Ecuaciones diferenciales tecnicas

ECUACIONES DIFERENCIALES
, ,
TECNICAS DE SOLUCION y APLlCACIONES
II~-----------------------------------
JOSÉ VENTURA BECERRIL E SP INOSA
D AV ID ELl ZARRA RAZ M ARTí NEZ
UNMRSICWJ ~
I'JJTONOMA.
METROPOUTmA
"""""""'."""" Azcapotzalco

JOSÉ V ENTURA
B ECERRIL E SP INOSA
Cursó la Licenciatura en Física y Ma-
temáticas en la ESFM del IPN, ti tu-
lándose en 1985. Obtuvo el grado de
Maestro en Ciencias en la Sección
de Matemática Educati va del CIN-
VESTAV en 1987 con la tesis "Algunos
resultados clásicos de la integración
de funciones elementales" Ingresó de
forma definitiva a la Universidad Au-
tónoma Metropolitana, Azcapotzalco
en 1985, en el Departamento de Cien-
cias Básicas. Desde entonces ha pu-
blicado materiales di versos para la
docencia, así como reportes de inves-
tigación que se han presentado en con-
gresos nacionales tanto de Matemáti-
cas, como de investigación educativa.
Actualmente es miembro del Grupo
de Investigación de Matemática Edu-
cativa, donde trabaja en la aplicación
de la tecnología para la enseñanza de
las matemáticas.

ECUAC IONES DIFERENC IA LES
TÉCNICAS DE SOLUCiÓN Y AP LI CAC IONES

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C O LECCION I LIBROS DE TE XTO Y MANUALES D E PR ACTICA
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ECUACIONES DIFERENCIALES -
TÉCNICAS DE SOLUCiÓN Y APLICACIONES
José Ventura Becerril Espinosa)
David Elizarraraz Martínez
&n;lAZCAPOTZALCO
~ MHI Idl'
2893957

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
Dr. Luis Mier y Terán Casanueva
R ECJOR GENERAL.
Dr. Ricardo Solís Rosales
SECRETARIO G ENERAL
UNIDAD AZCAPOTZALCO
Mtro. Víctor Manuel Sosa Godínez
RECTOR
Mtro. Cristian Eduardo Leriche Guzmán
SECRETARIO
Mtra. María Aguirre Tarnez
COORDINADORA G ENERAL DE D ESARROLLO A CADÉMICO
DCG. Ma. Teresa Olalde Ramos
C OORDINAOORA DE E XTENSiÓN U NrVERSITARlA
DCC. Silvia Guzmán Bofill
JEFA DE LA 5 EcaÓN DE PROOUcaÓN y DIS'I1UBUa ÓN EDITORIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES. TÉCNICAS DE SOLUCIÓN YAPLICACIONES
Primera edición, 2004
D.R.@2004 Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Azcapotzalco
Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas
C. P. 02200, México, D. F.
e.mail: secedi@correo.azc.uam.mx
Diseño y producción editorial-nopase. Eugenia Herrera/lsrael Ayala
Ilustración de portada. ©Israel Ayala.
Fotografía de autores. ©Roberto Cano
ISBN 970-31-0230-1
Impreso en México/Printed in Mexico

Prólogo
Este libro está diseñado para un curso trimestral de ecuaciones diferenciales or-
dinarias. Presentamos los teoremas y técnicas de solución que consideramos básicos en
un est.udio introductorio de ésta importante disciplina de las Matemáticas. Aunque no
hemos puesto énfasis en las demostraciones, proporcionamos una buena cantidad de ejer-
cicios resueltos, de modo que un estudiante de Ingeniería podría obtener, mediante su
análisis, un nivel satisfactorio en los diferentes métodos de solución de ecuaciones dife-
renciales y sus aplicaciones elementales más comunes. Para el curso sugerimos seguir
el orden previsto, no obstante, si algún lector considera que es demasiado material se
pueden omitir las secciones 2.8, 2.9 Y 2.10.
Los diferentes temas se exponen en forma clara y sencilla para su inmediata com-
prensión. En las primeras secciones los desarrollos se hacen de manera exhaustiva. Más
adelante, lo que ya es conocido no se desarrolla completamente, sino que se dejan al lector
los detalles que en ese momento ya está en capacidad de realizar. En consecuencia. el
texto se puede utilizar para un curso tradicional o bien, para un curso en el Sistema de
Aprendizaje Individualizado, en el que el alumno estudia por su propia cuenta.
En el capítulo uno ilustramos la aplicación de las ecuaciones diferenciales. Más que la
solución y el entendimiento de los problemas planteados, buscamos motivar el interés en
estudiar ecuaciones diferenciales, a través de problemas actuales como son el crecimiento
de poblaciones, el impacto de la publicidad y las curvas de persecución, entre otros.
El capítulo 2 está dedicado a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden. Se analizan, uno por uno, varios de los métodos más usuales e incluimos
la sección 2.7 en la que se aborda el problema de resolver una ecuación dada empleando
el método más conveniente. En esta sección se proponen 80 ejercicios, debido a que
usualmente los libros de texto estudian la solución de ecuaciones diferenciales por tema
y el alumno sabe que las ecuaciones que se le plantean son del tema estudiado; pero en
la práctica y en sus cursos posteriores las ecuaciones con que se encuentra las tiene que
resolver sin conocer de antemano de que tipo son.

El capítulo 3 muestra la aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden, entre las cuales están las más accesibles para los estudiantes, ya que se espera que
ellos sean capaces de entenderlas y resolver problemas relacionados con éstas.
En el capítulo 4 nos concentramos en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias linea-
les de orden dos. Pensamos que no nes difícil entender los resultados para orden mayor que
dos y aplicarlos a casos sencillos de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes,
razón por la cual aparece la sección 4.5.
Finalmente, el capítulo cinco contiene diversas aplicaciones de las ecuaciones diferen-
ciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Proponemos sólo
como ejercicios los correspondientes al movimiento vibratorio de una masa sujeta a un
resorte .Y de circuitos eléctricos, para no caer en un exceso de material, aunque en el
capítulo aparecen otras aplicaciones.
Queremos destacar que en las páginas 220 a la 243 se encuent.ran las respuestas
de todos los ejercicios propuest.os, lo cual será de gran ayuda para que el est.udiante
compruebe sus conocimientos.
El libro incorpora el producto del trabajo realizado por los autores al impartir en
varias ocasiones el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias en la UAM-A. También
agradecemos a la M. en M. Marina Salazar Antúnez y al M. en C. José Luis Huerta
Flores por sus valiosos comentarios y problemas aportados.
Al final, presentamos algunas referencias bibliográficas que esperamos sean útiles para
los lectores interesados en profundizar en el estudio de algún tema o de conocer otras
aplicaciones.

Capítulo 1
Introducción
"El lenguaje para entender a la naturaleza es la matemática"
Galileo GaJilei.
1.1 Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos
Una gran cantidad de leyes en la Física, Química y Biología tienen su expresión natural
en ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. También, es enorme el mundo de las
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería, Economía, Ciencias Sociales,
Astronomía y en las mismas Matemáticas, La causa es simple, si un fenómeno se puede
expresar mediante una c varias razones de cambio entre las variables implicadas entonces
correspondientemente tenemos una o varias ecuaciones ecuaciones diferenciales.
El ejemplo más simple de una ecuación diferencial proviene de la segunda ley de
Newton F = ma, ya que si un cuerpo cae bajo la influencia de la fuerza de gravedad
entonces
ma = mg,
d2
y como a = dt; ' donde y(t) denota la posición del cuerpo al tiempo t, tenemos
que es una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución es la función de posición y(t).
Si además suponemos que sobre el cuerpo actúa una fuerza de fricción con el medio
que lo rodea, cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea dy/ dt, se sigue
que
de donde
9

10 Capítulo 1. Introducción
Otros ejemplos son la., famosas ecuaciones en derivadas parciales del calor, de onda
y de LaplaC'C'. qUE' tienen la forma
respectivamente, que han sido fuente inagotable de diversos trabajos de investigación.
En nuestro caso nos rest ringiremos al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
A continuación presentaremos algunos problemas que motivan el interés en el estudio de
estas ecuaciones.
EJEMPLO 1. ¿ Se puede predecir la p oblación de un país?
La siguiente tabla muestra el número de millones de habitantes que había en toda la
República Mexicana. de acuerdo al censo del año que se indica.
Año
Población (millones de hab. )
Con base en los datos de la tabla y ubicándonos en el año de 1960, ¿se podría haber
hecho una estimación para la población de los años 1970 y 1980 ?
Solución. Una suposición razonable es que la rapidez de variación de la población con
respecto al t.iempo es proporcional a la población, es decir si P(t) denota la población al
tiempo t entonces
dP
dt = exP,
donde ex es una constante positiva.
Así, para conocer la población en cualquier tiempo hay que resolver la ecuación
anterior. La solución es P(t) = eeot
, Con e una constante arbitraria. Para determinar e
tenemos la condición inicial que en t = O(correspondiendo al año de 1950) la población
es 25.78, de donde P(t) = 25.78eQt
.
Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que P (lO) = 34.92.
En consecuencia
P(t) = 25.78eo.030346lt
Ahora para 1970 la población aproximada sería P(20), que dá por resultado
P(20) = 47.30.
La población para 1980 se estimará en P(30) '" 64.07.

1.2. Ecuaciones Diferencia.les .Y Modelos Matemáticos 11
Es interesante comparar los valores calculados con los que se reportaron en los censos
respectivos. Los censos realizados mostraron que la población en 1970 y 1980 fue de 48.22
y 67.41 millones de habitant.es, respectivamente.
Con base en los dos últimos datos ¿qué población se esperará para los años 2000 y
201O?
EJEMPLO 2. ¿Es posible medir el impacto de la publicidad ?
Cierta compañía produce un artículo destinado a una población en la que hay un
número M de potenciales compradores. La compañía decide establecer una campaña de
publicidad para promocionar su producto. Los propietarios de la compañía han solicitado
a su departamento de publicidad una medida del impacto de la publicidad. ¿Se puede
ayudar a los publicistas?
Solución. Hay varias maneras de medir el impacto de la publicidad, una es la siguiente.
Sea y(t) el número de personas que conocen el producto al tiempo t. Supongamos que la
velocidad con que varía el número de personas que conocen el producto es proporcional
tanto al número de personas que conocen el producto, como al de las que todavía no lo
conocen. Entonces
dy
dt = ky(M - y), (Ll)
donde k es una constante positiva. En la sección 3.3.3, ejemplo 2. se muestra como
resolver (1.1). Su solución es la función
con c una constante.
M
y(t)=I+ce kMt '
(1.2)
En la literatura económica a la ecuación (1.2) se le conoce como ecuación de la curva
logística, la cual nos da una medida del número de personas que conocen el producto al
tiempo t. La forma general de su gráfica se muestra en la figura 1.1.
v
Figura 1.1: Curva Logística

12 Capítulo 1. In troducción
EJEMPLO 3. Espejos Parabólicos.
Supóngase que señales luminosas (o de algún otro tipo) viajan en el plano xy y
paralelamente al eje y, chocando con la curva cuya ecuación es y = ¡(x) y reflejándose
de tal manera que todas ellas concurren en el punto F(O,p) con p una constante positiva.
Véase la figura 1.2. Comprobar que la curva y = ¡(x) es una parábola y que además en
caso de que pase por (O. O) su ecuación es 4py = X2
y
y=l[x)
x
Figura 1.2: Señales luminosas
Solución. Escribiremos primeramente el problema en lenguaje matemático. Para un
punto cualquiera P(x, y) en la curva y = ¡ (x), la derivada es igual a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de ¡ en dicho punto, es decir
dy
- = tanO.
dx
(13)
En la figura 1.3 se puede ver la configuración de la curva y = ¡ (x), la recta tangente l,
en el punto P (x, y), el punto F (O,p) y los ángulos a y O. Esta configuración se obtuvo de
los principios básicos de la Geometría Euclideana y del hecho físico de que la magnitud del
ángulo de incidencia es igual a la magnitud del ángulo reflejado. Del triángulo rectángulo
6 PQS se obtiene la igualdad
PS 1 1
tan O= QS = 92 = --
PS tana
y del triángulo rectángulo 6 PFV la igualdad
Recordando la identidad
y-p
tantO- a) = --o
x
(
n ) tanO-tana
tan u - a = .,-----;:---
1 + tanOtana
(1.4)
(1.5)
(1.6)

1.2. Ecuaciones Diferenciales'y Modelos Matem áticos
y
F(O,p)~=---"'-"--_--'-''---j v
a
/'
R
e
s
Figura 1.3: Espejo parabólico
x
y sustituyendo en ésta (1.3),(1.4) y (1.5) obtenemos finalmente la ecuación
( )
2
dy dy
x - - 2(y - p)- - x = O.
dx dx
La ecuación (1.7) se resuelve en el ejemplo 7 de la sección 2.2. Su soluóón es
A2X2 +2Ap- l
Y = 2A
13
(17)
(1.8)
donde A es una constante. Nótese que (1.8) es en efecto la ecuación de una parábola. Si
sabemos que la curva y = ¡(x) pasa por el punto (O,O) es decir y = Ocuando x = O, de
acuerdo con (1.8) se sigue que,
de donde
0 = 2Ap- l ,
A = ~.
2p
Al sustituir el valor de A en (1.8) nos lleva a
1
Y = ~ X2
4p
o bien
4py = x2
,
como se afirma en el enunciado.

14 Capítulo l. Introducción
EJEMPLO 4. C urvas de persecución lo
En medio de una gran bruma, un destructor y un submarino de dos naciones distintas,
se descubren estando él 4 km de distancia. Inmediatamente el submarino se sumerge y
avanza en una dirección fija a toda velocidad. ¿Qué trayectoria debe seguir el destructor
para asegurarse de que estará exactamente encima del submarino si t.iene una velocidad
igual a tres veces la del submarino?
Solución. Utilizaremos coordenadas polares para la trayectoria que debe seguir el sub-
manno. Para estas coordenadas se cumple que el diferencial de arco es
El destructor avanzará a toda velocidad 3 kilómetros en dirección al punto donde
localizó al submarino, a partir de ahí denotemos por r = ¡ (e) la trayectoria que debe
seguir el destructor. Ver figura 1.4
D
---- Subma rino
__ Des truc t o r
r=f(e)
Figura 1.4: Trayectorias del submarino y del destructor
La distancia ds que recorre el submarino hasta el punto donde las trayectorias se
cortan es
ds = r - 1,
Yla distancia dD que recorre el destructor hasta la intersección es
dD = 3(r - 1),
por ser su velocidad el triple de la del destructor.

