Pres geometria prehispanica

Geometr´ prehisp´nica mixteca
ıa
a
Octavio Alberto Agust´ Aquino
ın
Universidad Tecnol´gica de la Mixteca
o
Instituto de F´
ısica y Matem´ticas
a

2 de junio de 2006

O. A. Agust´ Aquino (UTM-IFM)
ın

ıa
a

2 de junio de 2006

1 / 64

Parte I
De sabor cl´sico
a

ın

ıa
a

2 de junio de 2006

2 / 64

Herramientas de dibujo

Cuando dibujamos, ¿qu´ herramientas utilizamos? La respuesta es
e
diferente segń a quiń le preguntemos.
u
e
Un griego de hace m´s de dos mil aõs, por ejemplo, dir´ que
a
n
ıa
solamente dos cosas: una regla sin marcas y un comp´s.
a
¿Y qu´ se puede dibujar con solamente estos dos utensilios?
e

ın

ıa
a

2 de junio de 2006

3 / 64

No todo es miel sobre hojuelas

Aunque se puede hacer mucho (dividir un segmento en cualquier n´mero
u
de partes, bisecar ´ngulos, trazar cuadrados y tri´ngulos, etc´tera), los
a
a
e
griegos pronto encontraron algunos problemas que parec´ sumamente
ıan
dif´
ıciles de realizar con solamente regla no graduada y comp´s.
a

ın

ıa
a

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Tres grandes problemas

Los griegos se plantearon tres cuestiones en particular que son de esta
naturaleza.
1

Dado un c´
ırculo de radio r , hallar el lado
que tenga la misma ´rea que el c´
a
ırculo.

2

Dado la arista a de un cubo, hallar la arista a de un cubo con el
doble de volumen que el original.

3

Encontrar una construcci´n para trisecar un ´ngulo cualquiera.
o
a

ın

ıa
a

de un cuadrado de modo

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¡Imposible!

Muchos matem´ticos griegos intentaron resolver estos tres grandes
a
problemas, pero ninguno tuvo ´xito usando solamente regla no graduada y
e
comp´s.
a
Varios siglos despu´s un franc´s, Evariste Galois, tuvo las brillantes ideas
e
e
algebraicas que nos permitieron demostrar que estos enigmas eran
imposibles de resolver de esta manera.

ın

ıa
a

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Los pol´
ıgonos ¿tambi´n?
e

Los problemas anteriormente mencionados no son los unicos
´
imposibles. Resulta que no todos los pol´
ıgonos regulares se pueden
trazar. Uno de ellos es, por ejemplo, el hept´gono.
a
De hecho, existe una bell´
ısima caracterizaci´n en t´rminos de la teor´
o
e
ıa
de n´meros de los pol´
u
ıgonos que se pueden obtener y los que no.

ın

ıa
a

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Las hazaãs geom´tricas prehispńicas
n
e
a

Sin embargo, los ge´metras precolombinos lograron dividir al c´
o
ırculo
en n´meros de partes que son imposibles de lograr con solamente
u
regla no graduada y comp´s.
a
Hay quienes afirman incluso que ten´ los medios geom´tricos
ıan
e
suficientes para trisecar un ńgulo cualquiera.
a
Si no se puede con el uso exclusivo de regla no graduada y comp´s...
a
¿c´mo lo hicieron entonces?
o

ın

ıa
a

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Lo constructible
Deﬁnici´n
o
Dado S ⊂ C, diremos que una recta es constructible a partir de S si dicha
recta pasa por dos puntos distintos en S. Igualmente, diremos que una
circunferencia es constructible si su centro est´ en S y su radio coincide
a
con la distancia entre dos puntos de S.
r

'$
r

r

%

ın

ıa
a

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Lo constructible
Definiciń
o
Sea S ⊂ C no vac´ Diremos que P ∈ C es 1-constructible a partir de S si
ıo.
se puede obtener como intersecciń de rectas o circunferencias
o
constructibles a partir de S. En general, diremos que P es constructible a
partir de S si existe una sucesiń de puntos P1 , . . . , Pr ∈ C tales que Pk es
o
1-constructible a partir de S ∪ {P1 , . . . , Pk−1 } para n = 2, . . . , r .
'$
r

'$
r r constructibles
r

%
r
r
1-constructible
%

ın

ıa
a

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Puntos de partida

Suponiendo que (0, 0), (0, 1) ∈ S, es posible demostrar que todo
punto de coordenadas racionales es constructible a partir de S.
Este supuesto es razonable, pues a cualesquiera dos puntos en el
plano es posible asignarle estas coordenadas.
Por lo tanto, supondremos de ahora en adelante que S = Q(i).

