1. Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de San German Relaciones Positivas y Negativas Matemática Discreta Avanzada Por: Luis Albizu Pons Pérez Norlan Rodríguez García Enrique Malavé Rivera

2. Las redes de información siempre han categorizado la colaboración, la amistad y el intercambio de información como Relaciones Positivas. Pero dentro de las redes también existen elementos y efectos negativos en funcionamiento. Algunas relaciones son amistosas pero otras son antagónicas, incluso hostiles. Pues hay relaciones entre personas o grupos que están basadas regularmente en controversia, desacuerdos y conflictos.

3. Conexiones Positivas: Representan amistad. Conexiones Negativas: Representan antagonismos. Esto es un importante problema en el estudio de las redes sociales, basado en la investigación para el entendimiento de las tensiones entre estas dos fuerzas.

4. Balance Estructural

5. Supongamos que tenemos una red social entre individuos donde todos los individuos se conocen entre si. Tendríamos una línea que uniría cada par de nodos. Esta red es llamada un CLIQUE,GRÁFICA COMPLETA.

6. En esta red podríamos colocar un rotulo en cada línea: + indicando que los dos nodos son amigos. - indicando que los dos nodos son enemigos.

7. Los principios que fundamentan el Balance Estructural están basados en las Teorías Socio-sicológicas pertenecientes al trabajo de Heider en el 1940. La generalización y su extensión al lenguaje gráfico solo comenzó a partir del trabajo de Cartwright y Harary en el 1950.

8. ¿Que dice Balance Estructural?: Si miramos dos personascualquiera en un grupo como agentes aislados, la línea que los une puede ser rotulada como: + - A B A B - +

9. Cuando observamos a tres individuos a la vez: Ciertas configuraciones de + y – tienen social y sicológicamente mas posibilidades que otras de darse. Existen 4 casos.

10. Primera configuración Dado tres individuos conectados entre si por +: Una situación bien natural Correspondiente a tres individuos que son amigos mutuos. A + + Tratado de Libre Comercio: Canadá, Méjico, Estados Unidos. B C + Relación Balanceada

11. Segunda configuración Dado tres individuos conectados, pero poseyendo solo un + y dos -: Esta es una relación muy natural. Dos de los individuos son amigos y ambos tienen un enemigo en común en el tercer individuo. A - + Decisión de Japón de pagar el petróleo en Euros a Irán: Provoca devaluación del Dólar B C - Relación Balanceada

12. Tercera configuración Dado tres individuos conectados, pero poseyendo dos + y un -: Esta situación trae stress y inestabilidad a la relación. A es amigo con B y con C, pero B es enemigo de C. Esta situación hará que fuerza implícitas hagan que A fuerce B y C a ser amistad; o A a decidir tomar amistad con uno solo ya sea B o C. A + + Posición actual del Gobierno Chavista con respecto a Estados Unidos y Cuba. B C - Relación Sin Balance

13. Cuarta configuración Dado tres individuos conectados por enemistad: Esta situación es inestable en si misma. A ,B y C son enemigos entre si. Esta situación hará que hayan fuerza motivando a dos de los individuos a hacerse amigos en contra del tercero, convirtiendo una de las tres líneas en +. A - - Guerra Fría: Estados Unidos, Rusia, Cuba. B C - Relación Sin Balance

14. A partir de este razonamiento los grafos tríadicos con una o tres líneas positivas (+) nos referiremos a ellos como BALANCEADOS. Aquellos grafos tríadicos que tengan cero o dos líneas positivas (+) nos referiremos a ellos como SIN BALANCE.

15. El argumento en la Teoría de Balance Estructural es que debido a la ausencia de balance las triadas son fuente de stress y disonancia sicológica. Esto lleva a los individuos a alejarse de estas relaciones en su diario vivir. Por lo que son mas escasos en la sociedad real que las relaciones tríadicas balanceadas.

16. Balance Estructural En Las Redes Se dice que una Grafica Completa rotulada esta en balance si cada uno de sus triángulos esta balanceado. Esto si obedece que: Propiedad del Balance Estructural: Por cada grupo de tres nodos, si consideramos las tres líneas que los conectan, o todas las líneas son rotuladas (+), o una de esas líneas esta rotulada (+).

17. Considere una dos redes de cuatro nodos rotulados cada una. A A - + - + - - B B - - + + C D C D + - No Balanceado Balanceado

18. La definición de redes balanceadas aquí presentada representa el limite de un sistema social que ha eliminado todos las triadas sin balance. Se puede proponer en cambio una definición que permita que solo algunas triadas permanezcan sin balancear. Pero la versión que incluye todos los triángulos balanceados es fundamental para dar el primer paso al evaluar estos conceptos.

19. Una Grafica Completa Una grafica completa puede ser dividida en dos grupos de amigos mutuos. Estos dos grupos de amigos mutuos poseerían a un antagonismo mutuo, el cual se encontraría entre los grupos separándolos. Este seria la única forma en que una Grafica Completa estaría balanceada. Amigos Mutuos dentro de X Amigos Mutuos dentro de Y Antagonismo mutuo entre los grupos Grupo X Grupo Y

20. La características de la estructura de las redes equilibradas

21. ¿Qué forma tiene una red equilibrada? Una red es equilibrada si a todos los vértices tienen comunicación o son amigos unos del otro, en este caso, todos los triángulos tienen tres aristas (+). Una red se equilibrada, si consta de dos grupos de amigos con las relaciones negativas entre personas de diferentes grupos.