1.2. Ecuaciones Diferenciales .Y Nlodelos lHatemáticos
Luego, tenemos que
do = 3(I - l ) = ld8 = l (~~)r2dO,
o sea que
3(I- l )= l (
dl) 2- +,.' (le.
dO
Derivando con respecto a Oambos lados de la igualdad amerior resulta
(
dr ) 2
9 dO
8 (~~)'
de donde
v'B
dr
= l'
dO .
15
Así, para conocer qué trayectoria debe seguir el destructor debemos resolver la ecuación
diferencial
dr r
dO v'B'
(1.9)
es decir, hay que encontrar una función 1'(0) cuya derivada sea 7.r(0).
Una función que satisface la ecuación (1.9) es
como puede comprobarse inmediatamente, por sustitución directa de dicha función y su
derivada con respecto a Oen (1.9).
De todo lo anterior podemos concluir que si el destructor sigue la trayectoria l' = e9
/./8
después de haber avanzado 3 kilómetros en línea recta en dirección a donde localizó al
submarino, puede estar seguro de que pasará por encima del submarino sin importar que
dirección elija este último.
Finalmente, es claro que no es la única trayectoria que puede seguir el destructor y
a los que viajan en el submarino habría que recomendarles que no avancen en una sola
dirección.

EJEMPLO 5. Curvas d e persecución 2.
Dos equipos de futbol americano se encuentran en juego. En un momento determinado
un jugador q recibe el balón y corre en línea recta a la portería contraria con una velocidad
l'" . En ~se mismo instante otro jugador 7J (perseguidor) corre con velocidad vp en dirección
de q para tratar dc interceptarlo, (ver figura 1.5). Nos interesa saber bajo que condiciones
p alcanza a q, es decir, si por ejemplo vp > vq , ¿p alcanzará a q?
Figura 1.5: El jugador p persigue al q
Solución. Como el corredor p va tras el corredor q, la dirección del vector velocidad de
p siempre apunta hacia q (figura 1.6).
y
10.0)
Trayectoria del
corredOr p
Trayectoria del
corredOr q
10;0) x
Figura 1.6: Trayectorias de los jugadores
En general, al tiempo t, p se encuentra en (x(t) ,y(t)) y como q corre en línea recta,
él se encontrará a un distancia 8(t ) = vqt del eje x, es decir, q se encuentra en el punto
(a,vqt), (ver figura 1.7).

1.2. Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos 17
y
, (a,vq t)
(x(t),y(t)) q
I
---- - -----
x
Figura 1.7: Posición de los jugadores al tiempo t
Usemos la figura 1.7 para obtener la ecuación diferencial que decribe esta situación.
Se tiene que
donde a, es una constante.
dy = tan e= vqt - y
dx a-x '
(1.10)
Esta ecuación tiene tres variables x, y y t, pero puede reducirse a una que contenga
solamente dos de ellas. Si observamos un tramo infinitesimal de la trayectoria de p
tenemos
ds2 dx2 + dy2
(~:r (~~r+ (~~r
=
(~~r+ (:~r (~~r
v2 =
(~~r [1 + (:~r] ,p
de donde
dt JI+ (~l' (1.11)=
dx vp
dt
Al derivar ambos lados de (1.10) con respecto a x, aparecerá dx' En efecto resulta
d2y (a - x)(Vq~ - ~) - (vqt - y )(-1)
dx2 (a-xl'
= (a-x)vq~ - (a - x)~ + (vqt -y)
(a - X)2

De acuerdo con (1.10), la últillla igualdad se reduce a
cPu _ (o - J}',,;& - (/',,1- U) + (u,,1- U) _ Uq:~
d.r2 - ((t - L)2 - (a - x) .
y usando (1.11 )
cFy vqJI + (;);)2
do;2 u,,(a - .1')
Así que
d2
y = k JI+ (;);)2
dx2 (a - x)
(112)
con k = vqlu..
La ecuación (1.12) se resolverá en la sección 2.1 de ecuaciones de variables separables
en el ejemplo 11. Su solución es
A (a - X) - k+1 1 (a _ X)k+1
Y=-2 (-k+ l ) + 2A (x+ l ) +B,
(1.13)
donde A Y B son constantes arbitrarias. Ahora bien, como al tiempo t = Oel corredor p
está en el origen , esto es y(O) = O, la ecuación (1.13) nos da
Aa-k+1 ak+1
0 =- + + B.
2(- k + 1) 2A(k + 1)
(114)
Hay otra condición inicial al tiempo t = O, a saber y'(O) = Opues el vector velocidad
de p es horizontal. Derivando (1.13)
~ A - k 1 k
- = -(a - x) - -(a - x)
dx 2 2A '
. d O dy O .y sustituyen o x = y dx = ,se sigue que
dy A k 1 k
= -(a - x) - - -(a - x)
dx 2 2A
O
A - k 1 k
-a - -a
2 2A
A -k 1 k
-a = -a
2 2A
A2 = a2k
A k
= a.

1.2. Ecuaciones Diferencia.les y JllodeJos Jllatemáticos
Sustituimos este valor de A en ( 1.1~ ), para obtener el valor de B
o
o =
B
Finalmente obtenemos
aka- .l.:+ l
.,.-c--,---------,- + B
2(-Á + 1)
o + o + B
2(- /;+1 ) 2(" + 1)
-a(Á + 1) + a(1 - k)
2(1 - Á2)
2a"
2( 1 _ "2 )+ B
ok
1 -¡,.2·
0' (0 - .c)-k+l
y = - 2(1 - " )
(o - X )k+l ak
+ +--.20k(l +k) l-k2
19
(1.15)
. V
SI vp > vq, k = --'!. < 1 Y por tanto - k + 1 > O. Evaluando (1.15) en .'[ = a resulta
vp
ak
Y = I-k2 '
es decir, el corredor p alca¡,za al corredor q en el punto (o, 1 ~2)'
Por supuesto, dependiendo de los valores de a y k se puede saber si p alcanza a q
dentro de la cancha.
EJEMPLO 6. ¿ Por qué un reloj de péndulo es impreciso?
Consideremos un modelo idealizado de reloj de péndulo, formado por una cuerda de
longitud 1 y un peso de masa m en su extremo, como se muestra en la figura 1.8.(a).
Inicialmente el peso se desvía un ángulo <> y luego se deja libre (ver figura 1.8.(b)).
Sea O(t) el ángulo en radianes al tiempo t entre la cuerda y la posición vertical, de la
figura 1.8. (a) . Adoptamos la convención de que O> Ocuando la masa está a la derecha de
la posición de equilibrio y O< Ocuando está a la izquierda, lo cual esencialment.e significa
que escogemos direcciones a lo largo del arco apuntando a la derecha como positivas y a
la izquierda como negativas.
La relación entre la longitud del arco s y el ángulo Oes s = 10, de donde
d2
s d2
0
-=1-
dt2 dt2 .
(1.16)
Por otra parte la fuerza causante del movimiento es el peso w = mg. Esta fuerza se
descompone en sus component.es FI y F2 en la dirección de la tangente a la trayectoria y

20 Capit lIlo 1. Introducción
"
l
s - m.
(a) (b)
Figura 1.8: Reloj de péndulo
en la dirección de la C'lIerdrl.. rC'sppctin'tlllente. Ver figllra 1.9. Es claro que' F2 = 'l1g ros ()
se cOlllpensa ('on la tellsión de la ('uerda y
FI = -mgsenO. (1 .17)
donde ,.¡ signo menos se debe a qlle cuando fI > O F, apunta a la izquierda y cuando
fI < Oapunt.a a la derecha.
mg
Figura 1.9: Movimiento del péndulo
La segunda ley de Newton dice que
ma = ¿ (fuerzas ),

1.2. Ecuaciolles Diferenciales y A,lodelos Alf1temAticos
". ~plieada ~I péndulo, usando (1.I6) .Y (1.17), conduce a
o equivalentemente
d'8 d'e
m di' = mi r/I' = -mq sen O
r/' IJ
1-, + gsclllJ = U.
di
dO
Para resolver (1.18) sea", = di ' De la regla de la cadena
d' (j dw r/w dO dw
- = - = - - = -Uf.
di' di dO di de
con lo ellal (1.18) toma la forllla
cuya solución es
con A una constante, así que
(
de) ' 2g
dl = ¡COse+A.
(118
Usando que ero) = a y ~:Lo= o, el valor de A resulta ser A = ( ---1
2
_9) cos o , de
modo que
(
de ) ' 2g
dt = ¡(cos e -cosa),
de donde
dO !29dt = - V¡ vCOS e- cosa (1.19)
El signo menos en (1.19) toma en cuenta el hecho de que edecrece con el crecimiento de
t. Además (1.19) implica que
dt {f 1
de = - V29 vcos e- cos a '
J una segunda integración nos lleva a
{[g1
8 dq,
t =- - + 8
2g o vcos</; - cosa '

dOllde j] P:-i una cUI1::itanLc. Pero, inicialmente t = O, () = o , así que
EIl ('OIlSccuc!1cia
t =
lE dq,
0 = - - r r===¡=~== + B.
2'1 Jo ..jco, q, co, a
(T ro d", dq, _ (T rO dq,
V29 Jo ..jcos </! cos a V29 Jo -..j7c=o=s=;</!=-~c=o=s=0 .
(120)
Calculemos el periodo a partir de (1.20). Ya que el periodo T es el tiempo que tarda el
péndulo en dar una oscilación completa, al tiempo t = T /4 la cuerda estará por primera
vez en posición ,·ertical, es decir haciendo t = T / 4 Y e= Oen (1.20) resulta
o bien
T (T ro d</! (T o d</!
4" = V29 Jo ..jcos </! cosa dq, - V29 lo Jcos </! cosa
T = 4 (T ro-¡==dc="</!==
V29 Jo Jcos</! - coso·
(J .21 )
Como se observa en (1.21 ) el periodo de las oscilaciones del péndulo depende del
ángulo inicial a. Precisamente este hecho es la causa principal por la que el reloj de
péndulo es impreciso, ya que en la práctica el peso cada vez se desvía hacia su posición
extrema en un ángulo distinto de a.
1.2 Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales
Una igualdad que contenga una o más derivadas de una función desconocida se llama
ecuación diferencial.
Las siguientes igualdades son ejemplos de ecuaciones diferenciales.
dP
aP - bP2 , con a,b constantes (1.22)=
dt
d2x
dt2 + 4x = O, (123)
d2x dx
(124)-+ 2-+x cost,
dt2 dt
cPu 8u
1<>0 (125)1<8X2 8t '
82u 82u2
a > O (126)
a 8X2 =
8t2 '
82u 82u
(127)-+- = O.
8X2 8y2

1.2. Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales 23
Las ecuaciones anteriores modelan cierto fenómeno. La ecuación (1.22) es llamada
ecuación logística y describe el crecimiento de una población. Las ecuaciones (1.23) y
(1.24) corresponden al movimiento "rmónico simple y forzado amortiguado, respectiva-
mente, que estudiaremos en el capítulo 5. Las ecuaciones (1.25), (1.26) son las ecuaciones
del calor y de onda en una dimensión y finalmente, la ecuación (1.27) es la ecuación de
Laplace en dos dimensiones.
Se dice que una ecuación diferencial es ordinaria, si la función incógnita depende de
una sola vari~ble. Si la función incógnita depende de más de una variable, entonces la
ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Las ecuaciones (1.22), (1.23) Y (1.2-1) son ordinarias, mientras que las ecuaciones
(1.25), (1.26) Y (1.27) son parciales.
En todo lo que sigue consideraremos únicamente ecuaciones diferenciales ordinarias)
por lo que en ocasiones omitiremos mencionar explícitamente que se trata de ecuaciones
de esta clase.
El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparcce
en la ecuación.
Así, la ecuación (1.22) es de primer orden, las ecuaciones (1.23) y (1. 24 ) son de
segundo orden. Veamos otro ejemplo.
EJEMPLO 1. Determine el orden de la ecuación diferencial dada.
dP
a) di = ",p 2
d2
q dq
b) 10 dt2 + 100 dt + 500q = 127 sen 60t.
c) (6 x 10
9
) ::~ = x.
d2y (dy )3 3d) dx2 - dx = x-x.
Solución. La ecuación (a) es de primer orden, las ecuaciones (b) y (d) de segundo orden
y la ecuación (c) es de cuarto orden.
Simbólicamente, una ecuación diferencial ordinaria de orden n, puede expresarse en
la forma
F(x, y, y', ... , y(n)) = O, (1.28)
donde F es una función de n + 2 variables. Para nuestros propósitos supondremos que
(1.28) también admite la representación
(n) _ f( ' .. ,y(n-l)),y - X l YlY)· (1.29)
para alguna función f de n + 1 variables.

Una solución de una ecuación diferencial en un intervalo 1 es cualquier función
definida en 1 que satisface a la ecuación, es decir, que al sustituirla la reduce a una
identidad.
EJEMPLO 2. Comprobar que la fu nción J(x) = e-3% + 5 es solución de la ecuación
diferencial dada en el intervalo (-00,00).
y' + 3y = 15.
Solución. Es claro J(x) y J' (x) se definen para todo x en IR. Sustituyendo sus expresiones
en la ecuación diferencial resulta
- 3e-3% + 3(e-3% + 5) 15
- 3e- 3
% + 3e- 3
% + 15 15
15 15.
La última identidad establece que efectivamente la función J es una solución de la
ecuación diferencial en IR.
1
EJEMPLO 3. Verificar que la función g(x) = - +x es solución de la ecuación diferencial
x
dada en el intervalo (0,00).
11 2 2
Y - -y + - = O.
X2 x
Solución. Sea x > O. Derivando g(x) obtenemos
g'(x) = - ~ + 1,
x
"() 29 x = 3 '
x
Sustituyendo g(x) y g"(x) en la ecuación diferencial se sigue que
~ - ~ (~ + x) + ~ = O
x3 X2 X x
2 2 2 2
x3 -x3 -X-+X- = O
O = O.
Lo cual comprueba que 9 es una solución en (0,00).
EJEMPLO 4. Sea c una constante arbitraria. Probar que la función definida por la
ecuación xy2 - y3 = e, es solución de la ecuación diferencial
(2x - 3y)y' + y = O.
Solución. Derivando implícitamente la igualdad xy2 - y3 = e, con respecto a x, se tiene
que
y2 + 2xyy' - 3y2y' = O
y(y + 2xy' - 3yy') O.

1.2. Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales
En particular
y + 2xy' - 3yy' = O
Y + (2x - 3y )y' O,
25
de donde se observa que la ecuación xy2 - y3 = c define una solución de la ecuación
diferencial para todo valor de c. En este caso se dice que la solución está en forma
implícita.
EJEMPLO 5. Determine si la función h(x) = e-3x es una solución en IR de la ecuación
diferencial: y" + 6y' + 9y = O.
Solución. Derivando dos veces la función h, tenemos que para x en IR
h'(x) = _ 3e-3x, h"(x) = ge- 3x.
Sustituyendo en la euación diferencial encontramos que
ge-3x + 6(_ 3e-3X ) + ge-3, O
O O.
Así, la función dada es una solución de la ecuación diferencial.
Un problema de valores iniciales es aquél en el que se busca determinar una
solución a una ecuación diferencial, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y
sus derivadas, dadas para un valor de la variable independiente. Tales condiciones se
llaman condiciones iniciales. En símbolos, un problema de valores iniciales de orden n,
puede representarse por la ecuación (1.29) sujeta a las n condiciones
( ) '( ) (n-I)( )_y Xo = Yo, Y Xo = y¡, ... , y Xo - Yn - I '
En los capítulos 2 y 3 resolveremos algunos problemas de valor
orden, que en forma general pueden expresarse como
y' = f (x, y),
y(xo) = Yo·
(130)
inicial, de primer
(1.31)
(1.32)
Al encontrar un problema de este tipo, es natural preguntarse si tiene solución y en
tal caso, si dicha solución es única. La respuesta a estas cuestiones viene dada por el
siguiente teorema.
Teorema 1.2.1 (Teorema de existencia y unicidad.) Sea R = [a,bl x [e, di un
rectángulo en el plano que contiene al punto (xo,Yo) en su interior. Si las funciones f y
[)f / By son continuas en R , entonces existe un intervalo 1 con centro en Xo y una función
única y(x) = <p(x) definida en 1 que satisface el problema de valor inicial definido por
(1.31) y (l. 32).

