Conceptos preliminares

Diseño de experimentos: Conceptos preliminares
Tipos de estudios
Existen dos tipos de estudios que generan datos, los estudios observacionales y los estudios
experimentales.
Llamamos estudio observacional cuando sobre un proceso existente se observan (registra
información) una o más variables aleatorias. La finalidad de estos estudios es explorar,
describir y confirmar hipótesis.
¿Qué es un experimento?
“Prueba o serie de pruebas en las cuales se inducen cambios deliberados en las variables de
entrada de un proceso o sistema de manera que sea posible observar e identificar las causas
de los cambios en la respuesta de salida” (Montgomery 1991).
“Es una reproducción restringida de la realidad con el fin de observar los efectos de su
manipulación planificada” (Casanoves y Di Rienzo, 1999).
La finalidad de estudios basados en experimentos es contrastar hipótesis, modelar y
predecir.
La diferencia principal entre estos dos tipos de estudio es que en los observacionales existe
una realidad que se observa y en los experimentales se manipula la realidad para observar
su respuesta. En la practica en muchas ocasiones se obtienen datos provenientes de
combinaciones de ambos tipos de estudios. En estos casos el desafío es modelar
correctamente los datos obtenidos.
Unidad experimental
Es la mínima porción del material experimental sobre el cual un tratamiento puede ser
realizado. La unidad experimental (UE) puede ser una parcela de terreno, una maceta, un
animal, el conjunto de alumnos de un curso, etc. Pueden ser unidades naturales como en el
caso de una persona, un automóvil, una planta o unidades artificialmente delimitadas como
en el caso de una parcela de terreno, una cantidad de agua, etc.
Unidad Observacional
Es la porción de la unidad experimental que se mide u observa. En muchos estudios, la
unidad experimental coincide con la unidad observacional, pero en otros, una unidad
experimental puede representar un conjunto de unidades observacionales. Cuando en un
estudio se registran dos o mas variables, la unidad observacional puede ser distinta para
cada una de ellas. Por ejemplo, si la unidad experimental es una parcela con plantas de
trigo, se puede registrar la variable rendimiento sobre toda la parcela y la variable número
de espigas por planta sobre algunas plantas de la parcela. Así, las unidades de observación
son distintas para estas variables.
Factores
Son todas las fuentes de variación reconocidas a priori por el investigador (no incluye el
error experimental). Cada uno de los valores que asume un factor se denomina nivel. Por
ejemplo, la temperatura de cocción del pan es un factor y las diferentes temperaturas
evaluadas son los niveles. Los factores pueden ser de interés del investigador (cuando se
desea hacer inferencia sobre ellos) o simplemente pueden ser reconocidos como una fuente
1

de variación que de no contemplarse disminuyen la precisión de las comparaciones de
interés (factores de bloqueo).
En cualquiera de estos casos, los efectos de los factores pueden ser de naturaleza fija o
aleatoria. Por ejemplo, las temperaturas de cocción del pan se pueden fijar en 100, 110 y
120 grados o elegirse al azar temperaturas entre 100 y 120 grados. Los factores de efectos
fijos se utilizan cuando todos los niveles del factor que son de interés se incluyen en el
estudio. La extrapolación de las conclusiones estadísticas mas allá de los niveles
especificados hacia otros niveles no tiene sustento estadístico. Los modelos lineales
basados en variables predictoras categóricas fijas (factores fijos) se denominan modelos de
efectos fijos. Cuando en el modelo se incluyen efectos aleatorios, es decir, se incluye en el
experimento una muestra aleatoria de posibles niveles del factor, se denomina modelo de
efectos aleatorios. Las inferencias generalmente se orientan hacia todos los posibles grupos
o niveles del o los factores de efectos aleatorios. A pesar que la distinción entre factores de
efectos fijos o aleatorios no afecta el procedimiento de ajuste del modelo de ANAVA ni el
contraste de hipótesis, en el modelo a una vía de clasificación, las hipótesis que se
contrastan son fundamentalmente diferentes. En el caso de efectos fijos se contrastan
hipótesis sobre igualdad de medias de tratamiento. En el caso de efectos aleatorios, se
contrastan hipótesis sobre la varianza de los niveles del factor. Cuando se combinan efectos
fijos y aleatorios se esta en presencia de un modelo mixto. Un a introducción a los modelos
aleatorios y mixtos se vera mas adelante. Por ahora solo se hará referencia a los modelos de
efectos fijos.
Cuando se estudia un solo factor se dice que el experimento es unifactorial ya que los
tratamientos consisten en aplicar distintos niveles de un mismo factor. Si en cambio un
tratamiento consiste en la combinación de niveles de 2 o más factores, entonces se dice que
el experimento es un experimento con estructura factorial de tratamientos.
Tipo de Factores
Los factores estudiados pueden ser de naturaleza cuantitativa o cualitativa. Un ejemplo del
primer caso es cundo se estudian dosis de fertilizantes en un cultivo. Un ejemplo de factor
cualitativo es el cultivar o variedad agrícola donde sus niveles son los distintos cultivares
evaluados.
Tratamientos
Se denomina tratamientos al conjunto de poblaciones estudiadas y/o acciones realizadas
sobre las unidades experimentales. Si el experimento es unifactorial, los tratamientos son
los distintos niveles del factor. Si el experimento es multifactorial (más de un factor) los
tratamientos surgen de la combinación de los niveles de los factores intervinientes. Por
ejemplo, si se prueba el factor temperaturas con tres niveles, 100, 110 y 120 ºC, los
tratamientos son las tres temperaturas. Si en esta experiencia además se evalúa el factor tipo
de horno con tres niveles, eléctrico (E), a gas (G) y a leña (L), se tendrá un total de 9
tratamientos que surgen de la combinación de los niveles de los dos factores, temperatura y
tipo de horno. Los tratamientos entonces serán: E-100, E-110, E-120, G-100, G-110, G120, L-100, L-110 y L-120.
Repetición
Se denomina repetición a cada una de las realizaciones independientes de un tratamiento.

2

Se denomina corrida a la realización de una repetición de todos los tratamientos. Otras
veces se usa el termino replica para referirse a una repetición de todo el experimento.
Pseudo-repetición
Se denomina Pseudo-repetición a cada una de las realizaciones no independientes de un
tratamiento. En algunas áreas se denominan submuestras.
Confundimiento
Se dice que hay confundimiento cuando la comparación entre los niveles de un factor puede
representar también la comparación entre los niveles de otro factor. Así será imposible
conocer cuál es el factor que podría estar causando las diferencias observadas. Por ejemplo,
si se desea probar el efecto de dos dietas A y B y se asigna la dieta A a un conjunto de
varones tomados al azar y la dieta B a un conjunto de mujeres tomadas al azar. Si al cabo
de un tiempo se observa la diferencia de peso respecto al peso inicial, no se podrá
determinar si las diferencias se deben al efecto del factor dieta o al efecto del factor sexo.
En tal caso se dice que los efectos de dieta y sexo están confundidos. El confundimiento se
podría evitar con la simple aleatorización de las dietas en las unidades experimentales
(individuos sin distinción de sexos) o la aleatorización de las dietas dentro de cada uno de
los sexos (recomendable si se espera que el sexo tenga efecto sobre la diferencia de peso).
Cuando se realiza un ANAVA (o test T) con pseudo-repeticiones únicamente, los efectos
de los tratamientos pueden estar confundidos con variaciones en las unidades
experimentales que, al no estar repetidas, no pueden distinguirse. Por ejemplo, si se estudia
la cantidad de especies vegetales de dos áreas contiguas, una que fue hace años arrasada por
el fuego y otra que no, se pueden obtener pseudo-repeticiones de los tratamientos (fuego y
no fuego). Si se hace una prueba con estos datos no se podrá saber si las diferencias se
deben al efecto del fuego o a que las áreas contiguas tenían diferencias entre si mas allá del
fuego.
Control y testigo
Usualmente se denomina control al nivel del factor tratamiento que representa ausencia de
“tratamiento”. Es común ver en experimentos UE a las que no se le aplican los tratamientos
de interés. El objetivo es comparar los efectos de tratamientos descontando variaciones
debidas a la manipulación experimental. Por ejemplo, en un estudio involucrando varias
dosis de fertilizantes el rendimiento observado bajo los distintos tratamientos podría
deberse a la dosis de fertilizante pero también a las condiciones experimentales que no son
en las que habitualmente se observa el rendimiento (siembra a mano, riego con regadera,
etc.). Luego si no se incorpora un control (sin fertilizar) será difícil discernir cuánto de lo
observado se debe a la fertilización.
Se denomina testigo al tratamiento tradicional que se desea comparar con nuevos
tratamientos. Por ejemplo, para evaluar tres nuevas variedades de trigo en cuanto a su
rendimiento, se podría incluir la variedad tradicional como testigo, de manera de poder
comparar los rendimientos de las nuevas versus el testigo bajo las mismas condiciones
experimentales.

3

Aleatorización
En diseño y análisis de experimentos hay dos etapas importantes de aleatorización. La
primera se relaciona con la necesidad de contar con unidades experimentales que
representen una muestra aleatoria de la población de UE. La segunda aleatorización es la
que se realiza para asignar los distintos tratamientos en las UE o viceversa. Esta es una
condición necesaria para que la estimación de los parámetros de interés sea insesgada.
Error experimental
Este error está compuesto por los errores de tratamiento, de muestreo y de medición y
aunque en la práctica generalmente son indistinguibles, es importante reconocerlos para
tratar de minimizarlos. En el ANAVA, el error experimental es un estimador de σ2 y por lo
tanto mantener en niveles bajo los errores que lo componen harán más eficientes las
comparaciones de interés.
Error de Tratamiento: Es el error que se podría cometer al no poder aplicar el mismo
tratamiento de manera exactamente igual en las unidades experimentales (UE) que le
fueron asignadas.
Error de Medición: Error relacionado a la obtención del dato. Podría ser introducido por
parte del operario que obtiene el dato o por el instrumento de medición.
Error de Muestreo: Está relacionado con la variación de las UE que es de esperar exista
aún cuando toda otra fuente de variación se encuentre controlada. Su magnitud depende de
la heterogeneidad de las UE.
El error de tratamiento se controla con un buen protocolo de aplicación de los tratamientos,
el error de medición, con la capacitación del personal y la elección de buenos aparatos de
medida. El error de muestreo, se controla mediante un proceso de aleatorización que
contemple la estructura de las unidades experimentales, es decir asegurarse que todos los
tratamientos estén representados en todos los grupos o bloques de unidades experimentales.

Diseño de experimentos
El diseño de experimentos consiste en un conjunto de técnicas que tienen, entre otras, la
finalidad de controlar las fuentes de variación no deseadas y disminuir el término de error
experimental.
Uno de los principales objetivos en la planificación de una experiencia, siguiendo un diseño
experimental, es la reducción del error experimental, con el propósito de incrementar la
eficiencia de la inferencia relacionada a la comparación de tratamientos.
El diseño experimental puede entenderse como una estrategia de combinación de la
estructura de tratamientos (factor/es de interés) con la estructura de unidades
experimentales, de manera tal que la variabilidad de la variable respuesta, al menos en
algún subgrupo de unidades experimentales, pueda ser atribuidas solamente a la acción de
los tratamientos, excepto por errores aleatorios. Así, es posible contrastar (comparar)
medias de tratamientos o combinaciones lineales de medias de tratamientos con el menor
“ruido” posible.
La estructura de tratamientos esta relacionada al número de factores involucrados en el
experimento, sus niveles y la combinación de los mismos. La estructura de unidades
experimentales surge del agrupamiento de las mismas en grupos o bloques que puedan
considerarse formados por UE homogéneas. Es importante en toda situación donde se
4

diseña una experiencia distinguir entre la estructura de parcelas o estructura de las UE por
un lado, y la estructura de tratamientos, por el otro.
La estructura de parcelas es generalmente determinada a priori de la aplicación de los
tratamientos a las UE, tratando que ésta contemple todos los factores que producen
variación en la respuesta entre las distintas unidades experimentales. En la mayoría de las
experiencias, es posible identificar patrones en las UE, los que se asocian a factores, que si
bien no corresponden a los tratamientos de interés, podrían diferenciar las respuestas
provenientes de las distintas UE. Una estrategia para controlar el efecto de dichos factores
es la estratificación o bloqueo.
La estructura de tratamientos esta asociada a las cuestiones sobre las que interesa inferir. La
aleatorización es el proceso que permite combinar ambas estructuras. La estructura de
tratamientos es aleatorizada en las unidades experimentales.
Así, un diseño experimental involucra:
a) la elección de la estructura de tratamientos.
b) la detección de la estructura de parcelas (independientemente de la estructura de
tratamientos).
c) la elección del método de aleatorización acorde para la combinación de ambas
estructuras.
El diseño experimental determina el modelo a utilizar para un correcto análisis de la
variabilidad en la respuesta.
Algunas estructuras de parcelas clásicas son aquellas que caracterizan los diseños: 1)
completamente aleatorizados (DCA), donde las UE no tienen estructura; 2) en bloques
completos aleatorizados (DBCA), donde las UE homogéneas se agrupan en un mismo
bloque y los bloques son heterogéneos en relación a un factor de clasificación (o
combinación de factores de clasificación); 3) cuadrado latino (DCL), donde las UE se
agrupan en bloques heterogéneos en relación a dos factores de clasificación independientes
(estructura de UE a dos vía de clasificación).
No debe existir interacción entre los componentes de la estructura de parcelas y los
componentes de la estructura de tratamientos, es decir, se asume que la relación existente
entre tratamientos es consistente de bloque a bloque (excepto por la variación aleatoria).
Preguntas que pueden hacerse para realizar, identificar y analizar un experimento
comparativo




¿Cuántos tratamientos se desean comparar?






