
a
h
GB
Ab
bb
ÐÐ
bb
ÐÐ
f bb
ÐÐ g
0 ÐÐ
I

conmuta.
Ejemplo 1.14. Para cada categorá C tenemos la categorá opuesta Cop que consiste
ı
ı
en los mismos morfismos pero con la composici´ n f ◦op g = g ◦ f .
o
Ciertas clases de morfismos que son cancelables por la izquierda, por la derecha o
por ambos lados respecto a la composici´ n reciben nombres especiales.
o
Definici´ n 1.15. Sea morfismo f : A → B en C.
o
1. Si para cualquier par de morfismos g, h : C → A se satisface que f ◦ g = f ◦ h
implica que g = h, entonces f es un monomorfismo.
2. Si para cualquier par de morfismos g, h : A → C se satisface que g ◦ f = h ◦ f
implica que g = h, entonces f es un epimorfismo.
3. Si existe un morfismo g : B → A tal que f ◦ g = idB y g ◦ f = idA entonces f es
un isomorfismo.
Ejemplo 1.16. En la categorá Conj:
ı
1. los monomorfismos son las funciones inyectivas;
2. los epimorfismos son las funciones suprayectivas;
3. los isomorfismos son las funciones biyectivas.
Hay un detalle respecto a la definici´ n de categorá que no podemos pasar por alto:
o
ı
no parece del todo correcto considerar categorás como la de “todos los conjuntos”,
ı
pues una conocida paradoja nos dice que la “colecci´ n” de todos ellos es demasiao
do “grande” y no puede ser un conjunto. Para resolver estos problemas de “tama˜ o”,
n
empleamos el concepto de universo.
Definici´ n 1.17. Un universo U es un conjunto de conjuntos que satisface lo siguiente:
o
1. Si A ∈ U, entonces A ⊆ U.

6

ı
o

2. Si A ∈ U y B ∈ U, entonces {A, B} ∈ U.
3. Si A ∈ U, entonces ℘A ∈ U.
4. Si J ∈ U y f : J → U es una aplicaci´ n, entonces
o

j∈J

f ( j) ∈ U.

Para que todo tenga sentido, se requiere como axioma el hecho de que cada conjunto pertenezca a alg´ n universo. En particular, todo universo es elemento de un universo
u
m´ s grande. Se puede demostrar (v´ ase [Mac71], I.6) que las operaciones conjuntisa
e
tas usuales con conjuntos en U producen conjuntos en U. Podemos, pues, hacer las
siguientes distinciones:
1. Un U-conjunto (o, simplemente, conjunto) es un elemento de U.
2. Una U-clase (o, simplemente, clase) es un subconjunto de U. Debemos notar
nuevamente que un conjunto es una clase, pero no rec´procamente.
ı
3. Los grupos, anillos, m´ dulos, espacios topol´ gicos tienen a U-conjuntos como
o
o
conjuntos subyacentes.
Definici´ n 1.18. Una categorá es peque˜ a si sus objetos conforman un U-conjunto.
o
ı
n
Lo anterior tiene mucha importancia si queremos considerar categorás de cateı
gorás, donde tendrán en principio que definirse de alg´ n modo los morfismos entre
ı
ı
u
categorás. Esto corresponde al concepto de funtor.
ı

1.3.

Funtores

Definici´ n 1.19. Sean C y D categorás. Un funtor (covariante) T entre C y D (en
o
ı
s´mbolos: F : C → D), es una funci´ n que asigna a cada morfismo c ∈ C un morfismo
ı
o
F(c) en D y satisface lo siguiente.
1. Si c es una identidad, F(c) tambi´ n lo es.
e
2. Si c ◦ c est´ definido, F(c) ◦ F(c ) tambi´ n lo est´ y
a
e
a
F(c ◦ c ) = F(c) ◦ F(c ).
Un funtor contravariante entre C y D es un funtor covariante F entre Cop y D. La
´
unica diferencia entonces es que si c ◦ c est´ definido, entonces F(c ) ◦ F(c) tambi´ n
a
e
lo est´ y F(c ◦ c ) = F(c ) ◦ F(c).
a
Ejemplo 1.20. Quiz´ el ejemplo m´ s sencillo de funtor sea el funtor identidad de una
a
a
categorá C, que lleva a cada morfismo de C en s´ mismo.
ı
ı
Ejemplo 1.21. Otro ejemplo muy sencillo es el funtor constante. Sea C un objeto de
la categorá C. Definimos el funtor C : B → C entre una categorá arbitraria B y C
ı
ı
que envá a cualquier objeto de B a C y a cualquier morfismo a 1C .
ı

1.3. Funtores

7

Ejemplo 1.22. Sea la categorá Top de los espacios topol´ gicos cuyos morfismos son
ı
o
las funciones continuas. El funtor que a cada funci´ n continua le asocia la funci´ n entre
o
o
conjuntos subyacentes, es un funtor covariante.
Ejemplo 1.23. Un funtor puede ir de una categorá en s´ misma. El funtor F : Conj →
ı
ı
Conj definido sobre conjuntos a trav´ s F(A) = ℘(A) y sobre cualquier funci´ n f : A →
e
o
B seg´ n
u
F( f ) : ℘(A) → ℘(B),
S ⊆ A → f −1 (S ) ⊆ B
es un funtor contravariante. Es claro que F(idA ) = idA y para las funciones g : A → B
y f : B → C que
F( f ◦ g)(?) = ( f ◦ g)−1 (?) = g−1 ◦ f −1 (?) = F(g) ◦ F( f )(?).
Ejemplo 1.24. Si tomamos Conj y para cada conjunto S enviamos a un conjunto A a
Hom(S , A) y a una funci´ n f : A → B a la funci´ n
o
o
Hom(S , f ) : Hom(S , A) → (S , B)
u → f ◦ u,
tenemos el funtor covariante Hom(S , ?). En efecto, Hom(S , idA )(u) = idA ◦ u = u,
as´ que Hom(S , idA ) = idHom(S ,A) y tambi´ n
ı
e
Hom(S , u ◦ v)(w) = u ◦ v ◦ w
= Hom(S , u)(v ◦ w)
= Hom(S , u) ◦ Hom(S , v)(w).
Si, por otro lado, definimos el funtor Hom(?, S ) como Hom(A, S ) para el conjunto
Ay
Hom( f, S ) : Hom(B, S ) → (A, S )
u → u ◦ f,
para la funci´ n f : A → B, tenemos un funtor contravariante. Sin duda: Hom(idA , S )(u) =
o
u ◦ idA = u por lo que Hom(idA , S ) = idHom(A,S ) y
Hom(u ◦ v, S )(w) = w ◦ u ◦ v
= Hom(v, S )(w ◦ u)
= Hom(v, S ) ◦ Hom(u, S )(w).
Ejemplo 1.25. El ejemplo anterior se puede generalizar. Si C es una categorá donde
ı
Hom(x, y) es un conjunto, construimos dos funtores como sigue. Sea x un morfismo
arbitrario pero fijo. Tenemos por un lado
Hom(x, ?) : C → Conj,
y → Hom(x, y)

8

ı
o

que al morfismo f : y → z lo envá a
ı
Hom(x, f ) : Hom(x, y) → Hom(x, z),
u → f ◦ u.
De manera similar tenemos al funtor contravariante Hom(?, y), que est´ definido
a
sobre los objetos x ∈ Cop a trav´ s de
e
Hom(?, y) : Cop → Conj,
x → Hom(x, y),
y sobre los morfismos f : x → z seg´ n
u
Hom( f, y) : Hom(z, y) → Hom(x, y),
u → u ◦ f.
Que efectivamente eso define a dos funtores se demuestra pr´ cticamente de la misa
ma forma que en el ejemplo anterior.
Definici´ n 1.26. Sea F : A → B un funtor, un par de objetos x, x ∈ A y la aplicaci´ n
o
o
θ x,x : HomA (x, x ) → HomB (F x, F x )
f → F f.
1. Si θ x,x es inyectiva para todo par x, x , F se dice fiel.
2. Si θ x,x es suprayectiva para todo par x, x , F se dice pleno.
3. Si F es pleno, fiel e induce una biyecci´ n entre los objetos, es un isomorfismo de
o
categorás.
ı

1.4.

Transformaciones naturales

Definici´ n 1.27. Si F, G : C → D son dos funtores, una transformaci´ n natural t :
o
o
F → G es un sistema de morfismos tc : F(c) → G(c) en D, para cada objeto c en C, tal
que para cada morfismo f : x → y en C, se satisface
G( f ) ◦ t x = ty ◦ F( f )
esto es, el diagrama
F(x)

tx

F( f )

F(y)

conmuta.

G G(x)
G( f )

ty

G G(y)

1.4. Transformaciones naturales

9

Las transformaciones naturales pueden componerse pues est´ n constitu´das de mora
ı
fismos que a su vez pueden componerse. Si tc es invertible para cada c, la transformaci´ n natural se dice una equivalencia natural, y se denota con t : F G. Para cada
o
funtor tenemos una identidad natural idF . Por lo tanto, podemos considerar la categorá
ı
Fun(C, D) de los funtores F : C → D como objetos y las transformaciones naturales
Nat(F, G) entre los funtores F y G como morfismos.
La categorá Fun(Cop , Conj) de funtores contravariantes entre la categorá C y a la
ı
ı
categorá de los conjuntos, se llama categorá de pregavillas y se denota con C@ .
ı
ı
Para una categorá C cuyas colecciones de morfismos Hom(x, y) son conjuntos, el
ı
encaje de Yoneda Y es el funtor
Y : C → C@ ,
x → Y(x) := Hom(?, x).
El morfismo f : x → y es enviado por Y a la transformaci´ n natural Y( f ) : Y(x) →
o
Y(y) definida a trav´ s de u → f ◦ u para u : z → x ∈ Y(x)(z) = Hom(z, x). Si C = M´ d,
e
o
escribimos Y = @?, esto es, Y(M) = @M.
∼
Un funtor F en C@ se dice representable si existe c en Ob(C) tal que F − Y(c).
→
Para el caso de la categorá M´ d@ , un funtor es representable si F @M para alg´ n
ı
o
u
m´ dulo M.
o
El conocido Lema de Yoneda establece que la subcategorá plena de funtores repı
resentables2 en C@ es equivalente a C, y que tal equivalencia est´ dada por el encaje
a
de Yoneda. De manera m´ s precisa, tenemos el siguiente resultado.
a
Lema 1.28 (Yoneda). Para cada funtor F en C@ y cada objeto c ∈ Ob(C), la aplicaci´ n
o
: Nat(Y(c), F) → F(c),
h → hc (idc )
es una biyecci´ n.
o
La demostraci´ n puede consultarse en [Sch72], 4.2. Cuando se toma F = Y(d) en
o
el Lema de Yoneda, nos dice que
Nat(Y(c), Y(d))

Y(d)(c) = Hom(c, d).

Por lo tanto, el encaje de Yoneda Y : C → C@ es ciertamente una equivalencia
entre la subcategorá de funtores representables de C@ y C.
ı
Ejemplo 1.29. Sea F el funtor del Ejemplo 1.23. Por el Lema de Yoneda, a cada transformaci´ n natural h : Hom(?, A) → F le corresponde el subconjunto hA (idA ) ∈ ℘(A).
o
Rec´procamente, a cada S ⊆ A le corresponde la transformaci´ n natural h definida para
ı
o
cada conjunto B seg´ n
u
hB : Hom(B, A) → ℘B,
f → F( f )(S ) = f −1 (S ).
2 Esto

es, la categorá que consta en los funtores representables junto con todos los morfismos entre ellos.
ı

10

ı
o

Para un m´ dulo M y una pregavilla M´ d@ , escribamos F@M := F(M). Usando el
o
o
Lema de Yoneda, tenemos la biyecci´ n
o
Nat(@M, F) − F@M.
→
Llamando domicilio al m´ dulo M, lo anterior dice que evaluar a F en el domicilio
o
M es lo mismo que calcular todos los morfismos desde @M hacia F. Este es el contenido de la “filosofá de Yoneda”: una pregavilla F se conoce completamente una vez
ı
que es observada desde todos los domicilios.

1.5.