26 Capít ulo 1. In troducción
Trataremos de explicar el significado del teorema anterior mediante los siguientes dos
ejemplos.
EJEMPLO 6. Dellluestre que el problema de va lor inicial
t.iene solución única.
dy
d."
y(2)
= .<3 + y3,
- 1,
Solución. Aplicamos el teorema 1.2.1. En primer lugar comprobaremos que se cumple
la hipótesis. En este caso I (x, y) = x3 + y3 Y ~~ (x. y) = 3y2 Ambas funciones I y
al/ay son continuas en todo rectángulo R del plano xv. La condición inicial y(2) = - 1
significa que Xo = 2 YYo = - 1, además es claro que el punto (2, - 1) está contenido en el
interior de algún rect.ángulo R. Así que todas las hipótesis del teorema 1.2.1 se satisfacen
y por lo tanto la conclusión se cumple; es decir, existe una solución única <{J de la ecuación
dy
diferencial - = x' + y3, definida en algún intervalo J con centro en Xo = 2, que satisface
dx
la condición inicial, esto es, que es tal que <{J(2) = - 1.
EJEMPLO 7. Considere los dos problemas de valor inicial
a) dy = J I _ y2
dx
b) ~~ = ~,
Aquí
y(2) = O
I(x ,y) = J I - y2 y
8f
ay
y
Estas funciones son continuas en el conjunto A de puntos del plano xy definido por
A = {(x,y)lxE IR,- l < Y < 1}.
En el problema (a), Xo = 2, Yo = O. El cuadrado R¡ de lado 1 con centro en el punto
(2, O) está contenido en el conjunto A, de modo que las funciones I y al/ay satisfacen
las hipótesis del teorema 1.2.1 en R¡. Dado que además el punto (2,O) está en el interior
de R¡ , la conclusión del teorema 1.2.1 se aplica al problema (a) y sabemos que tiene una
solución única definida en algún intervalo alrededor de Xo = 2.
Veamos el problema (b). Ahora Xo = ,,/ 2,Yo = 1. En este punto al/ay no es continua.
Luego, el punto (,,/2, 1) no puede estar incluido en un rectángulo R donde las hipótesis
del teorema 1.2.1 se satisfagan. Entonces no podemos concluir, del teorema 1.2.1 , que el

1.2. Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales 27
problema (b) tenga una solución única. Con esto no afirmamos que no tenga solución o
tenga varias; el teorema 1.2.1 simplemente no da información en un sentido u otro. De
hecho puede verificarse con un cálculo sencillo que las funciones
y,(x) = senx y Y2 (X) = 1,
con :l: en [-1r/ 2, 1r / 2[, son soluciones del problema (b), así que éste tiene al menos dos
soluciones definidas en el intervalo indicado.
Se llama solución general de una ecuación diferencial de primer orden y' = ¡ (x, y) a
la función y = ",(L . e) que depende de una constante arbitraria e y satisface las siguientes
condiciones:
l. Es solución de la ecuación diferencial para cualquier valor de c.
2. Dada una condición inicial arbitraria Y(LO) = Yo , siempre es posible determinar un
valor de e = Co tal que la función y = <p(x, col satisface la ecuación diferencial y la
condición inicial. La función y = <p(X, col se llama una solución particular.
Geométricamente la solución general y = <p(X,c) representa una familia de curvas en
el plano xy. Estas curvas se llaman curvas integrales. Si las condiciones del teorema
de existencia y unicidad se satisfacen, estas curvas integrales no se intersectan.
EJEMPLO 8 . Muestre que la función
e
y =-
x'
x> O,
donde c es una constante, es la solución general de la ecuación diferencial
, y
y = --o
x
(1.33)
(1.34)
Solución. En primer lugar, podemos ver que (l.33) es solución de (l.34) para todo c.
En efecto, derivando (1.33) con respecto a x se obtiene
y sustituyendo en (l.34) resulta
lo cual es una identidad.
C
X2
Además, haciendo x = Xo > OYY = Yo en (l.33), se sigue que
c
Yo =-,
xo

28
por lo ('1(11. Id fllllCiólI
e = ,1:0.1)0.
"oUo.'1 = - - .
.l
Capítulo 1. Introducción
''S SOlllCiúlI d" (1.:33) y s"tisface la condición inicial U(J·o) = Uo· con "o> Oy Yo arhit.rario.
La figunl 1 10 1IIUestra algunas dE' las curvas integrales eOIl e> O.
y •
x
Figura 1.10: Curvas integrales
1.2,1 M étodo de IsocIinas
La "cllación diferencial
dy
-/ = ¡ (L, y) ,
(X
(1.35)
c!ollc!e la función f(x. U) está definida en algún conjunto D del plano xy, determina en
cada punto (L, y) de D , el valor de y', o sea, la pendiente de la recta tangente a la curva
integral en este punto. Luego, podemos interpretar la ecuación diferencial (1.35) como
un conjunto de pendientes llamado campo de díTecciones. La terna de números (x, y. y')
determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x, y). El conjunto de los
segment.os de estas rect.as es la representación geométrica del campo de direcciones.
El problema de resolver la ecuación diferencial (1.35) puede entonces interpretarse
como sigue: encontrar una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma dirección
que el campo en este punto. Para const.ruir las curvas integrales introducimos las isocli-
nas. Se llama isoclma al lugar geométrico de los puntos en los que las rectas tangent.es a
las curvas integrales consideradas t.ienen una misma dirección. La familia de las isoclinas
de la ecuación diferencial (J .35) viene dada por la condición
I(x ,y) = c, (1.36)

1.2. 1. Método de ¡sadillas 29
donde e es una constante. Usando valores de e cercanos podemos dibujar una red bast ante
compacta de ¡sac1inas. a partir de las cuales es posible trazar aproximadamente las curvas
int.egrales de iH ecuación {l .35).
EJEMPLO 1. ~,l ediante las isaclinas, trace aproximadamente las curvas integrales de
la ecuación diferencial
dy
- = :Z:,
d.,.
(U7)
Solución. En este caso ¡ (.l'. U) = "L' Y las ¡sadinas están d¡:¡di1s por la ('cuación ]" = c.
donde e es una constante. En C'onsE'cuencia las ¡sorlillas son recta,s verticales. Para e = O
se obtiene la isoclina x = O. el eje y. Este eje divide al plano ('11 dos partes iguales. en
cada una de las cuales la derivada y' tiene un mismo signo. Las curvas illt('grales son
decrecientes si 1: < O.v crecientes si 1" > 0, de lllodo que sobre esta recta se ellcuellt ran
S lIS puntos mínimos.
Las t.angent.es trazadas a las curvas integrales en los puntos de intersección con las
isoclinas x = - 1 Y x = 1, forman con el eje OX , ángulos de 45° y 135°, respect.ivamente.
El campo de direcciones se muestra en la figura 1.11 .
- ~-y / I I
"'.. /' I I
ri-- -{-f-f- I
--+-~ -,/-} ;-j
:.¡ ,1 ,
Figura 1.11: Campo de direcciones
Además, derivando en (1.37) con respecto a x , se sigue que y" = 1. Por consiguiente
y" > Opara todo x y las curvas integrales son cóncavas hacia arriba, Tomando en cuenta
todo lo anterior un esbozo de la familia de curvas integrales de la ecuación (1.37) se
muestra en la figura 1.12.

Figura 1.12: Curvas Integrales del Ejemplo 1
EJEMPLO 2. Represente el campo de direcciones e indique algunas curvas integrales
de la ecuación diferencial
dy x
= (138)
dx y
x x
Solución. Ahora f (x, y) = -- y las isoclinas son rectas de la forma -- = c o bien
y y
x
y = --o
C
Si c = 1 tenemos la isoclina y = -x a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes
a las curvas integrales es de 450
• Con c = - 1 resulta la isoclina y = x sobre la cual las
tangentes forman un ángulo de 1350
con respecto al eje OX.
Además, a partir de la ecuación diferencial misma podemos concluir lo siguiente. Las
tangentes trazadas a las curvas integrales en los puntos de intersección con el eje x (y = O)
Y con el eje y (x = O) son verticales y horizontales, respectivamente, con excepción del
punto (O,O).
El campo de direcciones y algunas curvas integrales se muestran en la figura 1.13.

1.2.1. Método de Isoclinas 31
Figura 1.13: Campo de direcciones y Curvas Integrales
EJEMPLO 3. Utilizando el campo de direcciones y las isoclinas determine aproximada-
mente la curva integral de la solución del problema de valor inicial
dy
~ = X2 + y2
dx '
y(O) = 1. (1.39)
Solución. Tenemos que f lx, y) = X2+y2 y las isoclinas f(x , y) = c son las circunferencias
con centro en el origen definidas por
c> O.
Con los valores de c = 1/4, c = 1, c = 9/ 4 Y c = 4 resultan las circunferencias de
radios 1/2, 1, 3/ 2 Y 2, respectivamente, que se muestran en la figura 1.14. A lo largo de
cada una de ellas las pendientes de las tangentes a las curvas integrales es igual al valor
particular de c.
Examinando la figura 1.14 parece razonable que la gráfica de la solución del problema
(1.39) tenga la forma que se indica en la figura 1.15. Cabe destacar el valor de este análisis,
en vista de que el problema (1.39) no puede resolverse empleando técnicas elementales.

32 Capítulo 1. In troducción
. Y
-2
x
- 2
Figura 1.14: Campo de direcciones e Isoclinas
y
10
-1.5
-2 -1 -0.5 0,5 x
-5
Figura 1,15: Solución del problema de valor inicial

Ejercicios del Capítulo l. 33
EJERCICIOS 1.2
En cada ejercicio indique el orden de la ecuación diferencial y determine si la función
dada es una solución de la ecuación.
dy 2
1. x dx - y = 2x y ,
,
y = A xe' .
2. yf + ycosx = cosx sen X l y = ce- senz
+ senx + 1.
3. y' + y tan x = O,
4
,_y+x
. y - I
y-x
, 1
5. y = - y + 1,
x
y=Acosx.
X2 _ y2 + 2xy = c.
y = x ln x.
6. (X2 + y2)dx + (X2 - xy)dy = O, A (x + y)2 = xe~.
d2
y
7. dX2 + Y = O, y = cosx + senx.
8. ylll - y" = X l
1 3 1 2 k
Y = - -x - -x + x + 1 + ke k E IR.
6 2 '
d2y dy
9. dX2 + dx = cosx,
10. y"+2y'-3y= 1,
y = cosx - sen x.
x 1
y = e --
3
2890 957

Capítulo 2
Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Definición 2.1.1 Se dice que una ecuactón diferencial ordinan.a es de variables sepa-
rables si se puede escribir en la forma
dy f(x)
=
dx g(y).
La ecuacion (2.1 ) se expresa en forma diferencial como
g(y)dy = f(x)dx ,
y se resuelve integrando ambos miembros de (2.2).
EJEMPLO 1. Resolver
dy = 2x.
dx
Solución. Separando las variables resulta
dy = 2xdx,
e integrando
Jdy = J2xdx.
Resolviendo las integrales
y + c, = X2 + C2
y = X2 + C2 - c,.
35
(2.1 )
(2.2)
(2.3)

36 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir c = C2 - C1, obte-
niendo
y = X2 + C.
Así, al momento de int.egrar sólo consideraremos una const.ante de integración.
EJEMPLO 2. Resolver
dy x
=
dx y
Solució n . Separando variables la ecuación se escribe como
ydy = xdx,
integrando
J ydy = J xdx
y calculando las int.egrales, se sigue que
X2
-+c)
2
X2 + 2C1'
Como el producto de constantes es una constante tenemos
y2 = X2 + C
y VX2 + C.
EJEMPLO 3. Resolver
dy
dx +4xy = O.
Solución. Tenemos que
dy
dx + 4xy O
dy
-4xy=dx
dy -4xydx
dy
-4xdx=y
J d: J -4xdx
In y = _2X2 + el
e
1ny e-2x2+ct
(2.4)
(2.5)

2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
37
Ya que e" y In u son funciones inversas.
11 = e- 2X2
ee1
.
Como e, es una constante, e" también es una constante, la cual podemos escribir sim-
plemente como e; de modo que
EJEMPLO 4 . Resolver
y = e-2x2
c
y .= ce-27 2
dy y coox
- = - - -
dx 1 - 2y'
Solución. Procediendo como en los ejemplos anteriores, resulta
dy
=
dx
(1 - 2y)dy =
1 - 2y
- -dy
Y
JG-2) dy =
In y - 2y =
ycosx
1 - 2y
Y cos xdx
cosxdx
Jcosxdx
sen x + e.
En este caso la solución queda en forma implícita.
EJEMPLO 5. Resolver
Solución. Tenemos
dy + eX- Y = O.
dx
dy + eX- Y = O
dx
dy _ex - y
=
dx
dy _eXe-Y=
dx
dy
- exdx=
e-Y
eYdy = - exdr
JeYdy = -JeXdx
eY = _ex +c
In eY = ln(_ex + e)
y = ln(_ex + e).
(2.6)
(2.7)

EJEMPLO 6. Resolver
(yx - y )dy - (y + I )dx = O.
Solución. Separando variables se sigue que
e integrando
Por lo tanto
(yx - y )dy - (y + l )dx
(yx - y)dy
y(x - l )dy
Y- -dy =
y+ l
o
(y + l )dx
(y + l)dx
dx
x - 1'
Jy ~ 1dy = Jx d~1
J(I-y~ l)dY = JXd~1
y -In(y+ 1) = In(x - 1) +c.
es la solución dada en forma implícita.
EJEMPLO 7. Resolver
(2.8)
(2.9)
Solución. Para separar variables es de gran ayuda factorizar donde sea posible, en este
caso tenemos
(1 + X2 + y2 (1 + x2))dy (1+y2)dx
(1 + x2 )(1 + y2)dy = (1 + y2)dx
1 + y2 1
--dy --dx
1 + y2 1 + X2
dy
dx
=
1 + x2'
Finalmente, al integrar encontramos que
= J dx
1 + X2
arctanx + c.