¿Es necesario observar la evolución de la respuesta en el tiempo?

¿Cuántas repeticiones por tratamiento son suficientes para comparar con la
precisión deseada?

¿Cuáles son las unidades experimentales?
¿Cuáles son las unidades de observación?
¿Son las unidades experimentales homogéneas?

5



¿Son las unidades experimentales homogéneas suficientes para realizar todos los
tratamientos?





¿Cómo se asignan los tratamientos a las unidades experimentales?
¿Los tratamientos tienen alguna estructura?
¿Puede el diseño

resultante ser analizado estadísticamente y las comparaciones deseadas llevadas a cabo?.

Análisis de la varianza (ANAVA)
Introducción
En experimentos con fines comparativos, usualmente se realiza la aplicación de varios
tratamientos a un conjunto de unidades experimentales para valorar y comparar las
respuestas obtenidas bajo cada tratamiento. La técnica del Análisis de Varianza (ANAVA)
permite realizar las estimaciones de las respuestas promedio de tratamientos y las
comparaciones entre ellas. El ANAVA es un procedimiento que descompone la
variabilidad total en la muestra (suma de cuadrados total de las observaciones) en
componentes (sumas de cuadrados) asociados cada uno a una fuente de variación
reconocidas.
El ANAVA es una técnica general en la que participa y se analiza la variación en una
variable respuesta continua. La variación es particionada en variación explicada y no
explicada por uno o más predictores llamados factores. Las categorías de cada factor
(niveles) generalmente conforman grupos o condiciones experimentales (tratamientos). El
objetivo es la comparación de las medias de la variable respuesta en esos grupos. El
ANAVA examina la contribución relativa de diferentes fuentes de variación respecto a la
variación total en la variable respuesta y permite contrastar la H 0 sobre igualdad de medias
entre los grupos versus la H1 que establece que al menos 1 es diferente.
La variables involucradas en el ANAVA son la variable dependiente o respuesta, las
variables de clasificación (predictoras asociadas a factores cualitativos o cuantitativos con
un numero discreto de niveles) y las covariables (predictoras asociadas a fuentes de
variación continuas entre UE) en caso de que existan.
La variable dependiente es la variable sobre la cual se desea hacer comparaciones entre los
tratamientos. Las variables de clasificación son las que representan factores o fuentes de
variación que permiten separar o clasificar las observaciones en grupos. Normalmente
existen factores que tienen que ver con la estructura de tratamientos del experimento y
factores relacionados a la estructura de las unidades experimentales.
Las covariables (o variables concomitantes) representan variables aleatorias continuas cuyo
valor varía con cada unidad experimental y que posiblemente están relacionadas
linealmente con la variable respuesta. Las covariables no deben interactuar con los factores
que se evalúan en el experimento. En situaciones donde se registró una variable
concomitante, se puede realizar el análisis de covarianza. En este análisis antes de estudiar
6

las diferencias entre tratamientos, se ajusta o remueve en la variable dependiente la
variabilidad debida a la covariable. Más adelante se desarrollará el tema análisis de
covarianza.
Modelo de ANAVA de efectos fijos a un criterio de clasificación
La técnica de análisis de la varianza presupone un modelo lineal para explicar la variación
en la variable respuesta . Cuando se estudia un solo factor con a niveles (o a tratamientos)
se dice que el análisis de varianza es a un criterio de clasificación y el modelo (modelo de
efectos) queda definido de la siguiente forma:
Yij =µ + τi + εij ,

con i=1,...,a y j=1,..,ni

donde:
Yij es la j-ésima respuesta en el i-ésimo tratamiento
µ es la media poblacional de la variable respuesta
τi es el efecto del i-ésimo tratamiento
εij es un termino de error aleatorio. Bajo los supuestos del modelos de muestreo ideal, los
términos de error asociados a cada una de las observaciones se suponen
independientemente distribuidos, normales, con esperanza 0 y varianza σ2 ∀i,j (Varianza
constante).
La media general (µ) pueda ser entendida como la media de todas las medias poblacionales
asociadas a cada uno de los grupos en estudio. Se considera un parámetro fijo y su valor es
constante a través de todas las observaciones, por lo que suele denominarse simplemente
constante. Los efectos de tratamientos (τi) representan la diferencia o corrimiento entre la
media poblacional del grupo considerado y la media general. En el modelo de ANAVA de
efectos fijos los (τi) se consideran constantes (valores fijos) desconocidas. El efecto del
tratamiento 1 (τ1) es la diferencia que hay entre la media del tratamiento 1 y la media
general. La hipótesis nula del ANAVA postula la igualdad de medias de todos los
tratamientos comparados. Si la hipótesis nula del ANAVA fuera verdadera las a
poblaciones estarían centradas sobre la misma esperanza, es decir, en µ. El término de error
asociado a la observación ij, representa la diferencia entre dicha observación y la media
poblacional del grupo o tratamiento correspondiente.
El modelo de ANAVA también puede plantearse en términos de la media de celda o media
de grupo (modelo de celdas o modelo de medias) en lugar de hacerlo sobre la base de
efectos de grupos. Es decir,
Yij =µi + εij , con i=1,...,a y j=1,..,ni
El número de parámetros de posición en esta parametrización es igual al número de medias
de grupo. Para el caso de estudios involucrando un solo factor con igual tamaño de muestra
para cada nivel no existen diferencias entre este modelo y el de efectos a la hora del
contraste de hipótesis. El modelo de celdas puede ser ventajoso en algunas situaciones con
diseños complejos o multifactoriales donde se ha perdido una celda.
Si bien los τi del modelo de efectos no son estimables, los µi =µ + τi si se pueden estimar
para cada grupo. Debido a la equivalencia entre el modelo de celdas y el modelo de efectos,

7

resulta indistinto plantear la hipótesis nula del ANAVA en términos de media de celda o
efectos de tratamiento.
Las hipótesis que se contrastan en el ANAVA de efectos fijos pueden expresarse como:
H0: µ1 = µ2 = ...= µa versus
H1: Al menos un par de medias difiere
o alternativamente como:
H0: τ1 = τ2 = ...= τa=0 versus
H1: Al menos un τi ≠0
Estimación
En el marco del modelo de efectos, los parámetros a estimar serán, la media general, los
efectos de tratamientos y la varianza de los términos de error, la cual se asumió constante a
través de los niveles de los factores. La estimación de estos parámetros usualmente se
realiza mediante los procedimientos de estimación de mínimos cuadrados (MC) o máxima
verosimilitud (MV). El modelo de muestreo ideal (MMI) es aquel modelo que cumple con
los supuestos de independencia, homocedasticidad y distribución normal para los términos
de error. Bajo los supuestos del MMI las estimaciones de los parámetros de posición
obtenidas por uno u otro procedimiento son las mismas, mientras que la estimación de la
componente de varianza residual difiere. El estimador MV de σ2 es sesgado mientras que el
estimador por MC es insesgado, pero la eficiencia del estimador MV puede ser mayor sobre
todo si el tamaño de muestra es grande.
En experimentos con pocas repeticiones por tratamiento y bajo el MMI, usualmente se
utiliza el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios, el que provee de los siguientes
estimadores para los parámetros del modelo de efectos:
ˆ
µ =Y
ˆ
Y = Y + (Yi − Y ) = Yi

El error estándar para una media de tratamientos, que permite construir intervalos de
confianza para las medias poblacionales bajo cada tratamiento y/o comparar medias de
tratamiento es:
ˆ2
σ Yi =

CMR
ni

donde CMR es el cuadrado medio residual del ANAVA también conocido como cuadrado
medio dentro (CMD), ya que es un estimador de la variabilidad entre las UE tratadas de la
misma forma, es decir, dentro de un mismo tratamiento.
Los términos de error son estimados por los residuos e ij como la diferencia entre el valor
ˆ
observado y el valor predicho por el modelo ( Yij = Yi ):
ˆ
ε ij = eij = Yij − Yi

8

Tabla de análisis de varianza para un modelo a una vía de clasificación
Fuente de
Suma de Cuadrados
Grados
Cuadrado
Variación
de
Medio
Libertad
2
a
Entre
gle= a

1 n
1 a n
SCE
SCE = ∑ (∑ Yij ) 2 −  ∑∑ Yij 
CME =
Tratamientos
-1
ni j =1
N  i =1 j =1 
i =1
gle
i

Dentro
(Error
Experimental)
Total

i

SCD=SCT-SCE

a

ni

i =1

j

SCT = ∑∑ Yij2 −

gld= N - a


1  a ni
 ∑∑ Yij 
N  i =1 j =1 

2

CMD =

F

CME
CMD

SCD
gld

glt= N 1

Una forma de calcular el cuadrado medio dentro es a partir de las varianzas muestrales
obtenidas para cada tratamiento:
CMD =

ˆ
ˆ2
( n1 -1)σ 12 + ... + ( na -1)σ a
(n1 -1) + ... + ( na -1)

El Cuadrado Medio Dentro es un estimador insesgado de σ2, es decir E(CMD) = σ2.
El cuadrado medio entre (CME) se asocia a la variabilidad entre las medias de tratamientos.
En el caso de tamaños muestrales iguales para cada tratamiento se puede obtener de la
siguiente forma:
CME = σ Y ⋅ n .
ˆ2
A diferencia del CMD que es un estimador incondicional de σ2, el CME estima a σ2 sólo si
las esperanzas de los tratamientos que se comparan son iguales (H0 verdadera) de lo
a

contrario estima a σ2 + c ∑ τ2 , con c una constante mayor que 0. Luego, CME es un
i
i =1

estimador insesgado de σ sólo si H0 es verdadera, de lo contrario estima a σ2 más una
cantidad que representa una medida de la magnitud de los efectos de tratamiento.
2

Si H0 es verdadera, todo τi=0 y por lo tanto la componente añadida por los efectos de
tratamiento se anula y la esperanza del CME es σ2. Luego el CMD y el CME son ambos
estimadores independientes de σ2 bajo H0.
2
2
Sean σ E y σ D las varianzas estimadas por el CME y el CMD respectivamente, luego
2
2
2
2
bajo la hipótesis de igualdad de medias de tratamiento, σ E = σ D de lo contrario σ E > σ D .
El ANAVA se basa en dos estimadores independientes de la varianza de las observaciones:
uno basado en la variabilidad dentro de los tratamientos y otro basado en la variabilidad
entre los tratamientos. Si no hay diferencias entre las medias de los tratamientos, estos dos
estimadores estiman al mismo parámetro, de lo contrario el segundo tiende a ser mayor
cuanto mayor es la diferencia entre los tratamientos. Luego, a pesar de que la hipótesis de
interés del ANAVA se refiera a la igualdad de las esperanzas de dos o más distribuciones,
la técnica del ANAVA se basa en la comparación de varianzas para inferir acerca de la

9

igualdad de las esperanzas. Por lo tanto otra forma de plantear la hipótesis en ANAVA es la
siguiente:
2
2
2
2
H0 : σ E = σ D vs. H1 : σ E > σ D

El contraste de hipótesis consiste en calcular el estadístico F utilizando los estimadores de
2
2
σ E y σ D , de la siguiente forma:
F=

CME
CMD
a

Este estadístico tiene, bajo H0, una distribución F(a-1),(N-a)) con N = ∑ ni . Luego, para un nivel
i =1

de significación α, si el valor observado de F es mayor que el cuantil (1-α) de la
distribución F(a-1),(N-a) se rechaza H0, implicando que H1 es verdadera. El rechazo de H0
a

2
implica que ∑ τ i es distinto de 0 y por lo tanto, que algún τi ≠ 0; luego se concluye que no
i =1

todas las medias de tratamiento son iguales o que al menos un tratamiento tiene efecto
distinto de 0.
En este diseño se supone que las unidades experimentales son homogéneas, es decir no se
identifica estructura alguna. Los tratamientos (que pueden o no tener estructura) se asignan
completamente al azar a las unidades experimentales. El número de repeticiones puede
variar de un tratamiento a otro. Aquellos con igual número de repeticiones se denominan
balanceados; para algunas técnicas de estimación asociadas, el balance es una característica
deseada.
Ejemplo: Diseño completamente aleatorizado a una vía de clasificación
Una panadería desea probar 4 temperaturas de horneado de pan (100, 130, 160 y 190 ºC) con
el fin de verificar si existen diferencias en el volumen del pan obtenido. Para hacer la prueba
se amasó el pan y se formaron 16 bollos. Cada uno de los bollos fue asignado al azar a una de
las temperaturas. Luego se aleatorizó el orden de las temperaturas del horno y después del
horneado se midió el volumen del pan obtenido (cm3). Los datos están en el archivo pan.idb.
Se realizó un ANAVA a una vía de clasificación y se obtuvo la siguiente tabla:
Análisis de la varianza
Variable

N

R²

R²Aj

CV

vol

16

0.59

0.48

2.52

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC Tipo III)
F.V.