Conos y l´mites
ı

Definici´ n 1.30. Sea C una categorá e I una categorá peque˜ a. Un diagrama Γ es un
o
ı
ı
n
funtor Γ : I → C.
Si el conjunto de objetos de I en el dominio de un diagrama es un conjunto finito,
el diagrama se dice tambi´ n finito.
e
Definici´ n 1.31. Un cono (C, µ) sobre el diagrama Γ : I → C consta de un objeto
o
C ∈ C y una transformaci´ n natural µ : C → Γ.
o
Debe conmutar el diagrama
µI

C I = C −− −→
−−−




1C 

ΓI



Γ f


C J = C −− −→ ΓJ
−−−
µJ

para cada f : I → J. Pero esto es completamente equivalente al diagrama
~~
~~
~~
~~~
µI

ΓI

Ce
ee µ
ee J
ee
e2
G ΓJ.
f

Definici´ n 1.32. Decimos que un cono (L, λ) sobre Γ : I → C es un cono l´mite si
o
ı
satisface la siguiente propiedad universal: para cualquier cono (C, µ) sobre Γ existe un
f

´
unico morfismo C → L tal que para todo I ∈ I el diagrama
−
Cd
dd µ
dd I
f
dd
d2

L λ G ΓI
I

conmuta. Denotamos a este cono l´mite (L, λ) con l´m Γ.
ı
ı

1.5. Conos y l´mites
ı

11

Si en una categorá todo diagrama tiene un cono l´mite, dicha categorá se dir´ comı
ı
ı
a
pleta. An´ logamente, si todo diagrama finito tiene cono l´mite, la categorá es finitaa
ı
ı
mente completa. Los siguientes hechos sobre completitud est´ n demostrados en [Bor94],
a
secciones 2.8 y 2.15.
Proposici´ n 1.33. La categorá Conj es completa.
o
ı
Proposici´ n 1.34. Si C es una categorá peque˜ a, entonces C@ es completa.
o
ı
n
Muchas construcciones en la Matem´ tica pueden verse como casos particulares de
a
l´mites, y la siguiente es una muestra muy representativa.
ı

1.5.1.

Productos

Si I es una categorá con s´ lo dos flechas {0, 1}, un diagrama Γ : I → C es un
ı
o
par de objetos A, B de C. El l´mite de este diagrama se le llama producto de A y B,
ı
y se denota con A × B o A B. Por las propiedades del l´mite, para dos morfismos
ı
f : C → A y g : C → B se tiene el siguiente diagrama conmutativo
Ci
yy 1 ii g
yy 1 h iii
y
ii
1
yy
i4
|yy pA
pB
GB
A×B
Ao
f

´
esto es, existe una unica h tal que g = pB ◦ h y f = pA ◦ h. En Conj, por ejemplo,
el producto de dos conjuntos A y B es simplemente su producto cartesiano A × B =
{(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

1.5.2.

Igualadores

Ahora consideremos a la categorá I que consta de dos identidades y dos flechas
ı
paralelas entre estas identidades. Un diagrama Γ : I → C es un par de flechas paralelas
f, g : A → B. En este caso el l´mite E de Γ se le llama igualador; tenemos
ı
Ec
cc
e
cc
e
c
f c

G1G
B
A
g

lo que significa que f ◦ e = e = g ◦ e, y esta es la raz´ n de que E se llame igualador.
o
Satisfaci´ ndose que f ◦ e = g ◦ e, el morfismo e es irrelevante, pues podemos siempre
e
elegir a dicho morfismo como f ◦ e mismo. Si X es otro objeto de C de modo que existe
h : X → A tal que f ◦ h = g ◦ h, la propiedad universal del cono l´mite indica que existe
ı
´
un unico morfismo u : X → E tal que
X wwwh
1
www
8
1
u
VA
1 qqqq
qq e
E

f
g

GG B

12

ı
o

conmuta, es decir, h = e ◦ u.
Ejemplo 1.35. En Conj, el igualador de f, g : A → B es h : X → A donde X = {a ∈
A : f (a) = g(a)}. En otras palabras, es la inclusi´ n del subconjunto de A que tienen la
o
misma imagen bajo ambas funciones.

1.5.3.

Productos fibrados (retrotracciones)

Si ahora consideramos a la categorá I
ı
f1

f2

A1 − A2 ← A3 ,
→
−
el diagrama Γ : I → C tiene por l´mite a un objeto P con proyecciones pA y pB tal que
ı
pB

P
pA

GB
g

A

f

GC

conmuta. A este objeto junto con sus proyecciones se le denomina producto fibrado3
o retrotracci´ n de los objetos A y B sobre C. Como en el caso del igualador, la flecha
o
que va de P a C es tambi´ n superflua. Desde luego, P satisface que para cualquier otro
e
objeto C con flechas qA : C → A y qB : C → B tales que g ◦ qB = f ◦ qA existe un
´
unico morfismo h : C → P de modo que
Cc

c

qB
h
c

c1

qA

P

pB

pA

2
A

0
GB
g

f

GC

conmuta, esto es, qB = pB ◦ h y qA = pA ◦ h. Si f = g, entonces a la retrotracci´ n de A
o
sobre C se le llama par n´ cleo.
u
Ejemplo 1.36. En Conj, la retrotracci´ n del par de funciones f : A → C y g : B → C
o
es el conjunto
A × B ⊇ P = {(a, b) : f (a) = g(b)}
con las proyecciones pA (a, b) = a y pB (a, b) = b.
3 En ingl´ s a esto le llaman pullback, y hay matem´ ticos hispanoparlantes que usan tal cual este xenise
a
mo. Mi propuesta, retrotracci´ n, es mucho m´ s po´ tica e igual de descriptiva. Por esto pienso que los
o
a
e
matem´ ticos nos beneficiarámos mucho del estudio de las etimologás grecolatinas.
a
ı
ı

1.6. Co-conos y co-l´mites
ı

1.5.4.

13

Objeto terminal

No hemos considerado al diagrama m´ s simple de todos: al que surge de tomar a
a
I = ∅. Sea Γ : ∅ → C este diagrama vacó. Como no hay objetos ni morfismos a donde
ı
ir, el cono l´mite es simplemente un objeto T tal que para cualquier objeto de C ∈ C
ı
existe un morfismo f : C → T . A un objeto con esta propiedad se le llama objeto
terminal. Su universalidad en este caso nos dice que los objetos terminales son todos
isomorfos.
Ejemplo 1.37. Un objeto terminal de Conj es cualquier conjunto singular.

1.6.

Co-conos y co-l´mites
ı

Las construcciones duales de los conos y los l´mites permiten completar el repertoı
rio de construcciones b´ sicas de la Matem´ tica.
a
a
Definici´ n 1.38. Un co-cono (C, µ) sobre el diagrama Γ : I → C consta de un objeto
o
C ∈ C y una transformaci´ n natural µ : Γ → C .
o
Definici´ n 1.39. Decimos que un co-cono (L, λ) sobre Γ : C → I es un co-cono l´mite
o
ı
si posee la siguiente propiedad universal: para cualquier co-cono (C, µ) sobre Γ existe
f

´
un unico morfismo L → C tal que para todo I ∈ I el diagrama
−
C –d
y d
dd µI
dd
f
dd
o
L λ ΓI
I

conmuta. Denotamos a este co-cono l´mite (L, λ) con col´m Γ.
ı
ı
De estas definiciones extraemos los conceptos de coproducto, coigualador, coproductos fibrados (o protracciones) y objetos iniciales, invirtiendo las direcciones de las
flechas en los diagramas que definen a sus duales.
Ejemplo 1.40. En Conj:
1. El coproducto de dos conjuntos A y B es la uni´ n disjunta de ellos A
o
inclusiones iA : A → A B y iB : B → A B.

B con las

2. El coigualador de las funciones f, g : A → B es la proyecci´ n p : B → B/S ,
o
donde S es la menor relaci´ n de equivalencia que contiene a todos los pares
o
( f (u), g(u)) para todo u ∈ A.
3. La protracci´ n de las funciones f : C → A y g : C → B es la uni´ n disjunta
o
o
de A B/ ∼, siendo ∼ la relaci´ n de equivalencia donde f (u) ∼ g(u) para todo
o
u ∈ C.
4. El objeto inicial es el conjunto vacó, pues es bien sabido que ∅ es subconjunto
ı
de cualquier conjunto.

14

ı
o

1.7.

Subfuntores y cribas

Sea F ∈ C@ . Un funtor G ∈ C@ es un subfuntor de F si G(X) ⊆ F(X) para todo
X ∈ Ob(C) y
iX G
G(X)
F(X)
Gf

G(Y)

Ff

iY

G F(Y)

conmuta para todo f ∈ C.
Para un subfuntor R de una pregavilla HomC (?, X) se cumple que R(Y) ⊆ HomC (Y, X).
Cuando u : Y → X pertenece a R(Y), decimos que u ∈ R. La clase de todos los u ∈ R
tiene la siguiente propiedad
u : Y → X ∈ R, v : Z → Y ⇒ u ◦ v ∈ R

(1.1)

pues (R(u))(v) = u ◦ v ∈ R(Z).
Una clase R de morfismos con codominio X que posee la propiedad (1.1), la llamamos una criba de X. Una criba determina un´vocamente un subfuntor de HomC (?, X)
ı
definiendo
R(Y) = {u ∈ R : dom(u) = Y}
y para v : Z → Y,
R(v) : R(Y) → R(Z),
u → u ◦ v.

1.8.

Subobjetos y clasificadores de subobjetos

Sea C una categorá y un objeto I ∈ Ob(C). De entre la categorá C/I del Ejemı
ı
plo 1.13, consideremos solamente a los morfismos que son monomorfismos, A
I.
Entonces un morfismo h : A → B entre dos objetos f : A
I, g : B
I sobre I
es un monomorfismo, seg´ n la expresi´ n f = g ◦ h. De tal expresi´ n tambi´ n se sigue
u
o
o
e
la unicidad de dicho morfismo. En tal situaci´ n escribimos f ⊆ g. Esta relaci´ n entre
o
o
objetos sobre I es de equivalencia, y cada clase de equivalencia se denomina subobjeto
de I.
Los subobjetos de un objeto I en una categorá capturan de manera bastante buena
ı
la idea de “subestructura”: en conjuntos y grupos, por ejemplo, los subobjetos determinan subconjuntos o subgrupos. No es una analogá perfecta pues falla para espacios
ı
topol´ gicos: hay subobjetos de un espacio topol´ gico que no representan subespacios
o
o
topol´ gicos.
o
En Conj podemos describir a un subconjunto como el morfismo m´ nico de ino
clusi´ n S → X o como la funci´ n caracter´stica
o
o
ı

0, x ∈ S ,


χS (x) = 
1, x S .


1.8. Subobjetos y clasificadores de subobjetos

15

Siguiendo a MacLane y Moerdijk, hemos tomado el valor de verdadero como 0.
Podemos considerar a la funci´ n verdadero como el siguiente subobjeto de 1 en 2:
o
v : 1 = {0}

2 = {0, 1},

0 → 0.

Con esta notaci´ n, cada subconjunto puede recuperarse (salvo biyecci´ n) de su
o
o
funci´ n caracter´stica χS como la retrotracci´ n de la flecha verdadero a lo largo de χS :
o
ı
o
S

G1

v

m

•
X • χS •G 2.

´
En este diagrama, S → 1 es la unica funci´ n de S al objeto terminal 1. Del diagrao
´
ma vemos que, dado el monomorfismo m, existe un unico χ (la funci´ n caracter´stica)
o
ı
tal que el diagrama anterior es una retrotracci´ n.
o
Definici´ n 1.41. En una categorá C finitamente completa, un clasificador de subobo
ı
jetos es un monomorfismo v : 1 → Ω, tal que para cada monomorfismo S
X en C
´
existe una unica flecha χ tal que se puede formar una retrotracci´ n
o
S

G1

(1.2)
v

m

•
X • χS •G Ω.

Es claro del diagrama (1.2) que por cada subobjeto S
X de X, existe un morfismo χS : X → Ω, y que cada morfismo X → Ω determina un´vocamente a un subobjeto
ı
de X. Denotando con SubC (X) el conjunto de todos los subobjetos de X, tenemos
SubC (X)

