Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos conectados por aristas o arcos, y que puede representar diversas relaciones en la vida real como mapas de carreteras o circuitos eléctricos. También define conceptos como relaciones binarias, producto cartesiano y diferentes propiedades de las relaciones como reflexividad y simetría. Por último, introduce las clases de equivalencia que surgen de una relación de equivalencia sobre un conjunto.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Escuela de Ingeniería de Sistemas
R e l a c i o n e s y G r a f o s
Profesor:
José A. Castillo
Estudiante:
Marilexis Febres
C.I 29.663.954
J u l i o 2 0 2 0

2. Los grafos son estructuras discretas ordenadas donde son conjuntos de vértices o nodos
conectados por arcos. Existen grafos que difieren respecto al número y tipo de arcos que pueden enlazar un
par de vértices. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de
carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.
Los vemos diariamente de formas que si quiera nos imaginamos, por ejemplo Facebook usa
grafos para manejar la relaciones de amistad entre personas: cuando te dice “Personas que quizá conozcas”.
Son estructuras de datos representan relaciones entre objeto.
RELACIONES Y GRAFOS
Introducción

3. RELACIONES Y GRAFOS
¿Qué es una relación?
Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también
llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que
aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con b.
Si R es un subconjunto del producto cartesiano AxB tal que los elementos x
de A cumplen la propiedad con respecto a los elementos y de B, se dice que R es una
relación definida de A en B y se denota R:A→B al que xRy o (x,y)E R. Por lo tanto,
se dice x de A está relacionado con y de B. Al conjunto A se llama “conjunto de
partida” y a B “conjunto de llegada”.

4. RELACIONES Y GRAFOS
1. Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)
Ejemplos
Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre
TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.
2. Sea A={1,2,3,4}, B={2,3,4} y R: A→B la relación definida por R:”ser menor que”.
Calcule R.
R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
Quedará como ejercicio el cálculo de R: B→A
1
2
3
4
2
3
4

5. RELACIONES Y GRAFOS
¿Qué es un grafo?
Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces
llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un
conjunto. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos
(vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
Los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan
unas con otras. Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y
su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.

6. RELACIONES Y GRAFOS
Composición de un grafo
Arista
Son líneas que se encargan de unir
puntos, en este caso unen a las
aristas de un grafo para construir
caminos.
Si {a, b} es una arista, a los
vértices a y b se les llama sus
extremos.
Vértices
Son los nodos o puntos
formados en un grafo, los
cuales pueden ser par o impar
según su grado.
Lazo
Arista cuyos extremos influyen sobre el mismo vértice.
Valencia
Número de lados que entra o sale de un vértice.

7. 1. Una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo,
en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan
conexiones.
RELACIONES Y GRAFOS
Ejemplos
2. Este grafo G consta de un conjunto V de vértices. V = {S, T, U, V, W, X, Y, Z}
y el conjunto de lados E = {e1, e2, e3, .... , e11 }.
El lado e1 esta asociado con el par no ordenado {T, U}, el lado e10 esta
asociado al par no ordenado {S, X}. El lado e1 se denota por (U, T) o
bien (T, U). El lado e4 es incidente en los vértices Y y Z por lo que Y y
Z son vértices adyacentes.

8. RELACIONES Y GRAFOS
P r o d u c t o C a r t e s i a n o
Para entender la idea
de producto cartesiano debemos
saber que se trata de una operación
entre dos conjuntos, de tal modo
que se forma otro conjunto con
todos los pares ordenados posibles.
Los elementos de A x B son pares
ordenados. Cada par que se forma
con un elemento del conjunto A y
uno del conjunto B, en ese
orden, recibe el nombre de par
ordenado. Sus elementos se
colocan entre paréntesis,
separados por coma
El producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado
como A x B, y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al
conjunto A e y pertenece al conjunto B.