ın

ıa
a

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Un teorema importante

El siguiente teorema es fundamental para sustentar la teor´ Obs´rvese
ıa.
e
que, bajo nuestros supuestos, Q(i) es el menor cuerpo que contiene a los
puntos en S.

Teorema
Sea K0 el menor cuerpo que contiene a las coordenadas de los puntos en
S, P = (x0 , y0 ) ∈ C y deﬁnamos K1 = K0 (x0 , y0 ). El punto P es
2 2
1-constructible a partir de S si, y s´lo si, x0 , y0 ∈ K0 y [K1 : K0 ] = 2 ,
o
donde = 0 o 1.

ın

ıa
a

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Necesidad.
Si P es la intersecci´n de dos rectas constructibles, es claro que P ∈ K0 .
o
En este caso no agregamos algo nuevo a K0 , es decir, K1 = K0 . De
aqu´ que [K1 : K0 ] = 1.
ı
Supongamos ahora que P es la intersecci´n de una recta
o
y −q
x −p
=
,
r −p
s −q

(p, q), (r , s) ∈ S

con el c´
ırculo
(x − t)2 + (y − u)2 = w 2 ,

(p, q), (r , s) ∈ S

donde w es la distancia entre dos puntos en S. Tenemos que
p, q, r , s, t, u, w 2 ∈ K0 .
ın

ıa
a

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Necesidad.
La primera coordenada x0 de P es la ra´ del polinomio cuadr´tico
ız
a
(x − t)2 +

s −q
(x − p) + (q − u)
r −p

2

= w 2,

lo que implica que o bien K1 = K0 (x0 ) es un cuerpo distinto a K0 o bien
coinciden. Como y0 ∈ K0 (x0 ), se sigue que o bien [K1 : K0 ] = 1 o bien
[K1 : K0 ] = 2, pues x0 es ra´ de un polinomio de grado 2.
ız
Finalmente, si P es la intersecciń de dos circunferencias de ecuaciones C1
o
y C2 , entonces ese punto est´ en la intersecciń del c´
a
o
ırculo con ecuaciń
o
C1 y la recta con ecuaciń C1 − C2 . Este caso ya est´ considerado, y la
o
a
demostraciń termina.
o

ın

ıa
a

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Suﬁciencia.
Si [K1 : K0 ] = 1, es claro que P es 1-constructible. Si [K1 : K0 ] = 2,
entonces el polinomio m´
ınimo de las coordenadas de P es m´nico y de
o
grado 2. Pero la ra´ de cualquier n´mero en K0 se puede construir.
ız
u

Por lo tanto, P es 1-constructible.

ın

ıa
a

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Y sus corolarios

Corolario
Sea K0 el menor cuerpo que contiene a S, P = (x0 , y0 ) ∈ C y Kr = K0 (P).
El punto P es constructible a partir de S si, y s´lo si, existe una sucesi´n
o
o
2
de puntos 1-constructibles P1 , . . . , Pn tal que Pi+1 ∈ Q(P1 , . . . , Pi ) para
1 ≤ i ≤ n − 1 y P es 1-constructible a partir de Q(P1 , . . . , Pn ).

Corolario
Si P(x, y ) es constructible, entonces el grado de x y y sobre Q es una
potencia de 2.

ın

ıa
a

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Trisecciń de cualquier ńgulo... no
o
a

No podemos trisecar el ńgulo de 120◦ . Su tercera parte es 40◦ . Sea
a
1
α = cos(40◦ ). Tenemos que 4α3 − 3α + 2 = 0, en virtud de la identidad
cos(3θ) = cos3 (θ) −

n
cos θ sen2 θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
2

y considerando adem´s que cos(3 × 40◦ ) = cos(120◦ ) = − 1 . Por lo tanto
a
2
1
α es ra´ de 4X 3 − 3X + 2 , que se puede demostrar que es irreducible
ız
sobre Q. Como es de grado impar, el grado de la extensiń de campo sobre
o
sus ra´ no es una potencia de 2. Entonces es imposible construir
ıces
cos(40◦ ), y en consecuencia no se puede trisecar a 120◦ .

ın

ıa
a

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Un rec´
ıproco parcial

Para el caso de los pol´
ıgonos regulares no serń suficientes los resultados
a
anteriores, por lo que necesitamos este resultado (que no demostraremos).