2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 39
EJEMPLO 8. Resolver el problema de valor inicial
1 + e-3x
y, = O sujeto a y(O) = 1. (2.1 O)
Solución. Separando variables e integrando obtenemos
1 + e-3X
y' = O
_ 3x dy
- 1e - =
dx
e-3X
dy = - dx
dy = _e3xdx
Jdy = -Je
3x
dx
e3x
y = --+c3 .
Haciendo x = OYY = 1 en la última igualdad, concluimos que
1
eO
= - - +c
3
1 =
1
-- +c
3
4
= c.
3
Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial que cumple la condición dada es
e3x 4
y = - -+ -.
3 3
y' + y2 _ Y = O, y(2) = 4.
Solución. Primero separamos variables
y' + y2 _ Y = O
y' = y _ y2
dy y _ y2=
dx
dy = (y - y2)dx
dy
dx.=
y _ y2
(2.11 )

40 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordl
En segundo lugar integramos, usando fracciones parciales para la integral respecto de 1
Obtenemos
J dy Jy(1 - y)
dx
Iny-ln(l -y) x+ c¡
y
ln-- = x+c¡
1 - Y
_y_ = eX
+CI
= eXeCI = cex .
1 - Y
Ahora, despejamos y en la última igualdad
y c(l - y)e"
y cex
_ cyex
y + cye" ce"
y(1 + ce") = ce",
obtenemos así la solución explícita
ce"
y =
1 + ce" '
Si hacemos x = 2 Y Y = 4 en (2.12), tenemos
4
ce2
1 + ce2
4(1 + ce2
) ce2
4 + 4ce2
= ce2
3ce2
-4
c =
4 - 2
--e .
3
Finalmente, sustituyendo el valor de e en (2. 12), llegamos a la solución particular
y
y =
y =
1 + (- ~e-2)e"
4 x-2
-3e
3 4e'" :2
--3-
-4e"-2
3 - 48"-2'
(2.12)

2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
e" cos x + cos x + (eYsen x + eY)y' = O, y(rr) = O
Solución. Separando variables e integrando se sigue que
e" cosx + cosx + (e" sen x + eY)y' = O
dy
Ocos x(e" + 1) + e" (sen x + 1)dx =
dy
-cosx(e" + 1)eY(senx + 1)- =
dx
eY(sen x + l )dy -cosx(e" + l )dx
e" cosx
dx--dy =
eY+ 1 sen x + 1
In(e" + 1) -In(senx + 1) + In c,
In(e" + 1) In
c,
=
sen x + 1
Ahora despejamos y para expresar la solución en forma explícita
es decir
con c = el - 1.
c, - sen x - 1
eY = -'-----:--
sen x + 1
I
c- senx
y = n
sen x + 1
Se quiere una solución que cumpla con y(rr) = O, entonces
O= In = In e,(
e - sen rr)
sen rr+ l
de donde
e = 1.
Sustituyendo en (2.14) obtenemos la solución del problema de valor inicial
1
1 -senx
y = n .
1 + sen x
41
(2.13)
(2.14 )
La siguiente ecuación diferencial es de segundo orden. sin embargo. mediante un
cambio de variable se reduce a una de primer orden. Corresponde a la ecuación diferencial
(1.12) del ejemplo 5 del capítulo 1.

EJEMPLO 11. Resolver
d2
y = k JI + (~f
dX2 (a - x)
donde a,k son constantes tales que a E IR, k '" 0, 1 Yx < a.
Solución. Si hacemos
dy dz d2y
Z = dx ' dx dx2'
la ecuación (2.15) se reduce a
dz = k 1f+Z2.
dx a- x
Separando variables e integrando resulta
dz
lf+Z2
J
dz
lf+Z2
In(z + Ji+Z2) =
In(z + Ji+Z2)
z+ Ji+Z2
donde A es una constante. Así que
kdx
a - x
J
kdx
a-x
-k ln(a - x) +InA
InA(a - X) - k
A(a - Xl-k,
:~ + 1 + (:~r= A(a - X) - k
(2.15)
(2.16)
Para obtener y necesitamos hacer una segunda integración, pero antes escribimos (2.16)
en la forma
1+ (:~r k dy
= A(a - x)- --
dx
1+ (:~r (r2 2k kdy dy
= A (a - x)- - 2A(a - x)- - + -
dx dx
1 A2(a _ X)-2k _ 2A(a _ X)-kdy
dx
kdy A2(a - X)-2k - 12A(a - x)- -
dx
dy A2(a - X)-2k - 1
dx 2A(a - X)-k
dy A k 1 ( k
= - (a - x)- - - a - x)
dx 2 2A
dy [A k 1 ( k]= -(a - x)- - - a - x) dx.
2 2A

2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 43
Ahora podemos integrar facihnente, encontrando la solución explícita siguiente
J[A k 1 k]2(a - x)- - 2A (a - x) dx
y
A(a - X)-k+1 (a - X)k+1
- + +B
2(-k + 1) 2A(k + 1)
EJERCICIOS 2. 1
Mediante separación de variables resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.
dx 2
4tx- = x + 1
dt
2.
( rdy x
(y ln x)-';¡ = - -
x y+l
3.
de
- = cos t(cos 2e - cos2
e)
dt
4. dy = e-2'+3y
dt
dy
5 _ + y = yxex +2
dx
6. eXydy - (e-Y + e2X- Y )dx = o
7 dy = --'xy'---,---;o3:"-y--'+_x_---;:3
. dx xy+2y-x-2
8 2tx2 + 2t + (t' + l )x' = O, x(O) = 1
2r - 1 r - 2r2
9. - -dr + dt = o r(2) = 4
t t2 - 1 '
1 1
lO. ( )2dx + ~dy = O
Y - 1 VX2 + 4

2.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
D efinición 2.2.1 La. función f (.L, y) se lla.ma homogénea de grado n con respecto a las
1Iarialilp" .1". U si pa.ra. todo f se ve1~fica que
f (tx, ty) = tn
f (x, y).
EJEMPLO 1. Diga si la función dada es homogénea y determine su grado.
a) f (.L. U) = 21:3
- 5xy2 + 4l·
b) f (.1. y) = l,5+ y5
X2 - y2
e) f (J· U) = --"-
xy
x3
+ x2
U + X
d) f (x,y)= 3 ·
Y
e) f (·r.u ) = U + L(ln., - ln U- 1).
y y2
f) f (1. U) = sen '-- + '-2 + c-2y/x
+ 6.
;1: x
Solución.
a) En est.e caso
f (tx, tU) = 2(tx)3 - 5(tX)( ty )2 + 4(ty )3
2t3x3 _ 5t3xy2 + 4t3
y3
t3(2x3
- 5xy2 + 4y3)
= t3f (x, y ),
lo cual muestra que la función f(x , y) = 2x3
- 5xy2 + 4y3 es una función homogénea de
grado tres.
b) Se tiene que
f (tx, ty) 1(tX)5 + (ty )5
= 1t5x5 + t5y5
1t5(X5 + y5 )
t 1x5 + y5
tf(x, y ).

2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Luego, f (l·. y ) = >7'x5 + yOsi es una función homogénea'y de grado uno.
e) Tenemos ahora que
f(tx ,ty )
=
t2x2 - t2y2
(tx )(ty )
e(.E2 _ y2)
t2
J'Y
OX2 _ y 2
= t -----'''-
xy
tOf (.L . y).
X2 _ y2
ASÍ, f(x, y) = es homogénea de grado cero.
xy
d) Como
x3
+ x2y + x
concluimos que f(x, y) = 3 no es homogénea.
y
e) Se tiene que
f( x, y) = y + x (In~ -1),
por lo cual
f (tx, ty )
= tf(x, y).
Lo cual muestra que f (x .y) si es una función homogénea y de grado uno.
f) Ahora tenemos
f (tx, ty) = sen ty + (ty )2 + e-2ty/'x + 6
tx (tX )2
ty t2y2
= sen - + - + e-2ty/tx + 6
tx t2x2
y y2
sen - + - + e-2y/x
+ 6
x X2
tO
f (x, y),
así que f (x, y) es homogénea de grado cero.
45

D efinición 2.2.2 Se dice que la ecuación diferencial
A1(x,y)dx+ IV(x,y)dy = 0,
es homogénea si las funciones A1 y IV son homogéneas y del mismo grado.
Note que la ecuación diferencial
y' = f(x , y),
será homogénea si f es una función homogénea de grado cero.
M étodo de Solución. Una ecuación diferencial homogénea A1(x, y)dx+ IV(x, y)dy = 0,
se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de las
sustituciones v = y/x o bien v = x/y, donde v es una nueva variable.
Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuación
homogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar
• y = xv si IV es de estructura "más simple" que A1. y
• x = yv si A1 es de estructura "más simple" que IV.
El tomar en cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al
resolver la ecuación diferencial separable que se obtiene.
EJEMPLO 1. Resolver
(2.17)
Solución. Como
A1(x,y) = x3+ y3 Y IV(x ,y) = _xy2
son funciones homogéneas ambas de grado tres, la ecuación dada es homogénea. Además
IV es de estructura algebraica más simple que A1, por lo cual, la sustitución más conve-
niente es y = xv para reducir (2. 17) a una ecuación de variables separables.
Hacemos
y = xv
dy = xdv + vdx.
Sustituyendo en (2.17) obtenemos
[X3 + (XV)3] dx - x(xv)2(xdv + vdx)
(x3+ X3v3)dx - X3v2(xdv + vdx)
x3(1 + v3)dx - X3V2(xdv + vdx)
(1 + v3)dx - v2(xdv + vdx)
dx +v3dx - xv2dv - v3dx
dx
dx
x
°
°
°
°
= °xv2
dv
= v2
dv.

Integrando
v3
In Ixl +In Ic 1= 3 '
de donde
,} = 3 In Icx I .
Reemplazando v = l¿ y simplificando encontramos que
x
31n lcxl
y = x131n I cx l·
EJEMPLO 2. Resolver
(y + JX2 + y2)dx - xdy = o.
Solución. Ya que
M (X, y )=y+JX2 +y2 y N(x ,y)=-x
47
(2.18)
son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea.
Como en el ejemplo anterior N es de estructura algebraica mas simple que M. Por lo
cual hacemos
y = xv
dy = xdv + vdx.
Sustituyendo en (2.18) obtenemos
Integrando
(xv + Vx2 + X2V 2) dx - x(xdv + vdx)
(xv + JX2(1 + v2)) dx - x2dv - xvdx
xVI + v2dx - x2dv
dx dv
x .ff+V2
o
o
O
= o.
In Ixl - In Iv + VI + v2 1= In I Cl 1,
reemplazando v = ;; y simplificando, encontramos que
Y M2
In Ixl - In - + 1 + -
X X2

In Ixl _ In Iy + J~2 +y2 1
donde e = l /Cl'
EJEMPLO 3. Resolver
In IY+;:2+ Y2 1
X2
y + J X2 + y2
X2
y + JX2 + y2
= In lell
In lell
= el
= el (Y + JX2 + y2)
cx2,
(2.19)
Solución. En este caso la estructura algebraica de i'v/(X, y) es más simple que la de
N (x. y), por lo cual proponemos
Entonces
o bien
Integrando
.l" = ljl.',
dx ydv + vdy.
2vydv + (1 - v2)dy = O
2v d dy
- - v+-
1 - v2 y
O.
In Iyl- In 11 - v2
1= In led,
y usando v = ~ , obtenemos como solución implícita
y
EJEMPLO 4. Resolver
y(ln x - In y)dx = (x ln x - x lny - y )dy.
Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como
(2.20)

Ponemos x = vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene
o equivalentemente
Integramos
yln v(vdy +ydv ) = (vylnv - y )dy ,
dy
ln vdv = - - o
y
v In v - v = - In y + c.
En términos de la variable original, la solución es
EJEMPLO 5. Resolver
x(lnx -1) + (y - x) lny = cy.
dy
dx
Solución. Escribimos la ecuación diferencial como
Hacemos
Entonces
Sustituyendo
Separando variables
e integrando
dx ~
x
v= 11.. =y=xv.
x
dy dv
dx = x dx +v.
dv e-v +v2
x-+v=---
dx v
dx
vevdv = -
x
veV
- eV
= In Ixl + c.
La solución, en forma implícita es
• • Iye' - xe' - xln xl = ex.
Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma
49
(2.21 )

50 Capítulo 2. & uaciones Diferenciales de Primer Orden
donde ai, bi , e i E R (i = 1, 2), se denominan cuasi-homogéneas y se reducen a ho-
mogéneas, haciendo el cambio de variables
x = X + h, Y = Y + k,
siendo h Y k las soluciones del sistema
a¡h+b¡k+e¡ O
a2h + b2k + e2 = O.
Si el sistema no tiene solución, es decir
la ecuación diferencial puede escribirse como
dy
dx
f ( a¡x +b¡ y +e¡ )
.x(a¡x + b¡y) + e2
= F (a¡x +b¡y) ,
la cual se reduce a separable con la sustitución
z = a¡x +b¡y.
EJEMPLO 6. Resuelve la ecuación diferencial cuasi-homogénea
dy 3y - 7x + 7= c-"-_ _ ...,.
dx 3x - 7y - 3
Solución. Hacemos
x = X + h, Y = Y + k.
Entonces
dY dy
dX dx
y sustituyendo en la ecuación, se tiene
dY 3Y - 7X - 7h + 3k+7
dX 3X-7Y+3h- 7k - 3'
Para que esta ecuación diferencial sea homogénea es necesario que
- 7h + 3k + 7 O
3h - 7k - 3 O.
(2.22)
(2.23)

La solución de este sistema de ecuaciones lineales es
h = 1, k = O.
Con estos valores de h y k la ecuación diferencial se reduce a
que es homogénea.
Hacemos ahora
Sustituyendo, se obtiene
o bien, separando variables
e integrando resulta
dY 3Y - 7X
=
y
V =- = Y = XVX .
dV 3V - 7
X dX + V = 3 _ 7V '
3 - 7V dV _ 7dX = O
V2 - 1 X
21nIV - 11+5 1nlV + 11+ 71n lX I = In le!
Regresando a las variables originales
y
V = X' Y = y, X = x - 1,
obtenemos como solución general de la ecuación diferencial
(y - x + 1)2(y + X - 1)5 = c.
51
El siguiente ejemplo es una ecuación diferencial de segundo orden, pero una vez más,
utilizando un cambio de variable se transforma en una ecuación diferencial de primer
orden que además es cuasi-homogénea. Corresponde a la ecuación (1.7) que apareció en
el ejemplo 3 del capítulo 1.
EJEMPLO 7. Resolver
( )
2
dy dy
x - - 2(y - p)- - x = O,
dx dx
donde p es una constante.
Solución. Poniendo w = d
y
, (2.24) se escribe como
dx
xw2
- 2(y - p)w - x = O.
(2.24)

Esto nos hace recordar el trinomio cuadrático, por lo que despejando w, obtenemos
2(y - p) ± J4(y - p)2 + 4X2
w=
2x
o bien,
dy Y- P J(Y- p)2- = --± - - + 1
dx x x '
. Y- P
la cual como sabemos es una ecuación cuasi-homogénea. S, ponemos v = - -,
x
y - p y naturalmente,
dv dy
x-+v = -.
dx dx
(2.25)
vx =
(2.26)
Ahora bien, si usamos (2.25) y seleccionamos el signo más, la ecuación (2.26) se reduce
a
dv ~
x dx = vv2+ 1.
Separamos variables e integramos.
dv dx
v'v2+l x
J
dv
v'v2+l
= Jd;
In(v + vv2
+ 1)
v+ v'v2+l =
ln x+c
(Y: P)+ J(Y: pr+ 1 = Ax, A = e'.
La gráfica de la solución obtenida es una parábola. Para verlo, despejemos la raíz
J(Y: P)2 + 1 = Ax - (Y: P),
elevamos al cuadrado y simplificamos para obtener
(Y: p)' + 1 = A2X2 - 2Ax (Y: P) + (Y: p)'
1 = A2X2- 2A(y - p)
1 - A2X2 = - 2A(y - p)
Y - P
Y

2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas
EJERCICIOS 2.2
Resolver:
l. (x - y )dx+xdy = O
2. y3dx + 2(x3 - xy2 )dy = O
3. (xtan)!. -t y)dx - xdy = O
x
4. (x3 + y2JX2 + y2)dx - xyJx2 + y2dy = O
dy y (2x3 _ y3)
5. ~~3~~
dx x(2y - x3)
6. (2xy + 3y2)dx = (2xy + x2)dy con y(l) = 1
dy
7. (3x - y - 9)dx = 10 - 2x + 2y
8. (2x + 3y + 4)dx = (4x + 6y + l )dy
dy Y + xcos2
JI.
9. _ = x
dx x
7r
con y( l ) = -
4
10. [YCOS"'- + ysec2"'-Jdx + [2ysen "'- + 2ytan "'- - xcos "'- - xsec2
",-] dy = O
Y Y Y Y Y Y
2.3 Ecuaciones Diferenciales Exactas
53
Definición 2.3.1 Si z = f (x, y ) es una función con derivadas parciales de primer or-
den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total,
denotada por dz o df, se define como
Ahora bien si f(x , y) = c, donde c es una constante, entonces
de modo que la solución de la ecuación diferencial df = Oestá dada implícitamente por
f (x, y) = c.

