1. Dos interacciones entre la Matem´tica y la M´sica
a
u
Octavio Alberto Agust´ Aquino
ın
UNAM
Facultad de Ciencias
29 de octubre de 2009
O. A. Agust´ Aquino (UNAM-FC)
ın
Matem´tica y M´sica
a
u
29 de octubre de 2009
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2. ¿De qu´ se va a tratar?
e
I La relaci´n entre mayor y menor
o
II La teor´ funcional de Riemann y orientabilidad
ıa
III Colof´n
o
O. A. Agust´ Aquino (UNAM-FC)
ın
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3. Parte I
La relaci´n entre mayor y menor
o
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4. Tonos en el plano de Euler
Los tonos de la escala crom´tica (en la afinaci´n justa) se pueden ver
a
o
como puntos en un plano (el llamado plano de Euler). En un eje van
m´ltiplos de la quinta justa y en el otro m´ltiplos de la tercera mayor justa.
u
u
Terceras
a
s
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ın
sb
sf
f
s
sc
g
s
d
s
d
s
b
s
se
sa
se
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a
u
Quintas
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5. La simetr´ de inversi´n
ıa
o
Arthur von Oettingen y Hugo Riemann usaron la simetr´ de inversi´n Ug
ıa
o
(observada por primera vez por Gioseffo Zarlino) que convierte al acorde
mayor {c, e, g } en el acorde menor {c, e , g }, para deducir la cadencia
menor de la cadencia mayor. La simetr´ Ug representa la “dualidad” y
ıa
act´a de la siguiente manera:
u
c → g,
e→e ,
g → c.
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6. La simetr´ de inversi´n en el plano de Euler
ıa
o
Si se extiende Ug a todo el plano de Euler, geom´tricamente es rotar al
e
plano 180◦ y luego trasladar todo una quinta a la derecha:
Terceras
se
sf
sf
c
s
g
s
sd
d
s
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ın
b
s
sa
se
b
s
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u
a
s
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7. La simetr´ de inversi´n (geom´tricamente)
ıa
o
e
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8. Deducci´n de la cadencia usando Ug
o
N´tese que la transformaci´n Ug hace las siguientes asociaciones
o
o
f → d, a → b , d → f , b → a .
Si a la progresi´n de grados en el modo mayor
o
I = {c, e, g }, IV = {f , a, c}, V = {g , b, d}, I = {c, e, g }
le aplicamos Ug (teniendo en mente lo anterior), se convierte en
I = {g , e , c}, V = {d, b , g }, IV = {c, a , f }, I = {g , e , c}
en el modo menor. Sin embargo, hay un problema en cuanto a que no se
preservan las funciones de los grados: el quinto grado en el modo menor
debe ser dominante, pero viene del grado subdominante en el modo mayor.
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9. El “oscurecimiento” de P. Hindemith
Paul Hindemith sosten´ que una tr´
ıa
ıada menor se derivaba de la
tr´
ıada mayor por un proceso de “oscurecimiento” (Tr¨bung).
u
El oscurecimiento le da su connotaci´n emocional de “tristeza” a la
o
tr´
ıada menor.
De este oscurecimiento tambi´n se puede derivar la progresi´n
e
o
cadencial del modo menor, y preservando los grados.
Lo interesante es que el “oscurecimiento” tambi´n es una simetr´ del
e
ıa
plano de Euler, como veremos enseguida.
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10. Una simetr´ de la escala mayor
ıa
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11. Una simetr´ de la escala mayor
ıa
Si se refleja al plano de Euler respecto a l´
ınea vertical adecuada y luego se
“sesga” 45◦ a la izquierda, la escala de C mayor (en la afinaci´n justa)
o
queda invariante. Llamemos A a esta simetr´ que le hace lo siguiente a
ıa,
los tonos
c → g,
e → e,
g → c,
a → b,
f → d,
b → a,
d →f.
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12. Una simetr´ de la escala mayor
ıa
Si se aplica primero la simetr´ A y luego la simetr´ Ug de
ıa
ıa
Oettingen-Riemann ¡obtenemos el “oscurecimiento” de Hindemith!
Efectivamente, tenemos las asociaciones
c → g → c,
e→e→e ,
g → c → g,
a→b→a ,
f →d →f,
b→a→b ,
d →f →d
que “oscurecen” las tr´
ıadas mayores de la progresi´n cadencial.
o
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13. Conclusiones
No hay un cisma entre el dualismo de Oettingen-Riemann y el
oscurecimiento de Hindemith. Todo se reduce a entender la simetr´
ıa
A del plano de Euler que la deja invariante la escala mayor.
La simetr´ A media entre el dualismo y el oscurecimiento, por lo que
ıa
ambos enfoques son equivalentes desde el punto de vista de la
simetr´
ıa.