9. RELACIONES Y GRAFOS
Ejemplos

10. RELACIONES Y GRAFOS
¿Qué es una relación binaria?
Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados donde los elementos de par dado se encuentran
vinculados por alguna propiedad en particular definida. Una relación binaria de dos conjuntos AA y BB a los
conjuntos de pares ordenados (x,y)(x,y) que cumplen una propiedad P(x,y)P(x,y).
Si RR es una relación binaria para dos conjuntos AA y BB, simbólicamente se representa así a secas:
R⊆A×B

11. RELACIONES Y GRAFOS
Ejemplos
1. Sea C los siguientes cuerpos del Sistema Solar Interior: C={Sol, Mercurio,
Venus, Tierra, Luna, Marte, Fobos, Deimos}, se define la relación x gira
alrededor de y como G={<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>,
<Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}
2. Sean los conjuntos A={a,b} y B= {1,2,3}, una de sus relaciones
binarias seria:
1
2
3
a
b

12. RELACIONES Y GRAFOS
Representación de las relaciones
Los diagramas sagitales son gráficos para
representar relaciones y consiste en
curvas cerradas que relacionan los
elementos del conjunto de partida y
conjunto de llegada mediante flechas.

13. RELACIONES Y GRAFOS
Representación de las relaciones
Una gráfica dirigida es un conjunto de
vértices junto con un subconjunto de aristas
dirigidas (pares ordenados de vértices). En
nuestro caso, cada vértice corresponde a una
variable aleatoria, y cada arista dirigida
representa una asociación probabilística
entre las variables (vértices) que conecta.

14. RELACIONES Y GRAFOS
Representación de las relaciones
Matrices
Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices
compuestas de ceros y unos.
Sean A y B conjuntos finitos de la forma:
Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz donde:

15. RELACIONES Y GRAFOS
Representación de las relaciones
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la
colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos
en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Un conjunto suele definirse mediante una propiedad
que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris y el conjunto de
números primos:
A= {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta} P = {2, 3, 5, 7, 11, …}

16. RELACIONES Y GRAFOS
Una forma de representar el producto cartesiano es el diagrama de
flechas.
Escriba los elementos de a y los elementos de b en dos discos
disyuntos, y luego dibuje una flecha de ” a e a “ en ” b e b” cada vez que a este
relacionado con b.
Diagramas De Flechas

17. RELACIONES Y GRAFOS
Propiedades de las relaciones
Reflexivas e Irreflexivas
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £ A, esto es, si a R e
para todas las a e A. Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £ A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo mismo y es
irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.

18. (a) Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relación de igualdad en el conjunto A.
Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.
(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A.
Entonces R es irreflexible, ya que (a, a) £ R para todas las x € A.
RELACIONES Y GRAFOS
Ejemplos

19. RELACIONES Y GRAFOS
Propiedades de las relaciones
Simétricas
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue
que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a. Una relación R en un conjunto A es
asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con
ambos a R b y b R a.
Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) }

20. RELACIONES Y GRAFOS
Asimétrica
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a = b. Otra
forma de expresar esta definición es diciendo que R es anti simétrica si cuando a ≠ b, se tiene a R b o b R
a. De esto se sigue que R no es anti simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a.
Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) }

21. RELACIONES Y GRAFOS
Anti simetría
La anti simetría no es lo opuesto de la simetría. Existen relaciones
que son simétricas y anti simétricas al mismo tiempo (como la igualdad),
otras que no son simétricas ni anti simétricas (como la divisibilidad para los
enteros), otras que son simétricas pero no anti simétricas (como la relación
de congruencia módulo n), y otras que son anti simétricas pero no simétricas
(como la relación "menor que").
Ejemplo: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

22. RELACIONES Y GRAFOS
Transitiva
Una relación es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y este
último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:
Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

23. RELACIONES Y GRAFOS
R ela cio nes de Equiv a lencia
Diremos que una relación binaria es de equivalencia cuando cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Dos números están relacionados siempre y cuando su diferencia sea un número
par” (es decir, aRb ↔ a-b es par), sobre el conjunto de los números enteros; demostrar
que es una relación de equivalencia.
Demostrar que se cumplen las cuatro propiedades que hemos mencionado en la
definición:

24. RELACIONES Y GRAFOS
Dada la relación de equivalencia siguiente: “dos números están relacionados siempre y cuando su
diferencia sea un número par” (es decir, aRb ↔ a-b es par), sobre el conjunto de los números enteros;
demostrar que es una relación de equivalencia.
Para ello, tenemos que demostrar que se cumplen las cuatro propiedades que hemos mencionado
en la definición:
1-Es reflexiva: para todo elemento de los números enteros aRa, ya que a-a=0, que se considera un número
par.
2- Es simétrica: para cualesquiera dos elementos de los números enteros, se tiene que si aRb→bRa, ya que
si a-b es un número par, entonces b-a también es un número par (aunque con signo distinto). Por ejemplo:
3R5 porque 3-5= -2 (número par), y 5R3 porque 5-3=2 (número par).
3- Es transitiva: Si se cumple que aRb y bRc → aRc, ya que si a-b es un número par y b-c es un número par
entonces a-c que también se puede escribir como a-c=a-b+b-c=(a-b)+(b-c) es un número par por ser suma de
dos números pares. Por ejemplo: 5R9 (9-5=4 par) y 9R15 (9-15=-6 par), entonces 5R15 (5-15=-10 par).
Ejemplos