Teorema
Sea K0 el menor cuerpo que contiene a las coordenadas de los puntos en
P. Si P = (x, y ) ∈ C es algebraico y la cerradura normal de K0 (x, y ) es de
grado 2n para algń entero no negativo n, entonces P es constructible.
u
Una extensiń F : K es normal cuando existe un conjunto de polinomios
o
con coeficientes en K tales que todas sus ra´ generan F.
ıces
Si K0 (x, y ) es normal, entonces la cerradura normal de K0 (x, y ) : K0 es
precisamente K0 (x, y ).

ın

ıa
a

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Cortando c´
ırculos
Deﬁnici´n
o
Una n-ciclotom´ es un conjunto de puntos sobre una circunferencia que
ıa
determinan un pol´
ıgono regular de n lados.

Consideraremos a una n-ciclotom´ como n´meros complejos de la forma
ıa
u
Xk = cos
ın

2kπ
n

+ i sen

2kπ
n

,

ıa
a

k = 0, . . . , n − 1.
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Un grupo interesante

Por la identidad de De Moivre,
n
Xk = cos(2kπ) + i sen(2kπ) = 1,

k = 0, . . . , n − 1.

Como todos los puntos X0 , . . . , Xn−1 son distintos, entonces todas las
ra´ complejas del polinomio
ıces
f (X ) = X n − 1
nos dan puntos distintos sobre un pol´
ıgono regular. Adem´s,
a
{X0 , . . . , Xn−1 } es un grupo bajo la multiplicaci´n de n´meros complejos,
o
u
y lo denotaremos por κ(n).

ın

ıa
a

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Ra´ primitivas
ıces

Definiciń
o
Se dice que ζ es una ra´ primitiva n-´sima de la unidad si ζ genera a
ız
e
κ(n). Esto es, para cada t ∈ κ(n) existe u tal que ζ u = t.
Recordemos dos enteros son primos relativos si no tienen un divisor comń
u
aparte de 1, y que la funciń φ(n) de Euler est´ definida como el n´mero
o
a
u
de enteros primos relativos con n que son menores que n (inclu´ el 1).
ıdo
Por ejemplo: φ(6) = 3, pues 4 y 5 son primos relativos con 6 aparte del 1.

Teorema
Sea ζ una ra´ n-´sima de la unidad sobre Q. Entonces [Q(ζ) : Q] = φ(n).
ız e

ın

ıa
a

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¿Qu´ pol´
e
ıgonos regulares se pueden construir?
Teorema
Una n-ciclotom´ es constructible si, y s´lo si, n = 2r p1 · · · ps donde r ∈ N
ıa
o
y p1 , . . . , ps son primos impares distintos de la forma 2t + 1.

Demostraci´n.
o
a
am
Si ζ es una ra´ primitiva n-´sima de la unidad y n = 2r p11 · · · pm ,
ız
e
entonces, por el teorema anterior,

[Q(ζ) : Q] = φ(n) =

2r −1 (p1 − 1)a1 −1 · · · (pm − 1)am −1
(p1 − 1)a1 −1 · · · (pm − 1)am −1

r ≥ 1,
r = 0,

El polinomio X n − 1 tiene todas sus ra´ en Q(ζ). Puesto que φ(n) = 2k
ıces
para alg´n k entero si, y s´lo si, a1 = · · · = am = 1 y pi = 2ti + 1 para
u
o
algunos ti enteros, el teorema se sigue.
ın

ıa
a

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Construcci´n de cualquier ciclotom´ tampoco
o
ıa...

Los n´meros primos de la forma 2t + 1 se llaman primos de Fermat. Hasta
u
hoy, s´lo se sabe de la existencia de 5 de ellos: 3, 5, 17, 257 y 65537.
o
El n´mero 7 es primo, y como no es primo de Fermat, no se puede dividir
u
al c´
ırculo en 7 partes iguales.

Ejercicio
Comprobar que pasa lo mismo para 9, 11, 13, 14, 48 y 260.