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14. Parte II
La teor´ funcional de Riemann y orientabilidad
ıa
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15. Los grados de la escala mayor
Si constru´
ımos tr´
ıadas diat´nicas sobre la escala mayor, obtenemos los
o
grados
I = {c, e, g }, II = {d, f , a}, III = {e, g , b},
IV = {f , a, c}, V = {g , b, d}, VI = {a, c, e}, VII = {b, d, f }.
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16. Una construcci´n geom´trica
o
e
Consideremos siete puntos y asociemos a cada uno un grado de la escala
mayor. Conectemos dos puntos con una l´
ınea si sus grados comparten al
menos una nota, y “rellenemos” los tr´
ıangulos que se forman si las tr´
ıadas
en sus v´rtices se intersectan en al menos un tono. Por ejemplo:
e
r = {g , b, d}
V
d
d
d
d
r dr
I = {c, e, g }
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u
III = {e, g , b}
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17. La banda arm´nica de Sch¨nberg
o
o
Haciendo lo anterior obtenemos la siguiente tira torcida:
Esta es una banda de M¨bius, pero en este contexto la llamaremos banda
o
arm´nica (Sch¨nberg). Obs´rvese que su frontera es el c´
o
o
e
ırculo de quintas
(salvo alteraciones).
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18. Paralelismo
Designamos como el grado paralelo de un grado X como aqu´l que est´ a
e
a
la derecha si estamos parados en X y viendo hacia el grado que est´ una
a
quinta hacia atr´s. Por ejemplo, el grado paralelo del quinto grado es el
a
tercer grado.
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19. Las funciones tonales de Riemann
Hugo Riemann quer´ construir una teor´ arm´nica funcional de
ıa
ıa
o
modo que a cualquier grado pudiera asign´rsele la funci´n de t´nica y
a
o
o
despu´s determinar cu´les ser´ su dominante y subdominante.
e
a
ıan
La teor´ riemanniana ped´ que grados paralelos tuvieran la misma
ıa
ıa
funci´n.
o
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20. El Gegenklang
La banda arm´nica no tiene dos c´
o
ırculos como frontera, sino uno solo
(el c´
ırculo de quintas). Por ello, si vamos recorriendo esta frontera y
calculando grados paralelos, nos daremos cuenta que el paralelo del
paralelo es el grado anterior en el c´
ırculo de quintas (Gegenklang).
Ahora bien, no puede ser que el grado V sea la dominante y el grado I
la t´nica, porque I es el paralelo del paralelo del V, as´ que I tambi´n
o
ı
e
tendr´ que ser dominante (!).
ıa
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21. Conclusiones
El torcimiento de la banda arm´nica...
o
hace que la frontera de la banda arm´nica sea el c´
o
ırculo de quintas.
induce el Gegenklang (paralelo de paralelo es antecesor en el c´
ırculo
de quintas).
hace a la banda arm´nica un espacio no-orientable. Esto quiere decir
o
que el Gegenklang es la expresi´n musical de la no-orientabilidad de la
o
banda arm´nica.
o
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22. Parte III
Colof´n
o
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23. Un matem´tico ingl´s dijo:
a
e
¿No es la M´sica la Matem´tica de las sensaciones, y la Matem´tica la
u
a
a
M´sica de la raz´n?
u
o
James Joseph Sylvester
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24. Un m´sico mexicano dijo:
u
[En el arte hay] un orden tan estricto como la Matem´tica. La M´sica es
a
u
una Matem´tica alt´
a
ısima [...]
Luis Herrera de la Fuente
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25. El meollo de todo esto es que...
La interacci´n de la Matem´tica y la M´sica es fruct´
o
a
u
ıfera para ambas
disciplinas. La Matem´tica permite entender mejor los fen´menos
a
o
musicales (tanto a nivel f´
ısico como mental) y el estudio matem´tico de la
a
M´sica inspira nueva Matem´tica.
u
a
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26. Bibliograf´
ıa
Hindemith, Paul
Unterweisung im Tonsatz.
Schott, Mainz, 1940.
Mazzola, Guerino
The Topos of Music.
Birkhauser-Verlag, 2002.
Oettingen, Arthur von
Das duale Harmoniesystem.
Leipzig, 1913.
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27. Bibliograf´
ıa
Riemann, Hugo
Vereinfachte Harmonielehre
1893.
Riemann, Hugo
Musikalische Syntaxis.
Leipzig, 1877.
Sch¨nberg, Arnold
o
Harmonielehre, 3te Auflage.
Universal Edition, Viena, 1922.
Zarlino, Gioseffo
Le istitutioni harmoniche
Venecia, 1558.
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