EJEMPLO. Si f(x, y) = x' + 3x2y2 + y3 = c, entonces df = O, es decir
(4x3
+ 6xy2) dx + (6x2y + 3y2) dy = O,
o bien
dy 4x3 + 6xy2
=
dx 6x2y + 3y2 .
(2.27)
Note que la ecuación diferencial (2.27) no es separable ni tampoco homogénea, decimos
que es exacta y su solución es x' + 3x2y2 + y3 = c.
De manera general hacemos la siguiente definición.
D efinición 2.3.2 Se dice que una ecuación diferencial
M (x, y)dx + N (x , y)dy = O, (2.28)
es exacta si puede escribirse en la form a df = O, es decir
Equivalentemente, la ecuación diferencial (2.28) es exacta si existe una función f tal que
8f
8x = M (x, y) y
8f
8y = N(x, y). (2.29)
Note que, la solución de una ecuación diferencial exacta está dada implícitamente por
la ecuación f(x , y) = c, donde c es una constante arbitraria.
A la función f que cumple las ecuaciones (2.29) se le denomina [unción potencial,
mientras que a la función vectorial
F(x, y) = M (x, y) i + N (x, y) j, (2.30)
se le llama campo vectorial conservativo. En este contexto, resolver la ecuación diferencial
exacta (2.28) es equivalente a encontrar la función potencial del campo (2.30). Puede
consultarse [8], para estudiar esta clase de campos vectoriales.
El siguiente teorema proporciona un criterio simple para determinar si una ecuación
diferencial es exacta. Su aplicación queda clara en los ejemplos posteriores.
Teorema 2.3.1 Sean las funciones M , N , My y Nx continuas en la región rectangular
R . Entonces la ecuación
M (x, y)dx + N (x , y)dy = O,
es exacta en R si y sólo si
8M 8N
8y (x, y) = 8x (x ,y), (2.31 )
para todo punto (x, y) en R .

2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 55
EJEMPLO 1. Resolver
y dx + (X+ ndy = O (2.32)
Solución . Verifiquemos, primero, que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Aquí
tenemos que
y como
M (x,y) = y y
2
N (x, y) = x +-,
y
íJM íJN
íJy = l = íJx '
afirmamos que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Luego, existe una función f(x ,y)
tal que la ecuación (2.32) se puede escribir en la forma df(x , y) = o. Es decir, que
M (x,y) = y
2
N (x,y) = x +-.y
Para determinar f integramos (2.33) con respecto de x, resulta
f (x, y) = Jydx,
o bien
f(x , y) = xy + q,(y) ,
donde q,(y) es una función de y, ya que integramos con respecto de x.
Derivando (2.35) parcialmente con respecto a y se obtiene
íJf '( )íJY=x+q,y ,
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
pero como deseamos que también se satisfaga (2.34), igualando (2.36) Con (2.34), se sigue
que
Luego
x+q,'(y) = x +~.
y
q,'(y) = ~.
y
Integrando ahora ambos lados respecto a y obtenemos
q,(y) = 21ny + Cl,
con el una constante arbitraria.

Sustit.uimos q,(y) en (235) y se tiene que
f(x , y) = xy + 2ln y + CI.
Finalmente, igualamos f(x, y) con una const.ante k para obtener la siguiente solución de
(2.32), definida implicitamente
xy + 2 ln y + CI k
xy +2 lny = k - el.
Renombrando c = k - CI , resulta la solución
xy + 2 ln y = c.
EJEMPLO 2. Resolver
dy 2 + ye'Y
=
dx 2y - xe"Y
Solución. Escribamos la ecuación en su forma diferencial,
M (x, y)dx + N(x ,y)dy = O
(2y - xexY)dy = (2 + yexY)dx
(2 + yexY)dx - (2y - xexY)dy = O
(2 + yexY)dx + (xexy - 2y)dy = O.
Esta ecuación diferencial es exacta ya que
BM BN
_ = xyexy +exy = - ,
By Bx
luego, existe una función f tal que
~~ = 2 + ye
xy
.
Integrando respecto a x
f(x ,y) = J(2 + yexY)dx,
es decir
f(x , y) = 2x + eXY + q,(y),
donde q,(y) es una función que depende únicamente de y.
Derivamos parcialmente a (2.38) respecto a y
~~ = xe"Y + q,'(y),
(2.37)
(2.38)

pero sabemos que ~ = N(x, y) , por lo que
xexy
+ q,'(y) = xeX
" - 2y.
De esta ecuación resulta
con el una COhstante.
q,'(y) =
q,(y)
- 2y
_y2 + el )
Luego, sustituimos q,(y) en (2.38) y se tiene que
¡(x,y) = 2x +exy
- y2 +c¡.
57
Finalmente, tomando en cuenta que ¡ (x, y) = k da la solución implícita, obtc1l0mos
2x + eXY
- y2 + el k
2x + eXY
- y2 k - el
2x + eXY
- y2 = e.
EJEMPLO 3. Resolver
( Y) dx
1 + ln x+~ dy = l - lnx.
Solución. Esta ecuación en su forma diferencial nos queda de la siguiente forma
(1 + In x + !!.)dx + (In x - l )dy = 0,
x
en donde
y como
M(x ,y)= 1+ 1n x+!!.,
x
aM 1
N(x , y) = In x - 1
aN- = - = -
ay x ax '
(2.39)
Se tiene que nuestra ecuación a resolver es una ecuación diferencial exacta, por lo 'lile
existe una función ¡ tal que
Luego
a¡ Y
- = 1 + In x + - y
ax x
a¡
- = ln x - 1.
ay
¡(x,y)
¡ (x,y)
¡ (x,y)
Jo+ ln x + ;)dx
a¡
ay
= x + x In x - I + YIn x + d>(y)
= (x+y) ln x+q,(y)
= In x + q,'(y).

01Pero - = In x - 1, entonces
oy
Sustituyendo 1>(y) se tiene que
1>'(y) - 1
1>(y) -y + Cl '
I(x,y) = (x + y) ln x-y+cl'
La solución está dada por
(x + y) In x - y + Cl = k,
de donde
(x+y) lnx -y
y(ln x- l)
y =
C
C - x In x
c - x In x
Inx - l '
x el e.
Nata: Para resolver las ecuaciones exactas anteriores primero integramos con respecto
a x en la igualdad ~~ = M(x,y), pero se puede proceder en forma análoga si en lugar
. 01de esto llltegramos con respecto a yen oy = N(x, y). Ilustraremos dicho procedimiento
en los tres ejemplos siguientes.
EJEMPLO 4. Resuelva
dy
(3y2 + Xcosxy) dx + (3x2+ ycos XV) = O.
Solución. Escribamos (2.40) en su forma diferencial
En este caso
y dado que
(3x2+ y cos xy)dx + (3y2 +X cos xy)dy = O.
M(x ,y) = 3x2+ y cos xy, N(x ,y) = 3y2+ xcosxy
oM oN
oy = -xysen xy + cosxy = ox '
tenemos que (2.40) es una ecuación diferencial exacta, por lo que existe I tal que
8f = 3y2 + x cos xy.
oy
(2.40)

Integrando esta ecuación respecto a y obtenemos
¡(x,y) J (3y2 +x cos xy)dy
y3 + sen xy + if¡(x).
Derivando parcialmente con respecto a x resulta
a¡ '( )ax = y cos xy + if¡ x.
59
Recordando que ~~ = 3X2 + ycosxy e igualando con la expresión anterior, tenemos que
ycosxy + if¡'(x)
if¡'(x)
if¡(x)
3X2 + y cos xy
3X2
x
3
+ e¡.
Sustituyendo if¡(x) tenemos
¡ (x,y) = y3 + sen xy + x3+ e¡ .
La solución está dada por
y3+ sen xy + x3+ e¡ = k,
o bien
y3 + sen xy + x3 = e.
EJEMPLO 5. Resolver
(yeX +2ex
+y2)dx + (eX + 2xy)dy = 0, y(O) = 6.
M (x,y) = yeX+ 2ex
+y2, N(x ,y) = eX + 2xy
y como
aM X aN
ay =e + 2y = ax'
se trata de una ecuación diferencial exacta. Buscamos una función ¡ tal que
a¡
ay
= eX+ 2xy
¡ (x, y) = J (eX+ 2xy)dy
eXy + xy2 + if¡(x)¡ (x,y)
a¡
= eXy+y2+if¡'(x).
ax
(2.41)

60 Capítulo 2. &uaeiones Diferenciales de Primer Orden
Por otro lado, se requiere que
af
ax = ye
X
+ 2e
x
+ y2
Igualando las dos expresiones anteriores se tiene que
1>'(x) 2ex
1>(x) J2ex
dx
1>(x) 2ex
+e, .
Sustituyendo 1>(x) obtenemos
f(x, y) = eXy + xy2 +2ex
+e,.
Luego, la solución viene dada por
eXy + xy2 +2ex
+c, k
eXy + xy2 +2ex
e.
Aplicando la condición y(O) = 6 en la última ecuación tenemos que
eO(6) + (0)(6f +2eo c
8 = c.
Así, concluimos que nuestra solución particular está definida implícitamente mediante la
ecuación
eXy + xy2 + 2ex
= 8.
EJEMPLO 6. Resolver
(y2cosx - 3x2y - 2x)dx + (2ysenx - x3
+lny)dy = O, y(O) = e. (2.42)
Solución. Como
aM aN
ay = 2y cos x - 3x
2
ax'
tenemos que (2.42) es una ecuación diferencial exacta y por lo tanto existe una función
f tal que
!jf
ay
f (x,y)
2y sen x - x3
+ lny
J(2y sen x - x3
+ In y)dy,

de donde
¡ (x,y) = y2
sen x - x3y + y ln y - y +q,(x) .
Entonces
~~ = y2 cos X - 3x2y +q,'(x).
a¡
Pero ax = M (x,y), de donde
Luego
= y2 cos X - 3x2y - 2x
-2x
y2 cos X - 3x2y + q,'(x)
q,'(x)
q,(x) =
¡(x,y) = y2
sen x - X3y + y ln y - y - x2 +Cl
o bien, la solución y está definida implícitamente en la ecuación
y2sen x - X3y +y In y - y - X2 = C.
Como y está sujeta a la condición y(O) = e, se tiene que
e2
senO - (O)(e) +eln e - e - O e
e = O.
Así, y está definida implícitamente en la ecuación
y2 sen x - X3y + y In y - y - x2 = O.
EJEMPLO 7. Resolver
(2y2 - 4x + 5)dx + (2y - 4xy - 4)dy = O.
Solución. Se tiene que
M(x,y ) = 2y2- 4x +5, N(x,y) = 2y - 4xy - 4
y
aM
ay = 4y,
aN
ax = - 4y,
por lo cual (2.43) no es una ecuación diferencial exacta.
61
(2.43)

EJERCICIOS 2.3
De las siguientes ecuaciones resuelva aquéllas que sean exactas.
dy 4x3
y' - 3x' y
1. = -c:---,--,-----"-
dx X3 - 2x'y
2. (e'f y' - 2x )dx + e"ydy = O
3. (y - 3x' )dx + (x - l )dy = O
4. (x + 3x3
sen y)dx + x' cosydy = O
5. (seny+ysenx+~)dx+ ( xcosy - cOSx+t )dY = O
6. y cos t + 2teY
+ (sen t + t'eY
+ 2) ~~ = O
8. (~+2X)dX+~dY=0 con y(0) = 6
1 + x,
9 (y - :,e;) dx + (x + ~e;) dy = O
10. e' cos y dx - xe' sen y dy = O con y(O) = 7T
2.4 Factores Integrantes
Definición 2.4.1 Si la ecuación diferencial
A1(x,y) dx + lV(x,y)dy = O (2.44)
no es exacta, pero existe una función ¡.t(x, y), tal que al multiplicar (2.44) por ¡.t(x,y), la
ecuación resultante
¡.t(x,y)A1(x,y)dx +¡.t(x,y)lV(x,y)dy = O, (2.45)
es exacta, entonces se dice que ¡.t(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial
(2.44).