SC

gl

CM

F

Valor p

Modelo

9220.50

3

3073.50

5.66

0.0119

Temperatura

9220.50

3

3073.50

5.66

0.0119

Error

6515.50

12

542.96

Total

15736.00

15

10

El valor p=0.0119 para el efecto de tratamientos (temperaturas) sugiere el rechazo de la
hipótesis nula de igualdad de medias de tratamientos.

Análisis de los supuestos del MMI
Para el análisis de los supuestos del modelo de muestreo ideal, se utilizan las mismas
técnicas gráficas y de pruebas de hipótesis que se desarrollaron en regresión lineal.
A continuación se muestra el diagrama de dispersión de residuos versus predichos, el
gráfico qq-plot para de residuos, la prueba de homogeneidad de varianzas de Levene y la
prueba de Shapiro-Wilks para el supuesto distribucional para los datos del archivo pan.idb.
42.00

Cuantiles observados(RDUO_vol)

45.55

RDUO_vol

26.02

6.50

-13.02

-32.55
887.11

902.99

918.88

934.76

n= 16 r= 0.969 (RDUO_vol)

22.28

2.57

-17.15

-36.87
-36.87

950.64

PRED_vol

-17.15

2.57

22.28

42.00

Cuantiles de una Normal(0,434.37)

Análisis de la varianza Prueba de Levene
Variable
RABS_vol

N
16

R²
0.05

R²Aj
0.00

CV
72.28

F.V.
SC
gl
CM
F
Valor p
Modelo
103.30
3
34.43
0.23
0.8745
Temperatura 103.30
3
34.43
0.23
0.8745
Error
1805.19
12
150.43
Total
1908.48
15
Shapiro-Wilks (modificado)
Variable
n
Media D.E.
W*
RDUO_vol
16
0.00 20.84 0.91

p (una cola)
0.2452

11

No hay evidencias para rechazar el supuesto de homogeneidad de varianzas (Prueba de
Levene, p=0.8745) ni el de distribución normal de los errores (Prueba de Shapiro-Wilks,
p=0.2425).
Como los supuestos del MMI pueden ser sostenidos, y se rechazó la hipótesis nula de
igualdad de medias de tratamientos, por lo que se concluye que al menos una temperatura
de horneado produce un volumen promedio diferente. Para identificar cuál o cuales
tratamientos se asocian a valores medios diferentes se puede recurrir a técnicas de
comparaciones múltiples (donde se contrastan todos los pares de medias) o a la estimación
de contrastes entre medias específicamente determinados por el usuario en función del
conocimiento del problema y el objetivo de la investigación.
Comparaciones múltiples
Usualmente, cuando la hipótesis nula del ANAVA es rechazada se implementa una prueba
para comparar las medias.
Para analizar las diferencias de “a pares”, entre las medias de las distribuciones que se
comparan, existe una gran variedad de pruebas a posteriori o comparaciones múltiples
entre las que se pueden mencionar procedimientos tradicionales y procedimientos
jerárquicos (basados en algoritmos de agrupamiento jerárquico). Con un número alto de
medias de tratamiento, los procedimientos tradicionales pueden producir resultados de
difícil interpretación ya que una misma media puede pertenecer a más de uno de los grupo
de medias que resultan en la comparación (falta de transitividad). Por el contrario, los
métodos jerárquicos producen agrupamientos mutuamente excluyentes (partición del
conjunto de medias de tratamientos).
Entre los procedimientos tradicionales se encuentran, entre otras, las siguientes pruebas:
LSD de Fisher, Bonferroni, Tukey, Duncan y Student-Newman-Keuls (S.N.K).
Entre los procedimientos jerárquicos se pueden mencionar: Di Rienzo, Guzmán y
Casanoves (D.G.C.), (Di Rienzo, et al., 2002); Jollife (Jollife, 1975), Scott y Knott (Scott y
Knott (1974)) y la prueba BSS (Bautista et al. (1997)), entre otras.
La elección del método de comparaciones múltiples depende del objetivo de la
investigación y de que tasa de error (Tipo I o Tipo II) se desee controlar. Las pruebas de
hipótesis tienen riesgos asociados al rechazo y al no rechazo de la hipótesis (contraste) de
interés. El error tipo I considera el riesgo de rechazar una hipótesis nula verdadera y su
probabilidad α esta determinada por el investigador. El error tipo II es el riesgo de no
rechazar una hipótesis falsa, es decir, en el contexto de las comparaciones múltiples de a
pares, declarar iguales dos medias que en realidad no lo son. La tasa de error tipo II, para
un nivel de significación α dado, esta determinada por el tamaño muestral, la varianza y la
magnitud de las diferencias entre las medias poblacionales involucradas. Los riesgos de
cometer error de tipo I y de tipo II tienen una relación inversa; manteniendo constante las
características mencionadas arriba en relación al error de tipo II, si disminuye α, aumenta
el error de tipo II.
La importancia relativa de uno u otro error depende del contexto en el cual se realiza el
contraste de hipótesis. Por ejemplo, si un laboratorio esta en las primeras etapas de
investigación de diversas drogas para el control de una enfermedad, el riesgo mayor podría

12

ser descartar una droga que en realidad produce el efecto deseado. En cambio, si se esta por
recomendar una droga para un paciente, el riesgo mayor es recomendar una que no sea
efectiva. En el primer caso se debe elegir una prueba que controle el error de tipo I mientras
que para el segundo una que controle el error tipo II.
Para los datos del ejemplo de la panadería, se realizó la prueba de Tukey para comparar las
medias de las temperaturas estudiadas obteniéndose los siguientes resultados:
Test : Tukey Alfa: 0.05 DMS: 48.92143
Error: 542.9583 gl: 12
Temperatura Medias
n
100
890.00
4
A
190
910.25
4
A
B
160
944.00
4
B
130
947.75
4
B
Letras distintas indican diferencias significativas(p<=0.05)

Los mayores volúmenes de pan se obtienen con las temperaturas de 190, 160 y 130 ºC.
Estas temperaturas no difirieren entre si, por lo que se recomienda la temperatura de 130 ºC
ya que es la más económica de lograr. Se puede ver claramente la falta de transitividad del
método de Tukey, ya que la temperatura 100 no difiere de 190, la temperatura 190 no
difiere de 160, pero la temperatura 100 difiere de 160. Usando un método LSD se obtienen
los siguientes resultados:
Test : LSD Fisher Alfa:
Error: 542.9583 gl: 12
Temperatura Medias
100
890.00
190
910.25
160
944.00
130
947.75

0.05 DMS: 35.89948
n
4
4
4
4

A
A

B
B

C
C

Letras distintas indican diferencias significativas(p<=0.05)

Esta prueba indica que el mayor volumen de pan se logra con las temperaturas 160 o 130.
No obstante se sigue recomendando la temperatura 130 por cuestiones económicas. Se
puede observar que la prueba LSD encuentra más diferencias que la prueba de Tukey.

13

Además de la clasificación por su carácter transitivo o no, los métodos de comparaciones
múltiples pueden clasificarse por su objetivo, por el tipo de tasa de error que contro lan, y
por si la mínima diferencia significativa que se obtiene con ellos es constante o variable
entre otros criterios.
Respecto a la clasificación por el objetivo de la comparación pueden separarse en: 1) todas
las comparaciones posibles de a pares (Ej.: Tukey, Duncan, LSD, DGC, Jollife), 2) todas
las comparaciones contra un testigo (Ej.: Dunnett), 3) todas contra la media mayor o todas
contra la media menor (Ej.: HSU).
Respecto al tipo de tasa de error que controlan ésta puede ser por experimento o por
comparación. La tasa de error por experimento se calcula como el número de experimentos
en que se comete un error sobre el número total de experimentos (se suponen repeticiones
independientes del mismo experimento). La tasa de error por comparación se calcula como
el número de comparaciones donde se comete un error sobre el número total de
comparaciones de un experimento. En general las tasas de error por experimento son
mayores que las tasas de error por comparación.
Algunos procedimientos de comparaciones múltiples como son Bonferroni y Scheffé,
permiten realizar contrastes generales e intervalos de confianza simultáneos. Esta
generalidad trae como consecuencia una pérdida de potencia.
La prueba de Tukey requiere medias no correlacionadas y si bien fue pensada para igual
número de repeticiones por tratamiento puede usarse una corrección en caso de desbalance
(Tukey-Kramer). Controla el error tipo I por experimentación, razón por la cual es una
prueba conservadora (poco potente).
La prueba de rango múltiple de Duncan y la de SNK también requieren de medias no
correlacionadas e igual número de repeticiones por tratamiento. Son más potentes que
Tukey pero menos que LSD.
La prueba LSD no requiere igual número de repeticiones, está entre las más potentes y
controla la tasa de error tipo I por comparación.
Dentro de los procedimientos que tienen diferencia mínima significativa constante se
encuentran el método de Tukey, el LSD, el DGC y dentro de los que poseen diferencia
mínima significativa variable están el SNK, Duncan y el REGW, entre otros.
Contrastes
Si bien el uso de las comparaciones múltiples realizadas en el ejemplo del volumen de pan
es apropiado, numerosos autores recomiendan en caso como este, donde se cuenta con
niveles equidistantes de un factor cuantitativo, realizar contrastes polinómicos ortogonales
para identificar si existe alguna tendencia particular en las medias de la variable respuesta
respecto a los niveles del factor. Con a niveles del factor tratamiento a analizar, es posible
postular a-1 polinomios ortogonales de orden 1,...,a-1. Coeficientes para polinomios
ortogonales para varios números de tratamientos pueden ser encontrados en cualquier texto
de diseño de experimentos. Un contraste es definido como una combinación lineal de los
parámetros del modelo. En el análisis de varianza los contrastes generalmente toman la

14

forma c1M1+ c2M2+...+ caMa (donde Mi es la i-ésima media poblacional y los coeficientes ci
son constantes conocidas, al menos dos distintos de cero, y su suma es cero).
Si se desea plantear más de un contraste, para que las comparaciones sean independientes
unas de otras, los contrastes deberán ser ortogonales. Dos contrastes son ortogonales si la
suma de los productos de los coeficientes de ambos contrastes es cero. O sea, para C1 =
c1M1 + c2M2+...+ caMa y C2 = b1M1 + b2M2+...+ baMa, C1 y C2 son ortogonales si c1b1+ c2b2+...
+ caba = 0. Tres o más contrastes son ortogonales si todos los pares de contrastes definidos
entre ellos son ortogonales.
El número máximo de contrastes ortogonales a realizar es igual al número de tratamientos
menos 1 (a-1).
La sumas de cuadrados asociadas a un conjunto de contrastes ortogonales representan una
partición de la suma de cuadrados de tratamientos. Si se realizan a-1 contrastes ortogonales
y se cuenta con igual número de repeticiones por tratamiento, la suma de cuadrados de cada
uno de los contrastes suma la suma de cuadrados de tratamientos.
En el ejemplo de la panadería, al tener 4 temperaturas, se pueden realizar 3 contrastes
polinómicos ortogonales cuyos coeficientes podrían ser:
Tendencia lineal:
-3 –1 1 3
Tendencia cuadrática: 1 –1 –1 1
Tendencia cúbica: -1 3 –3 1
Con estos contrastes se obtienen los siguientes resultados:
Contrastes
Temperatura
SC
Contraste1
649.80
Contraste2 8372.25
Contraste3
198.45
Total
9220.50

gl
1
1
1
3

CM
649.80
8372.25
198.45
3073.50

Coeficientes de los contrastes
Temperatura Cont. 1
Cont. 2
100
-3.00
1.00
130
-1.00
-1.00
160
1.00
-1.00
190
3.00
1.00