ın

ıa
a

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Una aproximaciń a la geometr´ prehispńica
o
ıa
a

Por las piedras nahuas grabadas sabemos que los antiguos nahuas
pudieron dividir al c´
ırculo en 7 y 260 partes iguales, lo cual es imposible
con el uso exclusivo de una regla graduada y un comp´s. En principio, no
a
sabemos si ten´ instrumentos que funcionaran como reglas, aunque no
ıan
las necesitaban, segń el siguiente teorema.
u

Teorema (Mohr-Mascheroni)
Todos los problemas de construcciń que se resuelven con ayuda de
o
comp´s y regla, pueden resolverse con precisiń usando solamente un
a
o
comp´s.
a

ın

ıa
a

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El papel de los nuu savi
˜
Hay poca documentaciń sobre c´mo resolv´ los problemas de
o
o
ıan
ciclotom´ los antiguos mesoamericanos. El unico c´dice que el autor
ıa
´
o
conoce que en algo ayuda a resolver estos misterios es el c´dice
o
Vindobonensis, de origen nuu savi.
˜
En los folios 5, 10, 11, 13, 14, 16, 18 y 20 aparecen personajes con actitud
de medir usando un mecate. Por comunicaciń personal con un habitante
o
de Yuku Kimi de Ocampo, sabemos que ań se miden terrenos usando
u
mecates.

ın

ıa
a

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El papel de los nuu savi
˜
Es factible suponer que los antiguos nuu savi pudieran trazar c´
˜
ırculos, por
la evidencia arqueol´gica hallada en la Tumba 7 de Monte Albń. Se
o
a
entraron all´ diversos ornamentos circulares obtenidos girando un punzń
ı
o
alrededor de un centro.
La conjetura consiste en que los nuu savi (y quiz´ tambiń los nahuas)
˜
a
e
med´ la circunferencia de la piedra con un mecate. Lo part´ en el
ıan
ıan
n´mero entero de partes requerido con s´lo un comp´s y marcaban el
u
o
a
disco en los puntos apropiados.

ın

ıa
a

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La construcciń de Tales
o

B
¨
¨
¨¨ C
¨

¨
ä¨
¨ Dn
a
¨¨

¨
a
¨¨· ·
¨ ·
a¨¨ D1
a

A0

Dn−1
a

a

A1 · · · An−1 B = An

Figura: La particiń del mecate es posible por medio de la construcciń de Tales.
o
o

ın

ıa
a

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Otra posibilidad

No hay evidencia documental ni arqueol´gica de que los antiguos nuu
o
˜
savi o los nahuas conocieran la construcciń de Tales.
o
Otra posibilidad es que fueran conscientes de que la razń del
o
per´
ımetro al di´metro de una circunferencia arbitraria es una
a
constante.
Pod´ tomar un mecate que ya estuviera dividido en n partes (esto
ıan
es fćil de conseguir por medios mecńicos sin usar regla ni comp´s),
a
a
a
y usando la constante y la longitud del mecate, era posible construir
un disco de piedra cuya circunferencia se aproximara a la longitud del
mecate. Despu´s simplemente se transfieren al disco los puntos que
e
ya se ten´ marcados en el mecate.
ıan

ın

ıa
a

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Otra posibilidad
a
¡B

¡
a

¡
B

¡

¡
a

a¡D
¡
¡
¡
D
¡
¡
¡
¡
a
¡
a¡

C

A

Figura: Construcci´n del di´metro de un c´
o
a
ırculo con circunferencia dada, cuando
|AB|
se sabe que |CD| = π.

ın

ıa
a

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Las ciclotom´ en el c´dice Vindobonensis
ıas
o
Cabe observar que la mayor´ de las ciclotom´ que aparecen en el c´dice
ıa
ıas
o
Vindobonensis tienen 4, 8, 10, 12 y 15 puntos y todos ellas son
constructibles. En el folio 23 del c´dice, sin embargo, aparece un ejemplo
o
de 48 puntos, mientras que en el folio 3 aparece otro de 14 puntos, y
ﬁnalmente en el folio 49 aparece una de 11 puntos; todos ellos no son
constructibles.

ın

ıa
a

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Parte II
De sabor contempor´neo
a

ın

ıa
a

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La presencia del concepto de fractal

En esta secciń propongo que los antiguos nuu savi (o por lo menos
o
˜
los ta’ani wisi taku, los fil´sofos-artistas que compon´ los c´dices)
o
ıan
o
ya pose´ el concepto de lo que en la matem´tica contemporńea se
ıan
a
a
conoce como fractal.
El doctor Gerardo Burkle Elizondo, de la Universidad Autńoma de
o
Zacatecas ha realizado extensivas mediciones fractales de la escultura
y cer´mica mayas y mexicas; los resultados que ha obtenido son muy
a
sugestivos.