HomC (X, Ω).

Nos interesa el caso de una categorá de pregavillas C@ . Los subfuntores de una
ı
pregavilla representable HomC (?, X) son representantes de subobjetos de dicha pregavilla, pues la inclusi´ n es una transformaci´ n natural monom´ rfica. Si existe el clasifio
o
o
´
cador de subobjetos Ω en C@ , este debe satisfacer
SubC@ (Hom(?, X))

HomC@ (Hom(?, X), Ω)
= Nat(Hom(?, X), Ω)
= Nat(Y(X), Ω)

y por el Lema de Yoneda,
SubC@ (Hom(?, X))

Ω(X).

Sabemos, m´ s a´ n, que los subfuntores de una pregavilla representable est´ n en
a u
a
correspondencia biyectiva con las cribas del objeto representante. Por lo tanto, podemos definir la pregavilla
Ω(X) = {S : S es una criba de X}

16

ı
o

sobre objetos y para u : X → W el morfismo Ω(u) : Ω(W) → Ω(X) envá a cada criba
ı
h

S ∈ Ω(W) a la criba {Z → X : u ◦ h ∈ S }. Esta pregavilla, efectivamente, es una parte
−
del clasificador de subobjetos de C@ . Veamos lo concerniente al resto.
El objeto terminal de la categorá es la pregavilla 1 , pues siempre existe una
ı
transformaci´ n natural c : F → 1
o
FA

cA

Ff

FB

G1
id1

cB

G 1.

Dado un objeto X, el conjunto de todas las flechas con codominio X es una criba,
la criba maximal MX sobre X. Afirmamos que la clase de funciones
{vC : 1 → ΩC : ∗ → MC }C∈C
es una transformaci´ n natural. Efectivamente: el morfismo u : W → X ∈ C est´ en
o
a
MX , por lo que si se compone con cualquier f : Z → W ∈ MW , entonces u ◦ f ∈ MX , es
decir, f ∈ Ω(u)(MX ). Por otro lado, cualquier morfismo f ∈ Ω(u)(MX ) tiene codominio
W, y por eso pertenece a MW . En otras palabras,
Ω(u)(MX ) = Ω(u) ◦ vX (∗) = MW = vW ◦ id1 (∗).
Esta transformaci´ n natural es el clasificador de subobjetos
o
v: 1 →Ω
seg´ n se demuestra en [MM92], I.4.
u

1.9.

Funtores adjuntos

Definici´ n 1.42. Dados dos funtores F : A → B y G : B → A, decimos que G es
o
adjunto izquierdo de F si existe una equivalencia natural
θA,B : HomA (GB, A) → HomB (B, FA)

A∈A,B∈B .

Tambi´ n se dice que F es adjunto derecho de G.
e
Como puede verse, en el dominio de la equivalencia θ, el funtor G est´ a la izquiera
da.
Ejemplo 1.43. Tomemos A = B = Conj. Sea
F(A) = AC := HomConj (C, A),
donde C es un objeto fijo de Conj. Su adjunto izquierdo es G(B) = B × C, y la equivalencia natural est´ dada por
a
θA,B : HomConj (B × C, A) → HomConj (B, AC )
h(b, c) → h(b)(c)

1.10. Topoi

que es precisamente lo que expresa la ley exponencial AC×B
f : B → D,

17

(AC )B . En efecto, si

θA,B

HomConj (B × C, A) −− −→ HomConj (B, AC )
−−−


HomConj ( f,AC )


HomConj ( f ×C,A)




HomConj (D × C, A) −− −→ HomConj (D, AC ),
−−−
θA,D

pues
θA,B (HomConj ( f × C, A)(h)) = θA,B (h ◦ f × idC )
= h( f (b))
= HomConj ( f, AC )(h(d)) = HomConj (θA,D (h))
y tambi´ n, cuando g : A → D
e
θA,B

HomConj (B × C, A) −− −→ HomConj (B, AC )
−−−






HomConj (B,gC )


HomConj (C×B,g)
HomConj (B × C, D) −− −→ HomConj (B, DC ),
−−−
θD,B

ya que
HomConj (B, gC )(θA,B (h)) = HomConj (B, gC )(h(b))
= g ◦ h(b)
= θA,B (g ◦ h) = θA,B (HomConj (C × B, g)(h))
En una categorá C se dice que un objeto A es exponenciable si el funtor A×? tiene
ı
un adjunto derecho ?A . En s´mbolos, tenemos que
ı
HomC (A×?, ??)

HomC (?, ??A ).

El Ejemplo 1.43 demuestra que todo objeto de Conj es exponenciable.
Ejemplo 1.44. Supongamos que tenemos una pregavilla P en C@ que es exponenciable. Por el Lema de Yoneda debe cumplirse para M ∈ Ob(C) y otra pregavilla Q en C@
que
QP (M) HomC@ (Y(M), QP ) HomC@ (Y(M) × P, Q).
Usamos precisamente lo anterior para definir de la pregavilla QP sobre objetos.
Que efectivamente hemos definido al funtor adjunto de ? × P (y que por eso todos los
objetos de C@ son exponenciables) est´ demostrado en [MM92], I.6.
a

1.10.

Topoi

Un topos4 es un tipo especial de categorá que se asemeja a Conj, en el sentido
ı
´
de que muchas construcciones utiles para la Matem´ tica (como lo son los productos
a
cartesianos, los conjuntos potencia y las funciones caracter´sticas) son posibles.
ı
4 El

plural de la palabra topos es topoi.

18

ı
o

Definici´ n 1.45. Una categorá C es un topos (elemental) si tiene l´mites finitos, todo
o
ı
ı
objeto es exponenciable y posee un clasificador de subobjetos.
La anterior definici´ n es equivalente a esta otra.
o
Definici´ n 1.46. Un topos (elemental) C es una categorá que goza de las siguientes
o
ı
propiedades.
1. tiene l´mites finitos;
ı
2. tiene un clasificador de subobjetos Ω;
3. existe una funci´ n que a cada objeto A de C le asigna otro ΩA de modo que
o
existen los isomorfismos naturales
SubC A

HomC (A, Ω),

HomC (B × A, Ω)

HomC (A, ΩB )

para cualesquiera objetos A, B ∈ Ob(C).
A lo largo de este cap´tulo hemos visto lo suficiente para saber que tanto Conj como
ı
C@ (cuando C es una categorá peque˜ a) son topoi. En particular, M´ d@ es un topos.
ı
n
o
´
Este topos es sumamente util para la Musicologá Matem´ tica, pues es el fundamento
ı
a
para construir el modelo de conocimiento enciclop´ dico (donde la M´ sica, desde luego,
e
u
est´ inserta) como lo concibe Guerino Mazzola. Esto lo discutiremos con mayor detalle
a
en el tercer cap´tulo.
ı

Cap´tulo 2
ı

Preliminares algebraicos
2.1.

M´ dulos
o

Definici´ n 2.1. Sea R un anillo. Un R-m´ dulo (izquierdo) es una tripla
o
o
(R, M, µ : R × M → M)
donde M es un grupo abeliano (con notaci´ n aditiva) y µ es la multiplicaci´ n escalar
o
o
(que usualmente se escribe como µ(r, m) = r.m) con las siguientes propiedades:
1. Se satisface 1R .m = m para todo m ∈ M.
2. Para todo r, s ∈ R y m, n ∈ M, tenemos que (r + s).m = r.m + s.m, r.(m + n) =
r.m + r.n, y r.(s.m) = (r · s).m.
Ejemplo 2.2. El espacio vectorial Rn para n ≥ 1 es un R-m´ dulo.
o
Ejemplo 2.3. Todo espacio vectorial es un R-m´ dulo, donde R es el cuerpo de escalares
o
correspondiente.
Ejemplo 2.4. Todo grupo abeliano G es un Z-m´ dulo. En efecto, basta definir la mulo
tiplicaci´ n escalar
o
µ : Z × G → G,


g + · · · + g,






n



(n, g) → 0,



(−g) + · · · + (−g),







n 0,
n = 0,
n 0.

n

Ejemplo 2.5. Si {Mi : i ∈ I} es una familia indizada de R-m´ dulos, podemos definir
o
el producto directo i∈I Mi como el producto cartesiano de los {Mi } dotado con las
operaciones componente a componente.
19

20

Cap´tulo 2. Preliminares algebraicos
ı

Definici´ n 2.6. Sea {Mi : i ∈ I} una familia indizada de R-m´ dulos. La suma directa
o
o
Mi es el subm´ dulo de i∈I Mi que consiste en aquellos elementos que tienen
o
i∈I
una cantidad finita de entradas no nulas.
Notamos que si la familia de R-m´ dulos es finita, entonces el producto directo
o
coincide con la suma directa.
Definici´ n 2.7. Sean M y N R-m´ dulos. Un homomorfismo de grupos f : M → N
o
o
se dice R-lineal si f (r.m) = r. f (m) para todo r ∈ M y m ∈ M, con las respectivas
multiplicaciones escalares.
El conjunto de todos los homomorfismos R-lineales entre M y N es denotado con
LinR (M, N) y es un grupo bajo la adici´ n de homomorfismos. Por la distributividad de
o
la composici´ n de homomorfismos de m´ dulos, tenemos que el conjunto de endomoro
o
fismos de M en s´ mismo EndR (M) := LinR (M, M) es un anillo. Este, a su vez, contiene
ı
al grupo de automorfismos de M, AutR (M), el cual consiste en todos los elementos
invertibles de EndR (M).
Definici´ n 2.8. Una R-m´ dulo M se dice libre si es isomorfo a una suma directa de
o
o
copias de R. Es decir, M
R e I es alguna familia de ńdices.
ı
i∈I Ri donde Ri
El rango de un m´ dulo libre M es la cardinalidad del conjunto de indices I sobre
o
el que se toma la suma directa a la que es isomorfo M. En [Rot03], secci´ n 7.4, se
o
demuestra que esa cardinalidad est´ bien definida.
a
Ejemplo 2.9. Cualquier anillo conmutativo R, considerado como un m´ dulo sobre
o
s´ mismo, es un R-m´ dulo libre.
ı
o
Si φ : S → R es un homomorfismo de anillos y M es un R-m´ dulo, obtenemos un
o
S -m´ dulo M[φ] a partir de M definiendo una nueva multiplicaci´ n escalar
o
o
µ : S × M → M,
(s, m) → φ(s).m;
al homomorfismo φ se le denomina restricci´ n de escalares. Un abuso com´ n de noo
u
taci´ n es M[S ] cuando φ es clara.
o
Ejemplo 2.10. Sabemos que R es un R-m´ dulo. El homomorfismo de inclusi´ n Q →
o
o
R es una restricci´ n de escalares que nos lleva al Q-m´ dulo R[Q] . Obs´ rvese que mieno
o
e
tras que R es unidimensional, R[Q] es de dimensi´ n infinita. Este m´ dulo es muy imo
o
portante en el contexto de c´ mo interpreta nuestro cerebro el sonido, como veremos
o
m´ s adelante.
a
Definici´ n 2.11. Un homomorfismo dilineal de un S -m´ dulo M a un R-m´ dulo N es
o
o
o
una pareja
(φ : S → R, f : M → N[φ] )
que consiste en una restricci´ n de escalares φ y un homomorfismo S -lineal f . Cuando
o
la restricci´ n de escalares es clara, escribimos simplemente a f como el homomorfismo
o
dilineal.

2.1. M´ dulos
o

21

Ejemplo 2.12. Consideremos a los m´ dulos R[Q] y C. Sea el homomorfismo de anillos
o
i : Q → R y el homomorfismo Q-lineal
f : R[Q] → C,
x → x + i.0.
Entonces (i, f ) es un homomorfismo dilineal entre el Q-m´ dulo R[Q] y el R-m´ dulo
o
o
C.
Dado un grupo aditivo M y un elemento m ∈ M, la traslaci´ n por m es la funci´ n
o
o
em : M → M,
x → x + m,
que tiene la propiedad
em ◦ en (x) = em (x + n) = x + m + n = em+n (x)
que justifica la elecci´ n de la notaci´ n exponencial.
o
o
Definici´ n 2.13. Para dos anillos R, S , un R-m´ dulo M y un S -m´ dulo N, un homoo
o
o
morfismo diafń f es de la forma en ◦ f0 , donde en es una traslaci´ n en N y f0 es una
ı
o
transformaci´ n dilineal entre M y N. Si f0 es R-lineal (lo que significa que R = S y
o
φ = idR ) f se dice R-afń.
ı
Ejemplo 2.14. La funci´ n