F
Valor p
1.20 0.2954
15.42 0.0020
0.37 0.5567
5.66 0.0119

Cont. 3
-1.00
3.00
-3.00
1.00

La tendencia lineal (contraste 1) es no significativa (p=0.2954) al igual que la tendencia
cúbica (contraste 3, p=0.5567). La tendencia cuadrática resultó significativa (p=0.0020).
Estos hallazgos pueden visualizarse en el siguiente gráfico:
992

vol_suavizada

960

929

897

865
96

120

145

Temperatura

170

195

15

Como cada tratamiento tenia el mismo número de repeticiones, la suma de la suma de
cuadrados de los contrastes es igual a la suma de cuadrados de tratamiento (partición
ortogonal).
Además de usarse para verificar tendencia (contrastes polinómicos), los contrastes permiten
también hacer otro tipo de comparaciones entre medias, planificadas en función de la
estructura de los tratamientos y/o los objetivos del estudio. Estos contrastes podrían
realizarse aún antes de obtener los datos ya que no dependen de los resultados
particularmente obtenidos en la realización del experimento; por ello muchos autores los
denominan contrastes a priori. Por ejemplo, si de tres tratamientos que se están ensayando
el tratamiento 1 corresponde a un testigo y los y los otros dos tratamientos representan 2
nuevas acciones que se están experimentando, podría ser de interés postular a priori el
siguiente par de contrastes sobre las tres medias M1, M2 y M3: el contraste
0 1 –1 comparará la M2 con la M3 (las dos acciones experimentales entre si) y el contraste 2
-1 -1 es equivalente a comparar M1 con la media de M2 y M3 (el promedio de las acciones
experimentales versus el testigo).
Por último, si bien los contraste ortogonales proveen información independiente, en
algunos casos resultan de interés contrastes o comparaciones que no son ortogonales. Este
el caso, por ejemplo, cuando se tiene un tratamiento testigo que se desea comparar con el
resto de los tratamientos experimentales. Si se tiene un testigo (T) y dos tratamientos
nuevos (N1 y N2) y se desea comparar cada uno de los nuevos tratamientos versus el testigo,
los contrastes serian: 1 –1 0 (para comparar T versus N 1) y 1 0 –1 (para comparar T versus
N2). Estos contrastes no son ortogonales ya que su producto interno es distinto de cero (1 en
este caso).
En síntesis el tipo de contraste a realizar dependerá de la hipótesis de investigación y de la
estructura de los tratamientos.

Introducción a los experimentos factoriales
El uso de experimentos factoriales implica un reconocimiento de la estructura de
tratamientos que hace al análisis más eficiente en cuanto a las comparaciones de interés
entre los tratamientos. Es posible evaluar la respuesta en relación a los niveles de cada uno
de los factores (efectos principales) y la interacción entre factores o cambios en las
comparaciones de los niveles de un factor entre los distintos niveles de otro/s factor/es.
Cuando se combinan niveles de varios factores para conformar un tratamiento, el
experimentador se pregunta si es posible identificar los efectos de cada uno de los factores
y eventualmente probar hipótesis sobre ellos. Los experimento con arreglo factorial de
tratamiento permiten responder a esa pregunta. A pesar de que otras estrategias podrían ser
usadas, ¿por qué son preferibles los arreglos factoriales?. La respuesta está relacionada con
el concepto de eficiencia, que en términos prácticos, se relaciona con la cantidad de
repeticiones que son necesarias en un experimento para tener una precisión deseada para

16

los contrastes de interés. Por ejemplo, si para evaluar los efectos de los factores A y B con
tres niveles cada uno se dispone de tres repeticiones para cada nivel, se tendrán , si se
realizan dos ensayos unifactoriales por separado, 9 unidades experimentales para el ensayo
del factor A y otras 9 para el ensayo del factor B, haciendo un total de 18 unidades
experimentales. Si en vez de utilizar dos experimentos separados se planifica un
experimento con 9 tratamientos (3 niveles de A x 3 niveles de B) y solo se repite una vez
cada tratamiento, solamente se necesitarán 9 unidades experimentales para el experimento
manteniendo las tres repeticiones para cada uno de los niveles. Es decir, que aunque no se
cuentan con repeticiones para las combinaciones de niveles de cada factor, sí las hay (tres)
para cada uno de los niveles de los factores individuales. En consecuencia, con la mitad de
las unidades experimentales necesarias para acomodar los experimentos separados, se
puede montar un único experimento que provee la misma precisión para la evaluación de
cada factor individual (efectos principales de A y B). Si aún se pudieran utilizar las 18
unidades experimentales de los dos experimentos originales, se podría hacer una repetición
completa de todo el experimento factorial y se tendría el doble de unidades experimentales
para cada nivel de cada uno de los factores. En este sentido, los experimentos factoriales
son más eficientes para evaluar los efectos de los factores individuales. Además los
experimentos factoriales, cuando están repetidos, permiten evaluar si las variaciones en la
respuesta debidas a los efectos de un factor son independientes de los niveles del otro
factor, fenómeno que se conoce como interacción. Dado que la interacción es común en los
sistemas involucrando varios factores, los experimentos que son capaces de detectarla son
siempre preferibles.
Modelos aditivos
Los modelos factoriales aditivos son aquellos en los que los términos que modelan la
interacción están ausentes. Para ejemplificar este caso se presenta un experimento factorial
en el que es de interés estudiar los factores riego con tres niveles (100, 150 y 200mm.) y el
factor insecticida con dos niveles (con y sin insecticida) en la producción de tomate. Los
3x2=6 tratamientos resultantes se asignan a las UE (parcelas) según un diseño
completamente aleatorizado. Se conoce por experiencias previas (o se supone) que no hay
interacción entre los efectos de riego e insecticida. Los factores se han designado como R
(riego) e I (insecticida) y sus niveles como R 1,R2,R3 e I1,I2. Los 6 tratamientos de interés
surgen del cruzamiento de ambos factores, es decir cada nivel de un factor se asocia con
cada uno de los niveles del otro factor para definir un tratamiento. Así el arreglo factorial se
representa como R1I1, R2 I1, R3I1, R1I2, R2 I2, R3I2. Cada uno de los tratamientos se evaluó
una sola vez, es decir los tratamientos no están repetidos. No obstante esto, si existen
repeticiones para cada nivel de un factor dentro de cada uno de los niveles del otro factor.
La variable observada es el rendimiento. Los datos están en el archivo Tomate.idb. Se
presenta a continuación los resultados obtenidos mediante el ANAVA.
Variable
N
R²
R²Aj
Rendimiento 6
0.98 0.96

CV
3.53

F.V.
SC
gl
CM
F
Valor p
Modelo
143.99
3
48.00 40.10 0.0244

17

Riego
102.30
Insecticida 41.70
Error
2.39
Total
146.39

2
1
2
5

51.15 42.73
41.70 34.84
1.20

0.0229
0.0275

Se concluye que hay efecto de riego (p=0.0229) y que hay efecto de insecticida (p=0.0275).
En el caso del factor insecticida, al tener 2 niveles no hace falta más información que las
medias para concluir sobre la conveniencia del uso o no de insecticida.. Para el factor riego,
por tener tres niveles se necesita indagar más sobre la comparación de medias. Por ser un
factor cuantitativo de niveles equidistantes, se realizaron contrastes polinómicos
ortogonales para evaluar si existían tendencias lineales y/o cuadráticas de los rendimientos
promedio en relación a los niveles de riego. También se podrían haber realizado
comparaciones múltiples, en tal caso hubiera habido tres contrastes involucrados (R 1vs R2,
R1vsR3 y R2vsR3). Con la estrategia seleccionada (contrastes polinómicos) las mismas
comparaciones se realizan a través de dos contrastes; un menor número de contrastes para
obtener las mismas conclusiones siempre es preferible debido a las consecuencias de la
inferencia simultanea sobre las tasas de error.
Los pruebas de hipótesis asociadas a los contrastes polinómicos planteados para el factor
riego se presentan a continuación:
Contrastes
Riego
Contraste1
Contraste2
Total

SC
102.26
0.04
102.30

gl
1
1
2

CM
102.26
0.04
51.15

F
Valor p
85.43 0.0115
0.03 0.8716
42.73 0.0229

Riego
Cont. 1
Cont. 2
100.00
-1.00
1.00
150.00
0.00
-2.00
200.00
1.00
1.00

Se concluye que existe una tendencia lineal para el factor riego (p=0.0115) y que la
tendencia cuadrática no es significativa (p=0.8716). Dado que el rendimiento promedio
para el tercer nivel del factor fue mayor que para el primero, se concluye que existe una
relación lineal positiva y por tanto dentro de los niveles ensayados (intervalo 100,200), a
mayor cantidad de riego se espera mayor rendimiento. En el siguiente gráfico se visualiza
esta tendencia, como así también la ausencia de interacción entre los efectos de riego y
insecticida.
32

Rendimiento

30

28

26

24
100

125

150

175

Riego
Con insecticida

Sin insecticida

200

18

Modelo
El modelo para un experimento con estructura factorial de tratamientos (dos factores o
bifactorial), sin estructura de parcelas, diseño completamente aleatorizado y suponiendo
falta de interacción (modelo aditivo) es el siguiente:
Yij=µ+αi+βj+εij
con i=1,...,a; j=1,...,b
Donde Yij representa la respuesta al i-ésimo nivel del factor A y j-ésimo nivel de factor B,
µ representa una media general, αi el efecto que produce el i-ésimo nivel del factor A (con
a niveles), βj corresponde al efecto del j-ésimo nivel del factor B (con b niveles) y εij es el
término de error aleatorio asociado a la observación ij-ésima que como siempre se supone
es una variable aleatoria normal, con esperanza cero y varianza σ2.
Si el supuesto de aditividad (no interacción) no se cumple entonces el experimento está
deficientemente diseñado ya que harían falta repeticiones de los tratamientos (combinación
de los niveles de ambos factores) para inferir sobre efectos principales e interacciones.
Existen algunas pruebas estadísticas para verificar este supuesto como la prueba de
aditividad de Tukey (1949), Mandel (1967) y pruebas gráficas.
Cuadro de Análisis de la Varianza para el modelo bifactorial aditivo con DCA.
Fuente de
Suma de Cuadrados
Grados de
Cuadrado
F
Variación
Libertad
Medio
2
2
Factor A
a
gla=a-1
SCA
CMA
( Yi. ) − ( Y.. )
CMA =
SCA = ∑
gla
CMD
b
ab
i =1
2
Factor B
glb=b-1
b
SCB
CMB
( Y. j ) − ( Y.. ) 2
CMB =
SCB = ∑
glb
CMD
a
ab
j =1
SCD
Error
SCD=SCT-SCA-SCB
gld=(a-1)(b-1) CMD = gld
Experimental
2
a
b
Total
glt=a.b-1
( Y.. )
2
SCT = ∑∑ Yij −
i =1 j =1

ab

Modelos para arreglos factoriales incluyendo interacción
Si el experimentador supone o sospecha que la respuesta a dos o más factores además de
involucrar la suma de los efectos individuales de esos factores depende de la combinación
específica de los niveles de esos factores, entonces el modelo para el experimento factorial
deberá incluir términos de interacción que den cuenta de este hecho. La inclusión de
términos de interacción en el modelo conlleva la necesidad de tener repeticiones para cada

19

tratamiento porque de otra forma no es posible estimar los parámetros adicionales. Cuando
el experimento tiene dos factores, existen solo interacciones de primer orden, cuando tiene
tres factores, existen interacciones de primer y de segundo orden y así sucesivamente para
arreglos factoriales de mayor orden.
El modelo lineal para un experimento bifactorial con interacciones es una ampliación del
modelo para el experimento bifactorial de efectos aditivos, que incluye un conjunto
adicional de parámetros, conocidos como de interacción y bajo un DCA puede expresarse
como:
Yijk=µ+αi+βj+δij+εijk con i=1,...,a; j=1,...,b; k=1,..,nij
En este modelo Yijk representa la respuesta en la k-ésima repetición del i-ésimo nivel del
factor A y j-ésimo nivel de factor B, µ representa la media general, αi el efecto que produce
el i-ésimo nivel del factor A, βj corresponde al efecto del j-ésimo nivel del factor B
y los términos δij representan los efectos adicionales (interacciones) de las combinaciones
de los niveles de los factores. Los términos de error εijk asociados a cada observación se
suponen (usualmente) normal e independientemente distribuidos con esperanza cero y
varianza común σ2. Debe notarse que el subíndice k se mueve entre 1 y nij, que representa el
número de repeticiones para el tratamiento ij. Los números de repeticiones dentro de cada
tratamiento pueden ser distintos.
Cuadro de Análisis de la Varianza para el modelo bifactorial con interacción para un
DCA.
Fuente de
Suma de Cuadrados
Grados de
Cuadrado
F
Variación
Libertad
Medio
Factor A

a

SCA = ∑

( Yi.. )
ni.

i =1

Factor B

b

SCB = ∑

Total

(Y )
− ...

gla=a-1

. j.

n..