ın

ıa
a

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Mediciones fractales
“En m´s de 130 figuras analizadas hasta ahora, que hemos
a
divido en 10 grupos:
1 Tableros de Palenque,
2 Estelas mayas,
3 Jerogl´
ıficos mayas,
4 Pir´mides mayas y mexicas,
a
5 P´ginas de c´dices diversos correspondientes a tonalamatl,
a
o
6 P´ginas diversas del c´dice Dresden,
a
o
7 Monumentos de piedra (vista frontal),
8 Piedras astron´micas circulares,
o
9 Secciones de varios murales mesoamericanos y
10 Vasos mayas y otras figuras,
todas han resultado con una dimensiń fractal alta, que de hecho
o
hasta ahora en nuestros resultados preliminares hemos podido
ubicar en el rango entre 1.803 y 2.277, estando la mayor´ entre
ıa
1.9 y 2.”
ın

ıa
a

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Hay que tomarlo con calma

En la escritura nuu savi, la posiciń, forma, color y relaciń entre los
˜
o
o
elementos intervienen en su semńtica. Por lo tanto no hay otra
a
forma de tratarlo m´s que como una imagen.
a
De aqu´ que la dimensiń fractal de la escritura mixteca (si es que la
ı
o
tiene) debe ser superior a 1.
Sin embargo, que los c´dices nuu savi tengan esta complejidad
o
˜
manifestada en su dimensiń fractal, no significa que los nuu savi
o
˜
conocieran lo que nosotros denominamos como fractal. Ań as´ hay
u
ı,
algunas evidencias que tienen un peso considerable.

ın

ıa
a

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´
El Arbol de Apoala
En el folio 37 del c´dice Vindobonensis aparece lo que se muestra en la
o
ﬁgura. En la parte inferior, al centro, est´ la representaci´n de lo que se
a
o
´
conoce como el Arbol de Apoala, de donde los mitos dicen que
descendieron los primeros nuu savi.
˜

Figura: Folio 37 del c´dice Vindobonensis.
o
ın

ıa
a

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´
El Arbol de Apoala
Si removemos los adornos propios del estilo, obtenemos esencialmente la
estructuras presentes en la figura. En el lado izquierdo aparece con ńgulos
a
rectos para asemejarse m´s a la representaciń del c´dice. No hay que
a
o
o
alterarlo demasiado para llegar a lo que se ve en el lado derecho; basta
disminuir un poco los ńgulos entre las ramas.
a

Figura: Estructura del ´rbol de Apoala.
a

ın

ıa
a

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Una interpretaciń
o
Observemos lo siguiente.
1 En el ´rbol, la ramificaciń izquierda es m´s larga que la derecha.
a
o
a
2 En el sub´rbol izquierdo, el ´rbol se refleja y reescala, pues ah´ la
a
a
ı
rama derecha es m´s larga que la rama izquierda.
a
3 Una vez m´s esto se repite en las dos ramificaciones pequeãs, siendo
a
n
(como en el ´rbol m´s grande) la ramificaciń izquierda m´s larga
a
a
o
a
que la derecha.

ın

ıa
a

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37 / 64

Autosemejanza

Los objetos fractales son invariantes bajo las llamadas
transformaciones de Hutchinson, que reescalan y copian una imagen.
De hecho, a muchos tipos de fractales esta propiedad los caracteriza
completamente.
Son semejantes a s´ mismos, en un forma parecida (aunque no igual)
ı
a la que lo son las grecas de Mitla.
M´s ań, los objetos fractales son los puntos fijos o atractores de los
a u
operadores de Hutchinson, por lo cual tambiń est´ presente la idea
e
a
de estabilidad.

ın

ıa
a

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Recursiń escalada
o
´
Para trazar los ´rboles de la estructura del Arbol de Apoala.
a
requerimos de un programa recursivo, donde cada paso se ve´
ıa
afectado por un factor de escala menor que 1.
La misma idea tambiń est´ presente en la ciclicidad del calendario,
e
a
donde los bucles se escalan en bucles sucesivamente m´s grandes.
a
Una caracter´
ıstica de la recursividad es que cada paso de la
realizaciń de un proceso depende del anterior.
o
El doctor Gerardo Burkle Elizondo atinadamente seãla: “Si bien los
n
fractales son recursivos, no toda geometr´ recursiva es fractal, pues
ıa
se requiere que exista escalancia... en lo referente a los fractales, las
ramificaciones del objeto var´ de acuerdo a leyes de potencia...”
ıan
(Comunicaciń personal).
o