2.4. Factores Integrantes 63
Debemos observar que la solución de (2.45) es la solución de (2.44) y que en general no
es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación no exacta de la forma (2.44).
Sin embargo, si M(x,y) y N(x, y) cumplen ciertas condiciones entonces los factores in-
tegrantes son conocidos. Veamos algunos casos.
CASO I. Factor integrante dependiente de x. Suponga que
es una función que depende únicamente de x, la cual denotaremos por g(x) . Entonces,
un factor integrante para la ecuación dada es
¡.t(x) = e J g(x )dx.
CASO II. Factor integrante dependiente de y. Si se tiene que
8N 8M
ex -- ay
M
es una función de y únicamente, denotada por h(y), entonces
¡.t(y) = eJ h(y)dy
es un factor integrante para la ecuación diferencial (2.44).
CASO III.Factores de integración de la forma xmyn Si existen m y n tales que
8M 8N N M
- - -=m--n-
8y 8x x y'
entonces
es un factor integrante para (2.44).
CASO IV. Si existen funciones P(x) y Q(y) que satisfacen
8M 8N
8y - 8x = N(x,y)P(x) - M(x, y)Q(y)
entonces un factor integrante para (2.44) es
¡.t(x, y) = eJ P (X)dxeJ Q(y)dy.
Obsérvese que el Caso IV incluye a los Casos 1, II y III si tomamos Q(y) = O, P(x) = O
m n
y P(x) = -, Q(y) = - , respectivamente.
x y

También queremos advertir que al aplicar las fórmulas anteriores estarnos interesados
en obtpner solamente 'Un factor integrante, por lo cual después de calcular las integrales
indefinid as implicadas en dichas expresiones basta considerar un valor fijo de la constante
de integración; ceTO por simplicidad. Continuaremos con esta práctica más adelante, al
emplear las fórmu las (2.60), (4.15) Y (4.85).
EJEMPLO 1. Resolver
(2xy + y')dx + (3x2 + 6xy3)dy = O.
Solución. En este caso
M(x, y) = 2xy + y',
íJM 3
íJy = 2x + 4y ,
N(x, y) = 3X2+6xy3,
íJN
íJx = 6x+6y3
(2.46)
íJM íJN
Corno ,,- ,¡ ", tenernos que (2.46) no es una ecuación diferencial exacta. Buscaremos
uy u X
un factor integrante para (2.46) investigando si !vi y N cumplen con las condiciones
mencionadas en el Caso 1.
2x + 4y3 - 6x - 6y3
3X2 + 6xy3
_(2y3 + 4x)
3X2+6xy3
(2.47)
La expresión en (2.47) no es una función exclusivamente de x. Por lo que investigaremos
si /vI y N son funciones que cumplen con la condición mencionada en el Caso 11.
aN aNl
~-ay
!vi
6x +6y3 - 2x - 4y3
2xy + y'
2(y3 + 2x)
y(y3 + 2x)
2
y
(2.48)
La expresión en (2.48) si es una función exclusivamente de y, luego un factor integrante
es de la forma
Así

Ya que se conoce un factor integrante de (2.46), multiplicamos dicha ecuación por y' y
procedemos a resolver la ecuación diferencial resultante, cuya solución es igual a la de
(2.46). Tenemos
y'(2xy + y')dx + y'(3x' + 6xy3)dy
(2xy3+ y6)dx + (3x'y' + 6xy5)dy
o
o.
Ahora se tiene en (2.49) que
M(x, y) = 2xy3+ y6,
éJM
éJy = 6xy' + 6y5,
N(x,y) = 3x'y' + 6xy5
éJN
éJx = 6xy' + 6y5.
(2.49)
Luego, (2.49) ya es una ecuación diferencial exacta, cuya solución está definida implícitamente
en la ecuación
EJEMPLO 2. Resolver
(:' + 2) dx + ~ (1 + ln xy) dy = O.
M (x, y) = Y, + 2,
x
éJM 1
- = -
éJy
,,
x
N ( )
= 1 + ln xy
x,y ,
x
éJN - ln xy
éJx x,
(2.50)
De modo que (2.50) no es una ecuación diferencial exacta. Veamos si M y N cumplen
con la condición del Caso I.
I + In;y
X' x
1
x
l+lnxy
x
Como (2.51) es exclusivamente función de x, un factor integrante es
() Jdz In x
J.L X = e r = e = x.
Multiplicamos (2.50) por J1.(x) y obtenemos la ecuación
(~+2X) dx+ (1 + ln xy)dy = O,
(2.51)

la cual es una ecuación diferencial exacta que tiene la misma solución que (2.50), definida
implícitamente en la ecuación
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Ahora
y ln xy + X2 = c.
(y + x + 2)dx + dy = O.
M(x ,y) = y +x +2,
aM
ay = 1,
N(x ,y) = 1,
aN = o
ax .
(252)
Entonces (2.52) no es una ecuación exacta. Hallaremos un factor integrante. Primero,
veamos si M y N cumplen con las condiciones mencionadas en el Caso l.
8M 8N
ay-Fx = 1
N . (2.53)
Vemos que (2.53) es una función constante y que se puede considerar como función de x
o bien de y. En este caso nos interesa considerarla como función únicamente de x. Luego
J1(x) = eX. Multiplicamos a (2.52) por J1(x) y se obtiene
eX(y + x + 2)dx + eXdy = O.
Se puede observar que (2.54) si es una ecuación exacta, cuya solución es
y = ce-x
- x - l.
EJEMPLO 4. Resolver
Solución. Ya que
(6y - 24xy5)dx + (9x - 56x2
y4 )dy = O.
M(x , y) = 6y - 24xy5,
aM
ay = 6 - 120xy"
N(x, y) = 9x - 56x2
y.,
aN 4
ax = 9 - 112xy ,
(2.54)
(2.55)
es claro que (2.55) no es una ecuación diferencial exacta. Determinemos un factor inte-
grante. El Caso 1 no puede aplicarse, puesto que
8M 8N
ay-a:;¡
N
-3 - 8xy4
x(9 - 56xy4) '

no es función exclusivamente de x. Por otra parte
8N 8M 4
fu-a,¡ _ 3+8xy
M 6y( 1 - 4xy' )
no es una función exclusivamente de y, por lo que tampoco podemos aplicar el Caso n.
Busquemos un factor integrante de la forma
el cual se puede construir sólo si existen constantes m y n, tales que
8M 8N
8g 8x
6 - 120xy' - 9 + 112xy'
-3 - 8xy'
Esto nos lleva al sistema
N M
m--n-
x y
9x - 56x2y' 6y - 24xy5
m - n-"----"-
x y
= 9m - 56mxy' - 6n + 24nxy"
9m - 6n -3
- 56m + 24n -8,
cuya solución es m = 1 Yn = 2. De modo que ¡.t(x, y) = xy2 es un factor integrante para
(2.55). Por lo que al resolver la ecuación
xy2(6y - 24xy5)dx + xy2(9x - 56xV)dy = 0,
obtenemos la solución de (2.55). Su solución y está definida implícitamente en la ecuación
3X2y3 _ 8x3y7 = c.
EJEMPLO 5. Resolver
(xy + y ln y)dx + (xy + x ln x)dy = O. (2.56)
Solución. Como
M(x,y) = xy+ylny, N(x,y) = xy + xlnx,
8M
8y =x+ lny + l,
8N
8x = y+l+lnx,
8M
observamos que 8y #
8N
8x . Luego la ecuación no es exacta. Busquemos un factor
integrante. Se tiene que
8M 8N
a,¡ - fu = (x + ln y) - (y + ln x)
N x(y + ln x)

no es función exclusivamente de x, por lo que no podemos calcular un factor integrante
dependiente solamente de x. En forma similar vemos que
fjN 8M
ay - ay = y - x + In x - In y
M xy+ y ln y
no es función exclusivamente de y, por lo que el Caso II no puede aplicarse. Vamos ahora
a buscar un factor integrante de la forma J.L(x, y) = x=y". Para ello buscamos constantes
m y n tales que
aM aN N M
ay ax
m--n-
x y
x + In y + 1 - Y - 1 - In x
xy + x In x xy + y In y
m -n
x y
(x + In y) - (y + In x) m(y + In x) - n(x + In y).
De la última igualdad se sigue que m = n = - 1. Así que un factor integrante es
1
J.L(x,y) = -
xy
Si multiplicamos la ecuación diferencial dada por J.L(x, y) , obtenemos la ecuación exacta
1 1
-(xy + yln y)dx + -(xy + x ln x)dy = O,
xy xy
cuya solución está definida implícitamente por la ecuación
y + x + In y In x = c.
EJEMPLO 6. Resolver
Solución. La ecuación no es exacta, ya que
M (x, y) = 2X2 +e-Y,
aM _ y
ay = -e ,
N(x, y) = x3
+ xy,
aN 2
ax = 3x +y.
(2.57)
Procedemos a determinar un factor integrante. Primero vemos que la ecuación no cae
dentro del Caso 1, puesto que
-e-Y - (3x2 + y)
x3 + xy

no es función solo de x. Además
aN aM ,
7iX - ay 3x + y + e-Y
M 2x' + e- Y
no es función solo de y, y el Caso II falla. Trataremos ahora de hallar un factor integrante
de la forma ¡.« x, y) = xmy". Tenemos que
aM aN
ay ax
-e-Y - 3x' - y
-y 3 '-e - x - y
N M
m--n-
x y
x3
+xy 2x' +e-Y
m -n--'--
x y
2 X2 e-Y
mx +my - 2n- -n-o
y y
Observamos en la última igualdad, que no existen m,n que la satisfagan. Por último, de
acuerdo con el Caso IV, buscamos un factor integrante de la forma
¡.« x, y) = eJ P(x)dx+J Q(y)dy
Es necesario encontrar funciones P(x) y Q(y) tales que
Es decir
aM aN
ay - ax = N (x, y)P(x) - M(x, y)Q(y).
-e-Y - (3x' +y)
-e-Y - 3x' - Y
-3x' - y - e-Y
= (x3
+xy)P(x) - (2x' +e-Y)Q(y)
= x3
P(x) + xyP(x) - 2x'Q(y) - e-YQ(y)
x3P(x) - 2x'Q(y) +yxP(x) - Q(y)e- y
1
. En consecuencia Q(y) = 1, P(x) = -- y un factor integrante es
x
¡.«x,y) = eJ -;ldxeJ dy
e- 1n xeY
eY
x
Así que multiplicamos la ecuación (2.57) por este ¡.«x, y) y obtenemos
eY eY
-(2x' + e-Y)dx + _(x3
+ xy)dy = 0,
x x
la cual es una ecuación diferencial exacta, cuya solución es la misma que la de la ecuación
original y está definida implícitamente en la ecuación
(x' +y - l )eY +ln x = C.

EJERCICIOS 2.4
Mediante un factor integrante adecuado resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. (2x2+ y)dx + (X2y - x)dy = O
2. (4x2+ 3cosy)dx - xsenydy = O
3. ( 1 + ~) dx - (x + 3e")dy = O
4. (2Xy2+ ;2)dx + 4x2y dy = O
5. y(l + ln xy + 2x)dx + (x - 2y2)dy = O
6. (6x2y2 - 4y4)dx + (2x3y - 4xy3)dy = O
7. (~COsXY + :2sen xy + 3y3) dx + (cosxy + 3xy2)dy = O
8. :2(1+ ln xy)dx + (;3-3) dy = O
9. (x + x3
sen 2y)dy - 2ydx = O
10. cosy dx + (2xsen y - cos3y)dy = O
2.5 Ecuaciones Diferenciales Lineales
La ecuación diferencial lineal de primer orden, tiene la forma general
dy
a,(x) dx + ao(x)y = ¡(x). (2.58)
Dividiendo entre a,(x), resulta la forma mas útil
dy
dx + p(x)y = q(x). (2.59)
Es fácil verificar que la ecuación diferencial (2.59) tiene como factor integrante a la
función
¡.t(x) = efp(')d. (2.60)
Si multiplicamos la ecuación (2.59) por ¡.t(x), se sigue que
d
dx l¡.t(x)y(x)] = ¡.t(x)q(x),

2.5. Ecuaciones Diferenciales Lineales 71
e integrando ambos miembros de esta última igualdad, obtenemos la solución general
de la ecuación.
EJEMPLO 1. Resolver
dy
{x+ I)dx - 2y = {x + 1)4 (2.61 )
Solución. La ecuación es lineal. Escribamos primero la ecuación diferencial como
Un factor integrante es
dy 2 3
----y = {x+ l ) .
dx x +1
J.L{x) = e- J r!,dx
e1n(x+ l )-2
Multiplicando la ecuación diferencial por {x + 1)-2, podemos escribir la ecuación como
{x + 1)-2~~ - 2{x + 1)-3y = X + 1,
o equivalentemente
d
dx [{x + 1)-2y] = X + 1,
e integrando
1
{x + 1)- 2y = 2{x + 1)2 + c.
Por lo tanto, la solución general es
EJEMPLO 2. Resolver
(2x2
- yeX)dx - eXdy = 0, y{O) = 1. (2.62)
Solución. La ecuación es lineal. La escribimos en la forma
.J.L{x) = eX.

De modo que
e
xdy
+ eXy
dx
d
dx [eXy)
eXy
La solución general, viene dada por
La condición inicial y(O) = 1 da c = 1. Por consiguiente la solución del problema de
valor inicial es
EJEMPLO 3. Resolver
(x In x)y' + (1 + In x)y+ ~ IX(2 + ln x) = O
Solución. Escribimos la ecuación diferencial en la forma
, 1 + In x 1 r.:. 2 + In x
y + y = - - v X .
x In x 2 x In x
J ~
¡.¡.(x) = e do. dx = x ln x.
Multiplicamos por ¡.¡.(x) = x In x
Así que
La solución general es
(x ln x)y' + (1 + In x)y
d
d)(x ln x)y)
1 3
(x In x)y = - 9x 2 (4 +3 In x) + c.
IX c
y = ---(4 + 3 ln x) + --o
9ln x x ln x
EJEMPLO 4. Resolver
dy 1
- = ----=-----=-dx xsen y+ 2sen2y·
(2.63)
(2.64)

2.5. Ecuaciones Diferenciales Lineales 73
Solución. La ecuación diferencial (2.64) no es separable, ni homogénca, ni exacta, ni
lineal en la variable y. Sin cmbargo considerando los reciprocos, tenemos
o bien
dx
-d = xsen y+2sen2y,
y
dx
dy - (sen y)x = 2sen2y.
La última ecuación es lineal en x. El factor de integración correspondiente es
¡.¡.(y) = e-f",nydy
= e
Cosy
.
Luego
dx
e
Cosy
_ _ eCOSY(sen y)x = 2sen2y ecosy
dy
d
- [eCOSYxJ 4 sen y cos yeCOSY
dy
eCosyx 4 Jsen y cos yeCOSYdy
eCosyx = 4(1 - cos y)eCosy + c.
La solución general de (2.64) es
x = 4( 1 - cosy) + ce- cosy .
EJERCICIOS 2.5
Diga si la ecuación diferencial dada es lineal en y o en x. En caso de serlo determine su
solución general.
l.dY +l!.= l
dx x
dy 2x +1
2. x- + --y = x - 1
dx x + 1
3. (1+x2
)dy+ (xy +x3
+x)dx = O
4. xy' = 3y + x' cos x, y(27T) =0
5. ydx + (xy + 2x - yeY)dy = O

6. y' = y
2ylny - x
7. xy' + 2y = sen x
8
dy
sen x dx + (cosx)y = 0, y( -1f/ 2) = 1
dy 1
9.
dx eY - X
10.
2 dy
cos x dx + Y - 1 = 0, y(O) = - 3
2.6 Ecuación de Bernoulli
A una ecuación diferencial de la forma
dy
dx + P (x)y = f(x)yn (2.65)
con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.
Si n = °o n = 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la
ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramos
en el caso en que n # 0, 1.
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en una
ecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.
Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta
Sea
entonces
por lo cual
y-n dy + p (x)yl-n = f (x) .
dx
dw _ndy
- = (1- n)y -,
dx dx
1 dw _n dy
- - - = y -
1 -n dx dx
Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos
1 dw
l -n dx + P (x)w = f(x )
dw
dx + (1 - n)P (x )w (1 - n)f(x),
(2.66)
(2.67)
(2.68)