25. La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de una relación es muy simple de
encontrar, solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa. Cuando
conocemos la matriz asociada a la relación, la forma de encontrar las cerraduras anteriores
es muy simple.
Teorema: Sea R una relación en A y MR su matriz asociada. La cerradura reflexiva y la
cerradura simétrica de R son únicas y se pueden obtener mediante las matrices siguientes:
Mref( R ) = MR ∪ In, donde In es la matriz identidad de orden |A|.
Msim( R ) = [a,ij], donde a ji = 1 si a ij = 1 en MR.
La Matriz identidad en de orden n es:
{$ {(1,…,0),(vdots,ddots,vdots),(0,…,1)] $}
RELACIONES Y GRAFOS
Cerraduras

26. Dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, llamaremos clase de equivalencia
del elemento “a” de A, y lo indicaremos [a]R ó Ca , al subconjunto de A integrado por los elementos
relacionados a dicho elemento.
O sea: [a]R ={x ∈ A / x R a}
Clases de equivalencia
RELACIONES Y GRAFOS

27. Una partición del conjunto A es una familia P de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos dos a dos,
cuya unión es A. Es decir, P = {Ai: i ∈ I }, donde se cumple:
•Para cada i ∈ I, Ai ⊆ A y Ai ≠ ∅
•Para cada par i ≠ j, Ai ∩ Aj = ∅
•∪i ∈ I Ai = A
RELACIONES Y GRAFOS
Partición de un conjunto
Una partición de un conjunto es una división del mismo en «trozos» separados y no vacíos.
Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo
recubren.

28. RELACIONES Y GRAFOS
Ejemplos
•Dado un conjunto no vacío X arbitrario, la familia P = {X} es una partición de X.
•Un conjunto con un solo elemento {x} tiene como única partición a P = { {x} }.
•El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:
• { {1}, {2}, {3} }
• { {1, 2}, {3} }
• { {1, 3}, {2} }
• { {1}, {2, 3} }
• { {1, 2, 3} }

29. RELACIONES Y GRAFOS
Función Inyectiva
Una función inyectiva f es si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto
inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la
misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.
No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto
inicial X.

30. RELACIONES Y GRAFOS
Función Sobreyectiva
Una función sobreyectiva (o suprayectiva) f es una función tal que todos los elementos del
conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho
de otra manera, una función es suprayectiva cuando son iguales su codominio y su recorrido o rango.

31. RELACIONES Y GRAFOS
Función Biyectiva
Una función biyectiva es una función f que es al
mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es
decir, si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto
inicial X al que le corresponde (condición
de función sobreyectiva) y todos los elementos
del conjunto inicial X tiene una única imagen
en el conjunto final Y (condición de función
inyectiva).
Digamos que no puede quedarse ningún
elemento en el conjunto final Y solo, sin
asociarse con un único elemento del conjunto
inicial X.

32. Un grafo básicamente es un conjunto de puntos y líneas tomado, las líneas se unen por cada par
de vértices. Son útiles para resolver problemas en la vida real, además de lograr demostrar que al usar las
matemáticas obtenemos resultados favorables.
Los grafos son una estructura de datos que sirve para modelar una infinidad de problemas que se
pueden expresar de manera computacional. A diferencia de la estructura de árbol, los grafos no son una
estructura rígida(sino mucho más flexible), por lo cual permite utilizarlos en aplicaciones. Los grafos
sirven para modelizar matemáticamente una estructura de datos.
RELACIONES Y GRAFOS
Conclusión

33. RELACIONES Y GRAFOS
Bibliografía
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Balderas, J. (2014, 26 noviembre). Teoría de Grafos. Recuperado 3 de julio de 2020, de
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Discretas, E. 6. (2014, 28 noviembre). Relaciones y Grafos. Recuperado 3 de julio de 2020,
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