Backsc cone spanish

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  1. 1. Propagaci´n de luz en medios turbios o Jaime G´mez Rivas o La propagaci´n de la luz en medios turbios ha sido objeto de un intensivo estudio en los ultimos o ´ a˜os. Un medio turbio es aquel en el que se produce dispersi´n m´ltiple de luz. Existen interesantes n o u similitudes entre el transporte de electrones en s´lidos desordernados y de la luz en medios turbios, o habiendo constitu´ un reto durante a˜os la observaci´n del an´logo para la luz a la localizaci´n ıdo n o a o de Anderson en sistemas electr´nicos. En este art´ o ıculo se hace una introducci´n a los aspectos m´s o a relevantes del transporte de la luz en medios turbios y de la localizaci´n de Anderson. o ´ I. INTRODUCCION. transporte de electrones en materiales no cristalinos o con grandes concentraciones de impurezas y de la luz en La luz se propaga en l´ ınea recta con intensidad con- medios turbios, el estudio de la propagaci´n de la luz en ostante hasta que encuentra un obst´culo. Cuando esto a estos medios ha recobrado inter´s. eocurre dos posibles situaciones pueden darse: la luz es En la segunda secci´n de este art´ o ıculo se introduceabsorbida (la intensidad deja de ser constante) o es dis- brevemente la dispersi´n simple. Las siguientes secciones opersada (la direcci´n de propagaci´n cambia). Cuando o o estan dedicadas a la dispersi´n m´ltiple y a la propa- o ula luz encuentra m´s de un obst´culo en su propagaci´n a a o gaci´n de la luz en medios turbios. En la tercera secci´n o oa trav´s de un medio tenemos que en el medio se produce e se justifica el uso de la ecuaci´n de difusi´n en la de- o odispersi´n m´ltiple de luz. Si el medio pierde su trans- o u scripci´n de la propagaci´n de la luz, despreciando por o oparencia debido a la dispersi´n m´ltiple decimos que el o u tanto la interferencia de ondas. En las secciones IV ymedio es turbio. V se plantean dos situaciones en las que la interferen- Es mi intenci´n introducir en este art´ o ıculo algunos cia ha de ser inclu´ ıda: la retrodispersi´n coherente y la oconceptos b´sicos de la dispersi´n m´ltiple de luz y de a o u localizaci´n de Anderson. ola propagaci´n de la luz en medios turbios. He inten- otado mantener un nivel elemental para que la lectura sea ´ II. DISPERSION SIMPLE.amena. Especial inter´s ha sido puesto en los concep- etos b´sicos de la retrodispersi´n coherente y de la local- a oizaci´n de Anderson. La localizaci´n de Anderson para la o o El estudio de la dispersi´n m´ltiple de luz exige un pre- o uluz ha sido observada tan solo recientemente, habriendo vio conocimiento de la dispersi´n simple. La dispersi´n o oel campo a nuevos estudios. por un solo obst´culo o dispersi´n simple es de por si un a o Dispersi´n m´ltiple de luz es un fen´meno que encon- o u o complicado problema no resoluble en muchas ocasiones.tramos frecuentemente en nuestra vida cotidiana. La luz El incidente campo electromagn´tico o luz, polariza al eque nos llega del sol en un d´ nublado sufre de dispersi´n ıa o obst´culo. Esta polarizaci´n genera un nuevo campo a om´ltiple cuando atraviesa las nubes. La leche, la nieve, la u electromagn´tico en, y alrededor del obst´culo que in- e aarena de una playa, el tejido humano son tambi´n medios e fluencia su polarizaci´n etc, etc. El resultante campo oturbios. En general, cuando en un objeto la dispersi´n es o electromagn´tico o la luz dispersada por el obst´culo es e aeficiente para todos los colores o longitudes de onda en el por lo tanto el resultado de un complejo proceso de re-visible el objeto es blanco, mientras que si la absorci´n o cursi´n. Sin embargo para obst´culos que son mucho o aes eficiente para todos los colores el objeto es negro. mayores o mucho menores que la longitud de onda de la Durante a˜os los experimentos en medios turbios n luz, λ, el resultado es relativamente sencillo. Podemosfueron eludidos. Las complicaciones introducidas por la dividir el problema de la dispersi´n simple en tres difer- odispersi´n m´ltiple aconsejaron a los investigadores es- o u entes reg´ımenes: Si la luz encuentra en su propagaci´n un otudiar sistemas m´s sencillos. No es de extra˜ar que los a n obst´culo de dimensiones mucho mayores que λ estamos aprimeros pasos en el estudio de la dispersi´n m´ltiple o u en lo que se conoce como el l´ımite de la ´ptica geom´trica. o ede luz fueran dados por astrof´ ısicos. Los astrof´ ısicos no Si el obst´culo es mucho menor que λ nos encontramos apueden permitirse variar las condiciones de sus ”exper- en el l´ımite de Rayleigh y en el caso intermedio tenemosimentos”. Tienen que limitarse a observar la luz que el r´gimen de dispersi´n de Mie. e ollega a los telescopios. La luz producida en las estrel- En el l´ımite de la ´ptica geom´trica la dispersi´n es o e olas es dispersada en el n´cleo y en la atm´sfera estelar. u o descrita por las leyes de Snell para la reflexi´n y la re- oPara comprender las lineas de emisi´n y absorci´n de o o fracci´n y los coeficientes de Fresnel para las amplitudes ouna atm´sfera estelar es necesario incluir los efectos de o de la onda dispersada.la dispersi´n m´ltiple. Tambi´n la luz que nos llega de o u e Si un haz de luz incide sobre un obst´culo, la canti- aestrellas o galaxias lejanas ha atravesado nubes de polvo dad de luz removida del haz debido a la dispersi´n viene ointerestelar donde se produce dispersi´n m´ltiple. o u dada por la cantidad de luz del haz que incide sobre un Debido a las m´ltiples similitudes que hay entre el u ´rea igual a la secci´n eficaz de dispersi´n del obst´culo, a o o a 1
  2. 2. σ. En el l´ ımite de la ´ptica geom´trica la secci´n efi- o e ocaz de dispersi´n es igual a 2S, donde S es la secci´n o ogeom´trica del obst´culo o su area proyectada en el plano e a ´ 8perpendicular a la direcci´n de propagaci´n del haz inci- o odente. A primera vista parece err´neo que en un objeto ode grandes dimensiones con respecto a λ, σ no sea igual 6a S. El origen de esta discrepancia est´ en los bordes de ala secci´n geom´trica donde la aproximaci´n de la optica o e o ´geom´trica no es v´lida. As´ pues, tenemos que adem´s e a ı a σ/S 4de la luz interceptada por S hay una contribuci´n ex- otra a la dispersi´n proveniente de los bordes de S. El ofactor de eficiencia de dispersi´n, Q, es definido como el o 2cociente entre la secci´n eficaz de dispersi´n y la secci´n o o ogeom´trica del obst´culo, Q = σ/S. e a 0 En el l´ımite de Rayleigh tan s´lo el dipolo inducido por o 0 2 4 6 8 10la luz incidente sobre el obst´culo (o en este caso mas bien a 2πa/λla part´ıcula) contribuye a la dispersi´n. En este l´ o ımite lasecci´n eficaz de dispersi´n es proporcional a 1/λ4 . Esta o ointensa dependencia de σ con la longitud de onda es laresponsable del color del cielo en una puesta de sol: σes mayor para longitudes de onda cortas. Es decir, la FIG. 1. Factor de eficiencia de dispersi´n de una esfera con odispersi´n es m´s eficiente para el azul que para el rojo. o a ındice de refracci´n n = 2.7 y de radio a en funci´n de 2πa/λ, ´ o oSi miramos en la direcci´n del sol, el cielo aparece rojizo o donde λ es la longitud de onda de la luz incidente en la esfera.porque la luz que nos llega no ha sido dispersada en supropagaci´n a trav´s de la atm´sfera terrestre. En otras o e odirecciones vemos la luz dispersada, siendo la dispersi´n o ´ ´ ´ III. DISPERSION MULTIPLE Y DIFUSION DEm´s eficiente para el azul, el cielo adquiere su aspecto a LUZ.azulado. En el r´gimen de dispersi´n de Mie el problema de e ola dispersi´n simple es bastante m´s complicado. Tan o a Un concepto fundamental en la descripci´n de la dis- os´lo existe soluci´n exacta para obst´culos con geometr´ o o a ıa persi´n m´ltiple de luz es el recorrido libre medio, l. El o uesf´rica. Fu´ Mie quien, en 1908, present´ la soluci´n e e o o recorrido libre medio es la longitud caracter´ ıstica queal problema de la dispersi´n por dichos obst´culos que o a describe el proceso de dispersi´n y es definido como la odesde entonces son conocidos como dispersores de Mie. distancia promedio que recorre la luz entre dos disper-Un dispersor de Mie puede ser descrito como un con- siones consecutivas. En