22. Figura del equilibrio de cuatro vértices de un grafo A A - + + - - - B B + + - - C D C D - +

23. Es decir que existen dos formas básicas para lograr el equilibrio estructural: o bien a todos son amigos uno al otro, o el mundo se compone de dos grupos de amigos en común con el antagonismo total entre los grupos.

24. Teorema de equilibrio Si un grafo etiquetado completamente es equilibrado, entonces todos los pares de vértices son amigos, o de lo contrario los vértices se pueden dividir en dos grupos, X y Y, de tal manera que cada par de vértices en X se agradan uno del otro, de igual forma cada par de vértices en y se agradan uno del otro y todo el mundo en X es el enemigo de todo el mundo en Y.

25. Un grafo se pude dividir en dos grupos de amigos en común, con antagonismo entre dos conjuntos entonces son equilibrados. Amigos Mutuos dentro de X Amigos Mutuos dentro de Y Antagonismo mutuo entre los grupos Conjunto X Conjunto Y

26. Propiedad del balance estructural, que se aplica a sólo tres vértices a la vez, y demostrar que implica una fuerte mundial de la propiedad: o bien todos se llevan bien, o el mundo está dividido en dos facciones en lucha. Usamos la definición de equilibrio para obtener directamente las condiciones de la reclamación.

27. Reclamación Por tanto los dos conjuntos X y Y para satisfacer las condiciones de la reclamación: Cada dos vértice en X son amigos. Cada dos vértice en Y son amigos. Cada vértice X es un enemigo de todos los véticesde Y.

28. Representación esquemática del análisis de las redes equilibradas (Es posible que otros vértices no se muestren aquí) ? B D + - A ? ? C E - + Amigos de A Enemigos de A

29. Cada dos vértices en X son amigos. Sabemos que A es amigo de todos los demás vértices X. ¿Qué hay de los otros doslos vértices de X (vamos a llamarlo B y C) debe ser amigos? Sabemos que A es amigo decon B y C, así que si B y C eran enemigos entre sí, entonces A, B y C seforma un triángulo con dos etiquetas +, - , es una violación de la condición de equilibrio. Ya que sabemos la red está equilibrada, esto no puede suceder, por lo que debe ser que B y C, de hecho, son amigos. Puesto que B y C fueron los nombres de los dos vértices en X, hemos concluido que cada dos los vértices de X son amigos.

30. Cada dos vértices en Y son amigos. Considere la posibilidad de cualquiera de los dos vértices en Y (vamos a llamarlos D y E) debe ser amigos? Sabemos que es un enemigo con las dos D y E, así que si D y E eran enemigos entre sí, entonces A, D y E, formando un triángulo sin etiquetas +, - , es una violación de la condición de equilibrio. Ya que sabemos que la red está equilibrada, esto no puede suceder, por lo que debe ser que D y E, de hecho, son amigos. Puesto que D y E son los nombres de cualquiera de los dos vértices en Y, se ha concluido que cada dos vértices en Y son amigos.

31. Cada vértice X es un enemigo de todos los vértices de Y Considera un vértices en X(llamar en caso de B) y un vértice en Y (lo llaman D)¿deben ser enemigos? Sabemos que A es amigo de B y D con los enemigos, así que si B y D eran amigos, entonces, B y D se forma un triángulo con dos etiquetas +,- , es una violación de la condición de equilibrio. Ya que sabemos que la red está equilibrada, esto no puede suceder, por lo que debe ser que B y D, de hecho, son enemigos. Puesto que B y D son los nombres de cualquier vértice de X y Y en cualquier vértice, hemos concluido que cada par de ese tipo constituye un par de enemigos.

32. Aplicaciones de Balance Estructural

33. Aunque el balance estructural abarca una extensa área de estudio, se pretende presentar ejemplos simples pero centrales de la teoría.

34. Se presentan grafos que muestran una estructura completamente balanceada, y otros que representan estructuras no balanceadas.

35. Antal, Krapivsky, Redner (20),estudiaron los modelos de triángulos que capturan situaciones donde las personas continuamente reaccionan a gustos y disgustos con otros.

36. MODELO LAS RELACIONES INTERNACIONALES La política internacional representa el escenario natural de las opiniones negativas y positivas que tenemos de los demás. Las ciencias políticas nos ensenan acerca de las alianzas y enemistades entre las naciones, que son explicaciones efectivas para visualizar la conducta en tiempos de crisis.

39. La confianza o la desconfianza en las audiencias de On-Line. Una creciente fuente de datos de la red con los dos flancos positivos y negativos , provienen de comunidades de usuarios en la Web, donde la gente puede expresar sentimientos positivos y negativos de los demás. Un ejemplo de ello incluye la tecnología en el sitio de las noticias Slashdot, donde los usuarios pueden designar uno al otro como amigo o enemigo.

40. En la línea de clasificación de productos , sitios como Epinions, el usuario puede expresar sus evaluaciones de ciertos productos y su confianza o desconfianza en diferentes productos y en los demás usuarios.

41. Ejercicio Supongamos que el cliente A manifiesta su confianza en el cliente B y viceversa; y que el cliente C manifiesta lo mismo del cliente B y viceversa. Que podríamos asumir de las relaciones existentes entre el cliente A y el cliente C?