(Y ) − (Y )
2

b

SCAB = ∑∑
i =1 j =1

ij .

nij

n..

SCD=SCT-SCA-SCB-SCAB
a

b

nij

i =1 j =1 k =1

( Y... )
n..

CMA
CMD

CMB =

SCB
glb

CMB
CMD

2

...

2
SCT = ∑∑∑ Yijk −

SCA
gla

2

...

n. j

CMA =

glb=b-1

(Y ) − (Y )

a

2

n..

2

j =1

Interacción
AB
Error

2

glab(a-1)(b-1)
gld=glt-glaglb-glab

CMAB =

CMD =

SCAB
glab

CMAB
CMD

SCD
gld

2

glt= N-1

Ejemplo
En las grandes ciudades, los lodos que surgen del tratado de los efluentes son generalmente
vertido en suelos de regiones periféricas a la ciudades. En un estudio medioambiental sobre
20

contaminación con zinc (Zn) debida a esta práctica, se realizó un ensayo para comparar los
efectos de efluentes procedentes de tres ciudades sobre los niveles de Zn en hortalizas
producidas en regiones periféricas. Se tomaron 36 macetones con plantas de tomate y en un
diseño completamente aleatorizado se asignaron los tratamientos que surgieron de un
arreglo factorial del factor cualitativo procedencia del lodo adicio nado a la maceta, al que
denominaremos “ciudad” con tres niveles (A, B y C) y el factor cuantitativo cantidad de
lodo adicionado, denominado “lodo”, con tres niveles (0.5, 1 y 1.5 Kg por unidad). Luego
se cosecharon los tomates producidos y se les midió el contenido en partes por millón
(ppm) de Zn, obteniendo los promedios por maceta como variable respuesta. Los datos se
encuentran en el archivo Ciudad.idb. El ANAVA arrojó los siguientes resultados.

Variable
N
R²
R²Aj
CV
Zn
36
0.95 0.93 12.96
F.V.
SC
gl
CM
F
Modelo
9475.52
8
1184.44
61.75
lodo
1945.45
2
972.72
50.71
ciudad
5720.67
2
2860.34
149.13
lodo*ciudad 1809.40
4
452.35
23.58
Error
517.86
27
19.18
Total
9993.38
35

Valor p
<0.0001
<0.0001
<0.0001
<0.0001

La interacción entre lodo y ciudad resultó significativa (p<0.0001) razón por la cual no
tiene sentido estudiar a los efectos principales de los factores a través de las medias de
todos los datos. Es necesario estudiar o “abrir” la interacción, esto es estudiar los efectos de
un factor dentro de cada uno de los niveles del otro. En este ejemplo hay dos factores de
distinta naturaleza, uno cuantitativo y el otro cualitativo. Dado que uno de los intereses de
la investigación es determinar si la cantidad de lodo agregado se relaciona con la cantidad
de Zn encontrado en las plantas, se decide hacer contrastes para verificar tendencias lineal y
cuadrática para contenido de Zn dentro de cada uno de los niveles del factor ciudad.
Construcción de los contrastes
Tenemos 4 grados de libertad para la interacción, que se usarán para realizar dos contrastes
de tendencia lineal y dos de cuadrática. El interés se centrará en el estudio de estas
tendencias en las distintas ciudades. Los contrastes deben reflejar entonces no sólo las
tendencias lineales y cuadráticas de la respuesta en relación a los niveles de lodo sino
también las diferencias de dichas tendencias entre ciudades.
Para construir los contrastes se pueden seguir los siguientes pasos:
1) Listar los tratamientos que surgen de la combinación de los factores de manera
conveniente (ordenado por un factor cuantitativo):
A,0.5 B,0.5 C,0.5 A,1

B,1

C,1

A,1.5 B,1.5 C,1.5

21

2) Plantear un conjunto de contrastes ortogonales para indagar sobre la o las tendencias de
las respuestas promedio en relación a los niveles del factor cuantitativo:
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1 (lodo lineal)
-1
-1
-1
2
2
2
-1
-1
-1 (lodo cuadrático)
3) Plantear un conjunto de contrastes ortogonales para comparar medias de los niveles del
factor cualitativo (ciudad). Como el factor ciudades tiene tres niveles habrá 2 grados de
libertad para ser particionados en contrastes ortogonales. Un conjunto de contrastes que
responde a estos requerimiento podría ser el siguiente:
-2
1
1
-2
1
1
-2
1
1
(A vs.(B+C)/2)
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
(B vs.C)
4) Obtener los contrastes de interés (interacción) multiplicando los contrastes definidos en
el paso 2 por aquellos definidos en el paso 3:
2
-1
-1
0
0
0
-2
1
1
lineal × (A vs.(B+C)/2)
0
1
-1
0
0
0
0
-1
1
lineal ×(B vs.C)
2
-1
-1
-4
2
2
2
-1
-1 cuadr. × (A vs.(B+C)/2)
0
1
-1
0
-2
2
0
1
-1 cuadr. ×(B vs.C)
Calculando las sumas de cuadrados asociadas a los dos primeros contraste se obtienen los
siguientes resultados:
Contrastes
lodo*ciudad
SC
Contraste1
121.92
Contraste2 1638.23
Total
1760.15

gl
1
1
2

CM
121.92
1638.23
880.07

F
Valor p
6.36 0.0179
85.41 <0.0001
45.88 <0.0001

lodo*ciudad Cont. 1
Cont. 2
0.50:A
-2.00
0.00
0.50:B
1.00
-1.00
0.50:C
1.00
1.00
1.00:A
0.00
0.00
1.00:B
0.00
0.00
1.00:C
0.00
0.00
1.50:A
2.00
0.00
1.50:B
-1.00
1.00
1.50:C
-1.00
-1.00

Se concluye que hay variabilidad entre ciudades para los coeficientes de regresión lineal de
la respuesta en función de los niveles de lodo (p<0.0001).
Calculando las sumas de cuadrados asociadas a los dos últimos contraste se obtienen los
siguientes resultados:
Contrastes
lodo*ciudad SC
gl
Contraste1
1.05 1
Contraste2 48.20 1
Total
49.25 2

CM
F
1.05 0.05
48.20 2.51
24.63 1.28

Valor p
0.8167
0.1246
0.2933

22

Cont. 2
0.00
1.00
-1.00
0.00
-2.00
2.00
0.00
1.00
-1.00

Aquí se concluye que no hay diferencias en las tendencias
cuadráticas de las respuestas promedio en función de los
niveles de lodo para las distintas ciudades (p=0.2933).
En el gráfico que se presenta a la derecha se pueden
visualizar estos hallazgos:

78.00

63.00

Zn (ppm)

lodo*ciudad Cont. 1
0.50:A
2.00
0.50:B
-1.00
0.50:C
-1.00
1.00:A
-4.00
1.00:B
2.00
1.00:C
2.00
1.50:A
2.00
1.50:B
-1.00
1.50:C
-1.00

48.00

33.00

18.00
0.50

1.00

1.50

lodo
Zn-A

Zn-B

Zn-C

Aunque en los ejemplos anteriores se han presentado experimentos con estructura factorial
de tratamientos, sólo en diseños completos al azar, la combinación de estructuras factoriales
y estructuras de parcela da lugar a una amplia variedad de arreglos experimentales. Por
diversas razones, quizás no puedan asegurarse las mismas condiciones experimentales de
repetición a repetición y por lo tanto se tiene una fuente potencial de variación sistemática
reconocida a priori sobre las UE que si bien no es de interés por si misma debe
incorporarse al modelo de análisis para disminuir el error experimental. De este modo, cada
repetición podría considerarse un bloque y el experimento completo sería un experimento
con estructura bifactorial de tratamiento y estructura de parcelas en bloques completos al
azar. Existen numerosas combinaciones de estructuras de parcela y estructuras de
tratamiento, dependiendo de la jerarquía en la estructura de parcelas y las restricciones a la
aleatorización. Los diseños emergentes se conocen como multifactoriales con restricciones
a la aleatorización.

Estimación de los parámetros de un modelo bifactorial con
interacción para un DCA
Los parámetros del modelo se pueden estimar por el método de mínimos cuadrados. El
número de parámetros a estimar es 1+ a + b + ab, siendo a los niveles del factor A y b los
niveles correspondientes al factor B. Cuando se plantean las ecuaciones normales para
obtener las estimaciones, se encuentran a + b + 1 dependencias lineales por lo cual no
existe una solución única para el sistema de ecuaciones. Para poder obtener una solución, se
deben imponer algunas restricciones. Restricciones comúnmente usadas son:
a

ˆ
∑α
i =1

i

=0

23

b

∑ βˆ
j =1

j

=0

a

∑ (αβ )
i =1

ij

= 0 j = 1,..., b

ij

= 0 i = 1,..., a

b

∑ (αβ )
j =1

Al imponer estas restricciones, se obtienen las siguientes soluciones:
ˆ
µ = y...
ˆ
α í = yi.. − y... i = 1,..., a
ˆ
β j = y. j . − y...

j = 1,..., b

i = 1,..., a
(αβ )i j = yij . − yi.. − y. j . + y... 
 j = 1,..., b
podemos usar estas estimaciones de los parámetros, para estimar el valor esperado de
cualquier observación y obtener así el valor ajustado de yijk.
Luego,
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
yijk = µ + α í + β j + (αβ )i j
ˆ
yijk = y... + ( yi.. − y... )+(y. j . − y... )+(yij . − yi.. − y. j. + y... )
ˆ
yijk = yij .
El disponer de los valores ajustados permite calcular los residuos para el modelo. Estos
residuos se usarán para evaluar el cumplimiento de los supuestos que sustentan el análisis
de la varianza clásico (MMI).

Verificación de supuestos
Los supuestos del análisis de la varianza se refieren a las propiedades estadísticas de los
errores que se suponen normales con esperanza cero, varianza común e independientes.
Existen distintas técnicas de validación de supuestos, pero las mas usuales se basan en los
predictores de los errores, es decir los residuos.
Una vez calculados los residuos se puede verificar el cumplimiento de los supuestos de
normalidad, independencia y homogeneidad de varianzas de los εijk, mediante pruebas de
hipótesis e interpretaciones gráficas como se ha explicado anteriormente. Estas pruebas
usualmente se construyen reparametrizando el modelo factorial como un modelo de celdas,
donde cada celta corresponde a un tratamiento que surge de la combinación de los niveles
de los factores.

Diseños en bloques

24

Introducción
Cuando la UE que se disponen para realizar un experimento no son homogéneas, se debe
reconocer el o los factores que pueden afectar a la respuesta de las distintas UE más allá de
los tratamientos. Estas fuentes de variación deben ser contempladas en el diseño para
disminuir el error experimental. Esto implica reconocer la estructura que tienen las UE.
Esta estructura puede deberse a una variación local, espacial o temporal del material
experimental. Cuando las UE no son homogéneas, pueden no reaccionar o responder a los
tratamientos de la misma manera o con la misma capacidad debido a sus diferencias
intrínsecas, hecho que puede ocurrir aún cuando las UE tengan el mismo aspecto.
La forma tradicional de controlar la variación del material experimental en experiencias
planificadas es formando grupos de UE homogéneas. Estos grupos o estratos, comúnmente
llamados bloques, son de una naturaleza tal que las unidades experimentales dentro de un
bloque, varían menos entre sí que entre los bloques. Reconocidos los grupos de UE
homogéneas, los tratamientos, de ser posible, debieran compararse dentro de cada grupo.
Así se elimina del error experimental la variabilidad debida a los bloques, aumentando en
consecuencia la precisión de las comparaciones de las medias de tratamientos.
Los criterios de bloqueo pueden deberse no sólo a las características relacionadas con las
unidades experimentales sino también, en algunas circunstancias, a aquellas ligadas con la
toma de información o la realización de los tratamientos. A las características relacionadas
con las UE se las denomina naturales mientras que al resto se las llama inducidas. Por
ejemplo, si tenemos un conjunto de UE homogéneas pero algunos subgrupos de este
conjunto son manejados por distintos operarios, estos pueden introducir una fuente de
variación en la respuesta (inducida). En este caso sería apropiado que cada operario trabaje
con todos los tratamientos a comparar.
Los bloques, a su vez, pueden ser fijos o aleatorios. En los dos casos, las hipótesis acerca de
los tratamientos son las mismas, pero el espacio de inferencia es distinto.
Distingamos la situación en que hay uno o más factores que particionan el conjunto de las
unidades experimentales en subconjuntos, tal que la unidades experimentales de un mismo
subconjunto o bloque sean homogéneas (más allá de los tratamientos) en relación a la
respuesta observada.
Ejemplos
En esta figura se observa que hay un efecto 'sombra' sobre el terreno, que determina que los
bloques queden así delimitados.