un medio turbio, el recorrido li-junto de elementos de volumen, dV , de dimensiones mu- bre medio puede ser expresado, en primera aproximaci´n,ocho menores que λ. La dispersi´n es por tanto el resul- o en t´rminos de la secci´n efficaz de dispersi´n: e o otado de un conjunto de dispersores de Rayleigh actuando 1de forma simult´nea. Debio a consideraciones puramente a l (1) ρσgeom´tricas, interferencia de ondas dispersadas en distin- etos dV han de tenerse en cuenta. En la figura 1 aparece donde ρ es la densidad de obst´culos o dispersores en el arepresentado el factor de eficiencia de dispersi´n de una o medio. Cuando la luz se propaga en semejante medio loesfera con ´ ındice de refracci´n, n, igual a 2.7 ∗ en funci´n o o hace siguiendo trayectorias aleatorias, se dice que la luzde 2πa/λ, donde a es el radio de la esfera. La soluci´n o realiza un ”random walk” con pasos de longitud l si lade Mie es una complicada suma de funciones de Bessel y dispersi´n es is´tropa. Que la dispersi´n sea is´tropa sig- o o o opotenciales de Hertz. Este complicado comportamiento nifica que la luz pierde la informaci´n sobre su direcci´n o opuede apreciarse en el gran n´mero de resonancias que u de procedencia tras cada dispersi´n. Si iluminamos con opresenta Q. una onda plana (por ejemplo con un laser) una muestra que contiene peque˜as part´ n ıculas (por ejemplo de TiO2 ), la luz se propaga siguiendo diferentes trayectorias, tal y como se muestra en la figura 2. ∗ El ´ ındice de refracci´n en el visible de TiO2 es 2.7. TiO2 oes un material diel´ctrico que debido a su elevado indice de erefracci´n ha sido intensivamente utilizado en experimentos ode dispersi´n m´ltiple de luz. o u 2
  3. 3. puede ser descrito, con bastante precisi´n, por medio de o la ecuaci´n de difusi´n con el coeficiente de difusi´n: o o o 1 D= vl , (3) 3 donde v es la velocidad de propagaci´n de la luz en el o medio y l hab´ sido definido como el recorrido libre ıa medio. El uso de la ecuaci´n de difusi´n simplifica enor- o o mente la descripci´n del transporte en medios turbios. o Podemos decir que la luz se propaga como las bolas en un ”pinball”. La intensidad transmitida a trav´s de un e medio turbio de grosor L y en el que sus otras dos dimen- L siones son mucho mayores que L, que es iluminado por una onda plana en una de sus caras, puede ser obtenida solucionando la ecuaci´n de difusi´n para esta geometr´ o o ıa espec´ıfica. Esta intensidad viene dada por: FIG. 2. Algunas de las posibles trayectorias que sigue la lluz cuando se propaga en un medio turbio. I I0 , (4) L donde I0 es la intensidad de la onda incidente. Por lo tanto en un dia nublado cuanto mayor es el grosor de las nubes o cuanto m´s densas son estas (menor es l) menos a intensa es la luz que nos llega. A I A I II B II FIG. 3. Dos de las posibles trayectorias que puede tomarla luz en su propagaci´n en un medio turbio desde A a B. o Cuando estudiamos la propagaci´n de una onda entre odos puntos (figura 3), todas las posibles trayectorias han FIG. 4. Trayectoria cerrada (de A a A) que puede seguir lade tenerse en cuenta. Por simplicar, en la figura 3 tan luz en un medio turbio. Esta trayectoria puede ser recorridasolo se muestran dos de esas trayectorias. Llamando aI en sentidos opuestos.y aII a las amplitudes complejas de la onda a lo largo delas trayectorias I y II respectivamente, la probabilidad, ´ IV. RETRODISPERSION COHERENTEP , que tiene la onda de llegar a B desde A (o la intesidadde la onda en B habiendo sido emitida desde A) vienedada por el cuadrado de la suma de las amplitudes: En la secci´n anterior se dijo que el t´rmino de in- o e terferencia de la luz propagando entre dos puntos de un P = (aI + aII )2 = a2 + a2 + 2aI aII I II (2) medio turbio es cero si consideramos todas las posibles trayectorias entre dichos puntos. Sin embargo esto noa2 y a2 constituyen los t´rminos incoherentes mientras I II e es completamente correcto. Existe un tipo de interferen-que 2aI aII es el t´rmino de interferencia de las ondas e cia que siempre sobrevive al desorden. Esta interferenciaque han propagado siguiendo