o
ei ◦ f : R[Q] → C,
x→ x+i
donde f es como en el Ejemplo 2.12, es una transformaci´ n diafń.
o
ı
Ejemplo 2.15. Considerando al R-m´ dulo R2 con la transformaci´ n R-lineal
o
o
f0 : R2 → R2 ,
x → Ax
donde A es una matriz de tama˜ o 2 × 2 con entradas reales, entonces la funci´ n
n
o
eb ◦ f0 : R2 → R2 ,
x → Ax + b
2

donde b ∈ R , es una transformaci´ n R-afń.
o
ı
Como ya habámos mencionado, una categorá de mucha relevancia en este trabajo
ı
ı
es M´ d@ , donde recordamos que M´ d es la categorá de los m´ dulos con las transforo
o
ı
o
maciones diafines como morfismos. Para un m´ dulo espec´fico M ∈ M´ d, escribimos
o
ı
o
M@ := HomM´ d (M, ?)
o

y

@M := HomM´ d (?, M).
o

La subcategorá de R-m´ dulos (izquierdos) y homomorfismos R-afines se denota
ı
o
con M´ dR . En este caso, escribimos
o
M@R N = HomM´ dR (M, N).
o
Definici´ n 2.16. Al conjunto M@R M lo denominaremos simetrás de M (a´ n cuando
o
ı
u
no todos sus elementos son invertibles).

22

ı

´
2.2. Algebras
´
Vamos a usar dos definiciones de algebra.
Definici´ n 2.17. Sea S un anillo y Z(S ) el centro de S (que consiste en el subanillo de
o
todos los elementos de S que conmutan con todos los elementos de S ). Para un anillo
conmutativo R, un homomorfismo de anillos φ : R → S cuya imagen est´ contenida en
a
Z(S ) se denomina un R-´ lgebra.
a
Definici´ n 2.18. Si R es un anillo conmutativo, entonces un anillo S es un R-´ lgebra
o
a
si es un R-m´ dulo y los escalares r ∈ R conmutan en S , esto es
o
r.(s · s ) = (r.s) · s = s · (r.s )
para cualesquiera s, s ∈ S .
Proposici´ n 2.19. Las dos definiciones de algebra son equivalentes.
o
´
Demostraci´ n. Primero demostraremos que la primera definici´ n implica a la segunda.
o
o
Tenemos que S es un grupo conmutativo y la multiplicaci´ n por escalar es
o
µ : R × S → S,
(r, s) → φ(r) · s,
que satisface
1R .s = φ(1R ) · s = 1S · s = s,
(r + r ).s = φ(r + r ) · s = (φ(r) + φ(r )) · s
= φ(r) · s + φ(r ) · s
= r.s + r .s,
r.(s + s ) = φ(r) · (s + s ) = φ(r) · s + φ(r) · s
= r.s + r.s ,
r.(r .s) = φ(r) · (φ(r ) · s) = (φ(r) · φ(r )) · s
= φ(r · r ) · s
= (r · r ).s
lo que demuestra que S es un R-m´ dulo. Adem´ s
o
a
r.(s · s ) = φ(r) · (s · s )
= (φ(r) · s) · s = (r.s) · s
= (s · φ(r)) · s )
= s · (φ(r) · s ) = s · (r.s ),
lo que comprueba la conmutatividad en S .
Para demostrar que la segunda definici´ n implica la primera, definimos la funci´ n
o
o
φ : R → S,
r → r.1S ,

´
2.2. Algebras

23

que es un homomorfismo de anillos pues se satisfacen las relaciones
φ(1R ) = 1R .1S = 1S ,
φ(r + r ) = (r + r ).1S
= r.1S + r .1S
= φ(r) + φ(r ),
que se siguen del hecho de que S es un R-m´ dulo y
o
φ(r · r ) = (r · r ).1S
= ((r · r ).1S ) · 1S
= 1S · ((r · r ),1S )
= 1S · (r.(r .1S ))
= (r.1S ) · (r · 1S ) = φ(r) · φ(r )
se obtiene por la conmutatividad en S . M´ s a´ n,
a u
φ(r) · s = (r.1S ) · s
= (r.1S ) · (s · 1S )
= 1S · (r.(s · 1S ))
= r.(s · 1S )
= s · (r.1S )
= s · φ(r),
lo que es consecuencia tambi´ n de la conmutatividad en S , y significa que φ(R) ⊆ Z(S ).
e
Luego las definiciones que hemos dado son equivalentes.
Ejemplo 2.20. El anillo de polinomios en una variable con coeficientes complejos C[x]
es tanto una C-´ lgebra como una R-´ lgebra.
a
a
Ejemplo 2.21. Los n´ meros complejos C son una R-´ lgebra con el homomorfismo
u
a
inclusi´ n R → C.
o
Ejemplo 2.22. Consideremos al anillo Mn×n (R) de las matrices de tama˜ o n × n sobre
n
un anillo conmutativo R. Este anillo es un R-´ lgebra bajo la funci´ n diagonal
a
o

r





r → 0




0

···
..
.
···


0






0 .



r

En este ejemplo, el anillo S = Mn×n (R) no es conmutativo.
Definici´ n 2.23. Si φ : R → S y ψ : R → T son dos R-´ lgebras, un homomorfismo de
o
a
anillos f : S → T es un homomorfismo de R-´ lgebras si ψ = f ◦ φ.
a

24

ı

Ejemplo 2.24. Sean las R-´ lgebras
a
φ : R → C[x],
a → a + 0.i
(esto es, manda a a al polinomio constante a + 0.i), y
ψ : R → C,
a → a + 0.i.
El homomorfismo de anillos θ : C[x] → C dado por θ(h(x)) = h(0) satisface
θ ◦ φ(a) = θ(a + 0.i) = a + 0.i = ψ(a),
as´ que es un homomorfismo de R-´ lgebras.
ı
a
Proposici´ n 2.25. Si R es un anillo conmutativo y φ : R → EndR (M) es el homomoro
fismo (φ(r))(s) = r.s, entonces EndR (M) es un R-´ lgebra.
a
Demostraci´ n. En efecto, si f ∈ EndR (M), entonces
o
(φ(r) ◦ f )(s) = φ(r)( f (s)) = r. f (s) = f (r.s) = ( f ◦ φ(r))(s),
lo que comprueba que la imagen de φ est´ contenida en Z(EndR (M)).
a
Sea R un anillo conmutativo. Tenemos un homomorfismo inyectivo de R-´ lgebras
a
Λ : S → EndR (S )
donde el elemento s ∈ S es enviado al endomorfismo Λ(s) definido a trav´ s de
e
Λ(s) : S → S
s → s·s ;
a este homomorfismo se le denomina representaci´ n regular izquierda.
o
Teorema 2.26. Si N y M son dos m´ dulos libres de sendos rangos finitos n y m, eno
tonces para todo homomorfismo lineal h : N → M existe una matriz un´vocamente
ı
determinada H ∈ Mm×n (R) tal que para x ∈ N se satisface h(x) = g−1 (H · f (x)), donde
f : N → Rn y g : M → Rm son isomorfismos. En otras palabras,
LinR (N, M)

Mm×n (R).

En particular,
EndR (S )

Mn×n (R).

(2.1)

Si S es un R-m´ dulo libre de dimensi´ n n, entonces tenemos que la representaci´ n
o
o
o
regular izquierda puede verse como
λ : S → Mn×n (R)
seg´ n (2.1).
u

´
2.2. Algebras

2.2.1.

25

Producto tensorial

Definici´ n 2.27. Dado un anillo R, un R-m´ dulo derecho A y un R-m´ dulo izquierdo
o
o
o
B, entonces su producto tensorial es un grupo abeliano A⊗R B y una funci´ n R-biaditiva
o
h : A × B → A ⊗R B
tal que, para todo grupo abeliano G y cada funci´ n R-biaditiva f : A × B → G, existe
o
´
un unico Z-homomorfismo f˜ : A ⊗R B → G tal que el diagrama
A×B
ii
ii
ii
i
f ii
4

G A ⊗R B
x
x

h

G

|x

x

x˜
f

conmuta.
El producto tensorial de m´ dulos existe. Considerando al grupo libre F generado
o
por A × B y al subgrupo S de F generado por los elementos de la forma
(a, b + b ) − (a, b) − (a, b ), (a + a , b) − (a, b) − (a , b), (ar, b) − (a, rb),
un grupo que satisface la definici´ n del producto tensorial es F/S (la demostraci´ n
o
o
puede encontrarse en [Rot03], pp. 576,577). Denotamos la clase (a, b) + S con a ⊗ b.
As´, cada u ∈ A ⊗R B puede escribirse
ı
u=

ai ⊗ bi
i

´
aunque no de manera unica.
Proposici´ n 2.28. Sean f = A → A y g : B → B homomorfismos de R-m´ dulos
o
o
izquierdos y derechos, respectivamente. Entonces existe un unico Z-homomorfismo,
´
que denotamos con f ⊗ g : A ⊗R B → A ⊗R B , definido por
f ⊗ g : a ⊗ b → f (a) ⊗ g(b).
f

f

Corolario 2.29. Dados los homomorfismos A → A − A de R-m´ dulos derechos y
−
→
o
g

g

los homomorfismos B → B − B de R-m´ dulos izquierdos, se satisface
−
→
o
( f ⊗ g ) ◦ ( f ⊗ g) = ( f ◦ f ) ⊗ (g ◦ g).
Teorema 2.30. Dado un R-m´ dulo AR , existe un funtor aditivo F A : M´ d → Ab
o
o
definido por
F A (B) = A ⊗R B y F A (g) = 1A ⊗ g,
donde g : B → B es una aplicaci´ n de R-m´ dulos izquierdos.
o
o

26

ı

Demostraci´ n. Primero, n´ tese que F A preserva identidades: F A (1B ) = 1A ⊗ 1B es la
o
o
identidad 1A⊗B , porque deja fijo a cada generador a ⊗ b. Adem´ s, F A preserva composia
ciones
F A (g ◦ g) = 1A ⊗ g ◦ g = (1A ⊗ g ) ◦ (1A ⊗ g) = F A (g ) ◦ F A (g)
por el Corolario 2.29. Por lo tanto, F A es un funtor.
Definici´ n 2.31. Sean R y S anillos y M un grupo abeliano. Decimos que M es un
o
(R, S )-bim´ dulo si M es un R-m´ dulo izquierdo, un S -m´ dulo derecho y las dos mulo
o
o
tiplicaciones escalares satisfacen una propiedad asociativa
r.(m · s) = (r.m) · s.
Lema 2.32. Dado un S , R-bim´ dulo A y un R-m´ dulo izquierdo B, entonces su proo
o
ducto tensorial A ⊗R B es un S -m´ dulo izquierdo. En particular, si k es un anillo cono
mutativo, A una k-´ lgebra y B un k-m´ dulo izquierdo, entonces A ⊗k B es un A-m´ dulo
a
o
o
izquierdo.

2.2.2.

´
Numeros duales

Para un R-´ lgebra de polinomios en una variable R[X], el ideal X 2 define la Ra
´
algebra de n´ meros duales R[ ] = R[X]/ X 2 con = X + X 2 . Se satisface 2 =
u
X 2 + X 2 = X 2 , es decir, 2 = 0. Esto implica que, para cualquier polinomio f ∈ R[ ],
todos sus monomios de grado mayor o igual a 2 se anulan, y por ello cualquier elemento
de R[ ] es de la forma a + .b.
Multiplicando dos elementos a + .b, c + .d ∈ R[ ] tenemos
(a + .b)(c + .d) = ac + .(bc + ad).

(2.2)

Asimismo, R[ ] es un R-m´ dulo considerando solamente su estructura aditiva. Veo
mos que 1 + .0 y 0 + .1 son una base para este m´ dulo, por lo que es de dimensi´ n 2.
o
o
Siendo R[ ] un m´ dulo, tenemos la representaci´ n regular izquierda
o
o
λ : R[ ] → M2×2 (R),
(a, b) →

a
b

0
.
a

En efecto,
a
b

0 c
ac
=
,
bc + ad
a d

y vemos que este resultado coincide con la multiplicaci´ n de n´ meros duales dada por
o
u
(2.2).
En particular,
0 0
( ) := λ( ) =
,
1 0
y notamos que ( )2 = 0.

´
2.2. Algebras

27

Las matrices
α+ =

1
0

1
,
0

α− =

1
0

−1
0

act´ an sobre R[ ] (visto como un R-m´ dulo de dimensi´ n 2) seg´ n
u
o
o
u
1
0

1 a
a+b
=
,
0 b
0

1
0

−1 a
a−b
=
;
0 b
0

en virtud de que {(a, 0) : a ∈ R} R, podemos pensar a α+ y α− como representaciones
matriciales de las funciones R-lineales α+ : R[ ] → R : a + .b → a + b y α− : R[ ] →
R : a + .b → a − b.
Calculamos
−1
1 0
1 0
(1 + )−1 =
=
1 1
−1 1
y observamos la relaci´ n
o
− α+ (1 + )−2 = −

1
0

1 1
0 −2

0
−1
=−
1
0

1
1
=
0
0

−1
= α− ;
0

(2.3)

como veremos m´ s adelante, esta identidad es muy importante para cambiar la oria
entaci´ n de un intervalo de contrapunto.
o
Consideremos el ideal de polinomios R ( ), α+ con variables no conmutativas y el
ideal
I = ( )2 , α2 − α+ , α+ ( ) + ( )α+ − 1 − ( )
+