25

Bloque 1

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Las unidades experimentales que conforman un bloque no necesariamente deben ser
adyacentes, como se muestra a continuación:

26

B1

B2
20
B3
B1

23

21

20

Estas curvas son llamadas de isofertilidad y se construyen uniendo puntos de igual
rendimiento.
Si los tratamientos son asignados respetando este tipo de estructura de parcelas de manera
tal que cada tratamiento aparezca una vez en cada bloque, todos los tratamientos estén en
todos los bloques y la aleatorización se los tratamientos a las UE se realice dentro de cada
bloque, el diseño experimental se denomina diseño en bloques completos al azar (la
aleatorización de los tratamientos se realiza en un bloque, y luego se repite el proceso en
forma independiente en cada uno de los otros bloques).
A modo de ejemplo, un arreglo posible en tres bloques para comparar 4 tratamientos
denotados por A, B, C y D es el siguiente:

Bloque 1

B

A

D

C

Bloque 2

C

D

A

B

Bloque 3

C

A

D

B

Modelo
El modelo para analizar un diseño en bloques completamente aleatorizados (DBCA) sin
estructura factorial de tratamientos es:

yij = µ + τi + βj + εij
donde:

yij es la respuesta del i-ésimo tratamiento en el j-ésimo bloque
27

µ es la media general
τi es el efecto del i-ésimo tratamiento i = 1, ...,a
βj es el efecto del j-ésimo bloque j = 1, ...,b
εij es el término de error aleatorio.

Si se puede suponer que existe aditividad bloque-tratamiento y que los εij

son

independientes e idénticamente distribuidos N (0, σ ) puede obtenerse una prueba exacta
para la hipótesis de igualdad de medias de tratamientos.
Las hipótesis que se somete a prueba en este tipo de diseños es, como en el diseño
completamente aleatorizado a una vía de clasificación, establecida sobre la medias de las
poblaciones relacionadas a cada tratamiento (µi = µ + τi con i = 1, ... ,a):
2

H0 : µ1= µ2= , ... , =µa
H1 : Al menos un par de medias difiere
Observemos que a pesar de haber cambiado, respecto al diseño completamente
aleatorizado, el diseño a nivel de la estructura de UE, las hipótesis que se contrastan en
relación al efecto de tratamientos sigue siendo la misma.
Algebraicamente, en el contexto del ANAVA, existe una forma conveniente de expresar la
magnitud de la variabilidad debida a los bloques en el contexto de las otras fuentes de
variación intervinientes:
SCTotal = SCtratamiento + SCbloque + SCerror
Es decir que la suma de los desvíos cuadrados de cada observación con respecto a la media
general puede ser particionada en tres sumas de cuadrados, una indicadora de las
diferencias entre tratamientos: Suma de Cuadrados de Tratamientos (SCtratamiento), otra
de la diferencia entre bloques: Suma de Cuadrados de Bloques (SCbloque) y otra que
expresa la variación aleatoria de unidades experimentales que recibieron el mismo
tratamiento después de descontar las variaciones debidas a las diferencias entre bloques, es
decir el error experimental: Suma de Cuadrados del Error (SCerror).
Si las diferencias entre unidades experimentales debidas al factor de bloqueo no es
considerada, la Suma de Cuadrados de Bloques se adiciona a la Suma de Cuadrados del
Error. Esto implica que el error experimental aumenta, que no es un indicador de la
varianza innata de la respuesta, y como consecuencia se pierde eficiencia en la prueba de la
hipótesis de interés.
Si los tratamientos son considerados fijos, el valor esperado para el cuadrado medio de
tratamientos es:
E [CMTrat.] = σ2 + b ∑ τi2 / (a-1)
El valor esperado para el cuadrado medio del error (CMR) es σ2 y por tanto podemos
construir un estadístico F a partir del cociente entre estos dos cuadrados medios que se
utiliza para contrastar las hipótesis de interés.

28

Cuadro de Análisis de Varianza para el modelo correspondiente a un DBCA con un
factor tratamiento
Fuente de
Suma de Cuadrados
Grados de
Cuadrado
F
Variación
Libertad
Medio
2
2
Tratamiento
a
gltr=a-1
SCTrat
CMTrat
(Y ) (Y )
CMTrat =
SCTrat = ∑ i. − ..
gltr
CMD
b
ab
i =1
2
Bloque
glbl=b-1
b
SCBloq CMBloq
( Y. j ) − ( Y.. ) 2
CMBloq =
SCBloque = ∑
glbl
CMD
a
ab
j =1
SCD
Error
SCD=SCT-SCTrat-SCBloque
gld=(a-1)(b-1) CMD =
gld

Total

a

b

SCT = ∑∑ Yij2 −
i =1 j =1

( Y.. )

2

.

glt=a b-1

ab

Es importante resaltar que el supuesto de no-interacción entre bloques y tratamientos
(conocido también como supuesto de aditividad es necesario para que el valor observado
para el estadístico F en el experimento particular pueda ser evaluado usando la distribución
F de Snedecor. Existen pruebas desarrolladas por Tukey y Mandel, conocidas como
pruebas de no-aditividad, que permiten controlar formalmente el supuesto de aditividad.
La comparación entre las medias de bloques, en general no es de interés: 1) porque por
construcción se espera que sean diferentes; 2) porque en general no se asocian con
cuestiones de interés, sólo responden a una estrategia para evaluar los tratamientos en
forma más precisa.
Debe recordarse también que la aleatorización fue realizada solo dentro de los bloques, se
dice por ello que el bloqueo representa una restricción a la aleatorización.
Algunos autores, como Anderson y McLean (1974) y Box, Hunter y Hunter (1978),
argumentan que esa restricción de aleatorización impide que el estadístico pueda ser útil
para inferir sobre diferencias entre medias de bloques. Lo que si suele usarse en los diseños
en bloques es el cociente entre CMBloque y CMError como un indicador de la magnitud de
las diferencias entre bloques, que puede ser usado para realizar sugerencias sobre la
necesidad de bloqueo en experiencias futuras similares a la realizada.
Estimación de los parámetros de un modelo en bloques completos aleatorizados
Los parámetros del modelo se pueden estimar por el método de mínimos cuadrados. Para
poder obtener una solución, se deben imponer algunas restricciones. Restricciones
comúnmente usadas son:
a

∑τˆ
i =1

=0

i

b

∑ βˆ
j =1

j

=0

Al imponer estas restricciones, se obtienen las siguientes soluciones:

29

ˆ
µ = y..
ˆ
τ í = yi. − y..
ˆ
β =y −y
j

.j

i = 1,..., a

..

j = 1,..., b

podemos usar estas estimaciones de los parámetros, para estimar el valor esperado de
cualquier observación y obtener así el valor ajustado de yij.
Luego,
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
yij = µ + α í + β j
ˆ
yij = y.. + ( yi. − y.. )+(y. j − y.. )
ˆ
yij = yi. + y. j − y..
El disponer de los valores ajustados (predichos) permite calcular los residuos para el
modelo. Estos residuos se usarán para evaluar el cumplimiento de los supuestos que
sustentan el análisis de la varianza clásico (MMI).

Verificación de supuestos
El análisis de los supuestos del MMI se realiza utilizando las técnicas descriptas
anteriormente. En el caso del DBCA se agrega el supuesto de aditividad bloquetratamiento.
Aditividad bloque-tratamiento:
Como ya se mencionó con anterioridad la estructura de parcelas no debe interactuar con la
estructura de tratamientos, es decir el efecto en este caso de los bloques debe ser aditivo. De
no ser así, seria imposible hacer recomendaciones acerca de los tratamientos en forma
independiente a los bloques. Existen pruebas formales para determinar la presencia de
interacción bloque-tratamiento, entre ellas las propuestas por Mandel y por Tukey. Estas
pruebas no siempre están disponibles en los Software Estadísticos, por lo que se puede
recurrir a métodos gráficos de detección como se ve a continuación:
Sin interacción bloque-tratamiento

Con interacción bloque-tratamiento
35.50

21.50

29.00

respuesta

respuesta

25.50

17.50

22.50

16.00

13.50

9.50

9.50
1

2

3

1

2

bloque 1

bloque 2

3

tratamiento

tratamiento
bloque 3

bloque 1

bloque 2

bloque 3

30

Existe un diseño en bloques llamado DBCA generalizado en el cual los tratamientos se
encuentran repetidos dentro de cada bloque. La existencia de repeticiones permite el
agregado del término de interacción bloque-tratamiento en el modelo de manera tal de
poder realizar la prueba de hipótesis de no interacción en forma directa.

Ejemplo de DBCA con estructura factorial de tratamientos más un
testigo
En una fabrica que embala productos perecederos es de particular importancia la resistencia
de los embalajes. El material de embalaje es plástico termocontraible y los productos
envasados deben pasar por un horno a cierta temperatura para lograr que el envoltorio
plástico se contraiga. La empresa ha estado embalando los productos con un método
tradicional que no le ha dado los resultados esperados.
Decide entonces evaluar nuevos materiales de embalaje. En el mercado le ofrecen 2 nuevos
materiales (N1 y N2) que, a diferencia del tradicional, requieren circulación de aire al entrar
al horno. La velocidad de circulación del aire depende del tamaño de los productos a
embalar, por lo que se decide probar 3 velocidades distintas para el ventilador (1000, 2000
y 3000 rpm). De la combinación de los factores: material, con 2 niveles, y velocidad del
ventilador, con 3 niveles, surge una estructura factorial con 6 tratamientos. Para poder
comparar objetivamente a los 6 tratamientos con el tratamiento tradicional, se coloca un
testigo usando el plástico tradicional sin ventilador, razón por la cual resultan un total de 7
tratamientos.
Se decide hacer 3 repeticiones para la experiencia, pero como no se puede realizar todo el
ensayo en un solo turno de trabajo, se hace una corrida del experimento en cada uno de los
tres turnos, mañana, tarde y noche (M, T y N respectivamente). Si bien no interesa evaluar
el factor turno, este se modela para descontar las posibles diferencias en la respuesta para
cada uno de ellos, es decir se lo usa como factor de bloqueo.
La variable que se mide para evaluar los tratamientos es la resistencia del embalaje. Los
datos están en el archivo embalaje.idb.
A continuación se presenta un ANAVA para un DBCA con estructura factorial de
tratamientos, bajo el siguiente modelo:
Yijk=µ+Materiali+Velocidad+Material*Velocidadij+Turnok+εijk
Variable
N
Resistencia 21

R²
0.82

R²Aj
0.70

CV
21.42

Modelo desbalanceado en celdas.
Se presentan las sumas de cuadrado secuenciales (Tipo I).
Para otra descomposición de la SC del modelo
especifique los contrastes apropiados.
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC Tipo I)
31

F.V.
Modelo
Turno
velocidad
Material
Velocidad*Material
Error
Total

SC
650.91
127.32
89.20
206.89
227.49
145.63
796.53

gl
8
2
3
1
2
12
20

CM
81.36
63.66
29.73
206.89
113.75
12.14

F
Valor p
6.70 0.0019
5.25 0.0231
2.45 0.1138
17.05 0.0014
9.37 0.0035

En el cuadro de ANAVA anterior se puede observar la leyenda modelo desbalanceado en
celdas. Esto es debido a que además de la estructura factorial de tratamientos esta el
agregado del testigo y el modelo resultante tiene celdas faltantes. Puede observarse en la
definición de los tratamientos que las velocidades están en todos los materiales, pero no
todos los materiales están en todas las velocidades.
Cuando existe este tipo de problemas, hay que definir los tratamientos y posteriormente
realizar las comparaciones de interés mediante contrastes.
Puede verse además, que la interacción entre velocidad y material es significativa
(p=0.0035), razón por la cual deberían realizarse contrastes para analizar la interacción.
Los 7 tratamientos del ejemplo pueden definirse como:
Testigo, N1V1, N1V1, N1V3, N2V1, N2V2 y N3V3.
El modelo reparametrizado es:
Yij=µ+Tratamientoi+Turnoj+εij
A partir de este modelo se obtiene el siguiente cuadro de ANAVA:
Variable
N
resistencia1 21

R²
0.82

R²Aj
0.70

CV
21.42

F.V.
SC
gl
CM
F
Valor p
Modelo
650.91 8
81.36 6.70
0.0019
tratamiento 523.58 6
87.26 7.19
0.0020
Turno
127.32 2
63.66 5.25
0.0231
Error
145.63 12
12.14
Total
796.53 20

Se concluye que hay efecto de tratamientos (p=0.0020). Si bien la hipótesis sobre efecto
turno no es de interés y por las restricciones a la aleatorización que implica el hecho de que
los tratamientos se asignaron al azar dentro de cada turno la prueba F para turno no es
valida, no obstante, a partir del valor p=0.0231 se puede inferir que la inclusión de este
factor de bloqueo fue pertinente.