2.6. Ecuación de Bernoulli
que es una ecuación diferencial lineal.
EJEMPLO 1. Resolver
dy
dx - y = e'y2
Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta
Sea
_2 dy - 1 ,
Y --y =e .
dx
dw _2dy
-=-y -
dx dx'
dw _2 dy
--=y -.
dx dx
Sustituyendo en (2.70)
dw
---w = eX
dx
dw
-+w _ex.
dx
Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos
y recordando que w = y -I
de donde
EJEMPLO 2. Resolver
1 'X -:1:
W = - -e + cle
2
2
y(6y2 - X - l )dx + 2xdy = O.
Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.
y(6y2 - X - l )dx + 2xdy
3 dy
6y - xy - y + 2x-
dx
dy
2x
dx
-(x+ l )y =
dy x + 1
- - - -y =
dx 2x
o
O
_6y3
3 3
- - y
X
75
(2.69)
(2.70)
(2.71 )

76 Capít ulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que
Sea w = y-2 . Entonces
_3 dy x + 1 -2 3
Y ----y
dx 2x x
dw
dx
1 dw
2 dx
1dw x + 1
------w =
2 dx 2x
dw x + 1
-+--w
dx x
_3 dy
- 2y -
dx
_3 dy
y -
dx
3
x
6
x
Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene
w (6 +ce-Z)x-1
y-2 (6 +ce-Z)x-1
y
J6 +:e-z
EJEMPLO 3. Resolver
dy y
dx x +y3X 2'
Solución. Nótese que
dy Y
dx x +y3x 2
dy y
=
dx x( l +y3X )'
(2.72)
luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como
tenemos que
dx X y3
= _ + _x2
dy
dx 1
- --x
dy y
y y

2.6. Ecuación de Bernoulli
la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x . Dividiendo por 1.2, resulta
_2 dx 1 - 1 2
X - - -x = y .
dy Y
dw 2dx
Sea w = x - I
, entonces -d = -x- -d . Sustituyendo en (2.73) resulta
y y
dw 1 2
----w = y
dy y ,
y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos
_y' + c
w=
4y
Ya que w = x-I
, se tiene
_y' + e
x- I
= --=---4y ,
de donde
4y
x = --,oc- y
EJERCICIOS 2.6
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
1. 2x3y' = y(y2 + 3x 2)
2. 2X2 + 2xyy' = x2 + y2
dy Y X2
3 -= -+-dx 2x 2y
4. XV' + 6y = 3xy l
5. y2y' + 2xy3 = 6x
6. y2dx + (2xy - 5x3)dy = O
7. (1 - X2)y' - xy = 7xy2
8. y3y' + 4xy' = 8x
9. (y In x - 2)ydx = x dy
10. y'(x2y3 + XV) = 1
77
(2.73)

78 Capítulo 2. EcuaciOlJ€s Diferenciales de Primer Orden
2.7 Miscelánea de Ecuaciones Diferenciales
No existe Ull método general para resolver ecuaciones diferenciales. Por consiguiente,
pa.ra rcsolvf'1' ulla eC11ación diferencial recomendamos primero investigar si es de alguno
de los tipos estudiados en las secciones anteriores: separable, homogénea, exacta, con
un factor integrante, lineal, etcétera, y posteriormente aplicar el método de solución
correspondiente.
Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse por varios de los métodos vistos
C'll las secciones anteriores.
EJEMPLO. Resolver
(2x + xy2)dx + (4y + x2y)dy = O
Solución. Veamos primero si la ecuación (2.74) es de variables separables.
= - (2x + xy2)dx
- x(2 + y2)dx
-x
4 + x 2dx .
Así, (2.74) resultó de variables separables. Integrando y reduciendo, obtenemos
In(2 + y2) = - ln(4 + X2) + el
In(2 + y2)(4 + X2) = el
(2 +y2)(4 + x2) e2
8 + 2X2 + 4y2+ x2y2 = C2.
Por otra parte, si en (2.74) denotamos
entonces
M (x, y) = 2x + xy2
aM
-= 2xy
ay
N (x, y) = 4y + x2y,
aN
ax = 2yx.
(2.74)
Por lo tanto, la ecuación (2.74) también es exacta. Luego, existe una función I tal
que al = M Y al = N . A partir de estas relaciones encontramos que
ax ay
I( x, y) = J(2x + xy2)dx
al =x2y + h'(y )
ay
h'(y)
h(y)
x2y2
X2 + - 2- +h(y)
4y +yx2
4y
2y2 +el .

2.7. Miscelánea de Ecuaciones Diferenciales
De donde
x2y2
f (x, y ) = x2 + - 2- + 2y2 + CI·
La solución está dada por f (x , y) = C2, con C2 una constante, o equivalentemente
Finalmente investiguemos si la ecuación (2.74) es lineal. Tenemos
(4y + x2y)dy + (2x + xy2)dx
2 dy
(4y + x y) dx + 2x + xy2
(4y + x2y) ~~ + xy2
dy X 2
-+ Y =
dx (4y + x2y)
dy X 2
-+ Y =
dx y(4 +X2 )
dy X
dx+ 4 +x2Y
o
O
-2x
- 2x
4y + yx2
- 2x
y(4 + X2)
- 2x - 1
(4 + x2)Y .
79
De aquí, es claro que no es lineal, pero sí es de Bernoulli. Resolviéndola como tal,
encontramos
dy x 2 - 2x
Ydx + 4 +x2Y 4 + X2
si W = y2 ;
dw dy
dx
2y-
dx
1 dw x - 2x
--+--w
2 dx 4 + x2 4 + X2
dw 2x - 4x
- +--w
dx 4 + x2 4 + X2
J h dx
J.L(x) = e ...' e1n(4+x2 ) = 4 + X2
2 dw
(4 + x ) dx + 2xw - 4x
d(4 + x2)
dx w
- 4x
(4 + x2)w = -2x2 + c
(4 + x2)y2 = _2x2 + C
4y2 + x2y2 + 2x2 C.
En conclusión, la ecuación (2.74) se pudo resolver por tres métodos distintos y por
supuesto el lector desarrollará su propia estrategia al resolver una ecuación diferencial.

EJERCICIOS 2.7
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
dy 4x + y - 6
1. = --'--"----:-
dx y-x+ 1
2. (e- 5y
+ 1) cos 2xdx + (1 + sen 2x)dy = O
Y 1
3. y' = - - +--1;2 x2y2
I eYcosx
4. y + = O
eY sen x + y6
5. (1 + x2)y' = xy + x2y2
6. (sen y - 2ye-Xsen x)dx + (cosy + 2e-x
cosx)dy = O
7. (x - YCOS~) dx+xcOS~dy = O
2dy 1 ( )8. x - + xy - - = O con y 1 = 1
dx x
9. xy' + 2y - eX + In x = O
10 (4y + 2x - 5)dx + (6y+ 4x - l )dy = O
11 . (y + x cot ~) dx - xdy = O
12. sen x(e-Y + l )dx = (l +cosx)dy con y(O) = O
13. (xcosy - ysen y)dy + (xsen y + ycosy)dx = O
14. 2x2dy - (y2 + 2xy - x2)dx = O
15. (..fiY - .jX)dx + (..fiY + v'Y)dy = O
16. (x2e- ~ + y2)dx = xydy
17. (eX + 1)~~ = Y - ye
X
18. xdy - (2y + x3
sen 3x )dx = O
, 1
19. y = 2x _ 3y
dr o
20 - = e - 3r con r(O) = 1
. dO

2.7. Miscelánea de Ecuaciones Diferenciales 81
21. (x +ye~)dx - xe~dy = O
22. (x2 + y2 + x )dx + xydy = O
23.
dy
dx + x + y + 1 = (x + y)2e'x
24.
dy 3
- = y(xy - 1)
dx
25.
x
dx + (- - sen y)dy = O
Y
26. (y2 + 3xy)dx = (4x2+ xy)dy
27. dy = I - Iy + 3x - 2
dx V
28. x2dx + (1 - x3y)dy = O
dy
29. Y + x(1n x - ln y - 1)dx = O
30. (6x2y + 12xy + y2)dx + (6x2+ 2y)dy = O
31. (x2+ xy + 3y2)dx - (X2 + 2xy)dy = O
32. (y lny + yeX)dx + (T + ycosy)dy = O
33. y2(xy' + y)(1 + x4
)! = x
dy Y - 2
35. 2- = - - xy
dx x
36. (2xy + 3y2)dx = (2xy + x2)dy
37. 6xydx + (4y + 9x2)dy = O
38. xy' - y - x2cosx = O, con y(rr) = I
39. (2x+ tany)dx+ (x -x2tan y)dy = O
40. y2dx + (xy - x3)dy = O
41. dy = =2=-XY,,--2_+~y
dx x-2y3
42. xydx - x2dy = YVX2 + y2dy

82 Capítulo 2. &uaciones Diferenciales de Primer Orden
2 dy
43. xy(1 + xy ) dx = 1
44. (y + 3x2y + x2)dx + (x + x3)dy = O
45. x:~ -y= JX2 +y2
46. (2x + 2xy2)dx + (x2y + 2y + 3y3)dy = O
47. (cosxcosy + senx)dx - cosxtanydy = O
48. dy = x + y - 3
dx 2x-y+l
dy xy+2y-x-2
49. = -'------::""----____=_
dx xy - 3y + x - 3
50. (xy2 - y2 + X - l )dx + (X2y - 2xy + x2 + 2y - 2x + 2)dy = O
v+ l
51. =
ds .jS + .jSV
dv
dy
52. cosy sent dt = senycost
53. ~~ = e'+Y+3
54. xcosxdx+(1 -6y5)dy = 0 con y(rr)=O
ydx + xdy d - O
55. 2 2 + X x -
1 - x y
4y2 _ 2X2 8y2 _ X2
56. 2 3 dx + 3 2 dy = O
4xy - x 4y - x y
dy x+y+ 2
57. = ---"------,
dx x+y-4
58 (4y - x2)dx - xdy = O con y(l) = O
1 1
59. (2 ¡;;; + y)dx + (x - -~ )dy = O
V X 2y'
con y(9) = 1
60. 3xy' - 2y = x3y-2
dy y
61. dx x + JXy

2.7. Miscelánea de Ecuaciones Diferenciales
62
dy 2 + yexy
=
dx 2y - xe"Y
63. (3xy2 _ x3) dy = 3y3 _ x2y
dx
64. 3x2y2dx + (2x3y + x3y)dy = O
65. xy2y' + y3 = Xcos x
66.
dy 2xye(;1'
-=
y2 + y2e(~l' + 2x2e(; l'dx
( xy cos 1'. + X2 sen 1'.) y' = y2 cos 1'.67 con
x x x
68. (x + 2xy3)dx + (1 + 3x2y2 + y)dy = O
I 3 4 I
69. y - - y = X y'
X
dy 3x2J16 + y2
70. =
dx y
71. (y + x3y3)dx + xdy = O
72. xex'dx + (yS - l )dy = O con y(O) = O
83
7r
y( l ) = 2"
73. Encuentre el valor de n para el cual ecuación: (x + ye2XY)dx + nxe2zYdy = O, es
exacta y resuélvala para ese valor de n.
74. Resuelva: (k +2X) dx+ ~dy = O
1 + X2
con y(O) = 6.
75. Resuelva: 3x2(1 + logy)dx + (:3-2Y) dy = O.
76. Resolver la siguiente ecuación diferencial
(sugerencia: ¡.t = xmyn es un factor integrante de la ecuación.)
77. Una curva parte desde el origen por el primer cuadrante. El área bajo la curva
desde (O, O) hasta (x, y) es un tercio del área del rectángulo que tiene a esos puntos
como vértices opuestos. Hallar la ecuación de esa curva.

78. Sea t la tangente a una curva e en un punto P. Sea F el punto sobre el eje x tal
que F P es perpendicular al eje x y sea T el punto de intersección de t y el eje x.
Encontrar la ecuación de la familia de curvas e las cuales tienen la propiedad de
que la longitud T F es igual a la suma de la abscisa y de la ordenada de P .
79. Sea t la tangente a una curva e en un punto P. Encontrar la ecuación de la familia
de curvas e las cuales tienen la propiedad de que la distancia del origen a t es igual
a la abscisa de P.
80. Sea t la tangente a una curva e en el punto P y sea F el punto del eje x tal que
PF es perpendicular a dicho eje. Encontrar la ecuación de la familia de curvas e
las cuales tienen la propiedad de que la distancia de F a t es constante.
2.8 Cambios de Variables Diversos
El cambio de variable es una idea genérica en Matemáticas, la cual como se ha visto
en las secciónes anteriores, también puede aplicarse al tratar de encontrar soluciones de
ecuaciones diferenciales. Sin embargo, deseamos enfatizar que no hay un método general
para proponer cambios de variable. Veamos algunos ejemplos adicionales.
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Sea u = e2y. Entonces
Sustituyendo en (2.75)
du _ 2Y2dy
dx -
e
dx'
1 du 2ydy
-- =e -.
2 dx dx
1 du ln x
-x-+u=-.
2 dx x
Así, la ecuación se ha transformado en la ecuación diferencial lineal
cuya solución es
du 2 In x
-+-u= 2-
dx x X2 '
2 c
u = -(x ln x - x) + -.X2 X2
Usando que u = e2y , encontramos la solución de la ecuación original en la forma
2 c
-(In x- l )+-
x X2
2y In [~(ln x - 1) + ..:..]
x X2
y 1 [2 c ]- In -(In x- l )+- .
2 x x2
(2.75)

2.8. Cambios de Variables Diversos
EJEMPLO 2. Resolver
y' + y In y = yeX
•
Solución. Sea u = In y . Tenemos que
du 1 dy
dx ydx'
y como y = eU
Udu dy
e-
dx dx '
Sustituyendo en (2.76) resulta
du
eU
dx + eUu eUe
x
du
-+u eX.
dx
Luego, hemos obtenido una ecuación diferencial lineal con solución
Por lo tanto
1
ln y = _ex + ce- x
2 '
de donde
EJEMPLO 3. Resolver
~~ = 2+ Jy - 2x+ 3
Solución. Sea u = y - 2x + 3. Entonces
du
dx
du +2
dx
du 2
- +
dx
du
dx
dy _ 2
dx
dy
dx
2+ Vu
85
(2.76)
(2.77)
Note que la ecuación diferencial que acabamos de obtener es separable. Resolviéndola
llegamos a que