de las relaciones entre ( ) y α+ . Se sabe que R ( ), α+ /I es isomorfo como R-m´ dulo
o
al m´ dulo generado por 1, α+ , ( ), α+ ( ) , que coincide con todo M2×2 (R).
o
Para nuestros fines, es necesario intepretar la construcci´ n de n´ meros duales para
o
u
cualquier m´ dulo. Esto lo lograremos extendiendo los escalares de un R-m´ dulo a
o
o
R[ ]. Sean A y B anillos, y ρ : A → B un homomorfismo de anillos. Consideremos el
A-m´ dulo izquierdo (B, ρ) definido por este homomorfismo. Este A-m´ dulo tambi´ n
o
o
e
est´ provisto de una estructura de B-m´ dulo izquierdo trivialmente. Como b (bρ(a)) =
a
o
(b b)ρ(a) para a ∈ A y b, b ∈ B, estas estructuras son compatibles. Esto permite, para
todo A-m´ dulo izquierdo E, definir sobre el producto tensorial B ⊗A E una estructura
o
de m´ dulo izquierdo tal que
o
β (β ⊗ x) = (ββ ) ⊗ x
para β, β ∈ B y x ∈ E. Se dice que este B-m´ dulo izquierdo es una extensi´ n a B del
o
o
anillo de escalares por medio de ρ.
Nos interesa el caso de r : R → R[ ], donde M[ ] = R[ ] ⊗R M,
f [ ] = e1⊗m0 ◦ 1R[ ] ⊗R f0
( f = em0 ◦ f0 es una transformaci´ n R-afń) y R es un anillo conmutativo. Debemos
o
ı
observar primero que R[ ] R ⊕ R como R-m´ dulo. Por lo tanto
o
R[ ] ⊗R M

(a + .b) ⊗ m 1

G (R ⊕ R) ⊗R M
G (a, b) ⊗ m 1

G (R ⊗R M) ⊕ (R ⊗R M)
G (a ⊗ m, b ⊗ m) 1

G M ⊕ M,
G (a.m, b.m),

28

ı

para el caso de los morfismos afines
f [ ] : (a.m, b.m) → e(m0 ,0) ◦ (a. f0 (m), b. f0 (m)) = (a. f0 (m) + m0 , f0 (m)).
En particular, la multiplicaci´ n por escalares en R[ ] es
o
(a + .b )(a.m, b.m) = (aa .m, (a b + ab ).m);
por ejemplo, si b = 0 entonces
a (am, bm) = (aa , a b.m)
y si a = 0, resulta .b (am, bm) = (0, ab .m). Podemos definir tambi´ n
e
α± : M[ ] → M : (m, m ) → m ± m .

Cap´tulo 3
ı

Formas, denotadores y
composiciones locales
La teorá de formas y denotadores fue concebida como un sistema para manipular
ı
y organizar la informaci´ n musical, y ha sido producto de un largo proceso de flexio
´
bilizaci´ n y adaptaci´ n al ambito computacional. Al respecto, G. Mazzola nos dice
o
o
[Maz02a]:
La teorá de formas y denotadores fue desarrollada como una unificaci´ n
ı
o
de la Teorá Matem´ tica de la M´ sica y los sistemas de administraci´ n de
ı
a
u
o
bases de datos requeridos para el procesamiento avanzado de datos realizado por software musical con fines de an´ lisis e interpretaci´ n. Con tal
a
o
teorá se satisfacen tres requerimientos de la ciencia enciclop´ dica univerı
e
sal: unidad, completitud y discursividad1 . La referencia a tal contexto ha
resultado esencial pues los objetos musicales conforman un sistema abierto que se expande hist´ rica y culturalmente y que necesita una continua exo
tensibilidad. Este objetivo se alcanza por medio de un enfoque sistem´ tico
a
de la representaci´ n de los objetos musicales, basado en (a) recursividad
o
de la construcci´ n del objeto, (b) m´ ltiples modos de ramificaci´ n en las
o
u
o
referencias recursivas, (c) relaciones de orden definidas de modo recursivo
entre los objetos musicales.
Esta teorá es hilom´ rfica en el sentido de que lo real es una conjunci´ n de forma
ı
o
o
y sustancia. Desde la perspectiva matem´ tica, si los objetos son puntos en alg´ n espaa
u
cio, es necesario que el punto “cargue” consigo a su espacio para ser algo “real”. Por
ejemplo: un mismo punto (a, b) con a, b ∈ R se entiende de manera muy distinta si el
espacio en el que se encuentra es R2 o C, con una interpretaci´ n algebraica en mente.
o
Lo que a continuaci´ n definiremos como forma es el “espacio” donde “inyectaremos”
o
la sustancia de los “puntos” o denotadores.
1 Con esto Mazzola se refiere a la capacidad de articular un discurso. Una de las acepciones de discurso,
seg´ n el diccionario de la Real Academia Espa˜ ola, es: “Facultad racional con que se infieren unas cosas de
u
n
otras, sac´ ndolas por consecuencia de sus principios o conoci´ ndolas por indicios y se˜ ales.”.
a
e
n

29

30

Cap´tulo 3. Formas, denotadores y composiciones locales
ı

3.1.

Formas

Para comenzar, recordemos que M´ d@ denota la categorá de funtores (contravario
ı
antes) G : M´ dop → Conj. Dado G ∈ M´ d@ , a su m´ dulo argumento M lo llamamos
o
o
o
domicilio, y a un morfismo de m´ dulos f : M → N lo llamamos cambio de domicilio.
o
Repetimos que M@G := G(M) y que v : 1 → Ω es el clasificador de subobjetos en
el topos M´ d@ .
o
Definici´ n 3.1. Una forma F es un cu´ druple F = (NF, T F, CF, IF), donde:
o
a
1. la cadena de caracteres ASCII NF se denomina nombre de la forma y se denota
con N(F);
2. con T F representamos a cualquiera de los s´mbolos
ı
Simple, Syn, Power, Limit, Colimit,
que se denominan tipo de la forma y se denotan con T (F);
3. el elemento CF es alguno de los siguientes objetos de acuerdo a los s´mbolos
ı
previos:
a) para Simple, CF es un m´ dulo M,
o
b) para Syn y Power, CF es una forma,
c) para Limit y Colimit, CF es un diagrama D de formas;
se le denomina coordenador de F y se denota con C(F);
4. con IF representamos un monomorfismo de funtores IF : G
la siguiente informaci´ n:
o

X ∈ M´ d@ , con
o

a) Para Simple, X = @M,
b) para Syn, X = Fun(C(F)),
c) para Power, X = ΩFun(C(F)) ,
d) para Limit, X = l´m D,
ı
e) para Colimit, X = col´m D;
ı
la transformaci´ n natural IF es el identificador de F y lo denotamos con I(F).
o
Su dominio G se denomina funtor espacio de F y se denota con Fun(F). El
codominio del identificador se denomina espacio marco de la forma.
Escolio 3.2. La definici´ n de forma merece algunos comentarios en t´ rminos de lo
o
e
prescrito por Mazzola respecto al conocimiento enciclop´ dico. Observamos primero
e
como el coordenador de una forma puede ser una forma o un diagrama de formas,
obteniendo as´ un principio de construcci´ n unico y recursivo.
ı
o ´
La ramificaci´ n viene dada por la posibilidad de elegir diferentes tipos de forma.
o
Esta ramificaci´ n y los tipos de forma nos dan la completitud requerida hasta ahora
o

3.1. Formas

31

por la Musicologá Matem´ tica, pues el espectro de construcciones posibles es muy
ı
a
amplio; particularmente porque el fundamento es el topos M´ d@ .
o
Aunque no entramos en detalles aqu´, es posible ordenar a las formas y denotadores
ı
de manera recursiva ([Maz02b], secci´ n 6.8), lo que nos da la discursividad. Obviao
mente, la discursividad tambi´ n requiere de la asociaci´ n de objetos entre s´; esto es
e
o
ı
plenamente posible dado que las formas admiten a diagramas de formas como coordenadores. En este sentido, la recursividad es m´ s que un simple principio arquitect´ nico:
a
o
ofrece adem´ s la posibilidad de hacer referencias cruzadas y m´ ltiples combinaciones
a
u
de formas en distintos niveles.
La notaci´ n para una forma F con todos sus elementos es
o
NF − T F(CF).
−
→
IF

En la definici´ n, es necesario legitimar la existencia de los diagramas de formas.
o
Sean las formas
NF − T F(CF) y NH − T H(CH)
−
→
−
→
IF

IH

cuyos identificadores son
IF : G1

X1

y

IH : G2

X2 .

Un par de transformaciones naturales α y β tal que el cuadrado
G 1

α

G G2

IH

IF

X1

G X2

β

conmuta es, precisamente, un morfismo de formas. El par de las identidades de G1 y X1
es, obviamente, el morfismo identidad de IF. Resulta igualmente muy claro que dos
morfismos de formas se pueden componer yuxtaponiendo los cuadrados conmutativos.
Esto convierte a las formas en una categorá.
ı
Ejemplo 3.3. Una de las formas m´ s importantes en la Musicologá Matem´ tica es
a
ı
a
EulerModule, dada por
EulerModule → Simple(Q3 );
−
q

obs´ rvese que el identificador será un monomorfismo
e
ı
q:G

?@Q3 ,

donde G es el funtor espacio. De manera m´ s espec´fica, podrámos elegir G =?@Q3 y
a
ı
ı
q = id para tener la forma
EulerModule −− − − − −→ Simple(Q3 ).
−−−−−−
id:?@Q3

?@Q3

32

ı

El m´ dulo Q3 fue introducido por Leonhard Euler en la Musicologá Matem´ tica en
o
ı
a
su obra pionera Tentamen Novae Theoriae Musicae. Es de particular relevancia porque
las frecuencias importantes en la M´ sica occidental son n´ meros reales de la forma
u
u
f = k · 2 p · 3 s · 5t ,

p, s, t ∈ Q,

donde k es una frecuencia constante de referencia dada en hertz. La restricci´ n de los
o
exponentes p, s y t es esencial para tener una representaci´ n un´voca (v´ ase [Maz02b],
o
ı
e
E.2). As´, podemos reemplazar a cualquier frecuencia por una terna (p, s, t) ∈ Q3 , pues
ı
podemos recuperar su valor real sin ambig¨ edad.
u
La elecci´ n de los tres primeros primos en la representaci´ n de una frecuencia
o
o
tiene su explicaci´ n en la afinaci´ n justa, donde el cociente f /g de dos frecuencias f y
o
o
g expresa la relaci´ n interv´ lica entre ellas:
o
a
1. Si f /g = 2, f es la octava de g.
2. Si f /g = 3, f es la quinta (justa) de g.
3. Si f /g = 5, f es la tercera major (justa) de g.
Seg´ n la fisiologá de la audici´ n, el o´do transforma logar´tmicamente las frecuenu
ı
o
ı
ı
cias dado que la distancia entre dos octavas sucesivas parece ser siempre la misma.
Escribimos entonces
log f = log k + p log 2 + s log 3 + t log 5
y por ello, salvo la frecuencia convencional, las frecuencias de los tonos se perciben
como sumas de octavas, quintas y terceras. Como ya hemos visto (Ejemplo 2.10), R[Q]
es un espacio vectorial de dimensi´ n infinita y se puede demostrar ([Maz02b], D.2) que
o
los vectores log p para todo p primo son linealmente independientes en R[Q] . Por ello,
para el punto (p, s, t) ∈ Q3 a p se le llama la coordenada de octavas, a s la coordenada
de quintas y a t la coordenada de terceras.
Ejemplo 3.4. Otra forma es la llamada forma de tonos
PiModn → Simple(Zn ).
−
I

El identificador es