32

A continuación se presentan los contraste ortogonales de interés. El primero contrasta el
testigo versus el promedio del resto de los tratamientos, y como no resultó significativo
(p=0.2886) no hay evidencias para rechazar esta hipótesis.
El segundo contraste compara el promedio del material N1 con el promedio del material N2
y resulto significativo (p=0.0014).
Los contrastes 3 y 4 prueban la hipótesis sobre tendencia lineal y cuadrática de resistencia
en función de velocidad del aire respectivamente. Existe tendencia lineal (p=0.0357) pero
no cuadrática (p=0.4834).
Los contrastes 5 y 6 son los contraste que descomponen la suma de cuadrados de la
interacción velocidad*material (con solo los materiales nuevos). El contraste 5 es para
probar la igualdad de tendencia lineal entre los materiales y se concluye que las tendencias
lineales son diferentes en los materiales nuevos (p=0.0186). El contraste 6 hace lo propio
para la tendencia cuadrática entre los materiales y se concluye que las tendencias
cuadráticas son diferentes en los materiales nuevos (p=0.0186).
Contrastes
tratamiento
Contraste1
Contraste2
Contraste3
Contraste4
Contraste5
Contraste6
Total

SC
14.96
206.89
67.89
6.35
89.83
137.66
523.58

gl
1
1
1
1
1
1
6

CM
14.96
206.89
67.89
6.35
89.83
137.66
87.26

F
Valor p
1.23
0.2886
17.05
0.0014
5.59
0.0357
0.52
0.4834
7.40
0.0186
11.34
0.0056
7.19
0.0020

tratamiento
testigo
V1N1
V1N2
V2N1
V2N2
V3N1
V3N2

Cont. 1 Cont. 2 Cont. 3 Cont. 4 Cont. 5 Cont. 6
-6.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
1.00 -1.00
1.00 -1.00
1.00
1.00 -1.00 -1.00
1.00
1.00 -1.00
1.00
1.00
0.00 -2.00
0.00 -2.00
1.00 -1.00
0.00 -2.00
0.00
2.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00 -1.00
1.00
1.00 -1.00 -1.00

El siguiente gráfico sirve para visualizar los hallazgos:
25

Resistencia

20

15

10

5
0

1000

2000

3000

Velocidad
E

N1

N2

33

Se recomienda el uso del material N1 con la velocidad 2000.
Más allá de los resultados y conclusiones para este ejemplo, es importante visualizar que a
partir de la partición en contrastes ortogonales realizada en el último análisis, se puede
reconstruir la tabla de análisis de varianza presentada en primer término (modelo de efectos
e interacciones) como se muestra a continuación:
Cuadro de Análisis de la Varianza
F.V.
Modelo
Turno
tratamiento

SC
650.91
127.32
523.58

gl
8
2
6

c1(testigo Vs.Resto) 14.96
Material (c2)
206.89
velocidad
74.24
Lineal (c3)
Cuad. (c4)
Velocidad*Material 227.49
Lin*mat (c5)
Cuad*mat (c6)
Error
Total

CM
81.36
63.66
87.26
1
1
2
67.89
6.35

1
1

2
89.83
1
137.66 1

145.63 12
796.53 20

14.96
206.89
37.12
67.89
6.35
113.75
89.83
137.66

F
Valor p
6.70
0.0019
5.25
0.0231
7.19
0.0020
1.23
17.05
3.06
5.59
0.52
9.37
7.40
11.34

0.2886
0.0014
0.0844
0.0357
0.4834
0.0035
0.0186
0.0056

12.14

Verificación de los supuestos
Al tener los tratamientos una estructura factorial, para el análisis de los supuestos es
conveniente obtener los residuos y predichos desde el modelo reparametrizado con efectos
de tratamiento y bloque:
Yij=µ+Tratamientoi+Turnoj+εij

RDUO_resistencia

6.07

2.57

-0.93

-4.43

-7.93
5.18

10.90

16.62

22.34

PRED_resistencia

28.07

Cuantiles observados(RDUO_resistencia)

Con los residuos y predichos de este modelo se obtuvieron los siguientes resultados:
5.43

n= 21 r= 0.963 (RDUO_resistencia)

2.25

-0.93

-4.11

-7.29
-7.29

-4.11

-0.93

2.25

5.43

34

Cuantiles de una Normal(1.6521E-17,7.2813)

Shapiro-Wilks (modificado)
Variable
RDUO_resistencia

n
21

Media D.E.
0.00 2.70

W*
0.96

p (una cola)
0.7850

Análisis de la varianza (Prueba de Levene)
Variable
RABS_resistencia

N
21

R²
0.77

R²Aj
0.62

CV
63.88

F.V.
SC
gl
CM
F
Valor p
Modelo
56.69 8
7.09 5.06
0.0063
Turno
3.74 2
1.87 1.33
0.2997
tratamiento 52.95 6
8.83 6.30
0.0035
Error
16.81 12
1.40
Total
73.51 20

No hay evidencias para rechazar el supuesto distribucional (Shapiro-Wilks, p=0.7850).
La prueba de Levene indica que las varianzas no son homogéneas (p=0.0035). En este caso
quedan dos opciones: si los resultados dejan conforme al investigador, en el sentido que
puede confirmar las hipótesis que se planteó a priori, puede informarse como esta; si por el
contrario el investigador esperaba encontrar resultados diferentes a los encontrados, se
debería probar con una transformación o usar mínimos cuadrados ponderados.
Por último, se muestra un gráfico para evaluar aditividad bloque-tratamiento, en el que no
se evidencia un comportamiento para sospechar de la falta de aditividad.
31.76

resistencia

25.19

18.62

12.04

5.47
testigo

V1N1

V2N1

V3N1

V1N2

V2N2

V3N2

tratamiento
resistencia-M

resistencia-N

resistencia-T

35

Experimentos Multifactoriales con restricciones a la aleatorización
Cuando se tiene una estructura factorial de tratamientos y los tratamientos que la
conforman no pueden ser asignados al azar en las UE, surgen los experimentos con
restricciones a la aleatorización. Estas restricciones deben imponerse ya sea por cuestiones
operativas o por la naturaleza de los factores. En función del momento y la forma de
imponer las restricciones a la aleatorización, y de la forma en que se relacionan los factores
en estudio, surgen los diseños conocidos como en parcelas Divididas, donde los factores
están totalmente cruzados, y los diseños Encajados (también conocidos como jerárquicos o
anidados) donde los niveles de un factor están dentro de los niveles del otro factor.
Ejemplo
Se desea evaluar el efecto que tiene la fecha de siembra en distintas variedades de Soja
sobre el rendimiento del cultivo. El factor fecha de siembra tiene 3 niveles (F1, F2 y F3)
mientras que el efecto variedad tiene 5 niveles (V1, …, V5).
Supongamos que el terreno disponible para el ensayo es totalmente homogéneo en cuanto a
aquellos factores que afectan al rendimiento. En este caso, se podría hacer un diseño
completamente aleatorizado con estructura factorial de tratamientos y si se realizan tres
repeticiones por tratamiento, un arreglo posible sería el siguiente:

F1V4 F3V1 F2V4 F3V5 F1V2
El problema con este experimento completamente aleatorizado es que al sembrar en
distintas fechas se hace muy difícil de manejar. La maquina sembradora es poco
maniobrable y se debe entrar con ella en el ensayo en tres momentos diferentes. En la
figura anterior se han señalado las parcelas con fecha de siembra 1 (F1Vj, j=1,…,5) y se
puede observar el intrincado camino a realizar para realizar la siembra.
Si el terreno no fuera homogéneo y podemos distinguir por ejemplo tres bloques de
unidades experimentales homogéneas, podría haberse utilizado un diseño en bloque
completamente aleatorizados con estructura factorial de tratamientos, y una disposición
podría ser:

36

F1V3 F2V2 F1V5 F1V2 F3V3 Bloque 1
En cualquiera de estos diseños, el DCA y el DBCA, se tiene el problema de que dentro de
una determinada fecha de siembra, las UE a sembrar que están “desordenadas” en el
espacio.
Una solución para este problema es imponer restricciones a la aleatorización de manera tal
que todas las UE de una misma fecha de siembra queden agrupadas. Este tipo de
restricciones a la aleatorización conduce a los diseños en parcelas divididas o a los diseños
anidados dependiendo de cómo se realiza la restricción.

Diseño en parcelas divididas en bloques completos aleatorizados
Supongamos para el ejemplo de las fechas de siembra y variedades que se cuenta con un
terreno como el mostrado en la segunda figura (DBCA).
El diseño bifactorial en parcelas divididas con estructura de parcelas en bloques completos
aleatorizados consiste en imponer las siguientes restricciones:
1) La primer restricción es impuesta por el bloqueo de las UE, es decir, los
tratamientos están en todos los bloques
2) La segunda restricción consiste en dividir cada bloque en lo que se denomina
parcelas principales (PP). En nuestro ejemplo, como el problema eran las distintas
fechas de siembra, se divide el bloque en tres PP, y en cada una de ellas se
aleatoriza una fecha de siembra.

Cada PP tiene tantas UE de menor tamaños como niveles tiene el segundo factor, en este
caso la variedad, con 5 niveles. Estas UE son comúnmente denominadas subparcela (SP).
Por último, dentro de cada PP se aleatorizan las variedades en las SP, es decir no hay
restricciones a este nivel.
Para el ejemplo, un esquema experimental posible sería:

37

F2V1 F2V4 F2V5 F2V3 F2V2 PP
1
2

Bloque 1

3
1
2

Bloque 2

3
1
2

Bloque 3

3
Se puede observar que cada uno de los bloques contiene las tres fechas de siembra en las
PP y en cada PP están aleatorizadas las variedades. Las PP tienen un tamaño mayor que las
subparcelas, motivo por el cual a estos tipos de diseño se los conoce también como diseños
con UE de distintos tamaños.
Al imponer restricciones a la aleatorización, el modelo de análisis cambia y debido a que
las esperanzas de los cuadrados medios se ven afectadas por esta restricción, para cada
factor en el modelo se debe construir la prueba F con el término de error adecuado.
El modelo para un diseño en parcelas divididas en bloque completos aleatorizados con
estructura bifactorial de tratamientos es, para el ejemplo, el siguiente:
Yijk=µ+Fechai+Bloquek+
Fechai*Variedadj + εijk

Fechai*Bloquek

+

Variedadj

+

Variedadj*Bloquek

+

Para evaluar el efecto Fecha se usa como término de error la interacción Fecha*Bloque que
es conocida como error A.
Para evaluar los efectos Variedad, Variedad*Bloque y Fecha*Variedad, se usa el término
de error corriente (error experimental), en este contexto llamado error B.
El efecto de la interacción Variedad*Bloque debe ser nulo, ya que la estructura de parcelas
no debe interactuar con la de tratamientos (supuesto de aditividad). Este término puede
entonces colocarse para contrastar esta hipótesis. Algunos autores sugieren que luego de
verificar el supuesto de aditividad, este término puede eliminarse del modelo, aumentando
38

de esa forma los grados de libertad para el contraste de las hipótesis sobre Variedades y
Variedad*Fecha.
En los diseños en Parcelas Divididas, el factor que se asigna en las PP, en este caso Fecha,
se contrasta con menor precisión que el asignado a las SP, en este caso variedad.
Este tipo de diseño se puede generalizar a más de dos factores, agregando las restricciones
correspondientes. Si se utilizan 2 restricciones a la aleatorizacion, además de la
correspondiente a Bloque si lo hubiere, se dice que el diseño es en parcelas subdivididas.
En este caso, aparece un nuevo término de error, por lo cual los términos de error son tres.
Comúnmente se los denomina A, B y C, siendo este último el error experimental.
Los datos para el ensayo de fechas y variedades en un diseño en parcelas divididas en
bloques completos aleatorizados están en el archivo variedadesPDB.idb.
Los resultados del análisis de varianza se presentan a continuación:
Variable
Rendimiento