ın

ıa
a

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Caos y complejidad

La manera en la que se construye cada paso de un objeto fractal
depende del paso anterior, por lo cual pequeãs alteraciones en uno
n
de los pasos puede afectar de manera dram´tica el resultado final,
a
conducińdonos a una respuesta no lineal de un sistema.
e
Una medida de qu´ tan complejo es un fractal es su dimensiń, la
e
o
cual discutiremos m´s adelante en la concepciń de Felix Hausdorff.
a
o

ın

ıa
a

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Un algoritmo
Algoritmo (Figura fractal semejante a un ´rbol)
a
Se invoca inicialmente como Apoala(r , 0 , α), donde 0 r 1 es el
factor de escala, 0 es la longitud del tronco original y α es el ńgulo entre
a
el tronco y las ramas.
1: funciń Apoala(r , , α)
o
2: si 0.1 entonces
3:
Traza una rama avanzando y gira α grados a la derecha.
4:
Apoala(r , r , α).
5:
Gira 2α grados a la izquierda.
6:
Apoala(r , r , α).
7:
Retrocede .
8: fin si
9: fin funciń
o

ın

ıa
a

2 de junio de 2006

41 / 64

Transformaciones de Hutchinson
Supńgase que se tiene un subconjunto compacto S de R2 , y un
o
operador T que toma al conjunto, lo reescala en un factor 0 k 1
y hace un “collage” de copias de S.
Un ejemplo de tal transformaciń es la que genera la figura fractal del
o
´rbol: se toma al ´rbol, se escala en un factor r y se colocan dos
a
a
copias de la reducciń como ramas del ´rbol. Una transformaciń
o
a
o
como T se llama tranformaciń de Hutchinson.
o

ın

ıa
a

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Puntos fijos

Si T es una transformaciń de Hutchinson, ¿tiene soluciń la
o
o
ecuaciń T (S) = S?
o
Eligiendo una m´trica apropiada (la m´trica de Hausdorff) para el
e
e
conjunto de todos los subconjuntos compactos de R2 , entonces las
transformaciones de Hutchinson son contracciones.
Adem´s el conjunto de todos los subconjuntos compactos de R2 es
a
un espacio m´trico completo.
e
Por el teorema de contracciń de Banach obtenemos que T tiene un
o
punto fijo y que, adem´s, es unico. M´s ań: si U ⊂ R2 es compacto
a
´
a u
2 (U), . . . converge a dicho punto fijo.
entonces la sucesiń T (U), T
o

ın

ıa
a

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Multifractales

Definiciń
o
El fractal F definido por una transformaciń de Hutchinson T es el unico
o
´
subconjunto compacto de R2 que es punto fijo de T . Esto es, T (F ) = F .
Cuando el factor de escala es constante en todo el espacio m´trico, se
e
dice que el fractal es uniformemente autosimilar.
Puede ser, sin embargo, que el factor de escala sea distinto en
diferentes puntos del espacio m´trico, en cuyo caso hablamos de
e
u
o
multifractales. Ań en ese caso una transformaciń de Hutchinson
tiene un unico punto fijo.
´

ın

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a

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Medida de Hausdorff
Una forma de medir la “complejidad” de un fractal es a trav´s del
e
concepto de dimensiń.
o

Definiciń (Medida de Hausdorff)
o
Sea X un espacio m´trico, A ⊂ X , d ≥ 0 y
e
CR = {B(si , ri ) : si ∈ X , ri ≤ R}
una cubierta contable de bolas abiertas de A. El n´mero
u
∞
d

H (A) = inf
CR

rid ≤ y

y:
i=0

es la medida d-dimensional de Hausdorff del conjunto A.
Notamos que la medida d-dimensional de Hausdorff puede no ser entera ni
finita.
ın

ıa
a

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Dimensiń de Hausdorff
o

Definiciń (Dimensiń de Hausdorff)
o
o
Con la notaciń de la definiciń anterior, la dimensiń de Hausdorff del
o
o
o
conjunto A es el n´mero
u
D(A) = inf {H d (A) = 0}.
d

Por ejemplo, un punto x en Rn puede cubrirse con una bola cerrada de
radio 0. Ahora bien, 0d = 0 para d 0, por lo tanto H d = 0 para d 0,
de donde D({x}) = 0. Esto coincide con la dimensiń euclidiana.
o
ıcil
La dimensiń de Hausdorff es extremadamente dif´ de determinar en
o
general. No permite estimar de manera prćtica la dimensiń de una
a
o
imagen dada. Por ello se utiliza una definiciń alternativa de dimensiń.
o
o