trayectorias distintas. Al ocurre en la direcci´n de retrodispersi´n. Las ondas que o oconsiderar todas las posibles trayectorias, los t´rminos de e viajan a lo largo de una trayectoria en sentidos opuestosinterferencia tendr´n distintas magnitudes y signos. Por a estan siempre en fase y por lo tanto interfieren construc-lo tanto se cancelar´n entre ellos y en promedio podemos a tivamente. Para entender ´sto mejor podemos considerar edescribir la propagaci´n de la luz sin considerar la in- o la probabilidad que tiene una onda de regresar al puntoterferencia. Este resultado tiene importantes consecuen- de partida tras propagar a lo largo de una trayectoria encias, ya que al obviar la interferencia, el transporte de luz un medio turbio. 3
  4. 4. senta la trayectoria de una onda que es dispersada tan s´lo tres veces. La diferencia de fase entre los dos caminos o representados en la figura 5 viene expresada por: 2π 4π ∆φ = r[sin α − sin(α − θ)] = r cos(α − θ/2) sin(θ/2) . λ λ r (5) α Claramente, en la direcci´n de retrodispersi´n (θ = 0) o o ∆φ = 0 y la interferencia es constructiva. Al incrementar θ θ la interferencia en una trayectoria oscilar´ entre inter- a ferencia constructiva y destructiva, tal y como aparece θ ilustrado en la figura 6. En la figura 6 la intensidad de- bida a tres posibles trayectorias se representa en funci´n o de θ. En la direcci´n de retrodispersi´n todas las trayec- o o torias contribuyen constructivamente a la interferencia. FIG. 5. Trayectorias recorridas en sentidos opuestos por la Este fen´meno se denomina retrodispersi´n coherente y o oluz en un medio turbio. En la direcci´n de retrodispersi´n o o al incremento de la intensidad en torno a θ = 0 se le de-(θ = 0) la longitud de ambas trayectorias es la misma, siendo nomina cono de retrodispersi´n y aperece representado ola diferencia de fase 0. en la figura 7. El cono de retrodispersi´n fue por vez o primera observado en 1985. Tal y como se ilustra en la figura 8, en este experimento la luz de un laser era envi- ada a traves de un beamsplitter e incid´ en un muestra ıa compuesta por peque˜as part´ n ıculas que actuaban de dis- persores. La luz dispersada por la muestra en la direcci´n o de retrodispersi´n era reflejada por el beam splitter e in- o cid´ en el detector. El detector era movido alrededor de ıa I la posici´n de retrodispersi´n registrando el cambio en la o o intensidad. Cono de Retrodispersion Intensidad 0 θ FIG. 6. Intensidad en funci´n del ´ngulo que forma la di- o a Luz difusa reflejadarecci´n del haz incidente con la direcci´n de observaci´n para o o otres trayectoria en un medio turbio. La intensidad oscila enfunci´n de la diferencia de fase de las ondas propagando en o 0 θsentidos opuestos. FIG. 7. Intensidad de la luz dispersada por un medio turbio Tal y como aparece ilustrado en la figura 4, dicha en funci´n del ´ngulo que forma la direcci´n del haz incidente o a otrayectoria puede ser recorrida en sentidos opuestos, con la direcci´n de observaci´n. Para ´ngulos en torno a o o asiendo la longitud de ambos caminos igual y por tanto 0 la intensidad es superior al fondo de luz difusa (cono dela diferencia de fase, ∆φ, igual a 0. Por consiguiente, si retrodispersi´n). oiluminamos con una onda plana un medio turbio y ob-servamos la intensidad de la luz difusa reflejada tenemos Tras este primer experimento hubo un creciente inter´s eque ´sta presenta un m´ximo en la direcci´n de retrodis- e a o en el campo de la dispersi´n m´ltiple de luz. La retrodis- o upersi´n. Si la direcci´n de observaci´n no es exactamente o o o persi´n coherente fu´ identificada como la precursora de o eigual a la direcci´n en la que incide la onda se genera una o la localizaci´n de Anderson de la luz (secci´n 5) y fue o odiferencia de fase entre las ondas que propagan en sen- denominada localizaci´n debil. Importante informaci´n o otidos opuestos. La diferencia de fase se incrementa con del medio turbio puede ser extra´ del analisis de la ıdael ´ngulo que forman ambas direcciones. Esto aparece a forma del cono de retrodispersi´n, como puede ser l y la oilustrado en la figura 5 donde por simplificar se repre- absorci´n del medio. o 4