N
45

Cuadro de Análisis
F.V.
Modelo
Fecha
Bloque
Bloque*Fecha
Variedad
Bloque*Variedad
Fecha*Variedad
Error
Total

R²
0.97

R² Aj
CV
0.92 6.27

de la Varianza (SC tipo III)
SC
gl
CM
F
1970.77
28
70.38 19.64
364.88
2
182.44 50.27
1369.56
2
684.78 191.04
14.52
4
3.63
1.01
140.41
4
35.10
9.79
49.59
8
6.20
1.73
31.83
8
3.98
1.11
57.35
16
3.58
2028.13
44

valor p
<0.0001
0.0015
<0.0001
0.4302
0.0003
0.1671
0.4066

(Error)
(Bloque*Fecha)

Test:Duncan Alfa:=0.05
Error: 3.6290 gl: 4
Fecha Medias n
1.00
27.12 15
A
3.00
29.54 15
B
2.00
33.99 15
C
Letras distintas indican diferencias significativas(p<= 0.05)
Error: 3.5844 gl: 16
Variedad
Medias n
1.00
28.05 9
A
2.00
28.06 9
A
4.00
31.60 9
B
5.00
31.66 9
B
3.00
31.71 9
B

39

En primer lugar se examina la interacción Fecha*Variedad. Al ser no significativa
(p=0.4066) se pueden evaluar los efectos de Fecha y Variedad por separado. Hay efecto de
Variedad y (p=0.0003) y de Fecha (p=0.0015).
De acuerdo a la prueba de comparaciones múltiples de medias de Duncan se recomienda la
fecha 2 y las variedades 3, 4 o 5 indistintamente.

Diseño en parcelas divididas completamente aleatorizado
Este mismo ensayo del ejemplo se puede realizar sobre un conjunto de UE homogéneas. Se
prepara un conjunto de PP (en este caso 9, tres fechas con tres repeticiones por fe fecha) y
sobre ellas se aleatorizan las fechas. Posteriormente se aleatorizan las variedades en las SP
dentro de cada PP. Un esquema posible para el ejemplo con este tipo de experimento es:

Se puede observar que ahora las fechas y sus repeticiones están completamente
aleatorizadas en las PP.
El modelo para un diseño en parcelas divididas completamente aleatorizado con estructura
bifactorial de tratamientos es, para el ejemplo, el siguiente:
Yijk=µ+Fechai+Repetición(Fecha)k(i) + Variedadj + Fechai*Variedadj + εijk
Las Repeticiones deben declararse para poder obtener el efecto de Repeticiones dentro de
fechas (repeticiones(fechas)). El cuadrado medio de este efecto es usado como término de
error para evaluar el efecto de Fecha (error A). El resto de los efectos de interés, Variedad y
Variedad*Fecha, se contrastan con el error experimental (error B).
Para los datos del ejemplo, que se encuentran en el archivo variedadesDPDCA.idb, se
obtiene los siguientes resultados:
Variable
Rendimiento

N
45

R²
0.82

R² Aj
CV
0.66 8.33

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)

40

F.V.
Modelo
Fecha
Fecha>Repeticiones
Variedad
Variedad*Fecha
Error
Total

SC
636.66
346.24
34.05
161.01
95.36
144.17
780.83

gl
20
2
6
4
8
24
44

CM
31.83
173.12
5.68
40.25
11.92
6.01

F
valor p
5.30
0.0001
30.50
0.0007
0.94
0.4821
6.70
0.0009
1.98
0.0929

(Error)
(Fecha>Repeticiones)

Error: 5.6757 gl: 6
Fecha Medias
n
1
26.63
15
A
3
28.46
15
A
2
33.21
15
B
Error: 6.0070 gl: 24
Variedad
Medias
n
1
27.03
9
A
2
27.68
9
A
B
4
29.63
9
B
C
3
30.67
9
C
D
5
32.17
9
D

En primer lugar se examina la interacción Fecha*Variedad. Al ser no significativa
(p=0.0929) se pueden evaluar los efectos de Fecha y Variedad por separado. Hay efecto de
Variedad y (p=0.0009) y de Fecha (p=0.0007).
De acuerdo a la prueba de comparaciones múltiples de medias de Duncan se recomienda la
fecha 2 y las variedades 3 o 5 indistintamente.

Diseño encajado o anidado
Siguiendo con el ejemplo, supongamos que las 5 variedades que están en una fecha no son
las mismas que están en las otras. Esto es razonable ya que en soja hay variedades de ciclo
corto, variedades de ciclo intermedio y de ciclo largo. Esto implica que a las variedades, en
vez de indicarlas como V1,…,V5, las podríamos haber llamado V1,…,V15. Toda vez que
se pueda indicar como en el segundo caso, decimos que estamos en presencia de un arreglo
encajado. En este tipo de diseños no es de interés estudiar la interacción ya que los niveles
del factor encajado son distintos dentro de cada uno de los factores donde se encajan. En
nuestro ejemplo, si hay distintas variedades en cada fecha de siembra, se tiene un diseño
encajado con los factores Fecha y Variedad dentro de Fecha.
El modelo para el ejemplo es:
Yijk=µ+Fechai +Variedad(Fecha)j(i) + εijk

41

Considerando la fecha y las variedades como fijas, los efectos de Fecha y Variedad(fecha)
se contrastan usando el cuadrado medio del error experimental.
Haciendo el análisis de varianza para los datos del archivo se obtienen los siguientes
resultados:
Variable
N
Rendimiento 45

R²
0.77

R² Aj CV
0.67 8.28

F.V.
SC
gl
CM
F
valor p
Modelo
602.61
14
43.04
7.25 <0.0001
Fecha
346.24
2
173.12
29.14 <0.0001
Fecha>Variedad
256.36
12
21.36
3.60 0.0022
Error
178.22
30
5.94
Total
780.83
44
Error: 5.9408 gl: 30
Fecha Medias
n
1
26.63
15
A
3
28.46
15
B
2
33.21
15
C
Error: 5.9408 gl: 30
Fecha Variedad
Medias
n
1
2
23.56
3
A
3
1
25.53
3
A
B
1
4
26.57
3
A
B
1
1
26.90
3
A
B
1
3
27.23
3
A
B
3
4
28.58
3
B
2
1
28.66
3
B
3
3
28.87
3
B
1
5
28.89
3
B
3
2
29.44
3
B
C
3
5
29.88
3
B
C
2
2
30.03
3
B
C
2
4
33.74
3
C
D
2
3
35.90
3
D
2
5
37.73
3
D

Se observa que hay efecto de fecha (p<0.0001) y efecto de variedad dentro de fecha
(p=0.0022). Se recomienda a partir de la prueba de Duncan, la fecha 2, y dentro de esta, las
variedades 3, 4, o 5.

42

Si se hubiera considerado la Fecha de siembra como aleatoria, el modelo de análisis es el
mismo, pero cambian las esperanzas de los cuadrados medios y por ende la construcción de
las pruebas F. En este caso, si la fecha es aleatoria, su variabilidad debe evaluarse usando el
cuadrado medio de Variedad(fecha) como término de error. Los resultados para un análisis
con fecha como aleatoria y variedad como fija se muestran a continuación:

Variable
N
R²
R² Aj CV
Rendimiento 45
0.77
0.67 8.28
F.V.
Modelo
Fecha
Fecha>Variedad
Error
Total

SC
602.61
346.24
256.36
178.22
780.83

gl
14
2
12
30
44

Error: 5.9408 gl: 30
Fecha Variedad
Medias
1
2
23.56
3
1
25.53
1
4
26.57
1
1
26.90
1
3
27.23
3
4
28.58
2
1
28.66
3
3
28.87
1
5
28.89
3
2
29.44
3
5
29.88
2
2
30.03
2
4
33.74
2
3
35.90
2
5
37.73

CM
43.04
173.12
21.36
5.94

F
7.25
8.10
3.60

valor p
<0.0001
0.0059
0.0022

(Error)
(Fecha>Variedad)

n
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3

A
A
A
A
A

B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B

C
C
C
C


D
D
D

Como la fecha se consideró aleatoria, las hipótesis que se prueban sobre ella son:
H0: La varianza de las fechas es igual a cero
H1: La varianza de las fechas es distinta de cero
La hipótesis de varianza de fechas igual a cero se rechaza (p=0.0059). Se siguen
recomendando las variedades 3, 4, o 5 en la fecha 2.

43

Introducción al análisis de la covarianza
El análisis de la covarianza combina las técnicas del ANAVA con regresión y se usa como
una practica de control local para reducir el error experimental y aumentar la precisión de la
estimación de las medias de tratamiento y las pruebas de hipótesis.
La técnica del análisis de covarianza (ANCOVA) consiste en realizar un análisis de
varianza con la inclusión de una o mas variables regresoras.
Las variables regresoras son conocidas en este contexto como variables concomitantes o
covariables. Las covariables son variables medidas sobre cada una de las unidades
experimentales.
Si bien la medida mas generalizada para el control local o control de la variabilidad de las
UE es el uso de bloques, salvo raras excepciones estos deben definirse antes de comenzar el
ensayo, en cambio las covariables pueden medirse en cualquier momento durante el
experimento. Por otra parte puede ocurrir a veces que el número de UE disponibles para
cada nivel del factor de bloqueo sea insuficiente para realizar todos los tratamientos. En
estos casos, se puede recurrir a bloques incompletos o al control del factor de bloqueo por
una covariable.
Otro caso donde las covariables toman relevancia es cuando hay varios factores de bloqueo
y la estructura de las UE es compleja, determinando un modelo de análisis con muchas
restricciones que se puede tornar ineficiente. La inclusión de una covariable para controlar
un factor solo lleva 1 grado de libertad por factor. En cambio, los factores de bloqueo
requieren de b-1 grados de libertad cada uno, con b igual al número de bloques.
Modelo
El modelo para una análisis de covarianza con una covariable en un DCA tiene la siguiente
expresión:
Yij =µ + τi + β(Xij- X ) + εij , con i=1,...,a y j=1,..,ni
donde:
Yij es la j-ésima respuesta observada en el i-ésimo tratamiento
µ es la media poblacional de la variable respuesta
τi es el efecto del i-ésimo tratamiento

44

β es el coeficiente de regresión promedio de las regresiones de Y sobre X en cada uno de
los a tratamientos
Xij es el valor de la covariable en el i-ésimo tratamiento y la j-ésima repetición
X es el valor promedio de la covariable en todo el ensayo.
εij es un termino de error aleatorio. Bajo los supuestos del modelos de muestreo ideal, los
términos de error asociados a cada una de las observaciones se suponen
independientemente distribuidos, normales, con esperanza 0 y varianza σ2 ∀i,j (Varianza
constante).
Las estimaciones de β son correctas bajo la suposición de que las pendientes de las
regresiones para cada tratamiento son iguales. Otra suposición importante en análisis de
covarianza es que la/s covariable/s no interactuen con los tratamientos y que exista una
relación lineal entre la respuesta y la covariable.
Al ser la covariable independiente de los tratamientos, para obtener soluciones solo es
necesario imponer la restricción usual:

∑τ

i

=0

Para realizar comparaciones de medias de tratamiento estas deben ser previamente
ajustadas por la covariable:
ˆ
Yi ( ajustada ) = Yi − β ( X i − X )
a

ˆ
donde β =

n

∑∑ ( X
i =1 j =1
a

ij

− X i ) ( Yij − Yi )

n

∑∑ ( X
i =1 j =1

ij

− Xi )

2

y su error estándar es:
ˆ
σ Yi ( ajustado)

2
1

X −X)
 + ( i

= CMR
 ni SCresidual ( X ) 



Luego, las hipótesis que se contrastan en el ANCOVA de efectos fijos se realizan sobre las
medias ajustadas y pueden expresarse como:
H0: µ1(aj) = µ2(aj) = ...= µa(aj) versus
H1: Al menos un par de medias ajustadas difiere
O alternativamente como:
H0: τ1(aj) = τ2(aj) = ...= τa(aj)=0 versus
H1: Al menos un τi(aj) ≠0

45

Conceptos preliminares

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Conceptos preliminares

Similar a Conceptos preliminares (20)

Conceptos preliminares