Short conference developed at Universidad de Córdoba (Spain) in 2004 based in scattering of X-rays, neutrons, and light. Subject: solid state physics

1. Dispersión inelástica deDispersión inelástica de
rayos X, neutrones y luzrayos X, neutrones y luz
mediante fononesmediante fonones
Javier García MollejaJavier García Molleja
Fco. Javier López AlcarazFco. Javier López Alcaraz
José Rojas PeñaJosé Rojas Peña

2. 1. Introducción1. Introducción
Las curvas de dispersión de fonones enLas curvas de dispersión de fonones en
los cristales están determinadas por lalos cristales están determinadas por la
dispersión inelástica de rayos X odispersión inelástica de rayos X o
neutrones en estos materiales.neutrones en estos materiales.
Vimos que la dispersión elástica nos sirvióVimos que la dispersión elástica nos sirvió
para conocer la estructura cristalina de laspara conocer la estructura cristalina de las
sustancias, así como sus modos desustancias, así como sus modos de
vibración, todo ello gracias a la ley devibración, todo ello gracias a la ley de
Bragg.Bragg.

3. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
Un pulso incidente sobreUn pulso incidente sobre
el cristal se dispersael cristal se dispersa
mediante una onda de lamediante una onda de la
red con vector de ondared con vector de onda qq..
Cuánticamente esto seCuánticamente esto se
interpreta como que uninterpreta como que un
fotón incidente absorbefotón incidente absorbe
un fonón y se dispersa.un fonón y se dispersa.
Esto obedece a la ley deEsto obedece a la ley de
conservación delconservación del
momento.momento.
0k k q= +
r r r

4. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
Se ve que el momento transferido al fotónSe ve que el momento transferido al fotón
es igual al momento del fonón absorbido.es igual al momento del fonón absorbido.
Esto también se puede ver como si losEsto también se puede ver como si los
rayos X emitiesen un fonón de vector derayos X emitiesen un fonón de vector de
onda –onda –qq..
De este modo la onda de la red viajaría enDe este modo la onda de la red viajaría en
la dirección opuesta a la que se habíala dirección opuesta a la que se había
considerado.considerado.

5. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
En el proceso también se conserva la energía.En el proceso también se conserva la energía.
Los signos indican si el fonón absorbido (+) oLos signos indican si el fonón absorbido (+) o
emitido (-).emitido (-).
Si analizamos el espectro observaremos dosSi analizamos el espectro observaremos dos
líneas desplazadas simétricamente de lalíneas desplazadas simétricamente de la
frecuencia central.frecuencia central.
Conocemos así la frecuencia de los fonones.Conocemos así la frecuencia de los fonones.
0 ( )qω ω ω= ±
r

6. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
Podemos conocer elPodemos conocer el
valor del vector devalor del vector de
onda del fonón.onda del fonón.
Asumimos que laAsumimos que la
frecuencia del fonónfrecuencia del fonón
es demasiadoes demasiado
pequeña comparadapequeña comparada
con la frecuencia decon la frecuencia de
los fotoneslos fotones
incidentes.incidentes.
0
2 ( )q n sen
c
ω
θ=

7. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
Midiendo entonces el desplazamiento deMidiendo entonces el desplazamiento de
la frecuencia y el ángulo de dispersiónla frecuencia y el ángulo de dispersión
determinaremos el vector de onda y ladeterminaremos el vector de onda y la
frecuencia del fonón.frecuencia del fonón.
Esto nos ayuda a encontrar un punto de laEsto nos ayuda a encontrar un punto de la
curva de dispersión.curva de dispersión.
Para conocerlos todos deberemos rotar elPara conocerlos todos deberemos rotar el
cristal.cristal.

8. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
Esta técnica no nos sirve a la hora deEsta técnica no nos sirve a la hora de
conocer el desplazamiento de laconocer el desplazamiento de la
frecuencia en el estudio de lasfrecuencia en el estudio de las
vibraciones de la red.vibraciones de la red.
Esto se debe a que la frecuencia del fotónEsto se debe a que la frecuencia del fotón
incidente es altísima en comparación conincidente es altísima en comparación con
la del fonón y por tanto la resolución della del fonón y por tanto la resolución del
experimento no será muy buena.experimento no será muy buena.

9. 2. Dispersión inelástica de los2. Dispersión inelástica de los
rayos Xrayos X
Todo esto también puede verse medianteTodo esto también puede verse mediante
un tratamiento clásico.un tratamiento clásico.
Sólo es necesario considerar la difracciónSólo es necesario considerar la difracción
de Bragg y el desplazamiento producidode Bragg y el desplazamiento producido
por el efecto Doppler.por el efecto Doppler.

10. 3. Dispersión inelástica de los3. Dispersión inelástica de los
neutronesneutrones
Es un proceso muy parecido al de los rayos X.Es un proceso muy parecido al de los rayos X.
Aquí también se conservan el momento y laAquí también se conservan el momento y la
energía.energía.
La frecuencia del neutrón (frecuencia deLa frecuencia del neutrón (frecuencia de
Einstein) está relacionada con la energía.Einstein) está relacionada con la energía.
E
ω =
h

11. 3. Dispersión inelástica de los3. Dispersión inelástica de los
neutronesneutrones
Con este método podemos determinar lasCon este método podemos determinar las
curvas de dispersión.curvas de dispersión.
La ventaja de este tipo de dispersión frente a laLa ventaja de este tipo de dispersión frente a la
de los rayos X es que la energía de un neutrónde los rayos X es que la energía de un neutrón
térmico es del mismo orden que la de lostérmico es del mismo orden que la de los
fonones del cristal.fonones del cristal.
Ahora el desplazamiento relativo en laAhora el desplazamiento relativo en la
frecuencia es apreciable y puede ser medidofrecuencia es apreciable y puede ser medido
con gran aproximación.con gran aproximación.

12. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
Los fotones visibles también pueden serLos fotones visibles también pueden ser
dispersados por los fonones.dispersados por los fonones.
Si el fonón es acústico estamos en elSi el fonón es acústico estamos en el
proceso de la dispersión de Brillouin.proceso de la dispersión de Brillouin.
Si el fonón es óptico estamos en elSi el fonón es óptico estamos en el
proceso de la dispersión de Raman.proceso de la dispersión de Raman.

13. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
En el caso de la dispersión de BrillouinEn el caso de la dispersión de Brillouin
podemos estudiar la ley de conservaciónpodemos estudiar la ley de conservación
de la energía.de la energía.
El espectro señala dos líneasEl espectro señala dos líneas
desplazadas de la frecuencia incidente,desplazadas de la frecuencia incidente,
tanto como lo indique la frecuencia deltanto como lo indique la frecuencia del
fonón.fonón.
Estas líneas se conocen como alas deEstas líneas se conocen como alas de
Brillouin.Brillouin.

14. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
La línea central no dispersada se debe aLa línea central no dispersada se debe a
la dispersión Rayleigh, provocada por lasla dispersión Rayleigh, provocada por las
impurezas del cristal.impurezas del cristal.
El ala de Brillouin provocada por laEl ala de Brillouin provocada por la
emisión del fonón se llama línea Stokes.emisión del fonón se llama línea Stokes.
El ala de Brillouin provocada por laEl ala de Brillouin provocada por la
absorción del fonón se llama línea anti-absorción del fonón se llama línea anti-
Stokes.Stokes.

15. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
Calcularemos el desplazamiento deCalcularemos el desplazamiento de
Brillouin a partir del ángulo de dispersión.Brillouin a partir del ángulo de dispersión.
Partiremos de que el vector de onda delPartiremos de que el vector de onda del
fotón (fotón (kk)) es muy pequeño, tanto que daes muy pequeño, tanto que da
un valor dentro de la primera zona deun valor dentro de la primera zona de
Brillouin.Brillouin.
Por este motivo posee un valor parecidoPor este motivo posee un valor parecido
al de los fonones (al de los fonones (qq).).

16. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
Utilizaremos fonones de gran longitud de ondaUtilizaremos fonones de gran longitud de onda
para trabajar en la primera zona de Brillouin.para trabajar en la primera zona de Brillouin.
Bajo esta aproximación cercana al centro de laBajo esta aproximación cercana al centro de la
primera zona de Brillouin se cumple laprimera zona de Brillouin se cumple la
conocida relación de dispersiónconocida relación de dispersión
( ) sq v qω =
r

17. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
Operando con esto se obtiene elOperando con esto se obtiene el
desplazamiento de Brillouin, que dependerádesplazamiento de Brillouin, que dependerá
en gran medida del ángulo de dispersión.en gran medida del ángulo de dispersión.
Si incidimos con ángulo recto sobre el cristalSi incidimos con ángulo recto sobre el cristal
no tendremos interferencias en el proceso.no tendremos interferencias en el proceso.
02 ( )sv
n sen
c
ω ω θ
 
∆ = ±  ÷
 

18. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
A partir de esto podemos calcular laA partir de esto podemos calcular la
velocidad del sonido cuyas ondas yavelocidad del sonido cuyas ondas ya
están presentes en el sólido y no esestán presentes en el sólido y no es
necesario generarlas externamente.necesario generarlas externamente.
Para poder controlar el proceso esPara poder controlar el proceso es
necesario utilizar láseres con frecuencianecesario utilizar láseres con frecuencia
bastante determinada.bastante determinada.

19. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
Gran cantidad de lo expuesto se cumpleGran cantidad de lo expuesto se cumple
para la dispersión Raman.para la dispersión Raman.
Aparecen las líneas Stokes y anti-Stokes.Aparecen las líneas Stokes y anti-Stokes.
El proceso se restringe a los puntosEl proceso se restringe a los puntos
cercanos al origen de la primera zona decercanos al origen de la primera zona de
Brillouin.Brillouin.

20. 4. Dispersión de la luz; Brillouin y4. Dispersión de la luz; Brillouin y
RamanRaman
Existen además ciertas discrepancias:Existen además ciertas discrepancias:
1.1. La dispersión Raman posee unLa dispersión Raman posee un
desplazamiento más elevado de ladesplazamiento más elevado de la
frecuencia.frecuencia.
2.2. La frecuencia de los fonones ópticos esLa frecuencia de los fonones ópticos es
independiente a su vector de onda, asíindependiente a su vector de onda, así
el desplazamiento Raman no dependeel desplazamiento Raman no depende
significativamente del ángulo designificativamente del ángulo de
dispersión.dispersión.

21. 4. Dispersión de la luz: Brillouin y4. Dispersión de la luz: Brillouin y
RamanRaman
Las dispersiones Brillouin y Raman sonLas dispersiones Brillouin y Raman son
efectos no lineales débiles, por lo que seefectos no lineales débiles, por lo que se
necesita que el láser sea intenso.necesita que el láser sea intenso.
Para obtener buena resolución esPara obtener buena resolución es
necesario que el láser seanecesario que el láser sea
monocromático.monocromático.
Este tipo de dispersión se utiliza paraEste tipo de dispersión se utiliza para
analizar radiaciones coherentes que seanalizar radiaciones coherentes que se
pueden afinar.pueden afinar.