En consecuencia
y - 2x + 3
EJERCICIOS 2.8
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
dy
l. dx = sen (x+ y)
2. dy = 1 + ey-x+5
dx
dy
3. dx +x+V+ 1 = (x + v )2e
3x
4. V' + 1 = e -(X+Y) sen x
5. V' = (x+V)2
6. V' = sen 2(X - V + 1)
7. Haciendo el cambio de variable z = y/ xn, esto es, V = zxn y escogiendo un valor
adecuado de n, demuestre que las ecuaciones diferenciales siguientes pueden trans-
formarse en ecuaciones de variables separables y resuélvalas:
a) dy Y - XV
2
dx x + x2y
dV2v x3
V
b) - = - + - + x tan -
dx x V x2
8. Resuelva
a) XV" + 2V' = O
b) xV"+ 2y' =x
(Sugerencia: haga v = V' )
9. Resolver las ecuaciones
a) YV" + (V' )2 - 1 = O
b) Vy" - (V'? - V2 = O

2.9. Ecuación de Ricatti
2.9 Ecuación de Ricatti
La ecuación
dy 2
- = p(x )y + q(x)y + r(x )
dx
87
(2.78)
se llama ecuación de Ricatti. El método de solución que proponemos para resolver
(2.78) supone que se conoce, o bien puede calcularse, una solución particular de la
ecuación. Sea y, una solución particular de (2.78), entonces es fácil mostrar que la
relación
1
Y = y, + - , (2.79)
v
define una familia de soluciones de la ecuación de Ricatti, donde v satisface cierta ecuación
diferencial lineal, corno veremos a continuación.
Derivando (2.79) con respecto a x obtenernos
dy , _2dv
- = y -v -
dx ' dx
Sustituyendo esta expresión junto con (2.79) en (2.78) tenernos
, dv (1)2 ( 1)y, -v- 2
dx
= p(x) y, +; +q(x) y, +; + r(x),
o equivalentemente
' _2dv 2 p(x )y, p(x ) q(x)
y, - v -d = p(x)y, + 2- - + - 2 + q(x)y, + - + r(x).
x v v v
Ahora bien, ya que que y, es solución de la ecuación diferencial, se cumple que
lo cual reduce (2.80) a
y;(x) = p(x)y;(x) + q(x)y,(x ) + r(x),
_2dv
-v -
dx
dv
--'.2p-,-(x-,-,)y,-,-' + p_(x_) + _q(x_)
V v2 V
-[2p(x)y, v + p(x) +q(x)v]
dx
dv
= -[2p(x) y, + q(x)]v - p(x).
dx
Es decir, v satisface la ecuación
dv
dx + [2p(x)y, + q(x)] v(x) = - p(x),
que efectivamente es una ecuación diferencial lineal.
(2.80)
(2.81)

EJEMPLO . Resolver
dy 2 Y 1
- = y - - - - (2.82)
dx x x2 '
Solución. Es claro que (2.82) es una Ecuación de Ricatti con p(x) = 1, q(x) =
- l / x, r(x) = - l /x>' Observando que y¡ = l /x es una solución particular de (2.82),
en este caso la ecuación (2.81) para v toma la forma
dV+(~_ ~) V=_ l,
dx x x
esto es
dv 1
-+-v=-1.
dx x
Un factor integrante de (2.83) es
¡.t(x) = eJ~ = x.
Multiplicando (2.83) por ¡.t(x) y resolviendo igual que antes, encontramos que
dv
x- +v -x
dx
d
dx (xv) -x
X2
xv = --+CI
2
v
X el e - X2
--+-=--
2 x 2x'
donde c = 2c¡. Por lo tanto, de acuerdo con (2.79)
1 2x
y(x) = - +--x c - X2
es una familia de soluciones de la ecuación diferencial (2.82).
EJERCICIOS 2.9
(2.83)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, utilizando la solución particu-
lar y¡ indicada.
dy 2
1. dx = -y + xy + 1, y¡ = X
2. ~~ = e2x +(1 _ 2eX
)y +y2 ,
dy 4 1 2
3. - = -- - -y + y ,
dx X2 X
2
y¡ = -
x

2.10. Ecuación de Clairaut 89
2.10 Ecuación de Clairaut
La ecuación diferencial de la forma
y = xy' + f(y'), (2.84)
con f una función arbitraria, se llama ecuación de C lairaut .
Mostraremos que las rectas
y = cx + f(e), (2.85)
con e un número real, constituyen una familia de soluciones de la ecuación de Clairaut
y que además dicha ecuación posee la siguiente solución definida en forma paramétrica
por las ecuaciones
x = - j'(t) , y = f(t ) - tj'(t). (2.86)
En primer lugar, derivando (2.85) con respecto a x se sigue que
y' = e
y sustituyendo en (2.84) vemos que ésta se reduce a la identidad
cx + f(e) = xc + f( e),
lo cual muestra que (2,8,5) es una solución de (2.84) para todo e. Obsérvese que la
expresión (2.85) de esta familia de soluciones se obtiene trivialmente poniendo y' = c en
el lado derecho de (2.84).
Por otra parte, de las ecuaciun~s (2.86) tmemos que
dx
dt
dy
dt
dy
dx
- j"(t)
j'(t) - 1'(1) - I J"(I ) = -tj"(t )
dy di ,,( 1 )
di ,b- = -1f (1) _ I" (t) = t.
Sustituyendo y y dy cn la ecuación dif"rt'ncial d,' Clairaut llegamos a la identidad
dx
f(l ) - 1)'(1) = - 1'(1)1+ f(t )·
De modo que efectivmnrnt", (2.8(j) dl'tiIll'n otra solució" de (2.84).
A la solución panunPt,rim St' h' lIaula solución singular y requiere que I"(t) oJ O.
Note además que csta solul'iln no St' pUl'd,' oht.,'nrr d,' la familia de rectas (2.85).

90 Capít ulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
EJEMPLO. Resolver
y = xy' + 1 - In y'.
Solución. La familia de soluciones es
y = cx + 1 - In c.
Identificando f(y') = 1 - In y', la solución singular está dada por
y como
resulta
x -/,(t)
y = f(t) - tJ'(t)
f(t) = 1 - ln t;
x - (-D = ~
/,(t) = _!,
t
y 1 - In t - t ( - D= 2 - In t = 2 - In ~
de donde, y = 2 + In x es la solución singular.
EJERCICIOS 2.10
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
1. Y = xy' _ (y')3
2. y = xy' - tan y'
3. y - xy' = In y'
4. (~~)2 + (x + a)y' _ y = O; con a una constante.
(2.87)

Capítulo 3
Aplicaciones de las Ecuaciones
Diferenciales de Primer Orden
3.1 Trayectorias Ortogonales
Se dice que dos curvas son ortogonales si se intersectan y en los puntos de corte sus
rectas tangentes son perpendiculares entre sÍ.
Si todas las curvas de una familia de curvas F (x, y, c¡) = O son ortogonales a todas
las curvas de otra familia C (x, y, C2) = 0, entonces se dice que las familias son, cada una ,
t rayectorias ortogonales de la otra.
Una aplicación elemental de las trayectorias ortogonales es la siguiente. Se tiene
un imán y se han esparcido limaduras de hierro alrededor de él. Ver figura 3.1. Las
Figura 3.1: Líneas equipotenciales.
líneas punteadas (las limaduras) son las líneas de fuerza. Las líneas continuas son las
trayectorias ortogonales y se llaman líneas equipotenciales (líneas de igual potencial).
91

92 Capítulo 3. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
EJEMPLO l. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y = cx2
.
Solución. De la ecuación de la familia dada y = cx2
se sigue que
Sustituyendo
obtenemos
dy
- = 2cx.
dx
dy 2y
dx x
Luego, las trayectorias ortogonales deben cumplir
dy x
dx 2y'
Resolviendo la ecuación diferencial encontramos
x2
y2 = __ + C2
2 .
Así, las trayectorias ortogonales de las parábolas con vértice en el origen y cuyo eje
es el eje y, son elipses con centro en el origen y eje mayor en el eje x.
EJEMPLO 2. Determine el miembro de la familia de trayectorias ortogonales de
3xy2 = 2 + 3c,x,
que pasa por (0,4).
Solución. Se tiene que
3c, = 3xy2 - 2 .
x
Derivando esta expresión obtenemos
O
O
de donde
x[3x(2yy') + 3y2]_ (3xy2 - 2)
X2
6x2yy' + 3xy2 - 3xy2 + 2
x2
6x
2
y:~ + 2 O
3x2y dy = - 1
dx
dy 1
dx 3x2y'

3.2. Mecánica
Luego, la familia de trayectorías ortogonales debe satisfacer la ecuación diferencial
dy ,
dx = 3x y.
La solución general de dicha ecuación es
3
Y = ce
x
, c E IR.
93
Finalmente, de la condición inicial y(O) = 4 resulta c = 4. Por lo tanto la curva buscada
es
3
Y = 4e
x
.
3.2 Mecánica
EJEMPLO 1. Al abrir su paracaidas un paracaidista está cayendo con una velocidad
de 176 ft/ s, si la fuerza de resistencia del aire es W v'/ 256 lb, donde W es el peso total
del hombre y del parcaidas y v la velocidad con que va cayendo, hallar la velocidad en
cualquier tiempo después de abierto el paracaidas.
Solución. El diagrama de cuerpo libre es
F,
w
Figura 3.2: Diagrama de cuerpo libre
De la segunda ley de Newton, usando que W = mg y 9 = 32 ft/ s', se sigue que
dv
m- F lotal
dt
= W -F,
=
W v'
W ---
256
(256 - v')mg
256
32m(256 - v')
256
m(256 - v')
8

94
o equivalentemente
Capítulo 3. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
dv
dt
256 - v2
8
(3.1)
La ecuación diferencial (3.1 ) es separable, resolviéndola y usando la condición inicial
v(O) = 176, obtenemos
6 + 5e-4
'
v(t) = 16
6
_
5e
4t'
de donde se observa que para t muy grande v(t) tiende al valor de 16 ft/s. Esta es la
llamada velocidad terminal y es la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.
EJEMPLO 2. Pensar en un viaje interplanetario antes de mediados del siglo XX era
ubicarse en el terreno de la ficción, pero hoyes una realidad. Consideremos un viaje a la
Luna. ¿Con qué velocidad debe salir una nave de la Tierra para poder llegar a la Luna?
Solución. La figura ?? ilustra la situación.
L"(2.) ~, '...J' :
, ~
d
r
Figura 3.3: Viaje a la Luna.
Denotamos por MT , M L , m,r y d a la masa de la Tierra, la masa de la Luna, la masa
de la nave, la distancia del centro de la Tierra a la nave, y la distancia de la Luna a la
nave, respectivamente. Véase la figura 3.3.
De la ley de la gravitación universal de Newton tenemos que sobre la nave actuan dos
fuerzas
F - GMTm y F _ GMLm
1 - r 2 2 - d2
Si ignoramos la influencia de la Luna y demás planetas distintos a la Tierra, así como
otras fuerzas de resistencia entonces
ma=

3.2. Mecánica
es decir
- K
a = - 2- '
r
95
con K = GMT una constante positiva. El valor de K puede expresarse en términos de
R y 9 como sigue. Cuando r = R, a = - g de donde - g = - K / R2
y K = gR2
Así
Por otra parte
dv dv dr dv
a = - = - - = -v.
dt dr dt dr
En consecuencia
R 2
dv
- g- = V - .
r2 dr
(3.2)
Resolviendo la ecuación diferencial (3.2) mediante separación de variables obtenemos
2gR2
v2
= - - +c.
r
Ahora, si v = Vo para r = R entonces
vg = 2gR+ e,
de donde
e = vg - 2gR
y
R2
v2
= 2g- + vg - 2gR.
r
Note que si vg - 2gR < Oentonces existe un valor de r tal que v será igual a cero, lo
cual implicaría que la velocidad v cambiaría de positiva a negativa y la nave volvería a
la Tierra.
Por lo tanto, para que la nave escape de la Tierra debemos pedir que
vg - 2gR 2: O,
o equivalentemente
Vo 2: V2gR.
De aquí que la velocidad mínima llamada velocidad de escape es
Tomando en cuenta que R = 3960 millas y 9 = 6.09 X 10- 3
millas/ s2
, encontramos
millas km
Ve = 6.95 - - = 11.1
s s

96 Capítulo 3. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
3.3 Aplicaciones a problemas relacionados con cre-
cimiento y decrecimiento
3.3.1 Desintegración Radiactiva.
Ley de desintegración radiactiva. La velocidad de desintegración de una sustancia
radiactiva en un instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese
instante.
La vida m edia de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que se desin·
tegren la mitad de los átomos de una cantidad inicial de dicha sustancia.
EJEMPLO 1. La velocidad con que se desintegran núcleos radiactivos es proporcional
al número de núcleos que están presentes en una muestra dada. La mitad del número
original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un período de 1500
años.
a)¿Qué porcentaje de núcleos radiactivos originales continuarán después de 4500 años?
b)¿En cuántos años quedará solamente un décimo del número original de núcleos radiac-
tivos?
Solución. Sea x(t) la cantidad de núcleos radiactivos presente después de t años y sea
Xo el número original de núcleos radiactivos. Entonces x(O) = xo, x(1500) = ~o y ~~ es
la velocidad con la que se desintegran los núcleos al tiempo t.
Así , este problema queda formulado por la siguiente ecuación diferencial
dx
dt = kx,
dónde k es la constante de proporcionalidad, junto con las condiciones
x(O)
x(1500)
Xo
Xo
2'
La solución de la ecuación (3.3) es ya conocida
x(t) = cek
' .
Usando la condición inicial x(O) = Xo encontramos que
x(t) = xoek
' .
(3.3)
(3.4)
a) Para calcular el porcentaje de núcleos radiactivos originales después de 4500 arIOS,
determinamos x(4500) . Considerando que x( 1500) = xo/2 obtenemos
xoe1500k = IO
2

3.3.1 . Desintegración Radiactiva
Sustituyendo k en (3.4 ) resulta
k
k
1
2
lnO.5
1500
- 0.00046209812.
,;(t) = xoe-O.00046209812t .
Luego
x(4500 ) xoe(-0.00046209812)(4500)
O125xo,
lo cual nos dice que después de 4500 tenemos un 12.5% de Xo .
97
b) Para determinar en cuántos años quedará. solamente un décirno del nümero original
de núcleos, es necesario hallar el valor de t tal que x(t) = ro/ lO, es decir
t
Xo
10
1
10
lnO.1
k
4982.89 '" 4983 anos.
EJEMPLO 2. Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razón proP()l'-
cional a la cantidad presente. Si inicialme!1te hay 50 miligramos de material ,. después
de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su 1ll,1Ea original. ('Ilcuentrr
a) Una expresión para la masa de material restante en un momento t.
b)¿Cuántos miligramos del material quedan después de cuatro horas?
c) ¿Cuál es la vida media de este material?
Solución. Sea x(t) la masa del material restaute después de cierlo tiempo l. Como al
cabo de dos horas el material se ha desintegrado el 10% de Sl1 masa origillal. E'S decir
dI'
el 10% de 50 mg que son 5 mg, tenemos que x(2) = 45 lllg. Igual que antes. ....:... es la
di
velocidad con que se desintegra el material radiacti,·ü.
Así este problema queda formulado con la siguieute ecuacióu diferencial y sus condi-
dones
dr
- = k.r
di '
con k una constante de proporcionalidad, .v las coudiciones
(3.5)
(3.6)

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