  5. 5. donde k = 2π/λ es el vector de ondas, la onda se encuen- Detector tra localizada. El criterio de Ioffe-Regel viene a decir que si la onda dispersada no puede realizar un oscilaci´n o completa antes de volver a ser dispersada se encuentra Beam Splitter localizada. Para entender mejor las diferencias entre la localizaci´n o de Anderson para electrones y para la luz conviene com- Laser parar la ecuaci´n de Schr¨dinger y la ecuaci´n de ondas o o o Muestra electromagn´ticas. En un s´lido desordenado, la ecuaci´n e o o de Schr¨dinger para un electr´n de masa efectiva m∗ , o o donde m∗ es el equivalente cu´ntico a la masa del electr´n a o FIG. 8. Representaci´n esquem´tica del experimento us- o a propagando en el s´lido, viene expresada por: oado para medir el cono de retrodispersi´n de un medio turbio. o ¯2 2 h ∇ ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) . − 2m∗ ´ V. LOCALIZACION DE ANDERSON. V (x) es el potencial que var´ espacialmente de forma ıa aleatoria. Es por tanto el t´rmino que considera el des- e En 1958 P.W. Anderson propuso que el desorden en orden en el s´lido. Electrones con energ´ E, suficien- o ıas,ciertos s´lidos cristalinos era el responsable de la tran- o temente negativas quedar´n atrapados en regiones donde asici´n de conductor a aislante que experimentaban dichos o el potencial es profundo tal y como se representa en las´lidos a bajas temperaturas. Pero no fue hasta media- o figura 9. En este caso, la probabilidad de que el electr´n odos de los a˜os 80 cuando ´ste fen´meno fu´ asociado con n e o e pueda propagar vendr´ determinada por la probabilidad ala interferencia de ondas y por lo tanto fue predicho que que tiene de cruzar las barreras de potencial por efectotambi´n ten´ que existir el an´logo a la localizaci´n de e ıa a o tunel. Esta probabilidad decrece exponencialmente conAnderson para la luz. la distancia, por lo que a bajas temperaturas los elec- A finales de 1997 fue publicado (ver referencias) el trones est´n espacialmente localizados y la conductividad aprimer art´ ıculo en el que se presentan medidas de la lo- se desvanece.calizaci´n de Anderson para la luz. M´s adelante vere- o amos los motivos por los que ha transcurrido tanto tiempodesde que la localizaci´n de Anderson fue observada para o Potencialelectrones hasta que ha sido realizada para la luz. Peroprimero veamos en que consiste la localizaci´n de Ander- o Posicionson. Localizaci´n puede ser facilmente entendida en o electront´rminos de la retrodispersi´n coherente. Supongamos e o Potential de dispersion fotonun medio turbio en el que la densidad de obst´culos aes peque˜a. El area ocupada por la secci´n eficaz de n ´ odispersi´n de los obst´culos es mucho menor que el o a´rea no ocupada por ´sta. En este caso la probabili-a e Posiciondad de que la luz retorne al punto de partida o realizeun trayectoria cerrada como la de la figura 4, aunquecomo vimos es superior a la probabilidad de que no re-torne, es muy peque˜a. Si incrementamos la densidad de nobst´culos, o equivalemete reducimos el recorrido libre amedio (ecuaci´n 1), la probabilidad de retorno se ver´ o a FIG. 9. Parte superior: electr´n en un s´lido desordenado. o oincrementada. Eventualmente podremos crear un medio Parte inferior: fot´n en un medio turbio oen el que la esta probabilidad domine y la luz se encuentrerealizando trayectorias cerradas sin poder propagar mas En el caso deall´ de distancias superiores a la denominada distancia a una onda electromagn´tica monocrom´tica de frecuen- e ade coherencia, ξ. La luz estar´ por tanto localizada espa- a cia ω propagando en un medio turbio y en ausencia decialmente en un volumen igual a ξ 3 . Localizaci´n puede o absorci´n, la ecuaci´n de ondas para el campo el´ctrico, o o eser interpretada como la ausencia de difusi´n de la luz o E, puede ser escrita de forma muy similar a la ecuaci´n oen presencia de desorden: D → 0 si la onda se encuen- de Schr¨dinger: otra localizada. ?Cuanto hay que reducir l para inducir ω2 ω2localizaci´n de Anderson?. La respuesta es dada por el o −∇2 E + ∇(∇ · E) − 2 (x)E = 0 2 E c ccriterio de localizaci´n de Ioffe-Regel que dice que si o donde c es la velocidad de la luz, 0 es la constante kl ≤ 1 , (6) diel´ctrica efectiva del medio o la constante diel´ctrica del e e 5