I :G

?@Zn ,

donde G es el funtor espacio. Un caso especial muy socorrido es PiMod12 , que se
emplea para representar a las doce notas en el sistema equitemperado, en particular
porque refleja la periodicidad de las octavas.
Enseguida estudiaremos a las formas de tipo Power de modo m´ s detallado, pues
a
´
adem´ s de las de tipo Simple son las unicas que emplearemos en esta tesis. El resto
a
son discutidas con detalles y ejemplos por Mariana Montiel en su tesis de maestrá,
ı
[Mon99]. Sabemos que M´ d@ es un topos, donde se satisface
o
SubM´ d@ (B × A)
o

HomM´ d@ (B × A, Ω)
o

HomM´ d@ (A, ΩB );
o

(3.1)

3.1. Formas

33

en particular, si G ∈ M´ d@ , por el lema de Yoneda y (3.1)
o
HomM´ d@ (@M, ΩG )
o

M@ΩG

HomM´ d@ (@M × G, Ω)
o
SubM´ d@ (@M × G).
o
Esta equivalencia es importante pues nos son de utilidad las formas
F −− − − Power(F )
− G −→
− G
I:2

Ω

donde G = Fun(F ) y 2G ∈ M´ d@ se define a trav´ s de
o
e
2G f

f

2G (M → N) := 2G(N) −→ 2G(M) : S → G f (S ).
−
−
Por lo general la transformaci´ n natural I no se da usando a ΩG , sino a Sub(@?×G)
o
ˆ
en su lugar. Para tal efecto, a cada S ∈ 2G(M) le asociamos la pregavilla S que es un
subfuntor de @? × G. A los m´ dulos les asigna el conjunto
o
ˆ
S (L) = {(u, G(u)(v)) ∈ L@M × G(L) : v ∈ S }
y al morfismo h : K → L lo lleva a la funci´ n
o
ˆ
ˆ
ˆ
S (h) : S (L) → S (K),
(u, G(u)(v)) → (u ◦ h, G(u ◦ h)(v)).
Demostraremos que el reemplazo es v´ lido. Sea el cambio de domicilio f : M →
a
N. Para cualquier domicilio L definimos
ˆ
ˆ
t(S )L : S (L) → G f (S )(L)
(u, G(u)(v)) → (u, G( f ◦ u)(v)).
ˆ
Persiguiendo a (u, G(u)(v)) ∈ S (L) en el diagrama
ˆ
S (L)

ˆ
t(S )L

ˆ
S (h)

ˆ
S (K)

G G f (S )(L)
G f (S )(h)

ˆ
t(S )K

G G f (S )(K)

tenemos
ˆ
G f (S )(h) ◦ t(S )L (u, G(u)(v)) = G f (S )(h)(u, G( f ◦ u)(v))
= (u ◦ h, G( f ◦ u ◦ h)(v))
ˆ
= t(S )K (u ◦ h, G(u ◦ h)(v))
ˆ
ˆ
= t(S )K ◦ S (h)(u, G(u)(v)),

34

ı

ˆ
es decir, t(S ) es una transformaci´ n natural. Resulta as´ que el diagrama
o
ı
G Sub(@M × G)
y

ˆ
?

M@2G
y

ˆ
t(?)

f @2G

N@2G

G Sub(@N × G)

ˆ
?

ˆ
es conmutativo. A continuaci´ n verificaremos que ? es un monomorfismo. Para ello
o
ˆ
ˆ
basta demostrar que si S = T , entonces S = T . Puesto que para cada domicilio L se
ˆ
ˆ
cumple que S (L) = T (L), en particular
ˆ
ˆ
(id M , G(id M )(v)) = (id M , idG(M) (v)) = (id M , v) ∈ S (M) = T (M),
ˆ
donde v ∈ S . Por la definici´ n de T (M) esto implica que v ∈ T . Luego S ⊆ T .
o
Invirtiendo los papeles de T y S concluimos que T ⊆ S , y con ello que S = T .
El funtor 2G tiene como subfuntor a Fin(G), que se define sobre objetos seg´ n
u
Fin(G)(M) = {S : S ⊆ G(M), #S ∞};
esto nos conduce a la forma
F −− − − −→ Power(F )
−−−−−
G
I:Fin(G)

Ω

donde G = Fun(F ), pues la composici´ n
o
2G

Fin(G)

ΩG

es un monomorfismo.
Ejemplo 3.5. Tenemos la forma
EulerChord −− − − −→ Power(EulerModule)
−−−−−
G
I:Fin(G)

Ω

donde G = Fun(EulerModule), al igual que
EulerGeneralChord −− − − Power(EulerModule).
− G −→
− G
I:2

Ω

Tambi´ n es posible
e
EulerMoreGeneralChord − − − − − − −G Power(EulerModule)
− − − − − −→
I:Sub(@?×G)

pues el isomorfismo ΩG

Ω

Sub(@? × G) es de por s´ un monomorfismo.
ı

3.2. Denotadores

3.2.

35

Denotadores

Podemos pensar, pues, en una forma como una suerte de espacio generalizado.
Para afirmar esta idea, definiremos a continuaci´ n lo que serán sus puntos, esto es, los
o
ı
denotadores.
Definici´ n 3.6. Sea M un domicilio. Un denotador M-domiciliado es una tripla D =
o
(ND, FD, CD), donde
1. la cadena de caracteres ASCII ND se llama nombre de D y se denota con N(D),
2. la forma FD se denomina forma de D y se denota con F(D).
3. el elemento CD de M@Fun(F(D)) se llama las coordenadas de D y se denotan
con C(D).
En general, para la forma D, escribimos
ND : M

FD(CD);

cuando el nombre de la forma es vacó, esto se colapsa a
ı
M

FD(CD);

incluso puede acortarse a
FD(CD)
si es claro el domicilio.
Ejemplo 3.7. ¿Qu´ representa el denotador
e
0

EulerModule(CD)

donde CD ∈ 0@G?
Si Fun(EulerModule) = @Q3 entonces CD ∈ 0@(?@Q3 ) = 0@Q3 Q3 . Por lo
tanto, este denotador representa un punto de Q3 . Si consideramos ahora el denotador
Q3

EulerModule(CD)

tenemos que CD ∈ Q3 @(?@Q3 ) = Q3 @Q3 . Luego CD es un endomorfismo de Q3 .
Ejemplo 3.8. Consideremos ahora el denotador
0

EulerChord(CD),

donde, como en el ejemplo anterior, Fun(EulerModule) =?@Q3 . Se cumple que
Fun(EulerChord) = Fin(Fun(EulerModule)) = Fin(?@Q3 )
y por eso
CD ∈ 0@Fun(EulerChord) = 0@Fin(?@Q3 )
= Fin(0@Q3 )
Fin(Q3 ).

36

ı

Lo anterior significa que CD es un funtor definido por un subconjunto finito de Q3
ˆ
seg´ n la transformaci´ n natural ?. En otras palabras, este denotador representa un subu
o
3
conjunto finito de Q , lo que propiamente es la definici´ n rigurosa de un acorde finito
o
(0-domiciliado) con espacio ambiente EulerModule. Por otro lado, las coordenadas del
denotador
0
EulerGeneralChord(CD),
son
CD ∈ 0@Fun(EulerGeneralChord) = 0@2Fun(EulerModule)
3

3

= 0@2?@Q = 20@Q

3

2Q ;

ˆ
usando la transformaci´ n natural ? este funtor se puede definir a trav´ s un subconjunto
o
e
3
de Q . De esta manera, este denotador representa a un subconjunto arbitrario de Q3 .
Esto será un acorde m´ s general.
ı
a
Finalmente el denotador
0

EulerMoreGeneralChord(CD),

tiene por coordenadas
CD ∈ 0@Fun(EulerMoreGeneralChord) = Sub(@0 × @Q3 )

Sub(@Q3 ).

es decir, representa un subfuntor del funtor @Q3 o, equivalentemente, una criba de Q3 .
Esto es un acorde todavá m´ s general.
ı a
Podemos ahora discutir por qu´ la teorá de formas y denotadores se construye
e
ı
sobre M´ d@ y no sobre alg´ n otro topos. Una de las razones es que la pr´ ctica ha
o
u
a
revelado que la estructura de m´ dulo tiene mucha versatilidad para representar una
o
inmensa variedad de conceptos musicales. De esto son ejemplos
1. el R-m´ dulo R para representar frecuencias f´sicas;
o
ı
2. el Q-m´ dulo R[Q] para representar frecuencias “mentales”,
o
3. el Q-m´ dulo Q3 de Euler, que captura mejor las propiedades algebraicas de las
o
frecuencias,
4. el Zn -m´ dulo Zn para representar a los tonos en afinaciones temperadas,
o
que hemos estudiado aqu´. Otra muestra representativa se encuentra en el libro de Mazı
zola [Maz02b], secci´ n 6.4.1, sin mencionar todos los que aparecen a lo largo de The
o
Topos of Music.
Adem´ s, gracias a la irrazonable efectividad de la Matem´ tica, las propiedades de
a
a
los m´ dulos reflejan ciertas operaciones naturales en la M´ sica; un ejemplo de esto lo
o
u
encontraremos en la secci´ n 4.4 para los intervalos de contrapunto. Debe recalcarse,
o
sin embargo, que si otra estructura matem´ tica resulta m´ s apta para los prop´ sitos de
a
a
o
la Musicologá Matem´ tica, puede reemplazar a los m´ dulos.
ı
a
o
´
Por ultimo, cuando tomamos puntos en un espacio que representan un concepto
musical, no necesitamos simplemente objetos que ocupen un lugar. Necesitamos puntos que guarden relaciones entre s´ y que existan operaciones entre ellos que permitan
ı
obtener nuevos puntos. Los m´ dulos brindan un esquema algebraico para capturar esta
o
idea.

3.3. Composiciones locales

3.3.

37

Composiciones locales

En palabras simples e imprecisas podemos decir que una composici´ n local es una
o
elecci´ n particular de elementos en alg´ n repertorio de posibilidades musicales, sieno
u
´
do estas motivos, escalas, acordes, ritmos, etc´ tera. Un poco m´ s matem´ ticamente, se
e
a
a
puede le puede pensar como un subconjunto de puntos de alg´ n “espacio”. Su imporu
tancia radica, seg´ n palabras de G. Mazzola, en que son los “objetos elementales de
u
la M´ sica”. Efectivamente: es posible “pegar” composiciones locales para obtener las
u
llamadas composiciones globales, que no estudiaremos con mayor detalle por rebasar
´
el ambito de esta tesis.
Deﬁnici´ n 3.9. Una composici´ n local es un denotador D : A
o
o
F(CD) cuya forma
F es de tipo Power. El coordenador CF de F se denomina espacio ambiente de D y
sus coordenadas CD constituyen su soporte.
Ejemplo 3.10. El denotador
0

EulerMoreGeneralChord(CD)

es una composici´ n local. Tiene por espacio ambiente a la forma EulerModule y por
o
soporte al subfuntor CD del funtor @Q3 .
Entre las composiciones locales, las intuitivamente m´ s claras son las que en cierto
a
modo se reducen a subconjuntos de alg´ n otro conjunto; son las llamadas objetivas.
u
El resto sirven a un prop´ sito m´ s “categ´ rico”, como lo es la construcci´ n de objetos
o
a
o
o
universales, y son denominadas funtoriales. Sin embargo, no profundizaremos m´ s en
a
las composiciones funtoriales pues no tendremos ocasi´ n de utilizarlas.
o
Deﬁnici´ n 3.11. Una composici´ n local D : A
o
o
F(CD) se llamar´ objetiva si existe
a
ˆ
Y ⊆ A@Fun(CF) tal que CD = Y ∈ Sub(@A × Fun(C(F))). En tal caso, tambi´ n
e
Y recibe el nombre de soporte de D. La cardinalidad #D de un denotador objetivo es
la cardinalidad de su conjunto soporte Y. La composici´ n local objetiva con soporte
o
Y = A@Fun(CF) se dir´ total.
a
Ejemplo 3.12. El denotador
0

EulerGeneralChord(CD)

es una composici´ n local objetiva que tiene por soporte a CD (o, por abuso de nomeno
ˆ
clatura, tambi´ n al conjunto S tal que S = CD). Si
e
S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
la cardinalidad de la composici´ n es 3. La composici´ n total con este domicilio tiene
o
o
por soporte a Q3 .
En vista del ejemplo anterior, cuando tengamos una composici´ n local objetiva
o
D:A

F(y)

38

ı

escribiremos equivalentemente (abusando de la notaci´ n)
o
D:A

F(Y).

ˆ