ın

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Otra dimensiń
o
Definiciń (Dimensiń de capacidad)
o
o
Sea X un espacio m´trico, A ⊂ X totalmente acotado y una cubierta finita
e
de cardinalidad n(r ) m´
ınima de bolas cerradas de radio r de A. Definimos
la dimensiń inferior de capacidad D b (A) de A como
o
D b (A) = − l´ inf
ım
r 0

log n(r )
log r

y la dimensiń superior de capacidad de D b (A) como
o
D b (A) = − l´ sup
ım
r 0

log n(r )
.
log r

Si ambos valores coinciden designamos a dicho valor como la dimensiń de
o
capacidad Db (A) de A.
ın

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Discrepancias

Tristemente la dimensiń de capacidad no siempre coincide con la
o
dimensiń de Hausdorff. Puede demostrarse que todo conjunto contable
o
tiene dimensiń de Hausdorff 0. Sin embargo, { n1 }∞ para α 1 es
o
α n=1
contable pero
1
∞
0
Db n1 n=1 =
α
α+1
como demuestran Mi˘´ y Zćik. S´lo para el caso de fractales
sık ˘ a
o
uniformemente autosimilares se sabe que estas dimensiones coinciden,
como fue demostrado por Hutchinson.

ın

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Discrepancias

No es de esperar que los c´dices nuu savi sean fractales autosimilares.
o
˜
Por eso, no podemos aspirar a conocer su dimensiń segń Hausdorff.
o
u
En su lugar, la dimensiń de capacidad puede estimarse por el
o
algoritmo de conteo de cajas.
Esta dimensiń da una idea de “qu´ tanta informaciń” contiene la
o
e
o
imagen en cuestiń.
o

ın

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Algoritmo de conteo de cajas

Algoritmo
Entrada: Un subconjunto compacto S ⊂ R2 , el lado inicial de las cajas d
y un factor de contracciń 0 r 1.
o
Salida: Una estimaciń de la dimensiń de capacidad de S.
o
o
1: para k = 0 hasta L hacer
2:
Cubrir a S con un ret´
ıculo de cajas de lado dr k .
3:
Contar cuńtas cajas n(dr k ) contienen alguna porciń de S.
a
o
4: fin para
5: Graficar − ln dr k = −k ln r − ln d contra ln n(dr k ).
6: Ajustar una recta de m´
ınimos cuadrados.
7: devolver La pendiente de la recta de ajuste.

ın

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Una imagen dice m´s que mil palabras
a

Figura: Folio 13 del c´dice Vindobonensis.
o
ın

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Una imagen dice m´s que mil palabras
a

Figura: Conteo de cajas para el folio 13 del c´dice Vindobonensis con FDC.
o
ın

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a

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Conteos de cajas
d
135
112
93
77
64
53
44
36
29
24
19
15

n(d)
30
48
71
97
127
186
261
374
572
804
1187
1793

− ln d
-4.90527
-4.7185
-4.5326
-4.34381
-4.15888
-3.97029
-3.78419
-3.58352
-3.3673
-3.17805
-2.94444
-2.70805

ln n(d)
3.4012
3.8712
4.26268
4.57471
4.84419
5.22575
5.56452
5.92426
6.34914
6.6896
7.07918
7.49165

Cuadro: Algunos resultados para el algoritmo de conteo de cajas para el folio 13
del c´dice Vindobonensis (r = 1.2).
o
ın

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La gr´ﬁca
a

Figura: Gr´ﬁca de los conteos y el ajuste de m´
a
ınimos cuadrados para el folio 13
del c´dice Vindobonensis.
o
ın

ıa
a

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La estimaciń
o

Utilizamos el programa R para calcular el ajuste de m´
ınimos
cuadrados, devolvińdonos la estimaciń Db = 1.784811 con
e
o
desviaciń estńdar de 0.01692.
o
a
Como puede verse en la figura anterior, el ajuste es bastante bueno.
Este resultado es un poco bajo para los estńdares de Burkle Elizondo.
a
Una razń es que las p´ginas de c´dices que ´l tom´ corresponden a
o
a
o
e
o
pictograf´ concernientes al calendario.
ıas
Otra razń es que ´l utiliz´ un programa comercial para realizar sus
o
e
o
mediciones.

ın

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Una comparaciń
o
A fines de comparaciń, estimaremos la dimensiń fractal de un fragmento
o
o
de texto (visto como imagen) de una nota period´
ıstica reciente.