  6. 6. medio consider´ndolo homog´neo y (x) es la variaci´n a e o VII. AGRADECIMIENTOSespacial de la constante diel´ctrica debida a la presencia ede dispersores (la constante dielectrica no es igual en un Me gustar´ agradecer al profesor F. Ritort el haberme ıadispersor que en medio que le rodea). El an´logo a V (x) a animado a escribir este art´ ıculo y a la Comisi´n Europea oen la ecuaci´n de ondas es (x)ω 2 /c2 . Es importante re- o por financiar mis estudios de doctorado con la beca Nosaltar dos aspectos cuando se comparan la ecuaci´n de o ERBFMBICT971921.Schr¨dinger y la ecuaci´n de ondas. El primero es que o oel t´rmino ω 2 /c2 , que es el an´logo al valor propio de e ala energ´ de los electrones, es siempre positivo. Esto ıa VIII. BIBLIOGRAF´ IAimplica que no es posible tener estados ligados para laluz como aparece ilustrado en la figura 9. El otro impor- Born M. y Wolf E., Principles of optics, Cambridgetante aspecto es que el t´rmino asociado con el desorden, e University Press. (x)ω 2 /c2 , depende de la frecuencia (o equivalentemente Genack A.Z., Optical Transmission in disorded media,de λ). Este aspecto fue introducido en la secci´n II donde o Phys. Rev. Lett., 58, 2043 (1987).se vio la dependencia de la secci´n eficaz de dispersi´n o o Van Albada M.P., van der Mark M.B. y Lagendijkde un obst´culo con la longitud de onda. Por lo tanto, a A., Experiments on weak localization of ligth and theircontrariamente a en sistemas electr´nicos donde una re- o interpretation en Scattering and localization of classicalducci´n de la energ´ de los electrones produce un incre- o ıa waves in random media, Editor Sheng P., World Scien-mento de la localizaci´n, en el caso de la luz la reducci´n o o tific (1990).de la energ´ (o aumento de la longitud de onda) da lu- ıa John S., Localization of Light, Physics Today, Mayogar a una reducci´n de la secci´n eficaz de dispersi´n y o o o 1991.por lo tanto a un incremento de l (recuerdese el l´ ımite de Wiersma D.S., Bartolini P., Lagendijk A. y RighiniRayleigh). El valor kl se alejar´ del deseado criterio de a R., Localization of light in a disordered medium, Nature,Ioffe-Regel. Ahora esta claro porque es tan dificil crear Diciembre 1997.un medio donde tenga lugar la localizaci´n de Anderson opara la luz. Si en un medio se puede dar la localizaci´n ode Anderson para la luz, ´sta tendr´ lugar tan s´lo para e a odeterminadas λ. En concreto, localizaci´n podr´ estable- o acerse en el regimen de dispersi´n de Mie, es decir para λ oen las que la secci´n efficaz de dispersi´n es m´xima. o o a La ecuaci´n 4 representa la intesidad de la luz transmi- otida que ha propagado difusivamente en el medio turbio.Si la luz se encuentra localizada no puede propagarse,por lo que la intensidad transmitida decrece exponen-cialmente con la distancia. Un medio en el que tengalugar la localizaci´n de Anderson se comportar´ por lo o atanto como un reflector perfecto. VI. CONCLUSIONES En este art´ıculo se han presentado algunos conceptosde la propagaci´n de luz en medios turbios. Esta propa- ogaci´n puede ser, en general, bastante bien descrita por omedio de la ecuaci´n de difusi´n. La ecuaci´n de di- o o ofusi´n desprecia la interferencia de ondas que propagan oa lo largo de trayectorias distintas. Sin embargo en la di-recci´n de retrodispersi´n la interferencia no es en prome- o odio nula dando lugar al cono de retrodispersi´n. Cuando oel desorden es incrementado, reduciendose el recorridolibre medio de la luz, puede inducirse la localizaci´n ode Anderson. El que la luz este localizada significaque se encuentra recorriendo trayectorias cerradas inter-firiendo constructivamente las ondas que recorren dichastrayectorias en sentidos opuestos. Localizaci´n implica ola ausencia de difusi´n de luz. o 6

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