donde Y ⊆ A@Fun(y) es tal que y = Y. Por razones an´ logas, cuando escribamos
a
u ∈ D, signiﬁca que u ∈ Y.

Cap´tulo 4
ı

Flechas de contrapunto
4.1.

´
El contrapunto segun Johann Fux

Johann Joseph Fux fue un te´ rico de la m´ sica y compositor austriaco que naci´ en
o
u
o
1660 y muri´ en 1741. Es conocido principalmente por haber escrito un tratado de
o
contrapunto titulado Gradus ad Parnassum, que ha sido referencia obligada durante
m´ s de doscientos a˜ os para todos los que estudian contrapunto y fuga. Mediante el
a
n
di´ logo entre el maestro Aloysius y Josephus, las reglas y t´ cnicas de esta herramienta
a
e
composicional son descritas pormenorizadamente.
´
¿Y qu´ es el contrapunto? Al preguntarle lo mismo Josephus a su maestro, este le
e
responde ([Man65], pp. 22-23):
Tu pregunta es una buena, pues esto sera el primer tema de nuestro estudio y trabajo. Es necesario que sepas que en tiempos pr´stinos, en lugar de
ı
nuestras notas modernas, se utilizaban puntos o c´rculos. As´, se acostumı
ı
braba a llamar a una composici´ n en la que cada punto se colocaba contra
o
otro punto, contrapunto; esta usanza se conserva hoy todavá, a´ n cuanı u
do la forma de las notas ha cambiado. Por el t´ rmino contrapunto, por lo
e
tanto, se entiende una composici´ n que se escribe estrictamente de acuero
do a reglas t´ cnicas. El estudio del contrapunto comprende varias especies
e
que consideraremos a su debido tiempo. Primero que nada, entonces, la
especie m´ s sencilla.
a
El contrapunto m´ s simple al que se refiere Aloysius es el llamado de la primera
a
especie. Al respecto, dice lo siguiente ([Man65], p. 27):
[...] Es la m´ s simple composici´ n a una o m´ s voces en la cual, teniendo
a
o
a
´
notas de igual duraci´ n, consiste unicamente en consonancias. La duraci´ n
o
o
de las notas es irrelevante excepto porque debe ser la misma para todas
ellas. Al ser las redondas, sin embargo, las que dan la visi´ n m´ s clara,
o
a
pienso que ser´ n las que emplearemos en nuestros ejercicios [...] Tomemos
a
como base para esto una melodá dad o cantus firmus, el cual inventaremos
ı
nosotros o escogeremos de un libro de corales.
39

40

Cap´tulo 4. Flechas de contrapunto
ı

Para cada una de estas notas, ahora, deberemos colocar una consonancia adecuada en la voz de arriba; y uno debe tener en consideraci´ n los
o
movimientos y reglas que son explicadas en la conclusi´ n del libro anterio
or.
A la melodá construida sobre el cantus firmus se le denomina discanto. A partir de
ı
ahora, nuestro objetivo es describir el modelo desarrollado por Guerino Mazzola del
contrapunto de la primera especie y las “reglas t´ cnicas” para construirlo obtenidas por
e
Jens Hichert. El primer paso es definir una estructura adecuada que capture la idea de
intervalo contrapunt´stico dentro de la teorá de formas y denotadores.
ı
ı

4.2.

Flechas en general

Consideremos a la forma
S q −→ Simple(M)
−
@q

donde M es un m´ dulo y q : M − M es un automorfismo. Podemos tomar, por
o
→
ejemplo, S q = EulerModule (siendo, naturalmente, M = Q3 ).
Para representar al contrapunto, es necesario tener por un lado al cantus firmus y por
´
otro al intervalo entre este y el discanto en una misma estructura, y adem´ s representar
a
la direcci´ n que lleva. Para tal efecto, consideramos al m´ dulo dual M[ ], donde una
o
o
de las copias de M representar´ al cantus firmus y la otra al intervalo.
a
De este modo, al automorfismo q : M → M se le asocia el automorfismo
q[ ] : M[ ] → M[ ]
y por ello podemos hablar de la forma “enriquecida”
S q [ ] − − → Simple(M[ ]),
−−
@q[ ]

donde debe observarse que Fun(S q ) =?@M[ ].
Definici´ n 4.1. Sea T un domicilio. Un intervalo (o flecha) de contrapunto T -domicio
liado de la forma espacio S q , es un denotador T -domiciliado
D:T

S q [ ](x + .i),

donde
x + .i ∈ T @Fun(S q ) = T @(?@M[ ]) = T @M[ ].
Si q = id M , omitiremos el subńdice q de la forma S ; si no especificamos el domiı
cilio del intervalo de contrapunto se supone que debe ser 0.
Consideremos los morfismos suprayectivos
pcf : M[ ] → M : a + .i → a,
pint : M[ ] → M : a + .i → i,
α+ : M[ ] → M : a + .i → a + i,
α− : M[ ] → M : a + .i → a − i,

4.2. Flechas en general

41

donde los dos primeros son las proyecciones primera (cantus ﬁrmus) y segunda (intervalo). Los otros dos se denominan orientaciones barriente y colgante, respectivamente.
El cuadrado
pcf

M[ ]

GM
q

q[ ]

M[ ]

pcf

GM

conmuta pues
q ◦ pcf (a, i) = q(a)
= em ◦ q0 (a)
= q0 (a) + m
= pcf (q0 (a) + m, q0 (i))
= pcf (q[ ](a, i)) = pcf ◦ q[ ](a, i)
y de manera completamente an´ loga conmuta un cuadrado para pint . Por otro lado
a
α+

M[ ]

GM
q

q[ ]

M[ ]

α+

G M,

conmuta porque
q ◦ α+ (a, i) = q(α+ (a, i))
= q(a + i)
= em ◦ q0 (a + i)
= q0 (a) + m + q0 (i)
= α+ (q0 (a) + m, q0 i)
= α+ (q[ ](a, i)) = α+ ◦ q[ ](a, i),
y de la misma manera (cambiando el signo) se demuestra que el cuadrado con α−
conmuta.
Por lo anterior, el cuadrado
@M[ ]

@pcf

@q

@q[ ]

@M[ ]

G @M

@pcf

G @M

42

ı

conmuta, pues si f ∈ N@M[ ],
@q ◦ @pcf ( f ) = @q(@pcf ( f ))
= @q(pcf ◦ f )
= q ◦ pcf ◦ f
= pcf ◦ q[ ] ◦ f = @pcf ◦ @q[ ]( f ),
y tambi´ n conmutan los respectivos cuadrados con @pint , @α+ y @α− en lugar de
e
@pcf . Esto demuestra que estas transformaciones naturales son epimorfismos de formas.

4.3.

Flechas sobre PiMod12

Los intervalos de contrapunto que estudiaremos ser´ n 0-domiciliados con forma
a
espacio PiMod12,q , esto es
PiMod12,q (x + .i),

D:0

que, seg´ n las convenciones hechas, podemos escribir simplemente como
u
PiMod12,q (x + .i).
Puesto que x + .i ∈ 0@Z12 [ ] Z12 [ ], representaremos a un intervalo de contrapunto simplemente como x + .i. Salvo nombres de denotador, vemos que hay 144
intervalos de contrapunto.
Dado un intervalo de contrapunto a+ .b, habrá en principio dos maneras de obtenı
er el tono del discanto a partir del cantus firmus. Usando α+ , dará como tono a a + b,
ı
mientras que α− devolverá a − b. Seg´ n sea el caso, asociaremos alguna de estas dos
ı
u
orientaciones a un intervalo de contrapunto. Tambi´ n consideraremos sucesiones de
e
contrapunto orientado
(α±,i , ai + .bi ),
para modelar el contrapunto de la primera especie en la concepci´ n de J. Fux. Deo
scompondremos tales sucesiones en conjuntos de orientaci´ n fija para simplificar la
o
notaci´ n.
o
Dado que Z12 es un m´ dulo sobre s´ mismo, el coordenador de PiMod12,q [ ] es
o
ı
Z12 [ ] = Z12 [ ] ⊗Z12 Z12 ,
que no solamente es un Z12 -m´ dulo, sino una Z12 -´ lgebra. Esto es muy importante
o
a
porque para este caso particular es v´ lido multiplicar flechas de contrapunto. Observaa
mos tambi´ n que los elementos invertibles de Z12 [ ] son precisamente los a + .b con
e
a = 1, 5, 7, 11 (n´ tese que a−1 = a), cuyo inverso es (a + .b)−1 = a − .b pues
o
(a + .b)(a − .b) = a2 + .(−ab + ab) = 1 + .0.
Otro hecho importante es que
Z12 [ ]@Z[ ] Z12 [ ] = {ea+

.b

◦ (u + .v) : a + .b, u + .v ∈ Z12 [ ]}

cuyos elementos invertibles son justamente aqu´ llos para los que u + .v es invertible,
e
es decir, aqu´ llos para los que u = 1, 5, 7, 11.
e

´
4.4. Interpretaci´ n del algebra de intervalos
o

4.4.

43

´
Interpretaci´ n del algebra de intervalos
o

La posibilidad de multiplicar intervalos de contrapunto 0-domiciliados sin duda
es algo sorpresivo. Sin embargo, tiene sentido desde el punto de vista musical, como
veremos ahora al concentraremos en el grupo
−
−
→
GL(Z12 [ ]) = {ea+

.b

◦ (u + .v) : u = 1, 5, 7, 11}.

En esta secci´ n la orientaci´ n de los intervalos ser´ siempre positiva.
o
o
a
Lema 4.2. Sea u ∈ Z12 invertible. Se tiene la identidad
(u + .v) = u(1 + ) s
para todo v ∈ Z12 , donde s es cualquier entero en la clase de uv.
Demostraci´ n. Puesto que (u+ .v) = u(1+ .uv), basta demostrar que 1+ .uv = (1+ ) s
o
con s ∈ Z en la clase de uv. De hecho, 1 + .w = (1 + ) s , con s en la clase de w. Para
w = 0, el c´ lculo 1 + .0 = 1 = (1 + .0)0 es cierto. Si lo es para w, entonces
a
(1 + ) s +1 = (1 + ) s (1 + )
= (1 + .w)(1 + )
= 1 + .w + .1 = 1 + .(w + 1),
y es claro que s + 1 pertenece a la clase de w + 1.
Por el lema anterior, podemos escribir
ea+

.b

◦ (u + .v) = ea ◦ e

.b

◦ u(1 + ) s

−
−
→
para un elemento de GL(Z12 [ ]). As´, para entender la acci´ n del grupo de simetrás de
ı
o
ı
las flechas de contrapunto, basta considerar los elementos
s1 = ea , s2 = e .b , s3 = e0 ◦ u, s4 = e0 ◦ (1 + ).
Para el caso de s1 , la igualdad ea (x + .y) = (x + a) + .y expresa que la flecha
de contrapunto se transpone a tonos. Por ejemplo, si el 0 corresponde al C central
y consideramos al intervalo de quinta 0 + .7, entonces e2 (0 + .7) = 2 + .7 es el
intervalo de quinta sobre D.

En el caso de s2 , seg´ n e .b (x + .y) = x + .(y + b) causa la transposici´ n del
u
o
intevalo en b tonos dejando fijo al cantus firmus. Este tipo de operaciones son usuales
en el contrapunto doble. Si al intervalo de quinta del ejemplo anterior le aplicamos e .2
obtenemos 0 + .9, que es el intervalo de sexta mayor sobre C.

44

ı

En lo que refiere a s3 , veamos primero que sucede con u = 11. En este caso el cantus
firmus se refleja sobre el tono al que hemos asignado el 0 y el intervalo se transforma
en el complemento de la octava (es decir, lo que hay que sumar al intervalo original
para obtener un intervalo de octava). Por ejemplo, el intervalo de cuarta sobre G, 7+ .5
se transforma en 11(7 + .5) = 5 + .7, el intervalo de quinta sobre F.

Cuando u = 5, el intervalo visto como m´ ltiplos segundas menores b se transforma
u
en otro visto como m´ ltiplo de cuartas, 5.b. Por ejemplo, el intervalo de cuarta sobre G