Figura: Texto de prueba.
ın

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a

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Ajuste para el texto

Figura: Gr´ﬁca de los conteos y el ajuste de m´
a
ınimos cuadrados para el texto de
prueba.
ın

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a

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Resultado

En este caso la estimaciń de la dimensiń fractal es Db = 1.646313
o
o
con una desviaciń estńdar de 0.02956.
o
a
El ajuste no es tan bueno como en el caso del c´dice. Adem´s, la
o
a
dimensiń de capacidad result´ menor.
o
o
En conclusiń, podemos considerar que tiene mayor “fractalidad” la
o
imagen proveniente del c´dice que una muestra de texto alfab´tico
o
e
visto como imagen.

ın

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Observadores de la naturaleza
Como puede conﬁrmarse en los c´dices, los sabios de los antiguos
o
pueblos nuu savi eran acuciosos observadores de la naturaleza.
˜
Probablemente esa atenci´n a los fen´menos naturales les
o
o
revel´ algunos de los principios matem´ticos que los gobiernan.
o
a
Tuvieron conciencia de la recursividad y autosimilaridad presente en el
crecimiento de los vegetales, como lo atestiguan los glifos.

Figura: Ejemplos de vegetales recursivos y autosimilares que aparecen en el c´dice
o
Bodley, Selden y Vindobonensis.

ın

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Nduta, nuu, nima, tachitii
˜
Pero el ejemplo quiz´ m´s soprendente es la manera en la que
a a
representaban algunos fluidos como el aire, el humo, el fuego y el
agua.
Para ellos el humo y el viento se trasladan en l´
ıneas de flujo bien
definidas que se bifurcan y reescalan.
Incluso en el perfil de la ola del mar se percibe la autosimilaridad a un
nivel de recursiń.
o

Figura: Flujos autosimilares en el c´dice Vindobonensis.
o
ın

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Conclusiones

1

El pensamiento prehispńico (en particular en el ´mbito matem´tico)
a
a
a
era completamente diferente al pensamiento europeo de la ´poca.
e

2

Los antiguos pueblos prehispńicos hac´ matem´ticas m´s all´ de la
a
ıan
a
a
a
aritm´tica elemental, pero sus motivaciones para hacerlas estaban
e
´
ıntimamente ligadas a su religiń.
o

3

Los pensadores prehispńicos observaban con gran atenciń a la
a
o
naturaleza.

4

Se necesita m´s investigaciń de campo y que los arque´logos,
a
o
o
historiadores y etn´logos recopilen datos utiles para completar la
o
´
historia de las matem´ticas prehispńicas.
a
a

ın

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Bibliograf´
ıa
ORTIZ, Ignacio y ORTIZ, Reina (eds.) Pasado y presente de la
cultura mixteca. Universidad Tecnol´gica de la Mixteca. Huajuapan de
o
Leń, M´xico, 2005.
o
e
BURKE, Paul. Fractal dimension calculator.
URL: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals
BURKLE ELIZONDO, Gerardo. An´lisis fractal de dos estructuras
a
mesoamericanas. URL:
www.ciu.reduaz.mx/investigacion/Humanisticas/HE06.htm
CASTELLANOS, Abraham. Conferencias hist´rico-pedag´gicas.
o
o
Ayuntamiento de M´rida. Yucatń, 1917.
e
a
Equipo de desarrollo del nćleo de R. R: Un lenguaje y entorno para el
u
c´mputo estad´
o
ıstico, la fundaciń R para el c´mputo estad´
o
o
ıstico,
Viena, URL: http://www.R-project.org
ın

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Bibliograf´
ıa
KOSTOVSKY, A. N. Construcciones geom´tricas mediante un
e
comp´s. Ed. Mir. Mosc´, 1980.
a
u
˘IK,
˘´
MIS´ Ladislav y ZACIK, Tibor. A formula for calculation of metric
dimension of converging sequences. Comment. Math. Univ. Carolinae
31.4 (1999), 393-401.
PEITGEN, Otto, et al. Chaos and fractals: new frontiers in science.
Spriger-Verlag, Nueva York, 1992.
RAM´
IREZ BAUTISTA, Francisco Miguel. Primera visi´n de la
o
geometr´ prehisp´nica. M´xico Desconocido, No. 219, mayo de 1995.
ıa
a
e
´
VARGAS MENDOZA, Jos´ A. Algebra abstracta. Limusa. M´xico,
e
e
1986.
C´dice Vindobonensis.
o
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¡Gracias por su atenci´n!
o
(Y no olviden comprar los libros de
las memorias de la Semana de la Cultura Mixteca)

ın

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Pres geometria prehispanica

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