u
se transforma en 5(7 + .5) = 11 + .1, el intervalo de segunda menor sobre B.

Si u = 7, el intervalo visto como m´ ltiplos segundas menores b se transforma en
u
otro visto como m´ ltiplo de quintas, 7.b. Por ejemplo, el tritono sobre F, 5 + .6 se
u
transforma en 7(5 + .5) = 11 + .6, el tritono sobre B.

De hecho, todo tritono bajo s3 va a un tritono pues 6 = 11 · 6 = 5 · 6 = 7 · 6.
El caso de s4 es especial pues (1 + )(a + .b) = a + .(a + b). Esto es, el discanto de
transpone tanto como el intervalo entre el origen y el cantus firmus. Aplicando reiteradamente esta simetrá, obtenemos un ciclo del discanto cuyos saltos vienen dados por
ı
el intervalo entre el origen y el cantus firmus. Si no se desea que 0 sea el origen, basta
considerar la simetrá e− .c ◦ s4 , y as´ el punto de referencia es c, pues
ı
ı
e−

.c

◦ s4 (a + .b) = a + .(a − c + b)

y claramente a − c es el intervalo entre c y a.
Como ejemplo, la tercera menor sobre D, 2 + .3 se transforma en la cuarta sobre
D, esto es, 2 + .5.

4.5. El toro de terceras

45

Otra raz´ n por la que la simetrá 1 + es importante es la siguiente. Si tenemos un
o
ı
intervalo orientado (α− , a + .b), gracias a la identidad (2.3)
α− (a + .b) = −α+ (1 + )−2 (a + .b) = α+ (−(1 + )−2 (a + .b))
obtendrámos un intervalo orientado (α+ , −(1 + )−2 (a + .b)) equivalente. Este artificio
ı
algebraico permite analizar sucesiones de contrapunto donde cambia la orientaci´ n de
o
las flechas.

4.5.

El toro de terceras

Tenemos el isomorfismo de m´ dulos
o
T : Z12 → Z3 ⊕ Z4 ,
z → (z m´ d 3, −z m´ d 4),
o
o
cuya inversa es
T −1 : Z3 ⊕ Z4 → Z12 ,
(w1 , w2 ) → 4.w1 + 3.w2 .
Tal T induce un isomorfismo entre PiMod12 y la forma
PiT hirds3,4 −− −→ Simple(Z3 ⊕ Z4 )
−−−
J=@T ◦I

de las clases de terceras, cuando el funtor espacio es fijo. En efecto, el cuadrado
G

id

I

@Z12

GG

@T

J

G @(Z3 ⊕ Z4 )

conmuta si, y s´ lo si,
o
J = J ◦ id = @T ◦ I;
desde luego, @T ◦ I : G
@(Z3 ⊕ Z4 ) tambi´ n es un monomorfismo de funtores pues
e
@T es un monomorfismo al ser un isomorfismo.
Geom´ tricamente (aunque no de manera muy rigurosa), usando el domicilio 0, la
e
forma PiMod12 se “enrolla” sobre un toro “discreto”, PiT hirds3,4 . M´ s formalmente,
a
formaremos con los denotadores 0-domiciliados de PiT hirds3,4 el conjunto de v´ rtices
e
del grafo no dirigido τ. Conectamos con una arista a (a, b) y (c, d) si (a, b) − (c, d) =
(±1, 0), (0, ±1). Por lo tanto, cada v´ rtice tiene grado 4. En virtud de la igualdad
e
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
un camino con |a − c| + |b − d| aristas conecta a dos puntos cualesquiera. Como consecuencia se tiene que τ es un grafo conexo. Hacemos de τ un espacio m´ trico con
e

46

ı

la distancia del camino con la menor cantidad de aristas entre dos v´ rtices, que dee
nominaremos distancia de terceras. El nombre corresponde al hecho de que indica el
n´ mero mńimo de terceras mayores o menores que hay que sumar o restar a un tono
u
ı
dado para obtener otro.
−
−
→
Hay una interacci´ n muy interesante entre el grupo GL(Z12 ) ⊂ Z12 @Z12 Z12 y el
o
grafo τ.
Lema 4.3. Se tiene la relaci´ n
o
−
−
→
GL(Z12 ) = e0 ◦ 11, e0 ◦ 5, e3 ◦ 1, e4 ◦ 1 .
Demostraci´ n. Puesto que Z12 = Z3 ⊕ Z4 , para cada x ∈ Z12 existen enteros 0 ≤ s ≤ 2
o
y 0 ≤ t ≤ 3 tales que x = 4s + 3t. Adem´ s, los elementos invertibles de Z12 son 1, 5, 7
a
y 11. Dado que 5 · 11 = 7, se satisface que
e x ◦ y = e4s+3t ◦ (5k1 11k2 )
= (e4 ) s ◦ (e3 )t ◦ (5k1 11k2 )
= (e4 ◦ 1) s ◦ (e3 ◦ 1)t ◦ (e0 ◦ 5)k1 ◦ (e0 ◦ 11)k2
donde k1 y k2 pueden valer 0 o 1.
−
−
→
Proposici´ n 4.4. El grupo GL(Z12 ) act´ a isom´ tricamente sobre τ seg´ n
o
u
e
u
(e x ◦ y) ∗ (a, b) = T ◦ (e x ◦ y) ◦ T −1 (a, b).
Demostraci´ n. La acci´ n definida efectivamente lo es, pues
o
o
1 ∗ (a, b) = T ◦ 1 ◦ T −1 (a, b) = T ◦ T −1 (a, b) = (a, b)
y
(e x1 ◦ y1 ) ∗ ((e x2 ◦ y2 ) ∗ (a, b)) = (e x1 ◦ y1 ) ∗ (T ◦ (e x2 ◦ y2 ) ◦ T −1 (a, b))
= T ◦ (e x1 ◦ y1 ) ◦ T −1 ((T ◦ (e x2 ◦ y2 ) ◦ T −1 (a, b))
= T ◦ (e x1 ◦ y1 ) ◦ (e x2 ◦ y2 ) ◦ T −1 (a, b)
= [(e x1 ◦ y1 ) ◦ (e x2 ◦ y2 )] ∗ (a, b).
En cuanto a la acci´ n isom´ trica, basta comprobarlo para los generadores del lema
o
e
anterior. Determinaremos las acciones de forma m´ s explćita. En primer lugar
a
ı
(e0 ◦ 11) ∗ (a, b) = T (44.a + 33.b) = T (8.a + 9.b) = (2.a, −1.b) = (2.a, 3.b),
luego
(e0 ◦ 5) ∗ (a, b) = T (20.a + 15.b) = T (8.a + 3.b) = (2.a, −3.b) = (2.a, b),
tambi´ n
e
(e3 ◦ 1) ∗ (a, b) = T (4a + 3.b + 3) = T (4.a + 3.(b + 1)) = (a, b + 1),

4.6. Flechas autodomiciliadas

47

y finalmente
(e4 ◦ 1) ∗ (a, b) = T (4a + 3.b + 4) = T (4.(a + 1) + 3.b) = (a + 1, b).
Por otro lado,
(a, b) − (c, d) = (u, v)
donde u = a − c puede ser 0, 1 o −1 y v = b − d puede ser 0, 1, −1 o 2, de modo
que |u| + |v| es la longitud del camino con el menor n´ mero de aristas. Examinemos la
u
acci´ n de cada uno de los generadores del grupo sobre esta distancia. Para el primer
o
generador
(e0 ◦ 11) ∗ (a, b) − (e0 ◦ 11) ∗ (c, d) = (2.a, 3.b) − (2.c, 3.d) = (2.u, 3.v)
y puesto que 2.0 = 0, 2.1 = −1, 2. − 1 = 1 (m´ dulo 3), 3.0 = 0, 3.1 = −1, 3. −
o
1 = 1 y 3.2 = 2 (m´ dulo 4) son inmediatas las relaciones |2.u| = |u| y |3.b| = |b|,
o
luego la distancia se preserva. No se necesita m´ s para evidenciar que e0 ◦ 5 act´ a
a
u
isom´ tricamente pues
e
(e0 ◦ 5) ∗ (a, b) − (e0 ◦ 5) ∗ (c, d) = (2.a, b) − (2.c, d) = (2.u, v).
Para el caso de e3 ◦ 1 y e4 ◦ 1 las igualdades
(e3 ◦ 1) ∗ (a, b) − (e3 ◦ 1) ∗ (c, d) = (a, b + 1) − (c, d + 1) = (u, v)
y
(e4 ◦ 1) ∗ (a, b) − (e4 ◦ 1) ∗ (c, d) = (a + 1, b) − (c + 1, d) = (u, v)
hacen obvio que tambi´ n act´ an isom´ tricamente.
e
u
e

4.6.

Flechas autodomiciliadas

En el siguiente teorema aparece un isomorfismo que resulta crucial para establecer
una relaci´ n entre el contrapunto y la armoná, como lo comprobaremos en los Corolaro
ı
ios 5.15 y 5.16. En la demostraci´ n, a los elementos de R[ ]@R[ ] R[ ] los escribiremos
o
de la siguiente manera:
c
a 0
+
.
d
b a
As´, las operaciones entre dos de ellos resultan intuitivas:
ı
c
a
+
d
b

0
a

c
a
+
d
b

0
a

=

c
a
+
d
b

0
a

c
a
+
d
b

Teorema 4.5. Consideremos los encajes del diagrama conmutativo
i

R
c

R@R R

?[ ]

G R[ ]

c[ ]

G R[ ]@R[ ] R[ ].

0
a

a
b

0
a

48

ı

La proyecci´ n ?.e ◦ 0 asocia biyectivamente los tonos autodomiciliados con los
o
intervalos de contrapunto y deja los tonos de R invariantes en el contexto de ﬂechas de
contrapunto autodomiciliadas.
Demostraci´ n. En primer lugar el diagrama s´ conmuta. Ciertamente
o
ı
c[ ] ◦ i(r) = c[ ](i(r))
= c[ ](r + .0)
= er+

.0

◦0

= (e ◦ 0)[ ] = (c(r))[ ].
r

Ahora bien, tenemos
c
a
+
d
b

0
a

0
a

0
0
+
1
0

=

c
a
+
d
b

=

c
0
+
d+a
0

=

c
0
+
d+a
0

0
0

c
0
+
d+a
0

0
0

0
;
0

=

?.e ◦ 0

0
0

al aplicarlo nuevamente,
?.e ◦ 0

c
0
+
d+a
0

0
0

0
0
+
1
0

0
0

haciendo ver que es idempotente. Su n´ cleo consta de aquellos morﬁsmos con c = 0 y
u
d = −a, es decir
0
a 0
a 0
0
1 0
+
=
+
−a
b a
b a −1
0 1
esto es, los elementos de R[ ].e− ◦ 1. Es obvio, por otra parte, que la imagen de ?.e ◦ 0
coincide con R[ ].e1 ◦ 0 dado que
a
b

0
a

1
0
+
0
0

0
0

=

a
0
+
b
0

0
.
0

Por lo tanto,
R[ ]@R[ ] R[ ]

R[ ].e− ◦ 1 ⊕ R[ ].e1 ◦ 0.

La imagen de a + .b ∈ R[ ] bajo c[ ] es
c[ ](a + .b) =

a
0
+
b
0

0
.
0

mientras que, si ea ◦ b ∈ R@R R,
(ea ◦ b)[ ] =

a
b
+
0
0

0
.
b

4.6. Flechas autodomiciliadas

49

Adicionalmente,
?.e ◦ 0

a
b
+
0
0

0
b

=

a
0
+
b
0

0
,
0

lo que significa que la imagen de R@R R bajo [ ] es isomorfa (como R-m´ dulo) a la
o
imagen de R[ ] bajo c[ ], y el isomorfismo est´ dado precisamente por la restricci´ n de
a
o
?.e ◦ 0. Si a ∈ R es un tono, tanto bajo ?[ ] ◦ c como bajo c[ ] ◦ i va a dar a
ea+

.0

◦ (0 + .0) = ea ◦ 0 =

a
0
+
0
0

0
0

como flecha autodomiciliada, y
?.e ◦ 0(ea ◦ 0) =
Esto demuestra la afirmaci´ n.
o

a
0
+
0
0

0
= ea ◦ 0.
0

Cap´tulo 5
ı

Dicotomás de intervalos y de
ı
contrapunto
En el cap´tulo anterior se menciona la existencia de ciertas reglas “t´ cnicas” para
ı
e
construir el discanto de un cantus firmus dado. En la perspectiva de Fux, estas reglas
se derivan de dos elementos:
1. La divisi´ n de los intervalos en consonancias y disonancias, donde se hace uso
o
exclusivo de las consonancias para evitar combinaciones crudas al o´do.
ı
2. El movimiento de las voces, donde se da preferencia al movimiento oblicuo y
contrario1 para mantener la independencia de las mismas.
Al respecto, G. Mazzola reemplaza esto por los siguientes conceptos matem´ ticos:
a
1. Las dicotomás de intervalos y de contrapunto, con propiedades algebraicas esı
peciales que resultan ser musicalmente relevantes.
2. Las simetrás de contrapunto, que describen una especie de “tensi´ n” en la proı
o
gresi´ n de contrapunto, al ser an´ logas a las simetrás locales que modelan las
o
a
ı
fuerzas en la F´sica.
ı
En este cap´tulo nos ocuparemos de estudiar las dicotomás de intervalos y de conı
ı
trapunto y presentaremos un importante resultado que relaciona al contrapunto y la armoná de un modo sorprendente y original respecto a la Musicologá tradicional. Por si
ı
ı
fuera poco, observaremos que existen seis tipos de divisiones de los intervalos en consonancias y disonancias que, matem´ ticamente, son semejantes a la de Fux-Palestrina.
a
1 Dos voces se mueven en sentido paralelo si suben o bajan simult´ neamente, en sentido oblicuo si una
a
sube o baja mientras la otra se mantiene constante y en sentido contrario si en un momento dado una sube
mientras que la otra baja.

50

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